harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { - \varepsilon _ { 1 } \frac { D \theta } { D t } + 2 \varepsilon _ { 2 } \theta \frac { D \theta } { D t } } & { { } = - \left( 1 - \varepsilon _ { 1 } \theta + \varepsilon _ { 2 } \theta ^ { 2 } \right) \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { j } } , } \\ { \left( 1 - \varepsilon _ { 1 } \theta + \varepsilon _ { 2 } \theta ^ { 2 } \right) \frac { D u _ { i } } { D t } } & { { } = - \frac { \partial \left( p - p _ { s } \right) } { \partial x _ { i } } + \left[ \left( \theta - \theta _ { s } \right) - \frac { \varepsilon _ { 2 } } { \varepsilon _ { 1 } } \left( \theta ^ { 2 } \! - \! \theta _ { s } ^ { 2 } \right) \right] k _ { i } + } \\ { \left( 1 - \varepsilon _ { 1 } \theta + \varepsilon _ { 2 } \theta ^ { 2 } \right) \left( 1 + \varepsilon _ { 5 } \theta + \varepsilon _ { 6 } \theta ^ { 2 } \right) \frac { D \theta } { D t } } & { { } = \frac { \tilde { D } } { R e _ { \mathrm { f } } } \left( 1 + \varepsilon _ { 3 } \theta + \varepsilon _ { 4 } \theta ^ { 2 } \right) \Phi + } \end{array}
\textrm { R e } = \frac { U ^ { 2 } \tau _ { L } } { \nu } , \quad \textrm { S c } = \frac { \nu } { D _ { s } } , \quad \textrm { D a } _ { s } = \frac { \tau _ { L } } { \tau _ { s } } , \quad \textrm { D a } _ { d } = \frac { \tau _ { L } } { \tau _ { d } } \, .
{ \theta } _ { p } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { \sqrt { \hbar / \mu | \vec { v } _ { r } | \lambda _ { D } } \quad } & { u / c \ge q _ { \alpha } q _ { \beta } / 2 \pi \varepsilon _ { 0 } \hbar c , } \\ & { \sqrt { b _ { 0 } / \lambda _ { D } } \quad } & { u / c < q _ { \alpha } q _ { \beta } / 2 \pi \varepsilon _ { 0 } \hbar c , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r } { { 7 } 2 x } & { } & { \; + \; } & { } & { y } & { } & { \; - \; } & { } & { z } & { } & { \; = \; } & { } & { 8 } \\ { - 3 x } & { } & { \; - \; } & { } & { y } & { } & { \; + \; } & { } & { 2 z } & { } & { \; = \; } & { } & { - 1 1 } \\ { - 2 x } & { } & { \; + \; } & { } & { y } & { } & { \; + \; } & { } & { 2 z } & { } & { \; = \; } & { } & { - 3 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \tau _ { 1 } ( e _ { 1 } ) \leq \cdots \leq \tau _ { 1 } ( e _ { l } ) < \tau _ { 1 } ( e _ { l + 1 } ) = \cdots = \tau _ { 1 } ( e _ { m - 1 } ) < \tau _ { 1 } ( e _ { m } ) < \tau _ { 1 } ( e _ { m + 1 } ) \leq \cdots \leq \tau _ { 1 } ( e _ { n } ) , } \\ { 0 } & { \leq \tau _ { 2 } ( e _ { 1 } ) \leq \cdots \leq \tau _ { 2 } ( e _ { l } ) < \tau _ { 2 } ( e _ { l + 1 } ) = \cdots = \tau _ { 2 } ( e _ { m - 1 } ) = \tau _ { 2 } ( e _ { m } ) < \tau _ { 2 } ( e _ { m + 1 } ) \leq \cdots \leq \tau _ { 2 } ( e _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { - \mathcal { D } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } ^ { n } ) \Delta \boldsymbol { x } ^ { n } = \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } ^ { n } ) - \boldsymbol { g } , \quad \boldsymbol { x } ^ { n + 1 } = \boldsymbol { x } ^ { n } + \Delta \boldsymbol { x } ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { q _ { v x } ^ { B } } \\ { q _ { v y } ^ { B } } \end{array} \right] } & { = \mathrm { R T } ( q _ { \psi } ) ^ { \top } \left[ \begin{array} { l } { q _ { v x } } \\ { q _ { v y } } \end{array} \right] } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \dot { q } _ { v x } } \\ { \dot { q } _ { v y } } \end{array} \right] } & { = \mathrm { R T } ( q _ { \psi } ) \left[ \begin{array} { l } { \dot { q } _ { v x } ^ { B } } \\ { \dot { q } _ { v y } ^ { B } } \end{array} \right] + \mathrm { R T } ^ { \prime } ( q _ { \psi } ) q _ { v \psi } \left[ \begin{array} { l } { q _ { v x } ^ { B } } \\ { q _ { v y } ^ { B } } \end{array} \right] } \end{array}
\frac { d \vec { \mathbf { S } } } { d t } = \gamma \vec { \mathbf { S } } \times \left( \vec { \mathbf { B } } + \delta \vec { \mathbf { B } } \right) - R ( \vec { \mathbf { S } } - \frac { \vec { \mathbf { s } } } { 2 } ) - \mathbf { \Gamma _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ } } } \vec { \mathbf { S } } ,
\widetilde { D } _ { \mathbf { g } } ^ { ( n ) } \rightarrow C , \, \, \, \, \, \, \widetilde { D } _ { \mathrm { T V _ { \it x } } } ^ { ( n ) } \rightarrow 0 , \, \, \, \, \, \, \widetilde { D } _ { \mathrm { T V _ { \it y } } } ^ { ( n ) } \rightarrow 0 , \, \, \, \, \, \, \widetilde { D } _ { \mathrm { T V _ { \it z } } } ^ { ( n ) } \rightarrow 0 , \, \, \, \, \, \, \widetilde { D } _ { \mathrm { T V _ { \it B } } } ^ { ( n ) } \rightarrow 0 ,
\chi _ { z } \rightarrow \tilde { \chi } _ { z } = \frac { P _ { z } ^ { m a x } } { E _ { m a x } ^ { \prime } } , \ \ \, c h i _ { \bot } \rightarrow \tilde { \chi } _ { \bot } = \frac { P _ { \bot } ^ { m a x } } { E _ { m a x } ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l } { \b { W _ { o } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \b { A } ^ { * } t } \b { C } ^ { * } \b { C } e ^ { \b { A } t } ~ \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \b { H } ( i \omega ) ^ { * } \b { C } ^ { * } \b { C } \b { H } ( i \omega ) ~ \mathrm { d } \omega , } \\ { \b { W _ { c } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \b { A } t } \b { B } \b { B } ^ { * } e ^ { \b { A } ^ { * } t } ~ \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \b { H } ( i \omega ) \b { B } \b { B } ^ { * } \b { H } ( i \omega ) ^ { * } ~ \mathrm { d } \omega , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } ( { x } , t ) } & { { } = } & { \hbar \dot { \phi } ^ { + } ( { x } , t ) \dot { \phi } ( { x } , t ) + \hbar c ^ { 2 } \phi ^ { + } ( { x } , t ) \phi ^ { \prime } ( { x } , t ) , } \end{array}
R = \frac { \omega _ { 1 2 9 } } { \omega _ { 1 3 1 } } \approx - \rho - \frac { 1 - \rho } { \omega _ { L , 1 3 1 } } \Omega _ { E } \cos \theta - \frac { \epsilon _ { 1 2 9 } - \rho \epsilon _ { 1 3 1 } } { \omega _ { L , 1 3 1 } } A \cos \phi ,
\begin{array} { r l } { s _ { \mathrm { A D I } } } & { = \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \log \left( 4 \frac { ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) } { \epsilon ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) } \right) \log \left( 1 6 \frac { ( \alpha _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) ( \alpha _ { 2 } + \beta _ { 1 } ) } { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) } \right) , } \\ { s _ { \mathrm { R K } } } & { = \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \log \left( 8 \frac { ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) } { \epsilon ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) \log \left( 1 6 \frac { ( \alpha _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) ( \alpha _ { { 2 } } + \beta _ { 1 } ) } { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { U } } & { : = \left\{ \vec { \chi } \in [ H _ { 1 } ^ { 1 } ( \mathcal { R } ) ] ^ { 2 } : \; ( \vec { \chi } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \in L _ { - 1 } ^ { 2 } ( \mathcal { R } ) , \; \vec { \chi } = \vec { 0 } \; \; \mathrm { o n } \; \; \partial _ { 1 } \mathcal { R } , \; \; \vec { \chi } \cdot \vec { n } = 0 \; \; \mathrm { o n } \; \; \partial _ { 2 } \mathcal { R } \right\} , } \\ { \mathbb { V } } & { : = H ^ { 1 } ( 0 , T ; [ L _ { 1 } ^ { 2 } ( \mathcal { R } ) ] ^ { 2 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathbb { U } ) , \quad \mathbb { P } : = \Bigl \{ \chi \in L _ { 1 } ^ { 2 } ( \mathcal { R } ) : \int _ { \mathcal { R } } r \, \chi \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z = 0 \Bigr \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \ell _ { 3 , 2 } \; \ell _ { n , 2 } ) } & { = ( t _ { 1 } t _ { n - 1 } t _ { n - 2 } \dots t _ { 4 } ) ( t _ { 2 } t _ { 3 } ) ^ { 3 } ( t _ { 4 } \dots t _ { n - 2 } t _ { n - 1 } t _ { 1 } ) \in { \operatorname { S t a b } } ( \ell _ { n , 1 } ) } \\ { ( \ell _ { n - 1 , 1 } \; \ell _ { n - 1 , n - 2 } ) } & { = ( t _ { n - 1 } t _ { 1 } t _ { 2 } \dots t _ { n - 4 } ) ( t _ { n - 3 } t _ { n - 2 } ) ^ { 3 } ( t _ { n - 4 } \dots t _ { 2 } t _ { 1 } t _ { n - 1 } ) \in { \operatorname { S t a b } } ( \ell _ { n , 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \eta } } & { : = g ^ { i j } ( s , t + \eta ( s ) ) \left[ - \eta _ { i } ( s ) \partial _ { t } \partial _ { s _ { j } } - \eta _ { j } ( s ) \partial _ { t } \partial _ { s _ { i } } - \eta _ { i j } ( s ) \partial _ { t } + \eta _ { i } ( s ) \eta _ { j } ( s ) \partial _ { t } ^ { 2 } \right] } \\ & { \; = - \Delta _ { t + \eta } ( \eta ) \partial _ { t } - 2 \nabla ^ { t + \eta } ( \eta ) \partial _ { t } + | \nabla ^ { t + \eta } \eta | ^ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { z ( x , y ) = ( 1 - \frac { x _ { 0 } - x } { 2 x _ { 0 } } ) ( 1 - \frac { y } { y _ { 0 } } ) z _ { 1 } + \frac { x _ { 0 } - x } { 2 x _ { 0 } } ( 1 - \frac { y } { y _ { 0 } } ) z _ { 2 } } \\ { + \frac { y } { y _ { 0 } } ( 1 - \frac { x _ { 0 } - x } { 2 x _ { 0 } } ) z _ { 3 } + \frac { ( x _ { 0 } - x ) y } { 2 x _ { 0 } y _ { 0 } } z _ { 4 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { E } [ \{ \nu _ { \mathfrak { n } } \} , \{ \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \} ] } & { \approx } & { \mathcal { \tilde { E } } [ \{ \nu _ { \mathfrak { n } } \} , \{ \phi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \} ] } \\ & { = } & { 4 \, \sum _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n } } \, \langle \phi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) | \hat { h } _ { 1 } | \phi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \rangle } \\ & { + } & { 2 \, \operatorname* { m i n } _ { \{ \sigma _ { \mathfrak { n } } = \pm 1 \} } \; \sum _ { \mathfrak { n } } \sum _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, \sigma _ { \mathfrak { n } } \, \sigma _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, \sqrt { \nu _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } } } \\ & { \times } & { \langle \phi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \, \phi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 2 } ^ { \; \bullet } ) | \hat { w } _ { 1 2 } | \phi _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \, \phi _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( \vec { r } _ { 2 } ^ { \; \bullet } ) \rangle \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { s i n } ( n , m ) } & { = } & { \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \bigg [ \frac { ( - 1 ) ^ { p } 2 ^ { ( 2 p + 2 ) } n ^ { 2 p + 1 } \pi ^ { 2 p + 1 } ( t _ { 2 } ^ { ( 2 p + m + 2 ) } - t _ { 1 } ^ { ( 2 p + m + 2 ) } ) } { ( 2 p + m + 2 ) ( 2 p + 1 ) ! T ^ { 2 p + 2 } } \bigg ] } \\ & { = } & { \frac { 4 n \pi } { ( m + 2 ) T ^ { 2 } } \bigg [ _ { p } F _ { q } \bigg ( \frac { m + 2 } { 2 } ; \frac { 3 } { 2 } , \frac { m + 4 } { 2 } ; - \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } t _ { 2 } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \bigg ) t _ { 2 } ^ { m + 2 } } \\ & { \quad } & { - _ { p } F _ { q } \bigg ( \frac { m + 2 } { 2 } ; \frac { 3 } { 2 } , \frac { m + 4 } { 2 } ; - \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } t _ { 1 } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \bigg ) t _ { 1 } ^ { m + 2 } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { 1 , 3 } } & { = } & { 0 , } \\ { P _ { 2 , 3 } } & { = } & { 0 , } \\ { P _ { 3 , 3 } } & { = } & { 6 h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } \left( - \sum _ { j < k < l } p _ { j , 1 } p _ { k , 1 } p _ { l , 1 } - \alpha _ { 0 } \sum _ { j < k } ( j - 1 ) p _ { j , 2 } p _ { k , 1 } \right. - \alpha _ { 0 } \sum _ { j < k } ( k - 2 ) p _ { j , 1 } p _ { k , 2 } } \\ & { } & { - { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( j - 1 ) ( j - 2 ) p _ { j , 3 } + \frac { N - 2 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k < l } p _ { j , 1 } p _ { k , 1 } p _ { l , 1 } + \frac { ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } } { N } \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } ( k - 1 ) p _ { j , 1 } p _ { k , 2 } } \\ & { } & { - \frac { ( N - 1 ) ( N - 2 ) } { 3 N ^ { 2 } } \sum _ { j , k , l = 1 } ^ { N } p _ { j , 1 } p _ { k , 1 } p _ { l , 1 } + { ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( j - 1 ) p _ { j , 3 } } \\ & { } & { + \frac { ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } } { 2 } \sum _ { j < k } ( p _ { j , 1 } p _ { k , 2 } + p _ { j , 2 } p _ { k , 1 } ) - \frac { ( N - 1 ) ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } { 6 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } p _ { j , 3 } } \\ & { } & { \left. - \frac { ( N - 1 ) ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } } { 2 N } \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } p _ { j , 2 } p _ { k , 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { w } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { k } , z ) = } & { \hat { w } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { k } ) \mathrm { e } ^ { k z } } \\ { \hat { \mathbf { u } } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { k } , z ) = } & { \mathrm { i } \frac { k ^ { 2 } \mathbf { U } ^ { \prime } + [ ( \mathbf { U } \cdot \mathbf { k } - \omega ) k - k _ { x } S _ { 0 } ] \mathbf { k } } { ( \mathbf { U } \cdot \mathbf { k } - \omega ) k ^ { 2 } } \hat { w } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \mathrm { e } ^ { k z } } \\ { \hat { P } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { k } , z ) = } & { - \mathrm { i } \frac { ( \mathbf { U } \cdot \mathbf { k } - \omega ) k - k _ { x } S _ { 0 } } { k ^ { 2 } } \hat { w } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \mathrm { e } ^ { k z } } \\ { \hat { w } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { k } ) = } & { - \mathrm { i } \hat { \zeta } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { k } ) \omega } \end{array}
\phi _ { \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { \beta \gamma \left( \beta x _ { 1 } - \gamma \left( x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } \right) \right) } { ( \beta - \gamma x _ { 1 } ) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } } \quad \textrm { a n d } \quad \phi _ { \tilde { \lambda } _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { \beta ^ { 2 } \gamma x _ { 2 } } { ( \beta - \gamma x _ { 1 } ) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \frac { d \operatorname { a r c c o s } ( \hat { l } ( x ^ { 2 } ) ) } { d x } = \frac { - \hat { l } ^ { \prime } ( x ^ { 2 } ) 2 x } { \sqrt { 1 - \hat { l } ^ { 2 } ( x ^ { 2 } ) } } = \frac { - 4 x } { ( \eta ^ { 2 } - \eta _ { - } ^ { 2 } ) \sqrt { 1 - \hat { l } ^ { 2 } ( x ^ { 2 } ) } } } \\ & { = \frac { - 4 x } { \sqrt { ( \eta ^ { 2 } - \eta _ { - } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( 2 x ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } - \eta _ { - } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } = \frac { - 2 x } { \sqrt { ( x ^ { 2 } - \eta _ { - } ^ { 2 } ) ( \eta ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) } } } \end{array}
\left( m + \frac { 1 } { 2 r _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 r _ { 2 } } \right) d r ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { r _ { 2 } } - \frac { 1 } { r _ { 1 } } \right) d r d R + \left( 2 M - \frac { 2 } { R } + \frac { 1 } { 2 r _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 r _ { 2 } } \right) d R ^ { 2 }
H _ { \frac { 1 } { 8 } } = 8 - { \frac { \pi } { 2 } } - 4 \ln { 2 } - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left\{ \pi + \ln \left( 2 + { \sqrt { 2 } } \right) - \ln \left( 2 - { \sqrt { 2 } } \right) \right\}
\begin{array} { r } { \left( \sqrt { 1 - p } - \sqrt { 1 - q } \right) ^ { 2 } = \left( \sqrt { 1 - p } - \sqrt { 1 - p - q \delta } \right) ^ { 2 } \asymp \frac { q ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { 1 - p } \asymp \frac { q ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { q } \asymp \frac { d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( \mathrm { B e r } ( p ) , \mathrm { B e r } ( q ) ) } { q } , } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { 1 } ( \mathbf x , t , \mathbf y , \tau ) = \boldsymbol \chi ( \mathbf y , \tau ) \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \overline { c } _ { 1 } ( \mathbf x , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { i } ^ { w } } & { = \frac { 1 } { | \mathcal { C } _ { i } | } \frac { 1 } { \Delta t } \frac { c } { \varepsilon } \int _ { t ^ { n } } ^ { t ^ { n + 1 } } \int _ { \partial \Omega _ { i } } \int _ { \mathcal { S } ^ { 2 } } \vec { \Omega } \cdot \vec { n } I ^ { w } ( \vec { x } , \vec { \Omega } , t ) \mathrm { d } \vec { \Omega } \mathrm { d } \vec { x } \mathrm { d } t } \\ & { = \sum _ { L _ { l } \in \partial \mathcal { C } _ { i } } \frac { | L _ { l } | } { | \mathcal { C } _ { i } | } \frac { 1 } { t _ { p } } \frac { c } { \varepsilon } \int _ { t ^ { n + 1 } - t _ { p } } ^ { t ^ { n + 1 } } \int _ { \mathcal { S } ^ { 2 } } \vec { \Omega } \cdot \vec { n } _ { l } I ^ { w } ( \vec { l } _ { m } , \vec { \Omega } , t ) \mathrm { d } \vec { \Omega } \mathrm { d } t } \\ & { = \sum _ { L _ { l } \in \partial \mathcal { C } _ { i } } \frac { | L _ { l } | } { | \mathcal { C } _ { i } | } \kappa _ { \mathrm { e f f } } ^ { w } \nabla \phi _ { m } ^ { n + 1 } \vec { n } _ { l } , } \end{array}
\Delta _ { \mathrm { h a r d } } E _ { \mathrm { h f s } } = \frac { \pi \alpha ^ { 3 } } { 3 m ^ { 2 } } \psi ^ { 2 } ( 0 ) \left( - \frac { 1 } { \epsilon } + 4 \ln m - \frac { 5 1 \zeta ( 3 ) } { \pi ^ { 2 } } + \frac { 1 0 } { \pi ^ { 2 } } - 6 \ln 2 \right) .
H \alpha ^ { \prime } E = \frac { \bar { k } } { \sqrt { 1 - 2 \bar { k } ^ { 2 } } } , \; \; \; \; \; \; H \alpha ^ { \prime } P = - \frac { \bar { k } } { 2 \sqrt { 1 - 2 \bar { k } ^ { 2 } } } ,
{ \cal S } _ { g } = \int d t \, \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left[ \Psi _ { j } ^ { \dagger } ( i \partial _ { t } - A _ { 0 } ) \Psi _ { j } \right] + \sum _ { j = n + 1 } ^ { N } \left[ \Psi _ { j } ^ { \dagger } ( - i \partial _ { t } + A _ { 0 } ) \Psi _ { j } \right] ~ .
\left[ g _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) , \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \right] = \left[ - \epsilon _ { 0 } \nabla \cdot \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) , \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \right] = - i \hbar \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } )
h _ { \delta _ { n } } ( w _ { \delta _ { n } } ) : = \mathbb { P } _ { w _ { \delta _ { n } } } \left[ X \mathrm { ~ h i t s ~ } A \left( v _ { \delta _ { n } } , \tilde { R } - \frac { \tilde { R } - \tilde { r } ^ { \prime } } { 3 } , \tilde { R } - \frac { \tilde { R } - \tilde { r } ^ { \prime } } { 6 } \right) \cap \partial \Omega _ { \delta _ { n } } \mathrm { ~ b e f o r e ~ h i t t i n g ~ } \partial A ( v , \tilde { r } ^ { \prime } , \tilde { R } ) \right] .
{ \begin{array} { r l } { \Delta H } & { = \int _ { S _ { 1 } } ^ { S _ { 2 } } \left( { \frac { \partial H } { \partial S } } \right) _ { P } \mathrm { d } S + \int _ { P _ { 1 } } ^ { P _ { 2 } } \left( { \frac { \partial H } { \partial P } } \right) _ { S } \mathrm { d } P } \\ & { = \int _ { S _ { 1 } } ^ { S _ { 2 } } \left( { \frac { \partial H } { \partial S } } \right) _ { P } \mathrm { d } S \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, { \mathrm { a t ~ c o n s t a n t ~ p r e s s u r e ~ w i t h o u t ~ e l e c t r i c a l ~ w o r k . } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { r _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( t ) } & { { } = \cos ( 2 \pi \nu _ { 0 } t ) } \\ { r _ { \mathrm { ~ Q ~ } } ( t ) } & { { } = \sin ( 2 \pi \nu _ { 0 } t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D ^ { 2 } s } { D t ^ { 2 } } + \frac { N _ { p } ^ { \prime } } { \gamma } \frac { D s } { D t } } & { = - N _ { \rho } ^ { \prime } ( 1 - R ^ { \prime } ) \frac { D \ln p } { D t } ; } \\ { \frac { D ^ { 2 } s } { D t ^ { 2 } } + N _ { \rho } ^ { \prime } \frac { D s } { D t } } & { = - \gamma N _ { \rho } ^ { \prime } ( 1 - R ^ { \prime } ) \frac { D \ln \rho } { D t } . } \end{array}
\nabla ^ { \mathrm { s } } \cdot \boldsymbol { j } _ { \pm } ^ { \mathrm { s } } + ( \boldsymbol { j } _ { \pm } | _ { r = R + 0 } - \boldsymbol { j } _ { \pm } | _ { r = R - 0 } ) \cdot \boldsymbol { e } _ { r } = 0
K _ { n } = \gamma ^ { 2 } \sqrt { \frac { \lambda } { 2 \gamma \beta } } \langle \Delta _ { n } , \xi _ { n + 1 } \rangle + \sqrt { \frac { \lambda \gamma } { 2 \beta } } \langle E _ { n } , \xi _ { n + 1 } \rangle + 3 \frac { \lambda \gamma } { \beta } | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } + \lambda \gamma \frac { B } { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } \gamma + \frac { m } { 2 } \lambda \gamma
\begin{array} { r l } { \Phi _ { n } } & { = \operatorname* { l i m } _ { M \rightarrow \infty } A ^ { T } b [ 1 ] \frac { 1 } { M + 1 } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { M \rightarrow \infty } \frac { \sum _ { d = 1 } ^ { D } \alpha _ { d } M ( \phi _ { d } + 2 k _ { d } \pi ) } { M + 1 } } \\ & { = \sum _ { d = 1 } ^ { D } \alpha _ { d } ( \phi _ { d } + 2 k _ { d } \pi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } n = - \nabla \cdot ( n \mathbf { u } ) , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } ( n \mathbf { u } ) = - \nabla \cdot \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } f \, d \mathbf { v } , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \frac { m | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 } f \, d \mathbf { v } \right) = - \nabla \cdot \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \frac { | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 } \mathbf { v } f \, d \mathbf { v } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { k } ^ { v , \tau _ { i } } \left( t _ { i } , S _ { 1 } , S _ { 2 } \right) : } & { { } = \sum _ { \{ t _ { j } \} _ { j \leq k } } \prod _ { j \leq k } m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { v } ( t _ { i } , t _ { j } , \tau _ { i } ) \delta _ { S _ { 1 } , \sum _ { j \leq k } ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) _ { + } } \delta _ { S _ { 2 } , \sum _ { j \leq k } \theta ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 0 = - \frac { \partial p } { \partial r } + \mu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { r } } { \partial { z } ^ { 2 } } + \frac { \partial \mu } { \partial z } \frac { \partial u _ { r } } { \partial z } , } \\ & { 0 = - \frac { 1 } { r } \frac { \partial p } { \partial \theta } + \mu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { \theta } } { \partial { z } ^ { 2 } } + \frac { \partial \mu } { \partial z } \frac { \partial u _ { \theta } } { \partial z } , } \\ & { 0 = \frac { \partial p } { \partial z } . } \end{array}
R _ { S I } = { \frac { { 1 6 m _ { \tilde { Z } _ { 1 } } M _ { N } ^ { 3 } } M _ { Z } ^ { 4 } } { \left[ { M _ { N } + m _ { \tilde { Z } _ { 1 } } } \right] ^ { 2 } } } \, { \mid A _ { S I } \mid ^ { 2 } }
R ( \mathbf { k } , \zeta ) = R _ { 0 } ( \zeta ) - \mathcal { Y } _ { 0 } ( \delta \mathbf { k } , \zeta ^ { * } ) ^ { * } \mathcal { X } ( \mathbf { k } , \zeta ) - \mathcal { X } _ { 0 } ( \zeta ^ { * } ) ^ { * } \mathcal { Y } ( \delta \mathbf { k } , \mathbf { k } , \zeta ) - \mathcal { Y } _ { 0 } ( \delta \mathbf { k } , \zeta ^ { * } ) ^ { * } \mathcal { Y } ( \delta \mathbf { k } , \mathbf { k } , \zeta ) ,
J _ { _ { T } } + J _ { _ { L } } = { \frac { \pi } { \sqrt { 3 } } } \left[ 3 \int _ { 0 } ^ { \pi / 6 } d \theta \ln ( \cos ( \theta ) ) - 2 \int _ { 0 } ^ { \pi / 3 } d \theta \ln ( \cos ( \theta ) ) - { \frac { \pi \ln ( 2 ) } { 6 } } \right] \; .
\begin{array} { r } { \Delta G ( X ) = \mp I \phi _ { 0 } \frac { \ln [ ( 1 + 2 \alpha X / W ) / \{ 1 \mp \alpha \mathrm { s g n } ( I ) \} ] } { \ln [ ( 1 + \alpha ) / ( 1 - \alpha ) ] } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { u _ { i } \rightharpoonup u \mathrm { ~ w e a k l y - * ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \Omega ) ) , } \\ & { } & { \sqrt { M _ { i } ( u _ { i } ) } \nabla \frac { \mu _ { i } } { g _ { i } ( u _ { i } ) } \rightharpoonup \xi \mathrm { ~ w e a k l y ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( \Omega _ { T } ) , } \\ & { } & { G _ { i } ( u _ { i } ) \rightharpoonup \eta \mathrm { ~ w e a k l y - * ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( 0 , T ; W ^ { 1 , s } ( \Omega ) ) } \\ & { } & { G _ { i } ( u _ { i } ) \rightarrow \eta \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } L ^ { \alpha } ( 0 , T ; L ^ { \beta } ( \Omega ) ) \mathrm { ~ a n d ~ a . e . ~ i n ~ } \Omega _ { T } , } \\ & { } & { G _ { i } ( u _ { i } ) \rightarrow \eta \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( 0 , T ; L ^ { \beta } ( \Omega ) ) , } \\ & { } & { \partial _ { t } G _ { i } ( u _ { i } ) \rightharpoonup \partial _ { t } \eta \mathrm { ~ w e a k l y ~ i n ~ } L ^ { p ^ { \prime } } ( 0 , T ; ( W ^ { 1 , q } \Omega ) ) ^ { \prime } ) . } \end{array}
\textrm { E r r } _ { \mathcal { L } ^ { 1 } } = \left\| q - \hat { q } \right\| _ { l ^ { \infty } \left( \mathcal { L } ^ { 1 } ( \Omega ) \right) } , \, \textrm { E r r } _ { \mathcal { L } ^ { 2 } } = \left\| q - \hat { q } \right\| _ { l ^ { \infty } \left( \mathcal { L } ^ { 2 } ( \Omega ) \right) } , \, \textrm { E r r } _ { \mathcal { L } ^ { \infty } } = \left\| q - \hat { q } \right\| _ { l ^ { \infty } \left( \mathcal { L } ^ { \infty } ( \Omega ) \right) , }