harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
m \approx 0 . 1 7 6 \, ( p = 0 . 7 ) , m \approx 0 . 4 9 6 \, ( p = 0 . 8 ) , m \approx 0 . 6 1 6 \, ( p = 0 . 9 ) , m \approx 0 . 6 7 2 \, ( p = 1 . 0 )
\begin{array} { r l } & { | \Sigma _ { 1 } ( x ) | \leq \sum _ { \gamma _ { 1 } \leq | \gamma | \leq \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) } \frac { \ell _ { 2 } ( x ) \sqrt { x } } { | \rho | } } \\ & { \, \, \, < \ell _ { 2 } ( x _ { 0 } ) \left( \frac { 1 } { \pi } \int _ { \gamma _ { 1 } } ^ { \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) } \frac { \log { \frac { t } { 2 \pi } } \, d t } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + t ^ { 2 } } } + \frac { 2 R ( \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) ) } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \eta ( x _ { 0 } ) ^ { 2 } } } + \frac { 2 R ( \gamma _ { 1 } ) } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } } + 0 . 0 4 5 0 9 \right) : = \ell _ { 4 } ( x _ { 0 } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \| \psi ( t ) - \psi _ { * } \| _ { L ^ { 1 } ( M ) } \mathrm { d } t + \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \| \partial _ { 1 } \psi \| _ { L ^ { 1 } ( M ) } \mathrm { d } t \leq \varepsilon \qquad \forall T \in \mathbb { R } ,
\frac { 2 u _ { p } } { 2 u _ { p } + v _ { p } } \in \left( - \infty , \frac { \tilde { \gamma } _ { 1 } + \tilde { \gamma } _ { 2 } + \tilde { \gamma } _ { 3 } } { \tilde { \gamma } _ { 1 } } \right)
\begin{array} { r l } & { ( h _ { j - 4 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i - 1 } { 2 } } } \\ { \rightleftarrows } & { t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 3 , i + 4 } ^ { - 1 } \cdots t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { - 1 } h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 3 } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { 1 } ( q ) } & { = } & { \frac { m _ { e } k _ { F } } { 8 \pi ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { k _ { F } ^ { 2 } - \left( q / 2 \right) ^ { 2 } } { k _ { F } q } \ln \left| \frac { q + 2 k _ { F } } { q - 2 k _ { F } } \right| \right) , } \\ { \chi _ { 2 } ( q ) } & { = } & { \frac { m _ { e } ^ { 2 } } { 8 \pi \hbar ^ { 2 } } \frac { \theta ( 2 k _ { F } - q ) } { q } , } \end{array}
\int _ { \mathrm { L S } } d { \bf r } [ { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } \cdot { \bf u } ] = \int _ { \mathrm { L S } } d { \bf r } [ { \bf F } _ { \mathrm { d r a g } } \cdot { \bf u } ] = f _ { 2 } U F _ { \mathrm { d r a g , m i x } } .
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } ( \xi ) = \frac { a _ { 2 } e ^ { \frac { a _ { 1 } } { 2 7 } - \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 } } } { \sqrt [ 3 ] { e ^ { \frac { a _ { 1 } } { 3 } - \frac { 9 \xi ^ { 2 } } { 4 } } + 1 } } , \quad C _ { 2 } ( \xi ) = \frac { a _ { 2 } e ^ { \frac { 1 0 a _ { 1 } } { 2 7 } - \frac { 5 \xi ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt [ 3 ] { e ^ { \frac { a _ { 1 } } { 3 } - \frac { 9 \xi ^ { 2 } } { 4 } } + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { 0 } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) } & { = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \frac { \exp [ - i k ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \left[ 1 + i A k - ( B / 2 ) k ^ { 2 } \right] } , } \end{array}
\tilde { \xi } _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) = \tilde { \eta } ( k _ { z } , k _ { z } ^ { \prime } ) \tilde { \mathcal { E } } ( \tilde { \boldsymbol { \rho } } + \tilde { \boldsymbol { \rho } } ^ { \prime } ) \tilde { \chi } ( \tilde { \boldsymbol { \rho } } - \tilde { \boldsymbol { \rho } } ^ { \prime } ) \Theta _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } }
\begin{array} { r l r } & { \le } & { 2 \int _ { x \in A _ { 1 } , y \in A _ { 2 } } p _ { \bar { x } , \sigma } ( x ) p _ { \bar { y } , \sigma } ( y ) | x - \bar { x } | d x d y + 2 \int _ { x \in A _ { 1 } , y \in A _ { 2 } } p _ { \bar { x } , \sigma } ( x ) p _ { \bar { y } , \sigma } ( y ) | \bar { x } - \bar { y } | d x d y } \\ & { + } & { 2 \int _ { x \in A _ { 1 } , y \in A _ { 2 } } p _ { \bar { x } , \sigma } ( x ) p _ { \bar { y } , \sigma } ( y ) | y - \bar { y } | d x d y : = \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } + \psi _ { 3 } . } \end{array}
f _ { j m } ( \theta ) = C _ { j m } ^ { 2 } \left\{ \sin ^ { 2 } \theta \left[ \frac { \partial P _ { j } ^ { m } ( \cos \theta ) } { \partial ( \cos \theta ) } \right] ^ { 2 } + \frac { m ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta } \left[ P _ { j } ^ { m } ( \cos \theta ) \right] ^ { 2 } \right\}
\sigma _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , ~ ~ ~ ~ \sigma _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { | \beta | ^ { 2 } = \frac { \hbar ^ { 2 } | \alpha | ^ { 4 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { \gamma _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } { \omega _ { P } ^ { 2 } } \int d \omega _ { 1 } d \omega _ { 2 } \, \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } \\ & { \times \left| \int d \omega _ { 3 } \phi _ { P } ( \omega _ { 3 } ) \phi _ { P } ( \omega _ { 4 } ) \sqrt { \omega _ { 3 } \omega _ { 4 } } \, \mathcal { J } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\frac { m _ { e } } { e } \Big [ ( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } ) { \mathbf I } + i \omega ^ { \prime } \boldsymbol \Omega ^ { * } \times { \mathbf I } - \boldsymbol \Omega \boldsymbol \Omega \Big ] \cdot \boldsymbol v _ { e } ^ { \prime } = - i \omega ^ { \prime } \mathbf E ^ { \prime } .
\frac { \pi } { \Gamma ( 2 h ) \Gamma ( 2 - 2 h ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha \frac { \alpha ^ { 2 h - 1 } } { ( \alpha + e ^ { \psi - i \frac { \pi } { 2 } } ) ( \alpha + e ^ { - ( \psi - i \frac { \pi } { 2 } ) } ) } .
A = \left( { \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { \dots } \\ & & { \ddots } & { \ddots } & \\ { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \quad B = \left( { \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { \dots } & { 1 } \end{array} } \right) .
\begin{array} { r } { \Omega _ { \lambda } ( a ) = \Omega _ { \Lambda } ^ { \it e } + \int _ { a } ^ { \infty } \d b \frac { \Omega _ { e } ^ { \prime } ( b ) } { b ^ { 3 } } , \quad E ( a ) = \frac { \Omega _ { r } } { a ^ { 4 } } + \frac { \Omega _ { b } } { a ^ { 3 } } + 3 \int _ { a } ^ { \infty } \frac { \d b } { b } \frac { \Omega _ { e } ( b ) } { b ^ { 3 } } + \Omega _ { \Lambda } ^ { \it e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 2 } { a } \int _ { \Omega } | h \partial _ { x } u | ^ { 2 } d V } & { = \frac { 2 } { a } - \gamma ^ { - 1 } \int _ { F _ { 3 } } ( 1 - x / a ) | h \partial _ { \nu } u | ^ { 2 } d S } \\ & { \leq \frac { 2 } { a } - ( 1 - ( \beta + \delta + \delta ^ { 2 } ) / a ) ( \frac { 2 } { a } - \frac { 4 } { a } ( 1 - \frac { \beta } { a } ) + { \mathcal O } ( \delta ) + o ( 1 ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \Psi ^ { \prime } ) ^ { T } ( \mathcal { \underline { A } } ^ { \prime } ) ( \Psi ^ { \prime } ) = ( \mathcal { A } ^ { \prime } ) } & { \Longleftrightarrow ( \Psi ^ { \prime } ) ^ { T } ( \underline { { G } } ) ^ { T } ( \underline { { \mathcal A } } ) ( \underline { G } ) ( \Psi ^ { \prime } ) = ( G ) ^ { T } ( \mathcal { A } ) ( G ) } \\ & { \Longleftrightarrow \left( ( G ) ^ { T } \right) ^ { - 1 } ( \Psi ^ { \prime } ) ^ { T } ( \underline { G } ) ^ { T } ( \underline { { \mathcal A } } ) ( \underline { G } ) ( \Psi ^ { \prime } ) ( G ) ^ { - 1 } = ( \mathcal A ) , } \end{array}
{ \breve { \alpha } } _ { k } ( x _ { k } ) = \alpha _ { k } ( \frac { x _ { k } } { P } ) , ~ { \breve { \beta } } _ { k } ( \xi _ { k } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \beta _ { k } ( \xi _ { k } ) , } & { 0 \leq \xi _ { k } < P / 2 } \\ { \beta _ { k } ( \xi _ { k } - P ) , } & { P / 2 \leq \xi _ { k } < P } \end{array} \right. , \quad k = 1 , 2 , \ldots , d .
\begin{array} { r l } & { \rho \frac { l ^ { 2 } } { 2 } \ddot { \phi } x ^ { \prime } ( 0 ) + \left[ k _ { 2 } \alpha ^ { \prime } - F x ^ { \prime } \right] _ { \xi = 0 } \phi + \rho l \ddot { \xi } \left[ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right] _ { \xi = 0 } } \\ & { + \left[ k _ { 1 } \left( x ^ { \prime \prime } ( x - x _ { S } ) + x ^ { 2 } + y ^ { \prime \prime } ( y - y _ { S } ) + y ^ { 2 } \right) - F y ^ { \prime \prime } + k _ { 2 } \left( \alpha ^ { 2 } + \alpha \alpha ^ { \prime \prime } \right) \right] _ { \xi = 0 } \xi } \\ & { + \left[ k _ { 1 } \left( x ^ { \prime } ( x - x _ { S } ) + y ^ { \prime } ( y - y _ { S } ) \right) - F y ^ { \prime } + k _ { 2 } \alpha ^ { \prime } \alpha \right] _ { \xi = 0 } = 0 , } \\ & { \rho \frac { l ^ { 3 } } { 3 } \ddot { \phi } + k _ { 2 } \phi + \rho \frac { l ^ { 2 } } { 2 } x ^ { \prime } ( 0 ) \ddot { \xi } + k _ { 2 } \alpha ^ { \prime } ( 0 ) \xi + k _ { 2 } \alpha ( 0 ) = 0 . } \end{array}
\rho ( \omega , k _ { z } ) = e \left( \frac { \kappa } { \omega - k _ { z } s } \right) ^ { - i \frac { \omega } { \kappa } } \frac { k _ { z } s e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } - \frac { \pi \omega } { 2 \kappa } } } { \omega ( \omega - k _ { z } s ) } \Gamma \left( 1 - i \frac { \omega } { \kappa } \right) \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { H ^ { 0 } ( \mathbb { P } [ a , 1 ] , \mathcal { O } _ { \mathbb { P } ^ { 1 } [ a , 1 ] } ( m ) ) - H ^ { 1 } ( \mathbb { P } [ a , 1 ] , \mathcal { O } _ { \mathbb { P } ^ { 1 } [ a , 1 ] } ( m ) ) } \\ & { = } & { \frac { q ^ { - \{ \frac { m } { a } \} } } { 1 - q ^ { - 1 } } + \frac { q ^ { - \frac { m } { a } } } { 1 - q } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } q ^ { - \{ \frac { m } { a } \} - k } - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } q ^ { - \frac { m } { a } - 1 - k } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor \frac { m } { a } \rfloor } q ^ { - \{ \frac { m } { a } \} - k } } , } & { m \geq 0 } \\ { 0 , } & { - a \leq m \leq - 1 } \\ { \displaystyle { - \sum _ { k = 1 } ^ { - \lfloor \frac { m } { a } \rfloor - 1 } q ^ { - \{ \frac { m } { a } \} + k } } , } & { m \leq - a - 1 } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r } { 0 = { \frac { \mathrm { d } I } { \mathrm { d } s } } = \left( { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } s } } \right) Q ^ { \top } + Q \left( { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } s } } \right) ^ { \top } } \\ { \implies \left( { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } s } } \right) Q ^ { \top } = - \left( \left( { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } s } } \right) Q ^ { \top } \right) ^ { \top } } \end{array} }
\begin{array} { r } { M _ { l j } : = \left\{ \begin{array} { l l } { L _ { l j } + \varepsilon L _ { l j } \left( \cos { \left( \Omega t + \phi _ { \rho , l } \right) } - \cos { \left( \Omega t + \phi _ { \rho , j } \right) } \right. } \\ { \left. \qquad - \frac { 1 } { 2 } \left( \cos { \left( \Omega t + \phi _ { \kappa , l } \right) } + \cos { \left( \Omega t + \phi _ { \kappa , j } \right) } \right) \right) + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) , } & { l \neq j , } \\ { L _ { l l } + \varepsilon \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 } - L _ { l l } \right) \cos { \left( \Omega t + \phi _ { \kappa , l } \right) } + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) , } & { l = j . } \end{array} \right. } \end{array}
- \nabla \cdot \left( \frac { \nabla \bar { U } _ { i m } } { | \nabla \bar { U } _ { i m } | } \right) + \lambda _ { 2 } ( \bar { U } _ { i m } - \hat { U } _ { i m } ) + 2 \lambda _ { 3 } \left( ( \bar { U } _ { r e a l } ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ) ^ { 2 } - 1 \right) \bar { U } _ { i m } = 0 \; \; \; \mathrm { ~ i ~ n ~ } \; \Omega
\widetilde { \mathcal { J } } ^ { \prime } [ R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { 0 } ] ( w ) = \sum _ { K \in \mathcal { K } _ { h } } \int _ { \partial K \cap \Gamma } j _ { \Gamma } ^ { \prime } [ R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { 0 } ] ( w ) d s = \sum _ { K \in \mathcal { K } _ { h } } \int _ { \partial K \cap \Gamma } p _ { \Gamma } ^ { \prime } [ R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { 0 } ] ( w ) n \cdot \beta d s .
\hat { W } _ { \mathrm { S I S } } ( A ) = r _ { \mathrm { t r a n s } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } A ^ { i j } \hat { n } _ { \textsc { i } } ^ { i } \, \hat { q } _ { \textsc { s } \to \textsc { i } } ^ { j } + r _ { \mathrm { r e c } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { q } _ { \textsc { i } \to \textsc { s } } ^ { i } \, .
\begin{array} { r l } & { \| m _ { j + 1 , q } ( \mathbf { A } ) \| _ { 2 } = \left\| \prod _ { k = j + 1 } ^ { q } ( \mathbf { A } - z _ { k } \mathbf { I } ) \right\| _ { 2 } \leq \prod _ { k = j + 1 } ^ { q } \left\| \mathbf { A } - z _ { k } \mathbf { I } \right\| _ { 2 } } \\ & { \| m _ { j + 1 , q } ( \mathbf { T } ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } = \left\| \prod _ { k = j + 1 } ^ { q } ( \mathbf { T } - z _ { k } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \right\| _ { 2 } \leq \prod _ { k = j + 1 } ^ { q } \left\| ( \mathbf { T } - z _ { k } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \right\| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d } X _ { t } ^ { P | a ( \omega ) } ( \Tilde { \omega } ) = b ^ { P } \left( t , a ( \omega ) , X ^ { P | a ( \omega ) } ( \Tilde { \omega } ) \right) \mathrm { d } t + \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } \mathrm { d } B _ { t } ( \Tilde { \omega } ) , \ X _ { 0 } ^ { P | a ( \omega ) } = \xi ( \Tilde { \omega } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( D _ { n } ^ { ( i ) } \bigr ) ^ { 2 } } & { { } \leq \frac { C } { \mathcal { F } ^ { 2 } } + \frac { 2 C } { \mathcal { F } ^ { 4 } } + \frac { 2 C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \mathsf { A } _ { m - 1 , i - 1 } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , i } } } \end{array}
\frac { \alpha } { \mathscr { E } _ { 0 } } \ln e ^ { \frac { 1 } { \alpha } \mathscr { E } _ { 0 } ( t ^ { \prime } - t _ { 0 } ^ { \prime } ) } \to \frac { \alpha } { \mathscr { E } _ { 0 } } \ln e ^ { \frac { 1 } { \alpha } \left( \mathscr { E } ( t ^ { \prime } - t _ { 0 } ^ { \prime } ) - \mathscr { P } x ^ { \prime } \right) } ,
\begin{array} { r l } { M _ { m } } & { = \frac { D _ { m } } { T _ { m } } \bigg [ - \omega _ { C } \omega _ { A } ^ { 2 } \left( \frac { k k _ { z } } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } \right) \left( - ( \lambda _ { m } ^ { P } ) ^ { 2 } + \omega _ { \eta } ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \omega _ { \eta } \lambda _ { m } ^ { P } \right) } \\ & { + \omega _ { A } ^ { 2 } \frac { k _ { x } k _ { y } } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } \left( - \mathrm { i } ( \lambda _ { m } ^ { P } ) ^ { 3 } - 2 \omega _ { \eta } ( \lambda _ { m } ^ { P } ) ^ { 2 } + \mathrm { i } ( \omega _ { \eta } ^ { 2 } + \omega _ { M } ^ { 2 } ) \lambda _ { m } ^ { P } + \omega _ { M } ^ { 2 } \omega _ { \eta } \right) \bigg ] , } \end{array}
\frac { \partial k } { \partial t } + u _ { j } ^ { f } \frac { \partial k } { \partial x _ { j } } = \frac { R _ { i j } ^ { t } } { \rho ^ { f } } \frac { \partial u _ { i } ^ { f } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \nu ^ { f } + \frac { \nu ^ { t } } { \sigma _ { k } } \right) \frac { \partial k } { \partial x _ { j } } \right] - \epsilon - \frac { 2 K ( 1 - t _ { m f } ) \phi k } { \rho ^ { f } } ,
\frac { \partial } { \partial k _ { x } } ( k _ { x } x + k _ { y } y + k _ { z } | z | ) = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { \partial } { \partial k _ { y } } ( k _ { x } x + k _ { y } y + k _ { z } | z | ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { s } ^ { 2 } \ = \ } & { { } \frac { 2 w } { \alpha ^ { 2 } } + ( 1 - w ) ( \sigma _ { g } ^ { 2 } + Q _ { g } ^ { 2 } ) - \frac { w ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } - 2 \frac { w ( 1 - w ) } { \alpha } Q _ { g } - ( 1 - w ) ^ { 2 } Q _ { g } ^ { 2 } } \\ { \ = \ } & { { } \frac { w } { \alpha ^ { 2 } } + ( 1 - w ) \sigma _ { g } ^ { 2 } + \frac { w ( 1 - w ) } { \alpha ^ { 2 } } + w ( 1 - w ) Q _ { g } ^ { 2 } - 2 \frac { w ( 1 - w ) } { \alpha } Q _ { g } } \\ { \ = \ } & { { } \frac { w } { \alpha ^ { 2 } } + ( 1 - w ) \sigma _ { g } ^ { 2 } + w ( 1 - w ) \left( \ \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } + Q _ { g } ^ { 2 } - 2 \frac { Q _ { g } } { \alpha } \ \right) } \\ { \ = \ } & { { } \frac { w } { \alpha ^ { 2 } } + ( 1 - w ) \sigma _ { g } ^ { 2 } + w ( 1 - w ) \left( \ Q _ { g } - \frac { 1 } { \alpha } \ \right) ^ { 2 } . } \end{array}
0 \longrightarrow V \longrightarrow \bigoplus _ { a = 1 } ^ { n + M } { \cal O } ( n _ { a } ) \stackrel { \otimes Q _ { a } ^ { i } ( X ) } { \longrightarrow } \bigoplus _ { i = 1 } ^ { M } { \cal O } ( m _ { i } ) \longrightarrow 0 \; .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ S ~ t ~ a ~ t ~ e ~ . ~ R ~ e ~ l ~ E ~ r ~ r ~ } ( t ) = \frac { \sqrt { ( \hat { \mathbf { z } } ( t ) - \mathbf { z } ( t ) ) ^ { \top } ( \hat { \mathbf { z } } ( t ) - \mathbf { z } ( t ) ) } } { \sqrt { \hat { \mathbf z } ( t ) ^ { \top } \hat { \mathbf z } ( t ) } + \sqrt { \mathbf z ( t ) ^ { \top } \mathbf z ( t ) } } , \quad t \in \{ t _ { 1 } , \ldots , t _ { T } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon _ { 3 3 } = - \sigma A _ { \beta \beta } + y _ { | \zeta } , \quad 2 \varepsilon _ { \alpha 3 } = \varphi _ { \alpha } + y _ { \alpha | \zeta } - h \mathcal { I } [ \sigma ] A _ { \beta \beta , \alpha } + h y _ { , \alpha } , } \\ & { \varepsilon _ { \alpha \beta } = A _ { \alpha \beta } - h B _ { \alpha \beta } \zeta + h y _ { ( \alpha , \beta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { 2 } ^ { * } \mu ( x , v ) = \frac { 1 } { 1 2 } \Big ( [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } + \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { R } ^ { * } ] ] - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , \mathcal { L } _ { R } ^ { * } ] ] - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] \Big ) } \\ & { = \frac { \mu ( x , v ) } { 1 2 } \Bigg ( \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { r } \Big ( b \, \mathrm { t r } \big ( \nabla \psi ( x ) \nabla \psi ( x ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) \big ) + 2 \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle \Big ) } \\ & { \quad + \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) \Big ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle - \langle R ( x ) v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) R ( x ) v \rangle \Big ) + \frac { 1 } { 2 } \langle v , \nabla _ { x } ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle ) \rangle \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { p } } & { { } = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } p + \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) \phantom { + \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } } \\ { \mathcal { R } _ { u } } & { { } = \rho \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } u \phantom { + \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) } + \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \\ { \mathcal { R } _ { v } } & { { } = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } v } \\ { \mathcal { R } _ { s } } & { { } = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } s } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { y _ { t + h } = } & { y _ { t } + h \left\lbrace a \cdot f ( y _ { t } , \ t ) + b \cdot \left[ f ( y _ { t } , \ t ) + { \frac { h } { 2 } } { \frac { d } { d t } } f ( y _ { t } , \ t ) \right] \right. + } \\ & { + c \cdot \left[ f ( y _ { t } , \ t ) + { \frac { h } { 2 } } { \frac { d } { d t } } \left[ f \left( y _ { t } , \ t \right) + { \frac { h } { 2 } } { \frac { d } { d t } } f ( y _ { t } , \ t ) \right] \right] + } \\ & { + d \cdot \left[ f ( y _ { t } , \ t ) + h { \frac { d } { d t } } \left[ f ( y _ { t } , \ t ) + { \frac { h } { 2 } } { \frac { d } { d t } } \left[ f ( y _ { t } , \ t ) + \left. { \frac { h } { 2 } } { \frac { d } { d t } } f ( y _ { t } , \ t ) \right] \right] \right] \right\rbrace + { \mathcal { O } } ( h ^ { 5 } ) } \\ { = } & { y _ { t } + a \cdot h f _ { t } + b \cdot h f _ { t } + b \cdot { \frac { h ^ { 2 } } { 2 } } { \frac { d f _ { t } } { d t } } + c \cdot h f _ { t } + c \cdot { \frac { h ^ { 2 } } { 2 } } { \frac { d f _ { t } } { d t } } + } \\ & { + c \cdot { \frac { h ^ { 3 } } { 4 } } { \frac { d ^ { 2 } f _ { t } } { d t ^ { 2 } } } + d \cdot h f _ { t } + d \cdot h ^ { 2 } { \frac { d f _ { t } } { d t } } + d \cdot { \frac { h ^ { 3 } } { 2 } } { \frac { d ^ { 2 } f _ { t } } { d t ^ { 2 } } } + d \cdot { \frac { h ^ { 4 } } { 4 } } { \frac { d ^ { 3 } f _ { t } } { d t ^ { 3 } } } + { \mathcal { O } } ( h ^ { 5 } ) } \end{array} }
\mathbf { \boldsymbol { x } } ( t ) \sim \mathcal { N } ( \mathbf { \boldsymbol { x } } ( 0 ) , \sigma ^ { 2 } ( t ) ) = p ( \mathbf { \boldsymbol { x } } ( t ) | \mathbf { \boldsymbol { x } } ( 0 ) ) ,
\begin{array} { r l } { s ( t _ { n + 1 } ) | s ( t _ { n } ) \sim } & { { } \, \mathrm { C a t e g o r i c a l } \left( \frac { k _ { s ( t ) \rightarrow s _ { 1 } } } { k _ { s ( t _ { n } ) } } , . . . , \frac { k _ { s ( t ) \rightarrow s _ { 6 } } } { k _ { s ( t _ { n } ) } } \right) , } \\ { \delta t _ { n } \sim } & { { } \, \mathrm { E x p o n e n t i a l } ( k _ { s ( t _ { n } ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathsf { P } \biggl [ \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , t - x ] } \{ A ( \tau , t - x ) - S _ { P _ { L } } ( \tau , t ) \} \ge 0 \biggr ] } \\ { \le } & { \mathsf { P } [ Y _ { S } \ge - \beta ] } \\ { \le } & { \varepsilon _ { S } ( \rho _ { S } ( x - [ l / \rho _ { S } - ( t - x + o ) \bmod w ] _ { + } ) - l ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \tilde { \psi } _ { 1 } } { \partial \tilde { r } } \right] } & { { } - \frac { \tilde { \psi } _ { 1 } } { \tilde { r } ^ { 2 } } = } \end{array}
\partial _ { a } \eta - { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { a } \ln B \ \eta + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \partial _ { b } \ln G + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { b } \ln B \right) \Gamma _ { \hat { a } \hat { b } } \eta = 0 .
\begin{array} { r l r } { | \alpha _ { \mathrm { L } } \rangle } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \mathrm { L } } | ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \mathrm { L } } \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } } | 0 \rangle } \\ { | \alpha _ { \mathrm { R } } \rangle } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \mathrm { R } } | ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \mathrm { R } } \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } } | 0 \rangle , } \end{array}
\mu ^ { m } = \sum _ { i = 0 } ^ { m } \sum _ { j = 0 } ^ { i } \binom { m } { i } \binom { i } { j } \tilde { \Sigma } _ { 1 } ^ { j } \tilde { \Sigma } _ { 2 } ^ { i - j } \tilde { \Sigma } _ { 3 } ^ { m - i } \left\langle \left( \sigma _ { n n } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { j } \left( \sigma _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right) ^ { i - j } \left( \sigma _ { n n } ^ { ( 3 ) } \right) ^ { m - i } \right\rangle .
\langle \chi _ { c J } | \psi ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { a } \chi \cdot \chi ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { a } \psi | \chi _ { c J } \rangle \; \approx \; \langle \chi _ { c 0 } | \psi ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { a } \chi \cdot \chi ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { a } \psi | \chi _ { c 0 } \rangle \; .