harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { [ M _ { i j } ] = \mathcal { N } - \mathrm { i } \frac { \mu } { 2 \omega } \left( \begin{array} { l l l } { \epsilon _ { 1 1 } } & { n _ { 1 } ( a _ { 1 } c _ { 3 } + a _ { 3 } c _ { 1 } ) - 2 n _ { 3 } a _ { 1 } c _ { 1 } } & { - n _ { 1 } ( a _ { 1 } c _ { 2 } + a _ { 2 } c _ { 1 } ) + 2 n _ { 2 } a _ { 1 } c _ { 1 } } \\ { - n _ { 2 } ( a _ { 2 } c _ { 3 } + a _ { 3 } c _ { 2 } ) + 2 n _ { 3 } a _ { 2 } c _ { 2 } } & { \epsilon _ { 2 2 } } & { n _ { 2 } ( a _ { 2 } c _ { 1 } + a _ { 1 } c _ { 2 } ) - 2 n _ { 1 } a _ { 2 } c _ { 2 } } \\ { n _ { 3 } ( a _ { 3 } c _ { 2 } + a _ { 2 } c _ { 3 } ) - 2 n _ { 2 } a _ { 3 } c _ { 3 } } & { - n _ { 3 } ( a _ { 3 } c _ { 1 } + a _ { 1 } c _ { 3 } ) + 2 n _ { 1 } a _ { 3 } c _ { 3 } } & { \epsilon _ { 3 3 } } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\mathbf { Q } = \left( \begin{array} { c } { \rho } \\ { \rho u } \\ { E } \\ { j } \end{array} \right) , \quad \mathbf { f } = \left( \begin{array} { c } { \rho u } \\ { \rho u ^ { 2 } + p } \\ { E u + p u + \frac { \kappa ^ { 2 } } { \rho } \theta j } \\ { j u + \theta } \end{array} \right) , \quad \mathbf { S } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - j / \tau } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { { \mathbb E } _ { x } \left( \tilde { \Psi } ( \bar { M } _ { t } ^ { L } ) \right) } & { = } & { \ \mathbb E _ { x } \bigg ( \int \prod _ { i , j } \psi _ { i , j } ( \bar { d } ( { v _ { i } , v _ { j } } ) ) \prod _ { i } \tilde { \varphi } _ { i } ( x _ { i } ) h ^ { \infty } ( x _ { i } ) \ \bar { \nu } _ { t } ^ { L } ( d v _ { i } \otimes d x _ { i } ) \bigg ) } \\ & { \approx } & { \ \mathbb E _ { x } \bigg ( \int \prod _ { i , j } 1 ( v _ { i } \neq v _ { j } ) \psi _ { i , j } ( \bar { d } ( { v _ { i } , v _ { j } } ) ) \prod _ { i } \tilde { \varphi } _ { i } ( x _ { i } ) h ^ { \infty } ( x _ { i } ) \ \bar { \nu } _ { t } ^ { L } ( d v _ { i } \otimes d x _ { i } ) \bigg ) } \\ & { \approx } & { \frac { 2 h ^ { \infty } ( x ) } { N \Sigma ^ { 2 } t } \ \times \ K ! \left( t \frac { \Sigma ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { K } { \mathbb E } \left( \prod _ { i , j } \psi _ { i , j } ( U _ { \sigma _ { i } , \sigma _ { j } } ) \right) \prod _ { i } \int _ { { \mathbb R } _ { + } } \tilde { \varphi } _ { i } ( x ) \Pi ^ { \infty } ( d x ) . } \end{array}
\int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \approx \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { p } - \mathbf { x } _ { i } ^ { p } ) \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { y } _ { j } ^ { p } - \mathbf { y } _ { i } ^ { p } ) } { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { M } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { p } - \mathbf { x } _ { i } ^ { p } ) \right) ^ { 2 } } \right) .
\mathrm { ~ I ~ m ~ } ( E _ { s } ) = \mathrm { ~ I ~ m ~ } \langle \psi _ { s } | H _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } | \psi _ { s } \rangle + \frac { g } { 2 } = \frac { g } { 2 } \langle \psi _ { s } | ( S _ { N } ^ { z } - S _ { 1 } ^ { z } ) | \psi _ { s } \rangle = g \langle \psi _ { s } | S _ { N } ^ { z } | \psi _ { s } \rangle ,
\begin{array} { r l r } { { \cal M } = } & { { } } & { i g _ { Z } ^ { 2 } ( 4 E _ { 1 } E _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( l _ { i } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( g _ { \sigma _ { 2 } } ^ { e } ) ^ { 2 } \chi _ { - \sigma _ { 2 } } ( p _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { I } ( { { { \tilde { X } } } _ { 1 } } , { { { X } } _ { 2 } } ; { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } ) = \mathcal { H } ( \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } , \tilde { W } } ) - \mathcal { H } ( \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } , \tilde { W } , \tilde { Z } , N } | \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } } ) . } \end{array}
\widehat { \widehat { G _ { J } } } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } = G _ { J } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } + \widehat { \widehat { G } } _ { 3 \mathrm { I } \! \mathrm { P } + ( 0 ) J } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } + \widehat { \widehat { G } } _ { 3 \mathrm { I } \! \mathrm { P } - ( 0 ) J } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } + \widehat { \widehat { G } } _ { 3 \mathrm { I } \! \mathrm { P } - ( 1 ) J } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } + \widehat { \widehat { G } } _ { 3 \mathrm { I } \! \mathrm { P } - ( 1 ) J } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } ^ { \mathcal { C } } + \mathsf { P } ^ { \mathcal { V } } } \\ { \mathsf { P } ^ { \mathcal { L } } + \mathsf { P } ^ { \mathcal { I } } } & { 0 } \end{array} \right) \dot { \boldsymbol { \zeta } } = \nabla _ { \zeta } H + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } ^ { \mathcal { V } } } \\ { \mathsf { P } ^ { \mathcal { I } } } & { 0 } \end{array} \right) \boldsymbol { s } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { m } ( { \bf r } ) = | C | ^ { 2 } \sum _ { i i ^ { \prime } } a _ { i } a _ { i ^ { \prime } } ^ { * } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m ( m \phi - \varphi _ { i ^ { \prime } } + \chi _ { i i ^ { \prime } } ) } J _ { m } ( 2 b _ { i i ^ { \prime } } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } f ^ { \prime } ( t _ { i - 1 } + \theta ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) ) \ d \theta \right| - \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| f ^ { \prime } ( t _ { i } ) \right| d \theta \right) } \\ & { \qquad \leqq \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| f ^ { \prime } ( t _ { i - 1 } + \theta ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) ) \right| \ d \theta - \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| f ^ { \prime } ( t _ { i } ) \right| d \theta \right) } \\ & { \qquad = \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| f ^ { \prime } ( t _ { i - 1 } + \theta ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) ) \right| - \left| f ^ { \prime } ( t _ { i } ) \right| \ d \theta } \end{array} }
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = M _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } , } \\ { p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = ( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 1 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } , } \\ { p _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = ( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 2 } + M _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 0 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } - p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } , } \\ { p _ { 3 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = ( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 3 } + M _ { 3 } \boldsymbol { v } _ { 0 } + M _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 1 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 2 } - p _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 1 } - p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 2 } , } \\ { p _ { 4 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = ( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 4 } + M _ { 4 } \boldsymbol { v } _ { 0 } + M _ { 3 } \boldsymbol { v } _ { 1 } + M _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 2 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 3 } - p _ { 3 } \boldsymbol { v } _ { 1 } - p _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 2 } - p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 3 } . } \end{array}
\hat { f } = \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ) - \mathrm { l i } ^ { \prime } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) - ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } ^ { \prime } ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } )
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } v _ { \varepsilon } ( x , \tau ) = - ( A _ { \varepsilon } v _ { \varepsilon } ) ( x , \tau ) + \varepsilon ^ { - 2 } \sigma v _ { \varepsilon } ( x , \tau ) , } \\ & { v _ { \varepsilon } ( x , 0 ) = ( \Upsilon _ { \varepsilon } f _ { 1 } ) ( x ) , \; ( \partial _ { \tau } v _ { \varepsilon } ) ( x , 0 ) = ( \Upsilon _ { \varepsilon } f _ { 2 } ) ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , 1 ] } \rVert g ( \tau ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \chi ( \tau ) \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert g ( \tau ) \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \chi ( \tau ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 3 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , 1 ] } \left( \rVert d _ { i } g ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s _ { 0 } } \rVert \chi ( i _ { 0 } ) \rVert _ { s } + \rVert d _ { i } g ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \rVert \chi _ { j } ( i _ { 0 } ) \rVert _ { s _ { 0 } } + \rVert d _ { i } \chi ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s _ { 0 } } \rVert g ( i _ { 0 } ) \rVert _ { s } + \rVert d _ { i } \chi ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \rVert g ( i _ { 0 } ) \rVert _ { s _ { 0 } } \right) } \\ & { \quad \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \{ \operatorname { t r } ( Q ( t ) ) \} } & { = \operatorname { t r } ( E [ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } x _ { n } \phi _ { n } ( t ) \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } x _ { m } \phi _ { m } ^ { H } ( t ) ] ) } \\ & { = \operatorname { t r } ( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } x _ { n } ^ { 2 } \int \phi _ { n } ( t ) \phi _ { n } ( t ) \phi _ { n } ^ { H } ( t ) \phi _ { n } ^ { H } ( t ) d t ) } \\ & { = \operatorname { t r } ( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } x _ { n } ^ { 2 } \cdot I ) } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } x _ { n } ^ { 2 } \leqslant P } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { k ^ { 2 } } { P ( k ) } = \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \frac { A _ { j } } { k - k _ { j } } , \quad \mathrm { w h e r e ~ } P ( k ) = \epsilon ^ { 2 } k ^ { 4 } + 2 \mathrm { i } \epsilon k ^ { 2 } + k ^ { 3 } + \beta k - 1 , \quad A _ { j } = \frac { 1 } { 3 + \beta / k _ { j } ^ { 2 } + 4 \mathrm { i } \epsilon / k _ { j } + 4 \epsilon ^ { 2 } k _ { j } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( - i \omega + \bar { \nu } k _ { n } ^ { 2 } ) u _ { n } ^ { < } ( \omega ) } & { = } & { - i \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } [ a _ { 1 } k _ { n } u _ { n + 1 } ^ { * > } ( \omega ^ { \prime } - \omega ) u _ { n + 2 } ^ { > } ( \omega ^ { \prime } ) } \\ & { } & { + a _ { 2 } k _ { n - 1 } u _ { n - 1 } ^ { * < } ( \omega ^ { \prime } - \omega ) u _ { n + 1 } ^ { > } ( \omega ^ { \prime } ) } \\ & { } & { - a _ { 3 } k _ { n - 2 } u _ { n - 2 } ^ { < } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) u _ { n - 1 } ^ { < } ( \omega ^ { \prime } ) ] . } \end{array}
| \Psi \rangle = | d _ { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \rangle \otimes ( \cos { \theta / 2 } \uparrow + \sin { \theta / 2 } \downarrow ) \approx \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 0 , 2 , 0 \rangle + | 2 , 0 , 0 \rangle ) \otimes ( \cos { \theta / 2 } \uparrow + \sin { \theta / 2 } \downarrow ) ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbb { Q } ( { \sqrt { 2 } } , { \sqrt { 3 } } ) } & { = \mathbb { Q } ( { \sqrt { 2 } } + { \sqrt { 3 } } ) } \\ & { = \left\{ a + b ( { \sqrt { 2 } } + { \sqrt { 3 } } ) + c ( { \sqrt { 2 } } + { \sqrt { 3 } } ) ^ { 2 } + d ( { \sqrt { 2 } } + { \sqrt { 3 } } ) ^ { 3 } \mid a , b , c , d \in \mathbb { Q } \right\} . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { y x } ^ { \textrm { Q } ( 2 ) } ( t , t ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { \omega N } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b , c , d } \sum _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } v _ { a b \sigma } ^ { ( \textrm { Q } ) y } ( \mathbf { k } , t ) v _ { c d \sigma ^ { \prime } } ^ { ( \textrm { C } ) x } ( \mathbf { k } , t ^ { \prime } ) } \\ & { \times \Bigl [ G _ { b \sigma c \sigma ^ { \prime } } ^ { \textrm { R } } ( \mathbf { k } ; t , t ^ { \prime } ) G _ { d \sigma ^ { \prime } a \sigma } ^ { < } ( \mathbf { k } ; t ^ { \prime } , t ) } \\ & { + G _ { b \sigma c \sigma ^ { \prime } } ^ { < } ( \mathbf { k } ; t , t ^ { \prime } ) G _ { d \sigma ^ { \prime } a \sigma } ^ { \textrm { A } } ( \mathbf { k } ; t ^ { \prime } , t ) \Bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { X _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \left( \tau ^ { \left( q \right) } \right) = - \tau ^ { \left( q \right) } \big \langle \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \rho } - \left( \tau ^ { \left( q \right) } \right) ^ { 2 } \frac { \mathsf { d } } { \mathsf { d } \tau ^ { \left( q \right) } } \big \langle \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \rho } - \tau ^ { \left( q \right) } \frac { \mathsf { d } } { \mathsf { d } \tau ^ { \left( q \right) } } \log \left( \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } S ^ { 2 } \, \mu ( S ) \, \sin \theta \, d S \, d \theta \, d \phi } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } S ^ { 2 } \, \mu ( S ) \, d S = 1 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { N } { \binom { N } { k } } \int _ { [ 0 , 1 ] } \varphi _ { k , \tau } ( \alpha ) \; \mathrm { d } \mathfrak { m } _ { k , N } ^ { + , i } = \bar { V } ; } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { m } { \binom { m } { k } } \int _ { [ 0 , 1 ] } \mathrm { d } \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + , i } - 1 \right] = 0 , \ \ \ m = 0 , 1 , \ldots , M ; } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \int _ { [ 0 , 1 ] } g _ { j } ( \alpha ) \; \mathrm { d } [ \mathfrak { m } _ { k , m + 1 } ^ { + , i } - ( 1 - \alpha ) \; \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + , i } + \mathfrak { p } _ { k , m } ^ { + , i } ] = 0 , } \\ & { \quad \forall g _ { j } ( \alpha ) , \; j = 1 , 2 , \ldots , \ \ \ m = 0 , 1 , \ldots , M - 1 , \ \ \ k = 0 , \ldots , m . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ( \omega _ { C } ^ { \otimes n } ) } & { { } = h ^ { 0 } \left( C , \omega _ { C } ^ { \otimes n } \right) - h ^ { 0 } \left( C , \omega _ { C } \otimes \left( \omega _ { C } ^ { \otimes n } \right) ^ { \vee } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { \sigma } _ { n , ( i j ) } ^ { 2 } ( \lambda ) \equiv \lambda ^ { \prime } E \left[ \mathcal { \tilde { Z } } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } \mathcal { \tilde { Z } } _ { ( j ) } ^ { ( 0 ) } | \mathfrak { S } _ { n } \right] \lambda = \lambda ^ { \prime } \mathcal { \bar { H } } _ { n , ( i ) } ^ { ( 0 ) - 1 } \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \eta _ { t } ^ { 2 } G _ { i , t } ^ { ( 0 ) } G _ { j , t } ^ { ( 0 ) \prime } \mathcal { \bar { H } } _ { n , ( j ) } ^ { ( 0 ) - 1 } \lambda } \\ & { } & { \tilde { \sigma } _ { n , ( i j ) } ^ { 2 } ( \lambda ) \equiv \lambda ^ { \prime } \mathcal { \bar { H } } _ { n , ( i ) } ^ { ( 0 ) - 1 } \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } E \left[ G _ { i , t } ^ { ( 0 ) } G _ { j , t } ^ { ( 0 ) \prime } \right] \mathcal { \bar { H } } _ { n , ( j ) } ^ { ( 0 ) - 1 } \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \overline { { \mathbf { f } } } \rangle } & { { } \approx k \mathcal { E } _ { z } \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { x } [ \mathtt { a } \alpha _ { Z Y , X } ( f _ { \omega } ) + \mathtt { b } \alpha _ { X Z , Y } ( f _ { \omega } ) + \mathtt { c } \alpha _ { Y X , Z } ( f _ { \omega } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u _ { k l } \right) } & { \ge } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, , } & { \sqrt { \frac { 2 \epsilon _ { 1 } ^ { k l } } { m _ { k l } } } \le u _ { k l } \le \sqrt { \frac { 2 \epsilon _ { 2 } ^ { k l } } { m _ { k l } } } } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \psi } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { e } } , c , \xi , \nabla \xi , \textbf { d } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } , \mathrm { d } , \nabla \mathrm { d } ) } & { = g ( \mathrm { d } ) \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { \mathrm { m + } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { e } } , \xi ) + \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { \mathrm { m - } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { e } } , \xi ) } \\ & { + \mu _ { 0 } c + R \, \vartheta \, c _ { \mathrm { m a x } } \left( \bar { c } \ln \bar { c } + ( 1 - \bar { c } ) \ln ( 1 - \bar { c } ) \right) } \\ & { + \mathcal { W } \bar { \xi } ^ { 2 } ( 1 - \bar { \xi } ) ^ { 2 } + \xi \mu _ { 0 } ^ { \xi } + \xi F \phi _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { \xi } | \nabla \xi | ^ { 2 } } \\ & { + J ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 \varepsilon } \textbf { d } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \cdot \textbf { C } \textbf { d } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \psi ^ { * } \ell ^ { 2 } | \nabla \mathrm { d } | ^ { 2 } } \end{array}
K ( \mathbf { x _ { 0 } } , \mathbf { x _ { 1 } } ) = \sum _ { j } \alpha ( \mathbf { x _ { 0 } } , \vec { x } _ { j } ) \alpha ( \mathbf { x _ { 1 } } , \vec { x } _ { j } ) \sigma _ { j } ^ { 2 }
\frac { \partial } { \partial t } \rightarrow - \omega \delta , \qquad \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \rightarrow k n _ { i } \delta , \qquad \boldsymbol { B } _ { 0 } \boldsymbol { u } \rightarrow \mathrm { i } \boldsymbol { B } _ { 0 } \delta \boldsymbol { u } .
\mathbb { P } \left[ \Gamma ( \omega ) \geq \log \left( \frac { \beta _ { \bar { N } } } { 3 \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } } \right) \right] \leq \mathbb { E } \left[ e ^ { \kappa _ { 0 } \Gamma ^ { 2 } } \right] e ^ { - \kappa _ { 0 } \log \left( \frac { \beta _ { \bar { N } } } { 3 \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } } \right) ^ { 2 } } .
J _ { 1 } ( K _ { x } ) J _ { 2 } ( K _ { y } ) [ K _ { y } + 2 K _ { x } \cos ( \varphi ) + 2 K _ { y } \cos ( 2 \varphi ) ] + J _ { 0 } ( K _ { x } ) J _ { 1 } ( K _ { y } ) [ K _ { x } + 2 K _ { y } \cos ( \varphi ) ] \}
\begin{array} { r l } { \operatorname { P } { \big [ } \; \mathrm { H } = 4 9 \mid p = { \frac { 1 } { 3 } } \; { \big ] } } & { { } = { \binom { 8 0 } { 4 9 } } ( { \frac { 1 } { 3 } } ) ^ { 4 9 } ( 1 - { \frac { 1 } { 3 } } ) ^ { 3 1 } \approx 0 . 0 0 0 , } \\ { \operatorname { P } { \big [ } \; \mathrm { H } = 4 9 \mid p = { \frac { 1 } { 2 } } \; { \big ] } } & { { } = { \binom { 8 0 } { 4 9 } } ( { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 4 9 } ( 1 - { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 3 1 } \approx 0 . 0 1 2 , } \\ { \operatorname { P } { \big [ } \; \mathrm { H } = 4 9 \mid p = { \frac { 2 } { 3 } } \; { \big ] } } & { { } = { \binom { 8 0 } { 4 9 } } ( { \frac { 2 } { 3 } } ) ^ { 4 9 } ( 1 - { \frac { 2 } { 3 } } ) ^ { 3 1 } \approx 0 . 0 5 4 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| x _ { i } ^ { ( 1 ) } - \mu ( 1 + \sigma _ { \lambda } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) ) \right| } & { = \left| \bar { \mu } _ { i } ( 1 + \sigma _ { \lambda ; i } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) ) - \mu ( 1 + \sigma _ { \lambda } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) ) \right| } \\ & { = \left| \bar { \mu } _ { i } ( 1 + \sigma _ { \lambda } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) ) - \mu ( 1 + \sigma _ { \lambda } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) ) + \bar { \mu } _ { i } ( \sigma _ { \lambda ; i } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) - \sigma _ { \lambda } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) ) \right| } \\ & { \leq \left| ( 1 + \sigma _ { \lambda } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) ) ( \bar { \mu } _ { i } - \mu ) \right| + 2 \gamma \left| \bar { \mu } _ { i } \gamma \right| } \\ & { \leq 2 | \bar { \mu } _ { i } - \mu | + 2 \gamma , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \tilde { \psi } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } \right] = \frac { 2 \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 2 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - \tilde { r } _ { b } ) - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { p } } & { = ( a _ { 0 } , \nu _ { e e } , k \lambda _ { D } ) } \\ { \mathcal { L } } & { = \left[ \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { t = 2 5 0 \omega _ { p } ^ { - 1 } } ^ { 4 5 0 \omega _ { p } ^ { - 1 } } \left( \log _ { 1 0 } | \hat { n } _ { f } ^ { 1 } | ( \vec { p } ; \theta ) - \log _ { 1 0 } | \hat { n } _ { V } ^ { 1 } ( \vec { p } ) | \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\Gamma _ { 0 } ( b _ { i } \to b _ { f } + \gamma ) = { \frac { 2 } { 3 \pi } } \left( { \frac { M ( N _ { i } ) ^ { 2 } - M ( N _ { f } ) ^ { 2 } } { 2 \hbar M ( N _ { i } ) } } \right) ^ { 3 } A _ { H } ( N _ { i } ) \; { \frac { 2 J _ { f } + 1 } { 2 J _ { i } + 1 } } \; { \frac { N _ { f } } { N _ { i } } } .
L = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \hat { A } } ^ { \dagger } \left( i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } + { \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } } { 2 m } } \right) { \hat { A } } + { \hat { B } } ^ { \dagger } \left( i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } + { \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } } { 2 m } } \right) { \hat { B } } + { \mathrm { h . c . } } \right] .
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { 0 } \right] } & { \equiv } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { 0 } \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } } \\ & { = } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } f ( n _ { i } ; 0 ) \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } } \\ & { = } & { \Big [ f ( n _ { i } ; 0 ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \big | \partial _ { k } ^ { j } \big ( s ^ { A } ( k ) - I - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { s _ { j } ^ { A } } { k ^ { j } } \big ) \big | = O ( k ^ { - N - 1 } ) , } & { k \to \infty , } \\ { \big | \partial _ { k } ^ { j } \big ( s ^ { A } ( k ) - I - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathcal { B } s _ { j } ^ { A } \mathcal { B } k ^ { j } \big ) \big | = O ( k ^ { N + 1 } ) , } & { k \to 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\delta \mathcal { S } ^ { * } = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left[ \ddot { \mathcal { R } } _ { i } + \frac { d } { d t } \left( \mathcal { R } _ { j } \frac { \partial f _ { j } } { \partial \dot { q } _ { i } } \right) - \mathcal { R } _ { j } \frac { \partial f _ { j } } { \partial q _ { i } } \right] \delta { q } _ { i } d t + \left[ \mathcal { R } _ { i } \delta \dot { q } _ { i } - \left( \mathcal { R } _ { j } \frac { \partial f _ { j } } { \partial \dot { q } _ { i } } + \dot { \mathcal { R } } _ { i } \right) \delta { q } _ { i } \right] _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } .
\tau ^ { n - 1 } ( r ) > \frac { x } { x + 2 } \; \; \; \; { \mathrm { ~ \' ~ o ~ } } \; \; \; \; \frac { \tau ^ { n - 1 } ( r ) ( 1 + x ) } { x - \tau ^ { n - 1 } ( r ) } = \tau ^ { n } ( r ) > r _ { b } \; .
\begin{array} { r l } { g _ { \bar { i } } ^ { \ ( \mathrm { A B B } ) } } & { = 2 \mathrm { w } _ { i } C _ { \mathrm { w } } - g _ { i } ^ { \ ( \mathrm { A B B } ) } } \\ { g _ { \bar { i } } ^ { \ ( \mathrm { R B C } ) } } & { = \frac { k _ { \bar { i } } } { 1 + k _ { \bar { i } } } 2 \mathrm { w } _ { i } C _ { \mathrm { e q } } + \frac { 1 - k _ { \bar { i } } } { 1 + k _ { \bar { i } } } g _ { i } ^ { \ ( \mathrm { R B C } ) } , } \end{array}
\overline { { E _ { \beta _ { k } } } } \, { _ V \phi _ { j } ^ { i } } = { _ V \phi _ { j } ^ { i } } \, \overline { { E _ { \beta _ { k } } } } , \quad \overline { { F _ { \beta _ { k } } } } \, { _ V \phi _ { j } ^ { i } } = q ^ { - ( \beta _ { k } , \epsilon _ { j } ) } { _ V \phi _ { j } ^ { i } } \, \overline { { F _ { \beta _ { k } } } } , \quad \overline { { K _ { \nu } } } \, { _ V \phi _ { j } ^ { i } } = q ^ { ( \nu , \epsilon _ { j } ) } { _ V \phi _ { j } ^ { i } } \, \overline { { K _ { \nu } } } .