harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
F ( { \cal P } , \kappa : { \cal P } _ { 1 } , { \kappa } _ { 1 } ; { \cal P } _ { 2 } , { \kappa } _ { 2 } ) = ( - 1 ) ^ { \gamma + \sigma + m a x ( \gamma , \sigma ) + I _ { 1 } + I _ { 2 } - I } \, F ( \tilde { \cal P } , \tilde { \kappa } : \tilde { \cal P } _ { 1 } , \tilde { \kappa } _ { 1 } ; \tilde { \cal P } _ { 2 } , \tilde { \kappa } _ { 2 } )
H = \sum _ { i , j } h _ { i j } \beta _ { i } ^ { \dagger } \beta _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k , l } h _ { i j k l } \beta _ { i } ^ { \dagger } \beta _ { j } ^ { \dagger } \beta _ { k } \beta _ { l }
\left[ P ( E _ { \nu } ) \frac { d \sigma _ { e } ( E _ { \nu } , E _ { e } ^ { \prime } ) } { d E _ { e } ^ { \prime } } + ( 1 - P ( E _ { \nu } ) ) \frac { d \sigma _ { \mu } ( E _ { \nu } , E _ { e } ^ { \prime } ) } { d E _ { e } ^ { \prime } } \right] ,
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } \right] } & { = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] } \\ & { \qquad \times \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left\{ \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } \sum _ { x _ { k } } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } \right] e ^ { - \mathrm { i } \sum _ { t } \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } + \hat { h } _ { k } ^ { t } \nu _ { i k } ^ { t } x _ { i } ^ { t } \right) } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \omega ^ { a } } & { = \omega _ { b } ^ { a } \wedge \omega ^ { b } + B _ { c } ^ { a b } \ \omega ^ { c } \wedge \omega _ { b } + ( \sqrt { 2 } B _ { b } ^ { a n } + \sqrt { - 1 } \sigma _ { b } ^ { a } ) \omega ^ { b } \wedge \omega + ( \sqrt { - 1 } \sigma ^ { a b } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } B _ { n } ^ { a b } ) \omega _ { b } \wedge \omega ; } \\ { d \omega _ { a } } & { = - \omega _ { a } ^ { b } \wedge \omega _ { b } + B _ { a b } ^ { c } \ \omega _ { c } \wedge \omega ^ { b } + ( \sqrt { 2 } B _ { a n } ^ { b } - \sqrt { - 1 } \sigma _ { a } ^ { b } ) \omega _ { b } \wedge \omega - ( \sqrt { - 1 } \sigma _ { a b } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } B _ { a b } ^ { n } ) \omega ^ { b } \wedge \omega ; } \\ { d \omega } & { = ( \sqrt { 2 } B _ { b } ^ { n a } - \sqrt { 2 } B _ { n b } ^ { a } - 2 \sqrt { - 1 } \sigma _ { b } ^ { a } ) \omega ^ { b } \wedge \omega _ { a } + ( B _ { n b } ^ { n } + \sqrt { - 1 } \sigma _ { n b } ) \omega \wedge \omega ^ { b } } \\ & { + ( B _ { n } ^ { n b } - \sqrt { - 1 } \sigma _ { n } ^ { b } ) \omega \wedge \omega _ { b } . } \end{array}
( \rho _ { \mu } - 1 ) \approx - { \frac { 1 } { r } } { \frac { c _ { 2 3 } ^ { 2 } } { 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 2 3 } } } \cdot ( \rho _ { e } - 1 ) .
1 = \left( 1 - \frac 1 k \sum _ { j = 1 } ^ { k } \ln \frac { I _ { \operatorname* { m a x } } - x _ { ( k + 1 ) } } { I _ { \operatorname* { m a x } } - x _ { ( j ) } } \right) \cdot \frac 1 k \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { I _ { \operatorname* { m a x } } - x _ { ( k + 1 ) } } { I _ { \operatorname* { m a x } } - x _ { ( j ) } } ,
\psi ( Y ) = \underbrace { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \epsilon ^ { n } \psi _ { n } ( Y ) } _ { \psi _ { \mathrm { r e g } } ( Y ) } + \mathcal { R } _ { N } ( Y ) \quad \mathrm { a n d } \quad \lambda = \underbrace { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \epsilon ^ { n } \lambda _ { n } } _ { \lambda _ { \mathrm { r e g } } } + \lambda _ { \mathrm { e x p } } ,
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { ~ H ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( \bar { f } ) = \bigg [ \frac { 2 } { \bar { f } } \bigg ] ^ { 1 / 3 } \frac { ( \bar { f } - 1 ) ^ { 2 } + 1 } { \bar { f } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J ( E _ { 0 0 } ) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c c c } { r \beta } & { 0 } & { 0 } & { \hdots } & { 0 } \\ { 0 } & { - \mu _ { 1 } } & { 0 } & { \hdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \mu _ { 2 } } & { \hdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \hdots } & { - \mu _ { n } } \end{array} \right) , } \end{array}
\Delta E _ { 2 P \rightarrow 2 S } ^ { ( 2 ) \, \textrm { p o i n t c h a r g e } } = E _ { 2 P } ^ { ( 2 ) } - E _ { 2 S } ^ { ( 2 ) } = 2 0 5 . 3 0 6 5 8 ( 1 0 0 ) \textrm { m e V }
A _ { p e r i o d i c } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { 2 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { - 1 } & { 2 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { L _ { c o n s i s t e n c y } ( \theta ; \Delta t ) = } & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y ) } [ \frac { | { u } ^ { p i } ( t , x , y ; \Delta t , \theta ) - { u } ^ { p u } ( t , x , y ; \theta ) | ^ { 2 } } { { \sigma _ { u } } ^ { 2 } } ] + } \\ & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y ) } [ \frac { | { v } ^ { p i } ( t , x , y ; \Delta t , \theta ) - { v } ^ { p u } ( t , x , y ; \theta ) | ^ { 2 } } { { \sigma _ { v } } ^ { 2 } } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { k } } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { ( - 1 ) ^ { k - j } \left( \underset { m = 0 } { \overset { k } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) \right) T _ { 1 } ^ { k + 1 } } { ( j + 1 ) ! 2 ^ { k + 1 } ( k - j ) ! } + \frac { ( - 1 ) ^ { k } \left( \underset { m = 0 } { \overset { k } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) \right) T _ { 1 } ^ { k + 1 } } { 2 ^ { k + 1 } ( k + 1 ) ( k - 1 ) ! } } \\ & { \overset { i = j + 1 } { = } } & { \sum _ { i = 2 } ^ { k } \frac { ( - 1 ) ^ { k - i + 1 } \left( \underset { m = 0 } { \overset { k } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) \right) T _ { 1 } ^ { k + 1 } } { i ! 2 ^ { k + 1 } ( k - i + 1 ) ! } + \frac { ( - 1 ) ^ { k } \left( \underset { m = 0 } { \overset { k } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) \right) T _ { 1 } ^ { k + 1 } } { 2 ^ { k + 1 } ( k + 1 ) ( k - 1 ) ! } } \\ & { = } & { \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { ( k + 1 ) ! } \left( \underset { m = 0 } { \overset { k } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) \right) T _ { 1 } ^ { k + 1 } \sum _ { i = 2 } ^ { k } \frac { ( - 1 ) ^ { i } ( k + 1 ) ! } { i ! 2 ^ { k + 1 } ( k + 1 - i ) ! } } \\ & { } & { + \frac { ( - 1 ) ^ { k } \left( \underset { m = 0 } { \overset { k } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) \right) T _ { 1 } ^ { k + 1 } } { 2 ^ { k + 1 } ( k + 1 ) ( k - 1 ) ! } } \\ & { = } & { \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { 2 ^ { k + 1 } ( k + 1 ) ! } \left( \underset { m = 0 } { \overset { k } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) \right) T _ { 1 } ^ { k + 1 } \left( 0 - 1 - ( - 1 ) ( k + 1 ) \right) } \\ & { } & { + \frac { ( - 1 ) ^ { k } k \left( \underset { m = 0 } { \overset { k } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) \right) T _ { 1 } ^ { k + 1 } } { 2 ^ { k + 1 } ( k + 1 ) ! } } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r c c c l c r c c c l } { { \left( \frac { G } { H } \right) _ { 7 } } } & { { = } } & { { \frac { S O ( 8 ) } { S O ( 7 ) } } } & { { \equiv } } & { { S ^ { 7 } } } & { { ; } } & { { \left( \frac { G } { H } \right) _ { 4 } } } & { { = } } & { { \frac { S O ( 5 ) } { S O ( 4 ) } } } & { { \equiv } } & { { S ^ { 4 } } } \end{array}
R _ { i } = 1 . 0 , R _ { o } = 2 . 0 , \alpha = 1 , U _ { i } = 1 , \mathrm { R e } = \frac { U _ { i } R _ { i } } { \nu } = 2 8 0 , 3 4 0 , 3 8 0 , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } 4 1 0 .
\begin{array} { r l } & { \mathsf { E } \bigl [ \exp \bigl ( - w _ { u , r , \theta } ^ { \, \beta } \, z \, I _ { u , b _ { o } } \bigr ) \bigm | R _ { b _ { o } } = r \bigr ] } \\ & { = \mathsf { E } \biggl [ \prod _ { i \in \mathbb { N } \setminus \{ b _ { o } \} } \exp \Bigl \{ - z \, H _ { i , t } \, \Bigl ( \frac { w _ { u , r , \theta } } { R _ { u , i } } \Bigr ) ^ { \beta } \Bigr \} \biggm | R _ { b _ { o } } = r \biggr ] } \\ & { = \mathsf { E } \biggl [ \prod _ { i \in \mathbb { N } \setminus \{ b _ { o } \} } \Bigl \{ 1 + z \, \Bigl ( \frac { w _ { u , r , \theta } } { R _ { u , i } } \Bigr ) ^ { \beta } \Bigr \} ^ { - 1 } \biggm | R _ { b _ { o } } = r \biggr ] } \\ & { = \exp \biggl ( - \lambda \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! \! \int _ { r } ^ { \infty } \Bigl \{ 1 + \frac { 1 } { z } \, \Bigl ( \frac { w _ { u , v , \varphi } } { w _ { u , r , \theta } } \Bigr ) ^ { \beta } \Bigr \} ^ { - 1 } v \, \mathrm { d } v \mathrm { d } \varphi \biggr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 \pi a } & { = \operatorname* { i n f } \left\{ \int \left( | \nabla f | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v f ^ { 2 } \right) \, \textnormal { d } x : f ( x ) \to 1 \textnormal { f o r } | x | \to \infty \right\} , } \\ { 1 2 \pi a _ { p } ^ { 3 } } & { = \operatorname* { i n f } \left\{ \int \left( | \nabla f | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v f ^ { 2 } \right) | x | ^ { 2 } \, \textnormal { d } x : f ( x ) \to 1 \textnormal { f o r } | x | \to \infty \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { = \sqrt { \frac { \hbar } { m } } \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \gamma _ { + } } { \gamma _ { + } - i \Omega } \frac { \sqrt { \mathcal { X } ^ { 2 } + \mathcal { H } ^ { 2 } } } { Z } \times } \\ & { \qquad \times \left( c _ { \phi } \cos \beta - c _ { a } \sin \beta \right) - } \\ & { - \sqrt { \frac { \hbar } { m } } \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \gamma _ { + } } { ( \gamma _ { + } - i \Omega ) Z } \left( \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma _ { 0 } } } \mathcal { H } b _ { a } + i \frac { \Omega } { \gamma _ { + } } \mathcal { X } c _ { \phi } \right) + } \\ & { + \frac { F _ { T } } { m Z } , \quad \tan \beta = \frac { \mathcal { H } } { \mathcal { X } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \mathrm { l o c } , r } ^ { \Sigma _ { 1 } } } & { = \left\{ \, v \in \widehat { B } _ { r } ( 0 ) \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to - \infty } \frac { 1 } { | t | } \ln { \Vert \varphi _ { t } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } \mu \in [ - \mu _ { 1 } , - \mu _ { 2 } ) \, \right\} } \\ & { = \left\{ \, v \in \widehat { B } _ { r } ( 0 ) \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to - \infty } \frac { 1 } { | t | } \ln { \Vert \varphi _ { t } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \mu \in [ - \mu _ { 1 } , - \mu _ { 2 } ) \, \right\} } \\ & { = \left\{ \, v \in \widehat { B } _ { r } ( 0 ) \, \Big \vert \, \Vert \varphi _ { t } ( v ) \Vert _ { V } \leq C e ^ { - \mu t } \Vert v \Vert _ { V } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \leq 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \mu \in ( - \mu _ { 1 } , - \mu _ { 2 } ) \, \right\} . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { { } } & { { S O ( 2 n - 1 ) } } & { { \subset } } & { { S O ( 2 n ) } } & { { R _ { M } = { \bf 2 n } } } \\ { { } } & { { S p ( 2 n ) } } & { { \subset } } & { { S U ( 2 n ) } } & { { R _ { M } = { \bf n ( 2 n - 1 ) } } } \\ { { } } & { { G _ { 2 } } } & { { \subset } } & { { S O ( 7 ) } } & { { R _ { M } = { \bf 7 } \mathrm { \ o r \ } { \bf 8 } } } \\ { { } } & { { F _ { 4 } } } & { { \subset } } & { { E _ { 6 } } } & { { { \bf 2 7 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { z ^ { 2 } } & { { } = \frac { 4 n ^ { 2 } a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } { 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } \frac { s } { s _ { n } ( 1 - s ) } \left[ 1 - \frac { s } { s _ { n } ( 1 - s ) } \right] , } & { s _ { n } } & { { } = \frac { 2 n \eta } { 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } } \end{array}
\mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta e ^ { i \phi } } { 2 } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] \leq d \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left\lVert E _ { T _ { j } } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T _ { j } } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } ,
h _ { \alpha \beta } ^ { ( \beta ) } ( t ; x , y ) = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \sigma = \pm } e ^ { - 2 n E t } { \psi _ { n , m } ^ { ( \sigma ) } ( x ) _ { \alpha } { \psi } _ { n , m } ^ { ( \sigma ) } ( y ) _ { \beta } ^ { * } } + \phi _ { m } ^ { ( + ) } ( x ) _ { \alpha } \phi _ { m } ^ { ( + ) } ( y ) _ { \beta } ^ { * } \right)
\begin{array} { r l r } { | F _ { j + 1 } ( t ) | } & { = } & { | F _ { j } ( t ) e ^ { - \eta h _ { j + 1 } ( t ) } + f _ { j + 1 } ( t ) | \leq | F _ { j } ( t ) | e ^ { - \eta \Re \bigl ( h _ { j + 1 } ( t ) \bigr ) } + | f _ { j + 1 } ( t ) | } \\ & { = } & { | F _ { j } ( t ) | e ^ { - \eta | f _ { j + 1 } ( t ) | } + | f _ { j + 1 } ( t ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { { } = } & { \frac { r ^ { n + 1 } - r ^ { n } } { \sqrt { c _ { 3 } } \, \Delta { t } } } \\ { v ^ { n } } & { { } = } & { \frac { r ^ { n + 1 } - ( 1 - c _ { 2 } ) r ^ { n } - c _ { 2 } r ^ { n - 1 } } { 2 \sqrt { c _ { 1 } c _ { 3 } } \, \Delta { t } } + \frac { 1 } { 4 m } ( \beta ^ { n } - \beta ^ { n + 1 } ) \, . } \end{array}
H ^ { + + { \breve { \beta } } - } = x _ { h } ^ { { \breve { \alpha } } - } \partial _ { h { \breve { \alpha } } } ^ { - } H ^ { + + { \breve { \beta } } + } = x _ { h } ^ { { \breve { \alpha } } - } \partial _ { h { \breve { \alpha } } } ^ { - } \partial _ { h } ^ { - { \breve { \beta } } } { \cal L } ^ { + 4 } ,
\begin{array} { r c l } { { \chi _ { 1 , k ( r + 1 ) + 1 } ^ { ( p , k p + 1 ) } ( q ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \sum _ { n _ { 1 } \geq \cdots \geq n _ { k } \geq 0 } \frac { q ^ { n _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + n _ { k - 1 } ^ { 2 } + 2 n _ { k } ^ { 2 } + r ( n _ { 1 } + \cdots + n _ { k - 1 } + 2 n _ { k } ) } } { ( q ) _ { n _ { 1 } - n _ { 2 } } \cdots ( q ) _ { n _ { k - 1 } - n _ { k } } ( q ) _ { 2 n _ { k } + r } } \overline { { { F } } } _ { p - 1 ; r } ^ { ( 2 n _ { k } + r ) } ( q ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { e } _ { n } \rangle } { d t } = - 2 \Gamma \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { e } _ { n } \rangle } & { { } + } & { i \frac { \Omega ^ { * } } { 2 } ( \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { e } _ { n } \rangle + \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \rangle ) } \end{array}
\left[ L _ { \mathrm { c o } } \left( \begin{array} { l l l } { n _ { \mathrm { w g } } \omega / c } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { n _ { \mathrm { w g } } \omega / c } & { g _ { \mathrm { c o } } } \\ { 0 } & { g _ { \mathrm { c o } } } & { n _ { \mathrm { w g } } \omega / c } \end{array} \right) , \ \ n _ { \mathrm { w g } } \omega / c \left( \begin{array} { l l l } { L _ { \mathrm { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { L _ { \mathrm { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { L _ { \mathrm { 2 } } } \end{array} \right) \right] = 0
\begin{array} { r } { \mathcal { C } _ { 0 } ^ { \pm } = \Bigg \{ \left( \rho _ { 1 } , \psi , k _ { 1 } \right) \in \mathbb { L } : k _ { 1 } = \frac { 2 \Delta _ { 1 } } { 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \pm \sqrt { \bigg ( \frac { \mu } { \rho _ { 1 } } \bigg ) ^ { 2 } - \bigg ( \frac { 2 \Omega } { 3 \rho _ { 1 } ^ { 2 } + 1 } \bigg ) ^ { 2 } } \Bigg \} . } \end{array}
\langle ( u ^ { a T } ( x ) C \gamma _ { \xi } u ^ { b } ( x ) ) ( { \bar { u } } ^ { a } ( 0 ) C \gamma _ { \xi } { \bar { u } } ^ { b T } ( 0 ) ) \rangle = - \frac { 2 } { 3 } \langle { \bar { q } } q \rangle ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \nu \, e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } \nu } f ( \nu )
\begin{array} { r l } { \mathrm { d c a y } _ { \tilde { \mathbf { x } } } ^ { - 1 } \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) \tilde { \mathbf { y } } \left( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { \mathbf { y } } - \left[ \tilde { \mathbf { x } } , \tilde { \mathbf { y } } \right] - \tilde { \mathbf { x } } \tilde { \mathbf { y } } \tilde { \mathbf { x } } \right) } \end{array}
\gamma _ { t } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { f o r } \quad k ^ { t } t + b > 0 , } \\ { 0 } & { \mathrm { f o r } \quad k ^ { t } t + b < 0 , } \\ { \sigma ( \theta _ { t } ) } & { \mathrm { f o r } \quad k ^ { t } t + b = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & \\ { \frac { d \mathbf { P } _ { 1 } } { d t } } & { = } & { C _ { P } ( \mathbf { P } _ { 1 } ) \left[ \frac { 2 \bar { H } _ { m } ^ { 3 } ( \mathbf { P } _ { 1 } - \mathbf { P } _ { 2 } ) } { D ( \mathbf { P } _ { 1 } , \mathbf { P } _ { 2 } ) } + { \frac { \beta \mu } { 3 } } D ( \mathbf { P } _ { 1 } , \mathbf { P } _ { 2 } ) ( 2 \mathbf { P } _ { 1 } + \mathbf { P } _ { 2 } - 3 \mathcal { P } _ { * } ) + \beta J ^ { n c } ( \mathbf { P } _ { 1 } ) \right] , } \\ { \frac { d \mathbf { P } _ { 2 } } { d t } } & { = } & { C _ { P } ( \mathbf { P } _ { 2 } ) \left[ \frac { 2 \bar { H } _ { m } ^ { 3 } ( \mathbf { P } _ { 2 } - \mathbf { P } _ { 1 } ) } { D ( \mathbf { P } _ { 2 } , \mathbf { P } _ { 1 } ) } + { \frac { \beta \mu } { 3 } } D ( \mathbf { P } _ { 2 } , \mathbf { P } _ { 1 } ) ( 2 \mathbf { P } _ { 2 } + \mathbf { P } _ { 1 } - 3 \mathcal { P } _ { * } ) + \beta J ^ { n c } ( \mathbf { P } _ { 2 } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { G } ^ { \tt S } ( \vec { x } ) } & { = } & { - k \frac { 2 G M _ { \oplus } } { c ^ { 3 } } \frac { \big ( { \vec { S } } _ { \oplus } \cdot [ { \vec { k } } \times \vec { m } ] \big ) } { b } \big ( \vec { k } \cdot ( \vec { n } - \vec { n } _ { 0 } ) \big ) \approx k c \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { b } \Big ) \big ( \vec { k } \cdot ( \vec { n } - \vec { n } _ { 0 } ) \big ) \Big ( 1 . 5 2 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \, \mathrm { s } \Big ) , } \end{array}
\frac { \partial \hat { \bar { \chi } } ^ { ( 2 ) } ( k _ { x } , k _ { y } , z ) } { \partial t } = 3 \chi ^ { ( 3 ) } \beta e ^ { - i \psi } ( A _ { \omega } ^ { * } ) ^ { 2 } u ( z ) \left[ \frac { k _ { y } ^ { 2 } e ^ { - \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } | z | } } { 2 \epsilon \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } } \hat { j } _ { \mathrm { m o d e } } \ast \bar { A } e ^ { i \Delta k z } \right]
- { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta \mid X ) } { N \, \partial \beta ^ { 2 } } } = \operatorname { v a r } [ \ln ( 1 - X ) ] = \psi _ { 1 } ( \beta ) - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) = { \mathcal { I } } _ { \beta , \beta } = \operatorname { E } \left[ - { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta \mid X ) } { N \partial \beta ^ { 2 } } } \right] = \ln \operatorname { v a r } _ { G ( 1 - X ) }
V _ { i } \cdot { \cal N } _ { \overline { { { \alpha V } } } } \equiv { \vec { U } } _ { i } \cdot { \vec { P } } _ { \overline { { { \alpha V } } } } - \sum _ { r } V _ { i } ^ { r } N _ { \overline { { { \alpha V } } } } ^ { r } + \sum _ { \ell : ~ r i g h t } T _ { i } ^ { \ell } J _ { \overline { { { \alpha V } } } } ^ { \ell } - \sum _ { \ell : ~ l e f t } T _ { i } ^ { \ell } J _ { \overline { { { \alpha V } } } } ^ { \ell } ~ .
\frac { 1 } { \alpha _ { n } ( \omega , k _ { z } ) - \mathrm { s g n } ( \omega ) i 0 } = \mathcal { P } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ( \omega , k _ { z } ) } + \mathrm { s g n } ( \omega ) i \pi \delta ( \alpha _ { n } ( \omega , k _ { z } ) ) ,
\begin{array} { r l } { c N ^ { k } } & { { } = \left( { \Lambda ^ { k } } _ { i } { \Lambda ^ { 0 } } _ { 0 } - { \Lambda ^ { k } } _ { 0 } { \Lambda ^ { 0 } } _ { i } \right) c N ^ { i } + { \Lambda ^ { k } } _ { i } { \Lambda ^ { 0 } } _ { j } \varepsilon ^ { i j n } L _ { n } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d s ^ { 2 } } & { = h _ { \mu } ^ { 2 } d \mu ^ { 2 } + h _ { \nu } ^ { 2 } d \nu ^ { 2 } + h _ { \varphi } ^ { 2 } d \varphi ^ { 2 } } \\ & { = a ^ { 2 } \left[ ( \sinh ^ { 2 } \mu + \sin ^ { 2 } \nu ) d \mu ^ { 2 } + ( \sinh ^ { 2 } \mu + \sin ^ { 2 } \nu ) d \nu ^ { 2 } + ( \sinh ^ { 2 } \mu \sin ^ { 2 } \nu ) d \varphi ^ { 2 } \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { j _ { n } ( \partial C _ { 1 } ) } & { = e S _ { n , 1 } \Big ( n ( \partial C _ { 1 } ) - n _ { e q } ( \partial C _ { 1 } ) \Big ) } \\ { j _ { n } ( \partial C _ { 2 } ) } & { = - e S _ { n , 2 } \Big ( n ( \partial C _ { 2 } ) - n _ { e q } ( \partial C _ { 2 } ) \Big ) } \\ { j _ { p } ( \partial C _ { 1 } ) } & { = - e S _ { p , 1 } \Big ( p ( \partial C _ { 1 } ) - p _ { e q } ( \partial C _ { 1 } ) \Big ) } \\ { j _ { p } ( \partial C _ { 2 } ) } & { = e S _ { p , 2 } \Big ( p ( \partial C _ { 2 } ) - p _ { e q } ( \partial C _ { 2 } ) \Big ) } \end{array} } \end{array}
{ \begin{array} { c c c c c c c } { F _ { \mathrm { A } _ { 0 } } } & { - } & { F _ { \mathrm { A } } } & { + } & { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { V } v \, d V } & { = } & { \displaystyle { \frac { d N _ { \mathrm { A } } } { d t } } } \\ { { \mathrm { i n } } } & { - } & { { \mathrm { o u t } } } & { + } & { \left( { { \mathrm { g e n e r a t i o n ~ } } - \atop { \mathrm { c o n s u m p t i o n } } } \right) } & { = } & { { \mathrm { a c c u m u l a t i o n } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { \cal E } ^ { \mathrm { M B } } } & { { } = } & { - { \frac { \hbar } { e } } { \frac { 1 } { \Delta t } } \left[ \int _ { S ( t + \Delta t ) } { \bf B } ^ { \mathrm { M B } } \cdot d { \bf S } - \int _ { S ( t ) } { \bf B } ^ { \mathrm { M B } } \cdot d { \bf S } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { \leq } & { 4 C _ { 3 } K _ { 0 } T \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } + \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L - 2 L ^ { - 1 } ) _ { + } ^ { 2 } + 4 L ^ { - 1 } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) , } \end{array}
{ \boldsymbol { \alpha } } = { \frac { \mathrm { { d } } { \boldsymbol { \omega } } } { \mathrm { { d } } t } } = \mathbf { \hat { n } } { \frac { \mathrm { { d } } ^ { 2 } \theta } { \mathrm { { d } } t ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { x _ { i } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } j \cdot p _ { i j } , \quad \sum _ { j = 1 } ^ { N } p _ { i j } \leq 1 , \quad \sum _ { j = 1 } ^ { N } j \cdot o _ { i j } = 1 \quad \forall i \in \mathcal { C } } \\ & { o _ { i j } \geq \frac { 1 } { N } p _ { i j } \quad \forall i \in \mathcal { C } , j = 1 , \dots , N } \\ & { o _ { i j } \geq p _ { i j } + z _ { i } - 1 \quad \forall i \in \mathcal { C } , j = 1 , \dots , N } \\ & { o _ { i j } \leq p _ { i j } \quad \forall i \in \mathcal { C } , j = 1 , \dots , N } \\ & { o _ { i j } \leq z _ { i } + \frac { 1 } { N } p _ { i j } - \frac { 1 } { N } \quad \forall i \in \mathcal { C } , j = 1 , \dots , N . } \end{array}
M _ { 3 } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 5 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sqrt { 1 5 } } & { 0 } & { - 5 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { - \sqrt { 1 5 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { 1 5 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 5 } & { 0 } & { - \sqrt { 1 5 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right]
I _ { g } = \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } I \left( t , \vec { r } , \vec { \Omega } , \nu \right) d \nu , \; \; \rho _ { g } = \int _ { \mathrm { 4 } \pi } I _ { g } d \vec { \Omega }