harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { Y } ^ { m - 1 } } & { = \bigl \{ \vec { \chi } \in [ S _ { 1 } ^ { m - 1 } ] ^ { 2 } , \, \vec { \chi } \cdot \vec { n } = 0 \; \; \mathrm { o n } \; \; \partial \mathscr { R } ; \; \vec { \chi } = \vec { X } ^ { m } - \vec { X } ^ { m - 1 } \; \; \mathrm { o n } \; \Gamma ^ { m - 1 } \bigr \} , } \\ { \mathbb { Y } _ { 0 } ^ { m - 1 } } & { = \bigl \{ \vec { \chi } \in [ S _ { 1 } ^ { m - 1 } ] ^ { 2 } , \, \vec { \chi } \cdot \vec { n } = 0 \; \; \mathrm { o n } \; \; \partial \mathscr { R } ; \; \vec { \chi } = \vec { 0 } \; \; \mathrm { o n } \; \; \Gamma ^ { m - 1 } \bigr \} , } \end{array}
\mu _ { v , w } ( p _ { v \cap w } ) = \sum _ { p _ { v \setminus w } \in A _ { S ( v ) \setminus S ( w ) } } \alpha _ { v } ( p _ { v } ) \prod _ { u a d j v _ { u \neq v } } \mu _ { u , v } ( p _ { u \cap v } )
\left\langle { p , + } \right| = { \frac { - 1 } { \sqrt { p ^ { + } } } } \left( 0 , 0 , p ^ { + } , p ^ { \perp * } \right) , \qquad \left\langle { p , - } \right| = { \frac { 1 } { \sqrt { p ^ { + } } } } \left( p ^ { \perp } , - p ^ { + } , 0 , 0 \right)
F _ { \mu \nu } ^ { ~ ~ A B } = \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { ~ A B } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { A B } + \frac { 1 } { 2 } f _ { C D E F } ^ { A B } A _ { \mu } ^ { C D } A _ { \nu } ^ { E F } ,
\begin{array} { r l r } { \delta \left( { \bf E } ^ { * } \times { \bf B } \right) _ { x } } & { { } \approx } & { \frac { \omega } { 2 } \sigma \left( A ^ { * } \partial _ { y } A + A \partial _ { y } A ^ { * } \right) } \\ { \delta \left( { \bf E } ^ { * } \times { \bf B } \right) _ { y } } & { { } \approx } & { \frac { \omega } { 2 } \sigma \left( A ^ { * } \partial _ { x } A + A \partial _ { x } A ^ { * } \right) . } \end{array}
{ \widehat { p } } ( d x _ { k - 1 } | ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 2 } ) ) = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { \xi _ { k - 1 } ^ { i } } ( d x _ { k - 1 } ) \left( \approx _ { N \uparrow \infty } p ( d x _ { k - 1 } | ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 2 } ) ) : = { p } ( x _ { k - 1 } | ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 2 } ) ) d x _ { k - 1 } \right)
\frac { \partial n _ { \mathrm { e } } T _ { \mathrm { e } } } { \partial t } = - \vec { \nabla } \cdot ( \frac { 5 } { 3 } T _ { \mathrm { e } } \vec { \Gamma } _ { \mathrm { e } } - \frac { 5 } { 3 } n _ { \mathrm { e } } D _ { \mathrm { e } } \vec { \nabla } T _ { \mathrm { e } } ) - e \vec { \Gamma } _ { \mathrm { e } } \cdot \vec { E } - n _ { \mathrm { e } } n _ { \mathrm { G } } k _ { \mathrm { l o s s } } ,
| G | ^ { 2 } \equiv \frac 1 { \epsilon ^ { 4 } } \left( \frac { \omega } { m _ { \gamma ^ { \prime } } } \right) ^ { 4 } \left[ \frac { \int d ^ { 3 } x \vec { E } _ { \mathrm { c a v } } ^ { * } ( \vec { x } ) \cdot \vec { \jmath } ( \vec { x } ) } { \omega \int d ^ { 3 } x | \vec { E } _ { \mathrm { c a v } } ( \vec { x } ) | ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } ,
\mathrm { P r o b . } \left( A _ { 1 } \cup A _ { 2 } \right) = \mathrm { P r o b . } \left( A _ { 1 } \right) + \mathrm { P r o b . } \left( A _ { 2 } \right) - \mathrm { P r o b . } \left( A _ { 1 } \cap A _ { 2 } \right) \le \mathrm { P r o b . } \left( A _ { 1 } \right) + \mathrm { P r o b . } \left( A _ { 2 } \right)
\begin{array} { r } { A _ { \mathrm { { H H ( L H ) } } } ( t , t ^ { \prime } ) = - \int _ { t } ^ { t ^ { \prime } } d t ^ { \prime \prime } \frac { \hbar { { \bf k } ^ { 2 } ( t ^ { \prime \prime } ) } } { 2 \mu _ { \mathrm { H H ( L H ) } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { 1 } { k + 1 } \left\{ \left( \frac { r ( k s ^ { ( n + 1 ) } + s ^ { ( n ) } ) c } { G } - s ^ { ( n ) } c \right) + k \left( \frac { r ( k s ^ { ( n + 2 ) } + s ^ { ( n + 1 ) } ) c } { G } - s ^ { ( n ) } c \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { t } ^ { 2 } - \partial _ { z } ^ { 2 } + \frac { m ^ { * 2 } v _ { 0 } ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \right] \psi _ { z } = 0 , } \end{array}
\left( h _ { \mu } h _ { \nu } - \frac { \delta _ { \mu \nu } } { 3 } \right) \frac { \partial V _ { \nu } } { \partial x _ { \mu } } \approx h _ { x } \frac { \partial V _ { x } } { \partial z } + \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial V _ { z } } { \partial z } .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { { f } _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } , \omega _ { 1 ( 2 ) } } ^ { \mathrm { ~ M ~ Z ~ I ~ } } ( z ) = i \kappa { f } _ { - , \omega _ { 1 ( 2 ) } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 2 ~ ) ~ } } } \\ { { f } _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } , \omega _ { 3 ( 4 ) } } ^ { \mathrm { ~ M ~ Z ~ I ~ } } ( z ) = \sigma { f } _ { - , \omega _ { 3 ( 4 ) } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 1 ~ ) ~ } } } \\ { { f } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ } , \omega _ { 1 ( 2 ) } } ^ { \mathrm { ~ M ~ Z ~ I ~ } } ( z ) = \sigma { f } _ { - , \omega _ { 1 ( 2 ) } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 2 ~ ) ~ } } } \\ { { f } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ } , \omega _ { 3 ( 4 ) } } ^ { \mathrm { ~ M ~ Z ~ I ~ } } ( z ) = i \kappa { f } _ { - , \omega _ { 3 ( 4 ) } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 1 ~ ) ~ } } } \end{array} \right. \ , } \end{array}
Q = \left< k \right> \frac { P _ { 0 , a } - P _ { 0 , b } } { \rho _ { 0 } g L } = \left[ \frac { H } { L } \frac { \Delta _ { \rho } } { \rho _ { 0 } } \right] \left( \hat { P } \vert _ { a } - \hat { P } \vert _ { b } \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { a _ { \pm } } = - \frac { \omega ^ { 2 } \left( t \right) \pm \eta ( t ) } { 2 } - 2 \left( a _ { \pm } ^ { 2 } - b _ { \pm } ^ { 2 } \right) [ 1 \mp \eta ( t ) ] , } \\ { \dot { b _ { \pm } } = - 4 a _ { \pm } b _ { \pm } [ 1 \mp \eta ( t ) ] , } \\ { \dot { c _ { \pm } } = - \frac { \omega ^ { 2 } \left( t \right) \pm \eta ( t ) } { 2 } \, d _ { \pm } ^ { 2 } + \left( \frac { e _ { \pm } ^ { 2 } } { 2 } - b _ { \pm } \right) \left[ 1 \mp \eta ( t ) \right] \mp B _ { 0 } \left( t \right) , } \\ { \dot { d _ { \pm } } = e _ { \pm } [ 1 \mp \eta ( t ) ] , } \\ { \dot { e _ { \pm } } = - d _ { \pm } [ \omega ^ { 2 } ( t ) \pm \eta ( t ) ] , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { H ( \Tilde { { X } } | { Y } = x , { A } ^ { 2 } = 0 0 ) } & { = H \Big ( \frac { p _ { X } ( 1 ) } { 2 } , \frac { p _ { X } ( 1 ) } { 2 } , \dots , p _ { X } ( x ) , \dots , \frac { p _ { X } ( | \mathfrak { X } | ) } { 2 } , \frac { p _ { X } ( | \mathfrak { X } | ) } { 2 } \Big ) } \\ & { = H ( X ) + 1 - p _ { X } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { S _ { 3 } } } & { { = } } & { { r _ { 1 } ( - \gamma ) r _ { 2 } ( - 2 \gamma ) r _ { 1 } ( - \gamma ) } } \\ { { \tilde { S } _ { 3 } } } & { { = } } & { { r _ { 5 } ( - \gamma ) r _ { 4 } ( - 2 \gamma ) r _ { 5 } ( - \gamma ) \; . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { d } : = \{ \mathbf { P } _ { N , d } \subset [ 0 , 1 ] ^ { d } : } & { D _ { N } ( \mathbf { P } _ { N , d } ( u ) ) \leq [ \frac { 6 | u | ^ { \frac { 3 } { 4 } } } { N ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 | u | } } } \cdot \sqrt { | u | \ln ( N + 1 ) + c ( | u | , \epsilon ) } + \frac { 2 c ( | u | , \epsilon ) } { 3 N } ] , } \\ & { \forall u \subseteq I _ { d } , u \neq \emptyset \} , } \end{array}
c _ { i } = \frac { 4 Q _ { i } } { q _ { i } ^ { W } + q _ { i } ^ { H } } = \frac { q _ { i } ^ { W } c _ { i } ^ { W } + q _ { i } ^ { H } c _ { i } ^ { H } } { q _ { i } ^ { W } + q _ { i } ^ { H } } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \omega } _ { i j } ^ { ( t ) } } & { { } = \mathrm { G E L U } \left( \sum _ { l } \mathbf { Q } _ { i l } ^ { ( t ) } \mathbf { K } _ { l j } ^ { ( t ) } \right) . } \end{array}
g _ { M N } = \left( \begin{array} { l l l } { { e ^ { - \gamma } e ^ { - 2 \sigma } g _ { \mu \nu } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { 2 \gamma } e ^ { - 2 \sigma } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { e ^ { \sigma } \delta _ { i \overline { { j } } } } } \end{array} \right) .
C = \frac { 2 \pi } { q ^ { 0 } ( a ) } \left( \frac { b } { a } \right) ^ { m - 2 } \frac { B ^ { 1 } ( a ) } { B _ { \theta } ^ { 0 } ( a ) } = \frac { 4 m \pi } { q ^ { 0 } ( a ) } \left( \frac { a } { b } \right) ^ { 2 } \frac { I _ { h } } { I _ { p } } ~ .
\phi ^ { a i , b j } ( x ) ~ = ~ \delta ^ { a b } \delta ^ { i j } \phi ( x ) ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \sigma ( x ) ~ \sim ~ \frac { B } { ( x ^ { 2 } ) ^ { \beta } } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \sigma _ { T } ^ { a b , c d } ( x ) ~ = ~ X ^ { a b , c d } \sigma _ { T } ( x )
\begin{array} { r l } { \left| \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } _ { x } [ f ( \bar { X } _ { \underline { { s } } } ^ { \gamma , x _ { 0 } } ) ] - \pi ^ { \gamma } ( f ) \mathrm { d } s \right| } & { \lesssim _ { r , \kappa } \frac { [ f ] _ { 1 } } { T } \int _ { 0 } ^ { T } { h _ { \phi , \kappa } ( \underline { { s } } ) } \mathrm { d } s } \\ & { \lesssim _ { r } \frac { [ f ] _ { 1 } } { T } \left( \underline { { c } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \bar { \Psi } ^ { \frac { 1 + r } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { - \underline { { t } } ^ { \delta } } d t + \underline { { c } } ^ { - \frac { 3 } { 2 } - \frac { 2 \delta } { 1 - \delta } } \bar { \Psi } ^ { \frac { 1 + 3 r } { 2 } + \frac { 2 \delta r } { 1 - \delta } } \int _ { 0 } ^ { T } \left( 1 + \underline { { t } } \right) ^ { - 1 - \delta } \mathrm { d } t \right) } \\ & { \lesssim _ { r } \frac { [ f ] _ { 1 } } { \delta T } \left( \Gamma \left( \frac { 1 } { \delta } \right) \underline { { c } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \bar { \Psi } ^ { \frac { 1 + r } { 2 } } + \underline { { c } } ^ { - \frac { 3 } { 2 } - \frac { 2 \delta } { 1 - \delta } } \bar { \Psi } ^ { \frac { 1 + 3 r } { 2 } + \frac { 2 \delta r } { 1 - \delta } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e } ( \gamma ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } P _ { e } ( i , v ) ~ d v } \\ & { = 4 \left( 1 - \frac { 1 } { N } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } p _ { 1 } p _ { 2 } ~ d v + 2 \left( 1 - \frac { 1 } { N } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } p _ { 2 } p _ { 3 } ~ d v ~ + \mathcal { O } ( \exp ( - \frac { \gamma } { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { i j } ^ { - } } & { { } \equiv \frac { e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } { 1 + e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { y _ { i } y _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } , } \\ { p _ { i j } ^ { + } } & { { } \equiv \frac { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } } { 1 + e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { x _ { i } x _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \beta \rightarrow 2 \pi } \mathrm { T r } _ { i } f _ { \beta } ^ { \pm } ( x , x ) = \operatorname * { l i m } _ { \beta \rightarrow 2 \pi } \mathrm { T r } _ { i } \bar { f } _ { \beta } ^ { \pm } ( x , x ) = \frac 1 2 \left( \delta ( x , x _ { 1 } ) + \delta ( x , x _ { 2 } ) \right) ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } } & { \| \bar { y } ( t ) \| _ { V _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } d t \leq \frac { 1 } { \underline { { \nu } } } \left( \| \bar { y } ( \bar { t } _ { 0 } ) \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } + c _ { 5 } \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \| \bar { y } ( t ) \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } \, d t + \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \mathbb { E } \left[ | \bar { \mathbf { u } } ( t ) | _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } \right] \, d t \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { \underline { { \nu } } } \left( 1 + \frac { c _ { 5 } + \lambda \hat { c } ^ { 2 } c _ { P } ^ { 2 } } { \mu } ( 1 - e ^ { - \mu T } ) \right) \| \bar { y } _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } ( \lambda ) } & { = \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 } ( \lambda ) } \\ { f _ { 2 } ( \lambda ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { D _ { \nu } \left( \sqrt { 2 } ( \lambda + x ) \right) } \\ { - D _ { \nu - 1 } \left( \sqrt { 2 } ( \lambda + x ) \right) } \end{array} \right) , } \\ { \mathbf { h } ( \lambda ) } & { = \left( \begin{array} { l } { h _ { 1 } ( \lambda ) } \\ { h _ { 2 } ( \lambda ) } \end{array} \right) = \gamma \left( \begin{array} { l } { D _ { \nu - 1 } \left( \sqrt { 2 } ( \lambda + x ) \right) } \\ { D _ { \nu } \left( \sqrt { 2 } ( \lambda + x ) \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\sigma = \sigma _ { 0 } \mp \sigma _ { 0 } \frac { ( D - 1 ) \delta _ { T } } { R _ { s } } + \frac { k { ( D - 1 ) } ^ { 2 } } { 2 R _ { s } ^ { 2 } } + \frac { \bar { k } ( D - 2 ) } { R _ { s } ^ { 2 } } + \dots ,
\prod ( x , y ) = \frac { A \sqrt { 3 } \pi } { T ^ { 3 / 2 } } e ^ { - m _ { 0 } T } \int d M ^ { 2 } M ^ { 1 / 2 } e ^ { - M T } \cong \frac { A \sqrt { 3 } \pi \Gamma ( \frac { 5 } { 2 } ) e ^ { - m _ { 0 } T } } { T ^ { 4 } }
S _ { x } \approx S _ { x 0 } + \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \frac { \partial ^ { 2 } S _ { x } } { \partial x ^ { 2 } } \right) _ { \! \! 0 } \! \! x ^ { 2 } + \left( \frac { \partial ^ { 2 } S _ { x } } { \partial y ^ { 2 } } \right) _ { \! \! 0 } \! \! y ^ { 2 } \right] + \left( \frac { \partial ^ { 2 } S _ { x } } { \partial x \partial y } \right) _ { \! \! 0 } \! \! x y ,
\begin{array} { r l } & { - i \omega \left( \zeta - \frac { \eta ^ { \mathrm { p } } \eta ^ { \mathrm { s } } } { \eta ^ { \mathrm { p } } + \eta ^ { \mathrm { s } } } \nabla ^ { 2 } \right) \vec { w } _ { \omega } = - i \omega f \rho \vec { m } _ { \omega } } \\ & { + K \phi _ { 0 } ( 1 - \phi _ { 0 } ) ^ { 2 } \nabla \left( \nabla \cdot \vec { w } _ { \omega } \right) } \\ & { - i \omega \frac { \left( ( 1 - \phi _ { 0 } ) \eta ^ { \mathrm { p } } - \phi _ { 0 } \eta ^ { \mathrm { s } } \right) ^ { 2 } } { \eta ^ { \mathrm { s } } + \eta ^ { \mathrm { p } } } \nabla \left( \nabla \cdot \vec { w } _ { \omega } \right) \; . } \end{array}
\left\langle \varepsilon _ { v K } \right\rangle = ( \left\langle \varepsilon _ { v K } ^ { + } \right\rangle + \left\langle \varepsilon _ { v K } ^ { - } \right\rangle ) / 2 = 1 . 1 _ { - 0 . 3 } ^ { + 1 . 9 } \times 1 0 ^ { 8 } ~ \mathrm { J } ~ \mathrm { k g } ^ { - 1 } ~ \mathrm { s } ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \alpha _ { c } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 1 } } } & { { } = \frac { 1 } { c } , } \\ { \frac { \partial \alpha _ { c } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 2 } } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \rho _ { e } = 0 . 7 4 7 \pm 0 . 0 1 0 , \; \rho _ { \mu } = 0 . 7 6 3 \pm 0 . 0 2 0 , \; \; \xi _ { e } = 0 . 9 9 4 \pm 0 . 0 4 0 , \; \; \xi _ { \mu } = 1 . 0 3 0 \pm 0 . 0 5 9 , } \\ & { } & { \eta _ { e } = 0 . 0 1 3 \pm 0 . 0 2 0 , \; \; \eta _ { \mu } = 0 . 0 9 4 \pm 0 . 0 7 3 , \; \; ( \xi \delta ) _ { e } = 0 . 7 3 4 \pm 0 . 0 2 8 , \; \; ( \xi \delta ) _ { \mu } = 0 . 7 7 8 \pm 0 . 0 3 7 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \left\| \mathbf { y } - \mathbf { u } _ { 0 } \right\| ^ { 2 } ] } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( y _ { i } ^ { 2 } - 2 y _ { i } \mathbb { E } [ f _ { m } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ] + \mathbb { E } [ f _ { m } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ^ { 2 } ] \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( y _ { i } ^ { 2 } - 2 y _ { i } \cdot 0 + \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { d } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { m , j } ( \mathbf { w } _ { j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } _ { \{ \mathbf { w } _ { j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } \geq 0 \} } \right] \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( y _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { d } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { m , j } \mathbb { E } \left[ ( \mathbf { w } _ { j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } _ { \{ \mathbf { w } _ { j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } \geq 0 \} } \right] \right) } \\ & { \leq n \left( C ^ { 2 } + \frac { 1 } { d } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( B , x ) } & { = x ( x ^ { 5 } - ( n _ { 2 } + n _ { 3 } + n _ { 4 } + n _ { 2 } n _ { 3 } + n _ { 2 } n _ { 5 } + n _ { 3 } n _ { 5 } + n _ { 4 } n _ { 6 } ) x ^ { 3 } } \\ & { - ( 2 n _ { 2 } n _ { 3 } + 2 n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 5 } ) x ^ { 2 } + ( n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 4 } + n _ { 2 } n _ { 4 } n _ { 5 } + n _ { 2 } n _ { 4 } n _ { 6 } } \\ & { + n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 5 } + n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 6 } + n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 6 } + n _ { 2 } n _ { 4 } n _ { 5 } n _ { 6 } + n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 5 } n _ { 6 } ) x } \\ & { + 2 n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 5 } + 2 n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 6 } + 2 n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 5 } n _ { 6 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon \| \partial _ { t } c \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } & { \lesssim \varepsilon | \dot { \gamma } | \langle \| ( a , c ) \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \rangle + \| ( b , d ) \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \varepsilon \langle \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \rangle \langle \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } \rangle } \\ & { \lesssim \varepsilon \langle \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \rangle \langle \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } \rangle + \varepsilon \| ( a , c ) \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \| b \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } + \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { 5 } = - \frac { \tau } { \kappa } \left\lbrace \alpha _ { 1 } \left( \mathcal { Q } _ { \lambda , \nu } ( q ; \xi ) V _ { \xi } \right) \cdot \xi + \alpha _ { 2 } \left( \mathcal { Q } _ { \lambda , \nu } ( q ; \xi ) W _ { \xi } \right) \cdot \xi \right\rbrace \quad \mathrm { f o r ~ e a c h } ~ \xi \in \mathbb { S } ^ { 2 } . } \end{array}
I = \int d ^ { 2 } x \sqrt { - g } e ^ { - 2 \phi } ( R + \gamma g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } \phi \partial _ { \beta } { \phi } + \mu e ^ { 2 \lambda \phi } - \frac { 1 } { 4 } e ^ { \epsilon \phi } F ^ { 2 }
\begin{array} { r } { P _ { f , \langle u \rangle } = \left[ ( f _ { \langle u \rangle } ( z _ { f u , 0 } ) , z _ { f u , 0 } ) . . . ( f _ { \langle u \rangle } ( z _ { f u , 4 9 9 } ) , z _ { f u , 4 9 9 } ) \right] , \ \ P _ { f , \langle \phi \rangle } = \left[ ( f _ { \langle \phi \rangle } ( z _ { f \phi , 0 } ) , z _ { f \phi , 0 } ) . . . ( f _ { \langle \phi \rangle } ( z _ { f \phi , 4 9 9 } ) , z _ { f \phi , 4 9 9 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { t } } & { { } = q _ { 0 } + t m ^ { - 1 } \cdot p _ { 0 } , } \\ { p _ { t } } & { { } = p _ { 0 } , } \\ { A _ { t } } & { { } = \left( A _ { 0 } ^ { - 1 } + t m ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } = A _ { 0 } \cdot \left( \operatorname { I d } _ { D } + t m ^ { - 1 } \cdot A _ { 0 } \right) ^ { - 1 } } \\ { \gamma _ { t } } & { { } = \gamma _ { 0 } + t T ( p _ { 0 } ) + \frac { i \hbar } { 2 } \ln \operatorname* { d e t } \left( \operatorname { I d } _ { D } + t m ^ { - 1 } \cdot A _ { 0 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( d _ { f } \Psi _ { p } \{ 0 \} [ h ] \big ) ( \theta _ { 0 } , \varphi ) } & { = \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \sin ( \theta _ { 0 } ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h ( \varphi ^ { \prime } ) \log \Big ( 1 - \cos ^ { 2 } ( \theta _ { 0 } ) - \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 0 } ) \cos ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) \Big ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { = \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \sin ( \theta _ { 0 } ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } h _ { n } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \log \Big ( 1 - \cos ^ { 2 } ( \theta _ { 0 } ) - \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 0 } ) \cos ( \varphi ^ { \prime } ) \Big ) \cos \big ( \mathbf { m } n ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) \big ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { = \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 } \sin ( \theta _ { 0 } ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } h _ { n } I _ { \mathbf { m } n } ( \theta _ { 0 } , \theta _ { 0 } ) \cos ( \mathbf { m } n \varphi ) } \\ & { = - \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 } \sin ( \theta _ { 0 } ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { h _ { n } } { \mathbf { m } n } \cos ( \mathbf { m } n \varphi ) . } \end{array}
\left( \ell _ { 1 } , \dot { \ell } _ { 1 } , h _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } , \dot { \ell } _ { 2 } , h _ { 2 } ) = ( \ell _ { 1 } + h _ { 1 } \ell _ { 2 } h _ { 1 } ^ { - 1 } , \dot { \ell } _ { 1 } + [ \ell _ { 1 } , h _ { 1 } \ell _ { 2 } h _ { 1 } ^ { - 1 } ] + h _ { 1 } \dot { \ell } _ { 2 } h _ { 1 } ^ { - 1 } , h _ { 1 } h _ { 2 } \right) \ .
A _ { n } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathcal { Z } } _ { 1 } ^ { n } + \Phi _ { n } { \mathcal { Z } } _ { 2 } ^ { n } } & { n = 0 \& n = 1 } \\ { { \mathcal { Z } } _ { 1 } ^ { n } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { l l l } { \gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } = \displaystyle \frac { f ^ { \prime } f ^ { \prime \prime } } { \sqrt { 1 + ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } , } & { \gamma _ { 1 2 } ^ { 1 } = \gamma _ { 2 1 } ^ { 1 } = 0 , } & { \gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } = \displaystyle \frac { - r } { 1 + ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } } , } \\ { \gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } = 0 , } & { \gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } = \gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } = \displaystyle \frac { 1 } { r } , } & { \gamma _ { 2 2 } ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
{ \frac { d \left( \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } \right) } { d \left( \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } \right) } } = \beta _ { 0 } + { \beta _ { 1 } } \, g _ { 0 } ^ { 2 } + \beta _ { 2 } \, g _ { 0 } ^ { 4 } + \dots
\frac { \partial } { \partial t } \left( \phi \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { p h } } { x _ { c , \alpha } \rho _ { \alpha } S _ { \alpha } } \right) + \nabla \cdot \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { p h } } \left( { x _ { c , \alpha } \rho _ { \alpha } u _ { \alpha } } + S _ { \alpha } \rho _ { \alpha } J _ { \alpha } \right) = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { p h } } { x _ { c , \alpha } \rho _ { \alpha } q _ { \alpha } } ,
\left( T _ { E } ^ { ( - ) } \right) ^ { N } = \left( { \frac { e G _ { N N \pi } } { 8 \pi M } } \right) \left\{ i \vec { \sigma } \cdot \vec { \epsilon } + 2 { \frac { i \vec { \sigma } \cdot ( \vec { k } - \vec { q } ) ( \vec { \epsilon } \cdot \vec { q } ) } { m _ { \pi } ^ { 2 } + ( \vec { k } - \vec { q } ) ^ { 2 } } } \right\} ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \cos ( 2 \pi y _ { i } ) } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \cos \left( 2 \pi \kappa \left( \frac { m _ { 1 } a _ { \sigma ( i ) } } { n _ { 1 } } \right) \right) } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \cos \left( \frac { 2 \pi m _ { 1 } a _ { \sigma ( i ) } } { n _ { 1 } } \right) } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \cos \left( \frac { 2 \pi m _ { 1 } a _ { i } } { n _ { 1 } } \right) = \tau _ { m } ( \vec { a } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \tau } _ { \mathrm { ~ e ~ d ~ d ~ y ~ } } } & { { } = \int _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ o ~ a ~ t ~ e ~ r ~ } } \mathbf { r } \times ( \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ e ~ d ~ d ~ y ~ } } \times \mathbf { B } _ { 0 } ) \mathrm { d } \mathbf { r } = \frac { 2 \pi } { 1 5 } \sigma ( \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } - \omega _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) B _ { 0 } ^ { 2 } R _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { 5 } \mathbf { \hat { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( t ) = } & { { } e ^ { - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } } \\ { = } & { { } e ^ { - \frac { k _ { \mathrm { f } } ^ { 0 } } { n _ { \mathrm { e f f } } \, \lambda } \, \ln \left( \frac { ( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, t } ) ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } + v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } } { V _ { \mathrm { b } } ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } + v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } } \right) } } \end{array}
W _ { \vec { k } } ^ { ( c ) } = \sum _ { n \ge 1 } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n } } \sum _ { \vec { k } _ { 1 } , \cdots , \vec { k } _ { n } } \delta _ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \vec { k } _ { i } , \vec { k } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { W _ { \vec { k } _ { i } } } { z _ { \vec { k } _ { i } } } } .