harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r c l r c l } { { p } } & { { = } } & { { 0 : } } & { { A _ { 0 } ^ { ( 1 ) } } } & { { = } } & { { H ^ { - 1 } \, , } } \\ { { p } } & { { = } } & { { 1 : } } & { { { \cal B } _ { 0 1 } ^ { ( 2 ) } } } & { { = } } & { { H ^ { - 1 } \, } } \\ { { p } } & { { = } } & { { 2 : } } & { { C _ { 0 1 2 } } } & { { = } } & { { { \frac { 2 } { 3 } } H ^ { - 1 } \, } } \\ { { p } } & { { = } } & { { 3 : } } & { { D _ { 0 1 2 3 } } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { 4 } } H ^ { - 1 } \, \ \ \mathrm { o r } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { F ( D ) _ { i j k l m } } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { 2 0 } } \epsilon ^ { i j k l m n } H ^ { 2 } \partial _ { n } H ^ { - 1 } \, , } } \\ { { p } } & { { = } } & { { 4 : } } & { { G _ { i j k l } } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { 6 } } \epsilon ^ { i j k l m } H ^ { 2 } \partial _ { m } H ^ { - 1 } \, } } \\ { { p } } & { { = } } & { { 5 : } } & { { { \cal H } _ { i j k } ^ { ( 2 ) } } } & { { = } } & { { - { \frac { 1 } { 3 } } \epsilon ^ { i j k l } H ^ { 2 } \partial _ { l } H ^ { - 1 } \, , } } \\ { { p } } & { { = } } & { { 6 : } } & { { F _ { i j } ^ { ( 1 ) } } } & { { = } } & { { - \epsilon ^ { i j k } H ^ { 2 } \partial _ { k } H ^ { - 1 } \, , } } \\ { { p } } & { { = } } & { { 7 : } } & { { \partial _ { i } \ell } } & { { = } } & { { \epsilon ^ { i j } H ^ { 2 } \partial _ { j } H ^ { - 1 } \, , } } \\ { { p } } & { { = } } & { { 8 : } } & { { m } } & { { = } } & { { H ^ { \prime } \, , } } \\ { { p } } & { { = } } & { { 9 : } } & { { H } } & { { = } } & { { 1 \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { u _ { 2 } } } & { \mathbb { E } _ { \epsilon _ { 2 } } \left[ 2 \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } u _ { i } ( x _ { 0 } , \boldsymbol { \epsilon } _ { 1 : i - 1 } ) - \alpha _ { i } x _ { 0 } - \epsilon _ { i } \right] ^ { + } \! \! + \left[ - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } u _ { i } ( x _ { 0 } , \boldsymbol { \epsilon } _ { 1 : i - 1 } ) - \alpha _ { i } x _ { 0 } - \epsilon _ { i } \right] ^ { + } \right] } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { u _ { 2 } ( x _ { 0 } , \boldsymbol { \epsilon } _ { 1 } ) \leq 2 0 0 - u _ { 1 } ( x _ { 0 } ) . } \end{array}
R ( a _ { j } , a _ { j } ) = \pi ^ { 2 } q _ { j } ^ { 2 } + p _ { j } ^ { 2 } + \sum _ { k } ( - 1 ) ^ { k } R ( a _ { j } , a _ { k } ) R ( a _ { k } , a _ { j } ) ( a _ { j } - a _ { k } ) \, .
\begin{array} { r } { \hat { c } _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } ^ { ( k ) } = \hat { c } _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } ( F ^ { ( k ) } , F ^ { ( k - 1 ) } , \pi ^ { ( k ) } , \pi ^ { ( k - 1 ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { n + 1 } G _ { n + 1 } + H _ { n + 1 } } & { = \left( F _ { n } + \frac { H _ { n } \cdot \overline { { G _ { n } } } } { | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } } \right) \left( G _ { n } + \frac { H _ { n } \cdot \overline { { F _ { n } } } } { | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } } \right) - \frac { H _ { n } ^ { 2 } \cdot \overline { { F _ { n } G _ { n } } } } { ( | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = F _ { n } G _ { n } + H _ { n } \frac { F _ { n } \overline { { F _ { n } } } + G _ { n } \overline { { G _ { n } } } } { | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } } + H _ { n } ^ { 2 } \frac { \overline { { F _ { n } G _ { n } } } } { ( | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - H _ { n } ^ { 2 } \frac { \overline { { F _ { n } G _ { n } } } } { ( | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = F _ { n } G _ { n } + H _ { n } = F G + H . } \end{array}
- i ( \Sigma _ { \tau } - \Sigma _ { b } ) = - \frac { 1 } { g _ { R } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } g _ { s } ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { n } k } { ( 2 \pi ) ^ { n } } \frac { N } { ( k + p ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } }
\mathrm { M A S E } = \mathrm { m e a n } \left( { \frac { \left| e _ { j } \right| } { { \frac { 1 } { T - m } } \sum _ { t = m + 1 } ^ { T } \left| Y _ { t } - Y _ { t - m } \right| } } \right) = { \frac { { \frac { 1 } { J } } \sum _ { j } \left| e _ { j } \right| } { { \frac { 1 } { T - m } } \sum _ { t = m + 1 } ^ { T } \left| Y _ { t } - Y _ { t - m } \right| } }
\begin{array} { r l } { { 2 } - 1 } & { { } = D \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \tau _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + \left( v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \mathrm { d } \tau _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } - \gamma \left( \tau _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) - \tau _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) \right) , } \\ { - 1 } & { { } = D \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \tau _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + \left( - v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \mathrm { d } \tau _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } - \gamma \left( \tau _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) - \tau _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { d L ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \gamma + D \right) \; d \tau } & { + \; \sqrt { D L } \ d W _ { \tau } \qquad \mathrm { f o r } \ \ L < L _ { f } } \\ { - \gamma \; d \tau } & { + \; \sqrt { D L } \ d W _ { \tau } \qquad \mathrm { f o r } \ \ L > L _ { f } \ , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \rho , \rho ^ { \prime } } ( s , \lambda ) \; = \; } & { \kappa \, \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { [ H , D _ { 0 } ] ^ { * } } \\ { [ H , D _ { 0 } ] } & { 0 } \end{array} \right) G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ & { \; + \; \lambda \, \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) [ H ^ { * } \oplus H , G _ { \rho } ( D ) ] G _ { \rho , \lambda } ( D ) ( H ^ { s } \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ & { \; + \; \lambda \, \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 2 } ( ( H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) [ G _ { \rho } ( D ) , H \oplus H ^ { * } ] G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ & { \; + \; 2 \, s \, \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) \, \Im m \big [ ( ( - H ) ^ { * } \oplus H ) ( { \bf 1 } - G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 2 } ) \big ] G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } \; . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { N _ { R R E A } ^ { k + 1 } = \nu _ { e ^ { - } } N _ { R R E A } ^ { k } + \nu _ { \gamma e ^ { - } } N _ { \gamma } ^ { k } , } \\ { N _ { \gamma } ^ { k + 1 } = \nu _ { e ^ { - } \gamma } N _ { R R E A } ^ { k + 1 } . } \end{array} \right.
\mathbf { x } ^ { \mathbf { u } } = \left( \mathbf { I } _ { 3 N } - \frac { \alpha } { N } \mathbf { 1 } _ { N \times N } \otimes \mathbf { I } _ { 3 } \right) \mathbf { x } ^ { \mathbf { v } } - ( 1 - \alpha ) \mathbf { 1 } _ { N \times 1 } \otimes \mathbf { \hat { x } } _ { a v }
\begin{array} { r l } { \mathrm { v a r } ( \hat { T } _ { \mathrm { m i n } } ) } & { \simeq \frac { 1 } { m _ { \Delta } ^ { 2 } \sigma _ { x } ^ { 4 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { \Delta } } \mathrm { v a r } ( x _ { i } y _ { i } ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m _ { \Delta } ^ { 2 } \sigma _ { x } ^ { 4 } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { i _ { k } = 1 } ^ { m _ { k } } \mathrm { v a r } ( x _ { i _ { k } } y _ { i _ { k } } ^ { \prime \prime k } ) } \\ & { \simeq \frac { 1 } { m _ { \Delta } ^ { 2 } \sigma _ { x } ^ { 4 } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } m _ { k } \mathrm { v a r } ( x y ^ { \prime \prime k } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m _ { \Delta } ^ { 2 } \sigma _ { x } ^ { 4 } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } m _ { k } ( 2 \tau _ { \mathrm { m i n } } \sigma _ { x } ^ { 4 } + \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { k } ^ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m _ { \Delta } } \left( 2 \tau _ { \mathrm { m i n } } + \frac { 1 } { m _ { \Delta } \sigma _ { x } ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } m _ { k } \sigma _ { k } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 2 \tau _ { \mathrm { m i n } } + \sigma _ { \mathrm { G } } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } } { m _ { \Delta } } . } \end{array}
\Delta E _ { \mathrm { F } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d q \, q ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \tilde { V } ( q ) \tilde { V } ( - q ) \left[ - 2 + \sqrt { 1 + \frac { 4 m ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } \, \ln \frac { \sqrt { 1 + \frac { 4 m ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } + 1 } { \sqrt { 1 + \frac { 4 m ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } - 1 } \right]
\operatorname* { m a x } \biggl \{ \frac { \kappa _ { n - 1 } } { \kappa _ { n - 1 } ^ { \prime } } \, , \frac { \kappa _ { n - 1 } ^ { \prime } } { \kappa _ { n - 1 } } \biggr \} \leq \bigl ( 1 + C \varepsilon _ { n - 1 } ^ { 2 ( \delta \wedge \gamma ) } \bigr ) \frac { \kappa _ { n } } { \kappa _ { n } ^ { \prime } } \, .
\begin{array} { r l } { \widetilde { H } = } & { \frac { f _ { 2 } } { c } \left[ \sum _ { i } \frac { c } { 2 } \, p _ { i } ^ { 2 } + V \big ( \{ x \} , t \big ) \right] } \\ & { - \frac { \dot { f } _ { 2 } } { 2 c } \sum _ { i } x _ { i } p _ { i } + \frac { \ddot { f } _ { 2 } \, c - \dot { f } _ { 2 } \, \dot { c } } { 4 c ^ { 3 } } \sum _ { i } x _ { i } ^ { 2 } \, = \, I \, , } \end{array}
\mathbf { v } _ { \lambda _ { 1 } } = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { v } _ { \lambda _ { 2 } } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { v } _ { \lambda _ { 3 } } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r } { \| \partial _ { t } \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; V ( \Omega ) ^ { \prime } ) } \leq C ( R ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac { 1 } { 4 } } + C ( R , M ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac { 1 } { 4 } } ( T ^ { \frac 1 2 } + \ensuremath { \varepsilon } ^ { \frac 1 4 } ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { { R ^ { ( 1 ) } X _ { 1 } Z _ { 2 } = Z _ { 2 } X _ { 1 } \quad , } } \\ { { \, } } \\ { { Z _ { 1 } ^ { \dagger } R ^ { ( 2 ) } Z _ { 2 } = Z _ { 2 } Z _ { 1 } ^ { \dagger } \quad , } } \\ { { \, } } \\ { { X _ { 2 } ^ { \dagger } R ^ { ( 3 ) } X _ { 1 } = X _ { 1 } X _ { 2 } ^ { \dagger } \quad , } } \\ { { \, } } \\ { { X _ { 1 } ^ { \dagger } Z _ { 2 } ^ { \dagger } = Z _ { 2 } ^ { \dagger } X _ { 1 } ^ { \dagger } R ^ { ( 4 ) } \quad , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \hbar \partial _ { t } \langle \hat { c } _ { \bf k } \rangle } & { { } = } & { z _ { \bf k } ^ { C } \langle \hat { c } _ { \bf k } \rangle + \tilde { g } \langle \hat { x } _ { \bf k } \rangle , } \\ { i \hbar \partial _ { t } \langle \hat { x } _ { \bf k } \rangle } & { { } = } & { z _ { \bf k } ^ { X } \langle \hat { x } _ { \bf k } \rangle + \tilde { g } \langle \hat { c } _ { \bf k } \rangle . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { E - m } } & { { 2 i \left( \frac { \partial } { \partial _ { z } } - i e A _ { z } \right) } } \\ { { - 2 i \left( \frac { \partial } { \partial _ { \bar { z } } } - i e A _ { \bar { z } } \right) } } & { { - E - m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \chi ^ { 1 } } } \\ { { \chi ^ { 2 } } } \end{array} \right) = 0
\hat { H } _ { l } = \hbar \Omega _ { R } \cos \omega t \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { m _ { m } ^ { a } } & { = \frac { h _ { m } ^ { F } } { \tau ^ { F } } + \frac { 2 y _ { m } e ^ { - \frac { \tilde { l } ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi \tau ^ { F } } \mathrm { e r f c } ( \frac { y _ { m } \tilde { l } } { \sqrt { 2 } } ) } , } \\ { \chi ^ { a } } & { = \frac { 1 } { \tau ^ { F } } - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \Big [ ( m _ { m } ^ { a } - \frac { h _ { m } ^ { F } } { \tau ^ { F } } ) ^ { 2 } - \frac { 2 y _ { m } \tilde { l } e ^ { - \frac { \tilde { l } ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } \tau ^ { F } \mathrm { e r f c } ( \frac { y _ { m } \tilde { l } } { \sqrt { 2 } } ) } \Big ] , } \\ { g _ { m } } & { = \frac { y _ { m } \sqrt { 2 \tau ^ { F } } e ^ { - \frac { \tilde { l } ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { \pi } \mathrm { e r f c } ( \frac { y _ { m } \tilde { l } } { \sqrt { 2 } } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { v } } ^ { \mathrm { w a v e } } ( z , z ^ { \prime } ) } & { = \frac { \mathrm { s g n } ( t t ^ { \prime } ) } { 1 6 c ^ { 2 } r r ^ { \prime } } \sum _ { \varepsilon , \varepsilon ^ { \prime } \in \{ - 1 , 1 \} } \varepsilon \varepsilon ^ { \prime } K _ { \mathrm { v } } \big ( ( r + \varepsilon c | t | ) ^ { 2 } , ( r ^ { \prime } + \varepsilon ^ { \prime } c | t ^ { \prime } | ) ^ { 2 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { G } ^ { \tt t i d a l } ( \vec { x } ) } & { { } \approx } & { k \sum _ { b \not = \mathrm { E } } \frac { G M _ { b } } { c ^ { 2 } r _ { b \mathrm { E } } ^ { 3 } } { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } \Big ( 3 ( \boldsymbol { \mathrm { n } } _ { b \mathrm { E } } ^ { } \cdot \vec { k } ) ^ { 2 } - 1 \Big ) \Big ( ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) ^ { 3 } - ( \vec { k } \cdot \vec { r } _ { 0 } ) ^ { 3 } \Big ) = } \end{array}
{ \biggl | } \sum _ { x \in A } \sum _ { y \in B } \chi ( x + y ) { \biggr | } \leq c \| A \| \cdot \| B \| q ^ { - { \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 0 } } } , \quad c = c ( \varepsilon ) > 0 .
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow \, } & { { } | a _ { 0 } | ^ { 4 } - 1 = \left( \beta \pm \sqrt { \frac { f _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } } { 4 | a _ { 0 } | ^ { 2 } } - 1 } + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } - | a _ { 0 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\hat { U } | n _ { 1 } , \dots , n _ { m } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } } } \hat { U } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } \hat { a } _ { m _ { i } } ^ { \dag } \right) \hat { U } ^ { \dag } \hat { U } | 0 , \dots , 0 \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \left( \hat { U } \hat { a } _ { m _ { i } } ^ { \dag } \hat { U } ^ { \dag } \right) | 0 , \dots , 0 \rangle .
\frac { d } { d t } \sum _ { j = 1 } ^ { N } u _ { j } | \Omega _ { j } | = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { d u _ { j } } { d t } | \Omega _ { j } | = \sum _ { j = 1 } ^ { N } N _ { j } | \Omega _ { j } | = 0
\phi _ { T } ( \mathbf { Z } ) = { \frac { \exp ( \mathrm { { t r } } ( i \mathbf { Z } ^ { \prime } \mathbf { M } ) ) | { \boldsymbol { \Omega } } | ^ { \alpha } } { \Gamma _ { p } ( \alpha ) ( 2 \beta ) ^ { \alpha p } } } | \mathbf { Z } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } \mathbf { Z } | ^ { \alpha } B _ { \alpha } \left( { \frac { 1 } { 2 \beta } } \mathbf { Z } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } \mathbf { Z } { \boldsymbol { \Omega } } \right) ,
\begin{array} { r l } { K ( x , t ) } & { { } = \frac { \gamma } { 2 } \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 0 x x x } } { 3 A _ { 2 } ( \theta _ { B } ) } , } \\ { u _ { 1 } ( x , z , t ) } & { { } = \frac { p _ { 0 x } } { F ( \theta _ { B } ) } \left( \frac { z ^ { 2 } } { 2 } - \frac { h _ { 0 } } { 2 } z \right) - \frac { A ( \theta _ { B } , u _ { 0 x } ) } { B ( \theta _ { B } ) } z + \frac { \gamma } { 2 } \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 0 x x x } } { 3 A _ { 2 } ( \theta _ { B } ) } . } \end{array}
S _ { f , 0 } = \sum _ { j } \frac { ( \vec { \mu } _ { f j } \cdot \vec { \epsilon } _ { 2 } ) ( \vec { \mu } _ { j 0 } \cdot \vec { \epsilon } _ { 1 } ) } { \Omega _ { j } - \omega _ { 1 } - \mathrm { i } \kappa } \Big \{ 1 - \exp \big [ - \mathrm { i } ( \Omega _ { j } - \omega _ { 1 } - \mathrm { i } \kappa ) T _ { \mathrm { e } } \big ] \Big \} + ( 1 \leftrightarrow 2 )
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \widehat { \omega } _ { i } \boldsymbol { 1 } \{ Y _ { i 1 } + Y _ { i 2 } = 1 \} \left\{ Y _ { i 1 } \ln \left( \frac { \exp ( \widetilde { \theta } X _ { i 1 } ) } { \exp ( \widetilde { \theta } X _ { i 1 } ) + \exp ( \widetilde { \theta } X _ { i 2 } ) } \right) + Y _ { i 2 } \ln \left( \frac { \exp ( \widetilde { \theta } X _ { i 2 } ) } { \exp ( \widetilde { \theta } X _ { i 1 } ) + \exp ( \widetilde { \theta } X _ { i 2 } ) } \right) \right\} ,
\mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - j } ^ { j } q _ { j m } ^ { \mathrm { e } } \mathbf { N } _ { j m } ^ { ( 1 ) } ( k \mathbf { r } ) + q _ { j m } ^ { \mathrm { m } } \mathbf { M } _ { j m } ^ { ( 1 ) } ( k \mathbf { r } ) ,
c \mathbb { E } \left[ [ M ] _ { t } ^ { \frac { p } { 2 } } \right] \leq \mathbb { E } \left[ ( M _ { t } ^ { * } ) ^ { p } \right] \leq C \mathbb { E } \left[ [ M ] _ { t } ^ { \frac { p } { 2 } } \right]
\begin{array} { r l r } { \overline { { \cal E } } } & { { } = } & { | { \bf x } ^ { \prime } | ^ { 2 } \; + \; \epsilon \, | { \bf x } | ^ { 2 } \; + \; \frac { 1 } { | { \bf x } | ^ { 2 } } \left( 1 \; - \frac { } { } \overline { { p } } _ { \theta } ^ { 2 } \right) \; + \; \overline { { p } } _ { \theta } \; - \; 1 } \end{array}
\varphi _ { \mathrm { g } } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle A _ { + } \mathrm { e } ^ { - \frac { k _ { + } ( | x | - L / 2 ) } { \delta } } + A _ { - } \mathrm { e } ^ { - \frac { k _ { - } ( | x | - L / 2 ) } { \delta } } } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | > \frac { L } { 2 } , } \\ { \displaystyle A _ { 0 } \frac { \cosh ( \kappa x ) } { \cosh ( \kappa L / 2 ) } } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | < \frac { L } { 2 } , } \end{array} \right.
{ \boldsymbol { K } } _ { L } ( \varepsilon ) = \left( \begin{array} { c c c c c } { \lambda _ { 1 } ^ { \left( L \right) } } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { \sigma _ { 1 } ^ { \left( L \right) } } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } ^ { \left( L \right) } } & { \ldots } & { 0 } & { \sigma _ { 2 } ^ { \left( L \right) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { 0 } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { \lambda _ { L } ^ { \left( L \right) } } & { \sigma _ { L } ^ { \left( L \right) } } \\ { \sigma _ { 1 } ^ { \left( L \right) } } & { \sigma _ { 2 } ^ { \left( L \right) } } & { \ldots } & { \sigma _ { L } ^ { \left( L \right) } } & { \varepsilon + \displaystyle { \sum _ { k = 1 } ^ { L } } \frac { \left( \sigma _ { k } ^ { \left( L \right) } \right) ^ { 2 } } { \lambda _ { k } ^ { \left( L \right) } - \varepsilon } } \end{array} \right) \; , \
\begin{array} { r l } & { = \Big ( \, \frac { c } { A ^ { 2 } } V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) \, \exp \Big ( - \, \underset { 2 \lambda } { \underbrace { \frac { A \operatorname* { m i n } ( 2 , c ) } { c } } } \, r \Big ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \sqrt { 2 C o v ( \boldsymbol { Z } _ { 0 } ( 0 ) , \boldsymbol { Z } _ { 0 } ( r \operatorname* { m i n } ( 2 , c ) ) ) } : = \bar { \alpha } \exp ( - \lambda r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \Theta } } _ { k , k } ( s ) } & { = \kappa _ { k } [ \widetilde { p } _ { k + 1 } ( a _ { k } , s | a _ { k } ) + \widetilde { p } _ { k } ( a _ { k } , s | a _ { k } ) ] - 1 = \Theta _ { k k } ( s ) , } \\ { \overline { { \Theta } } _ { k , k - 1 } ( s ) } & { = \kappa _ { k - 1 } \widetilde { p } _ { k } ( a _ { k - 1 } , s | a _ { k } ) = \kappa _ { k - 1 } \widetilde { p } _ { k } ( a _ { k } , s | a _ { k - 1 } ) = \Theta _ { k , k - 1 } ( s ) , } \\ { \overline { { \Theta } } _ { k , k + 1 } ( s ) } & { = \kappa _ { k + 1 } \widetilde { p } _ { k + 1 } ( a _ { k + 1 } , s | a _ { k } ) = \kappa _ { k + 1 } \widetilde { p } _ { k + 1 } ( a _ { k } , s | a _ { k + 1 } ) = \Theta _ { k , k + 1 } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 = \sum _ { i = 2 } ^ { N - 1 } \overline { { y } } _ { i } } & { { } = x _ { 2 } ^ { \prime \prime } \left[ 1 + \overline { { \gamma } } _ { 2 } + \overline { { \gamma } } _ { 2 } \overline { { \gamma } } _ { 3 } + \cdots + \prod _ { k = 2 } ^ { N - 2 } \overline { { \gamma } } _ { k } \right] } \end{array}
Q = \left[ \begin{array} { l l l l } { \vert } & { \vert } & { ~ } & { \vert } \\ { \boldsymbol { q } _ { 1 } } & { \boldsymbol { q } _ { 2 } } & { . . . } & { \boldsymbol { q } _ { M } } \\ { \vert } & { \vert } & { ~ } & { \vert } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { { } = E _ { i i } ^ { \phantom { } } , } \\ { I _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( E _ { i i } ^ { \phantom { } } E _ { j j } ^ { \phantom { } } - E _ { j i } ^ { \phantom { } } E _ { i j } ^ { \phantom { } } \right) , } \\ { I _ { 4 } } & { { } = { \mathrm { e } } _ { i } ^ { \mathrm { f 0 } } E _ { i j } ^ { \phantom { } } { \mathrm { e } } _ { j } ^ { \mathrm { f 0 } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \partial _ { t } p _ { + } + \* u \cdot \nabla p _ { + } ) ( 2 p _ { + } - b ) } \\ { = ( \partial _ { t } b + \* u \cdot \nabla b ) p _ { + } + \partial _ { t } c + \* u \cdot \nabla c } \\ { = [ \partial _ { t } ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) ) + \* u \cdot \nabla ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) ) ] } \\ { \times ( \langle \sigma ^ { ( k ) } \rangle p _ { + } + \sigma ^ { ( 1 ) } p _ { * 2 } + \sigma ^ { ( 2 ) } p _ { * 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { A } _ { 1 } } & { \le \operatorname* { m a x } \left\{ 1 1 \log ( 1 / \delta ) , 4 \sqrt { ( R _ { 0 } + 2 G + A _ { 0 } + \check { A } _ { 0 } ) \log ( 1 / \delta ) } + 2 \log ( 1 / \delta ) \right\} } \\ & { \le 4 \sqrt { ( R _ { 0 } + 2 G + A _ { 0 } + \check { A } _ { 0 } ) \log ( 1 / \delta ) } + 1 1 \log ( 1 / \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { \mu \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } ( \omega ^ { ( n ) } ; \{ \omega _ { j } \} ) = \, \, } & { - \frac { e ^ { n + 1 } } { \hslash ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left( \frac { 1 } { i \omega _ { j } } \right) } \\ & { \times \int [ d \mathbf { k } ] \, \kappa _ { \mathbf { k } } ^ { \mu \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } ( \omega ^ { ( n ) } ; \{ \omega _ { j } \} ) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \Phi } = a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } \left( \frac { I _ { 2 3 } } { a _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { I _ { 1 3 } } { a _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { I _ { 1 2 } } { a _ { 3 } ^ { 2 } } \right) \cos \Phi = \beta \cos \Phi \mathrm { \, . } } \end{array}
u ( \vec { p } ) \, \, = \, \, \left( \frac { w _ { p } + m } { 2 \, w _ { p } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \left[ \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { \frac { p ^ { 2 } \, - \, i p ^ { 1 } } { w _ { p } \, + \, m } } } \end{array} \right] \, \, \quad v ( \vec { p } ) \, \, = \, \, \left( \frac { w _ { p } + m } { 2 \, w _ { p } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \left[ \begin{array} { c } { { \frac { p ^ { 2 } + i p ^ { 1 } } { w _ { p } \, + \, m } } } \\ { { 1 } } \end{array} \right] \, \, .
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathcal { P } _ { b _ { 0 } , \gamma } } ( \sigma ) } & { = e ^ { i \sigma ( t _ { \chi _ { 0 } } + F _ { 1 } ( r ) ) } \mathcal { P } _ { b _ { 0 } , \gamma } e ^ { - i \sigma ( t _ { \chi _ { 0 } } + F _ { 1 } ( r ) ) } , } \\ { \widehat { \mathcal { P } _ { \tilde { g } _ { b _ { 0 } } , \gamma } } ( \sigma ) } & { = e ^ { i \sigma ( \tilde { t } _ { \chi _ { 0 } } + F _ { 2 } ( r ) ) } \mathcal { P } _ { \tilde { g } _ { b _ { 0 } } , \gamma } e ^ { - i \sigma ( \tilde { t } _ { \chi _ { 0 } } + F _ { 2 } ( r ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 0 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \! \! \right) , \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \end{array} \! \! \right) \! \right) , } } \end{array}