harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
R _ { 2 } ( z ^ { + } ) = \frac { \left< E _ { 2 L } \left[ u _ { d } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right] u _ { S } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right> } { \sqrt { \left< E _ { 2 L } ^ { 2 } \left[ u _ { d } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right] \right> } \sqrt { \left< u _ { S } ^ { + 2 } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right> } } ,
\rho _ { 0 } ^ { \mathrm { B o r n } } ( \omega ) = \frac { \omega ^ { 5 } } { 2 0 \pi ^ { 4 } } \quad \mathrm { a n d } \quad r ( \omega / \mu ) = r _ { 1 } \ln \left( \frac \mu { 2 \omega } \right) + r _ { 2 }
\mathrm { a d v } _ { \mathrm { e r r o r } } = \frac { \sum _ { \mathrm { c e l l } = 1 } ^ { N _ { \mathrm { c e l l s } } } | f _ { m , \mathrm { i n i } , \mathrm { c e l l } } - f _ { m , \mathrm { c e l l } } | } { \sum _ { \mathrm { c e l l } = 1 } ^ { N _ { \mathrm { c e l l s } } } f _ { m , \mathrm { i n i } , \mathrm { c e l l } } } \mathrm { , }
\mathbf { q } ^ { ( n + 1 ) } = \bar { \mathbf { q } } ^ { ( n ) } - \Sigma \frac { \bar { \mathbf { q } } ^ { ( n ) } } { | \bar { \mathbf { q } } ^ { ( n ) } | } \ell _ { 1 } \mathrm { b a l l } _ { \nu _ { 2 } { t } _ { y } } ( \frac { \bar { \mathbf { q } } ^ { ( n ) } } { \Sigma } )
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } ( \psi ) } & { { } : = p _ { t } ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } - \dot { \gamma } _ { t } + ( i \hbar / 2 ) \operatorname * { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } \right) } \\ { C _ { 1 } ( \psi ) } & { { } : = A _ { t } \cdot \dot { q } _ { t } - \dot { p } _ { t } - A _ { t } \cdot m ^ { - 1 } \cdotp _ { t } , } \\ { C _ { 2 } ( \psi ) } & { { } : = - \dot { A } _ { t } - A _ { t } \cdot m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { q } _ { i } ^ { * } = \mathbf { q } _ { i } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \left| C _ { i } \right| } \int _ { \Gamma _ { i } } \mathbf { \mathcal { F } } \left( h ^ { n } , \mathbf { q } ^ { n } \right) \tilde { \mathbf { n } } _ { i } \, d S , \qquad \mathbf { \mathcal { F } } \left( h ^ { n } , \mathbf { q } ^ { n } \right) : = \frac { 1 } { h ^ { n } } \, \mathbf { q } ^ { n } \otimes \mathbf { q } ^ { n } = \mathbf { v } ^ { n } \otimes \mathbf { q } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( b _ { 1 } \pm b _ { 2 } ) ^ { 2 } = ( a _ { 1 } \pm a _ { 2 } - ( p _ { * 1 } \pm p _ { * 2 } ) ) ^ { 2 } } \\ { = a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } - 2 ( a _ { 1 } p _ { * 1 } + a _ { 2 } p _ { * 2 } ) + p _ { * 1 } ^ { 2 } + p _ { * 2 } ^ { 2 } \pm 2 ( a _ { 1 } a _ { 2 } - c ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { t } } & { = \big ( \Phi _ { x } ^ { \mathrm { p h y s } } + \Phi _ { y } ^ { \mathrm { p h y s } } \eta _ { x } ^ { \mathrm { p h y s } } \big ) ( \xi _ { t } - c ) = \frac { \varphi _ { \alpha } } { \xi _ { \alpha } } \big ( \xi _ { \alpha } \big ( - H ^ { \coth } \Big [ \frac { \psi _ { \alpha } } { J } \Big ] + C _ { 1 } \big ) + \eta _ { \alpha } \frac { \psi _ { \alpha } } { J } - c \big ) } \\ & { = \frac { \varphi _ { \alpha } } { \xi _ { \alpha } } \bigg ( \xi _ { \alpha } \big ( - H ^ { \coth } \Big [ \frac { \psi _ { \alpha } } { J } \Big ] + C _ { 1 } \big ) + \frac { c \big ( \eta _ { \alpha } \big ) ^ { 2 } } { J } - c \bigg ) = \varphi _ { \alpha } \bigg ( - H ^ { \coth } \Big [ \frac { \psi _ { \alpha } } { J } \Big ] + C _ { 1 } - \frac { c \xi _ { \alpha } } { J } \bigg ) . } \end{array}
a _ { I } ( x ) = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { g _ { u } q g ( r ) \sigma ^ { i } Z _ { i } ( \alpha _ { R } ^ { u } + \alpha _ { L } ^ { d } ) } } \\ { { } } & { { - i g _ { u } \sigma ^ { i } \partial _ { i } g ( r ) } } \\ { { } } & { { } } \\ { { - i g _ { d } g ( r ) \sigma ^ { i } \partial _ { i } g ( r ) } } & { { } } \\ { { - q g _ { d } g ( r ) \sigma ^ { i } Z _ { i } ( \alpha _ { R } ^ { d } + \alpha _ { L } ^ { u } ) } } & { { ( g _ { d } ^ { 2 } - g _ { u } ^ { 2 } ) g ( r ) f ( r ) e ^ { - i \theta } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial A ( z ) } { \partial z } } & { { } = k _ { \mathrm { B } } T \frac { \partial } { \partial z } \ln \rho ( z ) = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { \rho ( z ) } \frac { \partial } { \partial z } \rho ( z ) } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { - \pi / 2 + \varepsilon ^ { * } } - h _ { a , b , c ^ { * } } ( \psi ) d \psi + \int _ { - \pi / 2 + \varepsilon ^ { * } } ^ { \pi / 2 - \varepsilon ^ { * } } h _ { a , b , c ^ { * } } ( \psi ) d \psi + \int _ { \pi / 2 - \varepsilon ^ { * } } ^ { 0 } - h _ { a , b , c ^ { * } } ( \psi ) d \psi = 2 \int _ { - \pi / 2 + \varepsilon ^ { * } } ^ { \pi / 2 - \varepsilon ^ { * } } h _ { a , b , c ^ { * } } ( \psi ) d \psi .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ } } } & { { } = \frac { q ^ { 2 } \tilde { B } ^ { 2 } } { 4 m c ^ { 2 } k ^ { 2 } } = \frac { m } { 4 } \frac { \tilde { \Omega } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } , } \end{array}
\{ \Phi ^ { ( l _ { 0 } ) } , \partial _ { i _ { 1 } } \Phi ^ { ( l _ { 1 } ) } , \ldots , \partial _ { i _ { 1 } } \dots \partial _ { i _ { k } } \Phi ^ { ( 0 ) } ; \, \, l _ { j } = 0 , \ldots , k - j \} ,
\frac { i } { 4 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d \xi \int _ { - \pi } ^ { \pi } d \xi ^ { \prime } ~ \epsilon ( \xi - \xi ^ { \prime } ) ~ e ^ { \, i ( n \xi + m \xi ^ { \prime } ) } ~ = ~ - \frac { 1 } { n } ~ \delta _ { n , - m } \; , \nonumber
\begin{array} { r l r } { \Delta } & { = } & { \Delta _ { l } + \Delta _ { r } + \Delta _ { \Gamma } } \\ & { = } & { \int _ { \Omega ^ { l } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { D _ { i } C _ { i } ^ { l } } { R T } | \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { l } | ^ { 2 } d x + \int _ { \Gamma } R T \mathcal { R } ^ { l } \ln \left( \frac { \mathcal { R } _ { f } ^ { l } } { \mathcal { R } _ { r } ^ { l } } \right) d x } \\ & { } & { + \int _ { \Omega ^ { r } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { D _ { i } C _ { i } ^ { r } } { R T } | \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { r } | ^ { 2 } d x + \int _ { \Gamma } R T \mathcal { R } ^ { r } \ln \left( \frac { \mathcal { R } _ { f } ^ { r } } { \mathcal { R } _ { r } ^ { r } } \right) d x + \int _ { \Gamma } \frac { g ( C _ { e } ^ { l } ) } { F ^ { 2 } } ( \tilde { \mu } _ { e } ^ { l } - \tilde { \mu } _ { e } ^ { r } ) ^ { 2 } d S . } \end{array}
e ( \omega ^ { \prime } ) = \frac { \sqrt { \pi \, b \left( B - 1 \right) } \, { \mathrm e } ^ { \frac { \frac { \mathrm { I } } { 2 } \left( ( B - 1 ) b + 4 ( 2 \omega ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } ) \right) \omega ^ { 2 } } { B b \left( ( B - 1 ) ( \Sigma + C \omega ^ { 2 } + b + b ^ { 2 } ) - 3 b ( \Delta ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) - 2 ( \Delta ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) + b B ( \Delta ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) } } } { \sqrt { \frac { \mathrm { I } B b \left( ( B - 1 ) ( \Sigma + C \omega ^ { 2 } + b + \, b ^ { 2 } ) - 3 b ( \Delta ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) - 2 ( \Delta ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) + b B ( \Delta ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) } { ( B - 1 ) C b + 4 ( 2 \omega ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } ) } } } \mathcal { H } \left( \Delta ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { t \, \| u - \mathrm { a v } ( u ; B _ { r } ) \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } ^ { 2 } } & { \le 4 \, r \, \| u - v \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } + \frac { t \, r } { \mu ( B _ { 1 } ) } \, [ v ] _ { W ^ { 1 , 2 } ( B _ { r } ) } } \\ & { \le C \, r \, \left( \| u - v \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } + t \, [ v ] _ { W ^ { 1 , 2 } ( B _ { r } ) } \right) , } \end{array}
M _ { \phi } < 9 1 \mathrm { G e V } \sqrt { 1 - \left( { \frac { ( F / 1 2 3 \mathrm { G e V } ) } { 3 . 3 N _ { T C } A _ { \phi Z \gamma } } } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } .
c _ { i } ( k ^ { 2 } ) ~ = ~ h _ { 0 } + h _ { 1 } \alpha _ { 1 } ( k ^ { 2 } ) + h _ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ( k ^ { 2 } ) + . . . + h _ { l } \alpha _ { 1 } ^ { l } ( k ^ { 2 } ) + . . .
V [ \hat { J } _ { n } ^ { H } ] \left[ \begin{array} { l l } { | \psi \rangle } & { | \psi \rangle } \end{array} \right] ^ { T } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathrm { e } ^ { \epsilon \hat { J } _ { n } ^ { H } } | \psi \rangle } & { \mathrm { e } ^ { - \epsilon \hat { J } _ { n } ^ { H } } | \psi \rangle } \end{array} \right] + O ( \epsilon ^ { 2 } ) .
\rho = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
\mathbf { C _ { \lambda _ { 2 } } } = { ( e ^ { ( \log \mathbf { { A _ { \lambda _ { 1 } } } } \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } ) } ) } ^ { T } \mathbf { R _ { \lambda _ { 2 } } } \mathbf ( e ^ { ( \log \mathbf { { A _ { \lambda _ { 1 } } } } \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } ) } )
\begin{array} { r } { \hat { H } = \sum _ { j } \frac { \hat { P } _ { j } } { 2 M _ { j } } + E _ { g } ( R _ { j } ) + \hat { H } _ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } } \left[ ( \hat { p } _ { \bf k } - \lambda _ { \mathrm { c } } \hat { \Pi } _ { \mathbf { k } } ) ^ { 2 } + ( \omega _ { \bf k } \hat { q } _ { \bf k } + \lambda _ { \mathrm { c } } \hat { \mathcal { S } } _ { \mathbf { k } } ) ^ { 2 } \right] + \hat { H } _ { \mathrm { l o s s } } , } \end{array}
\vec { F } = \Big [ m \Big ( \ddot { r } - r \dot { \theta } ^ { 2 } - r s i n ^ { 2 } ( \theta ) \dot { \phi } ^ { 2 } \Big ) \Big ] \frac { \partial } { \partial x ^ { r } } \, + \Big [ m \Big ( \ddot { \theta } + 2 \frac { 1 } { r } \dot { r } \dot { \theta } - s i n ( \theta ) \cos ( \theta ) \ddot { \phi } ^ { 2 } \Big ) \Big ] \frac { \partial } { \partial x ^ { \theta } } \, + \Big [ m \Big ( \ddot { \phi } + 2 \frac { 1 } { r } \dot { r } \dot { \theta } + 2 c o t g ( \theta ) \dot { \phi } \dot { \theta } \Big ) \Big ] \frac { \partial } { \partial x ^ { \phi } }
\begin{array} { r } { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ^ { + , + } } & { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ^ { + , - } } \\ { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ^ { - , + } } & { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ^ { - , - } } \end{array} \right) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left< g ( u ) \partial _ { t } u , \phi \right> _ { ( ( W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) ^ { \prime } , W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) } d t } \\ & { = } & { - \beta \int _ { \Omega _ { T } } g ( u ) \mu \phi d x d t - \int _ { \Omega _ { T } } \sqrt { M ( u ) } \xi \cdot \nabla \phi d x d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta a _ { \mathrm { L } } } & { { } \simeq 1 0 ^ { - 6 } \, \mathrm { k m } = 1 \, \mathrm { m m } , } \\ { \delta a _ { \mathrm { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { L R 2 } } } } & { { } \simeq 1 0 ^ { - 7 } \, \mathrm { k m } = 0 . 1 \, \mathrm { m m } , } \\ { \delta e _ { \mathrm { L } } } & { { } \simeq 1 0 ^ { - 5 } , } \\ { \delta e _ { \mathrm { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { L R 2 } } } } & { { } \simeq 1 0 ^ { - 5 } , } \\ { \delta I _ { \mathrm { L } } } & { { } \simeq 1 0 ^ { - 4 } \, \mathrm { d e g } = 0 . 3 6 \, \mathrm { a r c s e c } , } \\ { \delta I _ { \mathrm { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { L R 2 } } } } & { { } \simeq 1 0 ^ { - 4 } \, \mathrm { d e g } = 0 . 3 6 \, \mathrm { a r c s e c } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma } & { { } = } & { - \bigg ( \frac { \pi } { \ln { ( R _ { \mathrm { M } } ) } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg [ \frac { 5 - \Omega } { 5 ( \Omega + 3 ) } + \Bar { \tau } \epsilon ( \theta ) \bigg ] + \frac { 7 + 5 \Omega } { 4 ( \Omega + 3 ) } } \end{array}
\mathcal { D } _ { 0 } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \frac { 1 } { 6 } } } & { { \frac { 1 } { 3 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { w _ { k } ( \Phi , T ) = } & { { } \; w _ { i } \; w _ { j } ; \; k \in G \; , } \\ { n ( \Phi , T ) = } & { { } \sum _ { k \in G } ^ { | G | } n _ { k } \cdot w _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } \left[ \left| { G } \left( x , a _ { i \eta } \right) - \nabla \Bar { U } _ { r ^ { \prime } } ( x ) \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { N _ { B } } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left| \nabla U ( x - y ) - \nabla \Bar { U } _ { r ^ { \prime } } ( x ) \right| ^ { 2 } \rho _ { r ^ { \prime } } ( y ) \mathrm { d } y } \\ & { \le \frac { 1 } { N _ { B } } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left| \nabla U ( x - y ) - \nabla U ( x - z ) \right| ^ { 2 } \rho _ { r ^ { \prime } } ( y ) \rho _ { r ^ { \prime } } ( z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z } \\ & { \le \frac { 1 } { N _ { B } } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left( \left| \nabla U ( x - y ) - \nabla U ( x ) \right| + \left| \nabla U ( x - z ) - \nabla U ( x ) \right| \right) ^ { 2 } \rho _ { r ^ { \prime } } ( y ) \rho _ { r ^ { \prime } } ( z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z } \\ & { \le \frac { \left( 2 \omega _ { \nabla U } ( r ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } } { N _ { B } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { f _ { b } } \\ { e _ { b } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { t r } _ { \Gamma } ( \cdot ) \quad } & { 0 } \\ { 0 \quad } & { E ( \cdot ) | _ { \Gamma } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { \delta H } { \delta v } } \\ { \frac { \delta H } { \delta \Sigma } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathrm { d } } X _ { t } } & { = \left( \frac { r } { 2 } Z _ { t } \frac { \partial h } { \partial Z } + \frac { \rho Z _ { t } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial Z ^ { 2 } } \right) { \mathrm { d } } t + \sqrt { \rho Z _ { t } } \frac { \partial h } { \partial Z } { \mathrm { d W } } _ { t } } \\ & { = \left( r X _ { t } - \frac { 1 } { 8 X _ { t } } \right) { \mathrm { d } } t + \frac { \sqrt { \rho } } { 2 } { \mathrm { d W } } _ { t } . } \end{array}
\frac { \partial I } { \partial \omega } \left( \delta , \theta \right) = \frac { \sqrt { 3 } \Tilde { m } _ { e } q _ { e } ^ { 2 } c \Tilde { \chi } ( 1 - \delta ) } { 2 \pi \gamma _ { e } \hbar } \left( F _ { 1 } ( \zeta ) + \frac { 3 } { 2 } \delta \Tilde { \chi } \zeta F _ { 2 } ( \zeta ) \right)
Q _ { V } ( u _ { i } , u _ { j } ) = \sum _ { 1 \leq k < \ell \leq m } \mathsf { d e t } \left[ \begin{array} { l l } { G F \left( \mathscr { P } ( u _ { i } , v _ { k } ) \right) } & { G F \left( \mathscr { P } ( u _ { i } , v _ { \ell } ) \right) } \\ { G F \left( \mathscr { P } ( u _ { j } , v _ { k } ) \right) } & { G F \left( \mathscr { P } ( u _ { j } , v _ { \ell } ) \right) } \end{array} \right] .
0 = \frac { ( R _ { 2 } - R _ { 1 } ) R _ { 2 } } { i } g ( R _ { 2 } , s ) = \beta \cos ( \beta ) + \biggl ( \frac { \kappa _ { a } } { 1 - \kappa _ { d } / \beta ^ { 2 } } + \frac { R _ { 2 } - R _ { 1 } } { R _ { 1 } } \biggr ) \sin ( \beta ) ,
\psi ( l ^ { \prime } ) = \frac { z ( 1 - h ) e ^ { - 2 \beta l ^ { \prime } } g ( l ^ { \prime } ) } { e ^ { \alpha } - h z e ^ { - \beta l ^ { \prime } } } \ , \ \mathrm { f o r } \ l ^ { \prime } > l _ { m i n } \ ,
{ \begin{array} { r l } { p ( { \tilde { x } } | \mathbf { X } , \alpha ) } & { = \int _ { \theta } p _ { F } ( { \tilde { x } } | \theta ) \, p ( \theta | \mathbf { X } , \alpha ) \operatorname { d } \! \theta } \\ & { = \int _ { \theta } p _ { F } ( { \tilde { x } } | \theta ) \, p _ { G } ( \theta | \alpha ^ { \prime } ) \operatorname { d } \! \theta } \\ & { = p _ { H } ( { \tilde { x } } | \alpha ^ { \prime } ) } \end{array} }
\left\vert \tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \left( \boldsymbol { s } _ { j , k } + \boldsymbol { t } _ { p , q } \right) ) \right\vert = \left\vert \tilde { I } _ { 0 , 0 } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \left( \boldsymbol { s } _ { 0 , 0 } + \boldsymbol { t } _ { 0 , 0 } \right) ) \right\vert + \tilde { \mathcal { E } } _ { p , q } ( \boldsymbol { x } ) \, ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { u ( x , y , t ) } \\ { v ( x , y , t ) } \\ { h ( x , y , t ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { S _ { N } ( u ) } \\ { S _ { N } ( v ) } \\ { S _ { N } ( h ) } \end{array} \right] = \sum _ { n = 0 } ^ { N } \left[ \begin{array} { l } { u _ { n } ( x , y , t ) } \\ { v _ { n } ( x , y , t ) } \\ { h _ { n } ( x , y , t ) } \end{array} \right] . } \end{array}
r _ { 0 } \equiv \frac { \langle \eta \eta ^ { \prime } | V | G _ { 0 } \rangle } { \langle \eta \eta | V | G _ { 0 } \rangle } = \frac { \langle g g | V | \eta ^ { \prime } \rangle } { \langle g g | V | \eta \rangle } \sim - \frac { 4 } { 3 } .
\begin{array} { r l } { \omega _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } } & { = 0 , \quad \omega _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } e , \quad \omega _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } e } \\ { \omega _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } e , \quad \omega _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } = 0 , \quad \omega _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 1 } e } \\ { \omega _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } } & { = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } e , \quad \omega _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 1 } e , \quad \omega _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { \left| \boldsymbol { h } \right| } \left( \left| h _ { 1 } \right| , \ldots , \left| h _ { N } \right| \right) } \\ { \approx ~ } & { \eta \stackrel [ s _ { 1 } = 0 ] { s _ { 0 } } { \sum } \sum _ { s _ { 2 } = 0 } ^ { s _ { 1 } } \ldots \sum _ { s _ { T } = 0 } ^ { s _ { T - 1 } } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \sum _ { t = 1 } ^ { T } s _ { t } ^ { * } } \prod _ { t = 1 } ^ { T } \beta \left( t , s _ { t } ^ { * } \right) \sum _ { \boldsymbol { v } \in \mathcal { V } } \left[ \prod _ { t = 1 } ^ { T } \left( \begin{array} { c } { s _ { t } ^ { * } } \\ { v _ { t } } \end{array} \right) \right] \left[ \left( 2 \pi \right) ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \boldsymbol { 1 } _ { \left\{ \Delta _ { i } = 0 \right\} } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { X } = } & { \mathcal { M } ( H _ { 0 } ) \times \mathcal { M } ( X _ { 0 } ) \times \mathcal { M } ( [ 0 , T ] \times X ) ^ { 2 } } \\ & { \times \mathcal { M } ( [ 0 , T - \tau ] \times X ^ { 2 } ) \times \mathcal { M } ( [ T - \tau , T ] \times X ^ { 2 } ) } \\ { \mathcal { X } ^ { \prime } = } & { C ( H _ { 0 } ) \times C ( X _ { 0 } ) \times C ( [ 0 , T ] \times X ) ^ { 2 } } \\ & { \times C ( [ 0 , T - \tau ] \times X ^ { 2 } ) \times C ( [ T - \tau , T ] \times X ^ { 2 } ) . } \end{array}
\left[ N _ { g } ^ { h } ( E _ { T } ) \right] ^ { \prime } \longrightarrow \left[ N _ { g } ^ { h } ( E _ { T } ) \right] ^ { \prime } - \left[ N _ { g } ^ { h } ( E _ { T } ^ { \mathrm { m i n } } ) \right] ^ { \prime } \; .
\begin{array} { r l } { S _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } } & { \equiv \mathscr { F } \left[ S _ { t _ { 1 } t _ { 2 } ; t _ { 1 } ^ { \prime } t _ { 2 } ^ { \prime } } \right] } \\ & { = \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 1 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 2 } ) + \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) } \\ & { \quad - \kappa _ { a e } G ( \nu _ { 1 } ; \omega _ { 1 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 2 } ) - \kappa _ { a e } G ( \nu _ { 2 } ; \omega _ { 2 } ) \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 1 } ) - \kappa _ { a e } G ( \nu _ { 1 } ; \omega _ { 2 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) - \kappa _ { a e } G ( \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } ) \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) } \\ & { \quad + \kappa _ { a e } ^ { 2 } G ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { { } \mathcal { R } \left[ \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \iint \hat { \zeta } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ; \mathbf { x } , t ) \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 1 } \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 2 } \right] ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } ~ } \\ { \hat { \zeta } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } \hat { \zeta } _ { + } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ) } + \hat { \zeta } _ { - } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) } , } \end{array}
\frac { { \textbf { B } } } { m B _ { \parallel } ^ { * } } \boldsymbol { \cdot } e \nabla \left< \phi _ { 1 } \right> \partial _ { v _ { g y , \parallel } } F _ { e } = \frac { e { \textbf { B } } } { m B _ { \parallel } ^ { * } } \boldsymbol { \cdot } i { k } \delta \phi \partial _ { v _ { g y , \parallel } } F _ { 0 , e } = \frac { e } { m } i { k _ { \parallel } } \delta \phi \partial _ { v _ { g y , \parallel } } F _ { 0 , e } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { I } ( t ) } & { = } & { \sum _ { m } \omega _ { m } \hat { a } _ { m } ^ { \dag } \hat { a } _ { m } + \sum _ { i } \Omega _ { i } \Big [ \cos \left( \mu t - \phi _ { i } \right) } \\ & { } & { - \sin \left( \mu t - \phi _ { i } \right) \sum _ { m } \eta _ { i , m } \left( \hat { a } _ { m } ^ { \dag } + \hat { a } _ { m } \right) \Big ] \hat { \sigma } _ { i } ^ { x } . } \end{array}
\Phi _ { E _ { 2 } , 0 } ( \vec { R } , \vec { r } ) = \Big ( \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } - \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \Big ) \delta _ { \vec { r } , \vec { 0 } } \, \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r } { i \frac { \partial } { \partial z } \psi = - \frac { 1 } { 2 k } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) \psi , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { F _ { 2 } ^ { \prime ( 0 ) } } { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } = - \frac { F _ { 1 } ^ { \prime ( 0 ) } a _ { c o } ^ { 2 } / ( D _ { -- } ^ { ( 0 ) 2 } a _ { + } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } { 1 + F _ { 1 } ^ { ( 0 ) } a _ { c o } ^ { 2 } / ( D _ { -- } ^ { ( 0 ) 2 } a _ { + } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } } \\ & { + } & { \frac { f _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) + \frac { a _ { c o } ^ { 2 } } { ( D _ { -- } ^ { ( 0 ) 2 } a _ { + } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } \big ( F _ { 1 } ^ { ( 0 ) } f _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { + } ^ { ( 0 ) } ) + F _ { 1 } ^ { \prime ( 0 ) } f _ { \ell } ( D _ { + } ^ { ( 0 ) } ) \big ) } { f _ { \ell } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) + F _ { 1 } ^ { ( 0 ) } f _ { \ell } ( D _ { + } ^ { ( 0 ) } ) \frac { a _ { c o } ^ { 2 } } { ( D _ { -- } ^ { ( 0 ) 2 } a _ { + } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { p q } ^ { \mathrm { ( s q ) } } ( \theta ) } & { = \exp { ( \theta ( Q _ { p } ^ { \dagger } Q _ { q } - Q _ { q } ^ { \dagger } Q _ { p } ) ) } } \\ { U _ { p q r s } ^ { \mathrm { ( d q ) } } ( \theta ) } & { = \exp { ( \theta ( Q _ { p } ^ { \dagger } Q _ { q } ^ { \dagger } Q _ { r } Q _ { s } - Q _ { r } ^ { \dagger } Q _ { s } ^ { \dagger } Q _ { p } Q _ { q } ) ) } , } \end{array}
K ( ( \xi , \zeta ) , ( \xi ^ { \prime } , \zeta ^ { \prime } ) ) = \sum _ { k , k ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k } } \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { m _ { k ^ { \prime } } } a _ { j , j ^ { \prime } , k , k ^ { \prime } } f _ { j , k } ( \xi ) g _ { j ^ { \prime } , k ^ { \prime } } ( \zeta ) \overline { { f _ { j , k } ( \zeta ^ { \prime } ) } } \overline { { g _ { j ^ { \prime } , k ^ { \prime } } ( \xi ^ { \prime } ) } } ,