harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { \rho } \bar { R } _ { i j } = } & { \hat { \nabla } _ { k } \hat { \nabla } _ { j } \psi ^ { k } _ { i } + \hat { \nabla } _ { k } \hat { \nabla } _ { i } \psi _ { j } ^ { k } - \hat { \nabla } _ { k } \hat { \nabla } ^ { k } \psi _ { j i } - \hat { \nabla } _ { j } \hat { \nabla } _ { i } \theta - \hat { \nabla } _ { i } \varphi _ { j } + ( d - 1 ) \hat { \nabla } _ { i } \varphi _ { j } + \gamma _ { i j } \hat { \nabla } _ { k } \varphi ^ { k } } \\ & { + 4 \rho a _ { k } ( \varphi _ { j } \psi ^ { k } _ { i } + \varphi _ { i } \psi ^ { k } _ { j } - \varphi ^ { k } \psi _ { i j } ) - 4 \rho a _ { j } \varphi _ { i } \theta + 2 \rho \hat { \nabla } ( \varphi _ { j } \psi ^ { k } _ { i } + \varphi _ { i } \psi ^ { k } _ { j } - \varphi ^ { k } \psi _ { i j } ) - 2 \rho \hat { \nabla } _ { i } \theta } \\ & { + 2 \rho \varphi _ { k } ( \nabla _ { j } \psi ^ { k } _ { i } + \nabla _ { i } \psi _ { j } ^ { k } - \nabla ^ { k } \psi _ { j i } ) - 2 \rho \varphi _ { j } \hat { \nabla } _ { i } \theta - 2 \rho \big ( ( d + 2 ) \varphi _ { i } \varphi _ { j } - \varphi _ { k } \varphi ^ { k } \gamma _ { i j } \big ) } \\ & { + 2 \rho \varphi _ { k } ( \varphi _ { j } \psi ^ { k } _ { i } + \varphi _ { i } \psi ^ { k } _ { j } - \varphi ^ { k } \psi _ { i j } ) - 2 \rho \varphi _ { j } \varphi _ { i } \theta \, , } \end{array}
S _ { \mathrm C } = { \frac { E ( \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ) _ { \mathrm C } } { E ( \sigma _ { \mathrm P } ^ { 2 } ) _ { \mathrm C } } } = { \frac { N ( 7 N - 2 ) } { 1 2 ( N + 1 ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \psi _ { a } ( \vec { r } ) = \psi _ { n _ { a } , l _ { a } , m _ { a } } ( r , \theta , \phi ) = \gamma _ { a } \, R _ { a } ( r ) \, Y _ { l _ { a } , m _ { a } } ( \theta , \phi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { D } = \left[ \begin{array} { l l } { \kappa _ { 1 } } & { - \frac { \kappa _ { 1 } \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 1 } \right) z _ { 1 } z _ { 2 } c _ { 1 } } { z _ { 1 } c _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 1 } z _ { 3 } \right) + z _ { 2 } c _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } z _ { 2 } - \kappa _ { 1 } z _ { 3 } \right) } } \\ { 0 } & { \kappa _ { 2 } - \frac { \kappa _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 1 } \right) z _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 2 } } { z _ { 1 } c _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 1 } z _ { 3 } \right) + z _ { 2 } c _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } z _ { 2 } - \kappa _ { 1 } z _ { 3 } \right) } } \end{array} \right] , } \\ & { \mathbf { D } ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 1 } - \kappa _ { 1 } z _ { 3 } z _ { 1 } c _ { 1 } + \kappa _ { 1 } z _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) c _ { 2 } } { \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \left( z _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 1 } - z _ { 3 } z _ { 1 } c _ { 1 } + z _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) c _ { 2 } \right) } } & { \frac { \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 1 } \right) z _ { 1 } z _ { 2 } c _ { 1 } } { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } \left( z _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 1 } - z _ { 3 } z _ { 1 } c _ { 1 } + z _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) c _ { 2 } \right) } } \\ { 0 } & { \frac { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 1 } - \kappa _ { 1 } z _ { 3 } z _ { 1 } c _ { 1 } + z _ { 2 } c _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } z _ { 2 } - \kappa _ { 1 } z _ { 3 } \right) } { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } \left( z _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 1 } - z _ { 3 } z _ { 1 } c _ { 1 } + z _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) c _ { 2 } \right) } } \end{array} \right] . } \end{array}
| \mathbf { u } ^ { \prime } | ^ { 2 } \equiv | \mathbf { v } \oplus \mathbf { u } | ^ { 2 } = { \frac { 1 } { \left( 1 - { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } { c ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } } \left[ \left( \mathbf { u } - \mathbf { v } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \left( \mathbf { v } \times \mathbf { u } \right) ^ { 2 } \right] = | \mathbf { u } \oplus \mathbf { v } | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \| u _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| v _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { p + 1 } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 1 } { p + 1 } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } } \\ { = \ } & { \| u _ { 0 x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| v _ { 0 x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { p + 1 } \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 1 } { p + 1 } \| v _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } } \\ & { \qquad + \frac { 2 \beta } { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | u _ { 0 } | ^ { p + 1 } | v _ { 0 } | ^ { p + 1 } d x - \frac { 2 \beta } { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \rho _ { \delta _ { k } } * ( v _ { p , i } - a _ { p , i } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( q _ { k , j } \cap q _ { p , i } ) } } & { \leq \Vert v _ { p , i } - a _ { p , i } \Vert _ { L ^ { 2 } ( q _ { p , i } ^ { \prime } ) } \lesssim \delta _ { p } \Vert e ( u ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( q _ { i , p } ^ { \prime \prime } ) } } \\ { \Vert \rho _ { \delta _ { k } } * ( v _ { k , j } - a _ { k , j } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( q _ { k , j } \cap q _ { p , i } ) } } & { \leq \Vert v _ { k , j } - a _ { k , j } \Vert _ { L ^ { 2 } ( q _ { k , j } ^ { \prime } ) } \lesssim \delta _ { p } \Vert e ( u ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( q _ { k , j } ^ { \prime \prime } ) } } \\ { \Vert a _ { p , i } - a _ { k , j } \Vert _ { L ^ { 2 } ( q _ { k , j } \cap q _ { p , i } ) } } & { \lesssim \delta _ { p } ^ { 1 + \frac { 1 } { 4 } } \Vert e ( u ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( q _ { k , j } ^ { \prime \prime } \cup q _ { p , i } ^ { \prime \prime } ) } , } \end{array}
\bar { \theta } \theta \, \langle \partial _ { \mu } \Big ( \bar { \Psi } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \Psi \Big ) \rangle = - \bar { \theta } \theta \, \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } F _ { \mu \nu } \tilde { F } ^ { \mu \nu } .
\begin{array} { r l r } { H _ { v } ( \beta _ { J } ) } & { = } & { \mu _ { J , \beta _ { J } } ^ { k } ( \tilde { Q } ) ( v ) - \mu ^ { k } ( \tilde { Q } ) ( v ) } \\ & { = } & { \int _ { ( 0 , v ] } ( \mu _ { J , \beta _ { J } } ^ { k - 1 } ( \tilde { Q } ) - \mu ^ { k - 1 } ( \tilde { Q } ) ) ( y ) d \mu ( y ) } \\ & { \leq } & { \parallel \mu _ { J , \beta _ { J } } ^ { k - 1 } ( \tilde { Q } ) - \mu ^ { k - 1 } ( \tilde { Q } ) \parallel _ { \infty } \mu ( v ) } \\ & { = } & { O ( r ( d , J ) ^ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \hat { S } _ { 0 } , \hat { S } _ { x } \right] = \left[ \hat { S } _ { 0 } , \hat { S } _ { y } \right] = \left[ \hat { S } _ { 0 } , \hat { S } _ { z } \right] = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \P ( \boldsymbol Z ^ { ( 1 ) } \in t A - \boldsymbol a ) } & { = } & { \P \left( \bigcap _ { j \in S } \left\{ Z _ { j } ^ { ( 1 ) } + Z _ { j } ^ { ( 2 ) } > t x _ { j } - a _ { j } \right\} \right) } \\ & { \leq } & { \P \left( \bigcap _ { j \in S } \left\{ Z _ { j } ^ { ( 1 ) } + Z _ { j } ^ { ( 2 ) } > t ( x _ { j } + \epsilon ) \right\} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { M } ( { \bf k } , \omega ) = \left( \begin{array} { l l l } { \hbar \omega - \epsilon _ { \bf k } ^ { C } + i \tilde { \Gamma } _ { \bf k } ^ { C C } ( \omega ) } & & { - g _ { R } + i \tilde { \Gamma } _ { \bf k } ^ { C X } ( \omega ) } \\ { - g _ { R } + i \tilde { \Gamma } _ { \bf k } ^ { X C } ( \omega ) } & & { \hbar \omega - \epsilon _ { \bf k } ^ { X } + i \tilde { \Gamma } _ { \bf k } ^ { X X } ( \omega ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\langle 0 \mid \left( A _ { \vec { p } } ^ { L , a } B _ { \vec { p } } ^ { a } \right) ^ { m } \left( B _ { \vec { p } } ^ { a + } A _ { \vec { p } } ^ { L , a + } \right) ^ { m } \mid 0 \rangle = \left( m ! \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { 1 S - 3 S } ( v ) } & { { } = - 5 9 ~ 0 4 9 - 7 8 ~ 7 3 2 v + 9 1 ~ 8 5 4 v ^ { 2 } + 1 4 8 ~ 7 1 6 v ^ { 3 } + 1 8 ~ 2 2 5 v ^ { 4 } - 2 5 ~ 2 7 2 v ^ { 5 } + 3 0 3 ~ 5 8 8 v ^ { 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { f l o o r } } } & { = \rho _ { \mathrm { a t m o } } \, \operatorname* { m a x } ( r _ { \mathrm { m i n } } , r ) ^ { - 1 . 5 } } \\ { P _ { \mathrm { f l o o r } } } & { = ( \Gamma - 1 ) ( \rho \epsilon ) _ { \mathrm { f l o o r } } } \\ & { = ( \Gamma - 1 ) ( \rho \epsilon ) _ { \mathrm { a t m o } } \, \operatorname* { m a x } ( r _ { \mathrm { m i n } } , r ) ^ { - 1 . 5 \, \Gamma } , } \end{array}
\displaystyle \frac { e _ { 2 } ( 2 e _ { 1 } + 3 e _ { 2 } - 6 e _ { 1 } e _ { 2 } - 2 e _ { 2 } ^ { 2 } + 4 e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 2 } ) } { e _ { 1 } + 2 e _ { 2 } - 2 e _ { 1 } e _ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { | \theta , \phi \rangle } & { = } & { \hat { \mathcal { R } } _ { 3 } ( \phi ) \hat { \mathcal { R } } _ { 2 } ( \theta ) | \mathrm { L } \rangle } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \phi / 2 } \cos ( \theta / 2 ) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \phi / 2 } \sin ( \theta / 2 ) } \end{array} \right) , } \end{array}
f _ { 2 } ^ { ( n , 2 ) } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , \dots , q _ { n } ) = - \sqrt { \frac { q _ { 1 } } { q _ { 2 } } } f _ { 2 } ^ { ( n , 2 ) } ( q _ { 2 } , q _ { 3 } , \dots , q _ { n } , q _ { 1 } ) .
\frac { \partial c _ { 1 } } { \partial T } + \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } + u _ { 0 } \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial x } = \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 1 } } { \partial y ^ { 2 } } .
\frac { h } { 2 } \langle \mu ( \varphi _ { \alpha } + y _ { \alpha | \zeta } - h \mathcal { I } [ \sigma ] A _ { \beta \beta , \alpha } + h ^ { 2 } \mathcal { I } [ \sigma \zeta ] B _ { \beta \beta , \alpha } ) ( \varphi _ { \alpha } + y _ { \alpha | \zeta } - h \mathcal { I } [ \sigma ] A _ { \gamma \gamma , \alpha } + h ^ { 2 } \mathcal { I } [ \sigma \zeta ] B _ { \gamma \gamma , \alpha } ) \rangle
\begin{array} { r l } { \operatorname { I m } \gamma _ { 0 } } & { = - \hbar \ln \operatorname* { d e t } ( \operatorname { I m } A _ { 0 } / \pi \hbar ) ^ { 1 / 4 } = \hbar \ln \operatorname* { d e t } ( \pi \hbar Q _ { 0 } \cdot Q _ { 0 } ^ { \dag } ) ^ { 1 / 4 } } \\ & { = \hbar \ln [ ( \pi \hbar ) ^ { D } | \operatorname* { d e t } Q _ { 0 } | ^ { 2 } ] ^ { 1 / 4 } = \frac { \hbar } { 2 } \ln [ ( \pi \hbar ) ^ { D / 2 } | \operatorname* { d e t } Q _ { 0 } | ] , } \end{array}
u ^ { * } = \bar { \mathcal { B } } u ^ { * } + \bar { \mathcal { A } } = ( \frac { 1 } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { c _ { i } } { I _ { 1 } ^ { i } } } u _ { 1 } ^ { * } + \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \hat { q } _ { i } } { I _ { 1 } ^ { i } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { c _ { i } } { I _ { 1 } ^ { i } } } , u _ { 2 } ^ { * } , \ldots , u _ { n } ^ { * } ) .
\begin{array} { r l } { \omega } & { = 2 \bar { n } _ { e } ^ { ( 2 ) } + 1 = \frac { 2 \eta _ { \mathrm { e f f } } \bar { n } _ { B } } { 1 - \tau } + 1 = \frac { \tau \xi _ { \mathrm { c h } } } { 1 - \tau } + 1 , } \\ { b } & { = \tau ( \mu - 1 ) + 2 \bar { n } + 1 = \tau ( \mu - 1 ) + \tau \xi _ { \mathrm { t o t } } + 1 , } \\ { \gamma } & { = \sqrt { ( 1 - \tau ) ( \omega ^ { 2 } - 1 ) } , ~ \theta = \sqrt { \tau ( 1 - \tau ) } ( \omega - \mu ) , } \\ { \psi } & { = \sqrt { \tau ( \omega ^ { 2 } - 1 ) } , ~ \phi = \tau \omega + ( 1 - \tau ) \mu . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } E ( \mathbf { r } _ { L } , t ) - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } E ( \mathbf { r } _ { L } , t ) } { \partial t ^ { 2 } } = \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ( 1 - n _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } ( \mathbf { r } _ { L } , t ) ) E ( \mathbf { r } _ { L } , t ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \mathrm { S } } { \mathrm { d } t } } & { { } = - ( B + C ) \left( \mathrm { S } - \frac { C \mathrm { S } _ { E } } { B + C } \right) ( 1 + \mathrm { S } ) + a ( 1 + \mathrm { S } ) u } \\ { \mathrm { d } u } & { { } = - \frac { 1 } { \tau _ { d } } \left( u - \bar { u } \right) \mathrm { d } t + \sqrt { \frac { 2 } { \tau _ { d } } } \sigma _ { u } \mathrm { d } W _ { t } , } \end{array}
{ \cal M } _ { \nu } = \left[ \begin{array} { c c c } { { a _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { x a _ { 1 } a _ { 2 } } } & { { a _ { 1 } a _ { 2 } } } \\ { { x a _ { 1 } a _ { 2 } } } & { { a _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { a _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ { { a _ { 1 } a _ { 2 } } } & { { a _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { a _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array} \right] .
{ \cal W } ( G , \lambda A , N ) = \sum _ { g = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { n } \sum _ { i } \omega _ { g , G } ^ { n , i } \; e ^ { - { \frac { n \lambda A } { 2 } } } ( \lambda A ) ^ { i } N ^ { 2 - 2 g } .
\left\{ \begin{array} { l l } { s _ { j } \in \{ \mathrm { ~ C ~ } , \mathrm { ~ D ~ } \} , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ ~ \pi _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } ( s _ { j } ) \leq \pi _ { i } ( s _ { i } ) } \\ { s _ { j } = s _ { i } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ ~ \pi _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } ( s _ { j } ) > \pi _ { i } ( s _ { i } ) } \end{array} \right. ,
\left( \widehat { Q } _ { n + 1 , \lambda , \gamma } ( u ) \right) _ { ( n + 1 - k , k ) , ( s , i ) } = \frac { 1 } { u + \lambda s i + \gamma i } \sum _ { \mathfrak { i } ^ { \prime } \in \mathcal { I } _ { n + 1 } ( k , m , i ) } \prod _ { j = 0 } ^ { m } q _ { n + 1 , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } ^ { \prime } , j ; u ) g _ { n + 1 , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } ^ { \prime } , j ; u ) .
{ { \bf D } _ { B A } } = - i \left. \frac { \partial } { \partial { \bf \Delta } } \left< A \left| { J _ { 0 } } ( 0 ) \right| B \right> \right| _ { \bf \Delta = 0 } , \qquad { \bf \Delta } = { \bf P } - { \bf Q } ,
\begin{array} { r l } { \Bar { V } _ { t } } & { = e ^ { - \gamma t } V _ { 0 } - \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \gamma ( t - s ) } \nabla u ( \Bar { \theta } _ { s } ) d s + \sqrt { \frac { 2 \gamma } { \beta } } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \gamma ( t - s ) } d B _ { s } } \\ { \Bar { \theta _ { t } } } & { = \theta _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } \Bar { V } _ { s } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta T _ { G W } = } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { h _ { 0 } } { f _ { G W } } \Biggl ( \frac { ( f _ { s } ^ { + } + f _ { c } ^ { + } ) } { 2 \pi } . \sin { ( \pi f _ { G W } T + 2 \pi f _ { G W } t _ { 0 } ) } \times } \\ & { } & { \sin { ( \pi f _ { G W } T ) } - f _ { c } ^ { + } . f _ { G W } T . \sin { ( 2 \pi f _ { G W } t _ { 0 } ) \Biggr ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { N } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega _ { L } } \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { ~ T ~ r ~ } } [ \ensuremath { \mathbf { w } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ] \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { c c c } & { m } & \\ { \gamma ^ { X } } & { L } & { \gamma ^ { Y } } \\ & { n } & \end{array} \right] } & { : = P _ { L } ^ { - 1 } ( m , \gamma ^ { X } , \gamma ^ { Y } , n ) } \\ & { = \big \{ l \in L : P ( l ) = m , l _ { X } ( l ) = \gamma ^ { X } , r _ { Y } ( l ) = \gamma ^ { Y } , Q ( l ) = n \big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 0 } ^ { \alpha } \Big [ \frac { f ^ { ( i ) } ( - R ) } { i ! } ( x + R ) ^ { i } + \frac { ( - 1 ) ^ { i } f ^ { ( i ) } ( R ) } { i ! } ( R - x ) ^ { i } \Big ] } & { = } & { \frac { 1 } { 4 R } \int _ { - R } ^ { R } \big [ c ( b ) ( x - b ) _ { + } ^ { \alpha } + ( - 1 ) ^ { \alpha } c ( b ) ( b - x ) _ { + } ^ { \alpha } ] d b } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 R } \int _ { - R } ^ { R } c ( b ) ( x - b ) ^ { \alpha } d b , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 4 ( \nu - \varepsilon ) } \Big ( | F ( \cdot , y ) | } & { + \sum _ { n \geq 1 } | b _ { n } | \, | g _ { n } ( \cdot , y ) | \Big ) ^ { 2 } + \frac 1 2 \| ( g _ { n } ( \cdot , y ) ) _ { n \geq 1 } \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq M ( 1 + | y | ^ { 2 } ) + \frac { N _ { 0 } } { \zeta - 1 } | y | ^ { h + 1 } , \qquad y \in { \mathbb R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< \widetilde { \eta } ( \boldsymbol { k } , t ) \right> = } & { \overline { { \eta } } \operatorname { \delta } ( \boldsymbol { k } ) } \\ { \left< \widetilde { \mu } ( \boldsymbol { p } , \tau _ { 1 } ) \widetilde { \mu } ( \boldsymbol { q } , \tau _ { 2 } ) \right> = } & { \widetilde { Q } \! \left( \boldsymbol { p } \right) S ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) \operatorname { \delta } ( \boldsymbol { p } + \boldsymbol { q } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { j } } & { = 2 r \left( \overline { { u } } - \overline { { w } } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } , } \\ { m _ { j } } & { = 2 r \left( \overline { { u } } \, \overline { { w } } - { \overline { { w } } } ^ { 2 } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } + 2 r \left( \overline { { u ^ { \prime } w ^ { \prime } } } - \overline { { w ^ { 2 } } } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } + 2 r \left( - \overline { { p } } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } \; \textrm { a n d } , } \\ { f _ { j } } & { = 2 r \left( \overline { { u } } \, \overline { { b } } - { \overline { { w } } \, \overline { { b } } } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } + 2 r \left( \overline { { u ^ { \prime } b ^ { \prime } } } - \overline { { w ^ { \prime } b ^ { \prime } } } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } \, , } \end{array}
\frac { W \cdot \hat { \lambda } _ { j } } { W \cdot \mathcal { D } } \frac { 1 } { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { j } } ( - \Delta \epsilon ) _ { \hat { \mu } _ { j } } \frac { 1 } { 2 } \left( ( i \mathcal { D } \cdot V _ { j } ) ^ { 2 } - ( i \mathcal { D } \cdot V _ { j + 1 } ) ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l r l } { b _ { 2 } } & { { } = a _ { 1 } ^ { 2 } + 4 a _ { 2 } , \quad } & { b _ { 4 } } & { { } = a _ { 1 } a _ { 3 } + 2 a _ { 4 } , } \\ { b _ { 6 } } & { { } = a _ { 3 } ^ { 2 } + 4 a _ { 6 } , \quad } & { b _ { 8 } } & { { } = a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 6 } - a _ { 1 } a _ { 3 } a _ { 4 } + a _ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } + 4 a _ { 2 } a _ { 6 } - a _ { 4 } ^ { 2 } , } \\ { c _ { 4 } } & { { } = b _ { 2 } ^ { 2 } - 2 4 b _ { 4 } , \quad } & { c _ { 6 } } & { { } = - b _ { 2 } ^ { 3 } + 3 6 b _ { 2 } b _ { 4 } - 2 1 6 b _ { 6 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q ( \alpha _ { i } ^ { l } ) } & { = } & { q ( \gamma _ { 2 i } ^ { l } + \gamma _ { 2 i - 1 } ^ { l + 1 } ) = q ( \gamma _ { 2 i } ^ { l } ) + q ( \gamma _ { 2 i - 1 } ^ { l + 1 } ) + \gamma _ { 2 i } ^ { l } \cdot \gamma _ { 2 i - 1 } ^ { l + 1 } } \\ & { = } & { 1 + 1 + 1 } \\ & { = } & { 1 \quad \mathrm { i n ~ } \mathbb { Z } _ { 2 } . } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { g a i n } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) = \frac { 2 } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \sum _ { \mu , \eta } \mathbf { d } \cdot \left[ \int _ { V _ { \mathrm { G } } } { \mathrm d } ^ { 3 } s K _ { \mu \eta } ( \mathbf { s } ) | \epsilon _ { I } ( \mathbf { s } , \omega _ { a } ) | \mathbf { G } _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \mathbf { s } , \omega _ { a } ) \mathbf { G } _ { \eta } ^ { * } ( \mathbf { s } , \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { a } ) \right] \cdot \mathbf { d } ,
\begin{array} { r l } { W _ { i } [ x _ { i } ^ { t + 1 } = S | \mathbf { x ^ { t } } ] = } & { \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \prod _ { j \in \partial i } [ 1 - \lambda _ { j i } ^ { t } \delta _ { x _ { j } ^ { t } , I } ] } \\ { W _ { i } [ x _ { i } ^ { t + 1 } = I | \mathbf { x ^ { t } } ] = } & { \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \prod _ { j \in \partial i } [ 1 - \lambda _ { j i } ^ { t } \delta _ { x _ { j } ^ { t } , I } ] \right] } \\ { W _ { i } [ x _ { i } ^ { t + 1 } = R | \mathbf { x ^ { t } } ] = } & { \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } } \end{array}
P ( X = 1 1 5 \mid M _ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \binom { 2 0 0 } { 1 1 5 } } q ^ { 1 1 5 } ( 1 - q ) ^ { 8 5 } d q = { \binom { 2 0 0 } { 1 1 5 } } \times \int _ { 0 } ^ { 1 } q ^ { 1 1 5 } ( 1 - q ) ^ { 8 5 } d q = { \binom { 2 0 0 } { 1 1 5 } } \times
g _ { n } = \left\{ { \begin{array} { l l } { 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 , } & { n = 1 } \\ { 3 \uparrow ^ { g _ { n - 1 } } 3 , } & { n \geq 2 , n \in \mathbb { N } } \end{array} } \right.
\begin{array} { r l } { H } & { = \cfrac { \mathbf { P } _ { \mathrm { k i n } } ^ { 2 } } { 2 \mu } + \cfrac { 1 } { F } \sum _ { n } ^ { F } E _ { n } ( \mathbf { R } ) } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, + \cfrac { 1 } { F } \sum _ { n , m } ^ { F } \cfrac { 1 } { 4 } \, \left( p _ { n } ^ { 2 } + x _ { n } ^ { 2 } - p _ { m } ^ { 2 } - x _ { m } ^ { 2 } \right) \left( E _ { n } ( \mathbf { R } ) - E _ { m } ( \mathbf { R } ) \right) } \\ & { = \cfrac { \mathbf { P } _ { \mathrm { k i n } } ^ { 2 } } { 2 \mu } + V _ { \mathrm { e f f } } , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { C } } & { \mathbf { D } } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } ^ { - 1 } + \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \left( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \right) ^ { - 1 } \mathbf { C A } ^ { - 1 } } & { - \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \left( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \right) ^ { - 1 } } \\ { - \left( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \right) ^ { - 1 } \mathbf { C A } ^ { - 1 } } & { \left( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \right) ^ { - 1 } } \end{array} \right] } ,
S _ { \mathrm { i n t r a } } ( q ) = \frac { 4 n _ { w } z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \left( \frac { \sin ( q d _ { \mathrm { H H } } ) } { q d _ { \mathrm { H H } } } - 4 \frac { \sin ( q d _ { \mathrm { H M } } ) } { q d _ { \mathrm { H M } } } + 3 \right)
\begin{array} { r l r } { { \bf q } ( { \bf x } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf q } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \left\| M ^ { k } \right\| _ { F } } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { M ^ { k } } \\ { ( M ^ { k } ) ^ { T } } & { 0 } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { z ^ { k } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \left\| M ^ { k } \right\| _ { F } } . } \end{array} \left[ \begin{array} { l } { r _ { c } ^ { k } } \\ { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { C ( \hat { \gamma } ^ { * } ; \mu ^ { 0 } , \hat { \mu } ^ { j } ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { 0 } } \| \hat { x } _ { n } - \hat { x } _ { m } ^ { j } \| ^ { 2 } \hat { \gamma } _ { n , m } ^ { * } } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 0 } } \| x _ { n } ^ { 0 } \| ^ { 2 } p _ { n } ^ { 0 } + \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { 0 } } \| \hat { x } _ { m } ^ { j } \| ^ { 2 } p _ { m } ^ { 0 } - 2 \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { 0 } } x _ { n } ^ { 0 } \cdot \hat { x } _ { m } ^ { j } \, \hat { \gamma } _ { n , m } ^ { * } } \\ & { = K _ { 2 } - 2 \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { j } } x _ { n } ^ { 0 } \cdot x _ { m } ^ { j } \, \gamma _ { n , m } ^ { * } } \\ & { = K _ { 2 } - K _ { 1 } + C ( \gamma ^ { * } ; \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } ) } \end{array}