harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \log \mathcal { L } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { e n s } } } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \left( - \frac { \left( L _ { i + 1 } ^ { ( j ) } - L _ { i } ^ { ( j ) } - f ^ { \mathrm { T S A } } ( L _ { i } ^ { ( j ) } ) \Delta \tau \; \right) ^ { 2 } } { 2 D \Delta \tau } - \frac { 1 } { 2 } \log ( 2 \pi D \Delta \tau ) \right) \ . } \end{array}
\partial _ { t } \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \xi ) - \mu _ { 1 } g ( t ) h _ { \epsilon } ( \xi ) \partial _ { \xi } \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \xi ) = \mu _ { 2 } g ( t ) h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \xi ) \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \xi ) + d ( t , \xi ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { Q _ { T } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } = } & { \int _ { S _ { \epsilon } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } + \int _ { Q _ { T } \backslash S _ { \epsilon } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } } \\ { = } & { \int _ { Q _ { T } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } \chi _ { S _ { \epsilon } } + \int _ { Q _ { T } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } \chi _ { Q _ { T } \backslash S _ { \epsilon } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \nabla _ { 2 D } \hat { \psi } _ { k } ^ { n + 1 } \cdot \nabla _ { 2 D } \omega + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } + \beta _ { k } ^ { 2 } \right) \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { \psi } _ { k } ^ { n + 1 } \omega = \int _ { \Omega _ { 2 D } } ( \beta _ { k } ^ { 2 } \hat { Q } _ { 2 , k } - \hat { Q } _ { 1 , k } ) \omega + \int _ { \Omega _ { 2 D } } \nabla _ { 2 D } \hat { Q } _ { 2 , k } \cdot \nabla \omega } \end{array}
\omega _ { \tau } ^ { 0 } \equiv \frac { \partial \omega } { \partial \epsilon _ { \tau } } \bigg | _ { \epsilon _ { \tau } ^ { 0 } , \epsilon _ { r } ^ { 0 } } , \qquad \omega _ { r } ^ { 0 } \equiv \frac { \partial \omega } { \partial \epsilon _ { r } } \bigg | _ { \epsilon _ { \tau } ^ { 0 } , \epsilon _ { r } ^ { 0 } }
N = \operatorname* { m a x } \left( N _ { s } , \Big ( \frac { n } { \sigma ^ { 2 } } \Big ) ^ { 1 / ( 2 s + \gamma ) } \Big ) \right) , \quad \lambda = O \left( \operatorname* { m i n } \Big ( \frac { N _ { s } } { n } , \Big ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } \Big ) ^ { 1 - 1 / ( 2 s + \gamma ) } \right) , \quad \gamma = \operatorname* { m i n } ( 1 , 2 - a ) .
\begin{array} { c l } { \displaystyle \left< { \mathcal { H } ^ { \left( 2 \right) } } \right> _ { \theta } } & { = \displaystyle \left< { \frac { \partial V \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) } { \partial J } \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \psi _ { 3 } } } \right> _ { \theta } } \\ & { \displaystyle = \frac { 3 } { 4 } J ^ { 2 } \left< \sum _ { n , n ^ { \prime } = - \infty , n ^ { \prime } \neq l _ { 3 \nu _ { x } } } ^ { \infty } { 3 g _ { 3 , 0 , n } f _ { 3 , 0 , n ^ { \prime } } \cos \left( - \left( n - n ^ { \prime } \right) \theta + \xi _ { 3 , 0 , n } - \xi _ { 3 , 0 , n ^ { \prime } } \right) } \right. } \\ & { \displaystyle ~ + \sum _ { n , n ^ { \prime } = - \infty } ^ { \infty } { g _ { 1 , 0 , n } f _ { 1 , 0 , n ^ { \prime } } \cos \left( - \left( n - n ^ { \prime } \right) \theta + \xi _ { 1 , 0 , n } - \xi _ { 1 , 0 , n ^ { \prime } } \right) } } \\ & { \displaystyle ~ \left. + \sum _ { n , n ^ { \prime } = - \infty } ^ { \infty } { f _ { 3 , 0 , n } g _ { 3 , 0 , n ^ { \prime } } \cos { \left( 6 \psi _ { 3 } - \left( n + n ^ { \prime } - 2 l _ { 3 \nu _ { x } } \right) \theta \right) } \cos { \xi _ { n } } \cos { \xi _ { n } ^ { \prime } } } \right> _ { \theta } } \\ { \displaystyle } & { = \displaystyle \frac { 3 } { 4 } { J } ^ { 2 } \left\{ \sum _ { n = - \infty , n \neq l _ { 3 \nu _ { x } } } ^ { \infty } { 3 f _ { 3 , 0 , n } g _ { 3 , 0 , n } } + \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { f _ { 1 , 0 , n } g _ { 1 , 0 , n } } \right. } \\ & { \displaystyle \left. + \cos { \left( 6 \psi _ { 3 } \right) } \sum _ { n + n ^ { \prime } = 2 l _ { 3 \nu _ { x } } } { f _ { 3 , 0 , n } g _ { 3 , 0 , n ^ { \prime } } \cos { \xi _ { n } } \cos { \xi _ { n ^ { \prime } } } } \right\} . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \zeta _ { \eta } } } \\ { { \zeta _ { \rho } } } \\ { { \zeta _ { \chi } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { { X _ { G _ { 1 } } } } & { { X _ { G _ { 2 } } } } & { { X _ { G _ { 3 } } } } \\ { { Y _ { G _ { 1 } } } } & { { Y _ { G _ { 2 } } } } & { { Y _ { G _ { 3 } } } } \\ { { Z _ { G _ { 1 } } } } & { { Z _ { G _ { 2 } } } } & { { Z _ { G _ { 3 } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { G _ { 1 } } } \\ { { G _ { 2 } } } \\ { { G _ { 3 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Pi ^ { \smash { \mathrm { s d } } } \colon \quad \tilde { A } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \mathcal { A } ; \Lambda ^ { \circ } ) } & { \longrightarrow \tilde { A } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \mathcal { A } ; \Omega ) , } \\ { \sum _ { \theta \in C ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \mathcal { A } ) \vphantom { ^ 0 } } a _ { \theta } \cdot \tilde { \lambda } _ { \theta } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } } & { \longmapsto \sum _ { \theta \in C ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \mathcal { A } ) \vphantom { ^ 0 } } \pi ( a _ { \theta } ) \cdot \omega _ { \theta } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial u ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial \tau } } & { { } + } & { U ^ { j } \frac { \partial u ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial \xi ^ { j } } + \frac { \partial } { \partial \xi ^ { j } } ( u ^ { \prime } { } ^ { j } u ^ { \prime } { } ^ { i } - b ^ { \prime } { } ^ { j } b ^ { \prime } { } ^ { i } ) + \frac { \partial p _ { \mathrm { { M } } } ^ { \prime } } { \partial \xi ^ { i } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial \xi ^ { j } \partial \xi ^ { j } } - B ^ { j } \frac { \partial b ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial \xi ^ { j } } } \end{array}
\Sigma _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 1 ) } = \frac { k _ { \mathrm { B } } } { 2 } \ln \left[ 1 + \frac { \tau } { 2 \Delta t } \ln \frac { T _ { \mathrm { R } } + T _ { f } } { T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } } \right] + \frac { k _ { \mathrm { B } } } { 2 } \left( \frac { 1 } { 1 + \frac { \tau } { 2 \Delta t } \ln \frac { T _ { \mathrm { R } } + T _ { f } } { T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } } } - 1 \right) .
{ \frac { K _ { ( 2 ) } ( l ) } { K ( l ) ^ { 2 } } } \approx { \frac { \overline { { { \theta ^ { 4 } } } } } { 3 0 \overline { { { \theta ^ { 2 } } } } } } { \frac { l } { \zeta } } \to 0 \; \mathrm { a s } \; l \to 0 .
\begin{array} { r } { \frac { \hat { H } _ { V U } } { \hbar \omega _ { c } } = \frac { \hat { X } ^ { 2 } + \hat { P } ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { \boldsymbol { q } n } \epsilon _ { \boldsymbol { q } n } \frac { \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } + \hat { P } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } } { 2 } - \hat { \boldsymbol { \pi } } \cdot \hat { \boldsymbol { \Xi } } _ { b } + \frac { 1 } { 2 } : \hat { \boldsymbol { \Xi } } _ { b } ^ { 2 } : + \sum _ { \boldsymbol { q } n } \xi _ { \boldsymbol { q } n } \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big \{ \bar { \rho } _ { p ^ { * } } [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) ] } & { \leq \operatorname* { i n f } _ { p } \Big ( \operatorname* { i n f } _ { \hat { \rho } \in \mathcal { M } _ { + } ^ { 1 } ( B _ { p } ) } \hat { \rho } \Big [ r ^ { \epsilon } ( \beta ) \Big ] + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \frac { 2 + 3 C } { C } + \frac { 1 } { \sqrt { l } } K L ( \hat { \rho } | | \pi _ { p } ) + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \log \Big ( \Big \lfloor \frac { N } { 2 } \Big \rfloor \Big ) \Big ) } \\ & { + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) \sqrt { l ^ { * } } } + \frac { 1 } { \sqrt { l ^ { * } } } \log \frac { \bar { \alpha } } { \delta } \Big \} \geq 1 - 2 \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { V ( \mathbf { x } , z , t ) = \frac { A _ { 0 } ^ { 0 } } { \sqrt { J } \sqrt { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } \left| \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right| } } e ^ { - \frac { | z | } { \hbar } \left| \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right| } e ^ { i ( S ( \mathbf { x } ) - E t ) / \hbar } , } \end{array}
\overline { { { \nu } } } _ { k } ( - \overrightarrow { q } ^ { 2 } ) = \left( \frac { 3 \, \pi \, ( k + 3 / 4 ) \, \ln \, 2 } { 7 \, \ln \, ( \overrightarrow { q } ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } \right) ^ { 1 / 3 } \, \, ,
\begin{array} { r } { ( \mathbf { K } _ { \P } ) _ { i , j } = \int _ { \P } \nabla \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } \varphi _ { i } \cdot \nabla \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } + \int _ { \P } \nabla ( I - \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } ) \varphi _ { i } \cdot \nabla ( I - \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } ) \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ( 1 , s _ { 1 } ) } & { = s _ { 1 } ( \overline { { s _ { 1 } } } ) ^ { - 1 } = 1 , } \\ { \gamma ( 1 , \rho _ { 1 } ) } & { = \rho _ { 1 } ( \overline { { \rho _ { 1 } } } ) ^ { - 1 } = 1 , } \\ { \gamma ( 1 , \rho _ { i } ) } & { = \rho _ { i } ( \overline { { \rho _ { i } } } ) ^ { - 1 } = \rho _ { i } \rho _ { 1 } , } \\ & { } & \\ { \gamma ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ) } & { = s _ { 1 } s _ { 1 } ( \overline { { s _ { 1 } s _ { 1 } } } ) ^ { - 1 } = 1 , } \\ { \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) } & { = s _ { 1 } \rho _ { 1 } ( \overline { { s _ { 1 } \rho _ { 1 } } } ) ^ { - 1 } = 1 , } \\ { \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { i } ) } & { = s _ { 1 } \rho _ { i } ( \overline { { s _ { 1 } \rho _ { i } } } ) ^ { - 1 } = s _ { 1 } \rho _ { i } \rho _ { 1 } s _ { 1 } , } \end{array}
\frac { d \varepsilon _ { i } } { d t } = \dot { \varepsilon } _ { i } = - 2 \sum _ { j } \frac { m _ { j } } { \rho _ { j } } \left[ \left( { U _ { i } } ^ { R } - { U _ { i j } } ^ { * R } + { U _ { i j } } ^ { * R , \mathrm { n u m } } \right) \overrightarrow { e ^ { R } } \right] \cdot \nabla _ { i } W _ { i j } .
{ \begin{array} { r l r l r l } { 0 } & { = [ ( 0 , 0 ) ] } & { = [ ( 1 , 1 ) ] } & { = \cdots } & & { = [ ( k , k ) ] } \\ { 1 } & { = [ ( 1 , 0 ) ] } & { = [ ( 2 , 1 ) ] } & { = \cdots } & & { = [ ( k + 1 , k ) ] } \\ { - 1 } & { = [ ( 0 , 1 ) ] } & { = [ ( 1 , 2 ) ] } & { = \cdots } & & { = [ ( k , k + 1 ) ] } \\ { 2 } & { = [ ( 2 , 0 ) ] } & { = [ ( 3 , 1 ) ] } & { = \cdots } & & { = [ ( k + 2 , k ) ] } \\ { - 2 } & { = [ ( 0 , 2 ) ] } & { = [ ( 1 , 3 ) ] } & { = \cdots } & & { = [ ( k , k + 2 ) ] . } \end{array} }
x [ p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) + ( 1 - 2 p ^ { \prime } ) x ] = ( 1 - p ^ { \prime } - x ) ^ { 2 } \frac { n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \; J } { k _ { v b - } } - ( p ^ { \prime } + x ) ^ { 2 } \frac { \left( n _ { e } ^ { - } \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } \sigma _ { s } ^ { - } \right) J } { k _ { c b 0 } }
\begin{array} { r l } { \overline { { v } } \left( \eta = 0 \right) } & { = \frac { k _ { x } \kappa _ { z } A _ { v } } { ( 2 \overline { { x } } ) ^ { 1 / 2 } k _ { z } } \overline { { p } } \left( \eta = 0 \right) = \left( \frac { k _ { x } } { 2 \overline { { x } } \mathrm { R } _ { \lambda } } \right) ^ { 1 / 2 } A _ { v } \overline { { p } } \left( \eta = 0 \right) , } \\ { \overline { { \tau } } \left( \eta = 0 \right) } & { = \frac { k _ { x } A _ { \tau } } { \mathrm { R } _ { \lambda } } \overline { { p } } \left( \eta = 0 \right) . } \end{array}
p ( \mathbf { x } | \mathbf { y } ) \approx p _ { \hat { \theta } _ { L } } ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } ) = \mathbf { x } _ { L } + \, p _ { \hat { \theta } _ { L } } ( \mathbf { \Delta x } _ { L } \mid \mathbf { \bar { y } } _ { L } )
G = G _ { 0 } { \sqrt [ [object Object] ] { 1 + { \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } } } } \quad m = { \frac { m _ { 0 } } { \sqrt [ [object Object] ] { 1 + { \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } } } } } \quad c = c _ { 0 } { \sqrt [ [object Object] ] { 1 + { \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } { f _ { e } ^ { [ 1 ] } ( x , t + \Delta t ) } & { { } = f _ { e } ^ { [ 1 ] } ( x - v _ { x } \Delta t ) , } \\ { f _ { e } ^ { [ 2 ] } ( v _ { z } , t + \Delta t ) } & { { } = f _ { e } ^ { [ 2 ] } ( v _ { z } - a _ { z } \Delta t ) , } \\ { f _ { e } ^ { [ 3 ] } ( v _ { x } , t + \Delta t ) } & { { } = f _ { e } ^ { [ 3 ] } ( v _ { x } - a _ { x } \Delta t ) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { k _ { 1 } } & { = \sqrt [ 3 ] { \frac { 1 } { 2 7 } - \frac { 1 - 3 s i n ^ { 2 } \beta } { 6 } { \left( \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } \right) } ^ { 2 } + \frac { s i n \beta } { 3 \sqrt { 3 } } \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } } } \\ & { \quad + \sqrt [ 3 ] { \frac { 1 } { 2 7 } - \frac { 1 - 3 s i n ^ { 2 } \beta } { 6 } { \left( \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } \right) } ^ { 2 } - \frac { s i n \beta } { 3 \sqrt { 3 } } \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } } } \\ & { = \frac { 2 } { 3 } - c o s ^ { 2 } \beta { \left( \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } \right) } ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int \cos ^ { n } x \, { \mathrm { d } } x } & { = \cos ^ { n - 1 } x \sin x - \int \sin x \, { \mathrm { d } } ( \cos ^ { n - 1 } x ) } \\ & { = \cos ^ { n - 1 } x \sin x + ( n - 1 ) \int \sin x \cos ^ { n - 2 } x \sin x \, { \mathrm { d } } x } \\ & { = \cos ^ { n - 1 } x \sin x + ( n - 1 ) \int \cos ^ { n - 2 } x \sin ^ { 2 } x \, { \mathrm { d } } x } \\ & { = \cos ^ { n - 1 } x \sin x + ( n - 1 ) \int \cos ^ { n - 2 } x ( 1 - \cos ^ { 2 } x ) \, { \mathrm { d } } x } \\ & { = \cos ^ { n - 1 } x \sin x + ( n - 1 ) \int \cos ^ { n - 2 } x \, { \mathrm { d } } x - ( n - 1 ) \int \cos ^ { n } x \, { \mathrm { d } } x } \\ & { = \cos ^ { n - 1 } x \sin x + ( n - 1 ) I _ { n - 2 } - ( n - 1 ) I _ { n } , } \end{array} }
W _ { k } ^ { 2 } ( t _ { o } ) = \frac { \omega _ { k } ^ { 2 } ( t _ { o } ) } { a ^ { 3 } ( t _ { o } ) } = \frac { \vec { k } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( t _ { o } ) } + V ^ { \prime \prime } ( \phi _ { c l } ( t _ { o } ) )
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| z _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { z } _ { i } \| ^ { 2 } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big \| \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \big ( \eta _ { \ell } \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \eta _ { \ell } \bar { \nu } _ { \ell } \big ) \Big \| ^ { 2 } \leq { ( I - 1 ) } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial t ^ { 2 } } - \nabla ^ { 2 } \phi } & { { } = } & { \frac { \rho } { \varepsilon } + \left( 1 - \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \right) \frac { \partial } { \partial t } \left( \nabla \cdot \mathbf { A } \right) , } \\ { \mu \varepsilon \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { A } } { \partial t ^ { 2 } } - \nabla ^ { 2 } \mathbf { A } } & { { } = } & { \mu \mathbf { j } + \left( \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } - 1 \right) \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf { A } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \kappa _ { \mathrm { e f f } , s } = 1 + \mathrm { P e } _ { p } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left\langle v _ { s } , \phi _ { n } \right\rangle ^ { 2 } \left( \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { n } t } } { \lambda _ { n } } \right) , } \end{array}
R ( \theta ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { 1 } { ( \theta + 1 ) } } } & { { \frac { \theta } { ( \theta + 1 ) } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { \theta } { ( \theta + 1 ) } } } & { { \frac { 1 } { ( \theta + 1 ) } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; \; \; .
\{ \omega ^ { i _ { 0 } , 0 } , \omega ^ { i _ { 0 } , 1 } , \ldots , \omega ^ { i _ { 0 } , N } ; \omega ^ { i _ { 1 } , 0 } , \omega ^ { i _ { 1 } , 1 } , \ldots , \omega ^ { i _ { 1 } , N } \} \; ,
( G _ { c } ) _ { m n } = { \frac { 2 A _ { m n } } { \langle \alpha _ { n } , \alpha _ { n } \rangle } } = \frac { 4 \langle \alpha _ { m } , \alpha _ { n } \rangle } { \langle \alpha _ { m } , \alpha _ { m } \rangle \langle \alpha _ { n } , \alpha _ { n } \rangle } \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { ( { \bf a } _ { { \bf x } , \tau , \alpha } ^ { + } \Psi ) ^ { ( N ) } ( \xi _ { 1 } , \cdots , \xi _ { N } ) } \\ & { } & { \quad \quad \quad : = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { j } \delta _ { { \bf x } , { \bf x } _ { j } } \delta _ { \alpha , \alpha _ { j } } \delta _ { \tau , \tau _ { j } } \Psi ^ { ( N - 1 ) } ( \xi _ { 1 } , \cdots , \xi _ { j - 1 } , \xi _ { j + 1 } , \cdots , \xi _ { N } ) , } \\ & { } & { ( { \bf a } _ { { \bf x } , \tau , \alpha } ^ { - } \Psi ) ^ { ( N ) } ( \xi _ { 1 } , \cdots , \xi _ { N } ) : = \sqrt { N + 1 } \ \Psi ^ { ( N + 1 ) } ( { \bf x } , \tau , \alpha ; \ \xi _ { 1 } , \cdots , \xi _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( N ) = \frac { \int _ { - L _ { x } } ^ { L _ { x } } \int _ { - L _ { y } } ^ { L _ { y } } \int _ { 0 } ^ { T } e ( N ; x , y , t ) \, \mathrm { d } t \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } { \int _ { - L _ { x } } ^ { L _ { x } } \int _ { - L _ { y } } ^ { L _ { y } } \int _ { 0 } ^ { T } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) \, \mathrm { d } t \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial f ( c , t ) } { \partial c } = \frac { 1 } { c } \cdot \frac { 2 ( 1 + \delta ) } { b ^ { 2 } } \cdot \frac { \ln \ln ( c ^ { 1 + \delta } t ) } { \ln ( c ^ { 1 + \delta } t ) } - \frac { 1 } { c } \theta ( \ln ( c t ) ) ^ { \theta - 1 } \ell ^ { \sharp } ( \ln ( c t ) ) ( 1 + o ( 1 ) ) } \\ & { } & { < t \left( \frac { 1 } { c t } \cdot \frac { 2 ( 1 + \delta ) } { b ^ { 2 } } \cdot \frac { \ln \ln ( c t ) } { \ln ( c t ) } - \frac { 1 } { c t } \theta ( \ln ( c t ) ) ^ { \theta - 1 } \ell ^ { \sharp } ( \ln ( c t ) ) ( 1 + o ( 1 ) ) \right) } \\ & { } & { = t \, \tilde { f } ^ { \prime } ( c t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { m _ { n } } \frac { p _ { G _ { n } } ( x ) - p _ { G _ { * , n } } ( x ) } { W _ { 2 } ^ { 2 } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \to \sum _ { | \alpha | = 1 } ^ { 2 } { \tau _ { \alpha } \frac { \partial ^ { | \alpha | } { f } } { \partial { \mu ^ { \alpha _ { 1 } } } \partial { \Sigma ^ { \alpha _ { 2 } } } } ( x | \mu _ { 0 } , \Sigma _ { 0 } ) } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { r } \left( y , \frac { d P } { d | P | } \right) \, | P | } & { = \eta \stackrel { \mathrm { g e n . } } { \otimes } H _ { r } \left( y , \frac { d P } { d | P | } \right) \, | P _ { x ^ { \prime } } | = \eta \stackrel { \mathrm { g e n . } } { \otimes } H _ { r } \left( y , \frac { d P _ { x ^ { \prime } } } { d | P _ { x ^ { \prime } } | } \right) \, | P _ { x ^ { \prime } } | } \\ & { = \sum _ { i } \psi _ { i } \eta \stackrel { \mathrm { g e n . } } { \otimes } H _ { r } \left( y , \frac { d P _ { x ^ { \prime } } } { d | P _ { x ^ { \prime } } | } \right) \, | P _ { x ^ { \prime } } | . } \end{array}
\widetilde { \mathbf { v } } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \gets \frac { 1 } { 1 - \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } } \left[ \mathbf { f } _ { p } ^ { \mathrm { o u t } } \left( \widetilde { \mathbf { p } } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , \widetilde { \mathbf { p } } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { o u t } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right) - \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } \widetilde { \mathbf { p } } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \right] ,
S ( \textbf { k } ) = \frac { 1 } { N } \langle | \sum _ { i } ^ { N } \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \textbf { k } \cdot \textbf { r } _ { i } ) | ^ { 2 } + | \sum _ { i } ^ { N } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \textbf { k } \cdot \textbf { r } _ { i } ) | ^ { 2 } \rangle
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } w } & { = \Delta w + \mathrm { d i v } [ \beta ( m - 1 ) ( \nabla J * ( w - v ) ) w ] + F ( \frac { 1 } { 2 } ( w + v ) ) , } \\ { \partial _ { t } v } & { = \Delta v + \mathrm { d i v } [ \beta ( m + 1 ) ( \nabla J * ( w - v ) ) v ] + F ( \frac { 1 } { 2 } ( w + v ) ) , } \\ { m } & { = \frac { 1 } { 2 } ( w - v ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { i j } ^ { \alpha } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \rho ^ { \alpha } k _ { r } ^ { \alpha } / \mu ^ { \alpha } ) _ { i } } & { \mathrm { i f } ~ \Delta \Phi _ { i j } ^ { \alpha } < 0 , } \\ { ( \rho ^ { \alpha } k _ { r } ^ { \alpha } / \mu ^ { \alpha } ) _ { j } } & { \mathrm { i f } ~ \Delta \Phi _ { i j } ^ { \alpha } \geq 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\Gamma ^ { \pm } ( u ) = \left( \begin{array} { c c c } { { B _ { \pm } ( u ) } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { G _ { \pm } ( u ) } } \end{array} \right) ,
\sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \partial _ { j } u _ { j } = - \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \dot { m } \: n _ { \Gamma _ { j } } \partial _ { j } \frac { 1 } { \rho ^ { \prime } } \: \Biggr \vert _ { \: \Gamma }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \; \| x \mapsto K ( s , f ( x , \cdot ) , A _ { 0 } , A _ { 1 } ) \| _ { L ^ { p , r } ( X ) } } \\ & { = \| x \mapsto \operatorname* { i n f } _ { g _ { 0 } + g _ { 1 } = f ( x , \cdot ) } \| g _ { 0 } \| _ { A _ { 0 } } + s \| g _ { 1 } \| _ { A _ { 1 } } \| _ { L ^ { p , r } ( X ) } } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { f _ { 0 } + f _ { 1 } = f } \| x \mapsto \| f _ { 0 } ( x , \cdot ) \| _ { A _ { 0 } } + s \| f _ { 1 } ( x , \cdot ) \| _ { A _ { 1 } } \| _ { L ^ { p , r } ( X ) } } \\ & { \simeq \operatorname* { i n f } _ { f _ { 0 } + f _ { 1 } = f } \| x \mapsto \| f _ { 0 } ( x , \cdot ) \| _ { A _ { 0 } } \| _ { L ^ { p , r } ( X ) } + s \| x \mapsto \| f _ { 1 } ( x , \cdot ) \| _ { A _ { 1 } } \| _ { L ^ { p , r } ( X ) } } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { f _ { 0 } + f _ { 1 } = f } \| f _ { 0 } \| _ { L ^ { p , r } ( X ; A _ { 0 } ) } + s \| f _ { 1 } \| _ { L ^ { p , r } ( X ; A _ { 1 } ) } } \\ & { = K ( s , f , L ^ { p , r } ( X ; A _ { 0 } ) , L ^ { p , r } ( X ; A _ { 1 } ) ) . } \end{array} } \end{array}
\mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } = \{ X _ { 0 } + I \Delta x , Y _ { 0 } + J \Delta y \} ; \; I = 0 , 1 , 2 , . . . , N _ { x } - 1 , J = 0 , 1 , 2 , . . . , N _ { y } - 1 \}
G _ { I J } ( \phi ) = - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial } { \partial X ^ { I } } } { \frac { \partial } { \partial X ^ { J } } } ( \ln { \cal V } ) | _ { { \cal V } = 1 } \ , \qquad g _ { i j } ( \phi ) = G _ { I J } \partial _ { i } X ^ { I } \partial _ { j } X ^ { J } | _ { { \cal V } = 1 } \ .
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \| J u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } = \ \frac { 4 ( 2 - p ) t } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } - \frac { d } { d t } \left[ \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } \right] - 4 \beta t \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x } \\ { \ } & { - \frac { 8 \beta t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } x \, \frac { d } { d x } ( | u | ^ { p + 1 } ) \ | v | ^ { p + 1 } d x - \frac { 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } \frac { d } { d t } ( | u | ^ { p + 1 } ) \ | v | ^ { p + 1 } d x } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { t } \left[ \| \tilde { \nabla } _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } \right] - \| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq \sigma ^ { 2 } , } \\ { \mathbb { E } _ { t } \left[ \| \tilde { \nabla } _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } , \omega ^ { t + 1 } , v ^ { t + 1 } \right] - \| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq \sigma ^ { 2 } . } \end{array}