harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { S } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } \hat { S } ^ { \dagger } = \sum _ { s = \pm } | 1 _ { s } ^ { \prime } \rangle \langle 1 _ { s } ^ { \prime } | \left( E _ { 1 } + s \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } - \sum _ { j } \omega _ { j } | \xi _ { j } ^ { s } | ^ { 2 } \right) + \sum _ { j } \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } - \sum _ { j } \hat { S } \left( w _ { j } ^ { x } \sigma _ { x } ^ { \prime } + w _ { j } ^ { y } \sigma _ { y } ^ { \prime } \right) \left( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \right) \hat { S } ^ { \dagger } .
\begin{array} { r l } & { \texttt { S 1 . p i n d e x \_ l o = } l , \, \texttt { S 1 . p i n d e x \_ h i = } \lfloor \frac { l + h } { 2 } \rfloor , } \\ & { \texttt { S 2 . p i n d e x \_ l o = } \lfloor \frac { l + h } { 2 } \rfloor + 1 , \, \texttt { S 2 . p i n d e x \_ h i = } h , } \\ & { \texttt { p a r i n d i c i e s \string [ S 1 . p i n d e x \_ l o \string ] } , \ldots , \texttt { p a r i n d i c i e s \string [ S 1 . p i n d e x \_ h i \string ] } , } \\ & { \texttt { p a r i n d i c i e s \string [ S 2 . p i n d e x \_ l o \string ] } , \ldots , \texttt { p a r i n d i c i e s \string [ S 2 . p i n d e x \_ h i \string ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \vec { \mu } _ { a } \rangle ( \omega ) } & { { } \approx \alpha _ { a } ( \omega ) \vec { E } ( \omega ) + i \omega \frac { g _ { a } ( \omega ) } { c } \vec { H } ( \omega ) , } \\ { \langle \vec { m } _ { a } \rangle ( \omega ) } & { { } \approx \beta _ { a } ( \omega ) \vec { H } ( \omega ) - i \omega \frac { g _ { a } ( \omega ) } { c } \vec { E } ( \omega ) , } \end{array}
p ( \theta _ { 1 } , \cdots , \theta _ { m } ) = C \prod _ { 1 \leq i \leq m } ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta _ { i } ) \prod _ { 1 \leq k < j \leq m } ( \cos \theta _ { k } - \cos \theta _ { j } ) ^ { 2 } ~ .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tilde { t } } \tilde { h } } & { { } = \partial _ { \tilde { x } } \cdot \left[ \tilde { h } ^ { 3 } \, \partial _ { \tilde { x } } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { h } } \right] \ \ - \ \tilde { M } \left[ \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { h } } - \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { \zeta } } \right] \ + \ \tilde { U } \partial _ { \tilde { x } } \tilde { h } } \\ { \partial _ { \tilde { t } } \tilde { \zeta } } & { { } = \partial _ { \tilde { x } } \cdot \left[ \tilde { D } \tilde { \zeta } \, \partial _ { \tilde { x } } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { \zeta } } \right] \ - \ \tilde { M } \left[ \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { \zeta } } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \right] \ + \ \tilde { U } \partial _ { \tilde { x } } \tilde { \zeta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { i } ( t + 1 ) = } & { \frac { N - 1 } { N } \left( \Delta _ { i } ( t ) + 1 \right) + \frac { 1 } { N } \left( 1 - \frac { N _ { s u b } - \tilde { \sigma } ( t ) } { N _ { s u b } } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { N } \left( \Delta _ { i } ( t ) + 1 \right) \left( \frac { N _ { s u b } - \tilde { \sigma } ( t ) } { N _ { s u b } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \Gamma _ { + } ^ { ( S ) } } } & { { = } } & { { \; \; \; c _ { 1 } g ^ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } } \left( g ^ { \alpha _ { 2 } \gamma _ { 1 } } p ^ { \beta _ { 2 } } + g ^ { \beta _ { 2 } \gamma _ { 1 } } p ^ { \alpha _ { 2 } } \right) k ^ { \gamma _ { 2 } } k ^ { \gamma _ { 3 } } } } \\ { { } } & { { } } & { { + c _ { 2 } g ^ { \alpha _ { 1 } \gamma _ { 1 } } g ^ { \beta _ { 1 } \gamma _ { 2 } } \left( g ^ { \alpha _ { 2 } \gamma _ { 3 } } p ^ { \beta _ { 2 } } + g ^ { \beta _ { 2 } \gamma _ { 2 } } p ^ { \alpha _ { 2 } } \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { + c _ { 3 } \left( g ^ { \alpha _ { 1 } \gamma _ { 1 } } g ^ { \alpha _ { 2 } \gamma _ { 2 } } p ^ { \beta _ { 1 } } p ^ { \beta _ { 2 } } - g ^ { \beta _ { 1 } \gamma _ { 1 } } g ^ { \beta _ { 2 } \gamma _ { 2 } } p ^ { \alpha _ { 1 } } p ^ { \alpha _ { 2 } } \right) k ^ { \gamma _ { 3 } } } } \\ { { } } & { { } } & { { + c _ { 4 } \left( g ^ { \alpha _ { 1 } \gamma _ { 1 } } p ^ { \beta _ { 1 } } + g ^ { \beta _ { 1 } \gamma _ { 1 } } p ^ { \alpha _ { 1 } } \right) p ^ { \alpha _ { 2 } } p ^ { \beta _ { 2 } } k ^ { \gamma _ { 2 } } k ^ { \gamma _ { 3 } } , } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { \hat { A } } \psi = \mathbf { \hat { A } } \psi ( \mathbf { r } ) = \mathbf { \hat { A } } \left\langle \mathbf { r } \mid \psi \right\rangle } & { = \left\langle \mathbf { r } \left\vert \mathbf { \hat { A } } \right\vert \psi \right\rangle } \\ { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } \mathbf { e } _ { j } { \hat { A } } _ { j } \right) \psi = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } \mathbf { e } _ { j } { \hat { A } } _ { j } \right) \psi ( \mathbf { r } ) = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } \mathbf { e } _ { j } { \hat { A } } _ { j } \right) \left\langle \mathbf { r } \mid \psi \right\rangle } & { = \left\langle \mathbf { r } \left\vert \sum _ { j = 1 } ^ { n } \mathbf { e } _ { j } { \hat { A } } _ { j } \right\vert \psi \right\rangle } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \left| f _ { s , t } \hat { \otimes } _ { 2 } f _ { u , v } \right| } \\ { = } & { \left| \langle g _ { s , t } ^ { 1 } , g _ { u , v } ^ { 1 } \rangle _ { \mathcal { H } } \langle g _ { t } ^ { 2 } , g _ { v } ^ { 2 } \rangle _ { \mathcal { H } } + \langle g _ { t } ^ { 1 } , g _ { v } ^ { 1 } \rangle _ { \mathcal { H } } \langle g _ { s , t } ^ { 2 } , g _ { u , v } ^ { 2 } \rangle _ { \mathcal { H } } \right| } \\ { \leq } & { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } { \left\lVert { g ^ { i } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ s , t ] } { \left\lVert { g ^ { i } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ u , v ] } \right) \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( { \left\lVert { g ^ { i } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ 0 , 1 ] } + { \left\lVert { g _ { 0 } ^ { i } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
- i \left[ \boldsymbol { k } \cdot ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { 0 } ) - \boldsymbol { p } \cdot ( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { y } _ { 0 } ) + \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { r } _ { 0 } + ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { p } ) \cdot \boldsymbol { y } _ { 0 } \right] .
{ \begin{array} { r l } { e _ { \mathrm { t r i v } } } & { = { \frac { 1 } { 8 } } ( e + { \bar { e } } + i + { \bar { i } } + j + { \bar { j } } + k + { \bar { k } } ) } \\ { e _ { i { \mathrm { - k e r } } } } & { = { \frac { 1 } { 8 } } ( e + { \bar { e } } + i + { \bar { i } } - j - { \bar { j } } - k - { \bar { k } } ) } \\ { e _ { j { \mathrm { - k e r } } } } & { = { \frac { 1 } { 8 } } ( e + { \bar { e } } - i - { \bar { i } } + j + { \bar { j } } - k - { \bar { k } } ) } \\ { e _ { k { \mathrm { - k e r } } } } & { = { \frac { 1 } { 8 } } ( e + { \bar { e } } - i - { \bar { i } } - j - { \bar { j } } + k + { \bar { k } } ) } \\ { e _ { 2 } } & { = { \frac { 2 } { 8 } } ( 2 e - 2 { \bar { e } } ) = { \frac { 1 } { 2 } } ( e - { \bar { e } } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { X ^ { t } ( y , \omega ) } & { : = \left( \Phi _ { \pi \left( \omega \right) } ^ { t } ( y ) , \omega \right) , \ 0 \leq t \leq t _ { \eta _ { 0 } } \left( y \right) \ ; } \\ { X ^ { t } ( y , \omega ) } & { = \left( \Phi _ { \pi \left( \theta \omega \right) } ^ { t - t _ { \pi \left( \omega \right) } \left( y \right) } ( y _ { 1 } ) , \theta \omega \right) , \ t _ { \eta _ { 0 } } \left( y \right) < t \leq t _ { \eta _ { 0 } } \left( y \right) + \tau _ { \eta _ { 1 } } ( y _ { 1 } ) \ ; } \\ { X ^ { t } ( y , \omega ) } & { = \left( \Phi _ { \pi \left( \theta ^ { 2 } \omega \right) } ^ { t - t _ { \pi \left( \omega \right) } \left( y \right) - \tau _ { \pi \left( \theta \omega \right) } ( y _ { 1 } ) } ( R _ { \pi \left( \theta \omega \right) } ( y _ { 1 } ) ) , \theta ^ { 2 } \omega \right) , \ t _ { \eta _ { 0 } } \left( y \right) + \tau _ { \eta _ { 1 } } ( y _ { 1 } ) < t \leq t _ { \eta _ { 0 } } \left( y \right) + \tau _ { \eta _ { 1 } } ( y _ { 1 } ) + \tau _ { \eta _ { 2 } } ( R _ { \eta _ { 1 } } ( y _ { 1 } ) ) \ , } \end{array}
\| \mathbf { r } _ { k ^ { * } } \| _ { 2 } = \frac { \| \vec { r } _ { k ^ { * } } ^ { \mathrm { M } } \| _ { 2 } } { \sqrt { 1 - \left( \| \vec { r } _ { k ^ { * } } ^ { \mathrm { M } } \| _ { 2 } / \| \vec { r } _ { k ^ { * } - 1 } ^ { \mathrm { M } } \| _ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \leq \frac { \sqrt { \mathrm { e } } \| \vec { r } _ { k } ^ { \mathrm { M } } \| _ { 2 } } { \sqrt { 1 - ( 1 / \sqrt { \mathrm { e } } ) ^ { 2 / k } } } .
\hat { \Pi } _ { d / \mathcal { D } _ { c } } = \frac { - \bigl ( \sum _ { n } k _ { n d } \prod _ { c } { C _ { c } } ^ { \beta _ { n c d } } \bigr ) \Delta \widetilde { G } _ { d } C _ { c } \mathcal { D } _ { c } } { R T | | \vec { j } _ { c } | | ^ { 2 } } \rightsquigarrow \frac { - \bigl ( k _ { d } { C _ { c } } ^ { \beta _ { c d } + 1 } \bigr ) \Delta \widetilde { G } _ { d } \mathcal { D } _ { c } } { R T | | \vec { j } _ { c } | | ^ { 2 } }
\epsilon _ { + } ^ { ( j ) } - \epsilon _ { - } ^ { ( j ) } = \alpha \ \frac { \mid - c _ { k } < \psi _ { L } ^ { l m } \mid \sin ^ { 2 } x \mid \psi _ { L } ^ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } > \mid } { \omega ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { J = \left( \begin{array} { l l l l l } { - \beta ( I + \alpha Y ) } & { - \beta S } & { 0 } & { \delta \varepsilon } & { - \beta \alpha S } \\ { \beta ( I + \alpha Y ) } & { \beta S - \gamma _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \beta \alpha S } \\ { 0 } & { \gamma _ { 1 } } & { - \varepsilon } & { 0 } & { 0 } \\ { - \delta \varepsilon } & { - \nu \beta P - \delta \varepsilon } & { \varepsilon ( 1 - \delta ) } & { - \nu \beta ( I + \alpha Y ) - 2 \delta \varepsilon } & { - \nu \beta \alpha P - \delta \varepsilon } \\ { 0 } & { \nu \beta P } & { 0 } & { \nu \beta ( I + \alpha Y ) } & { \nu \beta \alpha P - \gamma _ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
w _ { n , \textbf { R } } ( \textbf { r } ) \equiv w _ { n } ( \textbf { r } - \textbf { R } ) = \frac { V } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { B Z } e ^ { - i \textbf { k } \cdot \textbf { R } } \phi _ { n , \textbf { k } } ( \textbf { r } ) \, d \textbf { k } ~ ,
\begin{array} { r l } { \operatorname * { m i n } _ { \mathbf { a } , \mathbf { f } } \quad } & { \tau ^ { F L } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { a _ { k } t _ { k } ^ { u p } b _ { k } \log _ { 2 } ( 1 + \frac { p _ { k } ^ { u p } h _ { k } } { b _ { k } \mathcal { N } _ { 0 } } ) \geq a _ { k } s , \: \forall k , } \\ & { a _ { k } \Big [ t _ { k } ^ { u p } p _ { k } ^ { u p } + \zeta _ { k } v C _ { k } J _ { k } \log _ { 2 } ( \frac { 1 } { \eta } ) f _ { k } ^ { 2 } \Big ] \leq { { E } } _ { k } ^ { \operatorname* { m a x } } , \: \forall k , } \\ & { a _ { k } t _ { H } ^ { b c } { { B } } \log _ { 2 } ( 1 + \frac { p _ { H } ^ { b c } h _ { k } } { { { B } } \mathcal { N } _ { 0 } } ) \geq a _ { k } s , \: \forall k , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } \leq \frac { f _ { H } t _ { H } ^ { c p } } { L _ { H } s } , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } b _ { k } \leq { { B } } , } \\ & { a _ { k } \in \{ 0 , 1 \} , \: \forall k , } \\ & { f _ { k } ^ { \operatorname* { m i n } } \leq f _ { k } \leq f _ { k } ^ { \operatorname* { m a x } } , \: \forall k . } \end{array}
H = \sum _ { k } \Delta E _ { k } S _ { k , 0 } ^ { z } + 2 \sum _ { k , q } g ( k , q ) Q ( q ) S _ { k , q } ^ { x } + \sum _ { q } \frac { M \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) } { 2 } Q ( q ) Q ( - q ) + \frac { 1 } { 2 M } P ( q ) P ( - q ) .
\sim \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { \times } } & { { \times } } & { { \times } } \\ { { \times } } & { { 1 } } & { { \times } } & { { \times } } \\ { { \times } } & { { \times } } & { { \cos \theta _ { U / D } } } & { { - \sin \theta _ { U / D } } } \\ { { \times } } & { { \times } } & { { \sin \theta _ { U / D } } } & { { \cos \theta _ { U / D } } } \end{array} \right) \; ,
\tau _ { f } ( \delta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left[ ( \mu _ { s } - \mu _ { d } ) \left( 1 - \frac { \delta } { \delta _ { c } } \right) + \mu _ { d } \right] \overline { { \sigma _ { e f f } } } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { ; \delta < \delta _ { c } } \\ { \mu _ { d } \overline { { \sigma _ { e f f } } } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { ; \delta > \delta _ { c } } \end{array} \right.
S ( t , \omega ) ( { \rho } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \mathrm { i } | \Omega | \frac { V } { 4 } \sigma _ { z } ^ { ( j ) } \sigma _ { z } ^ { ( k ) } { \rho } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega = ( j , k , 1 ) , } \\ { \mathrm { i } | \Omega | \frac { V } { 4 } { \rho } \sigma _ { z } ^ { ( j ) } \sigma _ { z } ^ { ( k ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega = ( j , k , 2 ) , } \end{array} \right.
Q _ { p - 1 } \wedge E ^ { b } \wedge E ^ { a } = { \frac { 1 } { ( p + 1 ) ! } } E ^ { a _ { 0 } } \wedge E ^ { a _ { 1 } } \wedge . . . \wedge E ^ { a _ { p } } \epsilon _ { a _ { 0 } a _ { 1 } . . . a _ { p } } e ^ { - { \frac { p - 3 } { 2 } } \phi } { \frac { \partial } { \partial F _ { a b } } } ( \sqrt { - d e t ( \eta + F ) } )
H _ { \pm } = \left( \begin{array} { c c } { { m } } & { { i \partial _ { x } \pm \partial _ { y } - \frac { e B } { 2 } ( y \pm i x ) } } \\ { { i \partial _ { x } \mp \partial _ { y } - \frac { e B } { 2 } ( y \mp i x ) } } & { { - m } } \end{array} \right)
\begin{array} { c c } { H = } & { ( \omega _ { m } - \omega _ { p } - i \frac { \kappa _ { m } } { 2 } ) m ^ { \dagger } m + ( \omega _ { b } - i \frac { \kappa _ { b } } { 2 } ) b ^ { \dagger } b } \\ & { + g \left( b ^ { \dagger } + b \right) m ^ { \dagger } m + i \sqrt { \kappa _ { i n } } \varepsilon _ { p } \left( m ^ { \dagger } - m \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \frac { d } { d \epsilon } \; \Phi [ \xi ( \mathbf { x } ) + \epsilon \, \Delta \xi ( \mathbf { x } ) ] \right] _ { \epsilon = 0 } = \delta \Phi [ \xi ( \mathbf { x } ) ] \bullet \Delta \xi ( \mathbf { x } ) = D \Phi [ \xi ( \mathbf { x } ) ] \bullet \Delta \xi ( \mathbf { x } ) \quad \forall \Delta \xi ( \mathbf { x } ) } \end{array}
( i , j , k ) , \: ( i _ { i n t } , j , k ) , \: ( i , j _ { i n t } , k ) , \: ( i , j , k _ { i n t } ) , \: ( i _ { e x t } , j , k ) , \: ( i , j _ { e x t } , k ) , \: ( i , j , k _ { e x t } ) .
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { D U - C } } = } & { \frac { 1 } { \sigma _ { \mathrm { c o o l } } } \Bigg ( P _ { \mathrm { d i s p } } + P _ { \mathrm { O L T } } \sum _ { w = 1 } ^ { W } w \ell _ { w } } \\ & { + \sum _ { w = 1 } ^ { W } w d _ { w } P _ { \mathrm { D U - C , 0 } } ^ { \mathrm { p r o c } } + \Delta _ { \mathrm { D U - C } } ^ { \mathrm { p r o c } } \frac { C _ { \mathrm { D U - C } } } { C _ { \mathrm { m a x } } } \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { B _ { p e a k } ( \xi _ { p e a k } ) } { \mathrm { p h o t o n s } / ( \mathrm { s } \ \mathrm { m m } ^ { 2 } \ \mathrm { m r a d } ^ { 2 } \ 0 . 1 \% \mathrm { B W } ) } } \\ & { = } & { \frac { N _ { \gamma } ( \xi _ { p e a k } ) / \tau _ { \gamma } } { 4 \pi ^ { 2 } \sigma _ { x } \sigma _ { y } \sigma _ { x ^ { \prime } } \sigma _ { y ^ { \prime } } \Delta \xi / \xi _ { p e a k } } } \\ & { \simeq } & { 3 . 8 7 \times 1 0 ^ { 3 2 } \frac { \gamma } { N _ { 0 } } \chi _ { e \, m a x } } \\ & { = } & { 1 . 1 6 \times 1 0 ^ { 2 6 } \frac { \left( \mathcal { E } _ { 0 } [ \mathrm { G e V } ] \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { 0 } [ 0 . 1 \mu m ] \ \sigma _ { z } [ 0 . 1 \mu m ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { W } _ { u } ( x ) } & { \leq 2 \int _ { 0 } ^ { L } x ( z ) c x _ { z z } ( z ) d z + 2 \int _ { 0 } ^ { L } \frac { 1 } { 2 \sqrt { 1 - z } } | x ( z ) v ( z ) | d z } \\ & { \leq - 2 c \left( \frac { \pi } { L } \right) ^ { 2 } \| x \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , L ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sqrt { 1 - L } } \| x \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , L ) } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , L ) } } \\ & { \leq - \left( 2 c \left( \frac { \pi } { L } \right) ^ { 2 } - w \right) \| x \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , L ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 ( 1 - L ) w } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , L ) } ^ { 2 } } \end{array}
N _ { a } ( \ell , r ) = \frac { \ell ! } { ( \ell - 2 r ) ! \, 2 ^ { r } r ! } = \frac { \Gamma ( \ell + 1 ) } { \Gamma ( \ell - 2 r + 1 ) \, 2 ^ { r } \, \Gamma ( r + 1 ) ) } \ .
J _ { j l } ^ { a } - \frac { \mathrm { i } \Gamma _ { j l } ^ { a } } { 2 } = - \frac { \mu _ { 0 } \omega _ { a } ^ { 2 } } { \hbar } \boldsymbol { \wp } _ { a } ^ { * } \cdot { \bf G } _ { 0 } ( { \bf r } _ { j } , { \bf r } _ { l } , \omega _ { a } ) \cdot \boldsymbol { \wp } _ { a } .
P _ { 1 } ^ { r } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { p + ( 1 - p ) q } & { ; c _ { 1 } ^ { r } ( t ) > r / 2 , } \\ { p / 2 + ( 1 - p ) q } & { ; c _ { 1 } ^ { r } ( t ) = r / 2 , } \\ { ( 1 - p ) q } & { : c _ { 1 } ^ { r } ( t ) < r / 2 . } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } ^ { \prime } } & { = \underset { \mathbf { y } } { \mathrm { a r g m i n } } L ( \mathbf { y } ) , } \\ { \underset { \mathbf { y } \in \mathcal { Y } } { \mathrm { a r g m i n } } L ( \mathbf { y } ) } & { = \underset { \mathbf { y } \in \mathcal { Y } } { \mathrm { a r g m i n } } \lVert \mathbf { y } - \mathbf { y } ^ { \prime } \rVert _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { i } { \cosh ( x ) } { \binom { 1 } { - 1 } } \eta \left( \frac { d \alpha } { d z } + \beta \frac { d y } { d z } - \eta ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } \right) + \frac { \operatorname { t a n h } ( x ) } { \cosh ( x ) } { \binom { 1 } { 1 } } \eta ^ { 2 } \left( \frac { d y } { d z } + 2 \beta \right) } \\ & { } & { - \frac { i x } { \cosh ( x ) } { \binom { 1 } { - 1 } } \frac { d \beta } { d z } - \frac { \left[ x \operatorname { t a n h } ( x ) - 1 \right] } { \cosh ( x ) } { \binom { 1 } { 1 } } \frac { d \eta } { d z } + \partial _ { z } { \binom { v } { v ^ { \ast } } } - i \eta ^ { 2 } { \cal L } { \binom { v } { v ^ { \ast } } } } \\ & { } & { - 2 \beta \partial _ { t } { \binom { v } { v ^ { \ast } } } = - i \epsilon { \binom { h ( t , z ) e ^ { - i \chi } } { - h ^ { \ast } ( t , z ) e ^ { i \chi } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { j } ^ { + } = r _ { j , j - 1 } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { j z } d _ { j } } \, A _ { j } ^ { - } + t _ { j - 1 , j } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { { j - 1 } , z } d _ { j - 1 } } \, A _ { j - 1 } ^ { + } , } \\ { A _ { j } ^ { - } = r _ { j , j + 1 } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { j , z } d _ { j } } \, A _ { j } ^ { + } + t _ { j + 1 , j } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { { j + 1 } , z } d _ { j + 1 } } \, A _ { j + 1 } ^ { - } } \end{array}
c ^ { * } = - \frac { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } _ { \chi } [ \Re \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) , | \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) | ^ { 2 } ] } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \chi } [ | \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) | ^ { 2 } ] } ,
\begin{array} { r } { u ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { v ( x ) e ^ { - i \omega _ { - } t } } & { t < 0 , } \\ { v ( x ) e ^ { - i \omega _ { + } t } } & { t \geq 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
c t = \frac { { \cal { E } } _ { 0 } } { m c ^ { 2 } } \int \frac { d r } { ( 1 - \frac { r _ { s } } { r } ) \sqrt { \left( \frac { { \cal { E } } _ { 0 } } { m c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - \left( 1 + \frac { { \cal { L } } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) } } .
\frac { A } { T } \simeq \frac { 2 \pi \alpha _ { s } } { 3 } \, \frac { C _ { + } + C _ { - } } { 2 C _ { + } + C _ { - } } \, \frac { f _ { D } f _ { B } } { F _ { 0 } ( 0 ) \, m _ { B } ^ { 2 } } \int d v \, \frac { \Phi _ { D } ( v ) } { \bar { v } ^ { 2 } } \approx 0 . 0 4 \, .
P _ { i j } = { \frac { s ^ { 2 } [ ( s - M _ { i } ^ { 2 } ) ( s - M _ { j } ^ { 2 } ) + ( \Gamma _ { i } M _ { i } ) ( \Gamma _ { j } M _ { j } ) ] } { [ ( s - M _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \Gamma _ { i } M _ { i } ) ^ { 2 } ] [ ( s - M _ { j } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \Gamma _ { j } M _ { j } ) ^ { 2 } ] } } \, ,
F _ { \gamma ^ { * } \gamma ^ { * } \pi ^ { 0 } } ^ { L D } ( q ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) = \frac 1 { \pi f _ { \pi } } \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \rho ^ { q u a r k } ( s , q ^ { 2 } , \, Q ^ { 2 } ) = \frac 2 { \pi f _ { \pi } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } d s \frac { x \bar { x } ( x Q ^ { 2 } + \bar { x } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { [ s { x } \bar { x } + x Q ^ { 2 } + \bar { x } q ^ { 2 } ] ^ { 3 } } \, .
g _ { i } ( \textrm { \boldmath { q } } ) = - \frac { \nu } { \lambda } \left( 2 i + 1 \right) \left( u _ { m } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \alpha _ { j } \right) - \frac { \nu } { h } 4 \left( 2 i + 1 \right) \sum _ { j = 1 } ^ { N } a _ { i , j } \alpha _ { j } , \quad i = 0 , \ldots , N ,
\begin{array} { r l } & { \int \frac { \mathrm { d } H ^ { \epsilon _ { n } } ( s , t ) } { \frac { s } { 1 + c g ^ { \epsilon _ { n } } } - ( 1 + c m ^ { \epsilon _ { n } } ) z + t ( 1 - c ) } - \int \frac { \mathrm { d } H ( s , t ) } { \frac { s } { 1 + c g } - ( 1 + c m ) z + t ( 1 - c ) } } \\ { = } & { \int \frac { \left( \frac { s } { 1 + c g } - \frac { s } { 1 + c g ^ { \epsilon _ { n } } } + m ^ { \epsilon _ { n } } - m \right) \mathrm { d } H ^ { \epsilon _ { n } } ( s , t ) } { \left( \frac { s } { 1 + c g ^ { \epsilon _ { n } } } - ( 1 + c m ^ { \epsilon _ { n } } ) z + t ( 1 - c ) \right) \left( \frac { s } { 1 + c g } - ( 1 + c m ) z + t ( 1 - c ) \right) } } \\ & { + \int \frac { \mathrm { d } H ^ { \epsilon _ { n } } ( s , t ) } { \frac { s } { 1 + c g } - ( 1 + c m ) z + t ( 1 - c ) } - \int \frac { \mathrm { d } H ( s , t ) } { \frac { s } { 1 + c g } - ( 1 + c m ) z + t ( 1 - c ) } } \\ & { \to 0 \quad \mathrm { ~ a s ~ n \to \infty ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| { \bf { b } } _ { \mathrm { { L } } } ^ { H } ( r _ { l } , \phi _ { l } ) { \bf { b } } _ { \mathrm { L } } ( r _ { m } , \phi _ { m } ) \right| = \frac { 1 } { N } \left| \sum _ { n = - \widetilde { N } } ^ { \widetilde { N } } e ^ { j k ( \psi _ { \mathrm { { L } } , r _ { l } , \phi _ { l } } ^ { ( n ) } - \psi _ { { \mathrm { L } } , r _ { m } , \phi _ { m } } ^ { ( n ) } ) } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { \tau } \, \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ^ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } = \mathrm { i } \lambda _ { 1 } \, \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ^ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \partial _ { q } \, \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ^ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } = \mathrm { i } \lambda _ { 2 } \, \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ^ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } x ^ { n } = x + { \binom { m } { 1 } } \sum _ { a = 2 } ^ { \infty } x ^ { a } + { \binom { m } { 2 } } \sum _ { a = 2 } ^ { \infty } \sum _ { b = 2 } ^ { \infty } x ^ { a b } + { \binom { m } { 3 } } \sum _ { a = 2 } ^ { \infty } \sum _ { b = 2 } ^ { \infty } \sum _ { c = 2 } ^ { \infty } x ^ { a b c } + { \binom { m } { 4 } } \sum _ { a = 2 } ^ { \infty } \sum _ { b = 2 } ^ { \infty } \sum _ { c = 2 } ^ { \infty } \sum _ { d = 2 } ^ { \infty } x ^ { a b c d } + \cdots
\begin{array} { r } { \mathrm { d i s t } ( S _ { 1 } , S _ { 2 } ) = \operatorname* { m a x } \left\{ \operatorname* { s u p } _ { x _ { 1 } \in S _ { 1 } } \operatorname* { i n f } _ { x _ { 2 } \in S _ { 2 } } \Vert x _ { 1 } - x _ { 2 } \Vert , \operatorname* { s u p } _ { x _ { 2 } \in S _ { 2 } } \operatorname* { i n f } _ { x _ { 1 } \in S _ { 1 } } \Vert x _ { 1 } - x _ { 2 } \Vert \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { T = \rho \left( { \tau } \right) d \tau ^ { 2 } + \frac { \cosh \left( b { \tau } \right) ^ { 2 } p \left( { \tau } \right) } { b ^ { 2 } } d \chi ^ { 2 } + \frac { \cosh \left( b { \tau } \right) ^ { 2 } p \left( { \tau } \right) \sin \left( { \chi } \right) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } d \theta ^ { 2 } } \\ { + \frac { \cosh \left( b { \tau } \right) ^ { 2 } p \left( { \tau } \right) \sin \left( { \chi } \right) ^ { 2 } \sin \left( { \theta } \right) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } d \phi ^ { 2 } + \frac { p \left( { \tau } \right) } { \cosh \left( b { \Omega } \right) ^ { 4 } } d \Omega ^ { 2 } } \end{array}