\begin{array} { r l } & { \| \nabla f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \hat { \nabla } f ( x , y ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \| \nabla _ { x } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) } \\ & { \quad - \nabla _ { x } f ( x , y ) + \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \big ( \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \big ) ^ { - 1 } \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x , y ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { = \| \nabla _ { x } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \nabla _ { x } f ( x , y ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) } \\ & { \quad + \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) } \\ & { \quad + \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \big ( \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \big ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \big ( \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \big ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) } \\ & { \quad + \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \big ( \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \big ) ^ { - 1 } \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x , y ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 \| \nabla _ { x } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \nabla _ { x } f ( x , y ) \| ^ { 2 } + \frac { 4 C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 4 C _ { g x y } ^ { 2 } C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 4 } } \| \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \| ^ { 2 } + \frac { 4 C _ { g x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x , y ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { \mathop { = } ^ { ( i ) } 4 \| \nabla _ { x } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \nabla _ { x } f ( x , y ) \| ^ { 2 } + \frac { 4 C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ] - \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 4 C _ { g x y } ^ { 2 } C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 4 } } \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ] - \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ) \big ] \| ^ { 2 } + \frac { 4 C _ { g x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ] - \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x , y ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 \| \nabla _ { x } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \nabla _ { x } f ( x , y ) \| ^ { 2 } + \frac { 4 C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 4 C _ { g x y } ^ { 2 } C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 4 } } \| \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ) \| ^ { 2 } + \frac { 4 C _ { g x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \nabla _ { y } f ( x , y ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 \big ( L _ { f } ^ { 2 } + \frac { L _ { g x y } ^ { 2 } C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { L _ { g y y } ^ { 2 } C _ { g x y } ^ { 2 } C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 4 } } + \frac { L _ { f } ^ { 2 } C _ { g x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \big ) \| y ^ { * } ( x ) - y \| ^ { 2 } } \\ & { = \hat { L } ^ { 2 } \| y ^ { * } ( x ) - y \| ^ { 2 } \leq \frac { 2 \hat { L } ^ { 2 } } { \mu } \big ( g ( x , y ) - \operatorname* { m i n } _ { y } g ( x , y ) \big ) , } \end{array}