harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) } & { \geq } & { 2 a _ { 2 } ( \delta ) - a _ { 2 } ( \delta ) + x _ { 0 } ^ { N - 2 } \frac { 1 } { 2 } N ( N - 1 ) h ( 0 , 0 ) } \\ & { } & { - ( 1 8 a _ { 2 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { 2 } + 1 8 N h ( 0 , 0 ) x _ { 0 } ^ { N } ) A C C _ { 5 } - ( 8 a _ { 2 } ( \delta ) x _ { 0 } + 8 N x _ { 0 } ^ { N - 1 } h ( 0 , 0 ) ) A C C _ { 6 } } \\ & { } & { - ( 8 a _ { 2 } ( \delta ) x _ { 0 } + 8 N x _ { 0 } ^ { N - 1 } h ( 0 , 0 ) ) A C C _ { 7 } } \\ & { = } & { a _ { 2 } ( \delta ) [ 1 - 1 8 A C C _ { 5 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 8 A C C _ { 6 } x _ { 0 } - 8 A C C _ { 7 } x _ { 0 } ] } \\ & { } & { + x _ { 0 } ^ { N - 2 } h ( 0 , 0 ) [ \frac { 1 } { 2 } N ( N - 1 ) - 1 8 A C C _ { 5 } N x _ { 0 } ^ { 2 } - 8 A C C _ { 6 } N x _ { 0 } - 8 A C C _ { 7 } N x _ { 0 } ] . } \end{array}
\tilde { c } _ { E } ( t ) = \frac { \mathcal { D } _ { g E } ^ { * } e ^ { i \omega t } } { \omega _ { g } + \omega - \omega _ { E } } \tilde { c } _ { g } ( t ) + \frac { \mathcal { V } _ { a E } ^ { * } } { \omega _ { g } + \omega - \omega _ { E } } \tilde { c } _ { a } ( t ) .
{ \cal { R } } \: = \: \frac { - 1 } { R ^ { 2 } Z ^ { 2 } } \left( \frac { Z ^ { 2 } + R ^ { 2 } R ^ { 2 } + ( R R ^ { \prime } - Z ) ^ { 2 } } { 1 + R ^ { 2 } } \right) \, ,
\phi _ { 1 \mu } \equiv p _ { \mu } - { \frac { m \dot { n } _ { \mu } } { \sqrt { \dot { n } ^ { 2 } } } } \approx 0 ; \, \nonumber \phi _ { 2 \mu } \equiv p _ { \mu } ^ { ( n ) } - { \frac { m } { \sqrt { \dot { n } ^ { 2 } } } } ( { \dot { x } } _ { \mu } - { \frac { ( \dot { x } \dot { n } ) { \dot { n } } _ { \mu } } { { \dot { n } } ^ { 2 } } } ) \approx 0 ; \phi _ { 3 } \equiv p ^ { ( \lambda ) } \approx 0 .
\psi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \to T \psi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \equiv \exp { [ \, i \pi s _ { y } / \hbar ] } \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , - t ) \; ,
\begin{array} { r } { G _ { \alpha \beta } ^ { ( 2 ) } ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) = \frac { 1 } { 2 } S _ { i } ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) \sigma _ { \alpha \beta } ^ { ( i ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { k _ { o } \frac { \cos \delta j _ { \ell } ^ { \prime } ( k _ { o } ) - \sin \delta \eta _ { \ell } ^ { \prime } ( k _ { o } ) } { \cos \delta j _ { \ell } ( k _ { o } ) - \sin \delta \eta _ { \ell } ( k _ { o } ) } = } \\ & { } & { \frac { ( D _ { -- } ^ { 2 } a _ { + } ) C _ { - } D _ { - } j _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { - } ) + a _ { c o } D _ { + } C _ { + } j _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { + } ) } { ( D _ { -- } ^ { 2 } a _ { + } ) C _ { - } j _ { \ell } ( D _ { - } ) + a _ { c o } C _ { + } j _ { \ell } ( D _ { + } ) } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \left[ \left[ Q , \Phi _ { 0 } ( x ) \right] , \iota _ { e } \right] ^ { ( - 1 ) } } & { = \left[ Q , \left[ \Phi _ { 0 } ( x ) , \iota _ { e } \right] \right] ^ { ( - 1 ) } - \left[ \Phi _ { 0 } ( x ) , \left[ Q , \iota _ { e } \right] \right] ^ { ( - 1 ) } } \\ & { } \\ & { = \left[ Q ^ { ( 0 ) } , \left[ \Phi _ { 0 } ( x ) , \iota _ { e } \right] ^ { ( - 1 ) } \right] - \left[ \Phi _ { 0 } ( x ) ^ { ( 0 ) } , \left[ Q , \iota _ { e } \right] ^ { ( - 1 ) } \right] } \\ & { } \\ & { = \left[ Q ^ { ( 0 ) } , \iota _ { \nabla _ { x } ( e ) } \right] - \left[ \Phi _ { 0 } ( x ) ^ { ( 0 ) } , \iota _ { \ell _ { 1 } ( e ) } \right] } \\ & { = \iota _ { \ell _ { 1 } \circ \nabla _ { x } ( e ) } - \iota _ { \nabla _ { x } \circ \ell _ { 1 } ( e ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { A } } ^ { L } ( u , v ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \nabla ^ { \top } \phi _ { u } ( x _ { l } ) a ( x _ { l } ) \nabla \phi _ { v } ( x _ { l } ) } \end{array}
\frac { 1 } { 4 } [ \hat { G } _ { \mu } , [ \hat { G } _ { \mu } , \hat { Y } _ { r _ { 1 } r _ { 2 } } ] ] = \left( r _ { 1 } ( r _ { 1 } + 3 ) - r _ { 2 } ( r _ { 2 } + 1 ) \right) \hat { Y } _ { r _ { 1 } r _ { 2 } } .
A _ { \mu \nu , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { I } = \sum _ { p } b _ { p \sigma \mu } ^ { R } A _ { p p } b _ { p \sigma ^ { \prime } \nu } ^ { I } + \sum _ { \bar { p } } b _ { \bar { p } \sigma \mu } ^ { R } A _ { \bar { p } \bar { p } } b _ { \bar { p } \sigma ^ { \prime } \nu } ^ { I } - \sum _ { p } b _ { p \sigma \mu } ^ { I } A _ { p p } b _ { p \sigma ^ { \prime } \nu } ^ { R } - \sum _ { \bar { p } } b _ { \bar { p } \sigma \mu } ^ { I } A _ { \bar { p } \bar { p } } b _ { \bar { p } \sigma ^ { \prime } \nu } ^ { R } \; .
\begin{array} { r l } { \psi _ { 0 } ( l ) } & { { } = \sqrt { \frac { 3 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { 3 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left[ l - \left( a - \beta \sigma ^ { 2 } \right) \right] ^ { 2 } } } \\ { \tilde { \psi } _ { 0 } ( l ) } & { { } = 1 \ . } \end{array}
{ \binom { m + 3 } { m } } B _ { m } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { m + 3 } { 3 } } - \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { m } { 6 } } { \binom { m + 3 } { m - 6 j } } B _ { m - 6 j } , } & { { \mathrm { i f ~ } } m \equiv 0 { \pmod { 6 } } ; } \\ { { \frac { m + 3 } { 3 } } - \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { m - 2 } { 6 } } { \binom { m + 3 } { m - 6 j } } B _ { m - 6 j } , } & { { \mathrm { i f ~ } } m \equiv 2 { \pmod { 6 } } ; } \\ { - { \frac { m + 3 } { 6 } } - \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { m - 4 } { 6 } } { \binom { m + 3 } { m - 6 j } } B _ { m - 6 j } , } & { { \mathrm { i f ~ } } m \equiv 4 { \pmod { 6 } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \nu _ { 1 } = \nu _ { o \! f \! f } + ( J + 2 \mathcal { D } + C ) / 2 ; } & { ~ ~ I _ { 1 } = ( 1 - \sin \xi ) / 2 } \\ { \nu _ { 2 } = \nu _ { o \! f \! f } + ( J + 2 \mathcal { D } - C ) / 2 ; } & { ~ ~ I _ { 2 } = ( 1 + \sin \xi ) / 2 } \\ { \nu _ { 3 } = \nu _ { o \! f \! f } + ( - J - 2 \mathcal { D } + C ) / 2 ; } & { ~ ~ I _ { 3 } = ( 1 + \sin \xi ) / 2 } \\ { \nu _ { 4 } = \nu _ { o \! f \! f } + ( - J - 2 \mathcal { D } - C ) / 2 ; } & { ~ ~ I _ { 4 } = ( 1 - \sin \xi ) / 2 , } \end{array}
\frac { \partial v _ { i } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { i j } ^ { a u x } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial v _ { i } ^ { a u x } \sigma _ { i j } ^ { ( 1 ) } } { \partial x _ { j } } = - \tau _ { i j } ^ { e x , ( 0 ) } \frac { \partial v _ { i } ^ { a u x } } { \partial x _ { j } } ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbb { H } } _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \Theta } \otimes \boldsymbol { \Theta } , \quad \hat { \mathbb { H } } _ { 2 } = \boldsymbol { \Theta } \otimes ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) , \quad \hat { \mathbb { H } } _ { 3 } = ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) \otimes \boldsymbol { \Theta } , \quad \hat { \mathbb { H } } _ { 4 } = \textbf { m } \otimes \textbf { m } \otimes \textbf { m } \otimes \textbf { m } } \\ { \hat { \mathbb { H } } _ { 5 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \boldsymbol { \Theta } \overline { { \otimes } } \boldsymbol { \Theta } + \boldsymbol { \Theta } \underline { { \otimes } } \boldsymbol { \Theta } - \boldsymbol { \Theta } \otimes \boldsymbol { \Theta } ) , } \\ { \hat { \mathbb { H } } _ { 6 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \boldsymbol { \Theta } \overline { { \otimes } } ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) + \boldsymbol { \Theta } \underline { { \otimes } } ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) + ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) \overline { { \otimes } } \boldsymbol { \Theta } + ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) \underline { { \otimes } } \boldsymbol { \Theta } ) , } \end{array}
\mathbf { x } _ { m } ^ { ( l ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { i } { \sqrt { 2 } } \left( \mathbf { z } _ { m } ^ { ( l ) } - ( - 1 ) ^ { m } \mathbf { z } _ { - m } ^ { ( l ) } \right) } & { \mathrm { i f ~ } m < 0 } \\ { \mathbf { z } _ { 0 } ^ { ( l ) } } & { \mathrm { i f ~ } m = 0 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \mathbf { z } _ { m } ^ { ( l ) } + ( - 1 ) ^ { m } \mathbf { z } _ { - m } ^ { ( l ) } \right) } & { \mathrm { i f ~ } m > 0 } \end{array} \right.
H = H _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } } - \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { C } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { C } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \ddots } & { } & { } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { } & { } & { C } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { C } & { 0 } \end{array} \right) \otimes I _ { \omega ^ { \prime } } ,
\small \begin{array} { r l } { \displaystyle \alpha \left| \! \left| \sum _ { i } \sum _ { j } \int _ { e _ { i , j } \in \partial \mathcal { K } _ { i } } \mathcal { H } ( R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } , R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } , n _ { i , j } ) d s \right| \! \right| _ { L _ { 1 } } \Delta \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } } & { + \sum _ { i } \sum _ { j } \int _ { e _ { i , j } \in \partial \mathcal { K } _ { i } } \Delta \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } \frac { \partial \mathcal { H } ( R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } , R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } , n _ { i , j } ) } { \partial \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } } d s } \\ & { + \sum _ { i } \sum _ { j } \int _ { e _ { i , j } \in \partial \mathcal { K } _ { i } } \Delta \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } \frac { \partial \mathcal { H } ( R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } , R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } , n _ { i , j } ) } { \partial \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } } d s } \\ & { = - \sum _ { i } \sum _ { j } \int _ { e _ { i , j } \in \partial \mathcal { K } _ { i } } \mathcal { H } ( R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } , R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } , n _ { i , j } ) d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi ( 1 ) ( U ( 1 ) - I ) u } & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \sum _ { j \in S } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( u , \tilde { g } _ { j } ( t ) ) \tilde { \chi } _ { j } ( t ) d t , } \\ { \tilde { g } _ { j } ( t ) : = \Pi _ { S ^ { \perp } } U ( t ) ^ { T } \Psi ( t ) ^ { * } [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] , } & { \quad \tilde { \chi } _ { j } ( t ) : = - \Psi ( 1 ) \Psi ( t ) ^ { - 1 } \partial _ { x } \mathcal { B } ( t ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] , \quad \mathrm { ~ f o r ~ j \in ~ S ~ } . } \end{array}
x _ { o } ( \tau ) \sim \left\{ \begin{array} { l } { { C \exp ( - 1 2 \omega \tau ) \ \ \ i f \ \ \tau \rightarrow \infty } } \\ { { D \exp ( 6 \omega \tau ) \ \ \ \ i f \ \ \tau \rightarrow - \infty } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { s } } ^ { \pi } v ) ( s ) } & { = - \Bigm ( \alpha _ { s } + \gamma \beta _ { s } \kappa _ { q } ( v ) \Bigm ) \lVert \pi ( \cdot | s ) \rVert _ { q } + } \\ & { \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm ( R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ) . } \end{array}
p _ { 0 \alpha } = p _ { \alpha } - \frac { g } { 2 } ( \tau ^ { + } A ^ { + } { } _ { \alpha } + \tau ^ { - } A ^ { - } { } _ { \alpha } ) + \frac { g g ^ { \prime } } { \sqrt { g ^ { 2 } + g ^ { 2 } } } Q A _ { \alpha } + \frac { g ^ { 2 } } { \sqrt { g ^ { 2 } + g ^ { 2 } } } Q ^ { \prime } Z _ { \alpha } .
\begin{array} { r } { N \ge \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \left( 8 \lambda _ { f } R \sqrt { \frac { \log \frac { 2 } { \delta } } { 2 } } \right) ^ { 2 } = \mathrm { p o l y } \left( \frac { 1 } { \varepsilon } , \ B , \ \log \frac { 1 } { \delta } \right) , } \end{array}
K _ { \mu \eta } = \frac { i } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm d } \omega \frac { \omega ^ { 2 } | \epsilon ( \mathbf s , \omega ) | } { \omega _ { a } ^ { 2 } | \epsilon ( \mathbf { s } , \omega _ { a } ) | } \frac { \tilde { \omega } _ { \mu } - \tilde { \omega } _ { \eta } ^ { * } } { ( \tilde { \omega } _ { \mu } - \omega ) ( \tilde { \omega } _ { \eta } ^ { * } - \omega ) } .
\mathbb { E } _ { z } [ g ( \overline { { Z } } _ { t _ { n } } ) ] - \mathbb { E } _ { z } [ g ( Z _ { t _ { n } } ) ] = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( \mathbb { E } _ { z } [ \mathcal { P } _ { t _ { n } - t _ { k + 1 } } g ( \overline { { Z } } _ { t _ { k + 1 } } ) ] - \mathbb { E } _ { z } [ \mathcal { P } _ { t _ { n } - t _ { k } } g ( \overline { { Z } } _ { t _ { k } } ) ] ) .
[ \pi _ { \mu } , \pi _ { \nu } ] = 0 \, , \quad [ \pi _ { \mu } ^ { \dag } , \pi _ { \nu } ^ { \dag } ] = 0 \, , \quad [ \pi _ { \mu } , \pi _ { \nu } ^ { \dag } ] = i \hbar \partial _ { \mu } \Gamma _ { \nu } = i \hbar \partial _ { \mu } \Gamma _ { \nu }
\left\{ \begin{array} { l l } { { m ^ { 2 } ( \beta ) = - \tilde { m } ^ { 2 } { \bf I } + \delta m ^ { 2 } } } \\ { { \lambda ( \beta ) = \tilde { \lambda } { \bf I _ { 4 } } + \delta \lambda . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { x \to - \infty } \biggl \{ \mathbf { \Phi } } & { - } & { \left( \begin{array} { l } { e ^ { - i \lambda x } } \\ { 0 } \end{array} \right) \biggr \} = 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \biggl \{ \mathbf { \Phi } } & { - } & { \left( \begin{array} { l } { a ( \lambda ) \, e ^ { - i \lambda x } } \\ { b ( \lambda ) \, e ^ { i \lambda x } } \end{array} \right) \biggr \} = 0 . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \kappa _ { T } ^ { m } = \left. \frac { \partial ^ { m } } { \partial K ^ { m } } \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp ( \beta [ K ^ { \alpha } p _ { \alpha } ] ) \left[ K ^ { \gamma } \frac { \partial } { \partial \theta ^ { \gamma } } \exp ( - \beta \mathcal { H } ( \theta , p ) ) \right] \right| _ { K = 0 } .
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { { } = \int _ { D } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) \textrm { d } y \right) \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\vert E ^ { ( m ) } ( { \bf R } , { \boldsymbol \eta } ) \ - { \cal E } ^ { ( m ) } ( { \bf R } , { \boldsymbol \eta } , { \bf n } ) \right\vert \propto \left\vert { \boldsymbol \eta } - { \bf n } \right\vert ^ { 2 } , } \\ & { \left\vert \frac { \partial { \cal E } ^ { ( m ) } ( { \bf R } , { \boldsymbol \eta } , { \bf n } ) } { \partial n } \right\vert \propto \left\vert { \boldsymbol \eta } - { \bf n } \right\vert . } \end{array}
I \left( \mathrm { ~ A ~ } , \mathrm { ~ B ~ } \right) = S ( \mathrm { ~ A ~ } ) - S ( \mathrm { ~ A ~ } | \mathrm { ~ B ~ } ) = 1 - h _ { 2 } \left( \frac { p ( 1 | 0 ) } { p _ { \checkmark } } \right) .
W [ \tilde { \phi } ] = \frac { 1 } { 2 \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, \tilde { \chi } _ { A B } \tilde { \phi } _ { A } ( \mathbf { r } ) \tilde { \phi } _ { B } ( \mathbf { r } ) ,
\frac { \partial U ^ { - 1 } } { \partial z _ { \alpha } } + { \frac { 1 } { 2 \pi \kappa } } \sum _ { \beta \neq \alpha } \frac { \frac { 1 } { 2 } ( \hat { Q } ^ { + } ( \xi _ { \alpha } ) \hat { Q } ^ { - } ( \xi _ { \beta } ) + \hat { Q } ^ { - } ( \xi _ { \alpha } ) \hat { Q } ^ { + } ( \xi _ { \beta } ) ) + \hat { Q } ^ { 3 } ( \xi _ { \alpha } ) \hat { Q } ^ { 3 } ( \xi _ { \beta } ) } { z _ { \alpha } - z _ { \beta } } U ^ { - 1 } = 0
\begin{array} { r l } { V \approx } & { V _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } k \left( 1 - \frac { l _ { 0 } } { l _ { e q } } \right) x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } k \left( 1 - \frac { l _ { 0 } } { l _ { e q } } \right) y ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 3 } { 2 } k z ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } k \left( 1 - \frac { l _ { 0 } } { l _ { e q } } \right) R ^ { 2 } \psi ^ { 2 } . } \end{array}
\widehat \Psi _ { m } : = \left( \frac { 1 } { N T } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } \varphi _ { j } ( X _ { s } ^ { i } ) \varphi _ { \ell } ( X _ { s } ^ { i } ) d s \right) _ { j , \ell } \quad \mathrm { a n d } \quad \widehat Z _ { m } : = \left( \frac { 1 } { N T } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } \varphi _ { j } ( X _ { s } ^ { i } ) \delta X _ { s } ^ { i } \right) _ { j } .
{ \cal Z } = \int \prod _ { t i m e l i n k s } d U _ { t } d \bar { \chi } d \chi e ^ { - 1 / { 4 N } \sum _ { < x , y > } \bar { \chi } ( x ) \chi ( x ) \bar { \chi } ( y ) \chi ( y ) } e ^ { - S _ { t } }
\begin{array} { r l } & { \left( g \phi _ { h } , \frac { \partial h } { \partial t } \right) _ { \Omega } - \left( g \frac { \partial \phi _ { h } } { \partial x } , F _ { h } ( h , u ) \right) _ { \Omega } - = - \left. \phi _ { h } g F _ { h } ( h , u ) \right| _ { x = x _ { L } } ^ { x = x _ { R } } , } \\ & { \left( H \phi _ { u } , \frac { \partial u } { \partial t } \right) _ { \Omega } - \left( H \frac { \partial \phi _ { u } } { \partial x } , F _ { u } ( h , u ) \right) _ { \Omega } = - \left. \phi _ { u } H F _ { u } ( h , u ) \right| _ { x = x _ { L } } ^ { x = x _ { R } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \mathbf { u } ^ { \prime } - \nabla p ^ { \prime } } & { = } & { R e \left( ( \bar { \mathbf { u } } - \bar { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { p } ) ) \cdot \nabla \mathbf { u } ^ { \prime } + \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \nabla \bar { \mathbf { u } } \right) - \frac { 2 0 \pi } { 3 } E : \nabla \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } ) } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } & { = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { \xi _ { d } , g ^ { d } } \Big | _ { \Lambda ^ { g } } ( \tau , \mathfrak { z } ) } & { = \sum _ { v \in \Lambda ^ { g ^ { d } } } \xi _ { d } ( v ) e ^ { \pi i ( v , v ) \tau + 2 \pi i ( v , \mathfrak { z } ) } } \\ & { = \sum _ { r ^ { \prime } \in G _ { d , \Lambda ^ { g } } + \Lambda ^ { g } } \sum _ { s \in \gamma _ { d } ( r ^ { \prime } ) + \Lambda ^ { g , d } } \xi _ { d } ( r ^ { \prime } + s ) q ^ { r ^ { 2 } / 2 + s ^ { 2 } / 2 } \zeta ^ { r ^ { \prime } } } \\ & { = \sum _ { r ^ { \prime } \in G _ { d , \Lambda ^ { g } } + \Lambda ^ { g } } q ^ { r ^ { 2 } / 2 } \zeta ^ { r ^ { \prime } } \sum _ { s \in \gamma _ { d } ( r ^ { \prime } ) + \Lambda ^ { g , d } } \xi _ { d } ( r ^ { \prime } + s ) q ^ { s ^ { 2 } / 2 } . } \end{array}
p _ { f } = - \frac { 1 } { a _ { 2 2 } + 2 a _ { 2 3 } + a _ { 3 3 } } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \left( b _ { k \ell } ^ { ( 1 ) } + b _ { k \ell } ^ { ( 2 ) } \right) \sigma _ { k \ell } \, .
\begin{array} { r l } & { 0 = \sum _ { m _ { i } , m _ { o } } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m _ { i } ) , ( l _ { f } ^ { \prime } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , m _ { o } ) } \sum _ { l _ { f } } \left( \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m _ { i } ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , m _ { o } ) } \right) = \sum _ { l _ { f } } \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } \sum _ { m _ { i } , m _ { o } } \left( \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m _ { i } ) , ( l _ { f } ^ { \prime } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , m _ { o } ) } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m _ { i } ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , m _ { o } ) } \right) = } \\ & { \sum _ { l _ { f } } \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } \sum _ { m _ { i } , m _ { o } } \left( \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m _ { i } ) , ( l _ { f } ^ { \prime } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , m _ { o } ) } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m _ { i } ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , m _ { o } ) } \right) = \sum _ { l _ { f } } \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } \sum _ { m _ { i } , m _ { o } } \sqrt { \frac { 2 l _ { o } + 1 } { 2 l _ { f } + 1 } } \left( \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m _ { i } ) , ( l _ { o } , - m _ { o } ) } ^ { ( l _ { f } ^ { \prime } , 0 ) } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m _ { f } ) , ( l _ { o } , - m _ { o } ) } ^ { ( l _ { f } , 0 ) } \right) = } \\ & { \sum _ { l _ { f } } \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } \sqrt { \frac { 2 l _ { o } + 1 } { 2 l _ { f } + 1 } } \delta _ { l _ { f } l _ { f } ^ { \prime } } = \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } ^ { \prime } , l _ { o } } \sqrt { \frac { 2 l _ { o } + 1 } { 2 l _ { f } ^ { \prime } + 1 } } } \end{array}
P ^ { D / L } ( \omega , \hat { \mathbf { k } } , \mathbf { B } _ { 0 } ) = P _ { 0 } ( \omega , B _ { 0 } ) [ 1 + \gamma ^ { D / L } ( \omega ) \hat { \mathbf { k } } \cdot \mathbf { B } _ { 0 } ] .
\begin{array} { r l } { I } & { = \int _ { \Omega } \left( \ln ^ { k } { ( u + e ) } + k \frac { \ln ^ { k - 1 } { ( u + e ) } } { u + e } \right) \left( \nabla \cdot \left( D ( v ) \nabla u - u S ( v ) \nabla v \right) + f ( u ) \right) } \\ & { = - k \int _ { \Omega } \frac { D ( v ) \ln ^ { k - 1 } ( u + e ) } { u + e } | \nabla u | ^ { 2 } - k ( k - 1 ) \int _ { \Omega } \frac { D ( v ) u \ln ^ { k - 2 } ( u + e ) } { ( u + e ) ^ { 2 } } | \nabla u | ^ { 2 } } \\ & { - k \int _ { \Omega } \frac { e D ( v ) \ln ^ { k - 1 } ( u + e ) } { ( u + e ) ^ { 2 } } | \nabla u | ^ { 2 } + k \int _ { \Omega } \frac { S ( v ) u \ln ^ { k - 1 } ( u + e ) } { u + e } \nabla u \cdot \nabla v } \\ & { + k ( k - 1 ) \int _ { \Omega } \frac { S ( v ) u ^ { 2 } \ln ^ { k - 2 } ( u + e ) } { ( u + e ) ^ { 2 } } \nabla u \cdot \nabla v + k \int _ { \Omega } \frac { e S ( v ) u \ln ^ { k - 1 } ( u + e ) } { ( u + e ) ^ { 2 } } \nabla u \cdot \nabla v } \\ & { + \int _ { \Omega } \left( \ln ^ { k } { ( u + e ) } + k \frac { \ln ^ { k - 1 } { ( u + e ) } } { u + e } \right) f ( u ) } \\ & { : = \sum _ { i = 1 } ^ { 7 } I _ { i } . } \end{array}
[ T _ { 1 } ( j _ { \mu } a ^ { \mu } ) , T _ { n } ( W _ { 1 } f _ { 1 } \otimes . . . \otimes W _ { n } f _ { n } ) ] _ { \mp } = [ Q _ { 0 } , T _ { n } ( W _ { 1 } f _ { 1 } \otimes . . . \otimes W _ { n } f _ { n } ) ] _ { \mp }
- \frac { \Theta _ { 2 } ^ { \prime \prime } } { \Theta _ { 2 } } = r ^ { 2 } \frac { R _ { 2 } ^ { \prime \prime } } { R _ { 2 } } + r \frac { R _ { 2 } ^ { \prime } } { R _ { 2 } } - \omega ^ { 2 } r ^ { 2 } = n ^ { 2 } .
\b = k / k _ { \mathrm { L I } } , \qquad \widetilde { \eta } = \eta ( m ^ { 2 ( n - 1 ) } / \omega _ { 0 } ^ { n } ) , \qquad \widetilde { \xi } = \xi ( m ^ { 2 ( n - 1 ) } / \omega _ { 0 } ^ { n } )
U ( \rho , \theta , \phi ) = \frac { 1 } { \lambda j } \int \int U ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , 0 ) \frac { e ^ { j k r } } { r ^ { 2 } } \rho \sin { \theta } \sin { \phi } \, d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { \frac { d C _ { 1 } ( t ) } { d t } } & { { } = - 2 C _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } k _ { D } ( T ) } \\ { \frac { d C _ { 2 } ( t ) } { d t } } & { { } = C _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } k _ { D } ( T ) } \end{array}
{ _ { [ 0 , ~ 2 R e _ { \tau } ] } } ^ { T } D _ { y ^ { + } } ^ { \alpha ( y ^ { + } ) } \overline { { U ^ { + } } } ~ = ~ \frac { d \overline { { U ^ { + } } } } { d y ^ { + } } - ( \overline { { u v } } ) ^ { + } = - { \frac { y ^ { + } } { R e _ { \tau } } } + 1 ~ ; ~ \alpha ( y ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
\begin{array} { r l } { Y _ { ( i ) } } & { { } = y ^ { n } + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { s } a _ { i j } N ( Y _ { ( j ) } ) , } \\ { y ^ { n + 1 } } & { { } = y ^ { n } + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { s } b _ { j } N ( Y _ { ( j ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { V } _ { n , p _ { w } } ^ { c o r r } = \frac { V _ { n , p _ { w } } f _ { n , w } } { \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { p _ { w } = 1 } ^ { P _ { w } } V _ { n , p _ { w } } f _ { n , w } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| y - y _ { r } \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } \leq 2 ( 1 + \gamma _ { T } ) \sum _ { k = r + 1 } ^ { n } \frac { \sigma _ { k } } { \sqrt { 1 + \sigma _ { k } ^ { 2 } } } \Bigg ( \left\| \left[ \begin{array} { l } { u } \\ { y } \end{array} \right] \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mathbb E \left[ x ( T ) ^ { \top } Q x ( T ) \right] \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
u ( \vec { k } , + ) = v ( \vec { k } , - ) = \sqrt { 2 | \vec { k } | } \left( \begin{array} { c } { { \chi _ { + } ( \hat { k } ) } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \, , \, u ( \vec { k } , - ) = v ( \vec { k } , + ) = \sqrt { 2 | \vec { k } | } \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { \chi _ { - } ( \hat { k } ) } } \end{array} \right) \, ,
\Pi ^ { H } ( q ^ { 2 } , ( p + q ) ^ { 2 } ) = \frac { 2 f ( q ^ { 2 } ) m _ { B } ^ { 2 } f _ { B } } { m _ { b } ( m _ { B } ^ { 2 } - ( p + q ) ^ { 2 } ) } + \int _ { s _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { \rho ^ { H } ( s ) } { s - ( p + q ) ^ { 2 } } d s + s u b t r a c t i o n s ,