harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
q _ { i } ( x , \xi , \Delta ^ { 2 } ) = F _ { 1 } ^ { i , \mathrm { v a l } } ( \Delta ^ { 2 } ) \, q _ { i } ^ { \mathrm { v a l } } ( x , \xi ) + F _ { 1 } ^ { \mathrm { s e a } } ( \Delta ^ { 2 } ) \, q _ { i } ^ { \mathrm { s e a } } ( x , \xi ) \, ,
\begin{array} { r l } { r ( d ) } & { = S ^ { - 1 } ( d ) u ( d ) } \\ { \ } & { = - 2 c \gamma ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c c } { - \frac { \gamma _ { 2 } } { 2 c } \vert c \eta \vert ^ { - \gamma _ { 2 } + 1 } } & { - \vert c \eta \vert ^ { - \gamma _ { 2 } } } \\ { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 c } \vert c \eta \vert ^ { - \gamma _ { 1 } + 1 } } & { \vert c \eta \vert ^ { - \gamma _ { 1 } } } \end{array} \right) u ( d ) } \\ { \left( \begin{array} { c c } { \vert r _ { 1 } \vert } \\ { \vert r _ { 2 } \vert } \end{array} \right) ( d ) } & { \le L M \left( \begin{array} { c c } { 1 5 \pi c ( c \eta ) ^ { \gamma } } \\ { 4 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { A } _ { 1 } = \mathbb { C } } & { { } : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } \} , \quad \textrm { w h e r e } \quad e _ { 1 } = i , } \\ { \mathbb { A } _ { 2 } = \mathbb { H } } & { { } : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } , e _ { 2 } , e _ { 3 } \} , \quad \textrm { w h e r e } \quad e _ { 1 } = i = I , \; e _ { 2 } = J , \; e _ { 3 } = K } \\ { \mathbb { A } _ { 3 } = \mathbb { O } } & { { } : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } , . . . , e _ { 7 } \} , \quad \textrm { w h e r e } \quad e _ { 1 } = i = I = i _ { 1 } , . . . , e _ { 7 } = i _ { 7 } } \\ { \mathbb { A } _ { 4 } = \mathbb { S } } & { { } : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } , . . . , e _ { 1 5 } \} , \quad \textrm { w h e r e } \quad e _ { 1 } = i = I = i _ { 1 } = s _ { 1 } , . . . , e _ { 1 5 } = s _ { 1 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( t + 1 ) ^ { 2 } = R ( t ) ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 v _ { 0 } \frac { ( 1 - \tilde { \beta } ) R ( t ) ^ { 2 } - R ( t ) R ( t - 1 ) \cos \theta ( t ) + H R ( t ) \cos \Theta ( t ) } { \sqrt { ( 1 - \tilde { \beta } ) ^ { 2 } R ( t ) ^ { 2 } + R ( t - 1 ) ^ { 2 } - 2 R ( t ) R ( t - 1 ) ( 1 - \tilde { \beta } ) \cos \theta ( t ) + 2 H v _ { 0 } \cos \phi ( t ) + H ^ { 2 } } } , } \end{array}
\langle \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } | = [ c o n s t _ { N } \ \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \dots \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) | 0 \rangle ] ^ { + } = \langle 0 | \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) \dots \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) ( c o n s t _ { N } ) ^ { * }
L = \frac { \sqrt { \lambda } } { 2 } [ ( \partial _ { \alpha } n ) ^ { 2 } + ( \partial _ { \alpha } N ) ^ { 2 } ] + L _ { F } ( n ) + L _ { F } ( N ) + e ^ { - \frac { \chi } { 2 } } \sum ( n ) \sum ( N ) + L _ { g h o s t }
\widehat { H } = - J \sum _ { { \left\langle i , j \right\rangle } , \sigma } \hat { c } _ { { i } , \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { { j } , \sigma } + U \sum _ { { j } } \hat { n } _ { { j } , \uparrow } \hat { n } _ { { j } , \downarrow } ,
P ( x ) = \frac { 1 } { A } P \left( \frac { x } { A } - \lambda \right) e ^ { - \Gamma \tau \left( \frac { x } { A } - \lambda \right) } + \frac { 1 } { B } P \left( \frac { x } { B } - \lambda \right) e ^ { - \Gamma \tau \left( \frac { x } { B } - \lambda \right) } \; .
\mathbf { P } \! \! \! \! / = P _ { \alpha } \gamma ^ { \alpha } = P _ { 0 } \gamma ^ { 0 } + P _ { 1 } \gamma ^ { 1 } + P _ { 2 } \gamma ^ { 2 } + P _ { 3 } \gamma ^ { 3 } = { \frac { E } { c } } \gamma ^ { 0 } - p _ { x } \gamma ^ { 1 } - p _ { y } \gamma ^ { 2 } - p _ { z } \gamma ^ { 3 }
\langle V ( k ) | \bar { Q } ( k ^ { \prime } \! \! \! \! / - k \! \! \! / ) \gamma _ { 5 } b | B ( k ^ { \prime } ) \rangle \approx - ( m _ { B } + m _ { V } ) \langle V ( k ) | \bar { Q } \gamma _ { 5 } b | B ( k ^ { \prime } ) \rangle \, \, \, .
\int _ { 0 } ^ { \cdot } \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } _ { n _ { k } } ) \, d \tilde { W } _ { n _ { k } } \to \int _ { 0 } ^ { \cdot } \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } ) \, d \tilde { W }
\mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } \sim 1 + \frac { \pi G _ { h _ { l } h _ { l } } } { \lambda ^ { 2 } } \langle \Lambda \rangle { \sigma } _ { \mathrm { s c a } } \underbrace { \longrightarrow } _ { \mathrm { L o s s l e s s } } \mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } \sim 1 + \frac { \pi G _ { h _ { l } h _ { l } } } { \lambda ^ { 2 } } \langle \Lambda \rangle { \sigma } _ { \mathrm { e x t } }
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb T ^ { d } } f ( \boldsymbol x ) \, \mathrm d \boldsymbol x } & { = \sum _ { \boldsymbol k \in { \mathcal I _ { \boldsymbol M } } } \hat { f } _ { \boldsymbol k } \cdot \delta _ { \boldsymbol 0 , \boldsymbol k } = \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \hat { f } _ { \boldsymbol k } \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x _ { j } } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } f ( \boldsymbol x _ { j } ) . } \end{array}
= \sum _ { j = 1 } ^ { | n \oplus m / 2 | } \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { | n | } c _ { 2 j - 1 } c _ { 2 j ^ { \prime } - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } \{ \gamma _ { 2 j - 1 } , \gamma _ { 2 j ^ { \prime } - 1 } \} + \frac { 1 } { 2 } [ \gamma _ { 2 j - 1 } , \gamma _ { 2 j ^ { \prime } - 1 } ] \right)
\nu _ { \ell } A \rightarrow \ell ^ { - } D _ { s } ^ { + \ast } / D _ { s } ^ { + } A \rightarrow \ell ^ { - } \left( \gamma \right) \tau ^ { + } \nu _ { \tau } \rightarrow \ell ^ { - } \left( \gamma \right) \ell ^ { \prime + } \nu _ { \tau } \bar { \nu } _ { \tau } \nu _ { \ell ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l r } { z _ { k } ( t , \tau ) } & { = } & { \tilde { h } _ { k } ( t ) + \sum _ { j ( j \neq k ) } J _ { k j } ( \tau ) x _ { j } ( t , \tau ) } \\ { \int D [ x \hat { x } ] } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { t _ { \mathrm { m a x } } \rightarrow \infty } \int \prod _ { k } ^ { N } \prod _ { t } ^ { t _ { \mathrm { m a x } } } \prod _ { \tau } ^ { T - 1 } d x _ { k } ( t , \tau ) d \hat { x } _ { k } ( t , \tau ) } \\ { E _ { k } ( t , \tau ) } & { = } & { \hat { x } _ { k } ( t , \tau ) \big ( \partial _ { t } + 1 \big ) x _ { k } ( t , \tau ) + i \sigma ^ { 2 } \hat { x } _ { k } ^ { 2 } ( t , \tau ) - \mathrm { t a n h } \big ( f _ { k } ( t , \tau ) \big ) \hat { x } _ { k } ( t , \tau ) + \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) \big ( f _ { k } ( t , \tau ) - \tilde { h } _ { k } \big ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( \mathbf { X } \mid \mu , \tau ) } & { = \prod _ { n = 1 } ^ { N } { \mathcal { N } } ( x _ { n } \mid \mu , \tau ^ { - 1 } ) } \\ { p ( \mu \mid \tau ) } & { = { \mathcal { N } } \left( \mu \mid \mu _ { 0 } , ( \lambda _ { 0 } \tau ) ^ { - 1 } \right) } \\ { p ( \tau ) } & { = \operatorname { G a m m a } ( \tau \mid a _ { 0 } , b _ { 0 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k + 1 ) } ) - f ^ { * } \, ] \le \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) - f ^ { * } \, ] - \frac { 1 } { 2 } \, t \, \mathrm { E } \, [ \, \Vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \Vert ^ { 2 } \, ] } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( t \, \mathrm { E } \, [ \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, ] + \mathrm { E } \, [ \, \sigma _ { 2 , i } ^ { ( k ) } \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, ] ) . } \end{array}
\frac { d \varepsilon } { d c } = - \frac { \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 - \varepsilon ( c ) } \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } { \sqrt { b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a } } \left( \frac { 1 } { 2 ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + c ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) d \psi } { \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } ( \pi / 2 - \varepsilon ( c ) ) } { \sqrt { ( b \cos ^ { 2 } ( \pi / 2 - \varepsilon ( c ) ) + a ) ( b \cos ^ { 2 } ( \pi / 2 - \varepsilon ( c ) ) + c ) } } } \leq 0 .
S ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \gets \theta _ { \pm } ( X _ { b \pm } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { 0 } ) \phi ^ { \prime \prime } ( X _ { b \pm } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } / \varepsilon )
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { E } } \left\{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 4 } \left( \| U _ { i } \| ^ { - 4 } - p ^ { - 2 } \right) \right\} } \\ & { \leq } & { p ^ { - 2 } { \mathbb { E } } \left( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 4 } \| U _ { i } \| ^ { - 4 } \left| \| U _ { i } \| ^ { 4 } - p ^ { 2 } \right| \right) } \\ & { = } & { p ^ { - 2 } { \mathbb { E } } \left\{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 4 } \| U _ { i } \| ^ { - 4 } \left| \| U _ { i } \| ^ { 4 } - p ^ { 2 } \right| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ) \right\} } \\ & { } & { + p ^ { - 2 } { \mathbb { E } } \left\{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 4 } \| U _ { i } \| ^ { - 4 } \left| \| U _ { i } \| ^ { 4 } - p ^ { 2 } \right| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \right\} } \\ & { \leq } & { p ^ { - 2 } ( p - \epsilon p ^ { 1 - \delta } ) ^ { - 2 } { \mathbb { E } } \left( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 4 } \left| \| U _ { i } \| ^ { 4 } - p ^ { 2 } \right| \right) } \\ & { } & { + p ^ { - 2 } \{ \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { 2 } { \mathbb { E } } \left\{ \left| \| U _ { i } \| ^ { 4 } - p ^ { 2 } \right| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \right\} } \\ & { \leq } & { p ^ { - 2 } ( p - \epsilon p ^ { 1 - \delta } ) ^ { - 2 } \left\{ { \mathbb { E } } ( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 6 } ) \right\} ^ { 2 / 3 } \left\{ { \mathbb { E } } ( \left| \| U _ { i } \| ^ { 4 } - p ^ { 2 } \right| ^ { 3 } ) \right\} ^ { 1 / 3 } } \\ & { } & { + \left\{ { \mathbb { E } } ( \left| \| U _ { i } \| ^ { 4 } - p ^ { 2 } \right| ^ { 2 } ) \right\} ^ { 1 / 2 } \left\{ { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \right\} ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq } & { p ^ { - 2 } ( p - \epsilon p ^ { 1 - \delta } ) ^ { - 2 } \times O ( p ^ { 2 } ) \times O ( p ^ { 3 / 2 } ) } \\ & { } & { + O ( p ^ { 3 / 2 } ) \times c _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta \alpha / ( 4 \alpha + 4 ) } / 2 \} } \\ & { = } & { O ( p ^ { - 1 / 3 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| u ( x ) - ( p - x ) \right| = } & { \left( \frac { 2 p } { \sqrt { ( p - x - \epsilon _ { 1 } ) ^ { 2 } + 4 \epsilon _ { 1 } p } + ( p - x - \epsilon _ { 1 } ) } - 1 \right) \epsilon _ { 1 } } \\ { < } & { \left( \frac { p } { p - x - \epsilon _ { 1 } } - 1 \right) \epsilon _ { 1 } < \left( \frac { p } { p - x - \delta } - 1 \right) \epsilon _ { 1 } = O ( \epsilon _ { 1 } ) \ } \end{array}
\hat { S } ^ { * } = \frac { \rho ^ { R } \hat { U } ^ { R } \left( \hat { S } ^ { R } - \hat { U } ^ { R } \right) - \rho ^ { L } \hat { U } ^ { L } \left( \hat { S } ^ { L } - \hat { U } ^ { L } \right) + \left( P _ { L } - P _ { R } \right) \left( \hat { \xi } _ { x } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { y } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { z } ^ { 2 } \right) } { \rho ^ { R } \left( \hat { S } ^ { R } - \hat { U } ^ { R } \right) - \rho ^ { L } \left( \hat { S } ^ { L } - \hat { U } ^ { L } \right) }
\hat { \tilde { H } } = \hat { U } _ { S } \hat { H } \hat { U } _ { S } ^ { \dagger } = \hat { U } _ { S } \left( \hat { H } _ { 0 } + \hat { H } _ { \Omega } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ L ~ R ~ } } \right) \hat { U } _ { S } ^ { \dagger } ,
\tilde { \Gamma } _ { P Q } ^ { M } ( \tilde { x } ) = C ^ { - 1 } ( \tilde { x } ) [ \delta _ { P } ^ { M } \tilde { \partial } _ { Q } C + \delta _ { Q } ^ { M } \tilde { \partial } _ { P } C - \eta _ { P Q } \tilde { \partial } ^ { M } C ]
e _ { s } \, v _ { j } ^ { b } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f ~ i \ne ~ j + s + \frac { a - b - m } { 2 } ~ ; } } \\ { ( - 1 ) ^ { j } C G ( \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } - i ; \, \frac { b } { 2 } , - \frac { b } { 2 } + j \, | \, \frac { m } { 2 } , \frac { m } { 2 } - s ) \, \, v _ { i } ^ { a } , } & { \mathrm { i f ~ i = j + s + \frac { a - b - m } { 2 } ~ . } } \end{array} \right.
\Pi _ { \perp } ^ { \mu \nu } = u ^ { \mu } u ^ { \nu } \Pi _ { \perp } ^ { t } + ( g ^ { \mu \nu } - u ^ { \mu } u ^ { \nu } ) \Pi _ { \perp } ^ { s } + P _ { L } ^ { \mu \nu } \Pi _ { \perp } ^ { L } + P _ { T } ^ { \mu \nu } \Pi _ { \perp } ^ { T } \ ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta } K L ( Q _ { \theta } ^ { t + d t } | | Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } ) } & { { } = \int Q _ { \theta } ^ { t + d t } \left[ \ln \frac { Q _ { \theta } ^ { t + d t } } { Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } } - b \right] \nabla _ { \theta } \ln Q _ { \theta } ^ { t + d t } } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { B } \, { \cal R } _ { p B \alpha } > \frac { \epsilon _ { p } + \epsilon _ { B } } { \zeta \, \epsilon _ { f } ^ { p B } \sigma _ { R } ^ { p B } } \approx 2 \cdot 1 0 ^ { 2 8 } \, \mathrm { ~ m ~ } ^ { - 2 } \, . } \end{array}
J ^ { - } = D \Psi ^ { - } + 2 i \Psi ^ { 0 } \Psi ^ { - } = 1 , \qquad \bar { J } ^ { + } = \bar { D } \bar { \Psi } ^ { + } - 2 i \bar { \Psi } ^ { 0 } \bar { \Psi } ^ { + } = 1 ,
S _ { g } ( x , x ^ { \prime } , \alpha , f ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 } e ^ { \pm i 2 \theta } S _ { \widetilde { n } } ( x , x ^ { \prime } , 0 , f ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \alpha = \pm 2 f _ { 0 } } \\ { \frac { 1 } { 4 } S _ { \widetilde { n } } ( x , x ^ { \prime } , 0 , f + f _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 4 } S _ { \widetilde { n } } ( x , x ^ { \prime } , 0 , f - f _ { 0 } ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \alpha = 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \sigma = \left[ C + \frac { s A _ { p } B ^ { 2 } \left( s L + R \right) } { \left( s ^ { 2 } A _ { p } A L + s R A _ { p } A + l _ { p } \right) } \right] \varepsilon , } \\ & { \check { C } = C + \frac { s A _ { p } B ^ { 2 } \left( s L + R \right) } { \left( s ^ { 2 } A _ { p } A L + s R A _ { p } A + l _ { p } \right) } } \end{array}
p ( u _ { i + | \mathcal { B } | } | y _ { 0 } ^ { \prime } ) = \frac { \bar { f } ( y _ { 0 } , y _ { 0 } ^ { \prime } ) } { p ( y _ { 0 } ^ { \prime } ) } \operatorname* { m i n } \{ \frac { a _ { i } ( y _ { 0 } ) } { f ( y _ { 0 } , y _ { 0 } ^ { \prime } ) } , \frac { a _ { i } ( y _ { 0 } ^ { \prime } ) } { \bar { f } ( y _ { 0 } , y _ { 0 } ^ { \prime } ) } \}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } } & { \left[ n ^ { - 4 / \beta } \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ T _ { S _ { n } } - \mathrm { E } _ { \omega } T _ { S _ { n } } - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \xi _ { k } ^ { 2 } ( \vartheta _ { k } - 1 ) \right] > \delta \right] } \\ & { = \mathrm { P } \left[ \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( T _ { \xi _ { k } } - \xi _ { k } ^ { 2 } \vartheta _ { k } \right) \right] > \delta n ^ { 4 / \beta } \right] } \\ & { \leq \mathrm { P } \left[ \sum _ { k \in I _ { n } } \xi _ { k } ^ { 4 } \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ \frac { T _ { \xi _ { k } } } { \xi _ { k } ^ { 2 } } - \vartheta _ { k } \right] > \frac { \delta n ^ { 4 / \beta } } { 2 } \right] + \mathrm { P } \left[ \sum _ { k \notin I _ { n } } \xi _ { k } ^ { 4 } \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ \frac { T _ { \xi _ { k } } } { \xi _ { k } ^ { 2 } } - \vartheta _ { k } \right] > \frac { \delta n ^ { 4 / \beta } } { 2 } \right] . } \end{array}
\mathrm { T a } = \mathrm { T a } _ { 0 } \left( 1 + \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 2 m } = \frac { 4 \rho _ { 0 } ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } d ^ { 4 } } { \mu ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 2 m } \, .
\begin{array} { r } { - \frac { d ^ { 2 } \psi _ { \omega } ( r _ { * } ) } { d r _ { * } ^ { 2 } } + V _ { \mathrm { ~ { ~ \scriptsize ~ e ~ f ~ f ~ } ~ } } ( r _ { * } ) \psi _ { \omega } ( r _ { * } ) = \omega ^ { 2 } \psi _ { \omega } ( r _ { * } ) , } \end{array}
{ \mathcal P _ { p } } = - 2 \frac { 1 } { \rho } ( \partial _ { i } ^ { + } + \partial _ { i } ^ { - } ) \overline { { \delta P \delta u _ { i } } } = - 2 \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial } { \partial { X _ { i } } } \overline { { \delta P \delta u _ { i } } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \exp ( \iota t L ) \iota t Q } & { = \frac { \iota t } { \vartheta } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } \mathbb { E } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } \ell _ { k } \right) q _ { i j } } \\ & { = \frac { \iota t } { \vartheta } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } \mathbb { E } \prod _ { k \neq i , j } ^ { n } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } \ell _ { k } \right) \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } ( \ell _ { i } + \ell _ { j } ) \right) q _ { i j } } \\ & { = \frac { \iota t } { \vartheta } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } \prod _ { k \neq i , j } ^ { n } \mathbb { E } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } \ell _ { k } \right) \mathbb { E } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } ( \ell _ { i } + \ell _ { j } ) \right) q _ { i j } } \\ & { = \frac { \iota t } { \vartheta } \psi ^ { n - 2 } \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) \mathbb { E } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } ) \right) q _ { 1 2 } . } \end{array}
H = \sum _ { q _ { i } = x , \zeta } \dot { q } _ { i } \frac { \partial L } { \partial \dot { q } _ { i } } - L = - \frac { \kappa _ { 0 } } { 2 } \dot { x } ^ { 2 } + \frac { i g } { \kappa _ { 0 } } F _ { \mu \nu } \zeta ^ { \mu } \zeta ^ { \nu }
\textbf { X } _ { \mathrm { c } } = \left( \begin{array} { c } { \cos \xi } \\ { 0 } \\ { \sin \xi } \end{array} \right) , \textbf { Y } _ { \mathrm { c } } = \left( \begin{array} { c } { \sin \eta \cos \zeta } \\ { \cos \eta \cos \zeta } \\ { \sin \zeta } \end{array} \right) , \textbf { Z } _ { \mathrm { c } } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus { \Omega _ { 0 } } } e ^ { - 2 a | y - x | _ { 1 } } d y } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } e ^ { - 2 a | y - x | _ { 1 } } d y - \int _ { { \Omega _ { 0 } } } e ^ { - 2 a | y - x | _ { 1 } } d y } \\ & { = \frac { 1 } { a ^ { m } } - \prod _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { - d } ^ { d } e ^ { - 2 a | y _ { i } - x _ { i } | } d y _ { i } } \\ & { = \frac { 1 } { a ^ { m } } - \frac { 1 } { a ^ { m } } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( 1 - e ^ { - 2 a d } \cosh ( 2 a x _ { i } ) \right) . } \end{array}
\int _ { 0 } \: d \omega \, \omega ^ { ( \mu _ { 2 } - \Delta \mu - \sigma _ { 1 } ) + ( \lambda + 2 s - \Delta \mu - \sigma _ { 1 } ) + ( - \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 2 } + \sigma _ { 1 } ) + ( - \frac { 1 } { 2 } d + \Delta \mu ) - 1 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e } _ { \mathrm { E M L } } ^ { \ast } } & { = a _ { m } \left( \frac { \mathrm { P r } } { d _ { 1 } } \right) ^ { m _ { 1 } } \left( \frac { \mathrm { G a } } { d _ { 2 } } \right) ^ { m _ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { P m } } { d _ { 3 } } \right) ^ { m _ { 3 } } \left( \frac { \mathrm { M a } } { d _ { 4 } } \right) ^ { m _ { 4 } } } \\ & { \times \left( \frac { \mathrm { E c } } { d _ { 5 } } \right) ^ { m _ { 5 } } \left( \frac { \mathrm { B i } } { d _ { 6 } } \right) ^ { m _ { 6 } } \left( \frac { \mathrm { P l } } { d _ { 7 } } \right) ^ { m _ { 7 } } \left( \frac { \mathrm { S p } } { d _ { 8 } } \right) ^ { m _ { 8 } } \left( \frac { \mathrm { M g } } { d _ { 9 } } \right) ^ { m _ { 9 } } } \end{array}
\mathcal { E } _ { \nabla _ { \| } u _ { \perp } } / \mathcal { E } _ { \nabla _ { \| } u _ { \| } } \gg \mathcal { E } _ { \nabla _ { \perp } u _ { \perp } } / \mathcal { E } _ { \nabla _ { \perp } u _ { \| } }
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { k i n } } ^ { ( 3 ^ { \prime } ) } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \int ( \mathrm { d } \vec { r } ) \, \left[ \boldsymbol { \nabla } _ { \vec { r } } ^ { 2 } n _ { 3 ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( \vec { r } ; \vec { r } ^ { \prime } ) \right] _ { \vec { r } ^ { \prime } = \vec { r } } = \frac { g \, \Omega _ { D } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { D } \, ( 2 D + 4 ) \, m } \int ( \mathrm { d } \vec { r } ) \, \big [ 2 m \big ( \mu - V ( \vec { r } ) \big ) \big ] _ { + } ^ { \frac { D + 2 } { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textnormal { e r f } ( Z \! R + i \, Z I ) } & { \simeq } & { \textnormal { e r f } ( Z \! R ) + \frac { e ^ { - Z \! R ^ { 2 } } } { 2 \pi Z \! R } \{ ( 1 - \textnormal { c o s } ( 2 Z \! R Z I ) ) + i \, \textnormal { s i n } ( 2 Z \! R Z I ) \} + } \\ & { ~ } & { \frac { 2 e ^ { - Z \! R ^ { 2 } } } { \pi } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - n ^ { 2 } / 4 } } { n ^ { 2 } + 4 Z \! R ^ { 2 } } \{ f _ { n } ( Z \! R , Z I ) + i \, g _ { n } ( Z \! R , Z I ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\langle u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right\rangle \; = \; \frac { 1 } { \left( \Delta { t } \, \sqrt { c _ { 3 } } \right) ^ { 3 } } \left\langle ( r ^ { n + 1 } - r ^ { n } ) ^ { 3 } \right\rangle } \\ & { } & { = \; \frac { 3 } { \left( \Delta { t } \, \sqrt { c _ { 3 } } \right) ^ { 3 } } \left( \left\langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n + 1 } \right\rangle - \left\langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } r ^ { n + 1 } \right\rangle \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 0 } \nabla _ { x } \big ( \varepsilon _ { r } \nabla _ { x } { \phi } \big ) } & { { } = - e \left( p + n + N _ { D } ^ { + } - N _ { A } ^ { - } \right) } \\ { \nabla _ { x } \big ( \mu _ { n } n \nabla _ { x } E _ { f _ { n } } \big ) } & { { } = e \left( R - G \right) } \\ { \nabla _ { x } \big ( \mu _ { p } p \nabla _ { x } E _ { f _ { p } } \big ) } & { { } = - e \left( R - G \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { y ( \tau ) } & { = ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( \tau ) x _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \tau } ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T _ { - 1 } ( \tau - s ) B u ( s ) d s } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \int _ { 0 } ^ { \tau } ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( \tau - s ) f \big ( ( \omega I - A ) ^ { - \alpha } y ( s ) , u ( s ) \big ) d s . } \end{array}
F _ { 1 } = \operatorname { t a n h } \Bigg \{ \Bigg \{ \operatorname* { m i n } \Bigg [ \operatorname* { m a x } \Bigg ( \frac { \sqrt { k } } { \beta ^ { * } \omega y } , \frac { 5 0 0 v } { y ^ { 2 } \omega } \Bigg ) , \frac { 4 \rho \sigma _ { \omega 2 } k } { C D _ { k \omega } y ^ { 2 } } \Bigg ] \Bigg \} ^ { 4 } \Bigg \} ,
\frac { \partial { \bar { \theta } } _ { L } } { \partial \bar { t } } \bigg [ 1 + \frac { K \bar { N } } { \big ( 1 + ( ( K \theta _ { L } ^ { 0 } ) ^ { 2 } ( \bar { \theta } _ { L } ) ^ { 2 } ) } \bigg ] = \frac { \partial ^ { 2 } \bar { \theta } _ { L } } { \partial \bar { x } ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { D } | \nabla w | ^ { 2 } \, \varphi \mathrm { d } x } & { { } = - \int _ { D } A w w \, \varphi \mathrm { d } x + \int _ { D } \Big ( \mathsf { m } ^ { 2 } | \nabla \varphi | ^ { 2 } | w | ^ { 2 } \, \varphi - \nabla \varphi \cdot \nabla w w \Big ) \mathrm { d } x } \end{array}
a ( 0 , \mathbf { x } , u ) = A \ \exp \bigg ( { - \frac { ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { C } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathbf { x } } ^ { 2 } } - \frac { ( u - u _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { u } ^ { 2 } } } \bigg ) , \, \, \quad \textup { f o r } \, \, \mathbf { x } , u \, \in \, \Omega _ { s } \times \Omega _ { p } ;
| I _ { 3 } | \, \le \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \frac { | \nabla \tilde { \phi } | } { 1 { + } \epsilon R } \, | \tilde { \eta } | \bigl | \nabla ( W _ { \epsilon } \tilde { \eta } ) \bigr | \, \mathrm { d } X \, \le \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \frac { | \nabla \tilde { \phi } | } { 1 { + } \epsilon R } \, | \tilde { \eta } | \Bigl ( | \tilde { \eta } | | \nabla W _ { \epsilon } | + W _ { \epsilon } | \nabla \tilde { \eta } | \Bigr ) \, \mathrm { d } X \, .
{ \mathrm { o r d } } _ { Z ( h ) } ( f ) = { \mathrm { l e n g t h } } _ { { \mathcal { O } } _ { Z ( h ) , \mathbb { P } ^ { 3 } } } \left( { \frac { { \mathcal { O } } _ { Z ( h ) , \mathbb { P } ^ { 3 } } } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } } \right) = 0