harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 + } } \\ { a _ { 2 + } } \\ { a _ { 1 - } } \\ { a _ { 2 - } } \end{array} \right) = - i \left( \begin{array} { l l l l } { \omega _ { 1 } - i \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } } & { \frac { G _ { p h } } { 2 } } & { \frac { V _ { 1 } } { 2 } } & { 0 } \\ { \frac { G _ { p h } } { 2 } } & { \omega _ { 2 } + \Omega - i \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } } & { 0 } & { \frac { V _ { 2 } } { 2 } } \\ { \frac { V _ { 1 } } { 2 } } & { 0 } & { \omega _ { 1 } - i \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { V _ { 2 } } { 2 } } & { 0 } & { \omega _ { 2 } + \Omega - i \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 + } } \\ { a _ { 2 + } } \\ { a _ { 1 - } } \\ { a _ { 2 - } } \end{array} \right) ,
V _ { I I A } = - \frac { \Gamma ( 5 / 2 ) ( 2 v ^ { 2 } ( \pi c ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( \pi c ^ { \prime } ) ^ { 4 } + v ^ { 4 } ) } { 4 \pi c ^ { \prime } \sqrt { \pi } } b ^ { - 5 } .
C o r r ( t ) = \left[ \begin{array} { c c c c c } { \rho _ { t } ( X _ { 1 } , X _ { 1 } ) } & { \rho _ { t } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \rho _ { t } ( X _ { 1 } , X _ { l } ) } & { \rho _ { t } ( X _ { 1 } , Y ) } \\ { \rho _ { t } ( X _ { 2 } , X _ { 1 } ) } & { \rho _ { t } ( X _ { 2 } , X _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \rho _ { t } ( X _ { 2 } , X _ { l } ) } & { \rho _ { t } ( X _ { 2 } , Y ) } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { \rho _ { t } ( X _ { l } , X _ { 1 } ) } & { \rho _ { t } ( X _ { l } , X _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \rho _ { t } ( X _ { l } , X _ { l } ) } & { \rho _ { t } ( X _ { l } , Y ) } \\ { \rho _ { t } ( Y , X _ { 1 } ) } & { \rho _ { t } ( Y , X _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \rho _ { t } ( Y , X _ { l } ) } & { \rho _ { t } ( Y , Y ) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { \vec { w } = \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } \left[ \langle \big ( \vec { F } - \vec { F } ( \vec { w } ) \big ) ^ { 2 } \rangle + \alpha \lvert \lvert \vec { w } \rvert \rvert _ { 1 } + \frac 1 2 \alpha \lvert \lvert \vec { w } \rvert \rvert ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathscr { F } _ { 0 } ( q _ { 0 } ) = \sum _ { i \in \{ s , \ell , a \} } \int _ { \Omega _ { i } } W _ { \mathrm { e l a s t } } ^ { i } ( \boldsymbol { F } ) \, \mathrm { d } x + \sum _ { i j \in \{ s \ell , s a , \ell a \} } \int _ { \Gamma _ { i j } } \gamma _ { i j } | \mathrm { c o f } ( \boldsymbol { F } ) \cdot \boldsymbol { \nu } | \, \mathrm { d } s \, , } \end{array}
S = S _ { { \cal M } _ { 6 } } + S _ { D 1 1 } ( { \hat { F } } ) - { \frac { 1 } { 6 } } \int A ^ { ( 3 ) } \wedge d A ^ { ( 3 ) } \wedge d A ^ { ( 3 ) } - { \frac { 1 } { 2 } } \int H ^ { ( 3 ) } \wedge { \hat { F } } ^ { ( 4 ) } \wedge { } ^ { * } G ^ { ( 7 ) } ,
P _ { \alpha } ( t _ { 0 } ) \simeq { \cal U } _ { \alpha 3 } ^ { - 1 } ( t _ { 0 } , \lambda _ { c } ) e ^ { \int _ { 0 } ^ { t _ { c } } k _ { 3 } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } } Q _ { 3 } ( 0 ) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle M ^ { n } = \frac { 1 } { l - k } \sum _ { i = k } ^ { l } x _ { i } ^ { n } } \\ { \displaystyle \sigma ^ { n } = \frac { 1 } { l - k } \sum _ { i = k } ^ { l } \left( x _ { i } ^ { n } - M ^ { n } \right) ^ { 2 } } \end{array} \right. ,
W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n , t } , \mu ^ { n } ) \lesssim W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n , \frac { 1 } { n } } , \mu ^ { n } ) + W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n , t + \frac { 1 } { n } } , \mu ^ { n , t } ) + W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n , t + \frac { 1 } { n } } , \mu ^ { n , \frac { 1 } { n } } ) \lesssim \frac { 1 } { n } + W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n , t + \frac { 1 } { n } } , \mu ^ { n , \frac { 1 } { n } } ) .
\mathrm { ~ P ~ } _ { 0 } ( { f } ) = \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \int \int f ( x ) \left( k ^ { f } ( x , x ^ { \prime } ) \right) ^ { - 1 } f ( x ^ { \prime } ) \mathrm { ~ d ~ } x \mathrm { ~ d ~ } x ^ { \prime } \right] ,
{ \begin{array} { r l } { \left| \Delta \mathbf { r } _ { i } ^ { \perp } \right| ^ { 2 } } & { = \left( - \left[ \mathbf { \hat { k } } \right] ^ { 2 } \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \cdot \left( - \left[ \mathbf { \hat { k } } \right] ^ { 2 } \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) } \\ & { = \left( \mathbf { \hat { k } } \times \left( \mathbf { \hat { k } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \right) \cdot \left( \mathbf { \hat { k } } \times \left( \mathbf { \hat { k } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { T _ { \omega } ( f \odot g ) } & { { } = T _ { \omega } ( f ) \odot T _ { \omega } ( g ) , } \\ { T _ { \omega } ( f * g ) } & { { } = T _ { \omega } ( f ) * g = f * T _ { \omega } ( g ) , } \\ { M _ { \tau } ( f \odot g ) } & { { } = M _ { \tau } ( f ) \odot g = f \odot M _ { \tau } ( g ) , } \\ { M _ { \tau } ( f * g ) } & { { } = M _ { \tau } ( f ) * M _ { \tau } ( g ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( P _ { C } u _ { 1 } ) u _ { 2 } \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( I ) } } & { \lesssim \| P _ { C } u _ { 1 } \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } ( I ) } \| u _ { 2 } \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } ( I ) } \lesssim | I | ^ { \frac { 1 } { 1 0 } } \| P _ { C } u _ { 1 } \| _ { L _ { t , x } ^ { \frac { 2 0 } { 3 } } ( I ) } \| u _ { 2 } \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } ( I ) } } \\ & { \lesssim | I | ^ { \frac { 1 } { 1 0 } } \| P _ { C } u _ { 1 } \| _ { U _ { \Delta } ^ { \frac { 2 0 } { 3 } } L _ { x } ^ { 2 } ( I ) } \left( N _ { 2 } ^ { \frac { 3 } { 4 } } \| u _ { 2 } \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } ( I ) } \right) \lesssim | I | ^ { \frac { 1 } { 1 0 } } \| P _ { C } u _ { 1 } \| _ { Y ^ { 0 } ( I ) } \left( N _ { 2 } ^ { \frac { 3 } { 4 } } \| u _ { 2 } \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } ( I ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \tilde { \beta } ( k _ { 1 } , q ) \tilde { \beta } ( x , y ) \rangle _ { E } = g ( 0 ) \sum _ { m } e ^ { i ( q + y - k _ { 1 } - x ) m } , } \\ { \langle \tilde { \beta } ( q , k _ { 2 } ) \tilde { \beta } ( x , y ) \rangle _ { E } = g ( 0 ) \sum _ { m } e ^ { i ( y + k _ { 2 } - q - x ) m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( ^ { 2 0 7 } \mathrm { P b } , g ) } & { \approx S ( ^ { 1 9 9 } \mathrm { H g } , g ) } \\ & { \approx ( 0 . 0 2 3 g \bar { g } _ { 0 } - 0 . 0 0 7 g \bar { g } _ { 1 } + 0 . 0 2 9 \bar { g } _ { 2 } ) \ e \cdot \mathrm { f m } ^ { 3 } \, , } \\ { S ( ^ { 2 0 7 } \mathrm { P b } , \theta ) } & { \approx S ( ^ { 1 9 9 } \mathrm { H g } , \theta ) \approx 0 . 0 0 5 \ \bar { \theta } \ e \cdot \mathrm { f m } ^ { 3 } \, , } \\ { S ( ^ { 2 0 7 } \mathrm { P b } , \tilde { d } ) } & { \approx S ( ^ { 1 9 9 } \mathrm { H g } , \tilde { d } ) \approx 5 \tilde { d } _ { d } \ e \cdot \mathrm { f m } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbb { S } _ { \widetilde { g } } \sigma , \mathbb { S } _ { \widetilde { g } } \sigma \rangle _ { \widetilde { g } } } & { = \Big \langle \sigma - \widetilde { g } \langle \widetilde { g } , \sigma \rangle _ { \widetilde { g } } , \, \sigma - \widetilde { g } \langle \widetilde { g } , \sigma \rangle _ { \widetilde { g } } \Big \rangle _ { \widetilde { g } } } \\ & { = \langle \sigma , \sigma \rangle _ { \widetilde { g } } - 2 \langle \widetilde { g } , \sigma \rangle _ { \widetilde { g } } ^ { 2 } + \langle \widetilde { g } , \widetilde { g } \rangle _ { \widetilde { g } } \langle \widetilde { g } , \sigma \rangle _ { \widetilde { g } } ^ { 2 } } \\ & { = \langle \sigma , \sigma \rangle _ { \widetilde { g } } + ( N - 2 ) \langle \widetilde { g } , \sigma \rangle _ { \widetilde { g } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( K ) { \widehat { \otimes } } _ { \varepsilon } Y } & { { } \simeq C ( K , Y ) , } \\ { L ^ { 1 } ( [ 0 , 1 ] ) { \widehat { \otimes } } _ { \pi } Y } & { { } \simeq L ^ { 1 } ( [ 0 , 1 ] , Y ) , } \end{array}
\left[ { \begin{array} { r l r l r l r l r l r } { { 6 } 1 } & { { } } & { 0 } & { { } } & { - 3 } & { { } } & { 0 } & { { } } & { 2 } & { { } } & { 0 } \\ { 0 } & { { } } & { 1 } & { { } } & { 5 } & { { } } & { 0 } & { { } } & { - 1 } & { { } } & { 4 } \\ { 0 } & { { } } & { 0 } & { { } } & { 0 } & { { } } & { 1 } & { { } } & { 7 } & { { } } & { - 9 } \\ { 0 } & { { } } & { \; \; \; \; \; 0 } & { { } } & { \; \; \; \; \; 0 } & { { } } & { \; \; \; \; \; 0 } & { { } } & { \; \; \; \; \; 0 } & { { } } & { \; \; \; \; \; 0 } \end{array} } \, \right]
\psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { c } ( c ) = \mu _ { 0 } c + R \, \vartheta \, c _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \Big ( \bar { c } \ln \bar { c } + ( 1 - \bar { c } ) \ln ( 1 - \bar { c } ) \Big )
\begin{array} { r l } { y v _ { s } - D _ { s } u _ { s } } & { { } = 0 } \\ { - \frac { \mathrm { ~ d ~ } \phi _ { s } } { \mathrm { ~ d ~ } y } - y u _ { s } } & { { } = 0 } \\ { \frac { \mathrm { ~ d ~ } v _ { s } } { \mathrm { ~ d ~ } y } + \frac { 1 } { \rho _ { s } } \frac { \mathrm { ~ d ~ } ( \rho _ { s } w _ { s } ) } { \mathrm { ~ d ~ } z ^ { * } } } & { { } = 0 } \\ { w _ { s } S = - \alpha _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } \frac { \mathrm { ~ d ~ } \phi _ { s } } { \mathrm { ~ d ~ } z } } \\ { \rho _ { s } = \exp \Big ( \frac { H } { H _ { s , s } } ( 1 - z ^ { * } ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - ( \Phi _ { 3 1 } ( \zeta , k ) - \Phi _ { 3 1 } ( \zeta , \omega k _ { 4 } ) ) = \phi _ { \omega k _ { 4 } } ( k - \omega k _ { 4 } ) ^ { 2 } + O ( ( k - \omega k _ { 4 } ) ^ { 3 } ) , \; \; \phi _ { \omega k _ { 4 } } : = \omega \frac { 4 - 3 k _ { 4 } \zeta - k _ { 4 } ^ { 3 } \zeta } { 4 k _ { 4 } ^ { 4 } } . } \end{array}
F ( m _ { c } ) = C _ { 7 } ( m _ { c } ) \, { \frac { m _ { c } ^ { 4 } ( m _ { c } ) } { g ^ { 2 } ( m _ { c } ) m _ { b } } } \langle B | \, \overline { { h } } \, h \, | B \rangle = { \frac { 8 \pi } { \alpha _ { s } ( m _ { c } ) } } \, \hat { m } _ { c } ^ { 4 } \, \hat { C } _ { 7 } ( m _ { c } ) \, { \frac { \Gamma _ { 0 } } { 2 m _ { B } } } \langle B | \, \overline { { h } } \, h \, | B \rangle \, .
\begin{array} { r l } { \big ( \boldsymbol M _ { { a } , { b } } ^ { 1 , \boldsymbol V _ { h } } \big ) _ { i , j } } & { : = Q _ { n } \big ( \langle \rho \partial _ { t } \chi _ { n , a } \boldsymbol \psi _ { j } , \chi _ { n , b } \boldsymbol \psi _ { i } \rangle \big ) + \langle \rho \chi _ { n , a } ( t _ { n - 1 } ^ { + } ) \boldsymbol \psi _ { j } , \chi _ { n , b } ( t _ { n - 1 } ^ { + } ) \boldsymbol \psi _ { i } \rangle \, , } \\ { \big ( \boldsymbol M _ { { a } , { b } } ^ { 0 , \boldsymbol V _ { h } } \big ) _ { i , j } } & { : = Q _ { n } \big ( \langle \rho \chi _ { n , a } \boldsymbol \psi _ { j } , \chi _ { n , b } \boldsymbol \psi _ { i } \rangle \big ) \, , } \\ { \big ( \boldsymbol A _ { { a } , { b } } \big ) _ { i , j } } & { : = Q _ { n } \big ( \langle \boldsymbol C \boldsymbol \varepsilon ( \chi _ { n , a } \boldsymbol \psi _ { j } ) , \boldsymbol \varepsilon ( \chi _ { n , b } \boldsymbol \psi _ { i } ) \rangle + \langle \boldsymbol C \boldsymbol \varepsilon ( \chi _ { n , a } \boldsymbol \psi _ { j } ) \boldsymbol n , \chi _ { n , b } \boldsymbol \psi _ { i } \rangle _ { \Gamma _ { \boldsymbol u } ^ { D } } \big ) \, , } \\ { \big ( \boldsymbol N _ { { a } , \boldsymbol \psi _ { b } } ^ { A } \big ) _ { i , j } } & { : = Q _ { n } \big ( a _ { \gamma } ( \chi _ { n , a } \boldsymbol \psi _ { i } , \chi _ { n , b } \boldsymbol \psi _ { i } ) \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert - \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta \eta ( \mathbf x ) { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) [ u ( \mathbf x ) - u ^ { \prime } ( \mathbf x ) ] } \mathrm d \sigma \right\vert } & { \leq \left| \delta \eta ( \mathbf x ) \right| \sqrt { \sigma ( { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } ) } { \left( \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { { { \left| { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) [ u ( \mathbf x ) - u ^ { \prime } ( \mathbf x ) ] } \right| } ^ { 2 } } } \mathrm d \sigma \right) ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } } } \\ & { \leq \sqrt { 2 h } \left| { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } \right| M _ { 2 } \sqrt { 2 h } { \left\| { u - u ^ { \prime } } \right\| _ { { L ^ { \infty } } ( { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } ) } } } \\ & { \leq 2 M _ { 2 } h { \left\| { u - u ^ { \prime } } \right\| _ { { L ^ { \infty } } ( { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } ) } } \leq { C _ { 3 } } \mathrm T ( \varepsilon ) h . } \end{array}
\nu _ { r } ^ { \left( 0 \right) } = \delta _ { 1 , 0 } ^ { \left( 0 \right) } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 1 , 0 } + \tau } ^ { \left( 1 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } / 2 \right) = \delta _ { 1 , 0 } - \frac { \mathbf { k } } { M } \mathbf { \cdot p } _ { + , T _ { 1 , 0 } + \tau } ^ { \left( 1 , 0 \right) } - \omega _ { k } \approx 0
\begin{array} { r } { \tilde { s } ( \tilde { { \mathbf x } } , t ) = s ( { \mathbf x } , t ) \; , \; \tilde { { \mathbf w } } ( \tilde { { \mathbf x } } , t ) = { \mathbf Q } ^ { { \mathrm T } } \, { \mathbf w } ( { \mathbf x } , t ) \; , \; \tilde { { \mathbf T } } ( \tilde { { \mathbf x } } , t ) = { \mathbf Q } ^ { { \mathrm T } } \, { \mathbf T } ( { \mathbf x } , t ) \, { \mathbf Q } . } \end{array}
\vec { Z } _ { k l } ^ { \sigma } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { Z } _ { k - 1 , \sigma } \cdots \hat { Z } _ { l + 1 , \sigma } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; k > l } \\ { \hat { Z } _ { l - 1 , \sigma } \cdots \hat { Z } _ { k + 1 , \sigma } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; l > k . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { g ( \chi ) } & { = } & { 1 + \frac { K _ { 1 } } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \omega _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } \sin ( \chi ( \omega _ { j } - \omega _ { i } ) - \alpha ) + \frac { K _ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \\ & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \omega _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { l = 1 } ^ { N } B _ { i j l } \sin ( \chi ( 2 \omega _ { j } - \omega _ { l } - \omega _ { i } ) - \beta ) } \end{array}
\overbrace { \phantom { \left. \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \varepsilon _ { 0 } ( \mathrm { d } _ { \rho } \varepsilon _ { \infty , k } ) \tilde { E } _ { k } E _ { k } \right| _ { 0 } ^ { T } } } ^ { = \; 0 }
V ( \mathbf { r } ) = r ^ { 2 } \left( 1 + V _ { 1 } e ^ { - r ^ { 2 } } \right) + V _ { 0 } \, \left( e ^ { - 2 x ^ { 2 } } + e ^ { - 2 y ^ { 2 } } \right) , \qquad W ( \mathbf { r } ) = W _ { 0 } \left( x e ^ { - x ^ { 2 } } + y e ^ { - y ^ { 2 } } \right) ,
{ \bf Z ( { \bf x } ) } = \frac { 1 } { { \bf x } } + \sum _ { q \neq 0 } \{ \frac { 1 } { { \bf x - q } } + \frac { 1 } { { \bf q } } + \frac { 1 } { { \bf q } } { \bf x } \frac { 1 } { { \bf q } } + \frac { 1 } { { \bf q } } { \bf x } \frac { 1 } { { \bf q } } { \bf x } \frac { 1 } { { \bf q } } + \frac { 1 } { { \bf q } } { \bf x } \frac { 1 } { { \bf q } } { \bf x } \frac { 1 } { { \bf q } } { \bf x } \frac { 1 } { { \bf q } } \} ,
\begin{array} { r l } { T _ { 2 } = } & { \int _ { \Sigma } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \wedge \ast \boldsymbol { n } ( d \phi ) + ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \partial \Omega } \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } i _ { \mathcal { N } } ( u ^ { \prime } ) v _ { \Sigma } } \\ { = } & { \int _ { \Sigma } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \wedge \ast \boldsymbol { n } ( d \phi ) + ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge \ast \delta \big ( \delta N _ { \beta } ( \omega ) \wedge u ^ { \prime } \big ) } \\ { = } & { \int _ { \Sigma } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \wedge \ast \boldsymbol { n } ( d \phi ) + ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \Omega } \ast d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge [ \delta N _ { \beta } ( \omega ) , u ^ { \prime } ] _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \alpha } _ { a b } } & { = \alpha _ { a b } ( f ) + \mathrm { i } \alpha _ { a b } ( g ) - \mathrm { i } [ \alpha _ { a b } ^ { \prime } ( f ) + \mathrm { i } \alpha _ { a b } ^ { \prime } ( g ) ] } \\ { \tilde { \alpha } _ { a b , c } } & { = \alpha _ { a b , c } ( f ) + \mathrm { i } \alpha _ { a b , c } ( g ) - \mathrm { i } [ \alpha _ { a b , c } ^ { \prime } ( f ) + \mathrm { i } \alpha _ { a b , c } ^ { \prime } ( g ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } f ( \vec { x } , t ) = \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } f ( \vec { x } , t ) = \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \tilde { f } ( \vec { x } - \vec { s } t , t ) = \partial _ { t } \tilde { f } - \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { f } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B = } & { - \frac { 1 } { \Omega _ { i } } \left[ \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \left\{ \psi _ { 1 } , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } \right\} + \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } \left\{ \psi _ { 1 } , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \right\} \right. } \\ & { \phantom { \frac { 1 } { \Omega _ { i } } } \left. - \left\{ \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } , b _ { z 1 } v _ { \mathrm { A } } \right\} \right] , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial p _ { j } } \left( \frac { 1 } { v _ { 0 } } \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial p _ { i } } \right) ^ { T } = \frac { \bar { \bf f } _ { j } } { \cos \psi } \cdot \left[ \frac { \partial } { \partial \bar { \bf w } } \left( \frac { 1 } { v } \frac { \partial v } { \partial \bar { \bf w } } \right) ^ { T } \right] \frac { \bar { \bf f } _ { i } } { \cos \psi } \, ,
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 + \nu } { ( 1 + u ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( | \frac { 1 } { 2 } u - \nu | + \zeta ) } \, d u = \frac { 1 + \nu } { \nu ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( \frac { 1 } { \nu } + u ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( | \frac { 1 } { 2 } u - 1 | + \frac { \zeta } { \nu } ) } \, d u } \end{array}
V _ { + } ( R ) = - { \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 R } } e ^ { - 1 . 1 3 7 \sqrt { \frac { \sigma } { \alpha _ { s } } } R } - . 2 0 8 \sigma R + 1 . 1 1 8 \sqrt { \alpha _ { s } \sigma } \, .
\begin{array} { r } { { \bf W } ( { \bf s } , x _ { 3 } ^ { \prime } , x _ { 3 , F } , \tau ) = { \bf W } ( { \bf s } , x _ { 3 } ^ { \prime } , x _ { 3 } , \tau ) * { \bf W } ( { \bf s } , x _ { 3 } , x _ { 3 , F } , \tau ) , } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \{ W _ { 1 } ( \hat { \nu } _ { t } ^ { N } , \hat { \nu } _ { t } ) + W _ { 1 } ( \hat { \pi } _ { t } ^ { N } , \hat { \pi } _ { t } ) \} \rightarrow 0 , \quad \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \{ W _ { 1 } ( { \nu } _ { t } ^ { N } , { \nu } _ { t } ) + W _ { 1 } ( { \pi } _ { t } ^ { N } , { \pi } _ { t } ) \} \rightarrow 0 ,
H _ { 1 } = g S _ { x } J _ { x } , H _ { 2 } = g ( S _ { x } J _ { x } + S _ { y } J _ { y } + S _ { z } J _ { z } ) , H _ { 3 } = g ( S _ { x } J _ { x } + S _ { y } J _ { y } - 2 S _ { z } J _ { z } )
\left( { \frac { 1 } { 2 } } p ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } g _ { | \rho | } ( g _ { | \rho | } - 1 ) | \rho | ^ { 2 } \, V ( \rho \cdot q ) + ( { \frac { \omega ^ { 2 } } { 2 } } q ^ { 2 } ) \right) \, e ^ { W } = { \cal E } _ { 0 } \, e ^ { W } .
\begin{array} { r l } & { \dot { S } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { \ell } \mathrm { d } x \Bigg [ \sum _ { k = R , L } \frac { J _ { k } ^ { 2 } ( x , t ) } { D P _ { k } ( x , t ) } + \frac { f + U ^ { \prime } ( x ) } { D } J ( x , t ) } \\ & { - \frac { v } { D } \left( J _ { R } ( x , t ) - J _ { L } ( x , t ) \right) + \mathcal { J } _ { L \rightarrow R } ( x , t ) \log \left( \frac { P _ { L } ( x , t ) } { P _ { R } ( x , t ) } \right) \Bigg ] , } \end{array}
\operatorname { V o l } _ { \sigma } \big ( \mathrm { c o n v } ( 0 , \mathrm { F } _ { \rho } ( P _ { \sigma , * } ( z ) ) ) \big ) = z _ { \rho } \operatorname { V o l } _ { \sigma ^ { \rho } } ( \mathrm { F } ^ { \rho } ( P _ { \sigma , * } ( z ) ) = z _ { \rho } \operatorname { V o l } _ { \sigma ^ { \rho } } ( P _ { \sigma ^ { \rho } , * ^ { \rho } } ( z ^ { \rho } ) ) ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { c } { M _ { x y } ^ { + } } \\ { M _ { z } ^ { + } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - \Delta t / T _ { 2 } } M _ { x y } } \\ { M _ { z } \mathrm { e } ^ { - \Delta t / T _ { 1 } } + M _ { 0 } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - \Delta t / T _ { 1 } } \right) } \end{array} \right] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \nabla \cdot [ u ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \nabla ( x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ) ] + \Delta u ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = s ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , \, \mathrm { i n } \, \, \Omega , } \\ { u ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , \, \mathrm { o n } \, \, \partial \Omega , } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l } { { 1 > \cos \phi > - 1 + \frac { \lambda ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } - ( \sqrt { z _ { 1 } } - \sqrt { z _ { 2 } } ) ^ { 2 } } { 2 \sqrt { z _ { 1 } z _ { 2 } } } , \qquad | \sqrt { z _ { 1 } } - \sqrt { z _ { 2 } } | < \lambda x _ { 1 } , } } \\ { { 1 > \cos \phi > - 1 , \qquad | \sqrt { z _ { 1 } } - \sqrt { z _ { 2 } } | > \lambda x _ { 1 } . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { H _ { g , \mathrm { s u r f } } ^ { \pm } = \hat { P } _ { \pm , \mathrm { 3 D } } H _ { g , \mathrm { 3 D } } \hat { P } _ { \pm , \mathrm { 3 D } } = \pm i H _ { g , \mathrm { 2 D } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { G } } _ { b } \left( p \right) = \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } - \left\vert \overrightarrow { p } \right\vert ^ { 2 } - m _ { b } ^ { 2 } + i \epsilon } \quad , \quad \overline { { G } } _ { b } ^ { L } \left( p \right) = \frac { i } { \omega ^ { 2 } - \left\vert \overrightarrow { p } \right\vert ^ { 2 } - m _ { b } ^ { 2 } + i \epsilon } \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { 1 / 2 } = a \left[ u ^ { e x a c t } ( 0 , t ^ { n } ) \right] , \quad f _ { 3 / 2 } = a \left[ u _ { 1 } ^ { n } + \left( \frac { u _ { 2 } ^ { n } - u _ { 1 } ^ { n } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } \right) \frac { h _ { 1 } } { 2 } \right] , \quad f _ { N + 1 / 2 } = a \left[ u _ { N } ^ { n } + \left( \frac { u _ { N } ^ { n } - u _ { N - 1 } ^ { n } } { x _ { N } - x _ { N - 1 } } \right) \frac { h _ { N } } { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { L o g ( \frac { G ( \omega ) } { G ( a ) } ) = } & { \left( \frac { G ^ { \prime } ( a ) } { G ( a ) } - \sum _ { z _ { \ell } } \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { a - z _ { \ell } } + \sum _ { p _ { \ell } } \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { a - p _ { \ell } } \right) ( \omega - a ) } \\ & { + \sum _ { z _ { \ell } } \nu _ { z _ { \ell } } L o g ( \frac { \omega - z _ { \ell } } { a - z _ { \ell } } ) } \\ & { - \sum _ { p _ { \ell } } \nu _ { p _ { \ell } } L o g ( \frac { \omega - p _ { \ell } } { a - p _ { \ell } } ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { \mathrm { t r u n c } } = \frac { 4 } { \sqrt { 2 \pi t } } \frac { L } { J } e ^ { - \frac { ( L / 2 - \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } + \frac { 4 } { \sqrt { 2 \pi t } } \sqrt { \pi } \sigma \operatorname { e r f c } \Big ( \frac { L - 2 \delta } { 4 \sigma } \Big ) . } \end{array}
\frac { e { \bf g } } { 4 \pi } = { \mathrm { \boldmath ~ \ b e t a ~ } } _ { 1 } ^ { * } + \sum _ { j = 2 } ^ { N } { \mathrm { \boldmath ~ \ g a m m a ~ } } _ { j } ^ { * } + { \mathrm { \boldmath ~ \ b e t a ~ } } _ { N + 1 } ^ { * }
\begin{array} { r l } & { ( 1 + { \lambda } _ { i } ( t ) ) c _ { i } ^ { \mathrm { P } } ( s , t + \Delta t ) - { \lambda } _ { i } ( t ) c _ { i } ^ { \mathrm { P } } ( s - 1 , t + \Delta t ) = c _ { i } ^ { \mathrm { P } } ( s , t ) + R _ { \mathrm { M S } } ^ { \mathrm { P } } ( c _ { i } ^ { \mathrm { P } } ( s , t ) ) \Delta t , ~ } \\ & { ( 1 + { \lambda } _ { i } ( t ) ) c _ { i } ^ { \mathrm { P } } ( 1 , t + \Delta t ) - { \lambda } _ { i } ( t ) c _ { 1 } ^ { \mathrm { J } } ( t + \Delta t ) = c _ { i } ^ { \mathrm { P } } ( 1 , t ) + R _ { \mathrm { M S } } ^ { \mathrm { P } } ( c _ { i } ^ { \mathrm { P } } ( 1 , t ) ) \Delta t . ~ } \end{array}