harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { c ^ { 2 } } { 2 } \langle ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) - \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) ) R ^ { 2 } \Phi _ { 0 } , L \Phi _ { 0 } \rangle = \eta \langle L \Phi _ { 0 } , L \Phi _ { 0 } \rangle .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } s _ { 1 } } { \mathrm { d } t } } & { = - 2 k _ { 1 } s _ { 1 } ^ { 2 } + 2 k _ { 2 } s _ { 3 } \ , } \\ { \frac { \mathrm { d } s _ { 2 } } { \mathrm { d } t } } & { = k _ { 1 } s _ { 1 } ^ { 2 } \ , } \\ { \frac { \mathrm { d } s _ { 3 } } { \mathrm { d } t } } & { = k _ { 1 } s _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } s _ { 3 } \ . } \end{array}
\mathrm { V a r } [ x ( t | x _ { 0 } ) ] = \langle x ^ { 2 } ( t , x _ { 0 } ) \rangle - \langle x ( t , x _ { 0 } ) \rangle ^ { 2 } = \phi ( t ) \left( 2 e ^ { - \tau ( t ) } x _ { 0 } + \varepsilon _ { 1 } \phi ( t ) \right) .
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } } & { { } : \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ ) ~ } \to v _ { 1 } , } \\ { e _ { 2 } } & { { } : v _ { 1 } \to v _ { 2 } , } \\ { e _ { 3 } } & { { } : v _ { 2 } \to \mathrm { ~ ( ~ o ~ u ~ t ~ p ~ u ~ t ~ ) ~ } , } \\ { e _ { 4 } } & { { } : v _ { 1 } + v _ { 2 } \to v _ { 3 } + v _ { 4 } , } \\ { e _ { 5 } } & { { } : v _ { 3 } + v _ { 4 } \to v _ { 1 } + v _ { 2 } . } \end{array}
\frac { N _ { \mathrm { A , N + O } } ( \mathrm { S a t . p o s . } - 0 . 1 \, \mathrm { k m } ) } { N _ { \mathrm { A , N + O } } ( \mathrm { S a t . p o s . } + 0 . 1 \, \mathrm { k m } ) }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { M } \Big [ \mathcal { P } _ { B } [ p ^ { \prime } ( a ) ] \Big ] } & { = } & { \sum _ { p ^ { \prime } ( a ) } \exp \Big ( t \, p ^ { \prime } ( a ) \Big ) \mathcal { P } _ { B } [ p ^ { \prime } ( a ) ] } \\ & { = } & { \sum _ { p ^ { \prime } ( a ) } \exp \Big ( t \, p ^ { \prime } ( a ) \Big ) \cdot \sum _ { b \in B } \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , p ( a | b ) } p ( b ) } \\ & { = } & { \sum _ { b \in B } \exp \Big ( t \, p ( a | b ) \Big ) p ( b ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \hat { b } _ { 1 1 } } & { \hat { b } _ { 1 2 } } \\ { \hat { b } _ { 2 1 } } & { \hat { b } _ { 2 2 } } \end{array} \right] = \boldsymbol { S } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { \hat { a } _ { 1 2 } } { \hat { a } _ { 2 2 } } } \\ { \frac { \hat { a } _ { 2 1 } } { \hat { a } _ { 1 1 } } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \hat { a } _ { 1 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \hat { a } _ { 2 2 } } \end{array} \right]
f _ { 0 } ^ { ( \varepsilon ) } = ( 1 - 4 \xi ) \nu _ { 0 } , \quad f _ { 0 } ^ { ( p ) } = \frac { \tilde { \xi } } { 2 } , \quad f _ { 0 } ^ { ( p _ { \perp } ) } = \frac { \nu _ { 0 } - 1 / 2 } { D - 1 } \tilde { \xi } .
\begin{array} { r l } & { \langle N , M _ { N } | C _ { p } ^ { j } ( \theta , \phi ) | N ^ { \prime } , M _ { N } ^ { \prime } \rangle = ( - 1 ) ^ { M _ { N } } \sqrt { ( 2 N + 1 ) ( 2 N ^ { \prime } + 1 ) } } \\ & { \times \left( \begin{array} { l l l } { N } & { j } & { N ^ { \prime } } \\ { - M _ { N } } & { p } & { M _ { N } ^ { \prime } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { N } & { j } & { N ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
- \mathbf { C } = - { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } ( - x _ { 3 } y _ { 2 } - x _ { 2 } y _ { 3 } ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 3 } y _ { 3 } + x _ { 2 } y _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { Q Q ^ { \mathrm { T } } A H _ { k } H _ { k } ^ { \mathrm { T } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { U _ { k } } & { \widehat { U } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \Gamma _ { k } } & { 0 } \\ { 0 } & { \widehat { \Gamma } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { T _ { k } ^ { \mathrm { T } } } & { 0 } \\ { T _ { 1 2 } ^ { \mathrm { T } } } & { T _ { 2 2 } ^ { \mathrm { T } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { I _ { k } } \\ { 0 } \end{array} \right] H _ { k } ^ { \mathrm { T } } } \\ & { = U _ { k } \Gamma _ { k } T _ { k } ^ { \mathrm { T } } H _ { k } ^ { \mathrm { T } } + \widehat { U } \widehat { \Gamma } T _ { 1 2 } ^ { \mathrm { T } } H _ { k } ^ { \mathrm { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \Gamma } = 3 \frac { \mathcal { D } _ { 1 } } { \Gamma _ { 1 } ^ { 1 3 } } } & { { } \left( 1 + 2 / p \right) \bigg [ \Big ( \Gamma _ { 1 } + 6 p ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) - y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } \Big ) \, \omega } \\ { + 3 \frac { \mathcal { D } _ { 2 } } { \Gamma _ { 2 } ^ { 1 3 } } } & { { } \bigg [ \Big ( \Gamma _ { 2 } - 6 ( p + 2 ) ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) - y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } \Big ) \, \omega } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { i } q _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { i } p _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) .
\operatorname { O n e Z } = \lambda c . \lambda x . \operatorname { I s Z e r o } \ ( \operatorname { f i r s t } \ x ) \ x \ ( \operatorname { I s Z e r o } \ ( \operatorname { s e c o n d } \ x ) \ x \ ( c \ \operatorname { p a i r } \ ( \operatorname { p r e d } \ ( \operatorname { f i r s t } \ x ) ) \ ( \operatorname { p r e d } \ ( \operatorname { s e c o n d } \ x ) ) ) )
\begin{array} { r l r } { \mathbf { \Omega } _ { M } } & { { } = } & { \frac { m } { \vert q _ { 1 } \vert ^ { 2 } } \Pi _ { a b } ( q _ { 1 } ) \mathbf { d } q _ { 1 } ^ { a } \wedge \mathbf { d } v _ { 1 } ^ { b } + \frac { m } { \vert q _ { 2 } \vert ^ { 2 } } \Pi _ { a b } ( q _ { 2 } ) \mathbf { d } q _ { 2 } ^ { a } \wedge \mathbf { d } v _ { 2 } ^ { b } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \mathbf { \Omega } _ { F } } & { { } = } & { \frac { m } { \vert q _ { 1 } \vert ^ { 3 } } \left( \widehat { q } _ { 1 } \cdot \mathbf { d } q _ { 1 } \right) \wedge \left( v _ { 1 } \cdot \Pi ( q _ { 1 } ) \cdot \mathbf { d } q _ { 1 } \right) + \frac { m } { \vert q _ { 2 } \vert ^ { 3 } } \left( \widehat { q } _ { 2 } \cdot \mathbf { d } q _ { 2 } \right) \wedge \left( v _ { 2 } \cdot \Pi ( q _ { 2 } ) \cdot \mathbf { d } q _ { 2 } \right) - } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \tilde { \mu } _ { \psi } } { T _ { 0 } } } & { { } = \iota _ { \beta } \tilde { A } _ { \psi } - \mathrm { d } \tilde { \varphi } _ { \psi } , } \\ { \frac { \tilde { \mu } } { T _ { 0 } } } & { { } = \iota _ { \beta } \tilde { A } - \mathrm { d } \tilde { \varphi } - \ell \tilde { \varphi } _ { \psi } , } \end{array}
H ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { t } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \; x ( 1 - x ) u { \frac { N _ { 1 } N _ { 2 } } { D ^ { 4 } } } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { F } ( \rho , \phi ) : = } & { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { Q _ { i } } ( \beta ^ { i } ( x ) { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ) ( x , t ) { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \rho ^ { i } ) ) ( x , t ) d x d t } \\ & { + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { Q _ { i } } q ^ { i } ( x ) \phi ^ { i } ( x , t ) \rho ^ { i } ( x , t ) d x \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { L ( \sqrt { 1 + 2 ( B / A ^ { 2 } ) ( 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ^ { * } ) ) / \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ^ { * } ) } - 1 ) = B / A . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \displaystyle \sum _ { \alpha \in J _ { m } } | c _ { \alpha } ( f ) | \left( \frac { \rho w } { 3 } \right) ^ { \alpha } } & { \le | c _ { 0 } ( f ) | + \displaystyle \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 3 ^ { m } } \Big \| \displaystyle \sum _ { \alpha \in J _ { m } } c _ { \alpha } ( f ) z ^ { \alpha } \Big \| _ { \mathcal P _ { m } ( { X _ { n } } ) } } \\ & { \le | c _ { 0 } ( f ) | + \displaystyle \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 3 ^ { m } } ( 1 - | c _ { 0 } ( f ) | ^ { 2 } ) \le | c _ { 0 } ( f ) | + \frac { 1 - | c _ { 0 } ( f ) | ^ { 2 } } { 2 } \le 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla v _ { 2 } ( x _ { 1 } ) - \nabla v _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \| } & { = \| \nabla _ { x } g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - \nabla _ { x } g ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \| } \\ & { \leq L _ { g } ( \| x - x ^ { \prime } \| + \| y _ { 1 } - y _ { 2 } \| ) } \\ & { \leq L _ { g } ( 1 + L _ { S } ) \| x - x ^ { \prime } \| } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l l } { \textsf { e f f } Z _ { 0 } P ^ { \lambda ( \textsf { e f f } Z _ { 0 } , Q ) } } & { \textsf { e f f } X _ { 0 } P ^ { \lambda ( \textsf { e f f } X _ { 0 } , Q ) } } \\ { \textsf { e f f } Z _ { 1 } P ^ { \lambda ( \textsf { e f f } Z _ { 1 } , Q ) } } & { \textsf { e f f } X _ { 1 } P ^ { \lambda ( \textsf { e f f } X _ { 1 } , Q ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { P } & { Q } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { \textsf { e f f } Z _ { N - 1 } P ^ { \lambda ( \textsf { e f f } Z _ { N - 1 } , Q ) } } & { \textsf { e f f } X _ { N - 1 } P ^ { \lambda ( \textsf { e f f } X _ { N - 1 } , Q ) } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } ( Y ^ { \ast } ) ^ { 2 } = \int _ { q } ^ { \infty } \left( \ln \frac { 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } x / q ) } { 1 - F _ { 0 } ( x ) } \right) ^ { 2 } d \left( \frac { F _ { 0 } ( x ) - F _ { 0 } ( q ) } { 1 - F _ { 0 } ( q ) } \right) = \left( \ln \frac { 1 - F _ { 0 } ( q ) } { 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } ) } \right) ^ { 2 } } \\ { + 2 \int _ { q } ^ { \infty } \ln \frac { 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } x / q ) } { 1 - F _ { 0 } ( x ) } \left( \frac { p _ { 0 } ( x ) } { 1 - F _ { 0 } ( x ) } - \frac { u _ { 0 } } { q } \frac { p _ { 0 } ( u _ { 0 } x / q ) } { 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } x / q ) } \right) \frac { 1 - F _ { 0 } ( x ) } { 1 - F _ { 0 } ( q ) } d x } \\ { = : \left( \ln \frac { 1 - F _ { 0 } ( q ) } { 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } ) } \right) ^ { 2 } + 2 h ( q ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { h } } & { = } & { \{ w = ( w _ { 1 } , w _ { 2 } ) \in ( C ^ { 0 } ( \Omega ) ) ^ { 2 } : w \cdot n | _ { \Gamma } = 0 , w _ { i } | _ { K } \in P ^ { 2 } ( K ) , i = 1 , 2 , \forall K \subset \Omega _ { h } \} , } \\ { Q _ { h } } & { = } & { \{ q \in C ^ { 0 } ( \Omega ) : q | _ { K } \in P ^ { 1 } ( K ) , \forall K \subset \Omega _ { h } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } \right\| _ { C } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta _ { C } \gamma _ { y } ) \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { C } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 2 } { \theta _ { C } \gamma _ { y } } \Bigg [ 2 C \delta _ { C , 2 } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + \Big ( ( 1 - \theta _ { C } \gamma _ { y } ) ^ { 2 } } \\ & { + 2 C \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \Big ) \delta _ { C , 2 } ^ { 2 } { \mathbb { E } } [ \left\| \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ & { + \delta _ { C , 2 } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 2 } } & { { } = \Lambda ( \tau \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } , } \\ { \Phi _ { 1 } } & { { } = t _ { 0 } , } \\ { \Phi _ { 0 } } & { { } = - [ \varphi - \Omega t _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \arg ( 1 + i 2 \Lambda \tau ^ { 2 } ) ] . } \end{array}
\left. \widetilde { \xi } ^ { + } ( q r ) \equiv \frac { d K _ { n } ( u ) } { d u } \right| _ { u = | q | r } , \left. \quad \widetilde { \xi } ( q r ) \equiv \frac { d I _ { n } ( u ) } { d u } \right| _ { u = | q | r }
\pi ( x , a , q ) = ( { \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ p r i m e s ~ } } \leq x { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } p { \mathrm { ~ i s ~ i n ~ t h e ~ a r i t h m e t i c ~ p r o g r e s s i o n ~ } } a + n q , n \in \mathbf { Z } ) ,
\chi _ { c _ { r , s } , h _ { m , n } } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \chi _ { c _ { r , 4 s } , h _ { ( r - m ) / 2 , 2 ( s - n ) } } - \chi _ { c _ { r , 4 s } , h _ { ( r - m ) / 2 , 2 ( s + n ) } } } } & { { m o d d } } \\ { { \chi _ { c _ { r , 4 s } , h _ { m / 2 , 2 n } } - \chi _ { c _ { r , 4 s } , h _ { m / 2 , 4 s - 2 n } } } } & { { m e v e n } } \end{array} \right. \right. \ .
\rho _ { \mu \nu } ( \mathbf { G } ) = \int e ^ { - i \mathbf { G } \cdot \mathbf { r } } \rho _ { \mu \nu } ( \mathbf { r } ) d \mathbf { r } ^ { 3 } = e ^ { - \frac { G ^ { 2 } } { 4 \alpha _ { \mu \nu } } } e ^ { - i \mathbf { G } \cdot \mathbf { R } _ { \mu \nu } } P _ { \mu \nu } ( \mathbf { G } ) .
\begin{array} { r l } { \Vert \phi _ { i } ^ { * } g ^ { i } - g ^ { \infty } \Vert _ { C ^ { [ \epsilon _ { i } ^ { - 1 } ] } ( U _ { i } ) } } & { \leq \epsilon _ { i } , } \\ { \Vert \phi _ { i } ^ { * } \partial _ { \mathfrak { t } } ^ { i } - \partial _ { \mathfrak { t } } ^ { \infty } \Vert _ { C ^ { [ \epsilon _ { i } ^ { - 1 } ] } ( U _ { i } ) } } & { \leq \epsilon _ { i } , } \\ { \Vert w ^ { i } \circ \phi _ { i } - w ^ { \infty } \Vert _ { C ^ { [ \epsilon _ { i } ^ { - 1 } ] } ( U _ { i } ) } } & { \leq \epsilon _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { n } ^ { 2 } ( s , t ) } & { \leq ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } } \\ & { \times \bigg ( \sum _ { a \in \mathcal D _ { n } } \int _ { s } ^ { t } \ensuremath { \mathrm { d } } r _ { n } \int _ { T _ { n - 1 } ( r _ { n } ) } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( r _ { j + 1 } - r _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } | \eta _ { j } | ^ { a _ { j } } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { r } \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ & { \le ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg ( \sum _ { a \in \mathcal D _ { n } } \int _ { s } ^ { t } ( t - r _ { n } ) ^ { \epsilon _ { n } } \frac { r _ { n } ^ { n ( \theta + 1 ) - \epsilon _ { n } - 1 } } { \Gamma \left( n ( \theta + 1 ) - \epsilon _ { n } \right) } \ensuremath { \mathrm { d } } r _ { n } \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ & { = ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg ( \sum _ { a \in \mathcal D _ { n } } \int _ { s } ^ { t } ( t - r _ { n } ) ^ { \epsilon _ { n } - \theta } ( t - r _ { n } ) ^ { \theta } \frac { r _ { n } ^ { n ( \theta + 1 ) - \epsilon _ { n } - 1 } } { \Gamma \left( n ( \theta + 1 ) - \epsilon _ { n } \right) } \ensuremath { \mathrm { d } } r _ { n } \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ & { \leq \frac { J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } T ^ { 2 H _ { 0 } n ( \theta + 1 ) - 2 H _ { 0 } \theta - 2 H _ { 0 } } } { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } \theta + 1 } } \left( \int _ { s } ^ { t } ( t - r _ { n } ) ^ { \theta } \ensuremath { \mathrm { d } } r _ { n } \right) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ & { = \frac { J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } T ^ { 2 H _ { 0 } n ( \theta + 1 ) - 2 H _ { 0 } \theta - 2 H _ { 0 } } } { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } \theta + 1 } } ( t - s ) ^ { 2 H _ { 0 } ( 1 + \theta ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \nu + 1 } ^ { \phi } ( \Delta + 1 ) - } & { V _ { \nu + 1 } ^ { \phi } ( \Delta ) } \\ { = } & { C ( \Delta + 1 , 1 ) - E T \theta ^ { \phi } + \sum _ { t = 1 } ^ { t _ { m a x } } \left[ p _ { t } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } P _ { \Delta + 1 , k } ^ { t } ( 1 ) V _ { \nu } ^ { \phi } ( k ) + P _ { \Delta + 1 , \Delta + 1 + t } ^ { t } ( 1 ) V _ { \nu } ^ { \phi } ( \Delta + t + 1 ) \right) \right] - } \\ & { C ( \Delta , 1 ) + E T \theta ^ { \phi } - \sum _ { t = 1 } ^ { t _ { m a x } } \left[ p _ { t } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } P _ { \Delta , k } ^ { t } ( 1 ) V _ { \nu } ^ { \phi } ( k ) + P _ { \Delta , \Delta + t } ^ { t } ( 1 ) V _ { \nu } ^ { \phi } ( \Delta + t ) \right) \right] } \\ { = } & { C ( \Delta + 1 , 1 ) - C ( \Delta , 1 ) + \sum _ { t = 1 } ^ { t _ { m a x } } \bigg ( p _ { t } P _ { \Delta , \Delta + t } ^ { t } ( 1 ) \sigma _ { \nu } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { E } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } } \left( \mathbf { D } - \mathbf { P } \right) = - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } , } \\ { \mathbf { B } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left( \mathbf { H } + \mathbf { M } \right) = \nabla \times \mathbf { A } , } \\ { S } & { { } = } & { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial \phi } { \partial t } + \nabla \cdot \mathbf { A } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( N + 1 ) ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 5 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { T ^ { * } \mathbb { R } ^ { 3 } } f ( x , \xi , v ) e ^ { i N P ( x , \xi , v ) } d x d \xi d v } \\ & { = \frac { ( N + 1 ) ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 5 } } \Big ( \frac { 2 \pi } { N } \Big ) ^ { 4 } \int _ { - 3 \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \frac { 1 6 a ( \frac { 1 } { p _ { 0 } ^ { 2 } } x ( \beta ) , p _ { 0 } \xi ( \beta ) ) } { ( | \xi ( \beta ) | ^ { 2 } + 1 ) ^ { 4 } } \frac { | \cos \beta | } { 2 ( 1 - \sin \beta ) ^ { 3 } | \cos \beta | } d \beta + O ( \frac { 1 } { N } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - 3 \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } a ( \frac { 1 } { p _ { 0 } ^ { 2 } } x ( \beta ) , p _ { 0 } \xi ( \beta ) ) ( 1 - \sin \beta ) d \beta + O ( \frac { 1 } { N } ) } \\ & { = \frac { p _ { 0 } ^ { 3 } } { 2 \pi } \int _ { t _ { \gamma } - 2 \pi / p _ { 0 } ^ { 3 } } ^ { t _ { \gamma } } a \big ( \gamma ( t ) \big ) d t + O ( \frac { 1 } { N } ) , } \end{array}
p ( \Delta a , a ) = \left( \frac { \alpha } { \gamma } \right) ^ { \epsilon } + \frac { \epsilon \left( \frac { \alpha } { \gamma } \right) ^ { \epsilon - 1 } ( \beta \gamma - \alpha \delta ) } { \gamma ^ { 2 } } \frac { \Delta a } { a } + \frac { \epsilon \left( \frac { \alpha } { \gamma } \right) ^ { \epsilon } ( \alpha \delta - \beta \gamma ) ( \alpha \delta \epsilon + \alpha \delta - \beta \gamma \epsilon + \beta \gamma ) } { 2 \alpha ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 2 } + \mathscr { O } \left( ( \Delta a ) ^ { 3 } \right) .
u ( h , t ) = \frac { 3 P _ { A } } { 3 K + 4 G } \Bigg [ - h + \gamma \alpha \sum _ { n = 1 , 3 } ^ { \infty } E _ { 1 - \beta , 1 } \left( - { \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \bar { \lambda } t ^ { 1 - \beta } } { 4 h ^ { 2 } } } \right) \frac { 8 h } { ( n \pi ) ^ { 2 } } \left( - 1 \right) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \sin \frac { n \pi } { 2 } \Bigg ] + d = 0
\mathcal { R } _ { \mathrm { L T E } } ^ { ( \mathrm { P I } ) } ( T _ { \gamma } ) = \sum _ { v _ { i } = 0 } \frac { g _ { n _ { i } v _ { i } } ( \mathrm { H } _ { 2 } ^ { + } ) \, \mathrm { e } ^ { - \varepsilon _ { n _ { i } v _ { i } } / k _ { \mathrm { B } } T _ { \gamma } } } { \mathcal { Z } _ { n _ { i } } ( T _ { \gamma } ) } \, \mathcal { R } _ { n _ { i } v _ { i } } ^ { ( \mathrm { P I } ) } ( T _ { \gamma } ) ,
- \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 8 } x ^ { 7 } + \frac { 7 } { 4 8 } x ^ { 5 } + \frac { 3 5 } { 1 9 2 } x ^ { 3 } + \frac { 3 5 } { 1 2 8 } x \right) + \frac { 3 5 } { 1 2 8 } \arcsin \left( x \right)
\begin{array} { r } { \langle \rho \rangle \leq \frac { 1 } { \pi } \frac { | \chi ( \tilde { \omega } ) | ^ { 2 } } { \operatorname { I m } [ \tilde { \omega } \chi ( \tilde { \omega } ) ] } \mathbf { e } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \dagger } \mathbf { e } _ { \mathrm { i n c } } . } \end{array}
\Omega _ { x } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 1 0 } ) } / \Omega _ { x } ^ { ( \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 0 1 } ) } = \Omega _ { y } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 1 } ) } / \Omega _ { y } ^ { ( \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 0 1 } ) } = \sqrt { 2 }
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos ( \theta ) } & { 0 } & { \sin ( \theta ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sin ( \theta ) } & { 0 } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } & { 2 L ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| d _ { i - 1 } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 L ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| d _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { d } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } + 4 K L ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 6 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } ( I - 1 ) } { \rho ^ { 2 } } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } + 4 K L ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } } \end{array}
A _ { n } B _ { _ { n _ { \varepsilon } } } A _ { n } ^ { * } = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } b _ { i } \langle A _ { n } f _ { i } , \cdot \rangle A _ { n } g _ { i } \underset { n \infty } { \longrightarrow } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } b _ { i } \langle A f _ { i } , \cdot \rangle A g _ { i } = A B _ { _ { n _ { \varepsilon } } } A ^ { * }
\begin{array} { r l } { \frac { | \Delta _ { \mathrm { B C S } } | } { \chi N } } & { \approx \frac { 1 } { 2 N } \Big | \sum _ { k } e ^ { - i \epsilon _ { k } t } \Big | = \frac { 1 } { 2 } \bigg | \frac { 1 } { 2 E _ { \mathrm { W } } } \int _ { - \delta _ { \mathrm { s } } / 2 - E _ { \mathrm { W } } / 2 } ^ { - \delta _ { \mathrm { s } } / 2 + E _ { \mathrm { W } } / 2 } e ^ { - i x t } d x + \frac { 1 } { 2 E _ { \mathrm { W } } } \int _ { \delta _ { \mathrm { s } } / 2 - E _ { \mathrm { W } } / 2 } ^ { \delta _ { \mathrm { s } } / 2 + E _ { \mathrm { W } } / 2 } e ^ { - i x t } d x \bigg | } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \bigg | \cos \bigg ( \frac { \delta _ { \mathrm { s } } } { 2 } \bigg ) \bigg | \cdot \bigg | \frac { \sin ( E _ { \mathrm { W } } t / 2 ) } { E _ { \mathrm { W } } t / 2 } \bigg | . } \end{array}
\mathcal { L } ( \boldsymbol { x } ) = \underbrace { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } ( \boldsymbol { x } - \tilde { \boldsymbol { x } } ) ^ { 2 } } _ { \mathrm { R e c o n s t r u c t i o n ~ l o s s } } - \underbrace { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \big ( 1 + \log ( \sigma _ { i } ^ { 2 } ) - \mu _ { i } ^ { 2 } - \sigma _ { i } ^ { 2 } \big ) } _ { \mathrm { K L ~ l o s s } } ,
\begin{array} { r l } & { d _ { t } , h _ { t } , h _ { t } ^ { \mathrm { { d } } } , p _ { t } , p _ { t } ^ { \mathrm { c } } , p _ { t } ^ { \mathrm { { i n } } } , \hat { p } _ { t s } ^ { \mathrm { e } } , s _ { t } , s _ { t } ^ { \mathrm { { i n } } } , s _ { t } ^ { \mathrm { o u t } } \in \mathbb { R } ^ { + } } \\ & { z _ { t s } ^ { \mathrm { { h } } } , z _ { t } ^ { \mathrm { o s } } \in \{ 0 , 1 \} } \\ & { \Gamma = \{ d _ { t } , h _ { t } , h _ { t } ^ { \mathrm { { d } } } , p _ { t } , p _ { t } ^ { \mathrm { c } } , p _ { t } ^ { \mathrm { { i n } } } , \hat { p } _ { t s } ^ { \mathrm { e } } , s _ { t } ^ { \mathrm { { i n } } } , s _ { t } , s _ { t } ^ { \mathrm { o u t } } , z _ { t } ^ { \mathrm { { s u } } } , z _ { t } ^ { \mathrm { o s } } \} . } \end{array}
\dot { I } _ { N , k , \kappa } [ - ] : \mathscr { O } ( \mathbb { C } ^ { k } \times \mathbb { C } ^ { \kappa } ; C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { t _ { 1 } , \ldots , t _ { k } } ^ { k } ; \mathcal { E } ^ { \prime } ( \mathbb { R } _ { t _ { k + 1 } , \ldots , t _ { N } } ^ { N - k } ) ) ) \ni \psi \mapsto \dot { I } _ { N , k , \kappa } [ \psi ] \in \mathscr { O } ( \Omega )