harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } } & { { } = \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { e } + \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { f } + \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { d } } \\ { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { e } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| u \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) - u ^ { i } \right| ^ { 2 } + \left| v \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) - v ^ { i } \right| ^ { 2 } \right. } \\ { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { f } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| f _ { 1 } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } + \left| f _ { 2 } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } + \left| f _ { 3 } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } \right) } \\ { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { d } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( \left| u _ { x } ( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } ) + v _ { y } ( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } ) + w _ { z } ( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } ) \right. \Big . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { j } ^ { \mathrm { ~ C ~ O ~ M ~ } } } & { { } = \sum _ { r } \rho _ { j , r } ^ { \mathrm { ~ e ~ h ~ } } , } \\ { \rho _ { r } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } } & { { } = \sum _ { j } \rho _ { j , r } ^ { \mathrm { ~ e ~ h ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \Tilde { \rho } } _ { b c } } & { = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } - \frac { \Tilde { \rho } _ { b c } } { 2 } ( \Gamma _ { b } + \Gamma _ { c } ) } \\ & { + i \Tilde { \rho } _ { b c } ( \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 1 } ) } \\ { \dot { \Tilde { \rho } } _ { b e } } & { = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { e e } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a b } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b b } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \tilde { \rho } _ { b c } } \\ & { - \frac { \Tilde { \rho } _ { b e } } { 2 } ( \Gamma _ { b } + \Gamma _ { e } ) + i \Tilde { \rho } _ { b e } ( \omega _ { e } - \omega _ { b } - \omega _ { P } ) } \\ { \dot { \Tilde { \rho } } _ { c c } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } - \Gamma _ { 3 c } \Tilde { \rho } _ { c c } + \frac { \Gamma _ { e } \Tilde { \rho } _ { e e } } { 3 } } \\ { \dot { \Tilde { \rho } } _ { c e } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { e e } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a c } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b c } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c c } } \\ & { - \frac { \Tilde { \rho } _ { c e } } { 2 } ( \Gamma _ { c } + \Gamma _ { e } ) + i \Tilde { \rho } _ { c e } ( \omega _ { e } - \omega _ { c } - \omega _ { C } ) } \\ { \dot { \Tilde { \rho } } _ { e e } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } + \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } + \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } ^ { * } } \\ & { - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } ^ { * } - \Gamma _ { 4 } \Tilde { \rho } _ { e e } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \omega - \omega _ { c } ) m ^ { + } = \gamma \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } \frac { \partial u ^ { + } } { \partial z } , } \\ { - ( \omega - \omega _ { c } ) u ^ { + } = \frac { \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } } { 2 \omega \rho M _ { s } } \frac { \partial m ^ { + } } { \partial z } , } \end{array}
N _ { i , \tilde { k } } ( u ) = \frac { ( u - t _ { i } ) N _ { i , \tilde { k } - 1 } ( u ) } { t _ { i + \tilde { k } } - t _ { i } } + \frac { ( t _ { i + \tilde { k } + 1 } - u ) N _ { i + 1 , \tilde { k } - 1 } ( u ) } { t _ { i + \tilde { k } + 1 } - t _ { i + 1 } }
\begin{array} { r } { \nabla ^ { 2 } \phi ^ { ( l ) } + \left( { \omega / c _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } } \right) ^ { 2 } \phi ^ { ( l ) } = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega ^ { ( l ) } , } \\ { \nabla ^ { 2 } \psi ^ { ( l ) } + \left( { \omega / c _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } } \right) ^ { 2 } \psi ^ { ( l ) } = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega ^ { ( l ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta } & { { } = \bar { \theta } ( z _ { s } ) + { \varepsilon } ^ { 1 + \alpha } \theta ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { w } , t _ { w } ) } \\ { \pi } & { { } = \bar { \pi } ( z _ { s } ) + { \varepsilon } ^ { 2 + \alpha } \pi ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { w } , t _ { w } ) } \\ { \mathbf { v } } & { { } = \mathbf { v } ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { w } , t _ { w } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k U _ { 1 } + i c \frac { d U _ { 1 } } { d \xi } + \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { d ^ { 2 } } { d \xi ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } U _ { 1 } - \left\vert U _ { 1 } \right\vert ^ { 2 } U _ { 1 } - U _ { 2 } } & { { } = } & { 0 , } \\ { k U _ { 2 } + i c \frac { d U _ { 2 } } { d \xi } + \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { d ^ { 2 } } { d \xi ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } U _ { 2 } - \left\vert U _ { 2 } \right\vert ^ { 2 } U _ { 2 } - U _ { 1 } } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\Psi _ { i , g _ { 1 } } ^ { [ L ] [ M ] } ( x _ { 1 } ) \Psi _ { j , g _ { 2 } } ^ { [ M ] [ N ] } ( x _ { 2 } ) \ = \ \sum _ { k } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { h _ { i } + h _ { j } - h _ { k } } \Psi _ { k , g _ { 1 2 } } ^ { [ L ] [ N ] } ( x _ { 2 } ) C _ { ( i , g _ { 1 } ) ( j , g _ { 2 } ) ( k , g _ { 1 2 } ) } ^ { [ L ] [ M ] [ N ] } + \dots
w = \frac { k ^ { \prime } } { k ^ { 2 } } ( \lambda - \frac { 1 } { \lambda } ) \ , \ \, l a m b d a = \frac { 1 } { 2 k ^ { \prime } } \{ k ^ { 2 } ( w - t ^ { 2 } ) + k ^ { 2 } + 1 \} \ ,
\int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { n } e ^ { - a x ^ { 2 } } \, d x = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \Gamma \left( { \frac { n + 1 } { 2 } } \right) } { 2 \left( a ^ { \frac { n + 1 } { 2 } } \right) } } } & { ( n > - 1 , \ a > 0 ) } \\ { { \frac { ( 2 k - 1 ) ! ! } { 2 ^ { k + 1 } a ^ { k } } } { \sqrt { \frac { \pi } { a } } } } & { ( n = 2 k , \ k { \mathrm { ~ i n t e g e r } } , \ a > 0 ) } \\ { { \frac { k ! } { 2 ( a ^ { k + 1 } ) } } } & { ( n = 2 k + 1 , \ k { \mathrm { ~ i n t e g e r } } , \ a > 0 ) } \end{array} \right. }
\mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l r } { \Pi _ { \mathcal { C } } ( K ) } & { { } = } & { \sum _ { k \le K } \sum _ { \bf p } - c _ { 1 } \Im \left[ k _ { j } f ( { \bf q } ) \mathcal { C } _ { i j } ( { \bf p } ) u _ { i } ^ { * } ( { \bf k } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { \beta \lesssim 1 } } & { = } & { \sum _ { a , b } p ( a , b ) \ln p ( a , b ) - ( 1 - \beta ) \sum _ { a , b } p ( a , c ) p ( b | c ) \ln \sum _ { c } p ( a , c ) p ( b | c ) + { \cal O } ( [ 1 - \beta ] ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { \sum _ { a , b } p ( a , b ) \ln p ( a , b ) + ( 1 - \beta ) H ( A B C ) + { \cal O } ( [ 1 - \beta ] ^ { 2 } ) , } \end{array}
H _ { C T M } = - 2 \mathrm { i } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } j \left\{ ( 1 + \Gamma ) \tau _ { j } ^ { y } \tau _ { j + 1 } ^ { x } - ( 1 - \Gamma ) \tau _ { j } ^ { x } \tau _ { j + 1 } ^ { y } + h ( \tau _ { j } ^ { x } \tau _ { j } ^ { y } + \tau _ { j + 1 } ^ { x } \tau _ { j + 1 } ^ { y } ) \right\} \nonumber
H = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) = \frac { \vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle } { \sqrt { 2 } } \langle 0 \vert + \frac { \vert 0 \rangle - \vert 1 \rangle } { \sqrt { 2 } } \langle 1 \vert
\begin{array} { r } { \sigma = \underbrace { \frac { 2 k ^ { 2 } } { R e } } _ { \mathrm { b u l k } } + \sqrt { \frac { \omega _ { 0 } } { 2 R e } } \left( \underbrace { \frac { k \cosh ^ { 2 } { k H } } { \sinh { 2 k H } } } _ { \mathrm { s u r f . ~ c o n t a m i n a t i o n } } \right) \ \ \ \ \ \ } \\ { + \sqrt { \frac { \omega _ { 0 } } { 2 R e } } \left( \underbrace { \frac { k } { \sinh { 2 k H } } } _ { \mathrm { b o t t o m } } + \underbrace { \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 + \left( 1 / k \right) ^ { 2 } } { 1 - \left( 1 / k \right) ^ { 2 } } - \frac { k H } { \sinh { 2 k H } } } _ { \textit { s i d e w a l l } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } A ( q ) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { { } = 0 \, , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } B ( q ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { { } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { \boldsymbol { x } } = G ( \boldsymbol { x } ( t ) ) + \boldsymbol { r } _ { 0 } ( t ) , } \\ & { \dot { \boldsymbol { r } } _ { n - 1 } = \mathcal { F } _ { n - 1 } ( \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { r } _ { n - 1 } ( t ) ) + \boldsymbol { r } _ { n } ( t ) , \; n = 1 , \cdots , N , } \\ & { \mathrm { w i t h ~ } \boldsymbol { r } _ { N } ( t ) = \boldsymbol { Q } \dot { { \boldsymbol { W } } } _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \bf { \tilde { F } } } = [ 0 , { F _ { x } } , { F _ { y } } , { F _ { z } } , \mathrm { } { F _ { x } } { u _ { y } } + { F _ { y } } { u _ { x } } , { F _ { x } } { u _ { z } } + { F _ { z } } { u _ { x } } , { F _ { y } } { u _ { z } } + { F _ { z } } { u _ { y } } , 2 { \bf { F } } \cdot { \bf { u } } , 2 ( { F _ { x } } { u _ { x } } - { F _ { y } } { u _ { y } } ) , 2 ( { F _ { x } } { u _ { x } } - { F _ { z } } { u _ { z } } ) , } \\ { { F _ { x } } c _ { s } ^ { 2 } , { F _ { x } } c _ { s } ^ { 2 } , { F _ { y } } c _ { s } ^ { 2 } , { F _ { z } } c _ { s } ^ { 2 } , { F _ { y } } c _ { s } ^ { 2 } , { F _ { z } } c _ { s } ^ { 2 } , 2 c _ { s } ^ { 2 } ( { F _ { x } } { u _ { x } } + { F _ { y } } { u _ { y } } ) , 2 c _ { s } ^ { 2 } ( { F _ { x } } { u _ { x } } + { F _ { z } } { u _ { z } } ) , 2 c _ { s } ^ { 2 } ( { F _ { y } } { u _ { y } } + { F _ { z } } { u _ { z } } ) { ] ^ { \mathrm { T } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { \widehat { R } ^ { 2 } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos \theta \int _ { - \pi + \theta } ^ { \pi + \theta } \cos ( \theta - x ) \sqrt { 2 } \widehat { R } \sqrt { \cos x + 1 } \, { \mathrm { d } } x \, { \mathrm { d } } \theta = - \frac { 2 } { 3 \pi } \widehat { R } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ^ { 2 } \theta \, { \mathrm { d } } \theta = - \frac { 2 } { 3 } \widehat { R } ^ { 3 } . } \end{array}
* i _ { Y } { \cal I } _ { * } \Omega = * \Bigl [ Y ^ { \mu } { \bf F } _ { \mu \nu } d x ^ { \nu } \Bigr ] \otimes \varepsilon ^ { 2 } - * \Bigl [ Y ^ { \mu } ( * { \bf F } ) _ { \mu \nu } d x ^ { \nu } \Bigr ] \otimes \varepsilon ^ { 1 } .
\mu ( p , T ) = { \frac { 1 } { { \mathcal { J } } \left( { \hat { T } } \right) } } \left[ \left( \mu _ { 0 } + { \frac { \partial \mu } { \partial p } } { \frac { p } { \eta ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } \right) \left( 1 - { \hat { T } } \right) + { \frac { \rho } { C m } } ~ T \right] ; \quad C : = { \frac { \left( 6 \pi ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } { 3 } } f ^ { 2 }
{ \begin{array} { r l } { \int \sec ^ { 3 } x \, d x } & { = \int ( \sec x ) ( \sec ^ { 2 } x ) \, d x } \\ & { = \sec x \tan x - \int \tan x \, ( \sec x \tan x ) \, d x } \\ & { = \sec x \tan x - \int \sec x \tan ^ { 2 } x \, d x } \\ & { = \sec x \tan x - \int \sec x \, ( \sec ^ { 2 } x - 1 ) \, d x } \\ & { = \sec x \tan x - \left( \int \sec ^ { 3 } x \, d x - \int \sec x \, d x \right) } \\ & { = \sec x \tan x - \int \sec ^ { 3 } x \, d x + \int \sec x \, d x . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { 2 I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) d x } } \\ & { = } & { 2 I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u ^ { k } | ^ { p } - | u ^ { j } | ^ { p } ) ( | u ^ { k } | ^ { p } + | u ^ { j } | ^ { p } ) u ^ { k } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) d x } \\ & { \leq } & { 2 \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \left( \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p } + \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p } \right) \int _ { \mathbb { R } } | \, | u ^ { k } | ^ { p } - | u ^ { j } | ^ { p } \, | \ | u ^ { k } - u ^ { j } | d x } \\ & { \leq } & { M _ { 1 } \int _ { \mathbb { R } } | \, | u ^ { k } | ^ { p } - | u ^ { j } | ^ { p } \, | \ | u ^ { k } - u ^ { j } | d x } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } g _ { 1 , \varepsilon } } { \partial ^ { 2 } x _ { 2 } } ( x _ { 1 } , \, x _ { 2 } ) = \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 \sqrt { x _ { 2 } } } e ^ { \sqrt { x _ { 2 } } } \right) = \frac { 1 } { 4 x _ { 2 } } e ^ { \sqrt { x _ { 2 } } } - \frac { 1 } { 4 x _ { 2 } \sqrt { x _ { 2 } } } e ^ { \sqrt { x _ { 2 } } } = \frac { 1 } { 4 x _ { 2 } } e ^ { \sqrt { x _ { 2 } } } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { x _ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \log \left( \sinh _ { p } ( T + t ) \right) } & { = \log \left( \sinh _ { p } ( T ) \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \frac { d } { d s } \left\{ \log \left( \sinh _ { p } ( T + s ) \right) \right\} \, d s } \\ & { = \log \left( \sinh _ { p } ( T ) \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \sinh _ { p } ^ { \prime } ( T + s ) } { \sinh _ { p } ( T + s ) } \, d s } \\ & { = \log \left( \sinh _ { p } ( T ) \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \left( 1 + \sinh _ { p } ^ { p } ( T + s ) \right) ^ { 1 / p } } { \sinh _ { p } ( T + s ) } \, d s } \\ & { \geq \log \left( \sinh _ { p } ( T ) \right) + \int _ { 0 } ^ { t } 1 \, d s } \\ & { = \log \left( \sinh _ { p } ( T ) \right) + t } \\ & { = \log \left( \sinh _ { p } ( T ) e ^ { t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K L } ( \kappa , 0 ) } & { = \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \kappa P _ { m } ^ { d } ( t ) - \frac { \left( \kappa P _ { m } ^ { d } ( t ) \right) ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \xi _ { \kappa } ) ^ { 2 } } \right) \left( 1 + \kappa P _ { m } ^ { d } ( t ) \right) ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { ( d - 3 ) / 2 } \, \mathrm { d } t } \\ & { = \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \left[ \kappa \left\langle P _ { m } ^ { \, d } , P _ { 0 } ^ { \, d } \right\rangle + \kappa ^ { 2 } \left\langle P _ { m } ^ { \, d } , P _ { m } ^ { \, d } \right\rangle - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \xi _ { \kappa } ) ^ { 2 } } \left\langle P _ { m } ^ { \, d } , P _ { m } ^ { \, d } \right\rangle - \frac { \kappa ^ { 3 } } { 2 ( 1 + \xi _ { \kappa } ) ^ { 2 } } \left\langle \left( P _ { m } ^ { \, d } \right) ^ { 2 } , P _ { m } ^ { \, d } \right\rangle \right] } \\ & { = \frac { \kappa ^ { 2 } } { \nu _ { d } ( m ) } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ( 1 + \xi _ { \kappa } ) ^ { 2 } } \right) - \frac { \kappa ^ { 3 } } { 2 ( 1 + \xi _ { \kappa } ) ^ { 2 } } \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( P _ { m } ^ { \, d } ( t ) \right) ^ { 3 } ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { ( d - 3 ) / 2 } \, \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to + \infty } \left\{ N ^ { \vartheta } \left\| \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } \right\| \right\} } & { \geq c \left( 1 + | m | ^ { 2 } \right) ^ { - \frac \delta 2 } \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to + \infty } \left\{ N ^ { \vartheta } ( 1 + N \| m \cdot \alpha \| ) ^ { - \vartheta } \right\} } \\ & { \geq c | m | ^ { - \delta } \| m \cdot \alpha \| ^ { - \vartheta } \geq c | m | ^ { \sigma \vartheta - \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 4 ) } = \frac { 1 } { 4 } \left( [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + 2 [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] + \frac { 3 } { 2 } [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] + \frac { 3 } { 2 } [ M _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { Y _ { \mu } ( t _ { r } , \omega ) = \sum _ { \textbf { k } _ { l } , s } f ( \textbf { k } _ { l } , s ) \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } t \mathrm { d } \textbf { k } ^ { \prime } g ( \textbf { k } ^ { \prime } , \textbf { k } _ { l } ) e ^ { - i S ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) } R ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) w ( t , t _ { r } ) + c . c . , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \phi _ { M } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { p } - 1 } \textrm { s g n } ( g _ { I , j } ( f ) ) \phi _ { M , j } ( f _ { D M } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { p } - 1 } \textrm { s g n } ( g _ { Q , j } ( f ) ) \phi _ { M , j } ( f _ { D M } ) \right) ^ { 2 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \bigg ( ( \beta + 1 ) ( 1 9 \lambda + 1 6 ) x _ { 2 } \big ( 9 ( - 1 3 9 \beta + 2 5 1 \lambda + 1 2 7 ) + 2 8 7 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 1 } ^ { 4 } + x _ { 1 } ^ { 2 } \big ( 3 5 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } \le 2 \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } ( L _ { 0 } ^ { 2 } + 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } ) \exp ( 1 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } ) . } \end{array}
p ( t ) = H \biggl ( \frac { 1 } { s _ { i } } \sum _ { j \in I ( t ) } W _ { i j } - \theta \biggr ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \mathrm { ~ i f ~ } \frac { 1 } { s _ { i } } \sum _ { j \in I ( t ) } W _ { i j } \geq \theta } \\ { 0 \mathrm { ~ i f ~ } \frac { 1 } { s _ { i } } \sum _ { j \in I ( t ) } W _ { i j } < \theta } \end{array} \right. \, .
\lambda ^ { p ( o ) } ( t , C ) = 1 / \tau _ { 0 } ^ { p ( o ) } = \lambda _ { 0 } ^ { p ( o ) } + \lambda _ { \mathrm { p i c k - o f f } } ( t ) + \lambda _ { \mathrm { c o n v } } ( C ) + \lambda _ { \mathrm { o t h e r } } ( C )
\hat { \mathcal { Q } } : \left\{ \begin{array} { l l } { \kappa = \frac { x } { u _ { 2 } } , } \\ { \tau = - \frac { u _ { 1 } } { u _ { 2 } } , } \\ { \varphi ( \kappa , \tau ) = \psi ( x , t ) \sqrt { u _ { 2 } } e ^ { - \frac { i } { 2 } \frac { m } { w } \frac { \dot { u } _ { 2 } } { u _ { 2 } } x ^ { 2 } } . } \end{array} \right.
{ \frac { \partial u } { \partial t } } + u { \frac { \partial u } { \partial x } } + g { \frac { \partial \zeta } { \partial x } } = F _ { x } \implies { \frac { \partial u } { \partial t } } + u { \frac { \partial u } { \partial x } } + g { \frac { \partial \eta } { \partial x } } - g S = F _ { x }
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } ^ { \prime } = } & { - \Delta _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } - \Delta _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } - \delta b ^ { \dagger } b , } \\ { H _ { a b } ^ { \prime } = } & { g _ { l } a _ { 1 } b ^ { \dagger } + g _ { r } e ^ { i \omega _ { p } t } a _ { 2 } b ^ { \dagger } + \mathrm { H . c . } , } \\ { H _ { a c } ^ { \prime } = } & { g _ { a } ( e ^ { - i \theta } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + \mathrm { H . c . } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( x _ { t } | x _ { t - 1 } ) = } & { { } \mathcal { N } \left( x _ { t } ; \sqrt { 1 - \beta _ { t } } \cdot x _ { t - 1 } , \beta _ { t } \cdot \mathbf { I } \right) } \\ { p ( x _ { t } | x _ { 0 } ) = } & { { } \mathcal { N } \left( x _ { t } ; \sqrt { \hat { \alpha _ { t } } } \cdot x _ { 0 } , ( 1 - \hat { \alpha } _ { t } ) \cdot \mathbf { I } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta _ { i , m } ( t ) } & { = } & { \eta _ { i , m } \int _ { 0 } ^ { t } f _ { \mathrm { s d f } , i } ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { m } t ^ { \prime } } d t ^ { \prime } , } \\ { \Theta _ { i , j } ( t ) } & { = } & { 2 \sum _ { m } \eta _ { i , m } \eta _ { j , m } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } f _ { \mathrm { s d f } , i } ( t ^ { \prime } ) } \\ & { } & { \times f _ { \mathrm { s d f } , j } ( t ^ { \prime \prime } ) \sin \omega _ { m } \left( t ^ { \prime } - t ^ { \prime \prime } \right) d t ^ { \prime } d t ^ { \prime \prime } . } \end{array}
{ \frac { ( f _ { i } f _ { j } ^ { \prime } + f _ { i } ^ { \prime } f _ { j } ) f _ { 2 4 } v _ { 2 } ^ { 2 } m _ { E } \mu _ { 1 2 } \mu _ { 3 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } v _ { 1 } M _ { S U S Y } ^ { 2 } m _ { \chi } } } \ln { \frac { m _ { \chi } ^ { 2 } } { M _ { S U S Y } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { k _ { n } } & { { } = } & { \sigma _ { n - 1 } \, k _ { n - 1 } = \cdots = \sigma _ { n - 1 } \cdots \sigma _ { 1 } \, \sigma _ { 0 } \, k _ { 0 } \quad , \quad \equiv \hat { \sigma } \, k _ { 0 } } \\ { H ( k _ { n } ) } & { { } = } & { \sigma _ { n - 1 } \, \tau _ { n - 1 } \, H ( k _ { n - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { d L ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { D } { L } \; d \tau \ + \; } & { \sqrt { D } \ d W _ { \tau } \qquad \mathrm { f o r } \ \ L < L _ { f } } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot { \boldsymbol { m } } = S = d _ { r } ( q \, \Delta q ^ { \ast } + q ^ { \ast } \, \Delta q ) + 2 \ell _ { r } \rho + 2 c _ { r } \rho ^ { 2 } + 2 q _ { r } \rho ^ { 3 } } \\ & { { \mathrm { w i t h ~ } } { \boldsymbol { m } } = 2 d _ { i } \operatorname { I m } ( q ^ { \ast } \nabla q ) . } \end{array} }
\operatorname { E } ( x ^ { 2 } ) = 3 a ^ { 2 } , \, \operatorname { E } ( \ln ( x ) ) \! = \! 1 \! + \! \ln \left( { \frac { a } { \sqrt { 2 } } } \right) \! - \! { \frac { \gamma _ { \mathrm { E } } } { 2 } }
\mathbf { S } ^ { \ast T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } = ( \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { B } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { S } ^ { \ast T } \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - z _ { s } } - \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { B } ^ { \ast } \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } ) .
\begin{array} { r l r } { ( \rho ) _ { i , j , K _ { M A X } } } & { = } & { ( \rho ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { , } } \\ { ( u ) _ { i , j , K _ { M A X } } } & { = } & { ( u ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { , } } \\ { ( v ) _ { i , j , K _ { M A X } } } & { = } & { ( v ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { , } } \\ { ( w ) _ { i , j , K _ { M A X } } } & { = } & { ( w ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { , } } \\ { ( e ) _ { i , j , K _ { M A X } } } & { = } & { ( e ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { t } = 1 + \frac { 1 } { 2 } ( \gamma - 1 ) M _ { \infty } ^ { 2 } \, } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { P _ { t } = \frac { 1 } { \gamma } ( T _ { t } ) ^ { \frac { \gamma } { \gamma - 1 } } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
b ^ { 2 } - 4 a c = ( 1 2 Q ^ { 2 } + 3 Q + 1 ) ^ { 2 } - 2 4 Q ^ { 2 } = 1 4 4 Q ^ { 4 } + 7 2 Q ^ { 3 } + 9 Q ^ { 2 } + 6 Q + 1
^ { \vee } \! \rho ^ { \downarrow } ( \delta _ { \uparrow } ( \phi ^ { \downarrow } ) \zeta _ { m } ) \geq \nu ^ { \downarrow } ( ( \delta _ { \uparrow } ( \phi ^ { \downarrow } ) \zeta _ { m } ) ( \phi ^ { \downarrow } h _ { \ell } ) ) + \rho ^ { \downarrow } ( \phi ^ { \downarrow } h _ { \ell } ) = \nu ^ { \downarrow } ( \zeta _ { m } ( h _ { \ell } ) ) + \rho ^ { \downarrow } ( \phi ^ { \downarrow } h _ { \ell } ) .