harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathbf { I } } & { = } & { \frac { 6 } { T } K _ { 1 } \left( \frac { 1 } { T } \right) , } \\ { \mathbf { I I } } & { = } & { - \frac { 6 } { T } K _ { 1 } \left( \frac { 1 } { T } \right) + 6 \frac { 1 } { T ^ { 2 } } K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) , } \\ { \mathbf { I I I } } & { = } & { - \frac { 1 4 } { 3 } \frac { 1 } { T ^ { 2 } } K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) + \frac { 2 } { 9 } \frac { 1 } { T ^ { 3 } } K _ { 3 } \left( \frac { 1 } { T } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \Pi _ { 1 } ^ { \mu \nu } } & { = } & { - \frac { 1 } { 4 } e ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } \frac { p ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \Pi _ { 1 } ( p ^ { 2 } ) + \frac { e ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 9 m ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] , } \\ { i \Pi _ { 3 } ^ { \mu \nu } } & { = } & { - \frac { 1 } { 4 } e ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } \frac { p ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \Pi _ { 3 } ( p ^ { 2 } ) + \frac { e ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 9 m ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] , } \\ { i \Pi _ { 4 } ^ { \mu \nu } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } \frac { p ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \Pi _ { 4 } ( p ^ { 2 } ) - \frac { e ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 2 m ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] , } \end{array}
< \bar { 0 } | \phi ( x ) \phi ( x ^ { \prime } ) | \bar { 0 } > = - { \frac { A ^ { \alpha } ( x ) A ^ { \alpha } ( x ^ { \prime } ) } { 4 \pi ^ { 2 } } } \left\{ [ v ( x ) - v ( x ^ { \prime } ) ] ^ { 2 } + ( y - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z - z ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( t - t ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right\}
\begin{array} { r c c c c l } { { ( 1 - r ) l ( r ) \; = \; } } & { { \frac { 1 } { 4 } ( 1 + r ) \ln \left[ ( 1 + r ) / 2 \right] } } & { { + } } & { { \frac { 1 } { 1 2 } ( 2 + r ) \ln \left[ ( 2 + r ) / 3 \right] } } & { { - } } & { { \frac { 3 } { 4 } r \ln ( r ) } } \\ { { B _ { s } ~ \textrm { m i x i n g : } \quad } } & { { B _ { s } \leftrightarrow B ^ { * } K } } & { { } } & { { B _ { s } \leftrightarrow B _ { s } ^ { * } \eta } } & { { } } & { { } } \\ { { B _ { d } ~ \textrm { m i x i n g : } \quad } } & { { B \leftrightarrow B _ { s } ^ { * } K } } & { { } } & { { B \leftrightarrow B ^ { * } \eta } } & { { } } & { { B \leftrightarrow B ^ { * } \pi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 0 } } \int _ { V } d \mathbf { r } \, ( \nabla \cdot \varepsilon \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } ) ( \nabla \cdot \varepsilon \mathbf { A } _ { \parallel } ) } & { { } } \\ { - \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 0 } } \int _ { S } d \mathbf { r } \, \hat { n } \cdot } & { { } \left[ ( \nabla \cdot \varepsilon \mathbf { A } _ { \parallel } ) \varepsilon \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } \right] } \end{array}
A ( \ell , \vec { s } \, ) \equiv \frac { \Delta \sigma ( \ell , \vec { s } \, ) } { \sigma ( \ell ) } = \frac { \sigma ( \ell , \vec { s } \, ) - \sigma ( \ell , - \vec { s } \, ) } { \sigma ( \ell , \vec { s } \, ) + \sigma ( \ell , - \vec { s } \, ) } \ .
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { \phi ^ { \prime } } } & { \equiv } & { \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } \left( u _ { \mu } ^ { \prime } - \frac { q } { 2 } F _ { \mu \nu } ^ { \prime } r _ { 1 } ^ { \prime \nu } \right) } \\ & { } & { + \varepsilon \frac { \partial r _ { 2 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } u _ { \mu } ^ { \prime } + \varepsilon \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } V _ { \mu } ^ { \prime } + \varepsilon \frac { q } { 2 } r _ { 1 } ^ { \prime \nu } \frac { \partial r _ { 2 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } F _ { \nu \mu } ^ { \prime } } \\ & { } & { + \varepsilon \frac { q } { 2 } r _ { 2 } ^ { \prime \nu } \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } F _ { \nu \mu } ^ { \prime } + \varepsilon \frac { q } { 2 } r _ { 1 } ^ { \prime \varsigma } r _ { 1 } ^ { \prime \nu } \frac { \partial ^ { 2 } A _ { \mu } ^ { \prime } } { \partial r ^ { \prime \nu } \partial r ^ { \prime \varsigma } } \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { e ^ { z + w z } } & { = \sum _ { m , n \geq 0 } { \binom { n } { m } } w ^ { m } { \frac { z ^ { n } } { n ! } } } \\ { e ^ { w ( e ^ { z } - 1 ) } } & { = \sum _ { m , n \geq 0 } { \left\{ \begin{array} { l } { n } \\ { m } \end{array} \right\} } w ^ { m } { \frac { z ^ { n } } { n ! } } } \\ { { \frac { 1 } { ( 1 - z ) ^ { w } } } } & { = \sum _ { m , n \geq 0 } { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { m } \end{array} \right] } w ^ { m } { \frac { z ^ { n } } { n ! } } } \\ { { \frac { 1 - w } { e ^ { ( w - 1 ) z } - w } } } & { = \sum _ { m , n \geq 0 } \left\langle { \begin{array} { l } { n } \\ { m } \end{array} } \right\rangle w ^ { m } { \frac { z ^ { n } } { n ! } } } \\ { { \frac { e ^ { w } - e ^ { z } } { w e ^ { z } - z e ^ { w } } } } & { = \sum _ { m , n \geq 0 } \left\langle { \begin{array} { l } { m + n + 1 } \\ { m } \end{array} } \right\rangle { \frac { w ^ { m } z ^ { n } } { ( m + n + 1 ) ! } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { c _ { | | } ^ { 2 } } \partial _ { t t } ( \gamma _ { 1 } \partial _ { t } T - \lambda \Delta T ) = \Delta \left[ \left( \rho c - \frac { 6 E ^ { \textrm { d e v } } E ^ { \textrm { s p h } } \chi ^ { 2 } T _ { 0 } } { E ^ { \textrm { s p h } } + 2 E ^ { \textrm { d e v } } } \right) \partial _ { t } T - \lambda \Delta T \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { \uparrow } ^ { * } u _ { \downarrow } } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { - \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { 0 . } \end{array}
F ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \exp { \Big ( } - { \big ( } 1 + \xi { \frac { x - \mu } { \sigma } } { \big ) } ^ { - { \frac { 1 } { \xi } } } { \Big ) } } & { { \mathrm { i f ~ } } \xi \neq 0 , } \\ { \exp { \Big ( } - e ^ { - { \frac { x - \mu } { \sigma } } } { \Big ) } } & { { \mathrm { i f ~ } } \xi = 0 . } \end{array} \right. }
\operatorname { E } S _ { \alpha } ( X ) = \mu + \sigma { \frac { \nu + ( \mathrm { T } ^ { - 1 } ( \alpha ) ) ^ { 2 } } { \nu - 1 } } { \frac { \tau ( \mathrm { T } ^ { - 1 } ( \alpha ) ) } { 1 - \alpha } }
f \left( x , l , r _ { w } \right) = \left( \frac { r } { l + r _ { w } } \right) ^ { d - 1 } \left[ 1 + 0 . 3 \left( 1 - \frac { x - r _ { w } } { l } \right) \left( \frac { r _ { w } } { l + r _ { w } } \right) ^ { 4 } \right]
\Omega ( t , \theta , \varphi ) = \omega _ { N } \mathbf { 1 } _ { 0 < \theta < \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) } + \omega _ { S } \mathbf { 1 } _ { \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) \leqslant \theta < \pi } + 2 \widetilde { \gamma } \cos ( \theta ) .
\begin{array} { r } { - \Delta ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { \hat { \mu } _ { 1 } } - \Delta ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { - \hat { \mu } _ { 1 } } = } \\ { - ( - \Delta ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { \hat { \mu } _ { 2 } } - \Delta ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { - \hat { \mu } _ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { N \to 0 } U ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ) = - e ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ) } \oint \frac { d u _ { 1 } d u _ { 2 } } { ( 2 i \pi ) ^ { 2 } } e ^ { u _ { 1 } \sigma _ { 1 } + u _ { 2 } \sigma _ { 2 } } } \\ & { } & { \times [ ( \mathrm { l o g } ( 1 + \frac { \sigma _ { 1 } } { u _ { 1 } } ) + ( \mathrm { l o g } ( 1 + \frac { \sigma _ { 2 } } { u _ { 2 } } ) ] \frac { 1 } { ( u _ { 1 } - u _ { 2 } + \sigma _ { 1 } ) ( u _ { 2 } - u _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p _ { t } } & { = P ( A _ { t } , A _ { t } ) = P ( A _ { t } ) ^ { 2 } } \\ & { = \left( P ( A _ { t } \mid A A _ { t - 1 } ) P ( A A _ { t - 1 } ) + P ( A _ { t } \mid A a _ { t - 1 } ) P ( A a _ { t - 1 } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { = \left( ( 1 ) p _ { t - 1 } + ( 0 . 5 ) 2 q _ { t - 1 } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \left( p _ { t - 1 } + q _ { t - 1 } \right) ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } P _ { N } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } - \partial _ { \phi _ { i } } \bigg \{ \big [ \omega + \Gamma \sum _ { j = 1 } ^ { N } \theta _ { i j } \sin ( 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ) \big ] P _ { N } \bigg \} } \\ & { + D \partial _ { \phi _ { i } } ^ { 2 } P _ { N } - v \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bigg \{ \cos ( \phi _ { i } ) \partial _ { x _ { i } } + \sin ( \phi _ { i } ) \partial _ { y _ { i } } \bigg \} P _ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 1 2 } ^ { q } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E \left( f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) \sum _ { \gamma , \delta = 1 , 2 } [ A _ { \gamma \delta } ( 1 ) A _ { \delta \gamma } ( 2 ) ] \right) . } \end{array}
S _ { P Q } = \int _ { x , \tau } \left[ \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } | \Vec { P } | ^ { 2 } | \Vec { Q } | ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 2 } } { 2 } ( \Vec { P } \cdot \Vec { Q } ) ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 3 } } { 2 } \sum _ { i } P _ { i } ^ { 2 } Q _ { i } ^ { 2 } \right]
\Gamma ^ { - 1 } ( \overline { { { \nu } } } K ^ { + } ) _ { \mathrm { n e w } } ^ { \mathrm { u p p e r } } \, \approx ( 2 . 5 \, \mathrm { - } \, 1 0 ) \times 1 0 ^ { 3 3 } \, \mathrm { y e a r s } \ \mathrm { ( S O ( 1 0 ) ~ o r s t r i n g ~ G ( 2 2 4 ) ) } \ ( \mathrm { I n d e p . ~ o f ~ } \tan \beta ) \ .
a b = a b { \left| \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right| } = a { \left| \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { b } \end{array} \right| } = { \left| \begin{array} { l l } { a } & { 0 } \\ { 0 } & { b } \end{array} \right| } = b { \left| \begin{array} { l l } { a } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right| } = b a { \left| \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right| } = b a ,
\mathrm { p e r c e i v e d \ s p e e d } = { \frac { \mathrm { p r o j e c t i o n \ f r a m e \ r a t e } } { \mathrm { c a m e r a \ f r a m e \ r a t e } } } \times \mathrm { a c t u a l \ s p e e d }
\begin{array} { r l r } { \rho _ { i } s _ { i + 1 } \rho _ { i } } & { = } & { \rho _ { i } ( \rho _ { i } \ldots \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i + 1 } \ldots \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \ldots \rho _ { i + 1 } ) ( \rho _ { 1 } \ldots \rho _ { i } ) \rho _ { i } } \\ & { = } & { ( \rho _ { i - 1 } \ldots \rho _ { 1 } ) \rho _ { i + 1 } ( \rho _ { i } \ldots \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \ldots \rho _ { i } ) \rho _ { i + 1 } ( \rho _ { 1 } \ldots \rho _ { i - 1 } ) } \\ & { = } & { \rho _ { i + 1 } ( \rho _ { i - 1 } \ldots \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \ldots \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \ldots \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \ldots \rho _ { i - 1 } ) \rho _ { i + 1 } } \\ & { = } & { \rho _ { i + 1 } s _ { i } \rho _ { i + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 = g ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { N } | g _ { j , N } ( 0 ) | ^ { 2 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { N } | \nu _ { n } ( g _ { j , N } ( \cdot ) K ( 0 , \cdot ) ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nu _ { n } ( | g _ { j , N } | ^ { 2 } ) K ( 0 , 0 ) = \nu _ { n } ( g ) K ( 0 , 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u = \Delta u - \frac { \nabla u } { | \nabla u | } \cdot \nabla ^ { 2 } u \frac { \nabla u } { | \nabla u | } } & { \mathrm { i n ~ } \mathbb { R } ^ { d } \times ( 0 , T ) , } \\ { u = g } & { \mathrm { o n ~ } \mathbb { R } ^ { d } \times \{ t = 0 \} . } \end{array} \right. } \end{array}
\rho ^ { + } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \! \gamma ^ { 0 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \quad , \quad \rho ^ { - } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \! \gamma ^ { 0 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
f ( x ; \alpha , \beta , c , \mu ) = { \frac { 1 } { \pi } } \Re \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - q ) ^ { n } } { n ! } } \left( { \frac { i } { x - \mu } } \right) ^ { \alpha n + 1 } \Gamma ( \alpha n + 1 ) \right]
{ \frac { S _ { n } ( t ) } { S _ { 0 } ( t ) } } = S _ { n } ( 0 ) \exp \left( \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { d = 1 } ^ { D } \sigma _ { n , d } ( s ) d W _ { d } ( s ) + \int _ { 0 } ^ { t } \left[ b _ { n } ( s ) - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { d = 1 } ^ { D } \sigma _ { n , d } ^ { 2 } ( s ) \right] d s ) \right) , \quad \forall 0 \leq t \leq T , \quad n = 1 \ldots N .
\begin{array} { r l } { s _ { k } } & { { } = { \frac { \left( 3 + 2 { \sqrt { 2 } } \right) ^ { k } - \left( 3 - 2 { \sqrt { 2 } } \right) ^ { k } } { 4 { \sqrt { 2 } } } } , } \\ { t _ { k } } & { { } = { \frac { \left( 3 + 2 { \sqrt { 2 } } \right) ^ { k } + \left( 3 - 2 { \sqrt { 2 } } \right) ^ { k } - 2 } { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \! \dot { \theta } _ { A } ^ { k } = } & { { } \frac { q _ { k } ^ { 2 } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \left[ \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \mathcal { A } _ { B } ^ { k } ( \kappa - \delta ) - \mathrm { I m } ( \mathrm { K } ^ { k } ) \right] + \xi _ { \theta _ { A } ^ { k } } } \\ { \! \! \dot { \theta } _ { B } ^ { k } = } & { { } - \frac { q _ { k } ^ { 2 } } { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } ( \kappa + \delta ) } + \xi _ { \theta _ { B } ^ { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| T _ { j } f \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } = \Big \| \frac { g ( x , c _ { Q } ) ^ { N _ { 1 } } } { g ( x , c _ { Q } ) ^ { N _ { 1 } } } \, T _ { j } f \Big \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } } \\ & { \lesssim 2 ^ { - j \varepsilon } \Big \| \frac { 1 } { g ( x , c _ { Q } ) ^ { N _ { 1 } } } \Big \| _ { L ^ { p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } \| g ( x , c _ { Q } ) ^ { N _ { 1 } } \, 2 ^ { j \varepsilon } T _ { j } f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } } \end{array}
\Delta m \sim \frac { 1 } { r _ { c } } = M _ { * } \left( \frac { M _ { * } } { M _ { \mathrm { p l } } } \right) ^ { 2 / n } \sim \left( \frac { M _ { * } } { \mathrm { T e V } } \right) ^ { n + 2 / 2 } 1 0 ^ { ( 1 2 \, n - 3 1 ) / n } \, \, \mathrm { e V } ,
T = \tau ^ { 2 } = \exp \left[ - \pi \, k \left| h _ { s } \right| \frac { \sin ^ { 2 } \alpha } { 2 - \cos \alpha } \left( 1 + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \, \epsilon ^ { 2 } \, { \bar { \mu } } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \alpha \right) \right] _ { * } ,
{ \begin{array} { r l } { V _ { s } } & { = \left\{ \left. z _ { 0 } \left( s - { \frac { 1 } { 2 } } + i x \right) \right\vert x \in \mathbf { R } \right\} \quad { \mathrm { a n d } } } \\ { H _ { t } } & { = \left\{ \left. z _ { 0 } \left( x + i \left( t - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \right) \right\vert x \in \mathbf { R } \right\} , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \overrightarrow { \Xi } _ { j } ^ { \varepsilon n } ( s ) \big ) ^ { 2 } \nabla ^ { 1 , n } T _ { v _ { n } ^ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s = \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \mathcal { X } _ { s } ^ { n } \big ( \iota _ { \varepsilon } ( { \textstyle \frac { j - v _ { n } ^ { 1 } s } { n } } ; \cdot ) \big ) ^ { 2 } \nabla ^ { 1 , n } T _ { v _ { n } ^ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s . } \end{array}
V _ { 1 ( 2 ) } = ( E - \omega ) ( E ^ { 4 } + g _ { s } ^ { 4 } - 4 E ^ { 3 } \omega + ( \Omega _ { 1 ( 2 ) } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ( \xi ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) - E ^ { 2 } ( 2 g _ { s } ^ { 2 } + \Omega _ { 1 ( 2 ) } ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } - 6 \omega ^ { 2 } ) + g _ { s } ^ { 2 } ( \Omega _ { 1 ( 2 ) } ^ { 2 } - 2 \omega ^ { 2 } ) + 2 E \omega ( 2 g _ { s } ^ { 2 } + \Omega _ { 1 ( 2 ) } ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } - 2 \omega ^ { 2 } ) )
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { i \theta } ( v ) } & { = \mathcal { T } _ { ( v + 1 ) \theta } ( v ) } \\ & { = \Lambda _ { ( v + 1 ) \theta } ( \theta T + t _ { v } ) - \Lambda _ { ( v + 1 ) ( \theta + 1 ) } ( ( \theta + 1 ) T + t _ { v } ) } \\ & { = \bigg \{ \theta \Big [ \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( \alpha _ { \lambda _ { i } } - \alpha _ { \lambda _ { i + 1 } } ) t _ { i } + ( \alpha _ { \lambda _ { m } } - \alpha _ { \lambda _ { 1 } } ) T \Big ] } \\ & { \quad + \sum _ { l = 1 } ^ { v } ( \alpha _ { \lambda _ { l } } - \alpha _ { \lambda _ { l + 1 } } ) ( \theta T + t _ { l } ) + \alpha _ { \lambda _ { v + 1 } } ( \theta T + t _ { v } ) \bigg \} } \\ & { \quad - \bigg \{ ( \theta + 1 ) \Big [ \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( \alpha _ { \lambda _ { i } } - \alpha _ { \lambda _ { i + 1 } } ) t _ { i } + ( \alpha _ { \lambda _ { m } } - \alpha _ { \lambda _ { 1 } } ) T \Big ] } \\ & { \quad + \sum _ { l = 1 } ^ { v } ( \alpha _ { \lambda _ { l } } - \alpha _ { \lambda _ { l + 1 } } ) \Big [ ( \theta + 1 ) T + t _ { l } \Big ] } \\ & { \quad + \alpha _ { \lambda _ { v + 1 } } \Big [ ( \theta + 1 ) T + t _ { v } \Big ] \bigg \} } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( \alpha _ { \lambda _ { i } } - \alpha _ { \lambda _ { i + 1 } } ) t _ { i } - \alpha _ { \lambda _ { m } } T } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( \alpha _ { \lambda _ { i } } - \alpha _ { \lambda _ { i + 1 } } ) t _ { i } - \alpha _ { \lambda _ { m } } T + \alpha _ { \lambda _ { 1 } } t _ { 0 } } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \alpha _ { \lambda _ { i } } ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) . } \end{array}
f ^ { n + 1 } = \left( \begin{array} { l } { - ( x _ { n + 1 } - x _ { n } ) } \\ { y _ { n + 1 } } \\ { \left( \begin{array} { l } { \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { u _ { n + 1 } } \end{array} \right) } \end{array} \right) , \qquad e ^ { n + 1 } = \left( \begin{array} { l } { \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { u _ { n + 1 } } \\ { \left( \begin{array} { l } { - R \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { Q ( x ) } & { = } & { \sum _ { s _ { 1 } \subset \{ 1 , 2 , 3 \} } \phi _ { 0 } ^ { 1 } ( x ( s _ { 1 } ) ) Q _ { s _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( 0 ( s _ { 1 } ) ) } \\ & { } & { + \sum _ { \bar { s } ( 2 ) , \mid s _ { 2 } \mid > 0 } \bar { \phi } _ { \bar { s } ( 2 ) } ( x ) \int \phi _ { u ( s _ { 2 } ) } ^ { 1 } ( x ( s _ { 2 } ) ) Q _ { \bar { s } ( 2 ) } ^ { ( 1 ) } ( d u ( s _ { 2 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) } & { = \nabla _ { v } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( v - v ^ { \prime } ) \left\{ G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \nabla _ { v } G _ { 2 } ( v ) - G _ { 2 } ( v ) \nabla _ { v ^ { \prime } } G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \right\} d v ^ { \prime } , } \\ { Q _ { - + } ^ { \varepsilon } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) } & { = \nabla _ { v } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( \varepsilon v - \xi ^ { \prime } ) \left\{ \varepsilon G _ { 1 } ( \xi ^ { \prime } ) \nabla _ { v } G _ { 2 } ( v ) - G _ { 2 } ( v ) \nabla _ { \xi ^ { \prime } } G _ { 1 } ( \xi ^ { \prime } ) \right\} d \xi ^ { \prime } , } \\ { Q _ { + - } ^ { \varepsilon } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) } & { = \nabla _ { \xi } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( \xi - \varepsilon v ^ { \prime } ) \left\{ G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \nabla _ { \xi } G _ { 2 } ( \xi ) - \varepsilon G _ { 2 } ( \xi ) \nabla _ { v ^ { \prime } } G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \right\} d v ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { n } H _ { m n } \frac { D } { { { r ^ { 2 } } } } \frac { \partial } { { \partial r } } ( { r ^ { 2 } } \frac { { \partial R _ { n } ^ { s } ( r , \omega ) } } { { \partial r } } ) P _ { n m } ( \cos \theta ) \cos ( m ( \varphi - \varphi _ { \mathrm { t x } } ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { n } H _ { m n } R _ { n } ^ { s } ( r , \omega ) \frac { D } { { { r ^ { 2 } } \sin \theta } } \frac { \partial } { { \partial \theta } } ( \sin \theta \frac { { \partial P _ { n m } ( \cos \theta ) } } { { \partial \theta } } ) + } \\ { \frac { D } { { { r ^ { 2 } } { { \sin } ^ { 2 } } \theta } } \frac { { { \partial ^ { 2 } } ( \cos ( m ( \varphi - \varphi _ { \mathrm { t x } } ) ) ) } } { { \partial { \varphi ^ { 2 } } } } - ( \mathcal K ( i \omega ) + { i \omega } ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { n } H _ { m n } R _ { n } ^ { s } ( r , \omega ) P _ { n m } ( \cos \theta ) \cos ( m ( \varphi - \varphi _ { \mathrm { t x } } ) ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left[ W \partial _ { t } \xi \right] d t d k } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left[ \frac { 1 } { k ^ { 3 } } u \left( \frac { \sqrt { 1 + \lambda ^ { 2 } k ^ { 2 } } } { k } , t \right) \partial _ { t } \xi ( k , t ) \right] d k d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \lambda } ^ { + \infty } \left[ u \left( p , t \right) \partial _ { t } \left( p \xi \left( \frac { 1 } { \sqrt { p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } } , t \right) \right) \right] d p d t } \end{array}
\Gamma ( { \bf 0 } , \omega ) = \frac { i { \cal M } ( { \bf 0 } , \omega ) } { 2 \omega } = : \frac { g ^ { 4 } T } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } \, { \bar { \Gamma } } \left( \frac { \omega } { T } , \frac { m _ { p } } { T } \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } } & { \int _ { \Sigma _ { \tau } } ( r - 1 ) ^ { 1 + \epsilon } ( | X \psi _ { m } | + | T \psi _ { m } | + | \Phi \psi _ { m } | ) ( | F _ { \xi } | + | G _ { m } | ) \, d \sigma d r d \tau \leq C \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq R _ { + } \} } \mathcal { E } _ { 1 - \epsilon } [ \phi _ { m } ] \, d \sigma d r d \tau } \\ & { \: + \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq R _ { + } \} } \eta ( r - 1 ) ^ { 2 + \epsilon } ( | X \psi _ { m } | ^ { 2 } + | K \psi _ { m } | ^ { 2 } + | \Phi \psi _ { m } | ^ { 2 } ) + C \eta ^ { - 1 } | G _ { m } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau , } \end{array}