harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Omega _ { N _ { s } } } & { = \int { \left( \prod _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } - N _ { s } + 1 } { \mathrm { d } \Delta q _ { k } } \right) } } \\ & { \times \delta \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } - N _ { s } + 1 } { \mu _ { k } \Delta q _ { k } ^ { 2 } } + \tilde { w } _ { N _ { s } } \Big [ \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \Big ] \Bigg ) . } \end{array}
Z [ j ] = \int D \phi ~ ~ \mathrm { E x p } \left[ i \{ \frac { 1 } { 2 } [ \partial _ { \mu } \phi _ { i } ] ^ { 2 } - N V [ \frac { \vec { \phi } \cdot \vec { \phi } } { N } ] + \vec { j } \cdot \vec { \phi } \} \right]
\begin{array} { r } { \biggr \{ - ( k _ { 3 } ^ { n } ) ^ { 3 } + \frac { \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } ( k _ { 2 } ^ { n } ) ^ { 3 } \biggr \} / 6 + \biggr \{ k _ { 3 } ^ { n } + \frac { \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } k _ { 1 } ^ { n } k _ { 2 } ^ { n } \biggr \} / 2 \to 0 , } \\ { \biggr \{ ( k _ { 3 } ^ { n } ) ^ { 4 } + \frac { \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } ( k _ { 2 } ^ { n } ) ^ { 4 } \biggr \} / 2 4 + \biggr \{ - ( k _ { 3 } ^ { n } ) ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } k _ { 1 } ^ { n } ( k _ { 2 } ^ { n } ) ^ { 2 } \biggr \} / 4 + \biggr \{ 1 + \frac { \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } ( k _ { 1 } ^ { n } ) ^ { 2 } \biggr \} / 8 \to 0 . } \end{array}
M _ { A } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\mathcal { L } \left[ f \right] = \frac { 1 } { i \omega } \int { { { d } ^ { 2 } } \mathrm { { r } ^ { \prime } } G \left( \mathrm { r } - \mathrm { { r } ^ { \prime } } \right) { { \nabla } _ { { \mathrm { { r } ^ { \prime } } } } } \left[ \sigma \left( { \mathrm { { r } ^ { \prime } } } \right) { { \nabla } _ { { \mathrm { { r } ^ { \prime } } } } } f \left( { \mathrm { { r } ^ { \prime } } } \right) \right] }
\begin{array} { r l } { = } & { { } ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } + \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) \| x ^ { \prime } - y ^ { \prime } \| _ { 1 } - \| x ^ { \prime } - y ^ { \prime } \| _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \langle x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \rangle \| x ^ { \prime } - y ^ { \prime } \| _ { 1 } } \\ { = } & { { } ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } + \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } - \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) - ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } - \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) ^ { 2 } - 2 \langle x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \rangle ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } - \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) } \\ { = } & { { } 2 ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } - \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) ( \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } - \langle x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \rangle ) } \\ { = } & { { } 2 \sum _ { i } ( x _ { i } ^ { \prime } - y _ { i } ^ { \prime } ) \sum _ { i } ( 1 - x _ { i } ^ { \prime } ) y _ { i } ^ { \prime } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { { } = d A } \\ { E } & { { } = - d \varphi - { \frac { \partial A } { \partial t } } } \\ { d { * } A } & { { } = - { * } { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } ( u , t ) } & { = \frac { \gamma \pi ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } } { 2 ^ { \nu - \frac { d + 1 } { 2 } } \Gamma ( \nu ) \alpha _ { s } ^ { ( 2 \nu - d ) } \alpha _ { t } ^ { ( 2 \nu - 1 ) } } \left\{ 2 \pi \alpha _ { s } \Big ( ( \frac { \alpha _ { t } } { \alpha _ { s } } t ) ^ { 2 } + \| u \| ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 2 } \right\} ^ { \nu - \frac { d + 1 } { 2 } } } \\ & { \times \mathcal { K } _ { \nu - \frac { d + 1 } { 2 } } \left( 2 \pi \alpha _ { s } \Big ( ( \frac { \alpha _ { t } } { \alpha _ { s } } t ) ^ { 2 } + \| u \| ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \psi _ { b o s } ( t ) \rangle } & { { } = } & { \sum _ { l = 0 } ^ { M } \beta _ { l } ( t ) ~ \frac { ( b ^ { \dagger } ) ^ { l } } { \sqrt { l ! } } | v a c \rangle = \sum _ { l = 0 } ^ { M } \beta _ { l } ( t ) ~ | l \rangle } \\ { \tilde { H } ( \{ x _ { k } ( t ) \} ) } & { { } = } & { \omega b ^ { \dagger } b - ( b ^ { \dagger } + b ) \sum _ { l = 1 } ^ { N } C _ { k } x _ { k } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \hbar \frac { \partial } { \partial t } L _ { i j k l } ( t , t ^ { \prime } ) } & { = \big [ h ^ { \mathrm { H F } } , L \big ] _ { i j k l } ^ { ( 1 ) } ( t , t ^ { \prime } ) + \pi _ { i j k l } ^ { ( 1 ) } ( t , t ^ { \prime } ) \, , \; } \\ { \mathrm { i } \hbar \frac { \partial } { \partial t ^ { \prime } } L _ { i j k l } ( t , t ^ { \prime } ) } & { = \big [ h ^ { \mathrm { H F } } , L \big ] _ { i j k l } ^ { ( 2 ) } ( t , t ^ { \prime } ) + \pi _ { i j k l } ^ { ( 2 ) } ( t , t ^ { \prime } ) \, , \; \: } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \pi \mathbf { u } ) = \pi \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \mathbf { u } ) } & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { - 1 } ( \pi F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) ) = \pi F _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { - 1 } ( F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) ) } \\ & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { - 1 } ( \pi F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) ) = \pi \mathbf { z } } \\ & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ( \pi \mathbf { z } ) = \pi F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) } \end{array}
P _ { i } = \frac { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 r _ { + } ^ { 4 } + q _ { m } ^ { 2 } \beta \right) } { 8 \pi \left( r _ { + } ^ { 4 } + q _ { m } ^ { 2 } \beta \right) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 \pi r _ { + } ^ { 2 } } .
\lambda _ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } g _ { \alpha \gamma } \frac { m _ { \gamma } } { v } f _ { \gamma \beta } \sin ( 2 \theta ) \ln \left( \frac { M _ { S _ { 2 } } } { M _ { S _ { 1 } } } \right)
\begin{array} { r l } & { \| \nabla f ( w ^ { \prime } ) - \nabla f ( w ) \| = \big \| \mathbb { E } _ { \xi } \big ( \nabla f _ { \xi } ( w ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \big ) \big \| } \\ & { \le \sqrt { \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } } \\ & { \le \| w ^ { \prime } - w \| \sqrt { 2 L _ { 0 } ^ { 2 } + 4 L _ { 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } \exp ( 6 L _ { 1 } ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } ) } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \| w ^ { \prime } - w \| \sqrt { 2 L _ { 0 } ^ { 2 } + 4 L _ { 1 } ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } + 4 L _ { 1 } ^ { 2 } ( \Gamma ^ { 2 } + 1 ) \| \nabla f ( w ) \| ^ { 2 } } \exp ( 6 L _ { 1 } ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } ) } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \| w ^ { \prime } - w \| \big ( 2 L _ { 0 } + 2 L _ { 1 } \Lambda + 2 L _ { 1 } ( \Gamma + 1 ) \| \nabla f ( w ) \| \big ) \exp ( 6 L _ { 1 } ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { V } & { { } = \frac { 4 \pi } { 3 } R _ { 0 } ^ { 3 } } \\ { V } & { { } = \frac { \pi } { 3 } h ^ { 2 } ( 3 R _ { \mathrm { c a l } } - h ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { x } _ { [ \imath ] } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { H } _ { \mathrm { U } , \mathrm { S } } \sqrt { \mathbf { \bar { P } } } \mathbf { c } ( t ) + \mathbf { G } _ { \mathrm { t } } \mathbf { s } _ { [ 1 ] } ( t ) , \quad } & { \mathrm { i f } \ \imath = 1 , } \\ { \mathbf { G } _ { \mathrm { t } } \mathbf { s } _ { [ 2 ] } ( t ) , \quad } & { \mathrm { i f } \ \imath = 2 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ( r ) } & { = \cos ( \tilde { \omega } _ { d } \tau ) \, g _ { \mathrm { r e } } ( r ) - \sin ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) \, g _ { \mathrm { i m } } ( r ) , } \\ { F _ { 2 } ( r ) } & { = \frac { \sin ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) } { 2 \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, g _ { \mathrm { r e } } ( r ) + \frac { \cos ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) } { 2 \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, g _ { \mathrm { i m } } ( r ) \, . } \end{array}
\begin{array} { c c l } { { x _ { \mu } } } & { { \rightarrow } } & { { x _ { \mu } + i \theta \sigma _ { \mu } \bar { \varepsilon } - i \varepsilon \sigma _ { \mu } \bar { \theta } , } } \\ { { \theta } } & { { \rightarrow } } & { { \theta + \varepsilon , } } \\ { { \bar { \theta } } } & { { \rightarrow } } & { { \bar { \theta } + \bar { \varepsilon } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ( \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } ) ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ( \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } ) ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = - \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ( \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } ) ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = - \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ( { \cal K } \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } { \cal K } ^ { - 1 } ) ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = - \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ( { \cal K } T { \cal K } ^ { - 1 } ) ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = T , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ( { \cal K } T ^ { \dagger } { \cal K } ^ { - 1 } ) ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = T ^ { \dagger } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ( \sigma _ { z } \otimes \tau _ { 0 } ) ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = - \sigma _ { z } \otimes \tau _ { 0 } . } \end{array}
g ( \tau ) = \frac { \vartheta _ { 2 } ^ { 4 } ( \tau ) } { \vartheta _ { 3 } ^ { 4 } ( \tau ) + \vartheta _ { 4 } ^ { 4 } ( \tau ) } , ~ ~ ~ ~ ~ f ( \tau ) = \frac { \vartheta _ { 2 } ^ { 4 } ( \tau ) \vartheta _ { 4 } ^ { 4 } ( \tau ) } { ( \vartheta _ { 2 } ^ { 4 } ( \tau ) - \vartheta _ { 4 } ^ { 4 } ( \tau ) ) ^ { 2 } } ~ \, ,
\left( { \frac { a } { p } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \; \; \, 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } a \equiv 0 { \pmod { p } } , } \\ { + 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } a \not \equiv 0 { \pmod { p } } { \mathrm { ~ a n d ~ f o r ~ s o m e ~ i n t e g e r ~ } } x , \; a \equiv x ^ { 2 } { \pmod { p } } } \\ { - 1 } & { { \mathrm { i f ~ t h e r e ~ i s ~ n o ~ s u c h ~ } } x . } \end{array} \right. }
\left\{ \begin{array} { l l } { \, \mathrm { o n e ~ f o r w a r d ~ s h o c k } \; \overrightarrow { S } \! _ { 1 j } \; \mathrm { i s ~ g e n e r a t e d ~ b e t w e e n ~ s t a t e s } \; ( 1 ) \; \mathrm { a n d } \; ( j ) , } \\ { \, \mathrm { o n e ~ b a c k w a r d ~ s h o c k } \; \overleftarrow { S } \! _ { 3 j } \; \mathrm { i s ~ g e n e r a t e d ~ b e t w e e n ~ s t a t e s } \; ( 3 ) \; \mathrm { a n d } \; ( j ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\Vert X _ { \delta } ( t ) - x _ { 0 } \right\Vert } & { \leq \frac { 2 } { \delta } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \delta \right) \int _ { 0 } ^ { t } \left\Vert \nabla h ^ { * } \left( W _ { \delta } ( s ) \right) - \nabla h ^ { * } \left( w _ { 0 } \right) \right\Vert \, d s } \\ & { \leq \frac { 2 L _ { h ^ { * } } } { \delta } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \delta \right) \int _ { 0 } ^ { t } \left\Vert W _ { \delta } ( s ) - w _ { 0 } \right\Vert \, d s } \\ & { \leq \frac { 2 L _ { h ^ { * } } } { \delta } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \delta \right) \int _ { 0 } ^ { t } \frac { s ^ { 2 } } { 2 } A _ { \delta } ( t ) \, d s } \\ & { = \frac { 2 L _ { h ^ { * } } } { \delta } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \delta \right) A _ { \delta } ( t ) \frac { t ^ { 3 } } { 6 } } \\ & { \leq \frac { 2 L _ { h ^ { * } } } { t } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \delta \right) A _ { \delta } ( t ) \frac { t ^ { 3 } } { 6 } } \\ & { = \frac { L _ { h ^ { * } } t ^ { 2 } } { 3 } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \delta \right) A _ { \delta } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu \left( \widetilde { T } \right) = \mu _ { \infty } \left( \frac { \widetilde { T } } { \widetilde { T } _ { \infty } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \frac { \widetilde { T } _ { 0 } + S _ { 1 } } { \widetilde { T } + S _ { 1 } } \mathrm { ~ , ~ } } & { \mathrm { w i t h } \: S _ { 1 } = 1 1 0 . 4 K \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 1 } \right) _ { p q } } & { = - \frac { \delta _ { p 0 } } { \Delta t _ { q } } \equiv - \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 1 } \right) _ { p q } ^ { - } } \\ { \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 2 } \right) _ { p q } } & { = 2 \frac { \delta _ { p 0 } } { \Delta t _ { q } } \left( \frac { H _ { p q } } { \Delta t _ { q } } - \dot { \bar { H } } _ { 0 } \right) \equiv \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 2 } \right) _ { p q } ^ { + } - \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 2 } \right) _ { p q } ^ { - } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \rho \dot { \mathbf u } } & { = - \nabla _ { \Gamma } p + 2 \mu { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } ( \mathbf D _ { \Gamma } ( \mathbf u ) ) + \mathbf b + p \kappa \mathbf n , } \\ { { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } \mathbf u } & { = 0 , } \\ { \dot { \rho } } & { = 0 , } \end{array} \right. \quad \mathrm { o n } ~ \Gamma ( t ) .
\mathrm { ~ S ~ S ~ I ~ M ~ } _ { \mathrm { ~ G ~ T ~ } } = \frac { \left( 2 \mu _ { \lambda } \mu _ { \mathrm { ~ G ~ T ~ } } + c _ { 1 } \right) \left( 2 \sigma _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ v ~ } } + c _ { 2 } \right) } { \left( \mu _ { \lambda } ^ { 2 } + \mu _ { \mathrm { ~ G ~ T ~ } } ^ { 2 } + c _ { 1 } \right) \left( \sigma _ { \lambda } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { ~ G ~ T ~ } } ^ { 2 } + c _ { 2 } \right) } ,
\widetilde { Z } _ { d } \; = \; \int d { \bf v } \prod _ { i = 1 } ^ { d } \int d { \bf s } _ { i } \; \delta ( { \bf s } _ { i } ^ { 2 } - 1 ) \exp \left[ - { \frac { N \beta } { 2 } } { \bf v } ^ { 2 } + N \beta \, { \bf v } \cdot \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } { \bf s } _ { i } \right) - { \frac { N \beta } { 2 } } d \right] \; .
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \pi \mathbf { v } ) ) ) } & { { } = p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \pi \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \end{array}
c \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | ( \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } ) ^ { - } | | _ { 1 } \leq \frac { 8 \lambda ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } s _ { k } } { c } + \frac { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | ( \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } ) ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } } { c } ,
\begin{array} { r } { \sum _ { 1 } ^ { n } m _ { N } { \bf x } _ { N } = 0 , \qquad ( { \bf x } _ { A } - { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { N } - { \bf x } _ { 1 } ) = a _ { A N } . } \end{array}
{ \cal G } _ { ( m ) } ^ { C } = - \int _ { \Sigma _ { t } } ( \theta _ { ( m ) } ^ { \mu } ( \xi ) - \xi ^ { \mu } L _ { ( m ) } ) d \Sigma _ { \mu } = { \cal H } _ { ( m ) } - \Omega _ { H } { \cal J } _ { ( m ) } ^ { C } ~ ~ ~ ,
( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { s _ { A } \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ) } } } } } } } } } }
\nabla _ { \psi } \operatorname { E L B O } ( \phi , \psi \vert y ) = - \operatorname { \mathbb { E } } \left[ \nabla _ { \psi } \ h _ { \beta } \left( y , g _ { \phi } \left( \epsilon \right) , g _ { \psi } \left( \eta \right) , t \right) \right] + \nabla _ { \psi } \mathbb { H } \left[ q _ { \psi } \right] + \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \nabla _ { \psi } h ( \tilde { w } , t \vert g _ { \psi } ( \eta ) ) \middle \vert \eta \right] \right] .
\begin{array} { r } { \displaystyle { \frac { \partial V } { \partial t } } + V \displaystyle { \frac { \partial V } { \partial x } } = - g S + \bar { \nu } \displaystyle { \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial x ^ { 2 } } } , \qquad \displaystyle { \frac { \partial S } { \partial t } } + V \displaystyle { \frac { \partial S } { \partial x } } = \frac { 1 } { \Lambda } V + \bar { \kappa } \displaystyle { \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x ^ { 2 } } } , } \end{array}
\int _ { \varepsilon \Sigma } \left( \frac { \partial f } { \partial { x _ { d } } } \right) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x ^ { \prime } = \varepsilon ^ { d + 2 k - 3 } \int _ { \Sigma } \left[ \frac { \partial } { \partial { x _ { d } } } \left( \frac { f ( \varepsilon x ^ { \prime } ) } { \varepsilon ^ { k } } \right) \right] ^ { 2 } \, \mathrm { d } x ^ { \prime } = O ( \varepsilon ^ { d + 2 k - 3 } ) ,
\begin{array} { r l r } { ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) ( x ) } & { = } & { ( \Pi _ { J _ { 0 , n } } ( Q _ { n } ) - Q _ { 0 , n } ) ( x ) + ( Q _ { n } - \Pi _ { J _ { 0 , n } } ( Q _ { n } ) ) ( x ) } \\ & { = } & { ( \Pi _ { J _ { 0 , n } } ( Q _ { n } ) - Q _ { 0 , n } ) ( x ) + O _ { P } ( C ( M _ { n } ) r ( d , J _ { 0 , n } ) ^ { k + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { { \mathbf { B } } ^ { ( 1 ) } = { \mathbf { R } } \ , \ \ { \mathbf { B } } ^ { ( 2 ) } = { \mathbf { S } } { \mathbf { R } } + { \mathbf { R } } { \mathbf { S } } \ , \ \ { \mathbf { B } } ^ { ( 3 ) } = { \mathbf { S } } ^ { 2 } { \mathbf { R } } + { \mathbf { R } } { \mathbf { S } } ^ { 2 } \ , \ \ { \mathbf { B } } ^ { ( 4 ) } = { \mathbf { R } } ^ { 2 } { \mathbf { S } } - { \mathbf { S } } { \mathbf { R } } ^ { 2 } \ , } \\ & { { \mathbf { B } } ^ { ( 5 ) } = { \mathbf { R } } ^ { 2 } { \mathbf { S } } ^ { 2 } - { \mathbf { S } } ^ { 2 } { \mathbf { R } } ^ { 2 } \ , \ \ { \mathbf { B } } ^ { ( 6 ) } = { \mathbf { S } } { \mathbf { R } } ^ { 2 } { \mathbf { S } } ^ { 2 } - { \mathbf { S } } ^ { 2 } { \mathbf { R } } ^ { 2 } { \mathbf { S } } } \end{array} } \end{array}
< \Phi _ { 1 } ( z , \bar { z } ) \Phi _ { 2 } ( 0 , 0 ) > = \frac { E ( z \bar { z } ) } { z ^ { h _ { 1 } + h _ { 2 } } \bar { z } ^ { \bar { h } _ { 1 } + \bar { h } _ { 2 } } }
N _ { b k g } = 1 0 0 0 ~ \mathrm { ~ d ~ r ~ u ~ } \times 0 . 0 0 3 7 5 ~ \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } \times 3 6 5 ~ \mathrm { ~ d ~ a ~ y ~ s ~ } \times 1 ~ \mathrm { ~ k ~ g ~ } \sim 1 0 0 0 .
\begin{array} { r l } & { P _ { \perp } = ( \vec { P } _ { \mathrm { f r a g } } ) _ { \perp } } \\ & { P _ { \parallel } = \frac { ( \vec { P } _ { \mathrm { f r a g } } ) _ { \parallel } - \beta _ { 0 } E _ { \mathrm { f r a g } } } { 1 - \beta _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ & { P _ { 3 { \perp } } = ( \vec { P } _ { 1 } + \vec { P } _ { 2 } ) _ { \perp } } \\ & { P _ { 3 { \parallel } } = \sqrt { 1 - \beta _ { 0 } ^ { 2 } } ( \vec { P } _ { 1 } + \vec { P } _ { 2 } ) _ { \parallel } - \beta _ { 0 } ( M _ { \mathrm { b e a m } } - M _ { \mathrm { f r a g } } ) , } \end{array}
\gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { { - i } } } \\ { { i } } & { { { 0 } } } \end{array} \right) , \quad \gamma ^ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { { i } } } \\ { { i } } & { { { 0 } } } \end{array} \right) , \quad \gamma ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { i } } & { { { 0 } } } \\ { { 0 } } & { { { - i } } } \end{array} \right) .
R _ { k } ^ { b b } \sim \frac { \sin \! \left( \frac { ( k + 1 ) r \pi } { L } \right) } { \sin \! \left( \frac { r \pi } { L } \right) } \: t ^ { ( k + 1 ) ^ { 2 } - 1 } \qquad k = 1 , 2 , \ldots , L - 2 .
\varepsilon _ { 0 } = \frac { E _ { 0 } } { A L _ { z } } = \frac { e B } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d p _ { z } \left( \sqrt { m ^ { 2 } + p _ { z } ^ { 2 } } - 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sqrt { m ^ { 2 } + p _ { z } ^ { 2 } + 2 e B n } \right) .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( Y ) } & { = \operatorname { E } [ \operatorname { V a r } ( Y \mid Z ) ] + \operatorname { V a r } ( \operatorname { E } [ Y \mid Z ] ) } \\ & { = E \left[ \left( { \frac { 2 Z } { N } } \right) \left( 1 - { \frac { Z } { N } } \right) \right] + \operatorname { V a r } ( Z ) } \\ & { = \left( { \frac { 2 \operatorname { E } [ Z ] } { N } } \right) \left( 1 - { \frac { \operatorname { E } [ Z ] } { N } } \right) + \left( 1 - { \frac { 2 } { N ^ { 2 } } } \right) \operatorname { V a r } ( Z ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \phi _ { \lambda } ( S _ { n + 1 } ^ { ( \lambda ) } - \mu _ { n } S _ { n } ^ { ( \lambda ) } - \theta _ { n - 1 } S _ { n - 1 } ^ { ( \lambda ) } , x ^ { n - 1 } ) } \\ { = } & { \langle u _ { 0 } , ( P _ { n + 1 } - \tilde { \sigma } _ { n } P _ { n } - \tilde { \tau } _ { n - 1 } P _ { n - 1 } ) x ^ { n - 1 } \rangle } \\ & { + \lambda ( n - 1 ) \langle u _ { 1 } , \{ ( n + 1 ) R _ { n } - \tilde { d } _ { n } R _ { n - 1 } - \tilde { e } _ { n - 1 } R _ { n - 2 } \} x ^ { n - 2 } \rangle } \\ { = } & { - \tilde { \tau } _ { n - 1 } p _ { n - 1 } - \lambda ( n - 1 ) \tilde { e } _ { n - 1 } r _ { n - 2 } = - \theta _ { n - 1 } s _ { n - 1 } , ~ n \geq 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { A , M } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { \sum _ { m = 1 } ^ { m = M } \mathcal { N } _ { A } ^ { ( m ) } \equiv \sum _ { m = 1 } ^ { m = M } \sum _ { j = 0 } ^ { j = m } \mathcal { N } _ { A } ^ { ( m j ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( j - 1 ) ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } , ~ \mathrm { a n d } ~ } \\ { \mathcal { N } _ { B , M } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { \sum _ { m = 1 } ^ { m = M } \mathcal { N } _ { B } ^ { m ) } \equiv \sum _ { m = 1 } ^ { m = M } \sum _ { j = 0 } ^ { j = m } \mathcal { N } _ { B } ^ { ( i j ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( j - 1 ) ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { \sum { \mathrm { n _ { i } } } } \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { n _ { p } } n _ { i } ( \overline { { I } } _ { i } - < \overline { { I } } > ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sum { \mathrm { n _ { i } } } } \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { n _ { p } } \mathrm { n _ { i } } \sigma _ { I _ { i } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c ^ { j } \frac { \partial \phi } { \partial x ^ { j } } = c ^ { j } \frac { \partial \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { j } } \frac { \partial \phi } { \partial \xi ^ { \alpha } } , } \\ & { a ^ { k j } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { j } \partial x ^ { k } } = a ^ { k j } \frac { \partial \xi ^ { \beta } } { \partial x ^ { j } } \frac { \partial \xi ^ { \gamma } } { \partial x ^ { k } } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial \xi ^ { \beta } \partial \xi ^ { \gamma } } + a ^ { k j } \frac { \partial ^ { 2 } \xi ^ { \gamma } } { \partial x ^ { k } \partial x ^ { j } } \frac { \partial \phi } { \partial \xi ^ { \gamma } } , } \\ & { \frac { \partial } { \partial x ^ { \alpha } } \left( c ^ { \alpha } \phi \right) = \frac { 1 } { J } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { k } } \left( J c ^ { \alpha } \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \alpha } } \phi \right) , } \\ & { \frac { \partial } { \partial x ^ { k } } \left( a ^ { k j } \frac { \partial \phi } { \partial x ^ { j } } \right) = \frac { 1 } { J } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { k } } \left( J \left( a ^ { \alpha j } \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \alpha } } \frac { \partial \xi ^ { \beta } } { \partial x ^ { j } } \right) \frac { \partial \phi } { \partial \xi ^ { \beta } } \right) . } \end{array}