harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } _ { 1 1 } x _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } & { \bumpeq \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { u ( i _ { 1 } - 1 , i _ { 2 } ) } & { \cdots } & { u ( i _ { 1 } + 1 - r , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { u ( i _ { 1 } - 1 , i _ { 2 } - r ) } & { \cdots } & { u ( i _ { 1 } + 1 - r , i _ { 2 } - r ) } \end{array} \right) , } \\ { \boldsymbol { A } _ { 1 2 } x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } & { \bumpeq \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } - 1 ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } - r ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \boldsymbol { B } _ { 1 } u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \bumpeq \left( \begin{array} { l l l l } { u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
a _ { 0 } = 1 . 7 3 \times 1 0 ^ { 6 } \frac { ( 1 0 \mathrm { c m } ) ^ { 2 } } { R _ { a } ^ { 2 } } \, \frac { 1 0 ^ { - 5 } \mathrm { e V } } { m _ { a } } \, .
\begin{array} { r l } { \lVert \lambda ( t ) - \eta \rVert _ { Y } ^ { 2 } } & { = \mathcal { O } \big ( \mathrm { e } ^ { - \alpha t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \\ { \lVert \dot { \lambda } ( t ) \rVert _ { Y } ^ { 2 } } & { = \mathcal { O } \big ( \mathrm { e } ^ { - \alpha t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { e } _ { \tau } } & { { } = } & { \left( \frac { \tau \cdot \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - 1 } } \mathbf { e } _ { z } + \xi \mathbf { e } _ { y } \right) \cdot \frac { \sqrt { \tau ^ { 2 } - 1 } } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } } } \, , } \\ { \mathbf { e } _ { \xi } } & { { } = } & { \left( \frac { \xi \cdot \sqrt { \tau ^ { 2 } - 1 } } { \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } \mathbf { e } _ { z } + \tau \mathbf { e } _ { y } \right) \cdot \frac { \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } } } \, } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q _ { t } ^ { * } ) - F _ { \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q ) = \tau _ { t } [ \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } ^ { * } \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) ] - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { t } ^ { * } ) , } \\ & { F _ { \hat { \psi } _ { t } } ^ { x } ( p _ { t } ^ { * } ) - F _ { \hat { \psi } _ { t } } ^ { x } ( p ) = \eta _ { t } [ \mathrm { K L } ( p \| p _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( p _ { t } ^ { * } \| p _ { t - 1 } ^ { * } ) ] - ( \eta _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { t } ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| z ( t ) \| _ { X } ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } | z _ { k } ( t ) | ^ { 2 } + \sum _ { k = N } ^ { \infty } | z _ { k } ( t ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } | z _ { k } ( t ) | ^ { 2 } + 4 \sum _ { k = N } ^ { \infty } | z _ { k } ( 0 ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } | z _ { k } ( t ) | ^ { 2 } + 4 R ^ { 2 } . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { n _ { s } } \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \beta ( W _ { F } ^ { i } - \Delta F ) } } - \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { s } } \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \beta ( W _ { R } ^ { j } + \Delta F ) } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \varPsi ^ { i } ( \xi , T ) = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathbb { E } \left[ \left. Q _ { j } ^ { i } ( \eta , T ; 0 ) \varPsi ^ { j } ( \eta , 0 ) \right| X _ { T } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { b } ( 0 , \eta , T , \xi ) \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathbb { E } \left[ \left. Q _ { j } ^ { i } ( \eta , T ; t ) F ^ { j } ( X _ { t } ^ { \eta } , t ) \right| X _ { T } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { b } ( 0 , \eta , T , \xi ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } t } \end{array}
{ \bf A } = \frac { m _ { e } } { e } \overline { { ( \mathbf { v } _ { e h } \cdot \triangledown ) \mathbf { v } _ { e h } } } = \frac { m _ { e } } { 2 e } \nabla \left| \overline { { v _ { e h } ^ { 2 } } } \right| = \frac { e \nabla E _ { h , m a x } ^ { 2 } } { 4 m _ { e } ( \frac { \omega _ { c e } ^ { 2 } } { \omega _ { r f } } - \omega _ { r f } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { q ^ { \mathrm { a r t , P } } } & { { } = \langle \frac { p ^ { \mathrm { r v } } - p ^ { \mathrm { a r t , P } } } { R ^ { \mathrm { a r t , P } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { v e n , P } } } & { { } = \langle \frac { p ^ { \mathrm { v e n , P } } - p ^ { \mathrm { l v } } } { R ^ { \mathrm { v e n , P } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { a r t , S } } } & { { } = \langle \frac { p ^ { \mathrm { l v } } - p ^ { \mathrm { a r t , S } } } { R ^ { \mathrm { a r t , S } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { v e n , S } } } & { { } = \langle \frac { p ^ { \mathrm { v e n , S } } - p ^ { \mathrm { r v } } } { R ^ { \mathrm { v e n , S } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { p e r , P } } } & { { } = \frac { p ^ { \mathrm { a r t , P } } - p ^ { \mathrm { v e n , P } } } { R ^ { \mathrm { p e r , P } } } , } \\ { q ^ { \mathrm { p e r , S } } } & { { } = \frac { p ^ { \mathrm { a r t , S } } - p ^ { \mathrm { v e n , S } } } { R ^ { \mathrm { p e r , S } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> } } & { { } = } & { \left( \frac { \left< r _ { v } ^ { 2 } \right> } { 2 \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> } \frac { \Delta \left< r _ { v } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { v } ^ { 2 } \right> } + \frac { \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } { 2 \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> } \frac { \Delta \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \vert \bar { \mathcal { O } } - \mathcal { O } ^ { * } \vert \leq \operatorname* { s u p } _ { \phi \in \mathcal { M } } \left\vert \mathcal { O } ( \phi ) \right\vert \cdot \bar { w } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } ^ { L L } } & { = M M ^ { \top } - c I } \\ { A _ { 4 } ^ { L L } } & { = M M ^ { \top } A _ { 2 } ^ { L L } - ( c - 1 + d - 1 ) A _ { 2 } ^ { L L } - c ( d - 1 ) I } \\ { M M ^ { \top } A _ { \ell } ^ { L L } } & { = A _ { \ell + 2 } ^ { L L } + ( ( c - 1 ) + ( d - 1 ) ) A _ { \ell } ^ { L L } + ( c - 1 ) ( d - 1 ) A _ { \ell - 2 } ^ { L L } \qquad , \qquad \forall \ell \geq 4 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { \bf n } ^ { ( n ) } = } & { - \Big ( i { \cal L } _ { \mathrm { \tiny ~ S } } + \sum _ { k } n _ { k } \gamma _ { k } \Big ) \rho _ { \bf n } ^ { ( n ) } - i \sum _ { k } \hat { Q } ^ { \times } \rho _ { { \bf n } _ { k } ^ { + } } ^ { ( n + 1 ) } } \\ & { - i \sum _ { k } n _ { k } \big ( \eta _ { k } \hat { Q } ^ { \mathrm { \tiny ~ > ~ } } - \eta _ { \bar { k } } ^ { \ast } \hat { Q } ^ { \mathrm { \tiny ~ < ~ } } \big ) \rho _ { { \bf n } _ { k } ^ { - } } ^ { ( n - 1 ) } . } \end{array}
v _ { B } = \frac { q _ { e } ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } \hbar } = \sqrt { \frac { F _ { e } } { F _ { g } } } V = \frac { q _ { e } } { \sqrt { 4 \pi \epsilon _ { 0 } G m _ { e } m _ { p } } } V ,
\begin{array} { r l } { i [ { W ^ { \alpha } } , { M ^ { \rho \sigma } } ] = } & { i [ \frac { 1 } { 2 } { \varepsilon ^ { \alpha \beta \mu \nu } } { P _ { \beta } } { M _ { \mu \nu } } , { M ^ { \rho \sigma } } ] } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } { \varepsilon ^ { \alpha \beta \mu \nu } } { P _ { \beta } } \left( { \delta _ { \nu } ^ { \rho } { M _ { \mu } } ^ { \sigma } - \delta _ { \mu } ^ { \rho } { M _ { \nu } } ^ { \sigma } - \delta _ { \mu } ^ { \sigma } { M ^ { \rho } } _ { \nu } + \delta _ { \nu } ^ { \sigma } { M ^ { \rho } } _ { \mu } } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } { \varepsilon ^ { \alpha \beta \mu \nu } } \left( { \delta _ { \beta } ^ { \rho } { P ^ { \sigma } } - \delta _ { \beta } ^ { \sigma } { P ^ { \rho } } } \right) M _ { \mu \nu } . } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! C \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { r } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( M \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { p ( a ) = \sum _ { b \in B } p ( a | b ) p ( b ) \stackrel { * } { \longrightarrow } \sum _ { b \in B } p ( a | b ) p ^ { \prime } ( b ) = \sum _ { b \in B } p ( a | b ) \delta _ { b , b ^ { \prime } } = p ( a | b ^ { \prime } ) = p ^ { \prime } ( a ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { = x _ { 1 } , } \\ { y } & { = y _ { 1 } , } \\ { x ^ { \prime } } & { = \frac { x _ { 2 } - x _ { 1 } } { L _ { 1 } } , } \\ { y ^ { \prime } } & { = \frac { y _ { 3 } - y _ { 1 } } { L _ { 1 } + L _ { 2 } + \rho + L _ { 3 } } , } \\ { \delta } & { = \frac { 1 } { \rho + L _ { 3 } } \left( x _ { 3 } + \frac { L _ { 3 } } { \rho } x - \left( { \rho - \frac { ( L _ { 1 } + L _ { 2 } ) L _ { 3 } } { \rho } } \right) x ^ { \prime } \right) . } \end{array}
V _ { \mathrm { d c } } = V _ { \mathrm { a v } } = { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { 3 } } \pi } } \int _ { 6 0 ^ { \circ } } ^ { 1 2 0 ^ { \circ } } { \sqrt { 3 } } \cdot V _ { \mathrm { p e a k } } \cdot \sin \varphi \cdot \mathrm { d } \varphi = { \frac { 3 \cdot { \sqrt { 3 } } \cdot V _ { \mathrm { p e a k } } } { \pi } } \cdot \left( - \cos 1 2 0 ^ { \circ } + \cos 6 0 ^ { \circ } \right) = { \frac { 3 \cdot { \sqrt { 3 } } \cdot V _ { \mathrm { p e a k } } } { \pi } } \cdot { \Biggl [ } - \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } { \Biggl ] } = { \frac { 3 \cdot { \sqrt { 3 } } \cdot V _ { \mathrm { p e a k } } } { \pi } }
\delta \varepsilon ( i | \omega | ) \, \delta ( { \bf r } _ { 2 } - { \bf r } ) \, \omega ^ { 2 } D _ { j k } ( \varepsilon , { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , i \omega ) + L _ { j m } ( \varepsilon , { \bf r } , i \omega ) \delta D _ { m k } ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , i \omega ) = 0 \, .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } ~ ~ f _ { 1 } ( w ) } \\ & { \operatorname* { m i n } ~ ~ f _ { 2 } ( w ) } \\ & { \operatorname* { m a x } ~ ~ f _ { 3 } ( w ) } \\ & { \operatorname* { m i n } ~ ~ f _ { 4 } ( w ) } \\ & { s . t . ~ ~ w \in \Delta ^ { n } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ \prod _ { i \in C } w _ { i } = 0 ~ \mathrm { f o r } ~ C \in \cal { C } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( \lnot P \mid M \! R _ { k } ) } & { = { \frac { \operatorname* { P r } ( \lnot P \land M \! R _ { k } ) } { \operatorname* { P r } ( \lnot P \land M \! R _ { k } ) + \operatorname* { P r } ( P \land M \! R _ { k } ) } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { \operatorname* { P r } ( M \! R _ { k } \mid P ) } { \operatorname* { P r } ( M \! R _ { k } \mid \lnot P ) } } { \frac { \operatorname* { P r } ( P ) } { \operatorname* { P r } ( \lnot P ) } } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { 1 } { \operatorname* { P r } ( M \! R _ { k } \mid \lnot P ) } } { \frac { \operatorname* { P r } ( P ) } { 1 - \operatorname* { P r } ( P ) } } } } } \end{array} }
\mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 1 } ^ { \mathfrak { s } _ { 1 } } ] = \frac { 1 } { \bar { \beta } _ { 1 ^ { * } 2 ^ { * } } } \big ( \langle R _ { 1 ^ { * } 2 ^ { * } } , A _ { 1 } \rangle - \langle V _ { \mathfrak { s } _ { 1 } , 1 } , A _ { 1 } \rangle \langle R _ { 1 ^ { * } 2 ^ { * } } , U _ { \mathfrak { s } _ { 1 } , 1 } \rangle \big ) L _ { 1 ^ { * } 2 ^ { * } } + \mathcal { O } ( 1 ) [ A _ { 1 } ]
\begin{array} { r } { \rho _ { 0 } ( t ) = \operatorname* { l i m } _ { N \to + \infty } \rho _ { 0 } ^ { ( N ) } ( t ) = \exp \left\{ \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } d _ { k } \frac { e ^ { - \alpha _ { k } t } - 1 } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( T , \rho ) } & { { } = ( \bar { T } , \bar { \rho } ) ( z _ { s } ) + { \varepsilon } ^ { 1 + \alpha } ( T ^ { \prime } , \rho ^ { \prime } ) ( \mathbf { x } _ { w } , t _ { w } , z _ { s } ) } \\ { p } & { { } = \bar { p } ( z _ { s } ) + { \varepsilon } ^ { 2 + \alpha } p ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { w } , t _ { w } , z _ { s } ) \, . } \end{array}
{ \frac { \partial L ^ { \prime } } { \partial \lambda _ { i } } } - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial L ^ { \prime } } { \partial { \dot { \lambda } } _ { i } } } = 0 \quad \Rightarrow \quad f _ { i } ( \mathbf { r } _ { k } , t ) = 0 \, .
\begin{array} { r l r } { L } & { { } = } & { \left( \frac { q } { c } \, { \bf A } \; + \; m \, { \bf v } \right) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \dot { \bf x } \; - \; \left( \frac { m } { 2 } \, | { \bf v } | ^ { 2 } \; + \; q \, \Phi \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { \mathrm { r } } } & { = 0 } \\ { B _ { \varphi } } & { = - \frac { B _ { \varphi c } } { ( r / a ) } \sqrt { \left[ 1 - \mathrm { e x p } \left( - \frac { r ^ { 4 } } { a ^ { 4 } } \right) \right] } } \\ { B _ { \mathrm { z } } } & { = B _ { \varphi c } \sqrt { \left[ P _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } - \frac { \sqrt { \pi } } { a ^ { 2 } } \mathrm { e r f } \left( \frac { r ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right) \right] } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ( F ) } & { = q ^ { A } \zeta ^ { B } s ^ { C } \prod _ { ( n , \ell , m ) > 0 } \left( 1 - q ^ { n } \zeta ^ { \ell } s ^ { m } \right) ^ { \mathrm { m u l t } ( n , \ell , m ) } } \\ & { = q ^ { A } \zeta ^ { B } s ^ { C } \prod _ { d | N } \prod _ { ( n , \ell , m ) > 0 } \left( 1 - \big ( q ^ { n } \zeta ^ { \ell } s ^ { m } \big ) ^ { d } \right) ^ { \mathrm { m u l t } _ { d } ( n m , \ell ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \hat { f } _ { 0 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { f } _ { - 1 } + \nabla \hat { f } _ { 1 } \right] } & { { } = } & { 0 } \\ { \partial _ { t } \hat { f } _ { 1 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { f } _ { 0 } + \nabla \hat { f } _ { 2 } \right] } & { { } = } & { - A \, \pi \Gamma G _ { \beta } \left[ \hat { f } _ { 2 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { f } _ { 0 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \\ { \partial _ { t } \hat { f } _ { 2 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { f } _ { 1 } + \nabla \hat { f } _ { 3 } \right] } & { { } = } & { - 2 A \, \pi \Gamma G _ { \beta } \left[ \hat { f } _ { 3 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { f } _ { 1 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \\ { \partial _ { t } \hat { f } _ { 3 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { f } _ { 2 } + \nabla \hat { f } _ { 4 } \right] } & { { } = } & { - 3 A \, \pi \Gamma G _ { \beta } \left[ \hat { f } _ { 4 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { f } _ { 2 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \\ { \partial _ { t } \hat { f } _ { 4 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { f } _ { 3 } + \nabla \hat { f } _ { 5 } \right] } & { { } = } & { - 4 A \, \pi \Gamma G _ { \beta } \left[ \hat { f } _ { 5 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { f } _ { 3 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \end{array}
G ^ { [ F ] } = - d x ^ { 0 } \otimes d x ^ { 0 } + d x ^ { 1 } \otimes d x ^ { 1 } + g _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { [ F ] } ( x , y ) d x ^ { i ^ { \prime } } \otimes d x ^ { j ^ { \prime } } + g _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { [ F ] } ( x , y ) \delta y ^ { i ^ { \prime } } \otimes \delta y ^ { j ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { G _ { R _ { 1 } } ^ { ( 3 ) } ( x , y ) } & { : = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathcal { D } } \frac { \sin \zeta S ( \cos \zeta , n ) } { n ^ { 2 } - 1 } e ^ { \textrm { i } k _ { + } r ^ { \prime } c o s ( \zeta - \theta ) } d \zeta , } \\ { G _ { R _ { 1 } } ^ { ( 4 ) } ( x , y ) } & { : = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathcal { L } _ { o } } \frac { \sin \zeta S ( \cos \zeta , n ) } { n ^ { 2 } - 1 } e ^ { \textrm { i } k _ { + } r ^ { \prime } c o s ( \zeta - \theta ) } d \zeta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta \wedge \phi ^ { 1 } \wedge \phi ^ { 2 } \left( X _ { 0 } , X _ { 1 } , X _ { 2 } \right) } & { = \eta \left( X _ { 1 } \right) \phi ^ { 1 } \left( X _ { 2 } \right) \phi ^ { 2 } \left( X _ { 0 } \right) - \eta \left( X _ { 2 } \right) \phi ^ { 1 } \left( X _ { 1 } \right) \phi ^ { 2 } \left( X _ { 0 } \right) } \\ & { = \left\| \nabla _ { H } \Phi \right\| ^ { - 2 } \left[ \left( X _ { 1 } \Phi \right) ^ { 2 } + \left( X _ { 2 } \Phi \right) ^ { 2 } \right] = 1 , } \end{array}
\left\| \left[ \begin{array} { l } { \nabla f _ { k } + J _ { k } ^ { T } y _ { k } } \\ { c _ { k } } \end{array} \right] \right\| \leq 2 \operatorname* { m a x } \{ \| \nabla f _ { k } + J _ { k } ^ { T } y _ { k } \| , \| c _ { k } \| \} \leq \frac { 2 \operatorname* { m a x } \{ \kappa _ { H } , \kappa _ { J } \} } { \sqrt { \kappa _ { l } \tau _ { \operatorname* { m i n } } } } \cdot \varepsilon _ { \Delta l } = \Omega ( \varepsilon )
s i n ( x ) = x - \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \frac { x ^ { 9 } } { 9 ! } - \frac { x ^ { 1 1 } } { 1 1 ! } + \frac { x ^ { 1 3 } } { 1 3 ! } - \frac { x ^ { 1 5 } } { 1 5 ! } + \cdots .
\left[ \begin{array} { l l } { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } } & { - a \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } } \\ { - a ^ { \dagger } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } } & { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { u } } _ { 0 } } \\ { \hat { \mathbf { u } } _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { \| v _ { 1 } - v _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } \leq \| v _ { 2 } - v _ { * } \| _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } = \| v _ { 1 } - v _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \Omega ) } + \| w _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } } & { } \\ { \leq \| v _ { 1 } - v _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \Omega ) } + \frac { C } { n } \operatorname* { m a x } _ { x \in \overline { { \omega } } } \mathrm { d i s t } ( x , \partial \Omega ) ^ { 1 / n } \| f _ { \Delta , k } \| _ { L ^ { n } ( \Omega ) } } & { . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { 1 } ^ { \mathrm { A i } , T } [ V - \mu ] = - u _ { 0 } \times \left\{ \begin{array} { l l } { a ( \vec { r } ) \int ( \mathrm { d } \vec { r } ) \int \mathrm { d } x \, \mathcal { A } ( x ) \, \left[ u _ { 1 } \, \mathrm { L i } _ { 3 / 2 } \Big ( - \mathrm { e } ^ { - \nu _ { x } ( \vec { r } ) } \Big ) + u _ { 2 } ( \vec { r } ) \, \mathrm { L i } _ { - 1 / 2 } \Big ( - \mathrm { e } ^ { - \nu _ { x } ( \vec { r } ) } \Big ) \right] } & { , \; a ( \vec { r } ) > 0 } \\ { ( k _ { \mathrm { B } } T ) \int ( \mathrm { d } \vec { r } ) \left[ u _ { 1 } \, \mathrm { L i } _ { 3 / 2 } \Big ( - \mathrm { e } ^ { - \nu _ { 0 } ( \vec { r } ) } \Big ) + u _ { 2 } ( \vec { r } ) \, \mathrm { L i } _ { - 1 / 2 } \Big ( - \mathrm { e } ^ { - \nu _ { 0 } ( \vec { r } ) } \Big ) \right] } & { , \; a ( \vec { r } ) = 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\partial _ { t } ( v - \langle v \rangle ) + v \partial _ { x } v - \frac { { \Delta u } ^ { 2 } + { \Delta v } ^ { 2 } } { { \Delta q } ^ { 2 } } ( x - \langle q \rangle ) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } \bigg ( u ^ { 2 } + \frac { \hbar } { m } \partial _ { x } u \bigg ) \, = \, 0 \: .
\begin{array} { r l } { \frac { d Y _ { u } \left( t \right) } { d t } } & { = \sum _ { v \in \mathrm { V } , \pi _ { \mathrm { V } } \left( v \right) = u } \frac { d X _ { v } \left( t \right) } { d t } , } \\ & { = \sum _ { v \in \mathrm { V } , \pi _ { \mathrm { V } } \left( v \right) = u } \sum _ { v ^ { \prime } \in \mathrm { V } } k _ { v , v ^ { \prime } } X _ { v ^ { \prime } } \left( t \right) = \sum _ { v ^ { \prime } \in \mathrm { V } } \left( \sum _ { v \in \mathrm { V } , \pi _ { \mathrm { V } } \left( v \right) = u } k _ { v , v ^ { \prime } } \right) X _ { v ^ { \prime } } \left( t \right) } \end{array}
{ \mathbf { x } } _ { m } [ \ell ] = \underbrace { \sum _ { u \in \, \mathcal { U } } { \mathbf { f } } _ { m u } x _ { u } [ \ell ] } _ { \textrm { C o m m u n i c a t i o n } } + \underbrace { \sum _ { q \in \mathcal { Q } } { \mathbf { f } } _ { m q } x _ { q } [ \ell ] } _ { \textrm { S e n s i n g } } = \sum _ { s \in \mathcal { S } } { \mathbf { f } } _ { m s } x _ { s } [ \ell ] ,
E _ { \mathrm { d i p } } ^ { ( + ) } ( z ) = - \frac { 3 \pi \Gamma _ { 0 } } { k _ { 0 } d } \sum _ { j } G ( z \hat { e } _ { z } - \mathbf { r } _ { j } ) \beta _ { j } = - \frac { 3 \pi \Gamma _ { 0 } } { k _ { 0 } d \mathcal { N } } \sum _ { \mathbf { q } } \left[ \widetilde { G } ^ { L } ( \mathbf q ; z ) \beta _ { \mathbf q } ^ { L } + \widetilde { G } ^ { R } ( \mathbf q ; z ) \beta _ { \mathbf q } ^ { R } \right] ,
V _ { 4 } ( \rho _ { 4 } ) = - g \frac { \hbar ^ { 2 } } { m R _ { 4 } ^ { 2 } } \, e ^ { - ( r _ { 1 2 } ^ { 2 } + r _ { 1 3 } ^ { 2 } + r _ { 1 4 } ^ { 2 } + r _ { 2 3 } ^ { 2 } + r _ { 2 4 } ^ { 2 } + r _ { 3 4 } ^ { 2 } ) / R _ { 4 } ^ { 2 } } \, ,
E _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( \lambda , z ) E _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } ^ { ( n ^ { \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } , z ) \sim \sum _ { n ^ { \prime \prime } \geq 1 } \frac { [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] } { z ^ { 2 } } A ^ { ( n ^ { \prime \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } , 0 ) ( \delta _ { a _ { 2 } b _ { 1 } } E _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } ^ { ( n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } - 1 ) } ( \lambda ^ { \prime } , 0 ) - \delta _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } E _ { a _ { 2 } b _ { 1 } } ^ { ( n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } - 1 ) } ( \lambda ^ { \prime } , 0 ) ) + \dots
\big | ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m } ^ { \omega } \frac { { m ^ { \prime } } \omega } { m } \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega } - ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } { \omega ^ { \prime } } \widetilde { f } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | \lesssim v ( | \omega ^ { \prime \prime } | + | { m ^ { \prime \prime } } | ) | \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } | | { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } | .
\begin{array} { r l } { \tau ^ { \prime } } & { \simeq \tau - 2 w \sqrt { \frac { 2 \tau ^ { 2 } + \tau ( 2 \bar { n } _ { \mathrm { t h } } + \nu _ { \mathrm { d e t } } ) / \sigma _ { x } ^ { 2 } } { \nu _ { \mathrm { d e t } } m } } , } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { t h } } ^ { \prime } } & { \simeq \bar { n } _ { \mathrm { t h } } + w \frac { 2 \bar { n } _ { \mathrm { t h } } + \nu _ { \mathrm { d e t } } } { \sqrt { 2 \nu _ { \mathrm { d e t } } m } } , } \end{array}
\mathrm { i } \, \mathcal { I } _ { _ { D C } } \, \xi _ { _ { D C } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { d y n } } } ^ { | B _ { 2 } | ^ { 2 } A _ { 2 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { k i n } } } ^ { | B _ { 2 } | ^ { 2 } A _ { 2 } } \right) \, r \mathrm { d } r ,
\left( - \left( \lambda + V \right) - { \frac { \epsilon _ { 0 } \left( \mathbf { E } \cdot \mathbf { B } \right) ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } \left( - \left( \lambda + V \right) + \epsilon _ { 0 } \mathbf { E } ^ { \textsf { T } } \mathbf { E } \right) } } \right) \left( - \left( \lambda + V \right) + \epsilon _ { 0 } \mathbf { E } ^ { \textsf { T } } \mathbf { E } \right)