harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } = 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ( \cos \theta - 1 ) , } & { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } = 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } ( \cos \theta - 1 ) , } \\ & { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } = 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 4 } ( \cos \theta - 1 ) , } & { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } = - 4 \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \sin ^ { 2 } \theta , } \\ & { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } = - 2 \alpha _ { 2 } \alpha _ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta , } & { | \zeta ^ { ( 3 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } = - 2 \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta , } \end{array}
x _ { 1 } = \frac { 2 X _ { 1 } } { 1 + ( r / R ) ^ { 2 } } \; , \; x _ { 2 } = \frac { 2 X _ { 2 } } { 1 + ( r / R ) ^ { 2 } } \; , \; x _ { 3 } = R \frac { ( r / R ) ^ { 2 } - 1 } { 1 + ( r / R ) ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { ~ d ~ \, ~ \, ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \Psi ( \Phi ( { \boldsymbol x } ( t ) ) ) = \dot { \Psi } ( \Phi ) ) \dot { \Phi } = \frac { \dot { \Phi } } { \psi ( \Phi ) } } \end{array}
\hat { G } _ { M N } = \left( \begin{array} { l l } { { e ^ { a \varphi } g _ { { \mu } { \nu } } + G _ { { m } { n } } A _ { { \mu } } ^ { ( 1 ) \, m } A _ { { \nu } } ^ { ( 1 ) \, n } } } & { { A _ { { \mu } } ^ { ( 1 ) \, m } G _ { { m } { n } } } } \\ { { A _ { { \nu } } ^ { ( 1 ) \, n } G _ { { m } { n } } } } & { { G _ { { m } { n } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { Z ( z ) = C _ { 1 } e ^ { \frac { k z } { 2 } } J _ { \sqrt { 1 - 4 \frac { \lambda } { k ^ { 2 } } } } \left( 2 \sqrt { e ^ { - k | z | } \frac { { m _ { 0 } } } { k ^ { 2 } } } \right) + } \\ { C _ { 2 } e ^ { \frac { k z } { 2 } } J _ { - \sqrt { 1 - 4 \frac { \lambda } { k ^ { 2 } } } } \left( 2 \sqrt { e ^ { - k | z | } \frac { { m _ { 0 } } } { k ^ { 2 } } } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { r \sin \theta } } \left( { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( A _ { \varphi } \sin \theta \right) - { \frac { \partial A _ { \theta } } { \partial \varphi } } \right) } & { { \hat { \mathbf { r } } } } \\ { + { \frac { 1 } { r } } \left( { \frac { 1 } { \sin \theta } } { \frac { \partial A _ { r } } { \partial \varphi } } - { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r A _ { \varphi } \right) \right) } & { { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } \\ { + { \frac { 1 } { r } } \left( { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r A _ { \theta } \right) - { \frac { \partial A _ { r } } { \partial \theta } } \right) } & { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { \left( { \frac { - 1 } { n } } \right) = ( - 1 ) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } } & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { n \equiv 1 { \bmod { 4 } } } \\ { - 1 } & { n \equiv 3 { \bmod { 4 } } } \end{array} \right. } } \\ { \left( { \frac { 2 } { n } } \right) = ( - 1 ) ^ { \frac { n ^ { 2 } - 1 } { 8 } } } & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { n \equiv 1 , 7 { \bmod { 8 } } } \\ { - 1 } & { n \equiv 3 , 5 { \bmod { 8 } } } \end{array} \right. } } \\ { \left( { \frac { - 2 } { n } } \right) = ( - 1 ) ^ { \frac { n ^ { 2 } + 4 n - 5 } { 8 } } } & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { n \equiv 1 , 3 { \bmod { 8 } } } \\ { - 1 } & { n \equiv 5 , 7 { \bmod { 8 } } } \end{array} \right. } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] = } & { { } | H _ { 0 } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { p p } ^ { 0 } [ \Omega ] + | H _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \Omega ] } \end{array}
F _ { L . R } ^ { \mu \nu } = \partial ^ { \mu } ( \upsilon ^ { \nu } \mp a ^ { \nu } ) - \partial ^ { \nu } ( \upsilon ^ { \mu } \mp a ^ { \mu } ) - i [ \upsilon ^ { \mu } \mp a ^ { \mu } , \upsilon ^ { \nu } \mp a ^ { \nu } ] .
\begin{array} { r l r } { E _ { 3 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } m _ { 3 } \left( \vec { v } _ { c m } + \vec { v } _ { 3 } ^ { ' } \right) ^ { 2 } , } \\ { x } & { { } = } & { E _ { 3 } ^ { ' } - E _ { 3 } ^ { * } , } \\ { \mu ^ { \prime } } & { { } = } & { \frac { 1 } { v _ { c m } } \left( v _ { 1 } \cos \alpha - v _ { 1 } ^ { ' } \right) \mu _ { s } + \frac { v _ { 1 } } { v _ { c m } } \sqrt { 1 - \mu _ { s } ^ { 2 } } \sin \alpha \cos \phi _ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \Omega _ { U } = } & { \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { 2 ^ { - m } \sum _ { u = 0 } ^ { m } { \binom { m } { u } U ( C ^ { u } ) ^ { T } U C ^ { m - u } } U } , } \\ { = } & { \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { 2 ^ { - m } \sum _ { u = 0 } ^ { m } { \binom { m } { u } U ( C ^ { u } ) ^ { T } C ^ { m - u } } U } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( A , B , C , D ) = } & { { \overline { { A } } } B C { \overline { { D } } } + A { \overline { { B } } } \, { \overline { { C } } } \, { \overline { { D } } } + A { \overline { { B } } } \, { \overline { { C } } } D + A { \overline { { B } } } C { \overline { { D } } } + } \\ & { A { \overline { { B } } } C D + A B { \overline { { C } } } \, { \overline { { D } } } + A B { \overline { { C } } } D + A B C { \overline { { D } } } } \\ { = } & { A { \overline { { C } } } + A { \overline { { B } } } + B C { \overline { { D } } } } \end{array} }
n _ { e } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 . 1 \times 1 0 ^ { 4 } \times 1 0 ^ { 4 . 3 2 / r } } & { \mathrm { ~ ( ~ 1 ~ . ~ 0 ~ 2 ~ < ~ r ~ < ~ 1 ~ . ~ 5 ~ ) ~ } } \\ { 4 . 6 2 \times 1 0 ^ { 5 } r ^ { - 2 } + 4 . 7 4 \times 1 0 ^ { 7 } r ^ { - 3 . 3 } } \\ { + 3 . 1 9 \times 1 0 ^ { 7 } r ^ { - 5 . 8 } } & { \mathrm { ~ ( ~ 1 ~ . ~ 5 ~ \leq ~ r ~ < ~ 2 ~ 1 ~ 5 ~ ) ~ } } \end{array} \right.
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t ) = \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { + } e ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { p } } t + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { - } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { p } t } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( x , y ) } & { = \! R _ { 1 } ( \bar { x } , y ) + \frac { \partial R _ { 1 } } { \partial x } ( \bar { x } , y ) ( x - \bar { x } ) + \mathcal { O } \! \left( \Vert x - \bar { x } \Vert ^ { 2 } \right) \! , } \\ { R _ { 2 } ( x , y ) } & { = \! R _ { 2 } ( \bar { x } , y ) + \frac { \partial R _ { 2 } } { \partial x } ( \bar { x } , y ) ( x - \bar { x } ) + \mathcal { O } \! \left( \Vert x - \bar { x } \Vert ^ { 2 } \right) \! . } \end{array} } \end{array}
\Gamma \left( H _ { 3 } \to J \overline { { { J } } } \right) = \frac { \sqrt { M _ { H _ { 3 } } ^ { 2 } - 4 M _ { J } ^ { 2 } } M _ { J } ^ { 2 } } { 1 6 \pi M _ { H _ { 3 } } ^ { 2 } v _ { \chi } ^ { 2 } } \left( 2 M _ { H _ { 3 } } ^ { 2 } - 5 M _ { J } ^ { 2 } \right) .
\left\{ \begin{array} { l } { { J _ { \phi } ^ { r s } = \int d \tilde { q } \, I \left( \tau , \vec { q } \right) \left( q ^ { r } \frac \partial { \partial q ^ { s } } - q ^ { s } \frac \partial { \partial q ^ { r } } \right) \varphi \left( \tau , \vec { q } \right) , } } \\ { { J _ { \phi } ^ { \tau r } = - \tau P _ { \phi } ^ { r } - \int d \tilde { q } \, \omega \left( q \right) I \left( \tau , \vec { q } \right) \frac \partial { \partial q ^ { r } } \varphi \left( \tau , \vec { q } \right) . } } \end{array} \right.
K _ { k l } ( t , x ) = \delta _ { k l } \int \frac { d \omega d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { e ^ { - i \omega t + i { \vec { p } } \cdot { \vec { x } } } } { ( \frac { \hbar ^ { 2 } p ^ { 2 } } { 4 m \rho _ { 0 } } + \lambda ) p ^ { 2 } - \frac { m } { \rho _ { 0 } } \omega ^ { 2 } }
\begin{array} { r c l } { { \sum _ { j - \ell } ( - 1 ) ^ { j - \ell } e ^ { i ( j - \ell ) ( \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } - \theta _ { 1 } ) } } } & { { = } } & { { \sum _ { j - \ell } e ^ { i ( j - \ell ) ( \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } - \theta _ { 1 } - \pi ) } } } \\ { { } } & { { \approx } } & { { \delta ( \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } - \theta _ { 1 } - \pi ) . } } \end{array}
F _ { S , I } ( \Omega , { \bf q } ) = - i ( \beta L ) \, \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } \left[ \frac { \Delta _ { S , I } ( \Omega , { \bf q } ) L } { 2 } \right] \exp \left\{ i \left[ k _ { P } ^ { 0 } + k _ { S , I } ( \Omega , { \bf q } ) - k _ { I , S } ( - \Omega , - { \bf q } ) \right] \frac { L } { 2 } \right\} .
\mathcal { N } = \left( \begin{array} { l l l } { n _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } - \mu \epsilon } & { - n _ { 1 } n _ { 2 } } & { - n _ { 1 } n _ { 3 } } \\ { - n _ { 1 } n _ { 2 } } & { n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } - \mu \epsilon } & { - n _ { 2 } n _ { 3 } } \\ { - n _ { 1 } n _ { 3 } } & { - n _ { 2 } n _ { 3 } } & { n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } - \mu \epsilon } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { C _ { D } = - 2 \int \int _ { V } \frac { \partial u } { \partial t } d x d y } & { + 2 \oint _ { S } \Big ( u v + y v \zeta - y \frac { \partial v } { \partial t } + \frac { 1 } { R e } y \nabla ^ { 2 } u \Big ) d x } \\ & { + 2 \oint _ { S } \Bigg [ \frac { 1 } { 2 } ( v ^ { 2 } - u ^ { 2 } ) - y u \zeta - y \frac { \partial v } { \partial t } + \frac { 1 } { R e } \Big ( y \nabla ^ { 2 } v + 2 \frac { \partial u } { \partial x } + \frac { \partial v } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } \Big ) \Bigg ] d y } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { R } _ { \vec { a } } \mathbf { b } = \mathbf { b } _ { | | } + \mathbf { b } _ { \bot } \cos a + \frac { \vec { a } \times \vec { b } } { a } \sin a } \\ & { = \mathbf { b } \cos a + \mathbf { a } \frac { \vec { b } \cdot \vec { a } } { a ^ { 2 } } \left( 1 - \cos a \right) + \frac { \vec { a } \times \vec { b } } { a } \sin a . } \end{array}
{ \mathbf Y } = \boldsymbol { \mathcal Q } ( \tau ) \widetilde { { \mathbf Y } } + { \mathbf B } ( \tau ) \; , \; \boldsymbol { \mathcal Q } ( \tau ) = \left( \begin{array} { l l } { { \mathbf Q } ( \tau ) } & { { \mathbf 0 } } \\ { { \mathbf 0 } ^ { { \mathrm T } } } & { 1 } \end{array} \right) \; , \; { \mathbf B } ( \tau ) = \left( \begin{array} { l } { { \mathbf b } ( \tau ) } \\ { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { a d } } P + N _ { \mathrm { a d } } \frac { B } { E _ { \mathrm { 2 } } } \left( \frac { d P } { d t } \right) = \left( \frac { B B _ { \mathrm { a } } } { E _ { \mathrm { 2 } } } \right) \left( \frac { d ^ { 2 } V } { d t ^ { 2 } } \right) + \left( B + B _ { \mathrm { a } } \right) \left( \frac { d V } { d t } \right) + N _ { \mathrm { a d } } \frac { B } { E _ { \mathrm { 2 } } } \left( \frac { d P _ { \mathrm { E 1 } } } { d t } \right) + N _ { \mathrm { a d } } P _ { \mathrm { E 1 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { l i n k } ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) } & { = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \oint _ { \gamma _ { 1 } } \oint _ { \gamma _ { 2 } } { \frac { \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 2 } } { | \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 2 } | ^ { 3 } } } \cdot ( d \mathbf { r } _ { 1 } \times d \mathbf { r } _ { 2 } ) } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { S ^ { 1 } \times S ^ { 1 } } { \frac { \operatorname* { d e t } \left( { \dot { \gamma } } _ { 1 } ( s ) , { \dot { \gamma } } _ { 2 } ( t ) , \gamma _ { 1 } ( s ) - \gamma _ { 2 } ( t ) \right) } { \left| \gamma _ { 1 } ( s ) - \gamma _ { 2 } ( t ) \right| ^ { 3 } } } \, d s \, d t } \end{array} }
\begin{array} { r } { \hat { S } _ { \sigma _ { - } } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \sqrt { 6 } } { 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \\ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \sqrt { 6 } } { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta G ( X ) } & { { } = } & { \mp I \phi _ { 0 } \frac { \int _ { \mp x _ { \mathrm { e } } } ^ { X } [ 1 / F ( x ) ] } { \int _ { - W / 2 } ^ { W / 2 } d x [ 1 / F ( x ) ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { y } } } ^ { i } } & { = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { s } a _ { i j } \, f \bigl ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { y } } } ^ { j } \bigr ) , \qquad i \in \{ 1 , \dots , s \} , } \\ { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n + 1 } } & { = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } + \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \, f \bigl ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { y } } } ^ { i } \bigr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { C } ^ { k + 1 } = p _ { C } ^ { k } + \frac { \Delta t } { C R _ { 1 } } \left( p _ { * } ^ { k + 1 } - p _ { C } ^ { k } \right) - \frac { \Delta t } { C R _ { 2 } } \left( p _ { C } ^ { k } - p _ { o u t } \right) } \\ & { A _ { * } ^ { k + 1 } u _ { * } ^ { k + 1 } = \frac { p _ { * } ^ { k + 1 } - p _ { C } ^ { k + 1 } } { R _ { 1 } } } \\ & { u _ { * } ^ { k + 1 } + \int \frac { c ( A _ { * } ^ { k + 1 } , E _ { 0 , * } ) } { A _ { * } ^ { k + 1 } } \, \mathrm { d } A = u _ { N } ^ { k + 1 } + \int \frac { c ( A _ { N } ^ { k + 1 } , E _ { 0 , N } ^ { k + 1 } ) } { A _ { N } ^ { k + 1 } } \, \mathrm { d } A } \\ & { p _ { * } ^ { k + 1 } - \frac { E _ { \infty , * } } { W } \left[ \left( \frac { A _ { * } ^ { k + 1 } } { A _ { 0 , * } ^ { k + 1 } } \right) ^ { m } - \left( \frac { A _ { * } ^ { k + 1 } } { A _ { 0 , * } ^ { k + 1 } } \right) ^ { n } \right] = p _ { N } ^ { k + 1 } - \frac { E _ { \infty , N } } { W } \left[ \left( \frac { A _ { N } ^ { k + 1 } } { A _ { 0 , N } ^ { k + 1 } } \right) ^ { m } - \left( \frac { A _ { N } ^ { k + 1 } } { A _ { 0 , N } ^ { k + 1 } } \right) ^ { n } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \textrm { L D } } ( t ) } & { { } = \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v } \langle \psi _ { u \mathbf { k } } | \mathcal { \hat { H } } _ { \textrm { L D } } ( t ) | \psi _ { v \mathbf { k } } \rangle \hat { c } _ { u \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v \mathbf { k } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \Bigg ( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + o ( t \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ) + 1 } { \alpha ^ { 2 } } \Bigg ) } & { = \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { \alpha ^ { 2 } } + o ( t \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ) \Bigg ) } \\ & { = \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { \alpha ^ { 2 } } \big [ 1 + o ( 1 ) \big ] \Bigg ) } \\ & { = \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { \alpha ^ { 2 } } \Bigg ) + \log ( 1 + o ( 1 ) ) } \\ & { = \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { \alpha ^ { 2 } } \Bigg ) + o ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 ) } ( \omega ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 N } } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \b { q } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 N } } \; B _ { \mathrm { W } } ^ { ( 2 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \rho _ { 0 , \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( s ) } & { : = R ( \sigma ( s , \alpha , b ) , \alpha ( b ) ( s ) , b ( s ) ) + p \cdot f ( \sigma ( s , \alpha , b ) , \alpha ( b ) ( s ) , b ( s ) ) } \\ & { \geq 9 9 + \operatorname* { m i n } _ { a \in A } \left[ 1 0 0 | a | + 4 a \cdot p \right] } \\ & { \geq 9 9 - \frac { 1 } { 5 0 } h ( | p | ) } \\ & { \geq 9 9 - \frac { \sqrt { 3 } } { 5 0 } \operatorname* { m a x } _ { i = 1 } ^ { 3 } h ( p _ { i } ) - 4 ( \sqrt { 3 } - 1 ) } \\ & { \geq 9 5 - \frac { \sqrt { 3 } } { 5 0 } \operatorname* { m a x } _ { i = 1 } ^ { 3 } h ( p _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \omega - \omega _ { c } ) m _ { z } = \frac { ( \gamma \omega _ { H } \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } + i \omega \gamma \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ) } { 2 \omega } \frac { \partial u _ { x } } { \partial z } } \\ { ( \omega - \omega _ { c } ) u _ { x } = - \Big ( \frac { \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } } { 2 \omega \rho M _ { s } } + \frac { \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ( \omega _ { H } + \omega _ { M } ) } { 2 \rho M _ { s } i \omega ^ { 2 } } \Big ) \frac { \partial m _ { z } } { \partial z } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { n } \rangle } & { = } & { \mathcal { N } ^ { 2 } \{ \left| \alpha \right| ^ { 2 } + \sinh ^ { 2 } r + 2 c \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } \, e ^ { - 2 \left| \alpha \right| ^ { 2 } \left[ \cosh 2 r + \cos \theta \sinh 2 r \right] } } \\ & { \times } & { [ \sinh ^ { 2 } r - \left| \alpha \right| ^ { 2 } \cosh 4 r - \left| \alpha \right| ^ { 2 } \cos \theta \sinh 4 r ] \cos \varphi \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { S } { \bf \ddot { a } } } & { + C _ { S } { \bf \dot { a } } + \kappa _ { S } { \bf a } - C _ { 1 } \alpha { \bf B } { \bf \dot { q } } _ { 1 } - \kappa _ { 1 } \alpha { \bf B } { \bf q } _ { 1 } = { \bf f } ^ { G W } - \alpha { \bf B } { \bf f } _ { 1 } ^ { b a c k } } \\ { M _ { 1 } \alpha { \bf B } ^ { T } { \bf \ddot { a } } } & { + M _ { 1 } { \bf \ddot { q } } _ { 1 } + M _ { 1 } { \bf \ddot { q } } _ { 1 } + C _ { 1 } { \bf \dot { q } _ { 1 } } - C _ { 2 } { \bf \dot { q } _ { 2 } } + \kappa _ { 1 } { \bf q } _ { 1 } - \kappa _ { 2 } { \bf q } _ { 2 } = { \bf f } _ { 1 } ^ { b a c k } - { \bf f } _ { 2 } ^ { b a c k } } \\ { M _ { 2 } \alpha { \bf B } ^ { T } { \bf \ddot { a } } } & { + M _ { 2 } { \bf \ddot { q } } _ { 2 } + M _ { 2 } { \bf \ddot { q } } _ { 1 } + M _ { 2 } { \bf \ddot { q } } _ { 1 } + M _ { 2 } { \bf \ddot { q } _ { 2 } } + C _ { 2 } { \bf \dot { q } _ { 2 } } - C _ { 1 } { \bf \dot { q } _ { 1 } } + \kappa _ { 2 } { \bf q } _ { 2 } - \kappa _ { 1 } { \bf q } _ { 1 } = { \bf f } _ { 2 } ^ { b a c k } . } \end{array}
\sin \theta - \sin \phi = 2 \cos \left( { \frac { \theta + \phi } { 2 } } \right) \sin \left( { \frac { \theta - \phi } { 2 } } \right) = 2 \sin \left( { \frac { \theta - \phi } { 2 } } \right) \cos \left( { \frac { \theta + \phi } { 2 } } \right)
\left[ \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } + \vec { k } ^ { 2 } + m _ { R } ^ { 2 } ( t ) + \frac { \lambda _ { R } } { 2 } \left( \langle \Phi ^ { 2 } ( t ) \rangle - \langle \Phi ^ { 2 } ( 0 ) \rangle \right) \right] { \cal { U } } _ { k } ^ { \pm } ( t ) = 0
\begin{array} { r } { \varepsilon ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { x x } ^ { * } } & { } & { - \varepsilon _ { x y } ^ { * } } \\ { - \varepsilon _ { y x } ^ { * } } & { } & { \varepsilon _ { y y } ^ { * } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { - i k \rho c } { \epsilon } \int _ { \nu } \mathbf { \tilde { u } } ^ { * } \cdot \mathbf { \tilde { u } } \, d \nu = - \int _ { s } \tilde { p } _ { m } \mathbf { \tilde { u } } ^ { * } \cdot \mathbf { n } d s - \frac { \mu } { \kappa } \int _ { \nu } \mathbf { \tilde { u } } ^ { * } \cdot \mathbf { \tilde { u } } \, d \nu . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { S } } & { { } = \frac { \tau _ { S 0 } } { \gamma ( 1 - \xi ^ { 2 } ) } , } \\ { \tau _ { S 0 } } & { { } = \frac { 3 } { 2 } \frac { m _ { e } ^ { 3 } c ^ { 5 } } { e ^ { 4 } B ^ { 2 } } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \alpha _ { \textrm { s s } } } \\ { \beta _ { \textrm { s s } } } \\ { \delta _ { \textrm { s s } } } \end{array} \right) = ( \Xi \Lambda \Xi ^ { - 1 } - \Delta I ) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { - \epsilon } \end{array} \right) = \Xi ( \Lambda - \Delta I ) ^ { - 1 } \Xi ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { - \epsilon } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { f ( u , v ) } & { = } & { f _ { 2 0 } u ^ { 2 } + f _ { 1 1 } u v + f _ { 0 2 } y ^ { 2 } + f _ { 3 0 } u ^ { 3 } + f _ { 2 1 } u ^ { 2 } v + f _ { 1 2 } u v ^ { 2 } + f _ { 0 3 } v ^ { 3 } + \ldots } \\ { g ( x , y ) } & { = } & { g _ { 2 0 } x ^ { 2 } + g _ { 3 0 } x ^ { 2 } + g _ { 2 1 } x ^ { 2 } y + g _ { 1 2 } x y ^ { 2 } + g _ { 0 3 } y ^ { 3 } + \ldots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } [ 3 ] \; \widetilde { \mathcal { V } } _ { e \gamma } ( 1 3 ) \, f _ { e } ( 1 ) \, \widetilde { g } _ { i \gamma } ( 3 2 ) } & { { } \gg \int \mathrm { d } [ 3 ] \; \widetilde { \mathcal { V } } _ { \gamma i } ( 3 2 ) \, f _ { i } ( 2 ) \, \widetilde { g } _ { e \gamma } ( 1 3 ) \, , } \end{array}
\Lambda _ { J } = \left. \int \frac { \partial \alpha _ { s } ( \mathbf { s } ) } { \partial \mathbf { s } } \frac { \partial \alpha _ { s } ( \mathbf { s } ) } { \partial \mathbf { s } ^ { T } } d \mathbf { s } \, \middle / \, \int \alpha _ { s } ( \mathbf { s } ) ^ { 2 } d \mathbf { s } \right.
\lambda ^ { - 1 } = \frac { 2 \, L _ { \mathrm { f r e e } } \, l _ { + } \, \Delta c } { M \, c _ { - } \, \Delta \chi \, \Delta s ^ { \star } } \, \left[ \sinh \left( \frac { R } { l _ { + } } \right) + \frac { l _ { + } \, \cosh \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } { l _ { - } \, \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { f r e e } } } { l _ { - } } \bigr ) } \right] \left[ \cosh \left( \frac { R } { l _ { + } } \right) + \frac { l _ { - } \, \sinh \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } { l _ { + } \, \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { f r e e } } } { l _ { - } } \bigr ) } \right] \, .
\int _ { { \mathbb R } ^ { N } } | K ( x ) F ( u ( x ) ) | ^ { l } d x \leq c _ { 3 } { \epsilon } ^ { l } \operatorname* { m a x } \left\lbrace \| u \| ^ { \psi _ { 1 } l } , \| u \| ^ { \psi _ { 2 } l } \right\rbrace + c _ { 4 } c _ { \epsilon } ^ { l } \operatorname* { m a x } \left\lbrace \| u \| ^ { h _ { 1 } ^ { * } } , \| u \| ^ { h _ { 2 } ^ { * } } \right\rbrace < \infty ,
\Delta S _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ n ~ e ~ t ~ a ~ } } = 9 4 0 . 6 \, \frac { \kappa ^ { 3 / 2 } \, \lambda ^ { 2 5 / 8 } } { \alpha ^ { 1 5 / 2 } \, \beta ^ { 3 } \, \gamma ^ { 9 / 4 } }
\begin{array} { r } { \mathcal { C } ^ { \lambda } \big ( s , a _ { \pm } \big ) = \lambda ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \Big [ L \big ( \hat { s } ( \tau , z ) , \hat { a } _ { \pm } ( \tau , z ) \big ) + f ^ { \lambda } \big ( z , \hat { s } ( \tau , \cdot ) \big ) - \boldsymbol \Lambda \Big ] d z \, d \tau + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } g ( z ) \, \hat { s } ( T , z ) d z } \end{array}
\begin{array} { r } { L ( g , \dot { g } , q , \dot { q } , \chi _ { 0 } , a _ { 0 } ) = : \Tilde { L } ( g , \dot { g } , \dot { q } q ^ { - 1 } , \chi _ { 0 } q ^ { - 1 } , a _ { 0 } ) : T G \times \mathfrak { q } \times V _ { Q } ^ { * } \times V ^ { * } \rightarrow \mathbb { R } \, . } \end{array}
\big \| \| \textbf { 1 } _ { [ - s _ { k } , - s _ { k - 1 } ] } ( u ) \| _ { V _ { \Delta _ { x } } ^ { p } } \big \| _ { l ^ { p } } = \big \{ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| \mathbf { 1 } _ { [ - s _ { k } , - s _ { k - 1 } ) } u \| _ { V _ { \Delta _ { x } } ^ { p } } ^ { p } \big \} ^ { \frac { 1 } { p } } \leq \| u \| _ { V _ { \Delta _ { x } } ^ { p } } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } \rho ( t ) } { \mathrm { d } t } = - \frac { i } { \hbar } ( 1 - p ) \left[ \mathcal { H } , \rho ( t ) \right] + p \sum _ { m k } \left( L _ { m k } \rho ( t ) L _ { m k } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \left\{ L _ { m k } ^ { \dagger } L _ { m k } , \rho ( t ) \right\} \right) } \\ & { + \gamma \left( L _ { s } \rho ( t ) L _ { s } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \left\{ L _ { s } ^ { \dagger } L _ { s } , \rho ( t ) \right\} \right) , } \end{array}