harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { A ( \{ \beta _ { j } \} ; \mathcal { P } , \{ \eta _ { j } \} ) } & { = } & { \prod _ { j } ^ { M } ( 1 - \Delta _ { + } \beta _ { \mathcal { P } j } ^ { \eta _ { j } } ) \beta _ { \mathcal { P } j } ^ { - ( N + 1 ) \eta _ { j } } } \\ & { } & { \prod _ { 0 \le k < l \le M } ( 1 - 2 \Delta \beta _ { \mathcal { P } l } ^ { \eta _ { l } } + \beta _ { \mathcal { P } l } ^ { \eta _ { l } } \beta _ { \mathcal { P } k } ^ { - \eta _ { k } } ) ( 1 - 2 \Delta \beta _ { \mathcal { P } k } ^ { \eta _ { k } } + \beta _ { \mathcal { P } k } ^ { \eta _ { k } } \beta _ { \mathcal { P } l } ^ { \eta _ { l } } ) \beta _ { \mathcal { P } l } ^ { - \eta _ { l } } , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r } { \Lambda = \frac { \tilde { A } \tilde { D } _ { t h } } { \tilde { S } _ { L } ^ { 2 } } \left( \frac { T _ { b } ^ { 2 } } { N } \right) ^ { 2 } \exp \left( - \frac { N } { T _ { b } } \right) . } \end{array}
P _ { r } \propto \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \cos ^ { 4 } ( \theta _ { l } ) } { r ^ { 4 } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ H ~ H ~ } } \\ { \frac { \cos ^ { 2 } ( \theta _ { l } ) ( - 1 - \sin ^ { 2 } ( \theta _ { l } ) ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ V ~ V ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { - } \Psi _ { n } ^ { 0 } ( r , \phi , z ) = } & { } & { - 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \hbar \sqrt { n + 1 } \Psi _ { n } ^ { - 1 } ( r , \phi , z ) } \\ & { } & { \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) \frac { L _ { n } ^ { 0 } ( a ) } { L _ { n } ^ { 1 } ( a ) } \right) . } \end{array}
\mathcal { F } _ { \mathrm { D M } } ( f ) = 2 \left( \frac { f - f _ { \mathrm { D M } } } { \pi } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { 3 } { 1 . 7 f _ { \mathrm { D M } } v _ { \mathrm { v i r } } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { 3 ( f - f _ { \mathrm { D M } } ) } { 1 . 7 f _ { \mathrm { D M } } v _ { \mathrm { v i r } } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } , p } ^ { ( k ) } = \frac { 1 } { p } \sum _ { i = 1 } ^ { p } F ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) , \qquad \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } \left[ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } , p } ^ { ( k ) } \right] = \frac { \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k ) } ] } { p } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { f / b } ^ { \mathrm { n c } } } & { = \biggl [ \tau _ { 0 } ^ { \mathrm { n c } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } \bigl [ \tau _ { 0 } ^ { \mathrm { n c } } M _ { 1 1 } ^ { \mathrm { n c } } ( M _ { 1 1 } ^ { \mathrm { n c } , + } + M _ { 1 1 } ^ { \mathrm { n c } , - } ) } \\ & { \qquad + \cos ( \theta ) \lambda _ { 1 } ( M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { n c } , + } + M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { n c } , - } ) } \\ & { \qquad \mp \mathrm { i } \sin ( \theta ) \lambda _ { 2 } ( M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { n c } , + } - M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { n c } , - } ) \bigr ] \biggr ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { a \to \infty } \int _ { \partial B _ { a } } | \partial _ { \nu } v _ { \mathrm { H } } - \mathrm { i } \kappa v _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } \mathrm { d } s } & { = \operatorname* { l i m } _ { a \to \infty } \int _ { \partial B _ { a } } \big \{ | \partial _ { \nu } v _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } | v _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } + 2 \kappa \Im ( v _ { \mathrm { H } } \partial _ { \nu } \overline { { v _ { \mathrm { H } } } } ) \big \} \mathrm { d } s } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { a \to \infty } \int _ { \partial B _ { a } } \big \{ | \partial _ { \nu } v _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } | v _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } + 2 \kappa \Im ( v _ { \mathrm { M } } \partial _ { \nu } \overline { { v _ { \mathrm { M } } } } ) \big \} \mathrm { d } s = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { a \sigma b \sigma ^ { \prime } } ^ { \textrm { R } } ( \mathbf { k } ; t , t ^ { \prime } ) } & { = - i \theta ( t - t ^ { \prime } ) \langle \{ c _ { \mathbf { k } a \sigma } ( t ) , c _ { \mathbf { k } b \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) \} \rangle , } \\ { G _ { a \sigma b \sigma ^ { \prime } } ^ { \textrm { A } } ( \mathbf { k } ; t , t ^ { \prime } ) } & { = i \theta ( t ^ { \prime } - t ) \langle \{ c _ { \mathbf { k } a \sigma } ( t ) , c _ { \mathbf { k } b \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) \} \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { R } _ { [ \imath ] , \mathrm { s } } , \mathbf { E } _ { [ \imath ] } , \mathbf { P } _ { [ \imath ] } } \quad \mathrm { T r } ( \mathbf { E } _ { [ \imath ] } ^ { - 1 } ) } \\ & { \quad \mathrm { s . t . } \quad , , , , } \\ & { \quad \quad \quad \mathbf { E } _ { [ \imath ] } \succeq \mathbf { 0 } , } \end{array}
\frac { q _ { n } } { R _ { n } ^ { c } } = \frac { k _ { n - 1 } \cdot l _ { n - 1 } \cdot \left( k _ { n - 2 } \cdot l _ { n - 2 } \cdot q _ { n - 2 } ^ { 2 } \right) \cdot q _ { n - 1 } } { \lfloor \sqrt { l _ { n - 2 } } \cdot k _ { n - 2 } \cdot q _ { n - 2 } ^ { 2 } \rfloor } \geq \sqrt { l _ { n - 2 } } \cdot k _ { n - 1 } \cdot l _ { n - 1 } \cdot q _ { n - 1 } .
\begin{array} { r l } & { \frac { d \mathbf { h } } { d t } + \widetilde { \mathbf { D } } ( H \mathbf { u } + U \mathbf { h } ) + \alpha _ { h } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { h } = \mathbf { 0 } , } \\ & { \frac { d \mathbf { u } } { d t } + \widetilde { \mathbf { D } } \left( g \mathbf { h } + U \mathbf { u } - \frac { H ^ { 2 } U } { 3 } \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 2 } \mathbf { u } - \frac { H ^ { 2 } } { 3 } \widetilde { \mathbf { D } } \left( \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right) \right) + \alpha _ { u } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } = \mathbf { 0 } , } \end{array}
\displaystyle \alpha _ { 0 } = \alpha _ { - 1 } + \frac { 9 } { 2 } \frac { { g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } } ^ { 2 } } { l _ { 3 \nu _ { x } } - 3 \nu _ { x } } \ .
\hat { h } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } \left( - \frac { 1 } { \mu ( q ) } \Delta + \frac { \alpha } { \mu ^ { 2 } c ^ { 2 } } C _ { 1 } \frac { { \bf q } } { q ^ { 3 } } \frac { \partial } { \partial { \bf q } } + \frac { 4 \pi \alpha \lambda } { \mu ^ { 2 } c ^ { 2 } } C _ { 1 } \delta ( { \bf q } ) \right) + v ( q ) \, ,
\begin{array} { r l } { b = } & { b ^ { ( 0 ) } + \epsilon b ^ { ( 1 ) } + \epsilon ^ { 2 } b ^ { ( 2 ) } + \epsilon ^ { 3 } b ^ { ( 3 ) } + O ( \epsilon ^ { 4 } ) , } \\ { \tau = } & { \tau ^ { ( 0 ) } + \epsilon \tau ^ { ( 1 ) } + \epsilon ^ { 2 } \tau ^ { ( 2 ) } + \epsilon ^ { 3 } \tau ^ { ( 3 ) } + O ( \epsilon ^ { 4 } ) , } \\ { \tilde { \eta } = } & { \epsilon \tilde { \eta } ^ { ( 1 ) } + \epsilon ^ { 2 } \tilde { \eta } ^ { ( 2 ) } + \epsilon ^ { 3 } \tilde { \eta } ^ { ( 3 ) } + O ( \epsilon ^ { 4 } ) . } \end{array}
H _ { i j k \ell } ^ { ( p ) } : = \frac { \sum _ { c = 1 } ^ { m } \phi _ { c } H _ { i j k \ell _ { c } } } { \sum _ { c = 1 } ^ { m } \phi _ { c } } = \overline { { H _ { i j k \ell _ { c } } } } \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { u } _ { 0 } ^ { n + 1 } } & { = ( u _ { 0 } ^ { e + 1 } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { 0 } \Delta x _ { e + 1 } } ( f _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { e + 1 } - F _ { { e + \frac { 1 } { 2 } } } ) } \\ { \tilde { u } _ { N } ^ { n + 1 } } & { = ( u _ { N } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { N } \Delta x _ { e } } ( F _ { { e + \frac { 1 } { 2 } } } - f _ { { N - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { e } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal L } _ { D M } \simeq \frac { \alpha _ { D } } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { \Delta ^ { 2 } } { e v _ { F } } \right) ^ { 2 } \left[ \, \frac { ( { \bf e } \cdot { \bf b } ) ^ { 2 } } { | { \bf b } | } + { \bf b } ^ { 2 } \, \ln ( | { \bf b } | ) \, \right] \; , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t t } z ( \textbf { x } , t ) + ( - \Delta ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } z ( \textbf { x } , t ) + \beta z ( \textbf { x } , t ) + z ^ { 3 } ( \textbf { x } , t ) = 0 , \quad \textbf { x } \in \Omega , \quad t > 0 , } \\ & { z ( \textbf { x } , 0 ) = \varepsilon \psi _ { 0 } ( \textbf { x } ) , \quad \partial _ { t } z ( \textbf { x } , 0 ) = \varepsilon \psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) , \quad \textbf { x } \in \Omega . } \end{array} \right.
E _ { y } \mu _ { x ^ { \prime } } - x _ { 3 } D _ { y } ^ { 2 } \kappa _ { x ^ { \prime } } = \left[ C ( x ^ { \prime } ) E ( x , y ) - \left( A _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) + x _ { 3 } A _ { 2 } ( x ^ { \prime } ) \right) \right] \mathcal { L } _ { x _ { 3 } } ^ { 1 } \otimes \mathcal { L } _ { y } ^ { 2 } + P _ { x ^ { \prime } } \quad \textit { i n } I \times \mathcal { Y } .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { r } _ { i } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ( t ) = x _ { 0 } + a _ { 0 } s i n ( 2 \pi \omega _ { 0 } t + \phi _ { 0 } ) + a _ { 1 } s i n ( 2 \pi \omega _ { 1 } t + \phi _ { 1 } ) + . . . } \\ { y ( t ) = y _ { 0 } + b _ { 0 } s i n ( 2 \pi \alpha _ { 0 } t + \psi _ { 0 } ) + b _ { 1 } s i n ( 2 \pi \alpha _ { 1 } t + \psi _ { 1 } ) + . . . } \end{array} \right. } \end{array}
V ( s , t ) : = V _ { \Gamma _ { t } } | _ { X _ { 0 } ( s , t ) } , \quad H ( s , t ) : = H _ { \Gamma _ { t } } | _ { X _ { 0 } ( s , t ) } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } ( s , t ) \in \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } \times [ 0 , T _ { 0 } ] .
\begin{array} { r l } { \operatorname { R e } V _ { 2 } } & { { } = - \mathcal { A } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { A } + \mathcal { B } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { B } , } \\ { \operatorname { I m } V _ { 2 } } & { { } = - \mathcal { A } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { B } - \mathcal { B } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { A } . } \end{array}
\kappa _ { \mathrm { e f f } , i } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { \mathrm { V a r } ( \partial _ { x } \bar { c } _ { i } ) } { 2 t ( \bar { c } _ { i } ( \infty ) - c _ { i } ( - \infty ) ) } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { \partial _ { t } \mathrm { V a r } ( \partial _ { x } \bar { c } _ { i } ) } { 2 ( \bar { c } _ { i } ( \infty ) - c _ { i } ( - \infty ) ) } .
\tilde { \gamma } ^ { \mu } = \left\{ \begin{array} { l l } { { i \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \ln 2 ~ \mathrm { s i g n } ( e B ) } } & { { \mathrm { i f ~ \ m u = 0 , 3 ~ } } } \\ { { \gamma ^ { \mu } } } & { { \mathrm { i f ~ \ m u = 1 , 2 ~ } . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } : = \frac { e ^ { \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } { 2 } } e ^ { 2 \pi ( \nu _ { 4 } - \nu _ { 2 } ) } \sqrt { 2 \pi } ( \bar { q } _ { 6 } - \bar { q } _ { 2 } \bar { q } _ { 5 } ) } { ( e ^ { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } - e ^ { - \pi \hat { \nu } _ { 2 } } ) \Gamma ( - i \hat { \nu } _ { 2 } ) } , \qquad \beta _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } : = \frac { e ^ { - \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } { 2 } } e ^ { 2 \pi \nu _ { 2 } } \sqrt { 2 \pi } ( q _ { 6 } - q _ { 2 } q _ { 5 } ) } { ( e ^ { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } - e ^ { - \pi \hat { \nu } _ { 2 } } ) \Gamma ( i \hat { \nu } _ { 2 } ) } , } \end{array}
f _ { \mathrm { o d d } } ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) = \frac { \chi } { 2 - \chi } [ f _ { W } ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) - f _ { \mathrm { e v e n } } ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) ] , \qquad \xi _ { n } < 0 ,
\frac { 3 2 \pi } { 3 } \rho _ { ( r a d . ) } a ^ { 3 } \frac { { \cal H } } { { \cal T } } \sim 8 \pi \frac { \rho _ { ( r a d . ) } ( t ) a ^ { 3 } ( t ) } { n ^ { 2 } a ( t _ { i } ) }
\begin{array} { r l r } { G ( s , t ) } & { = } & { \varPsi \left( \frac { s - 1 } { s } e ^ { r _ { 2 } ( t - \tau _ { 1 } ) } \right) } \\ & { = } & { e ^ { \left[ \frac { \lambda ( \frac { 1 } { 1 - \frac { s - 1 } { s } e ^ { r _ { 2 } ( t - \tau _ { 1 } ) } } - 1 ) } { 1 - \frac { 1 } { 1 - \frac { s - 1 } { s } e ^ { r _ { 2 } ( t - \tau _ { 1 } ) } } \left( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } \right) } \right] } } \\ & { = } & { e ^ { \left[ \frac { \lambda ( s - 1 ) } { 1 - s \left( 1 - e ^ { - ( r _ { 2 } t + ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) \tau _ { 1 } ) } \right) } \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \alpha _ { \phi } } & { = \ensuremath { \tilde { g } _ { \oplus } } \ensuremath { g _ { \phi \gamma } } \frac { \mathcal { F } } { \pi ^ { 2 } } \frac { M _ { \oplus } } { \mu _ { a } } \frac { \ell \, e ^ { - m _ { \phi } d } } { ( R _ { \oplus } + d ) ^ { 2 } } \Psi ( m _ { \phi } \ell , m _ { \phi } R _ { \oplus } , m _ { \phi } d ) \: , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } + \sigma _ { \beta } ^ { \alpha \gamma } + \sigma _ { \gamma } ^ { \beta \alpha } } & { { } = 0 , } \\ { s _ { \alpha } \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } + s _ { \beta } \sigma _ { \beta } ^ { \alpha \gamma } + s _ { \gamma } \sigma _ { \gamma } ^ { \beta \alpha } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { n } = 0 , } \\ & { q _ { n } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \lambda _ { 1 1 } ( \theta - \theta ^ { W } ) + \lambda _ { 1 2 } \sigma _ { n n } + \mathrm { K n } \lambda _ { 1 3 } \frac { \partial q _ { j } } { \partial x _ { j } } + \mathrm { K n } \lambda _ { 1 4 } \frac { \partial q _ { \langle n } } { \partial x _ { n \rangle } } \right] , } \\ & { \sigma _ { t _ { i } n } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \lambda _ { 2 1 } ( v _ { t _ { i } } - v _ { t _ { i } } ^ { W } ) + \lambda _ { 2 2 } q _ { t _ { i } } + \mathrm { K n } \lambda _ { 2 3 } \frac { \partial \sigma _ { t _ { i } j } } { \partial x _ { j } } + \mathrm { K n } \lambda _ { 2 4 } \frac { \partial \sigma _ { \langle n n } } { \partial x _ { t _ { i } \rangle } } \right] , \quad i = 1 , 2 , } \\ & { \mathrm { K n } \frac { \partial q _ { \langle t _ { i } } } { \partial x _ { n \rangle } } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \lambda _ { 3 1 } ( v _ { t _ { i } } - v _ { t _ { i } } ^ { W } ) + \lambda _ { 3 2 } q _ { t _ { i } } + \mathrm { K n } \lambda _ { 3 3 } \frac { \partial \sigma _ { t _ { i } j } } { \partial x _ { j } } + \mathrm { K n } \lambda _ { 3 4 } \frac { \partial \sigma _ { \langle n n } } { \partial x _ { t _ { i } \rangle } } \right] , \quad i = 1 , 2 , } \\ & { \mathrm { K n } \left( \frac { \partial \sigma _ { \langle n n } } { \partial x _ { n \rangle } } + \lambda _ { 4 5 } \frac { \partial \sigma _ { n t _ { j } } } { \partial x _ { t _ { j } } } \right) = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \lambda _ { 4 1 } ( \theta - \theta ^ { W } ) + \lambda _ { 4 2 } \sigma _ { n n } + \mathrm { K n } \lambda _ { 4 3 } \frac { \partial q _ { j } } { \partial x _ { j } } + \mathrm { K n } \lambda _ { 4 4 } \frac { \partial q _ { \langle n } } { \partial x _ { n \rangle } } \right] , } \\ & { \mathrm { K n } \left( \frac { \partial \sigma _ { \langle t _ { i } t _ { i } } } { \partial x _ { n \rangle } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \sigma _ { \langle n n } } { \partial x _ { n \rangle } } \right) = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left( \lambda _ { 5 1 } \sigma _ { t _ { i } t _ { i } } + \lambda _ { 5 2 } \sigma _ { n n } \right) , \quad i = 1 , 2 , } \\ & { \mathrm { K n } \frac { \partial \sigma _ { \langle t _ { 1 } t _ { 2 } } } { \partial x _ { n \rangle } } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \lambda _ { 6 1 } \sigma _ { t _ { 1 } t _ { 2 } } . } \end{array}
E _ { \epsilon } ( t ) \, = \, \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } ( R , Z ) \, \tilde { \eta } ( R , Z , t ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, - \, \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \phi } ( R , Z , t ) \, \tilde { \eta } ( R , Z , t ) \, \mathrm { d } X \, ,
{ \begin{array} { r l } { E [ Y _ { n + 1 } \mid X _ { 1 } , \dots , X _ { n } ] } & { = p ( q / p ) ^ { X _ { n } + 1 } + q ( q / p ) ^ { X _ { n } - 1 } } \\ & { = p ( q / p ) ( q / p ) ^ { X _ { n } } + q ( p / q ) ( q / p ) ^ { X _ { n } } } \\ & { = q ( q / p ) ^ { X _ { n } } + p ( q / p ) ^ { X _ { n } } = ( q / p ) ^ { X _ { n } } = Y _ { n } . } \end{array} }
a _ { 2 } ^ { ( 2 B ) } = \alpha _ { Y u } ^ { t } ( m _ { H } + 2 m _ { t } ) = \frac { 1 } { 4 } \alpha _ { 2 } ( m _ { H } + 2 m _ { t } ) \left( \frac { m _ { t } } { m _ { W } } \right) ^ { 2 } .
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ~ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ~ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \beta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \beta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ~ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ~ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \psi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \psi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \big < \beta \big > _ { u , \beta _ { S } } } & { { } = \beta _ { S } , } \\ { \big < ( \delta \beta ) ^ { 2 } \big > _ { u , \beta _ { S } } } & { { } = u ( \beta _ { S } ) ^ { 2 } . } \end{array}
f ^ { ( 1 ) } ( \vec { k } , \vec { k } ) = \sqrt { \frac { \pi } { 8 } } e ^ { - i 3 \pi / 4 } k ^ { 3 / 2 } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \left[ - r ^ { \prime } ( 1 - \frac { 1 } { F ^ { 2 } } ) \right] ,
( a _ { i } , b _ { i } ) = ( - 0 . 5 , - 0 . 5 ) + ( \frac { m o d ( i , 3 ) } { 2 } , 0 ) + ( 0 , \frac { [ i / 3 ] } { 2 } ) , i \in \{ 0 , . . . , 8 \}
B [ \langle { \cal O } _ { 8 } \rangle ] ( u \sim 1 / 2 ) \propto \frac { 6 } { u - 1 / 2 } \langle J _ { V - A } \rangle \left( \alpha _ { 1 } ^ { L } ( \mu ) + \alpha _ { 3 } ^ { L } ( \mu ) + \alpha _ { 5 } ^ { L } ( \mu ) + \cdots \right) .
\int ( \sinh a x ) ( \sinh b x ) \, d x = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } } { \big ( } a ( \sinh b x ) ( \cosh a x ) - b ( \cosh b x ) ( \sinh a x ) { \big ) } + C \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } a ^ { 2 } \neq b ^ { 2 } { \mathrm { ) } }
\begin{array} { r l } { - D _ { \mathrm { C V } } \ } & { + \overbrace { \int _ { S _ { _ \mathrm { I n l e t } } } p d A - \int _ { S _ { _ \mathrm { O u t l e t } } } p d A } ^ { \mathrm { P r e s s u r e \ F o r c e \ o n \ B o u n d a r i e s } } = } \\ & { \overbrace { \sum _ { i } \int _ { S _ { i } } \underbrace { \rho \tilde { u } ( \tilde { \mathbf { u } } \cdot \mathbf { n } ) } _ { M } d A _ { i } + { \cal M } _ { _ \mathrm { T o p + \mathrm { B o t t o m } } } } ^ { \mathrm { M o m e n t u m } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \mathbf { \tilde { G } } _ { \mathrm { a } } ^ { \mathrm { s y m } } \right) = \frac { \left( \mathbf { R } _ { { \mathbf G } , \mathrm { a } } \right) _ { i \alpha , j \beta } } { \sqrt { \left( N _ { { \mathbf G } , \mathrm { a } } \right) _ { i \alpha } \left( N _ { { \mathbf G } , \mathrm { a } } \right) _ { j \beta } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \Vert r ( 0 ) u _ { x x t } ^ { ( m ) } ( 0 , . ) + \kappa ( 0 ) u _ { x x t t } ^ { ( m ) } ( 0 , . ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } } \\ & { } & { \leq C _ { 7 } ^ { 2 } \bigg ( \Vert g _ { m } ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \Vert u _ { t t t } ^ { ( m ) } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } + \Vert u _ { t t } ^ { ( m ) } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \; d / c o + c _ { 1 } \bar { \delta } _ { 1 } ( 1 + r / c o ) } \\ & { = d / c o + ( \delta _ { 1 } d / c o + \bar { \delta } _ { 1 } d / r ) \bar { \delta } _ { 1 } ( 1 + r / c o ) } \\ & { = d / c o + \bar { \delta } _ { 1 } t / r ( 1 + r / c o ) } \\ & { = \delta _ { 1 } d / c o + \bar { \delta } _ { 1 } d / r } \\ & { = c _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hbar c \, \Big [ \big ( r g ( r ) \big ) ^ { \prime } + \frac { \kappa } { r } \, \big ( r g ( r ) \big ) \Big ] = } \\ { \big [ m _ { e } c ^ { 2 } - V ( r ) + \varepsilon \big ] \big ( r f ( r ) \big ) , } \\ { \hbar c \, \Big [ \big ( r f ( r ) \big ) ^ { \prime } - \frac { \kappa } { r } \, \big ( r f ( r ) \big ) \Big ] = } \\ { \big [ m _ { e } c ^ { 2 } + V ( r ) - \varepsilon \big ] \big ( r g ( r ) \big ) , } \end{array}
\Psi _ { S = 1 , \, M _ { S } = 0 } = \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left( \mathrm { d e t } | \phi _ { H } \alpha , \phi _ { L } \beta | - \mathrm { d e t } | \phi _ { H } \beta , \phi _ { L } \alpha | \right)
D _ { \mathrm { e f f } } = D _ { 0 } - D _ { 0 } \varepsilon ^ { 2 } \int \frac { \mathrm { ~ d ~ } k \mathrm { ~ d ~ } \omega } { D _ { 0 } ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { ( D _ { 0 } k ^ { 2 } + i \omega ) } { ( D _ { 0 } k ^ { 2 } - i \omega ) ^ { 2 } } S ( k , \omega )
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } d ^ { 2 } } & { \le \mathcal { I } ( X : Y ) \le \sum _ { k } 3 \Psi _ { k } + 3 N \varepsilon ^ { 2 } \exp ( - C d ^ { 2 } ) } \\ & { \le \frac { 3 0 \varepsilon ^ { 2 } N } { d } + 6 \cdot 2 5 6 \sqrt { H } \frac { \varepsilon ^ { 2 } N } { d ^ { 2 } } + \frac { 6 \cdot ( 3 2 \varepsilon ) ^ { 2 } H N } { d ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { E _ { s s , l } ( t ) } & & { = \frac { 1 } { 2 } \big \langle \langle u _ { l } \rangle _ { x } ^ { 2 } \big \rangle _ { z } \big | _ { 0 } ^ { 8 0 } , } \\ & { E _ { w s , l } ( t ) } & & { = \frac { 1 } { 2 } \big \langle \big ( u _ { l } - \langle u _ { l } \rangle _ { x } \big ) ^ { 2 } \big \rangle _ { x , z } \big | _ { 0 } ^ { 8 0 } , } \\ & { E _ { s r , l } ( t ) } & & { = \frac { 1 } { 2 } \big \langle \langle v _ { l } \rangle _ { x } ^ { 2 } + \langle w _ { l } \rangle _ { x } ^ { 2 } \big \rangle _ { z } \big | _ { 0 } ^ { 8 0 } , } \\ & { E _ { w r , l } ( t ) } & & { = \frac { 1 } { 2 } \big \langle \big ( v _ { l } - \langle v _ { l } \rangle _ { x } \big ) ^ { 2 } + \big ( w _ { l } - \langle w _ { l } \rangle _ { x } \big ) ^ { 2 } \big \rangle _ { x , z } \big | _ { 0 } ^ { 8 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i } ^ { \prime } } & { = \frac { \int _ { x _ { i } - \delta } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) u _ { i j } x _ { i j } d x _ { j } } { \int _ { x _ { i } - \delta } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) x _ { i j } ^ { 2 } d x _ { j } } . } \\ { u _ { i } ^ { \prime \prime } } & { = \frac { \int _ { x _ { i } - \delta } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) u _ { i j } x _ { i j } ^ { 2 } d x _ { j } } { \int _ { x _ { i } } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) x _ { i j } ^ { 4 } d x _ { j } } = \frac { \int _ { x _ { i } } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) ( u _ { i j } + u _ { i j ^ { \prime } } ) x _ { i j } ^ { 2 } d x _ { j } } { \int _ { x _ { i } } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) x _ { i j } ^ { 4 } d x _ { j } } . } \end{array}