harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { = - 2 4 0 D p ^ { 2 } \int d ^ { D } l \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 2 } x y } { ( l ^ { 2 } - \Delta ) ^ { 6 } } } \\ & { = - 2 4 0 D p ^ { 2 } \int d ^ { D } l \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { x y ( l ^ { 0 } + ( y + s ) p ) ^ { 2 } } { ( l ^ { 2 } - \Delta ) ^ { 6 } } } \\ & { = - 2 4 0 D p ^ { 2 } \int d ^ { D } l \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times \frac { x y ( ( l ^ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 l ^ { 0 } ( y + s ) p + ( y + s ) ^ { 2 } p ^ { 2 } ) } { ( l ^ { 2 } - \Delta ) ^ { 6 } } \, . } \end{array}
\Tilde { E } _ { \mathrm { i n } } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) = e ^ { - i [ { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { s a m } } \cdot { \bf r _ { \mathrm { i n } } } - k _ { z , \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } ( h ^ { \mathrm { g l a s s } } + z ^ { \mathrm { a i r } } ) + k _ { z , \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { g l a s s } } h ^ { \mathrm { g l a s s } } ] } .
\begin{array} { r } { k = \mathcal { O } \left( \frac { d ^ { 4 } \Bar { c } _ { \mathrm { P } } ( d ) ^ { 2 } \left( \log \epsilon ^ { - 1 } + d \right) ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 4 } } \left( \left( \frac { d ^ { 2 } \Bar { c } _ { \mathrm { P } } ( d ) \left( \log \epsilon ^ { - 1 } + d \right) } { \epsilon ^ { 4 } } \right) ^ { \frac { 1 - \alpha } { 2 \alpha } } \vee \left( \frac { d ^ { 5 / 2 } } { \epsilon ^ { 4 } } \right) ^ { 1 - \alpha } \right) \right) . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } }
\Lambda _ { e } ^ { - } = \Lambda _ { \mu } ^ { - } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - A _ { { \mu } e } ^ { \mathrm { m i n } } } \right) \simeq \frac { A _ { { \mu } e } ^ { \mathrm { m i n } } } { 4 } \, ,
\begin{array} { r } { \hat { \tilde { C } } _ { x } ( l \delta t ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { N - l } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { \alpha , i } x _ { \alpha , i + l } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { C } [ \mathfrak { a } _ { P } ] \otimes \mathcal { A } ( P \backslash G ) _ { Z } \cong \mathcal { A } ( P \backslash G ) , \qquad \mathbb { C } [ \mathfrak { a } _ { P } ] \otimes \mathcal { A } _ { \mathrm { c u s p } } ( P \backslash G ) _ { Z } \cong \mathcal { A } _ { \mathrm { c u s p } } ( P \backslash G ) . } \end{array}
L _ { E \mathrm { g c } } \; \equiv \; \frac { q } { c } \, \Psi ^ { * } \dot { \Theta } \; + \; J \left( \dot { \zeta } \; - \frac { } { } \dot { \Theta } \right) - \left( q \, \Phi ^ { * } + \mu \; B ^ { * } \right) ,
{ \cal L } _ { E } = \bar { \psi } _ { a } ( i \partial \! \! \! / + m - \frac { e } { \sqrt { N } } A \! \! \! / ) \psi _ { a } - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - i \frac { \kappa } { 8 \pi } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } .
\begin{array} { r l } { L _ { + } ^ { I } ( G ) } & { a s e c t i o n o f G o v e r D _ { x ^ { I } } } \\ { L ^ { I } ( G ) } & { a s e c t i o n o f G o v e r \mathring D _ { x ^ { I } } } \\ { \mathrm { G r } _ { G } ^ { I } } & { a G - t o r s o r P o v e r D _ { x ^ { I } } e q u i p p e d w i t h \alpha : P ^ { 0 } \overset { x ^ { I } } { \sim } P } \\ { \mathrm { H e c } _ { G } ^ { I } } & { G - t o r s o r s P _ { 0 } , P _ { 1 } o v e r D _ { x ^ { I } } e q u i p p e d w i t h \alpha : P _ { 0 } \overset { x ^ { I } } { \sim } P _ { 1 } } \end{array}
v _ { \mathrm { { L } } } ^ { 2 } = { \frac 1 { \rho } \left( { \frac { S } { 1 5 } + \frac 6 7 P ^ { i j } n _ { i } n _ { j } + R ^ { i j k l } n _ { i } n _ { j } n _ { k } n _ { l } } \right) } \, .
\begin{array} { r l r } { E _ { i } ^ { k l } } & { { } = } & { \frac { 4 \pi \, k T } { m _ { k } \, \rho _ { k } ^ { 2 } } \, \left( \rho _ { k } \, R _ { k l } \right) ^ { 3 } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F _ { \alpha \beta } } & { = \partial _ { \alpha } A _ { \beta } - \partial _ { \beta } A _ { \alpha } , } \\ { { \mathcal { D } } ^ { \mu \nu } } & { = { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \, g ^ { \mu \alpha } \, F _ { \alpha \beta } \, g ^ { \beta \nu } \, { \frac { \sqrt { - g } } { c } } , } \\ { J ^ { \mu } } & { = \partial _ { \nu } { \mathcal { D } } ^ { \mu \nu } , } \\ { f _ { \mu } } & { = F _ { \mu \nu } \, J ^ { \nu } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { m _ { e s t } } & { { } = f _ { o n } \bigg ( - \frac { \beta } { b } \frac { e ^ { - \beta ( t _ { o n } + \tau ) } } { 1 - e ^ { - \beta \tau } } \ln { \bigg [ S _ { c } ( t _ { o n } , t _ { o n } + \tau ) - \mathrm { ~ I ~ F ~ R ~ } \bigg ] } \bigg ) ^ { \alpha / \beta } - f _ { o n } } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } X ^ { \mu } } { d T ^ { 2 } } } = { \frac { d ^ { 2 } x ^ { \nu } } { d T ^ { 2 } } } { \frac { \partial X ^ { \mu } } { \partial x ^ { \nu } } } + { \frac { d x ^ { \nu } } { d T } } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d T } } { \frac { \partial ^ { 2 } X ^ { \mu } } { \partial x ^ { \nu } \partial x ^ { \alpha } } }
{ \begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( a _ { n } ) } & { = | \langle a _ { n } | \psi \rangle | ^ { 2 } } & { { \mathrm { ( D i s c r e t e , ~ n o n d e g e n e r a t e ~ s p e c t r u m ) } } } \\ { \mathbb { P } ( a _ { n } ) } & { = \sum _ { i } ^ { g _ { n } } | \langle a _ { n } ^ { i } | \psi \rangle | ^ { 2 } } & { { \mathrm { ( D i s c r e t e , ~ d e g e n e r a t e ~ s p e c t r u m ) } } } \\ { d \mathbb { P } ( \alpha ) } & { = | \langle \alpha | \psi \rangle | ^ { 2 } d \alpha } & { { \mathrm { ( C o n t i n u o u s , ~ n o n d e g e n e r a t e ~ s p e c t r u m ) } } } \end{array} }
C ( r ) = \partial _ { r } ^ { 2 } ( T _ { \mathrm { L } } ^ { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } ) + 4 \partial _ { r } ( T _ { \mathrm { L } } ^ { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } ) / r - 1 0 \partial _ { r } ( T _ { \mathrm { L N } } ^ { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } ) / r + 2 T _ { \mathrm { L N } } ^ { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } / r ^ { 2 } - 2 2 T _ { \mathrm { L } } ^ { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } / r ^ { 2 } + 1 6 T _ { \mathrm { N } } ^ { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } / r ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \delta \int \sqrt { L ( \lambda ) } \, d \lambda } & { \propto \int \frac { 1 } { \sqrt { L } } \left( \frac { \partial L } { \partial x ^ { a } } \delta x ^ { a } + \frac { \partial L } { \partial \dot { x } ^ { a } } \delta \dot { x } ^ { a } \right) d \lambda } \\ & { = \int \left( \frac { 1 } { \sqrt { L } } \frac { \partial L } { \partial x ^ { a } } - \frac { d } { d \lambda } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { L } } \frac { \partial L } { \partial \dot { x } ^ { a } } \right] \right) \delta x ^ { a } \, d \lambda } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } \ln ^ { 2 } ( t ) \frac { \ln ( 1 - t ) } { 1 - t } \, d t = - \mathrm { L i } _ { 4 } \left( - \frac { x } { 1 - x } \right) - \mathrm { L i } _ { 4 } ( x ) + \mathrm { L i } _ { 4 } ( 1 - x ) - \mathrm { L i } _ { 4 } ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \phi _ { y } \right) } \\ { y _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \phi _ { y } \right) } \\ { y _ { 3 } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( n ) } } & { = } & { u _ { n } \, { \hat { P } } ^ { ( g _ { n } ) } , \, \mathrm { f o r } \, \, \; n = 1 , 2 } \\ { u _ { 1 } } & { = } & { \frac { 8 } { 3 } \, \delta _ { 1 } \, s _ { 1 } \, \cos ^ { 2 } \left( k z + \Delta \phi \right) } \\ { u _ { 2 } } & { = } & { \frac { 4 } { 3 } \, \delta _ { 2 } \, s _ { 2 } \, \cos ^ { 2 } \left( k z \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } ^ { k } } } ^ { H } } & { { } = - 4 { \bf Q } ^ { H } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( { \bf { Q } } { \bf { t m } } ^ { k } ) { \bf F } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \tilde { a } _ { i j } ^ { ( k ) } \partial _ { i j } \tilde { u } _ { k } - \tilde { f } _ { k } ( x ) \right| } & { \le \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \frac { | x | ^ { \alpha } \rho _ { k } ^ { \alpha } [ a _ { i j } ^ { ( k ) } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } \| \partial _ { i j } u _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } { \rho _ { k } ^ { \alpha } [ D ^ { 2 } u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } } } \\ & { \le C | x | ^ { \alpha } \frac { \| D ^ { 2 } u _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } { [ D ^ { 2 } u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } } \le C | x | ^ { \alpha } \frac { \| D ^ { 2 } u _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } { [ D ^ { 2 } u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 / 2 } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { t r } ( J ( T , \bar { r } ) ) } & { { } = } & { \frac { c } { \varepsilon } ( M - 1 - T ( N - 1 ) ) , } \\ { \mathrm { d e t } ( J ( T , \bar { r } ) ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \varepsilon } \binom { N - 1 } { M - 1 } T ^ { M } ( 1 - T ) ^ { N - M + 1 } b \frac { \bar { r } ( 1 - \bar { r } ) \beta } { 2 } > 0 . } \end{array}
\tilde { \alpha } _ { x x } ^ { \mathrm { p } } \approx \left( \frac { 1 } { \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p } } } + \frac { 1 } { 4 \pi ( 2 z _ { \mathrm { p } } ) ^ { 3 } } \frac { \varepsilon _ { \mathrm { d } } - \varepsilon _ { \mathrm { s } } } { \varepsilon _ { \mathrm { d } } + \varepsilon _ { \mathrm { s } } } \right) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } ^ { ( h ) } \tilde { X } ^ { ( h ) } + \tilde { X } ^ { ( h ) } A _ { 2 } ^ { ( h ) } } & { = A _ { 1 } ^ { ( h ) } \tilde { X } ^ { ( h + 1 ) } + \tilde { X } ^ { ( h + 1 ) } A _ { 2 } ^ { ( h ) } + A _ { 1 } ^ { ( h ) } \delta \tilde { X } ^ { ( h ) } + \delta \tilde { X } ^ { ( h ) } A _ { 2 } ^ { ( h ) } } \\ & { = \underbrace { ( A _ { 1 } ^ { ( h ) } - A _ { 1 } ^ { ( h + 1 ) } ) \tilde { X } ^ { ( h + 1 ) } + \tilde { X } ^ { ( h + 1 ) } ( A _ { 2 } ^ { ( h ) } - A _ { 2 } ^ { ( h + 1 ) } ) } _ { - \widetilde { \Xi } ^ { ( h ) } } } \\ & { + A _ { 1 } ^ { ( h + 1 ) } \tilde { X } ^ { ( h + 1 ) } + \tilde { X } ^ { ( h + 1 ) } A _ { 2 } ^ { ( h + 1 ) } + \widetilde { \Xi } ^ { ( h ) } + R ^ { ( h ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { H } } ( f ) } & { = - \iint _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \Bigg \{ \sum _ { a , b } \theta _ { a b } \mathcal { I } ( ( x , y ) \in \omega _ { a b } ) \log ( \theta _ { a b } ) + \sum _ { a , b } \mathcal { I } ( ( x , y ) \in \omega _ { a b } ) ) ( 1 - \theta _ { a b } ) \log ( ( 1 - \theta _ { a b } ) ) \} \, d x d y \Bigg \} } \\ & { = - \sum _ { a ^ { \prime } , b ^ { \prime } } \iint _ { \omega _ { a ^ { \prime } , b ^ { \prime } } } \Bigg \{ \sum _ { a , b } \mathcal { I } ( ( x , y ) \in \omega _ { a b } ) [ \theta _ { a b } \log ( \theta _ { a b } ) + ( 1 - \theta _ { a b } ) ( 1 - \log ( \theta _ { a b } ) ) ) ] \Bigg \} \, d x d y } \\ & { = - \sum _ { a , b } \frac { h _ { a } h _ { b } } { n ^ { 2 } } [ \theta _ { a b } \log ( \theta _ { a b } ) + ( 1 - \theta _ { a b } ) \log ( 1 - \theta _ { a b } ) ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { e } _ { n } ( { \boldsymbol k } ) } & { = \Big ( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \big ( \exp ( - { \textstyle \frac 1 2 } \Phi ( { \boldsymbol X } ^ { ( i ) } ) ) - \hat { g } _ { n } ( { \boldsymbol X } ^ { ( i ) } ) \big ) \psi _ { \boldsymbol k } ( { \boldsymbol X } ^ { ( i ) } ) w ( { \boldsymbol X } ^ { ( i ) } ) \Big ) ^ { 2 } , } \\ { \hat { g } _ { n } ( { \boldsymbol x } ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { h \in \mathcal { V } _ { \mathcal { K } _ { n } } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \big ( \exp ( - { \textstyle \frac 1 2 } \Phi ( { \boldsymbol X } ^ { ( i ) } ) ) - h ( { \boldsymbol X } ^ { ( i ) } ) \big ) ^ { 2 } w ( { \boldsymbol X } ^ { ( i ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \left( \mathcal { W } ^ { \left( \bar { 1 } , \bar { \nu } \right) } ( \lambda x ) , s \right) } & { = } & { \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Gamma ( 1 + a _ { j } ) \frac { 1 } { s } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Gamma ( k + a _ { j + 1 } + 1 ) } \left( \frac { \lambda } { s } \right) ^ { k } } \\ & { = } & { \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Gamma ( 1 + a _ { j } ) \frac { 1 } { s } E _ { ( 1 , 1 , . . . , 1 ) , ( a _ { j + 1 } + 1 ) } ^ { ( n ) } \left( \frac { \lambda } { s } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } = u ( x ( t ) , z ( t ) , t ) } & { { } = \epsilon c \frac { \cosh k ( z ( t ) + H ) } { \sinh \alpha } \cos ( k x ( t ) - \omega t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } t } = w ( x ( t ) , z ( t ) , t ) } & { { } = \epsilon c \frac { \sinh k ( z ( t ) + H ) } { \sinh \alpha } \sin ( k x ( t ) - \omega t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { { } \omega _ { m } b ^ { \dagger } b - \sum _ { j = 1 , 2 } [ \Delta _ { j } { a _ { j } } ^ { \dagger } a _ { j } - G _ { j } ( { a _ { j } } ^ { \dagger } + a _ { j } ) ( b ^ { \dagger } + b ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { m a x i m i z e } } & { } & { \omega _ { 1 } x _ { 1 } / \sqrt { \alpha _ { 1 } } + \omega _ { 2 } x _ { 2 } / \sqrt { \alpha _ { 2 } } } \\ { \mathrm { s . t . } } & { } & { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } = 1 , \, \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } = 1 , } \\ & { } & { x _ { 1 } , x _ { 2 } , \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } \geq 0 . } \end{array}
{ [ } \hat { D } _ { \lambda } ^ { ( + ) } ( \vec { k } ) , \hat { Q } ^ { a } ] = - k _ { 0 } \varepsilon _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \hat { C } _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { a ( + ) } ( \vec { k } ) , \; \; \varepsilon _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } = - \varepsilon _ { \lambda ^ { \prime } \lambda } , \; \; \varepsilon _ { 1 2 } = - 1 ,
Q _ { v i s c } = \frac { \eta _ { 0 } k _ { | | } ^ { 2 } } { 3 v _ { A } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - 3 \beta } { 1 - \beta } \right) ^ { 2 } a ^ { 4 } \frac { ( 1 - \cos ( 4 \phi ) ) } { 8 } ,
H = \frac { z _ { A } ( z _ { A } - 1 ) ( z _ { A } - z _ { 3 } ) } { z _ { 3 } ( z _ { 3 } - 1 ) } \left\{ b _ { A } ^ { 2 } - ( \frac { \mu _ { 1 } } { z _ { A } } + \frac { \mu _ { 2 } } { z _ { A } - 1 } + \frac { \mu _ { 3 } - 1 } { z _ { A } - z _ { 3 } } ) b _ { A } + \frac { \kappa } { z _ { A } ( z _ { A } - 1 ) } \right\} .
W _ { | | } = - \frac { 1 } { q } \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ { - \frac { Z _ { 0 } } { 2 \sqrt { 2 \pi } } \delta ^ { \prime } ( z - z ^ { , } ) ( a ^ { \prime } ) ^ { 2 } } ] \lambda ( z ^ { , } ) d z ^ { , } = - Z _ { 0 } L a ^ { 2 } \frac { z } { 4 \pi \sigma _ { z } ^ { 3 } } \ e ^ { - \frac { z ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { z } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { | Q ^ { 7 } | } & { \leq C ( | \boldsymbol { X } | _ { \circ , n } , \| \nabla \boldsymbol { X } _ { n } \| _ { C ^ { 0 } ( V _ { 5 R } ) } ) \frac { ( | { \boldsymbol { h } } | + | { \boldsymbol { h } } | ^ { 1 - \gamma } R ^ { \gamma } ) } { R } \| \tilde { Z } \| _ { C ^ { 0 } ( V _ { 5 R } ) } | { \boldsymbol { h } } | ^ { \gamma } } \\ & { \leq C ( | \boldsymbol { X } | _ { \circ , n } , \| \nabla \boldsymbol { X } _ { n } \| _ { C ^ { 0 } ( V _ { 5 R } ) } ) \| \tilde { Z } \| _ { C ^ { 0 } ( V _ { 5 R } ) } | { \boldsymbol { h } } | ^ { \gamma } . } \end{array}
\dot { \rho _ { 1 } } = - \frac { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } - \rho _ { 1 } , \quad \dot { \rho _ { 2 } } = \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } + \frac { 1 } { 4 \rho _ { 2 } } + \frac { \zeta _ { 1 } ( t ) } { \sqrt { 2 } } , \quad \dot { \theta } = \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \rho _ { 2 } ^ { 2 } } { \rho _ { 2 } \sqrt { \chi } } \cos \theta + \frac { \zeta _ { 2 } ( t ) } { \sqrt { 2 } \rho _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { A ( x , t _ { k } ) = } & { \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } \nabla _ { x } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \\ & { + \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } k \delta h ^ { 2 } \nabla _ { x } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge F \left( X _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { s } } & { { } = \left[ \begin{array} { l } { - \sigma \kappa \partial _ { z z } U _ { 0 } } \\ { \sqrt { \mathrm { T a } _ { 0 } } \, \sigma \kappa \rho U _ { 0 } } \\ { 0 } \end{array} \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } ( \bar { v } ) } & { = \omega ^ { 2 } \int _ { S _ { R } } ( u \cdot \bar { v } ) ( h \cdot n ) \, \mathrm { d } s } \\ & { - ( \lambda + \mu ) \int _ { S _ { R } } ( \nabla \cdot u ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) ( n \cdot h ) \, \mathrm { d } s - \mu \int _ { S _ { R } } ( h \cdot n ) ( \nabla u : \nabla \bar { v } ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } ( M _ { G } ^ { Q } \mathcal { P } ( \rho _ { G } ) ) } & { = \frac { 1 } { d ^ { 2 } } \sum _ { P _ { 1 } , P _ { 3 } \in G , P _ { 2 } } ( - 1 ) ^ { P _ { 1 } . Q } p ( P _ { 2 } ) \mathrm { t r } ( P _ { 1 } P _ { 2 } P _ { 3 } P _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { d ^ { 2 } } \sum _ { P _ { 1 } , P _ { 3 } \in G , P _ { 2 } } p ( P _ { 2 } ) ( - 1 ) ^ { P _ { 1 } . Q + P _ { 2 } . P _ { 3 } } \mathrm { t r } ( P _ { 1 } P _ { 3 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { d } \sum _ { P _ { 1 } \in G , P _ { 2 } } p ( P _ { 2 } ) ( - 1 ) ^ { P _ { 1 } . ( Q + P _ { 2 } ) } } \\ & { = \sum _ { P _ { 2 } } p ( P _ { 2 } ) \mathbb { 1 } ( Q + P _ { 2 } \in C _ { G } ) } \\ & { = \sum _ { P \in C _ { G } } p ( P + Q ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boxed { P _ { E S } = 2 \int _ { 0 } ^ { \Delta } \frac { a ( 1 - \lambda _ { \rho } ^ { 3 } ) e ^ { b ( I _ { 1 } - 3 ) } + T _ { a } ( { 1 - \lambda _ { 0 } \sqrt { { \lambda _ { \rho } } / { 2 } } } ) } { \hat { r } } \mathrm { ~ d ~ } \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \frac { J } { 2 } \left( \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { x } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { x } + \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { y } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { y } \right) + \frac { V } { 4 } \left( \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { z } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { z } + \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { z } + \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { z } \right) . } \end{array}
\frac { I _ { d } ( t ) } { I _ { 0 } } = \left| \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( \frac { - i N \Gamma _ { 1 D } } { 2 } \frac { 1 } { z + \Delta + i \Gamma ^ { \prime } / 2 } \right) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } z ^ { 2 } \right) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - i z t \right) d z \right| ^ { 2 } .
- 2 K _ { i j } = \frac { 1 } { N } \left( \dot { \gamma } _ { i j } - N _ { i ; j } - N _ { j ; i } \right) = \gamma ^ { - 1 / 2 } e ^ { \phi } \left( 2 \pi ^ { k l } \gamma _ { i k } \gamma _ { j l } + \gamma _ { i j } \pi ^ { \phi } \right) ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { t } } & { = m ^ { - 1 } \cdot p _ { t } , } \\ { \dot { p } _ { t } } & { = - \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle , } \\ { \dot { A } _ { t } } & { = - A _ { t } \cdot m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } - \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle , } \\ { \dot { \gamma } _ { t } } & { = T ( p _ { t } ) - \langle \hat { V } \rangle + ( \hbar / 4 ) \operatorname * { T r } [ \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \left( \operatorname { I m } A _ { t } \right) ^ { - 1 } ] } \\ & { ~ ~ ~ + ( i \hbar / 2 ) \operatorname * { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } = 1 \right) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma + \varepsilon ( 1 - \gamma ) \sum _ { l = 0 } ^ { t - 1 } ( 1 - \varepsilon ) ^ { l } } & { \mathrm { i f ~ t ~ \leq ~ t _ S ~ } , } \\ { \varepsilon ( 1 - \gamma ) \sum _ { l = t _ { S } } ^ { t - 1 } ( 1 - \varepsilon ) ^ { l } } & { \mathrm { i f ~ t _ S ~ < ~ t ~ \leq ~ t _ I ~ } , } \\ { \varepsilon ( 1 - \gamma ) \sum _ { l = t _ { S } } ^ { t _ { I } - 1 } ( 1 - \varepsilon ) ^ { l } } & { \mathrm { i f ~ t > t _ I ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\langle \theta _ { 3 } | e ^ { - { \hat { H } } T } | \theta _ { 3 } \rangle \propto \mathrm { e x p } \{ e ^ { - 2 \pi L _ { 1 } L _ { 2 } / g ^ { 2 } } K L _ { 3 } T \cos \theta _ { 3 } \}
\begin{array} { r l r } { { \bf u } } & { = } & { \nabla \times ( \psi ^ { u } { \bf e _ { \parallel } } ) + \nabla \times ( \nabla \times ( \phi ^ { u } { \bf e _ { \parallel } } ) ) + \nabla \xi \, , } \\ { { \bf b } } & { = } & { \nabla \times ( \psi ^ { b } { \bf e _ { \parallel } } ) + \nabla \times ( \nabla \times ( \phi ^ { b } { \bf e _ { \parallel } } ) ) \, . } \end{array}
Z _ { \epsilon } ^ { * } ( \omega ) = Z ( \omega , \Omega ) = \frac { i \Omega } { \pi \Delta n ( \omega ) } \int _ { 2 \pi n _ { 1 } ( \omega ) / \Omega } ^ { 2 \pi n _ { 2 } ( \omega ) / \Omega } e ^ { - i \Omega \eta } \mathfrak { I m } \left( \frac { R _ { 0 } ( \eta ) e ^ { i \Omega \eta } } { 1 + i \omega \theta _ { 0 } ( 0 ) } \right) d \eta .
\begin{array} { r l } { \omega ( y , t ) } & { = \omega ( y , t ) 1 _ { \{ y \in \partial D \} } + \int _ { D } p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) G ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \\ & { + \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \partial } { \partial n ^ { + } } p ^ { D } ( s , ( \tau ^ { + } , 0 + ) , t , y ) \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , s ) \textrm { d } \tau ^ { + } \textrm { d } s } \\ & { + \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \partial } { \partial n ^ { - } } p ^ { D } ( s , ( \tau ^ { - } , 0 + ) , t , y ) \theta _ { - } ( \tau ^ { - } , s ) \textrm { d } \tau ^ { - } \textrm { d } s , } \end{array}
\tilde { \varepsilon } _ { \mathrm { s e e d } } ( t ) \propto \exp { \left( - ( 1 + i a ) \left( \frac { t } { \tau _ { g } } \right) ^ { 2 } \right) } + A \exp { \left( - ( 1 + i a ) \left( \frac { t - d } { \tau _ { g } } \right) ^ { 2 } \right) } ,
\begin{array} { r l } { u _ { \lambda } } & { \leftarrow u _ { \lambda } + \sigma _ { \lambda } ( T \lambda - y _ { \lambda } ) , } \\ { u _ { \mu } } & { \leftarrow u _ { \mu } + \sigma _ { \mu } ( P \mu - y _ { \mu } ) , } \\ { v _ { \lambda } } & { \leftarrow v _ { \lambda } + \sigma _ { \lambda } ( \nu _ { \lambda } D \lambda - z _ { \lambda } ) , } \\ { v _ { \mu } } & { \leftarrow v _ { \mu } + \sigma _ { \mu } ( \nu _ { \mu } D \mu - z _ { \mu } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { h } } _ { \mathrm { G T C } } ( k _ { x } ) } & { = \sum _ { { k _ { y } } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } , B } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , B } + \sum _ { k _ { y } \in \mathcal { K } _ { c } } k _ { y } { g _ { \boldsymbol k } } \sqrt { \mathcal { N } _ { B } } \big ( \hat { a } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , B } + \hat { a } _ { { k _ { x } , k _ { y } } } \hat { d } _ { k _ { x } , B } ^ { \dagger } \big ) ~ ~ . } \end{array}
B _ { 3 1 } = { \frac { 1 } { ( 1 / 2 ) - 2 n _ { 2 } ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta } \left[ 2 n _ { 2 } i ( - 1 ) ^ { n _ { 2 } } + ( 1 - 4 S c \, i \, n _ { 2 } ) \mathrm { e } ^ { 4 S c \, i \, n _ { 2 } } \right] + O ( S c ^ { 2 } )