harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \mathrm { M i n i m i z e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = x _ { 1 } } \\ { f _ { 2 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = g \left( { \boldsymbol { x } } \right) h \left( f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) , g \left( { \boldsymbol { x } } \right) \right) } \\ { g \left( { \boldsymbol { x } } \right) = 1 + { \frac { 9 } { 2 9 } } \sum _ { i = 2 } ^ { 3 0 } x _ { i } } \\ { h \left( f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) , g \left( { \boldsymbol { x } } \right) \right) = 1 - { \sqrt { \frac { f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) } { g \left( { \boldsymbol { x } } \right) } } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \zeta , \psi > 0 } \zeta ^ { 2 } + \psi ^ { 2 } , } \\ & { \mathrm { s . t . } \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \Vert \nabla f _ { i } ( x ) - \nabla f ( x ) \Vert ^ { 2 } - \psi ^ { 2 } \Vert \nabla f ( x ) \Vert ^ { 2 } \leq \zeta ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \theta ^ { \prime } } & { : } & { a + b e _ { 8 } \rightarrow a \theta + ( b \theta ) e _ { 8 } , } \\ { \epsilon } & { : } & { a + b e _ { 8 } \rightarrow a - b e _ { 8 } , } \\ { \psi } & { : } & { a + b e _ { 8 } \rightarrow \frac { 1 } { 4 } [ a + 3 \overline { { a } } + \sqrt { 3 } ( b - \overline { { b } } ) ] + \frac { 1 } { 4 } [ b + 3 \overline { { b } } - \sqrt { 3 } ( a - \overline { { a } } ) ] e _ { 8 } , } \end{array}
\Delta \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } : = ( \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } ^ { ( \mathcal { L } ) } - \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } ^ { ( \mathcal { S } ) } ) / \mathcal { F } _ { 0 }
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { L } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \left[ \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \hat { \boldsymbol D } ^ { \perp 2 } ( \boldsymbol r ) + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \hat { \boldsymbol B } ^ { 2 } ( \boldsymbol r ) \right] } \\ & { = } & { \sum _ { \boldsymbol k , x } \hbar \omega _ { \boldsymbol k } \left( \hat { d } _ { \boldsymbol k \lambda } ^ { \prime \dagger } \hat { d } _ { \boldsymbol k \lambda } ^ { \prime } + \frac 1 2 \right) , } \end{array}
W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n , t + \frac { 1 } { n } } , \mu ^ { n , \frac { 1 } { n } } ) \leq 4 \operatorname* { s u p } \bigg \{ \Big \vert \int _ { \mathcal { M } } ( \mu ^ { n , t + \frac { 1 } { n } } - \mu ^ { n , \frac { 1 } { n } } ) \, f \, \mathrm { d } \mathrm { m } \Big \vert ^ { 2 } \quad \mathrm { w i t h } \quad \int _ { \mathcal { M } } \mu ^ { n , t + \frac { 1 } { n } } \, \vert \nabla f \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mathrm { m } \leq 1 \bigg \} .
\begin{array} { r l r } { i ^ { * } } & { { } = } & { \frac { c _ { b } + \sqrt { c _ { b } ^ { 2 } - 4 c _ { a } c _ { c } } } { - 2 c _ { a } } , \ r ^ { * } = \frac { \alpha p _ { r } } { l _ { i } } i ^ { * } \mathrm { ~ \normalsize ~ w ~ i ~ t ~ h ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } n } { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } } \left[ ( m _ { d } - m _ { u } ) \left( m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) + m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right) \right. } \\ & { } & { \left. + ( m _ { u } - m _ { s } ) \left( m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) - m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) \right) \right] } \\ & { } & { = ( m _ { d } - m _ { u } ) J ( m _ { u } , - m _ { d } , m _ { s } ) + ( m _ { u } - m _ { s } ) J ( - m _ { u } , - m _ { d } , m _ { s } ) . } \end{array}
\phi \left( { { { \bar { u } } _ { i } } , k , t } \right) = { D } \left( { k , t } \right) = \int _ { \bf { k } } { \nu { k ^ { 2 } } \bar { v } _ { i } ^ { * } \left( { { \bf { k } } , t } \right) { { \bar { v } } _ { i } } \left( { { \bf { k } } , t } \right) \delta \left( { \left| { \bf { k } } \right| - k } \right) d { \bf { k } } } ,
\mathbf { E } _ { \mathrm { i } } = \mathbf { Z } _ { 0 } \cdot ( \hat { z } \times \mathbf { H } _ { \mathrm { i } } ) , \quad \mathbf { E } _ { \mathrm { r } } = - \mathbf { Z } _ { 0 } \cdot ( \hat { z } \times \mathbf { H } _ { \mathrm { r } } ) .
\begin{array} { r } { - i \omega q + i k \rho _ { 0 } u = 0 , } \\ { - i \omega u = - i k c _ { s } ^ { 2 } q / \rho _ { 0 } - i k u _ { A } ^ { 2 } h / H _ { 0 } - i \omega \frac { H _ { 0 } E } { 4 \pi c \rho _ { 0 } } , } \\ { - i \omega h = - i k H _ { 0 } u + \nu _ { m } ( - k ^ { 2 } h + \frac { \omega ^ { 2 } h } { c ^ { 2 } } ) , } \\ { - i \omega h + i k c E = 0 \qquad } \end{array}
{ \frac { d \sigma } { d \ln \hat { s } \, d y } } \equiv \int _ { Q _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \hat { s } / ( \kappa Q _ { \mathrm { m i n } } ) } d Q _ { A } \int _ { Q _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \hat { s } / ( \kappa Q _ { A } ) } d Q _ { B } { \frac { d \sigma } { d \ln \hat { s } \, d y \, d Q _ { A } \, d Q _ { B } } }
\begin{array} { r l } { \theta = \theta _ { 0 } \; \; } & { { } \Rightarrow \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ i ~ a ~ l ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ , ~ } } \\ { \theta _ { 0 } < \theta < \theta _ { J } \; \; } & { { } \Rightarrow \mathrm { ~ p ~ u ~ r ~ e ~ r ~ o ~ l ~ l ~ i ~ n ~ g ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ , ~ } } \\ { \theta = \theta _ { J } \; \; } & { { } \Rightarrow \mathrm { ~ j ~ u ~ m ~ p ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ , ~ } } \\ { \theta > \theta _ { J } \; \; } & { { } \Rightarrow \mathrm { ~ f ~ l ~ i ~ g ~ h ~ t ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } f ( x ) - \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } g ( x ) | } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } | f ( x ) - g ( x ) | , } \\ { | \relax _ { x \in \mathcal { X } } f ( x ) - \relax _ { x \in \mathcal { X } } g ( x ) | } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } | f ( x ) - g ( x ) | . } \end{array}
\boldsymbol { R _ { u } ^ { w } } = \left( \boldsymbol { W _ { u } } \boldsymbol { \Psi } \right) \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { W _ { f } } \boldsymbol { \Phi } \right) ^ { H } \approx \left( \boldsymbol { W _ { u } } \boldsymbol { \tilde { \Psi } } \right) \boldsymbol { \tilde { \Sigma } } \left( \boldsymbol { W _ { f } } \boldsymbol { \tilde { \Phi } } \right) ^ { H } = \boldsymbol { \tilde { R } _ { u } ^ { w } } ,
{ \frac { d ^ { 2 } \tilde { \phi } } { d u ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { u } } { \frac { d \tilde { \phi } } { d u } } + \left[ 1 - { \frac { \nu ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } } \right] \tilde { \phi } = 0
0 < \frac { 1 + \ell ^ { \prime } \left( t \right) } { 1 - \ell ^ { \prime } \left( t \right) } \leq 1 \mathrm { ~ \ i f ~ } - 1 < \ell ^ { \prime } \left( t \right) \leq 0 \ \ \ \mathrm { a n d ~ \, ~ } 1 \leq \frac { 1 + \ell ^ { \prime } \left( t \right) } { 1 - \ell ^ { \prime } \left( t \right) } \ \mathrm { ~ \ i f ~ } 0 \leq \ell ^ { \prime } \left( t \right) < 1 ,
\begin{array} { r l } { \underline { { t } } } & { { } : = \frac { \log ( 1 5 c _ { x } \sqrt { r _ { 0 } n } / | c _ { \xi , x } | ) } { \log [ ( 1 - \lambda _ { 2 } ) / ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ] } , } \\ { \overline { { t } } } & { { } : = \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { \log ( | c _ { \xi , x } | / 5 | c _ { \eta , x } | ) } { \log [ ( 1 - \lambda _ { 1 } ) / ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ] } , \frac { \log ( | c _ { \xi , x } | / 5 | \zeta _ { 1 } | ) } { \log [ 1 / ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ] } , } \end{array}
\alpha = \frac { t _ { B } ^ { \mathrm { ~ ( ~ C ~ P ~ U ~ , ~ o ~ p ~ t ~ ) ~ } } } { t _ { U } ^ { \mathrm { ~ ( ~ C ~ P ~ U ~ ) ~ } } } = \frac { 2 7 } { 4 } \frac { C _ { B } } { C } \frac { | \lambda | } { \varepsilon } .
\left\{ \begin{array} { l } { f _ { 1 } ( { \bf X } , { \dot { \bf X } } , t ) = 0 , } \\ { \quad \dots \quad \dots \quad \dots } \\ { \quad \dots \quad \dots \quad \dots } \\ { f _ { r } ( { \bf X } , { \dot { \bf X } } , t ) = 0 } \end{array} \right.
1 ~ { \mathrm { P a } } { \cdot } { \mathrm { s } } = 1 ~ { \mathrm { N } } { \cdot } { \mathrm { s } } { \cdot } { \mathrm { m } } ^ { - 2 } = 1 ~ { \mathrm { k g } } { \cdot } { \mathrm { m } } ^ { - 1 } { \cdot } { \mathrm { s } } ^ { - 1 } = 1 0 ~ { \mathrm { P } } .
\begin{array} { r l } { \langle \dot { \psi } | \hat { A } ( \psi ) \psi \rangle } & { = \langle \hat { A } ( \psi ) \psi | \dot { \psi } \rangle ^ { \ast } = i \hbar ^ { - 1 } \langle \hat { A } ( \psi ) \psi | \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ( \psi ) \psi \rangle ^ { \ast } } \\ & { = i \hbar ^ { - 1 } \langle \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ( \psi ) \psi | \hat { A } ( \psi ) \psi \rangle } \\ & { = i \hbar ^ { - 1 } \langle \psi | \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ( \psi ) \hat { A } ( \psi ) \psi \rangle , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( \mu \mid \mathbf { X } ) } & { \propto p ( \mathbf { X } \mid \mu ) p ( \mu ) } \\ & { = \left( { \frac { \tau } { 2 \pi } } \right) ^ { n / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 } } \tau \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } + n ( { \bar { x } } - \mu ) ^ { 2 } \right) \right] { \sqrt { \frac { \tau _ { 0 } } { 2 \pi } } } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \tau _ { 0 } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { \propto \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \left( \tau \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } + n ( { \bar { x } } - \mu ) ^ { 2 } \right) + \tau _ { 0 } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { \propto \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \left( n \tau ( { \bar { x } } - \mu ) ^ { 2 } + \tau _ { 0 } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { = \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } ( n \tau + \tau _ { 0 } ) \left( \mu - { \frac { n \tau { \bar { x } } + \tau _ { 0 } \mu _ { 0 } } { n \tau + \tau _ { 0 } } } \right) ^ { 2 } + { \frac { n \tau \tau _ { 0 } } { n \tau + \tau _ { 0 } } } ( { \bar { x } } - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { \propto \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } ( n \tau + \tau _ { 0 } ) \left( \mu - { \frac { n \tau { \bar { x } } + \tau _ { 0 } \mu _ { 0 } } { n \tau + \tau _ { 0 } } } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array} }
P ( \theta ^ { 2 } , \bar { \theta } ^ { 2 } ) = 1 - { \frac { i } { 2 R } } ( \theta ^ { 2 } - \bar { \theta } ^ { 2 } ) + { \frac { 1 } { 3 ! R ^ { 2 } } } \theta ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { 2 } , \qquad \theta ^ { 2 } \equiv \theta ^ { A } \theta _ { A } , \quad \bar { \theta } ^ { 2 } \equiv \bar { \theta } _ { \dot { A } } \bar { \theta } ^ { \dot { A } } ,
\begin{array} { r } { \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { n _ { u } } \! + \! \left( \! 1 \! - \! \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { n _ { u } } \! \right) \Gamma \, \cos \phi \: \lesssim \: \hat { J } \: \lesssim \: \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { n _ { d } } - \left( \! \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { n _ { d } } \! - \! 1 \! \right) \Gamma \, \cos \phi , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { { \cal J } _ { ( e ) \mu \nu } } } & { { = } } & { { i \bar { \psi } _ { \mu } \sigma ^ { 2 } \psi _ { \nu } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \cal J } _ { ( m ) \mu \nu } } } & { { = } } & { { - \frac { 1 } { 2 e } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \bar { \psi } _ { \rho } \gamma _ { 5 } \sigma ^ { 2 } \psi _ { \sigma } \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { H ( t , x ) } & { = \frac 3 2 ( 1 - x ^ { 2 } ) + C _ { 2 } \, t ^ { - ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } H _ { 1 } ( x ) + O \big ( t ^ { - 2 ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } \big ) } & & { \mathrm { f o r } \quad x \in [ - 1 , 1 ] , } \\ { s ( t ) } & { = 3 ^ { \frac { 1 - \gamma } { 2 } } \gamma ^ { - \gamma } t ^ { \gamma } \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + O ( t ^ { - ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } ) \big ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \gamma \ne \frac { 1 } { 2 ( n + 4 ) } , } \\ { \big ( 1 + O ( t ^ { - \frac 1 2 } \log t ) \big ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \gamma = \frac { 1 } { 2 ( n + 4 ) } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z a _ { E } ( l , m ) h _ { l } ( k r ) = - \frac { k } { \sqrt { l ( l + 1 ) } } \int Y _ { l m } ^ { * } ( \theta , \varphi ) { \bf r } \cdot { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \mathrm { { J a c k } } } , } & { { } } & { a _ { M } ( l , m ) h _ { l } ( k r ) = \frac { k } { \sqrt { l ( l + 1 ) } } \int Y _ { l m } ^ { * } ( \theta , \varphi ) { \bf r } \cdot { \bf H } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \mathrm { { J a c k } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \mathcal { F } } { \partial y } } & { = } & { \frac { a } { 2 } \mathcal { P } , } \\ { \frac { \partial \mathcal { P } } { \partial \hat { t } } } & { = } & { \mathcal { D } \mathcal { F } - \mathcal { P } , } \\ { \frac { \partial \mathcal { D } } { \partial \hat { t } } } & { = } & { \gamma \left[ 1 - \mathcal { D } - \mathcal { F } \mathcal { P } ) \right] ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathfrak { h } } _ { m \ell } ( w _ { \infty , m \ell } ( r ) + E _ { + } \widetilde { w } _ { \infty , m \ell } ( r ) ) f _ { + } ^ { m \ell } ( \tau , r ) = } & { \: { \mathfrak { h } } _ { m \ell } ( B _ { + } - \widetilde { B } _ { - } ^ { - 1 } B _ { - } \widetilde { B } _ { + } ) w _ { + , m \ell } ( r ) f _ { + } ^ { m \ell } ( \tau , r ) } \\ { { \mathfrak { h } } _ { m \ell } ( w _ { \infty , m \ell } ( r ) + E _ { - } \widetilde { w } _ { \infty , m \ell } ( r ) ) f _ { - } ^ { m \ell } ( \tau , r ) = } & { \: { \mathfrak { h } } _ { m \ell } ( B _ { -- } \widetilde { B } _ { + } ^ { - 1 } B _ { + } \widetilde { B } _ { - } ) w _ { - , m \ell } ( r ) f _ { - } ^ { m \ell } ( \tau , r ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sum _ { n ^ { \prime } , k ^ { \prime } } \exp \! \left[ { - { \frac { ( E _ { n ^ { \prime } } - E ) ^ { 2 } - ( E _ { n } - E ) ^ { 2 } } { 2 \varepsilon ^ { 2 } } } } \right] } } < \exp \! \left[ { - { \frac { ( E _ { n } - E ) ^ { 2 } - ( E _ { n _ { 0 } } - E ) ^ { 2 } } { 2 \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } } } } \right]
\mathcal { G } ( \tau ) = \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } _ { 0 } } \frac { \| \exp ( \tau \mathbf { L } ) \mathbf { x } _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \mathbf { x } _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } ,
\left\{ r _ { k } \right\} = \left\{ \begin{array} { l l } { \{ \underbrace { \left. 3 , 3 , 3 , 4 , \ldots , \frac { K + 2 } { 2 } \right\} , } _ { 0 , \ldots , K - 3 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \bmod ( K , 2 ) = 0 , } \\ { \{ \underbrace { 3 , 3 , 3 , 4 , \ldots , \frac { K + 1 } { 2 } } _ { 0 , \ldots , K - 3 } \} , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \bmod ( K , 2 ) = 1 . } \end{array} \right.
\Phi _ { j } = \exp \left( i \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \frac { 8 \sinh ( 2 h \theta t / \pi ) \sinh ( ( 1 - x ) t ) \cosh x t \sinh ( ( j - 1 ) t ) \sinh j t } { t \sinh 2 t \cosh h t } \right)
\begin{array} { r l } & { y _ { 3 } > 0 \ , \qquad y _ { 3 } y _ { 2 } - | t _ { 0 } | ^ { 2 } > 0 \ , } \\ & { d ^ { t ^ { \prime } } ( Y ) = y _ { 1 } y _ { 2 } y _ { 3 } - y _ { 3 } | t _ { 0 } | ^ { 2 } - y _ { 2 } | t _ { 1 } | ^ { 2 } - y _ { 1 } | w | ^ { 2 } + 2 \langle \mu _ { w } ( t _ { 0 } ) , t _ { 1 } \rangle + } \\ & { \phantom { a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a } + \frac { | t _ { 0 } | ^ { 2 } | t _ { 1 } | ^ { 2 } - \langle t _ { 1 } { \boldsymbol { \cdot } } t _ { 0 } ^ { \flat } , t _ { 1 } { \boldsymbol { \cdot } } t _ { 0 } ^ { \flat } \rangle } { y _ { 3 } } > 0 \ . } \end{array}
H ^ { \prime } = \underbrace { \sum _ { i \nu \sigma } \epsilon _ { \nu } n _ { \nu i \sigma } - \sum _ { \langle i j \rangle \nu \sigma } t _ { \nu } \left( b _ { \nu i \sigma } ^ { \dagger } b _ { \nu j \sigma } + h . c . \right) } _ { H _ { \mathrm { e l } } ^ { ( 0 ) } + H _ { \mathrm { e l } } ^ { ( 1 ) } } + \underbrace { \sum _ { i } U _ { s s } n _ { s i \uparrow } n _ { s i \downarrow } + U _ { s p } \left( n _ { p i \uparrow } + n _ { p i \downarrow } \right) \left( n _ { s i \uparrow } + n _ { s i \downarrow } \right) } _ { \approx H _ { \mathrm { e l - e l } } ^ { ( 0 ) } } ,
T _ { \ell } = { \frac { L } { c - v } } + { \frac { L } { c + v } } = { \frac { 2 L } { c } } { \frac { 1 } { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \approx { \frac { 2 L } { c } } \left( 1 + { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right)
T \left( { \frac { D - 2 } { 4 } } \right) { \frac { k ^ { ( D - 3 ) } } { ( 4 \sqrt { \pi } ) ^ { ( D - 4 ) } } } { \frac { 1 } { \Gamma ( D / 2 ) \cos ( \pi D / 2 ) } } \, .
\| ( \mathbf { A } _ { \mathrm { I } } ^ { - 1 } \mathbf { b } ^ { \prime } ) - ( \mathbf { A } _ { \mathrm { I } } ^ { - 1 } \mathbf { b } ) \| = \| \mathbf { A } _ { \mathrm { I } } ^ { - 1 } \mathbf { b } ^ { \prime } - \mathbf { A } _ { \mathrm { I } } ^ { - 1 } \mathbf { b } \| \leq \| \mathbf { A } _ { \mathrm { I } } ^ { - 1 } \| \| \mathbf { b } ^ { \prime } - \mathbf { b } \| \, .
\begin{array} { r l r } { x } & { = } & { \frac { v } { \omega _ { c } } \sin ( \omega _ { c } t + \alpha ) + x _ { 0 } = \frac { v _ { y } } { \omega _ { c } } + x _ { 0 } \; \; , } \\ { y } & { = } & { - \frac { v } { \omega _ { c } } \cos ( \omega _ { c } t + \alpha ) + y _ { 0 } = - \frac { v _ { x } } { \omega _ { c } } + y _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { \left| h _ { \mathrm { F A S } } \right| } \left( \Omega \right) } \\ { = } & { \frac { N \Omega } { \pi ^ { N } \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \left[ \frac { \varOmega ^ { 2 } } { 2 } + o \left( \varOmega ^ { 2 } \right) \right] ^ { N - 1 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cdots \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 1 } \ldots d \theta _ { N } } \\ { = } & { \frac { 2 N } { \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \varOmega ^ { 2 N - 1 } + o \left( \varOmega ^ { 2 N - 1 } \right) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { \mathcal { A } ^ { ( 0 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 0 1 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 0 2 ) } } \\ { \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 1 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 2 ) } } \\ { \mathcal { A } ^ { ( 2 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 2 1 ) } } & { \bar { \mathcal { A } } ^ { ( 2 2 ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f ^ { ( 0 ) } } \\ { f ^ { ( 1 ) } } \\ { f ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 2 ) } } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 2 1 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 2 2 ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f ^ { ( 0 ) } } \\ { f ^ { ( 1 ) } } \\ { f ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] .
\psi _ { k _ { y } } ^ { + } = \frac { i } { 2 } \sqrt { \frac { 1 } { \pi H _ { 5 } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d K _ { Y } } { \sqrt { K _ { Y } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } e ^ { i { \frac { k _ { y } } { H _ { 5 } } } \sinh ^ { - 1 } ( K _ { Y } / m ) } \exp ( i K _ { Y } Y - i \sqrt { K _ { Y } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } T ) ,
\bar { c } _ { I } ^ { T C } ( \mu ) = \frac { N _ { T C } } { 3 } \{ { \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { F _ { \pi } ^ { 2 } } \bar { c } _ { I } ^ { Q C D } ( \mu ^ { Q C D } ) + \frac { \gamma _ { I } } { 1 6 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } } \ln ( \frac { \mu ^ { Q C D } } { m _ { \rho } ^ { Q C D } } \frac { m _ { \rho } ^ { T C } } { \mu } ) } \}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { g } _ { 0 } ( { \alpha } ) } & { { } : = \frac { 1 } { \mathrm { i } \alpha ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { 2 J _ { 1 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } \right) } { \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } J _ { 0 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \alpha \right) } \right] = - \frac { J _ { 2 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \alpha \right) } { \mathrm { i } \alpha ^ { 2 } J _ { 0 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \alpha \right) } , } \\ { \mathfrak { g } _ { 1 } ( { \alpha } ) } & { { } : = - \frac { 2 J _ { 1 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \alpha \right) ^ { 2 } } { \mathrm { i } \alpha ^ { 2 } J _ { 0 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \alpha \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
M _ { L R } = v \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { \epsilon ^ { \prime } } } & { { 0 } } \\ { { - \epsilon ^ { \prime } } } & { { \epsilon } } & { { \epsilon } } \\ { { 0 } } & { { \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
\mathcal { D } _ { z } = \left( \begin{array} { c c } { { \mathbf { a } + \mathbf { b } \mathbf { x } } } & { { \mathbf { 0 } } } \\ { { \mathbf { 0 } } } & { { \mathbf { a } ^ { \prime } + \mathbf { b } ^ { \prime } \mathbf { x } ^ { \prime } } } \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array} { c c } { { D _ { z } } } & { { \mathbf { 0 } } } \\ { { \mathbf { 0 } } } & { { D _ { z } ^ { \prime } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 0 } ^ { ( n ) } } } & { = } & { \frac { - ( p _ { 3 } ^ { ( n ) } - p _ { 1 } ^ { ( n ) } ) } { \left( p _ { 0 } ^ { ( n ) } - p _ { 2 } ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } + \left( p _ { 3 } ^ { ( n ) } - p _ { 1 } ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } } = \frac { \sin } { n \mathcal { V } ^ { ( n ) } p ^ { ( n ) } } , } \\ { \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 1 } ^ { ( n ) } } } & { = } & { \frac { - ( p _ { 2 } ^ { ( n ) } - p _ { 0 } ^ { ( n ) } ) } { \left( p _ { 0 } ^ { ( n ) } - p _ { 2 } ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } + \left( p _ { 3 } ^ { ( n ) } - p _ { 1 } ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } } = \frac { - \cos } { n \mathcal { V } ^ { ( n ) } p ^ { ( n ) } } , } \\ { \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 2 } ^ { ( n ) } } } & { = } & { - \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 0 } ^ { ( n ) } } = \frac { \sin } { n \mathcal { V } ^ { ( n ) } p ^ { ( n ) } } , } \\ { \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 3 } ^ { ( n ) } } } & { = } & { - \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 1 } ^ { ( n ) } } = \frac { \cos } { n \mathcal { V } ^ { ( n ) } p ^ { ( n ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { c ( \gamma _ { 4 } ) } } & { = 1 - ( c _ { 1 } t + c _ { 2 } t ^ { 2 } + c _ { 3 } t ^ { 3 } + c _ { 4 } t ^ { 4 } ) + ( c _ { 1 } t + c _ { 2 } t ^ { 2 } + c _ { 3 } t ^ { 3 } + c _ { 4 } t ^ { 4 } ) ^ { 2 } } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, - ( c _ { 1 } t + c _ { 2 } t ^ { 2 } + c _ { 3 } t ^ { 3 } + c _ { 4 } t ^ { 4 } ) ^ { 3 } + ( c _ { 1 } t + c _ { 2 } t ^ { 2 } + c _ { 3 } t ^ { 3 } + c _ { 4 } t ^ { 4 } ) ^ { 4 } + \dots } \\ & { = 1 - c _ { 1 } t + ( c _ { 1 } ^ { 2 } - c _ { 2 } ) t ^ { 2 } + ( - c _ { 1 } ^ { 3 } + 2 c _ { 1 } c _ { 2 } - c _ { 3 } ) t ^ { 3 } + ( c _ { 1 } ^ { 4 } - 3 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } + c _ { 2 } ^ { 2 } + 2 c _ { 3 } c _ { 1 } - c _ { 4 } ) t ^ { 4 } + , \dots } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { i j k } ^ { ( 3 ) } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } , \boldsymbol { r } _ { 3 } ) } & { { } = \sum _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } \left\langle \tilde { \Psi } \right| \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { k , \lambda _ { 3 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { k , \lambda _ { 3 } } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \left| \tilde { \Psi } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \int _ { [ \phi _ { n } \neq 0 ] } f _ { \phi _ { n + 1 } } ( x ) \chi _ { \phi _ { n + 1 } } ( x ) \, \mathrm { d } x - \int _ { [ \phi _ { n } \neq 0 ] } f _ { \phi _ { n } } ( x ) \chi _ { \phi _ { n } } ( x ) \, \mathrm { d } x } } \\ & { \qquad = k \langle F ^ { \prime } ( \phi _ { n } ) , F _ { \eta } ^ { \prime } ( \phi _ { n } ) \rangle _ { H ^ { 1 } ( [ \phi _ { n } \neq 0 ] ) } + o ( k ) \le 0 \quad \mathrm { ~ a s ~ k \to ~ 0 _ + ~ . } } \end{array}