harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal P } _ { D } ( \beta , L ) } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in [ - \pi , \pi ] ^ { d } } \Big ( \mathbb E \left\Vert \hat { f } _ { n } ( \theta ) - f ( \theta ) \right\Vert _ { \mathrm { H S } } ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 2 } = \mathcal { O } \left( | \mathbb T _ { n } | ^ { - \frac { \beta } { 2 \beta + d } } \right) . } \end{array}
\frac { \partial \langle \tilde { P } \rangle } { \partial \tilde { r } } \left( \frac { \tilde { z } ^ { 2 } } { 2 } + C _ { 4 } - \tilde { h } \tilde { z } + C _ { 5 } \right) - \tilde { \eta } ( \tilde { u } + C _ { 6 } ) = C _ { 7 } .
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { V a l u e } } [ \neg A ] } & { = { \mathrm { V a l u e } } [ A \to \bot ] } \\ & { = { \mathrm { i n t } } \left( { \mathrm { V a l u e } } [ A ] ^ { \complement } \cup { \mathrm { V a l u e } } [ \bot ] \right) } \\ & { = { \mathrm { i n t } } \left( { \mathrm { V a l u e } } [ A ] ^ { \complement } \cup \emptyset \right) } \\ & { = { \mathrm { i n t } } \left( { \mathrm { V a l u e } } [ A ] ^ { \complement } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \dot { \overline { { \phi S } } } + \nabla \cdot \boldsymbol { w } _ { 1 } ( p , \phi ) + \phi S \dot { \epsilon } _ { v } = \nabla \cdot M ( \phi ) \nabla \mu ( S ) , } \\ & { \dot { \phi } + \nabla \cdot \boldsymbol { w } ( p , \phi ) + \phi \dot { \epsilon } _ { v } = 0 , } \\ & { \phi = \phi _ { 0 } + ( 1 - \phi _ { 0 } ) \epsilon _ { v } + \frac { 1 - \phi _ { 0 } } { K _ { s } } p , } \\ & { \nabla \cdot \left( \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } ( \boldsymbol { \epsilon } , S ) - b p \boldsymbol { I } \right) = 0 , } \\ & { \beta \dot { d } = \frac { 3 G _ { c } } { 8 l _ { d } } \left( 2 l _ { d } ^ { 2 } \triangle { d } - 1 \right) - g ^ { \prime } ( d , \psi _ { c } ) \psi _ { e } ^ { A } , \quad \dot { d } \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 5 } } & { { } = \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { 4 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 6 } } & { { } = \mathbf { k } _ { 2 } + \mathbf { k } _ { 4 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 7 } } & { { } = \mathbf { k } _ { 3 } + \mathbf { k } _ { 4 } . } \end{array}
T _ { f g } \equiv \frac { 1 } { 2 } ( Q _ { 0 } ) _ { f \beta _ { 0 } } ( Q _ { 1 } ) _ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } } ( Q _ { 2 } ) _ { \alpha _ { 2 } \beta _ { 2 } } \cdots ( Q _ { r } ) _ { \alpha _ { r } g } \epsilon ^ { \beta _ { 0 } \alpha _ { 1 } } \epsilon ^ { \beta _ { 1 } \alpha _ { 2 } } \cdots \epsilon ^ { \beta _ { r - 1 } \alpha _ { r } } .
\tilde { \mathcal { A } } \, = \, { \bf Q } _ { x } ^ { T } \, \left[ \begin{array} { c c } { { \bf 0 } } & { { \bf I } } \end{array} \right] \, { \bf Q } _ { z } \, { \bf G } _ { z } \, { \bf Q } _ { z } ^ { T } \, \left[ \begin{array} { c } { { \bf 0 } } \\ { { \bf I } } \end{array} \right] \, { \bf Q } _ { x } { \bf G } _ { x } ^ { + } \, \, \, \in \, \, \mathbb { R } ^ { r \times r } \mathrm { ~ , ~ }
E = - \int _ { 0 } ^ { t } \oint _ { S } \textbf { \emph { P } } \cdot \emph { d } \textbf { \emph { S } } \mathrm { d } t = - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { V } \nabla \cdot \textbf { \emph { P } } ~ \mathrm { d } V \mathrm { d } t
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \| \boldsymbol { p } _ { h } - \boldsymbol { p } _ { H } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } \leq \operatorname* { s u p } _ { \forall \boldsymbol { q } _ { h } \in \boldsymbol { Q } _ { h } } \frac { ( \boldsymbol { p } _ { h } - \boldsymbol { p } _ { H } , \boldsymbol { q } _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } { \| \boldsymbol { q } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } } } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { \forall \boldsymbol { q } _ { h } \in \boldsymbol { Q } _ { h } } \frac { ( \boldsymbol { p } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } - \big ( R _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ) + \mu \nabla \times \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { q } _ { h } \big ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } { \| \boldsymbol { q } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { \forall \boldsymbol { q } _ { h } \in \boldsymbol { Q } _ { h } } \frac { ( \mu \nabla \times \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } + < \{ \{ \boldsymbol { q } _ { h } \} \} , [ [ \mu \boldsymbol { u } _ { h } ] ] > _ { \mathcal { F } _ { h } } - \big ( R _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ) + \mu \nabla \times \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { q } _ { h } \big ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } { \| \boldsymbol { q } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } } } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { \forall \boldsymbol { q } _ { h } \in \boldsymbol { Q } _ { h } } \frac { ( \mu \nabla \times ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } _ { H } ) , \boldsymbol { q } _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } + < \{ \{ \boldsymbol { q } _ { h } \} \} , [ [ \mu \boldsymbol { u } _ { h } ] ] > _ { \mathcal { F } _ { h } } - \big ( R _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ) , \boldsymbol { q } _ { h } \big ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } { \| \boldsymbol { q } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } } } \\ & { \lesssim } & { \| \nabla \times ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } + \| h _ { \tau } ^ { - 1 / 2 } [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } + \eta ( u _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { H } ) } \\ & { \lesssim } & { \| \nabla \times ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } + C _ { \mathcal { L } } \| h _ { \tau } ^ { - 1 / 2 } [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ^ { \bot } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } + \eta ( u _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { H } ) } \\ & { \lesssim } & { \| \nabla \times ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } + \bigg ( \eta ( u _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ; \mathcal { T } _ { h } ) + \eta ( u _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { H } ) \bigg ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { t } } \sum _ { \tau = 0 } ^ { t - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { K } E [ Q _ { i } ( \tau ) ] \leqslant { \frac { B + C + V ( p _ { \operatorname* { m a x } } - p _ { \operatorname* { m i n } } ) } { \epsilon } }
\Sigma _ { E } ^ { b j } \left( \textit { \textbf { k } } | \textit { \textbf { p } } , \textit { \textbf { q } } \right) + \Sigma _ { E } ^ { b j } \left( \textit { \textbf { p } } | \textit { \textbf { q } } , \textit { \textbf { k } } \right) + \Sigma _ { E } ^ { b j } \left( \textit { \textbf { q } } | \textit { \textbf { k } } , \textit { \textbf { p } } \right) = 0 .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { F } _ { \mathrm { D } , p } = C _ { \mathrm { D } } \frac { \rho _ { \mathrm { f } } } { 8 } \pi d _ { p } ^ { 2 } | \boldsymbol { u } _ { \mathrm { r e l } } | \boldsymbol { u } _ { \mathrm { r e l } } , } \end{array}
I _ { 0 } = \frac { R _ { S } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \int _ { \nu _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \nu _ { \mathrm { m a x } } } \tilde { I } ( \nu ) d \nu = \frac { R _ { S } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \frac { 2 \pi h } { c ^ { 2 } } \int _ { \nu _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \nu _ { \mathrm { m a x } } } \frac { \nu ^ { 3 } \; d \nu } { \exp ( h \nu / k _ { B } T ) - 1 }
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \cos { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha - \beta ) } { \cos { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha + \beta ) } } } & { = { \frac { \cot { \frac { 1 } { 2 } } \alpha \, \cot { \frac { 1 } { 2 } } \beta + 1 } { \cot { \frac { 1 } { 2 } } \alpha \, \cot { \frac { 1 } { 2 } } \beta - 1 } } } \\ & { = { \frac { \cot { \frac { 1 } { 2 } } \alpha + \cot { \frac { 1 } { 2 } } \beta + 2 \cot { \frac { 1 } { 2 } } \gamma } { \cot { \frac { 1 } { 2 } } \alpha + \cot { \frac { 1 } { 2 } } \beta } } } \\ & { = { \frac { 4 s - a - b - 2 c } { 2 s - a - b } } . } \end{array} }
\frac { \widetilde { \omega } ^ { 2 } \left( \frac { \beta ^ { 2 . 4 5 } \Pi ^ { 5 . 1 3 } } { R _ { T } ^ { 1 . 2 2 } } + \frac { 0 . 0 1 5 } { M } \right) + \left( \frac { C _ { f } } { M ^ { 2 . 0 8 } } + \beta ^ { 2 . 8 4 } \right) \left( \frac { R _ { T } } { M ^ { 0 . 1 4 } } \right) } { \frac { \widetilde { \omega } ^ { 7 } } { R _ { T } ^ { 4 } } \left( \frac { \Delta ^ { 2 . 8 9 } H ^ { 7 . 6 2 } } { R _ { T } \omega ^ { 1 . 1 2 } } \right) + \left( R _ { T } ^ { 1 . 2 9 } + \Delta ^ { 2 . 0 3 } \right) \left( M ^ { 0 . 3 4 } + \beta \right) }
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { \theta _ { n } \rightarrow \theta } \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } \left[ \ell ( \theta _ { n } , Z ) \right] \geq \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } \left[ \operatorname* { l i m i n f } _ { \theta _ { n } \rightarrow \theta } \ell ( \theta _ { n } , Z ) \right] \geq \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } \left[ \ell ( \theta , Z ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t ^ { \prime } ( \tau ) ^ { 2 } - x ^ { \prime } ( \tau ) ^ { 2 } } & { = 1 , } \\ { - t ^ { \prime \prime } ( \tau ) ^ { 2 } + x ^ { \prime \prime } ( \tau ) ^ { 2 } } & { = a ^ { 2 } , } \\ { t ( 0 ) } & { = 0 , } \\ { x ( 0 ) } & { = a ^ { - 1 } , } \\ { t ^ { \prime } ( 0 ) } & { = 1 , } \\ { x ^ { \prime } ( 0 ) } & { = 0 . } \end{array}
E _ { \mathrm { t o t } } ( \mathbf { x } , t ) = \sum _ { n } { \frac { E _ { n } ^ { \mathrm { r e t } } ( \mathbf { x } , t ) + E _ { n } ^ { \mathrm { a d v } } ( \mathbf { x } , t ) } { 2 } } + \sum _ { n } { \frac { E _ { n } ^ { \mathrm { r e t } } ( \mathbf { x } , t ) - E _ { n } ^ { \mathrm { a d v } } ( \mathbf { x } , t ) } { 2 } } = \sum _ { n } E _ { n } ^ { \mathrm { r e t } } ( \mathbf { x } , t ) .
{ \frac { 1 } { 8 } } \langle { 0 } | ( \alpha _ { s } / \pi ) G _ { \mu \nu } ^ { a } G _ { \mu \nu } ^ { a } | { 0 } \rangle \simeq 0 . 0 0 1 5 \ G e V ^ { 4 } \simeq 1 . 0 \ f m ^ { - 4 } .
S _ { 1 } = - \frac { \tau _ { 3 } } { 4 } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \operatorname * { d e t } G _ { \alpha \beta } } \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \tilde { b } } _ { i } \right] +
\begin{array} { r l r } { \psi ( \mathbf { r } , \eta ) } & { = } & { \psi ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } , \eta ) \psi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } , \eta ) } \\ { \psi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } , \eta ) } & { = } & { \exp \left\{ i \int _ { \eta } d s \frac { Z \tilde { \varepsilon } ( s ) } { \tilde { \Lambda } c ^ { 2 } } \right. } \\ & { \times } & { \left. \frac { 1 } { | \mathbf { r } + ( \mathbf { p } ( s - \eta ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - \boldsymbol { \alpha } ( \eta ) ) / \tilde { \Lambda } + \mathbf { r } _ { k } ( s , \eta ) | } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { v } } \left( T _ { \mathrm { v } } \right) - P _ { \mathrm { g } } = \rho _ { \mathrm { l } } \left[ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \sum \frac { R _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } } { r _ { i } } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } \right) + R _ { \mathrm { b } } \left( 1 - \frac { R _ { \mathrm { b } } } { R _ { \mathrm { d } } } \right) \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t ^ { 2 } } + \left( \frac { 3 } { 2 } - \frac { 2 R _ { \mathrm { b } } } { R _ { \mathrm { d } } } + \frac { R _ { \mathrm { b } } ^ { 4 } } { 2 R _ { \mathrm { d } } ^ { 4 } } \right) \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } \right) ^ { 2 } \right] + \frac { 4 \mu _ { \mathrm { l } } } { R _ { \mathrm { b } } } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } } \\ { + 2 \sigma \left( \frac { 1 } { R _ { \mathrm { b } } } + \frac { 1 } { R _ { \mathrm { d } } } \right) , } \end{array}
= \Gamma _ { P ^ { \prime } P } ^ { c } ( q ) \omega ^ { \left( 1 \right) } \left( t \right) + \Gamma _ { P ^ { \prime } P } ^ { c \left( { \scriptsize { B } } \right) } ( q ) \frac { 1 } { 2 } \left[ \omega ^ { \left( 2 \right) } \left( t \right) - \left( \omega ^ { \left( 1 \right) } \left( t \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { l n } \left( \frac { \vec { q } ^ { ~ 2 } } { s _ { 0 } } \right) \right] \ .
\left[ \sum _ { m } \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \left( x ^ { m } \right) ^ { 2 } } + \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { \partial ^ { 4 } } { \partial \left( x ^ { m } \right) ^ { 4 } } \right) + V _ { 0 } \left( x ^ { m } \right) - \mu _ { i n t } \right] \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) = 0 \; .
\begin{array} { r l } { \| ( a + c ) ( b + d ) ^ { - 1 } - a b ^ { - 1 } \| } & { = \| a + c - ( a b ^ { - 1 } ) ( b + d ) \| \frac { 1 } { \| b + d \| } } \\ & { = \| a + c - ( a b ^ { - 1 } ) b - ( a b ^ { - 1 } ) d \| \frac { 1 } { \| b + d \| } } \\ & { = \| a + c - a - ( a b ^ { - 1 } ) d \| \frac { 1 } { \| b + d \| } } \\ & { = \| c d ^ { - 1 } - a b ^ { - 1 } \| \frac { \| d \| } { \| b + d \| } } \\ & { \leq \| c d ^ { - 1 } - a b ^ { - 1 } \| . } \end{array}
\mathbf { M } _ { i j } = \left( 1 + \frac { a ^ { 2 } } { 6 } \nabla _ { \mathbf { x } _ { i } } ^ { 2 } \right) \left( 1 + \frac { a ^ { 2 } } { 6 } \nabla _ { \mathbf { x } _ { j } } ^ { 2 } \right) \mathbf { M } _ { i j } ^ { \mathrm { ~ B ~ l ~ a ~ k ~ e ~ } } .
H _ { 3 } ( \textbf { k } ) = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { k _ { c } e ^ { - i k _ { x } } } & { 0 } \\ { k _ { c } e ^ { i k _ { x } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , H _ { 4 } ( \textbf { k } ) = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { k _ { c } e ^ { - i k _ { y } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { k _ { c } e ^ { i k _ { y } } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \qquad \Delta E _ { a } ^ { \beta } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { \pm } \sum _ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, k ^ { 3 } \, n _ { \beta } ( k ) } \\ & { \qquad \times \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n } \rangle \langle \phi _ { n } | r _ { i } | \phi _ { a } \rangle } { E _ { a } - E _ { n } \pm k } + \frac { 2 \alpha } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, k \, n _ { \beta } ( k ) - \delta m ^ { \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| g \left( R e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) \right| } & { = \exp \left( - R \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \left( \frac { t } { p } - \mathfrak { b } x + \frac { x } { \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \frac { \Re \Phi ^ { \dagger } \left( R e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) } { R } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { c o s } ( n , m ) } & { = } & { \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \bigg [ \frac { ( - 1 ) ^ { p } 2 ^ { ( 2 p + 1 ) } n ^ { 2 p } \pi ^ { 2 p } ( t _ { 2 } ^ { ( 2 p + m + 1 ) } - t _ { 1 } ^ { ( 2 p + m + 1 ) } ) } { ( 2 p + m + 1 ) ( 2 p ) ! T ^ { 2 p + 1 } } \bigg ] } \\ & { = } & { \frac { 2 } { ( m + 1 ) T } \bigg [ _ { p } F _ { q } \bigg ( \frac { m + 1 } { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } , \frac { m + 3 } { 2 } ; - \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } t _ { 2 } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \bigg ) t _ { 2 } ^ { m + 1 } } \\ & { \quad } & { - _ { p } F _ { q } \bigg ( \frac { m + 1 } { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } , \frac { m + 3 } { 2 } ; - \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } t _ { 2 } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \bigg ) t _ { 1 } ^ { m + 1 } \bigg ] . } \end{array}
\vec { F } ^ { - T } ( t ) \cdot \vec { A } _ { L } ( t ) \cdot \vec { F } ^ { - 1 } ( t ) = \mathrm { e } ^ { - t / \lambda _ { 0 } } \vec { A } _ { L } ( 0 ) + \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { t } \vec { F } ^ { - T } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \left( t ^ { \prime } \right) \mathrm { e } ^ { - ( t - t ^ { \prime } ) / \lambda _ { 0 } } ~ \mathrm { d } t ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { \mathrm { i n } , j } ^ { ( \ell ) } } & { = } & { \sqrt { \Gamma _ { j } ^ { ( \ell ) } } \sigma _ { j , 0 } ^ { \left( \ell \right) } } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { o u t } , j } ^ { ( \ell ) } } & { = } & { \sqrt { \gamma _ { j } ^ { ( \ell ) } } \sigma _ { 0 , j } ^ { \left( \ell \right) } \, , } \end{array}
V ( r , \theta , \varphi ) = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \, \sum _ { m = - l } ^ { \ell } C _ { \ell } ^ { m } ( r ) \, Y _ { \ell } ^ { m } ( \theta , \varphi ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \, \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \, \sum _ { m = - l } ^ { \ell } { \frac { D _ { \ell , j } ^ { m } } { r ^ { j } } } \, Y _ { \ell } ^ { m } ( \theta , \varphi ) .
\begin{array} { r } { k _ { 1 } = 1 - \frac { 2 \mathrm { i } \epsilon } { 3 } + O ( \epsilon ^ { 2 } ) , \quad k _ { 2 } = - \varsigma + O ( \epsilon ) , \quad k _ { 3 } = - \bar { \varsigma } + O ( \epsilon ) , \quad k _ { 4 } = - \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } + O \left( \frac { 1 } { \epsilon } \right) , } \end{array}
\stackrel [ ( i , l , k ) \in \mathbb { B } ] { \operatorname* { m a x } } \underset { t \in \mathcal { T } } { \operatorname* { s u p } } \left| \hat { \tilde { \Gamma } } _ { k } ^ { i , l , 2 } ( t ) - \tilde { \Gamma } _ { k } ^ { i , l , 2 } ( t ) \right| ^ { q } \leq \underset { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } { \sum } \underset { t \in \mathcal { T } } { \operatorname* { s u p } } \left| \hat { \tilde { \Gamma } } _ { k } ^ { i , l , 2 } ( t ) - \tilde { \Gamma } _ { k } ^ { i , l , 2 } ( t ) \right| ^ { q }
\begin{array} { l l l } { \boldsymbol { \xi } _ { 0 } = [ 0 , 0 ] ^ { T } } & { \boldsymbol { \xi } _ { 1 } = [ 1 , 0 ] ^ { T } } & { \boldsymbol { \xi } _ { 5 } = [ 1 , 1 ] ^ { T } } \\ & { \boldsymbol { \xi } _ { 2 } = [ 0 , 1 ] ^ { T } } & { \boldsymbol { \xi } _ { 6 } = [ - 1 , 1 ] ^ { T } } \\ & { \boldsymbol { \xi } _ { 3 } = [ - 1 , 0 ] ^ { T } } & { \boldsymbol { \xi } _ { 7 } = [ - 1 , - 1 ] ^ { T } } \\ & { \boldsymbol { \xi } _ { 4 } = [ 0 , - 1 ] ^ { T } } & { \boldsymbol { \xi } _ { 8 } = [ 1 , - 1 ] ^ { T } } \end{array}
\sin x = { \cfrac { x } { 1 + { \cfrac { x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 - x ^ { 2 } + { \cfrac { 2 \cdot 3 x ^ { 2 } } { 4 \cdot 5 - x ^ { 2 } + { \cfrac { 4 \cdot 5 x ^ { 2 } } { 6 \cdot 7 - x ^ { 2 } + \ddots } } } } } } } } .
= - \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \int d e ^ { \prime } d n ^ { \prime } \frac { i } { k } \mathrm { e x p } - [ 2 i \pi e ^ { \prime } ( n - j - 1 / 2 ) / k ] \int _ { C _ { 7 } } \zeta _ { e ^ { \prime } n ^ { \prime } } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , w ; \tau ) d w
\begin{array} { r l } { \mathrm { h o l i m } _ { \Delta } \big ( \Omega ^ { \bullet } ( M , D , N ) \otimes E ^ { \otimes i } \otimes P \big ) } & { \simeq \mathrm { h o l i m } _ { \Delta } \big ( \Omega ^ { \bullet } ( M , D , N \otimes E ^ { \otimes i } \otimes P ) \big ) } \\ & { \simeq \Omega ( M , D , N \otimes E ^ { \otimes i } \otimes P ) } \\ & { \simeq \Omega ( M , D , N ) \otimes E ^ { \otimes i } \otimes P } \\ & { \simeq \mathrm { h o l i m } _ { \Delta } \big ( \Omega ^ { \bullet } ( M , D , N ) \big ) \otimes E ^ { \otimes i } \otimes P . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau b _ { 0 } \epsilon _ { A 0 } \Phi _ { 0 } = \left\langle \left( \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \beta _ { 0 } ^ { + } \delta \phi _ { s } ^ { * } \frac { \beta _ { + } } { \tau b _ { + } \epsilon _ { A + } } \delta \phi _ { s } \right\rangle _ { s } \Phi _ { 0 } + \delta \phi _ { - } \ \mathrm { c o n t r i b u t i o n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \beta | S ) } & { { } = \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \Omega _ { 1 } ( k ^ { \prime } ) \exp ( - \beta k ^ { \prime } ) \right] \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \exp \big ( \beta _ { F } ^ { ( n ) } ( K ) k _ { 1 } \big ) p _ { n } ( k _ { 1 } + K ) \Omega _ { n - 1 } ( K ) \delta \big ( \beta - \beta _ { F } ^ { ( n ) } ( K ) \big ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { u ^ { 1 } = u ^ { n } + \Delta t R ( u ^ { n } ) , } \\ { u ^ { 2 } = \frac { 3 } { 4 } u ^ { n } + \frac { 1 } { 4 } u ^ { 1 } + \frac { 1 } { 4 } \Delta t R ( u ^ { 1 } ) , } \\ { u ^ { n + 1 } = \frac { 1 } { 3 } u ^ { n } + \frac { 2 } { 3 } u ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } \Delta t R ( u ^ { 2 } ) , } \end{array} \right.
\pi = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left[ { \frac { 1 } { 1 6 ^ { k } } } \left( { \frac { 1 2 0 k ^ { 2 } + 1 5 1 k + 4 7 } { 5 1 2 k ^ { 4 } + 1 0 2 4 k ^ { 3 } + 7 1 2 k ^ { 2 } + 1 9 4 k + 1 5 } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } & { _ { a } \mathcal { D } _ { z } ^ { \beta } ( S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( z ) - S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( a ) ) ^ { m } = } \\ & { \frac { \Gamma ( m + 1 ) } { \Gamma ( m - \beta + 1 ) } ( S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( z ) - S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( a ) ) ^ { m - \beta } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { S _ { 0 } } & { { } = \left( 1 - s + \frac { 1 } { 1 - s } \right) ( A _ { 1 } ^ { 2 } - A _ { 0 } A _ { 2 } ) - \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } , } & { r _ { n } ^ { 2 } } & { { } = \frac { 2 n \eta _ { e } ( 1 - s ) } { s } - ( 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
~ L ~ = ~ \bigcap _ { n = 1 } ^ { \infty } U _ { n } ~ = ~ \bigcap _ { n \in \mathbb { N } _ { 1 } } ~ \bigcup _ { q \geqslant 2 } ~ \bigcup _ { p \in \mathbb { Z } } \, \left( \, \left( \, { \frac { \, p \, } { q } } - { \frac { 1 } { \; q ^ { n } \, } } ~ , ~ { \frac { \, p \, } { q } } + { \frac { 1 } { \; q ^ { n } \, } } \, \right) \setminus \left\{ \, { \frac { \, p \, } { q } } \, \right\} \, \right) ~ .
\begin{array} { r l } { \langle f | \hat { p } _ { z } | j \rangle = } & { - i \langle \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } | \langle R _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \prime } | \frac { d } { d z } | \ell m \rangle | R _ { \ell } \rangle } \\ { = } & { - i \delta _ { \ell + 1 \ell ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } \sqrt { \frac { ( \ell + m + 1 ) ( \ell - m + 1 ) } { ( 2 \ell + 3 ) ( 2 \ell + 1 ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } R _ { \ell + 1 } ^ { \prime } ( r ) \frac { d R _ { \ell } ( r ) } { d r } - \ell r R _ { \ell + 1 } ^ { \prime } ( r ) R _ { \ell } ( r ) d r } \\ & { - i \delta _ { \ell - 1 \ell ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } \sqrt { \frac { ( \ell + m ) ( \ell - m ) } { ( 2 \ell + 1 ) ( 2 \ell - 1 ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } R _ { \ell - 1 } ^ { \prime } ( r ) \frac { d R _ { \ell } ( r ) } { d r } + ( \ell + 1 ) r R _ { \ell - 1 } ^ { \prime } ( r ) R _ { \ell } ( r ) d r , } \end{array}
d \varrho = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - b ^ { \prime } ( r _ { H } ) } } } \sqrt { { \frac { r _ { H } } { r - r _ { H } } } } d r = { \frac { 2 } { \sqrt { 1 - b ^ { \prime } ( r _ { H } ) } } } d ( \sqrt { r _ { H } ( r - r _ { H } ) } ) .
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } } & { \leq | B | ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { p _ { 2 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| [ b , I _ { \gamma } ] f _ { 1 } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim | b \| _ { * } | B | ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { p _ { 2 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \| b \| _ { * } | 2 B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p _ { 1 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \times \bigg ( \frac { | B | } { | 2 B | } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { { p _ { 1 } } _ { - } } - \frac { 1 } { q } } } \\ & { \lesssim \| b \| _ { * } | 2 B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p _ { 1 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 B } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } . } \end{array}
L ^ { 2 } ( \mathfrak { S } _ { g _ { 0 } } ) \otimes _ { \mathord { \mathbb { R } } } \mathcal { C } _ { 0 } ( \mathord { \mathbb { R } } ^ { n + 1 } ) \cong \mathcal { C } _ { 0 } ( \mathord { \mathbb { R } } ^ { n + 1 } ; L ^ { 2 } ( \mathfrak { S } _ { g _ { 0 } } ) ) \quad \mathrm { ~ i n d u c e d ~ b y ~ } \quad f \otimes \sigma \mapsto f \cdot \sigma ,