harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \{ \bar { \mathcal { F } } , \bar { \mathcal { G } } \} ( \omega , \phi _ { \partial } , \Sigma ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast \omega ) \wedge \Big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \omega } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge \big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \Big ) } \\ & { + \int _ { \Sigma } \Big ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } + ( - 1 ) ^ { n } \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \Big ) \wedge \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } } \\ & { - \int _ { \Sigma } \Big ( \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \Sigma } + ( - 1 ) ^ { n } \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \Big ) \wedge \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { C } } } _ { 2 } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } } & { { } = \lambda _ { \varepsilon \perp } \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } } \\ { - \alpha \overline { { \mathbf { E } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \parallel } } & { { } = \lambda _ { \parallel } \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \parallel } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ M ~ } } } & { { } = } & { \sum _ { i , j } \frac { \hat { p } _ { i j } ^ { 2 } } { 2 m _ { i j } } + \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { 0 } } \sum _ { i , j , i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } \frac { q _ { i j } q _ { i ^ { \prime } j } } { \left| \hat { \boldsymbol r } _ { i j } - \hat { \boldsymbol r } _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } \right| } } \end{array}
\psi _ { 2 , 2 , 1 } = \sum _ { i + k \ge r , k \ge 2 } \frac { ( i + k ) ^ { r } } { ( i + k ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k } \left\| t ^ { i + k - r } \| \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { x _ { 1 } , \dots , x _ { d - 1 } } ^ { 2 } ( \mathbb R ^ { d - 1 } ) } \right\| _ { L _ { t , x _ { d } } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times ( 0 , \infty ) ) } .
\begin{array} { r l } & { \textbf { E } ^ { ( t o t ) } = - \frac { e } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } N _ { j } \frac { r _ { j } } { \left( \textbf { r } _ { j } \cdot \textbf { u } _ { j } \right) ^ { 3 } } \textbf { r } _ { j } \times \left( \textbf { u } _ { j } \times \textbf { a } _ { j } \right) , } \\ & { \textbf { B } ^ { ( t o t ) } = - \frac { e } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c } \sum _ { j = 1 } ^ { n } N _ { j } \frac { 1 } { \left( \textbf { r } _ { j } \cdot \textbf { u } _ { j } \right) ^ { 3 } } \textbf { r } _ { j } \times \left[ \textbf { r } _ { j } \times \left( \textbf { u } _ { j } \times \textbf { a } _ { j } \right) \right] , } \\ & { \textbf { S } \equiv \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left[ \textbf { E } ^ { ( t o t ) } \times \textbf { B } ^ { ( t o t ) } \right] . } \end{array}
{ \frac { M _ { \mathrm { U r a n u s } } } { M _ { \mathrm { E a r t h } } } } = { \frac { 8 . 6 8 \times 1 0 ^ { 2 5 } } { 5 . 9 7 \times 1 0 ^ { 2 4 } } } = 1 4 . 5 4 .
\begin{array} { r l } { \deg _ { \star } ^ { ( h , \delta ) } ( [ T , o ] ) } & { = \deg _ { T } ( o ) - | \{ v \sim _ { T } o : T [ o , v ] _ { h - 1 } \in \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \mathrm { ~ a n d ~ } T [ v , o ] _ { h - 1 } \in \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \} | } \\ & { = | \{ v \sim _ { T } o : T [ o , v ] _ { h - 1 } \notin \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \mathrm { ~ o r ~ } T [ v , o ] _ { h - 1 } \notin \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \} | , } \end{array}
\frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left( \frac { \tilde { r } H _ { a } ( x ) } { \tilde { \eta } } \frac { \partial \langle \tilde { P } \rangle } { \partial \tilde { r } } \left( \frac { \tilde { z } ^ { 3 } } { 6 } - \frac { \tilde { h } \tilde { z } ^ { 2 } } { 2 } + C _ { 8 } \right) \right) + \tilde { w } + C _ { 9 } = 0 .
U = - h ^ { 3 } h ^ { \prime } \left[ \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \, ( \chi - 1 ) \left( \frac { Y } { h } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { Y } { 3 h } \right) \right] \; .
K ^ { u } = \mathrm { d i a g } ( e ^ { i f ( u _ { 1 } ) } , e ^ { i f ( u _ { 2 } ) } , e ^ { i f ( u _ { 3 } ) } ) , \quad K ^ { d } = \mathrm { d i a g } ( e ^ { i f ( d _ { 1 } ) } , e ^ { i f ( d _ { 2 } ) } , e ^ { i f ( d _ { 3 } ) } ) .
\begin{array} { r } { U _ { \mu \nu } \sim d _ { \mu \nu } \, \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { N ( 2 \nu + 1 ) } \, \mathrm { e } ^ { - \gamma r ^ { 2 } { \mathcal A } / 2 } { \frac { \Gamma ( \mu N ) } { \Gamma ( ( \mu + 4 \nu + 1 ) N / 2 } } \; f _ { 0 } \left( \frac { ( \mu + 4 \nu + 1 ) N } { 2 \gamma r ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\Big \langle \overline { { { \psi } } } _ { \alpha _ { 0 } } ^ { ( a _ { 0 } ) } ( x _ { 0 } ) \psi _ { \beta _ { 0 } } ^ { ( b _ { 0 } ) } ( x _ { 0 } ) \overline { { { \psi } } } _ { \alpha _ { 1 } } ^ { ( a _ { 1 } ) } ( x _ { 1 } ) \psi _ { \beta _ { 1 } } ^ { ( b _ { 1 } ) } ( x _ { 1 } ) . . . . . \overline { { { \psi } } } _ { \alpha _ { n } } ^ { ( a _ { n } ) } ( x _ { n } ) \psi _ { \beta _ { n } } ^ { ( b _ { n } ) } ( x _ { n } ) \Big \rangle _ { 0 \; c } ^ { \theta } \; ,
\int _ { 0 } ^ { \pi } P _ { \ell } ^ { m } ( \cos \theta ) P _ { \ell } ^ { n } ( \cos \theta ) \csc \theta \, d \theta = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } m \neq n } \\ { { \frac { ( \ell + m ) ! } { m ( \ell - m ) ! } } } & { { \mathrm { i f ~ } } m = n \neq 0 } \\ { \infty } & { { \mathrm { i f ~ } } m = n = 0 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \operatorname { I m } \int _ { V } \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \cdot \mathbf { P } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } = \operatorname { I m } } & { { } \int _ { V } \int _ { V } \mathbf { P } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \cdot \mathbb { G } _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \mathbf { P } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } \, \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { o } } = | \frac { \delta T ( \omega ) } { \delta \Delta ( \omega ) } \frac { \delta ( 2 \pi f _ { \mathrm { ~ o ~ } } ) } { \delta n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } | = } & { { } \sqrt { \frac { \kappa ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 2 } } { \kappa ^ { 4 } + 4 \omega ^ { 4 } } } \cdot \frac { 4 \pi ^ { 2 } f _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { 2 } R _ { \mathrm { ~ o ~ } } } { m _ { \mathrm { ~ o ~ } } c } } \\ { = } & { { } \alpha Q _ { \mathrm { ~ o ~ } } \sqrt { \frac { 1 + 4 ( \nu Q _ { \mathrm { ~ o ~ } } / f _ { o } ) ^ { 2 } } { 1 + 4 ( \nu Q _ { \mathrm { ~ o ~ } } / f _ { \mathrm { ~ o ~ } } ) ^ { 4 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { A } = \left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { Y } \quad } & { \boldsymbol { 1 } _ { N \times N } } \\ { - \boldsymbol { K } \quad } & { \boldsymbol { Y } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { 0 } ( s , A ) } & { = 0 } \\ { \mu _ { 1 } ( s , A ) } & { = \frac { 2 k _ { 0 } \sin s } { \sin k _ { 0 } } \Big ( \frac { \sin ^ { 2 } A \cos s } { \sqrt { 1 + \sin ^ { 2 } A \sin ^ { 2 } s } } - \cos A \Big ) } \\ { \mu _ { 2 } ( s , A ) } & { = \frac { k _ { 0 } } { \sin k _ { 0 } } \Big ( \frac { \sin ^ { 2 } A \cos ^ { 2 } s - \sin ^ { 2 } A \sin ^ { 2 } s - \sin ^ { 4 } A \sin ^ { 4 } s } { ( 1 + \sin ^ { 2 } A \sin ^ { 2 } s ) ^ { 3 / 2 } } - \cos A \cos s \Big ) } \\ { \mu _ { 3 } ( s , A ) } & { = \frac { k _ { 0 } } { \sin k _ { 0 } } \Big ( \frac { \sin ^ { 2 } A \cos ^ { 2 } s - \sin ^ { 2 } A \sin ^ { 2 } s - \sin ^ { 4 } A \sin ^ { 4 } s } { ( 1 + \sin ^ { 2 } A \sin ^ { 2 } s ) ^ { 3 / 2 } } - \cos A \cos s \Big ) } \end{array}
= \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 0 0 0 \rangle + | 1 1 1 \rangle ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right)
\hat { \Delta } { \hat { G } _ { N } } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) = { \frac { { \delta ^ { 2 } } ( \xi - \xi ^ { \prime } ) } { \sqrt { \hat { g } ( \xi ) } } } - { \frac { 1 } { \int { d ^ { 2 } } \xi ^ { \prime \prime } \sqrt { \hat { g } ( \xi ^ { \prime \prime } ) } } } , \quad { \partial _ { \hat { n } } } { \hat { G } _ { N } } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) = 0 ,
R _ { \mathrm { A A } } = \frac { \left. \mathrm { d } N / \mathrm { d } p _ { \mathrm { T } } \right| _ { \mathrm { A A } } } { T _ { \mathrm { A A } } \left. \mathrm { d } \sigma / \mathrm { d } p _ { \mathrm { T } } \right| _ { \mathrm { p p } } } .
\lambda _ { \mathrm { p e a k } } = { \frac { 2 . 8 9 8 \times 1 0 ^ { - 3 } ~ { \mathrm { K } } \cdot { \mathrm { m } } } { 3 0 5 ~ { \mathrm { K } } } } = 9 . 5 0 ~ \mu { \mathrm { m } } .
\begin{array} { r l } { m _ { ^ 2 \mathrm { ~ H ~ } } \, c ^ { 2 } } & { { } = ( m _ { p } + m _ { n } ) \, c ^ { 2 } - E ( ^ { 2 } \mathrm { ~ H ~ } ) , } \\ { m _ { ^ 3 \mathrm { ~ H ~ } } \, c ^ { 2 } } & { { } = ( m _ { p } + 2 m _ { n } ) \, c ^ { 2 } - E ( ^ { 3 } \mathrm { ~ H ~ } ) , } \\ { m _ { ^ 4 \mathrm { ~ H ~ e ~ } } \, c ^ { 2 } } & { { } = ( 2 m _ { p } + 2 m _ { n } ) \, c ^ { 2 } - E ( ^ { 4 } \mathrm { ~ H ~ e ~ } ) , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \xi } \chi ^ { \prime } \chi ^ { \prime \prime } \, d \xi _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { \xi } \left( 1 + { \frac { 2 \chi } { { \mathfrak { M } } ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 / 2 } \chi ^ { \prime } \, d \xi _ { 1 } - \int _ { 0 } ^ { \xi } e ^ { - \chi } \chi ^ { \prime } \, d \xi _ { 1 }
\mathcal { M } _ { q \bar { q } \rightarrow \gamma \gamma } ^ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } = - i e ^ { 2 } Q ^ { 2 } \left\lbrack \bar { v } _ { s _ { 1 } } ( p _ { a } ) \gamma ^ { \mu _ { 2 } } \frac { \gamma ^ { \nu } ( p _ { a \nu } - k _ { 1 \nu } ) + m _ { q } } { ( p _ { a } - k _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } } \gamma ^ { \mu _ { 1 } } u _ { s _ { 2 } } ( p _ { b } ) \right\rbrack .
\begin{array} { r l } & { b \in L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , W _ { l o c } ^ { 1 , 1 } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ^ { 3 } ) , } \\ & { b \in L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , L ^ { 1 } + L ^ { \infty } ( \mathbb { H } ) ) , } \\ & { \operatorname { d i v } ( b ) = 0 \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { R } ^ { 3 } , } \\ & { g \in L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { 1 } \cap L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { O } _ { 1 } } & { : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } , e _ { 4 } , e _ { 5 } , e _ { 8 } , e _ { 9 } , e _ { 1 2 } , e _ { 1 3 } \} } \\ { \mathbb { O } _ { 2 } } & { : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 2 } , e _ { 4 } , e _ { 6 } , e _ { 8 } , e _ { 1 0 } , e _ { 1 2 } , e _ { 1 4 } \} } \\ { \mathbb { O } _ { 3 } } & { : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 3 } , e _ { 4 } , e _ { 7 } , e _ { 8 } , e _ { 1 1 } , e _ { 1 2 } , e _ { 1 5 } \} . } \end{array}
\Delta _ { m } \equiv \Delta _ { m } ( \pi _ { i _ { 1 } } , \cdots , \pi _ { i _ { s } } ) = \{ \alpha = \sum _ { 1 \leq i \leq n } q _ { i } \pi _ { i } \in \Delta : \sum _ { 1 \leq i \leq n } q _ { i } m _ { i } = m \} ;
f ( t ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 \hfill \ \ , } } & { { t \leq 0 } } \\ { { \cosh ^ { 2 } \Omega _ { 0 } t \hfill \ \ , } } & { { 0 \leq t \leq T } } \\ { { \{ \Omega _ { 0 } ( t - T ) \sinh \Omega _ { 0 } T + \cosh \Omega _ { 0 } T \} ^ { 2 } \hfill \ \ , } } & { { T \leq t } } \end{array} \right. \right. \ \ .
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \bf H } } { \partial t } = \mathrm { r o t } { \bf [ u \times H ] } - \mathrm { r o t } ( \nu _ { m } \, \mathrm { r o t } { \bf H } ) + \frac { c } { 4 \pi } \frac { \partial } { \partial t } \left( \mathrm { r o t } \frac { { \bf E } } { \sigma } \right) , \quad } \\ { { { \mathrm { w h e r e } } } \; \; \mathrm { r o t } \frac { { \bf E } } { \sigma } = \frac { \mathrm { r o t } { \bf E } } { \sigma } + \mathrm { g r a d } \left( \frac { 1 } { \sigma } \right) \times { \bf E } , \; \nu _ { m } = \frac { c ^ { 2 } } { 4 \pi \sigma } . \qquad } \end{array}
G _ { i } \beta _ { i j } ^ { 0 G } ( t ) \beta _ { k l } ^ { 0 0 } ( t ) \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { l } \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j k }
F _ { X Y } ( x _ { t _ { 1 } } , \ldots , x _ { t _ { m } } , y _ { t _ { 1 } ^ { ' } } , \ldots , y _ { t _ { n } ^ { ' } } ) = F _ { X Y } ( x _ { t _ { 1 } + \tau } , \ldots , x _ { t _ { m } + \tau } , y _ { t _ { 1 } ^ { ' } + \tau } , \ldots , y _ { t _ { n } ^ { ' } + \tau } ) \quad { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } \tau , t _ { 1 } , \ldots , t _ { m } , t _ { 1 } ^ { ' } , \ldots , t _ { n } ^ { ' } \in \mathbb { R } { \mathrm { ~ a n d ~ f o r ~ a l l ~ } } m , n \in \mathbb { N }
d L = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { \partial L } { \partial q _ { i } } } d q _ { i } + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } _ { i } } } d { \dot { q } } _ { i } \right) + { \frac { \partial L } { \partial t } } d t = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( { \dot { p } } _ { i } d q _ { i } + p _ { i } d { \dot { q } } _ { i } ) + { \frac { \partial L } { \partial t } } d t \, ,
P _ { v ^ { \prime } } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } P ( u ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) \, d u ^ { \prime } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 2 \, \pi } \, \exp { \left( - \Lambda \, \sqrt { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } \right) } \, d u ^ { \prime } ,
\begin{array} { r } { { { \mathbf { Z } } _ { \mathbf { u } } } { { \mathbf { I } } _ { { \mathbf { u - t a r } } } } = j \omega ( { { \mathbf { M } } _ { { \mathbf { u T } } } } { I _ { T x } } + { { \mathbf { L } } _ { { \mathbf { u u } } } } { { \mathbf { I } } _ { { \mathbf { u - t a r } } } } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { { \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathbb { X } , \lambda , s } } } & { { \displaystyle \lambda \varepsilon ^ { p } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } s _ { i } } } & \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { { \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { \xi \in \Xi } \left( f ( x , \xi ) - \lambda d ^ { p } ( \xi , \widehat { \xi } _ { i } ) \right) \leq s _ { i } } } & { \forall i = 1 , \ldots , N , } \\ & { \lambda \geq 0 . } & \end{array} \right.
\Gamma ^ { \Lambda } ( s ) = 1 + { \frac { s } { \pi } } \int _ { 1 6 M _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d s ^ { \prime } } { s ^ { \prime } } } { \frac { \mathrm { I m } \Gamma ^ { \Lambda } ( s ^ { \prime } ) } { s ^ { \prime } - s - i \epsilon } } \; \; ;
\begin{array} { r l } & { g _ { 3 g p p } ( | \phi _ { 0 } ^ { r } - \phi _ { x } | ) { r _ { x } ^ { m i n } } ^ { - \alpha _ { L } } < \underbrace { g ( \varphi _ { r } ) r _ { s } ^ { - \alpha _ { L } } } _ { S _ { t h } } \Leftrightarrow \frac { g _ { 3 g p p } ( | \phi _ { 0 } ^ { r } - \phi _ { x } | ) } { S _ { t h } } < { r _ { x } ^ { m i n } } ^ { - \alpha _ { L } } \Leftrightarrow r _ { x } ^ { m i n } > \Big ( \frac { g _ { 3 g p p } ( | \phi _ { 0 } ^ { r } - \phi _ { x } | ) } { S _ { t h } } \Big ) ^ { \frac { 1 } { \alpha _ { L } } } , } \end{array}
- \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } \mathbf { A } \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } \, ,
B _ { N } ^ { ( k ) } ( s , t , s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) : = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } w _ { n , N } ^ { ( k ) } \, \left\{ [ X _ { n } ( s , t ) - \overline { { X } } _ { N } ( s , t ) ] [ X _ { n } ( s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) - \overline { { X } } _ { N } ( s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ] - \hat { C } _ { N } ( s , t , s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right\}
\frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ( ( p + k ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } = \frac { 1 } { 4 \pi p } \arctan ( \frac { p } { 2 m } ) ,
\begin{array} { r l r } { \langle I \rangle _ { \mathrm { { s c a } } } = \frac { | a _ { + } | ^ { 2 } + | a _ { - } | ^ { 2 } } { | E _ { 0 } | ^ { 2 } } , } & { { } } & { \langle V \rangle _ { \mathrm { { s c a } } } = \frac { | a _ { + } | ^ { 2 } - | a _ { - } | ^ { 2 } } { | E _ { 0 } | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbb { B } _ { g } \setminus \mathbb { B } _ { f } | } & { = \frac { | \mathbb { S } _ { d - 2 } | } { d } \int _ { 0 } ^ { \tilde { \theta } } \left( r _ { g } ^ { d } - \tilde { r } ^ { d } \right) \sin ^ { d - 2 } \theta \, d \theta } \\ & { \le C \left( r _ { g } ^ { d } - ( r _ { f } - U _ { f , g } ) ^ { d } \right) \int _ { 0 } ^ { \tilde { \theta } } \sin ^ { d - 2 } \theta \, d \theta } \\ & { \le C \left| r _ { g } ^ { d } - r _ { f } ^ { d } - \sum _ { k = 1 } ^ { d } ( - 1 ) ^ { k } \ _ { d } C _ { k } r _ { f } ^ { d - k } U _ { f , g } ^ { k } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { l } { f ( x , y , z ) } \\ { g ( x , y , z ) } \\ { h ( x , y , z ) } \end{array} \right) } & { = } & { Q ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { F \left( Q \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) \right) } \\ { G \left( Q \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) \right) } \\ { H \left( Q \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \Omega _ { U } = } & { \ \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } U + \frac { \zeta ^ { 2 } } { 2 \theta } ( ( C U ) ^ { T } U + U ( C U ) ) + } \\ & { \frac { \zeta ^ { 2 } } { 4 \theta } \left[ ( ( C U ) ^ { T } ) ^ { 2 } U + 2 ( C U ) ^ { T } U ( C U ) + U ( C U ) ^ { 2 } \right] + \ldots , } \\ { = } & { \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { 2 ^ { - m } \sum _ { u = 0 } ^ { m } { \binom { m } { u } ( ( C U ) ^ { u } ) ^ { T } U ( C U ) ^ { m - u } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { I _ { d } ( t ) } { I _ { 0 } } } & { = \bigg | f ( t ) e ^ { - i \Delta t } } \\ & { - \frac { \Gamma _ { 1 D } } { 4 } \sum _ { \xi = 1 } ^ { N } a _ { \xi } e ^ { - ( i \lambda _ { \xi } + \Gamma ^ { \prime } / 2 ) t } \mathrm { e r f c } \left( \frac { b _ { \xi } - t } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) \bigg | ^ { 2 } , } \end{array}
f _ { \ast \mathrm { s } } = N _ { \ast s } \exp \left[ - \frac { P _ { \mu } U ^ { \mu } } { T } \right] \left[ 1 - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } w ^ { 2 } \right] + O \left( \varepsilon ^ { 2 } \right) .
\langle \widehat { \mathcal { H } _ { K } } ( t ^ { 1 } ) _ { \mathfrak { V } ^ { 0 } , \mathfrak { V } ^ { \angle } } \Psi , \Psi ^ { \prime } \rangle = \langle \widehat { \mathcal { H } _ { K } } ( t ^ { 1 } ) \Psi , \Psi ^ { \prime } \rangle
A _ { N } = 2 \pi \, \sqrt { l } \, \left( \frac { 1 } { \pi } \right) ^ { { \textstyle \frac { k + 1 - D } { 2 } } } \Gamma \left( \frac { D - 3 - k } { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { Y ^ { 2 } } \right) ^ { { \textstyle \frac { D - 3 - k } { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta } K L ( Q _ { \theta } ^ { t + d t } | | Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } ) } & { = \int Q _ { \theta } ^ { t + d t } \left[ \ln \frac { Q _ { \theta } ^ { t + d t } } { Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } } - b \right] \nabla _ { \theta } \ln Q _ { \theta } ^ { t + d t } } \\ & { \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { x \sim Q _ { \theta } ^ { t + d t } } \left[ \ln \frac { Q _ { \theta } ^ { t + d t } } { Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } } - b \right] \nabla _ { \theta } \ln Q _ { \theta } ^ { t + d t } , } \end{array}
\bar { \mathbf { a } } = \frac { \mathbf { a } } { \gamma _ { v } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { - \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } - \frac { ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { v } ( \gamma _ { v } - 1 ) } { v ^ { 2 } \gamma _ { v } ^ { 3 } \left( 1 - \frac { - \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } + \frac { - ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { u } } { v ^ { 2 } \gamma _ { v } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { - \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } ,
I _ { \mathrm { t } , n , s } ^ { ( f ) } \approx \frac { 4 \delta _ { n } q ^ { 2 } v } { r _ { 0 } r _ { c } \varepsilon _ { 0 } } \frac { u _ { n , s } ^ { 3 } \gamma _ { 0 } e ^ { - 2 \left( 1 - r _ { 0 } / r _ { c } \right) \gamma _ { 0 } u _ { n , s } } } { \left( \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } + \varepsilon _ { 0 } / \varepsilon _ { 1 } + 1 + 2 \beta _ { 0 } ^ { 2 } u _ { n , s } / \gamma _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \frac { \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \int D \big [ x \hat { x } f \hat { f } \big ] \exp \left\{ i \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \int d t \Big [ \hat { x } _ { k } ( t , \tau ) \big ( \partial _ { t } + 1 \big ) x _ { k } ( t , \tau ) + i \sigma ^ { 2 } \hat { x } _ { k } ^ { 2 } ( t , \tau ) - \mathrm { t a n h } \big ( f _ { k } ( t , \tau ) \big ) \hat { x } _ { k } ( t , \tau ) + \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) \big ( f _ { k } ( t , \tau ) - z _ { k } ( t , \tau ) \big ) \Big ] \right\} } \\ & { = \int D \big [ x \hat { x } f \hat { f } \big ] \exp \left\{ i \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \int d t \Big [ E _ { k } ( t , \tau ) - \sum _ { j = 1 } ^ { N } J _ { k j } ( \tau ) \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) x _ { j } ( t , \tau ) \big ) \Big ] \right\} } \end{array}
\boldsymbol { u } _ { a } ( \boldsymbol { x } ) \approx \boldsymbol { \mathcal { A } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) + \boldsymbol { \mathcal { B } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) x _ { 3 } + \cdots \ \ .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } } & { = } & { 2 \chi _ { 1 } \left[ 9 A _ { 1 } ^ { 2 } \chi _ { 1 } \left( A _ { 1 } ( \chi _ { 1 } ^ { 2 } - 4 ) + 2 \right) + \sqrt { 6 \Delta } \right] ^ { 1 / 3 } , } \\ { \mathcal { B } } & { = } & { \left[ 2 7 A _ { 1 } ^ { 2 } \chi _ { 1 } \left( A _ { 1 } ( \chi _ { 1 } ^ { 2 } - 4 ) + 2 \right) + 3 \sqrt { 6 \Delta } \right] ^ { 1 / 3 } , } \\ { \Delta } & { = } & { A _ { 1 } ^ { 3 } \left[ 9 A _ { 1 } \chi _ { 1 } ^ { 2 } \left( 3 A _ { 1 } \left( A _ { 1 } \left( \chi _ { 1 } ^ { 4 } - 4 \chi _ { 1 } ^ { 2 } + 8 \right) + 4 \left( \chi _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \right) \right) + 1 4 \right) + 3 2 \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { \mathrm { M } } \Delta _ { \mathrm { s } } \phi _ { 0 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) - 4 C _ { \mathrm { M } } \phi _ { 1 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) H + \frac { 1 6 } { \delta } C _ { \mathrm { M } } \phi _ { 2 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) = 0 ~ , \quad \forall \zeta ^ { \alpha } \in \Omega ~ , } \end{array}
m _ { \mathrm { d o w n } } \sim \left( \begin{array} { l l l } { { \l ^ { 4 } } } & { { \l ^ { 3 } } } & { { \l ^ { 3 } } } \\ { { } } & { { \l ^ { 2 } } } & { { \l ^ { 2 } } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } \end{array} \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \l = 0 . 2 2 \ .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u } & { = \left( \partial _ { t } u _ { s } - a u _ { \sigma } - b u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { s } + \left( \partial _ { t } u _ { \sigma } + a u _ { s } - c u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { \sigma } + \left( \partial _ { t } u _ { \theta } + b u _ { s } + c u _ { \sigma } \right) \widehat { t } _ { \theta } . } \end{array}