harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) + \int _ { - \infty } ^ { 0 } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) - \int _ { 0 } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } * } ( - \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( - \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( - \omega ) } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) - \int _ { 0 } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) } \\ & { = } & { 2 i \int _ { 0 } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \textbf { I m } \Big ( \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { i + 1 } + D _ { i + 1 } } & { = d _ { i } + \delta _ { i + 1 } + D _ { i } + \Delta _ { i + 1 } } \\ { } & { = d _ { i } + f _ { 1 1 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) + D _ { i } + f _ { 1 0 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = d _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \frac { - \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = \ell ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
m ^ { p } \; { \mathrm { ( i t e r a t e d ~ l i n e ~ i n t e g r a l s ~ i n ~ b o s o n i c ~ p o t e n t i a l s ~ a n d ~ f i e l d s ) } } \; ( y - x ) _ { j } \gamma ^ { j } \: T ^ { \mathrm { \scriptsize { r e g } } \: ( n ) } ( s , l ) \; ,
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { I } _ { k + 1 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } } } & { \overset \le \sum _ { i = 0 } ^ { k } | \widehat { \mathfrak { I } } _ { i + 1 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } } \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 6 - 4 b } \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } N _ { i - 1 } ^ { - \sigma _ { 3 } } \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 6 - 4 b } , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ 0 \le ~ k \le ~ n ~ , } } \\ { | \mathfrak { I } _ { k + 1 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } } & { \le \sum _ { i = 0 } ^ { k } | \widehat { \mathfrak { I } } _ { i + 1 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 6 - 4 b } \sum _ { i = 0 } ^ { k } N _ { i } ^ { \mathtt { k } } \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 6 - 4 b } N _ { k } ^ { \mathtt { k } } , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ 0 \le ~ k \le ~ n ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { C _ { \mathrm { d l } } } \, \rightarrow \, - \frac { 1 } { e } \, \frac { \partial \left[ \phi _ { \mathrm { e t r o d e } } - \phi _ { \mathrm { e l y t e } } \right] } { \partial N } = \frac { \partial \Delta \phi } { \partial Q } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( \cdot , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) } & { = \lambda _ { 1 } u _ { 1 } - \chi _ { 1 , 1 } u _ { 1 } ^ { 2 } - \chi _ { 1 , 2 } u _ { 1 } u _ { 2 } , } \\ { f _ { 2 } ( \cdot , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) } & { = \lambda _ { 2 } u _ { 2 } - \chi _ { 2 , 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } + \chi _ { 2 , 1 } u _ { 1 } u _ { 2 } . } \end{array}
A ( x _ { 1 } ) B ( x _ { 2 } ) = \cdots + g _ { A B C } \, \frac { 1 } { ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \eta _ { A } + \eta _ { B } - \eta _ { C } ) } } C ^ { \eta _ { C } , \eta _ { A } - \eta _ { B } } ( x _ { 1 2 } , \partial _ { 2 } ) C ( x _ { 1 } ) + \cdots { } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { v o l } _ { \rho _ { c } } \left( \overline { \mathbb { B } } _ { r } \cap \mathbb { B } _ { R - \eta } ( x , d _ { \infty } ) \right) } & { = \operatorname* { l i m } \mathrm { v o l } _ { u _ { k } } \left( \overline { \mathbb { B } } _ { r } \cap \mathbb { B } _ { R - \eta } ( x , d _ { \infty } ) \right) } \\ & { \leqslant \operatorname* { l i m i n f } \mathrm { v o l } _ { u _ { k } } \left( \mathbb { B } _ { R } ( x , d _ { u _ { k } } ) \right) } \\ & { \leqslant \mathrm { v o l } _ { \rho _ { c } } \left( \mathbb { B } _ { R } ( x , d _ { \rho _ { c } } ) \right) . } \end{array}
\mathcal { A } = \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { 1 } { 8 \pi } ( \partial _ { \mu } \varphi ) ^ { 2 } + \mu \sum _ { i = 1 } ^ { r } e ^ { b e _ { i } \cdot \varphi } + \mu e ^ { b e _ { 0 } \cdot \varphi } \right] ,
W _ { 1 } \left( \frac { 1 } { N } \delta _ { x } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 2 } ^ { N } \delta _ { x _ { i } } , \frac { 1 } { N } \delta _ { x } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 2 } ^ { N } \delta _ { y _ { i } } \right) = \operatorname* { i n f } _ { \sigma \in { \mathcal S } _ { \{ 2 : N \} } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 2 } ^ { N } d _ { { \mathsf X } } ( x _ { i } , y _ { \sigma ( i ) } )
( D _ { L } ) _ { \beta \gamma } = \delta _ { \beta , \gamma } ( D _ { L } ) _ { \beta } , \quad ( D _ { L } ) _ { \beta } = - i \sum _ { \Upsilon \in \Delta _ { l } , \ \beta \cdot \Upsilon = 2 } \left[ g _ { l _ { 1 } } z ( \Upsilon \cdot q ) + g _ { l _ { 2 } } z ^ { ( 1 / 2 ) } ( \Upsilon \cdot q ) \right] .
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 1 } ( x , t ) } & { = } & { \psi _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x , t ) + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \gamma / i ^ { \alpha } \right) ^ { 2 n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { n } \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { n } { \Upsilon } ( x - x _ { n } , t - t _ { n } ) } \\ & { \times } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { n - 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } d t _ { n - 1 } { \Upsilon } ( x _ { n } - x _ { n - 1 } , t _ { n } - t _ { n - 1 } ) \cdots \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } d t _ { 1 } { \Upsilon } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } , t _ { 2 } - t _ { 1 } ) \psi _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ) } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } p _ { * } ^ { 2 } \leq \left[ \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } p _ { * } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 } \| y _ { 0 } - y ^ { * } \| ^ { 2 } \right] \operatorname* { m i n } \left\{ \left( 1 - \sqrt { \frac { \mu } { L } } \right) ^ { k } , \frac { 4 L } { ( 2 \sqrt { L } + k \sqrt { \gamma _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \right\} \ .
\begin{array} { r } { I V \lesssim b _ { \infty } \bigl ( h ^ { - 1 } \| e _ { \pi } \| _ { \mathcal { F } _ { h } } ^ { 2 } + h \| \nabla e _ { \pi } \| _ { \mathcal { F } _ { h } } ^ { 2 } \bigr ) \lesssim b _ { \infty } h ^ { 2 r - 2 } \| e _ { \pi } \| _ { r , \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } \lesssim b _ { \infty } h ^ { 2 r - 1 } \| v \| _ { r , \Gamma } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \Delta ^ { 2 } } & { { } = \frac { 2 \delta _ { \mathrm { s } } } { N ^ { 2 } } \bigg ( S _ { 1 } ^ { x } \frac { d } { d t } S _ { 2 } ^ { y } + S _ { 2 } ^ { y } \frac { d } { d t } S _ { 1 } ^ { x } - S _ { 1 } ^ { y } \frac { d } { d t } S _ { 2 } ^ { x } - S _ { 2 } ^ { x } \frac { d } { d t } S _ { 1 } ^ { y } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } _ { 1 } ( w ) } & { { } = \frac { \Phi _ { 2 } ( w _ { - } ) } { w _ { - } ^ { 2 } } + \frac { \Phi _ { 2 } ( w _ { + } ) } { w _ { + } ^ { 2 } } + \frac { \Phi _ { 3 } ( w _ { - } ) } { w _ { - } } + \frac { \Phi _ { 3 } ( w _ { + } ) } { w _ { + } } \, , } \\ { \hat { \Psi } _ { 2 } ( w ) } & { { } = \frac { I _ { 2 } ( w _ { - } ) } { w _ { - } ^ { 2 } } + \frac { I _ { 3 } ( w _ { - } ) } { w _ { - } } \, , } \\ { \hat { \Psi } _ { 3 } ( w ) } & { { } = \Phi _ { 1 } ( w _ { - } ) + \Phi _ { 1 } ( w _ { + } ) + \frac { \Phi _ { 4 } ( w _ { - } ) } { w _ { - } } + \frac { \Phi _ { 4 } ( w _ { + } ) } { w _ { + } } \, , } \\ { \hat { \Psi } _ { 4 } ( w ) } & { { } = \frac { 3 } { w _ { - } } \, I _ { 2 } ( w _ { - } ) + I _ { 3 } ( w _ { - } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \alpha } } & { = - \left( \mathrm { i } \Delta + \frac { \kappa } { 2 } \right) \alpha - \mathrm { i } \epsilon , } \\ { \dot { q } _ { i } ^ { \mathrm { s } } } & { = \Omega _ { i } p _ { i } ^ { \mathrm { s } } , } \\ { \dot { p } _ { i } ^ { \mathrm { s } } } & { = - \Omega _ { i } q _ { i } ^ { \mathrm { s } } - \gamma _ { i } p _ { i } ^ { \mathrm { s } } - g _ { i } | \alpha | ^ { 2 } . } \end{array}
f _ { \xi } ( X ; P ) = \theta ( p _ { 0 } ) N ^ { ( \xi ) } ( X ; E _ { p } ^ { ( \xi ) } ; \hat { \bf p } ) - ( 1 + \theta ( - p _ { 0 } ) ) N ^ { ( \xi ) } ( X ; E _ { p } ^ { ( \xi ) } ; - \hat { \bf p } ) .
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { R } ^ { d } ( v , x ) } & { = \Lambda _ { R } ^ { d } ( v , R w + ( x - R w ) ) } \\ & { = \left( \frac x R - w \right) ^ { \left( \frac v R - w \right) } } \\ & { = \Lambda _ { R } ^ { d } ( v + ( y - x ) , ( R w + ( y - x ) ) + ( x - R w ) ) } \\ & { = \Lambda _ { R } ^ { d } ( v + ( y - x ) , y ) , } \end{array}
f _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ ( ~ e ~ q ~ ) ~ } } \left( \textbf { x } , t \right) = w _ { i } \rho _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \textbf { x } , t ) \bigg [ 1 + \frac { \textbf { c } _ { i } \cdot \mathbf { u } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { x } , t ) } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { \left[ \textbf { c } _ { i } \cdot \mathbf { u } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { x } , t ) \right] ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } - \frac { \left[ \mathbf { u } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { x } , t ) \cdot \mathbf { u } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { x } , t ) \right] } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \bigg ] \; .
\begin{array} { r l r } { \sum _ { n } \frac { | x | } { d _ { n } ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { z _ { n } ^ { 2 } } { d _ { n } ^ { 2 } } \right) } & { \to } & { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \int \int \frac { | x | } { d ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { z ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \right) d y d z } \\ & { = } & { \frac { 4 \pi } { 3 a ^ { 2 } } } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { \rho _ { 0 } } { c _ { \mathrm { s o u n d } } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t } + \vec { v _ { 0 } } \cdot \nabla \psi _ { 1 } \right) \right) = \nabla \cdot \left( \rho _ { 0 } \nabla \psi _ { 1 } - \frac { \rho _ { 0 } \vec { v _ { 0 } } } { c _ { \mathrm { s o u n d } } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t } + \vec { v _ { 0 } } \cdot \nabla \psi _ { 1 } \right) \right)
\mu ( C _ { k } [ s _ { 0 } , s _ { 1 } , \ldots , s _ { n } ] ) = { \frac { 1 } { Z _ { n } ( V ) } } \exp ( - \beta H _ { n } ( C _ { k } [ s _ { 0 } , s _ { 1 } , \ldots , s _ { n } ] ) )
{ \frac { d \sigma } { d \Omega } } = { \frac { 1 } { 2 } } \alpha ^ { 2 } r _ { c } ^ { 2 } P ( E _ { \gamma } , \theta ) ^ { 2 } [ P ( E _ { \gamma } , \theta ) + P ( E _ { \gamma } , \theta ) ^ { - 1 } - \sin ^ { 2 } ( \theta ) ]
\begin{array} { r l r } { \{ \gamma ^ { \mu \dagger } , \gamma ^ { \nu \dagger } \} } & { = \gamma ^ { \mu \dagger } \gamma ^ { \nu \dagger } + \gamma ^ { \nu \dagger } \gamma ^ { \mu \dagger } } \\ & { = \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { 0 } + \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 0 } } & { = \gamma ^ { 0 } ( \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } + \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \mu } ) \gamma ^ { 0 } } \\ & { = \gamma ^ { 0 } ( 2 \eta ^ { \mu \nu } I _ { D \times D } ) \gamma ^ { 0 } } \\ & { = 2 \eta ^ { \mu \nu } \gamma ^ { 0 } I _ { D \times D } \gamma ^ { 0 } } \\ & { = 2 \eta ^ { \mu \nu } I _ { D \times D } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \int _ { \mathcal { L } } \frac { 1 } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { p } } d x } \\ { \leqslant } & { e ^ { - t } \int _ { \mathcal { L } } \frac { 1 } { ( S _ { 0 } ( x ) + R _ { 0 } ( x ) + \epsilon ) ^ { p } } d x } \\ { + } & { e ^ { - t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { p \cdot M _ { p } ^ { p + 1 } \cdot 2 ^ { p } } { \Lambda _ { * } ^ { p } } e ^ { s } d s . } \end{array}
{ \hat { \lambda } _ { N } } = { \frac { 1 } { 8 \pi } } \oint { d } \hat { s } ( \xi ) { \hat { V } _ { N } } ( \xi ) { \partial _ { \hat { n } } } { \hat { V } _ { N } } ( \xi ) = { \frac { 1 } { 8 \pi } } \int { d ^ { 2 } } \sqrt { \hat { g } } { \hat { g } ^ { a b } } { \partial _ { a } } { \hat { V } _ { N } } { \partial _ { b } } { \hat { V } _ { N } } .
f ( w \ll 1 ) = \frac { 7 } { 9 } + \frac { \tilde { \chi } _ { l } - \tilde { \chi } _ { \perp } } { 3 6 \tilde { \chi } } + \frac { \sqrt { 1 2 \left( \tilde { \eta } _ { l l } + 3 \tilde { \eta } _ { \perp } \right) \tilde { \chi } + \left( \tilde { \chi } _ { \perp } + \tilde { \chi } _ { l } \right) ^ { 2 } } } { 1 8 \tilde { \chi } } \, ,
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 0 ) } ( \omega ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 1 2 } } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \b { q } _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { q } _ { 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { p } _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { p } _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 6 } } \; ( p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 1 } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 2 } ) } \\ { \phantom \times \delta ( \omega + E _ { 0 } ^ { \mathrm { H F } } - p _ { 1 } ^ { 2 } / 2 - p _ { 2 } ^ { 2 } / 2 - V ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } ) ) } \\ { \phantom { x } \times \rho _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 1 } , p _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 1 } ) \rho _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 2 } , p _ { 2 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 2 } ) . \; } \end{array}
\partial _ { t } \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } + \partial _ { j } \left( \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \overline { { u } } _ { j } ^ { \ell } - \overline { { u } } _ { i } ^ { \ell } \overline { { \omega } } _ { j } ^ { \ell } - \nu \partial _ { j } \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \right) - \overline { { g } } _ { i } ^ { \ell } = - \partial _ { j } \left( \epsilon _ { i m n } \partial _ { m } \tau _ { n j } ^ { \ell } \right) \ ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathbf { v } _ { e l } } { \partial t } + ( \mathbf { v } _ { e l } \cdot \triangledown ) \mathbf { v } _ { e l } + \overline { { ( \mathbf { v } _ { e h } \cdot \triangledown ) \mathbf { v } _ { e h } } } = - \frac { e } { m _ { e } } ( \mathbf { E } _ { l } + \mathbf { v } _ { e l } \times \mathbf { B _ { r } } ) - \frac { \triangledown p _ { e l } } { n _ { e } m _ { e } } - \frac { \triangledown \cdot { \bf \Pi } _ { e l } } { n _ { e } m _ { e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \eta _ { 1 } \bigr \} \, } & { { } = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \Bigl ( \bigl \{ L \eta _ { 1 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ L \eta _ { 0 } \, , \eta _ { 1 } \bigr \} \Bigr ) + \bigl \{ \mathrm { B S } _ { 1 } [ \eta _ { 0 } ] \, , \eta _ { 0 } \bigr \} } \\ { \, } & { { } = \, \Lambda \eta _ { 1 } + \frac { \beta _ { \epsilon } - 1 } { 2 \pi } \, \bigl \{ P _ { 1 } \eta _ { 0 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \frac { 1 } { 2 \pi } \bigl \{ L P _ { 1 } \eta _ { 0 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { B } _ { \mathrm { ~ r ~ } } = \left( \begin{array} { l } { - B _ { \mathrm { ~ r ~ } , \perp } \cos ( \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } t ) } \\ { - B _ { \mathrm { ~ r ~ } , \perp } \sin ( \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } t ) } \\ { B _ { z } } \end{array} \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathbf { m } _ { \mathrm { ~ f ~ } } = m _ { f } \left( \begin{array} { l } { \sin \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } \cos ( \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } t + \varphi ) } \\ { - \sin \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } \sin ( \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } t + \varphi ) } \\ { \cos \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\Lambda _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { \tilde { \Delta } _ { ( m , n ) } ^ { 1 / 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { m \qquad } } & { { - n \, e ^ { - \phi _ { 0 } } + \chi _ { 0 } \, ( m - \chi _ { 0 } n ) \, e ^ { \phi _ { 0 } } } } \\ { { n \qquad } } & { { ( m - \chi _ { 0 } n ) \, e ^ { \phi _ { 0 } } } } \end{array} \right) ,
~ \sum _ { j } ~ J _ { j } ~ \left[ ~ \sum _ { m n } ~ { \frac { \mathbf { J } _ { i } ( - \alpha _ { m } , - \beta _ { n } ) ~ \mathbf { G } _ { m n } ~ \mathbf { J } _ { j } ( \alpha _ { m } , \beta _ { n } ) } { \sqrt { k ^ { 2 } - \alpha _ { m } ^ { 2 } - \beta _ { n } ^ { 2 } } } } \right] ~ = ~ - \mathbf { J } _ { i } ( - \alpha _ { 0 } , - \beta _ { 0 } ) ~ \bullet ~ \mathbf { E } ^ { i n c } ( \alpha _ { 0 } , \beta _ { 0 } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 4 . 2 )
\begin{array} { r l } { \# \mathcal { S } _ { I } ^ { \prime } ( n , k ) = } & { \# \mathcal { S } ^ { \prime } ( n , k ) 2 ^ { k } \operatorname { V o l } ( B _ { k } ( I ) ) + O _ { k } ( n ^ { k + \epsilon } ) , } \\ { = } & { \# \mathcal { S } ( n , k ) 2 ^ { k } \operatorname { V o l } ( B _ { k } ( I ) ) + O _ { k } ( n ^ { k + \epsilon } ) , } \\ { = } & { n \binom { \frac { n - 1 } { 2 } } { k } 2 ^ { k } \operatorname { V o l } ( B _ { k } ( I ) ) + O _ { k } ( n ^ { k + \epsilon } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { i j } = \frac { \partial \eta _ { a } } { \partial \theta _ { i } } \frac { \partial \eta _ { b } } { \partial \theta _ { j } } \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial \eta _ { a } \partial \eta _ { b } } = \frac { \partial \eta _ { a } } { \partial \theta _ { i } } \frac { \partial \eta _ { b } } { \partial \theta _ { j } } \mathrm { C o v } \left[ T _ { a } , T _ { b } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { d \sigma ^ { ( t w , c i r c ) } } { d \Omega } \right) _ { S } = \frac { \sigma _ { 0 } } { 4 \pi } \left( 1 - \frac { \beta } { 2 } P _ { 2 } ( \cos \theta _ { p } ) P _ { 2 } ( \cos \theta _ { c } ) + \left( \delta + \frac { \gamma } { 5 } \right) P _ { 1 } ( \cos \theta _ { p } ) P _ { 1 } ( \cos \theta _ { c } ) - \frac { \gamma } { 5 } P _ { 3 } ( \cos \theta _ { p } ) P _ { 3 } ( \cos \theta _ { c } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { N _ { x } , N _ { z } \to \infty } \sum _ { l = - ( N _ { x } - 1 ) } ^ { N _ { x } - 1 } \sum _ { m = - ( N _ { z } - 1 ) } ^ { N _ { z } - 1 } \left| b _ { l , m } \right| } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { N _ { x } , N _ { z } \to \infty } \sum _ { l = - ( N _ { x } - 1 ) } ^ { N _ { x } - 1 } \sum _ { m = - ( N _ { z } - 1 ) } ^ { N _ { z } - 1 } \left| \mathrm { s i n c } \left( \frac { 2 \sqrt { \left( \frac { l L _ { x } } { N _ { x } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { m L _ { z } } { N _ { z } } \right) ^ { 2 } } } { \lambda } \right) \right| } \\ { = } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left| \mathrm { s i n c } \left( \frac { 2 \sqrt { \left( \varpi L _ { x } \right) ^ { 2 } + \left( \varsigma L _ { z } \right) ^ { 2 } } } { \lambda } \right) \right| d \varpi d \varsigma } \\ { \leq } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } 1 d \varpi d \varsigma = 4 < \infty } \end{array}
\left. \frac { \partial \bar { \bf r } ^ { T } } { \partial \bar { \boldsymbol { \gamma } } } \right| _ { \bar { \boldsymbol { \gamma } } _ { 0 } } = \bar { \bf E } _ { 0 } \left. \frac { \partial \bar { \bf q } ^ { T } } { \partial \bar { \boldsymbol { \gamma } } } \right| _ { \bar { \boldsymbol { \gamma } } _ { 0 } } = \bar { \bf E } _ { 0 } \left[ \begin{array} { l l } { { \bf Q } } & { { \bf 0 } ^ { T } } \\ { { \bf 0 } } & { v _ { g } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { x } = u _ { y } = u _ { z } = 0 ; } \\ { \omega _ { x } = \omega _ { y } = \omega _ { z } = 0 . } \end{array} \right. \qquad \mathrm { a t } ~ \Omega _ { 1 } , \mathrm { ~ } z = 0 } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { z } = - \delta ; } \\ { \omega _ { x } = \omega _ { y } = \omega _ { z } = 0 . } \end{array} \right. \qquad \mathrm { a t } ~ \Omega _ { 5 } , \mathrm { ~ } z = 4 u _ { o } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { d i s p } } = } & { \int \hat { \psi } ^ { \dagger } ( Z ) \left[ \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } ( e ^ { 2 i k Z } + e ^ { - 2 i k Z } ) \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right] \hat { \psi } ( Z ) \, d Z + \hat { H } _ { \mathrm { c a v i t y } } } \\ { \approx } & { \int _ { - \hbar k } ^ { + \hbar k } \left[ \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) \frac { ( p + p _ { 0 } - \hbar k ) ^ { 2 } } { 2 m } + \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( p ) \frac { ( p + p _ { 0 } + \hbar k ) ^ { 2 } } { 2 m } \right] \, d p + \hat { H } _ { \mathrm { c a v i t y } } } \\ & { + \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \int d Z \int _ { - \hbar k } ^ { + \hbar k } \int _ { - \hbar k } ^ { + \hbar k } \left[ \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( q ) e ^ { i ( q - p ) Z } + \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( q ) e ^ { i ( p - q ) Z } \right] \, d p \, d q } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \hbar k } ^ { + \hbar k } \left[ \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( p ) - \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) \right] \left( \omega _ { z } + \frac { 2 \hbar k p } { m } \right) \, d p + \hat { H } _ { \mathrm { c a v i t y } } } \\ & { + \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \int _ { - \hbar k } ^ { + \hbar k } \int _ { - \hbar k } ^ { + \hbar k } \delta ( p - q ) \left[ \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( q ) + \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( q ) \right] \, d p \, d q , } \end{array}
d \epsilon _ { a b } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { - d v _ { 1 } } } & { { - d v _ { 2 } } } & { { - d v _ { 3 } } } \\ { { d v _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { - d \theta _ { 1 2 } } } & { { d \theta _ { 3 1 } } } \\ { { d v _ { 2 } } } & { { d \theta _ { 1 2 } } } & { { 0 } } & { { - d \theta _ { 2 3 } } } \\ { { d v _ { 3 } } } & { { - d \theta _ { 3 1 } } } & { { d \theta _ { 2 3 } } } & { { 0 } } \end{array} \right)