harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Gamma _ { \underline { { \alpha } } \underline { { \beta } } } ^ { a } = \left( \begin{array} { c c } { { - \gamma _ { \alpha \beta } ^ { a } C _ { q r } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \tilde { \gamma } ^ { a \alpha \beta } C ^ { q r } } } \end{array} \right) \, , \quad a = 0 , 1 , . . . , 5 \, ,
{ \frac { p _ { n } \# } { ( p _ { n } - 1 ) \# } } = e ^ { - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \ln \left( 1 - { \frac { 1 } { p _ { k } } } \right) } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { m ! } } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { l p _ { k } ^ { l } } } \right) ^ { m }
\mathcal { L } _ { \bar { v } } ( K ) ( \xi ^ { 1 - \tau } \mathbf { N } ^ { - 1 } ) = \frac { \Omega _ { p } ^ { 4 n } } { \Omega _ { \infty } ^ { 4 n } } \cdot \Gamma ( 2 n + 1 ) \cdot \biggl ( \frac { 2 \pi } { \sqrt { D _ { K } } } \biggr ) ^ { 2 n - 1 } \cdot ( 1 - \xi ^ { 1 - \tau } ( \bar { v } ) ) ( 1 - \xi ^ { 1 - \tau } ( { v } ) p ^ { - 1 } ) \cdot L ( \xi ^ { 1 - \tau } , 1 ) .
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \mathcal { L } ( \boldsymbol { \theta } | \mathbf { X } _ { 1 : N } , \tilde { \mathbf { f } } _ { 1 : N } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mathbb { E } _ { \mathbf { x } \sim p _ { \boldsymbol { \theta } } ( \cdot | \mathbf { X } _ { n } , \tilde { \mathbf { f } } _ { n } ) } \bigg [ \tilde { f } ( \mathbf { x } ) \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \log p _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { x } | \mathbf { X } _ { n } , \tilde { \mathbf { f } } _ { n } ) \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \rightarrow } ( \omega ) = | \langle a _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } / a _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle | ^ { 2 } = \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } | C _ { 1 } | ^ { 2 } , } \\ { T _ { \leftarrow } ( \omega ) = | \langle a _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } / a _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle | ^ { 2 } = \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } | A _ { 2 } | ^ { 2 } , } \end{array}
C _ { \mathrm { ~ D ~ } } = \left\{ \begin{array} { c l } { \frac { 2 4 } { R e _ { \mathrm { p } } } \left( 1 + \frac { 1 } { 6 } { R e _ { \mathrm { p } } } ^ { 2 / 3 } \right) } & { \ { R e _ { \mathrm { p } } } \leq 1 0 0 0 } \\ { 0 . 4 2 4 } & { \ { R e _ { \mathrm { p } } } > 1 0 0 0 \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \lambda _ { j k } = - \sum _ { A B } \lambda _ { A B } \left[ x _ { 1 } ^ { j } x _ { 1 } ^ { k } + x _ { A } ^ { j } x _ { B } ^ { k } - x _ { B } ^ { ( j } x _ { 1 } ^ { k ) } \right] - \frac 1 2 \sum _ { A \alpha } \lambda _ { A \alpha } \left[ x _ { \alpha } ^ { ( j } x _ { A } ^ { k ) } - x _ { \alpha } ^ { ( j } x _ { 1 } ^ { k ) } - x _ { A } ^ { ( j } x _ { 1 } ^ { k ) } - 2 x _ { 1 } ^ { j } x _ { 1 } ^ { k } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { l } } & { { } \leftarrow \phi ^ { l } + \Delta \phi ^ { l } } \\ { \rho ^ { l } \phi ^ { l } \mathscr { E } ^ { l } } & { { } \leftarrow \rho ^ { l } \phi ^ { l } \mathscr { E } ^ { l } - \overline { { p } } \Delta \phi ^ { l } } \end{array}
Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cdot \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ; \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \delta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cdot \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ; \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \delta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cdot \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ; \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \delta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { f } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { \boldsymbol { B } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { B } _ { 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right) , \boldsymbol { B } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \boldsymbol { B } _ { 2 } } \end{array} \right) , \boldsymbol { A } ^ { 1 , 0 } = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { A } _ { 1 1 } } & { \boldsymbol { A } _ { 1 2 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \boldsymbol { A } ^ { 0 , 1 } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { \boldsymbol { A } _ { 1 2 } } & { \boldsymbol { A } _ { 2 2 } } \end{array} \right) , \boldsymbol { A } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = \boldsymbol { A } ^ { 1 , 0 } \boldsymbol { A } ^ { i _ { 1 } - 1 , i _ { 2 } } + \boldsymbol { A } ^ { 0 , 1 } \boldsymbol { A } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { 0 } ( L _ { 0 } ) = a ( L _ { 0 } ) } \\ & { a _ { 1 } ( L _ { 0 } , L _ { 1 } ) = L _ { 1 } \frac { d a ( L _ { 0 } ) } { d L _ { 0 } } } \\ & { a _ { 2 } ( L _ { 0 } , L _ { 1 } , L _ { 2 } ) = L _ { 2 } \frac { d a ( L _ { 0 } ) } { d L _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } a ( L _ { 0 } ) } { d L _ { 0 } ^ { 2 } } \ . } \end{array}
\lambda _ { g } = \frac { c \left( { \sigma _ { a , g } \mathord { \left/ { \vphantom { \sigma _ { a , g } \varepsilon } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } \varepsilon } + \varepsilon \sigma _ { s , g } \right) } { \varepsilon } \to o \left( \varepsilon ^ { - 2 } \right) \mathrm { , } \; \; e ^ { - \lambda _ { g } \left( t - t _ { n } \right) } \to 0
\begin{array} { r l } { \psi } & { { } = \pi - \theta - \phi } \\ { \tan ( \psi ) } & { { } = \tan ( \pi - \theta - \phi ) } \\ { ( \tan \theta \tan \phi - 1 ) \tan \psi } & { { } = \tan \theta + \tan \phi } \\ { \tan \psi \tan \theta \tan \phi - \tan \psi } & { { } = \tan \theta + \tan \phi } \\ { \tan \psi \tan \theta \tan \phi } & { { } = \tan \psi + \tan \theta + \tan \phi } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { X _ { t } = x } [ e ^ { - \theta \tau _ { t } } ] = e ^ { - \theta \ell } e ^ { - \beta x } e ^ { \int _ { t } ^ { \ell } \left( \rho \beta + \lambda L ( s ) \int _ { 0 } ^ { \infty } [ e ^ { - \beta y } - 1 ] p ( y ) d y \right) d s } = e ^ { - \theta \ell } e ^ { - \beta x + \beta \rho \int _ { t } ^ { \ell } \bar { L } ( s ) d s + \theta \int _ { t } ^ { \ell } L ( s ) d s } . } \end{array}
\begin{array} { r } { D \Phi [ \chi ] = - \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Sigma } \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \Big [ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \Big ] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma \leq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \kappa _ { \mathrm { e f f } , 1 } = \kappa _ { \mathrm { e f f } , 3 } = \frac { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } } + \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } } { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } = 1 + \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \approx 1 . 0 5 0 6 6 . } \end{array}
V _ { e f f } = \left[ e ^ { 2 } a ^ { i } a _ { i } - \frac { 1 } { 2 \alpha ^ { \prime } } + \left( e \phi _ { a } - \frac { \delta ^ { a } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } \right] T \overline { { { T } } } + \frac { e ^ { 2 } } { 2 } \left( T \overline { { { T } } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \frac { 4 \mathcal { D } } { \alpha _ { \mathrm { M } } \bar { c } _ { \mathrm { g } } \lambda _ { \mathrm { M F P } } } } & { = } & { \frac { 2 f } { \alpha _ { \mathrm { M } } ( \gamma - 1 ) } \frac { R _ { \mathrm { g } } } { c _ { p } \mathrm { L e } } } \\ { \because c _ { p } = c _ { v } + R _ { \mathrm { g } } } & { \Rightarrow } & { 1 = \frac { 1 } { \gamma } + \frac { R _ { \mathrm { g } } } { c _ { p } } \Rightarrow \frac { R _ { \mathrm { g } } } { c _ { p } } = \frac { \gamma - 1 } { \gamma } } \\ { \therefore \frac { 4 \mathcal { D } } { \alpha _ { \mathrm { M } } \bar { c } _ { \mathrm { g } } \lambda _ { \mathrm { M F P } } } } & { = } & { \frac { 2 f } { \alpha _ { \mathrm { M } } \gamma \mathrm { L e } } . } \end{array}
Z _ { \mathrm { p e r t } } [ J _ { \mu } ] = \exp \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 4 } x \int d ^ { 4 } y J _ { a } ^ { \mu } ( x ) D ( x - y ) J _ { a } ^ { \mu } ( y ) \right\}
i \hbar \frac { \partial \psi ^ { j } ( \textbf { x } _ { j } , t ) } { \partial t } = \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { j } } \Delta - G m _ { j } \sum _ { \underset { k \neq j } { k = 1 } } ^ { N } m _ { k } \int d ^ { 3 } \textbf { y } _ { k } \frac { \mid \varphi ^ { k } ( \textbf { y } _ { k } , t ) \mid ^ { 2 } } { \mid \textbf { x } _ { j } - \textbf { y } _ { k } \mid } \right) \psi ^ { j } ( \textbf { x } _ { j } , t )
\Gamma ( a _ { 1 } \to \rho \pi ) = \frac { 1 } { 9 6 \pi } \frac { g _ { a _ { 1 } \rho \pi } ^ { 2 } } { m _ { a _ { 1 } } } \left[ 1 - \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } } { m _ { a _ { 1 } } } \right] \left[ 1 0 + \frac { m _ { a _ { 1 } } ^ { 2 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } } + \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } } { m _ { a _ { 1 } } ^ { 2 } } \ \right]
{ \boldsymbol { \sigma } } _ { 0 } ^ { 1 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \uparrow \downarrow + \downarrow \uparrow ) \; ;
f _ { a } ( \mathbf { x } + \mathbf { c } _ { a } \Delta \tau , \tau + \Delta \tau ) = f _ { a } ( \mathbf { x } , t ) + \omega ( f _ { a } ^ { e q } ( \rho , \rho \mathbf { u } ) - f _ { a } ( \mathbf { x } , t ) )
\begin{array} { r l } { D ^ { \mathbf \nu } W _ { R } = \sum _ { q _ { 4 } = 0 } ^ { \nu _ { 4 } } \sum _ { q _ { 1 } = 0 } ^ { \nu _ { 1 } } ( - 1 ) ^ { \nu _ { 1 } - q _ { 1 } } } & { \left( \begin{array} { l } { \nu _ { 4 } } \\ { q _ { 4 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \nu _ { 1 } } \\ { q _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { N + 1 } \\ { \nu _ { 4 } - q _ { 4 } + \nu _ { 1 } - q _ { 1 } } \end{array} \right) ( \nu _ { 4 } - q _ { 4 } + \nu _ { 1 } - q _ { 1 } ) ! } \\ & { \times \underline { x } ^ { N + 1 - \nu _ { 4 } + q _ { 4 } - \nu _ { 1 } + q _ { 1 } } D ^ { ( q _ { 1 } , \nu _ { 2 } , \nu _ { 3 } , q _ { 4 } ) } \underline { R } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { G } _ { t + 1 } ( \mathbf { u } _ { t } ) = \mathbf { E } _ { Q ( \mathbf { s } _ { t + 1 } | u _ { t } ) } \left[ \mathbf { H } \left[ P ( \mathbf { o } _ { t + 1 } | \mathbf { s } _ { t + 1 } ) \right] \right] + \operatorname { D } _ { K L } \left( Q ( \mathbf { s } _ { t + 1 } | \mathbf { u } _ { t } ) \parallel \ln P ( \mathbf { s } _ { t + 1 } | C ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi ^ { * } } & { { } = \frac { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( s _ { m } ) } S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } \left\{ \sum _ { n = 0 } ^ { s _ { m } - 1 } \beta ( s _ { m } , n ) ( k ^ { ( s _ { m } ) } - 1 ) W _ { s _ { m } , n } ^ { * } + \sum _ { s = 2 } ^ { s _ { m } - 1 } \sum _ { q = 0 } ^ { s - 1 } \beta ( s , q ) \left[ ( k ^ { ( s _ { m } ) } - 1 ) \frac { k ^ { ( s , \mathrm { n e s t e d } ) } } { k ^ { ( s _ { m } ) } } W _ { s , q } ^ { * ( \mathrm { n e s t e d } ) } + k ^ { ( s , \mathrm { f r e e } ) } W _ { s , q } ^ { * ( \mathrm { f r e e } ) } \right] \right\} } { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( s _ { m } ) } S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } } \equiv F _ { 1 } ( \xi ^ { * } , \{ S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } \} ) , } \end{array}
y ^ { i } ( t ) = \frac { v ^ { i } } { 1 - 2 p } \left( t ^ { 1 - 2 p } t _ { 0 } ^ { 2 p } - t _ { 0 } \right) + { \cal O } ( t ^ { 1 - 4 p } ) , \qquad t \gg t _ { 0 }
\begin{array} { r l r } { | \psi _ { b o s } ( t ) \rangle } & { = } & { \sum _ { l = 0 } ^ { M } \beta _ { l } ( t ) ~ \frac { ( b ^ { \dagger } ) ^ { l } } { \sqrt { l ! } } | v a c \rangle = \sum _ { l = 0 } ^ { M } \beta _ { l } ( t ) ~ | l \rangle } \\ { \tilde { H } ( \{ x _ { k } ( t ) \} ) } & { = } & { \omega b ^ { \dagger } b - ( b ^ { \dagger } + b ) \sum _ { l = 1 } ^ { N } C _ { k } x _ { k } ( t ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l r l } { { 9 } f _ { u } : \, } & { V } & & { \to \, } & & { \mathbb { F } } & & { \quad { \mathrm { ~ a n d ~ } } \quad } & & { f ^ { v } : \, } & & { U } & & { \to \, } & & { \mathbb { F } } \\ & { y } & & { \mapsto \, } & & { f ( u , y ) } & & { } & & { } & & { x } & & { \mapsto \, } & & { f ( x , v ) } \end{array} }
x = \pm ( \underbrace { d _ { 0 } . d _ { 1 } d _ { 2 } \ldots d _ { p - 1 } } _ { \mathrm { m a n t i s s a } } ) _ { \beta } \times \beta ^ { \overbrace { E } ^ { \mathrm { e x p o n e n t } } } = \pm d _ { 0 } \times \beta ^ { E } + d _ { 1 } \times \beta ^ { E - 1 } + \ldots + d _ { p - 1 } \times \beta ^ { E - ( p - 1 ) }
\frac { R _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } } { 6 \pi \mu a } = \frac { 4 } { 3 } \cdot \frac { 5 + 6 \alpha + 3 \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } } { 8 + 9 \alpha + 3 \alpha ^ { 2 } } \in \left[ \frac { 5 } { 6 } , 1 \right] \, .
\vert x , \vec { k } _ { \! \perp } ; \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { n _ { c } } } } \sum _ { c = 1 } ^ { n _ { c } } b _ { c } ^ { \dagger } ( k _ { 1 } , \lambda _ { 1 } ) d _ { c } ^ { \dagger } ( k _ { 2 } , \lambda _ { 2 } ) \vert 0 \rangle .
{ \left| \begin{array} { l l } { a } & { b + b ^ { \prime } } \\ { c } & { d + d ^ { \prime } } \end{array} \right| } = a ( d + d ^ { \prime } ) - ( b + b ^ { \prime } ) c = { \left| \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right| } + { \left| \begin{array} { l l } { a } & { b ^ { \prime } } \\ { c } & { d ^ { \prime } } \end{array} \right| } .
\begin{array} { r l r } { p _ { 0 } ^ { ( n ) } } & { = } & { \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } \left( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos \left( 2 \left( n \phi ^ { ( n ) } + \alpha _ { 0 } \right) \right) \right) = \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } ( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos ( 2 n \phi ^ { ( n ) } ) ) , } \\ { p _ { 1 } ^ { ( n ) } } & { = } & { \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } \left( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos \left( 2 \left( n \phi ^ { ( n ) } + \alpha _ { 1 } \right) \right) \right) = \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } ( 1 - \mathcal { V } ^ { ( n ) } \sin ( 2 n \phi ^ { ( n ) } ) ) , } \\ { p _ { 2 } ^ { ( n ) } } & { = } & { \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } \left( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos \left( 2 \left( n \phi ^ { ( n ) } + \alpha _ { 2 } \right) \right) \right) = \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } ( 1 - \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos ( 2 n \phi ^ { ( n ) } ) ) , } \\ { p _ { 3 } ^ { ( n ) } } & { = } & { \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } \left( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos \left( 2 \left( n \phi ^ { ( n ) } + \alpha _ { 3 } \right) \right) \right) = \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } ( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \sin ( 2 n \phi ^ { ( n ) } ) ) , } \end{array}
\frac { 2 i \varepsilon \delta \theta ( 1 - \theta ) } { \theta ^ { 3 } [ \theta k _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { \theta } | \mathbf { k } | ^ { 2 } + i \varepsilon ] ( k ^ { 2 } + i \varepsilon ) }
\alpha _ { e f f } ( Q ) = \alpha \left[ 1 + Q ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } + \frac { 2 \alpha } { 3 \pi M _ { \gamma } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { Q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) - \frac { 5 1 7 \alpha } { 1 6 0 \pi M _ { f } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { Q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) \right) + \frac { \alpha } { 3 \pi } \ln \left( \frac { Q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) \right] \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { W \left( \Delta \vec { p } _ { k } , \Delta t \right) } \\ & { = } & { \int \frac { d ^ { 3 } \xi } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \, e ^ { - i \vec { \xi } \cdot \Delta \vec { p } _ { k } - W _ { t o t } \Delta t \int d \Omega \, \omega \left( \Delta \vec { p } _ { k } \right) \, \left( 1 - e ^ { i \vec { \xi } \cdot \Delta \vec { p } _ { k } } \right) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j ( t [ i ] ) } & { = \mathcal { L F } \{ j _ { \mathrm { F B W } } ( t [ i ] ) \} } \\ { A _ { \mathrm { M } } ( t [ i ] ) } & { = \mathcal { L F } \{ A _ { \mathrm { M , F B W } } ( t [ i ] ) \} } \\ { n _ { \mathrm { P I } } ( t [ i ] ) } & { = \mathcal { B P F } \{ n _ { \mathrm { P I , F B W } } ( t [ i ] ) \} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( 1 , 0 , 0 , 0 ) } & { = { \frac { 1 } { 4 } } ( 1 , 1 , 1 , 1 ) + { \frac { 1 } { 4 } } ( 1 , 1 , - 1 , - 1 ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 , - 1 , 0 , 0 ) \qquad { \mathrm { H a a r ~ D W T } } } \\ { ( 1 , 0 , 0 , 0 ) } & { = { \frac { 1 } { 4 } } ( 1 , 1 , 1 , 1 ) + { \frac { 1 } { 4 } } ( 1 , i , - 1 , - i ) + { \frac { 1 } { 4 } } ( 1 , - 1 , 1 , - 1 ) + { \frac { 1 } { 4 } } ( 1 , - i , - 1 , i ) \qquad { \mathrm { D F T } } } \end{array} }
\gamma _ { \mu , \sigma ^ { 2 } } ^ { n } ( A ) : = { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } ^ { n } } } \int _ { A } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \| x - \mu \| _ { \mathbb { R } ^ { n } } ^ { 2 } \right) \, \mathrm { d } \lambda ^ { n } ( x ) .
\Phi _ { k } ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ) = \sum _ { p \in { \bf Z } } ~ e ^ { 2 \pi i ( \sigma _ { 2 } / 2 \pi + k ) p / n } ~ e ^ { 2 \pi i ( \sigma _ { 1 } / 2 \pi - p / m ) m / n } ~ \widehat { \psi } _ { p } ( \sigma _ { 1 } / 2 \pi - p / m ) ,
\begin{array} { r l } & { \langle \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \ ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \rangle } \\ & { \quad = \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \ ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) ^ { * } ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \rangle } \\ & { \quad = \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \rangle - \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } V _ { b } ^ { * } ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \rangle } \\ & { \quad = - \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \big ( ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } - ( \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } ) ^ { * } \big ) V _ { b } ^ { * } ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad = \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } \big ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { * } - \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { * } \big ) ( \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } ) ^ { * } V _ { b } ^ { * } ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad = \sigma \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } \big ( \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) \big ) ^ { * } ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \Big \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial R _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { \ell } } ( U _ { \ell } R _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } ) = P _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } - \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } + \Phi _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } + D _ { i j } ^ { \mathrm { p , G S } } + D _ { i j } ^ { \mathrm { t , G S } } + D _ { i j } ^ { \mathrm { v , G S } } - \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { S G S } } + D _ { i j } ^ { \mathrm { S G S } } , } \end{array}
q ^ { C k } \left( z ^ { ( k ) } \right) = \sum _ { j = 0 } ^ { N } \tilde { q } _ { j } ^ { C k } \psi _ { j } \left( z ^ { ( k ) } \right) , \quad z ^ { ( k ) } \in [ - 1 , 1 ] , \quad k = 1 , 2 ,
g ( k ^ { ( m ) } | h ) = \sum _ { k _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \ldots i _ { m } } } \delta _ { \sum { k _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \ldots i _ { m } } } } ^ { k ^ { m } } \prod _ { i _ { 1 } \geq i _ { 2 } \geq \ldots \geq i _ { m } } ^ { C } g _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \ldots i _ { m } } ^ { ( h ) } ( k _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \ldots i _ { m } } | h _ { i _ { 1 } } , h _ { i _ { 2 } } , \ldots , h _ { i _ { m } } ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } A ( z , \tau ) } & { { } = - \sqrt { d } P ( z , \tau ) } \\ { \partial _ { \tau } P _ { \Delta } ( z , \tau ) } & { { } = - ( \bar { \gamma } - i \Delta ) P _ { \Delta } ( z , \tau ) + \sqrt { d } \sqrt { p _ { \Delta } } A ( z , \tau ) - i \frac { \Omega ( \tau ) } { 2 } B _ { \Delta } ( z , \tau ) } \\ { \partial _ { \tau } B _ { \Delta } ( z , \tau ) } & { { } = - \gamma _ { B } B _ { \Delta } ( z , \tau ) - i \frac { \Omega ^ { * } ( \tau ) } { 2 } P _ { \Delta } ( z , \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 2 } + _ { 3 } + _ { 4 } + _ { 6 } } \\ & { = - \sum _ { x > m - n } \delta _ { q , p } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , x } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { p , q } \delta ( j \leq m - n ) \sum _ { w > m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { p , q } \delta ( j \leq m - n ) \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } + \sum _ { x \leq m - n } \delta _ { q , p } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = - \delta _ { p , q } ( 1 + \delta ( j \leq m - n ) ) ( W _ { i , j } ^ { ( 2 ) } + \alpha _ { 2 } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) } \\ & { = - \delta _ { p , q } ( 1 + \delta ( j \leq m - n ) ) W _ { i , j } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { p , q } \alpha _ { 2 } ( 1 + \delta ( j \leq m - n ) ) e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] . } \end{array}
M ^ { \pm } ( q _ { 0 } , \vec { q } ) = Z ^ { - 1 } \sum _ { m , n } e ^ { - \beta E _ { m } } { ( 2 \pi ) } ^ { 4 } \delta ( q \pm p _ { m } \mp p _ { n } ) { | \langle m | O ( 0 ) | n \rangle | } ^ { 2 }
\Tilde { \psi } _ { \mathrm { S M T } } ( \textbf { r } , \omega ) \equiv \sum _ { \mathrm { \textbf { k } _ { o u t } , \textbf { k } _ { \mathrm { i n } } } } e ^ { i ( \textbf { k } _ { \mathrm { o u t } } - \textbf { k } _ { \mathrm { i n } } ) \cdot \textbf { r } } R ( \textbf { k } _ { \mathrm { o u t } } , \textbf { k } _ { \mathrm { i n } } , \omega )
\omega = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \omega _ { 3 } } & { - \omega _ { 2 } } \\ { - \omega _ { 3 } } & { 0 } & { \omega _ { 1 } } \\ { \omega _ { 2 } } & { - \omega _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right)
m ^ { 2 } \geq 4 \pi v ^ { 2 } ( n _ { e } , n _ { m } ) \, \frac { 1 } { \mathrm { I m } \, \tau } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { - \mathrm { R e } \, \tau } } \\ { { - \mathrm { R e } \, \tau } } & { { | \tau | ^ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { n _ { e } } } \\ { { n _ { m } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { V _ { x y } ( t ) = } & { \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } \left( H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } \mp H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } \right) } { 2 { H _ { k } } ^ { 2 } } } \\ & { \mp \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } \left( 3 ( H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } + H _ { \mathrm { f l } } ^ { 2 } ) - 1 6 H _ { k } ^ { 2 } + 4 ( H _ { x } ^ { 2 } + H _ { y } ^ { 2 } ) \right) } { 8 H _ { k } ^ { 2 } } \sin ( \omega t ) } \\ & { \pm \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } \left( H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } \mp H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } \right) } { 2 { H _ { k } } ^ { 2 } } \cos ( 2 \omega t ) . } \end{array}