harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \frac { \phi ^ { \prime } ( | x | / \varepsilon ) } { | x | } \textrm { d } x = - \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \beta ( r \cos \psi , r \sin \psi ) \textrm { d } \psi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( A - \lambda I ) = 0 } & { \Longleftrightarrow ( - \gamma - \lambda ) ( - a - \lambda ) + 1 = 0 } \\ & { \Longleftrightarrow \lambda ^ { 2 } + \lambda ( \gamma + a ) + 1 + a \gamma = 0 } \\ & { \Longleftrightarrow \lambda _ { 1 , 2 } = \frac { - ( a + \gamma ) \pm \sqrt { ( a - \gamma ) ^ { 2 } - 4 } } { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { n _ { i } } ^ { ( i ) } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { L _ { i } } d x \ \phi _ { n _ { i } } ^ { ( i ) } ( x ) = \sqrt { \frac { 2 } { L _ { i } } } \int _ { 0 } ^ { L _ { i } } d x \ \sin { ( \pi n _ { i } x / L _ { i } ) } } \\ & { = } & { \frac { 2 \sqrt { 2 L _ { i } } } { \pi n _ { i } } , \quad \quad \mathrm { i f ~ n _ i ~ i s ~ o d d } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 0 , 2 ) } ( a , b , x ) = } & { \sum _ { m \in \mathbb { Z } } e ^ { \pi i f ( \tau ) \left( \frac { m ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 3 m } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \right) } e ^ { \pi i g ( \tau ) \left( \frac { m ^ { 2 } } { 2 } + \frac { m } { 4 } \right) } e ^ { 2 \pi i ( m + 1 / 2 ) x } } \\ { = } & { e ^ { \pi i ( \frac { f ( \tau ) } { 4 } + x ) } \sum _ { m \in \mathbb { Z } } e ^ { \pi i \left( \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 2 } \right) m ^ { 2 } } e ^ { 2 \pi i m \left( \frac { ( 3 f + g ) ( \tau ) } { 8 } + x \right) } } \\ { = } & { e ^ { \pi i ( \frac { f ( \tau ) } { 4 } + x ) } \theta \left( \frac { ( 3 f + g ) ( \tau ) } { 8 } + x , \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { i } ( x , \varepsilon ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) , t , x \right) E _ { i } ^ { \varepsilon } ( \xi , s ) \mathrm { d } \xi _ { 2 } \right] \mathrm { d } \xi _ { 1 } \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho ^ { - } ( x ) } & { \mathrm { f o r ~ } t < 0 , } \\ { \rho ^ { + } ( x ) } & { \mathrm { f o r ~ } t \geq 0 , } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \kappa ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \kappa ^ { - } ( x ) } & { \mathrm { f o r ~ } t < 0 , } \\ { \kappa ^ { + } ( x ) } & { \mathrm { f o r ~ } t \geq 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
[ | U _ { L } ^ { d } | ] = \left( \begin{array} { l l l } { { 1 . 0 0 0 } } & { { 0 . 0 0 0 1 0 } } & { { 0 . 0 6 6 } } \\ { { 0 . 0 0 0 1 0 } } & { { 1 . 0 0 0 } } & { { 0 . 0 6 7 } } \\ { { 0 . 0 6 6 } } & { { 0 . 0 6 7 } } & { { 1 . 0 0 0 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r } { \overrightarrow { \lambda } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \cos ( \theta _ { y } ) \right) } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \phi _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \phi _ { y } \right) } \\ { - \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial G } & { = \frac { \partial \beta } { \beta } - \varphi ^ { \prime } \partial u = 0 ; } \\ { \partial _ { J } G } & { = \frac { \partial _ { J } \beta } { \beta } - \varphi ^ { \prime } \partial _ { J } u = 0 ; } \\ { \partial \partial _ { J } G } & { = \frac { \partial \partial _ { J } \beta } { \beta } - \frac { \partial \beta \wedge \partial _ { J } \beta } { \beta ^ { 2 } } - \varphi ^ { \prime \prime } \partial u \wedge \partial _ { J } u - \varphi ^ { \prime } \partial \partial _ { J } u } \\ & { = \frac { \partial \partial _ { J } \beta } { \beta } - ( ( \varphi ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \varphi ^ { \prime \prime } ) \partial u \wedge \partial _ { J } u - \varphi ^ { \prime } \partial \partial _ { J } u . } \end{array}
\mathbf { R } = \mathbf { R } _ { 0 } ( \xi ) + \mathbb { M } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i } { } ^ { ' } \Omega _ { c , i } \left[ 1 - \mathbb { P } ( \xi ) \right] \mathbf { \Omega } _ { c , i } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { C } o v \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \varphi ( x ) Z ( x ) d \mu ( x ) , M ( A ) \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { C } o v \left( \sum _ { j \in J _ { n } } Z ( x _ { j } ^ { n } ) \int _ { I _ { j } ^ { n } } \varphi d \mu \ , \ M ( A ) \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { j \in J _ { n } } K _ { Z , M } ( x _ { j } ^ { n } , A ) \int _ { I _ { j } ^ { n } } \varphi d \mu } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \varphi ( x ) K _ { Z , M } ( x , A ) d \mu ( x ) . } \end{array} .
g ( t ) = g _ { \pm } ( t ) = 4 g _ { 0 \pm } \frac { 2 c _ { 1 } ^ { 2 } + 9 a c _ { 2 } - 3 \wp ( t ; g _ { 2 g } , g _ { 3 g } ) ( c _ { 1 } + 3 \wp ( t ; g _ { 2 g } , g _ { 3 g } ) ) } { ( 6 \wp ( t ; g _ { 2 g } , g _ { 3 g } ) + c _ { 1 } \pm 3 \sqrt { c _ { 1 } ^ { 2 } + 4 a c _ { 2 } } ) ^ { 2 } } , \quad c _ { 1 } ^ { 2 } + 4 a c _ { 2 } \ge 0 .
\sum _ { i = \mu _ { x } - \sigma _ { x } / \sqrt { \epsilon } } ^ { \mu _ { y } + \sigma _ { y } / \sqrt { \epsilon } } \leq \left( \mu _ { y } + \sigma _ { y } / \sqrt { \epsilon } - \mu _ { x } + \sigma _ { x } / \sqrt { \epsilon } \right) \epsilon = \left( \mu _ { y } - \mu _ { x } \right) \epsilon + \left( \sigma _ { x } + \sigma _ { y } \right) \sqrt { \epsilon }
{ \displaystyle { \bf f } _ { { \bf v } _ { i } } ( { \bf n } ) \equiv \left. \frac { \partial { \bf f } ( { \bf n } + \lambda { \bf v } _ { i } ) } { \partial \lambda } \right\vert _ { \lambda = 0 } = \left. \frac { \partial { \bf q } [ { \bf n } + \lambda { \bf v } _ { i } ] } { \partial \lambda } \right\vert _ { \lambda = 0 } - { \bf v } _ { i } } ~ ,
\begin{array} { r } { E = \frac { 5 } { 2 } \frac { 1 5 ^ { 2 / 5 } } { 7 } m ^ { 1 / 5 } N \left( \frac { N a _ { s } } { \hbar \mathcal { V } } \right) ^ { 2 / 5 } = \frac { 5 } { 2 } \mathcal { P V } , } \end{array}
\sigma _ { T } ^ { \gamma p } ( W ^ { 2 } ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } \alpha } { Q ^ { 2 } } F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) \bigg | _ { Q ^ { 2 } = 0 } = 4 \pi ^ { 2 } \alpha \sum _ { i = h , s , f } \frac { C _ { i } } { ( Q _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 1 + \epsilon _ { i } } } ( W ^ { 2 } - m _ { p } ^ { 2 } ) ^ { \epsilon _ { i } } .
\psi _ { n _ { 1 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } \triangleq \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { + j k _ { z n _ { 1 } } z } R _ { 0 } ( k _ { \rho n _ { 1 } } \rho , k _ { \rho n _ { 1 } } a ) } & { , n _ { 1 } = 1 , 2 , . . . } \\ { e ^ { + j k z } \ln \rho } & { , n _ { 1 } = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ^ { u } = } & { { } { \nu _ { e } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { d ^ { r } } } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } & { { } \overline { { d ^ { g } } } { A _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + \overline { { d ^ { b } } } { A _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } \\ { u ^ { r } { A _ { 3 } ^ { \dagger } } { A _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } & { { } u ^ { g } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } { A _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + u ^ { b } { A _ { 2 } ^ { \dagger } } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } \end{array}
\frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } \leqslant \frac { b _ { 2 } } { b _ { 3 } } \frac { \cos \frac { \left( \nu - \beta \right) \pi } { 2 } } { \left\vert \cos \frac { \left( 2 \alpha + \beta + \nu \right) \pi } { 2 } \right\vert } \frac { \sin \frac { \left( \nu - \beta \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( 2 \alpha + \beta + \nu \right) \pi } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { { T } _ { 0 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 + ( T _ { b } - 1 ) \mathrm { e } ^ { z } } & { ( z < 0 ) } \\ { T _ { b } } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , \quad { Y } _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 - \mathrm { e } ^ { L e z } } & { ( z < 0 ) } \\ { 0 } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \\ { { V } _ { 0 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { { T } _ { 0 } } & { ( z < 0 ) } \\ { V _ { 0 + } } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , \quad \quad { R } _ { 0 } = { V } _ { 0 } ^ { - 1 } , } \\ { { P } _ { 0 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { ( z < 0 ) } \\ { T _ { b } V _ { 0 + } ^ { - 1 } } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , \quad { P } _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l l } { b ^ { 2 } ( \nu - \gamma ) ( T _ { b } - 1 ) \mathrm { e } ^ { z } } & { ( z < 0 ) } \\ { b ^ { 2 } \gamma ( 1 + \alpha - T _ { b } ) } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \end{array}
\_ D ( \omega ) = \overline { { \overline { { \epsilon } } } } _ { \/ F } ( \omega ) \cdot \_ E ( \omega ) + \overline { { \overline { { \xi } } } } _ { \/ F } ( \omega ) \cdot \_ H ( \omega ) , \qquad \_ B ( \omega ) = \overline { { \overline { { \mu } } } } _ { \/ F } ( \omega ) \cdot \_ H ( \omega ) + \overline { { \overline { { \zeta } } } } _ { \/ F } ( \omega ) \cdot \_ E ( \omega ) ,
\begin{array} { r l } & { \left\Vert ( u _ { n } - u ^ { * } ) - \alpha _ { n } \nabla _ { a _ { u _ { n } } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right\Vert _ { a _ { u _ { n } } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \left\Vert u _ { n } - u ^ { * } \right\Vert _ { a _ { u _ { n } } ( \Omega ) } ^ { 2 } - 2 \alpha _ { n } \left( u _ { n } - u ^ { * } , \nabla _ { a _ { u _ { n } } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right) _ { a _ { u _ { n } } ( \Omega ) } + \alpha _ { n } ^ { 2 } \left\Vert \nabla _ { a _ { u _ { n } } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right\Vert _ { a _ { u _ { n } } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 + \epsilon ) ^ { 2 } ( 1 + L _ { g } ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } ) \delta _ { n } ^ { 2 } + 2 \alpha _ { n } ( e _ { n } , \nabla _ { a _ { u _ { n } } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) ) _ { a _ { u _ { n } } } } \\ { = } & { ( 1 + \epsilon ) ^ { 2 } ( 1 + L _ { g } ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } ) \delta _ { n } ^ { 2 } + 2 \alpha _ { n } ( e _ { n } , u _ { n } ) _ { a _ { u _ { n } } ( \Omega ) } - 2 \alpha _ { n } \gamma _ { n } \left( e _ { n } , \mathcal { G } _ { a _ { u _ { n } } } u _ { n } \right) _ { a _ { u _ { n } } ( \Omega ) } . } \end{array}
i \hbar \frac { \partial \psi } { \partial t } = \left( \xi ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } - x ^ { T } \cdot \dot { p } _ { t } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { T } \cdot \dot { A } _ { t } \cdot x + \dot { \gamma } _ { t } \right) \psi ,
\begin{array} { r } { B = \left( \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { n _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { n _ { 5 } } \\ { n _ { 1 } } & { 0 } & { n _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { n _ { 2 } } & { 0 } & { n _ { 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { n _ { 3 } } & { 0 } & { n _ { 5 } } \\ { n _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { n _ { 4 } } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { J } _ { n } ( x ) \sim \sqrt { \frac { 2 } { \pi x } } \cos \left( x - \frac { \pi } { 4 } - \frac { n \pi } { 2 } \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \mathrm { Y } _ { n } ( x ) \sim \sqrt { \frac { 2 } { \pi x } } \sin \left( x - \frac { \pi } { 4 } - \frac { n \pi } { 2 } \right) \quad \mathrm { a s } \quad x \rightarrow \infty , } \end{array}
\langle \mathcal { O } _ { \sigma _ { 1 } } ( X _ { l } ) \left( \mathcal { O } _ { \sigma _ { 2 } } ( X _ { l } ) \right) ^ { \dagger } \rangle = \sum _ { p _ { 3 } } \frac { | T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } | \prod _ { \alpha = 1 } ^ { l } m _ { \alpha } ! } { | T _ { p _ { 1 } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } | | T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } | } C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { 3 } ^ { \prime } ; \mathcal { \vec { A } } } \mathcal { O } _ { \sigma ^ { \left( p _ { 3 } \right) } } ( B _ { l } ) \, .
\begin{array} { r l } { H ^ { 1 } ( \Gamma ( m , p ) , \mathcal { D } _ { \kappa _ { 1 } } ^ { \prime } ) \otimes \mathcal O [ \! [ H _ { \mathfrak { f } _ { 1 } \mathfrak { m } \mathfrak { p } ^ { \infty } } ^ { ( p ) } ] \! ] } & { \rightarrow \mathrm { I n d } _ { K } ^ { \mathbf { Q } } \mathcal O _ { ( \xi _ { 1 } \psi _ { 0 } ) ^ { - 1 } } [ H _ { \mathfrak { m } } ^ { ( p ) } ] [ \! [ \Gamma _ { \mathfrak { p } } ] \! ] , } \\ { H ^ { 1 } ( \Gamma ( m , p ) , \mathcal { D } _ { \kappa _ { 2 } } ^ { \prime } ) \otimes \mathcal O [ \! [ H _ { \mathfrak { f } _ { 2 } \overline { { \mathfrak { m } } } \mathfrak { p } ^ { \infty } } ^ { ( p ) } ] \! ] } & { \rightarrow \mathrm { I n d } _ { K } ^ { \mathbf { Q } } \mathcal O _ { ( \xi _ { 2 } \psi _ { 0 } ) ^ { - 1 } } [ H _ { \overline { { \mathfrak { m } } } } ^ { ( p ) } ] [ \! [ \Gamma _ { \mathfrak { p } } ] \! ] . } \end{array}
{ \frac { z } { 1 - q ^ { 1 / 2 } } } \; _ { 2 } \phi _ { 1 } \left[ { \begin{array} { l } { q \; q ^ { 1 / 2 } } \\ { q ^ { 3 / 2 } } \end{array} } \; ; q , z \right] = { \frac { z } { 1 - q ^ { 1 / 2 } } } + { \frac { z ^ { 2 } } { 1 - q ^ { 3 / 2 } } } + { \frac { z ^ { 3 } } { 1 - q ^ { 5 / 2 } } } + \ldots
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k - 1 } \end{array} \right) \ = \ \frac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } + \frac { n ! } { ( k - 1 ) ! ( n - k + 1 ) ! } } } \\ & { = } & { \frac { n ! ( n - k + 1 + k ) } { k ! ( n - k + 1 ) ! } \ = \ \frac { ( n + 1 ) ! } { k ! ( n + 1 - k ) ! } \ = \ \left( \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { k } \end{array} \right) } \end{array}
\| x ^ { \prime } \| _ { \theta , p ; J } \simeq \operatorname* { i n f } \left\{ \left( \sum _ { n \in \mathbf { Z } } \left( 2 ^ { \theta n } \operatorname* { m a x } \left( \left\| x _ { n } ^ { \prime } \right\| _ { X _ { 0 } ^ { \prime } } , 2 ^ { - n } \left\| x _ { n } ^ { \prime } \right\| _ { X _ { 1 } ^ { \prime } } \right) \right) ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \ : \ x ^ { \prime } = \sum _ { n \in \mathbf { Z } } x _ { n } ^ { \prime } \right\} .
\lambda ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \frac { 1 } { \lambda ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \| \epsilon ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 4 } \lesssim \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \frac { 1 } { \lambda ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } } } E [ \chi ( \frac { r } { R } ) u ] d t + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \frac { 1 } { \lambda ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \frac { 1 } { R ^ { 4 } } d t .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 1 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathbf { V } } ^ { \varepsilon } \left( \mathbf { V } \circ \hat { \pi } \left( A \right) \right) } & { = \mu _ { \mathbf { S } } ^ { \varepsilon } \left[ \hat { \pi } \left( A \right) \right] \underset { \varepsilon \rightarrow 0 } { \longrightarrow } \mu _ { \mathbf { S } _ { 0 } } \left[ \hat { \pi } \left( A \right) \right] = \mathbf { 1 } _ { C } \left( \bar { 0 } \right) \mu _ { S _ { 0 } } \left[ \tilde { \pi } _ { 0 } \circ p \left( \chi _ { 0 } ^ { - 1 } \left( B \right) \times \left\{ \bar { 0 } \right\} \right) \right] } \\ & { = \mathbf { 1 } _ { C } \left( \bar { 0 } \right) \mu _ { S _ { 0 } } \left[ \tilde { \pi } _ { 0 } \left( \chi _ { 0 } ^ { - 1 } \left( B \right) \right) \right] \ . } \end{array}
\vec { P } ( t ) = - \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } ~ ( \rho _ { 1 } \vec { J } _ { 2 } + \rho _ { 2 } \vec { J } _ { 1 } ) R ^ { - 1 }
n \approx 1 - \frac { \alpha \chi _ { \gamma } ^ { 2 } m ^ { 2 } } { 1 6 \pi \omega ^ { 2 } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \upsilon ( 1 - \upsilon ^ { 2 } ) \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } ) } \\ { 1 - \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } } \end{array} \right\} \left[ \pi x ^ { 4 / 3 } \mathrm { G i } ^ { \prime } ( x ^ { 2 / 3 } ) - i \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } } \mathrm { K } _ { 2 / 3 } \left( \frac { 2 } { 3 } x \right) \right] ,
N _ { i j } ^ { k } = I _ { i } ^ { l } \nabla _ { l } I _ { j } ^ { k } - I _ { j } ^ { l } \nabla _ { l } I _ { i } ^ { k } - I _ { l } ^ { k } ( \nabla _ { i } I _ { j } ^ { l } - \nabla _ { j } I _ { i } ^ { l } )
\Phi = \mathrm { d } \phi + \phi { \, { \wedge } \; } \phi = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { R \omega ^ { 0 } { \, { \wedge } \; } \omega } & { \mathrm { i } ( S \omega ^ { 0 } { \, { \wedge } \; } \omega + \bar { S } \omega ^ { 0 } { \, { \wedge } \; } \bar { \omega } ) } \\ { 0 } & { 0 } & { \bar { R } \omega ^ { 0 } { \, { \wedge } \; } \bar { \omega } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad R = R _ { 1 } + \mathrm { i } R _ { 2 } , \quad S = S _ { 1 } + \mathrm { i } S _ { 2 } .
\begin{array} { r } { d s ^ { 2 } = - \left( - M + \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \right) d t ^ { 2 } + \left( - M + \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \phi ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { x } } _ { k + 1 } } & { = \mathbf { x } _ { k + 1 } - \mathbf { x } ^ { * } } \\ & { = \tilde { W } \left( \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { x } ^ { * } - \eta _ { k } G _ { k } \right) - \tilde { W } \tilde { V } ( \mathbf { s } _ { k } - \mathbf { s } _ { k } ^ { * } ) - \tilde { W } \tilde { V } \mathbf { s } _ { k } ^ { * } - ( I - \tilde { W } ) E _ { k } } \\ & { = \tilde { W } \left[ \hat { \mathbf { x } } _ { k } + \eta _ { k } \left( \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right) \right] + \eta _ { k } \tilde { W } \hat { \mathbf { g } } _ { k } - \tilde { W } \tilde { V } \hat { \mathbf { s } } _ { k } - ( I - \tilde { W } ) E _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { { \eta : } } & { { \ { \cal H } _ { \mathrm { \tiny ~ a u x } } } } & { { \longrightarrow } } & { { ^ * { \cal H } _ { \mathrm { \tiny ~ a u x } } } } \\ { { } } & { { | \phi \rangle } } & { { \longmapsto } } & { { _ { \mathrm { \tiny ~ p h y } } \! \langle \phi | } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { s } } ( t ) } & { = } & { \bigg [ V _ { \mathrm { s } } ( 0 ) - \bigg ( V _ { \mathrm { B } } + R \, \langle I _ { \mathrm { t } } \rangle + \frac { R \, I _ { 1 \omega } } { 1 + ( \omega R C ) ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ] } \\ & { } & { \times \exp ( - t / R C ) + V _ { \mathrm { B } } + R \, \langle I _ { \mathrm { t } } \rangle \times v _ { \mathrm { s } } ( t ) , } \end{array}
\left\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \exp ( - l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) } { 1 - \exp ( - l _ { 2 } s ^ { \alpha } ) } \right\} \right\| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } \leq \left[ 1 + \frac { t ^ { \alpha } \Gamma ( 2 - \alpha ) } { l _ { 2 } \Lambda ^ { ( 1 - \alpha ) } } \right] \exp \left( - \Lambda \left( \frac { l _ { 1 } } { t ^ { \alpha } } \right) ^ { 1 / ( 1 - \alpha ) } \right) ,
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \mathbf { J } _ { i } ^ { T } \delta \mathbf { d } _ { i } = - [ ( \mathbf { S } ^ { T } \Delta \mathbf { d } ) \circ \mathbf { U } ^ { t } ] \mathbf { e } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { n } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( f _ { n } , f _ { n } ) , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad s _ { n } = \frac { ( \phi , f _ { n } ) } { ( f _ { n } , f _ { n } ) ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\left| \Psi \right\rangle = ( \alpha _ { 1 } \left| 0 \right\rangle _ { 1 } + \beta _ { 1 } \left| 1 \right\rangle _ { 1 } ) \otimes ( \alpha _ { 2 } \left| 0 \right\rangle _ { 2 } + \beta _ { 2 } \left| 1 \right\rangle _ { 2 } ) \; .
\Xi ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( - \lambda _ { y } ) ^ { - q } f ( \mathcal { M } , q , \Phi ) = \sum _ { \substack { n = 0 , \, n \notin \mathcal { M } } } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } f ( \mathcal { M } , n , \Phi ) + \sum _ { m \in \bar { \mathcal { M } } } ( - \lambda _ { y } ) ^ { m } \sum _ { \Phi ^ { \prime } \in \mathcal { P } _ { m } } f ( \mathcal { M } , m , \Phi \cdot \Phi ^ { \prime } ) \quad \forall \Phi , \forall q \notin \mathcal { M } .
P _ { 1 } ( z ) = - \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 } + z - \frac { 1 } { 3 } \; , \qquad P _ { 2 } ( z ) = - \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 }
\begin{array} { r l } { - \mathcal { H } | _ { U } } & { = \frac { X _ { 1 } ( x - w ) - X _ { 2 } ( y + z ) } { \sqrt { ( x - w ) ^ { 2 } + ( y + z ) ^ { 2 } } } - \frac { ( x - w ) \nabla _ { H } f ( x - w ) + ( y + z ) \nabla _ { H } f ( y + z ) } { k ( ( x - w ) ^ { 2 } + ( y + z ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \\ & { = 2 k \frac { y - z } { \sqrt { ( x - w ) ^ { 2 } + ( y + z ) ^ { 2 } } } - k \frac { - ( x - w ) 2 y ( x + w ) + ( y + z ) ( x ^ { 2 } - w ^ { 2 } ) } { ( x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + w ^ { 2 } - 2 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } = 0 . } \end{array}
{ \cal H } = \sqrt { \pi ^ { i } \pi ^ { i } + P ^ { 2 } + ( \pi ^ { i } \partial _ { i } T ) ^ { 2 } + ( F _ { i j } \pi ^ { j } + \partial _ { i } T \, P ) ^ { 2 } + V ^ { 2 } \operatorname * { d e t } ( h ) } ,
d s ^ { 2 } = g ( \rho ) d \tau ^ { 2 } + { \frac { d \rho ^ { 2 } } { g ( \rho ) } } + \rho ^ { 2 } d s _ { S _ { 2 } } ^ { 2 } ~ , ~ ~ g ( \rho ) = 1 - { \frac { 2 m } { \rho } } ~ ~ ,
\begin{array} { r } { ( 1 + \gamma ) { \mathbb E } _ { n , \theta } \left[ \left| \eta _ { i , \theta , h _ { n } } - \frac 1 2 h _ { n } ^ { T } t _ { i , \theta } \right| ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { \gamma } { \mathbb E } _ { n , \theta } \left[ \left( \frac 1 2 h _ { n } ^ { T } t _ { i , \theta } ( z _ { 1 : i } ) \right) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P _ { 2 } ^ { - 2 } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 4 } } P _ { 2 } ^ { 2 } ( x ) } \\ { P _ { 2 } ^ { - 1 } ( x ) } & { = - { \frac { 1 } { 6 } } P _ { 2 } ^ { 1 } ( x ) } \\ { P _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( 3 x ^ { 2 } - 1 ) } \\ { P _ { 2 } ^ { 1 } ( x ) } & { = - 3 x ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } \\ { P _ { 2 } ^ { 2 } ( x ) } & { = 3 ( 1 - x ^ { 2 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { b ( i ) } } & { \geq \frac { d } { \delta ( i ) } + \frac { \nu } { \delta ( i ) } \frac { d } { b ( i - 1 ) } + \frac { b ( i ) } { \delta ( i ) } ( \frac { d } { b ( i ) } ) ^ { 2 } + \frac { \mu } { \delta ( i ) } \frac { d } { b ( i + L ) } } \\ & { \geq \frac { d } { \delta ( i ) } + \frac { \nu } { \delta ( i ) } + \frac { b ( i ) } { \delta ( i ) } ( \frac { d } { b ( i ) } ) ^ { 2 } + \frac { \mu } { \delta ( i ) } \frac { d } { b ( i + L ) } } \\ & { = \frac { d } { \delta ( i ) } + \frac { \nu } { \delta ( i ) } \tilde { q } _ { i - 1 } + \frac { b ( i ) } { \delta ( i ) } \tilde { q } _ { i } ^ { 2 } + \frac { \mu } { \delta ( i ) } \tilde { q } _ { i + L } . } \end{array}
\nabla d _ { \Gamma } | _ { X _ { 0 } } = \mathbf { n } , ~ \quad \partial _ { t } d _ { \Gamma } | _ { X _ { 0 } } = - V , \quad \Delta d _ { \Gamma } | _ { X _ { 0 } } = - H \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } \times [ 0 , T _ { 0 } ] .
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { i , j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) = | | \Theta \odot G | | = \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \theta _ { i , j } | | M _ { i , j } \odot G | | .
\left( \begin{array} { c } { { \hat { \alpha } ( k ) } } \\ { { \hat { \beta } ( k ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { { a } ( k ) } } \\ { { i } } \end{array} \right) \hat { \xi } ( k ) + \left( \begin{array} { c } { { - i { b } ( k ) } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \hat { \eta } ( k )