harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { - \psi _ { \Gamma } ( \mathbf { x } ) } & { = } & { \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { \theta \in S } \langle \mathbf { x } , \theta \rangle } \\ { \psi _ { \Gamma } ( \mathbf { x } ) } & { = } & { \displaystyle - \operatorname* { s u p } _ { \theta \in S } \langle \mathbf { x } , \theta \rangle } \\ & { = } & { \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { \theta \in - S } \langle \mathbf { x } , \theta \rangle } \end{array}
\mathrm { T r } ( \gamma ^ { \mu ^ { \dagger } } ) = \mathrm { T r } ( \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 0 } ) = \mathrm { T r } ( \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \mu } ) = \mathrm { T r } ( \gamma ^ { \mu } ) = 0 \, ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { V o l } ( V _ { n } ) } & { = } & { \int _ { r + n } ^ { r + n + 1 } \sinh ( \rho ) ^ { d } \, d \rho \times \sigma \big ( \{ u ^ { \prime } \in \mathbb { S } ^ { d } : \, \widehat { u 0 u ^ { \prime } } \le M e ^ { - r - h } \} \big ) } \\ & { \leq } & { c _ { d } e ^ { d ( r + n ) } \times M ^ { d } e ^ { - d ( r + h ) } } \\ & { = } & { c _ { d } M ^ { d } e ^ { d ( n - h ) } ~ . } \end{array}
E _ { g s } = \hbar \omega _ { e } = \textbf { p } \cdot \textbf { c } _ { * } = \hbar \textbf { c } _ { * } \cdot \textbf { k } = - e \oint _ { \scriptstyle \partial \, \Sigma } \textbf { E } \, d \textbf { l } ,
{ \bf { A } } _ { 3 } = \frac { { \bf { B } } _ { 1 } \times { \bf { B } } _ { 2 } } { \| { \bf { B } } _ { 1 } \times { \bf { B } } _ { 2 } \| } , \quad { \bf { A } } _ { 1 } = \frac { { \bf { B } } _ { 1 } } { \| { \bf { B } } _ { 1 } \| } , \quad { \bf { A } } _ { 2 } = { \bf { A } } _ { 3 } \times { \bf { A } } _ { 1 } ,
\Gamma _ { t } - \left[ \frac { h ^ { 2 } \Gamma } { 2 } \tilde { p } _ { x } + { h \Gamma } \left( \frac { \sigma _ { 0 } \beta \Gamma _ { x } } { \Gamma _ { \infty } - \Gamma } \right) \right] _ { x } = { \textstyle \frac { 1 } { \mathrm { ~ P ~ e ~ } } } \Gamma _ { x x } - D \left[ \Gamma \mathcal { E } ( x , h , t ) \right] _ { x } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \sqrt { B \lambda _ { 0 } } \leq r \leq \sqrt { n B \lambda _ { 0 } } } \bigg \{ r ^ { 2 } R ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } B \frac { D ( r ) \log ( \frac { \log n } { \delta } ) } { n } \bigg \} } \\ & { \lesssim \operatorname* { m i n } _ { \sqrt { B \log ( n / \delta ) / n } \leq r \leq \sqrt { B \log ( n / \delta ) } } E ( r ) + \frac { \sigma ^ { 2 } B \log ( \delta ^ { - 1 } \log n ) } { n } . } \end{array}
\gamma ^ { 0 } = \beta = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { I } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad { \vec { \alpha } } = { \left( \begin{array} { l l } { { \vec { \sigma } } } & { 0 } \\ { 0 } & { - { \vec { \sigma } } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) - \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) ) \Phi _ { 0 } } & { = [ \mathcal { F } _ { K } , T _ { * * } ^ { \angle } ] \Phi _ { 0 } + ( \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) - \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) ) \Phi _ { 0 } } \\ & { = \sum _ { \gamma \in \Xi ( G ^ { \angle } ) } \varepsilon _ { \gamma } ( t _ { * * } ^ { \angle } ) _ { \gamma } \Phi _ { \gamma } + ( \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) - \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) ) \Phi _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { r e g } ^ { t } ( \mathbf { w } , \mathbf { m } _ { t } , \sigma _ { t } ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { T \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } ( } & { \frac { 1 } { \sigma _ { t , n } ^ { 2 } } | | ( \hat { y } _ { t , n } - \tilde { y } _ { t , n } ) m _ { t , n } | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + \beta \mathrm { l o g } \sigma _ { t , n } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \Phi _ { 0 } ( [ x , y ] _ { \mathfrak { g } } ) - \left[ \Phi _ { 0 } ( x ) , \Phi _ { 0 } ( y ) \right] , \iota _ { e } \right] ^ { ( - 1 ) } } & { = \left[ \left[ Q , \Phi _ { 1 } ( x , y ) \right] , \iota _ { e } \right] ^ { ( - 1 ) } } \\ & { } \\ { \iota _ { \nabla _ { [ x , y ] _ { \mathfrak { g } } } ( e ) } - [ \Phi _ { 0 } ( x ) , [ \Phi _ { 0 } ( y ) , \iota _ { e } ] ] ^ { ( - 1 ) } + [ \Phi _ { 0 } ( y ) , [ \Phi _ { 0 } ( x ) , \iota _ { e } ] ] ^ { ( - 1 ) } } & { = \qquad ^ { " } } \\ & { } \\ { \iota _ { \nabla _ { [ x , y ] _ { \mathfrak { g } } } ( e ) } - \left[ \Phi _ { 0 } ( x ) ^ { ( 0 ) } , \iota _ { \nabla _ { y } ( e ) } \right] + \left[ \Phi _ { 0 } ( y ) ^ { ( 0 ) } , \iota _ { \nabla _ { x } ( e ) } \right] } & { = \left[ \left[ Q , \Phi _ { 1 } ( x , y ) \right] , \iota _ { e } \right] ^ { ( - 1 ) } . } \end{array}
\sigma \frac { \mathbf { J } _ { z } \times \mathbf { B } _ { 0 } } { c } = \nabla P _ { \| } + ( \sigma - 1 ) \nabla \left( \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \pi } \right) + \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi } \nabla _ { \perp } \sigma
f ( \omega ) \propto \frac { 1 } { \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \left( \omega + \omega _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n + a } \frac { b ^ { n } } { n ! } } & { } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { - ( n + a ) t } \frac { b ^ { n } } { n ! } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { - a t } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( b e ^ { - t } ) ^ { n } } { n ! } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { - a t } e ^ { b e ^ { - t } } = - \int _ { - b } ^ { 0 } d y \frac { 1 } { y } e ^ { - a \ln \left( - b / y \right) } e ^ { - y } } \\ & { } & { = ( - b ) ^ { - a } \int _ { 0 } ^ { - b } d y y ^ { a - 1 } e ^ { - y } = ( - b ) ^ { - a } \Gamma ( a , 0 , - b ) } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { E 1 } } \: = \: \: { \cal S } _ { f i } \frac { 2 J _ { f } \! + \! 1 } { 2 7 } \: 4 \: q _ { \mathrm { n r } } ^ { 3 } \: \alpha \: | \operatorname * { l i m } _ { q \rightarrow 0 } { \cal M } _ { 0 } | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \bar { \bf M } _ { \mathrm { F i e l d } } ( r , \phi , z ) } & { { } = } & { \hbar m \frac { \mathcal N } { V } \left( - \frac { z } { r } \hat { \bf r } - \frac { k r } { m } \left( 1 - \frac { z } { R } \right) \hat { \bf \Phi } + \hat { \bf z } \right) . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ l ~ } } ( u ^ { ( l ) } ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } } , t ) ) = f ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } } , t ) - \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ n ~ l ~ } } ( u ^ { ( l - 1 ) } ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } } , t ) ) ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } ( S _ { N } ^ { \pm } , N \Delta t ) } & { = \sum _ { S _ { 0 } ^ { \pm } } \sum _ { S _ { 1 } ^ { \pm } } \cdots \sum _ { S _ { N - 1 } ^ { \pm } } \tilde { \rho } ( S _ { 0 } ^ { \pm } , 0 ) P _ { S _ { 0 } ^ { \pm } , S _ { 1 } ^ { \pm } \ldots S _ { N } ^ { \pm } } } \\ & { = \sum _ { S _ { 0 } ^ { \pm } } \sum _ { S _ { 1 } ^ { \pm } } \cdots \sum _ { S _ { N - 1 } ^ { \pm } } \tilde { \rho } ( S _ { 0 } ^ { \pm } , 0 ) P _ { S _ { 0 } ^ { \pm } , S _ { 1 } ^ { \pm } \ldots S _ { N } ^ { \pm } } ^ { ( 0 ) } F [ \left\{ S _ { n } ^ { \pm } \right\} ] , } \end{array}
m _ { u } ^ { l } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon _ { 1 } ^ { 4 } } } & { { \epsilon _ { 2 } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \epsilon _ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } } } \\ { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) v , \; \; m _ { d } ^ { l } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { { \epsilon _ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \overline { { { v } } } , \; \; m _ { e } ^ { l } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } } } & { { 1 } } \\ { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } } } & { { 1 } } \\ { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \overline { { { v } } } , \; \;
b _ { 2 k } = \frac { y _ { 2 } ( y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) } { 2 k ( y _ { 1 } ^ { 2 } - 3 y _ { 2 } ^ { 2 } ) } [ R _ { k } + \frac { y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } } { \zeta y _ { 2 } } P _ { k } ] .
\langle \mathbf { r } _ { 1 } \rangle = N \langle \mathbf { r } _ { 1 } \rangle _ { i } , \quad \langle \mathbf { r } _ { 1 } \cdot \mathbf { r } _ { 2 } \rangle = \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } \langle \mathbf { r } _ { 1 } \cdot \mathbf { r } _ { 2 } \rangle _ { i j } .
\left( \begin{array} { l l l l l } { D _ { \alpha } ^ { 1 } } & { D _ { I } ^ { 1 } } & { D _ { \eta } ^ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { D _ { \alpha } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { D _ { I } ^ { 2 } } & { D _ { \eta } ^ { 2 } } \end{array} \right)
\boldsymbol { x } ( \lambda ) = \boldsymbol { F } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } \lambda + \boldsymbol { \hat { e } } \cdot \boldsymbol { G } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } \lambda ^ { 2 } = \boldsymbol { r } ^ { s } \lambda + \boldsymbol { r } ^ { b } \lambda ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ j ~ } } } & { { } = \log \left( \big \lvert { } _ { f _ { 1 } } \langle \Pi _ { 1 , i _ { 1 } } \rangle _ { \rho } \big \rvert / \big \lvert { } _ { i _ { 1 } } \langle \Pi _ { 1 , f _ { 1 } } \rangle _ { \rho } \big \rvert \right) + i ( \phi _ { \mathrm { ~ F ~ } } - \phi _ { \mathrm { ~ R ~ } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 1 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 1 + 4 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 4 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 2 + 4 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 1 + 4 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}
\psi = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) \ , \, p h i = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } f
\stackrel { \wedge } { K } \left( x + \frac { 2 \pi } { \omega } , \cosh \frac { i } { 2 } \frac { d } { d x } \right) = \stackrel { \wedge } { K } \left( x , \cosh \frac { i } { 2 } \frac { d } { d x } \right)
K = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { a _ { 1 } - r _ { 1 } } & { 0 } & { b _ { 1 } - s _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & \\ { 0 } & { a _ { 2 } - r _ { 2 } } & { 0 } & { b _ { 2 } - s _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & \\ { c _ { 1 } - s _ { 1 } } & { 0 } & { a _ { 3 } - r _ { 1 } } & { 0 } & { b _ { 3 } - s _ { 1 } } & { \cdots } & \\ { 0 } & { c _ { 2 } - s _ { 2 } } & { 0 } & { a _ { 4 } - r _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & \\ { 0 } & { 0 } & { c _ { 3 } - s _ { 1 } } & { 0 } & { a _ { 5 } - r _ { 1 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { f } _ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } & { { } = ( \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { 0 } } ( \omega ) , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { 0 } } ^ { \dagger } ( - \omega ) , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { i n } } ( \omega ) , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( - \omega ) , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { 0 } } ( - \omega ) , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { 0 } } ^ { \dagger } ( \omega ) , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { i n } } ( - \omega ) , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \omega ) , } \end{array}
D \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Psi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \circ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( D \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { m i n } } = } & { { } - \frac { \sqrt { A + B } } { A } + \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B } } { \sqrt { - A } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \phi \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { H } ) } ^ { 2 } + \| \psi \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { H } ) } ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { 1 } { k _ { p } ^ { 4 } } ( C _ { 2 } ( \omega , h , L ) ^ { 2 } C _ { 1 } ( \omega , h , L ) \| g \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) ^ { 2 } } + C _ { 3 } ( \omega , h ) ^ { 2 } \| g \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
{ \frac { \tan { \frac { A - B } { 2 } } } { \tan { \frac { A + B } { 2 } } } } = { \frac { a - b } { a + b } } \, ; \qquad { \frac { \tan { \frac { A - C } { 2 } } } { \tan { \frac { A + C } { 2 } } } } = { \frac { a - c } { a + c } } \, ; \qquad { \frac { \tan { \frac { B - C } { 2 } } } { \tan { \frac { B + C } { 2 } } } } = { \frac { b - c } { b + c } } .
K _ { i j } ^ { \phi } = \frac { \partial r _ { i } ^ { \phi } } { \partial \phi _ { j } } = \int _ { \Omega } \left\{ \left[ 2 \mathcal { H } + \frac { G _ { c } } { \ell } \right] N _ { i } N _ { j } + G _ { c } \ell \mathbf { B } _ { i } ^ { T } \mathbf { B } _ { j } \right\} \, \mathrm { d } V \, .
\mathbf { h } [ \boldsymbol { \rho } , \vec { z } ] \approx \mathbf { h } ^ { 0 } - \mathbf { h } ^ { 1 } \circ \int \mathrm { ~ d ~ } \vec { y } \, e ^ { - 2 | \vec { z } - \vec { y } | / \boldsymbol { \zeta } } \circ \boldsymbol { \rho } ( \vec { y } ) \, ,
\begin{array} { r l r l r l } { \omega \ensuremath { j _ { 0 x } ^ { \prime } } } & { { } = } & { \left( \frac { 4 u } { 3 } + w \right) k \cos \theta } & { { } \ensuremath { j _ { 0 x } ^ { \prime } } } & { + w k \sin \theta } & { { } \ensuremath { j _ { 0 y } ^ { \prime } } , } \\ { \omega \ensuremath { j _ { 0 y } ^ { \prime } } } & { { } = } & { \frac { 2 u } { 3 } k \sin \theta } & { { } \ensuremath { j _ { 0 x } ^ { \prime } } } & { + w k \cos \theta } & { { } \ensuremath { j _ { 0 y } ^ { \prime } } . } \end{array}
\mathbf { y } ( x ) = \left( \begin{array} { l } { P _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { \eta _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { P _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { \eta _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } \end{array} \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathsf { A } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \gamma } { D } } & { \frac { v - f - U ^ { [ i ] } } { D } } & { - \frac { \gamma } { D } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { - \frac { \gamma } { D } } & { 0 } & { \frac { \gamma } { D } } & { \frac { - v - f - U ^ { [ i ] } } { D } } \end{array} \right) .
\left. + \frac { 1 } { 2 } e ^ { \varphi } \prod _ { a } e ^ { \widetilde \eta _ { a } } { F } _ { 2 } \wedge ^ { * } { F } _ { 2 } - \prod _ { a } e ^ { - \widetilde \eta _ { a } } d { \tilde { D } } \wedge ^ { * } d { \tilde { D } } + \right.
\mathcal { I } ( \alpha ) = \int _ { 0 } ^ { \pi / d } \mathrm { d } q \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \cos ( \alpha q d ) } { \omega _ { q } ^ { \mathrm { p h } } ( \omega _ { q } ^ { \mathrm { p h } } - \omega _ { 0 } ) } ,
\begin{array} { r l } { w _ { n } ^ { 0 } } & { { } = 0 , } \\ { u _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \lambda _ { 1 1 } ^ { \prime } ( w ^ { 1 } - w ^ { 1 , W } ) + \lambda _ { 1 2 } ^ { \prime } u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \lambda _ { 1 3 } ^ { \prime } u ^ { ( 2 ) } + \lambda _ { 1 4 } ^ { \prime } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right] , } \\ { u _ { n } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \lambda _ { 2 1 } ^ { \prime } ( w ^ { 1 } - w ^ { 1 , W } ) + \lambda _ { 2 2 } ^ { \prime } u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \lambda _ { 2 3 } ^ { \prime } u ^ { ( 2 ) } + \lambda _ { 2 4 } ^ { \prime } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right] , } \\ { u _ { t _ { i } n } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \lambda _ { 3 1 } ^ { \prime } ( w _ { t _ { i } } ^ { 0 } - w _ { t _ { i } } ^ { 0 , W } ) + \lambda _ { 3 2 } ^ { \prime } u _ { t _ { i } } ^ { ( 1 ) } + \lambda _ { 3 3 } ^ { \prime } u _ { t _ { i } } ^ { ( 2 ) } + \lambda _ { 3 4 } ^ { \prime } u _ { t _ { i } n n } ^ { ( 2 ) } \right] , } \\ { u _ { t _ { i } n } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \lambda _ { 4 1 } ^ { \prime } ( w _ { t _ { i } } ^ { 0 } - w _ { t _ { i } } ^ { 0 , W } ) + \lambda _ { 4 2 } ^ { \prime } u _ { t _ { i } } ^ { ( 1 ) } + \lambda _ { 4 3 } ^ { \prime } u _ { t _ { i } } ^ { ( 2 ) } + \lambda _ { 4 4 } ^ { \prime } u _ { t _ { i } n n } ^ { ( 2 ) } \right] , } \\ { u _ { n n n } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \lambda _ { 5 1 } ^ { \prime } ( w ^ { 1 } - w ^ { 1 , W } ) + \lambda _ { 5 2 } ^ { \prime } u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \lambda _ { 5 3 } ^ { \prime } u ^ { ( 2 ) } + \lambda _ { 5 4 } ^ { \prime } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right] , } \\ { u _ { t _ { i } t _ { i } n } ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 2 } u _ { n n n } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \lambda _ { 6 1 } ^ { \prime } \left( u _ { t _ { i } t _ { i } } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { t _ { i } t _ { i } } ^ { ( 2 ) } \right) + \lambda _ { 6 2 } ^ { \prime } \left( u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right) \right] , } \\ { u _ { t _ { 1 } t _ { 2 } n } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \lambda _ { 7 1 } ^ { \prime } \left( u _ { t _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { t _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } \right) . } \end{array}
\gamma _ { t ^ { \prime } } ^ { k * } = \underset { \gamma _ { t ^ { \prime } } ^ { k } , \gamma _ { 0 } ^ { k } = \mathcal { O } _ { k } , \gamma _ { 1 } ^ { k } = \mathcal { O } _ { k + 1 } } { \arg \operatorname* { m i n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } L _ { { \mathcal { M } } } ( \gamma _ { t ^ { \prime } } ^ { k } , \dot { \gamma } _ { t ^ { \prime } } ^ { k } ) \mathrm { d } t ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l r } { \left< h _ { 1 } , h _ { 2 } , X \middle | ( h _ { 1 } ^ { 2 } X ^ { n - 1 } ) ^ { n } = 1 \right> } & { \cong } & { \left< h _ { 1 } , h _ { 2 } , X , Y \middle | ( Y ^ { 2 } X ^ { - 1 } ) ^ { n } = 1 , Y = h _ { 1 } X ^ { \frac { n } { 2 } } \right> } \\ & { \cong } & { \left< h _ { 2 } , X , Y \middle | ( Y ^ { 2 } X ^ { - 1 } ) ^ { n } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \left< h _ { 2 } , X , Y , Z \middle | Z ^ { n } = 1 , Z = Y ^ { 2 } X ^ { - 1 } \right> } \\ & { \cong } & { \left< h _ { 2 } , Y , Z \middle | Z ^ { n } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \mathbb { Z } [ h _ { 2 } ] \oplus \mathbb { Z } [ Y ] \oplus \mathbb { Z } _ { n } [ Z ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mu } _ { a _ { h } ^ { t } } ^ { t } } & { \le \mu _ { a _ { h } ^ { t } } ^ { t } + \frac { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a _ { h } ^ { t } } , \varepsilon / 2 \} } { 4 } } \\ & { = \mu _ { a _ { l } ^ { t } } ^ { t } - \Delta _ { a _ { h } ^ { t } } + \frac { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a _ { h } ^ { t } } , \varepsilon / 2 \} } { 4 } } \\ & { \le \mu _ { a _ { l } ^ { t } } ^ { t } - \frac { 3 \Delta _ { a _ { h } ^ { t } } } { 4 } + \varepsilon / 4 } \\ & { \le \hat { \mu } _ { a _ { l } ^ { t } } ^ { t } + \frac { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a ^ { * } } , \varepsilon / 2 \} } { 4 } - \frac { 3 \Delta _ { a _ { h } ^ { t } } } { 4 } + \varepsilon / 4 } \\ & { \le \hat { \mu } _ { a _ { l } ^ { t } } ^ { t } + \varepsilon / 2 - \frac { \Delta _ { a _ { h } ^ { t } } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left| u ( t , x ) - \widetilde { u } ( t , x ) \right| \right| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \le 4 C _ { T } ^ { 2 } J _ { c } ^ { 2 } ( t , x ) ( \lambda L _ { \sigma } ) ^ { 2 ( n + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { t } \widetilde { h } _ { n } ( s ) \left( 1 \wedge \frac { ( t - s ) s } { t } \right) ^ { - \beta / 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } s } \\ & { = 4 C _ { T } ^ { 2 } J _ { c } ^ { 2 } ( t , x ) ( \lambda L _ { \sigma } ) ^ { 2 ( n + 1 ) } \widetilde { h } _ { n + 1 } ( t ) . } \end{array}
\mathsf { A R B } _ { \mathcal P } \hat { P } _ { \mathrm { o p t } } ^ { - 1 } \sim \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( 2 k + 1 ) ! ! \, \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 k } ,
{ \begin{array} { r l } { p ( \lambda ) } & { = \operatorname* { d e t } ( \lambda I _ { 2 } - A ) = \operatorname* { d e t } \! { \left( \begin{array} { l l } { \lambda - 1 } & { - 2 } \\ { - 3 } & { \lambda - 4 } \end{array} \right) } } \\ & { = ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 4 ) - ( - 2 ) ( - 3 ) = \lambda ^ { 2 } - 5 \lambda - 2 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { T \hat { G } } ^ { 2 } ( T _ { r o t } \mathbf { u } ) = T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 2 } ( \mathbf { u } ) } & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { T \hat { G } } ^ { - 1 } ( T _ { r o t } F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) ) = T _ { r o t } F _ { \hat { G } } ^ { - 1 } ( F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) ) } \\ & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { T \hat { G } } ^ { - 1 } ( T _ { r o t } F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) ) = T _ { r o t } \mathbf { z } } \\ & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { T \hat { G } } ( T _ { r o t } \mathbf { z } ) = T _ { r o t } F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ t ] } & { { } 0 . 9 3 \cdot 8 p _ { 1 / 2 } ^ { 1 } 7 d _ { 3 / 2 } ^ { 1 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 3 } 5 g _ { 7 / 2 } ^ { 4 } + } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \widehat { n } \cdot \widehat { t } _ { i } } & { { } = 0 \implies \nabla \widehat { n } \cdot \widehat { t } _ { i } = - \nabla \widehat { t } _ { i } \cdot \widehat { n } , } & { \widehat { t } _ { i } \cdot \widehat { t } _ { j } } & { { } = 0 \implies \nabla \widehat { t } _ { i } \cdot \widehat { t } _ { j } = - \nabla \widehat { t } _ { j } \cdot \widehat { t } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { h } ( \mathbf { h } ) } & { { } = I _ { h } \left[ J _ { h } ( \mathbf { w } ) \cdotp \nabla J _ { h } ( \mathbf { w } ) + J _ { h } ( \mathbf { w } ) \cdotp \nabla \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdotp \nabla J _ { h } ( \mathbf { w } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { n } ^ { T X } ( \theta , t ) = \ S ( t ) { I _ { 0 } e ^ { - \alpha ( n - 1 ) p } e } ^ { j k _ { q } ( n - 1 ) p c o s \theta } U _ { n } ( t ) , \ \ { U _ { n } ( t ) = e } ^ { j \sum _ { m = 1 } ^ { n } \varphi _ { m ( t ) } } = \ \sum _ { u = 1 } ^ { L } { \prod _ { m = 1 } ^ { n } e ^ { - j \varphi _ { m } ^ { u } } H _ { u } ( t ) } \ \ ( 5 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E [ \Vert W \Vert _ { A } ^ { 4 } ] = \mathbb E \left[ \left( \sum _ { m = 1 } ^ { d } \lambda _ { m } W _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] = \operatorname { t r } ( A ) ^ { 2 } + \sum _ { m = 1 } ^ { d } \lambda _ { m } ^ { 2 } ( \mathbb E [ W _ { m } ^ { 4 } ] - 1 ) = \operatorname { t r } ( A ) ^ { 2 } + 2 \operatorname { t r } ( A ^ { 2 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { m } } & { = } & { \Omega _ { R } \sqrt { \sin ^ { 2 } k _ { x } + \cos ^ { 2 } k _ { y } + \cos ^ { 2 } k _ { z } } = - E _ { n } = E } \\ { \rho _ { m } } & { = } & { | m \rangle \langle m | = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbb { I } + \frac { \mathcal { H } ( \mathbf { k } ) } { E } \right) } \\ { \rho _ { n } } & { = } & { | n \rangle \langle n | = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbb { I } - \frac { \mathcal { H } ( \mathbf { k } ) } { E } \right) } \end{array}