harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } = \sum _ { \textbf { k } , \sigma } \frac { \hbar _ { } ^ { 2 } \textbf { k } ^ { 2 } } { 2 m _ { \mathrm { ~ e ~ } } } \hat { a } _ { \textbf { k } \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textbf { k } ^ { } \sigma } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \textbf { k } \textbf { k } ^ { \prime } \textbf { q } \atop \sigma \sigma ^ { \prime } } v _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } | \textbf { q } | } ( t ) \hat { a } _ { \textbf { k } + \textbf { q } , \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textbf { k } ^ { \prime } - \textbf { q } , \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textbf { k } ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { } \hat { a } _ { \textbf { k } \sigma } ^ { } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \bigg ( \frac { \partial \mathrm { c } } { \partial \boldsymbol { p } } \lvert \widehat { X } \rvert ^ { 2 } - \frac { \partial g } { \partial \boldsymbol { p } } \Big \lvert \frac { d \widehat { X } } { d \theta } \Big \rvert ^ { 2 } - } & { \widehat { \lambda } \frac { \partial \mathrm { f } } { \partial \boldsymbol { p } } \lvert \widehat { X } \rvert ^ { 2 } \bigg ) - \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \boldsymbol { p } } \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \mathrm { f } \lvert \widehat { X } \rvert ^ { 2 } } \\ { = } & { \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \bigg ( - \frac { d } { d \theta } \mathrm { g } \frac { d \widehat { X } ^ { * } } { d \theta } - \mathrm { c } \widehat { X } ^ { * } + \widehat { \lambda } \mathrm { f } \widehat { X } ^ { * } \bigg ) \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \boldsymbol { p } } . } \end{array}
[ \wp ^ { \prime } ( z ) ] ^ { 2 } { \Big | } _ { z = 0 } \sim { \frac { 4 } { z ^ { 6 } } } - { \frac { 2 4 } { z ^ { 2 } } } \sum { \frac { 1 } { ( m \omega _ { 1 } + n \omega _ { 2 } ) ^ { 4 } } } - 8 0 \sum { \frac { 1 } { ( m \omega _ { 1 } + n \omega _ { 2 } ) ^ { 6 } } }
\left( \begin{array} { l } { x _ { i } \ } \\ { p _ { i } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { f _ { 2 } } } & { 0 \ } \\ { \dot { f } _ { 2 } \big / \big ( 2 c \sqrt { f _ { 2 } } \big ) } & { 1 \big / \sqrt { f _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \bar { x } _ { i } \ } \\ { \bar { p } _ { i } } \end{array} \right) \, .
C _ { v } ( s ) = \frac { \alpha ^ { 2 } } { ( \gamma + \alpha ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \eta } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \eta _ { i } } \right) \left( \frac { A _ { 1 } } { s - s _ { 1 } } + \cdots + \frac { A _ { n + 1 } } { s - s _ { n + 1 } } \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \pi d _ { x } } { \nu } N _ { x } f _ { 0 } \left( \cos \varphi _ { c } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle { H P - } } } - \cos \varphi _ { c } \right) = x _ { \tau } , } \\ { \frac { \pi d _ { x } } { \nu } N _ { x } f _ { 0 } \left( \cos \varphi _ { c } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle { H P + } } } - \cos \varphi _ { c } \right) = - x _ { \tau } , } \\ { \varphi _ { c + 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle { H P - } } } = \varphi _ { c } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle { H P + } } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left( - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } ^ { h } } { \partial x ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } ^ { h } } { \partial y ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } ^ { h } } { \partial z ^ { 2 } } + u _ { x } ^ { h } \frac { \partial u _ { x } ^ { h } } { \partial x } + u _ { y } ^ { h } \frac { \partial u _ { x } ^ { h } } { \partial y } + u _ { z } ^ { h } \frac { \partial u _ { x } ^ { h } } { \partial z } + \frac { \partial p ^ { h } } { \partial x } \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } ) } \\ { = f _ { x } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } \in \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial k _ { 0 \rightarrow 1 } } { \partial \Omega } } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \epsilon \Gamma \frac { e ^ { - ( E _ { r } - \epsilon + \bar { E } _ { d } ) ^ { 2 } } / 4 E _ { r } k T } { \sqrt { 4 \pi E _ { r } k T } } \times } \end{array}
\int \! \frac { \mathrm { d ^ { 3 } } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \frac { 1 } { 8 ( \omega _ { k } ^ { 0 } ) ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { - i } { ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i o ) ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } _ { i } } & { { } = \alpha \mathbf { \hat { k } } \times \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } - \omega \mathbf { \hat { k } } \times \omega \mathbf { \hat { k } } \times \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } + \mathbf { A } } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } ^ { * } = \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { B } ( 1 ) ^ { * } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { * } - \frac { 1 } { \sqrt { T } } \tilde { \mathcal { B } } ^ { * } ( L ) \boldsymbol { \epsilon } _ { T } + \frac { 1 } { \sqrt { T } } \tilde { \mathcal { B } } ^ { * } ( L ) \boldsymbol { \epsilon } _ { 0 } ^ { * } .
\tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) = \frac { 1 } { s ^ { 1 - \xi } } \frac { b _ { 1 } + b _ { 2 } s ^ { \lambda } + b _ { 3 } s ^ { \kappa } } { a _ { 1 } + a _ { 2 } s ^ { \alpha + \beta } } ,
\bf { A } + \bf { B } + \bf { C } + \bf { A } \times \bf { B } + \bf { A } \times \bf { C } + \bf { B } \times \bf { C } - ( \bf { A } \cdot \bf { B } ) \, \bf { C } + ( \bf { A } \cdot \bf { C } ) \, \bf { B } - ( \bf { B } \cdot \bf { C } ) \, \bf { A } = 0 .
\begin{array} { r l } & { \ \tilde { F } _ { \xi } ( x , z , u ^ { + } , \nabla u ^ { + } , z u _ { z } ^ { + } ) - \tilde { F } _ { \xi } ( x , z , u ^ { - } , \nabla u ^ { - } , z u _ { z } ^ { - } ) } \\ { = } & { \ ( g ^ { i j } + \bar { o } ) \cdot ( \partial _ { i } u ^ { + } - \partial _ { i } u ^ { - } ) \partial _ { j } + \bar { o } \cdot ( u ^ { + } - u ^ { - } ) + O ( z ^ { - 1 } ) \cdot ( z u _ { z } ^ { + } - z u _ { z } ^ { - 1 } ) } \\ { = : } & { \ \nabla _ { S } v + E _ { 1 } ( v ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( z _ { t } ) } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ( t \omega ) \, d \omega = 0 , } \\ { \operatorname { V a r } ( z _ { t } ) } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ^ { 2 } ( t \omega ) \, d \omega = 1 / 2 , } \\ { \operatorname { C o v } ( z _ { t } , z _ { j } ) } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ( t \omega ) \cos ( j \omega ) \, d \omega = 0 \quad \forall t \neq j . } \end{array} }
- \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial \widehat { \lambda } } \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } = \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial \widehat { X } } \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } + \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } \bigg \lvert _ { \widehat { X } , \widehat { \lambda } } .
\begin{array} { r l r } { \bar { P } _ { e r } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \bar { u } _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } a _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } u _ { 2 } ^ { 2 } a _ { r } ^ { 4 } + \frac { 1 } { 6 } \epsilon \left( c _ { 2 } - 2 c _ { 3 } \right) \bar { u } _ { r } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } \epsilon \left( c _ { 2 } - 2 c _ { 3 } \right) \bar { u } _ { r } a _ { r } ^ { 2 } } \\ & { } & { \mathrm + \frac { 1 } { 8 } \epsilon \left( c _ { 2 } u _ { 2 } + 2 c _ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } \bar { u } _ { r } - 2 c _ { 3 } u _ { 2 } - 4 c _ { 3 } u _ { 2 } ^ { 2 } \bar { u } _ { r } \right) a _ { r } ^ { 4 } } \end{array}
\ell _ { 2 } \left( \mu \otimes _ { \mathcal O } \frac { \partial } { \partial x } , \mu \otimes _ { \mathcal O } \frac { \partial } { \partial y } \right) : = \frac { \partial \varphi } { \partial x } \, \mu \otimes _ { \mathcal O } \frac { \partial } { \partial y } - \frac { \partial \varphi } { \partial y } \, \mu \otimes _ { \mathcal O } \frac { \partial } { \partial x }
\begin{array} { r l r l r l r l } { a _ { 0 } } & { = k - r + w + 1 , } & { a _ { 1 } } & { = k - s + u , } & { a _ { 2 } } & { = k + r - w , } & { a _ { 3 } } & { = k + s - u , } \\ { a _ { 4 } } & { = k - r + v , } & { a _ { 5 } } & { = k - s + t , } & { a _ { 6 } } & { = k + r - v , } & { a _ { 7 } } & { = k + s - t , } \\ { a _ { 8 } } & { = k - r - w , } & { a _ { 9 } } & { = k - s - u , } & { a _ { 1 0 } } & { = k + r + w + 1 , } & { a _ { 1 1 } } & { = k + s + u + 1 , } \\ { a _ { 1 2 } } & { = k - r - v , } & { a _ { 1 3 } } & { = k - s - t , } & { a _ { 1 4 } } & { = k + r + v + 1 , } & { a _ { 1 5 } } & { = k + s + t + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { p ( c | a _ { 1 } , a _ { 2 } ) p ( b | c ) } \left[ { \frac { 1 } { \beta } \sum _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , b } p ( a _ { 2 } ) p ( a _ { 1 } | a _ { 2 } ) \ln { \sum _ { c } p ^ { \beta } ( c | a _ { 1 } , a _ { 2 } ) p ^ { \beta } ( b | c ) } } \right] = \frac { 1 } { \beta } \sum _ { a _ { 2 } , b } p ( a _ { 2 } ) \ln { \sum _ { c } \hat { p } ^ { \beta } ( c | a _ { 2 } ) \hat { p } ^ { \beta } ( b | c ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \newline } & { { } E _ { \mathrm { ~ V ~ Q ~ E ~ } } [ \Psi _ { \mathrm { ~ V ~ Q ~ E ~ } } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } ] + E _ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } + \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } ] - E _ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } ] } \\ { \newline } & { { } + \mathrm { ~ t ~ r ~ } [ ( \boldsymbol { \gamma } _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ b ~ } } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } - \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } ) \, \boldsymbol { v } _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ b ~ } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } , \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } ] ] + \alpha \, \mathrm { ~ t ~ r ~ } [ \boldsymbol { \gamma } _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ b ~ } } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { ( { \bf y } _ { 0 } , { \bf x } _ { 1 } , \ldots , { \bf x } _ { n - 1 } ) \rightarrow \left( { \bf y } _ { P } = { \bf y } _ { 0 } + { \bf x } _ { P } , ~ { \bf y } _ { n } = { \bf y } _ { 0 } - \frac { 1 } { m _ { n } } \sum _ { 1 } ^ { n - 1 } m _ { N } { \bf x } _ { N } \right) , \quad P = 1 , 2 , \ldots , n - 1 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \Delta \rho } } & { = } & { \displaystyle \frac { D _ { \mathrm { t r a n s l } } } { k _ { \mathrm { B } } T } \, F _ { \rho , \mathrm { t o t } } \, { \Delta t } + \sqrt { 2 D _ { \mathrm { t r a n s l } } \, \Delta t \, } \, W _ { \rho } , } \\ { { \Delta s } } & { = } & { \displaystyle \frac { D _ { \mathrm { t r a n s l } } } { k _ { \mathrm { B } } T } \, F _ { s , \mathrm { t o t } } \, { \Delta t } + \sqrt { 2 D _ { \mathrm { t r a n s l } } \, \Delta t \, } \, W _ { s } , } \\ { { \Delta \psi } } & { = } & { \displaystyle \frac { D _ { \mathrm { r o t } } } { k _ { \mathrm { B } } T } \, T _ { z , \mathrm { p o l } } \, { \Delta t } , } \end{array} \right.
M _ { \sigma } M _ { \tau } = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } = M _ { \sigma \tau } .
\begin{array} { r l } { \tilde { g } _ { n } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { k = - N / 2 } ^ { N / 2 - 1 } g _ { k } \mathrm { e } ^ { - i \omega _ { n } t _ { k } } , } \\ { g _ { k } } & { { } = \sum _ { n = - N / 2 } ^ { N / 2 - 1 } \tilde { g } _ { n } \mathrm { e } ^ { - i \omega _ { n } t _ { k } } . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 N } \int _ { - 1 } ^ { - q } \left( \frac { P \left( \frac { \zeta } { q } , q \right) P \left( \frac { \zeta } { q } , q \right) } { P \left( \frac { \zeta } { a } , q \right) P \left( \frac { \zeta } { \bar { a } } , q \right) } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { d \zeta } { \zeta } .
J _ { \tilde { L } } \; \equiv \; \mathrm { I m } \left[ \left( m _ { \tilde { L } } ^ { 2 } \right) _ { 1 2 } \left( m _ { \tilde { L } } ^ { 2 } \right) _ { 2 3 } \left( m _ { \tilde { L } } ^ { 2 } \right) _ { 3 1 } \right] ,
\begin{array} { r } { \sigma ( \gamma , \gamma _ { 0 } ) = \frac { 2 \pi } { \gamma ^ { 2 } - 1 } \left[ \frac { \gamma + 1 } 2 - \gamma _ { 0 } - \gamma ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \gamma - \gamma _ { 0 } } - \frac 1 { \gamma _ { 0 } - 1 } \right) + \frac { 2 \gamma - 1 } { \gamma - 1 } \ln \frac { \gamma _ { 0 } - 1 } { \gamma - \gamma _ { 0 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \langle F _ { f } | | } { \sigma } \ensuremath { | | F _ { i } \rangle } } & { = \sqrt { 6 } ( - 1 ) ^ { I + F _ { i } - 1 / 2 } } \\ & { \times \sqrt { [ F _ { f } , F _ { i } ] } \ensuremath { \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 / 2 } & { F _ { f } } & { I } \\ { F _ { i } } & { 1 / 2 } & { 1 } \end{array} \right\} } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \textnormal { i } \nu _ { 1 } \hat { \psi } _ { k } , } & { k \ge 9 0 0 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right. } \\ { D _ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \textnormal { i } \nu _ { 2 } \hat { \psi } _ { k } , } & { k \le 4 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { s } ^ { t } \frac { \mathfrak { L } ( v , s , t , \rho ) ^ { r ^ { \prime } } } { ( v - s ) ^ { \frac { \rho { r ^ { \prime } } } { \alpha } } } } & { \left[ \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - v ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } + 1 \right] ^ { r ^ { \prime } } \mathrm { d } v } \\ & { \lesssim ( t - s ) ^ { \frac { r ^ { \prime } } { \alpha } ( \beta - \rho - 1 - \frac { d } { p } ) + 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \lambda ^ { \frac { r ^ { \prime } } { \alpha } ( 2 \rho + \frac { d } { p } ) } ( 1 - \lambda ) ^ { \frac { r ^ { \prime } } { \alpha } } } + \frac { 1 } { \lambda ^ { \frac { \rho r ^ { \prime } } { \alpha } } ( 1 - \lambda ) ^ { \frac { r ^ { \prime } } { \alpha } ( 1 + \frac { d } { p } + 2 \rho ) } } \mathrm { d } \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \bigcup _ { t _ { i } } | M _ { t _ { i } } ^ { \infty } ( z ) - M _ { t _ { i } } ^ { N } ( z ) | = \Omega \left( \frac { C } { N ^ { 1 / 3 - \epsilon } } \right) \right) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { P } \left( | M _ { t _ { i } } ^ { \infty } ( z ) - M _ { t _ { i } } ^ { N } ( z ) | = \Omega \left( \frac { C } { N ^ { 1 / 3 - \epsilon } } \right) \right) } \\ & { \leq n e ^ { - C N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { = a ( x , y ) = \pi ( x ) M ( x , y ) , \quad a ^ { \prime } = a ^ { \prime } ( y , x ) = \pi ( y ) M ( y , x ) , } \\ { \beta _ { i } } & { = \beta _ { i } ( x , y ) = \pi ( x ) L _ { i } ( x , y ) , \quad \beta _ { i } ^ { \prime } = \beta _ { i } ^ { \prime } ( y , x ) = \pi ( y ) L _ { i } ( y , x ) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \displaystyle { \bf P } _ { 1 } = - \frac { 1 } { \sqrt { 1 - b ^ { 2 } } } \left( \frac { 1 - b } { 2 } \bar { \chi } \frac \partial { \partial \bar { \theta } } + \frac { 1 + b } { 2 } \bar { \theta } \frac \partial { \partial \bar { \chi } } \right) } } & { { \displaystyle { \bf P } _ { 3 } = \frac 1 2 \bar { \theta } \frac \partial { \partial \bar { \theta } } - \frac 1 2 \bar { \chi } \frac \partial { \partial \bar { \chi } } } } \\ { { \displaystyle { \bf P } _ { 2 } = \frac { i } { \sqrt { 1 - b ^ { 2 } } } \left( \frac { 1 - b } { 2 } \bar { \chi } \frac \partial { \partial \bar { \theta } } - \frac { 1 + b } { 2 } \bar { \theta } \frac \partial { \partial \bar { \chi } } \right) } } & { { \displaystyle { \bf P } _ { 4 } = \frac 1 2 \bar { \theta } \frac \partial { \partial \bar { \theta } } + \frac 1 2 \bar { \chi } \frac \partial { \partial \bar { \chi } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( x ) } & { = \frac 1 n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } K ^ { k t } \psi ( x ) = \frac 1 n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \mathbb E [ \psi ( X _ { k t } ) | X _ { 0 } = x ] } \\ & { = \mathbb E \left[ \frac 1 n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \psi ( X _ { k t } ) \, \Bigg | \, X _ { 0 } = x \right] \, \overset { n \to \infty } { \longrightarrow } \int \psi \, d \mu . } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { \mathrm { S C L , c } } } & { = \sqrt { \frac { 2 \epsilon \Delta \Phi } { F } \frac { z _ { - } c _ { - } } { ( z _ { + } c _ { \mathrm { m a x } } + z _ { - } c _ { - } ) ( z _ { - } c _ { - } ) } } , } \\ { l _ { \mathrm { S C L , a } } } & { = - \frac { z _ { - } } { z _ { + } \frac { c _ { \mathrm { m a x } } } { c _ { - } } + z _ { - } } l _ { \mathrm { c } } = f _ { \mathrm { s y m } } \cdot l _ { \mathrm { c } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } ^ { T } [ \boldsymbol { \Pi } _ { u 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { - 1 } \mathbf { F } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbb { E } [ ( U _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } ] } & { [ \mathbf { b } _ { u 1 } ^ { \mathrm { i n } } \; 0 ] } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { b } _ { u 1 } ^ { \mathrm { i n } } } \\ { 0 } \end{array} \right] } & { [ \boldsymbol { \Pi } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { - 1 } } \end{array} \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { I _ { j , k } } & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { j + 1 } } , } & { k = 0 ; } \\ { - { \frac { 1 } { 2 \pi \imath \cdot k } } + { \frac { j } { 2 \pi \imath \cdot k } } I _ { j - 1 , k } , } & { k \neq 0 } \end{array} \right. } } \\ & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { j + 1 } } , } & { k = 0 ; } \\ { - \sum _ { m = 1 } ^ { j } { \frac { j ! } { ( j + 1 - m ) ! } } \cdot { \frac { 1 } { ( 2 \pi \imath \cdot k ) ^ { m } } } , } & { k \neq 0 . } \end{array} \right. } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 1 | 1 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } } & { = \frac { 1 } { g _ { \mathrm { s } } } \, \frac { { \mathrm { i } } } { 2 \pi } \, A _ { n , k } + 0 + } \\ & { + g _ { \mathrm { s } } \, \frac { { \mathrm { i } } ( - 1 ) ^ { k } } { 1 9 2 \pi \left( 2 k - 1 \right) \sin ^ { 3 } \left( \frac { 2 \pi n } { 2 k - 1 } \right) } \left\{ 4 8 ( - 1 ) ^ { n } \cos \left( \frac { 2 \pi n } { 2 k - 1 } \right) - 8 \cos \left( \frac { 3 \pi n } { 2 k - 1 } \right) + \right. } \\ & { + 8 \cos \left( \frac { \pi n } { 2 k - 1 } \right) \left( k \left( k - 1 \right) \left[ \cos \left( \frac { 4 \pi n } { 2 k - 1 } \right) - 1 \right] - 3 \right) + } \\ & { \left. + ( - 1 ) ^ { n + 1 } \left( \left[ 4 k \left( k - 1 \right) - 7 \right] \cos \left( \frac { 4 \pi n } { 2 k - 1 } \right) - 4 k \left( k - 1 \right) - 2 5 \right) \right\} + o ( g _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = a _ { 0 } ^ { ( 1 ) } , ~ ~ B _ { 0 } ^ { ( n ) } = a _ { 0 } ^ { ( n ) } + \frac { r _ { n } ^ { 2 } \varpi _ { 0 } ^ { ( n ) } + \varpi _ { 1 } ^ { ( n ) } } { r _ { n } ( 1 + r _ { n } ) } , ~ n \ge 2 , } \\ & { B _ { 1 } ^ { ( n ) } = a _ { 1 } ^ { ( n ) } - \frac { r _ { n } ^ { 2 } \varpi _ { 0 } ^ { ( n ) } + \varpi _ { 1 } ^ { ( n ) } } { 1 + r _ { n } } + \frac { \varpi _ { 2 } ^ { ( n ) } } { r _ { n - 1 } ( 1 + r _ { n - 1 } ) } , ~ n \ge 2 , } \\ & { B _ { n - k } ^ { ( n ) } = a _ { n - k } ^ { ( n ) } - \frac { \varpi _ { n - k } ^ { ( n ) } } { 1 + r _ { k + 1 } } + \frac { \varpi _ { n - k + 1 } ^ { ( n ) } } { r _ { k } ( 1 + r _ { k } ) } , ~ 2 \le k \le n - 1 , ~ n \ge 3 , } \\ & { B _ { n - 1 } ^ { ( n ) } = a _ { n - 1 } ^ { ( n ) } - \frac { \varpi _ { n - 1 } ^ { ( n ) } } { 1 + r _ { 2 } } , ~ n \ge 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Delta ( w ^ { * } \lambda ) , w ^ { * } \lambda \rangle } & { = } & { \langle \delta d ( w ^ { * } \lambda ) , w ^ { * } \lambda \rangle } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \langle * d | \partial ^ { \pi } w | ^ { 2 } , w ^ { * } \lambda \rangle } \\ & { = } & { - \langle * \langle \nabla ^ { \pi } \partial ^ { \pi } w , \partial ^ { \pi } w \rangle , w ^ { * } \lambda \rangle . } \end{array}
{ \cal I } _ { 4 } = \left\{ \begin{array} { c l } { { 1 } } & { { \qquad q _ { 1 } = 0 } } \\ { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { \qquad q _ { 1 } \neq 0 } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { - \nabla ^ { 2 } \Phi _ { 0 } - \nabla \cdot \left[ \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \left( \nabla \times { \mathbf B _ { 0 } } \right) \right] = } & { ~ 0 \qquad \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { W } } \\ { \boldsymbol { \tau } _ { 0 } - \nabla \Phi _ { 0 } - \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \left( \nabla \times { \mathbf B _ { 0 } } \right) = } & { ~ \mathbf { 0 } \qquad \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { W } , } \end{array}
s _ { j - 1 } ( z ) \gets \frac { ( \Pi s _ { j - 2 } ) _ { z } \cdot \mathcal { S } _ { z } ( y _ { t } ) } { \sum _ { j \in [ \ell ] } ( \Pi s _ { j - 2 } ) _ { j } \cdot \mathcal { S } _ { j } ( y _ { t } ) } = \frac { ( \Pi s _ { j - 2 } ) _ { z } \cdot \mathcal { S } _ { z } ( \hat { Z } _ { i } ^ { j - 1 } ) } { \sum _ { j \in [ \ell ] } ( \Pi s _ { j - 2 } ) _ { j } \cdot \mathcal { S } _ { j } ( \hat { Z } _ { i } ^ { j - 1 } ) } ,
\begin{array} { r l } & { q \cdot r ( g ( D _ { r - 1 } ) ) ( e _ { ( j - 1 ) \delta + 1 } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r } { 2 } - 3 } - | \mathfrak { p } | ^ { r } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) + | \mathfrak { p } | - q ^ { 2 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = 1 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r } { 2 } - 4 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } - 1 } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) - | \mathfrak { p } | + q ^ { 2 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = 2 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r } { 2 } - j - 2 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j + 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } - j + 1 } + q ^ { 2 } | \mathfrak { p } | ^ { j - 3 } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ 3 ~ \leq ~ j ~ \leq ~ \frac { r } { 2 } - 1 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } + 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } } + | \mathfrak { p } | ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) - | \mathfrak { p } | + q ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { 0 \leq i \leq \frac { r - 8 } { 2 } } ( | \mathfrak { p } | ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) ( - | \mathfrak { p } | ) ^ { i } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = ~ \frac { r } { 2 } ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r } { 2 } - j - 2 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j + 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) + ( - 1 ) ^ { j + 1 } 2 ( | \mathfrak { p } | - q ^ { 2 } ) , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ \frac { r } { 2 } + 1 ~ \leq ~ j ~ \leq ~ r - 2 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } - 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { 3 } + 3 | \mathfrak { p } | - 2 q ^ { 2 } + | \mathfrak { p } | ^ { 2 } \frac { q ^ { 2 } - 1 } { | \mathfrak { p } | ^ { 2 } - 1 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = ~ r - 1 ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
r _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } = \frac { T _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } - T _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } } { T _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } } ,