harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k + 1 } ^ { x } \| ^ { 2 } ] } & { \le ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } ( 1 + 2 4 0 l _ { g , 1 } ^ { 2 } \xi ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } ) \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] + 6 \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } ( \sigma _ { f } ^ { 2 } + \lambda _ { k + 1 } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) + 8 0 \delta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 4 0 l _ { g , 1 } ^ { 2 } ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left( \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \alpha _ { k } ^ { 2 } ( \| q _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } + \| \tilde { e } _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } ) + \gamma _ { k } ^ { 2 } ( \| q _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } + \| \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 } & { = I ( W _ { b } ^ { ( i ) } + u \leq x - 1 ) + I ( x - 1 < W _ { b } ^ { ( i ) } + u , u \leq 3 x / 4 ) + I ( x - 1 < W _ { b } ^ { ( i ) } + u , u > 3 x / 4 ) } \\ & { \leq I ( W _ { b } ^ { ( i ) } + u \leq x - 1 ) + I ( x - 1 < W _ { b } ^ { ( i ) } + u , W _ { b } ^ { ( i ) } + 1 > x / 4 ) + ( x - 1 < W _ { b } ^ { ( i ) } + u , u > 3 x / 4 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { 0 \rightarrow 1 } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \epsilon \Gamma \bar { \tilde { f } } ( \epsilon ) \frac { e ^ { - ( E _ { r } - \epsilon + \bar { E } _ { d } ) ^ { 2 } } / 4 E _ { r } k T } { \sqrt { 4 \pi E _ { r } k T } } , } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ G ~ M ~ } } ( \mathbf { A } ) = \frac { e ^ { - \alpha L ^ { + } ( \mathbf { A } ) - \beta L ^ { - } ( \mathbf { A } ) } } { ( 1 + e ^ { - \alpha } + e ^ { - \beta } ) ^ { \binom N 2 } } \equiv \frac { x ^ { L ^ { + } ( \mathbf { A } ) } y ^ { L ^ { - } ( \mathbf { A } ) } } { ( 1 + x + y ) ^ { \binom N 2 } } \equiv ( p ^ { - } ) ^ { L ^ { - } } ( p ^ { 0 } ) ^ { L ^ { 0 } } ( p ^ { + } ) ^ { L ^ { + } }
\begin{array} { r l r } { [ C , \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , 0 } ] + [ B , \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , 1 } ] } & { = } & { - B \left( [ C , \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , 0 } ] + [ B , \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , 1 } ] \right) - ( [ C , B ] + [ B , C ] ) \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , 0 } } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) = \operatorname* { l i m } _ { t + \varepsilon \rightarrow t } \frac { \mathcal { K } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) - \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) } { \varepsilon } = \mathcal { L } _ { t } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { x \in \Delta _ { n _ { 1 } } ^ { r _ { 1 } } } \exp S _ { n } \phi ( x ) \ll } & { e ^ { \gamma _ { 0 } n } \sum _ { \mathbf a \in W _ { 0 , 1 } } \lambda _ { \phi } [ \! [ \mathbf a ] \! ] \sum _ { \mathbf b \in W _ { 0 , 2 } } \lambda _ { \phi } [ \! [ \mathbf b ] \! ] \leq e ^ { \gamma _ { 0 } n } \delta ^ { 2 r _ { 1 } } \leq e ^ { \gamma _ { 0 } n } \delta ^ { r _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbf { C o v } } ( \ln ( X ) , \ln ( Y ) ) } \\ & { = { \mathbf { C o v } } \left( \ln ( \mathbf { E } [ X ] ) + \frac { X - \mathbf { E } [ X ] } { \mathbf { E } [ X ] } + \epsilon _ { 1 } \left( \frac { X - \mathbf { E } [ X ] } { \mathbf { E } [ X ] } \right) , \ln ( \mathbf { E } [ Y ] ) + \frac { Y - \mathbf { E } [ Y ] } { \mathbf { E } [ Y ] } + \epsilon _ { 1 } \left( \frac { Y - \mathbf { E } [ Y ] } { \mathbf { E } [ Y ] } \right) \right) } \\ & { = { \mathbf { C o v } } \left( \frac { X } { \mathbf { E } [ X ] } + \epsilon _ { 1 } \left( \frac { X - \mathbf { E } [ X ] } { \mathbf { E } [ X ] } \right) , \frac { Y } { \mathbf { E } [ Y ] } + \epsilon _ { 1 } \left( \frac { Y - \mathbf { E } [ Y ] } { \mathbf { E } [ Y ] } \right) \right) } \\ & { = { \mathbf { C o v } } \left( \frac { X } { \mathbf { E } [ X ] } , \frac { Y } { \mathbf { E } [ Y ] } \right) + { \mathbf { C o v } } \left( \frac { X } { \mathbf { E } [ X ] } , \epsilon _ { 1 } \left( \frac { Y - \mathbf { E } [ Y ] } { \mathbf { E } [ Y ] } \right) \right) + { \mathbf { C o v } } \left( \epsilon _ { 1 } \left( \frac { X - \mathbf { E } [ X ] } { \mathbf { E } [ X ] } \right) , \frac { Y } { \mathbf { E } [ Y ] } \right) } \\ & { \; \; \; \; \; + { \mathbf { C o v } } \left( \epsilon _ { 1 } \left( \frac { X - \mathbf { E } [ X ] } { \mathbf { E } [ X ] } \right) , \epsilon _ { 1 } \left( \frac { Y - \mathbf { E } [ Y ] } { \mathbf { E } [ Y ] } \right) \right) . } \end{array}
f ^ { S _ { 1 } , S _ { 2 } . . . } = \frac { 1 } { 8 } \sum _ { \tilde { \cal B } , \tilde { \cal D } , \tilde { \cal R } } { S _ { 1 } S _ { 2 } . . . } f ( { \cal \tilde { D } } , { \cal \tilde { B } } , { \cal \tilde { R } } ) .
\| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { q } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } = [ \mathbf { q } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { q } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } - \frac { ( [ \mathbf { u } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { q } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } } { [ \mathbf { u } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } } .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { j } - \hat { G } ^ { ( T ) } ( \omega _ { k _ { m } } ) } & { \leq ( \Gamma _ { j } - { G } ( \omega _ { k _ { m } } ) ) + | { G } ( \omega _ { k _ { m } } ) - { G } ^ { ( T ) } ( \omega _ { k _ { m } } ) | + | { G } ^ { ( T ) } ( \omega _ { k _ { m } } ) - \hat { G } ^ { ( T ) } ( \omega _ { k _ { m } } ) ) | } \\ & { \leq 0 . 3 \tau ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \Gamma _ { j } + \varepsilon _ { T } \Gamma _ { j } + \Gamma _ { j } \varepsilon _ { n } = 0 . 5 \tau ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \Gamma _ { j } } \end{array}
\mathbf { a } = \mathbf { a } _ { 1 } + \mathbf { a } _ { 2 } + \mathbf { a } _ { 3 } = a _ { 1 } { \mathbf { e } } _ { 1 } + a _ { 2 } { \mathbf { e } } _ { 2 } + a _ { 3 } { \mathbf { e } } _ { 3 } ,
s ( x , y ) = \frac { 1 - \nu ^ { 2 } } { \pi E } \int _ { y _ { \mathrm { m } } } \int _ { x _ { \mathrm { m } } } \sigma _ { 0 } ( x _ { \mathrm { m } } , y _ { \mathrm { m } } ) \delta ( x - x _ { \mathrm { m } } ) \delta ( y - y _ { \mathrm { m } } ) \mathrm { d } x _ { \mathrm { m } } \mathrm { d } y _ { \mathrm { m } } = \frac { 1 - \nu ^ { 2 } } { \pi E } \sigma _ { 0 } ( x , y )
- \frac { 1 } { \sqrt { c _ { 2 } } } \, \log \left( - p _ { 2 } \sqrt { c _ { 2 } } + \sqrt { c _ { 2 } \, ( p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) + \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) \mathsf { A } ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } } \right) = \pm \lambda + \lambda _ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { Y } \mu ^ { * } ( X ) } & { > 0 \Leftrightarrow } \\ { \mu ^ { * } ( X ) ^ { \frac { N } { N - M } } \mu ^ { * } ( Y ) ^ { \frac { - M } { N - M } } - \mu ^ { * } ( X ) ) } & { > 0 } \\ { \mu ^ { * } ( Y ) ^ { \frac { - M } { N - M } } } & { > \mu ^ { * } ( X ) \mu ^ { * } ( X ) ^ { \frac { - N } { N - M } } } \\ { \mu ^ { * } ( Y ) ^ { \frac { - M } { N - M } } } & { > \mu ^ { * } ( X ) ^ { \frac { - M } { N - M } } } \\ { \mu ^ { * } ( Y ) } & { < \mu ^ { * } ( X ) . } \end{array}
T _ { \phi } ( c ) = 2 \int _ { - \frac { \pi } { 2 } + \varepsilon ^ { * } } ^ { \frac { \pi } { 2 } - \varepsilon ^ { * } } \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } { \sqrt { ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a ) ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + c ) } } d \psi = 2 F _ { a , b } ( - b u , u ) .
f _ { k } ( x ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \omega } } } \left\{ \Theta ( - x ) { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } T e ^ { i ( n k x - \omega t ) } + \Theta ( x ) \left[ e ^ { i ( k x - \omega t ) } - R e ^ { - i ( k x + \omega t ) } \right] \right\} .
\psi = \ell \left\{ \begin{array} { l l } { \phi - c _ { \phi } \Phi - c _ { \phi } u \wedge \mathrm { d } \varphi _ { \ell } , } & { \quad \mathrm { f o r ~ } q > 1 , } \\ { \phi - c _ { \phi } \Phi + c _ { \phi } u \, \mu _ { 0 } ^ { \ell } / T _ { 0 } , } & { \quad \mathrm { f o r ~ } q = 1 , } \\ { \phi - c _ { \phi } \Phi , } & { \quad \mathrm { f o r ~ } q = 0 . } \end{array} \right.
\mathbf { p } = [ T ( t ) ] ^ { - 1 } \mathbf { P } ( t ) = { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { p } } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { A ( t ) ^ { \mathrm { T } } } & { - A ( t ) ^ { \mathrm { T } } \mathbf { d } ( t ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { P } ( t ) } \\ { 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { k _ { \mathrm { o x } } } & { \propto } & { \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \lambda k _ { \mathrm { B } } T } } \int \exp \left( { \frac { - ( \epsilon + \eta + \lambda ) ^ { 2 } } { 4 \lambda k _ { \mathrm { B } } T } } \right) f ( \epsilon , T ) \mathcal { D } ( \epsilon + e V _ { \mathrm { q } } ) \mathrm { d } \epsilon , } \\ { k _ { \mathrm { r e d } } } & { \propto } & { \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \lambda k _ { \mathrm { B } } T } } \int \exp \left( { \frac { - ( \epsilon + \eta - \lambda ) ^ { 2 } } { 4 \lambda k _ { \mathrm { B } } T } } \right) \big ( 1 - f ( \epsilon , T ) \big ) \mathcal { D } ( \epsilon + e V _ { \mathrm { q } } ) \mathrm { d } \epsilon , } \end{array}
\int { \frac { d x } { ( \sin ^ { n } a x ) ( \cos a x ) } } = - { \frac { 1 } { a ( n - 1 ) \sin ^ { n - 1 } a x } } + \int { \frac { d x } { ( \sin ^ { n - 2 } a x ) ( \cos a x ) } } \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n \neq 1 { \mathrm { ) } }
l _ { \bar { q } } ^ { \mu } = \left( k _ { g } + k _ { \bar { q } } ^ { \prime } - k _ { \bar { q } } \right) ^ { \mu } = { \frac { \vec { k } _ { g _ { \! \perp } } ^ { \, 2 } } { 2 k _ { g } ^ { + } } } \ \eta ^ { \mu } \quad \mathrm { a n d } \quad l _ { q } ^ { \mu } = \left( k _ { g } + k _ { q } - k _ { q } ^ { \prime } \right) ^ { \mu } = { \frac { \vec { k } _ { g _ { \! \perp } } ^ { \, 2 } } { 2 k _ { g } ^ { + } } } \ \eta ^ { \mu } \ .
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { 1 } } { d t } } & { = - \gamma x _ { 1 } + \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \langle k \rangle ( 1 - x _ { 1 } ) \left[ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) + \epsilon _ { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \right] } \\ { + } & { \frac { \beta _ { 3 } } { 4 } \langle q \rangle ( 1 - x _ { 1 } ) \left[ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } + \epsilon _ { 3 } ( 3 x _ { 1 } ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { j } ^ { n + 1 } = \delta _ { j } ^ { n } + \frac { q } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } E _ { 0 } } V ( z _ { j } ^ { n } ) } \\ { z _ { j } ^ { n + 1 } = z _ { j } ^ { n } - C \eta ( \delta _ { j } ^ { n + 1 } ) \delta _ { j } ^ { n + 1 } \mathrm { , } } \end{array}
\vec { F } _ { T } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \partial _ { t } \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } ~ \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \rho _ { 2 } \partial _ { t } \rho _ { 1 } - \rho _ { 1 } \partial _ { t } \rho _ { 2 } \right) \hat { R } - ( \rho _ { 1 } \vec { J } _ { 2 } + \rho _ { 2 } \vec { J } _ { 1 } ) R ^ { - 1 } \right] , \qquad \vec { R } \equiv \vec { x } _ { 1 } - \vec { x } _ { 2 }
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } a _ { \mu } = \delta _ { \mu a } a _ { \mu } - } & { { } \frac { i \kappa _ { a } } { 2 } \big ( a _ { \mu } - \widehat \delta _ { \mu , 0 } { \cal H } \big ) } \\ { i \partial _ { t } b _ { \mu } = \delta _ { \mu b } b _ { \mu } - } & { { } \frac { i \kappa _ { b } } { 2 } b _ { \mu } } \end{array}
F _ { i } ^ { - n } F _ { j } = q ^ { - n ( \alpha _ { i } , \alpha _ { j } ) } F _ { j } F _ { i } ^ { - n } + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } q ^ { ( - n - j ) ( \alpha _ { i } , \alpha _ { j } ) } \left[ \begin{array} { c } { { - n } } \\ { { j } } \end{array} \right] _ { ( \alpha _ { i } , \alpha _ { i } ) / 2 } ( a d _ { q } F _ { i } ) ^ { j } ( F _ { j } ) F _ { i } ^ { - n - j } ,
\left[ \begin{array} { l } { E _ { 4 } } \\ { H _ { 4 } } \end{array} \right] = \mathbf { M } _ { 2 } \left[ \begin{array} { l } { E _ { 5 } } \\ { H _ { 5 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { \cos \beta h _ { 2 } } & { j Z _ { 0 } \sin \beta h _ { 2 } } \\ { j \frac { 1 } { Z _ { 0 } } \sin \beta h _ { 2 } } & { \cos \beta h _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { E _ { 5 } } \\ { H _ { 5 } } \end{array} \right]
\rho ( \phi ) = \frac { { { \rho _ { 1 } } + { \rho _ { 2 } } } } { 2 } + \frac { { { \rho _ { 1 } } - { \rho _ { 2 } } } } { 2 } \phi \; \quad , \quad \mu ( \phi ) = \frac { { { \mu _ { 1 } } + { \mu _ { 2 } } } } { 2 } + \frac { { { \mu _ { 1 } } - { \mu _ { 2 } } } } { 2 } \phi
\begin{array} { r l } { I ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } \left( \left( \mathbb { E } ( \Psi ( u ) ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \Psi ( u ) ^ { ( i ) } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { = \mathbb { E } ( \Psi ( u ) ) ^ { 2 } - \frac { 2 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathbb { E } ( \Psi ( u ) ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \left( \Psi ( u ) ^ { ( i ) } \Psi ( u ) ^ { ( j ) } \right) } \\ & { = \frac { \mathrm { V a r } ( \Psi ( u ) ) } { M } . } \end{array}
f _ { 3 } ( x , y ) = { \left[ \begin{array} { l l } { \ 0 . 2 0 } & { \ - 0 . 2 6 \ } \\ { 0 . 2 3 } & { \ 0 . 2 2 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \ x } \\ { y } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { \ 0 . 0 0 } \\ { 1 . 6 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \int _ { - 1 0 } ^ { - 9 } y f ( y ) \, \mathrm { d } y + \int _ { 9 } ^ { 1 0 } y f ( y ) \, \mathrm { d } y } & { \approx 1 . 8 4 \dots \times 1 0 ^ { - 1 8 } } \\ { \int _ { - 1 0 0 } ^ { - 9 } y f ( y ) \, \mathrm { d } y + \int _ { 9 } ^ { 1 0 0 } y f ( y ) \, \mathrm { d } y } & { \approx 3 . 1 3 \dots \times 1 0 ^ { - 1 8 } \mathrm { . } } \end{array}
\frac { 1 } { \omega _ { c e } } { \frac { e n _ { e } } { m _ { e } } \nabla \cdot ( { \bf A } \times { \bf b } } ) = \frac { 1 } { \omega _ { c e } } { \frac { e n _ { e } } { m _ { e } } } { \bf b } \cdot ( \nabla \times { \bf A } ) = 0
\begin{array} { r l } { \mathrm { a d } _ { a ^ { [ p ] _ { \mathfrak { g } } } } ^ { \mathfrak { g } } ( b ) - ( \mathrm { a d } _ { a } ^ { \mathfrak { g } } ) ^ { p } ( b ) = } & { \big [ a ^ { [ p ] _ { \mathfrak { a } } } + P ( a ) x , b \big ] _ { \mathfrak { g } } - \bigl ( \mathrm { a d } _ { a } ^ { \mathfrak { g } } \bigr ) ^ { p - 1 } ( [ a , b ] _ { \mathfrak { g } } ) } \\ { = } & { \big [ a ^ { [ p ] _ { \mathfrak { a } } } , b \big ] _ { \mathfrak { a } } + \omega _ { \mathfrak { a } } \bigl ( ( { \mathscr D } + { \mathscr D } ^ { * } ) \bigl ( a ^ { [ p ] _ { \mathfrak { a } } } \bigr ) , b \bigr ) x - \bigl ( \mathrm { a d } _ { a } ^ { \mathfrak { a } } \bigr ) ^ { p - 1 } ( b ) } \\ & { - \omega _ { \mathfrak { a } } \bigl ( ( { \mathscr D } + { \mathscr D } ^ { * } ) ( a ) , \bigl ( \mathrm { a d } _ { a } ^ { \mathfrak { a } } \bigr ) ^ { p - 1 } ( b ) \bigr ) x } \\ { = } & { 0 , } \end{array}
\rho = { \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } } \ , \quad \eta = { \frac { m _ { \tau } ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } } \ , \quad y = { \frac { 2 E _ { \tau } } { m _ { b } } } \ , \quad t = { \frac { W ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } } \ , \ x = { \frac { 2 E _ { \nu } } { m _ { b } } } \ .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho ^ { \prime } } & { = - \bar { \rho } \partial _ { x } u _ { x } ^ { \prime } - \bar { u } _ { x } \partial _ { x } \rho ^ { \prime } , } \\ { \partial _ { t } u _ { x } ^ { \prime } } & { = - \bar { u } _ { x } \partial _ { x } u _ { x } ^ { \prime } - \frac { \varsigma ^ { 2 } } { \bar { \rho } } \partial _ { x } \rho ^ { \prime } + 2 \nu A \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { x } ^ { \prime } + \frac { \nu B } { \bar { \rho } ^ { 2 } \varsigma ^ { 2 } } \partial _ { x } ^ { 2 } \rho ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { \varphi } ( r _ { 1 } < r < r _ { 2 } , t ) \approx \mu _ { 0 } ^ { 2 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } \frac { \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } } { r ^ { 2 } } \Big [ r _ { 1 } ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) + r ^ { 2 } r _ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ] \sin ( \omega _ { 0 } t ) , } \\ & { B _ { z } ( r _ { 1 } < r < r _ { 2 } , t ) \approx \pi \mu _ { 0 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 l } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \sin ( \omega _ { 0 } t ) } \\ & { + \mu _ { 0 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } \Big [ 4 \pi + \frac { ( \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \pi r _ { 2 } } \Big ( r _ { 2 } ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) + r _ { 1 } ^ { 3 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ) ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ) + \pi \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big \{ 1 + 2 \Big ( \log \Big ( \frac { 2 c _ { 3 } } { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } \Big ) - \gamma _ { E u l e r } \Big ) \Big \} \Big ] \cos ( \omega _ { 0 } t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \big ( L _ { 0 } \! + \! L _ { 1 } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) \| ^ { \alpha } \big ) ^ { 2 } d \theta \le \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 1 ] } \big ( L _ { 0 } \! + \! L _ { 1 } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) \| ^ { \alpha } \big ) ^ { 2 } = \big ( L _ { 0 } \! + \! L _ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 1 ] } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) \| ^ { \alpha } \big ) ^ { 2 } . } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \overline { { \lambda } } _ { \mathrm { { r e s } } } \! \! = \! \! \{ 0 . 0 1 , 1 . 4 7 7 , 0 . 2 6 7 , 1 . 9 8 5 \} \! \! \!
\phi ^ { 0 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( H _ { 1 } ^ { 0 } + H _ { 2 } ^ { 0 } ) \quad \mathrm { a n d } \quad H ^ { 0 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( H _ { 1 } ^ { 0 } - H _ { 2 } ^ { 0 } ) \ ,
\frac { \partial \left( \rho \mathbf { u } \right) } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \mathbf { m } \mathbf { u } \right) = - \nabla P + \nabla \cdot \mu \left[ \nabla \mathbf { u } + \left( \nabla \mathbf { u } \right) ^ { \top } \right] + \mathbf { F } _ { s } + \mathbf { F } _ { g } ,
\mathcal D ^ { r } = \{ z ^ { r } ( k ) = [ x ^ { r } ( k ) ^ { \top } , w ^ { r } ( k ) ^ { \top } ] ^ { \top } \mid x ^ { r } ( k ) \in [ 0 , 1 ] ^ { n } , w ^ { r } ( k ) \in [ 0 , w _ { m a x } ^ { r } ] ^ { q } \}
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ( t ) } & { = \frac { 3 t ^ { 2 } } { 1 0 } F ^ { \prime } ( t ) - \frac { 1 } { 5 } F ^ { \prime \prime } ( t ) , } \\ { * [ 1 m m ] F _ { 2 } ( t ) } & { = \Big ( \frac { 2 } { 1 7 5 } + \frac { 3 2 t ^ { 3 } } { 1 7 5 } \Big ) F ^ { \prime } ( t ) + \Big ( - \frac { 1 6 t } { 1 7 5 } + \frac { 9 t ^ { 4 } } { 2 0 0 } \Big ) F ^ { \prime \prime } ( t ) - \frac { 3 t ^ { 2 } } { 5 0 } F ^ { \prime \prime \prime } ( t ) + \frac { 1 } { 5 0 } F ^ { ( 4 ) } ( t ) , } \end{array}
\mathbb { P } \Big \{ \bar { \rho } [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) ] \leq \operatorname* { i n f } _ { \hat { \rho } } \Big ( \hat { \rho } [ r ^ { \epsilon } ( \beta ) ] + \Big ( K L ( \hat { \rho } | | \pi ) + \log \Big ( \frac { 1 } { \delta } \Big ) + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) \frac { 1 } { \sqrt { l } } + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \log \Big ( \pi [ 1 + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } ] \Big ) \Big ) \Big \} \geq 1 - \delta
\begin{array} { r l } { { \mathbb { P } } \left( \log | p _ { n } ( z _ { 0 } ) | > 1 \right) } & { = { \mathbb { P } } \left( \log | p _ { n } ( z _ { 0 } ) | - n U _ { \mu } ( z _ { 0 } ) > - n U _ { \mu } ( z _ { 0 } ) + 1 \right) } \\ & { = 1 - { \mathbb { P } } \left( \log | p _ { n } ( z _ { 0 } ) | - n U _ { \mu } ( z _ { 0 } ) \leq - n U _ { \mu } ( z _ { 0 } ) + 1 \right) } \\ & { = 1 - { \mathbb { P } } \left( - \log | p _ { n } ( z _ { 0 } ) | + n U _ { \mu } ( z _ { 0 } ) \geq n U _ { \mu } ( z _ { 0 } ) - 1 \right) } \\ & { \geq 1 - \exp \left( - \frac { n \sigma _ { z _ { 0 } } ^ { 2 } } { b } h \left( \frac { b U _ { \mu } ( z _ { 0 } ) } { \sigma _ { z _ { 0 } } ^ { 2 } } - \frac { b } { n \sigma _ { z _ { 0 } } ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { \geq 1 - \exp \left( - C _ { 0 } ( L ) n \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( x , t ) } & { = } & { \frac { e ^ { - ( \gamma + \alpha / 2 ) t } } { 2 } \Biggl \{ \delta ( x - v t ) + \delta ( x + v t ) \Biggr . } \\ & { + } & { \left. \left[ \frac { \alpha } { 2 v } \ I _ { 0 } \left( \frac { \alpha \Delta ( x , t ) } { 2 v } \right) \right. \right. + \Biggl . \left. \frac { \alpha t } { 2 \Delta ( x , t ) } \ I _ { 1 } \left( \frac { \alpha \Delta ( x , t ) } { 2 v } \right) \right] \theta ( v t - | x | ) \Biggr \} , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r } { R = r + ( 1 - r ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - \langle k \rangle } { \langle k \rangle } ^ { k - 1 } } { ( k - 1 ) ! } \sum _ { c = 0 } ^ { k - 1 } \binom { k - 1 } { c } R ^ { c } ( 1 - R ) ^ { k - 1 - c } \delta \Big ( ( 1 - b ) \mu _ { f } + b \frac { c } { k } \Big ) , } \\ { \mu _ { f } = r + ( 1 - r ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - \langle k \rangle } { \langle k \rangle } ^ { k } } { k ! } \sum _ { c = 0 } ^ { k } \binom { k } { c } R ^ { c } ( 1 - R ) ^ { k - c } \delta \Big ( ( 1 - b ) \mu _ { f } + b \frac { c } { k } \Big ) , } \end{array} \right.
\hat { v } ( b , \Gamma ^ { n + 1 } ) = - 1 + \gamma \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \sum _ { b ^ { \prime } \in \mathcal { B } ( b , a ) } \operatorname* { P r } ( b ^ { \prime } \! \mid \! b , a ) \hat { v } ( b ^ { \prime } ; \Gamma ^ { n } )
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { t } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n w , 2 } ^ { + } = } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ v _ { 1 } f ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ ( v _ { n } n _ { 1 } - v _ { t } n _ { 2 } ) f ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ \hat { f } _ { 2 } ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { ( \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 1 2 } ^ { e q } + ( - \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 2 2 } ^ { e q } + } \\ & { } & { ( - \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 3 2 } ^ { e q } + ( \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 4 2 } ^ { e q } } \end{array}