harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } = ( J \circ \mathcal { F } ) \, \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } = \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \circ R \circ \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ n ~ } } ^ { - 1 } } \end{array}
\langle X ( z ) \rangle _ { A , t } = \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { y } } X ( x _ { i } , y _ { j } , z , t _ { m } ) } { N _ { x } N _ { y } N _ { t } } ,
\begin{array} { r l } { L ( 1 - n , S / p ) } & { = \prod _ { \sigma \in G _ { \mathbb { Q } ( \zeta _ { p } ) / \mathbb { Q } } } L ( 1 - n , \chi ^ { \sigma } ) } \\ & { = \prod _ { \sigma \in G _ { \mathbb { Q } ( \zeta _ { p } ) / \mathbb { Q } } } L ( 1 - n , \chi ) ^ { \sigma } } \\ & { = N _ { \mathbb { Q } ( \zeta _ { p } ) / \mathbb { Q } } ( L ( 1 - n , \chi ) ) , } \end{array}
{ \mathrm { A r e a } } = { \Bigl | } \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l } { { \mathbf { v } } } & { { \mathbf { w } } } \end{array} \right] } { \Bigr | } = { \Biggl | } \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l } { a } & { c } \\ { b } & { d } \end{array} \right] } { \Biggr | } = \left| a d - b c \right| .
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } \varsigma _ { p } } & { = - i \bigl \{ \bigl ( \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } + i k _ { 1 } ^ { \circ } \bigr ) ( \omega ^ { - 1 } \varsigma _ { p } ) , \ldots , \bigl ( \frac { \partial } { \partial x _ { d } } + i k _ { d } ^ { \circ } \bigr ) ( \omega ^ { - 1 } \varsigma _ { p } ) \bigr \} ^ { \mathrm { t } } , } \\ { ( \delta \mathbf { k } ) \omega ^ { - 1 } \varsigma _ { p } } & { = \bigl \{ ( \delta k _ { 1 } ) \omega ^ { - 1 } \varsigma _ { p } , \ldots , ( \delta k _ { d } ) \omega ^ { - 1 } \varsigma _ { p } \bigr \} ^ { \mathrm { t } } , \qquad p = 1 , \ldots , n , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { ( 2 ) } } & { { } = E _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ } } + E _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ v ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ } } + E ^ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ p ~ } } . } \end{array}
\overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } \ge \frac { \widehat { \omega } _ { 1 } } { \lambda } \left[ \lambda _ { 1 } \left( { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } \right) + \lambda _ { 2 } \left( { \bf \Pi } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } \right) \right] \cdot \mathbf { n } _ { 1 } ,
\boldsymbol { \pi } _ { b ^ { \prime } } ^ { \prime } = ( b ^ { \prime } - a ^ { \prime } ) \Delta t { } \left[ \mathbf { f } _ { a ^ { \prime } } ^ { \prime } + \mathbf { w } _ { a ^ { \prime } } ^ { \prime } \boldsymbol { \pi } _ { a ^ { \prime } } \right] + \boldsymbol { \pi } _ { a ^ { \prime } } ^ { \prime }
\frac { d \bar { U } ^ { + } } { d \bar { u } ^ { + } } = \underbrace { \left( \frac { 1 + \mu _ { t } ^ { c } / \Bar { \mu } } { 1 + \mu _ { t } ^ { i } / \mu _ { w } } \right) } _ { 3 } \underbrace { \left( { 1 - \frac { y } { \delta _ { v } ^ { * } } \frac { d \delta _ { v } ^ { * } } { d y } } \right) } _ { 2 } \underbrace { { \sqrt { \frac { \bar { \rho } } { \rho _ { w } } } } } _ { 1 } .
- \omega ^ { 2 } \left( \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } - \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } \mathbf { A } \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } \right) \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } \, .
\Gamma _ { n ^ { \prime } v ^ { \prime } } = \frac { 1 } { \tau _ { n ^ { \prime } v ^ { \prime } } } = \sum _ { n ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } } \Gamma _ { n ^ { \prime } v ^ { \prime } n ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } } ,
\begin{array} { r l } & { \left| \sum _ { a } \sum _ { \alpha } \left( u _ { a } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \alpha } ^ { 2 } \mathbb { E } [ H _ { a \alpha } ^ { 2 } ] \mathbb { E } \left[ ( R _ { a a } - s ) R _ { \alpha \alpha } { \texttt X } ^ { D - 1 } \overline { { { \texttt X } } } ^ { D } | \Omega _ { \varepsilon } \right] \right| } \\ & { \leq C M \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } N ^ { - 1 } N ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 1 } | \Omega _ { \varepsilon } ] \sum _ { \alpha } v _ { \alpha } ^ { 2 } = C N ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 1 } | \Omega _ { \varepsilon } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { n } \sqrt { \pi } } & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - y ^ { 2 } } ( - y ) ^ { k - 1 } \psi _ { n - k } \, \mathrm { d } y - \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \lambda _ { k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - y ^ { 2 } } \psi _ { n - k } \, \mathrm { d } y } \\ & { \sim } & { \frac { ( 1 - ( - 1 ) ^ { n } ) } { 2 } \Gamma ( n / 2 ) + \cdots . } \end{array}
C ( x , t ) = \frac { 1 } { t ^ { n } } f ( \eta ) = \frac { 1 } { t ^ { n } } \frac { x } { \sqrt { t } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } \cdot \left( \kappa _ { 0 } + \kappa _ { 1 } \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } + . . . + \kappa _ { n - 1 } \cdot \left[ \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } \right] ^ { n - 1 } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { n } ^ { * } ( p , q , \epsilon ) } & { \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } \, \cdot \, d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p , q ) } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \epsilon \leq 1 , } \\ { \operatorname* { m i n } \left( \frac { 1 } { d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p , q ) } , \frac { \alpha ^ { 2 } } { e ^ { \epsilon } \, \cdot \, d _ { \mathrm { h } } ^ { 4 } ( p , q ) } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } e ^ { \epsilon } \in \left( e , \frac { \alpha } { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } \right] , } \\ { \frac { \alpha } { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } e ^ { \epsilon } > \frac { \alpha } { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \sum _ { \sigma \in \operatorname { S h } _ { m , m - 1 } ^ { - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sigma } [ [ w _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , w _ { \sigma ( m ) } ] _ { m } , w _ { \sigma ( m + 1 ) } , \dotsc , w _ { \sigma ( 2 m - 1 ) } ] _ { m } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + [ [ w _ { 1 } , \dotsc , w _ { 2 m - 1 } ] _ { 2 m - 1 } ] _ { 1 } + \sum _ { l } ( - 1 ) ^ { l - 1 } [ [ w _ { l } ] _ { 1 } , w _ { 2 } , \dotsc , w _ { l } , \dotsc , w _ { 2 m - 1 } ] _ { 2 m - 1 } , } \end{array}
V _ { 1 2 } ^ { p e r } \equiv \langle \chi _ { q } ( 1 S ) | V ^ { p e r } | \chi _ { q } ( 2 S ) \rangle = - ( E + M _ { q } ) \alpha _ { s } ^ { e f f } ( \sqrt { { \frac { 2 } { 3 } } } \sqrt { \frac { \Omega } { \pi } } ) .
\begin{array} { r l } { v _ { i } ( c _ { i } ^ { \{ S \} } H ) } & { = e ^ { c _ { i } ^ { \{ S \} } z ^ { \{ F \} } } y _ { n } + ( z ^ { \{ E \} } + z ^ { \{ I \} } ) \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \omega _ { i , j } ^ { \{ k \} } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { c _ { i } ^ { \{ S \} } z ^ { \{ F \} } ( 1 - t ) } t ^ { k } \mathrm d t \right) Y _ { j } ^ { \{ S \} } } \\ & { = \varphi _ { 0 } ( c _ { i } ^ { \{ S \} } z ^ { \{ F \} } ) y _ { n } + ( z ^ { \{ E \} } + z ^ { \{ I \} } ) \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { i , j } ( z ^ { \{ F \} } ) Y _ { j } ^ { \{ S \} } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r } { { 4 } \int 2 \sin ( x ) \cos ( x ) \, d x = } & { } & { \sin ^ { 2 } ( x ) + C = } & { } & { - \cos ^ { 2 } ( x ) + 1 + C = } & { } & { - { \frac { 1 } { 2 } } \cos ( 2 x ) + { \frac { 1 } { 2 } } + C } \\ { \int 2 \sin ( x ) \cos ( x ) \, d x = } & { } & { - \cos ^ { 2 } ( x ) + C = } & { } & { \sin ^ { 2 } ( x ) - 1 + C = } & { } & { - { \frac { 1 } { 2 } } \cos ( 2 x ) - { \frac { 1 } { 2 } } + C } \\ { \int 2 \sin ( x ) \cos ( x ) \, d x = } & { } & { - { \frac { 1 } { 2 } } \cos ( 2 x ) + C = } & { } & { \sin ^ { 2 } ( x ) + C = } & { } & { - \cos ^ { 2 } ( x ) + C } \end{array} }
{ \frac { 1 } { { m } _ { \ell } } } = { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } } \sum _ { m } \cdot { \frac { \partial ^ { 2 } E _ { c } ( { \boldsymbol { k } } ) } { \partial k _ { \ell } \partial k _ { m } } } \approx { \frac { 1 } { m } } + { \frac { 2 } { E _ { g } m ^ { 2 } } } \sum _ { m , \ n } { \langle u _ { c , 0 } | p _ { \ell } | u _ { n , 0 } \rangle } { \langle u _ { n , 0 } | p _ { m } | u _ { c , 0 } \rangle }
\begin{array} { r l } { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } & { { } \sim \frac { \iota \beta \langle S _ { 1 2 } \rangle k _ { 1 } | R _ { 2 } | \, \, e ^ { - k _ { \perp } | R _ { 2 } | } } { 2 } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } k _ { 1 } , k _ { 3 } \to \infty \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } R _ { 2 } \rightarrow 0 , } \\ { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } = \frac { d \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } { d R _ { 2 } } } & { { } = 0 \mathrm { ~ a ~ t ~ } R _ { 2 } = - s \, R e _ { c } ^ { 1 / 2 } , R _ { 2 } = ( 1 - s ) \, R e _ { c } ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { R H S } _ { i , j , k } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Delta \xi } \left( { \mathbf { E } _ { e } } _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } - { \mathbf { E } _ { e } } _ { ( i - \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } - { \mathbf { E } _ { v } } _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } + { \mathbf { E } _ { v } } _ { ( i - \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } \right) } \end{array}
R _ { k } = U _ { k } ( \rho = \frac { 1 } { 2 } , \gamma = \frac { \pi } { 3 } , \eta = \frac { 2 \pi } { 3 } ) = \hat { S } . [ I _ { k } \otimes \hat { C } _ { 2 } ( \rho = \frac { 1 } { 2 } , \gamma = \frac { \pi } { 3 } , \eta = \frac { 2 \pi } { 3 } ) ]
g _ { 1 } ( k ) \; \equiv \; \theta ( k _ { 0 } ) \, + \, f _ { 1 } ( k ) \; \; \; \; \; \; \; \; g _ { 2 } ( - k ) \; \equiv \; \theta ( - k _ { 0 } ) \, + \, f _ { 2 } ( - k )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { z } \langle f \rangle ( z ) } & { \approx \langle \hat { f } \rangle ( \mu ( 1 + C _ { v } ^ { 2 } ) ) = 2 a g ( r a ) \frac { \mu ( 1 + C _ { v } ^ { 2 } ) } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } C _ { v } ^ { 2 } \right] } \\ & { \approx \frac { 2 a g ( r a ) } { \sqrt { 2 \pi } } C _ { v } ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \langle T ( M ) ^ { 2 } \rangle - \langle T ( M ) \rangle ^ { 2 } } } & { { } = \left\{ \frac { e ^ { - n _ { 0 } } } { \mu ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - n _ { 0 } } ) } \phantom { \left[ \sum _ { i } ^ { j } \right] ^ { 2 } } \right. } \end{array}
t _ { \beta } ^ { \alpha } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = { \binom { \alpha } { \beta } } \omega ( T : \! \varphi ( x _ { 1 } ) ^ { \alpha _ { 1 } - \beta _ { 1 } } \! : \cdots : \! \varphi ( x _ { n } ) ^ { \alpha _ { n } - \beta _ { n } } \! : ) ,
\kappa = \frac { B _ { B } ^ { S } ( m _ { b } ) } { B _ { B } ( m _ { b } ) } \left[ \left( \frac { 7 \, \mathrm { T e V } } { M _ { H } } \right) ^ { 2 } + \eta _ { 2 } ^ { L R } ( m _ { b } ) \left( \frac { 1 . 6 \, \mathrm { T e V } } { M _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left\{ 0 . 0 5 1 - 0 . 0 1 3 \ln \left( \frac { 1 . 6 \, \mathrm { T e V } } { M _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right\} \right] ,
\hat { \phi } _ { ( I ) } ( x ) = \int _ { ( \infty ) } \frac { d ^ { 3 } \vec { k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 \omega ( \vec { k } \, ) } \left[ a ( \vec { k } \, ) e ^ { - i k \cdot x } \, + \, a ^ { \dagger } ( \vec { k } \, ) e ^ { i k \cdot x } \right] \ ,
\begin{array} { r l } { E _ { i } [ f ( L ) ] - f ^ { \prime } ( L ) ~ E _ { i } [ L ] ~ : = ~ } & { \left( \frac { \partial } { \partial q ^ { i } } - \frac { d } { d t } \frac { \partial } { \partial \dot { q } ^ { i } } \right) f ( L ) } \\ { ~ - ~ } & { f ^ { \prime } ( L ) \left( \frac { \partial } { \partial q ^ { i } } - \frac { d } { d t } \frac { \partial } { \partial \dot { q } ^ { i } } \right) L } \\ { ~ = ~ } & { - f ^ { \prime \prime } ( L ) \frac { d L } { d t } \frac { \partial L } { \partial \dot { q } ^ { i } } . } \end{array}
\sin { ( 2 \alpha ) } = \mathrm { I m } \left( { \frac { M _ { 1 2 } ^ { * } } { | M _ { 1 2 } | } } { \frac { V _ { u d } ^ { L * } V _ { u b } ^ { L } } { V _ { u d } ^ { L } V _ { u b } ^ { L * } } } \right) .
{ \begin{array} { r l } { \langle x \delta ^ { \prime } , \varphi \rangle \, } & { = \, \langle \delta ^ { \prime } , x \varphi \rangle \, = \, - \langle \delta , ( x \varphi ) ^ { \prime } \rangle \, = \, - \langle \delta , x ^ { \prime } \varphi + x \varphi ^ { \prime } \rangle \, = \, - \langle \delta , x ^ { \prime } \varphi \rangle - \langle \delta , x \varphi ^ { \prime } \rangle \, = \, - x ^ { \prime } ( 0 ) \varphi ( 0 ) - x ( 0 ) \varphi ^ { \prime } ( 0 ) } \\ & { = \, - x ^ { \prime } ( 0 ) \langle \delta , \varphi \rangle - x ( 0 ) \langle \delta , \varphi ^ { \prime } \rangle \, = \, - x ^ { \prime } ( 0 ) \langle \delta , \varphi \rangle + x ( 0 ) \langle \delta ^ { \prime } , \varphi \rangle \, = \, \langle x ( 0 ) \delta ^ { \prime } - x ^ { \prime } ( 0 ) \delta , \varphi \rangle } \\ { \Longrightarrow x ( t ) \delta ^ { \prime } ( t ) } & { = x ( 0 ) \delta ^ { \prime } ( t ) - x ^ { \prime } ( 0 ) \delta ( t ) = - x ^ { \prime } ( 0 ) \delta ( t ) = - \delta ( t ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { S ( \vec { Q } , \omega ) = } & { { } S _ { \mathrm { c o h } } ^ { \mathrm { e l } } ( \vec { Q } , \omega ) + S _ { \mathrm { c o h } } ^ { \mathrm { i n e l } } ( \vec { Q } , \omega ) + S _ { \mathrm { i n c } } ^ { \mathrm { e l } } ( \vec { Q } , \omega ) + S _ { \mathrm { i n c } } ^ { \mathrm { i n e l } } ( \vec { Q } , \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { = \frac { 1 } { s } \bigg \vert E \bigg [ \bigg ( E \big [ \delta _ { s ^ { 1 / \alpha } Z _ { 1 } ^ { 1 } } ^ { 1 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } + x _ { 2 } ) \big ] - s \int _ { \mathbb { R } } \delta _ { \lambda _ { 1 } } ^ { 1 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } + x _ { 2 } ) F _ { \mu } ^ { 1 } ( d \lambda _ { 1 } ) } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + s \int _ { \mathbb { R } } \left( \delta _ { \lambda _ { 1 } } ^ { 1 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } + x _ { 2 } ) - \delta _ { \lambda _ { 1 } } ^ { 1 } \varphi ( z _ { 1 } , x _ { 2 } ) \right) F _ { \mu } ^ { 1 } ( d \lambda _ { 1 } ) \bigg ) _ { x _ { 2 } = s ^ { 1 / \alpha } Z _ { 1 } ^ { 2 } } \bigg ] \bigg \vert } \\ & { \leq C s ^ { \frac { 1 } { \alpha } } E [ | Z _ { 1 } ^ { 2 } | ] } \\ & { \ \ \ + \frac { 1 } { s } E \bigg [ \bigg \vert E \big [ \delta _ { s ^ { 1 / \alpha } Z _ { 1 } ^ { 1 } } ^ { 1 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } + x _ { 2 } ) \big ] - s \int _ { \mathbb { R } } \delta _ { \lambda _ { 1 } } ^ { 1 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } + x _ { 2 } ) F _ { \mu } ^ { 1 } ( d \lambda _ { 1 } ) \bigg \vert _ { x _ { 2 } = s ^ { 1 / \alpha } Z _ { 1 } ^ { 2 } } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { a b } ^ { ( j , \pm ) } = } & { { } ( - 1 ) ^ { j + 1 } \frac { T _ { j , a } \pm T _ { j , b } } { k _ { a } \pm k _ { b } } \Bigl \{ \nabla \chi _ { a } \cdot \nabla \chi _ { b } \pm k _ { a } k _ { b } \chi _ { a } \chi _ { b } \Bigl \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { A _ { j } } { L _ { j } } e ^ { i \gamma _ { j } + i \beta _ { j } \cdot ( x - X _ { j } ) - \frac { 2 + i B _ { j } } { 4 L _ { j } ^ { 2 } } \left| x - X _ { j } \right| ^ { 2 } } } & { , } \\ { A _ { j } , B _ { j } , \gamma _ { j } \in \mathbb { R } , \, L _ { j } \in \mathbb { R } _ { + } ^ { * } , \, X _ { j } , \beta _ { j } \in \mathbb { R } ^ { d } } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \psi } ( x , t ) } & { { } \approx \sqrt { \frac { 2 } { t } } e ^ { - i \frac { \pi } { 4 } } e ^ { i \frac { x ^ { 2 } } { 2 t } } \sigma e ^ { - \sigma ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } \Big [ e ^ { i \varphi _ { 1 } } e ^ { - i \xi \delta } + e ^ { i \varphi _ { 2 } } e ^ { i \xi \delta } \Big ] , } \end{array}
\mathbf { F } _ { c } = m \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { b } = { \frac { m } { \ell r } } { \left( \begin{array} { l l } { x } & { y } \\ { y } & { - ( x - r \varepsilon ) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { - { \frac { L ^ { 2 } } { m ^ { 2 } r ^ { 2 } } } } \\ { 0 } \end{array} \right) } = - { \frac { L ^ { 2 } } { m \ell r ^ { 2 } } } { \left( \begin{array} { l } { \cos \theta } \\ { \sin \theta } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { F } _ { i j } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } = - \operatorname* { m i n } \left( \frac { 2 } { 3 } k _ { i j } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } \xi _ { i j } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } , \, \mu F _ { n } \right) \frac { \vec { \xi } _ { i j } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } } { \xi _ { i j } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { l e n . } } ^ { \mu \alpha } ( \omega ) = \frac { i e ^ { 2 } } { \hslash } \int [ d \mathbf { k } ] } & { \left( \sum _ { a b } f _ { a b } \frac { v _ { a b } ^ { \mu } v _ { b a } ^ { \alpha } } { \epsilon _ { b a } ( \omega - \epsilon _ { b a } ) } \right. } \\ & { \left. - \sum _ { a } \frac { v _ { a a } ^ { \mu } \partial ^ { \alpha } f _ { a } } { \omega } \right) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { 1 } \psi \| ^ { 2 } + \| \partial _ { 2 } \psi \| ^ { 2 } + } & { m \| \gamma u \| _ { O A } ^ { 2 } + m \| \gamma u \| _ { O B } ^ { 2 } + m \| \gamma u \| _ { A B } ^ { 2 } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { a } \int _ { 0 } ^ { \frac { - b x } { a } + b } | \partial _ { 2 } \psi ( x , y ) | ^ { 2 } + m | u ( x , 0 ) | ^ { 2 } + m | u ( x , \frac { - b x } { a } + b ) | ^ { 2 } d y \, d x } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { b } \int _ { 0 } ^ { \frac { - a y } { b } + a } | \partial _ { 1 } \psi ( x , y ) | ^ { 2 } + m | u ( 0 , y ) | ^ { 2 } + m | u ( \frac { - a y } { b } + a , y ) | ^ { 2 } d x \, d y } \\ & { \geq \int _ { 0 } ^ { a } \int _ { 0 } ^ { \frac { - b x } { a } + b } \, \frac { \arctan ^ { 2 } ( \frac { b } { a } + \sqrt { 1 + \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } ) } { ( \frac { - b x } { a } + b ) ^ { 2 } } | \psi ( x , y ) | ^ { 2 } d y \, d x } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { b } \int _ { 0 } ^ { \frac { - a y } { b } + a } \, \frac { \arctan ^ { 2 } ( \frac { a } { b } + \sqrt { 1 + \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } ) } { ( \frac { - a y } { b } + a ) ^ { 2 } } | \psi ( x , y ) | ^ { 2 } d x \, d y \, , } \\ & { \geq \Big ( \frac { \arctan ^ { 2 } ( \frac { a } { b } + \sqrt { 1 + \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } ) } { b ^ { 2 } } + \frac { \arctan ^ { 2 } ( \frac { b } { a } + \sqrt { 1 + \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } ) } { a ^ { 2 } } \Big ) \| \psi \| ^ { 2 } . } \end{array}
\sigma = - \frac { K } { 2 E _ { 0 } } + \frac { K } { 2 E _ { 0 } } \left( 1 + \frac { 4 E _ { 0 } ^ { 2 } } { K } \varepsilon \right) ^ { 1 / 2 } + H _ { 0 } e ^ { n \frac { \rho _ { 0 } } { \rho _ { s } } e ^ { \varepsilon } } \varepsilon ,
N _ { \pm } ^ { \left( d \right) } \left( k \right) = \frac { 1 } { 2 ^ { d } } \sum _ { n = 0 } ^ { d } \left[ \left( - 1 \right) ^ { \frac { d - n } { 2 } } \right] ^ { 1 \mp 1 } { \binom { d } { n } \frac { \pi ^ { ( n - d ) / 2 } L ^ { d - n } } { \Gamma \left( \frac { d - n } { 2 } + 1 \right) } k ^ { d - n } } + \tilde { O } \left( k ^ { d - \tilde { w } _ { d } } \right) \, ,
H _ { B L G } ^ { \xi } = \xi \left( \begin{array} { l l l l } { \xi U - \frac { 1 } { 2 } \Delta } & { v _ { 3 } \pi } & { v _ { 4 } \pi ^ { \dagger } } & { v \pi ^ { \dagger } } \\ { v _ { 3 } \pi ^ { \dagger } } & { \xi U + \frac { 1 } { 2 } \Delta } & { v \pi } & { v _ { 4 } \pi } \\ { v _ { 4 } \pi } & { v \pi ^ { \dagger } } & { \xi U + \frac { 1 } { 2 } \Delta } & { \xi \gamma _ { 1 } } \\ { v \pi } & { v _ { 4 } \pi ^ { \dagger } } & { \xi \gamma _ { 1 } } & { \xi U - \frac { 1 } { 2 } \Delta } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \prime } ( \tau ) = } & { \nu \Delta \theta ( \tau , \tilde { x } _ { 0 } ) - \nu \Delta \theta ( \tau , \tilde { y } _ { 0 } ) - \partial _ { t } \Omega ( \tau , \xi ) + ( \widetilde u \cdot \nabla ) \theta ( \tau , \tilde { y } _ { 0 } ) - ( \widetilde u \cdot \nabla ) \theta ( \tau , \tilde { x } _ { 0 } ) } \\ & { + e \cdot \left[ \nabla \tilde { p } ( \tau , \tilde { y } _ { 0 } ) - \nabla \tilde { p } ( \tau , \tilde { x } _ { 0 } ) + \tilde { F } ( \tau , \tilde { x } _ { 0 } ) - \tilde { F } ( \tau , \tilde { y } _ { 0 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \vert 0 , z \rangle _ { - k } = \displaystyle \exp _ { q ^ { 2 } } ( - \frac { 1 } { 2 } | q ^ { - 2 } z | ) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - q ^ { - 2 } z ) ^ { m } } { [ m ] _ { q ^ { 2 } } ! } ( { \cal D } _ { - k } ) ^ { m } \vert 0 \rangle _ { - k } ~ , } } \\ { { { \cal X } ^ { - k } \vert 0 , z \rangle _ { - k } = z \vert 0 , z \rangle _ { - k } ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial n _ { k } } { \partial t } = 4 \pi \int ( n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } + n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { k } - n _ { 1 } n _ { 3 } n _ { k } - n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { k } ) } \\ { \times \delta ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - \omega _ { 3 } - \omega ) \delta ( k _ { 1 } + k _ { 2 } - k _ { 3 } - k ) \textnormal { d } k _ { 1 } \textnormal { d } k _ { 2 } \textnormal { d } k _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n = k - B } ^ { k } \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \ldots , q } | r _ { \ell , m } ^ { n + 1 } - r _ { \ell , m } ^ { n } | } \\ & { \leq \sum _ { n = k - B } ^ { k } \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \ldots , q } | r _ { m , m } ^ { n + 1 } - r _ { m , m } ^ { n } | } \\ & { = \sum _ { n = k - B } ^ { k } \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \ldots , q } | \sum _ { i \in I _ { m } } d _ { m i } ( V _ { m } ^ { n } ( i ) + \delta _ { m } ^ { n } ( i ) ) - r _ { m , m } ^ { n } | } \\ & { = \sum _ { n = k - B } ^ { k } \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \ldots , q } | \sum _ { i \in I _ { m } } d _ { m i } \delta _ { m } ^ { n } ( i ) | } \\ & { = \sum _ { n = k - B } ^ { k } \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \ldots , q } \overline { { \delta } } _ { m } ^ { n } = \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \ldots , q } \sum _ { n = k - B } ^ { k } \overline { { \delta } } _ { m } ^ { n } = \overline { { \delta } } _ { \infty } ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { N A } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( 1 + 4 N _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } & { D _ { 1 } \leq D _ { 2 } \leq \frac { f _ { \mathrm { m i d } } D _ { 3 } } { f _ { \mathrm { e x t } } - f _ { \mathrm { m i d } } } } \\ { \left[ 1 + 1 6 N _ { 2 } ^ { 2 } \left( 1 + \mathcal { R } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } & { D _ { 2 } \leq D _ { 1 } \leq \frac { f _ { \mathrm { m i d } } D _ { 3 } } { f _ { \mathrm { e x t } } - f _ { \mathrm { m i d } } } } \\ { \left[ 1 + 4 N _ { 3 } ^ { 2 } \left( 1 + 2 \mathcal { R } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } & { D _ { 1 } , D _ { 2 } \geq \frac { f _ { \mathrm { m i d } } D _ { 3 } } { f _ { \mathrm { e x t } } - f _ { \mathrm { m i d } } } . } \end{array} \right. } \end{array}
M ( t ) = \int _ { \mathrm { ~ C ~ } } \bigg \lvert \nabla \bigg ( \frac { \chi _ { \mathrm { ~ C ~ O ~ } _ { 2 } } ^ { \mathrm { ~ w ~ } } } { \chi _ { \mathrm { ~ C ~ O ~ } _ { 2 } } ^ { \mathrm { ~ w ~ , ~ m ~ a ~ x ~ } } } \bigg ) \bigg \rvert d \mathbf { x }
\frac { \textrm { d } x ( t ) } { \textrm { d } t } \bigg | _ { ( \alpha _ { \lambda _ { 1 } } , \alpha _ { \lambda _ { 2 } } ) } = \left\{ \begin{array} { r l r } { \alpha _ { \lambda _ { 1 } } x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) , } & { } & { t \in \Omega _ { 1 \theta } , } \\ { \alpha _ { \lambda _ { 2 } } x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) , } & { } & { t \in \Omega _ { 2 \theta } , } \end{array} \right.
\mathrm { M } ^ { a a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } ( { \bf p } , - { \bf p } _ { 1 } , - { \bf p } _ { 2 } , - { \bf p } _ { 3 } ) = g ^ { 2 } \! \left( \frac { \mathrm { Z } _ { l } ( { \bf p } ) } { 2 \omega _ { \bf p } ^ { l } } \right) ^ { 1 / 2 } \! \Biggl ( \frac { \tilde { u } ^ { \mu } ( p ) } { \sqrt { \bar { u } ^ { 2 } ( p ) } } \Biggr )