harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle z _ { t } + \displaystyle { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } \, ( \beta \, { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } z ) + q \, z } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { Q , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } z ) ( a , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } z ) ( b ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { v - u } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle z ( \cdot , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathcal { S } } ^ { 3 } : \left\{ \begin{array} { l } { \ensuremath { \mathcal { S } } _ { k } ^ { 3 } : \left\{ \begin{array} { l } { \dot { \tilde { x } } _ { k } = - \xi ( \tilde { x } _ { k } ) + \frac { 1 } { k } \big ( - \tilde { x } _ { k } + \tilde { x } _ { k } ^ { 2 } \tilde { y } _ { k } - \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \tilde { x } _ { k } ^ { 3 } \big ) , } \\ { \dot { \tilde { y } } _ { k } = - \xi ( \tilde { y } _ { k } ) - \frac { 1 } { k } \tilde { y } _ { k } . } \end{array} \right. } \\ { k = 1 , 2 , \ldots } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W _ { i } ( x ) } & { { } = } & { q _ { i } \varphi ( x ) - \mathrm { P e } \frac { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } { L } \int _ { 0 } ^ { x } \frac { \beta _ { i } ( x ^ { \prime } ) } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } d x ^ { \prime } , } \\ { c _ { i } ( x ) } & { { } = } & { \frac { \rho _ { i } ( x ) } { \rho _ { 0 } } \mathrm { e } ^ { W _ { i } ( x ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { { \mathbf Y } } _ { 0 } = ( 0 , 0 , 0 ) ^ { { \mathrm T } } \; \; \; , \; \; \; \widetilde { { \mathbf Y } } _ { N } = \left( \frac { e - 1 } { L } - \frac { x _ { c } } { T } \, \, , \, \, \frac { 2 } { L } - \frac { y _ { c } } { T } \, \, , \, \, \frac { 1 } { T } \right) ^ { { \mathrm T } } } \\ { \widetilde { { \mathbf U } } ( \widetilde { { \mathbf Y } } _ { 0 } , \tau _ { 0 } ) = \widetilde { { \mathbf Y } } ^ { \prime } ( \tau _ { 0 } ) = \left( \frac { 1 } { v _ { 0 } } - x _ { c } \, \, , \, \, \frac { 1 } { v _ { 0 } } - y _ { c } \, \, , \, \, 1 \right) ^ { { \mathrm T } } } \\ { \widetilde { { \mathbf U } } ( \widetilde { { \mathbf Y } } _ { N } , \tau _ { N } ) = \widetilde { { \mathbf Y } } ^ { \prime } ( \tau _ { N } ) = \left( \frac { e } { v _ { 0 } } - x _ { c } \, \, , \, \, \frac { 3 } { v _ { 0 } } - y _ { c } \, \, , \, \, 1 \right) ^ { { \mathrm T } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { i f } ( \nu ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 3 } r ^ { 3 } R _ { n _ { f } , 0 } ( r ) R _ { n _ { i } , 0 } ( r ^ { \prime } ) g _ { 1 } ( \nu , r , r ^ { \prime } ) d r d r ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } ( \| U _ { i } \| ^ { 2 k } ) } & { = } & { \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq \cdots \neq j _ { k } \leq p } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 2 } ) \times \cdots \times { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { k } } ^ { 2 } ) \{ 1 + O ( p ^ { - 1 } ) \} } \\ & { = } & { p ^ { k } + O ( p ^ { k - 1 } ) \, . } \end{array}
\vec { u } _ { S T } ^ { \prime } = \vec { \underline { { A } } } \cdot \sqrt { 6 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sqrt { q ^ { n } } \left[ \vec { \sigma } ^ { n } \cos \left( k ^ { n } \vec { d ^ { n } } \cdot \vec { r } ^ { \prime } + \phi ^ { n } + s ^ { n } \frac { t ^ { \prime } } { \tau } \right) \right] \quad .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { V _ { \mathrm { r e f } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \omega _ { i } \left( \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \right) } \\ & { = } & { V _ { \mathrm { r e f } } + \sum _ { i } { { \omega } _ { i } } \left( f _ { i } + { 1 } / { 2 } \right) + \sum _ { i } { { \omega } _ { i } } \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \} , } \end{array}
\breve { \tau } ( E ) = \frac { 2 } { \Gamma } \left[ \frac { \frac { 1 } { | \gamma | } } { { \left( \frac { \epsilon + Q } { | \gamma | } \right) } ^ { 2 } + 1 } + \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } \right] ,
{ \mit \Gamma } _ { \mathrm { c u s p } } ( \theta ; \alpha _ { s } ) = - \frac { \alpha _ { s } N _ { c } } { \pi } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x } } \left\{ \sqrt { 1 + x } - \left( 1 + \frac { x } { 2 } \right) \ln \frac { \sqrt { 1 + x } + 1 } { \sqrt { 1 + x } - 1 } \right\} \, ,
h = { \frac { c _ { 0 } M _ { \mathrm { { u } } } A _ { \mathrm { { r } } } ( \mathrm { { e } } ) \alpha ^ { 2 } } { R _ { \infty } } } { \frac { 1 } { K _ { \mathrm { { J - 9 0 } } } R _ { \mathrm { { K - 9 0 } } } F _ { 9 0 } } }
\begin{array} { r l } { \nu ( C ( x ^ { - 1 } h ) ) } & { = \sum _ { b \in B \cap C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( x , b ; B \setminus \{ b \} ) ( 1 - \nu ( C ( b ^ { - 1 } h _ { 1 } \dots h _ { l - 1 } ) ) ) + } \\ & { + \sum _ { b \in B \setminus C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( x , b ; B \setminus \{ b \} ) \nu ( C ( b ^ { - 1 } h ) ) . } \end{array}
C _ { i , j } ^ { ( t ) } ( \tau ) = \frac { \langle T _ { i } ( t - \tau ) T _ { j } ( t ) \rangle - \langle T _ { i } ( t - \tau ) \rangle \langle T _ { j } ( t ) \rangle } { \sqrt { \langle ( T _ { i } ( t - \tau ) - \langle T _ { i } ( t - \tau ) \rangle ) ^ { 2 } \rangle } \cdot \sqrt { \langle ( T _ { j } ( t ) - \langle T _ { j } ( t ) \rangle ) ^ { 2 } \rangle } }
E = \int d \theta d \phi \, r ^ { 2 } \sin \theta \Bigg \{ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \Bigg | \frac { \partial f _ { \pm } } { \partial \theta } \Bigg | ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \Bigg | \frac { \partial f _ { \pm } } { \partial \phi } - i q ( \pm 1 - \cos \theta ) f _ { \pm } \Bigg | ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } f _ { \pm } ^ { * } \! f _ { \pm } + \lambda ( f _ { \pm } ^ { * } \! f _ { \pm } ) ^ { 2 } \Bigg \} .
\begin{array} { r } { \overline { { j } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } = \star _ { \overline { { g } } } \{ - 2 ( \iota _ { \overline { { \xi } } } \overline { { \mathfrak { b } } } _ { \mathtt { E H } } ( g ) ) + \jmath ^ { * } ( \iota _ { \nu } \mathrm { d } \xi ) \} = - 2 \star _ { \overline { { g } } } \{ \iota _ { \overline { { \xi } } } \overline { { \mathfrak { b } } } _ { \mathtt { E H } } ( g ) \} + \jmath ^ { * } \star _ { \overline { { g } } } ( \iota _ { \nu } \mathrm { d } \xi ) . } \end{array}
N _ { 1 2 } \stackrel { 1 / \varepsilon ^ { 2 } } { = } - \frac { \pi ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha _ { 2 } \int \frac { d \tilde { k } _ { 1 } \, d \tilde { k } _ { 2 } \, \delta ^ { ( D ) } ( k _ { 1 } - \alpha _ { 1 } p _ { 1 } ) \, \delta ^ { ( D ) } ( k _ { 2 } - \alpha _ { 2 } p _ { 2 } ) } { [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } - p _ { 1 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] [ ( k _ { 2 } - k _ { 1 } - p _ { 2 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] } .
\begin{array} { r l r l r l r l } { \eta } & { { } > \frac { h + 1 } { h - 1 } , } & { h } & { { } > 1 , } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \frac { - ( \eta - 1 ) ^ { 2 } ( 1 + 2 \psi ) h ^ { 2 } + 2 \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) \left( 1 + \psi \right) h + 8 u ( \psi + 1 ) - 1 6 \eta \psi } { \phi _ { 0 } \left( 1 6 \eta + ( \eta - 1 ) ^ { 2 } h ^ { 2 } \right) } } & { { } < \chi < \frac { 1 } { \phi _ { 0 } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { e x } = \cos ^ { 4 } ( \theta _ { 1 3 } ) \sin ^ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 2 } ) \sin ^ { 2 } \Big ( \frac { 1 . 2 7 \Delta m _ { 2 1 } ^ { ^ { 2 } } L } { E _ { \bar { \nu } } } \Big ) + } \\ { \cos ^ { 2 } ( \theta _ { 1 2 } ) \sin ^ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 3 } ) \sin ^ { 2 } \Big ( \frac { 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 1 } ^ { ^ { 2 } } L } { E _ { \bar { \nu } } } \Big ) + } \\ { \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 1 2 } ) \sin ^ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 3 } ) \sin ^ { 2 } \Big ( \frac { 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { ^ { 2 } } L } { E _ { \bar { \nu } } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { - \Delta u } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } \ \Omega \setminus \Gamma \equiv [ - 1 , 1 ] ^ { 2 } \setminus \partial B _ { \epsilon } ( 0 ) , } \\ { u } & { = x \frac { \epsilon ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } & & { \mathrm { o n } \ \Gamma \cup \partial \Omega , } \\ { \lambda } & { = \frac { x } { \epsilon } = [ \nabla u ] \cdot n } & & { \mathrm { o n } \ \Gamma \equiv \partial B _ { \epsilon } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( S , A , I ) : = } & { c _ { 1 } S ^ { * } \left( \frac { S } { S ^ { * } } - 1 - \ln \left( \frac { S } { S ^ { * } } \right) \right) + c _ { 2 } A ^ { * } \left( \frac { A } { A ^ { * } } - 1 - \ln \left( \frac { A } { A ^ { * } } \right) \right) } \\ & { + I ^ { * } \left( \frac { I } { I ^ { * } } - 1 - \ln \left( \frac { I } { I ^ { * } } \right) \right) , } \end{array}
\Delta ( \vec { k } ) = - { \textstyle { \frac { 1 } { N } } } \sum _ { \vec { k } ^ { \prime } } \Gamma _ { P } ( \vec { k } , \vec { k } ^ { \prime } ) { \textstyle { \frac { \Delta ( \vec { k } ^ { \prime } ) } { 2 \xi ( \vec { k } ^ { \prime } ) } } } \operatorname { t a n h } \left( { \textstyle { \frac { \xi ( \vec { k } ^ { \prime } ) } { 2 T } } } \right) \, .
{ } ^ { 1 5 2 } \mathrm { E u } ( 0 ^ { - } ) + e ^ { - } \rightarrow { } ^ { 1 5 2 } \mathrm { S m } ^ { * } ( 1 ^ { - } ) + \nu _ { e } \rightarrow { } ^ { 1 5 2 } \mathrm { S m } ( 0 ^ { + } ) + \gamma + \nu _ { e }
Z _ { \lambda } ^ { ( 1 ) } = \delta _ { \mathrm { T } } - \delta _ { \mathrm { L } } = \left[ \left( \frac { 1 3 } 6 - \frac \lambda 2 \right) + \lambda \xi ( 1 - \xi ) \right] \frac { ( g \mu ^ { - \epsilon } ) ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { C _ { 2 } ( G ) } { \epsilon } .
\begin{array} { r l } { I = } & { \int _ { N _ { n } ( \mathbb { A } ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N ( F ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N _ { n } ( F ) \backslash N _ { n } ( \mathbb { A } ) } \phi _ { \psi , T } ( h ) } \\ { \times } & { \omega _ { \psi } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) \Phi ( 1 _ { n } ) f _ { s } ( \gamma u t ( 1 , h ) ) \psi _ { k } ( u ) d u d h } \\ { = } & { \int _ { N _ { n } ( \mathbb { A } ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N ( \mathbb { A } ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \phi _ { \psi , T } ( h ) } \\ { \times } & { \int _ { N ( F ) \backslash N ( \mathbb { A } ) } \omega _ { \psi } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u _ { 0 } ) \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) \Phi ( 1 _ { n } ) f _ { s } ( \gamma u _ { 0 } u t ( 1 , h ) ) \psi _ { k } ( u _ { 0 } ) d u _ { 0 } d u d h . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E } & { = } & { \frac { \langle 1 | | r ( 1 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } \langle 1 | | r ( 2 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } \langle 1 | | r ( 3 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { 3 6 R _ { 1 2 } ^ { 3 } R _ { 1 3 } ^ { 3 } R _ { 2 3 } ^ { 3 } } \times } \\ & { } & { ( 1 - 3 ( \cos ( 2 \theta _ { 1 } ) + \cos ( 2 \theta _ { 2 } ) + \cos ( 2 \theta _ { 3 } ) ) ) } \end{array}
\frac { R _ { \mu e } ^ { t h e o r } } { | U _ { \mu h } U _ { e h } ^ { * } | ^ { 2 } } = 3 . 1 9 \times 1 0 ^ { - 1 1 } ( ^ { 2 7 } A l ) , ~ ~ 6 . 3 4 \times 1 0 ^ { - 1 1 } ( ^ { 4 8 } T i ) , ~ ~ 4 . 7 3 \times 1 0 ^ { - 1 0 } ( ^ { 1 9 7 } A u ) ,
\begin{array} { r l r l } { v _ { \sigma } } & { { } = \widehat { t } _ { \sigma } \cdot v = \cos ( \theta + \phi ) v _ { n } + \sin ( \theta + \phi ) v _ { b } , } & { v _ { \theta } } & { { } = \widehat { t } _ { \theta } \cdot v = - \sin ( \theta + \phi ) v _ { n } + \cos ( \theta + \phi ) v _ { b } . } \end{array}
M _ { o r b } = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 k } \mathfrak { I m } \left[ ( \partial _ { \phi } \mathcal { E } _ { x } ) \mathcal { E } _ { x } ^ { * } + ( \partial _ { \phi } \mathcal { E } _ { y } ) \mathcal { E } _ { y } ^ { * } \right] ;
\begin{array} { r l } { | F _ { 0 1 } ^ { m } - F _ { 1 } ^ { m } | } & { \le C \gamma \Delta x _ { m } \bigg ( \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { \mathrm { i n t } } } \frac { \operatorname { m } ( \sigma ) } { { \operatorname { d } } _ { \sigma } } | \mathrm { D } _ { \sigma } u _ { i , m } ^ { k } | ^ { 2 } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \bigg ( \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { \mathrm { i n t } } } \operatorname { m } ( \sigma ) { \operatorname { d } } _ { \sigma } \bigg ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le C \gamma \Delta x _ { m } | u _ { i , m } ^ { k } | _ { 1 , 2 , { \mathcal T } _ { m } } \bigg ( \frac { d } { \zeta } \operatorname { m } ( \Omega ) \bigg ) ^ { 1 / 2 } \to 0 \quad \mathrm { a s ~ } m \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { e ^ { \hbar } } ( e ^ { a \hbar } ) } & { = \exp \left[ \mathrm { L i } _ { 2 } ( e ^ { a \hbar } ; e ^ { \hbar } ) - \mathrm { L i } _ { 2 } ( - e ^ { ( 1 - a ) \hbar } ; e ^ { \hbar } ) \right] } \\ & { = \exp \Bigl [ - \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } \hbar ^ { - 1 } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log ( - \hbar ) + \log \frac { \Gamma ( a ) } { \sqrt { 2 \pi } } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log 2 + \frac { B _ { 2 } ( a ) - B _ { 2 } ( 1 - a ) } { 4 } \hbar } \\ & { \phantom { = \exp x } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { B _ { 2 k } \bigl ( B _ { 2 k + 1 } ( a ) - B _ { 2 k + 1 } ( 1 - a ) \bigr ) } { 2 k ( 2 k + 1 ) ! } 2 ^ { 2 k } \, \hbar ^ { 2 k } + O ( \hbar ^ { 2 ( m + 1 ) } ) \Bigr ] } \\ & { = \exp \Bigl [ - \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } \hbar ^ { - 1 } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log ( - \hbar ) + \log \frac { \Gamma ( a ) } { \sqrt { 2 \pi } } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log 2 } \\ & { \phantom { = \exp x } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { B _ { 2 k } B _ { 2 k + 1 } ( a ) } { k ( 2 k + 1 ) ! } 2 ^ { 2 k } \, \hbar ^ { 2 k } + O ( \hbar ^ { 2 ( m + 1 ) } ) \Bigr ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { C o v } ( \gamma ^ { \tau _ { i } } g ( W _ { i + 1 } ) , \gamma ^ { \tau _ { j } } g ( W _ { j + 1 } ) ) = E [ \gamma ^ { 2 \tau _ { j } } \gamma ^ { T _ { j + 1 } } g ( W _ { j + 1 } ) \gamma ^ { \tau _ { i } - \tau _ { j + 1 } } g ( W _ { i + 1 } ) ] - E [ \gamma ^ { \tau _ { j } } g ( W _ { j + 1 } ) ] E [ \gamma ^ { \tau _ { i } } g ( W _ { i + 1 } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ( \phi ^ { l } \rho ^ { l } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \phi ^ { l } \rho ^ { l } \mathbf { u } ) } & { = } & { 0 } \\ { \frac { \partial ( \rho \mathbf { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) } & { = } & { \nabla \cdot \boldsymbol \sigma } \\ { \frac { \partial ( \rho E ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho E \mathbf { u } ) } & { = } & { \nabla \cdot ( \boldsymbol \sigma \mathbf { u } ) } \end{array}
\omega ( y , t ) = \sigma _ { \varepsilon } ( y , t ) + \int _ { D } p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) W _ { \varepsilon } ( \xi , 0 ) \textrm { d } \xi + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) ( G ( \xi , s ) + \rho _ { \varepsilon } ( \xi , s ) ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s
{ \frac { 1 } { m ! } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } \operatorname* { s u p } _ { \eta _ { j } \in B _ { 0 } } p _ { B } ^ { n } ( d \rho ( \eta _ { 1 } \cdots \eta _ { m } ) \psi ) \leq C t ^ { - m } q _ { B ^ { \prime } } ( \psi ) , \qquad \forall m \in \mathbb { N } _ { \geq 0 } , \; \forall \psi \in \mathcal { H } _ { \rho } ^ { \mathcal { O } } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { n ^ { d } } \| D _ { n } \| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \le ( 2 \pi ) ^ { d } h _ { n } ^ { 2 \beta + d } \left\{ 4 \int _ { \theta \in [ - \pi , \pi ] ^ { d } } g ^ { 2 } ( \theta ) d \theta \right\} = 4 \cdot ( 2 \pi ) ^ { d } \cdot \epsilon ^ { 2 } h _ { n } ^ { 2 \beta + d } \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 d } , } \end{array}
g ^ { 2 } \delta ^ { d _ { 2 } c _ { 1 } } f ^ { i _ { 1 } c _ { 1 } d _ { 1 } } \delta ^ { d _ { 1 } c _ { 2 } } f ^ { i _ { 2 } c _ { 2 } d _ { 2 } } = g ^ { 2 } f ^ { i _ { 1 } c _ { 1 } c _ { 2 } } f ^ { i _ { 2 } c _ { 2 } c _ { 1 } } = - g ^ { 2 } C _ { 2 } \delta ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } = - g ^ { 2 } N \delta ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \sim O ( N ^ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } & { A = { { V } ^ { 2 } } - 2 { { T } _ { 2 } } \left( { { V } ^ { 2 } } - 1 \right) + { { { T } _ { 2 } } ^ { 2 } } { { \left( V + { { \xi } _ { E } } + { { \chi } _ { l i n e } } \right) } ^ { 2 } } , } \\ & { B = { { { { T } _ { 2 } } ^ { 2 } } } { { \left[ V \left( { { \xi } _ { E } } + { { \chi } _ { l i n e } } \right) + 1 \right] } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { h _ { x } ( k ) = t _ { 1 } + t _ { 2 } \cos ( k ) + t _ { 4 } \cos ( k ) , ~ ~ ~ ~ } \\ & { } & { h _ { y } ( k ) = t _ { 2 } \sin ( k ) - t _ { 4 } \sin ( k ) , ~ ~ ~ } \\ & { } & { h _ { z } ( k ) = t _ { 1 1 } / 2 - t _ { 2 2 } / 2 , ~ ~ ~ ~ ~ } \\ & { } & { h _ { 0 } ( k ) = t _ { 1 1 } / 2 + t _ { 2 2 } / 2 + 2 t _ { 3 } \cos ( k ) . ~ ~ ~ ~ } \end{array}
Z _ { g h } = \int D [ C , \tilde { \cal P } ; { \cal P } , \tilde { C } ] \cdot \exp \{ i \int _ { \tau _ { i } } ^ { \tau _ { f } } ( \tilde { \cal P } _ { a } \dot { C } ^ { a } - \dot { \tilde { C } } _ { a } { \cal P } ^ { a } - \tilde { \cal P } _ { a } { \cal P } ^ { a } ) d \tau \} \, .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { l } ( a _ { l , 2 } ) ^ { T } \gamma _ { l } ( a _ { l , 2 } ^ { * } ) } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l } } \\ { a _ { l , 2 } ^ { * } + S _ { l + 1 : m } ^ { T } ( b _ { l } \bar { y } _ { 0 } + \bar { y } _ { l } ) } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l } } \\ { a _ { l , 2 } ^ { * } + S _ { l + 1 : m } ^ { T } ( b _ { l } \bar { y } _ { 0 } + \bar { y } _ { l } ) } \end{array} \right] } \\ & { = \beta _ { l } ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { l + 1 } } & { \dots } & { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { l + 1 } } & { \dots } & { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] \beta _ { l } } \\ & { = z _ { l } ^ { T } \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] ^ { T } \left( \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { l + 1 } } & { \dots } & { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { l + 1 } } & { \dots } & { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] \right) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] z _ { l } } \\ & { = z _ { l } ^ { T } \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] ^ { T } \left( \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } \dots z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] \right) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] z _ { l } \leq z _ { l } ^ { T } z _ { l } , } \end{array}
( \ldots 0 \overbrace { 1 \ldots 1 } ^ { n } 0 \ldots ) _ { 2 } \equiv ( \ldots 1 \overbrace { 0 \ldots 0 } ^ { n } 0 \ldots ) _ { 2 } - ( \ldots 0 \overbrace { 0 \ldots 1 } ^ { n } 0 \ldots ) _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ g ~ h ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } } & { { } = f _ { \mathrm { ~ f ~ e ~ a ~ t ~ } } ( I _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ g ~ h ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } ) , } \\ { F _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ f ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } } & { { } = f _ { \mathrm { ~ f ~ e ~ a ~ t ~ } } ( I _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ f ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \ell ( \gamma ^ { 0 } + h _ { n } , 0 ) - \ell ( \gamma ^ { 0 } + \widetilde { h } _ { n } , 0 ) } \\ & { = } & { \frac { k ^ { T } } { \sqrt { n } } \nabla _ { \gamma } \ell ( \gamma ^ { 0 } + \widetilde { h } _ { n } , 0 ) - \frac { 1 } { 2 } k ^ { T } H _ { 0 } k + o _ { p } ( 1 ) } \\ & { } & { \stackrel { \gamma ^ { 0 } } { \longrightarrow } N \biggl ( - \frac { 1 } { 2 } k ^ { T } H _ { 0 } k , k ^ { T } H _ { 0 } k \biggr ) . } \end{array}
u _ { \mathrm { s l i p } } \equiv \frac { 1 } { 2 } \left[ ( u _ { \mathrm { w } } ^ { \mathrm { t o p } } - u _ { \mathrm { w } } ^ { \mathrm { b o t } } ) - h \left( \frac { \partial u } { \partial z } \right) _ { \mathrm { b u l k } } \right] = u _ { \mathrm { w } } - \frac { h } { 2 } \left( \frac { \partial u } { \partial z } \right) _ { \mathrm { b u l k } }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { \left( \frac { 3 \mathbf { u } ^ { n } - 4 \mathbf { u } ^ { n - 1 } + \mathbf { u } ^ { n - 2 } } { 2 \Delta t } \right) + ( \mathbf { u } ^ { n - 1 } \cdot \nabla ) \mathbf { u } ^ { n } + ( \mathbf { u } ^ { n } \cdot \nabla ) \mathbf { u } ^ { n - 1 } } & \\ { - ( \mathbf { u } ^ { n - 1 } \cdot \nabla ) \mathbf { u } ^ { n - 1 } - \frac { 1 } { R e } \Delta \mathbf { u } ^ { n } + \nabla p ^ { n } } & { = \bf { 0 } } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } ^ { n } } & { = 0 , } \end{array} } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta } & { = \frac { \partial h ( s _ { v } ) } { h ( s _ { v } ) } = \frac { \partial \| v \| _ { z } ^ { 2 } } { \| v \| _ { z } ^ { 2 } } = - \frac { \partial \mathrm { I m } ( z ) } { \mathrm { I m } ( z ) } = \frac { i d z } { 2 \mathrm { I m } ( z ) } } \\ { \theta \wedge \overline { { \theta } } } & { = \frac { d z \wedge d \overline { { z } } } { 4 \mathrm { I m } ( z ) ^ { 2 } } = - 2 \pi i \Omega } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } C _ { t } ^ { - 1 } - \frac { 1 } { 2 } \beta I \preceq \partial _ { t } { C } _ { t } = \frac { 1 } { 2 } C _ { t } ^ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ] \preceq \frac { 1 } { 2 } C _ { t } ^ { - 1 } - \frac { 1 } { 2 } \alpha I . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ u ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } & { \ge \frac { 1 } { \mathcal { A } } \, \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \left( \int _ { \mathbb { R } } \frac { | u ( x ) - u ( x + \varrho \, \omega ) | ^ { 2 } } { | \varrho | ^ { 1 + 2 \, s } } \, d \varrho \right) \, d x } \\ & { = \frac { 1 } { \mathcal { A } } \, \int _ { \Pi _ { \omega } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } \left( \iint _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } } \frac { | u ( x ^ { \prime } + t \, \omega ) - u ( x ^ { \prime } + t \, \omega + \varrho \, \omega ) | ^ { 2 } } { | \varrho | ^ { 1 + 2 \, s } } \, d t \, d \varrho \right) \, d x ^ { \prime } } \\ & { \ge \frac { 1 } { \mathcal { A } } \, \int _ { \Pi _ { \omega } ( \Sigma ) } [ u ( x ^ { \prime } + \cdot \, \omega ) ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \, d x ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r } { | { \mathbf { k } } | ^ { 2 } i b = - 2 i \widehat { \omega } ( \boldsymbol { \Omega } \times { \mathbf { a } } ) \cdot { \mathbf { k } } - { \mathbf { k } } \cdot ( { \mathbf { a } } \cdot \nabla ) \nabla p _ { 0 } = - k ^ { l } \Big ( 2 i \widetilde { \omega } \widehat { \Omega } _ { l j } + ( p _ { 0 } ) _ { l j } \Big ) a ^ { j } \, , } \end{array}