harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ C ~ H ~ } _ { 4 } + 2 \mathrm { ~ O ~ } _ { 2 } \rightarrow \mathrm { ~ C ~ O ~ } _ { 2 } + 2 \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta ( \textbf { p } , t , s ) } & { { } = \omega t - \int _ { \omega s } ^ { \omega _ { t } } \left( \frac { \left[ p _ { \| } - \frac { F _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } \sin ( \theta ) \right] ^ { 2 } } { 2 } + I _ { p } \right) \frac { \mathrm { d } \theta } { \omega _ { 0 } } } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \phi _ { o u t } } } \\ { { \phi _ { o u t } ^ { * } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \tilde { \alpha } } } & { { \tilde { \beta } } } \\ { { \beta ^ { + } } } & { { \alpha ^ { + } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { i n } } } \\ { { \phi _ { i n } ^ { * } } } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { i n } } } \\ { { \phi _ { i n } ^ { * } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \alpha ^ { * } } } & { { \mp \beta } } \\ { { \mp \beta ^ { * } } } & { { \alpha } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { o u t } } } \\ { { \phi _ { o u t } ^ { * } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { l n } ( P _ { i } f _ { i } ) - \mathrm { l n } ( P _ { j } f _ { j } ) = \theta C _ { j } - \theta C _ { i } } \\ { \Rightarrow \ \ \ \ \ \ } & { \frac { P _ { i } f _ { i } } { P _ { j } f _ { j } } = e ^ { \theta C _ { j } - \theta C _ { i } } = \frac { e ^ { - \theta C _ { i } } } { e ^ { - \theta C _ { j } } } } \\ { \Rightarrow \ \ \ \ \ \ } & { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { P _ { i } f _ { i } } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } { e ^ { - \theta C _ { i } } } } \\ { \Rightarrow \ \ \ \ \ \ } & { f _ { i } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { P _ { i } } \frac { e ^ { - \theta C _ { i } } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { a } } & { { } = } & { \pi } \\ { \dot { \pi } } & { { } = } & { c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla ^ { 2 } \hat { a } - \frac { m _ { a } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { \hbar ^ { 2 } } \hat { a } + \hbar c ^ { 3 } \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } } g _ { a \gamma \gamma } \hat { \boldsymbol E } _ { c } \cdot \hat { \boldsymbol B } - \hbar c ^ { 3 } \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } g _ { a \gamma \gamma } ^ { 2 } \hat { a } \hat { \boldsymbol B } \cdot \hat { \boldsymbol B } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \delta , \delta ^ { s } } } & { = 1 - \left( \frac { s - 1 + u } { s } \right) ^ { \theta } + \frac { O ( 1 ) } { s \log \delta } + \left( u ^ { \theta } + \frac { O ( 1 ) } { \log \delta } \right) p _ { \delta ^ { u } , \delta ^ { s - 1 + u } } + \left( 1 + O ( 1 ) \frac { ( \log | \log \delta | ) ^ { C } } { | \log \delta | ^ { \theta } } \right) \times } \\ & { \times \theta ( 1 - u ) ( s - 1 + u ) ^ { \theta } \int _ { 1 } ^ { 1 + \frac { s - 1 } { u } } ( s + ( 1 - u ) ( t - 1 ) ) ^ { - \theta - 1 } p _ { ( \delta ^ { s - 1 + u } ) ^ { 1 / t } , \delta ^ { s - 1 + u } } \mathrm { d } t . } \end{array}
\{ Q _ { ( \alpha ) } , Q _ { ( \beta ) } \} = g [ \mathcal { C } \Gamma _ { s } ( \hat { M } ^ { \hat { a } \hat { b } } ) ] _ { \alpha \beta } \hat { M } _ { \hat { a } \hat { b } } = - i ( \mathcal { C } \gamma ^ { a } ) _ { \alpha \beta } P _ { a } - { \textstyle \frac { g } { 2 } } ( \mathcal { C } \gamma ^ { a b } ) _ { \alpha \beta } M _ { a b } \, ,
S ^ { T D } ( \beta ) = \bar { S } ^ { B H } ( \beta ) + \left( - \mathrm { T r } ( \hat { \rho } _ { \epsilon } ^ { H } ( \beta ) \log \hat { \rho } _ { \epsilon } ^ { H } ( \beta ) \right) - \left( - \mathrm { T r } ( \hat { \rho } _ { \epsilon } ^ { R } ( 2 \pi \mu ) \log \hat { \rho } _ { \epsilon } ^ { H } ( 2 \pi \mu ) ) \right) ~ ~ ~
\begin{array} { r l } { \rho \left( \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } \right) } & { { } = - \nabla p + \nabla \cdot \left[ \mu \left( \nabla \mathbf { u } + \nabla \mathbf { u } ^ { \intercal } \right) \right] + \mathbf { F } , } \\ { \frac { \partial p } { \partial t } + \rho { c _ { s } } ^ { 2 } \left( \nabla \cdot \mathbf { u } \right) } & { { } = \frac { 1 } { \rho } \nabla \cdot \left( \mu \nabla p \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T ^ { 1 } ( S , T ) \cdot T ^ { 1 } ( n ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { F , F ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { F _ { 1 } , F _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { G ^ { \prime } + F _ { 1 } + N } \left\{ \begin{array} { c c c } { N ^ { \prime } } & { G ^ { \prime } } & { F _ { 1 } } \\ { G } & { N } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N - K } \sqrt { ( 2 N + 1 ) ( 2 N ^ { \prime } + 1 ) } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 1 } & { N ^ { \prime } } \\ { - K } & { 0 } & { K ^ { \prime } } \end{array} \right) } \\ & { \times \sqrt { ( 2 G + 1 ) 3 ( 2 G ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { I } & { G ^ { \prime } } \\ { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { S } & { I } & { G } \end{array} \right\} } \\ & { \times \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \sqrt { ( 2 I - 1 ) ( 2 I ) ( 2 I + 1 ) ( 2 I + 2 ) ( 2 I + 3 ) } \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \end{array}
\times \sum _ { { \bf { q } } _ { 1 } \neq { \bf { q } } , { \bf { 0 } } } n _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 + { \bf { q } } _ { 1 } } e ^ { i \mathrm { ~ } \theta ( { \bf { k } } + { \bf { q } } _ { 1 } / 2 , - { \bf { q } } + { \bf { q } } _ { 1 } ) } e ^ { - i \mathrm { ~ } \theta ( { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 + { \bf { q } } _ { 1 } / 2 , { \bf { q } } _ { 1 } ) }
\left[ 1 - \frac { N _ { T } r } { N _ { I } ( 1 - r ) } \right] v _ { T } ^ { * } - v _ { I } \le \left[ 1 - \frac { N _ { T } r } { N _ { I } ( 1 - r ) } \right] v _ { T } ^ { * } < v _ { T } ^ { * }
\begin{array} { l l l l } { { g _ { L } x ( \alpha \cdot q , \xi ) } } & { { \rightarrow } } & { { - m _ { L } \exp ( { \frac { \alpha \cdot Q } { 2 } } ) } } & { { \mathrm { l o n g ~ s i m p l e ~ r o o t s } } } \\ { { } } & { { \rightarrow } } & { { { m _ { L } Z } \exp ( - { \frac { \alpha \cdot Q } { 2 } } ) } } & { { \mathrm { h i g h e s t ~ r o o t } } } \\ { { } } & { { \rightarrow } } & { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \\ { { g _ { S } x _ { d } ^ { ( 1 / 2 ) } ( \alpha \cdot q , \xi ) } } & { { \rightarrow } } & { { - m _ { S } \exp ( { \alpha \cdot Q } ) } } & { { \mathrm { s h o r t ~ s i m p l e ~ r o o t s } } } \\ { { } } & { { \rightarrow } } & { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array}
V _ { \pm } ( \hat { x } ) = \frac 1 2 \mu \omega ^ { 2 } ( \hat { x } - x _ { 0 } ^ { \pm } ) ^ { 2 } \pm \frac { \hbar \Omega } { 2 } - \hbar \Delta - \hbar \omega ( \alpha ^ { 2 } + \alpha _ { z } ^ { 2 } ) \; ,
\begin{array} { r l } & { \left( \mathbb { M } _ { 1 } + \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 4 } \mathbb { C } ^ { \top } ( \mathbb { Q } ^ { b v } ) ^ { \top } \mathbb { T } \mathbb { L } ^ { \top } \mathbb { W } \mathbb { L } \mathbb { T } ^ { \top } \mathbb { Q } ^ { b v } \mathbb { C } \right) { \mathbf b } ^ { n + 1 } } \\ & { = \left( \mathbb { M } _ { 1 } - \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 4 } \mathbb { C } ^ { \top } ( \mathbb { Q } ^ { b v } ) ^ { \top } \mathbb { T } \mathbb { L } ^ { \top } \mathbb { W } \mathbb { L } \mathbb { T } ^ { \top } \mathbb { Q } ^ { b v } \mathbb { C } \right) { \mathbf b } ^ { n } - \Delta t \mathbb { C } ^ { \top } ( \mathbb { Q } ^ { b v } ) ^ { \top } \mathbb { T } \mathbb { L } ^ { \top } \mathbb { W } { \mathbf V } ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { s u p } _ { Q _ { \frac { r } { 2 } } ( z _ { 0 } ) } u } & { \le } & { c \delta ^ { - \frac { n ( p - 1 ) } { s p ^ { 2 } } } \, \operatorname* { m a x } \Big \{ \Big ( \iiint _ { Q _ { r } ( z _ { 0 } ) } u _ { + } ^ { p } \, \mathrm { d } \nu \Big ) ^ { \frac { 1 } { p } } , 1 \Big \} } \\ & { } & { + \delta \, \textup { \texttt { t a i l } } _ { \infty } \big ( u _ { + } ; z _ { 0 } , \frac { r } { 2 } , r \big ) + c \, \| \textup { \texttt { h } } \| _ { L ^ { \infty } ( Q _ { r } ( z _ { 0 } ) ) } ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { r f } } } & { ( t ) ~ { = } ~ - \gamma _ { \mathrm { n } } B _ { \mathrm { r f } } I _ { \mathrm { z } } ^ { \mathrm { l a b } } \cos { ( 2 \pi \, f _ { \mathrm { r f } } \, t ) } } \\ & { \, ~ ~ ~ ~ { = } ~ - \gamma _ { \mathrm { n } } B _ { \mathrm { r f } } \cos { ( 2 \pi \, f _ { \mathrm { r f } } \, t ) } \times } \\ & { ~ ~ ~ \bigl [ I _ { \mathrm { x ^ { ' } } } \sin { \theta } \cos { \varphi } + I _ { \mathrm { y ^ { ' } } } \sin { \theta } \sin { \varphi } + I _ { \mathrm { z ^ { ' } } } \cos { \theta } \bigr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { ( { R _ { t b 1 } ^ { 2 } } ) } \lesssim \| \hat { u } \| _ { C ^ { 2 } } ^ { 2 } , \quad C _ { ( { R _ { t b 2 } ^ { 2 } } ) } \lesssim \| \hat { v } \| _ { C ^ { 2 } } ^ { 2 } , \quad C _ { ( | \nabla R _ { t b 1 } | ^ { 2 } ) } \lesssim \| \hat { u } \| _ { C ^ { 3 } } ^ { 2 } , \quad C _ { ( { R _ { i n t 1 } ^ { 2 } } ) } \lesssim \| \hat { u } \| _ { C ^ { 3 } } ^ { 2 } + \| \hat { v } \| _ { C ^ { 2 } } ^ { 2 } , } \\ & { \qquad \qquad C _ { ( { R _ { i n t 2 } ^ { 2 } } ) } , C _ { ( | \nabla R _ { i n t 1 } | ^ { 2 } ) } \lesssim \| \hat { u } \| _ { C ^ { 4 } } ^ { 2 } + \| \hat { v } \| _ { C ^ { 3 } } ^ { 2 } , \quad C _ { ( { R _ { s b } ^ { 2 } } ) } \lesssim \| \hat { v } \| _ { C ^ { 3 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { s p } } } { \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { i n } } } } & { = \frac { i } { S _ { l } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) - n S _ { l } ^ { \prime } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ( k _ { 0 } R ) } \triangleq \chi _ { l } ^ { \mathrm { E } } } \\ { \frac { \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { s p } } } { \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { i n } } } } & { = \frac { i } { S _ { l } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) - n ^ { - 1 } S _ { l } ^ { \prime } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ( k _ { 0 } R ) } \triangleq \chi _ { l } ^ { \mathrm { B } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P ^ { ( v ) } ( { 2 } , { t } ) \gg } & { { } P ^ { ( v ) } ( { z } , { t } ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } z > 0 \mathrm { ~ b ~ u ~ t ~ } z = 2 \, , } \\ { P ^ { ( e ) } ( { 2 } , { t } ) \gg } & { { } P ^ { ( e ) } ( { n } , { t } ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } n > 0 \mathrm { ~ b ~ u ~ t ~ } n = 2 \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 = } & { ( 1 + D H ) Q ^ { 0 } + 2 Q ^ { 1 , 1 } + \sum _ { t = 2 } ^ { H } \left[ ( ( t - 2 ) D + 2 ) Q ^ { 1 , t } + D Q ^ { 2 , t } \right] } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { H - 1 } ( H - t ) D Q ^ { 3 , t } + \sum _ { t = 1 } ^ { H } \left[ D Q ^ { 4 , t } + ( ( H - t + 1 ) D - 1 ) Q ^ { 5 , t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { W ^ { \prime \prime } } T ^ { - 1 } H _ { W ^ { \prime } } T H _ { W } T } & { = \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { W ^ { \prime \prime } / 2 } } & { e ^ { W ^ { \prime \prime } / 2 } } \\ { 0 } & { e ^ { - W ^ { \prime \prime } / 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { W ^ { \prime } / 2 } } & { - e ^ { W ^ { \prime } / 2 } } \\ { 0 } & { e ^ { - W ^ { \prime } / 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { W / 2 } } & { - e ^ { W / 2 } } \\ { 0 } & { e ^ { - W / 2 } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { ( W + W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } } & { - b } \\ { 0 } & { e ^ { - ( W + W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - b } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { b \mathbin { \, \textrm { m o d } \, } h } c _ { h } ( b - c ) e ( b d / h ) } & { = \sum _ { a \mathbin { \, \textrm { m o d } ^ { * } } h } e ( - a c / h ) \sum _ { b \mathbin { \, \textrm { m o d } \, } h } e ( b ( a + d ) / h ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { h e ( d c / h ) } & { \mathrm { w h e n ~ ( d , h ) = 1 ~ } , } \\ { 0 } & { \mathrm { e l s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\mu _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { L o r } } \approx 6 \times 1 0 ^ { - 2 } \, \left( \frac { 1 0 0 \, \mathrm { k p c } } { R _ { \mathrm { s } } } \right) \left( \frac { 1 0 0 \, \mathrm { k p c } } { R } \right) \left( \frac { M } { 1 0 ^ { 1 2 } M _ { \odot } } \right) \left( \frac { D _ { \mathrm { l s } } } { 1 \, \mathrm { G p c } } \right) \ .
\begin{array} { r l } { \Vert } & { \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , \cdot ) \star \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , \cdot - y ) \Vert _ { L ^ { p ^ { \prime } } } ^ { q ^ { \prime } } } \\ & { \lesssim \left( \int \left( \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , z - w ) | \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \frac { | w - z | ^ { \zeta } } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - w ) \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \qquad + \left( \int \left( \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , z - w ) | \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) \mathbb { 1 } _ { | w - z | \geq \frac { 1 } { 2 } ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \qquad + \left( \int \left( \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , z - w ) | \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \frac { | w - z | ^ { \zeta } } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , y - z ) \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \qquad + \left( \int \left( \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , z - w ) | \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) \mathbb { 1 } _ { | w - z | \geq \frac { 1 } { 2 } ( t - u ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { = : I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } + I _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 0 } = - \sum _ { b = 0 , 1 } \sum _ { \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } t ^ { b } \left( \hat { a } _ { L \sigma } ^ { b \dagger } \hat { a } _ { M \sigma } ^ { b } + \hat { a } _ { M \sigma } ^ { b \dagger } \hat { a } _ { R \sigma } ^ { b } + \mathrm { H . c . } \right) } \\ { + \sum _ { b = 0 , 1 } \sum _ { \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } \bigg [ ( \epsilon ^ { b } + \Delta \epsilon ^ { b } ) ( \hat { n } _ { L \sigma } ^ { b } + \hat { n } _ { R \sigma } ^ { b } ) + \epsilon ^ { b } \hat { n } _ { M \sigma } ^ { b } \bigg ] , } \end{array}
\mathcal { L } \left( \boldsymbol \chi , \omega , \lambda _ { j } \right) = \int \frac { 1 } { 2 } \mathcal { E } ^ { 2 } \left( \xi ; \boldsymbol \chi , \omega \right) \mathrm { ~ d ~ } \xi + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { { c o n s } } } } \int \lambda \left( \xi \right) \cdot \mathcal { C } _ { j } \left( \xi ; \boldsymbol \chi , \omega \right) \mathrm { ~ d ~ } \xi ,
\begin{array} { r } { \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { \, e } } \, e ^ { i ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) ( z _ { j } - a ) } = \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { \, i } } + \frac { 2 \pi i \rho \left( e ^ { i ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) ( z _ { j } - 3 a ) } - e ^ { - i ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) a } \right) } { ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) k _ { \mathrm { m } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! S ( 0 ) \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { \, e } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { F \left[ \textbf { q } \left( t \right) , t \right] \approx \left( F _ { k } - F _ { k - 1 } \right) \chi \left( t - t _ { k } \right) } \\ { \chi \left( t \right) = \frac { 1 - e ^ { - \beta \left( t - t _ { k } \right) } } { e ^ { \beta \Delta } - 1 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { Q } & { { } < 1 , } \\ { \mathcal { R } _ { 0 } } & { { } > Q ( 1 - 2 \nu Q ) , } \\ { ( \mathcal { R } _ { 0 } - Q ) ^ { 2 } } & { { } > 4 \nu Q ^ { 2 } ( 1 - \mathcal { R } _ { 0 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | [ S _ { 1 } , S _ { 2 } ] \setminus G [ S _ { 1 } , S _ { 2 } ] | } & { = | S _ { 1 } | | S _ { 2 } | - | G [ S _ { 1 } , S _ { 2 } ] | \leqslant \left( \frac { | V _ { j } | + | V _ { k } | } { 2 } \right) ^ { 2 } - | G [ S _ { 1 } , S _ { 2 } ] | } \\ & { \leqslant \left( \left( \frac { 1 } { 3 } + \varepsilon \right) n \right) ^ { 2 } - \left( \frac { 1 } { 9 } - 2 0 \varepsilon ^ { 1 / 8 } \right) n ^ { 2 } \leqslant 2 1 \varepsilon ^ { 1 / 8 } n ^ { 2 } . } \end{array}
\widetilde { S } ( t , \omega ) ( { \rho } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \mathrm { i } \sigma _ { z } ^ { ( j ) } \sigma _ { z } ^ { ( k ) } { \rho } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \omega = ( j , k , 1 ) , } \\ { \mathrm { i } { \rho } \sigma _ { z } ^ { ( j ) } \sigma _ { z } ^ { ( k ) } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \omega = ( j , k , 2 ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( } & { { } t _ { 3 } , t _ { 2 } , t _ { 1 } ) \! \! = \! \! \left| \mu _ { 0 1 } \right| ^ { 4 } e ^ { - i \omega ( t + \tau ) } \times } \\ { \! \! } & { { } \! \! e ^ { - g ( \tau ) - g ( T _ { w } ) - g ( t ) + g ( \tau + T _ { w } ) + g ( T _ { w } + t ) - g ( \tau + T _ { w } + t ) } , } \\ { R _ { 2 } ( } & { { } t _ { 3 } , t _ { 2 } , t _ { 1 } ) \! \! = \! \! \left| \mu _ { 0 1 } \right| ^ { 4 } e ^ { - i \omega ( t - \tau ) } \times } \\ { \! \! } & { { } \! \! e ^ { - g ( \tau ) + g ( T _ { w } ) - g ( t ) - g ( \tau + T _ { w } ) - g ( T _ { w } + t ) + g ( \tau + T _ { w } + t ) } , } \\ { R _ { 3 } ( } & { { } t _ { 3 } , t _ { 2 } , t _ { 1 } ) \! \! = \! \! \left| \mu _ { 0 1 } \right| ^ { 4 } e ^ { - i \omega ( t - \tau ) } \times } \\ { \! \! } & { { } \! \! e ^ { - g ( \tau ) + g ( T _ { w } ) - g ( t ) - g ( \tau + T _ { w } ) - g ( T _ { w } + t ) + g ( \tau + T _ { w } + t ) } , } \\ { R _ { 4 } ( } & { { } t _ { 3 } , t _ { 2 } , t _ { 1 } ) \! \! = \! \! \left| \mu _ { 0 1 } \right| ^ { 4 } e ^ { - i \omega ( t + \tau ) } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { s g n } \left\{ \operatorname { R e } \tilde { \sigma } _ { k } \right\} } & { { } = \operatorname { s g n } \left\{ - y [ x ^ { 2 } - x _ { k } ^ { 2 } - ( y - y _ { k } ) ^ { 2 } ] + 2 x ^ { 2 } ( y - y _ { k } ) \right\} } \end{array}
Q _ { \mathrm { p } j } = \frac { 1 } { v ^ { N } } \int \hat { \mathrm { D } } \{ \mathbf { R } _ { j } \} \exp \left\{ \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s \left[ - i w _ { \mathrm { p } j } \left( \mathbf { R } _ { j } ( s ) \right) + i \frac { \mathbf { f } _ { j } } { N } \cdot ( \mathbf { R } _ { j } ( s ) - \boldsymbol { \xi } _ { j } ) \right] \right\}
\Vert \bar { p } _ { \alpha } ( v , \cdot ) \Vert _ { L ^ { \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell ^ { \prime } } = \int \frac { 1 } { v ^ { \frac { d \ell ^ { \prime } } { \alpha } } } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { | x | } { v ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { \ell ^ { \prime } ( d + \alpha ) } } \mathrm { d } x = v ^ { - \frac { d } { \alpha } ( \ell ^ { \prime } - 1 ) } \int \frac { 1 } { v ^ { \frac { d } { \alpha } } } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { | x | } { v ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { \ell ^ { \prime } ( d + \alpha ) } } \mathrm { d } x \lesssim v ^ { - \frac { d } { \alpha } ( \ell ^ { \prime } - 1 ) } .
\left( \begin{array} { l } { { \nu _ { a } } } \\ { { \nu _ { b } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \cos { \vartheta } } } & { { \sin { \vartheta } } } \\ { { - \sin { \vartheta } } } & { { \cos { \vartheta } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right) \, ,
\int _ { \bar { z } _ { j } - h / 2 } ^ { \bar { z } _ { j } + h / 2 } - \frac { 2 f _ { j } } { \left( \bar { z } _ { i } - \bar { z } _ { 0 } \right) ^ { 3 } } d \bar { z } _ { 0 } = - f _ { j } \left[ \frac { 1 } { \left( \bar { z } _ { i } - \bar { z } _ { j } - h / 2 \right) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \left( \bar { z } _ { i } - \bar { z } _ { j } + h / 2 \right) ^ { 2 } } \right] \, ,
\begin{array} { r c l } { { a _ { i , \kappa } } } & { { = } } & { { \frac { \kappa } { n - s } + \frac { n - i } { n } - \frac { \gamma } { n ( n - s ) } \, \, \, ( i = 1 , 2 , \dots , n ) , } } \\ { { b _ { i , \kappa } } } & { { = } } & { { \frac { \kappa } { n - s } + \frac { s - i + 1 } { s } - \frac { \gamma } { s ( n - s ) } \, \, \, ( i = 1 , 2 , \dots , s ) , } } \\ { { b _ { i , \kappa } } } & { { = } } & { { \frac { \kappa } { n - s } + \frac { i - s } { n - s } + \frac { \delta _ { i } } { n - s } \, \, \, ( i = s + 1 , \dots , n - 1 ) . } } \end{array}
Q _ { i i } ^ { [ 2 ] } = \sum _ { m _ { 0 } + \cdots + m _ { { D - 1 } } = m } { \frac { D _ { m _ { 0 } \cdots m _ { { D - 1 } } } } { ( m _ { i } + 1 ) ( m _ { i } + 2 ) } } x _ { 0 } ^ { m _ { 0 } } \cdots x _ { i } ^ { m _ { i } + 2 } \cdots x _ { { D - 1 } } ^ { m _ { { D - 1 } } } ,
I _ { 3 } = \frac { 2 e } { h } \left( N \Gamma _ { g } ^ { 2 } \right) \frac { e V } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } - ( e V / 2 ) ^ { 2 } } = \underbrace { G _ { 0 } \frac { \left( N \Gamma _ { g } ^ { 2 } \right) } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } } } _ { G _ { 3 } } \frac { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } V } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } - ( e V / 2 ) ^ { 2 } }
T _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } _ { 2 } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } _ { 4 } } = T _ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } _ { 4 } } ^ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } _ { 2 } }