harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \alpha } & { = f ( z , \bar { z } , r ) d \bar { z } \wedge \bar { \partial } r \wedge r ^ { - 4 \bar { j } } Y ( z _ { i } , \bar { z } _ { i } ) r ^ { - 4 } ( \bar { z } _ { 1 } d \bar { z } _ { 2 } - \bar { z _ { 2 } } d \bar { z } _ { 1 } ) } \\ & { = f ( z , \bar { z } , r ) d \bar { z } \wedge r ^ { 2 ( j - \bar { j } ) } Y ( \frac { z _ { i } } { r } , \frac { \bar { z } _ { i } } { r } ) \frac { 1 } { 2 } r ^ { - 3 } d \bar { z } _ { 1 } \wedge d \bar { z } _ { 2 } . } \end{array}
\lambda _ { 6 } = t r ( S _ { i j } ^ { 2 } W _ { i j } ^ { 2 } ) = - \frac 1 4 ( e _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 2 } w _ { 1 } ^ { 2 } + e _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 3 } ^ { 2 } + e _ { 3 } ^ { 2 } w _ { 1 } ^ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 2 } w _ { 3 } ^ { 2 } + e _ { 3 } ^ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } { \mu _ { 0 } I _ { p } } & { { } = } & { \oint _ { L } \vec { B } \cdot d \vec { l } \approx \oint _ { L } \left( B _ { t } ^ { \mathrm { ~ M ~ P ~ } } - B _ { t } ^ { \mathrm { ~ P ~ F ~ } } \right) \: d l } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { v a r } ( \hat { T } _ { \mathrm { m i n } } ) } & { \lesssim \frac { 2 \tau _ { \mathrm { m i n } } + \sigma _ { \mathrm { w c } } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } } { m _ { \Delta } } , } \\ { \langle \widehat { \bar { n } _ { \mathrm { G } } } \rangle } & { \lesssim \bar { n } _ { \mathrm { w c } } , ~ \mathrm { v a r } ( \widehat { \bar { n } _ { \mathrm { G } } } ) \lesssim \frac { ( 2 \bar { n } _ { \mathrm { w c } } + \nu _ { \mathrm { d e t } } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { \Delta } } . } \end{array}
\sigma _ { 3 } = \sum \sigma _ { 2 } ^ { ( i ) } = ( 8 \Delta _ { 3 , b } + 2 4 \Delta _ { 3 , c } ) - ( 4 8 \Delta _ { 4 , b } + 4 8 \Delta _ { 4 , c } ) + 9 6 \Delta _ { 5 } - 3 2 \Delta _ { 6 } \;
\langle p _ { 3 } ^ { 2 } \rangle = \left( \frac { 8 \ell \ln { 2 \kappa } } { 1 0 R e _ { \ell } W _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \delta _ { i 3 } \delta _ { m 3 } \langle p _ { j } ^ { t } p _ { n } ^ { t } \rangle \langle \Gamma _ { i j } \Gamma _ { m n } \rangle = \left( \frac { 8 \ell \ln { 2 \kappa } } { 1 0 R e _ { \ell } W _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \delta _ { i 3 } \delta _ { m 3 } \langle p _ { j } ^ { t } p _ { n } ^ { t } \rangle \left[ \langle S _ { i j } S _ { m n } \rangle + \langle R _ { i j } R _ { m n } \rangle \right]
\begin{array} { r l } { = } & { { } 2 \mu \left( p - x _ { j } ^ { 2 } \right) \frac { \partial x _ { j } } { \partial t } + 2 \mu d \frac { \partial } { \partial t } \left( x _ { j - 1 } - 2 x _ { j } + x _ { j + 1 } \right) , } \end{array}
| s \rangle \leftrightarrow { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad | s - 1 \rangle \leftrightarrow { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \, , \ldots \, , \quad | - ( s - 1 ) \rangle \leftrightarrow { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad | - s \rangle \leftrightarrow { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } \left[ X ^ { 2 } \right] } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 } \lambda e ^ { - \lambda x } \, d x } \\ & { = \left[ - x ^ { 2 } e ^ { - \lambda x } \right] _ { 0 } ^ { \infty } + \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 x e ^ { - \lambda x } \, d x } \\ & { = 0 + { \frac { 2 } { \lambda } } \operatorname { E } [ X ] } \\ & { = { \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \smash { \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla _ { \! h } v _ { h } ( T ) \vert } , \omega _ { T } } ( y _ { h } ) \lesssim \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla _ { \! h } v _ { h } \vert } , \omega _ { T } } ( y _ { h } ) + \| F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } v _ { h } ( T ) ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } v _ { h } ) \| _ { 2 , \omega _ { T } } ^ { 2 } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { \mathrm { d e g } } ^ { \prime \prime } = [ I ( X ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) - I ( X ; Y _ { 2 } | S _ { 2 } ) ] ^ { + } + H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } , X ) } \\ & { \overset { ( a ) } { = } I ( X ; Y _ { 1 } , S _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) + H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } , X ) } \\ & { = H ( Y _ { 1 } , S _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) - H ( S _ { 1 } | Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , S _ { 2 } , X ) } \end{array}
\sigma _ { i j } ( \omega ) = - \frac { \mathrm { i } } { L ^ { d } } \frac { e ^ { 2 } } { \hbar } \sum _ { n , m } \frac { [ n _ { \mathrm { F } } ( \epsilon _ { n } ) - n _ { \mathrm { F } } ( \epsilon _ { m } ) ] v _ { n m } ^ { i } v _ { m n } ^ { j } } { ( \epsilon _ { n } - \epsilon _ { m } ) ( \epsilon _ { n } - \epsilon _ { m } + \hbar \omega ) }
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } d \, \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \kappa ( \mathbf { x } ) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \right] \, \mathrm { d } \Omega + \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } \\ { = \int _ { \Omega } f ( \mathbf { x } ) \left( \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { d } \Omega - \int _ { \Omega } h _ { T } \left( \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 6 } ^ { * } ( 4 n + 2 ) q ^ { n } } & { \equiv \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 5 } ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } { ( q ; q ) _ { \infty } ^ { 5 } ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } } } \\ & { \equiv \frac { 1 } { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } } \frac { ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ; q ) _ { \infty } } \pmod 2 } \\ & { = \frac { 1 } { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } } \left( \frac { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } } + q \frac { ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } } \right) . } \end{array}
f _ { 1 } ( \beta ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \exp \big ( \beta _ { F } ^ { ( n ) } ( K ) k _ { 1 } \big ) p _ { n } ( k _ { 1 } + K ) \Omega _ { n - 1 } ( K ) \delta \big ( \beta - \beta _ { F } ^ { ( n ) } ( K ) \big ) .
E _ { 0 } ^ { \mathrm { k i n } } [ \eta ] \, = \, \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigl ( L \eta ) \eta \, \mathrm { d } X \, = \, \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \log \Bigl ( \frac { 8 } { D } \Bigr ) \, \eta ( R , Z ) \eta ( R ^ { \prime } , Z ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } X \, \mathrm { d } X ^ { \prime } \, ,
\leq \frac { 1 } { L _ { n , \lambda } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \left\| f _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( x ) \right\| _ { 2 } - \left\| f _ { \lambda } ^ { \prime } ( x ) \right\| _ { 2 } \right| \, \mathrm { d } x + \left\| f _ { \lambda } ^ { \prime } ( x ) \right\| _ { 2 } \left| \frac { 1 } { L _ { \lambda , n } } - \frac { 1 } { L _ { \lambda } } \right| .
H _ { Y , \gamma _ { 5 } } ( x , \xi , t ) = H _ { Y } ( x , \xi , t ) + 8 m _ { q } ^ { 2 } \frac { g _ { Y } ^ { 2 } } { g _ { \phi ^ { 3 } } ^ { 2 } } x H _ { \phi ^ { 3 } } ( x , \xi , t ) \, .
\sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { u ^ { j } } { j ^ { c } } f ( j ) = u \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } u } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { u ^ { j } } { j ^ { c + 1 } } f ( j ) \; .
{ \begin{array} { r l } { y ( x , t ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \xi { \Bigl [ } } & { a _ { + } ( \xi ) \cos { \bigl ( } 2 \pi \xi ( x + t ) { \bigr ) } + a _ { - } ( \xi ) \cos { \bigl ( } 2 \pi \xi ( x - t ) { \bigr ) } + } \\ & { b _ { + } ( \xi ) \sin { \bigl ( } 2 \pi \xi ( x + t ) { \bigr ) } + b _ { - } ( \xi ) \sin \left( 2 \pi \xi ( x - t ) \right) { \Bigr ] } } \end{array} }
J _ { \beta } \left( \partial ^ { \alpha } \mathbb { A } ^ { \beta } - \partial ^ { \beta } \mathbb { A } ^ { \alpha } \right) + \varrho U _ { \beta } \left( \partial ^ { \beta } \frac { \varrho c ^ { 2 } } { p } U ^ { \alpha } - \partial ^ { \alpha } \frac { \varrho c ^ { 2 } } { p } U ^ { \beta } \right) = \varrho U _ { \beta } \left( \partial ^ { \beta } U ^ { \alpha } - \partial ^ { \alpha } U ^ { \beta } \right) = f ^ { \alpha }
\begin{array} { r } { \mathcal { W } _ { 2 } ( \mu _ { k \eta } , \Bar { \nu } _ { k \eta } ^ { r } ) \le C _ { \Bar { \nu } _ { k \eta } ^ { r } } \left( D \left( \mu _ { k \eta } \| \Bar { \nu } _ { k \eta } ^ { r } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \left( \frac { D \left( \mu _ { k \eta } \| \Bar { \nu } _ { k \eta } ^ { r } \right) } { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right) , } \end{array}
( d H _ { i } ) _ { ( \Vec { t ^ { 0 } } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } ( \frac \partial { \partial x _ { 1 } } ) \in T _ { H _ { i } ( \Vec { t ^ { 0 } } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } S _ { 1 , 1 } \ \mathrm { a n d } \ ( d H _ { i } ) _ { ( \Vec { t ^ { 0 } } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } ( \frac \partial { \partial x _ { 2 } } ) \in T _ { H _ { i } ( \Vec { t ^ { 0 } } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } S _ { 1 , 1 } , \ i = 1 , 2 .
\sum _ { l k } \psi ^ { j p , l k } \partial _ { \theta } \hat { M } ^ { l k } + \psi _ { B } ^ { j p , l k } ( \partial _ { \theta } \ln B ) \hat { M } ^ { l k } = \frac { B } { B ^ { \theta } \lambda _ { \mathrm { C } } } c ^ { j p , l k } \hat { M } ^ { l k } + \frac { \partial _ { \theta } \ln B } { B / B _ { 0 } } \left( g _ { p } ^ { j p } \hat { p } _ { \psi } + g _ { t } ^ { j p } \hat { T } _ { \psi } \right) .
\begin{array} { r l } { \Gamma ( r , t ) = } & { { } - \rho _ { \epsilon } \sum _ { j = - 1 } ^ { 1 } \frac { D _ { j } } { C _ { j } } \sin ( C _ { j } \mathrm { ~ u ~ } + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } - \Lambda \varphi _ { p } ^ { ( \epsilon ) } ) - \alpha \frac { 1 - \epsilon ^ { 2 } } { 1 + \epsilon ^ { 2 } } \sum _ { j = - 1 } ^ { 1 } \frac { D _ { j } ^ { 2 } } { 2 C _ { j } } \sin ( 2 C _ { j } \mathrm { ~ u ~ } + 2 \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } ) } \end{array} .
\bigotimes _ { 0 } ^ { n - 1 } H | \psi \rangle = \bigotimes _ { i = 0 } ^ { n - 1 } { \frac { | 0 \rangle + ( - 1 ) ^ { \psi _ { i } } | 1 \rangle } { \sqrt { 2 } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } \bigotimes _ { i = 0 } ^ { n - 1 } { \Big ( } | 0 \rangle + ( - 1 ) ^ { \psi _ { i } } | 1 \rangle { \Big ) } = H | \psi _ { 0 } \rangle \otimes H | \psi _ { 1 } \rangle \otimes \cdots \otimes H | \psi _ { n - 1 } \rangle
\sqrt { - G } T ^ { A B } ( X ) = \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d \sigma d \tau \, ( \dot { X } ^ { A } \dot { X } ^ { B } - X ^ { A } X ^ { B } ) \, \delta ^ { ( 3 ) } ( X - X ( \tau , \sigma ) ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { c _ { \phi , 6 , y _ { f } } } { \Lambda ^ { 2 } } = \frac { g _ { \star } ^ { 2 } } { m _ { \star } ^ { 2 } } , \; \; \; \; \; \frac { c _ { W , B } } { \Lambda ^ { 2 } } = \frac { 1 } { m _ { \star } ^ { 2 } } , \; \; \; \; \; \frac { c _ { 2 W , 2 B } } { \Lambda ^ { 2 } } = \frac { 1 } { g _ { \star } ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \star } ^ { 2 } } , } \\ & { } & { \frac { c _ { T } } { \Lambda ^ { 2 } } = \frac { y _ { t } ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \star } ^ { 2 } } , \; \; \; \; \; \frac { c _ { \gamma , g } } { \Lambda ^ { 2 } } = \frac { y _ { t } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \star } ^ { 2 } } , } \\ & { } & { \frac { c _ { \phi W , \phi B } } { \Lambda ^ { 2 } } = \frac { g _ { \star } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \star } ^ { 2 } } , \frac { c _ { 3 W } } { \Lambda ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \star } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( 1 - \gamma ) } { L _ { \theta } } \| \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n } ) \| ^ { 2 } + \tau \kappa _ { m } \| \nabla e _ { h } ^ { n , j } \| ^ { 2 } + \frac { L } { 2 } \| e _ { h } ^ { n , j } \| ^ { 2 } + \frac { L } { 2 } \| e _ { h } ^ { n , j } - e _ { h } ^ { n , j - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad \leq \frac { L } { 2 } \| e _ { h } ^ { n , j - 1 } \| ^ { 2 } - \tau ( \{ K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) ) - K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n } ) ) \} \nabla \psi _ { h } ^ { n } , \nabla e _ { h } ^ { n , j } ) } \\ & { \quad \quad \quad - \gamma \theta _ { m } \| e _ { h } ^ { n , j - 1 } \| ^ { 2 } - ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n } ) , e _ { h } ^ { n , j } - e _ { h } ^ { n , j - 1 } ) . } \end{array}
S ~ = ~ { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \int d ^ { 2 } \! x \; ( \partial ^ { \mu } \varphi , \partial _ { \mu } \varphi ) ~ = ~ { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \int d ^ { 2 } \! x \; ( D ^ { \mu } g , D _ { \mu } g ) ~ ~ ~ ,
- \frac { i } { \hbar } \int d ^ { 3 } r \chi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \left( \begin{array} { c } { - i \hbar \nabla _ { \mathrm { \bf ~ r } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) } \\ { - i \hbar q _ { a } \nabla _ { \mathrm { \bf ~ r } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) } \end{array} \right) = \int d ^ { 3 } r \nabla \chi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \left( \begin{array} { c } { \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) } \\ { q _ { a } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \nabla \chi ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) } \\ { q _ { a } \nabla \chi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) } \end{array} \right)
V _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ o ~ l ~ e ~ } } ( r , \theta ) = \frac { \hat { r } \cdot p } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r ^ { 2 } } = \frac { p \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \theta } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r ^ { 2 } }
s _ { n } ( \ensuremath { \mathbf { y } } ; \ensuremath { \mathbf { x } } , \boldsymbol { \lambda } , \textbf { l } , \textbf { c } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } \phi ( r ( \ensuremath { \mathbf { y } } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \textbf { l } ) ) + \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } ^ { j } \ensuremath { \frac { \partial \phi } { \partial r _ { p } ^ { j } } } \Bigr | _ { r ( \ensuremath { \mathbf { y } } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \textbf { l } ) } ,
\begin{array} { r } { \mathrm { T r } \big [ \, T _ { \, \, \, j } ^ { i } \, \big ] = - \mathrm { T r } \big [ \, p \, \delta _ { \, \, \, j } ^ { i } \, \big ] + \mathrm { T r } \big [ \, \tau _ { \, \, \, j } ^ { i } \, \big ] = - 3 \, p , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( J _ { f } , M _ { f } , q ) } & { = \xi \sum _ { m _ { s } } \int \mathrm { d } \Omega _ { k } | \langle J _ { f } M _ { f } | \langle \psi _ { c } | \hat { D } _ { q } | 0 0 \rangle | ^ { 2 } } \\ & { = \xi \sum _ { l } \sum _ { j _ { f } } \langle 1 q | j _ { f } ( q - M _ { f } ) J _ { f } M _ { f } \rangle ^ { 2 } | \langle \left[ ( l s ) j _ { f } J _ { f } \right] 1 | | D | | 0 \rangle | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M ( i , j , k ) } & { { } \equiv } & { \left\langle \left( \sigma _ { n n } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { i } \left( \sigma _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right) ^ { j } \left( \sigma _ { n n } ^ { ( 3 ) } \right) ^ { k } \right\rangle } \end{array}
\alpha _ { R S , \, i j } ^ { n } = \alpha _ { R S } ( \mathbf { W } _ { i } ^ { n } , \mathbf { W } _ { j } ^ { n } , \boldsymbol { \eta } _ { i j } ) : = \operatorname* { m a x } \left\lbrace \left| \mathbf { U } _ { i } ^ { n } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { i j } \right| , \left| \mathbf { U } _ { j } ^ { n } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { i j } \right| \right\rbrace + c _ { \alpha } \left\| \boldsymbol { \eta } _ { i j } \right\|
\begin{array} { r l } { \mathbf { C } _ { i } ^ { 2 } = } & { { } \left[ \mathbf { S } _ { i , i } ^ { ( 2 ) } + \mathbf { M } _ { i } ^ { 2 } + \mathbf { C } _ { i - 1 } ^ { \dagger } \mathbf { C } _ { i - 1 } \right. } \end{array}
f _ { k } ^ { \overline { { { ( 2 ) } } } } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \! \mathrm { d } t ^ { \prime } \Delta _ { k , \mathrm { r e t } } ( t - t ^ { \prime } ) V ( t ^ { \prime } ) f _ { k } ^ { \overline { { { ( 1 ) } } } } ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { k } ^ { 0 } ( t - t ^ { \prime } ) }
a ^ { \prime } ( t + d \tau / 2 ) \approx - a ^ { \prime } ( \tau - d \tau / 2 ) + { \frac { 2 a } { d \tau } } \left( - 1 + \sqrt { 1 + 2 { \frac { a ^ { \prime } ( \tau - d \tau / 2 ) } { a } } d \tau + { \frac { f } { a } } d \tau ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { S - 1 } r ^ { k ^ { 2 } } } & { { } \leq \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } r ^ { k ^ { 2 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { S - 1 } r ^ { k ^ { 2 } } + \sum _ { k = S } ^ { \infty } r ^ { k ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( \rho , \theta , \phi ) } & { = \frac { \sin { \theta } \sin { \phi } } { \rho \lambda j } \int \int U ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , 0 ) { e ^ { j k r } } \, d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } } \\ & { = \frac { e ^ { j k \rho } \sin { \theta } \sin { \phi } } { \rho \lambda j } \int \int U ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , 0 ) e ^ { - 2 \pi j ( \frac { X } { \lambda } x ^ { \prime } + \frac { Y } { \lambda } ) y ^ { \prime } } d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } } \\ & { = \frac { e ^ { j k \rho } \sin { \theta } \sin { \phi } } { \rho \lambda j } \int \int U ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , 0 ) e ^ { - 2 \pi j ( \frac { \sin { \theta } \cos { \phi } } { \lambda } x ^ { \prime } + \frac { \cos { \theta } } { \lambda } ) y ^ { \prime } } d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Vec { u } ^ { ( \infty ) } ( \xi ; q _ { 3 } ) } } & { { } { { } = \varDelta ( q _ { 3 } ) \Vec { u } ^ { ( - 1 ) } ( \xi ; q _ { 3 } ) , } } \\ { { \Vec { u } ^ { ( - 1 ) } ( \xi ; q _ { 3 } ) } } & { { } { { } = \varGamma ( q _ { 3 } ) \Vec { u } ^ { ( + 1 ) } ( \xi ; q _ { 3 } ) , } } \\ { { \Vec { u } ^ { ( + 1 ) } ( \xi ; q _ { 3 } ) } } & { { } { { } = \varOmega ( q _ { 3 } ) \Vec { u } ^ { ( \infty ) } ( \xi ; q _ { 3 } ) . } } \end{array}
\pi _ { \frac { \rho } { 2 } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 4 } \pi _ { \frac { \rho } { 2 } } ^ { * } = \pi _ { \frac { \rho } { 2 } } \pi _ { \frac { \rho } { 2 } } ^ { * } = { \bf 1 } _ { \frac { \rho } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \Omega \sim } & { { } \int { \left( \prod _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) \prod _ { p = 1 } ^ { N _ { s } } { \delta \Big ( \Delta \tilde { \ell } _ { p } + \tilde { w } _ { p } \varepsilon \Big ) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { p p } ( F ^ { \prime } | F ) = \frac { 1 } { p ( F ) 2 \pi \sigma _ { F } ^ { 2 } \sqrt { 2 \pi \sigma _ { X } ^ { 2 } } } \int d X \exp \left( \frac { - ( F ^ { \prime } - \alpha X ) ^ { 2 } - ( F - \alpha X ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { F } ^ { 2 } } + \frac { - ( X - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { X } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { T } _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { ( X Y ) } } \right) _ { i l , j k m n } } & { { } = \sum _ { y } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( \langle y | ) _ { k } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { l m } \, ( \langle y | ) _ { n } } \end{array}
\frac { \partial ( 2 ( \nu + \nu _ { T } ) S _ { i j } ) } { \partial x _ { j } } = ( \nu + \nu _ { T } ) \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } + ( \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial U _ { j } } { \partial x _ { i } } ) \frac { \partial \nu _ { T } } { \partial x _ { j } }
\begin{array} { r } { \frac { \Delta ( \nu _ { a } / \nu _ { b } ) } { ( \nu _ { a } / \nu _ { b } ) } = K _ { a , b } \frac { \Delta \left< r _ { N } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { N } ^ { 2 } \right> } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { \begin{array} { c c c } { \left| D - n _ { 1 } p _ { 1 } - \cdots - n _ { r } p _ { r } \right| } & { \longrightarrow } & { \left| \pi ^ { * } D - n _ { 1 } E _ { 1 } - \cdots - n _ { r } E _ { r } \right| } \\ { C } & { \longmapsto } & { C ^ { \sharp } } \end{array} } & & { \mathrm { w h e r e } } & & { C ^ { \sharp } \overset { \mathrm { d e f . } } { = } \pi ^ { * } C - n _ { 1 } E _ { 1 } - \cdots - n _ { r } E _ { r } . } \end{array}
a ( \mathbf { v } , \boldsymbol { \phi } ) : = \int _ { \Omega } 2 p _ { 1 } \nabla \mathbf { v } : \nabla \boldsymbol { \phi } + ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) ( \nabla \cdot \boldsymbol { \phi } ) \, d \Omega
\begin{array} { r l } { d h } & { = 4 c \, \sqrt { \frac { \wp } { ( \wp ^ { 2 } - e _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } \, ( \wp + x ) ( \wp - y ) \, d z , } \\ { d g \cdot \eta } & { = \frac { 2 c \, [ ( x - y ) \, ( 3 \wp \, e _ { 1 } ^ { 2 } - \wp ^ { 3 } ) + \wp ^ { 2 } \, ( 5 e _ { 1 } ^ { 2 } - 3 \wp ^ { 2 } ) - x y \, ( \wp ^ { 2 } + e _ { 1 } ^ { 2 } ) ] } { ( \wp ^ { 2 } - e _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, d z ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { A = \left[ \overbrace { \sum \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { 1 } + \beta \sum G ( k ) \right] ^ { - 1 } = \left[ 1 + \beta \sum G ( k ) \right] ^ { - 1 } } \\ { \pi _ { 1 } ( k _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ a ~ k ~ } } ) = A [ \pi _ { 2 } ( k _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ a ~ k ~ } } ) + \beta \underbrace { G ( k _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ a ~ k ~ } } ) } _ { 1 } ] = A [ \pi _ { 2 } ( k _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ a ~ k ~ } } ) + \beta ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \pi _ { D | D } = } & { ~ \frac { 1 - w _ { I } } { k } \sum _ { k _ { C } ^ { \prime } = 0 } ^ { k - 1 } { \frac { ( k - 1 ) ! } { k _ { C } ^ { \prime } ! ( k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 ) ! } q _ { C | D } ^ { k _ { C } ^ { \prime } } q _ { D | D } ^ { k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 } k _ { C } ^ { \prime } b } } \\ { = } & { ~ \frac { 1 - w _ { I } } { k } ( k - 1 ) q _ { C | D } b . } \end{array}
{ \varphi } _ { q } ( \vec { x } ) = \frac { { u } _ { { \xi } _ { q } , { l } _ { q } } ( r ) } { r } { { Y } } _ { { l } _ { q } } ^ { { m } _ { { l } _ { q } } } ( \Omega ) \left( \begin{array} { l } { { \delta } _ { { m } _ { { s } _ { q } } , \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { \delta } _ { { m } _ { { s } _ { q } } , - \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right) .
\int _ { | c | = 1 } \mathrm { d } c \, f = 2 \int _ { \sum _ { n } P _ { n } = 1 } \prod _ { n } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d } P _ { n } \mathrm { d } \phi _ { n } \right) \, f ,
\begin{array} { r l r } { \epsilon } & { = } & { \frac { \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \pi \mu _ { 0 } \Lambda } \ln \frac { \cos ( \pi X / W ) } { \cos ( \pi / 2 - \pi \xi / 2 W ) } } \\ & { \simeq } & { \frac { \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \pi \mu _ { 0 } \Lambda } \ln \biggl ( \frac { 2 W } { \pi \xi } \cos \frac { \pi X } { W } \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t ) } & { = \langle \phi _ { 0 } \vert e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } \vert \phi _ { 0 } \rangle } \\ { ( f _ { \mathrm { C C } } ( t ) ) _ { \mu } } & { = \langle \mu \vert e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } \vert \phi _ { 0 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { D } } \int _ { \mathcal { D } } | T ^ { * } \varphi ( x ) } & { T ^ { * } \varphi ( x ^ { \prime } ) | \mathbb { E } [ | U ( x ) U ( x ^ { \prime } ) | ] d x d x ^ { \prime } } \\ & { \leq \int _ { \mathcal { D } } \int _ { \mathcal { D } } | T ^ { * } \varphi ( x ) T ^ { * } \varphi ( x ^ { \prime } ) | \sigma ( x ) \sigma ( x ^ { \prime } ) d x d x ^ { \prime } } \\ & { \leq \Bigg ( \int _ { \mathcal { D } } | T ^ { * } \varphi ( x ) | \sigma ( x ) d x \Bigg ) ^ { 2 } < + \infty } \end{array}