harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \left[ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \theta } & { \sin \theta } & { 0 } \\ { - \sin \theta } & { \cos \theta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right] } .
\phi \frac { \partial s } { \partial t } + \frac { \partial f _ { a } } { \partial s } { { \bf v } } \cdot { \bf \nabla } s + { \bf \nabla } \cdot \left( D \frac { \partial p _ { c } } { \partial s } { \bf \nabla } s \right) \, = g _ { s } - \frac { \partial f _ { a } } { \partial c } { { \bf v } } \cdot { \bf \nabla } c - \frac { \partial f _ { a } } { \partial \Gamma } { { \bf v } } \cdot { \bf \nabla } \Gamma - { \bf \nabla } \cdot \left( D \frac { \partial p _ { c } } { \partial \Gamma } { \bf \nabla } \Gamma \right) ,
S = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \Delta \varphi } & { = - \frac { 1 } { \Omega _ { 0 } A _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 k _ { B } T \Gamma _ { 0 } } { m } } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { 0 } } \sin \left( \Omega _ { 0 } t + \varphi \right) \mathrm { d } W } \\ & { = \frac { 1 } { \Omega _ { 0 } A _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 k _ { B } T \Gamma _ { 0 } } { m } } \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } W ( \tau _ { 0 } ) \mathrm { . } } \end{array}
\cos \Bigl ( \frac { \dot { \gamma } } { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) \Bigr ) \simeq 1 - \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \frac { \dot { \gamma } } { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) \Bigr ) ^ { 2 } + o ( \dot { \gamma } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \left| f ( | z _ { 1 } | ^ { 2 } ) - f ( | z _ { 2 } | ^ { 2 } ) \right| } & { = | \beta | \left| | z _ { 1 } | ^ { 2 \sigma } - | z _ { 2 } | ^ { 2 \sigma } \right| } \\ & { \leq \frac { 2 \sigma | \beta | | z _ { 1 } - z _ { 2 } | } { \operatorname* { m i n } \{ | z _ { 1 } | , | z _ { 2 } | \} ^ { 1 - 2 \sigma } } = 2 \sigma | \beta | \frac { | z _ { 1 } - z _ { 2 } | } { | z _ { 2 } | ^ { 1 - 2 \sigma } } . } \end{array}
\frac { I } { I _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } } = \frac { c \epsilon _ { 0 } \Gamma ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } { 4 \, | \langle F , m | \mathbf { d } | F ^ { \prime } , m ^ { \prime } \rangle | ^ { 2 } } .
- \delta ^ { a b } C _ { 1 } C _ { 3 } { \frac { g ^ { 4 } } { 2 p ^ { 2 } } } \Lambda ^ { 3 - \omega } \int { \frac { d ^ { \omega } k } { ( 2 \pi ) ^ { \omega } } } { \frac { k \cdot p + p ^ { 2 } } { | k | ( k + p ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \left| \zeta ( s ) - \sum _ { n = 1 } ^ { \lfloor t \rfloor } n ^ { - s } \right| } & { < \frac { ( t ^ { 1 / 2 } + 1 ) ^ { 1 - \sigma _ { k } } } { \sqrt { \sigma _ { k } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 t ^ { ( 1 - \sigma _ { k } ) / 2 } } + \frac { \sqrt { \sigma _ { k } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } { 1 2 t ^ { ( 1 + \sigma _ { k } ) / 2 } } + \frac { 1 } { 6 ( 1 + \sigma _ { k } ) t ^ { ( 1 + \sigma _ { k } ) / 2 } } } \\ & { \le E _ { k } ( t _ { 0 } ) t ^ { ( 1 - \sigma _ { k } ) / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { \phi } } = \left( \hat { X } , \ldots , \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } , \ldots , \hat { P } , \ldots , \hat { P } _ { \boldsymbol { q } n } , \ldots \right) ^ { \mathrm { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { ( 2 \ell + 1 ) } { [ ( 2 \ell + 1 ) ! ! ] ^ { 2 } } k _ { o } ^ { 2 \ell + 1 } \cot \delta \simeq - \bigg ( 1 - \frac { 2 \ell + 1 } { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } \bigg ) } \\ & { } & { - E \, \, \frac { 2 \ell + 1 } { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } \bigg [ \frac { F _ { 2 } ^ { \prime ( 0 ) } } { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } - \frac { k _ { o } ^ { 2 } } { E } \frac { 1 } { 2 \ell + 3 } \left( 1 + \frac { 1 } { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } - \frac { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } { 2 \ell - 1 } \right) \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , 3 ^ { \prime } } ( \vec { R } , \vec { r } ) = } & { + 2 \, \big ( \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } + \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } \big ) } \\ & { - \phantom { 2 } \, \big ( \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } + \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } \big ) } \\ & { - \phantom { 2 } \, \big ( \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } + \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } \big ) . } \end{array}
\tilde { \rho } _ { n } = \frac { \sum _ { \rho _ { m } \in \mathcal { B } _ { R } ^ { n } } w \left( \mathbf { r } _ { n } , \mathbf { r } _ { m } \right) \rho _ { m } } { \sum _ { \rho _ { m } \in \mathcal { B } _ { R } ^ { n } } w \left( \mathbf { r } _ { n } , \mathbf { r } _ { m } \right) } ,
\operatorname { s v } ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac 1 3 \, , } & { \tau > 1 } \\ { \left( \frac { \tau ^ { 2 } } { 3 } - \tau + 1 \right) \tau \, , } & { \tau \leq 1 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { j } - G ( \omega ) } & { { } \geq ( 1 - p ( \tau ( \Delta _ { j } - \omega ) ) ) \Gamma _ { j } - \operatorname* { m a x } _ { i \neq j } p ( \tau ( \Delta _ { i } - \omega ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { S _ { \hat { x } , \hat { x } } \left( \omega \right) } & { = \left| G _ { \mathrm { i n v } } \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } S _ { z , z } \left( \omega \right) , } & { \left| G _ { \mathrm { i n v } } \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } } & { = \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { - 2 } , } \end{array}
D _ { \mathrm { a d d } } = D _ { 1 } \mathrm { { m a x } ( \ n u _ { \mathrm { m o l } } ) \left( \frac { \Omega _ { \mathrm { c o r e } } } { \Omega _ { \mathrm { s u r f } } } \right) ^ { \ a l p h a } }
\begin{array} { r l } { \delta \dot { R L } } & { { } = b \delta \ell ( t ) - \delta R L ( t ) / { \tau _ { \mathrm { c } } } + \eta _ { R L } ( t ) , } \\ { \dot { \delta x ^ { * } } } & { { } = \gamma \, \delta R L ( t ) - \delta x ^ { * } ( t ) / { \tau _ { \mathrm { r } } } + \eta _ { x } ( t ) . } \end{array}
\mathrm { \left( \begin{array} { l l l } { \mathrm { C } _ { 1 1 } } & { \cdots } & { \mathrm { C } _ { 1 ( n \times q ) } } \\ { \ s v d o t s } & { \ s d d o t s } & { \ s v d o t s } \\ { \mathrm { C } _ { ( m \times p ) 1 } } & { \cdots } & { \mathrm { C } _ { ( m \times p ) ( n \times q ) } } \end{array} \right) , }
\begin{array} { r l r } { U } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } { \bf r } \: \left( \sum _ { i } \delta ( { \bf r } - { \bf r } _ { i } ) - \frac { N } { \Lambda } \right) e ^ { 2 } \phi ( r , 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { G } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) = \hat { G } _ { 0 } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) - \hat { f } ( L , x _ { \mathrm { i } } , s ) \hat { G } _ { 0 } ( x , L , s ) . } \end{array}
- \ \frac { 1 } { 4 \, s ^ { 2 } } \: \left( \partial ^ { \mu } s \, \partial _ { \mu } s \, + \ \partial ^ { \mu } a \, \partial _ { \mu } a \right) \ + \ \frac { \delta } { 4 \, s ^ { 2 } } \: \partial _ { \mu } a \, A _ { X } ^ { \mu } \ - \ \frac { \delta ^ { 2 } } { 1 6 \, s ^ { 2 } } \: A _ { X } ^ { \mu } A _ { X \mu } \ + \ \frac { \delta } { 4 \, s } \: D _ { X }
\mathbf { p } = \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } + \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { d \perp } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { d \perp } + ( \mathbf { p } . \hat { \mathbf { k } } _ { d } ) \hat { \mathbf { k } } _ { d }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { \bar { E } } [ \{ \nu _ { \mathfrak { n } } \} , \{ \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \} ] } & { { } = } & { 4 \, \sum _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n } } \, \Big \langle \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \Big | - \frac { 1 } { 2 } \, \hat { \nabla } ^ { 2 } - \big ( | \vec { r } | ^ { - 1 } + | \vec { r } + R \, \vec { e } _ { z } | ^ { - 1 } \big ) \, \hat { 1 } \Big | \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \Big \rangle } \end{array}
\delta \hat { H } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ^ { \coth } = \frac { i ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) \delta h } { \sinh ^ { 2 } ( ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) h ) } , \qquad \delta \hat { H } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ^ { \operatorname { c s c h } } = - i ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) \coth ( ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) h ) \operatorname { c s c h } ( ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) h ) \delta h .
\lambda _ { \mathrm { d B } } = 1 5 0 \left( \frac { 1 0 ^ { - 2 2 } \mathrm { \, e V } } { m _ { \psi } } \right) \left( \frac { M _ { h } } { 1 0 ^ { 1 2 } \, M _ { \odot } } \right) ^ { - 1 / 3 } \mathrm { p c }
{ \boldsymbol { \tau } } = { \frac { \mathrm { { d } } \mathbf { L } } { \mathrm { { d } } t } } = \mathbf { r } \times \mathbf { F } = { \frac { \mathrm { { d } } ( \mathbf { I } \cdot { \boldsymbol { \omega } } ) } { \mathrm { { d } } t } }
\begin{array} { r } { \psi _ { z } ( t ) = \langle t | \psi _ { z } \rangle = \mathrm { e } ^ { - i \omega t } C _ { \mathrm { L } } \langle 0 | \mathrm { L } \rangle + \mathrm { e } ^ { + i \omega t } C _ { \mathrm { R } } \langle 0 | \mathrm { R } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r c c c r c r c r c r } { P Q } & { = } & { } & { 4 x ^ { 2 } } & { + } & { ( 1 0 x y + 6 x y + 5 x y ) } & { + } & { 2 x ^ { 2 } y } & { + } & { ( 2 x + 1 0 x ) } \end{array}
\psi _ { j , \infty } ^ { ( 2 D ) } ( x _ { \perp j , \infty } ) = \frac { \epsilon _ { j , \infty } \delta } { \ln \alpha _ { \infty } } \ln | x _ { \perp j , \infty } | + \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } h _ { n } ^ { \pm } | x _ { \perp j , \infty } | ^ { \frac { 2 n \pi \mathrm { i } } { \ln \alpha _ { \infty } } } ~ ,
( { \epsilon } _ { \ \nu } ^ { \mu } ) = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { \epsilon _ { \, \, 2 } ^ { 1 } } } & { { \epsilon _ { \, \, 3 } ^ { 1 } } } & { { \epsilon _ { \, \, 4 } ^ { 1 } } } & { { \epsilon _ { \, \, 5 } ^ { 1 } } } \\ { { - \epsilon _ { \, \, 2 } ^ { 1 } } } & { { 0 } } & { { \epsilon _ { \, \, 3 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { \, \, 4 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { \, \, 5 } ^ { 2 } } } \\ { { - \epsilon _ { \, \, 3 } ^ { 1 } } } & { { - \epsilon _ { \, \, 3 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { \epsilon _ { \, \, 4 } ^ { 3 } } } & { { \epsilon _ { \, \, 5 } ^ { 3 } } } \\ { { \epsilon _ { \, \, 5 } ^ { 1 } } } & { { \epsilon _ { \, \, 5 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { \, \, 5 } ^ { 3 } } } & { { \epsilon _ { \, \, 4 } ^ { 4 } } } & { { 0 } } \\ { { \epsilon _ { \, \, 4 } ^ { 1 } \ } } & { { \epsilon _ { \, \, 4 } ^ { 2 } \ } } & { { \epsilon _ { \, \, 4 } ^ { 3 } } } & { { 0 } } & { { - \epsilon _ { \, \, 4 } ^ { 4 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \partial _ { t } \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t , x ) } & { { } = ( - \partial _ { x } ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t , x ) + \frac { \lambda } { 2 } \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t , x - a ) + \frac { \lambda } { 2 } \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t , x + a ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { D } R \partial _ { r } c ( r , \theta , t ) \mid _ { R } } & { { } = } & { 0 , } \\ { k _ { D } R \partial _ { r } c _ { B } ( r , \theta , t ) \mid _ { R } } & { { } = } & { - k _ { 2 } \Theta _ { u } c _ { I } ( R , \theta , t ) , } \\ { k _ { D } R \partial _ { r } c _ { I } ( r , \theta , t ) \mid _ { R } } & { { } = } & { ( k _ { 2 } \Theta _ { u } + k _ { 1 } ) c _ { I } ( R , \theta , t ) } \end{array}
\tilde { \alpha } _ { i } ^ { - 1 } ( \mu ) = \tilde { \alpha } _ { i } ^ { - 1 } ( m _ { 1 } ) - { \frac { \tilde { b } _ { i } } { 2 \pi } } \mathrm { l n } ( { \frac { \mu } { m _ { 1 } } } ) - { \frac { 1 } { 4 \pi } } \sum _ { j } { \frac { \tilde { b } _ { i j } } { \tilde { b } _ { j } } } \mathrm { l n } \left[ { \frac { \tilde { \alpha } _ { j } ( \mu ) } { \tilde { \alpha } _ { j } ( m _ { 1 } ) } } \right] ~ .
W _ { j } = \int _ { \epsilon } ^ { \infty } \frac { d L } { L } \int { \cal D } { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } { \cal D } { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } { \cal D } { \mathrm { \boldmath ~ e ~ } } \exp \left[ - \int _ { 0 } ^ { 1 } d t \left\{ i ( { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } + { \mathrm { \boldmath ~ a ~ } } + { \mathrm { \boldmath ~ C ~ } } ) \cdot { \mathrm { \boldmath ~ e ~ } } L + M L - i { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } \cdot \dot { { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } } \right\} + i j \Xi [ { \mathrm { \boldmath ~ e ~ } } ] \right] ,
v _ { - 1 } = \lambda , \; \; v _ { 0 } = ( 1 - \lambda ) \frac { 2 \mu } { \sqrt Ḋ \pi Ḍ } , \; \; v _ { 1 } = 0 , \; \; v _ { 2 } = \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 } - ( 1 - \lambda ) \frac { 2 \mu ^ { 3 } } { 3 \sqrt Ḋ \pi Ḍ } , \; \; v _ { 3 } = 0 , \ldots .
\beta = f _ { 1 } ^ { \prime } ( e _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { * } \cdots f _ { k ^ { \prime } - 1 } ^ { \prime } ( e _ { k ^ { \prime } - 1 } ^ { \prime } ) ^ { * } f _ { k ^ { \prime } } ^ { \prime } ( f _ { k ^ { \prime } + 1 } ^ { \prime } ) ^ { * } e _ { k ^ { \prime } + 2 } ^ { \prime } ( f _ { k ^ { \prime } + 2 } ^ { \prime } ) ^ { * } \cdots e _ { k ^ { \prime } + l ^ { \prime } } ^ { \prime } ( f _ { k ^ { \prime } + l ^ { \prime } } ^ { \prime } ) ^ { * }
{ \hat { P } } _ { \mu } = \int { \hat { T } } _ { \mu } ^ { \nu } ( x ) d \sigma _ { \nu } ( x ) , \quad { \hat { M } } _ { \mu \nu } = \int { \hat { M } } _ { \mu \nu } ^ { \rho } ( x ) d \sigma _ { \rho } ( x )
\begin{array} { r l } & { f _ { { { \tilde { R } _ { 1 } } } , { { { R _ { 2 } } } } } ( \tilde { r } _ { 1 } , { r _ { 2 } } | \tilde { x } ) = \! \! \int _ { \tilde { W } } \! \! f _ { { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } } ( { { { \tilde { r } } } _ { 1 } } | \tilde { x } , \! \tilde { w } ) f _ { { { { R } } _ { 2 } } } ( { { { r } } _ { 2 } } | \tilde { x } , \! \tilde { w } ) f _ { { { \tilde { W } } } } ( \tilde { w } ) \, \mathrm { d } { \tilde { w } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { L } ^ { ( D ) } ( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ) = \frac { 2 D \left( - 4 \sqrt { \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } + 3 \sqrt { \tau _ { 1 } ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } + ( 2 \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } ) \sin ^ { - 1 } \left( \sqrt { \frac { \tau _ { 1 } } { \tau _ { 2 } } } \right) \right) } { \pi } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { \boldmath ~ S ~ } ( \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s ) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } } \end{array} \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { l l } { \displaystyle \sum _ { k \in M } y _ { k } c _ { k } - s } & { \displaystyle \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { 0 } ^ { T } + \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { k } ^ { T } } \\ { \displaystyle \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { 0 } + \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { k } } & { \displaystyle \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { 0 } + \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { k } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { l } { \displaystyle - s + \big ( \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { 0 } ^ { T } + \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { k } ^ { T } \big ) \mathrm { \boldmath ~ u ~ } + \sum _ { k \in M } y _ { k } c _ { k } } \\ { \nabla _ { u } L ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } ) ^ { T } / 2 } \end{array} \right) , } \end{array}
g _ { c } \, C _ { D _ { 2 } } \frac { \sqrt { - \operatorname * { d e t } g } } { \sqrt { - \operatorname * { d e t } ( g + B ) } } = \pi \kappa _ { 1 0 } \, \mu _ { p } \, \sqrt { - \operatorname * { d e t } g } ,
\begin{array} { r l } { \alpha ( \bigtriangleup x y z + \bigtriangleup x ^ { \prime } y ^ { \prime } z ^ { \prime } ) } & { = \alpha ( \bigtriangleup ( x + x ^ { \prime } , y + y ^ { \prime } , z + z ^ { \prime } ) ) } \\ & { = \bigtriangledown ( y + y ^ { \prime } + z + z ^ { \prime } , x + x ^ { \prime } + z + z ^ { \prime } , x + x ^ { \prime } + y + y ^ { \prime } ) } \\ & { = \bigtriangledown ( y + z , x + z , x + y ) + \bigtriangledown ( y ^ { \prime } + z ^ { \prime } , x ^ { \prime } + z ^ { \prime } , x ^ { \prime } + y ^ { \prime } ) } \\ & { = \alpha ( \bigtriangleup x y z ) + \alpha ( \bigtriangleup x ^ { \prime } y ^ { \prime } z ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 2 2 } ^ { q } = { S _ { 2 2 } ^ { t h } } = S _ { 4 4 } ^ { q } = { S _ { 4 4 } ^ { t h } } = \frac { 8 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } , \mathrm { w i t h } \quad S _ { 2 2 } ^ { s h } = S _ { 4 4 } ^ { s h } = 0 , } \\ { S _ { 3 3 } ^ { q } = S _ { 1 1 } ^ { q } = S _ { 1 1 } ^ { t h } + { S _ { 1 1 } ^ { s h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { N _ { \textrm { I C } } \cap S , D } ( t ) } & { = \frac { \big \langle N _ { \textrm { I C } } ^ { i } ( T ) \cdot S ^ { i } ( T ) \cdot D ^ { i } ( T + t ) \big \rangle _ { i , T } } { { \langle N _ { \textrm { I C } } ^ { i } ( T ) S ^ { i } ( T ) \rangle _ { i , T } \langle D ^ { i } ( T ) \rangle _ { i , T } } } , } \\ { C _ { S , D } ( t ) } & { = \frac { \big \langle S ^ { i } ( T ) \cdot D ^ { i } ( T + t ) \big \rangle _ { i , T } } { \langle S ^ { i } ( T ) \rangle _ { i , T } \langle D ^ { i } ( T ) \rangle _ { i , T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { s i g } [ \omega , P _ { p } ] } & { } & { \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \ e ^ { i \omega \tau } \langle a _ { s i g } ^ { \dag } ( t + \tau ) a _ { s i g } ( t ) \rangle } \\ & { } & { = \frac { \Gamma _ { 0 } G _ { p } L P _ { p r } } { 4 v _ { g } } \frac { \Gamma _ { 0 } n _ { t h } } { \Gamma _ { a S } } \frac { \Gamma _ { a S } } { \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { a S } ^ { 2 } / 4 } . } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \hbar } } \int d q ^ { \prime } | q ^ { \prime } \rangle \operatorname* { l i m } _ { a \rightarrow - \infty } \operatorname* { l i m } _ { b \rightarrow \infty } \left[ i \hbar \delta ( q ^ { \prime } - q ^ { \prime \prime } ) e ^ { i p ^ { \prime } q ^ { \prime \prime } / \hbar } \right] _ { q ^ { \prime \prime } = a } ^ { q ^ { \prime \prime } = b } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \hbar } } \int d q ^ { \prime } | q ^ { \prime } \rangle ( - p ^ { \prime } ) e ^ { i p ^ { \prime } q ^ { \prime } / \hbar }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \operatorname* { m a x } _ { 1 \le i \le n } \bigg | \frac { 1 } { n } \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) [ e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( s , t ) } - \mathbb { E } e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } ] d s \bigg | } & { = O _ { p } ( e ^ { q _ { n } } \sqrt { \log ( n h _ { 1 } ) / ( n h _ { 1 } ) } ) , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \operatorname* { m a x } _ { 1 \le j \le n - 1 } \bigg | \frac { 1 } { n } \sum _ { i \neq j } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) [ e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( s , t ) } - \mathbb { E } e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } ] d s \bigg | } & { = O _ { p } ( e ^ { q _ { n } } \sqrt { \log ( n h _ { 1 } ) / ( n h _ { 1 } ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { \varphi _ { k } } { \mathrm { m i n i m i z e } } } & { \quad \frac { 1 } { 2 } \mathrm { E } _ { \Xi _ { k } } \bigg [ \big \| v ^ { * } - h _ { k } \big ( \varphi _ { k } , \Xi _ { k } \big ) \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \bigg ] } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { \quad \underline { { q } } _ { k } \leq \varphi \leq \overline { { q } } _ { k } , } \end{array}
m _ { t _ { L } } ^ { 2 } = m _ { Q _ { L } } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } + \left( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 2 } { 3 } } s i n ^ { 2 } \theta _ { W } \right) M _ { Z } ^ { 2 } c o s 2 \beta
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) \left( \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \ldots \rho _ { t - 1 } \right) \right) ^ { t } } \\ & { = } & { ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) \left( \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \ldots \rho _ { t - 1 } \right) \cdots ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) \left( \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \ldots \rho _ { t - 1 } \right) } \\ & { = } & { ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) \left( \left( \rho _ { 1 } \ldots \rho _ { t - 1 } \right) ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) \left( \rho _ { 1 } \ldots \rho _ { t - 1 } \right) ^ { - 1 } \right) } \\ & { } & { \left( \left( \rho _ { 1 } \ldots \rho _ { t - 1 } \right) ^ { 2 } ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) \left( \rho _ { 1 } \ldots \rho _ { t - 1 } \right) ^ { - 2 } \right) \cdots } \\ & { } & { \cdots \left( \left( \rho _ { 1 } \ldots \rho _ { t - 1 } \right) ^ { t - 1 } ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) \left( \rho _ { 1 } \ldots \rho _ { t - 1 } \right) ^ { - ( t - 1 ) } \right) \left( \rho _ { 1 } \ldots \rho _ { t - 1 } \right) ^ { t } } \\ & { = } & { ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) ~ \left( \theta \cdot ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) \right) ~ \left( \theta ^ { 2 } \cdot ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) \right) \cdots } \\ & { } & { \cdots \left( \theta ^ { t - 1 } \cdot ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) \right) ~ ( \rho _ { 1 } \ldots \rho _ { t - 1 } ) ^ { t } } \\ & { = } & { ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } ) ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { \theta ( i ) , \theta ( j ) } ^ { a _ { i , j } } ) ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { \theta ^ { 2 } ( i ) , \theta ^ { 2 } ( j ) } ^ { a _ { i , j } } ) \cdots ( \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \kappa _ { \theta ^ { t - 1 } ( i ) , \theta ^ { t - 1 } ( j ) } ^ { a _ { i , j } } ) . } \\ & { = } & { \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \left( \kappa _ { i , j } ^ { a _ { i , j } } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { \theta ^ { - 1 } ( i ) , \theta ^ { - 1 } ( j ) } } \kappa _ { i , j } ^ { a _ { \theta ^ { - 2 } ( i ) , \theta ^ { - 2 } ( j ) } } \cdots \kappa _ { i , j } ^ { a _ { \theta ^ { - ( t - 1 ) } ( i ) , \theta ^ { - ( t - 1 ) } ( j ) } } \right) \mod P V L _ { n } ^ { ' } . } \end{array}
\hat { \rho } _ { b } ( t - \tau ) = e ^ { - \frac { i } { \hbar } ( t - \tau ) ( \hat { B } _ { 1 } + \hat { H } _ { b } ) } \hat { \rho } _ { b } e ^ { \frac { i } { \hbar } ( t - \tau ) ( \hat { B } _ { 1 } + \hat { H } _ { b } ) } .
\left[ \begin{array} { c c c c c c c c c } { b _ { 0 ~ ~ } } & { c _ { 0 ~ ~ } } & & & & & & & \\ { a _ { 1 ~ ~ } } & { b _ { 1 ~ ~ } } & { c _ { 1 ~ ~ } } & & & & & & \\ & { a _ { 2 ~ ~ } } & { b _ { 2 ~ ~ } } & { c _ { 2 ~ ~ } } & & & & & \\ & & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & & & & \\ & & & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & & & \\ & & & & { a _ { n - 1 } } & { b _ { n - 1 } } & { c _ { n - 1 } } & & \\ & & & & & { a _ { n ~ ~ } } & { b _ { n ~ ~ } } \end{array} \right] \left[ { \begin{array} { c } { \psi _ { 0 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { 1 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { 2 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { \psi _ { n - 1 } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { n ~ ~ } ^ { ~ } } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { c } { g _ { 0 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { g _ { 1 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { g _ { 2 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { g _ { n - 1 } ^ { ~ } } \\ { g _ { n ~ ~ } ^ { ~ } } \end{array} } \right] .