harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { { \cal E } ( \Psi , \Psi ^ { * } ) = } \\ { = \int \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla \Psi | ^ { 2 } + \frac 1 2 \omega ^ { 2 } \rho ^ { 2 } | \Psi | ^ { 2 } + \frac 1 2 | \Psi | ^ { 4 } \ln \frac { | \Psi | ^ { 2 } } { \sqrt { e } } \right) \, d ^ { 2 } \rho } \\ { - \mu \int \Psi ^ { * } \Psi \, d ^ { 2 } \rho - \Omega \int \Psi ^ { * } { \hat { L } } \Psi \, d ^ { 2 } \rho . } \end{array}
C _ { i j } = { \left\{ \begin{array} { l l } { - { \frac { 1 } { 2 } } ( \cot \alpha _ { i j } + \cot \beta _ { i j } ) } & { i j { \mathrm { ~ i s ~ a n ~ e d g e } } , } \\ { - \sum _ { k \in N ( i ) } C _ { i k } } & { i = j , } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e , } } } \end{array} \right. }
\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { n } x \, d x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ^ { n } x \, d x = { \frac { ( n - 1 ) ! ! } { n ! ! } } \times { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } n { \mathrm { ~ i s ~ o d d } } } \\ { { \frac { \pi } { 2 } } } & { { \mathrm { i f ~ } } n { \mathrm { ~ i s ~ e v e n . } } } \end{array} \right. }
\mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { \tau _ { h } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } _ { \tau _ { h } } \mathbf { X } _ { \tau _ { h } } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { \tau _ { h } } ) = \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { A } _ { h } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { A } _ { h } \mathbf { A } _ { h } } + \lambda \mathbf { W } _ { h } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { A } _ { h } ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } } & { = \mu _ { + } ^ { 2 } f _ { + + } + \mu _ { - } ^ { 2 } f _ { -- } + \mu _ { + } \mu _ { - } ( f _ { + - } + f _ { - + } ) , \quad \mathcal { S } = f _ { + + } + f _ { -- } - f _ { - + } - f _ { + - } } \\ { \mathcal { T } _ { 1 } } & { = \mu _ { + } f _ { + + } - \mu _ { + } f _ { + - } + \mu _ { - } f _ { - + } - \mu _ { - } f _ { -- } , \quad \mathcal { T } _ { 2 } = \mu _ { + } f _ { + + } + \mu _ { - } f _ { + - } - \mu _ { + } f _ { - + } - \mu _ { - } f _ { -- } . } \end{array}
\boldsymbol { W _ { 1 } } ^ { i } \leftarrow \{ \boldsymbol { W } _ { C _ { i } } ^ { 1 , 2 , 3 } , \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 4 } \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 5 } \}
\left\{ \begin{array} { l } { \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { 0 } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { p } \mathbf { A } _ { k } \mathbf { \Gamma } ( - k \tau ) + \mathbf { U } \; \; \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i = 0 } \\ { \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { i } ) \; = \sum _ { k = 1 } ^ { p } \mathbf { A } _ { k } \mathbf { \Gamma } ( i - k \tau ) \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i \neq 0 } \end{array} \right.
b _ { t } ^ { \theta , \mathbf { c } , \mathbf { d } } = \frac { \delta } { \lambda } a _ { t } ^ { \theta } + \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { a ^ { \prime } } c _ { i ^ { \prime } } \frac { \delta } { p _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } \gamma _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } + \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { b ^ { \prime } } d _ { j ^ { \prime } } \frac { \delta } { q _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } } \mu _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\{ \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { X } } \left( X , \dot { X } , t \right) \right\} } & { = \left( \dot { \gamma } e ^ { \gamma } + \mu \left( \dot { \beta } + \dot { \gamma } \right) e ^ { \beta + \gamma } \right) \left( \nabla h \left( X + e ^ { - \alpha } \dot { X } \right) - \nabla h ( X ) \right) } \\ & { \quad + e ^ { \gamma } \left( 1 + \mu e ^ { \beta } \right) \left( \frac { d } { d t } \nabla h \left( X + e ^ { - \alpha } \dot { X } \right) - \frac { d } { d t } \nabla h ( X ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l l } { - \mathbf { X } ^ { * } } & { \mathbf { X } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { U } } \\ { \mathbf { U } ^ { * } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { - \mathbf { X } ^ { * } } & { \mathbf { X } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { B } ^ { * } } & { \mathbf { A } ^ { * } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { R } } \\ { \mathbf { R } ^ { * } } \end{array} \right] } \\ { \left[ \begin{array} { l l } { - \mathbf { X } ^ { * } } & { \mathbf { X } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { U } } \\ { \mathbf { U } ^ { * } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { L _ { 1 } } } & { \mathbf { L _ { 2 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { R } } \\ { \mathbf { R } ^ { * } } \end{array} \right] } \end{array}
\mathbf { \hat { T } } = \frac { \boldsymbol { \dot { \omega } } } { \| \boldsymbol { \dot { \omega } } \| _ { 2 } } , \quad \textrm { w i t h } \quad \| \boldsymbol { \dot { \omega } } \| _ { 2 } = \sqrt { \langle \boldsymbol { \dot { \omega } } , \boldsymbol { \dot { \omega } } \rangle } .
\begin{array} { r l } { n _ { 2 , \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \vec { w } } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) = } & { { } \sum _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } w _ { \operatorname* { m a x } ( \kappa , \kappa ^ { \prime } ) } n _ { s , \kappa \kappa ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } ) n _ { s , \kappa ^ { \prime } \kappa } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \; , } \\ { n _ { 2 , \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \vec { w } } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) = } & { { } - \sum _ { k k ^ { \prime } } f _ { \operatorname* { m a x } ( k , k ^ { \prime } ) } \rho _ { k } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \rho _ { k ^ { \prime } } ^ { * } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N \int _ { - \infty } ^ { \infty } u _ { s } \: d x } & { = } & { \left[ 3 u _ { - } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \epsilon c _ { 1 } u _ { - } ^ { 3 } - \bar { Q } _ { m r } \right] t , } \\ { N \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \frac { 1 } { 2 } u _ { s } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \epsilon \left( c _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } \right) u _ { s } ^ { 3 } \right] \: d x } & { = } & { \left[ 2 u _ { - } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } \epsilon \left( c _ { 1 } + 3 c _ { 2 } - 6 c _ { 3 } \right) u _ { - } ^ { 4 } - \bar { Q } _ { e r } \right] t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { d } = } & { \frac { i k _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \pi } \int \frac { d ^ { 2 } \mathbf { q } } { w } \left[ t _ { \parallel } \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } + t _ { \perp } \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } \right] } \\ & { \exp \left[ i \mathbf { q } \cdot \left( \boldsymbol { \rho } - \boldsymbol { \rho } _ { d } \right) - i w _ { d } z _ { d } + i w \left( z - f \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I I _ { \delta } | } & { \leq \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \eta _ { \delta } | | u | ^ { 3 } | \nabla \chi _ { \delta } | \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } \tau \leq \int _ { 0 } ^ { T } | \eta _ { \delta } ( \tau ) | \| u ( \tau ) \| _ { L ^ { r } ( B _ { 2 \delta } ( x ) ) } ^ { 3 } \| \nabla \chi _ { \delta } \| _ { L ^ { \frac { r } { r - 3 } } } \, \mathrm { d } \tau } \\ & { \lesssim \delta ^ { d \frac { r - 3 } { r } - 1 } \int _ { 0 } ^ { T } | \eta _ { \delta } ( \tau ) | \| u ( \tau ) \| _ { L ^ { r } ( B _ { 2 \delta } ( x ) ) } ^ { 3 } \, \mathrm { d } \tau \leq \delta ^ { d \frac { r - 3 } { r } - 1 } \| u \| _ { L ^ { q } L ^ { r } ( \mathcal { C } _ { 2 \delta } ^ { \alpha } ( x , t ) ) } ^ { 3 } \| \eta _ { \delta } \| _ { L ^ { \frac { q } { q - 3 } } } } \\ & { \lesssim \| u \| _ { L ^ { q } L ^ { r } ( \mathcal { C } _ { 2 \delta } ^ { \alpha } ( x , t ) ) } ^ { 3 } \delta ^ { d \frac { r - 3 } { r } - 1 + \alpha \frac { q - 3 } { q } } . } \end{array}
\xi _ { 1 } = \; ( \xi _ { 1 } ^ { 0 } \cos { \varphi _ { l } } + \xi _ { 2 } ^ { 0 } \sin { \varphi _ { l } } ) \, / D _ { l } \, , \; \; \xi _ { 2 } = ( - \xi _ { 1 } ^ { 0 } \sin { \varphi _ { l } } + \xi _ { 2 } ^ { 0 } \cos { \varphi _ { l } } ) \, / D _ { l } \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\langle \left( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 3 } \right\rangle \; = \; - \frac { 3 } { \left( \Delta { t } \sqrt { c _ { 3 } } \right) ^ { 3 } } \frac { c _ { 2 } } { c _ { 2 } ^ { 2 } - c _ { 2 } + 1 } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } { \cal R } _ { 4 } } \\ & { } & { = \; - \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \, \left( \frac { 1 - c _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + c _ { 2 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \frac { c _ { 2 } } { c _ { 2 } ^ { 2 } - c _ { 2 } + 1 } \, \left( \frac { k _ { B } T } { m } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, \Gamma _ { 3 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , \Bar 3 ^ { \prime } } ( \vec { R } , \vec { r } ) = } & { { } + 2 \, \big ( \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } - \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla T } & { { } = \left( \frac { p } { 2 } \partial \varphi + i \partial \alpha \right) T , } \\ { \bar { \nabla } T } & { { } = \left( - \frac { p } { 2 } \bar { \partial } \varphi + i \bar { \partial } \alpha \right) T . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F \mathrm { - l e n g t h ~ } ( \gamma ) } & { \geq F \mathrm { - l e n g t h ~ } \left( \gamma | _ { \left[ 0 , t _ { 1 } \right] } \right) + F \mathrm { - l e n g t h ~ } \left( \gamma | _ { \left[ t _ { 2 } , 1 \right] } \right) } \\ & { \geq 2 \alpha \log \left( \frac { H } { \sqrt { \delta ( x ) \delta ( y ) } } \right) + C \frac { L ( [ x , y ] ) } { H ^ { \beta } } - C , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { n m } ^ { L G } ( r , \phi , z ) } & { { } = C _ { n m } ^ { L G } ( 1 / w ) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( - i k r ^ { 2 } / 2 R ) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( - r ^ { 2 } / w ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \, \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { T } ^ { L L } + \mathbf { V } ^ { L L } + \frac { 1 } { 4 c ^ { 2 } } \mathbf { W } ^ { L L } } & { c \boldsymbol { W } ^ { L S } } \\ { c \boldsymbol { \Pi } ^ { S L } } & { \mathbf { V } ^ { S S } - 2 c ^ { 2 } \mathbf { S } ^ { S S } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { A } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right) } \\ & { = E \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { S } ^ { L L } + \frac { 1 } { 2 c ^ { 2 } } \mathbf { T } ^ { L L } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { S } ^ { S S } + \frac { 1 } { 2 c ^ { 2 } } \mathbf { T } ^ { S S } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { A } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right) , } \end{array}
a _ { f } ( p _ { i } , s _ { i } ) \, | \, 0 \, \rangle \; = \; 0 \; \; , \; \; \; \; \; \; n _ { f } ^ { ( i ) } \; = \; \langle \, n _ { f } ^ { ( i ) } \, | \; a _ { f } ( p _ { i } , s _ { i } ) \, a _ { f } ^ { \dagger } ( p _ { i } , s _ { i } ) \, | \, n _ { f } ^ { ( i ) } \, \rangle \; .
g ^ { \mathrm { G G A } } \in C ^ { 0 } ( [ 0 , \infty ) ^ { 2 } ) \cap C ^ { 1 } ( ( 0 , \infty ) \times [ 0 , \infty ) ) \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } g ^ { \mathrm { G G A } } ( \bar { \rho } , 0 ) = 0 \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \bar { \rho } .
\begin{array} { r l } { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \left( \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } + ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j - 1 } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i , j - 1 } ^ { n } } { 2 \Delta x } \right. } \\ & { \quad \quad \quad - \left. \frac { ( E ^ { x } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i - 1 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i - 1 , j } ^ { n } } { 2 \Delta y } \right) } \\ { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + 1 , j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i + 1 , j - 1 } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i , j - 1 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta y } } \\ { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { ( B ^ { z } ) _ { i , j + 1 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j + 1 } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { A D } } & { \approx \prod _ { n = 1 } ^ { N } U _ { A D } ^ { \lambda _ { n } } , ~ ~ \mathrm { w h e r e } ~ ~ U _ { A D } ^ { \lambda _ { n } } = \exp \left( - i H _ { A D } ^ { \lambda _ { n } } \tau _ { 0 } \right) } \\ { \mathrm { a n d } ~ ~ U _ { C D } } & { \approx \prod _ { n = 1 } ^ { N } U _ { C D } ^ { \lambda _ { n } } , ~ ~ \mathrm { w h e r e } ~ ~ U _ { C D } ^ { \lambda _ { n } } = \exp \left( - i H _ { C D } ^ { \lambda _ { n } } \tau _ { 0 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| D h \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { = 3 \| \nabla h \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + 6 \| \mathrm { d i v } h \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + 6 ( \mathring { R } h , h ) _ { L ^ { 2 } } - 6 \int _ { M } R _ { j l } h _ { j k } h _ { l k } d V _ { g } } \\ & { = 6 \| \mathrm { d i v } h \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + 1 2 ( \mathring { R } h , h ) _ { L ^ { 2 } } , } \end{array}
\rho _ { \mu } ( x ) = \rho _ { \mu ^ { \prime } } ( x ) \frac { q ^ { C ( \mu ) / 2 } + \epsilon ( \mu ) \epsilon ( \mu ^ { \prime } ) x q ^ { C ( \mu ^ { \prime } ) / 2 } } { x q ^ { C ( \mu ) / 2 } + \epsilon ( \mu ) \epsilon ( \mu ^ { \prime } ) q ^ { C ( \mu ^ { \prime } ) / 2 } } , ~ ~ ~ ~ \forall \mu \neq \mu ^ { \prime } .
V _ { \mathrm { d c } } = V _ { \mathrm { a v } } = { \frac { 1 } { { \frac { 2 } { 3 } } \pi } } \int _ { 3 0 ^ { \circ } } ^ { 1 5 0 ^ { \circ } } V _ { \mathrm { p e a k } } \cdot \sin \varphi \cdot \mathrm { d } \varphi = { \frac { 3 \cdot V _ { \mathrm { p e a k } } } { 2 \pi } } \cdot \left( - \cos 1 5 0 ^ { \circ } + \cos 3 0 ^ { \circ } \right) = { \frac { 3 \cdot V _ { \mathrm { p e a k } } } { 2 \pi } } \cdot { \Biggl [ } - \left( - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right) + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } { \Biggl ] } = { \frac { 3 \cdot { \sqrt { 3 } } \cdot V _ { \mathrm { p e a k } } } { 2 \pi } }
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal L = } & { \partial _ { \mu } \left( \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , \mu \nu \lambda } } \delta \psi _ { , \nu \lambda } \right) - \partial _ { \nu } \left( \partial _ { \mu } \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , \mu \nu \lambda } } \delta \psi _ { , \lambda } \right) } \\ & { + \partial _ { \lambda } \left( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , \mu \nu \lambda } } \delta \psi \right) - \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \partial _ { \lambda } \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , \mu \nu \lambda } } \delta \psi } \\ & { + \partial _ { \mu } \left( \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \partial _ { \mu } \psi \right) - \partial _ { \mu } \left( \partial _ { \mu } \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \psi \right) } \\ & { + \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \psi } \\ & { + \partial _ { \mu } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \psi ) } \delta \psi \right) - \partial _ { \mu } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \psi ) } \delta \psi } \\ & { + \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi } \delta \psi + \frac { \partial \mathcal L } { \partial x ^ { \mu } } \delta x ^ { \mu } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { C } ( \omega ) } & { = \vec { X } _ { \mathrm { D M } } + \frac { 2 \vec { X } _ { \mathrm { D M , \parallel } } ( 1 + r ) \cos ( \frac { \omega L } { 2 c } ) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, , } \\ { \vec { D } ( \omega ) } & { = \frac { 2 \vec { X } _ { \mathrm { D M , \parallel } } ( 1 - r ) \sin ( \frac { \omega L } { 2 c } ) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\langle \mathrm { ~ R ~ x ~ n ~ } _ { d e g } \rangle = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } c r ^ { 2 } i _ { d e g } d c d r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 3 } g ( r ) d r } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } \langle i _ { d e g } \rangle g ( r ) d r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 3 } g ( r ) d r } ,
\widetilde V _ { 1 } ( \psi , z ) = : \prod _ { a = 1 } ^ { M } { \frac { i } { ( m _ { a } - 1 ) ! } } { \frac { d ^ { m _ { a } } } { d z ^ { m _ { a } } } } C _ { + } ^ { i _ { a } } ( z ) \prod _ { b = 1 } ^ { N } { \frac { i } { ( n _ { b } - 1 ) ! } } { \frac { d ^ { n _ { b } } } { d z ^ { n _ { b } } } } C _ { - } ^ { j _ { b } } ( z ) e ^ { i { \frac { \bar { \lambda } } { \alpha } } \cdot C _ { + } ( z ) } e ^ { i { \frac { \lambda } { \alpha } } \cdot C _ { - } ( z ) } : \gamma _ { \lambda } \, ,
D ^ { - ( n _ { 1 } ) } \beta ^ { n _ { 2 } } ( x ) = \left( \Delta ^ { - n _ { 1 } } * \beta ^ { n _ { 1 } + n _ { 2 } } \left( \cdot - \frac { n _ { 1 } } { 2 } \right) \right) ( x ) .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { A } - \alpha _ { S } } & { = - \frac { ( a - l _ { s } ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { s } ^ { 2 } ) } + \frac { ( a - l _ { s } ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 2 } / 3 + \sigma _ { s } ^ { 2 } ) } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \ln \left[ \frac { 8 \sigma ^ { 2 } / 3 + 8 \sigma _ { s } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } + 5 \sigma _ { s } ^ { 2 } + \sqrt { ( \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { s } ^ { 2 } ) ( \sigma ^ { 2 } + 9 \sigma _ { s } ^ { 2 } ) } } \right] \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial r ( x _ { \tau + 1 } , u _ { \tau + 1 } ) } { \partial \theta } = \underbrace { \frac { \partial r _ { \tau + 1 } } { \partial x _ { \tau + 1 } } } _ { k n o w n } \frac { \partial x _ { \tau + 1 } } { \partial \theta } + \underbrace { \frac { \partial r _ { \tau + 1 } } { \partial u _ { \tau + 1 } } } _ { k n o w n } \frac { \partial u _ { \tau + 1 } } { \partial \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textstyle g _ { \xi , \gamma } ^ { + } \bigl ( ( 1 + \theta _ { \eta } ) e _ { \eta } \bigr ) } & { \leq } & { ( 1 - \lambda _ { \xi , \gamma } ^ { + } ) ( 1 + \theta _ { \xi } ) + \lambda _ { \xi , \gamma } ^ { + } ( 1 + \theta _ { \xi } ) \mu _ { \xi } } \\ & { = } & { 1 + \theta _ { \xi } + \lambda _ { \xi , \gamma } ^ { + } ( \mu _ { \xi } + \theta _ { \xi } \mu _ { \xi } - 1 - \theta _ { \xi } ) \leq 1 , } \end{array}
\mathcal { P } ^ { \tilde { Z } ^ { T , t } } ( \widetilde { X } _ { [ 0 , t ] } \vert \widetilde { X } ( 0 ) ) = \mathcal { P } ^ { Z ^ { t } } ( \widetilde { X } _ { [ 0 , t ] } \vert \widetilde { X } ( 0 ) ) ,
\begin{array} { l } { { \Psi ( x ) = R ( { \bf B } _ { f } ) \Psi _ { f } ( x _ { f } ) , \quad \bar { \Psi } ( x ) = \bar { \Psi } _ { f } ( x _ { f } ) \widetilde { R } ^ { + } ( { \bf B } _ { f } ) , } } \\ { { g ^ { \mu } ( x ) \nabla _ { \mu } \Psi ( x ) = S ( B _ { f } ) R ( { \bf B } _ { f } ) \gamma ^ { l } D _ { l } \Psi _ { f } ( x _ { f } ) , } } \\ { { \left( \nabla _ { \mu } \bar { \Psi } ( x ) \right) g ^ { \mu } ( x ) = S ( B _ { f } ) \left( D _ { l } \bar { \Psi } _ { f } ( x _ { f } ) \right) \gamma ^ { l } \widetilde { R } ^ { + } ( { \bf B } _ { f } ) , } } \end{array}
\mathbf { r } _ { M _ { k } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { r } _ { M _ { k } } ^ { \prime } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \sum _ { f \in \mathrm { ~ f ~ a ~ c ~ e ~ s ~ } } w _ { f } ( \mathbf { r } _ { M _ { k } } ^ { \prime } ) = 4 \pi , } \\ { \underset { \mathbf { r } _ { f } } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } } \lVert \mathbf { r } _ { f } - \mathbf { r } _ { M _ { k } } ^ { \prime } \rVert } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \sum _ { f \in \mathrm { ~ f ~ a ~ c ~ e ~ s ~ } } w _ { f } ( \mathbf { r } _ { M _ { k } } ^ { \prime } ) = 0 , } \end{array} \right.
U ( b , \pm z ) \sim 2 ^ { - \frac { 1 } { 4 } - \frac { b } { 2 } } \Gamma \left( \frac { 1 } { 4 } - \frac { b } { 2 } \right) \left( \frac { t } { \xi ^ { 2 } - 1 } \right) ^ { 1 / 4 } \left\{ \begin{array} { l l } { { A _ { i } } } & { { ( t ) } } \\ { { B _ { i } } } & { { ( t ) } } \end{array} \right.
\| \partial _ { t } ( t ^ { i - r } \partial _ { t } ^ { i - 1 } q ) \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } \le \| ( i - r ) t ^ { i - 1 - r } \partial _ { t } ^ { i - 1 } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } + \| t ^ { i - r } \partial _ { t } ^ { i - 1 } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } ,
\begin{array} { r l } & { W _ { i j } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega , \omega ^ { \prime } ) = \sum _ { n , m , v } H ( \omega _ { n } ) \int d z ^ { \prime } \int \frac { d { { \bf k } _ { \parallel } } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \\ & { \times \overline { G } _ { i v } ( { { \bf k } _ { \parallel } } , z _ { 1 } , z ^ { \prime } , \omega , \omega _ { n } ) \overline { G } _ { j v } ^ { * } ( { { \bf k } _ { \parallel } } , z _ { 2 } , z ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } , \omega _ { m } ^ { \prime } ) } \\ & { \times e ^ { i { { \bf k } _ { \parallel } } \cdot ( { \bf R } _ { 1 } - { \bf R } _ { 2 } ) } \delta ( \omega _ { n } - \omega _ { m } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \uppercase { \mathbf { F } } } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } \left( { \uppercase { \mathbf { N } } } _ { k } ^ { T } \otimes \left( { \uppercase { \mathbf { I } } } _ { M _ { e } } + { \uppercase { \mathbf { P } } } { \uppercase { \mathbf { N } } } _ { k } { \uppercase { \mathbf { P } } } ^ { H } \right) ^ { - 1 } \right) = \mathrm { { d i a g } } \left( { \uppercase { \mathbf { F } } } _ { 1 } , \cdots , { \uppercase { \mathbf { F } } } _ { K } \right) , } \end{array}
\mu _ { 1 } ^ { \Delta } = \left( \mu _ { 1 } ^ { A } , m _ { 1 } ^ { I } \right) , \; \nu _ { 2 } ^ { \Delta } = \left( \nu _ { 2 } ^ { A } , n _ { 2 } ^ { I } \right) , \; \nu _ { 3 } ^ { \Delta } = \left( \nu _ { 3 } ^ { A } , n _ { 3 } ^ { I } \right) , \; \omega ^ { \Delta } = \left( \omega ^ { A } , o ^ { I } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { { 2 } { \mathrm { N e t ~ C a s h ~ F l o w s ~ f r o m ~ F i n a n c i n g ~ A c t i v i t i e s } } = } & { \left[ { \mathrm { D i v i d e n d s ~ r e c e i v e d ~ f r o m ~ } } 3 ^ { \mathrm { { r d } } } { \mathrm { ~ p a r t i e s } } \right] } \\ & { - \left[ { \mathrm { D i v i d e n d s ~ p a i d ~ t o ~ } } 3 ^ { \mathrm { { r d } } } { \mathrm { ~ p a r t i e s } } \right] } \\ & { - [ { \mathrm { D i v i d e n d s ~ p a i d ~ t o ~ N C I ~ b u t ~ n o t } } } \\ & { { \mathrm { i n t r a c o m p a n y ~ d i v i d e n d ~ p a y m e n t s } } ] } \end{array} }
\mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( n ) } \sim \frac { 2 ^ { 1 - D } D g _ { W } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } \sqrt { \pi ^ { D } } \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) ( D - 8 n - 4 ) } \Lambda ^ { D - 8 n - 4 } \, ,
{ \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { \theta = 0 } ^ { \pi } \int _ { \varphi = 0 } ^ { 2 \pi } Y _ { \ell } ^ { m } \, Y _ { \ell ^ { \prime } } ^ { m ^ { \prime } } { } ^ { * } d \Omega = \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } \, \delta _ { m m ^ { \prime } } .
G ( \{ w \} ) = \Bigg ( G _ { i j } ^ { - } ( \{ w \} ) \Bigg | \left. \begin{array} { l l l } { { i } } & { { \downarrow } } & { { 0 , 1 , \ldots , n } } \\ { { j } } & { { \rightarrow } } & { { 0 , 1 , \ldots , n } } \end{array} \right. \Bigg ) ;
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle A , p | \hat { O } | B , q \rangle = S _ { p q } \, O _ { A B } + o _ { p q } \, \delta _ { A B } + \langle O \rangle _ { \mathrm { c o r e } } \, W _ { p q } ^ { B A } + } \\ & { } & { + { \sum _ { r } } ^ { \prime } \left( W _ { p r } ^ { B A } o _ { r q } + o _ { p r } W _ { r q } ^ { B A } \right) + { \sum _ { r s } } ^ { \prime } o _ { r s } P _ { p s , q r } ^ { B A } , } \end{array}