harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S _ { \eta \eta } ( \omega , \theta ) = S _ { \eta \eta } ( \omega ) D ( \theta ) \leq \operatorname* { m a x } _ { \theta \in \left[ 0 , 2 \pi \right] } \{ D ( \theta ) \} S _ { \eta \eta } ( \omega ) = D _ { 0 } S _ { \eta \eta } ( \omega )
{ \begin{array} { r l } { q } & { = \underbrace { v _ { y } ^ { \prime } \rho c _ { P } T ^ { \prime } } _ { \mathrm { e x p e r i m e n t a l ~ v a l u e } } = - k _ { \mathrm { t u r b } } { \frac { \partial { \overline { { T } } } } { \partial y } } \, ; } \\ { \tau } & { = \underbrace { - \rho { \overline { { v _ { y } ^ { \prime } v _ { x } ^ { \prime } } } } } _ { \mathrm { e x p e r i m e n t a l ~ v a l u e } } = \mu _ { \mathrm { t u r b } } { \frac { \partial { \overline { { v } } } _ { x } } { \partial y } } \, ; } \end{array} }
J _ { q } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \zeta - 1 } ^ { 1 } \frac { d x } { 1 - \frac { \zeta } { 2 } } \, x [ H ^ { q } ( x , \zeta , t = 0 ) + E ^ { q } ( x , \zeta , t = 0 ) ] .
\begin{array} { r l r } { \varphi ( x ) } & { = } & { \sum _ { n + m = 0 } ^ { \infty } { \varphi } _ { m } ^ { n } ( x ) \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { n } } { n ! } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { m } } { m ! } , } \\ { W _ { i } ( x ) } & { = } & { \sum _ { n + m = 0 } ^ { \infty } { W _ { i } } _ { m } ^ { n } ( x ) \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { n } } { n ! } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { m } } { m ! } , } \\ { c _ { i } ( x ) } & { = } & { \sum _ { n + m = 0 } ^ { \infty } { c _ { i } } _ { m } ^ { n } ( x ) \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { n } } { n ! } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { m } } { m ! } . } \end{array}
{ \tilde { \sigma } } _ { \pm } = 0 . 5 \, \sigma \left( 1 \pm \frac { 4 } { 3 } A _ { \mathrm { F B } } \right) = \frac { 7 } { 6 } \sigma _ { \mathrm { F , B } } - \frac { 1 } { 6 } \sigma _ { \mathrm { B , F } } .
{ \begin{array} { r l } { ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { x } = \operatorname* { l i m } _ { S ^ { \perp \mathbf { \hat { x } } } \to 0 } { \frac { \int _ { \partial S } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { \ell } } { \iint _ { S } d S } } } & { = { \frac { A _ { z } ( y + d y ) \, d z - A _ { z } ( y ) \, d z + A _ { y } ( z ) \, d y - A _ { y } ( z + d z ) \, d y } { d y \, d z } } } \\ & { = { \frac { \partial A _ { z } } { \partial y } } - { \frac { \partial A _ { y } } { \partial z } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } ( k , t ) } & { = \tilde { \rho } ( k , t _ { 0 } ) + \frac { b k + a } { b k } e ^ { - a t _ { 0 } } \cosh ( b k t _ { 0 } ) \times } \\ & { \left[ ( b k - a ) ( t - t _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 ! } ( b k - a ) ^ { 2 } ( t - t _ { 0 } ) ^ { 2 } + \cdots \right] } \\ & { = \tilde { \rho } ( k , t _ { 0 } ) \times } \\ & { \left[ 1 + ( b k - a ) ( t - t _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 ! } ( b k - a ) ^ { 2 } ( t - t _ { 0 } ) ^ { 2 } + \cdots \right] } \\ & { = \tilde { \rho } ( k , t _ { 0 } ) e ^ { ( b k - a ) ( t - t _ { 0 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ^ { m i s i c } \bigcap \sum _ { l \in \textup { \textbf { b e l o w } } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } \leq x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } \bigcap } & { \sum _ { l \in \textup { \textbf { a b o v e } } ( s ) } z _ { l } \leq 1 - x _ { V ( s ) C ( s ) } } \\ & { \implies Q ^ { m i s i c } \bigcap \sum _ { l \in \textup { \textbf { l e f t } } ( s ) } z _ { l } \leq x _ { V ( s ) C ( s ) } - x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } } \end{array}
\Tilde { \lambda } _ { 1 } \equiv \frac { c _ { 1 } N } { \hbar \omega _ { x } V ^ { e f f } } = \frac { \lambda _ { 1 } N } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \zeta | \psi _ { S M A } ( \zeta ) | ^ { 4 } .
\Lambda ( \beta ) = { \left[ \begin{array} { l l l l } { { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } } } & { - { \frac { \beta } { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { - { \frac { \beta } { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
\vert z \vert = \left( \frac { c ^ { 2 } B _ { 2 } ^ { ( 1 ) } A _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } { \left( \frac { 1 } { \vert \underline { { g } } _ { ( 1 ) } \vert ^ { 2 } } - c A _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \right) } + c B _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \right) = k ^ { 2 } \left( \frac { c ^ { 2 } B _ { 2 } ^ { ( 2 ) } A _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } { \left( \frac { 1 } { \vert \underline { { g } } _ { ( 2 ) } \vert ^ { 2 } } - c A _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \right) } + c B _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \right) = k ^ { 2 } \vert z \vert .
\begin{array} { r l } { \gamma 1 _ { N _ { j } } } & { = \hat { \gamma } \frac { 1 } { \hat { \gamma } ^ { j } } \gamma ^ { j } 1 _ { N _ { j } } = \hat { \gamma } \frac { 1 } { \hat { \gamma } ^ { j } } \hat { p } ^ { j } = \hat { \gamma } \beta \leq p ^ { 0 } } \\ { \gamma ^ { T } 1 _ { N _ { 0 } } } & { = ( \gamma ^ { j } ) ^ { T } \frac { 1 } { \hat { \gamma } ^ { j } } \hat { \gamma } ^ { T } 1 _ { N _ { 0 } } \leq ( \gamma ^ { j } ) ^ { T } \frac { 1 } { \hat { \gamma } ^ { j } } \hat { p } ^ { j } = ( \gamma ^ { j } ) ^ { T } \beta = \gamma _ { 1 } ^ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \left( \sum _ { \mu : \mu \neq \alpha } R _ { \alpha \mu } ^ { ( i ) } H _ { \mu i } R _ { i \beta } ^ { ( \alpha ) } X _ { i \beta } \right) } & { \prec \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha } \left| \sum _ { \beta : \beta \neq \alpha } \left[ \sum _ { \mu : \mu \neq \alpha } R _ { \alpha \mu } ^ { ( i ) } H _ { \mu i } \right] R _ { i \beta } ^ { ( \alpha ) } X _ { i \beta } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \prec \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha } \left[ \sum _ { \beta : \beta \neq \alpha } N ^ { - 1 / 2 } \left| R _ { i \beta } ^ { ( \alpha ) } X _ { i \beta } \right| \right] ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \prec N ^ { - 1 / 2 } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } P _ { h } } { \mathrm { d } t } = ( \boldsymbol { 1 } _ { \omega } , f _ { h } ( \mathbf { u } ) ) _ { \omega } = ( \boldsymbol { 1 } _ { \Omega } , \mathbf { W } f _ { h } ( \mathbf { u } ) ) _ { \Omega } = ( \mathbf { 1 } _ { \Omega } , f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) + \mathbf { c } ( \mathbf { u } ) ) _ { \Omega } = ( \mathbf { 1 } _ { \Omega } , \mathbf { c } ( \mathbf { u } ) ) _ { \Omega } = 0 ,
\left( { \frac { \partial U } { \partial x } } \right) _ { y } \! d x + \left( { \frac { \partial U } { \partial y } } \right) _ { x } \! d y = T \left( { \frac { \partial S } { \partial x } } \right) _ { y } \! d x + T \left( { \frac { \partial S } { \partial y } } \right) _ { x } \! d y - P \left( { \frac { \partial V } { \partial x } } \right) _ { y } \! d x - P \left( { \frac { \partial V } { \partial y } } \right) _ { x } \! d y
S _ { q } ^ { 2 } = \left( \frac { q } { q - 1 } \right) ^ { 2 } \left[ \frac { { \overline { { W } } } _ { q - 2 } ^ { 2 } } { { \overline { { W } } } _ { q - 1 } ^ { 4 } } s _ { q } ^ { 2 } + \frac { 4 { \overline { { W } } } _ { q } ^ { 2 } { \overline { { W } } } _ { q - 2 } ^ { 2 } } { { \overline { { W } } } _ { q - 1 } ^ { 6 } } s _ { q - 1 } ^ { 2 } + \frac { { \overline { { W } } } _ { q } ^ { 2 } } { { \overline { { W } } } _ { q - 1 } ^ { 4 } } s _ { q - 2 } ^ { 2 } + \varrho _ { q } \right] ,
\sigma _ { a ^ { \dagger } a } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 4 } } \biggl ( \mu _ { 1 } ^ { 2 } + \mu _ { 4 } ^ { 2 } + ( m _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \mu _ { 3 } ^ { 2 } + { \frac { \mu _ { 2 } ^ { 2 } } { ( m _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } } { \frac { m _ { 0 } \omega _ { 0 } } { \hbar } } \biggr ) \, ,
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } | u | ^ { \zeta - 2 } \Big ( \nu | \nabla u | ^ { 2 } + F ( \cdot , u ) \cdot \nabla u - \frac { u f ( \cdot , u ) } { \zeta - 1 } - \frac 1 2 \sum _ { n \geq 1 } \big [ ( b _ { n } \cdot \nabla ) u + g _ { n } ( \cdot , u ) \big ] ^ { 2 } \Big ) \, d x } & { } \\ { \geq \theta \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } | u | ^ { \zeta - 2 } \big ( | \nabla u | ^ { 2 } - M | u | ^ { 2 } \big ) \, d x - M . } & { } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( 1 - \frac { S } { B _ { 0 } } - \frac { A _ { 0 } r } { B _ { 0 } } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } } & { = } & { - \left[ \frac { \partial \delta f _ { p = 0 } } { \partial t } + \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { 0 } } { 2 1 B _ { 0 } } + \frac { r \dot { S } } { 2 B _ { 0 } } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \right] } \\ & { - } & { \sum _ { m } \left[ \left( i \frac { m \mu A _ { - m } } { q B _ { 0 } \gamma r } + \frac { r \dot { A } _ { - m } } { 7 B _ { 0 } } \right) \delta f _ { m } - \left( \frac { S } { B _ { 0 } } \delta _ { m , 0 } + \frac { A _ { - m } r } { B _ { 0 } } \right) \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial t } \right] } \\ & { - } & { \sum _ { m } \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { - m } } { 2 1 B _ { 0 } } + i m \frac { \mu A _ { - m } } { q B _ { 0 } \gamma } + \frac { r \dot { S } } { 2 B _ { 0 } } \delta _ { m , 0 } \right) \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial r } . } \end{array}
\Lambda \bigg ( \frac { k } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } \bigg ) = 4 \bigg [ \sin ^ { 2 } \bigg ( \frac { \pi k } { n } \bigg ) + \sin ^ { 2 } \bigg ( \frac { \pi k ^ { \prime } } { n } \bigg ) \bigg ] , \quad \mathsf { i } \Omega \bigg ( \frac { k } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } \bigg ) = 2 \mathsf { i } \bigg [ \sin \bigg ( \frac { 2 \pi k } { n } \bigg ) + \sin \bigg ( \frac { 2 \pi k ^ { \prime } } { n } \bigg ) \bigg ] .
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \theta } \partial _ { m _ { \varphi } } p _ { \theta } ( \theta ^ { \prime } , 0 ) d \theta ^ { \prime } = - \epsilon \int \frac { ( m _ { \varphi } - m _ { \psi } U ) d U } { ( 1 - U ^ { 2 } ) \sqrt { 2 I _ { 2 } ( 1 - U ^ { 2 } ) ( E - b U ) - ( m _ { \varphi } - m _ { \psi } U ) ^ { 2 } } } , } \end{array}
{ \it w } _ { 2 n + 2 } ( { \bf p } , { \bf p } _ { 1 } , \ldots , { \bf p } _ { n } ; { \bf p } _ { n + 1 } , \ldots , { \bf p } _ { 2 n + 1 } ) = { \it w } _ { 2 n + 2 } ( { \bf p } _ { 1 } , { \bf p } , \ldots , { \bf p } _ { n } ; { \bf p } _ { n + 1 } , \ldots , { \bf p } _ { 2 n + 1 } ) = \ldots
\begin{array} { r } { F = P _ { 1 } + ( P _ { 1 } + B P _ { 2 } - \Delta ) ^ { 2 } P _ { 1 } , } \\ { F = P _ { 2 } + ( P _ { 2 } + B P _ { 1 } - \Delta ) ^ { 2 } P _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathcal { L } _ { 2 + } } = - i Q _ { + } \otimes { { I } _ { { { n } _ { N H E O M } } } } \otimes M ^ { \prime } } \\ & { = - i \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { } & { } & { } \\ { } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { 0 } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { 1 } \\ { } & { } & { } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb R } \mathscr { L } \partial _ { x } ^ { 4 } h h _ { t } \ d x = - \int _ { \mathbb R } ( h v ) _ { x } \mathscr { L } \partial _ { x } ^ { 4 } h \ d x - \int _ { \mathbb R } v _ { x } \mathscr { L } \partial _ { x } ^ { 4 } h \ d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { P r o j } [ f ( x , y , z _ { k } ) , \mathrm { H G _ { n , p } } ( x , y , z _ { k } ) ] = } \\ { = \int _ { - \Delta X / 2 } ^ { \Delta X / 2 } \int _ { - \Delta Y / 2 } ^ { \Delta Y / 2 } \mathop { d x } \mathop { d y } ~ f ( x , y , z _ { k } ) \times } \\ { \times \mathrm { H G } _ { n , p } ^ { * } ( x , y , z _ { k } ) , } \end{array}
x ^ { m + 1 , n + 1 , M N } = - q ^ { n - m - 1 } \sqrt { \frac { 1 - q ^ { 2 ( m + 1 ) } } { 1 - q ^ { 2 ( n + 1 ) } } } \sum _ { K , L } c _ { K } ^ { * M } c _ { L } ^ { N } x ^ { m n K L }
\tilde { \tau } _ { D } ^ { 1 } = \frac { b _ { 2 0 1 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } \tilde { \alpha } _ { D } - \frac { \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , D } } { \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 1 } } , \ \tilde { \tau } _ { D } ^ { D } = \frac { b _ { 2 0 D } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } \tilde { \alpha } _ { D } + 1 , \ \tilde { \alpha } _ { D } = \frac { b _ { 2 0 D } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } - \frac { \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , D } } { \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \frac { b _ { 2 0 1 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } \mathrm { ~ ~ ~ w ~ i ~ t ~ h ~ ~ ~ } \bar { c } _ { 1 } ^ { 2 } = 1 .
\begin{array} { r l } & { E ( u , \alpha ) ( t ) + \frac 1 2 \| ( v - \beta ) ( t ) \| ^ { 2 } + 1 } \\ { \le \ } & { \exp \Big \{ C \int _ { 0 } ^ { t } \big ( | \alpha ^ { \prime } | + \varepsilon | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | + | \beta _ { 1 } ^ { \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime } | \big ) \mathrm { d } \tau \Big \} \Big ( E ( u _ { 0 } , \alpha _ { 0 } ) + \frac 1 2 \| v _ { 0 } - \beta _ { 0 } \| ^ { 2 } + 1 \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } = \mathcal { P } [ \mathscr { s } _ { ( \pmb { x } , 1 ) } , \mathscr { s } _ { ( \pmb { x } , 2 ) } , . . . , \mathscr { s } _ { ( \pmb { x } , d _ { s } ) } , t ] = \mathcal { P } [ \pmb { \mathscr { s } } , t ] } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \left( \left. \frac { \partial } { \partial x } \right| _ { x = a _ { j } } \widetilde { p } _ { j } ( x , s | a _ { j } - \epsilon ) \right) \neq \left. \frac { \partial } { \partial x } \right| _ { x = a _ { j } } \left( \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \widetilde { p } _ { j } ( x , s | a _ { j } - \epsilon ) \right)
1 . 1 \times 1 0 ^ { 5 } \left( \frac { T _ { \star } } { 1 \, \mathrm { K } } \right) ^ { - 1 } \approx \left( \frac { \ell _ { \star } } { 1 . 4 \, \AA } \right) ^ { 2 } \frac { \left( N _ { \star } - 1 \right) ^ { 2 } } { N _ { \star } + 1 } .
\frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { v } \\ { \eta } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { L } _ { \textrm { O S } } } & { 0 } \\ { \mathbf { C } } & { \mathbf { L } _ { \textrm { S } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { v } \\ { \eta } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \vec { E } } & { { } = } & { 4 \pi \varrho } \\ { \nabla \times \vec { E } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { c } \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } } \\ { \nabla \cdot \vec { B } } & { { } = } & { 0 } \\ { \nabla \times \vec { B } } & { { } = } & { \frac { 4 \pi } { c } \vec { j } + \frac { 1 } { c } \frac { \partial \vec { E } } { \partial t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { M S E } ( { \hat { \theta } } ) = } & { { } ( \operatorname { E } [ { \hat { \theta } } ] - \theta ) ^ { 2 } + \operatorname { E } [ \, ( { \hat { \theta } } - \operatorname { E } [ \, { \hat { \theta } } \, ] ) ^ { 2 } \, ] } \\ { = } & { { } ( \operatorname { B i a s } ( { \hat { \theta } } , \theta ) ) ^ { 2 } + \operatorname { V a r } ( { \hat { \theta } } ) } \end{array}
f = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { \sigma _ { 0 } - \epsilon _ { r } \epsilon _ { 0 } \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { h _ { 0 } } V \right) ^ { 2 } } { 0 . 0 3 5 1 \; b ^ { 4 } \; \lambda ^ { 2 } / h _ { 0 } \; ( M _ { a M } + M _ { a R a d } ) } } ,
R ^ { \prime } = \Vert C \Vert _ { \infty } / \eta + \log ( n ) - 2 \log ( \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq i , j \leq n } \{ p _ { i } ^ { \prime } , q _ { j } ^ { \prime } \} ) \leq 4 \Vert C \Vert _ { \infty } \log ( n ) / \epsilon + \log ( n ) - 2 \log ( \epsilon ) + 2 \log ( 6 4 n \| C \| _ { \infty } ) = \mathcal { O } ( \Vert C \Vert _ { \infty } \log ( n ) / \epsilon )
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { s l o w } } } & { \leq - \log _ { 2 } \left[ ( 1 - \eta _ { \mathrm { t o t } } ) \eta _ { \mathrm { t o t } } ^ { \overline { { n } } ^ { \ast } } \right] - h \left( \overline { { n } } ^ { \ast } \right) , } \\ { \overline { { n } } ^ { \ast } } & { : = \bar { n } / ( 1 - \eta _ { \mathrm { t o t } } ) , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 3 \ d x } { x ^ { 2 } + 1 } } \quad { \mathrm { ~ o r ~ } } \quad \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \ e ^ { - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } .
\partial _ { k } \Gamma _ { k } [ \phi ] = \operatorname * { l i m } _ { \delta k \to 0 } \frac { 1 } { 2 \delta k } \left[ \ln \operatorname * { d e t } \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma _ { k } } { \delta \phi _ { k } ^ { \Lambda } \delta \phi _ { k } ^ { \Lambda } } - \ln \operatorname * { d e t } \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma _ { k } } { \delta \phi _ { k - \delta k } ^ { \Lambda } \delta \phi _ { k - \delta k } ^ { \Lambda } } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \| ( \exp A - \exp A _ { n } ) g \| } \\ { \le } & { \sum _ { k = 0 } ^ { q - 1 } \left\| \frac { A ^ { k } - A _ { n } ^ { k } } { k ! } g \right\| + \left\| \sum _ { k = q } ^ { \infty } \frac { A ^ { k } } { k ! } g \right\| + \left\| \sum _ { k = q } ^ { \infty } \frac { A _ { n } ^ { k } } { k ! } g \right\| < \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { x } ^ { k } } & { = p r o x _ { \frac { 1 } { \rho } f } ( \textbf { z } ^ { k - 1 } - \textbf { y } ^ { k - 1 } ) = \textbf { S } \mathbb { T } _ { \frac { 1 } { \rho } } ( \textbf { S } ^ { H } ( \textbf { z } ^ { k - 1 } - \textbf { y } ^ { k - 1 } ) ) } \\ { \textbf { z } ^ { k } } & { = p r o x _ { \frac { 1 } { \rho } g } ( \textbf { x } ^ { k } + \textbf { y } ^ { k - 1 } ) = \tilde { \textbf { y } } + ( \textbf { I } - \tilde { \textbf { R } } ) ( \textbf { x } ^ { k } + \textbf { y } ^ { k - 1 } ) } \\ { \mathbf { y } ^ { k + 1 } } & { = \mathbf { y } ^ { k } + \mathbf { x } ^ { k + 1 } - \mathbf { z } ^ { k + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( E _ { s } ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \beta _ { j } + \beta _ { j } ^ { - 1 } ) } \end{array}
\left( { \left[ \begin{array} { l } { y _ { 0 } } \\ { y _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } } \\ { \cdots } \\ { y _ { m - 1 } } \end{array} \right] } , { \left[ \begin{array} { l } { y _ { m } } \\ { y _ { m + 1 } } \\ { y _ { m + 2 } } \\ { \cdots } \\ { y _ { 2 m - 1 } } \end{array} \right] } , \ldots , { \left[ \begin{array} { l } { y _ { n - m } } \\ { y _ { n - m + 1 } } \\ { y _ { n - m + 2 } } \\ { \cdots } \\ { y _ { n - 1 } } \end{array} \right] } \right)
\begin{array} { r l } { - c _ { \mathrm { Ḋ } V Ḍ 0 } - V _ { k _ { 0 } } ( x _ { k _ { 0 } } , u _ { k _ { 0 } } ) } & { \leq V _ { N } ( x _ { N } , u _ { N } ) - V _ { k _ { 0 } } ( x _ { k _ { 0 } } , u _ { k _ { 0 } } ) \leq \sum _ { k = k _ { 0 } } ^ { N } ( - c _ { \mathrm { Ḋ } V Ḍ 4 } + \bar { c } _ { \mathrm { Ḋ } V Ḍ 3 } ) T _ { k } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { - c _ { Ḋ } \mathrm { Ḋ } V Ḍ 0 Ḍ - V _ { Ḋ } k _ { 0 } Ḍ ( x _ { Ḋ } k _ { 0 } Ḍ , u _ { Ḋ } k _ { 0 } Ḍ ) - 1 } { c _ { Ḋ } \mathrm { Ḋ } T Ḍ 1 Ḍ } \sum _ { k = k _ { 0 } } ^ { N } T _ { k } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { \bf R } } & { = \frac { 1 } { M } ( m _ { 1 } \vec { \bf r } _ { 1 } + m _ { 2 } \vec { \bf r } _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { M } \big ( m _ { 1 } ( \vec { \bf R } + \vec { \bf r } _ { 1 } ^ { \prime } ) + m _ { 2 } ( \vec { \bf R } + \vec { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } ) \big ) } \\ & { = \frac { 1 } { M } \big ( ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) \vec { \bf R } + m _ { 1 } \vec { r } _ { 1 } ^ { \prime } + m _ { 2 } \vec { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } \big ) } \\ & { = \vec { \bf R } + \frac { m _ { 1 } } { M } \vec { \bf r } _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { m _ { 2 } } { M } \vec { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { \Rightarrow \ 0 } & { = \frac { m _ { 1 } } { M } \vec { \bf r } _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { m _ { 2 } } { M } \vec { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { \vec { \bf r } _ { 1 } ^ { \prime } } & { = - \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } \vec { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } } \end{array}
\frac { 1 } { | \textbf { R } _ { o } - \textbf { r } | } = \frac { 1 } { \sqrt { \textbf { R } _ { o } ^ { 2 } + \textbf { r } ^ { 2 } - 2 \textbf { r R } _ { o } \textrm { c o s } \ \chi } } = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { \textbf { r } ^ { l } } { \textbf { R } _ { o } ^ { l + 1 } } \mathcal { P } _ { l } ( \textrm { c o s } \ \chi )
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial \zeta } { \partial t } } } & { + { \frac { 1 } { a \cos ( \varphi ) } } \left[ { \frac { \partial } { \partial \lambda } } ( u D ) + { \frac { \partial } { \partial \varphi } } \left( v D \cos ( \varphi ) \right) \right] = 0 , } \\ { { \frac { \partial u } { \partial t } } } & { - v \left( 2 \Omega \sin ( \varphi ) \right) + { \frac { 1 } { a \cos ( \varphi ) } } { \frac { \partial } { \partial \lambda } } \left( g \zeta + U \right) = 0 \qquad { \mathrm { a n d } } } \\ { { \frac { \partial v } { \partial t } } } & { + u \left( 2 \Omega \sin ( \varphi ) \right) + { \frac { 1 } { a } } { \frac { \partial } { \partial \varphi } } \left( g \zeta + U \right) = 0 , } \end{array} }
| J , J _ { 3 } > = \left\{ \begin{array} { l l } { { | 1 / 2 , \, 1 / 2 > } } & { { = { \mathrm { h i g h e s t ~ w e i g h t ~ s t a t e } } , } } \\ { { | 1 / 2 , - 1 / 2 > } } & { { = { \mathrm { l o w e s t ~ w e i g h t ~ s t a t e } } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \chi _ { ( i t ) _ { \epsilon } , j } \rightarrow \chi _ { i _ { \epsilon } } \left( l _ { j } ^ { \parallel } , l _ { j } ^ { \perp } , \theta _ { \epsilon } \right) \cdot H _ { \mathrm { T O F } } \left[ l _ { j } ^ { \parallel } , ( l _ { 0 } ^ { \parallel } ) _ { \epsilon } \right] \cdot \left[ H _ { Z } ^ { \mathrm { C R T } } ( z _ { j } , l _ { j } ^ { \parallel } ) * H _ { Z } ^ { \mathrm { p r l x } } ( z _ { j } , l _ { j } ^ { \parallel } , i _ { \epsilon } , \theta _ { \epsilon } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \sigma _ { i } \sigma _ { j } } & { = \sigma _ { j } \sigma _ { i } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { | i - j | > 1 ; } \\ { \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } } & { = \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { i = 1 , \ldots , n - 2 ; } \\ { v _ { i } ^ { 2 } } & { = e } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { i = 1 , \ldots , n - 1 ; } \\ { v _ { i } v _ { j } } & { = v _ { j } v _ { i } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { | i - j | > 1 ; } \\ { v _ { i } v _ { i + 1 } v _ { i } } & { = v _ { i + 1 } v _ { i } v _ { i + 1 } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { i = 1 , \ldots , n - 2 ; } \\ { \sigma _ { i } v _ { j } } & { = v _ { j } \sigma _ { i } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { | i - j | > 1 ; } \\ { v _ { i } \sigma _ { i + 1 } v _ { i } } & { = v _ { i + 1 } \sigma _ { i } v _ { i + 1 } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { i = 1 , \ldots , n - 2 ; } \\ { \gamma _ { i } ^ { 2 } } & { = e } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { i = 1 , \ldots , n ; } \\ { \gamma _ { i } \gamma _ { j } } & { = \gamma _ { j } \gamma _ { i } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { i , j = 1 , \ldots , n ; } \\ { \gamma _ { j } v _ { i } } & { = v _ { i } \gamma _ { j } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { j \neq i , i + 1 ; } \\ { \sigma _ { i } \gamma _ { j } } & { = \gamma _ { j } \sigma _ { i } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { j \neq i , i + 1 ; } \\ { \gamma _ { i + 1 } v _ { i } } & { = v _ { i } \gamma _ { i } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { i = 1 , \ldots , n - 1 ; } \\ { v _ { i } \sigma _ { i } v _ { i } } & { = \gamma _ { i + 1 } \gamma _ { i } \sigma _ { i } \gamma _ { i } \gamma _ { i + 1 } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { i = 1 , \ldots , n - 1 . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { 4 } \mathrm { t r } ( ( D ^ { \mu } U ) ^ { \dagger } ( D _ { \mu } U ) ) , \qquad U = \exp ( 2 i \frac { \pi ^ { a } T ^ { a } } { f _ { \pi } } ) ,
\begin{array} { r l } { \langle A _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } x _ { 0 } , x _ { 0 } \rangle _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } } & { \leq - k | ( \mathcal { Q } _ { 0 } x _ { 0 } ) ( b ) | ^ { 2 } , } \\ { \langle A _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } x _ { 0 } , x _ { 0 } \rangle _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } } & { \leq - k | ( \mathcal { Q } _ { 0 } x _ { 0 } ) ( a ) | ^ { 2 } . } \end{array}