harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { K _ { p q \sigma } ^ { + } } & { { } = \langle \Psi ^ { ( 0 ) } | \hat { f } _ { p q \sigma } ^ { + } | \Psi ^ { ( 0 ) } \rangle = \langle \Psi ^ { ( 0 ) } | \hat { a } _ { p _ { \sigma } } [ \hat { H } , \hat { a } _ { q _ { \sigma } } ^ { \dagger } ] | \Psi ^ { ( 0 ) } \rangle } \\ { K _ { p q \sigma } ^ { - } } & { { } = \langle \Psi ^ { ( 0 ) } | \hat { f } _ { p q \sigma } ^ { - } | \Psi ^ { ( 0 ) } \rangle = \langle \Psi ^ { ( 0 ) } | \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } [ \hat { H } , \hat { a } _ { q _ { \sigma } } ] | \Psi ^ { ( 0 ) } \rangle } \end{array}
c _ { n } ^ { \pm } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { S } } { 4 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } } { 4 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 n } \pm \frac { 1 } { 4 } \left| \frac { \omega _ { S } } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } + \omega _ { S } - 2 \omega _ { C } } { n } \right| \pm \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) ,
\boldsymbol { \Sigma } _ { \mathrm { ~ N ~ P ~ S ~ } } = \mathbf { U } _ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } ^ { * } \boldsymbol { \Lambda } _ { \mathrm { ~ N ~ P ~ S ~ } } \mathbf { U } _ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } }
\sigma _ { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } - p } \stackrel { > } { \sim } 4 \times 1 0 ^ { - 9 } \mathrm { p b } \, \, \mathrm { ~ f o r ~ } \, m _ { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } } \leq 1 4 0 \mathrm { ~ G e V } .
\delta \int d ^ { 4 } x \mathcal { L } = \int d ^ { 4 } x \partial _ { \mu } \left( \frac 1 2 \{ \partial ^ { \mu } \Phi , \delta _ { 0 } \Phi \} _ { \star } + \delta x ^ { \mu } \mathcal { L } + \frac { \lambda } { 1 2 } \frac { \sinh ( \Delta ) } { \Delta } ( \Phi \star \Phi ~ , ~ \tilde { \partial } ^ { \mu } [ \Phi , \delta _ { 0 } \Phi ] _ { \star } ) \right) .
\tilde { V } ( p ^ { 2 } ) = \frac { e ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } - \frac { e ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } - \frac { e ^ { 4 } } { 6 0 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } e ^ { \frac { - 2 p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } } - \frac { 1 1 e ^ { 4 } } { 4 8 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { R ( \tau ; \theta ) = } & { R _ { b } + R _ { p } e ^ { - \gamma _ { e } | \tau | } } \\ & { \times \left( \left( g - 1 \right) e ^ { - \gamma _ { p } | \tau | } + \frac { \cosh { \left( \gamma _ { p } \left( \tau _ { m } - \frac { \Lambda } { 2 } \right) \right) } } { \sinh { \left( \frac { \gamma _ { p } \Lambda } { 2 } \right) } } \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { T _ { x } , T _ { y } , T _ { z } , 1 } \end{array} \right) \cdot \mathbf { c } ^ { T } \mathbf { c } \cdot \left( \begin{array} { l } { T _ { x } } \\ { T _ { y } } \\ { T _ { z } } \\ { 1 } \end{array} \right) < R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ^ { 2 } .
\langle \bar { \chi } _ { \sigma _ { 1 } u _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \chi _ { \sigma _ { 2 } u _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) \rangle = \int \! { \cal D } z { \cal D } z ^ { * } \exp ( - S _ { C P _ { 1 } } ) \bar { \chi } _ { \sigma _ { 1 } u _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \chi _ { \sigma _ { 2 } u _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) ~ .
\mathbf { x } ^ { * } ( \mathbf { A } \circ \mathbf { B } ) \mathbf { y } = \mathrm { t r } \left( \mathbf { D } _ { \mathbf { x } } ^ { * } \mathbf { A } \mathbf { D } _ { \mathbf { y } } \mathbf { B } ^ { \mathsf { T } } \right) ,
\left( \begin{array} { l } { r _ { 1 } ( x _ { A } ) } \\ { r _ { 2 } ( x _ { B } ) } \\ { r _ { 3 } ( x _ { C } , x _ { D } ) } \\ { r _ { 4 } ( x _ { C } ) } \\ { r _ { 5 } ( x _ { D } ) } \\ { r _ { 6 } ( x _ { D } , x _ { E } ) } \\ { r _ { 7 } ( x _ { E } ) } \\ { F _ { D } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 4 \frac { x _ { A } } { 1 + x _ { A } } } \\ { 1 6 \frac { x _ { B } } { 1 + 3 x _ { B } } } \\ { 8 \frac { x _ { C } } { 1 + x _ { C } } \frac { x _ { D } } { 1 + x _ { D } } } \\ { 6 4 \frac { x _ { C } } { 1 + 1 5 x _ { C } } } \\ { x _ { D } } \\ { 3 2 \frac { x _ { D } } { 1 + 7 x _ { D } } \frac { x _ { E } } { 1 + x _ { E } } } \\ { 7 2 \frac { x _ { E } } { 1 + 1 1 x _ { E } } } \\ { 5 } \end{array} \right) ,
w = ( - \Delta _ { N } ) ^ { - 1 } ( u - m ) \iff \left\{ \begin{array} { l l } { - \Delta w ( \boldsymbol { s } ) = u ( \boldsymbol { s } ) - m } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \; ; } \\ { \nabla w ( \boldsymbol { s } ) \cdot \boldsymbol { n } = 0 } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega \; , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { x _ { k } ( \tau ) } & { { } = \mathrm { t a n h } \Big ( \sum _ { j \in \mathcal { T } } J _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) x _ { j } ( \tau ) + \sum _ { \ell \in \mathcal { O } } J _ { k \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) x _ { \ell } ( \tau ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta ( E _ { \bullet } ) : = \mathrm { c o n v e x ~ h u l l ~ o f ~ } \{ n ^ { - 1 } v ( s ) | s \in E _ { n } \} \subset \mathbb { R } ^ { d } , } \\ & { \Delta ^ { t } ( E _ { \bullet } ) : = \mathrm { c o n v e x ~ h u l l ~ o f ~ } \{ n ^ { - 1 } v ( s ) | s \in E _ { n } , \lVert s \rVert _ { n } ^ { \prime } \leq \exp { ( - n t ) } \} \subset \mathbb { R } ^ { d } } \end{array}
\Psi _ { L } ( \mathbf { r } _ { j } ) = \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } + r _ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } + r _ { - } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } - \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { - } .
\epsilon _ { N R } ( \omega , L _ { e f f } ) = \epsilon _ { b u l k } + \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } + i \omega \gamma _ { 0 } } - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } + i \omega ( \gamma _ { 0 } + \frac { A v _ { F } } { L _ { e f f } } + \frac { \eta V } { \pi } ) } .
\mathbf { a } = \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } r } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } - r \omega ^ { 2 } \right) \mathbf { \hat { e } } _ { r } + \left( r \alpha + 2 \omega { \frac { \mathrm { d } r } { \mathrm { { d } } t } } \right) \mathbf { \hat { e } } _ { \theta }
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { l } \sim } & { { } ~ \frac { 1 } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \frac { 1 } { \vert \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } \vert ^ { 2 } } \left( \frac { \vert \lambda _ { 0 } \vert ^ { 2 } } { \mathrm { R e } \lambda _ { 0 } } + \frac { \vert \lambda _ { 1 } \vert ^ { 2 } } { \mathrm { R e } \lambda _ { 1 } } - 2 \frac { \bar { \lambda } _ { 0 } \lambda _ { 1 } } { \bar { \lambda } _ { 0 } + \lambda _ { 1 } } - 2 \frac { \lambda _ { 0 } \bar { \lambda } _ { 1 } } { \lambda _ { 0 } + \bar { \lambda } _ { 1 } } \right) } \\ { + } & { { } \frac { 2 } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \times } \\ { + } & { { } \frac { 4 } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \times } \end{array}
a _ { 0 } ^ { 1 4 } a _ { 1 } ^ { 9 } a _ { 2 } ^ { 6 } a _ { 3 } ^ { 4 } a _ { 4 } ^ { 4 } a _ { 5 } ^ { 3 } a _ { 6 } ^ { 3 } a _ { 7 } ^ { 3 } a _ { 8 } ^ { 2 } a _ { 9 } ^ { 2 } a _ { 1 0 } ^ { 2 } a _ { 1 1 } ^ { 2 } a _ { 1 2 } ^ { 2 } a _ { 1 3 } ^ { 2 } a _ { 1 4 } ^ { 2 } a _ { 1 5 } ^ { 2 } a _ { 1 6 } ^ { 2 } a _ { 1 7 } ^ { 2 } a _ { 1 8 } ^ { 2 } a _ { 1 9 } a _ { 2 0 } a _ { 2 1 } \cdots a _ { 2 2 9 } ,
r _ { P } = { \frac { g _ { P } ( q ^ { 2 } = - 0 . 9 m _ { \mu } ^ { 2 } ) } { g _ { A } ( q ^ { 2 } = - 0 . 9 m _ { \mu } ^ { 2 } ) } } = { \frac { 2 m _ { N } m _ { \mu } } { m _ { \pi } ^ { 2 } + 0 . 9 m _ { \mu } ^ { 2 } } } = 7 . 0
\begin{array} { c c } { { U _ { r } } } & { { D _ { r } } } \\ { { \left( \begin{array} { c c } { { { \cal { I } } _ { r } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { I _ { 3 } } } \end{array} \right) } } & { { \left( \begin{array} { c c } { { q _ { r } ^ { * } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { q _ { r } } } \end{array} \right) } } \\ { { \left( \begin{array} { c c } { { q _ { g } ^ { * } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { q _ { g } ^ { * } } } \end{array} \right) } } & { { \left( \begin{array} { c c } { { I _ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { I _ { 3 } } } \end{array} \right) } } \\ { { \left( \begin{array} { c c } { { q _ { b } ^ { * } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { q _ { b } ^ { * } } } \end{array} \right) } } & { { \left( \begin{array} { c c } { { I _ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { I _ { 3 } } } \end{array} \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda B = \left( \begin{array} { l l l } { 0 , } & { 0 , } & { \lambda \left( s \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { \frac { a \left( s \right) } { v \left( s \right) } } & { 0 } & { - \frac { k \left( s \right) } { v \left( s \right) } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { k \left( s \right) v \left( s \right) } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \lambda \left( s \right) k \left( s \right) v \left( s \right) , } & { - \lambda \left( s \right) , } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
v _ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { r } ) = v _ { \mathrm { e x t } } ( \mathbf { r } ) + e ^ { 2 } \int { \frac { \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \, d \mathbf { r } ^ { \prime } + { \frac { \delta E _ { \mathrm { x c } } [ \rho ] } { \delta \rho ( \mathbf { r } ) } } ,
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { P } \left[ { \sqrt { n } } ( { \bar { X } } _ { n } - \mu ) \leq z \right] = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { P } \left[ { \frac { { \sqrt { n } } ( { \bar { X } } _ { n } - \mu ) } { \sigma } } \leq { \frac { z } { \sigma } } \right] = \Phi \left( { \frac { z } { \sigma } } \right) ,
\begin{array} { r } { ( { \bf y } _ { 1 } , { \bf y } _ { 2 } , \ldots , { \bf y } _ { n } ) \rightarrow \left( { \bf y } _ { 0 } = \frac 1 M \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } { \bf y } _ { N } ( t ) , ~ { \bf x } _ { P } = { \bf y } _ { P } - { \bf y } _ { 0 } \right) , \quad P = 1 , 2 , \ldots , n - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { | \mathbb { S } _ { d - 2 } | } { | \mathbb { S } _ { d - 1 } | } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { f } } \sin ^ { d - 2 } \theta \, d \theta } \\ & { \quad = \frac { 1 } { 2 } - \frac { | \mathbb { S } _ { d - 2 } | } { | \mathbb { S } _ { d - 1 } | } \sum _ { i = 1 } ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } ( d - ( 2 j + 1 ) ) } { \prod _ { j = 1 } ^ { i } ( d - 2 j ) } ( \sin ^ { d - ( 2 i + 1 ) } \theta _ { f } ) \cos \theta _ { f } - \frac { 1 } { \pi } \arcsin \left( \frac { r _ { f } ^ { 2 } + U _ { f , g } ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } } { 2 r _ { f } U _ { f , g } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { \partial _ { t } ^ { 2 } v ( x , t ) - \Delta v ( x , t ) = 0 } & & { \mathrm { i n } \quad ( \Omega \backslash \overline { { B _ { R } ^ { + } } } ) \times ( 0 , T ) , } \\ { v ( x , t ) = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \quad \Gamma _ { R } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ { v ( x , t ) = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \quad ( \Gamma _ { 0 } \cap | x | > R ) \times ( 0 , T ) , } \\ { v ( x , 0 ) = \partial _ { t } v ( x , 0 ) = 0 } & & { \mathrm { i n } \quad ( \Omega \backslash \overline { { B _ { R } ^ { + } } } ) . } \end{array} \right. } \end{array}
k _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ / ~ s ~ ) ~ } } = \frac { \rho _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ / ~ s ~ ) ~ } } } { 2 \pi } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } v ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ / ~ s ~ ) ~ } } \cos \theta d \theta = \frac { \rho _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ / ~ s ~ ) ~ } } v ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ / ~ s ~ ) ~ } } } { \pi }
p ( u | \hat { X } = i , \tilde { Y } \in [ 0 , N ) ) = \frac { \left[ Q \left( \frac { i - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - u } { \sigma } \right) \right] \cdot \left[ Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) \right] } { \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { i - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - t } { \sigma } \right) \right] \cdot \left[ Q \left( \frac { - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) \right] ~ d t } .
\bar { u } ^ { 2 } = \frac { h ^ { 2 } } { 2 H ^ { 2 } } ( \omega ^ { 2 } + f ^ { 2 } ) / k ^ { 2 } = \frac { h ^ { 2 } } { 2 H ^ { 2 } } v ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 2 } { k ^ { 2 } R ^ { 2 } } \right) , \qquad R : = \frac { v } { f } ,
\begin{array} { r l } { \dot { \lambda } _ { r } = - \frac { \delta H } { \delta r } } & { = - \lambda _ { v _ { r } } \cdot ( - \frac { v _ { \theta } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { 2 \mu } { r ^ { 3 } } ) - \lambda _ { v _ { \theta } } \cdot ( \frac { v _ { r } v _ { \theta } } { r ^ { 2 } } ) } \\ { \dot { \lambda } _ { v _ { r } } = - \frac { \delta H } { \delta v _ { r } } } & { = - \lambda _ { r } + \lambda _ { v _ { \theta } } \cdot ( \frac { v _ { \theta } } { r } ) } \\ { \dot { \lambda } _ { v _ { \theta } } = - \frac { \delta H } { \delta v _ { \theta } } } & { = - \lambda _ { v _ { r } } \cdot ( \frac { 2 v _ { \theta } } { r } ) + \lambda _ { v _ { \theta } } \cdot ( \frac { v _ { r } } { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi = } & { { } \frac { \mathrm { i } \omega \mu } { 2 } \mathrm { I m } \left[ \frac { \partial ( u _ { \textup { I } } + u _ { \textup { S } } ) } { \partial n } ( u _ { \textup { I } } ^ { * } + u _ { \textup { S } } ^ { * } ) \right] } \\ { = } & { { } \frac { \mathrm { i } \omega \mu } { 2 } \mathrm { I m } \left[ \frac { \partial u _ { \textup { I } } } { \partial n } u _ { \textup { I } } ^ { * } + \frac { \partial u _ { \textup { I } } } { \partial n } u _ { \textup { S } } ^ { * } + \frac { \partial u _ { \textup { S } } } { \partial n } u _ { \textup { I } } ^ { * } + \frac { \partial u _ { \textup { S } } } { \partial n } u _ { \textup { S } } ^ { * } \right] } \\ { = } & { { } \, \phi _ { \textup { I } } + \phi _ { \textup { M } } + \phi _ { \textup { S } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { V ^ { e n d } ( \bar { s } , g ) = \operatorname* { l i m i n f } _ { R \rightarrow \infty } \operatorname* { i n f } _ { \tilde { s } \in C ^ { 1 } ( [ - R , 0 ] ) } \Big \{ \int _ { - R } ^ { 0 } \Big ( \mathcal { W } _ { \beta } \big ( \tilde { s } ( t ) \big ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Psi \big ( \tilde { s } ( t ) , \tilde { s } ^ { \prime } ( t ) \big ) \Big ) d t + g \, \tilde { s } ( 0 ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( \tilde { s } ( 0 ) \big ) ; \tilde { s } ( - R ) = \bar { s } \Big \} . } \end{array}
d ^ { D } \mathbf { x } ^ { \prime } \, d ^ { D } \mathbf { p } ^ { \prime } = d ^ { D } \mathbf { x } \, d ^ { D } \mathbf { p } \left[ 1 - \left\{ 2 ( D - 1 ) \beta \left( \frac { 1 + ( \beta + \beta ^ { \prime } ) p ^ { 2 } } { 1 + \beta p ^ { 2 } } \right) + ( 2 \beta + \beta ^ { \prime } ) \right\} p _ { j } \frac { \partial H } { \partial x _ { j } } \delta t \right] \; .
f _ { \mu \nu } ^ { \xi } = \partial _ { \mu } [ n ^ { A } { \cal A } _ { \nu } ^ { A } ] - \partial _ { \nu } [ n ^ { A } { \cal A } _ { \mu } ^ { A } ] - { \frac { 1 } { g } } f ^ { A B C } n ^ { A } \partial _ { \mu } n ^ { B } \partial _ { \nu } n ^ { C } ,
\mathbf { x } = \mathbf { G ^ { T } } \mathbf { p } = { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 3 } \\ { 1 } \\ { 2 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) }
c _ { * } R _ { \theta _ { 0 } } ^ { \frac { 2 q ( \beta + \gamma ) } { 2 + \gamma } } \leq c _ { * } \varepsilon _ { m _ { * } - 1 } ^ { q ( \beta + \gamma ) } \leq c _ { * } \varepsilon _ { m _ { * } } ^ { \beta + \gamma } \leq \kappa _ { m _ { * } } \leq C _ { * } \varepsilon _ { m _ { * } } ^ { \beta + \gamma } \leq C _ { * } R _ { \theta _ { 0 } } ^ { \frac { 2 ( \beta + \gamma ) } { 2 + \gamma } } \, .
\begin{array} { r } { u ^ { i } ( x , t ) = \int _ { D } \mathbb { E } \left[ K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi , 0 } ) : t < \tau _ { \xi , 0 } \right] \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi , s } ) : t < \tau _ { \xi , s } \right] G ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \\ { + \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } \Big | _ { z _ { 2 } = 0 + } \mathbb { E } \left[ K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) , s } ) : t < \tau _ { z , s } \right] \theta ( z _ { 1 } , s ) \textrm { d } z _ { 1 } \textrm { d } s . } \end{array}
- ( \mathrm { E A } ) _ { p } = \langle \Psi _ { N + 1 } ^ { p } | \hat { H } | \Psi _ { N + 1 } ^ { p } \rangle - \langle \Psi _ { N } | \hat { H } | \Psi _ { N } \rangle = \langle \Psi _ { N } | \hat { a } _ { p _ { \sigma } } \hat { H } \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { p _ { \sigma } } \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } \hat { H } | \Psi _ { N } \rangle
\begin{array} { r l } { \hat { p } _ { a } ( \tau ) } & { = \underbrace { \tau ( 2 \hat { x } _ { a } ( 0 ) \hat { x } _ { b } ( 0 ) + \hat { x } _ { a } ^ { 2 } ( 0 ) ) } _ { \approx 3 \tau \hat { x } _ { a } ^ { 2 } ( \tau ) } + \underbrace { ( \hat { p } _ { a } ( 0 ) + \hat { p } _ { b } ( 0 ) ) } _ { \approx 0 } - \underbrace { \hat { p } _ { b } ( \tau ) } _ { \mapsto p _ { b } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { 1 } } & { = a _ { 1 1 } \Gamma , } \\ { m _ { 2 } } & { = a _ { 1 1 } S _ { 1 1 } , } \\ { m _ { 3 } } & { = b _ { 1 1 } \Gamma , } \\ { m _ { 4 } } & { = b _ { 1 1 } S _ { 2 2 } , } \\ { m _ { 5 } } & { = a _ { 1 1 } b _ { 1 1 } S _ { 2 1 } S _ { 1 2 } , } \\ { m _ { 6 } } & { = \frac { a _ { 1 1 } \left( \Gamma S _ { 1 1 } S _ { 2 2 } - \Gamma S _ { 1 2 } S _ { 2 1 } - S _ { 1 1 } \right) } { \Gamma S _ { 2 2 } - 1 } , } \\ { m _ { 7 } } & { = \frac { b _ { 1 1 } \left( \Gamma S _ { 1 1 } S _ { 2 2 } - \Gamma S _ { 1 2 } S _ { 2 1 } - S _ { 2 2 } \right) } { \Gamma S _ { 1 1 } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 1 } ^ { \mathrm { B o r n } } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { 2 \pi \alpha } { M } \bigg [ \frac { 4 M ^ { 2 } Q ^ { 2 } \, G _ { M } ( Q ^ { 2 } ) F _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) } { Q ^ { 4 } - 4 M ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } - F _ { 2 } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) \bigg ] , } \\ { S _ { 2 } ^ { \mathrm { B o r n } } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { - \, \frac { 8 \pi \alpha M ^ { 2 } \nu } { Q ^ { 4 } - 4 M ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } \, G _ { M } ( Q ^ { 2 } ) F _ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { T } & { = - { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 0 6 2 5 } & { 0 . 0 0 0 0 } \\ { 0 . 0 3 9 8 } & { - 0 . 0 9 0 9 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 3 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 8 7 5 } \\ { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 1 9 4 } \end{array} \right] } , } \\ { C } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 0 6 2 5 } & { 0 . 0 0 0 0 } \\ { 0 . 0 3 9 8 } & { - 0 . 0 9 0 9 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 1 1 } \\ { 1 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 6 8 7 5 } \\ { - 0 . 7 4 3 9 } \end{array} \right] } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { f \in \mathrm { s p a n } ( \mathbf { 1 } _ { \mathcal { V } } ) ^ { \bot } \setminus \{ \mathbf { 0 } \} } \frac { \| \mathcal { L } f \| _ { 2 } } { \| f \| _ { 2 } } } & { = \sqrt { \operatorname* { m i n } _ { f \in \mathrm { s p a n } ( \mathbf { 1 } _ { \mathcal { V } } ) ^ { \bot } \setminus \{ \mathbf { 0 } \} } \frac { \| \mathcal { L } f \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| f \| _ { 2 } ^ { 2 } } } } \\ & { = \sqrt { \operatorname* { m i n } _ { f \in \mathbb { R } ^ { 2 M } \cap \mathrm { s p a n } ( \mathbf { 1 } _ { \mathcal { V } } ) ^ { \bot } \setminus \{ \mathbf { 0 } \} } \frac { \langle \mathcal { L } ^ { \top } \mathcal { L } f , f \rangle } { \langle f , f \rangle } } } \\ & { = \sqrt { \lambda _ { 2 } ( \mathcal { L } ^ { \top } \mathcal { L } ) } } \\ & { = s _ { 2 } ( \mathcal { L } ) . } \end{array}
- \frac { i } { 2 } k _ { l } \lambda _ { s } \int d ^ { 3 } r \langle 0 | r _ { l } \hat { j } _ { s } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + r _ { s } \hat { j } _ { l } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | n \rangle
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { T r e f o i l } } ( \rho , \phi ) = } & { e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } } } \bigr ( - 4 \rho ^ { 3 } \left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) - 2 \rho ^ { 3 } ( a - b ) ^ { 2 } e ^ { - i 3 \phi } } \\ & { - 2 \rho ^ { 3 } ( a + b ) ^ { 2 } e ^ { i 3 \phi } + \rho ^ { 6 } - \rho ^ { 4 } - \rho ^ { 2 } + 1 \bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial P _ { _ R } } { \partial t } ( x , t ) } & { = - } & { v \frac { \partial P _ { _ R } } { \partial x } ( x , t ) - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } ( x , t ) + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } ( x , t ) - \gamma ( x ) P _ { _ R } ( x , t ) , } \\ { \frac { \partial P _ { _ L } } { \partial t } ( x , t ) } & { = } & { v \frac { \partial P _ { _ L } } { \partial x } ( x , t ) - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } ( x , t ) + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } ( x , t ) - \gamma ( x ) P _ { _ L } ( x , t ) , } \\ { \frac { \partial P _ { _ B } } { \partial t } ( x , t ) } & { = } & { \gamma ( x ) [ P _ { _ R } ( x , t ) + P _ { _ L } ( x , t ) ] . } \end{array}
\tilde { W } : = \frac q { 1 + q } \, \tilde { K } ^ { - 1 } + \frac 1 { 1 + q } \, \tilde { K } + q ^ { - \frac 1 2 } ( q \! - \! 1 ) ^ { 2 } \, \tilde { K } ^ { - 1 } \, \tilde { L } ^ { - } \, \tilde { L } ^ { + } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { k _ { i j } ^ { ( 2 ) } } { \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } } { \partial { x _ { i } } \partial { x _ { j } } } + \frac { k _ { i j } ^ { ( 2 , 1 ) } } { \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } } { \partial { x _ { i } } \partial { x _ { j } } } \right) + \Gamma \left( p _ { f } ^ { ( 1 ) } - p _ { f } ^ { ( 2 ) } \right) = \hphantom { X X X X X X X X X X X X X } } \\ & { \hphantom { X X X X X X X X X X X X X } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i j } ^ { ( 2 ) } \frac { \partial } { \partial { t } } \left( \frac { \partial { u _ { i } } } { \partial { x _ { j } } } + \frac { \partial { u _ { j } } } { \partial { x _ { i } } } \right) + \frac { 1 } { M ^ { ( 2 ) } } \frac { \partial { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } } { \partial { t } } + \frac { 1 } { M ^ { ( 1 , 2 ) } } \frac { \partial { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } } { \partial { t } } \, . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } x _ { 1 } ^ { 3 } + a _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } + a _ { 3 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 1 } + a _ { 4 } x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 5 } x _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 6 } x _ { 2 } x _ { 1 } x _ { 2 } + a _ { 7 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 1 } + a _ { 8 } x _ { 2 } ^ { 3 } } \\ { b _ { 1 } x _ { 1 } ^ { 3 } + b _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } + b _ { 3 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 1 } + b _ { 4 } x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 5 } x _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 6 } x _ { 2 } x _ { 1 } x _ { 2 } + b _ { 7 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 1 } + b _ { 8 } x _ { 2 } ^ { 3 } } \end{array} \right] .