harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { = \epsilon _ { 1 1 } ( \partial _ { t } ) ^ { - 1 } \partial _ { t } ^ { - 1 } \varPhi _ { 1 } - \epsilon _ { 1 1 } ( \partial _ { t } ) ^ { - 1 } \epsilon _ { 1 0 } ( \partial _ { t } ) E _ { 0 } } \\ { H _ { 1 } } & { = \mu _ { 1 1 } ^ { - 1 } \partial _ { t } ^ { - 1 } \varPsi _ { 1 } - \mu _ { 1 1 } ^ { - 1 } \mu _ { 1 0 } H _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W } & { = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { m - 2 } Q _ { 3 } - x ^ { m - 1 } Q _ { 2 } - x ^ { m } Q _ { 1 } - x ^ { m + 1 } I _ { n } } \\ { V _ { 1 } } & { = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { m - 3 } Q _ { 5 } - x ^ { m - 2 } Q _ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { m - 1 } Q _ { 3 } } \\ { V _ { 2 } } & { = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { m - 4 } Q _ { 7 } - x ^ { m - 3 } Q _ { 6 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { m - 2 } Q _ { 5 } } \\ & { \vdots } \\ { V _ { m - 3 } } & { = - \frac { 1 } { 2 } x Q _ { 2 m - 3 } - x ^ { 2 } Q _ { 2 m - 4 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } Q _ { 2 m - 5 } } \\ { V _ { m - 2 } } & { = - \frac { 1 } { 2 } Q _ { 2 m - 1 } - x Q _ { 2 m - 2 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } Q _ { 2 m - 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \! \left[ \int _ { \mathcal { X } } \lVert P k ( \cdot , x ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } \, \mathrm { d } \mu ( x ) \right] } & { \le \mathbb { E } \! \left[ \frac 2 \ell \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \lVert P k ( \cdot , z _ { i } ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } \right] } \\ & { \quad + \frac { \sqrt { k _ { \operatorname* { m a x } } } } { \ell } \left( \frac { 8 0 m ^ { 2 } \log ( 1 + 2 \ell ) } 9 + 6 9 \right) + 4 \sqrt { \sum _ { j > m } \sigma _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \operatorname* { m a x } _ { \{ \mathbf { x } \} \in \mathcal { X } , e } } & { e } & { \mathrm { s . t . } \, \, } & { \tilde { e } _ { l k } = \frac { \tilde { r } _ { l k } } { p _ { c } + \eta \mathbf { x } _ { l k } ^ { H } \mathbf { x } _ { l k } } \geq e } & { \forall l , k , } \\ & { } & & { \tilde { r } _ { l k } \geq r _ { l k } ^ { t h } } & { \forall l , k , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \dot { \mathfrak { h } } ^ { s _ { 0 } , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathfrak { h } } ^ { s _ { 1 } , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) _ { \theta , q } = \dot { \mathfrak { b } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } } & { \qquad ( \dot { \mathfrak { b } } _ { p , q _ { 0 } } ^ { s _ { 0 } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathfrak { b } } _ { p , q _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) _ { \theta , q } = \dot { \mathfrak { b } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \tilde { s } } _ { n } } & { = [ z ^ { n } ] \left( 6 ( 1 - 3 z ) ^ { 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } s _ { n } z ^ { n } + 1 8 ( 1 - 3 z ) ^ { 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n s _ { n } z ^ { n } + 9 ( 1 - 3 z ) ^ { 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n ( n - 1 ) s _ { n } z ^ { n } + ( 1 - 3 z ) ^ { 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n ( n - 1 ) ( n - 2 ) s _ { n } z ^ { n } \right) } \\ & { = ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) s _ { n } - 9 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) s _ { n - 1 } + 2 7 ( n - 1 ) n ( n + 1 ) s _ { n - 2 } - ( n - 2 ) ( n - 1 ) n s _ { n - 3 } . } \end{array} }
f ( \lambda ) _ { \mathrm { I I } } = \left\{ \begin{array} { l l } { { f ( \lambda ) + f \left( \lambda - i \pi \mathrm { s i g n } \left( \Im m \lambda \right) \right) \: , } } & { { p > 1 \: , } } \\ { { f ( \lambda ) - f \left( \lambda - i \pi \mathrm { s i g n } \left( \Im m \lambda \right) p \right) \: , } } & { { p < 1 \: , } } \end{array} \right.
\underline { { \boldsymbol \chi } } _ { \dagger } ^ { \prime } = - \omega _ { p e } ^ { 2 } \frac { \omega ^ { 2 } \underline { { \mathbf I } } - \boldsymbol \Omega ^ { * } \boldsymbol \Omega ^ { * } - i \omega ^ { \prime } \boldsymbol \Omega ^ { * } \times \underline { { \mathbf I } } } { \omega ^ { 2 } - { \Omega ^ { * } } ^ { 2 } }
\begin{array} { l c l } { f _ { 1 } = \displaystyle - \frac { 3 x } { 1 6 0 n ^ { 2 } } \left( n \left( x + 1 \right) + 1 \right) ^ { 3 } \left( 4 - 1 2 n + 2 n x + 4 n ^ { 2 } + 3 n x + 3 n ^ { 2 } x - n ^ { 2 } x ^ { 2 } \right) } \\ { f _ { 2 } = \displaystyle \frac { 3 x } { 1 6 0 n ^ { 2 } } \left( n \left( x - 1 \right) + 1 \right) ^ { 3 } \left( 4 + 1 2 n + 2 n x + 4 n ^ { 2 } + 3 n x - 3 n ^ { 2 } x - n ^ { 2 } x ^ { 2 } \right) } \\ { f _ { 3 } = \displaystyle \frac { 3 x } { 2 0 n ^ { 2 } } \left( 1 - 5 n ^ { 2 } + 5 n ^ { 2 } x ^ { 2 } \right) } \\ { f _ { 4 } = \displaystyle \frac { 3 x ^ { 2 } } { 4 0 } \left( 1 1 + 1 1 n ^ { 2 } + n ^ { 2 } x ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( f _ { \sigma } , K ) } & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \log ( \operatorname* { m a x } \{ 2 r _ { 1 } / \theta _ { i } - 1 , \, 1 \} ) } { T } } \\ & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \log ( 1 / \theta _ { i } ) } { T } } \\ & { \quad \, + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m i n f } _ { T \to \infty } \frac { \log ( \operatorname* { m a x } \{ 2 r _ { 1 } - \theta _ { i } , \, \theta _ { i } \} ) } { T } , } \end{array}
\operatorname { L i } _ { - n } ( z ) = \left( z { \frac { \partial } { \partial z } } \right) ^ { n } { \frac { z } { 1 - z } } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } k ! S ( n + 1 , k + 1 ) \left( { \frac { z } { 1 - z } } \right) ^ { k + 1 } \qquad ( n = 0 , 1 , 2 , \ldots ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { s \to \infty } \left| \pi \frac { \partial w } { \partial \tau } ( s + \tau , t ) \right| = 0 , \quad \operatorname* { l i m } _ { s \to \infty } \left| \pi \frac { \partial w } { \partial t } ( s + \tau , t ) \right| = 0 } \\ & { } & { \operatorname* { l i m } _ { s \to \infty } \lambda ( \frac { \partial w } { \partial \tau } ) ( s + \tau , t ) = 0 , \quad \operatorname* { l i m } _ { s \to \infty } \lambda ( \frac { \partial w } { \partial t } ) ( s + \tau , t ) = T } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { F } ( { \mathbf { Q } ^ { \prime } } , \mathbf { Q } ; \beta ) = \int } & { { } } & { \rho _ { F } ( { \mathbf { Q } ^ { \prime } } , \mathbf { Q } ( ( M - 1 ) \tau ) ; \tau ) \cdots \rho _ { F } ( \mathbf { Q } ( \tau ) , \mathbf { Q } ; \tau ) \times } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbf { C } } } _ { 2 } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } - \alpha \overline { { \mathbf { E } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } = \lambda \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \binom { n - 4 n ^ { 1 / t } - 2 } { 2 } } { \binom { n } { 2 } } } & { = \frac { ( n - 4 n ^ { 1 / t } - 2 ) ( n - 4 n ^ { 1 / t } - 3 ) } { n ( n - 1 ) } } \\ & { \geq \frac { ( n - 4 n ^ { 1 / t } - 3 ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } } \\ & { \geq \left( 1 - \frac { 4 n ^ { 1 / t } + 3 } { n } \right) ^ { 2 } } \\ & { \geq \left( 1 - \frac { 8 n ^ { 1 / t } + 6 } { n } \right) } \end{array}
a = \frac { 1 } { 1 2 } d , \qquad b = \frac { 1 } { 1 2 } d - \frac { 1 } { 2 } \textrm { t r } ( \gamma ^ { 2 } ) . \qquad ( d = \textrm { s p a c e - t i m e d i m e n s i o n } )
\begin{array} { r l } { { \frac { d u } { d t } } } & { { } = { \frac { \partial u } { \partial q _ { i } } } { \dot { q } } _ { i } + { \frac { \partial u } { \partial p _ { i } } } { \dot { p } } _ { i } + { \frac { \partial u } { \partial t } } } \end{array}
T _ { h } ( r ) = ( \sqrt { 1 + \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } - 1 ) \, m _ { e } \, c ^ { 2 } \approx \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \, m _ { e } \, c ^ { 2 }
\mathrm { O E } [ \hat { M } ] ( t , t _ { 1 } ) = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \left( \exp { \left( \int _ { t _ { N - 1 } } ^ { t _ { N } } \hat { M } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \right) } \ldots \exp { \left( \int _ { t _ { 2 } } ^ { t _ { 3 } } \hat { M } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \right) } \exp { \left( \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \hat { M } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \right) } \right) ,
\int d ^ { 3 } x \partial ^ { i } { \cal E } _ { i } ( x ) = \oint { \cal E } _ { i } ( x ) d \sigma ^ { i } = \oint _ { + } { \cal T } _ { i } ( x ) d x ^ { i } + \oint _ { - } { \cal T } _ { i } ( x ) d x ^ { i } ,
\frac { \partial \overline { { { H } } } _ { 0 } } { \partial q _ { n , \alpha _ { n } } } \left( q _ { n , \alpha _ { n } } , p _ { n , m _ { n } - 1 } \right) = - \frac { \partial L _ { 0 } } { \partial q _ { n , \alpha _ { n } } } \left( q _ { n , \alpha _ { n } } , \dot { q } _ { n , m _ { n } - 1 } ( q _ { n , \alpha _ { n } } , p _ { n , m _ { n } - 1 } ) \right) \ ,
\delta \lambda = - \frac { 1 1 \lambda ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } - \frac { 3 \lambda ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \log \frac { \lambda \mu ^ { 2 } } { 2 \Lambda ^ { 2 } }
\frac { \bar { p } } { p } = . 1 2 \pm . 0 1 ; \; \; \; \; \frac { \bar { \Lambda } / \bar { \Sigma } } { \Lambda / \Sigma } = . 2 2 \pm . 0 1 ; \; \; \; \; \frac { \bar { \Xi } } { \Xi } = . 5 5 \pm . 0 7 .
D = { \frac { { \lambda \! \! \! ^ { ^ { \underline { { \ \ } } } } } _ { \chi } } { a _ { 0 } } } = \alpha _ { \chi } { \frac { { \lambda \! \! \! ^ { ^ { \underline { { \ \ } } } } } _ { \chi } } { { \lambda \! \! \! ^ { ^ { \underline { { \ \ } } } } } _ { 1 } + { \lambda \! \! \! ^ { ^ { \underline { { \ \ } } } } } _ { 2 } } } = \alpha _ { \chi } { \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { \chi } } }
\frac { a } { b _ { f } } = \frac { 1 } { \sqrt { c ^ { 2 } \omega ^ { 2 } + \left( \omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 3 } { 4 } k _ { 3 } a ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } .
Z [ \beta , J _ { \alpha } , K ^ { \alpha } ] = \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \: \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp \left( - \beta \left[ \frac { 1 } { 2 m } \delta ^ { \mu \nu } p _ { \mu } p _ { \nu } + \frac { \chi ^ { 2 } ( y | \theta ) } { 2 } + \phi ( \theta ) \right] \right) \exp \left( \beta \left[ J _ { \alpha } \theta ^ { \alpha } + K ^ { \alpha } p _ { \alpha } \right] \right) ,
\begin{array} { r } { \mathbf { y } \left( t \right) = \left( \begin{array} { l } { | A | \left( t \right) } \\ { \Phi _ { A } \left( t \right) } \\ { | B | \left( t \right) } \\ { \Phi _ { B } \left( t \right) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { a _ { 0 } } \\ { \phi _ { A , 0 } } \\ { b _ { 0 } } \\ { \phi _ { B , 0 } } \end{array} \right) + \epsilon \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } \left( t \right) } \\ { \phi _ { A , 1 } \left( t \right) } \\ { b _ { 1 } \left( t \right) } \\ { \phi _ { B , 1 } \left( t \right) } \end{array} \right) = } \\ { = \mathbf { y } _ { 0 } + \epsilon \mathbf { y } _ { 1 } \left( t \right) = \mathbf { y } _ { 0 } + \epsilon \left( \hat { \mathbf { y } } _ { 1 } e ^ { s t } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \right) , \ \ \ } \end{array}
L = c \beta \tau \gamma \approx ( 8 0 ~ \mathrm { ~ m ~ } ) \left[ \frac { 1 0 ^ { - 5 } } { \epsilon } \right] ^ { 2 } \left[ \frac { E _ { A ^ { \prime } } } { \mathrm { ~ T ~ e ~ V ~ } } \right] \left[ \frac { 1 0 0 ~ \mathrm { ~ M ~ e ~ V ~ } } { m _ { A ^ { \prime } } } \right] ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } { P \left( w _ { n } | \Lambda _ { n } \right) } & { = \sum _ { N _ { \mathrm { t e } , n } = 0 } ^ { \infty } \mathrm { P o i s s o n } ( N _ { \mathrm { t e } , n } ; \beta \Lambda _ { n } + C ) } \\ & { \times \mathrm { G a u s s i a n } ( w _ { n } ; \tilde { g } N _ { \mathrm { t e } , n } + \mu , \sigma _ { w } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { t } ^ { 3 } \left( e ^ { \kappa W } g \circ \theta \right) ( x , v ) } \\ & { = e ^ { \kappa W ( x ) } \left( g \left( \theta ( x , v ) \right) + \left( 1 - e ^ { - \lambda _ { r } t } \right) \left( \int _ { \mathbb S ^ { d - 1 } } g ( w ^ { T } \nabla W ( x ) ) \mathrm { d } w - g \left( \theta ( x , v ) \right) \right) \right) } \\ & { \leq e ^ { \kappa W ( x ) } \left( g \left( \theta ( x , v ) \right) + \lambda _ { r } t \left( \int _ { \mathbb S ^ { d - 1 } } g ( w \cdot \nabla W ( x ) ) \mathrm { d } w - g \left( \theta ( x , v ) \right) \right) + C t ^ { 2 } \right) } \end{array}
\omega _ { \alpha } = \left\{ \begin{array} { r l } { \frac { ( p + d ) } { p ( 1 - s ) } \frac { h ^ { d } } { r ^ { d + s p } } \quad } & { \textup { i f } \quad | y _ { \alpha } | < | r | } \\ { \int _ { Q _ { \alpha } } \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } \quad } & { \textup { i f } \quad | y _ { \alpha } | \geq | r | . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { I _ { \delta , l } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { x \leq - \frac { l } { 2 } - \frac { \delta } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sin ( \frac { \pi } { \delta } ( x + \frac { l } { 2 } ) ) } & { - \frac { l } { 2 } - \frac { \delta } { 2 } \leq x \leq - \frac { l } { 2 } + \frac { \delta } { 2 } } \\ { 1 } & { - \frac { l } { 2 } + \frac { \delta } { 2 } \leq x \leq \frac { l } { 2 } - \frac { \delta } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sin ( \frac { \pi } { \delta } ( x - \frac { l } { 2 } ) ) } & { \frac { l } { 2 } - \frac { \delta } { 2 } \leq x \leq \frac { l } { 2 } + \frac { \delta } { 2 } } \\ { 0 } & { x \geq \frac { l } { 2 } + \frac { \delta } { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
\kappa ( x , y ) = \kappa _ { 1 } \left( 1 + \sqrt { \frac { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } { { x ^ { 4 } + 2 x ^ { 2 } \left( y ^ { 2 } + 1 \right) + \left( y ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } } } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { p H _ { 0 } } & { = - \eta k ^ { 2 } H _ { 0 } + k H _ { - } + i k \tilde { B } _ { 0 } \, ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \, G _ { + } , } \\ { p H _ { - } } & { = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { - } - \frac { 1 } { 2 } k H _ { 0 } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } G _ { + } , } \\ { p G _ { + } } & { = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) G _ { + } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { - } + \frac { 1 } { 2 } { i k \tilde { B } _ { 0 } } ( - 1 + k ^ { 2 } ) H _ { 0 } , } \end{array}
\mathrm { ~ K ~ L ~ D ~ } = \sum _ { m = 1 } ^ { d } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \tilde { p } _ { d , \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( \upsilon ) \log \left( \frac { \tilde { p } _ { d , \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( \upsilon ) } { \tilde { p } _ { d , \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ( \upsilon ) } \right) d \upsilon ,
\begin{array} { r } { P ^ { \pm } ( d _ { F D } = H ^ { + } ) = N \cdot P ^ { \pm } ( d _ { 1 } = H ^ { + } ) \sum _ { t _ { 1 } \in \mathbb { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { k } \cdot P ^ { \pm } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } = T , n _ { F D } ( \mathbf { T } ) = k | d _ { 1 } = H ^ { + } ) . } \end{array}
\eta _ { N } = 1 - \frac { 4 } { 3 } \frac { \eta _ { N } } { \rho _ { N } } \frac { T _ { C } } { T _ { H } } \left[ 1 - \left( 1 - \frac { \rho _ { N } } { \eta _ { N } } \right) ^ { 3 / 4 } \right] .
\hat { n } _ { i } | n _ { 1 } , \dots , n _ { i } , \dots \rangle = \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } | n _ { 1 } , \dots , n _ { i } , \dots \rangle = n _ { i } | n _ { 1 } , \dots , n _ { i } , \dots \rangle
\begin{array} { r l r } { \tan \Big ( \frac { \Phi _ { n + 1 } ( z ) } { 2 } \Big ) } & { { } = } & { \tan \Big ( \frac { \Phi _ { n + 1 } ( 0 ) } { 2 } \Big ) \cdot e ^ { \alpha \int _ { 0 } ^ { z } N _ { n } ( z ^ { \prime } ) d z ^ { \prime } } , } \\ { 0 } & { { } \le } & { z \le L _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } , } \\ { \Phi _ { n + 1 } ( 0 ) } & { { } = } & { \Phi _ { n } ( L _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } ( t ) } & { = { \frac { d ^ { 2 } R } { d t ^ { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l } { \cos ( \omega t + \pi / 4 ) } \\ { \sin ( \omega t + \pi / 4 ) } \end{array} \right] } + 2 { \frac { d R } { d t } } \omega { \left[ \begin{array} { l } { - \sin ( \omega t + \pi / 4 ) } \\ { \cos ( \omega t + \pi / 4 ) } \end{array} \right] } - \omega ^ { 2 } R ( t ) { \left[ \begin{array} { l } { \cos ( \omega t + \pi / 4 ) } \\ { \sin ( \omega t + \pi / 4 ) } \end{array} \right] } } \\ & { = 2 s \omega { \left[ \begin{array} { l } { - \sin ( \omega t + \pi / 4 ) } \\ { \cos ( \omega t + \pi / 4 ) } \end{array} \right] } - \omega ^ { 2 } R ( t ) { \left[ \begin{array} { l } { \cos ( \omega t + \pi / 4 ) } \\ { \sin ( \omega t + \pi / 4 ) } \end{array} \right] } } \\ & { = 2 s \ \omega \ \mathbf { u } _ { \theta } - \omega ^ { 2 } R ( t ) \ \mathbf { u } _ { R } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) \right\Vert ^ { 2 } \right] } & { \leq \mathcal { C } _ { 3 } + \mathcal { C } _ { 4 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + \mathcal { C } _ { 5 } \mathbb { E } \left[ f ( x _ { t } ) - f ^ { * } \right] , } \end{array}
f ^ { \prime } = - ( A ^ { 2 } \beta \kappa _ { 5 } ^ { 2 } / 1 2 ) t a n h ( \beta w ) , ~ ~ e ^ { f } = D [ c o s h ( \beta w ) ] ^ { - A ^ { 2 } \kappa _ { 5 } ^ { 2 } / 1 2 } ,
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { { } = \mathrm { d e v } \{ \varDelta s _ { k } \} , } \\ { E _ { 2 } } & { { } = \mathrm { d e v } \{ \varDelta r _ { k } \} , } \\ { E _ { 3 } } & { { } = \mathrm { d e v } \{ \varDelta s _ { k } - \varDelta r _ { k } \} , } \\ { E _ { 4 } } & { { } = \mathrm { d e v } \{ \varDelta s _ { k } + \varDelta r _ { k } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle I _ { 0 } ( t ) \rangle } & { { } = } & { 0 } \\ { \langle I _ { 0 } ( t ) I _ { 0 } ( t ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = } & { D \delta ( t - t ^ { \prime } ) } \end{array}
K ( 0 , t ) = \frac { | t | } { \tau ( k _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) - \tau ( k _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ) } \left( \Gamma \left( - 1 , \frac { | t | } { \tau ( k _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) } \right) - \Gamma \left( - 1 , \frac { | t | } { \tau ( k _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ) } \right) \right) .
M _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { o } ^ { y _ { c } } d y e ^ { - 4 \sigma ( y ) } \left( \psi _ { i L } \left( \partial _ { y } \psi _ { j R } \right) - \left( \partial _ { y } \psi _ { i L } \right) \psi _ { j R } \right)
f ( x ) = \sum _ { n \in \mathbf { N } } x _ { n } y _ { n } , \qquad x = \{ x _ { n } \} \in c _ { 0 } , \ \ { \mathrm { a n d } } \ \ \| f \| _ { ( c _ { 0 } ) ^ { \prime } } = \| y \| _ { \ell _ { 1 } } .
\begin{array} { r l } { \beta ^ { \mu } } & { { } \to \beta ^ { \mu } + \pounds _ { \chi } \beta ^ { \mu } , } \\ { \Lambda _ { \beta } } & { { } \to \Lambda _ { \beta } + \pounds _ { \chi } \Lambda _ { \beta } - \pounds _ { \beta } \Lambda . } \end{array}
a _ { 1 } ^ { * } = \left[ \frac { \sqrt { 1 - \mathcal { S } } ( \rho \Tilde { \varphi } + \sqrt { \mathcal { S } } ) - \sqrt { \rho ^ { 2 } \Tilde { \varphi } ^ { 2 } + 2 \rho \Tilde { \varphi } \sqrt { \mathcal { S } } } } { \kappa _ { p } a _ { 0 } ^ { n _ { 0 } } \mathcal { S } } \right] ^ { 1 / n _ { 1 } } .
\mathbf { y } _ { i } = \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } \boldsymbol { X } _ { i 1 } + \beta _ { 2 } \boldsymbol { X } _ { i 2 } + \cdots + \beta _ { m } \boldsymbol { X } _ { i m } + \boldsymbol { e } _ { i } = \sum _ { j = 0 } ^ { m } \beta _ { j } \boldsymbol { X } _ { i j } + \boldsymbol { e } _ { i } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - 1 } { m _ { 2 } } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 2 } } } } & { = \frac { m _ { 1 } ^ { \underline { { \ell + 1 } } } } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { \underline { { \ell + 1 } } } } = \frac { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - 1 ) ^ { \underline { { m _ { 2 } } } } } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { \underline { { m _ { 2 } } } } } } \\ & { = \frac { ( m _ { 1 } - \ell ) ^ { m _ { 2 } } \cdot \big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \frac { 1 } { m _ { 1 } - \ell } \big ) \big ) } { m _ { 1 } ^ { m _ { 2 } } \cdot \big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \frac { 1 } { m _ { 1 } } \big ) \big ) } = \Big ( 1 - \frac { \ell } { m _ { 1 } } \Big ) ^ { m _ { 2 } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { 1 } { m _ { 1 } - \ell } } \big ) \Big ) . } \end{array}
\rho ( \omega ) = \rho _ { \pi } ( \omega ) + ( m ^ { 2 } - \omega ) \, P \int _ { 4 m ^ { 2 } } ^ { \infty } d \alpha \, \frac { \rho _ { \pi } ( \omega ) \rho ( \alpha ) + \rho _ { \pi } ( \alpha ) \rho ( \omega ) } { \alpha - \omega } \, .
| \Delta v | = \frac { \Delta \bar { \rho } \, \Omega } { \sqrt { 1 + \Omega ^ { 2 } } } \, p _ { V } v _ { w } , \qquad | v _ { p } | = | v _ { f } + \Delta v | = \frac { \sqrt { 1 + \Omega ^ { 2 } ( 1 \! - \! \Delta \bar { \rho } ) ^ { 2 } } } { \sqrt { 1 + \Omega ^ { 2 } } } \, p _ { V } v _ { w } .
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } k _ { 1 } \left[ ( \sqrt { ( r _ { 4 } \cos \theta _ { 1 } - r _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( r _ { 4 } \sin \theta _ { 1 } - d _ { 1 } ) ^ { 2 } } - l _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { ( - r 4 \cos \theta _ { 1 } + r _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( - r _ { 4 } \sin \theta _ { 1 } - d _ { 1 } ) ^ { 2 } } - l _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] , } \\ { V _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } k _ { 1 } \left[ ( \sqrt { ( r _ { 4 } \cos \theta _ { 2 } - r _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( r _ { 4 } \sin \theta _ { 2 } - d _ { 1 } ) ^ { 2 } } - l _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { ( - r 4 \cos \theta _ { 2 } + r _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( - r _ { 4 } \sin \theta _ { 2 } - d _ { 1 } ) ^ { 2 } } - l _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] , } \\ { V _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { 2 } k _ { 2 } \left[ ( \sqrt { r _ { 3 } ^ { 2 } ( \cos \theta _ { 1 } - \cos \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( d _ { 2 } + r _ { 3 } \sin \theta _ { 1 } - r _ { 3 } \sin \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } } - l _ { 2 } ) ^ { 2 } \right. } \\ & { \qquad \qquad \left. + ( \sqrt { r _ { 3 } ^ { 2 } ( \cos \theta _ { 1 } - \cos \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( d _ { 2 } - r _ { 3 } \sin \theta _ { 1 } + r _ { 3 } \sin \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } } - l _ { 2 } ) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \varrho ( t ) - \hat { \varrho } ( t ) \| = \| \bar { x } ( t ) - \hat { \bar { x } } ( t ) \| } \\ & { = \| ( \frac { \eta _ { 1 1 } ( t ) } { r ^ { n } } , \cdots , \frac { \eta _ { 1 n } ( t ) } { r } , \cdots , \frac { \eta _ { m 1 } ( t ) } { r ^ { n } } , \cdots , \frac { \eta _ { m n } ( t ) } { r } ) \| } \\ & { \leq \| \eta ( t ) \| , \; \forall t \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \nabla d _ { 0 } \cdot \nabla d _ { 1 / 2 } } & { = 0 , } & { \qquad } & { \mathrm { i n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) , } \\ { \nabla d _ { 0 } \cdot \nabla d _ { k } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \frac { 1 } { 2 } \leq i \leq k - \frac { 1 } { 2 } , i \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \nabla d _ { i } \cdot \nabla d _ { k - i } \quad \mathrm { f o r ~ } k \geq 1 , \ k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } , } & { \qquad } & { \mathrm { i n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 0 } ( k ) } & { { } \to \bar { a } , \quad \beta _ { 0 } ( k ) \to \bar { a } } \\ { \alpha _ { 1 } ( k ) } & { { } \to - \bar { a } _ { 1 } \, ( k \bar { a } ) ^ { 2 } \, , \qquad \beta _ { 1 } ( k ) \to \bar { a } _ { 1 } \, ( k \bar { a } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { \left( \frac { \cos ^ { 2 } { \ a l p h a } } { a ^ { 2 } } + \frac { \sin ^ { 2 } { \ a l p h a } } { b ^ { 2 } } \right) ( x - x _ { c } ) ^ { 2 } + \left( \frac { \sin ^ { 2 } { \ a l p h a } } { a ^ { 2 } } + \frac { \cos ^ { 2 } { \ a l p h a } } { b ^ { 2 } } \right) ( y - y _ { c } ) ^ { 2 } + } } \\ { \mathrm { 2 ( x - x _ { c } ) ( y - y _ { c } ) \sin { \ a l p h a } \cos { \ a l p h a } \left( \frac { 1 } { b ^ { 2 } } - \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \right) = \mathrm { s } } , } \end{array}