harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \int _ { s } ^ { t } \nabla _ { \textbf { k } } \left[ \mathbf { F } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } } \\ { = } & { \int _ { s } ^ { t } \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \times \left( \nabla _ { \textbf { k } } \times \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } + \int _ { s } ^ { t } \left( \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \cdot \nabla _ { \textbf { k } } \right) \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \mathrm { d } t ^ { \prime } } \\ { = } & { \int _ { s } ^ { t } \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \times \left( \mathbf { \Omega } _ { c } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } - \mathbf { \Omega } _ { v } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } - \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } \bigg | _ { t ^ { \prime } = s } ^ { t ^ { \prime } = t } , } \end{array}
\beta _ { 1 0 } ^ { 2 } = \frac { 4 } { 3 5 } \frac { L ^ { 2 } ( r - L ) ( 5 r ^ { 3 } + 2 5 r ^ { 2 } L + 4 7 r L ^ { 2 } + 3 5 L ^ { 3 } ) } { ( r + L ) ^ { 4 } } ,
{ \hat { x } } _ { a } ^ { i } ( \varepsilon ) = e ^ { i { \hat { H } } \varepsilon } { \hat { x } } _ { a } ^ { i } ( 0 ) e ^ { - i { \hat { H } } \varepsilon } \simeq { \hat { x } } _ { a } ^ { i } ( 0 ) + { \frac { { \hat { \pi } } _ { a } ^ { i } ( 0 ) } { m } } \varepsilon + { \frac { e } { 2 m ^ { 2 } } } \sum _ { b = 1 } ^ { N } \epsilon ^ { i j } [ { \hat { B } } ( { \hat { \bf x } } _ { b } ) \delta _ { a b } + { \frac { e } { \theta } } \delta ( { \hat { \bf x } } _ { a } - { \hat { \bf x } } _ { b } ) ] { \hat { \pi } } _ { b } ^ { j } ( 0 ) \varepsilon ^ { 2 }
\dot { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) = \left( \begin{array} { l } { \dot { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ q Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) } \\ { \dot { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ p Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) } \end{array} \right) = \mathbf J _ { 2 n } \nabla _ { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } H ( \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) = \left( \begin{array} { l l } { \ensuremath { \mathbf Ḋ 0 Ḍ } } & { \mathbf I _ { n } } \\ { - \mathbf I _ { n } } & { \ensuremath { \mathbf Ḋ 0 Ḍ } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \ensuremath { \mathbf Ḋ H Ḍ } _ { q } ( \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) } & { \ensuremath { \mathbf Ḋ 0 Ḍ } } \\ { \ensuremath { \mathbf Ḋ 0 Ḍ } } & { \ensuremath { \mathbf Ḋ H Ḍ } _ { p } ( \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \ensuremath { \mathbf Ḋ q Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) } \\ { \ensuremath { \mathbf Ḋ p Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) } \end{array} \right) .
{ \cal L } _ { Y u k a w a } = \lambda _ { i j } ^ { u } H q _ { i } u _ { j } ^ { c } + \lambda _ { i j } ^ { d } H ^ { \dagger } q _ { i } d _ { j } ^ { c } + \lambda _ { i j } ^ { l } H ^ { \dagger } l _ { i } e _ { j } ^ { c } ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { e f f } , L _ { 3 } } ( E _ { 0 } ) } & { = \tau _ { L 3 } ( E _ { 0 } ) + f _ { 2 3 } \tau _ { L 2 } ( E _ { 0 } ) + [ f _ { 1 3 } + f _ { 1 2 } f _ { 2 3 } ] \tau _ { L 1 } ( E _ { 0 } ) } \\ { \tau _ { \mathrm { e f f } , L _ { 2 } } ( E _ { 0 } ) } & { = \tau _ { L 2 } ( E _ { 0 } ) + f _ { 1 2 } \tau _ { L 1 } ( E _ { 0 } ) } \\ { \tau _ { \mathrm { e f f } , L _ { 1 } } ( E _ { 0 } ) } & { = \tau _ { L 1 } ( E _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { q q } } & { \! = \! \frac { \hbar } { 2 } \! \left( \begin{array} { c c } { \frac { \cos ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 1 } } + \frac { \sin ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 2 } } } & { \left( \frac { 1 } { \omega _ { 2 } } - \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } \right) \sin \beta \cos \beta } \\ { \left( \frac { 1 } { \omega _ { 2 } } - \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } \right) \sin \beta \cos \beta } & { \frac { \sin ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 1 } } + \frac { \cos ^ { 2 } \alpha } { \omega _ { 2 } } } \end{array} \right) , } \\ { \sigma _ { p p } } & { \! = \! \frac { \hbar } { 2 } \! \left( \begin{array} { c c } { \omega _ { 1 } \cos ^ { 2 } \alpha + \omega _ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta } & { \left( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } \right) \sin \beta \cos \beta } \\ { \left( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } \right) \sin \beta \cos \beta } & { \omega _ { 1 } \sin ^ { 2 } \beta + \omega _ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } \end{array} \right) \, , } \\ { \sigma _ { q p } } & { \! = \mathbf { 0 } _ { 2 \times 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \psi _ { 1 } \rangle } & { = } & { \left| t _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } , t _ { 8 } = \frac { 1 } { 3 } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right\rangle = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ { | \psi _ { 2 } \rangle } & { = } & { \left| t _ { 3 } = - \frac { 1 } { 2 } , t _ { 8 } = \frac { 1 } { 3 } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right\rangle = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ { | \psi _ { 3 } \rangle } & { = } & { \left| t _ { 3 } = 0 , t _ { 8 } = - \frac { 2 } { 3 } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right\rangle = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta ( \omega ) } & { { } = \beta _ { f } ( \omega ) + \frac { \omega } { c } n _ { 2 } | \vec { E } | ^ { 2 } + \frac { \omega } { c } \frac { n _ { 2 } \gamma _ { x x } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } ( | \vec { E } | ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cosh ( i x ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( e ^ { i x } + e ^ { - i x } \right) = \cos x } \\ { \sinh ( i x ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( e ^ { i x } - e ^ { - i x } \right) = i \sin x } \\ { \cosh ( x + i y ) } & { { } = \cosh ( x ) \cos ( y ) + i \sinh ( x ) \sin ( y ) } \\ { \sinh ( x + i y ) } & { { } = \sinh ( x ) \cos ( y ) + i \cosh ( x ) \sin ( y ) } \\ { \operatorname { t a n h } ( i x ) } & { { } = i \tan x } \\ { \cosh x } & { { } = \cos ( i x ) } \\ { \sinh x } & { { } = - i \sin ( i x ) } \\ { \operatorname { t a n h } x } & { { } = - i \tan ( i x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { + } & { { } \sum _ { n , Q _ { 8 7 } ( n ) = 0 } \left( H _ { 2 2 } [ E ^ { ( 2 ) } , \boldsymbol { \kappa } ^ { ( 2 ) } , \boldsymbol { \gamma } ^ { ( 2 ) } ] ( \boldsymbol { Q } ( n ) ) - E _ { \mathrm { ~ B ~ \textsubscript ~ { ~ 2 ~ } ~ } } ( n ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\mathrm { I m } { \cal L } _ { \mathrm { s c a l a r } } ^ { ( 1 ) } = \frac { ( q E ) ( q B ) } { 4 ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n } \mathrm { c s c h } \Bigl ( \frac { n \pi B } { E } \Bigr ) \exp \Bigl ( - \frac { n \pi m ^ { 2 } } { q E } \Bigr ) .
\Delta ^ { 2 } \psi _ { 0 , k } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { k } \Delta \psi _ { 0 , k } ^ { ( 1 ) } = 2 \textrm { W o } ^ { 2 } \sum _ { j = k - K } ^ { K } \left( \nabla ^ { \perp } \zeta _ { 1 , j } ^ { ( 0 ) } \cdot \nabla \Delta \zeta _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } + \nabla ^ { \perp } \xi _ { 1 , j } ^ { ( 0 ) } \cdot \nabla \Delta \xi _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } \right) ,
0 . 0 3 3 8 \bar { l } + 1 . 3 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \bar { l } _ { 1 } - 6 \cdot 1 0 ^ { - 7 } \bar { l } _ { 4 } - 0 . 0 7 6 4 > O ( \lambda ) .
\_ E _ { \/ R } ^ { t } = { \frac { E _ { 0 } } { 4 } } M ^ { t } \Big ( 1 - { \frac { \omega \kappa } { c \sqrt { \mu \epsilon } } } \Big ) ( \_ a _ { x } - j \_ a _ { y } ) , \quad \_ E _ { \/ L } ^ { t } = { \frac { E _ { 0 } } { 4 } } M ^ { t } \Big ( 1 + { \frac { \omega \kappa } { c \sqrt { \mu \epsilon } } } \Big ) ( \_ a _ { x } + j \_ a _ { y } ) ,
\begin{array} { r l } { f ( x _ { n } ) - f ( y _ { n } ) \leq } & { \; \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } C _ { k _ { i } , s } \frac { 2 n \rho ^ { 2 - 2 s } } { 1 - s } + c ( x _ { n } ) u ( x _ { n } ) - c ( y _ { n } ) v ( y _ { n } ) } \\ & { \quad - \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } C _ { k _ { i } , s } \frac { 1 } { 2 s } ( \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) ^ { - 2 s } ( u ( x _ { n } ) - v ( y _ { n } ) ) . } \end{array}
\int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \delta _ { \bf E } L _ { \mathrm { g c } } \; = \; \mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf E } \; + \; \delta \Lambda _ { \mathrm { g c P } } ,
\begin{array} { r l } { Z _ { N } \left( g _ { k } \right) } & { = Z _ { \infty } \left( g _ { k } \right) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \left( m ! \right) ^ { 2 } } [ 1 ] \Bigg \{ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { N + 1 } \cdot \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } ^ { 2 } \cdot } \\ & { \cdot \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k } \frac { g _ { k } } { \left( 1 - g _ { k } \right) } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } ^ { k } - v _ { i } ^ { k } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( v _ { j } ^ { - k } - u _ { j } ^ { - k } \right) \right] \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } ( \widehat { n } \cdot \widehat { n } ) } & { = 0 \implies \widehat { n } \cdot \partial _ { \tau } \widehat { n } = 0 , } \\ { \partial _ { \tau } ( \widehat { n } \cdot t _ { i } ) } & { = 0 \implies t _ { i } \cdot \partial _ { \tau } \widehat { n } = - \widehat { n } \cdot \partial _ { \tau } t _ { i } = - t _ { i } \cdot ( \nabla _ { \! \bot } v _ { \sigma } + K v _ { \bot } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \varrho _ { i } ( t ) = \theta ^ { n - i } x _ { i } ( t ) , \; \; \varrho ( t ) = ( \varrho _ { 1 } ( t ) , \cdots , \varrho _ { n } ( t ) ) , } \\ { \Xi _ { i } ( t ) = g _ { i } ( \bar { x } _ { i } ( t ) ) - g _ { i } ( \hat { \bar { x } } _ { i } ( t ) ) , \; i = 1 , \cdots , n , } \\ { \varsigma ( t ) = r ^ { n } ( y ( \zeta _ { t } ) - y ( t ) ) , } \\ { \delta ( t ) = ( \delta _ { 1 } ( t ) , \cdots , \delta _ { n + 1 } ( t ) ) , } \end{array} \right.
\prod _ { p } ( 1 - p ^ { - s } ) ^ { - 1 } = \prod _ { p } { \Big ( } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } p ^ { - n s } { \Big ) } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { s } } } = \zeta ( s ) .
\begin{array} { l l l l } { \Delta x \Delta y \Bar W _ { i j } } & { = \int _ { I _ { i j } } W d x d y , } \\ { \Delta x \Delta y \Bar V _ { i j } } & { = \int _ { I _ { i j } } W _ { x } d x d y , } \\ { \Delta x \Delta y \Bar Y _ { i j } } & { = \int _ { I _ { i j } } W _ { y } d x d y , } \\ { \Delta x \Delta y \Bar Z _ { i j } } & { = \int _ { I _ { i j } } W _ { x y } d x d y . } \end{array}
W ^ { \prime } = f H _ { 1 0 } { \bf 1 0 ^ { \prime \prime } } \ { \bf 5 ^ { \prime } } + \bar { f } H _ { \overline { { { 1 0 } } } } { \bf \overline { { { 1 0 } } } ^ { \prime \prime } } \ { \bf \overline { { { 5 } } } ^ { \prime } } + M _ { n } { \bf 5 ^ { \prime } } { \bf \overline { { { 5 } } } ^ { \prime } } + M _ { m } { \bf 1 0 ^ { \prime \prime } } { \bf \overline { { { 1 0 } } } ^ { \prime \prime } } ,
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { \le \exp \left( - \frac { d } { 4 } \log \left( 1 - 8 \theta \bar { c } \sigma ^ { 2 } t \right) + \frac { 2 \theta ^ { 2 } t \sigma ^ { 2 } | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } } { 1 - 8 \theta \bar { c } t \sigma ^ { 2 } } - \frac { K } { 8 } \right) \mathbb { E } \left[ e ^ { \frac { | Z | ^ { 2 } } { 4 } } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le \exp \left( - \frac { d } { 4 } \log \left( 1 - 8 \theta \bar { c } \sigma ^ { 2 } t \right) + \frac { 2 \theta ^ { 2 } t \sigma ^ { 2 } | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } } { 1 - 8 \theta \bar { c } t \sigma ^ { 2 } } - \frac { K } { 8 } + \frac { d \log 2 } { 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { 2 , 1 } ^ { ( n ) } : = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left( \bar { \varphi } ( \xi _ { N , \delta } ^ { k } ( \xi _ { 0 } ) ) \right) ^ { 2 } , \quad T _ { 2 , 2 } ^ { ( n ) } : = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } P _ { l } ^ { N , \delta } \bar { \varphi } ( \xi _ { N , \delta } ^ { k } ( \xi _ { 0 } ) ) - P _ { l } ^ { N , \delta } \bar { \varphi } ( \xi _ { N , \delta } ^ { k - 1 } ( \xi _ { 0 } ) ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\lambda _ { \mathrm { f } } ( \gamma _ { 1 } ) + \lambda _ { \mathrm { f } } ( \gamma _ { 2 } ) \geq \lambda _ { \mathrm { f } } ( \gamma _ { 1 } \cap \gamma _ { 2 } ) + \lambda _ { \mathrm { f } } ( \gamma _ { 1 } \cup \gamma _ { 2 } ) .
\frac { 4 \mathcal { D } } { \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ } } \bar { c } _ { \mathrm { ~ g ~ } } \lambda _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ P ~ } } } = \frac { 4 \mathcal { D } } { \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ } } \bar { c } _ { \mathrm { ~ g ~ } } } \frac { f p } { k ( \gamma - 1 ) } \frac { \bar { c } _ { \mathrm { ~ g ~ } } } { 2 T _ { \mathrm { ~ g ~ } } } = \frac { 2 \mathcal { D } f p } { \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ } } k ( \gamma - 1 ) T _ { \mathrm { ~ g ~ } } } \equiv \frac { 2 f } { \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ } } ( \gamma - 1 ) } \frac { \mathcal { D } \rho R _ { \mathrm { ~ g ~ } } } { k }
\left| G _ { M } ^ { n } ( t ) \right| = \left( \frac { y _ { 1 } } { t ^ { 2 } } + \frac { y _ { 2 } } { t ^ { 3 } } \right) \left[ \ln \left( \frac { t } { Q _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \right] ^ { - \gamma } ,
\| F \| _ { X ^ { \theta , \beta } } = \int \big ( \operatorname* { m a x } _ { j } \langle \lambda _ { j } \rangle \big ) ^ { \theta } \cdot \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { k _ { j } } \big ( \operatorname* { m a x } _ { j } \langle k _ { j } \rangle \big ) ^ { \beta } | \widehat { F } ( \lambda _ { j } , k _ { j } ) | \bigg ] \, \prod _ { j } \mathrm { d } \lambda _ { j } ,
\begin{array} { r l } { \pi _ { K } } & { = \pi _ { K + 1 } - ( 1 - p ) \pi _ { K + 2 } } \\ & { = \frac { p - 1 } { 2 p - 1 } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { m - K - 1 } \pi _ { m } + \frac { p } { 2 p - 1 } \pi _ { m } - ( 1 - p ) \left( \frac { p - 1 } { 2 p - 1 } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { m - K - 2 } \pi _ { m } + \frac { p } { 2 p - 1 } \pi _ { m } \right) } \\ & { = \frac { p ( p - 1 ) } { 2 p - 1 } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { m - K } \pi _ { m } + \frac { p ^ { 2 } } { 2 p - 1 } \pi _ { m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 c \Big \{ | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } - \Theta _ { 0 1 } | | _ { F } ^ { 2 } + | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } - \Theta _ { 0 2 } | | _ { F } ^ { 2 } \Big \} + \lambda \Big \{ | | \Delta _ { 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( c | | \Delta _ { 1 S _ { 1 } } ^ { - } | | _ { F } ^ { 2 } + \frac { 1 6 \lambda ^ { 2 } s _ { 1 } } { c } + c | | \Delta _ { 2 S _ { 2 } } ^ { - } | | _ { F } ^ { 2 } + \frac { 1 6 \lambda ^ { 2 } s _ { 2 } } { c } \Big ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \Big ( c | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { + } - \Theta _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } + \frac { 4 | | \widehat { \Sigma } _ { 1 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } } { c } + c | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { + } - \Theta _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } + \frac { 4 | | \widehat { \Sigma } _ { 2 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } } { c } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle f | \hat { p } _ { z } | j \rangle = } & { { } - i \langle \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } | \langle R _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \prime } | \frac { d } { d z } | \ell m \rangle | R _ { \ell } \rangle } \\ { = } & { { } - i \delta _ { \ell + 1 \ell ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } \sqrt { \frac { ( \ell + m + 1 ) ( \ell - m + 1 ) } { ( 2 \ell + 3 ) ( 2 \ell + 1 ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } R _ { \ell + 1 } ^ { \prime } ( r ) \frac { d R _ { \ell } ( r ) } { d r } - \ell r R _ { \ell + 1 } ^ { \prime } ( r ) R _ { \ell } ( r ) d r } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left| \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial z } \frac { P } { m } \right| } & { \ll } & { \left| \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial \theta } \Omega _ { - } \right| , } \\ { \left| \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial z } \frac { P } { m } \right| } & { \ll } & { \left| \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial \phi } \Omega _ { + } \right| . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t _ { 2 } ^ { 2 } } u _ { 2 } = - \frac { 4 } { 3 } ( u _ { 2 } u _ { 2 } ^ { \prime } + { \theta } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { \prime } ,
, w h i c h t a k e t h e s t r i c t q u o t i e n t , t h e u n d e r l y i n g s p a c e a s a n i n v a r i a n t t y p e , a n d t h e Y o n e d a e m b e d d i n g o f t h e u n d e r l y i n g s p a c e o f a g l o b a l e q u i v a r i a n t t y p e r e s p e c t i v e l y . A g a i n t h e m o d a l i t i e s p l a y a c e n t r a l r o l e i n t h e t h e o r y , w i t h t h e o r d i n a r y B o r e l c o h o m o l o g y o f a g l o b a l q u o t i e n t o r b i f o l d
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 4 \, 2 } ^ { 2 } ( i ) } & { { } = \frac { 2 1 } { 1 6 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } ( \cos i ) ^ { 2 } + \frac { 2 1 } { 1 6 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } \cos i } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon = \frac { \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } \Lambda } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d k } { 2 \pi } \tilde { \psi } _ { X } ( X _ { \xi } , k ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M \frac { d ^ { 2 } x ^ { i } ( t ) } { d t ^ { 2 } } = } & { { } - \partial _ { i } U ( { \bf x } ) + \langle \hat { F } ^ { i } ( { \bf x } ) \rangle - \beta ^ { i j } ( { \bf x } ) v _ { j } ( t ) } \end{array}
M _ { \alpha } = e ^ { - d \tau } \frac { \partial j _ { \beta } ^ { \prime } } { \partial j _ { \alpha } } \frac { 1 } { V ^ { \prime } } \frac { \partial } { \partial j _ { \beta } ^ { \prime } } \ln Z \equiv e ^ { - d \tau } \frac { \partial j _ { \beta } } { \partial j _ { \alpha } } M _ { \beta } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { I _ { 6 } \, } & { { } = \, \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } t ( \partial _ { t } W _ { \epsilon } ) \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X + \frac { \epsilon \bar { r } \dot { \bar { r } } } { \delta \Gamma } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( W _ { \epsilon } \tilde { \eta } - \tilde { \phi } \bigr ) \, \partial _ { R } \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \delta } { \delta \zeta _ { 1 } } \left[ G _ { 1 3 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 3 } } \right] \right) _ { i , j , k } = } & { { } \left[ G _ { 1 3 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 3 } } \right] _ { i + 1 / 2 , j , k } - \left[ G _ { 1 3 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 3 } } \right] _ { i - 1 / 2 , j , k } } \\ { = } & { { } + \frac { G _ { 1 3 } ^ { 2 } | _ { i + 1 , j , k } } { 2 } \left[ + \frac { \phi | _ { i , j , k + 1 } + \phi | _ { i + 1 , j , k + 1 } } { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\Vert ( u _ { n } - u ^ { * } ) - \alpha _ { n } \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 + L _ { g } ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } ) \delta _ { n } ^ { 2 } + 2 \alpha _ { n } ( E ( u ^ { * } ) - E ( u _ { n } ) ) + \alpha _ { n } \gamma _ { n } \left\Vert e _ { n } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad - \alpha _ { n } \int _ { \Omega } \left( | \nabla e _ { n } | ^ { 2 } + V | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad - 2 \alpha _ { n } \int _ { \Omega } \left( \frac { 3 \beta } { 2 } | u _ { n } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta | e _ { n } | ^ { 2 } u _ { n } e _ { n } + \frac { \beta } { 4 } | e _ { n } | ^ { 4 } - \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\langle n ^ { \prime } , J ^ { \prime } , m _ { J } ^ { \prime } | d _ { q } | n , J , m _ { J } \rangle = ( - 1 ) ^ { J ^ { \prime } - m ^ { \prime } } \left( \begin{array} { c c c } { J ^ { \prime } } & { 1 } & { J } \\ { - m _ { J } ^ { \prime } } & { q } & { m _ { J } } \end{array} \right) \langle n ^ { \prime } J ^ { \prime } | | d | | n J \rangle ,
\begin{array} { r l } { \beta _ { f } ( \omega , | \phi | ^ { 2 } ) } & { { } = \beta _ { 0 } + i \beta _ { 1 } \frac { \partial } { \partial t } - \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \end{array}
\mathrm { R M S E } ( p , T ) = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { r e c } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { r e c } } } | \xi _ { k } ( i , T , p ) - \overline { { \xi } } _ { k } ( T , p ) | ^ { 2 } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad k = 1 , 2 , 3 \, ,
\begin{array} { r l } { J _ { z } } & { { } = ( q _ { \uparrow } - q _ { \downarrow } ) ^ { 2 } , } \\ { J _ { \perp } } & { { } = 2 \left[ 6 q _ { \uparrow \downarrow } ^ { 2 } - 4 \left[ | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { + 1 } | ^ { 2 } + | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { - 1 } | ^ { 2 } \right] + \left[ | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { + 2 } | ^ { 2 } + | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { - 2 } | ^ { 2 } \right] \right] , } \\ { W } & { { } = ( q _ { \uparrow } ^ { 2 } - q _ { \downarrow } ^ { 2 } ) / 2 , } \\ { V } & { { } = ( q _ { \uparrow } + q _ { \downarrow } ) ^ { 2 } / 4 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { i } ( \mathbf { u } ; \mathbf { g } ) } & { = A _ { i j } ( \mathbf { g } ) \phi _ { j } ( \mathbf { u } ) ; \quad i = 0 , \cdots , M } \\ { \{ \phi _ { i } ( \mathbf { u } ; \mathbf { g } ) \} } & { = \{ 1 , \bar { u } _ { x } , \frac { \bar { u } _ { x } ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 2 } } , \frac { \bar { u } _ { r } ^ { 2 } } { 2 } - 1 , \frac { \bar { u } _ { x } ^ { 3 } - 3 \bar { u } _ { x } } { \sqrt { 6 } } , } \\ & { \frac { \bar { u } _ { x } ^ { 4 } - 6 \bar { u } _ { x } ^ { 2 } + 3 } { 2 \sqrt { 6 } } , \frac { 1 } { 8 } \bar { u } _ { r } ^ { 4 } - \bar { u } _ { r } ^ { 2 } + 1 , \frac { 1 } { 2 } \bar { u } _ { x } ( \bar { u } _ { r } ^ { 2 } - 1 ) , \frac { ( \bar { u } _ { x } ^ { 2 } - 1 ) ( \bar { u } _ { r } ^ { 2 } - 2 ) } { 2 \sqrt { 2 } } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s } & { \geq r ^ { j _ { 0 } \epsilon } - 2 \sum _ { j < j _ { 0 } } r ^ { j \epsilon } - 2 \sum _ { j > j _ { 0 } } r ^ { j \epsilon } r ^ { - j } d ( x , y ) } \\ & { = r ^ { j _ { 0 } \epsilon } - \frac { 2 r ^ { j _ { 0 } \epsilon } } { r ^ { \epsilon } - 1 } - \frac { 2 r ^ { j _ { 0 } ( \epsilon - 1 ) } } { r ^ { 1 - \epsilon } - 1 } d ( x , y ) } \\ & { \geq r ^ { j _ { 0 } \epsilon } - \frac { 2 r ^ { j _ { 0 } \epsilon } } { r ^ { \epsilon } - 1 } - \frac { 4 c r ^ { j _ { 0 } \epsilon } } { r ^ { 1 - \epsilon } - 1 } } \\ & { = r ^ { j _ { 0 } \epsilon } \left( 1 - \frac { 2 } { r ^ { \epsilon } - 1 } - \frac { 4 c } { r ^ { 1 - \epsilon } - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { x c } } = \, } & { { } \alpha E _ { \mathrm { x , S R } } ^ { \mathrm { e x } } + ( 1 - \alpha ) E _ { \mathrm { x , S R } } ^ { \mathrm { s l } } [ n ] + ( \alpha + \beta ) E _ { \mathrm { x , L R } } ^ { \mathrm { e x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } \quad } & { c ^ { \top } x , } \\ { \mathrm { s u c h \ t h a t } \quad } & { \underline { { g } } \leq g ( x ) \leq \overline { { g } } , } \\ & { \underline { { b } } \leq A x \leq \overline { { b } } , } \\ & { \underline { { x } } \leq x \leq \overline { { x } } , } \\ & { x _ { \mathcal { I } } \in \mathbb { Z } ^ { \vert \mathcal { I } \vert } , } \end{array}