harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \footnotesize } & { { } } & { r _ { 1 } \equiv - \frac { 1 } { \mathrm { J _ { 0 } } ^ { 2 } ( l _ { q } ) } \left[ \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left\{ \left( - \zeta _ { m , q } ^ { ( 4 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \alpha _ { m , q } ^ { 2 } - \alpha _ { m , q } \right) \xi _ { m , q } ^ { ( 3 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) \right) \mathcal { I } _ { 0 - q , 0 - m , 0 - j } \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a : = ( 1 + x ) ( 1 + y ) ( z ^ { n } + z ^ { 1 - n } ) h , } \\ & { b : = z ^ { m } [ ( 1 + x ) ( \overline { { x } } + \overline { { y } } ) + ( 1 + \overline { { y } } ) ( 1 + z ^ { 2 n - 1 } ) ] h , } \\ & { c : = z ^ { m } [ ( 1 + \overline { { y } } ) ( x + y ) z ^ { n } + ( 1 + x ) ( z ^ { n } + z ^ { 1 - n } ) ] h , } \\ & { d : = z ^ { 2 n - 1 } + ( 4 + x + \overline { { x } } + y + \overline { { y } } ) h . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } } & { = J _ { 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( \hat { c } _ { n , A } ^ { \dagger } \, \hat { c } _ { n , B } + \mathrm { H . c . } ) + J _ { 1 } ^ { \prime } \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( \hat { c } _ { n , B } ^ { \dagger } \, \hat { c } _ { n + 1 , A } + \mathrm { H . c . } ) } \\ & { + J _ { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( \hat { c } _ { n , A } ^ { \dagger } \, \hat { c } _ { n , B } + \mathrm { H . c . } ) + J _ { 3 } ^ { \prime } \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( \hat { c } _ { n , B } ^ { \dagger } \, \hat { c } _ { n + 2 , A } + \mathrm { H . c . } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta H } & { = } & { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \int d ^ { 3 } r \left[ \nabla \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \cdot \nabla \delta \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) + \nabla \delta \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \cdot \nabla \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] = } \\ & { = } & { - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \int d ^ { 3 } r \left\{ [ \nabla ^ { 2 } \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] \delta \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) + [ \nabla ^ { 2 } \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] \, \delta \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d S } { d t } } & { { } = - \beta S I - \lambda S } \\ { \frac { d I } { d t } } & { { } = \beta S I - \gamma I } \\ { \frac { d R } { d t } } & { { } = \gamma I } \\ { \frac { d V } { d t } } & { { } = \lambda S } \end{array}
w _ { 7 } = b _ { - 5 } z ^ { 2 } + b _ { - 7 } x z + b _ { - 8 } y z + b _ { - 9 } x ^ { 2 } + b _ { - 1 0 } x y + b _ { - 1 1 } x ^ { 3 } z ^ { - 1 } .
F ( \frac { s } { 2 } + \frac { 5 - m } { 4 } , \frac { s } { 2 } + \frac { 3 - m } { 4 } ; 1 ; \frac { k ^ { 4 } } { ( k ^ { 2 } + 8 M ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ) , \, f o r \, \Re ( s ) > \frac { m - 3 } { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \mathbf { p } ^ { \dagger } \mathbb { D } _ { i } \left( \mathbb { G } _ { 0 } + \xi \right) \mathbf { p } = - \mathbf { e } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \dagger } \mathbb { D } _ { i } \mathbf { x } , } \end{array}
\mathcal { J } _ { s } ( \mathbf { w } ) : = \int _ { \theta , \zeta } \int _ { v _ { \parallel } } 3 . 5 e ^ { - 2 \mathcal { T } ( \mathbf { x } , v _ { \parallel } , \mathbf { w } ) / t _ { \operatorname* { m a x } } } \, \, f ( \theta , \zeta , v _ { \parallel } | s ) \, \, d v _ { \parallel } \, d \theta \, d \zeta .
V _ { t } ^ { \lambda } = V _ { \lfloor t \rfloor } ^ { \lambda } - \lambda \gamma \int _ { \lfloor t \rfloor } ^ { t } V _ { \lfloor s \rfloor } ^ { \lambda } d s - \lambda \int _ { \lfloor t \rfloor } ^ { t } h _ { t a m , \gamma } ( \theta _ { \lfloor s \rfloor } ^ { \lambda } ) d s + \sqrt { 2 \gamma \lambda \beta ^ { - 1 } } ( B _ { t } ^ { \lambda } - B _ { \lfloor t \rfloor } ^ { \lambda } ) .
J _ { P } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { - 2 t g ( \lambda ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } & { \qquad \lambda \in \gamma _ { \pm 2 } \cap D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) , } \\ { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - \mathrm { i } } \\ { - \mathrm { i } } & { 0 } \end{array} \right) , } & { \qquad \lambda \in \rho \cap D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) , } \\ { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { 2 t g ( \lambda ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & { \qquad \lambda \in \gamma _ { 1 } \cap D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) . } \end{array} \right.
\tilde { m } ^ { 2 } = { 2 \Lambda ^ { 2 } } [ ~ C _ { 3 } \left( { \frac { \alpha _ { 3 } } { 4 \pi } } \right) ^ { 2 } + C _ { 2 } \left( { \frac { \alpha _ { 2 } } { 4 \pi } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \int _ { R ^ { d + 1 } } { \mathbf 1 } _ { m - u < b < m , b < a ^ { 1 } } q ^ { k , \beta } ( m , u , \tilde { x } , a , b , x _ { 0 } , s ) d a d b \leq \frac { e ^ { - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { x } _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 t } } } { \sqrt { 2 \pi t } ^ { d + 1 } } \frac { e ^ { - \frac { ( m - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } } } { \sqrt { t - s } } . } \\ & { \left[ \Phi _ { G } \left( \sqrt { \frac { t } { 2 s ( t - s ) } } ( m - \frac { s ( m - u ) + m ( t - s ) } { t } ) \right) - \Phi _ { G } \left( \sqrt { \frac { t } { 2 s ( t - s ) } } ( m - u - \frac { s ( m - u ) + m ( t - s ) } { t } ) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { v a c } ^ { \mu \nu } = 2 e ^ { - 1 } \delta \left( e \overline { { \mathcal { L } } } _ { v a c } \right) / \delta g _ { \mu \nu } = g ^ { \mu \nu } \overline { { \mathcal { L } } } _ { v a c } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { v a c } = - \left( 8 \pi \ell _ { P } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } \Lambda } \end{array}
\left( { \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } } } + { \frac { k _ { y } ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } } } + { \frac { k _ { z } ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } } } - { \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) \left( { \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } } } + { \frac { k _ { y } ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } } } + { \frac { k _ { z } ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } } } - { \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) = 0
\begin{array} { r l } { \mathrm { \ m b { D } } _ { t } ( \xi + f _ { 0 } ) } & { { } = - ( \xi + f _ { 0 } ) \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { u } \, \mathrm { d } t + \big [ \boldsymbol { \nabla } ^ { \perp } \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \big ] _ { \scriptscriptstyle F } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { 2 + \alpha } [ D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { \rho / 4 } ) } } & { \le \delta \rho ^ { 2 + \alpha } [ D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { \rho / 2 } ) } + C _ { \delta } \left( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + \| f \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } \right) } \\ & { \le \delta [ D ^ { 2 } u ] _ { \alpha ; B _ { 1 } } ^ { * } + C _ { \delta } \left( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + \| f \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } \right) . } \end{array}
\ensuremath { \mathcal { L } } _ { b } ^ { \infty } ( ( ^ { * } S ) ^ { m } , \ensuremath { \mathcal { W } } ) ^ { ^ { * } G } + \ensuremath { \mathcal { L } } _ { i n f } ^ { \infty } ( ( ^ { * } S ) ^ { m } , \ensuremath { \mathcal { W } } ) \subseteq \ensuremath { \mathcal { L } } _ { b } ^ { \infty } ( ( ^ { * } S ) ^ { m } , \ensuremath { \mathcal { W } } ) ^ { \sim ^ { * } G }
\begin{array} { r l } { { s _ { k } } \left( t \right) } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { { M _ { 1 } - 1 } } \sum _ { b = 0 } ^ { { B _ { k } - 1 } } { { \tilde { s } _ { m , b } ^ { k } } { e ^ { j 2 \pi \left( { \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } { { B _ { i } } } + b } \right) \Delta _ { f } \left( { t - { T _ { c p } } - m { T } } \right) } } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times { \mathrm { { r e c t } } \left( { t - m { T } } \right) } , 0 \le t \le { M _ { 1 } } { T } , } \end{array}
P _ { \mathrm { L H 0 8 } } = 2 . 1 5 \, \langle n \rangle ^ { 0 . 7 8 2 } B _ { \mathrm { t } } ^ { 0 . 7 7 2 } a _ { \mathrm { m i n o r } } ^ { 0 . 9 7 5 } R _ { \mathrm { 0 } } ^ { 0 . 9 9 9 }
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d q _ { - } \frac { 1 } { q _ { - } ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { i q _ { - } x ^ { - } } = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } d q _ { - } \frac { \mathrm { c o s } q _ { - } x ^ { - } } { q _ { - } ^ { 2 } } = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } d q _ { - } \frac { 1 } { q _ { - } ^ { 2 } } - { \pi } | x ^ { - } |
k _ { 1 } U ^ { \left( 3 - \frac { 3 } { \lambda } \right) } F ^ { \prime \prime \prime } + k _ { 2 } U ^ { \left( 2 - \frac { 3 } { \lambda } \right) } F ^ { \prime \prime } + k _ { 3 } U ^ { \left( 1 - \frac { 3 } { \lambda } \right) } F ^ { \prime } - \left\{ k _ { 4 } U ^ { \left( 2 - \frac { 2 } { \lambda } \right) } F ^ { \prime \prime } + k _ { 5 } U ^ { \left( 1 - \frac { 2 } { \lambda } \right) } F ^ { \prime } \right\} ^ { 2 - \alpha } F = 0 ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ E ~ M ~ L ~ } } ^ { \ast } } & { { } = a _ { m } \left( \frac { \mathrm { ~ P ~ r ~ } } { d _ { 1 } } \right) ^ { m _ { 1 } } \left( \frac { \mathrm { ~ G ~ a ~ } } { d _ { 2 } } \right) ^ { m _ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { ~ P ~ m ~ } } { d _ { 3 } } \right) ^ { m _ { 3 } } \left( \frac { \mathrm { ~ M ~ a ~ } } { d _ { 4 } } \right) ^ { m _ { 4 } } } \\ { \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ A ~ D ~ L ~ } } ^ { \ast } } & { { } = a _ { m } \left( \frac { \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ j ~ e ~ t ~ } } } { d _ { 1 } } \right) ^ { m _ { 1 } } \left( \frac { \nu _ { \ast } } { d _ { 2 } } \right) ^ { m _ { 2 } } , } \\ { \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ E ~ S ~ L ~ } } ^ { \ast } } & { { } = a _ { m } \left( \frac { \mathrm { ~ P ~ r ~ } } { d _ { 1 } } \right) ^ { m _ { 1 } } \left( \frac { \mathrm { ~ B ~ i ~ } } { d _ { 2 } } \right) ^ { m _ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { ~ P ~ l ~ } } { d _ { 3 } } \right) ^ { m _ { 3 } } \left( \frac { \mathrm { ~ M ~ a ~ } } { d _ { 4 } } \right) ^ { m _ { 4 } } \left( \frac { \mathrm { ~ L ~ a ~ } } { d _ { 5 } } \right) ^ { m _ { 5 } } , } \end{array}
J ( x , t ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { t f ( x / t ) , } & { { \mathrm { i f ~ } } 0 \leq \| x \| < t , } \\ { x , } & { { \mathrm { i f ~ } } t \leq \| x \| \leq 1 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { E \left( \mathbf { x } \right) = f \left( \mathbf { x } \right) - s \left( \mathbf { x } \right) , \quad \mathbf { x } = \left( x , y \right) } \\ & { \left| \left| E \left( \mathbf { x } \right) \right| \right| _ { 2 } = \left( \int _ { \Omega } \left| E \left( \mathbf { x } \right) \right| ^ { 2 } \, d x \right) ^ { 1 / 2 } \approx \left| \Omega \right| \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } | E ( \mathbf { x } _ { c } ) | ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \left| \left| E \left( \mathbf { x } \right) \right| \right| _ { \infty } = \operatorname* { s u p } _ { x \in \Omega } \left| E \left( \mathbf { x } \right) \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { ( k - 1 ) } ( x _ { i } ) } & { = P _ { X } ^ { ( k - 1 ) } ( x _ { i } ) \exp \left( { \mathcal { D } \Big [ \hat { p } _ { i , j } | | P _ { Y } ^ { ( k - 1 ) } ( y _ { j } ) \Big ] } \right) } \\ & { = P _ { X } ^ { ( k - 1 ) } ( x _ { i } ) \exp \left( \sum _ { i = 0 } ^ { N } \hat { p } _ { i , j } \log \left( \frac { \hat { p } _ { i , j } } { P _ { Y } ^ { ( k - 1 ) } ( y _ { j } ) } \right) \right) } \\ & { = P _ { X } ^ { ( k - 1 ) } ( x _ { i } ) \prod _ { i = 0 } ^ { N } \left( \frac { \hat { p } _ { i , j } } { P _ { Y } ^ { ( k - 1 ) } ( y _ { j } ) } \right) ^ { \hat { p } _ { i , j } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \alpha } { l _ { x } } = \left( 2 j \frac { \omega \eta } { \Lambda } \sin ^ { 2 } \left( k h \right) - j \frac { \eta \omega } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { H _ { 1 } ^ { \left( 2 \right) } \left( n k \Lambda \right) } { n \Lambda } \right. } \\ { \quad \left. + j \frac { \eta c } { 2 \Lambda } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \beta _ { m } e ^ { - 2 j \beta _ { m } h } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
R _ { j k } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ r _ { n } ^ { ( j ) } - ( \overline { { r } } ) ^ { ( j ) } \right] \left[ r _ { n } ^ { ( k ) } - ( \overline { { r } } ) ^ { ( k ) } \right] ,
{ \frac { d P } { d \Omega } } = { \frac { q ^ { 2 } } { 4 \pi c } } { \frac { | \mathbf { \hat { n } } \times [ ( \mathbf { \hat { n } } - { \boldsymbol { \beta } } ) \times { \dot { \boldsymbol { \beta } } } ] | ^ { 2 } } { ( 1 - \mathbf { \hat { n } } \cdot { \boldsymbol { \beta } } ) ^ { 5 } } } ,
\begin{array} { r l } { \left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ( \cdot ) } - \frac { n } { q } } \| f \chi _ { B ( \cdot , 2 \sqrt { n } r ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \right\| _ { L ^ { q } } } & { \le \left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ( \cdot ) } - \frac { n } { q } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k \in \mathbb { Z } ^ { n } } \left\| f \chi _ { Q _ { r , k } } \right\| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \chi _ { Q _ { r , k _ { j } + k } } \right\| _ { L ^ { q } } } \\ & { \lesssim r ^ { \frac { n } { \alpha } - N _ { p , r } } \left\| \left\{ \left\| f \chi _ { Q _ { r , k } } \right\| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \right\} _ { k \in \mathbb { Z } ^ { n } } \right\| _ { \ell ^ { q } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R ( x _ { 2 } , \tau _ { 2 } ; x _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) = } \\ & { \quad = \frac { 2 ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } + 2 } x _ { 2 } ^ { 3 / 2 } x _ { 1 } ^ { \beta - \frac { 3 } { 2 } } ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { - \beta } \left( ( \beta - 2 ) ^ { 2 } D \tau _ { 1 } x _ { 1 } ^ { \beta - 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { \beta - 2 } - 1 } \exp \left( - \frac { 2 ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { - \beta } \left( \tau _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { \beta } + \tau _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { \beta } \right) } { ( \beta - 2 ) ^ { 2 } D \tau _ { 1 } ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } \right) I _ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } \left( \frac { 4 x _ { 1 } x _ { 2 } ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { - \beta / 2 } } { D ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) ( \beta - 2 ) ^ { 2 } } \right) } { D \ \Gamma \left( \frac { \beta - 3 } { \beta - 2 } \right) ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { x } _ { i } \left( \Phi _ { x } ^ { \mathsf { t } } \right) } & { = x \mathrm { 1 } \pi ^ { ( i ) } + \mathrm { 1 } \pi ^ { ( i ) } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } A _ { i } ^ { - k } = \mathrm { 1 } \pi ^ { ( i ) } \left( x I + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } A _ { i } ^ { - k } \right) } \\ & { = \mathrm { 1 } \pi ^ { ( i ) } \left( x + ( A _ { i } - I ) ^ { - 1 } \right) , \quad \mathrm { f o r ~ } i = 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { k } _ { m } \equiv \frac { 1 } { 2 } \mathbf { \bar { u } } _ { m } \cdot \mathbf { \bar { u } } _ { m } , } \\ { k _ { m } ^ { \prime } \equiv \frac { 1 } { 2 } \mathbf { u } _ { m } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } _ { m } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r c c c c c l } { \dot { s } } & { \geq } & { - \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } s } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s } ; } & & & & \\ { \dot { s } } & { \leq } & { - \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } s } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s } } & { + } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } k _ { 1 } e _ { 0 } s _ { 0 } \cdot \bigg ( \cfrac { k _ { - 1 } + k _ { 1 } s _ { 0 } } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s _ { 0 } } \bigg ) \cdot \bigg ( \cfrac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } } { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } } \bigg ) } & { = : } & { U ( s ) . } \end{array}
\mathcal S ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ } } = \underset { \boldsymbol x \in \mathcal X ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ } } } { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } | \boldsymbol x |
T ^ { 0 } ( x , y ) : = 1 2 0 0 \mathrm { e x p } \left( - \left( \frac { ( x - l / 2 ) ^ { 2 } } { 2 0 0 m ^ { 2 } } + \frac { ( y - l / 2 ) ^ { 2 } } { 2 0 0 m ^ { 2 } } \right) \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad S ^ { 0 } ( x , y ) \equiv 1 .
\left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { K } } & { \boldsymbol { B } } \\ { \boldsymbol { B } ^ { \top } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] \left\{ \begin{array} { l } { \Delta \boldsymbol { d } } \\ { \Delta \boldsymbol { \lambda } } \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array} { l } { - \boldsymbol { R } } \\ { - \boldsymbol { B } ^ { \top } \boldsymbol { d } } \end{array} \right\} .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } ^ { \mathrm { u } } ( \boldsymbol { x } ) = \frac { 2 K _ { \mathrm { u 1 } } } { \mu _ { 0 } \, M _ { s } } \; \boldsymbol { e } _ { \mathrm { u } } \; ( \boldsymbol { e } _ { \mathrm { u } } \cdot \boldsymbol { m } ) + \frac { 4 K _ { \mathrm { u 2 } } } { \mu _ { 0 } \, M _ { s } } \; \boldsymbol { e } _ { \mathrm { u } } \; ( \boldsymbol { e } _ { \mathrm { u } } \cdot \boldsymbol { m } ) ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \implies G _ { \mathrm { a b } } } \\ & { = - 2 \gamma e ^ { - 2 \gamma ( \tau _ { 2 } - t _ { 2 } ) } \Theta ( \tau _ { 2 } - t _ { 2 } ) \Theta ( t _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) \delta ( t _ { 1 } - \tau _ { 1 } ) } \\ & { - 2 \gamma e ^ { - 2 \gamma ( \tau _ { 2 } - t _ { 1 } ) } \Theta ( \tau _ { 1 } - t _ { 1 } ) \delta ( t _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } \\ & { + \mathrm { G } _ { \mathrm { b b } } } \end{array}
\int \sinh ( a x + b ) \sin ( c x + d ) \, d x = { \frac { a } { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \cosh ( a x + b ) \sin ( c x + d ) - { \frac { c } { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \sinh ( a x + b ) \cos ( c x + d ) + C
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\{ V ( X ( t ) , Z ( t ) , t ) \right\} } & { = \frac { d } { d t } \left\{ 1 + \mu e ^ { \beta } \right\} D _ { h } \left( x ^ { * } , Z \right) + \left( 1 + \mu e ^ { \beta } \right) \frac { d } { d t } \left\{ D _ { h } \left( x ^ { * } , Z \right) \right\} } \\ & { \quad + \frac { d } { d t } \left\{ e ^ { \beta } \right\} \left( f ( X ) - f \left( x ^ { * } \right) \right) + e ^ { \beta } \frac { d } { d t } \left\{ f ( X ) - f \left( x ^ { * } \right) \right\} . } \end{array}
\Delta E = - \frac { \alpha ^ { 2 } \left( Z \alpha \right) ^ { 5 } } { \pi n ^ { 3 } } \: { m } \left( \frac { m _ { r } } { m } \right) ^ { 3 } \frac { 3 2 } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \: \sum _ { i = 1 } ^ { i = 9 } \sum _ { j = 1 } ^ { j = 2 } { I } ( k ) \: L _ { i } ( k ) { I } _ { 1 j } ( k ) \:
\begin{array} { r l } { m _ { 0 } } & { = 2 \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } } { l ^ { ( 1 ) } l ^ { ( 3 ) } } ( 1 - \cos \tau ) , } \\ { m _ { 1 } } & { = - ( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } ) z - \frac z 3 \biggl ( \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } l ^ { ( 3 ) } } { l ^ { ( 1 ) } } + \frac { a _ { 3 } ^ { 2 } l ^ { ( 1 ) } } { l ^ { ( 3 ) } } \biggr ) ( 2 + \cos \tau ) , } \\ { m _ { 2 } } & { = \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { l ^ { ( 1 ) } } + \frac { a _ { 3 } ^ { 2 } } { l ^ { ( 3 ) } } + | \xi ^ { ( \tau ) } | , } \\ { m _ { 3 } } & { = - \frac { l ^ { ( 1 ) } + l ^ { ( 3 ) } } 3 z + \frac z 6 \bigl | \xi ^ { ( \tau ) } \bigr | ^ { - 1 } \biggl ( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } + \biggl ( \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } l ^ { ( 3 ) } } { l ^ { ( 1 ) } } + \frac { a _ { 3 } ^ { 2 } l ^ { ( 1 ) } } { l ^ { ( 3 ) } } \biggr ) \cos \tau \biggr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d s } { d t _ { s } } = } & { \lambda \, \, \langle S _ { 1 2 } \rangle ( C , \kappa ) \big [ 1 6 ( 1 - 2 s ) ^ { 2 } F ( s ) - 1 6 ( 1 - 2 s ) G ( s ) \big ] , \, } \\ { \frac { d C } { d t _ { s } } = } & { \frac { \beta \, C } { 2 \pi } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { 6 } I _ { n } ( C , \kappa ) F _ { n } ^ { f } ( \kappa ) + \sum _ { n = 1 } ^ { 4 } J _ { n } ( C , \kappa ) G _ { n } ^ { f } ( \kappa ) \right) , } \end{array}
f ( W ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) = i G _ { f } ( Q ^ { 2 } ) ( - i W ^ { 2 } / m _ { p } ^ { 2 } ) ^ { \alpha _ { f } ( 0 ) - 1 } ( 1 - x ) ^ { B _ { f } ( Q ^ { 2 } ) } \ ,
\begin{array} { r l } { \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \ \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } \mathcal I } & { = \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \ \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } [ - \frac { \delta { \mathcal F } } { \delta \alpha _ { 0 } } + \zeta \mathcal I _ { \zeta } ( \alpha _ { 0 } ) ] } \\ & { = - \ensuremath { \frac { \partial \mathcal F } { \partial \bar { z } _ { i } } } + \zeta \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \ \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } \mathcal I _ { \zeta } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \textrm { R H S } } { \partial ( m , C ) } \Big \vert _ { ( m , C ) = ( m _ { \star } , C _ { \star } ) } } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { l l } { - 1 } & { - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } \bigl [ - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ( \theta - m _ { \star } ) \bigr ] } \\ { - \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } \bigl [ - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ( \theta - m _ { \star } ) \bigr ] C _ { \star } } & { - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } [ - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ( \theta - m _ { \star } ) ^ { 2 } ] } \end{array} \right] . } \end{array}
V ( R ) = \frac { \omega _ { \mathrm { b } } ^ { 4 } } { 1 6 E _ { \mathrm { b } } } R ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \omega _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } R ^ { 2 } + E _ { \mathrm { b } } ,
\varphi ( \mathbf { r } , t ) = \int _ { - \infty } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \; G ( \mathbf { r } , t ; \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \, s ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) .
y ^ { 2 } = x ^ { 3 } + \sum _ { k = - 4 } ^ { 4 } \sum _ { l = 0 } ^ { 1 2 - n k } f _ { k l } z ^ { \prime l } z ^ { 4 + k } \ldots a ^ { 4 - 6 k } x + \sum _ { k = - 6 } ^ { 6 } \sum _ { l = 0 } ^ { 1 2 - n k } g _ { k l } z ^ { \prime l } z ^ { 6 + k } \ldots a ^ { 6 - 6 k }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { \sigma } } { \partial \sigma } } & { = 2 \zeta _ { 1 } k _ { 0 } \vartheta + \zeta _ { 3 } b _ { 1 } + ( 1 5 A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { 0 } \zeta _ { 4 } ) / 8 + a _ { 1 } \zeta _ { 2 } ( - 7 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } ^ { 2 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } - 2 8 / \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) / 4 + A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ( 2 6 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta ^ { 2 } \sigma + 5 0 4 / \sigma ^ { 3 } ) \sigma / 6 4 } \\ & { + A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ( 1 3 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } - 2 5 2 / \sigma ^ { 2 } ) / 6 4 + ( 1 5 A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ( - k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } - 1 2 / \sigma ^ { 2 } ) ) / 6 4 , } \\ { \frac { \partial F _ { \sigma _ { \tau } } } { \partial \sigma } } & { = ( 1 5 A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ( - 2 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta ^ { 2 } \sigma + 2 4 / \sigma ^ { 3 } ) \sigma _ { \tau } ) / 6 4 , } \\ { \frac { \partial F _ { \vartheta } } { \partial \sigma } } & { = - 2 A ^ { 2 } \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } / ( k _ { 0 } \sigma ^ { 3 } ) - 3 2 \zeta _ { 1 } / ( k _ { 0 } \sigma ^ { 5 } ) - c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } ( 2 4 / \sigma ^ { 2 } + 5 k _ { 0 } \vartheta ) / ( 2 k _ { 0 } \sigma ^ { 3 } ) - 1 2 c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } / ( k _ { 0 } \sigma ^ { 5 } ) } \\ & { - A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ( 8 / \sigma ^ { 2 } - k _ { 0 } \vartheta ) / ( 2 k _ { 0 } \sigma ^ { 3 } ) , } \end{array}