harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
i \frac { \partial } { \partial z } a \! \left[ \nu \right] = \left( \beta + i \frac { \alpha } { 2 } \right) a \! \left[ \nu \right] + \frac { \omega \frac { \chi ^ { ( 2 ) } } { 2 } } { \sqrt { \epsilon _ { 0 } c ^ { 3 } n ^ { 3 } A } } \mathcal { F } \! \! \left[ a \! \left[ t \right] ^ { 2 } \right] \! \! \left[ \nu \right] + \frac { \omega \frac { \chi ^ { ( 3 ) } } { 2 } } { \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } n ^ { 2 } A } \mathcal { F } \! \! \left[ a \! \left[ t \right] ^ { 3 } \right] \! \! \left[ \nu \right]
\mathrm { R e } \, \sigma _ { x y } ( \omega ) = \frac { e ^ { 2 } } { h } \frac { m v ^ { 2 } } { 2 \hbar \omega } \ln \bigg | \frac { 2 v ^ { 2 } | m | + \hbar \omega } { 2 v ^ { 2 } | m | - \hbar \omega } \bigg | \ ,
\mathcal { R } _ { G S B } \sim \langle ( \hat { \mu } _ { e _ { 1 } g _ { 1 } } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { s } ) ( \hat { \mu } _ { g _ { 0 } e _ { 1 } } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { c } ) ( \hat { \mu } _ { g _ { 1 } e _ { 1 } } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { b } ) ( \hat { \mu } _ { e _ { 1 } g _ { 0 } } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { a } ) \rangle
r _ { i j } ^ { ( B _ { Z } ) } = \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi } \int _ { Z _ { j , 1 } } ^ { Z _ { j , 2 } } \int _ { R _ { j , 1 } } ^ { R _ { j , 2 } } \, d R d Z \sqrt { \frac { k } { 4 R R _ { i } } } \Big [ K ( k ) + \frac { R ^ { 2 } - R _ { i } ^ { 2 } - ( Z _ { i } - Z ) ^ { 2 } } { ( R - R _ { i } ) ^ { 2 } + ( Z _ { i } - Z ) ^ { 2 } } E ( k ) \Big ]
\mathrm { R e } \, \Pi ^ { \mathrm { ( n o n \mathrm { - } p l a n a r ) } } = \frac { 2 \pi ^ { \frac { n + 1 } { 2 } } } { ( 2 \pi ) ^ { n } } \left( | \bar { \theta } | \right) ^ { \frac { 3 - n } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d z \, \frac { 1 } { z ^ { 2 } - p ^ { 2 } } \, z ^ { \frac { n - 3 } { 2 } } J _ { \frac { n - 3 } { 2 } } ( \frac { | \bar { \theta } | z } { 2 } )
\begin{array} { r l } { I _ { s } - S ( t ) } & { = I _ { s } - \left\{ I _ { s } + t W _ { 0 } ^ { \top } \dot { W } _ { 0 } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } W _ { 0 } ^ { \top } \ddot { W } _ { 0 } + o ( t ^ { 2 } ) \right\} } \\ & { \phantom { = \ } \cdot \left\{ I _ { s } - t \left[ \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } + W _ { 0 } ^ { \top } \dot { W } _ { 0 } \right] \right. } \\ & { \phantom { = \ } + \left. t ^ { 2 } \left[ ( \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } + W _ { 0 } ^ { \top } \dot { W } _ { 0 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \ddot { W } _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } + W _ { 0 } ^ { \top } \ddot { W } _ { 0 } ) - \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } \dot { W } _ { 0 } \right] + o ( t ^ { 2 } ) \right\} } \\ & { \phantom { = \ } \cdot \left\{ I _ { s } + t \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \ddot { W } _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } + o ( t ^ { 2 } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tan \alpha } & { { } = { \frac { { \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } } d x } { d x + { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } } d x } } = { \frac { \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } } { 1 + { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } } } } } \\ { \tan \beta } & { { } = { \frac { { \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } } d y } { d y + { \frac { \partial u _ { y } } { \partial y } } d y } } = { \frac { \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } } { 1 + { \frac { \partial u _ { y } } { \partial y } } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \mathbf { v } _ { i } \in \Gamma _ { k } , \sigma , \tau \in \mathcal { P } _ { n } } d \left( B _ { r } \mathbf { w } _ { \tau } ) + \rho ( \mathbf { v } _ { 1 } ) , B _ { r } ( \mathbf { w } _ { \sigma } ) + \rho ( \mathbf { v } _ { 2 } ) \right) } \\ { = \operatorname* { i n f } _ { \mathbf { v } _ { i } \in \Gamma _ { k } , \sigma , \tau \in \mathcal { P } _ { n } , \lceil \mathbf { s } _ { i } \rceil _ { \mathbb { R } _ { 0 } ^ { d } } \leq r } \left( \mathbf { w } _ { \tau } + \mathbf { s } _ { 1 } + \rho ( \mathbf { v } _ { 1 } ) , \mathbf { w } _ { \sigma } + \mathbf { s } _ { 2 } + \rho ( \mathbf { v } _ { 2 } ) \right) } \\ { \gg \operatorname* { i n f } _ { \mathbf { v } \in \Gamma _ { k } , \lceil \mathbf { s } \rceil \leq r d } \lceil \rho ( \mathbf { v } ) + \rho ( \mathbf { s } ) \rceil \gg k + C - d r } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { \alpha } ^ { S } = \frac { \left( - 1 \right) ^ { \alpha } } { \hbar ^ { \alpha } } \left. \frac { \partial ^ { \alpha } } { \partial \tau ^ { \alpha } } F _ { e e } ( \mathbf { q } , \tau ) \right| _ { \tau = 0 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| 2 \phi u \nabla \phi \cdot \mathbf { a } \nabla u \right| } & { \leq \frac { 2 \Lambda ^ { 2 } } { \lambda } \left| u \nabla \phi \right| ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 \Lambda ^ { 2 } } \left| \phi \cdot \mathbf { a } \nabla u \right| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 8 \Lambda ^ { 2 } } { \lambda } \, \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left| u \right| ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \left| \phi \right| ^ { 2 } \left| \nabla u \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { 1 } ( x , t ) = 1 - \eta ( x , t ) , \quad u _ { 1 } ( x , t ) = \langle \langle u \rangle _ { y } \rangle _ { z 1 } , \quad \rho _ { 1 } ( x , t ) = \langle \langle \rho \rangle _ { y } \rangle _ { z 1 } , \ } \\ { h _ { 2 } ( x , t ) = 1 + \eta ( x , t ) , \quad u _ { 2 } ( x , t ) = \langle \langle u \rangle _ { y } \rangle _ { z 2 } , \quad \rho _ { 2 } ( x , t ) = \langle \langle \rho \rangle _ { y } \rangle _ { z 2 } , \ } \end{array}
\partial _ { t } f + \partial _ { \varepsilon } ( \alpha _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ } } \varepsilon f ) = \partial _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( D _ { \varepsilon \varepsilon } f ) - \alpha _ { \mathrm { ~ e ~ s ~ c ~ } } f + \frac { f _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ j ~ } } } { \tau _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ j ~ } } } ,
\begin{array} { r l } { { \mathbf E } = } & { - \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int \frac { \left[ \nabla ^ { \prime } \rho + \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial { \mathbf J } } { \partial t ^ { \prime } } \right] } { r } d V ^ { \prime } } \\ { { \mathbf B } = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int \frac { [ \nabla ^ { \prime } \times { \mathbf J } ] } { r } d V ^ { \prime } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { g r a d } \varphi } & { = \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial x } } , { \frac { \partial \varphi } { \partial y } } , { \frac { \partial \varphi } { \partial z } } \right) } \\ & { = \left( { \frac { \partial } { \partial x } } , { \frac { \partial } { \partial y } } , { \frac { \partial } { \partial z } } \right) \varphi } \\ & { = \nabla \varphi } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { D _ { p - 1 , p } ^ { s } = } & { { } } & { \sum _ { \sigma _ { s } } \left\langle \mathbf R _ { p - 1 } | e ^ { - \epsilon \hat { K } } | \hat { \pi } _ { \sigma _ { s } } \mathbf R _ { p } \right\rangle = \frac { 1 } { \lambda ^ { D N ^ { s } } } \operatorname* { d e t } \mathbb M _ { p - 1 , p } ^ { s } } \end{array}
\eta ( R ) = \eta _ { o } \cos \left( \frac { 2 G m ^ { 2 } [ \mu ^ { 2 } R - I _ { c } ( R ) ] } { \varepsilon _ { o } ^ { 2 } \vert \mathbf { \hat { k } } \cdot \mathbf { \hat { R } } \vert } \right) \ ,
\begin{array} { r } { i \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial t _ { 2 } } = - \frac { w _ { 2 } } { 2 m } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { 2 } } { \partial y _ { 2 } ^ { 2 } } \right) + \frac { m \omega _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) } { 2 w _ { 2 } } \psi _ { 2 } + \omega _ { 2 } \hat { L } _ { z _ { 2 } } \psi _ { 2 } \; \Rightarrow } \\ { \Rightarrow \; i \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t _ { 1 } } = - \frac { w _ { 1 } } { 2 m } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { 1 } } { \partial y _ { 1 } ^ { 2 } } \right) + \frac { m \omega _ { 1 } ^ { 2 } ( x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } ) } { 2 w _ { 1 } } \psi _ { 1 } + \omega _ { 1 } \hat { L } _ { z _ { 1 } } \psi _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta _ { x } = \left( { \tau } _ { x x } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } \right) \tilde { u } + { \tau } _ { x y } ^ { m o d } \tilde { v } + { \tau } _ { x z } ^ { m o d } \tilde { w } - { q } _ { x } ^ { m o d } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \beta _ { y } = { \tau } _ { x y } ^ { m o d } \tilde { u } + \left( { \tau } _ { y y } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } \right) \tilde { v } + { \tau } _ { y z } ^ { m o d } \tilde { w } - { q } _ { y } ^ { m o d } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \beta _ { z } = { \tau } _ { x z } ^ { m o d } \tilde { u } + { \tau } _ { y z } ^ { m o d } \tilde { v } + \left( { \tau } _ { z z } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } \right) \tilde { w } - { q } _ { z } ^ { m o d } \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 [ D k _ { r } ^ { 2 } + \chi ] > - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Gamma _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Theta _ { r } ) + } \\ { + \sqrt { \left[ \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Gamma _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Theta _ { r } ) \right] ^ { 2 } - 8 \left[ \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { r } \right] ^ { 2 } } , } \\ { \left[ \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Gamma _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Theta _ { r } ) \right] ^ { 2 } > 8 \left[ \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { r } \right] ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \Bar W _ { m n } , \Bar Y _ { m n } \} } & { { } \rightarrow \Bar W _ { i + l , j } ( y _ { G _ { y } } ) \approx \frac { 1 } { \Delta x } \int _ { I _ { i + l } , j } W ( x , y _ { G _ { y } } ) d x , } \\ { \{ \Bar V _ { m n } , \Bar Z _ { m n } \} } & { { } \rightarrow \Bar W _ { x , i + l , j } ( y _ { G _ { y } } ) \approx \frac { 1 } { \Delta x } \int _ { I _ { i + l } , j } W _ { x } ( x , y _ { G _ { y } } ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] } & { - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \Vert x ^ { t } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq - \gamma _ { t } \mathbb { E } \left[ F ( x ^ { t + 1 } ) - \operatorname* { i n f } F \right] + 4 \gamma _ { t } ^ { 2 } L _ { \operatorname* { m a x } } \mathbb { E } \left[ F ( x ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } F \right] + 2 \gamma _ { t } ^ { 2 } \sigma _ { F } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( L - \lfloor { L / \varepsilon } \rfloor \varepsilon ) } & { = f \Big ( \big ( \lceil L / \varepsilon \rceil - L / \varepsilon \big ) 0 + \big ( L / \varepsilon - \lfloor { L / \varepsilon } \rfloor \big ) \varepsilon \Big ) } \\ & { \leq \big ( \lceil L / \varepsilon \rceil - L / \varepsilon \big ) f ( 0 ) + \big ( L / \varepsilon - \lfloor { L / \varepsilon } \rfloor \big ) f ( \varepsilon ) } \\ & { = \big ( L / \varepsilon - \lfloor { L / \varepsilon } \rfloor \big ) f ( \varepsilon ) . } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \nu \nu } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { f _ { m n } } { M } \right) ( L _ { L i } ^ { m } ) _ { \alpha } \sigma _ { \alpha \beta } ^ { 2 } \tau _ { i r } ^ { 2 } \tau _ { r j } ^ { t } ( L _ { L j } ^ { n } ) _ { \beta } \Phi _ { k } \tau _ { k s } ^ { 2 } \tau _ { s l } ^ { t } \Phi _ { l } + \mathrm { h . c . } ~ ,
\begin{array} { r } { S _ { g } = \int d ^ { 4 } x \, \mathcal { L } _ { g } \quad , \quad \mathcal { L } _ { g } = - \frac { 1 } { 4 } g _ { 0 } ^ { - 2 } \, e \, g ^ { \mu \rho } g ^ { \nu \sigma } \, F _ { \mu \nu } ^ { i } F _ { \rho \sigma } ^ { i } } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \varphi } ^ { 2 } = \int _ { k _ { \perp } } ^ { \infty } \mathrm { d } k _ { \perp } ^ { \prime } \: E _ { \perp } ^ { \varphi } ( k _ { \perp } ^ { \prime } ) , \quad E _ { \perp } ^ { \varphi } ( k _ { \perp } ) \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } k _ { \parallel } \: 2 \pi k _ { \perp } \left< | \varphi _ { \vec { k } } | ^ { 2 } \right> , } \end{array}
P _ { r , \varphi , \psi } = \mathrm { R e } \left\{ \frac { ( 1 - r ^ { 2 } ) ( 1 + \Phi ) e ^ { - i \varphi } + ( r - \cos \varphi ) u } { r ( 1 - r \cos \varphi ) u } + \frac { 2 \lambda ( 1 - r ^ { 2 } ) e ^ { - i ( \varphi + \psi ) } } { u \left[ \lambda ( 1 + r e ^ { - i \psi } ) - \sigma u \right] ( 1 - r \cos \varphi ) } \mathcal M \Big ( - \sigma + \frac { \lambda } { u } ( 1 + r e ^ { - i \psi } ) \Big ) \right\}
\int _ { A } \left( \int _ { B } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } y \right) \, { \mathrm { d } } x = \int _ { B } \left( \int _ { A } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } x \right) \, { \mathrm { d } } y = \int _ { A \times B } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } ( x , y ) ,
\begin{array} { r l } { B _ { 4 } } & { = \frac { \eta _ { \mathrm { i n } } ( 3 C _ { 0 } - 3 C _ { 1 } + C _ { 2 } + 6 D _ { 0 } + 3 D _ { 1 } ) } { 6 ( \eta _ { \mathrm { i n } } + \eta _ { \mathrm { o u t } } ) } } \\ & { + \frac { \eta _ { \mathrm { o u t } } ( 6 D _ { 0 } - D _ { 2 } ) - \sigma _ { R } ( 1 + \lambda ) R ^ { 2 } } { 6 ( \eta _ { \mathrm { i n } } + \eta _ { \mathrm { o u t } } ) } . } \end{array}
\beta _ { \mathrm { p e r t } } ( \lambda _ { 0 } ) = \Lambda { \frac { d \lambda _ { 0 } } { d \Lambda } } = { \frac { 9 \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } - { \frac { 5 1 \lambda _ { 0 } ^ { 3 } } { 6 4 \pi ^ { 4 } } } + O ( \lambda _ { 0 } ^ { 4 } )
\begin{array} { r l } { I _ { 1 3 } ^ { ( 1 ) } } & { = 8 D \int d ^ { D } k \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 4 } } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } } \\ & { = 9 6 0 D \int d ^ { D } l \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { x y ( ( l ^ { 0 } ) + ( y + s ) p ) ^ { 4 } } { ( l ^ { 2 } - \Delta ) ^ { 6 } } } \\ & { = 9 6 0 D \int d ^ { D } l \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) } \\ & { \quad \quad \quad \times \frac { x y ( ( l ^ { 0 } ) ^ { 4 } + 4 ( l ^ { 0 } ) ^ { 3 } ( y + s ) p + 6 ( l ^ { 0 } ) ^ { 2 } ( y + s ) ^ { 2 } p ^ { 2 } + 6 ( l ^ { 0 } ) ( y + s ) ^ { 3 } p ^ { 3 } + ( y + s ) ^ { 4 } p ^ { 4 } ) } { ( l ^ { 2 } - \Delta ) ^ { 6 } } \, . } \end{array}
- 2 k ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } \cos \beta \cos \alpha + 2 k ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta = 2 k ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } \cos \beta ( \cos \beta - \cos \alpha ) .
\Delta ( x \odot y \odot z ) = x \odot y \otimes z + ( - 1 ) ^ { | x | | z | } x \odot z \otimes y + ( - 1 ) ^ { | x | ( | z | + | y | ) } y \odot z \otimes x + \, \phantom { x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x } x \otimes y \odot z + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } y \otimes x \odot z + ( - 1 ) ^ { | z | ( | x | + | y | ) } z \otimes x \odot y
\begin{array} { r l } { \eta _ { l } ^ { \bullet } } & { = \frac { 4 ^ { - l } } { 2 \pi l ^ { 2 } ( 2 l + 1 ) ^ { 2 } } \Biggl [ ( 2 l + 1 ) \, _ { 3 } F _ { 2 } \biggl ( \begin{array} { c } { l , l , l + \frac { 1 } { 2 } } \\ { l + 1 , 2 l + 2 } \end{array} \bigg | 1 \biggr ) } \\ & { \mathrel { \phantom { = } } \hphantom { \frac { 4 ^ { - l } } { 2 \pi l ^ { 2 } ( 2 l + 1 ) ^ { 2 } } \Bigg [ } \mathrm - 2 l \, _ { 3 } F _ { 2 } \biggl ( \begin{array} { c } { l , l + \frac { 1 } { 2 } , l + \frac { 1 } { 2 } } \\ { l + \frac { 3 } { 2 } , 2 l + 2 } \end{array} \bigg | 1 \biggr ) \Biggr ] \, \omega ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \Delta x _ { \mathrm { n e t } } \right\rangle = } & { \sum _ { \mathbf { n } } \Big [ \frac { p \left( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } \right) } { \sum _ { \mathbf { n } } p \left( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } \right) } \Delta x _ { 1 } \left( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } \right) \Big ] } \\ & { + \sum _ { \mathbf { n } } \Big [ \frac { p \left( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } \right) } { \sum _ { \mathbf { n } } p \left( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } \right) } \Delta x _ { 2 } \left( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } \right) \Big ] } \\ & { - \sum _ { \mathbf { n } } \Big [ \frac { p \left( \mathbf { n } \right) } { \sum _ { \mathbf { n } } p \left( \mathbf { n } \right) } \sum _ { i = n _ { \mathrm { p r e } } + n _ { \mathrm { m i d } } + 1 } ^ { N } \Delta x _ { \mathrm { s l i p } } ( i , \mathbf { n } ) p ( i ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \xi ^ { \bot } } g _ { \xi } d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } & { = \int _ { \Omega } | e ( u ) \xi \cdot \xi | ^ { 2 } \, d x + \int _ { J _ { u } } \left[ | u ^ { + } | ^ { 2 } + | u ^ { - } | ^ { 2 } \right] | \xi \cdot \nu | \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { \leq C \left[ \int _ { \Omega } | e ( u ) | ^ { 2 } \, d x + \int _ { J _ { u } } \left[ | u ^ { + } | ^ { 2 } + | u ^ { - } | ^ { 2 } \right] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \omega ^ { A } _ { B } } & { = \sum _ { C } ( \mathsf { L } _ { A B , C } + \mathsf { L } _ { A B } \mathsf { L } _ { A C } ) \, \vartheta ^ { C } \wedge \vartheta ^ { A } } \\ & { \quad - \sum _ { C } \epsilon _ { A } \, \epsilon _ { B } \, ( \mathsf { L } _ { B A , C } + \mathsf { L } _ { B A } \mathsf { L } _ { B C } ) \, \vartheta ^ { C } \wedge \vartheta ^ { B } \quad ( \mathrm { n o ~ s u m m a t i o n ~ o n } ~ A ~ \mathrm { o r } ~ B ) \, , } \end{array}
c _ { i , a , w } ^ { h } = c _ { i , a , w } = \left\{ \begin{array} { l l } { \infty \quad } & { \mathrm { i f ~ } ( \pi _ { h } \times \pi _ { v } ) ^ { - 1 } ( a - _ { \mathcal { V } } i ) = \emptyset } \\ { g _ ( i , u , w ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e , ~ w i t h ~ } u \in ( \pi _ { h } \times \pi _ { v } ) ^ { - 1 } ( a - _ { \mathcal { V } } i ) , w ) , } \end{array} \right.
p ( t ) = ( 6 c _ { 1 } ^ { 0 } + c _ { 2 } ^ { 0 } ) e ^ { \int r } \int e ^ { - \int r } - 5 ( c _ { 1 } ^ { 0 } - c _ { 2 } ^ { 0 } ) e ^ { \int r } \int \left[ Y _ { b } e ^ { - \int ( Y _ { t } + Y _ { b } ) } \int e ^ { \int ( Y _ { t } + Y _ { b } - r ) } \right] \ .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { Q _ { i } } = \left( \frac { R _ { s 0 } ^ { g p } } { \Gamma _ { c 0 } ^ { g p } } + \frac { R _ { s 0 } ^ { c s } } { \Gamma _ { c 0 } ^ { c s } } \right) \left( \frac { \omega } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { \alpha - 1 } \! + \frac { { \tan \! \delta } _ { 0 } } { \Gamma _ { d } } \left( \frac { \omega } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { p - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \nabla ^ { 2 } + 2 i k \frac { \partial } { \partial z } + ( k _ { n _ { 0 } } ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) + k _ { n _ { 0 } } ^ { 2 } g ^ { 2 } r ^ { 2 } \right) \psi = 0 . } \end{array}
\Phi ( \lambda , x ) \sim \lambda ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 4 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( I + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \Psi ^ { ( k ) } ( x ) } { \lambda ^ { k / 2 } | x | ^ { k / 4 } } \right) \mathrm { e } ^ { | x | ^ { 5 / 4 } \theta ( \lambda ) \sigma _ { 3 } } , \qquad \theta ( \lambda ) = \frac { 4 } { 5 } \lambda ^ { 5 / 2 } + \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \lambda ^ { 1 / 2 } .
\sum _ { a = e , \mu , \tau } \hat { h } _ { a } ^ { \prime } \overline { { { \psi _ { a L } } } } \, N _ { R } ^ { \prime } \eta + \frac { 1 } { 2 } \, \overline { { { ( N _ { R } ^ { \prime } ) ^ { c } } } } \, M _ { R } \, N _ { R } ^ { \prime } + H . c .
\begin{array} { r l } { r _ { 2 a } ^ { \prime } } & { = \left[ a + h \frac { \left( 1 - \cos { \phi } \right) } { \sin { \phi } } \right] \sqrt { 2 \left( 1 + \cos { \phi } \right) } , } \\ & { = a \sqrt { 2 \left( 1 + \cos { \phi } \right) } + h \sqrt { 2 \frac { \left( 1 - \cos { \phi } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \cos { \phi } \right) } { \sin ^ { 2 } { \phi } } } , } \\ & { = a \sqrt { 2 \left( 1 + \cos { \phi } \right) } + h \sqrt { 2 \left( 1 - \cos { \phi } \right) } . } \end{array}
\mathbb { E } [ \| g ( 0 ; \eta _ { 0 } ) \| ^ { r } ] < \infty \; \mathrm { a n d } \; | | g ( x ; \eta _ { 0 } - g ( x ^ { \prime } ; \eta _ { 0 } ) ) | | _ { r } \leq \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { k } ( g ) | | x _ { k } - x _ { k } ^ { \prime } | | \; \mathrm { f o r ~ a l l } \; x , x ^ { \prime } \in ( \mathbb { R } ^ { d _ { x } } ) ^ { \infty } ,
T _ { t } ^ { ( 0 ) } S ^ { ( 0 ) } - \frac { 1 } { 2 } T _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } \bar { r } \dot { S } ^ { ( 0 ) } ( t ) - \frac { \bar { \nu } } { \bar { r } \bar { \mu } } \left( \bar { r } T _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } \right) _ { \bar { r } } S ^ { ( 0 ) } = 0
T _ { 0 0 } = \gamma ^ { 2 } \rho \simeq \rho + \rho v ^ { 2 } , \; \; \; T _ { 0 i } \simeq - \rho v ^ { i } \; , \; \; \; T _ { i j } \simeq \rho v _ { i } v _ { j } + P \delta _ { i j } \; ,
{ \frac { V \left( \phi \right) } { V \left( \phi _ { 0 } \right) } } = \exp \left( \pm { \frac { 2 } { \kappa } } \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi } { \sqrt { \epsilon \left( \phi ^ { \prime } \right) } \, d \phi ^ { \prime } } \right) \left[ 1 - { \frac { 1 } { 3 } } \epsilon \left( \phi \right) \right] ,
\mathrm { I m } \, i \int \mathrm { d } k _ { + } \, k _ { + } \, \frac { 1 } { ( p _ { Q } - k ) _ { + } - \frac { m _ { q } ^ { 2 } - i \epsilon } { 2 \, ( p _ { Q } ) _ { - } } } = \pi \left[ ( p _ { Q } ) _ { + } - \frac { m _ { q } ^ { 2 } } { 2 \, ( p _ { Q } ) _ { - } } \right] \; .
\mathbb { P } \left( T _ { 2 } ( \chi _ { 1 } ( 0 ) N ) < \mathbb { E } T _ { 2 } ( \chi _ { 1 } ( 0 ) N ) - \epsilon _ { N } \right) \le \frac { V a r ( T _ { 2 } ( \chi _ { 2 } ( 0 ) N ) ) } { \epsilon _ { N } ^ { 2 } } = \frac { \sum _ { k = N / 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { 2 } ( k ) ^ { 2 } } } { \epsilon _ { N } ^ { 2 } } \xrightarrow { N \to \infty } 0 .
\begin{array} { r l r } { 2 ^ { - \frac { k } { r _ { \infty } - 1 } } \tau _ { \infty , k } } & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { r _ { \infty } - k - 3 } \frac { ( - 1 ) ^ { i } ( k + i - 1 ) ! } { i ! ( k - 1 ) ! ( r _ { \infty } - 2 ) ^ { i } } \frac { ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 2 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 2 } ) ^ { i } ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , k + i } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , k + i } ) } { ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 1 } ) ^ { \frac { i ( r _ { \infty } - 1 ) + k } { r _ { \infty } - 1 } } } } \\ & { } & { + \frac { ( - 1 ) ^ { r _ { \infty } - k - 2 } ( r _ { \infty } - 3 ) ! } { ( r _ { \infty } - 1 - k ) ( r _ { \infty } - k - 3 ) ! ( k - 1 ) ! ( r _ { \infty } - 2 ) ^ { r _ { \infty } - k - 2 } } \frac { ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 2 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 2 } ) ^ { r _ { \infty } - 1 - k } } { ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 1 } ) ^ { \frac { ( r _ { \infty } - 2 ) ( r _ { \infty } - 1 - k ) } { r _ { \infty } - 1 } } } } \\ & { } & \end{array}
\langle \sigma _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { h } v _ { 1 2 } \rangle \ = \ { \frac { \int d ^ { 3 } p _ { 1 } d ^ { 3 } p _ { 2 } f _ { 1 } f _ { 2 } \sigma _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { h } v _ { 1 2 } } { \int d ^ { 3 } p _ { 1 } d ^ { 3 } p _ { 2 } f _ { 1 } f _ { 2 } } } .
P _ { \mathrm { o t } } ^ { \{ i \} } ( z ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime } \frac { N ^ { \{ i \} ^ { \prime } } } { \hat { N } ^ { \{ i \} } } \left[ \Pi ^ { \{ i \} } ( T ^ { \prime } , T _ { 0 } ) - \Pi ^ { \{ i \} } ( T ^ { \prime } , T ^ { \prime } ) \right] + \frac { 1 } { 2 } \int _ { z } ^ { \infty } d z ^ { \prime } \frac { N ^ { \{ i \} ^ { \prime } } } { \hat { N } ^ { \{ i \} } } \Pi ^ { \{ i \} } ( T ^ { \prime } , T ^ { \prime } ) .