harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { W , H > 0 } 0 . 5 \cdot | | I - W H | | _ { \beta } ^ { 2 } } \\ & { + \alpha _ { W } \cdot l _ { 1 r } \cdot n _ { p i x e l s } \cdot | | v e c ( W ) | | _ { 1 } } \\ & { + \alpha _ { H } \cdot l _ { 1 r } \cdot n _ { f r a m e s } \cdot | | v e c ( H ) | | _ { 1 } } \\ & { + 0 . 5 \cdot \alpha _ { W } \cdot ( 1 - l _ { 1 r } ) \cdot n _ { p i x e l s } \cdot | | W | | _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 0 . 5 \cdot \alpha _ { H } \cdot ( 1 - l _ { 1 r } ) \cdot n _ { f r a m e s } \cdot | | H | | _ { F } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } = } & { { } \int _ { V } \! \mathrm { d } \mathbf { r } \frac { \sum _ { i } \langle \vert { \boldsymbol { J } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } \vert ^ { 2 } \rangle } { \epsilon } + \! \int _ { V } \! \mathrm { d } \mathbf { r } \sum _ { i } \left\langle \frac { \delta } { \delta { \phi _ { i } } } \nabla \cdot \boldsymbol { J } _ { i } ^ { \mathrm { d } } \right\rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ( G _ { i _ { 0 } } ) } & { \geq \delta ( G ) - \left| \sum _ { 1 \leq j \leq i _ { 0 } - 1 } X _ { j } \right| } \\ & { \geq c _ { k } \sqrt { n } + k t - 1 - ( i _ { 0 } - 1 ) ( k - 1 ) } \\ & { > 2 \sqrt { n } + k t - 1 - ( t - 1 ) ( k - 1 ) } \\ & { = 2 \sqrt { n } + k - 1 + | U \setminus \{ u _ { i _ { 0 } } \} | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta P _ { l , 1 } \approx \chi _ { 2 } \partial _ { x x } \psi , \quad \Delta P _ { l , 2 } \approx \chi _ { 2 } ^ { \prime \prime } \partial _ { y } \psi _ { \neq } , \quad \Delta P _ { n , 1 } \approx \omega \partial _ { x x } \psi , \quad \Delta P _ { n , 2 } \approx \chi _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( \partial _ { y } \psi _ { \neq } ) . } \end{array}
\Lambda _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } = ( \eta \omega _ { \ast } ) ^ { 2 } \left( \frac { 8 \bar { \kappa } _ { d } \left( \zeta \left( \bar { \kappa } _ { d } \right) - 1 \right) + 3 \left( \zeta \left( \bar { \kappa } _ { d } \right) - 1 \right) ^ { 2 } + 6 \bar { \kappa } _ { d } ^ { 2 } } { 1 6 \tau ( \tau + 1 ) \bar { \kappa } _ { d } ^ { 2 } \zeta \left( \bar { \kappa } _ { d } \right) } \right) ,
\begin{array} { r } { R _ { n } ^ { V , c o r r } = - ( 1 - \epsilon ) P _ { L } \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { p _ { w } = 1 } ^ { P _ { w } } \widetilde { V } _ { n , p _ { w } } ^ { c o r r } \frac { \partial \overline { { c } } _ { n , p _ { w } } } { \partial t } } \end{array}
| \phi _ { r \mathbf k _ { r } } \rangle = | \tilde { \phi } _ { r \mathbf k _ { r } } \rangle + \sum _ { \nu } \bigl ( | \phi _ { \nu } ^ { 1 } \rangle - | \tilde { \phi } _ { \nu } ^ { 1 } \rangle \bigr ) \langle p _ { \nu } ^ { 1 } | \tilde { \phi } _ { r \mathbf k _ { r } } \rangle .
E ( \tau _ { \small p h y s i c a l } ) _ { \small d i e l e c t r i c } ^ { \small p h y s i c a l } = { \frac { \hbar } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } V _ { \small p h y s i c a l } \; n ^ { 3 } { \frac { 1 2 } { ( c \; \tau _ { \small p h y s i c a l } ) ^ { 4 } } } .
\begin{array} { r } { i \mathcal { L } \left( \mathbf { p } , \mathbf { q } , t \right) \cdot = \frac { \partial \mathcal { H } \left( \mathbf { p } , \mathbf { q } , t \right) } { \partial \mathbf { p } } \frac { \partial } { \partial \mathbf { q } } + \pmb { \Phi } \left( \mathbf { p } , \textbf { q } , t \right) \frac { \partial } { \partial \mathbf { p } } } \\ { \pmb { \Phi } \left( \mathbf { p } , \textbf { q } , t \right) = - \frac { \partial U \left( \mathbf { q } , t \right) } { \partial \mathbf { q } } - \frac { \partial \mathcal { R } \left( \mathbf { p } , \textbf { q } \right) } { \partial \dot { \mathbf { q } } } + \mathbf { f } \left( t \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \left( \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \nabla w ^ { \varepsilon } \right) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { d } \nabla \left( \eta _ { r } \partial _ { x _ { i } } u \right) \cdot \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \left( e _ { i } + ( \nabla \phi _ { n , e _ { i } } ) \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \right) } \\ & { + \nabla \cdot \left( \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \left( ( 1 - \eta _ { r } ) \nabla u + \varepsilon \sum _ { i = 1 } ^ { d } \phi _ { n , e _ { i } } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \nabla ( \eta _ { r } \partial _ { x _ { i } } u ) \right) \right) . } \end{array}
\left. { \frac { \mathrm { d } \Phi _ { B } } { \mathrm { d } t } } \right| _ { t = t _ { 0 } } = \left( - \oint _ { \partial \Sigma ( t _ { 0 } ) } \mathbf { E } ( t _ { 0 } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { l } \right) + \left( - \oint _ { \partial \Sigma ( t _ { 0 } ) } { \bigl ( } \mathbf { v } _ { \mathbf { l } } ( t _ { 0 } ) \times \mathbf { B } ( t _ { 0 } ) { \bigr ) } \cdot \mathrm { d } \mathbf { l } \right)
\bar { u } ( { \bf p } ) \Gamma _ { \mu } u ( { \bf q } ) = \bar { u } ( { \bf p } ) \left\{ \frac { p _ { \mu } + q _ { \mu } } { 2 m } + \frac { i ( 1 + \kappa ) } { 2 m } \sigma _ { \mu \nu } k ^ { \nu } \right\} u ( { \bf q } )
^ { \mathrm { N } } \widetilde { \alpha } _ { \mathrm { a n } } ^ { ( 1 ) } ( Q ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ^ { \mathrm { N } } \rho ( \sigma ) } { \sigma + z } d \sigma , \quad ^ { \mathrm { N } } \rho ( \sigma ) = \left( 1 + \frac { 1 } { \sigma } \right) \frac { 1 } { \ln ^ { 2 } \sigma + \pi ^ { 2 } } .
{ \begin{array} { r l } { x ( u , v ) = - } & { { \frac { 2 } { 1 5 } } \cos u \left( 3 \cos { v } - 3 0 \sin { u } + 9 0 \cos ^ { 4 } { u } \sin { u } \right. - } \\ & { \left. 6 0 \cos ^ { 6 } { u } \sin { u } + 5 \cos { u } \cos { v } \sin { u } \right) } \\ { y ( u , v ) = - } & { { \frac { 1 } { 1 5 } } \sin u \left( 3 \cos { v } - 3 \cos ^ { 2 } { u } \cos { v } - 4 8 \cos ^ { 4 } { u } \cos { v } + 4 8 \cos ^ { 6 } { u } \cos { v } \right. - } \\ & { 6 0 \sin { u } + 5 \cos { u } \cos { v } \sin { u } - 5 \cos ^ { 3 } { u } \cos { v } \sin { u } - } \\ & { \left. 8 0 \cos ^ { 5 } { u } \cos { v } \sin { u } + 8 0 \cos ^ { 7 } { u } \cos { v } \sin { u } \right) } \\ { z ( u , v ) = } & { { \frac { 2 } { 1 5 } } \left( 3 + 5 \cos { u } \sin { u } \right) \sin { v } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \textrm { T r } \left[ \boldsymbol { \tau } ( \vec { r } ) \right] = \textrm { T r } \left[ \boldsymbol { \tau } ( \vec { r } , \vec { r } ) \right] , } \\ { \vec { \tau } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \textrm { T r } \left[ \vec { \boldsymbol { \sigma } } \boldsymbol { \tau } ( \vec { r } ) \right] = \textrm { T r } \left[ \vec { \boldsymbol { \sigma } } \boldsymbol { \tau } ( \vec { r } , \vec { r } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { ( m + 1 ) } ( 0 , \tau ) } & { = \sqrt { 1 - 2 \alpha } E ^ { ( m ) } ( L , \tau ) e ^ { - i \delta _ { 0 } } } \\ & { + \sqrt { \theta _ { + } } E _ { \mathrm { i n , + } } e ^ { - i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i m b _ { + } } } \\ & { + \sqrt { \theta _ { - } } E _ { \mathrm { i n , - } } e ^ { i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i m b _ { - } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \Psi } _ { \ell m } ^ { \sigma } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ { \boldsymbol { N } } _ { \ell m } + \sigma { \boldsymbol { M } } _ { \ell m } \right] , } \\ { { \boldsymbol { M } } _ { \ell m } } & { \equiv } & { j _ { \ell } ( k r ) \boldsymbol { X } _ { \ell m } , \quad { \boldsymbol { N } } _ { \ell m } \equiv \frac { 1 } { k } \boldsymbol { \nabla } \times { \boldsymbol { M } } _ { \ell m } , } \\ { \boldsymbol { X } _ { \ell m } } & { \equiv } & { \frac { 1 } { \sqrt { \ell ( \ell + 1 ) } } { \bf { L } } Y _ { \ell m } ( \theta , \varphi ) . } \end{array}
\Delta T _ { i } = \frac { Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { 3 } k _ { i 0 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { k _ { D 1 } + k _ { e 1 } } - \frac { 1 } { k _ { D 0 } + k _ { e 1 } } \right) .
A _ { \parallel } \left( \mathbf { x } , t \right) = \frac { \phi \left( \mathbf { x } , t \right) } { c } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r } \overset { . } { \mathbf { p } } \left( t - r / c \right) \cdot \mathbf { n } .
{ \bf C } = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 - \frac { 1 } { 2 } \eta + \frac { 1 } { 1 2 } \eta ^ { 2 } } & { - \frac { 1 } { 2 } \eta - \frac { 1 } { 4 } \eta ^ { 2 } } & { 0 } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \eta - \frac { 1 } { 4 } \eta ^ { 2 } } & { - 1 6 - 1 8 \eta - \frac { 1 3 7 } { 3 5 } \eta ^ { 2 } } & { 3 0 + 3 9 \eta + \frac { 1 5 3 } { 1 4 } \eta ^ { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } } & { 3 0 + 5 5 \eta + \frac { 4 0 5 } { 1 4 } \eta ^ { 2 } } & { - 6 0 - 1 2 0 \eta - \frac { 5 1 0 } { 7 } \eta ^ { 2 } } \end{array} \right) \, ,
\langle \vec { \xi } _ { i } ( \vec { z } , t ) \vec { \xi } _ { j } ( \vec { z ^ { \prime } } , t ^ { \prime } ) \rangle = 2 D _ { i } \rho _ { i } ( \vec { z } , t ) \delta ( t - t ^ { \prime } ) \delta ( \vec { z } - \vec { z } \, ^ { \prime } ) \delta _ { i , j }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { s u r p } } } & { = \log ( \frac { e ^ { - \sum _ { \zeta } \beta _ { \zeta } ^ { \tt A } \lambda _ { \zeta , i _ { \alpha } ^ { \tt A } } } \ e ^ { - \sum _ { \zeta } \beta _ { \zeta } ^ { \tt A } \lambda _ { \zeta , i _ { \alpha } ^ { \tt A } } } } { e ^ { - \sum _ { \zeta } \beta _ { \zeta } ^ { \tt A } \lambda _ { \zeta , f _ { \alpha } ^ { \tt A } } } \ e ^ { - \sum _ { \zeta } \beta _ { \zeta } ^ { \tt A } \lambda _ { \zeta , f _ { \alpha } ^ { \tt A } } } } ) } \\ & { = \sum _ { \zeta } \left[ \beta _ { \zeta } ^ { \tt A } \left( \lambda _ { \zeta , f _ { \alpha } ^ { \tt A } } - \lambda _ { \zeta , i _ { \alpha } ^ { \tt A } } \right) + \beta _ { \zeta } ^ { \tt B } \left( \lambda _ { \zeta , f _ { \alpha } ^ { \tt B } } - \lambda _ { \zeta , i _ { \alpha } ^ { \tt B } } \right) \right] \, , } \end{array}
2 \ \operatorname { t r } ( \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { \sigma } ) = 8 \eta ^ { \rho \sigma } \eta ^ { \mu \nu } - 8 \eta ^ { \nu \sigma } \eta ^ { \mu \rho } + 8 \eta ^ { \mu \sigma } \eta ^ { \nu \rho }
\frac { 1 } { u } \lambda _ { 0 } = ( v ^ { 2 } - \delta c ^ { 2 } ) + i \lambda _ { 0 } \int \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } ( \frac { 1 } { k ^ { 2 } ( k ^ { 2 } - \lambda _ { 0 } ) } - \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } - \mu ) ^ { 2 } } )
\begin{array} { r } { \vert v _ { \beta _ { 2 } } ^ { 2 } ( y ) - v _ { \beta _ { 1 } } ^ { 2 } ( y ) \vert = \vert v _ { \beta _ { 2 } } ( y ) + v _ { \beta _ { 1 } } ( y ) \vert \cdot \vert v _ { \beta _ { 2 } } ( y ) - v _ { \beta _ { 1 } } ( y ) \vert \le K \left( \bar { \beta } \right) \vert v _ { \beta _ { 2 } } ( y ) - v _ { \beta _ { 1 } } ( y ) \vert . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { \alpha } \left( t \right) } & { { } = z _ { \alpha } \left( 0 \right) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int \! \! d \beta d \gamma \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } \left( 0 \right) G _ { 1 } \left( t , 0 \right) } \end{array}
\Psi _ { x } ( x ( T ) ) = { \left[ \begin{array} { l l l } { \left. { \frac { \partial \Psi ( x ) } { \partial x _ { 1 } } } \right| _ { x = x ( T ) } } & { \cdots } & { \left. { \frac { \partial \Psi ( x ) } { \partial x _ { n } } } \right| _ { x = x ( T ) } } \end{array} \right] }
F ( T ) \simeq \frac { T \zeta _ { R } ( 3 ) } { 3 2 \pi ^ { 3 } \varepsilon } + \frac { T ^ { 2 } } { 7 2 \hbar c } \frac { \phi } { 2 } \frac { 4 \pi - \phi } { 2 \pi - \phi } , \quad T \to \infty { . }
( \stackrel { . } { a } ^ { 2 } + 1 - 2 M G / a ^ { 2 } + \Lambda _ { + } a ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } - ( \stackrel { . } { a } ^ { 2 } + 1 + \Lambda _ { - } a ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } = - \sigma a ~ ~ ,
U _ { p } = F _ { 0 } ^ { 2 } / ( 4 \omega _ { L } ^ { 2 } ) \approx 9 . 3 3 \cdot 1 0 ^ { - 1 4 } \ [ I _ { L } ( \mathrm { ~ W ~ } / \mathrm { ~ c ~ m ~ } ^ { 2 } ) \lambda _ { L } ^ { 2 } ( \mu \mathrm { ~ m ~ } )
\overset { c } { \nabla } _ { \frac { \partial } { \partial q ^ { i } } } \frac { \partial } { \partial q ^ { j } } = P _ { \mathcal { D } } \left( \nabla _ { \frac { \partial } { \partial q ^ { i } } } ^ { \mathcal { G } } \frac { \partial } { \partial q ^ { j } } \right) + \nabla _ { \frac { \partial } { \partial q ^ { i } } } ^ { \mathcal { G } } \left( P _ { \mathcal { F } } \left( \frac { \partial } { \partial q ^ { j } } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { W } & { { } = { \binom { n } { 1 } } ( n - 1 ) ! - { \binom { n } { 2 } } ( n - 2 ) ! + \cdots + ( - 1 ) ^ { p - 1 } { \binom { n } { p } } ( n - p ) ! + \cdots } \end{array}
\, \mathrm { d } \rho _ { t } ^ { \tau } = \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \Big ( \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { 2 } \rho _ { t } ^ { \tau } \Big ) \, \mathrm { d } t + \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } ^ { \tau } * \rho _ { t } ^ { \tau } ) \rho _ { t } ^ { \tau } ) \, \mathrm { d } t - \nu \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } ^ { \tau } \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad t \in [ 0 , T ] .
\begin{array} { r l } { T } & { = \left| \int _ { j _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } } 2 \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi ) - \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi + k ) - \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi - k ) d \xi \right| } \\ & { \le \left| \int _ { j _ { 2 } } ^ { 2 k } 2 \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi ) - \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi + k ) - \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi - k ) d \xi \right| + \left| \int _ { 2 k } ^ { j _ { 1 } } 2 \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi ) - \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi + k ) - \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi - k ) d \xi \right| } \\ & { \le _ { \alpha } | 2 k - j _ { 2 } | | k | ^ { \alpha - 1 } + \left| \int _ { 2 k } ^ { j _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { k } \int _ { - t } ^ { t } \partial _ { \xi \xi \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi + u ) d u d t d \xi \right| } \\ & { \le _ { \alpha } | 2 k - j _ { 2 } | | k | ^ { \alpha - 1 } + \left| \int _ { 2 k } ^ { j _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { k } \int _ { - t } ^ { t } | \xi | ^ { \alpha - 3 } d u d t d \xi \right| } \\ & { \le _ { \alpha } | 2 k - j _ { 2 } | | k | ^ { \alpha - 1 } + | j _ { 1 } - 2 k | | k | ^ { \alpha - 1 } } \\ & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | | k | ^ { \alpha - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varrho _ { l + 1 } \big ( \tau ; \boldsymbol { \alpha } ^ { l } \big ) = } & { \mathcal { Q } _ { l } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) G ( \alpha _ { l } ; \tau ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d \tau _ { 2 } \varrho _ { l } \big ( \tau ^ { \prime } ; \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) H ( \alpha _ { l } ; \tau ^ { \prime } , \tau ) . } \end{array}
\| \nabla \widetilde { y } _ { \mathrm { v i } , \tau } ( t ) - \nabla \overline { { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } ( t ) \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \leq c \tau ^ { p _ { \psi } } \Psi \left( y _ { \mathrm { v i } , \tau } ^ { i - 1 } , \frac { { y } _ { \mathrm { v i } , \tau } ^ { i } - { y } _ { \mathrm { v i } , \tau } ^ { i - 1 } } { \tau } \right) \leq c \tau ^ { p _ { \psi } - 1 } .
{ \cal K } ^ { ( 2 ) } = 2 \partial \omega ^ { ( 1 ) } + { \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } ( i _ { k } C ^ { ( 3 ) } ) - 2 { \cal K } ^ { ( 1 ) } \left( C ^ { ( 1 ) } + ( i _ { k } C ^ { ( 1 ) } ) A ^ { ( 1 ) } \right) \, .
\int { \partial X \bar { \partial } X ^ { \ast } + \psi \bar { \partial } \psi ^ { \ast } + \bar { \psi } \partial \bar { \psi } ^ { \ast } + F F ^ { \ast } + W ^ { \prime } ( X ) F + \psi \bar { \psi } W ^ { \prime \prime } ( X ) + W ^ { \prime } ( X ^ { \ast } ) F ^ { \ast } + \psi ^ { \ast } \bar { \psi } ^ { \ast } W ^ { \prime \prime } ( X ^ { \ast } ) }
\boldsymbol { \xi } = \left( \begin{array} { l l l l } { \xi _ { 1 } ^ { 1 } } & { \xi _ { 1 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { \xi _ { 1 } ^ { N } } \\ { \xi _ { 2 } ^ { 1 } } & { \xi _ { 2 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { \xi _ { 2 } ^ { N } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \xi _ { N } ^ { 1 } } & { \xi _ { N } ^ { 2 } } & { \cdots } & { \xi _ { N } ^ { N } } \end{array} \right) _ { N \times N } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) _ { N \times N }
\begin{array} { r } { \mathcal { E } = 2 \pi \int _ { - L } ^ { L } \Big ( w - \frac { 1 } { 2 } { P ^ { * } } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } z ^ { \prime } - { N ^ { * } } z ^ { \prime } \Big ) \, d Z , } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { A } \delta \xi _ { \parallel } = \frac { 4 \pi } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \mathrm { ~ i ~ } k _ { \parallel } \delta \tilde { p } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { \parallel } \left( \mathrm { ~ i ~ } k _ { \parallel } \delta \xi _ { \parallel } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { y } \delta \xi _ { y } + \frac { \textrm { d } \delta \xi _ { x } } { \textrm { d } x } \right) , } \end{array}
\mathrm { ~ S ~ i ~ m ~ } _ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \mathcal { D } , \mathcal { D ^ { \prime } } ) = \prod _ { \mathcal { O } , \mathrm { ~ T ~ y ~ p ~ e ~ } ( \mathcal { O } ) = \mathrm { ~ T ~ } } ( 1 - D [ \mathcal { O } ] _ { \mathcal { D } , \mathcal { D ^ { \prime } } } )
\kappa = \frac { 8 \pi ^ { 3 } } { 1 0 5 } \left( \frac { J _ { 1 } ( x _ { 2 } ) - J _ { 3 } ( x _ { 2 } ) } { 2 x _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \cos ( \delta ) J _ { 0 } ( \tilde { k } _ { i } \tilde { \rho } _ { 0 } ) - \sin ( \delta ) Y _ { 0 } ( \tilde { k } _ { i } \tilde { \rho } _ { 0 } ) } { K _ { 0 } ( \sqrt { \frac { 8 } { \tilde { \rho } _ { 0 } } } ) } \right) ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 7 / 4 }
\delta _ { \gamma } \simeq 1 . 2 4 \left( \alpha ^ { 2 } \sigma _ { z } / r _ { e } \gamma \right) \Upsilon ^ { 2 } \left[ 1 + \left( 3 \Upsilon / 2 \right) ^ { 2 / 3 } \right] ^ { - 2 }
\Omega = G ^ { - 1 } d G = i \Omega ^ { a } P _ { a } + i \Omega _ { a } ^ { b } P _ { b } ^ { a } + i \Omega _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ^ { b } P _ { b } ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } } + . . . ,
G _ { \mu \nu } = T _ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } \phi \partial _ { \nu } \phi - \frac { 1 } { 2 } g _ { \mu \nu } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - \alpha ( g _ { \rho \mu } g _ { \delta \nu } + g _ { \rho \nu } g _ { \delta \mu } ) \nabla _ { \sigma } ( \partial _ { \gamma } \phi \epsilon ^ { \gamma \delta \alpha \beta } \epsilon ^ { \rho \sigma \lambda \eta } R _ { \lambda \eta \alpha \beta } ) ,
\hat { \mathrm { \bf ~ j } } _ { \mathrm { \bf ~ k } } = \int \hat { \mathrm { \bf ~ j } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) e ^ { - i \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } } \, d ^ { 3 } r = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { 2 m _ { a } } \left[ \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } e ^ { - i \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } _ { a } } + e ^ { - i \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } _ { a } } \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } \right]
R ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = \left( \begin{array} { l l l l } { - \frac { 1 - e ^ { i p _ { 2 } } } { 1 - e ^ { i p _ { 1 } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { e ^ { i p _ { 1 } } - e ^ { i p _ { 2 } } } { 1 - e ^ { i p _ { 1 } } } } & { - \frac { 1 - e ^ { i p _ { 2 } } } { 1 - e ^ { i p _ { 1 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 - e ^ { i p _ { 2 } } } { 1 - e ^ { i p _ { 1 } } } } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { k _ { i } ^ { \rightarrow } } & { = \langle k _ { i } ^ { \rightarrow } \rangle = \sum _ { j \neq i } p _ { i j } ^ { \rightarrow } } \\ { k _ { i } ^ { \leftarrow } } & { = \langle k _ { i } ^ { \leftarrow } \rangle = \sum _ { j \neq i } p _ { i j } ^ { \leftarrow } } \\ { k _ { i } ^ { \leftrightarrow } } & { = \langle k _ { i } ^ { \leftrightarrow } \rangle = \sum _ { j \neq i } p _ { i j } ^ { \leftrightarrow } , } \end{array} \right.
- \delta \omega + 2 g P _ { 0 } + \delta \omega _ { \mathrm { r e p } } \mu _ { \mathrm { d w } } = \frac { D _ { 2 } } { 2 } \mu _ { \mathrm { d w } } ^ { 2 } + \frac { D _ { 3 } } { 6 } \mu _ { \mathrm { d w } } ^ { 3 } ,
\begin{array} { r } { g _ { N } ( u ) \approx \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 4 } { \left[ ( 2 k + 1 ) \pi \right] ^ { 2 } } \mathrm { s i n c } ^ { 2 } \left( \frac { u - ( 2 k + 1 ) N \pi } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { Q ^ { m , n } f \left( x _ { p } \right) = \frac { 1 } { \epsilon \left( x _ { p } \right) ^ { m + n } } \sum _ { x _ { q } \in \mathcal { N } \left( x _ { p } \right) } \left( f \left( x _ { q } \right) \pm f \left( x _ { p } \right) \right) \eta \left( \frac { x _ { p } - x _ { q } } { \epsilon \left( x _ { p } \right) } \right) . } \end{array}
\nabla _ { \phi } \operatorname { E L B O } ( \phi , \psi \vert y ) = - \operatorname { \mathbb { E } } \left[ \nabla _ { \phi } h _ { \beta } \left( y , g _ { \phi } \left( \epsilon \right) , g _ { \psi } \left( \eta \right) , t \right) \right] + \nabla _ { \phi } \mathbb { H } \left[ q _ { \phi } \right] .
A \equiv { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } ,
L . H . S . = \overline { { U } } A _ { 1 } P r R e { \frac { \partial \theta } { \partial \widetilde { t } } } + \overline { { U } } A _ { 1 } P r R e \widetilde { \textbf { V } } . \nabla \theta + \overline { { U } } A _ { 1 } \widetilde { u } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } } & { = 0 = - \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) } \\ & { - \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 3 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n + \overset { . } { 3 } \right) - 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 3 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n + \overset { . } { 3 } \right) } \end{array}
v _ { m a x } = \frac { ( 1 + r ) v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } \cos ( \varphi / 2 ) + ( 1 - r ) \sin ( \varphi / 2 ) } { ( 1 + r ) \cos ( \varphi / 2 ) - ( 1 - r ) v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } \sin ( \varphi / 2 ) }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { a r s e c h } x } & { = \operatorname { a r c o s h } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } \\ { \operatorname { a r c s c h } x } & { = \operatorname { a r s i n h } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } \\ { \operatorname { a r c o t h } x } & { = \operatorname { a r t a n h } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { \cal A } _ { 1 } ( \omega _ { 1 } , q ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \left[ - \frac { f _ { e l } ^ { B _ { 1 } } } { 4 } + \frac { \omega _ { 1 } } { q ^ { 3 } } { \cal J } _ { 1 0 1 } ( \omega _ { 1 } , q ) + \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { q ^ { 4 } } { \cal Q } ( \omega _ { 1 } , \mathbf { q } ) \right] , } \\ { { \cal A } _ { 2 } ( \omega _ { 2 } , q ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \left[ - \frac { f _ { e l } ^ { B _ { 1 } } } { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } } { q ^ { 3 } } { \cal J } _ { 1 0 1 } ( \omega _ { 2 } , q ) \right] . } \end{array}