harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) | } & { \ge \left| - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } \mathtt { m } _ { \alpha , 1 } ( \omega ) + \mathtt { m } _ { \alpha , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) \right| | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | - \frac { T _ { \alpha } } 4 | j - k | } \\ & { \ - | \mathfrak { m } _ { 1 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - \mathfrak { m } _ { 1 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) | - | r _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - r _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) | } \\ & { \overset { , , , } { \ge _ { \mathtt { p _ { e } } } } \left( \frac { 1 } { 2 } - \varepsilon ^ { 2 } \right) | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | - c _ { \mathtt { p _ { e } } } | j - k | } \\ & { \ge _ { \mathtt { p _ { e } } } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | \left( \frac { 1 } { 2 } - c _ { \mathtt { p _ { e } } } \frac { | j - k | } { | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | } \right) } \\ & { \overset { \ge _ { \mathtt { p _ { e } } } } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { c _ { \mathtt { p _ { e } } } } { | j | ^ { \alpha - 1 } + | k | ^ { \alpha - 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \hbar } \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( \tau ) } } { \partial { ( \omega \tau _ { n } ) } ^ { 2 } } = \frac { U _ { \mathrm { p } } } { 2 \hbar \omega } ( \omega \tau _ { n } ) [ ( \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } + \omega \tilde { t } _ { n } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 9 } ( \omega \tau _ { n } ) ^ { 2 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { i j k l } ^ { H } = \int _ { Y } C ( e _ { i j } + e _ { y } ( w _ { i j } ) ) : ( e _ { k l } + e _ { y } ( w _ { k l } ) ) d { y } , \qquad \mathit { i , j , k , l } \in \{ 1 , 2 , 3 \} , } \end{array}
\langle Y ^ { \mu } ( \tau _ { 1 } , \theta _ { 1 } ) Y ^ { \nu } ( \tau _ { 2 } , \theta _ { 2 } ) \rangle = - \hat { \cal G } ^ { \mu \nu } ( \tau _ { 1 } , \theta _ { 1 } ; \tau _ { 2 } , \theta _ { 2 } )
{ \bf j } ^ { \uparrow } = \sum _ { k } { n _ { k } ^ { \uparrow } \mathrm { I m } \left( \phi _ { k } ^ { \uparrow * } \nabla \phi _ { k } ^ { \uparrow } \right) } = \sum _ { k } { n _ { k } ^ { \uparrow } \mathrm { I m } \left( \tilde { \phi } _ { k } ^ { \uparrow * } \nabla \tilde { \phi } _ { k } ^ { \uparrow } \right) } + { \bf A } ( t ) \rho ^ { \uparrow } .
E _ { c } = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } \frac { | \mathbb { I } _ { i j a b } | ^ { 2 } } { \Delta _ { i j } ^ { a b } } \Big ( 1 - e ^ { - \sigma ( \Delta _ { i j } ^ { a b } ) ^ { p } } \Big ) \; ,
\begin{array} { r l r } { \partial E _ { l + 1 } ( \boldsymbol { x } ) } & { = } & { B ( u _ { h } ^ { l , 1 } ; E _ { l + 1 } , g _ { h } ^ { l , \boldsymbol { x } } ) } \\ & { \lesssim } & { ( \| E _ { l } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } + \| e _ { H } ^ { l } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } ) \| g _ { h } ^ { l , \boldsymbol { x } } \| _ { 1 , 1 } } \\ & { \lesssim } & { ( \mid \log h \mid ^ { 2 } H ^ { 4 } + H ^ { 2 } ) \mid \log h \mid } \\ & { \lesssim } & { \mid \log h \mid H ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( n , s ) } & { { } = E _ { 0 } ( n , s ) + \eta \frac { f } { 2 } \omega \big \{ \alpha [ ( 2 n + 1 ) + 4 \alpha ^ { 2 } + 1 2 \alpha _ { z } ^ { 2 } ] s } \end{array}
I _ { S ( T ) } = \int _ { \phi _ { m i n } } ^ { \phi _ { m a x } } \int _ { R _ { \mathrm { m i n } } } ^ { R _ { \mathrm { m a x } } } \frac { 4 \pi } { 3 } R ^ { 3 } W _ { S ( T ) } ( R , \phi _ { A } , T ) d R d \phi _ { A } ~ .
\begin{array} { r l } { \left\| \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \psi ( X _ { j } ) - \mu _ { P } \right\| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } & { = \left\langle \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \psi ( X _ { j } ) - \mu _ { P } , \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \psi ( X _ { j } ) - \mu _ { P } \right\rangle _ { \mathcal { H } } } \\ & { = \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \sum _ { 1 \leq i , j \leq m } { \mathsf K } ( X _ { i } , X _ { j } ) - \frac { 2 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \mathbb { E } _ { Z \sim P } [ { \mathsf K } ( X _ { j } , Z ) ] + \| \mu _ { P } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \sum _ { 1 \leq i , j \leq m } { \mathsf K } ( X _ { i } , X _ { j } ) - \frac { 2 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \mathbb { E } _ { Z \sim P } [ { \mathsf K } ( X _ { j } , Z ) ] + \mathbb { E } [ { \mathsf K } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { d } \frac { \partial \mathbf q _ { d } } { \partial t } + \mathbf q _ { d } } & { = - \lambda _ { d } \nabla T _ { d } , } \\ { \tau _ { b } \frac { \partial \mathbf q _ { b } } { \partial t } + \mathbf q _ { b } } & { = - \lambda _ { b } \nabla T _ { b } + l _ { b } ^ { 2 } ( \Delta \mathbf q _ { b } + 2 \nabla \nabla \cdot \mathbf q _ { b } ) , } \end{array}
( \rho , u , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 . 4 4 5 , 0 . 6 9 8 , 3 . 5 2 8 ) , \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x < 0 } \\ { ( 0 . 5 , 0 , 0 . 5 7 1 ) , \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x > 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { A } & { { } = 1 6 \left( \frac { 5 } { 4 } - c o s \left( \frac { 4 } { 6 } \pi \right) \right) + 8 \sqrt { \frac { 5 } { 4 } - c o s \left( \frac { 4 } { 6 } \pi \right) } - 1 4 } \\ { B } & { { } = 8 p _ { 0 } \left( 1 - \sqrt { \frac { 5 } { 4 } - c o s \left( \frac { 4 } { 6 } \pi \right) } \right) } \\ { C } & { { } = 4 \sqrt { \frac { 5 } { 4 } - c o s \left( \frac { 4 } { 6 } \pi \right) } - 6 . } \end{array}
{ { \frac { d \Gamma } { d z } } ( Z ^ { 0 } \rightarrow \psi ( E ) + X ) \; = \; 2 \; { \widehat \Gamma } ( Z ^ { 0 } \rightarrow c { \bar { c } } ) \; D _ { c \rightarrow \psi } \left( z , M _ { Z } / 2 \right) \; , \; z \; = \; { \frac { 2 E } { M _ { Z } } } \; . }
{ \frac { \partial ^ { R } { \cal H } } { \partial \Pi _ { c } ^ { a } } } - \partial _ { t \mu } { \frac { \partial ^ { R } { \cal H } } { \partial \left[ { \partial _ { t \mu } \Pi _ { c } ^ { a } } \right] } } + \partial _ { n } c ^ { a } = 0 , \qquad { \frac { \partial ^ { R } { \cal H } } { \partial c ^ { a } } } - \partial _ { t \mu } { \frac { \partial ^ { R } { \cal H } } { \partial \left[ { \partial _ { t \mu } c ^ { a } } \right] } } + \partial _ { n } \Pi _ { c } ^ { a } = 0 ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { i \frac { \partial } { \partial \tau } u _ { j , \varepsilon } ( \mathbf { x } , \tau ) = ( \mathcal { A } _ { \varepsilon } u _ { j , \varepsilon } ) ( \mathbf { x } , \tau ) , } \\ & { u _ { j , \varepsilon } ( \mathbf { x } , 0 ) = e ^ { i \varepsilon ^ { - 1 } \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \mathbf { x } \right\rangle } \varsigma _ { j } ^ { \varepsilon } ( \mathbf { k } ^ { \circ } , \mathbf { x } ) f _ { j } ( \mathbf { x } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { T U _ { b } \big | _ { A ^ { + } } = \ker \left( \psi _ { 1 } d \psi _ { 1 } + \sqrt { 1 - \psi _ { 1 } ^ { 2 } } d \psi _ { 2 } \right) } & { \cap \ker \left( \zeta _ { 1 } d \psi _ { 1 } + \zeta _ { 2 } d \psi _ { 2 } + \psi _ { 1 } d \zeta _ { 1 } + \sqrt { 1 - \psi _ { 1 } ^ { 2 } } d \zeta _ { 2 } \right) } \\ & { \cap \ker \left( \sqrt { \psi _ { 1 } + 1 } d z - d \psi _ { 1 } \right) . } \end{array}
\breve { \mathbf { b } } _ { I } = \left[ \begin{array} { c } { \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } d o f _ { i } ( \boldsymbol { \varphi } _ { I } ) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { 1 } ) } \\ { \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } d o f _ { i } ( \boldsymbol { \varphi } _ { I } ) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { 2 } ) } \\ { \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } d o f _ { i } ( \boldsymbol { \varphi } _ { I } ) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { 3 } ) } \end{array} \right] , \quad \breve { \mathbf { s } } _ { I } = \left[ \begin{array} { c } { \breve { s } _ { I , 1 } } \\ { \vdots } \\ { \breve { s } _ { I , n _ { k } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { { J _ { 1 0 } } } & { = \int _ { \Sigma } { { x _ { 2 } } J ( { x _ { 2 } } , { y _ { 2 } } ) d { x _ { 2 } } d { y _ { 2 } } } } \\ & { = \int _ { \Omega } { \left( { { a _ { 1 1 } } { x _ { 1 } } + { a _ { 1 2 } } { y _ { 1 } } + { b _ { 1 } } } \right) I ( { x _ { 1 } } , { y _ { 1 } } ) d { x _ { 1 } } d { y _ { 1 } } } } \\ & { = { a _ { 1 1 } } { I _ { 1 0 } } + { a _ { 1 2 } } { I _ { 0 1 } } + { b _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { \nu } } & { = \cos ( \chi ) \big ( \! \sin ( \alpha ) \cos ( \beta ) \cos ( \psi ) + \cos ( \alpha ) \sin ( \psi ) \big ) } \\ & { \quad - \sin ( \alpha ) \sin ( \beta ) \sin ( \chi ) , } \\ { y _ { \nu } } & { = \sin ( \chi ) \big ( \! \sin ( \alpha ) \cos ( \beta ) \cos ( \psi ) + \cos ( \alpha ) \sin ( \psi ) \big ) } \\ & { \quad + \sin ( \alpha ) \sin ( \beta ) \cos ( \chi ) . } \end{array}
\frac { \partial \boldsymbol { \omega } } { \partial t } + ( \boldsymbol { v } \cdot \nabla ) \boldsymbol { \omega } = ( \boldsymbol { \omega } \cdot \nabla ) \boldsymbol { v } - \boldsymbol { \omega } ( \nabla \cdot \boldsymbol { v } ) + \nu \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { \omega } + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \left( \nabla \rho \times \nabla P \right) ,
\int { \phi _ { k } ^ { \uparrow } \left( { \bf x } ; t \right) ^ { * } \phi _ { l } ^ { \uparrow } \left( { \bf x } ; t \right) \mathrm { d } { \bf x } } = \delta _ { k , l } \qquad \forall k , l \textrm { a n d } \forall t ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { J } \rho ^ { - \frac { N } 2 } h ^ { - \frac 1 2 } d _ { j } ^ { \frac { N - 3 } { 2 } } \| v - R _ { h } v \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { j } ^ { 1 } ) } } & { \leqslant \sum _ { j = 0 } ^ { J } C \rho ^ { - \frac { N } 2 } h ^ { - \frac 1 2 } \bigg ( \frac { \rho } { d _ { j } } \bigg ) ^ { - \frac { \theta \sigma } { 1 - \theta } } d _ { j } ^ { - \frac { \theta } { 1 - \theta } + \frac { N - 3 } { 2 } } \| v - R _ { h } v \| _ { L ^ { p } ( D _ { j } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad \, + C _ { \kappa } + C \rho ^ { - \frac { N } 2 } h ^ { - \frac 1 2 } \bigg ( \frac { \rho } { d _ { J } } \bigg ) ^ { \sigma } d _ { J } ^ { \frac { N - 3 } { 2 } } \| v - R _ { h } v \| _ { L ^ { 2 } ( S _ { \kappa \rho } ( x _ { 0 } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { 0 } ( k , s ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \, \exp [ i k ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] \hat { G } _ { 0 } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) , } \\ & { = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) } { s } \frac { 1 } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) \lambda ( k ) } , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { i n t } } ^ { 0 } = G _ { + } ^ { 0 } \left[ \left( { \bf x } ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { + } ^ { 0 } \right) \left( \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { + } ^ { 0 \dagger } { \bf x } \right) + \left( { \bf x } ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { + } ^ { 0 } \right) \left( \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { + } ^ { 0 \dagger } { \bf x } ^ { \prime } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \left( \mathbb { A } _ { 1 1 } \right) _ { k } ^ { i } } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 2 ^ { \alpha + 1 } - 4 ) j _ { i } ^ { \alpha + 3 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ i = k ~ , } } \\ { 2 j _ { i } j _ { k } \left( ( j _ { i } + k _ { i } ) ^ { \alpha + 1 } + ( j _ { i } - k _ { i } ) ^ { \alpha + 1 } - 2 ( j _ { i } ^ { \alpha + 1 } + k _ { i } ^ { \alpha + 1 } ) \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ i > k ~ , } } \end{array} \right. } \\ { \left( \mathbb { A } _ { 1 2 } \right) _ { k } ^ { i } } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { j _ { i } ^ { 2 } m _ { 3 , \alpha , r } ( j _ { i } , j _ { i } ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ i = k ~ } , } \\ { 2 j _ { i } j _ { k } m _ { 3 , \alpha , r } ( j _ { i } , j _ { k } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ i ~ > k ~ , } } \end{array} \right. } \end{array}
\bar { P } _ { 0 } + \frac { \mu _ { 0 } ^ { 3 } \omega _ { 0 } ^ { 5 } ( \pi r _ { 2 } \alpha _ { 0 } n I _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 c _ { 3 } ^ { 2 } ( r _ { 1 } ^ { 6 } + 2 ( r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ) ^ { 2 } ) ^ { - 1 } }
\int d ^ { 2 } b \sum _ { k _ { c } + l _ { c } + m _ { c } + n _ { c } = 1 } ^ { \infty } \sigma ( k _ { c } , l _ { c } , m _ { c } , n _ { c } , s , b ) = \sigma _ { V N } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ t o t } } - \sigma _ { V N } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ e l } } .
J _ { 1 } ^ { \tilde { \boldsymbol { \pi } } } ( x , y ) = \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \gamma ^ { t - 1 } \, r ( x _ { 1 } , y _ { t } , \tilde { \pi } _ { t } ) \, \Bigr | \, ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) = ( x , y ) \right] \quad \mathrm { a n d } \quad J _ { 1 } ^ { * } ( x , y ) = \operatorname* { m a x } _ { \tilde { \boldsymbol { \pi } } } \; J _ { t } ^ { \tilde { \boldsymbol { \pi } } } ( x , y )
{ \bar { u } } ( T ) = { \frac { 0 . 8 6 0 1 1 7 7 5 7 + 1 . 5 4 1 1 8 2 5 4 \times 1 0 ^ { - 4 } T + 1 . 2 8 6 4 1 2 1 2 \times 1 0 ^ { - 7 } T ^ { 2 } } { 1 + 8 . 4 2 4 2 0 2 3 5 \times 1 0 ^ { - 4 } T + 7 . 0 8 1 4 5 1 6 3 \times 1 0 ^ { - 7 } T ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { = } & { { } ~ \frac { 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } ( s ^ { ( n ) } - s ^ { ( n + 1 ) } ) + \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } ( s ^ { ( n ) } - s ^ { ( n + 1 ) } + s ^ { ( n + 1 ) } - s ^ { ( n + 2 ) } ) } \\ { = } & { { } ~ \frac { \mu } { 2 } \left( N p ^ { ( n ) } + \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } N p ^ { ( n + 1 ) } - \frac { 2 k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \right) + \frac { 2 k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \mathcal { O } ( \mu ^ { 2 } ) . } \end{array}
d s _ { ( 1 1 ) } ^ { 2 } = e ^ { - \frac 2 3 \phi ( x ) } \, g _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + e ^ { \frac 4 3 \phi ( x ) } \, \left[ d z + d x ^ { \mu } C _ { \mu } ( x ) \right] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ b ~ } } } & { { } = \int _ { \Sigma _ { \beta } ^ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } } \iota _ { u } I _ { \mathrm { ~ C ~ S ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ^ { 2 n - 1 } f ^ { 2 } ( s ) D \left( \frac { g ( s ) } { s ^ { 2 n - 3 } f ( s ) } \right) } & { = s ^ { 2 n - 1 } f ^ { 2 } ( s ) \frac { D \left( \frac { g ( s ) } { f ( s ) } \right) } { s ^ { 2 n - 3 } } - s ^ { 2 n - 1 } f ^ { 2 } ( s ) \frac { \frac { g ( s ) } { f ( s ) } } { s ^ { 4 n - 6 } } ( 2 n - 3 ) s ^ { 2 n - 4 } } \\ & { = s ^ { 2 } f ^ { 2 } ( s ) D \left( \frac { g ( s ) } { f ( s ) } \right) - ( 2 n - 3 ) s f ( s ) g ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { j } _ { \textbf { k } _ { 0 } } ^ { \mathrm { t e r } } ( t ) } & { = - \langle \varphi _ { v , \textbf { k } _ { 0 } } ( t _ { 0 } ) | \hat { K } _ { H } ( t _ { 0 } , t ) | \varphi _ { v , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle \textbf { p } _ { v c } ^ { \textbf { k } _ { 0 } + \textbf { A } ( t ) } \langle \varphi _ { c , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \hat { K } _ { H } ( t , t _ { 0 } ) | \varphi _ { v , \textbf { k } _ { 0 } } ( t _ { 0 } ) \rangle + c . c . , } \\ & { = - \int _ { s } ^ { t } \mathrm { d } s K _ { H } ( v , t _ { 0 } ; v , t ) \textbf { p } _ { v c } ^ { \textbf { k } ( t ) } K _ { H } ( c , t ; c , s ) \left[ - i \textbf { F } ( t ) \cdot \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( s ) } \right] K _ { H } ( v , s ; v , t _ { 0 } ) + c . c . , } \end{array}
P _ { \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \alpha } } = 1 - \sum _ { \beta \not = \alpha } P _ { \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \beta } } = 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \, B _ { \nu _ { \alpha } ; \nu _ { \alpha } } \left( 1 - \cos { \frac { \displaystyle \Delta m ^ { 2 } \, L } { \displaystyle 2 \, p } } \right) \; ,
{ \begin{array} { r l } { g _ { \kappa \lambda ; \alpha } } & { = 0 } \\ { \left( { \sqrt { - g } } \; ^ { W } \right) _ { ; \alpha } } & { = \left( { \sqrt { - g } } \; ^ { W } \right) _ { , \alpha } - W \Gamma _ { ~ \delta \alpha } ^ { \delta } { \sqrt { - g } } \; ^ { W } = { \frac { W } { 2 } } g ^ { \kappa \lambda } g _ { \kappa \lambda , \alpha } { \sqrt { - g } } \; ^ { W } - W \Gamma _ { ~ \delta \alpha } ^ { \delta } { \sqrt { - g } } \; ^ { W } = 0 \, . } \end{array} }
\tilde { T } ^ { a } = T ^ { a } + \gamma _ { J } ^ { I } \theta _ { I } ^ { b } A ^ { J } \wedge K _ { b } ^ { a } + i \left( \gamma _ { J } ^ { I } ( D \theta _ { I } ^ { a } ) \wedge A ^ { J } + \gamma _ { J } ^ { I } \theta _ { I } ^ { a } F ^ { J } + K _ { b } ^ { a } \wedge e ^ { b } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial M _ { \mathrm { L } } ( r , t ) } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { 2 } { r ^ { 4 } } \partial _ { r } \left( r ^ { 4 } ( \eta + T _ { \mathrm { L } } ( 0 ) - T _ { \mathrm { L } } ) \partial _ { r } M _ { \mathrm { L } } \right) } \end{array}
D _ { \mu \nu } ( p ^ { 2 } ) = \left( - g _ { \mu \nu } + \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } \right) \ D ^ { T } ( p ^ { 2 } ) + \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } \ D ^ { L } ( p ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( \zeta ) } & { = \frac { c J _ { 0 } } { k _ { 1 } } \int _ { \eta } ^ { \infty } \frac { \eta ^ { \prime } d \eta ^ { \prime } } { \sqrt { ( \eta ^ { 2 } - 1 ) ( \eta ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } ) ( \eta ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } ) } } } \\ & { = \frac { c J _ { 0 } } { k _ { 1 } \sqrt { \beta ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } } \ F \left( \arcsin \sqrt { \frac { \beta ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } } , \ k _ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { x } } _ { B e ^ { \prime } E _ { 0 } | k } } & { { } = [ \mathcal { B } ( \tau ) \oplus \mathbf { I ] } ( \bar { \mathbf { x } } _ { A | k } \oplus \bar { \mathbf { x } } _ { e E _ { 0 } } ) = \bar { \mathbf { x } } _ { B | k } \oplus \bar { \mathbf { x } } _ { e ^ { \prime } E _ { 0 } | k } , } \\ { \mathbf { V } _ { B e ^ { \prime } E _ { 0 } | k } } & { { } = [ \mathcal { B } ( \tau ) \oplus \mathbf { I } ] \left( \mathbf { V } _ { A | k } \oplus \mathbf { V } _ { e E _ { 0 } } \right) [ \mathcal { B } ( \tau ) ^ { \mathsf { T } } \oplus \mathbf { I } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { 2 ^ { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { i - 1 } m _ { g _ { i ^ { \prime } } , k ^ { \prime } } } } v _ { k } [ j ] \in } & { \sqrt { 2 ^ { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { i - 1 } m _ { g _ { i ^ { \prime } } , k ^ { \prime } } } } \Lambda _ { k , k ^ { \prime } } , } \\ & { j = N _ { k ^ { \prime } - 1 } + 1 , \ldots , N _ { k ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P o i s s o n } ( N _ { \mathrm { p e } , n } ; \beta \Lambda _ { n } } & { { } ) = \sum _ { N _ { \mathrm { P h } , n } = N _ { \mathrm { p e } , n } } ^ { \infty } \mathrm { P o i s s o n } \left( N _ { \mathrm { P h } , n } ; \Lambda _ { i } \right) } \end{array}
a ^ { - 1 } ( s i n { \theta _ { n } ^ { 0 } } ) ^ { m _ { 1 } + l _ { 1 } } C _ { N - m _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } + \frac { n - 1 } { 2 } } ( c o s { \theta _ { n } ^ { 0 } } ) C _ { N ^ { \prime } - l _ { 1 } } ^ { l _ { 1 } + \frac { n - 1 } { 2 } } ( c o s { \theta _ { n } ^ { 0 } } ) \oint _ { \partial C } d ^ { n - 1 } { \eta } Y _ { a } ^ { m _ { 1 } } ( \eta ^ { \theta _ { n } ^ { 0 } } ) Y _ { a ^ { \prime } } ^ { l _ { 1 } } ( \eta ^ { \theta _ { n } ^ { 0 } } )
\begin{array} { r } { \mathcal { C } ( X ) = \left\{ \begin{array} { l l } { P _ { \mathrm { r e j } } ( X ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 1 \leq X \leq N - 1 } \\ { P _ { \mathrm { a c c } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } X = N } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial R _ { n n ^ { \prime } } } { \partial x _ { j } } } & { = \frac { x _ { n } - x _ { n ^ { \prime } } } { R _ { n n ^ { \prime } } } ( \delta _ { j n } + \delta _ { j n ^ { \prime } } ) } \\ { \frac { \partial R _ { n n ^ { \prime } } } { \partial y _ { j } } } & { = \frac { y _ { n } - y _ { n ^ { \prime } } } { R _ { n n ^ { \prime } } } ( \delta _ { j n } + \delta _ { j n ^ { \prime } } ) } \\ { \frac { \partial R _ { n n ^ { \prime } } } { \partial r _ { j } } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial } { \partial \lambda } \log \operatorname* { d e t } \left( \hat { M } _ { N } ( \lambda ) - \hat { I } ) \right) = \mathrm { t r } \, \log \left( \hat { M } _ { N } ^ { \prime } ( \lambda ) ( \hat { M } _ { N } ( \lambda ) - \hat { I } ) ^ { - 1 } \right) } \\ & { } & { \to \mathrm { t r } \, \left( ( - \Sigma / \lambda ^ { 2 } ) / ( \Sigma / \lambda ) \right) = - \mathrm { t r } \, \hat { I } / \lambda = - \frac { 3 } { \lambda } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { \Omega } _ { N _ { s } } = } & { \vec { \Omega } _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \vec { T } _ { i } } \\ { < } & { \vec { \Omega } _ { 1 } + N _ { s } \vec { T } _ { 1 } + N _ { s } | \vec { T } _ { N _ { s } } - \vec { T } _ { 1 } | } \\ { = } & { \vec { \Omega } _ { 1 } + N _ { s } \vec { T } _ { 1 } + O ( \Delta t ^ { 5 / 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H = \sum _ { M } \frac { 1 } { 2 m _ { M } } \mathbf { p } _ { M } ^ { 2 } + \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } \mathbf { p } _ { i } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } \frac { 1 } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } - \sum _ { i , M } \frac { Z _ { M } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } _ { M } | } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { M \neq N } \frac { Z _ { M } Z _ { N } } { | \mathbf { R } _ { N } - \mathbf { R } _ { M } | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E [ ( \hat { F } - F ) ^ { 2 } | X ] } & { = E [ ( \hat { F } - E [ F | X ] - F + E [ F | X ] ) ^ { 2 } | X ] } \\ & { = E [ ( \hat { F } - E [ F | X ] - F + E [ F | X ] ) ^ { 2 } | X ] } \\ & { = E [ ( \hat { F } - E [ F | X ] ) ^ { 2 } | X ] + E [ ( E [ F | X ] - F ) ^ { 2 } | X ] + 2 E [ ( \hat { F } - E [ F | X ] ) ( F - E [ F | X ] ) ] } \\ & { = E [ ( \hat { F } - E [ F | X ] ) ^ { 2 } | X ] + \mathrm { V a r } ( F | X ) + } \\ & { \quad 2 E [ \hat { F } F | X ] - 2 E [ F | X ] ^ { 2 } + 2 E [ F | X ] ^ { 2 } - E [ F | X ] E [ \hat { F } | X ] } \\ & { \mathrm { A s s u m p t i o n : ~ \hat { ~ } F ~ d e t e r m i n i s t i c ~ f c t . ~ o f ~ X ~ } } \\ & { = E [ ( \hat { F } - E [ F | X ] ) ^ { 2 } | X ] + \mathrm { V a r } ( F | X ) + } \\ & { \quad 2 \hat { F } E [ F | X ] - 2 \hat { F } E [ F | X ] } \\ & { = ( \hat { F } - E [ F | X ] ) ^ { 2 } + \mathrm { V a r } ( F | X ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \chi _ { 1 } ( z ) } & { = \sum _ { j \geq 0 } { \binom { j + { \frac { 1 } { 2 } } } { \frac { 1 } { 2 } } } ^ { - 1 } { \frac { z \cdot ( - z ^ { 2 } ) ^ { j } } { ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { j + 1 } } } } \\ { \chi _ { 2 } ( z ) } & { = \sum _ { j \geq 0 } { \binom { j + { \frac { 1 } { 2 } } } { \frac { 1 } { 2 } } } ^ { - 1 } \left( 1 + H _ { j } ^ { ( 1 ) } ( 2 , 1 ) \right) { \frac { z \cdot ( - z ^ { 2 } ) ^ { j } } { ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { j + 1 } } } } \\ { \sum _ { k \geq 0 } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( z + k ) ^ { 2 } } } } & { = \sum _ { j \geq 0 } { \binom { j + z } { z } } ^ { - 1 } \left( { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { z } } H _ { j } ^ { ( 1 ) } ( 2 , z ) \right) { \frac { 1 } { 2 ^ { j + 1 } } } } \\ { { \frac { 1 3 } { 1 8 } } \zeta ( 3 ) } & { = \sum _ { i = 1 , 2 } \sum _ { j \geq 0 } { \binom { j + { \frac { i } { 3 } } } { \frac { i } { 3 } } } ^ { - 1 } \left( { \frac { 1 } { i ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { i ^ { 2 } } } H _ { j } ^ { ( 1 ) } ( 3 , i ) + { \frac { 1 } { 2 i } } \left( H _ { j } ^ { ( 1 ) } ( 3 , i ) ^ { 2 } + H _ { j } ^ { ( 2 ) } ( 3 , i ) \right) \right) { \frac { ( - 1 ) ^ { i + 1 } } { 2 ^ { j + 1 } } } . } \end{array} }
\left| { \frac { f ( z _ { 1 } ) - f ( z _ { 2 } ) } { 1 - { \overline { { f ( z _ { 1 } ) } } } f ( z _ { 2 } ) } } \right| \leq \left| { \frac { z _ { 1 } - z _ { 2 } } { 1 - { \overline { { z _ { 1 } } } } z _ { 2 } } } \right|
{ \cal M } _ { I A } ( D ^ { 0 } , \bar { D } ^ { 0 } ) = \pm \frac { 1 } { 6 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d ^ { 3 } r \: \varphi _ { f } ^ { * } ( r ) \left( \frac { 1 } { m _ { c } } + \frac { 1 } { m _ { \bar { u } } } \right) j _ { 0 } \left( \frac { q r } { 2 } \right) \varphi _ { i } ( r ) .