harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathscr { P } _ { \mathrm { f } , \rho } ( x , \gamma , \tau , k ) : = \frac { p ^ { \prime } ( \rho ( x ) ) \rho ( x ) } { 1 - \rho _ { \mathrm { f } } ( x ) } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \gamma + i \tau ) s } \frac { i k } { 1 + \vert k \vert ^ { 2 } } \cdot \left( \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } \mathrm { f } \right) ( x , k s ) \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tau \cdot \nabla } & { = a _ { i j } n _ { j } n _ { m } n _ { m } \partial _ { i } - a _ { m l } n _ { m } n _ { l } n _ { i } \partial _ { i } } \\ & { = a _ { i j } n _ { j } n _ { m } n _ { m } \partial _ { i } - a _ { i j } n _ { i } n _ { j } n _ { m } \partial _ { m } } \\ & { = a _ { i j } n _ { j } n _ { m } ( n _ { m } \partial _ { i } - n _ { i } \partial _ { m } ) , } \end{array} } \end{array}
v _ { \alpha } = \left[ ( v _ { \alpha 0 } ^ { 3 } + v _ { c } ^ { 3 } ) e ^ { - 3 \int _ { 0 } ^ { t } \tau _ { s } ^ { - 1 } \mathrm { d } t } - v _ { c } ^ { 3 } \right] ^ { 1 / 3 } ,
\tilde { W } _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ( \chi _ { \gamma } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } { d v \frac { 9 - v ^ { 2 } } { 3 ( 1 - v ^ { 2 } ) } \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } \biggl ( \frac { 8 } { 3 \chi _ { \gamma } ( 1 - v ^ { 2 } ) } \biggr ) } .
\begin{array} { r l } { p _ { h } + \frac { 1 } { 2 } \rho { v _ { h } ^ { 2 } } _ { 2 } } & { { } = { } p _ { I I } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) + \frac { 1 } { 2 } \rho { v _ { I I } ^ { 2 } } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) . } \end{array}
\begin{array} { l } { { { A _ { \mu } ( a , \theta ) \, = \, a _ { \mu } \, - \, \frac { 1 } { 4 } \, \theta ^ { \alpha \beta } \, \{ a _ { \alpha } , f _ { \beta \mu } \, + \, \partial _ { \beta } a _ { \mu } \} \, + \, o ( \theta ^ { 2 } ) , } } } \\ { { { \Psi _ { L } ( a , \psi _ { L } , \theta ) \, = \, \psi _ { L } - \frac { 1 } { 2 } \, \theta ^ { \alpha \beta } \, a _ { \alpha } \partial _ { \beta } \psi _ { L } \, + \, \frac { i } { 8 } \, \theta ^ { \alpha \beta } \, [ a _ { \alpha } , a _ { \beta } ] \, \psi _ { L } \, + \, o ( \theta ^ { 2 } ) , } } } \\ { { { \Lambda ( a , \lambda , \theta ) \, = \, \lambda \, + \, \frac { 1 } { 4 } \, \theta ^ { \alpha \beta } \, \{ \partial _ { \alpha } \lambda , a _ { \beta } \} \, + \, o ( \theta ^ { 2 } ) . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { z } ^ { s c t , 0 } } & { \rightarrow \sqrt { \frac { 2 } { \pi k a ^ { 0 } } } e ^ { - j ( k a ^ { 0 } - { \frac { \pi } { 4 } } ) } \sum _ { p = 1 } ^ { P } { \frac { \pi \omega \mu a ^ { p } } { 2 } } } \\ & { \cdot \sum _ { m , n = - \infty } ^ { \infty } J _ { m } ( k a ^ { p } ) J _ { n } ( k \rho _ { p 0 } ) e ^ { j ( m - n ) ( \phi ^ { 0 } + { \frac { \pi } { 2 } } ) } e ^ { j n \phi _ { p 0 } } \tilde { j } _ { m } ^ { p } } \\ & { = \sqrt { \frac { \pi \omega \mu \eta } { 2 a ^ { 0 } } } e ^ { - j ( k a ^ { 0 } - { \frac { \pi } { 4 } } ) } \sum _ { p = 1 } ^ { P } a ^ { p } A _ { p } ( \phi ^ { 0 } ) B _ { p } ( \phi ^ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathsf { \Lambda } _ { S L } ^ { \ast } } ( ( { \mathfrak { A } } _ { \theta ( n ) } , { \mathsf { L } } _ { \theta ( n ) } ) , ( { \mathfrak { A } } _ { \theta ( \infty ) } , { \mathsf { L } } _ { \theta ( \infty ) } ) ) } \\ & { \quad \leqslant { \mathsf { \Lambda } _ { S L } ^ { \ast } } ( ( { \mathfrak { A } } _ { \theta ( n ) } , { \mathsf { L } } _ { \theta ( n ) } ) , ( { \mathfrak { A } } _ { \theta ( n ) , N _ { 1 } } , { \mathsf { L } } _ { \theta ( n ) , N _ { 1 } } ) ) } \\ & { \quad \quad \quad + { \mathsf { \Lambda } _ { S L } ^ { \ast } } ( ( { \mathfrak { A } } _ { \theta ( n ) , N _ { 1 } } , { \mathsf { L } } _ { \theta ( n ) , N _ { 1 } } ) , ( { \mathfrak { A } } _ { \theta ( \infty ) , N _ { 1 } } , { \mathsf { L } } _ { \theta ( \infty ) , N _ { 1 } } ) ) } \\ & { \quad \quad \quad + { \mathsf { \Lambda } _ { S L } ^ { \ast } } ( ( { \mathfrak { A } } _ { \theta ( \infty ) , N _ { 1 } } , { \mathsf { L } } _ { \theta ( \infty ) , N _ { 1 } } ) , ( { \mathfrak { A } } _ { \theta ( \infty ) } , { \mathsf { L } } _ { \theta ( \infty ) } ) ) } \\ & { \quad < \frac { \varepsilon } { 3 } + { \mathsf { \Lambda } _ { S L } ^ { \ast } } ( ( { \mathfrak { A } } _ { \theta ( n ) , N _ { 1 } } , { \mathsf { L } } _ { \theta ( n ) , N _ { 1 } } ) , ( { \mathfrak { A } } _ { \theta ( \infty ) , N _ { 1 } } , { \mathsf { L } } _ { \theta ( \infty ) , N _ { 1 } } ) ) + \frac { \varepsilon } { 3 } } \\ & { \quad < \frac { \varepsilon } { 3 } + \frac { \varepsilon } { 3 } + \frac { \varepsilon } { 3 } = \varepsilon } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 1 6 \hat { L } ^ { 2 } \gamma } { \mu } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \lambda \mu \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) \leq \frac { 8 ( \Omega _ { t } - \Omega _ { t + 1 } ) } { 3 \eta } , } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { c } = h ( \mathfrak { d } ) \left( G _ { c } ^ { ( i ) } - G _ { c } ^ { I } \right) + G _ { c } ^ { I } } \\ { D = h ( \mathfrak { d } ) \left( D ^ { ( i ) } - D _ { I } \right) + D _ { I } } \\ { \alpha = h ( \mathfrak { d } ) \left( \alpha ^ { ( i ) } - \alpha _ { I } \right) + \alpha _ { I } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { \mathcal { A } ^ { ( 0 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 0 1 ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 1 ) } } & { \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 1 2 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 2 1 ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f ^ { ( 0 ) } } \\ { \tilde { f } ^ { ( 1 ) } } \\ { \tilde { f } ^ { ( 2 ) } } \\ { f ^ { ( 3 ) } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \tilde { \mathcal { L } } ^ { ( 2 2 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \tilde { \mathcal { L } } ^ { ( 3 3 ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f ^ { ( 0 ) } } \\ { \tilde { f } ^ { ( 1 ) } } \\ { \tilde { f } ^ { ( 2 ) } } \\ { f ^ { ( 3 ) } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \mathrm { V } _ { \mathrm { M C S } } ^ { \Omega , \, \mathrm { Q P D } _ { 1 } } } & { = \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } \epsilon m \Big ( - A _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n + 2 , m ) } + A _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m + 2 ) } } \\ & { - B _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n - 2 , m ) } + B _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m - 2 ) } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial u } { \partial x } + \frac { \partial w } { \partial z } = 0 ~ , } \\ & { \frac { \partial u } { \partial t } + u \frac { \partial u } { \partial x } + w \frac { \partial u } { \partial z } = - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial p } { \partial x } + \nu \Delta u ~ , } \\ & { \frac { \partial w } { \partial t } + u \frac { \partial w } { \partial x } + w \frac { \partial w } { \partial z } = - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial p } { \partial z } + \nu \Delta w - g [ 1 - \beta _ { T } ( T - T _ { 0 } ) ] ~ , } \\ & { \frac { \partial T } { \partial t } + u \frac { \partial T } { \partial x } + w \frac { \partial T } { \partial z } = \alpha \Delta T ~ , } \end{array}
\left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } x ^ { n } \right) \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } b _ { n } x ^ { n } \right) = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } a _ { i } b _ { j } x ^ { i + j } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { n } a _ { i } b _ { n - i } \right) x ^ { n } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } x ^ { n } .
\begin{array} { r l r } { \psi ( x , t ) } & { { } \to } & { \frac { 1 } { ( 2 \pi \Delta x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } } \exp \! \left( \mathrm { i } k _ { 0 } ( x - t ) - \frac { ( x - c t ) ^ { 2 } } { 4 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \end{array}
V = \left( { \frac { G M } { r } } \right) - \left( { \frac { G M } { r } } \right) \sum \left( { \frac { R } { r } } \right) ^ { n } J _ { n } P _ { n , 0 } ( \sin \phi ) + \left( { \frac { G M } { r } } \right) \sum \left( { \frac { R } { r } } \right) ^ { n } [ C _ { n , m } P _ { n , m } ( \sin \phi ) \cos ( m \lambda ) + S _ { n , m } P _ { n , m } ( \sin \phi ) \sin ( m \lambda ) ]
x _ { t + 1 } = { \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { \prime } } & { { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } } a , } \\ { x _ { t } } & { { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } } 1 - a . } \end{array} \right. }
m _ { 0 } ^ { 2 } = 2 \gamma v _ { 0 } ( 4 b - a ) ^ { - 1 } \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \; , \qquad m ^ { 2 } = \left[ \frac { 1 } { a } + \frac { v _ { 0 } } { \gamma } \Lambda \right] \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \; .
\left( ( p ^ { 2 } ) ^ { 3 } \ \ \delta ^ { f _ { 1 } f _ { 2 } } - \left( \frac { g ^ { 2 } C _ { F } } { 4 \pi ^ { 4 } } \right) ^ { 2 } \ ( C ^ { 2 } ) ^ { f _ { 1 } f _ { 2 } } \right) \Psi _ { f _ { 2 } } ( p ) = 0 .
\frac { d \sigma } { d \Omega } = \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \beta \cos \theta ) ^ { 2 } } \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } } \left( R + \frac { 1 } { R } - 1 + \left( \frac { \cos \theta - \beta } { 1 - \beta \cos \theta } \right) ^ { 2 } \right) \; ,
S ^ { \pm } = \left( \begin{array} { l l l } { { \partial _ { 1 } X ^ { 0 } } } & { { . . . } } & { { \partial _ { 1 } X ^ { p } } } \\ { { \partial _ { 2 } X ^ { 0 } } } & { { . . . } } & { { \partial _ { 2 } X ^ { p } } } \\ { { . . . } } & { { . . . } } & { { . . . } } \\ { { G ^ { 0 \nu } ( P _ { \nu } \pm T n _ { \nu } ) } } & { { . . . } } & { { G ^ { p \nu } ( P _ { \nu } \pm T n _ { \nu } ) } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { \theta } \Psi \{ f \} ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) = } & { { } \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { \partial _ { \theta } D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ { \triangleq } & { { } J _ { 1 } \{ f \} ( \varphi ) + J _ { 2 } \{ f \} ( \varphi ) + J _ { 3 } \{ f \} ( \varphi ) . } \end{array}
\delta \mathcal { S } _ { N } ^ { * } = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left[ ( - 1 ) ^ { 2 + N } \mathcal { R } _ { i } ^ { ( 2 N + 2 ) } \delta { q } _ { i } - \mathcal { R } _ { i } ^ { ( N ) } \delta f _ { i } ^ { ( N ) } \right] d t .
\left( - \Delta + \{ [ b ^ { 2 } - 2 a ( 2 m + 5 / 2 ) ] r ^ { 2 } + 2 a b r ^ { 4 } + a ^ { 2 } r ^ { 6 } \} - 2 ( { \bf s \cdot l } ) \cdot \{ 2 a r ^ { 2 } \} \right) \Psi ( x , y , z ) = E \Psi ( x , y , z )
\hat { F } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \eta _ { x } \left( { \tau } _ { x x } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } \right) + \eta _ { y } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \eta _ { z } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } } \\ { \eta _ { x } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \eta _ { y } \left( { \tau } _ { y y } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } \right) + \eta _ { z } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } } \\ { \eta _ { x } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } + \eta _ { y } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } + \eta _ { z } \left( { \tau } _ { z z } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } \right) } \\ { \eta _ { x } { \beta } _ { x } + \eta _ { y } { \beta } _ { y } + \eta _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
\mathrm { F D R } ( \Hat { m } ( K ) ) = \underset { r = D _ { m ^ { * } } + 1 } { \overset { q } { \sum } } \frac { r - D _ { m ^ { * } } } { r } \mathbb { P } \left( \left\{ \underset { \underset { \ell \neq r } { \ell = 0 } } { \overset { q } { \cap } } \{ \mathrm { c r i t } _ { K } ( m _ { r } ) < \mathrm { c r i t } _ { K } ( m _ { \ell } ) \} \right\} \right) .
f ^ { \lambda } = \left( f _ { 1 } e _ { a } ^ { \lambda } e ^ { b \nu } + f _ { 2 } e ^ { b \lambda } e _ { a } ^ { \nu } + f _ { 3 } g ^ { \nu \lambda } \delta _ { b } ^ { a } \right) \bar { \Omega } _ { ~ b \nu } ^ { a }
\begin{array} { r l r } { { \bf D } } & { { } \approx } & { c _ { 1 } \, \varepsilon _ { 0 } \, { \bf \delta E } + c _ { 2 } \, \varepsilon _ { 0 } \, c \left( { \bf B } _ { 0 } + { \bf \delta B } \right) + d _ { 2 } \, \varepsilon _ { 0 } \, { \bf B } _ { 0 } \left( { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf \delta E } \right) - d _ { 3 } \, \varepsilon _ { 0 } \, c \, { \bf B } _ { 0 } \left( { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf \delta B } \right) \, , } \\ { { \bf H } } & { { } \approx } & { \frac { c _ { 1 } } { \mu _ { 0 } } \, \left( { \bf B } _ { 0 } + { \bf \delta B } \right) - \frac { c _ { 2 } } { \mu _ { 0 } c } \, { \bf \delta E } - \frac { d _ { 1 } } { \mu _ { 0 } } \, { \bf B } _ { 0 } \left( { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf \delta B } \right) + \frac { d _ { 3 } } { \mu _ { 0 } c } \, { \bf B } _ { 0 } \left( { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf \delta E } \right) \, , } \end{array}
H _ { \mathrm { X X } } = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { k , l } { n _ { k } n _ { l } \iint { \phi _ { k } ^ { * } ( { \bf x } ) \phi _ { l } ^ { * } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \mathcal { V } _ { \mathrm { e e } } ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) \phi _ { k } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \phi _ { l } ( { \bf x } ) \mathrm { d } { \bf x } \mathrm { d } { \bf x } ^ { \prime } , } }
\begin{array} { r } { \int _ { V } d \mathbf { r } \left( \mathbf { A } _ { \parallel } \cdot \nabla \times \frac { 1 } { \mu } \nabla \times \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } \right) = \int _ { V } d \mathbf { r } \left( \mathbf { A } _ { \parallel } \cdot \lambda _ { \varepsilon \perp } \varepsilon \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } \right) . } \end{array}
\pi g ^ { 2 } \left( \bar { u } _ { 3 } \gamma _ { \mu } { \lambda ^ { i } } u _ { 1 } \right) \left( { \frac { - \delta _ { \mu \nu } } { k ^ { 2 } } } \right) \delta _ { i j } \left( \bar { u } _ { 4 } \gamma _ { \nu } { \lambda ^ { j } } u _ { 2 } \right)
\gamma = \sqrt { \frac { \sqrt { \bigg ( \mu \epsilon \omega ^ { 2 } - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } + ( \mu \sigma \omega ) ^ { 2 } } + \bigg ( \mu \epsilon \omega ^ { 2 } - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \bigg ) } { 2 } }
G _ { A } = \left[ ( g _ { A } ^ { p } + 2 \epsilon _ { A } ^ { u } + \epsilon _ { A } ^ { d } ) ( Z _ { + } - Z _ { - } ) + ( g _ { A } ^ { n } + \epsilon _ { A } ^ { u } + 2 * \epsilon _ { A } ^ { d } ) * ( N _ { + } - N _ { - } ) \right] \cdot F _ { n u c } ^ { A } ( Q ^ { 2 } )
\gamma _ { n m } ^ { \prime } , \quad \overline { { { \gamma } } } _ { n m } ^ { \, ^ { \prime } } , \quad { \gamma } _ { n m } ^ { \, ^ { \prime \prime } } , \quad \overline { { { \gamma } } } _ { n m } ^ { \, ^ { \prime \prime } } , \quad n \geq 1 , \quad m \geq 1
\begin{array} { r } { \langle ( \Delta \hat { \cal S } _ { \theta } ) ^ { 2 } \rangle < | \langle \hat { \cal S } _ { 1 } \rangle | < \langle ( \Delta \hat { \cal S } _ { \theta + \pi / 2 } ) ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\bigg ( k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } \bigg ) \bigg [ - \partial _ { s } ^ { 2 } - \partial _ { t } ^ { 2 } + \frac { 6 } { s ^ { 2 } } \bigg ] \hat { \psi } ( s , t ) = m ^ { 2 } \hat { \psi } ( s , t ) ~ ,
\Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } = \mu ^ { 2 } \exp \left( - \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { ( ( 1 1 / 3 ) N _ { C } - ( 2 / 3 ) N _ { f } ) g ^ { 2 } ( \mu ^ { 2 } ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \beta } } } & { \quad L ( \boldsymbol { \beta } ; \mathbf { M } , \boldsymbol { \phi } ) = \log Z ( \boldsymbol { \beta } ; \boldsymbol { \phi } ) - \beta _ { i } \frac { M _ { i } } { n } - n ^ { 2 } \left( \log \beta _ { 0 } - \frac { \beta _ { 0 } } { n } \right) ; \quad i = 1 , \cdots , M , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { I } & { \approx { \frac { 1 . 3 - 0 . 1 } { 6 } } \left\lbrack f ( 0 . 1 ) + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 3 - 1 } { f ( 0 . 1 + 0 . 4 i ) } + f ( 1 . 3 ) \right\rbrack } \\ { I } & { \approx { \frac { 1 . 3 - 0 . 1 } { 6 } } \left\lbrack f ( 0 . 1 ) + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } { f ( 0 . 1 + 0 . 4 i ) } + f ( 1 . 3 ) \right\rbrack } \\ & { = 0 . 2 \lbrack f ( 0 . 1 ) + 2 f ( 0 . 5 ) + 2 f ( 0 . 9 ) + f ( 1 . 3 ) \rbrack } \\ & { = 0 . 2 [ 5 \times 0 . 1 \times e ^ { - 2 ( 0 . 1 ) } + 2 ( 5 \times 0 . 5 \times e ^ { - 2 ( 0 . 5 ) } ) + 2 ( 5 \times 0 . 9 \times e ^ { - 2 ( 0 . 9 ) } ) + 5 \times 1 . 3 \times e ^ { - 2 ( 1 . 3 ) } \rbrack } \\ & { = 0 . 8 4 3 8 5 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { W ^ { k , p , \delta } ( u ^ { * } T \mathbb { C } ^ { n } , \partial u ^ { * } T T _ { \gamma } ) = \bigg \{ \eta \in W _ { l o c } ^ { k , p } ( u ^ { * } T \mathbb { C } ^ { n } ) \bigg | \int ( } & { | \eta | ^ { p } + | \nabla \eta | ^ { p } + } \\ & { \dots | \nabla ^ { k } \eta | ^ { p } ) e ^ { p \kappa _ { \Sigma } ^ { \delta } } ) d \Sigma < \infty , \quad } \\ & { \eta ( z ) \in T T _ { \gamma } \mathrm { ~ f o r ~ } z \in \partial \Sigma \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { N } ^ { \prime } = \left( { a _ { N } } { e ^ { \mathrm { i } N \theta _ { 0 } } } + { b _ { N } } { e ^ { - \mathrm { i } N \theta _ { 0 } } } \right) { \frac { { { k ^ { N } } } } { { { 2 ^ { N } } N ! } } } = { \frac { { { k ^ { N } } } } { { { 2 ^ { N } } N ! } } } \left( \begin{array} { l l } { a _ { N } } & { b _ { N } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { e ^ { \mathrm { i } N \theta _ { 0 } } } \\ { e ^ { - \mathrm { i } N \theta _ { 0 } } } \end{array} \right) : = \mathbf a ^ { \top } \mathbf b _ { + } , } \\ & { C _ { N } ^ { \prime \prime } = \left( { a _ { N } } + { b _ { N } } \right) { \frac { { { k ^ { N } } } } { { { 2 ^ { N } } N ! } } } = { \frac { { { k ^ { N } } } } { { { 2 ^ { N } } N ! } } } \left( \begin{array} { l l } { a _ { N } } & { b _ { N } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) : = \mathbf a ^ { \top } \mathbf b _ { - } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \Big \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) , d \Big ( \mathrm { l i } \big ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { j } \big ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } \big ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \big ) \Big ) \Big \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { { } \int _ { \partial \Omega } \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { j } \wedge e _ { \phi } ^ { i } + ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \partial \Omega } \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \wedge e _ { \phi } ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { \Delta } _ { L L i } } & { = } & { - 3 \, \vec { \delta } _ { L i } + \sum _ { j \neq i } \vec { \delta } _ { L j } } \\ { \vec { \Delta } _ { L R i } } & { = } & { - 3 \, \vec { \delta } _ { L i } + \sum _ { j \neq i } \vec { \delta } _ { R j } } \\ { \vec { \Delta } _ { R L i } } & { = } & { - 3 \, \vec { \delta } _ { R i } + \sum _ { j \neq i } \vec { \delta } _ { L j } } \\ { \vec { \Delta } _ { R R i } } & { = } & { - 3 \, \vec { \delta } _ { R i } + \sum _ { j \neq i } \vec { \delta } _ { R i } } \end{array}
s h a d i n g _ { c o s t } ( t , [ a ] ) = \left. \left\{ \begin{array} { l l } { \kappa _ { 1 } l o g ( a ) + \kappa _ { 2 } } & { a \leq \kappa _ { a } } \\ { \kappa _ { 1 } l o g ( \kappa _ { a } ) + \kappa _ { a } ^ { o } ( a - \kappa _ { a } ) + \kappa _ { 3 } } & { a > \kappa _ { a } . } \end{array} \right. \right\}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { \leq \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { \sqrt { ( 1 - d _ { 4 } ) \hat { s } _ { 4 } } } { \sqrt { 5 d _ { 2 1 } \hat { s } _ { 2 } } } , \frac { \sqrt { ( 1 - a _ { 1 } ) \hat { s } _ { 1 } } } { \sqrt { a _ { 2 } \hat { s } _ { 2 } + a _ { 3 } \hat { s } _ { 3 } + a _ { 4 } \hat { s } _ { 4 } + 1 } } \bigg \} } \\ { \beta } & { \leq \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { \sqrt { ( 1 - d _ { 4 } ) \hat { s } _ { 4 } } } { \sqrt { 5 d _ { 2 2 } \hat { s } _ { 2 } } } , \frac { \sqrt { ( 1 - b _ { 2 } ) \hat { s } _ { 2 } } } { \sqrt { b _ { 1 } \hat { s } _ { 1 } + b _ { 3 } \hat { s } _ { 3 } + b _ { 4 } \hat { s } _ { 4 } + 1 } } , \frac { \sqrt { ( 1 - c _ { 3 } ) \hat { s } _ { 3 } } } { \sqrt { c _ { 1 } \hat { s } _ { 1 } + c _ { 2 } \hat { s } _ { 2 } + c _ { 4 } \hat { s } _ { 4 } + 1 } } \bigg \} . } \end{array}
Z = 1 - \frac { 1 } { V } \sum _ { \mathbf { k } } \frac { \left| \left\langle \mathbf { k } \right| \mathcal { H } _ { i n t } \left| 0 \right\rangle \right| ^ { 2 } } { \left( E _ { 0 } ^ { ( 0 ) } - E _ { \mathbf { k } } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } } ,
{ \left( \begin{array} { l l l l } { { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial \phi } { \partial t ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial \phi } { \partial x ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial \phi } { \partial y ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial \phi } { \partial z ^ { \prime } } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial \phi } { \partial t } } } & { { \frac { \partial \phi } { \partial x } } } & { { \frac { \partial \phi } { \partial y } } } & { { \frac { \partial \phi } { \partial z } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l } { \gamma } & { + \beta \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { + \beta \gamma } & { \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { \omega _ { 3 D } } & { = \nabla \times \textbf { v } = \omega _ { x } i + \omega _ { y } j + \omega _ { z } k = \left| \begin{array} { l l l } { i } & { j } & { k } \\ { \frac { \partial } { \partial x } } & { \frac { \partial } { \partial y } } & { \frac { \partial } { \partial z } } \\ { u } & { v } & { w } \end{array} \right| } \\ & { = \left( { \frac { \partial w } { \partial y } - \frac { \partial v } { \partial z } } \right) i + \left( { \frac { \partial u } { \partial z } - \frac { \partial w } { \partial x } } \right) j + \left( { \frac { \partial v } { \partial x } - \frac { \partial u } { \partial y } } \right) k } \end{array}
\mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r } { \frac { G ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } = \ln \biggl ( \frac { 2 W } { \pi \xi } \cos \frac { \pi X } { W } \biggr ) \mp \frac { B } { B _ { \phi } } \biggl ( 1 - 4 \frac { X ^ { 2 } } { W ^ { 2 } } \biggr ) . } \end{array}
V _ { \mathrm { m a t r i x } } = - 2 4 0 { \frac { r _ { 0 } ^ { 8 } } { N ^ { 7 } b ^ { 7 } } } \left( c _ { 2 } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 3 } } c _ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { P h y } { } = } & { { } \lambda _ { f l u i d } ( \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { x } } } ^ { f l u i d } + \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { y } } } ^ { f l u i d } + \mathcal { L } _ { P D E _ { c } } ^ { f l u i d } ) } \\ { + } & { { } \lambda _ { s o l i d } ( \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { x } } } ^ { s o l i d } + \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { y } } } ^ { s o l i d } + \mathcal { L } _ { P D E _ { c } } ^ { s o l i d } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi \left( X \rightarrow X + 1 , t \right) = } & { \gamma t ^ { \gamma - 1 } \left( N - X \right) \left( \varepsilon _ { 1 } + X \right) = \gamma t ^ { \gamma - 1 } \pi _ { b } , } \\ { \pi \left( X \rightarrow X - 1 , t \right) = } & { \gamma t ^ { \gamma - 1 } X \left( \varepsilon _ { 2 } + \left[ N - X \right] \right) = \gamma t ^ { \gamma - 1 } \pi _ { d } . } \end{array}