harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \textnormal { C r e s t p h a s e d i s p l a c e m e n t } : \, \, \, \, \, \, \, \, x ^ { \textnormal { L , c r e s t } } = \bigg ( \frac { \epsilon } { \pi } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } \bigg ) \frac { 2 \pi } { k } , } \\ & { \textnormal { T r o u g h p h a s e d i s p l a c e m e n t } : x ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } = \bigg ( \! - \frac { \epsilon } { \pi } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } \bigg ) \frac { 2 \pi } { k } . } \end{array}
\mathbf { Q } ( t ) = \left[ \begin{array} { l l } { \cos ( \omega t ) } & { - \sin ( \omega t ) } \\ { \sin ( \omega t ) } & { \cos ( \omega t ) } \end{array} \right] , \quad \dot { \mathbf { Q } } ( t ) = \omega \left[ \begin{array} { l l } { - \sin ( \omega t ) } & { - \cos ( \omega t ) } \\ { \cos ( \omega t ) } & { - \sin ( \omega t ) } \end{array} \right] .
\delta \equiv \tilde { d } _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ O ~ } _ { 1 / 2 } \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ } ^ { + } } - \mathrm { ~ d ~ } _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ O ~ } _ { 1 } \mathrm { ~ \scriptsize ~ O ~ } _ { 2 } } / 2
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , \gamma _ { t } ( M ) ) } ( ( D f ( x _ { 0 } ) ( \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( \gamma _ { t } ( M ) ) ) ) ^ { - 1 } \cdot f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } f ( \gamma _ { t } ( M ) ) ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , \gamma _ { t } ( M ) ) } ( D f ( x _ { 0 } ) ( \Delta _ { M , x _ { 0 } } ( t ) ) ) ^ { - 1 } \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , \gamma _ { t } ( M ) ) } ( \delta _ { t } ( D f ( x _ { 0 } ) ( v ) ) ^ { - 1 } f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } f ( \gamma _ { t } ( M ) ) ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \delta _ { t / d ( x _ { 0 } , \gamma _ { t } ( M ) ) } ( D f ( x _ { 0 } ) ( v ) ^ { - 1 } \delta _ { 1 / t } ( f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } f ( \gamma _ { t } ( M ) ) ) ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( x ) \leq V _ { \gamma } ( x ) \leq \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in ( 0 , \overline { { \gamma } } ] } } & { \ \hat { V } _ { \gamma } ( x ) + \frac { 4 } { \gamma } \mathcal { R } _ { N } ( \mathcal { F } ) + \sqrt { \frac { \log \frac { 1 } { \delta } } { 2 N } } } \\ & { \ + \sqrt { \frac { \log \log _ { 2 } \frac { 2 \overline { { \gamma } } } { \gamma } } { N } } , } \end{array}
\partial _ { z } \partial _ { \bar { z } } \mathrm { G } + \frac { 1 } { 2 } \left\{ \partial _ { \varphi } ^ { 2 } V ( \varphi _ { 0 } ) \right\} \mathrm { G } = \delta ( z - \hat { z } ) \delta ( \bar { z } - \hat { \bar { z } } ) \, .
\begin{array} { r } { { \bf { u } } _ { i } ( t ) = e ^ { { - \bf B } t } { \bf { u } } _ { i } ( 0 ) - \sqrt { \kappa T } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { { - \bf B } ( t - s ) } d { \bf w } _ { i } ( s ) . } \end{array}
\exp \left( \alpha a _ { 0 } ( x ) \right) \to \exp \left( \alpha V ( x ) \, a _ { 0 } ( x ) \, V ^ { - 1 } ( x ) \right) = V ( x ) \, \exp \left( \alpha a _ { 0 } ( x ) \right) \, V ^ { - 1 } ( x )
\begin{array} { r l } { C _ { \mathbf { x } \rightarrow \mathbf { y } } } & { = D _ { \mathrm { C S } } ( p ( y _ { t + 1 } | \mathbf { y } _ { t } ^ { m } ) ; p ( y _ { t + 1 } | \mathbf { y } _ { t } ^ { m } , \mathbf { x } _ { t } ^ { m } ) ) } \\ & { - D _ { \mathrm { C S } } ( p ( x _ { t + 1 } | \mathbf { x } _ { t } ^ { m } ) ; p ( x _ { t + 1 } | \mathbf { x } _ { t } ^ { m } , \mathbf { y } _ { t } ^ { m } ) ) . } \end{array}
H = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \Omega _ { \mathrm { p } } } & { 0 } & { 0 } \\ { \Omega _ { \mathrm { p } } } & { - 2 \Delta _ { \mathrm { p } } } & { \Omega _ { \mathrm { c } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \Omega _ { \mathrm { c } } } & { - 2 \left( \Delta _ { \mathrm { p } } + \Delta _ { \mathrm { c } } \right) } & { \Omega _ { \mathrm { M W } } \left( A M \right) } \\ { 0 } & { 0 } & { \Omega _ { \mathrm { M W } } \left( A M \right) } & { - 2 \left( \Delta _ { \mathrm { p } } + \Delta _ { \mathrm { c } } - \Delta _ { { \mathrm { M W } } } \right) } \end{array} \right] ,
\mathcal { H } = \mathrm { C o n t r } \left\{ W _ { s _ { 1 } , s _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { [ 1 ] } W _ { n _ { 0 } , n _ { 0 } ^ { \prime } } ^ { [ 2 ] } \left( \prod _ { p = 1 } ^ { P - 1 } W _ { X } ^ { [ 2 p + 1 ] } W _ { n _ { p } , n _ { p } ^ { \prime } } ^ { [ 2 p + 2 ] } \right) W _ { n _ { P } , n _ { P } ^ { \prime } } ^ { [ 2 P + 1 ] } \right\} ,
\Delta ( \hat { s } , Q ^ { 2 } ) = - \frac { \alpha _ { 1 3 1 } Q ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { e } } \left( \frac { \cos ^ { 2 } \theta _ { t } } { \hat { s } - \tilde { m } _ { 1 } ^ { 2 } + i \tilde { m } _ { 1 } \Gamma _ { \tilde { t } _ { 1 } } } + \frac { \sin ^ { 2 } \theta _ { t } } { \hat { s } - \tilde { m } _ { 2 } ^ { 2 } + i \tilde { m } _ { 2 } \Gamma _ { \tilde { t } _ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r l r } { \dot { M } } & { { } = } & { \omega _ { M } \frac { 1 } { 1 + R ^ { h } } - \gamma _ { M } M } \\ { \dot { P } } & { { } = } & { \omega _ { P } M - \gamma _ { P } P } \\ { \dot { R } } & { { } = } & { \omega _ { R } P - \gamma _ { R } R } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } _ { \mathrm { ~ B ~ F ~ } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { V } \sum _ { \mathbf { k , q } } V _ { \mathbf { k q } } ^ { ( 1 ) } e ^ { i \left( \mathbf { k - q } \right) \cdot \hat { \mathbf { r } } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { q } } + \frac { 1 } { V } \sum _ { \mathbf { k , q } } V _ { \mathbf { k q } } ^ { ( 2 ) } e ^ { i \left( \mathbf { k + q } \right) \cdot \hat { \mathbf { r } } } \left( \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { q } } ^ { \dagger } + \hat { b } _ { \mathbf { - k } } \hat { b } _ { \mathbf { - q } } \right) , } \end{array}
\tilde { \mathcal { M } } = \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 1 / 3 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 1 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 2 / 3 } \log \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 2 / 3 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 2 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 2 / 3 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 3 } + o ( \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 2 / 3 } )
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } = \prod _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { a ^ { \prime } } \left( \sum _ { \gamma _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } = 0 } ^ { p _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } - 1 } \omega _ { p _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } ^ { ( c _ { i ^ { \prime } } - c _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \gamma _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } \right) , } \\ & { \mathcal { F } = \prod _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { b ^ { \prime } } \left( \sum _ { \mu _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } = 0 } ^ { q _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } - 1 } \omega _ { q _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } } ^ { ( d _ { j ^ { \prime } } - d _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \mu _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } } \right) . } \end{array}
E ( a _ { 0 } , a _ { 1 } , \beta ) = \frac { 2 \pi B } { \beta ^ { 2 } } ( 2 a _ { + } - 1 ) - \frac { 1 } { 2 } B + 1 \equiv 2 a _ { + } \left( 1 - \frac { B } { 2 } \right) = ( a _ { 0 } + a _ { 1 } ) \left( 1 - \frac { B } { 2 } \right) ,
\begin{array} { l } { { \langle f \mid k \; t e r m \rangle } } \\ { { \equiv \langle 1 _ { q 1 } 1 _ { 1 2 } 1 _ { 2 3 } \cdots 1 _ { i , i + 1 } \cdots 1 _ { n \overline { { { q } } } } \mid ( 1 _ { u _ { 1 } } 1 _ { u _ { 2 } } \cdots 1 _ { u _ { k } } ) ( 1 _ { q v _ { 1 } } 1 _ { v _ { 1 } v _ { 2 } } 1 _ { v _ { 2 } v _ { 3 } } \cdots 1 _ { v _ { i } v _ { i + 1 } } \cdots 1 _ { v _ { n - k } \overline { { { q } } } } ) \rangle \ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \widehat { \deg } _ { \omega } ( \operatorname { g r } ( V _ { n } ) _ { \omega } , \widehat { n \varphi } _ { \omega } , \eta _ { n , \omega } ) } { n ^ { d + 1 } / ( d + 1 ) ! } = \int _ { \Delta ( L _ { \omega } ) } G _ { \varphi _ { \omega } } ( x ) \lambda ( \mathrm { d } x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln ( F [ \beta , z ] ) } & { \approx \frac { \left( 1 - | z | ^ { 2 } \right) \beta g { \ensuremath { \mu _ { \mathrm { B } } } } s B _ { z } } { 1 + | z | ^ { 2 } } + \frac { | z | ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \left( g \mu _ { B } \right) ^ { 2 } s B _ { z } ^ { 2 } } { \left( 1 + | z | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { - \frac { | z | ^ { 2 } \left( 1 - | z | ^ { 2 } \right) \beta ^ { 3 } \left( g \mu _ { B } \right) ^ { 3 } s B _ { z } ^ { 3 } } { 3 \left( 1 + | z | ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( \beta ^ { 4 } ) . } \end{array}
\frac { d } { d t } \langle \phi ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { C } ) \rangle = \langle G ( \mathcal { C } , \mathcal { C } ^ { * } ) \left[ \phi ( \mathcal { A } _ { t } ^ { \prime } , \mathcal { C } ) - \phi ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { C } ) \right] \rangle \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { d _ { k } } { \sqrt { G ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { k } \left\Vert g _ { i } \right\Vert ^ { 2 } } } } & { \geq \frac { 1 } { G } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { d _ { k } } { \sqrt { 1 + ( k + 1 ) } } } \\ & { \ge \frac { 1 } { G \sqrt { n + 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } d _ { k } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( ) } } { \geq } \frac { \sqrt { n + 2 } } { 4 G } d _ { n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { 2 } ^ { [ k ] } = \operatorname * { a r g \, m i n } _ { \hat { u } _ { 2 } \in H ^ { 1 } ( \Omega ) } } & { \frac 1 2 b _ { 2 } ( \hat { u } _ { 2 } , \hat { u } _ { 2 } ) - ( f , \hat { u } _ { 2 } ) _ { 2 } + b _ { 1 } ( \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } , \hat { u } _ { 2 } ) - ( f , \hat { u } _ { 2 } ) _ { 1 } + \frac { \beta _ { N } } { 2 } \lVert \hat { u } _ { 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { + ( q , \hat { u } _ { 2 } ) _ { L ^ { 2 } ( \Gamma ) } } \end{array}
W ( \eta ) ^ { 2 } = \Omega _ { k } ^ { 2 } ( \eta ) + \frac { 3 [ W ^ { \prime } ( \eta ) ] ^ { 2 } } { 4 W ^ { 2 } ( \eta ) } - \frac { W ^ { \prime \prime } ( \eta ) } { 2 W ( \eta ) } .
\begin{array} { r l } { \langle \nabla _ { x } F ( x ^ { j } + \zeta _ { j } s ^ { j } , z ^ { j } ) , s ^ { j } \rangle = } & { F ( x ^ { j } + s ^ { j } , z ^ { j } ) - F ( x ^ { j } , z ^ { j } ) } \\ { = } & { F ( x ^ { j } + s ^ { j } , z ^ { j } ) + g ( z ^ { j } ) - F ( x ^ { j } , z ^ { j } ) - g ( z ^ { j } ) } \\ { \geq } & { p ( x ^ { j } + s ^ { j } ) - p ( x ^ { j } ) } \\ { > } & { \alpha \langle \nabla p ^ { j } , s ^ { j } \rangle = \alpha \langle \nabla _ { x } F ( x ^ { j } , z ^ { j } ) , s ^ { j } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \angle A P M } & { = \angle A C M \quad \textrm { a s A C P M c y c l i c } } \\ & { = \angle A C B \quad \textrm { a s C , M , B c o l l i n e a r } } \\ & { = \angle A D B \quad \textrm { a s A B C D c y c l i c } } \\ & { = \angle A D N \quad \textrm { a s B , N , D c o l l i n e a r } } \\ & { = \angle A P N \quad \textrm { a s A N D P c y c l i c } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \lvert \Vec { V } \rvert / I , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } V _ { z } > 0 } \\ { - \lvert \Vec { V } \rvert / I , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } V _ { z } < 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \lambda _ { 1 , 1 } ^ { \prime } \mu _ { 2 , 2 } ^ { \prime } } { \lambda _ { 1 , 1 } \mu _ { 2 , 2 } } = \gamma _ { 0 } T \left( \frac { [ 2 4 . 1 1 ] , [ 1 4 . 2 2 ] } { [ 2 3 . 1 1 ] , [ 1 3 . 2 2 ] } \right) , \qquad } & { \frac { \lambda _ { 2 , 2 } ^ { \prime } \mu _ { 1 , 1 } ^ { \prime } } { \lambda _ { 2 , 2 } \mu _ { 1 , 1 } } = \gamma _ { 0 } T \left( \frac { [ 2 4 . 2 2 ] , [ 1 4 . 1 1 ] } { [ 2 3 . 2 2 ] , [ 1 3 . 1 1 ] } \right) , } \\ { \frac { \lambda _ { 1 , 2 } ^ { \prime } \mu _ { 2 , 1 } ^ { \prime } } { \lambda _ { 1 , 2 } \mu _ { 2 , 1 } } = \gamma _ { 0 } T \left( \frac { [ 2 4 . 2 1 ] , [ 1 4 . 1 2 ] } { [ 2 3 . 2 1 ] , [ 1 3 . 1 2 ] } \right) , \qquad } & { \frac { \lambda _ { 2 , 1 } ^ { \prime } \mu _ { 1 , 2 } ^ { \prime } } { \lambda _ { 2 , 1 } \mu _ { 1 , 2 } } = \gamma _ { 0 } T \left( \frac { [ 2 4 . 1 2 ] , [ 1 4 . 2 1 ] } { [ 2 3 . 1 2 ] , [ 1 3 . 2 1 ] } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { D ^ { \prime } } } & { = I _ { A } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { A D ^ { \prime } } / 2 ) + I _ { B } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { B D ^ { \prime } } / 2 ) } \\ & { \qquad + \sqrt { I _ { A } I _ { B } } \sin ( \theta _ { A D ^ { \prime } } / 2 ) \sin ( \theta _ { B D ^ { \prime } } / 2 ) \cos ( \delta ^ { \prime \prime } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \left( \frac { 6 F _ { 2 } ^ { v } ( 0 ) } { 4 m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } } \right) } & { { } = } & { - \frac { 3 F _ { 2 } ^ { v } ( 0 ) } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 3 } } \frac { \partial m _ { \mathrm { n u c l e o n } } } { \partial m _ { \pi } ^ { 2 } } \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } \end{array}
f ( \eta ) = \eta \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \left( \kappa _ { 0 } + \kappa _ { 1 } \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } + . . . + \kappa _ { n - 1 } \cdot \left[ \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } \right] ^ { n - 1 } \right) .
\mathcal { N } = \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 2 } ^ { 2 } } { 8 \pi \tilde { \lambda } } + \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 \pi \sqrt { \Delta \tilde { E } + \tilde { \lambda } ^ { 2 } } } + 1 ,
\mathcal { R } _ { 1 } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 0 } ; \hbar ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \sum _ { k _ { 1 } = 6 - j } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k _ { 1 } } , 2 , j } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { 1 } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k _ { 1 } - 2 } } \mathcal { E } _ { 2 , j } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 1 } , 0 , \boldsymbol { x } _ { 1 } , \iota , \frac { t } { \tau _ { 0 } } ; \hbar ) .
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot ( \dot { x } , \dot { y } ) } & { = } & { r \left( 1 - \frac { 2 x } { K } \right) - \frac { q y } { ( 1 + a x ) ^ { 2 } } + \frac { c q x } { 1 + a x } - \mu - 2 m y } \\ & { < } & { \frac { c q x } { 1 + a x } + r - \frac { 2 x } { K } - \mu } \\ & { = } & { \frac { - 2 a x ^ { 2 } + ( a K ( r - \mu ) + c q - 2 ) x + K ( r - \mu ) } { K ( 1 + a x ) } } \\ & { < } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \iint ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { t - 1 } - q _ { t } ) ( y ) d x d y } \\ { \leq } & { \| p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } \| _ { T V } \left\| \int f ( \cdot , y ) ( q _ { t - 1 } - q _ { t } ) ( y ) d y \right\| _ { L ^ { \infty } } } \\ { \leq } & { \| p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } \| _ { T V } \| q _ { t - 1 } - q _ { t } \| _ { L ^ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { H } = \hat { H } + [ \hat { H } , \tau ] + \frac { 1 } { 2 ! } [ [ \hat { H } , \tau ] , \tau ] + \frac { 1 } { 3 ! } [ [ [ \hat { H } , \tau ] , \tau ] , \tau ] + . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \forall ( \xi , \xi ^ { \prime } ) \in ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) ^ { 2 } , \quad \forall \alpha \in \mathbb { R } , \quad G \big ( \mathcal { R } ( \alpha ) \xi , \mathcal { R } ( \alpha ) \xi ^ { \prime } \big ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \log \left( \frac { \big | \mathcal { R } ( \alpha ) \xi - \mathcal { R } ( \alpha ) \xi ^ { \prime } \big | _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } } { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \log \left( \frac { \big | \mathcal { R } ( \alpha ) ( \xi - \xi ^ { \prime } ) \big | _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } } { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \log \left( \frac { | \xi - \xi ^ { \prime } | _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } } { 2 } \right) } \\ & { = G ( \xi , \xi ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \delta x _ { 1 } } { \partial t } } & { { } = } & { \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 0 } \delta x _ { 1 } + \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 1 } * \delta x _ { 2 } + \mu _ { x } ^ { u \tau } ( 0 - d , \cdot ) * \delta \rho _ { 2 } } \\ { \frac { \partial \delta x _ { 2 } } { \partial t } } & { { } = } & { - \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 0 } \delta x _ { 2 } - \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 1 } * \delta x _ { 1 } + \mu _ { x } ^ { u \tau } ( 0 - d , \cdot ) * \delta \rho _ { 1 } } \\ { \frac { \partial \delta \rho _ { 1 } } { \partial t } } & { { } = } & { - \rho _ { 0 } \frac { \partial \left[ \left( \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 2 } * \delta x _ { 1 } + \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 3 } * \delta x _ { 2 } + \mu _ { y } ^ { u \tau } ( 0 - d , \cdot ) * \delta \rho _ { 2 } \right) \right] } { \partial y } } \\ { \frac { \partial \delta \rho _ { 2 } } { \partial t } } & { { } = } & { - \rho _ { 0 } \frac { \partial \left[ \left( \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 2 } * \delta x _ { 2 } + \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 3 } * \delta x _ { 1 } - \mu _ { y } ^ { u \tau } ( 0 - d , \cdot ) * \delta \rho _ { 1 } \right) \right] } { \partial y } , } \end{array}
\begin{array} { r } { M = 1 + \frac { 1 } { C _ { f 0 } } \frac { H _ { F } } { L } \left( 1 - \beta ^ { 2 } \right) + M + M \frac { h _ { 0 } } { h } \left( \frac { \tau _ { t 0 } } { \tau _ { w 0 } } - 1 \right) - \frac { \tau _ { t 0 } } { \tau _ { w 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \tilde { \rho } _ { \alpha } \| \mathbf { w } _ { \alpha } \| ^ { 2 } = } & { ~ \mathbf { w } _ { 1 } \cdot \left( \tilde { \rho } _ { 1 } \mathbf { w } _ { 1 } + \tilde { \rho } _ { 2 } \mathbf { w } _ { 2 } \right) + \mathbf { w } _ { 2 } \cdot \left( \tilde { \rho } _ { 1 } \mathbf { w } _ { 1 } + \tilde { \rho } _ { 2 } \mathbf { w } _ { 2 } \right) } \\ & { ~ - \mathbf { w } _ { 1 } \cdot \tilde { \rho } _ { 2 } \mathbf { w } _ { 2 } - \mathbf { w } _ { 2 } \cdot \tilde { \rho } _ { 1 } \mathbf { w } _ { 1 } } \\ { = } & { ~ - \mathbf { w } _ { 1 } \cdot \tilde { \rho } _ { 2 } \mathbf { w } _ { 2 } - \mathbf { w } _ { 2 } \cdot \tilde { \rho } _ { 1 } \mathbf { w } _ { 1 } } \\ { = } & { ~ - \rho \mathbf { w } _ { 1 } \cdot \mathbf { w } _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { n } ^ { m } ( t ) } & { = } & { ( - 1 ) ^ { m } \frac { d ^ { m } } { d t ^ { m } } \sum _ { j = 0 } ^ { n + m } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \frac { ( n + m ) ! } { j ! ( n + m - j ) ! } t ^ { j } } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { m } \sum _ { j = m } ^ { n + m } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \frac { ( n + m ) ! } { j ! ( n + m - j ) ! } \frac { j ! } { ( j - m ) ! } t ^ { j - m } } \\ & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { n } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \frac { ( n + m ) ! } { ( j + m ) ! ( n - j ) ! } t ^ { j } , } \end{array}
\xi _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) \! = \! \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \! \! d \boldsymbol { k } \! \int \! \! d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) e ^ { i ( \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { r } - \omega _ { \boldsymbol { k } } t + \boldsymbol { k } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { r } ^ { \prime } - \omega _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } t ) } ,
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { 1 + \alpha } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \frac { 1 + \alpha - \gamma } { 2 } } + a _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \gamma } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha + \gamma - \eta } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \frac { 1 + \eta - \left( \alpha + \gamma - \eta \right) } { 2 } } + b _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { 1 + \eta } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
P _ { \xi \mathcal { S } _ { \omega } } = 0 . 1 5 5 \frac { \alpha \sigma _ { z } } { \tau _ { c } \gamma c } \chi _ { e \, m a x } = 0 . 1 5 \frac { \sigma _ { z } [ 0 . 1 \mathrm { \ m u m } ] } { \mathcal { E } _ { 0 } [ \mathrm { G e V } ] } \chi _ { e \, m a x } .
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \frac { \sigma _ { 1 } } { \varepsilon } F ^ { \prime } ( \phi ) - \sigma _ { 1 } \varepsilon \Delta \phi } \\ { \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ - \frac { \sigma _ { 2 } } { \varepsilon } F ^ { \prime } ( \phi ) + \sigma _ { 2 } \varepsilon \Delta \phi . } \end{array}
\left[ U _ { n } ^ { - } , U _ { n } ^ { + } \right] = \left[ V _ { n } ^ { - } , V _ { n } ^ { + } \right] = \left[ X _ { n } ^ { - } , X _ { n } ^ { + } \right] = \left[ Y _ { n } ^ { - } , Y _ { n } ^ { + } \right] = 1
{ \boldsymbol { \psi } } = { \left( \begin{array} { l l } { \psi _ { \uparrow \uparrow } } & { \psi _ { \uparrow \downarrow } } \\ { \psi _ { \downarrow \uparrow } } & { \psi _ { \downarrow \downarrow } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { G _ { i i } ( \boldsymbol { r } ) } & { = - \frac { Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { T _ { i } } \frac { \mathrm { e } ^ { - k _ { D } r } } { r } \, , } \\ { G _ { e i } ( \boldsymbol { r } ) } & { = \frac { Z e ^ { 2 } } { T _ { e } } \frac { \mathrm { e } ^ { - k _ { D } r } } { r } \, , } \\ { G _ { e e } ( \boldsymbol { r } ) } & { = - \frac { e ^ { 2 } } { T _ { e } } \left[ \frac { T _ { i } } { T _ { e } } \frac { \mathrm { e } ^ { - k _ { D } r } } { r } + \left( \frac { T _ { e } - T _ { i } } { T _ { e } } \right) \frac { \mathrm { e } ^ { - k _ { e } r } } { r } \right] . } \end{array}
- 2 \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \} \right| ^ { 2 } + 1 6 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } + 4 \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - 2 \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } + 2 \Re \left\{ 4 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} \right.
\begin{array} { r } { { \bf q } ( { \bf x } ) = \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf Y } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf p } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \end{array}
\alpha = \sqrt { G } v = \frac { M _ { W } } { e M _ { \mathrm { P l } } } \ , \ \, b e t a = \frac { \sqrt { \lambda } } { e } = \frac { M _ { H } } { \sqrt { 2 } M _ { W } } \ , \ \, g a m m a = \kappa v = \frac { \kappa M _ { W } } { e } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p } { \partial t } } & { = - \boldsymbol { v } \cdot \nabla p + \nu \frac { \nabla \omega \cdot \nabla p } { \omega } , } \\ { \frac { \partial q } { \partial t } } & { = - \boldsymbol { v } \cdot \nabla q + \nu \frac { \nabla \omega \cdot \nabla q } { \omega } , } \\ { \Delta \varphi } & { = - p \Delta q - \nabla p \cdot \nabla q , } \end{array}
P = P _ { g } + P _ { b } = \frac { - 1 } { 9 \times 9 6 0 \pi ^ { 2 } } ( \Lambda _ { b e t w } ^ { 2 } - \Lambda _ { o u t } ^ { 2 } ) - \frac { \eta ^ { 4 } \Lambda _ { b e t w } ^ { 2 } J _ { 3 } ( B _ { 1 } , B _ { 2 } ) } { 3 6 \pi ^ { 3 / 2 } a ^ { 4 } \Gamma ( 3 / 2 ) } .