harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { D _ { L , T } ( { \bf k } ) = \omega _ { \mathrm { p d } } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \frac { e ^ { - \kappa r } } { r } [ g ( r ) - 1 ] { \cal K } _ { L , T } ( k r , \kappa r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| K ^ { t } - \widehat K _ { N } ^ { m , t } \| _ { \mathbb H \to L _ { \mu } ^ { 2 } ( \mathcal X ) } } & { \le \| K ^ { t } - K _ { N } ^ { t } \| _ { \mathbb H \to L _ { \mu } ^ { 2 } ( \mathcal X ) } + \| K _ { N } ^ { t } - \widehat K _ { N } ^ { m , t } \| _ { \mathbb H \to L _ { \mu } ^ { 2 } ( \mathcal X ) } } \\ & { \le \| K ^ { t } - K _ { N } ^ { t } \| _ { \mathbb H \to L _ { \mu } ^ { 2 } ( \mathcal X ) } + \left[ \frac 1 { \sqrt { \lambda _ { N } } } + \frac { N + 1 } { \delta _ { N } \lambda _ { N } } ( 1 + \| \varphi \| _ { 1 } ) \| \varphi \| _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \right] \varepsilon . } \end{array}
R _ { X Y Z } { } ^ { W } = f _ { i A } ^ { W } f _ { Z } ^ { i B } { \cal R } _ { X Y B } { } ^ { A } \, , \qquad \delta _ { j } ^ { i } \, { \cal R } _ { X Y B } { } ^ { A } = f _ { W } ^ { i A } f _ { j B } ^ { Z } \, R _ { X Y Z } { } ^ { W } \, ,
\begin{array} { r l } { { \mathbf { I } } _ { N _ { T } } = { \mathbf { Y } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } { \mathbf { V } } _ { N _ { T } } - { \mathbf { Y } } _ { N _ { T } \times N _ { R } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { R } } } & { } \\ { \quad \quad \quad \quad - { \mathbf { Y } } _ { N _ { T } \times N _ { S } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { S } } } \\ { { \mathbf { I } } _ { N _ { R } } = { \mathbf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } { \mathbf { V } } _ { N _ { T } } - { \mathbf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { R } } } & { } \\ { \quad \quad \quad \quad - { \mathbf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { S } } } \\ { { \mathbf { I } } _ { N _ { S } } = { \mathbf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { T } } { \mathbf { V } } _ { N _ { T } } - { \mathbf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { R } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { R } } } & { } \\ { \quad \quad \quad \quad - { \mathbf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { S } } } \end{array}
\begin{array} { r } { - 1 \le - 1 + \operatorname* { m a x } ( \vert K _ { 1 3 } + K _ { 1 4 } \vert , \vert K _ { 2 3 } + K _ { 2 4 } \vert , \vert K _ { 3 } + K _ { 4 } \vert ) \le \alpha \le 1 - \operatorname* { m a x } ( \vert K _ { 1 3 } - K _ { 1 4 } \vert , \vert K _ { 2 3 } - K _ { 2 4 } \vert , \vert K _ { 3 } - K _ { 4 } \vert ) \le 1 \; . } \end{array}
s _ { X } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) - s _ { X } ( 1 , p _ { 2 } ) = \frac { ( 1 - p _ { 1 } ) \Delta ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } { f _ { A } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } } & { = \frac { - 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \Vert ^ { 2 } - \langle \nabla f ( x ^ { t } ) , x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \rangle } \\ & { = \frac { - 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \Vert ^ { 2 } - \langle \nabla f ( x ^ { t } ) , x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \rangle + \langle \nabla f ( x ^ { t } ) , x ^ { * } - x ^ { t } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 0 ) } ( \omega ) } & { = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 N } } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \b { q } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 N } } \; B _ { \mathrm { W } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \rho _ { 0 , \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) } \\ & { = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 N } } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \b { q } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 N } } \; \ensuremath { \mathbf { P } } ^ { 2 } \delta \! \left( \omega + E _ { 0 } - H ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \right) \rho _ { 0 , \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { P ( - , G ) = 1 } \\ { P ( - , B ) = 0 } \\ { R _ { 1 } ( - , - , C ) = 1 } \\ { R _ { 1 } ( - , - , D ) = 1 - \frac { c } { b } } \end{array} \right. .
{ \frac { \mu _ { \Delta _ { c } X _ { a } X _ { b } } f _ { X _ { a } d e } f _ { X _ { b } d e } f _ { \Delta _ { c } u u } } { M _ { \Delta _ { L } } ^ { 2 } M _ { X _ { a } } ^ { 2 } M _ { X _ { b } } ^ { 2 } } } < 1 0 ^ { - 2 5 } ~ \mathrm { G e V } ^ { - 5 } ,
\begin{array} { r l } & { c _ { 0 , i } - c _ { 0 , 1 } = \sum _ { k = 2 } ^ { i } ( c _ { 0 , k } - c _ { 0 , k - 1 } ) \overset { \mathrm { \tiny ~ ( X A ) } } { = } - \sum _ { k = 2 } ^ { i } c _ { 1 , k - 1 } \overset { = } - \sum _ { k = 2 } ^ { i } [ ( n - k + 1 ) \alpha + \delta _ { k - 1 } ^ { 1 } \beta + \gamma ] , } \\ & { c _ { 0 , i } = c _ { 0 , 1 } - \beta - ( i - 1 ) \gamma - \alpha [ ( n - 1 ) + \dots + ( n - i + 1 ) ] } \\ & { \hphantom { c _ { 0 , i } } = - ( n + 1 ) \beta - i \gamma - \alpha \left[ \binom { n + 1 } { 2 } - \binom { n - i + 1 } { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } - \left( \pi _ { \alpha } \mathbf { I } + \tilde { \rho } _ { \alpha } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } + \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } \right) : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } } & { { } } \\ { + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { q } _ { \alpha } - \theta \hat { \boldsymbol { \Phi } } _ { \alpha } - \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \phi _ { \alpha } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \right) \right) } & { { } } \\ { + \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \theta s _ { \alpha } - r _ { \alpha } \right) + \left( \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } / 2 \right) \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } + \gamma _ { \alpha } \left( \psi _ { \alpha } + \chi _ { \alpha } \right) } & { { } ~ \leq 0 , } \end{array}
\epsilon _ { \it e f f } ^ { \prime } = \frac { 1 } { \frac { \left( 1 - \psi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \delta ^ { \prime } C _ { m } ^ { \prime } } + \frac { 1 - \psi } { 2 } + \frac { 1 + \psi } { 2 \epsilon _ { r } } } \left( \mathrm { w h e r e } \quad \epsilon _ { r } = \frac { \epsilon ^ { + } } { \epsilon ^ { - } } \mathrm { ~ a n d ~ } C _ { m } ^ { \prime } = \frac { C _ { m } R } { \epsilon ^ { - } } \sim o \left( \frac { 1 } { \delta ^ { \prime } } \right) \right) .
\alpha = 1 + \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { i } { 2 } \left( \frac { \omega \delta _ { 0 } } { c } \right) ^ { 2 } \right] + \mathcal { O } \left( \eta ^ { 4 } \right) \, ,
[ T _ { m , n } , T _ { m ^ { \prime } , n ^ { \prime } } ] = 2 \sinh \left( \hbar ( m ^ { \prime } n - m n ^ { \prime } ) \right) T _ { m + m ^ { \prime } , n + n ^ { \prime } } + \delta _ { m , - m ^ { \prime } } \frac { \sinh ( \hbar m ( n + n ^ { \prime } ) ) } { \sinh ( \hbar ( n + n ^ { \prime } ) ) } C .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ } & { { } \ \ell \left( \left( \mathcal F _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta \right) = } \\ { = \ } & { { } \ \frac { d } { d \lambda } \Big | _ { \lambda = 0 } \ell \left( \left( \mathcal F _ { t + \lambda } \right) _ { \sharp } \vartheta \right) } \\ { = \ } & { { } \ \frac { d } { d \lambda } \Big | _ { \lambda = 0 } \ell \left( \left( \mathop { \bf i d } + \lambda \, \partial _ { t } \mathcal F _ { t } \circ \mathcal F _ { t } ^ { - 1 } \right) _ { \sharp } \big ( \left( \mathcal F _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta \big ) \right) } \\ { = \ } & { { } \ \int D _ { \mu } \ell \left( \left( \mathcal F _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta \right) \cdot \partial _ { t } \mathcal F _ { t } \circ \mathcal F _ { t } ^ { - 1 } \d { \big ( \left( \mathcal F _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta \big ) } } \\ { = \ } & { { } \ \int D _ { \mu } \ell \big | _ { \left( \bar { X } _ { t , T } \circ X _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta } \circ \left( \bar { X } _ { t , T } \circ X _ { 0 , t } \right) \cdot } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \displaystyle \pi _ { g \to g } ( s ) = \frac { 1 } { \alpha _ { g } + \alpha _ { l } } \left[ \alpha _ { l } + \alpha _ { g } e ^ { - ( \alpha _ { l } + \alpha _ { g } ) s } \right] , } & \\ & { \displaystyle \pi _ { g \to l } ( s ) = \frac { \alpha _ { g } } { \alpha _ { g } + \alpha _ { l } } \left[ 1 - e ^ { - ( \alpha _ { g } + \alpha _ { l } ) s } \right] , } & \\ & { \displaystyle \pi _ { l \to g } ( s ) = \frac { \alpha _ { l } } { \alpha _ { g } + \alpha _ { l } } \left[ 1 - e ^ { - ( \alpha _ { g } + \alpha _ { l } ) s } \right] , } & \\ & { \displaystyle \pi _ { l \to l } ( s ) = \frac { 1 } { \alpha _ { g } + \alpha _ { l } } \left[ \alpha _ { g } + \alpha _ { l } e ^ { - ( \alpha _ { g } + \alpha _ { l } ) s } \right] . } & \end{array}
\begin{array} { r l } & { k _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \bigg ( \zeta - \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } - i \sqrt { 2 } \sqrt { 4 - \zeta ^ { 2 } + \zeta \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } } \bigg ) , } \\ & { k _ { 4 } = \frac { 1 } { 4 } \bigg ( \zeta + \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } - i \sqrt { 2 } \sqrt { 4 - \zeta ^ { 2 } - \zeta \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) } & { = \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } 3 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( k ) } } + { \zeta ^ { ( l ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } } \\ & { = 3 \times 4 ( \frac { 1 } { \cos \theta - 1 } I _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 ( \cos \theta - 1 ) } I _ { 3 } - \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } + \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } I _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 3 } { ( \cos \theta + 1 ) s ^ { 3 } } ( - \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta + 7 s + \mathcal { O } ( s ^ { 2 } ) ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { L _ { \textrm { b u l k } } } & { L _ { \textrm { p r o j } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { X } \\ { \widehat { \tau } } \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array} { l l } { M _ { \textrm { b u l k } } } & { M _ { \textrm { p r o j } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { X } \\ { \widehat { \tau } } \end{array} \right)
I _ { J - 1 } \equiv \int \left[ \frac { d u } { u } \right] ^ { J - 1 } 1 = i ^ { J - 1 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d ^ { J - 1 } \theta = \frac { ( \pi i ) ^ { J - 1 } } { ( J - 1 ) ! } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { d \geq N _ { 0 } } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq \theta \leq \delta } \mathbb { P } _ { x } ^ { d } \big ( \| X _ { \tau _ { d } + \theta } ^ { d } - X _ { \tau _ { d } } ^ { d } \| > \eta \big ) } & { \leq \delta \frac { \hat { K } _ { T + \delta } } { \eta ^ { 2 } } ( 1 + \| x \| ^ { 2 } ) \leq \varepsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta u } & { = \left( \Delta u _ { s } - \frac { 2 \mathcal { A } } { h _ { s } } \nabla _ { s } u _ { \sigma } - \frac { 2 \mathcal { B } } { h _ { s } } \nabla _ { s } u _ { \theta } + \left( - \mathcal { A } ^ { 2 } - \mathcal { B } ^ { 2 } \right) u _ { s } - \frac { \nabla _ { s } \mathcal { A } } { h _ { s } } u _ { \sigma } - \frac { \nabla _ { s } \mathcal { B } } { h _ { s } } u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { s } } \\ & { + \left( \Delta u _ { \sigma } + \frac { 2 \mathcal { A } } { h _ { s } } \nabla _ { s } u _ { s } - \frac { 2 \mathcal { C } } { \sigma } \partial _ { \theta } u _ { \theta } + \frac { \nabla _ { s } \mathcal { A } } { h _ { s } } u _ { s } + \left( - \mathcal { A } ^ { 2 } - \mathcal { C } ^ { 2 } \right) u _ { \sigma } + ( - \mathcal { A } \mathcal { B } + \mathcal { B } \mathcal { C } ) u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { \sigma } } \\ & { + \left( \Delta u _ { \theta } + \frac { 2 \mathcal { B } } { h _ { s } } \nabla _ { s } u _ { s } + \frac { 2 \mathcal { C } } { \sigma } \partial _ { \theta } u _ { \sigma } + \frac { \nabla _ { s } \mathcal { B } } { h _ { s } } u _ { s } + ( - \mathcal { A } \mathcal { B } - \mathcal { B } \mathcal { C } ) u _ { \sigma } + \left( - \mathcal { B } ^ { 2 } - \mathcal { C } ^ { 2 } \right) u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b = } & { { } T \eta ( V + \xi ) + 1 + u _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } , } \\ { \gamma = } & { { } \sqrt { \eta ( 1 - T ) ( \omega ^ { 2 } - 1 ) } , } \\ { \theta = } & { { } \sqrt { \eta T ( 1 - T ) } ( \omega - V - 1 ) . } \end{array}
\sigma _ { 1 } = \frac { 1 } { F l u x } \int [ d P ] [ d p _ { o u t } ] \; ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( p _ { i n } - P - p _ { o u t } ) \; \sum { | A _ { 1 } | } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { { } = 0 , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { D } } & { { } = \rho _ { \mathrm { f } } , } \\ { \nabla \times \mathbf { H } } & { { } = \mathbf { J } _ { \mathrm { f } } + { \frac { \partial \mathbf { D } } { \partial t } } , } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { { } = - { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } . } \end{array}
| 1 A , 2 B \rangle = | n _ { 1 } , \ell _ { 1 } , j _ { 1 } , m _ { j _ { 1 } } \rangle _ { A } | n _ { 2 } , \ell _ { 2 } , j _ { 2 } , \Omega - m _ { j _ { 1 } } \rangle _ { B }
( - ) ^ { { \bar { \alpha } } + { \bar { \beta } } } \frac { { \bar { \theta } } ^ { 2 } ( _ { \bar { \beta } } ^ { \bar { \alpha } } ) } { { \bar { \eta } } ^ { 2 } } \rightarrow \frac { { \bar { \theta } } ^ { 6 } ( _ { \bar { \beta } } ^ { \bar { \alpha } } ) } { { \bar { \eta } } ^ { 6 } } { \frac { 1 } { 2 } } ( \frac { { \bar { \theta } } _ { 3 } ^ { 8 } } { { \bar { \eta } } ^ { 8 } } + \frac { { \bar { \theta } } _ { 4 } ^ { 8 } } { { \bar { \eta } } ^ { 8 } } + \frac { { \bar { \theta } } _ { 2 } ^ { 8 } } { { \bar { \eta } } ^ { 8 } } + \frac { { \bar { \theta } } _ { 1 } ^ { 8 } } { { \bar { \eta } } ^ { 8 } } ) \ ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial P _ { _ R } } { \partial t } } & { { } = - } & { v \frac { \partial P _ { _ R } } { \partial x } - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } - \gamma P _ { _ R } , } \\ { \frac { \partial P _ { _ L } } { \partial t } } & { { } = } & { v \frac { \partial P _ { _ L } } { \partial x } - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } - \gamma P _ { _ L } , } \\ { \frac { \partial P _ { _ B } } { \partial t } } & { { } = } & { \gamma ( P _ { _ R } + P _ { _ L } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 - \sigma _ { i j } } { z _ { i } - z _ { j } } [ } & { H ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) \exp ( F ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) ) ] } \\ & { = \Big ( \frac { 1 - \sigma _ { i j } } { z _ { i } - z _ { j } } H ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) \Big ) \cdot \exp ( F ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { \prime } = \frac { 1 } { L } \left( 1 - u ^ { 2 } \right) } & { \Bigg ( u ^ { 3 } \Big ( \eta ^ { 5 } \left( - 5 7 6 f _ { 0 } ^ { 2 } + 4 f _ { 0 } \lambda ( \epsilon + 1 8 ) + \epsilon ( \epsilon + 6 ) \right) + 2 4 f _ { 0 } ( \lambda - 8 f _ { 0 } ) \eta ^ { 7 } } \\ & { - 2 \eta ^ { 3 } ( \epsilon ( \epsilon + 6 ) - 2 f _ { 0 } \lambda ( \epsilon - 2 4 ) ) + \epsilon \eta ( - 8 f _ { 0 } \lambda + \epsilon + 6 ) \Big ) } \\ & { + \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } u ^ { 2 } \big ( \eta ^ { 4 } \left( - 3 8 4 f _ { 0 } ^ { 2 } \lambda + 8 f _ { 0 } ( 6 - 5 \epsilon ) + \lambda ( \epsilon - 1 2 ) \right) } \\ & { - 2 \eta ^ { 6 } ( 8 f _ { 0 } ( 1 2 f _ { 0 } \lambda + 2 \epsilon + 3 ) - 3 \lambda ) + \eta ^ { 2 } ( 7 2 f _ { 0 } \epsilon - 2 \lambda ( \epsilon - 3 ) ) + \lambda \epsilon \big ) } \\ & { - 6 \eta ^ { 2 } \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } \left( ( \lambda - 8 f _ { 0 } ) \eta ^ { 2 } - \lambda \right) } \\ & { - 6 \eta u \left( 4 f _ { 0 } ( \lambda - 8 f _ { 0 } ) \eta ^ { 6 } + \eta ^ { 4 } ( 1 2 f _ { 0 } ( \lambda - 8 f _ { 0 } ) + \epsilon ) - 2 \eta ^ { 2 } ( 8 f _ { 0 } \lambda + \epsilon ) + \epsilon \right) \Bigg ) , } \\ { \eta ^ { \prime } = \frac { 1 } { L } \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) } & { \Bigg ( 2 4 f _ { 0 } \eta ^ { 4 } \left( ( 8 f _ { 0 } - \lambda ) \eta ^ { 2 } + \lambda \right) - 3 2 f _ { 0 } \eta ^ { 3 } u \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } \left( \eta ^ { 2 } ( 6 f _ { 0 } \lambda + \epsilon ) - \epsilon \right) } \\ & { + u ^ { 2 } \Big ( 2 4 f _ { 0 } ( \lambda - 8 f _ { 0 } ) \eta ^ { 6 } + \eta ^ { 4 } ( 4 f _ { 0 } \lambda ( \epsilon - 6 ) + 1 ) - 2 \epsilon \eta ^ { 2 } ( 2 f _ { 0 } \lambda + \epsilon ) + 1 \Big ) \Bigg ) , } \end{array}
\sum _ { k } e _ { A } ^ { k } = \sum _ { k } \sum _ { i } P _ { k , i } | i \rangle \langle i | = \sum _ { i } ( \sum _ { k } P _ { k , i } ) | i \rangle \langle i | = \sum _ { i } | i \rangle \langle i | = \mathbb { I }
\widetilde { \mathbf { D } } ( x , y ) = \left( \begin{array} { l l } { \widetilde { D } _ { x x } ( x , y ) } & { \widetilde { D } _ { x y } ( x , y ) } \\ { \widetilde { D } _ { x y } ( x , y ) } & { \widetilde { D } _ { y y } ( x , y ) } \end{array} \right) ,
\frac { \partial ^ { 3 } \widetilde { a } _ { j } } { \partial \tilde { t } ^ { 3 } } - \gamma \frac { \partial ^ { 3 } \widetilde { a } _ { j } } { \partial \tilde { t } \partial \tilde { z } ^ { 2 } } = \widetilde { d } \left( \frac { \partial ^ { 4 } \widetilde { a } _ { j } } { \partial \tilde { t } ^ { 2 } \partial \tilde { z } ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 4 } \widetilde { a } _ { j } } { \partial \tilde { z } ^ { 4 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \underset { y ^ { s } \in \mathcal { B } _ { \epsilon } ^ { ( i , n ) } } { \sum } \operatorname* { P r } ( Y ^ { s } \! = \! y ^ { s } \! \mid \! \theta \! = \! i ) \mathsf { E } \Big [ T ^ { ( n ) } \Big | Y ^ { s } \! = \! y ^ { s } , \theta \! = \! i \Big ] } & { = \! \underset { y ^ { s } \in \mathcal { B } _ { \epsilon } ^ { ( i , n ) } } { \sum } \underset { y ^ { s + r } \in \mathcal { Y } _ { \epsilon } ^ { ( i , n ) } ( y ^ { s } ) } { \sum \operatorname* { P r } ( Y ^ { s + r } \! = \! } y ^ { s } z ^ { r } \mid Y ^ { s } \! = \! y ^ { s } , \theta \! = \! i ) } \\ & { = \underset { y ^ { t } \in \mathcal { Y } _ { \epsilon } ^ { ( i , n ) } } { \sum \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } } = y ^ { t } \mid \theta = i ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } ( \theta , \mathcal { S } ) ^ { 2 } } & { = \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } } \\ & { + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { s b } ( \theta , \mathcal { S } _ { s b } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi = \frac { \zeta _ { \mathrm { r o t } } \omega _ { \mathrm { r } } } { I _ { \mathrm { f } } \omega _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } - m _ { \mathrm { f } } B _ { \mathrm { r } , z } } \quad \mathrm { a n d } \quad \theta _ { \mathrm { f } } = \frac { m _ { \mathrm { f } } B _ { \mathrm { r } , \perp } } { I _ { \mathrm { f } } \omega _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } - m _ { \mathrm { f } } B _ { \mathrm { r } , z } } , } \end{array}
4 m _ { 1 } ^ { 2 } \lambda ^ { ( M ) } \sim 1 0 ^ { - 1 0 } \; \mathrm { e V } ^ { 2 } \; , \; m _ { 3 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } \sim 3 \times 1 0 ^ { - 3 } \; \mathrm { e V } ^ { 2 } \; , \; m _ { 1 } ^ { 2 } \ll m _ { 2 } ^ { 2 } \simeq m _ { 3 } ^ { 2 } \sim 0 . 5 \; \mathrm { e V } ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l r } { \left\langle \Delta x ^ { 2 } \right\rangle } & { = } & { \frac { 2 } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z - { z } ^ { \prime } } \left\langle b _ { x } ( 0 , 0 , 0 ) b _ { x } ( \Delta x ^ { \prime } , \Delta y ^ { \prime } , \Delta z ^ { \prime } ) \right\rangle _ { L } } \\ & { } & { \times d \Delta z ^ { \prime } d { z } ^ { \prime } . } \end{array}
= \gamma \left( c { \frac { \partial _ { t } } { c } } \gamma c , { \vec { u } } \cdot \nabla \gamma { \vec { u } } \right) = \gamma \left( c \partial _ { t } \gamma , { \frac { d } { d t } } [ \gamma { \vec { u } } ] \right) = \gamma ( c { \dot { \gamma } } , { \dot { \gamma } } { \vec { u } } + \gamma { \dot { \vec { u } } } ) = \mathbf { A }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E [ \eta _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg \{ R \Big ( \frac { \varepsilon ^ { - 2 } } { n ^ { 2 } \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \Big ) + R \Big ( \frac { \varepsilon ^ { - 1 } } { n ^ { 2 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \Big ) } \\ & { \quad + R \Big ( \frac { 1 } { n \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \Big ) + R \Big ( \frac { \varepsilon } { n } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \Big ) \bigg \} } \\ & { \rightarrow 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( F _ { y } - F _ { x } ) ( \eta _ { x } ^ { \lambda } ) | } & { \lesssim 2 ^ { - N _ { \lambda } d } \| \eta \| _ { \infty } 2 ^ { N _ { \lambda } d } \lambda ^ { \alpha } ( | y - x | + \lambda ) ^ { \gamma - \alpha } } \\ & { \quad + \sum _ { n = N _ { \lambda } } ^ { + \infty } 2 ^ { - n d } 2 ^ { ( n - N _ { \lambda } ) d } \| \eta \| _ { C ^ { \tilde { r } + 1 } } \lambda ^ { - d } \left( \frac { 2 ^ { - n } } { \lambda } \right) ^ { \tilde { r } + 1 } 2 ^ { - n \alpha } ( | y - x | + \lambda ) ^ { \gamma - \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { O u t p u t } \rangle } & { = } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , 2 \delta { \it \Psi } _ { \mathrm { t } } ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \pi ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , - 2 \delta { \it \Psi } _ { \mathrm { t } } ) } \\ & { } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \pi ) | \mathrm { P o r t \ 1 } ^ { \prime } \rangle , } \end{array}
, D S G D g e t s f a r s l o w e r t h a n C S G D d u e t o i t s s e n s i t i v i t y t o n e t w o r k t o p o l o g y . I n c o n t r a s t , G r a d i e n t - t r a c k i n g j u s t g e t s a l i t t l e b i t s l o w e r t h a n C S G D a n d p e r f o r m s f a r b e t t e r t h a n D S G D . T h i s p h e n o m e n o n c o i n c i d e s w i t h o u r e s t a b l i s h e d c o m p l e x i t y b o u n d i n T a b l e s h o w i n g t h a t G T h a s a m u c h w e a k e r d e p e n d e n c e o n n e t w o r k t o p o l o g y ( i . e . ,