harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f ^ { \rho } ( \zeta ) } & { = \zeta + \rho ^ { 4 } \frac { 8 \pi i \overline { { S _ { k } } } } { \gamma _ { k } } \frac { 1 } { \zeta - \zeta _ { k } } + O ( \rho ^ { 5 } ) } \\ { \partial _ { \zeta } w ^ { \rho } ( \zeta ) } & { = \frac { \gamma _ { k } } { 2 \pi i } \frac { 1 } { \zeta - \zeta _ { k } } + 2 S _ { k } ( \zeta - \zeta _ { k } ) - 2 \rho ^ { 4 } \overline { { S _ { k } } } \frac { 1 } { ( \zeta - \zeta _ { k } ) ^ { 3 } } + O ( \rho ^ { 5 } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { n \geq 0 } { \frac { d _ { 2 n } z ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } } & { = { \frac { 2 z } { e ^ { z } - e ^ { - z } } } } \\ { \sum _ { n \geq 0 } { \frac { e _ { 2 n } z ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } } & { = { \frac { z ^ { 2 } } { e ^ { z } + e ^ { - z } - 2 } } } \\ { \sum _ { n \geq 0 } { \frac { f _ { 2 n } z ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } } & { = { \frac { z ^ { 3 } } { 3 ( e ^ { z } - e ^ { - z } - 2 z ) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { r m s } } [ n ] = } & { { } \sqrt { \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { N } ( G [ n , n ^ { \prime } ] \gamma ) ^ { 2 } } } \\ { = } & { { } \gamma \sqrt { \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { n } ( G [ n , n ^ { \prime } ] ) ^ { 2 } + \sum _ { n ^ { \prime } = n + 1 } ^ { N } ( G [ n , n ^ { \prime } ] ) ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c \left( g , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } , T _ { 1 , 2 m - 1 } + \tau \left( \nu , 1 , 2 m - 1 , \ell _ { 1 , 2 m - 1 } \right) \right) } & { { } = } & { S _ { g g } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 1 , 2 m - 1 } + \tau \left( 1 , 2 m - 1 , \ell _ { 1 , 2 m - 1 } \right) } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } - \hbar \mathbf { k } / 2 \right) } \end{array}
q = \cos ^ { - 1 } \left( \frac { 2 ( 1 - \beta ^ { 2 } ) - \Omega ^ { 2 } } { 2 \sqrt { \beta ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } + ( 1 - \beta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \right) + q _ { s }
\phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } ) = \phi _ { \mathrm { ~ M ~ } } ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } ) \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } a _ { j k } ^ { ( \ell ) } \Psi _ { j k } ^ { ( \ell ) } ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } ) ,
\begin{array} { r l } { E } & { = \gamma \Bigg ( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } \sqrt { 1 + \left( \frac { \partial h } { \partial r } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial h } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } } r d r d \theta - \pi a ^ { 2 } \Bigg ) } \\ & { \approx \frac { \gamma } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } \left( \left( \frac { \partial h } { \partial r } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial h } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \right) r d r d \theta } \\ & { = \gamma \pi \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } A _ { 0 , \alpha } ^ { 2 } S _ { 0 , \alpha } + \frac { \gamma \pi } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } ( A _ { n , \alpha } ^ { 2 } + B _ { n , \alpha } ^ { 2 } ) S _ { n , \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) ^ { p } - C p ^ { p } s A _ { k + 1 } ^ { p - 1 } \left( 1 + \mu A _ { k } \right) } \\ & { \leq \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) ^ { p } - C p ^ { p } s A _ { k + 1 } ^ { p - 1 } } \\ & { = \left( C p s ( k + 1 ) \cdots ( k + p - 1 ) \right) ^ { p } - C p ^ { p } s \left( C s ( k + 1 ) \cdots ( k + p ) \right) ^ { p - 1 } } \\ & { = C ^ { p } p ^ { p } s ^ { p } \left( \left( ( k + 1 ) \cdots ( k + p - 1 ) \right) ^ { p } - \left( ( k + 1 ) \cdots ( k + p ) \right) ^ { p - 1 } \right) } \\ & { \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { { \mathbf v } } ( t ) } & { { } = } & { \nabla { \mathbf v } ( { \mathbf x } ( t ) , t ) \; { \mathbf v } ( { \mathbf x } , t ) } \\ { \widetilde { { \mathbf v } } ( \widetilde { { \mathbf x } } , t ) } & { { } = } & { { \mathbf Q } ^ { { \mathrm T } } ( t ) \; { \mathbf v } ( { \mathbf x } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \left\langle \alpha , \nabla \cdot \delta \phi _ { t } \right\rangle + f \left\langle \alpha , \nabla ^ { 2 } \psi \right\rangle + g \left\langle \alpha , \nabla \cdot \delta \eta \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { 2 } , } \\ { \left\langle \nabla \gamma , \nabla \psi _ { t } \right\rangle - f \left\langle \gamma , \nabla \cdot \delta \phi \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \eta _ { t } + H \nabla \cdot \delta \phi = 0 . } \end{array}
E ( k ) = \frac { a _ { s } } { 2 } \frac { 1 } { k _ { p } } \left( \frac { k } { k _ { p } } \right) ^ { 2 s + 1 } \exp { \left[ - \left( s + \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \frac { k } { k _ { p } } \right) ^ { 2 } \right] } ,
{ \tilde { Z } } [ { \tilde { J } } ] = \int { \mathcal { D } } { \tilde { \phi } } e ^ { - \int d ^ { 4 } p \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) { \tilde { \phi } } ^ { 2 } - { \tilde { J } } { \tilde { \phi } } + { \frac { \lambda } { 4 ! } } { \int d ^ { 4 } p _ { 1 } d ^ { 4 } p _ { 2 } d ^ { 4 } p _ { 3 } \delta ( p - p _ { 1 } - p _ { 2 } - p _ { 3 } ) { \tilde { \phi } } ( p ) { \tilde { \phi } } ( p _ { 1 } ) { \tilde { \phi } } ( p _ { 2 } ) { \tilde { \phi } } ( p _ { 3 } ) } \right) } .
{ \mathrm { . . . . . . . } } \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } \right) { \sqrt [ [object Object] ] { { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } + 6 + 3 \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 1 2 + 3 ( { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } + 2 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 1 1 + 3 ( { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } + 2 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } ) } } \right) } }
\begin{array} { r l } { \| \mathbf n _ { h } \cdot \nabla v _ { h } ^ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { O } _ { \delta } ) } } & { \le \| v _ { h } \| _ { L ^ { 4 } ( \mathcal { O } _ { \delta } ) } \| \mathbf n _ { h } \cdot \nabla v _ { h } \| _ { L ^ { 4 } ( \mathcal { O } _ { \delta } ) } \lesssim h ^ { - \frac 3 4 } \| v _ { h } \| _ { L ^ { 4 } ( \mathcal { O } _ { \delta } ) } \| \mathbf n _ { h } \cdot \nabla v _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { O } _ { \delta } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { 4 t h } } ( \mathrm { \boldmath ~ d ~ } ) } & { = \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \lfloor d _ { 1 } / 2 \rfloor } \cdots \sum _ { k _ { N } = 0 } ^ { \lfloor d _ { N } / 2 \rfloor } \frac { 1 } { \prod _ { j } k _ { j } ! ( d _ { j } - 2 k _ { j } ) ! ( - 2 ) ^ { k _ { j } } } } \\ & { \quad \times \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d Q _ { 1 } } { \sqrt { 2 \pi } } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { Q _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } Q _ { 1 } ^ { 2 ( M - \sum _ { j } k _ { j } ) } } \\ & { \quad \times \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d Q _ { 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } Q _ { 2 } ^ { 2 } } \left( 1 + i \sqrt { 2 } Q _ { 2 } \right) ^ { \sum _ { j } k _ { j } } } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \lfloor d _ { 1 } / 2 \rfloor } \cdots \sum _ { k _ { N } = 0 } ^ { \lfloor d _ { N } / 2 \rfloor } \frac { \left( 2 ( M - \sum _ { j } k _ { j } ) - 1 \right) ! ! } { \prod _ { j } k _ { j } ! ( d _ { j } - 2 k _ { j } ) ! ( - 2 ) ^ { k _ { j } } } } \\ & { \quad \times \int \frac { d Q _ { 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } Q _ { 2 } ^ { 2 } } \left( 1 + i \sqrt { 2 } Q _ { 2 } \right) ^ { \sum _ { j } k _ { j } } . } \end{array}
T _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } } \approx - \frac { ( k k _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left\{ ( \cos \alpha - \cos \beta ) ^ { 2 } + \frac { ( \cos \alpha + \cos \beta ) \left[ ( \cos \alpha - \cos \beta ) ^ { 2 } - 4 - 4 \cos ( \alpha - \beta ) \right] } { 2 } \sqrt { \frac { k _ { 0 } } { k } } \right\} .
\begin{array} { r l } { \ell ( \hat { \mu } , \widehat { \sigma ^ { 2 } } | \mu , \sigma ^ { 2 } ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( \hat { \mu } - \mu ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } - \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 \varepsilon ^ { 2 } } \right) \log { \sigma ^ { 2 } } } \end{array}
{ \frac { 4 { \sqrt { 2 } } } { \sqrt { 5 } } } = { \frac { 4 { \sqrt { 2 } } } { \sqrt { 5 } } } \cdot { \frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 5 } } } = { \frac { 4 { \sqrt { 1 0 } } } { 5 } } = { \frac { 4 } { 5 } } { \sqrt { 1 0 } }
\begin{array} { r } { I _ { M , m _ { 2 } } ^ { ( j ) } ( l ) = \int _ { 1 / 2 - i q ^ { T } } ^ { 1 / 2 + i q ^ { T } } S _ { j } ^ { ( 1 ) } ( s ) \frac { q ^ { M _ { 0 } s } } { s } d s + \int _ { \sigma - i q ^ { T } } ^ { \sigma + i q ^ { T } } S _ { j } ^ { ( 2 ) } ( s ) \frac { q ^ { M _ { 0 } s } } { s } d s + O \left( \frac { q ^ { 3 N / 2 } q ^ { Y _ { j } / 2 } ( Y _ { j } ) ^ { k } ( A _ { 2 } ) ^ { k } } { q ^ { T } N ^ { B ^ { \prime } / 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { K } | } & { \hat { G } | \mathbf { K } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I , J \in \mathbf { K } } \langle I J \| I J \rangle , } \\ { \langle \mathbf { K } | } & { \hat { G } | \mathbf { K } _ { B } ^ { Q } \rangle = \sum _ { I \in \mathbf { K } } \langle B I \| Q I \rangle , } \\ { \langle \mathbf { K } _ { A } ^ { P } | } & { \hat { G } | \mathbf { K } _ { A } ^ { P } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I , J \in \mathbf { K } _ { A } ^ { P } } \langle I J \| I J \rangle , } \end{array}
{ \bf { M } } _ { m , n } \left( f \right) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } { { { \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) } ^ { 1 - { \delta _ { m , n } } } } \left( f \right) \underbrace { { { \bf { v } } } { { \bf { v } } } \cdots { { \bf { v } } } } _ { n } { { \left( { { { \bf { v } } } \cdot { { \bf { v } } } } \right) } ^ { \left( { m - n } \right) / 2 } } d { \bf { v } } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathsf { R } _ { 0 } ( R _ { 1 , n } , R _ { 2 , n } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | \hat { T } _ { x ^ { n } y ^ { n } } ) } \\ { * } & { = \mathsf { R } _ { 0 } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X Y } ) - \xi _ { 1 } ^ { * } \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } - \xi _ { 2 } ^ { * } \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } } \\ { * } & { \qquad + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \lambda _ { i } ( \hat { T } _ { x ^ { n } y ^ { n } } ) - \lambda _ { i } ( P _ { X Y } ) \right) \Big ( \jmath ( x _ { i } , y _ { i } ) - \jmath ( x _ { m } , y _ { m } ) \Big ) } \\ { * } & { \qquad + O \left( \| \lambda ( \hat { T } _ { x ^ { n } y ^ { n } } ) - \Gamma ( P _ { X Y } ) \| ^ { 2 } \right) + O \left( ( R _ { 1 , n } - R _ { 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } + ( R _ { 2 , n } - R _ { 2 } ^ { * } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = \mathsf { R } _ { 0 } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X Y } ) - \xi _ { 1 } ^ { * } \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } - \xi _ { 2 } ^ { * } \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } + O \left( \frac { \log n } { n } \right) } \\ { * } & { \qquad + \sum _ { x , y } \left( \hat { T } _ { x ^ { n } y ^ { n } } ( x , y ) - P _ { X Y } ( x , y ) \right) \jmath _ { X Y } ( x , y ) } \\ & { \leq \sum _ { x , y } Q _ { X Y } ( x , y ) \jmath _ { X Y } ( x , y ) - \xi _ { 1 } ^ { * } \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } - \xi _ { 2 } ^ { * } \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } + O \left( \frac { \log n } { n } \right) } \\ { * } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \jmath _ { X Y } ( x _ { i } , y _ { i } ) - \xi _ { 1 } ^ { * } \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } - \xi _ { 2 } ^ { * } \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } + O \left( \frac { \log n } { n } \right) , } \end{array}
g ^ { * } \left( \begin{array} { c c } { { n _ { 1 } } } & { { n _ { 2 } } } \\ { { m _ { 1 } } } & { { m _ { 2 } } } \end{array} \right) = g \left( \begin{array} { c c } { { m _ { 2 } } } & { { m _ { 1 } } } \\ { { n _ { 2 } } } & { { n _ { 1 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { | G _ { i j } ^ { < } ( t , t ^ { \prime } ) | } & { \leq \sum _ { n } \rho _ { n } \sum _ { n _ { 1 } } | \langle n | c _ { i } ^ { \dagger } | n _ { 1 } \rangle | | \langle n _ { 1 } | c _ { j } | n \rangle | } \\ & { \leq \sum _ { n } \rho _ { n } \bigg [ \underbrace { \sum _ { n _ { 1 } } | \langle \Tilde { n } | c _ { i } ^ { \dagger } | n _ { 1 } \rangle | ^ { 2 } } _ { \langle \Tilde { n } | c _ { i } ^ { \dagger } c _ { i } | \Tilde { n } \rangle } \bigg ] ^ { 1 / 2 } \bigg [ \underbrace { \sum _ { n _ { 1 } } | \langle n _ { 1 } | c _ { j } | \Tilde { n } ^ { \prime } \rangle | ^ { 2 } } _ { \langle \Tilde { n } ^ { \prime } | c _ { j } ^ { \dagger } c _ { j } | \Tilde { n } ^ { \prime } \rangle } \bigg ] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } \rho _ { n } \langle \Tilde { n } | c _ { i } ^ { \dagger } c _ { i } | \Tilde { n } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } \rho _ { n } \langle \Tilde { n } ^ { \prime } | c _ { j } ^ { \dagger } c _ { j } | \Tilde { n } ^ { \prime } \rangle } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } \rho _ { n } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } \rho _ { n } = 1 } \end{array}
D f ( x ) = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } ( D f ) _ { i } | i \rangle \, \, , \quad D f _ { i } = d f _ { i } + \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } A _ { i j } f _ { j } \, \quad A _ { i j } = \langle i | d | j \rangle \, \, .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 4 { \sqrt { 3 } } \pi } { 9 } } } & { = \sum _ { j \geq 0 } { \frac { 8 } { 9 ^ { j + 1 } } } \left( 2 { \binom { j + { \frac { 1 } { 3 } } } { \frac { 1 } { 3 } } } ^ { - 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } { \binom { j + { \frac { 2 } { 3 } } } { \frac { 2 } { 3 } } } ^ { - 1 } \right) } \\ { \log \left( { \frac { n ^ { 2 } - n + 1 } { n ^ { 2 } } } \right) } & { = \sum _ { j \geq 0 } { \frac { 1 } { ( n ^ { 2 } + 1 ) ^ { j + 1 } } } \left( { \frac { 2 } { 3 \cdot ( j + 1 ) } } - n ^ { 2 } { \binom { j + { \frac { 1 } { 3 } } } { \frac { 1 } { 3 } } } ^ { - 1 } + { \frac { n } { 2 } } { \binom { j + { \frac { 2 } { 3 } } } { \frac { 2 } { 3 } } } ^ { - 1 } \right) . } \end{array} }
F ( \varpi ) = \gamma + \ln \varpi ^ { 2 } + E _ { 1 } ( \varpi ^ { 2 } ) - { \frac { \sqrt { \pi } } { \varpi } } \Big [ 1 - 2 \mathrm { E r f } ( \varpi ) \Big ] - { \frac { 1 } { \varpi ^ { 2 } } } \Big [ 1 - e ^ { - \varpi ^ { 2 } } \Big ] ,
R _ { u } \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { e ^ { i \sigma } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { e ^ { i \tau } } } \end{array} \right) R _ { d } ^ { - 1 }
\mathbf { F } _ { d , g } = \alpha _ { g } \alpha _ { l } \left( f _ { g } \frac { C _ { d , l } \rho _ { g } } { d _ { g } } + f _ { l } \frac { C _ { d , g } \rho _ { l } } { d _ { l } } \right) | \mathbf { u } _ { r } | \mathbf { u } _ { r }
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { U } \; } & { { } = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { U } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { U } ) } & { } & { { } } \\ { \mathbf { V } \; } & { { } = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { V } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { V } ) } & { } & { { } } \\ { \mathbf { y } ^ { 1 } } & { { } = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { 1 } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { 1 } ) } & { } & { { } } \\ { \mathbf { Z } ^ { l } } & { { } = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { l } \mathbf { y } ^ { l - 1 } + \mathbf { b } ^ { l } ) , } & { } & { { } 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } ^ { l } } & { { } = ( 1 - \mathbf { Z } ^ { l } ) \odot \mathbf { U } + \mathbf { Z } ^ { l } \odot \mathbf { V } , } & { } & { { } 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } \; } & { { } = \mathbf { y } ^ { L + 1 } = \mathbf { W } ^ { L + 1 } \mathbf { y } ^ { L } + \mathbf { b } ^ { L + 1 } } & { } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { V ^ { \ast } } \frac { \partial \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ( \varepsilon , \gamma ) ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma } } & { = \frac { 1 } { V ^ { \ast } } \frac { \partial \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma } } \\ & { = - \frac { 2 D \kappa _ { S } T b _ { \varepsilon } \gamma } { \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } } \\ & { = 2 D \kappa _ { E } ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } ) b _ { \varepsilon } \gamma , } \end{array}
\gamma _ { 2 } = { \frac { C ^ { \prime \prime } ( F _ { \mathrm { m i d } } ) } { C ( F _ { \mathrm { m i d } } ) } } = - { \frac { \beta ( 1 - \beta ) } { \left( F _ { \mathrm { m i d } } \right) ^ { 2 } } } \; ,
\begin{array} { r l } { { \hat { r } } ( t ) } & { { } = r _ { d } + ( { \hat { r } } ( 0 ) - r _ { d } ) \cosh \left( \sqrt { \frac { - V ^ { \prime \prime } ( r _ { c } ) } { \mu } } t \right) + \frac { { \hat { p } } ( 0 ) } { \sqrt { - \mu V ^ { \prime \prime } ( r _ { c } ) } } \sinh \left( \sqrt { \frac { - V ^ { \prime \prime } ( r _ { c } ) } { \mu } } t \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { f } } & { = } & { u _ { e } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { e } } ) \eta _ { x } \, \mathrm { , } } \\ { v _ { f } } & { = } & { v _ { e } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { e } } ) \eta _ { y } \, \mathrm { , } } \\ { w _ { f } } & { = } & { w _ { e } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { e } } ) \eta _ { z } \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { 0 } } & { = } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \, d x \, \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \, d \phi ( | x | - \mathrm { c o s } \phi ) \mathrm { c o s } \phi = 2 - \pi } \\ { J _ { 1 } } & { = } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \, d x \, \int _ { - \phi _ { c } } ^ { \phi _ { c } } \, d \phi ( | x | - \mathrm { c o s } \phi ) \mathrm { c o s } \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| t H _ { t , 1 } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( 1 , m ) \| _ { \rho } } & { \le \frac { C } { \sqrt { m } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - t ( 1 - x ) } ( t ( 1 - x ) + 1 ) ( 1 - x ) ^ { { \alpha / 2 + } 3 / 4 } ( 1 + x ) ^ { { \beta / 2 + } 3 / 4 } \; d x d t } \\ & { \le \frac { C } { \sqrt { m } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) } & { \leq - M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) + 2 M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) - \frac { ( 1 - \gamma ) \lambda } { 2 } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a ^ { \mu + 1 } v ^ { \sigma + \beta } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta } \\ & { + K _ { 0 } ( 1 - \gamma ) c _ { 0 , \beta - \alpha } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) a v ^ { \beta } \textup { d } \eta + K _ { 0 } ( 1 - \gamma ) c _ { 0 , 2 \beta } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) a v ^ { - \alpha } \textup { d } \eta } \\ & { \leq - M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) - \frac { ( 1 - \gamma ) \lambda } { 2 } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a ^ { \mu + 1 } v ^ { \sigma + \beta } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta + K _ { 0 } c _ { 0 , 2 \beta } M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) } \\ & { + ( K _ { 0 } c _ { 0 , \beta - \alpha } + 2 ) M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) } \\ & { \leq - M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) + K _ { 0 } c _ { 0 , 2 \beta } M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) + 2 C ( c _ { 0 , \beta - \alpha } ) c _ { 0 } M _ { 0 , \frac { 2 } { 3 } + \beta } ( g ( t ) ) + C ( c _ { 0 , \beta - \alpha } ) \delta _ { 1 } M _ { 2 , 0 } ( g ( t ) ) } \\ & { + C ( c _ { 0 , \beta - \alpha } ) M _ { 0 , m _ { 2 } } ( g ( t ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l r l r l r } { { 1 9 } } & { { } e _ { a } } & { ( \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ) = { } } & { { } } & { a ^ { q } } & { { } ( } & { } & { { } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } & { , \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } & { { } ) } & { { } - { } } & { { } a } & { } & { { } ( } & { } & { { } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } & { , \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } & { { } ) } & { , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( { \boldsymbol { \theta } } \mid \mathbf { E } , { \boldsymbol { \alpha } } ) } & { = { \frac { p ( \mathbf { E } \mid { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \alpha } } ) } { p ( \mathbf { E } \mid { \boldsymbol { \alpha } } ) } } \cdot p ( { \boldsymbol { \theta } } \mid { \boldsymbol { \alpha } } ) } \\ & { = { \frac { p ( \mathbf { E } \mid { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \alpha } } ) } { \int p ( \mathbf { E } \mid { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \alpha } } ) p ( { \boldsymbol { \theta } } \mid { \boldsymbol { \alpha } } ) \, d { \boldsymbol { \theta } } } } \cdot p ( { \boldsymbol { \theta } } \mid { \boldsymbol { \alpha } } ) , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left( \omega _ { 2 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) \overline { { x } } _ { 2 } \cos \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { x } - \omega ^ { \prime } t \right) } & { = c _ { 2 } \overline { { E } } _ { 0 } \overline { { x } } _ { 1 } \cos \left( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \omega _ { 0 } t \right) \cos \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } - \omega t \right) = } \\ & { = \frac { c _ { 2 } \overline { { E } } _ { 0 } \overline { { x } } _ { 1 } } { 2 } \big \{ \cos \left[ \left( \mathbf { k } _ { 0 } + \mathbf { k } \right) \cdot \mathbf { x } - \left( \omega _ { 0 } + \omega \right) t \right] } \\ & { + \cos \left[ \left( \mathbf { k } _ { 0 } - \mathbf { k } \right) \cdot \mathbf { x } - \left( \omega _ { 0 } - \omega \right) t \right] \big \} ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial K _ { D } } { \partial \phi } } & { = - K _ { s } \frac { 1 + c s } { ( 1 + c s \phi ) ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \partial \Delta } { \partial \phi } } & { = - \frac { K _ { f } } { K _ { s } \phi ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 + c s \phi } \right) + \frac { K _ { f } ( 1 - \phi ) } { K _ { s } \phi } \frac { c s } { ( 1 + c s \phi ) ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \partial G _ { D } } { \partial \phi } } & { = - G _ { s } \frac { 1 + \frac { 3 } { 2 } c s } { ( 1 + \frac { 3 } { 2 } c s \phi ) ^ { 2 } } . } \end{array} } \end{array}
\mathbf G ( \theta ) = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \cos { \theta } } & { - \sin { \theta } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { \sin { \theta } } & { \cos { \theta } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cos { \theta } } & { - \sin { \theta } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \sin { \theta } } & { \cos { \theta } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ & & & { \vdots } \\ { 0 } & & & { \dots } & & { \cos { \theta } } & { - \sin { \theta } } \\ { 0 } & & & { \dots } & & { \sin { \theta } } & { \cos { \theta } } \end{array} \right] .
m _ { 1 } R \gg 1 , I ( R ) \approx \frac { 1 } { R } \int _ { \delta } ^ { R } \frac { d r } { r } e ^ { - m _ { 1 } r } \approx \frac { 1 } { R } l n \frac { 1 } { m _ { 1 } \delta }
V ^ { ' } ( t _ { s } ) \frac { \partial t _ { s } } { \partial t _ { c } } = \alpha \Bigg [ e ^ { - \frac { T _ { p e a k } } { \tau } } \Bigg ( \frac { \partial B } { \partial t _ { c } } \frac { T _ { p e a k } } { \tau } + \frac { \partial C } { \partial t _ { c } } \Bigg ) \Bigg ] ~ ,
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( \alpha , \beta ) } & { : = \mathbb { E } \Big ( ( X _ { \beta } - \mathbb { E } ( X _ { \alpha } ) ) ^ { k } 1 _ { X _ { \beta } \geq \mathbb { E } ( X _ { \alpha } ) } - ( X _ { \alpha } - \mathbb { E } ( X _ { \alpha } ) ) ^ { k } 1 _ { X _ { \alpha } \geq x } \Big ) } \\ & { = \mathbb { E } \Big ( ( X _ { \alpha } - \mathbb { E } ( X _ { \alpha } ) ) ^ { k } 1 _ { X _ { \alpha } \geq \mathbb { E } ( X _ { \alpha } ) } \frac { e ^ { ( \beta - \alpha ) ( X _ { \alpha } - \mathbb { E } ( X _ { \alpha } ) ) } } { \mathbb { E } ( e ^ { ( \beta - \alpha ) ( X _ { \alpha } - \mathbb { E } ( X _ { \alpha } ) ) } ) } \Big ) } \\ & { \quad - \mathbb { E } \left( ( X _ { \alpha } - \mathbb { E } ( X _ { \alpha } ) ) ^ { k } 1 _ { X _ { \alpha } \geq \mathbb { E } ( X _ { \alpha } ) } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { G } ( \beta ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \rangle } } \, \exp \left( - \frac { \beta \beta } { 2 \langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \rangle } \right) \, , } \end{array}