harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } E _ { \nu _ { n } } [ ( \zeta _ { j } - \zeta _ { j + 1 } ) ^ { 2 } ] } & { = \frac { 1 } { 2 } E _ { \eta _ { j } \sim \mathcal { N } ( \lambda , 1 ) } [ \eta _ { j } ^ { 4 } - \eta _ { j } ^ { 2 } \eta _ { j + 1 } ^ { 2 } ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } [ ( \lambda ^ { 4 } + 6 \lambda ^ { 2 } + 3 ) - ( \lambda ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } ] = 2 \lambda ^ { 2 } + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \omega ^ { - \gamma } \left\langle \nabla _ { \mathbf y } \cdot \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { 1 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 2 } ) \right\rangle _ { \mathcal { I B } } = - \omega ^ { \beta - \gamma } \mathcal { K ^ { \star } } a c _ { 0 } ^ { a - 1 } \langle c _ { 1 } \rangle _ { \mathcal I \Gamma } , } \end{array}
L _ { 1 } = \sum _ { i } | s _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } - s _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ^ { * } } | + \sum _ { i } | s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } - s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ^ { * } } | \; ,
{ } \pi = A _ { 1 9 2 } + D _ { 3 8 4 } + D _ { 7 6 8 } + D _ { 1 5 3 6 } + D _ { 3 0 7 2 } + \cdots \approx A _ { 1 9 2 } + F \cdot D _ { 1 9 2 } .
\begin{array} { r l } { \phi ^ { - 1 } \left( \fint _ { B _ { r } ( x ) } \phi \left( \frac { | T _ { B _ { r } ( x ) } u ( y ) - \textnormal { m e d } ( u , B _ { r } ( x ) ) | } { r } \right) \, d y \right) } & { = \phi ^ { - 1 } \left( \fint _ { B _ { 1 } } \phi \left( | T _ { B _ { 1 } } v ( z ) - \textnormal { m e d } ( v , B _ { 1 } ) | \right) \, d z \right) } \\ & { \leq C \varphi ^ { - 1 } \left( \fint _ { B _ { 1 } } \varphi ( C | \nabla v ( z ) | ) \, d z \right) } \\ & { = C \varphi ^ { - 1 } \left( \fint _ { B _ { r } } \varphi ( C | \nabla u ( y ) | ) \, d x \right) . } \end{array}
G ( x , \omega ) \equiv \frac { \frac { 2 x } { \beta } - \omega } { \left( \frac { 2 x } { \beta } - \omega \right) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } + \frac { \frac { 2 x } { \beta } + \omega } { \left( \frac { 2 x } { \beta } + \omega \right) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { { \cal H } _ { F } = \left( \begin{array} { l l l l l } { h _ { F } } & { T _ { z } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { T _ { z } ^ { \dagger } } & { h _ { F } } & { T _ { z } } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { T _ { z } ^ { \dagger } } & { h _ { F } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { T _ { z } } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { T _ { z } ^ { \dagger } } & { h _ { F } } \end{array} \right) _ { 4 N _ { z } \times 4 N _ { z } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { | { \boldsymbol q } | ^ { 2 } } { \epsilon _ { z } } + \frac { | { \boldsymbol \kappa } | ^ { 2 } } { \epsilon _ { t } } = \frac { \omega ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } , } \end{array}
\frac { \partial k _ { p } ( \xi , T ) } { \partial \xi } = \bigg ( 2 \pi - \frac { \pi \xi } { E ( \xi ) } \frac { \partial E ( \xi ) } { \partial \xi } \bigg ) \bigg [ \frac { 1 . 4 8 2 E ( \xi , T ) } { \varrho ( T ) } \bigg ] ^ { - 1 / 2 }
\frac { 8 \pi p _ { 2 } } { ( \alpha B _ { 0 } ) ^ { 2 } } = \frac { \beta _ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } \approx \left( \frac { \alpha - 1 } { \alpha } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { v _ { c } } { v _ { f } } \right) ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r } { \left( \rho U ^ { \mu } \right) _ { ; \mu } = 0 , } \\ { T _ { ; \nu } ^ { \mu \nu } = - g ^ { \mu \nu } F _ { \nu \kappa } ^ { \prime } J ^ { \kappa } , } \\ { F _ { \nu \kappa ; \mu } ^ { \prime } + F _ { \kappa \mu ; \nu } ^ { \prime } + F _ { \mu \nu ; \kappa } ^ { \prime } = 0 , } \\ { U ^ { \mu } F _ { \mu \nu } ^ { \prime } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { L } ( \omega ) } & { = - i \omega \varepsilon _ { 0 } \chi _ { L } ( \omega ) d } \\ & { = + \frac { i \varepsilon _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \chi _ { 0 } d } { \omega ^ { + } - \omega ^ { - } } \left( \frac { \omega ^ { + } } { \omega - \omega ^ { + } } - \frac { \omega ^ { - } } { \omega - \omega ^ { - } } \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { a _ { D } } } \\ { { a } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { a _ { D } } } \\ { { a } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { - a } } \\ { { a _ { D } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \alpha _ { \ell } ( { \bf r } ) = \mathrm { e } ^ { - 2 \pi \mathrm { i } \, \ell ^ { 2 } z / z _ { T } } \sum _ { i } a _ { i } \, J _ { \ell } ( 2 | \beta _ { i } | ) \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \ell \mathrm { a r g } \{ - \beta _ { i } \} } } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ } } = \frac { \beta } { \beta + 1 } \, \frac { 2 \pi f _ { 0 } } { Q _ { L } } \, U _ { \mathrm { s i g } } = \frac { 1 } { 4 } \epsilon ^ { 2 } \, \frac { \beta } { \beta + 1 } \, V \, \frac { C } { 3 } \, m _ { A ^ { \prime } } ^ { 2 } \, \rho _ { \mathrm { D M } } \, \mathcal { F } _ { \mathrm { D M } } ( f _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } & { ( \Phi _ { 1 } ) ^ { - 1 } \mathcal { L } _ { \omega } \Phi _ { 1 } [ h ] = \mathcal { D } _ { \omega } h - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 1 } [ h ] + R _ { 1 } [ h ] , } \\ & { M _ { 1 } [ h ] : = { b } _ { 1 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } h + { b } _ { 2 } h + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } ( { b } _ { 1 } ) \partial _ { x } \Upsilon ^ { \alpha - 3 } h + \Upsilon _ { b _ { 3 } } ^ { \alpha - 3 } h , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } \mathbf { y } } { \mathrm { d } t } ( t ) = A ( t ) \mathbf { y } ( t ) , \quad A ( t ) : = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { I d } _ { N } } \\ { - M ( t ) } & { 0 } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \hat { c } _ { k R } } \\ { \hat { c } _ { k L } } \end{array} \right] \equiv \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { - i \frac { \theta _ { \pm } } { 2 } } } & { e ^ { i \frac { \theta _ { \pm } } { 2 } } } \\ { - e ^ { - i \frac { \theta _ { \pm } } { 2 } } } & { e ^ { i \frac { \theta _ { \pm } } { 2 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { c } _ { k A } } \\ { \hat { c } _ { k B } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( + + \right) } } & { { } = \left\vert \left( \overline { { p _ { 1 } } } - \Delta p _ { 1 \alpha } ^ { ( + ) } \right) \left( \overline { { p _ { 2 } } } - \Delta p _ { 2 \alpha } ^ { ( + ) } \right) \right\vert , } \\ { \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( -- \right) } } & { { } = \left\vert \left( \overline { { p _ { 1 } } } - \Delta p _ { 1 \alpha } ^ { ( - ) } \right) \left( \overline { { p _ { 2 } } } - \Delta p _ { 2 \alpha } ^ { ( - ) } \right) \right\vert , } \\ { \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( + - \right) } } & { { } = \left\vert \left( \overline { { p _ { 1 } } } - \Delta p _ { 1 \alpha } ^ { ( + ) } \right) \left( \overline { { p _ { 2 } } } - \Delta p _ { 2 \alpha } ^ { ( - ) } \right) \right\vert , } \\ { \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( - + \right) } } & { { } = \left\vert \left( \overline { { p _ { 1 } } } - \Delta p _ { 1 \alpha } ^ { ( - ) } \right) \left( \overline { { p _ { 2 } } } - \Delta p _ { 2 \alpha } ^ { ( + ) } \right) \right\vert . } \end{array}
\left\langle \langle n _ { \mathrm { ~ B ~ } } n _ { \mathrm { ~ E ~ } } \right\rangle \rangle = \left\langle { n } _ { \mathrm { ~ B ~ } } { n } _ { \mathrm { ~ E ~ } } \right\rangle _ { \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ B ~ E ~ } } } - \left\langle { n } _ { \mathrm { ~ B ~ } } \right\rangle _ { \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ B ~ } } } \cdot \left\langle { n } _ { \mathrm { ~ E ~ } } \right\rangle _ { \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ E ~ } } } ,
\begin{array} { r l r } { I ( \alpha , \beta , 0 ) } & { \ge } & { \left( \frac { p } { 2 } \right) ^ { q } c \left( ( 1 - c ) ^ { p } - \frac { 1 } { 1 0 ^ { q - 1 } } \left( \frac { 3 2 } { 1 0 } \right) ^ { q - 1 } \right) } \\ & { \ge } & { \left( \frac { p } { 2 } \right) ^ { q } c \left( \left( 1 - \frac { 1 } { 1 0 ^ { q } } \right) ^ { p } - \left( \frac { 3 2 } { 1 0 0 } \right) ^ { q - 1 } \right) } \\ & { = } & { \left( \frac { p } { 2 } \right) ^ { q } c \left( \left( 1 - \frac { 1 } { 1 0 ^ { q } } \right) ^ { q / ( q - 1 ) } - \left( \frac { 3 2 } { 1 0 0 } \right) ^ { q - 1 } \right) } \\ & { \ge } & { \left( \frac { p } { 2 } \right) ^ { q } c \frac { 6 6 0 1 } { 1 0 0 0 0 } \ge 0 . } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x \; d y \; \delta ( y ) \left[ \int d ^ { 2 } \theta \; \bar { F } ( \kappa _ { F , 1 } F _ { { \cal E } ^ { c } } + \kappa _ { F , 2 } X F _ { { \cal N } ^ { c } } ) + \mathrm { h . c . } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathsf { \Pi } _ { [ [ s r ] _ { J } , [ p q ] _ { T } ] _ { K } } ^ { B A } } & { { } = ( - 1 ) ^ { J + 1 } \mathsf { \Pi } _ { [ [ r s ] _ { J } , [ p q ] _ { T } ] _ { K } } ^ { B A } = } \end{array}
\begin{array} { r l } & { b = 5 , T = 0 . 1 , \beta = 0 . 1 , } \\ & { W ( x - y ) = \lambda _ { W } ( x - y ) ^ { 2 } , \; \lambda _ { W } = 0 . 2 , } \\ & { \rho _ { 0 } ( x ) = \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { \left( x - 0 . 5 \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } , \; \sigma _ { 0 } = 0 . 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( 1 + \frac { i \mathbf p \cdot d \mathbf { x } ^ { \prime } } { \hbar } \right) \mathbf x \left( 1 - \frac { i \mathbf p \cdot d \mathbf { x } ^ { \prime } } { \hbar } \right) } \\ & { = \left( \mathbf x + \frac { i \mathbf p \cdot d \mathbf { x } ^ { \prime } } { \hbar } \mathbf x \right) \left( 1 - \frac { i \mathbf p \cdot d \mathbf { x } ^ { \prime } } { \hbar } \right) } \\ & { = \mathbf x + \frac { i \mathbf p \cdot d \mathbf { x } ^ { \prime } } { \hbar } \mathbf x - \mathbf x \frac { i \mathbf p \cdot d \mathbf { x } ^ { \prime } } { \hbar } - \left( \frac { i \mathbf p \cdot d \mathbf { x } ^ { \prime } } { \hbar } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { D ( v _ { A } ) n _ { \Gamma } \cdot \varphi _ { A } = ( n _ { \Gamma } \cdot \{ ( n _ { \Gamma } \cdot \nabla ) v _ { A } \} ) ( n _ { \Gamma } \cdot \varphi _ { S } ) \mathrm { ~ i f ~ } r = 0 , } \\ { D ( v _ { B } ) n _ { \Gamma } \cdot \varphi _ { B } = ( n _ { \Gamma } \cdot \{ ( n _ { \Gamma } \cdot \nabla ) v _ { B } \} ) ( n _ { \Gamma } \cdot \varphi _ { S } ) \mathrm { ~ i f ~ } r = 0 . } \end{array}
\mathbf { k } _ { j } = \mathbf { f ( } t _ { n } + c _ { j } h _ { n } , \mathbf { y } _ { n } + \mathbf { u } _ { j } + h _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { s - 1 } a _ { j , i } \mathbf { k } _ { i } ) - \mathbf { f } \left( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } \right) - \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } \left( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } \right) \mathbf { u } _ { j } \ - \mathbf { f } _ { t } \left( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } \right) c _ { j } h _ { n } ,
P _ { 1 2 9 } N _ { 1 2 9 } = P _ { 3 } N _ { 3 } \left( { \frac { \gamma _ { 3 } } { \gamma _ { 1 2 9 } } } \right) ^ { 2 } { \frac { S _ { 1 2 9 } V _ { 3 } } { S _ { 3 } V _ { 1 2 9 } } } ,
{ } \Omega ^ { 1 , 2 } ( \tau ) = - \alpha \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } k _ { 3 } ( \tau ^ { \prime } ) \left( \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + 2 \alpha k _ { 3 } ( \tau ^ { \prime } ) R ^ { 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right) ^ { - 1 } \mu ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } )
\dot { \rho } \left( t \right) = - i \left[ H , \rho \right] + \sum _ { k } \left( \mathcal { L } _ { k } \rho \left( t \right) \mathcal { L } _ { k } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \left\{ \mathcal { L } _ { k } ^ { \dagger } \mathcal { L } _ { k } , \rho \left( t \right) \right\} \right) \, ,
\int g \Big ( \frac { \partial f } { \partial t } + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot ( \boldsymbol { v } f ) + \nabla _ { \boldsymbol { v } } \cdot \Big ( f \frac { \boldsymbol { F } } { m } \Big ) + \partial _ { \omega } \Big ( f \frac { F _ { \omega } } { I } \Big ) + \partial _ { \theta } ( \omega f ) \Big ) \ d E = \int g C ( f ) \ d E .
\left. \ensuremath { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } } _ { e } \right| _ { \partial \Omega } = \left. \ensuremath { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } } _ { e } \right| _ { r = 1 + \epsilon u _ { 1 , r } } + \mathcal { O } \left( \epsilon ^ { 2 } \right) = \left. \ensuremath { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } } _ { f } \right| _ { \partial \Omega } = \left. \ensuremath { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } } _ { f } \right| _ { r = 1 + \epsilon u _ { 1 , r } } + \mathcal { O } \left( \epsilon ^ { 2 } \right) .
\frac { D \varepsilon _ { W } } { D t } = C _ { \varepsilon _ { W } 1 } \frac { \varepsilon _ { W } } { K } P _ { K } - C _ { \varepsilon _ { W } 2 } \frac { \varepsilon _ { W } } { K } \varepsilon + C _ { \varepsilon _ { W } 3 } \frac { \varepsilon _ { W } } { W } P _ { W } - C _ { \varepsilon _ { W } 4 } \frac { \varepsilon _ { W } } { W } \varepsilon _ { W }
\begin{array} { r l } & { e ^ { t } \int _ { \mathcal { L } } \frac { 1 } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { p } } d x } \\ { \leqslant } & { \int _ { \mathcal { L } } \frac { 1 } { ( S _ { 0 } ( x ) + R _ { 0 } ( x ) + \epsilon ) ^ { p } } d x } \\ { + } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { s } \left[ \sqrt { a _ { k , 1 } } \int _ { \mathcal { L } } \frac { - p e _ { k } S _ { n } ( t , x ) } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { p + 1 } } d x \right] d B _ { k , 1 } ( s ) } \\ { + } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { s } \left[ \sqrt { a _ { k , 4 } } \int _ { \mathcal { L } } \frac { - p e _ { k } R _ { n } ( t , x ) } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { p + 1 } } d x \right] d B _ { k , 4 } ( s ) } \\ { + } & { \int _ { 0 } ^ { t } \frac { p \cdot M _ { p } ^ { p + 1 } \cdot 2 ^ { p } } { \Lambda _ { * } ^ { p } } e ^ { s } d s . } \end{array}
{ p _ { L } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 I m T I m U } } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } { \bar { U } } + n _ { 1 } { \bar { T } } + n _ { 2 } { \bar { U } } { \bar { T } } ) , \; p _ { R } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 I m T I m U } } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } { \bar { U } } + n _ { 1 } T + n _ { 2 } T { \bar { U } } ) ,
\begin{array} { l c r } { { \sum _ { j } q _ { a } ^ { j } ( | X _ { j } | ^ { 2 } - | Y _ { j } | ^ { 2 } ) \eta _ { j } ^ { + } \overline { { { \eta } } } _ { j } ^ { + } } } & { { = r _ { a } ^ { 2 } \eta _ { a } ^ { + } \overline { { { \eta } } } _ { a } ^ { + } \qquad } } & { { ( a ) } } \\ { { \sum _ { j } q _ { a } ^ { j } ( X _ { j } \overline { { { Y } } } _ { j } ) \eta _ { j } ^ { + } { \eta } _ { j } ^ { + } } } & { { = 0 \qquad } } & { { ( b ) } } \\ { { \sum _ { j } q _ { a } ^ { j } ( \overline { { { X } } } _ { j } { Y _ { j } } ) \overline { { { \eta } } } _ { j } ^ { + } \overline { { { \eta } } } _ { j } ^ { + } } } & { { = 0 . \qquad } } & { { ( c ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { { | { Y } \rangle } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } Y _ { d _ { 1 } , d _ { 2 } } ^ { a _ { 1 } ^ { \prime } } Y _ { d _ { 2 } , d _ { 3 } } ^ { a _ { 2 } ^ { \prime } } \cdots Y _ { d _ { L } , d _ { L + 1 } } ^ { a _ { L } ^ { \prime } } . } \end{array}
S _ { p A } = { \frac { 1 } { A } } \int d ^ { 2 } b d z \rho _ { A } ( { \bf { b } } , z ) \exp ( - \int _ { z } ^ { \infty } d z ^ { \prime } \rho _ { A } ( { \bf { b } } , z ^ { \prime } ) \sigma _ { a b s } ( 1 - { 1 / A } ) ) .
\begin{array} { r } { | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } + | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } ) \le _ { \alpha , \nu , S } \left| \left( W ( \xi _ { 1 } ) - \frac { \pi } 6 \xi _ { 1 } \vec { D } ( \xi _ { 1 } ) \cdot \mathbb { A } ^ { - 1 } \overline { { \omega } } \right) - \left( W ( \xi _ { 2 } ) - \frac { \pi } 6 \xi _ { 2 } \vec { D } ( \xi _ { 2 } ) \cdot \mathbb { A } ^ { - 1 } \overline { { \omega } } \right) \right| , } \end{array}
\langle A , \lambda | \, \gamma _ { \nu } \, | B , \lambda \rangle \, \langle C , \mu | \, \gamma ^ { \nu } \, | D , \mu \rangle \, \, = \, \, 2 \, \langle A , \lambda | X , - \lambda \rangle \, \langle Y , - \lambda | B , \lambda \rangle \; ,
\begin{array} { r c l } { { q ( t ) } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 m \omega } } \left[ \alpha \, e ^ { - i \omega ( t - t _ { 0 } ) } + \alpha ^ { * } \, e ^ { i \omega ( t - t _ { 0 } ) } \right] \ , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { p ( t ) } } & { { = } } & { { - \frac { i m \omega } { \sqrt { 2 m \omega } } \left[ \alpha \, e ^ { - i \omega ( t - t _ { 0 } ) } - \alpha ^ { * } \, e ^ { i \omega ( t - t _ { 0 } ) } \right] \ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { l } = \frac { 1 } { 2 \ln ( 2 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } } & { z ^ { \, b _ { l } ^ { ( 3 ) } - 1 } \, \exp \left( - c _ { 3 } \, z \right) \, } \\ & { \times \mathrm { G } _ { 2 , 2 } ^ { 1 , 2 } \left( \frac { \beta _ { E } ^ { 2 } \, P _ { s } } { N _ { o } } \, z \left| \begin{array} { c } { 0 , 0 } \\ { 0 , - 1 } \end{array} \right. \right) \, \mathrm { d } z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \partial _ { r } ^ { \alpha } \partial _ { \tilde { r } } ^ { \beta } \gamma _ { \Psi } ( r , \tilde { r } ) - \partial _ { r } ^ { \alpha } \partial _ { \tilde { r } } ^ { \beta } \gamma _ { N _ { - } , L } ( r , \tilde { r } ) | } & { = \biggr | \sum _ { i = 1 } ^ { N - N _ { - } } \partial ^ { \alpha } \widetilde { \phi _ { i } } ( r ) \partial ^ { \beta } \overline { { \widetilde { \phi } _ { i } } } ( \tilde { r } ) \biggr | = \biggr | \sum _ { i , j , k } c _ { i j } \overline { { c } } _ { i k } \partial ^ { \alpha } \phi _ { j } ^ { L } ( r ) \overline { { \partial ^ { \beta } \phi _ { k } ^ { L } } } ( \tilde { r } ) \biggr | } \\ & { \leq \biggr ( \sum _ { | j | = R _ { N } } | \partial ^ { \alpha } \phi _ { j } ^ { L } ( r ) | ^ { 2 } \bigg ) ^ { \frac 1 2 } \biggr ( \sum _ { | k | = R _ { N } } | \overline { { \partial ^ { \beta } \phi _ { k } ^ { L } } } ( \tilde { r } ) | ^ { 2 } \biggr ) ^ { \frac 1 2 } } \\ & { \lesssim \frac { N ^ { \frac { | \alpha | + | \beta | } { 3 } + \frac { 3 4 } { 6 9 } + \epsilon } } { L ^ { 3 + | \alpha | + | \beta | } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { E 0 } } & { = } & { ( q / c ) \, \psi \, { \sf d } \theta , } \\ { \gamma _ { E 1 } } & { = } & { \frac { q } { c } \, \Psi _ { 1 } ( \psi ) \; { \sf d } \theta \; + \; m { \bf w } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \frac { \partial \bf x } { \partial \psi } \, { \sf d } \psi + \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \, { \sf d } \theta \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { c d } } } & { = e ^ { - 2 i \phi } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a a } } - e ^ { - i \phi } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a b } } } \\ & { + e ^ { - i \phi } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { b a } } - \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { b b } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ ( n + p ^ { + } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right] b _ { n } ^ { + } r ^ { n + p ^ { + } } } \\ & { + \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \left[ \beta ^ { + } b _ { n - 2 } ^ { + } - 2 g _ { 2 } n _ { 2 } b _ { n - 2 } ^ { - } \right] r ^ { n + p ^ { + } } = 0 , } \\ & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ ( n + p ^ { - } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right] b _ { n } ^ { - } r ^ { n + p ^ { - } } } \\ & { + \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \left[ \beta ^ { - } b _ { n - 2 } ^ { - } - 2 g _ { 2 } n _ { 2 } b _ { n - 2 } ^ { + } \right] r ^ { n + p ^ { - } } = 0 , } \end{array}
\beta _ { e } ^ { ( n ) } \, = \, \int _ { 0 } ^ { n T } \; \langle \nu _ { e } ( t ) | \; U ^ { - 1 } ( t ) \, i \partial _ { t } \, \Big ( U ( t ) \; | \nu _ { e } ( t ) \rangle \Big ) \, d t \, = \, \int _ { 0 } ^ { n T } \langle \tilde { \nu _ { e } } ( t ) | \; i \partial _ { t } | \tilde { \nu _ { e } } ( t ) \rangle \, d t \, = \, 2 \pi \, n \, \sin ^ { 2 } \theta \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } ( u _ { t } + u u _ { x } + v u _ { y } ) } & { { } = - p _ { x } + 2 + u _ { x x } + u _ { y y } , } \\ { \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } ( v _ { t } + u v _ { x } + v v _ { y } ) } & { { } = - p _ { y } - 2 \cot \theta + v _ { x x } + v _ { y y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { P ( 0 ; t ) } { \partial t } } & { { } = W ^ { - } ( 1 ) P ( 1 ; t ) , } \\ { \frac { P ( N ; t ) } { \partial t } } & { { } = W ^ { + } ( N - 1 ) P ( N - 1 ; t ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \alpha \nu > } & { \; \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } } , } \\ { \mathcal { R } _ { 0 } > } & { \; 2 \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha \nu } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha \nu } + \sqrt { \nu - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \left( 1 - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \right) } \right) . } \end{array} \right.
u \otimes v \rightarrow \Lambda u \otimes \Lambda v = { \Lambda ^ { \mu } } _ { \nu } u ^ { \nu } \otimes { \Lambda ^ { \rho } } _ { \sigma } v ^ { \sigma } = { \Lambda ^ { \mu } } _ { \nu } { \Lambda ^ { \rho } } _ { \sigma } u ^ { \nu } \otimes v ^ { \sigma } \equiv { \Lambda ^ { \mu } } _ { \nu } { \Lambda ^ { \rho } } _ { \sigma } w ^ { \nu \sigma } .
\begin{array} { r } { \rho \partial _ { t } \mathbf v + \rho ( \mathbf v \cdot \nabla ) \mathbf v = - \nabla p + \eta \Delta \mathbf v + \left( \xi + \frac { 1 } { 3 } \eta \right) \nabla \nabla \cdot \mathbf v , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega \hat { \rho } } & { = \mathrm { i } \bar { \rho } k _ { x } \hat { u } _ { x } + \sqrt { - 1 } k _ { x } \bar { u } _ { x } \hat { \rho } , } \\ { \omega \hat { u } _ { x } } & { = \mathrm { i } k _ { x } \bar { u } _ { x } \hat { u } _ { x } + \frac { \varsigma ^ { 2 } } { \bar { \rho } } k _ { x } \hat { \rho } - 2 \nu A k _ { x } ^ { 2 } \hat { u } _ { x } - \frac { \nu B } { \bar { \rho } ^ { 2 } \varsigma ^ { 2 } } k _ { x } ^ { 2 } \hat { \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { j } = \frac { Q b _ { j } \tilde { \xi } _ { j } - a _ { j } \xi _ { j } } { a _ { j } ^ { 2 } + b _ { j } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } , } \\ { \tilde { \mathcal { P } } _ { j } = - \frac { a _ { j } \tilde { \xi } _ { j } + Q b _ { j } \xi _ { j } } { a _ { j } ^ { 2 } + b _ { j } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathfrak d _ { k } \omega ( v _ { 1 } , \ldots , v _ { h } ) } \\ & { = \sum _ { \sigma \in S _ { k - 1 , h } } \epsilon ( \sigma , v ) ( - ) ^ { | \omega | \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } | v _ { \sigma ( i ) } | } \mathfrak m _ { k } \big ( v _ { \sigma ( 1 ) } , \ldots , v _ { \sigma ( k - 1 ) } | \omega ( v _ { \sigma ( k ) } , \ldots , v _ { \sigma ( k + h - 1 ) } ) \big ) } \\ & { \quad + \sum _ { \sigma \in S _ { k , h - 1 } } \epsilon ( \sigma , v ) \omega \big ( \mathfrak l _ { k } ( v _ { \sigma ( 1 ) } , \ldots , v _ { \sigma ( k ) } ) , v _ { \sigma ( k + 1 ) } , \ldots , v _ { \sigma ( k + h - 1 ) } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { \Delta } ( \eta , \xi _ { \Delta } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \exp \left( - \beta \sum _ { B : B \cap \Delta \neq \emptyset } \Phi _ { B } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ) \right) , \quad } & { \mathrm { i f ~ } \left\lvert \Delta \right\rvert = 1 , } \\ { \ 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \ell } \Big ( \rho ( x ) \delta u _ { t t } + \mu ( x ) \delta u _ { t } + ( r ( x ) \delta u _ { x x } ) _ { x x } + ( \kappa ( x ) \delta u _ { x x t } ) _ { x x } \Big ) \varphi ( x , t ) \ d x d t } } \\ & { } & { - \int _ { 0 } ^ { T } \theta ( t ) \Big ( r ( 0 ) \delta u _ { x x } ( 0 , t ) + \kappa ( 0 ) \delta u _ { x x t } ( 0 , t ) \Big ) d t + \int _ { 0 } ^ { T } \delta g ( t ) \varphi ( \ell , t ) d t = 0 . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}