harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Gamma ^ { 0 } { \not \Gamma } = { \cal F } ^ { \dag } { \cal F } , ~ ~ ~ 1 = { \not \Gamma } \, \Gamma ^ { 0 } ( { \cal F } ^ { \dag } { \cal F } ) , ~ ~ ~ { \not \Gamma } \equiv \Gamma ^ { a } f _ { ~ a } ^ { \mu } e _ { \mu } ^ { 0 } ,
\begin{array} { r l } { a _ { k , 1 } } & { = \frac { 2 p _ { k } [ t _ { k } \delta \Delta ( t _ { k } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ] } { ( t _ { k } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) } } \\ { a _ { k , 2 } } & { = - \frac { p _ { k } t _ { k } ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } } { ( t _ { k } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } } } \\ { a _ { k , 3 } } & { = - \frac { 2 p _ { k } t _ { k } \overline { { d } } \gamma ( { \mathbf { C } } ) } { \rho ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 3 } } } \\ { a _ { k , 4 } } & { = \frac { p _ { k } \Delta } { \rho ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 2 } } } \\ { a _ { k , 5 } } & { = \frac { - 2 p _ { k } t _ { k } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { I } } _ { N } ) \gamma } { \sigma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 3 } } } \\ { a _ { k , 6 } } & { = \frac { p _ { k } \Delta } { \sigma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { k } ^ { i } } & { { } = } & { \epsilon _ { k } ^ { i } \, \Delta N _ { k } ^ { i } \, , \quad \epsilon _ { k } ^ { i } = \frac { 1 } { 2 } \, m _ { k } \, \left( u _ { k } ^ { \, i } \right) ^ { 2 } \, , } \\ { \Delta E _ { l } ^ { i } } & { { } = } & { \epsilon _ { l } ^ { i } \, \Delta N _ { l } ^ { i } \, , \quad \epsilon _ { l } ^ { i } = \frac { 1 } { 2 } \, m _ { l } \, \left( u _ { l } ^ { \, i } \right) ^ { 2 } \, . } \end{array}
X _ { 0 } ^ { A { A ^ { \prime } } } : = i { \sqrt 2 } ( \sigma ^ { A } \beta ^ { A ^ { \prime } } - \varsigma ^ { A } \alpha ^ { A ^ { \prime } } ) = - i { \sqrt 2 } ( { \bar { \sigma } } ^ { A ^ { \prime } } { \bar { \beta } } ^ { A } - { \bar { \varsigma } } ^ { A ^ { \prime } } { \bar { \alpha } } ^ { A } ) ,
{ \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { \cos ( - \pi / 2 ) } & { \sin ( - \pi / 2 ) } \\ { - \sin ( - \pi / 2 ) } & { \cos ( - \pi / 2 ) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 7 } \\ { 7 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 7 } \\ { 7 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { - 7 } \\ { 7 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r } { \theta = \theta _ { \mathrm { d f } } + \theta _ { \mathrm { H } } + \theta _ { \mathrm { c f } } , \ \omega = \omega _ { \mathrm { d f } } + \omega _ { \mathrm { H } } + \omega _ { \mathrm { c f } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { { P } _ { \Gamma } e _ { d } \cdot e _ { i } = \delta _ { d , i } - n _ { \Gamma } ^ { d } n _ { \Gamma } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { O } ( h ^ { 2 k _ { g } } ) , } & { i = 1 , \ldots , d - 1 } \\ { 1 + \mathcal { O } ( h ^ { 2 k _ { g } } ) , } & { i = d } \\ { - n _ { \Gamma } ^ { d } n _ { \Gamma } ^ { d + 1 } , } & { i = d + 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\Tilde { V } _ { n , m } = \textrm { C } \frac { \vec { d } _ { n } \cdot \vec { d } _ { m } - 3 ( \vec { d } _ { n } \cdot \vec { r } _ { n , m } ) ( \vec { d } _ { m } \cdot \vec { r } _ { n , m } ) } { R _ { n , m } ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } { P _ { k } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \frac { 1 } { \pi ^ { n } \det \tilde { \Gamma } } \int \mathrm { d } ^ { 2 n } { \delta } e ^ { - \boldsymbol { \delta } ^ { \dagger } ( \tilde { \Gamma } ^ { - 1 } + \mathbb { I } ) \boldsymbol { \delta } } | \delta _ { k } | ^ { 2 } } \\ & { = \frac { [ ( \tilde { \Gamma } ^ { - 1 } + \mathbb { I } ) ^ { - 1 } ] _ { k k } } { \det ( \tilde { \Gamma } + \mathbb { I } ) } . } \end{array}
\int _ { 0 . 0 0 6 } ^ { 0 . 6 } g _ { 2 } ^ { D } ( x ) d x \cong ( 1 - \frac { 3 } { 2 } { \cal P } _ { D } ) \cdot \int _ { 0 . 0 0 6 } ^ { 0 . 6 } g _ { 2 } ^ { N } ( x ) d x ,
\begin{array} { r } { f ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } , u ) = 1 6 e ^ { 2 i \b { q } \cdot \b { p } ( 2 u - 1 ) - 2 q g ( p , u ) } \phantom { x x x x x x x x x x x x x x x } } \\ { \times \frac { ( 1 - u ) u \left( 3 + 6 q g ( p , u ) + 4 q ^ { 2 } g ( p , u ) ^ { 2 } \right) } { g ( p , u ) ^ { 5 } } , \; \; \; } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \vec { E } \left( \vec { x } , t \right) \approx \frac { E \, f ( t ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c } { - x } \\ { - y } \\ { 0 } \end{array} \right) \, , } \\ & { } & { \vec { B } \left( \vec { x } , t \right) \approx \frac { B \, f ( t ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c } { + y } \\ { - x } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { B } \left( { \frac { \boldsymbol \phi ^ { \prime } } { B ^ { \prime } } } \right) \! \! \! \! } & { { } = } & { \! \! \! \! { \frac { \mathrm { i } } { \sin \alpha } } \, \sqrt { \frac { R _ { B } ( R _ { A } - D ) } { R _ { A } ( R _ { B } + D ) } } \exp ( - \mathrm { i } \pi { \phi ^ { \prime } } ^ { 2 } \cot \alpha ) } \end{array}
{ \cal H } _ { ( 3 ) } = { \cal U } ^ { r } H _ { ( 3 ) r } \, , \qquad H _ { ( 3 ) r } = \epsilon _ { r s } \, \mathrm { I m } \big ( \, { \cal U } ^ { s } \bar { { \cal H } } _ { ( 3 ) } \big )
\begin{array} { r l } { | \boldsymbol { f } _ { \hat { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } } ( z ) | } & { = | 1 - \hat { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } \cdot ( z , z ^ { 2 } , \cdots , z ^ { L } ) | } \\ & { = | 1 - { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } \cdot ( z , z ^ { 2 } , \cdots , z ^ { L } ) - ( \hat { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } - { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } ) \cdot ( z , z ^ { 2 } , \cdots , z ^ { L } ) | } \\ & { \geq | \boldsymbol { f } _ { { \boldsymbol { \beta } _ { 0 } } } ( z ) | - | \! | \hat { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } - { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } | \! | _ { 2 } \cdot | \! | ( z , z ^ { 2 } , \cdots , z ^ { L } ) | \! | _ { 2 } } \\ { \ } & { > \epsilon - \frac { \epsilon } { \sqrt 3 } \sqrt { \frac 1 { \log ( 2 L ) } } } \\ & { > 0 \, . } \end{array}
\textbf { R } = \left[ \begin{array} { l } { R _ { x } } \\ { R _ { z } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \, \overline { { { u ^ { \prime } \, \theta ^ { \prime } } } } - \overline { { { u ^ { \prime } } } } \, \overline { { { \theta ^ { \prime } } } } \, } \\ { \, \overline { { { w ^ { \prime } \, \theta ^ { \prime } } } } - \overline { { { w ^ { \prime } } } } \, \overline { { { \theta ^ { \prime } } } } \, } \end{array} \right]
\langle [ E _ { 1 } ( V ) - \langle E _ { 1 } \rangle ] ^ { 2 } \rangle = \langle [ E _ { 2 } ( V ) - \langle E _ { 2 } \rangle ] ^ { 2 } \rangle \approx \frac { 4 } { 4 5 } A ^ { 2 } V _ { R } ^ { 4 }
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { o r b } } & { = } & { E [ \rho ] - E [ \rho ^ { 0 } ] } \\ & { = } & { \sum _ { \mu , \nu } \Delta D _ { \mu \nu } \boldsymbol { H } _ { \mu \nu } ^ { D K S } [ \rho _ { o r b } ^ { T } ] + O ( \Delta D ^ { 3 } ) } \\ & { = } & { \sum _ { k } \sum _ { \mu , \nu } \Delta D _ { \mu \nu } ^ { k } \boldsymbol { H } _ { \mu \nu } ^ { D K S } [ \rho _ { o r b } ^ { T } ] + O ( \Delta D ^ { 3 } ) } \\ & { = } & { \sum _ { k } E ^ { k } + O ( \Delta D ^ { 3 } ) } \end{array}
\mathbf { \xi } = \left( \begin{array} { l } { \bar { \rho } _ { 2 } - \bar { \rho } _ { 1 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) , \ \mathbf { \zeta } = \left( \begin{array} { l } { ( \bar { \rho } _ { 2 } - \bar { \rho } _ { 1 } ) \bar { v } } \\ { 0 } \\ { \bar { u _ { 1 } } - \bar { u _ { 2 } } } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) , \ \mathbf { \beta } = \left( \begin{array} { l } { ( \bar { \rho } _ { 1 } - \bar { \rho } _ { 2 } ) \bar { w } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \bar { u _ { 2 } } - \bar { u _ { 1 } } } \\ { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { T \in S P ( \lambda , 2 m ) } q ^ { p w r ( T ) } } & { = } & { q ^ { \kappa ( \lambda ) } \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { m } [ \mu _ { i } + 1 ] \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } [ \mu _ { i } - \mu _ { j } ] [ \mu _ { i } + \mu _ { j } + 2 ] } { \prod _ { i = 1 } ^ { m } [ 2 i - 1 ] ! } } \\ & { = } & { q ^ { \kappa ( \lambda ) } \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { m } [ \mu _ { i } + 1 ] ! \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } [ \mu _ { i } - \mu _ { j } ] [ \mu _ { i } + \mu _ { j } + 2 ] } { \prod _ { i = 1 } ^ { m } [ \mu _ { i } ] ! \prod _ { i = 1 } ^ { m } [ 2 i - 1 ] ! } } \\ & { = } & { q ^ { \kappa ( \lambda ) } \prod _ { ( i , j ) \in [ \lambda ] } \frac { [ 2 m + r _ { \lambda } ( i , j ) ] } { [ h ( i , j ) ] } , } \end{array}
\widetilde { R \Gamma } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , \mathrm { a d } ^ { 0 } ( T _ { \mathbf { g } } ) , \mathrm { t r } \Delta _ { \mathrm { G r } } ) \longrightarrow \widetilde { R \Gamma } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , \mathrm { a d } ( T _ { \mathbf { g } } ) , \Delta _ { \mathrm { G r } } ) \longrightarrow \widetilde { R \Gamma } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , \chi , \Delta _ { \emptyset } ) \, .
\langle F _ { 1 } , F _ { 2 } \rangle = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \overline { { { \exp ( ( \gamma _ { h } - \gamma _ { k } ) \sigma ) ) } } } \overline { { { F ( s _ { h } ) } } } F ( s _ { k } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { x , y } ^ { \{ l m \} } [ \left| a \middle > \middle < b \right| ] = } & { 3 ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 3 } ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) ( \lambda _ { x } \lambda _ { y } ) ^ { a + b } \Bigg ( \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { x } ^ { 2 m } \bigg ( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = 0 , l \neq m } ^ { \infty } \lambda _ { x } ^ { 2 l } \Big ( \Gamma ( \{ l , m \} ) _ { 1 , 1 } + \Gamma ( \{ l , m \} ) _ { 4 , 4 } \Big ) + } \\ & { ( 1 - \delta _ { a m } ) \lambda _ { x } ^ { 2 a } \mathrm { R e } \big [ \Gamma ( \{ a , m \} ) _ { 1 , 6 } + \Gamma ( \{ a , m \} ) _ { 4 , 2 } \big ] + } \\ & { ( 1 - \delta _ { b m } ) \lambda _ { x } ^ { 2 b } \mathrm { R e } \big [ \Gamma ( \{ b , m \} ) _ { 1 , 6 } + \Gamma ( \{ b , m \} ) _ { 4 , 2 } \big ] \bigg ) + \lambda _ { x } ^ { 2 ( a + b ) } \mathrm { R e } \big [ \Gamma ( \{ a , b \} ) _ { 5 , 6 } + \Gamma ( \{ a , b \} ) _ { 3 , 2 } \big ] \Bigg ) \left| a \middle > \middle < b \right| . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) D ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) + ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) C ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) = ( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) D ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) D ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) = ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) A ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) D ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) + ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) B ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) C ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) , } \\ { ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) D ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) = ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) D ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) A ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) + ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) C ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) B ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) D ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) + ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) B ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) C ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) = ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) D ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to 0 } \big \| \mathbb { \Lambda } ^ { ( n , \varepsilon ) } ( \cdot | x ) \big \| _ { v _ { 1 } } = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to 0 } \operatorname* { m a x } _ { j \in \mathcal { Z } } 2 \sum _ { k \in \mathcal { Z } \atop k \neq j } \mathbb { \Lambda } _ { j k } ^ { ( n , \varepsilon ) } ( \theta | x ) = 2 \operatorname* { m a x } _ { j \in \mathcal { Z } } \sum _ { k \in \mathcal { Z } \atop k \neq j } \Lambda _ { j k } ^ { ( \varepsilon ) } ( \theta \, | \, x ) < \infty . } \end{array}
\nabla L _ { \mathbf { a } _ { M } } = \frac { 1 } { m } \left[ \begin{array} { l } { 2 ( \mathbf { a } _ { M } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) - \mathbf { a } _ { 1 } ) / a _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { 2 ( \mathbf { a } _ { M } ( \mathbf { r } _ { m } ) - \mathbf { a } _ { m } ) / a _ { m } ^ { 2 } ] } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { Q _ { ( \ell , n ] } ^ { + } ( x , y ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x - y } } { w ^ { x - y - n + \ell + 1 } } \prod _ { i = \ell + 1 } ^ { n } \frac { \alpha _ { i } ^ { + } a _ { i } ( w ) } { v _ { i } - w } , } \\ { ( Q _ { ( \ell , n ] } ^ { + } ) ^ { - 1 } ( x , y ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x - y } } { w ^ { x - y + n - \ell + 1 } } \prod _ { i = \ell + 1 } ^ { n } \frac { v _ { i } - w } { \alpha _ { i } ^ { + } a _ { i } ( w ) } . } \end{array}
\mathbf { A \cdot B } = \left( { \begin{array} { l l l l } { A ^ { 0 } } & { A ^ { 1 } } & { A ^ { 2 } } & { A ^ { 3 } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l } { B ^ { 0 } } \\ { B ^ { 1 } } \\ { B ^ { 2 } } \\ { B ^ { 3 } } \end{array} } \right)
\begin{array} { r l r } { \phi } & { \equiv } & { \frac { \Phi ( \boldsymbol { r } ) } { K ( n + 1 ) \, \rho _ { \mathrm { c } } ^ { 1 / n } } , } \\ { \boldsymbol { \xi } } & { \equiv } & { \frac { \boldsymbol { r } } { L _ { \mathrm { c } } } \equiv \left( \frac { 4 \pi G } { K ( n + 1 ) } \rho _ { \mathrm { c } } ^ { 1 - 1 / n } \right) ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { r } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } = } & { \; 8 3 \arctan { \frac { 1 } { 1 0 7 } } + 1 7 \arctan { \frac { 1 } { 1 7 1 0 } } - 2 2 \arctan { \frac { 1 } { 1 0 3 6 9 7 } } } \\ & { - 2 4 \arctan { \frac { 1 } { 2 5 1 3 4 8 9 } } - 4 4 \arctan { \frac { 1 } { 1 8 2 8 0 0 0 7 8 8 3 } } } \\ & { + 1 2 \arctan { \frac { 1 } { 7 9 3 9 6 4 2 9 2 6 3 9 0 3 4 4 8 1 8 } } } \\ & { + 2 2 \arctan { \frac { 1 } { 3 0 5 4 2 1 1 7 2 7 2 5 7 7 0 4 7 2 5 3 8 4 7 3 1 4 7 9 0 1 8 } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { u ( x , t ) = } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { \Psi \left( 5 ( x - t ) - 1 \right) - \frac { 1 } { 3 } \Psi \left( 5 ( x + t ) - 4 \right) - \frac { 1 } { 3 } \Psi \left( 5 ( x - t ) + 4 \right) - \frac { 8 } { 9 } \Psi \left( 5 ( x + t ) - \frac { 1 3 } { 2 } \right) } & { 0 \le x < \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { 2 } { 3 } \left[ \Psi \left( \frac { 5 } { 2 } ( x - 2 t ) + \frac { 1 } { 4 } \right) + \Psi \left( \frac { 5 } { 2 } ( x + 2 t ) - \frac { 2 1 } { 4 } \right) \right] + \frac { 2 } { 9 } \left[ \Psi \left( \frac { 5 } { 2 } ( x - 2 t ) + \frac { 1 1 } { 4 } \right) + \Psi \left( \frac { 5 } { 2 } ( x + 2 t ) - \frac { 3 1 } { 4 } \right) \right] } & { \frac 1 2 \le x \le 1 , } \end{array} \right. } \end{array}
M _ { k } ^ { \prime } = \{ M _ { k , 1 } ^ { \prime } , M _ { k , 2 } ^ { \prime } , \dots , M _ { k , L } ^ { \prime } \} = \{ M _ { k , 1 } + \sum _ { i \in \Phi _ { k } } \Delta _ { k , 1 } ^ { \langle i \rangle } , M _ { k , 2 } + \sum _ { i \in \Phi _ { k } } \Delta _ { k , 2 } ^ { \langle i \rangle } , \dots , M _ { k , L } + \sum _ { i \in \Phi _ { k } } \Delta _ { k , L } ^ { \langle i \rangle } \}
\mathcal { H } h ( \varphi ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \partial _ { \varphi ^ { \prime } } h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } , \qquad K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \triangleq \log \Big ( \Big | \sin \big ( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \big ) \Big | \Big ) .
\mathbf { p } _ { i } ( t ) = \mathbf { p } _ { i } ( t _ { 0 } ) - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \left[ \mathbf { E } ( y _ { i } , t ^ { \prime } ) + \mathbf { p } _ { i } \times \mathbf { B } ( y _ { i } , t ^ { \prime } ) \right] d t ^ { \prime } .
\begin{array} { r l r } { \hat { \tau } } & { = } & { \tau _ { \nu + 1 } \cdot \tau _ { \nu + 2 } \cdots \tau _ { \nu + p } } \\ & { \approx } & { [ 0 ; a _ { 1 } , \overline { { a _ { p } , \ldots , a _ { 1 } } } ] [ 0 ; a _ { 2 } , a _ { 1 } , \overline { { a _ { p } , \ldots , a _ { 1 } } } ] \cdots [ 0 ; a _ { p - 1 } , \ldots , a _ { 1 } , \overline { { a _ { p } , \ldots , a _ { 1 } } } ] \cdot [ 0 ; \overline { { a _ { p } , \ldots , a _ { 1 } } } ] \quad } \\ & { = } & { \frac { 1 } { a _ { 1 } + \beta } \cdot \frac { 1 } { a _ { 2 } + \frac { 1 } { a _ { 1 } + \beta } } \cdot \cdots \cdot \frac { 1 } { a _ { p - 1 } + \frac { 1 } { a _ { p - 2 } + \frac { 1 } { \ddots + \frac { 1 } { a _ { 1 } + \beta } } } } \cdot \beta } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \beta | S ) } & { = \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \Omega _ { 1 } ( k ^ { \prime } ) \exp ( - \beta k ^ { \prime } ) \right] \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \exp \big ( \beta _ { F } ^ { ( n ) } ( K ) k _ { 1 } \big ) p _ { n } ( k _ { 1 } + K ) \Omega _ { n - 1 } ( K ) \delta \big ( \beta - \beta _ { F } ^ { ( n ) } ( K ) \big ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \int _ { 0 } ^ { \infty } d k ^ { \prime } p _ { n } ( k _ { 1 } + K ) \Omega _ { 1 } ( k ^ { \prime } ) \Omega _ { n - 1 } ( K ) \exp ( - \beta _ { F } ^ { ( n ) } [ k ^ { \prime } - k _ { 1 } ] ) \delta \big ( \beta - \beta _ { F } ^ { ( n ) } ( K ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { \mathrm { c o n s } } = } & { { } \frac { i } { 2 } \left( \bar { u } ^ { * } \bar { u } _ { z } - \bar { u } \bar { u } _ { z } ^ { * } \right) - | \bar { u } _ { \tau } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | \bar { u } | ^ { 4 } - \left( \Delta + ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | v _ { s } | ^ { 2 } \right) | \bar { u } | ^ { 2 } + i \phi ^ { \prime } \left( \bar { u } ^ { * } \bar { u } _ { \tau } - \bar { u } \bar { u } _ { \tau } ^ { * } \right) . } \end{array}
\langle S _ { x } ^ { 2 } \rangle = \frac { \gamma ^ { 2 } R ^ { 2 } \Gamma _ { \perp } \left( \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } - \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \cos ( 2 \theta ) - \Gamma _ { 2 } \omega \sin ( 2 \theta ) \right) } { 1 6 \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } \Gamma _ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) }
\begin{array} { r } { V _ { 1 , i , \mathrm { P } } ( \mathbf { x } , z ) = \left( \alpha _ { i } \frac { z } { \hbar } + \beta _ { i } \frac { z ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \right) e ^ { - \frac { | z | } { \hbar } \left| \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right| } . } \end{array}
H _ { \mathrm { f i b e r } } = \frac { \mu _ { f } } { 2 } \sum _ { i j } \frac { ( l _ { i j } - l _ { i j , 0 } ) ^ { 2 } } { l _ { i j , 0 } } + \frac { \kappa _ { f } } { 2 } \sum _ { i j k } \frac { ( \theta _ { i j k } - \theta _ { i j k , 0 } ) ^ { 2 } } { l _ { i j k , 0 } }
\delta \tilde { \Omega } _ { \mathrm { g y r o } } ( t ) = \bar { \gamma } _ { \mathrm { X e } } \delta b _ { A } ( t ) + \xi _ { \omega _ { \mathrm { c a l } } } \frac { \delta \Gamma _ { \mathrm { R b } } ( t ) } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } .
\phi _ { \varepsilon } ( x ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d p } { 2 \pi \hbar \sqrt { F } } \; \; \exp \frac { i } { \hbar } \left[ p x + \frac { 1 } { F } \left( \varepsilon p - \frac { p ^ { 3 } } { 6 m } \right) \right] = \frac { \alpha } { \pi \, \sqrt { F } } \; \; A i \left[ - \alpha ( x + \varepsilon / F ) \right] \; ,
S _ { A H } = \int d ^ { 4 } x \left\{ \frac 1 { 4 g ^ { 2 } } \, F _ { \mu \nu } ^ { 2 } + | \nabla _ { \mu } \varphi | ^ { 2 } + \lambda ( | \varphi | ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right\} .
\boldsymbol { F } _ { \alpha \rightarrow \gamma } ^ { \mathrm { Q 3 } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - 0 . 0 9 4 7 \lambda } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 - 0 . 0 9 4 7 \lambda } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + 0 . 2 7 7 5 \lambda } \end{array} \right] , \quad \boldsymbol { F } _ { \alpha \rightarrow \gamma } ^ { \mathrm { G N N } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - 0 . 0 9 9 8 \lambda } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 - 0 . 0 9 9 8 \lambda } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + 0 . 2 7 3 0 \lambda } \end{array} \right] .
\left. \left< \left< F _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdots F _ { \mu _ { n } \nu _ { n } } ( x _ { n } ) \right> \right> = ( i g ) ^ { - n } \frac { \delta ^ { n } \ln { \cal Z } \left[ J _ { \mu \nu } \right] } { \delta J _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdots \delta J _ { \mu _ { n } \nu _ { n } } ( x _ { n } ) } \right| _ { J = 0 } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \zeta _ { 0 } } u ( r , x , \xi _ { 0 } , \zeta _ { 0 } ) } & { = \partial _ { \zeta _ { 0 } } \Big ( \Theta ( \varphi _ { t , 0 } ( x ) , \xi _ { t , 0 } ( x , \xi _ { 0 } ) , \zeta _ { t , 0 } ( x , \xi _ { 0 } , \zeta _ { 0 } ) ) \Big ) } \\ & { = \partial _ { \zeta _ { 0 } } \zeta _ { t , 0 } ( x , \xi _ { 0 } , \zeta _ { 0 } ) = 1 . } \end{array}
\mathcal { G } _ { d / s , \Psi } ^ { k } ( t ) = \Theta ( t ) \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { l = 1 } ^ { a _ { j } - 1 } \alpha _ { j } ^ { l , k , s / d } \frac { 1 } { l ! } e ^ { \lambda _ { j } t } t ^ { l } , \quad \alpha _ { j } ^ { l , k , s / d } \int \mathrm { d } \mathbf { x } \rho _ { 0 } ( \mathbf { x } ) ( \mathcal { L } _ { 0 } ^ { \ast } - \lambda _ { j } ) ^ { l } \Pi _ { j } ^ { \ast } \Psi ( \mathbf { x } ) \mathcal { L } _ { 1 , s / d } ^ { k } ( \log ( \rho _ { 0 } ( \mathbf { x } ) ) ) .
\mathcal { A } ^ { S O ( 3 ) } \equiv \left( \begin{array} { c c } { { \mathcal { A } _ { i } \frac { \sigma _ { i } } { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \mathcal { A } _ { i } \frac { \sigma _ { i } } { 2 } } } \end{array} \right) \; .
+ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { + } f _ { 2 } \partial _ { - } f _ { 1 } + \frac { 5 } { 3 } e ^ { - 2 \rho } \Omega ^ { 2 / 3 } ( e ^ { - \sqrt { 2 } f _ { 1 } } F _ { 1 + - } ^ { 2 } + e ^ { - \sqrt { 2 } f _ { 1 } } F _ { 2 + - } ^ { 2 } + e ^ { \sqrt { 2 } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) } F _ { + - } ^ { 2 } ) = 0
{ \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 1 } } \\ { \sigma _ { 2 2 } } \\ { \sigma _ { 1 2 } } \end{array} \right] } \, = \, { \frac { E } { ( 1 + \nu ) ( 1 - 2 \nu ) } } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - \nu } & { \nu } & { 0 } \\ { \nu } & { 1 - \nu } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 - 2 \nu } { 2 } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { 1 1 } } \\ { \varepsilon _ { 2 2 } } \\ { 2 \varepsilon _ { 1 2 } } \end{array} \right] }
I _ { e } = \cos ^ { 2 } i \, \sin ^ { 2 } ( i { - } s ) + \sin ^ { 2 } i \, \cos ^ { 2 } ( i { - } s ) - { \frac { 1 } { 2 } } \sin 2 i \, \sin 2 ( i { - } s ) \cos \phi \, ,
\tilde { u } _ { j } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } u _ { n } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \frac { 2 \pi } { N } j n } , \quad j = - \frac { N } { 2 } , \dots , \frac { N } { 2 } - 1 ,