harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } \{ \int _ { \Omega } \left( \nabla \times \vec { W } _ { i } \right) \cdot \left( \bar { \bar { \varepsilon } } ^ { - 1 } \nabla \times \vec { W } _ { j } \right) d \Omega - \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } \int _ { \Omega } \vec { W } _ { i } \cdot \vec { W } _ { j } d \Omega + } & { \int _ { \partial \Omega } \vec { W } _ { i } \cdot \left( \hat { n } \times \bar { \bar { \varepsilon } } ^ { - 1 } \nabla \times \vec { W } _ { j } \right) d \Gamma \} H _ { j } } \\ & { = - i \omega \int _ { \Omega } \vec { W } _ { i } \cdot \left( \nabla \times \bar { \bar { \varepsilon } } ^ { - 1 } \vec { J } _ { \mathrm { e x t } } \right) d \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { { \mathbf { k } _ { 1 } } , { \mathbf { k } _ { 2 } } , { \mathbf { k } _ { 1 } ^ { \prime } } , { \mathbf { k } _ { 2 } ^ { \prime } } } ^ { \alpha , \beta , \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } } } & { = \left< { \Sigma } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } , { \mathbf { k } _ { 1 } } , { \mathbf { k } _ { 1 } ^ { \prime } } } { \Sigma } _ { \beta , \beta ^ { \prime } , { \mathbf { k } _ { 2 } } , { \mathbf { k } _ { 2 } ^ { \prime } } } \right> _ { S _ { \phi } ^ { \prime } } } \\ & { - \left< { \Sigma } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } , { \mathbf { k } _ { 1 } } , { \mathbf { k } _ { 1 } ^ { \prime } } } \right> _ { S _ { \phi } ^ { \prime } } \left< { \Sigma } _ { \beta , \beta ^ { \prime } , { \mathbf { k } _ { 2 } } , { \mathbf { k } _ { 2 } ^ { \prime } } } \right> _ { S _ { \phi } ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } e _ { v } ^ { 2 } \wedge \Big ( - i _ { ( \ast e _ { v } ^ { 1 } ) ^ { \sharp } } d v - d \big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } ) \big ) + f _ { v } ^ { 1 } \Big ) + \int _ { \Sigma } e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge \big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \mathrm { t r } _ { \Sigma } ( e _ { v } ^ { 1 } ) + f _ { \Sigma } ^ { 1 } \big ) = 0 . } \end{array}
\mathcal { G } _ { 2 , 2 } ^ { ( 4 ) } = \bar { m } _ { 2 1 } \xi _ { 2 } + \bar { n } _ { 2 1 } \xi _ { 3 } , ~ \mathcal { G } _ { 2 , 3 } ^ { ( 4 ) } = \bar { m } _ { 2 2 } \xi _ { 2 } + \bar { n } _ { 2 2 } \xi _ { 3 } + \alpha _ { 2 2 } \lambda
z ( t ) = \underbrace { ( k t + b ) \; + i t } _ { \mathrm { l i n e } } \quad \to \quad e ^ { z ( t ) } = e ^ { k t + b } \cdot e ^ { i t } = \underbrace { e ^ { b } e ^ { k t } ( \cos t + i \sin t ) } _ { \mathrm { l o g . ~ s p i r a l } }
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \Omega } \rVert \mathcal { A } ( \omega ) h \rVert _ { s } + \gamma \operatorname* { s u p } _ { \omega _ { 1 } \ne \omega _ { 2 } \in \Omega } \rVert \Delta _ { 1 2 } \mathcal { A } h \rVert _ { s } \le \mathfrak { M } _ { \mathcal { A } } ^ { \gamma } ( \mu , s ) \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu } + \mathfrak { M } _ { \mathcal { A } } ^ { \gamma } ( \mu , s _ { 0 } ) \rVert h \rVert _ { s + \mu } , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ h \in ~ C ^ \infty _ { \varphi , x } ~ . } } \end{array}
\frac { d z } { d t } = \frac { d z } { d \theta } \frac { d \theta } { d t } = - \epsilon c \bigg [ \sin \theta + 2 \epsilon \Gamma \sin 2 \theta \bigg ] \bigg [ 1 - \epsilon \coth \alpha \cos \theta \bigg ] = - \epsilon c \sin \theta + \epsilon ^ { 2 } c \bigg [ \frac { \coth \alpha } { 2 } - 2 \Gamma \bigg ] \sin 2 \theta .
\begin{array} { r l } { K _ { 2 } ^ { 2 } ( r ) } & { = K _ { 2 } ^ { 2 } ( 0 ) + \left( \frac { r } { 8 } + \frac { r ^ { 2 } } { 4 } \right) \mathbb { E } \left[ \{ g ^ { \dprime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) g ^ { \prime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) ^ { \} } 2 \right] + \frac { r } { 8 } \mathbb { E } \left[ g ^ { \prime \prime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) ^ { 3 } \right] } \\ & { = K _ { \textrm { M A L A } } ^ { 2 } + \left( \frac { r } { 8 } + \frac { r ^ { 2 } } { 4 } \right) \mathbb { E } \left[ \{ g ^ { \dprime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) g ^ { \prime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) \} ^ { 2 } \right] + \frac { r } { 8 } \mathbb { E } \left[ g ^ { \prime \prime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) ^ { 3 } \right] \geq K _ { \textrm { M A L A } } ^ { 2 } \; , } \end{array}
v _ { k } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { + , k } ( x ) : = \frac { u _ { k } ( x ) - \alpha _ { k } x _ { d } ^ { + } } { \alpha _ { k } \varepsilon _ { k } } \qquad } & { x \in \Omega _ { u _ { k } } ^ { + } \cap B _ { 1 } } \\ { v _ { - , k } ( x ) : = \frac { u _ { k } ( x ) + \beta _ { k } x _ { d } ^ { - } } { \beta _ { k } \varepsilon _ { k } } \qquad } & { x \in \Omega _ { u _ { k } } ^ { - } \cap B _ { 1 } } \end{array} \right.
\{ \varphi , \psi \} _ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ L . P . } } } = \sum _ { a , b , c } i f ^ { a b c } \, \frac { \partial \varphi } { \partial \xi ^ { a } } \, \frac { \partial \psi } { \partial \xi ^ { b } } \, \xi ^ { c } .
L ^ { i n t } = - e ( \overline { { \psi } } _ { 1 } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 5 } \psi _ { 1 } - \overline { { \psi } } _ { 2 } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 5 } \psi _ { 2 } ) C _ { \mu } + i e ( \overline { { \psi } } _ { 1 } \gamma ^ { \mu } \psi _ { 1 } + \overline { { \psi } } _ { 2 } \gamma ^ { \mu } \psi _ { 2 } ) B _ { \mu }
\left| \int _ { M } \Phi _ { 1 } ( x , t ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x - \int _ { M } \Phi _ { 1 } ( x , t ) G ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x \right| \geq \frac { 1 } { 2 } | v _ { * } ( y _ { 1 } ) - v _ { * } ( y _ { 2 } ) | t
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf { x } } ( t ) = \mathbf { f } ( \mathbf { x } , t ) , \ \ \mathbf { f } = [ f _ { 1 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } ] ^ { \top } , \ \ \mathbf { x } = [ x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ] ^ { \top } \in U \subset \mathbb { R } ^ { 3 } , \ \ \mathbf { x } ( t = 0 ) = \mathbf { x } _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { t } ^ { \ell } ( u \cdot \nabla \phi ) \| _ { s } ^ { 2 } \lesssim } & { \sum _ { a + b = \ell } \| \partial _ { t } ^ { a } u \| _ { s } ^ { 2 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { b } \phi \| _ { s } ^ { 2 } \lesssim \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } \big ( \| \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { s } ^ { 4 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { s } ^ { 4 } \big ) } \\ { \lesssim } & { \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } \big ( \| U _ { j } ( u , \phi ) \| _ { s - 2 } ^ { 4 } + \| \Phi _ { j } ( u , \phi ) \| _ { s - 2 } ^ { 4 } + E _ { j } ^ { 2 } ( t ) \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { 2 } \psi _ { n , k } ^ { ( 0 ) } - \left( i n \textrm { W o } ^ { 2 } + \alpha _ { k } \right) \Delta \psi _ { n , k } ^ { ( 0 ) } } & { { } = 0 , } \\ { \Delta ^ { 2 } \psi _ { n , k } ^ { ( 1 ) } - \left( i n \textrm { W o } ^ { 2 } + \alpha _ { k } \right) \Delta \psi _ { n , k } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \textrm { W o } ^ { 2 } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \nabla ^ { \perp } \psi _ { m , j } ^ { ( 0 ) } \cdot \nabla \Delta \psi _ { n - m , k - j } ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ s ^ { ( n , m ) } - \frac { 2 w } { 1 + w } s ^ { ( n , m + 1 ) } - \frac { 1 - w } { 1 + w } s ^ { ( n , m + 2 ) } } \\ { = } & { ~ \frac { 2 w } { 1 + w } \left( s ^ { ( n , m ) } - s ^ { ( n , m + 1 ) } \right) } \\ & { + \frac { 1 - w } { 1 + w } \left( s ^ { ( n , m ) } - s ^ { ( n , m + 1 ) } + s ^ { ( n , m + 1 ) } - s ^ { ( n , m + 2 ) } \right) } \\ { = } & { ~ \frac { \mu } { 2 } \left( N p ^ { ( n , m ) } + \frac { 1 - w } { 1 + w } N p ^ { ( n , m + 1 ) } - \frac { 2 } { 1 + w } \right) } \\ & { + \frac { 2 } { 1 + w } \mathcal { O } ( \mu ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { | z _ { i i } ^ { \prime } ( 0 ) | = \frac { \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } Q _ { i , n } ^ { 2 } \right) Q _ { i , n } \right) ^ { 2 } } { \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } Q _ { i , n } ^ { 2 } \right) \right) ^ { 4 } } = \frac { \left( m _ { i } ^ { ( 1 ) } ( 1 ) \right) ^ { 2 } } { \left( m _ { i } ^ { ( 0 ) } ( 1 ) \right) ^ { 4 } } . } \end{array}
m _ { 2 } ^ { 2 } = - m _ { 3 } ^ { 2 } \cot \beta - v ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta ( 2 \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 3 } \cot ^ { 2 } \beta + \lambda _ { 4 } { \frac { \cot ^ { 2 } \beta } { 2 } } ) ,
J _ { s } ( t ) = \frac { e g } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \sum _ { k _ { \perp } ^ { ( i ) } } \frac { v _ { \perp } ^ { ( i ) } ( k _ { \perp } ^ { ( i ) } ) } { L _ { \perp } } \int [ f _ { F D } ( \varepsilon _ { \parallel } ) \Gamma ( \varepsilon _ { \parallel } , \varepsilon _ { \perp } ^ { ( i ) } , t ) ] d ^ { 2 } \emph { \textbf { k } } _ { \parallel } ,
u ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { { \cal S } _ { 1 / 2 } } \left( z - \frac { z _ { 1 } + \delta _ { \mathrm { a } } } { 2 } \right) , ~ ~ z \geq \delta _ { \mathrm { a } } } \\ { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { z } \frac { u _ { \star } ^ { 2 } \, e _ { \tau } ^ { \mathrm { f r e e } } } { K _ { u , z ^ { \prime } } } \, \mathrm { d } z ^ { \prime } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ z < \delta _ { \mathrm { a } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } \delta n _ { + } + \frac { \partial } { \partial x } ( n _ { 0 } \delta v _ { + } ) = 0 , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \left( \gamma _ { 0 } \delta n _ { - } + n _ { 0 } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \frac { v _ { 0 } } { c ^ { 2 } } \delta v _ { - } \right) + \frac { \partial } { \partial x } ( n _ { 0 } \delta v _ { - } ) + \frac { \partial } { \partial x } \left[ v _ { 0 } ( \gamma _ { 0 } \delta n _ { - } + n _ { 0 } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \frac { v _ { 0 } } { c ^ { 2 } } \delta v _ { - } ) \right] = 0 , } \\ & { \bar { M } _ { + } \frac { \partial } { \partial t } \delta v _ { + } = e \delta E - \frac { 1 } { n _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial x } \delta p _ { + } , } \\ & { \bar { M } _ { - } \gamma _ { 0 } ^ { 3 } \left( \frac { \partial } { \partial t } + v _ { 0 } \frac { \partial } { \partial x } \right) \delta v _ { - } = - e \delta E - \frac { 1 } { n _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial x } \delta p _ { - } , } \\ & { \frac { \partial } { \partial x } \delta E = e \left( \delta n _ { + } - \gamma _ { 0 } \delta n _ { -- } n _ { 0 } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \frac { v _ { 0 } } { c ^ { 2 } } \delta v _ { - } \right) , } \\ & { \frac { \delta p _ { + } } { P _ { + } } = \Gamma _ { + } \frac { \delta n _ { + } } { n _ { 0 } } , \frac { \delta p _ { - } } { P _ { - } } = \Gamma _ { - } \frac { \delta n _ { - } } { \bar { n } _ { - } } , } \end{array}
E { \left[ \arcsin ( x ) , k \right] } = \left( 1 + { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } \right) E { \left[ \arcsin \left( { \frac { \left( 1 + { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } \right) x } { 1 + { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } } \right) , { \frac { 1 - { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } } { 1 + { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } } } \right] } - { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } F { \left[ \arcsin ( x ) , k \right] } + { \frac { k ^ { 2 } x { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } { 1 + { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { = \alpha = { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { = \beta = { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 3 1 2 } } + { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 1 } \hat { R } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] = \left[ \langle N | \hat { V } _ { 1 } \hat { R } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 1 } \hat { R } _ { 1 } ^ { ( + 1 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { x } { \frac { f ^ { ( k + 1 ) } ( t ) } { k ! } } ( x - t ) ^ { k } \, d t = } & { { } - \left[ { \frac { f ^ { ( k + 1 ) } ( t ) } { ( k + 1 ) k ! } } ( x - t ) ^ { k + 1 } \right] _ { a } ^ { x } + \int _ { a } ^ { x } { \frac { f ^ { ( k + 2 ) } ( t ) } { ( k + 1 ) k ! } } ( x - t ) ^ { k + 1 } \, d t } \\ { = } & { { } \ { \frac { f ^ { ( k + 1 ) } ( a ) } { ( k + 1 ) ! } } ( x - a ) ^ { k + 1 } + \int _ { a } ^ { x } { \frac { f ^ { ( k + 2 ) } ( t ) } { ( k + 1 ) ! } } ( x - t ) ^ { k + 1 } \, d t . } \end{array}
\frac { { \partial J } } { { \partial { { \bar { u } } _ { i } } } } = \frac { { \partial J } } { { \partial { D } } } \frac { { \partial { D } } } { { \partial { { \bar { u } } _ { i } } } } = 2 \left( { { D } - D ^ { \mathrm { { f D N S } } } } \right) { \mathbb { F } ^ { - 1 } } \left\{ 2 \nu { { k ^ { 2 } } { { \bar { v } } _ { i } } \left( { { \bf { k } } , t } \right) \delta \left( { \left| { \bf { k } } \right| - k } \right) } \right\} ,
\frac { 2 0 0 \cdot 1 9 9 \cdot 1 9 8 \cdot \ldots \cdot 1 2 1 } { 8 0 \cdot 7 9 \cdot 7 8 \cdot \ldots \cdot 1 } = \frac { 2 0 0 \cdot 1 9 9 \cdot 1 9 8 \cdot \ldots \cdot 1 2 1 } { 8 0 \cdot 7 9 \cdot 7 8 \cdot \ldots \cdot 1 } \cdot \frac { 1 2 0 \cdot 1 1 9 \cdot 1 1 8 \cdot \ldots \cdot 1 } { 1 2 0 \cdot 1 1 9 \cdot 1 1 8 \cdot \ldots \cdot 1 } = \frac { 2 0 0 ! } { 8 0 ! \cdot 1 2 0 ! } = \binom { 2 0 0 } { 8 0 }
\small \begin{array} { r l } & { x _ { c m } = \frac { 1 } { 3 } ( x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } ) , \quad y _ { c m } = \frac { 1 } { 3 } ( y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 3 } ) , } \\ & { \Bar { x } _ { 1 } = x _ { 1 } - x _ { c m } , \quad \Bar { y } _ { 1 } = y _ { 1 } - y _ { c m } , \quad \Bar { x } _ { 2 } = x _ { 2 } - x _ { c m } , \quad \Bar { y } _ { 2 } = y _ { 2 } - y _ { c m } , \quad \Bar { x } _ { 3 } = x _ { 3 } - x _ { c m } , \quad \Bar { y } _ { 3 } = y _ { 3 } - y _ { c m } , } \\ & { u _ { c m } = \frac { 1 } { 3 } ( u _ { 1 } + u _ { 2 } + u _ { 3 } ) , \quad v _ { c m } = \frac { 1 } { 3 } ( v _ { 1 } + v _ { 2 } + v _ { 3 } ) , } \\ & { \Bar { u } _ { 1 } = u _ { 1 } - u _ { c m } , \quad \Bar { v } _ { 1 } = v _ { 1 } - v _ { c m } , \quad \Bar { u } _ { 2 } = u _ { 2 } - u _ { c m } , \quad \Bar { v } _ { 2 } = v _ { 2 } - v _ { c m } , \quad \Bar { u } _ { 3 } = u _ { 3 } - u _ { c m } , \quad \Bar { v } _ { 3 } = v _ { 3 } - v _ { c m } , } \\ & { L _ { c m } = x _ { c m } v _ { c m } - y _ { c m } u _ { c m } } \\ & { L = \Bar { v } _ { 1 } \Bar { x } _ { 1 } + \Bar { v } _ { 2 } \Bar { x } _ { 2 } + \Bar { v } _ { 3 } \Bar { x } _ { 3 } - \Bar { u } _ { 1 } \Bar { y } _ { 1 } - \Bar { u } _ { 2 } \Bar { y } _ { 2 } - \Bar { u } _ { 3 } \Bar { y } _ { 3 } , } \\ & { E = \Bar { u } _ { 1 } ^ { 2 } + \Bar { v } _ { 1 } ^ { 2 } + \Bar { u } _ { 2 } ^ { 2 } + \Bar { v } _ { 2 } ^ { 2 } + \Bar { u } _ { 3 } ^ { 2 } + \Bar { v } _ { 3 } ^ { 2 } , } \\ & { I = \Bar { x } _ { 1 } ^ { 2 } + \Bar { y } _ { 1 } ^ { 2 } + \Bar { x } _ { 2 } ^ { 2 } + \Bar { y } _ { 2 } ^ { 2 } + \Bar { x } _ { 3 } ^ { 2 } + \Bar { y } _ { 3 } ^ { 2 } , } \\ & { J = ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) ^ { 2 } , } \\ & { K = u _ { 1 } v _ { 2 } - u _ { 1 } v _ { 3 } - u _ { 2 } v _ { 1 } + u _ { 2 } v _ { 3 } + u _ { 3 } v _ { 1 } - u _ { 3 } v _ { 2 } , } \\ & { A = x _ { 1 } y _ { 2 } - x _ { 1 } y _ { 3 } - x _ { 2 } y _ { 1 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } , } \\ & { D = u _ { 1 } ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) + v _ { 1 } ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) + u _ { 2 } ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) + v _ { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) + u _ { 3 } ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) + v _ { 3 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) , } \\ & { \omega = u _ { 1 } ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) + u _ { 2 } ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) + u _ { 3 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) + v _ { 1 } ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) + v _ { 2 } ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) + v _ { 3 } ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) , } \\ & { G = \Bar { u } _ { 1 } \Bar { x } _ { 1 } + \Bar { u } _ { 2 } \Bar { x } _ { 2 } + \Bar { u } _ { 3 } \Bar { x } _ { 3 } + \Bar { v } _ { 1 } \Bar { y } _ { 1 } + \Bar { v } _ { 2 } \Bar { y } _ { 2 } + \Bar { v } _ { 3 } \Bar { y } _ { 3 } } \end{array}
\boldsymbol { I } _ { S } = \rho _ { w } \, \int _ { 0 } ^ { t } \, \int _ { \upSigma } \left[ \frac { 1 } { 2 } \lVert \nabla \Phi \rVert ^ { 2 } \boldsymbol { n } - \frac { \partial \Phi } { \partial \, n } \nabla \Phi \right] \mathrm { ~ d ~ } A \mathrm { ~ d ~ } t ,
\begin{array} { r l r } { u ^ { T } \tilde { x } _ { + } - l ^ { T } \tilde { x } _ { - } } & { = } & { \sum _ { d _ { h } \neq 0 } [ w _ { h } x _ { h } - \epsilon ( w _ { h } d _ { h } a _ { h } ^ { T } B a _ { j } ) ] + \epsilon u _ { j } } \\ & { = } & { w ^ { T } x + \epsilon ( u _ { j } - w ^ { T } D A ^ { T } B a _ { j } ) } \\ & { = } & { \epsilon ( u _ { j } - a _ { j } ^ { T } \bar { y } ) < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { i } \\ { 1 } & { - i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } } \end{array} \right) } \end{array}
\mathbb { M } _ { i } ( t , \vec { r } , R _ { i } ) = A _ { i } ( R _ { i } ) F _ { i } ( \vec { r } , R _ { i } ) e ^ { j ( \Delta \omega _ { i } ( R _ { i } ) t + \Delta \varphi _ { i } ( R _ { i } ) ) } \mathbb { J } _ { i } ( R _ { i } ) ,
\left\{ \begin{array} { l } { T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { O N } } = \left| \cos ( \theta _ { 2 1 } ^ { \mathrm { O N } } ) \right| e ^ { j \theta _ { 2 1 } ^ { \mathrm { O N } } } } \\ { T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { O F F } } = \left| \cos ( \theta _ { 2 1 } ^ { \mathrm { O F F } } - \varphi ) \right| e ^ { j \theta _ { 2 1 } ^ { \mathrm { O F F } } } } \end{array} \right.
\psi _ { a } ^ { b } ( \vec { \lambda } ) \equiv { \bf X } _ { b , b + 2 } ^ { b + 1 } ( \lambda _ { 1 } ) \cdots { \bf X } _ { a + N - 2 , a + N } ^ { a + N - 1 } ( \lambda _ { M } ) \omega _ { a } ^ { a + N }
\begin{array} { r } { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } } } } = { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ L ~ } ~ } } } } { \bf \Lambda } { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ L ~ } ~ } } } } ^ { - 1 } , } \end{array}
\int \sec ^ { n } { a x } \, d x = { \frac { \sec ^ { n - 2 } { a x } \tan { a x } } { a ( n - 1 ) } } \, + \, { \frac { n - 2 } { n - 1 } } \int \sec ^ { n - 2 } { a x } \, d x \qquad { \mathrm { ~ ( f o r ~ } } n \neq 1 { \mathrm { ) } }
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { A } } } & { : = \hat { H } _ { \mathrm { l o c } } + \hat { H } _ { \mathrm { b a t h } } , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { l o c } } } & { : = \phantom { + } \sum _ { \{ \alpha \} } \epsilon _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { 0 } \hat { d } _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { \alpha _ { 2 } } } \\ & { \phantom { : = } + \sum _ { \{ \alpha \} } U _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } \hat { d } _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { \alpha _ { 2 } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { \alpha _ { 3 } } \hat { d } _ { \alpha _ { 4 } } , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { b a t h } } } & { : = \phantom { + } \sum _ { \{ \alpha \} } \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { \mathrm { b } } } \epsilon _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { l } \hat { c } _ { l \alpha _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { l \alpha _ { 2 } } } \\ & { \phantom { : = } + \sum _ { \{ \alpha \} } \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { \mathrm { b } } } \left( \nu _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { l } \hat { d } _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { l \alpha _ { 2 } } + \mathrm { h . c . } \right) , } \end{array}
M _ { a } ( \mathbf { r } , t ) = M _ { 0 a } + \frac { e ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } } \sum _ { b } \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } d t ^ { \prime } \chi _ { a b } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } , t - t ^ { \prime } ) B _ { b } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 M _ { n } r ^ { 2 } } \, \frac { d } { d r } \bigg ( r ^ { 2 } \, \frac { d \psi _ { n _ { r } , L } ( r ) } { d r } \bigg ) + \frac { \hbar ^ { 2 } L ( L + 1 ) } { 2 M _ { n } r ^ { 2 } } \, \psi _ { n _ { r } , L } ( r ) } \\ & { } & { \; \; + V _ { \mathrm { n u c l } } ^ { ( n ) } ( r ) \psi _ { n _ { r } , L } ( r ) = \epsilon \psi _ { n _ { r } , L } ( r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i } = \epsilon _ { i } + } & { \sum _ { x _ { j } \in C o _ { l } ^ { i } ( x _ { i } ) } \beta _ { x _ { j } \rightarrow x _ { i } } ( x _ { j } ^ { s } - \epsilon _ { x _ { j } ^ { s } } ) + } \\ & { \sum _ { x _ { k } \in C o _ { l } ( x _ { i } ) \setminus C o _ { l } ^ { i } ( x _ { i } ) } \beta _ { x _ { k } \rightarrow x _ { i } } x _ { k } + \sum _ { x _ { l } \in C o _ { o } ( x _ { i } ) } \beta _ { x _ { l } \rightarrow x _ { i } } x _ { l } } \end{array}
{ \mathcal D } _ { 1 } ( x , y ) \; = \; \int \frac { d ^ { 2 } { \hat { k } } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \, e ^ { i { \hat { k } } \cdot ( { \hat { x } } - { \hat { y } } ) } \gamma _ { k } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )
\left( | H \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } + | V \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } - | - m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } \right) / 2
i { \frac { d \psi _ { \alpha } } { d t } } = \alpha \psi _ { \alpha } + { \frac { \beta } { 2 } } \psi _ { s } ^ { \prime } , \ i { \frac { d \psi _ { s } ^ { \prime } } { d t } } = { \frac { \beta } { 2 } } \psi _ { \alpha } + \gamma \psi _ { s } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r c l r c l } { { \hat { \cal H } ^ { ( i ) } } } & { { = } } & { { \partial \hat { \cal B } ^ { ( i ) } \, , } } & { { \delta \hat { \cal B } ^ { ( i ) } } } & { { = } } & { { \partial \hat { \Sigma } ^ { ( i ) } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { F } } } & { { = } } & { { \partial \hat { D } + { \textstyle \frac { 3 } { 4 } } \epsilon ^ { i j } \hat { \cal B } ^ { ( i ) } \partial \hat { \cal B } ^ { ( j ) } \, , } } & { { \delta \hat { D } } } & { { = } } & { { \partial \hat { \rho } - { \textstyle \frac { 3 } { 4 } } \epsilon ^ { i j } \partial \hat { \Sigma } ^ { ( i ) } \hat { \cal B } ^ { ( j ) } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial S ( x _ { 0 } , t ) } { \partial t } } & { = } & { D \int _ { 0 } ^ { L } \frac { \partial ^ { 2 } \rho ( x , t | x _ { 0 } ) } { \partial x ^ { 2 } } d x + \frac { d q ( t | x _ { 0 } ) } { d t } } \\ & { = } & { - D \frac { \partial \rho ( 0 , t | x _ { 0 } ) } { \partial x } + \frac { d q ( t | x _ { 0 } ) } { d t } } \\ & { = } & { - \kappa _ { 0 } q ( t | x _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { s } v _ { 0 } ^ { a , d , \mu } } & { = C G ( \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } ; \, \frac { d } { 2 } , \frac { d } { 2 } \, | \, \frac { a + d } { 2 } , \frac { a + d } { 2 } ) \; C G ( \frac { d + m } { 2 } , \frac { d + m } { 2 } - s ; \, \frac { d } { 2 } , - \frac { d } { 2 } \, | \, \frac { m } { 2 } , \frac { m } { 2 } - s ) \; \; v _ { 0 } ^ { a } \otimes v _ { s } ^ { c } } \\ & { = \sqrt { \frac { ( d + m - s ) ! \; ( m + 1 ) ! } { ( d + m + 1 ) ! \; ( m - s ) ! } } \; \; v _ { 0 } ^ { a } \otimes v _ { s } ^ { c } . } \end{array}