harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \big \langle G ( w _ { 1 } ) A _ { 1 } G ( w _ { 2 } ) A _ { 2 } \big \rangle = } & { \sum _ { \sigma , \tau } \langle \! \langle A _ { 1 } \rangle \! \rangle _ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } ^ { \sigma } \langle \! \langle A _ { 2 } \rangle \! \rangle _ { w _ { 2 } , w _ { 1 } } ^ { \tau } \big \langle G ( w _ { 1 } ) E _ { \sigma } G ( w _ { 2 } ) E _ { \tau } \big \rangle } \\ & { + \sum _ { \sigma } \langle \! \langle A _ { 1 } \rangle \! \rangle _ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } ^ { \sigma } \big \langle G ( w _ { 1 } ) E _ { \sigma } G ( w _ { 2 } ) \mathring { A } _ { 2 } ^ { w _ { 2 } , w _ { 1 } } \big \rangle } \\ & { + \sum _ { \tau } \langle \! \langle A _ { 2 } \rangle \! \rangle _ { w _ { 2 } , w _ { 1 } } ^ { \tau } \big \langle G ( w _ { 1 } ) \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } G ( w _ { 2 } ) E _ { \tau } \big \rangle } \\ & { + \big \langle G ( w _ { 1 } ) \mathring { A } _ { 1 } ^ { { w _ { 1 } , w _ { 2 } } } G ( w _ { 2 } ) \mathring { A } _ { 2 } ^ { { w _ { 2 } , w _ { 1 } } } \big \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \r { d _ { j - 1 } } } \vert \partial ^ { \beta } \psi _ { j } ( x ) \partial ^ { \gamma } ( h \circ W _ { j } ) ( x ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x \le \Vert W _ { j } \Vert ^ { 2 \vert \gamma \vert } \int _ { \r { d _ { j - 1 } } } \vert \partial ^ { \beta } \psi _ { j } ( x ) ( \partial ^ { \gamma } h ) ( W _ { j } x ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \psi ^ { \prime \prime } ( z ) + \frac { 2 } { z } \, \psi ^ { \prime } ( z ) + \frac { 1 } { 3 z ^ { 4 } } \, \psi ( z ) = z ^ { - 1 1 / 2 } \, \exp \left( \frac { 2 i \, \sqrt { 3 } } { 3 z } \right) \, \left[ z ^ { 2 } + \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 2 } \, z ^ { 3 } \right] , } \\ & { } & { \psi ^ { \prime \prime } ( z ) + \frac { 2 } { z } \, \psi ^ { \prime } ( z ) + \frac { 1 } { 3 z ^ { 4 } } \, \psi ( z ) = z ^ { - 1 1 / 2 } \, \exp \left( \frac { - 2 i \, \sqrt { 3 } } { 3 z } \right) \, \left[ z ^ { 2 } - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 2 } \, z ^ { 3 } \right] \, , } \end{array}
\mu _ { m } ^ { \mathrm { ( p ) } } \mu _ { m + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } + \mu _ { m } ^ { \mathrm { ( s ) } } \mu _ { m + 1 } ^ { \mathrm { ( s ) } } < \mu _ { m } ^ { \mathrm { ( s ) } } \mu _ { m + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } }
\begin{array} { r l } { { S _ { 1 2 } ^ { s h } } } & { = S _ { 3 4 } ^ { s h } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } ( 1 - R ) p ( 1 - p ) } \\ & { \times \bigg ( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) , } \\ { { S _ { 1 4 } ^ { s h } } } & { = S _ { 2 3 } ^ { s h } = \frac { ( 1 + R ) } { ( 1 - R ) } S _ { 1 2 } ^ { s h } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } ( d g _ { 1 } ^ { t } ) { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } = t ( c h _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } + d h _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } ) + O ( t ^ { 2 } ) , } \\ { \operatorname* { d e t } ( d g _ { 2 } ^ { t } ) { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } = t ( r h _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } + s h _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } ) + O ( t ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H \bigg [ \frac { 1 } { M } \sum _ { i } ^ { M } p ( y \mid \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } , x , \theta _ { i } , \eta _ { i } ) \bigg ] } & { \approx \frac { 1 } { 2 } \log [ 2 \pi e ( \mathbb { V } \mathrm { a r } [ y ] + \sigma _ { n , i } ^ { 2 } ) ] , } \\ { \mathbb { V } \mathrm { a r } [ y ] } & { = \frac { 1 } { M } \sum _ { i } ^ { M } \bigg ( C ( x , x \mid \theta _ { i } ) + m ^ { 2 } ( x \mid \theta _ { i } ) \bigg ) - \mathbb { E } [ y \theta _ { i } ] ^ { 2 } , } \\ { \mathbb { E } [ y ] } & { = \frac { 1 } { M } \sum _ { i } ^ { M } m ( x \mid \theta _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { l l l l l } { { r _ { \pi } = 0 . 5 8 \, \mathrm { f m } ~ , } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { a _ { 0 } ^ { 0 } = 0 . 1 7 , \; } } & { { a _ { 0 } ^ { 2 } = - 0 . 0 4 8 , \; } } & { { a _ { 1 } ^ { 1 } = 0 . 0 3 6 , \; } } & { { a _ { 2 } ^ { 0 } = 0 . 0 0 2 0 , \; } } & { { a _ { 2 } ^ { 2 } = 0 . 0 ~ . } } \end{array}
\iint _ { D } \left( - { \frac { \partial v } { \partial x } } - { \frac { \partial u } { \partial y } } \right) \, d x \, d y = \iint _ { D } \left( { \frac { \partial u } { \partial y } } - { \frac { \partial u } { \partial y } } \right) \, d x \, d y = 0
A = D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } - D _ { 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } + D _ { 2 2 ^ { \prime } } - D _ { 2 1 2 ^ { \prime } } + D _ { 2 1 } = \sum _ { i } a _ { i }
\begin{array} { r l } { \nabla _ { c } \widehat { q } _ { a b } = } & { \frac { D } { D t } \left( \nabla _ { c } q _ { a b } \right) + d _ { d c } \nabla _ { d } q _ { a b } + w _ { d c } \nabla _ { d } q _ { a b } + w _ { d b } \nabla _ { c } q _ { a d } + w _ { d a } \nabla _ { c } q _ { d b } } \\ & { + \left( q _ { a d } \epsilon _ { d b } - \epsilon _ { a d } q _ { d b } \right) \zeta _ { c } . } \end{array}
\Psi _ { 2 n - 1 } = - i \theta ( p ) \left[ p ^ { u } g _ { 2 n - 2 , u v } \xi ^ { v } - \xi ^ { u } g _ { 2 n - 2 , u v } p ^ { v } \right] + k _ { u v k } \xi ^ { u } \xi ^ { v } \xi ^ { k } ,
P _ { 1 } ( \mathbf { r } , \phi ) - \frac { 1 } { L ^ { 2 } } p ( \phi , t ) = \sum _ { k l m } F _ { k l m } ( t ) e ^ { i k \phi } e ^ { i \frac { 2 \pi } { L } l x } e ^ { i \frac { 2 \pi } { L } m y } .
\widetilde \omega ^ { 2 } \cdot \frac { \widetilde { \omega } ^ { - 2 } \beta ^ { 1 . 4 2 } \left( \Pi ^ { 3 . 5 7 } \widetilde { \omega } ^ { 0 . 5 8 } + R _ { T } ^ { 1 . 0 2 } \right) } { \Delta \left( \widetilde { \omega } ^ { 5 . 5 3 } \frac { \Delta ^ { 5 . 5 9 } } { R _ { T } ^ { 6 . 4 7 } } + R _ { T } M ^ { 0 . 3 7 } \right) }
\left( \rho , V _ { x } , V _ { y } , V _ { z } , B _ { x } , B _ { y } , B _ { z } , P , P _ { \perp } , P _ { \| } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 7 5 , 1 . 0 , 0 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 ) } & { ( x < 0 ) } \\ { ( 0 . 1 2 5 , 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 7 5 , - 1 . 0 , 0 . 0 , 0 . 1 , 0 . 1 , 0 . 1 ) } & { ( x \geq 0 ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { N _ { \mu ^ { - } } ^ { t o t } ( E _ { \mu } ^ { o b s } , \cos \theta _ { \mu } ^ { o b s } , E _ { h a d } ^ { ' o b s } ) } & { { } = } & { \epsilon _ { r e c } \epsilon _ { c i d } N _ { \mu ^ { - } } + \epsilon _ { r e c } ( 1 - \epsilon _ { c i d } ) N _ { \mu ^ { + } } ~ , } \\ { N _ { \mu ^ { + } } ^ { t o t } ( E _ { \mu } ^ { o b s } , \cos \theta _ { \mu } ^ { o b s } , E _ { h a d } ^ { ' o b s } ) } & { { } = } & { \epsilon _ { r e c } \epsilon _ { c i d } N _ { \mu ^ { + } } + \epsilon _ { r e c } ( 1 - \epsilon _ { c i d } ) N _ { \mu ^ { - } } ~ . } \end{array}
\hat { \sigma } _ { \mathbf { m } , \alpha } = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { x } N _ { y } } } \sum _ { \mathbf { k } \in \mathrm { B Z } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { \mathbf { m } } } \hat { \sigma } _ { \mathbf { k } , \alpha }
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { L } ^ { ( D ) } ) ^ { 2 } ( \tau ) = } & { ( 2 - \beta ) ^ { - \frac { 4 } { \beta - 2 } } \Bigg ( 3 \cdot 4 ^ { \frac { 1 } { \beta - 2 } } \frac { \Gamma \left( - \frac { 3 } { \beta - 2 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - \beta } \right) } } \\ & { - 4 ^ { \frac { \beta - 1 } { \beta - 2 } } \frac { \Gamma \left( - \frac { 2 } { \beta - 2 } \right) ^ { 2 } } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - \beta } \right) ^ { 2 } } \Bigg ) ( D \tau ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \beta / 2 } } } \\ { = : } & { D ^ { \frac { 2 } { 2 - \beta } } \left( M _ { 2 } ( \tau ) - M _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \right) } \\ { = : } & { D ^ { \frac { 2 } { 2 - \beta } } S ^ { 2 } ( \tau ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \hat { q } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { q } _ { t } \| ^ { 2 } } & { \leq \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| q _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { q } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + 8 I \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| \gamma \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } + \| \eta \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] + 1 6 I L ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \underbrace { \| \tau ^ { 2 } q _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } } \\ & { \qquad + 8 I M ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } + 1 6 I M ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 3 2 I M ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + 6 4 I ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 1 6 I ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } L ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\beta _ { \lambda } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ( N + 8 ) \lambda ^ { 2 } - \frac { 1 } { ( 1 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( 1 7 . 2 6 N + 7 5 . 9 5 \right) \lambda ^ { 3 }
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { F } _ { 1 } } & { { } = | \phi ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \omega _ { 1 } ) | ^ { 2 } } & { \mathcal { F } _ { 2 } } & { { } = | \phi ( \boldsymbol { r } _ { 2 } , \omega _ { 2 } ) | ^ { 2 } . } \end{array}
F _ { \lambda i } ^ { K , ( j ) } = \sum _ { \nu \in \mathcal { B } _ { j } } D _ { \lambda \nu } ^ { K , ( j ) } \Phi _ { \nu i } ^ { ( j ) } , \quad G _ { \mu i } ^ { K , ( j ) } = \sum _ { ( \cdot , \lambda ) \in \mathcal { V } _ { j } } w _ { i } A _ { \mu \lambda i } F _ { \lambda i } ^ { K , ( j ) } , \quad \mu , \lambda \in \mathcal { V } _ { j } , i \in \mathcal { Q } _ { j } .
\Omega _ { + 2 } ^ { + 2 i } = - \frac { i } { 2 } \nabla _ { + } \Omega _ { + } ^ { + 2 i } , \quad \Omega _ { - 2 } ^ { - 2 i } = - \frac { i } { 2 } \nabla _ { - } \Omega _ { - } ^ { - 2 i } ,
\begin{array} { r l } & { x _ { i } ^ { r } ( k { + } 1 ) = x _ { i } ^ { r } ( k ) { + } h \big ( { - } \delta _ { i } ^ { r } ( k ) x _ { i } ^ { r } ( k ) { + } ( 1 { - } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } x _ { i } ^ { \ell } ( k ) ) \times } \\ & { \qquad \big ( \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { n } \beta _ { i j } ^ { r } ( k ) x _ { j } ^ { r } ( t ) + \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { q } \beta _ { i j } ^ { w r } ( k ) w _ { j } ^ { r } ( t ) \big ) \big ) } \\ & { w _ { j } ^ { r } ( k + 1 ) = w _ { j } ^ { r } ( k ) + h \big ( - \delta _ { j } ^ { w r } w _ { j } ^ { r } + \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { q } \alpha _ { \ell j } ^ { r } w _ { \ell } ^ { r } } \\ & { \qquad - w _ { j } ^ { r } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { q } \alpha _ { j \ell } ^ { r } + \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } c _ { j \ell } ^ { w r } ( k ) x _ { \ell } ^ { r } \big ) , } \end{array}
\left| u _ { \beta } ( \phi \psi _ { \beta } ) \right| \leq C \operatorname * { s u p } _ { \stackrel { { | p | \leq m + n } } { z \in K } } \left| D ^ { p } ( \phi \psi _ { \beta } ) ( z ) \right| \, \, , \quad \phi \psi _ { \beta } \in G _ { 0 } ^ { \infty } ( \widetilde { X } _ { \beta } ) \, \,
\begin{array} { r l } { J _ { X } } & { = - \mathrm { i } \hbar \left( \sin \chi \frac { \partial } { \partial \theta } - \csc \theta \cos \chi \frac { \partial } { \partial \phi } + \cot \theta \cos \chi \frac { \partial } { \partial \chi } \right) , } \\ { J _ { Y } } & { = - \mathrm { i } \hbar \left( \cos \chi \frac { \partial } { \partial \theta } + \csc \theta \sin \chi \frac { \partial } { \partial \phi } - \cot \theta \sin \chi \frac { \partial } { \partial \chi } \right) , } \\ { J _ { Z } } & { = - \mathrm { i } \hbar \frac { \partial } { \partial \chi } , } \end{array}
U _ { f } d w _ { i + 1 } \phi ( w _ { i + 1 } ) U _ { f } ^ { - 1 } = d w _ { i + 1 } \left( \frac { d w _ { i } } { d w _ { i + 1 } } \right) \phi ( w _ { i } ) = d w _ { i } \phi ( w _ { i } )
\begin{array} { r l } { - } & { \int _ { S } \{ n _ { 2 } \mu | \partial _ { n } u | ^ { 2 } + n _ { 2 } ( \lambda + \mu ) | \nabla \cdot u | ^ { 2 } \} \, \mathrm { d } s } \\ & { = \int _ { \Gamma _ { h } } \{ 2 \Re ( T u \cdot \partial _ { 2 } \bar { u } ) - \mathcal { E } ( u , \bar { u } ) + \omega ^ { 2 } | u | ^ { 2 } \} - 2 \Re \int _ { D _ { h } } g \cdot \partial _ { 2 } \bar { u } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\varepsilon _ { 1 1 } ^ { \prime \prime } - \varepsilon _ { 2 2 } ^ { \prime \prime } = - { \frac { \alpha } { 4 E _ { o } ^ { 2 } } } ( < E _ { 1 } ^ { 2 } > P _ { 3 , 1 } { F _ { 1 } } ^ { \prime \prime } ( z _ { 1 } ) + < E _ { 2 } ^ { 2 } > P _ { 3 , 2 } { F _ { 1 } } ^ { \prime \prime } ( z _ { 2 } ) ) \, ,
\frac { 1 } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { r _ { 0 } } \sqrt { E _ { B S } - V ( r ) } \, d r \ = \ \pi \left( n _ { r } \ + \ \frac { d } { 4 } \right) \ , \qquad n _ { r } \ = \ 0 , 1 , 2 , . . . \ .
\begin{array} { r l } { S p e c ( P ^ { s } \lfloor _ { S } , S ) } & { \sim \lbrack P _ { 1 4 } \underline { { \xi } } _ { \mu _ { 1 4 } } , P _ { 1 4 } \overline { { \xi } } _ { \mu _ { 1 4 } } ] \cup \left[ 1 , \frac { P _ { 1 4 } } { C _ { 1 4 } } \right] , } \\ { \left[ P _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { s u p } } \underline { { \xi } } _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { s u p } } , P _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { i n f } } \overline { { \xi } } _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { i n f } } \right] \cup \left[ 1 , \frac { P _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { i n f } } } { C _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { s u p } } } \right] } & { \subset S p e c ( P ^ { s } \lfloor _ { S } , S ) \subset \left[ P _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { i n f } } \underline { { \xi } } _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { i n f } } , P _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { s u p } } \overline { { \xi } } _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { s u p } } \right] \cup \left[ 1 , \frac { P _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { s u p } } } { C _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { i n f } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | v ^ { k } | ^ { p + 1 } - | v ^ { j } | ^ { p + 1 } } & { = ( | v ^ { k } | - | v ^ { j } | ) ( | v ^ { k } | ^ { p } + | v ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | + . . . + | v ^ { k } | | v ^ { j } | ^ { p - 1 } + | v ^ { j } | ^ { p } ) , } \\ { | u ^ { k } | ^ { p - 1 } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } } & { = ( | u ^ { k } | - | u ^ { j } | ) ( | u ^ { k } | ^ { p - 2 } + | u ^ { k } | ^ { p - 3 } | u ^ { j } | + . . . + | u ^ { k } | | u ^ { j } | ^ { p - 3 } + | u ^ { j } | ^ { p - 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \theta _ { 1 } } J ( \left[ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \right] ) } \\ { = } & { \nabla _ { \theta _ { 1 } } ( \mathbb { E } _ { s \sim \mu } [ \int _ { k = 0 } ^ { 1 } \sum _ { a _ { k } } \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( k | s ) \pi _ { \theta _ { 2 } } ^ { l } ( a _ { k } | s , k ) r ( s , a _ { k } ) d k ] ) } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { s \sim \mu } [ \nabla _ { \theta _ { 1 } } [ \int _ { k = 0 } ^ { 1 } \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( k | s ) \sum _ { a _ { k } } \pi _ { \theta _ { 2 } } ^ { l } ( a _ { k } | s , k ) r ( s , a _ { k } ) d k ] ] . } \end{array}
\hat { H } = \sum _ { i j } \sum _ { \sigma = \alpha , \beta } h _ { i j } \hat { a } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \sigma } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k l } \sum _ { \sigma , \tau = \alpha , \beta } ( i j | k l ) \hat { a } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k \tau } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l \tau } \hat { a } _ { j \sigma } + \sum _ { i j } \mathbf { h } _ { i j } ^ { \mathrm { B P } } \cdot \hat { \mathbf { T } } _ { i j } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \geq 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } E _ { a } ( k + x + 1 ) } { ( k + x ) ^ { s } } } & { = \sum _ { k \geq 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { ( k + x ) ^ { s } } \sum _ { j = 0 } ^ { a } \binom { a } { j } \frac { E _ { j } } { 2 ^ { j } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { a - j } \binom { a - j } { \ell } \frac { ( k + x ) ^ { \ell } } { 2 ^ { a - j - \ell } } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { a } \sum _ { \ell = 0 } ^ { a - j } \frac { E _ { j } } { 2 ^ { a - \ell } } \binom { a } { j } \binom { a - j } { \ell } \sum _ { k \geq 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { ( k + x ) ^ { s - \ell } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { n } } ( { \pmb \xi } ) } & { = } & { \int _ { \partial D _ { b } } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { n } } \sigma _ { \alpha b } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) - \mu \int _ { \partial D _ { b } } p _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) v _ { b } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) } \\ & { + } & { \mu \int _ { \partial D _ { b } } \, \left[ v _ { \alpha } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \nabla _ { b } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { n } } + n _ { \alpha } ( { \pmb x } ) v _ { c } ( { \pmb x } ) \nabla _ { c } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { n } } \right] d S ( { \pmb x } ) } \end{array}
U ^ { \nu } \, ^ { \dagger } U ^ { l } \rightarrow \left( \begin{array} { c c } { { { \cos \theta } ^ { D } } } & { { { \sin \theta } ^ { D } } } \\ { { - { \sin \theta } ^ { D } } } & { { { \cos \theta } ^ { D } } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r c l } { \Delta C _ { t } ^ { * } } & { = } & { \frac { \Delta C _ { t } } { 1 - \delta _ { t } } } \\ { \Delta R c _ { t } ^ { * } } & { = } & { \frac { \Delta R c _ { t } } { 1 - \delta _ { t } } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ t ~ = ~ 1 ~ , ~ 2 ~ , ~ \dots ~ , ~ T ~ } . } \end{array}
\xi ( x ) \approx 4 8 \pi \, \frac { \alpha _ { s } f ^ { 2 } } { \bar { \Lambda } ^ { 3 } } \, \frac { \ln ^ { 2 } \! x } { x ^ { 4 } } \, , \quad \xi _ { 3 } ( x ) \approx - 4 \pi \, \frac { \alpha _ { s } f ^ { 2 } } { \bar { \Lambda } ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \, .
{ \begin{array} { r l } { \int { \frac { \delta F } { \delta \rho ( { \boldsymbol { r } } ) } } \, \phi ( { \boldsymbol { r } } ) \, d { \boldsymbol { r } } } & { = \left[ { \frac { d } { d \varepsilon } } \int f ( { \boldsymbol { r } } , \rho + \varepsilon \phi , \nabla \rho + \varepsilon \nabla \phi ) \, d { \boldsymbol { r } } \right] _ { \varepsilon = 0 } } \\ & { = \int \left( { \frac { \partial f } { \partial \rho } } \, \phi + { \frac { \partial f } { \partial \nabla \rho } } \cdot \nabla \phi \right) d { \boldsymbol { r } } } \\ & { = \int \left[ { \frac { \partial f } { \partial \rho } } \, \phi + \nabla \cdot \left( { \frac { \partial f } { \partial \nabla \rho } } \, \phi \right) - \left( \nabla \cdot { \frac { \partial f } { \partial \nabla \rho } } \right) \phi \right] d { \boldsymbol { r } } } \\ & { = \int \left[ { \frac { \partial f } { \partial \rho } } \, \phi - \left( \nabla \cdot { \frac { \partial f } { \partial \nabla \rho } } \right) \phi \right] d { \boldsymbol { r } } } \\ & { = \int \left( { \frac { \partial f } { \partial \rho } } - \nabla \cdot { \frac { \partial f } { \partial \nabla \rho } } \right) \phi ( { \boldsymbol { r } } ) \ d { \boldsymbol { r } } \, . } \end{array} }
\Gamma [ \bar { { \bf \Psi } } , { \bf \Psi } , { \bf A ^ { \mu } } ] = - \Gamma ^ { * } [ \bar { { \bf \Psi } } ^ { * } \tilde { \sigma } , \tilde { \sigma } { \bf \Psi } ^ { * } , \sigma _ { 1 } { \bf A ^ { \mu } } ] \, ,
\begin{array} { r } { f _ { r } ( \vec { a } , \vec { \epsilon } , \vec { m } ^ { \prime } ) = - \frac { r \, \epsilon _ { 1 2 } \, \epsilon _ { 1 3 } \, \epsilon _ { 2 3 } } { \epsilon _ { 1 } \, \epsilon _ { 2 } \, \epsilon _ { 3 } } - \sum _ { l = 1 } ^ { r } \, \frac { \epsilon _ { 1 2 } \, \epsilon _ { 1 3 } \, \epsilon _ { 2 3 } \, ( m _ { l } ^ { \prime } + \epsilon _ { 1 2 3 } ) } { \epsilon _ { 1 } \, \epsilon _ { 2 } \, \epsilon _ { 3 } \, \epsilon _ { 4 } } } \end{array}
\frac { d { \cal O } _ { A \, \rho } ( \Lambda ) } { d \Lambda } = \frac { 2 C } { \Lambda } \left[ \lambda _ { 2 } ^ { \rho + 2 } { \cal O } _ { A } ( \Lambda _ { 2 } ) - \lambda _ { 1 } ^ { \rho + 2 } { \cal O } _ { A } ( \Lambda _ { 1 } ) \right] - \frac { \rho + 2 } { \Lambda } { \cal O } _ { A \, \rho } ( \Lambda ) .
\rho \left[ \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { \nabla } \cdot \left( \mathbf { u } \mathbf { u } \right) \right] = - \mathbf { \nabla } p + \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { S } + \mathbf { f } _ { \Gamma }
\tau _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { c c } { { i T _ { 1 1 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } + i T _ { 1 2 } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } + i T _ { 1 2 } } } & { { i T _ { 2 2 } } } \end{array} \right) ~ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { s \bar { s } , k } ^ { ( 3 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) } & { = \frac { 1 } { \nu _ { 0 } \nu _ { 3 } } P _ { 5 ; s , k } ( \vartheta ) + \frac { 1 } { \nu _ { 0 } } P _ { 6 ; s , k } ( \vartheta , \vartheta _ { 3 } ) } \\ & { + \frac { 1 } { \nu _ { 3 } } P _ { 7 ; s , k } ( \vartheta , \vartheta _ { 0 } ) + P _ { 8 ; s , k } ( \vartheta , \vartheta _ { 0 } , \vartheta _ { 3 } ) } \end{array}
\left( \mathcal { R } ^ { \left( e \right) } \mathcal { T } ^ { \left( e \right) } \right) \mathcal { V } ^ { \left( e \right) } = \mathcal { V } ^ { \left( e \right) } , \quad \mathrm { v e r s u s } \quad \mathcal { R } ^ { \left( e \right) } \left( \mathcal { T } ^ { \left( e \right) } \mathcal { V } ^ { \left( e \right) } \right) = 0 .
S _ { B H } = { \frac { \pi } { 2 } } \left( [ 2 t r ( Y _ { 7 } ^ { 2 } ) - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( t r Y _ { 7 } ) ^ { 2 } ] m \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \ .
\left( \begin{array} { l } { { \varphi _ { e } ( t = 0 ) } } \\ { { \varphi _ { \mu } ( t = 0 ) } } \\ { { \varphi _ { \tau } ( t = 0 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \cos { \theta _ { 1 3 } } } } \\ { { 0 } } \\ { { - \sin { \theta _ { 1 3 } } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { Q _ { 3 } ^ { M \prime } = } & { \sum _ { i = k } ^ { N } \exp \left( - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } ( N - i ) \tau \right) } \\ & { \times \left( 1 - \exp \left( - \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) \tau \right) \right) } \\ & { \times \exp \left( - \mathrm { i } \delta ( N - i ) \left( T + \tau \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \varepsilon } ( \Omega , X ) \leq E _ { \varepsilon } ( \Omega ^ { \prime } , X ^ { \prime } ) \leq E _ { \varepsilon } ( \Omega , X ) + 8 \pi \varepsilon ^ { 2 } - \gamma \varepsilon ^ { 3 } \sum _ { j \not = i } { \frac { 1 } { | x _ { i } - x _ { j } | } } , } \end{array}
\sum _ { p ^ { \prime } = \pm 1 } \left( 1 + p p ^ { \prime } \beta ^ { 2 } \varepsilon _ { 1 } \right) \frac { I _ { n + p ^ { \prime } } ( \gamma _ { 0 } u ) } { W _ { n + p ^ { \prime } } ^ { I } } = 2 p \varepsilon _ { 1 } \left[ \beta ^ { 2 } \frac { I _ { n + 1 } ( \gamma _ { 0 } u ) } { W _ { n + 1 } ^ { I } } + \frac { p - \beta ^ { 2 } \varepsilon _ { 1 } } { \left( \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { 1 } \right) \gamma _ { 1 } K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u ) } \right] .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } } & { = A ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { \boldsymbol { A u } } & { = ( A u ) ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \mathcal { A } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { p } } \\ { \boldsymbol { p } } & { = p ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) - \frac { \Delta t \, \mathcal { A } } { \tau _ { r } } \left( \boldsymbol { p } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) \right) . } \end{array}
D _ { F } ^ { C / c } ( z _ { C } , \vec { k } _ { F \perp } ; s _ { c } ) = D _ { F } ^ { C / c } ( z _ { C } , \vec { k } _ { F \perp } ) ( 1 + \alpha \vec { s } _ { c } \cdot { \frac { \vec { p } _ { c } \times \vec { k } _ { F \perp } } { | \vec { p } _ { c } \times \vec { k } _ { F \perp } | } } ) ,