harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left\| \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \operatorname* { m a x } _ { j \in \mathcal { T } _ { n } } \left| \tilde { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) - \rho _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) - \vartheta _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) \right| \mathbf 1 ( \bar { B } _ { n } ^ { \prime } ) \right\| _ { q } = O ( ( | \mathbb { B } | / b ) ^ { 1 / q } ( h n ^ { \phi - 1 } b ^ { - 1 } + b ^ { 3 } + n ^ { - 1 / 2 } h ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial U _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } = } & { \sum _ { r , s } \left( P _ { r , s } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ( \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { r , n , \mathbf { h } } U _ { s , n } ^ { \mathbf { h } + \mathbf { b } } + U _ { r , n } ^ { \mathbf { h } } \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { s , n , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ) - i Q _ { r , s } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ( U _ { r , n } ^ { \mathbf { h } } \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { s , n , \mathbf { h } + \mathbf { b } } - \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { r , n , \mathbf { h } } U _ { s , n } ^ { \mathbf { h } + \mathbf { b } } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle M _ { y z } ^ { ( i ) } \rangle } & { { } = } & { [ z - c ( t - t _ { m } ^ { \prime } ) ] \langle T _ { x z } \rangle - ( x - x _ { m } ) \langle T _ { z z } \rangle } \\ { \langle M _ { y z } ^ { ( e ) } \rangle } & { { } = } & { c ( t - t _ { m } ^ { \prime } ) \langle T _ { x z } \rangle - x _ { m } \langle T _ { z z } \rangle } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \left[ \begin{array} { l l l } { { \underline { { 2 } } } } & { { \underline { { 3 } } } } & { { \underline { { 4 } } } } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \underline { { 1 0 0 0 } } } } \\ { 1 } & { { \underline { { 1 0 0 } } } } \\ { 0 } & { { \underline { { 1 0 } } } } \end{array} \right] } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 3 } & { { \underline { { 2 3 4 0 } } } } \\ { 0 } & { 1 0 0 0 } \end{array} \right] } . } \end{array} }
f _ { B } = f _ { R } = 1 , \; \; g _ { B } = \frac { 1 } { \frac { p _ { B } } { p _ { B 0 } } + 1 0 ^ { - 3 } } , \; \; g _ { R } = \frac { 1 } { \frac { p _ { R } } { p _ { R 0 } } + 1 0 ^ { - 3 } } ,
\begin{array} { r l } { \widehat { K _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } } [ | z _ { e } | ^ { - 1 } f ] ( x ) } & { = \frac 1 { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { x - z ( e ^ { \prime } ) } f ( e ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } = \frac 1 { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { 0 } ^ { L } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x - z ( e ^ { \prime } ) - L k } f ( e ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi L \mathrm { i } } \int _ { 0 } ^ { L } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \frac { 1 } { L } ( x - z ( e ^ { \prime } ) ) - k } f ( e ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } } \\ & { = \frac 1 { 2 L \mathrm { i } } \int _ { 0 } ^ { L } \cot \Big ( \frac { x - z ( e ^ { \prime } ) } { L / \pi } \Big ) f ( e ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } } \end{array}
f ( \hat { x } ( 1 ) ) = f ( \hat { x } ( 1 ) ) ^ { b } f ( \frac { S ( \hat { x } ( 1 ) , 1 ) } { d } ) > z _ { i } ( k ) ^ { b } f ( \frac { s _ { i } ( k ) } { d } ) = z _ { i } ( k + 1 )
\; = \; \frac { e ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \; \mathrm { t r } ( I ) \, \oint _ { { \mathcal C } ( \varepsilon ) } \, d l \, { \hat { n } } _ { \mu } \left[ \frac { A ( p ) p _ { \mu } } { A ^ { 2 } ( p ) p ^ { 2 } + B ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { P ( r ) } & { = \sum _ { i = r } ^ { n } P ( \mathrm { ~ i ~ i s ~ t h e ~ b e s t ~ c a n d i d a t e } ) \cdot P ( \mathrm { s u c c e s s ~ a t ~ s e l e c t i n g ~ i ~ } | \mathrm { ~ i ~ i s ~ t h e ~ b e s t ~ c a n d i d a t e } ) } \\ & { = \sum _ { i = r } ^ { n } { \frac { 1 } { n } } \cdot P ( \mathrm { b e s t ~ c a n d i d a t e ~ b e f o r e ~ i ~ l i e s ~ i n ~ t h e ~ r - 1 ~ g r o u p } ) } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = r } ^ { n } \frac { r - 1 } { i - 1 } } \\ & { = \frac { r - 1 } { n } \sum _ { i = r } ^ { n } \frac { 1 } { i - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } { G ^ { \prime } ( a ) } & { { } = \frac { \partial _ { \omega } [ H ] ( a ) } { a ^ { m } } - m \frac { H ( a ) } { a ^ { m + 1 } } ~ } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } a \neq 0 , } \\ { G ^ { \prime } ( a ) } & { { } = \frac { \partial _ { \omega } ^ { ( m + 1 ) } [ H ] ( 0 ) } { ( m + 1 ) ! } ~ } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} } \end{array}
\vec { F } _ { 2 1 } = - k \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \ \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t ) \rho _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } , t ) \frac { \hat { R } } { R ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { L o s s } = } & { \frac { W _ { 1 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta t } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - v _ { \theta } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 2 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ v _ { \theta t } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - u _ { \theta x x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) + u _ { \theta } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) + \sin ( u _ { \theta } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) ) - f ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 3 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta t x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - v _ { \theta x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } + \frac { W _ { 4 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) - \psi _ { 1 } ( x _ { t b } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 5 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ v _ { \theta } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) - \psi _ { 2 } ( x _ { t b } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } + \frac { W _ { 6 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta x } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) - \psi _ { 1 x } ( x _ { t b } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 7 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ | v _ { \theta } ( 0 , t _ { s b } ^ { n } ) - \phi _ { 1 t } ( { t _ { s b } ^ { n } } ) | + | v _ { \theta } ( 1 , t _ { s b } ^ { n } ) - \phi _ { 2 t } ( { t _ { s b } ^ { n } } ) | \right] , } \end{array}
\Sigma _ { p q } ^ { \mathrm { c , a c t } } ( \omega ) = \sum _ { m } ^ { \mathrm { a c t } } \sum _ { i } ^ { N _ { \mathrm { o c c , a c t } } } \frac { \langle p i | \chi _ { m } ^ { N + 2 } \rangle \langle q i | \chi _ { m } ^ { N + 2 } \rangle } { \omega + \epsilon _ { i } - \Omega _ { m } ^ { N + 2 } - i \eta } + \sum _ { m } ^ { \mathrm { a c t } } \sum _ { a } ^ { N _ { \mathrm { v i r , a c t } } } \frac { \langle p a | \chi _ { m } ^ { N - 2 } \rangle \langle q a | \chi _ { m } ^ { N - 2 } \rangle } { \omega + \epsilon _ { a } - \Omega _ { m } ^ { N - 2 } + i \eta } ,
M _ { j } ^ { i } = 0 , \qquad \tilde { B } ^ { j _ { 1 } \cdots j _ { N _ { D } } } = 0 , \qquad B _ { i _ { 1 } \cdots i _ { N _ { D } } } = m ^ { N } \ \epsilon _ { 1 2 . . . N _ { c } i _ { 1 } \cdots i _ { N _ { D } } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { Q _ { 0 } } ^ { r = 0 } ( s | x _ { 0 } ) } & { = \frac { 1 } { s } - \frac { 1 } { s } \frac { \alpha n _ { 2 } } { \beta n _ { 1 } + \alpha n _ { 2 } } \left( e ^ { - n _ { 1 } x _ { 0 } } - \frac { n _ { 1 } e ^ { - n _ { 2 } x _ { 0 } } } { n _ { 2 } } \right) , } \\ { \tilde { Q _ { 1 } } ^ { r = 0 } ( s | x _ { 0 } ) } & { = \frac { 1 } { s } - \frac { 1 } { s } \frac { \alpha n _ { 2 } } { \beta n _ { 1 } + \alpha n _ { 2 } } \left( e ^ { - n _ { 1 } x _ { 0 } } + \frac { \beta n _ { 1 } e ^ { - n _ { 2 } x _ { 0 } } } { \alpha n _ { 2 } } \right) , } \end{array}
A ^ { 1 } = { \frac { 1 } { 2 } } a ( \rho ) d \theta , \quad A ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } a ( \rho ) \sin ( \theta ) d \varphi , \quad A ^ { 3 } = { \frac { 1 } { 2 } } \cos ( \theta ) d \varphi ,
\tilde { g } _ { s } ^ { \prime } = \left( \frac { \tilde { R } } { R } \right) ^ { 1 / 4 } \frac { R ^ { 1 / 2 } l _ { p } ^ { 3 / 2 } } { R _ { 8 } R _ { 9 } } \ , \ \tilde { l } _ { s } ^ { \prime } = \left( \frac { \tilde { R } } { R } \right) ^ { 1 / 4 } \frac { l _ { p } ^ { 3 / 2 } } { R ^ { 1 / 2 } } ,
\begin{array} { r l r l } { s _ { 0 } F _ { \mathrm { i n } } } & { \stackrel { = } s _ { 0 } ^ { 2 } \dot { s } _ { 0 } ^ { \frac \alpha 2 } ( 1 - x ) ( 1 + o ( 1 ) ) \stackrel { ( ) } = B _ { 0 } ^ { \alpha } s _ { 0 } ^ { \frac { 4 - \alpha ( n + 3 ) } { 2 } } ( 1 - x ) ( 1 + o ( 1 ) ) } \\ & { \stackrel { ( ) } = B _ { 0 } ^ { \alpha } \big ( ( n + 4 ) B _ { 0 } ^ { 2 } t \big ) ^ { \frac { 4 - \alpha ( n + 3 ) } { 2 ( n + 4 ) } } ( 1 - x ) ( 1 + o ( 1 ) ) } & & { \mathrm { f o r } \quad 0 \le 1 - x \ll s ^ { - 1 } , } \end{array}
g ( \xi ) = f ^ { - 1 } \left( a _ { 1 } + \frac { 1 } { 4 } \xi ^ { 2 } \left( \kappa _ { 1 } \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) + \kappa _ { 3 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) \right) \right)
\frac { \partial \hat { A } _ { n + 3 } } { \partial C } = \frac { v _ { 3 } \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial C } - u _ { 3 } \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial C } } { ( v _ { 3 } ) ^ { 2 } } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \hat { A } _ { n + 3 } } { \partial E } = \frac { v _ { 3 } \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial E } - u _ { 3 } \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial E } } { ( v _ { 3 } ) ^ { 2 } } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \hat { A } _ { n + 3 } } { \partial \kappa } = \frac { \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial \kappa } } { v _ { 3 } } ,
\frac { \partial \phi ^ { l } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \phi ^ { l } \mathbf { u } ) = - \frac { \phi ^ { l } \overline { { K } } _ { S } } { \rho K _ { S } ^ { l } } \left[ \frac { \partial \rho } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \rho \right]
j _ { a } ^ { \mu } ( x ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \int d ^ { 4 } k e ^ { - i k \cdot x } j _ { a } ^ { \mu } ( k ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \int d ^ { 4 } k e ^ { - i k \cdot x } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } j _ { n , a } ^ { \mu } ( k ) ,
F = \left\{ \begin{array} { l l } { { F _ { 1 } ( z ) - F _ { 1 } ( 0 ) + F _ { 2 } ( z ) + F _ { 3 } , } } & { { x _ { p } < 1 , \nonumber } } \\ { { F _ { 1 } ( z ) - F _ { 1 } ( z _ { m i n } ) + F _ { 2 } ( z ) - F _ { 2 } ( z _ { m i n } ) } } & { { x _ { p } > 1 , } } \end{array} \right.
\zeta = { \overline { { v } } } _ { x } - { \overline { { u } } } _ { y } , D = { \overline { { u } } } _ { y } + { \overline { { v } } } _ { x } , \tilde { D } = { \overline { { u } } } _ { x } - { \overline { { v } } } _ { y }
( \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } = [ \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ^ { ( \phi ) } , \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ^ { ( P _ { p } ) } , \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ^ { ( T ) } ] ^ { t } )
\Psi _ { H e } = e ^ { - 1 . 7 5 5 6 5 6 s } ( 1 + 0 . 3 3 7 2 9 4 u + 0 . 1 1 2 5 1 9 t ^ { 2 } - 0 . 1 4 5 8 7 4 s + 0 . 0 2 3 6 3 4 s ^ { 2 } - 0 . 0 3 7 0 2 4 u ^ { 2 } )
{ \vert O _ { 2 } \rangle } _ { \nu \bar { \nu } } = \epsilon ^ { l _ { 1 } \cdots l _ { k - 2 } } \, \epsilon ^ { t _ { 1 } \cdots t _ { k - 2 } } \, ( J _ { A _ { 1 } B _ { 1 } } \, \nu _ { l _ { 1 } } ^ { A _ { 1 } } \, \nu _ { t _ { 1 } } ^ { B _ { 1 } } ) \cdots ( J _ { A _ { k - 2 } B _ { k - 2 } } \, \nu _ { l _ { k - 2 } } ^ { A _ { k - 2 } } \, \nu _ { t _ { k - 2 } } ^ { B _ { k - 2 } } ) \, \vert \Phi \rangle
\begin{array} { r l } & { M ( x , t , k ) = \sum _ { l = - 1 } ^ { N } \mathcal { M } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( x , t ) ( k - 1 ) ^ { l } + O ( ( k - 1 ) ^ { N + 1 } ) \qquad \mathrm { a s } \ k \to 1 , \ k \in \bar { D } _ { 2 } , } \\ & { M ( x , t , k ) = \sum _ { l = - 1 } ^ { N } \widetilde { \mathcal { M } } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( x , t ) ( k + 1 ) ^ { l } + O ( ( k + 1 ) ^ { N + 1 } ) \qquad \mathrm { a s } \ k \to - 1 , \ k \in \bar { D } _ { 2 } . } \end{array}
\frac { \partial I } { \partial h } = \frac { \partial } { \partial h } \left( \frac { 1 } { 2 } \left| \frac { \partial h } { \partial x } \right| ^ { 2 } - \varsigma ( h ) \right) = \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x ^ { 2 } } - \Gamma ( h ) = - p .
\begin{array} { r l } { I _ { s } - S ( t ) } & { = t ^ { 2 } \left\{ \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } \dot { W } _ { 0 } - \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } W _ { 0 } ^ { \top } \dot { W } _ { 0 } \right\} + o ( t ^ { 2 } ) } \\ & { = t ^ { 2 } \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } ( I _ { d } - W _ { 0 } W _ { 0 } ^ { \top } ) \dot { W } _ { 0 } + o ( t ^ { 2 } ) = t ^ { 2 } M _ { 0 } ^ { \top } M _ { 0 } + o ( t ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } P _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) = \partial _ { t } [ p _ { \mathbf { r } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) p _ { \phi } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) ] } \\ & { = - p _ { \mathbf { r } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \partial _ { \phi _ { 1 } } \bigg \{ M ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Gamma \big [ ( \langle \sin ( 2 \phi ) \rangle _ { \bar { p } _ { \phi } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \phi ) } \cos ( 2 \phi _ { 1 } ) - \langle \cos ( 2 \phi ) \rangle _ { \bar { p } _ { \phi } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) } \sin ( 2 \phi _ { 1 } ) ) \big ] p _ { \phi } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) \bigg \} } \\ & { \phantom { = } - \omega p _ { \mathbf { r } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \partial _ { \phi _ { 1 } } p _ { \phi } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) + D p _ { \mathbf { r } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \partial _ { \phi _ { 1 } } ^ { 2 } p _ { \phi } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \phi ) - v \cos ( \phi _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 1 } } p _ { \mathbf { r } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) p _ { \phi } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) - v \sin ( \phi _ { 1 } ) \partial _ { y _ { 1 } } p _ { \mathbf { r } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) p _ { \phi } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \mathbf { M } _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { U } ^ { ( 0 ) } } & { \mathbf { L } ^ { ( 0 ) } } \\ { z _ { 3 } \mathbf { U } ^ { ( 0 ) } } & { z _ { 3 } \mathbf { L } ^ { ( 0 ) } } \end{array} \right) , } & { \mathbf { M } _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { \mathbf { U } ^ { ( 1 ) } } & { \mathbf { L } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right) . } \end{array}
\left[ - \omega ^ { 2 } \gamma ^ { t t } ( r ) f ( r ) - { \frac { l ( l + n ) } { r ^ { 2 } } } { \frac { f ( r ) } { h ( r ) } } + { \frac { \sqrt { - \gamma ^ { t t } f ( r ) } } { U ( r ) } } { \frac { d } { d r } } { \frac { U ( r ) } { \sqrt { - \gamma ^ { t t } f ( r ) } } } { \frac { d } { d r } } \right] \phi _ { \omega } ^ { l } ( r ) = 0 .
\begin{array} { r l r l r l } { u _ { t } = \ } & { { } D u + L _ { \delta } ( B u - g ) + F , } & { } & { { } x \in \Omega ( t ) , } & { } & { { } t _ { 0 } < t < T } \\ { u ( x , t _ { 0 } ) = \ } & { { } u _ { 0 } ( x ) . } \end{array}
g _ { \mu \nu } ^ { 0 } ( x _ { \rho } ) \equiv G _ { \mu \nu } ( x _ { \rho } , y = 0 ) \ , \; \; \; g _ { \mu \nu } ^ { L } ( x _ { \rho } ) \equiv G _ { \mu \nu } ( x _ { \rho } , y = L ) \ ,
d \xi ^ { p + 1 } \bar { \Gamma } = - { \frac { e ^ { { \frac { 1 } { 4 } } ( p - 3 ) \phi } } { L _ { D B I } } } e x p ( e ^ { { - { \frac { 1 } { 2 } } \phi } } { \cal F } ) \gamma \vert _ { { \cal M } _ { 0 } }
\begin{array} { r l } { \langle A x , x \rangle _ { L ^ { 2 } } } & { = \langle e _ { \partial } , f _ { \partial } \rangle _ { 2 } - e _ { I } f _ { I } } \\ & { = \lambda _ { x } ^ { \top } ( - I - V ) ^ { \top } ( I - V ) \lambda _ { x } - e _ { I } f _ { I } } \\ & { = \lambda _ { x } ^ { \top } ( - I + V ^ { \top } V ) \lambda _ { x } - e _ { I } f _ { I } } \\ & { \leq - e _ { I } f _ { I } } \\ & { = - r e _ { I } ^ { 2 } } \\ & { \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } ( \rho v _ { i } ) } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \rho v _ { i } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \rho v _ { i } v _ { j } ) } & { = - \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \tau _ { i j } , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } E + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( E v _ { j } ) } & { = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ v _ { i } \tau _ { i j } - q _ { j } - P v _ { j } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { n } = \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j , \ell \leq p } \left| \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } \hat { { \mathbb { B } } } _ { j \ell } - \hat { { \boldsymbol \theta } } \hat { { \boldsymbol \theta } } ^ { \top } + o _ { p } \{ n ^ { - 1 } \log ( n p ) \} - \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } { \mathbb { B } } _ { j \ell } \right| , } \end{array}
\Xi \equiv N _ { 1 } = M _ { 1 } \left( 1 + { \cal O } ( \lambda ) \right) = \sqrt { 3 } \, K _ { 1 } \left( 1 + { \cal O } ( \lambda ) \right) = \sqrt { 3 } \, L _ { 1 } \left( 1 + { \cal O } ( \lambda ) \right) \, .
\begin{array} { r l r } { N ( T , \Delta ) } & { = } & { \left| \bigcup _ { i \in [ n ] } { \cal M } _ { T _ { i } , \Delta } \right| } \\ & { = } & { \sum _ { { \cal N } \subseteq [ n ] } \left| \bigcap _ { i \in { \cal N } } { \cal M } _ { T _ { i } , \Delta } \right| \cdot ( - 1 ) ^ { | { \cal N } | + 1 } } \\ & { = } & { \sum _ { { \cal N } \subseteq [ n ] } \left( \left\lfloor \frac { \Delta } { M _ { \cal N } } \right\rfloor + 1 \right) \cdot ( - 1 ) ^ { | { \cal N } | + 1 } \ . } \end{array}
\psi ( y ) \sim \frac { \sqrt { \nu } } { \sinh ^ { 2 } \left( \nu ( y _ { 0 } - | y | ) \right) } { \, } _ { 2 } F _ { 1 } \left( 5 / 4 \mp 3 i \delta / 4 , \, 5 / 4 \pm 3 i \delta / 4 ; \, 3 ; \, - \sinh ^ { - 2 } \left( \nu ( y _ { 0 } - | y | ) \right) \right)
\begin{array} { r l } { - \zeta g ^ { \prime } ( \zeta ) + f ^ { \prime } ( \zeta ) g ( \zeta ) + f ( \zeta ) g ^ { \prime } ( \zeta ) + \frac { 2 f ( \zeta ) g ( \zeta ) } { \zeta } } & { = 0 , } \\ { - \zeta ^ { 2 } f ^ { \prime } ( \zeta ) + \zeta f ^ { \prime } ( \zeta ) f ( \zeta ) } & { = - \frac { w g ^ { \prime } ( \zeta ) } { g ( \zeta ) } - h ^ { \prime } ( \zeta ) \zeta + \omega ^ { 2 } \sin \theta \zeta ^ { 2 } , } \\ { h ^ { \prime } ( \zeta ) + h ^ { \prime \prime } ( \zeta ) \zeta } & { = g ( \zeta ) 4 \pi G \zeta \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } ( a _ { x } , a _ { y } , 0 ) | _ { L o n g } } & { { } = } & { \Delta \nu _ { x , S C } { \Big \langle } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \exp [ - \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ] \left[ I _ { 0 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) - I _ { 1 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) \right] } \\ { \mathrm { ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 2 } ^ { 3 } } & { = 1 , } & \\ { \beta _ { 2 } ^ { 3 } } & { = 1 , } & \\ { ( \alpha _ { i } \alpha _ { i + 1 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } & { = 1 } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 , } \\ { ( \beta _ { i } \beta _ { i + 1 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } & { = 1 } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 . } \end{array}
J _ { 2 } = J _ { U } \left\{ p ^ { \prime } + \frac { \pi } { 2 } \left[ A _ { B } ( p ^ { \prime } ) ^ { \alpha _ { B } } + A _ { P } \exp \left( - \frac { [ \ln ( \tau _ { P } ^ { \prime } / p ^ { \prime } ) ] ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { P } ^ { 2 } } \right) \right] \right\} ,
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } ( t ) } & { { } = x _ { 2 } ( t ) , } \\ { \dot { x } _ { 2 } ( t ) } & { { } = - \delta x _ { 2 } ( t ) - \alpha x _ { 1 } ( t ) - \rho x _ { 1 } ( t ) ^ { 3 } + \gamma \cos { ( \omega t ) } , } \\ { Y ( t ) } & { { } = x _ { 1 } ( t ) + \sigma _ { y } V ( t ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ( f _ { i } ^ { \sigma } - f _ { i } ^ { \sigma , e q } ) ( \mathbf { v } _ { i } ^ { * } \cdot \mathbf { v } _ { i } ^ { * } + \eta _ { i } ^ { \sigma 2 } ) \mathbf { v } _ { i } ^ { * } \mathbf { v } _ { i } ^ { * }
\begin{array} { r l } { F _ { N } ^ { \prime } = \bigg [ h _ { P } ^ { Q } + } & { { } \big ( U _ { P R } ^ { Q S } - U _ { P R } ^ { S Q } \big ) \gamma _ { S } ^ { R } } \\ { + } & { { } \big ( L _ { P R T } ^ { Q S U } - L _ { P R T } ^ { S Q U } - L _ { P R T } ^ { U S Q } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } \operatorname { e } ^ { - \beta t } \left\| y ( t ) - y _ { r } ( t ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } d t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq 2 \sum _ { k = r + 1 } ^ { n } \sigma _ { k } \left( \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } \operatorname { e } ^ { - \beta t } \left\| u ( t ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } d t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { { \sf d e e c [ 3 ] } = } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } - \frac { 1 } { 1 6 } \, y z \, b ( - k n ) \bigg [ 2 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) ( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } ) ^ { 2 } k \left( 1 - e ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow + \infty } \bar { Q } _ { x } ^ { K , t } \left[ \varphi \left( \bar { R } ^ { N } \right) \right] = \mathbb { E } \left[ \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow + \infty } \bar { Q } _ { x } ^ { K , t } \left[ \varphi \left( \bar { R } ^ { N } \right) \bigg | U _ { 1 } , . . . , U _ { K - 1 } \right] \right] ,
\nu _ { \alpha } = \sum _ { i } U _ { \alpha i } ^ { m } \nu _ { i } ^ { m } , \; \alpha = e , \, e ^ { \prime } , \, \mu , \, \mu ^ { \prime } , \; i = 1 \ell , \, 1 h , \, 2 \ell , \, 2 h ,
\frac { \zeta _ { x } } { \zeta _ { t } } = \left( \left( \frac { B _ { t o t , x } } { B _ { t o t , t } } \right) ^ { 1 - k _ { e f f } } \frac { 1 + M _ { x } ^ { 2 } } { 1 + M _ { t } ^ { 2 } } ~ \right) ^ { \beta }
L = - \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \ln f ( x ) \, d x - \lambda _ { 0 } \left( 1 - \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \, d x \right) - \lambda _ { 1 } \left( \mu - \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) x \, d x \right) - \lambda _ { 2 } \left( \sigma ^ { 2 } - \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) ( x - \mu ) ^ { 2 } \, d x \right) \, .
\begin{array} { r } { d ^ { i } ( \mathbf { x } , \omega ) = \int _ { \varXi } \, u ^ { i } ( \mathbf { x } , \omega ; \boldsymbol { \xi } ) \, \mathrm { d } \varXi = \sum _ { l } \sum _ { j , k = 1 } ^ { 3 } \left( \mathcal { G } _ { l } ^ { i j , k } ( \mathbf { x } , \omega ; \boldsymbol { \xi } _ { 0 } ) \underbrace { \int _ { \varXi } m ^ { j k } ( \omega ; \boldsymbol { \xi } ) \, \exp { [ - \imath \omega ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol \gamma _ { l } ) / c ] } \, \mathrm { d } \varXi } _ { \mathrm { a p p a r e n t ~ s o u r c e ~ f u n c t i o n } \, s _ { l } ^ { j k } ( \omega ; \gamma _ { l } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \Sigma } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \xi } ) } & { = \lambda _ { \mathrm { d B } } \Big ( \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { z _ { i } } ^ { z _ { i + 1 } } \sigma _ { \rho } ^ { 2 } \ d z \Big ) } \\ & { = \lambda _ { \mathrm { d B } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \sigma _ { \rho } ^ { 2 } ( z , \boldsymbol { \xi } ) d z } \end{array}