harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { \bar { v } } = { \frac { \Delta \mathbf { r } } { \Delta t } } = { \frac { \Delta x } { \Delta t } } { \hat { \mathbf { x } } } + { \frac { \Delta y } { \Delta t } } { \hat { \mathbf { y } } } + { \frac { \Delta z } { \Delta t } } { \hat { \mathbf { z } } } = { \bar { v } } _ { x } { \hat { \mathbf { x } } } + { \bar { v } } _ { y } { \hat { \mathbf { y } } } + { \bar { v } } _ { z } { \hat { \mathbf { z } } }
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } \left( x , y \right) } & { { } = 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { R - \sqrt { \left( x + 1 0 0 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } , } \\ { \phi _ { 2 } \left( x , y \right) } & { { } = 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { R - \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } , } \\ { \phi _ { 3 } \left( x , y \right) } & { { } = 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { R - \sqrt { \left( x - 1 0 0 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } . } \end{array}
p ( x ) = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { \mathbf { R } } e ^ { i t x } P ( t ) \, d t = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { \mathbf { R } } e ^ { i t x } { \overline { { \varphi _ { X } ( t ) } } } \, d t .
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \xi _ { a c } ^ { \dagger } ( t ) a _ { a s } ( t ) \rangle } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i \omega _ { 1 } t } d \omega _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i \omega _ { 2 } t } \langle \bar { \xi } _ { a s } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \bar { a } _ { a s } ( \omega _ { 2 } ) \rangle d \omega _ { 2 } } \\ & { } & { = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i \omega _ { 1 } t } d \omega _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i \omega _ { 2 } t } \frac { \left[ i ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 2 } ) - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } \right] \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \langle \bar { \xi } _ { a s } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \bar { \xi } _ { a s } ( \omega _ { 2 } ) \rangle + i g _ { \mathrm { o m } } \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \langle \bar { \xi } _ { a s } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \bar { \xi } _ { a c } ( \omega _ { 2 } ) \rangle } { g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 1 } ) ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 2 } ) - i \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 1 } ) \right] } d \omega _ { 2 } } \\ & { } & { = 0 , } \end{array}
L ( \mu , \sigma ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - ( y - \mu ) ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } \frac { \beta } { \Gamma ( \alpha ) } v ^ { \alpha - 1 } e ^ { - \beta v } \, ,
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { L R } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) = - i \sigma _ { 1 } , } \\ { \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { L R } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) = - i \sigma _ { 2 } , } \\ { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } = \pi ) = - i \sigma _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { B } = } & { - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } m _ { i } \left( \hat { \mu } _ { i } + 2 \widehat { A _ { i } \kappa _ { i } } \right) A _ { B } ^ { \top } \Ddot { p } - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \Bigg ( m _ { i } \hat { \mu } _ { i } ^ { \top } \hat { \mu } _ { i } + 2 A _ { i } J _ { i } A _ { i } ^ { \top } + m _ { i } \left( \hat { \mu } _ { i } ^ { \top } \widehat { A _ { i } \kappa _ { i } } + 2 \widehat { A _ { i } \kappa _ { i } } ^ { \top } \hat { \mu } _ { i } \right) \Bigg ) \dot { \Omega } _ { B } } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \Bigg ( - m _ { i } \left( \hat { \mu _ { i } } + \widehat { A _ { i } \kappa _ { i } } \right) \hat { \Omega } _ { B } A _ { B } ^ { \top } + m _ { i } \left( \widehat { \hat { \mu } _ { i } \Omega _ { B } } + \widehat { \widehat { A _ { i } \kappa _ { i } } \Omega _ { B } } \right) A _ { B } ^ { \top } + m _ { i } \hat { \Omega } _ { B } \left( \hat { \mu } _ { i } + \hat { A _ { i } \kappa _ { i } } \right) A _ { B } ^ { \top } \Bigg ) \dot { p } } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \Bigg ( - A _ { i } \widehat { J _ { i } A _ { i } ^ { \top } \Omega _ { B } } A _ { i } ^ { \top } - m _ { i } A _ { i } \hat { \kappa } _ { i } A _ { i } ^ { \top } \left( \hat { \Omega } _ { B } \hat { \mu } _ { i } - A _ { i } \widehat { \hat { \mu } _ { i } \Omega _ { B } } \right) + m _ { i } \hat { \Omega } _ { B } \left( \hat { \mu } _ { i } + \widehat { A _ { i } \kappa _ { i } } \right) A _ { B } ^ { \top } \Bigg ) \Omega _ { B } + \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } m _ { i } \mathrm { g } \hat { \mu } _ { i } A _ { B } ^ { \top } e _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle p _ { i } ^ { t \, 2 } \right\rangle } & { = } & { \left( \frac { 2 \nu } { 3 c W _ { 3 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \left\langle R _ { i 3 } R _ { i 3 } \right\rangle + \left\langle S _ { i 3 } S _ { i 3 } \right\rangle \right) = \left( \frac { 2 \nu } { 3 c W _ { 3 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \Gamma _ { \eta } ^ { 2 } } { 6 } + \frac { \Gamma _ { \eta } ^ { 2 } } { 1 0 } \right) } \\ & { = } & { \left( \frac { 2 \nu } { 3 c W _ { 3 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { \Gamma _ { \eta } ^ { 2 } } { 3 } = \left( \frac { 2 \nu } { 3 c W _ { m i n } ^ { d \, 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { 4 \Gamma _ { \eta } ^ { 2 } } { 1 5 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { E _ { \mathrm { { i n t } , 0 } } } N = \frac { N } { 4 \pi \rho _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \ln \frac N { \pi \sqrt { e } \rho _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac 1 2 \right) = \frac { \bar { n } } { 4 } \left( \ln \frac { \bar { n } } { \sqrt { e } } - \frac 1 2 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { j , i } ( - h L ) } & { { } = \varphi _ { j } ( - c _ { i } h L ) c _ { i } ^ { j } - \sum _ { k = 0 } ^ { i - 1 } a _ { i k } ( - h L ) \frac { c _ { k } ^ { j - 1 } } { ( j - 1 ) ! } , } \\ { \psi _ { j } ( - h L ) } & { { } = \varphi _ { j } ( - h L ) - \sum _ { k = 0 } ^ { s - 1 } a _ { ( s - 1 ) k } ( - h L ) \frac { c _ { k } ^ { j - 1 } } { ( j - 1 ) ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i j } } & { { } = - \left\langle \partial _ { \lambda _ { i } } \partial _ { \lambda _ { j } } \log \left( p ( x | c ) \right) \right\rangle = \left\langle \partial _ { \lambda _ { i } } \partial _ { \lambda _ { j } } \left[ \log Z \left( \vec { \lambda } \right) + \sum _ { l = 1 } ^ { k } \lambda _ { l } x ^ { l } \right] \right\rangle = } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( x , t ) } & { \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } c _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) , \ \ \mathbf { v } _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( x , t ) \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) , \ } \\ { p _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( x , t ) } & { \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { - 2 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } p _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) , } \end{array}
\varepsilon = 3 2 . 5 3 A _ { t } E / [ ( A _ { \mathrm { H I } } + A _ { t } ) Z _ { \mathrm { H I } } Z _ { t } ( Z _ { \mathrm { H I } } ^ { 0 . 2 3 } + Z _ { t } ^ { 0 . 2 3 } ) ] .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } ( W _ { t } ) _ { + } \, d t \le x \Big ) } & { \le \mathbb { P } \Big ( \epsilon \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbf { 1 } ( W _ { t } > \epsilon ) \, d t \le x \Big ) } \\ & { = \mathbb { P } \Big ( 1 - \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbf { 1 } ( W _ { t } \le \epsilon ) \, d t \le x / \epsilon \Big ) } \\ & { = \mathbb { P } \Big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbf { 1 } ( W _ { t } \le \epsilon ) \, d t \ge 1 - x / \epsilon \Big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \big ( \| \partial _ { t } ^ { k } u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + ( \gamma \lambda + 1 ) \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \underbrace { - \langle \partial _ { t } ^ { k } K _ { u } , \partial _ { t } ^ { k } u + \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \rangle + \langle \partial _ { t } ^ { k } K _ { \phi } , \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi - \partial _ { t } ^ { k } \phi - \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \rangle - \langle \nabla \partial _ { t } ^ { k } K _ { \phi } , \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \rangle } _ { A _ { 1 } } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { 2 } \langle \rho ^ { \prime } ( \phi ) \phi _ { t } , | \partial _ { t } ^ { k } u | ^ { 2 } \rangle } _ { A _ { 2 } } \ \underbrace { - \sum _ { 1 \leq j \leq k } C _ { k } ^ { j } \langle \partial _ { t } ^ { j } \rho ( \phi ) \partial _ { t } ^ { k - j } u _ { t } \, , \partial _ { t } ^ { k } u + \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \rangle } _ { A _ { 3 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { { \partial \rho \omega } } { { \partial t } } + \frac { { \partial \left( { \rho { u _ { j } } \omega } \right) } } { { \partial { x _ { j } } } } = } & { { } \frac { { \gamma \rho } } { { { \mu _ { t } } } } P - \beta \rho { \omega ^ { 2 } } + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { \left( { \mu + { \sigma _ { \omega } } { \mu _ { t } } } \right) \frac { { \partial \omega } } { { \partial { x _ { j } } } } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { \bar { \xi } _ { n } } } ^ { y } ( q _ { t } ^ { * } ) - F _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { \bar { \xi } _ { n } } } ^ { y } ( q ) = } & { \tau _ { t } [ \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } ^ { * } \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) ] - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { t } ^ { * } ) , } \\ { F _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { \bar { \xi } _ { n } } } ^ { y } ( p _ { t } ^ { * } ) - F _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { \bar { \xi } _ { n } } } ^ { y } ( p ) = } & { \eta _ { t } [ \mathrm { K L } ( p \| p _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( p _ { t } ^ { * } \| p _ { t - 1 } ^ { * } ) ] - ( \eta _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { t } ^ { * } ) . } \end{array}
\frac { \partial { \mathbf { a } _ { M } } } { \partial \mathbf { r } _ { M _ { k } } } \biggr \rvert _ { \mathbf { r } _ { j } } = \mu _ { M _ { k } } \left( \frac { 1 } { \Delta r _ { j k } ^ { 3 } } \mathbf { I } - \frac { 3 \Delta \mathbf { r } _ { j k } \Delta \mathbf { r } _ { j k } ^ { T } } { \Delta r _ { j k } ^ { 5 } } \right) .
\ensuremath { \mathbf { M } } \dot { \ensuremath { \mathbf { v } } } + \Pi ^ { \top } [ ( \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { b } } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \rho _ { i } ( \ensuremath { \mathbf { v } } ) \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { d } } _ { i } ) ) \ensuremath { \mathbf { v } } + \ensuremath { \mathbf { A } } \ensuremath { \mathbf { v } } - \ensuremath { \mathbf { f } } ] = 0
\begin{array} { r l } { Q + P Q ^ { T } P ^ { - 1 } } & { = P ^ { 1 / 2 } \left[ P ^ { - 1 / 2 } Q P ^ { 1 / 2 } + ( P ^ { - 1 / 2 } Q P ^ { 1 / 2 } ) ^ { T } \right] P ^ { - 1 / 2 } } \\ { Q - P Q ^ { T } P ^ { - 1 } } & { = P ^ { 1 / 2 } \left[ P ^ { - 1 / 2 } Q P ^ { 1 / 2 } - ( P ^ { - 1 / 2 } Q P ^ { 1 / 2 } ) ^ { T } \right] P ^ { - 1 / 2 } } \end{array}
\{ Q _ { \alpha } ^ { [ + ] \{ + \} } , S _ { \beta } ^ { [ - ] \{ - \} } \} = { \frac { 1 } { 2 } } M _ { \alpha \beta } + \epsilon _ { \alpha \beta } ( D - { \frac { 1 } { 2 } } H _ { 3 } - { \frac { 1 } { 2 } } H _ { 4 } ) \; ,
| \Phi _ { i } \rangle = \left( \frac { \partial U } { \partial \theta _ { i } } \right) | \alpha \rangle = i \sum _ { k } \left( \frac { \partial \varphi _ { k } } { \partial \theta _ { i } } \right) a _ { k } ^ { \dagger } a _ { k } \, | \alpha \rangle
\Pi _ { \alpha \beta } ( x - y ) = \frac { 1 } { \beta L } \frac { e ^ { 2 } } { \pi } \sum _ { n , k = - \infty } ^ { + \infty } e ^ { i \omega \cdot ( x - y ) } \left[ \delta _ { \alpha \beta } - \frac { \omega _ { \alpha } \omega _ { \beta } } { \omega ^ { 2 } } \right]
g = \frac { c e E } { 2 } \left( \frac { 1 } { | \pi _ { D } ( t _ { 2 } ) | } + \frac { 1 } { | \pi _ { D } ( t _ { 1 } ) | } \right) = \frac { 2 c } { T } = \frac { c e E } { p _ { 0 } ( t _ { 2 } ) } \; .
{ \left( \begin{array} { l } { \gamma } \\ { Z ^ { 0 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { \cos \theta _ { \mathrm { W } } } & { \sin \theta _ { \mathrm { W } } } \\ { - \sin \theta _ { \mathrm { W } } } & { \cos \theta _ { \mathrm { W } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { B } \\ { W _ { 3 } } \end{array} \right) } ,
\mathcal { L } F _ { ( f ^ { \mathrm { X } } , f ^ { \mathrm { Y } } ) } ( \nu ) = \mathcal { L } _ { d } F _ { ( f ^ { \mathrm { X } } , f ^ { \mathrm { Y } } ) } ( \nu ) + \sum _ { h \in \{ \mathrm { r } , \mathrm { a } , \mathrm { b } , \dot { \mathrm { d } } \} } \mathcal { L } _ { h } F _ { ( f ^ { \mathrm { X } } , f ^ { \mathrm { Y } } ) } ( \nu ) \, ,
\delta ( \omega _ { \bf k } ^ { l } + \omega _ { { \bf k } _ { 1 } } ^ { l } - \omega _ { { \bf k } _ { 2 } } ^ { l } - \omega _ { { \bf k } _ { 3 } } ^ { l } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } _ { 1 } - { \bf k } _ { 2 } - { \bf k } _ { 3 } ) .
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { \Delta T } \\ { \Delta \epsilon } \end{array} \right) } & { { } = } & { M ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { \Delta C _ { A } } \\ { \Delta C _ { B } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { F } } ( k _ { 0 } ) } & { = f \mathrm { E } _ { 0 } \sqrt { \pi } \, \left[ P _ { l - 1 , 1 } ^ { \mathrm { E } } ( k _ { 0 } ) \sqrt { 2 l - 1 } - M _ { l + 1 , 1 } ^ { \mathrm { E } } ( k _ { 0 } ) \sqrt { 2 l + 3 } \right] \, i ^ { l } \, \left[ \delta _ { m , 1 } - \delta _ { m , - 1 } \right] } \\ { \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { F } } ( k _ { 0 } ) } & { = f \frac { \mathrm { E } _ { 0 } \sqrt { \pi } } { c } \, \left[ P _ { l - 1 , 1 } ^ { \mathrm { B } } ( k _ { 0 } ) \sqrt { 2 l - 1 } - M _ { l + 1 , 1 } ^ { \mathrm { B } } ( k _ { 0 } ) \sqrt { 2 l + 3 } \right] \, i ^ { l - 1 } \, \left[ \delta _ { m , 1 } + \delta _ { m , - 1 } \right] } \end{array}
H = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G } } \int d ^ { 2 } x \left[ e _ { t } ^ { a } \varepsilon ^ { i j } \left( R _ { a i j } + { \frac { 1 } { l ^ { 2 } } } \varepsilon _ { a b c } e _ { i } ^ { b } e _ { j } ^ { c } \right) + \omega _ { t } ^ { a } \left( D _ { i } e _ { a j } - D _ { j } e _ { a i } \right) \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { d \cdot E } } } & { { } = \sum _ { { \boldsymbol k } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \omega _ { 0 } \sum _ { u } \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } \hat { d } _ { u } + \sum _ { \langle u , v \rangle } \tau _ { u v } ( \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } \hat { d } _ { v } + \hat { d } _ { u } \hat { d } _ { v } ^ { \dagger } ) + \sum _ { { \boldsymbol k } , u } \mu _ { 0 } \lambda _ { \boldsymbol k } ( \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } + \hat { d } _ { u } ) \big ( e ^ { - i { \boldsymbol k _ { \parallel } } \cdot { \bf R } _ { u } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } + e ^ { i { \boldsymbol k _ { \parallel } } \cdot { \bf R } _ { u } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \big ) \sin ( { k _ { y } } ( \hat { \bf y } \cdot { \bf R } _ { u } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { k } ( \kappa _ { i } ) = \frac { \Gamma \left( \frac { D + 1 } { 2 } \right) } { \sqrt { \pi } \Gamma \left( \frac { D } { 2 } \right) } \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { \sin ^ { D - 1 } \theta \, d \theta } { 1 + \left( \frac { R \theta } { ( \mu \kappa _ { i } \kappa _ { j } ) ^ { 1 / D } } \right) ^ { \beta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b ( t , \psi , \varphi ) } & { = \int _ { \Omega } \int _ { D } \nu \nabla \psi \cdot \nabla \varphi \, d x \, d \mathbb { P } ( \omega ) \, d t + \langle a ( t ) y ( t ) , \varphi ( t ) \rangle _ { V _ { \mathbb { P } } ^ { \prime } , V _ { \mathbb { P } } } } \\ & { - \int _ { \Omega } \int _ { D } y ( t ) b ( t ) \cdot \nabla \varphi \, d x \, d \mathbb { P } ( \omega ) \qquad \forall \psi , \varphi \in V _ { \mathbb { P } } , } \end{array}
\log ( \bar { L } ^ { 2 } ) = - W _ { - 1 } \left( - \frac { 1 } { e \bar { l } ^ { 2 } } \right) \implies \bar { l } ^ { * } = \sqrt { \frac { 1 } { e } \frac { \bar { L } ^ { 2 } } { \log ( \bar { L } ^ { 2 } ) } }
\left[ { \cal A } _ { M } \stackrel { \star } { , } { \cal A } _ { N } \right] = 2 i \operatorname * { l i m } _ { X \rightarrow Y } \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } \frac { \partial } { \partial X ^ { i } } \theta ^ { i j } \frac { \partial } { \partial Y ^ { j } } \right) { \cal A } _ { M } ( X ) { \cal A } _ { N } ( Y ) \ .
\delta x \, \boldsymbol { \alpha } ^ { ( 1 ) } [ ^ { ( 1 ) } U _ { M } ^ { \mp } ] \cdot \tilde { \mathbf { f } } _ { \hphantom { ( } k _ { \pm } ^ { * } } ^ { ( 1 ) } = \boldsymbol { \alpha } ^ { ( 0 ) } [ ^ { ( 1 ) } U _ { M } ^ { \mp } ] \cdot \mathbf { f } _ { \hphantom { ( } k _ { \pm } ^ { * } } ^ { ( 0 ) } + \delta x ^ { 2 } \alpha _ { \hphantom { ( } 0 } ^ { ( 2 ) } [ ^ { ( 1 ) } U _ { M } ^ { \mp } ] f _ { \hphantom { ( } k _ { \pm } ^ { * } } ^ { ( 2 ) } + \xi _ { \pm } \delta x ^ { 2 M + 3 } \boldsymbol { \alpha } ^ { ( 1 ) } [ ^ { ( 1 ) } U _ { M } ^ { \mp } ] \cdot \mathbf { f } _ { \hphantom { ( } k _ { \pm } ^ { * } } ^ { ( 2 M + 2 ) } ,
\overline { { U } } _ { 0 } = \frac { 1 } { H } \int _ { y = 0 } ^ { H } \langle U _ { 0 } \rangle \mathrm { d } y = - \frac { \mathrm { ~ d ~ } p _ { 0 } } { \mathrm { ~ d ~ } x } \frac { H ^ { 2 } } { 3 \mu } ,
\begin{array} { r l r } { \nabla \times \ensuremath { \boldsymbol { H } } } & { { } = } & { \ensuremath { \boldsymbol { J } } } \\ { \ensuremath { \boldsymbol { B } } } & { { } = } & { \nabla \times \ensuremath { \boldsymbol { A } } } \\ { \ensuremath { \boldsymbol { J } } } & { { } = } & { \sigma \ensuremath { \boldsymbol { E } } + \sigma \ensuremath { \boldsymbol { v } } \times \ensuremath { \boldsymbol { B } } + \ensuremath { \boldsymbol { J } } _ { e } } \\ { \ensuremath { \boldsymbol { B } } } & { { } = } & { \mu _ { 0 } \mu _ { r } \ensuremath { \boldsymbol { H } } } \end{array}
\sum _ { s } \frac { ( Z _ { s } e ) ^ { 2 } \varphi } { T _ { s } } = \sum _ { s } Z _ { s } e \int d ^ { 3 } \boldsymbol { w } \, \langle h _ { s } \rangle _ { \boldsymbol { r } } , \quad \tau = \frac { T _ { \mathrm { e } } } { T _ { \mathrm { i } } } ,
m _ { a } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 b ^ { 2 } + 2 c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } } = { \sqrt { { \frac { 1 } { 2 } } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) - { \frac { 3 } { 4 } } a ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { H } & { = } & { \frac { I _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { I _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { K _ { \mathrm { C } } } { 2 } \left[ \cos \left( \theta _ { 1 } - 3 \theta _ { 2 } \right) + \cos \left( 3 \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \right] , } \\ & { = } & { H _ { 1 } ( I _ { 1 } ) + H _ { 2 } ( I _ { 2 } ) + H _ { \mathrm { c } } . \quad \, } \end{array}
K = 3 ( 2 \pi ) ^ { 1 / 3 } \sigma _ { 0 } \varepsilon ^ { 2 / 3 } \ell _ { \textrm { C } } ^ { 2 / 3 } - \frac { 1 } { 2 } ( 2 \pi ) ^ { - 1 / 3 } \frac { \sigma _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } \varepsilon ^ { - 2 / 3 } \ell _ { \textrm { C } } ^ { 4 / 3 } \frac { D \varepsilon } { D T } - \frac { 1 } { 1 2 } ( 2 \pi ) ^ { - 4 / 3 } \frac { \sigma _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } \varepsilon ^ { 1 / 3 } \ell _ { \textrm { C } } ^ { 1 / 3 } \frac { D \ell _ { \textrm { C } } } { D T } ,
{ \cal L } _ { g f } = { \frac { 1 } { 2 \alpha } } ( h _ { \mu \rho , } { } ^ { \mu } - { \frac { 1 } { 2 } } h _ { , \rho } ) ( h ^ { \nu \rho } { } _ { , \nu } - { \frac { 1 } { 2 } } h _ { , } { } ^ { \rho } ) + { \frac { 1 } { 2 \beta } } \sigma _ { , \mu } \sigma _ { , } { } ^ { \mu } ,
\bar { \omega } _ { p } \approx \omega _ { p } - \omega _ { p } \, \frac { c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \beta ^ { 2 } } \left[ \frac { ( p - 1 ) } { 2 p } + \zeta \cos ^ { 2 } \theta \right] \, .
{ \cal R } _ { 0 } ^ { I S I + I F S I } = \left\{ \begin{array} { c l } { { 1 . 1 7 } } & { { ( \mu = 1 . 5 \; \mathrm { G e V } ) , } } \\ { { 1 . 2 3 } } & { { ( \mu = 2 \; \mathrm { G e V } ) . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \mathrm { V o l } ( B _ { r , m } ) } & { = } & { \int _ { r } ^ { r + 1 } \sinh ^ { d } ( \rho ) \times \sigma \big ( \mathrm { C o n e } ( z _ { \rho , m } , e ^ { - \rho } ) \cap \mathbb { S } ^ { d } \big ) \, d \rho } \\ & { \leq } & { { C } \int _ { r } ^ { r + 1 } e ^ { d \rho } \, d \rho \times e ^ { - d r } = \frac { { C } } { d } ( e ^ { d } - 1 ) = : C _ { 1 } ~ . } \end{array}
{ \textstyle \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \delta _ { \epsilon } \hat { \hat { \psi } } _ { \hat { \hat { \mu } } } = \hat { \hat { \nabla } } _ { \hat { \hat { \mu } } } \hat { \hat { \epsilon } } - 6 i \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \left( \hat { \hat { \gamma } } ^ { \hat { \hat { \alpha } } \hat { \hat { \beta } } \hat { \hat { \gamma } } \hat { \hat { \delta } } } { } _ { \hat { \hat { \mu } } } - 8 \hat { \hat { \gamma } } ^ { \hat { \hat { \beta } } \hat { \hat { \gamma } } \hat { \hat { \delta } } } \delta ^ { \hat { \hat { \alpha } } } { } _ { \hat { \hat { \mu } } } \right) \hat { \hat { G } } _ { \hat { \hat { \alpha } } \hat { \hat { \beta } } \hat { \hat { \gamma } } \hat { \hat { \delta } } } \ \hat { \hat { \epsilon } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \varphi _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } } { \partial p _ { i } } = \sum _ { n \ell } \hat { b } _ { n \ell } \tau _ { n \ell } } & { } & { \bigg [ k _ { o } \frac { J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } } \\ & { } & { + k _ { o } \frac { H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } \rho _ { n } \right) } { H _ { \ell } \left( k _ { o } \rho _ { n } \right) } \frac { \partial \rho _ { n } } { \partial p _ { i } } + j \ell \frac { \partial \theta _ { n } } { \partial p _ { i } } \bigg ] } \end{array}
\chi ( t ) = - \frac { g } { 2 N } \, r _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { g } { 2 N } \sum _ { i } \left[ q _ { i } ^ { 2 } ( t ) \, + \, \frac { 1 } { i } \, { \cal G } _ { i i } ^ { ( 2 ) } ( t , t ) \right] .
\mathcal { E } ^ { - } ( \mathbf { x } _ { 0 } ) : = \operatorname* { m i n } _ { \substack { \mathbf { u } \in L _ { 2 } ( - \infty , 0 ] \, \mathbf { x } ( - \infty ) = \mathbf { 0 } \, \mathbf { x } ( 0 ) = \mathbf { x } _ { 0 } } } \ \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { 0 } \Vert \mathbf { y } ( t ) \Vert ^ { 2 } + \Vert \mathbf { u } ( t ) \Vert ^ { 2 } \mathrm { d } t ,
{ \cal R } _ { 2 1 } L _ { 1 } ^ { \epsilon } Z _ { 2 1 } L _ { 2 } ^ { \sigma } Z _ { 2 1 } ^ { - 1 } = Z _ { 1 2 } ^ { - 1 } L _ { 2 } ^ { \sigma } Z _ { 1 2 } L _ { 1 } ^ { \epsilon } { \cal R } _ { 2 1 }
\begin{array} { r } { 0 = \frac { d ^ { 2 } \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta ^ { 2 } } + L e \hat { \Lambda } _ { 0 } \hat { \rho } _ { 0 } \left( { T } _ { 1 - } + \frac { q } { L e } { Y } _ { 1 - } - \hat { \theta } _ { 1 } + \eta \frac { d } { d z } \left( { T } _ { 0 } + \frac { q } { L e } { Y } _ { 0 } \right) \Big | _ { - } \right) \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 } } . } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { r } , i j } = \frac { \omega _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \pi \hbar \varepsilon _ { 0 } c _ { 0 } ^ { 3 } } \sum _ { q = - 1 } ^ { 1 } \left| \langle i | \hat { D } _ { q } | j \rangle \right| ^ { 2 } .