harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathsf { u } _ { e } ^ { n + 1 } = \mathsf { u } _ { e } ^ { n } - \left[ \frac { \Delta t } { \Delta x _ { e } } \mathsf { D } _ { 1 } \mathsf { F } _ { e } + \frac { \Delta t } { \Delta y _ { e } } \mathsf { G } _ { e } \mathsf { D } _ { 1 } ^ { \top } \right] - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { e } } \left[ \mathsf { b } _ { L } \mathsf { F } _ { e - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \top } + \mathsf { b } _ { R } \mathsf { F } _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \top } \right] - \frac { \Delta t } { \Delta y _ { e } } \left[ \mathsf { G } _ { e - \frac { 1 } { 2 } } \mathsf { b } _ { L } ^ { \top } + \mathsf { G } _ { e + \frac { 1 } { 2 } } \mathsf { b } _ { R } ^ { \top } \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { 0 = \partial _ { \rho } \left( \partial _ { \rho } \mu ^ { ( 0 ) } - W ^ { ( 0 ) } \partial _ { \rho } U ^ { ( 0 ) } \right) , } \\ & { } & { \mu ^ { ( 0 ) } = - \partial _ { \rho \rho } U ^ { ( 0 ) } + q ^ { \prime } ( U ^ { ( 0 ) } ) + h ( U ^ { ( 0 ) } ) f _ { c l } ^ { ( - 1 ) } ( \rho , U ^ { ( 0 ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \phi ( \gamma ( \tau ) ) } \\ & { \quad = \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \left( \operatorname { t a n h } \big ( ( a - 1 ) \tau \big ) + \operatorname { t a n h } \big ( ( 1 + a ) \tau \big ) , \operatorname { t a n h } \big ( ( 1 + a ) \tau \big ) - \operatorname { t a n h } \big ( ( a - 1 ) \tau \big ) \right) } \\ & { \quad = ( 0 , 2 ) } \\ & { \quad = i ^ { 0 } } \end{array}
f ( x ) = \int d ( y P _ { B } ) e ^ { i x ( y P _ { B } ) } \frac { 1 } { 4 \pi M _ { B } ^ { 2 } } \langle B | \bar { b } ( 0 ) P _ { B } ^ { \mu } \gamma _ { \mu } ^ { L } b ( y ) | B \rangle | _ { y ^ { 2 } = 0 } \, .
\begin{array} { r l } { \rho _ { C } = } & { ~ \frac { N _ { C } } { N } + \frac { N _ { C } ( N - N _ { C } ) } { 4 N ( N - 1 ) } \bigg \{ ( N - 2 + N w _ { R } ) } \\ & { \times ( 1 - 2 r _ { \mathrm { S H } } ) } \\ & { + \frac { N ( k - 1 ) w _ { I } + N ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + N - 2 k - N w _ { R } } { k } } \\ & { \times ( 1 + 2 r _ { \mathrm { S H } } ) \bigg \} \delta \, , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { t } \log n } } \cdot \frac { M _ { \lfloor n ^ { t } r \rfloor } ( u ) } { a _ { \lfloor n ^ { t } r \rfloor } \mu _ { \lfloor n ^ { t } r \rfloor } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { t } \log n } } \big ( n ^ { t } r ( \log n + \frac { r } { t } \log r ) \big ) ^ { 1 / 2 } \mathcal { B } _ { t r } ( u ) \quad \mathbb { P } \mathrm { - a . s . }
\left\{ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } = \boldsymbol { \xi } - \left\vert \boldsymbol { \xi } - \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } \right\vert \boldsymbol { \eta } } \\ { \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } = \boldsymbol { \xi } _ { \ast } - \frac { m _ { \alpha } } { m _ { \beta } } \left\vert \boldsymbol { \xi } - \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } \right\vert \boldsymbol { \eta } } \end{array} \right. \mathrm { , ~ w h e r e ~ } \boldsymbol { \eta } \in \mathbb { S } ^ { 2 } \mathrm { , }
\int \operatorname { a r c s c h } ( a x ) \, d x = x \operatorname { a r c s c h } ( a x ) + { \frac { 1 } { a } } \operatorname { a r c o t h } { \sqrt { { \frac { 1 } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } + 1 } } + C
\begin{array} { r l r l r l } { \frac { \partial } { \partial t } } & { \rightarrow \frac { \partial } { \partial t } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial T } } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \frac { \partial } { \partial x } } & { \rightarrow \frac { \partial } { \partial x } + \epsilon \frac { \partial } { \partial X } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \boldsymbol { Q } ^ { * } ( \boldsymbol { x } , - \Omega _ { n } t ) } & { = - U ^ { * } \nabla u - V ^ { * } \nabla v + \boldsymbol { q } \cdot \nabla \boldsymbol { Q } ^ { * } - \nabla P ^ { * } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { Q } ^ { * } , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { Q } ^ { * } } & { = 0 , } \end{array}
\dot { g } ( z ^ { A } ) = \partial _ { A } g ( z ^ { A } ) \dot { z } ^ { A } = \partial _ { A } g \{ z ^ { A } , H ( z , \varphi ) \} = \{ g ( z ^ { A } ) , H ( z ^ { A } , \varphi ) \} = \{ g ( z ^ { A } ) , H _ { 0 } ( z ^ { A } ) \} = 0
\Gamma ^ { l , m * } ( \tau _ { 1 } , \dots , \tau _ { l } , \tau _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , \tau _ { m } ^ { \prime } ) = \frac { \delta ^ { ( l + m ) } \Gamma } { \delta \tilde { \mu } ( \tau _ { 1 } ) \dots \delta \tilde { \mu } ( \tau _ { l } ) \delta { \mu } ( \tau _ { 1 } ^ { \prime } ) \dots \delta { \mu } ( \tau _ { m } ^ { \prime } ) } \Bigg | _ { \mu ( \tau ) = \mu ^ { * } ( \tau ) , \tilde { \mu } ( \tau ) = 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } \tau }
\Phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \to - \frac { 2 \pi } { 3 } \frac { c \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } l _ { k } } { \left[ \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \right] ^ { 2 } } \delta _ { x ^ { \prime } } \phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 }
\begin{array} { l c l } { { \partial { \bar { \partial } } \phi _ { 1 } } } & { { = } } & { { A e ^ { - \frac { 1 } { 2 \theta } ( \phi _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \phi _ { 2 } ) } } } \\ { { \partial { \bar { \partial } } \phi _ { 2 } } } & { { = } } & { { B e ^ { - \frac { 1 } { 2 \theta } ( \phi _ { 1 } + 2 \phi _ { 2 } ) } } } \end{array}
+ O \big [ \eta q _ { 0 } R ^ { 2 } / 2 f = \pi ( c / v ) R ^ { 2 } / f \lambda _ { 0 } \lesssim \pi g ( c / v ) ( R / { R _ { \mathrm { m a x } } } ) ( \lambda _ { e } / \lambda _ { 0 } ) \ll 1 \big ]
\mathrm { d } \mu _ { \mathrm { o n e - f l } } = \frac { 1 } { 2 ^ { 1 1 } \pi ^ { 4 } v ^ { 2 } } \, M _ { \mathrm { P V } } ^ { 5 } \left( \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \! \exp \left( - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } - 4 \pi ^ { 2 } | v | ^ { 2 } \rho _ { \mathrm { i n v } } ^ { 2 } \right) \frac { \mathrm { d } \rho ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \, \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { 0 } \, \mathrm { d } ^ { 2 } \theta _ { 0 } \, \mathrm { d } ^ { 2 } \bar { \beta } _ { \mathrm { i n v } } \, \mathrm { d } ^ { 2 } \bar { \theta } _ { 0 } \, .
\begin{array} { c c l } { { W _ { \mathrm { m a s s } } } } & { { = } } & { { ( \overline { { { { \bf 2 } } } } ( T _ { 1 } ) , \overline { { { { \bf 2 } } } } ( T _ { 2 } ) ) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \lambda b } } \\ { { - \lambda b } } & { { M _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { { \bf 2 } ( T _ { 1 } ) } } \\ { { { \bf 2 } ( T _ { 2 } ) } } \end{array} \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { + } } & { { ( \overline { { { { \bf 3 } } } } ( T _ { 1 } ) , \overline { { { { \bf 3 } } } } ( T _ { 2 } ) ) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \lambda a } } \\ { { - \lambda a } } & { { M _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { { \bf 3 } ( T _ { 1 } ) } } \\ { { { \bf 3 } ( T _ { 2 } ) } } \end{array} \right) . } } \end{array}
\begin{array} { r } { j _ { i } ^ { s , * } = - D ^ { s } \frac { \partial c ^ { s , * } } { \partial x _ { i } ^ { * } } - D ^ { s } \frac { z ^ { s } F } { R T } c ^ { s , * } \; \frac { \partial \phi ^ { s , * } } { \partial x _ { i } ^ { * } } + v _ { i } ^ { * } c ^ { s , * } \quad \quad \mathrm { \mathrm { f o r ~ s ^ { t h } ~ s p e c i e s , } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \tilde { u } } & { { } = \frac { i \zeta } { \eta q ^ { 2 } } ( \textbf { q } \hat { q } \cdot \delta \tilde { Q } \cdot \hat { q } - \textbf { q } \cdot \delta \tilde { Q } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta t } & { \approx } & { \frac { 1 } { 3 \, \nu _ { \alpha } } \, , } \\ { \Delta p _ { \alpha } } & { \approx } & { m _ { \alpha } \, N _ { \alpha } \, \Delta u _ { \alpha } \, , } \\ { \frac { \Delta p _ { \alpha } } { \Delta t } } & { \approx } & { 3 \, \nu _ { \alpha } \, m _ { \alpha } \, N _ { \alpha } \, \Delta u _ { \alpha } \, , } \\ { P _ { \alpha } } & { \approx } & { \frac { 3 \, \nu _ { \alpha } \, m _ { \alpha } \, N _ { \alpha } \, \Delta u _ { \alpha } } { 2 \pi \, R _ { D T } \, L } \, , } \end{array}
\partial _ { t } \theta _ { m } - \kappa _ { m } \Delta \theta _ { m } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } \cdot \nabla \theta _ { m } = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ ( 0 , \infty ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 }
\begin{array} { l l l l } { 4 = 2 ^ { 2 } 3 ^ { 0 } , } & { 6 = 2 ^ { 1 } 3 ^ { 1 } , } & { \operatorname* { g c d } ( 4 , 6 ) = 2 ^ { 1 } 3 ^ { 0 } = 2 , } & { \operatorname { l c m } ( 4 , 6 ) = 2 ^ { 2 } 3 ^ { 1 } = 1 2 . } \\ { { \frac { 1 } { 3 } } = 2 ^ { 0 } 3 ^ { - 1 } 5 ^ { 0 } , } & { { \frac { 2 } { 5 } } = 2 ^ { 1 } 3 ^ { 0 } 5 ^ { - 1 } , } & { \operatorname* { g c d } ( { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 5 } } ) = 2 ^ { 0 } 3 ^ { - 1 } 5 ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { 1 5 } } , } & { \operatorname { l c m } ( { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 5 } } ) = 2 ^ { 1 } 3 ^ { 0 } 5 ^ { 0 } = 2 , } \\ { { \frac { 1 } { 6 } } = 2 ^ { - 1 } 3 ^ { - 1 } , } & { { \frac { 3 } { 4 } } = 2 ^ { - 2 } 3 ^ { 1 } , } & { \operatorname* { g c d } ( { \frac { 1 } { 6 } } , { \frac { 3 } { 4 } } ) = 2 ^ { - 2 } 3 ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { 1 2 } } , } & { \operatorname { l c m } ( { \frac { 1 } { 6 } } , { \frac { 3 } { 4 } } ) = 2 ^ { - 1 } 3 ^ { 1 } = { \frac { 3 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { m \geq 0 } \mathbb E \bigl | U _ { l , \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { m } ) I _ { M } ^ { c } \bigr | \leq \bigl ( \operatorname* { s u p } _ { m \geq 0 } \mathbb E \bigl | U _ { l , \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { m } ) \bigr | ^ { 2 } \bigr ) ^ { 1 / 2 } \bigl ( \mathbb E I _ { M } ^ { c } \bigr ) ^ { 1 / 2 } \to 0 , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { m \geq 0 } \mathbb E V _ { \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { m } ) I _ { M } ^ { c } \leq \bigl ( \operatorname* { s u p } _ { m \geq 0 } \mathbb E V _ { \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { m } ) ^ { 2 } \bigr ) ^ { 1 / 2 } \bigl ( \mathbb E I _ { M } ^ { c } \bigr ) ^ { 1 / 2 } \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { H ( t ) = \left( \begin{array} { c c } { \omega _ { 1 } ( t ) } & { \frac { \nu f _ { 1 } ( t ) } { f _ { 2 } ( t ) } } \\ { \frac { \nu ^ { \prime } f _ { 2 } ( t ) } { f _ { 1 } ( t ) } } & { \omega _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \frac { \langle \pi _ { k } ^ { 4 } \rangle } { 3 \langle \pi _ { k } ^ { 2 } \rangle ^ { 2 } } } - 1 , { \frac { \langle \pi _ { k } ^ { 6 } \rangle } { 1 5 \langle \pi _ { k } ^ { 2 } \rangle ^ { 3 } } } - 1 , \ldots , \qquad k = 0 , 1 , \ldots L
\begin{array} { r l } & { \int e ^ { t ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) } e ^ { - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } + u \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } } \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } \sigma _ { l } } \varphi ( \frac { 1 } { \sigma _ { l } } ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) ) d u } \\ & { = \underbrace { \int _ { \mathcal { A } } e ^ { t ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) } e ^ { - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } + u \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } } \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } \sigma _ { l } } \varphi ( \frac { 1 } { \sigma _ { l } } ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) ) d u } _ { : = N _ { l k } ^ { 1 } ( t ) } } \\ & { + \underbrace { \int _ { \mathcal { A } ^ { C } } e ^ { t ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) } e ^ { - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } + u \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } } \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } \sigma _ { l } } \varphi ( \frac { 1 } { \sigma _ { l } } ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) ) d u } _ { : = N _ { l k } ^ { 2 } ( t ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot \mathbf { E } } & { = 0 , } & { \nabla \times \mathbf { E } } & { = - { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { = 0 , } & { \nabla \times \mathbf { B } } & { = \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } . } \end{array} }
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \mathbb E \left[ \mathcal { Z } _ { t } ^ { \varepsilon } ( u ) \right] = \mathbb E \left[ \mathcal Z _ { t } ( u ) \right] = d P _ { t } ^ { \mathrm { D i r } } ( u , 0 ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { \frac { - t } { 2 } \theta ^ { 2 } + \mathbf i \theta u } ( - 4 \mathbf i \theta ) d \theta ,
\begin{array} { r l r } { { \bf S } _ { \mathrm { P } } } & { { } = } & { { \bf E } \times { \bf H } + \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { \mu } \phi { \bf A } \, , } \\ { u _ { \mathrm { P } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( { \bf B } \cdot { \bf H } + { \bf D } \cdot { \bf E } \right) + \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { 2 \mu c ^ { 2 } } \left( \phi ^ { 2 } + c ^ { 2 } { \bf A } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \, G _ { 1 } ^ { \beta } \frac { \partial G _ { 1 } ^ { \psi } } { \partial z ^ { \beta } } \; = \; \frac { c } { q } \, J _ { 0 } \; + \; \frac { B _ { 0 } } { 2 \Omega _ { 0 } } \left( G _ { 1 } ^ { \mu } \, \frac { \partial \bf w } { \partial \mu _ { 0 } } \; + \; g _ { 1 } ^ { \zeta } \, \frac { \partial \bf w } { \partial \zeta _ { 0 } } \right) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } ,
\begin{array} { r l } { d ^ { 3 } N _ { c } ( \Delta p ) } & { = \, \frac { n _ { g } \, d A \, d t } { \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \frac { d \Delta p } { m _ { g } } \int _ { 0 } ^ { \Delta p / m _ { g } } d v _ { i , z } \, v _ { i , z } ( \Delta p / m _ { g } - v _ { i , z } ) \, e ^ { - \big ( v _ { i , z } ^ { 2 } + ( \Delta p / m _ { g } - v _ { i , z } ) ^ { 2 } \big ) \big / 2 \overline { { v } } ^ { 2 } } . } \end{array}
( P _ { n + 1 } ( k ) - P _ { n + 1 } ( l ) ) \, ( k - l ) ^ { - 1 } = k ^ { P _ { n } ( k ) - P _ { n } ( l ) } \, ( P _ { n } ( k ) - P _ { n } ( l ) ) \, ( k - l ) ^ { - 1 } + s ( P _ { n } ( l ) ) \ ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { s i n c } _ { \mathrm { H } } ( \mathbf { x } ) = { \frac { 1 } { 3 } } { \big ( } } & { \cos \left( \pi { \boldsymbol { \xi } } _ { 1 } \cdot \mathbf { x } \right) \operatorname { s i n c } \left( { \boldsymbol { \xi } } _ { 2 } \cdot \mathbf { x } \right) \operatorname { s i n c } \left( { \boldsymbol { \xi } } _ { 3 } \cdot \mathbf { x } \right) } \\ & { + \cos \left( \pi { \boldsymbol { \xi } } _ { 2 } \cdot \mathbf { x } \right) \operatorname { s i n c } \left( { \boldsymbol { \xi } } _ { 3 } \cdot \mathbf { x } \right) \operatorname { s i n c } \left( { \boldsymbol { \xi } } _ { 1 } \cdot \mathbf { x } \right) } \\ & { + \cos \left( \pi { \boldsymbol { \xi } } _ { 3 } \cdot \mathbf { x } \right) \operatorname { s i n c } \left( { \boldsymbol { \xi } } _ { 1 } \cdot \mathbf { x } \right) \operatorname { s i n c } \left( { \boldsymbol { \xi } } _ { 2 } \cdot \mathbf { x } \right) { \big ) } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \kappa ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 4 \sqrt { 5 } } \left( 1 - \frac { y ^ { 2 } } { 5 } \right) , \, \mathrm { ~ i ~ f ~ } y ^ { 2 } < 5 } \\ { 0 , \, \mathrm { ~ i ~ f ~ } y ^ { 2 } > 5 } \end{array} \right. . } \end{array}
3 q _ { 2 } q _ { 3 } + 3 q _ { 3 } q _ { 4 } + 3 q _ { 1 } q _ { 2 } + q _ { 2 } q _ { 4 } + q _ { 1 } q _ { 4 } - q _ { 1 } - q _ { 3 } - q _ { 4 }
\Psi _ { 2 } ^ { N + 1 } ( { \bf R } _ { N + 1 } ) = \sum _ { n } \frac { \delta D _ { k } ^ { N + 1 } } { \delta \varphi _ { k } ( { \bf r } _ { n } ) } \varphi _ { k } ( { \bf r } _ { n } ) e ^ { \widetilde { u } ( r _ { n } ) } e ^ { - U _ { N + 1 } ( { \bf R } _ { N + 1 } ) }
\begin{array} { r l } { { } } & { { } \operatorname* { P r } ( X _ { n } = x _ { n } \mid X _ { n - 1 } = x _ { n - 1 } , X _ { n - 2 } = x _ { n - 2 } , \dots , X _ { 1 } = x _ { 1 } ) } \\ { = } & { { } \operatorname* { P r } ( X _ { n } = x _ { n } \mid X _ { n - 1 } = x _ { n - 1 } , X _ { n - 2 } = x _ { n - 2 } , \dots , X _ { n - m } = x _ { n - m } ) { \mathrm { ~ f o r ~ } } n > m } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { c o r n e r } , \mathcal { T } } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( - [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] - [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \right) , } \\ { Q _ { \mathrm { c o r n e r } , \mathcal { T } } ^ { ( 3 ) } } & { = \frac { 1 } { 3 } [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] , } \\ { Q _ { \mathrm { c o r n e r } , \mathcal { T } } ^ { ( 4 ) } } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + 2 [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] + 3 [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] \right) , } \\ { Q _ { \mathrm { c o r n e r } , \mathcal { T } } ^ { ( 6 ) } } & { = \frac { 1 } { 4 } [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + \frac { 1 } { 6 } [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , } \end{array}
{ \tilde { P } } = \left( \begin{array} { l l l l } { \tilde { p } _ { g } \tilde { p } _ { \gamma } } & { 0 } & { \tilde { p } _ { \gamma } \tilde { q } _ { g } } & { \tilde { q } _ { \gamma } } \\ { 0 } & { \tilde { p } _ { g } \tilde { p } _ { \gamma } } & { \tilde { q } _ { \gamma } } & { \tilde { p } _ { \gamma } \tilde { q } _ { g } } \\ { \tilde { p } _ { \gamma } \tilde { q } _ { g } } & { \tilde { q } _ { \gamma } } & { \tilde { p } _ { g } \tilde { p } _ { \gamma } } & { 0 } \\ { \tilde { q } _ { \gamma } } & { \tilde { p } _ { \gamma } \tilde { q } _ { g } } & { 0 } & { \tilde { p } _ { g } \tilde { p } _ { \gamma } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \dot { \theta } = m _ { 3 } I _ { ( 1 - 2 ) } \sin \theta \sin \psi \cos \psi , } \\ { \dot { \varphi } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { m _ { 3 } } { I _ { 2 } } \cos ^ { 2 } \psi , } \\ { \dot { \psi } = - ( \frac { m _ { 3 } } { I _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { m _ { 3 } } { I _ { 2 } } \cos ^ { 2 } \psi ) \cos \theta + \frac { m _ { 3 } } { I _ { 3 } } \cos \theta . } \end{array}
\hat { u } _ { 2 n } = \hat { u } _ { 2 n + 1 } = \left( \begin{array} { c } { { - 1 / 2 } } \\ { { n } } \end{array} \right) = { \frac { ( - 1 ) ^ { n } ( 2 n - 1 ) ! ! } { 2 ^ { n } n ! } } ,
\begin{array} { r l } { \psi _ { 1 2 } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) } & { { } = \psi _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { j } ) \psi _ { 2 } ( \mathbf { x } _ { j + 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \frac { { \partial } { \bf { m } } } { { \partial } t } = } & { - \gamma { \mu } _ { 0 } \left( { \bf { m } } \times { \bf { { H } } } _ { \bf { { K } } } \right) + \alpha \left( { \bf { m } } \times \frac { { \partial } { \bf { m } } } { { \partial } t } \right) } \\ & { + \gamma { \mu } _ { 0 } H _ { { S O T } } ^ { { D L } } \left( \left( { \bf { m } } \times { \bf { \sigma } } \right) \times { \bf { m } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r c l } { s _ { \tilde { \nu } , t } } & { = } & { \frac { \Delta \bar { D } _ { t } - \bar { \lambda } _ { 3 , t - 1 } } { \bar { \lambda } _ { 3 , t - 1 } } \frac { 1 } { ( 1 - \nu _ { t } ) } } \end{array}
\begin{array} { l l } { k _ { 1 } } & { = \sqrt [ 3 ] { \frac { 1 } { 2 7 } - \frac { 1 - 3 s i n ^ { 2 } \beta } { 6 } { \left( \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } \right) } ^ { 2 } + \frac { s i n \beta } { 3 \sqrt { 3 } } \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } } } \end{array}
u _ { \Gamma } = \dot { R } \frac { \partial C } { \partial x } \frac { 1 } { | \nabla C | } ; \quad v _ { \Gamma } = \dot { R } \frac { \partial C } { \partial y } \frac { 1 } { | \nabla C | } ; \quad w _ { \Gamma } = \dot { R } \frac { \partial C } { \partial z } \frac { 1 } { | \nabla C | }
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { \mathrm { o l d } } ^ { \mathrm { d y n } } \subset \mathcal { A } _ { \mathrm { o l d } } ^ { \mathrm { k i n } } } & { \xrightarrow [ \mathrm { i n t . ~ a s } ] { \mathrm { s u r v i v e s } } \mathcal { S } _ { \mathrm { n e u t r a l } } ^ { \mathrm { d y n } } \subset \mathcal { A } _ { \mathrm { n e u t r a l } } ^ { \mathrm { k i n } } . } \end{array}
p ^ { \prime } = { \frac { [ y y ^ { 2 } ( x ^ { \prime } - x ) + x x ^ { 2 } ( y ^ { \prime } - y ) ] + i ( x y ^ { \prime } - x ^ { \prime } y ) { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } { { \sqrt { 2 } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } } ,
\left( \begin{array} { c c } { { V _ { R + } ( p ) } } & { { V _ { R - } ( p ) } } \\ { { V _ { A + } ( p ) } } & { { V _ { A - } ( p ) } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { a ( - p ) } \left( \begin{array} { c c } { { - \eta n ( - x ) } } & { { \eta e ^ { \sigma p _ { 0 } } n ( x ) } } \\ { { a ( p ) a ( - p ) } } & { { e ^ { \sigma p _ { 0 } } a ( p ) a ( - p ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi + \{ \phi , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi \} = } & { v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi + \{ \psi , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi \} , } \\ { \partial _ { t } [ \psi - d _ { e } ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi ] = } & { v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } [ \phi - \rho _ { \tau } ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi ] } \\ & { + \{ \psi - d _ { e } ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi , \phi - \rho _ { \tau } ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi \} } \\ & { + \eta \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 0 } = } & { ~ \varepsilon _ { 0 } \Lambda - \alpha x _ { 0 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - \mu x _ { 0 } , } \\ { \dot { y } _ { 0 } = } & { ~ \alpha x _ { 0 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 0 } - \mu y _ { 0 } , } \\ { \dot { z } _ { 0 } = } & { ~ r y _ { 0 } - \mu z _ { 0 } , } \\ { \dot { x } _ { 1 } = } & { ~ \varepsilon _ { 1 } \Lambda - \alpha x _ { 1 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - \mu x _ { 1 } , } \\ { \dot { y } _ { 1 } = } & { ~ \alpha x _ { 1 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 1 } - \mu y _ { 1 } , } \\ { \dot { z } _ { 1 } = } & { ~ r y _ { 1 } - \mu z _ { 1 } , } \\ { \dot { x } _ { 2 } = } & { ~ \varepsilon _ { 2 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n } \\ & { - \mu x _ { 2 } , } \\ { \dot { y } _ { 2 } = } & { ~ \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 2 } } \\ & { - \mu y _ { 2 } , } \\ { \dot { z } _ { 2 } = } & { ~ r y _ { 2 } - \mu z _ { 2 } . } \end{array} \right.
S ( x , K ) = \frac { \tau _ { 0 } m _ { t } \mathrm { c h } ( \eta - Y ) } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } \tau \sqrt { 2 \pi ( \delta \tau ) ^ { 2 } } } \exp \left[ - \frac { K { \cdot } u ( x ) } { T } - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 R _ { G } ^ { 2 } } - \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 ( \delta \eta ) ^ { 2 } } - \frac { ( \tau - \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 ( \delta \tau ) ^ { 2 } } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } P ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) d \mathbf { W } , \: \forall \: \mathbf { A } \in \mathbb { A } , } \\ { \langle C _ { \alpha } \rangle } & { = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) C _ { \alpha } ( \mathbf { W } ) d \mathbf { W } , \: \forall \: \alpha } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { d \beta } { d z } = \frac { - 4 \epsilon _ { R } \eta _ { m } ^ { 4 } } { 3 \mathrm { a r c t a n h } \left( \eta / \eta _ { m } \right) } \left[ \frac { 3 \eta } { \eta _ { m } } - \frac { 2 \eta ^ { 3 } } { \eta _ { m } ^ { 3 } } - 3 \left( 1 - \frac { \eta ^ { 2 } } { \eta _ { m } ^ { 2 } } \right) \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \eta } { \eta _ { m } } \right) \right] . } \end{array}