harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { N \int _ { - \infty } ^ { \infty } u _ { s } \: d x } & { { } = } & { \left[ 3 u _ { - } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \epsilon c _ { 1 } u _ { - } ^ { 3 } - \bar { Q } _ { m r } \right] t , } \\ { N \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \frac { 1 } { 2 } u _ { s } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \epsilon \left( c _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } \right) u _ { s } ^ { 3 } \right] \: d x } & { { } = } & { \left[ 2 u _ { - } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } \epsilon \left( c _ { 1 } + 3 c _ { 2 } - 6 c _ { 3 } \right) u _ { - } ^ { 4 } - \bar { Q } _ { e r } \right] t . } \end{array}
H = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } r \left[ \mathrm { \bf ~ E } ^ { 2 } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + c ^ { 2 } ( \nabla \times \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ) ^ { 2 } \right] + \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 m _ { a } } \left[ \mathrm { \bf ~ p } _ { a } - q _ { a } \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \right] ^ { 2 }
\mathcal { Z } \, = \, \Bigl \{ \eta : \mathbb { R } ^ { 2 } \to \mathbb { R } \, \Big | \, e ^ { | X | ^ { 2 } / 4 } \eta \in \mathcal { S } _ { * } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) \Bigr \} \, \subset \, \mathcal { Y } \, ,
\frac { \partial \langle P _ { \omega } \rangle } { \partial t } + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \big ( \langle \boldsymbol { v } P _ { \omega } \rangle \big ) = n \langle \widetilde { \beta } ^ { l } \left( \nabla \times \boldsymbol { u } _ { o } / 2 - \omega ^ { l } \hat { \boldsymbol { z } } \right) \left| \nabla \times \boldsymbol { u } _ { o } / 2 - \omega ^ { l } \hat { \boldsymbol { z } } \right| \rangle ,
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { Z _ { r + 1 } < n \le Z _ { r } } n ^ { - s } \right| } & { \le \sum _ { m = 1 } ^ { M _ { r } } \left| \sum _ { W _ { m } < n \le W _ { m - 1 } } n ^ { - s } \right| } \\ & { \le M _ { r } \left[ C _ { r } ( \eta _ { 3 } , h _ { 3 } ) H ^ { \kappa _ { 3 } } + D _ { r } ( \eta _ { 3 } , h _ { 3 } ) H ^ { \kappa _ { 4 } } \right] t ^ { \theta _ { r } ( k / ( 2 K - 2 ) - 1 / R ) } } \\ & { \qquad \qquad + M _ { r } \lceil h _ { 3 } \rceil ( h _ { 3 } H ) ^ { k / ( 2 K - 2 ) - 1 } t ^ { \theta _ { r } ( k / ( 2 K - 2 ) - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta \| \boldsymbol \lambda \| _ { \boldsymbol \Lambda } } & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { { \bf v } \in { \bf V } } \frac { { \bf b } ( \boldsymbol \lambda , { \bf v } ) } { | | { \bf v } | | _ { \bf V } } = \operatorname* { s u p } _ { { \bf v } \in { \bf V } } \frac { { \bf a } ( { \bf u } , { \bf v } ) - \int _ { \gamma } \rho \, v _ { \gamma } \, d x } { | | { \bf v } | | _ { { \bf V } } } \leq C ( | | { \bf u } | | _ { \bf V } + \| \rho \| _ { 0 , \gamma } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \left( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } g ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } r ^ { 2 } \right) + \left( - k ^ { 2 } + \frac { \omega ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \right) \psi = 0 } \end{array}
\pi _ { * } : \operatorname { I n d C o h } _ { X } ( \mathbb { E } _ { X } / \mathbb { G } _ { m } ) \rightarrow \operatorname { I n d C o h } _ { X } ( \mathbb { E } _ { Y } / \mathbb { G } _ { m } ) , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \pi ^ { ! } : \operatorname { I n d C o h } _ { Y } ( \mathbb { E } _ { Y } / \mathbb { G } _ { m } ) \rightarrow \operatorname { I n d C o h } _ { X } ( \mathbb { E } _ { X } / \mathbb { G } _ { m } ) ,
\begin{array} { r l r } { | R _ { \lambda , \gamma } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) | } & { \le } & { \frac { C } { \log \lambda } \int _ { \lambda ^ { \gamma \upsilon _ { 2 } } \Pi \times \lambda ^ { \gamma } \Pi } \frac { \mathrm d \boldsymbol { u } } { ( 1 + u _ { 2 } ^ { 2 } ) ( | u _ { 1 } | + | u _ { 2 } | ^ { \upsilon _ { 2 } } ) } \delta \big ( \frac { u _ { 1 } } { \lambda ^ { \gamma \upsilon _ { 2 } } } , \frac { u _ { 2 } } { \lambda ^ { \gamma } } \big ) } \\ & { = } & { \frac { C } { \log \lambda } \int _ { \mathbb { R } } \frac { \mathrm d u _ { 2 } } { 1 + u _ { 2 } ^ { 2 } } \int _ { | u _ { 1 } | \le \lambda ^ { \gamma \upsilon _ { 2 } } / | u _ { 2 } | ^ { \upsilon _ { 2 } } } \frac { \mathrm d u _ { 1 } } { | u _ { 1 } | + 1 } \delta \big ( \frac { u _ { 1 } | u _ { 2 } | ^ { \upsilon _ { 2 } } } { \lambda ^ { \gamma \upsilon _ { 2 } } } , \frac { u _ { 2 } } { \lambda ^ { \gamma } } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T = \operatorname* { m a x } \left( 3 2 , ( c _ { \xi } \mu _ { g } ) ^ { - 1 } \operatorname* { m a x } \left( l _ { g , 1 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } , \ \sqrt { M } l _ { * , 1 } \right) \right) , } \\ & { \xi = 1 , \alpha _ { k } = \frac { c _ { \alpha } } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { a } } , \ \gamma _ { k } = \frac { c _ { \gamma } } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { c } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { \uparrow } ^ { * } u _ { \downarrow } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { - i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \end{array}
{ \frac { a _ { n + 1 } } { \prod _ { k = 0 } ^ { n } f _ { k } } } - { \frac { a _ { n } } { \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } f _ { k } } } = { \frac { g _ { n } } { \prod _ { k = 0 } ^ { n } f _ { k } } }
R _ { r _ { g } } ^ { ( z ) } ( r ) = \frac { B _ { 1 } } { \sqrt { r } } J _ { - \frac { 1 } { 2 } ( 1 - 2 \beta ) } ( p r ) + \frac { B _ { 2 } } { \sqrt { r } } J _ { \frac { 1 } { 2 } ( 1 - 2 \beta ) } ( p r ) ,
{ \frac { \partial r _ { i } } { \partial \beta _ { 1 } } } = - { \frac { x _ { i } } { \beta _ { 2 } + x _ { i } } } ; { \frac { \partial r _ { i } } { \partial \beta _ { 2 } } } = { \frac { \beta _ { 1 } x _ { i } } { \left( \beta _ { 2 } + x _ { i } \right) ^ { 2 } } } .
I _ { \mathrm { c } } + I _ { \mathrm { o } } + I _ { \mathrm { h } } = \int _ { \Gamma } i _ { \mathrm { c } } + i _ { \mathrm { o } } + i _ { \mathrm { h } } \; \mathrm { d } \Gamma = \int _ { \Gamma } 2 F \nu _ { \mathrm { c } } + 4 F \nu _ { \mathrm { o } } + 2 F \nu _ { \mathrm { h } } \; \mathrm { d } \Gamma = 0
I ^ { { } ^ { \mathrm { v a c } } } = \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \Big ( \frac { 1 } { p _ { 4 } ^ { \ 2 } + { \bf p } ^ { 2 } } \Big ) = 0 , \ \ p _ { 0 } = i p _ { 4 } ,
\begin{array} { r l } { \pi _ { D | D } = } & { { } ~ \frac { 1 - w _ { I } } { k } \sum _ { k _ { C } ^ { \prime } = 0 } ^ { k - 1 } { \frac { ( k - 1 ) ! } { k _ { C } ^ { \prime } ! ( k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 ) ! } q _ { C | D } ^ { k _ { C } ^ { \prime } } q _ { D | D } ^ { k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 } k _ { C } ^ { \prime } b } } \\ { = } & { { } ~ \frac { 1 - w _ { I } } { k } ( k - 1 ) q _ { C | D } b . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d V ^ { ( n ) } - \Delta V ^ { ( n ) } d t } & { = \varphi ^ { ( n + 1 ) } \varphi ^ { ( n ) } B ( U ^ { ( n ) } ) d t - \varphi ^ { ( n ) } \varphi ^ { ( n - 1 ) } B ( U ^ { ( n - 1 ) } ) d t + G ( V ^ { ( n ) } ) d t } \\ & { \quad + ( \varphi ^ { ( n + 1 ) } \varphi ^ { ( n ) } \sigma ( U ^ { ( n ) } ) - \varphi ^ { ( n ) } \varphi ^ { ( n - 1 ) } \sigma ( U ^ { ( n - 1 ) } ) ) d \mathbb { W } _ { t } + \mathbf { P } ( b \cdot \nabla V ^ { ( n ) } ) d \mathbb { W } _ { t } , } \\ { \nabla \cdot v ^ { ( n ) } } & { = 0 , } \\ { V ^ { ( n ) } ( 0 ) } & { = 0 \quad a . s . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( i ( F _ { n } ) ) ( x ) | } & { \leqslant | ( i ( F _ { n + 1 } ) ) ( x ) | + | ( i ( H _ { n } ) ) ( x ) | \frac { | ( i ( G _ { n } ) ) ( x ) | } { | ( i ( F _ { n } ) ) ( x ) | ^ { 2 } + | ( i ( G _ { n } ) ) ( x ) | ^ { 2 } } } \\ & { \leqslant | ( i ( F _ { n + 1 } ) ) ( x ) | + C \| H _ { n } \| _ { A } \| G _ { n } \| _ { A } \left\| \frac { 1 } { | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } } \right\| _ { A } } \\ & { \leqslant | ( i ( F _ { n + 1 } ) ) ( x ) | + C \cdot \varepsilon \cdot 2 ^ { - n } \frac { \gamma } { C K ^ { 3 } T ^ { 2 } } \cdot K \widehat { T } } \\ & { < | ( i ( F _ { n + 1 } ) ) ( x ) | + 2 ^ { - n } \cdot \frac { \gamma } { K ^ { 2 } } } \\ & { < | ( i ( F _ { n + 1 } ) ( x ) | + 2 ^ { - n } \cdot \frac { \gamma } { 4 } . } \end{array}
\Im _ { ( p _ { B ^ { \prime } } + p _ { P _ { 1 } } ) ^ { 2 } } { \cal A } _ { A B } ^ { \{ P _ { 1 } P _ { 2 } \} B ^ { \prime } } = \frac 1 { 2 } \sum _ { \{ \tilde { P } \tilde { B } \} } \int { \cal A } _ { A B } ^ { \{ \tilde { P } P _ { 2 } \} \tilde { B } } { \cal A } _ { \tilde { P } \tilde { B } } ^ { P _ { 1 } B ^ { \prime } } d \Phi _ { \tilde { P } \tilde { B } } ,
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 } ^ { n } i ^ { 4 } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { 4 } { \biggl \{ \! 4 \! \atop \! k \! } { \biggr \} } ( i ) _ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { 4 } { \biggl \{ \! 4 \! \atop \! k \! } { \biggr \} } \sum _ { i = 0 } ^ { n } ( i ) _ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { 4 } { \biggl \{ \! 4 \! \atop \! k \! } { \biggr \} } { \frac { ( n { + } 1 ) _ { k + 1 } } { k { + } 1 } } } \\ & { = { \biggl \{ \! 4 \! \atop \! 1 \! } { \biggr \} } { \frac { ( n { + } 1 ) _ { 2 } } { 2 } } + { \biggl \{ \! 4 \! \atop \! 2 \! } { \biggr \} } { \frac { ( n { + } 1 ) _ { 3 } } { 3 } } + { \biggl \{ \! 4 \! \atop \! 3 \! } { \biggr \} } { \frac { ( n { + } 1 ) _ { 4 } } { 4 } } + { \biggl \{ \! 4 \! \atop \! 4 \! } { \biggr \} } { \frac { ( n { + } 1 ) _ { 5 } } { 5 } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( n { + } 1 ) _ { 2 } + { \frac { 7 } { 3 } } ( n { + } 1 ) _ { 3 } + { \frac { 6 } { 4 } } ( n { + } 1 ) _ { 4 } + { \frac { 1 } { 5 } } ( n { + } 1 ) _ { 5 } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { b = 5 , T = 0 . 2 , \beta = 0 . 1 , \lambda _ { F } = 0 . 1 , } \\ & { \rho _ { F } ( x ) = \frac { 1 } { \sigma _ { F } \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { F } ^ { 2 } } } , \; \sigma _ { F } = 0 . 4 , } \\ & { \rho _ { 0 } ( x ) = \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { \left( x - 0 . 5 \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } , \; \sigma _ { 0 } = 0 . 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { m e m } = \frac { \imath \, e } { 2 \hbar \omega } e ^ { \imath k _ { i , x } . x } } & { { } } & { \left[ \frac { 1 } { \frac { \omega } { v } - k _ { i , z } } + \frac { a _ { 1 } } { \frac { \omega } { v } - k _ { r , z } } - \frac { a _ { 3 } } { \frac { \omega } { v } - k _ { i , z } } e ^ { \imath ( k _ { i , z } - \frac { \omega } { v } ) d } \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { I _ { h } ^ { 3 } } & { \leq c _ { \varepsilon } \, \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + \varepsilon \, \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } , \Omega } ( \nabla I _ { h } ^ { \textit { a v } } e _ { h } ) \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathbb { E } [ e ( { \bf q } ( t ) ) ] } { \mathbb { E } [ e ( { \bf q } ( 0 ) ) ] } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \int _ { \| \boldsymbol { \theta } \| = 1 } R ( r ) \Theta ( \boldsymbol { \theta } ) \| { \bf M } _ { t } { \bf L } r \boldsymbol { \theta } \| ^ { 2 } d \sigma ( \boldsymbol { \theta } ) \bigg / \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \int _ { \| \boldsymbol { \theta } \| = 1 } R ( r ) \Theta ( \boldsymbol { \theta } ) r ^ { 2 } d \sigma ( \boldsymbol { \theta } ) } \end{array}
\langle E F \rangle \propto \frac { \sigma ( \lambda _ { e x c } ) } { \sigma ^ { 0 } ( \lambda _ { e x c } ) } \cdot \frac { F _ { P } ( \lambda _ { e m } ) } { F _ { P } ^ { 0 } ( \lambda _ { e m } ) } \cdot \frac { \eta ( \lambda _ { e m } ) } { \eta ^ { 0 } ( \lambda _ { e m } ) }
\xi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) = \frac { 1 } { 2 \pi i t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { 1 } ^ { \prime } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { 2 } ^ { \prime } \, \exp \big [ i ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } / ( 2 t ) \big ] \xi ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 2 } ^ { \prime } , 0 )
A _ { \mu } ( x ) \simeq \left( { \frac { \varphi ( x ) ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } } \right) { \frac { \partial _ { \mu } \alpha ( x ) } { e } } + \mathrm { d e r i v a t i v e \ t e r m s \ i n \ } \varphi \mathrm { \ a n d \ } \partial _ { \mu } \alpha .
\sum _ { m = 1 } ^ { M } \frac { \mathbf { x } _ { m + 1 } ^ { \mathrm { { N M } } } - \mathbf { x } _ { m } ^ { \mathrm { { N M } } } } { \Delta r } \chi _ { m } ( r - \frac { 1 } { 2 } \Delta r )
\Delta x _ { 1 , 2 } = \pm \frac { 2 } { \sqrt { c _ { 1 , 2 } } } \ln \Bigg ( \frac { \sqrt { c _ { 1 } } + \sqrt { c _ { 2 } } } { \sqrt { c _ { 2 } } - \sqrt { c _ { 1 } } } \Bigg ) ,
\begin{array} { r l } { \left\langle s _ { u j } \right\rangle = } & { \left\langle u _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) j _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) \right\rangle } \\ { = } & { - \epsilon _ { i r t } \left\langle B \right\rangle _ { m } \int \mathrm { d } ^ { 4 } q \int \mathrm { d } ^ { 4 } q ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left[ \left( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { x } - \left( \omega + \omega ^ { \prime } \right) t \right] } \frac { k _ { r } ^ { \prime } k _ { m } ^ { \prime } } { \gamma _ { \eta } \left( \mathbf { q } ^ { \prime } \right) } \mathfrak { G } _ { i j } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { t k } \left( \mathbf { q } ^ { \prime } \right) \left\langle \hat { f } _ { j } ( \mathbf { q } ) \hat { f } _ { k } ( \mathbf { q } ^ { \prime } ) \right\rangle } \\ { = } & { - \epsilon _ { i r t } \left\langle B \right\rangle _ { m } \int \mathrm { d } ^ { 4 } q \frac { k _ { r } k _ { m } } { \gamma _ { \eta } \left( - \mathbf { q } \right) } \mathfrak { G } _ { i j } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { i k } \left( - \mathbf { q } \right) \left[ \frac { D _ { 0 } } { k ^ { 3 } } P _ { j k } ( \mathbf { k } ) + \mathrm { i } \frac { D _ { 1 } } { k ^ { 5 } } \epsilon _ { j k s } k _ { s } \right] } \\ { = } & { \, \, 8 \Omega \left\langle B \right\rangle _ { m } \int k \mathrm { d } k \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } X \frac { \omega ^ { 2 } D _ { 0 } } { \left( \omega ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) \mathcal { F } ( \omega , X ) } \frac { k _ { z } k _ { m } } { k ^ { 2 } } } \\ { = } & { \, \, 1 6 \pi \left( \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \cdot \boldsymbol { \Omega } \right) \int k \mathrm { d } k \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } X \frac { \omega ^ { 2 } X ^ { 2 } D _ { 0 } } { \left( \omega ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) \mathcal { F } ( \omega , X ) } } \\ { = } & { \, \, 1 6 \pi D _ { 0 } \widetilde { \mathcal { I } } \left( \nu , \eta , \Omega , k _ { \ell } \right) \left( \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \cdot \boldsymbol { \Omega } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \epsilon } _ { x , y } = 2 \hat { I } _ { x , y } , } \\ & { \hat { \epsilon } _ { x } = \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \left[ \hat { x } ^ { 2 } + ( b ^ { 2 } \hat { p } _ { x } - b \dot { b } \hat { x } ) ^ { 2 } \right] , } \\ & { \hat { \epsilon } _ { y } = \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \left[ \hat { y } ^ { 2 } + ( b ^ { 2 } \hat { p } _ { y } - b \dot { b } \hat { y } ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\underbrace { \partial _ { t } D _ { 1 1 1 } ^ { n } } _ { T e r m 1 } + \underbrace { \left( \partial _ { r } + \frac { 2 } { r } \right) D _ { 1 1 1 1 } ^ { n } } _ { T e r m 2 } - \underbrace { \frac { 6 } { r } D _ { 1 1 2 2 } ^ { n } } _ { T e r m 2 ^ { \prime } } = \underbrace { - T _ { 1 1 1 } ^ { n } } _ { T e r m 3 } + \underbrace { 2 \nu _ { n } C ^ { n } } _ { T e r m 4 } - \underbrace { 2 \nu _ { n } Z _ { 1 1 1 } ^ { n } } _ { T e r m 5 } + \underbrace { 3 \frac { \rho _ { s } } { \rho } \overline { { ( \delta u ) ^ { 2 } \delta F _ { \parallel } ^ { n s } } } } _ { T e r m 6 } + \underbrace { 3 \overline { { ( \delta u ) ^ { 2 } \delta f _ { \parallel } ^ { n } } } } _ { T e r m 7 } ,
\left( { \frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } } } \right) ^ { 2 } = { \frac { n _ { 1 } \bar { n } _ { 1 } } { n _ { 2 } \bar { n } _ { 2 } } } \ , \qquad \left( { \frac { V _ { 3 } } { V _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } = { \frac { n _ { 2 } \bar { n } _ { 2 } } { n _ { 3 } \bar { n } _ { 3 } } } \ , \qquad \left( { \frac { V _ { 4 } } { V _ { 3 } } } \right) ^ { 2 } = { \frac { n _ { 3 } \bar { n } _ { 3 } } { n _ { 4 } \bar { n } _ { 4 } } } \ ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { R } ( \widehat { f } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) \leq \frac { 1 } { 1 - \gamma } \bigg ( [ \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( \widehat { f } ) - \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { C _ { 2 } } { \gamma } \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) \bigg ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 1 - \gamma } \bigg [ \bigg ( ( 1 + \gamma ) \operatorname* { m i n } _ { \lambda \in \Lambda } [ \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { C _ { 1 } } { \gamma } \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) \bigg ) + \frac { C _ { 2 } } { \gamma } \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) \bigg ] } \\ & { = \frac { 1 + \gamma } { 1 - \gamma } \operatorname* { m i n } _ { \lambda \in \Lambda } [ \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { ( C _ { 1 } + C _ { 2 } ) \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) } { \gamma ( 1 - \gamma ) } } \\ & { \leq \frac { 1 + \gamma } { 1 - \gamma } \bigg ( ( 1 + \gamma ) \operatorname* { m i n } _ { \lambda \in \Lambda } [ \mathcal { R } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { C _ { 2 } } { \gamma } \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) \bigg ) + \frac { ( C _ { 1 } + C _ { 2 } ) \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) } { \gamma ( 1 - \gamma ) } } \\ & { = \frac { ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } } { 1 - \gamma } \operatorname* { m i n } _ { \lambda \in \Lambda } [ \mathcal { R } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { [ C _ { 1 } + ( 2 + \gamma ) C _ { 2 } ] \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) } { \gamma ( 1 - \gamma ) } . } \end{array}
\left. { \frac { \delta S _ { \mathrm { e f f } } ^ { \Lambda } } { \delta \pi ( q ) \pi ( - q ) } } \right| _ { q ^ { 2 } = - m _ { \pi } ^ { 2 } } = Z _ { \pi } ( q ^ { 2 } = - m _ { \pi } ^ { 2 } ) \left[ q ^ { 2 } + m _ { \pi } ^ { 2 } \right| _ { q ^ { 2 } = - m _ { \pi } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \rho \frac { \partial } { \partial t } \left( \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \\ { v _ { 3 } } \end{array} \right) = } & { \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 1 } } \\ { \sigma _ { 2 2 } } \\ { \sigma _ { 3 3 } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } } & { 0 } \\ { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } & { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } } \\ { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 2 } } \\ { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 2 3 } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 } } \\ { f _ { 2 } } \\ { f _ { 3 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tan \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) \in } & { \left( - \infty , \frac { \sin \left( \frac { \pi } { 2 g } - \phi \right) } { \cos \left( \frac { \pi } { 2 g } - \phi \right) - R ^ { \prime } / s ^ { \prime } } \right) \cup } \\ & { \left( \frac { \sin \left( \frac { \pi } { 2 g } - \phi \right) } { \cos \left( \frac { \pi } { 2 g } - \phi \right) - R ^ { \prime } s ^ { \prime } } , \infty \right) . } \end{array}
{ \cal P } ^ { ( 1 ) } = \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi } \, C _ { F } \, { \cal P } ^ { ( 0 ) } \, \left( C _ { 1 } b ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \ln \lambda ^ { 2 } + C _ { 2 } b ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \ln ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \right) + R \, ,
\begin{array} { r l r } { N _ { L } ( \lambda ) } & { = } & { - \frac { 1 } { | \Lambda | } \sum _ { { \bf k } \in { \cal D } _ { L } } \sum _ { \tau \in \{ \uparrow , \downarrow \} } \Big [ \ \delta \mu ( \lambda ) \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \ { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , \alpha } ^ { + } { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , \alpha } + \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } = 1 , 2 } \hat { \nu } ( { \bf k } , \lambda ) _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , \alpha } ^ { + } { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , \alpha ^ { \prime } } \Big ] } \\ & { } & { : = - \frac { 1 } { | \Lambda | } \sum _ { { \bf k } \in { \cal D } _ { L } } \sum _ { \tau \in \{ \uparrow , \downarrow \} } \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } = 1 , 2 } { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , \alpha } ^ { + } [ \delta E ( { \bf k } , \lambda ) ] _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , \alpha ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \ge 0 } \log \mathbf { E } \left[ e ^ { \alpha | \Bar { X } _ { t } ^ { r } | ^ { 2 } } \right] } & { \le \log \left( e ^ { \alpha \kappa _ { 0 } } \vee 2 e ^ { 4 \alpha ( \Bar { b } + d / \beta ) / \Bar { m } } \right) \le \alpha \kappa _ { 0 } + \frac { 4 \alpha ( \Bar { b } + d / \beta ) } { \Bar { m } } + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { P } ( \mathcal { B } _ { n } ) } & { \geq \mathbb { P } _ { P } ( \mathcal { B } _ { n } \cap \mathcal { D } _ { n , P } ) } \\ & { \geq \mathbb { P } _ { P } ( \mathcal { F } _ { n , P } \cap \mathcal { D } _ { n , P } ) } \\ & { \geq \mathbb { P } _ { P } ( \mathcal { F } _ { n , P } ) - \mathbb { P } _ { P } ( \mathcal { D } _ { n , P } ^ { c } ) } \\ & { = 1 - G _ { n , P } ( y _ { n , P } ) - \mathbb { P } _ { P } ( \mathcal { D } _ { n , P } ^ { c } ) } \\ & { \geq 1 - G _ { n , P } ( y _ { n , P } ) - \delta _ { n } } \\ & { \geq 1 - G _ { P } ( y _ { n , P } ) - \| G _ { P } - G _ { n , P } \| _ { \infty } - \delta _ { n } } \\ & { \stackrel { ( i ) } { = } 1 - ( 1 - \alpha + \lambda _ { n } + 1 / B _ { n } ) - \| G _ { P } - G _ { n , P } \| _ { \infty } - \delta _ { n } } \\ & { = \alpha - \lambda _ { n } - 1 / B _ { n } - \| G _ { P } - G _ { n , P } \| _ { \infty } - \delta _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { { D D I } } } } & { = } \\ & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } \frac { 1 - 3 \cos ^ { 2 } \Theta _ { i j } } { r _ { i j } ^ { 3 } } \left( \hat { d } _ { 0 } ^ { ( i ) } \hat { d } _ { 0 } ^ { ( j ) } + \frac { \hat { d } _ { 1 } ^ { ( i ) } \hat { d } _ { - 1 } ^ { ( j ) } + \hat { d } _ { - 1 } ^ { ( i ) } \hat { d } _ { 1 } ^ { ( j ) } } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ u ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } & { = \sum _ { ( i , j ) \in \mathbb { Z } ^ { 2 } } \iint _ { \mathcal { Q } _ { i , j } \times \mathbb { R } ^ { 2 } } \frac { | u ( x ) - u ( y ) | ^ { 2 } } { | x - y | ^ { 2 + 2 \, s } } \, d x \, d y } \\ & { \ge \sum _ { ( i , j ) \in \mathbb { Z } ^ { 2 } } \iint _ { \mathcal { Q } _ { i , j } \times \mathcal { Q } _ { i , j } } \frac { | u ( x ) - u ( y ) | ^ { 2 } } { | x - y | ^ { 2 + 2 \, s } } \, d x \, d y = \sum _ { ( i , j ) \in \mathbb { Z } _ { \Omega } ^ { 2 } } [ u ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathcal { Q } _ { i , j } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { K } } & { { } \equiv \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { \Gamma } \! d E \, \, E g ( E ) \, , } \\ { \hat { P } } & { { } \equiv \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { \Gamma } \! d E \, \, g ( E ) \, . } \end{array}