harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \underset { \b { \hat { f } } \in \mathbb C ^ { | \mathcal I _ { \b { M } } | } } { \mathrm { M i n i m i z e ~ } } \, \, \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \b { M } } } \frac { | \hat { f } _ { \boldsymbol k } | ^ { 2 } } { \hat { w } _ { \boldsymbol k } } \quad \mathrm { ~ s u b j e c t ~ t o ~ } \quad \boldsymbol A \boldsymbol { \hat { f } } = \boldsymbol f . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \mathrm { i n t } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { R } \int _ { 0 } ^ { l } \frac { x ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \, B ( x ) \mathrm { d } x \, \mathrm { d } z = \frac { \mu _ { 0 } I l } { 8 \pi } , } \end{array}
\vec { C } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - v _ { A } ^ { q } k ^ { q } } & { v _ { A } ^ { q } k ^ { W } } & { 0 } \\ { v _ { A } ^ { W } k ^ { q } } & { - v _ { A } ^ { W } k ^ { W } } & { 0 } \\ { v _ { A } ^ { W } k ^ { s } } & { v _ { A } ^ { q } k ^ { s } } & { - \left( v _ { A } ^ { W } k ^ { W } + v _ { A } ^ { q } k ^ { q } \right) } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { D \left( U _ { S | X } | | P _ { S | X } | Q _ { X } \right) } & { = D \left( Q _ { X } \times U _ { S | X } | | Q _ { X } \times P _ { S | X } \right) = \left\{ \begin{array} { r l } & { 0 , \quad \quad \mathrm { i f ~ } Q _ { X } \times U _ { S | X } = Q _ { X } \times P _ { S | X } } \\ & { \infty , \quad \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { 1 , \alpha } ^ { M } ( \underline { { X } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { 0 , 1 } X _ { 1 } , } & { \mathrm { ~ i f } \quad c _ { 0 , 1 } X _ { 1 } \leq c _ { 0 , 2 } X _ { 2 } } \\ { \alpha c _ { 0 , 1 } X _ { 1 } + ( 1 - \alpha ) c _ { 0 , 2 } X _ { 2 } , } & { \mathrm { ~ i f } \quad c _ { 0 , 1 } X _ { 1 } > c _ { 0 , 2 } X _ { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { z _ { i j k } \leq x _ { i k } , \quad \forall i , j = 1 , \dots , n , \, i < j , \, k = 1 , \dots , n _ { c } , } & \\ & { z _ { i j k } \leq x _ { j k } , \quad \forall i , j = 1 , \dots , n , \, i < j , \, k = 1 , \dots , n _ { c } , } & \\ & { x _ { i k } + x _ { j k } - z _ { i j k } \leq 1 , \quad \forall i , j = 1 , \dots , n , \, i < j . \, k = 1 , \dots , n _ { c } . } & \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { x \in \partial \Omega , r > 0 } \frac { 1 } { r ^ { n } } \iint _ { B ( x , r ) \cap \Omega } | \nabla \Phi _ { 1 } ( Y ) | \, d Y \le \widetilde { C } \| u _ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \le \frac { \widetilde { C } } { 2 } \| f _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \alpha _ { j , 1 } + \frac { \lambda \alpha _ { j , 2 } ^ { 2 } } { 1 - \lambda \alpha _ { j , 3 } } \right) ^ { n } } & { = \left( 1 + \frac { 1 } { \mathcal { M } ^ { 2 } } \left( \mathcal { V } _ { j } ( e ^ { \mathcal { M } \theta } - \mathcal { M } \theta - 1 ) + \frac { \lambda \mathcal { V } _ { j } ( e ^ { \mathcal { M } \theta } - 1 ) ^ { 2 } } { 1 - \lambda e ^ { \mathcal { M } \theta } } \right) \right) ^ { n } } \\ & { \leq \exp \left( \frac { n \mathcal { V } _ { j } } { \mathcal { M } ^ { 2 } } \left( e ^ { \mathcal { M } \theta } - \mathcal { M } \theta - 1 + \frac { \lambda ( e ^ { \mathcal { M } \theta } - 1 ) ^ { 2 } } { 1 - \lambda e ^ { \mathcal { M } \theta } } \right) \right) , } \end{array}
k _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \frac { \mathrm { ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ o ~ n ~ s ~ i ~ n ~ o ~ n ~ e ~ g ~ e ~ n ~ e ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } { \mathrm { ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ o ~ n ~ s ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ p ~ r ~ e ~ c ~ e ~ d ~ i ~ n ~ g ~ g ~ e ~ n ~ e ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } .
( U _ { i } ) _ { j } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } ( U _ { i } ) _ { j } ^ { 1 } + \frac { 3 } { 4 } ( U _ { i } ) _ { j } ^ { n } - \frac { 1 } { 4 } \Delta t R ( ( U _ { i } ) _ { j } ^ { 1 } )
\begin{array} { r l r } { | \psi _ { 0 } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { 0 } } } \big ( | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } \rangle + | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma + i \frac { 2 \pi } { 3 } } \rangle + | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma + i \frac { 4 \pi } { 3 } } \rangle \big ) } \\ { | \psi _ { 1 } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { 1 } } } \big ( | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } \rangle + e ^ { i \frac { 2 \pi } { 3 } } | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma + i \frac { 2 \pi } { 3 } } \rangle + e ^ { i \frac { 4 \pi } { 3 } } | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma + i \frac { 4 \pi } { 3 } } \rangle \big ) } \\ { | \psi _ { 2 } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { 2 } } } \big ( | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } \rangle + e ^ { i \frac { 4 \pi } { 3 } } | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma + i \frac { 2 \pi } { 3 } } \rangle + e ^ { i \frac { 2 \pi } { 3 } } | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma + i \frac { 4 \pi } { 3 } } \rangle \big ) . } \end{array}
( L _ { i _ { 1 } } ^ { n _ { 1 } } \ldots L _ { i _ { p } } ^ { n _ { p } } C ^ { n _ { c } } ) ^ { \dagger } : = C ^ { n _ { c } } L _ { - i _ { p } } ^ { n _ { 1 } } \ldots L _ { - i _ { 1 } } ^ { n _ { p } }
\begin{array} { r l } { H } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left\{ \frac { 1 } { 2 m } \left[ \boldsymbol { \sigma } _ { k } \cdot \left( - \mathrm { i } \nabla _ { k } + \mathbf { \hat { A } } ( \mathbf { r } _ { k } ) \right) \right] ^ { 2 } + v ( \mathbf { r } _ { k } ) \right\} } \\ & { + W _ { \mathrm { C } } + \sum _ { \mathbf { n } , \lambda } \omega _ { \mathbf { n } } \left( \hat { a } _ { \mathbf { n } , \lambda } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathbf { n } , \lambda } - J _ { \mathbf { n } , \lambda } ^ { * } \hat { a } _ { \mathbf { n } , \lambda } - J _ { \mathbf { n } , \lambda } \hat { a } _ { \mathbf { n } , \lambda } ^ { \dagger } \right) , } \end{array}
\partial _ { a b } \mathcal { F } _ { \alpha \beta } ^ { x y } ( Y ) = - ( 1 + \delta _ { a b } ) ^ { - 1 } ( G _ { \alpha a } \mathcal { F } _ { b \beta } ^ { x y } ( Y ) + G _ { \alpha b } \mathcal { F } _ { a \beta } ^ { x y } ( Y ) + \mathcal { F } _ { \alpha b } ^ { x y } ( Y ) \widetilde { G } _ { a \beta } + \mathcal { F } _ { \alpha a } ^ { x y } ( Y ) \widetilde { G } _ { b \beta } ) .
{ \boldsymbol { \sigma } } = 2 \left[ \left( { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + I _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) ~ { \bar { \boldsymbol { B } } } - { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \bar { \boldsymbol { B } } } \cdot { \bar { \boldsymbol { B } } } \right] - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } ~ .
\begin{array} { r l } { \delta _ { g } ^ { ( \ell ) } = } & { \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } A ^ { \ell } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A ^ { \ell + 1 } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A ^ { \ell } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, , } \end{array}
{ \bar { V } } _ { 1 } ( \rho _ { i } , \theta ; T ) = { \frac { T ^ { 4 } } { 2 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { j } \, n _ { j } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \, x ^ { 2 } \log \left[ 1 - \mathrm { s g n } ( n _ { j } ) \exp \left( - \sqrt { x ^ { 2 } + m _ { j } ^ { 2 } / T ^ { 2 } } \right) \right] .
\left| n ^ { ( 1 ) } \right\rangle = \sum _ { k \neq n } { \frac { \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right| V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle } { E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { k } ^ { ( 0 ) } } } \left| k ^ { ( 0 ) } \right\rangle .
b _ { 0 } = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { \vec { \beta } _ { 0 } } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ b _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { \vec { \beta } _ { 1 } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right)
{ \cal L } _ { \mathrm { c m } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) \dot { { \bf R } } ^ { 2 } + \frac { g ^ { 4 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } \dot { \chi } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { \mathrm { Q E D } } } & { = } & { i \hbar c \bar { \psi } ( x ) \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi ( x ) - m _ { e } c ^ { 2 } \bar { \psi } ( x ) \psi ( x ) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - e \bar { \psi } ( x ) \gamma ^ { \mu } A _ { \mu } ( x ) \psi ( x ) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu \ = \ \frac { \delta T _ { \mathrm { k i n } } ^ { \mathrm { \, n i } } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } - T \frac { \delta S ^ { \mathrm { n i } } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } + \frac { \delta F _ { \mathrm { x c } } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } - e \, ( \phi ( \mathbf { r } ) - \lambda ) } \end{array}
J = [ ( E _ { + } - E _ { - } ) ^ { 4 } - 4 ( r _ { + } ^ { 2 } + r _ { - } ^ { 2 } ) ( E _ { + } - E _ { - } ) ^ { 2 } - 1 6 ( E _ { + } + E _ { - } ) ^ { 2 } + 1 6 r _ { + } ^ { 2 } r _ { - } ^ { 2 } ] ^ { - { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r } { \gamma _ { r e s } ^ { \pm } = - \frac { n \Omega _ { 0 j } } { \left( \eta _ { \parallel } ^ { 2 } \! - \! 1 \right) \omega } \pm \eta _ { \parallel } \! \sqrt { \frac { 1 } { \eta _ { \parallel } ^ { 2 } \! - \! 1 } \! \left( 1 \! + \! \frac { p _ { \perp } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } m _ { 0 j } ^ { 2 } } \right) + \frac { n ^ { 2 } \Omega _ { 0 j } ^ { 2 } } { \left( \eta _ { \parallel } ^ { 2 } \! - \! 1 \right) ^ { 2 } \! \omega ^ { 2 } } } . } \end{array}
\Big \| \frac { y ^ { n + 1 } - y ^ { n } } { \tau } \Big \| _ { D } ^ { 2 } + \Big \| \frac { y ^ { n + 1 } + y ^ { n } } { 2 } \Big \| _ { A } ^ { 2 } \leq \Big \| \frac { y ^ { n } - y ^ { n - 1 } } { \tau } \Big \| _ { D } ^ { 2 } + \Big \| \frac { y ^ { n } + y ^ { n - 1 } } { 2 } \Big \| _ { A } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \tau \| f ^ { n } \| _ { B ^ { - 1 } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { u _ { \lambda } ^ { + } ( 0 ; \lambda ) } & { \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { + } ( 0 ; \lambda ) = \frac { v ^ { + } ( \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } ^ { + \, \prime } ( \lambda ) } { v ^ { + } ( \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( \lambda ) } D ( \lambda ) } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \Big ( ( A _ { \lambda } ( x ; \lambda ) - \mu _ { + } ^ { \prime } ( \lambda ) I ) u ^ { + } ( x ; \lambda ) \Big ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { + } ( x ; \lambda ) d x . } \end{array}
e _ { k } - 1 = \left\{ \begin{array} { l l } { ( a - 1 , 0 , \ldots , 0 ) _ { \mathcal { E } } } & { \mathrm { i f ~ k = 2 ~ } } \\ { ( a - 2 , 0 , \ldots , 1 ^ { * } , \ldots , 0 ) _ { \mathcal { E } } } & { \mathrm { i f ~ k ~ i s ~ o d d , ~ 3 ~ \leq ~ k \leq ~ 2 r + 1 ~ } } \\ { ( a - 1 , 0 , m - 1 , 0 , \ldots , 0 ) _ { \mathcal { E } } } & { \mathrm { i f ~ k = 4 ~ } } \\ { ( a - 1 , 0 , m - 2 , 0 \ldots , 1 ^ { * } , \ldots , 0 ) _ { \mathcal { E } } } & { \mathrm { i f ~ k ~ i s ~ e v e n , ~ 6 ~ \leq ~ k ~ < ~ 2 r + 1 ~ } } \\ { ( a - 2 , 1 , m - 2 , 0 , \ldots , 1 ^ { * } , \ldots , 0 ) _ { \mathcal { E } } } & { \mathrm { i f ~ 2 r + 1 < ~ k \leq ~ 3 r ~ } } \end{array} \right.
[ P ^ { \mu } , Q ^ { m } ] = 0 , \ \ \ \ [ J ^ { \mu \nu } , Q ^ { m } ] = \hbar \sigma _ { \ \ \, n } ^ { \mu \nu \, m } Q ^ { n } , \ \ \ \ \{ Q ^ { m } , Q ^ { n } \} = \hbar \gamma _ { \mu } ^ { m n } P ^ { \mu } .
\begin{array} { r l } { I ( x , y ) } & { { } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \mathcal { F } [ I _ { d } ( x , y ) / I _ { 0 } ] } { 1 + \frac { \delta \Delta } { \mu } \textbf { k } _ { \perp } ^ { 2 } } \right\} , } \end{array}
\chi _ { l l } ^ { R } \approx 0 , \quad \chi _ { l k } ^ { R } \approx \chi _ { k l } ^ { R } , \quad \chi _ { l k } ^ { J } \approx \chi _ { k l } ^ { J } , \quad ( l \neq k ) \quad \sin \chi _ { 1 1 } ^ { J } + \sin \chi _ { 2 2 } ^ { J } + \sin \chi _ { 3 3 } ^ { J } \approx 0 .
\begin{array} { r l r } { \delta } & { { } = } & { \pi N _ { u } ( \omega - \omega _ { 1 } ) / \omega _ { 1 } , } \\ { \tilde { \sigma } _ { \eta } } & { { } = } & { 2 \pi N _ { u } \sigma _ { \eta } , } \\ { \tilde { \beta } _ { y } } & { { } = } & { \beta _ { y } / L _ { u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { R } } { 3 } \int _ { D } | x | ^ { 2 } d ^ { 2 } x } & { { } = \frac { \mathcal { R } } { 3 } 2 n \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { n } } \int _ { 0 } ^ { R _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } \cos ( \frac { \pi } { n } ) \sec \theta } d \theta r ^ { 3 } d r } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { n } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } & { = - i k _ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } ( 1 , 1 , 1 ) Z ( \zeta , t ) \mathcal { A } ^ { j } [ I ] _ { 3 } + i k _ { 1 } ^ { - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } ( 1 , 1 , 1 ) Z ( \zeta , t ) \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { j } [ I ] _ { 3 } + O ( t ^ { - 1 } \ln t ) } \\ & { = - i k _ { 1 } ( 1 , 1 , 1 ) Z ( \zeta , t ) \left( \begin{array} { l } { \omega } \\ { \omega ^ { 2 } } \\ { 1 } \end{array} \right) + i k _ { 1 } ^ { - 1 } ( 1 , 1 , 1 ) Z ( \zeta , t ) \left( \begin{array} { l } { \omega ^ { 2 } } \\ { \omega } \\ { 1 } \end{array} \right) + O ( t ^ { - 1 } \ln t ) } \\ & { = ( 1 , 1 , 1 ) Z ( \zeta , t ) \left( \begin{array} { l } { \omega ^ { 2 } i k _ { 1 } ^ { - 1 } - \omega i k _ { 1 } } \\ { \omega i k _ { 1 } ^ { - 1 } - \omega ^ { 2 } i k _ { 1 } } \\ { i k _ { 1 } ^ { - 1 } - i k _ { 1 } } \end{array} \right) + O ( t ^ { - 1 } \ln t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { { \bf k } } g _ { p } ( j , { \bf k } ) \hat { a } _ { j , p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \bf k } , p } } & { { } = } & { W _ { j , p } \hat { a } _ { j , p } ^ { \dagger } \sum _ { { \bf k } } e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { \bf r } _ { j } } \hat { a } _ { { \bf k } , p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \pm , \mu \nu } ^ { R R } } & { = \frac { 1 } { 4 } \Big ( \partial _ { \mu } \theta _ { \pm } ^ { R } \partial _ { \nu } \theta _ { \pm } ^ { R } + \sin ^ { 2 } \theta _ { \pm } ^ { R } \partial _ { \mu } \phi _ { \pm } ^ { R } \partial _ { \nu } \phi _ { \pm } ^ { R } \Big ) } \\ { \Omega _ { \pm , z } ^ { z , R R } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sin \theta _ { \pm } ^ { R } \Big ( \partial _ { k _ { x } } \phi _ { \pm } ^ { R } \partial _ { k _ { y } } \theta _ { \pm } ^ { R } - \partial _ { k _ { y } } \phi _ { \pm } ^ { R } \partial _ { k _ { x } } \theta _ { \pm } ^ { R } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C R { B _ { \theta } } \approx \frac { 1 } { { 2 \gamma L } } \times } \\ & { \frac { { { \lambda ^ { 2 } } \left[ { { { \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { r } } \right) } ^ { 2 } } { { \sin } ^ { 2 } } \theta + \frac { { \pi { D _ { T } } } } { r } \cos \theta \cos 2 \theta - 4 { { ( { { { \cos } ^ { 2 } } \theta \ln \frac { { { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } + { { \sin } ^ { 2 } } \theta } ) } ^ { 2 } } } \right] } } { { 4 { \pi ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } M ^ { 2 } ( { \frac { { { \pi D _ { T } } } } { r { \cos \theta } } - 4 { { \ln } ^ { 2 } } \frac { { { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } } ) { { \cos } ^ { 2 } } \theta } } , } \end{array}
\left( y ^ { 2 } + { \frac { p } { 2 } } + m + { \sqrt { 2 m } } y - { \frac { q } { 2 { \sqrt { 2 m } } } } \right) \left( y ^ { 2 } + { \frac { p } { 2 } } + m - { \sqrt { 2 m } } y + { \frac { q } { 2 { \sqrt { 2 m } } } } \right) = 0 .
\sigma _ { k } ^ { * } ( n ) = ( - 1 ) ^ { n } \sum _ { d \mid n } ( - 1 ) ^ { d } d ^ { k } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { d \mid n } d ^ { k } = \sigma _ { k } ( n ) } & { { \mathrm { i f ~ } } n { \mathrm { ~ i s ~ o d d ~ } } } \\ { \sum _ { \stackrel { d \mid n } { 2 \, \mid \, d } } d ^ { k } - \sum _ { \stackrel { d \mid n } { 2 \, \nmid \, d } } d ^ { k } } & { { \mathrm { i f ~ } } n { \mathrm { ~ i s ~ e v e n } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { { \displaystyle \Delta ^ { + } = } } & { { 1 + \displaystyle \frac { 1 } { 4 } \displaystyle \frac { ( \gamma / \pi ) ^ { 2 } } { 1 - \gamma / \pi } = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left( \displaystyle \frac { 1 } { 2 R } + R \right) ^ { 2 } \, , } } \\ { { \Delta ^ { - } = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { 4 } \displaystyle \frac { ( \gamma / \pi ) ^ { 2 } } { 1 - \gamma / \pi } = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left( \displaystyle \frac { 1 } { 2 R } - R \right) ^ { 2 } \, . } } \end{array}
{ \delta } B _ { \mu \nu } ^ { p } = { \cal D } _ { \mu } ^ { p q } { \xi } _ { \nu } ^ { q } - { \cal D } _ { \nu } ^ { p q } { \xi } _ { \mu } ^ { q } \equiv R _ { \mu \nu \alpha } ^ { p q } { \xi } ^ { q \alpha } , \, \, \, \, \, \, \, \, { \delta } A _ { \mu } ^ { p } = 0 ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \cos \left( \phi _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \phi _ { y } \right) } \end{array} \right) = { \mathcal R } \left( - \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c } { \cos \left( \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
- f ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) + \frac { D } { 2 } \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } Q ( \widehat { L } ) = \lambda \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L } } P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L ^ { \prime } } ) d \widehat { L ^ { \prime } } \right) \ .
C _ { \textup { T } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha , \tilde { G } ) = C _ { \mathrm { ~ T ~ } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha ) + C _ { \textup { T } , \tilde { G } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha , \tilde { G } ) \, ,
N = 6 , \mathcal { M } _ { C } = 3 , R = 6 , C = 1 , \lambda = 5 , \mu = 0 . 0 1 , \sigma = 0 . 0 7 5 , T _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ d ~ } } = 5 \times 1 0 ^ { 6 }
F _ { l m } ^ { V } ( r ) = r \int \sin \theta d \theta \, d \phi ~ \boldsymbol { \mathbf { F } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) \cdot \left[ \boldsymbol { \mathbf { V } } _ { l } ^ { m } \left( \theta , \phi \right) \right] ^ { * } .
\sigma _ { x } \sigma _ { p } \geq { \frac { \hbar } { 4 } } { \sqrt { 3 + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \Omega ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } + { \frac { \omega ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } } \right) - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \Omega ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } + { \frac { \omega ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } } \right) - 1 \right) } } = { \frac { \hbar } { 2 } } .
\frac { H T } { Q ^ { 2 } } = w ( \alpha , \beta ) \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { m a x } } \Theta _ { n } ^ { ( \alpha , \beta ) } \sum _ { j = 0 } ^ { n } c _ { j } ^ { ( n ) } ( \alpha , \beta ) M _ { j + 2 } ^ { I R R }
C _ { \pm } ^ { \left( d \right) } \left( T \ll \theta _ { \pm } ^ { \left( d \right) } \right) = \frac { d ! \left( d + 1 \right) \kappa _ { 0 } ^ { \left( d \right) } } { \hbar ^ { d } } \zeta \left( d + 1 \right) k _ { B } ^ { d + 1 } T ^ { d } + \frac { d \left( d - 1 \right) ! \kappa _ { \pm } ^ { \left( d \right) } } { \hbar ^ { d - 1 } } \zeta \left( d \right) k _ { B } ^ { d } T ^ { d - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { d ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { 1 } , \pmb { \mathscr { s } } ^ { 2 } ) } & { { } = \sqrt { \int _ { \Omega } d \pmb { x } \sum _ { i } ( \alpha _ { i } ) ^ { - 2 } \left( \pmb { \mathscr { s } } _ { ( \pmb { x } , i ) } ^ { 1 } - \pmb { \mathscr { s } } _ { ( \pmb { x } , i ) } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { c c } { d = \operatorname { a c o s h } \left( x _ { 1 } y _ { 1 } + x _ { 2 } y _ { 2 } - x _ { 3 } y _ { 3 } \right) } & { d = \operatorname { a c o s h } \left( x _ { 1 } y _ { 1 } + x _ { 2 } y _ { 2 } + x _ { 3 } y _ { 3 } - x _ { 4 } y _ { 4 } \right) } \end{array}
{ \cal D } = \frac { \omega _ { c } \, \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega _ { c } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) } \, , \, \quad { \cal S } = 1 + \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega _ { c } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, , \, \quad { \cal P } = 1 - \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } + \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \varphi _ { \lambda } ( y ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { x } ( y ) \varphi _ { \tau } ( x ) d x = \gamma _ { \tau } \frac { e ^ { - { c _ { \lambda } } y } } { y } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ( c _ { \lambda } y ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } } { \Gamma ( \gamma _ { \lambda } x ) } \frac { e ^ { - c _ { \tau } x } } { x } d x , \ y > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { T ( \xi , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { T _ { l i q } + \xi ( T _ { l i q } ) _ { \xi } \quad } & { \mathrm { a n d ~ } \lambda _ { l i q } = c o n s t . , k _ { l i q } = c o n s t . \mathrm { ~ f o r } \quad \xi < 0 , } \\ { T _ { g a s } + \xi ( T _ { g a s } ) _ { \xi } \quad } & { \mathrm { a n d ~ } \lambda _ { g a s } = c o n s t . , k _ { g a s } = c o n s t . \mathrm { ~ f o r } \quad \xi \geq 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { a } ^ { b } e _ { 1 } ^ { 1 } \phi _ { 1 } + e _ { 1 } ^ { 1 } ( - \mathbf { d } _ { 0 } \epsilon _ { 2 } ) \, d z - \big [ e _ { 1 } ^ { 1 } \epsilon _ { 2 } \big ] _ { a } ^ { b } + \epsilon _ { 2 } ( 0 ) \left[ e _ { 1 } ^ { 1 } ( 0 ^ { + } ) - e _ { 1 } ^ { 1 } ( 0 ^ { - } ) \right] } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } e _ { 1 } ^ { 1 } ( - \mathbf { d } _ { 0 } \epsilon _ { 2 } + \phi _ { 1 } ) \, d z , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho \frac { D u _ { i } } { D t } } & { = } & { - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } - \frac { \chi } { \eta } ( { u } _ { i } - u _ { ( o q ) i } ) } \\ { \frac { D p } { D t } } & { = } & { - { c _ { s } } ^ { 2 } \rho _ { o } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } p } { \partial x _ { i } x _ { i } } - \frac { \chi } { \eta } ( { p - p _ { ( o q ) i } } ) . } \end{array}
\mathcal { C } ( \kappa , \omega ) : = \left( 2 \kappa ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c _ { T } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } \sqrt { \left( \kappa ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c _ { T } ^ { 2 } } \right) \left( \kappa ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c _ { L } ^ { 2 } } \right) } - \frac { m _ { 0 } \omega ^ { 4 } \sqrt { \kappa ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c _ { L } ^ { 2 } } } } { \rho a c _ { T } ^ { 4 } ( \omega ^ { 2 } / \omega _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) } = 0 .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \bigg ( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - \mathbb { E } X _ { i } ) \leq \operatorname* { m a x } \bigg \{ 2 \sqrt { \frac { v ^ { 2 } \log ( 1 / \delta ) } { n } } , ~ \frac { 4 b \log ( 1 / \delta ) } { 3 n } \bigg \} \bigg ) \geq 1 - \delta , \qquad \forall \delta \in ( 0 , 1 ) . } \end{array}
T _ { + + } = - { \frac { N } { 2 4 } } \left( e ^ { 2 \rho } \, \partial _ { + } ^ { \, 2 } e ^ { - 2 \rho } - { \frac { 1 } { 2 } } \, e ^ { 4 \rho } { \left( \partial _ { + } e ^ { - 2 \rho } \right) } ^ { 2 } - 2 t _ { + } \right) \; .
\left( \begin{array} { c } { { \mathrm { V a c u u m } } } \\ { { \mathrm { e n e r g y } } } \\ { { \mathrm { d e n s i t y } } } \end{array} \right) \; = \; \left( \begin{array} { c } { { \mathrm { V a c u u m ~ z e r o - } } } \\ { { \mathrm { p o i n t ~ e n e r g y } } } \\ { { \mathrm { + ~ f l u c t u a t i o n s } } } \end{array} \right) \; + \; \left( \begin{array} { c } { { \mathrm { Q C D ~ g l u o n } } } \\ { { \mathrm { a n d ~ q u a r k } } } \\ { { \mathrm { c o n d e n s a t e s } } } \end{array} \right) \; + \; \left( \begin{array} { c } { { \mathrm { T h e } } } \\ { { \mathrm { H i g g s } } } \\ { { \mathrm { f i e l d } } } \end{array} \right) \; + \; \cdots
\sum _ { q = 0 } ^ { p } \left( { \textstyle \bigwedge } ^ { n - k } A ^ { p - q } \right) ^ { \mathrm { T } } \left( { \textstyle \bigwedge } ^ { k } A ^ { q } \right) = \left( { \textstyle \bigwedge } ^ { n } A ^ { p } \right) \operatorname { I d } \in \operatorname { E n d } ( V ) .