harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\chi _ { 0 } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) = \sum _ { \sigma } \sum _ { i , a } \left[ \frac { \phi _ { i \sigma } ( \mathbf { r } ) \phi _ { a \sigma } ( \mathbf { r } ) \phi _ { i \sigma } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \phi _ { a \sigma } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { \omega - \varepsilon _ { a \sigma } + \varepsilon _ { i \sigma } + i \eta } + \frac { \phi _ { i \sigma } ( \mathbf { r } ) \phi _ { a \sigma } ( \mathbf { r } ) \phi _ { i \sigma } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \phi _ { a \sigma } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { - \omega - \varepsilon _ { a \sigma } + \varepsilon _ { i \sigma } + i \eta } \right]
P \left( \{ r _ { i } , \theta _ { i } \} \rightarrow \{ r _ { i } ^ { \prime } , \theta _ { i } ^ { \prime } \} \right) = \left\lbrace \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Delta E < 0 , } \\ { { \mathrm e } ^ { - \frac { \Delta E } { T } } = { \mathrm e } ^ { \frac { p _ { \mathrm { s } } ( \{ r _ { i } ^ { \prime } , \theta _ { i } ^ { \prime } \} ) - p _ { \mathrm { s } } ( \{ r _ { i } , \theta _ { i } \} ) } { T } } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } A ~ : = \quad } & { \{ q _ { i , K } } & & { : \; K { \mathrm { ~ c o m p a c t ~ a n d ~ } } \; } & & { i \in \mathbb { N } { \mathrm { ~ s a t i s f i e s ~ } } \; } & & { 0 \leq i \leq k \} } \\ { B ~ : = \quad } & { \{ r _ { i , K } } & & { : \; K { \mathrm { ~ c o m p a c t ~ a n d ~ } } \; } & & { i \in \mathbb { N } { \mathrm { ~ s a t i s f i e s ~ } } \; } & & { 0 \leq i \leq k \} } \\ { C ~ : = \quad } & { \{ t _ { i , K } } & & { : \; K { \mathrm { ~ c o m p a c t ~ a n d ~ } } \; } & & { i \in \mathbb { N } { \mathrm { ~ s a t i s f i e s ~ } } \; } & & { 0 \leq i \leq k \} } \\ { D ~ : = \quad } & { \{ s _ { p , K } } & & { : \; K { \mathrm { ~ c o m p a c t ~ a n d ~ } } \; } & & { p \in \mathbb { N } ^ { n } { \mathrm { ~ s a t i s f i e s ~ } } \; } & & { | p | \leq k \} } \end{array} }
\log A = \log \left[ { \frac { F _ { 0 } / x _ { 0 } ^ { m } } { m + 1 } } \cdot ( x _ { 1 } ^ { m + 1 } - x _ { 0 } ^ { m + 1 } ) \right] = \log { \frac { F _ { 0 } } { m + 1 } } - \log { \frac { 1 } { x _ { 0 } ^ { m } } } + \log ( x _ { 1 } ^ { m + 1 } - x _ { 0 } ^ { m + 1 } )
{ \begin{array} { r l } { { 2 } ( J _ { \mu } ( p ) ) ^ { T } ~ J ^ { \mu } ( p ) - { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } ( p _ { \mu } J ^ { \mu } ( p ) ) ^ { T } ~ p _ { \nu } J ^ { \nu } ( p ) } & { = ( J _ { \mu } ( p ) ) ^ { T } ~ J ^ { \mu } ( p ) - ( J ^ { \mu } ( p ) ) ^ { T } ~ { \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p _ { \sigma } p ^ { \sigma } } } { \Big | } _ { o n - s h e l l } ~ J ^ { \nu } ( p ) } \\ & { = ( J ^ { \mu } ( p ) ) ^ { T } ~ \left[ \eta _ { \mu \nu } - { \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { m ^ { 2 } } } \right] ~ J ^ { \nu } ( p ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \tilde { \psi } _ { 1 } } { \partial \tilde { r } } \right] } & { - \frac { \tilde { \psi } _ { 1 } } { \tilde { r } ^ { 2 } } = } \\ & { g \tilde { r } \left( \frac { 4 \tilde { r } ^ { 2 } - 3 \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 4 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - \tilde { r } _ { b } ) - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Lambda d ( t ; x ) \| } & { = \| \Lambda \mathbb { E } [ d ( t ; x ) + C ( t ) - \mathcal { G } ] \| = \| \int _ { \ell _ { 2 } ( \Lambda ) \times \ell _ { 2 } ( \Lambda ) } \Lambda ( u - v ) \pi ( \mathrm { d } u , \mathrm { d } v ) \| } \\ & { \leqslant \int _ { \ell _ { 2 } ( \Lambda ) \times \ell _ { 2 } ( \Lambda ) } \| \Lambda ( d ( t ; x ) + u - v ) \| \pi ( \mathrm { d } u , \mathrm { d } v ) . } \end{array}
\left( c _ { 1 , 0 } + 2 c _ { 2 , - 1 } + 2 r _ { 1 , 0 } \right) \left( c _ { 1 , 0 } + c _ { 2 , - 1 } \right) + r _ { 1 , 1 } + r _ { 2 , 0 } + c _ { 2 , 0 } + c _ { 3 , - 1 } .
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { S T U , P Q R } ^ { B A } } & { = } & { \zeta \langle A | b _ { p \pi } ^ { \dagger } b _ { q \theta } ^ { \dagger } b _ { r \rho } ^ { \dagger } b _ { u _ { - \upsilon } } b _ { t _ { - \tau } } b _ { s _ { - \sigma } } | B \rangle = } \\ & { = } & { \frac { \zeta } { \Pi _ { S _ { A } } } \sum _ { C D F J K } \mathsf { \Gamma } _ { [ [ [ u t ] _ { F } s ] _ { J } , [ [ p q ] _ { C } r ] _ { D } ] _ { K } } ^ { B A } \, \, \times } \\ & { \times } & { \sum _ { \gamma \delta \varphi \mu \kappa } C _ { \frac { 1 } { 2 } \pi , \frac { 1 } { 2 } \theta } ^ { C \gamma } C _ { C \gamma , \frac { 1 } { 2 } \rho } ^ { D \delta } C _ { \frac { 1 } { 2 } - \upsilon , \frac { 1 } { 2 } - \tau } ^ { F \varphi } \times } \\ & { \times } & { C _ { F \varphi , \frac { 1 } { 2 } - \sigma } ^ { J \mu } C _ { D \delta , J \mu } ^ { K \kappa } C _ { S _ { B } \Sigma _ { B } , K \kappa } ^ { S _ { A } \Sigma _ { A } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } N ( d , l ) \| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \| _ { \mathrm { { o p } } } } & { \leq 1 + c _ { 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { [ T _ { n } ] } N ( d , l ) l ^ { \alpha } \exp ( \gamma l ^ { \beta } ( \log { l } - \xi _ { 1 } ) ) } \\ & { \leq \mathrm { ( c o n s t . ) } T _ { n } ^ { \alpha + d } \exp ( \gamma T _ { n } ^ { \beta } ( \log { T _ { n } } - \xi _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\mathcal { H } _ { X Y } ^ { \, a } = \sum _ { i } ^ { L } \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \langle i , j \rangle } [ 1 + \epsilon _ { a } - \cos ( \theta _ { i } - \theta _ { j } ) - \epsilon _ { a } \cos ( \theta _ { i } + \theta _ { j } ) ]
v _ { 1 } ^ { \prime } = v _ { 1 } { \frac { \sqrt { m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } + 2 m _ { 1 } m _ { 2 } \cos \theta } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } } , \qquad v _ { 2 } ^ { \prime } = v _ { 1 } { \frac { 2 m _ { 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } } \sin { \frac { \theta } { 2 } } .
\mathrm { A m p } ( B ^ { + } \to D _ { s } \phi ) = \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } V _ { u b } ^ { * } V _ { c s } ~ a _ { 1 } \langle D _ { s } ^ { + } \phi | ( \bar { c } \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) s ) ( \bar { b } \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) u ) | B ^ { + } \rangle
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { h o p } } ^ { ( \ell , 1 ) } } & { \rightarrow \hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { h o p } } ^ { ( \ell , 1 ) } = \sqrt { t ^ { ( \ell , 1 ) } } \left( \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 1 ) } + a _ { \ell } \mathbb { I } \right) \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { h o p } } ^ { ( \ell , 2 ) } } & { \rightarrow \hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { h o p } } ^ { ( \ell , 2 ) } = \sqrt { t ^ { ( \ell , 2 ) } } \left( \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 2 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 2 ) } \sigma _ { 1 , 1 } ^ { ( \ell , 1 ) } + a _ { \ell } \mathbb { I } \right) \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { o v e } } ^ { ( \ell ) } } & { \rightarrow \hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { o v e } } ^ { ( \ell ) } = \sqrt { o ^ { ( \ell ) } } \left( \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 2 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 1 ) } \sigma _ { 1 , 1 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } + a _ { \ell } \mathbb { I } \right) \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { r e t } } ^ { ( \ell ) } } & { \rightarrow \hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { r e t } } ^ { ( \ell ) } = \sqrt { r ^ { ( \ell ) } } \left( \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 2 ) } \sigma _ { 0 , 0 } ^ { ( \ell , 1 ) } + a _ { \ell } \mathbb { I } \right) \, \, , } \\ { H = 0 } & { \rightarrow \hat { H } = \frac { 1 } { 2 i } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L - 1 } t ^ { ( \ell , 1 ) } \left( a _ { \ell } ^ { * } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 1 ) } - a _ { \ell } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell , 1 ) } \right) } \\ & { \ \ \ + \frac { 1 } { 2 i } \sum _ { \ell = 2 } ^ { L - 2 } t ^ { ( \ell , 2 ) } \left( a _ { \ell } ^ { * } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 2 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 2 ) } \sigma _ { 1 , 1 } ^ { ( \ell , 1 ) } - a _ { \ell } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell + 1 , 2 ) } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell , 2 ) } \sigma _ { 1 , 1 } ^ { ( \ell , 1 ) } \right) } \\ & { \ \ \ + \frac { 1 } { 2 i } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L - 3 } o ^ { ( \ell ) } \left( a _ { \ell } ^ { * } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 2 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 1 ) } \sigma _ { 1 , 1 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } - a _ { \ell } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell + 1 , 2 ) } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell , 1 ) } \sigma _ { 1 , 1 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \right) } \\ & { \ \ \ + \frac { 1 } { 2 i } \sum _ { \ell = 2 } ^ { L - 1 } r ^ { ( \ell ) } \left( a _ { \ell } ^ { * } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 2 ) } \sigma _ { 0 , 0 } ^ { ( \ell , 1 ) } - a _ { \ell } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell , 2 ) } \sigma _ { 0 , 0 } ^ { ( \ell , 1 ) } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { \Delta ( H ) = H \otimes 1 + 1 \otimes H ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { \Delta ( X ^ { + } ) = X ^ { + } \otimes q ^ { - H } + q ^ { H } \otimes X ^ { + } ~ , } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r } { \tan { \frac { 1 } { 2 } } ( A + B ) = { \frac { \cos { \frac { 1 } { 2 } } ( a - b ) } { \cos { \frac { 1 } { 2 } } ( a + b ) } } \cot { \frac { 1 } { 2 } } C } & { \qquad } & { \tan { \frac { 1 } { 2 } } ( a + b ) = { \frac { \cos { \frac { 1 } { 2 } } ( A - B ) } { \cos { \frac { 1 } { 2 } } ( A + B ) } } \tan { \frac { 1 } { 2 } } c } \\ { \tan { \frac { 1 } { 2 } } ( A - B ) = { \frac { \sin { \frac { 1 } { 2 } } ( a - b ) } { \sin { \frac { 1 } { 2 } } ( a + b ) } } \cot { \frac { 1 } { 2 } } C } & { \qquad } & { \tan { \frac { 1 } { 2 } } ( a - b ) = { \frac { \sin { \frac { 1 } { 2 } } ( A - B ) } { \sin { \frac { 1 } { 2 } } ( A + B ) } } \tan { \frac { 1 } { 2 } } c } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \lambda _ { n } ( \Delta \mu _ { n } ) ^ { 2 } ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { 2 } } { \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \to \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) \biggr ( - ( \Delta \mu _ { n } ) ^ { 2 } ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { 2 } + ( \Delta \mu _ { n } ) ^ { 3 } \Delta \mu _ { n } ^ { * } \biggr ) } { \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \to 0 , } \\ & { } & { \frac { \lambda _ { n } ( \Delta \mu _ { n } ) ^ { 2 } ( \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } ) } { \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \to \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( \Delta \mu _ { n } ) ^ { 2 } \Delta v _ { n } ^ { * } } { \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \to 0 . } \end{array}
M _ { \tilde { l } _ { R } } ^ { 2 } = m _ { 0 } ^ { 2 } + 0 . 1 5 \ m _ { 1 / 2 } ^ { 2 } - \mathrm { s i n } ^ { 2 } \theta _ { W } \ m _ { Z } ^ { 2 } \ \mathrm { c o s } 2 \beta
\begin{array} { r l } { \langle t \rangle _ { \Omega \, | \, n _ { 0 } } } & { = \frac { 1 } { \mu } \left( \frac { 1 } { n _ { 0 } } + \frac { 1 } { n _ { 0 } + 1 } + \cdots + \frac { 1 } { \Omega - 1 } \right) , } \\ & { \approx \frac { \ln \Omega } { \mu } - \frac { \ln n _ { 0 } } { \mu } \quad \mathrm { f o r ~ l a r g e ~ } \Omega \gg n _ { 0 } . } \end{array}
\hat { \rho } _ { \mathrm { G } } = \left( \sin \vartheta _ { \mathrm { G } } \cos \varphi _ { \mathrm { G } } , \sin \vartheta _ { \mathrm { G } } \sin \varphi _ { \mathrm { G } } , \cos \vartheta _ { \mathrm { G } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { q _ { x } ( x , 0 , 0 ) } & { = \frac { 2 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ 2 k _ { 1 } + U _ { 0 } \left( e ^ { - 2 \Delta x ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } } \frac { 4 } { w _ { a } ^ { 2 } } - e ^ { - 2 \Delta x ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } } \frac { 4 } { w _ { b } ^ { 2 } } \right) \right] } \\ & { \approx \frac { 4 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ k _ { 1 } + \left( k _ { a } - k _ { b } \right) + 2 \left( k _ { b } / w _ { b } ^ { 2 } - k _ { a } / w _ { a } ^ { 2 } \right) \Delta x ^ { 2 } \right] } \\ & { = \Delta q + ( x - \delta x ) ^ { 2 } / x _ { b } ^ { 2 } , } \end{array}
\omega ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \Omega _ { c i } ^ { 2 } + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } k _ { \parallel } ^ { 2 } + \omega _ { p i } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { c _ { v } k ^ { 2 } + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \Omega _ { c e } ^ { 2 } { } _ { \perp } } k _ { \perp } ^ { 2 } } \right)
{ \frac { \partial ( P _ { 1 } + P _ { 2 } ) } { \partial X } } = { \frac { P _ { 1 } } { X } } - { \frac { P _ { 2 } } { 1 - X } } + { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { P _ { 1 } + P _ { 2 } } { Y _ { e } } } { \frac { \partial Y _ { e } } { \partial X } } = { \frac { P _ { 1 } } { X } } - { \frac { P _ { 2 } } { 1 - X } } + { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { P _ { 1 } + P _ { 2 } } { Y _ { e } } } \left[ { \frac { Z _ { 1 } } { A _ { 1 } } } - { \frac { Z _ { 2 } } { A _ { 2 } } } \right] .
\begin{array} { r l r } & { } & { M _ { i } ( u _ { i } ) \rightarrow M ( u ) \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { \beta } ( \Omega ) ) \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq \beta < \infty , } \\ & { } & { M _ { i } ( u _ { i } ) \rightarrow M ( u ) \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } L ^ { \alpha } ( 0 , T ; L ^ { \beta } ( \Omega ) ) \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq \alpha , \beta < \infty , } \\ & { } & { \sqrt { M _ { i } ( u _ { i } ) } \rightarrow \sqrt { M ( u ) } \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { \gamma } ( \Omega ) ) \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq \gamma < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \Omega _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } ( t , \xi ) d \sigma ( \xi ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \Omega _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } ( t , \theta , \varphi ) \sin ( \theta ) d \theta d \varphi } \\ & { = 2 \pi \left( \omega _ { N } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 1 } } \sin ( \theta ) d \theta + \omega _ { C } \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } \sin ( \theta ) d \theta + \omega _ { S } \int _ { \theta _ { 2 } } ^ { \pi } \sin ( \theta ) d \theta \right) } \\ & { = 2 \pi \Big [ \omega _ { N } \big ( 1 - \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) + \omega _ { C } \big ( \cos ( \theta _ { 1 } ) - \cos ( \theta _ { 2 } ) \big ) + \omega _ { S } \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 2 } ) \big ) \Big ] . } \end{array}
Q ( \psi ) : = \frac { 1 } { 4 } F ^ { 2 } ( \sin ^ { 2 } { \psi } + \kappa ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { F } ) - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } { F } - \frac { 1 } { 8 } \kappa ^ { 2 } \frac { \sin ^ { 4 } { F } } { \sin ^ { 2 } { \psi } } , \quad \psi \in [ 0 , \pi ] .
\begin{array} { r l } { | \Sigma _ { 2 } ( x ) | } & { \leq 2 ( N ( \kappa _ { 1 } \eta ( x ) ) - N ( \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) ) ) } \\ & { \leq \frac { \kappa _ { 1 } \eta ( x ) \log { \kappa _ { 1 } \eta ( x ) } } { \pi } - \frac { \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) } { \kappa _ { 0 } \pi } \log { \frac { \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) } { 2 \pi e \kappa _ { 0 } } } + \frac { 7 } { 4 } + 2 R ( \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) ) } \\ & { : = \frac { \kappa _ { 1 } \eta ( x ) \log { \kappa _ { 1 } \eta ( x ) } } { \pi } - \ell _ { 1 } ( x _ { 0 } ) . } \end{array}
p ^ { - n } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { - ( n + 1 + \frac { k } { p } ) } \phi ^ { - ( m + 1 ) } \bigl ( | \xi | ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 p } } \bigr ) = c \sum _ { i = 0 } ^ { m } c _ { i } \frac { ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { - ( n + 1 ) + \frac { i } { p } } } { \big ( ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { p } } - | \xi | ^ { 2 } \big ) ^ { k + i } } .
\begin{array} { r l } & { \frac { | \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { y } | } { | \boldsymbol { v } | | \boldsymbol { y } | } } \\ { = } & { \frac { \left[ \left( 1 + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { - i } \right) \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { V } + \left( 1 + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { i } \right) \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { W } \right| } { | \boldsymbol { v } | \left| \left( 1 + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { - i } \right) \boldsymbol { x } _ { V } + \left( 1 + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { i } \right) \boldsymbol { x } _ { W } \right| } } \\ { \geq } & { \frac { | \boldsymbol { v } | \left| \boldsymbol { x } _ { V } \right| } { | \boldsymbol { v } | \left| \boldsymbol { x } _ { V } + \frac { 1 + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { i } } { 1 + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { - i } } \boldsymbol { x } _ { W } \right| } } \\ & { - \frac { \left| \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { W } \right| } { | \boldsymbol { v } | \left| \frac { 1 + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { - i } } { 1 + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { i } } \boldsymbol { x } _ { V } + \boldsymbol { x } _ { W } \right| } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { S } ( l ^ { \prime } , l ) } & { { } \equiv z C _ { S } ( l ^ { \prime } ) e ^ { - \beta ( 2 l ^ { \prime } - l ) } \theta ( l ^ { \prime } - l _ { m i n } ) } \\ { K _ { A } ( l ^ { \prime } , l ) } & { { } \equiv 2 z C _ { A } ( 2 l ^ { \prime } - l ) e ^ { - \beta ( 2 l ^ { \prime } - l ) } \theta ( l ^ { \prime } - l _ { m i n } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb P \left[ \operatorname* { s u p } _ { \boldsymbol { v } _ { 1 } \in \mathbb K ( s _ { 1 } ) } \left\vert \boldsymbol { v } _ { 1 } ^ { \top } ( X _ { 1 } ^ { \top } X _ { 1 } - T _ { 1 } \Gamma ^ { ( 1 ) } ) \boldsymbol { v } _ { 1 } \right\vert \geq \frac { 4 T _ { 1 } \zeta _ { 1 } \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Sigma _ { \boldsymbol { U } _ { 1 } } ) } { \mathfrak m ( f ) } \right] } \\ { \leq } & { 2 \exp \left( - \frac { T _ { 1 } \operatorname* { m i n } \{ \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 1 } ^ { 2 } \} } { 2 } + s _ { 1 } \operatorname* { m i n } \{ \log L , ~ \log ( 2 1 e L / s _ { 1 } ) \} \right) } \end{array}
+ \left\{ \Gamma _ { \gamma ^ { * } q \bar { q } } ^ { ( s e ) c ( 1 ) } \frac { 2 s } { t } \Gamma _ { Q Q } ^ { c ( 0 ) } + \Gamma _ { \gamma ^ { * } q \bar { q } } ^ { c ( 0 ) } \frac { 2 s } { t } \Gamma _ { Q Q } ^ { ( s e ) c ( 1 ) } \right\} + \left\{ \Gamma _ { \gamma ^ { * } q \bar { q } } ^ { ( 1 g ) c ( 1 ) } \frac { 2 s } { t } \Gamma _ { Q Q } ^ { c ( 0 ) } + \Gamma _ { \gamma ^ { * } q \bar { q } } ^ { c ( 0 ) } \frac { 2 s } { t } \Gamma _ { Q Q } ^ { ( 1 g ) c ( 1 ) } \right\} ,
\begin{array} { r } { R = \frac { 9 \pi a ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin ( \psi ) \beta \left( \alpha \beta + \omega ^ { 2 } \right) } { 2 l \gamma ^ { 2 } \alpha \left( \alpha ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) \left( \beta ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) } \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 + O ( \epsilon ) \right] } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 } ( x , \mathbf { y } , \mathbf { y } ^ { \prime } , \mathbf { y } ^ { \prime \prime } , \ldots , \mathbf { y } ^ { ( n ) } ) } \\ { f _ { 2 } ( x , \mathbf { y } , \mathbf { y } ^ { \prime } , \mathbf { y } ^ { \prime \prime } , \ldots , \mathbf { y } ^ { ( n ) } ) } \\ { \vdots } \\ { f _ { m } ( x , \mathbf { y } , \mathbf { y } ^ { \prime } , \mathbf { y } ^ { \prime \prime } , \ldots , \mathbf { y } ^ { ( n ) } ) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right) }
\xi _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \simeq \frac { 1 . 8 } { N _ { s } } , \mathrm { ~ } t _ { \mathrm { m i n } } \simeq \frac { 3 \Delta \ln ( 4 N _ { s } ) } { g ^ { 2 } N _ { s } } .
E _ { n } ( x ) = { \frac { n ! } { \sqrt { \pi } } } \int _ { 0 } ^ { x } e ^ { - t ^ { n } } \, d t = { \frac { n ! } { \sqrt { \pi } } } \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { p } { \frac { x ^ { n p + 1 } } { ( n p + 1 ) p ! } } .
\begin{array} { r l } { | | B _ { t } - \chi B _ { t } \chi | | _ { 0 , 0 } } & { \leq | | B _ { t } - B _ { k / N } | | _ { 0 , 0 } + | | B _ { k / N } - \chi B _ { t } \chi | | _ { 0 , 0 } } \\ & { = | | B _ { t } - B _ { k / N } | | _ { 0 , 0 } + | | \chi ( B _ { k / N } - B _ { t } ) \chi | | _ { 0 , 0 } } \\ & { \leq \varepsilon / 3 + \varepsilon / 3 < \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { N } } G _ { p } ( s , \frac { x } { N } ) } & { \frac { 1 } { 2 \epsilon N } \sum _ { i \in \Lambda _ { N } ^ { \epsilon N } } \int _ { \Omega _ { N } } \left( \eta ( x + i + 1 ) - \eta ( x + i ) \right) \left( f ( \eta ) - f ( \eta ^ { x + i , x + i + 1 } ) \right) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \mathrm { d } \eta ) } \\ & { \leqslant \frac { 1 } { 4 A } \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { N } } \left( G _ { p } ( s , \frac { x } { N } ) \right) ^ { 2 } \int _ { \Omega _ { N } } \left( \sqrt { f } ( \eta ) + \sqrt { f } ( \eta ^ { x + i , x + i + 1 } ) \right) ^ { 2 } \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \mathrm { d } \eta ) + \frac { A } { 4 } \Gamma _ { N } ^ { ( 0 ) } ( \sqrt { f } , \nu _ { \gamma } ^ { N } ) . } \end{array}
{ \omega ( \bar { x } ) N ( \bar { x } , 0 ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \omega ( x _ { i } ) N ( x _ { i } , 0 ) e ^ { - \Gamma \tau ( x _ { i } ) } \left[ { \frac { d } { d x _ { i } } } f _ { i } ( F ( x _ { i } , 1 ) ) \right] ^ { - 1 } . }
\lambda ^ { 2 } + \left( \frac { 5 } { 2 \mathrm { \textit { R e } } } + \frac { 3 4 } { 2 1 } i k \right) \lambda + \left( \frac { 5 } { \mathrm { \textit { R e } } } i k - \left[ \frac { 4 } { 7 } - \frac { 5 \cot \theta } { 3 \mathrm { \textit { R e } } } \right] k ^ { 2 } + \frac { 5 } { 6 \mathrm { \textit { R e } } \mathrm { \textit { C a } } } k ^ { 4 } \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { i } + \frac { 5 } { 2 } \rho T \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } + \frac { 5 } { 2 } \sigma _ { i k } \frac { \partial T } { \partial x _ { k } } - \sigma _ { i k } T \frac { \partial \ln \rho } { \partial x _ { k } } - \frac { \sigma _ { i k } } { \rho } \frac { \partial \sigma _ { k l } } { \partial x _ { l } } + T \frac { \partial \sigma _ { i k } } { \partial x _ { k } } + } & { } \\ { + \frac { 7 } { 5 } q _ { i } \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } + \frac { 7 } { 5 } q _ { k } \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { k } } + \frac { 2 } { 5 } q _ { k } \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { i } } + } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial R _ { i k } } { \partial x _ { k } } + \frac { 1 } { 6 } \frac { \partial \Delta } { \partial x _ { i } } + m _ { i k l } \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { l } } = - \frac { 2 } { 3 } \frac { p } { \mu } q _ { i } , } \\ { \dot { \sigma } _ { i j } + \frac { 4 } { 5 } \frac { \partial q _ { \langle i } } { \partial x _ { \rangle j } } + 2 \sigma _ { k \langle i } \frac { \partial v _ { j \rangle } } { \partial x _ { k } } + \sigma _ { i j } \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } + } & { 2 \rho T \frac { \partial v _ { \langle i } } { \partial x _ { j \rangle } } + \frac { \partial m _ { i j k } } { \partial x _ { k } } = - \frac { p } { \mu } \sigma _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln \Big ( \frac { J } { J _ { 0 } } \Big ) } & { = \frac { 1 } { E _ { 0 } } \Big ( E _ { a p } - \beta \ln \Big ( \frac { J _ { s } t ^ { 1 - \alpha } } { Q ^ { * } ( 1 - \alpha ) } \Big ) \Big ) } \\ & { = \frac { 1 } { E _ { 0 } } \Big ( E _ { a p } - \beta \ln \Big ( \frac { J _ { s } t } { Q ^ { * } ( 1 - \alpha ) } \Big ) - \beta ( 1 - \alpha ) \ln t \Big ) } \end{array}
\Delta \phi = \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 4 M } { b } } } & { { \mathrm { i f } \ b \geq R } } \\ { { \frac { 4 M } { b } \left( 1 - \sqrt { 1 - \frac { b ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } \right) - \frac { 4 M } { b } \frac { 1 } { 1 - r _ { 0 } / R \, \arctan ( R / r _ { 0 } ) } \frac { r _ { 0 } } { R } } } \\ { { \times \left[ \begin{array} { l } { { \sqrt { 1 - \frac { b ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } \arctan ( R / r _ { 0 } ) } } \\ { { - \sqrt { 1 + \frac { b ^ { 2 } } { r 0 ^ { 2 } } } \arctan \left( \frac { \sqrt { 1 - \frac { b ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } } { \sqrt { 1 + \frac { b ^ { 2 } } { r 0 ^ { 2 } } } } \frac { R } { r _ { 0 } } \right) } } \end{array} \right] } } & { { \mathrm { i f } \ b < R } } \end{array} \right.