harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A ( B \to V _ { 1 } V _ { 2 } ) = A _ { 0 } \, { \epsilon } _ { V _ { 1 } } ^ { * L } { \epsilon } _ { V _ { 2 } } ^ { * L } - \frac { A _ { \| } } { \sqrt { 2 } } \, \vec { \epsilon } _ { V _ { 1 } } ^ { * T } \cdot \vec { \epsilon } _ { V _ { 2 } } ^ { * T } - i \frac { A _ { \perp } } { \sqrt { 2 } } \, \vec { \epsilon } _ { V _ { 1 } } ^ { * } \times \vec { \epsilon } _ { V _ { 2 } } ^ { * } \cdot \hat { \bf p } ,
\begin{array} { r } { S _ { 1 1 } ^ { \uparrow \uparrow , q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E [ f ( 1 - f ) + R f ( 1 - f ) } \\ { + T f _ { 0 } ( 1 - f _ { 0 } ) + R T ( f - f _ { 0 } ) ^ { 2 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } V \vert _ { r < R _ { \mathrm { f } } } } & { = \frac { 3 \omega _ { \mathrm { r } } + \omega _ { \mathrm { f } } } { 2 } B _ { 0 } r ( 2 \sin \theta \cos \theta \cos \phi \mathbf { \hat { r } } + \cos 2 \theta \cos \phi \boldsymbol { \hat { \theta } } - \cos \theta \sin \phi \boldsymbol { \hat { \phi } } ) } \\ & { = \frac { 3 \omega _ { \mathrm { r } } + \omega _ { \mathrm { f } } } { 2 } B _ { 0 } ( z \mathbf { \hat { x } } + x \mathbf { \hat { z } } ) } \end{array}
\frac { a _ { \mathrm { b g } } } { R _ { 0 } } = \left( 1 - ( 2 \ell + 1 ) \frac { j _ { \ell } ( S _ { o } ) } { S _ { o } j _ { \ell + 1 } ( S _ { o } ) } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 \ell + 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } } & { { } = 0 = \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { M } u _ { 2 } ( \Phi ( x , t ) , t ) } & { \Phi _ { 1 } ( x , t ) F ^ { \prime } ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x = \int _ { \Phi ( M , t ) } u _ { 2 } ( x , t ) x _ { 1 } F ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } } \\ & { = \int _ { \Phi ( M , t ) } \partial _ { 1 } ( \psi ( x , t ) - f ( x _ { 2 } , t ) ) x _ { 1 } F ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } } \\ & { = \int _ { \Phi ( M , t ) } \partial _ { 1 } ( x _ { 1 } \tilde { \psi } ( x , t ) ) F ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } - \int _ { \Phi ( M , t ) } \tilde { \psi } ( x , t ) F ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } } \\ & { = \int _ { \Phi ( M , t ) } \partial _ { 1 } ( x _ { 1 } \tilde { \psi } ( x , t ) ) F ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } - \int _ { M } \tilde { \psi } ( x , t ) F ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } } \end{array}
g ( r ) = \frac { 1 } { 4 \pi N \rho r ^ { 2 } } \sum _ { i \neq j } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - ( r - r _ { i j } ) ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } ~ ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } v _ { r } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial r } + \frac { 1 } { \rho } \left[ \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r \sigma _ { r r } ) + \frac { 1 } { r } \partial _ { \phi } \sigma _ { r \phi } + \partial _ { z } \sigma _ { r z } - \frac { 1 } { r } \sigma _ { \phi \phi } \right] , } \\ { \partial _ { t } v _ { \phi } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho r } \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial \phi } + \frac { 1 } { \rho } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \partial _ { r } ( r ^ { 2 } \sigma _ { \phi r } ) + \frac { 1 } { r } \partial _ { \phi } \sigma _ { \phi \phi } + \partial _ { z } \sigma _ { \phi z } + \frac { 1 } { r } ( \sigma _ { r \phi } - \sigma _ { \phi r } ) \right] , } \\ { \partial _ { t } v _ { z } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial z } + \frac { 1 } { \rho } \left[ \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r \sigma _ { z r } ) + \frac { 1 } { r } \partial _ { \phi } \sigma _ { z \phi } + \partial _ { z } \sigma _ { z z } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { K = C \operatorname* { m a x } \left\{ E _ { 0 } ^ { \frac { \beta _ { 1 } } { \gamma } } ; E _ { 0 } ^ { \frac { \beta _ { 1 } } { 1 + \gamma } } ; E _ { 0 } ^ { \frac { \beta _ { 1 } } { 2 + \gamma } } ; E _ { 0 } ^ { \frac { \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } } { 2 + \gamma } } ; E _ { 0 } ^ { \frac { \beta _ { 1 } } { 1 + \gamma } } t ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } \right\} \left( 1 + T \right) ^ { \frac { 1 + \beta _ { 2 } } { \gamma } } } \end{array}
\tilde { \mathcal { M } } = \left( \begin{array} { c c } { \kappa _ { + } + \frac { i \kappa _ { - } \tilde { K } } { w ( \kappa - 1 ) } } & { - i \kappa _ { - } \left[ 1 - \frac { i \tilde { K } } { w ( \kappa - 1 ) } \right] } \\ { i \kappa _ { - } \left[ 1 + \frac { \tilde { K } } { w ( \kappa - 1 ) } \right] } & { \kappa _ { + } - \frac { i \kappa _ { - } \tilde { K } } { w ( \kappa - 1 ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } ( \theta ) } & { { } = \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 1 } } \log \Big ( D ( \theta , \theta ^ { \prime } , 0 , \varphi ^ { \prime } ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) } \cdot z = { \frac { a z + b } { c z + d } } = { \frac { ( a c | z | ^ { 2 } + b d + ( a d + b c ) \Re ( z ) ) + i ( a d - b c ) \Im ( z ) } { | c z + d | ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \phi _ { t } ^ { \widetilde X } | _ { x } ( V ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow + \infty } \phi _ { t } ^ { \widetilde X } | _ { x _ { n } } \left( \mathrm { i m d } _ { x _ { n } } ^ { ( 2 ) } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow + \infty } \left( \mathrm { i m d } _ { \phi _ { t } ^ { X } ( x _ { n } ) } ^ { ( 2 ) } \right) \in \pi ^ { - 1 } \left( \phi _ { t } ^ { X } ( x ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } = ( 1 - \gamma ) \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } + \gamma \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } . } \end{array}
\Phi _ { \textrm { 2 D } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) = - { \frac { | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { 8 \pi } } \ln | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | , \qquad \Phi _ { \textrm { 3 D } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) = { \frac { | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | } { 8 \pi } } ~ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \overline { { \zeta ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ) \zeta ( x _ { 2 } , t _ { 2 } ) \zeta ( x _ { 3 } , t _ { 3 } ) } } ^ { c } = 0 } \\ & { } & { \overline { { \zeta ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ) \zeta ( x _ { 2 } , t _ { 2 } ) \zeta ( x _ { 3 } , t _ { 3 } ) \zeta ( x _ { 4 } , t _ { 4 } ) } } ^ { c } = \frac { \gamma } { N } \delta ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \delta ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) \delta ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) \delta ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) \delta ( t _ { 1 } - t _ { 3 } ) \delta ( t _ { 1 } - t _ { 4 } ) \rho _ { s } ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ) } \end{array}
\frac { d \bar { \sigma } _ { 3 3 } } { d \bar { r } } = \frac { \bar { \sigma } _ { 1 1 } - \bar { \sigma } _ { 3 3 } } { \bar { r } } = \frac { \bar { \lambda } _ { 1 } w _ { 1 } } { \bar { r } } .
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { n } ( \omega ) \cong \ } & { { } J _ { n } \left( \frac { \Delta \omega } { \Omega } \right) \sum _ { l } \frac { \delta v _ { l } } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { e ^ { i \frac { \omega } { \Omega } \xi _ { l } } } { \omega _ { 0 } } \frac { a _ { n } } { 2 } \ \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \lambda \overline { { \lambda } } - \lambda ^ { k } \varphi ( \sigma _ { \left( \lambda \right) } ) \right) \equiv 0 \pmod { \pi \mathcal O } } & { \Leftrightarrow \varphi ( \sigma _ { ( \lambda ) } ) \equiv \overline { { \lambda } } \lambda ^ { 1 - k } \pmod { \pi \mathcal O } } \\ & { \Leftrightarrow \eta \phi _ { 0 } ( \sigma _ { ( \lambda ) } ) \equiv \overline { { \lambda } } \lambda ^ { 1 - k } \pmod { \pi \mathcal O } } \\ & { \Leftrightarrow \eta ( \sigma _ { ( \lambda ) } ) \equiv \overline { { \lambda } } \lambda ^ { 1 - k } \phi _ { 0 } ^ { - 1 } ( \sigma _ { ( \lambda ) } ) \pmod { \pi \mathcal O } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - Z I I I I I Z I I I I I , } \\ & { } & { - I Z I I I I I Z I I I I , } \\ & { } & { - I I Z I I I I I Z I I I , } \\ & { } & { - I I I Z I I I I I Z I I , } \\ & { } & { - I I I I Z I I I I I Z I , } \\ & { } & { - I I I I I Z I I I I I Z , } \\ & { } & { + X X I I I I X X I I I I , } \\ & { } & { + I X X I I I I X X I I I , } \\ & { } & { + I I X X I I I I X X I I , } \\ & { } & { + I I I X X I I I I X X I , } \\ & { } & { + I I I I X X I I I I X X . } \end{array}
K = 6 d C - \frac { \beta } { \sqrt { 2 } } \frac { \bar { \kappa } ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \delta ( x ^ { 1 1 } ) d x ^ { 1 1 } \wedge I _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( 1 - \beta ) \frac { \bar { \kappa } ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \epsilon ( x ^ { 1 1 } ) I _ { 4 }
\begin{array} { r } { { \bf A } _ { \Psi } ^ { \mathrm { M B } } ( { \bf r } ) \! = \! { \frac { 1 } { \hbar \rho ( { \bf r } ) } } \mathrm { R e } \left\{ \int d \sigma _ { 1 } d { \bf x } _ { 2 } \cdots d { \bf x } _ { N } \Psi ^ { \ast } ( { \bf r } , \sigma _ { 1 } , \cdots , { \bf x } _ { N } ) ( - i \hbar \nabla ) \Psi ( { \bf r } , \sigma _ { 1 } , \cdots , { \bf x } _ { N } ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A ^ { \prime } \left( r _ { b } \right) = 1 + \left[ \frac { 1 } { 4 } + \frac { \beta ^ { \prime } } { 2 } + \frac { 1 } { 8 } r _ { b } \frac { d \beta ^ { \prime } } { d r _ { b } } \right] r _ { b } ^ { 2 } , } \\ & { B ^ { \prime } \left( r _ { b } \right) = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 3 } { 4 } \beta ^ { \prime } + \frac { 3 } { 4 } r _ { b } \frac { d \beta ^ { \prime } } { d r _ { b } } + \frac { 1 } { 8 } r _ { b } ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } \beta ^ { \prime } } { d r _ { b } ^ { 2 } } , } \\ & { C ^ { \prime } \left( r _ { b } \right) = \frac { 1 } { 4 } \left[ 1 + \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { \beta ^ { \prime } r _ { b } ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H o m } ( \Gamma ^ { [ 0 ] } , M ) \times \prod _ { V \in \tilde { \Gamma } ^ { [ 0 ] } \setminus \Gamma ^ { [ 0 ] } } M / \mathbb { Z } u _ { ( V , E ^ { - } ( V ) ) } } & { \longrightarrow } & { \prod _ { E \in \Gamma ^ { [ 1 ] } \setminus \Gamma _ { \infty } ^ { [ 1 ] } } M / \mathbb { Z } u _ { ( \partial ^ { - } E , E ) } } \\ { h } & { \longmapsto } & { \big ( ( h ( \partial ^ { + } E ) - h ( \partial ^ { - } E ) ) _ { E } \big ) \, . } \end{array}
L = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { - \frac { h } { 3 } } & { 1 } & { 0 } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { 0 } & { l _ { 1 } } & { 1 } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { l _ { 2 } } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { l _ { M } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { - \frac { 3 l _ { M } } { h } } & { \frac { 3 l _ { M + 1 } } { h } } & { 1 } \end{array} \right)
( \mathcal V _ { 1 } \otimes _ { \mathcal { O } } \mathcal { V } _ { 2 } ) \otimes _ { \mathcal { O } } \mathcal V _ { 3 } \simeq \mathcal V _ { 1 } \otimes _ { \mathcal { O } } ( \mathcal { V } _ { 2 } \otimes _ { \mathcal { O } } \mathcal V _ { 3 } ) \simeq \mathcal V _ { 1 } \otimes _ { \mathcal { O } } \mathcal { V } _ { 2 } \otimes _ { \mathcal { O } } \mathcal V _ { 3 } .
\begin{array} { r l r } { \Bigg | \frac { A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } \Bigg | ^ { 2 } } & { \approx } & { \frac { 1 } { 1 6 } \eta ^ { 4 } \quad \mathrm { a n d } \quad \Bigg | \frac { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } \Bigg | ^ { 2 } \approx 1 - \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i } ( \vec { x } ) } & { { } = \frac { 1 } { \Delta x ^ { 3 } } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { p } } \frac { 1 } { 2 } M _ { i } \vec { v } _ { p } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } m _ { i } n _ { i } ( \vec { x } ) \frac { 1 } { N _ { p } } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { p } } v _ { p } ^ { 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \dot { x } } _ { 1 } { \dot { y } } _ { 2 } - { \dot { x } } _ { 2 } { \dot { y } } _ { 1 } = 0 , } & { { \dot { x } } _ { 1 } { \dot { z } } _ { 2 } - { \dot { x } } _ { 2 } { \dot { z } } _ { 1 } = 0 , } \\ { \qquad \dots } & { \qquad \dots } \\ { \qquad \dots } & { \qquad \dots } \\ { { \dot { x } } _ { 1 } { \dot { y } } _ { N } - { \dot { x } } _ { N } { \dot { y } } _ { 1 } = 0 , } & { { \dot { x } } _ { 1 } { \dot { z } } _ { N } - { \dot { x } } _ { N } { \dot { z } } _ { 1 } = 0 , } \end{array} \right.
G ( a , b , c ) = \operatorname* { g c d } ( a , c ) \cdot G \left( { \frac { a } { \operatorname* { g c d } ( a , c ) } } , { \frac { b } { \operatorname* { g c d } ( a , c ) } } , { \frac { c } { \operatorname* { g c d } ( a , c ) } } \right)
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \pi } \dot { \pi } ^ { \langle \mu \nu \rangle } + \pi ^ { \mu \nu } } & { = } & { 2 \eta \sigma ^ { \mu \nu } + 2 \tau _ { \pi } \pi _ { \lambda } ^ { \langle \mu } \omega ^ { \nu \rangle \lambda } - \delta _ { \pi \pi } \pi ^ { \mu \nu } \theta - \tau _ { \pi \pi } \pi _ { \lambda } ^ { \langle \mu } \sigma ^ { \nu \rangle \lambda } + \lambda _ { \pi \Pi } \Pi \sigma ^ { \mu \nu } - \tau _ { \pi n } n ^ { \langle \mu } \nabla ^ { \nu \rangle } P _ { 0 } + \ell _ { \pi n } \nabla ^ { \langle \mu } n ^ { \nu \rangle } + } \\ & { + } & { \lambda _ { \pi n } n ^ { \langle \mu } \nabla ^ { \nu \rangle } \alpha _ { 0 } + \tau _ { \pi } \left( - \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } \Delta _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } \nabla _ { \lambda } \Omega ^ { \alpha \beta \lambda } + \lambda _ { \pi \Omega } \Omega ^ { \mu \nu \lambda } \nabla _ { \lambda } \alpha _ { 0 } + \tau _ { \pi \Omega } \dot { u } _ { \alpha } \Omega ^ { \mu \nu \alpha } - \gamma _ { - 2 } ^ { \Theta } \Theta ^ { \mu \nu \alpha \beta } \sigma _ { \alpha \beta } \right) . } \end{array}
\Gamma _ { k l } ^ { i } = \frac { 1 } { 2 } g ^ { i m } \left( \frac { \d g _ { m k } } { \d x ^ { l } } + \frac { \d g _ { m l } } { \d x ^ { k } } - \frac { \d g _ { k l } } { \d x ^ { m } } \right) = \frac { \d e _ { k } ^ { a } } { \d x ^ { j } } e _ { a } ^ { i } .
- 2 \frac { ( b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) ) ( b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) ) } { b _ { 0 } ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) }
\operatorname * { l i m } _ { \epsilon \to + 0 } \left[ K _ { \mu \nu } \right] _ { x ^ { \perp } = - \epsilon } ^ { x ^ { \perp } = \epsilon } = \left. \frac { 1 } { m _ { d } ^ { d - 1 } } \left( T _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { d - 1 } g _ { \mu \nu } g ^ { \alpha \beta } T _ { \alpha \beta } \right) \right| _ { x ^ { \perp } = 0 }
- { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { m _ { n } } } \nabla _ { n } ^ { 2 } \Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ) + V ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ) \Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ) = E \Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } )
\texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \tilde { \mathbf { u } } } , T \hat { \mathcal { G } } ) \right) = \texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { T _ { r o t } \Breve { \mathbf { u } } } , T \hat { \mathcal { G } } ) \right) = T _ { r o t } \texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { \mathcal { G } } ) \right)
\begin{array} { r l r l } { \frac A L } & { = A ^ { - 1 } \left\lVert \partial _ { t } \bar { u } \right\rVert _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) \times \partial \Omega ) } + \left\lVert \nabla \bar { u } \right\rVert _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) \times \mathcal U _ { \delta } ( \partial \Omega , \Omega ) ) } , } & { \mathsf { R e } } & { = \frac { A L } { \nu } . } \end{array}
\ell _ { 1 2 } \cos { \theta } _ { 1 } = \ell _ { 3 2 } \cos { \theta } _ { 2 } \, , \qquad \left\{ \begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \vphantom { f ^ { 2 } } u _ { 2 } } & { = u _ { 4 } } & & { = u _ { 1 } + \ell _ { 1 2 } \sin { \theta } _ { 1 } } & & { = u _ { 3 } - \ell _ { 3 2 } \sin { \theta } _ { 2 } \, , } \\ { v _ { 1 } } & { = v _ { 3 } } & & { = v _ { 2 } + \ell _ { 1 2 } \cos { \theta } _ { 1 } } & & { = v _ { 4 } - \ell _ { 3 2 } \cos { \theta } _ { 2 } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { u _ { t } + ( u \cdot \nabla ) u + 2 \Omega \times u + c _ { p } \theta \nabla \Pi } & { { } = - g \hat { z } , } \\ { \theta _ { t } + u \cdot \nabla \theta } & { { } = 0 , } \\ { D _ { t } + \nabla \cdot ( u D ) } & { { } = 0 , } \\ { \Pi ^ { \frac { 1 - \kappa } { \kappa } } } & { { } = \frac { R } { p _ { 0 } } D \theta , } \end{array}
{ \cal I } ( M ^ { 2 } ) = - \mathrm { T r } \, \gamma _ { 5 } { \frac { M ^ { 2 } } { - ( \gamma \cdot D ) ^ { 2 } + M ^ { 2 } } } = - \int d ^ { 3 } x \langle x | \mathrm { t r } \, \gamma _ { 5 } { \frac { M } { \gamma \cdot D + M } } | x \rangle \, .
\begin{array} { r l } { \bar { \ell } _ { \mathrm { Z } } } & { = \frac { \bar { v } _ { \mathrm { Z } } } { v _ { 0 } } D _ { \mathrm { C J } } \; \bar { t } _ { \mathrm { Z } } , } \\ { \bar { v } _ { \mathrm { Z } } \left( \bar { y } _ { \mathrm { Z } } \right) } & { = \left( 1 - \bar { y } _ { \mathrm { Z } } \right) v _ { \mathrm { N } } + \bar { y } _ { \mathrm { Z } } v _ { \mathrm { C J } } , } \\ { \bar { U } _ { \mathrm { Z } } \left( \bar { y } _ { \mathrm { Z } } \right) } & { = \left( 1 - \bar { y } _ { \mathrm { Z } } \right) U _ { \mathrm { N } } + \bar { y } _ { \mathrm { Z } } U _ { \mathrm { C J } } . } \end{array}
| \nu _ { \alpha } ( t ) \rangle = \sum _ { a } U _ { { \alpha } a } ^ { * } \int \mathrm { d } p \, \psi _ { a } ( p ; p _ { a } , \sigma _ { p P } ) \, e ^ { - i E _ { a } ( p ) t } \, | \nu _ { a } ( p ) \rangle \, ,
\eta _ { 1 } ( v - \frac { m - 1 } { 2 } ) \xi _ { 1 } ( v - \frac { m - 2 } { 2 } ) \cdots \xi _ { m - 1 } ( v ) \eta _ { m - 1 } ( v + \frac { 1 } { 2 } ) = ( x ^ { 2 r } ; x ^ { 2 r } ) _ { \infty } ^ { 3 ( m - 1 ) } c _ { m } \eta _ { m } ( v )
Z _ { i } = ( \phi _ { \Delta / 2 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { - 1 } ( y _ { i } ) - e ^ { - \alpha ( \lambda _ { t _ { i - 1 } } ) \Delta } \phi _ { \Delta / 2 } ^ { ( 2 ) } ( y _ { i - 1 } ) + \mu ( \lambda _ { t _ { i - 1 } } ) ( 1 - e ^ { - \alpha ( \lambda _ { t _ { i - 1 } } ) \Delta } ) ,
\begin{array} { r l } { e _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 k + 1 } e _ { 2 } } & { = - \frac { 1 } { S _ { k } } \Bigl ( \frac { ( \lambda ^ { - 1 } - a ) \lambda ^ { n + 1 } - ( \lambda - a ) \lambda ^ { - n + 1 } } { 1 - \lambda ^ { 2 } } - 1 \Bigr ) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + \lambda } \Bigl ( \frac { \lambda ^ { 2 k + 1 } - \lambda ^ { - 2 k + 1 } + \lambda ^ { 2 } - 1 } { \lambda ^ { 1 + k } - \lambda ^ { - k } } + a \frac { \lambda ^ { - 2 k } - \lambda ^ { 2 k + 2 } } { \lambda ^ { 1 + k } - \lambda ^ { - k } } \Bigr ) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + \lambda } \Bigl ( \frac { ( \lambda ^ { 1 + k } - \lambda ^ { - k } ) ( \lambda ^ { k } + \lambda ^ { - k + 1 } ) } { \lambda ^ { 1 + k } - \lambda ^ { - k } } - a \frac { \lambda ^ { 2 k + 2 } - \lambda ^ { - 2 k } } { \lambda ^ { 1 + k } - \lambda ^ { - k } } \Bigr ) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + \lambda } \Bigl ( \lambda ^ { k } + \lambda ^ { - k + 1 } - a ( \lambda ^ { k + 1 } + \lambda ^ { - k } ) \Bigr ) } \\ & { = R _ { k - 1 } - a R _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( { \bf k } ) } & { \! = \! \left[ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a } { 2 } \right) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } } \\ & { ~ ~ \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ { T _ { z } } & { \! = \! t _ { z } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } , } \end{array}
\left\langle \left\vert \mathcal { M } \right\vert ^ { 2 } \right\rangle = \lambda ^ { 4 } \left[ \frac { \left( s + u \right) ^ { 2 } } { \left( t - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } - \frac { s ^ { 2 } + s \left( t + u \right) } { \left( t - m ^ { 2 } \right) \left( u - m ^ { 2 } \right) } + \frac { \left( s + t \right) ^ { 2 } } { \left( u - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \tau + \delta ( 3 ) } ^ { ( 3 ) } } & { = \nabla ( \mathcal { E } _ { \tau } ^ { ( 3 ) } ) } \\ & { = \nabla ( ( e _ { 2 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { \tau } ) \otimes s _ { 3 } + ( e _ { 1 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { \tau } ) \otimes s _ { 2 1 } + \mathcal { A } _ { \tau } \otimes s _ { 1 1 1 } ) } \\ & { = \mathcal { A } _ { \tau } \otimes s _ { 3 } } \\ & { \qquad + ( s _ { 2 2 } \cdot ( e _ { 2 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { \tau } ) - s _ { 2 1 } \cdot ( e _ { 1 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { \tau } ) + ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \cdot \mathcal { A } _ { \tau } ) \otimes s _ { 2 1 } } \\ & { \qquad + ( s _ { 3 2 } \cdot ( e _ { 2 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { \tau } ) - s _ { 3 1 } \cdot ( e _ { 1 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { \tau } ) + ( s _ { 3 } + s _ { 1 1 } ) \cdot \mathcal { A } _ { \tau } ) \otimes s _ { 1 1 1 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( \int _ { R } + \int _ { M } + \int _ { N } + \int _ { r } \right) f ( z ) \, d z } & { = 2 \pi i { \big ( } \operatorname { R e s } _ { z = i } f ( z ) + \operatorname { R e s } _ { z = - i } f ( z ) { \big ) } } \\ & { = 2 \pi i \left( - { \frac { \pi } { 4 } } + { \frac { 1 } { 1 6 } } i \pi ^ { 2 } - { \frac { \pi } { 4 } } - { \frac { 1 } { 1 6 } } i \pi ^ { 2 } \right) } \\ & { = - i \pi ^ { 2 } . } \end{array} }
\textbf { s } = \left\lbrack \frac { \partial u } { \partial x } , \frac { \partial u } { \partial y } , \frac { \partial u } { \partial z } , \frac { \partial v } { \partial x } , \frac { \partial v } { \partial y } , \frac { \partial v } { \partial z } , \frac { \partial w } { \partial x } , \frac { \partial w } { \partial y } , \frac { \partial w } { \partial z } \right\rbrack
\tau = i \ { \frac { { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } , 1 ; 1 - \lambda \right) } { { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } , 1 ; \lambda \right) } }
S _ { 1 0 } ( h ) = \frac { X } { \zeta ^ { ( 2 ) } ( 2 ) \sqrt { l _ { 1 } } } \int _ { ( c ) } w ( s ) \Big ( \frac { X ^ { 3 / 2 } } { l _ { 1 } } \Big ) ^ { s } \mathcal Z ( 1 + 2 s , l ) \widehat { \Phi } ( \frac { 3 s } { 2 } + 1 ) \frac { W ( s ) \mathrm { d } s } { s } + O \left( \frac { X ( l _ { 1 } X ) ^ { \varepsilon } } { Z \sqrt { l _ { 1 } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { p _ { 1 2 } ^ { 2 } + p _ { 1 3 } ^ { 2 } + p _ { 1 4 } ^ { 2 } + p _ { 2 3 } ^ { 2 } + p _ { 2 4 } ^ { 2 } + p _ { 3 4 } ^ { 2 } } & { = 1 } \\ { \left( \frac { 2 M } { \sqrt { m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } } } \right) ( p _ { 1 2 } p _ { 3 4 } - p _ { 1 3 } p _ { 2 4 } + p _ { 1 4 } p _ { 2 3 } ) } & { = 0 . } \end{array}
S \left( \beta \right) \approx \frac { 4 \pi ^ { 4 } } { 4 5 } \frac { r ^ { 3 } } { \beta ^ { 3 } } + \frac { \pi ^ { 2 } \left| \mu _ { e f f } ^ { 2 } \right| } { 6 } \frac { r } { \beta } .