harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } ( x ) } & { = _ { 2 } F _ { 1 } \left( \alpha + \beta + t + 1 , - t ; \alpha + 1 ; x \right) , \quad G _ { 2 } ( x ) = _ { 2 } F _ { 1 } \left( \beta + t + 1 , - \alpha - t ; 1 - \alpha ; x \right) , } \\ { G _ { 3 } ( x ) } & { = _ { 2 } F _ { 1 } \left( \alpha + \beta + t , 1 - t ; \alpha + 1 ; x \right) , \quad \; \; \; G _ { 4 } ( x ) = _ { 2 } F _ { 1 } \left( \beta + t , 1 - t - \alpha ; 1 - \alpha ; x \right) , } \\ { \mu } & { = \frac { \sin ( \pi t ) \sin ( \pi ( \beta + t ) ) } { \sin ( \pi ( \alpha + \beta + t ) ) \sin ( \pi ( \alpha + t ) ) } , \quad \nu = \frac { ( \alpha + t ) ( \alpha + \beta + t ) } { t ( \beta + t ) } , } \\ { K } & { = - \frac { \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( \alpha + 1 ) \Gamma ( t + 1 ) \Gamma ( - \alpha - \beta - t ) \sin ( \pi \alpha ) \sin ( \pi ( \alpha + \beta + t ) ) } { \pi \Gamma ( \alpha + t + 1 ) \Gamma ( - \beta - t ) \sin ( \pi ( \beta + t ) ) } , } \\ { L } & { = \frac { t ( \beta + t ) \sin ( \pi \alpha ) } { \pi \sqrt { a _ { 0 } } ( \alpha + \beta + 2 t ) \alpha ( \mu - 1 ) K } , \quad \gamma = \frac { ( \alpha + t ) ( \alpha + \beta + t ) } { \sqrt { a _ { 0 } } ( \alpha + \beta + 2 t - 1 ) ( \alpha + \beta + 2 t ) } . } \end{array}
f _ { I } = { \frac { 2 { \sqrt { 3 } } } { \sqrt { m _ { I } } } } \int { \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } } \, \Phi ( { \bf { p } } ) \Big ( { \frac { E _ { q } + m _ { q } } { 2 E _ { q } } } \, { \frac { E _ { \bar { Q } } + m _ { \bar { Q } } } { 2 E _ { \bar { Q } } } } { \Big ) } ^ { 1 / 2 } \, \Big ( \, 1 \, + \, a _ { I } \, { \frac { { \bf { p } } ^ { 2 } } { ( E _ { q } + m _ { q } ) ( E _ { \bar { Q } } + m _ { \bar { Q } } ) } } \, \Big ) ,
\operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \hat { \theta } _ { i } - [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] \mathcal { \hat { Z } } _ { ( i ) } \right\vert \leq \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \widehat { \mathcal { H } } _ { ( i ) } ^ { - 1 } - \mathcal { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } \right\vert \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \widehat { \mathcal { G } } _ { ( i ) } \right\vert = O _ { p } \left( \frac { k _ { \theta , n } \left( \ln ( n ) \right) ^ { 4 } } { \sqrt { n } } \right) = o _ { p } ( 1 ) .
\begin{array} { r l } { g _ { \lambda } ( u ) = } & { \sqrt { 2 } ( \sqrt { 2 } u - \lambda ) ( - \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } H _ { n } ( u ) \frac { u ^ { n + 1 } } { { n + 1 } ! } ) } \\ { = } & { \sqrt { 2 } ( \sqrt { 2 } u - \lambda ) ( - \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } H _ { n } ( - u ) \frac { u ^ { n + 1 } } { { n + 1 } ! } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 2 } ^ { S } ( t ) } & { = - \frac { 3 } { 4 } \frac { F ^ { \prime } ( t ) ^ { 4 } } { F ( t ) ^ { 3 } } + \frac { 3 } { 2 } \frac { F ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } F ^ { \prime \prime } ( t ) } { F ( t ) ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 8 } \frac { F ^ { \prime \prime } ( t ) ^ { 2 } } { F ( t ) } - \frac { 1 } { 2 } \frac { F ^ { \prime } ( t ) F ^ { \prime \prime \prime } ( t ) } { F ( t ) } + \frac { 1 } { 8 } F _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ( t ) , } \\ { * [ 2 m m ] \tilde { F } _ { 2 } ^ { S } ( t ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } F ^ { \prime } ( t ) + \frac { 1 } { 4 } \frac { F ^ { \prime } ( t ) ^ { 4 } } { F ( t ) ^ { 3 } } - \frac { 3 } { 8 } \frac { F ^ { \prime \prime } ( t ) ^ { 2 } } { F ( t ) } + \frac { 1 } { 8 } F _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { 1 } ( t _ { 1 } ) = \left( 1 - \frac { p + q } { 2 } \right) \log \frac { 1 - \frac { p + q } { 2 } } { 1 - q } + \frac { p + q } { 2 } \log \frac { \frac { p + q } { 2 } } { q } \leq \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { q ( 1 - q ) } \left( \frac { p - q } { 2 } \right) ^ { 2 } \leq \frac { ( p - q ) ^ { 2 } } { 4 q } . } \end{array}
G \left( x ^ { 2 } \right) \stackrel { | x | \gg m ^ { - 1 } } { \longrightarrow } \frac { 8 \sqrt { 2 } C a ^ { 7 / 4 } m ^ { 4 } } { \pi ^ { 3 / 2 } } \int _ { x ^ { 2 } } ^ { + \infty } d t \mathrm { e } ^ { - m \sqrt { t } } \simeq \frac { 1 6 \sqrt { 2 } C a ^ { 7 / 4 } m ^ { 2 } } { \pi ^ { 3 / 2 } } \xi \mathrm { e } ^ { - \xi } ,
{ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } \\ { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 1 } \\ { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 1 } & { 2 } \\ { 4 } & { 5 } & { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \end{array} } \qquad { \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } \\ { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 1 } & { 2 } \\ { 5 } & { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 1 } \\ { 4 } & { 5 } & { 1 } & { 2 } & { 3 } \end{array} } \qquad { \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } \\ { 5 } & { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 4 } & { 5 } & { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 1 } \end{array} } \qquad { \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } \\ { 4 } & { 5 } & { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 1 } \\ { 5 } & { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 1 } & { 2 } \end{array} } .
N = \{ Q _ { U ( 1 ) } , K \} \; \; \mathrm { , ~ w h e r e } \; \; K = \frac { 3 \, i } { \sqrt { 2 } } \sum _ { n \neq 0 } \: \eta _ { - n } ( u _ { n } + i \, v _ { n } ) \; \; .
\begin{array} { r } { \textbf { G } _ { \pm } ( \omega ) = \mathbf { \tilde { X } } _ { \pm } ( \omega \textbf { 1 } - \boldsymbol { \tilde { \Omega } } _ { \pm } ) ^ { - 1 } \mathbf { \tilde { X } } _ { \pm } ^ { \dagger } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \overline { { \nabla } } f ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) ) \right\| } \\ & { \leq \left\| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| \cdot \left\| \mathbb { E } \bigg [ \frac { N } { l _ { g , 1 } } \prod _ { l = 1 } ^ { N _ { i } } \Big ( I - \frac { 1 } { \ell _ { g , 1 } } \nabla _ { y y } ^ { 2 } g _ { C _ { i } ^ { l } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ; \zeta ^ { i , l } ) \Big ) \Big | \mathcal { F } ^ { k } \bigg ] - \left[ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ) \right] ^ { - 1 } \right\| } \\ & { \quad \times \left\| \nabla _ { y } f ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| } \\ & { \leq \frac { \ell _ { f , 0 } \ell _ { g , 1 } } { \mu _ { g } } \big ( 1 - \frac { \mu _ { g } } { \ell _ { g } } \big ) ^ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } | \mathbf { x } ) ; q ( \mathbf { y } | \mathbf { x } ) ) } & { \approx \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { p } L _ { j i } ^ { p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { p } ) ^ { 2 } } \right) \right) + \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { q } L _ { j i } ^ { q } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { q } ) ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { - 2 \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { p q } L _ { j i } ^ { p q } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { p q } ) } \right) \right) . } \end{array}
\Delta ( \xi _ { 0 } , \psi _ { 0 } ) = [ ( \xi _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } , \psi _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } ) - ( \xi ^ { u } , \psi ^ { u } ) ] \times 1 0 ^ { 1 0 }
E ( t ) = ( 1 + \beta _ { 3 } ( t ) ) ^ { \frac { 1 6 } { 3 b _ { 3 } } } ( 1 + \beta _ { 2 } ( t ) ) ^ { \frac { 3 } { b _ { 2 } } } ( 1 + \beta _ { 1 } ( t ) ) ^ { \frac { 1 3 } { 9 b _ { 1 } } }
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } } & { = - k \int _ { \Omega } S ( v ) \phi _ { 1 } ( u ) \Delta v - k \int _ { \Omega } S ^ { \prime } ( v ) \phi _ { 1 } ( u ) | \nabla v | ^ { 2 } } \\ & { \leq c \int _ { \Omega } \phi _ { 1 } ( u ) | \Delta v | } \\ & { \leq \epsilon \int _ { \Omega } ( \Delta v ) ^ { 2 } + c ( \epsilon ) \int _ { \Omega } \phi _ { 1 } ^ { 2 } ( u ) } \\ & { \leq \epsilon \int _ { \Omega } ( \Delta v ) ^ { 2 } + c ( \epsilon ) \int _ { \Omega } u ^ { 2 } \ln ^ { 2 k - 2 } ( u + e ) } \\ & { \leq \epsilon \int _ { \Omega } ( \Delta v ) ^ { 2 } + \epsilon \int _ { \Omega } u ^ { 2 } \ln ^ { k - p } ( u + e ) + c , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( C , { \boldsymbol { \theta } } ) = \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert } H ( C ) \ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } = \sum _ { p q } [ h ( C ) ] _ { p q } \gamma _ { p q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } [ g ( C ) ] _ { p q r s } \Gamma _ { p q r s } } \end{array}
\Delta E _ { e l s t a t } = \sum _ { a \in \{ A \} } \int v _ { a } ( r ) ( \rho _ { B } ( r ) ) d r - \sum _ { a \in \{ B \} } \int v _ { a } ( r ) ( \rho _ { A } ( r ) ) d r + \sum _ { \substack { i \in \{ A \} \, j \in \{ B \} } } \frac { Z _ { i } Z _ { j } } { | R _ { j } - R _ { i } | } + \int \int \frac { ( \rho _ { A } ( r _ { 1 } ) \rho _ { B } ( r _ { 2 } ) ) } { | r _ { 1 } - r _ { 2 } | } d r _ { 1 } d r _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { c u t } } & { ( G - V ( L ) ) + \omega ( G - V ( L ) ) + 1 } \\ & { = ( \mathrm { c u t } ( G - V ( G _ { 1 } ) ) + \mathrm { c u t } ( G _ { 1 } - V ( L ) ) ) + ( \omega ( G ) - | \{ G _ { 1 } \} | + \omega ( G _ { 1 } - V ( L ) ) ) + 1 } \\ & { \geq \mathrm { c u t } ( G - V ( G _ { 1 } ) ) + ( \mathrm { c u t } ( G _ { 1 } ) - | \{ u \} \cup X | ) + \omega ( G ) - 1 + | X | + 1 } \\ & { = \mathrm { c u t } ( G ) + \omega ( G ) - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m _ { 1 } > m _ { 2 } > 0 } \Phi _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } z ^ { m _ { 1 } } x ^ { m _ { 1 } - m _ { 2 } } } & { = u _ { 1 } \sum _ { m _ { 1 } > m _ { 2 } > 0 } \Phi _ { m _ { 1 } - 1 , m _ { 2 } } z ^ { m _ { 1 } } x ^ { m _ { 1 } - m _ { 2 } } } \\ & { \quad + \sum _ { m _ { 1 } > m _ { 2 } > 0 } \Phi _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } - 1 } z ^ { m _ { 1 } } x ^ { m _ { 1 } - m _ { 2 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } & { P r e d ( 8 ) } \\ { = } & { \rho ( C _ { 0 } ^ { 0 } , P _ { 1 } ^ { 2 } ) \; ( S ( 7 ) ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } P r e d , S } \\ { = } & { P _ { 1 } ^ { 2 } ( 7 , P r e d ( 7 ) ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ c a s e ~ } } \rho ( g , h ) \; ( S ( . . . ) , . . . ) } \\ { = } & { 7 } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } P _ { 1 } ^ { 2 } . } \end{array} }
0 = \int _ { \Omega } \left( - r \nabla ^ { 2 } \tilde { \psi } ^ { k + 1 } + r \mathbf { \nabla } \cdot \tilde { \mathbf { q } } ^ { k } - \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { \mu } ^ { k } \right) \tilde { \phi } ~ d \Omega ~ ~ ~ ~ ~ ~ \forall \tilde { \phi } \in \mathcal { V } _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \Delta \varphi } & { { } = - \frac { 1 } { \Omega _ { 0 } A _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 k _ { B } T \Gamma _ { 0 } } { m } } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { 0 } } \sin \left( \Omega _ { 0 } t + \varphi \right) \mathrm { d } W } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \zeta ( s ) = \frac { 1 } { 1 - 2 ^ { 1 - s } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n ^ { s } } , \quad \mathrm { R e } [ s ] > 0 , } \\ & { \zeta ( 1 - s ) = \frac { 1 } { 1 - 2 ^ { s } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n ^ { 1 - s } } , \quad \mathrm { R e } [ s ] < 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle D F ( \varphi _ { k \to k + 1 } ) , \xi _ { k + 1 } \rangle } & { = \frac { 1 } { t _ { k + 1 } - t _ { k } } \int _ { \Omega } \langle x - \varphi _ { k + 1 \to k } ( x ) , \xi _ { k + 1 } ( x ) \rangle \rho _ { k + 1 } ( x ) \, d x } \\ & { - \int _ { \Omega } \kappa ( \log \rho _ { k + 1 } + 1 ) \nabla \cdot ( \rho _ { k + 1 } \xi _ { k + 1 } ) \, d x , } \\ & { = \frac { 1 } { t _ { k + 1 } - t _ { k } } \int _ { \Omega } \langle x - \varphi _ { k + 1 \to k } ( x ) , \xi _ { k + 1 } ( x ) \rangle \rho _ { k + 1 } ( x ) \, d x } \\ & { + \int _ { \Omega } \kappa \nabla \rho _ { k + 1 } \cdot \xi _ { k + 1 } \, d x , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \psi _ { \mathrm { L } } = - c \partial _ { x } \psi _ { \mathrm { L } } + i \frac { M c ^ { 2 } } { \hbar } \psi _ { \mathrm { R } } } \\ { \partial _ { t } \psi _ { \mathrm { R } } = + c \partial _ { x } \psi _ { \mathrm { R } } + i \frac { M c ^ { 2 } } { \hbar } \psi _ { \mathrm { L } } } \end{array}
F _ { r e l } : = \Big \{ | \psi \rangle \; \; \Big | \; \; L _ { 0 } | \psi \rangle = J _ { 0 } | \psi \rangle = b _ { 0 } | \psi \rangle = b _ { 0 } ^ { \prime } | \psi \rangle = 0 \Big \} .
\sum _ { \ell ^ { \prime } \neq \ell } ^ { \infty } \left\vert \tilde { a } _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { d / 4 } \right\vert \geq \sum _ { \ell ^ { \prime } \neq \ell } ^ { \infty } \left\vert \tilde { a } _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { d / 4 } x _ { \ell ^ { \prime } } \right\vert \geq \left\vert \tilde { a } _ { \ell , \ell } ^ { d / 4 } \right\vert \sigma .
\begin{array} { r l } { \langle \delta _ { \mathrm { s } } \rangle = } & { { } - \frac { a } { 4 } \left( \langle \bar { \delta } _ { \mathrm { B } , i } ^ { 2 } \rangle - \langle \bar { \delta } _ { \mathrm { R } , i } ^ { 2 } \rangle \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { \mathbb { E } } [ S _ { n } ^ { 2 } ] } & { = \operatorname { \mathbb { E } } \left[ \left( \sum _ { i = 0 } ^ { n } H _ { i } \right) ^ { 2 } \right] \leq 2 \sum _ { i = 0 } ^ { n } \sum _ { j = i } ^ { n } \operatorname { \mathbb { E } } [ H _ { i } H _ { j } ] \leq 2 \sum _ { i = 0 } ^ { n } \sum _ { j = i } ^ { i + n } \operatorname { \mathbb { E } } [ H _ { i } H _ { j } ] } \\ & { \leq 2 \sum _ { i = 0 } ^ { n } \sum _ { j = 0 } ^ { n } \operatorname { \mathbb { E } } [ H _ { i } ] \operatorname { \mathbb { E } } [ H _ { j } ] = 2 ( \operatorname { \mathbb { E } } [ S _ { n } ] ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r c c c c c l } { \dot { s } } & { = } & { - k _ { 1 } e _ { 0 } s + ( k _ { 1 } s + k _ { - 1 } ) g ( s ) } & { + } & { ( k _ { - 1 } + k _ { 1 } s ) ( c - g ( s ) ) } & { } & { } \end{array}
U = \left( \begin{array} { c c c } { { \sqrt { \frac { m _ { 2 } m _ { 3 } } { Y _ { 1 } } } ( m _ { 3 } + m _ { 1 } - \epsilon ) } } & { { - \sqrt { \frac { m _ { 1 } ( m _ { 3 } - \epsilon ) } { Y _ { 1 } } } ( m _ { 3 } + m _ { 1 } - \epsilon ) } } & { { \sqrt { \frac { m _ { 1 } ( m _ { 3 } - \epsilon ) } { Y _ { 1 } } } \omega ( m _ { 2 } - m _ { 1 } + \epsilon ) } } \\ { { \sqrt { \frac { m _ { 1 } m _ { 3 } } { Y _ { 2 } } } ( m _ { 3 } - m _ { 2 } - \epsilon ) } } & { { \sqrt { \frac { m _ { 2 } ( m _ { 3 } - \epsilon ) } { Y _ { 2 } } } ( m _ { 3 } - m _ { 2 } - \epsilon ) } } & { { - \sqrt { \frac { m _ { 2 } ( m _ { 3 } - \epsilon ) } { Y _ { 2 } } } \omega ( m _ { 2 } - m _ { 1 } + \epsilon ) } } \\ { { \sqrt { \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { Y _ { 3 } } } \epsilon } } & { { \sqrt { \frac { m _ { 3 } ( m _ { 3 } - \epsilon ) } { Y _ { 3 } } } \epsilon } } & { { \sqrt { \frac { m _ { 3 } ( m _ { 3 } - \epsilon ) } { Y _ { 3 } } } \omega ( m _ { 2 } - m _ { 1 } + \epsilon ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { h } & { = \left< \mathbf { M } \, , \, { \mathbf { u } } ^ { L } \right> + \alpha ^ { 2 } \left< N \, , \, \omega \right> - \bar { L } _ { M F } - \alpha ^ { 2 } \bar { L } _ { W } } \\ & { = \left< D { \mathbf { u } } ^ { L } + D \boldsymbol { \Omega } \times { \mathbf { x } } \, , \, { \mathbf { u } } ^ { L } \right> + \alpha ^ { 2 } \left< N \, , \, \widetilde { \omega } \right> { - \bar { L } _ { M F } - \alpha ^ { 2 } \bar { L } _ { W } } \, . } \end{array}
{ \frac { d E ( t ) } { d t } } = - \tau _ { f } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N _ { f } } { \frac { d x _ { i } } { d t } } { \frac { \partial ^ { 2 } L _ { x } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } } { \frac { d x _ { j } } { d t } } - \tau _ { h } \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { N _ { h } } { \frac { d h _ { \mu } } { d t } } { \frac { \partial ^ { 2 } L _ { h } } { \partial h _ { \mu } \partial h _ { \nu } } } { \frac { d h _ { \nu } } { d t } } \leq 0
\begin{array} { r l r } { t } & { = } & { \left( p _ { 1 } - p _ { 3 } \right) ^ { 2 } = \left( p _ { 2 } - p _ { 4 } \right) ^ { 2 } ; } \\ & { = } & { ( E _ { 1 } - E _ { 3 } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { p } - \mathbf { p } ^ { \prime } ) ^ { 2 } = ( E _ { 2 } - E _ { 4 } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { p } ^ { \prime } - \mathbf { p } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\mathscr { W } _ { j , i } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { e ^ { \lambda _ { 1 } z } } & { e ^ { \lambda _ { 2 } z } } & { e ^ { \lambda _ { 3 } z } } & { e ^ { \lambda _ { 4 } z } } & { e ^ { \lambda _ { 5 } z } } & { e ^ { \lambda _ { 6 } z } } \\ { \lambda _ { 1 } e ^ { \lambda _ { 1 } z } } & { \lambda _ { 2 } e ^ { \lambda _ { 2 } z } } & { \lambda _ { 3 } e ^ { \lambda _ { 3 } z } } & { \lambda _ { 4 } e ^ { \lambda _ { 4 } z } } & { \lambda _ { 5 } e ^ { \lambda _ { 5 } z } } & { \lambda _ { 6 } e ^ { \lambda _ { 6 } z } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { \lambda _ { 1 } z } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { \lambda _ { 2 } z } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 2 } e ^ { \lambda _ { 3 } z } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 2 } e ^ { \lambda _ { 4 } z } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 2 } e ^ { \lambda _ { 5 } z } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 2 } e ^ { \lambda _ { 6 } z } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 3 } e ^ { \lambda _ { 1 } z } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 3 } e ^ { \lambda _ { 2 } z } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 3 } e ^ { \lambda _ { 3 } z } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 3 } e ^ { \lambda _ { 4 } z } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 3 } e ^ { \lambda _ { 5 } z } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 3 } e ^ { \lambda _ { 6 } z } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 4 } e ^ { \lambda _ { 1 } z } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 4 } e ^ { \lambda _ { 2 } z } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 4 } e ^ { \lambda _ { 3 } z } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 4 } e ^ { \lambda _ { 4 } z } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 4 } e ^ { \lambda _ { 5 } z } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 4 } e ^ { \lambda _ { 6 } z } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 5 } e ^ { \lambda _ { 1 } z } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 5 } e ^ { \lambda _ { 2 } z } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 5 } e ^ { \lambda _ { 3 } z } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 5 } e ^ { \lambda _ { 4 } z } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 5 } e ^ { \lambda _ { 5 } z } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 5 } e ^ { \lambda _ { 6 } z } } \end{array} \right]
U _ { M N S } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { \lambda ^ { 1 / 2 } } } & { { \lambda } } \\ { { \lambda ^ { 1 / 2 } } } & { { 1 } } & { { \lambda ^ { 1 / 2 } } } \\ { { \lambda } } & { { \lambda ^ { 1 / 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \mathrm { { N u } } \lesssim \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 5 } { 1 2 } } + \frac { 1 } { L _ { s } ^ { 2 } } \mathrm { { R a } } ^ { \frac 1 2 } \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ r ~ e ~ g ~ i ~ m ~ e ~ } \qquad \operatorname* { P r } \gtrsim \frac { 1 } { L _ { s } ^ { 2 } } \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 3 } { 4 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { \boldsymbol { M } _ { 1 } , \boldsymbol { M } _ { 2 } , \boldsymbol { b } } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } | | \boldsymbol { y } - \boldsymbol { F } ^ { \boldsymbol { M } _ { 1 } , \boldsymbol { M } _ { 2 } , \boldsymbol { b } } ( \boldsymbol { x } ) | | ^ { 2 } } \\ & { = - \frac { 1 } { \tau } \log p ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { F } ^ { \boldsymbol { M } _ { 1 } , \boldsymbol { M } _ { 2 } , \boldsymbol { b } } ( \boldsymbol { x } ) ) + \mathrm { c o n s t } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf T } _ { \mathrm { o b s } } } & { { } = } & { \left[ T _ { \mathrm { o b s } } ^ { ( 1 ) } , T _ { \mathrm { o b s } } ^ { ( 2 ) } , \dots , T _ { \mathrm { o b s } } ^ { ( N _ { T } ) } \right] , } \\ { { \bf f } _ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { T } ) } & { { } = } & { \left[ f _ { T } ^ { ( 1 ) } , f _ { T } ^ { ( 2 ) } , \dots , f _ { T } ^ { ( N _ { T } ) } \right] , } \\ { f _ { T } ^ { ( i ) } } & { { } = } & { f _ { T } ( \mathbf { x } _ { r } ^ { ( i ) } , \mathbf { x } _ { s } ^ { ( i ) } ; \boldsymbol { \theta } _ { T } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F } & { { } = P _ { 1 } + ( P _ { 1 } + B P _ { 2 } - \Delta ) ^ { 2 } P _ { 1 } , } \\ { F } & { { } = P _ { 2 } + ( P _ { 2 } + B P _ { 1 } - \Delta ) ^ { 2 } P _ { 2 } , } \end{array}
( \Phi ^ { 3 } ) _ { D } ^ { C } \bar { H } ^ { D , m } H _ { C , m } = \Phi _ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } } ^ { A B C } \Phi _ { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } } ^ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } } \Phi _ { A B D } ^ { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } } \bar { H } ^ { D , m } H _ { C , m }
\begin{array} { r l } { \delta B } & { { } = - \hat { z } \times \nabla ( \psi ) } \\ { \psi ( x , y ) } & { { } = \psi _ { 0 } \cos \left( 2 \pi x / L _ { x } \right) \cos \left( \pi y / L _ { y } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( n + 1 ) - \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( n ) = \frac { p _ { n o d e } } { L } \left( \sum _ { ( a \mu , b \nu ) \neq ( i \alpha , j \beta ) } \frac { \delta ( \cdot \mu , \cdot \nu = \cdot \alpha , \cdot \beta ) \pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( 0 ) } { L _ { \lambda } - 1 } - \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( 0 ) \right) } \\ { + \frac { p _ { l a y e r } } { L } \left( \sum _ { ( a \mu , b \nu ) \neq ( i \alpha , j \beta ) } \frac { \delta ( a \cdot , b \cdot = i \cdot , j \cdot ) \pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( 0 ) } { L _ { p } - 1 } - \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( 0 ) \right) } \\ { + \frac { p _ { t e l } } { L } \left( \sum _ { ( a \mu , b \nu ) \neq ( i \alpha , j \beta ) } \frac { \left( \delta ( a \mu , \nu b ) - \delta ( a \cdot , b \cdot = i \cdot , j \cdot ) - \delta ( \cdot \mu , \cdot \nu = \cdot \alpha , \cdot \beta ) \right) \pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( 0 ) } { L _ { m a x } - \Delta L } - \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( 0 ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( U \oplus V W ) M ( U ^ { T } \oplus W ^ { T } V ^ { T } ) } & { = ( U \oplus V W ) \left( \begin{array} { l l } { D _ { 1 } } & { B _ { 0 } } \\ { B _ { 0 } ^ { T } } & { D _ { 2 } \oplus D _ { 0 } } \end{array} \right) ( U ^ { T } \oplus W ^ { T } V ^ { T } ) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { U D _ { 1 } U ^ { T } } & { U B _ { 0 } W ^ { T } V ^ { T } } \\ { V W B _ { 0 } ^ { T } U ^ { T } } & { A } \end{array} \right) . } \end{array}
( \frac { N ^ { 4 / 3 } \eta ^ { 7 / 3 } t } { \epsilon ^ { 2 } } + \frac { N ^ { 5 / 3 } \eta ^ { 4 / 3 } t } { \epsilon ^ { 2 } } ) ( \frac { N t } { \epsilon } ) ^ { o ( 1 ) }
\begin{array} { r l } { \mathbf { Q } _ { n } = } & { \ \mathrm { a r g m i n } \left\| \mathcal { A } - \mathcal { A } \times _ { n } \left( { \bf Q } { \bf Q } ^ { \top } \right) \right\| _ { F } ^ { 2 } = \mathrm { a r g m i n } \left\| \mathbf { A } _ { ( n ) } - \left( { \bf Q } { \bf Q } ^ { \top } \right) \mathbf { A } _ { ( n ) } \right\| _ { F } ^ { 2 } , } \\ & { \ \mathrm { s u b j e c t t o } \quad \mathbf { Q } \in \mathbb { R } ^ { I _ { n } \times \mu _ { n } } \ \mathrm { ~ i s ~ o r t h o n o r m a l } , n = 1 , 2 , \dots , N . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( y , y ^ { \prime } ) } & { = e ^ { - \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } } \frac { \alpha } { \sqrt { \pi } } e ^ { - \frac { y ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - e ^ { - 2 \beta \hbar \omega } } } \cdot } \\ & { \cdot e ^ { - \frac { e ^ { - 2 \beta \hbar \omega ( y ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) - 2 e ^ { - \beta \hbar \omega } y y ^ { \prime } } } { 1 - e ^ { - 2 \beta \hbar \omega } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle \hat { A } ^ { ( 1 ) } \right\rangle ( t ) = \mathrm { i } \hbar \sum _ { \alpha } ( \pm ) _ { \alpha } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } A _ { \mathbf { p } \alpha } ^ { ( 1 ) } G _ { \mathbf { p } \alpha } ^ { < } ( t ) . } \end{array}
\int \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left( \frac { \tilde { r } H _ { a } ( x ) } { \tilde { \eta } } \frac { \partial \langle \tilde { P } \rangle } { \partial \tilde { r } } \left( \frac { \tilde { z } ^ { 2 } } { 2 } - \tilde { h } \tilde { z } \right) \right) \, d \tilde { z } + \int \frac { \partial \tilde { w } } { \partial \tilde { z } } \, d \tilde { z } = \int 0 \, d \tilde { z } ,