harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { A _ { 1 } } & { { } = 2 \pi \times 2 . 1 4 6 0 , } & { \omega _ { 1 } } & { { } = 0 . 2 1 0 1 \, \Omega , } \\ { A _ { 2 } } & { { } = 2 \pi \times - 0 . 0 7 1 9 , } & { \omega _ { 2 } } & { { } = 1 . 8 9 5 7 \, \Omega , } \\ { B } & { { } = 2 \pi \times - 0 . 6 4 3 2 , } & { \lambda } & { { } = 0 . 6 9 4 1 \Omega , } \\ { \delta _ { 0 } } & { { } = - 1 . 3 6 4 6 \, \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { i j j j j j } ^ { ( 5 ) } ( t ) } & { = \frac { 2 9 \Delta _ { i } ^ { - } ( t ; \mathcal { E } _ { j } ) - 2 6 \Delta _ { i } ^ { - } ( t ; 2 \mathcal { E } _ { j } ) + 9 \Delta _ { i } ^ { - } ( t ; 3 \mathcal { E } _ { j } ) - \Delta _ { i } ^ { - } ( t ; 4 \mathcal { E } _ { j } ) } { 7 2 0 \mathcal { E } _ { j } ^ { 5 } } + O ( \mathcal { E } _ { j } ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 2 } } & { { } = { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 3 2 } \, b ( - k n ) \, x \bigg [ 3 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } - \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\overline { { | T | ^ { 2 } } } = \sum _ { \mathrm { i n i t . \ s p i n s \atop \& \ c o l o r s } } \sum _ { \mathrm { f i n a l \ s p i n s \atop \& \ c o l o r s } } { \frac { | T | ^ { 2 } } { \left( \mathrm { n o . \ o f \ s p i n s \ \& \, a t o p c o l o r s \ i n \ i n i t . \ s t a t e } \right) } }
{ \tilde { \mu } } _ { k + 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { k } + { \beta } _ { k } { \gamma } _ { k } \right) { \nu } _ { k + 1 } \leq { \tilde { \mu } } _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { k } + { \beta } _ { k } { \gamma } _ { k } \right) { \nu } _ { k - 1 } + { \tau } { \sigma } _ { k } \left( \sqrt { { \tilde { \mu } } _ { k } } + \sqrt { { \tilde { \mu } } _ { k + 1 } } \right) \, .
\begin{array} { r } { \! \! \! \Delta _ { 1 , k } ^ { r ( n _ { 0 } ) } = \frac { \lambda _ { s } + \frac { \lambda } { 2 } \Delta _ { 1 , k + 1 } ^ { r ( n _ { 0 } ) } + \frac { \lambda } { 2 } \Delta _ { n _ { 0 } , k + 1 } ^ { r ( n _ { 0 } ) } } { \frac { k \lambda } { n } + \lambda } \leq \frac { \lambda _ { s } + \frac { \lambda } { 2 } \Delta _ { 1 , k + 1 } ^ { r ( n _ { 0 } ) } } { \frac { k \lambda } { n } + \frac { \lambda } { 2 } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A _ { 0 } } & { = 0 } \\ { A _ { k } } & { = A _ { k - 1 } + { \frac { w _ { k } } { W _ { k } } } \left( x _ { k } - A _ { k - 1 } \right) } \\ { Q _ { 0 } } & { = 0 } \\ { Q _ { k } } & { = Q _ { k - 1 } + { \frac { w _ { k } W _ { k - 1 } } { W _ { k } } } \left( x _ { k } - A _ { k - 1 } \right) ^ { 2 } = Q _ { k - 1 } + w _ { k } \left( x _ { k } - A _ { k - 1 } \right) \left( x _ { k } - A _ { k } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbf { T } _ { \boldsymbol { y } } = \mathbf { T } _ { \boldsymbol { x } } + \mathbf { w } _ { 0 } + \mathbf { w } _ { \mathrm { s i n } } \left[ \begin{array} { l } { \sin ( \mathbf { T } _ { \boldsymbol { x } } ) } \\ { \vdots } \\ { \sin ( \frac { N } { 2 } \mathbf { T } _ { \boldsymbol { x } } ) } \end{array} \right] + \mathbf { w } _ { \mathrm { c o s } } \left[ \begin{array} { l } { \cos ( \mathbf { T } _ { \boldsymbol { x } } ) } \\ { \vdots } \\ { \cos ( \frac { N } { 2 } \mathbf { T } _ { \boldsymbol { x } } ) } \end{array} \right] , } \end{array}
w ( M _ { 5 0 0 } , z = 1 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { w _ { \mathrm { G } } } & { M _ { 5 0 0 } \leq M _ { 5 0 0 , \mathrm { p e a k } } } \\ { 1 } & { M _ { 5 0 0 } > M _ { 5 0 0 , \mathrm { p e a k } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { X _ { n + 1 } ^ { 1 } } & { = X _ { n } ^ { 1 } + ( a _ { 1 } s i n ( X _ { t } ^ { 2 } ) + a _ { 2 } \frac { X _ { t } ^ { 1 } } { 1 + | X _ { t } ^ { 1 } | } ) \Delta t + \sigma ^ { 1 } \sqrt { \Delta t } W _ { t } ^ { 1 } } \\ { X _ { n + 1 } ^ { 2 } } & { = X _ { n } ^ { 2 } + ( a _ { 3 } c o s ( X _ { t } ^ { 1 } ) + a _ { 4 } \frac { X _ { t } ^ { 2 } } { 1 + | X _ { t } ^ { 2 } | } ) \Delta t + \sigma ^ { 2 } \sqrt { \Delta t } W _ { t } ^ { 2 } } \end{array}
S _ { \mathrm { t h r o u g h p u t } } = { \frac { Q _ { \mathrm { n e w } } } { Q _ { \mathrm { o l d } } } } = { \frac { 0 . 5 ~ { \mathrm { I P C } } } { 0 . 3 3 ~ { \mathrm { I P C } } } } = 1 . 5 .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { C _ { ~ 1 2 } ^ { 6 } = - k , C _ { ~ 1 3 } ^ { 5 } = - k , C _ { ~ 1 5 } ^ { 3 } = 1 } \\ & { C _ { ~ 1 6 } ^ { 2 } = 1 , ~ C _ { ~ 2 3 } ^ { 4 } = k , ~ C _ { ~ 2 4 } ^ { 3 } = - 1 , } \\ & { C _ { ~ 2 6 } ^ { 1 } = - 1 , ~ C _ { ~ 3 4 } ^ { 2 } = 1 , ~ C _ { ~ 3 5 } ^ { 1 } = - 1 , } \\ & { C _ { ~ 4 5 } ^ { 6 } = - 1 , ~ C _ { ~ 4 6 } ^ { 5 } = 1 , ~ C _ { ~ 5 6 } ^ { 4 } = - 1 . } \end{array} } \end{array}
G _ { \underline { { { 8 } } } } ^ { ( 4 ) } ( Q _ { 1 1 } ) \, = \, - \, \frac { 1 1 } { 4 } \, \langle \overline { { { q } } } q \rangle _ { G } \, \left( \frac { C _ { 1 1 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \right) \, ,
\mathbf { K } _ { k + 1 } = \mathbf { P } _ { k + 1 } ^ { f } \mathbf { H } ^ { T } \left( \mathbf { H } \mathbf { P } _ { k + 1 } ^ { f } \mathbf { H } ^ { T } + \mathbf { R } _ { k + 1 } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) A ^ { T } A y } { \| A y \| \| A y ^ { \prime } \| } \right) ^ { T } ( \| A y ^ { \prime } \| - \| A y \| ) P _ { c } ( y - y ^ { \prime } ) } \\ { = } & { ( \| A y ^ { \prime } \| - \| A y \| ) \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } y ^ { T } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ( I - \frac { c c ^ { T } } { \| c \| ^ { 2 } } ) ( y - y ^ { \prime } ) } { \| A y \| \| A y ^ { \prime } \| } } \\ { \geq } & { - \sqrt { r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } } \| y - y ^ { \prime } \| \frac { \| c \| ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } { r \sqrt { r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } } } \| y - y ^ { \prime } \| } \\ { = } & { - \frac { \| c \| ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } { r } \| y - y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { t o t } } = H _ { \mathrm { S } } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathbf { P } _ { \omega _ { n } } ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } \Big ( \mathbf { X } _ { \omega _ { n } } - \frac { \mathbf { \mu } _ { \omega _ { n } } } { \omega _ { n } ^ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } \right] - \frac { \mathbf { \mu } _ { \omega _ { n } } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { n } ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\mathcal { K } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { K } _ { 1 1 } } & { \mathbf { K } _ { 1 2 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { K } _ { 2 2 } } \end{array} \right] \quad \rightarrow \quad \mathcal { K } - \mathcal { K } ^ { T } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { K } _ { 1 1 } - \mathbf { K } _ { 1 1 } ^ { T } } & { \mathbf { K } _ { 1 2 } } \\ { - \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { T } } & { \mathbf { K } _ { 2 2 } - \mathbf { K } _ { 2 2 } ^ { T } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { B } _ { 5 } = \operatorname* { m i n } ( { \mathrm { B G } _ { 1 } } ) \leq \omega \leq \operatorname* { m a x } ( { \mathrm { B G } _ { 1 } } ) } \\ & { \mathcal { B } _ { 6 } = \operatorname* { m i n } ( { \mathrm { B G } _ { 2 } } ) \leq \omega \leq \operatorname* { m a x } ( { \mathrm { B G } _ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 1 } ( \mathbf { X } _ { 0 } ; t _ { 0 } ) \sim \frac { 1 } { 4 } \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } A ( t ) ^ { 2 } \, d t \left[ \mathbf { e } _ { x } \left( \frac { 1 } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 2 } } - \frac { 2 X _ { 0 } ^ { 2 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) + \mathbf { e } _ { y } \left( - \frac { 2 X _ { 0 } Y _ { 0 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 1 } ^ { \mathrm { e l a s t i c } } ( \nu , Q ^ { 2 } ) - S _ { 1 } ^ { \mathrm { B o r n } } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } & { = } & { \bar { S } _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) - S _ { 1 } ^ { \mathrm { i n e l a s t i c } } ( \nu , Q ^ { 2 } ) = \frac { 2 \pi \alpha } { M } F _ { 2 } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) , } \\ { \left[ \nu S _ { 2 } \right] ^ { \mathrm { e l a s t i c } } ( \nu , Q ^ { 2 } ) - \nu S _ { 2 } ^ { \mathrm { B o r n } } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } & { = } & { \nu \bar { S } _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) - \left[ \nu S _ { 2 } \right] ^ { \mathrm { i n e l a s t i c } } ( \nu , Q ^ { 2 } ) = - 2 \pi \alpha \, F _ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) G _ { M } ( Q ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { \mu } ^ { \sim } } & { \equiv } & { - \left[ \left( u _ { 0 } ^ { \prime } a ^ { \prime \alpha } + u _ { \parallel } ^ { \prime } b ^ { \prime \alpha } \right) \frac { \partial r _ { 1 \mu } ^ { \prime } } { \partial r ^ { \prime \alpha } } + q \frac { 1 } { 2 } r _ { 1 } ^ { \prime \nu } r _ { 1 } ^ { \prime \varsigma } \frac { \partial F _ { \varsigma \mu } ^ { \prime } } { \partial r ^ { \prime \nu } } \right] ^ { \sim } } \\ & { } & { - \left[ \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \beta } } { \partial r ^ { \prime \mu } } \left( u _ { \beta } ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } q F _ { \beta \nu } ^ { \prime } r _ { 1 } ^ { \prime \nu } \right) \right] ^ { \sim } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { | e _ { 2 1 , N } ( x , t , z ) | e ^ { - a t ^ { 1 / 3 } | z | ^ { 2 } } \leq C , } & & { | z | \leq t ^ { 1 / 3 } , } \\ & { | e _ { 3 1 , N } ( t , z ) | e ^ { - a | z | ^ { 3 } } \leq C , } & & { | z | \leq t ^ { 1 / 3 } , } \\ & { | e _ { 3 2 , N } ( x , t , z ) | e ^ { - a t ^ { 1 / 3 } | z | ^ { 2 } } \leq C , } & & { | z | \leq t ^ { 1 / 3 } . } \end{array}
f = \overbrace { \langle { \overline { { f } } } \rangle + \underbrace { \tilde { f } } _ { \begin{array} { c } { \overline { { f } } - \langle { \overline { { f } } } \rangle } \\ { \mathrm { c o h e r e n t } } \\ { \mathrm { f l u c t u a t i o n } } \end{array} } } ^ { \overline { { f } } } + \underbrace { f ^ { \prime \prime } } _ { \begin{array} { c } { f - \overline { { f } } } \\ { \mathrm { i n c o h e r e n t } } \\ { \mathrm { f l u c t u a t i o n } } \end{array} } .
C _ { 0 } = \frac { v _ { 0 } - \mu _ { 2 } y _ { 0 } } { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ D _ { 0 } = - \frac { v _ { 0 } - \mu _ { 1 } y _ { 0 } } { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } .
\gamma _ { \delta _ { t } ( v ) } ( s ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( s ) } & { \mathrm { i f ~ s \in [ 0 , k ] ~ } } \\ { \mathcal { X } _ { i _ { k + 1 } } ( \lambda _ { k + 1 } t ( s - k ) , \Pi _ { { \tilde { U } } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) } & { \mathrm { i f ~ s \in [ k , k + 1 ] ~ , } } \end{array} \right.
H _ { 0 } = - { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { r _ { 1 } } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { r _ { 2 } } ^ { 2 } - { \frac { Z } { r _ { 1 } } } - { \frac { Z } { r _ { 2 } } }
\begin{array} { r } { 0 = \dot { \ell } _ { n _ { 2 } } ( \hat { \theta } _ { n _ { 2 } } ) = \dot { \ell } _ { n _ { 2 } } ( \theta _ { n } ) + \ddot { \ell } _ { n _ { 2 } } ( \theta _ { n } ) ( \hat { \theta } _ { n _ { 2 } } - \theta _ { n } ) + \frac { 1 } { 2 } \dddot { \ell } _ { n _ { 2 } } ( \bar { \theta } _ { n } ) ( \hat { \theta } _ { n _ { 2 } } - \theta _ { n } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } } & { = } & { \int \int \int \Psi ( x , y , z ) \Psi _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } ( x , y , z ) \ d x \ d y \ d z } \\ & { = } & { \int \Psi _ { 1 } ( x ) \exp { \Big ( \frac { i } { \hbar } q x S _ { E , x } \Big ) } \Psi _ { n _ { 1 } } ( x ) \ d x \cdot } \\ & { \cdot } & { \int \Psi _ { 1 } ( y ) \exp { \Big ( \frac { i } { \hbar } q y S _ { E , y } \Big ) } \Psi _ { n _ { 2 } } ( y ) \ d y \cdot } \\ & { \cdot } & { \int \Psi _ { 1 } ( z ) \exp { \Big ( \frac { i } { \hbar } q z S _ { E , z } \Big ) } \Psi _ { n _ { 3 } } ( z ) \ d z } \\ & { = } & { a _ { n _ { 1 } } ^ { 1 D } \cdot a _ { n _ { 2 } } ^ { 1 D } \cdot a _ { n _ { 3 } } ^ { 1 D } , } \end{array}
V ( z ) = [ 1 - { \frac { z } { Q _ { p } } } { \frac { 1 + { \frac { ( Q _ { p } b ) ^ { \frac { n } { 2 } } } { 2 ( x ^ { 2 } + 4 Q _ { p } z ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } } { ( 1 + { \frac { ( Q _ { p } b ) ^ { \frac { n } { 2 } } } { ( x ^ { 2 } + 4 Q _ { p } z ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } ) ^ { 2 } } } ] + { \frac { J _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 m _ { f } Q _ { p } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { { ( 1 + { \frac { ( Q _ { p } b ) ^ { \frac { n } { 2 } } } { ( x ^ { 2 } + 4 Q _ { p } z ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } } ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { D ( a _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ) y ^ { \prime \prime } ( Z ) = \omega ^ { \prime } ( a _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } , \lambda _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ) ( { a } _ { \infty } - a _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ) y ( Z ) + \gamma ( a _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } , \lambda _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ) y ( Z ) ^ { 2 } , } \end{array}
\psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 } = \psi _ { 1 } ^ { i , j } + i \xi ( \psi _ { 1 } ^ { i + 1 , j } - 2 \psi _ { 1 } ^ { i , j } + \psi _ { 1 } ^ { i - 1 , j } ) - i \beta ( V _ { 1 } ^ { j } \psi _ { 2 } ^ { i , j } + V _ { 1 } ^ { j + 1 } \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { Q E D } , 1 } ( R ) } & { = \frac { 8 \alpha } { 3 \pi } \left( \frac { 1 9 } { 3 0 } - 2 \ln \alpha - \ln k _ { 0 } ^ { \mathrm { H e H e } ^ { + } } \right) V _ { \mathrm { D 1 } } ( R ) \ , } \\ { V _ { \mathrm { Q E D } , 2 } ( R ) } & { = - \frac { \alpha } { \pi } \left( \frac { 8 9 } { 1 5 } + \frac { 1 4 } { 3 } \ln \alpha \right) V _ { \mathrm { D 2 } } ( R ) \ , } \end{array}
\operatorname { R e } { \biggl ( } { \frac { \partial f } { \partial { \bar { z } } _ { \lambda } } } { \biggr ) } = { \frac { \partial u } { \partial x _ { \lambda } } } - { \frac { \partial v } { \partial y _ { \lambda } } } = 0 , \ \ \ \ \operatorname { I m } { \biggl ( } { \frac { \partial f } { \partial { \bar { z } } _ { \lambda } } } { \biggr ) } = { \frac { \partial u } { \partial y _ { \lambda } } } + { \frac { \partial v } { \partial x _ { \lambda } } } = 0
j _ { \nu } ^ { 5 } [ s ] = - \bar { s } \gamma _ { \nu } \gamma _ { 5 } s = - \frac { 1 } { 3 } ( \bar { u } \gamma _ { \nu } \gamma _ { 5 } u + \bar { d } \gamma _ { \nu } \gamma _ { 5 } d + \bar { s } \gamma _ { \nu } \gamma _ { 5 } s ) + \frac { 1 } { 3 } ( \bar { u } \gamma _ { \nu } \gamma _ { 5 } u + \bar { d } \gamma _ { \nu } \gamma _ { 5 } d - 2 \bar { s } \gamma _ { \nu } \gamma _ { 5 } s ) \, .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } q + \partial _ { y } \Psi \partial _ { x } q - \partial _ { x } \Psi \partial _ { y } q } & { { } = e - c - \kappa \Delta ^ { 8 } q } \\ { c } & { { } = \frac { 1 } { \tau } ( q - q _ { s } ) \Theta ( q - q _ { s } ) , } \end{array}
C _ { \phantom { 1 2 } 1 2 } ^ { 1 2 } = [ - 2 e f f ^ { \prime \prime } + 3 e f ^ { \prime 2 } - 2 e f k - 3 e ^ { \prime } f f ^ { \prime } + 2 f ^ { 2 } e ^ { \prime \prime } ] / 1 2 e f ^ { 2 }
\langle D _ { 1 } X ( \tau _ { 1 } , \theta _ { 1 } ) X ( \tau _ { 2 } , \theta _ { 2 } ) \rangle = \theta _ { 1 } \dot { \cal G } _ { B 1 2 } - \theta _ { 2 } { \cal G } _ { F 1 2 }
\begin{array} { r l } { T _ { 0 } u _ { \bar { x } } ( 0 , t ) } & { = U ( t - D ) , } \\ { \rho u _ { t t } ( \bar { x } , t ) } & { = T _ { 0 } u _ { \bar { x } \bar { x } } ( \bar { x } , t ) - d _ { c } { u _ { t } } ( \bar { x } , t ) , } \\ { u ( L , t ) } & { = b _ { L } ( t ) , } \\ { M _ { L } \ddot { b } _ { L } ( t ) } & { = - d _ { L } \dot { b } _ { L } ( t ) + T _ { 0 } u _ { \bar { x } } ( L , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \cal S } _ { 0 } } & { = 2 A _ { 0 } + \sqrt { 2 A _ { 0 } } \left( \cos \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( a ) } + 2 \sin \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( b ) } \right) , } \\ { \hat { \cal S } _ { 1 } } & { = 2 A _ { 0 } \sin ( 2 \vartheta ) + \sqrt { 2 A _ { 0 } } \left( \sin \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( a ) } + 2 \cos \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( b ) } \right) , } \\ { \hat { \cal S } _ { 2 } } & { = \sqrt { 2 A _ { 0 } } \left( 2 \cos \vartheta \hat { P } _ { 1 } ^ { ( b ) } - 2 \sin \vartheta \hat { P } _ { 1 } ^ { ( a ) } \right) , } \\ { \hat { \cal S } _ { 3 } } & { = 2 A _ { 0 } \cos ( 2 \vartheta ) + \sqrt { 2 A _ { 0 } } \left( \cos \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( a ) } - 2 \sin \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( b ) } \right) . } \end{array}
F _ { 2 } = \operatorname { t a n h } \left[ \left[ \operatorname* { m a x } \left( \frac { 2 \sqrt { k } } { \beta ^ { * } \omega y } , \frac { 5 0 0 \nu } { y ^ { 2 } \omega } \right) \right] ^ { 2 } \right] \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } \ } & { \left( \varsigma ( x _ { 1 } y _ { 2 } ) + \varsigma ( x _ { 2 } y _ { 1 } ) \right) ^ { 2 } + \left( \varsigma ( x _ { 1 } y _ { 1 } ) - \varsigma ( x _ { 2 } y _ { 2 } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \ \mathrm { ~ s . t . ~ } \ x _ { i } ^ { 2 } = 1 , y _ { j } ^ { 2 } = 1 , \, [ x _ { i } , y _ { j } ] = 0 \mathrm { ~ f o r ~ } i , j = 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ( x _ { s } | x _ { 0 } , x _ { t } ) } & { = \mathcal { N } ( x _ { s } | \mu _ { t \rightarrow s } ( x _ { 0 } , x _ { t } ) , \sigma _ { t \rightarrow s } ^ { 2 } I ) , } \\ { \mu _ { t \rightarrow s } ( x _ { 0 } , x _ { t } ) } & { = \frac { \alpha _ { t | s } \sigma _ { s } ^ { 2 } } { \sigma _ { t } ^ { 2 } } x _ { t } + \frac { \alpha _ { s } \sigma _ { t | s } ^ { 2 } } { \sigma _ { t } ^ { 2 } } x \; \; \mathrm { a n d } \; \; \sigma _ { t \rightarrow s } = \frac { \sigma _ { t | s } \sigma _ { s } } { \sigma _ { t } } , } \end{array}
W _ { n } ^ { \prime \prime } + \left\{ { - { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { \lambda + \nu / 2 } { z } } - { \frac { ( \nu / 2 ) ^ { 2 } - 1 / 4 } { z ^ { 2 } } } } \right\} W _ { n } = 0 .
\begin{array} { r l } { p } & { { } = \mathrm { T r } \left( \Pi \rho \right) = \sum _ { x \in \beth } P ( x ) , } \\ { p _ { \ast } } & { { } = \mathcal { N } ^ { - 1 } \mathrm { T r } \left( \Pi \rho _ { \ast } \right) = \mathcal { N } ^ { - 1 } \sum _ { x \in \beth } P _ { \ast } ( x ) \mathrm { T r } [ \omega _ { \ast } ( x ) ] . } \end{array}
\varepsilon _ { c } = \frac { 3 } { 2 } \hbar \frac { | e | B _ { \mathrm { u p } } } { m _ { e } c } \gamma _ { \mathrm { s y n } } ^ { 2 } = \frac { 9 } { 4 \alpha _ { F } } \frac { E _ { \mathrm { r e c } } } { B _ { \mathrm { u p } } } m _ { e } c ^ { 2 } \approx 1 6 ~ \textrm { M e V } ,
\delta _ { D } ( \hat { { \bf x } } ) = \frac { 1 } { \Delta \hat { x } ^ { 3 } } \phi _ { 4 } ( \hat { \mathrm { x } } ) \phi _ { 4 } ( \hat { \mathrm { y } } ) \phi _ { 4 } ( \hat { \mathrm { z } } ) \ ,
f _ { p } \left( \delta _ { \mathrm { m } } \right) \approx f _ { \mathrm { e } } \pm j \frac { f _ { \mathrm { m } } } { 2 \pi } \left( - 1 \right) ^ { p } \alpha _ { 1 } \sqrt { \delta _ { \mathrm { m } } } .
\Omega _ { R } = E _ { 0 } \langle F | | d | | F ^ { \prime } \rangle \left( \begin{array} { l l l } { F } & { 1 } & { F ^ { \prime } } \\ { - m _ { 1 } } & { \pm 1 } & { m _ { 2 } } \end{array} \right) .
C _ { 7 } ^ { e f f } ( \mu ) = \eta ^ { \frac { 1 6 } { 2 3 } } C _ { 7 } ( m _ { W } ) + \frac { 8 } { 3 } \left( \eta ^ { \frac { 1 4 } { 2 3 } } - \eta ^ { \frac { 1 6 } { 2 3 } } \right) C _ { 8 } ( m _ { W } ) + C _ { 2 } ( m _ { W } ) \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } h _ { i } \eta ^ { a _ { i } }
\begin{array} { r l } { | e ( t _ { n } ) | ^ { 2 } + | e ^ { \prime } ( t _ { n } ) | ^ { 2 } \le } & { C \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \left\{ \displaystyle \frac { k _ { i } ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } - 2 , s \} + 2 } } { r _ { i } ^ { 2 ( s + 1 ) } } \right\} \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { i } } { 2 } \Big ) ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } , s \} - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { i } - s + 1 ) } { \Gamma ( r _ { i } + s - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s + 1 } ( I _ { i } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C \operatorname* { m a x } _ { 1 \le i \le n } \Big \{ \Big ( \displaystyle \frac { k _ { i } } { r _ { i } } \Big ) ^ { 3 } \Big \} \left( \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { i } } { 2 } \Big ) ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } , s \} - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { i } - s + 1 ) } { \Gamma ( r _ { i } + s - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s + 1 } ( I _ { i } ) } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { v a r } ( a ) } & { = { \frac { 3 \sigma ^ { 2 } } { 2 { \sqrt { \pi } } \, \delta _ { X } Q ^ { 2 } c } } } \\ { \operatorname { v a r } ( b ) } & { = { \frac { 2 \sigma ^ { 2 } c } { \delta _ { X } { \sqrt { \pi } } \, Q ^ { 2 } a ^ { 2 } } } } \\ { \operatorname { v a r } ( c ) } & { = { \frac { 2 \sigma ^ { 2 } c } { \delta _ { X } { \sqrt { \pi } } \, Q ^ { 2 } a ^ { 2 } } } } \end{array} }
\frac { H _ { c r } } { G } = \frac { 1 + \nu } { 9 ( 1 - \nu ) } \left( \alpha - \Lambda \right) ^ { 2 } - \frac { 1 + \nu } { 2 } \left( \frac { \tau _ { 2 } } { T } + \frac { \alpha + \Lambda } { 3 } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { n , \pm } ^ { d } } & { { } = \left[ \begin{array} { l } { s _ { \pm } k _ { n } ^ { d } } \\ { q } \end{array} \right] , } \\ { k _ { n } ^ { d } } & { { } = \sqrt { \left( E - \Phi _ { d } \right) ^ { 2 } - \mu _ { n } ^ { 2 } - q ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathcal { C } } ^ { q _ { 1 } } ( k _ { 1 } ) , \ldots , { \mathcal { C } } ^ { q _ { 8 } } ( k _ { 8 } ) , { \mathcal { C } } ^ { \tau } ( k _ { \tau } ) \; . } \end{array}
\# Q _ { k , i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ ( i , j ) = ( 0 , 0 ) ~ a n d ~ k \geq 1 ~ } } \\ { \frac { ( k - 2 ) ( k - 1 ) } { 2 } } & { \mathrm { ~ ( i , j ) = ( 1 , 1 ) ~ a n d ~ k \geq 3 ~ } } \\ { \frac { ( k - 4 ) ( k - 3 ) ( k - 2 ) } { 6 } } & { \mathrm { ~ ( i , j ) = ( 2 , 1 ) ~ a n d ~ k \geq 5 ~ } } \\ { \frac { 3 k ^ { 4 } - 3 0 k ^ { 2 } + 1 1 7 k ^ { 2 } - 2 1 0 k + 1 4 4 } { 2 4 } } & { \mathrm { ~ ( i , j ) = ( 2 , 2 ) ~ a n d ~ k \geq 4 ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { W ( E ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \theta } { 2 \pi i } \frac { \partial } { \partial \theta } \left[ \log \left| \operatorname* { d e t } \left( H ( \theta ) - E \right) \right| \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \sigma _ { r } \left( \left( \omega ^ { j } + \omega ^ { - j } ) \omega ^ { - t j } ( 1 + \omega ^ { t } + \omega ^ { 2 t } + \cdots + \omega ^ { 2 j t } \right) \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \sigma _ { r } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { 2 j } \omega ^ { j - t j + k t } + \sum _ { k = 0 } ^ { 2 j } \omega ^ { - j - t j + k t } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { 2 j } \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \sigma _ { r } \left( \omega ^ { j - t j + k t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \big \langle \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \widetilde { \rho } } = \sum _ { i = 1 } ^ { r } \frac { \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) \vert } { \sum _ { j = 1 } ^ { r } \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( j \right) \vert } \big \langle \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \widetilde { \rho } \left( i \right) } , } \end{array}
| D ( E ) | ^ { 2 } \sim \left( \frac { m _ { \nu } } { E } \right) ^ { 2 } \{ \frac { 1 } { 4 } \cos ^ { 2 } \left( \delta _ { w } E \right) + \left( \frac { 1 } { 2 } - \eta \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \delta _ { w } E \right) \} ,