harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal H } _ { I } = \frac { g } { 2 } \left\{ ( \partial _ { 1 } \phi _ { 1 } + \partial _ { 1 } \phi _ { 2 } - \partial _ { 1 } \phi _ { 3 } ) ^ { 2 } - \lambda ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 2 } - \pi _ { 3 } ) ^ { 2 } \right\} .
\exp \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { a } } \end{array} \right) = \exp ( a ) \, \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
H _ { e f f } = \sum _ { k , \sigma } \xi _ { k } f _ { k , \sigma } ^ { \dag } f _ { k , \sigma } - \frac { U } { N } \sum _ { \substack { k , k ^ { \prime } \, | \xi _ { k } | , | \xi _ { k } ^ { \prime } | < \omega } } f _ { k , \uparrow } ^ { \dag } f _ { - k , \downarrow } ^ { \dag } f _ { k ^ { \prime } , \uparrow } f _ { - k ^ { \prime } , \downarrow } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { V } _ { i } t _ { i } } & { { } = } & { A _ { 1 } \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { K n } \left( \frac { \partial \hat { v } _ { i } } { \partial \hat { x } _ { j } } + \frac { \partial \hat { v } _ { j } } { \partial \hat { x } _ { i } } \right) n _ { i } t _ { j } - A _ { 2 } \left( \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { K n } \right) ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \hat { x } _ { k } } \left( \frac { \partial \hat { v } _ { i } } { \partial \hat { x } _ { k } } + \frac { \partial \hat { v } _ { k } } { \partial \hat { x } _ { i } } \right) t _ { i } } \end{array}
g _ { n m } ^ { a d } ( k , q ) = \sqrt { k _ { B } T } \sum _ { G \neq - q } ^ \bigg [ \frac { \tilde { D } _ { n k } : \tilde { S } _ { l } } { c l \sqrt { \rho } } + \frac { \tilde { D } _ { n k } : \tilde { S } _ { t _ { 1 } } } { c t _ { 1 } \sqrt { \rho } } + \frac { \tilde { D } _ { n k } : \tilde { S } _ { t _ { 2 } } } { c t _ { 2 } \sqrt { \rho } } \bigg ] \langle m k + q | e ^ { i ( q + G ) . r } | n k \rangle
h _ { k } ( \underbrace { x _ { A } , \l , x _ { A } } _ { \mathrm { ~ m ~ t i m e s , } } , \underbrace { x _ { B } , \l , x _ { B } } _ { \mathrm { ~ m ~ t i m e s } } ) = \sum _ { r = 0 } ^ { k } { \binom { r + m - 1 } { r } } { \binom { k - r + m - 1 } { k - r } } x _ { 1 } ^ { r } x _ { 2 } ^ { k - r } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ M ~ S ~ D ~ } ( \tau _ { \ell } ) } & { { } = \left\langle ( \tilde { x } _ { n + \ell } - \tilde { x } _ { n } ) ^ { 2 } \right\rangle = \frac { 2 k _ { B } T } { \kappa } \left\{ \mathcal { F } ( \alpha ) - \left[ \frac { \sinh ( \alpha ) } { \alpha } \right] ^ { 2 } e ^ { - | \tau _ { \ell } | / \tau _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ } } } \right\} \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| \alpha \mathbf { z } ^ { i } \frac { \omega _ { r e f } ^ { 2 } } { ( v ^ { i } ) ^ { 2 } } \Phi ( \mathbf { x } ^ { i } , \mathbf { z } ^ { i } , \mathbf { \omega } ^ { i } , \theta ) + \alpha \mathbf { z } ^ { i } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi ( \mathbf { x } ^ { i } , \mathbf { z } ^ { i } , \mathbf { \omega } ^ { i } , \theta ) } { \partial ( \alpha x ) ^ { 2 } } \right. } \\ { \left. + \alpha \mathbf { z } ^ { i } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi ( \mathbf { x } ^ { i } , \mathbf { z } ^ { i } , \mathbf { \omega } ^ { i } , \theta ) } { \partial ( \alpha z ) ^ { 2 } } + 2 \frac { \partial \Phi ( \mathbf { x } ^ { i } , \mathbf { z } ^ { i } , \mathbf { \omega } ^ { i } , \theta ) } { \partial ( \alpha z ) } + \right. } \\ { \left. \frac { \omega _ { r e f } ^ { 2 } } { ( v ^ { i } ) ^ { 2 } } D ( \mathbf { x } ^ { i } , \mathbf { \omega } ^ { i } ) + 2 \frac { \partial ^ { 2 } D ( \mathbf { x } ^ { i } , \mathbf { \omega } ^ { i } ) } { \partial ( \alpha x ) ^ { 2 } } \right| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \hat { f } _ { k } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ( t ) \hat { f } _ { k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ( 0 ) \rangle _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \eta _ { k } e ^ { - \gamma _ { k } t } , } \\ { \langle \hat { f } _ { k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ( 0 ) \hat { f } _ { k } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ( t ) \rangle _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \eta _ { \bar { k } } ^ { \ast } e ^ { - \gamma _ { k } t } , } \end{array}
T _ { m - 1 } - \theta _ { m - 1 } = T _ { m - 1 } ^ { ( { N _ { * } } ) } - T _ { m - 1 } ^ { ( 0 ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { { N _ { * } } } \underbrace { T _ { m - 1 } ^ { ( i ) } - T _ { m - 1 } ^ { ( i - 1 ) } } _ { = : V _ { m - 1 } ^ { ( i ) } } \, ,
\begin{array} { r l r } { u ( x , t + \Delta t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { \omega = - \infty } ^ { \infty } e ^ { i \omega x } \langle e ^ { i \omega \cdot } , \cos ( L ^ { 1 / 2 } \Delta t ) u ( \cdot , t ) \rangle + } \\ & { } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { \omega = - \infty } ^ { \infty } e ^ { i \omega x } \langle e ^ { i \omega \cdot } , L ^ { - 1 / 2 } \sin ( L ^ { 1 / 2 } \Delta t ) u _ { t } ( \cdot , t ) \rangle , } \end{array}
I _ { 1 } ( \mu , \nu ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \, x ^ { \mu - 1 } e ^ { - \nu x } = \frac 1 { \nu ^ { \mu } } \Gamma ( \mu ) , \, \, \, \, R e ( \mu ) > 0 , \, \, \, R e ( \nu ) > 0
\begin{array} { r } { n \cdot \Delta u = n \cdot \nabla ^ { \perp } \omega = - 2 n \cdot \nabla ^ { \perp } \left( ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \right) = 2 \tau \cdot \nabla \left( ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \right) , } \end{array}
f ( V _ { t r i p } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l r } & { - 2 3 . 1 2 \times 1 0 ^ { - 3 } \cdot V _ { t r i p } + 0 . 4 3 9 } & { \ \ V _ { t r i p } \leq 6 . 7 0 } \\ & { - 8 . 1 4 \times 1 0 ^ { - 3 } \cdot V _ { t r i p } + 0 . 3 3 8 } & { \ \ 6 . 7 0 \leq V _ { t r i p } \leq 1 2 . 7 1 } \\ & { - 0 . 3 8 \times 1 0 ^ { - 3 } \cdot V _ { t r i p } + 0 . 2 4 0 } & { \ \ 1 2 . 7 1 \leq V _ { t r i p } \leq 2 1 . 7 5 } \\ & { 2 . 1 1 \times 1 0 ^ { - 3 } \cdot V _ { t r i p } + 0 . 1 8 5 } & { \ \ 2 1 . 7 5 \leq V _ { t r i p } \leq 6 0 . 0 0 } \end{array} } \end{array} \right.
- d { } ^ { * 6 } G _ { 3 } \wedge \frac { 1 } { H } \, d x ^ { 0 } \wedge \dots d x ^ { 3 } = - 2 i \kappa ^ { 2 } \left[ \frac { \delta { \cal { L } } _ { b } } { \delta B _ { 2 } } - \tau \frac { \delta { \cal { L } } _ { b } } { \delta C _ { 2 } } \right]
\begin{array} { r } { F ^ { * } ( t _ { w } ) = \left( L ^ { * } - { \varepsilon } \frac { c _ { p } } { R } \right) \left\{ \sum _ { j } ^ { N _ { G W } } \left[ \frac { R } { c _ { p } } | \tilde { w } _ { j } ^ { ( 0 ) } | \cos ( \omega _ { j } t _ { w } + \phi _ { j } ) + \omega _ { j } | \tilde { \pi } _ { j } ^ { ( 0 ) } | \sin ( \omega _ { j } t _ { w } + \phi _ { j } ) \right] + \frac { R } { c _ { p } } w _ { 0 0 } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \rho } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) = } & { { } \frac { 1 } { V _ { \textrm { F B Z } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \textrm { F B Z } } ^ { \epsilon _ { i } ^ { \vec { k } } < \epsilon _ { \textrm { F } } } \vec { \psi } _ { i } { ^ { \vec { k } } } ( \vec { r } ) \left( \vec { \psi } _ { i } { ^ { \vec { k } } } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \right) ^ { \dagger } \textrm { d } ^ { 3 } k } \\ { = } & { { } \left( \begin{array} { c c } { \rho ^ { \alpha \alpha } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } & { \rho ^ { \alpha \beta } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } \\ { \rho ^ { \beta \alpha } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } & { \rho ^ { \beta \beta } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { \tilde { m } _ { L } ^ { 2 } + m _ { \tau } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( 2 M _ { W } ^ { 2 } - M _ { Z } ^ { 2 } ) \cos 2 \beta } } & { { m _ { \tau } ( A _ { \tau } m _ { 0 } - \mu \tan \beta ) } } \\ { { m _ { \tau } ( A _ { \tau } m _ { 0 } - \mu \tan \beta ) } } & { { \tilde { m } _ { E } ^ { 2 } + m _ { \tau } ^ { 2 } + ( M _ { W } ^ { 2 } - M _ { Z } ^ { 2 } ) \cos 2 \beta } } \end{array} \right) \nonumber
\int d ^ { 4 } x ^ { \prime } d ^ { 4 } y ^ { \prime } G ( x , x ^ { \prime } ) \partial _ { \mu } ^ { z } \Gamma ^ { \mu } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ; z ) G ( y ^ { \prime } , y ) = \delta ( z - y ) G ( x , z ) - \delta ( x - z ) G ( z , y ) .
{ \frac { d } { d t } } \left( { \frac { \kappa _ { \beta \beta } } { \kappa _ { \alpha \beta } } } \right) = - 2 ( y _ { \beta } ^ { 2 } - y _ { \alpha } ^ { 2 } ) \left[ \eta _ { \alpha \beta } + { \frac { 1 } { 4 } } \right] \left( { \frac { \kappa _ { \beta \beta } } { \kappa _ { \alpha \beta } } } \right) .
G ^ { c } = \epsilon _ { 0 } \psi ^ { 0 } - { \dot { \epsilon } _ { 0 } } \phi ^ { 0 } + \epsilon _ { p } ( \phi ^ { p } + F _ { \beta q } F ^ { q p } \phi ^ { \beta } + \lambda _ { q } F ^ { q p } \phi ^ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } & { \left( 1 - 1 4 \left( C _ { 1 } \sqrt { \frac { \log n } { n p } } + C _ { 3 } \sigma \left( \frac { \log n } { n p } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \right) \right) \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } } \\ & { \leq \frac { 2 } { \sqrt { n } } \left( C _ { 1 } + C _ { 3 } \sigma \sqrt { \frac { \log n } { n p } } \right) \frac { 9 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { \sqrt { n p } } + \frac { 1 4 } { \sqrt { n } } \left( C _ { 1 } \sqrt { \frac { \log n } { n p } } + C _ { 3 } \sigma \left( \frac { \log n } { n p } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \right) } \\ & { \quad + \frac { 2 6 C _ { 0 } + 2 C _ { 5 } } { \sqrt { n } } \frac { \sqrt { \log n } + \sigma \sqrt { d } + \sigma \sqrt { \log n } } { \sqrt { n p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { s } ^ { r } C ( \Lambda _ { 0 } ) \rho ^ { - \frac { n } { q _ { 0 } } } \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \rho } ( x ) ) } { \rho ^ { n } } \right) ^ { \frac { q _ { 0 } - 1 } { q _ { 0 } } } } & { \geq - \int _ { s } ^ { r } C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \rho ^ { - \frac { n } { q _ { 0 } } } \left( 1 + \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \rho } ( x ) ) } { \rho ^ { n } } \right) } \\ & { \geq - \int _ { s } ^ { r } C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \rho ^ { - \frac { n } { q _ { 0 } } } \left( 1 + C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) + \frac { \phi ( \varepsilon ) } { \rho ^ { n } } \right) } \\ & { \geq - C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \left( r ^ { 1 - \frac { n } { q _ { 0 } } } - s ^ { 1 - \frac { n } { q _ { 0 } } } \right) } \\ & { - C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \phi ( \varepsilon ) \left( r ^ { 1 - n - \frac { n } { q _ { 0 } } } - s ^ { 1 - n - \frac { n } { q _ { 0 } } } \right) . } \end{array}
\boldsymbol { F } _ { E } \equiv \frac { 1 } { 2 } \sin 2 \theta \cos 2 \theta | \boldsymbol { \nabla } ( \Delta \phi ) | ^ { 2 } \boldsymbol { \nabla } \theta - \left[ \sin 2 \theta \cos 2 \theta \boldsymbol { \nabla } ( \Delta \phi ) \cdot \boldsymbol { \nabla } \theta + \frac 1 4 \sin ^ { 2 } 2 \theta \nabla ^ { 2 } ( \Delta \phi ) \right] \boldsymbol { \nabla } ( \Delta \phi ) ,
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \nu - \beta \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \alpha + \nu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta + \nu \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \alpha + 2 \beta - \nu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \nu - \beta \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 3 } \rho ^ { 3 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \alpha + \nu \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i ( X _ { 2 } ^ { [ N _ { 2 } ] } ; Y _ { 2 } ^ { [ N _ { 2 } ] } ) = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 1 } } \log \left( \frac { P _ { X _ { 2 , 1 } | Y _ { 2 , 1 } } ( x _ { 2 } [ j ] | y _ { 2 } [ j ] ) } { P _ { X _ { 2 , 1 } } ( x _ { 2 } [ j ] ) } \right) + \sum _ { j = N _ { 1 } + 1 } ^ { N _ { 2 } } \log \left( \frac { P _ { X _ { 2 , 2 } | Y _ { 2 , 2 } } ( x _ { 2 } [ j ] | y _ { 2 } [ j ] ) } { P _ { X _ { 2 , 2 } } ( x _ { 2 } [ j ] ) } \right) } \\ { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 1 } } \log \left( \frac { \sum _ { x _ { 1 } [ j ] \in \mathcal { X } _ { 1 } } P _ { Y _ { 2 , 1 } | X _ { 1 } , X _ { 2 , 1 } } ( y _ { 2 } [ j ] | x _ { 2 } [ j ] , x _ { 1 } [ j ] ) } { \sum _ { x _ { 2 } [ j ] \in \mathcal { X } _ { 2 , 1 } } \sum _ { x _ { 1 } [ j ] \in \mathcal { X } _ { 1 } } P _ { Y _ { 2 , 1 } | X _ { 1 } , X _ { 2 , 1 } } ( y _ { 2 } [ j ] | x _ { 2 } [ j ] , x _ { 1 } [ j ] ) P _ { X _ { 2 , 1 } } ( x _ { 2 } [ j ] ) } \right) } \\ & { + \sum _ { j = N _ { 1 } + 1 } ^ { N _ { 2 } } \log \left( \frac { P _ { Y _ { 2 , 2 } | X _ { 2 , 2 } } ( y _ { 2 } [ j ] | x _ { 2 } [ j ] ) } { \sum _ { x _ { 2 } [ j ] \in \mathcal { X } _ { 2 , 2 } } P _ { Y _ { 2 , 2 } | X _ { 2 , 2 } } ( y _ { 2 } [ j ] | x _ { 2 } [ j ] ) P _ { X _ { 2 , 2 } } ( x _ { 2 } [ j ] ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { k _ { 1 } ^ { ( a ) } = k _ { 1 } ^ { ( a ) } - C ^ { 1 / 2 } H _ { 2 } ^ { - M _ { a \digamma } } \left( H _ { 1 } ^ { A _ { a \digamma } } f _ { 1 } ^ { ( \digamma ) } e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } + H _ { 1 } ^ { - A _ { a \digamma } } e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } f _ { 1 } ^ { ( \digamma ) } \right) H _ { 1 } ^ { k _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } } , } \\ & { k _ { - 1 } ^ { ( a ) } = k _ { - 1 } ^ { ( a ) } - C ^ { - 1 / 2 } H _ { 2 } ^ { M _ { a \digamma } } \left( H _ { 1 } ^ { A _ { a \digamma } } e _ { - 1 } ^ { ( \digamma ) } f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } + H _ { 1 } ^ { - A _ { a \digamma } } f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } e _ { - 1 } ^ { ( \digamma ) } \right) H _ { 1 } ^ { - k _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } } . } \end{array}
u ^ { \prime \prime } ( x ) = - \frac { \rho _ { P } ^ { \prime } } { \rho _ { P } ^ { 2 } } ( x ) h ( x ) \frac { \rho _ { P } } { \rho _ { P } ^ { \prime } } ( x ) \rho _ { P } ( x ) - \frac { \rho _ { P } ^ { \prime } } { \rho _ { P } ^ { 2 } } ( x ) \int _ { x } ^ { + \infty } \rho _ { P } ( t ) \Bigg ( h \frac { \rho _ { P } } { \rho _ { P } ^ { \prime } } \Bigg ) ^ { \prime } ( t ) d t = - h ( x ) - R _ { 2 } ( x )
F _ { \mathrm { { r } } } ( \theta ) = \frac { 1 } { 2 \cos { \theta _ { \mathrm { { i } } } } } \sum _ { n } r _ { n } ( \theta _ { \mathrm { { i } } } ) ( \cos ( \theta _ { \mathrm { r } n } ) + \cos ( \theta ) ) \mathrm { s i n c } ( k a _ { \mathrm { e f } \emph { n } } ) ,
{ \cal M } _ { \sigma , \bar { \sigma } ; \lambda , \lambda ^ { \prime } } ( \Theta ) = 4 \sqrt { 2 } \: e ^ { 2 } \: \: d _ { \Delta \sigma , \Delta \lambda } ^ { \mathrm { m a x } ( | \Delta \sigma | , | \Delta \lambda | ) } ( \Theta ) \left[ { \frac { ( g _ { \Delta \sigma } ) ^ { 2 } { A } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ( \Theta ) } { 4 \beta ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \Theta + \gamma ^ { - 4 } } } + \sum _ { i = 4 , 5 } \gamma ^ { 2 } ( g _ { \Delta \sigma } f _ { i } ^ { Z } - f _ { i } ^ { \gamma } ) { A } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ^ { ( i ) } \right] \; .
\begin{array} { r l } { T ^ { 0 0 } } & { = \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } \lvert E \rvert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } \lvert B \rvert ^ { 2 } , } \\ { T ^ { 0 i } } & { = T ^ { i 0 } = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } ( E \times B ) ^ { i } , } \\ { T ^ { i j } } & { = c ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } \left( \frac { 1 } { 2 } \lvert E \rvert ^ { 2 } \delta ^ { i j } - E ^ { i } E ^ { j } \right) + \frac { c ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } } \left( \frac { 1 } { 2 } \lvert B \rvert ^ { 2 } \delta ^ { i j } - B ^ { i } B ^ { j } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { B ^ { + } } ( x ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { ( ( - 1 ) ^ { k } x + 2 k L ) - x _ { 0 } } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { - 2 L + 2 k L } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 2 ( k - 1 ) L } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 2 k L } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace ^ { k ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { 1 } = - \frac { | { \bf m } | b } { m _ { 2 } } \cos \phi t \sin ( k t + k _ { 0 } ) + \left[ \frac { m _ { 2 } c } { { \bf m } ^ { 2 } } - \frac { m _ { 3 } b } { m _ { 2 } } \cos ( k t + k _ { 0 } ) \right] \sin \phi t , } \\ { \gamma _ { 2 } = \frac { | { \bf m } | b } { m _ { 2 } } \sin \phi t \sin ( k t + k _ { 0 } ) + \left[ \frac { m _ { 2 } c } { { \bf m } ^ { 2 } } - \frac { m _ { 3 } b } { m _ { 2 } } \cos ( k t + k _ { 0 } ) \right] \cos \phi t , } \\ { \gamma _ { 3 } = b \cos ( k t + k _ { 0 } ) + \frac { m _ { 3 } c } { { \bf m } ^ { 2 } } . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad } \end{array}
w _ { k } = \frac { \delta f \left( t , \boldsymbol { x } _ { k } \left( t \right) , \boldsymbol { p } _ { k } \left( t \right) \right) } { f \left( t , \boldsymbol { x } _ { k } \left( t \right) , \boldsymbol { p } _ { k } \left( t \right) \right) } = 1 - \frac { f _ { 0 } \left( t , \boldsymbol { x } _ { k } \left( t \right) , \boldsymbol { p } _ { k } \left( t \right) \right) } { f \left( 0 , \boldsymbol { x } _ { k } \left( 0 \right) , \boldsymbol { p } _ { k } \left( 0 \right) \right) } ,
\gamma _ { 2 } ^ { c } ( \gamma _ { 1 } ) = \frac { - h _ { 2 } ( 1 - h _ { 1 } ) } { h _ { 1 } ( 1 - h _ { 2 } ) } \gamma _ { 1 } - \frac { 2 h _ { 2 } } { ( 1 - h _ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { M _ { n } ^ { * } = } & { \ \textrm { m i n } \{ \textrm { m a x } \{ 3 ^ { - \frac { 1 } { 2 } } 2 ^ { \frac { 1 } { 3 } } \rho ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \kappa ^ { - \frac { 1 } { 6 } } m _ { c , 0 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \beta _ { 1 } ^ { - \frac { 1 } { 3 } } \beta _ { 2 } ^ { - \frac { 1 } { 6 } } \beta _ { 3 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } m _ { a , 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - m _ { a , 1 } , M _ { n } ^ { m i n } \} , M _ { n } ^ { m a x } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ( { \bf x } ) } & { = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } \bar { F } ^ { p * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \\ { v _ { 3 } ( { \bf x } ) } & { = } & { - \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } \bar { F } ^ { v * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \end{array}
\! \! \prod _ { a } \beta _ { a } ^ { - \mathrm { i } M _ { a } ^ { z \bar { z } } } f ( { \bf X } ) = \prod _ { a } \beta _ { a } ^ { - \lambda _ { a } } f ( { \bf X } ( \beta ) ) \, , \quad \! \! e ^ { - q ( \zeta ^ { 2 } \bar { \zeta } + b \zeta ) } f ( \zeta ) = ( 1 + q \zeta ) ^ { - b } f \Bigl ( \frac { \zeta } { 1 + q \zeta } \Bigr ) \, ,
Z _ { \; \; \alpha _ { L } } ^ { \alpha _ { L - 1 } } Z _ { \; \; \alpha _ { L + 1 } } ^ { \alpha _ { L } } = C _ { \alpha _ { L + 1 } } ^ { \alpha _ { L - 1 } \beta _ { 0 } } \frac { \delta S _ { 0 } } { \delta \Phi ^ { \beta _ { 0 } } } , \; \alpha _ { L + 1 } = 1 , \cdots , M _ { L + 1 } ,
\begin{array} { r l r } { \rho } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 r ^ { 4 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) } \left\lbrace \alpha e ^ { \mu ( - r ) } \left( 6 r ^ { 2 } e ^ { \mu r } \left( 3 r ^ { 2 } + r ( { r _ { 0 } } - 3 ) - 3 { r _ { 0 } } \right) - { r _ { 0 } } e ^ { \mu { r _ { 0 } } } \left( 6 ( \mu + 2 ) r ^ { 3 } \right. \right. \right. } \end{array}
I _ { \mathrm { ~ w ~ , ~ m ~ a ~ x ~ } } = I _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ 2 ~ } } - \frac { \Delta V + \Delta V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ , ~ p ~ - ~ 2 ~ - ~ p ~ } } } { 2 R _ { \mathrm { ~ o ~ s ~ c ~ } } } \quad ( \mathrm { ~ m ~ A ~ } )
d _ { z } ( A , B ) = \left\{ \begin{array} { c l } { 0 } & { \quad \textrm { i f } ( z _ { 0 } ^ { A } - z _ { 1 } ^ { B } ) < 0 \textrm { a n d } ( z _ { 1 } ^ { A } - z _ { 0 } ^ { B } ) < 0 } \\ { \operatorname* { m i n } ( | z _ { 0 } ^ { A } - z _ { 1 } ^ { B } | , | z _ { 1 } ^ { A } - z _ { 0 } ^ { B } | ) } & { \quad \textrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\left( \frac 1 2 , 1 \right) , \left( \frac 1 2 , 2 \right) , \left( \frac 3 2 , 0 \right) , \left( \frac 3 2 , 1 \right) , \left( \frac 3 2 , 2 \right) , \left( \frac 3 2 , 3 \right) , \ldots \ .
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { e f f } } ( t ) } & { { } = ( V , E _ { \mathrm { e f f } } ( t ) ) \, , } \\ { E _ { \mathrm { e f f } } ( t ) } & { { } = \{ ( i , j ) \in E \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } | x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) | < c _ { i j } ( t ) \} \, . } \end{array}
C ( q ) = \left( \begin{array} { l } { \vdots } \\ { C _ { \tau } ^ { [ \mathcal { T } ] } } \\ { \vdots } \\ { C _ { \kappa } ^ { [ K ] } } \\ { \vdots } \\ { C _ { j } ^ { [ \mathcal { G } ] } } \\ { \vdots } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \vdots } \\ { \frac { 1 } { 2 } p _ { \tau } ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { 2 } p _ { \kappa } ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { 2 } g _ { j } ^ { 2 } } \\ { \vdots } \end{array} \right) .
\begin{array} { c } { \kappa _ { c r } = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } \left[ \left( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } \right) ( \eta - 1 ) + 1 \right] , } & { \eta \le 1 } \\ { \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \left( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } \right) \left( \frac { 1 } { \eta } - 1 \right) + 1 } , } & { \eta \ge 1 } \end{array} \right. } \\ { \kappa _ { c \theta } = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \left( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } \right) ( \eta - 1 ) + 1 } , } & { \eta \le 1 } \\ { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } \left[ \left( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } \right) \left( \frac { 1 } { \eta } - 1 \right) + 1 \right] , } & { \eta \ge 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\left\langle a \right| N \left( \psi _ { L } ^ { \dagger } \psi _ { L } \psi _ { R } ^ { \dagger } \psi _ { R } \right) \varepsilon ^ { L _ { 0 } + \overline { { { L } } } _ { 0 } } \left| B , a \right\rangle = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \left| z \right| ^ { 2 } } \left( \frac { \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \alpha \log \left| z \right| } { 2 \varepsilon } \right) } { \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \log \left| z \right| } { \varepsilon } \right) } - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } \right) .
\forall \mathbf { \hat { a } } ^ { \dag } \quad \lVert \mathbf { t } _ { 1 } \rVert ^ { 4 } \lvert \hat { a } _ { 1 } \rvert ^ { 4 } + \lVert \mathbf { t } _ { 2 } \rVert ^ { 4 } \lvert \hat { a } _ { 2 } \rvert ^ { 4 } = \lvert \mathbf { \hat { a } } ^ { \dag } \mathbf { u } _ { 1 } \rvert ^ { 4 } + \lvert \mathbf { \hat { a } } ^ { \dag } \mathbf { u } _ { 2 } \rvert ^ { 4 } .