harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
I \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \, \partial _ { x } \theta ( x ) \exp \left[ { \frac { i } { \hbar } } \int _ { a _ { 1 } } ^ { x } d x \, p _ { 1 } ( x ) - { \frac { i } { \hbar } } \int _ { a _ { 2 } } ^ { x } d x \, p _ { 2 } ( x ) \right] .
\mathrm { s a t } _ { \Theta } ( s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { s , \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 0 \leq s \leq { \Theta } , } \\ { - \frac { 1 } { 2 } s ^ { 2 } + ( { \Theta } + 1 ) s - \frac { 1 } { 2 } { \Theta } ^ { 2 } , \; \; \; { \Theta } < s \leq { \Theta } + 1 , } \\ { { \Theta } + \frac { 1 } { 2 } , \qquad \qquad \qquad \qquad \quad s > { \Theta } + 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \chi _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } } & { { } = } & { \omega _ { 2 } + \omega _ { 3 } ; \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = ( 1 - f ) \chi _ { h } ^ { ( 2 ) } + } \end{array}
M v = ( M _ { 1 1 } v _ { 1 } + M _ { 1 2 } v _ { 2 } + \ldots + M _ { 1 N } v _ { N } , M _ { 2 1 } v _ { 1 } + M _ { 2 2 } v _ { 2 } + \ldots + M _ { 2 N } v _ { N } , \ldots , M _ { N 1 } v _ { 1 } + M _ { N 2 } v _ { 2 } + \ldots + M _ { N N } v _ { N } ) ^ { T }
g ^ { ( 1 ) } ( s / m ^ { 2 } ) U ( s / \mu ^ { 2 } ) = g ^ { ( 1 ) } ( s / m ^ { 2 } ) - g ^ { ( 1 ) } ( s / m ^ { 2 } ) \left[ \left( \frac { \alpha } { 2 \pi } \right) \int _ { \mu ^ { 2 } } ^ { s } \frac { d k _ { \perp } ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \ln ( s / k _ { \perp } ^ { 2 } ) \right] U ( s / k _ { \perp } ^ { 2 } )
\phi ( \mathbf { x } , t ) = \int { \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \omega _ { \mathbf { p } } } } } \left( a _ { \mathbf { p } } e ^ { - i \omega _ { \mathbf { p } } t + i \mathbf { p } \cdot \mathbf { x } } + a _ { \mathbf { p } } ^ { * } e ^ { i \omega _ { \mathbf { p } } t - i \mathbf { p } \cdot \mathbf { x } } \right) ,
\begin{array} { r l } { J _ { i } ( \theta _ { i } , \lambda ) } & { = R ( - \theta _ { i } ) \cdot J _ { M _ { i } } ( \lambda ) \cdot R ( \theta _ { i } ) } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { c o s ( \theta _ { i } ) } & { - s i n ( \theta _ { i } ) } \\ { s i n ( \theta _ { i } ) } & { c o s ( \theta _ { i } ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { t _ { i p } ( \lambda ) } & { 0 } \\ { 0 } & { t _ { i s } ( \lambda ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { c o s ( \theta _ { i } ) } & { s i n ( \theta _ { i } ) } \\ { - s i n ( \theta _ { i } ) } & { c o s ( \theta _ { i } ) } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { n \in \{ - N , \ldots , N \} \setminus \{ \ell \} } \frac { \pi } { 2 } | \widehat { H _ { T } } ( \lambda _ { n } - \lambda _ { \ell } ) | } & { \leq } & { \sum _ { n \in \{ - N , \ldots , N \} \setminus \{ \ell \} } \frac { 1 } { 4 T ^ { 2 } | \lambda _ { n } - \lambda _ { \ell } | ^ { 2 } - 1 } } \\ & { \leq } & { \frac { 2 } { T ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 4 m ^ { 2 } - 1 } = \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { + \infty } \left( \frac { 1 } { 2 m - 1 } - \frac { 1 } { 2 m + 1 } \right) = \frac { 1 } { T ^ { 2 } } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { \Phi ^ { 5 } } } \\ { { \Phi ^ { \mu } } } \end{array} \right) = S ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { { D ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { ( D ^ { \mu \nu } ) ^ { - 1 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \Psi ^ { 5 } } } \\ { { \Psi ^ { \nu } } } \end{array} \right) .
g _ { A } = 1 . 2 6 7 , \quad F _ { \pi } = 9 2 . 4 \, \mathrm { M e V } , \quad m _ { N } = m _ { p } = 9 3 8 . 3 \, \mathrm { M e V } , \quad M _ { \pi } = M _ { \pi ^ { + } } = 1 3 9 . 6 \, \mathrm { M e V } .
\textnormal { e r f } ( Z \! R ) \simeq 1 - ( a _ { 1 } t + a _ { 2 } t ^ { 2 } + a _ { 3 } t ^ { 3 } + a _ { 4 } t ^ { 4 } + a _ { 5 } t ^ { 5 } ) e ^ { - Z \! R ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { t ^ { \prime } } & { { } = t , } \\ { x ^ { \prime } } & { { } = \left( x - X \right) \left( 1 - \frac { \mu } { M } \frac { t - T } { t _ { 0 } - T } \right) ^ { - 1 } + X , } \\ { T } & { { } = t _ { 0 } + \Delta \cdot s i g n ( t - t _ { 0 } ) , } \\ { X } & { { } = \frac { x _ { 0 } } { M } + \frac { c } { M } ( t - t _ { 0 } ) + s i g n ( x - x _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \omega \overset { . } { _ { 1 } } \right) ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \right) e ^ { 2 } , } \\ { \left( \omega \overset { . } { _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \right) e ^ { 2 } , } \\ { \left( \omega \overset { . } { _ { 3 } } \right) ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) e ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { J ( x _ { 2 } ^ { * } , 1 ) = \left[ { \begin{array} { c c } { \frac { c } { \varepsilon } ( M - 1 - x _ { 2 } ^ { * } ( N - 1 ) ) } & { \frac { c } { \varepsilon } x _ { 2 } ^ { * } ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } ) } \\ { 0 } & { - \frac { 1 - e ^ { \beta ( x _ { 2 } ^ { * } - T ) } } { 1 + e ^ { \beta ( x _ { 2 } ^ { * } - T ) } } } \end{array} } \right] , } \end{array}
\frac { \delta S } { \delta q _ { i } } = 0 \rightarrow \ddot { q } _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial \dot { q } _ { j } \partial \dot { q } _ { i } } = \frac { \partial L } { \partial q _ { i } } - \dot { q } _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial q _ { j } \partial \dot { q } _ { i } } \, .
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 ^ { n } } { 3 ^ { n + 1 } } } = { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 2 } { 9 } } + { \frac { 4 } { 2 7 } } + { \frac { 8 } { 8 1 } } + \cdots = { \frac { 1 } { 3 } } \left( { \frac { 1 } { 1 - { \frac { 2 } { 3 } } } } \right) = 1 .
a _ { f } = \frac { 1 0 9 } { 4 } - \frac { 1 5 } { 2 \lambda ^ { ( 1 ) } } \left( \lambda ^ { ( 1 ) 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right) - \left( \lambda ^ { ( 2 ) 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right) \eta ^ { ( 2 ) } ( \eta ^ { ( 2 ) } - 2 c _ { 1 } ( B ) ) ,
{ \cal L } _ { R e } = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { D } x \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } T r \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d \tau } { \tau } } \{ e ^ { - \tau { \cal D ^ { \prime } } ^ { \dag } { \cal D } ^ { ' } } - e ^ { - \tau \Delta _ { 0 } } \} ,
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d \xi } { \xi } \frac { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } f _ { q } ( \xi ) } { ( \frac { x } { \xi } ) ^ { 2 } - 1 - i \epsilon } , } \\ { T _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { 8 \frac { M ^ { 2 } x ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d \xi } { \xi } \frac { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } f _ { q } ( \xi ) } { ( \frac { x } { \xi } ) ^ { 2 } - 1 - i \epsilon } . } \end{array}
\mathcal { C } ( t _ { s } ^ { \prime } ) = \sqrt { \frac { 2 \pi i } { \partial ^ { 2 } S ( \mathbf { \tilde { p } } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t , t _ { s } ^ { \prime } ) / \partial t _ { s } ^ { 2 } } } \langle \mathbf { p } + \mathbf { A } ( t _ { s } ^ { \prime } ) | H _ { I } ( t _ { s } ^ { \prime } ) | \psi _ { 0 } \rangle ,
\left| \tan \Phi _ { \chi _ { 2 } } \right| \; \ge \; { \frac { 1 + v ^ { 2 } \sqrt { 5 / 3 } } { v ^ { 2 } \sqrt { N 5 / 3 } } } \, { \frac { g ( x _ { 1 } ) } { \Delta g ( x _ { 1 } ) } } .
\frac { { \mathrm { d } } G _ { L } ^ { \mathrm { S } } ( n , P ^ { 2 } , M ^ { 2 } ) } { { \mathrm { d } } \ln M ^ { 2 } } = \frac { \alpha _ { s } ( M } { 2 \pi } \left[ P _ { G G } ^ { ( 0 ) } ( n ) G _ { L } ^ { \mathrm { S } } ( n , P ^ { 2 } , M ^ { 2 } ) + P _ { G q } ^ { ( 0 ) } ( n ) q _ { L } ^ { \mathrm { N S } } ( n , P ^ { 2 } , M ^ { 2 } ) \right] .
\begin{array} { r l } { k _ { B } T _ { p } ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { 3 N } \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } v f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { v } , t ) m \boldsymbol { v } ^ { 2 } } \end{array}
\mathrm { r e g i m e ~ } 1 ^ { + } : \left\{ \begin{array} { l l } { { \alpha = \frac { 2 ( L - 2 ) } { 3 L } } } & { { L \mathrm { ~ e v e n } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \delta = \frac { 3 L } { L + 4 } } } & { { L \mathrm { ~ o d d } } } \end{array} \right. \qquad \mathrm { r e g i m e ~ } 2 ^ { + } : \left\{ \begin{array} { l l } { { \alpha = \frac { 2 ( L + 4 ) } { 3 ( L + 2 ) } } } & { { L \mathrm { ~ e v e n } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \delta = \frac { 3 ( L + 2 ) } { L - 2 } } } & { { L \mathrm { ~ o d d } . } } \end{array} \right.
{ \mathcal { L } } = - \frac { 1 } { 4 } \int { \mathrm { d } } y \; \Big \{ F ^ { M N } F _ { M N } + \big [ a _ { 0 } \delta _ { 0 } + a _ { \pi } \delta _ { \pi } \big ] F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } \Big \} ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \mu _ { A } ( \tau ) } & { = \alpha k _ { 1 A } - k _ { 2 A } \mu _ { A } ( \tau ) - \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) } \\ { \partial _ { \tau } \mu _ { B } ( \tau ) } & { = \alpha k _ { 1 B } - k _ { 2 B } \mu _ { B } ( \tau ) - \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) } \\ { \partial _ { \tau } \mu _ { C } ( \tau ) } & { = \alpha k _ { 1 C } - k _ { 2 C } \mu _ { C } ( \tau ) + \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) } \end{array}
\Phi _ { 1 } ^ { \mathrm { c r i t } } = \frac { 1 } { 2 } \operatorname { a r c c o s } ( - \lambda ) \in [ 0 , \pi / 2 ] , \qquad \Phi _ { 2 } ^ { \mathrm { c r i t } } = \pi - \Phi _ { 1 } ^ { \mathrm { c r i t } } \in [ \pi / 2 , \pi ] .
a ( \tau ) = - \sinh ^ { 2 } \tau \mathrm { ~ a n d ~ } b ( \sigma , \tau ) = - \frac { \left( \sinh \tau - 1 \right) ^ { 2 } \left( \cosh \tau - \cos \sigma \right) ^ { 2 } } { \rho _ { g } ^ { 2 } \left( \sinh \tau + 1 \right) ^ { 6 } } ,
\begin{array} { r l } { 0 \leq U _ { 0 } ^ { g - a } 1 ( x _ { 0 } ) } & { \leq \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { x \in E } \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } ( g ( X _ { s } ) - a ) d s } \right] d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \operatorname* { s u p } _ { x \in E } \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } ( g ( X _ { s } ) - a ) d s } \right] d t + \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { x \in E } \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } ( g ( X _ { s } ) - a ) d s } \right] d t } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } e ^ { t ( \Vert g \Vert - a ) } d t + \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } e ^ { t ( r ( g ) - a + \varepsilon ) } d t < \infty , } \end{array}
s ( x , y ) = \frac { 1 - \nu ^ { 2 } } { \pi E } \int _ { y _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \int _ { x _ { \mathrm { ~ m ~ } } } { \sigma _ { 0 } ( x _ { \mathrm { ~ m ~ } } , y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) } f _ { \mathrm { ~ n ~ l ~ } } ( x , y ; x _ { \mathrm { ~ m ~ } } , y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) \mathrm { ~ d ~ } x _ { \mathrm { ~ m ~ } } \mathrm { ~ d ~ } y _ { \mathrm { ~ m ~ } }
\begin{array} { r } { S _ { n } ^ { [ s ] } = \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } W _ { 1 } ^ { [ s ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell + 1 } \alpha _ { n } ^ { j } Z _ { 1 , j } ^ { [ s ] } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } W _ { \ell } ^ { [ s ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell + 1 } \alpha _ { n } ^ { j } Z _ { \ell , j } ^ { [ s ] } } \end{array} \right] , } \end{array}
\psi _ { \mathrm { b b } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = - \frac { 8 \sqrt { 2 } \gamma ^ { 2 } \kappa \left( e ^ { 2 \gamma \tau _ { 1 } } - e ^ { \kappa \tau _ { 1 } } \right) e ^ { - 2 \tau _ { 1 } ( \gamma + \kappa ) - \tau _ { 2 } ( 2 \gamma + \kappa ) } \left( e ^ { 2 \gamma \tau _ { 1 } + \kappa \tau _ { 2 } } - e ^ { \kappa \tau _ { 1 } + 2 \gamma \tau _ { 2 } } \right) } { ( \kappa - 2 \gamma ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { | \operatorname { t r } ( A U ) | } & { { } = \left| \operatorname { t r } \left( \sum _ { j } s _ { j } ( A ) | a _ { j } \rangle \! \langle b _ { j } | \, \, \sum _ { k } | b _ { k } \rangle \! \langle w _ { k } | \right) \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { 0 < { \varepsilon } \leq { \varepsilon } _ { 0 } } { \varepsilon } ^ { 1 - \beta } \int _ { { \varepsilon } ^ { \kappa } + { \varepsilon } } ^ { 1 / 2 } \operatorname* { s u p } _ { D ( { \varepsilon } ^ { \kappa } , { \varepsilon } , x ) } g ^ { \prime } \, \mathrm { d } \lambda _ { I } ( x ) } & { \lesssim \operatorname* { s u p } _ { 0 < { \varepsilon } \leq { \varepsilon } _ { 0 } } { \varepsilon } ^ { 1 - \beta } \int _ { { \varepsilon } ^ { \kappa } + { \varepsilon } } ^ { 1 / 2 } ( x - { \varepsilon } ) ^ { - a + \alpha - 1 } + ( x - { \varepsilon } ) ^ { - b + \alpha } \, \mathrm { d } \lambda _ { I } ( x ) } \\ & { \lesssim \operatorname* { s u p } _ { 0 < { \varepsilon } \leq { \varepsilon } _ { 0 } } { \varepsilon } ^ { 1 - \beta } \int _ { { \varepsilon } ^ { \kappa } } ^ { 1 / 2 } x ^ { \bar { \alpha } - 1 } \, \mathrm { d } \lambda _ { I } ( x ) } \\ { \ } & { \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { s u p } _ { 0 < { \varepsilon } \leq { \varepsilon } _ { 0 } } { \varepsilon } ^ { 1 - \beta + \kappa \bar { \alpha } } } & { \tilde { \alpha } < 1 } \\ { \operatorname* { s u p } _ { 0 < { \varepsilon } \leq { \varepsilon } _ { 0 } } { \varepsilon } ^ { 1 - \beta } ( \log ( 1 / 2 ) - \kappa \log ( { \varepsilon } ) ) } & { \bar { \alpha } = 1 } \\ { { \varepsilon } _ { 0 } ^ { 1 - \beta } } & { \tilde { \alpha } > 1 \, . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { u _ { M } ( t , \sqrt { 2 } t + x ) } { \frac { 1 } { ( t - r ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } ( x + \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \log ( t ) ) e ^ { - \sqrt { 2 } x } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 ( t - r ) } } } } \\ & { \geq \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \gamma _ { r } ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } u _ { M } ( r , y + \sqrt { 2 } r ) y e ^ { \sqrt { 2 } y } e ^ { \frac { - y ^ { 2 } + 2 x y } { 2 ( t - r ) } } H \biggl ( \frac { 2 y ( x + \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \log ( t ) ) } { t - r } \biggr ) d y , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial s } G ( s , t ) } & { = } & { u \frac { G ( s , t ) } { Q ^ { 2 } } \implies \frac { \partial } { \partial s } G ( s , t ) \big | _ { s = 0 } = u e ^ { - \lambda } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial s ^ { 2 } } G ( s , t ) } & { = } & { \frac { u e ^ { - \lambda } } { Q ^ { 4 } } \left[ \frac { Q ^ { 2 } u G ( s , t ) } { Q ^ { 2 } } + 2 v Q G ( s , t ) \right] = u \left[ u + 2 v Q \right] \frac { G ( s , t ) } { Q ^ { 4 } } } \\ & { \implies } & { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial s ^ { 2 } } G ( s , t ) \big | _ { s = 0 } = e ^ { - \lambda } \left[ u ^ { 2 } + 2 u v \right] , } \\ { \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial s ^ { 3 } } G ( s , t ) } & { = } & { \frac { u \left[ u + 2 v \right] } { Q ^ { 8 } } \left[ u G ( s , t ) ( u + 2 v Q ) Q ^ { 2 } - 2 v ^ { 2 } G ( s , t ) Q ^ { 4 } + 4 v G ( s , t ) ( u + 2 v Q ) Q ^ { 3 } \right] } \\ & { = } & { u \frac { G ( s , t ) } { Q ^ { 6 } } \left[ u ^ { 2 } + 6 u v Q + 6 v ^ { 2 } Q ^ { 2 } \right] } \\ & { \implies } & { \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial s ^ { 3 } } G ( s , t ) \big | _ { s = 0 } = e ^ { - \lambda } ( u ^ { 3 } + 6 u ^ { 2 } v + 6 u v ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 4 } } { \partial s ^ { 4 } } G ( s , t ) } & { = } & { u \frac { G ( s , t ) } { Q ^ { 8 } } \left[ u ^ { 3 } + 1 2 u ^ { 2 } v Q + 3 6 u v ^ { 2 } Q ^ { 2 } + 2 4 v ^ { 3 } Q ^ { 3 } \right] } \\ & { \implies } & { \frac { \partial ^ { 4 } } { \partial s ^ { 4 } } G ( s , t ) \big | _ { s = 0 } = e ^ { - \lambda } \left[ u ^ { 4 } + 1 2 u ^ { 3 } v + 3 6 u ^ { 2 } v ^ { 2 } + 2 4 u v ^ { 3 } \right] } \\ { \frac { \partial ^ { 5 } } { \partial s ^ { 5 } } G ( s , t ) } & { = } & { u \frac { G ( s , t ) } { Q ^ { 8 } } \left[ u ^ { 4 } + 2 0 u ^ { 3 } v Q + 1 2 0 u ^ { 2 } v ^ { 2 } Q ^ { 2 } + 2 4 0 u v ^ { 3 } Q ^ { 3 } + 1 2 0 v ^ { 4 } Q ^ { 4 } \right] , } \\ & { \implies } & { \frac { \partial ^ { 4 } } { \partial s ^ { 5 } } G ( s , t ) \big | _ { s = 0 } = e ^ { - \lambda } \left[ u ^ { 5 } + 2 0 u ^ { 4 } v + 1 2 0 u ^ { 3 } v ^ { 2 } + 2 4 0 u ^ { 2 } v ^ { 3 } + 1 2 0 u v ^ { 4 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( u ^ { \prime } , v ^ { \prime } , p ^ { \prime } \right) ^ { T } = } & { { } \sum _ { n } \Big ( \widehat { \Omega } ( \boldsymbol { k } _ { n } , t ) \widehat { \boldsymbol { \phi } } _ { 0 } } \end{array}
\mathcal { T } _ { \mathrm { l a } , i } ^ { \mathrm { S } } \left( T ^ { H } \bar { M } _ { i } , g ^ { T { \bar { Z } } _ { i } } , h _ { T } ^ { \bar { F } _ { i } } \right) ( T ) = \mathcal { T } _ { \mathrm { l a } , i } ^ { \mathrm { S } } \left( T ^ { H } M _ { i } , g ^ { T Z _ { i } } , h ^ { F _ { i } } \right) - T \log ( 2 ) \chi ( Y ) \mathrm { r a n k } ( F ) / 4 + o ( 1 ) .
{ v } _ { k + 1 } ( { x } ) = \sigma _ { k + 1 } \left( { W } _ { t } { v } _ { k } + \int _ { { D } _ { k } } K ^ { ( k ) } ( { x } , { y } ) v _ { k } ( y ) d \nu _ { k } ( y ) + b _ { k } ( x ) \right)
\begin{array} { r } { \overline { { \texttt { m s e } ^ { [ k ] } } } \! \triangleq \! \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { T } { \mathbb { E } } \left[ \int _ { D _ { i } ^ { [ k ] } } ^ { D _ { i + 1 } ^ { [ k ] } } \texttt { m s e } ^ { [ k ] } \left( t , \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } \right) d t \right] } { \sum _ { i = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ D _ { i + 1 } ^ { [ k ] } - D _ { i } ^ { [ k ] } \right] } . } \end{array}
\sigma _ { t _ { s } } ^ { 2 } = \frac { \beta ^ { 3 } \Big ( 4 ( v _ { e } ^ { 4 } - v _ { e } ^ { 3 } v _ { h } + v _ { e } ^ { 2 } v _ { h } ^ { 2 } - v _ { e } v _ { h } ^ { 3 } + v _ { h } ^ { 4 } ) - 3 \beta ( v _ { e } ^ { 2 } - v _ { e } v _ { h } + v _ { h } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \Big ) } { ( v _ { e } ^ { 4 } + 2 v _ { e } ^ { 3 } v _ { h } - 5 v _ { e } ^ { 2 } v _ { h } ^ { 2 } + 2 v _ { e } v _ { h } ^ { 3 } + v _ { h } ^ { 4 } ) } \sigma _ { t _ { c } } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { { \frac { d | \Psi _ { w } ( t ) \rangle } { d t } } } & { { } = \left[ - { \frac { i } { \hbar } } H + \sum _ { i } A _ { i } w _ { i } ( t ) - \gamma \sum _ { i } A _ { i } ^ { 2 } \right] | \Psi _ { w } ( t ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { p } ^ { \prime \prime } ( \eta ) } & { = 2 \sum _ { n \neq 0 } n ^ { - 2 } J _ { n - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { n + p - 1 } ( \eta ) + J _ { n - p - 1 } ( \eta ) \right] , } \\ { d _ { p } ^ { \prime \prime } ( \eta ) } & { = 2 \sum _ { n \neq 0 } n ^ { - 2 } J _ { n - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { n + p - 1 } ( \eta ) - J _ { n - p - 1 } ( \eta ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu = \mu \left( \langle \eta \rangle , \langle \eta \rangle ^ { 2 } \right) \approx - \ln \left[ \frac { \langle \eta \rangle ^ { 2 } } { \sqrt { \langle \eta ^ { 2 } \rangle } } \right] , } \end{array}
w ^ { \prime \prime } + ( \frac { \nu ^ { \prime } } { \nu } + \frac { R ^ { \prime } } { R } - 2 \Phi ^ { \prime } ) w ^ { \prime } - \frac { ( w ^ { 2 } - 1 ) ( 4 \kappa + ( 4 R ^ { 2 } - 3 ) w + w ^ { 3 } ) } { 2 \nu R ^ { 4 } } = 0 \, ,
\gamma = \frac { \sum \left( I \left( t , x \right) - \bar { I } \right) \left( I ^ { \prime } \left( t , x \right) - \bar { I ^ { \prime } } \right) } { \sqrt { \sum \left( I \left( t , x \right) - \bar { I } \right) ^ { 2 } \sum \left( I ^ { \prime } \left( t , x \right) - \bar { I ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } } }
L _ { s } ^ { m } = \; \frac { q ^ { 2 } } { 1 + q ^ { 2 } } \; e ^ { - 1 } \; ( \dot { x } _ { \mu } + q ^ { 1 / 2 } i \chi \psi _ { \mu } ) ^ { 2 } + \; \frac { e } { 1 + q ^ { 2 } } \; m ^ { 2 } + \frac { i } { 2 } ( \psi _ { \mu } \; \dot { \psi } ^ { \mu } - \psi _ { 5 } \dot { \psi } _ { 5 } ) - i \chi \psi _ { 5 } m .
\begin{array} { r l } { \mathscr { P } ( z ) = \frac { 1 } { 2 } \Re \{ \mathbf { x } \cdot \mathbf { y } ^ { * } \} = } & { { } \left[ \mathbb { 1 } + \mathbf { S } ( z ) \right] \cdot \left[ \mathbf { x _ { i } ^ { \textrm { a b s } } } \odot \mathbf { d } ^ { * } ( z ) \right] } \end{array}
\omega _ { 4 } ^ { 3 } = i \{ \frac { 1 } { 2 } d \ln ( \frac { d \overline { { { g } } } _ { 2 } } { d \overline { { { z } } } _ { 2 } } \frac { d z _ { 2 } } { d g _ { 2 } } ) + \frac { ( g _ { 2 } d \overline { { { g } } } _ { 2 } - \overline { { { g } } } _ { 2 } d g _ { 2 } ) } { ( 1 + g _ { 2 } \overline { { { g } } } _ { 2 } ) } \} ,
\mathrm { r e l a t i v e ~ L ^ { 2 } ~ e r r o r } = \frac { \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { J } ( V _ { e x a c t } ( t ^ { j } ) - V _ { a p p } ( t ^ { j } ) ) ^ { 2 } } } { \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { J } ( V _ { e x a c t } ( t ^ { j } ) ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { { \bf f } _ { \mathrm { p l a n } } } & { = { \bf f } _ { C } ( t _ { k } ) , } \\ { T _ { \mathrm { p l a n } } } & { = T _ { \mathrm { C } } ( t _ { k } ) + { \bf r } _ { m } ( t _ { k } ) \times { \bf f } _ { \mathrm { C } } ( t _ { k } ) , } \\ { \mathrm { d i a g } [ \hat { \boldsymbol \beta } _ { f } ] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \hat { \beta } _ { f x } } & { 0 } \\ { 0 } & { \hat { \beta } _ { f y } } \end{array} \right] , ~ \hat { \boldsymbol \epsilon } _ { f } = \left[ \begin{array} { l l } { \hat { \epsilon } _ { f x } } & { \hat { \epsilon } _ { f y } } \end{array} \right] ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } & { \le ( 1 + \zeta _ { 1 } ) \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { r } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 2 \alpha \mathbb { E } \langle \bar { g } ( \bar { \theta } _ { r } ) , \bar { \theta } _ { r } - \theta ^ { * } \rangle + 6 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } \Big \lVert \bar { g } ( \bar { \theta } _ { r } ) \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + 1 0 8 \frac { \alpha ^ { 4 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } } ( 6 + \frac { 1 } { \zeta _ { 1 } } ) ( \sigma ^ { 2 } + 3 K B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 K G ^ { 2 } ) + \frac { 2 \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { N K } + 2 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 \alpha ^ { 2 } B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i k x } \; d x } & { = \left. \frac { e ^ { i k x } } { i k } \right| _ { 0 } ^ { 2 \pi } } & { = \frac { e ^ { i k 2 \pi } - 1 } { i k } } & { = 0 } & { , k \neq 0 } \\ { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i k x } \; d x } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 1 \; d x } & & { = 2 \pi } & { , k = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { i j } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } ) } & { = \sum _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } \left\langle \tilde { \Psi } \right| \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \left| \tilde { \Psi } \right\rangle , } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) | ^ { 2 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) | ^ { 2 } \left[ \delta _ { i j } + \delta _ { i , A } \delta _ { j , B } + \delta _ { i , C } \delta _ { j , D } + 2 ( \delta _ { i , A } + \delta _ { i , B } ) ( \delta _ { j , C } + \delta _ { j , D } ) \right] , } \end{array}
\psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \rightarrow \left\{ 1 + \frac { i e } { \hbar } { \mathrm { \bf ~ a } } \cdot [ \mathrm { \bf ~ r } \times \mathrm { \bf ~ B } + \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] \right\} ( 1 + i { \mathrm { \bf ~ a } } \cdot \mathrm { \bf ~ p } _ { o p } / \hbar ) \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \; \; \; ( \mathrm { i n f i n i t e s i m a l \; \; \; { \mathrm { \bf ~ a } } ) \; , }