harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial X _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } = } & { \sum _ { r , s } P _ { r , s } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ( \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { r , n , \mathbf { h } } X _ { s , n } ^ { \mathbf { h } + \mathbf { b } } + X _ { r , n } ^ { \mathbf { h } } \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { s , n , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ) - Q _ { r , s } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ( \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { r , n , \mathbf { h } } Y _ { s , n } ^ { \mathbf { h } + \mathbf { b } } - Y _ { r , n } ^ { \mathbf { h } } \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { s , n , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ) , } \\ { \frac { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial Y _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } = } & { \sum _ { r , s } P _ { r , s } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ( \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { r , n , \mathbf { h } } Y _ { s , n } ^ { \mathbf { h } + \mathbf { b } } + Y _ { r , n } ^ { \mathbf { h } } \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { s , n , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ) - Q _ { r , s } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ( X _ { r , n } ^ { \mathbf { h } } \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { s , n , \mathbf { h } + \mathbf { b } } - \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { r , n , \mathbf { h } } X _ { s , n } ^ { \mathbf { h } + \mathbf { b } } ) . } \end{array}
\frac { \partial P _ { t } ( \Gamma ) } { \partial t } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left[ - \frac { \partial } { \partial v } \frac { u _ { k } } { M } + \frac { \partial } { \partial u _ { k } } \left( \frac { u _ { k } } { \tau _ { k } } + \kappa _ { k } v \right) + \frac { \kappa _ { k } T } { \tau _ { k } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial u _ { k } ^ { 2 } } \right] P _ { t } ( \Gamma )
\nu S _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) = 2 \pi \alpha \, \frac { 2 } { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \mathrm { d } x \, \frac { g _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } { 1 - x ^ { 2 } ( \nu / \nu _ { \mathrm { e l } } ) ^ { 2 } - i 0 ^ { + } } ,
[ W _ { \left| \widetilde { \phi } _ { k } \right> \left< \widetilde { \phi } _ { k } \right| } , \mathcal D _ { \gamma } - c ^ { 2 } \beta ] = [ W _ { 1 , \left| \widetilde { \phi } _ { k } \right> \left< \widetilde { \phi } _ { k } \right| } , \mathcal D _ { \gamma } - c ^ { 2 } \beta ] + [ W _ { 2 , \left| \widetilde { \phi } _ { k } \right> \left< \widetilde { \phi } _ { k } \right| } , \mathcal D _ { \gamma } - c ^ { 2 } \beta ]
\{ P _ { l , m } , \ a ( \vec { k } ) \} = i w _ { l , m } ( \vec { k } ) a ( \vec { k } ) , \quad \{ P _ { l , m } , \ { \overline { { { a } } } } ( \vec { k } ) \} = - i w _ { l , m } ( \vec { k } ) { \overline { { { a } } } } ( \vec { k } ) ,
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \Delta \xi _ { i , j } = \int _ { \xi _ { i - 1 / 2 } } ^ { \xi _ { i + 1 / 2 } } H _ { \xi } d \xi } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \sin \phi _ { 0 } } { \sin \phi _ { j } } \Bigg [ \arctan \left( \sqrt { \frac { 1 + \cos \phi _ { j } } { 1 - \cos \phi _ { j } } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \xi } { 2 } \right) \right) \Bigg ] _ { \xi _ { i - 1 / 2 } } ^ { \xi _ { i + 1 / 2 } } \qquad \mathrm { i f ~ } \cos \phi _ { j } \ne - 1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } \sin \phi _ { 0 } \bigg [ \operatorname { t a n h } \left( \frac { \xi } { 2 } \right) \bigg ] _ { \xi _ { i - 1 / 2 } } ^ { \xi _ { i + 1 / 2 } } \qquad \mathrm { i f ~ } \cos \phi _ { j } = - 1 } \end{array} \right. } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } & { \Delta \phi _ { i , j } = \int _ { \phi _ { j - 1 / 2 } } ^ { \phi _ { j + 1 / 2 } } H _ { \phi } d \phi } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \sin \phi _ { 0 } } { \sinh \xi } \Bigg [ \arctan \left( \sqrt { \frac { \cosh \xi _ { i } + 1 } { \cosh \xi _ { i } - 1 } } \tan \left( \frac { \phi } { 2 } \right) \right) \Bigg ] _ { \phi _ { j - 1 / 2 } } ^ { \phi _ { j + 1 / 2 } } \qquad \mathrm { i f ~ } \cosh \xi _ { i } \ne 1 } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \sin \phi _ { 0 } \bigg [ \cot \left( \frac { \phi } { 2 } \right) \bigg ] _ { \phi _ { j - 1 / 2 } } ^ { \phi _ { j + 1 / 2 } } \qquad \mathrm { i f ~ } \cosh \xi _ { i } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} } \end{array}
\mathbf { D } ^ { + } = \left[ \begin{array} { l l l } { g _ { \mathrm { L 1 } } k _ { \mathrm { L 1 } z } } & { g _ { \mathrm { L 2 } } k _ { \mathrm { L 2 } z } } & { g _ { \mathrm { S } } k _ { x } } \\ { k _ { x } } & { k _ { x } } & { - k _ { \mathrm { S } z } } \\ { - h _ { \mathrm { L 1 } } k _ { \mathrm { L 1 } z } } & { - h _ { \mathrm { L 2 } } k _ { \mathrm { L 2 } z } } & { - h _ { \mathrm { S } } k _ { x } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { u ^ { \prime } ( \mathbf { x } ) } & { = \left( { a _ { N } } { e ^ { \mathrm i N \theta } } + { b _ { N } } { e ^ { - \mathrm i N \theta } } \right) { \frac { { k ^ { N } } } { { 2 ^ { N } } N ! } } { r ^ { N } } } \\ & { + \left( { a _ { N } } { e ^ { \mathrm i N \theta } } + { b _ { N } } { e ^ { - \mathrm i N \theta } } \right) { \frac { { k ^ { N } } } { { 2 ^ { N } } N ! } } \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } { \left[ { { \frac { { { ( - 1 ) } ^ { p } } N ! } { p ! ( N + p ) ! } } { { \left( { { \frac { k } { 2 } } } \right) } ^ { 2 p } } { r ^ { 2 p + N } } } \right] } } \\ & { + \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } { \left( { a _ { n } } { e ^ { \mathrm i n \theta } } + { b _ { n } } { e ^ { - \mathrm i n \theta } } \right) { J _ { n } } ( k r ) } . } \end{array}
W ^ { \alpha \beta } = i \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } \ln \left( \frac { M } { m _ { a } } \right) [ ( - 3 m _ { a } - 2 \hat { p _ { a } } + \hat { q } ) g ^ { \alpha \beta } + ( p _ { a } ^ { \alpha } \gamma ^ { \beta } + p _ { a } ^ { \beta } \gamma ^ { \alpha } ) + ( q ^ { \alpha } \gamma ^ { \beta } + q ^ { \beta } \gamma ^ { \alpha } ) - 3 q ^ { \alpha } \gamma ^ { \beta } ]
\mu _ { r } ^ { \prime } = { \bigg ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \bigg ) } \sum _ { k = 0 } ^ { r } { \bigg [ } { \frac { r ! } { ( r - k ) ! } } b ^ { k } \mu ^ { ( r - k ) } \{ 1 + ( - 1 ) ^ { k } \} { \bigg ] } = { \frac { m ^ { n + 1 } } { 2 b } } \left( e ^ { m / b } E _ { - n } ( m / b ) - e ^ { - m / b } E _ { - n } ( - m / b ) \right)
\begin{array} { r } { b _ { i j k } ^ { p } ( \xi , \eta , \zeta ) = \left( \begin{array} { l } { p } \\ { i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p - i } \\ { j } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p - i - j } \\ { k } \end{array} \right) ( 1 - \xi - \eta - \zeta ) ^ { p - i - j - k } \zeta ^ { k } \eta ^ { j } \xi ^ { i } \, . } \end{array}
\Delta M _ { F , A d v e c t i o n } = \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { F 0 } ^ { 2 } H _ { F } W \left[ \beta _ { l o c a l } ( 0 ) ^ { 2 } - \beta _ { l o c a l } ( L ) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l r } { \sum _ { j \neq 0 } \mathrm { I m } ( E ( x _ { j } ) ) } & { = } & { - \frac { \sinh ( \phi ) } { \phi } \int _ { 0 } ^ { + \pi / \phi } d \lambda \rho ( \lambda ) K _ { 1 } ^ { \prime } ( \lambda ) \sigma ( \lambda ) } \\ & { = } & { - \frac { \sinh ( \phi ) } { 2 } \sum _ { m \in \mathbb { Z } } \ 2 \pi i m \phi \tilde { K } _ { 1 } ( m ) \tilde { \sigma } _ { \rho } ( m ) } \\ & { = } & { - \frac { \sinh ( \phi ) } { 2 } \sum _ { m \in \mathbb { Z } } i m \phi \frac { \tilde { K } _ { 1 } ( m ) } { 1 + \tilde { K } _ { 2 } ( m ) } \Theta ( m ) } \\ & { = } & { \sinh ( \phi ) \sum _ { m \in \mathbb { Z } _ { + } } \sin ( m \phi \lambda _ { 0 } ) \operatorname { t a n h } ( m \phi ) e ^ { - 2 m \phi } . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { S M S } , i k } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { P } ( - 1 ) ^ { P } \Big [ \langle \psi _ { P i _ { 1 } } \psi _ { P i _ { 2 } } | R ( \Delta _ { 1 } ) | \psi _ { k _ { 1 } } \psi _ { k _ { 2 } } \rangle + \langle \psi _ { P i _ { 1 } } \psi _ { P i _ { 2 } } | R ( \Delta _ { 2 } ) | \psi _ { k _ { 1 } } \psi _ { k _ { 2 } } \rangle \Big ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ( x , y , t ) } & { { } = } & { - U e ^ { b t } \cos { \left( \frac { 2 \pi x } { L } \right) } \sin { \left( \frac { 2 \pi y } { L } \right) } } \\ { v ( x , y , t ) } & { { } = } & { U e ^ { b t } \sin { \left( \frac { 2 \pi x } { L } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi y } { L } \right) } } \\ { p ( x , y , t ) } & { { } = } & { p _ { o } - \frac { U ^ { 2 } } { 4 } e ^ { b t } \left[ \cos { \left( \frac { 4 \pi x } { L } \right) } + \cos { \left( \frac { 4 \pi y } { L } \right) } \right] , } \end{array}
J _ { g } ( \mu \sim 1 \mathrm { G e V } ) \simeq { \frac { 8 } { 9 } } { \frac { e < \bar { u } \sigma G u > < \bar { u } u > } { M _ { 1 ^ { - + } } ^ { 2 } \lambda _ { N } ^ { 2 } } }
{ \begin{array} { r l } { \nabla ( \psi \phi ) } & { = \phi \, \nabla \psi + \psi \, \nabla \phi } \\ { \nabla ( \psi \mathbf { A } ) } & { = ( \nabla \psi ) \mathbf { A } ^ { \textsf { T } } + \psi \nabla \mathbf { A } \ = \ \nabla \psi \otimes \mathbf { A } + \psi \, \nabla \mathbf { A } } \\ { \nabla \cdot ( \psi \mathbf { A } ) } & { = \psi \, \nabla { \cdot } \mathbf { A } + ( \nabla \psi ) \, { \cdot } \mathbf { A } } \\ { \nabla { \times } ( \psi \mathbf { A } ) } & { = \psi \, \nabla { \times } \mathbf { A } + ( \nabla \psi ) { \times } \mathbf { A } } \\ { \nabla ^ { 2 } ( \psi \phi ) } & { = \psi \, \nabla ^ { 2 \! } \phi + 2 \, \nabla \! \psi \cdot \! \nabla \phi + \phi \, \nabla ^ { 2 \! } \psi } \end{array} }
F _ { B } ^ { \; \, \mu \nu } = \partial ^ { \mu } A _ { B } ^ { \; \, \nu } - \partial ^ { \nu } A _ { B } ^ { \; \, \mu } = \left( \, 0 \, , \, - \epsilon ^ { i j k } \, B _ { 0 } ^ { \, \, k } \, \right)
= - i \frac { 3 \hbar c } { 2 } \int d ^ { 3 } \vec { r } [ \epsilon _ { 0 } ( \varphi ^ { \dagger } \varphi + \chi ^ { \dagger } \chi ) + \varphi ^ { \dagger } ( \vec { \sigma } \cdot \vec { \epsilon } ) \chi + \chi ^ { \dagger } ( \vec { \sigma } \cdot \vec { \epsilon } ) \varphi ] \, { . }
f _ { k } = \sum _ { b \geq 1 } \frac { r ( k , b ) N ( k , b ) } { N _ { k } } \, , \qquad \qquad t _ { k } = \sum _ { a \geq 1 } \frac { r ( a , k ) N ( a , k ) } { ( k - 1 ) N _ { k } } \, ,
\begin{array} { r l } { \kappa ( s , z ) } & { : = \frac { ( P _ { \mathrm { c } } ( 1 + 2 s ) + 2 z ) ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { c } } ( 1 + 2 s ) ^ { 3 } } , } \\ { R _ { \mathrm { { i i d } } } ( s , z ) } & { : = \frac { 1 } { 2 } \log ( 1 + 2 s ) + \frac { s z } { ( 1 + 2 s ) ( \sigma ^ { 2 } - D ) } - \frac { s D } { \sigma ^ { 2 } - D } , } \\ { s ^ { * } ( z ) } & { : = \operatorname* { m a x } \bigg \{ 0 , \frac { \sigma ^ { 2 } - 3 D + \sqrt { ( \sigma ^ { 2 } - D ) ^ { 2 } + 4 z D } } { 4 D } \bigg \} . } \end{array}
\mathbf { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ r ~ m ~ } } ^ { * } = \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ r ~ m ~ } } + ( \hat { \mathbf { n } } \cdot ( \mathbf { v } \times \mathbf { B } ) ) \hat { \mathbf { n } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathbf { H } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ r ~ m ~ } } ^ { * } = \mathbf { H } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ r ~ m ~ } } + ( \hat { \mathbf { n } } \cdot ( \mathbf { v } \times \mathbf { D } ) ) \hat { \mathbf { n } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { q _ { j } } } \frac { ( u _ { j } ^ { \top } u _ { j } ) ^ { \frac { p } { 2 } } } { ( b _ { j } + u _ { j } ^ { \top } u _ { j } / 2 ) ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 } } d u _ { j } } & { = 2 ^ { a _ { j } + 1 / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u _ { j } ^ { p } } { ( 2 b _ { j } + u _ { j } ^ { 2 } ) ^ { a _ { j } + 1 / 2 } } d u _ { j } = 2 ^ { ( p + 1 ) / 2 } b _ { j } ^ { p / 2 - a _ { j } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } ( \sin \theta ) ^ { p } ( \sec \theta ) ^ { p + 1 - 2 a _ { j } } d \theta } \\ & { = 2 ^ { ( p + 1 ) / 2 } b _ { j } ^ { p / 2 - a _ { j } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \tan \theta ( \sin \theta ) ^ { p - 1 } ( \sec \theta ) ^ { p - 2 a _ { j } } d \theta } \\ & { \le 2 ^ { ( p + 1 ) / 2 } b _ { j } ^ { p / 2 - a _ { j } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \tan \theta ( \sec \theta ) ^ { p - 2 a _ { j } } d \theta = 2 ^ { ( p + 1 ) / 2 } b _ { j } ^ { p / 2 - a _ { j } } / ( 2 a _ { j } - p ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { x , y } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { g } { l _ { e q } } } , } \\ { f _ { z } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { 3 k } { m } } , } \\ { f _ { x , y , r o t . } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { 3 k R ^ { 2 } } { 2 I _ { x , y } } } , } \\ { f _ { z , r o t . } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { m g R ^ { 2 } } { I _ { z } l _ { e q } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { e } _ { { \bf k } q } ( t ) } & { = e ^ { - \frac { i } { \hbar } \epsilon _ { { \bf k } , q } ^ { E } ( t - t _ { 0 } ) } \hat { e } _ { { \bf k } q } ( t _ { 0 } ) + \frac { 1 } { i \hbar } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { - \frac { i } { \hbar } \epsilon _ { { \bf k } , q } ^ { E } ( t - t ^ { \prime } ) } \left( \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { C } \hat { c } _ { { \bf k } } ( t ^ { \prime } ) + \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { X } \hat { x } _ { { \bf k } } ( t ^ { \prime } ) \right) . } \end{array}
H _ { s } = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 2 0 0 } & { - 8 7 . 7 } & { 5 . 5 } & { - 5 . 9 } & { 6 . 7 } & { - 1 3 . 7 } & { - 9 . 9 } \\ { - 8 7 . 7 } & { 3 2 0 } & { 3 0 . 8 } & { 8 . 2 } & { 0 . 7 } & { 1 1 . 8 } & { 4 . 3 } \\ { 5 . 5 } & { 3 0 . 8 } & { 0 } & { - 5 3 . 5 } & { - 2 . 2 } & { - 9 . 6 } & { 6 . 0 } \\ { - 5 . 9 } & { 8 . 2 } & { - 5 3 . 5 } & { 1 1 0 } & { - 7 0 . 7 } & { - 1 7 . 0 } & { - 6 3 . 6 } \\ { 6 . 7 } & { 0 . 7 } & { - 2 . 2 } & { - 7 0 . 7 } & { 2 7 0 } & { 8 1 . 1 } & { - 1 . 3 } \\ { - 1 3 . 7 } & { 1 1 . 8 } & { - 9 . 6 } & { - 1 7 . 0 } & { 8 1 . 1 } & { 4 2 0 } & { 3 9 . 7 } \\ { - 9 . 9 } & { 4 . 3 } & { 6 . 0 } & { - 6 3 . 3 } & { - 1 . 3 } & { 3 9 . 7 } & { 2 3 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { Z ^ { - 1 } } & { \propto \left( 1 + \left( 1 - \frac { \beta \xi } { N } \right) ^ { N } \right) \left( 1 + \left( 1 + \frac { \beta \xi } { N } \right) ^ { N } \right) } \\ & { \to \left( 1 + e ^ { - \beta \xi } \right) \left( 1 + e ^ { \beta \xi } \right) } \\ & { = \left( 1 + e ^ { - \beta \xi } \right) ^ { 2 } e ^ { \beta \xi } } \end{array}
n _ { \sigma } ( r ) = \sum _ { s \in s _ { \sigma } } f ( E _ { n _ { s } l _ { s } j _ { s } } , \mu _ { \sigma } ) \, \frac { 2 j _ { s } + 1 } { 4 \pi r ^ { 2 } } \, \big [ \, P _ { n _ { s } l _ { s } j _ { s } } ^ { 2 } ( r ) + Q _ { n _ { s } l _ { s } j _ { s } } ^ { 2 } ( r ) \, \big ] \, ,
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \tilde { B } _ { x } ^ { \prime } } \\ { \tilde { B } _ { y } ^ { \prime } } \end{array} \right) \propto \, } & { \delta \left( k ^ { \prime } - \frac { 2 \pi } { \lambda } \right) \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } } \\ & { \left( \begin{array} { l } { - E _ { 0 , \parallel } \cos \theta ^ { \prime } \cos \phi - E _ { 0 , \perp } \sin \phi } \\ { - E _ { 0 , \parallel } \cos \theta ^ { \prime } \sin \phi + E _ { 0 , \perp } \cos \phi } \end{array} \right) , } \end{array}
T _ { b } ^ { \mathrm { a s } } ( p , q ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { e ^ { 2 } } { 2 ( p q ^ { \prime } ) ( x + \zeta - i \epsilon ) } \, f ( x ) \, d x = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { e ^ { 2 } } { ( x p - q ) ^ { 2 } + i \epsilon } \, f ( x ) \, d x \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } t _ { b } ( x p , q ) \, f ( x ) \, d x \, .
\begin{array} { r l r } { m _ { v _ { 0 } v _ { L } } } & { { } = } & { \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } \frac { \omega _ { I L } \omega _ { 0 K } \omega _ { I - 1 , K } } { \omega _ { 0 L } \prod _ { J = 0 } ^ { L } \omega ( J \to v _ { J } ) } } \end{array}
{ \cal B } _ { 1 0 1 } ( \tau ; { r } _ { 1 } ) = \frac { 2 \, \tau } { 2 - \tau } \left( \frac { 2 } { 1 + \tau } \right) ^ { 2 + \tau } { r } _ { 1 } \, e ^ { - r _ { 1 } / \tau } \Phi _ { 1 } ( 2 - \tau , - 1 - \tau , 3 - \tau , \xi _ { 1 } , \eta _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { q _ { 2 } } & { = \alpha { D _ { 3 } } = { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 1 ^ { \prime } } } , } \\ { q _ { 3 ^ { ' } } } & { = \beta { D _ { 2 ^ { \prime } } } = { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 1 } } + { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta H _ { 0 i } ^ { ( 2 ) } } & { { } \simeq } & { \frac { e } { T _ { i } } F _ { M } \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { s } \left[ i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { 0 } } J _ { s } J _ { + } \delta \phi _ { s } ^ { * } \delta \phi _ { + } + \left( \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } J _ { 0 } J _ { s } ^ { 2 } \lvert \delta \phi _ { s } \rvert ^ { 2 } \delta \phi _ { 0 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle v ^ { 2 } \hat { f } _ { i } ^ { e q } \right\rangle } & { } & { = ( \lambda _ { i } ^ { 2 } + \frac { ( \delta \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } { 3 } ) 2 ( \delta \lambda _ { i } ) ( f _ { + , i } ^ { e q } + f _ { - , i } ^ { e q } ) } \\ & { } & { = ( \lambda _ { i } ^ { 2 } + \frac { ( \delta \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } { 3 } ) ( f _ { 1 i } ^ { e q } + f _ { 2 i } ^ { e q } ) } \\ & { } & { = ( \lambda _ { i } ^ { 2 } + \frac { ( \delta \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } { 3 } ) U _ { i } \mathrm { ~ ( f r o m ~ } ) } \\ & { } & { = \widetilde { \lambda } _ { i } ^ { 2 } U _ { i } } \end{array}
F _ { B \rightarrow D } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 , 2 , . . . } F _ { B \rightarrow e x c i t } ^ { 2 } = 1 - \frac { \mu _ { \pi } ^ { 2 } - \mu _ { G } ^ { 2 } } { 4 } \left( \frac { 1 } { m _ { c } } - \frac { 1 } { m _ { b } } \right) ^ { 2 } \; \; \; .
\begin{array} { r } { I _ { 3 } \leq 4 \int _ { 0 } ^ { t } \! \! \! \Vert r ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { \infty } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } \Vert u _ { x x x } ( \tau ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } d \tau \leq 4 \bar { C } \Vert r ^ { \prime } \Vert _ { H ^ { 1 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } \Vert u _ { x x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } , ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta y _ { t } = } & { \quad \mathrm { E } _ { \xi } \left[ \left. \sum _ { l = 1 } ^ { k } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } \right| H \right] } \\ & { + \left( \sum _ { l = 1 } ^ { k _ { c } } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l , c } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l , c } ) } + \sum _ { l = 1 } ^ { k - k _ { c } } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l , n } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l , n } ) } - \mathrm { E } _ { \xi } \left[ \left. \sum _ { l = 1 } ^ { k } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } \right| H \right] \right) , } \end{array}
M ( r ) = \exp \left[ - \int _ { 0 } ^ { r } d r ^ { \prime } \ p ( r ^ { \prime } ) \right] \int _ { 0 } ^ { r } d r ^ { \prime } \ q ( r ^ { \prime } ) \ \exp \left[ \int _ { 0 } ^ { r ^ { \prime } } d r ^ { \prime \prime } \ p ( r ^ { \prime \prime } ) \right] \ ,
\frac { { \mathscr Z } _ { \alpha \beta , \gamma \delta } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \simeq \int _ { { \mathcal C } _ { m n } } \frac { \mathrm { d } x } { 2 \pi } \int _ { { \mathcal C } _ { \tilde { m } \tilde { n } } } \frac { \mathrm { d } \tilde { x } } { 2 \pi } \, \exp \Bigg ( { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ - 1 ] } ( x ) + { \mathcal A } _ { \gamma \delta } ^ { [ - 1 ] } ( \tilde { x } ) + { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( x ) + { \mathcal A } _ { \gamma \delta } ^ { [ 0 ] } ( \tilde { x } ) + { \mathcal A } _ { \alpha \beta , \gamma \delta } ^ { [ 0 ] } ( x , \tilde { x } ) + \cdots \Bigg ) ,
\int _ { \Omega } \left( \frac { H ( c ^ { n + 1 } - c ^ { n } ) } { \delta t } + \bar { \mathbf { u } } \cdot \mathbf { \nabla } c \right) \omega ~ d \Omega + \int _ { E } \left( 0 . 5 ( | \mathbf { n } . \bar { \mathbf { u } } | - \mathbf { n } . \bar { \mathbf { u } } ) \right) [ c ] \omega ~ d s = 0 ~ ~ ~ ~ \forall \omega ,
\begin{array} { r l } { - ( \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } - \omega _ { \pm } ) ^ { 2 } \partial _ { z } \hat { w } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } + \big [ \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } ^ { \prime } ( \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } - \omega _ { \pm } ) + | \mathbf { k } _ { \pm } | ^ { 2 } \big ] \hat { w } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } \hat { \mathcal { F } } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { \pm } , z ) ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ z = \eta , } \\ { \hat { w } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } 0 ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ z \to - \infty . } \end{array}
V _ { { \mathrm { a v } } } = \sum _ { \alpha } \left\langle f _ { i } ^ { \mathrm { a } , \alpha } r _ { i } ^ { \alpha } + f _ { j } ^ { \mathrm { a } , \alpha } r _ { j } ^ { \alpha } + f _ { k } ^ { \mathrm { a } , \alpha } r _ { k } ^ { \alpha } \right\rangle ,
\left( - \frac { d } { d r } + \frac { l - 1 } { r } + \phi ^ { \prime } \right) \left( \frac { d } { d r } + \frac { l } { r } + \phi ^ { \prime } \right) \, \psi _ { l } \, \chi _ { l } = \psi _ { l } \, .
\begin{array} { r l } { w _ { T _ { \mathrm { M } } } ( T ) = } & { { } \sqrt { \frac { T - T _ { \mathrm { m } } } { T _ { \mathrm { M } } - T _ { \mathrm { m } } } } , \; w _ { \Phi _ { \mathrm { M } } } ( \Phi ) = \frac { \Phi - \Phi _ { \mathrm { m } } } { \Phi _ { \mathrm { M } } - \Phi _ { \mathrm { m } } } , } \\ { w _ { T _ { \mathrm { m } } } ( T ) = } & { { } \; 1 - w _ { T _ { \mathrm { M } } } , \; w _ { \Phi _ { \mathrm { m } } } ( \Phi ) = 1 - w _ { \Phi _ { \mathrm { M } } } . } \end{array}
{ \cal L } = - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } + { \frac { i } { 2 } } \overline { { { \psi } } } \Gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi + a _ { 1 } \lambda ^ { 2 } ( F ^ { 2 } ) ^ { 2 } + a _ { 2 } \lambda ^ { 2 } ( F ) ^ { 4 }
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 1 } ^ { 2 } ( x ) \rangle } & { = \left\langle \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } a _ { m } \cos \left( \frac { m \pi x } { L _ { x } } \right) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \cos \left( \frac { n \pi x } { L _ { x } } \right) \right\rangle } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \langle a _ { n } ^ { 2 } \rangle \cos ^ { 2 } \left( \frac { n \pi x } { L _ { x } } \right) } \\ & { = \frac { 2 l _ { T } ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \frac { L _ { x } } { L _ { y } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \cos ^ { 2 } \left( \frac { n \pi x } { L _ { x } } \right) } { n ^ { 2 } } } \\ & { = l _ { T } ^ { 2 } \frac { L _ { x } } { L _ { y } } \left[ \frac { 1 } { 1 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { x } { L _ { x } } \right) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
L = \frac { 1 } { 2 e r _ { e } } \frac { \gamma _ { \pm } I _ { \pm } } { \beta _ { y \pm } ^ { * } } \xi _ { y \pm } ^ { i } \frac { 2 \sigma _ { y \mp } ^ { * } \left( \overline { { \sigma } } _ { x \mp } + \sigma _ { y \mp } ^ { * } \right) } { \Sigma _ { y } ^ { * } \overline { { \Sigma } } _ { x } } R _ { H } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { r \delta B _ { r } } & { = \alpha _ { 0 } \left[ I _ { | m | } ( \nu r ) K _ { | m | } ( \nu b ) - K _ { | m | } ( \nu r ) I _ { | m | } ( \nu b ) \right] } \\ & { - \frac { 2 \mathrm { i } m \delta I _ { h } } { c \nu } \left( 1 + \frac { k _ { z } ^ { 2 } d ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) \left[ I _ { | m | } ( \nu r ) K _ { | m | } ( \nu d ) - K _ { | m | } ( \nu ) I _ { | m | } ( \nu d ) \right] , } \end{array} } \end{array}
\frac { \partial k } { \partial t } + u _ { j } \frac { \partial k } { \partial x _ { j } } = - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( C _ { k } \frac { k ^ { 2 } } { \varepsilon } + \nu \right) \frac { \partial k } { \partial x _ { j } } \right] - \varepsilon .