harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathbf { b } } } & { = \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n u c l } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } } \\ { { \mathbf { R } _ { \mathbf { b } } } } & { = \frac { 1 } { \gamma _ { \mathbf { b } } } \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n u c l } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } \, { \mathbf { R } _ { \eta } } } \\ { K _ { \mathbf { b } } } & { = ( - 1 ) ^ { \sum _ { \eta } b _ { \eta } } \, \exp \left( - \frac { 1 } { \gamma _ { \mathbf { b } } } \sum _ { \eta < \delta } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } \, b _ { \delta } \, \alpha _ { \delta } \, \big | { \mathbf { R } _ { \eta } } - { \mathbf { R } _ { \delta } } \big | ^ { 2 } \right) \mathrm { . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { h _ { 1 1 } = f \big ( w _ { 1 1 } R + w _ { 2 1 } Z + b _ { 1 } \big ) } \\ & { h _ { 1 2 } = f \big ( w _ { 1 2 } R + w _ { 2 2 } Z + b _ { 2 } \big ) } \\ & { h _ { 2 1 } = f \big ( v _ { 1 1 } h _ { 1 1 } + v _ { 2 1 } h _ { 1 2 } + b _ { 3 } \big ) } \\ & { h _ { 2 2 } = f \big ( v _ { 1 2 } h _ { 1 1 } + v _ { 2 2 } h _ { 1 2 } + b _ { 4 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 0 } s _ { 0 , 1 } } & { = } & { ( \alpha - \beta ) s _ { 0 , 1 } + \delta a _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) ( a _ { 1 } + a _ { - 1 } ) } \\ { a _ { 1 } s _ { 0 , 1 } } & { = } & { ( \alpha - \beta ) s _ { 0 , 1 } + \delta ^ { f } a _ { 1 } + \beta ( \alpha - \beta ) a _ { 0 } } \\ { a _ { - 1 } s _ { 0 , 1 } } & { = } & { ( \alpha - \beta ) s _ { 0 , 1 } + \delta ^ { f } a _ { - 1 } + \beta ( \alpha - \beta ) a _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \delta _ { \mathrm { s } } \rangle = } & { - \frac { a } { 4 } \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 0 } ^ { M - 1 } f _ { - i } } \\ & { + \frac { g } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( 1 - g ) ^ { m - 1 } \left( \frac { a } { 2 } \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 0 } ^ { M - 1 } f _ { m - i } - \frac { b } { a } f _ { m } \right) . } \end{array}
S = \sum _ { k } \prod _ { i = 1 } ^ { k } \left[ \int _ { \nu _ { m i n } } ^ { \nu _ { m a x } } \mathrm { d } \nu _ { i } \, r h o ( \nu _ { i } ) \right] F _ { k } ( \nu _ { 1 } , . . . , \nu _ { k } ) ,
p _ { 1 } ^ { \alpha _ { i } } , \; p _ { 2 } ^ { \beta _ { i } } , \; ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { \gamma _ { i } } , \; g ^ { \alpha _ { i } \alpha _ { j } } , \; g ^ { \beta _ { i } \beta _ { j } } , \; g ^ { \gamma _ { i } \gamma _ { j } }
\begin{array} { r l } & { { d S ( t ) } = ( \Lambda - \beta S ( t ) I ( t ) - \mu S ( t ) ) d t + \sigma _ { 1 } S ( t ) d B _ { 1 } ( t ) , } \\ & { { d I ( t ) } = ( \beta S ( t ) I ( t ) - ( \gamma + \mu + \epsilon ) I ( t ) ) d t + \sigma _ { 2 } I ( t ) d B _ { 2 } ( t ) , } \\ & { { d R ( t ) } = ( \gamma I ( t ) - \mu R ( t ) ) d t + \sigma _ { 3 } R ( t ) d B _ { 3 } ( t ) , } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \theta _ { i } \in S } \mu _ { i } ^ { ( k ) } ( u ) : = \operatorname* { s u p } _ { \theta _ { i } \in S } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 u } Q _ { i , n } ^ { 2 } \right) | Q _ { i , n } | ^ { k } \| \nabla _ { \theta _ { i } } Q _ { i , n } \| _ { 1 } < \infty .
\boldsymbol r ^ { \prime } = \left[ 1 + { \frac { d ^ { \prime } } { R _ { D } } } \left( { \frac { n } { n ^ { \prime } } } - 1 \right) + { \frac { 1 } { R _ { A } } } \left( d - { \frac { n } { n ^ { \prime } } } d ^ { \prime } - { \frac { d d ^ { \prime } } { R _ { D } } } + { \frac { n } { n ^ { \prime } } } { \frac { d d ^ { \prime } } { R _ { D } } } \right) \right] \boldsymbol r = { \frac { n d ^ { \prime } } { n ^ { \prime } d } } \, \boldsymbol r \, .
\begin{array} { r c l } { { \sigma _ { 1 } ( s , t , u ) } } & { { = } } & { { m _ { q } ^ { 2 } \bar { N } [ \theta _ { 1 } ( s , t ) - \theta _ { 1 } ( u , t ) ] , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \sigma _ { 2 } ( s , t , u ) } } & { { = } } & { { - \sigma _ { 1 } ( s , t , u ) / 2 m _ { q } ^ { 2 } , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \sigma _ { 3 } ( s , t , u ) } } & { { = } } & { { m _ { q } \bar { N } [ \theta _ { 2 } ( s , t ) + \theta _ { 2 } ( u , t ) ] , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \sigma _ { 4 } ( s , t , u ) } } & { { = } } & { { \bar { N } [ \theta _ { 4 } ( s , t ) + \theta _ { 4 } ( u , t ) ] , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \sigma _ { 5 } ( s , t , u ) } } & { { = } } & { { \sigma _ { 5 } ^ { + } ( s , t , u ) + \sigma _ { 5 } ^ { - } ( s , t , u ) , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \ \sigma _ { 5 } ^ { + } ( s , t , u ) } } & { { = } } & { { - \bar { N } [ 4 \theta _ { 4 } ( s , t ) + { \frac { 1 } { 4 } } ( s - \bar { s } ) \theta _ { 1 } ( s , t ) + ( s \leftrightarrow u ) ] , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \ \sigma _ { 5 } ^ { - } ( s , t , u ) } } & { { = } } & { { \bar { N } \{ I _ { 0 } ( s , t ) [ { \frac { 1 } { 4 } } ( 2 s - 4 m _ { q } ^ { 2 } ) ( 1 - \bar { \mu } ^ { 2 } / t ) ^ { 2 } + | \vec { q } | ^ { 2 } ] } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + ( 2 m _ { q } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } t ) \theta _ { 1 } ( s , t ) - { \frac { 1 } { 2 } } ( s - \bar { s } ) \theta _ { 2 } ( s , t ) + { \frac { 1 } { t } } ( s - \bar { s } ) \theta _ { 4 } ( s , t ) - ( s \leftrightarrow u ) \} . } } \end{array}
{ \nabla } _ { \mathbf { r } } \cdot \left( \mathbf { v } \Psi \right) + \hat { \mathcal R } _ { \hat { \mathbf p } } \cdot \left( \boldsymbol { \omega } \Psi \right) = \nabla _ { \mathbf { r } } \cdot { \mathbb D } _ { T } \cdot \nabla _ { \mathbf { r } } \Psi + D _ { R } \hat { \mathcal R } _ { \hat { \mathbf p } } ^ { 2 } \, \Psi .
\begin{array} { r } { \forall g \ \forall \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \ \ \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \circ h ^ { - 1 } \circ R = \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \circ R \circ \bar { g } ^ { - 1 } . } \end{array}
\frac { 1 } { V } \iint _ { f ( \v { r } , \v { p } ) > \eta _ { \mathrm { m i n } } } \mathrm { d } \boldsymbol { r } \, \mathrm { d } \boldsymbol { p } \, \left[ f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { p } ) \right] ^ { \gamma } = \int _ { \eta _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \eta _ { \mathrm { m a x } } } \mathrm { d } \eta \, \eta ^ { \gamma } \rho ( \eta ) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \hat { q } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { q } _ { t } \| ^ { 2 } } & { \leq \left( 1 + \frac { 3 3 } { 3 2 I } \right) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| q _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { q } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + 8 I \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| \gamma \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } + \| \eta \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 3 2 I L ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \tau ^ { 2 } \bar { q } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + 8 I M ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } + 1 6 I M ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 3 2 I M ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + 6 4 I ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 1 6 I ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } L ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\{ B _ { 0 } , \, B ^ { \mu } , \, B ^ { \mu \nu } \} ( p _ { 1 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = \int \frac { \overline { { { d ^ { d } k } } } } { i \pi ^ { 2 } } \frac { \{ 1 , \, k ^ { \mu } , \, k ^ { \mu } k ^ { \nu } \} } { N _ { 1 } N _ { 2 } } \; ,
w _ { i j k } ^ { n | 2 } = \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { + \infty } b _ { 3 n n ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } T _ { i j k } ^ { n ^ { \prime } | 1 } = \gamma _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n } \frac { \partial w _ { \langle i j } ^ { 0 | 1 } } { \partial x _ { k \rangle } }
\begin{array} { r l } { \tilde { U } } & { = \int _ { 0 } ^ { t _ { e } } \tilde { u } ( \kappa ( t ) , k ( t ) ) \, \mathrm { d } t + \tilde { U } _ { e } } \\ { \tilde { u } } & { = e ^ { - t / \tilde { \tau } _ { e c o n } } \left[ - \tilde { \alpha } \psi _ { i } - \beta \psi _ { s } ( \kappa - \kappa ^ { * } ) ^ { 2 } \right] } \\ { \tilde { \tau } _ { e c o n } } & { = \left( \frac { 1 } { \tau } + \frac { 1 } { \tau _ { e c o n } } \right) ^ { - 1 } } \\ { \tilde { \alpha } } & { = \alpha \left( 1 + \frac { 1 } { \tau / { \tau _ { e c o n } } + \tau } \right) } \\ { \tilde { U } _ { e } } & { = - \tilde { \alpha } e ^ { - t _ { e } / \tilde { \tau } _ { e c o n } } \Big [ \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } i _ { e } \, \left( \frac { 1 } { 1 / \tilde { \tau } _ { e c o n } + \eta } \right) } \\ & { \ \ \ \ \ + \left( \psi _ { i , e } - i _ { e } \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } \right) \, \left( \frac { 1 } { 1 / \tilde { \tau } _ { e c o n } + 1 } \right) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \overrightarrow { F } ( p ) = \sum _ { i } \left( \lambda ( p , [ \mathrm { X } _ { i } ] ) [ \textsf { e f f } Z _ { i } ] + \lambda ( p , [ Z _ { i } ] ) [ \textsf { e f f } X _ { i } ] \right) , } \\ { \overleftarrow { F } ( p ) = \sum _ { i } \left( \lambda ( p , [ \textsf { e f f } X _ { i } ] ) [ Z _ { i } ] + \lambda ( p , [ \textsf { e f f } Z _ { i } ] ) [ X _ { i } ] \right) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \omega _ { 1 } - i \gamma _ { 1 } + i P _ { 1 } } & { \kappa } \\ { \kappa } & { \omega _ { 2 } - i \gamma _ { 2 } + i P _ { 2 } } \end{array} \middle ] \middle [ \begin{array} { l } { \widetilde { \psi } _ { 1 } } \\ { \widetilde { \psi } _ { 2 } } \end{array} \middle ] = \widetilde { \omega } \middle [ \begin{array} { l } { \widetilde { \psi } _ { 1 } } \\ { \widetilde { \psi } _ { 2 } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { I R } , p } ^ { ( k ) } = \left( \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } F ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) \right) + \gamma \left( \widehat { F } _ { \mathrm { I R } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } F ^ { ( k - 1 ) } ( \xi _ { i } ) \right) , \qquad \widehat { F } _ { \mathrm { I R } , p } ^ { ( 0 ) } = \widehat { F } _ { \mathrm { M C } , p } ^ { ( 0 ) } \, , } \end{array}
\Delta ^ { a } = \int d ^ { 2 } \theta \frac { \partial ^ { 2 } \delta _ { L } } { \partial \theta ^ { 2 } \delta \Phi ^ { A } ( \theta ) } \, \theta ^ { a } \frac { \delta } { \delta \bar { \Phi } _ { A } ( \theta ) } = ( - 1 ) ^ { \epsilon _ { A } } \frac { \delta _ { L } } { \delta \phi ^ { A } } \, \frac { \delta } { \delta \phi _ { A a } ^ { * } } .
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } \to \hat { H } + \frac { \mu } { 2 } \hat { W } , } \\ { \hat { W } } & { { } = \hat { S } ^ { 2 } - ( 2 s + 1 ) \hat { S } _ { z } + s ^ { 2 } , } \end{array}
\phi _ { \mathbf { k } } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { \ell } \rangle } k _ { \langle \mu _ { 1 } } \cdots k _ { \mu _ { \ell } \rangle } ,
K = \left[ \begin{array} { l l } { g _ { 1 } + g _ { 2 } - 2 g _ { 1 } g _ { 2 } , } & { g _ { 2 } - g _ { 1 } } \\ { g _ { 2 } - g _ { 1 } , } & { g _ { 1 } + g _ { 2 } - 2 g _ { 1 } g _ { 2 } } \end{array} \right] , \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbf { k } = \left[ \begin{array} { l } { 2 - g _ { 1 } - g _ { 2 } } \\ { g _ { 2 } - g _ { 1 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { L _ { \lambda , B ^ { T } , \sigma } : = \prod _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } \Xi _ { \lambda , r , j } ^ { ( m ) } \left( P _ { \sigma } B ^ { T } \right) \in R ^ { m \times m } , } \\ { R _ { \lambda , B ^ { T } , \sigma } : = \prod _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } \Xi _ { \lambda , r , j } ^ { ( n ) } \left( B ^ { T } P _ { \sigma } \right) \in R ^ { n \times n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { A } _ { 1 } : \left\{ ( x , y ) : y \geq 5 \right\} \cup \left\{ ( x , y ) : x < \varphi _ { r e } ^ { - 1 } ( y ) , 1 < y < 5 \right\} \cup \left\{ ( \varphi _ { r e } ^ { - 1 } ( y ) , y ) : 3 < y < 5 \right\} \ , } \\ { \mathcal { A } _ { 2 } : \left\{ ( x , y ) : y \leq 1 \right\} \cup \left\{ ( x , y ) : x > \varphi _ { r e } ^ { - 1 } ( y ) , 1 < y < 5 \right\} \cup \left\{ ( \varphi _ { r e } ^ { - 1 } ( y ) , y ) : 1 < y < 3 \right\} \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { p } + C _ { i , j } \left[ 1 + \tau D _ { r } i ( i + 1 ) \right] + } & { { } } \\ { \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { f } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { p } } & { { } = 0 . } \end{array}
\beta \mu ^ { \mathrm { ~ l ~ } } = \left( 1 - \frac { N _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { 2 } \right) \ln \phi ^ { \mathrm { ~ l ~ } } - N _ { \mathrm { ~ p ~ } } \ln ( 1 - \phi ^ { \mathrm { ~ l ~ } } ) + \frac { N _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { 2 } \beta \epsilon + 1 - N _ { \mathrm { ~ p ~ } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , 2 , \quad \quad \underline { { 3 } } , \mathbf { 2 } , \underline { { 2 } } , \mathbf { 4 } , \underline { { 2 } } , \mathbf { 8 } , \underline { { 3 } } , \mathbf { 1 0 } , \underline { { 2 } } , \mathbf { 1 2 } , } \\ & { } & { \underline { { 2 } } , \mathbf { 1 6 } , \underline { { 3 } } , \mathbf { 1 8 } , \underline { { 2 } } , \mathbf { 2 0 } , \underline { { 2 } } , \mathbf { 2 4 } , \underline { { 3 } } , \mathbf { 2 6 } , \underline { { 2 } } , \mathbf { 2 8 } , \underline { { 2 } } , \mathbf { 3 2 } , \underline { { 3 } } , \mathbf { 3 4 } , \underline { { 2 } } , \mathbf { 3 6 } , \underline { { 2 } } , \mathbf { 4 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { k } ( \vartheta _ { f _ { i } } ) } & { = \vartheta _ { f _ { i } ^ { \prime } } ^ { \prime } , \ i \neq k } \\ { \mu _ { k } ( \vartheta _ { f _ { k } } ) } & { = ( t ^ { \alpha } \vartheta _ { \sum _ { i } [ b _ { i k } ] _ { + } f _ { i } ^ { \prime } } ^ { \prime } + t ^ { \beta } \vartheta _ { \sum _ { j } [ - b _ { j k } ] _ { + } f _ { j } ^ { \prime } } ^ { \prime } ) ( \vartheta _ { f _ { k } ^ { \prime } } ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } ^ { \alpha } = } & { \frac { d } { d t } \omega _ { t } \left( [ m _ { \alpha } ^ { N } - m _ { \alpha } ( t ) ] ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { \omega _ { t } ( \mathcal { L } _ { N } [ ( m _ { \alpha } ^ { N } - m _ { \alpha } ( t ) ) ^ { 2 } ] ) - 2 \dot { m } _ { \alpha } ( t ) \omega _ { t } ( m _ { \alpha } ^ { N } - m _ { \alpha } ( t ) ) , } \end{array}
\Delta _ { i j } [ \mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } ] = [ \mathbf { S } _ { i j } \mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } \mathbf { F } _ { i j } + \mathbf { F } _ { i j } \mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } \mathbf { S } _ { i j } - ( f _ { i i } + f _ { j j } ) \mathbf { S } _ { i j } \mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } \mathbf { S } _ { i j } ] / \epsilon _ { i j }
\gamma > \gamma _ { 2 } ( k ) : = \frac { \Gamma _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 1 } ) ( a + b \cosh ( \Gamma _ { Q } ) ) - 2 \Gamma _ { Q } b \sinh ( \Gamma _ { Q } ) } { b \cosh ( \Gamma _ { Q } ) - a } .
\begin{array} { r l } { \overline { \theta } _ { \Omega _ { 2 } } - \overline { \theta } _ { \Omega _ { 1 } } } & { \leqslant - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \frac { C _ { 0 } } { \Omega _ { 1 } - \kappa _ { 2 } } } ( \Omega _ { 2 } - \Omega _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 2 } ^ { \infty } B _ { \tau \Omega _ { 2 } + ( 1 - \tau ) \Omega _ { 1 } } ( s ) d s d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } \| ^ { 2 } } & { = - 2 \Delta x ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } + \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { \top } \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) } \\ & { = - 2 \Delta x ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } + \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } ^ { \top } \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) } \\ & { = - 2 \Delta x ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { \top } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } + \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } ^ { \top } ) \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { K } _ { j } ^ { - } ( s ) } & { = \frac { D _ { j } h _ { j } ( s ) ( z _ { j } ^ { - } ) ^ { \mu } } { [ z _ { j } ^ { - } + h _ { j } ( s ) ] ^ { \mu } - ( z _ { j } ^ { - } ) ^ { \mu } } , \ \widetilde { K } _ { j } ^ { + } ( s ) = \frac { D _ { j + 1 } \overline { { h } } _ { j + 1 } ( s ) ( z _ { j } ^ { + } ) ^ { \mu } } { [ z _ { j } ^ { + } + \overline { { h } } _ { j + 1 } ( s ) ] ^ { \mu } - ( z _ { j } ^ { + } ) ^ { \mu } } . } \end{array}
\operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { \log N _ { U } ( \varepsilon , \mathfrak { F } _ { \gamma } ) } { \varepsilon ^ { - V } } < \infty , \qquad \mathbb { E } [ \bar { F } _ { \gamma } ( \mathbf { Z } ) ^ { 2 } ] < \infty , \qquad \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { \log N _ { U } ( \varepsilon , \hat { \mathfrak { F } } _ { \gamma , n } ) } { \varepsilon ^ { - V } } = O _ { \mathbb { P } } ( 1 ) ,
\begin{array} { r l } { \left| \nu - \frac { 2 p ( n - 2 ) } { d _ { \operatorname* { m a x } } + d _ { \operatorname* { m i n } } } \right| } & { { } \leq \frac { 2 } { d _ { \operatorname* { m a x } } + d _ { \operatorname* { m i n } } } \cdot \sqrt { \frac { n \log n } { p } } + \frac { d _ { \operatorname* { m a x } } } { d _ { \operatorname* { m i n } } } \cdot \frac { d _ { \operatorname* { m a x } } - d _ { \operatorname* { m i n } } } { d _ { \operatorname* { m a x } } + d _ { \operatorname* { m i n } } } } \end{array}
{ \boldsymbol { t } } _ { \boldsymbol { x } } : \mathcal { D } \to \mathbb { R } ^ { d _ { \mathrm { ~ l ~ a ~ t ~ e ~ n ~ t ~ } } } \in \mathcal { { T } } _ { \mathcal { X } } , \forall \mathbf { s } \in \mathcal { D }
\begin{array} { r l } { \mathfrak { R } \big ( \eta _ { 1 } \overline { { d } } \big ) - | \eta _ { 1 } | ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \big ( ( \mu - \lambda _ { 1 } ) \overline { { d } } + ( \overline { { \mu } } - \overline { { \lambda } } _ { 1 } ) d \big ) - | \mu - \lambda _ { 1 } | ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { | \mu - \lambda _ { 1 } | ^ { 2 } \overline { { d } } } { \overline { { \mu } } - \overline { { \lambda } } _ { 1 } } + \frac { | \mu - \lambda _ { 1 } | ^ { 2 } d } { \mu - \lambda _ { 1 } } \right) - | \mu - \lambda _ { 1 } | ^ { 2 } } \\ & { = - | \mu - \lambda _ { 1 } | ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \overline { { d } } } { \overline { { \mu } } - \overline { { \lambda } } _ { 1 } } + \frac { d } { \mu - \lambda _ { 1 } } \right) \right) } \\ & { = - | \mu - \lambda _ { 1 } | ^ { 2 } \left( 1 - \mathfrak { R } \left( \frac { d } { \mu - \lambda _ { 1 } } \right) \right) } \\ & { = - | \mu - \lambda _ { 1 } | ^ { 2 } \left( 1 - \mathfrak { R } \left( \frac { \lambda _ { 1 } - \mu ^ { - 1 } } { \lambda _ { 1 } } \right) \right) } \\ & { = - | \mu - \lambda _ { 1 } | ^ { 2 } \mathfrak { R } ( ( \mu \lambda _ { 1 } ) ^ { - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \rho } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } & { { } = \operatorname* { d e t } | J _ { \vec { x } _ { 0 } } ( \vec { x } _ { z } ) | ^ { - 1 } \boldsymbol { \rho } ( \vec { x } _ { 0 } , \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { 1 S - 2 S } ( v ) } & { = 2 5 6 + 3 8 4 v - 4 1 6 v ^ { 2 } - 8 1 6 v ^ { 3 } - 3 2 v ^ { 4 } + 3 6 0 v ^ { 5 } - 6 7 0 v ^ { 6 } - 5 ~ 0 7 3 v ^ { 7 } - 6 ~ 0 3 7 v ^ { 8 } } \\ & { - 1 ~ 6 5 9 v ^ { 9 } + 6 5 v ^ { 1 0 } + 1 1 ~ 6 6 4 v ^ { 8 } \: _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , - v ; 1 - v ; \frac { ( v - 1 ) ( v - 2 ) } { ( v + 1 ) ( v + 2 ) } \right) . } \end{array}
\{ G _ { p } , G _ { q } \} = \{ f _ { p } , f _ { q } \} = H _ { G _ { p } } \cdot G _ { q } = { \frac { p ( p ^ { 2 } - 1 ) } { 8 \pi } } \oint d z z ^ { q + 1 } z ^ { p - 2 } ,
\tilde { J } _ { 0 } \left( n _ { x } , n _ { y } \right) = J _ { 0 } + \frac { 1 } { 8 } \frac { \omega _ { r 0 } ^ { 2 } } { \omega _ { r } ^ { 2 } } E _ { n _ { x } , n _ { y } } [ \frac { \partial } { \partial v _ { 0 } } f ( \tilde { q } = 0 , v _ { 0 } / 4 ) - \frac { \partial } { \partial v _ { 0 } } f ( \tilde { q } = \pm 1 , v _ { 0 } / 4 ) ] .
< B R > B = 3 D - { \frac { \sqrt { - 2 \nabla ^ { 2 } } } { = 2 0 2 } } ( Q _ { 1 } + Q _ { 2 } ) ; ~ ~ < B R > E _ { i } = 3 D - { \frac { 1 } { \sqrt { - 2 \nabla ^ { 2 } } } } [ \epsilon = _ { i j } \partial = 2 0 _ { j } ( P _ { 1 } + P _ { 2 } ) + ( \mu + m ) \partial _ { i } Q _ { 1 } + ( \mu - m ) \partial = 2 0 _ { i } Q _ { 2 } ] , < B R > < B R >
\eta _ { \mathrm { d e v } } ( G ) = \frac { V _ { \mathrm { O C } } \ F F \overbrace { \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda / h c \ \mathrm { A M 1 . 5 } ( \lambda ) \ \mathrm { A b s } ( \lambda ) \ \mathrm { d } \lambda \ \int _ { 0 } ^ { \infty } \ q \ \eta _ { \mathrm { i n t } } ( G ) \ \mathrm { P L } ( G , \lambda ) \ \mathrm { E Q E } ( \lambda ) \ \mathrm { d } \lambda } ^ { \propto \ I _ { S C } } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \ \mathrm { A M 1 . 5 } ( \lambda ) \ \mathrm { d } \lambda } ,
I = \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta _ { 2 } \int _ { 1 } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { 1 } ^ { \infty } d t _ { 2 } \, C \, t \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \zeta ^ { 2 } \, t ^ { 2 } } { 1 6 } } ;
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \mathrm { ( p r e d i c t i o n ~ s t e p ) } } & { \quad \quad \widehat { z } _ { t } ^ { \, n } = G _ { \alpha } ( { z } _ { t - 1 } ^ { n } ) + { \zeta } _ { t } ^ { n } , } & & { \quad \quad { \zeta } _ { t } ^ { n } \overset { \mathrm { i . i . d . } } { \sim } \mathcal { N } ( 0 , S _ { \beta } ) , } \\ { \mathrm { ( a n a l y s i s ~ s t e p ) } } & { \quad \quad { z } _ { t } ^ { n } = \widehat { z } _ { t } ^ { \, n } + \widehat K _ { t } \bigl ( y _ { t } + { \eta } _ { t } ^ { n } - \mathcal { H } _ { \gamma , t } ( \widehat { z } _ { t } ^ { \, n } ) \bigr ) , } & & { \quad \quad { \eta } _ { t } ^ { n } \overset { \mathrm { i . i . d . } } { \sim } \mathcal { N } ( 0 , R _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { q } ( v ) \left[ i - S _ { 0 } ( v ) \right] } \\ & { = C ^ { - 1 } U \left[ i , : \right] \cdot ( h h ^ { \top } \circledast Y ) \cdot U \left[ i , : \right] ^ { \top } } \\ & { = C ^ { - 1 } \langle h h ^ { \top } , U \left[ i , : \right] ^ { \top } U \left[ i , : \right] , Y \rangle } \\ & { = q _ { h , U , Y } \left[ i \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { S t e p ~ 1 . ~ } \quad \| \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 2 } \| _ { Y } \lesssim \epsilon \| \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 2 } \| _ { Y } + \epsilon \| \Upsilon _ { 1 } \Pi _ { l , 2 } \| _ { X } + \mathrm { g o o d ~ t e r m s } , } \\ & { \mathrm { S t e p ~ 2 . ~ } \quad \| \Upsilon _ { 1 } \Pi _ { l , 2 } \| _ { X } \lesssim \epsilon \| \Upsilon _ { 1 } \Pi _ { l , 2 } \| _ { X } + \| \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 2 } \| _ { Y } + \mathrm { g o o d ~ t e r m s } . } \end{array}