harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d C _ { C a } } { d t } } & { = N \Pi _ { j = 1 , 4 } [ \sum _ { t _ { i } ^ { j } < T } ( - 1 ) ^ { i - 1 } \Theta ( t - t _ { i } ^ { j } ) ] - ( k _ { l } + k _ { k 1 } C _ { K } + k _ { k 2 } C _ { K - C a } + k _ { k 3 } C _ { K - C a - C a } + k _ { k 4 } C _ { K - C a - C a - C a } ) C _ { C a } + } \\ & { k _ { d 1 } C _ { K - C a } + k _ { d 2 } C _ { K - C a - C a } + k _ { d 3 } C _ { K - C a - C a - C a } + k _ { d 4 } C _ { K - C a - C a - C a - C a } } \\ { \frac { d C _ { K } } { d t } } & { = k _ { d 1 } C _ { K - C a } - k _ { k 1 } C _ { C a } C _ { K } } \\ { \frac { d C _ { K - C a } } { d t } } & { = k _ { k 1 } C _ { C a } C _ { K } + k _ { d 2 } C _ { K - C a - C a } - k _ { d 1 } C _ { K - C a } } \\ { \frac { d C _ { K - C a - C a } } { d t } } & { = k _ { k 2 } C _ { K - C a } C _ { C a } + k _ { d 3 } C _ { K - C a - C a - C a } - k _ { d 2 } C _ { K - C a - C a } } \\ { \frac { d C _ { K - C a - C a - C a } } { d t } } & { = k _ { k 3 } C _ { K - C a - C a } C _ { C a } + k _ { d 4 } C _ { K - C a - C a - C a - C a } - k _ { d 3 } C _ { K - C a - C a - C a } } \\ { \frac { d C _ { K - C a - C a - C a - C a } } { d t } } & { = k _ { k 4 } C _ { K - C a - C a - C a } C _ { C a } - k _ { d 4 } C _ { K - C a - C a - C a - C a } } \\ { \frac { d C _ { P r } } { d t } } & { = k _ { p } C _ { K - C a - C a - C a - C a } - k _ { d p } C _ { P r } } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \textbf { D } } | | [ \textbf { q } _ { 2 } , \dots , \textbf { q } _ { N } ] - \textbf { D } \cdot [ \textbf { q } _ { 1 } , \dots , \textbf { q } _ { N - 1 } ] | | ^ { 2 }
J _ { B } ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } , t ) = \frac { 1 } { N _ { c } ! } \varepsilon ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { N _ { c } } } \Gamma _ { B } ^ { \{ f \} } \psi _ { \alpha _ { 1 } f _ { 1 } } ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } , t ) \cdots \psi _ { \alpha _ { N _ { c } } f _ { N _ { c } } } ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } , t )
{ \mathcal { I } } _ { \boldsymbol { \eta } } ( { \boldsymbol { \eta } } ) = { \boldsymbol { J } } ^ { \textsf { T } } { \mathcal { I } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( { \boldsymbol { \theta } } ( { \boldsymbol { \eta } } ) ) { \boldsymbol { J } }
\begin{array} { r l } { d _ { i j } } & { \geq \frac { 1 } { | \beta _ { i j } | } } \\ & { = \frac { 1 } { \rho _ { i j } ^ { 2 } } | \beta _ { j i } | } \\ & { \geq t ^ { ( j ^ { \prime } - j ) + ( i - i ^ { \prime } ) } \frac { 1 } { | \rho _ { i j } \rho _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } | } | \beta _ { j ^ { \prime } i ^ { \prime } } | } \\ & { \geq t ^ { ( j ^ { \prime } - j ) + ( i - i ^ { \prime } ) } \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \beta _ { j ^ { \prime } i ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { i \partial _ { z } \psi + \partial _ { t } ^ { 2 } \psi + 2 | \psi | ^ { 2 } \psi = i \left( g _ { 0 } / 2 - \epsilon _ { \omega } \omega _ { p } ^ { 2 } \right) \psi - i \epsilon _ { 3 } | \psi | ^ { 2 } \psi - 2 \epsilon _ { \omega } \omega _ { p } \partial _ { t } \psi + i \epsilon _ { \omega } \partial _ { t } ^ { 2 } \psi . } \end{array}
\frac { \partial } { t } \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { E } \end{array} \right) + \frac { \partial } { \partial x } \left( \begin{array} { l } { \rho u } \\ { p + \rho u ^ { 2 } } \\ { \rho u v } \\ { ( E + p ) u } \end{array} \right) + \frac { \partial } { \partial y } \left( \begin{array} { l } { \rho v } \\ { \rho u v } \\ { p + \rho v ^ { 2 } } \\ { ( E + p ) v } \end{array} \right) = 0
g _ { R } ( \Delta f , f _ { p } ) = k _ { p o l } ^ { p s } \, g _ { 0 } ( \Delta f , f _ { r e f } ) \frac { f _ { p } } { f _ { r e f } } \frac { A _ { e f f } ^ { o v } ( \Delta f , f _ { r e f } ) } { A _ { e f f } ^ { o v } ( \Delta f , f _ { p } ) } \, \, ,
\mathrm { T r } ( e ^ { - \tau _ { 2 } H _ { \mathrm N S } ^ { 0 } } ) = \frac { a _ { 0 } ( H _ { \mathrm N S } ^ { 0 } ) } { \tau _ { 2 } ^ { 5 } } + \frac { a _ { 2 } ( H _ { \mathrm N S } ^ { 0 } ) } { \tau _ { 2 } ^ { 4 } } + \cdots
\left( i \partial _ { 0 } \delta _ { r r ^ { \prime } } + A _ { 0 } ^ { i } t _ { i } ^ { r r ^ { \prime } } \right) U _ { r ^ { \prime } } \left( x , s \right) \mp p _ { r r ^ { \prime } } U _ { r ^ { \prime } } \left( x , s \right) - a \left( s \right) \delta _ { r r ^ { \prime } } U _ { r ^ { \prime } } \left( x , s \right) = 0
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { d e t } \left[ { \begin{array} { c c c } { c ( \theta _ { 1 } ) } & { d ( \theta _ { 1 } ) } & { 1 } \\ { c ( \theta _ { 2 } ) } & { d ( \theta _ { 2 } ) } & { 1 } \\ { c ( \theta _ { 3 } ) } & { d ( \theta _ { 3 } ) } & { 1 } \end{array} } \right] = \operatorname* { d e t } \left[ { \begin{array} { c c c } { g _ { 1 } } & { d _ { 1 } } & { 1 } \\ { g _ { 2 } } & { d _ { 2 } } & { 1 } \\ { g _ { 3 } } & { d _ { 3 } } & { 1 } \end{array} } \right] } \\ & { = ( g _ { 2 } d _ { 3 } - g _ { 3 } d _ { 2 } ) - ( g _ { 1 } d _ { 3 } - g _ { 3 } d _ { 1 } ) + ( g _ { 1 } d _ { 2 } - g _ { 2 } d _ { 1 } ) } \\ & { = ( g _ { 2 } - g _ { 3 } ) ( d _ { 2 } - d _ { 1 } ) + ( g _ { 1 } - g _ { 2 } ) ( d _ { 2 } - d _ { 3 } ) . } \end{array}
Z ( t = 0 ) = \frac { 1 } { 4 } \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( ( \sqrt { 2 \kappa } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \kappa } } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \kappa } ) + \frac { 1 } { 2 }
\frac { d { \sigma } _ { n l } ( N ) } { d \Omega } = \frac { k _ { f } ( N ) } { k _ { i } } J _ { N } ^ { 2 } ( X _ { q } ) \frac { 4 ( 2 l + 1 ) } { q ^ { 4 } } \; { \cal I } _ { n l } ^ { 2 } ( q ) ,
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { \prime } } & { { } = \alpha + { \frac { n } { 2 } } } \\ { \beta ^ { \prime } } & { { } = \beta + { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { * } ( a ^ { \prime } , \Gamma _ { 1 } ( c t ) ) } & { = d _ { * } \left( \gamma _ { S } ( p , a ) \left( \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } T \right) , \gamma _ { S } ( p , a ) \left( \frac { c - c _ { 0 } } { c _ { 1 } - c _ { 0 } } T \right) \right) } \\ & { = \left| \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } T - \frac { c - c _ { 0 } } { c _ { 1 } - c _ { 0 } } T \right| } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { U _ { \mathrm { a t , D T } } ( r ) = { \frac { ( 4 \pi ) ^ { 3 } } { 4 \sqrt { \pi } } } \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } { \frac { a _ { j } } { b _ { j } ^ { 3 / 2 } } } \exp \left( - { \frac { 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } { b _ { j } } } \right) } \\ { \widetilde { U } _ { \mathrm { D T } } ( q ) = 2 \pi \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } a _ { j } \exp \left( - { \frac { b _ { j } q ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \right) } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { H _ { 1 1 } } & { = [ z ( 1 ) - h ( x ( 1 ) ) ] D _ { h } ( x ( 1 ) ) u ( 1 ) , } & { \quad H _ { 1 2 } } & { = [ z ( 2 ) - h ( x ( 2 ) ) ] D _ { h } ( x ( 2 ) ) u ( 2 ) , } \\ { H _ { 2 1 } } & { = [ z ( 1 ) - h ( x ( 1 ) ) ] D _ { h } ( x ( 1 ) ) v ( 1 ) , } & { \quad H _ { 2 2 } } & { = [ z ( 2 ) - h ( x ( 2 ) ) ] D _ { h } ( x ( 2 ) ) v ( 2 ) , } \end{array}
\underset { \substack { k \, : \, | \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } [ k ] | \gg 0 \, k \, : \, | \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } [ k + 1 ] | \gg 0 } } { \langle \, \widehat { \omega _ { \mathrm { c } } } \, \rangle } = \mathrm { A r g } \Bigg \langle \frac { \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } [ k + 1 ] } { \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } [ k ] } \Bigg \rangle \, .
\bar { s } _ { j + \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { 0 } = \tilde { s } _ { j + \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { 0 } - \frac { 1 } { W } \sum _ { l = 1 } ^ { W } \tilde { s } _ { j + \frac { 1 } { 2 } , l } ^ { 0 } \quad \mathrm { a n d } \quad \bar { s } _ { j + \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { 1 } = \tilde { s } _ { j + \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { 1 } - P _ { k , l } ^ { 1 } \tilde { s } _ { j + \frac { 1 } { 2 } , l } ^ { 1 }
\begin{array} { r l } { \frac { \mathbb { P } [ \tau _ { b } \in \mathrm { d } t ] } { \mathrm { d } t } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \downarrow 0 } \frac { \mathbb { P } [ \tau _ { b } \leq t ] - \mathbb { P } [ \tau _ { b } \leq t - \epsilon ] } { \epsilon } } \\ & { = - b ^ { \prime } ( t ) g _ { t } ( b ( t ) ) + \varpi ( b ( t ) , t ) = - b ^ { \prime } ( t ) g _ { t } ( b ( t ) ) + \frac { \mathbb { P } [ \tau _ { b } \in \mathrm { d } t , S _ { \tau _ { b } } > b ( \tau _ { b } ) ] } { \mathrm { d } t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf u _ { h } ^ { n + 1 } - \rho _ { h } ^ { n } \mathbf u _ { h } ^ { n } } { \Delta t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } \otimes \mathbf u _ { h } ^ { n + 1 } ) + H ( q _ { h } ^ { , n + 1 } , \rho _ { h } ^ { n + 1 } ) } \\ & { \quad + \chi \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } \otimes ( \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } - \overline { { \mathbf v } } _ { h } ^ { n + 1 } ) ) - \chi \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } _ { h } \nabla \overline { { \mathbf v } } _ { h } ^ { n + 1 } ) = \boldsymbol { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 + t ) \left\vert \partial _ { x } ^ { \alpha } \left( \mathfrak { m } ( \varrho , \rho _ { f } ) a _ { f } \right) \right\vert } & { \lesssim \sum _ { \beta \leq \alpha } \vert \partial _ { x } ^ { \beta } \left( \mathfrak { m } ( \varrho , \rho _ { f } ) \right) \vert \vert \partial _ { x } ^ { \alpha - \beta } a _ { f } \vert \leq \omega [ a _ { f } ] \sum _ { \beta \leq \alpha } \vert \partial _ { x } ^ { \beta } \left( \mathfrak { m } ( \varrho , \rho _ { f } ) \right) \vert , } \end{array}
[ \hat { \bf u } _ { t } ^ { n + 1 } ] _ { \omega } = - \left[ B _ { 0 } ^ { H } ( { \cal T } _ { K } ^ { 1 / 2 } \sin [ { \cal T } _ { K } ^ { 1 / 2 } \Delta t ] ) _ { 1 : 2 , 1 : 2 } B _ { 0 } \right] _ { 1 2 } + \left[ \tilde { B } _ { 0 } ^ { H } \cos [ \tilde { \cal T } _ { K } ^ { 1 / 2 } \Delta t ] _ { 1 : 2 , 1 : 2 } \tilde { B } _ { 0 } \right] _ { 1 2 } .
{ \begin{array} { r l } { E _ { j \, n } = } & { - \mu c ^ { 2 } \left[ 1 - \left( 1 + \left[ { \frac { \alpha } { n - j - { \frac { 1 } { 2 } } + { \sqrt { \left( j + { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } } } } } \right] ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \right] } \\ { \approx } & { - { \frac { \mu c ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { 2 n ^ { 2 } } } \left[ 1 + { \frac { \alpha ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } } \left( { \frac { n } { j + { \frac { 1 } { 2 } } } } - { \frac { 3 } { 4 } } \right) \right] , } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { f ( A , B , C , D ) } & { = { \overline { { \overline { { f ( A , B , C , D ) } } } } } } \\ & { = { \overline { { { \overline { { A } } } \, { \overline { { B } } } + { \overline { { A } } } \, { \overline { { C } } } + { \overline { { A } } } \, D } } } } \\ & { = \left( { \overline { { { \overline { { A } } } \, { \overline { { B } } } } } } \right) \left( { \overline { { { \overline { { A } } } \, { \overline { { C } } } } } } \right) \left( { \overline { { { \overline { { A } } } \, D } } } \right) } \\ & { = \left( A + B \right) \left( A + C \right) \left( A + { \overline { { D } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } \left( t \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( - \dot { \sigma } _ { s r } \left( t \right) \right) \varepsilon ^ { 2 } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \ddot { \sigma } _ { s r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \left( \varepsilon \left( t \right) - \varepsilon \left( t ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { \prime } > 0 \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathcal { P } \left( t \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } \dot { \varepsilon } _ { c r } \left( t \right) \sigma ^ { 2 } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( - \ddot { \varepsilon } _ { c r } \left( t \right) \left( t - t ^ { \prime } \right) \right) \left( \sigma \left( t \right) - \sigma \left( t ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { \prime } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 5 } } & { = ( \Phi _ { 5 } ) ^ { - 1 } \circ \mathcal { L } ^ { 4 } \circ \Phi _ { 5 } } \\ & { = \omega \cdot \partial _ { \varphi } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \left( \frac { T _ { \alpha } } 4 + \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \xi ) \right) + \varepsilon ^ { 2 } \tilde { \mathfrak { b } } _ { 2 } ( \varphi ) + { \mathfrak { r } } _ { - 2 , \le 3 , * } ( \varphi ) \right) + \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } W _ { 2 } ( \varphi ) + R _ { 5 } ( \varphi ) , } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \bigl ( } \zeta ( 4 n ) - 1 { \bigr ) } = { \frac { 7 } { 8 } } - { \frac { \pi } { 4 } } \left( { \frac { e ^ { 2 \pi } + 1 } { e ^ { 2 \pi } - 1 } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 d } { L } \sum _ { s = 1 } ^ { \left\lceil \log _ { 2 } \frac { N } { L } \right\rceil } 2 \left\lceil \log _ { 2 } ( 2 L + 2 ^ { s } - 1 - 1 ) \right\rceil } \\ { \le } & { \frac { 4 d } { L } \sum _ { s = 1 } ^ { \left\lceil \log _ { 2 } \frac { N } { L } \right\rceil } \log _ { 2 } ( 2 ^ { s + \log _ { 2 } ( L ) } ) } \\ { = } & { \frac { 4 d } { L } \sum _ { s = 1 } ^ { \left\lceil \log _ { 2 } \frac { N } { L } \right\rceil } \left( s + \log _ { 2 } ( L ) \right) } \\ { = } & { \frac { 2 d } { L } \left( \left\lceil \log _ { 2 } ^ { 2 } \frac { N } { L } \right\rceil + ( 1 + 2 \log _ { 2 } L ) \left\lceil \log _ { 2 } \frac { N } { L } \right\rceil \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \alpha } _ { 1 } \left( K \exp \left( - \frac { g } { C } y \right) , \varphi \right) } & { = A \varphi \exp \left( - \frac { g } { C } y \right) , } \\ { \hat { \alpha } _ { 2 } \left( K \exp \left( - \frac { g } { C } y \right) , \varphi \right) } & { = A \exp \left( - \frac { g } { C } y \right) , } \\ { \hat { \alpha } _ { 4 } \left( K \exp \left( - \frac { g } { C } y \right) , \varphi \right) } & { = 0 , } \end{array}
P _ { x z } ^ { ( \pm ) } ( \phi _ { x } ) = \exp \left[ \mp i \phi _ { x } \frac { k w _ { 0 } } { 2 } \left\{ \left( a _ { x } + a _ { x } ^ { \dag } \right) \left( 1 + \frac { 1 } { ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } } \left[ \left( a _ { x } - a _ { x } ^ { \dag } \right) ^ { 2 } + \left( a _ { y } - a _ { y } ^ { \dag } \right) ^ { 2 } \right] \right) \right\} \right] ,
E = E _ { \mathrm { n m } } + { \bf S } _ { 1 } \mathcal { J } { \bf S } _ { 2 } + { \bf S } _ { 1 } \mathcal { A } _ { 1 } { \bf S } _ { 1 } + { \bf S } _ { 2 } \mathcal { A } _ { 2 } { \bf S } _ { 2 } ,
\tau = \frac { \sum _ { i } ^ { N } \int _ { \mathbf { x } _ { i } \in \Omega _ { c } } | | \mathrm { d } \mathbf { x } _ { i } | | } { \left| \sum _ { i } ^ { N } \int _ { \mathbf { x } _ { i } \in \Omega _ { c } } \mathrm { d } \mathbf { x } _ { i } ^ { \beta } \right| } ,
\rho = \rho _ { \gamma } + \rho _ { e ^ { \pm } } + \rho _ { \nu / \bar { \nu } } = a T ^ { 4 } \left\{ 1 + \frac { 7 } { 4 } + \frac { 7 } { 8 } N _ { \nu } \right\} = a T ^ { 4 } \frac { ( 2 2 + 7 N _ { \nu } ) } { 8 } ~ .
\Delta [ n x _ { c l } , e _ { 0 } ] = \left( 1 + \frac { g e _ { 0 } } { 4 } B _ { \alpha \beta } \gamma ^ { [ \alpha } \gamma ^ { \beta ] } + \frac { g ^ { 2 } e _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 } \bar { B } _ { \alpha \beta } \bar { B } ^ { * \alpha \beta } \gamma ^ { 5 } \right) \bar { \Lambda } ( e _ { 0 } ) + Q _ { \alpha \beta } \gamma ^ { [ \alpha } \gamma ^ { \beta ] }
\boldsymbol { k } \times \int \mathrm { d } \boldsymbol { p } \left( \frac { \vec { k } + \vec { p } } { 2 } \right) \times \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { p } ) \right> \left< \widetilde { \eta } ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { p } ) \right> = - \overline { { \eta } } k ^ { 2 } \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { k } ) \right>
\begin{array} { r l } { r _ { 1 2 } } & { = \frac { d _ { k } \rho } { \sqrt { 2 } } \big [ 1 + \sin \theta \cos \varphi \big ] ^ { 1 / 2 } , } \\ { r _ { 2 3 } } & { = \frac { d _ { k } \rho } { \sqrt { 2 } } \big [ 1 + \sin \theta \cos ( \varphi - 2 \pi / 3 ) \big ] ^ { 1 / 2 } , } \\ { r _ { 3 1 } } & { = \frac { d _ { k } \rho } { \sqrt { 2 } } \big [ 1 + \sin \theta \cos ( \varphi + 2 \pi / 3 ) \big ] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
V _ { B } ( \boldsymbol \rho ^ { \prime } ) = { \frac { \mathrm { i } } { \sin \alpha } } \exp ( - \mathrm { i } \pi \rho ^ { 2 } \cot \alpha ) \int _ { { \mathbb R } ^ { 2 } } \exp ( - \mathrm { i } \pi \rho ^ { 2 } \cot \alpha ) \, \exp \left( { \frac { 2 \mathrm { i } \pi } { \sin \alpha } } \, \boldsymbol \rho ^ { \prime } \boldsymbol \cdot \boldsymbol \rho \right) \, V _ { A } ( \boldsymbol \rho ) \, \mathrm { d } \boldsymbol \rho \, ,
d \Gamma = ( 2 \pi ) ^ { 4 } \mid < a b c \mid \tau \mid A > \mid ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 E _ { A } } \delta ^ { 4 } ( p _ { A } - p _ { a } - p _ { b } - p _ { c } ) \frac { d ^ { 3 } { \bf p } _ { a } d ^ { 3 } { \bf p } _ { b } d ^ { 3 } { \bf p } _ { c } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { a } ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { b } ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { c } } ,
\begin{array} { r l } { \theta _ { a } } & { = \tan ^ { - 1 } \frac { s \left( p _ { \mathrm { t } } , L _ { p } \right) } { L _ { \mathrm { f } } } \; , } \\ { \theta _ { b } } & { = \sin ^ { - 1 } \frac { \overline { { A D } } } { \sqrt { L _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } + s ^ { 2 } \left( p _ { \mathrm { t } } , L _ { p } \right) } } \; , } \\ { \overline { { A O } } } & { = \sqrt { L _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } + s ^ { 2 } \left( p _ { \mathrm { t } } , L _ { p } \right) - A D ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { * } \left( \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } E _ { j } \right) } & { = 4 \varepsilon _ { g } ^ { * } H - 3 \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } P _ { j } , } & \\ { \Phi _ { * } \left( \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } P _ { j } \right) } & { = \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } Q _ { \sigma _ { 2 } ( j ) } = \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } Q _ { j } , } & \\ { \Phi _ { * } \left( \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } Q _ { j } \right) } & { = \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } E _ { \sigma _ { 2 } ( j ) } = \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } E _ { j } . } \end{array}
\left\langle U _ { \lambda } \left( w \right) \right\rangle _ { w ^ { \prime } } = \prod _ { X _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } \in { \it G } } \prod _ { \left( n _ { i ^ { \prime } } ^ { * } \right) _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { k } } \left\langle U _ { \lambda } \left( w \right) \right\rangle _ { w _ { n _ { i ^ { \prime } } ^ { * } } ^ { \prime } } ^ { \left( { \it G } _ { 1 } \right) _ { X _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } }
\begin{array} { r l } { H / \hbar = } & { { } \ \omega _ { c } c ^ { \dagger } c + \omega _ { m } m ^ { \dagger } m + \frac { \omega _ { a } } { 2 } S _ { z } + \frac { \omega _ { b } } { 2 } \left( q ^ { 2 } + p ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { \hat { R } _ { q } \hat { x } \hat { R } _ { q } ^ { \dagger } = \hat { x } \cos ( \frac { 2 \pi } { q } ) + \hat { p } \sin ( \frac { 2 \pi } { q } ) } \\ { \hat { R } _ { q } \hat { p } \hat { R } _ { q } ^ { \dagger } = - \hat { x } \sin ( \frac { 2 \pi } { q } ) + \hat { p } \cos ( \frac { 2 \pi } { q } ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { F } ^ { t } \mathbf { F } = \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \! \! \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \! \! \xi _ { m , k } \bigl ( \bigl ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) ^ { t } { + } \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } + \! \! \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \! \! \xi _ { m , k } ^ { 2 } \bigl ( \bigl ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) ^ { t } \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { b } - \mathbf { A x } _ { k } \| } & { = \| \mathbf { b } - \mathbf { A } \left( \mathbf { x } _ { 0 } + \mathbf { V } _ { k } \mathbf { y } \right) \| } \\ & { = \| \mathbf { r } _ { 0 } - \mathbf { A V } _ { k } \mathbf { y } \| } \\ & { = \| \beta \mathbf { v } _ { 1 } - \mathbf { V } _ { k + 1 } \widetilde { \mathbf { H } } _ { k } \mathbf { y } \| } \\ & { = \| \mathbf { V } _ { k + 1 } \left( \beta \mathbf { e } _ { 1 } - \widetilde { \mathbf { H } } _ { k } \mathbf { y } \right) \| } \\ & { = \| \beta \mathbf { e } _ { 1 } - \widetilde { \mathbf { H } } _ { k } \mathbf { y } \| , } \end{array}
\big \lVert \mathcal { I } _ { \infty , \nu } ^ { \gamma } ( k , t ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } = \sum _ { n = 0 } ^ { k } \sum _ { \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } \in \mathcal { A } ( k , n ) } \sum _ { \kappa \in \mathcal { S } _ { n } } \sum _ { \alpha , \tilde { \alpha } \in \mathbb { N } ^ { k } } \mathcal { T } ( n , \alpha , \tilde { \alpha } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \kappa ) ,
\tilde { \nabla } \cdot \tilde { \nabla } ( \tilde { \nabla } \cdot \tilde { \mathbf { u } } _ { \theta } ) = - \tilde { \nabla } \cdot \tilde { \nabla } ~ \tilde { \eta } _ { \tilde { t } } - \tilde { \nabla } \cdot \tilde { \nabla } ~ { \tilde { \zeta } } _ { \tilde { t } } + O ( \varepsilon , \beta , \sigma ^ { 2 } ) \ ,
D ^ { ' } = \frac { R G ^ { 2 } } { 1 - \gamma } \sqrt { \frac { 2 4 } { ( 1 - \gamma ) ^ { 4 } } + \frac { 2 4 H } { ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } + \frac { 1 2 H ^ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } + \frac { 4 H ^ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) } + H ^ { 4 } } + \frac { R L } { 1 - \gamma } \sqrt { \frac { 2 } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } + \frac { 2 H } { ( 1 - \gamma ) } + H ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \langle F _ { y } ( t ) F _ { y } ( t ^ { \prime } ) \rangle = \sum _ { i } \Biggl \{ \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } ^ { 2 } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } \Bigr ) + \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } ^ { 4 } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t } + e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } + e ^ { - \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } \Bigr ) } \\ & { - \Bigl [ \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } ^ { 2 } } + \dot { \gamma } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } ^ { 3 } } \Bigr ] \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } \Bigr ) + \Bigl [ - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } ^ { 2 } } + \dot { \gamma } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } ^ { 3 } } \Bigr ] \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t } - e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } - e ^ { - \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } \Bigr ) \Biggr \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { \eta } ( s , t ) = } & { ( s - 2 ) F ( s ; \eta , 1 ) + s ( 1 - t ) F ( t ; \eta , 1 ) + 2 \mathbb { E } \big [ X \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} \big ] + \mathbb { E } \big [ X ^ { 2 } \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} \big ] } \\ & { + \mathbb { E } \big [ X \mathbf { 1 } \{ X \leq t \} \big ] + \mathbb { E } \big [ R ( s ; \eta ) r ( t ; \eta ) \big ] + \mathbb { E } \big [ R ( t ; \eta ) r ( s ; \eta ) \big ] + \mathbb { E } \big [ r ( s ; \eta ) r ( t ; \eta ) \big ] } \end{array}
\widetilde { \nu } _ { e ^ { - } } = \int _ { 0 } ^ { L } d z P e ^ { \frac { z } { \lambda _ { R R E A } } } \frac { d N _ { b e a m } } { d z } = \frac { P } { \widetilde { \lambda } } \int _ { 0 } ^ { L } d z e ^ { \frac { 1 } { \lambda _ { R R E A } } - \frac { 1 } { \widetilde { \lambda } } }
\begin{array} { r l } & { U _ { k } = d _ { 0 } \sigma _ { 0 } - i d _ { 1 } \sigma _ { 1 } - i d _ { 2 } \sigma _ { 2 } - i d _ { 3 } \sigma _ { 3 } , } \\ & { U _ { k } ^ { \dagger } = d _ { 0 } ^ { \ast } \sigma _ { 0 } + i d _ { 1 } ^ { \ast } \sigma _ { 1 } + i d _ { 2 } ^ { \ast } \sigma _ { 2 } + i d _ { 3 } ^ { \ast } \sigma _ { 3 } } \end{array}