harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \partial _ { t t } - 3 v _ { t h } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } + \omega _ { p e } ^ { 2 } \right) \tilde { n } _ { e } = \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { 4 \pi e c } \nabla ^ { 2 } ( \vec { \tilde { A } } _ { s } \cdot \vec { a } _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { \tilde { R } _ { i j k } ^ { l } \ } & { = \ \partial _ { i } \tilde { \Gamma } _ { j k } ^ { l } - \partial _ { j } \tilde { \Gamma } _ { i k } ^ { l } - \tilde { \Gamma } _ { i k } ^ { m } \tilde { \Gamma } _ { j m } ^ { l } + \tilde { \Gamma } _ { j k } ^ { m } \tilde { \Gamma } _ { i m } ^ { l } } \\ & { = \ \mathring { R } _ { i j k } ^ { l } + \frac 1 2 \big ( \mathring { \nabla } _ { i } \Upsilon _ { j k } ^ { l } - \mathring { \nabla } _ { j } \Upsilon _ { i k } ^ { l } - \frac 1 2 \Upsilon _ { i k } ^ { m } \Upsilon _ { j m } ^ { l } + \frac 1 2 \Upsilon _ { j k } ^ { m } \Upsilon _ { i m } ^ { l } \big ) \, , } \end{array}
\overline { { C ( N , N _ { 0 } , \alpha , \beta ) _ { P A } } } \approx \frac { 1 } { R + 1 } + \frac { R } { R + 1 } \frac { \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) - \alpha - \beta } { 2 } ) } N ^ { \frac { - \alpha - \beta } { 2 } } .
{ \cal P } _ { \mu } \approx 2 \frac { \mathrm { R e } C _ { 9 } C _ { 1 0 } ^ { * } } { \left| C _ { 9 } \right| ^ { 2 } + \left| C _ { 1 0 } \right| ^ { 2 } } + { \cal O } \left( C _ { 7 } \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { e m b } ^ { i } } & { = \sum _ { a , b = 1 } ^ { { \nu } _ { i } } \left[ \Lambda _ { i } \right] _ { a b } f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } + \sum _ { a = 1 } ^ { { \nu } _ { i } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \left[ \mathcal { D } _ { i } ^ { 0 } \right] _ { a \alpha } c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i a } ^ { \dagger } + \sum _ { a , b = 1 } ^ { { \nu } _ { i } } \left[ \Lambda _ { i } ^ { c } \right] _ { a b } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } b _ { i a } ^ { \dagger } \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = \sum _ { m } J _ { \mathrm { L } } c _ { m } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta _ { \mathrm { L } } \sigma _ { y } } c _ { m + 1 } + J _ { \mathrm { R } } c _ { m + 1 } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta _ { \mathrm { R } } \sigma _ { x } } c _ { m } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { i j } = \frac { \delta \phi _ { i j } } { \delta u _ { i j } } = \frac { E A } { 2 \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) x d x } \frac { \omega ( r _ { i j } ) u _ { i j } } { | r _ { i j } | } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigg ( 1 , \ g ( a , s ) \bigg ) \left\{ { \mathcal M } _ { 0 } ( s ) \left( \begin{array} { c } { \Sigma _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( s ) } \\ { \Sigma _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( s ) } \end{array} \right) + { \mathcal M } _ { 1 } ( s ) \left( \begin{array} { c } { \Sigma _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( s ) } \\ { \Sigma _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( s ) } \end{array} \right) \right\} = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { { \frac { d } { d x } } \sinh x } & { = \cosh x } \\ { { \frac { d } { d x } } \cosh x } & { = \sinh x } \\ { { \frac { d } { d x } } \operatorname { t a n h } x } & { = 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } x = \operatorname { s e c h } ^ { 2 } x = { \frac { 1 } { \cosh ^ { 2 } x } } } \\ { { \frac { d } { d x } } \coth x } & { = 1 - \coth ^ { 2 } x = - \operatorname { c s c h } ^ { 2 } x = - { \frac { 1 } { \sinh ^ { 2 } x } } } & & { x \neq 0 } \\ { { \frac { d } { d x } } \operatorname { s e c h } x } & { = - \operatorname { t a n h } x \operatorname { s e c h } x } \\ { { \frac { d } { d x } } \operatorname { c s c h } x } & { = - \coth x \operatorname { c s c h } x } & & { x \neq 0 } \end{array} }
W _ { q } \approx 2 \sqrt { \ln ( 2 ) } \pi ^ { 3 / 2 } A \left( \frac { L _ { \mathrm { b s } } } { \lambda _ { q } } \right) \left( \frac { L + D } { \lambda _ { q } } \right) \exp { - \frac { 4 \ln ( 2 ) L _ { \mathrm { b s } } ^ { 2 } } { L _ { \mathrm { c o h } } ^ { 2 } } } \, ,
\bigotimes _ { 0 } ^ { n - 1 } ( H | 0 \rangle ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } { \Big ( } | 0 \rangle + | 1 \rangle + \dots + | 2 ^ { n } - 1 \rangle { \Big ) } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } \sum _ { i = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } | i \rangle
\Pi ^ { ( 1 ) } ( p _ { + } ) \Pi ^ { ( 2 ) } ( p _ { - } ) \chi _ { k } ( p ) + \int { \frac { d ^ { 4 } p ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } V ( p , p ^ { \prime } ; k ) \chi _ { k } ( p ^ { \prime } ) = 0 \; .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } d _ { k } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } d _ { k } \left( f ( x _ { k } ) - f _ { * } \right) } & { \leq \frac { 8 D } { ( n + 1 ) } \sqrt { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } + \frac { 4 D } { n + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \gamma _ { k } \| g _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { c } ^ { \star } ( \bar { \psi } \star V \wedge _ { \star } D ^ { \mathrm { \tiny ~ L , R } } \psi ) } & { = \delta _ { c } ^ { \star } \bar { \psi } \star V \wedge _ { \star } D ^ { \mathrm { \tiny ~ L , R } } \psi + \mathsf { R } _ { \alpha } ( \bar { \psi } ) \star V \wedge _ { \star } \delta _ { \mathsf { R } ^ { \alpha } ( c ) } ^ { \star } D ^ { \mathrm { \tiny ~ L , R } } \psi } \\ & { = - { \mathrm { i } } \, \mathsf { R } _ { \alpha } ( \bar { \psi } ) \star \mathsf { R } ^ { \alpha } ( c ) \star V \wedge _ { \star } D ^ { \mathrm { \tiny ~ L , R } } \psi } \\ & { \quad \, + { \mathrm { i } } \, \mathsf { R } _ { \alpha } ( \bar { \psi } ) \star \big ( \mathsf { R } ^ { \alpha } ( c ) \star V - V \star \mathsf { R } ^ { \alpha } ( c ) \big ) \wedge _ { \star } D ^ { \mathrm { \tiny ~ L , R } } \psi } \\ & { \quad \, + { \mathrm { i } } \, \mathsf { R } _ { \alpha } ( \bar { \psi } ) \star V \wedge _ { \star } \mathsf { R } ^ { \alpha } ( c ) \star D ^ { \mathrm { \tiny ~ L , R } } \psi \ = \ 0 \ . } \end{array}
\textbf { H } _ { d e m } \left( z \right) = - \frac { M _ { S } } { 3 } \nabla _ { \textbf { r } } \left( R ^ { 2 } \frac { R } { r ^ { 2 } } \cos \theta \right) = 2 \frac { M _ { S } R ^ { 3 } } { 3 } \frac { \cos \theta } { r ^ { 3 } } \hat { \mathbf { r } } + \frac { M _ { S } R ^ { 3 } } { 3 } \frac { \sin \theta } { r ^ { 3 } } \hat { \boldsymbol { \theta } } ,
\phi _ { i j } ( x ^ { - } , 0 ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d k ^ { + } } { \sqrt { 2 k ^ { + } } } \left( a _ { i j } ( k ^ { + } ) \mathrm { e } ^ { - i k ^ { + } x ^ { - } } + a _ { j i } ^ { \dag } ( k ^ { + } ) \mathrm { e } ^ { i k ^ { + } x ^ { - } } \right) ,
\Psi _ { B } ^ { ( \cal R ) } \; = \; ( - ) ^ { S _ { 3 } - 1 / 2 } \sqrt { \mathrm { d i m } ( \cal R ) } \left[ D _ { ( Y T T _ { 3 } ) ( - 1 S S _ { 3 } ) } ^ { ( \cal R ) } \right] ^ { * } .
\begin{array} { r l } { \langle \phi ( \mathcal { A } _ { t + \Delta t } , \mathcal { C } ) \rangle } & { = \langle ( 1 - p ) \phi ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { C } ) \rangle + \langle p \phi ( \mathcal { A } _ { t } ^ { \prime } , \mathcal { C } ) \rangle } \\ & { = \langle \phi ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { C } ) \rangle + \langle p \phi ( L ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { A } _ { t } ^ { * } ) + \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { C } ) \rangle - \langle p \phi ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { C } ) \rangle \, . } \end{array}
{ \Gamma } _ { \Upsilon ( 1 S ) { \rightarrow } \gamma _ { s } b \bar { b } [ { } ^ { 1 } \! S _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ] } ^ { M 1 } \ { \simeq } \ \frac { 1 6 \alpha } { 3 } \biggl ( \frac { Q _ { b } } { 2 m _ { b } } \biggr ) ^ { 2 } k ^ { 3 }
\begin{array} { r } { q _ { 0 } ( t ) = \frac { g \sin ( \theta ) h _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \nu } \left[ 1 + \frac { a \cos ( \omega t ) } { ( 2 h _ { 0 } ^ { 2 } / 3 l _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 } + \frac { 2 h _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 l _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ } } ^ { 2 } } \frac { a \sin ( \omega t ) } { ( 2 h _ { 0 } ^ { 2 } / 3 l _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 } \right] , } \end{array}
i \partial _ { t } \psi = - \nabla ^ { 2 } \psi + i \omega \widehat { \mathbf { r } } \cdot \nabla _ { \mathbf { r } } \psi + \sigma \ln ( | \psi | ^ { 2 } ) | \psi | ^ { 2 } \psi + [ V ( \mathbf { r } ) + i W ( \mathbf { r } ) ] \psi ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf u } ( { \bf k } ) \equiv \hat { \bf u } _ { k } } & { { } = } & { \hat { \phi } _ { k } ^ { u } ( k ^ { 2 } { \bf e _ { \parallel } } - k _ { \parallel } { \bf k } ) + i \hat { \xi } _ { k } { \bf k } \, , } \\ { \hat { \bf b } ( { \bf k } ) \equiv \hat { \bf b } _ { k } } & { { } = } & { \hat { \phi } _ { k } ^ { b } ( k ^ { 2 } { \bf e _ { \parallel } } - k _ { \parallel } { \bf k } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { e ^ { - i x t } } { 2 } - \frac { P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , \kappa } ^ { \cos } ( x ) - i P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , \kappa } ^ { \sin } ( x ) } { 2 } \right| } \\ & { \quad \leq \left| \frac { \kappa \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } e ^ { - i x t } } { 2 } \right| + \left| \frac { \kappa e ^ { - i x t } } { 2 } - \frac { P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , \kappa } ^ { \cos } ( x ) - i P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , \kappa } ^ { \sin } ( x ) } { 2 } \right| } \\ & { \quad \leq \frac { \kappa \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } } { 2 } + \kappa \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } } \\ & { \quad = \frac { 3 \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } } { 2 ( 1 + \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } ) } < \frac { 3 } { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , } \end{array}
1 - p = \frac { \left( n _ { e } ^ { - } \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } \sigma _ { s } ^ { - } \right) } { \left( n _ { e } ^ { - } \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } \sigma _ { s } ^ { - } + n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \right) }
F _ { 0 } \left( t _ { 0 } \right) = \left[ v ^ { - 1 } t _ { 0 } ^ { - 2 } \left( { \frac { 2 } { b + 2 } } \right) \left( { \frac { b + 2 } { 3 b } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / b } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { t e r m ~ 2 } } & { = \int - \left( \frac { 1 } { n _ { h } } \left( \int ( { \mathbf A } _ { h } - { \mathbf p } ) f _ { h } \mathrm { d } { \mathbf p } \right) \times ( \nabla \times { \mathbf A } _ { h } ) \right) ^ { \top } { \mathbf C } \mathrm { d } { \mathbf x } } \\ & { \approx \int \left( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } \right) \cdot \left( \frac { 1 } { n _ { h } } \Pi _ { L ^ { 2 } } \left( \int ( { \mathbf A } _ { h } - { \mathbf p } ) f _ { h } \mathrm { d } { \mathbf p } \right) \times { \mathbf C } \right) \mathrm { d } { \mathbf x } } \\ & { = { \mathbf c } ^ { \top } \mathbb { F } ( { \mathbf a } ) \mathbb { M } _ { 1 } ^ { - 1 } \left( { \mathbb P } _ { 1 } ^ { \top } \mathbb { W } { \mathbb P } _ { 1 } { \mathbf a } - \mathbb { P } _ { 1 } ^ { \top } \mathbb { W } { \mathbf P } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \hat { a } } \ } & { { } = } & { - \left( \mathrm { i } \Delta + \frac { \kappa } { 2 } \right) \hat { a } - \sum _ { i } ^ { N } \mathrm { i } G _ { i } \hat { q } _ { i } + \sqrt { \kappa } \hat { a } ^ { \mathrm { i n } } , } \\ { \dot { \hat { q } } _ { i } } & { { } = } & { \ \Omega _ { i } \hat { p } _ { i } , } \\ { \dot { \hat { p } } _ { i } } & { { } = } & { - \Omega _ { i } \hat { q } _ { i } - \gamma _ { i } \hat { p } _ { i } - G _ { i } \left( \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } \right) - f _ { i } + \hat { \xi } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \sqrt { \operatorname* { d e t } [ \widetilde { \mathbf { D } } ( x , y ) ] } } & { = \theta _ { 1 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } ( x , y ) \, \theta _ { 2 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } ( x , y ) } \\ & { = F ( x , y ) \, \theta _ { 1 } ( x , y ) \, \theta _ { 2 } ( x , y ) } \\ & { = ( 1 / \pi ) \, F ( x , y ) \, \mathrm { d } \Omega ( x , y ) . } \end{array}
\sigma _ { \Delta y } ^ { 2 } = \sum _ { i \neq \kappa } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \Delta \epsilon _ { i } ) v _ { i } ^ { 2 } + \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \Delta \epsilon _ { \kappa } ) v _ { \kappa } ^ { 2 } \; ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \log \mathbb { E } \left[ 1 - \frac { 2 \eta \sigma ^ { 2 } } { b } X + \frac { \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } ( X ^ { 2 } + X Y ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 - 2 \mathbb { E } [ \eta ] \sigma ^ { 2 } + \frac { \mathbb { E } [ \eta ^ { 2 } ] \sigma ^ { 4 } } { b } ( d + b + 1 ) \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathrm { T o r } \left( X _ { 0 } , X \right) , J X \right\rangle } & { = \left\langle \nabla _ { X _ { 0 } } X + \left[ X _ { 0 } , X \right] , J X \right\rangle , } \\ { \left\langle \mathrm { T o r } \left( X _ { 0 } , J X \right) , X \right\rangle } & { = \left\langle \nabla _ { X _ { 0 } } J X + \left[ X _ { 0 } , J X \right] , X \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { h } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { N _ { B Z } } } u _ { { \bf G } } ^ { h } ( { \bf r } ) \exp \left( i { \bf k } \cdot { \bf r } \right) , } \\ { u _ { \bf G } ^ { h } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } } \exp \left( i { \bf G } \cdot { \bf r } \right) . } \end{array}
F ( 9 0 ^ { \circ } ) = \omega _ { H } [ \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } ^ { 2 } + \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ^ { 2 } ( 1 + \omega _ { M } / \omega _ { H } ) ]
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } ( \mathbf { g } ) } & { = - i \frac { \Delta _ { + } ^ { * } \nabla _ { \mathbf { g } } \Delta _ { + } } { | \Delta _ { + } | ^ { 2 } } = \nabla _ { \mathbf { g } } \arg \Delta _ { + } ( \mathbf { g } ) , \qquad \mathcal { F } ( \mathbf { g } ) = \nabla _ { \mathbf { g } } \times \mathcal { A } ( \mathbf { g } ) = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = R ^ { \mathsf { T } } 0 + 0 } \\ & { = R ^ { \mathsf { T } } \left( R - I \right) \mathbf { u } + \left( R - I \right) \mathbf { u } } \\ & { = \left( R ^ { \mathsf { T } } R - R ^ { \mathsf { T } } + R - I \right) \mathbf { u } } \\ & { = \left( I - R ^ { \mathsf { T } } + R - I \right) \mathbf { u } } \\ & { = \left( R - R ^ { \mathsf { T } } \right) \mathbf { u } } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { ( a + b \alpha + c \alpha ^ { 2 } + d \alpha ^ { 3 } ) + ( e + f \alpha + g \alpha ^ { 2 } + h \alpha ^ { 3 } ) } & { = ( a + e ) + ( b + f ) \alpha + ( c + g ) \alpha ^ { 2 } + ( d + h ) \alpha ^ { 3 } } \\ { ( a + b \alpha + c \alpha ^ { 2 } + d \alpha ^ { 3 } ) ( e + f \alpha + g \alpha ^ { 2 } + h \alpha ^ { 3 } ) } & { = ( a e + b h + c g + d f ) + ( a f + b e + b h + c g + d f + c h + d g ) \alpha \; + } \\ & { \quad \; ( a g + b f + c e + c h + d g + d h ) \alpha ^ { 2 } + ( a h + b g + c f + d e + d h ) \alpha ^ { 3 } } \end{array} }
{ \begin{array} { r c c c c c } & { a \cos ( \beta - \gamma ) } & { : } & { b \cos ( \gamma - \alpha ) } & { : } & { c \cos ( \alpha - \beta ) } \\ { = } & { 1 + \cos \beta \cos \gamma } & { : } & { 1 + \cos \gamma \cos \alpha } & { : } & { 1 + \cos \alpha \cos \beta } \\ { = } & { a ^ { 2 } ( b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) - ( b ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } & { : } & { b ^ { 2 } ( c ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) - ( c ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } & { : } & { c ^ { 2 } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) - ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \sqrt { \theta } ^ { l _ { 1 } + l _ { 2 } } m ! \sum _ { k _ { 3 } = 0 } ^ { l _ { 1 } } \sum _ { k _ { 4 } = 0 } ^ { l _ { 2 } } \frac { ( - 1 ) ^ { k _ { 3 } } } { ( l _ { 1 } - k _ { 3 } ) ! k _ { 3 } ! } \frac { ( - 1 ) ^ { k _ { 4 } } } { ( l _ { 2 } - k _ { 4 } ) ! k _ { 4 } ! } \frac { \Gamma ( \theta N ) \Gamma ( \theta N + l _ { 1 } + l _ { 2 } - k _ { 3 } - k _ { 4 } ) } { \Gamma ( \theta N + l _ { 1 } - k _ { 3 } ) \Gamma ( \theta N + l _ { 2 } - k _ { 4 } ) } } \\ { = } & { \sqrt { \theta } ^ { l _ { 1 } + l _ { 2 } } m ! \sum _ { k _ { 3 } = 0 } ^ { l _ { 1 } } \sum _ { k _ { 4 } = 0 } ^ { l _ { 2 } } \frac { ( - 1 ) ^ { l _ { 1 } - k _ { 3 } } } { ( l _ { 1 } - k _ { 3 } ) ! k _ { 3 } ! } \frac { ( - 1 ) ^ { l _ { 2 } - k _ { 4 } } } { ( l _ { 2 } - k _ { 4 } ) ! k _ { 4 } ! } \frac { \Gamma ( \theta N ) \Gamma ( \theta N + + k _ { 3 } + k _ { 4 } ) } { \Gamma ( \theta N + k _ { 3 } ) \Gamma ( \theta N + k _ { 4 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { O M } ^ { \pm } | x | ^ { - \frac { 1 } { 2 } + i \rho } } & { = \left( 1 - 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } - i ( \rho - \rho _ { 0 } \pm \frac { \omega } { 2 } ) } \right) \left( 1 - 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } + i ( \rho + \rho _ { 0 } \pm \frac { \omega } { 2 } ) } \right) \times } \\ & { \times \zeta \left( \frac { 1 } { 2 } + i \left( \rho - \rho _ { 0 } \pm \frac { \omega } { 2 } \right) \right) \zeta \left( \frac { 1 } { 2 } - i \left( \rho + \rho _ { 0 } \pm \frac { \omega } { 2 } \right) \right) | x | ^ { - \frac { 1 } { 2 } + i \rho } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \pi \mathbb { Z } + \left( - { \frac { \pi } { 2 } } , { \frac { \pi } { 2 } } \right) } & { = \cdots \cup { \bigl ( } { - { \frac { 3 \pi } { 2 } } } , { - { \frac { \pi } { 2 } } } { \bigr ) } \cup { \bigl ( } { - { \frac { \pi } { 2 } } } , { \frac { \pi } { 2 } } { \bigr ) } \cup { \bigl ( } { \frac { \pi } { 2 } } , { \frac { 3 \pi } { 2 } } { \bigr ) } \cup \cdots } \\ & { = \mathbb { R } \setminus \left( { \frac { \pi } { 2 } } + \pi \mathbb { Z } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { R _ { u u } ( r _ { 0 } + \Delta r , \Delta \theta ) = \frac { \langle u ( r _ { 0 } + \Delta r , \theta _ { 0 } + \Delta \theta ) ~ u ( r _ { 0 } , \theta _ { 0 } ) \rangle } { u _ { r m s } ^ { 2 } } } \end{array}
P _ { q \gamma } = e _ { q } ^ { 2 } N _ { C } \left[ x ^ { 2 } + ( 1 - x ) ^ { 2 } \right] \; \; , \qquad \Delta P _ { q \gamma } = e _ { q } ^ { 2 } N _ { C } ( 2 x - 1 ) \; \; ,
h _ { l _ { 1 } l _ { 2 } } ^ { m } \equiv \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \mathrm { d } \phi \int _ { - \cos { \theta _ { \mathrm { a c c } } } } ^ { \cos { \theta _ { \mathrm { a c c } } } } \! \! \mathrm { d } ( \cos { \theta } ) \: Y _ { l _ { 1 } m } ^ { * } ( \theta , \phi ) \, Y _ { l _ { 2 } m } ( \theta , \phi )
f ( T ) = \frac { | x _ { 0 } - a | } { 2 \sqrt { \pi } } \frac { e ^ { - \frac { ( x _ { 0 } - a ) ^ { 2 } } { 4 S ( t ) } } } { S ^ { 3 / 2 } ( T ) } \frac { d } { d T } S ( T ) ,
\begin{array} { l } { \displaystyle \Big \| \nabla \mathbf { u } _ { h } - \frac { 1 } { \nu } \big ( { \boldsymbol \sigma } _ { h } + ( \mathbf { u } _ { h } \otimes \mathbf { u } _ { h } ) \big ) ^ { \mathrm { d } } \Big \| _ { 0 , T } } \\ { \displaystyle \quad \leq \, C _ { 1 } \, \Big \{ \| \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { h } \| _ { 1 , T } + \| { \boldsymbol \sigma } - { \boldsymbol \sigma } _ { h } \| _ { 0 , T } + \| \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { h } \otimes \mathbf { u } _ { h } \| _ { 0 , T } \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \bar { D } } { D \tau } \left( \frac { p ^ { \prime } } { \bar { \gamma } \bar { p } } \right) + \Tilde { u } \frac { \partial } { \partial \eta } \left( \frac { u ^ { \prime } } { \bar { u } } \right) - \frac { \bar { D } } { D \tau } \left( \frac { s ^ { \prime } } { \bar { c } _ { p } } \right) - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left( \bar { \aleph } _ { 1 , i } + \bar { \psi } _ { 1 , i } \right) \frac { \bar { D } Y _ { i } ^ { \prime } } { D \tau } + \tilde { u } \frac { d \log \bar { p } ^ { \frac { 1 } { \bar { \gamma } } } } { d \eta } \frac { d \log \gamma } { d Y _ { i } } Y _ { i } ^ { \prime } \right) = 0 , } \\ & { \frac { \bar { D } } { D \tau } \left( \frac { u ^ { \prime } } { \bar { u } } \right) + \frac { 1 } { \bar { \gamma } } \left( \frac { \Tilde { u } } { \Tilde { M } ^ { 2 } } \right) \frac { \partial } { \partial \eta } \frac { p ^ { \prime } } { \bar { p } } + \Bigg ( 2 \frac { u ^ { \prime } } { \bar { u } } + \left( 1 - \bar { \gamma } \right) \frac { p ^ { \prime } } { \bar { \gamma } \bar { p } } - \frac { s ^ { \prime } } { \bar { c } _ { p } } - \left( \bar { \aleph } _ { 1 , i } + \bar { \psi } _ { 1 , i } + \bar { \phi } _ { 1 , i } \right) Y _ { i } ^ { \prime } - \bar { \Theta } \Bigg ) \left( \frac { \partial \Tilde { u } } { \partial \eta } \right) = 0 , } \\ & { \frac { \bar { D } } { D \tau } \left( \frac { s ^ { \prime } } { \bar { c } _ { p } } \right) = - \frac { 1 } { \bar { T } \bar { c } _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { \bar { \mu } _ { i } } { \bar { W } _ { i } } \right) \tilde { \dot { \omega _ { i } ^ { \prime } } } , } \\ & { \frac { \bar { D } Y _ { i } ^ { \prime } } { D \tau } = \tilde { \dot { \omega _ { i } ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf v } = \frac { i } { \hbar } [ H , { \bf R } ] = \frac { i } { \hbar } \sum _ { i , j } ( { \bf R } _ { i } - { \bf R } _ { j } ) t _ { i j } \vert i \rangle \langle j \vert \, . } \end{array}
d _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { + 4 \, } & { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ o ~ n ~ g ~ e ~ s ~ t ~ b ~ e ~ l ~ i ~ e ~ f ~ } } \\ { + 3 \, } & { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ o ~ n ~ g ~ b ~ e ~ l ~ i ~ e ~ f ~ } } \\ { + 2 \, } & { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ r ~ a ~ t ~ e ~ b ~ e ~ l ~ i ~ e ~ f ~ } } \\ { + 1 \, } & { \mathrm { ~ w ~ e ~ a ~ k ~ b ~ e ~ l ~ i ~ e ~ f ~ } } \\ { 0 \, } & { \mathrm { ~ u ~ n ~ d ~ e ~ c ~ i ~ d ~ e ~ d ~ } } \\ { - 1 \, } & { \mathrm { ~ w ~ e ~ a ~ k ~ d ~ i ~ s ~ b ~ e ~ l ~ i ~ e ~ f ~ } } \\ { - 2 \, } & { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ r ~ a ~ t ~ e ~ d ~ i ~ s ~ b ~ e ~ l ~ i ~ e ~ f ~ } } \\ { - 3 \, } & { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ o ~ n ~ g ~ d ~ i ~ s ~ b ~ e ~ l ~ i ~ e ~ f ~ } } \\ { - 4 \, } & { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ o ~ n ~ g ~ e ~ s ~ t ~ d ~ i ~ s ~ b ~ e ~ l ~ i ~ e ~ f ~ } } \end{array} \right. \, .
\frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } \ddot { f } _ { \omega / \epsilon } ( \epsilon t ) + \Big [ \frac { v _ { f } } { v _ { i } } \frac { \omega ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } } + m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \epsilon t ) \Big ] f _ { \omega / \epsilon } ( \epsilon t ) = 0 .
{ \cal E } _ { n l } ( t ) = \frac { 1 } { 8 } \int _ { \varepsilon } ^ { 1 } d \rho ( K _ { 1 } \Psi ) ( K _ { 2 } \Psi ) - \frac { 1 } { 8 } \int _ { \varepsilon } ^ { 1 } d \rho ( K _ { 3 } \Psi ) ( K _ { 4 } \Psi ) ,
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { \nu } ^ { k + 1 } = c _ { \nu } \frac { \alpha } { 2 } \widetilde \delta _ { \nu } ^ { k , n + 1 } + c _ { \nu } \frac { \alpha ( ( [ \delta _ { \nu } ^ { k , n + 1 } ] _ { + } ) ^ { \alpha - 1 } - \widetilde \delta _ { \nu } ^ { k , n + 1 } ) } { 2 ( \delta _ { \nu } ^ { k , n + 1 } - \delta _ { \nu } ^ { n } ) } ( \delta _ { \nu } ^ { k + 1 , n + 1 } - \delta _ { \nu } ^ { k , n + 1 } ) . } \end{array}
\langle a _ { { \bf { k } } } ^ { t \dagger } ( - { \bf { q } } ) \rangle = U _ { e x t } ^ { * } ( - { \bf { q } } , t ) C _ { { \bf { k } } } ^ { * } ( - { \bf { q } } ) + U _ { e x t } ( { \bf { q } } , t ) D _ { { \bf { k } } } ^ { * } ( - { \bf { q } } )
\begin{array} { r l } { \ddot { x } ( t ) } & { = - \; \frac { \Omega _ { R F } ^ { 2 } } { 4 } \left( a _ { x } - 2 q _ { x } \cos ( \Omega _ { R F } t ) \right) \ \left( x ( t ) + p _ { x } / Q \right) } \\ { \ddot { y } ( t ) } & { = - \; \frac { \Omega _ { R F } ^ { 2 } } { 4 } \left( a _ { y } - 2 q _ { y } \cos ( \Omega _ { R F } t ) \right) \ \left( y ( t ) + p _ { y } / Q \right) } \\ { \ddot { z } ( t ) } & { = - \; \frac { \Omega _ { R F } ^ { 2 } } { 4 } \; a _ { z } \ \left( z ( t ) + p _ { z } / Q \right) } \end{array}