harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { W } _ { m } , \, \hat { W } _ { n } \bigr ] } & { = 0 , } \\ { \bigl [ \hat { C } _ { m } , \, \hat { C } _ { n } \bigr ] } & { = 0 , } \\ { \bigl [ \hat { W } _ { m } , \, \hat { C } _ { n } \bigr ] } & { = \frac { \delta _ { n m } } { \sqrt { 2 } } \left\{ \bigl ( f _ { n } , \hat { \phi } \bigr ) - \bigl ( \hat { \phi } , f _ { n } \bigr ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( { \bf M } { \bf z } \right) _ { j } = { \bf z } _ { j } V _ { j } + \frac { 1 } { 4 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \nabla { \bf z } _ { i } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { j } ) , } \end{array}
- \frac { i w ^ { 3 } } { 2 \sqrt { 2 } \pi } e ^ { - \frac { w ^ { 2 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } ) } { 4 } } ( k _ { x } \hat { \mathbf { x } } + k _ { y } \hat { \mathbf { y } } )
\delta n _ { 1 } ^ { f } \approx 5 . 5 \times \, \frac { \lambda ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 4 } } \, ( \frac { T } { M } ) ^ { 1 . 3 5 } \, n _ { \varphi } \approx 0 . 8 9 \times 1 0 ^ { - 5 } \, \lambda ^ { 2 } \, ( \frac { T } { M } ) ^ { 1 . 3 5 } \, n _ { \varphi } \, .
\begin{array} { r l } { I ( \epsilon ) \sim I _ { 0 } ( \epsilon ) \Bigg ( } & { 1 + \frac { g ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) \epsilon } { 2 g ( \tilde { x } ) f ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) } - \frac { g ^ { ( 1 ) } ( \tilde { x } ) f ^ { ( 3 ) } ( \tilde { x } ) \epsilon } { 2 g ( \tilde { x } ) [ f ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) ] ^ { 2 } } } \\ & { - \frac { f ^ { ( 4 ) } ( \tilde { x } ) \epsilon } { 8 [ f ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) ] ^ { 2 } } + \frac { 5 [ f ^ { ( 3 ) } ( \tilde { x } ) ] ^ { 2 } \epsilon } { 2 4 [ f ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) ] ^ { 3 } } + \mathcal { O } \left( \epsilon ^ { 2 } \right) \Bigg ) . } \end{array}
( \Gamma _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \cdots \mu _ { p } } ) ^ { T } = ( - 1 ) ^ { p } \, \Gamma _ { \mu _ { p } \cdots \mu _ { 2 } \mu _ { 1 } } = ( - 1 ) ^ { \frac { p ( p + 1 ) } { 2 } } \Gamma _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \cdots \mu _ { p } } .
\begin{array} { r l } { n _ { f } } & { { } = n _ { 0 } ( \omega ) + n _ { 2 } | \vec { E } | ^ { 2 } + \frac { n _ { 2 } \gamma _ { x x } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } ( | \vec { E } | ^ { 2 } ) } \end{array}
\mathrm { i } R ^ { \prime } / R = \left( 1 + \frac { A ^ { 2 } } { 4 } \right) \frac { \Gamma _ { m } } { 2 \Omega _ { m } } + 1 - \frac { B } { 4 } + \frac { A ^ { 2 } } { 2 } - f ^ { \prime } \frac { E _ { m } ^ { 1 } } { \Omega _ { m } } - \frac { 1 } { 1 + \frac { A ^ { 2 } } { 4 } } \left[ \left( \frac { B } { 8 } + \frac { A ^ { 4 } } { 1 6 } - \frac { A ^ { 2 } B } { 3 2 } \right) + \mathrm { i } \left( \frac { A } { 4 } + \frac { 3 A ^ { 3 } } { 1 6 } - \frac { A B } { 8 } \right) \right] ,
\{ q _ { i } , q _ { j } \} ^ { D } = \{ q _ { i } , q _ { j } \} - \sum _ { a , b = 1 } ^ { M } \{ q _ { i } , \Phi _ { a } \} ( \mathcal { C } ^ { - 1 } ) _ { a b } \{ \Phi _ { b } , q _ { j } \} \, ,
\begin{array} { r l } { C _ { 4 , k } ( \alpha , \beta , \gamma ) = \frac { 1 } { 1 2 \Gamma ( k + 1 ) } } & { \int _ { c - i \infty } ^ { c + i \infty } \frac { \mathrm { d } z } { 2 \pi i } \; \frac { \Gamma ( - z ) \Gamma ( - z + \gamma - 1 ) \Gamma ( - z - \delta + 1 ) \Gamma ( - z + \gamma - \delta ) \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } ( k + 2 z - \alpha - \beta - \gamma + \delta + 3 ) \right) } { 1 2 \Gamma ( k + 1 ) \Gamma ( - 2 z + \gamma - \delta ) \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } ( k + 2 z - \alpha - \beta - \gamma + \delta + 3 ) + \frac { 1 } { 2 } ( k + 2 z + \alpha + \beta - \gamma + \delta - 1 ) \right) } } \\ & { \times \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } ( k + 2 z + \alpha - \beta - \gamma + \delta + 1 ) \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } ( k + 2 z - \alpha + \beta - \gamma + \delta + 1 ) \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } ( k + 2 z + \alpha + \beta - \gamma + \delta - 1 ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { i n } } } & { = \mathrm { E } _ { 0 } \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } i ^ { l } \left( \delta _ { m , 1 } + \delta _ { m , - 1 } \right) } \\ { \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { i n } } } & { = \frac { \mathcal { E } } { c } \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } i ^ { l + 1 } \left( \delta _ { m , 1 } - \delta _ { m , - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \lambda ( H ( \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) S _ { n } ) ) \vert } & { = \left\vert \lambda \left( \frac { \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) S _ { n } + S _ { n } ^ { H } \mathcal { C } ^ { - 1 } ( \bar { f } ) } { 2 } \right) \right\vert } \\ & { \leq \left\Vert \frac { \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) S _ { n } + S _ { n } ^ { H } \mathcal { C } ^ { - 1 } ( \bar { f } ) } { 2 } \right\Vert _ { 2 } } \\ & { \leq \left\Vert \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) S _ { n } \right\Vert _ { 2 } \leq \left\Vert \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) \right\Vert _ { 2 } \epsilon \leq 2 \left\Vert \frac { 1 } { f } \right\Vert _ { \infty } \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } n } & { = - \nabla \cdot ( n \boldsymbol { u } ) , } \\ { \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } } & { = \frac { 1 } { n } ( \nabla \times \boldsymbol { b } ) \times \boldsymbol { b } , } \\ { \partial _ { t } \boldsymbol { b } } & { = \nabla \times ( \boldsymbol { u } \times \boldsymbol { b } ) - d _ { i } \nabla \times \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { b } } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { A } \int _ { B } n ( x _ { 0 } , x _ { t } ) ~ \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , v _ { t } C ) ( x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) } \\ { = } & { \int _ { A } \int _ { B } \frac { \mathrm { d } \mathcal { N } ( e ^ { - t } x _ { 0 } , v _ { t } C ) } { \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , v _ { t } C ) } ( x _ { t } ) \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , v _ { t } C ) ( x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) } \\ { = } & { \int _ { A } \int _ { B } \mathrm { d } \mathcal { N } ( e ^ { - t } x _ { 0 } , v _ { t } C ) ( x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) } \\ { = } & { \mathbb { P } [ X _ { 0 } \in A , X _ { t } \in B ] , } \end{array}
\frac { I _ { F i b e r \: C o u p l e d } } { I _ { 0 . 9 N A \: o b j e c t i v e } } \approx \frac { \int _ { \lambda = 5 5 0 n m } ^ { \lambda = 7 0 0 n m } I _ { F i b e r \: C o u p l e d } ( \lambda ) d \lambda \cdot 8 . 1 7 7 } { \int _ { \lambda = 5 5 0 n m } ^ { \lambda = 7 0 0 n m } I _ { 0 . 9 N A \: o b j e c t i v e } ( \lambda ) d \lambda \cdot 3 4 . 2 5 } = \frac { 9 8 3 0 0 \cdot 8 . 1 7 7 } { 2 3 7 5 0 0 \cdot 3 4 . 2 5 } \approx 0 . 0 9 8 8
\begin{array} { r l } { \int _ { V } \nabla \Psi _ { i } \boldsymbol { \cdot } ( \rho _ { 0 } \boldsymbol { v } ) \, \mathrm { d } V } & { = \underbrace { \int _ { S } \Psi _ { x } \, ( \rho _ { 0 } \boldsymbol { v } ) \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { 1 } _ { n } \, \mathrm { d } S } _ { 0 } - \int _ { V } \Psi _ { i } \, \nabla \boldsymbol { \cdot } ( \rho _ { 0 } \boldsymbol { v } ) \, \mathrm { d } V , } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f } \quad \nabla \boldsymbol { \cdot } ( \rho _ { 0 } \boldsymbol { v } ) = 0 , } \\ { - \int _ { V } \Psi _ { i } \, \nabla \boldsymbol { \cdot } ( \rho _ { 0 } \nabla \Phi ) \, \mathrm { d } V } & { \mathrm { i f } \quad \nabla \boldsymbol { \cdot } ( \rho _ { 0 } \boldsymbol { v } ) \neq 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } ( N = n ) = \frac { ( r ) ^ { ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) } \, ( r ) ^ { ( n _ { 2 } + n _ { 3 } ) } } { ( r ) ^ { ( n _ { 2 } ) } \, n _ { 1 } ! \, n _ { 2 } ! \, n _ { 3 } ! } \, x _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \, x _ { 2 } ^ { n _ { 2 } } \, x _ { 3 } ^ { n _ { 3 } } ( 1 - x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } + x _ { 1 } x _ { 3 } ) ^ { r } . } \end{array}
\wp ( z ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = z ^ { - 2 } + { \frac { 1 } { 2 0 } } g _ { 2 } z ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 8 } } g _ { 3 } z ^ { 4 } + O ( z ^ { 6 } )
\begin{array} { r l } { \widetilde { { \mathbf Y } } ( \tau ) } & { = \boldsymbol { \mathcal Q } ^ { { \mathrm T } } ( \tau ) ( { \mathbf Y } ( \tau ) - { \mathbf B } ( \tau ) ) } \\ { \widetilde { { \mathbf U } } ( \widetilde { { \mathbf Y } } , \tau ) } & { = \boldsymbol { \mathcal Q } ^ { { \mathrm T } } ( \tau ) \left( { \mathbf U } \left( \boldsymbol { \mathcal Q } ( \tau ) \widetilde { { \mathbf Y } } + { \mathbf B } ( \tau ) \right) - \dot { \boldsymbol { \mathcal Q } } ( \tau ) \widetilde { { \mathbf Y } } - \dot { { \mathbf B } } ( \tau ) \right) } \end{array}
\hat { S } ^ { 2 } = \hat { S _ { x } ^ { 2 } } + \hat { S _ { y } ^ { 2 } } + \hat { S _ { z } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { k = x , y , z } \Bigg ( \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { s , s ^ { \prime } } c _ { i , s } ^ { \dagger } \sigma _ { s , s ^ { \prime } } ^ { k } c _ { i , s ^ { \prime } } \Bigg ) ^ { 2 } .
\overline { { f } } \left( \mathcal { B } , \overline { { \mathcal { B } } } \right) > \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { s , n } ^ { c } - \frac { 2 } { R _ { n } } - \frac { 4 } { R _ { n + 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } [ w ] _ { s } \neq [ \overline { { w } } ] _ { s } , } \\ { \beta _ { n } ^ { c } - \frac { 2 } { R _ { n } } - \frac { 4 } { R _ { n + 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } [ w ] _ { s ( n ) + 1 } \neq [ \overline { { w } } ] _ { s ( n ) + 1 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 p _ { n + 1 } } \cdot \left( \beta _ { n } ^ { c } - \frac { 1 } { R _ { n } ^ { c } } - \frac { 2 } { \sqrt { l _ { n } } } \right) - \frac { 3 } { R _ { n + 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } w \neq \overline { { w } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \hat { \omega } ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta , s } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta , s } , x ) \wedge \hat { F } ( \eta , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \\ & { + 2 \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left. \frac { \partial } { \partial \eta _ { 2 } } \right| _ { \eta _ { 2 } = 0 } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta , s } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta , s } , x ) \wedge \sigma ( \eta , s ) \right] \mathrm { d } \eta _ { 1 } \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t + 1 } } } ) } & { \leq \mathbb { E } f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) - \frac { \eta K } { 2 } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } + \frac { \eta L ^ { 2 } K C _ { 1 } } { 2 } + 8 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } ( 2 L ^ { 2 } C _ { 3 } \eta ^ { 2 } \Big ( \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } m ^ { 2 ( Q - 1 ) } } } \\ & { + \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ^ { Q } ) ^ { 2 } } \Big ) + 2 \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } ) + \frac { 3 \eta ^ { 2 } K L } { 2 } \left( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } + \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) \| ^ { 2 } \right) } \\ & { \overset { a ) } { \leq } \mathbb { E } f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) + ( 1 6 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } - \frac { \eta K } { 2 } + 3 \eta ^ { 2 } K L ) \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } + \frac { 3 \eta ^ { 2 } K L } { 2 } \left( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } \right) } \\ & { + \frac { \eta K L ^ { 2 } C _ { 1 } } { 2 } + ( 1 6 \eta ^ { 5 } K ^ { 2 } L ^ { 4 } C _ { 3 } + 3 \eta ^ { 4 } K L ^ { 3 } C _ { 3 } ) \Big ( \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } m ^ { 2 ( Q - 1 ) } } + \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ^ { Q } ) ^ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
\mathrm { ~ D ~ a ~ } \geq \mathrm { ~ D ~ a ~ } _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ } } = \frac { ( 1 - \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } \{ \alpha , 1 \} ) ^ { 2 } } { 4 \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } \{ \alpha , 1 \} } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla F ( x _ { t } ) \| } & { \leq \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \big [ \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| + \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| \big ] \leq \frac { \sqrt { 2 M } m ^ { 1 / 4 } } { \sqrt { T } } + \frac { \sqrt { 2 M } } { T ^ { 1 / 4 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { x } } & { = } & { g _ { x 0 } \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, , } \\ { g _ { y } } & { = } & { g _ { y 0 } \, e ^ { - \nu _ { k e } t } - \frac { q _ { k } E } { m _ { k } \nu _ { k e } } \, \left( 1 - e ^ { - \nu _ { k e } t } \right) } \\ & { } & { + \frac { q _ { k } g _ { z 0 } B } { m _ { k } \nu _ { k e } } \, \nu _ { k e } t \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, , } \\ { g _ { z } } & { = } & { g _ { z 0 } \, e ^ { - \nu _ { k e } t } + \frac { q _ { k } ^ { 2 } E B } { m _ { k } ^ { 2 } \nu _ { k e } ^ { 2 } } \left( 1 - e ^ { - \nu _ { k e } t } - \nu _ { k e } t \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \right) } \\ & { } & { - \frac { q _ { k } g _ { y 0 } B } { m _ { k } \nu _ { k e } } \, \nu _ { k e } t \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ R ~ e ~ a ~ l ~ } \left\{ r _ { k } ( y ) \right\} } & { { } = \frac { 2 } { D _ { k } ^ { 2 } } \left( C _ { 3 } ( y ) \cos \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \sin \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \cosh \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \cos \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \right. } \\ { \mathrm { ~ I ~ m ~ a ~ g ~ } \left\{ r _ { k } ( y ) \right\} } & { { } = \frac { 2 } { D _ { k } ^ { 2 } } \left( C _ { 4 } ( y ) \cos \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \sin \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \cosh \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \cos \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \right. } \\ { \mathrm { ~ R ~ e ~ a ~ l ~ } \left\{ s _ { k } \right\} } & { { } = \frac { \ell ^ { 2 } r _ { \ell } } { D _ { k } ^ { 1 } } \left( C _ { k } ^ { 1 } \sin \left( \frac { h } { a } r _ { \ell } \sin \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) \right) + C _ { k } ^ { 2 } \sinh \left( \frac { h } { a } r _ { \ell } \cos \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) \right) \right) , } \\ { \mathrm { ~ I ~ m ~ a ~ g ~ } \left\{ s _ { k } \right\} } & { { } = \frac { \ell ^ { 2 } r _ { \ell } } { D _ { k } ^ { 1 } } \left( C _ { k } ^ { 2 } \sin \left( \frac { h } { a } r _ { \ell } \sin \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) \right) - C _ { k } ^ { 1 } \sinh \left( \frac { h } { a } r _ { \ell } \cos \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { e x a c t } } & { = } & { \frac { 2 e } { h } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { T } ( \varepsilon ) \left[ f \left( \varepsilon - \frac { e V } { 2 } \right) - f \left( \varepsilon + \frac { e V } { 2 } \right) \right] d \varepsilon } \\ & { = } & { \frac { 2 e } { h } \Gamma _ { g } ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { f \left( \varepsilon - e V / 2 \right) - f \left( \varepsilon + e V / 2 \right) } { \left( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \Gamma _ { a } ^ { 2 } } d \varepsilon } \end{array}
\textup { R E R } = \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \left( \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } \sigma } } e ^ { - \alpha ^ { 2 } } \sqrt { 2 } \sigma d \alpha - \int _ { 0 } ^ { \frac { - 1 } { 2 \sqrt { 2 } \sigma } } e ^ { - \alpha ^ { 2 } } \sqrt { 2 } \sigma d \alpha \right) ,
- 2 \partial _ { y } ^ { j } \left[ F \left( x \right) , \pi _ { j i } \left( y \right) \right] + M \left[ F \left( x \right) , \Pi _ { i } \left( y \right) \right] - \partial _ { i } ^ { y } \left[ F \left( x \right) , \pi \left( y \right) \right] \approx 0 ,
\begin{array} { r } { S _ { a , \mathrm { N L } } = \bigl [ \chi _ { a } , h _ { a } \bigr ] = \frac { \partial \chi _ { a } } { \partial x } \frac { \partial h _ { a } } { \partial y } - \frac { \partial h _ { a } } { \partial x } \frac { \partial \chi _ { a } } { \partial y } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \phi ^ { 2 } ( t _ { i } ) \rangle } & { { } = \frac { \rho _ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } } { 2 m ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } ^ { 2 } f ( v _ { j } ) \Delta v } \end{array}
\begin{array} { r l } { | v ^ { ( 3 ) } - v ^ { \omega } | \leq } & { \; \left\{ \begin{array} { l l } { C | k - \omega | ^ { N } e ^ { - c t | k - \omega | ^ { 3 } } + C | z t ^ { - 1 / 3 } | ^ { N + 1 } e ^ { - \frac { c } { 2 } | z | ^ { 3 } } , } & { | z | \leq t ^ { \frac { 2 } { 1 5 } } , } \\ { C | k - \omega | ^ { N } e ^ { - c t | k - \omega | ^ { 3 } } + C e ^ { - \frac { c } { 2 } | z | ^ { 3 } } , } & { | z | \geq t ^ { \frac { 2 } { 1 5 } } , } \end{array} \right. \quad k \in \mathcal { Y } _ { 1 } ^ { \epsilon } . } \end{array}
{ \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } ( t , x ) = \mathbf { u } _ { m , k } ( x ) \int _ { - \infty } ^ { t } \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } ( s ) \zeta _ { m , k } ( s ) \exp \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } \kappa } { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } ( s - t ) \aftergroup \egroup \right) \, d s
\begin{array} { r l } { \log \{ 2 F ( \hat { \alpha } _ { \eta } ( \hat { h } ) ) \} } & { = \log \lbrace 1 + ( 1 / 6 \sqrt { n } ) ( \ell _ { \hat { \theta } , s t l } ^ { ( 3 ) } / n ) \hat { h } _ { s } \hat { h } _ { t } \hat { h } _ { l } + O _ { P _ { 0 } ^ { n } } ( \{ \| \hat { h } \| ^ { 6 } \vee 1 \} / n ) \rbrace } \\ & { = ( 1 / 6 \sqrt { n } ) ( \ell _ { \hat { \theta } , s t l } ^ { ( 3 ) } / n ) \hat { h } _ { s } \hat { h } _ { t } \hat { h } _ { l } + O _ { P _ { 0 } ^ { n } } ( \{ \| \hat { h } \| ^ { 6 } \vee 1 \} / n ) , } \end{array}
p ( n , D , r ) = \frac { 1 } { ( 1 - r ) ^ { 4 n - 2 } r ^ { 4 n - \frac { D } { 2 } } } \, _ { 2 } \tilde { F } _ { 1 } \bigg ( 1 , 4 n - \frac { D } { 2 } , 4 n - 1 , 1 - \frac { 1 } { r } \bigg ) \, .
\phi _ { n , { \mathrm C } } = t _ { n , \mathrm C } - t _ { 0 , \mathrm C } - n \cdot \langle P \rangle _ { \mathrm C } = \tau _ { n } - \tau _ { 0 } - { \frac { n } { N } } ( \tau _ { N } - \tau _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ( g ( t ) + V f ( t ) ) } { \partial d _ { i } ( t ) } ~ \ge ~ } & { V ( - p _ { i } ^ { \mathrm { b } } ( t ) + \beta _ { i } ) - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } ( \underline { { B } } _ { i } } \\ & { + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } D _ { i } - r _ { i } V - \delta _ { i } ) } \\ { \ge ~ } & { 0 , } \\ { \frac { \partial ( g ( t ) + V f ( t ) ) } { \partial c _ { i } ( t ) } ~ \ge ~ } & { V ( - p _ { i } ^ { \mathrm { s } } ( t ) + \beta _ { i } ) + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } ( \underline { { B } } _ { i } } \\ & { + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } D _ { i } - r _ { i } V - \delta _ { i } ) } \\ { \ge ~ } & { 0 . } \end{array}
d s ^ { 2 } = d U d V + d X ^ { + } d X ^ { - } + d X ^ { i } d X ^ { i } + R ^ { d } \Big ( \frac { { d X ^ { + } } ^ { 2 } } { U ^ { d } } + \frac { { X ^ { + } } ^ { 2 } } { U ^ { d + 2 } } d u ^ { 2 } - 2 \frac { X ^ { + } } { U ^ { d + 1 } } d U d X ^ { + } \Big )
\frac { \tilde { v } _ { 1 } } { \sigma } = \frac { N \langle p _ { x } \rangle } { \sqrt { N \langle p _ { t } ^ { 2 } \rangle / 2 } } = \frac { \langle p _ { x } \rangle \sqrt { 2 N } } { \sqrt { \langle p _ { t } ^ { 2 } \rangle } } .
\begin{array} { r l } { A ^ { 0 } ( U ) : = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \rho e _ { \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \tau } \end{array} \right) } & { { } , \quad A ^ { 1 } ( U ) : = \left( \begin{array} { c c c c } { v } & { \rho } & { 0 } & { 0 } \\ { p _ { \rho } } & { \rho v } & { p _ { \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { \theta p _ { \theta } } & { \rho v e _ { \theta } } & { 1 } \\ { 0 } & { ( \lambda + \nu ) q } & { \kappa } & { \tau v } \end{array} \right) , } \\ { Q ( U ) } & { { } : = \left( 0 , 0 , 0 , q \right) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. { \frac { \operatorname { d } \! F _ { 1 } } { \operatorname { d } \! \xi ^ { * } } } \right| _ { \xi ^ { * } = 0 } } & { { } = \frac { \lambda _ { 3 } \lambda _ { i c } \varepsilon _ { 2 } } { m _ { 2 } } + \lambda _ { i c } \varepsilon _ { 2 } + \frac { \lambda _ { i c } ^ { 2 } \varepsilon _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { c e l l } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Delta v _ { p } + \frac { 2 } { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } \frac { \cosh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) + 1 } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } \sigma _ { A } - \tilde { \chi } \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } \ \frac { \cosh \left( 2 \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } y _ { c } + . . . \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { s } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } , \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \frac { \, \, \, \, \, \langle \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } _ { 2 } , \tau _ { 2 } ) \rangle _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ j ~ e ~ c ~ t ~ o ~ r ~ i ~ e ~ s ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ } } } { \frac { 3 } { 8 \pi } \lambda ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ . ~ } } } , } \end{array}
3 s ^ { n _ { 1 } } 3 p _ { 1 / 2 } ^ { n _ { 2 } } 3 p _ { 3 / 2 } ^ { n _ { 3 } } 3 d _ { 3 / 2 } ^ { n _ { 4 } } 3 d _ { 5 / 2 } ^ { n _ { 5 } }
\boldsymbol { \Gamma } _ { \nu } \simeq - \frac { 1 6 \pi } { 3 } a b c \, E \, \mathrm { d i a g } \left[ \frac { ( b ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , \frac { ( a ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , \frac { ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right] \, \boldsymbol { \omega } .
d s ^ { 2 } \approx { \frac { \mu ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \left[ y ^ { 2 } ( - d t ^ { 2 } + d x ^ { m } d x ^ { m } ) + { \frac { d y ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } } \right] + \mu ^ { 2 } d \Omega _ { n + 1 } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { P r } \left( \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } \right) } & { = - \nabla p + \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + R a ( T - C ) \hat { \mathbf { z } } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial T } { \partial t } + \zeta _ { 1 } \mathbf { u } \cdot \nabla T } & { = \nabla ^ { 2 } T , } \\ { \frac { \partial C } { \partial t } + \zeta _ { 2 } \mathbf { u } \cdot \nabla C } & { = \frac { 1 } { L e } \nabla ^ { 2 } C , } \end{array}
v _ { X p h } ( E _ { X } ) = \frac { E _ { X } } { p _ { X } } = \frac { 1 } { \mathrm { R e } n _ { X } ( E _ { X } ) } \cdot \frac { E _ { X } } { \sqrt { E _ { X } ^ { 2 } - M _ { X } ^ { 2 } } } .
{ \cal D } _ { \mu } \Phi ( x ) \equiv \left( \partial _ { \mu } - i \, { A _ { \mu } ^ { a } } ( x ) T _ { a } ^ { ( \Phi ) } + \frac 1 2 \omega _ { \mu } ^ { m n } ( x ) \Omega _ { m n } \right) \Phi ( x ) \, \, .