harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { { S W } } } } = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { S } } } + \frac { 1 } { \tau _ { W } } = \left( { \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } \varepsilon ^ { 1 / 3 } + \omega _ { W 0 } \varepsilon _ { W } ^ { 1 / 3 } } \right) k ^ { 2 / 3 } \equiv \omega _ { \mathrm { s w } } \varepsilon _ { \mathrm { { s w } } } ^ { 1 / 3 } k ^ { 2 / 3 } .
\begin{array} { r l } { H _ { x } ( x , y , t ) | _ { t = 0 } \approx } & { \, \, p _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } ^ { H _ { x } } ( x , y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 2 \, m + 1 } \sum _ { \ell = 0 } ^ { 2 \, m + 1 } c _ { k , \ell } ^ { H _ { x } } ( t ) | _ { t = 0 } \bigg ( \frac { x - x _ { i + 1 / 2 } } { \Delta x } \bigg ) ^ { k } \bigg ( \frac { y - y _ { j + 1 / 2 } } { \Delta y } \bigg ) ^ { \ell } , } \\ { H _ { y } ( x , y , t ) | _ { t = 0 } \approx } & { \, \, p _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } ^ { H _ { y } } ( x , y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 2 \, m + 1 } \sum _ { \ell = 0 } ^ { 2 \, m + 1 } c _ { k , \ell } ^ { H _ { y } } ( t ) | _ { t = 0 } \bigg ( \frac { x - x _ { i + 1 / 2 } } { \Delta x } \bigg ) ^ { k } \bigg ( \frac { y - y _ { j + 1 / 2 } } { \Delta y } \bigg ) ^ { \ell } , } \\ { E _ { z } ( x , y , t ) | _ { t = 0 } \approx } & { \, \, p _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } ^ { E _ { z } } ( x , y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 2 \, m + 1 } \sum _ { \ell = 0 } ^ { 2 \, m + 1 } c _ { k , \ell } ^ { E _ { z } } ( t ) | _ { t = 0 } \bigg ( \frac { x - x _ { i + 1 / 2 } } { \Delta x } \bigg ) ^ { k } \bigg ( \frac { y - y _ { j + 1 / 2 } } { \Delta y } \bigg ) ^ { \ell } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { d _ { 1 6 } = 2 z _ { 6 } \left( z _ { 2 } z _ { 3 } + z _ { 1 } \tilde { z } _ { 1 } \right) , } \\ { d _ { 1 7 } = - 2 z _ { 7 } \left( z _ { 2 } z _ { 3 } + z _ { 1 } \tilde { z } _ { 1 } \right) , } \\ { d _ { 2 5 } = 2 z _ { 2 } \left( z _ { 6 } z _ { 7 } + z _ { 5 } \tilde { z } _ { 5 } \right) , } \\ { d _ { 2 6 } = 2 z _ { 2 } z _ { 6 } \left( z _ { 4 } + z _ { 8 } - z _ { 1 } - z _ { 5 } \right) , } \\ { d _ { 2 7 } = 2 z _ { 2 } z _ { 7 } \left( z _ { 1 } + z _ { 8 } - z _ { 4 } - z _ { 5 } \right) , } \\ { d _ { 2 8 } = - 2 z _ { 2 } \left( z _ { 6 } z _ { 7 } + z _ { 8 } \tilde { z } _ { 8 } \right) , } \\ { d _ { 3 5 } = - 2 z _ { 3 } \left( z _ { 6 } z _ { 7 } + z _ { 5 } \tilde { z } _ { 5 } \right) , } \\ { d _ { 3 6 } = 2 z _ { 3 } z _ { 6 } \left( z _ { 4 } + z _ { 5 } - z _ { 1 } - z _ { 8 } \right) , } \\ { d _ { 3 7 } = 2 z _ { 3 } z _ { 7 } \left( z _ { 1 } + z _ { 5 } - z _ { 4 } - z _ { 8 } \right) , } \\ { d _ { 3 8 } = 2 z _ { 3 } \left( z _ { 6 } z _ { 7 } + z _ { 8 } \tilde { z } _ { 8 } \right) , } \\ { d _ { 4 6 } = - 2 z _ { 6 } \left( z _ { 2 } z _ { 3 } + z _ { 4 } \tilde { z } _ { 4 } \right) , } \\ { d _ { 4 7 } = 2 z _ { 7 } \left( z _ { 2 } z _ { 3 } + z _ { 4 } \tilde { z } _ { 4 } \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } ( \omega ) } & { = \frac { - i ( g _ { l } b + g _ { a } e ^ { - i \theta } a _ { 2 } ) + \sqrt { \gamma _ { 1 } ^ { \mathrm { e x } } } a _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } } { - i ( \Delta _ { 1 } + \omega ) + \gamma _ { 1 } / 2 } , } \\ { b ( \omega ) } & { = \frac { - i ( g _ { l } a _ { 1 } + g _ { r } a _ { 2 } ) } { - i ( \delta + \omega ) + \kappa / 2 } , } \\ { a _ { 2 } ( \omega ) } & { = \frac { - i ( g _ { r } b + g _ { a } e ^ { i \theta } a _ { 1 } ) + \sqrt { \gamma _ { 2 } ^ { \mathrm { e x } } } a _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } } { - i ( \Delta _ { 2 } + \omega ) + \gamma _ { 2 } / 2 } , } \end{array}
\delta _ { \mathrm { s h i f t } } \int _ { \Sigma _ { g } } \sqrt { g } = - \int _ { \Sigma _ { g } } \frac { 1 } { 2 } \sqrt { g } \, t r \, ( r _ { \mu } ^ { \gamma } g _ { \gamma \nu } + r _ { \nu } ^ { \gamma } g _ { \gamma \mu } ) = - \int _ { \Sigma _ { g } } \sqrt { g } \, r _ { \mu } ^ { \mu } .
\hat { P } = - \frac { 2 \lambda ^ { 2 } } { 4 ! } \left( \begin{array} { c c } { { 3 { \varphi _ { 1 } } ^ { 2 } + { \varphi _ { 2 } } ^ { 2 } } } & { { 2 { \varphi _ { 1 } } { \varphi _ { 2 } } } } \\ { { 2 { \varphi _ { 1 } } { \varphi _ { 2 } } } } & { { 3 { \varphi _ { 2 } } ^ { 2 } + { \varphi _ { 1 } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\mathbf { G } _ { m n p } ~ = ~ \left( { \begin{array} { l l l } { 1 - { \frac { \alpha _ { m } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } } & { - { \frac { \alpha _ { m } \beta _ { n } } { k ^ { 2 } } } } & { - { \frac { \alpha _ { m } \gamma _ { p } } { k ^ { 2 } } } } \\ { - { \frac { \alpha _ { m } \beta _ { n } } { k ^ { 2 } } } } & { 1 - { \frac { \beta _ { n } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } } & { - { \frac { \beta _ { n } \gamma _ { p } } { k ^ { 2 } } } } \\ { - { \frac { \alpha _ { m } \gamma _ { p } } { k ^ { 2 } } } } & { - { \frac { \beta _ { n } \gamma _ { p } } { k ^ { 2 } } } } & { 1 - { \frac { \gamma _ { p } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } } \end{array} } \right) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 3 . 2 )
\widehat { W } = { \widehat M } _ { \infty } = \left( \begin{array} { c c c c c c } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 2 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; .
\int _ { \mathcal { C } ^ { I ^ { \mathrm { o r } } } ( q ) } \mathrm { d } \sigma \, \Gamma \cdot e ^ { \langle \theta , \sigma \rangle } = ( 2 \pi \sqrt { - 1 } ) ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \frac { \Lambda _ { a = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \xi _ { a } ^ { * } } { \Lambda _ { a = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \mathsf { D } _ { i _ { a } } } \prod _ { i ^ { \prime } \in I ^ { \prime } } \Gamma ( \langle \mathsf { D } _ { i ^ { \prime } } , \sigma _ { m } \rangle + \alpha _ { i ^ { \prime } } ) \prod _ { i \in I } \frac { ( - 1 ) ^ { m _ { i } } } { m _ { i } ! } e ^ { \langle \theta , \sigma _ { m } \rangle } .
\begin{array} { r l } { \langle n _ { 2 } , b n _ { 1 } \rangle } & { = ( - 1 ) ^ { | b | | n _ { 1 } | } \langle n _ { 2 } , n _ { 1 } \rangle b ^ { * } } \\ { \langle n _ { 2 } a , n _ { 1 } \rangle } & { = ( - 1 ) ^ { | a | | n _ { 1 } | } \langle n _ { 2 } , n _ { 1 } a ^ { * } \rangle } \\ { \langle b n _ { 2 } , n _ { 1 } \rangle } & { = b \langle n _ { 2 } , n _ { 1 } \rangle } \\ { \langle n _ { 2 } , n _ { 1 } \rangle ^ { * } } & { = ( - 1 ) ^ { | n _ { 1 } | | n _ { 2 } | } \langle n _ { 1 } , n _ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { S } _ { x } } & { = } & { \hbar \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } - \hat { n } _ { \mathrm { V } } \right) } \\ { \hat { S } _ { y } } & { = } & { \hbar \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } + \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { S } _ { z } } & { = } & { \hbar \left( - i \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } + i \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta = } & { { } \; ( 2 \gamma - \beta ( \alpha \nu P + S ) ) ^ { 2 } - 4 \gamma ^ { 2 } + 4 \gamma \beta ( \alpha \nu P + S ) } \\ { = } & { { } \; 4 \gamma ^ { 2 } + ( \beta ( \alpha \nu P + S ) ) ^ { 2 } - 4 \gamma \beta ( \alpha \nu P + S ) - 4 \gamma ^ { 2 } + 4 \gamma \beta ( \alpha \nu P + S ) } \\ { = } & { { } \; ( \beta ( \alpha \nu P + S ) ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { p } _ { x } } & { = } & { - \frac { \hbar m } { r } \sin \phi \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ & { } & { + \frac { \hbar } { 2 i } \sin \phi \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) . } \end{array}
h _ { m n } ( \mathbf { k } ) = \sum _ { \mathbf { R } ^ { \prime } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { R } ^ { \prime } } h _ { m n } ^ { \mathrm { D F T } } ( \mathbf { R ^ { \prime } } ) + \sum _ { \mathbf { R } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { R } } v _ { m n } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } ( \mathbf { R } )
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } } & { { } = \tilde { A } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k } + \tilde { H } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { K } \; \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { B } \; \partial _ { t } \mathbf { d } _ { s } + \tilde { L } \; \mathbf { u } _ { i n } + \tilde { C } } \\ { \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } } & { { } = \tilde { A } _ { s } \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \tilde { K } _ { s } \; \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \tilde { B } _ { s } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { H } _ { s } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } } \\ { \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } } & { { } = \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \frac { \Delta t } { 2 } ( \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } + \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { x } } & { { } = } & { \frac { v _ { F } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 1 / 2 } & { 1 / 2 } \\ { 1 / 2 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 / 2 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { v _ { y } } & { { } = } & { \frac { v _ { F } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { - i / 2 } & { i / 2 } \\ { i / 2 } & { 0 } & { - i } \\ { - i / 2 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\mathrm { ~ A ~ c ~ c ~ u ~ r ~ a ~ c ~ y ~ } = \frac { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ P ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ N ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ P ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ N ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ F ~ P ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ F ~ N ~ } } } , \mathrm { ~ P ~ P ~ V ~ } = \frac { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ P ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ P ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ F ~ P ~ } } } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \mathrm { ~ N ~ P ~ V ~ } = \frac { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ N ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ N ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ F ~ N ~ } } }
E = 2 \pi ^ { - 1 } \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } \left( \operatorname { s g n } \phi _ { \varepsilon } ( \delta ) \right) \cdot \int _ { \delta } ^ { \varepsilon } z ^ { - 2 } \frac { \phi _ { \varepsilon } ( \delta ) } { | \phi _ { \varepsilon } ( \delta ) | } \mathop { } \! { d { z } } = \left. 2 \pi ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { \delta } - \frac { 1 } { \varepsilon } \right) \right| _ { \delta \to 0 } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \mathcal { I } } } & { = \frac { j } { \epsilon \omega } \big ( k ^ { 2 } \mathbf { I } _ { \mathcal { E } _ { \mathbf { A } } } - \mathbf { I } _ { \mathcal { E } _ { \Phi } } \big ) , } \\ { \mathbf { H } ^ { \mathcal { I } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { J } _ { \mathrm { M S } } \times \mathbf { n } - \mathbf { I } _ { \mathcal { M } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } [ \varphi ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) ] } & { = \operatorname* { d e t } [ \sum _ { \gamma = 1 } ^ { p } \phi _ { \gamma } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } ) \phi _ { \gamma } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) ] } \\ & { = \operatorname* { d e t } [ \left( \phi ^ { \uparrow T } \phi ^ { \downarrow } \right) _ { i j } ] } \\ & { = \operatorname* { d e t } [ \phi _ { i } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { j } ^ { \uparrow } ) ] \operatorname* { d e t } [ \phi _ { i } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) ] } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { e _ { 1 1 } } \\ { e _ { 2 2 } } \\ { e _ { 3 3 } } \\ { e _ { 2 3 } } \\ { e _ { 1 3 } } \\ { e _ { 1 2 } } \\ { \zeta ^ { ( 1 ) } } \\ { \zeta ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c } { S _ { 1 1 1 1 } } & { S _ { 1 1 2 2 } } & { S _ { 1 1 3 3 } } & { S _ { 1 1 2 3 } } & { S _ { 1 1 1 3 } } & { S _ { 1 1 1 2 } } & { b _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } } & { b _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } } \\ { S _ { 1 1 2 2 } } & { S _ { 2 2 2 2 } } & { S _ { 2 2 3 3 } } & { S _ { 2 2 2 3 } } & { S _ { 2 2 1 3 } } & { S _ { 2 2 1 2 } } & { b _ { 2 2 } ^ { ( 1 ) } } & { b _ { 2 2 } ^ { ( 2 ) } } \\ { S _ { 1 1 3 3 } } & { S _ { 2 2 3 3 } } & { S _ { 3 3 3 3 } } & { S _ { 3 3 2 3 } } & { S _ { 3 3 1 3 } } & { S _ { 3 3 1 2 } } & { b _ { 3 3 } ^ { ( 1 ) } } & { b _ { 3 3 } ^ { ( 2 ) } } \\ { S _ { 1 1 2 3 } } & { S _ { 2 2 2 3 } } & { S _ { 3 3 2 3 } } & { 2 S _ { 2 3 2 3 } } & { 2 S _ { 2 3 1 3 } } & { 2 S _ { 2 3 1 2 } } & { b _ { 2 3 } ^ { ( 1 ) } } & { b _ { 2 3 } ^ { ( 2 ) } } \\ { S _ { 1 1 1 3 } } & { S _ { 2 2 1 3 } } & { S _ { 3 3 1 3 } } & { 2 S _ { 2 3 1 3 } } & { 2 S _ { 1 3 1 3 } } & { 2 S _ { 1 3 1 2 } } & { b _ { 1 3 } ^ { ( 1 ) } } & { b _ { 1 3 } ^ { ( 2 ) } } \\ { S _ { 1 1 1 2 } } & { S _ { 2 2 1 2 } } & { S _ { 3 3 1 2 } } & { 2 S _ { 2 3 1 2 } } & { 2 S _ { 1 3 1 2 } } & { 2 S _ { 1 2 1 2 } } & { b _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } } & { b _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } } \\ { b _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } } & { b _ { 2 2 } ^ { ( 1 ) } } & { b _ { 3 3 } ^ { ( 1 ) } } & { b _ { 2 3 } ^ { ( 1 ) } } & { b _ { 1 3 } ^ { ( 1 ) } } & { b _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } } & { a _ { 2 2 } } & { a _ { 2 3 } } \\ { b _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } } & { b _ { 2 2 } ^ { ( 2 ) } } & { b _ { 3 3 } ^ { ( 2 ) } } & { b _ { 2 3 } ^ { ( 2 ) } } & { b _ { 1 3 } ^ { ( 2 ) } } & { b _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } } & { a _ { 2 3 } } & { a _ { 3 3 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \sigma _ { 1 1 } } \\ { \sigma _ { 2 2 } } \\ { \sigma _ { 3 3 } } \\ { \sigma _ { 2 3 } } \\ { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 1 2 } } \\ { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \\ { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } } & { = - \Delta t _ { n } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { f } } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) } \\ & { = - \Delta t _ { n } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { \top } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) + \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } } \\ & { = - \Delta t _ { n } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { \top } ( ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } + \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } ^ { \top } ) \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } = 0 , } \end{array}
\left[ m _ { n } ( M ) \right] ^ { 2 } G _ { 5 } \left( M ^ { 2 } \right) = 2 f _ { \pi } ^ { 2 } m _ { \pi } ^ { 4 } + \frac { 1 } { \pi } \int _ { 9 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } \rho _ { _ 5 } ( t ) \exp { \left( - \frac { t } { M ^ { 2 } } \right) } \, \mathrm { d } t \quad .
\begin{array} { r l } { A _ { a i , b j } = } & { { } \delta _ { i j } \delta _ { a b } \left( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { i } \right) + B _ { a i , j b } } \\ { B _ { a i , b j } = } & { { } \frac { \partial F _ { a i } ^ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ } } } { \partial P _ { b j } } + \frac { \partial \left\langle \phi _ { a } | { v } ^ { \mathrm { ~ e ~ m ~ b ~ } } | \phi _ { i } \right\rangle } { \partial P _ { b j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) = D \langle L _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle } & { = D \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } \left( \frac { \tau } { \tau ^ { \prime } } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } \left( \frac { \tau } { \tau ^ { \prime \prime } } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } d W _ { \tau ^ { \prime } } d W _ { \tau ^ { \prime \prime } } } \\ & { = D \int _ { 0 } ^ { \tau } \left( \frac { \tau } { \tau ^ { \prime } } \right) ^ { - \frac { 2 \alpha } { \alpha - 1 } } d \tau ^ { \prime } = D \frac { 1 - \alpha } { 1 - 3 \alpha } \tau \qquad \mathrm { f o r } \ \alpha < 0 \ , } \end{array}
C = { \frac { n } { 3 k _ { \mathrm { B } } } } \mu _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \mu _ { \mathrm { e f f } } = g _ { J } \mu _ { \mathrm { B } } { \sqrt { J ( J + 1 ) } } .
\alpha _ { t _ { 0 } } = \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u } \rangle \langle \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { r } _ { v } \rangle + \langle \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \rangle \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { r } _ { u } \rangle - 2 \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \rangle \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { r } _ { v } \rangle
\begin{array} { r } { \epsilon ^ { 2 } < \mathbb { E } _ { \tau } [ \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( \tau ) } - { \mathbf x } ^ { ( \tau ) } \| ^ { 2 } ] = \frac { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } } { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { N } \left( d _ { { \mathsf X } } ( x , y _ { i } ) + \sum _ { i = 2 \atop i \neq j } ^ { N } d _ { { \mathsf X } } ( x _ { i } , y _ { \tilde { \sigma } ( i ) } ) + d _ { { \mathsf X } } ( x _ { j } , x ) \right) < \frac { 1 } { N } \left( \sum _ { i = 2 \atop i \neq j } ^ { N } d _ { { \mathsf X } } ( x _ { i } , y _ { \tilde { \sigma } ( i ) } ) + d _ { { \mathsf X } } ( x _ { j } , y _ { i } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ( - \rho _ { b } ^ { 2 } p _ { h , z } ) } { \partial r } } & { = 2 \Delta _ { b } \Big ( \xi _ { r } - z c ^ { \prime } ( r ) + \frac { \chi \big ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z \big ) } { \Delta _ { b } } \Big ) \partial _ { r } \Big ( \xi _ { r } - z c ^ { \prime } ( r ) + \frac { \chi \big ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z \big ) } { \Delta _ { b } } \Big ) } \\ & { \qquad + \frac { \partial \Delta _ { b } } { \partial r } \big ( \xi _ { r } - z c ^ { \prime } ( r ) + \frac { \chi \big ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z \big ) } { \Delta _ { b } } \big ) ^ { 2 } - \partial _ { r } \Big ( \frac { 1 } { \Delta _ { b } } \big ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z \big ) ^ { 2 } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } \approx \mathcal { S } \left[ \big \{ \{ { \phi } ^ { k } \} _ { t \in [ 0 , T ] } \big \} _ { k _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \geq k > 0 } \right] + \sum _ { k > k _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \mathcal { S } \left[ \{ { \phi } ^ { k } \} _ { t \in [ 0 , T ] } \right] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 1 } = 1 , \qquad U _ { 1 } = 8 . 3 6 6 6 , \lambda _ { 1 } = 1 , } & { x < 0 , } \\ { \rho _ { 2 } = 6 . 9 2 9 4 , U _ { 2 } = 1 . 2 0 7 4 , \lambda _ { 2 } = 0 . 0 5 7 3 6 , } & { x \geq 0 . } \end{array} \right.
H _ { n - 1 } ( \overline { { X } } ^ { S } , \partial \overline { { X } } ^ { S } ) \cong \widetilde { H } _ { n - 2 } ( \partial \overline { { X } } ^ { S } ) \cong \underbrace { \widetilde { H } _ { n - 2 } ( \mathbf { T } ) } _ { = \mathrm { S t } ( \mathbf { C } ^ { n } ) } \cong H _ { n - 1 } ( \overline { { X } } ^ { T } , \partial \overline { { X } } ^ { T } ) .
\mathrm { B } ( B \to X _ { s } \gamma ) \big | _ { E _ { \gamma } > ( 1 - \delta ) E _ { \gamma } ^ { \mathrm { m a x } } } = R _ { \mathrm { t h } } ( \delta ) \times \mathrm { B } ( B \to X _ { c } \, e \, \bar { \nu } ) = 0 . 1 0 5 N _ { \mathrm { S L } } \, R _ { \mathrm { t h } } ( \delta ) \, ,
\begin{array} { r l } { S R = } & { \frac { 1 } { { 2 N M } } \sum _ { k = 1 } ^ { N M } \big \{ ( 1 - P _ { { { \bf { x } } _ { c , k } } } ^ { o u t } ) { R _ { { { \bf { x } } _ { c , k } } } } } \\ & { + ( 1 - P _ { { { \bf { x } } _ { e , k } } } ^ { o u t } ) { R _ { { { \bf { x } } _ { e , k } } } } + ( 1 - P _ { { { { \bf { \bar { x } } } } _ { c , k } } } ^ { o u t } ) { R _ { { { { \bf { \bar { x } } } } _ { c , k } } } } \big \} } \end{array}
r _ { B } = \frac { d _ { C _ { 1 } C _ { 2 } } + d _ { C _ { 3 } C _ { 4 } } } { 2 } - \frac { d _ { N C _ { 1 } } + d _ { C _ { 2 } C _ { 3 } } + d _ { C _ { 4 } C _ { 5 } } } { 3 } \; ,
\boldsymbol { \underline { { \underline { { \ell } } } } } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 + ( \zeta ^ { - 1 } - 1 ) \sin ^ { 2 } \psi } & { ( 1 - \zeta ^ { - 1 } ) \sin \psi \cos \psi } \\ { 0 } & { ( 1 - \zeta ^ { - 1 } ) \sin \psi \cos \psi } & { 1 + ( \zeta ^ { - 1 } - 1 ) \cos ^ { 2 } \psi } \end{array} \right) .
\delta ^ { * } \leq \frac { 1 0 } { 9 } \frac { e _ { 0 } } { K _ { M } + e _ { 0 } } \leq \frac { 1 0 } { 9 } \varepsilon _ { R S } \quad \mathrm { w h e n e v e r } \quad \varepsilon _ { R S } \leq 0 . 1 .
\begin{array} { r l r } { { \normalcolor \eta } } & { { \normalcolor = } } & { { \normalcolor \hat { I } _ { e 0 } \left( 1 + \delta _ { i } \delta _ { m } / \sigma ^ { 1 / 2 } \right) , } } \\ { { \normalcolor \beta } } & { { \normalcolor = } } & { { \normalcolor \delta _ { i } \delta _ { m } \sigma ^ { 1 / 2 } \left( 1 - \frac { \varphi _ { d 0 } } { \sigma } \right) . } } \end{array}
S ^ { i } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { \sigma ^ { i } ~ } } & { { ~ 0 } } \\ { { 0 ~ } } & { { ~ \sigma ^ { i } } } \end{array} \right) \, ; \qquad [ S ^ { i } , S ^ { j } ] = i \epsilon ^ { i j k } S ^ { k } \, .
\frac { G _ { \mathrm { T } } } { G _ { \mathrm { M } } } = \frac { 8 f } { \alpha _ { \mathrm { T } } ( \gamma + 1 ) } \frac { \alpha _ { \mathrm { M } } \gamma \mathrm { L e } } { 4 f } \Rightarrow \frac { G _ { \mathrm { T } } } { G _ { \mathrm { M } } } = 2 \frac { \alpha _ { \mathrm { M } } } { \alpha _ { \mathrm { T } } } \bigg ( \frac { \gamma } { \gamma + 1 } \bigg ) \mathrm { L e } .
\displaystyle { T ( H \gg H _ { 0 } ) = T _ { 1 } \frac { 2 4 m ^ { 4 } } { \omega ^ { 3 } } \bigg [ \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { 2 } \sqrt { 4 m ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \omega _ { 2 } } { \sqrt { 4 m ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) + \frac { \omega _ { 2 } } { \omega _ { 1 } \sqrt { 4 m ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \omega _ { 1 } } { \sqrt { 4 m ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } } } \right) - \frac { \omega } { 4 m ^ { 2 } } \bigg ] }