harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\eta _ { + } ^ { A } = e ^ { - \frac { 1 } { 2 } k | y | } \left( \begin{array} { c } { { \hat { \eta } _ { R } } } \\ { { - \hat { \eta } _ { L } } } \end{array} \right) ^ { A } \ , \qquad \eta _ { - } ^ { A } = \epsilon ( y ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } k | y | } \left( \begin{array} { c } { { \hat { \eta } _ { L } } } \\ { { \hat { \eta } _ { R } } } \end{array} \right) ^ { A } \ ,
\begin{array} { r l } & { P : = \mathrm { d i a g } ( I _ { 2 } , P _ { 1 } ) , } \\ & { U : = \left( \begin{array} { l l } { Q } & \\ & { Q } \end{array} \right) \Pi _ { 1 } Z \Pi _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { 1 } _ { n } } & { \mathbf { 0 } } & { U _ { R , u } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 1 } _ { n } } & { U _ { R , l } } \end{array} \right) , } \end{array}
L _ { \nu _ { \mu } - \nu _ { \tau } } = 4 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \, p c \left( \frac { E _ { \nu } } { 1 0 ^ { 1 6 } \, e V } \right) \cdot \left( \frac { \Delta m _ { i j } ^ { 2 } } { ( 1 0 ^ { - 2 } \, e V ) ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 0 } = \int d ^ { 3 } r \left[ \frac { \hat { \boldsymbol { \Pi } } ^ { 2 } } { 2 \boldsymbol { \epsilon } ( z ) } + \frac { \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } { 2 } \left( \nabla \times \hat { \boldsymbol { A } } \right) ^ { 2 } \right] + \int _ { \mathrm { D } } \frac { d ^ { 3 } r } { v } \sum _ { i \in \{ x , y , z \} } \left[ \frac { \left( \hat { \pi } _ { i } - Z ^ { * } e \hat { A } _ { i } \right) ^ { 2 } } { 2 M _ { i } } + \frac { 1 } { 2 } M _ { i } \Omega _ { i } ^ { 2 } \hat { \phi } _ { i } ^ { 2 } + \frac { \left( Z ^ { * } e \hat { \phi } _ { i } ^ { \parallel } \right) ^ { 2 } } { 2 \epsilon _ { i } ( z ) v } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] \tilde { \boldsymbol { w } } } & { { } = \boldsymbol { w } ^ { i } - \mathsf { P } ( \mathcal { N ^ { \prime } } [ \boldsymbol { w } ^ { i } ] ) ^ { \top } \mathsf { Q } ^ { - 1 } ( \mathcal { N } [ \boldsymbol { w } ^ { i } ] - \mathsf { y } ^ { \boldsymbol { b } } ) \mathrm { ~ ; ~ } } \\ { \boldsymbol { w } ^ { i + 1 } } & { { } = \tilde { \boldsymbol { w } } + \mathsf { K } ( \mathsf { y } _ { j } - \mathsf { H } \tilde { \boldsymbol { w } } ) } \end{array}
\mathbf { F } _ { P } ^ { \alpha , w a l l } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - 6 \pi \mu a V _ { r e f , w a l l } \left( \frac { R _ { r e f , w a l l } ^ { 2 } - | \mathbf { r } | ^ { 2 } } { R _ { r e f , w a l l } ^ { 2 } - a ^ { 2 } } \right) ^ { 6 } \frac { \mathbf { r } } { | \mathbf { r } | } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ \ } \quad | \mathbf { r } | < R _ { r e f , w a l l } } \\ { \displaystyle \quad 0 \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ \ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( \rho Y _ { k } ) } { \partial t } + \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \rho \boldsymbol { u } Y _ { k } \right) = - \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \rho \boldsymbol { V _ { k } } Y _ { k } \right) + \dot { \omega } _ { k } , } \end{array}
{ \mathcal { B } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) = \sigma \left( \left\{ ( - \infty , b _ { 1 } ] \times \cdots \times ( - \infty , b _ { n } ] : b _ { i } \in \mathbb { R } \right\} \right) = \sigma \left( \left\{ \left( a _ { 1 } , b _ { 1 } \right] \times \cdots \times \left( a _ { n } , b _ { n } \right] : a _ { i } , b _ { i } \in \mathbb { R } \right\} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( x , y , t ) } & { = \frac { \partial } { \partial t } [ A ( t ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) ] } \\ & { \equiv A ^ { \prime } ( t ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) + A ( t ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( T ) } } ( x - t , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbf y } _ { 0 } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } & { , } & { { \mathbf y } _ { N } = \frac { 1 } { L } \left( \begin{array} { l } { e - 1 } \\ { 2 } \end{array} \right) } \\ { { \mathbf u } ( { \mathbf y } _ { 0 } , \tau _ { 0 } ) = \frac { 1 } { v _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } & { , } & { { \mathbf u } ( { \mathbf y } _ { N } , \tau _ { N } ) = \frac { 1 } { v _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { e } \\ { 3 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 3 , - m } ^ { \left( b \right) } } & { = } & { \left( - 1 \right) ^ { m } \xi _ { m } \omega _ { k } \tau \left( \left( - 1 \right) ^ { m } 2 \xi _ { m } \omega _ { k } , 3 , - m , \ell _ { 3 , - m } \right) + \eta _ { 0 } ^ { \left( \ell _ { 3 , - m } \right) } + \eta _ { 0 } ^ { \left( \ell _ { 3 , - m } \right) } \left( \left( - 1 \right) ^ { m } 2 \xi _ { m } \omega _ { k } \right) } \\ & { } & { - \left( - 1 \right) ^ { m } \left[ \frac { 1 } { 2 } \tau \left( \left( - 1 \right) ^ { m } 2 \xi _ { m } \omega _ { k } , 3 , - m , \ell _ { 3 , - m } \right) + \eta _ { 1 } ^ { \left( \ell _ { 3 , - m } \right) } \left( \left( - 1 \right) ^ { m } 2 \xi _ { m } \omega _ { k } \right) \right] \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T _ { 3 , - m } ^ { \left( 0 \right) } , } \\ { A _ { 3 , - m } ^ { \left( r \right) } } & { = } & { - \frac { \pi } { 2 } + \left( - 1 \right) ^ { m } \left( \phi _ { 3 , - m } - \arg \Omega _ { 3 , - m } \right) + \left[ \left( - 1 \right) ^ { m } \delta _ { 3 , - m } - \frac { \mathbf { k } } { M } \mathbf { \cdot p } _ { + , T _ { 3 , - m } + \tau \left( \left( - 1 \right) ^ { m } 2 \xi _ { m } \omega _ { k } , 3 , - m , \ell _ { 3 , - m } \right) } ^ { \left( 3 , - m \right) } - \left( 2 m + 1 \right) \omega _ { k } \right] T _ { 3 , - m } ^ { \left( 0 \right) } } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T _ { 3 , - m } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T _ { 3 , - m } ^ { \left( 0 \right) } \tau \left( \left( - 1 \right) ^ { m } 2 \xi _ { m } \omega _ { k } , 3 , - m , \ell _ { 3 , - m } \right) , } \end{array}
\partial _ { s } D _ { \kappa } = - \frac 1 2 \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , { \bf p } ) \Big | _ { \varpi = 0 , { \bf p } = 0 } \, , \qquad \partial _ { s } \nu _ { \kappa } = \frac { 1 } { { \bf p } ^ { \, 2 } } \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , { \bf p } ) \Big | _ { \varpi = 0 , { \bf p } = 0 } \, .
\begin{array} { r l } { H _ { P F } } & { = \sum _ { M } \frac { 1 } { 2 m _ { M } } \bigg ( \mathbf { p } _ { M } - \frac { Z _ { M } } { c } \mathbf { A } ( \mathbf { R } _ { M } ) \bigg ) ^ { 2 } + \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \mathbf { p } _ { i } + \frac { 1 } { c } \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { i } ) \bigg ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } \frac { 1 } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } - \sum _ { i , M } \frac { Z _ { M } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } _ { M } | } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { M \neq N } \frac { Z _ { M } Z _ { N } } { | \mathbf { R } _ { N } - \mathbf { R } _ { M } | } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \int \left[ \mathbf { E } _ { \perp } \left( \mathbf { r } \right) ^ { 2 } + \mathbf { B } \left( \mathbf { r } \right) ^ { 2 } \right] d \mathbf { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 2 2 } \! \! \! } & { = } & { \! \! \! d \, { \frac { d ^ { \prime } - R _ { D } + R _ { B } } { R _ { D } R _ { B } } } + { \frac { n } { n ^ { \prime } } } { \frac { ( d ^ { \prime } + R _ { B } ) ( R _ { D } - d ) } { R _ { D } R _ { B } } } } \\ & { = } & { \! \! \! { \frac { 1 } { R _ { D } R _ { B } } } \left[ d d ^ { \prime } - d R _ { D } - { \frac { n } { n ^ { \prime } } } d d ^ { \prime } + { \frac { n } { n ^ { \prime } } } d ^ { \prime } R _ { D } + R _ { B } \left( d + { \frac { n } { n ^ { \prime } } } R _ { D } - { \frac { n } { n ^ { \prime } } } d \right) \right] } \\ & { = } & { \! \! \! { \frac { d } { d ^ { \prime } } } = { \frac { n } { n ^ { \prime } } } { \frac { 1 } { m _ { \mathrm { v } } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { r } } & { { } = 1 0 ^ { - 3 } \left( 0 . 2 4 9 r - 0 . 1 6 0 r ^ { 3 } + 0 . 0 1 4 7 r ^ { 5 } \right) , } \\ { \dot { \vartheta } } & { { } = 0 . 1 1 9 + 0 . 0 0 0 5 r ^ { 2 } + 0 . 0 0 0 0 0 6 r ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | x \rangle \langle x y | } & { { } = ( | x \rangle \otimes 1 ) ( \langle x | \otimes \langle y | ) = ( | x \rangle \langle x | ) \otimes \langle y | , } \\ { | x ^ { ' } y \rangle \langle x ^ { ' } | } & { { } = ( | x ^ { ' } \rangle \otimes | y \rangle ) ( \langle x ^ { ' } | \otimes 1 ) = ( | x ^ { ' } \rangle \langle x ^ { ' } | ) \otimes | y \rangle , } \end{array}
\mathcal { Y } _ { l m } ( \theta , \varphi ) = ( - 1 ) ^ { m } i ^ { i } \sqrt { \frac { ( 2 l + 1 ) ( l - m ) ! } { 4 \pi ( l + m ) ! } } \mathcal { P } _ { l } ^ { m } ( \textrm { c o s } \ \theta ) e ^ { i m \varphi } , \quad m \ge 0 .
| { \phi ^ { \prime } } _ { ( k , N ) } > , \; \hat { Q } ^ { a } | { \phi ^ { \prime } } _ { ( k , N ) } > , \; \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { a b } \hat { Q } ^ { a } \hat { Q } ^ { b } | { \phi ^ { \prime } } _ { ( k , N ) } > ,
\nu [ A ] \; = \; \operatorname * { l i m } _ { R \rightarrow \infty } \; \frac { - i } { 2 \pi } \; \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \; d \varphi \; \Big ( \frac { \partial } { \partial \varphi } S ( R , \varphi ) \Big ) \Big ( S ( R , \varphi ) \Big ) ^ { - 1 } \; .
w [ n ] = a _ { 0 } - a _ { 1 } \cos \left( { \frac { 2 \pi n } { N } } \right) + a _ { 2 } \cos \left( { \frac { 4 \pi n } { N } } \right) - a _ { 3 } \cos \left( { \frac { 6 \pi n } { N } } \right)
\begin{array} { r } { m _ { i j k } = \frac { 4 } { 3 } \frac { \sigma _ { \langle i j } q _ { k \rangle } } { p } - 2 \mu T \frac { \partial } { \partial x _ { \langle i } } \left( \frac { \sigma _ { j k \rangle } } { p } \right) , \quad R _ { i j } = \frac { 2 0 } { 7 } \frac { \sigma _ { k \langle i } \sigma _ { j \rangle k } } { \rho } + \frac { 6 4 } { 2 5 } \frac { q _ { \langle i } q _ { j \rangle } } { p } - \frac { 2 4 } { 5 } \mu T \frac { \partial } { \partial x _ { \langle i } } \left( \frac { q _ { j \rangle } } { p } \right) , } \end{array}
B ( X \rightarrow \tau ^ { + } \tau ^ { - } ) = { \frac { ( 2 ) ( - 3 ) ^ { 2 } } { ( 3 ) ( - 3 ) ^ { 2 } + ( 5 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 / 3 ) ^ { 2 } } } = { \frac { 5 4 } { 9 1 } } .
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { j \rightarrow \infty } \int _ { \Omega } V _ { e x t } ( x ) \rho _ { \Phi _ { k _ { m j } } } d x = \int _ { \Omega } V _ { e x t } ( x ) \rho _ { \Phi _ { \infty } } d x } \\ { \displaystyle } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { j \rightarrow \infty } \int _ { \Omega } v _ { x c } ( \rho _ { \Phi _ { k _ { m j } } } ) d x = \int _ { \Omega } v _ { x c } ( \rho _ { \Phi _ { \infty } } ) d x } \\ { \displaystyle } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { j \rightarrow \infty } \int _ { \Omega } V _ { H a r } ( \rho _ { \Phi _ { k _ { m j } } } ) \rho _ { \Phi _ { k _ { m j } } } d x = \int _ { \Omega } V _ { H a r } ( \rho _ { \Phi _ { \infty } } ) \rho _ { \Phi _ { \infty } } d x . } \end{array} \right.
( i \partial _ { \tau } + e _ { 0 } a _ { 5 } ) \psi ( x , \tau ) = \frac { 1 } { 2 M } ( p ^ { \mu } - e _ { 0 } a ^ { \mu } ) ( p _ { \mu } - e _ { 0 } a _ { \mu } ) \psi ( x , \tau )
\frac { ( \xi _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } - ( \xi _ { x } ) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } } { \Delta \xi } + \frac { ( \eta _ { x } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } - ( \eta _ { x } ) _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } , k } } { \Delta \eta } + \frac { ( \zeta _ { x } ) _ { i , j , k + \frac { 1 } { 2 } } - ( \zeta _ { x } ) _ { i , j , k - \frac { 1 } { 2 } } } { \Delta \zeta } = 0
\left\{ \begin{array} { c } { f _ { 0 2 } ^ { + } = \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } - 2 f _ { o } , } \\ { f _ { 0 2 } ^ { - } = \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } + 2 f _ { o } , } \end{array} \right.
\hat { g } _ { \mu \nu } \equiv - \frac 1 2 \, \left( \begin{array} { c c } { { - 2 h ^ { + } h ^ { - } } } & { { h ^ { + } + h ^ { - } } } \\ { { h ^ { + } + h ^ { - } } } & { { - 2 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r } { x \in \overline { { \Omega } } \to ( \delta _ { 0 } , \nu _ { x } ^ { \infty } ) \in \mathcal { M } _ { 1 } ^ { + } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \times \mathcal { M } ^ { + } ( \partial e _ { f _ { i } , i \in \mathbb { N } } ) \hookrightarrow \big ( ( T ^ { - 1 } e _ { f _ { i } , i \in \mathbb { N } } ) ^ { * } \big ) ^ { + } } \end{array}
\begin{array} { r } { C ( \tau _ { s } , \tau _ { i } ) = \int \int d \omega _ { i } d \omega _ { s } | \mathcal { F } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) | ^ { 2 } \times } \\ { \times ( 1 + c o s ( \omega _ { s } \tau _ { s } ) ) ( 1 + c o s ( \omega _ { i } \tau _ { i } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { j i } ^ { l } } & { { } = f _ { \mathrm { R B F } } \left( D ( p ^ { l - 1 } ) _ { j i } \right) } \\ { a _ { k j , j i } ^ { l } } & { { } = f _ { \mathrm { S B F } } \left( D ( p ^ { l - 1 } ) _ { j i } , A ( p ^ { l - 1 } ) _ { k j , j i } \right) } \\ { m _ { j i } ^ { 1 } } & { { } = \sigma \left( [ h _ { j } ^ { 0 } | | h _ { i } ^ { 0 } | | a _ { j i } ^ { l } ] W + b \right) } \\ { m _ { j i , 2 - h o p } ^ { ( l + 1 ) } } & { { } = \sum _ { k \in N _ { j } \setminus { i } } f _ { \mathrm { i n t } } \left( m _ { k j } ^ { l } , a _ { j i } ^ { l } , a _ { k j , j i } ^ { l } \right) } \\ { m _ { j i } ^ { ( l + 1 ) } } & { { } = f _ { \mathrm { u p d a t e } } ( m _ { j i } ^ { l } , m _ { j i , 2 - h o p } ^ { ( l + 1 ) } ) } \\ { p _ { i } ^ { l + 1 } } & { { } = p _ { i } ^ { l } + \sum _ { j \in N ( i ) } ( p _ { i } ^ { l } - p _ { j } ^ { l } ) \theta _ { p o s } ( m _ { j i } ^ { ( l + 1 ) } ; \theta ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \cos \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } \right) } \end{array} \right) = { \mathcal R } \left( - \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c } { \cos \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 0 \to 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) , \mathrm { S T } } } & { { } \propto \frac { \mu ^ { 4 } s _ { \bar { \nu } } ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } s ^ { 4 } } \left| \int _ { 0 } ^ { \infty } t e ^ { - t ^ { 2 } / 2 + i \delta t / s } d t \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { { } J _ { z } \sum _ { \langle i , j \rangle } S _ { i } ^ { z } S _ { j } ^ { z } + J _ { x y } \sum _ { \langle i , j \rangle } \left( S _ { i } ^ { x } S _ { j } ^ { x } + S _ { i } ^ { y } S _ { j } ^ { y } \right) } \end{array}
\forall T \geq 0 , \forall X \in \{ H , W \} , \forall g \in \mathcal { C } _ { b } ( E ) , \quad \langle \tilde { \zeta } _ { T } ^ { X | K } , g \rangle \xrightarrow [ K \to \infty ] { } \langle \tilde { \eta } _ { T } ^ { X } , g \rangle \; \; \mathrm { ~ a ~ l ~ m ~ o ~ s ~ t ~ s ~ u ~ r ~ e ~ l ~ y ~ } .
n _ { R } ^ { a b } = \frac 1 2 \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { \psi _ { R } } } \end{array} \right) ^ { \dagger } I _ { a b } ( 1 + \gamma ^ { 5 } ) \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { \psi _ { R } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { L _ { i _ { 1 } } L _ { i _ { 2 } } L _ { i _ { 3 } } L _ { i _ { 4 } } L _ { i _ { 5 } } L _ { i _ { 6 } } x } & { = } & { L _ { i _ { 7 } } x , } \\ { . . . L _ { i _ { b } } L _ { i _ { a } } L _ { i _ { a } } L _ { i _ { c } } . . . . x } & { = } & { - . . . L _ { i _ { b } } L _ { i _ { c } } . . . . x , } \\ { . . . L _ { i _ { a } } L _ { i _ { b } } . . . x } & { = } & { - . . . L _ { i _ { b } } L _ { i _ { a } } . . . , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 1 } } & { \displaystyle \left( i \partial _ { t } U + \frac 1 2 \Delta _ { x } U \right) ( t , x ) = \alpha \left( \displaystyle \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 1 } ( x - y ) \sigma _ { 2 } ( z ) \Psi ( t , y , z ) \, { \mathrm { d } } y \, { \mathrm { d } } z \right) U ( t , x ) , } \\ & { \Big ( \displaystyle \frac 1 { c ^ { 2 } } \partial _ { t t } ^ { 2 } \Psi - \Delta _ { z } \Psi \Big ) ( t , x , z ) = - \beta \sigma _ { 2 } ( z ) \left( \displaystyle \int _ { \mathbb T ^ { d } } \sigma _ { 1 } ( x - y ) | U ( t , y ) | ^ { 2 } \, { \mathrm { d } } y \right) } \end{array}
\forall F r e s h , \quad \sum _ { l } \sum _ { b \in \mathcal { B } } \sum _ { e \in \mathcal { E } } \chi _ { l , F r e s h , b , e } = 0 \quad l \quad \mathrm { ~ i ~ s ~ a ~ p ~ e ~ r ~ i ~ p ~ h ~ e ~ r ~ y ~ }
\log \Big ( \sqrt { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \! \ \Big ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { ( 2 A ) ^ { 1 / 3 } n ^ { - 1 / 3 } } & { \mathrm { i f ~ i = 1 ~ } } \\ { \exp \big ( - \frac { i - 1 } { 3 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 3 } { i - 1 } \big ( \frac { n } { 2 A } \big ) ^ { 1 / ( i - 1 ) } \big ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ i > 1 ~ } } \\ { B ^ { 1 / 2 } n ^ { - 1 / 2 } } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 1 ~ } } \\ { \exp \big ( - \frac { k - 1 } { 2 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 2 } { k - 1 } \big ( \frac { n } { B } \big ) ^ { 1 / ( k - 1 ) } \big ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k ~ > ~ 1 ~ } } \\ { \exp \big ( - j \! \ \operatorname { W } \big ( - \frac { 1 } { j } \big ( \frac { n } { - ( j + 1 ) C } \big ) ^ { 1 / j } \big ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 0 ~ , ~ j \geq ~ 1 ~ , ~ F ( z ) = P ( z ) ~ } } \\ { - D / n } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 0 ~ , ~ j = 1 ~ , ~ F ( z ) = Q ( z ) ~ } } \\ { \exp \big ( - ( j - 1 ) \operatorname { W } \big ( - \frac { 1 } { j - 1 } \big ( \frac { n } { - j D } \big ) ^ { 1 / ( j - 1 ) } \big ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 0 ~ , ~ j > ~ 1 ~ , ~ F ( z ) = Q ( z ) ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { F _ { t o t } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \sigma ^ { 2 } } - \frac { d ( 4 \sigma ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) \sqrt { 1 - d ^ { 2 } - C ^ { 2 } } } { 1 6 \sqrt { 1 - d ^ { 2 } } \sigma ^ { 4 } } } \\ & { } & { - \frac { d ^ { 2 } s ^ { 2 } ( 1 - d ^ { 2 } - C ^ { 2 } ) } { 8 ( 2 - 2 d ^ { 2 } - C ^ { 2 } + 2 d \sqrt { 1 - d ^ { 2 } } \sqrt { 1 - d ^ { 2 } - C ^ { 2 } } ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } } & { = { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \rho } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } \mathbf { u } _ { \rho } + 2 { \frac { \mathrm { d } \rho } { \mathrm { d } t } } \mathbf { u } _ { \theta } { \frac { \mathrm { d } \theta } { \mathrm { d } t } } - \rho \mathbf { u } _ { \rho } \left( { \frac { \mathrm { d } \theta } { \mathrm { d } t } } \right) ^ { 2 } + \rho \mathbf { u } _ { \theta } { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \theta } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } \ , } \\ & { = \mathbf { u } _ { \rho } \left[ { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \rho } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } - \rho \left( { \frac { \mathrm { d } \theta } { \mathrm { d } t } } \right) ^ { 2 } \right] + \mathbf { u } _ { \theta } \left[ 2 { \frac { \mathrm { d } \rho } { \mathrm { d } t } } { \frac { \mathrm { d } \theta } { \mathrm { d } t } } + \rho { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \theta } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } \right] } \\ & { = \mathbf { u } _ { \rho } \left[ { \frac { \mathrm { d } v _ { \rho } } { \mathrm { d } t } } - { \frac { v _ { \theta } ^ { 2 } } { \rho } } \right] + \mathbf { u } _ { \theta } \left[ { \frac { 2 } { \rho } } v _ { \rho } v _ { \theta } + \rho { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { v _ { \theta } } { \rho } } \right] \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { Z _ { q } \equiv \mathbb { E } _ { \phi \sim q _ { \theta } } \left[ \frac { e ^ { - S ( \phi ) } } { q _ { \theta } ( \phi ) } \right] \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { e ^ { - S ( \phi _ { i } ) } } { q _ { \theta } ( \phi _ { i } ) } \equiv \hat { Z } _ { q } \, , } & { } & { \phi _ { i } \sim q _ { \theta } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \big ( \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| + \| \nabla F ( x _ { t } ) - \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| \big ) } \\ & { \leq \Big ( \frac { 2 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \big ( \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \nabla F ( x _ { t } ) - \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } \big ) \Big ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq \frac { 4 \sqrt { F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) } } { \sqrt { 3 T \gamma \eta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \langle \partial _ { v } \rangle \mathrm { A } _ { 0 } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Psi ) \right\| _ { 2 } } & { \lesssim \left\| \langle \partial _ { v } \rangle ^ { - 1 } \mathrm { A } _ { 0 } P _ { 0 } \Omega \right\| _ { 2 } + \left\| \langle \partial _ { v } \rangle ^ { - 1 } \mathrm { A } _ { 0 } ( h _ { 1 } \partial _ { v v } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Psi ) ) \right\| _ { 2 } } \\ & { \quad + \left\| \langle \partial _ { v } \rangle ^ { - 1 } \mathrm { A } _ { 0 } ( h _ { 2 } \partial _ { v } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Psi ) ) \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| \mathrm { A } _ { 0 } P _ { 0 } \Omega \| _ { 2 } + \epsilon \left\| \langle \partial _ { v } \rangle \mathrm { A } _ { 0 } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Psi ) \right\| _ { 2 } } \\ & { \quad + \Big ( \| \mathrm { A } ^ { \mathrm { R } } h _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } } + \| \mathrm { A } ^ { \mathrm { R } } \langle \partial _ { v } \rangle ^ { - 1 } h _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \| P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Psi ) \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \sigma - 6 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( g _ { \delta } ) _ { x x } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } & { = } & { 2 a _ { 2 } ( \delta ) + 6 a _ { 3 } ( \delta ) x _ { 0 } + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { N - 3 } } \\ & { } & { + x _ { 0 } ^ { N - 2 } [ N ( N - 1 ) h _ { \delta } + 2 N x _ { 0 } ( h _ { \delta } ) _ { x } + x _ { 0 } ^ { 2 } ( h _ { \delta } ) _ { x x } ] } \\ & { } & { + y _ { 0 } [ 2 ( i _ { \delta } ) _ { x } + x _ { 0 } ( i _ { \delta } ) _ { x x } + y _ { 0 } ( j _ { \delta } ) _ { x x } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { i \partial _ { t } \psi ( x , t ) + 0 . 5 \Delta \psi ( x , t ) = 0 , } & { \quad x , t \in [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ] \times [ 0 , T ] , } \\ & { \psi ( x , 0 ) = g ( x ) , } & { \quad x \in [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ] , } \\ & { \psi ( x _ { 0 } , t ) = \psi ( x _ { 1 } , t ) , } & { \quad t \in [ 0 , T ] , } \\ & { \partial _ { x } \psi ( x _ { 0 } , t ) = \partial _ { x } \psi ( x _ { 1 } , t ) } & { \quad t \in [ 0 , T ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta { \cal L } } & { = } & { { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } \mathrm { t r } \, F _ { \mu \nu } \, \delta F _ { \mu \nu } + \dots } \\ & { = } & { { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } \mathrm { t r } \, \Big ( 2 \delta A _ { \mu } \partial _ { \nu } F _ { \mu \nu } + i ( [ \delta A _ { \mu } , A _ { \nu } ] + [ A _ { \mu } , \delta A _ { \nu } ] ) F _ { \mu \nu } \Big ) } \\ & { = } & { { \frac { 2 } { g ^ { 2 } } } \mathrm { t r } \, \Big ( \delta A _ { \mu } \partial _ { \nu } F _ { \mu \nu } + i [ \delta A _ { \mu } , A _ { \nu } ] F _ { \mu \nu } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \Phi } _ { n + 1 } = \frac { \dot { \Phi } _ { n } - \dot { \Phi } _ { n - 1 } } { t _ { n } - t _ { n - 1 } } t _ { d e a d , o n } + \dot { \Phi } _ { n } } \end{array}
\sigma _ { x | b _ { n } } ^ { 2 } = \frac { e ^ { - 2 \lambda t } } { \lambda ( \lambda + \alpha ) } \Bigg [ x _ { 0 } ( \lambda ^ { 2 } + \alpha \lambda ) ( e ^ { \lambda t } - 1 ) + ( \alpha \nu + \lambda \nu ) e ^ { \lambda t } ( e ^ { \lambda t } - 1 ) + \lambda b _ { n } \mu e ^ { \lambda t } ( e ^ { ( \lambda + \alpha ) t } - 1 ) \Bigg ] .
\big [ \hat { \Sigma } _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } } ^ { r } ( ( k _ { 0 } , { \bf k } ) , \hat { \nu } ^ { \le ( r ) } , \lambda ) \big ] _ { 1 1 } + \big [ \hat { \nu } _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } } ^ { r } ( { \bf k } , \lambda ) \big ] _ { 1 1 } = \big [ \hat { R } \hat { \Sigma } _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } } ^ { r } ( ( k _ { 0 } , { \bf k } ) , \hat { \nu } ^ { \le ( r + 1 ) } , \lambda ) \big ] _ { 1 1 } ,