harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\dot { { \bf X } } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \dot { x } _ { 1 } ( t _ { 1 } ) } & { \dot { x } _ { 2 } ( t _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \dot { x } _ { n } ( t _ { 1 } ) } \\ { \dot { x } _ { 1 } ( t _ { 2 } ) } & { \dot { x } _ { 2 } ( t _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \dot { x } _ { n } ( t _ { 2 } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \dot { x } _ { 1 } ( t _ { m } ) } & { \dot { x } _ { 2 } ( t _ { m } ) } & { \cdots } & { \dot { x } _ { n } ( t _ { m } ) } \end{array} \right] \; .
S _ { q } : = \sum _ { q _ { 2 } \in \Phi _ { 2 } } \sum _ { 1 \leq r \ll \frac { M _ { 0 } } { Q } } \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { 0 } } \Big | \sum _ { q _ { 1 } \in \Phi _ { 1 } } \overline { { \chi } } ( q _ { 1 } ) \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } q _ { 2 } r ) \frac { \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + q _ { 1 } q _ { 2 } r , x ) } { ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } q _ { 2 } r ) ^ { 1 / 4 } } \Big | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { [ { \mathbb X } _ { 1 } , { \mathbb X } _ { 3 } ] } & { { } = } & { - \, { \mathbb X } _ { 1 } , } \\ { [ { \mathbb X } _ { 5 } , { \mathbb X } _ { 1 } ] } & { { } = } & { - \, { \mathbb X } _ { 3 } , } \\ { [ { \mathbb X } _ { 3 } , { \mathbb X } _ { 5 } ] } & { { } = } & { - \, { \mathbb X } _ { 1 } - \, { \mathbb X } _ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } } & { { } = \epsilon _ { 0 } \mathbf { E } + \{ \mathbf { P } \} + \mathbf { P } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \left[ \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \delta ( z ) ^ { ( 0 ) } \right] \cdot \nabla } \\ { \mathbf { B } } & { { } = \mu _ { 0 } \left( \mathbf { H } + \{ \mathbf { M } \} + \mathbf { M } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \left[ \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) \right] \cdot \nabla \right) \, , } \end{array}
j _ { a } ^ { \mu , \mathrm { N L } } ( 0 ) = - \int ( d p ) ( d p ^ { \prime } ) \psi ^ { \dagger } ( - p ) \left\{ \begin{array} { c } { { r _ { \mu } ( p ) { \bf \lambda } _ { a } \beta { \bf \Phi } ( p - p ^ { \prime } ) r ( p ^ { \prime } ) + } } \\ { { r ( p ) \beta { \bf \Phi } ( p - p ^ { \prime } ) { \bf \lambda } _ { a } r _ { \mu } ( p ^ { \prime } ) } } \end{array} \right\} \psi ( p ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { \widetilde \alpha ( t , \zeta ) = \partial _ { t t } ^ { 2 } \alpha ( t , \zeta ) , \quad \widetilde \beta ( t , \zeta ) = 2 \cot \frac { t - \zeta } { 2 } \partial _ { t } \alpha ( t , \zeta ) - \alpha ( t , \zeta ) \frac { 1 } { 2 \sin ^ { 2 } \frac { t - \zeta } { 2 } } + \partial _ { t t } ^ { 2 } \beta ( t , \zeta ) . } \end{array}
Z _ { T , S } = \left( \begin{array} { l l l l } { ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { A } \bar { A } } } & { ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { B } \bar { A } } } & { T ^ { - 1 } S ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { \lambda } \bar { A } } } & { T ^ { - 1 } S ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { \mu } \bar { A } } } \\ { ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { A } \bar { B } } } & { ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { B } \bar { B } } } & { T ^ { - 1 } S ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { \lambda } \bar { B } } } & { T ^ { - 1 } S ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { \mu } \bar { B } } } \\ { T ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { A } \bar { \lambda } } } & { T ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { B } \bar { \lambda } } } & { T ^ { - 2 } S ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { \lambda } \bar { \lambda } } } & { T ^ { - 2 } S ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { \mu } \bar { \lambda } } } \\ { S ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { A } \bar { \mu } } } & { S ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { B } \bar { \mu } } } & { S ^ { - 2 } T ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { \lambda } \bar { \mu } } } & { S ^ { - 2 } T ^ { - 1 } ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { \mu } \bar { \mu } } } \end{array} \right) .
{ \mathrm { ~ c _ { \ b e t a - 1 } ~ a n d ~ c _ { \ b e t a } ~ } } \left\{ \! \! \! \begin{array} { c } { { { \mathrm { c o i n c i d e } } } } \\ { { { \mathrm { a r e ~ o p p o s i t e } } } } \end{array} \! \! \right\} { \mathrm { i f ~ W ^ { ( \ b e t a - 1 ) } ~ c o n t a i n s ~ a n } } \left\{ \! \! \! \begin{array} { c } { { { \mathrm { e v e n } } } } \\ { { { \mathrm { o d d } } } } \end{array} \! \! \right\} { \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ f a c t o r s ~ Y ~ , } }
\begin{array} { r l } { \ln \frac { p ( \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = A \tau ) } { p ( \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = - A \tau ) } } & { { } = - \ln \left< e ^ { - \Omega _ { 0 , 2 t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) } \right> _ { \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = A \tau } , } \end{array}
( \mathcal { L } _ { g , n } ) _ { [ \mu ] , [ \lambda ] } = ( \mathcal { L } _ { 1 , 0 } ) _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } , \lambda _ { 1 } } \otimes \ldots \otimes ( \mathcal { L } _ { 1 , 0 } ) _ { \mu _ { 2 g - 1 } , \mu _ { 2 g } , \lambda _ { g } } \otimes ( \mathcal { L } _ { 0 , 1 } ) _ { \mu _ { 2 g + 1 } , \lambda _ { g + 1 } } \otimes \ldots \otimes ( \mathcal { L } _ { 0 , 1 } ) _ { \mu _ { 2 g + n } , \lambda _ { g + n } } .
\begin{array} { r l } { \frac { d U _ { p } ^ { * ( 1 ) } } { d t ^ { * } } } & { = \frac { \mathcal { A } } { \mathcal { B } } \Omega _ { r } ^ { * ( 0 ) } U _ { q } ^ { * ( 0 ) } - \mathcal { A } \phi ^ { ( 1 ) } \sin \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \frac { d U _ { q } ^ { * ( 1 ) } } { d t ^ { * } } } & { = - \frac { \mathcal { B } } { \mathcal { A } } \Omega _ { r } ^ { * ( 0 ) } U _ { p } ^ { * ( 0 ) } - \mathcal { B } \phi ^ { ( 1 ) } \cos \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \frac { d \Omega _ { r } ^ { * ( 1 ) } } { d t ^ { * } } } & { = 0 , } \\ { \frac { d \phi ^ { ( 1 ) } } { d t ^ { * } } } & { = \Omega _ { r } ^ { * ( 0 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e } \leq } & { \sum _ { i , k > i } \sum _ { j , l > j } \operatorname* { m a x } \{ P _ { i , j } , P _ { k , l } \} e ^ { - \textup { D i v } ( [ { \lambda _ { i , j } } , { \hat { \lambda } _ { i , j } } ] , [ { \lambda _ { k , l } } , { \hat { \lambda } _ { k , l } } ] ) } } \\ { = } & { \sum _ { i , k > i } \sum _ { j , l > j } n ^ { - \textup { D i v } \big ( [ { q ^ { ( i , j ) } } , { g ^ { ( i , j ) } } ] , [ { q ^ { ( k , l ) } } , { g ^ { ( k , l ) } } ] \big ) + o ( 1 ) } , } \end{array}
p = \rho R T + \left( B _ { 0 } R T - A _ { 0 } - { \frac { C _ { 0 } } { T ^ { 2 } } } + { \frac { D _ { 0 } } { T ^ { 3 } } } - { \frac { E _ { 0 } } { T ^ { 4 } } } \right) \rho ^ { 2 } + \left( b R T - a - { \frac { d } { T } } \right) \rho ^ { 3 } + \alpha \left( a + { \frac { d } { T } } \right) \rho ^ { 6 } + { \frac { c \rho ^ { 3 } } { T ^ { 2 } } } \left( 1 + \gamma \rho ^ { 2 } \right) \exp \left( - \gamma \rho ^ { 2 } \right)
\mu _ { 3 } ^ { 2 } + \mu _ { 4 } ^ { 2 } = \mu _ { S } ^ { 2 } + \mu _ { L } ^ { 2 } , \quad \frac { \mu _ { 3 } ^ { 2 } - \mu _ { 4 } ^ { 2 } } { \mu _ { L } ^ { 2 } - \mu _ { S } ^ { 2 } } = { \cos 2 \theta } .
\begin{array} { r l } { P _ { i } ^ { s } } & { { } = \frac { N } { D } } \\ { N } & { { } = c _ { 0 } + c _ { 1 } A _ { i } ^ { 0 } + c _ { 2 } A _ { i } ^ { 1 } + c _ { 3 } ( A _ { i } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + c _ { 4 } ( A _ { i } ^ { 1 } ) ^ { 2 } + c _ { 5 } A _ { i } ^ { 0 } A _ { i } ^ { 1 } } \\ { D } & { { } = 1 + c _ { 6 } A _ { i } ^ { 0 } + c _ { 7 } A _ { i } ^ { 1 } } \end{array} ,
\begin{array} { c } { { N _ { 2 2 2 } ^ { \Omega } = \{ \{ - e u _ { 1 2 } u _ { 1 3 } v _ { 1 2 } v _ { 1 3 } e ^ { * } \lambda ^ { 8 } , \frac { a e u _ { 1 3 } v _ { 1 2 } v _ { 2 3 } } 2 \lambda ^ { 6 } , } } \\ { { \frac { \lambda ^ { 6 } a } 2 \left( a \left( u _ { 2 3 } v _ { 1 2 } + u _ { 1 2 } v _ { 2 3 } \right) ^ { 2 } - u _ { 2 3 } v _ { 1 2 } v _ { 1 3 } c ^ { * } + u _ { 1 2 } v _ { 1 3 } v _ { 2 3 } e ^ { * } \right) \} , } } \\ { { \{ \frac { a e u _ { 1 3 } v _ { 1 2 } v _ { 2 3 } } 2 \lambda ^ { 6 } , 0 , - \frac { \lambda ^ { 6 } a v _ { 2 3 } } 2 \left( c u _ { 1 3 } v _ { 1 2 } + \frac { a v _ { 2 3 } } 2 \right) \} , } } \\ { { \{ \frac { \lambda ^ { 6 } a } 2 \left( a \left( u _ { 2 3 } v _ { 1 2 } + u _ { 1 2 } v _ { 2 3 } \right) ^ { 2 } - u _ { 2 3 } v _ { 1 2 } v _ { 1 3 } c ^ { * } + u _ { 1 2 } v _ { 1 3 } v _ { 2 3 } e ^ { * } \right) , } } \\ { { - \frac { \lambda ^ { 6 } a v _ { 2 3 } } 2 \left( c u _ { 1 3 } v _ { 1 2 } + \frac { a v _ { 2 3 } } 2 \right) , - a ^ { 2 } c u _ { 1 3 } u _ { 2 3 } v _ { 1 3 } v _ { 2 3 } c ^ { * } \lambda ^ { 1 0 } \} \} ; } } \end{array}
\langle \delta j ^ { \mu } ( X ) \rangle \simeq \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d ^ { \, 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left[ \hat { \cal P } _ { + } ^ { \mu } Z _ { + } \frac { - i \Sigma _ { o f f } ^ { ( + ) } } { | I m \Sigma _ { R } ^ { ( + ) } | } - \hat { \cal P } _ { - } ^ { \mu } Z _ { - } \frac { - i \Sigma _ { o f f } ^ { ( - ) } } { | I m \Sigma _ { R } ^ { ( - ) } | } \right] ,
\overline { { v } } = \int _ { 0 } ^ { h ( \xi , t ) } V d \overline { { \xi } } , \quad \overline { { \sigma } } = \int _ { 0 } ^ { h ( \xi , t ) } P d \overline { { \xi } } , \quad Z _ { 0 } = Z ( \overline { { \xi } } = 0 ) .
\alpha ( \mathbf { m ^ { \prime } } | \mathbf { m } ) = m i n [ 1 , \frac { p ( \mathbf { m ^ { \prime } } ) } { p ( \mathbf { m } ) } \frac { p ( \mathbf { d } | \mathbf { m ^ { \prime } } ) } { p ( \mathbf { d } | \mathbf { m } ) } \frac { q ( \mathbf { m } | \mathbf { m ^ { \prime } } ) } { q ( \mathbf { m ^ { \prime } } | \mathbf { m } ) } \times | \mathbf { J } | ] ,
\begin{array} { r } { G ( \mathbf { h } _ { t } , \epsilon , \mathbf { x } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { p } \sum _ { i = 1 } ^ { q } c _ { i } ^ { k } \sigma ( \sum _ { j = 1 } ^ { n } \xi _ { i j } ^ { k } \phi ( \mathbf { x } _ { j } ) + \xi _ { i 0 } ^ { k } \epsilon + \theta _ { i } ^ { k } ) \sigma ( W _ { k } \cdot \mathbf { x } + \zeta _ { k } ) + b _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \phi } ( 1 ) } & { \sim \tilde { q } _ { \theta } ( \tilde { \phi } | \Theta , \Theta , \lambda , 1 ) = \tilde { q } _ { \theta } ( 1 ) } \\ & { \vdots } \\ { \tilde { \phi } ( k ) } & { \sim \tilde { q } _ { \theta } ( \tilde { \phi } | \tilde { \phi } ( k - 1 ) , \tilde { \phi } ( 1 ) , \lambda , k ) = \tilde { q } _ { \theta } ( k ) } \\ & { \vdots } \\ { \tilde { \phi } ( L ) } & { \sim \tilde { q } _ { \theta } ( \tilde { \phi } | \tilde { \phi } ( L - 1 ) , \tilde { \phi } ( 1 ) , \lambda , L ) = \tilde { q } _ { \theta } ( L ) } \end{array}
\Phi \left( \eta ^ { ( k - 1 ) } , \eta ^ { ( k ) } , \tilde { \xi } \right) : = 4 \left[ \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k - 1 ) } } + \frac { 5 } { 2 } \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k - 1 ) } } \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } + \frac { 3 } { 2 } \frac { \tilde { \xi } ^ { 4 } } { \left( \eta ^ { ( k ) } \right) ^ { 2 } } + \frac { \tilde { \xi } ^ { 4 } } { \left( \eta ^ { ( k - 1 ) } \right) ^ { 2 } } \right] .
\omega _ { g c } = d \Gamma _ { g c } = \frac { e } { c } \epsilon _ { i j k } B ^ { k } d X _ { g c } ^ { i } \wedge d X _ { g c } ^ { j } + m \hat { b } ( X _ { g c } ) d V _ { \parallel } \wedge d X _ { g c } ^ { i } + \frac { m c } { e } d \mu _ { } \wedge d \theta _ { } ,
\begin{array} { r l r l } & { { \mathbf { e } } _ { 2 } \otimes { \mathbf { e } } _ { 2 } } & { \mathrm { i f } } & { \ k \in 4 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 , } \\ & { { \mathbf { e } } _ { 1 } \otimes { \mathbf { e } } _ { 1 } } & { \mathrm { i f } } & { \ k \in 4 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 3 , } \\ & { 0 } & { \mathrm { i f } } & { \ k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } \, . } \end{array}
q _ { i } ^ { n + 1 } = q _ { i } ^ { n } - \Delta t S _ { i , c } ^ { n } = q _ { i } ^ { n } - \Delta t \left( \frac { \tau _ { i , f } } { 1 + \Delta t \frac { \partial \tau _ { i , f } } { \partial q _ { i } } } \right) ^ { n } = q _ { i } ^ { n } - \Delta t \left( \frac { C _ { i } u _ { i } | u _ { i } | } { 1 + \frac { 2 \Delta t C _ { i , f } | q _ { i } | } { h _ { i } ^ { 2 } } } \right) ^ { n }
( F _ { \mu \nu } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { B } } & { { E _ { 1 } } } \\ { { - B } } & { { 0 } } & { { E _ { 2 } } } \\ { { - E _ { 1 } } } & { { - E _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) = i ( E _ { 2 } T _ { 1 } - E _ { 1 } T _ { 2 } + B T _ { 3 } ) \ ,
n = \left\lfloor { \frac { \pi } { 4 \theta } } \right\rfloor \approx \left\lfloor { \frac { \pi } { 4 \sin ( \theta ) } } \right\rfloor = \left\lfloor { \frac { \pi } { 4 } } { \sqrt { \frac { N } { G } } } \right\rfloor = O ( { \sqrt { N } } ) .
\tau _ { r _ { 1 } } = ( 1 - r _ { 1 } ) ^ { - 1 / c _ { 1 } } \exp ( - \frac { 1 } { R T _ { 2 } } \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } + \frac { c _ { 0 } } { c _ { 1 } } ) .
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s } } } ^ { * } v ) ( s ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { \pi _ { s } \in \Delta _ { \mathcal { A } } } \operatorname* { m i n } _ { { R , P \in \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } } \sum _ { a } \pi _ { s } ( a ) \Bigm [ R ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \pi _ { s } \in \Delta _ { \mathcal { A } } } \Bigm [ - ( \alpha _ { s } + \gamma \beta _ { s } \kappa _ { q } ( v ) ) \lVert \pi _ { s } \rVert _ { q } + \sum _ { a } \pi _ { s } ( a ) ( R ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) ) \Bigm ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { V } \textrm { a r } [ R _ { k , j } ( \tau ) ] } & { = \mathbb { V } \textrm { a r } [ C _ { k , j } ( \tau ) - \phi _ { k } ^ { \tau } C _ { k , j } ( 0 ) ] } \\ & { = \mathbb { V } \textrm { a r } [ C _ { k , j } ( \tau ) ] + \phi _ { k } ^ { 2 \tau } \mathbb { V } \textrm { a r } [ C _ { k , j } ( 0 ) ] } \\ & { - 2 \phi _ { k } ^ { \tau } \mathbb { C } \textrm { o v } [ C _ { k , j } ( \tau ) , C _ { k , j } ( 0 ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { k } } & { = \frac { a _ { k , 3 } ^ { 2 } t _ { k } ^ { 2 } \gamma _ { k } } { \Delta _ { k } } + a _ { k , 4 } ^ { 2 } t _ { k } ^ { 2 } [ \frac { \theta \overline { { d ^ { 2 } } } \gamma _ { k } ( { \mathbf { C } } ) ^ { 2 } } { \Delta _ { k } ^ { 2 } } } \\ & { + \theta ^ { 2 } \overline { { d } } ^ { 2 } \chi _ { k } ( { \mathbf { C } } , { \mathbf { C } } ) ] + 2 a _ { k , 3 } a _ { k , 4 } t _ { k } ^ { 2 } \theta \overline { { d } } \Gamma _ { k } ( { \mathbf { C } } ) , } \end{array}
= E _ { m } - \ { \frac { \beta _ { m } + \sum _ { \mathbf { R } _ { n } \neq 0 } \sum _ { l } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { R } _ { n } } \gamma _ { m , l } ( \mathbf { R } _ { n } ) } { \ \ 1 + \sum _ { \mathbf { R } _ { n } \neq 0 } \sum _ { l } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { R } _ { n } } \alpha _ { m , l } ( \mathbf { R } _ { n } ) } } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathsf { R } _ { \mathrm { { S R } } } ( R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } & { = \mathsf { R } ( R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) , } \\ { \jmath _ { \mathrm { S R } } ( x | R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X } ) } & { = \jmath ( x , g ( x ) | R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X } ) . } \end{array}
\mathbb { P } ( \theta \, | \, \mathbf { x } ) = \frac { \mathbb { P } ( \mathbf { x } \, | \, \theta ) \mathbb { P } ( \theta ) } { \mathbb { P } ( \mathbf { x } ) } = \frac { \mathbb { P } ( \mathbf { x } \, | \, \theta ) \mathbb { P } ( \theta ) } { \int _ { \Theta } \mathbb { P } ( \mathbf { x } \, | \, \theta ) \mathbb { P } ( \theta ) \mathrm { ~ d ~ } \theta } ,
\begin{array} { r l } { \hat { Q } _ { m - 1 } Q ^ { H } } & { = \hat { Q } _ { m - 1 } \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \vert } & & { \vert } & { \vert } & { \vert } & & { \vert } \\ { q _ { 1 } } & { \dots } & { q _ { j - 1 } } & { q _ { j } } & { q _ { j + 1 } } & { \dots } & { q _ { m } } \\ { \vert } & & { \vert } & { \vert } & { \vert } & & { \vert } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \vert } & & { \vert } & & { \vert } & & { \vert } \\ { \boldsymbol { \times } } & { \dots } & { \boldsymbol { \times } } & { { 0 } } & { \boldsymbol { \times } } & { \dots } & { \boldsymbol { \times } } \\ { \vert } & & { \vert } & & { \vert } & & { \vert } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi _ { \mathrm { j e t } } = \frac { 2 F t ^ { 1 / 3 } \eta ^ { 1 / 2 } } { 3 K _ { d } M _ { 0 } ^ { 1 / 3 } \Gamma \left[ \frac { 2 } { 3 } ( \frac { K _ { a } } { K _ { d } } + 1 ) \right] } \Gamma \left[ \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { K _ { a } } { K _ { d } } - \frac { 1 } { 2 } \right) , \frac { 4 \eta ^ { 3 / 2 } } { 9 K _ { d } } \right] , } \\ & { \phi _ { \mathrm { p u f f } } = \frac { 2 B z ^ { 1 / 2 } } { 3 K _ { d } M _ { 0 } ^ { 1 / 3 } \Gamma \left[ \frac { 2 } { 3 } ( \frac { K _ { a } } { K _ { d } } + 1 ) \right] } \Gamma \left[ \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { K _ { a } } { K _ { d } } - \frac { 1 } { 2 } \right) , \frac { 4 z ^ { 3 / 2 } } { 9 K _ { d } M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } t } \right] } \\ & { - \Gamma \left[ \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { K _ { a } } { K _ { d } } - \frac { 1 } { 2 } \right) , \frac { 4 z ^ { 3 / 2 } } { 9 K _ { d } M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( t - T _ { 0 } ) } \right] ) , \; T _ { 0 } < t } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { P ( - , G ) = 1 } \\ { P ( - , B ) = 0 } \\ { R _ { 1 } ( - , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 2 } ( - , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 1 } ( - , B , D ) + R _ { 2 } ( - , B , D ) > 0 } \\ { R _ { 1 } ( - , G , D ) < 1 } \\ { \frac { b } { c } > \frac { 1 + R _ { 2 } ( - , B , D ) } { 1 - R _ { 1 } ( - , G , D ) } } \\ { R _ { 1 } ( - , B , C ) \leq R _ { 1 } ( - , B , D ) { \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad } \frac { b } { c } < \frac { 1 + R _ { 2 } ( - , B , D ) } { R _ { 1 } ( - , B , C ) - R _ { 1 } ( - , B , D ) } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \lefteqn { ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } } \\ { = } & { \ \left[ | u ^ { k } | ^ { 2 p } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) + ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } ) u ^ { j } \right] _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ { = } & { \ \left[ ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } ) _ { x } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) + | u ^ { k } | ^ { 2 p } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ & { + \ \left[ ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } ) _ { x } u ^ { j } + ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } ) u _ { x } ^ { j } \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ { = } & { \ ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } ) _ { x } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } + | u ^ { k } | ^ { 2 p } \, | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | ^ { 2 } } \\ & { + \ ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } ) _ { x } u ^ { j } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } + ( | u ^ { k } | ^ { p } + | u ^ { j } | ^ { p } ) ( | u ^ { k } | ^ { p } - | u ^ { j } | ^ { p } ) u _ { x } ^ { j } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ { = } & { \ ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } ) _ { x } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } + | u ^ { k } | ^ { 2 p } \, | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | ^ { 2 } } \\ & { + \ u ^ { j } \left[ ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } ) _ { x } - ( | u ^ { j } | ^ { 2 p } ) _ { x } \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } + ( | u ^ { k } | ^ { p } + | u ^ { j } | ^ { p } ) ( | u ^ { k } | ^ { p } - | u ^ { j } | ^ { p } ) u _ { x } ^ { j } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { \perp } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial } { \partial r } \right] + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( y , z ) = \frac { 1 } { 2 } y - \frac { 2 } { \pi } \sum _ { m \geq 0 } } & { \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { 2 m + 1 } \left[ \cos \left( \frac { ( 2 m + 1 ) \pi a z } { h } \right) \frac { \sinh \left( \sqrt { \lambda _ { 2 } } y \right) } { \sqrt { \lambda _ { 2 } } \cosh \left( \frac { \sqrt { \lambda _ { 2 } } \ell } { 2 a } \right) } \right. } \\ & { \left. + \sin \left( \frac { ( 2 m + 1 ) \pi a y } { \ell } \right) \frac { \ell } { ( 2 m + 1 ) \pi a } \frac { \cosh \left( \sqrt { \lambda _ { 1 } } z \right) } { \cosh \left( \frac { \sqrt { \lambda _ { 1 } } h } { 2 a } \right) } \right] . } \end{array}
\operatorname { L i } _ { s } ( z ) = { \frac { 1 } { 2 } } z + { \frac { \Gamma ( 1 - s , - \ln z ) } { ( - \ln z ) ^ { 1 - s } } } + 2 z \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \sin ( s \arctan t - t \ln z ) } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { s / 2 } ( e ^ { 2 \pi t } - 1 ) } } d t
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { S _ { x } } \\ { S _ { y } } \\ { S _ { z } } \end{array} \right) } & { { } = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos ( 2 \alpha ) } \\ { \sin ( 2 \alpha ) \cos \delta } \\ { \sin ( 2 \alpha ) \sin \delta } \end{array} \right) , } \end{array}
A = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } } & { a _ { m 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { x } = { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { x _ { n } } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { b } = { \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { b _ { m } } \end{array} \right] } .
S _ { \mathrm { m o n . } } = g ^ { 2 } \sum _ { a < b } ^ { } q _ { a } q _ { b } \left( \Delta ^ { - 1 } \right) \left( \vec { z } _ { a } , \vec { z } _ { b } \right) + S _ { 0 } \sum _ { a } ^ { } q _ { a } ^ { 2 } ,
\mathbf { A } = \left( \begin{array} { c c c c c c c c } { A _ { 0 } } & { A _ { 1 } } & { \ldots } & { A _ { n x } } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { A _ { - 1 } } & { A _ { 0 } } & { A _ { 1 } } & { \ldots } & { A _ { n x } } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { A _ { - 1 } } & { A _ { 0 } } & { \ddots } & { \ddots } & { A _ { n x } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { A _ { - n x } } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { A _ { 1 } } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { - n x } } & { \ddots } & { \ddots } & { A _ { 0 } } & { A _ { 1 } } & { \ddots } & { A _ { n x } } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { A _ { - 1 } } & { A _ { 0 } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { A _ { 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { A _ { - n x } } & { \ldots } & { A _ { - 1 } } & { A _ { 0 } } \end{array} \right) ;
\frac { u ^ { \prime 3 } } { \epsilon } = \frac { 2 } { k _ { \mathrm { e } } } \left[ \alpha \Gamma \left( \frac { 2 } { 3 } \right) \right] ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \approx 0 . 7 2 5 \frac { 1 } { k _ { \mathrm { e } } }
\begin{array} { r } { C ^ { \pm } ( n , k ) = \frac { 2 n ^ { 2 } \left[ \rho ^ { \pm } ( n , k ) \right] ^ { 3 } + \left( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ \rho ^ { \pm } ( n , k ) \right] ^ { 2 } + 2 \rho ^ { \pm } ( n , k ) \left( k ^ { 4 } - n ^ { 4 } \right) - \left( k ^ { 2 } + n ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } { \rho ^ { \pm } ( n , k ) ~ k ^ { 2 } - \left[ \rho ^ { \pm } ( n , k ) - n \right] \left[ \rho ^ { \pm } ( n , k ) + n \right] \left[ \rho ^ { \pm } ( n , k ) + 2 \right] } } \end{array}
{ \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } g ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) } } - { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } } \ln { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } g ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) } } = \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } }