harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { l } { \mathrm { e l e m e n t s : ~ r a t i o s ~ o f ~ m o n i c ~ p o l y n o m i a l s ~ i n ~ K ( x ) ~ } } \\ { \mathrm { a d d i t i o n : ~ m u l t i p l i c a t i o n ~ o f ~ r a t i o n a l ~ f u n c t i o n s } } \\ { \mathrm { m u l t i p l i c a t i o n : ~ } \left[ \prod _ { i } ( x - \alpha _ { i } ) \right] \cdot \left[ \prod _ { j } ( x - \beta _ { j } ) \right] = \left[ \prod _ { i , j } ( x - \alpha _ { i } \beta _ { j } ) \right] } \end{array} \right)
| \psi ( \varphi ) \rangle = { \cal N } \, \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { d } x \, d ^ { d } y \, \big ( \varphi ( { \vec { x } } ) - s \big ) \, h ( { \vec { x } } - { \vec { y } } ) \, \big ( \varphi ( { \vec { y } } ) - s \big ) \right) ~ .
\frac { \rho ^ { n + 1 } e _ { t } ^ { n + 1 } - \rho ^ { n + 1 } e _ { t } ^ { * } } { \Delta t } = \frac { \rho ^ { n + 1 } c _ { v } ( T ^ { n + 1 } - T ^ { * } ) } { \Delta t } = \sigma _ { E } ^ { * } c E ^ { n + 1 } - \sigma _ { P } ^ { * } a c ( T ^ { n + 1 } ) ^ { 4 } .
{ \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \left( M _ { \alpha } ^ { } \otimes M _ { - \alpha } ^ { } \, - \, M _ { - \alpha } ^ { } \otimes M _ { \alpha } ^ { } \right) \, = ~ M _ { \alpha } ^ { - } \otimes M _ { \alpha } ^ { + } \, - \, M _ { \alpha } ^ { + } \otimes M _ { \alpha } ^ { - } ~ = ~ M _ { \alpha } ^ { - } \otimes M _ { \alpha } ^ { } \, - \, M _ { \alpha } ^ { } \otimes M _ { \alpha } ^ { - }
\tilde { H } ( t ) = [ \ensuremath { { \cal E } } ( t + \tau _ { 1 2 } ) e ^ { i \varphi _ { 1 } } + 2 \ensuremath { { \cal E } } ( t ) e ^ { i ( \varphi _ { 2 } + \varphi _ { 3 } ) } + \mathrm { h . c . } ] \tilde { M } ( t ) \, ,
\displaystyle - i \frac { M _ { H } ^ { 2 } } { v } ( \delta Z _ { \lambda } - \delta v / v ) \mu ^ { \epsilon } = i \mu ^ { \epsilon } 8 N _ { c } \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { v } ( \frac { m _ { t } } { 4 \pi v } ) ^ { 2 } [ \Delta _ { \epsilon } - \frac { 7 } { 4 8 } \frac { M _ { H } ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } ] , ~ ~ \Delta _ { \epsilon } = \Gamma ( \epsilon ) + \ln \frac { 4 \pi \mu ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathrm { N L } } = } & { \frac { 3 \omega _ { P } } { 4 \varepsilon _ { 0 } ^ { 3 } v _ { g } ^ { 2 } } \int d x d y \frac { \chi _ { 3 } ^ { i j k l } ( x , y ) } { n ^ { 8 } ( x , y ) } \times } \\ & { \left[ \mathrm { d } _ { c h } ^ { i } ( x , y ) \mathrm { d } _ { c h } ^ { j } ( x , y ) \right] ^ { * } \mathrm { d } _ { c h } ^ { l } ( x , y ) \mathrm { d } _ { c h } ^ { m } ( x , y ) \ , } \end{array}
\frac { d ^ { 3 } \sigma _ { i j \rightarrow N N N \bar { p } } } { d ^ { 3 } p } ( s ) \sim \frac { R _ { 3 } ( P - p _ { \bar { p } } ) } { R _ { 4 } ( P ) } \ \sigma _ { i j \rightarrow N N N \bar { p } } ( s ) \, .
\sum _ { u = - l } ^ { l } \sum _ { v = - l } ^ { l } a _ { i , j , g } ^ { u , v } \, \phi _ { i + u , j + v , g } = s _ { i , j , g } \, , \quad \forall i \in \{ 2 , 3 , \ldots , N _ { x } - 1 \} , \ \forall j \in \{ 2 , 3 , \ldots , N _ { y } - 1 \} , \ \forall g \in \{ 1 , 2 , \ldots , N _ { g } \} ,
{ \begin{array} { r l r l } { \psi _ { x + } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \, } } } } & { { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] } \; , } & { \psi _ { x - } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \, } } } } & { { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right] } \; , } \\ { \psi _ { y + } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \, } } } } & { { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { i } \end{array} \right] } \; , } & { \psi _ { y - } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \, } } } } & { { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - i } \end{array} \right] } \; , } \\ { \psi _ { z + } = } & { { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \; , } & { \psi _ { z - } = } & { { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } ~ . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { d Z _ { \nu } ( t ) } { d t } = p ( \nu , \nu ^ { \prime } ) X _ { \nu } ( t ) X _ { \nu ^ { \prime } } ( t ) - \frac { Z _ { \nu } ( t ) } { \tau _ { z , \nu } } , } \\ { \frac { d X _ { \nu } ( t ) } { d t } = q ( \nu , \nu ^ { \prime \prime } ) Z _ { \nu } ( t ) X _ { \nu ^ { \prime \prime } } ( t ) - \frac { X _ { \nu } ( t ) } { \tau _ { x , \nu } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { 1 } } & { { } = - i \omega _ { 1 } q _ { 1 } - i \sigma _ { 1 } q _ { 2 } - i \sigma _ { 2 } q _ { 3 } , } \\ { \dot { q } _ { 2 } } & { { } = - i \omega _ { 2 } q _ { 2 } + i \sigma _ { 1 } q _ { 1 } + i \sigma _ { 1 } q _ { 3 } , } \\ { \dot { q } _ { 3 } } & { { } = - i \omega _ { 3 } q _ { 3 } - i \sigma _ { 1 } q _ { 2 } - i \sigma _ { 2 } q _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { 1 } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \partial _ { x } \left( \rho _ { 1 } \left[ 1 - \kappa \rho _ { 2 } \right] \right) { } } & { { } = { } 0 } \\ { \partial _ { t } \rho _ { 2 } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \partial _ { x } \left( \rho _ { 2 } \left[ 1 - \kappa \rho _ { 1 } \right] \right) { } } & { { } = { } 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bar { R } ( \pi _ { X } , a ) } } { \partial { a } } } & { = } & { - 2 k \sum _ { d = 0 } ^ { M } ( d - a ) q _ { \pi _ { X } } ( d ) , } \\ & { = } & { - 2 k \left( \sum _ { d = 0 } ^ { M } d q _ { \pi _ { X } } ( d ) - a \sum _ { d = 0 } ^ { M } q _ { \pi _ { X } } ( d ) \right) = 0 , } \\ { \Rightarrow a ^ { * } ( \pi _ { X } ) } & { = } & { \sum _ { d = 0 } ^ { M } d q _ { \pi _ { X } } ( d ) , } \\ & { = } & { \mathbb { E } _ { q _ { \pi _ { X } } } [ D ] , } \\ & { = } & { \frac { \alpha c _ { 1 } + n Z } { \alpha + n } , } \end{array}
T _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \Phi \partial _ { \nu } \Phi - \frac { 1 } { 2 } g _ { \mu \nu } \left( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \alpha } \Phi \partial ^ { \alpha } \Phi \right) .
\hat { \gamma } ( \hat { y } ) = e ^ { - i \omega z } \hat { f } ( \hat { y } ) = \left( \frac { \alpha + \hat { y } } { \alpha - \hat { y } } \right) ^ { \frac { - i \zeta \omega } { 2 \alpha ( \alpha ^ { 2 } - 1 ) } } \left( \frac { 1 - \hat { y } } { 1 + \hat { y } } \right) ^ { \frac { - i \zeta \omega } { 2 ( \alpha ^ { 2 } - 1 ) } } \hat { f } ( \hat { y } ) ,
\begin{array} { r l r } { M ( \tau ) } & { { } = } & { \frac { 3 } { 8 m ^ { 2 } } 4 \pi ( \frac { m } { 4 \pi \tau } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \biggl \lbrace 1 + \frac { 4 } { 3 } \alpha _ { S } \sqrt { \pi m } \; \tau ^ { \frac { 1 } { 2 } } - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 2 8 8 m } \langle \frac { \alpha _ { S } } { \pi } G G \rangle \; \tau ^ { 3 } \biggr \rbrace \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } ) = \mathcal H ^ { 2 } ( \partial \Omega \cap B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) + \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap \Omega ) - \sum _ { x \in X } \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap B _ { \varepsilon } ( x ) ) } \\ { + \sum _ { x \in X _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } } \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { \varepsilon } ( x ) \cap B _ { r } ^ { c } ( x _ { 0 } ) ) + \sum _ { x \in X _ { x _ { 0 } , r } ^ { - } } \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { \varepsilon } ( x ) \cap B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) , } \end{array}
g _ { 2 \bot } = g _ { 2 a } + c _ { 2 } g _ { 1 \bot } , \qquad g _ { 2 a } g _ { 1 \bot } = 0 , \qquad c _ { 2 } = g _ { 2 \bot } g _ { 1 \bot } / g _ { 1 \bot } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { u ( \vec { r } _ { i } , \vec { r } _ { j } ) = } & { { } v ( r _ { i j } ) + \frac { 1 } { N _ { e l } - 1 } \sum _ { I } \big [ \chi ( r _ { i I } ) + \chi ( r _ { j I } ) \big ] } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { { \bf W } _ { 1 1 } } & { { \bf W } _ { 1 2 } } \\ { { \bf W } _ { 2 1 } } & { { \bf W } _ { 2 2 } } \end{array} \right) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) , } \end{array}
\omega _ { \varphi } = { \frac { \partial u _ { r } } { \partial z } } - { \frac { \partial u _ { z } } { \partial r } } = - { \frac { \partial } { \partial r } } \left( { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial \psi } { \partial r } } \right) - { \frac { 1 } { r } } \, { \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial z ^ { 2 } } } .
- \frac { \log \eta _ { k } } { \eta _ { k } ^ { 2 } } \frac { L _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } \le - \frac { \log [ ( \log \log t ) ^ { 2 } / ( A _ { 0 } ( x _ { 0 } ) \log t ) ] } { ( \log \log t ) ^ { 4 } / ( A _ { 0 } ( x _ { 0 } ) \log t ) ^ { 2 } } \frac { ( \log \log t ) ^ { 2 } } { \log ^ { 2 } t } \le C _ { 1 0 } \frac { L _ { 1 } } { L _ { 2 } }
\psi _ { n } ( x ) = { \sqrt { \frac { 1 } { 2 ^ { n } \, n ! } } } \cdot \left( { \frac { m \omega } { \pi \hbar } } \right) ^ { 1 / 4 } \cdot e ^ { - { \frac { m \omega x ^ { 2 } } { 2 \hbar } } } \cdot H _ { n } \left( { \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } } x \right) , \qquad
\begin{array} { r l } { \psi ^ { \mathrm { { S } } } \left( E _ { i j } ^ { \phantom { } } \right) } & { { } = C [ \mathrm { e x p } \left( Q \right) - 1 ] , } \\ { \psi ^ { \mathrm { { V } } } \left( E _ { i j } ^ { \phantom { } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \kappa [ J ^ { 2 } - 1 ] ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] = O \bigg ( \frac { \kappa ^ { 1 9 / 3 } I ^ { 3 / 2 } } { T } + \frac { \kappa ^ { 1 6 / 3 } } { ( b M T ) ^ { 2 / 3 } } + \kappa ^ { 3 } b ^ { 2 } M ^ { 2 } I ^ { 9 / 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } = \frac { k } { 4 D _ { A } } \left( \frac { h - 1 } { 1 - \phi _ { 0 } \chi } - \frac { 1 } { 1 + 2 \psi + \phi _ { 0 } \chi } \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { x } } & { = } & { \frac { 3 P } { 4 E a ^ { 3 } b } x ^ { 2 } y - ( 2 + \mu ) \frac { P } { 4 E a ^ { 3 } b } y ^ { 3 } + 3 ( 1 + \mu ) \frac { P a ^ { 2 } } { 2 E a ^ { 3 } b } y - \frac { 3 P L ^ { 2 } } { 4 E a ^ { 3 } b } y } \\ { u _ { y } } & { = } & { - \frac { 3 \mu P } { 4 E a ^ { 3 } b } x y ^ { 2 } - \frac { P } { 4 E a ^ { 3 } b } x ^ { 3 } + \frac { 3 P L ^ { 2 } } { 4 E a ^ { 3 } b } x - \frac { P L ^ { 3 } } { 2 E a ^ { 3 } b } } \\ { \varepsilon _ { x x } } & { = } & { \frac { 3 P } { 2 E a ^ { 3 } b } x y ; \quad \varepsilon _ { y y } = - \frac { 3 P \mu } { 2 E a ^ { 3 } b } x y ; \quad \varepsilon _ { x y } = \frac { 3 P ( 1 + \mu ) } { 4 E a b } \left( 1 - \frac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right) } \\ { \sigma _ { x x } } & { = } & { \frac { 3 P } { 2 a ^ { 3 } b } x y ; \quad \sigma _ { y y } = 0 ; \quad \sigma _ { x y } = \frac { 3 P } { 4 a b } \left( 1 - \frac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] \phi _ { 1 } } & { { } = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( y ) } \\ { \phi _ { 2 } } & { { } = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 2 y ) } \\ { \phi _ { 3 } } & { { } = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 3 y ) } \\ { \phi _ { 4 } } & { { } = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 4 y ) } \\ { \phi _ { 5 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( y ) } \\ { \phi _ { 6 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { \phi _ { 7 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( 3 y ) } \\ { \phi _ { 8 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( 4 y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \alpha } v _ { i , \beta } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { 5 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \left( \frac { R _ { - , \alpha } } { R _ { - } ^ { 2 } } - \frac { R _ { + , \alpha } } { R _ { + } ^ { 2 } } \right) \left( \delta _ { \beta \gamma } - \frac { 2 } { 5 } \mu \epsilon _ { \beta \gamma } \right) + \frac { 3 } { 5 } \left( \frac { R _ { + , \beta } } { R _ { + } ^ { 2 } } - \frac { R _ { - , \beta } } { R _ { - } ^ { 2 } } \right) \delta _ { \alpha \gamma } \right. } \\ & { \left. + \frac { 3 } { 5 } \left( \frac { R _ { + , \gamma } } { R _ { + } ^ { 2 } } - \frac { R _ { - , \gamma } } { R _ { - } ^ { 2 } } \right) \delta _ { \alpha \beta } - \frac { 6 } { 5 } \left( \frac { R _ { + , \alpha } R _ { + , \beta } R _ { + , \gamma } } { R _ { + } ^ { 4 } } - \frac { R _ { - , \alpha } R _ { - , \beta } R _ { - , \gamma } } { R _ { - } ^ { 4 } } \right) \right] f _ { i , \gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { \times e ^ { 6 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { 4 } K _ { 0 } ^ { 3 } T ^ { 3 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { i , j , k + 1 / 2 } ^ { n } = P ( | \overrightarrow { S } | _ { i , j , k + 1 / 2 } ^ { n } ) , | \overrightarrow { S } | _ { i , j , k + 1 / 2 } ^ { n } = \frac { | \overrightarrow { S } | _ { i , j , k } ^ { n } + | \overrightarrow { S } | _ { i , j , k \pm 1 } ^ { n } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Leftrightarrow } & { { } } & { h ( g _ { 1 } ) \cdot h ( g _ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { { } = e _ { H } } \\ { \Leftrightarrow } & { { } } & { h \left( g _ { 1 } \circ g _ { 2 } ^ { - 1 } \right) } & { { } = e _ { H } , \ \ker ( h ) = \{ e _ { G } \} } \\ { \Rightarrow } & { { } } & { g _ { 1 } \circ g _ { 2 } ^ { - 1 } } & { { } = e _ { G } } \\ { \Leftrightarrow } & { { } } & { g _ { 1 } } & { { } = g _ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( x ; 0 , 1 ) } & { = { \frac { 4 x ^ { 2 } } { 2 7 { \sqrt { 3 } } } } \left\{ \cos \left( { \frac { 2 x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) \left[ J _ { - 2 / 3 } \left( { \frac { 2 x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) + J _ { 2 / 3 } \left( { \frac { 2 x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) \right] + \sin \left( { \frac { 2 x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) \left[ J _ { - 1 / 3 } \left( { \frac { 2 x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) - J _ { 1 / 3 } \left( { \frac { 2 x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) \right] \right\} } \\ & { - { \frac { x ^ { 2 } } { 6 \pi } } \left[ ~ _ { 2 } F _ { 2 } \left( 1 , { \frac { 3 } { 2 } } ; { \frac { 4 } { 3 } } , { \frac { 5 } { 3 } } ; - { \frac { 4 i x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) + ~ _ { 2 } F _ { 2 } \left( 1 , { \frac { 3 } { 2 } } ; { \frac { 4 } { 3 } } , { \frac { 5 } { 3 } } ; { \frac { 4 i x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) \right] . } \end{array} }
R ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } ) _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } } ^ { j _ { 1 } j _ { 2 } j _ { 3 } } = R ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } ) _ { j _ { 1 } j _ { 2 } j _ { 3 } } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } }
\mathcal { F } \tilde { f } _ { n } ( \mathbf { s } , \cdot , t , x ) ( \boldsymbol \xi ) = \frac { \lambda ^ { n } } { n ! } e ^ { - i x ( \xi _ { 1 } + \dots + \xi _ { n } ) } J _ { 0 } ( s _ { \rho ( 1 ) } ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } \mathcal { F } Y ( s _ { \rho ( j + 1 ) } - s _ { \rho ( j ) } , \cdot ) ( \xi _ { \rho ( 1 ) } + \dots + \xi _ { \rho ( j ) } ) .
U ( \theta , \delta ) = \left( \begin{array} { l l } { \cos ^ { 2 } { \theta } + \mathrm { e } ^ { i \delta } \sin ^ { 2 } { \theta } } & { \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \mathrm { e } ^ { i \delta } \sin { 2 \theta } ) } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \mathrm { e } ^ { i \delta } \sin { 2 \theta } ) } & { \sin ^ { 2 } { \theta } + \mathrm { e } ^ { i \delta } \cos ^ { 2 } { \theta } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { I _ { ( v ^ { \prime } - v ^ { \prime \prime } ) Q N ^ { \prime } } = h \nu _ { a v ^ { \prime \prime } N ^ { \prime \prime } } ^ { d v ^ { \prime } N ^ { \prime } } \; A _ { a v ^ { \prime \prime } N ^ { \prime \prime } } ^ { d v ^ { \prime } N ^ { \prime } } \; n _ { d v ^ { \prime } N ^ { \prime } } , } \end{array}
T _ { n k } ( x | g ) = \left( \begin{array} { c c } { { \Lambda _ { \mu \nu } ( x | g ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \varepsilon } } \end{array} \right) \; , \; \; \Lambda _ { \mu \nu } ( x | g ) = \eta _ { \mu \nu } \varepsilon - \frac { e _ { 0 } } { 2 } \varepsilon g F _ { \mu \nu } ( x ) \varepsilon \; .
\begin{array} { r l } { \frac { F _ { f l } } { m } } & { = - \frac { \sqrt 2 \xi \, \hslash \omega _ { 0 } \sqrt { \gamma _ { 1 } } B } { m \gamma _ { + } } \cdot \frac { \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, b _ { a } + \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, c _ { a } } { \gamma _ { + } - i \Omega } - } \\ & { \quad - \frac { \hslash \eta \sqrt { 2 \gamma _ { 1 } } B } { 2 m } \left( \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, c _ { \phi } } { \gamma _ { + } - i \Omega } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } ) } & { : = \beta _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } | P _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ) , } \\ { \beta ( x , y ) } & { : = \beta ( x , y | P _ { \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } , P _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ) } \\ { \imath _ { 1 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } ) } & { = \log \beta ( x , y ) - \frac { 1 } { 1 + \xi ^ { * } } \log \beta _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } ) } \\ { \imath _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } ) } & { : = \log \beta ( x , y ) + \frac { \xi ^ { * } } { 1 + \xi ^ { * } } \log \beta _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } ) . } \end{array}
\mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 1 } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { M } } } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } _ { t } = - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 1 } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { M } } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { I } } } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } _ { 2 } ) ^ { - 1 } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { 2 } + \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } \right) = - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 1 } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { 2 } + \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } \right) = 0 .
\begin{array} { r l r } { U _ { \mu \nu } } & { = } & { \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { 2 \alpha - 1 } { 4 } } \left[ c _ { \mu \nu } \, \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { - \frac { ( 2 \alpha - 1 ) \mu } { 4 } } \; F _ { 1 } \left( \frac { \alpha ( 4 \nu + 1 - \mu ) } { 2 } , - \mu \, \alpha , - \frac { \gamma r ^ { 2 } } { 2 } \right) \right. \, + } \\ & { + } & { q _ { \mu \nu } \, \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { ( 2 \alpha - 1 ) \mu } { 4 } } \, \left. F _ { 1 } \left( \frac { \alpha ( 4 \nu + 1 + \mu ) } { 2 } , \mu \, \alpha , - \frac { \gamma r ^ { 2 } } { 2 } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { c } l _ { c } e ^ { - 2 / l _ { c } } } & { = } & { A _ { g } l _ { g } e ^ { - 1 / l _ { g } } } \\ { ( 2 + l _ { c } ) A _ { c } l _ { c } e ^ { - 2 / l _ { c } } + ( 1 + l _ { g } ) A _ { g } l _ { g } e ^ { - 1 / l _ { g } } } & { = } & { N } \\ { ( 2 + l _ { c } ) + \frac { 2 } { Q } ( 1 + l _ { g } ) } & { = } & { ( 2 + l _ { c } + 1 + l _ { g } ) \rho } \\ { Q e ^ { J _ { 1 } / 2 } A _ { c } e ^ { - 2 / l _ { c } } } & { = } & { ( 1 + l _ { g } ) A _ { g } l _ { g } e ^ { - 1 / l _ { g } } } \end{array}
u = u _ { 1 } + \left( u _ { 2 } - u _ { 1 } \right) \, \mathrm { s n } ^ { 2 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \varphi { \sqrt { r _ { \mathrm { { s } } } \left( u _ { 3 } - u _ { 1 } \right) } } + \delta \right)
\begin{array} { r l } { \langle B _ { 0 } \mathbf { 1 } _ { \zeta } B _ { c } ^ { T } x _ { c } , x _ { 2 } \rangle _ { L _ { 2 } } } & { = \langle B _ { c } \mathbf { 1 } _ { \zeta } ^ { * } B _ { 0 } ^ { * } x _ { 2 } , x _ { c } \rangle _ { \mathbb { R } ^ { m } } , } \\ { \langle x _ { 2 } , - B _ { 0 } \mathbf { 1 } _ { \zeta } B _ { c } ^ { T } x _ { c } \rangle _ { L _ { 2 } } } & { = \langle x _ { c } , B _ { c } \mathbf { 1 } _ { \zeta } ^ { * } B _ { 0 } ^ { * } x _ { 2 } \rangle _ { \mathbb { R } ^ { m } } . } \end{array}
\tilde { B } _ { d - 1 , i } = \frac { G _ { d - 1 , i } } { G _ { d - 1 , d - 1 } } , \; \; \; \tilde { B } _ { i j } = B _ { i j } + \frac { G _ { i , d - 1 } B _ { d - 1 , j } + B _ { i , d - 1 } G _ { d - 1 , j } } { G _ { d - 1 , d - 1 } } .
A _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) \cong \frac { ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) g _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) } { F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) } = \frac { g _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) } { F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } [ 2 x ( 1 + R ( x , Q ^ { 2 } ) ) ] ,
{ \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { x x } } \\ { \varepsilon _ { y y } } \\ { \varepsilon _ { z z } } \\ { 2 \varepsilon _ { y z } } \\ { 2 \varepsilon _ { z x } } \\ { 2 \varepsilon _ { x y } } \end{array} \right] } \, = \, { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { { \frac { 1 } { E _ { x } } } } & { - { \frac { \nu _ { y x } } { E _ { y } } } } & { - { \frac { \nu _ { z x } } { E _ { z } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - { \frac { \nu _ { x y } } { E _ { x } } } } & { { \frac { 1 } { E _ { y } } } } & { - { \frac { \nu _ { z y } } { E _ { z } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - { \frac { \nu _ { x z } } { E _ { x } } } } & { - { \frac { \nu _ { y z } } { E _ { y } } } } & { { \frac { 1 } { E _ { z } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { G _ { y z } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { G _ { z x } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { G _ { x y } } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { x x } } \\ { \sigma _ { y y } } \\ { \sigma _ { z z } } \\ { \sigma _ { y z } } \\ { \sigma _ { z x } } \\ { \sigma _ { x y } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { Z J _ { X } } & { = \frac { 1 } { 2 } \Bigl [ \frac { B _ { x } } { \eta _ { x } } + \frac { \dot { \eta } _ { x } } { \eta _ { y } \eta _ { z } } - \frac { \dot { \eta } _ { y } } { \eta _ { x } \eta _ { z } } \Bigl ] , } \\ { Z J _ { Z } } & { = \frac { 1 } { 2 } \Bigl [ \frac { 2 B _ { z } } { \eta _ { z } } - \frac { B _ { x } } { \eta _ { x } } + \frac { \dot { \eta } _ { x } } { \eta _ { y } \eta _ { z } } + \frac { \dot { \eta } _ { y } } { \eta _ { x } \eta _ { z } } \Bigl ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \nabla \gamma , \nabla P _ { 0 } \phi \right\rangle } & { = \left\langle \nabla \gamma , \delta \phi \right\rangle , \quad \forall \gamma \in \overline { { \mathbb { V } } } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \alpha , - \tilde { \nabla } ^ { 2 } P _ { 2 } \psi \right\rangle : = \left\langle \delta \alpha , \delta P _ { 2 } \psi \right\rangle } & { = \left\langle \delta \alpha , \nabla \phi \right\rangle , \quad \forall \gamma \in \overline { { \mathbb { V } } } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { { \mathcal { J } } } _ { c } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 _ { 2 } } & { } & { I _ { 2 } } \\ { - I _ { 2 } } & { } & { 0 _ { 2 } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \mathbf F } { d x } _ { j } = \frac { 1 } { \Delta x } \frac { 1 2 2 5 } { 1 0 2 4 } \left( F _ { j + 1 / 2 } ^ { C , W C N S } - F _ { j - 1 / 2 } ^ { C , W C N S } \right) } \\ { - \frac { 1 } { \Delta x } \frac { 2 4 5 } { 3 0 7 2 } \left( F _ { j + 3 / 2 } ^ { C , W C N S } - F _ { j - 3 / 2 } ^ { C , W C N S } \right) } \\ { + \frac { 1 } { \Delta x } \frac { 4 9 } { 5 1 2 0 } \left( F _ { j + 5 / 2 } ^ { C , W C N S } - F _ { j - 5 / 2 } ^ { C , W C N S } \right) } \\ { - \frac { 1 } { \Delta x } \frac { 5 } { 7 1 6 8 } \left( F _ { j + 7 / 2 } ^ { C , W C N S } - F _ { j - 7 / 2 } ^ { C , W C N S } \right) } \end{array}
\operatorname { v a r } \left[ \ln \left( { \frac { X } { 1 - X } } \right) \right] = \operatorname { v a r } \left[ \ln \left( { \frac { 1 - X } { X } } \right) \right] = - \operatorname { c o v } \left[ \ln \left( { \frac { X } { 1 - X } } \right) , \ln \left( { \frac { 1 - X } { X } } \right) \right] = \psi _ { 1 } ( \alpha ) + \psi _ { 1 } ( \beta )