harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { b _ { k + 1 } ^ { + } = } & { - \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \sigma ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { k / 2 } } { ( k + 1 ) ! } H _ { k } \left( \frac { \xi } { \sqrt { \bar { \theta } } } \right) d \mathcal { E } _ { t r , m } ( \xi ) + \frac { u _ { m } } { k + 1 } b _ { k } ^ { + } - \frac { \bar { \theta } } { k + 1 } b _ { k - 1 } ^ { + } } \\ { = } & { \frac { \sigma ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { k / 2 } } { ( k + 1 ) ! } H _ { k } ( 0 ) \mathcal { E } _ { t r , m } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \sigma ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { ( k - 1 ) / 2 } } { ( k + 1 ) ! } k H _ { k - 1 } \left( \frac { \xi } { \sqrt { \bar { \theta } } } \right) \mathcal { E } _ { t r , m } ( \xi ) d \xi + \frac { u _ { m } b _ { k } ^ { + } - \bar { \theta } b _ { k - 1 } ^ { + } } { k + 1 } } \\ { = } & { \frac { \sigma ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { k / 2 } } { ( k + 1 ) ! } H _ { k } ( 0 ) \mathcal { E } _ { t r , m } ( 0 ) + \frac { u _ { m } b _ { k } ^ { + } + ( \sigma ^ { 2 } - \bar { \theta } ) b _ { k - 1 } ^ { + } } { k + 1 } . } \end{array}
{ \cal L _ { \mathrm { e f f } } } = { \frac { 1 } { 2 } } t r \left( \partial _ { \mu } \phi \right) ^ { 2 } + { \frac { 8 \pi ^ { 2 } \mu ^ { \epsilon } } { 4 ! } } \left\{ g _ { 1 } \left[ t r ( \phi ^ { 2 } ) \right] ^ { 2 } + g _ { 2 } t r ( \phi ^ { 4 } ) \right\}
p ( { \mathrm { d i a b e t e s } } = 1 | { \mathrm { g l u } } ) = { \frac { p ( { \mathrm { g l u } } | { \mathrm { d b . } } = 1 ) \, p ( { \mathrm { d b . } } = 1 ) } { p ( { \mathrm { g l u } } | { \mathrm { d b . } } = 1 ) \, p ( { \mathrm { d b . } } = 1 ) + p ( { \mathrm { g l u } } | { \mathrm { d b . } } = 0 ) \, p ( { \mathrm { d b . } } = 0 ) } }
t r \ \gamma ^ { 5 } \gamma ^ { \lambda } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { \sigma } = - 4 \epsilon ^ { \lambda \mu \rho \sigma } \ \ \ ( \gamma ^ { 5 } = \gamma ^ { 4 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } \ , \epsilon ^ { 1 2 3 4 } = + 1 ) ,
\widetilde { \mathcal { D } } _ { ( \sqrt { t } - 1 ) ^ { 2 } } = 2 - 2 \frac { 1 } { M } \sum _ { \ell = 1 } ^ { M } \sqrt { \frac { c _ { 1 } \left( \mathbf { U } _ { 1 } ^ { ( \ell ) } \right) \cdots c _ { k } \left( \mathbf { U } _ { k } ^ { ( \ell ) } \right) } { c \left( \mathbf { U } _ { 1 } ^ { ( \ell ) } , \dots , \mathbf { U } _ { k } ^ { ( \ell ) } \right) } } ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \Delta \ln \hat { \cal L } \right\rangle } & { \equiv \int d \Lambda \int d \Lambda ^ { \prime } p ( \Lambda | \{ d _ { i } \} ) p ( \Lambda ^ { \prime } | \{ d _ { i } \} ) \Sigma ( \Lambda , \Lambda ^ { \prime } ) } \\ & { \approx \frac { 1 } { K ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { k = K } \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { k ^ { \prime } = K } \Sigma ( \Lambda _ { k } , \Lambda _ { k ^ { \prime } } ) } \\ { \Lambda _ { k } } & { \sim p ( \Lambda | \{ d _ { i } \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \tilde { u } _ { h } - u _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } } & { \leqslant C \| \tilde { u } _ { h } - u _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \varOmega _ { h } ) } } \\ & { = C \| \tilde { u } _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \varOmega _ { h } ) } } \\ & { = C \| \tilde { u } _ { h } - \tilde { u } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \varOmega _ { h } ) } \quad \mathrm { ( s i n c e ~ \tilde { u } | _ { \partial \varOmega _ { h } } = 0 ~ ) } } \\ & { \leqslant C \| \widetilde { u } _ { h } - \widetilde { u } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { * } ) } . } \end{array}
S = - \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 7 } l _ { s } ^ { 8 } } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g } \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 \phi } } \left[ ( \partial T ) ^ { 2 } + M _ { T } ^ { 2 } T ^ { 2 } \right] ,
\left( J ^ { \alpha } \right) \left( J ^ { \beta } f \right) ( x ) = \left( J ^ { \beta } \right) \left( J ^ { \alpha } f \right) ( x ) = \left( J ^ { \alpha + \beta } f \right) ( x ) = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha + \beta ) } } \int _ { 0 } ^ { x } \left( x - t \right) ^ { \alpha + \beta - 1 } f ( t ) \, d t \, .
\mathbf V = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { \mathbf v _ { 0 } } & { \mathbf v _ { x } } & { \mathbf v _ { y } } & { \mathbf v _ { z } } & { \mathbf v _ { y z } } & { \mathbf v _ { x z } } & { \mathbf v _ { x y } } & { \mathbf v _ { x y z } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \epsilon \frac { \partial } { \partial t _ { 1 } } ( \rho ^ { \sigma } E _ { T } ^ { \sigma } ) } & { + \epsilon \frac { \partial } { \partial r _ { 1 \alpha } } ( \rho ^ { \sigma } E _ { T } ^ { \sigma } + p ^ { \sigma } ) u _ { \alpha } ^ { \sigma } } \\ & { = - \epsilon \frac { \rho ^ { \sigma } } { \tau ^ { \sigma } } [ \frac { R ^ { \sigma } ( D + I ^ { \sigma } ) ( T ^ { \sigma } - T ) } { 2 } + \frac { u _ { \alpha } ^ { \sigma 2 } - u _ { \alpha } ^ { 2 } } { 2 } ] , } \end{array} } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \mathrm { s i m p l e x } } u ^ { n } e ^ { - u \left( v _ { 0 } D _ { 0 } + v _ { 1 } D _ { 1 } + v _ { 2 } D _ { 2 } \cdots + v _ { n } D _ { n } \right) } \, d v _ { 1 } \cdots d v _ { n } \, d u \, ,
\ifmmode \mathrm { P r } \else \mathrm { P r } \fi = \frac { \nu } { \kappa } , \thickspace \thickspace \thickspace \ifmmode \mathrm { R a } _ { \textrm { D } } \else \mathrm { R a } _ { \textrm { D } } \fi = \frac { g \alpha \Delta T H ^ { 3 } } { \nu \kappa } , \textrm { a n d } \thickspace \thickspace \thickspace \ifmmode \mathrm { R a } _ { \textrm { N } } \else \mathrm { R a } _ { \textrm { N } } \fi = \frac { g \alpha \beta H ^ { 4 } } { \nu \kappa }
{ \left( \begin{array} { l l l } { 8 } & { 5 } & { 1 0 } \\ { 2 1 } & { 8 } & { 2 1 } \\ { 2 1 } & { 1 2 } & { 8 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 1 5 } \\ { 1 4 } \\ { 7 } \end{array} \right) } \equiv { \left( \begin{array} { l } { 2 6 0 } \\ { 5 7 4 } \\ { 5 3 9 } \end{array} \right) } \equiv { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 2 } \\ { 1 9 } \end{array} \right) } { \pmod { 2 6 } }
\begin{array} { c c c } { { \delta W : } } & { { } } & { { \left\langle \mathrm { { \bf ~ F } } ^ { n - 1 } B _ { a } \right\rangle = 0 } } \\ { { \delta \Psi : } } & { { } } & { { \left\langle \mathrm { { \bf ~ F } } ^ { n - 1 } Q _ { \alpha } \right\rangle = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \textbf { r } ( \textbf { k } , t , s ) = } & { { } \int _ { s } ^ { t } \left[ \textbf { v } _ { c } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } - \textbf { v } _ { v } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } , } \\ { \textbf { v } _ { m } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } = } & { { } \nabla _ { \textbf { k } } E _ { m } \textbf { ( } \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) \textbf { ) } + \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \times \mathbf { \Omega } _ { m } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \mathbf w _ { k } - \mathbf w ^ { * } , \mathbf r _ { k } \rangle \geq - \| \mathbf w _ { k } - \mathbf w ^ { * } \| \| \mathbf r _ { k } \| , } \\ { \| \frac { \mathbf g _ { k } } { \| \mathbf g _ { k } \| } + \mathbf r _ { k } \| \leq \| \frac { \mathbf g _ { k } } { \| \mathbf g _ { k } \| } \| + \| \mathbf r _ { k } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { \delta } ^ { m , 1 } ( x ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \tau \in \mathcal { T } _ { x , b } ^ { \delta } } \ln \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \tau \wedge \tau _ { B _ { m } } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { \delta } ^ { m } ) d s + \phi _ { \delta } ( X _ { \tau \wedge \tau _ { B _ { m } } } ) } \right] , \quad x \in E , } \\ { w _ { \delta } ^ { m , 2 } ( x ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \tau \in \mathcal { T } _ { x , b } ^ { \delta } } \ln \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \tau \wedge \tau _ { B _ { m } } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { \delta } ) d s + \phi _ { \delta } ( X _ { \tau \wedge \tau _ { B _ { m } } } ) } \right] , \quad x \in E . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Rightarrow \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } = \frac { w _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } ( u _ { 1 } + w _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } + w _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } \theta ( u _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } ) u _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } ) } { w _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } + w _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } \theta ( u _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } ) u _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } } } \\ & { \Rightarrow \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } = \frac { w _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } ( u _ { 1 } + w _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } + w _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } \theta ( u _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } ) u _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } ) } { w _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } + w _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } \theta ( u _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } ) u _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } } } \end{array}
R _ { \tau } ^ { i j } \equiv \frac { \Gamma [ \tau ^ { - } \rightarrow \nu _ { \tau } \, \mathrm { h a d r o n s _ { i j } } \, ( \gamma ) ] } { \Gamma [ \tau ^ { - } \rightarrow \nu _ { \tau } e ^ { - } { \bar { \nu } } _ { e } ( \gamma ) ] } ,
\mathcal { K } _ { N } ^ { \lambda } ( t , x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) \ge \frac { \overline { { C } } \lambda ^ { 2 } } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - 1 6 c _ { 4 } \frac { | x - x ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } e ^ { - 1 2 c _ { 4 } \left( \frac { | x - y | ^ { 2 } } { t } + \frac { | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } \right) } e ^ { t \Big ( \overline { { c } } \lambda ^ { 2 } + \widetilde { c } \lambda ^ { \frac { 4 } { 2 - \beta } } \Big ) } .
\begin{array} { r } { P ( K ) \equiv K ^ { 2 } + ( \nu _ { s } + \nu _ { i } ) K + ( \nu _ { s } - 2 i \gamma _ { s } | A _ { p } | ^ { 2 } - i \Delta k / 2 ) } \\ { \cdot ( \nu _ { i } + 2 i \gamma _ { i } | A _ { p } | ^ { 2 } + i \Delta k / 2 ) - \eta _ { s } \eta _ { i } \left| A _ { p } \right| ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { s 4 } ( { \bf k } ) } & { = \left[ \begin{array} { c c } { H _ { 2 } ( { \bf k } , g _ { 0 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { 2 } ( { \bf k } , g _ { 0 } ) } \end{array} \right] ; } \\ { H _ { s 5 } ( { \bf k } ) } & { = \left[ \begin{array} { c c } { H _ { 3 } ( { \bf k } , g _ { 0 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { 1 } ( { \bf k } , g _ { 0 } ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( \mathbf { x } , \mathbf { v } , t ) = f _ { 0 } ( \mathbf { X } ( 0 ; \mathbf { x } , \mathbf { v } , t ) , \mathbf { V } ( 0 ; \mathbf { x } , \mathbf { v } , t ) ) . } \end{array}
\varphi _ { 2 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) = - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } k r _ { g } J _ { 2 } R _ { \oplus } ^ { 2 } \Big \{ \Big ( 2 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ^ { 2 } + ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } - 1 \Big ) \frac { 1 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } + \big ( ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } - ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ^ { 2 } \big ) \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 3 } } + 2 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) \frac { b } { r ^ { 3 } } \Big \} \Big | _ { r _ { 0 } } ^ { r } ,
\begin{array} { r l } & { { n } _ { \mathrm { i n d } } ( 2 m \boldsymbol { q } , 2 m \Omega ) | _ { A } = \sum _ { l = m } ^ { \infty } A ^ { 2 l } \chi _ { \boldsymbol { q } , \Omega } ^ { ( 2 m , 2 l ) } \, , } \\ & { { n } _ { \mathrm { i n d } } [ ( 2 m - 1 ) \boldsymbol { q } , ( 2 m - 1 ) \Omega ] | _ { A } = \sum _ { l = m } ^ { \infty } A ^ { 2 l - 1 } \chi _ { \boldsymbol { q } , \Omega } ^ { ( 2 m - 1 , 2 l - 1 ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ^ { m _ { ( X , X ^ { \prime } ) } } \colon \pi _ { 1 } ( X , \overline { { x } } _ { X } ) \times \pi _ { 1 } ( X ^ { \prime } , \overline { { x } } _ { X ^ { \prime } } ^ { \prime } ) } & { \nrightarrow \pi _ { 1 } ( X \times X ^ { \prime } , \overline { { x } } _ { X } \times \overline { { x } } _ { X ^ { \prime } } ^ { \prime } ) , } \\ { \varphi ^ { m _ { ( Y , Y ^ { \prime } ) } } \colon \pi _ { 1 } ( Y , \overline { { y } } _ { Y } ) \times \pi _ { 1 } ( Y ^ { \prime } , \overline { { y } } _ { Y ^ { \prime } } ^ { \prime } ) } & { \nrightarrow \pi _ { 1 } ( Y \times Y ^ { \prime } , \overline { { y } } _ { Y } \times \overline { { y } } _ { Y ^ { \prime } } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta ( x _ { 1 } ) = x _ { 1 } \otimes 1 + \kappa _ { 1 } ^ { n } \kappa _ { 2 } \otimes x _ { 1 } , \qquad \Delta ( x _ { 2 } ) = x _ { 2 } \otimes 1 + \kappa _ { 2 } ^ { n } \otimes x _ { 2 } , } \\ { \Delta ( y _ { 1 } ) = y _ { 1 } \otimes 1 + \kappa _ { 1 } ^ { n } \otimes y _ { 1 } , \qquad \Delta ( y _ { 2 } ) = y _ { 2 } \otimes 1 + \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } ^ { n } \otimes y _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { d E } { d x } = K z ^ { 2 } \frac { Z } { A } \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } [ \frac { 1 } { 2 } l n ( \frac { 2 m _ { e } c ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } W _ { m a x } } { I ^ { 2 } } ) - \beta ^ { 2 } - \frac { \delta } { 2 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { k l } \left( \tau \right) } & { \approx } & { \sqrt { a - 2 \, b \, \tau + c \, \tau ^ { 2 } } \, , } \\ { a } & { = } & { \left( \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { l } + \vec { b } _ { k l m } - \vec { b } _ { l m k } \right) ^ { 2 } \, , } \\ { b } & { = } & { \left( \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { l } + \vec { b } _ { k l m } - \vec { b } _ { l m k } \right) \cdot \left( \nu _ { k e } \, \vec { u } _ { k } - \nu _ { l e } \, \vec { u } _ { l } \right) \, , } \\ { c } & { = } & { \left( \nu _ { k e } \, \vec { u } _ { k } - \nu _ { l e } \, \vec { u } _ { l } \right) ^ { 2 } \, . } \end{array}
\left[ ( L _ { + } + L _ { - } ) + ( R _ { + } + R _ { - } ) \right] \rightarrow \left[ ( L _ { + } ^ { \prime } + L _ { - } ^ { \prime } ) + ( R _ { + } ^ { \prime } + R _ { - } ^ { \prime } ) \right] = \left[ ( L _ { + } + L _ { - } ) + ( R _ { + } + R _ { - } ) \right]
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { b c } } & { = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { i \omega _ { P } t } \rho _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { b e } } \\ & { - \frac { \rho _ { b c } } { 2 } ( \Gamma _ { b } + \Gamma _ { c } ) + i \rho _ { b c } ( \omega _ { c } - \omega _ { b } ) } \\ { \dot { \rho } _ { b e } } & { = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { i \omega _ { P } t } \rho _ { e e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a b } ^ { * } } \\ & { - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { i \omega _ { P } t } \rho _ { b b } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { b c } - \frac { \rho _ { b e } } { 2 } ( \Gamma _ { b } + \Gamma _ { e } ) } \\ & { + i \rho _ { b e } ( \omega _ { e } - \omega _ { b } ) } \\ { \dot { \rho } _ { c c } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { c e } - \Gamma _ { c } \rho _ { c c } } \\ & { + \frac { \Gamma _ { e } \rho _ { e e } } { 3 } } \\ { \dot { \rho } _ { c e } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { e e } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a c } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { i \omega _ { P } t } \rho _ { b c } ^ { * } } \\ & { - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { c c } - \frac { \rho _ { a e } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { e } ) } \\ & { + i \rho _ { a e } ( \omega _ { e } - \omega _ { a } ) } \\ { \dot { \rho } _ { e e } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a e } + \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { P } t } \rho _ { b e } } \\ & { + \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \Omega _ { C } t } \rho _ { c e } } \\ & { - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \rho _ { a e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \rho _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { c e } ^ { * } - \Gamma _ { 4 } \rho _ { e e } } \end{array}
\underline { { Z } } [ \boldsymbol { \phi } ] = \int D \big [ x \hat { x } f \hat { f } \big ] \exp \Big \{ i \sum _ { k \in \mathcal { T } } \int d t E _ { k } ( t ) - i \sum _ { k , j \in \mathcal { T } } \int d t \big [ \phi _ { k j } ( t ) z _ { k j } ( t ) + \underline { { J } } _ { k j } ^ { ( t t ) } x _ { j } ( t ) \hat { f } _ { k } ( t ) \big ] \Big \}
R = \frac { I _ { - } ( 0 ) } { \bar { U } _ { 0 } } = R _ { \infty } \frac { e ^ { \alpha t } ( 1 - R _ { \infty } R _ { 1 } ) - e ^ { - \alpha t } ( 1 - \frac { \displaystyle R _ { 1 } } { \displaystyle R _ { \infty } } ) } { ( 1 - R _ { \infty } R _ { 0 } ) ( 1 - R _ { \infty } R _ { 1 } ) e ^ { \alpha t } - ( R _ { \infty } - R _ { 0 } ) ( R _ { \infty } - R _ { 1 } ) e ^ { - \alpha t } }
\mathrm { C N N } : \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { s } , f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) \mapsto \boldsymbol { \phi } _ { d _ { 1 } } ^ { 1 1 } , \boldsymbol { \phi } _ { d _ { 1 } } ^ { 1 2 } , \boldsymbol { \phi } _ { d _ { 1 } } ^ { 2 2 } , \boldsymbol { \psi } _ { d _ { 2 } } ^ { 1 1 } , \boldsymbol { \psi } _ { d _ { 2 } } ^ { 1 2 } , \boldsymbol { \psi } _ { d _ { 2 } } ^ { 2 1 } , \boldsymbol { \psi } _ { d _ { 2 } } ^ { 2 2 } , \qquad d _ { 1 } = - D , \ldots D , \quad d _ { 2 } = 0 , \ldots D .
\begin{array} { r l } { D _ { 0 0 } ( \omega , \pmb { r } _ { 1 2 } ) = } & { \frac { 1 } { r _ { 1 2 } } , \quad D _ { i 0 } = D _ { 0 i } = 0 , \quad i = 1 , 2 , 3 , } \\ { D _ { i l } ( \omega , \pmb { r } _ { 1 2 } ) = } & { 4 \pi \int \frac { d \pmb { k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \textrm { e x p } ( i \pmb { k } \cdot \pmb { r } _ { 1 2 } ) } { \omega ^ { 2 } - \pmb { k } ^ { 2 } + i 0 } \left( \delta _ { i l } - \frac { k _ { i } k _ { l } } { \pmb { k } ^ { 2 } } \right) , } \\ { i , l = 1 , 2 , 3 . } \end{array}
{ \mathcal { L } } = { \bar { \psi } } ( i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } - m ) \psi - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - e { \bar { \psi } } \gamma ^ { \mu } \psi A _ { \mu } ,
\mathbf { J } _ { \mu _ { M } } = 2 \mathbf { A } _ { M } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } ) , \quad \mathbf { J } _ { \mathbf { r } _ { M } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { \partial { \mathbf { a } _ { M } } } { \partial \mathbf { r } _ { M _ { 1 } } } \biggr \rvert _ { \mathbf { r } _ { 1 } } } & { \hdots } & { \frac { \partial { \mathbf { a } _ { M } } } { \partial \mathbf { r } _ { M _ { n } } } \biggr \rvert _ { \mathbf { r } _ { 1 } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \frac { \partial { \mathbf { a } _ { M } } } { \partial \mathbf { r } _ { M _ { 1 } } } \biggr \rvert _ { \mathbf { r } _ { m } } } & { \hdots } & { \frac { \partial { \mathbf { a } _ { M } } } { \partial \mathbf { r } _ { M _ { n } } } \biggr \rvert _ { \mathbf { r } _ { m } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \Pi _ { i j } ^ { p } = } & { - P \delta _ { i j } + \lambda ( Q _ { i j } + \delta _ { i j } ) Q _ { k l } H _ { k l } - \lambda H _ { i k } ( Q _ { k j } + \frac { \delta _ { k j } } { 2 } ) } \\ & { - \lambda ( Q _ { i k } + \frac { \delta _ { i k } } { 2 } ) H _ { k j } + Q _ { i k } H _ { k j } - H _ { i k } Q _ { k j } - K ( \partial _ { i } Q _ { k l } ) ( \partial _ { j } Q _ { k l } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { R e s } \left[ \Gamma ( \lambda ^ { \prime } - \nu ^ { \prime } ) , z _ { n } ^ { \prime } = \frac { \lambda ^ { \prime } + n } { \sqrt { \gamma ^ { 2 } + ( \lambda ^ { \prime } + n ) ^ { 2 } } } - \frac { \omega } { 2 } \right] } \\ { = - \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \frac { \left( 1 - \frac { ( \lambda ^ { \prime } + n ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } + ( \lambda ^ { \prime } + n ) ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } } { \gamma } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = w _ { E } | E - E ^ { r e f } | + \frac { w _ { F } } { 3 N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha } ^ { 3 } \left| - \frac { \partial E } { \partial r _ { i , \alpha } } - F _ { i , \alpha } ^ { r e f } \right| } \\ { + w _ { Q } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } - Q ^ { r e f } \right| + \frac { w _ { p } } { 3 } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } r _ { i , \alpha } - p _ { \alpha } ^ { r e f } \right| + \mathcal { L } _ { n h } ~ . } \end{array}
g _ { \varepsilon } ^ { i } = G ^ { i } - \frac { \partial } { \partial t } \sigma _ { \varepsilon } ^ { i } - u ^ { j } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \sigma _ { \varepsilon } ^ { i } + \nu \Delta \sigma _ { \varepsilon } ^ { i } - \sigma _ { \varepsilon } ^ { j } S _ { j } ^ { i }
\begin{array} { r l } & { ~ \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \left[ \eta _ { t } ^ { 2 } \| \boldsymbol { \xi } _ { f } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) + \eta _ { t } ^ { 2 } \| \boldsymbol { \xi } _ { g } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } > \epsilon _ { t } ) \right] } \\ { \leq } & { ~ \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 2 } M ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 2 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 2 / \delta ) \right\} \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 4 } M ^ { 4 } } . } \end{array}
( 7 ) \begin{array} { l l } { { { \cal L } _ { N J L } ^ { V A } \, = \, - \, \displaystyle { { \frac { 8 \pi ^ { 2 } G _ { V } } { N _ { c } \Lambda _ { \chi } ^ { 2 } } } \sum _ { a b } \left[ ( { \bar { \psi } } _ { L } ^ { a } \gamma ^ { \mu } \psi _ { L } ^ { b } ) ( { \bar { \psi } } _ { L } ^ { b } \gamma _ { \mu } \psi _ { L } ^ { a } ) \, + \, ( { \bar { \psi } } _ { R } ^ { a } \gamma ^ { \mu } \psi _ { R } ^ { b } ) ( { \bar { \psi } } _ { R } ^ { b } \gamma _ { \mu } \psi _ { R } ^ { a } ) \right] } ~ \ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \, = \, - \, \displaystyle { \frac { 4 \pi ^ { 2 } G _ { V } } { 3 N _ { c } \Lambda _ { \chi } ^ { 2 } } } \left[ ( { \bar { \psi } } \gamma ^ { \mu } \psi ) ^ { 2 } \, + \, ( { \bar { \psi } } \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } \psi ) ^ { 2 } \right] ~ \ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \, - \, \displaystyle { { \frac { 8 \pi ^ { 2 } G _ { V } } { N _ { c } \Lambda _ { \chi } ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } \left[ ( { \bar { \psi } } \gamma ^ { \mu } t _ { i } \psi ) ^ { 2 } \, + \, ( { \bar { \psi } } \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } t _ { i } \psi ) ^ { 2 } \right] } ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { I } = \hbar \Omega _ { g } ( \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } ) \hat { \sigma } _ { z } \cos ( \omega _ { g } t ) + \hbar \Omega _ { \mu } \hat { \sigma } ^ { x } \cos ( \omega _ { \mu } t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \Lambda _ { \mathrm { g c M } } } & { { } \equiv } & { \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left[ \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \left( \mathbb { Q } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, \frac { { \bf u } _ { \mathrm { E } } } { c } \right) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf B } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma ^ { ( 2 ) } ( z , f ) } & { { } = } & { \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) P _ { 0 } ( f ^ { \prime } ) \int \mathrm { d } f ^ { \prime \prime } g _ { R } ( f ^ { \prime } , f ^ { \prime \prime } ) P _ { 0 } ( f ^ { \prime \prime } ) } \end{array}