harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { E ^ { e c h o } ( x , t ) = \varPhi _ { 1 } \varPhi _ { 2 } \frac { e ^ { 3 } \omega _ { 1 } l } { 2 \varepsilon _ { 0 } \bar { \varepsilon } v _ { F } ^ { 3 } } f _ { 0 } ( 0 ) \times } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } d \theta \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \cos ^ { 3 } \theta } \cos \left( - \omega _ { 3 } t + \frac { x \omega _ { 3 } - l \omega _ { 2 } } { v _ { F } \cos \theta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { A C C } ( v , l ) = \frac { \sum _ { m , n } L ( m ) \tilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { P } } \tilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { T } } } { \sqrt { \sum _ { m , n } { L } ( m ) ( \tilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { P } } ) ^ { 2 } \sum _ { m , n } { L } \left( m \right) ( \tilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { T } } ) ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) = } & { { } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } D _ { i } \exp \left[ a _ { i } \left( x _ { 1 } - X _ { i } \right) ^ { 2 } + b _ { i } \left( x _ { 1 } - X _ { i } \right) \left( x _ { 2 } - Y _ { i } \right) + c _ { i } \left( x _ { 2 } - Y _ { i } \right) ^ { 2 } \right] + \gamma \sin \left( 2 k \pi x _ { 1 } \right) \sin \left( 2 k \pi x _ { 2 } \right) . } \end{array}
\quad \: \left< E _ { B / S } \right> = \frac { \left< n _ { B + } \right> } { r _ { B } } \approx \frac { n _ { B + } } { r _ { B } } = \beta \cdot \frac { N _ { B } ^ { \prime } } { r _ { B } } = \frac { \beta \cdot N } { \, 1 + R _ { S / B } \, } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } } & { { } = \mu _ { + } ^ { 2 } f _ { + + } + \mu _ { - } ^ { 2 } f _ { -- } + \mu _ { + } \mu _ { - } ( f _ { + - } + f _ { - + } ) , \quad \mathcal { S } = f _ { + + } + f _ { -- } - f _ { - + } - f _ { + - } } \\ { \mathcal { T } _ { 1 } } & { { } = \mu _ { + } f _ { + + } - \mu _ { + } f _ { + - } + \mu _ { - } f _ { - + } - \mu _ { - } f _ { -- } , \quad \mathcal { T } _ { 2 } = \mu _ { + } f _ { + + } + \mu _ { - } f _ { + - } - \mu _ { + } f _ { - + } - \mu _ { - } f _ { -- } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \left[ { \widetilde { \Phi } } ( { \mathbf x ^ { ( t + 1 ) } } ) - { \widetilde { F } } ( { \mathbf x ^ { ( t + 1 ) } } , { \mathbf y ^ { ( t ) } } ) \right] } \\ & { = \mathbb E \left[ { \widetilde { \Phi } } ( { \mathbf x ^ { ( t + 1 ) } } ) - { \widetilde { \Phi } } ( { \mathbf x ^ { ( t ) } } ) + { \widetilde { \Phi } } ( { \mathbf x ^ { ( t ) } } ) - { \widetilde { F } } ( { \mathbf x ^ { ( t ) } } , { \mathbf y ^ { ( t ) } } ) + { \widetilde { F } } ( { \mathbf x ^ { ( t ) } } , { \mathbf y ^ { ( t ) } } ) - { \widetilde { F } } ( { \mathbf x ^ { ( t + 1 ) } } , { \mathbf y ^ { ( t ) } } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ^ { 2 } ( n ) } & { { } = \frac { 1 + \tilde { S } _ { 3 } } { 2 } , } \\ { l ^ { 2 } ( n ) } & { { } = \frac { 1 - \tilde { S } _ { 3 } } { 2 } , } \\ { \phi ( n ) } & { { } = \arctan \frac { \tilde { S } _ { 2 } } { \tilde { S } _ { 1 } } - 2 \theta - \pi / 2 \, ( \mathrm { m o d } \, 2 \pi ) , } \end{array}
G ( T ) \simeq { \frac { 1 } { Z } } \int { \cal D } A \, \mathrm { T r } \{ S ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; A ) U ( y _ { 2 } , y _ { 1 } ) S ( y _ { 1 } , x _ { 1 } ; A ) U ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \} e ^ { - \int L _ { Y M } d ^ { 4 } x } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \bf S } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l l } { U _ { n } } & { U _ { n + 1 } } & { U _ { n + 2 } } & { \cdots } \\ { U _ { n - 1 } } & { U _ { n } } & { U _ { n + 1 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { U _ { n } U _ { n } } & { U _ { n + 1 } U _ { n + 1 } } & { U _ { n + 2 } U _ { n + 2 } } & { \cdots } \\ { U _ { n } U _ { n - 1 } } & { U _ { n + 1 } U _ { n } } & { U _ { n + 2 } U _ { n + 1 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right) . } \end{array}
A _ { k } : = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 , 1 } } & { a _ { 1 , 2 } } & { \dots } & { a _ { 1 , k } } \\ { a _ { 2 , 1 } } & { a _ { 2 , 2 } } & { \dots } & { a _ { 2 , k } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { k , 1 } } & { a _ { k , 2 } } & { \dots } & { a _ { k , k } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { h ( 2 m + 3 ) } & { = \frac { 1 } { 2 ^ { m } \sqrt { e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( t + 1 ) ^ { m } e ^ { - \frac { t } { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { = \sqrt { \frac { \pi } { e } } \frac { 1 } { 2 ^ { m + 1 / 2 } } U \left( \frac { 1 } { 2 } , m + \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol C _ { 1 } = \frac { 1 } { \sigma } \left( \begin{array} { c c c } { - \left( D ( \beta + \sigma ) ( 3 \beta + \sigma ) \right) } & { - \beta D ( 3 \beta + \sigma \chi + \sigma ) } & { - \beta D ( 3 \beta + \sigma \chi + \sigma ) } \\ { - \beta D ( 3 \beta + \sigma \chi + \sigma ) } & { - \left( ( \beta + \sigma ) ( 3 \beta + \sigma ) D \right) } & { - \beta D ( 3 \beta + \sigma \chi + \sigma ) } \\ { - \beta D ( 3 \beta + \sigma \chi + \sigma ) } & { - \beta D ( 3 \beta + \sigma \chi + \sigma ) } & { - \left( ( \beta + \sigma ) ( 3 \beta + \sigma ) D _ { C } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
p ^ { \mu } = - \partial ^ { \mu } [ S ] = - { \frac { \partial S } { \partial x _ { \mu } } } = m u ^ { \mu } = m \left( { \frac { c } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } , { \frac { v _ { x } } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } , { \frac { v _ { y } } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } , { \frac { v _ { z } } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ ( \widehat { \theta } _ { \nu } - \mathbb { E } [ \widehat { \theta } _ { \nu } ] ) ^ { 2 } ] } & { = O ( n ^ { - 1 } + n ^ { - 2 } h ^ { - d - 2 } ) , } \\ { \mathbb { E } [ ( \bar { W } _ { 1 } - \mathbb { E } [ ( \nu ^ { \prime } U _ { 1 2 } ) ^ { 2 } ] ) ^ { 2 } ] } & { = O ( n ^ { - 1 } h ^ { - 2 d - 4 } + n ^ { - 2 } h ^ { - 3 d - 4 } ) , } \\ { \mathbb { E } [ ( \bar { W } _ { 2 } - \mathbb { E } [ ( \mathbb { E } [ \nu ^ { \prime } U _ { 1 2 } | Z _ { 1 } ] ) ^ { 2 } ] ) ^ { 2 } ] } & { = O ( n ^ { - 1 } + n ^ { - 2 } h ^ { - d - 4 } + n ^ { - 3 } h ^ { - 2 d - 4 } ) , } \end{array}
S = { \frac { 4 \pi } { g ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } r \, d r \, \left[ { \frac { \left( f ^ { 2 } + f ^ { 2 } / r ^ { 2 } \right) } { \left( 1 + f ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } + { \frac { m ^ { 2 } f ^ { 2 } } { \left( 1 + f ^ { 2 } \right) } } \right] ~ .
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } = } & { \left[ \mathbf { F } ( \boldsymbol { x } ) + \sum _ { u = 1 } ^ { U } \varepsilon _ { 1 } ^ { u } g _ { 1 } ^ { u } ( t ) \mathbf { G } _ { u } ( \boldsymbol { x } ) \right] \, \mathrm { d } t } \\ & { + \left[ \boldsymbol { \Sigma } ( \boldsymbol { x } ) + \sum _ { v = 1 } ^ { V } \varepsilon _ { 2 } ^ { v } g _ { 2 } ^ { v } ( t ) \Gamma _ { v } ( \boldsymbol { x } ) \right] \, \mathrm { d } { \boldsymbol { W } _ { t } } , } \end{array}
( R ^ { d } { } _ { e } K ^ { e a } ) f ^ { b } { } _ { c d } - ( R ^ { d } { } _ { e } K ^ { e b } ) f ^ { a } { } _ { c d } = K ^ { a a ^ { \prime } } K ^ { b b ^ { \prime } } K _ { c c ^ { \prime } } ( f ^ { c ^ { \prime } } { } _ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } } ) _ { R } .
\begin{array} { r l } { ( \varphi \star \phi ) ( f ) } & { = \sum \varphi ( f _ { ( 1 ) } ) \phi ( f _ { ( 2 ) } ) = \sum \left( \operatorname* { l i m } _ { \lambda } \varphi _ { \lambda } ( f _ { ( 1 ) } ) \right) \phi ( f _ { ( 2 ) } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda } \sum \varphi _ { \lambda } ( f _ { ( 1 ) } ) \phi ( f _ { ( 2 ) } ) = \operatorname* { l i m } _ { \lambda } ( ( \varphi _ { \lambda } \star \phi ) ( f ) ) = \operatorname* { l i m } _ { \lambda } \phi ( f ) = \phi ( f ) . } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ r ~ } } ( \xi _ { \mathrm { ~ r ~ } } ) = \frac { k _ { 0 \mathrm { ~ r ~ } } \kappa _ { \xi } } { \dot { F } _ { \mathrm { ~ r ~ } } } \exp { \Big [ \beta \chi _ { \mathrm { ~ r ~ } } ^ { \ddag } \kappa _ { \xi } ( \xi _ { \mathrm { ~ r ~ } } - \xi _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ) - \frac { k _ { 0 \mathrm { ~ r ~ } } } { \dot { F } _ { \mathrm { ~ r ~ } } \beta \chi _ { \mathrm { ~ r ~ } } ^ { \ddag } } \mathrm { e } ^ { \beta \chi _ { \mathrm { ~ r ~ } } ^ { \ddag } \kappa _ { \xi } ( \xi _ { \mathrm { ~ r ~ } } - \xi _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ) } \Big ] } ~ .
\Delta _ { \mathrm { R P I } } ( \hbar ) = \frac { 2 \hbar } { \tau } \frac { \mathcal { G } _ { 0 } ^ { ( - ) } ( \hbar ) } { \mathcal { G } _ { 0 } ^ { ( + ) } ( \hbar ) } = \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| \sqrt { \frac { 2 \hbar \operatorname* { d e t } ( \mathbf { D } ^ { ( + ) } ) } { \pi \, \mathrm { d e t } ^ { \prime } \! \left( { \mathbf { D } ^ { ( - ) } } \right) } } e ^ { - S _ { \! \mathrm { k i n k } } / \hbar } .
N | \psi _ { n } \rangle = ( \nu _ { 0 } + n ) | \psi _ { n } \rangle , \quad a ^ { \dagger } | \psi _ { n } \rangle = | \psi _ { n + 1 } \rangle , \quad a | \psi _ { n } \rangle = \lambda _ { n } | \psi _ { n - 1 } \rangle , \quad \lambda _ { n } = [ n + \nu _ { 0 } ] _ { q } - [ \nu _ { 0 } ] _ { q }
I _ { M - 1 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right)
\Psi = \exp \left\{ \frac { \theta } { 2 } \Gamma _ { \underline { { { r } } } \underline { { { \theta } } } } - A - { \frac { 1 } { 4 } } B + \int ^ { r } \mathrm { d } \rho \mathrm { e } ^ { - B ( \rho ) / 2 } \left( { \frac { 1 } { 2 a } } - \mathrm { i } \Gamma _ { 7 } { \frac { e } { 2 } } \Gamma _ { \underline { { { r } } } \underline { { { \theta } } } } A _ { \theta } ( \rho ) \right) \right\} \psi ~ ,
F _ { t o t , i } ^ { \Delta } = \iint _ { A } \widetilde { p } ^ { s } \widetilde { n } _ { i } \ \mathrm { d } x \mathrm { d } y + \rho _ { a } \iint _ { A } \tau _ { i j , \Delta } ^ { w a l l } \widetilde { n } _ { j } \ \mathrm { d } x \mathrm { d } y ,
\nabla a = D F ^ { - \top } \hat { \nabla } \hat { a } , \quad \nabla \times { \boldsymbol a } = \frac { 1 } { \sqrt { g } } D F \hat { \nabla } \times ( G \hat { { \boldsymbol a } } ) , \quad \nabla \cdot { \boldsymbol a } = \frac { 1 } { \sqrt { g } } \hat { \nabla } \cdot ( \sqrt { g } \hat { \boldsymbol a } ) .
\mathcal { L } = \sum _ { i = 1 } ^ { H } \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } \Big ( v ( t + i ) , \hat { v } ( t + i ) \Big ) + \alpha \sum _ { i = 1 } ^ { H } \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } \Big ( p ( t + i ) , \hat { p } ( t + i ) \Big ) .
\begin{array} { r l r } { { \mathbf { J } } \Psi ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { r } } , m ) } & { = } & { ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } + { \mathbf { S } } ) \sum _ { k \mu } \psi _ { k \mu } ( { \mathbf { X } } ) \, \phi _ { k \mu } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } , m ) } \\ & { = } & { \sum _ { k \mu } [ ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } ) \psi _ { k \mu } ( { \mathbf { X } } ) ] \, \phi _ { k \mu } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } , m ) } \\ & { } & { + \sum _ { k \mu } \psi _ { k \mu } ( { \mathbf { X } } ) \, [ ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } + { \mathbf { S } } ) \phi _ { k \mu } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } , m ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \hat { H } _ { \mathrm { r o v i b } } + \hbar \omega _ { \mathrm { c } } \hat { a } _ { \mathrm { c } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { c } } - \frac { g } { e a _ { 0 } } \mathbf { e } \hat { \mathbf { \upmu } } _ { 0 } ( \hat { a } _ { \mathrm { c } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { \mathrm { c } } ) } \\ & { - \frac { ( g / e a _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 } \mathbf { e } \hat { \mathbf { \alpha } } \mathbf { e } ( \hat { a } _ { \mathrm { c } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { \mathrm { c } } ) ( \hat { a } _ { \mathrm { c } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { \mathrm { c } } ) + \frac { ( g / e a _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \hbar \omega _ { \mathrm { c } } } ( \mathbf { e } \hat { \mathbf { \upmu } } _ { 0 } ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { ( g / e a _ { 0 } ) ^ { 3 } } { 2 \hbar \omega _ { \mathrm { c } } } \big [ ( \mathbf { e } \hat { \mathbf { \upmu } } _ { 0 } ) ( \mathbf { e } \hat { \mathbf { \alpha } } \mathbf { e } ) + ( \mathbf { e } \hat { \mathbf { \alpha } } \mathbf { e } ) ( \mathbf { e } \hat { \mathbf { \upmu } } _ { 0 } ) \big ] ( \hat { a } _ { \mathrm { c } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { \mathrm { c } } ) + \frac { ( g / e a _ { 0 } ) ^ { 4 } } { 4 \hbar \omega _ { \mathrm { c } } } ( \mathbf { e } \hat { \mathbf { \alpha } } \mathbf { e } ) ^ { 2 } ( \hat { a } _ { \mathrm { c } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { \mathrm { c } } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \gamma - \kappa ) [ V _ { d } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \mathcal { A } ( z , x , \xi ) ) + V _ { d } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) , \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) ) ] } \\ { \leq } & { f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) , \xi ^ { \prime } ) - f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ^ { \prime } ) + f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ) - f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) , \xi ) } \\ { \leq } & { L _ { f } [ \sqrt { 2 V _ { d } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \mathcal { A } ( z , x , \xi ) ) } + \sqrt { 2 V _ { d } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) , \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) ) } ] } \\ { \leq } & { 2 L _ { f } [ \sqrt { V _ { d } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \mathcal { A } ( z , x , \xi ) ) + V _ { d } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) , \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) ) } ] } \end{array}
\bar { \bar { \alpha } } ^ { v v ^ { \prime } } = - \frac { \mathrm { i } k ^ { 3 } } { 6 \pi } \left[ \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { - \mathrm { i } } & { 0 } & { - \mathrm { i } } \\ { 0 } & { \sqrt { 2 } } & { 0 } \end{array} \right] \, \bar { \bar { T } } ^ { v v ^ { \prime } } \, \left[ \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { - \mathrm { i } } & { 0 } & { - \mathrm { i } } \\ { 0 } & { \sqrt { 2 } } & { 0 } \end{array} \right] ^ { - 1 } , \qquad \{ v , v ^ { \prime } \} = \{ \mathrm { e , m } \} .
\begin{array} { r l } { R } & { { } \in \{ 5 , 1 0 , 2 0 , 4 0 \} , } \\ { \gamma } & { { } \in \{ 0 . 4 , 0 . 5 , 0 . 6 , 0 . 6 5 , 0 . 7 , 0 . 7 5 \} . } \end{array}
\langle B _ { \lambda } ^ { p h y s } \rangle \simeq \frac { e ^ { 3 } H ^ { 7 / 2 } \kappa _ { t o d } ^ { 2 } } { m ( 0 ) T _ { \gamma } } \left( \frac { T _ { I } } { T _ { \gamma } } \right) ^ { - 5 / 8 b } t _ { m a x } ^ { 3 / 2 } .
\mathscr { E } \left\{ \stackrel [ m _ { 1 } = 1 ] { M } { \sum } \stackrel [ m _ { 2 } \neq m _ { 1 } ] { M } { \sum } \left( \left[ \tilde { h } _ { e _ { j } } \right] _ { m _ { 1 } } e ^ { j \varphi _ { m _ { 1 } } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m 1 } } } a _ { M m 1 } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) \right) \left( \left[ \tilde { h } _ { e _ { j } } \right] _ { m _ { 2 } } e ^ { j \varphi _ { m _ { 2 } } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m 2 } } } a _ { M m 2 } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) \right) ^ { H } \right\} = M
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \phi } \operatorname* { m a x } _ { D _ { 1 } , D _ { 2 } , D _ { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ d ~ . ~ } } ( \phi , D _ { i } ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \vec { v } } ^ { \prime } } & { { } = { \vec { v } } \cos ^ { 2 } { \frac { \alpha } { 2 } } + ( { \vec { u } } { \vec { v } } - { \vec { v } } { \vec { u } } ) \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \cos { \frac { \alpha } { 2 } } - { \vec { u } } { \vec { v } } { \vec { u } } \sin ^ { 2 } { \frac { \alpha } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| T ( u ) \| _ { Y } } & { { } = \varepsilon ^ { - 1 } \left\| T \left( x _ { 0 } + \varepsilon u \right) - T ( x _ { 0 } ) \right\| _ { Y } } & { [ { \mathrm { b y ~ l i n e a r i t y ~ o f ~ } } T ] } \end{array}
d n _ { e } ^ { e } = \left( \frac { \alpha ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \right) \ln ^ { 2 } \left( \frac { q _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) \left[ 2 ( 1 + x ) \ln x + \frac { 4 + 3 x - 3 x ^ { 2 } - 4 x ^ { 3 } } { 3 x } \right] .
\hat { V } _ { \mathrm { r } } = V _ { \mathrm { r } } e ^ { i ( \pi / 2 - \phi _ { \mathrm { r } } ) } \, \, \mathrm { a n d } \, \, \hat { V } _ { \mathrm { g } } = V _ { \mathrm { g } } e ^ { i ( \pi / 2 - \phi _ { \mathrm { g } } ) } ,
\left( { \frac { \Delta X ^ { \mu } } { d \tau } } \right) \left( { \frac { \partial } { \partial \xi ^ { c } } } | { \frac { \Delta X ^ { \mu } } { \partial \xi ^ { c } } } | ^ { - 1 } \left[ { \frac { \Delta X ^ { \nu } } { d \tau } } \right] \right) + \left( { \frac { \Delta X ^ { \mu } } { d \tau } } \right) \Gamma _ { \mu \lambda } ^ { \nu } \left( { \frac { \Delta X ^ { \lambda } } { d \tau } } \right) = 0 \quad .
\begin{array} { r l } { C _ { L , \textrm { m a x } } ( \alpha , \phi ) } & { { } = \underset { a \le t \le b } { \textrm { m a x } } C _ { L } ( \alpha , \phi ; t ) , \; } \\ { C _ { L , \textrm { m e a n } } ( \alpha , \phi ) } & { { } = \frac { 1 } { b - a } \int _ { a } ^ { b } C _ { L } ( \alpha , \phi ; t ) d t , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { Q } ^ { ( T ) } ( x , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { H _ { \theta = 0 } + H _ { \theta = \theta _ { 0 } } , } & { \sqrt { x ^ { 2 } + p ^ { 2 } } \leq R } \\ { 0 , } & { \sqrt { x ^ { 2 } + p ^ { 2 } } > R . } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \nabla \cdot [ u ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \nabla ( x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ) ] + \Delta u ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = s ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , \, \mathrm { ~ i ~ n ~ } \, \, \Omega , } \\ { u ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , \, \mathrm { ~ o ~ n ~ } \, \, \partial \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ \operatorname* { m a x } _ { \theta } ~ } \quad \mathbb { E } _ { \mathcal { H } } ( \Sigma _ { t = 0 } ^ { \tau } \gamma ^ { t } r ( s _ { t } , a _ { t } ) ) = Q ^ { \pi _ { \theta } } ( s _ { 0 } , \pi _ { \theta } ( s _ { 0 } ) ; \theta ) = V ^ { \pi _ { \theta } } ( s _ { 0 } ; \theta ) } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad a _ { t } = \pi ( s _ { t } ; \theta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } a _ { 0 , T } ( V ^ { \infty } ) } & { = \frac { \rho _ { k _ { 1 } + 1 } \omega _ { k _ { 1 } + 1 } } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { \| W _ { k _ { 1 } + 1 , 1 } \| ^ { 2 } } { \| D _ { \rho _ { k _ { 1 } + 1 } } T _ { t } W _ { k _ { 1 } + 1 , 1 } \| ^ { 2 } } d t = \omega _ { k _ { 1 } + 1 } . } \end{array}
\frac { d \hat { \rho } } { d t } = - i [ \hat { H } _ { \mathrm { ~ T ~ C ~ } } , \hat { \rho } ] + \kappa \left( 2 \hat { a } \hat { \rho } \hat { a } ^ { \dagger } - \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \hat { \rho } - \hat { \rho } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right) ,
\begin{array} { r } { a _ { n } = \frac { 2 } { l } \int \Psi _ { n } ( x ) \Psi _ { 1 } ( x ) \exp { \Big ( \frac { i } { \hbar } q x S _ { E } \Big ) } d x = } \\ { \frac { \sin \left( \frac { \pi ( n + 1 ) } { 2 } + \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } \right) } { \pi ( n + 1 ) + 2 \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } } + \frac { \sin \left( \frac { - \pi ( n + 1 ) } { 2 } + \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } \right) } { - \pi ( n + 1 ) + 2 \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } } + } \\ { \frac { \sin \left( \frac { \pi ( n - 1 ) } { 2 } + \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } \right) } { \pi ( n - 1 ) + 2 \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } } + \frac { \sin \left( \frac { \pi ( 1 - n ) } { 2 } + \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } \right) } { \pi ( 1 - n ) + 2 \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { A } ^ { 1 } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sum _ { \beta } p _ { \beta } ^ { b } \left( b _ { A } ^ { 1 } ( \mathbf { r } ) \right) \left( \tilde { F } _ { A , \beta } ^ { 1 , \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { r } ) + \hat { y } _ { A , \beta } ^ { 1 } ( \mathbf { r } ) \right) } \\ { \tilde { G } _ { A } ^ { 1 } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sum _ { \beta } p _ { \beta } ^ { b } \left( \tilde { b } _ { A } ^ { 1 } ( \mathbf { r } ) \right) \tilde { F } _ { A , \beta } ^ { 1 , \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { h = 1 } ^ { H } E _ { ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \sim w _ { h k } ^ { B } } \left[ \frac { \vert u ( - H + h ) \vert } { \sqrt { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \} } } \right] \right] } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \sum _ { k = 1 } ^ { K } E \left[ E _ { ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \sim w _ { h k } ^ { B } } \left[ \frac { \vert u ( - H + h ) \vert } { \sqrt { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \} } } \right] \right] } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \vert u ( - H + h ) \vert \sum _ { k = 1 } ^ { K } E \left[ \Lambda _ { 2 } ^ { k } ( s _ { 2 } ^ { k } ) \cdots \Lambda _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } ) \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \} } } \right] } \\ & { \overset { ( 1 ) } { \leq } \sum _ { h = 1 } ^ { H } \vert u ( - H + h ) \vert \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sqrt { E \left[ \Lambda _ { 2 } ^ { k } ( s _ { 2 } ^ { k } ) \cdots \Lambda _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } ) \right] ^ { 2 } } \cdot \sqrt { E \left[ \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \} } \right] } } \\ & { \overset { ( 2 ) } { \leq } \sum _ { h = 1 } ^ { H } \vert u ( - H + h ) \vert \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { K } E \left[ \Lambda _ { 2 } ^ { k } ( s _ { 2 } ^ { k } ) \cdots \Lambda _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } ) \right] ^ { 2 } } \cdot \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { K } E \left[ \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \} } \right] } } \end{array}
\lambda _ { \pm } ( x _ { 0 } , r ; z ; q ) = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \frac { \rho _ { + } } { \rho _ { - } } ; q ) _ { n } } { ( q ; q ) _ { n } } ( i \rho _ { - } ( 1 - q ) z ) ^ { n } \pm \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \frac { \rho _ { - } } { \rho _ { + } } ; q ) _ { n } } { ( q ; q ) _ { n } } ( i \rho _ { + } ( 1 - q ) z ) ^ { n } \right\} .
\left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { s _ { 1 } } } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { 2 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { q } _ { 1 } \cdot | | \mathbf { h } _ { 1 } | | , \mathbf { q } _ { 2 } \cdot | | \mathbf { h } _ { 2 } | | } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { - 2 } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { k } ^ { 2 } } \end{array} \right]
{ e } _ { \hat { 0 } } ^ { \; \; 0 } { \bar { e } } _ { \alpha } ^ { \; \; i } \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \Gamma ^ { ( 2 ) } } { \partial w ^ { i } } \right] = - { e } _ { \hat { 0 } } ^ { \; \; 0 } { \bar { e } } _ { \alpha } ^ { \; \; i } \left[ B _ { i } ^ { w ( 2 ) } \right] + { e } _ { \alpha } ^ { \; \; \mu } { e } _ { \hat { 0 } } ^ { \; \; \nu } K _ { \mu \nu } ^ { b } ,
S _ { m a t t e r } = \int \sqrt { - g } \left\{ \left[ { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \psi \partial _ { \nu } \psi - { \frac { 1 } { 2 } } ( M - { \frac { R } { 6 } } ) \psi ^ { 2 } \right] - \Lambda \right\} .
U = ( \theta _ { a } - \Theta _ { A } ) ^ { m } = \left[ F _ { 0 } + \eta M F _ { 1 } - \Theta _ { A } \right] ^ { m } = \left[ \eta M F _ { 1 } - \frac { \Theta _ { A } - \Theta _ { R } } { 2 } \right] ^ { m } .
P _ { k } ( x ) = 1 + x + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + \cdots + { \frac { x ^ { k } } { k ! } } , \qquad R _ { k } ( x ) = { \frac { e ^ { \xi } } { ( k + 1 ) ! } } x ^ { k + 1 } ,