harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c c l c c l } { \sum } & { \displaystyle \sum } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \sum ~ " ~ } } & { \bigcap } & { \displaystyle \bigcap } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \bigcap ~ " ~ } } \\ { \prod } & { \displaystyle \prod } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \prod ~ " ~ } } & { \bigcup } & { \displaystyle \bigcup } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \bigcup ~ " ~ } } \\ { \coprod } & { \displaystyle \coprod } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \coprod ~ " ~ } } & { \bigsqcup } & { \displaystyle \bigsqcup } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \bigsqcup ~ " ~ } } \\ { \int } & { \displaystyle \int } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \int ~ " ~ } } & { \bigvee } & { \displaystyle \bigvee } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \bigvee ~ " ~ } } \\ { \oint } & { \displaystyle \oint } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \oint ~ " ~ } } & { \bigwedge } & { \displaystyle \bigwedge } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \bigwedge ~ " ~ } } \\ { \bigodot } & { \displaystyle \bigodot } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \bigodot ~ " ~ } } & { \bigotimes } & { \displaystyle \bigotimes } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \bigotimes ~ " ~ } } \\ { \bigoplus } & { \displaystyle \bigoplus } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \bigoplus ~ " ~ } } & { \biguplus } & { \displaystyle \biguplus } & { \mathrm { ~ \verb ~ " ~ \biguplus ~ " ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { R } _ { i j } = - \epsilon _ { j k p } \Omega _ { k } ( { \bf m , R } ) R _ { i p } , } \\ { \frac 1 2 \sum _ { i } I _ { i } \Omega _ { i } ^ { 2 } ( { \bf m , R } ) = E = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } , } \end{array}
+ \left| \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \left( 1 - y \right) \left( 1 - z \right) } } & { - 1 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \left( 1 - y ^ { 2 } \right) \left( 1 - z ^ { 2 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - y \right) \left( 1 - z \right) } } & { - 2 } \\ { \frac { 1 } { \left( 1 - y ^ { 3 } \right) \left( 1 - z ^ { 3 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - y ^ { 2 } \right) \left( 1 - z ^ { 2 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - y \right) \left( 1 - z \right) } } \end{array} \right| \frac { t ^ { 3 } } { 3 ! }
\begin{array} { r l } { \left< X \right> } & { = - \frac { \sigma _ { g _ { e f f } ^ { X } } } { \sigma _ { d } ^ { 2 } \nu } w _ { 1 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) } \\ { \left< N \right> } & { = \frac { \sigma _ { m _ { e } f f } } { \sigma _ { c } ^ { 2 } \kappa - r _ { 1 } \sigma _ { d } ^ { 2 } \chi } w _ { 1 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) } \\ { \left< R \right> } & { = \frac { \sigma _ { K _ { e } f f } } { 1 - r _ { 2 } \sigma _ { c } ^ { 2 } \nu } w _ { 1 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) } \\ { \left< X ^ { 2 } \right> } & { = ( \frac { \sigma _ { g _ { e f f } ^ { X } } } { \sigma _ { d } ^ { 2 } \nu } ) ^ { 2 } w _ { 2 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) } \\ { \left< N ^ { 2 } \right> } & { = ( \frac { \sigma _ { m _ { e } f f } } { \sigma _ { c } ^ { 2 } \kappa - r _ { 1 } \sigma _ { d } ^ { 2 } \chi } ) ^ { 2 } w _ { 2 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) } \\ { \left< R ^ { 2 } \right> } & { = ( \frac { \sigma _ { K _ { e } f f } } { 1 - r _ { 2 } \sigma _ { c } ^ { 2 } \nu } ) ^ { 2 } w _ { 2 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) } \\ { \chi } & { = \left< \frac { \partial X } { \partial u } \right> = \frac { w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) } { \sigma _ { d } ^ { 2 } \nu } } \\ { \nu } & { = \left< \frac { \partial N } { \partial m } \right> = - \frac { w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) } { \sigma _ { c } ^ { 2 } \kappa - r _ { 1 } \sigma _ { d } ^ { 2 } \chi } } \\ { \kappa } & { = \left< \frac { \partial R } { \partial K } \right> = \frac { w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) } { 1 - r _ { 2 } \sigma _ { c } ^ { 2 } \nu } } \end{array}
f _ { G E N } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; x \in [ x _ { m } - R _ { m } , x _ { m } + R _ { m } ] } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | \varepsilon d _ { i } } & { \left( \left( T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ T _ { p _ { 1 } } [ \mathfrak { b } _ { 1 } ] ] - \mathfrak { b } _ { 1 } \right) \right) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { - 2 , s , \eta _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon \left( \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( x ^ { * } ) } & { { } = \Sigma _ { * } ( x ^ { * } , \boldsymbol { x } ) \Sigma ^ { - 1 } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ) \boldsymbol { y } , } \\ { \sigma ^ { 2 } ( x ^ { * } ) } & { { } = \Sigma _ { * * } ( x ^ { * } , x ^ { * } ) - \Sigma _ { * } ( x ^ { * } , \boldsymbol { x } ) \Sigma ^ { - 1 } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ) \left[ \Sigma _ { * } ( x ^ { * } , \boldsymbol { x } ) \right] ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \nabla \mathcal { N } ( \psi _ { 1 } ) - \nabla \mathcal { N } ( \psi _ { 2 } ) \right\| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { d } ) } } \\ & { \leq \| | G _ { \infty } ( \psi _ { 1 } ) | | \nabla \psi _ { 1 } - \nabla \psi _ { 2 } | \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { d } ) ) } + \| | G _ { q } ( \psi _ { 1 } ) | | \nabla \psi _ { 1 } - \nabla \psi _ { 2 } | \| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { d } ) } } \\ & { + \left\| | G _ { \infty } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { \infty } ( \psi _ { 2 } ) | | \nabla \psi _ { 2 } | \right\| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { d } ) } + \left\| | G _ { q } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { q } ( \psi _ { 2 } ) | | \nabla \psi _ { 2 } | \right\| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { d } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathrm { H } [ p ] } { d t } } & { { } = \nu \int _ { \Omega } ( 1 + \log p ) \left( \frac { \nabla \omega \cdot \nabla p } { \omega } - \Delta p \right) \, d S + \nu \int _ { \Omega } p | \nabla \log p | ^ { 2 } \, d S , } \\ { \frac { d \mathrm { H } [ q ] } { d t } } & { { } = \nu \int _ { \Omega } ( 1 + \log q ) \left( \frac { \nabla \omega \cdot \nabla q } { \omega } - \Delta q \right) \, d S + \nu \int _ { \Omega } q | \nabla \log q | ^ { 2 } \, d S . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { X _ { i } } } & { = \sum _ { a = 1 } ^ { 2 } \left( \frac { x _ { a } ^ { j } v _ { a } ^ { k } - x _ { a } ^ { k } v _ { i } ^ { j } } { R ^ { 2 } - | \mathbf { x } _ { a } | ^ { 2 } } \right) , } \\ { C _ { Y _ { i } } } & { = \sum _ { a = 1 } ^ { 2 } \left( \frac { v _ { a } ^ { i } } { R ^ { 2 } - | \mathbf { x } _ { a } | ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
M ( k _ { x } , k _ { z } ) = \left( \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( \hat { u } _ { x } ^ { 2 } ( k _ { x } , y , k _ { z } ) + \hat { u } _ { y } ^ { 2 } ( k _ { x } , y , k _ { z } ) + \hat { u } _ { z } ^ { 2 } ( k _ { x } , y , k _ { z } ) ) d y \right) ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { - \frac { d \epsilon } { d t } } & { { } = \frac { 1 } { t + M r _ { 0 } } \left[ \frac { ( 1 - \epsilon ) ^ { \beta } } { ( 1 - \epsilon ) ^ { \beta } + ( M - 1 ) \frac { \epsilon ^ { \beta } } { ( M - 1 ) ^ { \beta } } } - ( 1 - \epsilon ) \right] = } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { t ^ { n + 1 + \alpha } e ^ { ( 1 - t ) z } L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( z t ) = \sum _ { k = n } ^ { \infty } { \binom { k } { n } } \left( 1 - { \frac { 1 } { t } } \right) ^ { k - n } L _ { k } ^ { ( \alpha ) } ( z ) , } \\ & { e ^ { ( 1 - t ) z } L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( z t ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 1 - t ) ^ { k } z ^ { k } } { k ! } } L _ { n } ^ { ( \alpha + k ) } ( z ) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left( \partial _ { t } + 2 c \partial _ { x } - 2 c \Gamma ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } + \frac { c \ell _ { B } ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x } ^ { 3 } + \cdots \right) \rho _ { \mathrm { ~ C ~ B ~ } } ( x , 0 , t ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { n } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \log { ( n ) } + \frac { \gamma - \log { ( 2 ) } } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \log { ( 1 + Y ) } \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } } } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { \frac { \epsilon ^ { n } } { 2 } \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } } } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } , } \end{array}
\frac { \omega \delta _ { 0 } } { c } = 2 . 4 \times 1 0 ^ { - 2 } \left( \frac { 5 . 9 \times 1 0 ^ { 7 } \, \mathrm { S / m } } { \sigma } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { 1 0 0 0 \, \mathrm { n m } } { \lambda _ { \mathrm { s o u r c e } } } \right) ^ { 1 / 2 } \,
\begin{array} { r l } { N u _ { h } } & { = \frac { \sqrt { R a P r } \langle u _ { r } \theta \rangle _ { t , \varphi , z } - \partial _ { r } \langle \theta \rangle _ { t , \varphi , z } } { ( r l n ( \eta ) ) ^ { - 1 } } , } \\ { N u _ { \omega } } & { = \frac { r ^ { 3 } [ R a / P r \langle u _ { r } \omega \rangle _ { t , \varphi , z } - \sqrt { R a / P r } \partial _ { r } \langle \omega \rangle _ { t , \varphi , z } ] } { 2 B } , } \end{array}
J _ { \nu } ( z ) = \frac { ( z / 2 ) ^ { \nu } } { \Gamma ( \nu + 1 ) } \prod _ { m = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - \frac { z ^ { 2 } } { z _ { \nu , m } ^ { 2 } } \right) { , } \quad \nu \not = - 1 , \, - 2 , \, \ldots
\begin{array} { r l } { \omega _ { \mathcal { M } } } & { = \mathrm { d } p \, \mathrm { d } x + \mathrm { d } q \, \mathrm { d } y - \mathrm { d } \psi \, \mathrm { d } \chi - \mathrm { d } \xi \, \mathrm { d } \phi } \\ { \Theta _ { \mathcal { M } } } & { = - \psi p - \xi q + \frac { 1 } { n ! } F _ { n } \psi ^ { n } + \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } F _ { n - 1 } \psi ^ { n - 1 } \xi + . . . + \frac { 1 } { d ! ( n - d ) ! } F _ { n - d } \psi ^ { n - d } \xi ^ { d } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 b ) } ( \omega ) = \frac { 4 \pi } { 1 2 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } q \; q ^ { 2 } \Biggl [ \theta ( E ) \Biggl ( V ^ { \prime } ( q ) ^ { 2 } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { \ensuremath { \mathrm { d } } E ^ { 2 } } \tilde { \rho } _ { 1 , \mathrm { W } } \left( q , \sqrt { 2 E } \right) } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \left( V ^ { \prime \prime } ( q ) + ( 2 / q ) V ^ { \prime } ( q ) \right) \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { \ensuremath { \mathrm { d } } E ^ { 2 } } \tilde { \rho } _ { 3 , \mathrm { W } } \left( q , \sqrt { 2 E } \right) \Biggl ) \Biggl ] _ { E = \omega + E _ { 0 } - V ( q ) } , \; \; \; } \end{array}
b _ { 2 } ( v _ { 2 } ) = \left( { \frac { n - 1 } { n } } \right) { v _ { 2 } } ^ { n } = \left( { \frac { 2 } { 3 } } \right) { 0 . 5 0 } ^ { 3 } = 0 . 0 8 3 3
\begin{array} { r l } & { \left[ 0 , \operatorname* { m a x } _ { j : p _ { j } p _ { i j \in ( 0 , 1 ) } } \left\{ \frac { 2 [ \left( 1 - p _ { j } p _ { i j } \right) + p _ { i } ( \mathrm { E } _ { \{ i , j \} } / p _ { i j } - p _ { j i } ) ] } { p _ { j } p _ { i j } } + \; 2 ( 1 - p _ { j } ) \sum _ { l \in [ n ] : l \neq i } p _ { l j } \alpha _ { l j } ^ { ( \ell - 1 ) } \right\} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { s , 2 } ( \tau ) } & { : = } & { \operatorname* { m a x } \{ k \in \{ 0 \} \cup [ n ] : \mathrm { ~ t h e r e ~ e x i s t ~ } i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } \in [ n ] , \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ & { } & { i _ { 1 } < \cdots < i _ { k } , \tau ( i _ { 1 } ) < \cdots < \tau ( i _ { k } ) , ( i _ { l } , \tau ( i _ { l } ) ) \in \mathcal { R } _ { s , 2 } \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } l \in [ k ] \} . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \lvert \lambda \rvert \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } + \lvert \lambda \rvert ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lVert \nabla u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } + \lVert \nabla ^ { 2 } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { p , n , s , \mu } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \mathrm { , ~ } } \\ { \lvert \lambda \rvert ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lVert ( \mathrm { d } + \delta ) u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } + \lVert \mathrm { d } \delta u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } + \lVert \delta \mathrm { d } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { p , n , s , \mu } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
g \Sigma ( \tau ) \simeq \sqrt { \frac { \lambda } { 6 } } \, { \frac { f ^ { 3 } \, h ^ { 3 / 2 } \, r m _ { R } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \, \, M _ { 0 } ^ { 2 } } } \; \left( 1 + { \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } } { m _ { R } ^ { 2 } } } \right) \; e ^ { ( 2 \nu - 3 ) h \tau } \; ,
\begin{array} { r l } { W _ { 1 1 } } & { { } = \frac { N | g _ { p 1 } | ^ { 2 } } { c } a _ { 4 1 1 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { W _ { 1 2 } } & { { } = \frac { N | g _ { p 2 } | ^ { 2 } } { c } a _ { 4 1 2 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { W _ { 2 2 } } & { { } = \frac { N | g _ { p 2 } | ^ { 2 } } { c } a _ { 4 2 2 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { W _ { 2 1 } } & { { } = \frac { N | g _ { p 1 } | ^ { 2 } } { c } a _ { 4 2 1 } ^ { ( 3 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( 1 - \alpha _ { t } L _ { g } \right) \left\Vert x _ { t } - x _ { t + 1 } \right\Vert ^ { 2 } \leq \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t } , S ) - \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t + 1 } , S ) + \underbrace { \alpha _ { t } \rho \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t + 1 } , S ) - 2 \mu \alpha _ { t } \operatorname { d i s t } ( x _ { t + 1 } , S ) } _ { < 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { k } ( t ) } & { { } = } & { \frac { i d _ { 1 k } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { k 1 } t ^ { \prime } } d t ^ { \prime } - } \end{array}
\nabla ^ { 2 } u - { \frac { 1 } { c _ { 0 } ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial t ^ { 2 } } } + \tau _ { \sigma } ^ { \alpha } { \frac { \partial ^ { \alpha } } { \partial t ^ { \alpha } } } \nabla ^ { 2 } u - { \frac { \tau _ { \epsilon } ^ { \beta } } { c _ { 0 } ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { \beta + 2 } u } { \partial t ^ { \beta + 2 } } } = 0 \, .
\theta ^ { + } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { \mathrm { i f ~ x \geq 0 ~ , ~ } } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { i f ~ x < 0 ~ . ~ } } } \end{array} \right. \theta ^ { - } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { \mathrm { i f ~ x > 0 ~ , ~ } } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { i f ~ x \leq 0 ~ . ~ } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { j } ^ { \pm } } & { ( { \bf q } ^ { \prime } , { \bf q } ) = \gamma ^ { j } \, G _ { F } ( { \bf q } ^ { \prime } - { \bf k } _ { \gamma } , \varepsilon _ { q ^ { \prime } } - \omega _ { \gamma } ) \, \vec { \gamma } \cdot \vec { \mathcal { E } } _ { p , { \bf q } + { \bf q } ^ { \prime } - { \bf k } _ { \gamma } } ^ { \pm } } \\ & { + \vec { \mathcal { E } } _ { p , { \bf q } + { \bf q } ^ { \prime } - { \bf k } _ { \gamma } } ^ { \pm } \cdot \vec { \gamma } \, G _ { F } ( { \bf k } _ { \gamma } - { \bf q } , \omega _ { \gamma } - \varepsilon _ { q } ) \, \gamma ^ { j } } \end{array}
\mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) \rho ( \mathbf { x } , t ) = \sum _ { i = 0 } ^ { q - 1 } \mathbf { c _ { i } } z _ { i } ( \mathbf { x } , t ) + \frac { \Delta t } { 2 } ( \mathbf { F _ { s } } + \mathbf { F _ { b } } )
T = \frac { 1 } { 2 } \left[ ( A + \lambda ^ { 2 } B ) \dot { \lambda } ^ { 2 } + \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } C } { \lambda ^ { 2 } A ( C - \lambda ^ { 2 } A / 4 ) } + \frac { p _ { \alpha } ( p _ { \alpha } + p _ { \theta } ) } { C - \lambda ^ { 2 } A / 4 } \right]
\mathbf { A } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { - \frac { g U } { 2 } } & { - \frac { g H } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { g H } { 2 } } & { - \frac { H U } { 2 } } & { 0 } & { \frac { H ^ { 3 } U } { 6 } } & { \frac { H ^ { 3 } } { 6 } } \\ { 0 } & { 0 } & { - \frac { H ^ { 3 } U } { 6 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { H ^ { 3 } U } { 6 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { H ^ { 3 } } { 6 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { U _ { \mathrm { a t , P } } ( r ) = { \frac { 4 \pi } { r } } \sum _ { j = 1 } ^ { M } { \frac { a _ { j } } { b _ { j } ^ { 3 } } } \, \bigl ( 2 + b _ { j } r \bigr ) \exp \left( - b _ { j } r \right) , } \\ { \widetilde { U } _ { \mathrm { a t , P } } ( q ) = 2 ( 4 \pi ) ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { M } { \frac { a _ { j } } { b _ { j } ^ { 3 } } } \left( { \frac { 1 } { q ^ { 2 } + b _ { j } ^ { 2 } } } + { \frac { b _ { j } ^ { 2 } } { ( q ^ { 2 } + b _ { j } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \right) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { \mathrm { d i a g } } ^ { ( 4 ) } ( \textbf { k } _ { 1 } , \textbf { k } _ { 2 } ) - N S ( k _ { 1 } ) S ( k _ { 2 } ) \approx S _ { \mathrm { c o n v } } ^ { ( 4 ) } ( \textbf { k } _ { 1 } , \textbf { k } _ { 2 } ) } \\ & { = S ( k _ { 1 } ) ^ { 2 } S ( k _ { 2 } ) ^ { 2 } \left( S ( 0 ) + S ( | \textbf { k } _ { 1 } + \textbf { k } _ { 2 } | ) + S ( | \textbf { k } _ { 1 } - \textbf { k } _ { 2 } | ) - 2 \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial n } { \partial t } = i \int d \vec { q } ^ { \prime } d \vec { q } ^ { \prime \prime } e ^ { i ( \vec { q } ^ { \prime \prime } + \vec { q } ^ { \prime } ) \cdot \vec { x } } \big [ B ( \vec { k } - \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 - \vec { q } ^ { \prime } / 2 , \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 - \vec { q } ^ { \prime } / 2 ) \langle b _ { \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 + \vec { q } ^ { \prime } / 2 } b _ { \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 - \vec { q } ^ { \prime } / 2 } ^ { * } \rangle } \\ { - B ( \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 - \vec { q } ^ { \prime } / 2 , \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 + \vec { q } ^ { \prime } / 2 ) \langle b _ { \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 - \vec { q } ^ { \prime } / 2 } b _ { \vec { k } - \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 - \vec { q } ^ { \prime } / 2 } ^ { * } \rangle \big ] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \cdots u _ { \alpha } ^ { n _ { \alpha } } - c _ { 1 } v _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } \cdots v _ { \beta } ^ { m _ { \beta } } = y _ { 1 } ^ { \ell _ { 1 } + 1 } w _ { 1 } \medskip } \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \medskip } \\ { u _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \cdots u _ { \alpha } ^ { n _ { \alpha } } - c _ { \gamma } v _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } \cdots v _ { \beta } ^ { m _ { \beta } } = y _ { \gamma } ^ { \ell _ { \gamma } + 1 } w _ { \gamma } } \end{array} \right.
q _ { c } ^ { 2 } ( z | \omega , \Delta _ { \omega } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } z \leq \omega } \\ { \frac { z } { 2 } ( - \operatorname { t a n h } ( \frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } ) + 1 ) ; x = 2 \frac { z - \omega - 0 . 5 \Delta _ { \omega } } { \Delta _ { \omega } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega < z < \omega + \Delta _ { \omega } } \\ { z , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } z \geq \omega + \Delta _ { \omega } } \end{array} \right. \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \mathbf { 1 } _ { T _ { F } } } & { \left( ( \phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) \mathbf { 1 } _ { T _ { C } } \left( ( \phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) = 1 } \\ & { \textrm { i f f } \ \phi _ { k } ^ { i } \in \left[ \frac { w v _ { f } \rho _ { \operatorname* { m a x } } } { w e ^ { 2 \zeta ( g ) } + v _ { f } } , \frac { w e ^ { 2 \zeta ( g ) } v _ { f } \rho _ { \operatorname* { m a x } } } { w + e ^ { 2 \zeta ( g ) } v _ { f } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta a } & { = } & { \iiiint _ { \mathcal W } \left\{ \ \left( - \frac { 1 } { 2 } { \boldsymbol v } ^ { 2 } + \alpha + \rho \, \frac { \partial \alpha } { \partial \rho } + \Omega \right) \, \mathrm { d i v } \, ( \rho \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } ) \right. } \\ & { + } & { \left. \rho \, \left( { \boldsymbol v } ^ { \star } \frac { d ( \tilde { \delta } \boldsymbol { x } ) } { d t } - { \boldsymbol v } ^ { \star } \frac { \partial { \boldsymbol v } } { \partial \boldsymbol { x } } \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } + \frac { \partial \alpha } { \partial s } \frac { \partial s } { \partial \boldsymbol { x } } { \tilde { \delta } \boldsymbol x } \right) \ \right\} d w _ { \boldsymbol z } } \\ & { = } & { \iiiint _ { \mathcal W } \left\{ \ \left( - \frac { 1 } { 2 } { \boldsymbol v } ^ { 2 } + h + \Omega \right) \, \mathrm { d i v } \, ( \rho \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } ) \right. } \\ & { + } & { \left. \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho \, { \boldsymbol v } ^ { \star } \boldsymbol { \tilde { \delta } x } \right) - \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho \, { \boldsymbol v } ^ { \star } \right) \boldsymbol { \tilde { \delta } x } + \mathrm { T r } \left( \rho { \boldsymbol v } { \boldsymbol v } ^ { \star } \frac { \partial \tilde { \delta } \boldsymbol { x } } { \partial \boldsymbol { x } } \right) + \rho \left( T \, \frac { \partial s } { \partial x } - { \boldsymbol v } ^ { \star } \frac { \partial { \boldsymbol v } } { \partial { \boldsymbol x } } \right) \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } \ \right\} d w _ { \boldsymbol z } } \\ & { = } & { \iiiint _ { \mathcal W } \left\{ \ \mathrm { d i v } \left( \rho \, \left( { \boldsymbol v } { \boldsymbol v } ^ { \star } + \left( h + \Omega - \frac { 1 } { 2 } \, { \boldsymbol v } ^ { 2 } \right) \boldsymbol 1 \right) \ \right) \, \tilde { \delta } { \boldsymbol x } + \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho \, { \boldsymbol v } ^ { \star } \boldsymbol { \tilde { \delta } x } \right) \right. } \\ & { + } & { \left. \left( - \rho \, \mathrm { g r a d } ^ { \star } ( h + \Omega ) + \rho \, T \, \mathrm { g r a d } ^ { \star } s - \frac { \partial ( \rho { \boldsymbol v } ^ { \star } ) } { \partial t } - \mathrm { d i v } \left( \, \rho \, { \boldsymbol v } { \boldsymbol v } ^ { \star } \right) \right) \, \tilde { \delta } { \boldsymbol x } \ \right\} \, d w _ { z } } \end{array}
( M \otimes _ { \mathcal { O } _ { X } } \mathcal { B } _ { \tilde { X } } ^ { \dagger } ) ^ { \mathrm { I d } \otimes \Theta _ { B _ { \tilde { X } } ^ { \dagger } } + z ^ { - 1 } \theta _ { M } \otimes \mathrm { I d } = 0 } \to ( M \otimes _ { \mathcal { O } _ { X } } \mathcal { O } \mathbb { C } ^ { \dagger } ) ^ { \mathrm { I d } \otimes \Theta _ { \mathcal { O } \mathbb { C } ^ { \dagger } } + \theta _ { M } \otimes \mathrm { I d } = 0 } ,
\begin{array} { r c l } { { \Delta P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { \mu } } ^ { C P } ( L ) } } & { { = } } & { { P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { \mu } } ( L ) - P _ { \bar { \nu } _ { e } \to \bar { \nu } _ { \mu } } ( L ) } } \\ { { } } & { { = } } & { { c _ { 1 3 } ^ { 2 } \sin 2 \theta _ { 1 2 } s _ { 1 3 } \sin 2 \theta _ { 2 3 } \sin \delta \sin 2 \Delta . } } \end{array}
( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ) ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } }
\varphi ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { a } } - b ^ { T } ( t ) \, \lambda ( t ) \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } - b ^ { T } ( t ) \, \lambda ( t ) > r \, \overline { { a } } \, , } \\ { - b ^ { T } ( t ) \, \lambda ( t ) / r - b ^ { T } ( t ) \, \lambda ( t ) \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } r \, \underline { { a } } \le - b ^ { T } ( t ) \, \lambda ( t ) \le r \, \overline { { a } } \, , } \\ { \underline { { a } } - b ^ { T } ( t ) \, \lambda ( t ) \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } - b ^ { T } ( t ) \, \lambda ( t ) < r \, \underline { { a } } \, , } \end{array} \right.