harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { u _ { r , 1 } ( r , \theta , z , t ) = } & { \frac { z ( z - 1 ) } { 2 \mu } \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial r } , } \\ { u _ { \theta , 1 } ( r , \theta , z , t ) = } & { - r ^ { 2 } z \cos \theta + \frac { z ( z - 1 ) } { 2 r \mu } \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial \theta } , } \\ { u _ { z , 1 } ( r , \theta , z , t ) = } & { - \frac { z ^ { 2 } } { 1 2 r ^ { 2 } \mu } \left\{ 6 r ^ { 3 } \mu ^ { 2 } \sin \theta - ( 2 z - 3 ) \left[ \frac { \partial \mu } { \partial \theta } \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial \theta } + r ^ { 2 } \frac { \partial \mu } { \partial r } \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial r } \right] \right. } \\ & { \left. + ( 2 z - 3 ) \mu \left[ \frac { \partial ^ { 2 } p _ { 1 } } { \partial \theta ^ { 2 } } + r \left( \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial r } + r \frac { \partial ^ { 2 } p _ { 1 } } { \partial r ^ { 2 } } \right) \right] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \hat { U } _ { i } } { \partial { u } _ { l , j } } = \delta _ { i , j } L _ { i , l } = \delta _ { i , j } L ( i \hat { A } _ { i } \Delta t _ { i } , i \hat { V _ { l } } \Delta t _ { i } ) } \end{array}
\tan { \frac { g \beta \tilde { A } _ { 0 } } { 2 } } = i \, { \frac { 1 - e ^ { i g \beta \tilde { A } _ { 0 } } } { 1 + e ^ { i g \beta \tilde { A } _ { 0 } } } } = i \left[ 1 - 2 e ^ { i g \beta \tilde { A } _ { 0 } } + 2 ( e ^ { i g \beta \tilde { A } _ { 0 } } ) ^ { 2 } + \cdots \right]
{ \bf A } _ { \kappa _ { \perp } m _ { \mathsf { t a m } } \lambda } ^ { t w } = \int { \bf u } _ { \lambda } e ^ { i { \bf k r } } a _ { \kappa _ { \perp } m _ { \mathsf { t a m } } } ( { \bf k } _ { \perp } ) \frac { d ^ { 2 } { \bf k } _ { \perp } } { 4 \pi ^ { 2 } } \, ,
\Lambda = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \mathbb { E } \left[ \log \theta _ { 0 } ^ { T } \left( \prod _ { j } ^ { t } ( I - \lambda \hat { H } _ { i _ { j } } ) \right) \left( \prod _ { j } ^ { t } ( I - \lambda \hat { H } _ { i _ { j } } ) \right) ^ { T } \theta _ { 0 } \right] = - \frac { 2 \lambda \theta _ { 0 } ^ { T } H \theta _ { 0 } } { \| \theta _ { 0 } \| ^ { 2 } } + O ( \lambda ^ { 2 } ) .
\rho _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ t ~ h ~ ) ~ } } = \prod _ { j } \rho _ { j } ^ { \mathrm { ~ ( ~ t ~ h ~ ) ~ } } = \prod _ { j } \frac { e ^ { - \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } / k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } } { \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ e ^ { - \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } / k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } \right] } ,
\displaystyle \int _ { D } u _ { 0 } ^ { k } ( y ) \ d y = \int _ { D } \vert \nabla _ { y } ^ { \prime } u _ { 0 } ^ { k } ( y ) \vert ^ { 2 } \ d y - \lambda _ { k } \int _ { D } \vert u _ { 0 } ^ { k } ( y ) \vert ^ { 2 } \ d y \geq \left( 1 - \frac { \lambda _ { k } } { \mu _ { 1 } } \right) \int _ { D } \vert \nabla _ { y } ^ { \prime } u _ { 0 } ^ { k } ( y ) \vert ^ { 2 } \ d y .
\begin{array} { r l r } { D } & { { } = } & { - h \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \frac { k _ { 0 } \mu _ { g } } { \sigma \nu } = \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \frac { \kappa } { 2 \sigma } \frac { 2 + ( 1 - \sigma ^ { 2 } ) c _ { g } / c _ { p } } { \kappa - \sigma c _ { g } ^ { 2 } / c _ { p } ^ { 2 } } = \frac { D ^ { \prime } } { 1 - c _ { g } ^ { 2 } / ( g h ) } } \\ { D ^ { \prime } } & { { } = } & { \frac { \omega _ { 0 } } { 2 \sigma } ( 1 + C _ { F D } ) } \\ { \mu _ { g } } & { { } = } & { \frac { 2 \sigma } { \omega _ { 0 } } ( 2 \omega - k c _ { g } ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ) = ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \kappa - \sigma ( \sigma ^ { 2 } - 5 ) = 4 \sigma ( 1 + C _ { F D } ) } \\ { \nu } & { { } = } & { \frac { 4 k _ { 0 } \sigma } { g } ( c _ { g } ^ { 2 } - g h ) = [ ( \sigma + 1 ) ^ { 2 } \kappa - \sigma ] [ ( \sigma - 1 ) ^ { 2 } \kappa - \sigma ] } \\ { C _ { F D } } & { { } = } & { \frac { \omega _ { 0 } c _ { g } } { g \sinh ( 2 \kappa ) } } \end{array}
\Delta E _ { \mathrm { n p } , i a } = - F ^ { ( 1 ) } \left( R _ { a } \right) \left( R _ { i } ^ { 2 } \, g _ { \mathrm { n p , } i } - R _ { a } ^ { 2 } \, g _ { \mathrm { n p , } a } \, \right) \cdot 1 0 ^ { - 3 } \ .
m _ { \gamma } ^ { a } = \frac { n } { 4 } + \frac { m _ { 1 a } } { 2 } - \frac { l _ { 1 a } } { 2 } - 2 ( 2 \omega ^ { 2 } + \nu ^ { 0 } + \nu ^ { 1 } - \nu ^ { 4 } - \nu ^ { 5 } )
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] } & { = \frac { 1 } { 2 } | H _ { 0 } [ \Omega ] | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 - \eta \, e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } } { 1 - \eta } \right) | H _ { \mathrm { G } } [ \Omega ] | ^ { 2 } , } \\ { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] } & { = \frac { 1 } { 2 } | H _ { 0 } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | H _ { \mathrm { G } } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } . } \end{array}
\left[ \left( \left\langle \boldsymbol \chi \mathbf k \right\rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } \right) \cdot \nabla _ { \mathbf x } \right] \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } = \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left[ \left( \left\langle \boldsymbol \chi \mathbf k \right\rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } \right) \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } \right]
\frac { D u _ { z } } { D t } \bigg \vert _ { z = 0 } = \frac { \partial u _ { z } } { \partial t } \bigg \vert _ { z = 0 } = \frac { \partial } { \partial t } \bigg ( \frac { 2 H ^ { 3 } } { 3 } \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial x } - \frac { H ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial x } \bigg ) .
\begin{array} { r l } & { \mathbf { x } ^ { * } = \mathbf { x } / H , \ \ \ t ^ { * } = t / \sqrt { H / ( g \beta \Delta _ { T } ) } , \ \ \ \mathbf { u } ^ { * } = \mathbf { u } / \sqrt { g \beta \Delta _ { T } H } , } \\ & { P ^ { * } = P / ( \rho _ { 0 } g \beta \Delta _ { T } H ) , \ \ \ T ^ { * } = ( T - T _ { 0 } ) / \Delta _ { T } } \end{array}
\begin{array} { r } { \big \| \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W \boldsymbol A - \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \big \| _ { 1 } = \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \, \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \left| \left[ \boldsymbol E _ { \mathrm { r } } \right] _ { \boldsymbol k , \boldsymbol \ell } \, \right| \leq \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \, \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \varepsilon = | \mathcal I _ { \b { M } } | \, \varepsilon , } \end{array}
2 m _ { S } ^ { 2 } - \frac { \sqrt { 2 } A _ { s } h _ { s } v _ { 1 } v _ { 2 } } { s } + | h _ { s } | ^ { 2 } ( v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } ) + g _ { 1 ^ { ' } } ^ { 2 } Q _ { S } ( Q _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + Q _ { S } s ^ { 2 } ) = 0 ;
f _ { \bot } ( x , x _ { 0 } ; y , y _ { 0 } ) = \frac { 1 } { \pi \sigma _ { \bot } ^ { 2 } } \left[ \exp \left( - { \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { \bot } ^ { 2 } } } \right) + \exp \left( - { \frac { ( x + x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y + y _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { \bot } ^ { 2 } } } \right) \right] \Theta \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { r _ { a } ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \right)
{ \bf X } _ { c } = \{ ( { \bf x } _ { c } ^ { ( 1 ) } , { \bf x } _ { s } ^ { ( 1 ) } ) , ( { \bf x } _ { c } ^ { ( 2 ) } , { \bf x } _ { s } ^ { ( 2 ) } ) , \dots , ( { \bf x } _ { c } ^ { ( N _ { c } ) } , { \bf x } _ { s } ^ { ( N _ { c } ) } ) \}
x _ { \mathrm { ~ R ~ D ~ R ~ } } \left( x _ { 0 } , y \right) = h ( y ) + \int _ { 0 } ^ { x _ { 0 } } \frac { \left| x ^ { \prime } \right| } { \sqrt { f ( x ^ { \prime } ) + g ( y ) } } d x ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { | B _ { 1 } \cap B _ { j } ^ { - } | } & { = | ( A _ { 1 } \setminus X ) \cap A _ { j } ^ { - } | } \\ & { = | A _ { 1 } \cap A _ { j } ^ { - } | - | X \cap A _ { j } ^ { - } | } \\ & { = | A _ { 1 } \cap A _ { j } ^ { - } | - \beta _ { j } ^ { \prime } ( X ) } \\ { | B _ { 2 } \cap B _ { j } ^ { - } | } & { = | ( A _ { 2 } \cup X ) \cap A _ { j } ^ { - } | } \\ & { = | A _ { 2 } \cap A _ { j } ^ { - } | + | X \cap A _ { j } ^ { - } | } \\ & { = | A _ { 2 } \cap A _ { j } ^ { - } | + \beta _ { j } ^ { \prime } ( X ) . } \end{array}
\textbf { B } _ { k k ^ { \prime } } ^ { ( m ) } = ( k ^ { \prime } - 1 ) \Bigg [ \rho ( k ^ { \prime } - 1 ) + \frac { \rho ( k - 1 ) } { k \rho ( k ) } ( k ^ { \prime } \rho ( k ^ { \prime } ) - \langle k \rangle \rho ( k ^ { \prime } - 1 ) ) \Bigg ] .
\begin{array} { r } { \tilde { { \bf C } } = \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { - \tilde { \gamma } _ { 1 , 2 } } & { \cdots } & { - \tilde { \gamma } _ { 1 , d } } \\ { - \tilde { \gamma } _ { 2 , 1 } } & { 1 } & { \cdots } & { - \tilde { \gamma } _ { 2 , d } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { - \tilde { \gamma } _ { d , 1 } } & { - \tilde { \gamma } _ { d , 2 } } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { f d } = \frac { 1 } { \sigma _ { \hat { c } _ { m | 1 } } ^ { 2 } - \sigma _ { \hat { c } _ { m | 0 } } ^ { 2 } } \bigg ( \sigma _ { \hat { c } _ { m | 1 } } ^ { 2 } c _ { m | 0 } - \sigma _ { \hat { c } _ { m | 0 } } ^ { 2 } c _ { m | 1 } + \sigma _ { \hat { c } _ { m | 1 } } \sigma _ { \hat { c } _ { m | 0 } } } \\ & { \times \sqrt { ( c _ { m | 1 } - c _ { m | 0 } ) ^ { 2 } + 2 ( \sigma _ { \hat { c } _ { m | 1 } } ^ { 2 } - \sigma _ { \hat { c } _ { m | 0 } } ^ { 2 } ) \ln ( \sigma _ { \hat { c } _ { m | 1 } } / \sigma _ { \hat { c } _ { m | 0 } } ) } \bigg ) , } \end{array}
d \bigg ( \frac { 1 } { A } \bigg ) = - \frac { 1 } { A ^ { 2 } } \Bigg [ \bigg ( \frac { A _ { i j } M _ { i j } } { A } + \frac { K _ { i j k l } K _ { i j k l } } { 2 A } - \frac { 3 } { 2 } \frac { A _ { i j } K _ { i j k l } A _ { m n } K _ { m n k l } } { A ^ { 3 } } \bigg ) d t + \frac { A _ { i j } K _ { i j k l } } { A } \; d W _ { k l } \Bigg ]
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { \left( ( | \widetilde { \Delta } _ { j , k } ^ { M } | \geq y 2 ^ { - j H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) } \right) } \\ & { \geq \mathbb { P } \left( \left| X _ { d } \left( 1 , H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) \right) \right| \geq 2 y \right) - \mathbb { P } ( | \widecheck { \Delta } _ { j , k } ^ { M } | > y 2 ^ { - j H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) } ) . } \end{array}
\frac { ( v _ { \parallel f } + u _ { f } ) ^ { 2 } } { 2 } \leq \left. \left\lbrace S _ { f } \left[ \left( \mu B _ { f } + u _ { f } ^ { 2 } \right) \left( \frac { B } { B _ { f } } - 1 \right) + \frac { Z e } { m } ( \phi _ { \theta } - \phi _ { \theta f } ) \right] \right\rbrace \right\rvert _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } .
\frac { E _ { 3 } + Q _ { 2 } E _ { 2 } } { D _ { 3 } + Q _ { 2 } D _ { 2 } } = \frac { E _ { 5 } + Q _ { 4 } E _ { 4 } } { D _ { 5 } + Q _ { 4 } D _ { 4 } } \ ,
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! J _ { k } ^ { ( a , b ) } ( x ) } & { = } & { \frac { ( - 1 ) ^ { k } ( b + 1 ) _ { k } } { k ! } \sum _ { i = 0 } ^ { k } \frac { ( - k ) _ { i } ( k + a + b + 1 ) _ { i } } { ( b + 1 ) _ { i } \Gamma ( i + 1 ) } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { i } } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { k } \frac { ( - 1 ) ^ { i } \Gamma ( a + k + 1 ) ( k + b - i + 1 ) _ { i } } { \Gamma ( i + 1 ) \Gamma ( a + i + 1 ) \Gamma ( k - i + 1 ) } \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { i } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { k - i } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } , t ) = \int \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \theta } , t ) \delta ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { X } ( \boldsymbol { \theta } , t ) d \boldsymbol { \theta } , } \\ { \boldsymbol U ( \boldsymbol \theta , t ) = \frac { \partial \boldsymbol { X } } { \partial t } ( \boldsymbol { \theta } , t ) = \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { X } ( \boldsymbol { \theta } , t ) , t ) = \int \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) \delta ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { X } ( \boldsymbol { \theta } , t ) ) d \boldsymbol { x } , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { { \widehat { \theta } } _ { 2 } } & { = { \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } - Y _ { 3 } - Y _ { 4 } + Y _ { 5 } + Y _ { 6 } - Y _ { 7 } - Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 3 } } & { = { \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } - Y _ { 3 } - Y _ { 4 } - Y _ { 5 } - Y _ { 6 } + Y _ { 7 } + Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 4 } } & { = { \frac { Y _ { 1 } - Y _ { 2 } + Y _ { 3 } - Y _ { 4 } + Y _ { 5 } - Y _ { 6 } + Y _ { 7 } - Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 5 } } & { = { \frac { Y _ { 1 } - Y _ { 2 } + Y _ { 3 } - Y _ { 4 } - Y _ { 5 } + Y _ { 6 } - Y _ { 7 } + Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 6 } } & { = { \frac { Y _ { 1 } - Y _ { 2 } - Y _ { 3 } + Y _ { 4 } + Y _ { 5 } - Y _ { 6 } - Y _ { 7 } + Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 7 } } & { = { \frac { Y _ { 1 } - Y _ { 2 } - Y _ { 3 } + Y _ { 4 } - Y _ { 5 } + Y _ { 6 } + Y _ { 7 } - Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 8 } } & { = { \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } + Y _ { 3 } + Y _ { 4 } + Y _ { 5 } + Y _ { 6 } + Y _ { 7 } + Y _ { 8 } } { 8 } } . } \end{array} }
G _ { a b } = \left( \begin{array} { l l } { { e ^ { \varphi } g _ { \mu \nu } + G _ { \tau \tau } A _ { \mu } A _ { \nu } } } & { { G _ { \tau \tau } A _ { \nu } } } \\ { { G _ { \tau \tau } A _ { \nu } } } & { { G _ { \tau \tau } } } \end{array} \right)
L _ { S S } = - { \frac { 1 } { 8 \pi } } \int d ^ { 2 } \sigma \sqrt { - h } \bigg ( h ^ { a b } \partial _ { a } X ^ { \mu } \partial _ { b } X _ { \mu } + 2 i \bar { \psi } ^ { \mu } \gamma ^ { a } \partial _ { a } \psi _ { \mu } - i \bar { \chi } _ { a } \gamma ^ { b } \gamma ^ { a } \psi ^ { \mu } \big ( \partial _ { b } X _ { \mu } - { \frac { i } { 4 } } \bar { \chi } _ { b } \psi _ { \mu } \big ) \bigg ) ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { F i n d ~ a n ~ n ~ - p o i n t ~ s u b s e t } \quad \textbf { X } _ { \mathrm { b a t c h } } \subset \textbf { X } _ { \mathrm { r e c } } , } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathrm { m a x } \quad \textbf { w } _ { \mathrm { b a t c h } } ^ { \top } \alpha ( \textbf { X } _ { \mathrm { b a t c h } } ) , } \\ & { \textbf { w } _ { \mathrm { b a t c h } } ^ { \top } \textbf { 1 } = \textbf { w } _ { \mathrm { r e c } } ^ { \top } \textbf { 1 } = 1 , \quad \textbf { w } _ { \mathrm { b a t c h } } \ge \textbf { 0 } , \quad \textbf { w } _ { \mathrm { b a t c h } } ^ { \top } \varphi _ { i } ( \textbf { X } _ { \mathrm { b a t c h } } ) = \textbf { w } _ { \mathrm { r e c } } ^ { \top } \varphi _ { i } ( \textbf { X } _ { \mathrm { r e c } } ) , \quad 1 \le i < n , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { E _ { \textrm { c o n f i n e m e n t } } } & { = { \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { m _ { \mathrm { { e } } } } } + { \frac { 1 } { m _ { \mathrm { { h } } } } } \right) = { \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 2 \mu a ^ { 2 } } } } \\ { E _ { \textrm { e x c i t o n } } } & { = - { \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { { r } } } ^ { 2 } } } { \frac { \mu } { m _ { \mathrm { { e } } } } } R _ { y } = - R _ { y } ^ { * } } \\ { E } & { = E _ { \textrm { b a n d g a p } } + E _ { \textrm { c o n f i n e m e n t } } + E _ { \textrm { e x c i t o n } } } \\ & { = E _ { \textrm { b a n d g a p } } + { \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 2 \mu a ^ { 2 } } } - R _ { y } ^ { * } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \bar { f } ( \theta , \varphi ) = \frac { \chi _ { \perp } } { 2 } \Bigg [ \cos ^ { 2 } \theta ( h _ { x } \cos \varphi + h _ { y } \sin \varphi ) ^ { 2 } + 2 \left( \left( \frac { \dot { \varphi } } { \overline { \gamma } } - H _ { z } \right) \sin \theta + H _ { x } \cos \theta \cos \varphi \right) \cos \theta \left( h _ { x } \cos \varphi + h _ { y } \sin \varphi \right) } \\ { + 2 \left( \frac { \dot { \theta } } { \overline { \gamma } } + H _ { x } \sin \varphi \right) \left( h _ { x } \sin \varphi - h _ { y } \cos \varphi \right) + \left( h _ { x } \sin \varphi - h _ { y } \cos \varphi \right) ^ { 2 } \Bigg ] + m \sin \theta \left( h _ { x } \cos \varphi + h _ { y } \sin \varphi \right) } \\ { + m ^ { 2 } \xi _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta \left[ E _ { x } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \varphi + 2 E _ { x } E _ { y } \cos \varphi \sin \varphi + E _ { y } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi \right] } \\ { + \frac { m ^ { 2 } \xi _ { 2 } } { 2 } \left[ E ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + 2 \sqrt { 2 } \sin \theta \cos \theta \cos \varphi \left( E _ { y } ^ { 2 } - E _ { x } ^ { 2 } \right) + 4 \sqrt { 2 } E _ { x } E _ { y } \sin \theta \cos \theta \sin \varphi \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { ( s M o n _ { 1 } ( \chi _ { 1 } ( 0 ) , N ) ) = \mathbb { P } \big ( T _ { 1 } ( \chi _ { 1 } ( 0 ) N ) < T _ { 2 } ( \chi _ { 2 } ( 0 ) N ) \big ) } \\ & { \ge \mathbb { P } \Big ( T _ { 1 } ( \chi _ { 1 } ( 0 ) N ) < \mathbb { E } T _ { 1 } ( \chi _ { 1 } ( 0 ) N ) + \epsilon _ { N } \, \wedge \, T _ { 2 } ( \chi _ { 2 } ( 0 ) N ) > \mathbb { E } T _ { 2 } ( \chi _ { 2 } ( 0 ) N ) - \epsilon _ { N } \Big ) } \\ & { = \mathbb { P } \Big ( T _ { 1 } ( \chi _ { 1 } ( 0 ) N ) < \mathbb { E } T _ { 1 } ( \chi _ { 1 } ( 0 ) N ) + \epsilon _ { N } \Big ) \mathbb { P } \Big ( T _ { 2 } ( \chi _ { 2 } ( 0 ) N ) > \mathbb { E } T _ { 2 } ( \chi _ { 2 } ( 0 ) N ) - \epsilon _ { N } \Big ) } \\ & { \xrightarrow { N \to \infty } 1 } \end{array}
\frac { \omega d I } { d \omega d z } \simeq \frac { 1 } { N _ { c o h } } \frac { \omega d I } { d \omega d z } \vert _ { G B } \simeq \frac { 1 } { N _ { c o h } } \frac { \alpha _ { s } } { \lambda } \simeq \alpha _ { s } ~ \sqrt { \hat { q } / \omega } .
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } p ( n - 1 ) z ^ { n } } & { = { \frac { z } { ( 1 - z ) \left( 1 - z ^ { 2 } \right) \cdots } } } \\ & { = z \cdot { \frac { \left( 1 - z ^ { 5 } \right) \left( 1 - z ^ { 1 0 } \right) \cdots } { ( 1 - z ) \left( 1 - z ^ { 2 } \right) \cdots } } \times \left( 1 + z ^ { 5 } + z ^ { 1 0 } + \cdots \right) \left( 1 + z ^ { 1 0 } + z ^ { 2 0 } + \cdots \right) \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { \mathbf Y } _ { 0 } = ( 0 , 0 , 0 ) ^ { { \mathrm T } } } & { { } , } & { { \mathbf Y } _ { N } = \left( \frac { e - 1 } { L } , \frac { 2 } { L } , \frac { 1 } { T } \right) ^ { { \mathrm T } } } \\ { { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { 0 } ) = \left( \frac { 1 } { v _ { 0 } } , \frac { 1 } { v _ { 0 } } , 1 \right) ^ { { \mathrm T } } } & { { } , } & { { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { N } ) = \left( \frac { e } { v _ { 0 } } , \frac { 3 } { v _ { 0 } } , 1 \right) ^ { { \mathrm T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { n } } & { = \big ( e _ { n } , ( V ( \mathrm { I d } - T _ { n } ) ^ { - 1 } ) ^ { * } e _ { n } \big ) _ { L ^ { 2 } } = \big ( e _ { n } , \bar { V ( \mathrm { I d } - T _ { n } ) ^ { - 1 } } e _ { n } \big ) _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = \big ( e _ { n } , \bar { V ( \mathrm { I d } - T _ { n } ) ^ { - 1 } e _ { - n } } \big ) _ { L ^ { 2 } } = \big ( V ( \mathrm { I d } - T _ { n } ) ^ { - 1 } e _ { - n } , e _ { - n } \big ) _ { L ^ { 2 } } = a _ { - n } \ ; } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { \mathrm { e f f } } = \frac { n _ { \mathrm { e f f , ~ T ~ _ 0 ~ } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { n _ { \mathrm { e f f , ~ T ~ _ 0 ~ } } ^ { 2 } + 4 n ^ { ' } ( T - T _ { 0 } ) } } \\ { n ^ { ' } = \Gamma _ { \mathrm { c o r e } } n _ { \mathrm { c o r e } } \frac { \partial n _ { \mathrm { c o r e } } } { \partial T } + \Gamma _ { \mathrm { c l a d } } n _ { \mathrm { c l a d } } \frac { \partial n _ { \mathrm { c l a d } } } { \partial T } . } \end{array}
\sigma _ { y } \{ [ t _ { 1 } \sin ( q _ { y } b ) - t _ { 3 } \sin ( q _ { x } b ) ] J _ { 0 } ( K _ { y 1 } ) - t _ { 2 } \sin [ ( q _ { x } - q _ { y } ) b ] J _ { 0 } ( K _ { x 1 } ) \}
\tilde { \gamma } ^ { a } = i \; \tilde { \tilde { a } } { } ^ { 0 } \; \tilde { a } ^ { a } , \qquad { \mathrm w i t h } \qquad \{ \tilde { \gamma } ^ { a } , \tilde { \gamma } ^ { b } \} = 2 \eta ^ { a b } .
\frac { \mathrm { ~ d ~ } \rho } { \mathrm { ~ d ~ } t } = - i \left[ H , \rho \right] + \sum _ { k = 1 } ^ { n } L _ { k } \rho L _ { k } ^ { \dag } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left\{ L _ { k } ^ { \dag } L _ { k } , \rho \right\} \; ,
\begin{array} { c } { { V ( z _ { 1 2 } ^ { \prime } ) = U ^ { - 1 } ( z _ { 1 } ; g ) V ( z _ { 1 2 } ) U ( z _ { 2 } ; g ) \, , } } \\ { { { } } } \\ { { V ( z _ { 2 1 } ^ { \prime } ) = U ^ { - 1 } ( z _ { 2 } ; g ) V ( z _ { 2 1 } ) U ( z _ { 1 } ; g ) \, . } } \end{array}
\alpha _ { a n } ( Q ^ { 2 } ) = \alpha ^ { p t } ( Q ^ { 2 } ) + \frac { 4 \pi } { b _ { 0 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } c _ { n } \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \right) ^ { n } ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { T - 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) } & { = \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { T - 1 } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { T - 1 } { \nu } _ { k i } ^ { T - 1 } } p \left( O _ { i } ^ { T - 1 } \mid 0 \right) + \left( 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { T - 1 } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { T - 1 } { \nu } _ { k i } ^ { T - 1 } } \right) p \left( O _ { i } ^ { T - 1 } \mid 0 \right) } \\ & { = p \left( O _ { i } ^ { T - 1 } \mid 0 \right) , } \\ { \rho _ { T - 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) } & { = e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { T - 1 } \mu _ { k \setminus i } ^ { T - 1 } } p \left( O _ { i } ^ { T - 1 } \mid 1 \right) } \\ & { = p \left( O _ { i } ^ { T - 1 } \mid 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ R _ { t } ] } & { \leq \operatorname* { P r } \left\{ \xi _ { t - 1 } \right\} \cdot \mathbb { E } [ \sigma ( { \bf S } ^ { \mathrm { o p t } } , \boldsymbol { \theta } ^ { * } ) - \sigma ( { \bf S } _ { t } , \boldsymbol { \theta } ^ { * } ) ] + \operatorname* { P r } ( \overline { { \xi _ { t - 1 } } } ) } \\ & { \leq \mathbb { E } [ \sigma ( { \bf S } ^ { \mathrm { o p t } } , \boldsymbol { \theta } ^ { * } ) - \sigma ( { \bf S } _ { t } , \boldsymbol { \theta } ^ { * } ) ] + p _ { \mathrm { e r r o r } } } \\ & { \leq \mathbb { E } [ \sigma ( { \bf S } _ { t } , \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ) - \sigma ( { \bf S } _ { t } , \boldsymbol { \theta } ^ { * } ) ] + p _ { \mathrm { e r r o r } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } \leq } & { \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } { 3 6 } \right) \| Q ^ { k } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \frac { 1 8 \beta \sigma _ { k } ^ { 2 } \log ( 1 / \delta _ { 0 } ) } { ( 1 - \gamma ) \lambda _ { 0 } | \mathcal { D } _ { k } | } , \qquad w . p . \ 1 - 2 \delta _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { r } { r _ { F } } \Psi _ { 1 } ( t ) + r c \dot { \Psi } _ { 1 } ( t ) } & { { } = \frac { r } { R _ { r } + r } \Psi ( t ) - \left( 1 + \frac { r } { R _ { r } + r } \right) \Psi _ { 1 } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { p } ^ { \prime } } & { { } = T \left( \frac { \partial \mathcal { L } / T } { \partial T } \right) _ { p } ; } \\ { N _ { \rho } ^ { \prime } } & { { } = T \left( \frac { \partial \mathcal { L } / T } { \partial T } \right) _ { \rho } . } \end{array}
M _ { \ell } = \Bigg \lceil \frac { c _ { 2 } } { ( 1 - b _ { w } ) \varepsilon ^ { 2 } } s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } } \frac { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } L } } { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } } } s ^ { - \frac { \beta _ { M } + \gamma _ { M } } { 2 } \ell } \Bigg \rceil .
2 { \mathrm { p r o j } } _ { n } d - d = { \frac { 2 n } { \sqrt { n \cdot n } } } { \frac { n \cdot d } { \sqrt { n \cdot n } } } - d = 2 n { \frac { n \cdot d } { n \cdot n } } - d = { \frac { ( a v ^ { 2 } - 2 b u ^ { \prime } v ^ { \prime } - a u ^ { 2 } , b u ^ { 2 } - 2 a u ^ { \prime } v ^ { \prime } - b v ^ { 2 } ) } { v ^ { 2 } + u ^ { 2 } } }