harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { k _ { 0 } } & { { } = } & { \left[ \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } k ^ { 2 } | \pi ^ { 3 / 2 } \delta ^ { 3 } \exp { \left( - k ^ { 2 } \delta ^ { 2 } / 4 \right) } | ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin \phi \, \mathrm { ~ d ~ } k \, \mathrm { ~ d ~ } \theta \, \mathrm { ~ d ~ } \phi } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } | \pi ^ { 3 / 2 } \delta ^ { 3 } \exp { \left( - k ^ { 2 } \delta ^ { 2 } / 4 \right) } | ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin \phi \, \mathrm { ~ d ~ } k \, \mathrm { ~ d ~ } \theta \, \mathrm { ~ d ~ } \phi } \right] ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ R ~ P ~ A ~ } } = } & { { } \frac { 1 2 k _ { F } ^ { 2 } } { \pi } I _ { Q \Gamma } \left[ \frac { \pi } { k _ { F } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } \chi _ { 0 } \right] \; . } \end{array}
\mathrm { S } = \mathrm { P D } \cdot e ^ { - \mathrm { T E } / \mathrm { T } _ { 2 } } \cdot \frac { 1 - \left[ 1 - \cos \left( \theta \right) \right] e ^ { - \mathrm { T I } / \mathrm { T } _ { 1 } } - \cos \left( \theta \right) e ^ { - \mathrm { T D } / \mathrm { T } _ { 1 } } } { 1 - \cos \left( \mathrm { F A } \right) \cos \left( \theta \right) e ^ { - \mathrm { T D } / \mathrm { T } _ { 1 } } }
\langle 0 | \varphi ^ { 2 } ( x ) | 0 \rangle = \langle 0 ^ { ( \alpha ) } | \varphi ^ { 2 } ( x ) | 0 ^ { ( \alpha ) } \rangle - \frac { \sigma ^ { 1 - D } } { \pi n S _ { D } r ^ { n } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } D _ { l } \int _ { m } ^ { \infty } d z \frac { z \Omega _ { \alpha \nu _ { l } } ( a z , b z ) } { \sqrt { z ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } G _ { \nu _ { l } } ^ { ( \alpha ) 2 } ( \alpha z , r z ) ,
\begin{array} { r l } { u _ { x } } & { { } = u _ { 1 x } + u _ { 2 x } + \ldots , } \\ { u _ { y } } & { { } = u _ { 1 y } + u _ { 2 y } + \ldots , } \\ { b _ { y } } & { { } = b _ { 1 y } + b _ { 2 y } + \ldots , } \\ { n } & { { } = 1 + n _ { 1 } + n _ { 2 } + \ldots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { - n } } & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ - 2 i { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left[ \sin ( k _ { x } a ) + e ^ { i n \varphi } \sin ( k _ { y } a ) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \right. } \\ & { \left. ~ ~ \! + \! i { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \cos ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! i { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } e ^ { i n \varphi } \cos ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } \right\} C _ { { \bf k } , j _ { z } } , } \\ { H _ { n } } & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ 2 i { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left[ \sin ( k _ { x } a ) + e ^ { - i n \varphi } \sin ( k _ { y } a ) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \right. } \\ & { \left. ~ ~ \! - \! i { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \cos ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! - \! i { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } e ^ { - i n \varphi } \cos ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } \right\} C _ { { \bf k } , j _ { z } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 \pi R ^ { 2 } L \phi _ { \mathrm { p } } / v } & { { } , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ { \frac { 8 } { 3 } \pi R ^ { 3 } \phi _ { \mathrm { p } } / v } & { { } , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ { 8 \pi R ^ { 2 } \delta \phi _ { \mathrm { p } } / v } & { { } , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( d , 2 , f _ { t } , \eta _ { t } L ) } & { = \frac { 2 \pi ^ { d / 2 } } { ( 2 \pi \sigma _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } \Gamma ( d / 2 ) } ( \eta _ { t } L ) ^ { d - 1 } ( \sigma _ { t } \sqrt { 2 } ) \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } \left( \frac { \sigma _ { t } \sqrt { 2 } } { \eta _ { t } L } \right) ^ { i } \frac { \Gamma ( ( i + 1 ) / 2 ) } { 2 } } \\ & { = \left( \frac { \eta _ { t } L } { \sigma _ { t } \sqrt { 2 } } \right) ^ { d - 1 } \frac { 1 } { \Gamma ( d / 2 ) } \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } \left( \frac { \sigma _ { t } \sqrt { 2 } } { \eta _ { t } L } \right) ^ { i } \Gamma ( ( i + 1 ) / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { 0 \rightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) \xrightarrow { \delta ^ { 1 } } \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { 0 } ) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } \rightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathbf { g } } ) \rightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) \rightarrow 0 } \end{array} } \end{array}
H _ { 0 _ { B } } = H _ { 0 } + \int d ^ { 3 } x \left( \eta _ { 1 a } ^ { i } \mathcal { P } _ { 2 i } ^ { a } - \eta _ { 1 a } \mathcal { P } _ { 2 } ^ { a } - \eta _ { 2 a } \partial ^ { i } \mathcal { P } _ { 2 i } ^ { a } + \eta _ { 2 a } ^ { i } \partial _ { i } \mathcal { P } _ { 2 } ^ { a } \right) \equiv \int d ^ { 3 } x h _ { 0 _ { B } } ,
D _ { x } T = \frac { d } { d x ^ { 8 } } T _ { 0 } ( x ^ { 8 } ) + i ( A _ { 8 } T ( y ) - T ( y ) A _ { 8 } ) \delta ( x ^ { 8 } ) = \frac { d } { d x ^ { 8 } } T _ { 0 } ( x ^ { 8 } ) + i [ A _ { 8 } , T ( y ) ] \delta ( x ^ { 8 } )
\begin{array} { r l } { N } & { = \frac { 4 } { \epsilon _ { 3 } ^ { 2 } } \left( 2 ^ { \mathcal { O } ( \mathrm { p o l y l o g } ( 1 / \epsilon _ { 1 } ) ) } \right) ^ { 2 } \left( \sqrt { \mathcal { O } ( \mathrm { p o l y l o g } ( 1 / \epsilon _ { 1 } ) ) + \mathcal { O } ( \log ( n ) ) } + \sqrt { \log \frac { 1 } { \delta } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = 2 ^ { \mathcal { O } ( \log ( 1 / \epsilon _ { 3 } ) + \mathrm { p o l y l o g } ( 1 / \epsilon _ { 1 } ) ) } \log ( n / \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { v } } ^ { + } - P _ { \mathrm { g } } ^ { + } = \rho _ { \mathrm { l } } ^ { + } \left( \frac { 3 } { 2 } + 4 \pi R _ { \mathrm { d } } ^ { + 2 } n ^ { + } R _ { \mathrm { b } } ^ { + } \right) \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } { \mathrm { ~ d } t ^ { + } } \right) ^ { 2 } + \frac { 4 } { R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } \frac { \mu _ { \mathrm { l } } ^ { + } } { \mathrm { R e } } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } { \mathrm { ~ d } t ^ { + } } + 4 \pi n ^ { + } \rho _ { \mathrm { l } } ^ { + } R _ { \mathrm { d } } ^ { + } R _ { \mathrm { b } } ^ { + 2 } \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { d } } ^ { + } } { \mathrm { ~ d } t ^ { + } } \right) \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } { \mathrm { ~ d } t ^ { + } } \right) + \frac { 2 \sigma ^ { + } } { \mathrm { W e } } \frac { 1 } { R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } . } \end{array}
W = - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { G m M } { r ^ { 3 } } } ( r \mathbf { e } _ { r } ) \cdot \left( { \dot { r } } \mathbf { e } _ { r } + r { \dot { \theta } } \mathbf { e } _ { t } \right) d t = - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { G m M } { r ^ { 3 } } } r { \dot { r } } d t = { \frac { G M m } { r ( t _ { 2 } ) } } - { \frac { G M m } { r ( t _ { 1 } ) } } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } r \mathrm { e } ^ { - p r ^ { 2 } + q r \cos \theta } \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta \qquad \mathrm ( p > 0 ) } \\ & { \qquad \mathrm = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - p ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + q x } \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } \\ & { \qquad \mathrm = \mathrm { e } ^ { q ^ { 2 } / 4 p } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - p ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } \\ & { \qquad \mathrm = \frac { \pi } { p } \exp { \frac { q ^ { 2 } } { 4 p } } \, , } \end{array}
P ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ) = | \langle \nu _ { \beta } | \nu _ { \alpha } ( t ) \rangle | ^ { 2 } = \sum _ { K \, L } V _ { L \, \beta } V _ { L \, \alpha } ^ { * } V _ { K \, \beta } ^ { * } V _ { K \, \alpha } \exp \left( i \frac { \Delta m _ { L K } ^ { 2 } } { 2 | \vec { p } | } \, t \right) \; ,
\frac { 1 } { 2 } \sum _ { m , n = - \infty } ^ { \infty } : \tilde { \alpha } _ { - ( m + n ) } ^ { ( A ) } \tilde { \alpha } _ { n ( A ) } : ( c _ { m } + \tilde { c } _ { - m } ) | B ; p , 0 \rangle = 0 \, \, ; \, \, A \in \{ 0 , . . . , 2 5 \}
\mathbf A ( \mathbf r , t ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int \frac { \mathbf J ( \mathbf r ^ { \prime } , t _ { \mathrm r } ) } { | \mathbf r - \mathbf r ^ { \prime } | } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf r ^ { \prime } ,
{ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } } \log f ( X ; \theta ) = { \frac { { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } } f ( X ; \theta ) } { f ( X ; \theta ) } } - \left( { \frac { { \frac { \partial } { \partial \theta } } f ( X ; \theta ) } { f ( X ; \theta ) } } \right) ^ { 2 } = { \frac { { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } } f ( X ; \theta ) } { f ( X ; \theta ) } } - \left( { \frac { \partial } { \partial \theta } } \log f ( X ; \theta ) \right) ^ { 2 }
\boldsymbol { \eta } _ { a } \approx \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { \mathcal { A } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \ \boldsymbol { \xi } + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { \mathcal { B } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \boldsymbol { \xi } \ x _ { 3 } + \boldsymbol { \mathcal { B } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \ \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { e } _ { 3 } + \cdots
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { ~ o ~ } } } { \mathrm { d } T } } & { { } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } T } \left( 1 + e ^ { - ( V - V _ { \frac { 1 } { 2 } } ( T ) ) / \Delta V } \right) ^ { - 1 } = - p _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { 2 } e ^ { - ( V - V _ { \frac { 1 } { 2 } } ( T ) ) / \Delta V } \frac { 1 } { \Delta V } \frac { \mathrm { d } V _ { \frac { 1 } { 2 } } ( T ) } { \mathrm { d } T } = } \end{array}
S = \int _ { k } k ^ { 2 } \left| \phi ( k ) \right| ^ { 2 } + { \frac { \lambda } { 4 ! } } \int _ { k _ { 1 } k _ { 2 } k _ { 3 } k _ { 4 } } \phi ( k _ { 1 } ) \phi ( k _ { 2 } ) \phi ( k _ { 3 } ) \phi ( k _ { 4 } ) \delta ( k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } + k _ { 4 } ) = S _ { F } + X .
( i _ { \mathcal { N } } u ) v _ { \partial \Omega } = ( i _ { \mathcal { N } } u ) v _ { \Sigma } = u ( \mathcal { N } ) v _ { \Sigma } = \boldsymbol { n } ( u ) ( \mathcal { N } ) v _ { \Sigma } = ( \partial \Sigma _ { v } ) ^ { \flat } ( \mathcal { N } ) v _ { \Sigma } = \partial \Sigma ,
\begin{array} { r } { | G _ { i j } ^ { > } ( t , t ^ { \prime } ) | \leq \frac { 1 } { 2 } [ ( 1 - \hat { \rho } _ { i i } ) + ( 1 - \hat { \rho } _ { j j } ) ] = c _ { i j } ^ { > } \leq 1 } \end{array}
\dot { a } _ { \lambda ^ { \prime } } ( t ) = - a _ { \lambda ^ { \prime } } ( t ) \dot { E _ { t } } \langle \lambda ^ { \prime } | \frac { \partial } { \partial E _ { t } } | \lambda ^ { \prime } \rangle + \sum _ { \lambda \neq \lambda ^ { \prime } } a _ { \lambda } ( t ) \dot { E _ { t } } \frac { \langle \lambda ^ { \prime } | \partial \hat { H } _ { F } / \partial E _ { t } | \lambda \rangle e ^ { - i ( \theta _ { \lambda } - \theta _ { \lambda ^ { \prime } } ) } } { \mathcal { E } _ { \lambda ^ { \prime } } - \mathcal { E } _ { \lambda } } ,
\begin{array} { r l r l } & { \widehat { \mathbf { U } } ( z ) \left[ \widehat { \mathbf { P } } ^ { ( l ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( z _ { - } , \delta ) \setminus \Sigma _ { \widehat { \mathbf { U } } } , } \\ & { \widehat { \mathbf { U } } ( z ) \left[ \widehat { \mathbf { P } } ^ { ( r ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( z _ { + } , \delta ) \setminus \Sigma _ { \widehat { \mathbf { U } } } , } \\ & { \widehat { \mathbf { U } } ( z ) \left[ \widehat { \mathbf { P } } ^ { ( 0 ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( z _ { 0 } , \delta ) \setminus \Sigma _ { \widehat { \mathbf { U } } } , } \\ & { \widehat { \mathbf { U } } ( z ) \left[ \widehat { \mathbf { P } } ^ { ( \infty ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } . } \end{array}
\mu ^ { 2 } = \mu _ { 0 } ^ { 2 } { \frac { [ 1 - ( \xi g ^ { 2 } / \pi ) ( 1 - r ^ { 2 } ) ] [ 1 + ( \eta g ^ { 2 } / \pi ) ( 1 - r ^ { 2 } ) ] } { 1 - ( g ^ { 2 } / \pi ) ( \xi + \eta r ^ { 2 } ) } } ,
0 . 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 \ldots \; = \; { \frac { 1 1 0 0 0 1 } { 1 0 0 0 0 0 0 } } \, + \, { \frac { 1 1 0 0 0 1 } { 1 0 0 0 0 0 0 } } { \frac { 1 } { 1 0 0 0 0 0 0 } } \, + \, { \frac { 1 1 0 0 0 1 } { 1 0 0 0 0 0 0 } } { \frac { 1 } { 1 0 0 0 0 0 0 ^ { 2 } } } \, + \, { \frac { 1 1 0 0 0 1 } { 1 0 0 0 0 0 0 } } { \frac { 1 } { 1 0 0 0 0 0 0 ^ { 3 } } } \, + \, \cdots
- \frac { 1 } { 2 } \frac { d ^ { 2 } R _ { p l } } { d r ^ { 2 } } + \left[ \frac { l ( l + 1 ) } { 2 r ^ { 2 } } + V _ { 0 } ( r ) \right] R _ { p l } = \frac { 1 } { 2 } p ^ { 2 } R _ { p l } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } \left( { { \tilde { X } } } ; { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } \right) } & { = \mathcal { H } \left( { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } \right) - \mathcal { H } \left( { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } \big | { { \tilde { X } } } \right) } \\ & { = - \int _ { { { { R } } _ { 2 } } } \int _ { { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } } f _ { { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } } ( { { { \tilde { r } } } _ { 1 } } , { { { r } } _ { 2 } } ) \log _ { 2 } \left( f _ { { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } } ( { { { \tilde { r } } } _ { 1 } } , { { { r } } _ { 2 } } ) \right) \, \mathrm { d } { { { \tilde { r } } } _ { 1 } } \mathrm { d } { { { r } } _ { 2 } } } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, + \int _ { { { \tilde { X } } } } \int _ { { { \tilde { R } _ { 1 } } } } \int _ { { { { R _ { 2 } } } } } f _ { { { \tilde { X } } } } ( \tilde { x } ) f _ { { { \tilde { R } } _ { 1 } } , { { { R _ { 2 } } } } } ( \tilde { r } _ { 1 } , { r _ { 2 } } | \tilde { x } ) \log _ { 2 } \left( f _ { { { \tilde { R } _ { 1 } } } , { { { R _ { 2 } } } } } ( \tilde { r } _ { 1 } , { r _ { 2 } } | \tilde { x } ) \right) \, \mathrm { d } { r _ { 2 } } \mathrm { d } \tilde { r } _ { 1 } \mathrm { d } \tilde { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { S i n g l e C e l l M e m b r a n e S u r f a c e A r e a } } & { { } \approx ( 0 . 1 6 \; \textrm { m m } \times 0 . 0 2 5 \; \textrm { m m } ) \times 2 } \\ { \textrm { T o t a l M e m b r a n e S u r f a c e A r e a } } & { { } \approx \; 0 . 0 1 5 4 \textrm { m m } ^ { 2 } \times 6 2 5 \; \textrm { c e l l s } } \\ { \chi } & { { } = \frac { \displaystyle \textrm { T o t a l M e m b r a n e S u r f a c e A r e a } } { \displaystyle \textrm { D o m a i n V o l u m e } } \; } \\ { \chi } & { { } \approx \frac { \displaystyle 9 . 6 2 5 \; \textrm { m m } ^ { 2 } } { \displaystyle 4 . 0 \; \textrm { m m } \times 0 . 6 2 5 \; \textrm { m m } \times 0 . 0 2 5 \; \textrm { m m } } } \\ { \chi } & { { } \approx 1 5 4 \; \textrm { m m } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal A _ { 1 } } & { \leq \sum _ { T ^ { \prime } \subseteq Q \setminus K } p ^ { | T ^ { \prime } | } ( 1 - p ) ^ { | Q \setminus K | - | T ^ { \prime } | } \sum _ { \emptyset \neq T ^ { \prime \prime } \subseteq Q \cap K } p ^ { | T ^ { \prime \prime } | } ( 1 - p ) ^ { | Q \cap K | - | T ^ { \prime \prime } | } \, \mathcal E ( \Delta _ { K } ( { \textstyle \bigwedge } T ^ { \prime \prime } ) ) } \\ & { = \sum _ { \emptyset \neq T ^ { \prime \prime } \subseteq Q \cap K } p ^ { | T ^ { \prime \prime } | } ( 1 - p ) ^ { | Q \cap K | - | T ^ { \prime \prime } | } \, \mathcal E ( \Delta _ { K } ( { \textstyle \bigwedge } T ^ { \prime \prime } ) ) } \\ & { = \sum _ { T ^ { \prime \prime } \subseteq Q \cap K } p ^ { | T ^ { \prime \prime } | } ( 1 - p ) ^ { | Q \cap K | - | T ^ { \prime \prime } | } \, \mathcal E ( \Delta _ { K } ( { \textstyle \bigwedge } T ^ { \prime \prime } ) ) - ( 1 - p ) ^ { | Q \cap K | } \, \mathcal E ( K ) } \\ & { = \mathcal E ( K ) - 1 - ( 1 - p ) ^ { | Q \cap K | } \mathcal E ( K ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { i j } = ~ } & { { } \sum _ { m = j } ^ { 3 } \frac { - a _ { i m } } { ( \xi _ { i } - \xi _ { 3 } ) ^ { m - j + 1 } } , ~ ~ ~ ~ i = 1 , 2 ; ~ b _ { 3 1 } = - b _ { 1 1 } - b _ { 2 1 } ; ~ b _ { 3 2 } = b _ { 3 3 } = 0 , } \\ { \xi _ { 1 } = ~ } & { { } \frac { \omega _ { 1 } } { k _ { 1 x } S _ { 0 } } , ~ ~ ~ ~ \xi _ { 2 } = \frac { \omega _ { 2 } } { k _ { 2 x } S _ { 0 } } , ~ ~ ~ ~ \xi _ { 3 } = \frac { \omega _ { \pm } } { k _ { x } S _ { 0 } } , } \\ { \tilde { E } _ { j } ( \mu ) = ~ } & { { } \mathrm { e } ^ { \mu } \mu ^ { j - 1 } \int _ { \mu } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { - \tau } } { \tau ^ { j } } \mathrm { d } \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { T } ( t ) = \frac { 1 } { { \Omega } ^ { \prime } } \int _ { \Omega ^ { \prime } } \sigma ( { \bf X } ^ { \prime } , t ) d ^ { n } X ^ { \prime } \qquad \mathrm { w i t h } } \\ & { \sigma ( { \bf X } ^ { \prime } , t ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \left( \mid X ^ { ' \mu } \mid ^ { 2 } + \mid J _ { \mu } ^ { \prime } \mid ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda v _ { n , i } ^ { \lambda } = } & { ( i + 1 ) v _ { n + 1 , i + 1 } ^ { \lambda } - i v _ { n , i } ^ { \lambda } + \lambda ( i - 1 ) ( n - i + 1 ) v _ { n , i - 1 } ^ { \lambda } } \\ & { - \lambda i ( n - i ) v _ { n , i } ^ { \lambda } + n p _ { \lambda , n } \psi [ \delta _ { i - 1 , 0 } - \delta _ { i , 0 } ] \; , } \end{array}
\Gamma ^ { \mu \nu } ( k ) = \frac { 1 } { e } \sqrt { 2 } G _ { \mathrm { F } } \left( c _ { V } ^ { \prime } \pi _ { \mathrm { E M } } ^ { \mu \nu } - c _ { A } ^ { \prime } \pi _ { 5 } \, \varepsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } k _ { \alpha } u _ { \beta } \right) \; .
K ^ { Q } ( X _ { 1 } , t _ { 1 } ; X _ { 0 } , t _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { J ( t ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \exp \left[ { \frac { i } { \hbar } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } L ( t ) \, d t \right] .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ r \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \sqrt { r ^ { 2 } } \right] = r ( 0 ) - \frac { 1 } { 8 } r ( 0 ) ^ { - 3 } \sigma _ { r ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mathcal { O } \left( \sigma _ { r ^ { 2 } } ^ { 4 } \right) } \\ { \mathrm { V a r } \left[ r \right] } & { = \mathrm { V a r } \left[ \sqrt { r ^ { 2 } } \right] = \mathbb { E } \left[ r ^ { 2 } \right] - \mathbb { E } \left[ \sqrt { r ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 r ( 0 ) ^ { 2 } } \sigma _ { r ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mathcal { O } \left( \sigma _ { r ^ { 2 } } ^ { 4 } \right) . } \end{array}
\rho E _ { r } ^ { M } = \frac { K _ { r } \rho } { 4 \lambda _ { M } } , \quad \rho E _ { v } ^ { M } = \frac { K _ { v } ( \lambda _ { M } ) \rho } { 4 \lambda _ { M } } \quad { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \quad { \lambda _ { M } } = \frac { \left( K _ { v } ( \lambda _ { M } ) + K _ { r } + 3 \right) \rho } { 4 \left( \rho E - \frac { 1 } { 2 } \rho { \vec { U } } ^ { 2 } \right) } .
\begin{array} { r l } & { \left| \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \| - \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } \right| } \\ { = } & { \left| \operatorname* { m a x } _ { u : \| u \| = 1 } \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } u ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \| - \operatorname* { m a x } _ { v : \| v \| = 1 } v ^ { \top } \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \right| } \\ { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { u : \| u \| = 1 } \left| \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } u ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \| - u ^ { \top } \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \right| } \\ { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { u : \| u \| = 1 } \left| \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } u ^ { \top } \left( \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } - \mathbf { I } _ { d } \right) \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \| \right| } \\ { = } & { \left\| \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } \left( \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } - \mathbf { I } _ { d } \right) \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \right\| } \\ { \leq } & { \left\| \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } \left( \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } - \mathbf { I } _ { d } \right) \right\| \cdot \left\| \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \right\| } \\ { \leq } & { \frac { 2 - \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 2 } } \rho _ { 2 } \left\| w _ { t } - w ^ { * } \right\| _ { \Sigma } \; . } \end{array}
{ \frac { - b _ { 1 } } { 1 + b _ { 1 } + } } \, { \frac { - b _ { 2 } } { 1 + b _ { 2 } + } } \cdots { \frac { - b _ { n + 1 } } { 1 + b _ { n + 1 } } } = { \frac { - b _ { 1 } } { 1 + b _ { 1 } + x } }
\begin{array} { r } { T _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } = \int \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } \left( \vec { r } \right) \left[ - \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 } + V _ { \textrm { s r } } ^ { \textrm { E C P } } \left( \vec { r } \right) \right] \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } \left( \vec { r } \right) ~ \textrm { d } ^ { 3 } r , } \end{array}
+ \int \! \! d ^ { D } \! z _ { 1 } d ^ { D } \! z _ { 2 } d ^ { D } \! z _ { 3 } \left. \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta j ( x ) \delta j ( z _ { 1 } ) } \, \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta j ( x ) \delta j ( z _ { 2 } ) } \, \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta j ( x ) \delta j ( z _ { 3 } ) } \, \frac { \delta ^ { 3 } \Gamma } { \delta \Phi ( z _ { 1 } ) \delta \Phi ( z _ { 2 } ) \delta \Phi ( z _ { 3 } ) } \right] ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } ( \lambda ) = } & { \frac { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( 1 - \nu \lambda Z _ { 2 } ) ( c _ { 0 , 1 } Z _ { 1 } - \nu \lambda Z _ { 2 } ) I _ { ( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { \lambda \nu } ) } ( Z ) ] } { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( c _ { 0 , 1 } Z _ { 1 } - \nu \lambda Z _ { 2 } ) ^ { 2 } I _ { ( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { \lambda \nu } ) } ( Z ) ] } = 1 + \alpha _ { 1 } ^ { * } ( \lambda ) , \; \; \lambda \geq 1 , } \\ { \mathrm { a n d } \quad \alpha _ { 1 } ^ { * } ( \lambda ) = } & { \frac { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( c _ { 0 , 1 } Z _ { 1 } - \nu \lambda Z _ { 2 } ) ( 1 - c _ { 0 , 1 } Z _ { 1 } ) I _ { ( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { \lambda \nu } ) } ( Z ) ] } { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( c _ { 0 , 1 } Z _ { 1 } - \nu \lambda Z _ { 2 } ) ^ { 2 } I _ { ( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { \lambda \nu } ) } ( Z ) ] } } \\ { = } & { \frac { 1 } { c _ { 0 , 1 } } \frac { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( 1 - \nu \frac { \lambda Z } { c _ { 0 , 1 } } ) ( \psi _ { 1 } ( Z ) - c _ { 0 , 1 } \psi _ { 2 } ( Z ) ) I _ { ( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { \lambda \nu } ) } ( Z ) ] } { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( 1 - \frac { \nu \lambda Z } { c _ { 0 , 1 } } ) ^ { 2 } I _ { ( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { \lambda \nu } ) } ( Z ) ] } } \\ { = } & { \frac { 1 } { c _ { 0 , 1 } } \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - z ) ( \psi \left( \frac { c _ { 0 , 1 } z } { \nu \lambda } \right) - c _ { 0 , 1 } ) \, \psi _ { 2 } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } z } { \nu \lambda } \right) \, f _ { Z } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } z } { \nu \lambda } \right) d z } { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - z ) ^ { 2 } \, \psi _ { 2 } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } z } { \nu \lambda } \right) \, f _ { Z } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } z } { \nu \lambda } \right) d z } , \; \; \lambda \geq 1 ; } \end{array}