harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\langle - \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } } { r ^ { 3 } } I _ { 2 3 } \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 3 } \right\rangle _ { M } } & { = \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } ^ { 2 } R ^ { 5 } } { 3 2 \mathrm { i } a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , 2 } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , - 2 } \right) \times } \\ & { \bigg [ \hat { k } _ { 2 } ( k n - \omega ) \left( 2 x X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - ( 1 + x ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } + ( 1 - x ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) } \\ & { + \hat { k } _ { 2 } ( k n + \omega ) \left( 2 x X _ { k } ^ { - 3 , 0 } + ( 1 - x ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - ( 1 + x ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) \bigg ] \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( \omega - \omega _ { 0 } ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \exp \left[ - \frac { ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
I _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \; \sigma _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \; \sigma _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \; \sigma _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) .
\left( - \nabla \cdot \left( \frac { \nabla } { | \nabla \bar { U } _ { r e a l } ^ { k } | } \right) + \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 3 } \left( ( \bar { U } _ { r e a l } ^ { k } ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ^ { k } ) ^ { 2 } \right) \right) \bar { U } _ { r e a l } ^ { k + 1 } = \lambda _ { 1 } \hat { U } _ { r e a l } + 2 \lambda _ { 3 } \bar { U } _ { r e a l } ^ { k } \; \; \; \mathrm { ~ i ~ n ~ } \; \Omega .
\begin{array} { r l } { \bar { U } ^ { j \prime } } & { = \left( \begin{array} { l l } { 0 _ { M _ { C } ^ { j } \times M _ { C } ^ { j } } } & \\ & { - \displaystyle { \bigoplus _ { p = 1 } ^ { m _ { P } ^ { j } } } i \sigma _ { y } u _ { p } ^ { j } } \end{array} \right) , } \\ { \bar { V } ^ { j \prime } } & { = \left( \begin{array} { l l } { I _ { M _ { C } ^ { j } } } & \\ & { \displaystyle { \bigoplus _ { p = 1 } ^ { m _ { P } ^ { j } } } I _ { 2 } v _ { p } ^ { j } } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { \partial C _ { \mu 0 } ( \eta ) } { \partial \eta } = \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \tilde { q } _ { \mu } } { \mathrm { d } \eta ^ { 2 } } \Bigg / \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| ,
{ \cal { L } } = - V _ { \alpha \beta \lambda \tau } ( \mathrm { \boldmath ~ p ~ } , \mathrm { \boldmath ~ p ~ } ^ { \prime } ) { \psi ^ { \dagger } { \mathrm { \boldmath ~ _ { p ^ { \prime } } ~ } } } _ { \alpha } \psi { \mathrm { \boldmath ~ _ { p } ~ } _ { \beta } } \chi ^ { \dagger } { \mathrm { \boldmath ~ _ { - p ^ { \prime } } ~ } _ { \lambda } } \chi ^ { } { \mathrm { \boldmath ~ _ { - p } ~ } _ { \tau } } ,
\begin{array} { r l } { 2 ( n - 1 ) \widetilde { \Omega } \wedge \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } } & { = 2 ( n - 1 ) ( n - 1 ) ! \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \widetilde { \Omega } _ { 2 i , 2 i + 1 } \Lambda _ { i } d z ^ { 0 } \wedge \cdots \wedge d z ^ { 2 n - 1 } } \\ { 2 ( n - 1 ) ^ { 2 } \Omega _ { h } \wedge \widetilde { \Omega } \wedge \Omega ^ { n - 2 } } & { = 2 ( n - 1 ) ( n - 1 ) ! \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \Lambda _ { i } ( S _ { 1 } ( \widetilde { \Omega } ) - \widetilde { \Omega } _ { 2 i , 2 i + 1 } ) d z ^ { 0 } \wedge \cdots \wedge d z ^ { 2 n - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \partial _ { x } ( e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| \partial _ { x } ( e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } v ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { ( 1 - \beta ) } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { ( 1 - \beta ) } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } \leq C t ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { x } _ { \tau i } \left[ \sf X \right] } & { { } = { \u { x } } _ { \u { \tau } } \left[ \sum _ { j \in \mathcal { I } } X _ { j } \boldsymbol { E } _ { j } \right] \cdot \boldsymbol { e } _ { i } } \\ { { U } _ { \tau i } \left[ \sf X \right] } & { { } = { \u { U } } _ { \u { \tau } } \left[ \sum _ { j \in \mathcal { I } } X _ { j } \boldsymbol { E } _ { j } \right] \cdot \boldsymbol { E } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { { } = - \alpha e ^ { Z } \sin ( X - t ) } \\ { z _ { 1 } } & { { } = \alpha e ^ { Z } \cos ( X - t ) } \\ { \phi _ { 1 } } & { { } = - \alpha \lambda e ^ { Z } \sin ( X + 2 \Phi - t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r } & { 2 U \oplus E _ { 8 } } & & { 2 U \oplus D _ { 8 } } & & { 2 U \oplus 2 D _ { 4 } } & & { 2 U \oplus D _ { 8 } ^ { \prime } ( 2 ) } & \\ & { 2 U \oplus E _ { 7 } \oplus A _ { 1 } } & & { 2 U \oplus D _ { 6 } \oplus 2 A _ { 1 } } & & { 2 U \oplus D _ { 4 } \oplus 4 A _ { 1 } } & & { 2 U \oplus 8 A _ { 1 } } & \\ & { 2 U \oplus E _ { 8 } ( 2 ) } & & { U \oplus U ( 2 ) \oplus E _ { 8 } ( 2 ) } & & { U \oplus U ( 2 ) \oplus 8 A _ { 1 } } & & { 2 U ( 2 ) \oplus 8 A _ { 1 } . } & \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \frac { \partial \rho } { \partial t } - \nabla \cdot \frac { c } { 3 \sigma _ { s } } \nabla \rho = c \sigma _ { a } \left( 4 \pi B \left( \nu , T \right) - \rho \right) } } \\ { { C _ { V } \frac { \partial T } { \partial t } \equiv \frac { \partial U _ { m } } { \partial t } = \sigma _ { a } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \rho - 4 \pi B \left( \nu , T \right) \right) d \nu } } \end{array} \right.
\lambda _ { t } \equiv { \frac { h _ { t } } { g } } = { \frac { m _ { t } } { \sqrt { 2 } \, M _ { W } \, s _ { \beta } } } \; \; \; \; \; , \; \; \; \; \; \lambda _ { b } \equiv { \frac { h _ { b } } { g } } = { \frac { m _ { b } } { \sqrt { 2 } \, M _ { W } \, c _ { \beta } } } \, .
U ^ { ( 2 ) } = U ^ { ( 1 ) } \mid _ { \chi = 0 } = { \frac { 1 } { 2 } } \vec { \pi } ^ { 2 } + c ^ { 2 } \vec { u } . \nabla ^ { 2 } \vec { u } + \nu \vec { \pi } . \nabla ^ { 2 } \vec { u } - \vec { u } . \vec { J } .
\begin{array} { r l } { E [ \ln p ( t ) ] = } & { A + B ( t _ { c } - t ) ^ { m } + C ( t _ { c } - t ) ^ { m } \cos ( \omega \ln ( t _ { c } - t ) - \phi ) } \\ { = } & { A + B ( t _ { c } - t ) ^ { m } + C _ { 1 } ( t _ { c } - t ) ^ { m } \cos ( \omega \ln ( t _ { c } - t ) ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \, \, \, + C _ { 2 } ( t _ { c } - t ) ^ { m } \sin ( \omega \ln ( t _ { c } - t ) ) . } \end{array}
\left. \frac { \left\langle \delta \mathbf { J } \right\rangle } { \delta t } \right| _ { \mathbf { N } } = \frac { \mathbf { N } } { \omega } \frac { \delta H _ { 0 } \left( \mathbf { J } \right) } { \delta t } = \frac { \mathbf { N } } { \omega } w _ { \mathbf { N } } \left( \mathbf { J } \right) ,
\begin{array} { r l r } { H _ { i j } } & { = } & { - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i j } ^ { 2 } } + \frac { k _ { i } } { 2 } x _ { i j } ^ { 2 } - \frac { \hbar \omega _ { i } } { 2 } } \\ & { = } & { \frac { \hbar \omega _ { i } } { 2 } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi _ { i j } ^ { 2 } } + \xi _ { i j } ^ { 2 } - 1 \right) } \\ & { = } & { \frac { \hbar \omega _ { i } } { 2 } \left( a _ { i j } a _ { i j } ^ { \dag } + a _ { i j } ^ { \dag } a _ { i j } - 1 \right) } \\ & { = } & { \hbar \omega _ { i } \, a _ { i j } ^ { \dag } a _ { i j } . } \end{array}
\delta P = s \mathrm { d } T + \frac { 1 } { 2 } \chi \delta \mu ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \chi _ { \ell } \delta \mu _ { \ell } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \tilde { \chi } } \delta \tilde { n } ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { 2 } \delta \tilde { n } _ { \psi } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { c } _ { 3 } = } & { \frac { 1 } { 2 } \mathbf { \Xi } ^ { - 1 } \Big [ \Big ( 2 \mathrm { v e c } ( \mathbf { T } _ { 4 } ^ { \top } \mathbf { W } _ { 2 } \mathbf { T } _ { 1 } ) } \\ & { + 2 \mathrm { v e c } \Big ( \mathbf { T } _ { 3 } ^ { \top } \mathbf { W } _ { 2 } ^ { \top } \mathbf { T } _ { 2 } \Big ) } \\ & { + \sum _ { i = 3 } ^ { 5 } \mathcal { T } _ { i , k } ^ { \top } \mathbf { w } _ { i } \Big ) _ { \mathcal { I } _ { 3 } } - 2 \mathbf { c } _ { 1 } \odot \mathbf { c } _ { 2 } \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( x ; \widehat { M } ) = \int } & { \textup { K L } ( p ( y | \grave { f } ( x ) ) , p ( y | f ( x ; \theta _ { \widehat { M } } ) ) ) p ( \theta _ { \widehat { M } } | \widehat { M } , D ) \textup { d } \theta _ { \widehat { M } } } \\ { G ( x ; M ^ { \circ } ) = \int } & { \textup { K L } ( p ( y | \grave { f } ( x ) ) , p ( y | f ( x ; \theta _ { M ^ { \circ } } ) ) ) p ( \theta _ { M ^ { \circ } } | M ^ { \circ } , D ) \textup { d } \theta _ { M ^ { \circ } } . } \end{array}
Q _ { M } ^ { \infty } = 2 j + \nu _ { M } + 2 \sum _ { M ^ { \prime } > M } 2 ( M ^ { \prime } - M ) \nu _ { M ^ { \prime } } + ( 2 M + 1 ) \left( 1 - \frac { 1 } { r } ( N - 2 l + 2 M + 2 ) \right) .
= \int _ { 0 } ^ { \frac 1 4 } \ d s \ \frac { 1 } { ( 1 - 4 s ) ^ { \frac 1 2 } s ^ { \frac 1 2 } } \ \exp \left( - t k ^ { 2 } s \right) = \frac { \pi } { 2 } \exp \left( - t \frac { k ^ { 2 } } { 8 } \right) I _ { 0 } ( t \frac { k ^ { 2 } } { 8 } ) \, ,
\alpha = 2 \pi \sigma ^ { 2 } / f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } \lambda = g ^ { 2 } \pi f _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ^ { 2 } \lambda / 2 f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } a _ { 1 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { w _ { N } } & { = } & { \frac { V _ { N } } { V _ { 0 } } = \frac { V _ { N } } { V _ { D } } \frac { V _ { D } } { V _ { 0 } } , } \\ { w _ { R } } & { = } & { \frac { V _ { R } } { V _ { 0 } } = \frac { 3 \pi } { 2 } \left[ \left( \frac { 2 R _ { i } } { d _ { 0 } } \right) \left( \frac { h _ { i } } { d _ { 0 } } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { h _ { i } } { d _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \right] , } \\ { w _ { B } } & { = } & { \frac { V _ { B } } { V _ { 0 } } = \frac { V _ { D } } { V _ { 0 } } - \frac { V _ { N } } { V _ { 0 } } - \frac { V _ { R } } { V _ { 0 } } , } \end{array}
{ \cal L } _ { N B I } = ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } g ) ^ { - 2 } \mathrm { S T r } ~ \left[ { \cal I } - \sqrt { \operatorname * { d e t } ( \delta _ { a b } { \cal I } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } g F _ { a b } ) } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } _ { n _ { k } } ) } \\ & { \to \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } ) \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 2 } \left( 0 , T ; L _ { 2 } \left( \mathscr { U } , L ^ { 2 } \right) \right) , \; \tilde { \mathbb { P } } - a . s . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial t } + c \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial x } } & { = - r \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } \cos ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) } \\ { \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial t } - c \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial x } } & { = - r \frac { R _ { 1 } } { R _ { 2 } } \cos ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) } \\ { \frac { \partial R _ { 1 } } { \partial t } + c \frac { \partial R _ { 1 } } { \partial x } } & { = r R _ { 2 } \sin ( S _ { 2 } - S _ { 1 } ) } \\ { \frac { \partial R _ { 2 } } { \partial t } - c \frac { \partial R _ { 2 } } { \partial x } } & { = r R _ { 1 } \sin ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) } \end{array}
\omega ^ { 2 } ( { \bar { q } } , R ) \equiv { \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } } { \bar { q } } ^ { 2 } - { \frac { 4 \sqrt { 6 } \alpha } { 9 } } { \bar { q } } + \left( 1 + { \frac { 3 } { R ^ { 2 } } } \right) ~ ~ .
\begin{array} { l l } { - g _ { 2 } ( \nabla ^ { N } g , \nabla ^ { N } g ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) + R i c ^ { r a n g e F _ { \ast } } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } ( e _ { k } ( g ) ) ^ { 2 } g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) } \\ { + \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } g _ { 2 } ( \nabla _ { e _ { k } } ^ { F \bot } e _ { k } , \nabla ^ { N } g ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } \nabla _ { e _ { k } } ^ { N } e _ { k } ( g ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) + \lambda g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n ^ { \mathrm { ~ v ~ p ~ } , ( 1 ) } ( x ) } & { { } = } & { - \frac { Z m } { \pi } \int _ { 1 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } t \; \frac { e ^ { - 2 m c | x | t } } { t \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } [ \, } & { \sigma _ { 2 , i } ^ { ( k ) } \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, ] = \sum _ { j = 1 , 2 , 3 } \mathrm { E } [ \, \sigma _ { 2 , i } ^ { ( k ) } \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \ \big \vert \ f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { i } ^ { ( k ) } \in \mathcal { S } _ { j } \, ] \, P ( f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { i } ^ { ( k ) } \in \mathcal { S } _ { j } ) . } \end{array}
\tilde { \Gamma } _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { r } = \tilde { B } _ { r k _ { 1 } } ^ { * } \tilde { A } _ { r k _ { 2 } } ^ { * } - \tilde { A } _ { r k _ { 1 } } ^ { * } \tilde { B } _ { r k _ { 2 } } ^ { * } .
\Delta Q _ { y } ^ { N _ { 6 } } = \frac { 1 } { 1 9 2 \pi } \; K _ { 6 } L \left( - 3 J _ { x } ^ { 2 } \beta _ { x } ^ { 2 } \beta _ { y } + 6 J _ { x } J _ { y } \beta _ { x } \beta _ { y } ^ { 2 } - J _ { y } ^ { 2 } \beta _ { y } ^ { 3 } \right)
\left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { I I , A } } } \\ { \psi _ { \mathrm { I I , B } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega ( L _ { \mathrm { A } } - L _ { \mathrm { c o } } ) / ( 2 c ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega ( L _ { \mathrm { B } } - L _ { \mathrm { c o } } ) / ( 2 c ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { I , A } } } \\ { \psi _ { \mathrm { I , B } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { 2 \gamma \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( - \theta _ { 1 } \gamma + \theta _ { 2 } \gamma ) + 5 \gamma N \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( \theta _ { 1 } \gamma + 5 \theta _ { 2 } \gamma ) = 2 \gamma N \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( \theta _ { 1 } \gamma - \theta _ { 2 } \gamma ) + 5 \gamma \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( - \theta _ { 1 } \gamma - 5 \theta _ { 2 } \gamma ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \hat { f } . U Y V \circ ( \hat { A } . U \boxtimes \theta \boxtimes \hat { A } . V ) } \\ & { = ( \hat { f } . U \boxtimes \hat { f } . Y \boxtimes \hat { f } . V ) \circ ( \hat { A } . U \boxtimes \theta \boxtimes \hat { A } . V ) } \\ & { = \hat { f } . U \boxtimes ( \hat { f } . Y \circ \theta ) \boxtimes \hat { f } . V } \\ & { = \hat { f } . U \boxtimes ( \theta \circ \hat { f } . X ) \boxtimes \hat { f } . V } \\ & { = ( \hat { A } . U \boxtimes \theta \boxtimes \hat { A } . V ) \circ \hat { f } . U X V } \end{array}
\mathsf { R } = \left( \begin{array} { c c c } { \ \ 0 . 4 6 8 3 } & { - 0 . 8 1 3 4 } & { 0 . 3 4 5 1 } \\ { - 0 . 6 6 9 2 } & { - 0 . 0 7 1 5 } & { \ \ 0 . 7 3 9 6 } \\ { - 0 . 5 7 6 9 } & { - 0 . 5 7 7 3 } & { - 0 . 5 7 7 8 } \end{array} \right)
\nu _ { j } = \mu _ { j } ^ { - 1 } , \: H ( i , j ) = h _ { K - 1 } ( \nu _ { i } , \nu _ { j } ) , \: H ^ { \prime } ( i , j ) = ( K - 1 ) \nu _ { j _ { K - 1 } } ^ { K - 2 } + \ldots + \nu _ { i } ^ { K - 2 }
P _ { k } = \delta ( k , \kappa ) + \frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi } \sum _ { j , j ^ { \prime } } G _ { j , j ^ { \prime } } ( \omega _ { \kappa } ) \frac { e ^ { - i k z _ { j } + i \kappa z _ { j ^ { \prime } } } } { \omega - c | k | } .
\begin{array} { l } { { { \cal X } ^ { n } = x ^ { n } ~ , } } \\ { { { \cal D } _ { n } = \partial _ { n } ~ , } } \\ { { { \cal X } ^ { + j } = \mu _ { n } ^ { - 1 / 2 } \mu _ { n - 1 } ^ { - 1 / 2 } \cdots \mu _ { j + 1 } ^ { - 1 / 2 } x ^ { + j } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ n > j \geq 0 ~ , } } \\ { { { \cal D } _ { + j } = \mu _ { n } ^ { - 1 / 2 } \mu _ { n - 1 } ^ { - 1 / 2 } \cdots \mu _ { j + 1 } ^ { - 1 / 2 } \partial _ { + j } ~ , } } \\ { { { \cal X } ^ { - j } = \mu _ { n } ^ { - 1 / 2 } \mu _ { n - 1 } ^ { - 1 / 2 } \cdots \mu _ { j + 1 } ^ { - 1 / 2 } \Lambda _ { + j } ^ { - 1 / 2 } \mu _ { + j } ^ { - 1 / 2 } y ^ { - j } ~ , } } \\ { { { \cal D } _ { - j } = q ^ { - 1 } \mu _ { n } ^ { - 1 / 2 } \mu _ { n - 1 } ^ { - 1 / 2 } \cdots \mu _ { j + 1 } ^ { - 1 / 2 } \Lambda _ { + j } ^ { - 1 / 2 } \mu _ { + j } ^ { - 1 / 2 } \delta _ { - j } ~ , } } \\ { { { \cal X } ^ { - n } = \Lambda _ { + n } ^ { - 1 / 2 } \mu _ { + n } ^ { - 1 / 2 } y ^ { - n } ~ , } } \\ { { { \cal D } _ { - j } = q ^ { - 1 } \Lambda _ { + n } ^ { - 1 / 2 } \mu _ { + n } ^ { - 1 / 2 } \delta _ { - n } ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { A E \mathrm { - } Q } } ( \mathrm { C B S } ) = \frac { \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { A E \mathrm { - } C C 3 } } ( \mathrm { C B S } ) } { \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { A E \mathrm { - } C C 3 } } ( X \mathrm { = } 2 ) } \, \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { A E \mathrm { - } Q } } ( X \mathrm { \mathrm { = } 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla _ { \theta } R _ { \alpha } ^ { p } ( \theta ) \| } & { \geq \| \mathbb { E } [ X ^ { [ 1 ] } ] \| - C _ { p , r \sqrt { d } , \alpha } \mathbb { E } [ \| X ^ { [ 1 ] } \| ] } \\ & { \geq \| \mathbb { E } [ X ^ { [ 1 ] } ] \| - ( 1 - 2 p ) \left( 1 - \sigma ^ { \prime } ( r \sqrt { d } ) \right) \mathbb { E } [ \| X ^ { [ 1 ] } \| ] > 0 , } \end{array}
- \left( u , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \frac { \gamma } { 2 } \partial _ { x } u ^ { 2 } , \partial _ { x } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } = \left( - \gamma ( \partial _ { x } u ) ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( - \left( \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \right) \partial _ { x } u ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( g _ { 0 } u , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \varphi _ { 0 } , \eta ( x , 0 ) \right) _ { \Omega ^ { * } } .
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( t ) = \mathbb { P } ( \mathcal { N } ( t ) = 0 ) } & { = \exp \left\{ - \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } d _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } \right\} } \\ & { = \exp \left\{ - \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi _ { k } ( x ) d x \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } } \right\} } \\ & { = \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } } \xi _ { k } ( x ) \right) d x \right\} } \\ & { = \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { 1 } v ( t , x ) d x \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \hat { I } _ { 6 } | \, } & { { } \le \, C \epsilon \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } D _ { \epsilon } ^ { 1 / 2 } + C \Bigl ( \frac { \epsilon \beta _ { \epsilon } } { \delta } \, \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } + \mathfrak { R } _ { \epsilon } \Bigr ) \Bigl ( \delta \mathfrak { R } _ { \epsilon } \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } + \delta \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } D _ { \epsilon } ^ { 1 / 2 } \Bigr ) } \\ { \, } & { { } \le \, C \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } \bigl ( D _ { \epsilon } ^ { 1 / 2 } + \mathfrak { R } _ { \epsilon } \bigr ) \bigl ( \epsilon \beta _ { \epsilon } + \delta \mathfrak { R } _ { \epsilon } \bigr ) \, \le \, C \epsilon \beta _ { \epsilon } \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } \bigl ( D _ { \epsilon } ^ { 1 / 2 } + \mathfrak { R } _ { \epsilon } \bigr ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \pm 1 , 0 } ^ { o u t } = ( a _ { \pm 1 , 0 } + c _ { \pm 1 , 0 } | \zeta | + d _ { \pm 1 , 0 } } & { { } \zeta ^ { 2 } ) e x p \left( - \frac { \zeta ^ { 2 } } { b _ { \pm 1 , 0 } } \right) } \end{array}
\frac { \partial f } { \partial t } = - \mathbf { v } \cdot \nabla _ { \mathbf { x } } f - \frac { 1 } { \tau } f + \frac { 1 } { \tau } ( 2 \pi ) ^ { - 3 / 2 } e ^ { \frac { - | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 } } \left[ \left( \frac { 5 } { 2 } - \frac { | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 } \right) M _ { 0 } + \mathbf { M } _ { 1 } \cdot \mathbf { v } + \frac { 1 } { 6 } ( | \mathbf { v } | ^ { 2 } - 3 ) \mathrm { t r a c e } \mathbf { M } _ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l r } { { \sf T } _ { \mathrm { g c } } P _ { \mathrm { g c } \Theta } } & { = } & { \frac { q } { c } \, \psi \; + \; \epsilon \, \frac { q } { c } \left( \Psi _ { 1 } + G _ { 1 } ^ { \psi } \right) \; - \; \epsilon ^ { 2 } \; J } \\ & { } & { + \; \epsilon ^ { 2 } \frac { q } { c } \left( G _ { 2 } ^ { \psi } + \frac { 1 } { 2 } \, { \sf G } _ { 1 } \cdot { \sf d } G _ { 1 } ^ { \psi } + G _ { 1 } ^ { \psi } \, \Psi _ { 1 } ^ { \prime } \right) } \\ & { = } & { \frac { q } { c } \, \psi \left( 1 \; + \frac 2 \, \dot { \theta } / \Omega _ { 0 } \right) \; = \; p _ { \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { a c } } & { { } = } & { 2 1 6 ( 1 0 \mathrm { ~ c ~ m ~ } / \lambda _ { g } ) ( D / 1 0 0 \mathrm { ~ m ~ } ) ^ { 3 } + 3 8 ( D / 1 0 0 \mathrm { ~ m ~ } ) ^ { 2 } } \\ { w _ { p s } } & { { } = } & { 1 2 2 ( D / 1 0 0 \mathrm { ~ m ~ } ) ^ { 2 } + 2 ( D / d ) ^ { 2 } } \\ { K 1 } & { { } = } & { \frac { \lambda _ { g } } { 5 . 3 ( D / 1 0 0 \mathrm { ~ m ~ } ) ^ { 2 } } } \\ { K 2 } & { { } = } & { 1 + \frac { w _ { p s } } { w _ { a c } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \langle H _ { \mathrm { k i n } } \rangle } & { = \left\langle c { \frac { p _ { x } ^ { 2 } + p _ { y } ^ { 2 } + p _ { z } ^ { 2 } } { \sqrt { p _ { x } ^ { 2 } + p _ { y } ^ { 2 } + p _ { z } ^ { 2 } } } } \right\rangle } \\ & { = \left\langle p _ { x } { \frac { \partial H ^ { \mathrm { k i n } } } { \partial p _ { x } } } \right\rangle + \left\langle p _ { y } { \frac { \partial H ^ { \mathrm { k i n } } } { \partial p _ { y } } } \right\rangle + \left\langle p _ { z } { \frac { \partial H ^ { \mathrm { k i n } } } { \partial p _ { z } } } \right\rangle } \\ & { = 3 k _ { \mathrm { B } } T } \end{array} }
{ \widehat { V ( { \hat { R } } ) } } = { \widehat { V ( { \bar { y } } _ { w } ) } } = { \frac { 1 } { { \hat { N } } ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( { \check { \Delta } } _ { i j } { \frac { y _ { i } - { \bar { y } } _ { w } } { \pi _ { i } } } { \frac { y _ { j } - { \bar { y } } _ { w } } { \pi _ { j } } } \right) .
{ x _ { t } ^ { ( 1 / 3 ) } } ^ { \prime } ( u ) x _ { t } ^ { ( 1 / 3 ) } ( v ) - { x _ { t } ^ { ( 1 / 3 ) } } ^ { \prime } ( v ) x _ { t } ^ { ( 1 / 3 ) } ( u ) = x _ { t } ^ { ( 1 / 3 ) } ( u + v ) [ \wp ^ { ( 1 / 3 ) } ( v ) - \wp ^ { ( 1 / 3 ) } ( u ) ] ,
V _ { e f f } ( b o s o n ) = \frac { 1 } { 2 } t r \ \int \frac { d \omega } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { s } e ^ { i \omega \tau } e x p [ - s ( - \partial _ { \tau } ^ { 2 } + W ( \tau ) ) ] e ^ { - i \omega \tau } \,
I _ { n } \equiv \int _ { t _ { b } ^ { l } } ^ { t _ { b } ^ { r } } \frac { t _ { b } ^ { n } d t _ { b } } { \sqrt { - D _ { 4 } } } = \frac { 1 } { \sqrt { - b _ { t 2 } } } \int _ { t _ { b } ^ { l } } ^ { t _ { b } ^ { r } } \frac { t _ { b } ^ { n } d t _ { b } } { \sqrt { ( t _ { b } - t _ { b } ^ { l } ) ( t _ { b } ^ { r } - t _ { b } ) } }