harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\textbf { S } = \left[ { \begin{array} { c } { \vec { v } _ { 0 } } \\ { \vec { v } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \vec { v } _ { n } } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { c c c c } { \lambda _ { 0 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \lambda _ { n } } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { c } { \vec { v } _ { 0 } } \\ { \vec { v } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \vec { v } _ { n } } \end{array} } \right] ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { V _ { k + 1 } ^ { 1 } - V _ { k } ^ { 1 } \ = } & { \ h ^ { 2 } ( 2 k + r - 2 ) \langle q _ { k } - q ^ { * } , A ( q _ { k } - q ^ { * } ) \rangle } \\ & { + h ^ { 2 } ( k - 1 ) ( 2 k + r - 2 ) \langle q _ { k } - q ^ { * } , A ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) \rangle } \\ & { - \frac { h ^ { 4 } } { 2 } ( 2 k + r - 2 ) k \| A ( q _ { k } - q ^ { * } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \tau } = - \frac { \dot { u } _ { 1 } u _ { 2 } - \dot { u } _ { 2 } u _ { 1 } } { u _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { w } { u _ { 2 } ^ { 2 } } \; } & { { } \Rightarrow \; \; \stackrel { \circ } { t } \; = \frac { u _ { 2 } ^ { 2 } } { w } . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { 0 } } = \left( \begin{array} { c c } { \Delta _ { \mathrm { + } } - i \gamma _ { \mathrm { c } } } & { i \kappa } \\ { i \kappa } & { \Delta _ { \mathrm { - } } - i \gamma _ { \mathrm { c } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle n ^ { ( 1 ) } ( { \bf r } ) \equiv n ^ { ( 1 ) } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r } ) = n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ ~ ~ ~ ~ - \int K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) d { \bf r ^ { \prime } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| Q \| } & { = \operatorname* { s u p } _ { \| f \| _ { \ell _ { \infty } ( B _ { X _ { n } } ) } \leq 1 } \Big \| \sum _ { \alpha \in J } \widetilde { c _ { \alpha } ^ { \ast } } ( f ) z ^ { \alpha } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { z \in B _ { X _ { n } } } \sum _ { \alpha \in J } \big \| \widetilde { c _ { \alpha } ^ { \ast } } \big \| _ { \ell _ { \infty } ( B _ { X _ { n } } ) ^ { * } } \, | z ^ { \alpha } | } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { z \in B _ { X _ { n } } } \sum _ { \alpha \in J } \big \| c _ { \alpha } ^ { \ast } \big \| _ { \mathcal P _ { J } ( X _ { n } ) ^ { \ast } } | z ^ { \alpha } | \leq \operatorname* { s u p } _ { z \in B _ { X _ { n } } } \sum _ { \alpha \in J } c _ { X _ { n } } ( \alpha ) | z ^ { \alpha } | = \widehat { \boldsymbol { \lambda } } \big ( \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) \big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { F } ( x ) - \operatorname* { i n f } \mathcal { F } } & { \leq c _ { u } ( 1 + \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } ) \qquad } & { \mathrm { f o r ~ a l l } \quad } & { x \in \mathbb R ^ { \textup { d } } \, , } \\ { \mathcal { F } ( x ) - \operatorname* { i n f } \mathcal { F } } & { \geq c _ { l } \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } \qquad } & { \mathrm { f o r ~ a l l } \quad } & { x \in \mathbb R ^ { \textup { d } } \, \| x \| _ { 2 } \geq R _ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { \mathrm { e f f } } } & { = } & { \left[ ( 1 - f ) \epsilon _ { h } + f \epsilon _ { i } \frac { 3 \epsilon _ { h } } { 2 \epsilon _ { h } + \epsilon _ { i } } \right. } \\ & { + } & { \left. 2 i \left( \frac { \epsilon _ { h } - \epsilon _ { i } } { 2 \epsilon _ { h } + \epsilon _ { i } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { r _ { \mathrm { N P } } \omega \sqrt { \epsilon _ { h } } } { c } \right) ^ { 3 } \right] ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle x ( t ) \rangle } & { { } = { \frac { 1 } { N } \int d x x | \psi _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ( x , t ) | ^ { 2 } } , } \\ { \langle x ^ { 2 } ( t ) \rangle } & { { } = { \frac { 1 } { N } \int d x x ^ { 2 } | \psi _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ( x , t ) | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { i , j , 4 } + _ { j , i + 1 , 4 } } \\ & { = - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , i + 1 } t ^ { w } e _ { i + 1 , u } t ^ { - s - 1 } \otimes e _ { u , v } t ^ { s - w + 1 } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = j + 1 } ^ { n } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { j , i + 1 } e _ { v , j } t ^ { w } e _ { j , u } t ^ { - s - 1 } \otimes e _ { u , v } t ^ { s - w + 1 } } \\ & { = - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , i + 1 } t ^ { - s - 1 } e _ { i + 1 , i + 1 } t ^ { w } \otimes e _ { i + 1 , v } t ^ { s - w + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ddot { \mathbf { X } } + \left( \frac { w } { h _ { 3 } } - \frac { r } { h _ { 3 } } \hat { r } _ { t } \cdot \hat { \tau } \right) \dot { \mathbf { X } } _ { s } + \frac { d \mathbf { V } } { d t } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { = - \frac { \mathbf { \nabla } P } { \rho } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \left( \frac { 1 } { \rho h _ { 3 } } \left( \frac { 1 } { h _ { 3 } } \dot { \mathbf { X } } _ { s } \right) _ { s } + \frac { 1 } { \rho } \Delta \mathbf { V } \right) + \frac { 1 } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \hat { \mathbf { g } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( x , y ) } & { \approx \mathcal { N } \int \mathrm { d } y ^ { \prime } \, \psi _ { \mathrm { i n } } ( 0 , y ^ { \prime } ) \mathrm { U } _ { \mathrm { H } } \left( \sqrt [ 3 ] { 3 } \frac { x - L _ { c } } { \delta _ { a } } , \frac { ( y - y ^ { \prime } ) \cos \theta - 2 L _ { c } \sin ^ { 3 } \theta } { \sqrt [ 6 ] { 3 } \, \delta _ { a } \cos \theta } , - \frac { \lambda L _ { c } } { 2 \pi \sqrt [ 3 ] { 3 } \, \delta _ { a } ^ { 2 } } \frac { \cos 2 \theta } { \cos \theta } \right) , } \end{array}
I _ { \mathrm { ~ c ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = \nabla _ { p } \times \mathbf { I } _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } ( \vec { r } _ { p } ) } { \partial x _ { p } } - \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } ( \vec { r } _ { p } ) } { \partial y _ { p } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi _ { n } } { \partial t } } & { = \left[ \mathcal { H } _ { 1 } + \sum _ { i = 1 , 2 } ( \mathcal { J } _ { i } + \mathcal { J } _ { i } ^ { \dagger } ) \right] \psi _ { n } } \\ & { + \sum _ { i = 1 , 2 } ( \mathcal { J } _ { i } ^ { \dagger } - \mathcal { J } _ { i } ) \; \ell \; \big ( \partial _ { i } \psi \big ) _ { n } + \mathcal { O } ( \ell ^ { 2 } ) , } \end{array} } \end{array}
\frac { d \hat { U } _ { N } } { d \hat { \tau } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \alpha + | U _ { 1 } | ^ { 2 } } } \, \frac { d } { d \tau } \frac { U _ { N + 1 } } { \sqrt { \alpha + | U _ { 1 } | ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { 2 ( \alpha + | U _ { 1 } | ^ { 2 } ) } \, \frac { d U _ { N + 1 } } { d \tau } - \frac { U _ { N + 1 } } { 2 ( \alpha + | U _ { 1 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, \mathrm { R e } \left( U _ { 1 } ^ { * } \frac { d U _ { 1 } } { d \tau } \right) .
\mathcal { F } _ { c } ( \mathbf { w } _ { i } ^ { n } , \mathbf { w } _ { j } ^ { n } , \widetilde { \boldsymbol { \eta } } _ { i j } ) = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { w } _ { i } ^ { n } + \mathbf { w } _ { j } ^ { n } \right) \frac { 1 } { 2 } \left( \widetilde { \mathbf { u } } _ { i } ^ { n } + \widetilde { \mathbf { u } } _ { j } ^ { n } \right) \cdot \widetilde { \boldsymbol { \eta } } _ { i j } - \frac { 1 } { 2 } \widetilde { \alpha } _ { i j } ^ { n } \left( \mathbf { w } _ { j } ^ { n } - \mathbf { w } _ { i } ^ { n } \right) ,
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle w , q m ^ { \perp } \right\rangle } & { { } } \\ { \quad - \left\langle \nabla \cdot w , \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { S } { 2 } \right\rangle - \left\langle \frac { D } { 2 } + b , \nabla \cdot \left( s w \right) \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , D _ { t } \right\rangle + \left\langle \phi , \nabla \cdot m \right\rangle = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \alpha , S _ { t } \right\rangle + \left\langle \alpha , \nabla \cdot ( s D ) \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \alpha \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , q D \right\rangle - \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u \right\rangle - \left\langle \gamma , f \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \beta , s D \right\rangle - \left\langle \beta , S \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \beta \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { M ^ { 0 } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) = } \\ & { } & { N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 2 } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { u } } \gamma ^ { \mu } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { d } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { s } } \gamma ^ { \nu } \right] } \\ & { } & { + \left( \begin{array} { c } { \mu \leftrightarrow \nu } \\ { k _ { 1 } \leftrightarrow k _ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } & { \tilde { q } _ { 1 } = | \tilde { r } ( k _ { 4 } ) | ^ { \frac { 1 } { 2 } } r _ { 1 } ( k _ { 4 } ) , } & & { q _ { 2 } = \tilde { r } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) , } & & { q _ { 5 } = | \tilde { r } ( \omega k _ { 2 } ) | ^ { \frac { 1 } { 2 } } r _ { 1 } ( \omega k _ { 2 } ) , } & & { q _ { 6 } = | \tilde { r } ( \frac { 1 } { k _ { 2 } } ) | ^ { \frac { 1 } { 2 } } r _ { 1 } ( \frac { 1 } { k _ { 2 } } ) , } \end{array}
\gamma _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \gamma _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i } } \\ { { - i } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \gamma _ { 5 } = i \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } .
\begin{array} { r l } { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { \prime \prime } } & { { } = \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - ^ { \prime \prime } } ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + ^ { \prime \prime } } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - ^ { \prime \prime } } ( R _ { 2 } ) ] \mathcal { H } ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) ] \delta ( R _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { p } ( { \bf x } , { \bf y } ; \beta ) = \frac { 1 } { N ! } \frac { 2 ^ { N ( N - 1 ) } } { L ^ { N } } \exp ( - 2 \beta \lambda ( \frac { 2 \pi } { L } ) ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { p } n ^ { 2 } ) } \\ { \prod _ { 1 \le i < j \le N } \sin ( \frac { \pi } { L } ( x _ { i } - x _ { j } ) ) \sin ( \frac { \pi } { L } ( y _ { i } - y _ { j } ) ) ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( k a ) = { } } & { { } { \frac { N ( k a ) } { D ( k a ) } } } \\ { N ( k a ) = { } } & { { } I _ { 1 } ( k a ) \Delta _ { 1 } - \{ k a I _ { 0 } ( k a ) - I _ { 1 } ( k a ) \} \Delta _ { 2 } } \\ { D ( k a ) = { } } & { { } { \frac { \mu _ { A } } { \mu _ { B } } } \{ k a I _ { 0 } ( k a ) - I _ { 1 } ( k a ) \} \Delta _ { 1 } - { \frac { \mu _ { A } } { \mu _ { B } } } \left\{ \left( k ^ { 2 } a ^ { 2 } + 1 \right) I _ { 1 } ( k a ) - k a I _ { 0 } ( k a ) \right\} \Delta _ { 2 } } \end{array}
S = \int d t \int _ { 0 } ^ { L } d x \left\{ \partial _ { 0 } A ^ { 1 } \pi _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } i \psi ^ { \dagger } \partial _ { 0 } \psi - \frac { 1 } { 2 } i \partial _ { 0 } \psi ^ { \dagger } \psi - { \cal H } - A ^ { 0 } \phi + \partial _ { 1 } ( A ^ { 0 } \pi _ { 1 } ) \right\} \ ,
\begin{array} { c c } { \frac { { \partial } { \bf { m } } } { { \partial } t } = } & { \frac { - \gamma { \mu } _ { 0 } } { 1 + { \alpha } ^ { 2 } } [ ( { \bf { m } } \times { \bf { { H } } } _ { \bf { { K } } } ) + \alpha { \bf { m } } \times ( { \bf { m } } \times { \bf { { H } } } _ { \bf { { K } } } ) } \\ & { - H _ { { S O T } } ^ { { D L } } ( ( { \bf { m } } \times { \bf { \sigma } } \bf { ) } \times { \bf { m } } ) - \alpha H _ { { S O T } } ^ { { D L } } ( { \bf { m } } \times { \bf { \sigma } } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \mathbf { W } ^ { - 1 } ] _ { 3 } = \left( \mathbf { W } _ { 3 } - \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } \right) ^ { - 1 } = \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \right) ^ { k } } \\ { = \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } + \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } + \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \left( \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } + \dots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { L } _ { d _ { 1 } , d _ { 2 } } ^ { \rho } = } & { \Big \{ \phi : \mathbb { R } ^ { d _ { 1 } } \to \mathbb { R } ^ { d _ { 2 } } \, \Big | \, \exists ( w , \beta ) \in \mathbb { R } ^ { d _ { 2 } \times d _ { 1 } } \times \mathbb { R } ^ { d _ { 2 } } , \forall i \in \{ 1 , \dots , d _ { 2 } \} , \; \phi ( x ) _ { i } = \rho \Big ( \beta _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { 1 } } w _ { i , j } x _ { j } \Big ) \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r } { B \left( r \right) = \lambda \, \rho _ { w } \, \widetilde { B } , ~ ~ ~ C \left( r \right) = - \lambda \, \rho _ { w } \bigg [ 1 + 3 \, \widetilde { B } \bigg ] \frac { 1 } { r ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \mathcal { T } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \left( [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi _ { \mathcal { T } } ^ { ( 3 ) } } & { { } = \left( [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi _ { \mathcal { T } } ^ { ( 4 ) } } & { { } = \left( [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] , [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi _ { \mathcal { T } } ^ { ( 6 ) } } & { { } = \left( [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] ; N \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { H } [ V _ { j } ] | } & { \leqslant | \mathcal { H } [ V _ { j 1 } ] | + | \mathcal { H } [ V _ { j 2 } ] | + | \mathcal { H } [ S _ { 1 } , S _ { 1 } , S _ { 2 } ] | + | \mathcal { H } [ S _ { 2 } , S _ { 2 } , S _ { 1 } ] | } \\ & { \leqslant \left( \frac { 1 } { 2 4 } + \varepsilon \right) \left( | V _ { j 1 } | ^ { 3 } + | V _ { j 2 } | ^ { 3 } \right) + 2 1 \varepsilon ^ { 1 / 8 } n ^ { 3 } \leqslant \left( \frac { 1 } { 2 4 } + \varepsilon \right) \left( | V _ { j 1 } | ^ { 3 } + \left( | V _ { j } | - | V _ { j 1 } | \right) ^ { 3 } \right) + 2 1 \varepsilon ^ { 1 / 8 } n ^ { 3 } } \\ & { \leqslant \left( \frac { 1 } { 2 4 } + \varepsilon \right) \left( \left( \varepsilon ^ { 1 / 9 } n \right) ^ { 3 } + \left( \left( \frac { 1 } { 3 } + \varepsilon \right) n - \varepsilon ^ { 1 / 9 } n \right) ^ { 3 } \right) + 2 1 \varepsilon ^ { 1 / 8 } n ^ { 3 } \leqslant \left( \frac { 1 } { 2 4 } - \frac { 1 } { 1 0 } \varepsilon ^ { 1 / 9 } \right) \left( \frac { n } { 3 } \right) ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle _ { \mathrm { V I } } } & { { } = \exp \Big \{ \frac { \xi } { 8 } \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } \Big [ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \phi _ { 1 } } \, \hat { b } _ { 3 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \, \hat { b } _ { 3 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) - \, F _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \hat { b } _ { 4 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \, \hat { b } _ { 4 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) \Big \} | \mathrm { v a c } \rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { v ( x , t ) = \frac { 1 } { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } \left\{ \sigma _ { f } \frac { \cosh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x - x _ { b } ) \right] } { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x _ { b } ) \right] } - \sigma _ { b } \frac { \cosh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x ) \right] } { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x _ { b } ) \right] } + \tilde { \chi } \int _ { x _ { b } } ^ { x _ { f } } \partial _ { x } G ( x , x ^ { \prime } ) c ( x ^ { \prime } , t ) d x ^ { \prime } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big ( \frac { 1 } { 2 } - \xi \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \Big ) \Big ( 1 + \frac { ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } ( \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } \Big ( \frac { y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \frac { 2 V } { U - V } \Big ) \Big ) = } \\ & { \frac { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 3 } } { 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } ( \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } \Big ( \frac { y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \frac { 2 V } { U - V } \Big ) \Big ( y ^ { 2 } + \frac { 2 V } { U - V } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) - ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) \Big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime } ( x _ { 2 } / \varepsilon ) \textrm { d } x } & { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( x _ { 1 } , \varepsilon x _ { 2 } ) \phi ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \textrm { d } x _ { 2 } \textrm { d } x _ { 1 } } \\ & { = - \varepsilon \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \frac { \partial \beta } { \partial x _ { 2 } } ( x _ { 1 } , \varepsilon x _ { 2 } ) \phi ( x _ { 2 } ) \textrm { d } x _ { 2 } \textrm { d } x _ { 1 } } \\ & { - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \beta \Big ( x _ { 1 } , \frac { \varepsilon } { 3 } \Big ) \textrm { d } x _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } = } & { { } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left| P _ { n + 1 , k } \cdot O _ { n , k } - \psi _ { k } \right| ^ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { P , k } \left| P _ { n + 1 , k } - P _ { n , k } \right| ^ { 2 } } \end{array}
\exp { ( - S ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ s ( x _ { i } , \tilde { b } _ { i } , Q ) + \int _ { 1 / \tilde { b } _ { i } } ^ { \mu _ { r e n } } \frac { d \overline { { { \mu } } } } { \overline { { { \mu } } } } \gamma _ { q } ( g ( \overline { { { \mu } } } ^ { 2 } ) ) \right] + \quad x _ { i } \leftrightarrow x _ { i } ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { \tau _ { C } } & { { } = } & { { \frac { 1 2 8 R } { 9 \pi ^ { 2 } v _ { 0 } } } \, \left[ \sqrt { 1 + { \frac { 8 1 9 2 \, M \, S c ^ { 2 } } { 8 1 \pi ^ { 4 } } } } - 1 \right] ^ { - 1 } } \\ { D } & { { } = } & { { \frac { 6 4 v _ { 0 } R } { 9 \pi ^ { 2 } } } \, \left[ \sqrt { 1 + { \frac { 8 1 9 2 \, M \, S c ^ { 2 } } { 8 1 \pi ^ { 4 } } } } - 1 \right] ^ { - 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { B } _ { \tau _ { 2 } } ^ { \mathbf { C } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } \cdot \left( \ln \mathbf { B } _ { \tau _ { 2 } } ^ { \mathbf { C } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } - \ln \mathbf { C } \right) = \mathbf { B } _ { \tau _ { 2 } } ^ { \mathbf { D } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } \cdot \left( \ln \mathbf { B ^ { \mathbf { D } } } _ { \tau _ { 2 } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } - \ln \mathbf { C } \right) } \end{array}
\Gamma ( Q ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } F _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) \left( F _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) + F _ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) \right) + { \overline { { \Gamma } } } ( Q ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } { \rho _ { i } ( \boldsymbol { r } ) } & { = Z e n _ { i } \left( 1 - \frac { Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { T _ { i } } \frac { \mathrm { e } ^ { - k _ { D } r } } { r } \right) , } \\ { \rho _ { e } ( \boldsymbol { r } ) } & { = - e n _ { e } \left( 1 + \frac { Z e ^ { 2 } } { T _ { e } } \frac { \mathrm { e } ^ { - k _ { D } r } } { r } \right) . } \end{array}
\operatorname { L i } _ { n } ( z ) + ( - 1 ) ^ { n } \operatorname { L i } _ { n } ( 1 / z ) = - { \frac { ( 2 \pi i ) ^ { n } } { n ! } } B _ { n } \left( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { \ln ( - 1 / z ) } { 2 \pi i } } \right) \qquad ( z \not \in ~ ] 1 ; \infty [ ) ,
f _ { i } \left( \vec { r } + \vec { c } _ { i } \Delta t , \, t + \Delta t \right) = f _ { i } \left( \vec { r } , \, t \right) + \omega \left[ f _ { i } \left( \vec { r } , \, t \right) - f _ { i } ^ { e q } \left( \vec { r } , \, t \right) \right] + S _ { i } \left( \vec { r } , \, t \right) ,
\begin{array} { r } { \tilde { g } _ { \ell \to x } ( - \omega ) S _ { \ell } ( \omega ) = \frac { b \gamma } { ( 1 / { \tau _ { \mathrm { c } } } - i \omega ) ( 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } - i \omega ) } \frac { 2 \sigma _ { \ell } ^ { 2 } / \tau _ { \ell } } { 1 / \tau _ { \ell } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E [ \Psi ( \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) ] } & { = } & { \langle \Psi ( \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) | \hat { H } | \Psi ( \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) \rangle } \\ & { = } & { 2 \sum _ { \mathfrak { n } } \, \lambda _ { \mathfrak { n } } ^ { 2 } \, \langle \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) | \hat { h } _ { 1 } | \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \rangle + \sum _ { \mathfrak { n } } \sum _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, \lambda _ { \mathfrak { n } } \, \lambda _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \langle \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \, \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 2 } ) | \hat { w } _ { 1 2 } | \psi _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \psi _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( \vec { r } _ { 2 } ) \rangle } \end{array}
{ \bf u } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) = \left[ { \bf u } _ { 1 } ^ { \left( \mathrm { e } \right) \mathrm { T } } \left( \theta \right) , \cdots , { \bf u } _ { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } } ^ { \left( \mathrm { e } \right) \mathrm { T } } \left( \theta \right) \right] ^ { \mathrm { T } } \in \mathbb { R } ^ { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } d }