harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { ( 2 6 ! ) ^ { n + 2 } } { 1 3 ! } } & { = \frac { ( 2 6 \cdot 2 5 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 ) ^ { n + 2 } } { 1 3 \cdot 1 2 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 } } \\ & { = ( 2 6 \cdot 2 5 \cdot \ldots \cdot 1 5 \cdot 1 4 ) ^ { n + 2 } \cdot ( 1 3 \cdot 1 2 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 ) ^ { n + 1 } } \\ & { = ( 2 ^ { 1 3 } \cdot 3 ^ { 5 } \cdot 5 ^ { 4 } \cdot 7 ^ { 2 } \cdot 1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 7 \cdot 1 9 \cdot 2 3 ) ^ { n + 2 } \cdot ( 2 ^ { 1 0 } \cdot 3 ^ { 5 } \cdot 5 ^ { 2 } \cdot 7 \cdot 1 1 \cdot 1 3 ) ^ { n + 1 } } \\ & { = 2 ^ { 2 3 n + 3 6 } \cdot ( 3 ^ { 5 } ) ^ { 2 n + 3 } \cdot ( 5 ^ { 2 } ) ^ { 3 n + 5 } \cdot 7 ^ { 3 n + 5 } \cdot 1 1 ^ { 2 n + 3 } \cdot 1 3 ^ { 2 n + 3 } \cdot 1 7 ^ { n + 2 } \cdot 1 9 ^ { n + 2 } \cdot 2 3 ^ { n + 2 } } \\ & { = 2 ^ { 2 3 n + 3 6 } \cdot ( 5 ^ { 2 } \cdot 7 ) ^ { 3 n + 5 } \cdot ( 1 7 \cdot 1 9 \cdot 2 3 ) ^ { n + 2 } \cdot ( 3 ^ { 5 } \cdot 1 1 \cdot 1 3 ) ^ { 2 n + 3 } } \\ & { = 2 ^ { 2 3 n + 3 6 } \cdot 1 7 5 ^ { 3 n + 5 } \cdot 7 4 2 9 ^ { n + 2 } \cdot 3 4 7 4 9 ^ { 2 n + 3 } } \end{array}
w ^ { N _ { I } } - d = ( 1 - s ) \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) \implies \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } \left( w ^ { N _ { I } } - d \right) = \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) \implies \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } \left( w - d ^ { 1 / N _ { I } } \right) = \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } \left( w - 1 \right) \implies \left( w < d ^ { 1 / N _ { I } } < 1 \right) \lor \left( 1 < d ^ { 1 / N _ { I } } < w \right) \implies \left( d ^ { 1 / N _ { I } } - 1 \right) \left( d ^ { 1 / N _ { I } } - w \right) < 0 \implies \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } \left( \left( d ^ { 1 / N _ { I } } - 1 \right) \left( d ^ { 1 / N _ { I } } - w \right) \right) = - 1
\begin{array} { r l } { p ( \mathbf { X } \mid \mu , \sigma ^ { 2 } ) } & { { } = \left( { \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { n / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } + n ( { \bar { x } } - \mu ) ^ { 2 } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { U = - \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \frac { \mathcal { G } m _ { 0 } m _ { k } } { r _ { k } } \left[ 1 + J _ { 2 } \left( \frac { R } { r _ { k } } \right) ^ { 2 } P _ { 2 } ( \mathbf { \hat { r } } _ { k } \cdot \mathbf { s } ) \right] - \frac { \mathcal { G } m _ { 1 } m _ { 2 } } { | \mathbf { r } _ { 2 } - \mathbf { r } _ { 1 } | } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { j k } ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \searrow 0 } \frac { 1 } { \epsilon } y _ { j k } ( t + \epsilon , t ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \searrow 0 } \frac { y _ { j k } ( t + \epsilon , t ) - y _ { j k } ( t , t ) } { \epsilon } = \left. \frac { \partial y _ { j k } ( \xi , t ) } { \partial \xi } \right| _ { t } , } \end{array}
q _ { i j n } ^ { ( l ) } = \varphi \left( \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { p = 0 } ^ { H - 1 } \sum _ { q = 0 } ^ { H - 1 } h _ { p q m n } ^ { ( l ) } q _ { i + p - G , j + q - G , m } ^ { ( l - 1 ) } + b _ { n } ^ { ( l ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \Phi ( \delta \mathbf { x } ) } & { { } = \frac { [ \textrm { t r } ( { \boldsymbol \sigma } ( \mathbf { x } + \delta \mathbf { x } ) ) - \langle \textrm { t r } ( { \boldsymbol \sigma } ) \rangle ] \cdot [ S ( \mathbf { x } ) - \langle S \rangle ] } { \langle \textrm { t r } ( { \boldsymbol \sigma } ) \rangle \langle S \rangle } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 E _ { 1 } } & { = } & { { \frac { 1 } { 1 2 } } - t ^ { 2 } \ln ( \pi e ^ { - \gamma } \sqrt { \tau _ { 2 } / A } ) - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda ( 1 - \lambda ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( ( n - 1 / 2 ) ^ { 2 } + \lambda t ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } } \\ { 2 ( E _ { 1 } - E _ { 2 } ) } & { = } & { { \frac { 1 } { 4 } } - t + t ^ { 2 } \ln 4 - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda ( 1 - \lambda ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { ( ( n - 1 / 2 ) ^ { 2 } + \lambda t ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } - { \frac { 1 } { ( n ^ { 2 } + \lambda t ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathrm { O n ~ X _ { + + + } ~ , } } & { } & { \mu _ { 3 } } & { = \frac { P _ { 3 } } { 8 } | \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } | _ { + } \; | 2 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } | _ { + } \; | \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 2 } | _ { + } \; d \lambda _ { 1 } \, d \lambda _ { 2 } , } \\ { \mathrm { O n ~ X _ { + -- } ~ , } } & { } & { \mu _ { 3 } } & { = \frac { P _ { 3 } } { 8 } | \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } | _ { - } \; | 2 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } | _ { + } \; | \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 2 } | _ { - } \; d \lambda _ { 1 } \, d \lambda _ { 2 } , } \\ { \mathrm { O n ~ X _ { - c } ~ a n d ~ X _ { + c } ~ , } } & { } & { \mu _ { 3 } } & { = \frac { P _ { 3 } } { 8 } \kappa ( 4 \kappa ^ { 2 } + 9 \lambda ^ { 2 } ) \; d \lambda . } \end{array}
b _ { m } ^ { * } ( 0 ) b _ { m } ( 0 ) = { \frac { 1 } { N } } \ \cdot \ { \frac { 1 } { 1 + \sum _ { \boldsymbol { R _ { p } \neq 0 } } e ^ { i { \boldsymbol { k \cdot R _ { p } } } } \alpha _ { m } ( { \boldsymbol { R _ { p } } } ) } } \ ,
{ \cal L } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { 1 } { 8 \pi } \mathrm { I m } \! \int \! \! \mathrm { d } ^ { 2 } \theta \, \tau _ { D } ( A _ { D } ) \, W _ { D } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \pi } \mathrm { I m } \! \int \! \! \mathrm { d } ^ { 2 } \theta \mathrm { d } ^ { 2 } \bar { \theta } \, \bar { A } _ { D } \, A ( A _ { D } ) \, .
\begin{array} { r l } & { \pi _ { 0 \# } \widetilde { \gamma } = \pi _ { 0 \# } \gamma ^ { * } + \widetilde { \nu } ^ { 0 } - ( T _ { t } ^ { - 1 } ) _ { \# } \widetilde { \nu } ^ { 0 } \leq \gamma _ { 0 } ^ { * } + \widetilde { \nu } ^ { 0 } \leq \mu ^ { 0 } , } \\ & { \pi _ { 1 \# } \widetilde { \gamma } = \pi _ { 1 \# } \gamma ^ { * } + ( T \circ T _ { t } ^ { - 1 } ) _ { \# } \widetilde { \nu } ^ { 0 } - ( T \circ T _ { t } ^ { - 1 } ) _ { \# } \widetilde { \nu } ^ { 0 } = \gamma _ { 1 } ^ { * } . \qquad ( \mathrm { a n d ~ w e ~ k n o w ~ } \gamma _ { 1 } ^ { * } \leq \mu ^ { j } ) . } \end{array}
\Gamma _ { \mu } = \; \frac { \alpha ^ { 2 } } { 3 8 4 \, \pi } \; \frac { m _ { \mu } ^ { 5 } } { M _ { W } ^ { 4 } s _ { \theta } ^ { 4 } } \; \left( 1 - \frac { 8 m _ { e } ^ { 2 } } { m _ { \mu } ^ { 2 } } \right) \cdot \left( \frac { 1 } { 1 - \Delta \tilde { r } } \right) ^ { 2 } \cdot C _ { Q E D } ^ { F e r m i }
\Im \, \Pi _ { \rho } ( q ^ { 2 } ) = - \frac { g ^ { 2 } } { 4 8 \pi \sqrt { q ^ { 2 } } } ( q ^ { 2 } - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \Theta ( q ^ { 2 } - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } ) \; .
\left\{ \begin{array} { l l } { { \psi _ { 1 } ( 0 ) } } & { { = e ^ { - i \beta \phi _ { 0 } } \psi _ { 2 } ( 0 ) } } \\ { { \psi _ { 1 } ^ { \dagger } ( 0 ) } } & { { = e ^ { i \beta \phi _ { 0 } } \psi _ { 2 } ^ { \dagger } ( 0 ) , } } \end{array} \right.
{ \frac { d \sigma } { d Q ^ { 2 } d y } } = \int d x \int d y _ { E } S ( x , Q ^ { 2 } ) { \frac { 1 + ( 1 - y ) ^ { 2 } } { y } } \delta \left( y - { \frac { Q ^ { 2 } + ( 2 m _ { c } ) ^ { 2 } } { x s } } - { \frac { 8 m _ { c } ^ { 2 } } { x s } } y _ { E } \right) F [ ^ { 1 } S _ { 0 } ^ { ( 8 ) } ] ( y _ { E } ) ,
\begin{array} { r } { G = \left( \begin{array} { c c } { G ^ { \textrm { R } } } & { G ^ { \textrm { K } } } \\ { 0 } & { G ^ { \textrm { A } } } \end{array} \right) , G _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { G _ { 0 } ^ { \textrm { R } } } & { G _ { 0 } ^ { \textrm { K } } } \\ { 0 } & { G _ { 0 } ^ { \textrm { A } } } \end{array} \right) , \Sigma = \left( \begin{array} { c c } { \Sigma ^ { \textrm { R } } } & { \Sigma ^ { \textrm { K } } } \\ { 0 } & { \Sigma ^ { \textrm { A } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ^ { 3 } \oplus V ^ { 3 } } & { { } \to \Lambda ^ { 2 } ( T _ { p } M ^ { * } ) } \\ { ( \boldsymbol { E } , \boldsymbol { B } ) } & { { } \mapsto \mathcal { R } ^ { - 1 } ( - \boldsymbol { E } ^ { \flat } / \alpha , * \boldsymbol { B } ^ { \flat } ) } \end{array}
< V ( x ) V ^ { \dagger } ( y ) > = \mathrm { T r } e ^ { - { \frac { \beta } { 2 } } ( E ^ { 2 } + B ^ { 2 } ) } e ^ { i { \frac { 2 \pi i } { g } } \int _ { x } ^ { y } \epsilon _ { i j } d l ^ { i } E _ { 3 } ^ { j } }
\left[ \Sigma _ { c } ^ { \lessgtr } \right] _ { \mu \nu } ( i \tau ) = 2 i \left( \begin{array} { c c } { G _ { \kappa \lambda , \upuparrows } ^ { \lessgtr ^ { R } } ( i \tau ) } & { 0 } \\ { 0 } & { G _ { \kappa \lambda , \upuparrows } ^ { \lessgtr ^ { R } } ( i \tau ) } \end{array} \right) c _ { \mu \kappa \alpha } \widetilde { W } _ { \alpha \beta } ( i \tau ) c _ { \nu \lambda \beta } \; .
\begin{array} { r } { u _ { \uparrow } = \mathcal { D } _ { y } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { u _ { \mathrm { L } } } \\ { v _ { \mathrm { L } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X _ { ( k + 1 ) \Delta _ { l - 1 } } ^ { l - 1 } } & { = } & { X _ { k \Delta _ { l - 1 } } ^ { l - 1 } + \alpha ( X _ { k \Delta _ { l - 1 } } ^ { l - 1 } ) \Delta _ { l - 1 } + \beta ( X _ { k \Delta _ { l - 1 } } ^ { l - 1 } ) \{ Z _ { 2 ( k + 1 ) - 1 } + Z _ { 2 ( k + 1 ) } \} + } \\ & { } & { H _ { \Delta _ { l - 1 } } ( X _ { k \Delta _ { l - 1 } } ^ { l - 1 } , Z _ { 2 ( k + 1 ) - 1 } + Z _ { 2 ( k + 1 ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H } & { = } & { \Big ( r _ { + } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ( r _ { + } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ( r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) - a ^ { 2 } \Big ) \Big ( \delta \Big ( \log ( 1 6 \pi ) - \log \Big ( \frac { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) } \Big ) \Big ) } \\ & { + } & { \pi \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ) - \Big ( a ^ { 4 } - r _ { + } ^ { 2 } \Big ( - 4 a ^ { 2 } + 2 Q r _ { + } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ) \Big ( - \delta \log \Big ( \frac { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) } \Big ) + a ^ { 2 } + \delta \log ( 1 6 \pi ) + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ) } \\ & { + } & { \Big ( 2 r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ( - 4 a ^ { 2 } + 3 Q r _ { + } + 2 r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } \Big ( - \delta \log \Big ( \frac { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) } \Big ) + a ^ { 2 } } \\ & { + } & { \delta \log ( 1 6 \pi ) + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) - 2 \Big ( r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) - a ^ { 2 } \Big ) \Big ( a ^ { 4 } - r _ { + } ^ { 2 } \Big ( - 4 a ^ { 2 } + 2 Q r _ { + } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ) \Big ( - a ^ { 4 } \delta + Q r _ { + } ^ { 3 } \Big ( a ^ { 2 } + \delta \Big ) } \\ & { - } & { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 4 } + 3 a ^ { 2 } \delta \Big ) + Q r _ { + } ^ { 5 } + r _ { + } ^ { 6 } \Big ) + 4 r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 4 } - r _ { + } ^ { 2 } \Big ( - 4 a ^ { 2 } + 2 Q r _ { + } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ) \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } \Big ( - \delta \log } \\ & { \times } & { \Big ( \frac { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) } \Big ) + a ^ { 2 } + \delta \log ( 1 6 \pi ) + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) + 2 \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ( a ^ { 4 } - r _ { + } ^ { 2 } \Big ( - 4 a ^ { 2 } + 2 Q r _ { + } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ) } \\ & { \times } & { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } \Big ( - \delta \log \Big ( \frac { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) } \Big ) + a ^ { 2 } + \delta \log ( 1 6 \pi ) + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ) \Big ( \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } \Big ) ^ { - 1 } ) } \\ & { \times } & { \Big ( 4 \pi r _ { + } ^ { 3 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) ^ { 3 } \Big ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle { \Delta E } \right\rangle } & { { } = \Delta _ { B } \left[ \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) } \right\rangle \left\langle { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \beta } { 2 } \right) } \right\rangle + \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \beta } { 2 } \right) } \right\rangle \left\langle { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) } \right\rangle \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d \sigma _ { C } ^ { k e } \left( u _ { k e } , \psi \right) } { d \Omega _ { \psi } } } \\ & { \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \, c ^ { 2 } } \, \frac { \vec { p } _ { e } ^ { \, 2 } \left( 1 - \sin \frac { \psi } { 2 } \right) + m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \left( \vec { p } _ { e } ^ { \, 2 } \, \sin ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 \, \lambda _ { D } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \, m _ { e } ^ { 2 } \, c ^ { 2 } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } } \, \frac { u _ { e } ^ { 2 } \left( 1 - \sin \frac { \psi } { 2 } \right) + \frac { c ^ { 2 } } { \gamma _ { e } ^ { 2 } } } { \left( u _ { e } ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 \, m _ { e } ^ { 2 } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } \lambda _ { D } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \, , } \end{array}
H = { \frac { \epsilon _ { i j k } F _ { a b } ^ { k } { \tilde { E } } _ { i } ^ { a } { \tilde { E } } _ { j } ^ { b } } { \sqrt { \operatorname* { d e t } ( q ) } } } + 2 { \frac { \beta ^ { 2 } + 1 } { \beta ^ { 2 } } } { \frac { ( { \tilde { E } } _ { i } ^ { a } { \tilde { E } } _ { j } ^ { b } - { \tilde { E } } _ { j } ^ { a } { \tilde { E } } _ { i } ^ { b } ) } { \sqrt { \operatorname* { d e t } ( q ) } } } ( A _ { a } ^ { i } - \Gamma _ { a } ^ { i } ) ( A _ { b } ^ { j } - \Gamma _ { b } ^ { j } ) = H _ { E } + H ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \Pi ^ { \prime } ( \theta ) } & { : = p ( \theta ) , } \\ { L ( \theta ) } & { : = \int p ( \textbf { y } _ { \mathrm { o b s } } \mid f ) p ( f \mid \theta , \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } ) \mathrm { d } f , } \\ & { = \mathcal { N } \Big ( \textbf { y } _ { \mathrm { o b s } } ; m ( \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } \mid \theta ) , C ( \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } , \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } \mid \theta ) \Big ) , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { h y p e r } } } & { = \int L ( \theta ) \mathrm { d } \Pi ^ { \prime } ( \theta ) , } \end{array}
f \simeq f _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ t ~ } } + \frac { l } { 2 \rho _ { f } \epsilon _ { f m } \Vert \langle \boldsymbol { u } \rangle _ { m } \Vert } \mu _ { f } \boldsymbol { \mathrm { K } } ^ { - 1 } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \zeta } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { e } _ { s } \exp ( - \lambda x _ { 1 } ) \, ,
\exp ( \mathrm { i } 4 \theta ) = \frac { { { { 4 { J _ { 0 4 } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { 4 { J _ { 0 4 } } } { a _ { 1 } ^ { 4 } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { a _ { 1 } ^ { 4 } } } + { { 4 { J _ { 4 0 } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { 4 { J _ { 4 0 } } } { a _ { 2 } ^ { 4 } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { a _ { 2 } ^ { 4 } } } - { { 4 { J _ { 2 2 } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { 4 { J _ { 2 2 } } } { a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } } } - 5 { I _ { 2 2 } } - { { 5 \left( { { I _ { 4 0 } } + { I _ { 0 4 } } } \right) } \mathord { \left/ { \vphantom { { 5 \left( { { I _ { 4 0 } } + { I _ { 0 4 } } } \right) } 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } { { 3 { { \left( { { I _ { 4 0 } } + { I _ { 0 4 } } } \right) } \mathord { \left/ { \vphantom { { \left( { { I _ { 4 0 } } + { I _ { 0 4 } } } \right) } 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } - 9 { I _ { 2 2 } } } } + \mathrm { { i } } \frac { { { { 4 { J _ { 3 1 } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { 4 { J _ { 3 1 } } } { { a _ { 1 } } a _ { 2 } ^ { 3 } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { { a _ { 1 } } a _ { 2 } ^ { 3 } } } - { { 4 { J _ { 1 3 } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { 4 { J _ { 1 3 } } } { a _ { 1 } ^ { 3 } { a _ { 2 } } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { a _ { 1 } ^ { 3 } { a _ { 2 } } } } } } { { \left( { { I _ { 4 0 } } + { I _ { 0 4 } } } \right) - 6 { I _ { 2 2 } } } } .
\begin{array} { r } { \Vert \partial _ { t } f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { k } ) } \lesssim \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { \sigma + 1 } ^ { k + 1 } ) } + \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { k + 1 } ) } \left( \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { k } ) } + \Lambda \left( \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { k + 1 } ) } \right) \right) , } \end{array}
\beta _ { p } = \frac { n _ { p } [ c m ^ { - 3 } ] \times T _ { p } [ e V ] \times 1 . 6 0 2 \times 1 0 ^ { - 1 2 } } { ( B ^ { 2 } [ T ^ { 2 } ] \big / 8 \pi ) \times 1 0 ^ { 8 } }
\sigma _ { \hat { x } } = \sqrt { \frac { \sigma _ { y } ^ { 2 } + \sigma _ { b } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } + \hat { x } ^ { 2 } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } + 2 \frac { \hat { x } } { k ^ { 2 } } \mathrm { C o v } ( k , b ) }
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r _ { j + 1 } \leq r \leq r _ { j } \} } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \delta } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r \leq } & { \: 2 ^ { - j \delta } ( \tau + 1 ) ^ { - \delta } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { 1 } \} } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ K \widetilde { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r } \\ { \leq } & { \: C 2 ^ { - j \delta } ( 1 + \tau ) ^ { - 1 - \nu _ { m } + \eta - \delta } D _ { \mathrm { i n h o m } } [ \widetilde { \phi } ] } \\ { \leq } & { \: C 2 ^ { - j \delta } ( \tau + 1 ) ^ { - \delta } ( 2 ^ { j + 1 } + B ) ^ { 2 \epsilon } ( \tau + 1 ) ^ { 2 \epsilon } D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] } \\ { \leq } & { \: 2 ^ { - j ( \delta - 2 \epsilon ) } C ( 1 + \tau ) ^ { - 1 - \nu _ { m } + \eta - \delta + 2 \epsilon } D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] . } \end{array}
\left[ { \hat { x } } ^ { n } , { \hat { p } } ^ { m } \right] = \sum _ { k = 1 } ^ { \operatorname* { m i n } \left( m , n \right) } { { \frac { - \left( - i \hbar \right) ^ { k } n ! m ! } { k ! \left( n - k \right) ! \left( m - k \right) ! } } { \hat { x } } ^ { n - k } { \hat { p } } ^ { m - k } } = \sum _ { k = 1 } ^ { \operatorname* { m i n } \left( m , n \right) } { { \frac { \left( i \hbar \right) ^ { k } n ! m ! } { k ! \left( n - k \right) ! \left( m - k \right) ! } } { \hat { p } } ^ { m - k } { \hat { x } } ^ { n - k } } ,
\begin{array} { r } { \frac { d p _ { j } } { d t } = - \frac { \partial \hat { H } _ { e f f } } { \partial q _ { j } } , \frac { d q _ { j } } { d t } = + \frac { \partial \hat { H } _ { e f f } } { \partial p _ { j } } , ( j = x , y ) . } \end{array}
( \frac { \partial \pmb { \zeta } _ { 1 } } { \partial x } ) = \frac { { \bf K } _ { 1 x } ^ { 1 } d \pmb { \zeta } _ { 1 } - { \bf K } _ { 1 x } ^ { 2 } d \pmb { \zeta } _ { 2 } + { \bf K } _ { 1 x } ^ { 3 } d \pmb { \zeta } _ { 3 } - { \bf K } _ { 1 x } ^ { 4 } d \pmb { \zeta } _ { 4 } } { | { \bf K } | }
\begin{array} { r l } { V _ { I L } ^ { \mathrm { C } } = } & { \sum _ { { I ^ { \prime } L ^ { \prime } \ne I L } } ( \Gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } + \gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } ) n _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } } , } \\ { U _ { I L } = } & { \left( \Gamma _ { I L , I L } + \gamma _ { I L , I L } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { { } \mathrm { R } ^ { \mathrm { p } } = } & { } & { { } \frac { \partial v _ { \mathrm { k } } } { \partial x _ { \mathrm { k } } } } & { } & { { } = 0 } \end{array}
( G G ^ { \prime } ) _ { { } _ { { \mathrm M a j o r o n } } } = \sum _ { P , P ^ { \prime } = H , S } { { \frac { g _ { { } _ { P f f } } g _ { { } _ { P ^ { \prime } f f } } g _ { { } _ { P J J } } g _ { { } _ { P ^ { \prime } J J } } } { m _ { P } ^ { 2 } m _ { P ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } .
Z [ J ] = \int { \mathcal { D } } \phi e ^ { - \int d ^ { 4 } x \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \phi ^ { 2 } + { \frac { g } { 4 ! } } \phi ^ { 4 } + J \phi \right] } .
- ~ \frac { ( \mu - 1 ) ( 2 \mu - 3 ) } { 2 ( \mu - 2 ) } \left[ \hat { \Phi } ( \mu ) ~ + ~ \hat { \Psi } ^ { 2 } ( \mu ) ~ - ~ \frac { 8 ( 2 \mu - 3 ) } { ( \mu - 1 ) ( \mu - 2 ) \eta _ { 1 } } ~ - ~ \frac { 2 } { ( \mu - 2 ) ^ { 2 } } \right] \eta _ { 1 } ^ { 2 }
\gamma _ { a \dot { b } } ^ { i } \tilde { \gamma } _ { \dot { b } c } ^ { j } + \gamma _ { a \dot { b } } ^ { j } \tilde { \gamma } _ { \dot { b } c } ^ { i } = 2 \delta ^ { i j } \delta _ { a c } \; , \qquad \tilde { \gamma } _ { \dot { a } b } ^ { i } \gamma _ { b \dot { c } } ^ { j } + \tilde { \gamma } _ { \dot { a } b } ^ { j } \gamma _ { b \dot { c } } ^ { i } = 2 \delta ^ { i j } \delta _ { \dot { a } \dot { c } } \; .
\begin{array} { r l } & { | | \partial _ { n } u | | _ { H ^ { 1 / 2 } ( \partial U ) } = \operatorname* { s u p } _ { \psi \in H ^ { 1 / 2 } ( \partial U ) } \left( \frac { \partial _ { n } u ( \psi ) } { | | \psi | | _ { H ^ { 1 / 2 } ( \partial U ) } } \right) \leq } \\ & { \leq C \operatorname* { s u p } _ { \psi \in H ^ { 1 / 2 } ( \partial U ) } \left( \frac { 1 } { | | E \psi | | _ { H ^ { 1 } ( U ) } } \int _ { U } \Delta u E \psi d x + \int _ { U } \nabla u \nabla E \psi d x \right) \leq } \\ & { \leq C ( | | \Delta u | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } + | | \nabla u | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ) . } \end{array}
q ( x ; \Omega ^ { 1 } ) \ \ = \ \ \int \, \Psi _ { J _ { 3 } T _ { 3 } } ^ { { ( J ) } ^ { * } } [ \xi _ { A } ] \, \, \, O ^ { ( 1 ) } [ \xi _ { A } ] \, \, \, \Psi _ { J _ { 3 } T _ { 3 } } ^ { ( J ) } [ \xi _ { A } ] \, \, d \xi _ { A } ,
\begin{array} { r } { \Vert \nabla _ { x } \mathrm { Y } ^ { s ; t } \Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } \leq \underset { \tau \leq t } { \operatorname* { s u p } } \, \Vert \nabla _ { x } \mathrm { Y } ^ { \tau ; t } \Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } \leq \frac { ( e ^ { T } - 1 ) T ^ { 1 / 2 } \Lambda ( T , \mathrm { R } ) } { 1 - ( e ^ { T } - 1 ) T ^ { 1 / 2 } \Lambda ( T , \mathrm { R } ) } \lesssim \varphi ( T ) \Lambda ( T , \mathrm { R } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( h _ { 0 , a b } ) = \frac { j } { 2 \vert x \vert ^ { 4 } } \left( \begin{array} { l l l } { ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 3 } ) ^ { 2 } } & { \frac { ( x ^ { 2 } x ^ { 3 } + i x ^ { 1 } \vert x \vert ) ( x ^ { 1 } x ^ { 3 } + i x ^ { 2 } \vert x \vert ) } { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } & { - ( x ^ { 1 } x ^ { 3 } + i x ^ { 2 } \vert x \vert ) } \\ { \frac { ( x ^ { 2 } x ^ { 3 } - i x ^ { 1 } \vert x \vert ) ( x ^ { 1 } x ^ { 3 } - i x ^ { 2 } \vert x \vert ) } { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } & { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 3 } ) ^ { 2 } } & { - ( x ^ { 2 } x ^ { 3 } + i x ^ { 1 } \vert x \vert ) } \\ { - ( x ^ { 1 } x ^ { 3 } - i x ^ { 2 } \vert x \vert ) } & { - ( x ^ { 2 } x ^ { 3 } - i x ^ { 1 } \vert x \vert ) } & { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}