harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S _ { p } ( \ell _ { m } ) = u _ { 0 } ^ { p } \, \frac { \Big \langle \Big ( \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \mathcal { X } _ { - j } [ U ^ { ( m ) } ] \Big ) ^ { p - 1 } \Big \rangle _ { \tau ^ { ( m ) } } } { \Big \langle \Big ( \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \mathcal { X } _ { - j } [ U ^ { ( m ) } ] \Big ) ^ { - 1 } \Big \rangle _ { \tau ^ { ( m ) } } } .
\begin{array} { r l } { { \left\langle { \psi _ { m , n } ^ { \gamma , \eta } , \psi _ { j , k } ^ { \gamma , \eta } } \right\rangle } } & { = { \left\langle { \mathcal { L } _ { \gamma + 1 , \eta } ^ { \alpha , \beta , + } ( \psi _ { m - 1 , n } ^ { \gamma + 1 , \eta } ) , \psi _ { j - 1 , k } ^ { \gamma + 1 , \eta } } \right\rangle } = E _ { m - 1 } ^ { \gamma + 1 , \alpha } { \left\langle { \psi _ { m - 1 , n } ^ { \gamma + 1 , \eta } , \psi _ { j - 1 , k } ^ { \gamma + 1 , \eta } } \right\rangle } . } \end{array}
\rho ^ { - 4 } \left( e ^ { \hat { \phi } } - g _ { s } \right) = { \frac { 3 K ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { 4 } } { L ^ { 8 } \pi ^ { 4 } } } { \frac { \rho _ { 0 } ^ { 4 } } { ( ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + \rho _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } } \, ,
\left. \left[ \begin{array} { c } { R _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { R _ { t - 1 } } \\ { \theta _ { t , 1 } ^ { \mathrm { i d } } } \\ { \theta _ { t , 2 } ^ { \mathrm { i d } } } \end{array} \right] \right| ( A _ { 1 } , \ldots , A _ { t - 1 } ) \sim \mathcal { N } \left( 0 \in \mathbb { R } ^ { ( t - 1 ) + 2 } , \left[ \begin{array} { c c } { \Sigma _ { t , R R } \in \mathbb { R } ^ { ( t - 1 ) \times ( t - 1 ) } } & { \Sigma _ { t , \theta R } ^ { \top } \in \mathbb { R } ^ { ( t - 1 ) \times 2 } } \\ { \Sigma _ { t , \theta R } \in \mathbb { R } ^ { 2 \times ( t - 1 ) } } & { \Sigma _ { t , \theta \theta } \in \mathbb { R } ^ { 2 \times 2 } } \end{array} \right] \right) ,
\delta S _ { 6 } \sim \int d ^ { 6 } x \epsilon ^ { \mu \nu \rho \lambda \sigma } \delta B _ { \mu \nu } \partial _ { \rho } ( \tilde { H } _ { \lambda \sigma } g _ { 1 } + ( \tilde { H } ^ { 3 } ) _ { \lambda \sigma } g _ { 2 } - \partial _ { 5 } B _ { \lambda \sigma } )
R ^ { 2 } = { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \sum _ { i } \mathrm { T r } ( \Phi _ { i } ^ { 2 } ) = { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } ( N ^ { 2 } - 1 ) f ^ { 2 } ( \sigma ) \ ,
\begin{array} { r l } { E _ { P P L b } } & { { } = \sum _ { a b c d i j } \sum _ { R S T U W Y } \left( 2 \tilde { X } _ { a } ^ { R } \tilde { X } _ { i } ^ { R } T _ { R S } ^ { [ 1 ] } \tilde { X } _ { b } ^ { S } \tilde { X } _ { j } ^ { S } - \tilde { X } _ { a } ^ { R } \tilde { X } _ { j } ^ { R } T _ { R S } ^ { [ 1 ] } \tilde { X } _ { b } ^ { S } \tilde { X } _ { i } ^ { S } \right) } \\ { \tilde { \tilde { P } } _ { a b } ^ { R } } & { { } = \sum _ { S } V _ { R S } \tilde { \tilde { X } } _ { a } ^ { S } \tilde { \tilde { X } } _ { b } ^ { S } } \\ { Q _ { a i } ^ { R } } & { { } = \sum _ { S } T _ { R S } ^ { [ 1 ] } \tilde { X } _ { a } ^ { S } \tilde { X } _ { i } ^ { S } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma = z ^ { \prime } - z , } \\ & { \Phi = \phi ^ { \prime } - \phi , } \\ & { D ^ { 2 } ( \Phi ) = \gamma ^ { 2 } + B ^ { 2 } ( \Phi ) , } \\ & { B ^ { 2 } ( \Phi ) = r ^ { 2 } + r ^ { 2 } - 2 r r ^ { \prime } \cos { \Phi } , } \\ & { G ^ { 2 } ( \Phi ) = \gamma ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { ( \Phi ) } , } \\ & { \beta _ { 1 } ( \Phi ) = ( r ^ { \prime } - r \cos { \Phi } ) / G ( \Phi ) , } \\ & { \beta _ { 2 } ( \Phi ) = \gamma / B ( \Phi ) , } \\ & { \beta _ { 3 } ( \Phi ) = \gamma ( r ^ { \prime } - r \cos { \phi } ) / [ r \sin { \phi } D ( \Phi ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { d p } = m _ { i } + c _ { i } w \int _ { 0 } ^ { \infty } d t u _ { d p } ( x = 0 , t ) = m _ { i } + c _ { i } w u _ { d p } ^ { \ast } ( x = 0 , \sigma = 0 ) = m _ { i } - \frac { m _ { i } \Gamma _ { p } ( 1 - \chi ) } { D _ { s } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma : } & { { } = } & { \mathrm { s m a l l e s t \ e i g e n v a l u e \ o f } \ \ B _ { \infty } - A _ { \infty } } \\ { \lambda : } & { { } = } & { \mathrm { l a r g e s t \ n e g a t i v e \ e i g e n v a l u e \ o f } \ \ J \frac { d } { d t } + A _ { \infty } \ . } \end{array}
\delta _ { \mathrm { P Q C D } } \sim 1 2 3 ^ { o } \; , \; \; \; \; \delta _ { \mathrm { B B N S } } \sim - 5 0 ^ { o } \; , \; \; \; \; \delta _ { \mathrm { F A } } \sim - 1 1 3 ^ { o } \; .
\begin{array} { r } { \Bigl \{ \{ ( i _ { 1 i } , \alpha _ { 1 i } ) \in X | \alpha _ { 1 i } = \alpha _ { \operatorname* { m i n } } ^ { X } ) \} \cap \{ ( i _ { 2 i } , \alpha _ { 2 i } ) \in Y | \alpha _ { 2 i } = \alpha _ { \operatorname* { m i n } } ^ { X } ) \} \Bigl \} \: \cup } \\ { \Bigl \{ \{ ( i _ { 1 i } , \alpha _ { 1 i } ) \in X | \alpha _ { 1 i } = \alpha _ { \operatorname* { m i n } } ^ { Y } ) \} \cap \{ ( i _ { 2 i } , \alpha _ { 2 i } ) \in Y | \alpha _ { 2 i } = \alpha _ { \operatorname* { m i n } } ^ { Y } ) \} \Bigl \} \: \neq \emptyset \: \mathrm { a n d } } \\ { \{ ( i _ { 1 i } , \alpha _ { 1 i } ) \in X | \alpha _ { 1 i } > \alpha _ { \operatorname* { m i n } } ^ { X } ) \} \: \neq \: \{ ( i _ { 2 i } , \alpha _ { 2 i } ) \in Y | \alpha _ { 2 i } > \alpha _ { \operatorname* { m i n } } ^ { X } ) \} \: \mathrm { a n d } } \\ { \{ ( i _ { 1 i } , \alpha _ { 1 i } ) \in X | \alpha _ { 1 i } > \alpha _ { \operatorname* { m i n } } ^ { Y } ) \} \: \neq \: \{ ( i _ { 2 i } , \alpha _ { 2 i } ) \in Y | \alpha _ { 2 i } > \alpha _ { \operatorname* { m i n } } ^ { Y } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l l l l } { c } & { d } & { d } & { \dots } & { d } \\ { d } & { c } & { d } & { \dots } & { d } \\ { d } & { d } & { c } & { \dots } & { d } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \ddots } & { \vdots } \\ { d } & { d } & { d } & { \dots } & { c } \end{array} \right) \left( x _ { 1 } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \end{array} \right) + \frac { n } { \mathscr { d } _ { 1 } } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { v _ { 2 } } \\ { v _ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { v _ { r } } \end{array} \right) \right) } & { \equiv x _ { 1 } ( c + ( r - 1 ) d ) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \end{array} \right) + \frac { n } { \mathscr { d } _ { 1 } } \left( \begin{array} { l } { d v _ { 2 } + d v _ { 3 } + \dots + d v _ { r } } \\ { c v _ { 2 } + d v _ { 3 } + \dots + d v _ { r } } \\ { d v _ { 2 } + c v _ { 3 } + \dots + d v _ { r } } \\ { \vdots } \\ { d v _ { 2 } + d v _ { 3 } + \dots + d v _ { r - 1 } + c v _ { r } } \end{array} \right) . } \end{array}
u _ { t } ^ { i _ { k } } = \frac { s ^ { i } \left( x _ { 0 } ^ { i } + \epsilon _ { t } ^ { i } \right) + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } y _ { t - 1 } ^ { j } } { s ^ { i } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } } - x _ { 0 } ^ { i } = \frac { s ^ { i } \epsilon _ { t } ^ { i } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } \left( y _ { t - 1 } ^ { j } - x _ { 0 } ^ { i } \right) } { s ^ { i } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } } .
\begin{array} { r l } { \hat { F } _ { 1 } } & { { } = \sum _ { n } ^ { L _ { 1 } } \alpha _ { n } ^ { ( 1 ) } H _ { n } ^ { ( 1 ) } \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; \lambda _ { F _ { 1 } } = \sum _ { n } | \alpha _ { n } ^ { ( 1 ) } | , } \\ { \hat { F } _ { 2 } } & { { } = \sum _ { n } ^ { L _ { 2 } } \alpha _ { n } ^ { ( 2 ) } H _ { n } ^ { ( 2 ) } \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; \lambda _ { F _ { 2 } } = \sum _ { n } | \alpha _ { n } ^ { ( 2 ) } | . } \end{array}
B _ { i } = \{ ( \mathbf { r } , \mathbf { v } ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \times \mathbb { R } ^ { 2 } : \| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } \| _ { 2 } < \| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { j } \| _ { 2 } \quad \mathrm { f o r } \quad \mathrm { a l l } \quad j \neq i \} .
\begin{array} { r l } { \frac { d E } { d t } } & { { } = - \int d ^ { 2 } x \, \partial _ { i } \left( \mathcal { H } v _ { i } + T _ { i j } v _ { j } \right) = - \int d x \left( T _ { x y } v _ { x } \right) \Big | _ { y = 0 } . } \end{array}
{ \sqrt 3 } s _ { 3 } = \nu _ { 1 } - \nu _ { 2 } \ ; \quad 3 t _ { 3 } = - 2 \nu _ { 3 } + \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } \ \ ( + \mathrm { c y c l i c p e r m u t a t i o n s } )
\begin{array} { r l } { \overline { { \boldsymbol { S } } } _ { \mathrm { m a g } } = } & { I _ { B 0 , 0 } ^ { L } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( B ^ { L } \right) ^ { 2 } \overline { { \boldsymbol { I } } } - \boldsymbol { B } ^ { L } \boldsymbol { B } ^ { L } \right] } \\ & { + I _ { B 0 , 0 } ^ { R } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( B ^ { R } \right) ^ { 2 } \overline { { \boldsymbol { I } } } - \boldsymbol { B } ^ { R } \boldsymbol { B } ^ { R } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { { S R } , \ m u } } ^ { \mathrm { F o c k } } = - } & { \sum _ { i j } \int d \boldsymbol { r } \, d \boldsymbol { r ^ { \prime } } \psi _ { i } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ) \psi _ { j } ( \boldsymbol { r } ) \frac { \mathrm { e r f c } ( \mu \left| \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } \right| ) } { \left| \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } \right| } } \\ & { \times \psi _ { j } ^ { * } ( \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \psi _ { i } ( \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } \end{array}
\begin{array} { l } { { \Phi ( E , x ) = \Phi _ { ( p , q ) } ^ { N } ( x ) = } } \\ { { = \prod _ { k = 1 } ^ { m } \left( x + \displaystyle \frac { 2 p - 1 } { 2 m } - \frac { 2 k - 1 } { 2 m } \right) \prod _ { \ell = 1 } ^ { n } \left( N - x + \displaystyle \frac { 2 q - 1 } { 2 n } + \frac { 2 \ell - 1 } { 2 n } \right) } } \\ { { = \displaystyle \frac { 1 } { m ^ { m } n ^ { n } } \displaystyle \frac { \Gamma \left( m x + p \right) } { \Gamma \left( m x + p - m \right) } \displaystyle \frac { \Gamma \left( ( N - x ) n + q + n \right) } { \Gamma \left( ( N - x ) n + q \right) } . } } \end{array}
( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { 2 } X _ { k } ^ { \ell , m } = \left( 1 + \frac { e ^ { 2 } } { 2 } \right) X _ { k } ^ { \ell + 2 , m } + e \left[ X _ { k } ^ { \ell + 2 , m + 1 } + X _ { k } ^ { \ell + 2 , m - 1 } \right] + \frac { e ^ { 2 } } { 4 } \left[ X _ { k } ^ { \ell + 2 , m + 2 } + X _ { k } ^ { \ell + 2 , m - 2 } \right] \ .
\mathscr { P } _ { t _ { s } > t _ { c } } = \frac { e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } ( \tau e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } - \tau - t _ { c } ) } { \tau ( e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } - 1 ) ^ { 2 } } ~ .
\begin{array} { r l } { \mathrm { { d i a g } } \left( { { { { \bf { \tilde { G } } } } _ { n - 1 } } { \bf { D \tilde { G } } } _ { n - 1 } ^ { H } } \right) } & { \approx { \mathrm { d i a g } } \left( { { a _ { n } } , 1 , 1 } \right) { \bf { D } } , } \\ { \mathrm { { d i a g } } \left( { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } { { { { \bf { \bar { G } } } } _ { n , i } } } { { \bf { \Sigma } } _ { \omega } } { \bf { \bar { G } } } _ { n , i } ^ { H } } \right) } & { \approx \left( { n - 1 } \right) { \mathrm { d i a g } } \left( { \frac { { { b _ { n } } } } { { n - 1 } } , 1 , 1 } \right) { { \bf { \Sigma } } _ { \omega } } , } \end{array}
\mathbf { u } ( 1 ) = F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \tilde { \mathbf { u } } ( 1 ) = F _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ( \pi \mathbf { z } )
\Theta ( p _ { \mathrm { \tiny ~ T } } ) = \frac { N _ { \gamma } ^ { \mathrm { \tiny ~ r e c , M C } } } { N _ { \gamma } ^ { \mathrm { \tiny ~ r e c , R D } } } \times \frac { \mathrm { d } N _ { \gamma } ^ { \mathrm { \tiny ~ r e c , R D } } / \mathrm { d } p _ { \mathrm { \tiny ~ T } } } { \mathrm { d } N _ { \gamma } ^ { \mathrm { \tiny ~ r e c , M C } } / \mathrm { d } p _ { \mathrm { \tiny ~ T } } } .
f _ { m } \left( i , j , k \right) = \frac { V _ { m } \left( i , j , k \right) } { V _ { \mathrm { c e l l } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , c e l l w i t h p h a s e ~ m o n l y } \\ { \left] 0 , 1 \right[ , c e l l w i t h i n t e r f a c e o f ~ m } \\ { 0 , c e l l w i t h o u t p h a s e ~ m } \end{array} \right.
\sigma _ { _ { T P P } } \simeq \frac { \alpha ^ { 3 } } { m _ { e } ^ { 2 } } \left( \frac { 2 8 } { 9 } \mathrm { l n } \frac { s } { m _ { e } ^ { 2 } } - \frac { 2 1 8 } { 2 7 } \right) .
V ^ { g ^ { 4 } } \left( L \right) = \frac { 1 } { 2 } g ^ { 4 } C _ { A } C _ { F } \left( { - \frac { 1 } { L } } \right) \int _ { \bf 0 } ^ { \bf y } { d z ^ { i } } \int _ { \bf 0 } ^ { \bf y } { d z ^ { \prime j } } D _ { i j } ( z , z ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { \left( - 1 + \frac { a ^ { 2 } \Delta \sin ^ { 2 } \theta } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) \partial _ { t } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } - \frac { 2 M a r } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \partial _ { \phi } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } - h _ { 0 } R ^ { \star } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } = \frac 1 2 \left( F ^ { { \widetilde { \tau } } } \widetilde { \partial } _ { { \widetilde { \tau } } } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } + F ^ { { \widetilde { \phi } } } \widetilde { \partial } _ { \widetilde { \phi } } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } - \frac { 2 h _ { 0 } } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \widetilde { \partial } _ { r } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( \mu , \sigma ^ { 2 } ; \mu _ { 0 } , n _ { 0 } , \nu _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) } & { = p ( \mu \mid \sigma ^ { 2 } ; \mu _ { 0 } , n _ { 0 } ) \, p ( \sigma ^ { 2 } ; \nu _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ & { \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - ( \nu _ { 0 } + 3 ) / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + n _ { 0 } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) \right] . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { { \vec { E } } \left( { \vec { r } } , t \right) \cdot { \vec { H } } \left( { \vec { r } } , t \right) } & { = e _ { x } h _ { x } + e _ { y } h _ { y } + e _ { z } h _ { z } } \\ & { = e _ { x } \left( - { \frac { e _ { y } } { \eta } } \right) + e _ { y } \left( { \frac { e _ { x } } { \eta } } \right) + 0 \cdot 0 } \\ & { = 0 , } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } + \nabla \! \cdot \! [ ( D + \eta ) \mathbf { u } ] = \frac { \sqrt { 3 } - 2 } { 2 \sqrt { 3 } } \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \nabla \zeta _ { t } ) - \zeta _ { t } \ , } \\ & { \mathbf { u } _ { t } + g \nabla \eta + \frac { 1 } { 2 } \nabla | \mathbf { u } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \nabla \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) = \frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } } D \nabla \zeta _ { t t } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int \psi _ { m _ { J } } ^ { \dag } ( \mathbf { r } ) \, \big [ \mathbf { e } _ { r } \times \boldsymbol \alpha \big ] \, \psi _ { m _ { J } ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ) \sin \theta d \theta d \phi \times } \\ & { } & { ~ ~ ~ = g ( r ) f ( r ) \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \theta d \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \times } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ \Big \{ i \, \Omega _ { \frac { 1 } { 2 } 0 m _ { J } } ^ { \dag } \big [ \mathbf { e } _ { r } \times \boldsymbol \sigma \big ] \Omega _ { \frac { 1 } { 2 } 1 m _ { J } ^ { \prime } } + \mathrm { c . c . } \Big \} } \\ & { } & { ~ ~ ~ = - \frac { 8 } { 3 } \, g ( r ) f ( r ) \, \mathbf { J } _ { m _ { J } , m _ { J } ^ { \prime } } , } \end{array}
\left| \psi _ { n k } \right\rangle = \left| \psi _ { n k } ^ { ( 0 ) } \right\rangle + \lambda \sum _ { m \neq n } { \frac { V _ { m , n k } } { E _ { m } ^ { ( 0 ) } - E _ { n } ^ { ( 0 ) } } } \left( - \left| \psi _ { m } ^ { ( 0 ) } \right\rangle + \sum _ { l \neq k } { \frac { V _ { n l , m } } { E _ { n l } ^ { ( 1 ) } - E _ { n k } ^ { ( 1 ) } } } \left| \psi _ { n l } ^ { ( 0 ) } \right\rangle \right) + { \mathcal { O } } ( \lambda ^ { 2 } ) \, .
\langle \psi _ { i } ^ { \alpha } C \gamma _ { 5 } \psi _ { j } ^ { \beta } \rangle \propto \delta _ { i } ^ { \alpha } \delta _ { j } ^ { \beta } - \delta _ { j } ^ { \alpha } \delta _ { i } ^ { \beta } = \epsilon ^ { \alpha \beta A } \epsilon _ { i j A }
\int _ { \Omega } \rho { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } \cdot \mathbf { v } + \int _ { \Omega } \mu \nabla \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { v } + \int _ { \Omega } \rho ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } - \int _ { \Omega } p \nabla \cdot \mathbf { v } = \int _ { \Omega } \mathbf { f } \cdot \mathbf { v } + \int _ { \partial \Omega } \left( \mu { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial { \hat { \mathbf { n } } } } } - p { \hat { \mathbf { n } } } \right) \cdot \mathbf { v } \quad \forall \mathbf { v } \in V .
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } { e ^ { 2 \pi i \alpha } + 1 } } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { \mathrm { f o r } \quad \alpha - \frac { 1 } { 2 } \notin \mathbb { Z } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { p _ { 1 } } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } & & { \mathrm { f o r } \quad \alpha + \frac { 1 } { 2 } \in \mathbb { N } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { p _ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { \mathrm { f o r } \quad \frac { 1 } { 2 } - \alpha \in \mathbb { N } , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial T ^ { 2 } } = - \frac { c ^ { p } } { T _ { m } } , \quad \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial P ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { K \rho ^ { o } } , \quad \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial P \partial T } = \frac { \alpha } { \rho ^ { o } } .
\tau _ { 1 } ^ { \mathrm { n c } } = \gamma _ { 1 } \frac { d \theta _ { 1 } } { d t } = ( \gamma _ { 0 } + \gamma / 2 ) \frac { d \theta _ { 1 } } { d t } , \quad \tau _ { 2 } ^ { \mathrm { n c } } = \delta \chi \theta _ { 1 } + \gamma _ { 2 } \frac { d \theta _ { 2 } } { d t } = \delta \chi \theta _ { 1 } + ( \gamma _ { 0 } - \gamma / 2 ) \frac { d \theta _ { 2 } } { d t } ,
\begin{array} { r l } { k _ { i } ( \mathbf { s } , \mathbf { s } ^ { \prime } ) = } & { \sigma _ { r } ^ { 2 } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 l ^ { 2 } } ( \mathbf { s } - \mathbf { s } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) + } \\ & { \sigma _ { l } ^ { 2 } ( \mathbf { s } - c ) ( \mathbf { s } ^ { \prime } - c ) + \sigma _ { n } ^ { 2 } \delta _ { i j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \mathcal { T } } ( x ) } & { = c _ { \mathcal { T } } ( x ) } \\ { J _ { t } ( x ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { ( S _ { t } , u ) \in \mathbf { U } _ { K } \times \Pi _ { i \in S _ { t } } \mathcal { U } _ { i } } \mathbf { E } _ { w } \left[ c _ { t } ( x , u ^ { S _ { t } } ) + J _ { t + 1 } ( f _ { \theta _ { t } } ^ { S _ { t } } ( x , u ^ { S _ { t } } , w ) ) \right] , } \end{array}
\vec { f } _ { L } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \rho \cdot \frac { C _ { L } \cdot A _ { r e f } } { m } \cdot | \vec { v } _ { r e l } | ^ { 2 } \cdot \frac { ( \vec { v } _ { r e l } \times \vec { n } ) \times \vec { v } _ { r e l } } { | ( \vec { v } _ { r e l } \times \vec { n } ) \times \vec { v } _ { r e l } | } ,
\begin{array} { r } { A ( x , t ) = \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { { i } } } { 1 0 } t ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { ( 1 + \mathrm { { i } } ) x + 2 \cos ( t ) } } { 1 + \frac { \mathrm { e } ^ { 2 x + 4 \cos ( t ) } } { 8 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z = } & { ~ w ^ { \top } B _ { j } w } \\ { = } & { ~ w ^ { \top } ( \frac { 1 } { p } \sum _ { i \in \Omega _ { * , j } } U _ { t , i } U _ { t , i } ^ { \top } ) w } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { p } \sum _ { i \in \Omega _ { * , j } } \langle w , U _ { t , i } \rangle ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { p } \sum _ { i \in [ m ] } \delta _ { i , j } \cdot \langle w , U _ { t , i } \rangle ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \phi ( \vec { x } ) } & { = \int d ^ { 2 } \vec { r } \, G _ { \phi } ( \vec { x } - \vec { r } ) \rho _ { \phi } ( \vec { r } ) ; \quad \xi ( \vec { x } ) } & { = \int d ^ { 2 } \vec { r } \, G _ { \xi } ( \vec { x } - \vec { r } ) \rho _ { \xi } ( \mathbf { r } ) ; \quad \chi ( \vec { x } ) } & { = \int d ^ { 2 } \vec { r } \, G _ { \chi } ( \vec { x } - \vec { r } ) \rho _ { \chi } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\mathbb E _ { \nu _ { \rho } ^ { \star } } \Big [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t ^ { \prime } \leq t } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } ( \rho - \xi _ { s } ( z ) ) d s \Big ) ^ { 2 } \Big ] \leq C t ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s / t } \mathbb E _ { \nu _ { \rho } } \Big [ \Big ( \int _ { 0 } ^ { s } ( \hat { \eta } _ { \tau } ( z ) - \rho ) d \tau \Big ) ^ { 2 } \Big ] d s .
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } K ( j | i ) \frac { u ( j , t ) } { u ( i , t ) } [ S ( j , t ) - S ( i , t ) ] + U ( i ) = } & { - \frac { d S ( i , t ) } { d t } } \\ { \sum _ { j } K ( i | j ) \frac { v ( j , t ) } { v ( i , t ) } [ S ( i , t ) - S ( j , t ) ] + U ( i ) = } & { - \frac { d S ( i , t ) } { d t } } \\ { \sum _ { j } K ( i | j ) \frac { u ( i , t ) } { u ( j , t ) } P ( j , t ) - \sum _ { j } K ( j | i ) \frac { u ( j , t ) } { u ( i , t ) } } & { P ( i , t ) } \\ { = \frac { d P ( i , t ) } { d t } } & { } \end{array}
\Delta \Tilde { G } ^ { \mathrm { c o r r } } ( \omega ) = \left[ \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq 0 } \frac { 1 } { 3 } \mathrm { T r } [ \Tilde { G } _ { i j } ( \vec { n } L , \omega ) ] \right] - \frac { 1 } { 3 L ^ { 3 } } \int \mathrm { d } \vec { r } ^ { \prime } \mathrm { T r } [ \Tilde { G } _ { i j } ( \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) ] \, .
\boldsymbol { f } ( \theta ; \Delta \Omega / \epsilon ) = - \frac { \boldsymbol { \zeta } ^ { \prime } ( \theta ) } { 2 \lambda } - \frac { ( \Delta \Omega / \epsilon ) \boldsymbol { \zeta } ( \theta ) } { \langle \boldsymbol { \zeta } \cdot \boldsymbol { \zeta } \rangle } , \: \: \lambda = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \langle \boldsymbol { \zeta } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { \zeta } ^ { \prime } \rangle } { 1 - \frac { ( \Delta \Omega / \epsilon ) ^ { 2 } } { \langle \boldsymbol { \zeta } \cdot \boldsymbol { \zeta } \rangle } } } .
l _ { n } ^ { d } ( w ; \eta _ { \Phi } ) = \frac { n + \delta _ { n , 0 } } { 4 } v _ { d } ^ { - 1 } k ^ { 2 n - d } \int \frac { d ^ { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \frac { 1 } { Z _ { \Phi , k } } \frac { \partial R _ { k } } { \partial t } \frac { 1 } { \left[ P _ { k B } ( q ^ { 2 } ) + k ^ { 2 } w \right] ^ { n + 1 } } \; .
\begin{array} { r l } { \omega \tau _ { n } = } & { ( \frac { 1 8 \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } { \sqrt { \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } } } \\ & { + ( \frac { 1 8 \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 3 / 4 } \frac { 7 ( \zeta _ { 0 } ^ { 2 } + \zeta _ { n } ^ { 2 } ) - 4 \zeta _ { 0 } \zeta _ { n } } { 3 6 0 \sqrt { \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { x , r } ( z ) - P _ { y , r } ( z ) = } & { \bigl ( a _ { x } - a _ { y } + r b _ { x } \cdot ( \bar { y } - \bar { x } ) + r ^ { 2 } ( \bar { y } - \bar { x } ) ^ { T } M _ { x } ( \bar { y } - \bar { x } ) \bigr ) } \\ & { + r \bigl ( b _ { x } - b _ { y } + 2 r ( \bar { y } - \bar { x } ) ^ { T } M _ { x } \bigr ) \cdot ( z - \bar { y } ) } \\ & { + r ^ { 2 } ( z - \bar { y } ) ^ { T } ( M _ { x } - M _ { y } ) ( z - \bar { y } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { x _ { 1 } } = \alpha _ { 1 } [ y _ { 1 } - x _ { 1 } - f ( x _ { 1 } ) ] + \delta _ { 1 } ^ { C } ( \dot { x _ { 2 } } - \dot { x _ { 1 } } ) - \delta _ { 3 } ^ { C } ( \dot { x _ { 1 } } - \dot { x _ { 3 } } ) } \\ { \dot { y _ { 1 } } = x _ { 1 } - y _ { 1 } - z _ { 1 } } \\ { \dot { z _ { 1 } } = - \beta _ { 1 } y _ { 1 } } \\ { \dot { x _ { 2 } } = \alpha _ { 2 } [ y _ { 2 } - x _ { 2 } - f ( x _ { 2 } ) ] + \delta _ { 2 } ^ { C } ( \dot { x _ { 3 } } - \dot { x _ { 2 } } ) - \delta _ { 1 } ^ { C } ( \dot { x _ { 2 } } - \dot { x _ { 1 } } ) } \\ { \dot { y _ { 2 } } = x _ { 2 } - y _ { 2 } - z _ { 2 } } \\ { \dot { z _ { 2 } } = - \beta _ { 2 } y _ { 2 } } \\ { \dot { x _ { 3 } } = \alpha _ { 3 } [ y _ { 3 } - x _ { 3 } - f ( x _ { 3 } ) ] + \delta _ { 3 } ^ { C } ( \dot { x _ { 1 } } - \dot { x _ { 3 } } ) - \delta _ { 2 } ^ { C } ( \dot { x _ { 3 } } - \dot { x _ { 2 } } ) } \\ { \dot { y _ { 3 } } = x _ { 3 } - y _ { 3 } - z _ { 3 } } \\ { \dot { z _ { 3 } } = - \beta _ { 3 } y _ { 3 } } \end{array} \right.