harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { N _ { 1 , b a } ^ { \nu \alpha \beta } ( \omega ) } & { = \sum _ { c } \left( \dot { Q } _ { b c } ^ { \nu \beta } \frac { v _ { c a } ^ { \alpha } f _ { a c } } { \omega - \epsilon _ { c a } } - \frac { f _ { c b } v _ { b c } ^ { \alpha } } { \omega - \epsilon _ { b c } } \dot { Q } _ { c a } ^ { \nu \beta } \right. } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \left. v _ { b c } ^ { \beta } \frac { \dot { Q } _ { c a } ^ { \nu \alpha } f _ { a c } } { \omega - \epsilon _ { c a } } - \frac { f _ { c b } \dot { Q } _ { b c } ^ { \nu \alpha } } { \omega - \epsilon _ { b c } } v _ { c a } ^ { \beta } \right) \mathrm { , } } \\ { N _ { 2 , b a } ^ { \alpha \beta } ( \omega ) } & { = \sum _ { c } \left( v _ { b c } ^ { \beta } \frac { v _ { c a } ^ { \alpha } f _ { a c } } { \omega - \epsilon _ { c a } } - \frac { f _ { c b } v _ { b c } ^ { \alpha } } { \omega - \epsilon _ { b c } } v _ { c a } ^ { \beta } \right) \mathrm { . } } \end{array}
\log \Upsilon ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t } \; \biggl [ \biggl ( \frac { Q } { 2 } - x \biggr ) ^ { 2 } e ^ { - t } - \frac { \sinh ^ { 2 } \bigl ( \frac { Q } { 2 } - x \bigr ) \frac { t } { 2 } } { \sinh \frac { b t } { 2 } \sinh \frac { t } { 2 b } } \biggr ] .
\alpha _ { s } ( m _ { \tau } ^ { 2 } ) = 0 . 3 2 6 5 \pm 0 . 0 0 6 2 _ { \mathrm { e x p . } } \pm 0 . 0 0 6 2 _ { \mathrm { E W } } \pm 0 . 0 0 5 3 _ { \mathrm { C K M } } \quad ( d _ { 3 } ^ { ( 0 ) } = 2 5 . ) \ .
\small \centering T = 1 - \mathrm { { R e } \frac { i g ^ { 2 } ( \ o m e g a - \ o m e g a _ { 0 } - \ d e l t a + i \ g a m m a _ { 2 } / 2 ) } { ( \ o m e g a - \ o m e g a _ { 0 } + i \ g a m m a _ { 1 } / 2 ) ( \ o m e g a - \ o m e g a _ { 0 } - \ d e l t a + i \ g a m m a _ { 2 } / 2 ) - \Omega ^ { 2 } / 4 } . }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } \phi _ { i } ( \nabla _ { \xi } ^ { 2 } \phi ) _ { i } } & { { } = \sum _ { i } \phi _ { i } \left[ \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \right) _ { i + 1 / 2 } ( \phi _ { i + 1 } - \phi _ { i } ) - \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \right) _ { i - 1 / 2 } ( \phi _ { i } - \phi _ { i - 1 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { k } \varphi _ { k } ( \tau _ { \mathrm { r } } ) | _ { k = k _ { \mathrm { c } } } } & { { } = 0 , } \\ { \partial _ { k } ^ { 2 } \varphi _ { k } ( \tau _ { \mathrm { r } } ) | _ { k = k _ { \mathrm { c } } } } & { { } = 0 , } \end{array}
\theta _ { K } = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { a \tilde { \sigma } _ { x x } \left( \rho + \rho ^ { - 1 } \right) + i a \sqrt { 4 \sigma _ { x y } ^ { 2 } - \tilde { \sigma } _ { x x } ^ { 2 } \left( \rho - \rho ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } } { a \tilde { \sigma } _ { x x } \left( \rho + \rho ^ { - 1 } \right) - i a \sqrt { 4 \sigma _ { x y } ^ { 2 } - \tilde { \sigma } _ { x x } ^ { 2 } \left( \rho - \rho ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } } \right]
\log ( \exp X \exp Y ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n } } \sum _ { \begin{array} { l } { r _ { 1 } + s _ { 1 } > 0 } \\ { \vdots } \\ { r _ { n } + s _ { n } > 0 } \end{array} } { \frac { [ X ^ { r _ { 1 } } Y ^ { s _ { 1 } } X ^ { r _ { 2 } } Y ^ { s _ { 2 } } \dotsm X ^ { r _ { n } } Y ^ { s _ { n } } ] } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( r _ { j } + s _ { j } ) \right) \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } ! s _ { i } ! } } ,
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } \kappa p u _ { \tau } ^ { 2 } \right| } & { \leq \| \kappa \| _ { \infty } \| p u _ { \tau } ^ { 2 } \| _ { L ^ { 1 } ( \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } ) } } \\ & { \leq C \| \kappa \| _ { \infty } \| p u ^ { 2 } \| _ { W ^ { 1 , 1 } } } \\ & { \leq C \| \kappa \| _ { \infty } \left( \| p \| _ { q } \| u \| _ { 2 } \| u \| _ { r } + \| \nabla p \| _ { 2 } \| u \| _ { r } \| u \| _ { q } + \| p \| _ { q } \| u \| _ { r } \| \nabla u \| _ { 2 } \right) } \\ & { \leq C \| \kappa \| _ { \infty } \left( \| p \| _ { H ^ { 1 } } \| u \| _ { H ^ { 1 } } \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \nabla p \| _ { 2 } \| u \| _ { r } \| u \| _ { H ^ { 1 } } + \| p \| _ { H ^ { 1 } } \| u \| _ { r } \| \nabla u \| _ { 2 } \right) } \\ & { \leq C \| \kappa \| _ { \infty } \| p \| _ { H ^ { 1 } } \| u \| _ { H ^ { 1 } } \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { L ( \tau ) ^ { 2 } } d \tau = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } - 2 t } ^ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } } \underbrace { \frac { \frac { d } { d \tau } \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan ( \tau ) \right) } { \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan ( \tau ) \right) ^ { 2 } + 1 } } _ { = : f ( \tau ) } d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { m _ { 0 } \pi - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } } f ( \tau ) d \tau + \frac { 1 } { 2 } \int _ { ( m _ { 0 } - 1 ) \pi - \frac { \pi } { 2 } } ^ { m _ { 0 } \pi - \frac { \pi } { 2 } } f ( \tau ) d \tau + \dots + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } - 2 t } ^ { ( m _ { 0 } - m _ { t } ) \pi + \frac { \pi } { 2 } } f ( \tau ) d \tau . } \end{array}
\forall x \in { U } : \mu _ { A \triangle { B } } ( x ) = \operatorname* { m a x } ( \operatorname* { m i n } ( \mu _ { A } ( x ) , 1 - \mu _ { B } ( x ) ) , \operatorname* { m i n } ( \mu _ { B } ( x ) , 1 - \mu _ { A } ( x ) ) ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } d s f \circ \mathfrak { u } _ { s } \left( y _ { 0 } \right) } & { = \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) \int _ { 0 } ^ { \mathbf { \hat { s } } _ { 1 } \left( y _ { 0 } , \cdot \right) } d s f \left( \Phi _ { \pi } ^ { s } \left( y _ { 0 } \right) \right) + } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { \{ \Phi _ { \pi } ^ { \mathbf { \hat { s } } _ { 1 } \left( y _ { 0 } , \cdot \right) \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) } \left( y _ { 0 } \right) \} } \left( \mathfrak { x } _ { 0 } \right) \int _ { \mathbf { \hat { s } } _ { 1 } \left( y _ { 0 } , \cdot \right) \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) } ^ { \mathfrak { s } _ { 1 } } d s f \left( \Phi _ { \pi \circ \theta ^ { \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) } } ^ { s - \mathbf { \hat { s } } _ { 1 } \left( y _ { 0 } , \cdot \right) } \left( \mathfrak { x } _ { 0 } \right) \right) + } \\ & { + \sum _ { n = 1 } ^ { \mathbf { N } _ { t } - 1 } \int _ { \mathfrak { s } _ { n } } ^ { \mathfrak { s } _ { n + 1 } } d s f \left( \Phi _ { \pi \circ \theta ^ { n + \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) } } ^ { s - \mathfrak { s } _ { n } } \left( \mathfrak { x } _ { n } \right) \right) + \int _ { \mathfrak { s } _ { \mathbf { N } _ { t } } } ^ { t } d s f \left( \Phi _ { \pi \circ \theta ^ { \mathbf { N } _ { t } + \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) } } ^ { s - \mathfrak { s } _ { \mathbf { N } _ { t } } } \left( \mathfrak { x } _ { t } \right) \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { k } } & { { } = R _ { 0 } ^ { k } + R _ { k } = R _ { 0 } ^ { k } + \sum _ { \mu } R _ { \mu } ^ { k } \tau _ { \mu } } \\ { \mathcal { L } _ { k } } & { { } = L _ { 0 } ^ { k } + L _ { k } = L _ { 0 } ^ { k } + \sum _ { \mu } L _ { \mu } ^ { k } \tau _ { \mu } ^ { \dagger } . } \end{array}
\times D _ { Q } I _ { C D } D _ { J + L + T + U - P - Q - R - S } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \phi _ { A } ^ { ( U ) } \partial \phi _ { C } ^ { ( T ) } } } \biggl [ D _ { R } E _ { B } ^ { J } ( h ) D _ { S } E _ { D } ^ { L } ( g ) - ( H \leftrightarrow G ) \biggr ] .
\begin{array} { r l r } & { \frac { D } { D t } \overline { { ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } + \frac { \partial } { \partial _ { X _ { j } } } \overline { { \frac { u _ { j } ^ { + } + u _ { j } ^ { - } } { 2 } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } } & \\ & { + \frac { \partial } { \partial { r _ { j } } } \overline { { \delta u _ { j } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } + 2 \overline { { \delta u _ { i } \delta u _ { j } } } \frac { \partial \overline { { U } } _ { i } } { \partial x _ { j } } } & \\ & { = } & \\ & { - \frac { 2 } { \rho } \partial _ { X _ { i } } \overline { { \delta P \delta u _ { i } } } + 2 \nu \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r _ { j } ^ { 2 } } \overline { { ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } - 2 \overline { { \epsilon } } ^ { + } - 2 \overline { { \epsilon } } ^ { - } . } & \end{array}
a _ { k , i } ^ { ( n + 1 ) } = \mathbf { 1 } _ { i \geq k } \frac { 1 } { u + \lambda ( n + 1 - i ) i + \gamma i } \prod _ { j = k } ^ { i - 1 } \left( 1 + \frac { u + \gamma j } { \lambda ( n + 1 - j ) j } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { q } & { { } \equiv k _ { x } = \frac { 2 \pi m _ { x } } { L _ { x } } \, , } \\ { q _ { 0 } } & { { } \equiv \sqrt { k _ { y } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } = \sqrt { \left( \frac { \pi } { L _ { y } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \pi } { L _ { z } } \right) ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q _ { m } } & { \to } & { \pi \left( \frac { 3 \Gamma } { 2 \Omega k a } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \rho | x | } { ( x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \left[ \frac { 2 x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } J _ { 0 } ( s ( \rho ) ) \right. } \\ & { \null } & { \left. - \frac { \rho ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } \frac { m _ { y } ^ { 2 } - m _ { z } ^ { 2 } } { m _ { y } ^ { 2 } + m _ { z } ^ { 2 } } J _ { 2 } ( s ( \rho ) ) \right] d \rho } \\ { s ( \rho ) } & { = } & { k a \frac { \rho } { \sqrt { x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } } \sqrt { m _ { y } ^ { 2 } + m _ { z } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { S } _ { \mathrm { i n t } } } & { { } = \frac { v ^ { 2 } } { D } - \frac { f \ell J } { D } - \frac { v } { D } \sum _ { \mathcal { Z } = \mathcal { A } } ^ { \mathcal { C } } \Bigg ( \frac { h } { a } \mathcal { Z } _ { - } ^ { [ 1 ] } \frac { e ^ { \lambda _ { \mathcal { Z } } ^ { [ 1 ] } a } - 1 } { \lambda _ { \mathcal { Z } } ^ { [ 1 ] } } } \end{array}
L _ { + } = \frac { \ell ^ { 2 } } 2 \left[ \frac 3 2 \left( \frac { f _ { + } ^ { \prime \prime } } { f _ { + } ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } - \frac { f _ { + } ^ { \prime \prime \prime } } { f _ { + } ^ { \prime } } \right] \qquad , \qquad L _ { - } = \frac { \ell ^ { 2 } } 2 \left[ \frac 3 2 \left( \frac { f _ { - } ^ { \prime \prime } } { f _ { - } ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } - \frac { f _ { - } ^ { \prime \prime \prime } } { f _ { - } ^ { \prime } } \right] \qquad .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { H } ^ { 1 } ( N ) } { \partial H } } & { < 4 \left( 2 N _ { 0 } ^ { 2 H } - ( N _ { 0 } + 1 ) ^ { 2 H } - ( N _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 H } \right) } \\ & { \quad \times \sum _ { k = N _ { 0 } } ^ { N } \left( 2 k ^ { 2 H } \log k - ( k + 1 ) ^ { 2 H } \log ( k + 1 ) - ( k - 1 ) ^ { 2 H } \log ( k - 1 ) \right) } \\ & { \quad + 4 \log 2 \cdot 2 ^ { 2 H } \left( 2 ^ { 2 H } - 2 \right) } \\ & { = 4 \left( 2 N _ { 0 } ^ { 2 H } - ( N _ { 0 } + 1 ) ^ { 2 H } - ( N _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 H } \right) \bigl ( N ^ { 2 H } \log N } \\ & { \quad - ( N + 1 ) ^ { 2 H } \log ( N + 1 ) + N _ { 0 } ^ { 2 H } \log N _ { 0 } - ( N _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 H } \log ( N _ { 0 } - 1 ) \bigr ) } \\ & { \quad + 4 \log 2 \cdot 2 ^ { 2 H } \left( 2 ^ { 2 H } - 2 \right) } \\ & { < 4 \left( 2 N _ { 0 } ^ { 2 H } - ( N _ { 0 } + 1 ) ^ { 2 H } - ( N _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 H } \right) \bigl ( N _ { 0 } ^ { 2 H } \log N _ { 0 } - ( N _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 H } \log ( N _ { 0 } - 1 ) \bigr ) } \\ & { \quad + 4 \log 2 \cdot 2 ^ { 2 H } \left( 2 ^ { 2 H } - 2 \right) } \\ & { < 4 \left( 2 - 2 ^ { 2 H } \right) \left( N _ { 0 } ^ { 2 H } \log N _ { 0 } - ( N _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 H } \log ( N _ { 0 } - 1 ) - 2 ^ { 2 H } \log 2 \right) . } \end{array}
\tilde { \tau } = \tau - \eta ( \tau ) \ \ , \ \ \delta _ { \eta } x ^ { \mu } = \tilde { x } ^ { \mu } ( \tau ) - x ^ { \mu } ( \tau ) = \eta \dot { x } ^ { \mu } ( \tau ) \ \ , \ \ \delta _ { \eta } e ( \tau ) = \frac { d } { d \tau } \left( \eta ( \tau ) e ( \tau ) \right) \ ,
\Delta _ { k h } ^ { n } ( f , x ) = \sum _ { i _ { 1 } = 0 } ^ { k - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = 0 } ^ { k - 1 } \cdots \sum _ { i _ { n } = 0 } ^ { k - 1 } \Delta _ { h } ^ { n } \left( f , x + i _ { 1 } h + i _ { 2 } h + \cdots + i _ { n } h \right) .
S ( y _ { i } , y _ { j } ) = { \frac { y _ { i } y _ { j } } { y _ { t } } } \{ [ { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 3 } { 2 } } ( 1 - y _ { j } ) ^ { - 1 } - { \frac { 3 } { 4 } } ( 1 - y _ { j } ) ^ { - 2 } ] { \frac { l n y _ { j } } { y _ { j } - y _ { i } } } + ( y _ { j } \to y _ { i } ) - { \frac { 3 } { 4 } } [ ( 1 - y _ { i } ) ( 1 - y _ { j } ) ] ^ { - 1 } \} ,
\omega _ { 0 } - \omega _ { \pm } \approx - \frac { \delta _ { 0 } } { t _ { \mathrm { R } } } \mp p D _ { 1 } - D _ { \mathrm { i n t } } ( \pm p ) + \frac { \delta _ { \pm } } { t _ { \mathrm { R } } } .
Z _ { p , k } ( \alpha ) : = \frac { 1 } { p } \log \frac { \displaystyle { \sum _ { 0 \le N < q _ { k } } e ^ { p ( S _ { N } ( p _ { k } / q _ { k } ) + ( - 1 ) ^ { k } N / ( 2 q _ { k } ) ) } } } { \displaystyle { \sum _ { 0 \le N < q _ { k } ^ { \prime } } e ^ { p ( S _ { N } ( p _ { k } ^ { \prime } / q _ { k } ^ { \prime } ) + ( - 1 ) ^ { k } N / ( 2 q _ { k } ^ { \prime } ) ) } } }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime \prime } ( | x | / \varepsilon ) \textrm { d } x } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( \varepsilon r , \psi ) \phi ^ { \prime \prime } ( r ) r \textrm { d } r \textrm { d } \psi } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( \theta , \varphi ) \quad = \quad m \sin \theta \left( h _ { x } \cos \varphi + h _ { y } \sin \varphi \right) } \\ & { + m ^ { 2 } \xi _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta \left[ E _ { x } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \varphi + 2 E _ { x } E _ { y } \cos \varphi \sin \varphi + E _ { y } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi \right] } \\ & { + \frac { m ^ { 2 } \xi _ { 2 } } { 2 } \Big [ E ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + 2 \sqrt { 2 } \sin \theta \cos \theta \cos \varphi \left( E _ { y } ^ { 2 } - E _ { x } ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + 4 \sqrt { 2 } E _ { x } E _ { y } \sin \theta \cos \theta \sin \varphi \Big ] . } \end{array}
\Lambda = [ { { \mit \Lambda } ^ { \mu } } _ { \nu } ] \equiv \left( \begin{array} { l l } { { \beta } } & { { q ^ { - \frac 1 2 } \vec { u } ^ { \dagger } } } \\ { { q ^ { \frac 1 2 } \vec { w } } } & { { B } } \end{array} \right) .
\frac { \mathrm { d } } { \partial \mathrm { d } t } \tilde { \mathcal { A } } _ { l m } ( \mathbf { x } ^ { \mathrm { { D G } } } , t ) = - \tilde { \mathcal { S } } _ { l m } ( \mathbf { x } ^ { \mathrm { { D G } } } , t ) + \tilde { \mathcal { M } } _ { l m } ( \mathbf { x } ^ { \mathrm { { D G } } } , t )
\begin{array} { r l } & { \delta c ( g _ { 1 } , \cdots , g _ { n + 1 } ) } \\ & { = ^ { g _ { 1 } } \big ( c ( g _ { 2 } , \cdots , g _ { n + 1 } ) \big ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i } c ( g _ { 1 } , \cdots , g _ { i } g _ { i + 1 } , \cdots , g _ { n + 1 } ) + ( - 1 ) ^ { n + 1 } c ( g _ { 1 } , \cdots , g _ { n } ) } \end{array}
\mathrm { T V } ( \varphi ) = \left( g , \overline { { g } } , n : \frac { \sigma _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } } + \cdots + \frac { \sigma _ { s } } { \lambda _ { s } } \right) , \: \: \mathrm { T V } ^ { c } ( \varphi ) = \left( g , \overline { { g } } , n : \left\{ \frac { \delta _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } } , \cdots , \frac { \delta _ { s } } { \lambda _ { s } } \right\} \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { B ( x , R ) } | f _ { \varepsilon / 2 } ( z ) - ( f _ { \varepsilon / 2 } ) _ { B ( x , R ) } | ^ { 2 } d \mu ( z ) } & { \leq C R ^ { 2 } \int _ { B ( x , \lambda R ) } ( \mathrm { L i p } f _ { \varepsilon / 2 } ) ^ { 2 } d \mu } \\ & { \leq C R ^ { 2 } \int _ { B ( x , 7 \lambda R ) } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { B ( x , \varepsilon ) } | f ( z ) - f ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) . } \end{array}
\Psi _ { \epsilon } ( \alpha ) \equiv \frac { \mu ^ { \epsilon } } { 2 R } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int \frac { d ^ { d - \epsilon } p } { ( 2 \pi ) ^ { d - \epsilon } } \, \left[ p ^ { 2 } + \left( \frac { 2 \pi n } { R } \right) ^ { 2 } + m ^ { 2 } \right] ^ { \alpha } .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = \sum _ { \mathbf { R } } \sum _ { i } \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { \mathbf { R } i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { \mathbf { R } i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] + \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { i j } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \nu _ { j } } [ t _ { \mathbf { k } , i j } ] _ { \alpha \beta } \dag , c _ { \mathbf { k } i \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } j \beta } ^ { \phantom { \dagger } } \dag } & { = \sum _ { \mathbf { R } } \sum _ { i } \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { \mathbf { R } i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { \mathbf { R } i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] + \sum _ { \mathbf { R } , \mathbf { R ^ { \prime } } } \sum _ { i j } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \nu _ { j } } [ t _ { \mathbf { R } i , \mathbf { R ^ { \prime } } j } ] _ { \alpha \beta } \dag , c _ { \mathbf { R } i \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { R ^ { \prime } } j \beta } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { k } } & { : = \phi _ { m , k } ^ { e q } = \int _ { \mathbb { R } } \frac { \bar { \theta } ^ { k / 2 } } { k ! } H _ { k } \left( \frac { \xi } { \sqrt { \bar { \theta } } } \right) \mathcal { E } _ { t r , m } ( \xi ) | \xi | d \xi , } \\ { b _ { k } } & { : = \int _ { \mathbb { R } } \frac { \bar { \theta } ^ { k / 2 } } { k ! } H _ { k } \left( \frac { \xi } { \sqrt { \bar { \theta } } } \right) \mathcal { E } _ { t r , m } ( \xi ) \mathrm { s g n } ( \xi ) d \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { L ( m _ { \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } ) } } & { { = \ \frac { 1 } { 2 ( a - b ) } - \frac { 2 } { ( a - b ) ^ { 2 } } \left[ f \left( \frac { 1 } { b } \right) - f \left( \frac { 1 } { a } \right) \right] } } \\ { { } } & { { + \ \frac { a } { ( a - b ) ^ { 2 } } \left[ g \left( \frac { 1 } { b } \right) - g \left( \frac { 1 } { a } \right) \right] \ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big [ \| B _ { \alpha , \beta } \| \leq \varepsilon \big ] } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } F _ { H } ( \varepsilon x ^ { - 1 / 2 } ) M _ { \beta } ( x ) d x } \\ & { = 2 \varepsilon ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } F _ { H } ( y ) M _ { \beta } ( \varepsilon ^ { 2 } / y ^ { 2 } ) y ^ { - 3 } d y . } \end{array}
\left\{ j _ { M } ^ { 0 } \left( t , \sigma \right) , \widehat { U _ { N } ^ { 0 } } \left( t , \sigma ^ { \prime } \right) \right\} = - \delta _ { M } U _ { N } ^ { 0 } \cdot \delta \left( \sigma ^ { \prime } - \sigma \right) \; + \frac \partial { \partial \sigma ^ { r } } \left[ \delta _ { M } \phi ^ { i } \frac { \partial \widehat { U _ { N } ^ { 0 } } } { \partial \partial _ { r } \phi ^ { i } } \cdot \delta \left( \sigma ^ { \prime } - \sigma \right) \right] \quad .
\displaystyle \Sigma _ { 6 } ( r ) = - \int \mathrm { d } ^ { 3 } x ~ B _ { 0 } ( r _ { 1 } ) B _ { 0 } ( r _ { 2 } ) ~ = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 4 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } x ~ s _ { 1 } ^ { 2 } s _ { 2 } ^ { 2 } F _ { 1 } ^ { \prime } F _ { 2 } ^ { \prime } ~ ~ .
d \sigma ^ { B } = \frac { 8 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { s q ^ { 4 } } L _ { \mu \nu } ^ { \gamma } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , k ) H _ { \mu \nu } \frac { \alpha } { 4 \pi ^ { 2 } } \frac { d ^ { 3 } k } { \omega } \frac { d ^ { 3 } p _ { + } d ^ { 3 } p _ { - } } { 1 6 \pi ^ { 2 } E _ { + } E _ { - } } \delta ( q - p _ { + } - p _ { - } ) \ ,
\begin{array} { r } { \left| 1 - \sum _ { k } ( x _ { k } + i y _ { k } - \zeta _ { k } ) ^ { 2 } \right| = \left| \sum _ { k } ( x _ { k } + i y _ { k } ) ^ { 2 } + 2 \zeta _ { k } ( x _ { k } + i y _ { k } ) \right| } \\ { \leq \left| \sum _ { k } ( x _ { k } + i y _ { k } ) ^ { 2 } \right| + 2 \sqrt { \sum _ { k } \zeta _ { k } ^ { 2 } } \cdot \sqrt { \sum _ { k } ( x _ { k } + i y _ { k } ) ^ { 2 } } \leq \frac { 4 } { 2 5 } + \frac { 4 } { 5 } = 1 - \frac { 1 } { 2 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial S _ { \vartheta } } { \partial m } } & { = } & { - a _ { H } ^ { 2 } m \int _ { \gamma _ { \vartheta } } \cos ^ { 2 } \vartheta \frac { d \vartheta } { p _ { \vartheta } } , } \\ { \frac { \partial S _ { \vartheta } } { \partial E } } & { = } & { a _ { H } \int _ { \gamma _ { \vartheta } } ( L _ { z } - a _ { H } E \sin ^ { 2 } \vartheta ) \frac { d \vartheta } { p _ { \vartheta } } , } \\ { \frac { \partial S _ { \vartheta } } { \partial L _ { z } } } & { = } & { - \int _ { \gamma _ { \vartheta } } ( L _ { z } - a _ { H } E \sin ^ { 2 } \vartheta ) \frac { d \vartheta } { \sin ^ { 2 } \vartheta p _ { \vartheta } } , } \\ { \frac { \partial S _ { \vartheta } } { \partial L } } & { = } & { L \int _ { \gamma _ { \vartheta } } \frac { d \vartheta } { p _ { \vartheta } } . } \end{array}
\tilde { W } _ { M } = W _ { M } \equiv { \frac { i } { 4 } } ( 0 , - \sigma _ { \mu \alpha { \dot { \alpha } } } F ^ { \mu { \dot { \alpha } } } , { \tilde { \sigma } } ^ { \mu { \dot { \alpha } } \alpha } F _ { \mu \alpha } ) .
\begin{array} { l } { A \mathbf { v } = B \mathbf { m } } \\ { A \boldsymbol { \lambda } = \mathbf { f } ( \mathbf { v } ) } \\ { \beta ( A _ { m } + M ) \mathbf { m } + B ^ { \top } \boldsymbol { \lambda } = \mathbf { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { Q } _ { t } ( \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ) : = } & { \operatorname* { m a x } _ { \hat { \pi } _ { t + 1 } \in [ [ \hat { \Pi } _ { t + 1 } | \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ] ] } \hat { V } _ { t + 1 } ( \hat { \pi } _ { t + 1 } ) , } \\ { \hat { V } _ { t } ( \hat { \pi } _ { t } ) : = } & { \operatorname* { m i n } _ { u _ { t } \in \mathcal { U } _ { t } } \hat { Q } _ { t } ( \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ) , } \end{array}
\left( \frac { \partial } { \partial t } + \frac { k c _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega } \frac { \partial } { \partial x } \right) f ^ { 2 } ( x , t ) = - \frac { g \Omega } { \omega } \frac { \partial \mathcal { S } ^ { z } } { \partial t } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { \textrm { m a x } } ( { { { \tilde { X } } } } ; { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } ) } & { \approx \log _ { 2 } \bigg ( \sum _ { k = 1 } ^ { K } P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \, \, \, \, - \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \bigg ( \bigg ( { { \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { \rho ^ { * } } } } + \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } \bigg ) \bigg ( { \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } } + \frac { { { \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { \rho ^ { * } } } } 2 \frac { \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } } { ( 1 - \rho ^ { * } ) } } { { { \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { \rho ^ { * } } } } + 2 \frac { \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } } { ( 1 - \rho ^ { * } ) } } \bigg ) \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { J } = \vec { q } \times \vec { p } = \left[ \begin{array} { l } { q _ { 2 } p _ { 3 } - q _ { 3 } p _ { 2 } } \\ { q _ { 3 } p _ { 1 } - q _ { 1 } p _ { 3 } } \\ { q _ { 1 } p _ { 2 } - q _ { 2 } p _ { 1 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle \min _ { \tau , u , w _ { j } } } & { \tau + \displaystyle \frac { \mu } { 2 } \| u - x ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \langle b _ { j } , w \rangle - g _ { j } ( x ^ { k } ) + \langle \nabla h _ { j } ( x ^ { k } ) , u - x ^ { k } \rangle \leq \tau , } \\ & { A _ { j } ^ { \top } w _ { j } = u , } \\ & { w _ { j } \succeq 0 , \quad \forall j \in { \cal J } , } \\ & { l b \preceq u \preceq u b , } \end{array}