harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\| y - { \bar { y } } \mathbf { 1 } \right\| ^ { 2 } } & { { } = \left\| { \hat { y } } - { \bar { y } } \mathbf { 1 } \right\| ^ { 2 } + \left\| { \hat { \varepsilon } } \right\| ^ { 2 } , \quad \mathbf { 1 } = ( 1 , 1 , \ldots , 1 ) ^ { T } , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \hat { y } } _ { i } ) ^ { 2 } , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \hat { \varepsilon } } _ { i } ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { \ddot { a } } { a } = - \left( \frac { 4 \pi G } { 3 } \left( 4 P \left( 1 - 2 \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) + \rho \left( 1 - 4 \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) \right) - \frac { \pi } { 3 j _ { m a x } \hbar G } \right)
P ( x , t \mid x _ { 0 } ) \approx { \frac { 1 } { c _ { N } } } \Sigma _ { \{ p \} } e ^ { - \Sigma _ { j = - M } ^ { M } ( x _ { j } - x _ { 0 , j } ( p ) ) ^ { 2 } / 4 t D _ { j } } .
\begin{array} { r l } { U _ { x } ^ { \alpha } } & { { } = \exp \left[ - i \alpha ( I _ { 1 x } + I _ { 2 x } ) \right] , } \\ { U _ { \delta } ^ { \beta } } & { { } = \exp \left[ - i \beta ( - I _ { 1 z } + I _ { 2 z } ) \right] , ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { U _ { J } ^ { \eta } } & { { } = \exp \left[ - i \eta ( 2 I _ { 1 z } I _ { 2 z } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle x ( t _ { 1 } ) x ( t _ { 2 } ) \rangle } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle x ( s _ { 1 } ) x ( s _ { 2 } ) \rangle h ( s _ { 2 } , t _ { 2 } , s _ { 1 } , t _ { 1 } ) d s _ { 1 } d s _ { 2 } } \end{array}
m _ { 1 } = 5 . 4 1 + 2 . 5 \cdot 3 . 6 9 \cdot \log _ { 1 0 } { \left( 0 . 3 0 2 \right) } + 5 \log _ { 1 0 } { \left( 1 . 1 0 9 \right) } = + 0 . 8
I _ { \mathrm { o n e - l o o p } } = ( e ^ { i W } ) _ { \mathrm { o n e - l o o p } } = \prod _ { l = 0 } ^ { \infty } { } \left\{ { \frac { ( \operatorname * { d e t } { \cal D } _ { 3 / 2 } ) ^ { 2 } } { \operatorname * { d e t } { \cal D } _ { 2 } \operatorname * { d e t } { \cal D } _ { 1 } } } \right\} = \prod _ { l = 0 } ^ { \infty } { } \left\{ { \frac { \operatorname * { d e t } { \cal D } _ { 3 / 2 } } { \operatorname * { d e t } { \cal D } _ { 1 } } } \right\} ^ { 2 } = 1 .
\begin{array} { r l } { \overline { { E } } _ { x } } & { = E _ { x } , } \\ { \overline { { E } } _ { y } } & { = \lambda _ { v } \Big ( E _ { y } - v B _ { z } \Big ) , } \\ { \overline { { E } } _ { z } } & { = \lambda _ { v } \Big ( E _ { z } + v B _ { y } \Big ) , } \\ { \overline { { B } } _ { x } } & { = B _ { x } , } \\ { \overline { { B } } _ { y } } & { = \lambda _ { v } \Big ( B _ { y } + \frac { v E _ { z } } { c ^ { 2 } } \Big ) , } \\ { \overline { { B } } _ { z } } & { = \lambda _ { v } \Big ( B _ { z } - \frac { v E _ { y } } { c ^ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
\partial _ { a _ { 1 } } ^ { ( l _ { 1 } ) } \cdots \partial _ { a _ { M } } ^ { ( l _ { M } ) } \left[ \partial _ { b } ^ { ( i ) } + \partial _ { b } ^ { ( i + 1 ) } \right] F _ { p } \, ( \phi , \cdots , \phi ) = 0
\begin{array} { r l } { f ( t ) } & { = 1 - \alpha \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d \tau _ { 1 } g ( \tau _ { 1 } ) } \\ & { = 1 - \frac \kappa \beta \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d \tau _ { 1 } ( 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } ) \int _ { t _ { 0 } } ^ { \tau _ { 1 } } d \tau _ { 2 } \ \exp ( - \kappa ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 1 } ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) \frac 1 { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } f ( \tau _ { 2 } ) } \\ & { = 1 - \frac 1 \beta \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d \tau _ { 2 } \frac 1 { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } f ( \tau _ { 2 } ) ( 1 - \exp ( - \kappa ( t - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( t ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \int _ { \mathbf { D } } \mathcal { U } _ { i } ( x , t ) \mathcal { U } ^ { i } ( x , t ) d ^ { 3 } x \right] = \int _ { \mathbf { D } } U _ { i } ( x , t ) U ^ { i } ( x , t ) d ^ { 3 } x } \end{array}
\iota _ { i } ( x \times \iota _ { j } ( y \times z ) ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \iota _ { j + a - 1 } ( y \times \iota _ { i } ( x \times z ) ) , } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq i \leq j - 1 , } } \\ { { \iota _ { j } ( \iota _ { i - j + 1 } ( x \times y ) \times z ) , } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } j \leq i \leq b + j - 1 , \mathrm { ~ a n d } } } \\ { { \iota _ { j } ( y \times \iota _ { i - b + 1 } ( x \times z ) ) , } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } i \geq j + b . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( r _ { 0 } ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } ( V _ { 0 } ( r _ { 0 } ) - \omega ^ { 2 } ) = } & { \: 4 m \omega r _ { 0 } - m ^ { 2 } + \Lambda ( r _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ( r _ { 0 } ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } \\ { = } & { \: m ^ { 2 } + \Lambda \omega ^ { - 2 } \left( \frac { m } { 2 } - \omega \right) ^ { 2 } - \omega ^ { - 2 } \left( \frac { m ^ { 2 } } { 4 } + \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { \: \omega ^ { - 2 } \left( m ^ { 2 } \omega ^ { 2 } + \Lambda \widetilde { \omega } ^ { 2 } - ( \widetilde { \omega } ^ { 2 } + \omega m ) ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { \: \widetilde { \omega } ^ { 2 } \omega ^ { - 2 } \left( \Lambda - \widetilde { \omega } ^ { 2 } - 2 \omega m \right) } \\ { = } & { \: \widetilde { \omega } ^ { 2 } \omega ^ { - 2 } \left( \Lambda - \omega ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { 4 } - \omega m \right) } \\ { \geq } & { \: \widetilde { \omega } ^ { 2 } \omega ^ { - 2 } \left( \Lambda - ( 1 - \eta ^ { 2 } ) m ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \| \mathcal { G } ( x _ { t } , \nabla F ^ { \diamond } ( x _ { t } ) , \gamma ) \| } & { \leq \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \big [ \| w _ { t } - \nabla F ^ { \diamond } ( x _ { t } ) \| + \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| \big ] \leq \frac { 4 \sqrt { R } } { \sqrt { 3 T \gamma \eta } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 4 } + _ { 8 } + _ { 4 } } \\ & { = - \delta ( j > m - n ) \delta ( q \leq m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } - \delta ( j > m - n ) ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { \quad _ { 4 } + _ { 2 , 1 } + _ { 2 } } \\ & { = - \delta ( q > m - n ) \delta ( j \leq m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } - \delta ( q > m - n ) ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad + \delta ( q > m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \quad _ { 1 0 } + _ { 1 6 } + _ { 6 } + _ { 2 , 2 } + _ { 3 } } \\ & { = \delta ( q , j \leq m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + \delta ( j \leq m - n ) ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta ( j \leq m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } - \delta ( q > m - n ) ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta ( q > m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { K } _ { X } ^ { t } \mathbf { w } _ { i } } & { { } = \hat { \lambda } _ { i } ( t ) \mathbf { K } _ { X } \mathbf { w } _ { i } , } & { \mathbf { K } _ { X } ^ { L } \mathbf { w } _ { i } } & { { } = \hat { \kappa } _ { i } \mathbf { K } _ { X } \mathbf { w } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \beta } { \alpha ^ { * } + 1 } < \, } & { \kappa < \operatorname* { m i n } \left\{ { \frac { 1 - \beta } { \alpha - \alpha ^ { * } } , \frac { 1 - \beta } { b - 1 - \alpha ^ { * } } , 1 } \right\} , } \\ { 0 < \, } & { \iota < \operatorname* { m i n } \left\{ { \frac { 1 } { \alpha - \alpha ^ { * } } , \frac { 1 } { b - 1 - \alpha ^ { * } } } \right\} . } \end{array}
\frac { \frac { 1 } { \sigma _ { p r o d } ^ { p A } } \frac { d ^ { 2 } \sigma } { d p d \Omega } ( p A \rightarrow M X ) } { \frac { 1 } { \sigma _ { i n e l } ^ { p p } } \frac { d ^ { 2 } \sigma } { d p d \Omega } ( p p \rightarrow M X ) } = V _ { 1 } ^ { p } ( A ) + \frac { 4 } { 5 } V _ { 2 } ^ { p } ( A ) .
\begin{array} { r } { \overline { { r } } = \frac { 2 } { ( I + n + 1 ) ( I + n ) - 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { I + n - 2 } \sum _ { l = - n } ^ { I - k - 1 } \widehat r _ { l , k } , \quad s ^ { 2 } = \frac { 2 } { ( I + n + 1 ) ( I + n ) - 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { I + n - 2 } \sum _ { l = - n } ^ { I - k - 1 } \left( \widehat r _ { l , k } - \overline { { r } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\big ( \boldsymbol { u } - \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { a } \big ) \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } + f _ { 0 } \boldsymbol { u } ^ { \perp } + g \boldsymbol { \nabla } h = 0 .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \beta } ^ { \gamma \alpha } n _ { \alpha } n _ { \gamma } + \sigma _ { \gamma } ^ { \beta \alpha } n _ { \alpha } n _ { \beta } + \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } n _ { \gamma } n _ { \beta } } & { = T ^ { 2 } \left( \sigma _ { \beta } ^ { \gamma \alpha } + \sigma _ { \gamma } ^ { \beta \alpha } + \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { n } ( \Omega ) } & { < F _ { n , \Omega } ( 1 ) \left( \frac { n } { n + 1 } \Omega - \frac { n } { n + 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } r f _ { 0 } ( r ) d r + \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 n + 1 } f _ { 0 } ( r ) d r \right) } \\ & { = F _ { n , \Omega } ( 1 ) \frac { n } { n + 1 } \left( \Omega - \widehat \Omega _ { n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { e x t } ( r ) } & { = } & { - \frac { Z } { r } } \\ { v _ { H } ( r ) } & { = } & { 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { n ( r ^ { \prime } ) r ^ { 2 } } { | r - r ^ { \prime } | } d r ^ { \prime } } \\ & { = } & { 4 \pi \left[ \frac { 1 } { r } \int _ { 0 } ^ { r } n ( r ^ { \prime } ) r ^ { 2 } d r ^ { \prime } + \int _ { r } ^ { \infty } n ( r ^ { \prime } ) r ^ { \prime } d r ^ { \prime } \right] } \end{array}
\alpha _ { i \pm 1 } \alpha _ { i \mp 1 } ( \alpha _ { i \pm 1 } \alpha _ { i } ) ^ { 2 n + 1 } = ( \alpha _ { i } \alpha _ { i \mp 1 } ) ^ { 2 n + 1 } \alpha _ { i \pm 1 } \alpha _ { i \mp 1 } ,
| \lambda _ { j } > = \left( \begin{array} { c } { { H _ { 1 3 } ( H _ { 2 2 } - \lambda _ { j } ) - H _ { 2 3 } H _ { 1 2 } } } \\ { { H _ { 2 3 } ( H _ { 1 1 } - \lambda _ { j } ) - H _ { 1 3 } H _ { 2 1 } } } \\ { { | H _ { 1 2 } | ^ { 2 } - ( H _ { 1 1 } - \lambda _ { j } ) ( H _ { 2 2 } - \lambda _ { j } ) } } \end{array} \right) ,
\frac { \varepsilon _ { 1 } } { \sqrt { \varepsilon _ { 1 } { k _ { 0 } } ^ { 2 } - { k _ { G P s } } ^ { 2 } } } + \frac { \varepsilon _ { 2 } } { \sqrt { \varepsilon _ { 2 } { k _ { 0 } } ^ { 2 } - { k _ { G P s } } ^ { 2 } } } = - \frac { i \sigma } { \omega \varepsilon _ { 0 } }
\begin{array} { r l } { { R _ { E } } ( u ) = } & { \frac { { 2 \left( { - 3 3 + 4 5 \cos \left[ u \right] - 3 3 \cos \left[ { 2 u } \right] - 1 5 \cos \left[ { 3 u } \right] } \right) \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } } } { { 3 { u ^ { 2 } } } } } \\ { + } & { \frac { { 2 \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 8 1 \sin \left[ u \right] + 2 7 \sin \left[ { 2 u } \right] - 3 \sin \left[ { 3 u } \right] } \right) } } { { 3 u } } + \frac { { 2 \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 7 5 \sin \left[ u \right] + 3 3 \sin \left[ { 2 u } \right] + 1 5 \sin \left[ { 3 u } \right] } \right) } } { { 3 { u ^ { 3 } } } } } \\ { + } & { \frac { 2 } { 3 } \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \left[ \begin{array} { l } { 2 0 + 4 \cos \left[ u \right] + 1 6 8 \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \mathrm { { C i } } \left[ u \right] - 2 4 0 \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) { \mathrm { C i } } \left[ { 2 u } \right] + } \\ { 2 4 \left( { 3 \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \mathrm { { C i } } \left[ { 3 u } \right] + \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \log \left[ { \frac { { 1 0 2 4 } } { { 2 7 } } } \right] + 3 \sin \left[ u \right] \left( { { \mathrm { S i } } \left[ u \right] - 2 \mathrm { { S i } } \left[ { 2 u } \right] + { \mathrm { S i } } \left[ { 3 u } \right] } \right) } \right) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega \sim } & { \int { \left( \prod _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) \prod _ { p = 1 } ^ { N _ { s } } { \delta \Big ( \Delta \tilde { \ell } _ { p } + \tilde { w } _ { p } \varepsilon \Big ) } } } \\ & { = \int { \left( \prod _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) \prod _ { p = 1 } ^ { N _ { s } } { \delta \big ( G _ { p } \big ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } = } & { { } \left[ \mathbf { F } ( \boldsymbol { x } ) + \sum _ { u = 1 } ^ { U } \varepsilon _ { 1 } ^ { u } g _ { 1 } ^ { u } ( t ) \mathbf { G } _ { u } ( \boldsymbol { x } ) \right] \, \mathrm { d } t } \end{array}
R _ { 1 1 2 } ^ { 2 } = R _ { 1 1 3 } ^ { 3 } = \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \left( \frac { h ^ { \prime \prime } } { h } - \frac { h ^ { \prime } } { h } \frac { g ^ { \prime } } { g } \right) \quad ; \quad R _ { 2 3 2 } ^ { 3 } = \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \left( 1 - \left( \frac { h ^ { \prime } } { g } \right) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { I ( t ) } & { = \frac { c \varepsilon } { 4 T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \left[ \mathcal { E } ^ { * } ( t ) \mathcal { E } ( t ) + \mathcal { E } ( t ) \mathcal { E } ^ { * } ( t ) + \mathcal { E } ^ { 2 } ( t ) e ^ { - \mathrm { { i } } 2 \omega _ { 0 } t } + \mathcal { E } ^ { * 2 } ( t ) e ^ { { \mathrm { i } } 2 \omega _ { 0 } t } \right] \mathrm { { d } } t } \\ & { = \frac { c \varepsilon } { 2 T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathcal { E } ^ { * } ( t ) \mathcal { E } ( t ) { \mathrm { d } } t + \frac { c \varepsilon } { 4 T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \left[ \mathcal { E } ^ { 2 } ( t ) e ^ { - \mathrm { { i } } 2 \omega _ { 0 } t } + \mathcal { E } ^ { * 2 } ( t ) e ^ { { \mathrm { i } } 2 \omega _ { 0 } t } \right] \mathrm { { d } } t } \end{array}
\frac { 1 } { F ( s ) } = 1 + a _ { 1 } s + a _ { 2 } s ^ { 2 } - \frac { s ^ { 3 } } { \pi } \int _ { 4 M _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { \sigma ( s ^ { \prime } ) \left\{ t _ { l } ^ { I ( 0 ) } ( s ^ { \prime } ) \left[ 1 - \mathrm { R e } F ^ { ( 1 ) } ( s ^ { \prime } ) \right] + \mathrm { R e } t _ { l } ^ { I ( 1 ) } ( s ^ { \prime } ) \right\} d s ^ { \prime } } { s ^ { 3 } ( s ^ { \prime } - s - i \epsilon ) } .
\begin{array} { r } { R = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \psi \cos \varphi - \sin \psi \cos \theta \sin \varphi } & { - \sin \psi \cos \varphi - \cos \psi \cos \theta \sin \varphi } & { \sin \theta \sin \varphi } \\ { \cos \psi \sin \varphi + \sin \psi \cos \theta \cos \varphi } & { - \sin \psi \sin \varphi + \cos \psi \cos \theta \cos \varphi } & { - \sin \theta \cos \varphi } \\ { \sin \psi \sin \theta } & { \cos \psi \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right) } \end{array}
\hat { v } \ast \hat { u } ( \kappa _ { i } ) \approx \frac 1 { 4 \pi ^ { 3 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \frac { ( 1 - r _ { j } ) \hat { u } ( \kappa _ { j } ) H ( \kappa _ { i } , \kappa _ { j } ) } { ( 1 + r _ { j } ) ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { u _ { x } \rightarrow - \delta r / \delta t } c _ { s } ^ { e + } } & { = \frac { \delta r } { \delta t } . } \\ { \operatorname* { l i m } _ { u _ { x } \rightarrow - \delta r / \delta t } c _ { s } ^ { e + } } & { = 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { u _ { x } \rightarrow \delta r / \delta t } c _ { s } ^ { e - } } & { = 0 . } \\ { \operatorname* { l i m } _ { u _ { x } \rightarrow - \delta r / \delta t } c _ { s } ^ { e - } } & { = - \frac { \delta r } { \delta t } . } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d q ^ { \prime } U ^ { - 1 } ( q , q ^ { \prime } ) \phi ( q ^ { \prime } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q ^ { \prime } \overline { { { U ( q ^ { \prime } , q ) } } } \phi ( q ^ { \prime } ) ,
f _ { 1 } ^ { 0 } = m _ { d } ^ { - 2 } \; 2 \sqrt { N } \langle 0 \mid q \mid 1 \rangle = m _ { d } ^ { - 2 } \; 2 \sqrt { N } \langle 0 \mid q \; \frac { i } { m } F _ { 1 2 } \mid 0 \rangle \; .
\begin{array} { r l } { G _ { p q } ( \omega ) } & { { } = \langle \Psi _ { 0 } ^ { N } | a _ { p } ( \omega - H + E _ { 0 } ^ { N } ) ^ { - 1 } a _ { q } ^ { \dagger } | \Psi _ { 0 } ^ { N } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \exp [ - w \cos ^ { 2 } \phi ] } & { { } = } & { \exp [ - \frac { 1 } { 2 } w ] I _ { 0 } ( \frac { 1 } { 2 } w ) } \\ { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \cos ^ { 2 } \phi \exp [ - w \cos ^ { 2 } \phi ] } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \exp [ - \frac { 1 } { 2 } w ] [ I _ { 0 } ( \frac { 1 } { 2 } w ) - I _ { 1 } ( \frac { 1 } { 2 } w ) ] } \end{array}
\sigma _ { 2 } ^ { ( x _ { d } , 1 _ { a } , 2 _ { c } ) } \sigma _ { 3 } ^ { ( x _ { d } , 2 _ { c } , 1 _ { a } , 2 _ { b } ) } = \sigma _ { 2 } ^ { ( x _ { d } , 1 _ { a } , 2 _ { b \times c } ) } , \quad \sigma _ { 3 } ^ { ( x _ { d } , 1 _ { b } , 1 _ { a } , 2 _ { c } ) } \sigma _ { 2 } ^ { ( x _ { d } , 1 _ { b } , 2 _ { c } ) } = \sigma _ { 2 } ^ { ( x _ { d } , 1 _ { a \times b } , 2 _ { c } ) } .
\pi = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } 2 ^ { k } \underbrace { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + \cdots + { \sqrt { 2 } } } } } } } } } } } } _ { k \ \mathrm { s q u a r e } \ \mathrm { r o o t s } } ,
\begin{array} { r l } { \{ \bar { \mathcal { F } } , \bar { \mathcal { G } } \} _ { D } ( \omega , \phi _ { \partial } , \Sigma ) = } & { { } \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \omega } \wedge d \ast \Big ( \big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } ) + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge \ast \omega \Big ) } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { { x } } ^ { { ' } } } \\ { { { y } } ^ { { ' } } } \\ { { { z } } ^ { { ' } } } \end{array} \right) = R \left( \begin{array} { c } { { x } } \\ { { y } } \\ { { z } } \end{array} \right)
\varepsilon _ { \tilde { \eta } } \left[ ^ { ( d _ { r } ) } C _ { M } ^ { 1 } [ \mathcal { O } ( \delta x ^ { 2 p } ) ] \right] - \varepsilon _ { \tilde { \eta } } \left[ ^ { ( d _ { r } ) } \overline { { C } } _ { p + 1 } [ \mathcal { O } ( \delta x ^ { 2 p } ) ] \right] = ( C _ { 0 } - \overline { { C } } _ { 0 } ) \eta ^ { 2 p } + ( C _ { 2 } - \overline { { C } } _ { 2 } ) \eta ^ { 2 p + 2 } + ( C _ { 4 } - \overline { { C } } _ { 4 } ) \eta ^ { 2 p + 4 } + \cdots ;
b = 2 . 7 _ { - 0 . 6 } ^ { + 0 . 7 } \mathrm { ~ ( ~ s ~ t ~ a ~ t ~ ) ~ } _ { - 0 . 5 } ^ { + 1 . 1 } \mathrm { ~ ( ~ s ~ y ~ s ~ t ~ ) ~ } \times 1 0 ^ { - 3 } \mathrm { ~ c ~ o ~ u ~ n ~ t ~ s ~ / ~ k ~ e ~ V ~ / ~ k ~ g ~ / ~ y ~ r ~ } .
\begin{array} { r l } & { \Phi ( \bar { a } ( 1 + i b ) ) - \Phi ( \bar { a } ) = i b \bar { a } \frac { t } { x } - \frac { b ^ { 2 } \bar { a } ^ { 2 } } { 2 } \Phi ^ { \prime \prime } ( \bar { a } ) - i \frac { b ^ { 3 } \bar { a } ^ { 3 } } { 3 ! } \Phi ^ { \prime \prime \prime } ( \bar { a } ( 1 + i b \theta ( \bar { a } , b ) ) ) . } \end{array}
Q _ { 7 \gamma } = \frac { e } { 8 \pi ^ { 2 } } m _ { b } \bar { s } _ { \alpha } \sigma ^ { \mu \nu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) b _ { \alpha } F _ { \mu \nu } , \qquad Q _ { 8 G } = \frac { g } { 8 \pi ^ { 2 } } m _ { b } \bar { s } _ { \alpha } \sigma ^ { \mu \nu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) T _ { \alpha \beta } ^ { a } b _ { \beta } G _ { \mu \nu } ^ { a }
\begin{array} { r l r } & { \left\langle \frac { d \rho _ { 2 } ^ { 2 } } { d t } \right\rangle = \left\langle \frac { 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } + 1 \right\rangle , \quad \left\langle \frac { d \rho _ { 1 } ^ { 2 } } { d t } \right\rangle = \left\langle - \frac { 4 \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } - 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } \right\rangle , } & \\ & { \left\langle \frac { d } { d t } \rho _ { 2 } \sin \theta \right\rangle = \left\langle \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { \sqrt { \chi } } + \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \rho _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { \chi } } ( 1 - \sin ^ { 2 } \theta ) \right\rangle , \quad \left\langle \frac { d \ln \rho _ { 1 } } { d t } \right\rangle = \left\langle - \frac { 2 \rho _ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } - 1 \right\rangle , } & \end{array}
\hat { \Pi } \left( \psi _ { 2 } , \psi _ { 3 } , \cdots , \psi _ { N } \right) = \Pi _ { 2 } ( \psi _ { 2 } ) + \Pi _ { 3 } ( \psi _ { 2 } - \psi _ { 1 } ) + \cdots + \Pi _ { N } ( \psi _ { N } - \psi _ { N - 1 } ) \, .
\begin{array} { r } { f _ { i } ( t + 1 ) = [ ( 1 - \omega ) \delta _ { i j } + \omega L _ { i j } ] f _ { j } + \omega Q _ { i j k } f _ { j k } } \\ { f _ { i j } ( t + 1 ) = ( 1 - \omega ) ^ { 2 } f _ { i j } + \omega ( 1 - \omega ) [ L _ { j k } f _ { k i } + L _ { i l } f _ { l j } ] + \omega ^ { 2 } L _ { i k } L _ { j l } f _ { k l } . } \end{array}
< { I } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } > _ { \Sigma ^ { + } } ^ { \rho \rho } = < { I } _ { 3 } ^ { ( 2 ) } > _ { \Sigma ^ { + } } ^ { \rho \rho } = 1 / 4 \ ; \qquad < { I } _ { 3 } ^ { ( 3 ) } > _ { \Sigma ^ { + } } ^ { \rho \rho } = 1 / 2
E = - \frac 1 { 2 a } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d y } { 2 \pi } \, e ^ { i \delta y } x \frac d { d x } \ln \left[ 1 - \xi ^ { 2 } \lambda _ { l } ^ { 2 } ( x ) \right] .
W _ { d y n } = A ( d e t M _ { i j } - B \overline { { { B } } } - \Lambda ^ { 4 } ) + S \left( g t r M _ { i j } + \frac { g ^ { \prime } } { 2 } T r \Sigma ^ { 2 } \right) + \frac { h } { 3 } T r \Sigma ^ { 3 } .
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \beta } + a _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \gamma } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \mu } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \beta - \mu } + b _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \gamma - \mu } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
+ q ( q - 1 ) a _ { 1 } b _ { 1 } + r ( q - 1 ) b _ { 1 } f _ { 1 } + r q f _ { 1 } a _ { 1 } + \frac { \phi _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { h ^ { 2 } } { 4 } = 0 ;
V _ { \mathrm { { D e g r e e } } } = \frac { { \mathrm { D e g r e e } } ^ { \alpha } ( i ) } { \mathrm { { D e g r e e } } ( i ) } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ V _ { \mathrm { C l u s t e r i n g } } = \frac { \mathrm { { C l u s t e r i n g } } ^ { \alpha } ( i ) } { { \mathrm { C l u s t e r i n g } } ( i ) } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ V _ { \mathrm { { C l o s e n e s s } } } = \frac { { \mathrm { C l o s e n e s s } } ^ { \alpha } ( i ) } { \mathrm { { C l o s e n e s s } } ( i ) } ,
\mathrm { ~ r ~ T ~ F ~ D ~ } \left( \mathbf { R } , \mathbf { R } ^ { \prime } \right) = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ r ~ s ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ r ~ s ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } } \frac { \lvert w \left( \tau _ { i } \left( \mathbf { R } \right) - \tau _ { i } \left( \mathbf { R } ^ { \prime } \right) \right) \rvert } { \pi }