harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u } { \partial t } + \beta \left( u \frac { \partial u } { \partial x } + v \frac { \partial u } { \partial y } \right) } & { = - \frac { \partial p } { \partial x } + \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } \right) } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } + \beta \left( u \frac { \partial v } { \partial x } + v \frac { \partial v } { \partial y } \right) } & { = - \frac { \partial p } { \partial y } + \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\Delta ^ { \mathrm { c l } } = \int d ^ { 3 } x \left( [ A _ { \mu } ^ { * } , A ^ { \mu } ] - \left[ c ^ { * } , c \right] + \left( \overline { { { \Psi } } } ^ { * } T ^ { a } \, \Psi + \overline { { { \Psi } } } \, T ^ { a } \, \Psi ^ { * } \right) \tau _ { a } \right) .
G ( \mathbf { x } ) = \frac { i } { 4 } ( \frac { k _ { 0 } } { 2 \pi r } ) ^ { \frac { N } { 2 } - 1 } H _ { \frac { N } { 2 } - 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 0 } r ) , \quad r \equiv | \mathbf { x } |
s _ { b m } = \left( \begin{array} { c c } { \exp \left[ \frac { i } { 2 } \nu \tau _ { b m } \right] } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \nu \tau _ { b m } \right] } \end{array} \right) .
\ln \mu _ { \mathrm { b l e n d } } = { \frac { x _ { 1 } } { x _ { 1 } + \alpha x _ { 2 } } } \ln \mu _ { 1 } + { \frac { \alpha x _ { 2 } } { x _ { 1 } + \alpha x _ { 2 } } } \ln \mu _ { 2 } ,
\begin{array} { r } { A _ { 1 } ( z ) = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { - a _ { 0 } ( z ) } & { - a _ { 1 } ( z ) } \end{array} \right) , \quad A _ { 2 } ( z ) = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { - b _ { 0 } ( z ) } & { - b _ { 1 } ( z ) } \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } \Omega _ { i } } { \mathrm { d } t } = - \frac { K _ { i } } { I _ { i } n } \left[ ( 1 + x _ { i } ^ { 2 } ) \omega ( e ) \frac { \Omega _ { i } } { n } - 2 x _ { i } N ( e ) \right] , } \end{array}
H _ { 1 } ^ { 0 } \equiv { S _ { 1 } + i P _ { 1 } \o \sqrt { 2 } } \ , \qquad H _ { 2 } ^ { 0 } \equiv { S _ { 2 } + i P _ { 2 } \o \sqrt { 2 } } \ , \qquad N \equiv { X + i Y \o \sqrt { 2 } } \ ,
z _ { 1 } ^ { 8 } + \bar { z } _ { 1 } ^ { 8 } + 2 \phi z _ { 1 } ^ { 4 } \bar { z } _ { 1 } ^ { 4 } + x _ { 3 } ^ { 4 } + x _ { 4 } ^ { 4 } + x _ { 5 } ^ { 4 } = 0 \, ,
\tilde { M } _ { L L } ^ { l ^ { 2 } } \sim \tilde { m } ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { a + \epsilon ^ { 2 } } } & { { \epsilon ^ { \prime } \epsilon } } & { { \epsilon ^ { 3 } \epsilon ^ { 2 } } } \\ { { \epsilon ^ { \prime } \epsilon } } & { { a + \epsilon ^ { 2 } } } & { { \epsilon ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } } } \\ { { \epsilon ^ { 3 } \epsilon ^ { 2 } } } & { { \epsilon ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { D = } & { \left( \begin{array} { l l l l l } { \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 0 } } & { \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 1 } } & { \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 2 } \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) } & { \dots } & { \bar { d } _ { 1 } ( 0 ) { \cdot } p _ { n } \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) } \\ { - \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 0 } } & { - \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 1 } } & { - \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 2 } \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) } & { \dots } & { - \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { n } \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { : } & { : } & { : } & { \dots } & { : } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\mathbf { A } ( \mathbf { r } , \mathbf { t } ) = { \frac { \mu _ { 0 } c } { 4 \pi } } \left( { \frac { q { \boldsymbol { \beta } } _ { s } } { ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | } } \right) _ { t = t _ { r } } = { \frac { { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ( t _ { r } ) } { c } } \varphi ( \mathbf { r } , \mathbf { t } )
\begin{array} { r l } { P _ { X } ^ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } \bigl [ y \to X ^ { \prime } ( \tau ^ { \prime } ) \bigr ] = } & { { } \prod _ { i = k } ^ { \tau ^ { \prime } / \Delta t - 1 } p ( x _ { i \Delta t } ^ { \prime } \to x _ { ( i + 1 ) \Delta t } ^ { \prime } ) } \end{array}
V ^ { \alpha } = \int d \xi ^ { a } \; \partial _ { a } X ^ { \alpha } \; e ^ { i p \cdot X } \; , \ \ \ V ^ { m } = { \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } \int d \xi _ { a } \; \epsilon ^ { a b } \partial _ { b } X ^ { m } \; e ^ { i p \cdot X } \; ,
{ \begin{array} { r l } { e ^ { - \zeta _ { y } K _ { y } } e ^ { - \zeta _ { x } K _ { x } } e ^ { \zeta _ { y } K _ { y } } e ^ { \zeta _ { x } K _ { x } } = I } & { + \zeta _ { x } \zeta _ { y } [ K _ { y } , K _ { x } ] - ( \zeta _ { x } K _ { x } ) ^ { 2 } - ( \zeta _ { y } K _ { y } ) ^ { 2 } } \\ & { + \zeta _ { x } ^ { 2 } \zeta _ { y } [ K _ { x } , K _ { y } ] K _ { x } + \zeta _ { x } \zeta _ { y } ^ { 2 } K _ { y } [ K _ { y } , K _ { x } ] } \\ & { + ( \zeta _ { x } \zeta _ { y } ) ^ { 2 } K _ { y } K _ { x } K _ { y } K _ { x } + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { \lambda _ { 0 } } { 1 + \sin \theta _ { i } } < \Lambda _ { d } < \left\{ \begin{array} { r c r } { \frac { \lambda _ { 0 } } { 1 - \sin \theta _ { i } } } & { 0 < \theta _ { i } < \sin ^ { - 1 } ( 1 / 3 ) } \\ { \frac { 2 \lambda _ { 0 } } { 1 + \sin \theta _ { i } } } & { \sin ^ { - 1 } ( 1 / 3 ) < \theta _ { i } < \frac { \pi } { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
e ^ { - \ensuremath { \mathrm { i } } V _ { i j } \Delta t } = \sum _ { \lambda } \sum _ { \alpha \beta } \phi _ { \alpha \lambda } \phi _ { \beta \lambda } \left[ \cos \left( J _ { \lambda } \Delta t \right) \left( b _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i \beta } + b _ { j \alpha } ^ { \dagger } b _ { j \beta } \right) - \ensuremath { \mathrm { i } } \sin \left( J _ { \lambda } \Delta t \right) \left( b _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { j \beta } + b _ { j \alpha } ^ { \dagger } b _ { i \beta } \right) \right] .
M ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } , \bar { j } _ { 2 } ) } ) = \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } } \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } , 0 } ^ { - 1 } \lambda _ { j _ { 2 } , \bar { j } _ { 2 } , 0 } ^ { - 1 } C _ { m _ { 1 } - l _ { 1 } , l _ { 1 } ; m _ { 1 } } ^ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } ; j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } } C _ { m _ { 2 } - l _ { 2 } , l _ { 2 } ; m _ { 2 } } ^ { j _ { 2 } , \bar { j } _ { 2 } ; j _ { 2 } + \bar { j } _ { 2 } } M ( e _ { m _ { 1 } - l _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } \bar { e } _ { l _ { 1 } } ^ { ( \bar { j } _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } - l _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } \bar { e } _ { l _ { 2 } } ^ { ( \bar { j } _ { 2 } ) } ) .
\boxed { \bar { \alpha } _ { k } : = \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { - \langle z ^ { k } , B d ^ { k } \rangle + \sqrt { \langle z ^ { k } , B d ^ { k } \rangle ^ { 2 } - \langle d ^ { k } , B d ^ { k } \rangle ( \langle z ^ { k } , B z ^ { k } \rangle - 1 ) } } { \langle d ^ { k } , B d ^ { k } \rangle } , - \frac { z _ { i } ^ { k } } { d _ { i } ^ { k } } , i \in \mathcal { I } ^ { k } \right\} . }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } ( 1 + \beta ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \big \| \nu _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i - 1 } \big \| ^ { 2 } + 4 K L ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 4 K \sigma ^ { 2 } } { b _ { 1 } } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \alpha _ { i } ^ { 2 } + 8 K \zeta ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \alpha _ { i } ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \frac { 1 6 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } ( 1 + 2 a _ { i } ^ { 2 } ) ( I - 1 ) } { \rho ^ { 2 } } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + \frac { 1 } { I } ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \big \| \nu _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i - 1 } \big \| ^ { 2 } + 8 K I L ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 8 K I \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 4 } } { b _ { 1 } } } \\ & { \qquad \qquad + 1 6 K I \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 4 } + \frac { 9 6 \lambda ^ { 2 } I ^ { 2 } L ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\left( \frac { \partial q ^ { s } } { \partial q ^ { c } } \right) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \frac { \rho } { \rho a } \left( \begin{array} { l l l l } { \Gamma k } & { - \Gamma u } & { - \Gamma v } & { \Gamma } \\ { - u a } & { a } & { 0 } & { 0 } \\ { - v a } & { 0 } & { a } & { 0 } \\ { \Gamma h - k } & { - \Gamma a } & { - \Gamma v } & { \Gamma } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \rho a } \left( \begin{array} { l } { - \Gamma u } \\ { a } \\ { 0 } \\ { - \Gamma u } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { T } } ( \tau ) } & { = c _ { 0 } \, \frac { \, \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) } { \pi ^ { ( d + 1 ) / 2 } \, a _ { \Re } ^ { d + 1 } } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \, \left[ \left( 1 + \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } \right) + \frac { \xi \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } \, \frac { ( d + 1 ) } { a _ { \Re } } \right] \, . } \end{array}
h _ { r } = - { \sum _ { r ^ { \prime } = 1 ( \neq r ) } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { M } } A _ { r } ^ { k } A _ { r ^ { \prime } } ^ { k } R _ { r ^ { \prime } } \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { \mu } _ { r ^ { \prime } } + \sqrt { \frac { \tau } { g ^ { 2 } } } \right) { + } { \sum _ { r ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { M } } \sqrt { \frac { \tau } { g ^ { 2 } } } A _ { r } ^ { k } A _ { r ^ { \prime } } ^ { k } x _ { r ^ { \prime } } \xi _ { r ^ { \prime } } .
( \psi _ { 1 } ( u + 2 \pi ) , \psi _ { 2 } ( u + 2 \pi ) , \psi _ { 3 } ( u + 2 \pi ) ) = ( \psi _ { 1 } ( u ) , \psi _ { 2 } ( u ) , \psi _ { 3 } ( u ) ) { \bf M } ( \lambda ) ,
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = V ^ { \prime } ( q _ { t } ) ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } - V ^ { \prime } ( q _ { t } ) ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } + \frac { 1 } { 2 } \operatorname { T r } \left[ \frac { d V ^ { \prime \prime } ( q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) } { d t } \cdot \Sigma _ { t } \right] } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 9 } } + { \frac { 1 } { 1 6 } } + { \frac { 1 } { 2 5 } } + { \frac { 1 } { 3 6 } } + \cdots = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } } .
\begin{array} { r l } { R _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { \quad 1 } \left( n \right) } & { = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } - A _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } + B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) \right) } \\ { R _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { \quad 2 } \left( n \right) } & { = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } - A _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } + B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) \right) } \\ { R _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { \quad 3 } \left( n \right) } & { = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } - A _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } + B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } \left( n \right) \right) } \end{array}
\hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ( \omega ) = \left[ \begin{array} { l } { \hat { F } } \\ { \hat { T } } \end{array} \right] \, , \qquad \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( \omega ) = \left[ \begin{array} { l } { \hat { F } _ { m } } \\ { \hat { T } _ { m } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l } { e ^ { \alpha } } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \psi ( l ^ { \prime } ) e ^ { - \omega l ^ { \prime } } d l ^ { \prime } = } \\ & { z \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 l ^ { \prime } } 2 C _ { A } ( 2 l ^ { \prime } - l ) e ^ { - \beta ( 2 l ^ { \prime } - l ) } \psi ( l ) e ^ { - \omega l ^ { \prime } } d l \ d l ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \langle ( \nabla _ { \| } \theta ) ^ { p } \rangle } { \langle ( \nabla _ { \| } \theta ) ^ { 2 } \rangle ^ { p / 2 } } \sim S c ^ { - 1 / 2 } R _ { \lambda } ^ { ( p - 3 ) / 2 } \ , \ \ \ \ \ p = 3 , 5 , 7 . . . , } \end{array}
\bigg [ - \frac { 1 } { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d \zeta ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \zeta ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } N | \psi _ { S M A } ( \zeta ) | ^ { 2 } \bigg ] \psi _ { S M A } ( \zeta ) = \mu ^ { \prime } \psi _ { S M A } ( \zeta ) ,
\tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } = \sum _ { t _ { i } = 0 } ^ { T + 1 } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid t _ { i } \right) p _ { 0 } \left( t _ { i } \right) \left[ \prod _ { r = 0 } ^ { t _ { i } - 2 } e ^ { \tilde { \nu } _ { i } ^ { r } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { r } \nu _ { k i } ^ { r } } \right] \left[ 1 - \mathbb { I } _ { 1 \leq t _ { i } \leq T } e ^ { \tilde { \nu } _ { i } ^ { t _ { i } - 1 } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t _ { i } - 1 } \nu _ { k i } ^ { t _ { i } - 1 } } \right] \prod _ { s = t _ { i } } ^ { T - 1 } e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { s } \mu _ { k \setminus i } ^ { s } }
\begin{array} { r l } & { G _ { \mathrm { S O } } = \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \theta } } \{ \mathbb { E } [ g ( \boldsymbol { Y } ) ] : \; \mathbb { E } [ h _ { j } ( \boldsymbol { Y } ) ] \leq { b } _ { j } , \; \forall j \in \mathcal { J } \} } \\ & { G _ { \mathrm { E P } } ( \boldsymbol { \epsilon } ) = \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { y } , \boldsymbol { \theta } } \{ g ( \boldsymbol { y } ) : \; h _ { j } ( \boldsymbol { y } ) \leq { b } _ { j } , \; \forall j \in \mathcal { J } , | { \boldsymbol { y } } - \mathbb { E } [ \boldsymbol { Y } ] | \leq \boldsymbol { \epsilon } \} } \end{array}
\nu _ { v } = \frac { ( 1 + \nu _ { h } ) - \sqrt { ( 1 + \nu _ { h } ) ^ { 2 } - 4 \nu _ { h } E _ { h } / E _ { v } } } { 2 E _ { h } / E _ { v } } , \qquad G _ { v h } = \frac { 1 } { 2 \Delta _ { S } } \biggl [ ( 1 \! - \! \nu _ { h } ) \frac { E _ { v } } { E _ { h } } - \nu _ { v } \biggr ] .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \Pi ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = - i \textbf { F } ( t ) \cdot \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \left[ N _ { v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) - N _ { c } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right] e ^ { - i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { D } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { B } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \right] } , } \\ { \partial _ { t } N _ { c } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = 2 \mathrm { R e } \left\{ i \textbf { F } ( t ) \cdot \left[ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \right] ^ { * } \Pi ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) e ^ { i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { D } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { B } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \right] } \right\} , } \\ { \partial _ { t } N _ { v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = - 2 \mathrm { R e } \left\{ i \textbf { F } ( t ) \cdot \left[ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \right] ^ { * } \Pi ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) e ^ { i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { D } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { B } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \right] } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { I ^ { 0 } } \\ { I ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { \propto \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l } { R ^ { 0 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } | | x _ { i } + y _ { i } | | ^ { 2 } } \\ { R ^ { 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } | | j ( x _ { i } - y _ { i } ) | | ^ { 2 } } \end{array} \right) } \\ & { \propto \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l } { \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } R ^ { 0 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } R ^ { 1 } ( x _ { i } - y _ { i } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array} ,
\begin{array} { r l r } { C _ { r } ^ { j } } & { = } & { g _ { r , j } + \sum _ { \nu , \mu = 1 } ^ { k } \left( g _ { r , m + \nu } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { j } } + g _ { m + \nu , j } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } + g _ { m + \nu , m + \mu } \frac { \partial \alpha _ { \mu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { j } } \right) } \\ { D _ { r } ^ { j , k } } & { = } & { \xi _ { j , k , r } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \xi _ { j , k , m + \nu } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } } \\ { E _ { r } ^ { j } } & { = } & { \sum _ { \nu , \mu = 1 } ^ { k } \left( 2 \xi _ { j , m + \nu , m + \mu } \alpha _ { \nu } + g _ { m + \nu , m + \mu } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial q _ { j } } + 2 \eta _ { j , m + \mu } \right) \frac { \partial \alpha _ { \mu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \left( 2 \xi _ { j , m + \nu , r } \alpha _ { \nu } + g _ { m + \nu , r } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial q _ { j } } \right) + 2 \eta _ { j , r } } \\ { G _ { r } } & { = } & { \sum _ { \nu , \mu , p = 1 } ^ { k } \left( \alpha _ { \mu } \left( \xi _ { m + \nu , m + \mu , m + p } \alpha _ { \nu } + g _ { m + \nu , m + p } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial q _ { m + \mu } } \right) + 2 \eta _ { m + \nu , m + p } \alpha _ { \nu } + g _ { m + \nu , m + p } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial t } + \zeta _ { m + p } \right) \frac { \partial \alpha _ { p } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } } \\ & { + } & { \sum _ { \nu , \mu = 1 } ^ { k } \alpha _ { \mu } \left( \xi _ { m + \nu , m + \mu , r } \alpha _ { \nu } + g _ { m + \nu , r } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial q _ { m + \mu } } \right) + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \left( 2 \eta _ { m + \nu , r } \alpha _ { \nu } + g _ { m + \nu , r } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial t } \right) + \zeta _ { r } . } \end{array}
\bar { F } ( \hat { U } _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ } } , \hat { U } _ { \hat { H } _ { \mathrm { s i m } } } ) = \frac { \sum _ { j } \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left[ \hat { U } _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ } } \hat { \sigma } _ { j } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ } } ^ { \dagger } \boldsymbol { \hat { \sigma } } _ { j } ( \hat { U } _ { \hat { H } _ { \mathrm { s i m } } } ) \right] + d ^ { 2 } } { d ^ { 2 } \left( d + 1 \right) } ,
{ \langle \sigma _ { \mathrm { e f f } } v \rangle } = \sum _ { i j } { \langle \sigma _ { i j } v _ { i j } \rangle } { \frac { n _ { i } ^ { \mathrm { e q } } } { n ^ { \mathrm { e q } } } } { \frac { n _ { j } ^ { \mathrm { e q } } } { n ^ { \mathrm { e q } } } } .
J _ { \mu } ^ { 5 a } = i \frac { 1 } { 3 ! } \varepsilon _ { \mu \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } } \overline { { \psi } } \gamma _ { \nu _ { 1 } } \gamma _ { \nu _ { 2 } } \gamma _ { \nu _ { 3 } } t ^ { a } \psi .
\begin{array} { r l } { a _ { n } } & { { } = F _ { n + 1 } ^ { 2 } + F _ { n + 2 } ^ { 2 } } \\ { b _ { n } } & { { } = 2 F _ { n + 1 } F _ { n + 2 } } \\ { c _ { n } } & { { } = F _ { n } F _ { n + 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q _ { n f } = \frac { \mathbf { R } ^ { + } + \mathbf { R } ^ { - } } { 2 } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { { } \ } & { a _ { f } = \frac { \gamma - 1 } { 4 } ( \mathbf { R } ^ { + } - \mathbf { R } ^ { - } ) \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
{ \lambda _ { t r a p } } = \frac { 1 } { \left( \frac { { N _ { A } + N _ { D } } \pm \mid { N _ { A } - N _ { D } } \mid } { 2 } \right) \times \left( \sigma _ { t r a p } \times \frac { v _ { t o t } } { v _ { d } } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { l , - w } ( + ) = } & { \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( + ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } A _ { ( - ) } D _ { ( + ) } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, , } \\ { \delta _ { l , + w } ( - ) = } & { \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( + ) } ^ { - 1 } A _ { ( + ) } D _ { ( - ) } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { i \alpha \left( \mu _ { 1 2 } - 1 \right) \tilde { u } _ { \phi } ( \phi = \pi ) - ( \mu _ { 1 2 } - 1 ) \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial U _ { z } } { \partial \xi } \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial \big ( H _ { \phi } \tilde { \eta } \big ) } { \partial \xi } \Biggr | _ { \phi = \pi } } \\ & { + \Biggl [ \mu _ { 1 2 } \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \phi } \biggl ( \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial U _ { z } ^ { ( 1 ) } } { \partial \phi } \biggr ) - \mu _ { 1 2 } \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial U _ { z } ^ { ( 1 ) } } { \partial \xi } \frac { 2 \sinh \xi } { \sin \phi _ { 0 } } } \\ & { - \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \phi } \biggl ( \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial U _ { z } ^ { ( 2 ) } } { \partial \phi } \biggr ) + \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial U _ { z } ^ { ( 2 ) } } { \partial \xi } \frac { 2 \sinh \xi } { \sin \phi _ { 0 } } \Biggr ] _ { \phi = \pi } H _ { \phi } \tilde { \eta } } \\ & { + \biggl ( \mu _ { 1 2 } \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { z } ^ { ( 1 ) } } { \partial \phi } - \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { z } ^ { ( 2 ) } } { \partial \phi } \biggr ) \Biggr | _ { \phi = \pi } = 0 , } \end{array} } \end{array}