harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } d y \, f ( \sqrt { \delta } \, v ) \, \big ( F ( \delta \, y ) - F ( \delta \, u ) \big ) \cdot \nabla _ { 1 } \, \mathfrak { K } _ { 0 } \big ( u + F ( \delta \, u ) \, , \, v \big ) \, \left( \frac { \delta } { 4 \pi } \right) ^ { d / 2 } \, e ^ { - \delta \frac { | u - y | ^ { 2 } } { 4 } } } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } d y \, \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \, ( 1 - r ) \Big ( \big ( F ( \delta \, y ) - F ( \delta \, u ) \big ) \cdot \nabla _ { 1 } \Big ) ^ { 2 } \, \times } \\ & { \qquad \qquad \times f ( \sqrt { \delta } \, v ) \, \mathfrak { K } _ { 0 } \big ( u + F ( \delta \, u ) + r \, ( F ( \delta \, y ) - F ( \delta \, u ) ) , \, v \big ) \left( \frac { \delta } { 4 \pi } \right) ^ { d / 2 } \, e ^ { - \delta \frac { | u - y | ^ { 2 } } { 4 } } . } \end{array}
\partial _ { t } \rho _ { 0 } ( \boldsymbol { x } ) = \mathcal { L } _ { 0 } \rho _ { 0 } ( \boldsymbol { x } ) = - \nabla \cdot \left( \mathbf { F } \rho _ { 0 } ( \boldsymbol { x } ) \right) + \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } : \left( \Sigma \Sigma ^ { \top } \rho _ { 0 } ( \boldsymbol { x } ) \right) = 0 ,
\Gamma _ { 1 } ^ { p } ( 1 0 \, \mathrm { { G e V } } ^ { 2 } ) = 0 . 1 4 2 \pm 0 . 0 0 8 \pm 0 . 0 1 1 , \: \: \: \Gamma _ { 1 } ^ { n } ( 1 0 \, { \mathrm { G e V } } ^ { 2 } ) = - 0 . 0 6 3 \pm 0 . 0 2 4 \pm 0 . 0 1 3
\frac { p _ { \alpha } ( p + k _ { 1 } ) _ { \beta } ( p + k ) _ { \gamma } } { p ^ { 2 } ( p + k _ { 1 } ) ^ { 2 } ( p + k ) ^ { 2 } } = \frac { p _ { \alpha } ( p + k _ { 1 } ) _ { \beta } } { p ^ { 4 } ( p + k _ { 1 } ) ^ { 2 } } \left[ ( p + k ) _ { \gamma } - \frac { 2 ( k p ) p _ { \gamma } } { p ^ { 2 } } \right] + \ldots \; .
\int _ { x } ^ { z _ { \mathrm { t h } } } \, \frac { d z } { z } f _ { k } \Big ( \frac { x } { z } , \mu ^ { 2 } \Big ) H _ { i , k } \Big ( z , \frac { Q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } , \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \Big ) \, ,
S = S _ { 0 } + \sum _ { \overline { { x } } , k } a _ { 0 } ^ { D } \frac { \mu _ { 0 } } { m _ { 0 } } \left( \phi _ { k } ^ { 2 } - \overline { { \phi } } ^ { 2 } \right) - \sum _ { \overline { { x } } , k } \sum _ { M } a _ { 0 } ^ { D } \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { \partial \phi _ { k } } { \partial x ^ { M } } \right) ^ { 2 } + \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { k } } { \partial \left( x ^ { M } \right) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right]
\boldsymbol { v } _ { 4 } = \left[ \begin{array} { l } { v _ { 4 1 } } \\ { v _ { 4 2 } } \\ { v _ { 4 3 } } \\ { v _ { 4 4 } } \end{array} \right] = \alpha \left[ \begin{array} { l } { \Gamma _ { 1 2 } } \\ { c \Gamma _ { 2 1 } } \\ { c } \\ { 1 } \end{array} \right] , \quad \forall \, \alpha \neq 0
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 / 2 } ^ { \mathrm { m a x } } } & { = } & { \frac { \ln 2 } { \lambda ^ { \mathrm { m a x } } } = \frac { \ln 2 \times N _ { \mathrm { A } } } { L _ { \mathrm { D } } } } \\ & { = } & { \frac { \ln 2 \times N _ { \mathrm { A } } \times \varepsilon \times \beta \times C _ { \mathrm { d e c a y } } \times t } { k _ { \alpha } ^ { 2 } + 2 k _ { \alpha } \sqrt { 2 \dot { N } _ { \mathrm { B G } } t } } } \\ & { = } & { 2 . 1 \times 1 0 ^ { 2 0 } \textrm { y } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \theta , \phi \rangle } & { = } & { | \alpha _ { \mathrm { L } } , \alpha _ { \mathrm { R } } \rangle } \\ & { = } & { | \alpha _ { \mathrm { L } } \rangle | \alpha _ { \mathrm { R } } \rangle } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { \mathcal N } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \mathrm { L } } \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \mathrm { R } } \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } } | 0 \rangle } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { \mathcal N } { 2 } } \exp \left[ \sqrt { { \mathcal N } } \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } \right] } \\ & { } & { \exp \left[ \sqrt { { \mathcal N } } \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } \right] | 0 \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } } : = } & { { } \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { - d \omega } { \pi } \int \frac { d \vec { r } d \vec { r } ^ { \prime } } { 2 | \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } | } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ( a ) } \quad \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \cdots \downarrow \quad \rightarrow \quad \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \cdots \uparrow } \\ & { \mathrm { ( b ) } \quad \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \cdots \uparrow \quad \rightarrow \quad \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \cdots \downarrow } \\ & { \mathrm { ( c ) } \quad \downarrow \downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \cdots \downarrow \quad \xrightarrow [ ] { p } \quad \downarrow \downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \cdots \uparrow \quad ( \mathrm { t h e ~ e x t e r n a l ~ f i e l d ~ e f f e c t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { u } f ( \lambda x + ( 1 - \lambda ) y ) } & { = f ( R _ { u } ( \lambda x + ( 1 - \lambda ) y ) ) = f ( \lambda R _ { u } ( x ) + ( 1 - \lambda ) R _ { u } ( y ) ) } \\ & { \geq \operatorname* { m i n } \{ f ( R _ { u } ( x ) ) , f ( R _ { u } ( y ) ) \} = \operatorname* { m i n } \{ R _ { u } f ( x ) , R _ { u } f ( y ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \omega \psi + a \psi _ { , x } } & { { } = \kappa ( \psi _ { , x x } + \psi _ { , y y } ) , } \\ { \psi ( x , 0 ) } & { { } = \psi ( x , L ) = 0 , } \\ { \psi ( L , y ) } & { { } = - V ( y ) , } \\ { \psi ( 0 , y ) } & { { } = 1 - V ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } ( \theta , \mathcal { S } ) ^ { 2 } = } & { \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { s b } ( \theta , \mathcal { S } _ { s b } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\hat { P } _ { \mu } = - { \frac { \partial _ { \mu } h } { h } } , \qquad \hat { Q } _ { \mu } = - { \frac { i } { 2 } } { \frac { \partial _ { \mu } h } { h } } , \qquad \hat { P } _ { \mu } ^ { * } = 0 ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } \mathbf { A } } & { = \operatorname* { l i m } _ { V \to 0 } { \frac { \iint _ { \partial V } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { S } } { \iiint _ { V } d V } } } \\ & { = { \frac { A _ { \rho } ( \rho + d \rho ) ( \rho + d \rho ) \, d \phi \, d z - A _ { \rho } ( \rho ) \rho \, d \phi \, d z + A _ { \phi } ( \phi + d \phi ) \, d \rho \, d z - A _ { \phi } ( \phi ) \, d \rho \, d z + A _ { z } ( z + d z ) \, d \rho \, ( \rho + d \rho / 2 ) \, d \phi - A _ { z } ( z ) \, d \rho ( \rho + d \rho / 2 ) \, d \phi } { \rho \, d \phi \, d \rho \, d z } } } \\ & { = { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial ( \rho A _ { \rho } ) } { \partial \rho } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial A _ { \phi } } { \partial \phi } } + { \frac { \partial A _ { z } } { \partial z } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { F } } ( \theta ) } & { { } = } & { \sum _ { x , y = \pm 1 } \frac { 1 } { p ( x , y | \theta ) } \left( \frac { \partial p ( x , y | \theta ) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 1 - E _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \theta ) } \left( \frac { \partial E _ { 1 2 } ( \theta ) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } > 0 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { s , p } ( \Omega ) } & { = \left\{ u \in \mathcal { L } ^ { p } ( \Omega ) : \lVert u \rVert _ { W ^ { s , p } ( \Omega ) } ^ { p } : = \int _ { \Omega } \sum _ { j = 0 } ^ { s } \left\lvert D ^ { j } u \right\rvert ^ { p } d x < \infty \right\} , } \\ { W ^ { s , p } ( \Omega , g ) } & { = \left\{ u \in \mathcal { L } ^ { p } ( \Omega , g ) : \lVert u \rVert _ { W ^ { s , p } ( \Omega , g ) } ^ { p } = \sum _ { j = 0 } ^ { s } \int _ { \Omega } \left\lvert \nabla ^ { j } u \right\rvert _ { g } ^ { p } d \mathrm { V o l } _ { g } < \infty \right\} , } \\ { W ^ { s , p } ( M , g ) } & { = \left\{ u \in \mathcal { L } ^ { p } ( M , g ) : \lVert u \rVert _ { W ^ { s , p } ( M , g ) } ^ { p } = \sum _ { j = 0 } ^ { s } \int _ { M } \left\lvert \nabla ^ { j } u \right\rvert _ { g } ^ { p } d \mathrm { V o l } _ { g } < \infty \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { 1 } ( p ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl ( \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \biggl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ) [ x ( 1 5 - 1 3 x ) + \frac { 1 } { 2 } ] } \\ & { \Pi _ { 3 } ( p ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl ( \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \biggl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ) [ x ( 1 5 - 1 3 x ) + \frac { 1 } { 2 } ] } \\ & { \Pi _ { 4 } ( p ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl ( \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \biggl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ) [ 5 x - 7 x ^ { 2 } + 2 x ^ { 3 } ] \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { \geq } & { n m _ { \theta } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) - n ( ( K _ { 0 } T ) ^ { - 1 0 } + \Upsilon _ { l } ) } \\ & { \geq } & { n ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( m _ { \theta } - 4 0 0 e ^ { 5 \theta } T ^ { - 1 } ) - n ( K _ { 0 } T ) ^ { - 1 0 } } \\ & { \geq } & { \frac { 1 } { 8 } n m _ { \theta } ( K _ { 0 } T ) ^ { - 2 } - n ( K _ { 0 } T ) ^ { - 1 0 } \geq \frac { 1 } { 1 6 } m _ { \theta } ( K _ { 0 } T ) ^ { - 2 } n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { \pm } } & { = - \left( 1 + i \zeta _ { 0 } - \frac { 3 } { 2 } i ( | a _ { 0 } | ^ { 2 } + | b _ { 0 } | ^ { 2 } ) \pm i \sqrt { \beta ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 } ( | a _ { 0 } | ^ { 2 } - | b _ { 0 } | ^ { 2 } ) \right) ^ { 2 } } \right) } \\ & { = - \left( 1 + i ( \zeta _ { 0 } - \delta \zeta _ { \mathrm { N L } } \pm \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } ) \right) } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { Y u k a w a } } = ( Y _ { u } ) _ { m n } ( { \bar { q } } _ { L } ) _ { m } { \tilde { \varphi } } ( u _ { R } ) _ { n } + ( Y _ { d } ) _ { m n } ( { \bar { q } } _ { L } ) _ { m } \varphi ( d _ { R } ) _ { n } + ( Y _ { e } ) _ { m n } ( { \bar { L } } _ { L } ) _ { m } { \tilde { \varphi } } ( e _ { R } ) _ { n } + \mathrm { h . c . }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \left\| \left[ \Delta t \mathbf { w } _ { a } \right] ^ { n } \right\| } & { \propto \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \Delta t ^ { n } \, \rho \left( \mathbf { w } _ { a } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { w } _ { a } \right) ^ { n / 2 } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } ( \Delta t \omega _ { a } ) ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { \sigma ^ { \tau } , * ^ { \tau } } ( z ^ { \tau } ) } & { = \mathrm { p r } ^ { \tau } ( w _ { \sigma , * } ( z ) ) } \\ & { = \sum _ { \rho \in \sigma ( 1 ) \setminus \tau ( 1 ) } a _ { \rho } \; \mathrm { p r } ^ { \tau } ( u _ { \rho } ) } \\ & { = \sum _ { \eta \in \sigma ^ { \tau } ( 1 ) } a _ { \hat { \eta } } \; u _ { \eta } . } \end{array}
Q ^ { - } ( f , f _ { \beta } ) = \int _ { \mathcal { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathcal { S } ^ { 2 } } \sigma ( | \vec { v } _ { r } | , \vec { \Omega } ) | \vec { v } _ { r } | f _ { \beta } ( \vec { v } ^ { \prime } ) f ( \vec { v } ) d \vec { v } ^ { \prime } d \vec { \Omega } .
\begin{array} { r } { \| \mathbb { B } \| _ { 2 } = \operatorname* { s u p } _ { u \in L ^ { 2 } , \| u \| _ { 2 } = 1 } \| \mathbb { B } u \| _ { 2 } \geq \operatorname* { s u p } _ { u \in L _ { \Omega _ { 0 } } ^ { 2 } , \| u \| _ { 2 } = 1 } \| \mathbb { B } u \| _ { 2 } = \| \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { 0 } } ( I _ { d } + \mathbb { B } _ { \Omega _ { 0 } } ) \| _ { 2 } } \end{array}
\widehat { H } = \frac { 2 \pi } { L } \left( \widehat { L _ { 0 } } + \widehat { \overline { { { L } } } _ { 0 } } - \frac { c } { 1 2 } \widehat { I } + g \frac { L ^ { 2 - 2 \Delta _ { V } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 1 - 2 \Delta _ { V } } } \widehat { B } \right) \: ,
\begin{array} { r l } { u } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { k } w _ { d - n _ { i } } ( - E ( i ) ) = \prod _ { i = 1 } ^ { k } \prod _ { r = i + 1 } ^ { k + 1 } w _ { n _ { i + 1 } - n _ { i } } ( E _ { i + 1 } ) \cdots w _ { n _ { k + 1 } - n _ { k } } ( E _ { k + 1 } ) } \\ & { = w _ { n _ { 2 } - n _ { 1 } } ( E _ { 2 } ) \cdot w _ { n _ { 3 } - n _ { 2 } } ( E _ { 3 } ) ^ { 2 } \cdots w _ { n _ { k + 1 } - n _ { k } } ( E _ { k + 1 } ) ^ { k } . } \end{array}
\left( \frac { \partial C } { \partial z } ( z ) \right) ^ { \top } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I } & { 0 } \end{array} \right) = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \left( \frac { \partial C } { \partial z } ( z ) \right) ^ { \top } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \Psi ( z ) } \end{array} \right) = 0 , \qquad z \in X .
\left< R \left| \chi _ { R _ { 1 } } ( U ) \chi _ { R _ { 2 } } ( U ) \ldots \chi _ { R _ { k } } ( U ) \right| R ^ { \prime } \right> ~ = ~ \int [ d U ] \chi _ { R } ^ { * } ( U ) \chi _ { R _ { 1 } } ( U ) \chi _ { R _ { 2 } } ( U ) \ldots \chi _ { R _ { k } } ( U ) \chi _ { R ^ { \prime } } ( U )
\begin{array} { r l } { R _ { u \theta } } & { = \frac { \left< u \theta ^ { \prime } \right> } { u _ { \mathrm { { R M S } } } \theta _ { \mathrm { R M S } } ^ { \prime } } \, , } \\ { R _ { v \theta } } & { = \frac { \left< v \theta ^ { \prime } \right> } { v _ { \mathrm { { R M S } } } \theta _ { \mathrm { R M S } } ^ { \prime } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 \mathrm { \normalfont ~ R e } \left[ g ^ { \prime } ( r e ^ { i \varphi } ) \right] = 2 \mathrm { \normalfont ~ R e } \left[ \sum _ { n \geq 0 } ( n + 1 ) \hat { g } _ { n } r ^ { n } e ^ { i n \varphi } \right] = \sum _ { n \in \mathbb { Z } } ( | n | + 1 ) \hat { \xi } _ { n } [ g ] \, r ^ { | n | } e ^ { i n \varphi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { p } ( \phi _ { 1 3 } ^ { \pm } ( y ) ) } & { = J _ { p } ( \phi _ { 1 2 } ^ { \pm } ( y ) ) + J _ { p } ^ { \prime } ( \phi _ { 1 2 } ^ { \pm } ( y ) ) \bigg ( \pm \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { | \alpha | = 3 } D ^ { \alpha } \phi ( x ) y ^ { \alpha } \bigg ) + \frac { 1 } { 2 } J _ { p } ^ { \prime \prime } \bigg ( O ( | y | ) \bigg ) O ( | y | ^ { 6 } ) } \\ & { = J _ { p } ( \phi _ { 1 2 } ^ { \pm } ( y ) ) + J _ { p } ^ { \prime } ( \phi _ { 1 2 } ^ { \pm } ( y ) ) \bigg ( \pm \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { | \alpha | = 3 } D ^ { \alpha } \phi ( x ) y ^ { \alpha } \bigg ) + O ( | y | ^ { p + 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { 2 } } & { { } = - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \, \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 3 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 4 } } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 2 } } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta { \bf n } ^ { ( 0 ) } = } & { \left( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } \right) ^ { - 1 } { \bf K } _ { 0 } \left( { \boldsymbol \rho } _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 0 ) } [ { \bf n } ^ { ( 0 ) } ] - { \bf n } ^ { ( 0 ) } \right) } \\ { \approx } & { \left( \sum _ { k l } { \bf v } _ { k } { M _ { k l } } { { \bf f } _ { { \bf v } _ { l } } ^ { T } } \right) { \bf K } _ { 0 } { \bf f } ( { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { m } _ { N } ^ { - } } & { { } = \sum _ { \tilde { w } ^ { - } \in \mathcal { W } } \sum _ { \tilde { w } ^ { + } \in \mathcal { W } } \int _ { \mathcal { O } } \tilde { w } ^ { - } \tilde { g } ( v , \tilde { w } ^ { - } , \tilde { w } ^ { + } , t ) \, d v \, \Delta { \tilde { w } } ^ { - } \, \Delta { \tilde { w } } ^ { + } , } \\ { \tilde { m } _ { N } ^ { + } } & { { } = \sum _ { \tilde { w } ^ { + } \in \mathcal { W } } \sum _ { \tilde { w } ^ { - } \in \mathcal { W } } \int _ { \mathcal { O } } \tilde { w } ^ { + } \tilde { g } ( v , \tilde { w } ^ { - } , \tilde { w } ^ { + } , t ) \, d v \, \Delta { \tilde { w } } ^ { - } \, \Delta { \tilde { w } } ^ { + } . } \end{array}
B _ { \mu \nu } ( q , P _ { B } ) = \frac { 2 M _ { B } F ^ { 2 } ( q , P _ { B } ) } { E _ { b } E _ { c } } \left\{ 2 P _ { B \mu } P _ { B \nu } - ( P _ { B \mu } q _ { \nu } + P _ { B \nu } q _ { \mu } ) - g _ { \mu \nu } ( M _ { B } ^ { 2 } - P _ { B } \cdot q ) - i \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } P _ { B \alpha } q _ { \beta } \right\}
\frac { p ( ( \mathbf { x } _ { 1 } ) _ { j } , \mathbf { y } _ { j } ) } { p ( ( \mathbf { x } _ { 1 } ) _ { j } ) p ( \vec { \mathbf { x } } _ { j } ) } \approx N \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { y } _ { j } - \mathbf { y } _ { i } ) \kappa _ { \sigma } ( ( \mathbf { x } _ { 1 } ) _ { j } - ( \mathbf { x } _ { 1 } ) _ { i } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \kappa _ { \sigma } ( ( \mathbf { x } _ { 1 } ) _ { j } - ( \mathbf { x } _ { 1 } ) _ { i } ) \times \sum _ { i = 1 } ^ { N } \kappa _ { \sigma } ( ( \mathbf { x } _ { 1 } ) _ { j } - ( \mathbf { x } _ { 1 } ) _ { i } ) \kappa _ { \sigma } ( ( \mathbf { x } _ { 2 } ) _ { j } - ( \mathbf { x } _ { 2 } ) _ { i } ) } .
x _ { i } = \frac { k _ { i } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } x _ { j } } = \frac { k _ { i } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { \sqrt { 2 L ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } }
\begin{array} { r } { \mathbf { g } _ { \mathrm { t } } \sim \mathcal { C N } ( \sqrt { \frac { \kappa _ { \mathrm { t } } \varrho _ { \mathrm { t } } } { 1 + \kappa _ { \mathrm { t } } } } \overline { { \mathbf { g } } } _ { \mathrm { t } } , \frac { \varrho _ { \mathrm { t } } } { 1 + \kappa _ { \mathrm { t } } } \mathbf { I } _ { N } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta { g } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 2 s ) = \ } & { - 2 B _ { 1 } C _ { 1 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } ( Z \alpha ) ^ { 4 } + \frac { 6 4 B _ { 1 } C _ { 1 } ^ { 3 / 2 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 3 } ( Z \alpha ) ^ { 5 } } { 9 } } \\ & { - \frac { B _ { 1 } C _ { 1 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } ( Z \alpha ) ^ { 6 } } { 2 4 } \Big [ 4 1 + 4 2 0 C _ { 1 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } } \\ & { \left. \quad - 4 8 \ln ( m _ { \mathrm { e } } Z \alpha \sqrt { C _ { 1 } } ) \right] + \mathcal { O } \left( ( Z \alpha ) ^ { 7 } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta r _ { ( W Z \ b o x ) } ^ { ( \alpha ) } ( B Y ) } & { = } & { - \frac { \alpha } { 4 \pi } ( 1 - \frac { 5 } { s _ { w } ^ { 2 } } + \frac { 5 } { 2 s _ { w } ^ { 4 } } ) \ln ( c _ { w } ^ { 2 } ) \times J ( \Lambda ) / J ( + \infty ) , } \\ { J ( \Lambda ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { + \Lambda ^ { 2 } } d y \frac { 1 } { ( y + M _ { W } ^ { 2 } ) ( y + M _ { Z } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ h ~ f ~ s ~ } } ( 1 S , \mu \mathrm { ~ H ~ } ) = \Big [ 1 8 3 . 7 9 7 ( 7 ) \underbrace { - 1 . 3 0 6 5 3 ( 1 7 ) \left( \frac { R _ { \mathrm { Z } } } { \mathrm { ~ f ~ m ~ } } \right) + E _ { \mathrm { F } } \, \Big ( 1 . 0 1 6 5 6 ( 4 ) \, \Delta _ { \mathrm { r e c o i l } } + 1 . 0 0 4 0 2 \, \Delta _ { \mathrm { p o l . } } \Big ) } _ { \mathrm { ~ T ~ P ~ E ~ i ~ n ~ c ~ l ~ u ~ d ~ i ~ n ~ g ~ r ~ a ~ d ~ i ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ c ~ o ~ r ~ r ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } \Big ] \, \mathrm { ~ m ~ e ~ V ~ } ,
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = - \frac { 1 6 \pi ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 5 / 2 } } { 9 \kappa ^ { 3 } [ - 3 ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } \kappa + 2 \kappa ^ { 2 } \cosh ^ { - 1 } ( \kappa ) + \cosh ^ { - 1 } ( \kappa ) ] } , } \\ { A _ { 2 } } & { = - \frac { 1 6 \pi ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } } { 3 \kappa ^ { 2 } ( \kappa ^ { 2 } + 1 ) ( \kappa ^ { 4 } + \kappa ^ { 2 } - 3 ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } \kappa \cosh ^ { - 1 } ( \kappa ) - 2 ) } , } \\ { A _ { 3 } } & { = - \frac { 3 2 \pi ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } } { 3 \kappa ^ { 3 } ( 2 \kappa ^ { 5 } - 7 \kappa ^ { 3 } + 3 ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } \cosh ^ { - 1 } ( \kappa ) + 5 \kappa ) } . } \end{array}
\left\{ \overline { { u } } , \overline { { v } } , \overline { { w } } , \overline { { p } } , \overline { { \tau } } \right\} = \left\{ u _ { 1 } ( x _ { 1 } , \eta ) , \kappa _ { z } ^ { - 1 / 2 } v _ { 1 } ( x _ { 1 } , \eta ) , w _ { 1 } ( x _ { 1 } , \eta ) , \kappa _ { z } ^ { - 5 / 2 } p _ { 1 } ( x _ { 1 } ) , \tau _ { 1 } ( x _ { 1 } , \eta ) \right\} E + \ldots
\psi _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \bigg [ L _ { 0 } ( Y ) \log { ( n ) } + Q _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } L _ { 1 } ( Y ) + } & { \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { \chi ^ { n / 2 - 1 } } \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { \bigg [ R _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } M _ { 1 } ( Y ) + \frac { R _ { 1 } ( Y ) } { n } + } & { \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { \chi ^ { ( n - 1 ) / 2 } } \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { \frac { \partial g _ { n } } { \partial \phi } } ^ { H } = \mathrm { r e a l } ( - 4 \mathrm { d i a g } ( - j e ^ { - j \phi } ) { { \bf A } _ { n } } ^ { H } \mathrm { d i a g } ( { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } ) ( { \bf { I } } _ { n } ^ { z _ { d } } - \left| { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } \right| ^ { 2 } ) ) . } \end{array}
( { \dot { \sqrt { n _ { A } } } } + i { \sqrt { n _ { A } } } { \dot { \phi } } _ { A } ) e ^ { i \phi _ { A } } = { \frac { 1 } { i \hbar } } ( e V { \sqrt { n _ { A } } } e ^ { i \phi _ { A } } + K { \sqrt { n _ { B } } } e ^ { i \phi _ { B } } ) .
\begin{array} { r l } & { \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } \left| p \tau \cdot \nabla ( ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ) \right| } \\ & { \quad \leq \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| p \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } ) } \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } ) } + \| \dot { \alpha } + \dot { \kappa } \| _ { \infty } \| p \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } ) } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } ) } } \\ & { \quad \leq C \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| p \| _ { H ^ { 1 } } \| u \| _ { H ^ { 2 } } + C \| \dot { \alpha } + \dot { \kappa } \| _ { \infty } \| p \| _ { H ^ { 1 } } \| u \| _ { H ^ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho E _ { T } ) + \frac { \partial } { \partial r _ { \alpha } } \sum _ { \sigma } ( \rho ^ { \sigma } E _ { T } ^ { \sigma } + p ^ { \sigma } ) u _ { \alpha } ^ { \sigma } } \\ & { + \frac { \partial } { \partial r _ { \beta } } \sum _ { \sigma } [ u _ { \beta } ^ { \sigma } ( P _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } + U _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } ) - \kappa ^ { \sigma } \frac { \partial T ^ { \sigma } } { \partial r _ { \alpha } } + Y _ { \alpha } ^ { \sigma } ] = 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A ^ { \mu } ( \tau ) } & { = } & { a \, [ \varepsilon _ { 1 } ^ { \mu } \cos ( \eta ) + \varepsilon _ { 2 } ^ { \mu } \sin ( \eta ) ] \ , } \\ { \tilde { A } ^ { \mu } ( \tau ) } & { = } & { \tilde { a } \, [ \varepsilon _ { 1 } ^ { \mu } \cos ( \tilde { \eta } + \tilde { \eta } _ { \alpha } ) + \sigma \, \varepsilon _ { 2 } ^ { \mu } \sin ( \tilde { \eta } + \tilde { \eta } _ { \alpha } ) ] } \end{array}