harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l l l l } { D _ { 1 1 } } & { D _ { 1 2 } } & { . . . } & { D _ { 1 N } } \\ { D _ { 2 1 } } & { D _ { 2 2 } } & { . . . } & { D _ { 2 N } } \\ { . . . } \\ { D _ { N 1 } } & { D _ { N 2 } } & { . . . } & { D _ { N N } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { A _ { 1 } } \\ { A _ { 2 } } \\ { . . . } \\ { A _ { N } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { K _ { 1 } } \\ { K _ { 2 } } \\ { . . . } \\ { K _ { N } } \end{array} \right) , ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ N = 2 n , } \\ & { \mathrm { o r ~ i n ~ s i m p l e ~ f o r m : } ~ D A = K . } \end{array}
S = \exp \left[ - i \frac { u _ { 0 } \delta } { \hbar c } \left( a ^ { \dagger } \exp \left[ - i \frac { \omega } { c } \widehat { x } \right] + a \exp \left[ i \frac { \omega } { c } \widehat { x } \right] \right) \right] ,
\begin{array} { r c l } { f ( y _ { t } | \Omega _ { t - 1 } ) = \frac { \lambda _ { 1 , t } ^ { \Delta C _ { t } } \exp ( - \lambda _ { 1 , t } ) } { \Gamma ( \Delta C _ { t } + 1 ) } ~ \frac { \lambda _ { 2 , t } ^ { \Delta R c _ { t } } \exp ( - \lambda _ { 2 , t } ) } { \Gamma ( \Delta R c _ { t } + 1 ) } ~ \frac { \lambda _ { 3 , t } ^ { \Delta D _ { t } } \exp ( - \lambda _ { 3 , t } ) } { \Gamma ( \Delta D _ { t } + 1 ) } , } \end{array}
\phi ( { \cal K } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \oint _ { \cal K } d x ^ { \mu } \oint _ { \cal K } d y ^ { \nu } \epsilon _ { \mu \nu \rho } { \frac { ( x - y ) ^ { \rho } } { | x - y | ^ { 3 } } } .
S _ { 0 } = \sum _ { l } { \frac { 1 } { 2 \sigma _ { l } ^ { 2 } } } \phi _ { l } ^ { a } \phi _ { - l } ^ { a } + \sum _ { l } { \frac { 1 } { 2 \tau _ { l } ^ { 2 } } } f _ { l } ^ { a } f _ { - l } ^ { a } + \sum _ { r } { \frac { 1 } { g _ { r } } } \bar { \psi } _ { r } ^ { a } \psi _ { r } ^ { a } \, .
d _ { t } \boldsymbol { \eta } _ { \boldsymbol { c } } = \boldsymbol { \nabla } _ { \boldsymbol { c } } \otimes \boldsymbol { G } ( { \boldsymbol { i } } , \boldsymbol { 0 } ) \boldsymbol { \eta } _ { \boldsymbol { c } } = \left[ \begin{array} { c c } { J } & { 0 } \\ { 0 } & { J ^ { * } } \end{array} \right] \boldsymbol { \eta } _ { \boldsymbol { c } } ,
{ \begin{array} { r l } { \varphi : \ } & { \rho \left( { \partial _ { t } u _ { \varphi } } + u _ { r } { \partial _ { r } u _ { \varphi } } + { \frac { u _ { \varphi } } { r \sin \theta } } { \partial _ { \varphi } u _ { \varphi } } + { \frac { u _ { \theta } } { r } } { \partial _ { \theta } u _ { \varphi } } + { \frac { u _ { r } u _ { \varphi } + u _ { \varphi } u _ { \theta } \cot \theta } { r } } \right) } \\ & { \quad = - { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \partial _ { \varphi } p } } \\ & { \qquad + \mu \left( { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \partial _ { r } \left( r ^ { 2 } { \partial _ { r } u _ { \varphi } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { \partial _ { \varphi } ^ { 2 } u _ { \varphi } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } \partial _ { \theta } \left( \sin \theta { \partial _ { \theta } u _ { \varphi } } \right) + { \frac { 2 \sin \theta { \partial _ { \varphi } u _ { r } } + 2 \cos \theta { \partial _ { \varphi } u _ { \theta } } - u _ { \varphi } } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } \right) } \\ & { \qquad + { \frac { 1 } { 3 } } \mu { \frac { 1 } { r \sin \theta } } \partial _ { \varphi } \left( { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \partial _ { r } \left( r ^ { 2 } u _ { r } \right) + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } \partial _ { \theta } \left( u _ { \theta } \sin \theta \right) + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \partial _ { \varphi } u _ { \varphi } } \right) } \\ & { \qquad + \rho g _ { \varphi } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P _ { 0 } ( x , p , t ) } { \partial t } = } & { \frac { \partial V _ { 0 } ( x , p ) } { \partial x } \frac { \partial P _ { 0 } ( x , p , t ) } { \partial p } - \frac { p } { m } \frac { \partial P _ { 0 } ( x , p , t ) } { \partial x } } \\ & { - \frac { \Gamma } { \hbar } \Re ( \tilde { f } ( E ( x ) , t ) ) P _ { 0 } ( x , p , t ) + \frac { \Gamma } { \hbar } ( 1 - \Re ( \tilde { f } ( E ( x ) , t ) ) ) P _ { 1 } ( x , p , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A \partial _ { x } B } & { = O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) \circ O p ^ { W } ( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } \mathfrak { b } + \mathrm { i } \xi \mathfrak { b } ) = \frac { 1 } { 2 } O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) \circ O p ^ { W } ( \partial _ { x } \mathfrak { b } ) + \mathrm { i } O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) \circ O p ^ { W } ( \mathfrak { \xi \mathfrak { b } } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } O p ^ { W } \left( \mathfrak { a } \partial _ { x } \mathfrak { b } + \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } } \left\{ \mathfrak { a } , \partial _ { x } \mathfrak { b } \right\} + ( \sigma _ { \mathfrak { a } , \partial _ { x } \mathfrak { b } } ^ { 1 } + \sigma _ { \mathfrak { a } , \partial _ { x } \mathfrak { b } } ^ { 2 } ) \right) + \mathrm { i } O p ^ { W } \left( \left( \mathfrak { a } \xi \mathfrak { b } + \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } } \left\{ \mathfrak { a } , \xi \mathfrak { b } \right\} + \sigma _ { \mathfrak { a } , \xi \mathfrak { b } } ^ { 1 } \right) + \sigma _ { \mathfrak { a } , \xi \mathfrak { b } } ^ { 2 } \right) } \\ & { = O p ^ { W } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathfrak { a } \partial _ { x } \mathfrak { b } + \frac { 1 } { 4 \mathrm { i } } \left\{ \mathfrak { a } , \partial _ { x } \mathfrak { b } \right\} + \mathrm { i } \mathfrak { a } \xi \mathfrak { b } + \frac { 1 } { 2 } \left\{ \mathfrak { a } , \xi \mathfrak { b } \right\} + \mathrm { i } \sigma _ { \mathfrak { a } , \xi \mathfrak { b } } ^ { 1 } \right) + O p ^ { W } \left( \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { \mathfrak { a } , \partial _ { x } \mathfrak { b } } ^ { 1 } + \sigma _ { \mathfrak { a } , \partial _ { x } \mathfrak { b } } ^ { 2 } ) + \mathrm { i } \sigma _ { \mathfrak { a } , \xi \mathfrak { b } } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ^ { ( i ) } \left( \rho _ { i } ^ { \prime } , r _ { i } ^ { \prime } \right) } & { { } \underset { r _ { i } ^ { \prime } \to 0 } { = } } & { C ^ { ( i ) } \frac { \sqrt { 2 } \left[ 1 - i \cot \left( D \pi / 2 \right) \operatorname { t a n h } \left( s _ { 0 } \pi / 2 \right) \right] } { \Gamma \left( 2 - D / 2 \right) } } \end{array}
\tilde { \boldsymbol { \mathcal { H } } } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } = \partial _ { \mathbf { q } \mathbf { q } } ^ { 2 } \tilde { \mathcal { E } } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { \mathbf { q } \mathbf { q } } ^ { 2 } \mathcal { E } \left( \tilde { \boldsymbol { \psi } } ( s ) \right) d s = : \left( \partial _ { \mathbf { p } \mathbf { p } } ^ { 2 } \tilde { L } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { - 1 } .
( \ref { 2 } ) = ( \mathrm { a d } _ { q ^ { - 1 } } E _ { 2 1 } ) q ^ { E _ { 2 2 } + E _ { n n } } E _ { 2 n } = q ^ { E _ { 2 2 } + E _ { n n } - 1 } [ E _ { 2 1 } \, , \, E _ { 2 n } ] = 0
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F } { \partial \rho _ { k , \sigma } } = } & { E _ { k } \left\langle \gamma _ { k , \sigma } ^ { \dag } \gamma _ { k , \sigma } \right\rangle + T \log ( \rho _ { k , \sigma } ) + T + \lambda \left\langle \gamma _ { k , \sigma } ^ { \dag } \gamma _ { k , \sigma } \right\rangle + z = 0 , } \\ { \Rightarrow \rho = } & { \frac { e ^ { - \beta \sum _ { k , \sigma } \left( E _ { k } + \lambda \right) \gamma _ { k , \sigma } ^ { \dag } \gamma _ { k , \sigma } } } { Z _ { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \mathrm { s g n } ( x ) \left[ - \frac { \sigma _ { 0 } } { 2 } h \nu t ( x ) \right] , } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | > \frac { L } { 2 } } \\ { \displaystyle \sigma _ { 0 } h \nu t ^ { \prime } \frac { x } { L } , } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | < \frac { L } { 2 } } \end{array} , \right. } \\ { S _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \mathrm { s g n } ( x ) \left[ \frac { 1 } { 2 } - h \nu t ( x ) \right] , } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | > \frac { L } { 2 } } \\ { \displaystyle - h \frac { x } { L } , } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | < \frac { L } { 2 } } \end{array} , \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E _ { \mathrm { M S } , n } = \frac { m _ { e } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { 2 \, m _ { N } \, n ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \, m _ { N } \, a _ { 0 } ^ { 2 } \, n ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \underline { { E } } ^ { \mathrm { H } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \\ { \overline { { E } } ^ { \mathrm { H } } ( \widehat { x } , x , \widehat { w } , w ) } \end{array} \right] \le _ { \mathrm { S E } } \left[ \begin{array} { l } { d ^ { c } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \\ { d ^ { c } ( \widehat { x } , x , \widehat { w } , w ) } \end{array} \right]
\frac { \mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } ( x , \hat { x } ) } { c } , \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ v ~ a ~ r ~ y ~ i ~ n ~ g ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ t ~ , ~ e ~ . ~ g ~ . ~ } c = \frac { 1 } { \lvert \mu _ { \hat { x } } \rvert }
\beta = \sqrt { \frac { \mu _ { 1 } } { \epsilon _ { 1 } } } \frac { 1 } { \mu _ { 2 } \omega } \left\{ \begin{array} { l l } { i \sqrt { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } - \mu _ { 2 } \epsilon _ { 2 } \omega ^ { 2 } } } & { \omega \leq \frac { 1 } { \lambda \sqrt { \mu _ { 2 } \epsilon _ { 2 } } } } \\ { \sqrt { \mu _ { 2 } \epsilon _ { 2 } \omega ^ { 2 } - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } } & { \omega > \frac { 1 } { \lambda \sqrt { \mu _ { 2 } \epsilon _ { 2 } } } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { x _ { \rho } } & { = \frac { \rho } { \sqrt { \rho _ { 1 } ^ { 2 } + \rho _ { 2 } ^ { 2 } } } } \\ { x _ { Z } } & { = \frac { Z ^ { \ell } \left( \rho _ { 1 } ^ { 2 } + \rho _ { 2 } ^ { 2 } \right) - \left( Z _ { 1 } ^ { \ell } \rho _ { 1 } ^ { 2 } + Z _ { 2 } ^ { \ell } \rho _ { 2 } ^ { 2 } \right) } { ( Z _ { 2 } ^ { \ell } - Z _ { 1 } ^ { \ell } ) \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { i j } = } & { Q _ { i \rightarrow j } ^ { 0 } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 0 } + Q _ { i \rightarrow j } ^ { 1 , 1 } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 4 , 1 } + Q _ { i \rightarrow j } ^ { 4 , 1 } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 1 , 1 } + \sum _ { t = 1 } ^ { H } \left( Q _ { i \rightarrow j } ^ { 1 , t } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 0 } + Q _ { i \rightarrow j } ^ { 0 } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 1 , t } \right) } \\ & { + \sum _ { t = 2 } ^ { H } \left( Q _ { i \rightarrow j } ^ { 4 , t } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 2 , t } + Q _ { i \rightarrow j } ^ { 2 , t } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 4 , t } \right) + \sum _ { t = 2 } ^ { H } \sum _ { s = 1 } ^ { t - 1 } \left( Q _ { i \rightarrow j } ^ { 3 , s } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 1 , t } + Q _ { i \rightarrow j } ^ { 1 , t } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 3 , s } \right) } \\ & { + \sum _ { t = 3 } ^ { H } \sum _ { s = 1 } ^ { t - 2 } \left( Q _ { i \rightarrow j } ^ { 1 , t } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 5 , s } + Q _ { i \rightarrow j } ^ { 5 , s } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 1 , t } \right) + \sum _ { t = 1 } ^ { H - 1 } \left( Q _ { i \rightarrow j } ^ { 2 , t + 1 } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 5 , t } + Q _ { i \rightarrow j } ^ { 5 , t } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 2 , t + 1 } \right) } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { H } Q _ { i \rightarrow j } ^ { 5 , t } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 5 , t } , } \end{array}
\Delta E _ { 0 } \approx - \frac { \alpha ^ { 2 } ( Z \alpha ) ^ { 6 } } { 2 \pi ^ { 3 } } \frac { 1 1 2 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \Lambda } d k \frac { \ln ^ { 2 } k ^ { 2 } } { k } \, \mathrm { a r c t g } \frac { k } { Z \alpha } \ .
\begin{array} { r l } & { \frac { t ^ { d - \Delta } } { \Gamma ( t ) } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \Gamma ( s ) \left( \frac { l } { s ^ { 2 d - l + 1 } } + \frac { d } { s ^ { d + 1 } } - \frac { \gamma \beta d } { 2 s ^ { d + 1 + \frac { d } { 2 } } } + \frac { C _ { 1 } } { s ^ { \frac { d } { 2 } + 2 } } \right) d s } \\ { = \ } & { \frac { t ^ { d - \Delta } } { \Gamma ( t ) } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \frac { \Gamma ( s ) } { s ^ { d - \Delta } } \left( \frac { l } { s ^ { d + \Delta - l + 1 } } + \frac { d } { s ^ { \Delta + 1 } } - \frac { \gamma \beta d } { 2 s ^ { \Delta + 1 + \frac { d } { 2 } } } + \frac { C _ { 1 } } { s ^ { \Delta - \frac { d } { 2 } + 2 } } \right) d s } \\ { = \ } & { \frac { 1 } { \overline { \Gamma } ( t ) } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \overline { \Gamma } ( s ) \left( \frac { l } { s ^ { d + \Delta - l + 1 } } + \frac { d } { s ^ { \Delta + 1 } } - \frac { \gamma \beta d } { 2 s ^ { \Delta + 1 + \frac { d } { 2 } } } + \frac { C _ { 1 } } { s ^ { \Delta - \frac { d } { 2 } + 2 } } \right) d s \ \to \ 0 , \mathrm { ~ a s ~ } t \to + \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left\{ \eta _ { \ast } ( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { k - 0 } ) ) - \eta _ { \ast } ( { u } _ { n , 0 } ^ { \varDelta } ( x ) ) \right\} d x + \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } \sum _ { x \in { \bf R } } ( \sigma [ \eta _ { \ast } ] - [ q _ { \ast } ] ) d t } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left\{ J \left( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { 0 - } ) \right) - J \left( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + } ) \right) \right\} d x + o ( { \varDelta } x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { i , k + 1 } = } & { \mathbf { x } _ { i , k } - \Big ( 2 c d _ { i } \mathbf { I } + \nabla ^ { 2 } f _ { i } ( \mathbf { x } _ { i , k } ) \Big ) ^ { - 1 } \bigg ( \nabla f _ { i } ( \mathbf { x } _ { i , k } ) } \\ & { + c \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } ( \mathbf { x } _ { i , k } - \mathbf { x } _ { j , k } ) + \boldsymbol { \phi } _ { i , k } \bigg ) } \\ { \boldsymbol { \phi } _ { i , k + 1 } = } & { \boldsymbol { \phi } _ { i , k } + c \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } ( \mathbf { x } _ { i , k + 1 } - \mathbf { x } _ { j , k + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { * } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l } { \Lambda _ { 1 } } & { \mathcal { R } _ { 1 } t _ { 1 2 } \mathcal { R } _ { 2 } ^ { \dagger } } & { \dots } & { \mathcal { R } _ { 1 } t _ { 1 \mathcal { N } } \mathcal { R } _ { \mathcal { N } } ^ { \dagger } \dag \mathcal { R } _ { 2 } t _ { 2 1 } \mathcal { R } _ { 1 } ^ { \dagger } } & { \Lambda _ { 2 } } & { \dots } & { \vdots \dag \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots \dag \mathcal { R } _ { \mathcal { N } 1 } t _ { \mathcal { N } 1 } \mathcal { R } _ { 1 } ^ { \dagger } } & { \dots } & { \dots } & { \Lambda _ { \mathcal { N } } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { - \omega _ { t } } \\ { - d \phi _ { t } } \\ { - \Sigma _ { t } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { ( - 1 ) ^ { n - 1 } d \ast \big ( \ast d ( \cdot ) \wedge \ast \omega \big ) } & { d \ast \big ( d N _ { \phi } ( \cdot ) \wedge \ast \omega \big ) } & { 0 } \\ { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast \big ( \ast d ( \cdot ) \wedge \ast \omega \big ) } & { B _ { 2 2 } } & { d \big ( \mathrm { l i } ( E ( \cdot ) ) \big ) } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { \delta \bar { H } } { \delta \omega } } \\ { \frac { \delta \bar { H } } { \delta \phi _ { \partial } } } \\ { \frac { \delta \bar { H } } { \delta \Sigma } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \{ \mathbf { g } _ { l k , n } \mathbf { g } _ { l k , i } ^ { H } \} _ { o j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \quad l \notin \mathcal { P } _ { k } , m \ne m ^ { \prime } } \\ { \mathrm { t r ( } \mathbf { R } _ { m k } ^ { n i } \mathbf { \hat { R } } _ { m l } ^ { p ^ { \prime } p } ) , \quad l \notin \mathcal { P } _ { k } , m = m ^ { \prime } } \\ { \mathrm { t r ( } \mathbf { \Xi } _ { m l k } ^ { n p } ) \mathrm { t r ( } \mathbf { \Xi } _ { m ^ { \prime } k l } ^ { p ^ { \prime } i } ) , \quad l \in \mathcal { P } _ { k } , m \ne m ^ { \prime } } \\ { \mathrm { t r } \left( \mathbf { R } _ { m k } ^ { n i } \mathbf { P } _ { m l k , \left( 1 \right) } ^ { p ^ { \prime } p } \right) + \tau _ { p } ^ { 2 } \sum _ { q _ { 1 } = 1 } ^ { N } { \sum _ { q _ { 2 } = 1 } ^ { N } { \mathrm { t r } \left( \mathbf { \tilde { P } } _ { m l k , \left( 2 \right) } ^ { q _ { 1 } p } \mathbf { \tilde { R } } _ { m k } ^ { n q _ { 2 } } \mathbf { \tilde { R } } _ { m k } ^ { q _ { 2 } i } \mathbf { \tilde { P } } _ { m l k , \left( 2 \right) } ^ { p ^ { \prime } q _ { 1 } } \right) } } } \\ { \quad \quad \quad + \tau _ { p } ^ { 2 } \sum _ { q _ { 1 } = 1 } ^ { N } { \sum _ { q _ { 2 } = 1 } ^ { N } { \mathrm { t r } \left( \mathbf { \tilde { P } } _ { m l k , \left( 2 \right) } ^ { q _ { 1 } n } \mathbf { \tilde { R } } _ { m k } ^ { n q _ { 1 } } \right) \mathrm { t r } \left( \mathbf { \tilde { P } } _ { m l k , \left( 2 \right) } ^ { p ^ { \prime } q _ { 2 } } \mathbf { \tilde { R } } _ { m k } ^ { q _ { 2 } i } \right) } } , \quad l \in \mathcal { P } _ { k } , m = m ^ { \prime } \quad } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \textrm { s i n g l e } } ^ { \times = 1 , 2 } = 2 E _ { \textrm { T } } \sum _ { i , j > i \in \times } \left| i , j \rangle \langle i , j \right| + t _ { \textrm { i n t r a } } \sum _ { i \ne j \in \times } \left( \left| i \pm 1 , j \rangle \langle i , j \right| + \textrm { H . C . } \right) - V \sum _ { i \in \times } \left| i , i + 1 \rangle \langle i , i + 1 \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { S } ^ { \prime } \gamma _ { 3 } ^ { \dagger } | \Phi _ { \mathrm { b u l k } } \rangle } & { { } = \hat { \Gamma } _ { a } ( \tilde { S } \gamma _ { 3 } ^ { \dagger } \tilde { S } ^ { - 1 } ) \prod _ { E ^ { \prime } < 0 } ( \tilde { S } c _ { E ^ { \prime } , a } ^ { \dagger } \tilde { S } ^ { - 1 } ) ( \tilde { S } c _ { E ^ { \prime } , b } ^ { \dagger } \tilde { S } ^ { - 1 } ) \tilde { S } | v a c \rangle } \end{array}
\lambda ( t ) = \frac { \theta B _ { m _ { 0 } } } { B _ { m _ { 1 } } \Gamma ( 1 - \theta ) } \cdot \left( t ^ { \theta - 1 } E _ { \theta , \theta } ( \nu ( t ^ { \theta } ) ) \star H ( t - t _ { 0 } ) t ^ { - 1 - \theta } \right) ,
0 = \left( { \frac { 1 } { 2 } } v _ { 1 } ^ { 2 } + \Psi _ { 1 } + \varepsilon _ { 1 } + { \frac { p _ { 1 } } { \rho _ { 1 } } } \right) \rho _ { 1 } A _ { 1 } v _ { 1 } \, \Delta t - \left( { \frac { 1 } { 2 } } v _ { 2 } ^ { 2 } + \Psi _ { 2 } + \varepsilon _ { 2 } + { \frac { p _ { 2 } } { \rho _ { 2 } } } \right) \rho _ { 2 } A _ { 2 } v _ { 2 } \, \Delta t
\begin{array} { r } { \mathcal { O } \left( \textbf { r } , t \right) \equiv \langle \sum _ { a } \mathrm { ~ T ~ r ~ } \! \left( \widehat { \mathcal { O } } _ { a } ( t ) \widehat { \rho } \right) \delta \left( \textbf { r } - \textbf { r } _ { a } \right) \rangle _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } = \sum _ { p , q } \mathcal { O } _ { q p } \langle P _ { p q } \! \left( \textbf { r } , t \right) \rangle _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ j ~ e ~ c ~ t ~ o ~ r ~ i ~ e ~ s ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal H } _ { \mathrm { 3 D } } ( { \bf k } ) \! = \! M ( { \bf k } ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { z } \sin ( k _ { z } a _ { z } ) \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { g } \left( \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } \right) } & { { } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \circ \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { U ^ { ( M , 3 ) } = \frac { 1 } { \sqrt { M } } } \\ & { \times \left( \begin{array} { l l l l l l l l l } { \sqrt { \frac { M } { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { - \sqrt { M } | \chi | ^ { 2 } } & { - \sqrt { M } | \chi | ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } & { 1 } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { 0 } & { \xi } & { \xi ^ { 2 } } & { \xi ^ { 3 } } & { \cdots } & { \xi ^ { M - 2 } } & { \xi ^ { M - 1 } } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { 0 } & { \xi ^ { 2 } } & { \xi ^ { 4 } } & { \xi ^ { 6 } } & { \cdots } & { \xi ^ { 2 ( M - 2 ) } } & { \xi ^ { 2 ( M - 1 ) } } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \xi ^ { M - 3 } } & { \xi ^ { 2 ( M - 3 ) } } & { \xi ^ { 3 ( M - 3 ) } } & { \cdots } & { \xi ^ { ( M - 3 ) ( M - 2 ) } } & { \xi ^ { ( M - 3 ) ( M - 1 ) } } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { 0 } & { \xi ^ { M - 2 } } & { \xi ^ { 2 ( M - 2 ) } } & { \xi ^ { 3 ( M - 2 ) } } & { \cdots } & { \xi ^ { ( M - 2 ) ^ { 2 } } } & { \xi ^ { ( M - 2 ) ( M - 1 ) } } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { 0 } & { \xi ^ { M - 1 } } & { \xi ^ { 2 ( M - 1 ) } } & { \xi ^ { 3 ( M - 1 ) } } & { \cdots } & { \xi ^ { ( M - 1 ) ( M - 2 ) } } & { \xi ^ { ( M - 1 ) ^ { 2 } } } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { \sqrt { \frac { M } { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \sqrt { M } | \chi | ^ { 2 } } & { \sqrt { M } | \chi | ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array} \, ,
\begin{array} { r l } { \theta _ { \dot { v _ { 0 } } \dot { w } \rho , \dot { v } ^ { \prime } } \circ \theta _ { \rho , \dot { v _ { 0 } } \dot { w } } } & { = \theta _ { \dot { v _ { 0 } } \dot { w } \rho , \dot { v } ^ { \prime } } \circ \rho ( t ^ { - 1 } ) \circ \theta _ { \rho , \dot { w } ^ { \prime } } } \\ & { = \rho ( t ^ { - 1 } ) \circ \theta _ { \dot { w } ^ { \prime } \rho , \dot { v } ^ { \prime } } \circ \theta _ { \rho , \dot { w } ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { e s t . } = \frac { 0 . 1 4 } { 2 2 3 6 } = } & { { } 0 . 6 3 \times 1 0 ^ { - 4 } , \mathrm { ~ o ~ r ~ } } \\ { \mathrm { ~ T ~ - ~ V ~ i ~ o ~ l ~ F ~ r ~ a ~ c ~ \ } = } & { { } 0 . 0 1 \pm 0 . 6 3 \times 1 0 ^ { - 4 } . } \end{array}
{ { \partial } _ { t } } { { F } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , { { t } _ { n } } \right) = 4 \left( { { \mathbb { F } } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , \Delta t \right) - 2 { { \mathbb { F } } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , \Delta t / 2 \right) \right) / \Delta { { t } ^ { 2 } } .
{ \left[ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { k } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { d _ { t } \boldsymbol { i } } & { { } = \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { i } , \boldsymbol { c } ) , } \\ { d _ { t } \boldsymbol { c } } & { { } = \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { i } , \boldsymbol { c } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha ^ { M 1 } ( \omega ) } & { = } & { \frac { 2 } { 3 } \sum _ { n } \frac { \Delta E _ { n 0 } | \langle 0 \| T _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \| n J _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { \Delta E _ { n 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, , } \\ { \alpha ^ { E 2 } ( \omega ) } & { = } & { \frac { 1 } { 3 0 } ( \alpha \omega ) ^ { 2 } \sum _ { n } \frac { \Delta E _ { n 0 } | \langle 0 \| T _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \| n J _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { \Delta E _ { n 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, , } \end{array}
{ \cal J } ( W ) F ( W , t ) = \int d ^ { 6 } W _ { 0 } { \cal J } ( Z _ { g y , 0 } ) F ( Z _ { g y , 0 } , t _ { 0 } ) \delta ^ { 6 } [ Z _ { g y } - Z _ { g y } ( Z _ { g y , 0 } , t _ { 0 } ; t ) ]
\left. + \frac { \Phi _ { A } ^ { ( B ) } ( { \vec { q } } _ { 1 } ) } { \vec { q } _ { 1 } ^ { ~ 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { j - 1 } { \cal K } _ { r } ^ { ( B ) } ( \vec { q } _ { i } , \vec { q } _ { i + 1 } ) \right) { \cal K } _ { Q M R K } ( \vec { q } _ { j } , \vec { q } _ { j + 1 } ) \left( \prod _ { i = j + 1 } ^ { n } { \cal K } _ { r } ^ { ( B ) } ( \vec { q } _ { i } , \vec { q } _ { i + 1 } ) \right) \frac { \Phi _ { B } ^ { ( B ) } ( - { \vec { q } } _ { n + 1 } ) } { \vec { q } _ { n + 1 } ^ { ~ 2 } } \right\} ,