harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
T ( \omega , \beta ) = \sin ^ { 2 } \beta \left| 1 + \frac { e ^ { 2 } } { \pi \hbar ^ { 2 } } \frac { Z _ { 0 } F E _ { F } } { 1 + n _ { S i C } } \frac { i \omega } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { p } ^ { 2 } + i \omega / \tau } \right| ^ { - 2 } + \cos ^ { 2 } \beta \left| 1 + \frac { e ^ { 2 } } { \pi \hbar ^ { 2 } } \frac { Z _ { 0 } F E _ { F } } { 1 + n _ { S i C } } \frac { i \omega } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { p } ^ { 2 } + i \omega / \tau } \right| ^ { - 2 } .
U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } - \frac { 1 } { R e } ( ( 1 + \nu _ { T } ) \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } + ( \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial U _ { j } } { \partial x _ { i } } ) \frac { \partial \nu _ { T } } { \partial x _ { j } } ) - f _ { i } ^ { \perp } - h _ { i } = 0
{ \cal L } _ { e f f } = \frac M 2 \dot { R } _ { \nu } ^ { 2 } + \frac \mu 2 \dot { \xi } _ { \nu } ^ { 2 } - \sum _ { j } \frac { m _ { j } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { j } } - \sigma b \sqrt { { \bf \xi } ^ { 2 } } + { \cal L } ^ { e l } .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \gamma ^ { i j } \partial _ { \rho } \psi _ { j i } + \psi _ { k } ^ { i } \psi _ { i } ^ { k } - \hat { \nabla } _ { i } \varphi ^ { i } - 2 \rho \varphi ^ { i } \varphi _ { i } \, , } \\ { 0 } & { = \hat { \nabla } _ { j } \psi _ { i } ^ { j } - \hat { \nabla } _ { i } \theta - 2 \rho \varphi ^ { j } f _ { j i } \, , } \\ { 0 } & { = \bar { R } _ { i j } + f _ { i j } - ( d - 2 ) \psi _ { j i } - \theta \gamma _ { j i } + 2 \rho ( { \cal B } _ { i j } + \theta \psi _ { j i } - \psi _ { j } ^ { k } \psi _ { k i } - \psi _ { i } ^ { k } f _ { k j } ) \, . } \end{array}
\sigma _ { \mu \nu } ^ { 2 } \approx \frac { 2 \, k _ { 2 } } { k _ { 1 } \mathcal { T } } \: \left( \frac { 2 \pi } { a } \right) ^ { 2 } \: \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \ell ^ { 2 } \: \big | \Delta T _ { \mu \nu } ^ { ( \ell ) } \big | ^ { 2 } \: ,
\begin{array} { r l } { P _ { \gamma , C F _ { 3 } ^ { * } } = } & { { } f _ { C F _ { 4 } } \cdot P _ { \gamma , C F _ { 3 } ^ { * } } \big | _ { d i r } + \left( ( 1 - f _ { C F _ { 4 } } ) \cdot P _ { A r ^ { * * } } \cdot \frac { K _ { A r ^ { * * } - > C F _ { 3 } ^ { * } } } { K _ { A r ^ { * * } - > C F _ { 3 } ^ { * } } + \frac { ( 1 - f _ { C F _ { 4 } } ) } { f _ { C F _ { 4 } } } \cdot K _ { A r ^ { * * } - > A r ^ { * } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { P } _ { i } ^ { \left( n \right) } = \frac { 1 } { n + 1 } \sum _ { \{ i \} _ { n + 1 } \subset V } \prod _ { \omega \in S _ { n + 1 } ^ { \{ i \} } } \mathbf { M } _ { \omega } , } \end{array}
\rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right)
\left[ \begin{array} { l } { A } \\ { G } \end{array} \right] \approx \left[ \begin{array} { c } { A } \\ { H _ { 1 } H _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } G } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { U _ { 1 } } & \\ & { V _ { 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \Gamma _ { 1 } } \\ { \Sigma _ { 1 } } \end{array} \right] Y _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } .
G = \left[ \begin{array} { l l } { d _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } } & { d _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 1 } v _ { 1 } + d _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 2 } v _ { 2 } } \\ { d _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 1 } v _ { 1 } + d _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 2 } v _ { 2 } } & { d _ { 1 } ^ { 2 } v _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } \mathbf v + \nabla p } & { = 0 } & { \mathbf v } & { \colon \mathbb R _ { 0 } ^ { + } \times \mathbb R ^ { d } \to \mathbb R ^ { d } } \\ { \partial _ { t } p + c ^ { 2 } \nabla \cdot \mathbf v } & { = 0 } & { p } & { \colon \mathbb R _ { 0 } ^ { + } \times \mathbb R ^ { d } \to \mathbb R } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { x } _ { m } ^ { ( N ) } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } B _ { k m } ^ { ( N ) } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } B _ { i m } ^ { ( N ) } x _ { i } ^ { ( N ) } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle f _ { 1 } , g _ { 1 } \rangle } & { = \langle ( 1 - \chi ( \rho _ { T } ) ) f , g _ { 1 } \rangle - \langle ( 1 - \chi ( \rho _ { T } ) ) P \zeta _ { 0 } u _ { 0 } , g _ { 1 } \rangle } \\ & { = \langle ( 1 - \chi ( \rho _ { T } ) ) f , g _ { 1 } \rangle - \langle ( 1 - \chi ( \rho _ { T } ) ) P \zeta _ { \tau } u _ { 0 } , g _ { 1 } \rangle } \end{array}
\mathbf { A } = - i \mathbf { H } = - i \left( \begin{array} { l l l } { \omega _ { 1 } } & { \sigma _ { 1 } } & { \sigma _ { 2 } } \\ { - \sigma _ { 1 } } & { \omega _ { 2 } } & { - \sigma _ { 1 } } \\ { \sigma _ { 2 } } & { \sigma _ { 1 } } & { \omega _ { 3 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { f \pi ( y , x ) = f ( x , y ) = } & { f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) + ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) + } \\ & { ( x - x _ { 0 } ) ( y - y _ { 0 } ) \frac { \partial } { \partial y } \frac { \partial } { \partial x } f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) + O ( ( x - x _ { 0 } , y - y _ { 0 } ) ^ { 3 } ) } \end{array}
W = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathbf { T } \cdot { \vec { \omega } } d t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathbf { T } \cdot \mathbf { S } { \frac { d \phi } { d t } } d t = \int _ { C } \mathbf { T } \cdot \mathbf { S } d \phi ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { F ( \omega ) = F _ { \mathrm { N R } } + F _ { \mathrm { R } } ( \omega ) } \\ & { F _ { \mathrm { N R } } = F ( a ) + \sum _ { p _ { \ell } } \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { a - p _ { \ell } } - \sum _ { z _ { \ell } } \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { a - z _ { \ell } } } \\ & { F _ { \mathrm { R } } ( \omega ) = - \sum _ { p _ { \ell } } \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { \omega - p _ { \ell } } + \sum _ { z _ { \ell } } \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { \omega - z _ { \ell } } } \end{array} } \end{array}
{ S _ { 1 4 } ^ { t h } = S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow , t h } + S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \downarrow , t h } + S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \uparrow , t h } + S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \downarrow , t h } . }
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { = \alpha = { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { = \beta = { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 2 } = - \int _ { \mathbb R } ( \mathscr { N } h \mathscr { Q } h ) _ { x x x } \partial _ { x } ^ { 3 } v \ d x } & { = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R } \partial _ { x } ^ { 4 } \left( ( \mathscr { Q } h ) ^ { 2 } \right) \partial _ { x } ^ { 3 } v \ d x = - \int _ { \mathbb R } \partial _ { x } ^ { 2 } \left( ( \mathscr { Q } h _ { x } ) ^ { 2 } - \mathscr { Q } h \mathscr { L } h \right) \partial _ { x } ^ { 3 } v \ d x . } \end{array}
\Delta \bar { \rho } = \frac { \rho _ { p } \! - \! \rho _ { f } } { \rho _ { p } \! + \! \frac { 1 } { 2 } \rho _ { f } } , \qquad \Omega = \frac { 2 a ^ { 2 } \omega \Bigl ( \rho _ { p } \! + \! \frac { 1 } { 2 } \rho _ { f } \Bigr ) } { 9 \mu \Bigl ( 1 + \frac { C _ { d } } { 2 4 } \mathrm { R e } _ { p } \Bigr ) } , \qquad \mathrm { R e } _ { p } = \frac { 2 a \rho _ { f } | \Delta v | } { \mu } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \rho _ { 1 } } { \partial t } + \frac { \partial \rho _ { 1 } v _ { 1 } } { \partial x } = 0 , } \\ & { \frac { \partial \rho _ { 1 } v _ { 1 } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } \left\{ \rho _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 1 } + \Pi _ { 1 } \right\} = \hat { m } _ { 1 } , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \rho _ { 1 } \varepsilon _ { 1 } \right) + \frac { \partial } { \partial x } \left\{ \left[ \rho _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \rho _ { 1 } \varepsilon _ { 1 } + 2 p _ { 1 } + 2 \Pi _ { 1 } \right] v _ { 1 } \right\} = 2 ( \hat { e } _ { 1 } + \hat { m } _ { 1 } v ) , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \left\{ \rho _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + 3 ( p _ { 1 } + \Pi _ { 1 } ) \right\} + \frac { \partial } { \partial x } \left\{ \left[ \rho _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + 5 ( p _ { 1 } + \Pi _ { 1 } ) \right] v _ { 1 } \right\} = - \frac { 3 \Pi _ { 1 } } { \tau _ { 1 } } + 2 ( \hat { \omega } _ { 1 } + \hat { m } _ { 1 } v ) , } \\ & { \frac { \partial \rho _ { 2 } } { \partial t } + \frac { \partial \rho _ { 2 } v _ { 2 } } { \partial x } = 0 , } \\ & { \frac { \partial \rho _ { 2 } v _ { 2 } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } \left\{ \rho _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + p _ { 2 } + \Pi _ { 2 } \right\} = - \hat { m } _ { 1 } , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \rho _ { 2 } \varepsilon _ { 2 } \right) + \frac { \partial } { \partial x } \left\{ \left[ \rho _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \rho _ { 2 } \varepsilon _ { 2 } + 2 p _ { 2 } + 2 \Pi _ { 2 } \right] v _ { 2 } \right\} = - 2 ( \hat { e } _ { 1 } + \hat { m } _ { 1 } v ) , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \left\{ \rho _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + 3 ( p _ { 2 } + \Pi _ { 2 } ) \right\} + \frac { \partial } { \partial x } \left\{ \left[ \rho _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + 5 ( p _ { 2 } + \Pi _ { 2 } ) \right] v _ { 2 } \right\} = - \frac { 3 \Pi _ { 2 } } { \tau _ { 2 } } - 2 ( \hat { \omega } _ { 1 } + \hat { m } _ { 1 } v ) , } \end{array}
d \tau ^ { 2 } = f ^ { + } \cdot ( d t ^ { + } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { f ^ { + } } \cdot d R ^ { 2 } = f ^ { - } \cdot ( d t ^ { - } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { f ^ { - } } \cdot d R ^ { 2 } .
\operatorname { d i v } \mathbf { F } = \nabla \cdot \mathbf { F } = { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r ^ { 2 } F _ { r } \right) + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } ( \sin \theta \, F _ { \theta } ) + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial F _ { \varphi } } { \partial \varphi } } .
V = - \left( { \frac { a } { 2 } } \, T _ { \alpha } { } * \! T ^ { \alpha } + { \frac { 1 } { 2 } } \, R ^ { \alpha \beta } \eta _ { \alpha \beta } + { \frac { b } { 2 } } \, R _ { \alpha \beta } { } * \! R ^ { \alpha \beta } \right) - \Lambda \, \eta .
\begin{array} { r l r } { { \hat { T } } = } & { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial { u } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial { v } ^ { 2 } } } & { = \; \omega \left( { \hat { a } } { \hat { b } } + { { \hat { a } } } ^ { + } { { \hat { b } } } ^ { + } - { { \hat { a } } } ^ { + } { \hat { a } } - { { \hat { b } } } ^ { + } { \hat { b } } - 1 \right) , } \\ { { \hat { R } } = } & { { u } ^ { 2 } + { v } ^ { 2 } } & { = \; \frac { 1 } { \omega } \left( { \hat { a } } { \hat { b } } + { { \hat { a } } } ^ { + } { { \hat { b } } } ^ { + } + { { \hat { a } } } ^ { + } { \hat { a } } + { { \hat { b } } } ^ { + } { \hat { b } } + 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \Delta t ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \Delta x ^ { 2 } } = \frac { \Delta t ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \Delta y ^ { 2 } } = \frac { \Delta t ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \Delta z ^ { 2 } } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } u + \partial _ { y } v } & { = 0 , } \\ { u \partial _ { x } u + v \partial _ { y } u } & { = - \partial _ { x } p + \delta ^ { 2 } \partial _ { x x } u + \partial _ { y y } u - 2 k \left( \partial _ { y } u \partial _ { x y } u + \delta ^ { 2 } \partial _ { x } v \partial _ { x y } u \right. } \\ & { \quad \left. ~ + 4 \delta ^ { 2 } \partial _ { x } u \partial _ { x x } u + \delta ^ { 2 } \partial _ { y } u \partial _ { x x } v + \delta ^ { 4 } \partial _ { x } v \partial _ { x x } v \right) , } \\ { u \partial _ { x } v + v \partial _ { y } v } & { = - \delta ^ { - 2 } \partial _ { y } p + \delta ^ { 2 } \partial _ { x x } v + \partial _ { y y } v - 2 k \left( \delta ^ { - 2 } \partial _ { y } u \partial _ { y y } u - 4 \partial _ { x } u \partial _ { y y } v \right. } \\ & { \quad \left. ~ + \partial _ { x } v \partial _ { y y } u - \partial _ { y } u \partial _ { x x } u - \delta ^ { 2 } \partial _ { x } v \partial _ { x x } u \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \frac { \partial c _ { s , i } } { \partial r } \bigg | _ { r = 0 } } & { { } = 0 } & { \qquad } & { { } \textrm { i n } \ ( 0 , t _ { f } ] , } \\ { - D _ { s } ( c _ { s , i } ) \frac { \partial c _ { s , i } } { \partial r } \bigg | _ { r = R _ { p } } } & { { } = \frac { j _ { i } } { F } } & { } & { { } \textrm { i n } \ ( 0 , t _ { f } ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( \Omega , B _ { R } ^ { c } ( 0 ) ) + \mathcal H ^ { 2 } ( \Omega \cap \partial B _ { R } ( 0 ) ) = P ( \Omega \cap B _ { R } ^ { c } ( 0 ) ) \geq 2 \mathcal H ^ { 2 } ( \Omega \cap \partial B _ { R } ( 0 ) ) . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 4 g _ { Y M } ^ { 2 } } \mathrm { T r } \left( V \sum _ { \alpha \beta } ( F _ { \alpha \beta } + \phi _ { \alpha \beta } \cdot { \bf 1 } ) g ^ { \alpha \mu } g ^ { \beta \nu } ( F _ { \mu \nu } + \phi _ { \mu \nu } \cdot { \bf 1 } ) \right) \, .
\frac { d ^ { 2 } \sigma _ { i } ^ { l + q \rightarrow l ^ { \prime } + q ^ { \prime } } } { d y d \phi _ { h } ^ { l } } = \frac { \alpha ^ { 2 } e _ { i } ^ { 2 } } { 2 Q ^ { 2 } y } f ( x , k _ { T } ^ { 2 } ) \bigg ( a + b _ { L } s _ { L } ^ { \prime } + \vec { b } _ { T } \cdot \vec { s } { \, ^ { \prime } } _ { T } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { f _ { \textsf { N o - g } } : ( \mathbb R ^ { 3 } ) ^ { 4 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb R } & { { } \to ( \mathbb R ^ { 3 } ) ^ { 4 } } \\ { ( \mathbf { z } ( 0 ) , \mathbf { q } _ { o } , \Delta t ) } & { { } \mapsto \mathbf { \hat { z } } ( \Delta t ) } \end{array}
\Sigma _ { 4 } ( \Delta s ) = - { g } { \frac { \mu ^ { \epsilon } } { 4 ! } } \left( { 4 \atop 2 } \right) ^ { 2 } { \frac { S _ { d - 1 } } { 4 ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } \Lambda ^ { \epsilon } } } \Delta s \cdot V [ \phi _ { < } ] \quad .
\Gamma ^ { ( 2 ) } = - { \frac { { \bf p } ^ { 2 } } { m ^ { 4 } } } { \frac { ( N _ { c } ^ { 2 } - 1 ) ( N _ { c } ^ { 2 } - 4 ) } { 1 0 8 N _ { c } ^ { 2 } } } ( 1 9 \pi ^ { 2 } - 1 3 2 ) \alpha _ { s } ^ { 3 } .
P _ { \mathrm { a b c } } = \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 \pi \mathcal { N } } \int \frac { d ^ { 3 } \tilde { q } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \frac { \left| \beta _ { 2 } \left( \tilde { q } \right) \right| ^ { 2 } } { \sqrt { 3 \tilde { q } ^ { 2 } / 4 + \tilde { E } _ { 1 2 3 } - \tilde { E } _ { 2 2 2 } + \tilde { \lambda } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { k , \lambda } } & { { } = p _ { k , \lambda } } \\ { \dot { p } _ { k , \lambda } } & { { } = - \omega _ { k , \lambda } ^ { 2 } q _ { k , \lambda } - \varepsilon _ { k , \lambda } \mu _ { \lambda } - \gamma _ { \mathrm { c } } p _ { k , \lambda } } \end{array}
\boldsymbol { K } = \left[ \begin{array} { l l } { k _ { 1 } \left( x ^ { \prime \prime } ( x - x _ { S } ) + x ^ { 2 } + y ^ { \prime \prime } ( y - y _ { S } ) + y ^ { 2 } \right) - F y ^ { \prime \prime } + k _ { 2 } \left( \alpha ^ { 2 } + \alpha \alpha ^ { \prime \prime } \right) } & { k _ { 2 } \alpha ^ { \prime } - F x ^ { \prime } } \\ { k _ { 2 } \alpha ^ { \prime } } & { k _ { 2 } } \end{array} \right] _ { \xi = 0 } ,
\tilde { \mu } ^ { * } \tilde { \mu } = \frac { 1 + \frac { j ( j + 1 ) } { k - 2 } } { 2 j + k + 1 + \frac { j ( j + 1 ) } { k - 2 } } > 1 \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; j = - N - \frac { k } { 2 } \; \; \; \; ( N = { 1 , 2 , . . . } )
\delta \Psi ^ { 2 } : = \sum _ { j \in \mathcal { T } } \big [ \Delta \Psi ^ { 2 } ( \tau ) \big ] ^ { ( j ) } = \frac { 2 \Psi ( \tau ) } { N _ { t } } \sum _ { j \in \mathcal { T } } \Delta x _ { k } ^ { ( j ) }
\centering \begin{array} { r } { I = \mathbf { A } _ { x } ^ { * } \mathbf { A } _ { x } + \mathbf { A } _ { y } ^ { * } \mathbf { A } _ { y } , \; Q = \mathbf { A } _ { x } ^ { * } \mathbf { A } _ { x } - \mathbf { A } _ { y } ^ { * } \mathbf { A } _ { y } , } \\ { U = \mathbf { A } _ { y } ^ { * } \mathbf { A } _ { x } + \mathbf { A } _ { x } ^ { * } \mathbf { A } _ { y } , \; V = i ( \mathbf { A } _ { y } ^ { * } \mathbf { A } _ { x } - \mathbf { A } _ { x } ^ { * } \mathbf { A } _ { y } ) . } \end{array}
\hat { \mathbf { F } } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \eta _ { x } { \tau } _ { x x } + \eta _ { y } { \tau } _ { x y } + \eta _ { z } { \tau } _ { x z } } \\ { \eta _ { x } { \tau } _ { x y } + \eta _ { y } { \tau } _ { y y } + \eta _ { z } { \tau } _ { y z } } \\ { \eta _ { x } { \tau } _ { x z } + \eta _ { y } { \tau } _ { y z } + \eta _ { z } { \tau } _ { z z } } \\ { \eta _ { x } { \beta } _ { x } + \eta _ { y } { \beta } _ { y } + \eta _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\langle C | { \tilde { J } } _ { 0 } ^ { \mu ^ { \prime } } z ^ { L _ { 0 } ^ { \mathrm { W Z W } } \vert _ { B } } { \bar { z } } ^ { { \tilde { L } } _ { 0 } ^ { \mathrm { W Z W } } \vert _ { B } } | C \rangle .
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \frac { \partial f _ { m } } { \partial t } } = } & { - \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \cdot \nabla f _ { m } - \frac { 1 } { \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau } f _ { m } + \frac 1 { \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau } w _ { m } \left[ a \sum _ { n = 1 } ^ { Q } f _ { n } + b \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \cdot \sum _ { n = 1 } ^ { Q } \ensuremath { \mathbf { e } } _ { n } f _ { n } \right] } \\ & { + \frac 2 { \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau } w _ { m } \left[ c \left( \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \cdot \sum _ { n = 1 } ^ { Q } \ensuremath { \mathbf { e } } _ { n } f _ { n } \right) ^ { 2 } + d \left( \sum _ { n = 1 } ^ { Q } \ensuremath { \mathbf { e } } _ { n } f _ { n } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { - \frac 1 { \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau } w _ { m } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { Q } f _ { n } \right] \left[ c \left( \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \cdot \sum _ { n = 1 } ^ { Q } \ensuremath { \mathbf { e } } _ { n } f _ { n } \right) ^ { 2 } + d \left( \sum _ { n = 1 } ^ { Q } \ensuremath { \mathbf { e } } _ { n } f _ { n } \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\displaystyle { } _ { r + 1 } V _ { r } ( a _ { 1 } ; a _ { 6 } , a _ { 7 } , . . . a _ { r + 1 } ; q , p ; z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { \theta ( a _ { 1 } q ^ { 2 n } ; p ) } { \theta ( a _ { 1 } ; p ) } } { \frac { ( a _ { 1 } , a _ { 6 } , a _ { 7 } , . . . , a _ { r + 1 } ; q ; p ) _ { n } } { ( q , a _ { 1 } q / a _ { 6 } , a _ { 1 } q / a _ { 7 } , . . . , a _ { 1 } q / a _ { r + 1 } ; q , p ) _ { n } } } ( q z ) ^ { n }
\sum _ { \substack { n > 1 \, \mu ( n ) = 1 } } \frac { 1 } { n ^ { v + 1 } } \textnormal { L i } _ { v + 1 } \left( \frac { 1 } { x ^ { n } } \right) = \sum _ { n } \frac { \mu ( n ) } { n ^ { v + 1 } } \sum _ { \substack { m \nmid n \, m < n } } \frac { \mu ( m ) } { m ^ { v + 1 } } \textnormal { L i } _ { v + 1 } \left( \frac { 1 } { x ^ { n m } } \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big | \partial _ { t } \Big [ t \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } } & { e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } \sin \theta \big ( \cos ( 2 \eta ) [ \sin ( ( n + m ) \theta ) ( \cos ( \rho \theta ) - 1 ) + \sin ( ( n + m ) \theta ) } \\ & { + \sin ( \rho \theta ) \cos ( ( n + m ) \theta ) ] - \sin ( 2 \eta ) [ \cos ( ( n + m ) \theta ) ( \cos ( \rho \theta ) - 1 ) } \\ & { + \cos ( ( n + m ) \theta ) { - } \sin ( \rho \theta ) \sin ( ( n + m ) \theta ) ] \big ) d \theta \Big ] \Big | d t \le C . } \end{array}
d ( Y _ { t } ^ { 2 } ) = d Y _ { t } \, Y _ { t } + Y _ { t } \, d Y _ { t } = 2 \, d Y _ { t } \, Y _ { t } + \sigma ^ { 2 } \, d t = 2 \, \sigma \, d X _ { t } \, Y _ { t } + d t \, ( \sigma ^ { 2 } - 2 k \, Y _ { t } ^ { 2 } )
\left| \frac { k _ { \pm } ^ { ( 1 ) } ( x ) } { k _ { \pm } ^ { ( 0 ) } ( x ) } \right| \approx \frac { 3 } { 2 } \left| \frac { v ( x ) v ^ { \prime } ( x ) } { ( 1 - v ^ { 2 } ( x ) ) ^ { 3 / 2 } } \right| .
\begin{array} { l } { { \Phi _ { j } \bar { \Phi } _ { i } = \delta _ { i j } + q R _ { k i j l } \bar { \Phi } _ { l } \Phi _ { k } , } } \\ { { \Phi _ { l } \Phi _ { k } = q ^ { - 1 } R _ { j i k l } \Phi _ { j } \Phi _ { i } , \qquad i , j = 1 , 2 , . . . , N , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f _ { O } ( x ) - f _ { O } ( x | _ { \mathcal { S } ( r ) } ) | } & { \le \sum _ { l \in \mathcal { S } ( r ) ^ { c } } | x _ { l } ^ { \prime } ( 0 ) | \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \big | \partial _ { l } \operatorname { t r } \big [ O \sigma ( \beta , x ( s ) ) \big ] \big | \, d s } \\ & { = \beta \sum _ { l \in \mathcal { S } ( r ) ^ { c } } | x _ { l } ^ { \prime } ( 0 ) | \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \big | \operatorname { C o v } _ { \sigma ( \beta , x ( s ) ) } \big ( O , \widetilde { H } _ { l } ( x ( s ) ) \big ) | \, d s \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { y } _ { i } } & { { } = y _ { i } ( P _ { i } - P _ { I } ) = y _ { i } ( 1 - y _ { i } ) ( P _ { i } - P _ { n } ) } \\ { \dot { y } _ { t } } & { { } = y _ { t } ( P _ { t } - P _ { T } ) = y _ { t } ( 1 - y _ { t } ) ( P _ { t } - P _ { u } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \Theta } } & { { } = t _ { R } , } \\ { \delta _ { \Theta \Theta } } & { { } = - \frac { 1 } { 3 } \tau _ { \Theta } \left( \gamma _ { - 2 } ^ { \Theta } m ^ { 2 } + 6 \right) , } \\ { \tau _ { \Theta \Theta } } & { { } = - \frac { 4 } { 1 1 } \tau _ { \Theta } \left( 2 \gamma _ { - 2 } ^ { \Theta } m ^ { 2 } + 9 \right) , } \\ { \ell _ { \Theta \Omega } } & { { } = - \frac { 4 } { 9 } \tau _ { \Theta } \left( m ^ { 2 } \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } - \gamma _ { 1 } ^ { \Omega } \right) , } \\ { \ell _ { \Theta \pi } } & { { } = - \frac { 4 } { 2 1 } \tau _ { \Theta } \left( \gamma _ { - 2 } ^ { \pi } m ^ { 4 } + 7 m ^ { 2 } - 8 \gamma _ { 2 } ^ { \pi } \right) , } \\ { \lambda _ { \Theta \Omega } } & { { } = - \frac { 4 } { 9 } \tau _ { \Theta } \left[ m ^ { 2 } \left( \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } } { \partial \alpha _ { 0 } } + h _ { 0 } ^ { - 1 } \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } } { \partial \beta _ { 0 } } \right) - \left( \frac { \partial \gamma _ { 1 } ^ { \Omega } } { \partial \alpha _ { 0 } } + h _ { 0 } ^ { - 1 } \frac { \partial \gamma _ { 1 } ^ { \Omega } } { \partial \beta _ { 0 } } \right) \right] , } \\ { \tau _ { \Theta \Omega } } & { { } = - 4 \tau _ { \Theta } \left[ \gamma _ { 1 } ^ { \Omega } - \frac { \beta _ { 0 } } { 9 } \left( m ^ { 2 } \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } } { \partial \alpha _ { 0 } } - \frac { \partial \gamma _ { 1 } ^ { \Omega } } { \partial \beta _ { 0 } } \right) \right] . } \end{array}
\left[ \frac { \partial \mathbf { J } } { \partial t ^ { \prime } } \right] = \frac { \partial \mathbf { J } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } { \partial t ^ { \prime } } | _ { t ^ { \prime } = t - r / c } = \frac { \partial \mathbf { J } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t - r / c ) } { \partial ( t - r / c ) }