harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { J _ { \mathrm { e v a p } } } & { = } & { 6 9 1 \left( \frac { p _ { \mathrm { H _ { 2 } } } } { 1 0 0 ~ \mathrm { d y n ~ c m } ^ { - 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { T } { T _ { \mathrm { m e l t } } } \right) ^ { - 1 / 2 } } \\ & { } & { \times \exp { \left( - \frac { 3 . 1 7 \times 1 0 ^ { 4 } ~ \mathrm { K } } { T } \right) } ~ \mathrm { g ~ c m ~ ^ { - 2 } ~ ~ s } ^ { - 1 } , } \end{array}
\textbf { A } = \left( \begin{array} { l l l l l } { A _ { 1 1 } } & { A _ { 1 2 } } & { A _ { 1 3 } } & { . . . } & { A _ { 1 N } } \\ { A _ { 2 1 } } & { A _ { 2 2 } } & { A _ { 2 3 } } & { . . . } & { A _ { 2 N } } \\ { A _ { 3 1 } } & { A _ { 3 2 } } & { A _ { 3 3 } } & { . . . } & { A _ { 3 N } } \\ { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } \\ { A _ { N 1 } } & { A _ { N 2 } } & { A _ { N 3 } } & { . . . } & { A _ { N N } } \end{array} \right)
S _ { 0 } \ = \ - \frac { i } { 4 } \ \left[ H _ { 0 } , \int ^ { x ^ { T 2 } } d x ^ { T 2 } F \right] \ = \ - \frac { i } { 2 P _ { L } } \left[ H _ { 0 } , \widetilde \Delta ( x ^ { T } ) \right] \ ,
\begin{array} { r l } { L _ { \theta } } & { { } = \frac { \lambda _ { r e s } } { N _ { d m } ^ { \prime } } \sum _ { i } ^ { N _ { d m } ^ { \prime } } L _ { r e s } + \sum _ { j } ^ { N _ { b d } ^ { \prime } } \lambda _ { b d } L _ { b d } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { t } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } & { = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { = - a ^ { 2 } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } - \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 3 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 5 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 2 } } & { = ( \{ v _ { 1 } , v _ { 3 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 2 } , e _ { 4 } , e _ { 5 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 3 } } & { = ( \{ v _ { 2 } , v _ { 3 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 3 } , e _ { 4 } , e _ { 5 } \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { Q } _ { L i } } { d t } } & { { } = } & { i N _ { T } ( \vec { Q } _ { L i } - \vec { Q } _ { 0 } ) + N _ { H } ( \vec { Q } _ { L i } \times \vec { Q } _ { 0 } ) } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { t _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 / t _ { 1 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 / t _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { t _ { 1 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { a t _ { 1 } } & { b t _ { 1 } } \\ { c / t _ { 1 } } & { d / t _ { 1 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 / t _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { t _ { 1 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b t _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { c t _ { 1 } ^ { - 2 } } & { d } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } = \mathcal { R } _ { \mathrm { W E N O } } ( \overline { { \mathbf { V } } } _ { i - 2 , j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i - 1 , j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + 1 , j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + 2 , j } ) , } \\ { \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } = \mathcal { R } _ { \mathrm { W E N O } } ( \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + 3 , j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + 2 , j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + 1 , j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i - 1 , j } ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell , 0 } ^ { ( 1 ) } ) - E _ { M _ { \ell , 0 } } ^ { \ell } ( A _ { \ell , 0 } ^ { ( 1 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } & { \le C M _ { \ell , 0 } ^ { - 1 / 2 } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } , } \\ { \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell , 0 } ^ { ( 2 ) } ) - E _ { M _ { \ell , 0 } } ^ { \ell } ( A _ { \ell , 0 } ^ { ( 2 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } & { \le C M _ { \ell , 0 } ^ { - 1 / 2 } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } , } \\ { \mathcal { E } _ { \ell } \left( \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , 0 } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , 0 } ^ { ( 8 ) } ) - E _ { M _ { \ell , 0 } } ^ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) E _ { M _ { \ell , 0 } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , 0 } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , 0 } ^ { ( 8 ) } ) \right) } & { \le C M _ { \ell , 0 } ^ { - 1 / 2 } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } , } \\ { \mathcal { E } _ { \ell } \left( \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell } ^ { ( 5 ) } ) \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell , 0 } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , 0 } ^ { ( 8 ) } ) - E _ { M _ { \ell , 0 } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell } ^ { ( 5 ) } ) E _ { M _ { \ell , 0 } } ^ { \ell } ( A _ { \ell , 0 } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , 0 } ^ { ( 8 ) } ) \right) } & { \le C M _ { \ell , 0 } ^ { - 1 / 2 } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { i j } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { i } u _ { j } + \partial _ { j } u _ { i } \right) ; \qquad W _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { i } u _ { j } - \partial _ { j } u _ { i } \right) } \\ { \mathbf { H } } & { { } = A \left[ \mathbf { Q } \mathbin { - } b \mathrm { T r } \left( \mathbf { Q } ^ { 2 } \right) \mathbf { Q } \right] \mathbin { + } K \nabla ^ { 2 } \mathbf { Q } . } \end{array}
N ^ { ( 1 ) } : = \frac { M ^ { ( 1 ) } M ^ { ( 1 , 2 ) } M ^ { ( 1 , 2 ) } } { M ^ { ( 1 , 2 ) } M ^ { ( 1 , 2 ) } - M ^ { ( 1 ) } M ^ { ( 2 ) } } \, ,
\frac { \partial ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { \pm } } { \partial { \eta } ^ { 2 } } + \sigma { \frac { \partial \beta _ { k } } { \partial \eta } } ^ { \pm } + \left( k ^ { 2 } \pm \lambda \frac { d \phi } { d \eta } k \pm \sigma \gamma k \mp \frac { g ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \mu _ { R } k a ( \eta ) \right) \beta _ { k } ^ { \pm } ( \eta ) = 0 .
\begin{array} { r l r } & { } & { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) \rightarrow M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { s } ( \Omega ) ) , } \\ & { } & { \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \rightarrow \sqrt { M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { s } ( \Omega ) ) , } \\ & { } & { q ^ { \prime } ( u ^ { N } ) \rightarrow q ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { s } ( \Omega ) ) . } \end{array}
\mu ( \Vec { { r } _ { 1 } } , \Vec { { r } _ { 2 } } ) = W \left( \Vec { { r } _ { 1 } } , \vec { { r } _ { 2 } } \right) / \sqrt { I ( \vec { { r } _ { 1 } } ) I ( \vec { { r } _ { 2 } } ) }
\begin{array} { r l } { Q ( x ) } & { = \int _ { x } ^ { \infty } \phi ( t ) \mathrm d t = \int _ { x } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \exp ( - t ^ { 2 } / 2 ) \mathrm d t } \\ & { = \int _ { x } ^ { \infty } \frac { 1 } { t } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } t \cdot \exp ( - t ^ { 2 } / 2 ) \mathrm d t } \\ & { = - \frac { 1 } { t } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \exp ( - t ^ { 2 } / 2 ) \biggr \vert _ { x } ^ { \infty } - \int _ { x } ^ { \infty } \left( - \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \right) \left( - \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \exp ( - t ^ { 2 } / 2 ) \right) \mathrm d t } \\ & { = \frac { \phi ( x ) } { x } - \int _ { x } ^ { \infty } \frac { \phi ( t ) } { t ^ { 2 } } \mathrm d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { E = \frac { \kappa _ { A } } { 2 } \left( \frac { n } { 4 } \ell _ { 0 } ^ { 2 } \cot \left( \frac { \pi } { n } \right) \operatorname* { d e t } ( \mathbf { F } ) - A _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \\ { + \frac { \kappa _ { P } } { 2 } \left( \sum _ { \alpha } ^ { n } \sqrt { ( \mathbf { F } \vec { \nu } _ { \alpha } ) \cdot ( \mathbf { F } \vec { \nu } _ { \alpha } } ) - P _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\delta _ { b } = { \frac { 1 + \gamma } { 2 } } \left( F _ { s } ^ { ( 1 ) } + G _ { p } ^ { ( 1 ) } \right) + { \frac { 1 - \gamma } { 2 } } \left( F _ { p } ^ { ( 1 ) } + G _ { s } ^ { ( 1 ) } \right) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { f } \ } & { q } \\ { \mathrm { ~ s . t . ~ } } & { \int _ { - \infty } ^ { q } f ( x ) \mathrm { d } x = p , } \\ & { \int _ { a } ^ { \infty } f ( x ) \mathrm { d } x = \beta , } \\ & { f ( a ) = f ( a + ) = \eta , } \\ & { f _ { + } ^ { \prime } ( a ) \ge - \nu , } \\ & { f \mathrm { \ c o n v e x \ f o r \ } x \ge a , } \\ & { f ( x ) \ge 0 \mathrm { \ f o r \ } x \ge a . } \end{array}
\langle \widehat { H } \rangle = 2 \sum _ { k } \Delta _ { k } \langle \hat { n } _ { k } \rangle + i \kappa \sum _ { k } \langle \hat { a } _ { 0 } \hat { m } _ { k } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { m } _ { k } \rangle \leftrightarrow 2 \Delta _ { 1 } \langle z _ { 1 } \rangle + i \kappa ( \langle z _ { 4 } z _ { 3 } \rangle - \langle z _ { 5 } z _ { 2 } \rangle ) .
K _ { a b } ^ { \epsilon _ { 1 } } \left( \theta _ { 1 } \right) + K _ { b c } ^ { \epsilon _ { 2 } } \left( \theta _ { 2 } \right) \, \rightarrow \, K _ { a d } ^ { \epsilon _ { 2 } ^ { \prime } } \left( \theta _ { 2 } \right) + K _ { d c } ^ { \epsilon _ { 1 } ^ { \prime } } \left( \theta _ { 1 } \right)
\left| \Psi _ { \textrm { 1 , a l t } } ( A ) \right\rangle = \left( \sum _ { k _ { d } = 1 } ^ { N } A _ { d k _ { d } } \left( \hat { a } _ { k _ { d } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { k _ { d } } \right) \right) \ldots \left( \sum _ { k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { 1 k _ { 1 } } \left( \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { k _ { 1 } } \right) \right) | \textrm { v a c } \rangle
\begin{array} { r l } { w ^ { 2 } } & { { } \equiv 1 + \frac { 1 } { R \left( Z _ { \perp } - \frac { 1 } { 4 u _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } \right) } , } \\ { I } & { { } = - \frac { 1 } { 4 Z _ { \perp } } + \left( 1 + \frac { 1 } { 4 Z _ { \perp } } \right) u _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } e ^ { u _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } E _ { 1 } ( u _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { n + 1 } } & { { } = } & { - \arcsin \Big ( \frac { P _ { n } } { \sqrt { P _ { n } ^ { 2 } + d _ { 1 2 } ^ { 2 } N _ { n } ^ { 2 } } } \Big ) + } \\ { N _ { n + 1 } } & { { } = } & { \Big ( N _ { n } \cos \Phi _ { n } - \frac { 1 } { d _ { 1 2 } } P _ { n } \sin \Phi _ { n } \Big ) e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } + } \\ { P _ { n + 1 } } & { { } = } & { \Big ( P _ { n } \cos \Phi _ { n } + d _ { 1 2 } N _ { n } \sin \Phi _ { n } \Big ) e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \mathcal { L } _ { \lambda } ^ { * } ( x ) } & { = \nabla _ { x } \mathcal { L } _ { \lambda } ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) + \nabla _ { x } y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ^ { \top } \nabla _ { y } \mathcal { L } _ { \lambda } ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) = \nabla _ { x } \mathcal { L } _ { \lambda } ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) . } \end{array}
S = \frac { 1 } { G } \int d x d t \: \sqrt { - \bar { g } } \: e ^ { - 2 \bar { \phi } } ( \bar { R } + 4 ( \bar { \nabla } \bar { \phi } ) ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 2 } \int d x d t \: \sqrt { - \bar { g } } \: \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \bar { \nabla } f _ { i } ) ^ { 2 } ,
\Bigl ( \prod _ { ( j , \kappa ) \in \Lambda ^ { 1 } } \sum _ { a _ { j \kappa } , b _ { j \kappa } } \Bigr ) = \underbrace { \sum _ { a _ { j \kappa } , b _ { j \kappa } = 1 } ^ { \dim V _ { \tau _ { j \kappa } } } \cdots \sum _ { a _ { j \kappa } , b _ { j \kappa } = 1 } ^ { \dim V _ { \tau _ { j \kappa } } } } _ { \mathrm { o n e ~ \sum ~ f o r ~ e a c h ~ l i n k } } .
\begin{array} { r l } { P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) , t _ { 0 } + \varepsilon ) = } & { P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) , t _ { 0 } ) + P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) , t _ { 0 } + \varepsilon ) - P _ { \pi } ( x ( t _ { 0 } + \varepsilon ) , t _ { 0 } ) } \\ { = } & { P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) + \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) - x ^ { 0 } ) ^ { \top } } \\ { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \frac { \partial ^ { 2 } P ( x , t _ { 0 } ) } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } } & { \Big | _ { x = x ^ { 0 } + \theta ( x _ { \pi } ( \varepsilon ) - x ^ { 0 } ) , \theta \in [ 0 , 1 ] } \big ( { x _ { \pi } } _ { i } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) - x _ { i } ^ { 0 } \big ) \big ( { x _ { \pi } } _ { j } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) - x _ { j } ^ { 0 } \big ) } \\ & { + P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) , t _ { 0 } + \varepsilon ) - P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) , t _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert \widetilde { V } c \right\rVert _ { \infty } \leq \left\lVert \widetilde { V } c \right\rVert _ { 2 } = \sqrt { \sum _ { i } ( \widetilde { V } c ) _ { i } ^ { 2 } } = \sqrt { \sum _ { i } w _ { i } ^ { k - 1 } \frac { 1 } { w _ { i } ^ { k - 1 } } ( \widetilde { V } c ) _ { i } ^ { 2 } } \leq \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { i } ( w _ { i } ^ { k - 1 } ) } \left\lVert \widetilde { V } c \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } \leq \gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d h } { d \mathcal { T } } } & { = g _ { 1 } ( h , \sin \alpha , \cos \alpha , \textbf { Q } ^ { \alpha T } \cdot \textbf { Q } ^ { T } \cdot \textbf { E } \cdot \textbf { Q } ^ { \alpha } \cdot \textbf { Q } ; \theta _ { g 1 } ) } \\ { \frac { d \alpha } { d \mathcal { T } } } & { = g _ { 2 } ( h , \sin \alpha , \cos \alpha , \textbf { Q } ^ { T } \cdot \textbf { E } \cdot \textbf { Q } ; \theta _ { g 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \underline { { S } } \underline { { \sigma } } : \delta \underline { { \sigma } } \, d \Omega - \langle \underline { { \varepsilon } } ( \vec { u } ) , \delta \underline { { \sigma } } \rangle - \langle \underline { { \varepsilon } } ( \delta \vec { u } ) , \underline { { \sigma } } \rangle } & { = \ { - } \int _ { \Omega } \vec { f } \cdot \delta \vec { u } \, d \Omega \ { - } \int _ { \Gamma _ { 2 } } \vec { t } _ { n t } \delta \vec { u } _ { t } \, d \Gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { t } = - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } e ^ { - t \kappa _ { 2 } \left( \frac { 4 \gamma ^ { 4 } } { \lambda _ { n } } + \lambda _ { n } \right) } \phi _ { n } ( y _ { 3 } ) \left\langle f _ { s } , \phi _ { n } \right\rangle , } \\ & { v _ { t } = - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } e ^ { - t \kappa _ { 2 } \left( \frac { 4 \gamma ^ { 4 } } { \lambda _ { n } } + \lambda _ { n } \right) } \varphi _ { n } ( y _ { 3 } ) \left\langle v _ { s } , \varphi _ { n } \right\rangle . } \end{array}
x _ { m a x } \; = \; { \frac { 2 E \; \left( { 2 m _ { N } E ( 2 - \alpha ) - ( W _ { m i n } ^ { \, 2 } - m _ { N } ^ { \, 2 } ) } \right) } { m _ { N } \, \, \left( { 4 E ^ { 2 } + ( W _ { m i n } ^ { \, 2 } - m _ { N } ^ { \, 2 } ) } \right) } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { T } _ { 3 } } & { = \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ddot { r } _ { c } = r _ { c } \dot { \theta } ^ { 2 } - \frac { \mu } { r _ { c } ^ { 2 } } , \quad \ddot { \theta } = - 2 \frac { \dot { r } _ { c } \dot { \theta } } { r _ { c } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } \, = \, } & { \frac { 1 } { \delta } \bigl \{ \phi _ { * } \, , \tilde { \zeta } \bigr \} + \frac { 1 } { \delta } \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \zeta _ { * } \bigr \} + \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \tilde { \zeta } \bigr \} - \frac { \epsilon \bar { r } } { \delta \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } \, \partial _ { R } \tilde { \eta } + \dot { \bar { z } } \, \partial _ { Z } \tilde { \eta } \Bigr ) } \\ & { - \mathcal { L } \tilde { \eta } - \epsilon \partial _ { R } \tilde { \zeta } - \frac { 1 } { \delta } \, \mathrm { R e m } ( R , Z , t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { T } = } & { C _ { ( { R _ { t b 1 } ^ { 2 } } ) } M _ { t b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { t b } } ^ { D } ( R _ { t b 1 } ^ { 2 } ) + C _ { ( { R _ { t b 2 } ^ { 2 } } ) } M _ { t b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { t b } } ^ { D } ( R _ { t b 2 } ^ { 2 } ) + C _ { ( | \nabla R _ { t b 1 } | ^ { 2 } ) } M _ { t b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { t b } } ^ { D } ( | \nabla R _ { t b 1 } | ^ { 2 } ) } \\ & { + C _ { ( { R _ { i n t 1 } ^ { 2 } } ) } M _ { i n t } ^ { - \frac { 2 } { d + 1 } } + \mathcal { Q } _ { M _ { i n t } } ^ { \Omega } ( R _ { i n t 1 } ^ { 2 } ) + C _ { ( R _ { i n t 2 } ^ { 2 } ) } M _ { i n t } ^ { - \frac { 2 } { d + 1 } } + \mathcal { Q } _ { M _ { i n t } } ^ { \Omega } ( R _ { i n t 2 } ^ { 2 } ) + C _ { ( | \nabla R _ { i n t 1 } | ^ { 2 } ) } M _ { i n t } ^ { - \frac { 2 } { d + 1 } } } \\ & { + \mathcal { Q } _ { M _ { i n t } } ^ { \Omega } ( | \nabla R _ { i n t 1 } | ^ { 2 } ) + C _ { ( { R _ { s b 1 } ^ { 2 } } ) } M _ { s b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { s b } } ^ { \Omega _ { * } } ( R _ { s b 1 } ^ { 2 } ) + C _ { ( { R _ { s b 2 } ^ { 2 } } ) } M _ { s b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { s b } } ^ { \Omega _ { * } } ( R _ { s b 2 } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l } { { \mathcal D } _ { t } ^ { \gamma } z ^ { i } ( v - u ^ { \tau } ) + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } z ^ { i } ( v - u ^ { \tau } ) ) + q ^ { i } z ^ { i } ( v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } z ^ { i } ( a ^ { + } ; v - u ^ { \tau } ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } z ^ { j } ( a ^ { + } ; v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } z ^ { i } ( a ^ { + } ; v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } z ^ { 1 } ( b _ { 1 } ^ { - } ; v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } z ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { v ^ { i } - u ^ { i , \tau } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 2 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } z ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { v ^ { i } - u ^ { i , \tau } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle z ^ { i } ( 0 ; v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { { \bf F } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { \Sigma } \right) - { \bf F } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { 2 } \right) } & { \approx } & { { \cal B } _ { 2 } \mathbf { u } _ { 1 } , } \\ { { \bf H } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { \Sigma } \right) - { \bf H } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { 1 } \right) } & { \approx } & { { \cal C } _ { 2 } \mathbf { u } _ { 1 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left\| y - { \bar { y } } \mathbf { 1 } \right\| ^ { 2 } } & { = \left\| { \hat { y } } - { \bar { y } } \mathbf { 1 } \right\| ^ { 2 } + \left\| { \hat { \varepsilon } } \right\| ^ { 2 } , \quad \mathbf { 1 } = ( 1 , 1 , \ldots , 1 ) ^ { T } , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \hat { y } } _ { i } ) ^ { 2 } , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \hat { \varepsilon } } _ { i } ^ { 2 } , } \end{array} }
h \phi _ { n } ( \varphi ) \; = \; \lambda _ { n } ^ { 2 } \phi _ { n } ( \varphi ) \; \Rightarrow \; { \tilde { h } } \; [ \frac { 1 } { \lambda _ { n } } a \phi _ { n } ( \varphi ) ] \; = \; \lambda _ { n } ^ { 2 } \; [ \frac { 1 } { \lambda _ { n } } a \phi _ { n } ( \varphi ) ]
\begin{array} { r l } & { \tilde { a } _ { A } = \sqrt { \frac { 2 } { \pi \omega _ { A } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega A _ { A } ( \omega ) } \\ & { \qquad \times \left[ \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } \mathrm { d } x \sqrt { \epsilon _ { I } ^ { \alpha } ( x , \omega ) } \tilde { f } _ { A } ^ { \alpha } ( x ) \hat { b } ( x , \omega ) \right. } \\ & { \qquad \quad + \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \int _ { L / 2 } ^ { \lambda } \mathrm { d } x \sqrt { \epsilon _ { I } ^ { \alpha } ( x , \omega ) } \tilde { F } _ { A } ^ { \alpha } ( x , \omega ) \hat { b } ( x , \omega ) } \\ & { \qquad \quad + \left. \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \int _ { - \lambda } ^ { - L / 2 } \mathrm { d } x \sqrt { \epsilon _ { I } ^ { \alpha } ( x , \omega ) } \tilde { F } _ { A } ^ { \alpha } ( x , \omega ) \hat { b } ( x , \omega ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 \delta _ { \lambda \delta } \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } = 2 \delta _ { \alpha \delta } \epsilon _ { \beta \gamma \lambda } + 2 \delta _ { \beta \delta } \epsilon _ { \gamma \alpha \lambda } + 2 \delta _ { \gamma \delta } \epsilon _ { \alpha \beta \lambda } } \\ { \Leftrightarrow \delta _ { \lambda \delta } \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } - \delta _ { \alpha \delta } \epsilon _ { \lambda \beta \gamma } = \delta _ { \beta \delta } \epsilon _ { \alpha \lambda \gamma } + \delta _ { \gamma \delta } \epsilon _ { \alpha \beta \lambda } . } \end{array}
\frac { d B } { d t } = - \mathrm { ~ i ~ } \lambda B + \mathrm { ~ i ~ } \, \frac { \mu _ { _ { S C } } } { 2 } f + \mathrm { ~ i ~ } \, \nu _ { _ { S C } } | B | ^ { 2 } B + \mathrm { ~ i ~ } \, \xi _ { _ { S C } } | A | ^ { 2 } B ,
( \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } | \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } ) = ( \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } | \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } )
d _ { 3 } = f _ { \mathrm { v e x } } + \frac { F f _ { \mathrm { v e x } } ^ { 2 } } { 2 } \left[ \frac { 1 } { f _ { \mathrm { D } ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { F ^ { 2 } } + \frac { 1 } { f _ { \mathrm { c a v } } ^ { 2 } } \right] \left( 1 - \xi \right) ^ { 2 } + F \left( \frac { f _ { \mathrm { v e x } } } { f _ { \mathrm { c a v } } } \right) ^ { 2 } \left[ \left( \xi + \frac { f _ { \mathrm { c a v } } } { f _ { \mathrm { D } } } \right) \left( 1 - \xi \right) + \frac { 1 } { 2 } \xi ^ { 2 } \right] ,