harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { U } } \, \hat { \mathcal { S } } } & { { } = \exp \biggl ( \frac { \mathrm { i } } { \hbar } \left( \underline { { \hat { A } } } \cdot \underline { { d } } _ { e n } \right) \biggr ) \exp \biggl ( \mathrm { i } \, \frac { \pi } { 2 } \sum _ { \lambda , k } ^ { 2 N _ { c } } \hat { n } _ { \lambda k } \biggr ) \quad , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla f ( w ^ { \prime } ) - \nabla f ( w ) \| } & { \le \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \| \nabla f ( w _ { ( k + 1 ) / n } ) - \nabla f ( w _ { k / n } ) \| \le \| w ^ { \prime } - w \| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ k / n , ( k + 1 ) / n ] } h ( \theta ) , } \end{array}
P r \{ ( h _ { d } ( X _ { 1 } ) - h _ { d } ( X _ { 2 } ) ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) > 0 \} = P r \{ ( X _ { 1 } - X _ { 2 } ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) < 0 \}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { k } - \frac { \pi } { n \sin { \left( \frac { k \pi } { n } \right) } } = \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { \sin { \left( \alpha \pi \right) } } \frac { \pi } { n } = \frac { 1 } { k } - \beta \frac { \pi } { n } = - \frac { 1 } { n - k } + \left( \frac { 1 } { k } - \beta \frac { \pi } { n } + \frac { 1 } { n - k } \right) } \\ & { \phantom { \frac { 1 } { k } - \frac { \pi } { n \sin { \left( \frac { k \pi } { n } \right) } } } = - \frac { 1 } { n - k } + \left( \frac { 1 } { \alpha n } - \beta \frac { \pi } { n } + \frac { 1 } { ( 1 - \alpha ) n } \right) = - \frac { 1 } { n - k } + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( e _ { 2 2 } , e _ { 2 1 } , e _ { 1 2 } ) } & { = } & { - \mu _ { 1 } ( e _ { 2 2 } , e _ { 1 1 } + e _ { 2 2 } ) - [ e _ { 2 2 } , e _ { 2 2 } + e _ { 1 1 } ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( e _ { 2 1 } , e _ { 1 2 } ) + \mu _ { 1 } ( e _ { 2 1 } , - e _ { 1 2 } ) + [ e _ { 1 2 } , e _ { 1 2 } ] + [ e _ { 2 1 } , - e _ { 2 1 } ] } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \lVert v - \lambda \rVert _ { q } } { \partial \lambda } = 0 } \\ { \implies } & { \sum _ { s } s i g n ( v ( s ) - \lambda ) | v ( s ) - \lambda | ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } = 0 , } \\ { \implies } & { \kappa _ { q } ( v ) = \lVert v - \lambda \rVert _ { q } , \quad \mathrm { s u c h ~ t h a t } \quad \sum _ { s } s i g n ( v ( s ) - \lambda ) | v ( s ) - \lambda | ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { j } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { { } = i \langle \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) | [ H , \tilde { A } _ { j } ] | \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) \rangle } \\ { \mathcal { H } _ { j k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { { } = - \langle \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) | [ [ H , \tilde { A } _ { j } ] , \tilde { A } _ { k } ] | \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) \rangle } \\ { \mathcal { T } _ { j k l } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { { } = - i \langle \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) | [ [ [ H , \tilde { A } _ { j } ] , \tilde { A } _ { k } ] , \tilde { A } _ { l } ] | \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) \rangle } \end{array}
- R _ { 0 } ^ { 3 } \left[ \left( 1 - \frac { N _ { f } } { N _ { c } } \right) \left( \ln R _ { 0 } ^ { 3 } - 1 \right) + \frac { N _ { f } } { N _ { c } } \ln \rho _ { 0 } ^ { 2 } \right] - \frac { N _ { f } } { N _ { c } } \rho _ { 0 } ^ { 2 } = \cos \left( \pi \frac { N _ { f } } { N _ { c } } \right) .
\overline { { c } } ( y ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { c } p \, \mathrm { ~ d ~ } y _ { i } = \overline { { c } } _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ L ~ } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( 1 - H ) p \, \mathrm { ~ d ~ } y _ { i } + \overline { { c } } _ { \mathrm { ~ T ~ W ~ L ~ } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } H p \, \mathrm { ~ d ~ } y _ { i }
\frac { 2 \pi } { \alpha _ { 3 } } = \frac { b _ { 3 } - b _ { 2 } } { b _ { 2 } - b _ { 1 } } \left( \frac { 2 \pi } { \alpha _ { 2 } } - \frac { 2 \pi } { \alpha _ { 1 } } \right) + \frac { 2 \pi } { \alpha _ { 2 } } + C N
\begin{array} { r l } & { \# \mathcal { S } ^ { \prime } ( n , k , m ) = \left( \frac { ( n , m ) + 1 } { 2 } \right) ^ { k } \frac { \# \Omega _ { n _ { 1 } } } { k ! } + O _ { k } ( ( n , m ) n ^ { k - 1 } ) , } \\ & { \# \mathcal { S } _ { I } ^ { \prime } ( n , k , m ) = \left( \frac { ( n , m ) + 1 } { 2 } \right) ^ { k } \frac { \# \Omega _ { n _ { 1 } } ( I ) } { k ! } + O _ { k } ( ( n , m ) n ^ { k - 1 } ) . } \end{array}
\frac { d ^ { 3 } \sigma } { d \Omega _ { e } d \Omega _ { s } d E _ { e } } = \frac { k _ { e } k _ { s } } { k _ { i } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { j } } \frac { a _ { j k } ^ { 2 } } { \hat { l } _ { j k } } \sum _ { \mu = - l _ { j k } } ^ { l _ { j k } } | T _ { f i } ^ { p w } ( \mathbf { q } ) | ^ { 2 } ,
- ( - \Delta ) _ { p , i } ^ { s , h } \phi ( x ) : = \frac { ( p + d ) } { p ( 1 - s ) } \frac { h ^ { d } } { r ^ { d + s p } } \sum _ { y _ { \alpha } \in B _ { r } } J _ { p } ( \phi ( x + y _ { \alpha } ) - \phi ( x ) ) + \sum _ { y _ { \alpha } \in \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { r } } J _ { p } ( \phi ( x + y _ { \alpha } ) - \phi ( x ) ) W _ { \alpha , i } ,
\frac { D \omega _ { y } } { D t } = \omega _ { x } \frac { \partial v } { \partial x } + \omega _ { y } \frac { \partial v } { \partial y } + \omega _ { z } \frac { \partial v } { \partial z } - \omega _ { y } ( \boldsymbol { \nabla \cdot u } ) + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \partial \rho } { \partial z } \frac { \partial p } { \partial x } - \frac { \partial \rho } { \partial x } \frac { \partial p } { \partial z } \bigg )
\begin{array} { r } { D _ { 1 1 1 } = \overline { { ( \delta u ) ^ { 3 } } } ; } \\ { D _ { 1 1 1 1 } = \overline { { ( \delta u ) ^ { 4 } } } ; } \\ { D _ { 1 1 2 2 } = \overline { { ( \delta u ) ^ { 2 } ( \delta v ) ^ { 2 } } } ; } \\ { C ( r , t ) = - \frac { 4 } { r ^ { 2 } } D _ { 1 1 1 } ( r , t ) + \frac { 4 } { r } \partial _ { r } D _ { 1 1 1 } + \partial _ { r } \partial _ { r } D _ { 1 1 1 } ; } \\ { Z _ { 1 1 1 } = 3 \overline { { \delta u \left[ \left( \frac { \partial u } { \partial x _ { l } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial x _ { l } ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } \right] } } , } \end{array}
\mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { l i m i t e d } } = \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } + \operatorname { m i n m o d } \left( \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \operatorname* { m i n } } - \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } , \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \operatorname* { m a x } } - \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } \right) .
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ M ~ } } ( \{ x _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } , \{ y _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } ) \equiv \ln P _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ M ~ } } ( \mathbf { A } ^ { * } | \{ x _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } , \{ y _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } )
\begin{array} { l l } { { R _ { 0 0 } ( k , l ) } } & { { = - 4 \pi { \frac { 4 } { 3 } } \alpha _ { \mathrm { s } } [ 4 { \frac { p ^ { 2 } l ^ { 2 } - ( p l ) ^ { 2 } } { ( p - l ) ^ { 4 } } } + { \frac { 3 } { 4 } } ] + \nonumber } } \\ { { } } & { { \qquad + \sigma \int d ^ { 3 } \vec { \zeta } e ^ { - i ( \vec { k } - \vec { l } ) \cdot \vec { \zeta } } \vert { \vec { \zeta } } \vert \vert ( k _ { 4 } + l _ { 4 } ) \vert \sqrt { ( k _ { 4 } + l _ { 4 } ) ^ { 2 } + ( \vec { k } _ { \mathrm { T } } + \vec { l } _ { \mathrm { T } } ) ^ { 2 } } } } \end{array} \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { V } _ { k } } & { = - c h ^ { 2 } \langle u _ { k } , A u _ { k } \rangle + h ^ { 2 } \langle v _ { k } , A w _ { k } \rangle + \| u _ { k } - w _ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { = \langle u _ { k } , ( I - c h ^ { 2 } A ) u _ { k } \rangle + \| w _ { k } \| ^ { 2 } - 2 \langle u _ { k } , \left( I - \frac { h ^ { 2 } } { 2 } A \right) w _ { k } \rangle . } \end{array}
E _ { x } ^ { a } ( y , z = h ) = \left\{ \begin{array} { l l } { A ( \theta _ { \mathrm { i n } } ^ { a } ) \frac { e ^ { i \phi _ { \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } ( y , \theta _ { \mathrm { i n } } ^ { a } ) } } { [ f ^ { 2 } + ( y - f \tan { \theta _ { \mathrm { i n } } ^ { a } } ) ^ { 2 } ] ^ { { 1 } / { 4 } } } } & { \mathrm { f o r ~ } | y | < \frac { D _ { \mathrm { o u t } } } { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { 2 \int _ { 0 } ^ { z } ( a + h ) v _ { \mathrm { e } } \, \mathrm { d } z } & { = 2 v _ { \mathrm { e } } ^ { 0 } z \left[ a \left( \beta \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } , \alpha ; \frac { 3 } { 2 } ; \frac { z ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) + ( 1 - \beta ) \right) \right. } \\ & { + \left. h _ { 0 } \left( \beta \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } , \alpha - 2 ; \frac { 3 } { 2 } ; \frac { z ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) + ( 1 - \beta ) \, { \cal P } _ { 1 } \left( \frac { z } { L } \right) \right) \right] , } \end{array}
T = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta p _ { \psi } \Pi _ { \phi } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \psi \left( \frac { 1 + \mathrm { s i g n } ( \hat { t } \cdot \hat { n } _ { \psi } ) } { 2 } \right) \frac { 1 } { 2 \pi } ( \mathbb { I } + \hat { n } _ { \psi } \cdot \vec { \sigma } ) = \frac { 1 } { 2 } ( \mathbb { I } + \frac { 2 } { \pi } \hat { t } \cdot \vec { \sigma } )
\begin{array} { r l } { \left\langle w , \Delta u \right\rangle + \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle w , f \Delta u ^ { \perp } \right\rangle } & { } \\ { \qquad - \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle \nabla \cdot w , g \Delta D \right\rangle } & { = - R _ { u } [ w ] : = - \left\langle w , u ^ { n + 1 } - u ^ { n } \right\rangle , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , \Delta D + \frac { H \Delta t } { 2 } \nabla \cdot \Delta u \right\rangle } & { = - R _ { D } [ \phi ] : = - \left\langle \phi , D ^ { n + 1 } - D ^ { n } \right\rangle , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { u } } & { { } = \left( \{ 1 , 2 , 3 \} , i \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { R } ^ { 3 } } & { i \in \{ 1 , 2 \} } \\ { \mathbb { R } } & { i = 3 } \end{array} \right. \right) , } \\ { P _ { c } } & { { } = \left( \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} , i \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { R } ^ { 3 } } & { i \in \{ 1 , 2 \} } \\ { \mathbb { R } } & { i \in \{ 3 , 4 \} } \end{array} \right. \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \hat { \mu } ( \tau + 1 ) = \mathrm { t a n h } \Big ( \beta h ^ { ( t t ) } \big ( \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } x ( t , \tau ) \big ) \Big ) } \\ { \displaystyle \hat { \lambda } ( \tau + 1 ) = \mathrm { t a n h } \Big ( \beta h ^ { ( t o ) } \big ( \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } x ( t , \tau ) \big ) \Big ) } \\ { \displaystyle \tilde { \lambda } ( \tau + 1 ) = \mathrm { t a n h } \Big ( \beta h ^ { ( o t ) } \big ( \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } x ( t , \tau ) \big ) \Big ) } \\ { \displaystyle \dot { x } ( t , \tau ) = - x ( t , \tau ) + F \left( \hat { \mu } ( \tau ) m ( t , \tau ) + \alpha \gamma _ { 0 } ( \tau ) \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } G ( t , t ^ { \prime } , \tau ) x ( t ^ { \prime } , \tau ) + \eta ( t , \tau ) \right) + \, \xi ( t , \tau ) } \end{array} \right. \,
\Omega _ { \mathrm { b o x } _ { i } } ^ { \mathbf { m } _ { n } } ( \mathbf { q } _ { i } ^ { * } ) = A ^ { \mathbf { m } _ { n } } \rho ^ { \mathbf { m } _ { n } } \mathbb { V } [ V ( \mathbf { q } _ { i } ^ { * } ) ] ,
\begin{array} { r } { { \bf R } _ { 1 } = { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime \prime } \cos \psi + { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime \prime } \sin \psi , \quad { \bf R } _ { 2 } = - { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime \prime } \sin \psi + { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime \prime } \cos \psi , \quad { \bf R } _ { 3 } = { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime \prime } ; } \\ { { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime \prime } = { \bf R } _ { 1 } \cos \psi - { \bf R } _ { 2 } \sin \psi , \quad { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime \prime } = { \bf R } _ { 1 } \sin \psi + { \bf R } _ { 2 } \cos \psi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \rho } _ { \mathrm { X } } \otimes \hat { \rho } _ { \mathrm { Y } } = \sum _ { y y ^ { ' } } \rho _ { y y ^ { ' } } \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes | y \rangle \right) \hat { \rho } _ { \mathrm { X } } \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes \langle y ^ { ' } | \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \left( ( \widetilde { I } ^ { X } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta , \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } & { = T _ { L } ^ { 2 } \left[ 1 - \exp \left( - \frac { ( 1 - \theta ) \Delta t } { T _ { L } } \right) \right] ^ { 2 } \bigg \langle \left( ( I ^ { U } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } \\ & { + 2 T _ { L } \left[ 1 - \exp \left( - \frac { ( 1 - \theta ) \Delta t } { T _ { L } } \right) \right] \bigg \langle \left( ( I ^ { X } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta \Delta t ) ( I ^ { U } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta \Delta t ) \right) \bigg \rangle } \\ & { + \bigg \langle \left( ( I ^ { X } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle + \bigg \langle \left( ( I ^ { X } ) ^ { [ 2 ] } ( ( 1 - \theta ) \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle ~ , } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { \lambda } } { d t ^ { 2 } } } = - \Gamma _ { \nu \alpha } ^ { \lambda } { \frac { d x ^ { \nu } } { d t } } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d t } } + \Gamma _ { \nu \alpha } ^ { 0 } { \frac { d x ^ { \nu } } { d t } } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d t } } { \frac { d x ^ { \lambda } } { d t } }
\operatorname* { i n f } _ { \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } } \{ \frac { 1 } { 2 } \| \rho \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } \| ^ { 2 } - \langle u , \rho \rangle - \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } \rangle \}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u _ { k l } \right) } & { { } \ge } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, , } & { \sqrt { \frac { 2 \epsilon _ { 1 } ^ { k l } } { m _ { k l } } } \le u _ { k l } \le \sqrt { \frac { 2 \epsilon _ { 2 } ^ { k l } } { m _ { k l } } } } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { i n t } } = g _ { t } \bar { \psi } _ { L } t _ { R } \bar { t } _ { R } \psi _ { L } + g _ { b } \bar { \psi } _ { L } b _ { R } \bar { b } _ { R } \psi _ { L } + g _ { t b } \left( \bar { \psi } _ { L } b _ { R } \bar { t } _ { R } ^ { c } \tilde { \psi } _ { L } + \overline { { { \tilde { \psi } _ { L } } } } t _ { R } ^ { c } \bar { b } _ { R } \psi _ { L } \right) ,
\frac { d \hat { \sigma } _ { i , j } } { d ^ { 2 } p _ { T } d y } = \frac { \alpha _ { s } ^ { 2 } } { \hat { s } } h _ { i , j } ^ { ( 0 ) } + \frac { \alpha _ { s } ^ { 3 } } { 2 \pi \hat { s } ^ { 2 } } h _ { i , j } ^ { ( 1 ) } .
\begin{array} { r } { \phi \frac { \partial \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } = \nabla \cdot \left[ \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } \nabla \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } - \mathrm { ~ P ~ e ~ } \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } \langle \mathbf v \rangle _ { \mathcal { I B } } \right] + \phi \omega ^ { - \gamma } \mathcal { K } ^ { \star } \mathrm { ~ D ~ a ~ } ( 1 - \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } ^ { a } ) , } \\ { ( \mathbf x , t ) \in \Omega \times ( 0 , T ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { d \omega ^ { p _ { j } } _ { p _ { k } } + \sum _ { i = 2 } ^ { N } \omega ^ { p _ { j } } _ { \psi _ { i } } \wedge \omega ^ { \psi _ { i } } _ { p _ { k } } + \sum _ { i = 2 } ^ { N } \omega ^ { p _ { j } } _ { p _ { i } } \wedge \omega ^ { p _ { i } } _ { p _ { k } } = 0 \, , } & & { j < k = 2 , \hdots , N \, , } \\ & { d \omega ^ { \psi _ { j } } _ { \psi _ { k } } + \sum _ { i = 2 } ^ { N } \omega ^ { \psi _ { j } } _ { \psi _ { i } } \wedge \omega ^ { \psi _ { i } } _ { \psi _ { k } } + \sum _ { i = 2 } ^ { N } \omega ^ { \psi _ { j } } _ { p _ { i } } \wedge \omega ^ { p _ { i } } _ { \psi _ { k } } = 0 \, , } & & { j < k = 2 , \hdots , N \, , } \\ & { d \omega ^ { \psi _ { k } } _ { p _ { j } } + \sum _ { i = 2 } ^ { N } \omega ^ { \psi _ { k } } _ { \psi _ { i } } \wedge \omega ^ { \psi _ { i } } _ { p _ { j } } + \sum _ { i = 2 } ^ { N } \omega ^ { \psi _ { k } } _ { p _ { i } } \wedge \omega ^ { p _ { i } } _ { p _ { j } } = 0 \, , } & & { j \neq k \, , } \\ & { d \omega ^ { \psi _ { j } } _ { p _ { j } } + \sum _ { i = 2 } ^ { N } \omega ^ { \psi _ { j } } _ { \psi _ { i } } \wedge \omega ^ { \psi _ { i } } _ { p _ { j } } + \sum _ { i = 2 } ^ { N } \omega ^ { \psi _ { j } } _ { p _ { i } } \wedge \omega ^ { p _ { i } } _ { p _ { j } } = - \frac { 1 } { \mathsf { A } } \, d p _ { j } \wedge \, d \psi _ { j } \, , } & & { j = 2 , \hdots , N \, . } \end{array}
F ^ { \prime \prime } + \frac { 2 } { r } F ^ { \prime } - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } F = 6 f _ { \pi } ^ { - 1 } g _ { \pi } ^ { \mathrm { b a r e } } ( \Lambda ) \frac { \partial } { \partial r } \delta _ { \Lambda } ( r )
\begin{array} { r l } { \frac { 4 } { 3 } \delta _ { i j } + 2 D _ { i j k } \hat { \lambda } _ { k } + 2 i C _ { i j k } \hat { \lambda } _ { k } } & { { } = 2 \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \tilde { \mathcal { E } } _ { p , q } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert } & { { } \leq 2 \pi \left\| \mathcal { F } ( I ) \right\| _ { L ^ { 1 } ( \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } ) } \left\| ( \tilde { \eta } _ { j , k , p , q } - \tilde { \eta } _ { 0 , 0 , 0 , 0 } ) + ( \zeta _ { p , q } - \zeta _ { 0 , 0 } ) \right\| _ { L ^ { \infty } ( \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { n _ { 4 } ^ { \mathrm { o s c } } ( q _ { B } ) = \frac { | C ^ { ( A ) } | ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { D + 2 } } \frac { 2 ^ { 2 + D } \pi ^ { D / 2 - 1 / 2 } } { \Gamma [ D / 2 - 1 / 2 ] } | \mathfrak { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } | ^ { 2 } \mu _ { A } ^ { D - 1 } } \\ & { } & { \times \left[ \operatorname { R e } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } + \operatorname { I m } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \times \int _ { 0 } ^ { \infty } d p _ { B } ^ { \prime } \frac { p _ { B } ^ { \prime D - 1 } } { \left[ p _ { B } ^ { \prime 2 } + ( \mathcal { A } + 2 ) / 4 \mathcal { A } \right] ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \sin ^ { D - 2 } \theta } \\ & { } & { \times \mathcal { W } ^ { 1 / 2 - D / 2 } \cos \left[ s _ { 0 } \log \left( \frac { q _ { B } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { A } \kappa _ { 0 } ^ { * 2 } } \, \mathcal { W } ^ { 1 / 2 } \right) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } } \left( Q - q \right) A ( q ) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { { } = - 4 G _ { r } ^ { \infty } ( r , z = 0 ) \, , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 2 q } { \alpha ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { q } { Q } \right) B ( q ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { { } = - 4 G _ { z } ^ { \infty } ( r , z = 0 ) \, , } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } \rho } { \mathrm { ~ d ~ } t } = - i \left[ H , \rho \right] + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \gamma _ { k } \left( L _ { k } \rho L _ { k } ^ { \dag } - \frac { 1 } { 2 } \left\{ L _ { k } ^ { \dag } L _ { k } , \rho \right\} \right) ,
\Omega = { \frac { 2 C _ { F } C _ { A } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } ( 2 { \cal A } _ { C } ) ^ { 4 - D } e ^ { \frac { - i \pi D } { 2 } } \cos \left( { \frac { \pi D } { 2 } } \right) { \frac { \Gamma ( D - 4 ) } { ( D - 4 ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { e _ { \mathrm { e n v } } ( \theta _ { \mathrm { C } } , \theta _ { \mathrm { T } } ) } & { = e _ { \mathrm { d i p } } ( R _ { * } , \infty ) - e _ { \mathrm { d i p } } ( R _ { * } , r _ { \mathrm { e q } } ^ { \theta _ { \mathrm { C } } - \theta _ { \mathrm { T } } } ) , } \\ { e _ { \mathrm { f b } } ( \theta _ { \mathrm { C } } , \theta _ { \mathrm { T } } ) } & { = e _ { \mathrm { d i p } } ( R _ { * } , r _ { \mathrm { e q } } ^ { \theta _ { \mathrm { C } } - \theta _ { \mathrm { T } } } ) - e _ { \mathrm { d i p } } ( R _ { * } , r _ { \mathrm { e q } } ^ { \theta _ { \mathrm { C } } + \theta _ { \mathrm { T } } } ) . } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 0 0 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 0 1 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 0 2 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 0 3 ) } } \\ { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 1 0 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 1 1 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 1 2 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 1 3 ) } } \\ { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 2 0 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 2 1 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 2 2 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 2 3 ) } } \\ { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 3 0 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 3 1 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 3 2 ) } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 3 3 ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f ^ { ( 0 ) } } \\ { f ^ { ( 1 ) } } \\ { f ^ { ( 2 ) } } \\ { f ^ { ( 3 ) } } \end{array} \right] \right) = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 2 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 3 ) } } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 2 1 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 2 2 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 2 3 ) } } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 3 1 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 3 2 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 3 3 ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f ^ { ( 0 ) } } \\ { f ^ { ( 1 ) } } \\ { f ^ { ( 2 ) } } \\ { f ^ { ( 3 ) } } \end{array} \right] ,
d h = \sum _ { n = 0 } ^ { \left[ \frac { p + 2 } { 2 } \right] } \frac { 1 } { n ! } d h ^ { ( p + 2 - 2 n ) } { \cal F } ^ { n } + \sum _ { n = 1 } ^ { \left[ \frac { p + 2 } { 2 } \right] } \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } ( - 1 ) ^ { p } h ^ { ( p + 2 - 2 n ) } ( C \Gamma _ { \mu } \Gamma _ { 1 1 } ) _ { \alpha \beta } \Pi ^ { \mu } \Pi ^ { \alpha } \Pi ^ { \beta } { \cal F } ^ { n - 1 } \quad ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { \sigma } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l } P _ { \mu \nu } ^ { \sigma ( l ) } \left[ \chi _ { \mu } ^ { \prime } ( r ) \chi _ { \nu } ^ { \prime } ( r ) + l ( l + 1 ) \frac { \chi _ { \mu } ( r ) \chi _ { \nu } ( r ) } { r ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ( t + 1 ) = } & { { } C _ { 1 } \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } ( ( \zeta ( t ) - \kappa ) ^ { 2 } - \frac { C _ { 0 } } { C _ { 1 } } - \varepsilon _ { N } ) } \\ { = } & { { } C _ { 1 } \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } \zeta ( t ) ( \zeta ( t ) - 2 \kappa ) } \\ { = } & { { } - 2 \kappa C _ { 1 } \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } \zeta ( t ) ( 1 - \frac { \zeta ( t ) } { 2 \kappa } ) } \end{array}
\sum _ { n } \frac { 1 } { \omega _ { n } } \partial _ { 3 } \phi _ { n } \partial _ { 1 } \phi _ { n } ^ { * } = \sum _ { n } \frac { 1 } { \omega _ { n } } \partial _ { 3 } \phi _ { n } \partial _ { 2 } \phi _ { n } ^ { * } = 0 .