harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } = \frac { \beta _ { B } ^ { 2 } \, P _ { s } } { 2 \ln ( 2 ) \, N _ { o } } } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { k _ { A } + m _ { A } + 1 } \, \mathrm { G } _ { 2 , 2 } ^ { 1 , 2 } \left( \frac { \beta _ { B } ^ { 2 } \, P _ { s } } { N _ { o } } \, x ^ { 2 } \left| \begin{array} { c } { 0 , 0 } \\ { 0 , - 1 } \end{array} \right. \right) } \\ & { \times \mathrm { G } _ { 0 , 2 } ^ { 2 , 0 } \left( { \Xi ^ { 2 } \, x ^ { 2 } } \left| \begin{array} { c } { \frac { k _ { A } - m _ { A } } { 2 } , - \frac { k _ { A } - m _ { A } } { 2 } } \end{array} \right. \right) \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { K } - f _ { p e t r o } ( 1 / \ln { \boldsymbol \rho } ) \right) ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathbf { R } _ { p e t r o } ^ { - 1 } \left( \mathbf { K } - f _ { p e t r o } ( 1 / \ln { \boldsymbol \rho } ) \right)
E _ { \gamma _ { + } } ^ { \prime \prime } = \frac { E _ { \gamma _ { + } } \left( 1 + \frac { \delta v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \quad , \quad E _ { \gamma _ { - } } ^ { \prime \prime } = \frac { E _ { \gamma _ { - } } \left( 1 - \frac { \delta v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \eqno ( 3 6 )
f _ { \epsilon } ( s ) \leq 8 \mu _ { 1 } e ^ { 2 \mu _ { 1 } \Gamma ( s , t ) } \int _ { s } ^ { t } g ( r ) \left[ \| \mathcal { W } ( t ; r , \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } } + \nu ^ { \frac { \beta - 1 } { 2 } } ( t - r ) ^ { \frac { \beta - 1 } { 2 } } \right] d r .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { t \to + \infty } \sqrt { \varepsilon ( t ) } \exp \left( ( \alpha - \gamma ) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \sqrt { \varepsilon ( s ) } d s \right) \ = \ + \infty , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { t \to + \infty } \frac { \dot { \varepsilon } ( t ) } { \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } \ = \ 0 , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { t \to + \infty } \dot { \lambda } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \ = \ 0 \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { t \to + \infty } \frac { \dot { \lambda } ( t ) } { \lambda ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } \ = \ 0 . } \end{array}
{ \cal M } _ { \tilde { f } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { M _ { L L } ^ { 2 } } } & { { M _ { L R } ^ { 2 } } } \\ { { M _ { L R } ^ { 2 } } } & { { M _ { R R } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { { \cal A } _ { 1 } ( \omega _ { 1 } , q ) } & { = } & { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \left[ - \frac { f _ { e l } ^ { B _ { 1 } } } { 4 } + \frac { \omega _ { 1 } } { q ^ { 3 } } { \cal J } _ { 1 0 1 } ( \omega _ { 1 } , q ) + \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { q ^ { 4 } } { \cal Q } ( \omega _ { 1 } , \mathbf { q } ) \right] , } \\ { { \cal A } _ { 2 } ( \omega _ { 2 } , q ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \left[ - \frac { f _ { e l } ^ { B _ { 1 } } } { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } } { q ^ { 3 } } { \cal J } _ { 1 0 1 } ( \omega _ { 2 } , q ) \right] . } \end{array}
\tau \left[ \partial _ { t } q + v \cdot \nabla q - \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla v - \nabla v ^ { \top } \right) q + \frac { \lambda } { 2 } \left( \nabla v + \nabla v ^ { \top } \right) q + \nu ( \nabla \cdot v ) q \right] + q = - \kappa \nabla \theta ,
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { - i \int d ^ { 3 } \mathbf { r } \, { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) , } \\ { { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \sqrt { \frac { 2 \pi } { | \mathbf { E } ( t _ { 0 } ) | } } \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( t _ { 0 } ) } { r } } \\ & { \times } & { \exp \left[ - i \left( \mathbf { p } _ { m a x } + \mathbf { A } ( t _ { 0 } ) \right) \cdot \mathbf { r } - \frac { \left( \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( t _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } } { 2 \kappa | \mathbf { E } ( t _ { 0 } ) | } - \kappa r \right. } \\ & { - } & { i \left. \int _ { \tilde { t } _ { 0 } } d s \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { p } + \mathbf { A } ( s ) \right) ^ { 2 } + i \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } \tilde { t } _ { 0 } \right] , } \end{array}
H _ { \mathrm { i n t } } = \sum _ { m , n } \sum _ { i , j , i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } V _ { i j i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { m n } e ^ { i \Delta _ { i j } ^ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } t } \hat { c } _ { i , m } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , m } \hat { c } _ { j ^ { \prime } , n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { i ^ { \prime } , n } + \mathrm { h . c . } \ ,
\begin{array} { r l r } { { \bf E } } & { { } = } & { - \, \epsilon _ { \delta } \left( \nabla \delta \Phi \; + \; \widehat { \sf z } \; c ^ { - 1 } \partial \delta A _ { \| } / \partial t \right) , } \\ { { \bf B } } & { { } = } & { B _ { 0 } \, \widehat { \sf z } \; + \; \epsilon _ { \delta } \, \nabla \delta A _ { \| } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, \widehat { \sf z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid S \right) } & { \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } \right] p \left( O _ { i } ^ { t } \mid S \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | I ) } & { r _ { i } ^ { t } e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | I ) } \\ { \sigma _ { i } ^ { t } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | R ) } & { 0 } & { \left( 1 - \sigma _ { i } ^ { t } \right) p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | R ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \mu _ { 1 2 } \frac { u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j + 1 } ^ { ( 1 ) } - u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j } } { \Delta \phi _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } } \Bigr | _ { \phi = \pi } - \frac { u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j } - u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j - 1 } ^ { ( 2 ) } } { \Delta \phi _ { i + 1 / 2 , j - 1 / 2 } } \Bigr | _ { \phi = \pi } } \\ & { + ( \mu _ { 1 2 } - 1 ) \frac { u _ { \phi \_ i + 1 , j } - u _ { \phi \_ i , j } } { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } } \Bigr | _ { \phi = \pi } } \\ & { - i \alpha \frac { U _ { z \_ i + 1 , j } - U _ { z \_ i , j } } { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } } \frac { \Delta \xi _ { i + 1 \_ i + 1 / 2 , j } \Delta \eta _ { i } + \Delta \xi _ { i + 1 / 2 \_ i , j } \Delta \eta _ { i + 1 } } { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } } \Bigr | _ { \phi = \pi } } \\ & { + 2 ( \mu _ { 1 2 } - 1 ) \frac { \sinh \xi _ { i + 1 / 2 } } { \sin \phi _ { 0 } } \frac { u _ { \phi \_ i , j } \Delta \xi _ { i + 1 \_ i + 1 / 2 , j } + u _ { \phi \_ i + 1 , j } \Delta \xi _ { i + 1 / 2 \_ i , j } } { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } } \Bigr | _ { \phi = \pi } = 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 1 } } & { { } = } & { a _ { 0 } \exp ( - \zeta ^ { 2 } ) } \\ { \left\langle a _ { 2 } ( \zeta ) a _ { 2 } ( \zeta ^ { \prime } ) \right\rangle } & { { } = } & { v \delta \left( \zeta - \zeta ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\hat { y } _ { i } ^ { s } = b _ { i } ^ { s } e ^ { - \hat { l } _ { i } ^ { s } } , \ \hat { l } _ { i } ^ { s } = P _ { i } ^ { s } ( A _ { i } ; c _ { i s } ) , \ A _ { i } = { ( A _ { i } ^ { 0 } , . . . , A _ { i } ^ { n } ) } ^ { T } ,
\beta = - \frac { Q } { 2 } + \sqrt { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 } - 2 + 2 h } , \, \, \, \, \, d = 1 - \frac { \frac { Q } { 2 } - \sqrt { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 } - 2 + 2 h } } { \frac { Q } { 2 } - \sqrt { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 } - 2 } } ,
\begin{array} { r l } { c } & { \ge \int _ { X _ { i } ( n ) } ^ { n + X _ { i } ( 0 ) } \frac { 1 } { F ( s ) } d s = \int _ { \chi _ { i } ( n ) } ^ { 1 + X _ { i } ( 0 ) / n } \frac { 1 } { s L ( n s ) } d s \ge \frac { 1 } { L ( n ) } \int _ { \chi _ { i } ( n ) } ^ { 1 + X _ { i } ( 0 ) / n } \frac { 1 } { s } d s } \\ & { = \frac { \log ( 1 + X _ { i } ( 0 ) / n ) } { L ( n ) } - \frac { \log ( \chi _ { i } ( n ) ) } { L ( n ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \sigma } { d \nu } = \frac { 8 } { 3 } \frac { r _ { e } } { c } \frac { 1 } { h \nu } } & { } & { \left( \frac { \varepsilon - h \nu } { \varepsilon } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { \times [ ( \varepsilon - h \nu ) \sigma _ { e l } ( \varepsilon ) + \varepsilon \sigma _ { e l } ( \varepsilon - h \nu ) ] \; , } \end{array}
\mathrm { ~ ( ~ i ~ ) ~ } \quad \tau _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) = 0 , \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad \mathrm { ~ ( ~ i ~ i ~ ) ~ } \quad \frac { \mathrm { d } \tau _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } \Big | _ { x = \ell } = 0 ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { z _ { i } ^ { 0 } } \\ { z _ { i } ^ { 1 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { j } \\ { j } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - j \frac { \pi } { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x _ { i } } \\ { y _ { i } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { x _ { i } + y _ { i } } \\ { j ( x _ { i } - y _ { i } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\left| S ( x ) - S _ { n } ( x ) \right| = \left| \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } S _ { m } ( x ) - S _ { n } ( x ) \right| = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \left| S _ { m } ( x ) - S _ { n } ( x ) \right| \leq \varepsilon .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } } & { { } = } & { \partial _ { j } ^ { + } \overline { { u _ { j } ^ { + } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } + \partial _ { j } ^ { - } \overline { { u _ { j } ^ { - } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { f _ { t a m , \gamma } ( x ) } & { = f ( x ) \quad } & { \mathrm { i f ~ } } & { \quad | f ( x ) | \leq \sqrt { \gamma } } \\ { f _ { t a m , \gamma } ( x ) } & { = \frac { 2 f ( x ) } { 1 + \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } | f ( x ) | } \quad } & { \mathrm { i f ~ } } & { \quad | f ( x ) | > \sqrt { \gamma } . } \end{array}
\alpha _ { \{ n _ { 1 } , n _ { 2 } , \cdots , n _ { N } \} } = x ^ { n _ { 1 } + n _ { 2 } + \cdots + n _ { N } } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { ( N - i ) ! } { ( N + n _ { i } - i ) ! } \right] d _ { \{ n _ { 1 } , n _ { 2 } , \cdots , n _ { N } \} } ,
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { n } ( \theta + h _ { n } , \theta ) ( z ) } & { = \log \frac { d R _ { n , \theta + h _ { n } } } { d R _ { n , \theta } } ( z ) = \log \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \int _ { \mathcal X } q _ { i } ( z _ { i } | x _ { i } , z _ { 1 : i - 1 } ) p _ { \theta + h _ { n } } ( x _ { i } ) \mu ( d x _ { i } ) } { \int _ { \mathcal X } q _ { i } ( z _ { i } | x _ { i } , z _ { 1 : i - 1 } ) p _ { \theta } ( x _ { i } ) \mu ( d x _ { i } ) } } \\ & { = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log \left( 1 + \eta _ { i , \theta , h _ { n } } ( z _ { 1 : i } ) \right) } \\ & { = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \eta _ { i , \theta , h _ { n } } ( z _ { 1 : i } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \eta _ { i , \theta , h _ { n } } ( z _ { 1 : i } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 2 } { 3 [ 1 + \xi _ { i , \theta , h _ { n } } ( z _ { 1 : i } ) ] ^ { 3 } } \eta _ { i , \theta , h _ { n } } ( z _ { 1 : i } ) ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { E = \frac 1 2 \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \dot { \bf x } _ { N } ^ { 2 } = \frac 1 2 g _ { i j } \dot { \bf R } _ { i } \dot { \bf R } _ { j } = \frac 1 2 ( { \boldsymbol \omega } , { \bf m } ) = \frac 1 2 ( R I R ^ { T } ) _ { i j } \omega _ { i } \omega _ { j } = \frac 1 2 I _ { i j } \Omega _ { i } \Omega _ { j } = \frac 1 2 ( R I ^ { - 1 } R ^ { T } ) _ { i j } m _ { i } m _ { j } = \frac 1 2 I _ { i j } ^ { - 1 } M _ { i } M _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { \boldsymbol { u } } ^ { B } - \boldsymbol { u } ^ { B } \| ] \ge } & { \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } + \sum _ { i = N + 1 } ^ { N _ { t } } \right) \left| \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \lambda _ { m } ^ { j } \right| ^ { 2 } \delta u _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } & \\ { \ge } & { \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \sum _ { i = N + 1 } ^ { N _ { t } } ( 1 - \delta ) \frac { C _ { \lambda _ { m } } ^ { 2 i } } { | 1 - \lambda _ { m } | ^ { 2 } } \delta u _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { L e m m a ~ } ) } } \\ { \ge } & { \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } , } & { \quad { \scriptstyle ( N _ { t } - N \ge \frac { N _ { t } } { N + 1 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon \dot { x } _ { i } } & { = x _ { i } - \frac { x _ { i } ^ { 3 } } { 3 } - y _ { i } + \frac { \sigma } { 2 P } \sum _ { j = i - P } ^ { i + P } [ b _ { x x } ( x _ { j } - x _ { i } ) } \\ & { \quad + b _ { x y } ( y _ { j } - y _ { i } ) ] + \delta _ { 1 } \sqrt { \epsilon } \xi _ { i } ( t ) , } \\ { \dot { y } _ { i } } & { = x _ { i } + a _ { i } + \frac { \sigma } { 2 P } \sum _ { j = i - P } ^ { i + P } [ b _ { y x } ( x _ { j } - x _ { i } ) } \\ & { \quad + b _ { y y } ( y _ { j } - y _ { i } ) ] + \delta _ { 2 } \xi _ { i } ( t ) . } \end{array}
\sin ^ { 2 } { \theta _ { o d d } } = | \langle \tilde { \nu } _ { \tau } ^ { o d d } | \varphi _ { u } ^ { 0 } \rangle | ^ { 2 } + | \langle \tilde { \nu } _ { \tau } ^ { o d d } | \varphi _ { d } ^ { 0 } \rangle | ^ { 2 } \; .
\sigma _ { \varepsilon } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) = \theta _ { + } ( x _ { 1 } , t ) \phi ( x _ { 2 } / \varepsilon ) + \theta _ { - } ( x _ { 1 } , t ) \phi ( - x _ { 2 } / \varepsilon ) + \theta ( t ) \phi ( | x | / \varepsilon ) 1 _ { \{ x _ { 1 } < 0 \} }
2 N ^ { 2 } { \frac { g ^ { 2 } ( M ) } { M } } \int _ { 0 } ^ { M } { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { k ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } = { \frac { N ^ { 2 } g ^ { 2 } ( M ) } { \pi ^ { 2 } } } \left( 1 - { \frac { \sigma } { M } } \arctan { \frac { M } { \sigma } } \right) = N
- 1 + \frac { ( 1 - x ) ^ { 2 } ( \sqrt { z _ { 1 } } + x \overline { { \lambda } } ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } \sqrt { z } - \sqrt { z _ { 1 } } ) ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } \sqrt { z z _ { 1 } } } > \cos \varphi > - 1 \ , \quad x ^ { 2 } z _ { + } < z _ { 1 } < x ^ { 2 } J _ { + } ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r } { L ( \theta ) = \mathbb { E } _ { p ( x ) } \left[ \frac { 1 } { \beta } \mathrm { T r } [ \nabla _ { x } F ( x ; \theta ) ] + \frac { 1 } { 2 } | | F ( x ; \theta ) | | ^ { 2 } \right] , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { + } & { - } \\ { + } & { - } \end{array} \right) } , \quad { \left( \begin{array} { l l } { + } & { + } \\ { - } & { - } \end{array} \right) } , \quad { \left( \begin{array} { l l } { - } & { + } \\ { - } & { + } \end{array} \right) } , \quad { \left( \begin{array} { l l } { - } & { - } \\ { + } & { + } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r } { L _ { i j } = - 2 C _ { \mathrm { k } } \hat { \Delta } K _ { \mathrm { t e s t } } ^ { 1 / 2 } \hat { \tilde { S } } _ { i j } + \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i j } L _ { k k } , } \end{array}
z _ { i _ { 0 } , j _ { 0 } } ^ { \operatorname* { m i n } } \le Z ( u , v ) \le z _ { i _ { 0 } , j _ { 0 } } ^ { \operatorname* { m a x } } , \quad ( u , v ) \in \left[ u _ { i _ { 0 } } , u _ { i _ { 0 } + 1 } \right) \times \left[ v _ { j _ { 0 } } , v _ { j _ { 0 } + 1 } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathsf { P } [ \Delta ( t ) > x ] \le } & { 1 - [ 1 - \overline { { \varepsilon } } _ { A } ] _ { + } \ast [ 1 - \varepsilon _ { S } ] _ { + } ( \rho _ { S } x - l _ { \operatorname* { m a x } } ) } \\ { + } & { 1 - [ 1 - \underline { { \varepsilon } } _ { A } ] _ { + } \ast [ 1 - \varepsilon _ { T } ] _ { + } ( x - l _ { \operatorname* { m a x } } / \rho _ { S } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { F } ( u ( t , x ) , \ \Sigma ) } & { = 0 , \qquad ( t , x ) \in \Omega } \\ { \mathcal { H } ( u ( t , x ) , \ \Sigma ) } & { = 0 , \qquad ( t , x ) \in \Omega } \\ { \mathcal { B } ( u ( t , x ) , \ \Sigma ) } & { = 0 , \qquad ( t , x ) \in \Omega ^ { \partial } : = \partial \tilde { \Omega } \times \mathcal { T } } \\ { \mathcal { I } ( u ( t , x ) , \ \Sigma ) } & { = 0 , \qquad ( t , x ) \in \Omega ^ { I } : = \tilde { \Omega } \times \mathcal { T } _ { 0 } } \end{array} \right.
E _ { 0 } = \frac { - 1 } { 2 \delta _ { s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } s _ { 4 } s _ { 5 } } ^ { s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } s _ { 4 } s _ { 5 } } } \Bigg \{ \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \delta { } _ { p _ { 1 } } ^ { s _ { i } } { } _ { p _ { 2 } } ^ { s _ { i + 1 } } { } _ { p _ { 3 } } ^ { s _ { i + 2 } } { } _ { p _ { 4 } } ^ { s _ { i + 3 } } \; D _ { 0 } ( i , i + 1 , i + 2 , i + 3 ) \Biggr \} ,
B ( \rho , z ) = { \frac { \mu _ { 0 } m } { 4 \pi \left( z ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } { \sqrt { 1 + { \frac { 3 z ^ { 2 } } { z ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } & { F _ { 1 } = \frac { 1 } { C _ { m } } ( - g _ { L } ( V _ { m } - E _ { L } ) - g _ { K } n ^ { 4 } ( V _ { m } - E _ { K } ) - g _ { N a } m ^ { 3 } h ( V _ { m } - E _ { N a } ) + I ( t ) ) , } \\ & { F _ { 2 } = \alpha _ { n } ( V _ { m } ( t ) ) ( 1 - n ( t ) ) - \beta _ { n } ( V _ { m } ( t ) ) n , } \\ & { F _ { 3 } = \alpha _ { m } ( V _ { m } ( t ) ) ( 1 - m ( t ) ) - \beta _ { m } ( V _ { m } ( t ) ) m , } \\ & { F _ { 4 } = \alpha _ { h } ( V _ { m } ( t ) ) ( 1 - h ( t ) ) - \beta _ { h } ( V _ { m } ( t ) ) h , } \end{array}
\tilde { \sigma } _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 c _ { 2 } } \operatorname* { l i m } _ { I _ { a } \to c _ { 2 } } \sqrt { \sigma _ { p _ { a _ { i } } p _ { a _ { i } } } ^ { \textrm { c l } } \sigma _ { q _ { a _ { i } } q _ { a _ { i } } } ^ { \textrm { c l } } - \left( \sigma _ { q _ { a _ { i } } p _ { a _ { i } } } ^ { \textrm { c l } } \right) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { { \mathcal { P } } _ { \tau , \theta } ( z ) } & { : = \frac { 2 e ^ { i ( \theta + \pi ) } } { \pi ^ { 2 } } \left( \log \left( \frac { 1 + e ^ { i \tau } \sqrt { z } } { 1 - e ^ { i \tau } \sqrt { z } } \right) \right) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 8 e ^ { i ( \theta + \pi ) } } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { e ^ { 2 i \tau n } } { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { 2 k + 1 } \right) z ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { 0 } ( \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( \tilde { \psi } ( Y _ { i } ) - \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } ( Y _ { i } ) + F _ { 0 } ( \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } ) \Big ) \right) ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } E _ { 0 } ( \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( \tilde { \psi } ( Y _ { i } ) - \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } ( Y _ { i } ) + F _ { 0 } ( \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } \Big ) \right) ^ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { n } E _ { 0 } ( \Big ( \tilde { \psi } ( Y _ { 1 } ) - \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } ( Y _ { 1 } ) + F _ { 0 } ( \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } \Big ) ^ { 2 } ) \leq \frac { 1 } { n } E _ { 0 } ( \Big ( \tilde { \psi } ( Y _ { 1 } ) - \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } ( Y _ { 1 } ) \Big ) ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { n } \int \left( \tilde { \psi } - \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } \right) ^ { 2 } f _ { 0 } } \\ & { \leq \frac { \| f _ { 0 } \| _ { \infty } } { n } \int \left( \tilde { \psi } - \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } \right) ^ { 2 } = \frac { \| f _ { 0 } \| _ { \infty } } { n } o ( 1 ) = o ( \frac { 1 } { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Pi ^ { \lessgtr } ( { \bf q } , \omega ; { \bf R } , t ) } & { { } = } & { 2 \pi i \int \frac { d { \bf k } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } f ^ { \lessgtr } ( { \bf k } + { \bf q } , t ) f ^ { \gtrless } ( k , t ) } \end{array}
A _ { i } = \frac { 1 } { \frac { \alpha ^ { 2 } } { ( \gamma + \alpha ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \eta } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \eta _ { i } } \right) } \times \frac { P _ { 2 } ( s _ { i } ) } { P _ { 1 } ^ { \prime } ( s _ { i } ) } = \frac { ( s _ { i } - q _ { 1 } ) \ldots ( s _ { i } - q _ { n } ) } { \prod _ { j \ne i } ^ { n + 1 } ( s _ { i } - s _ { j } ) } > 0
E _ { \lambda } ^ { \ast } [ v _ { \lambda } ] = \operatorname* { i n f } _ { n \in \chi } \left[ F _ { \lambda } \ensuremath { [ n ] } + \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, n ( \mathbf { r } ) v _ { \lambda } ( \mathbf { r } ) \right]
\rho \left[ \frac { \partial \mathbf { v } _ { f } } { \partial t } + \left[ ( \mathbf { v } _ { f } - \mathbf { v } _ { c } ) \cdot \nabla \right] \mathbf { v } _ { f } \right] = - \nabla p + \mu \Delta \mathbf { v } _ { f } + \rho \mathbf { b }
\frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } V ( x _ { 2 } ) \; = \; \phi _ { 0 } ( x _ { 2 } ) \phi _ { 0 } ^ { \dagger } ( x _ { 2 } ) \int \frac { d ^ { 2 } k } { 2 \pi } \frac { - i \; k _ { 0 } + i e \; V _ { 0 , 0 } } { ( - i \; k _ { 0 } + i e \gamma _ { 0 } V _ { 0 , 0 } ) ^ { 2 } } \; .
\Biggl [ i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \hat { U } ( t , \lambda ) + [ \hat { U } ( t , \lambda ) , \hat { H } _ { \mathrm { G } } ( t ) ] - \lambda \hat { H } _ { \mathrm { P } } ( t ) \Biggr ] \prod _ { \alpha } \vert \{ { \cal N } \} , t \rangle _ { \mathrm { G } } = 0 .
\begin{array} { r l } { m ( x , t , k ) = } & { \; \bigg ( \frac { B ( x , t ) } { k } + I \bigg ) \bigg \{ \frac { \alpha ( x , t ) } { k } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { i } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { \beta ( x , t ) } & { - i ( \gamma ( x , t ) + \delta ( x , t ) ) } \\ { i \beta ( x , t ) } & { \gamma ( x , t ) - \delta ( x , t ) } \end{array} \right) + O ( k ) \bigg \} } \\ { = } & { \; \frac { 1 } { k } \bigg \{ \alpha ( x , t ) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { i } \end{array} \right) + B ( x , t ) \delta ( x , t ) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \bigg \} + O ( 1 ) = O ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathrm { R e } } ( x ( x - \alpha ) ^ { 2 } ) } & { = ( \cos t ) ( ( \cos t - \alpha ) ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } t ) - 2 ( \cos t - \alpha ) \sin ^ { 2 } t , } \\ { \mathop { \mathrm { I m } } ( x ( x - \alpha ) ^ { 2 } ) } & { = ( \sin t ) ( 2 \cos t - ( \alpha - 1 ) ) ( 2 \cos t - ( \alpha + 1 ) ) , } \\ { | x ( x - \alpha ) ^ { 2 } | } & { = | x - \alpha | ^ { 2 } = \alpha ^ { 2 } - 2 \alpha \cos t + 1 . } \end{array}
\begin{array} { l l } { - H _ { \ell } \equiv h _ { \ell } = \tilde { h } _ { \ell } } & { - H _ { r } \equiv h _ { r } + \frac { \partial \gamma _ { 1 } } { \gamma _ { 1 } } = \tilde { h } _ { r } + \frac { \partial \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 2 } } } \\ { E _ { \ell } \equiv e _ { \ell } = \tilde { e } _ { \ell } + \frac { 1 } { 2 } \partial \left( \frac { \tilde { \gamma } _ { 1 } } { \tilde { \gamma } _ { 2 } } \right) } & { E _ { r } \equiv e _ { r } = \tilde { e } _ { r } } \\ { F _ { \ell } \equiv f _ { \ell } + \frac { 1 } { 2 } \partial \left( \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } } \right) = \tilde { f } _ { \ell } { \quad \quad } } & { F _ { r } \equiv f _ { r } + \frac { 1 } { 2 } \partial \left( \frac { \gamma _ { 3 } } { \gamma _ { 1 } } \right) + \frac { \partial \gamma _ { 3 } } { \gamma _ { 1 } } } \\ & { = \tilde { f } _ { r } + \frac { 1 } { 2 } \partial \left( \frac { \tilde { \gamma } _ { 3 } } { \tilde { \gamma } _ { 2 } } \right) + \frac { \partial \tilde { \gamma } _ { 3 } } { \tilde { \gamma } _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( \phi , \varphi ) | ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } ^ { 2 } \, | \bigl ( \phi , f _ { n } \bigr ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { M } \sum _ { m \neq n } \alpha _ { n } \alpha _ { m } \bigl ( \phi , f _ { n } \bigr ) \bigl ( f _ { m } , \phi \bigr ) . } \end{array}