harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l } { a _ { \beta } } & { b _ { \beta } } \\ { c _ { \beta } } & { d _ { \beta } } \end{array} \right) } & { { } = \prod _ { \alpha = 1 } ^ { \beta - 1 } \left( \begin{array} { c c } { \frac { Y _ { \beta } - Y _ { \alpha } } { Y _ { \beta } - Y _ { \alpha } ^ { * } } } & { \phi _ { \alpha } } \\ { \phi _ { \alpha } ^ { * } \frac { Y _ { \beta } - Y _ { \alpha } } { Y _ { \beta } - Y _ { \alpha } ^ { * } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { C C D } } ^ { \mathrm { T D L } } = \frac { 1 } { | \Omega ^ { * } | ^ { 3 } } \int _ { \Omega ^ { * } \times \Omega ^ { * } \times \Omega ^ { * } } \, \mathrm { d } \mathbf { k } _ { i } \, \mathrm { d } \mathbf { k } _ { j } \, \mathrm { d } \mathbf { k } _ { a } W _ { i j a b } ( \mathbf { k } _ { i } , \mathbf { k } _ { j } , \mathbf { k } _ { a } ) t _ { i j a b } ( \mathbf { k } _ { i } , \mathbf { k } _ { j } , \mathbf { k } _ { a } ) : = \mathcal { G } _ { \mathrm { T D L } } ( t _ { * } ) . } \end{array}
\mathrm { H } ( X _ { 1 } , . . . , X _ { n } ) = - \sum _ { x _ { 1 } \in { \mathcal { X } } _ { 1 } } . . . \sum _ { x _ { n } \in { \mathcal { X } } _ { n } } P ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) \log _ { 2 } [ P ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) ]
S _ { b u l k } = - \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \int _ { M _ { 5 } } { \sqrt { - g } ( R + \frac { 1 } { 2 } V ^ { - 2 } \partial _ { \alpha } V \partial ^ { \alpha } V + \cdots ) }
\begin{array} { r } { I _ { 0 } ( \lambda ) = H _ { 0 } \exp { ( - \frac { 1 } { 2 } ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } ) ( 1 + \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 + \frac { 2 \phi } { c ^ { 2 } } ) } } ) ^ { 2 } } G ^ { \prime } ( \lambda ) } \\ { ( 1 + \cos { ( \frac { 4 m T \overrightarrow { R } . ( ( \overrightarrow { v } _ { 1 } + ( \overrightarrow { \Omega } \times \overrightarrow { R } ) ) \times \overrightarrow { \omega } ) } { c ^ { 2 } ( 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ) } ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \mathrm { S } } & { { } = - ( B + C ) \left( \mathrm { S } - \frac { C \mathrm { S } _ { E } } { B + C } \right) \mathrm { d } t + a u \mathrm { d } t , } \\ { \mathrm { d } u } & { { } = - \frac { 1 } { \tau _ { d } } \left( u - \bar { u } \right) \mathrm { d } t + \sqrt { \frac { 2 } { \tau _ { d } } } \sigma _ { u } \mathrm { d } W _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Sigma } & { { } = } & { \frac { \Delta } { 1 + 2 \Delta - 2 q } , } \\ { \Sigma } & { { } = } & { - 2 \varepsilon \Delta ^ { 2 } + 2 q \left( 1 + \varepsilon \right) \left( 1 - q \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n m } \rightarrow P ( \vec { x } _ { n } , \vec { x } _ { m } ) d ^ { d } x _ { m } } & { = \frac { N ( \vec { x } _ { m } ) ^ { \zeta } G ( | \vec { x } _ { m } - \vec { x } _ { n } | ) d ^ { d } x _ { m } } { \int _ { \Omega } N ( \vec { x } _ { m } ) ^ { \zeta } G ( | \vec { x } _ { m } - \vec { x } _ { n } | ) d ^ { d } x _ { m } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ( \pi ) } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \, T ^ { - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Delta _ { t } } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } T ^ { - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sqrt { \Gamma _ { t } } \sqrt { G _ { t } } } \\ & { \, \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \sqrt { T ^ { - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Gamma _ { t } } \cdot \sqrt { T ^ { - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } G _ { t } } } \\ { \, } & { \leq \sqrt { \Gamma ( \pi ) \cdot \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \, T ^ { - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } G _ { t } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { f } } { \rho _ { p } ^ { 2 } } } & { { } \approx } & { a \, \epsilon _ { f } ^ { D T } \, \frac { n _ { D } \, n _ { T } } { m _ { p } ^ { 2 } \, n _ { p } ^ { 2 } } \, u _ { D T } \, \sigma _ { R 0 } ^ { D T } } \end{array}
\{ \hat { X } ^ { \mu } , \hat { X } ^ { \nu } \} ^ { \prime } = - \frac { 1 } { P \cdot ( P + \bar { P } ) } \frac { 1 } { 4 \sqrt { P ^ { 2 } } } ( P ^ { \mu } \bar { P } ^ { \nu } - P ^ { \nu } \bar { P } ^ { \mu } ) \bar { \theta } \theta .
\Pi ^ { \mu \nu } = K ^ { \mu \nu } - G ^ { \mu \nu } K , \qquad \Pi _ { i } = { \frac { 1 } { N } } L _ { i j } ( \phi ) \left( \dot { \phi } ^ { j } - \lambda ^ { \mu } \, \partial _ { \mu } \phi ^ { j } \right) ,
\left\{ \begin{array} { r l r l } & { y _ { t } ( l _ { 2 } ( v _ { 0 } , v _ { 0 } ^ { \prime } , t ) ) } & { = } & { y _ { t } ( v _ { 0 } ) + y _ { t } ( v _ { 0 } ^ { \prime } ) ; } \\ & { x _ { t , l _ { 2 } ( v _ { 0 } , v _ { 0 } ^ { \prime } , t ) } ( l _ { 1 } ( a _ { 0 } , a _ { 0 } ^ { \prime } , l _ { 2 } ( v _ { 0 } , v _ { 0 } ^ { \prime } , t ) , t ) ) } & { = } & { x _ { t , v _ { 0 } } ( a _ { 0 } ) + x _ { t , v _ { 0 } ^ { \prime } } ( a _ { 0 } ^ { \prime } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { - ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } + \Delta _ { 3 } ) = E _ { 1 1 1 } \stackrel { ! } { = } E _ { 0 0 0 } = 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad E _ { n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } } > 0 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad ( n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } ) \neq ( 0 0 0 ) , ( 1 1 1 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \overline { { ( X ^ { A } ) ( x , \bar { k } ) } } = \bigg \{ \frac { u _ { 0 } ( x ) } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) + R ( k ) ^ { - 1 } \bigg \} X ( x , k ) R ( k ) , \qquad k \in ( \omega ^ { 2 } \hat { \mathcal { S } } , \omega \hat { \mathcal { S } } , \hat { \mathcal { S } } ) \setminus \hat { \mathcal { Q } } , } \\ & { \overline { { ( Y ^ { A } ) ( x , \bar { k } ) } } = \bigg \{ \frac { u _ { 0 } ( x ) } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) + R ( k ) ^ { - 1 } \bigg \} Y ( x , k ) R ( k ) , \qquad k \in ( - \omega ^ { 2 } \hat { \mathcal { S } } , - \omega \hat { \mathcal { S } } , - \hat { \mathcal { S } } ) \setminus \hat { \mathcal { Q } } , } \end{array}
H = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sqrt { p _ { i } ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 2 } } + \sigma \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } r _ { i } \left. \int _ { 0 } ^ { 1 } d s _ { i } \, \sqrt { 1 - { \bf v } _ { i } ^ { t \, 2 } } \, \right| _ { { \bf v } _ { i } = { \bf p } _ { i } / \sqrt { p _ { i } ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 2 } } } + O \left( \sigma ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { d _ { G - \{ e , e _ { 1 } \} } \left( u , y _ { 1 } \right) = } & { d _ { G - \{ e , e _ { 1 } \} } \left( u , x _ { 1 } \right) + d _ { G - \{ e , e _ { 1 } \} } \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) } \\ { = } & { d _ { G - \{ e , e _ { 1 } \} } \left( u , x _ { 1 } \right) + d _ { G - e } \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) \ } & { d _ { G - e } \left( u , x _ { 1 } \right) + d _ { G - e } \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) } \\ { = } & { d _ { G - e } \left( u , y _ { 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta \Omega ( t ) ^ { 2 } = q - P ( t ) ( \gamma + P ( t ) \chi ) , } \\ { P \left( t \right) \kappa - P \left( t \right) ^ { 2 } \kappa \zeta = \sigma + \alpha \Omega \left( t \right) ^ { 2 } + \frac { \beta \Omega \left( t \right) \frac { d } { d t } P \left( t \right) } { P \! \left( t \right) } + \beta \frac { d } { d t } \Omega \left( t \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { x x } ( \Delta x ^ { \prime } , \Delta y ^ { \prime } , \Delta z ^ { \prime } ) } & { = } & { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } { \int } P _ { x x } ( \mathbf { k } ) e ^ { - i k _ { x } \Delta x ^ { \prime } } e ^ { - i k _ { y } \Delta y ^ { \prime } } } \\ & { } & { \times e ^ { - i k _ { z } \Delta z ^ { \prime } } d \mathbf { k } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l c l l } { x _ { 1 } } & { = } & { r \cos \alpha } & { } \\ { p _ { x _ { 1 } } } & { = } & { 0 } & { \qquad \qquad r \in [ 0 , + \infty [ } \\ { x _ { 2 } } & { = } & { r \sin \alpha } & { \qquad \qquad \alpha \in [ 0 , \pi / 2 ] } \\ { p _ { x _ { 2 } } } & { = } & { 0 \, , } & { } \end{array} \right.
\left\{ \, \begin{array} { r l } { - \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } _ { x } \left( C ^ { H } ( x ) e _ { x } ( u ) \right) } & { { } = f \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \qquad \Omega , } \\ { u } & { { } = 0 \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \qquad \partial \Omega } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mathrm { d } \tilde { U } _ { i j } } { \mathrm { d } t } = - c _ { x } \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { M _ { x } } - 1 } \tilde { D } _ { x , i k } ^ { ( 1 ) } \tilde { U } _ { k j } ( t ) - c _ { y } \sum _ { l = 0 } ^ { N _ { M _ { y } } - 1 } \tilde { D } _ { y , j l } ^ { ( 1 ) } \tilde { U } _ { i l } ( t ) , } & { t \in [ 0 , \, T ] ; } \\ { \tilde { U } _ { i j } ( 0 ) = u ( x _ { i } , \, y _ { j } ) , } & { \{ t = 0 \} ; } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { s e c . } } [ x , t ; v _ { 0 } , ( a , b ) ] = \frac { 1 } { 4 s _ { 0 } } \bigg [ } & { \mathrm { E r f } \left( \frac { b - x + t v _ { 0 } } { \sqrt { 2 } t v _ { \mathrm { t h } } } \right) } \\ & { - \mathrm { E r f } \left( \frac { a - x + t v _ { 0 } } { \sqrt { 2 } t v _ { \mathrm { t h } } } \right) \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 6 } ( n ) q ^ { n } } & { = \left( \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } } \\ & { \equiv \frac { ( q ; q ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 9 } } { ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 9 } } \pmod 2 } \\ & { \equiv \frac { ( q ; q ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 9 } } \pmod 2 } \\ & { \equiv \frac { ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } \pmod 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { J ( x _ { 1 } ^ { * } , 1 ) = \left[ { \begin{array} { c c } { \frac { c } { \varepsilon } ( M - 1 - x _ { 1 } ^ { * } ( N - 1 ) ) } & { \frac { c } { \varepsilon } x _ { 1 } ^ { * } ( 1 - x _ { 1 } ^ { * } ) } \\ { 0 } & { - \frac { 1 - e ^ { \beta ( x _ { 1 } ^ { * } - T ) } } { 1 + e ^ { \beta ( x _ { 1 } ^ { * } - T ) } } } \end{array} } \right] , } \end{array}
e ^ { k / 2 - 1 } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) = \left( a \xi _ { 1 } ^ { 2 } + b \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } + c \xi _ { 2 } ^ { 2 } + q \right) ^ { k / 2 - 1 } .
\mathbf { A } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { \left| \begin{array} { l } { \mathbf { A } } \end{array} \right| } } \mathbf { C } ^ { \mathrm { T } } = { \frac { 1 } { \left| \begin{array} { l } { \mathbf { A } } \end{array} \right| } } { \left( \begin{array} { l l l l } { \mathbf { C } _ { 1 1 } } & { \mathbf { C } _ { 2 1 } } & { \cdots } & { \mathbf { C } _ { n 1 } } \\ { \mathbf { C } _ { 1 2 } } & { \mathbf { C } _ { 2 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { C } _ { n 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { C } _ { 1 n } } & { \mathbf { C } _ { 2 n } } & { \cdots } & { \mathbf { C } _ { n n } } \end{array} \right) }
\frac 1 2 \, A ( \rho ) \, \le \, \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } \bigl ( \zeta _ { * } ( R , Z ) \bigr ) \, \le \, 2 A ( \rho ) \, , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } ~ \, \rho \le 2 \epsilon ^ { - \sigma _ { 1 } } \, .
h \ = { \frac { k } { D } } \left( { 0 . 6 + { \frac { 0 . 3 8 7 \mathrm { R a } _ { D } ^ { 1 / 6 } } { \left( 1 + ( 0 . 5 5 9 / \mathrm { P r } ) ^ { 9 / 1 6 } \, \right) ^ { 8 / 2 7 } \, } } } \right) ^ { 2 }
A _ { 2 } = \frac { A _ { 1 } d _ { 0 } } { 2 k _ { 2 } + 2 k _ { 3 } - \frac { 2 ( 2 - \alpha ) A _ { 0 } d _ { 0 } } { c _ { 0 } } ( n + 1 ) ( k _ { 4 } n + k 5 ) } .
\begin{array} { r l r } { J _ { 0 } } & { = } & { m , } \\ { J _ { 1 } } & { = } & { L _ { z } , } \\ { J _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { \pi } \left[ M _ { H } m \mathbb { G } ^ { 0 } + M _ { H } \mathbb { G } ^ { 1 } + L _ { z } \mathbb { G } ^ { 2 } + L \mathbb { G } ^ { 3 } \right] , } \\ { J _ { 3 } } & { = } & { \frac { 1 } { \pi } \left[ M _ { H } m \mathbb { H } ^ { 0 } + M _ { H } \mathbb { H } ^ { 1 } + L _ { z } \mathbb { H } ^ { 2 } + L \mathbb { H } ^ { 3 } \right] , } \end{array}
J _ { p } ^ { a } \overline { { { | n , m \rangle } } } _ { \jmath } = \left( t n + m ( 2 \jmath + 1 - m ) \right) \mu ^ { a } ( \jmath - \jmath _ { 0 } , \jmath _ { 1 } , m ) | n - p , m - a \rangle _ { \jmath } \; \; \forall J _ { p } ^ { a } \in { \cal E } _ { + }
\begin{array} { r } { \, \mathrm { d } x = 2 \pi \mathrm { d } r \, \mathrm { d } z , \quad \nabla \boldsymbol { w } = \left( \begin{array} { l l l } { \partial _ { r } w _ { r } } & { 0 } & { \partial _ { z } w _ { r } } \\ { 0 } & { r ^ { - 1 } w _ { r } } & { 0 } \\ { \partial _ { r } w _ { z } } & { 0 } & { \partial _ { z } w _ { z } } \end{array} \right) , \quad \nabla \eta = \left( \begin{array} { l } { \partial _ { r } \eta } \\ { 0 } \\ { \partial _ { z } \eta } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \cal L } _ { C o u l } = \frac { i g } { 2 } [ ( \partial \partial ^ { * } A _ { - } ^ { a } ) ( \frac { 1 } { \partial _ { + } } A _ { + } ) T ^ { a } A _ { + } + ( \partial \partial ^ { * } A _ { + } ^ { a } ) ( \frac { 1 } { \partial _ { - } } A _ { - } ) T ^ { a } A _ { - } ] \; \; \; .
S _ { \mathrm { e f f } } = - \frac { N } { 2 G } \int d ^ { 3 } x ( \sigma ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } ) - i T r \log [ i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } - ( \sigma + i \gamma _ { 5 } \pi + \gamma _ { 3 } \tau ) ] .
\gamma ^ { a } \psi _ { ( 1 } \bar { \psi } _ { 2 } \gamma _ { a } \psi _ { 3 ) } - \gamma ^ { a ^ { \prime } } \psi _ { ( 1 } \bar { \psi } _ { 2 } \gamma _ { a } ^ { ' } \psi _ { 3 ) } = 0
\frac { \ddot { a } } { a } - \frac { k p } { 4 } \Bigl ( \frac { F _ { 1 0 } } { a } \phi \Bigr ) ^ { p + 1 } = 8 \pi \, G \, \Bigl ( \frac { F _ { 0 1 } } { a } \Bigr ) ^ { 2 }
{ \bf e } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { \vdots } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) , \quad { \bf e } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { \vdots } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \ldots \quad , { \bf e } _ { N } = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { \vdots } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) .
| \alpha ( t ) | ^ { 2 } = 1 + \frac { \left[ 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( t / \tau ) \right] ^ { 2 } } { 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ( 1 + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { \tilde { H } ( \tau ) \triangleq \mathbb { E } [ w ( \tilde { Y } ) ] } & { = \mathbb { E } \left[ \left[ \tau - \tilde { Y } \right] ^ { + } \right] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \tau } ( \tau - \tilde { y } ) f ( \tilde { y } ) d \tilde { y } } \\ & { = \tau \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { \mu ^ { K } \tilde { y } ^ { K - 1 } e ^ { - \mu \tilde { y } } } { ( K - 1 ) ! } d \tilde { y } - \int _ { 0 } ^ { \tau } \tilde { y } \frac { \mu ^ { K } \tilde { y } ^ { K - 1 } e ^ { - \mu \tilde { y } } } { ( K - 1 ) ! } d \tilde { y } } \\ & { = \tau \gamma \left( \mu \tau , K \right) - \frac { K } { \mu } \gamma \left( \mu \tau , K + 1 \right) . } \end{array}
K ( x _ { a } , x _ { b } ; T ) = \omega \int D \alpha D p _ { \alpha } \exp [ i \int _ { 0 } ^ { \omega ^ { 2 } T } d t ( p _ { \alpha } \alpha - p _ { \alpha } ^ { 2 } / 2 m - V _ { 0 } \cosh ^ { - 2 } \alpha ) ]
\Phi ^ { 2 } = 2 ( { \frac { d - 3 } { d - 2 } } ) q \Phi _ { h } \phi ~ ~ , ~ ~ \gamma _ { a b } = ( { \frac { \phi _ { h } } { \phi } } ) ^ { \frac { d - 3 } { d - 2 } } e ^ { { \frac { 2 } { q \Phi _ { h } } } \phi } \bar { \gamma } _ { a b } ~ ~
\begin{array} { r } { ( ( [ { \mathsf { B o r d } } _ { 1 } ^ { \operatorname { f r } } , { \mathsf { s V e c t } } ] ) ^ { H _ { 1 } } ) ^ { \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { R } \times B \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { F } } \simeq ( ( { \mathsf { s V e c t } } ^ { \times } ) ^ { H _ { 1 } } ) ^ { \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { R } \times B \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { F } } \simeq ( { \mathsf { s V e c t } } ^ { \times } ) ^ { { H _ { 1 } } \rtimes _ { \rho } ( \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { R } \times B \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { F } ) } } \end{array}
\mu _ { b } ^ { i } \equiv \frac { v _ { \downarrow x } ^ { i } - v _ { \uparrow x } ^ { i } } { v _ { \uparrow z } ^ { i } - v _ { \downarrow z } ^ { i } } \simeq \frac { u _ { x } ( \overline { { z } } _ { \ast } ^ { i } ) - v _ { \uparrow x } ^ { i } } { v _ { s } + v _ { \uparrow z } ^ { i } } \simeq \frac { u _ { x } ( \overline { { z } } _ { \ast } ^ { i } ) - v _ { \downarrow x } ^ { i } } { v _ { s } + v _ { \downarrow z } ^ { i } } .
\widehat { \boldsymbol { \Sigma } } _ { a } ^ { t } ( k , l ) = \mathbb { E } \left[ ( \tilde { f } _ { t } ^ { i } \left( \boldsymbol { Z } ^ { t } \right) ) _ { k } ( \tilde { f } _ { t } ^ { i } \left( \boldsymbol { Z } ^ { t } \right) ) _ { l } \right] = \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { \tilde { \boldsymbol { \Delta } } _ { a k } } } \frac { 1 } { \sqrt { \tilde { \boldsymbol { \Delta } } _ { a l } } } ( f _ { t } ^ { a } ( Z _ { a } ^ { t } ) ) ^ { 2 } \right] ,
{ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } y } } \, 2 E { \bigl ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \bigr ) } - K { \bigl ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \bigr ) } - 2 E { \biggl [ } \operatorname { a r c c o s } ( x y ) ; { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \biggr ] } + F { \biggl [ } \operatorname { a r c c o s } ( x y ) ; { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \biggr ] } = { \frac { { \sqrt { 2 } } \, x ^ { 3 } y ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - x ^ { 4 } y ^ { 4 } } } }
R = \frac { \Gamma ( 1 / 2 + i ( \rho + \frac { ( 2 m V _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } } { \omega } ) ) \Gamma ( 1 / 2 + i ( \rho - \frac { ( 2 m V _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } } { \omega } ) ) \Gamma ( - i \rho ) } { \Gamma ( 1 / 2 + i \frac { ( 2 m V _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } } { \omega } ) \Gamma ( 1 / 2 - i \frac { ( 2 m V _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } } { \omega } ) \Gamma ( i \rho ) }
V ( T ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \exp \left( - \frac { T ^ { 2 } } { 8 \ln 2 } \right) } } & { { \mathrm { f o r ~ s m a l l ~ T ~ b u t ~ T \ge ~ 0 ~ } } } \\ { { \exp \left( - \frac { T } { \sqrt { 2 } } \right) } } & { { \mathrm { f o r ~ l a r g e ~ T ~ } } } \end{array} , \right.
\begin{array} { r l } { \dim _ { k } H \! H ^ { r } ( k \mathfrak S _ { n } ) \, t ^ { n } } & { = \sum _ { s = 0 } ^ { p - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \dim _ { k } H \! H ^ { r } ( k \mathfrak S _ { p n + s } ) \, t ^ { p n + s } = Y ( t ^ { p } ) \sum _ { s = 0 } ^ { p - 1 } C _ { s } ( t ^ { p } ) \, t ^ { s } } \\ & { = t ^ { p } \phi ( t ^ { p } ) \sum _ { s = 0 } ^ { p - 1 } Z ( t ^ { p } ) C _ { s } ( t ^ { p } ) \, t ^ { s } } \end{array}
h _ { 2 } ( i , j , n ) \equiv \Gamma [ - f ^ { \prime } ( \hat { \phi } ^ { \prime } ( i , j , n ) ) + \kappa \Delta _ { 2 } \hat { \phi } ^ { \prime } ( i , j , n ) ] \Delta t + \sqrt { 2 \Gamma T } \frac { \sqrt { \Delta t } } { \Delta x } \eta ( i , j , n )
\begin{array} { r } { \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } ( p \ast n _ { \sigma } ) ( x ) d x = \sum _ { i \in G } p _ { i } \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } n _ { \sigma , i } ( x ) d x + \sum _ { i \in B } p _ { i } \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } n _ { \sigma , i } ( x ) d x + \sum _ { i \in F } p _ { i } \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } n _ { \sigma , i } ( x ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hbar k _ { n } ( t ) = } & { \hbar k _ { n } ( t _ { n } ^ { \prime } ) + \frac { e F _ { \mathrm { m a x } } } { \omega } \{ \frac { 1 } { 2 } [ ( \omega \tilde { t } ) ^ { 2 } - ( \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] } \\ & { - \frac { 1 } { 2 4 } [ ( \omega \tilde { t } ) ^ { 4 } - ( \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } ) ^ { 4 } + \cdots ] \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { e f f } , i } } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ { 2 } c _ { i , 0 } ( x , t ) \mathrm { d } x - \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } x c _ { i , 0 } ( x , t ) \mathrm { d } x \right) ^ { 2 } } { 2 t \int _ { - \infty } ^ { \infty } c _ { i , 0 } \mathrm { d } x } = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \xi ^ { 2 } C _ { i } ( \xi ) \mathrm { d } \xi - \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \xi C _ { i } ( \xi ) \mathrm { d } \xi \right) ^ { 2 } } { 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } C _ { i } ( \xi ) \mathrm { d } \xi } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { \mathrm { A - O E D : } } & & { \mathrm { t r a c e } ( \Sigma _ { \mathrm { Ḋ p o s t Ḍ } } ^ { L , \theta } ) = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \Sigma _ { \mathrm { Ḋ p o s t Ḍ } } ^ { L , \theta } E i g [ m ] } & & { \mathrm { ( m e a n ~ v a r i a n c e ) } } \\ & { \mathrm { D - O E D : } } & & { \operatorname* { d e t } ( \Sigma _ { \mathrm { Ḋ p o s t Ḍ } } ^ { L , \theta } ) = \prod _ { m = 1 } ^ { M } \Sigma _ { \mathrm { Ḋ p o s t Ḍ } } ^ { L , \theta } E i g [ m ] } & & { \mathrm { ( v o l u m e ) } } \\ & { \mathrm { E - O E D : } } & & { \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Sigma _ { \mathrm { Ḋ p o s t Ḍ } } ^ { L , \theta } ) = \Sigma _ { \mathrm { Ḋ p o s t Ḍ } } ^ { L , \theta } E i g [ 1 ] } & & { \mathrm { ( s p e c t r a l ~ r a d i u s ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 } ^ { \mathrm { ( P ) } } ( x ) } & { = } & { \frac { H _ { 2 } ^ { \mathrm { ( P ) } } ( x ) } { \beta \varepsilon } = - \frac { q } { r _ { c } ^ { 2 } } u Q ( u ) R _ { ( 1 ) } ( u , r / r _ { c } ) \sin \left( u \xi / r _ { c } \right) , } \\ { E _ { 3 } ^ { \mathrm { ( P ) } } ( x ) } & { = } & { \frac { q } { r _ { c } ^ { 2 } } u Q ( u ) R _ { ( 0 ) } ( u , r / r _ { c } ) \cos \left( u \xi / r _ { c } \right) , } \end{array}
L _ { x } L _ { z } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left\langle \hat { u } _ { i } ^ { \prime } ( k _ { x } , y ^ { \prime } , k _ { z } , t ) \hat { u } _ { j } ^ { \prime * } ( k _ { x } , y ^ { \prime } , k _ { z } , t ) \right\rangle \varphi _ { j k _ { x } k _ { z } } ^ { ( n ) } \left( y ^ { \prime } \right) d y ^ { \prime } = \lambda _ { k _ { x } k _ { z } } ^ { ( n ) } \varphi _ { i k _ { x } k _ { z } } ^ { ( n ) } ( y ) ,
\tilde { \psi } _ { \pm } = \left( \begin{array} { l } { \psi _ { 1 1 } } \\ { \psi _ { 1 2 } } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { 1 \left( M - 1 \right) } } \\ { \psi _ { 2 1 } } \\ { \psi _ { 2 2 } } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { 2 \left( M - 1 \right) } } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { \left( M - 1 \right) 1 } } \\ { \psi _ { \left( M - 1 \right) 2 } } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { \left( M - 1 \right) \left( M - 1 \right) } } \end{array} \right) \pm \left( \begin{array} { l } { \psi _ { 1 1 } } \\ { \psi _ { 2 1 } } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { \left( M - 1 \right) 1 } } \\ { \psi _ { 1 2 } } \\ { \psi _ { 2 2 } } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { \left( M - 1 \right) 2 } } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { 1 \left( M - 1 \right) } } \\ { \psi _ { 2 \left( M - 1 \right) } } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { \left( M - 1 \right) \left( M - 1 \right) } } \end{array} \right)
S = \int d t \, d x { \cal L } = \int d t \, d x \left[ \frac { i \hbar } { 2 } ( \hat { \phi } ^ { * } \partial _ { t } { \phi } - { \phi } \partial _ { t } { \phi } ^ { * } ) - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left| \left( \partial _ { x } + i { \frac { \lambda } { 2 } } \rho ^ { 2 } \right) \phi \right| ^ { 2 } - V ( \rho ^ { 2 } ) \right] ;