harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| \hat { x } ( t _ { n + 1 } ) - \tilde { x } ( t _ { n + 1 } ) \| } & { = \left\| G _ { \theta ^ { * } } ^ { \epsilon } ( \hat { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda ) + G _ { \mathrm { a p p r o x } } ( \hat { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda ) ( h _ { n } ) - G ( \tilde { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda ) ( h _ { n } ) \right\| } \\ & { \le \left\| G _ { \theta ^ { * } } ^ { \epsilon } ( \hat { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda ) + G _ { \mathrm { a p p r o x } } ( \hat { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda ) ( h _ { n } ) - G ( \hat { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda ) ( h _ { n } ) \right\| } \\ & { \qquad ~ \qquad ~ \qquad ~ \qquad ~ \qquad + \| G ( \hat { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda ) ( h _ { n } ) - G ( \tilde { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda ) ( h _ { n } ) \| } \\ & { \le \| G _ { \theta ^ { * } } ^ { \epsilon } ( \hat { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda ) - \varphi ( \hat { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda ) \| } \\ & { \qquad ~ \qquad ~ \qquad ~ \qquad ~ \qquad + \| \Phi ( \hat { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda , h _ { n } ) - \Phi ( \tilde { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda , h _ { n } ) \| } \\ & { \le \epsilon + L _ { \Phi } \| \hat { x } ( t _ { n } ) - \tilde { x } ( t _ { n } ) \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 3 . 1 } } & { = \{ X + Y \rightleftarrows 2 Z | \forall X , Y , Z \in \mathcal { S } , X \ne Y , Y \ne Z , X \ne Z \} } \\ { \mathcal { R } _ { 3 . 2 } } & { = \{ X \rightleftarrows Y | \forall X , Y \in \mathcal { S } , X \ne Y \} } \\ { \mathcal { R } _ { 3 . 3 } } & { = \{ X + 2 Y \rightleftarrows 3 Y | \forall X , Y \in \mathcal { S } , X \ne Y \} } \end{array}
\frac { \frac { \left( q ^ { 2 } - 1 \right) \left( q ^ { k + 2 } - 1 \right) q ^ { k + 4 } } { q ^ { 2 { \overline { { a } } _ { 2 } } } - q ^ { k + 2 } } - \frac { \left( q ^ { 2 } - 1 \right) \left( q ^ { k + 6 } - 1 \right) } { q ^ { k + 2 { \overline { { a } } _ { 2 } } + 6 } - 1 } + q ^ { k + 4 } + 2 q ^ { k + 6 } - 2 q ^ { 4 } - 1 } { q ^ { 2 } \left( q ^ { k + 4 } - 1 \right) } .
\begin{array} { r l r } { d _ { B } } & { { } = } & { d _ { B V F } , } \\ { \mathbf { n } } & { { } = } & { \frac { \nabla \varphi ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \nabla \varphi ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( + S , V , N ) _ { + S } } & { { } = : A ( + T , V , N ) } \\ { A ( + T , V , N ) _ { + T } } & { { } = : U ( - S , V , N ) } \\ { U ( - S , V , N ) _ { - S } } & { { } = : A ( - T , V , N ) } \\ { A ( - T , V , N ) _ { - T } } & { { } = : U ( + S , V , N ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle - p _ { t } + \displaystyle { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } \, ( \beta \, { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ) + q \, p } & { = } & { y _ { d } - y } & { \mathrm { i n } } & { Q , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } p ) ( a , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ) ( b ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle p ( \cdot , T ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b ) , } \end{array} \right.
\mathrm { e } ^ { b \tau \mathcal { L } _ { H _ { 2 } } } \xi = \xi + b \tau \mathcal { L } _ { H _ { 2 } } \xi = \xi - b \tau \ \dot { \bf E } \cdot \int { { \bf x } \ \rho \left( { \bf x } \right) \ \mathrm { ~ d ~ } { \bf x } } .
\frac { \partial \langle \tilde { P } \rangle } { \partial \tilde { r } } \int d \tilde { z } - \tilde { \eta } \int \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { u } } { \partial \tilde { z } ^ { 2 } } \, d \tilde { z } = \int 0 \, d \tilde { z } ,
f ^ { i } = ( f _ { \omega } ^ { i } , f _ { \phi } ^ { i } , f _ { \Sigma } ^ { i } , f _ { b } ^ { i } ) \in \mathcal { F } _ { 3 } , \ e ^ { i } = ( e _ { \omega } ^ { i } , e _ { \phi } ^ { i } , e _ { \Sigma } ^ { i } , e _ { b } ^ { i } ) \in \mathcal { E } _ { 3 } , \ i = 1 , 2 .
\begin{array} { r l } { \Gamma ( k ) = } & { r _ { p } \left( ( k - 1 ) ^ { 2 } \right) + r _ { p } \left( k + 1 - 3 n \right) , } \\ { = } & { r _ { p } \left( ( k - 1 ) ^ { 2 } \right) + p + k + 1 - 3 n < p . } \\ { \Gamma ( p + 2 - k ) = } & { \r { ( p - ( k - 1 ) ) ^ { 2 } } + \r { p + 3 - k - 3 n } , } \\ { = } & { r _ { p } \left( ( k - 1 ) ^ { 2 } \right) + p + 3 - k - 3 n < p . } \end{array}
\bar { \Delta } ^ { a } \, \mathrm { e x p } \{ ( i / \hbar ) W \} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \mathrm { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } ( W , W ) ^ { a } + V ^ { a } W = i \hbar \Delta ^ { a } W ,
\boldsymbol { a } _ { \! \; \! p s , n } ( \boldsymbol { r } , t ) = \frac { \boldsymbol { a } _ { \! \; \! p , n } ( \boldsymbol { r } , t ) + \Lambda \! \; \! \, \boldsymbol { a } _ { s , n } ( \boldsymbol { r } , t ) } { 1 + \Lambda } \, ,
\begin{array} { r l } & { \phi ^ { \star } ( [ f p ] ) = [ \phi f ( p ) ] = [ f ^ { \prime } \phi ( p ) ] = [ \phi ( p ) ] = \phi ^ { \star } ( [ p ] ) , \mathrm { ~ a n d } } \\ & { \delta ^ { \star } ( \phi ^ { \star } ( [ p _ { 1 } ] ) , \phi ^ { \star } ( [ p _ { 2 } ] ) ) = \delta ^ { \star } ( [ \phi ( p _ { 1 } ) ] , [ \phi ( p _ { 2 } ) ] ) = } \\ & { \operatorname* { m i n } \{ \delta ( f _ { 1 } \phi ( p _ { 1 } ) , f _ { 2 } \phi ( p _ { 2 } ) ) , f _ { 1 } , f _ { 2 } \in \mathscr { F } _ { g } \} = } \\ & { \operatorname* { m i n } \{ \delta ( \phi f _ { 1 } ^ { \prime } ( p _ { 1 } ) , \phi f _ { 2 } ^ { \prime } ( p _ { 2 } ) ) , f _ { 1 } ^ { \prime } , f _ { 2 } ^ { \prime } \in \mathscr { F } _ { g } \} = } \\ & { \operatorname* { m i n } \{ \delta ( f _ { 1 } ^ { \prime } ( p _ { 1 } ) ) , \delta ( f _ { 2 } ^ { \prime } ( p _ { 2 } ) ) , f _ { 1 } ^ { \prime } , f _ { 2 } ^ { \prime } \in \mathscr { F } _ { g } \} = } \\ & { \delta ^ { \star } ( [ p _ { 1 } ] , [ p _ { 2 } ] ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { i j } ^ { \prime } = \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \left[ { \bf x ^ { \prime } } _ { N } ^ { 2 } ( 0 ) \delta ^ { i j } - x _ { N } ^ { i } ( 0 ) x _ { N } ^ { j } ( 0 ) \right] = U _ { i a } \left[ \sum _ { N } { \bf x } _ { N } ^ { 2 } ( 0 ) \delta ^ { a b } - m _ { N } x _ { N } ^ { a } ( 0 ) x _ { N } ^ { b } ( 0 ) \right] U _ { j b } = U _ { i a } I _ { a b } U _ { j b } , \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad I ^ { \prime } = U I U ^ { T } . \quad } \end{array}
\mathbf { I } _ { i j } ^ { h } = \sum _ { n } \mathbf { 1 } _ { n } \left( \mathbf { S } _ { i j } ^ { \prime } \right) \frac { \sum _ { i j } \mathbf { 1 } _ { n } \left( \mathbf { S } _ { i j } ^ { \prime } \right) \mathbf { I } _ { i j } } { \sum _ { i j } \mathbf { 1 } _ { n } \left( \mathbf { S } _ { i j } ^ { \prime } \right) }
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { = M \mathrm { { R a } } ^ { 2 } + \langle | \nabla \eta | ^ { 2 } \rangle + \langle | \nabla \theta | ^ { 2 } \rangle + 2 \langle \theta u \cdot \nabla \eta \rangle + \frac { b } { { \mathrm { R a } } } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \\ & { \qquad - \frac { b } { { \mathrm { R a } } } \mathbf { b } + a \mathbf { a } } \\ & { \geq M \mathrm { { R a } } ^ { 2 } + \langle | \nabla \eta | ^ { 2 } \rangle + \langle | \nabla \theta | ^ { 2 } \rangle + 2 \langle \theta u \cdot \nabla \eta \rangle + \frac { b } { { \mathrm { R a } } } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \\ & { \qquad + a \langle | \nabla \omega | ^ { 2 } \rangle - 2 a \langle ( \alpha + \kappa ) u \cdot \nabla p \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } - a { \mathrm { R a } } \langle \omega \partial _ { 1 } T \rangle } \\ & { \qquad + \frac { 2 } { 3 \mathrm { P r } } a \langle ( \alpha + \kappa ) u \cdot ( u \cdot \nabla ) u \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } + 2 a \mathrm { { R a } } \langle ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } n _ { 1 } \rangle _ { \gamma ^ { - } } . } \end{array}
\rho { \frac { \mathrm { D } \mathbf { u } } { \mathrm { D } t } } = \rho \left( { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } \right) = - \nabla p + \nabla \cdot \left\{ \mu \left[ \nabla \mathbf { u } + ( \nabla \mathbf { u } ) ^ { \mathrm { T } } - { \frac { 2 } { 3 } } ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) \mathbf { I } \right] \right\} + \rho \mathbf { g } .
\begin{array} { l } { { \partial _ { t 2 } } ( \rho { u _ { y } } ) = { \partial _ { x 1 } } \left[ { \rho \nu ( { \partial _ { y 1 } } { u _ { x } } + { \partial _ { x 1 } } { u _ { y } } ) } \right] + { \partial _ { y 1 } } \left[ { \rho { \nu _ { b } } ( { \nabla _ { 1 } } \cdot { \bf { u } } ) + \frac { 2 } { 3 } \rho \nu ( 2 { \partial _ { y 1 } } { u _ { y } } - { \partial _ { x 1 } } { u _ { x } } - { \partial _ { z 1 } } { u _ { z } } ) } \right] } \\ { + { \partial _ { z 1 } } \left[ { \rho \nu ( { \partial _ { z 1 } } { u _ { y } } + { \partial _ { y 1 } } { u _ { z } } ) } \right] } \\ { { \partial _ { t 2 } } ( \rho { u _ { z } } ) = { \partial _ { x 1 } } \left[ { \rho \nu ( { \partial _ { z 1 } } { u _ { x } } + { \partial _ { x 1 } } { u _ { z } } ) } \right] + { \partial _ { y 1 } } \left[ { \rho \nu ( { \partial _ { z 1 } } { u _ { y } } + { \partial _ { y 1 } } { u _ { z } } ) } \right] } \\ { + { \partial _ { z 1 } } \left[ { \rho { \nu _ { b } } ( { \nabla _ { 1 } } \cdot { \bf { u } } ) + \frac { 2 } { 3 } \rho \nu ( 2 { \partial _ { z 1 } } { u _ { z } } - { \partial _ { x 1 } } { u _ { x } } - { \partial _ { y 1 } } { u _ { y } } ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { \| } } & { = - ( - ) ^ { p } \tilde { \lambda } \tilde { c } _ { \phi } \, { * _ { k } \tilde { \mu } _ { \perp } } - \sigma \big ( i k { \mu _ { \perp } } - i k A _ { t } ^ { \perp } - i \omega A _ { \| } \big ) } \\ & { \qquad - ( - ) ^ { p q + q } \tilde { \ell } \tilde { \gamma } _ { \times } * _ { k } \! \big ( \tilde { A } _ { t } ^ { \perp } - i \omega \tilde { \Phi } _ { \perp } \big ) , } \\ { j _ { \perp } } & { = - \tilde { \lambda } \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \tilde { \mu } _ { \| } } + i \omega \sigma A _ { \perp } } \\ & { \qquad - ( - ) ^ { p q + p + q } \tilde { \gamma } _ { \times } \! * _ { k } \! \left( i k { \tilde { \mu } _ { \ell } ^ { \perp } } - i \omega \tilde { \ell } \tilde { \Phi } _ { \| } - i k \tilde { \ell } \tilde { \Phi } _ { t } ^ { \perp } + \tilde { \ell } { \tilde { A } _ { t } ^ { \| } } \right) , } \\ { \ell j _ { \ell } ^ { \| } } & { = \Gamma \big ( n _ { \| } - \chi A _ { t } ^ { \| } + i \omega \chi \Phi _ { \| } \big ) - \ell \sigma _ { \ell } \big ( i k \mu _ { \ell } ^ { \perp } - i k \ell \Phi _ { t } ^ { \perp } \big ) } \\ & { \qquad + \ell \gamma _ { \times } \, i \omega { * _ { k } \tilde { A } _ { \perp } } , } \\ { \ell j _ { \ell } ^ { \perp } } & { = \Gamma \big ( n _ { \perp } - \chi A _ { t } ^ { \perp } + i \omega \chi \Phi _ { \perp } \big ) } \\ & { \quad + ( - ) ^ { p } \ell \gamma _ { \times } \! \left( i k { * _ { k } \tilde { \mu } _ { \perp } } - i k { * _ { k } \tilde { A } _ { t } ^ { \perp } } - i \omega { * _ { k } \tilde { A } _ { \| } } \right) . } \end{array}
\Delta E ( L , E ) = \int _ { 0 } ^ { L } d x \frac { d P ( x ) } { d x } \lambda ( x ) \frac { d E ( x , E ) } { d x } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \frac { d P ( x ) } { d x } = \frac { 1 } { \lambda ( x ) } \exp { \left( - x / \lambda ( x ) \right) } ,
\begin{array} { r l } { r ^ { 2 } { \frac { d \varphi } { d \tau } } } & { { } = a c , } \\ { \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) { \frac { d t } { d \tau } } } & { { } = { \frac { a } { b } } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \Phi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { c } { a , b } \\ { c } \end{array} \right| z , w \right) \, = \, \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \, \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \, \frac { ( a ) _ { k + \ell } \, ( b ) _ { k } } { ( c ) _ { k + \ell } } \, \frac { z ^ { k } } { k ! } \, \frac { w ^ { \ell } } { \ell ! } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { d g ( \widehat { L } ( t ) ) = \left( f ( \widehat { L } ) \frac { \partial g ( \widehat { L } ) } { \partial \widehat { L } } + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } g ( \widehat { L } ) } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } \right) d t + \sqrt { D } \frac { \partial g ( \widehat { L } ) } { \partial \widehat { L } } \; d W _ { t } \ , } \end{array}
D _ { n } ^ { \pm } ( r _ { i } , \theta _ { i } ) = - \sqrt { \frac { 2 } { \kappa _ { n } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \sin \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { i } + \mathrm { i } t ) } { \cos ( \theta _ { i } + \mathrm { i } t ) + \cos \Theta _ { n } ^ { \pm } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { n } r _ { i } \cosh t } \mathrm { d } \, t ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ^ { \infty } } & { r ^ { - 1 - \epsilon } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \epsilon } ( ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { - 2 } | u _ { \mathrm { i n f } } ^ { \prime } | ^ { 2 } + \widetilde { \omega } ^ { 2 } m ^ { 2 } | u _ { \mathrm { i n f } } | ^ { 2 } ) + m ^ { 2 } | u _ { \mathrm { i n f } } | ^ { 2 } ] \, d r } \\ { \leq } & { \: C B _ { \mathrm { h o m } } ^ { 2 } m ^ { 4 } ( 1 + | W | ^ { 2 } | \omega | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } ) , } \\ { \int _ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ^ { 1 + \delta } } & { ( r - 1 ) ^ { - 3 + \epsilon - 2 \Im \sqrt { 2 m ^ { 2 } - \Lambda _ { + } - \frac { 1 } { 4 } } } ( | \check { u } _ { \mathrm { i n f , \pm } } ^ { \prime } | ^ { 2 } + \widetilde { \omega } ^ { 2 } | \check { u } _ { \mathrm { i n f , \pm } } | ^ { 2 } ) + ( r - 1 ) ^ { - 1 + \epsilon } | \check { u } _ { \mathrm { i n f , \pm } } | ^ { 2 } ] \, d r } \\ { \leq } & { \: C B _ { \mathrm { h o m } } ^ { 2 } m ^ { 2 } ( 1 + | W | ^ { 2 } | \omega | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } ) , } \\ { \int _ { 1 } ^ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } } & { r ^ { - 1 - \epsilon } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { - 1 + \epsilon } ( | m | | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } | u _ { \mathrm { i n f } } ^ { \prime } | ^ { 2 } + | m \widetilde { \omega } | | u _ { \mathrm { i n f } } | ^ { 2 } ) \, d r } \\ { \leq } & { \: C B _ { \mathrm { h o m } } ^ { 2 } m ^ { 2 } ( 1 + | W | ^ { 2 } | \omega | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } ) , } \end{array}
\left( R _ { \phi } \cdot \left( \mathcal { F } v _ { t } \right) \right) _ { k , l } = \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { v } } R _ { \phi k , l , j } \left( \mathcal { F } v _ { t } \right) _ { k , j } , \quad k = 1 , \ldots , k _ { \operatorname* { m a x } } , \quad j = 1 , \ldots , d _ { v } .
\begin{array} { r l } { \| \bar { \mathbf R } _ { m + 1 , h } ^ { \flat } \| _ { { \mathcal J } ^ { 1 } ( t , c _ { * } h ^ { - 1 } ) } ^ { 2 } } & { \leq \| 1 \| _ { L ^ { 2 } ( t , c _ { * } h ^ { - 1 } ) } ^ { 2 } \cdot \| R _ { m + 1 , h } ( \, \cdot \, , c _ { * } h ^ { - 1 } ) \| _ { L ^ { 2 } ( t , c _ { * } h ^ { - 1 } ) } ^ { 2 } } \\ { * [ 1 m m ] } & { \leq ( c h ^ { - 1 } - t _ { 0 } ) \cdot c _ { \flat } ^ { 2 } e ^ { - 2 c _ { * } h ^ { - 1 } } \int _ { t } ^ { \infty } e ^ { - 2 x } \, d x = h ^ { - 1 } e ^ { - 2 c _ { * } h ^ { - 1 } } O ( e ^ { - 2 t } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ } & { \| ( q _ { k + 1 } ^ { x } ( \zeta _ { x } ^ { k + 1 } , \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) - q _ { k } ^ { x } ( \zeta _ { x } ^ { k + 1 } , \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) ) + ( q _ { k } ^ { x } - q _ { k + 1 } ^ { x } ) \| ^ { 2 } ] } \\ & { = \mathbb { E } [ \| ( \nabla _ { x } f ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 2 } ; \zeta _ { x } ^ { k + 1 } ) - \nabla _ { x } f ( x _ { k } , y _ { k + 1 } ; \zeta _ { x } ^ { k + 1 } ) + \nabla _ { y } f ( x _ { k } , y _ { k + 1 } ) - \nabla _ { y } f ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 2 } ) ) } \\ & { \quad + \lambda _ { k } ( \nabla _ { x } g ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 2 } ; \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) - \nabla _ { x } g ( x _ { k } , y _ { k + 1 } ; \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) + \nabla _ { x } g ( x _ { k } , y _ { k + 1 } ) - \nabla _ { x } g ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 2 } ) ) } \\ & { \quad + \lambda _ { k } ( \nabla _ { x } g ( x _ { k + 1 } , z _ { k + 2 } ; \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) - \nabla _ { x } g ( x _ { k } , z _ { k + 1 } ; \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) + \nabla _ { x } g ( x _ { k } , z _ { k + 1 } ) - \nabla _ { x } g ( x _ { k + 1 } , z _ { k + 2 } ) ) } \\ & { \quad + \delta _ { k } ( \nabla _ { y } g ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 2 } ; \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) - \nabla _ { y } g ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 2 } ) + \nabla _ { x } g ( x _ { k } , y _ { k + 1 } ) - \nabla _ { x } g ( x _ { k } , y _ { k + 1 } ; \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) ) } \\ & { \quad + \delta _ { k } ( \nabla _ { x } g ( x _ { k + 1 } , z _ { k + 2 } ; \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) - \nabla _ { x } g ( x _ { k + 1 } , z _ { k + 2 } ) + \nabla _ { x } g ( x _ { k } , z _ { k + 1 } ) - \nabla _ { x } g ( x _ { k } , z _ { k + 1 } ; \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) ) \| ^ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu = \left\{ \begin{array} { l l } { \mu _ { p } } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ d ~ o ~ m ~ a ~ i ~ n ~ , ~ } } \\ { \mu _ { f } } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ f ~ l ~ u ~ i ~ d ~ d ~ o ~ m ~ a ~ i ~ n ~ , ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { 1 } { \alpha _ { 3 } ( M _ { Z } ) } = \frac { b _ { 1 3 } s ^ { 2 } - \frac { 3 } { 5 } b _ { 2 3 } c ^ { 2 } } { b _ { 1 2 } \alpha ( M _ { Z } ) } + \delta _ { \mathrm { H } } + \delta _ { \mathrm { H L } } + \Delta _ { \mathrm { L } } ,
\log \langle N ( C _ { 0 } ; r ^ { \prime } , l ) \rangle \approx ( r ^ { \prime } - l ) \cdot \log ( n ) + 1 / 2 \cdot ( r ^ { \prime } ) ^ { 2 } \cdot \log ( p ) \approx \log \langle Z _ { r ^ { \prime } } \rangle - l \cdot \log ( n )
{ \underline { { \psi ( x ) { \bar { \psi } } ( x ^ { \prime } ) } } } = \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { i } { \gamma p - m + i 0 } } e ^ { - i p ( x - x ^ { \prime } ) }
\mathrm { \frac { 9 \, \mathrm { { L } } } { 1 0 0 \, \mathrm { { k m } } } } = \mathrm { \frac { 9 \, \mathrm { { L } } } { 1 0 0 \, \mathrm { { k m } } } } \mathrm { \frac { 1 0 0 0 0 0 0 \, \mathrm { { \ m u L } } } { 1 \, \mathrm { { L } } } } \mathrm { \frac { 1 \, \mathrm { { k m } } } { 1 0 0 0 \, \mathrm { { m } } } } = { \frac { 9 \times 1 0 0 0 0 0 0 } { 1 0 0 \times 1 0 0 0 } } \, \mathrm { \ m u L / m } = 9 0 \, \mathrm { \ m u L / m }
\begin{array} { r l } { | K } & { ( ( x _ { 1 } , c _ { 2 } , c _ { 3 } ) , y , z ) - K ( x , y , z ) | } \\ & { \lesssim \Big ( \frac { | c _ { 2 } - x _ { 2 } | } { | x _ { 2 } - z _ { 2 } | + | y _ { 2 } - z _ { 2 } | } + \frac { | c _ { 3 } - x _ { 3 } | } { | x _ { 3 } - z _ { 3 } | + | y _ { 3 } - z _ { 3 } | } \Big ) ^ { \alpha _ { 2 3 } } D _ { \theta } ( x - z , y - z ) S ( x - z , y - z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \sigma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathcal C \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } & { = \| \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ( A _ { F _ { + } } \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { v } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } ) - A _ { F _ { + } } \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { v } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| A _ { F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { v } ^ { \infty } } \| \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { v } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s - 1 ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s - 1 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } } \\ & { \lesssim \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { \frac { 1 } { s } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { \frac { s - 1 } { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { V } } & { 2 c \mathbf { T } } \\ { 2 c \mathbf { T } } & { \mathbf { W } - 4 c ^ { 2 } \mathbf { T } } \end{array} \right) } & { { } \, \left( \begin{array} { l } { \mathbf { A } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { 1 } = \ } & { \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in C \, : \, x _ { 2 } = 0 , \, x _ { 1 } \in \left( \frac 2 5 , \frac 1 2 \right) \right\} , } \\ { \partial _ { 2 } = \ } & { \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in C \, : \, x _ { 1 } = \frac 2 5 , \, x _ { 2 } \in \left( 0 , \frac 1 5 \right) \right\} , } \\ { \partial _ { 3 } = \ } & { \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in C \, : \, x _ { 1 } \in \left( \frac 2 5 , \frac 1 2 \right) , \, x _ { 2 } = 1 - 2 x _ { 1 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) : = } & { { } \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( r _ { s } ) [ 2 / \bar { f } ] ^ { 1 / 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } } \\ { = } & { \ | u ^ { k } | ^ { 2 p } \, | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | ^ { 2 } + ( | u ^ { k } | ^ { p } ) + | u ^ { j } | ^ { p } ) ( | u ^ { k } | ^ { p } - | u ^ { j } | ^ { p } ) u _ { x } ^ { j } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ & { + \ 2 R e [ ( \overline { { u } } ^ { k } ) ^ { p } ( ( u ^ { k } ) ^ { p } ) _ { x } ] ( u ^ { k } - u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ & { + \ 2 u ^ { j } R e \left[ ( \overline { { u } } ^ { k } ) ^ { p } ( ( u ^ { k } ) ^ { p } ) _ { x } - ( \overline { { u } } ^ { j } ) ^ { p } ( ( u ^ { j } ) ^ { p } ) _ { x } \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { h _ { a b { b } _ { 1 } b _ { 2 } } ( { \pmb x } ) = \frac { R _ { p } } { 4 ( 1 + 4 \hat { \lambda } ) ( 1 + 7 \hat { \lambda } ) } \left[ - 5 ( 5 + 2 8 \hat { \lambda } ) \delta _ { a b } n _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } ( { \pmb x } ) \right. } \\ & { + } & { \left. \frac { 3 + 1 7 \hat { \lambda } } { 1 + 3 \hat { \lambda } } \, \delta _ { a b } \delta _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } - 5 \, ( \delta _ { a b _ { 1 } } n _ { b b _ { 2 } } ( { \pmb x } ) + \delta _ { a b _ { 2 } } n _ { b b _ { 1 } } ( { \pmb x } ) ) \right. } \\ & { + } & { \left. \frac { 2 ( 5 + 8 4 \lambda + 3 7 1 \lambda ^ { 2 } + 4 2 0 \lambda ^ { 3 } ) } { 1 + 3 \hat { \lambda } } \, \delta _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } n _ { a b } ( { \pmb x } ) - 3 5 0 \hat { \lambda } ( 1 + 4 \hat { \lambda } ) \, n _ { a b b _ { 1 } b _ { 2 } } ( { \pmb x } ) ) \right] } \end{array}
B ( \tau , x , y ) = B ( u , y ) = \mathrm { ~ A ~ i ~ } \left( 2 y - u ^ { 2 } + i \beta u \right) \exp \left( \beta y - \beta u ^ { 2 } + i \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } u + 2 i u y - \frac { 2 } { 3 } i u ^ { 3 } \right) \, ,