harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\omega ^ { 2 } \gamma _ { s } ^ { 4 } + 2 \omega \left( \frac { q _ { s } B _ { 0 } } { m _ { s } } \right) \gamma _ { s } ^ { 3 } + \left[ \left( \frac { q _ { s } B _ { 0 } } { m _ { s } } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { q _ { s } E _ { 0 } } { m _ { s } c } \right) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right] \gamma _ { s } ^ { 2 } - 2 \omega \left( \frac { q _ { s } B _ { 0 } } { m _ { s } } \right) \gamma _ { s } - \left( \frac { q _ { s } B _ { 0 } } { m _ { s } } \right) ^ { 2 } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { { } } & { { \hat { \Gamma } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } , k _ { 4 } ) } } \\ { { = } } & { { \displaystyle - g _ { \pi } ^ { 2 } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( \sum _ { i } k _ { i } ) \sum _ { \{ \lambda _ { j } \} } \sum _ { \lambda } \prod _ { j = 1 } ^ { 4 } \left[ \eta _ { \lambda _ { j } } ( k _ { j } ) \right] \left( A _ { s } + A _ { t } + A _ { u } \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 1 } ^ { \mathrm { f o c u s } } ( n ) } & { = \sqrt { d _ { \mathrm { r i s } } ^ { 2 } + 2 d _ { \mathrm { r i s } } x _ { \mathrm { r i s } } ^ { n } + ( x _ { \mathrm { r i s } } ^ { n } ) ^ { 2 } + ( y _ { \mathrm { r i s } } ^ { n } ) ^ { 2 } + l _ { t } ^ { 2 } } } \\ & { = d _ { 1 } \sqrt { 1 + \frac { 2 d _ { \mathrm { r i s } } x _ { \mathrm { r i s } } ^ { n } + ( x _ { \mathrm { r i s } } ^ { n } ) ^ { 2 } + ( y _ { \mathrm { r i s } } ^ { n } ) ^ { 2 } } { d _ { 1 } ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } & { \geq \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , D _ { 1 } | P _ { X } ) \geq \log M _ { 1 } + \gamma _ { 1 } ~ \mathrm { o r } } \\ { * } & { \qquad \qquad \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , D _ { 2 } | P _ { X } ) \geq \log ( M _ { 1 } M _ { 2 } ) + \gamma _ { 2 } \Big \} } \\ { * } & { \qquad - \exp ( - n \gamma _ { 1 } ) - \exp ( - n \gamma _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial c _ { \omega } } { \partial t } } & { { } = \frac { \partial c } { \partial t } + \omega ^ { - 1 } \frac { \partial c } { \partial \tau } , } \\ { \nabla c _ { \omega } } & { { } = \nabla _ { \mathbf x } c + \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf y } c . } \end{array}
{ \it E } _ { \mathrm { i n } } ( { \bf r } , t ) = \sum _ { { \bf k } _ { \mathrm { i n } } , \omega } \tilde { \it E } _ { \mathrm { i n } } ( { \bf k } _ { \mathrm { i n } } , \omega ) e ^ { i { \bf k } _ { \mathrm { i n } } \cdot { \bf r } - i \omega t }
k \tau _ { m } + \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ - \frac 1 2 \tau _ { m } , \frac 1 2 \tau _ { m } \aftergroup \egroup \right] \subseteq l _ { k } \tau _ { m } ^ { \prime \prime } + \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ - \frac 1 2 \tau _ { m } ^ { \prime \prime } , \frac 1 2 \tau _ { m } ^ { \prime \prime } \aftergroup \egroup \right] \, , \qquad \forall k \in \ensuremath { \mathbb { Z } } \, .
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } ( \triangle _ { w } ) = \mathcal { O } ( \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } ( \hat { \alpha } _ { 1 } , \hat { \alpha } _ { 2 } ) K } + { \frac { 1 } { \hat { \alpha } _ { 3 } \sqrt { n K } } } ) } \\ & { \frac { 2 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \cdot \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } ( \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { f } } { n } + \frac { a _ { 3 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } } { L _ { y } } ) \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } } \\ & { = \mathcal { O } \left( \frac { 2 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \cdot \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \kappa _ { g } ^ { 3 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { n } + \frac { \kappa _ { g } ^ { 5 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { n } \right) = \mathcal { O } \left( \frac { \kappa _ { g } ^ { 5 } \hat { \alpha } _ { 3 } } { \sqrt { n K } } \right) } \\ & { \frac { 8 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \cdot \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } ( \alpha _ { k } M _ { f } ^ { 2 } + \frac { a _ { 2 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } } { L _ { y } } ) \frac { T \beta _ { k } ^ { 2 } ( \sigma _ { g , 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } { { n S } } } \\ & { = \mathcal { O } \left( \frac { 4 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \cdot \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \eta \bar { \beta } ^ { 2 } } { n S T } \alpha _ { k } ^ { 2 } + \left( \frac { M _ { f } ^ { 2 } \bar { \beta } ^ { 2 } } { n S T } + \frac { \eta M _ { f } L _ { y } \bar { \beta } ^ { 2 } } { n S T } \right) \alpha _ { k } ^ { 3 } + \frac { \eta ^ { 2 } \bar { \beta } ^ { 2 } L _ { y z } \tilde { D } _ { f } ^ { 2 } } { n S T } \alpha _ { k } ^ { 4 } \right) } \\ & { = \mathcal { O } \left( \frac { 4 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \cdot \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \kappa _ { g } ^ { 9 } } { n S T } \alpha _ { k } ^ { 2 } + \frac { \kappa _ { g } ^ { 1 2 } } { n S T } \alpha _ { k } ^ { 3 } + \frac { \kappa _ { g } ^ { 1 5 } } { n S T } \alpha _ { k } ^ { 4 } \right) } \\ & { = \mathcal { O } \left( \frac { \kappa _ { g } ^ { 9 } } { S T \sqrt { n K } } \hat { \alpha } _ { 3 } + \frac { \kappa _ { g } ^ { 1 2 } } { S T K } \hat { \alpha } _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { \kappa _ { g } ^ { 1 5 } \sqrt { n } } { S T K ^ { 3 / 2 } } \hat { \alpha } _ { 3 } ^ { 3 } \right) } \end{array}
\varphi _ { X + Y } ( t ) = \operatorname { E } \left[ e ^ { i t ( X + Y ) } \right] = \operatorname { E } \left[ e ^ { i t X } e ^ { i t Y } \right] = \operatorname { E } \left[ e ^ { i t X } \right] \operatorname { E } \left[ e ^ { i t Y } \right] = \varphi _ { X } ( t ) \varphi _ { Y } ( t )
H _ { d } ( z ) = { \frac { { \frac { b _ { 0 } K ^ { 2 } + b _ { 1 } K + b _ { 2 } } { a _ { 0 } K ^ { 2 } + a _ { 1 } K + a _ { 2 } } } + { \frac { 2 b _ { 2 } - 2 b _ { 0 } K ^ { 2 } } { a _ { 0 } K ^ { 2 } + a _ { 1 } K + a _ { 2 } } } z ^ { - 1 } + { \frac { b _ { 0 } K ^ { 2 } - b _ { 1 } K + b _ { 2 } } { a _ { 0 } K ^ { 2 } + a _ { 1 } K + a _ { 2 } } } z ^ { - 2 } } { 1 + { \frac { 2 a _ { 2 } - 2 a _ { 0 } K ^ { 2 } } { a _ { 0 } K ^ { 2 } + a _ { 1 } K + a _ { 2 } } } z ^ { - 1 } + { \frac { a _ { 0 } K ^ { 2 } - a _ { 1 } K + a _ { 2 } } { a _ { 0 } K ^ { 2 } + a _ { 1 } K + a _ { 2 } } } z ^ { - 2 } } } .
{ \begin{array} { r l } { j ^ { \prime } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { j ( x + h ) - j ( x ) } { h } } } \\ & { \; \; \vdots } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left( { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } - { \frac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h } } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } - \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h } } } \\ & { = f ^ { \prime } ( x ) - g ^ { \prime } ( x ) } \end{array} }
\mathbf { e } _ { \mathrm { x } } { \hat { p } } _ { x } + \mathbf { e } _ { \mathrm { y } } { \hat { p } } _ { y } + \mathbf { e } _ { \mathrm { z } } { \hat { p } } _ { z } = - i \hbar \left( \mathbf { e } _ { \mathrm { x } } { \frac { \partial } { \partial x } } + \mathbf { e } _ { \mathrm { y } } { \frac { \partial } { \partial y } } + \mathbf { e } _ { \mathrm { z } } { \frac { \partial } { \partial z } } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { \gamma _ { \alpha \theta } + \gamma _ { \theta \beta } \cos \left( \theta \right) + \gamma _ { \alpha \beta } \cos \left( \alpha \right) } & { = 0 } \\ { \gamma _ { \alpha \theta } \cos \left( \theta \right) + \gamma _ { \theta \beta } + \gamma _ { \alpha \beta } \cos \left( \beta \right) } & { = 0 } \\ { \gamma _ { \alpha \theta } \cos \left( \alpha \right) + \gamma _ { \theta \beta } \cos \left( \beta \right) + \gamma _ { \alpha \beta } } & { = 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\langle \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \Psi ( F ( Z _ { n } ) ) ^ { 2 a _ { n } } \right] , \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \prod _ { j = n - 1 } ^ { 1 } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rangle \right] } \\ { \leq \, } & { \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\langle \mathbb { E } _ { \boldsymbol \mu } \left[ \Psi ( G ( B _ { n } ) ) ^ { 2 a _ { n } } \right] , \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \prod _ { j = n - 1 } ^ { 1 } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rangle \right] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { g _ { n \kappa } ( r ) } \\ { f _ { n \kappa } ( r ) } \end{array} \right\} = \beta _ { n \kappa } \frac { \left( p _ { n \kappa } r \right) ^ { \left| \kappa \right| - 1 } } { ( 2 \left| \kappa \right| - 1 ) ! ! } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left\{ \begin{array} { l } { b _ { j } } \\ { a _ { j } } \end{array} \right\} r ^ { j } .
{ \frac { 1 } { d ^ { 2 } } } = \left( { \frac { h ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta } { b ^ { 2 } } } + { \frac { \ell ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } - { \frac { 2 h \ell \cos \beta } { a c } } \right) \csc ^ { 2 } \beta
a _ { i j } = { \frac { 1 } { ( k _ { i } - j ) ! } } \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { i } } { \frac { d ^ { k _ { i } - j } } { d x ^ { k _ { i } - j } } } \left( ( x - x _ { i } ) ^ { k _ { i } } f ( x ) \right) ,
{ C } _ { \gamma _ { 1 } \ldots \gamma _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } \, N } w _ { \gamma _ { 1 } } \ldots w _ { \gamma _ { 4 } } = \sqrt { \mathrm { d i m } _ { N } } \ \left( { C } _ { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \gamma } ^ { N _ { 1 } N _ { 2 } N } w _ { \gamma _ { 1 } } w _ { \gamma _ { 2 } } w _ { \gamma } \right) \left( { C } _ { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \gamma ^ { \prime } } ^ { N _ { 1 } N _ { 2 } N } w _ { \gamma _ { 1 } } w _ { \gamma _ { 2 } } w _ { \gamma ^ { \prime } } \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { \mathrm { d i m } _ { N _ { 1 } } \ldots \mathrm { d i m } _ { N _ { 4 } } } } } .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { E } ^ { \mathrm { I } } ( \boldsymbol { x } , t ) = \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \exp \left( - \frac { ( t + ( x _ { 3 } - 0 . 5 ) / c - 6 \sigma ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) , 0 , 0 \right) ^ { \mathrm { T } } , \quad \boldsymbol { H } ^ { \mathrm { I } } ( \boldsymbol { x } , t ) = \frac { 1 } { \eta } \boldsymbol { k } ^ { \mathrm { I } } \times \boldsymbol { E } ^ { \mathrm { I } } ( \boldsymbol { x } , t ) , } \end{array}
\frac { x } { \delta _ { 0 } } { \displaystyle \propto } ~ \left( \Phi _ { v } ^ { 0 . 2 5 } \sqrt { \frac { \rho _ { 0 } } { \rho _ { p } } } \frac { U _ { \mathrm { i n d } } t } { \delta _ { 0 } } \right) ^ { 2 } = { t ^ { * } } ^ { 2 } ,
\sqrt [ 3 ] { 3 6 \pi } U ^ { \frac { 2 } { 3 } } ( r ) - 1 5 \pi U ( r ) - 4 \pi k _ { x _ { 0 } } ( r ) \varepsilon ^ { 2 } \leq 5 \mathcal { H } ^ { 2 } ( \Omega \cap \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) .
\begin{array} { r l r } { | y ( s ) | } & { \leq } & { | y ( s _ { 0 } ) | + | T ( s _ { 0 } ) | [ | x ( s ) | + | x ( s _ { 0 } ) | ] } \\ & { \leq } & { ( 2 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 | h ( 0 , 0 ) | x ( s _ { 0 } ) ^ { N } ) A C } \\ & { } & { + ( 8 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s _ { 0 } ) + 8 N x ( s _ { 0 } ) ^ { N - 1 } | h ( 0 , 0 ) | ) A C [ | x ( s ) | + | x ( s _ { 0 } ) | ] } \\ & { \leq } & { ( 2 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) ^ { 2 } + 2 | h ( 0 , 0 ) | x ( s ) ^ { N } ) A C + ( 8 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) + 8 N x ( s ) ^ { N - 1 } | h ( 0 , 0 ) | ) A C \cdot 2 x ( s ) } \\ & { \leq } & { ( 1 8 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) ^ { 2 } + 1 8 N | h ( 0 , 0 ) | x ( s ) ^ { N } ) A C . } \end{array}
R _ { i j , l m } = \frac { \Omega _ { i j , l m } ^ { 2 } / \Gamma } { 1 + 4 \{ \omega _ { l m } ( t ) - [ \omega _ { j } ( \mathbf { r } ) - \omega _ { i } ( \mathbf { r } ) ] - \textbf { k } _ { l } \cdot \textbf { v } \} ^ { 2 } / \Gamma ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { 1 - } & { \frac { 1 } { 4 ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) \sqrt { \pi \operatorname* { m a x } \{ I _ { n } ^ { \prime \prime } - \mu _ { n } , \mu _ { n } + K \} \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { 2 \gamma ^ { 2 } } { e ^ { \gamma ^ { 2 } - 1 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( K + 1 ) } } \left( \frac { e } { K + 1 } \right) ^ { K + 1 } - \frac { 1 } { 4 ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) \sqrt { \pi I _ { n } \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { 2 \gamma ^ { 2 } } { e ^ { \gamma ^ { 2 } - 1 } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { 1 } ( D _ { \lambda } : X _ { n } \to \ell _ { 2 } ^ { n } ) } & { = \pi _ { 1 } ( D _ { \lambda } \circ v \circ u ) \leq \pi _ { 1 } ( D _ { \lambda } \circ v ) \| u \| } \\ & { \leq K _ { G } \| D _ { \lambda } \| \| v \| \| u \| \leq K _ { G } \| D _ { \lambda } \| 2 \gamma _ { 1 } ( X _ { n } ) \leq 2 K _ { G } C \| D _ { \lambda } \| \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ( \hat { \Pi } ) = \Pi ( \mathbf { x } , \mathbf { q } , \hbar ) = \Pi _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } ) + \hbar \Pi _ { 1 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } ) + \mathcal { O } ( \hbar ^ { 2 } ) , } \end{array}
\Delta \hat { \mathbf { R } } ^ { t - 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \beta _ { t } } } ( \Delta \mathbf { R } ^ { t } - \frac { \beta _ { t } } { \sqrt { 1 - \alpha _ { t } ^ { 2 } } } \hat { \epsilon } ) + \sigma _ { t } \epsilon
f { \bf k } \times \rho { \bf v } + \rho _ { \star } \nabla B _ { a } ^ { i d e a l } = \rho _ { \star } { \bf P } _ { a } ^ { i d e a l } , \qquad \rho _ { \star } { \bf P } _ { a } ^ { i d e a l } = g ( z - z _ { r } ) \nabla \rho .
\begin{array} { r l } { N _ { q } } & { \sim N ( \omega _ { \mathrm { O } } ) } \\ { N _ { p } } & { \sim N ( \omega _ { \mathrm { A } } ) \frac { N ( \omega _ { p } ) } { N ( \omega _ { A } ) } \sim N ( \omega _ { \mathrm { A } } ) \frac { \omega _ { A } } { \omega _ { p } } \sim N ( \omega _ { \mathrm { A } } ) \frac { k _ { \operatorname* { m a x } } } { p } , } \end{array}
\left[ { \frac { 1 } { \alpha } } { \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { \alpha } } { \frac { 1 } { r } } { \frac { d } { d r } } - { \frac { 2 } { \alpha } } { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \right] b _ { 0 } + M \left( { \frac { 1 } { \alpha } } - 1 \right) { \frac { d a _ { 0 } } { d r } } = M ^ { 2 } b _ { 0 } ,
\begin{array} { r } { \left. { \frac { \operatorname { d } \! C _ { 3 , n } ^ { * } } { \operatorname { d } \! \xi ^ { * } } } \right| _ { \xi ^ { * } = 0 } = ( n - 1 ) ! { \binom { 3 } { n } } \frac { \varepsilon _ { 2 } ^ { n - 1 } \lambda _ { i c } ^ { n - 1 } } { \mu m _ { 2 } ^ { n - 1 } } + \frac { 2 \lambda _ { i c } \lambda _ { 3 } \varepsilon _ { 2 } \delta _ { n , 3 } } { \mu m _ { 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { s p i n } } ( t ) = J _ { \mathrm { e x } } ( t ) \sum _ { ( i , j ) } \hat { \bf s } _ { i } \hat { \bf s } _ { j } + B _ { x } { \bf e } _ { x } \sum _ { i } \hat { \bf s } _ { i }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { x x } ^ { \mathcal { R } } } & { = 2 ( \sigma _ { x y } \dot { \omega } _ { x y } + \sigma _ { x z } \dot { \omega } _ { x z } ) , } \\ { \sigma _ { y y } ^ { \mathcal { R } } } & { = - 2 ( \sigma _ { x y } \dot { \omega } _ { x y } - \sigma _ { y z } \dot { \omega } _ { y z } ) , } \\ { \sigma _ { z z } ^ { \mathcal { R } } } & { = - 2 ( \sigma _ { x z } \dot { \omega } _ { x z } + \sigma _ { y z } \dot { \omega } _ { y z } ) , } \\ { \sigma _ { x y } ^ { \mathcal { R } } } & { = \dot { \omega } _ { x y } ( \sigma _ { y y } - \sigma _ { x x } ) + \sigma _ { y z } \dot { \omega } _ { x z } + \sigma _ { x z } \dot { \omega } _ { y z } , } \\ { \sigma _ { y z } ^ { \mathcal { R } } } & { = \dot { \omega } _ { y z } ( \sigma _ { z z } - \sigma _ { y y } ) - \sigma _ { x y } \dot { \omega } _ { x z } - \sigma _ { x z } \dot { \omega } _ { x y } , } \\ { \sigma _ { x z } ^ { \mathcal { R } } } & { = \dot { \omega } _ { x z } ( \sigma _ { z z } - \sigma _ { x x } ) + \sigma _ { y z } \dot { \omega } _ { x y } - \sigma _ { x y } \dot { \omega } _ { y z } , } \end{array}
W _ { z } \left( \begin{array} { c c } { { a + N \bar { \epsilon } _ { j } } } & { { b + N \bar { \epsilon } _ { j } } } \\ { { d + N \bar { \epsilon } _ { j } } } & { { c + N \bar { \epsilon } _ { j } } } \end{array} \right) = W _ { z } \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { b } } \\ { { d } } & { { c } } \end{array} \right) .
\operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathcal { F } ( u _ { \varepsilon } , C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) ) } { \varepsilon ^ { d } } \leq b \mathcal { L } ^ { d } ( C _ { 1 , \theta } ( x _ { 0 } ) ) + \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { b } { \varepsilon ^ { d } } \int _ { C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) } \psi ( x , | \nabla u _ { \varepsilon } ( x ) | ) \, d x .
\begin{array} { r } { A = U D V ^ { T } , \ U ^ { - 1 } = U ^ { T } , \ V ^ { - 1 } = V ^ { T } , \ D = \{ D _ { i k } \} = \! \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , i \ne k , i \le n _ { G } , k \le n _ { d } } \\ { d _ { i } , i = k \le \operatorname* { m i n } ( n _ { G } , n _ { d } ) } \end{array} \right. \! \! \! \! \! \! , d _ { i } \ge d _ { i + 1 } \ge 0 . } \end{array}
\frac { k _ { x } ^ { 2 } } { k _ { x , \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } + \frac { ( \omega - \omega _ { \mathrm { c } } ) ^ { 2 } } { ( \Delta \omega / 2 ) ^ { 2 } } = 1 , \quad \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { k _ { x , \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } + \frac { ( k _ { z } - k _ { \mathrm { c } } ) ^ { 2 } } { ( \Delta k _ { z } / 2 ) ^ { 2 } } = 1 ,
\delta \left( G _ { 0 } ^ { + } \right) ^ { 2 } = 2 ^ { - 8 / 3 } \lambda ^ { + } G _ { 0 } ^ { + } + 2 ^ { - 4 / 3 } \left[ L _ { 0 } - { \frac { 5 c } { 1 2 8 } } \right] .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 2 5 } \to \pi ^ { - } } \frac { \mathrm { d } a _ { 2 5 } } { \mathrm { d } \theta _ { 2 5 } } = \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 2 5 } \to \pi ^ { - } } \frac { \mathrm { d } q _ { 2 } } { \mathrm { d } \theta _ { 2 5 } } \, . } \end{array}
\Delta F = - \frac { 1 } { \beta } \ln \left\langle \mathrm { e } ^ { - \beta \left[ \mathcal { H } _ { \mathrm { B } } ( \mathbf { q } \mathbf { p } ; \lambda ) - \mathcal { H } _ { A } ( \mathbf { q } , \mathbf { p } ; \lambda ) \right] } \right\rangle _ { \mathrm { A } }
\mathrm { Q } _ { s } = m _ { s } \int \left( \mathbf { v } - \mathbf { u } _ { s } \right) \otimes \left( \mathbf { v } - \mathbf { u } _ { s } \right) \otimes \left( \mathbf { v } - \mathbf { u } _ { s } \right) f _ { s } \mathrm { ~ d } \mathbf { v }
\begin{array} { r l } { \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } = } & { \Pi _ { C } ( \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } ) } \\ { = } & { ( { \mathbf { I } } - \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) ) \Pi _ { C } \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } + \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) ( \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } ) } \\ { = } & { \Pi _ { C } { \mathbf { C } } _ { \gamma } \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } + \Pi _ { C } { \mathbf { C } } _ { \gamma } ( \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) ) } \\ & { + \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) ( \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { n , s } : \mathbb { R } _ { + } \times \mathbb { R } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \to \mathbb { R } , \; \; ( u , \mathbf { v } ) \mapsto f \left( u , ( n , s , \mathbf { v } ) \right) } \\ { \mathrm { a n d ~ } } & { h _ { t _ { 0 } , x } : \mathbb { R } _ { + } \to \mathbb { R } ^ { 1 + n _ { \operatorname* { m a x } } } , \; \; t \mapsto \left( t , \tau - \sum _ { k = 1 } ^ { n - s } ( t - t _ { 0 } ) e _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { t } \mu _ { t } } & { = \gamma _ { t - 1 } , } \\ { \gamma _ { t } \tau _ { t } } & { \leq \gamma _ { t - 1 } ( \tau _ { t - 1 } + \lambda _ { 2 } ) , } \\ { \gamma _ { t } \eta _ { t } } & { \leq \gamma _ { t - 1 } ( \eta _ { t - 1 } + \lambda _ { 2 } ) , } \\ { \tau _ { t } \eta _ { t - 1 } } & { \geq \mu _ { t } , } \end{array}
V _ { 0 } = \langle \hat { V } \rangle - \operatorname { T r } [ \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \Sigma _ { t } ] / 2 \mathrm { ~ , ~ } V _ { 1 } = \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle \mathrm { ~ , ~ } V _ { 2 } = \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle .
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathbf { w } _ { \alpha } \cdot \left( \boldsymbol { \beta } _ { \alpha } - \hat { \gamma } _ { \alpha } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathbf { w } _ { \alpha } + \mathbf { v } \right) \right) = } \\ & { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , \dots , N - 1 } ( \mathbf { w } _ { \alpha } - \mathbf { w } _ { N } ) \cdot \left( \boldsymbol { \beta } _ { \alpha } - \frac { 1 } { 2 } \hat { \gamma } _ { \alpha } \left( \mathbf { w } _ { \alpha } + \mathbf { w } _ { N } \right) - \hat { \gamma } _ { \alpha } \mathbf { v } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d X _ { i } } { d t } = \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial P _ { i } } , \ \ \ \ \ } \\ { f r a c { d P _ { i } } { d t } = - \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial X _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I \ = \ } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } x e ^ { - \frac { ( x - Q ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \ d x } \\ { \ = \ } & { \int _ { - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } . } ^ { + \infty } ( \sqrt { 2 } \sigma u + Q ) e ^ { - u ^ { 2 } } \sqrt { 2 } \sigma \ d u } \\ { \ = \ } & { 2 \sigma ^ { 2 } \int _ { - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } } ^ { + \infty } u e ^ { - u ^ { 2 } } d x + \sqrt { 2 } \sigma Q \int _ { - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } . } ^ { + \infty } e ^ { - u ^ { 2 } } d x } \\ { \ = \ } & { \sigma ^ { 2 } e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } + \sqrt { 2 \pi } \sigma Q \ \frac { 1 } { 2 } \left( \ 1 - \mathrm { e r f } \left( - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) \ \right) } \\ { \ = \ } & { \sigma ^ { 2 } e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } + \sqrt { 2 \pi } \sigma Q \ \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e r f c } \left( - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) } \\ { \ = \ } & { \sigma ^ { 2 } e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } + \sqrt { 2 \pi } \sigma Q \ g _ { N } . } \end{array}
h ( \boldsymbol { X } ( t ) , t ) : = \left( \begin{array} { l } { - k _ { R } V ( t ) P ( t ) + g _ { V } W _ { V } ( t ) + k _ { U } ( t ) R ( t ) } \\ { k _ { F } ( t ) R ( t ) - g _ { V } W _ { V } ( t ) } \\ { k _ { F } ( t ) R ( t ) - g _ { P } W _ { P } ( t ) } \\ { k _ { R } V ( t ) P ( t ) - k _ { F } ( t ) R ( t ) - k _ { U } ( t ) R ( t ) } \\ { - k _ { R } V ( t ) P ( t ) + g _ { P } W _ { P } ( t ) + k _ { U } ( t ) R ( t ) } \end{array} \right) .
N ( 1 - R ) [ ( 1 - p _ { 1 } ) \delta _ { 1 } + p _ { 1 } ( 1 - p _ { 2 } ) \delta _ { 2 } + p _ { 1 } p _ { 2 } ( 1 - p _ { 3 } ) \delta _ { 3 } + p _ { 1 } p _ { 2 } p _ { 3 } ( 1 - p _ { 4 } ) \delta _ { 4 } ]
G _ { r s } = \left( \begin{array} { l l } { { { \frac { H _ { 0 } } { H _ { 1 } } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { { \frac { H _ { 2 } } { H _ { 3 } } } } } \end{array} \right) = { \frac { H _ { 2 } } { H _ { 3 } } } \left( \begin{array} { l l } { { ( \mathrm { R e } \, U ) ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { L o s s _ { B C } } & { = M S E _ { B C } , } \\ { L o s s _ { I C } } & { = M S E _ { I C } , } \\ { L o s s _ { F } } & { = M S E _ { F } = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \frac { \omega _ { i } } { N _ { F } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { F } } \left| F _ { i } \left( x _ { j } , t _ { j } \right) \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \hat { d } ) } & { { } \leq \left( \frac { k ^ { k } \left( \eta ! \right) } { \eta ^ { k } \left( \eta - k \right) ! } \right) ^ { 2 } e ^ { 3 } \left( \frac { 2 \eta \left( k + e \right) } { k ^ { 2 } } \right) ^ { k } } \end{array}