harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Z _ { 4 c } ^ { \dag } ) } & { \lesssim \sum _ { i \ell s } \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { s } \theta _ { t } \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d Z ^ { ( n ) } - \Delta Z ^ { ( n ) } d t = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( \varphi ^ { ( n ) } - \varphi ^ { ( n - 1 ) } ) \varphi _ { V } \partial _ { i } ( \mathbf { P } ( V _ { i } V ) ) d t + G ( Z ^ { ( n ) } ) d t } \\ & { + ( \varphi ^ { ( n ) } - \varphi ^ { ( n - 1 ) } ) \varphi _ { V } \sigma ( V ) d \mathbb { W } _ { t } + \mathbf { P } ( b \cdot \nabla Z ^ { ( n ) } ) d \mathbb { W } _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { < J _ { \phi } / R > ( \psi _ { N } ) = } & { { } c _ { I } \bigg ( \underbrace { I _ { p } ( 1 - \psi _ { \mathrm { N } } ) ^ { \alpha } } _ { \mathrm { ~ \normalfont ~ P ~ C ~ 1 ~ s ~ t ~ a ~ g ~ e ~ } } + } \end{array}
\frac { 1 } { x } \Delta F _ { 2 } ( Q ^ { 2 } , m _ { q } ^ { 2 } , x ) = \frac { 1 } { x } \Delta F _ { 2 } ( m _ { q } ^ { 2 } , x ) = e _ { q } ^ { 2 } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d z } { z } \int _ { Q _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d l ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \Delta C \left( \frac { m _ { q } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } , \frac { x } { z } \right) \frac { \partial } { \partial \ln l ^ { 2 } } G ( l ^ { 2 } , z ) ,
s _ { i } ( t ) = \sum _ { \{ n _ { j } : j \in \mathcal { N } _ { i } \} } \delta _ { 1 , F _ { i } ( \vec { n } _ { \mathcal { N } _ { i } } ) } \, \prod _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } [ s _ { j } ( t - 1 ) ] ^ { n _ { j } } [ 1 - s _ { j } ( t - 1 ) ] ^ { 1 - n _ { j } } \; ,
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { t } ^ { \ell } [ \rho ^ { \prime } ( \phi ) | u | ^ { 2 } ] \| _ { s } ^ { 2 } \lesssim } & { \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { s } ^ { 2 } ) \| \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { s } ^ { 4 } } \\ { \lesssim } & { \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } \big ( 1 + \| \Phi _ { j } ( u , \phi ) \| _ { s - 2 } ^ { 2 } + E _ { j } ( t ) \big ) \| U _ { j } ( u , \phi ) \| _ { s - 2 } ^ { 4 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal X } _ { i } = \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { ~ m ~ } } } d t \; \hat { \mathcal P } _ { 2 , 1 } ^ { ( i ) } ( t ) i e ^ { i \omega _ { p } t } + h . c . , } \\ { \hat { \mathcal P } _ { 2 , 1 } ^ { ( i ) } ( t ) \equiv \hat { U } ^ { \dagger } ( t ) \left( \left| 2 \right> _ { i } \left< 1 \right| + \left| 1 \right> _ { i } \left< 2 \right| \right) \hat { U } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x ) , \, d ( x ) , \, s ( x ) : } & { { } \quad \mathrm { q u a r k s } } \\ { \bar { u } ( x ) , \, \bar { d } ( x ) , \, \bar { s } ( x ) : } & { { } \quad \mathrm { a n t i q u a r k s } } \\ { g ( x ) : } & { { } \quad \mathrm { g l u o n } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega _ { x , i } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { \theta _ { i } } { \mu _ { i } } \frac { \omega _ { x , 0 } ^ { 2 } - \omega _ { y , 0 } ^ { 2 } - \omega _ { z , 0 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \theta _ { i } ^ { 2 } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } \frac { \omega _ { x , 0 } ^ { 2 } + \omega _ { y , 0 } ^ { 2 } + \omega _ { z , 0 } ^ { 2 } } { 2 } } \\ { \omega _ { y , i } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { \theta _ { i } } { \mu _ { i } } \frac { \omega _ { y , 0 } ^ { 2 } - \omega _ { x , 0 } ^ { 2 } - \omega _ { z , 0 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \theta _ { i } ^ { 2 } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } \frac { \omega _ { x , 0 } ^ { 2 } + \omega _ { y , 0 } ^ { 2 } + \omega _ { z , 0 } ^ { 2 } } { 2 } } \\ { \omega _ { z , i } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { \theta _ { i } } { \mu _ { i } } \omega _ { z , 0 } ^ { 2 } \mathrm { . } } \end{array}
\left. \begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \partial \zeta } { \partial x } = \frac { \partial \xi } { \partial x } = \frac { \partial ^ { 3 } \zeta } { \partial x ^ { 3 } } = \frac { \partial ^ { 3 } \xi } { \partial x ^ { 3 } } = \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial x } = \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial x } = 0 , } \\ { \zeta - \xi = \beta , } \end{array} \right\}
= \, \frac { 3 \sqrt { \pi } } { 8 } \, ( \frac { \lambda _ { m } } { \kappa } ) ^ { 2 } \, \mathrm { s e c h } [ \frac { \pi } { 2 } \sqrt { ( \frac { \lambda _ { m } } { \kappa } ) ^ { 2 } - 1 } ]
\left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { \vartheta } _ { a , b ; 1 } ^ { T } } \\ { \dot { \boldsymbol { \vartheta } } _ { a , b ; 1 } ^ { T } } \end{array} \right) \boldsymbol { C } = A e ^ { - i \ell k _ { 1 } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { i k _ { 1 } } \end{array} \right) + A R e ^ { i \ell k _ { 1 } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - i k _ { 1 } } \end{array} \right) } \\ { \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { \vartheta } _ { a , b ; 2 } ^ { T } } \\ { \dot { \boldsymbol { \vartheta } } _ { a , b ; 2 } ^ { T } } \end{array} \right) \boldsymbol { C } = A T e ^ { i \ell k _ { 2 } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { i k _ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array} \right. \quad \tilde { E } > 0
\begin{array} { r c l } { { Q _ { 1 } ^ { j r } } } & { { = } } & { { ( \overline { { { r } } } _ { \alpha } j _ { \beta } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V - - A } } } ( \overline { { { j } } } _ { \beta } b _ { \alpha } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V - - A } } } } } \\ { { Q _ { 2 } ^ { j r } } } & { { = } } & { { ( \overline { { { r } } } _ { \alpha } j _ { \alpha } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V - - A } } } ( \overline { { { j } } } _ { \beta } b _ { \beta } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V - - A } } } . } } \end{array}
\phi _ { 0 , 0 } \left( u \right) = { \bf E } \left( u ^ { \tau _ { 0 , 0 } } \right) = \frac { G _ { 0 , 0 } \left( u \right) - 1 } { G _ { 0 , 0 } \left( u \right) } = \frac { b _ { 0 } \left( z \left( u \right) - \overline { { \alpha } } \right) } { b _ { 0 } \left( z \left( u \right) - \overline { { \alpha } } \right) + \overline { { \alpha } } \left( 1 - z \left( u \right) \right) \phi _ { \beta } \left( z \left( u \right) \right) } \mathrm { . }
\begin{array} { r l r } { \int _ { m ^ { 2 } } ^ { m ^ { 2 } + \Lambda ^ { 2 } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! d M ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, x ( 1 - x ) } & { } & { \! \! \! \! \! \underbrace { \int { \frac { d ^ { \, 4 } p / ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { [ p ^ { 2 } + q ^ { 2 } x ( 1 - x ) - M ^ { 2 } ] ^ { 3 } } } } } \\ & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \equiv \int { \frac { d ^ { \, 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } - L ) ^ { 3 } } } = { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } i L } } } \end{array}
\vec { C } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { b k _ { q } } & { - b k _ { v _ { A } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - b k _ { v _ { A } } } \end{array} \right) \; ,
f _ { i } ^ { \gamma } = \lambda \frac { 4 \pi \alpha _ { e m } } { f _ { \rho } ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { 2 } { 3 \pi \lambda } \frac { f _ { \rho } ^ { 2 } } { 4 \pi } \right) f _ { i } ^ { \pi } ,
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } } } }
\mathbb { E } \left[ \alpha _ { i } \mathbb { I } _ { \mathsf { S } _ { k - 1 } ^ { l } } ( i ) \mathbb { I } _ { \{ \alpha _ { i } \geq | \beta _ { i } | \} } \right] = \mathbb { E } \left[ \alpha _ { i } \mathbb { I } _ { \mathsf { S } _ { k - 1 } ^ { l } } ( i ) \mathbb { I } _ { \{ \alpha _ { i } \geq | \beta _ { i } | \} \cap \mathsf { A } _ { \varepsilon } ^ { c } } \right] + \mathbb { E } \left[ \alpha _ { i } \mathbb { I } _ { \mathsf { S } _ { k - 1 } ^ { l } } ( i ) \mathbb { I } _ { \{ \alpha _ { i } \geq | \beta _ { i } | \} \cap \mathsf { A } _ { \varepsilon } } \right]
\begin{array} { r } { { S _ { 1 1 } ^ { q } = S _ { 1 1 } ^ { t h } + S _ { 1 1 } ^ { s h } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E ( 2 f ( 1 - f ) + T ( f _ { 0 } - f ) + f ^ { 2 } } } \\ { { - R ^ { 2 } f ^ { 2 } - T ^ { 2 } f _ { 0 } ^ { 2 } - 2 R T f f _ { 0 } ) ) } } \end{array}
d \bar { s } ^ { 2 } = f ( \phi ) \, d s ^ { 2 } \, , \quad \mathrm { i . e . , } \quad d \bar { \tau } ^ { 2 } = f ( \phi ) \, d \tau ^ { 2 } \quad \mathrm { a n d } \quad \bar { a } ^ { 2 } = f ( \phi ) \, a ^ { 2 } \, .
\left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { y _ { 2 } ^ { \prime } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { - 2 } & { 1 } \\ { 9 9 8 } & { - 9 9 9 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { y _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \hat { \check { \mathbf \Xi } } _ { j } ^ { \mathbb { B } } = ( \hat { \check { \mathbf \Xi } } _ { j , \lceil n b \rceil } ^ { \mathbb { B } , \top } , \cdots , \hat { \check { \mathbf \Xi } } _ { n - 2 \lceil n b \rceil + j , n - \lceil n b \rceil } ^ { \mathbb { B } , \top } ) ^ { \top } , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \check { \mathbf \Xi } } _ { j , s } ^ { \mathbb { B } } = ( c _ { z } K _ { b _ { z } } ( t _ { j } - t _ { s } ) \check { \Xi } _ { z , j } / \hat { \check { \Gamma } } _ { z } ( t _ { s } ) , z \in \mathbb { B } ) ^ { \top } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { t r } } } & { \approx \frac { 1 } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ( F ) } \left( \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } \left( \frac { \Gamma ( 1 + \alpha ) } { 2 \Gamma ( 1 - \alpha ) } \right) ^ { 1 / ( 2 \alpha ) } \left( \frac { L } { A ( F ) } \right) ^ { 1 / \alpha } \propto \frac { \left[ ( L / b ) \coth ( q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ) \right] ^ { 1 / \alpha } } { \gamma _ { \mathrm { r } } \cosh [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] } } \\ & { \propto ( L / b ) ^ { 1 / \alpha } \left[ 2 k _ { \mathrm { B } } T / ( q F b ) \right] ^ { 1 / \alpha } / \gamma _ { \mathrm { r } } \mathrm { ~ f o r ~ } q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) < 1 , } \end{array}
S = \left( \begin{array} { c c c c } { { \tilde { a } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \tilde { d } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \tilde { e } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \tilde { e } } } \end{array} \right) .
\rho ( r ) = \rho _ { 0 } \bigg \{ 1 + \frac { 1 } { T _ { 0 } } \left( h ( r ) - \frac { 2 H \left( R _ { 1 } , R _ { 2 } \right) } { R _ { 2 } ^ { 2 } - R _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \bigg \} .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } ( x ^ { 2 n } ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } [ 1 + \cos ( x \pi ) ] x ^ { 2 n } \, d x = \int _ { - 1 } ^ { 1 } x ^ { 2 n } \operatorname { h v c } ( x \pi ) \, d x } \\ & { = { \frac { 1 } { n + 1 } } + { \frac { 1 } { 1 + 2 n } } \, _ { 1 } F _ { 2 } \left( n + { \frac { 1 } { 2 } } ; { \frac { 1 } { 2 } } , n + { \frac { 3 } { 2 } } ; { \frac { - \pi ^ { 2 } } { 4 } } \right) } \end{array} }
\tilde { \phi } _ { i } ( \mathbf { r } ) \tilde { \phi } _ { j } ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 3 } \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 6 } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \exp \left[ \frac { - ( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { \ell } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 2 } } \right] \exp \left[ \frac { - \left( \mathbf { r } - \left[ \frac { \mathbf { r } _ { k } + \mathbf { r } _ { \ell } } { 2 } \right] \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( \left[ U _ { i } , P - \phi , \tilde { \nu } , f _ { s , i } \right] , \left[ U _ { i } ^ { * } , P ^ { * } , \tilde { \nu } ^ { * } \right] \right) = J } & { { } - \langle P ^ { * } , \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { i } } \rangle - \langle U _ { i } ^ { * } , U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \left( P - \phi \right) } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( 2 \left( \nu + \nu _ { t } \right) S _ { i j } ) } { \partial x _ { j } } - f _ { s , i } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } } & { = x + y , p _ { 2 } = x - y , } \\ { z _ { x } } & { \le x ^ { 2 } , z _ { y } \le y ^ { 2 } , } \\ { z _ { p _ { 1 } } } & { \ge p _ { 1 } ^ { 2 } , z _ { p _ { 2 } } \ge p _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { z } & { \le z _ { x } + z _ { y } - z _ { p _ { 1 } } , \, z \ge z _ { p _ { 2 } } - z _ { x } - z _ { y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { f } _ { a b } ^ { ( j ) } = } & { \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { k _ { a } T _ { j , a } } \delta _ { a b } - \sum _ { c } \left( \frac { \mathbb { D } _ { c a b } } { k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } } + \mathbb { C } _ { c a b } \right) \xi _ { c } } \\ & { + ( - 1 ) ^ { j } \frac { 1 } { 2 k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } } \sum _ { c , d } \Bigl [ ( k _ { a } T _ { j , a } + k _ { b } T _ { j , b } ) \mathbb { D } _ { c d a b } + ( k _ { a } ^ { 2 } k _ { b } T _ { j , b } + k _ { b } ^ { 2 } k _ { a } T _ { j , a } ) \mathbb { C } _ { c d a b } \Bigl ] \xi _ { c } \xi _ { d } } \\ & { - ( - 1 ) ^ { j } \sum _ { c , d , e } \frac { ( \mathbb { D } _ { c a e } + k _ { a } T _ { j , a } k _ { e } T _ { j , e } \mathbb { C } _ { c a e } ) ( \mathbb { D } _ { d e b } + k _ { e } T _ { j , e } k _ { b } T _ { j , b } \mathbb { C } _ { d e b } ) } { k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } k _ { e } T _ { j , e } } \xi _ { c } \xi _ { d } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 2 } } & { = \frac { 1 } { 8 } \left\{ 1 + \mathrm { R e } \Big [ \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \phi _ { 1 } } \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \Big ] \right\} \, , } \\ { p _ { 3 4 } } & { = \frac { 1 } { 8 } \left\{ 1 + \mathrm { R e } \Big [ \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } ) } \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \Big ] \right\} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { Z \sim Q } \ } & { \beta \mathbb { E } _ { Q } \Big [ \frac { \tilde { H } ( Z + a ) } { Z } \Big ] } \\ { \mathrm { ~ s . t . ~ } \ \ } & { \beta \mathbb { E } _ { Q } [ 1 ] = \beta , } \\ & { \mathbb { E } _ { Q } \Big [ \frac { \tilde { G } ( Z + a ) } { Z } \Big ] = \frac { \Gamma } { \beta } , } \\ & { \mathbb { E } _ { Q } \big [ \frac { 1 } { Z } \big ] \leq \frac { \eta } { \beta } , } \\ & { Q \in \mathscr { M } ^ { + } ( 0 , \infty ) } \end{array}
x _ { j } \xrightarrow [ { W ^ { 1 , 2 } ( [ 0 , 1 ] ; \mathbb { R } ^ { n } ) } ] { \textnormal { s t r o n g l y } } \bar { x } , \; \; { u } _ { j } \xrightarrow [ { C ( [ 0 , 1 ] ; \mathbb { R } ^ { m } ) } ] { \textnormal { u n i f o r m l y } } { \bar { u } } , \; \; \mathrm { a n d } \; \; \dot { u } _ { j } \xrightarrow [ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ; \mathbb { R } ^ { m } ) } ] { \textnormal { w e a k l y } } \dot { \bar { u } } .
M = \sqrt { ( P _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } + \sqrt { ( P _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } + \sqrt { ( Q _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } + \sqrt { ( Q _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } ,
\langle \phi ( z , \bar { z } ) \phi ( z ^ { \prime } , \bar { z } ^ { \prime } ) \rangle = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d s } { s } } e ^ { - { \frac { d ^ { 2 } } { 4 s } } - m ^ { 2 } s } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } K _ { 0 } ( d ^ { 2 } m ^ { 2 } ) ~ ,
\begin{array} { r } { S _ { k , n } ( b ) = \mathop { \sum _ { x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \neq 0 } } _ { x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q ^ { k } } ^ { * } } \psi \left( \operatorname { T r } _ { k } \left( \frac { 1 } { x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { ( \boldsymbol { a } _ { y y } ( u _ { h } + t ( w _ { 2 } - E _ { k } ) ) ( E _ { k } - w _ { 2 } ) ^ { 2 } , \nabla v _ { H } ) - ( \boldsymbol { a } _ { y y } ( u _ { h } + t ( w _ { 1 } - E _ { k } ) ) ( E _ { k } - w _ { 1 } ) ^ { 2 } , \nabla v _ { H } ) } } \\ & { \lesssim } & { C ( H ) \Big [ \| \boldsymbol { a } _ { y y } ( u _ { h } + t ( w _ { 2 } - E _ { k } ) ) - \boldsymbol { a } _ { y y } ( u _ { h } + t ( w _ { 1 } - E _ { k } ) ) \| _ { 0 , \infty } + \| w _ { 1 } - w _ { 2 } \| _ { 0 , \infty } \Big ] \| v _ { H } \| _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { X } _ { t + \Delta t } } & { = \nabla _ { x } \bar { \Phi } ( \bar { X } _ { t } ; \Delta Z _ { t } ) } \\ & { = \bar { X } _ { t } + \nabla \phi ( \bar { X } _ { t } ) ( \Delta Z _ { t } - \frac { h ( \bar { X } _ { t } ) + \bar { h } _ { t } } { 2 } \Delta t ) } \\ & { \qquad \; \; + \frac { 1 } { 4 } \nabla | \nabla \phi ( \bar { X } _ { t } ) | ^ { 2 } \Delta t + \xi ( \bar { X } _ { t } ) \Delta t + O ( \Delta t ^ { 2 } ) } \end{array}
F ( a , b , y ) \ = \ \frac { 1 } { i } \ \operatorname * { l i m } _ { R \to + \infty } \ e ^ { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } \ \int _ { a } ^ { R / b } d t \ t \ \int _ { 0 } ^ { + \infty } d x \ x \, e ^ { - t ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } \ e ^ { i x y } \ .
\frac { d \sigma _ { B A } } { d x d z d Q ^ { 2 } d q _ { T } ^ { 2 } d \phi } = \sum _ { a , b } \int _ { z } ^ { 1 } \frac { d \xi _ { b } } { \xi _ { b } } D _ { B / b } ( \xi _ { b } , \mu _ { D } ) \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d \xi _ { a } } { \xi _ { a } } F _ { a / A } ( \xi _ { a } , \mu _ { F } ) \frac { d \hat { \sigma } _ { b a } } { d \hat { x } d \hat { z } d Q ^ { 2 } d q _ { T } ^ { 2 } d \phi } .
- 3 9 . 1 6 6 1 7 n < f ( \underbrace { - 2 . 9 0 3 5 3 4 , \ldots , - 2 . 9 0 3 5 3 4 } _ { n { \mathrm { ~ t i m e s } } } ) < - 3 9 . 1 6 6 1 6 n
\frac { \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } ^ { \mu \rightarrow e } \left( x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { ( 2 ) } \right) } { \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } ^ { \mu \rightarrow e } \left( x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { ( 1 ) } \right) } \approx 2 . 7 \; .
\alpha _ { n } ( \omega , k _ { z } ) \approx \alpha _ { n } ( \omega , k _ { z } ) | _ { \varepsilon _ { 1 } = \varepsilon _ { 1 } ^ { \prime } } + i \varepsilon _ { 1 } ^ { \prime \prime } \partial _ { \varepsilon _ { 1 } } \alpha _ { n } ( \omega , k _ { z } ) | _ { \varepsilon _ { 1 } = \varepsilon _ { 1 } ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l r } { \langle \xi _ { x } \rangle } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha _ { x } \; \exp [ - ( 2 + u ) \alpha _ { x } ] [ I _ { 0 } ( \alpha _ { x } u ) - I _ { 1 } ( \alpha _ { x } u ) ] } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \left[ \frac { 1 } { \sqrt { 1 + u } } - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + u } } \frac { u } { ( 1 + \sqrt { 1 + u } ) ^ { 2 } } \right] } \\ & { = } & { 4 ( \mathrm { a r c s i n h } [ 1 ] - \log [ 2 ] ) = 0 . 7 5 2 9 0 6 } \end{array}
\mathbf { w } _ { \hat { k } } ^ { ( 1 ) } = \frac { \Bigl ( \mathbf { g } _ { \hat { k } } ^ { T } \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \mathbf { H } + \mathbf { f } _ { \hat { k } } ^ { T } \Bigr ) ^ { H } } { \Bigl \| \mathbf { g } _ { \hat { k } } ^ { T } \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \mathbf { H } + \mathbf { f } _ { \hat { k } } ^ { T } \Bigr \| } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ u ( t ) \right] } & { = e ^ { - t / \tau _ { d } } u ( 0 ) + ( 1 - e ^ { - t / \tau _ { d } } ) \bar { u } } \\ { \mathrm { V a r } \left( u ( t ) \right) } & { = \sigma _ { u } ^ { 2 } \left( 1 - e ^ { - 2 t / \tau _ { d } } \right) } \\ { \mathbb { E } \left[ u ( t ) u ( 0 ) \right] } & { = \sigma _ { u } ^ { 2 } e ^ { - t / \tau _ { d } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C = } & { { } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } ^ { 2 } \right) \langle n _ { \mathrm { s h o t } } ^ { 2 } ( t ) \rangle \left( \begin{array} { l l } { 8 \mathrm { { I } _ { 2 \ t a u \times 2 \ t a u } } } & { - 4 \mathrm { { I } _ { 2 \ t a u \times 2 \ t a u } } } \\ { - 4 \mathrm { { I } _ { 2 \ t a u \times 2 \ t a u } } } & { 8 \mathrm { { I } _ { 2 \ t a u \times 2 \ t a u } } } \end{array} \right) } \\ { = } & { { } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } ^ { 2 } \right) C _ { \mathrm { ~ 1 ~ e ~ v ~ e ~ n ~ t ~ } } } \end{array}
K < \frac { \omega _ { c } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { p } ^ { 2 } } + \frac { \omega _ { c } } { \omega _ { p } ^ { 2 } } \sqrt { \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \omega _ { p } ^ { 2 } } + 1 .
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathbf { U } } = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\xi _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \simeq \frac { 1 } { 2 } ( \frac { N _ { s } } { 3 } ) ^ { - \frac { 2 } { 3 } } , \mathrm { ~ } t _ { \mathrm { m i n } } \simeq \frac { 2 \times 3 ^ { 1 / 6 } \Delta } { g ^ { 2 } N _ { s } ^ { 2 / 3 } } .
\begin{array} { r l r } { b } & { = } & { \int _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } ( w _ { \infty } | _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } ) ^ { * } \lambda = \int _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } ( w _ { s _ { k } } | _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } ) ^ { * } \lambda } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \int _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } ( w _ { s _ { k } } | _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } ) ^ { * } \lambda = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \int _ { \{ r + s _ { k } \} \times [ 0 , 1 ] } ( w | _ { \{ r + s _ { k } \} \times [ 0 , 1 ] } ) ^ { * } \lambda } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } ( T - \frac { 1 } { 2 } \int _ { [ r + s _ { k } , \infty ) \times [ 0 , 1 ] } | d ^ { \pi } w | ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { T - \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { 1 } { 2 } \int _ { [ r + s _ { k } , \infty ) \times [ 0 , 1 ] } | d ^ { \pi } w | ^ { 2 } = T } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf S } ( z ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { { \bf 0 } _ { ( n + 1 ) \times ( n + 1 ) } } & { { \bf 0 } _ { ( n + 1 ) \times 2 } } \\ { { \bf 0 } _ { 2 \times ( n + 1 ) } } & { { \bf S } _ { 2 2 } ( z ) } \end{array} \right] , } \\ { { \bf S } _ { 2 2 } ( z ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 4 z } & { - 4 \bar { d } z } \\ { - 4 \bar { d } z } & { 4 \overbar { d ^ { 2 } } z - 2 z ^ { 2 } } \end{array} \right] , } \end{array}
+ \frac { ( 1 2 \lambda \varphi _ { c } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } [ \mathrm { l n } \frac { 1 2 \lambda \varphi _ { c } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } - 1 ] \} ,
\left( \mathbf { x } _ { r } \cdot \mathbf { x } _ { r } \right) \left( r ^ { 2 } \right) + \left( \mathbf { x } _ { \theta } \cdot \mathbf { x } _ { \theta } \right) \left( \theta ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + \left( \mathbf { x } _ { \phi } \cdot \mathbf { x } _ { \phi } \right) \left( \phi ^ { \prime } \right) ^ { 2 } = \left( r ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( \theta ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \left( \phi ^ { \prime } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \left| \int _ { \mathcal { C } ( \rho ) } \frac { H ( z ) } { z - \omega } d z - \int _ { \mathcal { C } ( \rho ) } \frac { H ( z ) } { z - a } d z \right| } \\ & { \leq \int _ { \mathcal { C } ( \rho ) } \left| H ( z ) \left[ \frac { 1 } { z - \omega } - \frac { 1 } { z - a } \right] \right| d z } \\ & { \leq 2 \pi \frac { \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 2 \pi ] } \left| H ( \rho e ^ { i \theta } ) \right| | \omega | \rho } { ( \rho - | a | ) ( \rho - | \omega | ) } \xrightarrow [ \rho \rightarrow \infty ] 0 } \end{array} } \end{array}