harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \varphi ( t ) - 1 } & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 \right] \, d w } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { | t | } } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 \right] \, d w + \int _ { \frac { 1 } { | t | } } ^ { \infty } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 \right] \, d w } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { | t | } } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 + \left\{ - { \frac { t ^ { 2 } w ^ { 2 } } { 3 ! } } + { \frac { t ^ { 2 } w ^ { 2 } } { 3 ! } } \right\} \right] \, d w + \int _ { \frac { 1 } { | t | } } ^ { \infty } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 \right] \, d w } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { | t | } } - { \frac { t ^ { 2 } d w } { 3 w } } + \int _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { | t | } } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 + { \frac { t ^ { 2 } w ^ { 2 } } { 3 ! } } \right] d w + \int _ { \frac { 1 } { | t | } } ^ { \infty } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 \right] d w } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { | t | } } - { \frac { t ^ { 2 } d w } { 3 w } } + \left\{ \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { | t | } } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 + { \frac { t ^ { 2 } w ^ { 2 } } { 3 ! } } \right] d w - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 + { \frac { t ^ { 2 } w ^ { 2 } } { 3 ! } } \right] d w \right\} + \int _ { \frac { 1 } { | t | } } ^ { \infty } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 \right] d w } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { | t | } } - { \frac { t ^ { 2 } d w } { 3 w } } + t ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 2 } { y ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( y ) } { y } } - 1 + { \frac { y ^ { 2 } } { 6 } } \right] d y - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 + { \frac { t ^ { 2 } w ^ { 2 } } { 6 } } \right] d w + t ^ { 2 } \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { 2 } { y ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( y ) } { y } } - 1 \right] d y } \\ & { = - { \frac { t ^ { 2 } } { 3 } } \int _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { | t | } } { \frac { d w } { w } } + t ^ { 2 } C _ { 1 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 + { \frac { t ^ { 2 } w ^ { 2 } } { 6 } } \right] d w + t ^ { 2 } C _ { 2 } } \\ & { = { \frac { t ^ { 2 } } { 3 } } \ln | t | + t ^ { 2 } C _ { 3 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \sin ( t w ) } { t w } } - 1 + { \frac { t ^ { 2 } w ^ { 2 } } { 6 } } \right] d w } \\ & { = { \frac { t ^ { 2 } } { 3 } } \ln | t | + t ^ { 2 } C _ { 3 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 2 } { w ^ { 3 } } } \left[ { \frac { t ^ { 4 } w ^ { 4 } } { 5 ! } } + \cdots \right] d w } \\ & { = { \frac { t ^ { 2 } } { 3 } } \ln | t | + t ^ { 2 } C _ { 3 } - { \mathcal { O } } \left( t ^ { 4 } \right) } \end{array} }
\frac { \epsilon _ { 0 } \omega _ { r f } \overline { { E _ { h } ^ { 2 } } } } { 2 m _ { e } \omega _ { c e } ^ { 2 } } k _ { \perp } ^ { 2 } \approx 1 0 ^ { 1 6 } \, \mathrm { r a d / m ^ { 3 } s }
\begin{array} { l } { T ^ { * } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { m } , t ) } \\ { = T ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { m } , \alpha _ { 1 } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { n } , t ) , \dots , \alpha _ { k } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { n } , t ) , t ) } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 1 } } & { A _ { 1 2 } } & { \ldots } & { A _ { 1 n } } \\ { A _ { 2 1 } } & { A _ { 2 2 } } & { \ldots } & { A _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { A _ { n 1 } } & { A _ { n 2 } } & { \ldots } & { A _ { n n } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { v _ { n } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } } \\ { w _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { w _ { n } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r a c e } ( U A U ) = } & { \ \mathrm { t r a c e } ( ( I - G ) A ( I - G ) ) , } \\ { = } & { \ \mathrm { t r a c e } ( A - A G - G A + G A G ) , } \\ { = } & { \ \sum _ { i } { A _ { i i } } - \frac { 2 } { N } \sum _ { i , j } { A _ { i j } } } \\ & { \ \ \ + \sum _ { i } { \left( \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { k , l } { A _ { k l } } \right) } , } \\ { = } & { \ \sum _ { i } { A _ { i i } } - \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j } { A _ { i j } } } \end{array}
{ \frac { \operatorname* { d e t } \left( - { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + V _ { 1 } ( x ) \right) } { \operatorname* { d e t } \left( - { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + V _ { 2 } ( x ) \right) } } = { \frac { \psi _ { 1 } ^ { 0 } ( L ) } { \psi _ { 2 } ^ { 0 } ( L ) } } .
\begin{array} { r l } { P ^ { \prime } ( \psi _ { N } ) } & { { } = c _ { p } P _ { b } ^ { \prime } } \\ { F F ^ { \prime } ( \psi _ { N } ) } & { { } = c _ { f 1 } F F _ { b 1 } ^ { \prime } + c _ { f 2 } F F _ { b 2 } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial u ( x , y , t ) } { \partial t } } & { { } = \Delta u ( x , y , t ) , } & { x , y , t \in [ 0 , 1 ] , } \\ { u ( x , y , 0 ) } & { { } = f ( x , y ) , } & { x , y \in [ 0 , 1 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { e q } ( x ) : } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathcal { N } ( x | x _ { 0 } , \sigma ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } \mathcal { N } ( x | - x _ { 0 } , \sigma ^ { 2 } ) = } \\ & { = \frac { e ^ { - ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } + e ^ { - ( x + x _ { 0 } ) ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } } { \sqrt { 8 \pi \sigma ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } \hat { H } _ { \mathrm { d \cdot E } } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } } & { = \hat { T } _ { \bf Q } + \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } ( \hat { T } _ { \bf r } + V _ { \mathrm { c o u l } } ( \{ { { \bf r } _ { j } , { \bf Q } _ { j } } \} ) ) \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } } \\ & { + \sum _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } \Big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } + i \sum _ { u } e \hat { \bf Q } _ { u } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) - i \sum _ { u , \alpha , \alpha ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) { \boldsymbol \mu } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha ^ { \prime } } \Big ) } \\ & { ~ ~ ~ \times \Big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol { \xi } } } - i \sum _ { u } e \hat { \bf Q } _ { u } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { u } ) + i \sum _ { u , \alpha , \alpha ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { u } ) { \boldsymbol \mu } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha ^ { \prime } } \Big ) \omega _ { \boldsymbol k } ~ ~ ~ ~ . } \end{array}
\left( \vec { r } _ { x } , \vec { r } _ { y } , \vec { r } _ { z } \right) = \left( s \, \vec { e } _ { x } , t \, \vec { e } _ { y } , \sqrt { 1 - s ^ { 2 } - t ^ { 2 } } \, \vec { e } _ { z } \right) ~ ,
( M _ { \tilde { \nu } } ^ { 2 } ) _ { \mu \tau } = \frac { 1 } { 2 } ( m _ { \tilde { \nu } _ { 2 } } ^ { 2 } - m _ { \tilde { \nu } _ { 3 } } ^ { 2 } ) \sin 2 \theta _ { 2 3 }
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 5 } \\ { 2 } & { 3 } & { 5 } & { 7 } \\ { 3 } & { 5 } & { 7 } & { 1 1 } \\ { 5 } & { 7 } & { 1 1 } & { 1 3 } \end{array} \right] ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l l } { - 1 2 } & { 6 } & { 4 } & { - 2 } \\ { 6 } & { - 8 } & { 0 } & { 2 } \\ { 4 } & { 0 } & { - 3 } & { 1 } \\ { - 2 } & { 2 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] \in \mathbb { Q } ^ { 4 \times 4 } . } \end{array}
2 \int d ^ { 2 } x \, \partial _ { + } X ^ { \mu } \cdot \partial _ { - } X ^ { \nu } \cdot \partial _ { [ \mu } B _ { \nu ] } ^ { \prime } ( X ) = \int d ^ { 2 } x \, \left[ \partial _ { + } \left( B _ { \mu } ^ { \prime } \partial _ { - } X ^ { \mu } \right) - \partial _ { - } \left( B _ { \mu } ^ { \prime } \partial _ { + } X ^ { \mu } \right) \right] \ .
[ { \dot { S } } ] = { \left[ \begin{array} { l l } { { \dot { \Omega } } } & { - { \dot { \Omega } } \mathbf { d } - \Omega { \dot { \mathbf { d } } } + { \ddot { \mathbf { d } } } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { { \dot { \Omega } } } & { - { \dot { \Omega } } \mathbf { d } - \Omega \mathbf { v } _ { O } + \mathbf { A } _ { O } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
\Delta E = \frac { \sinh ( \pi \sqrt { E } ) } { 2 \pi ^ { 3 } } ~ \int d z \, K _ { i \sqrt { E } } ( e ^ { z } ) \, \left( \int d x \, e ^ { 2 n x } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \, e ^ { 2 x - z } \right) \right) \, \left( \int d p K _ { i p } \left( e ^ { z } \right) \, e ^ { i s p / 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { i r } } ( \alpha ) } & { { } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } | \alpha | ^ { 2 } } \sum _ { f = 0 } ^ { n } \binom { n } { f } p ^ { n - f } ( 1 { - } p ) ^ { f + 1 } } \end{array}
\mathbb { E } \left( | X _ { T _ { 1 } } ^ { \mu } - X _ { T _ { 1 } } ^ { \nu } | ^ { \beta } \bigm | \mathcal { G } \right) \mathbf { 1 } _ { T _ { 1 } \leq t } \leq C \left[ \left( \int _ { 0 } ^ { t \wedge T _ { 1 } } W _ { \beta } ^ { 2 } ( \mu _ { s } , \nu _ { s } ) \, d s \right) ^ { \frac { \beta } { 2 } } + W _ { \beta } ^ { \beta } ( \mu _ { T _ { 1 } } , \nu _ { T _ { 1 } } ) \right] .
\hat { B } ( \theta , \phi ) = e ^ { \frac { \theta } { 2 } ( \hat { a } ^ { \dag } \hat { b } e ^ { i \phi } - \hat { a } \hat { b } ^ { \dag } e ^ { - i \phi } ) } , \; \; u = \left( \begin{array} { c c } { t } & { r e ^ { i \phi } } \\ { - r e ^ { - i \phi } } & { t } \end{array} \right) ,
\sum _ { i _ { 2 } , i , _ { 3 } , \ldots , i _ { \ell } } M _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( \theta ) M _ { i _ { 2 } i _ { 3 } } ^ { ( 2 ) } ( \theta ) \cdots M _ { i _ { \ell } i _ { \ell + 1 } } ^ { ( \ell ) } ( \theta ) =
\begin{array} { r l } { r _ { C O _ { 2 } } ( k ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - c _ { r , C O _ { 2 } , 1 } \cdot ( y _ { 2 } ( k ) - C O _ { 2 _ { m i n } } ( k ) ) ^ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ } y _ { 2 } ( k ) < C O _ { 2 _ { m i n } } ( k ) } \\ { - c _ { r , C O _ { 2 } , 1 } \cdot ( y _ { 2 } ( k ) - C O _ { 2 _ { m a x } } ( k ) ) ^ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ } y _ { 2 } ( k ) > C O _ { 2 _ { m a x } } ( k ) } \\ { c _ { r , C O _ { 2 } , 2 } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ { r _ { T } ( k ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - c _ { r , T , 1 } \cdot ( y _ { 3 } ( k ) - T _ { m i n } ( k ) ) ^ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ } y _ { 3 } ( k ) < T _ { m i n } ( k ) } \\ { - c _ { r , T , 1 } \cdot ( y _ { 3 } ( k ) - T _ { m a x } ( k ) ) ^ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ } y _ { 3 } ( k ) > T _ { m a x } ( k ) } \\ { c _ { r , T , 2 } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { L e t : ~ } Y _ { 1 } ^ { \{ S \} } : = y _ { n } } \\ & { \mathrm { F o r : ~ } i = 2 , . . . , s ^ { \{ S \} } } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { L e t : ~ } } & { v _ { i } ( 0 ) : = y _ { n } , } \\ { \mathrm { S o l v e : ~ } } & { v _ { i } ^ { \prime } ( \theta ) = f ^ { \{ F \} } ( t _ { n } + \theta , v _ { i } ( \theta ) ) + g _ { i } ( \theta ) , \ \mathrm { f o r ~ } \theta \in [ 0 , c _ { i } ^ { \{ S \} } H ] } \\ & { \mathrm { w h e r e ~ } g _ { i } ( \theta ) = \frac { 1 } { c _ { i } ^ { \{ S \} } } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \omega _ { i , j } \left( \frac { \theta } { c _ { i } ^ { \{ S \} } H } \right) \left( f _ { j } ^ { \{ E \} } + f _ { j } ^ { \{ I \} } \right) } \\ { \mathrm { S o l v e : ~ } } & { Y _ { i } ^ { \{ S \} } = v _ { i } \left( c _ { i } ^ { \{ S \} } H \right) + H \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { i } \gamma _ { i , j } f _ { j } ^ { \{ I \} } , } \end{array} \right. } \\ & { \mathrm { L e t : ~ } y _ { n + 1 } : = Y _ { s ^ { \{ S \} } } ^ { \{ S \} } , } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { L e t : ~ } } & { \hat { v } ( 0 ) : = y _ { n } , } \\ { \mathrm { S o l v e : ~ } } & { \hat { v } ( \theta ) = f ^ { \{ F \} } ( t _ { n } + \theta , \hat { v } ( \theta ) ) + \hat { g } ( \theta ) , \ \mathrm { f o r ~ } \theta \in [ 0 , H ] } \\ & { \mathrm { w h e r e ~ } \hat { g } ( \theta ) = \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { s ^ { \{ S \} } - 1 } \hat { \omega } _ { j } \left( \frac { \theta } { H } \right) \left( f _ { j } ^ { \{ E \} } + f _ { j } ^ { \{ I \} } \right) } \\ { \mathrm { S o l v e : ~ } } & { \hat { y } _ { n + 1 } = \hat { v } \left( H \right) + H \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { s ^ { \{ S \} } - 1 } \hat { \gamma } _ { j } f _ { j } ^ { \{ I \} } + H \hat { \gamma } _ { s ^ { \{ S \} } } f ^ { \{ I \} } ( t _ { n } + H , \hat { y } _ { n + 1 } ) , } \end{array} \right. } \end{array}
8 \pi ^ { 2 } N _ { \kappa } ^ { 4 } ( \frac { \pi } { 2 \alpha _ { \kappa } } ) ^ { 3 } ( \frac { E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } { 8 \alpha _ { \kappa } ^ { 2 } } ) ^ { 2 l _ { \kappa } - 1 / 2 } e ^ { - \frac { E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } { 2 \alpha _ { \kappa } } } < \tau .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \left\lbrace \frac { p ^ { \prime } ( \varrho ) \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \right\rbrace = \frac { 1 } { 1 - \rho _ { f } } \left( \varrho \partial _ { t } \varrho \, p ^ { \prime \prime } ( \varrho ) + p ^ { \prime } ( \varrho ) \partial _ { t } \varrho \right) + p ^ { \prime } ( \varrho ) \varrho \frac { \partial _ { t } \rho _ { f } } { ( 1 - \rho _ { f } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } } & { = p _ { t } ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot ( \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle - V _ { 1 } ) \mathrm { ~ \ \ a n d } } \\ { \dot { E } _ { \mathrm { e f f } } } & { = \dot { V } _ { 0 } - V _ { 1 } ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } = \dot { V } _ { 0 } + \dot { p } _ { t } ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot p _ { t } } \\ & { = \dot { V } _ { 0 } + \dot { T } ( p _ { t } ) . } \end{array}
\varepsilon _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } = \frac { b _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } } { \sqrt { ( b ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } } = \frac { ( q \varphi ) _ { \alpha } } { \sqrt { q _ { \mathrm { \tiny ~ \bot ~ } } ^ { 2 } } } ; \, \, \varepsilon _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } = \frac { b _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } } { \sqrt { ( b ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } } } = \frac { ( q \tilde { \varphi } ) _ { \alpha } } { \sqrt { q _ { \mathrm { \tiny ~ \| ~ } } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \beta _ { 1 } } & { = } & { a _ { 1 } ^ { 1 } \gamma _ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } \gamma _ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } - 1 , } \\ { \beta _ { 2 } } & { = } & { - \ell _ { 2 } \gamma _ { 1 } + \ell _ { 1 } \gamma _ { 2 } + \ell _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } - \ell _ { 1 } a _ { 1 } ^ { 1 } + 2 k _ { 2 } - \ell _ { 2 } + \ell _ { 1 } - 2 a _ { 2 } ^ { 1 } \ell _ { 1 } . } \end{array}
\frac { d \sigma } { d Q ^ { 2 } d y d \Omega } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 4 } s Q ^ { 2 } } \left( \delta _ { i j } - \frac { l _ { i } l _ { j } } { { \vec { l } } ^ { 2 } } \right) W _ { i j } ,
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { v e c } ^ { r } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) = U _ { v e c } \left( x ^ { m } , x _ { 0 } ^ { m } ; x ^ { \mu } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) \widetilde { \psi } _ { v e c } ^ { r } \left( x _ { 0 } ^ { m } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { 2 } { 2 ^ { \alpha + 1 } - 4 } ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \frac { \alpha - 3 } 2 } \vec { u } \cdot \tilde { L } ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } \vec { F } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \right| } & { \le _ { \alpha } \sum _ { k , i = 1 } ^ { \nu } \mathtt { j } _ { i } ^ { \frac { \alpha - 3 } 2 } | \tilde { L } _ { k } ^ { i } | \mathtt { j } _ { k } ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } | ( \vec { F } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) ) _ { k } | } \\ & { \overset { , } { \le _ { \alpha , \nu } } R _ { S _ { 0 } ^ { + } } ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } } \\ & { \le 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { a } ^ { b } | g | ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d r } \left( \frac { r D V } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { r } ( V - c ) + \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \frac { D V ^ { 2 } } { 4 ( V - c ) } \right] d r } \\ { + \int _ { a } ^ { b } \left[ \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } ( V - c ) \right] | D g | ^ { 2 } d r } \\ { = \frac { 2 } { i \rho k ^ { 3 } | V - c | } \left( i k c K _ { e } - D _ { e } \right) - \frac { 1 } { 2 ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) } D V _ { I } | g _ { I } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { 2 } ( u _ { h t } , \rho ) + L _ { h } ^ { 1 } ( \pmb { q } _ { h } ; \rho ) = 0 , } \\ { ( \pmb { q } _ { h } , \pmb { \theta } ) + L _ { h } ^ { 2 } ( u _ { h } , \pmb { s } _ { h } ; \pmb { \theta } ) = 0 , } \\ { ( \pmb { s } _ { h } , \pmb { \eta } ) + L _ { h } ^ { 3 } ( p _ { h } ; \pmb { \eta } ) = 0 , } \\ { ( p _ { h } , \varphi ) + L _ { h } ^ { 4 } ( u _ { h } ; \varphi ) = 0 , } \end{array}
I m { \cal M } ( ^ { 3 } D _ { 3 } ) _ { f u l l ~ Q C D } = \frac { 4 ( N _ { c } ^ { 2 } - 4 ) C _ { F } \alpha _ { s } ^ { 3 } } { 1 5 N _ { c } ^ { 2 } m ^ { 6 } } ( - \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { I R } } ) + C ( ^ { 3 } D _ { 3 } ) .
\begin{array} { r l } & { \hat { Q } _ { \mathrm { W } + 1 } : = 1 , } \\ & { \hat { Q } _ { \mathrm { W } + j } : = h ( \mu _ { + ( j - 1 ) , \mathrm { W } } ) \hat { Q } _ { \mathrm { W } + ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , j _ { \operatorname* { m a x } } ) , } \\ & { \hat { Q } _ { \mathrm { W } + j } : = 0 \quad ( j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 , \cdots , \infty ) , } \\ & { \hat { Q } _ { \mathrm { W } - 1 } : = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( 1 - h ( \mu _ { + j , \mathrm { W } } ) ) \hat { Q } _ { \mathrm { W } + j } = \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ( 1 - h ( \mu _ { + j , \mathrm { W } } ) ) \hat { Q } _ { \mathrm { W } + j } , } \\ & { \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } : = ( 1 - h ( \mu _ { - ( j - 1 ) , \mathrm { W } } ) ) \hat { Q } _ { \mathrm { W } - ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , j _ { \operatorname* { m a x } } ) , } \\ & { \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } : = 0 \quad ( j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 , \cdots , \infty ) , } \end{array}
\delta S = \frac { i } { 2 } \int \{ D _ { \bar { \eta } } ( { I \! \! L } D _ { \eta } f ( { I \! \! N } , { I \! \! R } , Z , \bar { Z } ) ) + D _ { \eta } ( { I \! \! L } D _ { \bar { \eta } } f ( { I \! \! N } , { I \! \! R } , Z , \bar { Z } ) ) \} d \eta d \bar { \eta } d t ,
\small \begin{array} { r } { I ( f ^ { 0 } ( x , y ) , W ) = \mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ M ~ o ~ d ~ } ( \mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ M ~ o ~ d ~ } ( \mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ M ~ o ~ d ~ } ( \mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ M ~ o ~ d ~ } } \\ { ( \mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ M ~ o ~ d ~ } ( f ^ { 0 } ( x , y ) , W _ { 1 } ( x , y ) ) , W _ { 2 } ( x , y ) ) , } \\ { W _ { 3 } ( x , y ) ) , W _ { 4 } ( x , y ) ) , W _ { 5 } ( x , y ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | y ^ { \beta + \mathbf { 1 } } z ^ { \gamma + \mathbf { 1 } } \partial _ { y } ^ { \beta } \partial _ { z } ^ { \gamma } K ( y , z ) | } \\ & { \lesssim \sum _ { j } \operatorname* { m i n } \{ ( 2 ^ { j } | y _ { 1 } | ) ^ { \beta _ { 1 } + 1 } , ( 2 ^ { j } | y _ { 1 } | ) ^ { \beta _ { 1 } + 1 - N } \} \operatorname* { m i n } \{ ( 2 ^ { j } | z _ { 1 } | ) ^ { \gamma _ { 1 } + 1 } , ( 2 ^ { j } | z _ { 1 } | ) ^ { \gamma _ { 1 } + 1 - N } \} } \\ & { \quad \times \sum _ { k } \operatorname* { m i n } \{ ( 2 ^ { k } | y _ { 2 } | ) ^ { \beta _ { 2 } + 1 } , ( 2 ^ { k } | y _ { 2 } | ) ^ { \beta _ { 2 } + 1 - N } \} \operatorname* { m i n } \{ ( 2 ^ { k } | z _ { 2 } | ) ^ { \gamma _ { 2 } + 1 } , ( 2 ^ { k } | z _ { 2 } | ) ^ { \gamma _ { 2 } + 1 - N } \} } \\ & { \qquad \times \operatorname* { m i n } \{ ( 2 ^ { j + k } | y _ { 3 } | ) ^ { \beta _ { 3 } + 1 } , ( 2 ^ { j + k } | y _ { 3 } | ) ^ { \beta _ { 3 } + 1 - N } \} \operatorname* { m i n } \{ ( 2 ^ { j + k } | z _ { 3 } | ) ^ { \gamma _ { 3 } + 1 } , ( 2 ^ { j + k } | z _ { 3 } | ) ^ { \gamma _ { 3 } + 1 - N } \} . } \end{array}
\Psi _ { 2 } ( x _ { i } , k _ { i \perp } ) = { \frac { 2 \sqrt { 6 } } { f _ { \pi } } } N \exp \biggl ( \frac { 1 } { 2 \beta ^ { 2 } } \biggl [ M _ { \pi } ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \frac { { \bf k } _ { i \perp } ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 2 } } { x _ { i } } \biggr ] \biggr ) ,
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } + \nabla \! \cdot \! ( ( D + \varepsilon \eta ) \mathbf { u } ) + \sigma ^ { 2 } a \nabla \! \cdot \! [ D ^ { 3 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) ] = 0 \ , } \\ & { \mathbf { u } _ { t } + \nabla \eta + \frac { \varepsilon } { 2 } \nabla | \mathbf { u } | ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } b \nabla [ \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) ] = 0 \ , } \end{array}
\delta g _ { z } \equiv \delta F _ { z } - \left. \frac { e } { m } \left\langle \delta L _ { g } \right\rangle _ { z } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } \right| _ { \bar { \psi } } + \frac { R B _ { \phi } } { B _ { 0 } } \left\langle \delta A _ { \| g } \right\rangle _ { z } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \bar { \psi } } \; .
E _ { t h } = \int _ { C } \mathbf { F } _ { \mathrm { f r i c } } ( \mathbf { x } ) \cdot d \mathbf { x } \ = \int _ { C } \mu _ { \mathrm { k } } \ \mathbf { F } _ { \mathrm { n } } ( \mathbf { x } ) \cdot d \mathbf { x } ,
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l } { T } & { = 1 2 } & { n _ { T } } & { = 3 0 0 } & { \alpha _ { 1 } = \alpha _ { 2 } } & { = 5 \cdot 1 0 ^ { - 2 } } & { \gamma } & { = 1 0 } & { \zeta } & { = 1 0 ^ { - 2 } } & { \mu } & { = 5 \cdot 1 0 ^ { - 2 } } \\ { \varepsilon } & { = 1 0 ^ { - 5 } } & { \delta _ { 1 } } & { = 0 . 2 } & { \delta _ { 2 } } & { = 0 . 1 } & { \delta _ { 3 } } & { = 1 0 ^ { - 2 } } & { \delta _ { 4 } } & { = 0 . 1 . } \end{array}
\psi _ { n , N } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { \mathrm { ~ n 2 ^ { - N } \leq ~ x \leq ( n + 1 ) 2 ^ { - N } ~ } } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e ~ . } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \gamma _ { k + 1 } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { \left( 1 - \beta _ { 2 } \right) v _ { k + 1 } } } = \frac { \sqrt { \beta _ { 2 } ^ { k } \left( 1 - \beta _ { 2 } \right) } } { \sqrt { \left( 1 - \beta _ { 2 } \right) \hat { v } _ { k + 1 } } } = \frac { \sqrt { \beta _ { 2 } ^ { k } } } { \sqrt { \hat { v } _ { k + 1 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \textrm { v i b } } ^ { ( C ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \hbar \omega ( P ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) + \sqrt { 2 } g Q + \epsilon _ { M } , } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \hbar \omega \left[ P ^ { 2 } + \left( Q + \frac { \sqrt { 2 } g } { \hbar \omega } \right) ^ { 2 } \right] + \tilde { \epsilon } _ { M } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathcal P } _ { x } ^ { \mathrm { H V } } } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\quad \theta ( v ) = \theta ( g ( v , v _ { 0 } , p _ { 0 } ) , v ) , \quad \eta ( v ) = \eta ( g ( v , v _ { 0 } , p _ { 0 } ) , v ) , \quad \Psi ( v ) = \eta ( v ) - \eta _ { 0 } - \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \mathcal { M } ( v ) ^ { 2 } } ( \theta ( v ) - \theta _ { 0 } ) .