harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \left\| \mathcal { C } _ { \ell } \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } } & { \le } & { \left\| \mathcal { C } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } } \\ & { } & { + \left\| \mathcal { S } _ { \ell } ^ { \nu _ { 2 } } \sigma _ { \ell } ^ { * } \boldsymbol { \mathbf { p } } _ { \ell } ( \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { \ell - 1 } ) ^ { \tau } \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell - 1 } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell } ( \sigma _ { \ell } ^ { * } ) ^ { - 1 } \mathcal { S } _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } } \\ & { \le } & { \left\| \mathcal { C } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } + C \left\| \sigma _ { \ell } ^ { * } \boldsymbol { \mathbf { p } } _ { \ell } ( \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { \ell - 1 } ) ^ { \tau } \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell - 1 } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell } ( \sigma _ { \ell } ^ { * } ) ^ { - 1 } \mathcal { S } _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \left\langle \phi _ { a } | { v } ^ { \mathrm { e m b } } | \phi _ { i } \right\rangle } { \partial P _ { b j } } = \left\langle \phi _ { a } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) \phi _ { b } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) \left| \frac { \delta v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { e m b } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) } \right| \phi _ { i } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) \phi _ { j } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \hat { g } _ { \ensuremath { \varepsilon } } \left( d _ { \varepsilon } - \ensuremath { \varepsilon } \rho \right) = - \varepsilon ^ { \frac { 5 } { 2 } } \eta ^ { \prime } ( \rho ) \rho g _ { \ensuremath { \varepsilon } } + \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } \big ( \eta ^ { \prime } ( \rho ) g _ { \ensuremath { \varepsilon } } d _ { \varepsilon } + \theta _ { 0 } ^ { \prime } ( \rho ) \rho \phi ^ { \varepsilon } \big ) - \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \theta _ { 0 } ^ { \prime } ( \rho ) \hat { \phi } ^ { \varepsilon } d _ { \varepsilon } . } \end{array}
\chi ( \vartheta ) _ { I I } = \left\{ \begin{array} { c c } { { g d ( \vartheta + i \pi / 2 ) + g d ( \vartheta - i \pi / 2 + i \pi ( p + 1 ) ) \, \, , } } & { { \Im m \vartheta < - \pi p } } \\ { { g d ( \vartheta - i \pi / 2 ) + g d ( \vartheta + i \pi / 2 - i \pi ( p + 1 ) ) \, \, , } } & { { \Im m \vartheta > \pi p } } \end{array} \right.
Q _ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \cosh ( \eta ) } & { 0 } & { 0 } & { \sinh ( \eta ) } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \sinh ( \eta ) } & { 0 } & { 0 } & { \cosh ( \eta ) } \end{array} \right] } = \exp \left( \eta { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \right) ~ .
V ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) \ = \ V _ { \mathrm { v a c } } + V _ { 0 } ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) + V _ { 1 } ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) + V _ { 2 } ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) \ ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { H ( \omega ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 i \pi } \int _ { \gamma } \frac { H ( z ) } { z - \omega } d z - \sum _ { p } \mathrm { ~ R ~ e ~ s ~ } ( F , p ) } \\ { F ( z ) } & { { } = \frac { H ( z ) } { z - \omega } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } \bigl ( \mathcal { D } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { 0 } ) \bigr ) = ( - 1 ) ^ { Q } \sum _ { \# \beta = Q } \operatorname* { d e t } ( S [ \langle Q \rangle , \beta ] ) \operatorname* { d e t } ( B [ \langle Q \rangle , \beta ] ) = ( - 1 ) ^ { Q } \operatorname* { d e t } ( S B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } ) . } \end{array}
\int _ { S _ { t } } \delta \ \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { T } d S + \int _ { V } \delta \ \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { f } d V = \int _ { V } \delta { \boldsymbol { \epsilon } } ^ { T } { \boldsymbol { \sigma } } d V \qquad \mathrm { ( f ) }
\begin{array} { r l } { \| \Phi _ { 1 } \| _ { \mathcal { G } _ { p h , \cosh } ^ { M | k | , s _ { 0 } } ( [ u ( 0 ) , u ( 1 ) ] ^ { 2 } ) } } & { { } \leq \| k ^ { 2 } \mathrm { T } _ { 0 } \circ \mathrm { T } _ { 2 , 2 } \Phi _ { 1 } \| _ { \mathcal { G } _ { p h , \cosh } ^ { M | k | , s _ { 0 } } ( [ u ( 0 ) , u ( 1 ) ] ^ { 2 } ) } + C } \end{array}
R _ { \beta , \mathrm { a s c e n d } } ^ { \mathrm { C l u s t e r i n g } } > R _ { \beta , \mathrm { d e s c e n d } } ^ { \mathrm { C l u s t e r i n g } } > R _ { \beta , \mathrm { r a n d o m } } ^ { \mathrm { C l u s t e r i n g } } ,
\begin{array} { r l r } { d _ { 5 } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) } & { = } & { \lambda _ { 1 } \| ( \mu _ { 1 } , \Sigma _ { 1 } ) - ( \mu _ { 2 } , \Sigma _ { 2 } ) \| ^ { 4 } , } \\ { d _ { 6 } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) } & { = } & { | \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } | \| ( \Delta \mu _ { 1 } , \Delta \Sigma _ { 1 } ) \| ^ { 4 } . } \end{array}
\_ E _ { \/ R } ^ { r } = { \frac { E _ { 0 } } { 4 } } M ^ { r } \Big ( 1 - { \frac { \omega \kappa } { c \sqrt { \mu \epsilon } } } \Big ) ( \_ a _ { x } - j \_ a _ { y } ) , \quad \_ E _ { \/ L } ^ { r } = { \frac { E _ { 0 } } { 4 } } M ^ { r } \Big ( 1 + { \frac { \omega \kappa } { c \sqrt { \mu \epsilon } } } \Big ) ( \_ a _ { x } + j \_ a _ { y } )
Z _ { 1 } ^ { 1 } = V _ { 1 } ^ { 1 } , \quad Z _ { 2 } ^ { 2 } = V _ { 2 } ^ { 2 } \quad \mathrm { a n d } \quad Z _ { 2 } ^ { 1 } = V _ { 2 } ^ { 1 } - V _ { 1 } ^ { 0 } V _ { 1 } ^ { 1 } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \vert \gamma \vert \leq k } \left( \int _ { s } ^ { t } \left( \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \langle v \rangle ^ { 2 r } \vert \partial _ { x , v } ^ { \gamma } ( \nabla _ { x } f ) ( \tau , \mathrm { Z } ^ { \tau ; t } ( \cdot , \psi _ { s , t } ) ) - \partial _ { x , v } ^ { \gamma } ( \nabla _ { v } f ) ( \tau , \mathrm { Z } ^ { \tau ; t } ( \cdot , \psi _ { s , t } ) ) \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } v \right) ^ { 1 / 2 } \, \mathrm { d } \tau \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \Lambda ( T , R ) \sum _ { \vert \gamma \vert \leq k } \left( \int _ { s } ^ { t } \left( \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \langle v \rangle ^ { 2 r } \vert \partial _ { x , v } ^ { \gamma } ( \nabla _ { x } f ) ( \tau , x , v ) - \partial _ { x , v } ^ { \gamma } ( \nabla _ { v } f ) ( \tau , x , v ) \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } v \right) ^ { 1 / 2 } \, \mathrm { d } \tau \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { s } ( X , P , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \delta \omega ( X ^ { 2 } + P ^ { 2 } ) + \sum _ { n \in \mathbb { Z } } K _ { q } \delta ( \frac { t } { \tau } - \theta _ { q } - n ) } \end{array}
\boldsymbol { \mathsf { A } } ( t ) = \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, ,
\begin{array} { r } { T _ { 2 , 1 } \leq \frac { 4 L _ { x y } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { A } \ddot { \bf x } _ { A } = \sum _ { B = 1 } ^ { 3 } \lambda _ { A B } { \bf x } _ { B } + \sum _ { \beta = 4 } ^ { n } \lambda _ { A \beta } { \bf x } _ { \beta } - a m _ { A } { \bf k } , \qquad m _ { \alpha } \ddot { \bf x } _ { \alpha } = \sum _ { A = 1 } ^ { 3 } \lambda _ { A \alpha } { \bf x } _ { A } - a m _ { \alpha } { \bf k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A \otimes B \overset { \alpha \otimes \beta } { \longrightarrow } } & { \widetilde { M } ( c _ { 0 } ( \widehat { \mathbb { G } } ) \otimes A ) \otimes \widetilde { M } ( c _ { 0 } ( \widehat { \mathbb { H } } ) \otimes B ) \subset \widetilde { M } ( c _ { 0 } ( \widehat { \mathbb { G } } ) \otimes A \otimes c _ { 0 } ( \widehat { \mathbb { H } } ) \otimes B ) } \\ & { \overset { \Sigma } { \cong } \widetilde { M } ( c _ { 0 } ( \widehat { \mathbb { G } } ) \otimes c _ { 0 } ( \widehat { \mathbb { H } } ) \otimes A \otimes B ) \cong \widetilde { M } ( c _ { 0 } ( \widehat { \mathbb { F } } ) \otimes A \otimes B ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } } ( T \mathbf { v } ) ) } & { { } = \operatorname* { d e t } ( T _ { r o t } J _ { \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } } ( \mathbf { v } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j = 2 } ^ { n } x _ { 1 , 1 , j } = 1 } \\ & { \sum _ { k = 2 } ^ { n } \sum _ { j : j \neq i } x _ { k , i , j } = 1 \quad \forall i > 1 } \\ & { \sum _ { i = 2 } ^ { n } x _ { n , i , 1 } = 1 } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { i : i \neq j } x _ { k , i , j } = 1 \quad \forall j > 1 } \\ & { \sum _ { i : i \neq j } x _ { k , i , j } = \sum _ { i : i \neq j } x _ { k + 1 , j , i } \quad \forall j , k } \\ & { \mathrm { a l l ~ v a r i a b l e s ~ a r e ~ b i n a r y } } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \beta \to 0 } { \frac { { \cal W } ^ { ( 3 ) } \pi ^ { 2 \omega } e ^ { 2 i \pi \omega } } { C _ { F } C _ { A } ( 2 T ) ^ { 4 - 4 \omega } ( L T ) ^ { 2 } } } = - { \frac { 3 } { 2 ( \omega - 1 ) ^ { 2 } } } + { \frac { 3 \gamma - 1 1 / 2 } { ( \omega - 1 ) } } - { \frac { 3 5 } { 2 } } + 1 1 \gamma - 3 \gamma ^ { 2 } + { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } } + { \cal O } ( \omega - 1 ) \ .
\frac { 1 } { q ^ { 2 } } \sum _ { y ^ { 3 } \in \mathbb F _ { q } ^ { 2 } } f _ { 3 } ( y ^ { 3 } ) \left( \frac { 1 } { | S _ { t } | } \sum _ { y ^ { 4 } \in S _ { t } } f _ { 4 } ( y ^ { 3 } - y ^ { 4 } ) \right) \left( \frac { 1 } { | S _ { t } | } \sum _ { y ^ { 1 } , y ^ { 2 } \in S _ { t } : | | y ^ { 2 } - y ^ { 1 } | | = t } f _ { 1 } ( y ^ { 3 } - y ^ { 1 } ) f _ { 2 } ( y ^ { 3 } - y ^ { 2 } ) \right) .
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { 0 } + \frac { 2 m ( 2 k _ { c } ^ { 2 } - 2 k k _ { t } + I _ { m } k \omega ^ { 2 } ) } { 4 k _ { c } ^ { 2 } - ( 2 k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( 2 k - m \omega ^ { 2 } ) } } & { \frac { 2 I _ { m } k _ { c } m \omega ^ { 2 } } { 4 k _ { c } ^ { 2 } - ( 2 k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( 2 k - m \omega ^ { 2 } ) } } \\ { \frac { 2 I _ { m } k _ { c } m \omega ^ { 2 } } { 4 k _ { c } ^ { 2 } - ( 2 k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( 2 k - m \omega ^ { 2 } ) } } & { I _ { 0 } + \frac { 2 I _ { m } ( 2 k _ { c } ^ { 2 } - 2 k k _ { t } + m k _ { t } \omega ^ { 2 } ) } { 4 k _ { c } ^ { 2 } - ( 2 k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( 2 k - m \omega ^ { 2 } ) } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { q ( \lambda ) = } & { { } ( N - 1 ) ( p _ { d } N - \lambda ) , } \\ { R _ { j } = } & { { } ( j + 1 ) \bigg ( j \bigg ( - j ^ { 2 } + j - 2 \bigg ) ( 1 - p _ { d } ) } \\ { Q _ { j } = } & { { } - j ( 1 - p _ { d } ) ( 3 N - 2 ) ( N - j ) , } \\ { P _ { j } = } & { { } ( j - 1 ) ( 1 - p _ { d } ) ( j - 2 N ) ( j - N - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - q z ^ { - 2 i \nu } e ^ { \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 1 } , } & & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { \frac { - \bar { q } } { 1 - | q | ^ { 2 } } z ^ { 2 i \nu } e ^ { - \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 2 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { q } { 1 - | q | ^ { 2 } } z ^ { - 2 i \nu } e ^ { \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 3 } , } & & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { \bar { q } z ^ { 2 i \nu } e ^ { - \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d L ( \tau ) = } & { { } \left( D L ^ { \beta - 1 } - \gamma \frac { \alpha - \beta } { \alpha - \beta + 2 } L ^ { \alpha } + \mathcal { O } \left( \frac { L ^ { 1 + 2 \alpha - \beta } } { D } \right) \right) d \tau } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - 1 } { m _ { 2 } - 1 } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 2 } } } } & { = \frac { \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } { \big ( 1 + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } \big ) ^ { \ell + 1 } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { 1 } { m _ { 1 } } } \big ) \Big ) = \frac { 1 } { 2 ^ { \ell + 1 } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { d } { m _ { 1 } } } \big ) \Big ) , } \\ { \frac { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - 1 } { m _ { 1 } - 1 } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } } & { = \frac { ( \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } ) ^ { \ell } } { \big ( 1 + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } \big ) ^ { \ell + 1 } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { 1 } { m _ { 1 } } } \big ) \Big ) = \frac { 1 } { 2 ^ { \ell + 1 } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { d } { m _ { 1 } } } \big ) \Big ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { J } } _ { 3 } D _ { m ^ { \prime } m } ^ { j } ( \alpha , \beta , \gamma ) ^ { * } } & { = m ^ { \prime } D _ { m ^ { \prime } m } ^ { j } ( \alpha , \beta , \gamma ) ^ { * } } \\ { ( { \mathcal { J } } _ { 1 } \pm i { \mathcal { J } } _ { 2 } ) D _ { m ^ { \prime } m } ^ { j } ( \alpha , \beta , \gamma ) ^ { * } } & { = { \sqrt { j ( j + 1 ) - m ^ { \prime } ( m ^ { \prime } \pm 1 ) } } D _ { m ^ { \prime } \pm 1 , m } ^ { j } ( \alpha , \beta , \gamma ) ^ { * } } \end{array} }
\left( { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + { \frac { \rho ^ { 2 } } { ( 1 - e ^ { - x } ) ^ { 9 / 7 } } } - { \frac { \ell ( \ell + 7 ) } { 4 9 } } { \frac { e ^ { - x } } { ( 1 - e ^ { - x } ) ^ { 2 } } } \right) \phi = 0
\frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial u _ { i } u _ { j } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } + \mathcal { F } _ { i } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \bigg ( \Big \vert ( - s \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { P } _ { s + t } ( \mu ^ { n } - \rho ) ( x ) \Big \vert \geq \lambda \bigg ) } \\ & { \lesssim \exp \bigg ( - \frac { 1 } { C } \frac { n ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { n v ^ { 2 } + \big ( \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { M } } \vert \omega _ { s + t } ( x , y ) \vert \big ) ^ { 2 } + n \lambda \big ( \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { M } } \vert \omega _ { s + t } ( x , y ) \vert \big ) \log ^ { 2 } ( n ) } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } } & { } & { = \left[ \begin{array} { l } { \widetilde { \textbf { f } } _ { 1 i } ^ { e q } } \\ { \widetilde { \textbf { f } } _ { 2 i } ^ { e q } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \frac { U _ { i } } { 2 } + \frac { G _ { i } } { 2 \widetilde { \lambda } } } \\ { \frac { U _ { i } } { 2 } - \frac { G _ { i } } { 2 \widetilde { \lambda } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right] U _ { i } + \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 \widetilde { \lambda } } } \\ { - \frac { 1 } { 2 \widetilde { \lambda } } } \end{array} \right] G _ { i } } \end{array}
( - 1 ) ^ { \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } + \ell } ( 2 \ell + 1 ) \sum _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } \left\{ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell ^ { \prime } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m ^ { \prime } } \end{array} \right\} = \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } ,
\phi _ { q q q } ^ { P } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , Q ^ { 2 } ) \rightarrow 1 2 0 x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } \delta ( 1 - x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } )
A { \left[ \begin{array} { l l l l } { p _ { 1 } } & { p _ { 2 } } & { p _ { 3 } } & { p _ { 4 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { p _ { 1 } } & { p _ { 2 } } & { p _ { 3 } } & { p _ { 4 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { p _ { 1 } } & { 2 p _ { 2 } } & { 4 p _ { 3 } } & { p _ { 3 } + 4 p _ { 4 } } \end{array} \right] } .
\operatorname { A r g } { \biggl ( } { \frac { - 1 - i } { i } } { \biggr ) } = \operatorname { A r g } ( - 1 - i ) - \operatorname { A r g } ( i ) = - { \frac { 3 \pi } { 4 } } - { \frac { \pi } { 2 } } = - { \frac { 5 \pi } { 4 } }
J _ { 2 } = - \int _ { \mathbb R } v \partial _ { x } ^ { 3 } h \left( \partial _ { x } ^ { 2 } h - \mathscr { Q } \partial _ { x } ^ { 2 } h \right) \ d x = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R } v \partial _ { x } ( \partial _ { x } ^ { 2 } h ) ^ { 2 } \ d x + \int _ { \mathbb R } v \partial _ { x } ^ { 3 } h \mathscr { Q } \partial _ { x } ^ { 2 } h \ d x .
\begin{array} { r l r } & { \frac { 1 } { C _ { p } } \int _ { 0 } ^ { t } i _ { h } ( t ) \mathrm { d } t - { V _ { M } } , } & { 0 \le t < \frac { \pi } { \omega } ; } \\ & { { V _ { M } } - \frac { 1 } { C _ { p } } \int _ { \frac { \pi } { \omega } } ^ { t } i _ { h } ( t ) \mathrm { d } t , } & { \frac { \pi } { \omega } \le t < \frac { 2 \pi } { \omega } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } e ^ { M f ( x ) } \, d x } & { { } = s e ^ { M f ( x _ { 0 } ) } { \frac { 1 } { s } } \int _ { a } ^ { b } e ^ { M ( f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) ) } \, d x } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { M } } & { = } & { H _ { \textrm { v i b } } ^ { ( C ) } ( \hat { \boldsymbol { Q } } , \hat { \boldsymbol { P } } ) \hat { d } ^ { \dagger } \hat { d } + H _ { \textrm { v i b } } ^ { ( U ) } ( \hat { \boldsymbol { Q } } , \hat { \boldsymbol { P } } ) [ 1 - \hat { d } ^ { \dagger } \hat { d } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { = \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \mathrm { e s s } \left( f ^ { ( k - 1 ) } \right) \frac { x ^ { k } } { k ! } } \\ & { = \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \mathrm { e s s } \left( z ^ { k - 1 } \cdot f + ( k - 1 ) z ^ { k - 2 } \cdot h \right) \frac { x ^ { k } } { k ! } } \\ & { = \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( z ^ { k - 1 } \cdot \mathrm { e s s } ( f ) + ( k - 1 ) z ^ { k - 2 } \cdot \mathrm { e s s } ( h ) \right) \frac { x ^ { k } } { k ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma ^ { i l } } & { = } & { \frac { S } { 1 5 \rho } ( g ^ { i l } + 2 n ^ { i } n ^ { l } ) + \frac 1 { 7 \rho } \left( 2 P ^ { i j } n _ { j } n ^ { l } + 2 P ^ { l j } n _ { j } n ^ { i } + P ^ { i l } + P ^ { j k } n _ { j } n _ { k } g ^ { i l } \right) + \frac 1 \rho R ^ { i j k l } n _ { j } n _ { k } + } \\ & { } & { \frac { A } { 1 2 \rho } \left( n ^ { i } n ^ { l } - g ^ { i l } \right) + \frac 1 { 2 \rho } \left( Q ^ { i l } + g ^ { i l } Q ^ { j k } n _ { j } n _ { k } - Q ^ { i k } n ^ { l } n _ { k } - Q ^ { l k } n ^ { i } n _ { k } \right) . } \end{array}
E ( x _ { + } , x _ { - } ) = - \partial _ { + } \widehat { A } _ { - } ( x _ { + } , x _ { - } ) = A ^ { \prime } \left( \sqrt { \frac { 1 + \beta } { 1 - \beta } } { \frac { x _ { + } } { \sqrt { 2 } } } + \sqrt { \frac { 1 - \beta } { 1 + \beta } } { \frac { x _ { - } } { \sqrt { 2 } } } \right) \; .
\begin{array} { r l } { D _ { 2 } : = \Bigg \{ } & { { } ( f _ { \eta } , f _ { \phi } , f _ { \Sigma } , f _ { b } , e _ { \eta } , e _ { \phi } , e _ { \Sigma } , e _ { b } ) \in \mathcal { F } _ { 2 } \times \mathcal { E } _ { 2 } \mid } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { r r } } & { { } = \frac { 3 K \nu } { 1 + \nu } \epsilon _ { k k } + \frac { 3 K ( 1 - 2 \nu ) } { 1 + \nu } \epsilon _ { r r } - b p , } \\ { \sigma _ { \theta \theta } } & { { } = \frac { 3 K \nu } { 1 + \nu } \epsilon _ { k k } + \frac { 3 K ( 1 - 2 \nu ) } { 1 + \nu } \epsilon _ { \theta \theta } - b p , } \\ { \epsilon _ { r r } } & { { } = \frac { \partial u _ { r } } { \partial r } , \quad \epsilon _ { \theta \theta } = \frac { u _ { r } } { r } , \quad \epsilon _ { z z } = 0 , } \\ { \epsilon _ { k k } } & { { } = \epsilon _ { r r } + \epsilon _ { \theta \theta } + \epsilon _ { z z } . } \end{array}
\int \left( 1 6 f _ { D 7 } ( \tau ) + 4 f _ { O 7 ^ { - } } ( \tau ) \right) p _ { 2 } = \int \frac { 1 } { 1 2 0 \pi } R e \left[ i \, \ln ( \vartheta _ { 4 } ( \tau ) \eta ( \tau ) ) \right] p _ { 2 }
\begin{array} { r } { \tau _ { \mathrm { p } } \approx 0 . 5 3 \sqrt [ 4 ] { \frac { 0 . 3 5 } { 1 . 1 } } \sqrt { \frac { 1 } { 1 0 . 1 7 \times 1 0 ^ { 9 } \times 6 . 6 \times 1 0 ^ { 1 2 } } } = 1 . 5 4 \: \mathrm { p s } } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { m a x } } ^ { 3 \omega } \approx } & { \left( \frac { 7 } { 4 5 } \right) ^ { 2 } \frac { \alpha ^ { 4 } } { m _ { e } ^ { 8 } } \frac { W ^ { 3 } } { \tau ^ { 2 } \omega ^ { 5 } w _ { 0 } ^ { 8 } } \frac { 2 ^ { 2 4 } } { 9 ^ { 3 } \sqrt { 3 3 } } \mathrm { e } ^ { - 3 } \left[ 1 + \left( \frac { 2 ^ { 1 1 } \sqrt { 3 } } { 9 ^ { 4 } } - 1 \right) \Theta _ { p q } ^ { 2 } \right] } \\ { \approx } & { 4 . 8 3 \frac { \alpha ^ { 4 } } { m _ { e } ^ { 8 } } \frac { W ^ { 3 } } { \tau ^ { 2 } \omega ^ { 5 } w _ { 0 } ^ { 8 } } \left[ 1 - 0 . 4 6 \Theta _ { p q } ^ { 2 } \right] \, . } \end{array}
{ \cal L } = ( 2 \sqrt { 2 } G _ { F } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \{ \alpha _ { i } \bar { u } _ { L } V M _ { D } d _ { R } H _ { i } ^ { + } + \beta _ { i } \bar { u _ { R } } M _ { U } V d _ { L } H _ { i } ^ { + } + \gamma _ { i } \bar { \nu } _ { L } M _ { E } e _ { R } H _ { i } ^ { + } \} + h . c . ,
\begin{array} { r } { f _ { T } ( k _ { x } , k _ { p } ) = \frac { e ^ { \frac { \lambda } { 4 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { p } ^ { 2 } ) } } { 2 \pi \beta } \int \int d x d p H _ { Q } ^ { ( T ) } ( x , p ) e ^ { - i ( k _ { x } x + k _ { p } p ) } . \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \int _ { \Sigma } \imath ^ { * } \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - \int _ { \partial \Sigma } \overline { { \imath } } ^ { * } \overline { { j } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } \\ & { = \int _ { \Sigma } \imath ^ { * } ( \mathrm { d } \mathcal { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } + 2 \star _ { g } \{ \imath _ { \xi } \mathcal { E } _ { \mathtt { E H } } ( g ) \} ) - \int _ { \partial \Sigma } \overline { { \imath } } ^ { * } ( \jmath ^ { * } \mathcal { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - 2 \star _ { \overline { { g } } } \{ \imath _ { \overline { { \xi } } } \overline { { \mathfrak { b } } } _ { \mathtt { E H } } ( g ) \} ) } \\ & { = \int _ { \Sigma } 2 \star _ { g } \{ \iota _ { \xi } \mathcal { E } _ { \mathtt { E H } } ( g ) \} + \int _ { \partial \Sigma } 2 \star _ { \overline { { g } } } \{ \iota _ { \overline { { \xi } } } \mathfrak { \overline { { b } } } _ { \mathtt { E H } } ( g ) \} , } \end{array}