harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\omega = \Delta \omega _ { c e } \left[ \left( 1 + \delta \right) + \frac { \hbar ^ { 2 } \omega _ { p } ^ { 2 } } { 1 2 8 m ^ { 2 } c ^ { 4 } } \frac { \omega _ { c e } \Delta \omega _ { c e } } { \left( \omega _ { p } ^ { 2 } - \Delta \omega _ { c e } ^ { 2 } \right) } \frac { k ^ { 2 } v _ { t } ^ { 2 } } { \left( \omega - \Delta \omega _ { c e } \right) ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l r } { \sin ( \pi \frac { \xi _ { x } } { L _ { x } } ) } & { { } = } & { \frac { a \Omega } { 2 c } \sin ( \theta ) \cos ( \varphi ) , } \\ { \sin ( \pi \frac { \xi _ { y } } { L _ { y } } ) } & { { } = } & { \frac { b \Omega } { 2 c } \sin ( \theta ) \sin ( \varphi ) , } \\ { \sin ( \frac { 1 } { 2 } c p _ { z } ) } & { { } = } & { \frac { c \Omega } { 2 c } \cos ( \theta ) . } \end{array}
\langle \langle \delta ^ { ( 1 ) } j _ { \mu } ( x , t ) \rangle \rangle = - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ^ { \prime } A _ { 0 } ^ { c l } ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \langle \langle [ j _ { \mu } ( x , t ) , j _ { 0 } ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ] \rangle \rangle \theta ( t - t ^ { \prime } ) .
\bigl | W _ { \epsilon } ( R , Z ) - A ( \rho ) \bigr | \, + \, \bigl | \nabla W _ { \epsilon } ( R , Z ) - \nabla A ( \rho ) \bigr | \, \le \, C _ { 3 } \, \epsilon ^ { \gamma _ { 1 } } A ( \rho ) \, , \qquad ( R , Z ) \in \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } \, .
V = \left[ \kappa ( \vert H ^ { c } \vert ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) - \beta \frac { \vert H ^ { c } \vert ^ { 4 } } { M _ { S } ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } + 2 \kappa ^ { 2 } \vert S \vert ^ { 2 } \vert H ^ { c } \vert ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 2 \beta } { \kappa M _ { S } ^ { 2 } } \vert H ^ { c } \vert ^ { 2 } \right] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { - a _ { \ell } } & { = - b _ { \ell } \sqrt { \lambda _ { \ell } } \left( \frac { 1 } { z s ( z ) } + 1 \right) + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - \phi } ) , } \\ { - b _ { \ell } } & { = a _ { \ell } \sqrt { \lambda _ { \ell } } ( z s ( z ) + 1 ) - b _ { \ell } \lambda _ { \ell } \left( \frac { 1 } { z s ( z ) } + 1 \right) + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - \phi } ) . } \end{array}
\delta L ^ { + 4 } = \partial ^ { + \alpha } \mathrm { T r } ( D ^ { + + } \Lambda A _ { \alpha } ^ { + } ) - { \frac { 1 } { 2 } } D ^ { + + } \mathrm { T r } ( \partial ^ { + \alpha } \Lambda A _ { \alpha } ^ { + } ) \ ,
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } = \Delta t \sum _ { \tau = \Delta t } ^ { t } } & { { } \left\lbrace k _ { 1 A } \tilde { \phi } _ { A } ( \tau ) + k _ { 1 B } \tilde { \phi } _ { B } ( \tau ) + k _ { 1 C } \tilde { \phi } _ { C } ( \tau ) + \right. } \end{array}
G _ { \mu \nu } ^ { a } G _ { \rho \sigma } ^ { a } \; \rightarrow \; \frac { 1 } { 1 2 } \, ( \eta _ { \mu \rho } \, \eta _ { \nu \sigma } \, - \, \eta _ { \mu \sigma } \, \eta _ { \nu \rho } ) \, \langle G ^ { 2 } \rangle .
h ( \boldsymbol { x } ) : = f ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { 0 } ) \quad \Longrightarrow \quad \mathcal { F } ( h ) ( \boldsymbol { \xi } ) = e ^ { - 2 \pi i \boldsymbol { x } _ { 0 } \cdot \boldsymbol { \xi } } \mathcal { F } ( f ) ( \boldsymbol { \xi } ) \, ,
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { L } _ { A _ { n } - B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } } + \Pi _ { N _ { n } } ) ( \Upsilon _ { n } ^ { - 1 } ) } & { \le - \Upsilon _ { n } ^ { - 1 } B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Upsilon _ { n } ^ { - 1 } , } \\ { ( \mathcal { L } _ { A _ { n } - B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } } + \Pi _ { N _ { n } } ) ( \Sigma _ { n } ) } & { \le - C _ { n } ^ { \top } C _ { n } - \Sigma _ { n } B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( x ) } & { = 4 x ^ { ( 4 - 1 ) } + { \frac { d \left( x ^ { 2 } \right) } { d x } } \cos \left( x ^ { 2 } \right) - { \frac { d \left( \ln { x } \right) } { d x } } e ^ { x } - \ln ( x ) { \frac { d \left( e ^ { x } \right) } { d x } } + 0 } \\ & { = 4 x ^ { 3 } + 2 x \cos \left( x ^ { 2 } \right) - { \frac { 1 } { x } } e ^ { x } - \ln ( x ) e ^ { x } . } \end{array} }
T _ { a _ { 1 } a _ { 2 } . . . . . a _ { n } } { b _ { a _ { 1 } } ^ { \, i _ { 1 } } } ^ { \dagger } { b _ { a _ { 2 } } ^ { \, i _ { 2 } } } ^ { \dagger } . . . { b _ { a _ { n } } ^ { \, i _ { n } } } ^ { \dagger } \: ,
\mathbf { u } ^ { ( 0 ) } \cdot \boldsymbol \nabla \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } + \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } \cdot \boldsymbol \nabla \mathbf { u } ^ { ( 0 ) } = - \mathbf { \nabla } \Phi ^ { ( 1 ) } + \boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol \sigma ^ { ( 1 ) } ,
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r ^ { n } e ^ { i k c ^ { n } x _ { 0 } } \prod _ { l = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { r + s + D c ^ { \alpha l } | k | ^ { \alpha } } = e ^ { i k x _ { 0 } } + r \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } r ^ { n } e ^ { i k c ^ { n } x _ { 0 } } \prod _ { l = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { r + s + D c ^ { \alpha l } | k | ^ { \alpha } } ,
g g \rightarrow c \bar { c } ; \; \; q \bar { q } \rightarrow c \bar { c } \; ( \mathrm { B O R N } ) \quad g g \rightarrow c \bar { c } g ; \; \; q \bar { q } \rightarrow c \bar { c } g ; \; \; q g \rightarrow c \bar { c } q \; ( \mathrm { N L O } )
\begin{array} { r } { \mathcal { I } _ { _ { S C } } = < \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } , \mathbf { B } \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } } > = } \\ { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \eta } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } } \right) \, r \mathrm { ~ d ~ } r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { 0 } } & { = \frac { \pi \mu _ { 0 } n ^ { 2 } } { 4 l } \Big [ 4 r _ { 2 } ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 2 } \Big ( \frac { r _ { 1 } \omega _ { 0 } } { c _ { 1 } } \Big ) ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } \Big ( 1 - \Big ( \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \Big ) ^ { 4 } \Big ) \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + 2 r _ { 2 } ^ { 2 } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ( \log \Big ( \frac { 2 c _ { 3 } } { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } \Big ) - \gamma _ { E u l e r } \Big ) \Big ] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathbf { x } } } } & { = \sin \theta \cos \varphi { \hat { \mathbf { r } } } + \cos \theta \cos \varphi { \hat { \boldsymbol { \theta } } } - \sin \varphi { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \\ { { \hat { \mathbf { y } } } } & { = \sin \theta \sin \varphi { \hat { \mathbf { r } } } + \cos \theta \sin \varphi { \hat { \boldsymbol { \theta } } } + \cos \varphi { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \\ { { \hat { \mathbf { z } } } } & { = \cos \theta { \hat { \mathbf { r } } } - \sin \theta { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } \end{array} }
h \left( \tau \right) = h \left( { \frac { a \tau + b } { c \tau + d } } \right) \quad { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } \left( { \begin{array} { l l } { a } & { c } \\ { b } & { d } \end{array} } \right) \in { \mathrm { S L } } _ { 2 } ( \mathbb { Z } )
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Phi _ { A } ( p _ { A \mathrm { W } } , p _ { A \mathrm { M } } ) = - \Phi _ { A } ( p _ { A \mathrm { W } } , p _ { A \mathrm { M } } ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } } & { \{ h ( p _ { \mathrm { W } A } ^ { \prime } ) g ( p _ { A \mathrm { W } } ; f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { C } } ( p _ { \mathrm { W W } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { W } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) g ( p _ { A \mathrm { M } } ; f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { C } } ( p _ { \mathrm { W M } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { M } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) } \\ & { + ( 1 - h ( p _ { \mathrm { W } A } ^ { \prime } ) ) g ( p _ { A \mathrm { W } } ; f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { D } } ( p _ { \mathrm { W W } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { W } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) g ( p _ { A \mathrm { M } } ; f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { D } } ( p _ { \mathrm { W M } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { M } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) \} } \\ & { \times \Phi _ { \mathrm { W } } ( p _ { \mathrm { W W } } ^ { \prime } , p _ { \mathrm { W M } } ^ { \prime } ) \mathrm { d } p _ { \mathrm { W W } } ^ { \prime } \mathrm { d } p _ { \mathrm { W M } } ^ { \prime } . } \end{array}
d \, \widetilde { \alpha } = \mathcal { R } _ { t } ^ { E } ( \mathbf { e } _ { E } , \mathbf { e } _ { t } ) + \sum _ { j = 2 } ^ { N } \, \mathcal { R } _ { \psi _ { j } } ^ { p _ { j } } ( \mathbf { e } _ { p _ { j } } , \mathbf { e } _ { \psi _ { j } } ) \, ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { c _ { 0 } } \\ { \overline { { c } } _ { 0 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \mathbf { d } _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - \mathbf { d } _ { 0 } ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { c _ { 0 } \delta _ { x _ { 1 } } H ^ { - } ( x ) + \overline { { c } } _ { 0 } \delta _ { x _ { 1 } } H ^ { + } ( x ) } \\ { c _ { 0 } \delta _ { x _ { 2 } } H ^ { - } ( x ) + \overline { { c } } _ { 0 } \delta _ { x _ { 2 } } H ^ { + } ( x ) } \\ { \mathcal { H } ^ { - } ( x ) } \\ { \mathcal { H } ^ { + } ( x ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\lambda _ { 2 } ( a ) = 2 p a ~ \frac { I _ { 1 } ( p z _ { I R } ) K _ { 1 } ( p a ) - I _ { 1 } ( p a ) K _ { 1 } ( p z _ { I R } ) } { I _ { 2 } ( p a ) K _ { 1 } ( p z _ { I R } ) + I _ { 1 } ( p z _ { I R } ) K _ { 2 } ( p a ) }
\begin{array} { r } { F _ { x } ^ { + } ( 0 ) = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { D _ { x } ^ { 2 } n _ { 0 } } { 2 } d \tilde { x } + \mathcal { O } \left[ \lambda ^ { 3 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { V } _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { A D S I C } } \left[ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } \right] } & { = } & { \frac { N - 1 } { N } \mathcal { V } _ { \mathrm { H } } \left[ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } \right] , } \\ { \mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } ^ { \uparrow \mathrm { A D S I C } } \left[ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } \right] } & { = } & { \mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } ^ { \uparrow } \left[ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } \right] - \mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } ^ { \uparrow } \left[ \frac { \rho ^ { \uparrow } } { N ^ { \uparrow } } , 0 \right] , } \\ { \mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } ^ { \downarrow \mathrm { A D S I C } } \left[ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } \right] } & { = } & { \mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } ^ { \downarrow } \left[ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } \right] - \mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } ^ { \downarrow } \left[ 0 , \frac { \rho ^ { \downarrow } } { N ^ { \downarrow } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \sigma } _ { 1 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \sigma } _ { 2 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \sigma } _ { 3 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \bigotimes _ { q = \mathsf { A , B } } | Q _ { q } \rangle _ { \mathsf { s i m } \, q , \, \mathsf { e n c } [ H _ { q } ] } \otimes | \boldsymbol { 0 } \rangle _ { \mathsf { p h a s e } \, q } \right) \otimes | \boldsymbol { 0 } \rangle _ { \mathsf { e n c } [ F ] } } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon \epsilon _ { 0 } \frac { d } { d x } E ( x , t ) = \rho ( x , t ) + q _ { 0 } ( t ) \delta ( x - \epsilon _ { \delta } ) + q _ { L } ( t ) \delta ( x - L + \epsilon _ { \delta } ) , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 0 \leq x \leq L } \end{array}
\langle \vec { r } | \vec { \xi } \rangle = H ( \vec { \xi } ) e ^ { i [ \sqrt { 2 } x ^ { i } ( D ^ { \! - 1 } ) _ { i j } \xi ^ { j } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { i } ( D ^ { \! - 1 } \! C ) _ { i j } x ^ { j } ] } ,
M = \frac { 4 g g _ { s } ^ { 2 } } { 3 \sqrt 6 } { \bar { u } } ( q _ { 2 } , { \bar { s } } ) \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \left\{ { \cal A } _ { 1 } + { \cal A } _ { 2 } \right\} v ( q _ { 1 } , s ) .
\frac { \ddot { a } } { \cos ^ { 2 } { \frac { \tau } { r _ { 0 } } } } + \frac { 2 a } { r _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 4 } { \frac { \tau } { r _ { 0 } } } } - 2 \lambda v ^ { 2 } a + \frac { 8 } { 9 v ^ { 2 } } a ^ { 3 } = 0 .
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } u - \operatorname { d i v } ( \xi ( u ) \mu \nabla u ) + u } & { = \mathcal { F } _ { \Omega } ( u ) \qquad } & & { \mathrm { o n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega , } \\ { \nu _ { \partial \Omega } \cdot \xi ( u ) \mu \nabla u + \alpha u } & { = \mathcal { F } _ { \Gamma } ( u ) } & & { \mathrm { o n ~ } ( 0 , T ) \times \Gamma _ { N } , } \\ { u } & { = 0 } & & { \mathrm { o n ~ } ( 0 , T ) \times \Gamma _ { D } , } \\ { u ( 0 ) } & { = u _ { 0 } } & & { \mathrm { o n ~ } \Omega , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { J _ { \phi } ^ { r s } = L _ { \phi } ^ { r s } + { \hat { S } } _ { \phi } ^ { r s } , } } \\ { { L _ { \phi } ^ { r s } = X _ { \phi } ^ { r } P _ { \phi } ^ { s } - X _ { \phi } ^ { s } P _ { \phi } ^ { r } , } } \\ { { { \hat { S } } _ { \phi } ^ { r s } = \int d \tilde { q } \, \hat { I } \left( \tau , \vec { q } \right) \left( q ^ { r } \frac \partial { \partial q ^ { s } } - q ^ { s } \frac \partial { \partial q ^ { r } } \right) \hat { \varphi } \left( \tau , \vec { q } \right) , } } \end{array} \right.
\bar { u } _ { i } ^ { \dag } \frac { { \partial \delta T _ { i j } ^ { \left( 1 \right) } } } { { \partial { x _ { j } } } } = \left\{ { \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { - { { \bar { \Delta } } ^ { 2 } } \left( { | \bar { S } | \bar { S } _ { i j } ^ { \dag } + \frac { { 2 { { \bar { S } } _ { k l } } \bar { S } _ { k l } ^ { \dag } } } { { | \bar { S } | } } { { \bar { S } } _ { i j } } } \right) } \right] } \right\} \delta { { \bar { u } } _ { i } } + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \delta T _ { i j } ^ { \left( 1 \right) } } \right] .
\Psi _ { \gamma } ( x , k _ { 2 \perp } ^ { 2 } ) = \frac { G _ { \gamma } ( M _ { q \bar { q } } ^ { 2 } ) } { M _ { q \bar { q } } ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } , \quad \Psi _ { V } \left( x , \left( \vec { k } _ { 2 \perp } + \vec { k } _ { \perp } - x \vec { \kappa } _ { \perp } \right) ^ { 2 } \right) = \frac { G _ { V } ( M _ { q \bar { q } } ^ { 2 } ) } { M _ { q \bar { q } } ^ { 2 } - \mu _ { V } ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i \in \mathcal { B } } c _ { i } ^ { * } [ - \alpha \lVert c ^ { * } \rVert _ { q } ^ { 1 - q } | c _ { i } ^ { * } | ^ { q - 2 } c _ { i } ^ { * } + b _ { i } + \lambda ] = 0 } \\ { \implies } & { - \alpha \lVert c ^ { * } \rVert _ { q } ^ { 1 - q } \lVert c ^ { * } \rVert _ { q } ^ { q } + \langle c ^ { * } , b \rangle + \lambda = 0 , \qquad \mathrm { ( u s i n g ~ \sum _ i ~ c ^ * _ i ~ = ~ 1 ~ a n d ~ ( c ^ * _ i ) ^ 2 ~ = ~ | c ^ * _ i | ^ 2 ~ ) } } \\ { \implies } & { - \alpha \lVert c ^ { * } \rVert _ { q } + \langle c ^ { * } , b \rangle + \lambda = 0 } \\ { \implies } & { - \alpha \lVert c ^ { * } \rVert _ { q } + \langle c ^ { * } , b \rangle = - \lambda , \qquad \mathrm { ( r e - a r r a n g i n g ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x \pi ( R ( n _ { 1 } ) ) + y ( \pi ( R ( n _ { 2 } ) ) + z \pi ( R ( n _ { 3 } ) ) } & { { } = } & { } \\ { ( x r _ { 1 } ^ { \perp } + y r _ { 2 } ^ { \perp } + z r _ { 3 } ^ { \perp } + ( x + y + z ) \rho r _ { A } , x m _ { 1 } ^ { \perp } + y m _ { 2 } ^ { \perp } + z m _ { 3 } ^ { \perp } + ( x + y + z ) \mu r _ { A } ) } & { { } = } & { } \\ { ( r _ { 4 } ^ { \perp } + \rho r _ { A } , m _ { 4 } ^ { \perp } + \mu r _ { A } ) } & { { } = } & { } \\ { \pi ( R ( n _ { 4 } ) ) } & { { } } & { } \end{array}
\begin{array} { c c } { { p _ { a } = \left( E _ { a } , { \bf p } \right) } } & { { p _ { b } = \left( E _ { b } , - { \bf p } \right) } } \\ { { p _ { a } ^ { \prime } = \left( E _ { a } , { \bf p } \, { } ^ { \prime } \right) } } & { { p _ { b } ^ { \prime } = \left( E _ { b } , - { \bf p } \, { } ^ { \prime } \right) . } } \end{array}
\ell / L = \sum _ { k _ { h } } [ \hat { u } _ { z } ( k _ { h } ) \hat { u } _ { z } ^ { * } ( k _ { h } ) ] / \sum _ { k _ { h } } k _ { h } [ \hat { u } _ { z } ( k _ { h } ) \hat { u } _ { z } ^ { * } ( k _ { h } ) ]
\begin{array} { r l r l } { u ^ { s } } & { = ( \frac { 5 } { 4 2 } ( 1 0 x _ { 2 } + 1 ) ( 1 - x _ { 1 } / 5 ) ( \cos ( \pi t / 5 ) + \frac { 1 1 } { 1 0 } ) , 0 ) } & & { \mathrm { o n ~ } \Gamma ^ { s } \times J , } \\ { u ^ { d } \cdot n } & { = 0 } & & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { N } ^ { d } \times J , } \\ { p ^ { d } } & { = 0 } & & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { D } ^ { d } \times J , } \end{array}
\| \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } ^ { e q } ( t ) - \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ^ { e q } ( t ) \| = \| \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } ^ { e q } ( 0 ) - \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ^ { e q } ( 0 ) \| , \quad \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { e q } = 0 \iff \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } ^ { e q } = 0 , \quad i , j = 1 , \cdots , N \quad t \geq 0 .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { A } _ { a } = \displaystyle \frac { \mathcal { A } } { a } , \quad \mathcal { A } _ { \sigma } = \displaystyle \frac { ( \tau - \xi ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 3 } } \mathcal { A } , \quad \mathcal { A } _ { \xi } = \displaystyle \frac { \tau - \xi } { \sigma ^ { 2 } } \mathcal { A } , } \\ & { \Phi _ { b } = 1 , \quad \Phi _ { c } = \tau - \xi , \quad \Phi _ { \xi } = - c - 2 d ( \tau - \xi ) , \quad \Phi _ { d } = ( \tau - \xi ) ^ { 2 } . } \end{array}
\left. + \, \Lambda _ { 2 3 } ^ { + + } \, V _ { 2 3 } \, \Lambda _ { 2 3 } ^ { + + } \, \psi _ { 2 3 } ( h _ { 1 } ) \, + \, \Lambda _ { 3 1 } ^ { + + } \, V _ { 3 1 } \, \Lambda _ { 3 1 } ^ { + + } \, \psi _ { 3 1 } ( h _ { 2 } ) \, \right]
\begin{array} { r l r } { | D ( E ) | } & { } & { = \sqrt { \frac { 3 c } { 4 \mathrm { \ p i } ^ { 2 } E } \sigma ( E ) } , } \\ { \mathrm { R e } \{ \ln [ D ( E ) ] \} } & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \ln \left[ \sigma ( E ) / E \right] + \mathrm { c o n s t . } } \\ & { } & { \approx \frac { 1 } { 2 } \ln \left[ \sigma ( E ) \right] + \mathrm { c o n s t . } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { e } _ { \lambda } } & { { } = } & { \left( \frac { \lambda \cdot \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } { \sqrt { 1 + \lambda ^ { 2 } } } \mathbf { e } _ { z } + \xi \mathbf { e } _ { y } \right) \cdot \frac { \sqrt { 1 + \lambda ^ { 2 } } } { \sqrt { \lambda ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } } } \, , } \\ { \mathbf { e } _ { \xi } } & { { } = } & { \left( \frac { - \xi \cdot \sqrt { 1 + \lambda ^ { 2 } } } { \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } \mathbf { e } _ { z } + \lambda \mathbf { e } _ { y } \right) \cdot \frac { \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } { \sqrt { \lambda ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } } } \, } \end{array}
( 2 \pi ) ^ { d } \; \delta ^ { ( d ) } \! \left( \sum _ { i = 1 } ^ { M } p _ { i } \right) A _ { P } ( p _ { 1 } \dots p _ { M } ) = \frac { N } { ( 2 \alpha ^ { \prime } ) ^ { d / 2 } } \frac { \langle B _ { 0 } | D | B _ { M } \rangle } { \pi } ~ .
\begin{array} { r l } { \eta _ { 4 k n - j } = } & { \eta _ { - j } \prod _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \frac { a ^ { k s + k - 1 - \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } + b \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - j + 4 \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor - 4 r } } \right) ( \frac { 1 - a ^ { k s + k - 1 + \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } } { 1 - a } ) } { a ^ { k s + k - \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } + b \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - j + 4 \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor - 4 r } } \right) ( \frac { 1 - a ^ { k s + k - \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } } { 1 - a } ) } . } \end{array}
\widetilde { C ^ { t o t } } = \left\{ \begin{array} { l l l } { \widetilde { C _ { 0 } ^ { t o t } } ( 1 + f ^ { \alpha } ( x ^ { \alpha } - 1 ) ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { x ^ { \alpha } < 1 } \\ { \widetilde { C _ { 0 } ^ { t o t } } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { t = \frac { x ^ { - \chi } } { 2 A ^ { 2 } ( \chi - 1 ) } \times \left( - 2 \ln \left( \frac { x ^ { 1 - \chi } } { a } \right) \left( B x ^ { \chi } \ln \left( B - A x ^ { 1 - \chi } \right) + A x \right) + 2 B x ^ { \chi } \mathrm { L i } _ { 2 } \left( \frac { B x ^ { \chi - 1 } } { A } \right) \right. } \\ & { \left. - 2 B ( \chi - 1 ) x ^ { \chi } \ln ( x ) \left( \ln \left( B - A x ^ { 1 - \chi } \right) - \ln \left( 1 - \frac { B x ^ { \chi - 1 } } { A } \right) \right) + 2 A x - B ( \chi - 1 ) ^ { 2 } x ^ { \chi } \ln ^ { 2 } ( x ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { G } _ { 0 } ( k , s ) = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) } { s } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left[ \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) \lambda ( k ) \right] ^ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { v } _ { e } ( t ) - \vec { v } _ { h } ( t ) } & { { } = \mu _ { e } ( E ( z _ { e } ) ) \vec { E } ( z _ { e } ) + \mu _ { h } ( E ( z _ { h } ) ) \vec { E } ( z _ { h } ) } \end{array}
\begin{array} { l l l l } & { F _ { 1 } ( S , v ) ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp ( \frac { \operatorname* { m i n } ( x , t ) - t } { d _ { 0 } } ) g ( 1 - S ) v d t , } \\ & { F _ { 2 } ( S , v ) ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp ( \frac { \operatorname* { m i n } ( x , t ) - t } { d _ { 2 } } ) g ( 1 - S ) v d t . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sin x } & { = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } } - { \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } } + \cdots } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) ! } } x ^ { 2 n + 1 } } \\ { \cos x } & { = 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } } - { \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } } + \cdots } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n ) ! } } x ^ { 2 n } . } \end{array} }
\widetilde { \tau _ { i j } } = \mu _ { e f f } \left( \frac { \partial \widetilde { u _ { i } } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \widetilde { u _ { j } } } { \partial x _ { i } } - \frac { 2 } { 3 } \: \delta _ { i j } \: \frac { \partial \widetilde { u _ { k } } } { \partial x _ { k } } \right) - \frac { 2 } { 3 } \overline { { \rho } } k \delta _ { i j }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \mathbf { W } , \mu ) } & { = \| \mathbf { H } _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { R I S } } \! ) \mathbf { W } \| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } - 2 \mathrm { t r } ( \mathrm { R e } \{ \mathbf { H } _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { R I S } } \! ) \mathbf { W } \} } \\ & { + \mu ( \| \mathbf { W } \| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } - P ) , } \\ { \nabla \mathcal { L } ( \mathbf { W } , \mu ) } & { = \big ( \mathbf { H } _ { \mathrm { e } } \mathbf { H } _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { H } } + \mu \mathbf { I } _ { M } \big ) \mathbf { W } - \mathbf { H } _ { \mathrm { e } } , } \end{array}
( F _ { t } ^ { 0 , ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } + 4 F _ { t } ^ { 1 , ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } + F _ { t } ^ { 2 , ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } ) / 6
\begin{array} { r } { \nu = | \boldsymbol { \mathsf { t } } | ^ { 2 } - 1 = \boldsymbol { \mathsf { F } } \boldsymbol { \mathsf { T } } \cdot \boldsymbol { \mathsf { F } } \boldsymbol { \mathsf { T } } - 1 = \boldsymbol { \mathsf { C } } \boldsymbol { \mathsf { T } } \cdot \boldsymbol { \mathsf { T } } - 1 = 2 \boldsymbol { \mathsf { E } } \boldsymbol { \mathsf { T } } \cdot \boldsymbol { \mathsf { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { F } ^ { ( T ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \tau \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d k \frac { | k | } { 2 } f _ { T } ( k , \tau ) e ^ { i k ( \hat { x } \cos \tau + \hat { p } \sin \tau ) } . \ \ \ \ } \end{array}