harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { M } \langle \mathbf { g } _ { n } , \mathbf { u } _ { n } \rangle \right] } & { \le \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\langle \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) , \mathbf { u } ^ { k } \right\rangle + D _ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) - \mathbf { g } _ { n } ) \right\| _ { 1 } \right] } \\ & { \le \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\langle \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) , \mathbf { u } ^ { k } \right\rangle \right] + D _ { \infty } K \sqrt { T } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sigma _ { i } } \\ & { = \mathop { \mathbb { E } } \left[ - \sum _ { k = 1 } ^ { K } D _ { \infty } T \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F \left( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } \right) \right\| _ { 1 } \right] + D _ { \infty } K \sqrt { T } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sigma _ { i } ~ . } \end{array}
{ \frac { \pi } { 4 } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { 4 n + 1 } } - { \frac { 1 } { 4 n + 3 } } \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 } { ( 4 n + 1 ) ( 4 n + 3 ) } }
D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 1 } } D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 2 } } \bigg \{ { c o s ( \omega S ) \bigg \} } = D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 1 } } \bigg \{ { c o s ( \omega S + \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { 2 } ) \bigg \} } = c o s ( \omega S + \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { 2 } + \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r } { b = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \end{array} \right) , \quad A = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { e ^ { \beta } } & & { 1 } & & { \cdots } & & { 1 } \\ { 1 } & & { e ^ { \beta } } & & { \cdots } & & { 1 } \\ { \vdots } & & { \vdots } & & { \ddots } & & { \vdots } \\ { 1 } & & { 1 } & & { \cdots } & & { e ^ { \beta } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ( e , \rho , q _ { i } , \Pi , \Pi _ { \langle i j \rangle } ) } & { { } = s _ { \textrm { e q } } ( e , \rho ) - \frac { 3 \hat { c } _ { v } } { 2 ( 2 \hat { c } _ { v } - 3 ) p T } \Pi ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \rho T } \Pi _ { \langle i j \rangle } \Pi _ { \langle i j \rangle } - \frac { \rho } { 2 p ^ { 2 } T ( 1 + \hat { c } _ { v } ) } q _ { i } q _ { i } + \mathcal { O } ( 3 ) , } \\ { J _ { k } } & { { } = \frac { 1 } { T } q _ { k } - \frac { 1 } { p T ( 1 + \hat { c } _ { v } ) } \Pi q _ { k } - \frac { 1 } { p T ( 1 + \hat { c } _ { v } ) } q _ { i } \Pi _ { \langle i k \rangle } + \mathcal { O } ( 3 ) , \quad 2 \hat { c } _ { v } - 3 > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { I _ { e } ( V ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 } e S _ { e f f } ^ { e } v _ { e } \frac { n _ { + } ^ { s } } { 1 + \alpha _ { s } } \exp \bigg ( { e \frac { V - V _ { s } } { T _ { e } } } \bigg ) } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } } & { { } v _ { e } = \sqrt { \frac { 8 T _ { e } } { \pi m _ { e } } } } \\ { I _ { + } ( V ) } & { { } = e S _ { e f f } ^ { + } ( V ) u _ { B } ^ { + } n _ { + } ^ { s } } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } } & { { } u _ { B } ^ { + } = \sqrt { \frac { T _ { e } } { m _ { + } } } \sqrt { \frac { 1 + \alpha _ { s } } { 1 + \gamma \alpha _ { s } } } } \\ { I _ { - } ( V ) } & { { } = e S _ { e f f } ^ { - } ( V _ { s } ) n _ { + } ^ { s } u _ { B } ^ { - } \frac { \alpha _ { s } } { 1 + \alpha _ { s } } \exp \bigg ( { e \frac { V - V _ { s } } { T _ { - } } } \bigg ) } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } } & { { } u _ { B } ^ { - } = \sqrt { \frac { T _ { + } } { m _ { - } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { F } _ { \mathrm { c u r } } } & { = \left( \begin{array} { l } { \mathsf { F } _ { C } } \\ { \mathsf { T } } \end{array} \right) \qquad \mathrm { a n d } } \\ { \mathsf { F } _ { \mathrm { v o l } } } & { = \left( \begin{array} { l } { \mathsf { F } _ { L } } \\ { \mathsf { T } ^ { \prime } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P ( \Delta , \Sigma ; t ) } { \partial t } = } & { { } \left( E _ { \Delta } ^ { - 1 } E _ { \Sigma } ^ { - 1 } - 1 \right) \left[ W _ { + + } P ( \Delta , \Sigma ; t ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \mathrm { r } ( q , v _ { 1 } ) - \mathrm { r } ( q , v _ { 2 } ) \right| \leq L _ { \mathrm { r } } \left| v _ { 1 } - v _ { 2 } \right| \, , } \\ & { \left| \mathrm { a } ( q , v _ { 1 } ) - \mathrm { r } ( q , v _ { 2 } ) \right| \leq L _ { \mathrm { a } } \left| v _ { 1 } - v _ { 2 } \right| \, , } \\ & { \left| \mathrm { b } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , v _ { 1 } ) - \mathrm { r } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , v _ { 2 } ) \right| \leq L _ { \mathrm { b } } \left| v _ { 1 } - v _ { 2 } \right| \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \overline { { u } } } _ { 1 } ( x ) } & { \equiv \frac { 1 } { \eta _ { 1 } } \int _ { \zeta } ^ { h _ { 1 } } u _ { 1 } ( x , z ) \, \mathrm { d } z = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) ! } \eta _ { 1 } ( x ) ^ { 2 n } \partial _ { x } ^ { 2 n } u _ { 0 \, 1 } ( x ) \, } \\ { { \overline { { u } } } _ { 2 } ( x ) } & { \equiv \frac { 1 } { \eta _ { 2 } } \int _ { - h _ { 2 } } ^ { \zeta } u _ { 2 } ( x , z ) \, \mathrm { d } z = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) ! } \eta _ { 2 } ( x ) ^ { 2 n } \partial _ { x } ^ { 2 n } u _ { 0 \, 2 } ( x ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 0 } } & { \approx \frac { N _ { \mathrm { h h } } - 1 } { N _ { \mathrm { h h } } - 1 + w \cdot 2 m } \cdot \bigg ( \frac { ( N _ { \mathrm { h h } } - 2 ) \cdot \tau } { \tau + \gamma } + \frac { 2 m \cdot w \cdot \tau } { w \cdot \tau + \gamma } \bigg ) } \\ & { \quad + \frac { w \cdot 2 m } { N _ { \mathrm { h h } } - 1 + w \cdot 2 m } \cdot \bigg ( \frac { ( N _ { \mathrm { h h } } - 1 ) \cdot \tau } { \tau + \gamma } + \frac { ( 2 m - 1 ) \cdot w \cdot \tau } { w \cdot \tau + \gamma } \bigg ) } \end{array}
q _ { p } ( \mathbf { r } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \mathbf { r } _ { p } ^ { \prime } ( t ) \times \mathbf { r } \cdot \mathbf { h } _ { p } ^ { \prime } ( t ) } { F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { p } ^ { \prime } ( t ) ) } d t
\begin{array} { r l } { d { \bf F } } & { = \mathsf { d i v } ( B ) d x \wedge d y \wedge d z + \Big ( \frac { \partial E _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial E _ { x } } { \partial y } + \frac { \partial B _ { z } } { \partial t } \Big ) d x \wedge d y \wedge d t } \\ & { + \Big ( \frac { \partial E _ { x } } { \partial z } - \frac { \partial E _ { z } } { \partial x } + \frac { \partial B _ { y } } { \partial t } \Big ) d z \wedge d x \wedge d t + \Big ( \frac { \partial E _ { z } } { \partial y } - \frac { \partial E _ { y } } { \partial z } + \frac { \partial B _ { x } } { \partial t } \Big ) d y \wedge d z \wedge d t . } \end{array}
\frac { \partial \hat { \rho } } { \partial t } = - \frac { i } { \hbar } \left[ \hat { H } , \hat { \rho } \right] + \Sigma _ { j } \left[ \Gamma _ { j } \left( \hat { L } _ { j } ^ { \dagger } \hat { \rho } \hat { L } _ { j } - \frac { 1 } { 2 } \hat { L } _ { j } \hat { L } _ { j } ^ { \dagger } \hat { \rho } - \frac { 1 } { 2 } \hat { \rho } \hat { L } _ { j } \hat { L } _ { j } ^ { \dagger } \right) \right]
\begin{array} { r l r } { P ( u \to u ) } & { { } = } & { 0 . \overline { 6 } \overline { 6 } , } \\ { P ( u \to c ) } & { { } = } & { 0 . \overline { 3 } \overline { 3 } , } \\ { P ( c \to u ) } & { { } = } & { 0 . 2 } \\ { P ( c \to c ) } & { { } = } & { 0 . 8 . } \end{array}
\delta ^ { \prime } : \Delta ^ { \prime } , x ^ { \prime } : A ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ^ { \prime } ) ) \vdash f ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ^ { \prime } ) , \alpha ( \delta ^ { \prime } ) ^ { * } x ^ { \prime } ) = \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ^ { \prime } ) ^ { * } f ^ { \prime } ( \delta ^ { \prime } , x ^ { \prime } )
l _ { \mathrm { ~ Y ~ a ~ n ~ g ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } = \operatorname* { m a x } \ ( 2 l _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } , l _ { \mathrm { ~ O ~ B ~ S ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } + l _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } )
\begin{array} { r l } & { V _ { 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { 1 } ^ { k } ) = V _ { \hat { H } + d } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { \hat { H } + d } ^ { k } ) } \\ & { = r _ { \hat { H } + d } ( s _ { \hat { H } + d } ^ { k } , a _ { \hat { H } + d } ^ { k } ) + O C E _ { s _ { \hat { H } + d + 1 } ^ { k } \sim P _ { \hat { H } + d } ( \cdot \vert s _ { \hat { H } + d } ^ { k } , a _ { \hat { H } + d } ^ { k } ) } ( V _ { \hat { H } + d + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { \hat { H } + d + 1 } ^ { k } ) ) } \\ & { = O C E _ { s _ { \hat { H } + d + 1 } ^ { k } \sim P _ { \hat { H } + d } ( \cdot \vert s _ { \hat { H } + d } ^ { k } , a _ { \hat { H } + d } ^ { k } ) } \left( ( H - \bar { H } - d ) \times 1 \{ s _ { \hat { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } \} \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \lambda \in [ 0 , H - \bar { H } - d ] } \{ \lambda + P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ( s _ { \hat { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } ) u ( H - \bar { H } - d - \lambda ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad + ( 1 - P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ( s _ { \hat { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } ) ) u ( - \lambda ) \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \lambda \in [ 0 , H - \bar { H } - d ] } \{ \lambda + P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ( s _ { \bar { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } ) u ( H - \bar { H } - d - \lambda ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad + ( 1 - P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ( s _ { \bar { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } ) ) u ( - \lambda ) \} . } \end{array}
f ( x ) = f ( z = x ^ { 1 } - i x ^ { 2 } , \bar { z } = x ^ { 1 } + i x ^ { 2 } ) \longrightarrow \hat { f } ( a , a ^ { \dagger } ) = \int \frac { d ^ { 2 } x d ^ { 2 } y } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } f ( x ) e ^ { i [ \bar { p } ( \sqrt { 2 \theta } a - z ) + p ( \sqrt { 2 \theta } a ^ { \dagger } - \bar { z } ) ] } ,
\mathrm { ~ M ~ T ~ E ~ } \approx \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ m ~ } _ { \mathrm { ~ e ~ } } \langle 2 v _ { x } ^ { 2 } \rangle = \mathrm { ~ m ~ } _ { \mathrm { ~ e ~ } } \langle v _ { x } ^ { 2 } \rangle
R _ { 3 } \otimes R _ { 1 } ^ { ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) } = R _ { 1 } ^ { ( l _ { 1 } + 1 , l _ { 2 } + 1 ) } \oplus R _ { 1 } ^ { ( l _ { 1 } - 1 , l _ { 2 } ) } \oplus R _ { 1 } ^ { ( l _ { 1 } , l _ { 2 } - 1 ) } .
\xi ( y ; \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } ) = \alpha _ { 1 } + \frac { \alpha _ { 2 } } { \sqrt { M } } \sum _ { i = 2 } ^ { M } C _ { i 1 } \sin \left( i \frac { 2 \pi } { \alpha _ { 3 } } y \right) + C _ { i 2 } \cos \left( i \frac { 2 \pi } { \alpha _ { 3 } } y \right) ,
\rho _ { X , Y } = { \frac { \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X \, Y \, ] - \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X \, ] \operatorname { \mathbb { E } } [ \, Y \, ] } { { \sqrt { \operatorname { \mathbb { E } } \left[ \, X ^ { 2 } \, \right] - \left( \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X \, ] \right) ^ { 2 } } } ~ { \sqrt { \operatorname { \mathbb { E } } \left[ \, Y ^ { 2 } \, \right] - \left( \operatorname { \mathbb { E } } [ \, Y \, ] \right) ^ { 2 } } } } } .
\begin{array} { r l } { \Psi ( \phi _ { \mathbb { C } \mathbb { H } } ) } & { = C _ { \Psi } \bigg ( \sum _ { \alpha \in { \mathbb { C } \mathbb { H } } } \phi _ { \alpha } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ( 1 - \sum _ { \alpha \in { \mathbb { C } \mathbb { H } } } \phi _ { \alpha } \bigg ) ^ { 2 } , } \\ { \Psi ( \phi _ { \mathbb { C } \mathbb { H } } ) } & { = \sum _ { \alpha \in { \mathbb { C } \mathbb { H } } } C _ { \Psi _ { \alpha } } \phi _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 - \phi _ { \alpha } ) ^ { 2 } , } \end{array}
S _ { \omega } ^ { r } ( b , Q ) \simeq \int _ { q _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { m i n ( 1 / b ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) } { \frac { d q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } { \frac { \alpha _ { s } ( q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d z z P _ { g g } ( z ) [ z ^ { \omega - 1 } - 1 ]
{ } [ Z _ { 0 } , [ \bar { Z } _ { 0 } , X ^ { 3 } ] ] + [ \bar { Z } _ { 0 } , [ Z _ { 0 } , X ^ { 3 } ] ] = ( \textstyle { \frac { 2 } { 3 } } \mu ) ^ { 2 } X ^ { 3 } \, .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } ^ { s } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) = \boldsymbol { u } ^ { s ( K ) } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) + \boldsymbol { u } ^ { s ( C ) } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) } \\ { \boldsymbol { t } ^ { s } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) = \boldsymbol { t } ^ { s ( K ) } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) + \boldsymbol { t } ^ { s ( C ) } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { i n } } = \frac { \hbar k } { m } \int _ { - \hbar k } ^ { + \hbar k } p \left[ \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( p ) - \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) \right] \, d p .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d x } ( u _ { \lambda } ^ { - } \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } ) } & { = \Big ( ( A _ { \lambda } - \mu _ { - } ^ { \prime } I ) u ^ { - } \Big ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } + ( A u _ { \lambda } ^ { - } ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } + u _ { \lambda } ^ { - } \wedge ( \tilde { A } \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } ) } \\ & { = \Big ( ( A _ { \lambda } - \mu _ { - } ^ { \prime } I ) u ^ { - } \Big ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( s , x , t ) : = g ^ { m } ( s , x , t ) : = } & { \Vert h _ { s , x } ^ { m } ( t , \cdot ) \Vert _ { L ^ { \infty } } + ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } \mathcal { T } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } [ h _ { s , x } ^ { m } ( t , \cdot ) ] } \\ { = } & { \Vert h _ { s , x } ( t , \cdot ) \Vert _ { L ^ { \infty } } + ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } \mathcal { T } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } [ h _ { s , x } ( t , \cdot ) ] . } \end{array}
\Gamma ( 0 ^ { - + } \; Q \bar { Q } g \rightarrow g g ) = { \frac { 1 6 \pi ( s + 2 m ^ { 2 } ) \alpha _ { S } } { s ^ { 2 } ( s - 4 m ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } R ^ { 3 } } } \; \Gamma _ { g }
\begin{array} { r l } { p ( { \bf G } ) } & { = \prod _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { m = 1 } ^ { M } p ( g _ { n , m } ) = \prod _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { m = 1 } ^ { M } \mathcal { C N } ( g _ { n , m } ; 0 , \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } \\ { p ( { \bf h } ) } & { = \prod _ { m = 1 } ^ { M } p ( h _ { m } ) = \prod _ { m = 1 } ^ { M } \mathcal { C N } ( h _ { m } ; 0 , \sigma _ { h } ^ { 2 } ) , } \end{array}
f o r a s q u a r e o p e n i n g o f t h i s s i z e . T h e s a m e m e a s u r e m e n t c a n b e p e r f o r m e d f o r a d i a m o n d - s h a p e d p a i r o f o p e n i n g s a n d i s r e p o r t e d i n F i g . ( f ) . T h e c a l c u l a t e d m a x i m u m s t r a i n d i f f e r e n c e f o r t h i s c a s e i s
c _ { { \mathbf { k } } _ { l } } ^ { \dagger } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 3 } } . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } , . . . \rangle = { \sqrt { n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } + 1 } } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 3 } } . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } + 1 , . . . \rangle
( a _ { 3 } ^ { \prime } a _ { 2 } ^ { \prime } a _ { 1 } ^ { \prime } , b _ { 3 } ^ { \prime } b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ) = ( a _ { 2 } a _ { 1 } C , b _ { 2 } b _ { 1 } C )
\begin{array} { r l } { H = } & { J _ { z } \sum _ { \langle i , j \rangle } S _ { i } ^ { z } S _ { j } ^ { z } + J _ { x y } \sum _ { \langle i , j \rangle } \left( S _ { i } ^ { x } S _ { j } ^ { x } + S _ { i } ^ { y } S _ { j } ^ { y } \right) } \\ & { + \delta ( t ) \sum _ { i } S _ { i } ^ { z } + \Omega ( t ) \sum _ { i } S _ { i } ^ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial p _ { + } } { \partial t } } & { = } & { - v _ { 0 } \frac { \partial p _ { + } } { \partial x } - \alpha p _ { + } + \alpha p _ { - } , } \\ { \frac { \partial p _ { - } } { \partial t } } & { = } & { v _ { 0 } \frac { \partial p _ { - } } { \partial x } - \alpha p _ { - } + \alpha p _ { + } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \frac { d ^ { 2 } t } { d \tau ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { d h _ { \theta \phi \psi } ( t ) } { d t } \bigl ( \frac { d l } { d \tau } \bigr ) ^ { 2 } = 0 , \ } \\ { \frac { d ^ { 2 } l } { d \tau ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 1 + h _ { \theta \phi \psi } ( t ) } \frac { d h _ { \theta \phi \psi } ( t ) } { d t } \bigl ( \frac { d l } { d \tau } \bigr ) \bigl ( \frac { d t } { d \tau } \bigr ) = 0 , \ } \\ { - \bigl ( \frac { d t } { d \tau } \bigr ) ^ { 2 } + \bigl ( 1 + h _ { \theta \phi \psi } ( t ) \bigr ) \bigl ( \frac { d l } { d \tau } \bigr ) ^ { 2 } = g _ { \mu \nu } \dot { d x ^ { \mu } } \dot { d x ^ { \nu } } = - 1 . \ } \end{array}
{ \bar { \epsilon } } Q = - \mathrm { T r } \left\{ \left( { \bar { \epsilon } } \Gamma ^ { I } \Theta \right) \left( D _ { \tau } X _ { I } \right) + \left( 2 \Sigma ^ { 0 I } D _ { \tau } X _ { I } - R \Sigma ^ { I J } [ X _ { I } , X _ { J } ] \right) \epsilon _ { \alpha } \Theta _ { \alpha } ^ { \dag } \right\} ,
\left( \prod _ { l = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - q ^ { l } } \right) \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { q ^ { - \frac { 1 } { 2 } m ( m + 1 ) } } = \prod _ { l = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - q ^ { - l } } = \frac { 1 } { ( q ^ { - 1 } ; q ^ { - 1 } ) _ { m } } .
\begin{array} { r } { \mathrm { V o l } _ { n } ^ { B W } ( \Sigma _ { n , d } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { d ^ { \frac { n } { 2 } } \frac { \pi ^ { \frac { n + 1 } { 2 } } } { \Gamma ( \frac { n + 1 } { 2 } ) } \ \ \ \mathrm { f o r ~ d ~ e v e n } } \\ { 2 d ^ { \frac { n } { 2 } } \frac { \pi ^ { \frac { n + 1 } { 2 } } } { \Gamma ( \frac { n + 1 } { 2 } ) } \ \ \ \mathrm { f o r ~ d ~ o d d } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } ( \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } , d ) } & { { } : = 4 \log _ { 2 } \left( 2 \sqrt { d } + 1 \right) \sqrt { - \log _ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { 2 } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf E } ^ { n + 1 } = \left( 1 + \theta \frac { \sigma \Delta t } { \epsilon } \right) ^ { - 1 } \bigg ( } & { { \bf E } ^ { n } + \frac { \Delta t } { \epsilon } \nabla \times { \bf H } ^ { n + 1 / 2 } } \\ & { - ( 1 - \theta ) \frac { \sigma \Delta t } { \epsilon } { \bf E } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \epsilon } { \bf J } _ { s } ^ { n + 1 / 2 } \bigg ) } \end{array}
\Delta _ { 5 \mu } ^ { i } ( p , p ) = \left( { \frac { \lambda ^ { i } } { 2 } } \right) [ \gamma _ { \mu } R _ { 6 } ( - p ^ { 2 } ) - \hat { p } \gamma _ { \mu } R _ { 1 1 } ( - p ^ { 2 } ) ] \gamma _ { 5 } .
\begin{array} { r l } & { \left[ \mathscr { X } _ { T } - \mathscr { X } ( k _ { 0 } ) \right] _ { H } = } \\ & { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { \mathbb { E } [ x _ { T } ] - \prod _ { i = 0 } ^ { k - 1 } a ( i ) \mathbb { E } [ x ( 0 ) ] } & { \cdots } & { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { n } ] - \left( \prod _ { i = 0 } ^ { k - 1 } a ( i ) \right) ^ { n } \mathbb { E } [ x ^ { n } ( 0 ) ] } \\ { \mathbb { E } [ x _ { T } ] - \prod _ { i = 0 } ^ { k - 1 } a ( i ) \mathbb { E } [ x ( 0 ) ] } & { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { 2 } ] - \left( \prod _ { i = 0 } ^ { k - 1 } a ( i ) \right) ^ { 2 } \mathbb { E } [ x ^ { 2 } ( 0 ) ] } & { \cdots } & { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { n + 1 } ] - \left( \prod _ { i = 0 } ^ { k - 1 } a ( i ) \right) ^ { n + 1 } \mathbb { E } [ x ^ { n + 1 } ( 0 ) ] } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & \\ { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { n } ] - \left( \prod _ { i = 0 } ^ { k - 1 } a ( i ) \right) ^ { n } \mathbb { E } [ x ^ { n } ( 0 ) ] } & { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { n + 1 } ] - \left( \prod _ { i = 0 } ^ { k - 1 } a ( i ) \right) ^ { n + 1 } \mathbb { E } [ x ^ { n + 1 } ( 0 ) ] } & & { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { 2 n } ] - \left( \prod _ { i = 0 } ^ { k - 1 } a ( i ) \right) ^ { 2 n } \mathbb { E } [ x ^ { 2 n } ( 0 ) ] } \end{array} \right] } \end{array}
\Gamma = \dot { x } \frac { \partial } { \partial x } + \dot { y } \frac { \partial } { \partial y } + \dot { \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } + \left( \frac { \hat { u } \sin \theta + W ^ { 1 } } { m } \right) \frac { \partial } { \partial \dot { x } } + \left( - \frac { \hat { u } \cos \theta - W ^ { 2 } } { m } \right) \frac { \partial } { \partial \dot { y } } + \frac { \hat { u } } { I } \frac { \partial } { \partial \dot { \theta } }
\begin{array} { r c l } { { K ^ { ( i ) } \left( \left. a + \bar { \varepsilon } _ { \mu } \begin{array} { c } { { a } } \\ { { a } } \end{array} \right| z \right) \phi ^ { ( a + \bar { \varepsilon } _ { \mu } , a ) } ( z ) | k - \omega _ { i } , k \rangle _ { B } } } & { { = } } & { { \phi ^ { ( a + \bar { \varepsilon } _ { \mu } , a ) } ( - z ) | k - \omega _ { i } , k \rangle _ { B } , } } \\ { { { } _ { B } \langle k - \omega _ { i } , k | \phi _ { ( a + \bar { \varepsilon } _ { \mu } , a ) } ^ { * } ( z ) K ^ { ( i ) } \left( \left. a + \bar { \varepsilon } _ { \mu } \begin{array} { c } { { a } } \\ { { a } } \end{array} \right| z \right) } } & { { = } } & { { { } _ { B } \langle k - \omega _ { i } , k | \phi _ { ( a + \bar { \varepsilon } _ { \mu } , a ) } ^ { * } ( - z ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { c } = \mu u _ { c } L ^ { - 1 } , \, \eta _ { c } } & { = A ^ { - \frac { 1 } { n } } \left( \frac { u _ { c } } { L \tau } \right) ^ { \frac { 1 - n } { n } } , \, \mathcal { H } _ { c } = \mu \left( \frac { u _ { c } } { L } \right) ^ { 2 } , \, \mu _ { c } = \mu , \, f _ { c } = \rho _ { c } g , \, p _ { w c } = \rho _ { c } g L . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { \mathbf { M } ^ { ( 0 0 ) } } & { \mathbf { M } ^ { ( 0 1 ) } } & { . . . } & { \mathbf { M } ^ { ( 0 N ) } } \\ { \mathbf { M } ^ { ( 1 0 ) } } & { \mathbf { M } ^ { ( 1 1 ) } } & { . . . } & { \mathbf { M } ^ { ( 1 N ) } } \\ & { . . . } \\ { \mathbf { M } ^ { ( N 0 ) } } & { \mathbf { M } ^ { ( N 1 ) } } & { . . . } & { \mathbf { M } ^ { ( N N ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
D ^ { \mathrm { \tiny ~ L } } \psi = \mathrm { d } \psi - { \mathrm { i } } \, e \, A \star \psi { \qquad \mathrm { a n d } \qquad } D ^ { \mathrm { \tiny ~ R } } \psi = \mathrm { d } \psi - { \mathrm { i } } \, e \, \mathsf { R } _ { \alpha } ( A ) \star \mathsf { R } ^ { \alpha } ( \psi ) = \mathrm { d } \psi - { \mathrm { i } } \, e \, \psi \star A \ .
2 \partial _ { + } ( \Omega \partial _ { - } f _ { 2 } ) + 2 \partial _ { - } ( \Omega \partial _ { + } f _ { 2 } ) + \partial _ { + } ( \Omega \partial _ { - } f _ { 1 } ) + \partial _ { - } ( \Omega \partial _ { + } f _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { e _ { \mathfrak { I } _ { 2 } } ^ { 0 } ( \rho , x ) = } & { e ^ { i \rho x } + \alpha _ { 1 } e ^ { i \rho x _ { 1 } } H ( x - x _ { 1 } ) \frac { \sin ( \rho ( x - x _ { 1 } ) ) } { \rho } + \alpha _ { 2 } e ^ { i \rho x _ { 2 } } H ( x - x _ { 2 } ) \frac { \sin ( \rho ( x - x _ { 2 } ) ) } { \rho } } \\ & { + \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } e ^ { i \rho x _ { 1 } } H ( x - x _ { 2 } ) \frac { \sin ( \rho ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ) } { \rho } \frac { \sin ( \rho ( x - x _ { 2 } ) ) } { \rho } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { e ^ { - \beta \hat { H } } = \prod _ { p = 1 } ^ { P } e ^ { - \epsilon ( \hat { K } + \hat { V } ) } } \\ & { } & { \approx \prod _ { p = 1 } ^ { P } e ^ { - \epsilon \hat { W } _ { 1 } } e ^ { - t _ { 1 } \epsilon \hat { K } } e ^ { - \epsilon \hat { W } _ { 2 } } e ^ { - t _ { 1 } \epsilon \hat { K } } e ^ { \epsilon \hat { W } _ { 1 } } e ^ { - t _ { 0 } \epsilon \hat { K } } + O ( \epsilon ^ { 4 } ) \, , } \end{array}