harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { [ w , \gamma ] ; \alpha _ { 0 1 } } ^ { \Phi } ( \tau , i ) = \Phi ( T _ { w ( \tau , i ) } R _ { i } ) \qquad \mathrm { f o r } \; i = 0 , 1 } \\ { \alpha _ { [ w , \gamma ] ; \alpha _ { 0 1 } } ^ { \Phi } ( 0 , t ) = \Phi ( \alpha _ { 0 1 } ( t ) ) , } \\ { \alpha _ { [ w , \gamma ] ; \alpha _ { 0 1 } } ^ { \Phi } ( 1 , t ) = \Phi ( d \phi _ { R _ { \lambda } } ^ { T _ { 0 } t } ( T _ { \gamma ( 0 ) } R _ { 0 } ) ) . } \end{array} \right.
\nabla _ { \boldsymbol { x } } h _ { 2 } ( \overline { { \boldsymbol { x } } } ^ { * } ; \boldsymbol { z } ^ { * } ) = { \left( \begin{array} { l } { - \frac { 2 q ( b - c ) } { \mu _ { 1 } ( a b - c ^ { 2 } ) } + \frac { 2 q ( b - c ) ^ { 2 } } { ( a b - c ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mu _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { a b - c ^ { 2 } } { b - c } \mu _ { 1 } } \\ { - \frac { 2 q ( a - c ) } { \mu _ { 2 } ( a b - c ^ { 2 } ) } + \frac { 2 q ( a - c ) ( b - c ) } { ( a b - c ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \frac { a b - c ^ { 2 } } { b - c } \mu _ { 1 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } .
\frac { \delta H _ { 2 } } { \delta \phi _ { k } ^ { \uparrow * } } = n _ { k } ^ { \uparrow } ( { \cal V } _ { \mathrm { e x t } } + { \cal V } _ { \mathrm { H } } + { \cal V } _ { \mathrm { X C } } ) \phi _ { k } ^ { \uparrow } \quad \quad \mathrm { a n d } \quad \quad \frac { \delta { \cal V } _ { \mathrm { X C } } ( { \bf x } ^ { \prime } ) } { \delta \phi _ { k } ^ { \uparrow } ( { \bf x } ) } = n _ { k } ^ { \uparrow } \left( \frac { \partial \varepsilon _ { \mathrm { X C } } } { \partial \rho } \delta ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) - \nabla \cdot \left( \frac { \partial \varepsilon _ { \mathrm { X C } } } { \partial \nabla \rho } \delta ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) \right) \right) \phi _ { k } ^ { \uparrow * } .
W ( V , v ) = M _ { H } v ^ { 2 } - 4 8 ( 3 6 \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 3 } + 2 4 \lambda _ { 4 } + 8 \lambda _ { 5 } ) \frac { V ^ { 3 } v ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } + 3 6 ^ { 2 } M _ { \Phi } V ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \xi ( t ) } & { { } = } & { \theta _ { 1 } ( t ) - \theta _ { 2 } ( t ) , } \\ { \omega _ { 1 , 2 } ( t ) } & { { } = } & { \omega _ { 1 , 2 } ( 0 ) \pm \nu ( t ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 G } \frac { \mathcal { D } \tau _ { i j } } { \mathcal { D } t } + \frac { \tau _ { i j } } { 2 \mu _ { s } } + \dot { \lambda } \frac { \partial Q } { \partial \sigma _ { i j } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla _ { i } v _ { j } + \nabla _ { j } v _ { i } \right) - \frac { 1 } { 3 } \nabla _ { k } v _ { k } \delta _ { i j } .
\tilde { \alpha } ( \pi _ { 1 } \cdot \pi _ { 2 } ) ( p ) = ( \pi _ { 1 } \cdot \pi _ { 2 } ) \circ \alpha ( p ) = ( \pi _ { 1 } \circ \alpha ( p ) ) \cdot ( \pi _ { 2 } \circ \alpha ( p ) ) = \tilde { \alpha } ( \pi _ { 1 } ) ( p ) \cdot \tilde { \alpha } ( \pi _ { 2 } ) ( p )
\begin{array} { r l } { \mathrm { C o v } \big ( \xi _ { j k } ( s | x ) , \xi _ { j } ( t | x ) \big ) } & { = \phi ( x ) p _ { j k } ^ { 3 , \texttt { c } } ( s , t | x ) , } \\ { \mathrm { C o v } \big ( \xi _ { j k } ( s | x ) , \xi _ { j k } ( t | x ) \big ) } & { = \phi ( x ) p _ { j k } ^ { \texttt { c } } ( s , t | x ) , } \\ { \mathrm { C o v } \big ( \xi _ { j } ( s | x ) , \xi _ { j } ( t | x ) \big ) } & { = \phi ( x ) p _ { j } ^ { \texttt { c } } ( s , t | x ) . } \end{array}
A = \left[ \begin{array} { l l l } { f _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } & { \dots } & { f _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { N } ) } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { f _ { L } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } & { \dots } & { f _ { L } ( \mathbf { x } _ { N } ) } \end{array} \right] , \quad \mathbf { b } = \left[ \begin{array} { l } { I [ f _ { 1 } ] } \\ { \vdots } \\ { I [ f _ { L } ] } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { \langle \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \mathbf { \overline { { q } } } } , \delta \mathbf { \overline { { q } } } \rangle } & { = } & { \langle 2 \mu _ { i } ^ { 2 } \operatorname { R e } \left( \left( \frac { \partial ( \mathbf { A } \mathbf { \check { q } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \mathcal { R } } ^ { * } \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } _ { i } \right) + \mu _ { i } ^ { 2 } \left( \frac { \partial ( \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { q } } _ { i } } \\ & { - } & { \mu _ { i } ^ { 2 } \left( \frac { \partial ( \mathbf { Q } _ { f } \mathbf { \check { f } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { f } } _ { i } , \delta \mathbf { \overline { { q } } } \rangle , } \\ { \Rightarrow \nabla _ { \mathbf { \overline { { q } } } } \mu _ { i } ^ { 2 } } & { = } & { 2 \mu _ { i } ^ { 2 } \operatorname { R e } \left( \mathbf { H } ^ { * } \mathbf { \mathcal { R } } ^ { * } \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } _ { i } \right) + \mu _ { i } ^ { 2 } \left( \frac { \partial ( \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { q } } _ { i } - \mu _ { i } ^ { 2 } \left( \frac { \partial ( \mathbf { Q } _ { f } \mathbf { \check { f } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { f } } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 1 } \hat { R } _ { 1 } ^ { ( + 1 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { F _ { i } F _ { i j j } } { - \omega _ { i } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \Big ] \left[ \langle Q _ { j } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \right] } \\ & { = } & { \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i j j } } { - \omega _ { i } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau ^ { * } \in \left\{ \begin{array} { l l } { [ \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } , k _ { a } ^ { d } + \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } ] , } & { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } < k _ { a } ^ { d } + \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } , } \\ { k _ { a } ^ { d } + \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } , } & { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } \geq k _ { a } ^ { d } + \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { X _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { X _ { n } } \end{array} \right) } = { \bar { X } } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \end{array} \right) } + { \left( \begin{array} { l } { X _ { 1 } - { \bar { X } } } \\ { \vdots } \\ { X _ { n } - { \bar { X } } } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { f ( x ) - f ( - \pi ) } & { \quad x \leq - b } \\ { g ^ { + } ( x ) - g ^ { + } ( - b ) + F ( - b ) } & { \quad - b < x \leq - a } \\ { h ( x ) - h ( - a ) + F ( - a ) } & { \quad - a < x \leq a } \\ { g ^ { - } ( x ) - g ^ { - } ( a ) + F ( a ) } & { \quad a < x \leq b } \\ { f ( x ) - f ( b ) + F ( b ) } & { \quad x > b } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { j \geq k } \mathbb E \left( \| u _ { 0 } ^ { k } - u _ { 0 } ^ { j } \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } \| u _ { 0 } ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } \right) \leq \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { j \geq k } \left( \| u _ { 0 } ^ { k } - u _ { 0 } ^ { j } \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } \| u _ { 0 } ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial K } { \partial C } } & { = \frac { \phi \frac { \partial K _ { D } } { \partial C } + \frac { K _ { f } ( 1 + \phi ) } { K _ { s } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial K _ { s } } { \partial C } K _ { D } - \frac { \partial K _ { D } } { \partial C } K _ { s } \right) } { \phi ( 1 + \Delta ) } - } \\ & { \frac { \left[ \phi K _ { D } + \left( 1 - \frac { ( 1 + \phi ) K _ { D } } { K _ { s } } \right) K _ { f } \right] \phi \frac { \partial \Delta } { \partial C } } { \phi ^ { 2 } ( 1 + \Delta ) ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \partial G } { \partial C } } & { = \frac { \partial G _ { D } } { \partial C } , } \\ { \frac { \partial \rho } { \partial C } } & { = ( 1 - \phi ) \frac { \partial \rho _ { s } } { \partial C } , } \end{array} } \end{array}
= 2 \pi \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \psi \frac { \partial z } { \partial s } d s = 2 \pi ( \psi z ) \Big | _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } - 2 \pi \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } z \frac { \partial \psi } { \partial s } d s
\begin{array} { r l r } { \bar { \bf P } _ { \mathrm { F i e l d } } } & { \equiv } & { \langle { \bf P } _ { \mathrm { F i e l d } } \rangle _ { t } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 } \Re \left[ { \bf E } ^ { * } \times { \bf H } \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \bar { \bf S } _ { \mathrm { P o y n t i n g } } , } \end{array}
\frac { d \textbf { u } ^ { \alpha } } { d \mathcal { T } } = \left( \textbf { Q } ^ { \alpha T } \cdot \textbf { Q } ^ { T } \cdot \textbf { E } \cdot \textbf { Q } \cdot \textbf { Q } ^ { \alpha } - \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - \alpha _ { t } } \\ { \alpha _ { t } } & { 0 } \end{array} \right] \right) \cdot \textbf { u } ^ { \alpha }
U ( r _ { i j } ) = A e ^ { \frac { \sigma - r _ { i j } } { \rho } } - \frac { C } { r _ { i j } ^ { 6 } } + \frac { D } { r _ { i j } ^ { 8 } } + \frac { k q _ { i } q _ { j } } { r _ { i j } }
\begin{array} { r l r l r l } { { 4 } } & { T _ { n } } & & { = \operatorname* { m i n } \{ t \ge t _ { 0 } ^ { ( n ) } } & & { : U _ { i } ( t ) \ge 0 \, \mathrm { o r ~ } t = \tau \} } \\ & { t _ { 0 } ^ { ( n + 1 ) } } & & { = \operatorname* { m i n } \{ t \ge T _ { n } } & & { : U _ { i } ( t ) < 0 \, \mathrm { o r ~ } t = \tau \} \, . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c } { N } & { 0 } \\ { 0 } & { n - N } \end{array} \right] ^ { 1 / 2 } \times \left[ \begin{array} { c c } { a } & { b } \\ { b } & { c } \end{array} \right] \times \left[ \begin{array} { c c } { N } & { 0 } \\ { 0 } & { n - N } \end{array} \right] ^ { 1 / 2 } = \left[ \begin{array} { c c } { a N } & { \sqrt { N ( n - N ) } b } \\ { \sqrt { N ( n - N ) } b } & { ( n - N ) c } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { - n _ { i } } ( y , x _ { i } ) } & { \textstyle = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x _ { i } - y } } { w ^ { x _ { i } - y + n _ { i } + 2 } } ( 1 + w ) ^ { t } \prod _ { \ell = 1 } ^ { n _ { i } } \frac { p / q - w } { ( 1 + w ) ^ { \kappa _ { \ell } } } \frac { ( 1 + \theta ) ^ { \kappa _ { \ell } } \theta } { p / q - \theta } } \\ & { \textstyle = \left( \frac { \theta } { p / q - \theta } \right) ^ { n _ { i } } \frac { p / q } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { q r / p } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x _ { i } - y } ( p / q - p w / q ) ^ { n _ { i } } } { ( p w / q ) ^ { x _ { i } - y + n _ { i } + 1 } } ( 1 + p w / q ) ^ { t } \prod _ { \ell = 1 } ^ { n _ { 1 } } \left( \frac { 1 + \theta } { 1 + p w / q } \right) ^ { \kappa _ { \ell } } } \\ & { \textstyle = \left( \frac { \hat { \theta } } { 1 - \hat { \theta } } \right) ^ { n _ { i } } \frac { q / p } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { \hat { r } } } \mathrm { d } w \, \frac { \hat { \theta } ^ { x _ { i } - y } ( 1 - w ) ^ { n _ { i } } } { w ^ { x _ { i } - y + n _ { i } + 1 } } ( 1 + p w / q ) ^ { t } \left( \frac { q + p \hat { \theta } } { q + p w } \right) ^ { \sum _ { \ell = 1 } ^ { n _ { i } } \kappa _ { \ell } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \theta _ { t } ( [ - m , - m + 1 ] ) > e ^ { \lambda m ^ { 2 } } ) } & { \leq e ^ { - \lambda m ^ { 2 } } \mathbb { E } ( \theta _ { t } ( [ - m , - m + 1 ] ) ) } \\ & { \lesssim _ { t } \sum _ { i \in I } e ^ { - \lambda m ^ { 2 } } \operatorname* { s u p } _ { y \in [ \sqrt { 2 } t - x _ { i } , 1 + \sqrt { 2 } t - x _ { i } ] } e ^ { - \frac { ( y - m ) ^ { 2 } } { 2 t } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \pi ^ { z z } } & { { } = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } N _ { \ast s } 2 \pi e ^ { - \frac { q \Phi } { T } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } w ^ { 3 } d w } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { ( \mathcal { L } g ) ( x ) = 2 \int _ { \Gamma } \frac { \partial G _ { \mathrm { H } } ( x , y ) } { \partial \nu ( y ) } g ( y ) \mathrm { d } s ( y ) , } & & { ( \mathcal { T } g ) ( x ) = 2 \int _ { \Gamma _ { D } } \frac { \partial ^ { 2 } G _ { \mathrm { H } } ( x , y ) } { \partial \nu ( x ) \partial \nu ( y ) } g ( y ) \mathrm { d } s ( y ) , } \\ & { ( \mathcal { K } g ) ( x ) = 2 \int _ { \Gamma _ { D } } \frac { \partial G _ { \mathrm { M } } ( x , y ) } { \partial \nu ( x ) } g ( y ) \mathrm { d } s ( y ) , } & & { ( \mathcal { S } g ) ( x ) = 2 \int _ { \Gamma } G _ { \mathrm { M } } ( x , y ) g ( y ) \mathrm { d } s ( y ) . } \end{array}
U _ { 3 , 1 } : = \sum _ { m > n > 0 } \frac { ( - 1 ) ^ { m + n } } { m ^ { 3 } n } : = \zeta \left( \begin{array} { r r } { { 3 , } } & { { 1 } } \\ { { - 1 , } } & { { - 1 } } \end{array} \right)
R _ { 1 } = p ^ { 2 } \pi ^ { 2 } g ^ { 2 } \hbar \Big ( ( 1 { - } \alpha ) + O \Big ( P _ { r } ^ { 1 } ( \alpha ) \Big ( \frac { m _ { P } ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \Big ) ^ { \! r } \, \Big ) \Big ) ~ ,
\begin{array} { r l r l } { P ^ { 1 } c _ { 2 } } & { = c _ { 2 } ^ { 2 } } & { ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) c _ { 2 } } & { = 2 c _ { 2 } ^ { 3 } } \\ { P ^ { 1 } t } & { = t ^ { 3 } } & { ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) t } & { = 0 } \\ { P ^ { 1 } c _ { 3 } } & { = c _ { 2 } c _ { 3 } } & { ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) c _ { 3 } } & { = - c _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } . } \end{array}
\frac { \int _ { 0 } ^ { 3 } \Big ( g _ { 1 } ^ { ^ 3 \mathrm { H } } ( x , Q ^ { 2 } ) - g _ { 1 } ^ { ^ 3 \mathrm { H e } } ( x , Q ^ { 2 } ) \Big ) d x } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big ( g _ { 1 } ^ { p } ( x , Q ^ { 2 } ) - g _ { 1 } ^ { n } ( x , Q ^ { 2 } ) \Big ) d x } = \Big ( P _ { n } - 2 P _ { p } \Big ) \frac { \tilde { \Gamma } _ { p } - \tilde { \Gamma } _ { n } } { \Gamma _ { p } - \Gamma _ { n } } = 0 . 9 2 1 \frac { \tilde { \Gamma } _ { p } - \tilde { \Gamma } _ { n } } { \Gamma _ { p } - \Gamma _ { n } } \ .
\begin{array} { r l } { \left| \cos ( x t ) - J _ { 0 } ( t ) - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { R } ( - 1 ) ^ { k } J _ { 2 k } ( t ) T _ { 2 k } ( x ) \right| } & { \leq \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , } \\ { \left| \sin ( x t ) - 2 \sum _ { k = 0 } ^ { R } ( - 1 ) ^ { k } J _ { 2 k + 1 } ( t ) T _ { 2 k + 1 } ( x ) \right| } & { \leq \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { = \sum _ { i } E _ { i } \left| \mathfrak { h } _ { i } \right> \! \left< \mathfrak { h } _ { i } \right| + \sum _ { u } E _ { u } \left| \mathfrak { T } _ { u } \right> \! \left< \mathfrak { T } _ { u } \right| + [ \ensuremath { { \cal E } } ( t + \tau _ { 1 2 } ) e ^ { i \varphi _ { 1 } } + \ensuremath { { \cal E } } ( t ) e ^ { i \varphi _ { 2 } } + \mathrm { h . c . } ] M \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { E [ \Delta ( t ) + V p ( t ) ] } & { \leqslant B + C + V E [ P ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) ] + \sum _ { i = 1 } ^ { K } E \left[ Q _ { i } ( t ) Y _ { i } ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) \right] } \\ & { = B + C + V E [ P ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) ] + \sum _ { i = 1 } ^ { K } E [ Q _ { i } ( t ) ] E [ Y _ { i } ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) ] } & & { \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) { \mathrm { ~ a r e ~ i n d e p e n d e n t ~ o f ~ } } Q _ { i } ( t ) } \\ & { \leqslant B + C + V p ^ { * } } & & { { \mathrm { U s i n g ~ E q . ~ 3 ~ a n d ~ E q . ~ 4 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { y _ { i , 1 } } & { = 1 \mathrm { ~ i f ~ } c _ { i + 1 } c _ { i } \in \{ \gamma 1 , \gamma \alpha \textup | \textup \forall \gamma \} , \mathrm { ~ a n d ~ } y _ { i , 1 } = 0 \mathrm { ~ o t h e r w i s e } , } \\ { y _ { i , 1 } ^ { \prime } } & { = 1 \mathrm { ~ i f ~ } c _ { i + 1 } c _ { i } \in \{ \gamma \alpha ^ { 2 } \textup | \textup \forall \gamma \} , \mathrm { ~ a n d ~ } y _ { i , 1 } ^ { \prime } = 0 \mathrm { ~ o t h e r w i s e } , } \\ { y _ { i , 2 } } & { = 1 \mathrm { ~ i f ~ } c _ { i + 1 } c _ { i } \in \{ \chi 1 , \chi \alpha \textup | \textup \forall \chi \} , \mathrm { ~ a n d ~ } y _ { i , 2 } = 0 \mathrm { ~ o t h e r w i s e } , } \\ { y _ { i , 3 } } & { = 1 \mathrm { ~ i f ~ } c _ { i + 1 } c _ { i } = \alpha \alpha ^ { 2 } , \mathrm { ~ a n d ~ } y _ { i , 3 } = 0 \mathrm { ~ o t h e r w i s e } , } \\ { y _ { i , \textup { d } } } & { = 1 \mathrm { ~ i f ~ } c _ { i + 1 } c _ { i } = \alpha ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } , \mathrm { ~ a n d ~ } y _ { i , \textup { d } } = 0 \mathrm { ~ o t h e r w i s e } . } \end{array}
S = 2 \pi c ^ { 2 } + 2 \pi a b \left[ R _ { F } \left( { \frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } , { \frac { c ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } , 1 \right) - { \frac { 1 } { 3 } } \left( 1 - { \frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } \right) \left( 1 - { \frac { c ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) R _ { D } \left( { \frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } , { \frac { c ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } , 1 \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \left\langle \zeta ( t ) \left( \zeta ( t ^ { \prime } ) \right) ^ { * } \right\rangle } & { = \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) } \\ { \left\langle \zeta ( \omega ) \left( \zeta \left( \omega ^ { \prime } \right) \right) ^ { * } \right\rangle } & { = \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } \| \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \xi \cdot \nabla _ { x } ( F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \gamma ^ { \varepsilon } } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } ) d \xi \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } d t } \\ & { \quad \lesssim _ { M } \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \sqrt { \widetilde { \mathscr E } _ { - , 1 } ^ { \varepsilon } ( t ) } d t + \left( \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \widetilde { \mathscr D } _ { - , 1 } ^ { \varepsilon } ( t ) d t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lesssim _ { M } \varepsilon . } \end{array}
\| \b { v } ( t ) \| _ { \mathcal { L } _ { 2 } } ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \| \b { v } ( t ) \| _ { 2 } ^ { 2 } ~ \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \| \hat { \b { v } } ( \omega ) \| _ { 2 } ^ { 2 } ~ \mathrm { d } \omega = \| \hat { \b { v } } ( \omega ) \| _ { \mathcal { L } _ { 2 } } ^ { 2 } ,
J _ { i j } \star \varphi = 0 , \quad \varphi \varphi ^ { \dagger } \varphi = \left| \lambda \right| \varphi , \quad 0 = \left( 1 + V ^ { \prime } \left( - \left| \lambda \right| ^ { 2 } \right) \right) ^ { 2 } - 1 - \left| \lambda \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { ( \hat { Y } _ { 1 : m } - \bar { Y } _ { 1 : m - 1 } ) ^ { T } \emph W ( \hat { Y } _ { 1 : m } - \bar { Y } _ { 1 : m } ) } \\ { = \frac { \chi _ { 0 } } { \varrho } b b ^ { T } - A ^ { T } ( \bar { C } _ { 1 : m } ^ { T } \bar { Y } _ { 1 : m } - \bar { U } ) - ( \bar { C } _ { 1 : m } ^ { T } \bar { Y } _ { 1 : m } - \bar { U } ) ^ { T } \emph A . } \end{array}
\begin{array} { r } { e ( y , y ^ { \prime } , k ) = \left\{ \begin{array} { r l } & { \phi ( y , y ^ { \prime } , k ) \int _ { 0 } ^ { y } \frac { \theta ( z ) } { \phi ( z , y ^ { \prime } , k ) ^ { 2 } } d z \quad 0 \leq y < y ^ { \prime } , } \\ & { \phi ( y , y ^ { \prime } , k ) \int _ { 1 } ^ { y } \frac { \theta ( z ) } { \phi ( z , y ^ { \prime } , k ) ^ { 2 } } d z \quad y ^ { \prime } < y \leq 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
a ^ { 2 4 } + 2 5 7 6 a ^ { 1 2 } c ^ { 1 2 } + 6 1 8 2 4 a ^ { 1 1 } b ^ { 1 2 } c + a b ^ { 1 2 } c ^ { 1 1 } + 2 4 2 8 8 a ^ { 8 } b ^ { 1 6 } + b ^ { 1 6 } c ^ { 8 } + 1 2 1 4 4 0 0 a ^ { 8 } b ^ { 8 } c ^ { 8 } + 1 7 0 0 1 6 0 a ^ { 4 } b ^ { 1 6 } c ^ { 4 } + 7 5 9 a ^ { 1 6 } c ^ { 8 } + a ^ { 8 } c ^ { 1 6 } + 1 2 1 4 4 a ^ { 1 4 } b ^ { 8 } c ^ { 2 } + a ^ { 2 } b ^ { 8 } c ^ { 1 4 } + 1 7 0 0 1 6 a ^ { 1 2 } b ^ { 8 } c ^ { 4 } + a ^ { 4 } b ^ { 8 } c ^ { 1 2 } + 7 6 5 0 7 2 a ^ { 1 0 } b ^ { 8 } c ^ { 6 } + a ^ { 6 } b ^ { 8 } c ^ { 1 0 } + 1 1 3 3 4 4 0 a ^ { 9 } b ^ { 1 2 } c ^ { 3 } + a ^ { 3 } b ^ { 1 2 } c ^ { 9 } + 4 0 8 0 3 8 4 a ^ { 7 } b ^ { 1 2 } c ^ { 5 } + a ^ { 5 } b ^ { 1 2 } c ^ { 7 } + 6 8 0 0 6 4 a ^ { 6 } b ^ { 1 6 } c ^ { 2 } + a ^ { 2 } b ^ { 1 6 } c ^ { 6 } + 4 0 9 6 b ^ { 2 4 } + c ^ { 2 4 }
{ \begin{array} { r l } { \omega _ { Y \, { \widetilde { \| } } \, X } } & { = \omega _ { X \mid Y } \; { \widetilde { \circledcirc } } \; \omega _ { X } } \\ & { = ( \omega _ { X \mid Y } \; { \widetilde { \phi \, } } \; a _ { Y } ) \; \circledcirc \; \omega _ { X } } \\ & { = \omega _ { Y { \widetilde { | } } X } \; \circledcirc \; \omega _ { X } \; . } \end{array} }
W = 5 _ { h \alpha } \bar { X } ^ { \alpha ^ { \prime } } \bar { \Phi } _ { 1 \alpha ^ { \prime } } ^ { \alpha } + \bar { 5 } _ { h } ^ { \alpha } X _ { \alpha ^ { \prime } } { \Phi _ { 1 } } _ { \alpha } ^ { \alpha ^ { \prime } } ,
E = - { \frac { \mu } { 8 \pi } } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } { \frac { \sin \mu q _ { n } } { \sinh \mu ( \lambda _ { j } + { \frac { i q _ { n } } { 2 } } ) \sinh \mu ( \lambda _ { j } - { \frac { i q _ { n } } { 2 } } ) } } .
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { M } } ( c ( t ) , \tilde { c } ( t ) ) } & { = - k _ { r } ( c _ { o } \tilde { c } _ { o } + c _ { o } ( \tilde { c } ( t ) - \tilde { c } _ { o } ) + \tilde { c } _ { o } ( c ( t ) - c _ { o } ) ) , } \\ & { = - k _ { r } ( c _ { o } \tilde { c } _ { o } + c _ { o } \tilde { c } ( t ) - c _ { o } \tilde { c } _ { o } + \tilde { c } _ { o } c ( t ) - \tilde { c } _ { o } c _ { o } ) , } \\ & { = - k _ { r } ( c _ { o } \tilde { c } ( t ) + \tilde { c } _ { o } c ( t ) - \tilde { c } _ { o } c _ { o } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { Z \sim Q } \ } & { \beta \mathbb { E } _ { Q } \Big [ \frac { H ( Z + a ) } { Z ^ { 2 } / 2 } \Big ] } \\ { \mathrm { ~ s . t . ~ } \ \ } & { \beta \mathbb { E } _ { Q } [ 1 ] = \beta , } \\ & { \beta \mathbb { E } _ { Q } \Big [ \frac { G ( Z + a ) } { Z ^ { 2 } / 2 } \Big ] = \Gamma , } \\ & { \beta \mathbb { E } _ { Q } \big [ \frac { Z } { Z ^ { 2 } / 2 } \big ] = \eta , } \\ & { \beta \mathbb { E } _ { Q } [ \frac { 1 } { Z ^ { 2 } / 2 } ] \leq \nu , } \\ & { Q \in \mathscr { M } ^ { + } ( 0 , \infty ) . } \end{array}
\bar { F } ( \hat { U } _ { \mathrm { i d } } , \hat { U } _ { \hat { H } _ { \mathrm { s i m } } } ) = \frac { \sum _ { j } \mathrm { t r } \left[ \hat { U } _ { \mathrm { i d } } \hat { \sigma } _ { j } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { i d } } ^ { \dagger } \boldsymbol { \hat { \sigma } } _ { j } ( \hat { U } _ { \hat { H } _ { \mathrm { s i m } } } ) \right] + d ^ { 2 } } { d ^ { 2 } \left( d + 1 \right) } ,
G _ { Q } ^ { - 1 } \left( p \right) = m _ { Q } \left( 1 + 2 \frac { M ^ { 2 } } { \left( m _ { Q } ^ { 2 } - p ^ { 2 } \right) } \right) - p ^ { \mu } \gamma _ { \mu } \left( 1 + \frac { M ^ { 2 } } { \left( m _ { Q } ^ { 2 } - p ^ { 2 } \right) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { Y } _ { 2 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { C } _ { 1 } } & { \boldsymbol { C } _ { 2 } } \end{array} \right) \left( \left( \begin{array} { l l } { z _ { 1 } \boldsymbol { I } } & { 0 } \\ { 0 } & { z _ { 2 } \boldsymbol { I } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { A } _ { 1 1 } } & { \boldsymbol { A } _ { 1 2 } } \\ { \boldsymbol { A } _ { 2 1 } } & { \boldsymbol { A } _ { 2 2 } } \end{array} \right) \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { B } _ { 1 } } \\ { \boldsymbol { B } _ { 2 } } \end{array} \right) U ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) + \boldsymbol { D } U ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) , } \end{array}