harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { { \partial \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial t } } + \left( { \frac { { \partial \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { i } } } } } \right) { { \bar { u } } _ { j } } + \bar { S } _ { i j } ^ { a } \bar { u } _ { j } ^ { \dag } + \frac { { \partial { { \bar { p } } ^ { \dag } } } } { { \partial { x _ { i } } } } + \nu \frac { { { \partial ^ { 2 } } \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial \tau _ { i j } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial J } } { { \partial { { \bar { u } } _ { i } } } } = 0 .
\Psi _ { j _ { \gamma _ { i j } } , \iota _ { n _ { i } } } ( h _ { \gamma _ { i j } } ) = \left( \bigotimes _ { n } \iota _ { n } \right) \cdot \left( \bigotimes _ { \gamma _ { i j } } D ^ { ( j _ { \gamma _ { i j } } ) } ( h _ { \gamma _ { i j } } ) \right) \, ,
\| \mathcal { W } ( t ; s , \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } } = \| \tilde { Z } ( t , 0 ; s , \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } } \leq \sqrt { 2 ^ { 5 ( \beta - 1 ) } } \mu _ { 1 } \nu ^ { \frac { \beta - 2 } { 2 } } \int _ { s } ^ { t } ( t - r ) ^ { \frac { \beta - 2 } { 2 } } g ( r ) d r ,
\begin{array} { r l r l } { W ^ { \gamma } } & { { } = \frac { \sqrt { 3 } \alpha m } { 2 \pi } \chi _ { e } \mathcal { H } ( \chi _ { e } ) , } & { \mathcal { H } ( \chi _ { e } ) } & { { } = \frac { 2 } { 9 \chi _ { e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 5 u ^ { 2 } + 7 u + 5 } { ( 1 + u ) ^ { 3 } } \, K _ { 2 / 3 } \! \left( \frac { 2 u } { 3 \chi _ { e } } \right) \, d u } \end{array}
{ \mathcal M } = \frac { 1 } { \pi R } \left( \begin{array} { l l l l l l } { { \beta } } & { { - \beta } } & { { - \beta } } & { { \beta } } & { { \beta } } & { { \ldots } } \\ { { - \beta } } & { { \beta - \pi } } & { { \beta } } & { { - \beta } } & { { - \beta } } & { { \ldots } } \\ { { - \beta } } & { { \beta } } & { { \beta + \pi } } & { { - \beta } } & { { - \beta } } & { { \ldots } } \\ { { \beta } } & { { - \beta } } & { { - \beta } } & { { \beta - 2 \pi } } & { { \beta } } & { { \ldots } } \\ { { \beta } } & { { - \beta } } & { { - \beta } } & { { \beta } } & { { \beta + 2 \pi } } & { { \ldots } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } \end{array} \right)
\sigma _ { P } \equiv \sum _ { H } \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! d x \, x \frac { d \sigma _ { P } ^ { H } } { d x } = \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! d x \, x \, C _ { P } ^ { i } ( x ) ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \operatorname* { i n f } _ { \hat { \theta } _ { n } \in \mathcal { E } _ { n } } \operatorname* { m a x } _ { \theta \in \{ \theta _ { 0 } , \theta _ { 0 } + \delta v \} } n E _ { x } ^ { \theta } \left[ \Vert \hat { \theta } _ { n } ( Y _ { 0 : n } ) - \theta \Vert ^ { 2 } \right] \geq \frac { 1 } { 1 6 } \frac { \Vert v \Vert ^ { 2 } } { v ^ { t } I ( \theta _ { 0 } ) v } . } \end{array}
| V _ { c b } | = f _ { t } ^ { - \frac { 3 } { 4 } } \left| \sqrt { \frac { m _ { s } } { m _ { b } } } - e ^ { i \phi } f _ { t } ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { \frac { m _ { c } } { m _ { t } } } \right| ~ ~ .
{ \mathcal H } ( G ^ { T } , K ^ { T } ) \otimes _ { { \mathbb Z } } { \mathcal H } ( { \Delta } _ { \bar { S } } ^ { { \mathcal Q } _ { \bar { S } } } , K _ { \bar { S } } ) \to \mathrm { E n d } _ { D ^ { + } ( { \mathcal O } ) } \left( R \Gamma \left( X _ { K } , { \mathcal V } \otimes _ { { \mathcal O } } { \mathcal V } _ { { \lambda _ { \bar { S } } } } \right) \right) .
H = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } r \left[ \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { T } ^ { 2 } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + c ^ { 2 } ( \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ) ^ { 2 } \right] + \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 m _ { a } } \left[ \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } - q _ { a } \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \lefteqn { \left\| ( - \Delta + 1 ) ^ { - 1 / 2 } ( H _ { \mathrm { f } } + 1 ) ^ { - 1 / 2 } \widehat { W } _ { g , m , n } ( { \theta , \alpha } ) \right\| } } \\ & { \leq 2 | g | | e ^ { - \theta } | \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { l = 1 } ^ { 3 } \left( \left\| \frac { ( p _ { j } ) _ { l } } { ( - \Delta + 1 ) ^ { 1 / 2 } } \right\| + | \alpha | \right) } \\ & { \times \left\| ( H _ { \mathrm { f } } + 1 ) ^ { - 1 / 2 } \left[ \delta _ { m , 0 } \underline { { H } } _ { 1 , 0 } ( \omega ^ { 1 / 2 } f _ { ( \theta , l , x _ { j } ) } ) + \delta _ { n , 0 } \underline { { H } } _ { 0 , 1 } ( \omega ^ { 1 / 2 } \overline { { f _ { ( \overline { { \theta } } , l , x _ { j } ) } } } ) \right] \right\| } \\ & { \leq 6 N | g | | e ^ { - \theta } | ( 1 + | \alpha | ) \left( \delta _ { m , 0 } \| \kappa _ { \theta } / \omega \| _ { \mathfrak { h } } ^ { 2 } + \delta _ { n , 0 } ( \| \tilde { \kappa } _ { { \theta } } / \sqrt { \omega } \| _ { \mathfrak { h } } ^ { 2 } + \| \tilde { \kappa } _ { { \theta } } / \omega \| _ { \mathfrak { h } } ^ { 2 } ) \right) ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
a _ { k } ^ { 6 } = \sum _ { I } d x ^ { 0 } \tilde { P } _ { I } ^ { 5 } ( \chi ) \omega ^ { I } , \quad b _ { k - 1 } ^ { 5 } = \sum _ { I } d x ^ { 0 } \tilde { R } _ { I } ^ { 4 } ( \chi ) \omega ^ { I } .
L _ { 1 } = { \frac { 1 } { 8 } } \{ g c - { \frac { 7 } { 2 } } c ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } } ( 1 - { \frac { 2 c } { g } } ) ^ { 2 } \} .
\begin{array} { r r l } & { x ( \phi ) = } & { r ( \phi ) \cos ( \alpha ) } \\ & { y ( \phi ) = } & { r ( \phi ) \sin ( \alpha ) \qquad z ( \phi ) = a \cos ( \alpha ) } \\ { \mathrm { w h e r e } } & { r ( \phi ) = } & { r _ { f } + r _ { 1 } a \cos ( \phi ) + a \sin ( w \phi + \phi _ { 0 } ) } \\ { \mathrm { a n d } } & { \alpha = } & { \phi + a \cos ( w \phi + \phi _ { 0 } ) / ( w r _ { f } ) } \\ { \mathrm { w i t h } } & { t _ { N L } = } & { r _ { f } ^ { 2 } / \Gamma \mathrm { ~ t h e ~ n o n l i n e a r ~ t i m e - s c a l e , } } \\ { \mathrm { a n d } } & { r _ { e } = } & { ( \Gamma / ( \pi \omega _ { m } ) ) ^ { 1 / 2 } \mathrm { ~ t h e ~ e f f e c t i v e ~ r a d i u s . } } \end{array}
P I = \sum _ { q } P A _ { q } = \sum _ { q } \langle f _ { m } | x _ { n } , p _ { q } \rangle . . . \langle x _ { 2 } , p _ { q } | x _ { 1 } , p _ { q } \rangle \langle x _ { 1 } , p _ { q } | i _ { l } \rangle
\frac { \partial } { \partial t } | P _ { t } \rangle = H _ { \mathrm { o r g n } } | P _ { t } \rangle , H _ { \mathrm { o r g n } } : = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left[ \frac { - i } { M } \Pi \phi _ { k } + i \pi _ { k } \left( \frac { \phi _ { k } } { \tau _ { k } } + \kappa _ { k } \Phi \right) - \frac { \kappa _ { k } T } { \tau _ { k } } \pi _ { k } ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r } { U ( x , t ) = \bar { U } ( x ) + u ^ { \prime } ( x , t ) = \ldots } \\ { = A _ { \bar { U } } \sin \left( \frac { 2 \pi x } { \lambda _ { \bar { U } } } \right) + f ( t ) A _ { u ^ { \prime } } \sin \left( \frac { 2 \pi x } { \lambda _ { u ^ { \prime } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf x } _ { N } ( t ) = { \bf R } _ { i } ( t ) k _ { N } ^ { i } , \qquad { \bf x } _ { N } ( 0 ) = { \bf R } _ { i } ( 0 ) k _ { N } ^ { i } = { \bf e } _ { i } k _ { N } ^ { i } . } \end{array}
S _ { \mathrm { r e f } } ^ { 2 } = \frac 1 { n _ { \mathrm { o p t } } - 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \mathrm { o p t } } } \left| \frac { \hat { H } ( { \bf R } _ { n } ) \Psi _ { \mathrm { S J } } ( { \bf R } _ { n } ) } { \Psi _ { \mathrm { S J } } ( { \bf R } _ { n } ) } - { \bar { E } } _ { \mathrm { r e f } } \right| ^ { 2 } \; ,
\begin{array} { r l } { \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle _ { l _ { 0 } , m _ { 0 } } ( \tau ) } & { = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 2 l ^ { \prime } + 3 ) ( 2 l ^ { \prime } - 1 ) + [ l ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) - 3 m _ { 0 } ^ { 2 } ] } { ( 2 l ^ { \prime } + 3 ) ( 2 l ^ { \prime } - 1 ) } | a ( l _ { 0 } , m _ { 0 } , l ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } \\ & { + 2 \operatorname { R e } \left[ \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } a ( l _ { 0 } , m _ { 0 } , l ^ { \prime } ) a ( l _ { 0 } , m _ { 0 } , l ^ { \prime } + 2 ) ^ { * } \frac { 1 } { 2 l ^ { \prime } + 3 } \sqrt { \frac { [ ( l ^ { \prime } + 2 ) ^ { 2 } - m _ { 0 } ^ { 2 } ] [ ( l ^ { \prime } + 1 ) ^ { 2 } - m _ { 0 } ^ { 2 } ] } { ( 2 l ^ { \prime } + 5 ) ( 2 l ^ { \prime } + 1 ) } } e ^ { i ( 2 l ^ { \prime } + 3 ) \tau } \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ x _ { l } , p _ { m } \right] } & { = i \hbar \delta _ { l , m } } \\ { \left[ Q _ { k } , \Pi _ { k ^ { \prime } } \right] } & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { l , m } e ^ { i k a l } e ^ { - i k ^ { \prime } a m } \left[ x _ { l } , p _ { m } \right] } \\ & { = { \frac { i \hbar } { N } } \sum _ { l } e ^ { i a l \left( k - k ^ { \prime } \right) } = i \hbar \delta _ { k , k ^ { \prime } } } \\ { \left[ Q _ { k } , Q _ { k ^ { \prime } } \right] } & { = \left[ \Pi _ { k } , \Pi _ { k ^ { \prime } } \right] = 0 } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { \mathbb { Z } / n } & { \cong \mathbb { Z } / p _ { n _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } \times \cdots \times \mathbb { Z } / p _ { n _ { i } } ^ { a _ { i } } } \\ { \mathbb { Z } / m } & { \cong \mathbb { Z } / p _ { m _ { 1 } } ^ { b _ { 1 } } \times \cdots \times \mathbb { Z } / p _ { m _ { j } } ^ { b _ { j } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left[ A \left( e ^ { j } - e ^ { j ^ { \prime } } \right) \right] _ { i } = \sum _ { l = 1 } ^ { b } A _ { i l } \left( e _ { l } ^ { j } - e _ { l } ^ { j ^ { \prime } } \right) = \sum _ { l = 1 } ^ { b } \mathbf { 1 } _ { \left\{ s ( l ) = i \right\} } \left( e _ { l } ^ { j } - e _ { l } ^ { j ^ { \prime } } \right) = \mathbf { 1 } _ { \left\{ s ( j ) = i \right\} } - \mathbf { 1 } _ { \left\{ s ( j ^ { \prime } ) = i \right\} } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { M } \left( A \left( u _ { 0 } - u _ { - } \right) + F \left( x , u _ { 0 } \right) - F \left( x , u _ { - } \right) \right) v d \mathrm { V o l } _ { g } \leqslant \int _ { M } \left( - \Delta _ { g } \left( u _ { 1 } - u _ { - } \right) + A \left( u _ { 1 } - u _ { - } \right) \right) v d \mathrm { V o l } _ { g } } \\ { \leqslant } & { \int _ { \partial M } B \left( u _ { 1 } - u _ { - } \right) v d S - \int _ { \partial M } \left( B \left( u _ { 0 } - u _ { - } \right) - \sigma \left( u _ { 0 } - u _ { - } \right) + G \left( x , u _ { 0 } \right) - G \left( x , u _ { - } \right) \right) v d S } \\ & { \qquad + \int _ { M } A \left( u _ { 1 } - u _ { - } \right) v d \mathrm { V o l } _ { g } + \int _ { M } \nabla _ { g } \left( u _ { 1 } - u _ { - } \right) \cdot \nabla _ { g } v d \mathrm { V o l } _ { g } . } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 4 } x \int _ { - \pi } ^ { \pi } r _ { c } d \phi \left( e ^ { - 2 \sigma ( \phi ) } \eta ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \Phi \partial _ { \nu } \Phi + { \frac { 1 } { r _ { c } ^ { 2 } } } \Phi \partial _ { \phi } \left( e ^ { - 4 \sigma ( \phi ) } \partial _ { \phi } \Phi \right) - m ^ { 2 } e ^ { - 4 \sigma ( \phi ) } \Phi ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { p ( \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) = - 2 \int _ { \Omega } \boldsymbol { \nabla } p \cdot \boldsymbol { \nabla } G \; d V + 2 \oint _ { \partial \Omega } p \boldsymbol { \nabla } G \cdot d \boldsymbol { S } , \quad \boldsymbol { x } ^ { \prime } \in \partial \Omega . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \cal { E } } _ { 0 } = { \cal { L } } c \sqrt \frac { 2 } { r r _ { s } } \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) , } \\ { \frac { r } { r _ { s } } = \frac { { \cal { L } } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } r _ { s } ^ { 2 } } \left[ 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 3 m ^ { 2 } c ^ { 2 } r _ { s } ^ { 2 } } { { \cal { L } } ^ { 2 } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { k } ^ { \mathrm { { D P C } } } - R _ { k } ^ { Z F } } & { \le { \log _ { 2 } } \left( { 1 + \frac { { { p _ { k } } { { \left\| { { { \bf { h } } _ { k } } \left( { \bf { \Theta } } \right) } \right\| } ^ { 2 } } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } \right) - { \log _ { 2 } } \left( { 1 + \frac { { { p _ { k } } \left( { 1 - \rho _ { k , m } ^ { 2 } } \right) { { \left\| { { { \bf { h } } _ { k } } \left( { \bf { \Theta } } \right) } \right\| } ^ { 2 } } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } \right) } \\ & { \cong - { \log _ { 2 } } \left( { 1 - \rho _ { k , m } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \ensuremath { \frac { \partial f ^ { [ k - 1 ] } } { \partial t } } \right] _ { ( k + 1 ) } ^ { \prime } } & { = A _ { k + 1 } ^ { k - 1 } f ^ { [ k + 1 ] } } \\ { \left[ \ensuremath { \frac { \partial f ^ { [ k ] } } { \partial t } } \right] _ { ( k + 1 ) } ^ { \prime } } & { = A _ { k + 1 } ^ { k } f ^ { [ k + 1 ] } . } \end{array}
{ \left\langle { \frac { { \partial { R _ { k } } } } { { \partial { \bf { \bar { v } } } } } \cdot \delta { \bf { \bar { v } } } , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle _ { { \bf { x } } , t } } = { \left\langle { \delta { \bf { \bar { v } } } , { { \left( { \frac { { \partial { R _ { k } } } } { { \partial { \bf { \bar { v } } } } } } \right) } ^ { \dag } } \cdot { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle _ { { \bf { x } } , t } } + B T ,
\langle { \boldsymbol u } , G ( \theta ) Y ( \theta ) { \boldsymbol v } \rangle = \theta \sqrt { \lambda } \langle { \boldsymbol u } , G ( \theta ) { \boldsymbol u } \rangle + \langle { \boldsymbol u } , G ( \theta ) X { \boldsymbol v } \rangle = \frac { \theta \sqrt { \lambda } z s ( z ) + \theta \sqrt { \lambda } } { \theta ^ { 2 } \lambda z s ( z ) + \theta ^ { 2 } \lambda + 1 } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r } \big [ E _ { t } = i \big ] } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } \mathrm { P r } \big [ X _ { t } = m , E _ { t } = i \big ] } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } \Bigg ( f _ { 1 } \times \mathrm { P r } \big [ X _ { t } = m , \hat { X } _ { t } = m - i \big ] + f _ { 2 } \times \mathrm { P r } \big [ X _ { t } = m , \hat { X } _ { t } = m + i \big ] \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { i n } ^ { ( t ) } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \Gamma ( 2 - \alpha ) } , } & { i = n = 0 , } \\ { 0 , } & { n = 0 , \; 0 < i \leq N , } \\ { a _ { ( n + 1 ) n } ^ { ( r ) } - d _ { n n } , } & { i = n > 0 , } \\ { d _ { ( i - 1 ) n } - d _ { i n } + a _ { ( i + 1 ) n } ^ { ( r ) } , } & { n < i \leq N - 1 , \; n > 0 , } \\ { d _ { ( M - 1 ) n } , } & { i = N , \; n > 0 , } \end{array} \right. } \\ { d _ { i n } } & { = \frac { n } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \left[ \beta \left( \left( \frac { i } { n } \right) ^ { - \frac { 1 } { B } } ; 1 - B , 1 - \alpha \right) - \beta \left( \left( \frac { i + 1 } { n } \right) ^ { - \frac { 1 } { B } } ; 1 - B , 1 - \alpha \right) \right] - i a _ { ( i + 1 ) n } ^ { ( r ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| ( \boldsymbol { v } , q ) - ( \boldsymbol { v } _ { h } , q _ { h } ) \| _ { D G } ^ { 2 } } & { : = } & { \| { q - q _ { h } } \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } + \| \boldsymbol { v } - \boldsymbol { v } _ { h } \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } + \| \mathrm { c u r l } _ { h } ~ ( \boldsymbol { v } - \boldsymbol { v } _ { h } ) \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } } \\ & { } & { + \kappa \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } } h _ { e } ^ { - 1 } \| [ [ \boldsymbol { v } _ { h } ] ] \| _ { 0 , e } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ( x , t ) } & { \approx C _ { - } + c _ { 0 } ( t ) ( x + L ) + \sum _ { n = - N , n \neq 0 } ^ { N } \left( \frac { L } { \mathrm i n \pi } \right) c _ { n } ( t ) \mathrm e ^ { \frac { \mathrm i n \pi } { L } s } \biggr | _ { - L } ^ { x } } \\ & { = c _ { 0 } ( t ) ( x + L ) + C _ { -- } \sum _ { n = - N , n \neq 0 } ^ { N } \left( \frac { L } { \mathrm i n \pi } \right) c _ { n } ( t ) \mathrm e ^ { - \mathrm i n \pi } + \sum _ { n = - N , n \neq 0 } ^ { N } \left( \frac { L } { \mathrm i n \pi } \right) c _ { n } ( t ) \mathrm e ^ { \frac { \mathrm i n \pi } { L } x } } \\ & { = c _ { 0 } ( t ) ( x + L ) + \sum _ { n = - N } ^ { N } S _ { n } ( t ) \mathrm e ^ { \frac { \mathrm i n \pi } { L } x } } \end{array}
r ^ { 2 } = \frac { ( M _ { \eta } ^ { 2 } - M _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } ) ( M _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } - M _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } ) } { ( M _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } - 2 M _ { K } ^ { 2 } + M _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } ) ( M _ { \eta } ^ { 2 } - 2 M _ { K } ^ { 2 } + M _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r } { \phi _ { k } ^ { L } ( r ) = \frac { 1 } { \sqrt { | D | L ^ { 3 } } } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \sqrt { 2 } \sin \biggr ( k _ { i } \frac { \pi } { d _ { i } L } r _ { i } \biggr ) , \quad \lambda _ { k } = \frac { \pi ^ { 2 } | D ^ { - 1 } k | ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \hat { a } } _ { e } } & { { } = } & { - \frac { \kappa _ { e } } { 2 } \hat { a } _ { e } - i g \hat { a } _ { o } ^ { \dagger } - i g ^ { * } \hat { a } _ { t } + \sqrt { \eta _ { e } \kappa _ { e } } \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { i n } } + \sqrt { \left( 1 - \eta _ { e } \right) \kappa _ { e } } \delta \hat { a } _ { e , 0 } , } \\ { \dot { \hat { a } } _ { o } } & { { } = } & { \left( i \delta _ { o } - \frac { \kappa _ { o } } { 2 } \right) \hat { a } _ { o } - i g \hat { a } _ { e } ^ { \dagger } + \sqrt { \eta _ { o } \kappa _ { o } } \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { i n } } + \sqrt { \left( 1 - \eta _ { o } \right) \kappa _ { o } } \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { 0 } } , } \\ { \dot { \hat { a } } _ { t } } & { { } = } & { \left( i \delta _ { t } - \frac { \kappa _ { t } } { 2 } \right) \hat { a } _ { t } - i g ^ { * } \hat { a } _ { e } - i J \hat { a } _ { \mathrm { t m } } + \sqrt { \kappa _ { t } } \delta \hat { a } _ { t , \mathrm { v a c } } , } \\ { \dot { \hat { a } } _ { \mathrm { t m } } } & { { } = } & { \left( i \delta _ { \mathrm { t m } } - \frac { \kappa _ { \mathrm { t m } } } { 2 } \right) \hat { a } _ { \mathrm { t m } } - i J \hat { a } _ { t } + \sqrt { \kappa _ { \mathrm { t m } } } \delta \hat { a } _ { { \mathrm { t m } } , \mathrm { v a c } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( A ( z ) + z ^ { - 1 } B ) ^ { - 1 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { ( \mathcal { A } - \mathcal { B } \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { C } ) ^ { - 1 } } & { - ( \mathcal { A } - \mathcal { B } \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { C } ) ^ { - 1 } \mathcal { B } \mathcal { D } ^ { - 1 } } \\ { - \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { C } ( \mathcal { A } - \mathcal { B } \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { C } ) ^ { - 1 } } & { \mathcal { D } ^ { - 1 } + \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { C } ( \mathcal { A } - \mathcal { B } \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { C } ) ^ { - 1 } \mathcal { B } \mathcal { D } ^ { - 1 } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { ( P _ { V } ^ { \perp } A ( z ) P _ { V } ^ { \perp } ) ^ { - 1 } , } \end{array} \right) + { \mathcal O } ( | z | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { S } } = } & { \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { { \boldsymbol { r } } } \frac { \sum _ { i } \big \langle \vert { { \boldsymbol { J } } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( { \boldsymbol { r } } , t ) \vert ^ { 2 } \big \rangle } { \epsilon } + } \\ & { \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { r } \sum _ { i } \left\langle \frac { \delta } { \delta { \phi _ { i } ^ { * } ( \boldsymbol { r } , t ) } } \nabla \cdot { \boldsymbol { J } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( { \boldsymbol { r } } , t ) \right\rangle + \mathcal { O } ( \epsilon ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { z } } & { = \frac { 4 \tilde { t } ^ { 2 } } { U _ { \uparrow \downarrow } } - \frac { 4 \tilde { t } ^ { 2 } } { U _ { \uparrow \uparrow } } - \frac { 4 \tilde { t } ^ { 2 } } { U _ { \downarrow \downarrow } } } \\ { J _ { x y } } & { = - \frac { 4 \tilde { t } ^ { 2 } } { U _ { \uparrow \downarrow } } } \end{array}
\mathbf { a } _ { \odot } ^ { N } = - \mu _ { \odot } \left( \frac { \mathbf { r } _ { A } ^ { N } + \mathbf { r } ^ { N } } { \lVert \mathbf { r } _ { A } ^ { N } + \mathbf { r } ^ { N } \rVert ^ { 3 } } - \frac { \mathbf { r } _ { A } ^ { N } } { r _ { A } ^ { 3 } } \right) , \quad \mathbf { a } _ { \textup { S R P } } ^ { N } = \frac { C _ { R } S W _ { \bigoplus } r _ { \bigoplus } ^ { 2 } } { m c \lVert \mathbf { r } _ { A } ^ { N } + \mathbf { r } ^ { N } \rVert ^ { 3 } } ( \mathbf { r } _ { A } ^ { N } + \mathbf { r } ^ { N } ) ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathrm { P e } } } & { \equiv } & { \frac { Q H } { \left< \theta \right> D } , } \\ { \tilde { \mathrm { R a } } } & { \equiv } & { \frac { \left< k \right> \Delta _ { \rho } g H } { \mu \left< \theta \right> D } , } \\ { \tilde { \mathrm { S h } } } & { \equiv } & { \frac { \dot { M } H } { A \left< \theta \right> D c _ { \mathrm { s a t } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \delta S } & { { } = \delta \int _ { a } ^ { b } \int _ { \mathcal { D } } \bigg [ \frac { D } { 2 } \Big ( \mathbf { u } \cdot \big ( 1 - \mathcal { F } \Delta ^ { - 1 } \big ) \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdot \mathbf { R } ( \mathbf { x } ) \Big ) - p ( D - 1 ) } \end{array}
\frac { 9 ^ { 5 / 4 } \, m ^ { 4 } } { \pi \, p ^ { 2 } } \, \sum _ { n \gg t } \, \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \left( - \frac { 9 m ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \right) ^ { n } \Bigg \{ \left( \frac { 9 m ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \right) ^ { t } \Big [ - \ln ( 9 m ^ { 2 } / p ^ { 2 } ) + \psi ( t ) - \psi ( 1 - t ) \Big ] - \Gamma ( t ) \Gamma ( 1 - t ) \Bigg \} .
\frac { \partial f } { \partial t } + \frac { d \textbf { r } } { d t } \frac { \partial f } { \partial \textbf { r } } + \frac { d \textbf { p } } { d t } \frac { \partial f } { \partial \textbf { p } } = I _ { \mathrm { c o l l } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } \, = \, } & { { } \frac { 1 } { \delta } \bigl \{ \phi _ { * } \, , \tilde { \zeta } \bigr \} + \frac { 1 } { \delta } \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \zeta _ { * } \bigr \} + \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \tilde { \zeta } \bigr \} - \frac { \epsilon \bar { r } } { \delta \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } \, \partial _ { R } \tilde { \eta } + \dot { \bar { z } } \, \partial _ { Z } \tilde { \eta } \Bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 \beta ^ { 2 } - a } & { = \left( \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - a / 4 - } \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 2 - \beta ) ^ { 2 } - a / 4 - } \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 3 - \beta ) ^ { 2 } - a / 4 - } \dotsi \right) } \\ & { + \left( \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 1 + \beta ) ^ { 2 } - a / 4 - } \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 2 + \beta ) ^ { 2 } - a / 4 - } \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 3 + \beta ) ^ { 2 } - a / 4 - } \dotsi \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ^ { i } ( \mathbf { x } ; \theta ) } & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { M } a _ { \ell } ^ { i } ( \mathbf { x } ^ { \top } \mathbf { e } _ { 1 } ) ^ { ^ { 1 } k _ { \ell } ^ { i } } \dots ( \mathbf { x } ^ { \top } \mathbf { e } _ { d } ) ^ { ^ { d } k _ { \ell } ^ { i } } } \\ { \quad M } & { = \binom { d + K } { K } , } \end{array}
\frac { V } { N } = - \frac { \sigma } { g _ { 0 } } + \frac { 1 } { 4 \pi \rho ^ { 2 } } \sum _ { l = 0 } ^ { I } \int _ { | k | < \Lambda _ { 1 } } \frac { d k } { 2 \pi } ( 2 l + 1 ) \ln ( 1 + \frac { \sigma } { k ^ { 2 } + \frac { l ( l + 1 ) } { \rho ^ { 2 } } + \frac { 2 \xi } { \rho ^ { 2 } } + i \epsilon } ) .
\begin{array} { r } { E ^ { e c h o } ( x , t ) = A _ { 1 } A _ { 2 } \frac { \pi e ^ { 3 } k _ { 1 } \tau v _ { F } } { 2 \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { k _ { 3 } } } f _ { 0 } ( 0 ) \times } \\ { \times \sin k _ { 3 } x \ \frac { J _ { 2 } ( v _ { F } ( k _ { 3 } t - k _ { 2 } \tau ) ) } { v _ { F } ( k _ { 3 } t - k _ { 2 } \tau ) } . } \end{array}
f _ { 1 } ( \theta _ { \mathrm { ~ S ~ F ~ } } ; S _ { 0 } , \Delta ) = S _ { 0 } \, \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ^ { 2 } \biggl [ \frac { \sqrt { \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( 2 ) } \theta _ { \mathrm { ~ S ~ F ~ } } } { \Delta } \biggr ] \, ,