harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
n \ln \left( e ^ { - \delta } + e ^ { - w } + \frac { e ^ { - w } } { w - z _ { o } - \delta } \right) \sim \ n \left[ ( e ^ { - \delta } - 1 ) + e ^ { - w } + \frac { e ^ { - w } } { w - z _ { o } - \delta ( n ) } \right] \ =
\begin{array} { r l r } { W } & { = } & { \int d \mathrm { \bf ~ r } \psi ^ { * } H \psi } \\ & { = } & { \int d \mathrm { \bf ~ r } \psi ^ { * } \left[ \frac { 1 } { 2 m } \left( - i \hbar \nabla - q \mathrm { \bf ~ A } \right) ^ { 2 } + q A _ { 0 } - g \frac { q } { 2 m } \; \; \mathrm { \bf ~ s } _ { o p } \cdot \mathrm { \bf ~ B } \right] \psi \; . } \end{array}
\gamma _ { m _ { c } } ( a ) ~ = ~ - ~ \frac { 3 } { 8 } C _ { A } a ~ - ~ C _ { A } ^ { 2 } \left( 1 8 \alpha + 9 5 \right) \frac { a ^ { 2 } } { 9 6 } ~ + ~ O ( a ^ { 3 } ) ~ .
( 2 \pi ) ^ { 8 } \Delta ( p _ { 1 } ) \Delta ( p _ { 2 } ) G ( p _ { 1 } p _ { 2 } ; p _ { 1 } ^ { \prime } p _ { 2 } ^ { \prime } ) = { \delta ( p _ { 1 } - p _ { 1 } ^ { \prime } ) \delta ( p _ { 2 } - p _ { 2 } ^ { \prime } ) } \, \nonumber + \int d p _ { 1 } ^ { \prime \prime } d p _ { 2 } ^ { \prime \prime } K ( p _ { 1 } p _ { 2 } ; p _ { 1 } ^ { \prime \prime } p _ { 2 } ^ { \prime \prime } ) G ( p _ { 1 } ^ { \prime \prime } p _ { 2 } ^ { \prime \prime } ; p _ { 1 } ^ { \prime } p _ { 2 } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l r } { \mathscr { I } _ { l a b } ^ { g } ( \tau ) } & { = } & { \chi _ { g } ^ { 2 } ( t ) / \left( \Delta X \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { g ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 2 ( 1 - g ^ { 2 } ) ^ { 3 } } + \frac { g ^ { 2 } \pi ^ { 2 } ( 2 + g ^ { 4 } ) } { ( 1 - g ^ { 2 } ) ^ { 4 } \eta } \gamma } \\ & { } & { + \frac { g ^ { 2 } \pi ^ { 2 } E } { 4 ( 1 - g ^ { 2 } ) ^ { 6 } \eta ^ { 2 } } \gamma ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \gamma ^ { 3 } ) . } \end{array}
\ensuremath { | n \, ( { I J } ) F M _ { F } \rangle } = \sum _ { M _ { J } M _ { I } } C _ { J M _ { J } I M _ { I } } ^ { F M _ { F } } \ensuremath { | n \, J M _ { J } \rangle } \ensuremath { | I M _ { I } \rangle } \, ,
T A = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 9 8 . 1 0 + 6 1 . 7 5 S ) / 1 0 0 0 \; , } & { S < 3 2 . 3 4 } \\ { ( 7 4 4 . 4 1 + 4 4 . 8 6 S ) / 1 0 0 0 \; , } & { S \geq 3 2 . 3 4 } \end{array} \right.
T _ { p e a k } = \frac { B - C } { B } \tau ~ = \frac { e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } ( \tau _ { z } ( \tau - t _ { c } ) + \tau t _ { c } ) - \tau \tau _ { z } } { ( \tau _ { z } + \tau ) ( e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } - 1 ) } ~ ;
i \left( k - 2 \right) : \partial _ { z } g g ^ { - 1 } : \, = \left( \begin{array} { c c } { { - J ^ { 2 } ( z ) } } & { { J ^ { 0 } ( z ) + J ^ { 1 } ( z ) } } \\ { { - J ^ { 0 } ( z ) + J ^ { 1 } ( z ) } } & { { J ^ { 2 } ( z ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { u ( t ) } & { { } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { t } \big | z _ { j } ( s ) - z _ { i } ( s ) \big | \, d s \, + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { t } L \big | z _ { j } ( s ) - z _ { i } ( s ) \big | + 4 N M \varepsilon s \, \, d s \, } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { c ^ { 2 } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { c ^ { 2 } ( t _ { 2 } ^ { \prime } - t _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( x _ { 2 } ^ { \prime } - x _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( y _ { 2 } ^ { \prime } - y _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( z _ { 2 } ^ { \prime } - z _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { T _ { \varphi } ^ { \mu \nu } = 2 e ^ { - 1 } \frac { \delta \overline { { \mathcal { L } } } _ { \varphi } } { \delta g _ { \mu \nu } } = 2 \, e ^ { - 1 } \varphi ^ { \dag } \frac { \delta A _ { \varphi } } { \delta g _ { \mu \nu } } \varphi = 2 \, \overline { { \varphi } } ^ { \dag } \, \frac { \delta A _ { \varphi } } { \delta g _ { \mu \nu } } \, \overline { { \varphi } } } \end{array}
m _ { e } \bar { e } _ { L } e _ { R } ( \sqrt { 2 } H / v ) + m _ { \mu } \bar { \mu } _ { L } \mu _ { R } ( \sqrt { 2 } H / v ) + m _ { \tau } \bar { \tau } _ { L } \tau _ { R } ( \sqrt { 2 } H / v ) + h _ { i j } \bar { l } _ { i L } l _ { j R } \phi + \mathrm { H . c . }
[ M _ { \mu \nu } , Z _ { \rho \l } ] = - i ( \eta _ { \mu \rho } Z _ { \nu \l } - \eta _ { \nu \rho } Z _ { \mu \l } - \eta _ { \mu \l } Z _ { \nu \rho } + \eta _ { \nu \l } Z _ { \mu \rho } ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } _ { t } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } { \tilde { v } } _ { x t } { \mathrm { d } x } } & { = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } { \tilde { u } } _ { x x } { \mathrm { d } x } } \\ & { = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } + \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } | \langle x | \psi ( t ) \rangle | ^ { 2 } } & { = - i \langle \psi ( t ) | [ | x \rangle \langle x | , \mathrm { R e } H _ { \mathrm { T B } } ] | \psi ( t ) \rangle } \\ & { + \langle \psi ( t ) | \{ | x \rangle \langle x | , \mathrm { I m } H _ { \mathrm { T B } } \} | \psi ( t ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle L \rangle } & { \approx \biggr \langle \frac { P } { Z } \biggr \rangle \approx \frac { \langle P _ { f l a t } \rangle \sqrt { 1 - \frac { 1 } { N } } } { 6 - \frac { 1 2 } { N } } } \\ { \langle \tau \rangle } & { \approx 2 \langle P \rangle - 2 P _ { 0 } = \tau _ { f l a t } + A _ { \tau } \left( - 1 + \sqrt { 1 - \frac { 1 } { N } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { x _ { 1 } } v _ { 1 } ^ { \xi } = \int _ { \Lambda } \left( \partial _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } ^ { 2 } \Phi _ { p } ( x , y ) g _ { 1 } ^ { \xi } ( y ) + \partial _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } ^ { 2 } \Phi _ { s } ( x , y ) g _ { 2 } ^ { \xi } ( y ) \right) \mathrm { d } s ( y ) , } \\ & { \partial _ { x _ { 2 } } v _ { 1 } ^ { \xi } = \int _ { \Lambda } \Big ( \partial _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } ^ { 2 } \Phi _ { p } ( x , y ) g _ { 1 } ^ { \xi } ( y ) + \partial _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } ^ { 2 } \Phi _ { s } ( x , y ) g _ { 2 } ^ { \xi } ( y ) \Big ) \mathrm { d } s ( y ) , } \\ & { \partial _ { x _ { 1 } } v _ { 2 } ^ { \xi } = \int _ { \Lambda } \Big ( \partial _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } ^ { 2 } \Phi _ { p } ( x , y ) g _ { 1 } ^ { \xi } ( y ) - \partial _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } ^ { 2 } \Phi _ { s } ( x , y ) g _ { 2 } ^ { \xi } ( y ) \Big ) \mathrm { d } s ( y ) , } \\ & { \partial _ { x _ { 2 } } v _ { 2 } ^ { \xi } = \int _ { \Lambda } \left( \partial _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } ^ { 2 } \Phi _ { p } ( x , y ) g _ { 1 } ^ { \xi } ( y ) - \partial _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } ^ { 2 } \Phi _ { s } ( x , y ) g _ { 2 } ^ { \xi } ( y ) \right) \mathrm { d } s ( y ) . } \end{array}
\hat { H } _ { F M I 1 ( 2 ) } = \sum _ { i , j } [ ( A _ { 0 } ^ { F M I 1 ( 2 ) } \ { \delta } _ { i , j } + A _ { 2 } ^ { F M I 1 ( 2 ) } \ { \delta } _ { i , j \pm 2 } ) ] \hat { \alpha } _ { i } ^ { { \dagger } } \hat { \alpha } _ { j }
\begin{array} { r l } { v ( d _ { 1 } \cdots d _ { m - 3 } ) } & { = \frac 1 \beta + \sum _ { s = 1 } ^ { t } \left( \frac 1 { \beta ^ { p _ { 2 s - 1 } } } v ( \mathbf X _ { s } ) + \frac 1 { \beta ^ { p _ { 2 s } } } v ( \mathbf Y _ { s } ) \right) } \\ & { = \frac 1 \beta + \sum _ { s = 1 } ^ { t } \left( \frac 1 { \beta ^ { p _ { 2 s - 1 } } } v ( \mathbf X _ { s } ) + \frac 1 { \beta ^ { p _ { 2 s } } } v ( ( 0 0 1 ) ^ { \ell _ { 2 s } } ) \right) } \\ & { = \frac 1 \beta + \sum _ { s = 1 } ^ { t } \left( \frac 1 { \beta ^ { p _ { 2 s - 1 } } } v ( \mathbf X _ { s } ) + \frac 1 { 2 \beta ^ { p _ { 2 s } + 1 } } ( 1 - 1 / \beta ^ { 3 \ell _ { 2 s } } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { c } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { t } R _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ } , c } ( t ) } \\ { \epsilon _ { c } } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { t } ( R _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ } , c } ( t ) - X _ { c } ) ^ { 2 } } } \end{array}
( \sqrt { \mathrm { d e t } ( H ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = ( \mathrm { d e t } ( H ^ { 2 } ) ) ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \exp \left( i \frac { \pi } { 4 } \eta ( 0 ) \right) ,
P [ \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ] = \gamma ^ { 2 } \tau ^ { 1 } \psi ( x _ { 1 } , - x _ { 2 } , x _ { 3 } ) , \qquad P [ \bar { \psi } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ] = - \bar { \psi } ( x _ { 1 } , - x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \gamma ^ { 1 } \tau ^ { 1 } ] .
D ^ { 1 } = - \frac { c ^ { \mathrm { 3 } } l _ { k } L _ { a } ^ { \varepsilon } \sigma _ { e , g } } { \Delta t \varepsilon ^ { \mathrm { 3 } } \lambda _ { g } ^ { 2 } } \left[ \Delta t \left( 1 + e ^ { - \lambda _ { g } \Delta t } \right) - \frac { 2 } { \lambda _ { g } } \left( 1 - e ^ { - \lambda _ { g } \Delta t } \right) \right] , \mathrm { \; \; \; } D ^ { 2 } = - \frac { c ^ { \mathrm { 3 } } l _ { k } L _ { s } ^ { \varepsilon } \sigma _ { s , g } } { 2 \pi \Delta t \varepsilon ^ { \mathrm { 3 } } \lambda _ { g } ^ { 2 } } \left[ \Delta t \left( 1 + e ^ { - \lambda _ { g } \Delta t } \right) - \frac { 2 } { \lambda _ { g } } \left( 1 - e ^ { - \lambda _ { g } \Delta t } \right) \right]
\begin{array} { r l r } { \lambda ( q , \tilde { T } , \eta ) } & { \sim } & { \frac { e ^ { - x \sqrt { t } - \eta ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi x } \sqrt [ 4 ] { 1 + ( q / x ) ^ { 2 } } } \exp ( g ( q , x ) ) , } \\ { g ( q , x ) } & { = } & { q \frac { \tilde { \beta } } { 2 } - q \, \mathrm { a r s i n h } \left( \frac { q } { x } \right) + \sqrt { x ^ { 2 } + q ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { k + 1 } } & { { } = D _ { M } ( k ) u _ { k } , \quad u _ { 0 } = 1 , } \\ { v _ { k + 1 } } & { { } = D _ { M } ( k ) v _ { k } + D _ { M } ^ { \alpha } ( x _ { k } ) , \quad v _ { 0 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { k l } \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } } & { { } \approx } & { \int d ^ { 3 } u _ { k } \int d ^ { 3 } u _ { l } \, u _ { k l } \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u _ { k l } \right) } \end{array}
( u _ { r } ^ { \prime } , u _ { \varphi } ^ { \prime } , u _ { z } ^ { \prime } , p ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) = ( \hat { u _ { r } } ( r ) , \hat { u _ { \varphi } } ( r ) , \hat { u _ { z } } ( r ) , \hat { p } ( r ) , \hat { \theta } ( r ) ) e x p ( s t + i ( n \varphi + k z ) ) ,
( \rho , u , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 3 . 8 5 7 1 4 3 , 2 . 6 2 9 3 6 9 , 1 0 . 3 3 3 3 3 3 ) , \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x < - 4 , } \\ { ( 1 + 0 . 2 \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( 5 x ) , 0 , 1 ) , \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x > - 4 . } \end{array} \right.
i \Pi _ { \mu \nu } ^ { ( d ) } ( p ) = \frac { i e ^ { 2 } N _ { f } } { 6 \pi ^ { 2 } \epsilon } ( p _ { \mu } p _ { \nu } - \eta _ { \mu \nu } p ^ { 2 } ) = \frac { i e ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } \epsilon } \frac { - 8 N _ { f } } { 3 } ( \eta _ { \mu \nu } p ^ { 2 } - p _ { \mu } p _ { \nu } )
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } } & { = \{ \mathbf { D } \} + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbf { D } _ { k } \delta ^ { ( k ) } ( z ) } \\ { \overline { { \overline { { Q } } } } } & { = \{ \overline { { \overline { { Q } } } } \} + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \overline { { \overline { { Q } } } } _ { k } \delta ^ { ( k ) } ( z ) \, \, \mathrm { e t c . . . } \, . } \end{array}
\sum _ { K \in { \mathcal T } } \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { K } } { \mathcal F } _ { i , K , \sigma } v _ { K } = - \sum _ { \substack { \sigma \in { \mathcal E } _ { \mathrm { i n t } } \, \sigma = K | L } } { \mathcal F } _ { i , K , \sigma } \mathrm { D } _ { K , \sigma } v , \quad \sum _ { K \in { \mathcal T } } \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { K } } \tau _ { \sigma } ( \mathrm { D } _ { K , \sigma } v ) v _ { K } = - | v | _ { 1 , 2 , { \mathcal T } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \varlimsup _ { \beta \to \infty } \varlimsup _ { n \to \infty } \beta ^ { - \frac { \alpha + 1 } { \alpha + 1 + d } } \log [ n ^ { 2 - d } \sigma _ { n } ( \beta , \omega ) ] } \\ & { \leq \varlimsup _ { \beta \rightarrow \infty } \varlimsup _ { m \rightarrow \infty } \varlimsup _ { n \rightarrow \infty } \beta ^ { - \frac { \alpha + 1 } { \alpha + 1 + d } } \log \left[ n ^ { 2 - d } \sum _ { x \in \Lambda _ { n } \cap \xi } \sum _ { y \in D _ { n } \cap \xi } c _ { x , y } ( \nabla _ { x , y } u _ { \zeta m } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq - ( 1 - \varepsilon ) \left( \lambda _ { c } / \rho \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha + 1 + d } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf b } _ { j } } & { = \Big ( b _ { j } ^ { c } + \sum _ { k = 1 } ^ { d } b _ { j } ^ { k } Y _ { 0 } ^ { k } \Big ) e _ { \emptyset } + \sum _ { k = 1 } ^ { d } b _ { j } ^ { k } e _ { k } \qquad \mathrm { a n d } } \\ { { \mathbf a } _ { i j } } & { = \Big ( a _ { i j } ^ { c } + \sum _ { k = 1 } ^ { d } a _ { i j } ^ { k } Y _ { 0 } ^ { k } + \sum _ { k , h = 1 } ^ { d } a _ { i j } ^ { k h } Y _ { 0 } ^ { k } Y _ { 0 } ^ { h } \Big ) e _ { \emptyset } + \sum _ { k = 1 } ^ { d } \Big ( a _ { i j } ^ { k } + 2 \sum _ { h = 1 } ^ { d } a _ { i j } ^ { k h } Y _ { 0 } ^ { h } \Big ) e _ { k } + \sum _ { k , h = 1 } ^ { d } a _ { i j } ^ { k h } e _ { k } \shuffle e _ { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { H } ^ { 1 } ( N ) } { \partial H } } & { < 4 \sum _ { k = N _ { 0 } } ^ { N } \left( 2 k ^ { 2 H } - ( k + 1 ) ^ { 2 H } - ( k - 1 ) ^ { 2 H } \right) } \\ { * } & { \quad \times \left( 2 k ^ { 2 H } \log k - ( k + 1 ) ^ { 2 H } \log ( k + 1 ) - ( k - 1 ) ^ { 2 H } \log ( k - 1 ) \right) } \\ { * } & { \quad + 4 \log 2 \cdot 2 ^ { 2 H } \left( 2 ^ { 2 H } - 2 \right) . } \end{array}
( g - 2 ) _ { U E D } = - 4 3 9 \cdot 1 0 ^ { - 1 1 } ( M _ { Z } ^ { 2 } / M _ { c } ^ { 2 } ) [ 1 - 0 . 2 3 ( M _ { Z } ^ { 2 } / M _ { c } ^ { 2 } ) + . . . ] \,
\begin{array} { r l } { b _ { \pm } \hat { \epsilon } _ { A \pm } } & { { } = \frac { \left( 1 - \Gamma _ { \pm } \right) \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \pm \tau \frac { \omega _ { * i } } { \omega _ { 0 } } \right) \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \mp \frac { \omega _ { * i } } { \omega _ { 0 } } \right) } { \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \pm \tau \frac { \omega _ { * i } } { \omega _ { 0 } } \right) } } \end{array}
\left| \frac { \omega _ { S } } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } + \omega _ { S } - 2 \omega _ { C } } { n } \right| = \frac { \omega _ { S } } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } + \omega _ { S } - 2 \omega _ { C } } { n } ,
\begin{array} { r } { N _ { k } ( A , B ) = n _ { k } ( A , B ) + u _ { k } ( A , B ) \; , \; N = \sum _ { x , y = \pm 1 } N _ { k } ( x , y ) \; , \; U = \sum _ { x , y = \pm 1 } u _ { k } ( x , y ) \; , } \end{array}
Z _ { \mu } ^ { ( i ) } = \frac { \alpha _ { i } } { \sqrt { g ^ { 2 } + g _ { 0 } ^ { 2 } } } ( g B _ { 3 \mu } ^ { 1 V } - g _ { 0 } B _ { \mu } ^ { 0 V } ) - \beta _ { i } B _ { 3 \mu } ^ { 1 A } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { g } ^ { \prime } } & { { } = \phi ^ { g } ( \boldsymbol { g } , \rho ^ { p \to g } ( P ) ) , } \\ { \boldsymbol { p } _ { i } ^ { \prime } } & { { } = \phi ^ { p } ( \boldsymbol { g } ^ { \prime } , \boldsymbol { p } _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m } m ! } { 2 \pi i } z ^ { - \rho } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { - \kappa } \oint _ { \mid t \mid = 1 } t ^ { n + m + \rho + \kappa } \frac { ( \overline { { t } } - \overline { { z } } ) ^ { \kappa + m } } { ( t - z ) ^ { m + 1 } } d t . } \end{array}
\Theta ( v ) = \frac { 1 } { \left( 1 - \frac { V ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } \right) } \equiv \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { \phi _ { q } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \equiv \frac { 1 } { \left( 1 - \frac { \Lambda r ^ { 2 } } { 6 c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } ,
\mathring { A } _ { 1 } ^ { { 1 , 2 } } E _ { \sigma } = \big ( \mathring { A } _ { 1 } ^ { { 1 , 2 } } E _ { \sigma } \big ) ^ { \circ _ { 1 , 1 } } + \mathcal { O } \big ( | e _ { 1 } - \sigma e _ { 2 } | + | \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } | \big ) E _ { + } + \mathcal { O } \big ( | e _ { 1 } - \sigma e _ { 2 } | + | \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } | \big ) E _ { - } \, .
{ \cal I } _ { \mathrm { 1 - l o o p } } ^ { I } = - \frac { i V ^ { ( 8 ) } B ^ { 4 } } { 2 \pi } \sum _ { w } \frac { T _ { 2 } } { w ^ { I } G _ { I J } w ^ { J } } \bigg [ \sum _ { i j } e ^ { 2 \pi i ( a _ { i } + a _ { j } ) _ { I } w ^ { I } } ( q _ { i } + q _ { j } ) ^ { 4 } - \sum _ { i } e ^ { 4 \pi i a _ { i I } w ^ { I } } ( 2 q _ { i } ) ^ { 4 } \bigg ]
\begin{array} { r l } { \hat { X } _ { n , m } } & { \equiv \hat { a } _ { n , m } e ^ { i ( \alpha _ { n } - \beta _ { n } ) } + \hat { a } _ { n , - m } ^ { \dagger } e ^ { - i ( \alpha _ { n } - \beta _ { n } ) } \, , } \\ { \hat { Q } _ { n , m } } & { \equiv \hat { b } _ { n , n + m } e ^ { - i ( \alpha _ { n } - \beta _ { n } ) } + \hat { b } _ { n , n - m } ^ { \dagger } e ^ { i ( \alpha _ { n } - \beta _ { n } ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { Z _ { \mathrm { f } } X } & { - Y _ { \mathrm { f } } } \end{array} \right] \left( \begin{array} { l } { A _ { \mathrm { L } } ^ { ( 1 ) } } \\ { A _ { \mathrm { T } } ^ { ( 1 ) } } \\ { B } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { \leqslant C \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ | 1 - t | + \sqrt { t } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| \Big ] ^ { - 1 } d t } \\ & { \leqslant C \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - ( 1 - \alpha ) } t ^ { - \frac { 1 - \alpha } { 2 } } | 1 - t | ^ { - \alpha } d t } \\ & { \leqslant C \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - ( 1 - \alpha ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma _ { z } ^ { ( a ) } ( \tau ) \tilde { \sigma } _ { - } ^ { ( b ) } ( \tau ) \right\rangle } & { { } \approx \left\langle \sigma _ { z } ^ { ( a ) } ( \tau ) \right\rangle \left\langle \tilde { \sigma } _ { - } ^ { ( b ) } ( \tau ) \right\rangle , } \\ { \left\langle \tilde { \sigma } _ { + } ^ { ( a ) } ( \tau ) \tilde { \sigma } _ { - } ^ { ( b ) } ( \tau ) \right\rangle } & { { } \approx \left\langle \tilde { \sigma } _ { + } ^ { ( a ) } ( \tau ) \right\rangle \left\langle \tilde { \sigma } _ { - } ^ { ( b ) } ( \tau ) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( r ) } & { { } = \frac g { 2 m r } \left[ e ^ { m r } \int _ { 0 } ^ { r } e ^ { - m r _ { 1 } } n ( r _ { 1 } ) r _ { 1 } d r _ { 1 } - e ^ { - m r } \int _ { 0 } ^ { r } e ^ { m r _ { 1 } } n ( r _ { 1 } ) r _ { 1 } d r _ { 1 } \right] \, , } \\ { I ^ { \prime } ( r ) } & { { } = \frac { - g } { 2 m r ^ { 2 } } \left[ e ^ { m r } ( 1 - m r ) \int _ { 0 } ^ { r } e ^ { - m r _ { 1 } } n ( r _ { 1 } ) r _ { 1 } d r _ { 1 } - e ^ { - m r } ( 1 + m r ) \int _ { 0 } ^ { r } e ^ { m r _ { 1 } } n ( r _ { 1 } ) r _ { 1 } d r _ { 1 } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } { d \tau } K ( t , \tau ) { { \rho } _ { S } } ( \tau ) = \int _ { 0 } ^ { t } { d \tau } K ^ { ( 2 ) } ( t , \tau ) { { \rho } _ { S } } ( \tau ) } \\ & { = i \int _ { 0 } ^ { t } { d \tau } \left[ S , \left\{ i C ( t - \tau ) { { U } _ { S } } ( t - \tau ) S { { \rho } _ { S } } ( \tau ) \right. \right. } \\ & { \left. \left. \times U _ { S } ^ { \dagger } ( t - \tau ) \right\} + \left\{ h c \right\} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } = [ \mathbf { S } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } ] ^ { 1 / 2 } \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ e ~ } ^ { \prime } } [ \mathbf { S } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } ] ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \dot { y } ( t ) } & { = p ( y ( t ) , \eta _ { \mathrm { S } } ( t ) ) + \Gamma ( \Phi ^ { - 1 } ( y ( t ) , \eta _ { \mathrm { S } } ( t ) ) ) \, u ( t ) + d ( t ) , } & & { y ( 0 ) = y ^ { 0 } , } \\ { \dot { \eta } _ { \mathrm { S } } ( t ) } & { = q ( y ( t ) , \eta _ { \mathrm { S } } ( t ) ) , } & & { { \eta _ { \mathrm { S } } ( 0 ) = \eta _ { \mathrm { S } } ^ { 0 } , } } \end{array}
\epsilon _ { _ \mathrm { m } } = \biggl [ \frac { 8 k ^ { 2 } s B _ { 1 } } { \ell _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 2 8 k ^ { 2 } B _ { 2 } } { 9 \omega _ { 1 } ^ { 2 } } \ln 2 \biggr ] \biggl [ 1 + \frac { 3 } { 4 } \omega _ { 1 } \eta + { \cal O } ( \eta ^ { 3 } ) \biggr ] + \biggl [ \frac { 9 k ^ { 2 } s B _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 8 \ell _ { 0 } ^ { 2 } } + k ^ { 2 } B _ { 2 } \left( 1 + 2 \ln 2 \right) \biggr ] \biggr [ \eta ^ { 2 } + { \cal O } ( \eta ^ { 3 } ) \biggr ] .
\frac { d F } { d t } = \frac { \partial F } { \partial t } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \frac { \partial F } { \partial q ^ { i } } \dot { q } ^ { i } + \frac { \partial F } { \partial p _ { i } } \dot { p } _ { i } \right) = 0 .
G _ { M N } ^ { ( 1 1 ) } = \left( \begin{array} { l l } { { e ^ { - { \frac { \hat { \Phi } } { 3 } } } G _ { \hat { \mu } \hat { \nu } } ^ { ( 1 0 ) } } } & { { e ^ { { \frac { 2 } { 3 } } \hat { \Phi } } B _ { M } } } \\ { { e ^ { { \frac { 2 } { 3 } } \hat { \Phi } } B _ { N } } } & { { e ^ { { \frac { 2 } { 3 } } \hat { \Phi } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \ell } & { = \sum _ { i \in \mathrm { g r o u p 1 } } \Big [ \log ( 1 - \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 1 } ^ { 1 } \Big ] + \sum _ { i \in \mathrm { g r o u p 2 } } \Bigg \{ 1 _ { ( c _ { i } = 0 ) } \Big [ \log ( \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 0 } ^ { 2 } \Big ] + 1 _ { ( c _ { i } = 1 ) } \Big [ \log ( 1 - \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 1 } ^ { 2 } \Big ] \Bigg \} , } \end{array}
\left\langle \mathcal { O } \right\rangle = C _ { n , \nu } \frac { 1 } { \left( 4 t ^ { 2 } + \left( t ^ { 2 } - x _ { 0 } ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { n + \nu } { 2 } } }
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } } & { { } = \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } + \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } + \frac { Z e ^ { 2 } } { r _ { 1 } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { S } \varepsilon _ { i j k } x _ { j } \sigma _ { m k } n _ { m } \, d S + \int _ { V } \varepsilon _ { i j k } x _ { j } F _ { k } \, d V } \\ & { = \int _ { V } ( \varepsilon _ { i j k } x _ { j } \sigma _ { m k } ) _ { , m } d V + \int _ { V } \varepsilon _ { i j k } x _ { j } F _ { k } \, d V } \\ & { = \int _ { V } ( \varepsilon _ { i j k } x _ { j , m } \sigma _ { m k } + \varepsilon _ { i j k } x _ { j } \sigma _ { m k , m } ) d V + \int _ { V } \varepsilon _ { i j k } x _ { j } F _ { k } \, d V } \\ & { = \int _ { V } ( \varepsilon _ { i j k } x _ { j , m } \sigma _ { m k } ) d V + \int _ { V } \varepsilon _ { i j k } x _ { j } ( \sigma _ { m k , m } + F _ { k } ) d V } \end{array} }
\begin{array} { r } { u ^ { \alpha } ( x , t ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega ^ { \alpha } ( \delta ) t } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } v _ { n } ( x , \alpha ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \Omega t } } \end{array}