harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\beta = { \frac { 4 \pi ( r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) r _ { + } } { 5 r _ { + } ^ { 4 } / l ^ { 2 } + 3 r _ { + } ^ { 2 } ( 1 + a ^ { 2 } / l ^ { 2 } ) + a ^ { 2 } } } \ ,
A ^ { 2 , 1 , 1 } = \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c c c } { A _ { 1 } } & { A _ { 1 } } & & { \begin{array} { l } { 2 2 2 2 } \\ { 0 0 2 2 } \\ { 0 2 0 2 } \end{array} } & { A _ { 2 } } & { A _ { 2 } } & { A _ { 2 } } & { A _ { 2 } } & { A _ { 3 } } & { A _ { 3 } } & { A _ { 3 } } & { A _ { 3 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 1 } } & & { \mathbf { 1 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 1 } } & { \mathbf { 2 } } & { \mathbf { 3 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 2 } } & { \mathbf { 4 } } & { \mathbf { 6 } } \end{array} \right) .
\ell _ { \textrm { n o i s e } } = \frac { 2 \pi } { \widetilde { k } _ { R } } = 2 \pi \left( \frac { A _ { \textrm { n o i s e } } } { A _ { \textrm { o b j e c t } } } \right) ^ { \! \! 1 / ( \gamma - \beta ) } .
p = p ( \tau _ { 0 } ) \left( \frac { \tau _ { 0 } } { \tau } \right) ^ { { 4 } / { 3 } } + \frac { 3 } { 2 } \frac { A ^ { 2 } } { \tau _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { \tau _ { 0 } } { \tau } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) } & { = } & { \mathcal { D } ( \hat { \bf y } , \theta _ { \mathrm { L } } ) = \exp \left( - \frac { i \sigma _ { y } \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ & { = } & { { \bf 1 } \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) - i \sigma _ { y } \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { - \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { u _ { \mathrm { L } } } & { - v _ { \mathrm { L } } } \\ { v _ { \mathrm { L } } } & { u _ { \mathrm { L } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { d _ { 1 4 } = z _ { 1 } z _ { 2 } , } \\ { d _ { 1 5 } = z _ { 1 } z _ { 3 } , } \\ { d _ { 2 4 } = z _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { d _ { 2 5 } = - z _ { 1 } ^ { 2 } , } \\ { d _ { 3 4 } = - z _ { 1 } ^ { 2 } , } \\ { d _ { 3 5 } = z _ { 3 } ^ { 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { r _ { s \rightarrow s } ( \Phi ^ { ' } ) = \frac { E _ { 0 , s } } { E _ { \mathrm { r } , s } } } \\ & { = - r _ { 0 } ^ { \mathrm { G R } } + \frac { ( t _ { 0 } ^ { \mathrm { G R } } ) ^ { 2 } ( R _ { s } ^ { \mathrm { G R } } \cos \delta \phi e ^ { i \Phi ^ { ' } } - r _ { 0 } ^ { \mathrm { G R } } R _ { p } ^ { \mathrm { G R } } R _ { s } ^ { \mathrm { G R } } e ^ { 2 i \Phi ^ { ' } } ) } { \operatorname* { d e t } M } } \end{array}
\frac { \mathop { } \! { \mathrm d } n _ { \mathrm { E } } ^ { ( \mathrm { b a s s } ) } ( t ) } { \mathop { } \! { \mathrm d } t } = p ( L - n _ { \mathrm { E } } ^ { ( \mathrm { b a s s } ) } ( t ) ) + \frac { q } { L } n _ { \mathrm { E } } ^ { ( \mathrm { b a s s } ) } ( t ) ( L - n _ { \mathrm { E } } ^ { ( \mathrm { b a s s } ) } ( t ) ) \qquad L , q , p > 0 ,
\frac { \partial \Omega _ { g } } { \partial \xi } = \frac { i \eta } { 1 2 } \left( \frac { i \Omega _ { p } \Omega _ { c } ^ { * } \Omega _ { q } } { \Gamma _ { 1 3 } \Gamma _ { 2 3 } \Gamma _ { 4 3 } [ 1 + \frac { | \Omega _ { c } | ^ { 2 } } { \Gamma _ { 1 3 } \Gamma _ { 2 3 } } + \frac { | \Omega _ { q } | ^ { 2 } } { \Gamma _ { 2 3 } \Gamma _ { 4 3 } } ] } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { 5 4 3 2 1 } \big | _ { \mathrm { h o o k s } } } & { = s _ { ( 1 4 \, | \, 0 ) } + s _ { ( 1 2 \, | \, 1 ) } + s _ { ( 1 1 \, | \, 1 ) } + s _ { ( 1 0 \, | \, 1 ) } + s _ { ( 9 \, | \, 2 ) } + s _ { ( 9 \, | \, 1 ) } + s _ { ( 8 \, | \, 2 ) } + 2 s _ { ( 7 \, | \, 2 ) } } \\ & { \qquad \qquad + s _ { ( 6 \, | \, 2 ) } + s _ { ( 5 \, | \, 3 ) } + s _ { ( 5 \, | \, 2 ) } + s _ { ( 4 \, | \, 3 ) } + s _ { ( 3 \, | \, 3 ) } + s _ { ( 2 \, | \, 3 ) } + s _ { ( 0 \, | \, 4 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \Tilde { \nu } + U _ { j } \partial _ { j } \Tilde { \nu } = c _ { b 1 } ( 1 - f _ { t 2 } ) \Tilde { S } \Tilde { \nu } - \left( c _ { w 1 } f _ { w } - \frac { c _ { b 1 } } { \kappa ^ { 2 } } f _ { t 2 } \right) \left( \frac { \Tilde { \nu } } { d } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sigma } \Big ( \partial _ { j } \big ( \nu + \Tilde { \nu } \big ) \partial _ { j } \Tilde { \nu } \Big ) + c _ { b 2 } \partial _ { i } \Tilde { \nu } \partial _ { i } \Tilde { \nu } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | c _ { K ^ { 1 } , L ^ { 1 } , I _ { 3 } ^ { 1 } , K ^ { 2 , 3 } , L ^ { 2 , 3 } , I _ { 2 } ^ { 2 , 3 } , I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } | } & { \le \frac { | ( L ^ { 1 } ) ^ { ( 1 ) } | ^ { \frac { 3 } { 2 } } | I _ { 3 } ^ { 1 } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { | ( L ^ { 1 } ) ^ { ( 1 ) } | ^ { 2 } } \times \frac { | L ^ { 2 , 3 } | ^ { \frac 1 2 } | I _ { 2 } ^ { 2 , 3 } | | I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } | ^ { \frac 1 2 } } { | K ^ { 2 , 3 } | ^ { 2 } } . } \end{array}
C ( l ) _ { n , n ^ { \prime } } ^ { m , m ^ { \prime } } = \left( \begin{array} { c c } { { n } } \\ { { l } } \end{array} \right) \left[ \begin{array} { c } { { m ^ { \prime } + n ^ { \prime } } } \end{array} \right] _ { l } - \left( \begin{array} { c c } { { n ^ { \prime } } } \\ { { l } } \end{array} \right) \left[ \begin{array} { c } { { m + n } } \end{array} \right] _ { l }
P \, = \, \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { I _ { i j } ( r , T , v ) = } & { { } \frac { 2 Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { \pi v ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d q } { q } \frac { \sin ( q r ) } { q r } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot \vec { E } } & { = s _ { 1 } \frac { \rho } { \epsilon _ { 0 } } , \qquad \qquad \qquad } & & { \nabla \times \vec { E } = s _ { 2 } \partial _ { t } \vec { B } , } \\ { \nabla \cdot \vec { B } } & { = 0 , } & & { \nabla \times \vec { B } = s _ { 3 } \mu _ { 0 } \vec { J } + s _ { 4 } \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \partial _ { t } \vec { E } } \end{array}
\frac { \mathrm { d } W _ { \gamma } } { \mathrm { d } \varepsilon } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \pi } \frac { \alpha } { \tau _ { C } } \frac { \chi } { \gamma } \left[ \frac { ( 1 - \varepsilon ) } { \varepsilon } F _ { 1 } ( z ) + \varepsilon F _ { 2 } ( z ) \right] , \quad z = \frac { 2 } { 3 \chi } \frac { \varepsilon } { 1 - \varepsilon } ,
\lambda _ { z } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \quad \gamma _ { M a } \neq 0 , } \\ { \displaystyle \frac { P } { 2 \pi } \ln \left( \sec \left( \frac { \pi \phi } { 2 } \right) \right) \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \quad \gamma _ { M a } = 0 . } \end{array} \right.
F _ { \gamma , o b s } ( E _ { \gamma } ) \simeq ( 1 . 5 \pm 0 . 3 ) \times 1 0 ^ { - 6 } ( \mathrm { c m ^ { 2 } } \cdot \mathrm { s t r } \cdot \mathrm { s e c } ) ^ { - 1 } \left( E _ { \gamma } / \mathrm { G e V } \right)
\pi V = \left( \mathbf { v } _ { \pi _ { i } } \right) _ { i = 1 } ^ { N } \quad \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \quad \pi E = \left( \mathbf { e } _ { \pi _ { i } \pi _ { j } } \right) _ { i < j : j \in \eta _ { i } }
\begin{array} { r } { ( \mathbf { K } _ { \P } ) _ { i , j } = \int _ { \P } \nabla \varphi _ { i } \cdot \nabla \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } = \int _ { \P } \nabla \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } \varphi _ { i } \cdot \nabla \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } + \int _ { \P } \nabla ( I - \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } ) \varphi _ { i } \cdot \nabla ( I - \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } ) \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } + } \\ { + \int _ { \P } \nabla ( I - \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } ) \varphi _ { i } \cdot \nabla \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } \varphi _ { i } \, d \mathbf { x } + \int _ { \P } \nabla \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } \varphi _ { j } \cdot \nabla ( I - \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } ) \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { V } = \frac { 4 \times 1 0 ^ { 2 3 } } { A _ { \mathrm { N a } } + A _ { \mathrm { I } } } \frac { ( e \kappa ) ^ { 2 } } { 4 \pi \alpha } \left( \frac { \mathrm { k e V / c ^ { 2 } } } { m _ { V } } \right) \left( \frac { \sigma _ { \mathrm { p e } } ^ { \mathrm { s u m } } } { \mathrm { b a r n } } \right) \mathrm { d } ^ { - 1 } \mathrm { k g } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \tilde { H } } _ { 0 } } & { } & { = - \hbar \sum _ { n } \delta _ { 1 , n } \vert i _ { n } \rangle \langle i _ { n } \vert + ( \delta _ { 1 , n } + \delta _ { 2 , n } ) \vert r _ { n } \rangle \langle r _ { n } \vert } \\ & { } & { + ( \delta _ { 1 , n } + \delta _ { 2 , n } - \delta _ { 3 , n } ) \vert e _ { n } \rangle \langle e _ { n } \vert . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { { } = \frac { 9 \pi a ^ { 2 } L _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin ( \psi ) } { 2 l d ^ { 2 } ( k ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } ) } \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 + O \left( \epsilon , \frac { a } { d } \right) \right] , } \\ { W } & { { } = \frac { 2 \pi L _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } \omega \gamma } { \left( k ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) } \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 + O \left( \epsilon , \frac { a } { d } \right) \right] , } \\ { \eta } & { { } = \frac { 8 1 a ^ { 4 } L _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \psi ) } { 3 2 l ^ { 2 } d ^ { 4 } \left( k ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) } \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 + O \left( \epsilon , \frac { a } { d } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \iint _ { ( \varepsilon \xi + \varepsilon Y ) \times Y } B ( \mathcal T _ { \varepsilon } ( w ) ) ( x , y ) d x d y = \mathcal L ^ { d } ( \varepsilon \xi + \varepsilon Y ) \int _ { Y } B ( w ( \varepsilon \xi + \varepsilon y ) ) d y } \\ { = \varepsilon ^ { d } | Y | \int _ { \varepsilon \xi + \varepsilon Y } B ( w ) ( \varepsilon \xi + \varepsilon y ) d y = | Y | \int _ { Y } B ( w ) ( x ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textrm { C E } = { r _ { \textrm { E F } } } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { F } | 1 - r | - \frac { 1 } { F ^ { 2 } } ( 2 - r _ { \textrm { E F } } \textrm { R e } [ r ] ) ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } & { } & & { { \mathrm { S u b t r a c t ~ t h e ~ f i r s t ~ e q u a t i o n ~ f r o m } } } \\ { ( y - y ) } & { = ( 2 x - x ) + 1 0 - 2 2 } & & { { \mathrm { t h e ~ s e c o n d ~ i n ~ o r d e r ~ t o ~ r e m o v e ~ } } y } \\ { 0 } & { = x - 1 2 } & & { { \mathrm { S i m p l i f y } } } \\ { 1 2 } & { = x } & & { { \mathrm { A d d ~ 1 2 ~ t o ~ b o t h ~ s i d e s } } } \\ { x } & { = 1 2 } & & { { \mathrm { R e a r r a n g e } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { g \left( \frac { 1 } { 2 } \right) = } & { \log _ { 2 } \left( 1 \right) \left( 1 - \frac { p } { q } \right) } \\ & { + \frac { p } { q } \log \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \right) + \frac { p } { q } \ln \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \right) } \\ { = } & { \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 q ) + \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 p ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { e q n s } ^ { h } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } { { { \left( { { h } _ { a } } ^ { j } - { { h } _ { 0 } } ^ { j } - \Delta { { h } _ { a } } ^ { j } \right) } ^ { 2 } } / { { \Delta t } ^ { 2 } } } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } { { { \left( { { h } _ { c } } ^ { j } - { { h } _ { 0 } } ^ { j } - \Delta { { h } _ { c } } ^ { j } \right) } ^ { 2 } } / { { \Delta t } ^ { 2 } } } } \end{array}
R _ { p p } ( \mathbf { k } _ { \| } = 0 ) = \left( \frac { \alpha _ { 0 } \Gamma _ { 1 } } { 2 A \lambda \varepsilon _ { 0 } / \pi } \right) ^ { 2 } \left| \frac { - ( \delta _ { 1 } + i \Gamma _ { 1 } / 2 + \delta _ { 2 } + i \Gamma _ { 2 } / 2 + 2 ( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } ) } { \left( \delta _ { 1 } + i \Gamma _ { 1 } / 2 + \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) \left( \delta _ { 2 } + i \Gamma _ { 2 } / 2 + \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) - ( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } ) ^ { 2 } } \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \frac { x } { U _ { e } u _ { * } ^ { 2 } } ( U - U _ { e } ) \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial x } = - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { 2 U _ { o } \overline { { u v _ { o } } } } { k \frac { U _ { o } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } U _ { o } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 2 } } { d y _ { o } } y _ { o } ( - 1 + \frac { 1 } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } ) + ( \frac { u _ { * } } { u _ { e } } ) ^ { 2 } U _ { o _ { 1 } } \frac { - 2 \overline { { u v } } _ { o 2 } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } } \\ { - \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } U _ { o 1 } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 2 } } { d y _ { o } } ( - 1 + \frac { - 1 } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } ) . } \end{array}
\mathbf { M } _ { 2 F } = \partial _ { t } \left( \rho \mathbf { u } \mathbf { u } + \frac { \mathbf { m } _ { \phi } \mathbf { u } + \mathbf { u } \mathbf { m } _ { \phi } } { 2 } \right) + c _ { s } ^ { 2 } \left( \mathbf { u } \nabla \rho + \nabla \rho \mathbf { u } \right) + c _ { s } ^ { 2 } \left( \mathbf { u } \cdot \nabla \rho \right) \mathbf { I } .
4 m \kappa ^ { 2 } \, Z _ { m } ^ { \prime \prime } + \left( \strut 2 ( 5 m - 2 ) \kappa - m \right) \, Z _ { m } ^ { \prime } + { \frac { ( 2 m - 1 ) ( m - 1 ) } { m } } \, Z _ { m } = 0 \, ,
\begin{array} { r l } & { d _ { i + 1 } + D _ { i + 1 } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + \delta _ { i + 1 } + D _ { i } + \Delta _ { i + 1 } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + f _ { 9 } ( c _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) + D _ { i } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + D _ { i } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \left( - \, \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + 1 \right) } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + f _ { 1 0 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = \ell ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { u } ^ { t + 1 } } & { { } = } & { \mathbf { u } ^ { t } + \alpha \mathbf { A } \mathbf { u } ^ { t + 1 } } \\ { \left( \mathbb { I } - \alpha \mathbf { A } \right) \mathbf { u } ^ { t + 1 } } & { { } = } & { \mathbf { u } ^ { t } } \\ { \left[ \mathbb { I } - \alpha \mathbf { D } - \alpha ( \mathbf { L } + \mathbf { U } ) \right] \mathbf { u } ^ { t + 1 } } & { { } = } & { \mathbf { u } ^ { t } } \end{array}
\hat { \mathcal { E } } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ - ~ s ~ i ~ m ~ } } = \frac { 1 } { N _ { y } N _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ m ~ p ~ l ~ e ~ s ~ } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ m ~ p ~ l ~ e ~ s ~ } } } \lVert f ( \xi _ { i j } ) - f ( \xi _ { \mathrm { ~ g ~ t ~ } , i } ) \rVert _ { 2 } .
{ \bf 1 _ { ( 6 ) \mathrm { m } } } \left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { ( d x ^ { 0 } ) ^ { 2 } - ( d x ^ { 1 } ) ^ { 2 } - e ^ { 2 { \phi } } ( d x ^ { a } ) ^ { 2 } \, , } } \\ { { { H } _ { a b c } } } & { { = } } & { { { \textstyle \frac { 2 } { 3 } } \epsilon _ { a b c d } \partial ^ { d } { \phi } \, , } } \end{array} \right.
f ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \mid \mu , \sigma ^ { 2 } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { n } f ( x _ { i } \mid \mu , \sigma ^ { 2 } ) = \left( { \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { n / 2 } \exp \left( - { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { F _ { i , j , k } ^ { 0 } = ( 1 / 1 2 ) \times ( 6 F _ { i , j , k } + F _ { i + 1 , j , k } + F _ { i , j + 1 , k } + F _ { i , j , k + 1 } + F _ { i - 1 , j , k } + F _ { i , j - 1 , k } + F _ { i , j , k - 1 } ) , } \\ { F _ { i , j , k } ^ { x } = ( 1 / 6 ) \times ( F _ { i + 1 , j , k } - F _ { i - 1 , j , k } ) , } \\ { F _ { i , j , k } ^ { y } = ( 1 / 6 ) \times ( F _ { i , j + 1 , k } - F _ { i , j - 1 , k } ) , } \\ { F _ { i , j , k } ^ { z } = ( 1 / 6 ) \times ( F _ { i , j , k + 1 } - F _ { i , j , k - 1 } ) , } \\ { F _ { i , j , k } ^ { x x } = ( 1 / 1 2 ) \times ( F _ { i + 1 , j , k } + F _ { i - 1 , j , k } - 2 F _ { i , j , k } ) , } \\ { F _ { i , j , k } ^ { y y } = ( 1 / 1 2 ) \times ( F _ { i , j + 1 , k } + F _ { i , j - 1 , k } - 2 F _ { i , j , k } ) , } \\ { F _ { i , j , k } ^ { z z } = ( 1 / 1 2 ) \times ( F _ { i , j , k + 1 } + F _ { i , j , k - 1 } - 2 F _ { i , j , k } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { \displaystyle \psi _ { 0 } ( \boldsymbol { r } ) \, = \, \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \, ( - ) ^ { n } \, \left( { { N } \atop { n + 1 } } \right) \, \mathrm { e L G } _ { n } \left( \frac { \mathrm { i } k r ^ { 2 } } { 2 q _ { N } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \hat { \mathcal { M } } _ { 1 } : S _ { 1 } + U + W } & { \to S _ { 1 } + S _ { 2 } + U + W \ , } & { \hat { \mathcal { M } } _ { 2 } : S _ { 2 } + V + W } & { \to S _ { 1 } + S _ { 2 } + V + W \ , } \\ { S _ { 3 } + U + W } & { \to S _ { 3 } + S _ { 2 } + U + W \ , } & { S _ { 1 } + V + W } & { \to V + W \ . } \\ { S _ { 2 } + U + W } & { \to U + W \ ; } \end{array}
\frac { d \Gamma _ { \mathrm { m a x } } } { d \alpha } \approx - \frac { 1 } { 2 } \omega _ { p e } ( \omega _ { 0 } - \omega _ { p e } ) \sin 2 \alpha \left( \frac { 1 } { \sqrt { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \alpha - \omega _ { p e } ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { \sqrt { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \alpha - 2 \omega _ { 0 } \omega _ { p e } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { d S _ { \vec { \mathbf { k } } } } { d t } } & { = \mu \left[ P _ { \vec { \mathbf { k } } } - S _ { \vec { \mathbf { k } } } \right] } \\ & { \quad - \sum _ { n = 0 } ^ { s _ { m } - 1 } \beta ( s _ { m } , n ) k ^ { ( s _ { m } ) } W _ { s _ { m } , n } ( t ) S _ { \vec { \mathbf { k } } } } \\ & { \quad - \sum _ { s = 2 } ^ { s _ { m } - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { s - 1 } \beta ( s , n ) k ^ { ( s , \mathrm { n e s t e d } ) } W _ { s , n } ^ { ( \mathrm { n e s t e d } ) } ( t ) S _ { \vec { \mathbf { k } } } } \\ & { \quad - \sum _ { s = 2 } ^ { s _ { m } - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { s - 1 } \beta ( s , n ) k ^ { ( s , \mathrm { f r e e } ) } W _ { s , n } ^ { ( \mathrm { f r e e } ) } ( t ) S _ { \vec { \mathbf { k } } } , } \end{array}
h _ { i , j } = \sum _ { k = k _ { c } - ( N _ { H } - 1 ) / 2 } ^ { k _ { c } + ( N _ { H } - 1 ) / 2 } \alpha _ { i , j , k } \Delta z \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \left\{ \begin{array} { l l } { i _ { c } - ( N _ { N } - 1 ) / 2 \le i \le i _ { c } + ( N _ { N } - 1 ) / 2 } \\ { j _ { c } - ( N _ { N } - 1 ) / 2 \le j \le j _ { c } + ( N _ { N } - 1 ) / 2 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \ \eta ^ { 2 } \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) e ^ { - i p _ { 1 } \eta } e ^ { - \hat { \nu } ( 2 \eta + \chi ) } } \\ { \approx \ } & { - \frac { 1 } { 2 \hat { \nu } } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \eta ^ { 2 } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } e ^ { - i p _ { 1 } \eta } \left( e ^ { - \hat { \nu } t } - e ^ { - \hat { \nu } ( 2 \eta ) } \right) } \\ { \approx \ } & { \frac { 1 } { 2 \hat { \nu } ^ { 4 } } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 } e ^ { - \xi x } \mathrm { d } x \ \ \left( x = \hat { \nu } \eta \ ; \xi = 2 + \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } i \right) } \\ { = \ } & { b _ { 1 , 0 } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \implies b _ { 1 , 0 } = \frac { 1 } { 8 \hat { \nu } ^ { 4 } \xi ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 8 \hat { \nu } ^ { 4 } } \left( 2 + \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } i \right) ^ { - 3 } } \end{array}
{ \footnotesize \begin{array} { r l } & { m _ { \alpha } = \frac { T r ( S ^ { \alpha } + \frac { 2 \gamma ^ { \prime } } { \beta \mu _ { _ { J } } } m _ { \alpha } S ^ { \alpha } ) e ^ { L ^ { \prime } } } { T r e ^ { L ^ { \prime } } } } \\ & { M _ { \alpha } \equiv \frac { T r S ^ { \alpha } e ^ { L ^ { \prime } } } { T r e ^ { L ^ { \prime } } } = \frac { m _ { \alpha } } { 1 + \frac { 2 \gamma ^ { \prime } } { \beta \mu _ { _ { J } } } m _ { \alpha } } } \\ & { q _ { \alpha \beta } = \frac { T r ( S ^ { \alpha } S ^ { \beta } + \frac { 2 \gamma } { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } q _ { \alpha \beta } S ^ { \alpha } S ^ { \beta } ) e ^ { L ^ { \prime } } } { T r e ^ { L ^ { \prime } } } } \\ & { Q _ { \alpha \beta } \equiv \frac { T r S ^ { \alpha } S ^ { \beta } e ^ { L ^ { \prime } } } { T r e ^ { L ^ { \prime } } } = \frac { q _ { \alpha \beta } } { 1 + \frac { 2 \gamma } { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } q _ { \alpha \beta } } } \end{array} }
{ \bf X } _ { \mathrm { t m p } } ^ { ( 1 ) } = { \bf X } ^ { ( 0 ) } { \bf X } ^ { ( 1 ) } + { \bf X } ^ { ( 1 ) } { \bf X } ^ { ( 0 ) } ~ ~ \mathrm { ~ D ~ i ~ a ~ g ~ o ~ n ~ a ~ l ~ } \times \mathrm { ~ f ~ u ~ l ~ l ~ m ~ a ~ t ~ r ~ i ~ x ~ m ~ u ~ l ~ t ~ i ~ p ~ l ~ i ~ c ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ }
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } w - 4 \partial _ { \xi } ^ { 2 } w = g _ { \epsilon } ( t ) \int _ { \delta } ^ { \xi } \bar { h } _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \eta ) \partial _ { \eta } w ( t , \eta ) d \eta + 8 0 - F _ { \delta } ( t , \xi ) , \quad } & & { ( t , \xi ) \in ( 0 , \infty ) \times ( \delta , \infty ) , } \\ & { w ( 0 , \xi ) \geq 0 , \quad } & & { \xi \geq \delta , } \\ & { w ( t , \delta ) \geq 8 0 - u ( t , \delta ) , \quad } & & { t \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { 3 } ^ { T } \equiv \left< \delta u _ { L } \Sigma _ { i } [ \delta u _ { i } ^ { 2 } + \delta b _ { i } ^ { 2 } ] \right> - 2 \left< \delta b _ { L } \Sigma _ { i } \delta u _ { i } \delta b _ { i } \right> } & { = } & { - 4 \epsilon _ { T } r / 3 , } \\ { M _ { 3 } ^ { C } \equiv - \left< \delta b _ { L } \Sigma _ { i } [ \delta u _ { i } ^ { 2 } + \delta b _ { i } ^ { 2 } ] \right> + 2 \left< \delta u _ { L } \Sigma _ { i } \delta u _ { i } \delta b _ { i } \right> } & { = } & { - 4 \epsilon _ { C } r / 3 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi ( x , t ) = \int _ { \bf x ( 0 ) = x } \Psi ( \bf x ( t ) , 0 ) * e x p \{ \frac { i } { \hbar } \int L [ \bf x ( \tau ) , \; \bf \dot { x } ( \tau ) , \tau ] d \tau \} \mathcal \; \mathcal D \bf x } \end{array}