harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\psi _ { F } ( x ) + \psi _ { A } ^ { * } ( x ) = \sum _ { \vec { k } , s } \frac { 1 } { \sqrt { V } } e ^ { i [ \vec { k } \cdot \vec { x } - \hbar ^ { - 1 } E ( \vec { k } ) t ] } u _ { s } { ( \vec { k } ) } c _ { s } ( \vec { k } ) + \sum _ { \vec { k } , s } \frac { 1 } { \sqrt { V } } e ^ { - i [ \vec { k } \cdot \vec { x } - \hbar ^ { - 1 } E ( \vec { k } ) t ] } v _ { s } ^ { * } { ( \vec { k } ) } d _ { s } ^ { \dag } ( \vec { k } ) ,
[ 2 ^ { 3 } , \, 3 ^ { 2 } ] , \ [ 5 ^ { 2 } , \, 3 ^ { 3 } ] , \ [ 2 ^ { 5 } , \, 6 ^ { 2 } ] , \ [ 1 1 ^ { 2 } , \, 5 ^ { 3 } ] , \ [ 3 ^ { 7 } , \, 1 3 ^ { 3 } ] ,
d \Gamma ^ { n } ( A ^ { 0 } \rightarrow B ^ { + } e ^ { - } \overline { { { \nu _ { e } } } } ) \, d E = \left[ A _ { 0 } ^ { \prime } + \frac { \alpha } { \pi } \left[ \left( H _ { 0 } ^ { \prime } + N _ { 0 } ^ { \prime } \right) \theta _ { 0 } + H _ { 1 } ^ { \prime } \left( \Phi _ { n } + \theta _ { 1 } ^ { n } \right) + A _ { 1 N } ^ { \prime \prime } \Phi _ { n } ^ { \prime } + \sum _ { i = 2 } ^ { 1 7 } \left( H _ { i } ^ { \prime } + N _ { i } ^ { \prime } \right) \theta _ { i } \right] \right] d \Omega .
\begin{array} { r l } { C _ { b + c } ^ { - \frac { a } { b + c } } } & { \leq A _ { k } ^ { - \frac { a } { b + c } } \left( A _ { k + 2 } - A _ { k } \right) = \psi \left( A _ { k } \right) \left( A _ { k + 2 } - A _ { k } \right) } \\ & { \leq 2 \psi \left( A _ { k + 2 } \right) \left( A _ { k + 2 } - A _ { k } \right) = 2 \psi \left( A _ { k + 2 } \right) \int _ { A _ { k } } ^ { A _ { k + 2 } } 1 d r } \\ & { \leq 2 \int _ { A _ { k } } ^ { A _ { k + 2 } } \psi \left( r \right) d r = 2 \frac { b + c } { b + c - a } \left( A _ { k + 2 } ^ { 1 - \frac { a } { b + c } } - A _ { k } ^ { 1 - \frac { a } { b + c } } \right) . } \end{array}
\eta ^ { ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , s _ { 3 } , s _ { 4 } ) } = \left[ 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { 5 } u _ { k } ^ { ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , s _ { 3 } , s _ { 4 } ) } \Gamma ^ { 0 } \left( \Gamma ^ { 2 k } x ^ { 2 k - 1 } - \Gamma ^ { 2 k - 1 } x ^ { 2 k } \right) \right] \eta _ { 0 } ^ { ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , s _ { 3 } , s _ { 4 } ) } ,
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - \sigma r ^ { 2 } } } { ( r ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) } d r = [ 1 - \Phi ( \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \beta ) \frac { \pi } { 2 \beta } e ^ { \beta ^ { 2 } \sigma } ] ,
\begin{array} { r l } & { \omega _ { 1 } = \mathrm { i } \left( - \frac { k ^ { 2 } \widetilde { d } } { 3 } + A + B \right) , } \\ & { \omega _ { 2 } = \frac { A - B } { 2 } \sqrt { 3 } - \mathrm { i } \left( \frac { k ^ { 2 } \widetilde { d } } { 3 } + \frac { A + B } { 2 } \right) , } \\ & { \omega _ { 3 } = - \frac { A - B } { 2 } \sqrt { 3 } - \mathrm { i } \left( \frac { k ^ { 2 } \widetilde { d } } { 3 } + \frac { A + B } { 2 } \right) , } \end{array}
s ^ { n + 4 } ( t ) = s _ { 0 } ^ { n + 4 } + s _ { 1 } ^ { n + 4 } ( 1 + o ( 1 ) ) , \qquad H ( t , x ) = H _ { 0 } ( x ) + \omega H _ { 1 } ( x ) + O ( \omega ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l r } { { \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } } } & { = } & { \beta _ { 0 } \, \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } + { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \ln \left( \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \right) } \\ & { + } & { c _ { 0 } + \left( { \frac { c _ { 1 } } { \ln \Lambda ^ { 2 } / M ^ { 2 } } } + \dots \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \hat { n } \bot \hat { x } } { \mathrm { V a r } [ \hat { n } \cdot \vec { S } ] } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \mathrm { V a r } [ Y | Z ] + \frac { N } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } N ^ { 2 } m _ { \mathrm { x y } } ^ { 2 } [ 1 - \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 ( \chi t ) ^ { 2 } } { N } } ] \right\} } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \left[ \left\{ \mathrm { V a r } [ Y | Z ] - \frac { N } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } N ^ { 2 } m _ { \mathrm { x y } } ^ { 2 } [ 1 - \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 ( \chi t ) ^ { 2 } } { N } } ] \right\} ^ { 2 } + N ^ { 2 } m _ { \mathrm { x y } } ^ { 2 } \chi ^ { 2 } t ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { ( \chi t ) ^ { 2 } } { N } } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { M } ^ { 1 / 2 } } & { = \left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { A } } & { \boldsymbol { B } } \\ { \boldsymbol { B } ^ { \intercal } } & { \boldsymbol { C } } \end{array} \right) \, , } \\ { \boldsymbol { M } ^ { - 1 / 2 } } & { = \left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { D } } & { \boldsymbol { E } } \\ { \boldsymbol { E } ^ { \intercal } } & { \boldsymbol { F } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\sum _ { \substack { j \, j \in \mathrm { ~ S ~ D ~ } } } ^ { M } C _ { j } \langle \Psi _ { i } | \hat { H } _ { 0 } - E _ { 0 } | \Psi _ { j } \rangle = - \langle \Psi _ { i } | \hat { V } | \Psi ^ { ( 0 ) } \rangle \qquad i = 1 , \ldots , M \quad i \in \mathrm { ~ S ~ D ~ }
{ \begin{array} { r l r l } { T _ { 0 } ( \cos \theta ) } & { = 1 } & & { = P _ { 0 } ( \cos \theta ) , } \\ { T _ { 1 } ( \cos \theta ) } & { = \cos \theta } & & { = P _ { 1 } ( \cos \theta ) , } \\ { T _ { 2 } ( \cos \theta ) } & { = \cos 2 \theta } & & { = { \frac { 1 } { 3 } } { \bigl ( } 4 P _ { 2 } ( \cos \theta ) - P _ { 0 } ( \cos \theta ) { \bigr ) } , } \\ { T _ { 3 } ( \cos \theta ) } & { = \cos 3 \theta } & & { = { \frac { 1 } { 5 } } { \bigl ( } 8 P _ { 3 } ( \cos \theta ) - 3 P _ { 1 } ( \cos \theta ) { \bigr ) } , } \\ { T _ { 4 } ( \cos \theta ) } & { = \cos 4 \theta } & & { = { \frac { 1 } { 1 0 5 } } { \bigl ( } 1 9 2 P _ { 4 } ( \cos \theta ) - 8 0 P _ { 2 } ( \cos \theta ) - 7 P _ { 0 } ( \cos \theta ) { \bigr ) } , } \\ { T _ { 5 } ( \cos \theta ) } & { = \cos 5 \theta } & & { = { \frac { 1 } { 6 3 } } { \bigl ( } 1 2 8 P _ { 5 } ( \cos \theta ) - 5 6 P _ { 3 } ( \cos \theta ) - 9 P _ { 1 } ( \cos \theta ) { \bigr ) } , } \\ { T _ { 6 } ( \cos \theta ) } & { = \cos 6 \theta } & & { = { \frac { 1 } { 1 1 5 5 } } { \bigl ( } 2 5 6 0 P _ { 6 } ( \cos \theta ) - 1 1 5 2 P _ { 4 } ( \cos \theta ) - 2 2 0 P _ { 2 } ( \cos \theta ) - 3 3 P _ { 0 } ( \cos \theta ) { \bigr ) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { L ( \rho ) } & { = } & { - i [ H _ { \mathrm { X X Z } } , \rho ] + \sum _ { \mu = 1 , N } L _ { \mu } \rho L _ { \mu } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \{ L _ { \mu } ^ { \dagger } L _ { \mu } , \rho \} } \\ & { = } & { - i H _ { \mathrm { e f f } } \rho + i \rho H _ { \mathrm { e f f } } ^ { \dagger } + \sum _ { \mu = 1 , N } L _ { \mu } \rho L _ { \mu } ^ { \dagger } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( x _ { 1 1 } x _ { 2 2 } x _ { 1 1 } ^ { * } x _ { 2 2 } ^ { * } ) } & { = h ( a e a ^ { * } e ^ { * } ) = h ( a e ( e k - q \cdot f h ) ( a k - q \cdot c g ) ) } \\ & { = h ( a e e k a k ) - q \cdot h ( a e f h a k ) - q \cdot h ( a e e k c g ) + q ^ { 2 } \cdot h ( a e f h c g ) } \\ & { = \frac { q ^ { 2 } } { ( q ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 4 } + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { c } \frac { \partial I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } , \nu , t ) } { \partial t } + \boldsymbol { \Omega \cdot \nabla } I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } , \nu , t ) = - ( \sigma _ { a } ( \nu , T ) + \sigma _ { s } ( \nu , T ) ) I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } , \nu , t ) } \\ & { + f \sigma _ { a } ( \nu , T ) b ^ { n } ( \nu , T ) B ^ { n } ( T ) + \sigma _ { s } ( \nu , T ) \int _ { 4 \pi } \frac { I _ { \nu } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } , t ) } { 4 \pi } \boldsymbol { d \Omega } ^ { \prime } + } \\ & { ( 1 - f ) \frac { \sigma _ { a } ( \nu , T ) b ^ { n } ( \nu , T ) } { \sigma _ { a , p } ( T ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 4 \pi } \frac { I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } , t ) \sigma _ { a } ( \nu ^ { \prime } , T ) } { 4 \pi } \boldsymbol { d \Omega } ^ { \prime } d \nu ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { c r e a } } = \operatorname* { m i n } \bigr \{ 1 , N _ { \mathrm { s e g } } \omega _ { G } p _ { \mathrm { d e l } } \left( \tau _ { \mathrm { m a x } } - \tau _ { \mathrm { m i n } } \right) ^ { 2 } } \\ { \times K ( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S } ^ { \prime } ) \exp \left[ - \Delta U _ { \mathrm { l o c } } \right] \bigr \} } \end{array}
- { \mathcal L } _ { 4 } ^ { m a s s } = \frac { 1 } { R } \sum _ { k , l } \left( \begin{array} { c c c } { { t _ { L , 0 } ^ { \dagger } } } & { { t _ { L , k } ^ { \dagger } } } & { { t _ { R , k } ^ { m c \dagger } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { { 2 m _ { t } R } } & { { 2 \sqrt { 2 } m _ { t } R \, I } } & { { 0 } } \\ { { 2 \sqrt { 2 } m _ { t } R \, I ^ { T } } } & { { 4 m _ { t } R \, ( I ^ { T } I ) } } & { { - M } } \\ { { 0 } } & { { - M } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { t _ { R , 0 } } } \\ { { t _ { R , l } } } \\ { { t _ { L , l } ^ { m c } } } \end{array} \right) + \, h . c .
\frac { 2 K } { \pi } \left( \frac { ( T ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } } { X } + \frac { 2 T } { X } \right) T < \sqrt { \frac { 2 } { \pi X } } \frac { 1 } { 8 X } ( T ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }
\operatorname { t d } ( G ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { { \mathrm { i f ~ } } | G | = 1 ; } \\ { 1 + \operatorname* { m i n } _ { v \in V } \operatorname { t d } ( G - v ) , } & { { \mathrm { i f ~ } } G { \mathrm { ~ i s ~ c o n n e c t e d ~ a n d ~ } } | G | > 1 ; } \\ { \operatorname* { m a x } _ { i } \mathrm { { t d } } ( G _ { i } ) , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } ; } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { w ( v _ { i } ) } & { = f ( v _ { i - 1 } ) + f ( v _ { i + 1 } ) + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { i + ( i + 1 ) + ( 2 n - ( i - 1 ) ) + ( 2 n - i ) \quad } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 0 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( i - 2 ) + ( i + 1 ) + ( 2 n - ( i - 1 ) ) + ( 2 n - i ) \quad } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 1 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( i - 1 ) + ( i + 2 ) + ( 2 n - ( i - 1 ) ) + ( 2 n - i ) \quad } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 2 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( i - 1 ) + i + ( 2 n - ( i - 1 ) ) + ( 2 n - i ) \quad } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 3 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 n } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ o d d } } \\ { 4 n + 2 } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ e v e n } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { a a } ^ { * } } & { { } = \frac { m n _ { a } M _ { a a } ^ { * } } { m n _ { a } ( M _ { a a } ^ { * } + M _ { a b } ^ { * } ) + m ( 1 - n _ { a } ) ( M _ { b a } ^ { * } + M _ { b b } ^ { * } ) } } \\ { P _ { b b } ^ { * } } & { { } = \frac { m ( 1 - n _ { a } ) M _ { b b } ^ { * } } { m n _ { a } ( M _ { a a } ^ { * } + M _ { a b } ^ { * } ) + m ( 1 - n _ { a } ) ( M _ { b a } ^ { * } + M _ { b b } ^ { * } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \hat { \mathcal { Y } } ^ { \epsilon } } = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \hat { \mathcal { Y } } ^ { \epsilon } } \hat { \mu } \hat { w } d k = O \big ( \| \hat { w } \| _ { L ^ { 1 } ( \hat { \mathcal { Y } } ^ { \epsilon } ) } } & { + \| \hat { \mu } - I \| _ { L ^ { 2 } ( \hat { \mathcal { Y } } ^ { \epsilon } ) } \| \hat { w } \| _ { L ^ { 2 } ( \hat { \mathcal { Y } } ^ { \epsilon } ) } \big ) = O ( t ^ { - ( N + 1 ) / 6 } ) , } \end{array}
\langle \widehat { H } \rangle = - J \sum _ { { \left\langle i , j \right\rangle } , \sigma } \langle \hat { c } _ { { i } , \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { { j } , \sigma } \rangle + U \sum _ { { j } } \langle \hat { n } _ { { j } , \uparrow } \hat { n } _ { { j } , \downarrow } \rangle \leftrightarrow - J ( \langle z _ { 2 } \rangle + \langle z _ { 3 } \rangle + \langle z _ { 6 } \rangle + \langle z _ { 7 } \rangle ) + U ( \langle z _ { 1 } z _ { 5 } \rangle + \langle z _ { 4 } z _ { 8 } \rangle ) .
\begin{array} { r l } & { - \pi < \phi - ( - \phi + k 2 \pi ) \le \pi } \\ { \Rightarrow \; \; } & { \pi < 2 \phi - k 2 \pi \le \pi } \\ { \Rightarrow \; \; } & { \pi < 2 n \pi \sin ( \theta _ { 0 } ) - k 2 \pi \le \pi } \\ { \Rightarrow \; \; } & { \frac { 1 } { 2 } < n \sin ( \theta _ { 0 } ) - k \le \frac { 1 } { 2 } } \\ { \Rightarrow \; \; } & { \sin ( \theta _ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } < k \le \sin ( \theta _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } } \\ { \Rightarrow \; \; } & { k = \mathrm { r o u n d } ( n \sin ( \theta _ { 0 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u _ { 1 1 } ^ { s ( C ) } = K _ { d } \left\{ - [ 8 ( 1 - \nu ) ^ { 2 } - ( 3 - 4 \nu ) ] \ln { R } + \frac { [ ( 3 - 4 v ) R _ { 1 } ^ { 2 } - 2 c \bar { x } ] } { R ^ { 2 } } + \frac { 4 c \bar { x } R _ { 1 } ^ { 2 } } { R ^ { 4 } } \right\} } \\ & { u _ { 1 2 } ^ { s ( C ) } = K _ { d } \left\{ \frac { ( 3 - 4 \nu ) r _ { 1 } r _ { 2 } } { R ^ { 2 } } + \frac { 4 c \bar { x } R _ { 1 } r _ { 2 } } { R ^ { 4 } } - 4 ( 1 - \nu ) ( 1 - 2 \nu ) \theta \right\} } \\ & { u _ { 2 1 } ^ { s ( C ) } = K _ { d } \left\{ \frac { ( 3 - 4 \nu ) r _ { 1 } r _ { 2 } } { R ^ { 2 } } - \frac { 4 c \bar { x } R _ { 1 } r _ { 2 } } { R ^ { 4 } } + 4 ( 1 - \nu ) ( 1 - 2 \nu ) \theta \right\} } \\ & { u _ { 2 2 } ^ { s ( C ) } = K _ { d } \left\{ - [ 8 ( 1 - \nu ) ^ { 2 } - ( 3 - 4 \nu ) ] \ln { R } + \frac { [ ( 3 - 4 v ) r _ { 2 } ^ { 2 } + 2 c \bar { x } ] } { R ^ { 2 } } - \frac { 4 c \bar { x } r _ { 2 } ^ { 2 } } { R ^ { 4 } } \right\} } \end{array}
I = \left[ \sqrt { \left( q - e ^ { i \sigma \pi } s \right) ^ { 2 } - r ^ { 2 } } \, \, \ln q \right] _ { q ( 0 ) } ^ { q ( N ) } - \int _ { q ( 0 ) } ^ { q ( N ) } \frac { d q } { q } \sqrt { \left( q - e ^ { i \sigma \pi } s \right) ^ { 2 } - r ^ { 2 } } \; .
P _ { Y _ { ( 1 , 1 ) } } ^ { I _ { 1 } I _ { 2 } , J _ { 1 } J _ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } ( \delta ^ { I _ { 1 } J _ { 1 } } \delta ^ { I _ { 2 } J _ { 2 } } - \delta ^ { I _ { 1 } J _ { 2 } } \delta ^ { I _ { 2 } J _ { 1 } } )
\left\{ \begin{array} { l l } { - \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \varrho \partial _ { 1 } u - \gamma _ { 0 } \nabla \cdot \mathbb { S } ^ { \varrho } u = \widetilde { f } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { \gamma _ { 0 } \mathbb { S } ^ { \varrho } u e _ { n } = \widetilde { k } } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma , } \\ { u = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { J _ { \eta , X Y } ^ { \mathrm { ( P ) } } } & { = - \sum _ { l } \frac { 4 v _ { 0 } ^ { 2 } } { U - l \Omega } \mathcal { A } _ { \bf e } ^ { ( - l ) } \mathcal { A } _ { - \bf e } ^ { ( - l ) } , } \\ { J _ { \eta , Z } ^ { \mathrm { ( P ) } } } & { = - \sum _ { l } \frac { 4 v _ { 0 } ^ { 2 } } { U - l \Omega } | \mathcal { A } _ { \bf e } ^ { ( - l ) } | ^ { 2 } . } \end{array}
\partial _ { s } \mathcal { W } _ { \epsilon } ( s , y ) - 4 \partial _ { y } ^ { 2 } \mathcal { W } _ { \epsilon } ( s , y ) + \mu _ { 1 } \epsilon ^ { \left( \frac { \beta + 1 } { 2 } - \frac { 1 } { p } \right) } g ( s ) H ( y ) \partial _ { y } \mathcal { W } _ { \epsilon } ( s , y ) = \epsilon ^ { \left( \frac { \beta + 1 } { 2 } - \frac { 1 } { p } \right) } g ( s ) H ^ { \prime } ( y ) \mathcal { W } _ { \epsilon } ( s , y ) ,
{ \partial _ { i } } ( \rho ( { \bf x } ) ^ { - 1 } { \partial _ { i } } G ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } , t ) ) - \kappa ( { \bf x } ) \partial _ { t } ^ { 2 } G = - \delta ( { \bf x } - { \bf x } _ { S } ) { \partial _ { t } } \delta ( t ) .
\begin{array} { r l } { d _ { \psi } ^ { \pm } } & { { } : = \hat { \sigma } _ { \pm } \left[ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) - \frac { \left( b _ { z } - b _ { 0 } \right) \left( 1 - \Gamma _ { 0 } \right) } { b _ { 0 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { D } d ^ { 2 } x } & { = 2 n \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { n } } \int _ { 0 } ^ { R _ { \mathrm { c e l l } } \cos ( \frac { \pi } { n } ) \sec \theta } d \theta r d r } \\ & { = n R _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } \cos \left( \frac { \pi } { n } \right) ^ { 2 } \tan \left( \frac { \pi } { n } \right) } \end{array}
\sum _ { m _ { k } } \frac { 1 } { N ( m _ { k } ) } Y ( m _ { k } ; \vartheta , \phi ) Y ^ { * } ( m _ { k } ; \vartheta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) = \frac { 2 l + n } { n S _ { D } } C _ { l } ^ { n / 2 } ( \cos \theta ) ,
\begin{array} { r l } { J } & { = \frac { f ^ { \prime 2 } } { \delta ^ { \prime } } \left( 1 - \frac { \sin \delta ^ { \prime } t } { \delta ^ { \prime } t } \right) , } \\ { \alpha } & { = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \frac { f ^ { \prime } } { \delta ^ { \prime } } \left\{ \left[ \cos ( \delta ^ { \prime } t ) - 1 \right] e ^ { r } - i \sin ( \delta ^ { \prime } t ) e ^ { - r } \right\} . } \end{array}
V ( x ) = \exp \{ { \frac { 2 i } { g N } } \int d y _ { i } \epsilon _ { i j } { \frac { x _ { i } - y _ { j } } { ( x - y ) ^ { 2 } } } \mathrm { T r } ( Y E _ { j } ( y ) ) + \Theta ( x - y ) J _ { 0 } ^ { Y } ( y ) \} \; .
{ \displaystyle ( { \cal K } _ { 0 } { \cal J } ) ^ { - 1 } { \cal K } _ { 0 } \left( { \bf D } [ { \bf X } ] { \bf S } - { \bf X } \right) \approx \sum _ { i , j = 1 } ^ { m } { \bf V } _ { i } M _ { i j } \langle { \bf W } _ { j } , { \bf W } _ { 0 } \rangle } .
\mathcal { C } = \left| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right| ^ { 2 } - m \cdot \log \left( \left| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right| ^ { 2 } \right) + \lambda \left( \sqrt { \left| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right| ^ { 2 } } - \sqrt { \left| \tilde { \psi } _ { n } \right| ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \; \; \; \textrm { ( p r o x i m a l P o i s s o n ) }
\int _ { 0 } ^ { t } H \, d B = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { [ t _ { i - 1 } , t _ { i } ] \in \pi _ { n } } H _ { t _ { i - 1 } } ( B _ { t _ { i } } - B _ { t _ { i - 1 } } ) .
\begin{array} { r l } { I } & { \ge c ^ { n } n ^ { - \beta / 2 } e ^ { - 1 0 c _ { 2 } } e ^ { - 1 6 c _ { 2 } \frac { | x - x ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } e ^ { - 1 2 c _ { 2 } \frac { | x - y | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } \left( \frac t n \right) ^ { n } \left( 1 + \left( \frac { t } { n } \right) ^ { - \beta / 2 } \right) ^ { n } } \\ & { = c ^ { n } n ^ { - \beta / 2 } e ^ { - 1 0 c _ { 2 } } e ^ { - 1 6 c _ { 2 } \frac { | x - x ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } e ^ { - 1 2 c _ { 2 } \frac { | x - y | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } \left( \frac t n \right) ^ { n - k \beta / 2 } . } \end{array}
T _ { H } ( x , y ; Q ^ { 2 } , \alpha _ { S } ( \hat { Q } ^ { 2 } ) ) = \frac { 1 6 \pi C _ { F } } { Q ^ { 2 } } \left[ \frac 2 3 \frac { \alpha _ { S } ( Q ^ { 2 } ( 1 - x ) ( 1 - y ) ) } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } + \frac 1 3 \frac { \alpha _ { S } ( Q ^ { 2 } x y ) } { x y } \right] .
\begin{array} { r l } & { \quad \langle \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { m } | T ^ { \dagger } T | \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rangle } \\ & { = \sum _ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \int \frac { d ^ { D - 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \frac { 1 } { 2 E _ { i } } \langle \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { m } | T ^ { \dagger } | \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } \rangle \langle \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } | T | \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rangle \, , } \end{array}
\gamma _ { i , k } = \frac { \phi _ { k } p _ { T } ^ { E } ( t _ { i } | x _ { k } , \theta ^ { T } ) p _ { A } ^ { E } ( a _ { i } | x _ { k } , M _ { k } , \theta ^ { A } ) } { { \sum _ { k } ^ { K } \phi _ { k } p _ { T } ^ { E } ( t _ { i } | x _ { k } , \theta ^ { T } ) p _ { A } ^ { E } ( a _ { i } | x _ { k } , M _ { k } , \theta ^ { A } ) + \phi _ { K + 1 } p _ { T } ^ { G } ( t ^ { i } ) p _ { A } ^ { G } ( a _ { i } ) } }
\Pi ( \textbf { q } , i \omega ) = - \frac { 1 } { 4 v _ { x } v _ { y } } \frac { v _ { x } ^ { 2 } q _ { x } ^ { 2 } + v _ { y } ^ { 2 } q _ { y } ^ { 2 } } { \sqrt { v _ { x } ^ { 2 } q _ { x } ^ { 2 } + v _ { y } ^ { 2 } q _ { y } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { R _ { x } } & { = \frac { \left[ 1 + f _ { G } ^ { \prime 2 } ( x _ { m } , 0 ) \right] ^ { 3 / 2 } } { f _ { G } ^ { \prime \prime } ( x _ { m } , 0 ) } , } \\ { f _ { G } ^ { \prime } ( x _ { m } , 0 ) } & { = 2 D \frac { x _ { m } } { w _ { e } ^ { 2 } } e ^ { - x _ { m } ^ { 2 } / w _ { e } ^ { 2 } } , } \\ { f _ { G } ^ { \prime \prime } ( x _ { m } , 0 ) } & { = D \frac { 2 } { w _ { e } ^ { 2 } } e ^ { - x _ { m } ^ { 2 } / w _ { e } ^ { 2 } } \left[ 1 - \left( \frac { \sqrt { 2 } x } { w _ { e } } \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\alpha = A u _ { 0 } { \frac { 2 ^ { \nu } \Gamma ( \nu + 1 ) \Gamma ( \nu ) \Gamma ( c ) u _ { 0 } ^ { - \nu } } { \Gamma ( c - a ) \Gamma ( c - b ) } } , \beta = A u _ { 0 } { \frac { \Gamma ( - \nu + 1 ) \Gamma ( - \nu ) \Gamma ( c ) u _ { 0 } ^ { \nu } } { 2 ^ { \nu } \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) } } .
\log \mathrm { ~ P ~ } ( \gamma ) \rightarrow \mathfrak { C } _ { 1 } + \mathfrak { C } _ { 2 } / \epsilon ^ { 2 } - \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { 2 } \| \dot { \gamma } ( t ) \| ^ { 2 } d t ,
\begin{array} { r } { \omega _ { 0 , 1 } \sim \mathcal { T N } ( \bar { \omega } _ { 0 , 1 } , \sigma _ { 0 1 } , l _ { 0 1 } , u _ { 0 1 } ) , \; \omega _ { 1 , 2 } ^ { \pm } \sim \mathcal { T N } ( \bar { \omega } _ { 1 2 } ^ { \pm } , \sigma _ { 1 2 } ^ { \pm } , l _ { 1 2 } ^ { \pm } , u _ { 1 2 } ^ { \pm } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d p ^ { 0 } } { d \lambda } \! = \! - \Gamma _ { \mu \nu } ^ { 0 } p ^ { \mu } p ^ { \nu } = - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \big ( \Gamma _ { 0 0 } ^ { 0 } \! + \! 2 \Gamma _ { 1 0 } ^ { 0 } \! + \! \Gamma _ { 1 1 } ^ { 0 } \big ) + \mathcal { O } ( h ^ { 2 } ) \, . } \end{array}
\gamma _ { \mu \nu } { } ^ { i } { } _ { j } = \gamma _ { [ \mu } { } ^ { i k } \, \gamma _ { \nu ] k j } \ ; \qquad \gamma _ { 2 \mu } { } ^ { i } { } _ { j } = - \gamma _ { \mu 2 } { } ^ { i } { } _ { j } = \gamma _ { \mu } { } ^ { i j } \ .
\begin{array} { r } { C = 2 \frac { \mathrm { i } } { 2 \pi } \int _ { \overrightarrow { \bf X \Gamma } \cup \overrightarrow { \bf Y M } } \left( \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { 0 } ) - \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { 1 } ) \right) \quad \quad \mathrm { ~ C _ 2 ~ s y m m e t r y } , } \\ { C = 3 \frac { \mathrm { i } } { 2 \pi } \int _ { \overrightarrow { \bf K \Gamma } \cup \overrightarrow { \bf K K ^ { \prime } } } \left( \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { 0 } ) - \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { 1 } ) \right) \quad \quad \mathrm { ~ C _ 3 ~ s y m m e t r y } , } \\ { C = 4 \frac { \mathrm { i } } { 2 \pi } \int _ { \overrightarrow { \bf X \Gamma } \cup \overrightarrow { \bf X ^ { \prime } M } } \left( \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { 0 } ) - \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { 1 } ) \right) \quad \quad \mathrm { ~ C _ 4 ~ s y m m e t r y } , } \\ { C = 6 \frac { \mathrm { i } } { 2 \pi } \left[ \int _ { \overrightarrow { \bf K ^ { \prime } \Gamma } } \left( \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { 0 } ) - \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { 1 } ) \right) + \int _ { \overrightarrow { \bf K M } } \left( \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { 0 } ) - \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { 3 } ) \right) \right] \quad \quad \mathrm { ~ C _ 6 ~ s y m m e t r y } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Phi | \Phi \rangle } & { = } & \\ & { = } & { \int \int \prod _ { a , b = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } d ^ { 3 } r _ { b } ^ { \prime } \; \Phi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ^ { \prime } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ^ { \prime } ) \Phi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) \langle \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ^ { \prime } | \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } \rangle } \end{array}