harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { B _ { \gamma _ { 1 } } } & { = { \gamma _ { 1 } } _ { y } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } ; \ \ \ \ B _ { \gamma _ { 2 } } = { \gamma _ { 2 } } _ { y } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } { \gamma _ { 2 } } . } \\ { B _ { \gamma _ { 1 } } - B _ { \gamma _ { 2 } } } & { = { \gamma _ { 1 } } _ { y } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } _ { y } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } { \gamma _ { 2 } } } \\ & { = ( { \gamma _ { 1 } } _ { y } - { \gamma _ { 2 } } _ { y } ) \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } + { \gamma _ { 2 } } _ { y } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } ( \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { s } } & { = \frac { \partial [ \phi _ { 3 } ( \phi _ { 1 } ( s ) + \phi _ { 2 } ( t ) ) ] } { \partial s } = \phi _ { 3 } ^ { \prime } ( \phi _ { 1 } ( s ) + \phi _ { 2 } ( t ) ) \cdot \phi _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) , } \\ { \rho _ { t } } & { = \frac { \partial [ \phi _ { 3 } ( \phi _ { 1 } ( s ) + \phi _ { 2 } ( t ) ) ] } { \partial t } = \phi _ { 3 } ^ { \prime } ( \phi _ { 1 } ( s ) + \phi _ { 2 } ( t ) ) \cdot \phi _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { i } \left( x _ { ( k ) } , t \right) } & { { } = \sum _ { n } 2 \, q ^ { ( n ) } \cos \left( \kappa _ { j } ^ { ( n ) } x _ { j } + \omega ^ { ( n ) } t + \varphi ^ { ( n ) } \right) \sigma _ { i } ^ { ( n ) } , } \\ { u _ { i } \left( x _ { ( k ) } , t \right) } & { { } = L _ { i j } \left( x _ { ( k ) } , t \right) v _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { P ^ { \mathrm { f u l l } } ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = \delta \left( \widehat { L } - \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } \right) P ^ { \mathrm { t s } } ( t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) + P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { g } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { V _ { 0 } } { 2 j } \frac { \Gamma ( 2 \alpha + 1 ) } { ( s _ { 1 } ^ { 2 } ( \zeta ) + \Omega _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { \alpha } } \frac { \sinh \left[ \alpha \log \left( \frac { s _ { 1 } ( \zeta ) + j \Omega _ { 0 } } { s _ { 1 } ( \zeta ) - j \Omega _ { 0 } } \right) \right] } { \alpha } \ \ \ } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \lambda _ { i } e ^ { - \lambda _ { i } H } C _ { i } ( s ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \mathscr { F } _ { i } ( s ) e ^ { - \lambda _ { i } H } ( D + \lambda _ { i } ) I _ { i } ( s , z = - H )
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { D } ^ { s } } { \mathrm { D } t } ( \rho ^ { s } ( 1 - \varepsilon ^ { l } ) ) + \rho ^ { s } ( 1 - \varepsilon ^ { l } ) \nabla \cdot \mathbf { v ^ { s } } = 0 } \\ { \frac { \mathrm { D } ^ { s } } { \mathrm { D } t } ( \rho ^ { l } \varepsilon ^ { l } ) + \nabla \cdot ( \rho ^ { l } \varepsilon ^ { l } ( \mathbf { v } ^ { l } - \mathbf { v } ^ { s } ) ) + \rho ^ { l } \varepsilon ^ { l } \nabla \cdot \mathbf { v ^ { s } } = 0 } \end{array}
m [ ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 1 ] - \frac { ( m + 1 ) f f ^ { \prime \prime } } { 2 } = - x ^ { 1 - 2 m } \textrm { d } _ { x } \tau _ { x x } ^ { F } + 2 m s _ { x x } + \frac { ( m - 1 ) \eta s _ { x x } ^ { \prime } } { 2 } + s _ { x y } ^ { \prime } .
\begin{array} { r } { ( \partial _ { t } + \mathcal { L } _ { u ^ { L } } ) \phi + \frac { \delta H _ { W } } { \delta N } = 0 \, \quad \mathrm { a n d } \quad ( \partial _ { t } + \mathcal { L } _ { u ^ { L } } ) ( N \, d ^ { 3 } x ) + d \left( \frac { \delta H _ { W } } { \delta ( { \mathbf { k } } \cdot d { \mathbf { x } } ) } \right) = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { i j } ( r ) } & { = } & { \langle \delta B _ { i } ( \boldsymbol { x } ) \delta B _ { j } ( \boldsymbol { y } ) \rangle , } \\ & { = } & { \bigl ( \hat { r } _ { i j } + \hat { P } _ { i j } \bigl ) M _ { \mathrm { L } } + \hat { P } _ { i j } \frac { r } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } r } M _ { \mathrm { L } } . } \end{array}
\mathbf { z } _ { \mathrm { { r } } } = 1 + { \frac { d t _ { a b } - d t _ { c d } } { 2 } } i + { \frac { d t _ { a c } + d t _ { b d } } { 2 } } j + { \frac { d t _ { a d } - d t _ { b c } } { 2 } } k
\begin{array} { r l r } { a _ { c } ^ { i } ( t ) } & { { } = } & { a _ { p a r a , S C } ^ { i } ( t ) - a _ { p a r a , T M } ^ { i } ( t ) - G ^ { i j } ( t ) d _ { j } + a _ { R } ^ { i } ( t ) , } \end{array}
\hat { I } _ { f } \left( m _ { 2 } ^ { 2 } \right) = \frac { 1 } { 6 } \sum _ { \mathrm { s p i n s } } \int d \Phi _ { f } Q _ { \mu \nu } \hat { V } _ { f } ^ { \mu * } \left( m _ { 2 } ^ { 2 } \right) \hat { V } _ { f } ^ { \nu } \left( m _ { 2 } ^ { 2 } \right) ,
\rho _ { m , n } ^ { A B } ( t ) = \frac { 1 } { P _ { m , n } ( t ) } \left( \begin{array} { c c c c } { \left| A _ { m , n } ^ { ( 0 ) } ( t ) \right| ^ { 2 } } & { A _ { m , n } ^ { ( 1 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 0 ) } ( t ) ^ { * } } & { A _ { m , n } ^ { ( 2 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 0 ) } ( t ) ^ { * } } & { A _ { m , n } ^ { ( 3 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 0 ) } ( t ) ^ { * } } \\ { A _ { m , n } ^ { ( 0 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 1 ) } ( t ) ^ { * } } & { \left| A _ { m , n } ^ { ( 1 ) } ( t ) \right| ^ { 2 } } & { A _ { m , n } ^ { ( 2 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 1 ) } ( t ) ^ { * } } & { A _ { m , n } ^ { ( 3 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 1 ) } ( t ) ^ { * } } \\ { A _ { m , n } ^ { ( 0 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 2 ) } ( t ) ^ { * } } & { A _ { m , n } ^ { ( 1 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 2 ) } ( t ) ^ { * } } & { \left| A _ { m , n } ^ { ( 2 ) } ( t ) \right| ^ { 2 } } & { A _ { m , n } ^ { ( 3 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 2 ) } ( t ) ^ { * } } \\ { A _ { m , n } ^ { ( 0 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 3 ) } ( t ) ^ { * } } & { A _ { m , n } ^ { ( 1 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 3 ) } ( t ) ^ { * } } & { A _ { m , n } ^ { ( 2 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 3 ) } ( t ) ^ { * } } & { \left| A _ { m , n } ^ { ( 3 ) } ( t ) \right| ^ { 2 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { Q _ { 0 } ( z ) } & { { } = \gamma \frac { ( a + b ) } { \Gamma _ { Q } \sinh ( \Gamma _ { Q } ) + \gamma \cosh ( \Gamma _ { Q } ) } \cosh ( \Gamma _ { Q } z ) , } \\ { R _ { 0 } ( z ) } & { { } = \frac { b } { Q _ { 0 } ( 1 ) ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \overline { { u } } } { \frac { \partial { \overline { { u } } } } { \partial x } } + { \overline { { v } } } { \frac { \partial { \overline { { u } } } } { \partial y } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial { \overline { { p } } } } { \partial x } } - { \frac { \partial } { \partial y } } ( { \overline { { u ^ { \prime } v ^ { \prime } } } } ) .
a n d f o l l o w i n g t h e p r o c e s s d e t a i l e d i n \S w e c a n o b t a i n t h e c y l i n d r i c a l i n v e r s e s t i f f n e s s m a t r i x o f a h e l i c a l l y c u b i c m a t e r i a l i n t e r m s o f
\int _ { a } ^ { b } u { \frac { \partial u } { \partial t } } \mathrm { d } x = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial } { \partial t } } \| u \| ^ { 2 } \quad { \mathrm { a n d } } \quad \int _ { a } ^ { b } u { \frac { \partial u } { \partial x } } \mathrm { d } x = { \frac { 1 } { 2 } } u ( b , t ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } u ( a , t ) ^ { 2 } ,
\boldsymbol { L } ( \boldsymbol { k } ) \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { S } ( \boldsymbol { k } ) } & { \boldsymbol { 0 } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { I _ { c } } } \end{array} \right] \boldsymbol { \hat { q } } ( \boldsymbol { k } ) = \boldsymbol { B } \boldsymbol { S } ( \boldsymbol { k } ) \boldsymbol { \hat { f } } ( \boldsymbol { k } ) ,
\begin{array} { r l r } { g ^ { \prime \prime } ( x ) } & { = } & { \lambda e ^ { \frac { x } { 2 \sqrt { \lambda } } } a ^ { \prime \prime } ( x ) + { \sqrt { \lambda } } e ^ { \frac { x } { 2 \sqrt { \lambda } } } a ^ { \prime } ( x ) } \\ { e ^ { - \frac { x } { 2 \sqrt { \lambda } } } g ^ { \prime \prime } ( x ) } & { = } & { \lambda a ^ { \prime \prime } ( x ) + { \sqrt { \lambda } } a ^ { \prime } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu ^ { + } \mu ^ { - } \to H ^ { + } H ^ { - } , \qquad \mu ^ { + } \mu ^ { - } \to H A , } & { { } } & { } \\ { V _ { 1 } V _ { 2 } \to H ^ { + } H ^ { - } , H A , H ^ { \pm } H / H ^ { \pm } A , H H / A A . } & { { } } & { } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi \left( \mathbf { x } , t \right) } & { = } & { \frac { \mu _ { 0 } c } { 4 \pi r } \overset { . } { \mathbf { p } } \left( t - r / c \right) \cdot \mathbf { n } , } \\ { \mathbf { A } \left( \mathbf { x } , t \right) } & { = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r } \overset { . } { \mathbf { p } } \left( t - r / c \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { s _ { 1 } } { | s | ^ { 2 } } \left( \| \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| s u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq } & { \textnormal { R e } ( a ( u _ { L } , \, u _ { L } ) ) } \\ & { \leq } & { | a ( u _ { L } , \, u _ { L } ) | } \\ & { \leq } & { C \frac { 1 + | s | } { | s | } \| f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } \left( \| \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| s u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
y ^ { 2 } = x ^ { 2 \tilde { n } _ { c } + 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { n _ { c } - \tilde { n } _ { c } } ( x - \Phi _ { k } ) ^ { 2 } - 4 \Lambda ^ { 4 n _ { c } + 4 - 2 n _ { f } } x ^ { n _ { f } - 1 } .
\begin{array} { r l } { \Delta \alpha _ { \phi } } & { { } = \ensuremath { \tilde { g } _ { \oplus } } \ensuremath { g _ { \phi \gamma } } \frac { \mathcal { F } } { \pi ^ { 2 } } \frac { M _ { \oplus } } { \mu _ { a } } \frac { \ell \, e ^ { - m _ { \phi } d } } { ( R _ { \oplus } + d ) ^ { 2 } } \Psi ( m _ { \phi } \ell , m _ { \phi } R _ { \oplus } , m _ { \phi } d ) \: , } \end{array}
G ^ { i j k l } ( x , x ) = \frac { 4 } { 1 5 } \left( \frac { 3 } { 2 } g ^ { i k } g ^ { j l } + \frac { 3 } { 2 } g ^ { i l } g ^ { j k } - g ^ { i j } g ^ { k l } \right) \langle \phi ^ { 2 } ( \eta ) \rangle \; ,
{ \cal W } = \sum _ { I = 1 } ^ { N - R } \left( \sum _ { b = 1 } ^ { N ^ { \prime } / 2 } q _ { I } ^ { b } T ^ { I } H _ { b } \tilde { H } _ { b } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { c = N ^ { \prime } + 1 } ^ { N ^ { \prime } + N ^ { \prime \prime } } q _ { I } ^ { c } T ^ { I } H _ { c } H _ { c } \right) \; ,
\left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \underline { { \eta } } ^ { 2 } } - \frac { 2 \mathrm { i } x _ { 1 } T _ { w } } { \mu _ { w } } \left( F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \alpha _ { 1 } \underline { { \eta } } - 1 \right) \right] \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { v } } _ { 1 } } { \partial \underline { { \eta } } ^ { 2 } } = 0 ,
\mathbf { M } _ { i } = \left( \begin{array} { l l } { \sum _ { j } x _ { i j } W _ { i j } ^ { x } V _ { j } } & { \sum _ { j } y _ { i j } W _ { i j } ^ { x } V _ { j } } \\ { \sum _ { j } x _ { i j } W _ { i j } ^ { y } V _ { j } } & { \sum _ { j } y _ { i j } W _ { i j } ^ { y } V _ { j } } \end{array} \right) ,
{ \cal { W } } _ { q } = - 2 q \sqrt { \frac { { \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } + 1 + q ^ { 2 } } { { \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } - q ^ { 2 } } } \; .
\begin{array} { r l } { E _ { \varepsilon } } & { \left( \Omega ^ { \ast } , \left\{ \left( - \frac { L ^ { \ast } } { 2 } , 0 , 0 \right) , \left( \frac { L ^ { \ast } } { 2 } , 0 , 0 \right) \right\} \right) } \\ & { = 4 \pi + \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 2 } ( 1 + \varepsilon + \varepsilon ^ { 2 } ) + \frac { \gamma ^ { 2 } \varepsilon ^ { 6 } } { 6 4 \pi } \log { ( \gamma \varepsilon ^ { 4 } ) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \varepsilon ^ { 6 } \gamma ^ { \frac { 7 } { 4 } } ( 1 + \gamma ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } ( \log { \varepsilon ^ { - 1 } } ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \right) } , } \\ { L ^ { \ast } } & { = 2 - 2 \varepsilon - \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 8 \pi } \log { ( \gamma \varepsilon ^ { 4 } ) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \gamma ^ { \frac { 3 } { 4 } } ( 1 + \gamma ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \varepsilon ^ { 3 } ( \log { \varepsilon ^ { - 1 } } ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \right) } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { 0 } & { s _ { 1 } } \\ { - s _ { 1 } ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - s _ { 1 } ^ { - 1 } } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { s _ { 1 } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - s _ { 1 } ^ { - 1 } } & { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \tilde { w } ( \tilde { x } ) = \frac { \tilde { F } _ { \mathrm { i } } } { 2 } \times \left\{ \begin{array} { l l } & { \mathrm { f o r ~ } \tilde { x } \leq \tilde { a } } \\ & { \frac { 1 } { 3 } [ 1 + \tilde { x } ^ { 3 } + 2 ( 1 + \tilde { a } ) ^ { 3 } - 3 \tilde { x } ( 1 + \tilde { a } ) ^ { 2 } ] } \\ { \quad } \\ & { \mathrm { f o r ~ } \tilde { x } > \tilde { a } } \\ & { e ^ { \tilde { a } - \tilde { x } } [ ( 1 + \tilde { a } ) \cos ( \tilde { a } - \tilde { x } ) + \tilde { a } \sin ( \tilde { a } - \tilde { x } ) ] } \end{array} \right. } \end{array}
\bar { \mathbf { x } } _ { 0 } + \alpha L \frac { \bar { \mathbf { x } } _ { 0 } - \bar { \mathbf { x } } _ { 1 } } { \left| \bar { \mathbf { x } } _ { 0 } - \bar { \mathbf { x } } _ { 1 } \right| }
p ^ { ( i + 1 ) } = p ^ { ( i ) } + \frac { 1 } { 6 } \left[ \hat { c } _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \left( \hat { c } _ { 2 } ^ { 2 } + \hat { c } _ { 3 } ^ { 2 } \right) + \hat { c } _ { 4 } ^ { 2 } \right] \Delta \rho ,
\langle i | P ^ { - } | j k \rangle \propto \int d p _ { i } ^ { + } d p _ { j } ^ { + } d p _ { k } ^ { + } g ( p _ { i } ^ { + } , p _ { j } ^ { + } , p _ { k } ^ { + } ) \delta ( p _ { i } ^ { + } + p _ { j } ^ { + } - p _ { k } ^ { + } )
\left( u ^ { 2 } \/ F ^ { 0 0 } - F ^ { 3 3 } \right) \operatorname * { d e t } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { b _ { 0 } ^ { 1 } } } & { { b _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { { w _ { 0 1 } } } & { { b _ { 1 } ^ { 1 } } } & { { b _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { { w _ { 0 2 } } } & { { b _ { 2 } ^ { 1 } } } & { { b _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) = o ( K ^ { 4 } )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \phi } { \partial z } ( x , y , z ) = } & { - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { ( z - u \cos { ( \beta ) } ) \Omega ( u , v ) } { \left( ( x - v ) ^ { 2 } + ( y - u \sin { ( \beta ) } ) ^ { 2 } + ( z - u \cos { ( \beta ) } ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { m _ { 1 } \approx 2 . 3 2 3 2 0 8 3 7 9 , ~ m _ { 2 } \approx 2 . 3 2 6 3 2 0 4 5 7 , ~ m _ { 3 } \approx 2 . 5 0 9 7 4 1 1 5 1 , ~ m _ { 4 } \approx 2 . 5 1 0 5 2 8 4 9 0 , ~ } \\ & { m _ { 5 } \approx 2 . 6 3 2 8 8 5 0 2 8 , ~ m _ { 6 } \approx 2 . 6 3 3 0 8 9 0 0 5 , ~ m _ { 7 } \approx 2 . 9 9 7 6 4 1 2 9 4 , ~ m _ { 8 } \approx 2 . 9 9 7 7 3 6 2 6 2 , ~ } \\ & { m _ { 9 } \approx 3 . 1 1 3 0 2 9 7 9 9 , ~ m _ { 1 0 } \approx 3 . 1 1 3 0 6 9 6 3 4 , ~ m _ { 1 1 } \approx 3 . 1 9 7 3 3 2 9 9 5 , ~ m _ { 1 2 } \approx 3 . 1 9 7 3 5 4 1 4 7 , ~ } \\ & { m _ { 1 3 } \approx 3 . 2 1 9 4 2 5 1 6 0 , ~ m _ { 1 4 } \approx 3 . 2 1 9 4 4 0 7 8 4 , ~ m _ { 1 5 } \approx 3 . 2 6 9 6 1 3 4 0 0 , ~ m _ { 1 6 } \approx 3 . 2 6 9 6 1 8 2 0 2 , ~ } \\ & { m _ { 1 7 } \approx 3 . 2 8 8 0 5 9 6 2 0 , ~ m _ { 1 8 } \approx 3 . 2 8 8 0 6 2 9 9 5 , ~ m _ { 1 9 } \approx 3 . 3 1 4 9 7 7 5 1 8 , ~ m _ { 2 0 } \approx 3 . 3 1 4 9 7 8 8 1 5 , ~ } \\ & { m _ { 2 1 } \approx 3 . 3 2 4 0 0 8 1 8 4 , ~ m _ { 2 2 } \approx 3 . 3 2 4 0 0 8 8 2 6 , ~ m _ { 2 3 } \approx 3 . 3 3 2 9 6 1 8 2 4 , ~ m _ { 2 4 } \approx 3 . 3 3 2 9 6 1 8 5 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { a b } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } = - 2 \gamma e ^ { - 2 \gamma \tau _ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \tau _ { 1 } } \mathrm { d } t _ { 1 } ~ e ^ { 2 \gamma t _ { 1 } } \xi ( t _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { I 1 } } & { { } = } & { - \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { 2 m _ { a } } \left[ \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } \cdot \hat { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) + \hat { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) \cdot \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } \right] } \\ { \hat { H } _ { I 2 } } & { { } = } & { \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } ^ { 2 } } { 2 m _ { a } } [ \hat { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) ] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z _ { J } [ \mathbf { \Psi } ] } & { = } & { \sum _ { \{ \mathbf { J } ( 0 ) \} } \cdots \sum _ { \{ \mathbf { J } ( T ) \} } \int D \big [ h \hat { h } \big ] \exp \left\{ \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \sum _ { k \neq j } A _ { k j } ( \tau ) \right\} } \\ { A _ { k j } ( \tau ) } & { = } & { i \hat { h } _ { k j } \big ( h _ { k j } - \theta _ { k j } \big ) + J _ { k j } ( \tau + 1 ) \big ( \Psi _ { k j } ( \tau + 1 ) + \beta h _ { k j } ( \tau ) \big ) - \ln \big ( 2 \mathrm { c o s h } \, [ \beta h _ { k j } ( \tau ) ] \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { J ( 0 , 0 ) = \left[ { \begin{array} { c c } { - \frac { c } { \varepsilon } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 - e ^ { - \beta T } } { 1 + e ^ { - \beta T } } } \end{array} } \right] , } \end{array}
\mathrm { N = 8 } \, \mathrm { \bf ~ s p i n ~ 2 } \, \stackrel { N = 2 } { \longrightarrow } \, \mathrm { \bf ~ s p i n ~ 2 } + 6 \times \mathrm { \bf ~ s p i n ~ 3 / 2 } + 1 5 \times \mathrm { \bf ~ v e c t . ~ m u l t . } + 1 0 \times \mathrm { \bf ~ h y p e r m u l t . }
\mathcal { D } _ { C } ( t , t ^ { \prime \prime } ; k ) = \frac { 1 } { e \, C } \; ( t \, t ^ { \prime } ) ^ { \frac 3 8 } \; e ^ { - \frac { \mu } { 2 } ( t + t ^ { \prime } ) } \sin \left[ \frac { e \, C } { \mu } \left( \frac { e ^ { \mu \, t } } { t ^ { \frac 3 4 } } - \frac { e ^ { \mu \, t ^ { \prime \prime } } } { t ^ { \frac 3 4 } } \right) \right] + e ^ { 2 } \; \int d t ^ { \prime } \left[ \; G ( t , t ^ { \prime } ) \; \frac { e ^ { t ^ { \prime } ( 2 \, \mu - \frac { k ^ { 2 } } { 4 \mu } ) } } { t ^ { \frac 5 2 } } \; L ( t ^ { \prime } , t ^ { \prime \prime } ) - ( t \leftrightarrow t ^ { \prime \prime } ) \right]
\begin{array} { r l r } { E _ { \pm , \mathrm { N L } } } & { \approx } & { \frac { \left( E _ { \upalpha } + E _ { \upbeta } + g _ { c } | \psi _ { \mathrm { t o t } } | ^ { 2 } + g _ { r } n _ { \mathrm { t o t } } + i \left( \Gamma _ { \upalpha } + \Gamma _ { \upbeta } \right) \right) } { 2 } } \\ & { \pm } & { \frac { \sqrt { | \mu | ^ { 2 } + \left( \Delta E _ { \mathrm { L } } + \Delta E _ { \mathrm { N L } } + i \Delta \Gamma \right) ^ { 2 } } } { 2 } \; . } \end{array}
\frac { 2 \left( 1 + \Gamma \right) } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ - \left( n \Omega + \alpha \right) ^ { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \left( n \Omega + \alpha \right) \sigma _ { n } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right] \hat { \eta } _ { n } = f \left[ \hat { \eta } _ { n + 1 } + \hat { \eta } _ { n - 1 } \right] .
\begin{array} { r l } { \langle R _ { c v } ^ { d } \rangle = \mathcal { R } _ { d } | P _ { c v } | ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { E _ { x _ { n } } } ^ { + \infty } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } } & { { } \delta ( E - E _ { x _ { n } } ) \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { c } } & { = \Big | \sum _ { n = 1 } ^ { N } e ^ { j \zeta _ { c , n } } \Big | ^ { 2 } } \\ & { = \Big | \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( \cos { \zeta _ { c , n } } + i \sin { \zeta _ { c , n } } ) \Big | ^ { 2 } } \\ & { = \Big ( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \cos { \zeta _ { c , n } } \Big ) ^ { 2 } + \Big ( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sin { \zeta _ { c , n } } \Big ) ^ { 2 } } \\ & { = N + 2 \Big ( \underbrace { \sum _ { 1 \leq i < j \leq N } \cos { ( \zeta _ { c , i } - \zeta _ { c , j } ) } } _ { N ( N - 1 ) / 2 ~ i t e m s } \Big ) . } \end{array}
\boldsymbol { \textbf { B } } = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \left[ - 2 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \int \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } + \eta _ { \sigma } \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } \right]
{ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { v _ { x } } \\ { v _ { y } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { v _ { x } } \\ { v _ { y } } \\ { - \mu \, v _ { x } { \sqrt { v _ { x } ^ { 2 } + v _ { y } ^ { 2 } } } } \\ { - g - \mu \, v _ { y } { \sqrt { v _ { x } ^ { 2 } + v _ { y } ^ { 2 } } } } \end{array} \right) }
\left| \psi _ { 2 } \right\rangle = \left( H \otimes I _ { 2 } \right) \left| \psi _ { 1 } \right\rangle = \left( H \otimes I _ { 2 } \right) \left( | 0 \rangle _ { C O N T R O L } \otimes | 0 \rangle _ { T A R G E T } \right) = H | 0 \rangle _ { C } \otimes | 0 \rangle _ { T } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 0 \rangle + | 1 \rangle ) \otimes | 0 \rangle
\mathbb { E } _ { X _ { t } = x } [ e ^ { - \theta \tau _ { t } } ] \sim e ^ { - \frac { - ( \rho \nu - \lambda - \theta ) + \sqrt { ( \rho \nu - \lambda - \theta ) ^ { 2 } + 4 \rho \nu \theta } } { 2 \rho } x + \frac { - ( \rho \nu - \lambda + \theta ) + \sqrt { ( \rho \nu - \lambda - \theta ) ^ { 2 } + 4 \rho \nu \theta } } { 2 } \frac { 1 } { \gamma } e ^ { - \gamma t } } ,
\frac { 1 } { \nu } \, ( 1 + \kappa _ { 1 } ) \, \| \mathbf { i } _ { 4 } \| ^ { 2 } \| { \mathbf { w } } \| _ { 1 , \Omega } \, \leq \, \frac { \alpha _ { \mathbf { A } } } { 4 } { \quad \mathrm { a n d } \quad } \frac { \mathtt { F } } { \alpha } \| \mathbf { i } _ { \mathrm { q } } \| ^ { \mathrm { p } - 1 } \| { \mathbf { w } } \| _ { 1 , \Omega } ^ { \mathrm { p } - 2 } \, \leq \, \frac { \alpha _ { \mathbf { A } } } { 4 } \, ,
\langle \Psi _ { 1 } ^ { \prime I _ { 1 } } ( z _ { 1 } ) \Psi _ { 2 } ^ { \prime I _ { 2 } } ( z _ { 2 } ) \cdots \Psi _ { n } ^ { \prime I _ { n } } ( z _ { n } ) \rangle = \langle \Psi _ { 1 } ^ { I _ { 1 } } ( z _ { 1 } ) \Psi _ { 2 } ^ { I _ { 2 } } ( z _ { 2 } ) \cdots \Psi _ { n } ^ { I _ { n } } ( z _ { n } ) \rangle \, .
a _ { 1 } X _ { 1 } ^ { z _ { 1 } } + a _ { 2 } X _ { 2 } ^ { z _ { 2 } } + \cdots + a _ { N } X _ { N } ^ { z _ { N } } + \Delta z e ^ { - 1 } \overset { k _ { f } } { \underset { k _ { r } } { \rightleftharpoons } } b _ { 1 } X _ { 1 } ^ { z _ { 1 } } + b _ { 2 } X _ { 2 } ^ { z _ { 2 } } + \cdots + b _ { N } X _ { N } ^ { z _ { N } } ,
\begin{array} { r } { \hat { \Phi } _ { E } ( \eta ) = a \left( \sqrt { - \Gamma _ { u } } \cos \frac { \eta } { 2 } \pm \sqrt { \Gamma _ { l } } \sin \frac { \eta } { 2 } \right) e ^ { \mp \sqrt { - \Gamma _ { l } \Gamma _ { u } } \eta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { t } \operatorname* { m a x } _ { \theta _ { 0 } } \left( z _ { t } ( \theta _ { 0 } ) + \mathbb { E } [ m _ { t } ] \right) } & { { } = \frac { 1 } { t } \operatorname* { m a x } _ { \theta _ { 0 } } \log \left\| \prod _ { i } ^ { t } ( I - \lambda \hat { H } _ { i } ) ( \theta _ { t } - \theta _ { 0 } ) \right\| . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { Q D } _ { 1 , 1 } ( \alpha , \gamma ; \ell ) \left[ e ^ { - \mu A _ { 1 , 1 } } \right] = \frac { 2 } { \gamma } 2 ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } \overline { U } _ { 0 } ( \alpha ) \frac { 2 } { \Gamma ( \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha ) ) } \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \mu } { \sin ( \pi \gamma ^ { 2 } / 4 ) } } \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha ) } K _ { \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha ) } \left( \ell \sqrt { \frac { \mu } { \sin ( \pi \gamma ^ { 2 } / 4 ) } } \right) . } \end{array}