harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { e ^ { - 4 \pi \tau } } { 1 - e ^ { - 4 \pi \tau } } \sim - \frac 1 4 \frac { q ^ { 2 } } { p ^ { ( 2 ) 2 } } \; , \; \; \frac { e ^ { - 4 \pi l ^ { \prime } } } { 1 - e ^ { - 4 \pi l ^ { \prime } } } \sim - \frac 1 4 \frac { k ^ { 2 } } { p ^ { ( 1 ) 2 } } \; .
\begin{array} { r l } & { \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k + 1 } } \\ { = } & { \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k + 1 } - \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } + \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - ( { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } + \alpha _ { x } { \mathbf { Q } } _ { x } ^ { k } ) } \\ { = } & { \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k + 1 } - \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } + ( 1 - \alpha _ { x } r ) ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } ) } \\ & { + \alpha _ { x } r ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } - \frac { { \mathbf { Q } } _ { x } ^ { k } } { r } ) } \\ { = } & { { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { X } } ^ { k } - \Lambda ( { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { Y } } ^ { k } ) } \\ & { + ( 1 - \alpha _ { x } r ) ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } ) + \alpha _ { x } r ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } - \frac { { \mathbf { Q } } _ { x } ^ { k } } { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } } & { = \frac { ( 1 - \mathbf k ^ { T } ( \mathbf x _ { t ^ { * } } ) \mathbf { \tilde { K } } ^ { - 1 } \mathbf 1 _ { n } ) \mathbf { 1 } _ { n } ^ { T } { \mathbf { \tilde { K } } } ^ { - 1 } } { \left( \mathbf { 1 } _ { n } ^ { T } { \mathbf { \tilde { K } } } ^ { - 1 } \mathbf { 1 } _ { n } \right) } + \mathbf k ^ { T } ( \mathbf x _ { t ^ { * } } ) \mathbf { \tilde { K } } ^ { - 1 } , } \\ { \mathbf { w } _ { j } } & { = \left( \mathbf { y } _ { j } - \hat { \mu } _ { j } \mathbf { 1 } _ { n } \right) ^ { T } \mathbf { \tilde { K } } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { l o n g } ( t , m ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z _ { 1 } ^ { - 1 } p ( t , m = 0 ) } & { t < t _ { e n d } } \\ { Z _ { 2 } ^ { - 1 } p ( t , m ) } & { t \geq t _ { e n d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { 3 } = - \int _ { Q _ { T } } \gamma u \left( \partial _ { x } u \right) \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } - \partial _ { x } u \right) \chi \{ | u - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } \mapsto x , } \\ { p _ { x } } & { { } \mapsto p _ { x } + \frac { q L } { \beta _ { 0 } P _ { 0 } c } e _ { x } \left( x , y , \tau \right) , } \\ { y } & { { } \mapsto y , } \\ { p _ { y } } & { { } \mapsto p _ { y } + \frac { q L } { \beta _ { 0 } P _ { 0 } c } e _ { y } \left( x , y , \tau \right) , } \\ { \tau } & { { } \mapsto \tau , } \\ { p _ { \tau } } & { { } \mapsto p _ { \tau } + \frac { q L } { \beta _ { 0 } P _ { 0 } c } e _ { \tau } \left( x , y , \tau \right) , } \end{array}
{ \cal S } = \int _ { M _ { 4 } } d ^ { 4 } x \sqrt { g _ { 4 } } \left\{ - \frac { R _ { 4 } } { 2 \kappa _ { 4 } } + \frac { 1 } { 2 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } + \Lambda _ { 4 } \exp \left[ \sqrt { \frac { 2 \kappa _ { 4 } } { 3 } } \phi \right] \right\}
\mathrm { D e t } \left[ { \cal D } \right] = \left( p _ { 0 } ^ { 2 } - p _ { 1 } ^ { 2 } - p _ { 2 } ^ { 2 } - p _ { 3 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \frac { ( p _ { 0 } ^ { 2 } - p _ { 1 } ^ { 2 } - p _ { 2 } ^ { 2 } - p _ { 3 } ^ { 2 } + 3 m ^ { 2 } + 4 m p _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 1 6 m ^ { 4 } ( p _ { 0 } + m ) ^ { 4 } } \quad .
\centering W ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega ) = \left( \begin{array} { l l } { W _ { x x } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega ) } & { W _ { x y } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega ) } \\ { W _ { y x } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega ) } & { W _ { y y } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega ) } \end{array} \right) = [ W _ { i j } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega ) ] _ { ( i = x , y ; j = x , y ) } = [ < E _ { i } ( r _ { 1 } , \omega ) E _ { j } ( r _ { 2 } , \omega ) > ] _ { ( i = x , y ; j = y , x ) }
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } { \frac { \pi } { 4 } } { \frac { 2 \pi t e ^ { 2 \pi t } - e ^ { 2 \pi t } + 1 } { \pi t ^ { 2 } e ^ { 2 \pi t } + t e ^ { 2 \pi t } - t } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } { \frac { \pi ^ { 3 } t e ^ { 2 \pi t } } { 2 \pi \left( \pi t ^ { 2 } e ^ { 2 \pi t } + 2 t e ^ { 2 \pi t } \right) + e ^ { 2 \pi t } - 1 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } { \frac { \pi ^ { 2 } ( 2 \pi t + 1 ) } { 4 \pi ^ { 2 } t ^ { 2 } + 1 2 \pi t + 6 } } } \\ & { = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } } . } \end{array} }
\overline { { { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } U _ { i } U _ { j } } } = { \frac { 1 } { T } } \int _ { T - t / 2 } ^ { T + t / 2 } { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \left[ ( \overline { { U _ { i } } } + u _ { i } ^ { \prime } ) ( \overline { { U _ { j } } } + u _ { j } ^ { \prime } ) \right] d t = { \frac { \partial \overline { { U _ { i } } } \overline { { U _ { j } } } } { \partial x _ { j } } } + { \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { j } } }
D = \frac { L } { N \left( c _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } - c _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \right) } \sum _ { \vec { r } _ { i } \in \mathcal { D } _ { f } } \left( \nabla c \right) | _ { \vec { r } _ { i } } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( v ) e ^ { - s v } d v = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \theta ( | v - w | < \delta ) f ( v ) f ( w ) } \\ { \left[ e ^ { - s \eta ( v + w ) } + e ^ { - s ( 1 - \eta ) ( v + w ) } - e ^ { - s v } - e ^ { - s w } \right] d v d w d \eta } \end{array} } \end{array}
Z _ { i j } = Z _ { i { j ^ { \prime } } } \times \textrm { e } ^ { - \beta ( a _ { j ^ { \prime } } + \omega _ { { j ^ { \prime } } j } ) } + Z _ { i { j ^ { \prime \prime } } } \times \textrm { e } ^ { - \beta ( a _ { j ^ { \prime \prime } } + \omega _ { { j ^ { \prime \prime } } j } ) ) }
\int K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) \frac { \delta \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) } { { \delta n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime \prime } } ) } } d { \bf r ^ { \prime } } = \delta ( { \bf r - r ^ { \prime \prime } } ) .
\begin{array} { r l } & { J ^ { \pi } ( \rho ) - J ^ { \pi ^ { * } } ( \rho ) } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { s _ { 1 } \sim \rho } \mathbb { E } _ { \tau \sim \mathrm { P r } ^ { \pi ^ { * } } ( \tau | s _ { 1 } ) } \Big [ A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) + \sum _ { t = 2 } ^ { \infty } \gamma ^ { t - 1 } \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) \Big ] } \\ { = } & { \sum _ { s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \rho ( s _ { 1 } ) \pi _ { 1 } ^ { * } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) + \frac { \gamma } { 1 - \gamma } \sum _ { s _ { t } , \eta _ { t } } d _ { \rho ^ { \pi ^ { * } } } ^ { \pi ^ { * } } ( s _ { t } , \eta _ { t } ) \sum _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \pi _ { 2 } ^ { * } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) } \\ { \le } & { \sum _ { s _ { 1 } } \rho ( s _ { 1 } ) \operatorname* { m a x } _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) + \frac { \gamma } { 1 - \gamma } \sum _ { s _ { t } , \eta _ { t } } d _ { \rho ^ { \pi ^ { * } } } ^ { \pi ^ { * } } ( s _ { t } , \eta _ { t } ) \operatorname* { m a x } _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) } \\ { \le } & { \sum _ { s _ { 1 } } \rho ( s _ { 1 } ) \frac { 2 \kappa } { \mu ( s _ { 1 } ) | \mathcal { S } | } + \frac { \gamma } { 1 - \gamma } \sum _ { s _ { t } , \eta _ { t } } d _ { \rho ^ { \pi ^ { * } } } ^ { \pi ^ { * } } ( s _ { t } , \eta _ { t } ) \frac { 2 \kappa } { \gamma \pi _ { 1 } ^ { L B } | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | \mu ^ { P } ( s _ { t } , \eta _ { t } ) } } \\ { \le } & { 2 \kappa | | \frac { \rho } { \mu } | | _ { \infty } + \frac { 2 \kappa } { ( 1 - \gamma ) \pi _ { 1 } ^ { L B } } | | \frac { d _ { \rho ^ { \pi ^ { * } } } ^ { \pi ^ { * } } } { \mu ^ { P } } | | _ { \infty } } \end{array}
c _ { 0 } \mathrm { e } ^ { - b + ( j + \kappa ) c } = - \mathrm { e } ^ { - b + ( j + \kappa ) c } , \quad d _ { 0 } \mathrm { e } ^ { - b + ( j + \kappa ) c } = ( 2 j + \kappa ) \mathrm { e } ^ { - b + ( j + \kappa ) c } , \quad \mathrm { e } _ { 0 } ^ { n c } \mathrm { e } ^ { - b + ( j + \kappa ) c } = \mathrm { e } ^ { - b + ( j + n + \kappa ) c } .
\begin{array} { r l } & { \mathbf { f } _ { i } = \left[ \begin{array} { l } { \textrm { F C } ( \mathbf { f } _ { i - 1 } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 2 } } \\ { \mathbf { f } _ { i - 1 } } \end{array} \right] , \quad i = ( 1 , 2 , \dots , 5 ) } \\ & { \mathbf { f } _ { 0 } = \textrm { F C } ( \mathrm { I n p u t } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 2 } } \\ & { \mathrm { O u t p u t } = \textrm { F C } ( \mathbf { f } _ { 5 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \| \partial _ { t } u ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } = \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \| \sigma u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \leq \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \| \partial _ { t } u + \sigma u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \Lambda g ) _ { i j } = \lambda \sum _ { \ell = 0 } ^ { \ell _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \left[ S _ { \ell } ( g _ { i } , g _ { i } ) + S _ { \ell } ( g _ { j } , g _ { j } ) - 2 S _ { \ell } ( g _ { i } , g _ { j } ) \right] , } \end{array}
\alpha ( x _ { F } ) = ( 0 . 7 4 - 0 . 5 5 \cdot x _ { F } + 0 . 2 6 \cdot x _ { F } ^ { 2 } ) \cdot ( 0 . 9 8 + 0 . 2 1 \cdot p _ { T } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { \angles { \zeta _ { T } ^ { X | K } } { f _ { T } } = \frac { 1 } { K _ { X } } \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { X } } f _ { 0 } ( x _ { j } ^ { X } ( 0 ) ) + \frac { 1 } { K _ { X } } \sum _ { Y \in \mathcal { S } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { U _ { Y } } \mathcal { I } _ { Y } ( t - , u ) f _ { t - , u } ^ { X } Q _ { Y } ( d t , d u ) } \\ & { + \frac { 1 } { K _ { X } } \int _ { 0 } ^ { T } \! \left( \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { X } } \mathcal { A } f _ { z } ( \Psi ( x _ { j } ^ { X } ( 0 ) , z , 0 ) ) + \sum _ { Y \in \mathcal { S } } \int _ { 0 } ^ { z } \! \! \! \int _ { U _ { Y } } \! \mathcal { I } _ { Y } ( t - , u ) \angles { \Delta _ { X } ( u , z , t ) } { \mathcal { A } f _ { z } } Q _ { Y } ( d t , d u ) \right) \! \! d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\int _ { C } \frac { d \nu \: \nu } { i 4 \sqrt { 2 } \sin \pi \nu } \left[ J _ { \nu } ( z _ { 1 } ) J _ { - \nu } ( z _ { 2 } ) + J _ { - \nu } ( z _ { 1 } ) J _ { \nu } ( z _ { 2 } ) \right] \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
\begin{array} { r l r } { \mathbb J _ { 1 } } & { \approx } & { \left( \begin{array} { r r r } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) = - \, \mathbb O _ { 3 1 } , } \\ { \mathbb J _ { 2 } } & { \approx } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { r r r } { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) = - \, \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, ( \mathbb O _ { 1 2 } + \mathbb O _ { 2 3 } ) , ~ ~ } \\ { \mathbb J _ { 3 } } & { \approx } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { r r r } { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) = - \, \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, ( \mathbb O _ { 1 2 } - \mathbb O _ { 2 3 } ) . } \end{array}
i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \chi ( u , t ) = \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 M _ { n } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial u ^ { 2 } } + V _ { M } ( u ) - \intop _ { 0 } ^ { F \left( t \right) } \mu \left( u , F ^ { \prime } \right) \mathrm { d } F ^ { \prime } \right] \chi ( u , t ) ,
{ \begin{array} { r l } { { 4 } M ^ { \bot } : } & { = \left\{ x ^ { \prime } \in X ^ { \prime } : \left\langle m , x ^ { \prime } \right\rangle = 0 { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } m \in M \right\} } \\ & { = \left\{ x ^ { \prime } \in X ^ { \prime } : x ^ { \prime } ( M ) = \{ 0 \} \right\} \qquad { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } x ^ { \prime } ( M ) : = \left\{ x ^ { \prime } ( m ) : m \in M \right\} } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \theta ( \xi , t ) = } & { { } \phi \left( \frac { \xi _ { d } } { \varepsilon } \right) \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } , \cdots , \xi _ { d - 1 } ) + \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { d } } \mathbb { E } \left[ \left. 1 _ { \{ t < \zeta ( Y ^ { \eta } ) \} } \right| Y _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \kappa } ( 0 , \eta , t , \xi ) \theta ^ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta } \end{array}
D _ { j , l } = \frac { \hat { \mathcal { S ^ { \prime } } } _ { m \rightarrow j } ^ { n \rightarrow l } \left[ \Phi _ { m , n } \left( \hat { \mathcal { S } } _ { j \rightarrow m } ^ { l \rightarrow n } \rho _ { j , l } \right) \right] + \frac { 1 } { 2 } \theta _ { 0 } ^ { 2 } I _ { u } } { I _ { j , l } ( z = 0 ) } .
\begin{array} { r l r } { \rho h ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } { \bf r } ^ { \prime } \: \rho ^ { ( 2 ) } ( { \bf r } ^ { \prime } , { \bf r } ^ { \prime } - { \bf r } ) - \rho } \end{array}
( \Pi ( R ) f ) ( \theta ( x ) , \phi ( x ) ) = \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { m = \ell } \sum _ { m ^ { \prime } = - \ell } ^ { m ^ { \prime } = \ell } D _ { m m ^ { \prime } } ^ { ( \ell ) } ( R ) f _ { \ell m ^ { \prime } } Y _ { m } ^ { \ell } \left( \theta \left( R ^ { - 1 } x \right) , \phi \left( R ^ { - 1 } x \right) \right) , \qquad R \in \operatorname { S O } ( 3 ) , \quad x \in \mathbf { S } ^ { 2 } .
\operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { T } ^ { \theta / 2 } \left( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \right) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } \leq \log \rho .
p _ { \sigma _ { i } , \tau _ { j } } ^ { \prime } = \frac { \exp [ - \beta ( E _ { \sigma _ { i } } + E _ { \tau _ { j } } - \epsilon V q _ { \sigma _ { i } \tau _ { j } } ) ] } { \sum _ { \sigma } \sum _ { \tau } \exp [ - \beta ( E _ { \sigma } + E _ { \tau } - \epsilon V q _ { \sigma \tau } ) ] } .
\begin{array} { r } { \frac { \zeta ^ { \prime } ( \hat { \alpha } , x _ { \textrm { m i n } } ) } { \zeta ( \hat { \alpha } , x _ { \textrm { m i n } } ) } = - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ln x _ { i } } \end{array}
M ^ { ( 3 ) } = U ^ { ( 3 ) * } \mathrm { d i a g } ( m _ { 1 } \, , \, m _ { 2 } \mathrm { e } ^ { - 2 i \rho } \, , \, m _ { 3 } \mathrm { e } ^ { - 2 i \sigma } ) U ^ { ( 3 ) \dagger } \; .
\begin{array} { r } { c _ { \tiny \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \textbf x ) = c _ { 0 , \tiny \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \textbf x ) + \omega c _ { 1 , \tiny \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \textbf x , \mathbf y ) = c _ { 0 , \tiny \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \textbf x ) + \omega \left[ \boldsymbol \chi _ { \tiny \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf y ) \cdot \left. \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } \right| _ { t = 0 } + \lambda _ { \tiny \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf y ) \left. \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } \right| _ { t = 0 } + \overline { c } _ { 1 } ( \mathbf x , t = 0 ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { 1 } k _ { 1 } ^ { 3 } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \sum _ { \pm } \sum _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } \left( + \frac { \alpha } { 6 \pi \varepsilon } \right) \times } \\ & { \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 1 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 1 } } | \Delta V | \phi _ { n _ { 3 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 3 } } | r _ { i } | \phi _ { a } \rangle } { ( E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } \pm k _ { 1 } ) ( E _ { a } - E _ { n _ { 3 } } \pm k _ { 1 } ) } . } \end{array}
g _ { \mu \nu } { \frac { d ^ { 2 } x ^ { \nu } } { d \tau ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \left( \partial _ { \alpha } g _ { \mu \nu } + \partial _ { \nu } g _ { \mu \alpha } - \partial _ { \mu } g _ { \alpha \nu } \right) = 0
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \| ( { \Psi } y ) ( t ) - ( \Psi y ^ { * } ) ( t ) \| ^ { 2 } \leq \left( 3 { \cal M } _ { 1 } ^ { 2 } L _ { { \cal K } _ { i } } \varpi ^ { 2 } + 3 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } \varpi ^ { 2 } \left\{ \frac { N _ { \cal F } t _ { i + 1 } ^ { 2 q } } { q ^ { 2 } } + \frac { N _ { \cal G } t _ { i + 1 } ^ { 2 q - 1 } } { 2 q - 1 } \right\} \right) \| y - y ^ { * } \| _ { { \cal D } _ { T } ^ { 0 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } h } & { = \nabla \cdot \left[ \frac { h ^ { 3 } \rho _ { \mathrm { l i q } } } { 3 \eta } \nabla \mu _ { \mathrm { l i q } } \right] - J _ { \mathrm { e v } } - J _ { \mathrm { i m } } } \\ { \partial _ { t } \alpha } & { = \nabla \cdot \left[ \frac { D _ { \mathrm { b r u s h } } } { k _ { B } T } \, ( \alpha - 1 ) \, \nabla \mu _ { \mathrm { b r u s h } } \right] + \frac { 1 } { H _ { \mathrm { d r y } } } ( J _ { \mathrm { i m } } - J _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } ) } \\ { \partial _ { t } [ ( d - h ) \phi ] } & { = \nabla \cdot \left[ D _ { \mathrm { v a p } } ( d - h ) \nabla \phi \right] + \frac { \rho _ { \mathrm { l i q } } k _ { B } T } { p _ { \mathrm { s a t } } } ( J _ { \mathrm { e v } } + J _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { j } _ { x } ( p ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \hat { j } _ { + } ( p ) + \hat { j } _ { - } ( p ) \right] , } \\ { \hat { j } _ { y } ( p ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 i } \left[ \hat { j } _ { + } ( p ) - \hat { j } _ { - } ( p ) \right] , } \\ { \hat { j } _ { z } ( p ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( p ) - \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) \right] , } \end{array}
\tilde { \Phi } ^ { T } ( \hat { z } , \rho , Q ) = 2 { \frac { N _ { c } \alpha _ { e m } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } e _ { f } ^ { 2 } ( \hat { z } ^ { 2 } + ( 1 - \hat { z } ) ^ { 2 } ) \hat { Q } ^ { 2 } K _ { 1 } ^ { 2 } ( \hat { Q } \rho ) \, \, ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { n } \sigma ( t ) ^ { \left( 1 - \frac { 1 } { n } \right) \frac { p } { p - 1 } } } & { = \gamma _ { n } \mu ( t + u _ { m } ) ^ { \left( 1 - \frac { 1 } { n } \right) \frac { p } { p - 1 } } } \\ & { = \left( \int _ { 0 } ^ { \mu ( t + u _ { m } ) } f ^ { \ast } ( s ) \, d s \right) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left( - \mu ^ { \prime } ( t + u _ { m } ) + \frac { 1 } { \beta ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } } \int _ { \partial U _ { t + u _ { m } } ^ { \mathrm { e x t } } } \frac { 1 } { u } \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( x ) \right) } \\ & { = \left( \int _ { 0 } ^ { \sigma ( t ) } f ^ { \ast } ( s ) \, d s \right) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left( - \sigma ^ { \prime } ( t ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R e \left[ \frac { \partial ^ { \alpha } \Omega } { \partial t ^ { \alpha } } + { \bf v } \cdot \nabla \Omega \right] = \nu \nabla ^ { 2 } \Omega + ( 1 - \nu ) \nabla \times \nabla \cdot ( { \bf A } + { \bf F } ) , } \\ & { \nabla ^ { 2 } \Psi = - \Omega , } \\ & { \frac { \partial ^ { \alpha } { \bf A } } { \partial t ^ { \alpha } } + { \bf v } \cdot \nabla { \bf A } - ( \nabla { \bf v } ) ^ { T } { \bf A } - { \bf A } \nabla { \bf v } = \frac { { \bf D } - { \bf A } } { W e } , } \end{array}
{ \cal Z } _ { c } \simeq \exp \left[ - \frac { g ^ { 2 } } { 8 } Q ^ { ( c ) i } Q ^ { ( c ) j } \int d ^ { 4 } x \int d ^ { 4 } y \Sigma _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { e } } ( x ) \Sigma _ { \lambda \rho } ^ { \mathrm { e } } ( y ) \left< \left< f _ { \mu \nu } ^ { i } ( x ) f _ { \lambda \rho } ^ { j } ( y ) \right> \right> _ { { \bf a } _ { \mu } , { \bf j } _ { \mu } ^ { \mathrm { m } } } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { r } } & { { } = \left[ \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { 2 } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \ldots , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r - 1 } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \omega } ( z ) } & { = \big ( \Dot { F } _ { t } * U _ { \omega } ^ { 0 } \big ) ( x ) = \langle \Dot { F } _ { t } , \tau _ { - x } \widecheck { U } _ { \omega } ^ { 0 } \rangle = \Big \langle \sum _ { | k | \leq 1 } \partial ^ { k } \mu _ { k } ^ { t } , \tau _ { - x } \widecheck { U } _ { \omega } ^ { 0 } \Big \rangle } \\ & { = \sum _ { | k | \leq 1 } \langle \mu _ { k } ^ { t } , ( - 1 ) ^ { | k | } \partial ^ { k } \tau _ { - x } \widecheck { U } _ { \omega } ^ { 0 } \rangle = \sum _ { | k | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( - 1 ) ^ { | k | } \partial ^ { k } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x - y ) \mu _ { k } ^ { t } ( d y ) } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { c t ^ { \prime } } \\ { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { \gamma } & { - \beta \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { - \beta \gamma } & { \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { c t } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { \gamma c t - \gamma \beta x } \\ { \gamma x - \beta \gamma c t } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) } .