harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } { \left\{ \sigma _ { x x } \right\} } } & { = } & { - \frac { e ^ { 2 } } { \hbar \Omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d k } { v _ { F } ^ { 2 } k ^ { 3 } } \Bigg \{ - \delta ( \Omega ) \frac { ( v _ { F } k \Omega ) ^ { 2 } } { 4 } \left[ f ^ { \mathrm { e q } } ( g ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( g - \hbar \Omega ) \right] } \\ & { + } & { \delta ( \Omega ) \frac { 1 } { 4 } \left[ \left( \Omega - v _ { F } k \right) ^ { 2 } ( v _ { F } k ) ^ { 2 } - \frac { ( v _ { F } k \Omega ) ^ { 2 } } { 4 } \right] \left[ f ^ { \mathrm { e q } } ( g + \hbar v _ { F } k ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( g + \hbar v _ { F } k - \hbar \Omega ) \right] } \\ & { + } & { \delta ( \Omega ) \frac { 1 } { 4 } \left[ \left( \Omega + v _ { F } k \right) ^ { 2 } ( v _ { F } k ) ^ { 2 } - \frac { ( v _ { F } k \Omega ) ^ { 2 } } { 4 } \right] \left[ f ^ { \mathrm { e q } } ( g - \hbar v _ { F } k ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( g - \hbar v _ { F } k - \hbar \Omega ) \right] } \\ & { + } & { \left[ \delta ( \Omega - v _ { F } k ) + \delta ( \Omega + v _ { F } k ) \right] \frac { ( v _ { F } k \Omega ) ^ { 2 } } { 8 } \left[ f ^ { \mathrm { e q } } ( g + \hbar \Omega ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( g - \hbar \Omega ) \right] } \\ & { + } & { \delta ( \Omega + 2 v _ { F } k ) \frac { 1 } { 4 } \left[ \left( \Omega + v _ { F } k \right) ^ { 2 } ( v _ { F } k ) ^ { 2 } - \frac { ( v _ { F } k \Omega ) ^ { 2 } } { 4 } \right] \left[ f ^ { \mathrm { e q } } ( g - \hbar v _ { F } k ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( g - \hbar v _ { F } k - \hbar \Omega ) \right] } \\ & { + } & { \delta ( \Omega - 2 v _ { F } k ) \frac { 1 } { 4 } \left[ \left( \Omega - v _ { F } k \right) ^ { 2 } ( v _ { F } k ) ^ { 2 } - \frac { ( v _ { F } k \Omega ) ^ { 2 } } { 4 } \right] \left[ f ^ { \mathrm { e q } } ( g + \hbar v _ { F } k ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( g + \hbar v _ { F } k - \hbar \Omega ) \right] \Bigg \} . } \end{array}
\mathbf { y } ^ { \prime } ( t ) = \mathbf { G } ( \mathbf { y } ) + \mathcal { N } ( \mathbf { x } ( t ) , \mathbf { y } ( t ) ) , \quad \mathbf { G } ( \mathbf { y } ) : = \mathcal { S } \{ \mathcal { P } _ { c } \{ \left. \mathbf { F } ( \mathbf { x } ( t ) ) \right| _ { \mathbf { x } ( t ) \in \mathcal { U } ( \mathbf { y } ( t ) ) } \} \} , \quad \mathbf { y } ( t _ { 0 } ) = \mathbf { x } ( t _ { 0 } ) ,
\begin{array} { l } { \left[ \left[ \left[ Y ^ { \left[ 1 \right] } ( a ) \times Y ^ { \left[ 3 \right] } ( b ) \right] ^ { \left[ 2 \right] } \times Y ^ { \left[ 2 \right] } ( e ) \right] ^ { \left[ 1 \right] } \times \left[ Y ^ { \left[ 1 \right] } ( d ) \times Y ^ { \left[ 1 \right] } ( e ) \right] ^ { \left[ 1 \right] } \right] ^ { \left[ 0 \right] } = 3 \sqrt { 3 } / ( 6 4 \pi ^ { 5 / 2 } ) } \\ { \{ 5 ( a \cdot b ) ( b \cdot c ) ( b \cdot d ) ( c \cdot e ) - 5 ( a \cdot b ) ( b \cdot c ) ( b \cdot e ) ( c \cdot d ) } \\ { - ( a \cdot c ) ( b \cdot d ) ( c \cdot e ) + ( a \cdot c ) ( b \cdot e ) ( c \cdot d ) - ( a \cdot d ) ( b \cdot c ) ( c \cdot e ) + ( a \cdot e ) ( b \cdot c ) ( c \cdot d ) \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { D } _ { t t t t } } & { = 2 \alpha ^ { 2 } } \\ { \tilde { D } _ { t t t u } } & { = \tilde { D } _ { t t u t } = \tilde { D } _ { t u t t } = \tilde { D } _ { u t t t } = 2 \alpha \gamma } \\ { \tilde { D } _ { t t u u } } & { = \tilde { D } _ { u u t t } = \tilde { D } _ { u t t u } = \tilde { D } _ { t u u t } = 2 \gamma ^ { 2 } } \\ { \tilde { D } _ { t u t u } } & { = \tilde { D } _ { u t u t } = 2 \alpha \beta } \\ { \tilde { D } _ { t u u u } } & { = \tilde { D } _ { u t u u } = \tilde { D } _ { u u t u } = \tilde { D } _ { u u u t } = 2 \beta \gamma } \\ { \tilde { D } _ { u u u u } } & { = 2 \beta ^ { 2 } } \end{array}
\dot { S } _ { 1 2 } ( \theta _ { 1 2 } ) \, \dot { S } _ { 1 3 } ( \theta _ { 1 3 } ) \, \dot { S } _ { 2 3 } ( \theta _ { 2 3 } ) = \dot { S } _ { 2 3 } ( \theta _ { 2 3 } ) \, \dot { S } _ { 1 3 } ( \theta _ { 1 3 } ) \, \dot { S }
\begin{array} { r l } { I ( t ) } & { \lesssim \left( \frac { S _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { p } { 4 } } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } t \right) ^ { \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { 2 } } } + Z _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { t } { 2 C } } + \frac { S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } t \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \right) \left( \left( W _ { 0 } + Z _ { 0 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { t } { 4 C } } + \frac { S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } t \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \right) } \\ & { \lesssim \left( \frac { 1 } { t ^ { \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { 2 } } } + Z _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { t } { 2 C } } + \frac { S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 4 } } } { t ^ { \frac { 1 } { p } } } \right) \left( \left( W _ { 0 } + Z _ { 0 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { t } { 4 C } } + \frac { S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 4 } } } { t ^ { \frac { 1 } { p } } } \right) } \\ & { \lesssim \frac { ( W _ { 0 } + Z _ { 0 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 4 } } } { t ^ { \frac { 2 } { p } - \frac { 1 } { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( \ensuremath { \boldsymbol { x } } , \ensuremath { \boldsymbol { p } } , t ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { D } ( \ensuremath { \boldsymbol { x } } - \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ( t ) ) \, \delta _ { D } ( \ensuremath { \boldsymbol { p } } - \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ( t ) ) \; . } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } x } \left( \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } - k _ { 0 } \kappa \chi ( x ) } { \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ( x ) } \right) \frac { \mathrm { ~ d ~ } H _ { z } } { \mathrm { ~ d ~ } x } - k _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \kappa } { k _ { 0 } } \chi ( x ) \right) H _ { z } = 0 .
\Gamma _ { \mathrm { { e f f } } } \left( H ^ { \circ } \rightarrow Z Z \right) = \left[ 1 + \frac 1 2 \left( \frac v \Lambda \right) ^ { 2 } \left( \alpha _ { \phi } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { \phi } ^ { ( 3 ) } \right) \right] ^ { 2 } \Gamma _ { S M } \left( H ^ { \circ } \rightarrow Z Z \right) ,
\sigma _ { i } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { i - 1 } , x _ { i } , x _ { i + 1 } , \ldots , x _ { n } \right) = \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { i - 1 } , x _ { i + 1 } , x _ { i + 1 } ^ { - 1 } x _ { i } x _ { i + 1 } , x _ { i + 2 } , \ldots , x _ { n } \right) .
\begin{array} { r l r } { D _ { c } \pi ^ { \mu } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { \mu } ( \pi _ { \alpha } \pi ^ { \alpha } ) + \frac { e } { \sigma _ { r e l } } F ^ { \mu \alpha } \pi _ { \alpha } } \\ { D _ { s } \pi ^ { \mu } } & { = } & { \sigma _ { r e l } \left( \nabla ^ { \mu } \nabla _ { \alpha } \pi ^ { \alpha } + \frac { \nabla _ { \alpha } n } { n } \nabla ^ { \mu } \pi ^ { \alpha } \right) } \\ & { + } & { e \nabla _ { \alpha } F ^ { \alpha \mu } + \frac { e } { \sigma _ { r e l } } F ^ { \mu \alpha } u _ { \alpha } } \end{array}
\mathbf { T } _ { \mathcal { P } } = \left( - R _ { 1 } ( \theta _ { 1 } ) ^ { 2 } + R _ { 1 } ( \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + 2 R _ { 2 } \theta _ { 1 } \theta _ { 2 } \right) \otimes V \otimes X ^ { - 2 } , \quad \mathbf { C } _ { \mathcal { P } } = 3 \left( ( \theta _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \otimes V \otimes X ^ { - 1 }
\phi _ { n } ^ { h } ( x ) = f _ { q q } ^ { h } ( x _ { + } , n ) f _ { q } ^ { h } ( x _ { - } , n ) + f _ { q } ^ { h } ( x _ { + } , n ) f _ { q q } ^ { h } ( x _ { - } , n ) + 2 ( n - 1 ) f _ { s } ^ { h } ( x _ { + } , n ) f _ { s } ^ { h } ( x _ { - } , n ) \ \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { G } _ { \mu \nu } = \Lambda \mathbb { g } _ { \mu \nu } + ( \tilde { \mathbb { R } } _ { \mu \nu } } & { - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { g } _ { \mu \nu } \tilde { \mathbb { R } } ) + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { g } _ { \mu \nu } \tilde { \mathbb { R } } , } \\ { \mathrm { o r } ~ ~ \tilde { \mathbb { G } } _ { \mu \nu } + \Lambda \mathbb { g } _ { \mu \nu } } & { = \mathbb { G } _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { g } _ { \mu \nu } \tilde { \mathbb { R } } , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) } .
\overline { { { \Bigl \vert T _ { a } ( 0 ) \Bigr \vert ^ { 2 } } } } = { \frac { 4 ( J + 1 ) } { J } } \Bigl \vert G _ { a } ^ { \mathrm { p } } \langle S _ { \mathrm { p } } \rangle + G _ { a } ^ { \mathrm { n } } \langle S _ { \mathrm { n } } \rangle \Bigr \vert ^ { 2 } ,
\mathrm { { R e } } = 1 / \nu = \{ 1 \times 1 0 ^ { 3 } , 2 \times 1 0 ^ { 3 } , 5 \times 1 0 ^ { 3 } , 1 \times 1 0 ^ { 4 } , 2 \times 1 0 ^ { 4 } , 5 \times 1 0 ^ { 4 } , 1 \times 1 0 ^ { 5 } \}
\begin{array} { r l } { D ( r , 1 ) = } & { \, g ( r + 2 ) + g ( 3 ) - 2 g ( r + 3 ) + \frac { 2 \sqrt { 3 } \sqrt { r + 2 } } { r + 5 } } \\ { > } & { \, \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 5 } - \frac { 2 \sqrt { 2 } \sqrt { r + 3 } } { r + 5 } + \frac { 2 \sqrt { 3 } \sqrt { r + 2 } } { r + 5 } } \\ { > } & { \, \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 5 } \approx 0 . 9 7 9 8 } \end{array}
\begin{array} { r l } { T = } & { { } \frac { 1 } { 2 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) l _ { 1 } ^ { 2 } \dot { \alpha } _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { V = } & { { } - ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) g l _ { 1 } \cos \alpha _ { 1 } - m _ { 2 } g l _ { 2 } \cos \alpha _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c x _ { 1 } ^ { m } ( x _ { 2 } x _ { 3 } ( x _ { 4 } \cdots x _ { d } ) ^ { 3 } r ) ^ { p ^ { e } } ( x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { \ell ( p ^ { e } + 3 ) - p ^ { e } } } & { \in } \\ { ( J _ { 1 } ^ { ( m ( \lfloor \frac { p ^ { e } } { m } \rfloor - 1 ) + 1 ) } , } & { x _ { 2 } ^ { 2 ( \ell ( p ^ { e } + 3 ) ) } , x _ { 3 } ^ { 2 ( \ell ( p ^ { e } + 3 ) ) } , x _ { 4 } ^ { 4 p ^ { e } } , \ldots , x _ { d } ^ { 4 p ^ { e } } ) . } \end{array}
i \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 3 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 4 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 5 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } & { \ D \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } H \big ( s ( y ) , D V _ { t } ( s ) ( { y } ) \big ) d y ( x ) } \\ { = } & { \ \sum _ { \sigma \in \mathbb { S } } \frac { \sigma } { 2 } \, h \big ( - \sigma \, v ( x , s ) \big ) + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \sum _ { \sigma \in \mathbb { S } } ( - \sigma ) \partial _ { p } h \big ( - \sigma \, D V _ { t } ( s ) ( y ) \big ) \frac { 1 + \sigma \, s ( y ) } { 2 } D ^ { 2 } V _ { t } ( s ) ( y , x ) d y } \\ { = } & { \ \sum _ { \sigma \in \mathbb { S } } \frac { \sigma } { 2 } \, h \big ( - \sigma \, D V _ { t } ( s ) ( x ) \big ) + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \sum _ { \sigma \in \mathbb { S } } ( - \sigma ) A _ { t } ( \sigma , y , s ) \frac { 1 + \sigma \, s ( y ) } { 2 } D v ( x , s ) ( y ) d y . } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \| { \boldsymbol z } \| _ { 2 } \le \sigma } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { i } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } + { \boldsymbol z } ~ \rangle \ge \operatorname* { m a x } _ { { \boldsymbol p } \in \mathcal { P } / { \boldsymbol p } _ { + } , \| { \boldsymbol z } \| _ { 2 } \le \sigma } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { i } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } + { \boldsymbol z } ~ \rangle \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \quad t .
\frac { { \Omega } _ { i } } { \omega _ { i } } = \frac { P _ { \mathrm { ~ \tiny ~ g ~ a ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } \times \epsilon _ { \gamma , \mathrm { ~ \tiny ~ g ~ a ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } \times \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ t ~ r ~ a ~ c ~ k ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } } { P _ { \mathrm { ~ \tiny ~ g ~ a ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } \times \epsilon _ { \gamma , \mathrm { ~ \tiny ~ g ~ a ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } \times \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ t ~ r ~ a ~ c ~ k ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } } ,
\begin{array} { r l } & { \| e ^ { i s \Delta } v ( t ) \| _ { L ^ { \infty } } \lesssim \| e ^ { i s \Delta } v ( t ) \| _ { H ^ { 2 } } = \| v ( t ) \| _ { H ^ { 2 } } \leq M _ { 2 } , } \\ & { \| P _ { N } v ( t ) \| _ { L ^ { \infty } } \lesssim \| P _ { N } v ( t ) \| _ { H ^ { 2 } } \leq \| v ( t ) \| _ { H ^ { 2 } } \leq M _ { 2 } , \quad 0 \leq s , t \leq \tau . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( P _ { T - s } f ( \eta _ { T - s } ) ) ^ { 2 } = M ^ { f } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { \Delta \Subset S } \int _ { \Omega _ { \Delta } } \hat { c } _ { \Delta } ( \eta ( T - s ) , \xi _ { \Delta } ) \left[ f ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ( T - s ) ) - f ( \eta ( T - s ) ) \right] ^ { 2 } \lambda _ { \Delta } ( d \xi _ { \Delta } ) d s . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d \mathbf { x } ^ { 2 } - d \mathbf { X } ^ { 2 } } & { = d \mathbf { X } \cdot \mathbf { C } \cdot d \mathbf { X } - d \mathbf { X } \cdot d \mathbf { X } } \\ & { = d \mathbf { X } \cdot ( \mathbf { C } - \mathbf { I } ) \cdot d \mathbf { X } } \\ & { = d \mathbf { X } \cdot 2 \mathbf { E } \cdot d \mathbf { X } } \end{array} }
\mathcal { G } _ { i , 1 } = [ \rho _ { i } ] \xi _ { 1 } , \quad \mathcal { G } _ { i , k + 1 } = \frac { \partial \rho _ { w i } } { \partial y _ { k } } \xi _ { 2 } + \frac { \partial \rho _ { o i } } { \partial y _ { k } } \xi _ { 3 } - \lambda \frac { \partial \rho _ { r i } } { \partial y _ { k } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { G } _ { i , 4 } = F _ { i } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { r } \mathcal { U } ( \tau ) \hat { r } } & { = } & { \hat { r } \left[ e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf d } ( \tau - \tau _ { c } ) } + e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau } \right] \hat { r } } \\ & { = } & { e ^ { - \hat { r } \hat { \kappa } _ { \bf d } \hat { r } ( \tau - \tau _ { c } ) } + e ^ { - \hat { r } \hat { \kappa } _ { \bf u } \hat { r } \tau } } \\ & { = } & { e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf u } ( \tau - \tau _ { c } ) } + e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau } } \\ & { = } & { \mathcal { U } ( \tau _ { c } - \tau ) . } \end{array}
\log ( 1 + z ) = { \cfrac { z } { 1 - { \cfrac { \frac { - z } { 2 } } { 1 + { \frac { - z } { 2 } } - { \cfrac { \frac { - 2 z } { 3 } } { 1 + { \frac { - 2 z } { 3 } } - { \cfrac { \frac { - 3 z } { 4 } } { 1 + { \frac { - 3 z } { 4 } } - \ddots } } } } } } } }
{ \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( \rho , \theta , \varphi ) } } = { \left| \begin{array} { l l l } { \cos \theta \sin \varphi } & { - \rho \sin \theta \sin \varphi } & { \rho \cos \theta \cos \varphi } \\ { \sin \theta \sin \varphi } & { \rho \cos \theta \sin \varphi } & { \rho \sin \theta \cos \varphi } \\ { \cos \varphi } & { 0 } & { - \rho \sin \varphi } \end{array} \right| } = \rho ^ { 2 } \sin \varphi
\begin{array} { r l r } { \delta f _ { m } ^ { L } } & { = } & { - \frac { a _ { m } r ^ { 2 } } { 2 1 B _ { 0 } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \left[ \underbrace { 8 e ^ { - i \omega _ { m } t + \gamma _ { m } t } } _ { \mathrm { U L F ~ m o d u l a t i o n ~ w i t h ~ g r o w t h / d e c a y } } - \underbrace { { 8 } e ^ { - i m \Omega _ { d } t } } _ { \mathrm { B a l l i s t i c ~ m o t i o n } } + \underbrace { 1 5 m \Omega _ { d } e ^ { - i m \Omega _ { d } t } \left( \frac { e ^ { i m \Omega _ { d } t - i \omega _ { m } t + \gamma _ { m } t } - 1 } { \omega _ { m } - m \Omega _ { d } + i \gamma _ { m } } \right) } _ { \mathrm { W a v e - p a r t i c l e ~ d r i f t - r e s o n a n c e } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q \big ( \{ \Delta \theta _ { A } ^ { k } \} _ { k > 1 } \big ) = } & { ~ \frac { 1 } { 4 } \sum _ { k , l } \big ( q _ { k } ^ { 2 } + 2 q _ { k } q _ { l } \big ) \frac { \mathcal { A } _ { A } ^ { k , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { l , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { 1 - k - l , * } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { 1 , * } } \big ( \Delta \theta _ { A } ^ { k } + \Delta \theta _ { A } ^ { l } + \Delta \theta _ { A } ^ { 1 - k - l } \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { V = ( | E _ { 1 } ^ { 1 } \rangle , \dots , | E _ { 1 } ^ { d _ { 1 } } \rangle , | E _ { 2 } ^ { 1 } \rangle , \dots , | E _ { 2 } ^ { d _ { 2 } } \rangle , \dots ) . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l l } { k _ { 0 , 1 } } & { k _ { 1 , 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { k _ { 0 , 2 } } & { k _ { 1 , 2 } } & { k _ { 2 , 2 } } & { 0 } & { \cdots } \\ { k _ { 0 , 3 } } & { k _ { 1 , 3 } } & { k _ { 2 , 3 } } & { k _ { 3 , 3 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { k _ { 0 , 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { k _ { 0 , 1 } } & { k _ { 1 , 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { k _ { 0 , 2 } } & { k _ { 1 , 2 } } & { k _ { 2 , 2 } } & { 0 } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l l l l l } { c _ { 1 } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { { \mathrm { a b } } _ { 2 } } & { c _ { 2 } } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { { \mathrm { a b } } _ { 3 } } & { c _ { 3 } } & { 1 } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } [ X ^ { 2 } ] } & { = \sum _ { S = 0 } ^ { n } d ^ { n } \binom n S ( d - 1 ) ^ { n - S } \left( ( 1 - p ) \frac { \binom S k } { \binom n k } + ( 1 - p ) ^ { 2 } ( 1 - \frac { \binom S k } { \binom n k } ) \right) ^ { r n \ln d } } \\ & { = \mathbf { E } [ X ] ^ { 2 } \left( 1 + O ( \frac 1 n ) \right) \sum _ { S = 0 } ^ { n } F ( S ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { E } _ { k , ( 2 ) } ^ { \mathrm { o p t } } = \mathbf { I } _ { N } - \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } ^ { H } \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } ^ { H } \right\} \left( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } \{ \mathbf { G } _ { k l } \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { G } _ { k l } ^ { H } \} } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { S } _ { k } \right) ^ { - 1 } \mathbb { E } \{ \mathbf { G } _ { k k } \} \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } . } \end{array}
\eta _ { A B } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { r r } { { \epsilon _ { i A B } } } & { { A , B = 1 , 2 , 3 } } \\ { { - \delta _ { B i } } } & { { A = 4 } } \\ { { \delta _ { A i } } } & { { B = 4 } } \end{array} \right. \qquad { \bar { \eta } } _ { A B } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { r r } { { \epsilon _ { i A B } } } & { { A , B = 1 , 2 , 3 } } \\ { { \delta _ { B i } } } & { { A = 4 } } \\ { { - \delta _ { A i } } } & { { B = 4 } } \end{array} \right. \ .
H = - \frac { 1 } { 2 } \bigl ( \boldsymbol { \nabla } _ { 1 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \nabla } _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) + \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { 2 } \bigl ( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) + r _ { 1 2 } ^ { - 1 }
d \mu _ { 0 } ( \phi ) d \nu _ { T } ( \hat { h } ) d \nu _ { S } ( H ) \operatorname * { d e t } ( - \triangle _ { 2 T } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \operatorname * { d e t } ( - \triangle _ { 2 S } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \operatorname * { d e t } D _ { F P }
\begin{array} { r } { ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s _ { 0 } , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { H } } ^ { s _ { 1 } , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) ) _ { \theta , q } = ( \dot { \mathrm { B } } _ { p , q _ { 0 } } ^ { s _ { 0 } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) ) _ { \theta , q } = \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y _ { \mathrm { \footnotesize { f d } } } [ k ] } & { = } & { \sum _ { k ^ { \prime } \in { \mathbb Z } } x _ { \mathrm { \footnotesize { f d } } } [ k ^ { \prime } ] \, h _ { _ { \mathrm { \footnotesize { f d } } } } [ k - k ^ { \prime } \, ; \, k ^ { \prime } ] \, + \, n _ { \mathrm { \footnotesize { f d } } } [ k ] } \end{array}
w _ { c s } ^ { t h } = \tan ^ { - 1 } \left( \sqrt { \frac { \tilde { m } _ { c } \tilde { m } _ { s } } { \tilde { m } _ { u } \tilde { m } _ { d } } } \left[ \sqrt { ( 1 - \delta _ { u } ^ { * } ) ( 1 - \delta _ { d } ^ { * } ) } + \sqrt { \delta _ { u } ^ { * } \delta _ { d } ^ { * } \frac { ( 1 - \tilde { m } _ { u } - \delta _ { u } ^ { * } ) ( 1 - \tilde { m } _ { d } - \delta _ { d } ^ { * } ) } { ( 1 + \tilde { m } _ { c } - \delta _ { u } ^ { * } ) ( 1 + \tilde { m } _ { s } - \delta _ { d } ^ { * } ) } } \right] \right) .
\sigma _ { 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } \quad \quad \sigma _ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right] } \quad \quad \sigma _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] }
E = R e ( \frac { m _ { 0 } c ^ { 2 } } { \sqrt [ [object Object] ] ] { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } ) \; ; \; \; \; 0 = I m ( \frac { m _ { 0 } c ^ { 2 } } { \sqrt [ [object Object] ] ] { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } ) .
\boldsymbol { \beta } _ { f r e e } ^ { 0 G } ( t _ { d } ) / \boldsymbol { \beta } _ { f r e e } ^ { G G } ( t _ { d } ) = \sqrt { \frac { e } { 2 } } \left( 1 / \alpha - 4 \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \right) / ( 2 e ) > 1
\mathcal { E } _ { \mathbf { X } } ( f ) = \sum _ { \substack { i _ { 1 } , \ldots , i _ { N } \, j _ { 1 } , \ldots , j _ { N } } } f \! \left( x _ { i _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } \otimes x ^ { ( 1 ) , j _ { 1 } } \otimes \ldots \otimes x _ { i _ { N } } ^ { ( N ) } \otimes x ^ { ( N ) , j _ { N } } \right) \, { _ { X _ { 1 } } \phi _ { j _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } } } \otimes \ldots \otimes { _ { X _ { N } } \phi _ { j _ { N } } ^ { i _ { N } } }
{ \begin{array} { r l } { \nabla \cdot { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { u } , p ) } & { = \nabla \cdot \left( - p \mathbf { I } + 2 \mu { \boldsymbol { \varepsilon } } ( \mathbf { u } ) \right) } \\ & { = - \nabla p + 2 \mu \nabla \cdot { \boldsymbol { \varepsilon } } ( \mathbf { u } ) } \\ & { = - \nabla p + 2 \mu \nabla \cdot \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \left( \nabla \mathbf { u } \right) + \left( \nabla \mathbf { u } \right) ^ { \mathrm { T } } \right) \right] } \\ & { = - \nabla p + \mu \left( \Delta \mathbf { u } + \nabla \cdot \left( \nabla \mathbf { u } \right) ^ { \mathrm { T } } \right) } \\ & { = - \nabla p + \mu { \bigl ( } \Delta \mathbf { u } + \nabla \underbrace { ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) } _ { = 0 } { \bigr ) } = - \nabla p + \mu \, \Delta \mathbf { u } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) , \mathbf { v } ( \mathbf { x } , t ) , \mathbf { m } ( \mathbf { x } ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { r } ( \mathbf { P u } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { d } ^ { * } ( t ) ) ^ { 2 } d t } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } \left\langle \mathbf { v } ( \mathbf { x } , t ) , \mathbf { C ( m ) } \partial _ { t } \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { D u } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { b } ^ { * } ( t ) \right\rangle d t , } \end{array}
\int { \frac { \tan ^ { n } a x \, d x } { \sin ^ { 2 } a x } } = { \frac { 1 } { a ( n - 1 ) } } \tan ^ { n - 1 } ( a x ) + C \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n \neq 1 { \mathrm { ) } }
\cos \theta = \frac { \dot { \chi } } { \sqrt { \dot { \chi } ^ { 2 } + \dot { \varphi } ^ { 2 } \, e ^ { - \alpha \chi } } } \, , \, \, \, \sin \theta = \frac { \dot { \varphi } \, e ^ { - \frac { \alpha \chi } { 2 } } } { \sqrt { \dot { \chi } ^ { 2 } + \dot { \varphi } ^ { 2 } \, e ^ { - \alpha \chi } } } \, .