harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\overline { { \frac { \partial u } { \partial y } } } = \frac { \partial u / \partial y } { \partial u / \partial y _ { \mathrm { R M S } } } \, , \; \; \overline { { \frac { \partial w } { \partial y } } } = \frac { \partial w / \partial y } { \partial w / \partial y _ { \mathrm { R M S } } } \, , \; \; \overline { { p } } = \frac { p } { p _ { \mathrm { R M S } } } \, .
\begin{array} { r } { \ddot { \theta } = - \frac { m _ { 3 } ^ { 2 } } { I _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 3 } \theta } , } \\ { \dot { \varphi } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 1 } } \frac { 1 - \cos \theta } { \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ { \dot { \psi } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 3 } } - \frac { m _ { 3 } } { I _ { 1 } } \frac { ( 1 - \cos \theta ) \cos \theta } { \sin ^ { 2 } \theta } . } \end{array}
U = \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \bigg [ i \sum _ { i } \mathbf { r } _ { i } \cdot \frac { 1 } { c } \mathbf { A } ( 0 ) \bigg ] = \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \bigg [ - i \mathbf { d } \cdot \frac { 1 } { c } \mathbf { A } ( 0 ) \bigg ]
( \frac { E _ { t 1 } } { E _ { i 1 } } ) _ { d r o p } = \frac { \kappa _ { 3 } \kappa _ { 2 } \kappa _ { 1 } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } e ^ { j \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } } e ^ { j \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } } } { 1 - t _ { 3 } t _ { 2 } \alpha _ { 2 } e ^ { j \theta _ { 2 } } - t _ { 2 } t _ { 1 } \alpha _ { 1 } e ^ { j \theta _ { 1 } } + t _ { 3 } t _ { 1 } \alpha _ { 1 } e ^ { j \theta _ { 1 } } e ^ { j \theta _ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { g ^ { ( 2 ) } ( \tau ) } & { \approx \frac { | R ^ { 2 } \bar { t } _ { \omega } ^ { 2 } + T ( \omega , \tau ) | ^ { 2 } } { | R ^ { 2 } \bar { t } _ { \omega } ^ { 2 } | ^ { 2 } } } \\ & { \approx \frac { | \tilde { t } _ { \omega } ^ { 2 } + T ( \omega , \tau ) | ^ { 2 } } { | \tilde { t } _ { \omega } ^ { 2 } | ^ { 2 } } , } \end{array}
r _ { s s } = \left. \frac { E _ { r , s _ { 1 } } } { E _ { i , s _ { 1 } } } \right\vert _ { E _ { i , p _ { 1 } } = 0 } = \frac { Q _ { 2 4 } Q _ { 4 1 } - Q _ { 2 1 } Q _ { 4 4 } } { Q _ { 2 2 } Q _ { 4 4 } - Q _ { 2 4 } Q _ { 4 2 } } ,
\mathbf { b } \in C _ { t } ^ { 0 } C _ { x } ^ { 0 , \alpha } \bigl ( [ 0 , 1 ] \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } \bigr ) \cap C _ { t } ^ { 0 , \alpha } C _ { x } ^ { 0 } \bigl ( [ 0 , 1 ] \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } \bigr )
\begin{array} { r l r } { P ( i , j ) } & { { } \mathrel { + } = } & { \sum _ { k } \left| A _ { k } \right| ^ { 2 } ( 1 - \alpha _ { k } ) ( 1 - \beta _ { k } ) } \\ { P ( i , j + 1 ) } & { { } \mathrel { + } = } & { \sum _ { k } \left| A _ { k } \right| ^ { 2 } ( 1 - \alpha _ { k } ) \beta _ { k } } \\ { P ( i + 1 , j ) } & { { } \mathrel { + } = } & { \sum _ { k } \left| A _ { k } \right| ^ { 2 } \alpha _ { k } ( 1 - \beta _ { k } ) } \\ { P ( i + 1 , j + 1 ) } & { { } \mathrel { + } = } & { \sum _ { k } \left| A _ { k } \right| ^ { 2 } \alpha _ { k } \beta _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf L _ { 2 } ^ { ( 4 ) } = ( \mathbf L _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ) _ { i j k l } = \frac { L _ { 2 } ^ { \textrm { s p h } } - L _ { 2 } ^ { \textrm { d e v } } } { 3 } \delta _ { i j } \delta _ { k l } + \frac { L _ { 2 } ^ { \textrm { d e v } } + L _ { 2 } ^ { \textrm { A } } } { 2 } \delta _ { i k } \delta _ { j l } + \frac { L _ { 2 } ^ { \textrm { d e v } } - L _ { 2 } ^ { \textrm { A } } } { 2 } \delta _ { i l } \delta _ { j k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ Y _ { \lfloor \frac { \ell } { k } \rfloor } = v ] \cdot ( 1 - n ^ { - \frac { 1 } { 4 } } ) ^ { \ell } \delta ^ { \ell } n ^ { \ell } } & { = \Big ( 1 \pm \Big ( 1 - \frac { \nu ^ { k - 1 } \delta ^ { - k } } { 2 ^ { k } } \Big ) ^ { \lfloor \frac { \ell } { k } \rfloor } \Big ) n ^ { - 1 } \cdot ( 1 - n ^ { - \frac { 1 } { 4 } } ) ^ { \ell } \delta ^ { \ell } n ^ { \ell } } \\ & { = ( 1 \pm n ^ { - \frac { 1 } { 5 } } ) \delta ^ { \ell } n ^ { \ell - 1 } , } \end{array}
\Phi _ { 1 , 0 } ( x ) \in q ^ { ( \lambda , \sigma ) } \sum _ { i \in I _ { \lambda , \sigma } } \beta _ { \lambda , \sigma , i } \, \# \, K _ { \lambda + \sigma } \Phi _ { 0 , 1 } ( \alpha _ { \lambda , \sigma , i } ) + \bigoplus _ { ( \lambda ^ { \prime } , \sigma ^ { \prime } ) \neq ( \lambda , \sigma ) } { _ { \lambda ^ { \prime } } ( \mathcal { O } _ { q } ) _ { \sigma ^ { \prime } } } \, \# \, U _ { q } .
\left( { \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial x \partial y } } \right) = \left( { \frac { \partial T } { \partial x } } \right) _ { y } \left( { \frac { \partial S } { \partial y } } \right) _ { x } + T \left( { \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x \partial y } } \right) - \left( { \frac { \partial P } { \partial x } } \right) _ { y } \left( { \frac { \partial V } { \partial y } } \right) _ { x } - P \left( { \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial x \partial y } } \right)
\begin{array} { r l r } { \left[ i \hbar \partial _ { t } - H _ { \mathrm { L } } \right] \psi _ { z } } & { { } = } & { 0 } \\ { \left[ i \hbar \partial _ { t } - H _ { \mathrm { R } } \right] \psi _ { z } } & { { } = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle u _ { l } | \langle \phi _ { v _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } \phi _ { v _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } \ldots | \hat { H } ( E ) | \phi _ { v _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \phi _ { v _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } \ldots \rangle | u _ { l ^ { \prime } } \rangle } \\ & { = \delta _ { v _ { 1 } v _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { v _ { 2 } v _ { 2 } ^ { \prime } } \ldots [ \langle u _ { l } | \frac { P ^ { 2 } } { 2 M } - E } \\ & { + V ( R , \mathbf { y } _ { 0 } ) | u _ { l ^ { \prime } } \rangle ] + \delta _ { l l ^ { \prime } } \langle \phi _ { v _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } \phi _ { v _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } \ldots | \sum _ { i } \hat { H } _ { i } | \phi _ { v _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \phi _ { v _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } \ldots \rangle } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { M } } \langle u _ { l } | K _ { i } ^ { ( 1 ) } ( { R } ) | u _ { l ^ { \prime } } \rangle \delta _ { v _ { 1 } v _ { 2 } \ldots ; v _ { 1 } ^ { \prime } v _ { 2 } ^ { \prime } \ldots } ^ { ( i ) } \langle \phi _ { v _ { i } } ^ { ( i ) } | ( y _ { i } - y _ { i _ { 0 } } ) | \phi _ { v _ { i } ^ { \prime } } ^ { ( i ) } \rangle } \\ & { + \sum _ { i , j = 1 } ^ { N _ { M } } \langle u _ { l } | K _ { i j } ^ { ( 2 ) } ( R ) | u _ { l ^ { \prime } } \rangle \delta _ { v _ { 1 } v _ { 2 } \ldots ; v _ { 1 } ^ { \prime } v _ { 2 } ^ { \prime } \ldots } ^ { ( i j ) } } \\ & { \langle \phi _ { v _ { i } } ^ { ( i ) } | ( y _ { i } - y _ { i _ { 0 } } ) | \phi _ { v _ { i } ^ { \prime } } ^ { ( i ) } \rangle \langle \phi _ { v _ { j } } ^ { ( j ) } | ( y _ { j } - y _ { j _ { 0 } } ) | \phi _ { v _ { j } ^ { \prime } } ^ { ( j ) } \rangle + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { s } ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \omega , \tau ) = \int d \tau ^ { \prime } \langle \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau + \tau ^ { \prime } / 2 ) \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau - \tau ^ { \prime } / 2 ) e ^ { i \omega \tau ^ { \prime } } . \rangle . } \end{array}
\displaystyle \mathrm { e s s } ( F ) = \mathrm { e s s } \Bigl ( - \frac { 1 } { \pi i } e ^ { \pi i x } \Bigr ) = - \frac { 1 } { \pi i } \cdot \mathrm { e s s } ( ( e ^ { \pi i } ) ^ { x } ) = - \frac { 1 } { \pi i } \cdot \frac { e ^ { \pi i } \ln ( e ^ { \pi i } ) } { e ^ { \pi i } - 1 } = - \frac { 1 } { \pi i } \cdot \frac { \pi i } { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } .
\nu _ { \mathrm { o b s } } = \nu ^ { \prime \prime } \frac { c } { c + w _ { \mathrm { L o S } } } = \nu _ { \ast } \frac { c - w _ { \mathrm { L o S } } } { c + w _ { \mathrm { L o S } } } + \Delta \nu \frac { c } { c + w _ { \mathrm { L o S } } }
\begin{array} { r l } & { { { \dot { \rho } } _ { \mathbf { n } } ( t ) } = { { L } _ { S } } { { \rho } _ { \mathbf { n } } } + i \sum _ { b } ^ { { { N } _ { b a t h } } } { \sum _ { k = 1 } ^ { { { K } _ { b } } } { \left( { { n } _ { b , k } } { { \gamma } _ { b , k } } { { \rho } _ { \mathbf { n } } } \right. } } } \\ & { { { \left. - { { \Phi } _ { b } } { { \rho } _ { \mathbf { n } _ { k } ^ { + } } } - { { n } _ { b , k } } { { \Theta } _ { b , k } } { { \rho } _ { \mathbf { n } _ { k } ^ { - } } } \right) } } . } \end{array}
\Delta _ { l } ^ { ( 3 ) } \Delta _ { l } ^ { ( 4 ) } ( \omega ) = \frac { 1 } { 2 \omega } \sin ( 2 \omega R - l \pi ) { h _ { l } } ^ { ( 1 ) } ( \omega a ) { \frac { d } { d \omega } } [ \omega { h _ { l } } ^ { ( 1 ) } ( \omega a ) ] ,
\begin{array} { r l } & { ( 1 \otimes \mathcal { N } _ { \mathfrak { m } } ^ { \mathfrak { m l } } \otimes \mathcal { N } _ { \overline { { \mathfrak { m } } } } ^ { \overline { { \mathfrak { m } } } \overline { { \mathfrak { l } } } } ) ( \tilde { \kappa } _ { f , \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \mathfrak { m } \mathfrak { l } } ^ { ( 4 ) } ) } \\ & { = ( \ell - 1 ) \bigg ( a _ { \ell } ( f ) - \frac { \psi _ { 1 } ( \mathfrak { l } ) [ \mathfrak { l } ] } { \ell } ( \psi _ { 2 } ( \mathfrak { l } ) [ \mathfrak { l } ] + \psi _ { 2 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] ) - ( \psi _ { 1 } ( \mathfrak { l } ) [ \mathfrak { l } ] + \psi _ { 1 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] ) \frac { \psi _ { 2 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] } { \ell } } \\ & { \quad + \frac { \psi _ { 1 } ( \mathfrak { l } ) \psi _ { 2 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) } { \ell ^ { 2 } } ( [ \mathfrak { l } ] \times [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] ) ( \ell + 1 ) \bigg ) ( \tilde { \kappa } _ { f , \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \mathfrak { m } } ^ { ( 4 ) } ) } \\ & { = ( \ell - 1 ) \bigg ( a _ { \ell } ( f ) - \frac { \psi _ { 1 } ( \mathfrak { l } ) \psi _ { 2 } ( \mathfrak { l } ) } { \ell } ( [ \mathfrak { l } ] \times [ \mathfrak { l } ] ) - \frac { \psi _ { 1 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) \psi _ { 2 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) } { \ell } ( [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] \times [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] ) } \\ & { \quad + ( 1 - \ell ) \frac { \psi _ { 1 } ( \mathfrak { l } ) \psi _ { 2 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) } { \ell ^ { 2 } } ( [ \mathfrak { l } ] \times [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] ) \bigg ) ( \tilde { \kappa } _ { f , \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \mathfrak { m } } ^ { ( 4 ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \sum _ { a = 0 } ^ { \infty } \sum _ { b = 0 } ^ { \infty } \left( { \alpha ^ { * } } \right) ^ { a } \alpha ^ { b } \sum _ { d = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( a , b ) } Q _ { a - d , b - d } \sum _ { s = 0 } ^ { d } ( - 1 ) ^ { s } { \binom { d } { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { C } _ { n , p } = \frac { 6 \eta _ { 0 } e B } { \varrho _ { \star } ^ { 2 } } \sqrt { \frac { | { \cal S } _ { \star } | \log p } { n } } \enspace \mathrm { a n d } \enspace \Psi _ { m , p } ( \overline { { \omega } } ) = \frac { { \cal A } _ { 1 } } { { \cal A } _ { 2 } \exp ( 2 B \bar { \omega } ) } \sqrt { \frac { | { \cal S } _ { \star } | \log ( p K ) } { m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( L _ { 1 } \circ F ) \times _ { F _ { 2 } } L _ { 2 } } \\ { = } & { \{ ( \tilde { x } _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \tilde { L } _ { 1 } \times L _ { 2 } | \ g _ { 2 } \circ \tilde { f _ { 1 } } ( \tilde { x } _ { 1 } ) = f _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \} } \\ { \cong } & { \{ ( \tilde { x } _ { 1 } , \tilde { x } _ { 2 } ) \in \tilde { L } _ { 1 } \times \tilde { L } _ { 2 } | \ \tilde { f _ { 1 } } ( \tilde { x } _ { 1 } ) = \tilde { f _ { 2 } } ( \tilde { x } _ { 2 } ) \} } \\ { = } & { \tilde { L _ { 1 } } \times _ { F } \tilde { L _ { 2 } } . } \end{array}
H ( \phi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( \phi < - d ) } \\ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { \phi } { d } \Bigl \{ \frac { 1 5 } { 1 6 } - \frac { \phi ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigl \{ \frac { 5 } { 8 } - \frac { 3 } { 1 6 } \frac { \phi ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigr \} \Bigr \} } & { ( - d \leq \phi < d ) } \\ { 1 } & { ( d \leq \phi ) } \end{array} \right.
x = \displaystyle \frac { h } { R _ { 1 } } ; \quad n = \frac { R _ { 1 } } { R _ { 2 } } = \frac { c _ { 1 } e _ { 1 } } { c _ { 2 } e _ { 2 } } ; \quad \alpha = x + \frac { 1 } { n } ; \quad \beta = x - \frac { 1 } { n } ,
Q _ { z } ( \epsilon _ { x } , \epsilon _ { y } ) = Q _ { z 0 } + \left( \frac { \partial Q _ { z } } { \partial \epsilon _ { x } } \epsilon _ { x } + \frac { \partial Q _ { z } } { \partial \epsilon _ { y } } \epsilon _ { y } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { z } } { \partial \epsilon _ { x } ^ { 2 } } \epsilon _ { x } ^ { 2 } + 2 \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { z } } { \partial \epsilon _ { x } \epsilon _ { y } } \epsilon _ { x } \epsilon _ { y } + \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { z } } { \partial \epsilon _ { y } ^ { 2 } } \epsilon _ { y } ^ { 2 } \right) + . . . \; .
\begin{array} { r l } { s _ { 1 } s _ { 3 } ^ { - 1 } s _ { 2 } s _ { 4 } ^ { - 1 } } & { = s _ { 3 } ^ { - 1 } s _ { 4 } ^ { - 1 } s _ { 5 } s _ { 6 } ^ { - 1 } s _ { 3 } ^ { - 1 } s _ { 4 } ^ { - 1 } s _ { 6 } ^ { - 1 } s _ { 7 } } \\ { \Leftrightarrow s _ { 6 } ^ { 2 } s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } s _ { 4 } } & { = s _ { 7 } s _ { 5 } , } \end{array}
\gamma _ { f i t } ^ { ( \log r ) } ( n _ { r } , d = 3 ) \ = \ \frac { 0 . 0 0 6 3 6 \, n _ { r } + 0 . 0 5 1 5 7 } { \sqrt { 0 . 0 0 0 0 2 \, n _ { r } ^ { 4 } + 0 . 1 1 0 7 2 \, n _ { r } ^ { 2 } + 0 . 9 8 3 1 9 \, n _ { r } + 1 } } \ ,
{ \varphi _ { G } } = \frac { { { \varphi _ { 0 } } } } { { 1 + \frac { { 9 \nu \alpha } } { { 2 5 6 { \pi ^ { 3 } } { { \left( { { \varepsilon _ { e r } } + 1 } \right) } ^ { 2 } } } } { { \left( { \frac { \lambda } { { { d _ { G - N V C } } } } } \right) } ^ { 4 } } } }
\begin{array} { r } { ( - \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } e ^ { 2 } n ^ { 2 } + P _ { x x } k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } + P _ { y y } k _ { y } ^ { 4 } - \frac { \mu _ { 0 } e ^ { 2 } n } { m _ { e } } ( P _ { z z } - P _ { y y } ) k _ { y } ^ { 2 } ) * } \\ { ( - \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } e ^ { 2 } n ^ { 2 } + P _ { y y } k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } + P _ { x x } k _ { x } ^ { 4 } + \frac { \mu _ { 0 } e ^ { 2 } n } { m _ { e } } ( P _ { x x } - P _ { z z } ) k _ { x } ^ { 2 } ) } \\ { - ( - P _ { x x } k _ { x } ^ { 3 } k _ { y } - \frac { \mu _ { 0 } e ^ { 2 } n } { m _ { e } } ( P _ { x x } - P _ { z z } ) k _ { x } k _ { y } - P _ { y y } k _ { x } k _ { y } ^ { 3 } ) * } \\ { ( - P _ { x x } k _ { x } ^ { 3 } k _ { y } + \frac { \mu _ { 0 } e ^ { 2 } n } { m _ { e } } ( P _ { z z } - P _ { y y } ) k _ { x } k _ { y } - P _ { y y } k _ { y } ^ { 3 } k _ { x } ) = 0 } \end{array}
\int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } Y _ { l m } ( \Omega ) \left( 1 + \frac { 1 } { K } \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { N } \sum _ { m ^ { \prime } = - l ^ { \prime } } ^ { l ^ { \prime } } \lambda _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } Y _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ( \Omega ) \right) ^ { K } \, \mathrm { d } \Omega = \rho _ { l m } .
d s ^ { 2 } = - A ( r ) d t ^ { 2 } + B ( r ) d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } C ( r ) d \Omega _ { D - p - 2 } + D ( r ) \delta _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } + E ( r ) \delta _ { k l } d x ^ { k } d x ^ { l } ,
\int _ { 0 } ^ { \infty } d x \frac { \cos a x } { \cosh ^ { \nu } \beta x } = \frac { 2 ^ { \nu - 2 } } { \beta \Gamma ( \nu ) } \Gamma \left( \frac { \nu } { 2 } + \frac { a i } { 2 \beta } \right) \Gamma \left( \frac { \nu } { 2 } - \frac { a i } { 2 \beta } \right) .
\begin{array} { r l } { h _ { k } ^ { n } ( k , z ) } & { = \textstyle \sum _ { \eta > y _ { n - k } } \bar { Q } _ { n - k } ^ { + } A _ { n - k } ^ { - 1 } ( \eta , z ) = - \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { v _ { n - k } } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { y _ { n - k } - z } } { w ^ { y _ { n - k } - z } } \frac { v _ { n - k } - \theta } { ( v _ { n - k } - w ) ( w - \theta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u _ { \tau , i } - z _ { i } \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq } & { ~ \| u _ { i } - z _ { i } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \| u _ { i } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| z _ { i } \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \langle u _ { i } , z _ { i } \rangle } \\ { \leq } & { ~ \| u _ { i } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| z _ { i } \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \sqrt { 1 - \epsilon ^ { 2 } } } \\ { = } & { ~ 2 - 2 \sqrt { 1 - \epsilon ^ { 2 } } } \\ { \leq } & { ~ 2 \epsilon ^ { 2 } , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { Y - M } } ^ { \prime } ~ = ~ G _ { \alpha \beta } ^ { I } G _ { \gamma \delta } ^ { I } \epsilon ^ { \alpha \beta \mu \nu } \epsilon ^ { \gamma \delta \rho \tau } \nabla _ { \mu } \phi ^ { a } \nabla _ { \nu } \phi ^ { b } \nabla _ { \rho } \phi ^ { c } \nabla _ { \tau } \phi ^ { d } \eta _ { a c } \eta _ { b d } .
g _ { N } ^ { \infty } ( x , \alpha , \theta ) = \frac { 1 } { \pi x } \Re i e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } \theta } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \left( \frac { i } { x } \right) ^ { \alpha n } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \tau e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } \theta } \right\} \tau ^ { \alpha n } d \tau , \quad x > 0 .
\widetilde { p } _ { s } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { \frac { \delta _ { 1 } - d _ { 1 } s ^ { 2 } } { \delta _ { 2 } } } \end{array} \right) \triangleq \left( \begin{array} { c } { \widetilde { p } _ { s 1 } } \\ { \widetilde { p } _ { s 2 } } \end{array} \right) , \widetilde { q } _ { s } = \left( \begin{array} { c } { - \frac { d _ { 2 } s ^ { 2 } + \delta _ { 2 } \theta _ { * } } { T _ { s } } } \\ { \frac { \delta _ { 2 } } { T _ { s } } } \end{array} \right) \triangleq \left( \begin{array} { c } { \widetilde { q } _ { s 1 } } \\ { \widetilde { q } _ { s 2 } } \end{array} \right) .
\frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = \frac { g _ { 2 } } { g _ { 1 } } \, \exp \left( - \frac { E _ { 2 1 } } { T } \right) \, \left[ \frac { 1 + \left( 1 - p _ { 2 } \right) \, \frac { 4 } { 3 } \, \frac { \alpha _ { \mathrm { D R } , 1 } } { k _ { 2 1 } } \, \frac { x _ { e } } { f _ { m } } \, \frac { g _ { 1 } } { g _ { 2 } } \, \exp \left( \frac { E _ { 2 1 } } { T } \right) } { 1 + \left( 1 + 2 \, p _ { 2 } \right) \, \frac { 2 } { 3 } \, \frac { \alpha _ { \mathrm { D R } , 2 } } { k _ { 2 1 } } \, \frac { x _ { e } } { f _ { m } } } \right] = \frac { g _ { 2 } } { g _ { 1 } } \, \exp \left( - \frac { E _ { 2 1 } } { T _ { 1 2 } \left( \mathrm { H } _ { 3 } ^ { + } \right) } \right) \, .
\arctan \left( \frac { Q \left( t \right) } { I \left( t \right) } \right) \approx \arctan \left( \tan { \left( \Phi ( t ) \right) } + \frac { \tan { \left( \Phi \left( t \right) \right) } } { \eta _ { \mathrm { d e t } } \sqrt { P \left( t \right) P \left( t - \tau _ { d } \right) } } \left( \frac { \xi _ { Q } \left( t \right) } { \sin { \left( \Phi ( t ) \right) } } - \frac { \xi _ { I } \left( t \right) } { \cos { \left( \Phi ( t ) \right) } } \right) \right)
\begin{array} { r l r } { \rho ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } & { = } & { \sum _ { \vec { L } } \rho ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) , } \\ { \rho ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } & { = } & { \sum _ { \mu \nu } \sum _ { \vec { L } ^ { \prime } } D _ { \mu \nu } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } \vec { L } \, ^ { \prime } } \xi _ { \mu } ^ { \vec { L } } \left( \vec { r } \right) \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } ^ { \prime } } \left( \vec { r } \, ^ { \prime } \right) . \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { e r r } _ { k } ( r _ { j } ) } & { = r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - \mathbf { Q } r _ { j } ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } } \\ & { = \left[ r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { j } ; \mathbf { A } _ { j } ) \right] + \left[ \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { j } ; \mathbf { A } _ { j } ) - \mathbf { Q } r _ { j } ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } \right] . } \end{array}
- \frac { x ( 1 - x ) q _ { 1 } k _ { 2 } q _ { 2 } ^ { * } } { \Delta ^ { * } \, ( k _ { 1 } - x \Delta ) k _ { 1 } ^ { * } } - \frac { x q _ { 1 } ^ { * } k _ { 1 } q _ { 2 } } { \overrightarrow { \Delta } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ^ { * } - x \Delta ^ { * } ) } + \frac { x q _ { 2 } ^ { * } Q _ { 1 } } { \Delta ^ { * } \, k _ { 1 } ^ { * } } \, .
\begin{array} { r l } { \left\vert V \left( y _ { d } ( x _ { 1 } ^ { d } , Z _ { 1 , 1 } ^ { d } ) \right) - V ( x _ { 1 } ^ { d } ) \right\vert } & { \leq C \left( \sigma _ { d } \vert Z _ { 1 , 1 } ^ { d } \vert + \frac { \sigma _ { d } ^ { 2 - 2 m } } { r } \left( 1 + \vert x _ { 1 } ^ { d } \vert \right) \right) } \\ & { \leq C \sigma _ { d } \left( \vert Z _ { 1 , 1 } ^ { d } \vert + \frac { 1 } { r } \left( 1 + \vert x _ { 1 } ^ { d } \vert \right) \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { - } + \mathrm { A r } \rightarrow e ^ { - } + \mathrm { A r } ^ { \ast } ( 3 p ^ { 5 } 4 s ) \; , } \\ { \mathrm { A r } ^ { \ast } ( 3 p ^ { 5 } 4 s ) + 2 \mathrm { A r } \rightarrow \mathrm { A r } _ { 2 } ^ { \ast } ( ^ { 1 , 3 } \Sigma _ { u } ^ { + } ) + \mathrm { A r } \; , } \\ { \mathrm { A r } _ { 2 } ^ { \ast } ( ^ { 1 , 3 } \Sigma _ { u } ^ { + } ) \rightarrow 2 \mathrm { A r } + h \nu \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 + \chi _ { i } } & { \bigg [ 1 - 2 \frac { J _ { 0 } ( a ) J _ { 1 } ( a ) } { a } + k ^ { 2 } \lambda _ { D } ^ { 2 } } \\ & { - 2 J _ { 1 } ( a ) ^ { 2 } \frac { \tilde { \lambda } - \frac { 1 } { 4 } \tilde { \nu } ^ { 2 } + 2 \mu \left[ 1 - J _ { 0 } ( a ) ^ { 2 } \right] a ^ { - 2 } } { \tilde { \lambda } ^ { 2 } + ( 2 \tilde { \gamma } + \tilde { \nu } ) ^ { 2 } } \bigg ] = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { C } _ { 2 , 0 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } ^ { 2 } \frac { 3 ( k ^ { 2 } + 1 ) \coth ^ { 2 } ( h ) - 6 k \coth ( k h ) \coth ( h ) + k ^ { 2 } - 1 } { 2 k ( \coth ( k h ) - k \coth ( h ) ) } , } \\ { \hat { C } _ { 0 , 2 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = - g k \hat { \eta } _ { 0 , 1 } ^ { 2 } \frac { 3 ( k ^ { 2 } + 1 ) \coth ^ { 2 } ( k h ) - 6 k \coth ( k h ) \coth ( h ) - k ^ { 2 } + 1 } { 2 ( \coth ( k h ) - k \coth ( h ) ) } , } \\ { \hat { C } _ { 1 , 1 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = - g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \frac { ( k ^ { 2 } + 2 k ) \coth ^ { 2 } ( k h ) - ( 2 k + 1 ) \coth ^ { 2 } ( h ) + ( - k ^ { 2 } + 1 ) \coth ( k h ) \coth ( h ) - k ^ { 2 } + 1 } { \coth ( k h ) - k \coth ( h ) } , } \\ { \hat { C } _ { 1 , - 1 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \frac { ( k ^ { 2 } - 2 k ) \coth ^ { 2 } ( k h ) + ( 2 k - 1 ) \coth ^ { 2 } ( h ) + ( k ^ { 2 } - 1 ) \coth ( k h ) \coth ( h ) - k ^ { 2 } + 1 } { \coth ( k h ) - k \coth ( h ) } . } \end{array}
{ \mathcal { M } } ^ { \mu \nu } = { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { P _ { x } c } & { P _ { y } c } & { P _ { z } c } \\ { - P _ { x } c } & { 0 } & { - M _ { z } } & { M _ { y } } \\ { - P _ { y } c } & { M _ { z } } & { 0 } & { - M _ { x } } \\ { - P _ { z } c } & { - M _ { y } } & { M _ { x } } & { 0 } \end{array} \right) } ,
= 2 ( N _ { c } ^ { 2 } - 1 ) V \int \! \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { | k | } { 2 } + \begin{array} { c } { { \mathrm { p e r t u r b a t i v e } } } \\ { { \mathrm { c o r r e c t i o n s } } } \end{array}
\frac { \omega } { \chi N } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \; \frac { \pi } { 2 K \Big ( ( \delta _ { \mathrm { s } } / \chi N ) ^ { 2 } \Big ) } \quad \mathrm { i f } \; \delta _ { \mathrm { s } } < \chi N } \\ { \displaystyle \; \frac { \delta _ { \mathrm { s } } } { \chi N } \frac { \pi } { 2 K \Big ( ( \chi N / \delta _ { \mathrm { s } } ) ^ { 2 } \Big ) } \quad \mathrm { i f } \; \delta _ { \mathrm { s } } > \chi N } \end{array} \right. .