harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \Big ( 4 k ^ { \prime } K ^ { 4 } \big ( 6 \big ( k \big ( k \big ( \sqrt { 1 - k } + \sqrt { 1 + k } \big ) - 3 \sqrt { 1 - k } + 3 \sqrt { 1 + k } \big ) - 6 \big ( \sqrt { 1 - k } + \sqrt { 1 + k } \big ) \big ) E + } \\ & { \big ( 3 6 \big ( \sqrt { 1 - k } + \sqrt { 1 + k } \big ) + k \big ( 1 8 \big ( \sqrt { 1 - k } - \sqrt { 1 + k } \big ) + k \big ( k \big ( k \big ( \sqrt { 1 - k } + \sqrt { 1 + k } \big ) - 8 \sqrt { 1 - k } + } \\ & { 8 \sqrt { 1 + k } \big ) - 2 3 \big ( \sqrt { 1 - k } + \sqrt { 1 + k } \big ) \big ) \big ) \big ) K \big ) \Big ) \Big / \left( \pi ^ { 4 } \big ( k ^ { \prime } + 1 \big ) ( K ^ { \prime } ( E - K ) + E ^ { \prime } K ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \overline { { \Psi } } _ { v } \rangle } & { = } & { | \Psi _ { v } ^ { ( 0 , 0 ) } \rangle + \lambda _ { 2 } | \Psi _ { v } ^ { ( 1 , 0 ) } \rangle + \lambda _ { 3 } | \tilde { \Psi } _ { v } ^ { ( 0 , 1 ) } \rangle } \\ & { } & { + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } | \Psi _ { v } ^ { ( 1 , 1 ) } \rangle + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { t } } ( t ) } & { \stackrel { \mathrm { E q . ~ } } { = } } & { I _ { \mathrm { z } _ { 0 } } \times \exp \big ( - 2 \kappa A \cos ( \omega t ) \big ) } \\ & { \stackrel { \mathrm { E q . ~ } } { = } } & { \frac { \langle I _ { \mathrm { t } } \rangle } { \mathfrak { I } _ { 0 } ( 2 \kappa A ) } \times \exp \big ( - 2 \kappa A \cos ( \omega t ) \big ) , \quad } \end{array}
\psi _ { m } ( z ) = c _ { 1 } { \frac { \sqrt { { \cal Z } - z } } { z } } J _ { { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { 1 + 8 K } } [ \sqrt { 2 } m ( { \cal Z } - z ) ] + c _ { 2 } { \frac { \sqrt { { \cal Z } - z } } { z } } Y _ { { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { 1 + 8 K } } [ \sqrt { 2 } m ( { \cal Z } - z ) ] \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { 3 2 e ^ { 2 } L \beta _ { n } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { \leq } & { 1 0 0 0 \beta _ { n } ^ { - 1 } L ^ { 3 } T ^ { - 1 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 } e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { \times 2 0 0 0 L e ^ { 2 L } T ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G ( 0 ; \rho _ { A } ) ^ { ( m ) } } & { = } & { - \operatorname { T r } [ ( - 1 ) ^ { m + 1 } ( m - 1 ) ! \rho _ { A } ( \rho _ { A } - 1 ) ^ { m } ] } \\ & { = } & { - ( m - 1 ) ! \sum _ { k = 0 } ^ { m } \frac { ( - 1 ) ^ { 2 m - k + 1 } m ! } { k ! ( m - k ) ! } \operatorname { T r } { ( \rho _ { A } ^ { k + 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S = \int d t ~ \frac 1 2 \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \dot { \bf y } _ { N } ^ { 2 } + \frac 1 2 \sum _ { A = 2 } ^ { 4 } \sum _ { N = 2 } ^ { n } \lambda _ { A N } \left[ ( { \bf y } _ { A } - { \bf y } _ { 1 } , { \bf y } _ { N } - { \bf y } _ { 1 } ) - a _ { A N } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { f } = } & { { } \left( \begin{array} { c c } { H _ { \lambda } } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { \mu } } \end{array} \right) , } \\ { H _ { \lambda } = } & { { } \frac { I } { \tau _ { \lambda } } - \sigma _ { \lambda } T ^ { \top } T , } \\ { H _ { \mu } = } & { { } \frac { I } { \tau _ { \mu } } - \sigma _ { \mu } P ^ { \top } P , } \end{array}
C _ { \alpha } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d k } { 2 \pi } \mathrm { T r } [ \widetilde { U } _ { \alpha } ^ { \dagger t } ( k ) { \cal S } i \partial _ { k } U _ { \alpha } ^ { t } ( k ) ] .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ell \left( \left( \mathcal F _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta \right) \doteq } & { { } \ \int \Big [ D _ { \mu } \ell ^ { * } \big | _ { \left( \bar { X } _ { t , T } \circ X _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta } \circ \bar { X } _ { t , T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { D } _ { \mathrm Y } ^ { \mathrm { ( X Y Z ) } } \right) _ { i k l n q r , j m p s } } & { { } = \sum _ { y , y ^ { ' } } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( | y \rangle ) _ { k } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { l m } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { n p } \, ( | y ^ { ' } \rangle ) _ { q } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { r s } \, \rho _ { y y ^ { ' } } } \end{array}
\Phi _ { 2 } ^ { + } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \phi _ { 2 } ^ { s } } \\ { \phi _ { 2 } ^ { v } } \\ { \phi _ { 2 } ^ { w } } \\ { \phi _ { 2 } ^ { + } } \end{array} \right) , \ \xi X _ { t } = \left( \begin{array} { l } { ( \bar { \rho } _ { 2 } - \bar { \rho } _ { 1 } ) X _ { t } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) ,
{ \begin{array} { r l } { | a _ { 0 } } & { + \cdots + a _ { k - 1 } z ^ { k - 1 } + a _ { k + 1 } z ^ { k + 1 } + \cdots + a _ { n } z ^ { n } | } \\ & { \leq | a _ { 0 } | + \cdots + | a _ { k - 1 } | R ^ { k - 1 } + | a _ { k + 1 } | R ^ { k + 1 } + \cdots + | a _ { n } | R ^ { n } } \\ & { \leq | a _ { k } | R ^ { k } \leq | a _ { k } z ^ { k } | . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { \bf u } } & { = \breve { { \bf u } } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 1 } , \quad \mathrm { a n d } \quad { \bf T } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = \breve { { \bf t } } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 2 } ; } \\ { \bar { c } } & { = \breve { \bar { c } } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 3 } , \quad \mathrm { a n d } \quad - { \bf j } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = \breve { j } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 4 } ; } \\ { \phi } & { = \breve { \phi } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 5 } , \quad \mathrm { a n d } \quad - \textbf { d } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = \breve { \varpi } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 6 } ; } \\ { \bar { \xi } } & { = \breve { \bar { \xi } } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 7 } , \quad \mathrm { a n d } \quad \lambda _ { \xi } \nabla \bar { \xi } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = 0 \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 8 } ; } \\ { \mathrm { d } } & { = \breve { \mathrm { d } } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 9 } , \quad \mathrm { a n d } \quad { \nabla \mathrm { d } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = 0 \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 1 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { l e n g t h } _ { \alpha } ( \Lambda _ { t } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { x \in \Lambda } \left| h _ { i , t } ( x ) \right| \mathrm { d } t , } \\ { \mathrm { e n e r g y } _ { \alpha } ^ { \mathrm { o s c } } ( \Lambda _ { t } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { x \in \Lambda } h _ { i , t } ( x ) - \operatorname* { m i n } _ { x \in \Lambda } h _ { i , t } ( x ) \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { M 1 M 1 } | _ { \omega \approx \Delta _ { 0 } / \hbar } } & { \simeq \frac { \hbar ^ { - 2 } \mu _ { B } ^ { 2 } | B _ { \omega } | ^ { 2 } } { 4 [ ( \omega - \Delta _ { 0 } / \hbar ) ^ { 2 } + \Gamma ^ { ^ { \prime } 2 } / 4 ] } , } \\ { P _ { E 1 M 1 } ^ { D / L } | _ { \omega \approx \Delta _ { 0 } / \hbar } } & { \simeq \frac { ( \bar { n } ^ { 2 } + 2 ) } { 3 } \frac { C ^ { D / L } \delta } { 2 m _ { e } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \tilde { \Delta } } \frac { \hbar ^ { - 2 } \mu _ { B } ^ { 2 } | B _ { \omega } | | E _ { \omega } | } { 4 [ ( \omega - \Delta _ { 0 } / \hbar ) ^ { 2 } + \Gamma ^ { ^ { \prime } 2 } / 4 ] } \cos { \theta } , } \\ { g _ { O } ^ { D / L } } & { \lesssim \frac { P _ { E 1 M 1 } ^ { D / L , O } } { P _ { M 1 M 1 } ^ { O } } \Bigr | _ { \omega \approx \Delta _ { 0 } / \hbar } \simeq \frac { ( \bar { n } ^ { 2 } + 2 ) } { 3 \bar { n } } \frac { c \, C ^ { D / L } \delta \cos { \theta } } { 2 \, m _ { e } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \tilde { \Delta } } , } \end{array}
\hat { H } = \left( \begin{array} { l l } { E _ { C } ( k ) - \hbar \omega _ { p } - i \hbar \gamma _ { C } } & { \frac { \hbar } { 2 } \tilde { \Omega } _ { R } } \\ { \frac { \hbar } { 2 } \tilde { \Omega } _ { R } } & { E _ { X } - \hbar \omega _ { p } - i \hbar \gamma _ { X } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \hat { C } _ { x } ( \tau = l \delta t ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \frac { \frac { 1 } { N - l } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { \alpha , i } x _ { \alpha , i + l } - \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { \alpha , i } \right) ^ { 2 } } { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { \alpha , i } ^ { 2 } - \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { \alpha , i } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \it E } _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf r } , t ) = \sum _ { { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } , \omega } \tilde { \it E } _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } , \omega ) e ^ { i { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } \cdot { \bf r } - i \omega t }
{ \cal L } = \displaystyle { \frac { 1 } { 2 \, g ^ { 2 } } } D ^ { 2 } + \xi D + D \bar { \phi } ^ { \, j } { \cal Y } _ { j } ^ { i } \phi _ { i } - \bar { \phi } ^ { \, j } ( m ^ { 2 } ) _ { j } ^ { i } \phi _ { i } + . . .
\begin{array} { r } { I _ { 1 } = P A ^ { 2 } { a } \int _ { A } ^ { B } c ( { a } , R ) \, d R - \int _ { A } ^ { B } c ( { a } , R ) R ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial { a } } m ( { a } , R ) \, d R . } \end{array}
A = \mathrm { d i a g } ( a , a , a _ { 3 } ) \; \; , \; \; B = U _ { 2 } V \tilde { U } _ { 2 } ^ { \dagger } ~ \mathrm { d i a g } ( b , b , b _ { 3 } ) ~ \tilde { U } _ { 2 } V ^ { \dagger } U _ { 2 } ^ { \dagger } \; ,
\left[ \mathrm { \hat { H } _ { 0 } } - \boldsymbol { \hat { \mu } } \mathbf { F } ( t ) \right] \phi _ { 0 } \left( \mathbf { r } ; \mathbf { R } , t \right) = \varepsilon _ { 0 } ( \mathbf { R } , F ( t ) ) \phi _ { 0 } \left( \mathbf { r } ; \mathbf { R } , t \right) ,
X _ { t } = \tan ( \Theta _ { t } ) = \left[ \begin{array} { l l l l } { \tan \theta _ { 1 , 0 } } & { \tan \theta _ { 1 , 1 } } & { \cdots } & { \tan \theta _ { 1 , t } } \\ { \tan \theta _ { 2 , 0 } } & { \tan \theta _ { 2 , 1 } } & { \cdots } & { \tan \theta _ { 2 , t } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \tan \theta _ { n , 0 } } & { \tan \theta _ { n , 1 } } & { \cdots } & { \tan \theta _ { n , t } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \hat { a } | \psi _ { l , m } \rangle \propto \sum _ { p = 0 } ^ { q - 1 } e ^ { i m p \frac { 2 \pi } { q } } \hat { a } \hat { R } _ { q } ^ { p } | \phi _ { l } \rangle \propto \sum _ { p = 0 } ^ { q - 1 } e ^ { i ( m + 1 ) p \frac { 2 \pi } { q } } \hat { R } _ { q } ^ { p } \hat { a } | \phi _ { l } \rangle \propto | \psi _ { l , m + 1 } \rangle . } \end{array}
\boldsymbol { \hat { q } } ( y , \boldsymbol { k } ) = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \hat { u } } ( y , \boldsymbol { k } ) } \\ { \hat { p } ( y , \boldsymbol { k } ) } \end{array} \right] = \mathscr { F } \{ \boldsymbol { q } ( \boldsymbol { x } , t ) \} = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 3 } } \iiint _ { - \infty } ^ { \infty } \boldsymbol { q } ( \boldsymbol { x } , t ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega t - k _ { x } x - k _ { z } z ) } d t \, d x \, d z ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { r } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } \, r u ^ { ( 1 ) } ( r ) } & { = \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( \frac { \partial } { \partial r } \sqrt { r } f ( r ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial x } e ^ { - x } \frac { \partial } { \partial x } e ^ { \frac { 1 } { 2 } x } f ( x ) } \\ & { = r ^ { - 5 / 2 } ( f ^ { \prime \prime } ( x ) - \frac { 1 } { 4 } f ( x ) ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial I _ { j } } { \partial t } = d _ { I _ { j } } \Delta I _ { j } + d _ { I } \sum _ { k \neq j } \left( \frac { L _ { j k } \bar { I } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } I _ { j } \right) + \displaystyle { \beta _ { j } I _ { j } } - \gamma _ { j } I _ { j } , } & { x \in \Omega _ { j } , t > 0 , j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial I _ { j } } { \partial \nu } = 0 , } & { x \in \partial \Omega _ { j } , t > 0 , j \in \Omega . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { d } ) } & { { } = 0 } \\ { P _ { 2 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { d } ) } & { { } = 0 } \\ { \ldots } & { { } } \\ { P _ { n } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { d } ) } & { { } = 0 } \end{array}
{ \cal M } _ { a t } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { k } , \mathbf { q } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } { \varepsilon } _ { k j } [ \langle \psi _ { 1 s } | F ( \mathbf { q } ) | { { w } } _ { j , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { + } ) \rangle + \langle { w } _ { j , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { - } ) | F ( \mathbf { q } ) | \psi _ { 1 s } \rangle ] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \tau } [ g ( { \mathbf x } ^ { ( \tau ) } ) ] = } & { ~ \frac { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) } { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) } \leq \frac { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \left( \epsilon _ { t } + \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( 2 T / \delta ) } \right) \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) } { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) } } \\ { \leq } & { ~ \epsilon _ { T / 2 } + \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( 2 T / \delta ) } \leq \frac { 2 \epsilon ^ { 2 } ( \hat { \rho } - \rho ) } { 1 + \Lambda } , } \end{array}
\left[ Q , \Phi \right] = \left( { \frac { \partial } { \partial \theta } } \, - i \theta ^ { * } { \frac { \partial } { \partial t } } \right) \Phi = \psi + \theta ^ { * } \left( F - i { \dot { \phi } } \right) + i \theta \theta ^ { * } { \dot { \psi } } .
G _ { B _ { 1 } B ^ { \ast } } ( \omega , \omega ^ { \prime } ) = - i { \frac { \sqrt { 6 } } { 8 } } F _ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \int _ { 0 } ^ { 1 } d u e ^ { i ( 1 - u ) { \frac { \omega t } { 2 } } } e ^ { i u { \frac { \omega ^ { \prime } t } { 2 } } } u \{ \varphi _ { \pi } ( u ) + t ^ { 2 } g _ { 1 } ( u ) + { \frac { i t } { q \cdot v } } g _ { 2 } ( u ) + { \frac { i t } { 6 } } \mu _ { \pi } \varphi _ { \sigma } ( u ) \} + \cdots \; ,
\begin{array} { r l } { \langle A _ { h } u _ { t } ^ { G , h } , p _ { t } \rangle _ { H } } & { = \langle A _ { h } u _ { t } ^ { G , h } , P _ { h } p _ { t } \rangle _ { H } = \langle A _ { h } u _ { t } ^ { G , h } , \mathcal { R } _ { h } p _ { t } \rangle _ { H } } \\ & { = - \langle ( - A ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u _ { t } ^ { G , h } , ( - A ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathcal { R } _ { h } p _ { t } \rangle _ { H } = - \langle ( - A ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u _ { t } ^ { G , h } , ( - A ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } p _ { t } \rangle _ { H } } \\ & { = \langle A u _ { t } ^ { G , h } , p _ { t } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { \xi } ^ { \tau } = \beta _ { 2 } \cdot h _ { \xi } ^ { \tau - 1 } + \left( 1 - \beta _ { 2 } \right) \left( \frac { \partial L ^ { t } } { \partial w _ { \xi } ^ { t } } \right) ^ { 2 } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \log \left( h _ { \operatorname* { m a x } } - h _ { 0 } \right) } & { = } & { \log \alpha - \frac { \beta } { M _ { \mathrm { r e s } } - M _ { \mathrm { l i m } } } } \\ { M _ { \mathrm { r e s } } } & { = } & { M _ { \mathrm { l i m } } - \frac { \beta } { \log \left( h _ { \operatorname* { m a x } } - h _ { 0 } \right) - \log \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial A } { \partial t } + \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } = 0 } \\ & { \frac { \partial ( A u ) } { \partial t } + \frac { \partial ( A u ^ { 2 } ) } { \partial x } + \frac { A } { \rho } \, \frac { \partial p } { \partial x } = 0 } \\ & { \frac { \partial p } { \partial t } + E _ { 0 } G ( A ) \, \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } = - \frac { 1 } { \tau _ { r } } \left( p - F ( A ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. \mathrm { t r } \left( \rho _ { \mathrm { m p } } H _ { \mathrm { i n t } } \right) \right| _ { \mathrm { d i r e c t ~ p a r t } } = \frac 1 2 \int \mathrm { d } x \, \mathrm { d } x ^ { \prime } \, \beta \, ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } \, n ( x ) \, n ( x ^ { \prime } ) = \int \mathrm { d } x \, \frac 1 2 \, 2 \beta N \, x ^ { 2 } \, n ( x ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { T } } { \partial t } } & { { } = } & { - \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { T } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; , \; \; \frac { \partial \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { L } } { \partial t } = - \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { L } } \\ { \frac { \partial \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { T } } { \partial t } } & { { } = } & { c ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { T } - \frac { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } _ { T } } { \epsilon _ { 0 } } \; \; \; , \; \; \frac { \partial \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { L } } { \partial t } = - \frac { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } _ { L } } { \epsilon _ { 0 } } } \end{array}
\textstyle \frac { 1 } { N } \sum _ { i _ { 1 } \neq i _ { 2 } } \operatorname { A v g } \operatorname { T r } ( \hat { g } _ { i _ { 1 } } ^ { \dag } \hat { g } _ { i _ { 2 } } ) = 4 \frac { m ^ { 2 } d ^ { 2 } - 1 } { d ^ { 3 } ( d - 1 ) ( m ^ { 2 } d + 1 ) ^ { 2 } } \, \operatorname { T r } ( \operatorname { T r } _ { 1 } ^ { 2 } \hat { h } ) + \mathcal { O } ( \eta ^ { j } ) + \mathcal { O } ( \eta ^ { L - j } ) .
A _ { L } ^ { W ^ { - } } ( y ) = { \frac { \Delta d ( x _ { a } ) \bar { u } ( x _ { b } ) - \Delta \bar { u } ( x _ { a } ) d ( x _ { b } ) } { d ( x _ { a } ) \bar { u } ( x _ { b } ) + \bar { u } ( x _ { a } ) d ( x _ { b } ) } }
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { I } + O ( | x | ^ { - 2 } ) , } & { z } & { \in \partial U ( 0 , \delta ) \cup \partial U ( z _ { 1 , \pm } , \delta ) \cup \partial U ( z _ { 2 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { I } + O ( e ^ { - c _ { 2 } | x | ^ { 2 } } ) , } & { z } & { \in \pi _ { k } , \ k = 1 , \cdots , 1 6 . } \end{array}
e _ { i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } S _ { i j k \ell } \sigma _ { k \ell } + \left( b _ { i j } ^ { ( 1 ) } + b _ { i j } ^ { ( 2 ) } \right) p _ { f }
w = \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 , } } & { { { \textrm { i f } } \quad s ( 0 ) \ne 0 , \pm 1 , \pm 2 , \ldots } } \\ { { f ( 0 ) / [ 2 s ^ { \prime } ( 0 ) ] , } } & { { { \textrm { i f } } \quad s ( 0 ) = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \ldots } } \end{array} \right.
\langle \partial X ^ { \mu } ( z ) \bar { \partial } X ^ { \nu } ( \bar { w } ) \rangle = - \delta ^ { \mu \nu } \left[ \pi \delta ^ { ( 2 ) } ( z - w ) - { \frac { \pi } { 2 } } \, \omega ( z ) \cdot ( \mathrm { I m } \tau ) ^ { - 1 } \cdot \bar { \omega } ( \bar { w } ) \right] ,
\begin{array} { r } { S t _ { s c r e e c h } = \frac { f h _ { j } } { u _ { j } } = 0 . 7 \left( \frac { 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } } { 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } M _ { j } ^ { 2 } } \right) ^ { ( \gamma + 1 ) / 2 ( \gamma - 1 ) } } \\ { \times \frac { M _ { j } } { \left[ 2 \left( M _ { j } ^ { 2 } - 1 \right) \left[ 1 + \frac { 0 \cdot 7 M _ { j } } { \left( 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } M _ { j } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \right] \right] } } \end{array}
\frac { d \hat { \sigma } } { d \hat { t } } = \frac { 2 \pi \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 9 M ^ { 4 } } \frac { \hat { s } } { \left( \hat { s } - M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } M ^ { 2 } }
S ^ { ( 3 ) } ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { q } ^ { \prime } ) = \langle \hat { n } ( \boldsymbol { q } ) \hat { n } ( \boldsymbol { q } ^ { \prime } ) \hat { n } ( - \boldsymbol { q } - \boldsymbol { q } ^ { \prime } ) \rangle _ { 0 }
\begin{array} { r l } & { \int _ { Q _ { T } } \left[ \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \right) ^ { 2 } \right] ^ { s } \chi \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | > \varepsilon \} } \\ { \leq } & { C _ { 1 } ( \Omega , T ) \lVert \left( \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u \right) ^ { 2 s } \rVert _ { L ^ { \rho ^ { \prime } } ( Q _ { T } ) } \cdot \left( \lVert \chi \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | > \varepsilon \} - \chi \{ | u - u _ { \nu } | > \varepsilon \} \rVert _ { L ^ { \rho } ( Q _ { T } ) } + \lVert \chi \{ | u - u _ { \nu } | > \varepsilon \} \rVert _ { L ^ { \rho } ( Q _ { T } ) } \right) } \\ { = } & { B _ { 2 } ( n , \nu , \varepsilon ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } \big ( \mathfrak { J } _ { n , \tau } \big ) = } & { \mathbf { P } \big ( \mathfrak { J } _ { n - 1 , \tau - 1 } \big ) \mathbf { P } ( U = 1 ) + \mathbf { P } \big ( \mathfrak { J } _ { n - 1 , \tau } \big ) \mathbf { P } ( U = 0 ) , } \\ { \mathbf { P } \big ( \mathfrak { K } _ { n , \tau , \kappa } \big ) = } & { \mathbf { P } \big ( \mathfrak { K } _ { n - 1 , \tau - 1 , \kappa - 1 } \big ) \mathbf { P } ( U = 1 ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \mathbf { P } \big ( \mathfrak { K } _ { n - 1 , \tau , \kappa } \big ) \mathbf { P } ( U = 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } \subset \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } } & { { } \xrightarrow [ \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ . ~ a ~ s ~ } ] { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ v ~ i ~ v ~ e ~ s ~ } } \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } \subset \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } . } \end{array}
[ \delta ^ { \prime } \vdash A ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } ( \delta ) ) : \textsc { T y p e } ] = [ \delta ^ { \prime \prime } \vdash A ( \delta ^ { \prime \prime } ) : \textsc { T y p e } ] = [ \delta ^ { \prime \prime } \vdash A ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime \prime } ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) : \textsc { T y p e } ] = [ \delta ^ { \prime } \vdash A ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime } ( \delta ^ { \prime } ) ) ]
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d p _ { y } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d p _ { z } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( p _ { y } - Q _ { 1 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( p _ { z } - Q _ { 2 } ) ^ { 2 } } g ( p _ { y } , p _ { z } ) } \\ { = \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { \pi } ( \kappa + 1 ) ^ { \kappa + 1 } } \left( V _ { 0 } + \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } Q _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { \kappa + 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B } f _ { i } ^ { \prime \prime } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \beta _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k - 2 } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma _ { i } + \delta _ { i } + \varepsilon _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k - 2 } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { \int _ { B } \Big [ f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) ) \Big ] ^ { \frac { 1 } { \rho } } \eta ^ { \frac { 2 k } { \rho } } \eta ^ { \frac { 2 k } { \rho ^ { * } } - 2 } \, \mathrm { d } x + c } \\ & { \leq } & { \varepsilon \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x + c ( \varepsilon , r ) \, . } \end{array}
\hat { \boldsymbol { C } } _ { 0 0 } ^ { v v } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; \alpha , \beta ) = \mathbb { E } [ \hat { v } ( y _ { 1 } , \alpha , \beta ) \hat { v } ( y _ { 2 } , \alpha , \beta ) ] = A \exp \left[ - \frac { ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \right] \mathrm { ~ . ~ }