harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { | \mathbf { r } + ( \mathbf { p } ( s - \eta _ { s } ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - \boldsymbol { \alpha } ( \eta _ { s } ) ) / \tilde { \Lambda } + \mathbf { r } _ { k } ( s , \eta _ { s } ) | } \\ & { \approx } & { | ( \mathbf { p } _ { m a x } ( s - \eta _ { 0 } ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - { \boldsymbol \alpha } ( \eta _ { 0 } ) ) / \Lambda + \mathbf { r } _ { k } ( s , \eta _ { 0 } ) + { \cal O } ( \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d L ( \tau ) = \Bigg ( f ( L ) + } \\ & { D ( L ) \ \frac { \partial } { \partial L } \log \left( \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L } d L ^ { \prime } \; e ^ { - \int ^ { L ^ { \prime } } \frac { 2 f ( L ^ { \prime \prime } ) } { D ( L ^ { \prime \prime } ) } d L ^ { \prime \prime } } H ( L ^ { \prime } ) \right) \Bigg ) d \tau } \\ & { + \sqrt { D ( L ) } \ d W _ { \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 } ( n _ { T } ) ( n _ { T } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { n } _ { T } ) ( \tilde { n } _ { T } ) + \overline { { ( n _ { T } ^ { 1 } - \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } ) \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } } } } \\ & { + } & { \overline { { ( n _ { T } ^ { 1 } - \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } ) ( n _ { T } ^ { 1 } - \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { k + 1 } - P _ { k } \leq } & { \Bigg [ \left[ \left( \frac { 1 } { 2 { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } } + \frac { 1 } { \rho } \right) c _ { 1 } ( \beta _ { k + 1 } ) - \frac { \gamma _ { k + 1 } } { 2 } \right] } \\ & { - \frac { { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } ( { \sqrt [ \eta ] { \rho } } \sigma ^ { 2 } - 4 M _ { F } ^ { 2 } ) + { \alpha } \beta _ { k + 1 } - 2 \gamma _ { k + 1 } } { 2 } \Bigg ] \| \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { + \left[ \left( \frac { 1 } { 2 { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } } + \frac { 1 } { \rho } \right) c _ { 2 } ( \beta _ { k } ) - \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \right] \| \Delta x _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { s } } & { { } = } & { \frac { \eta } { \kappa + i \big ( \Delta + G ( \varphi _ { \uparrow } ^ { \dag } \varphi _ { \uparrow } + \varphi _ { \downarrow } ^ { \dag } \varphi _ { \downarrow } ) \big ) } , } \\ { \varphi _ { \uparrow , \downarrow } } & { { } = } & { \frac { ( \pm \alpha \mp \frac { \delta } { 2 } ) \varphi _ { \downarrow , \uparrow } } { \frac { \Omega \pm i \Omega _ { z } } { 2 } + G c _ { s } ^ { \dag } c _ { s } + \frac { 1 } { 4 } U N ( \varepsilon + 1 ) - \gamma } , } \\ { \varphi _ { \uparrow , \downarrow } ^ { \dag } } & { { } = } & { \frac { ( \pm \alpha \mp \frac { \delta } { 2 } ) \varphi _ { \downarrow , \uparrow } ^ { \dag } } { \frac { \Omega \mp i \Omega _ { z } } { 2 } + G c _ { s } ^ { \dag } c _ { s } + \frac { 1 } { 4 } U N ( \varepsilon + 1 ) - \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { ( * ) } } & { = \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } E ^ { ( m ) } \, , } \\ { \sigma _ { E ^ { ( * ) } } ^ { 2 } } & { = \underbrace { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sigma _ { E ^ { ( m ) } } ^ { 2 } } _ { \mathrm { a l e a t o r i c } } + \underbrace { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \left( E ^ { ( m ) } - E ^ { ( * ) } \right) ^ { 2 } } _ { \mathrm { e p i s t e m i c } } \, . } \end{array}
m _ { L L } = \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { a ^ { 2 } } { X ^ { \prime } } + \frac { a ^ { 2 } } { X } + \frac { d ^ { 2 } } { Y } } } & { { \frac { a ^ { \prime } b ^ { \prime } } { X ^ { \prime } } + \frac { a b } { X } + \frac { d e } { Y } } } & { { \frac { a ^ { \prime } c ^ { \prime } } { X ^ { \prime } } + \frac { a c } { X } + \frac { d f } { Y } } } \\ { { . } } & { { \frac { b ^ { 2 } } { X ^ { \prime } } + \frac { b ^ { 2 } } { X } + \frac { e ^ { 2 } } { Y } } } & { { \frac { b ^ { \prime } c ^ { \prime } } { X ^ { \prime } } + \frac { b c } { X } + \frac { e f } { Y } } } \\ { { . } } & { { . } } & { { \frac { c ^ { 2 } } { X ^ { \prime } } + \frac { c ^ { 2 } } { X } + \frac { f ^ { 2 } } { Y } } } \end{array} \right)
\left[ { \frac { \lambda } { \mu } } \right] _ { 2 } \left[ { \frac { \mu } { \lambda } } \right] _ { 2 } = ( - 1 ) ^ { { \frac { \mathrm { N } \lambda - 1 } { 2 } } { \frac { \mathrm { N } \mu - 1 } { 2 } } } , \qquad \left[ { \frac { 1 - \omega } { \lambda } } \right] _ { 2 } = \left( { \frac { a } { 3 } } \right) , \qquad \left[ { \frac { 2 } { \lambda } } \right] _ { 2 } = \left( { \frac { 2 } { \mathrm { N } \lambda } } \right) .
\begin{array} { r l } { a _ { j i } ^ { l } } & { = f _ { \mathrm { R B F } } \left( D ( p ^ { l - 1 } ) _ { j i } \right) } \\ { a _ { k j , j i } ^ { l } } & { = f _ { \mathrm { S B F } } \left( D ( p ^ { l - 1 } ) _ { j i } , A ( p ^ { l - 1 } ) _ { k j , j i } \right) } \\ { m _ { j i } ^ { 1 } } & { = \sigma \left( [ h _ { j } ^ { 0 } | | h _ { i } ^ { 0 } | | a _ { j i } ^ { l } ] W + b \right) } \\ { m _ { j i , 2 - h o p } ^ { ( l + 1 ) } } & { = \sum _ { k \in N _ { j } \setminus { i } } f _ { \mathrm { i n t } } \left( m _ { k j } ^ { l } , a _ { j i } ^ { l } , a _ { k j , j i } ^ { l } \right) } \\ { m _ { j i } ^ { ( l + 1 ) } } & { = f _ { \mathrm { u p d a t e } } ( m _ { j i } ^ { l } , m _ { j i , 2 - h o p } ^ { ( l + 1 ) } ) } \\ { p _ { i } ^ { l + 1 } } & { = p _ { i } ^ { l } + \sum _ { j \in N ( i ) } ( p _ { i } ^ { l } - p _ { j } ^ { l } ) \theta _ { p o s } ( m _ { j i } ^ { ( l + 1 ) } ; \theta ^ { \prime } ) } \end{array}
\displaystyle - \left( - \frac { 1 } { 2 4 0 } + \frac { 1 } { 6 } \zeta ( 3 ) + \frac { 1 } { 8 0 } \zeta ( 4 ) + \frac { 7 } { 2 4 0 } \zeta ( 5 ) \right)
D _ { d } ( G ^ { \prime } , G ^ { \prime \prime } ) = \left[ \sum _ { h = 1 } ^ { r } \left( Q _ { d } ^ { \prime } ( h ) - Q _ { d } ^ { \prime \prime } ( h ) \right) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
\zeta = \underset { \zeta \ \geq \ 0 } { \mathrm { a r g \ m i n } } \ \ \mathrm { s . t . } \ \ \left[ \widetilde { \rho } _ { i } \geq 0 , \ \widetilde { P } _ { i } \geq 0 , \ \widetilde { \sigma } _ { i } \geq \sigma _ { \operatorname* { m i n } } \ \ \forall \ i \in \{ 1 , . . . , N _ { s } \} \right] .
\begin{array} { r l } { s _ { i } = } & { - \frac 1 2 \epsilon _ { i j k } \left( \psi _ { , k } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t j } } - \psi _ { , j } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t k } } \right) } \\ & { - \frac 1 2 \epsilon _ { i j k } \cdot 2 \left( \psi _ { , k \kappa } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t j \kappa } } - \psi _ { , j \kappa } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t k \kappa } } \right) } \\ & { + \frac 1 2 \epsilon _ { i j k } \left( \psi _ { , k } \partial _ { \chi } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t j \chi } } - \psi _ { , j } \partial _ { \chi } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t k \chi } } \right) } \\ { = } & { \psi _ { , j } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t k } } \epsilon _ { i j k } + 2 \psi _ { , j \kappa } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t k \kappa } } \epsilon _ { i j k } - \psi _ { , j } \partial _ { \chi } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t k \chi } } \epsilon _ { i j k } . } \end{array}
[ \mathbf { a } _ { \mathrm { R } } ( l _ { x } , l _ { y } ) ] _ { q } = \! \! \frac { 1 } { \sqrt { N _ { \mathrm { R } } } } e ^ { j \left( \frac { 2 \pi l _ { x } } { L _ { \mathrm { R } , x } } r _ { x } ^ { q } + \frac { 2 \pi l _ { y } } { L _ { \mathrm { R } , y } } r _ { y } ^ { q } + \gamma _ { \mathrm { R } } ( l _ { x } , l _ { y } ) r _ { z } ^ { q } \right) } ,
\Lambda ^ { ( n ) } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { s _ { C } ^ { ( n ) } } & { s _ { C - 1 } ^ { ( n ) } } & { s _ { C - 2 } ^ { ( n ) } } & & { . . . } & & { s _ { 1 } ^ { ( n ) } } \\ { 0 } & { s _ { C } ^ { ( n ) } } & { s _ { C - 1 } ^ { ( n ) } } & & { . . . } & & { s _ { 2 } ^ { ( n ) } } \\ { . . . } & { 0 } & { s _ { C } ^ { ( n ) } } & & { . . . } & & { s _ { 3 } ^ { ( n ) } } \\ { 0 } & { . . . } & { 0 } & & { . . . } & & { s _ { 4 } ^ { ( n ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { . . . } & & { . . . } & & { . . . } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & & { . . . } & & { s _ { C } ^ { ( n ) } } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { C \times C } .
\begin{array} { r l } { f _ { \mathbf { W } } \left( \mathbf { w } \right) } & { = \lvert \widetilde { \pmb { \Sigma } } \rvert ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot f _ { \mathbf { Z } } \left( \widetilde { \pmb { \Sigma } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot \left( \mathbf { w } - \widetilde { \pmb { \mu } } \right) \right) } \\ & { = \lvert \widetilde { \pmb { \Sigma } } \rvert ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot M _ { N } \cdot f _ { D L N } \left( \sqrt { \left( \mathbf { w } - \widetilde { \pmb { \mu } } \right) ^ { T } \cdot \widetilde { \pmb { \Sigma } } ^ { - 1 } \cdot \left( \mathbf { w } - \widetilde { \pmb { \mu } } \right) } \right) } \\ & { = \lvert \widetilde { \pmb { \Sigma } } \rvert ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot M _ { N } \cdot f _ { D L N } \left( \lvert \lvert \mathbf { w } - \widetilde { \pmb { \mu } } \rvert \rvert _ { \widetilde { \pmb { \Sigma } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( z , t ) = \sqrt { \frac { 1 } { \pi } ( \Delta x ) ( \Delta y ) \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { y } } \tilde { c } _ { i , j , k } ^ { n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { i j } ( x , \rho ) } & { = \gamma _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( x ) + \gamma _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( x ) \rho + \gamma _ { i j } ^ { ( 2 ) } ( x ) \rho ^ { 2 } + \cdots \, , } \\ { a _ { i } ( x , \rho ) } & { = a _ { i } ^ { ( 0 ) } ( x ) + a _ { i } ^ { ( 1 ) } ( x ) \rho + a _ { i } ^ { ( 2 ) } ( x ) \rho ^ { 2 } + \cdots \, . } \end{array}
l _ { 0 } = H , \quad u _ { 0 } = \sqrt { \frac { B _ { s } } { N } } , \quad b _ { 0 } = \frac { B _ { s } H } { \beta \cos \alpha } , \quad p _ { 0 } = \frac { B _ { s } H ^ { 2 } } { \beta \cos \alpha } , \quad t _ { 0 } = H \sqrt { \frac { N } { B _ { s } } } ,
\sigma _ { l } = \frac { 2 \pi ^ { \frac { d - 1 } { 2 } } \Gamma \left( l + d - 2 \right) \left( l + d / 2 - 1 \right) } { \omega ^ { d - 1 } \Gamma \left( d / 2 - 1 / 2 \right) \Gamma \left( l + 1 \right) } P ( l ) \, ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 1 } \end{array} \right) \colon \left( \begin{array} { l l l l } { X _ { 1 } } & { X _ { 2 } } & { \dots } & { X _ { n } } \\ { X _ { 1 } } & { X _ { 2 } } & { \dots } & { X _ { n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { X _ { 1 } } & { X _ { 2 } } & { \dots } & { X _ { n } } \end{array} \right) \to \left( \begin{array} { l l l l } { X _ { 1 } } & { X _ { 1 } } & { \dots } & { X _ { 1 } } \\ { X _ { 2 } } & { X _ { 2 } } & { \dots } & { X _ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { X _ { n } } & { X _ { n } } & { \dots } & { X _ { n } } \end{array} \right) , } \end{array}
I _ { E } \left[ A _ { \mu } , \phi , \bar { c } , c \right] = I _ { E } \left[ A _ { \mu } , \phi \right] + \triangle I \left[ A _ { \mu } , \phi \right] + I _ { \mathrm { g h } } \left[ \bar { c } , c , \phi \right] ~ ~ ~ ,
I ( r , z ) = { \frac { | E ( r , z ) | ^ { 2 } } { 2 \eta } } = I _ { 0 } \left( { \frac { w _ { 0 } } { w ( z ) } } \right) ^ { 2 } \exp \left( { \frac { - 2 r ^ { 2 } } { w ( z ) ^ { 2 } } } \right) ,
N = \left( \begin{array} { c c c } { { x ^ { 2 } y } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { x } } & { { x } } \\ { { 0 } } & { { O ( x ^ { 2 } ) } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { D } , \; \; \; M _ { R } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { A } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { A } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) m _ { R } ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { + } ^ { 2 } - \lambda _ { - } ^ { 2 } } & { \ge | \nabla Q _ { k } ^ { + } ( x _ { k } ) | ^ { 2 } - | \nabla Q _ { k } ^ { - } ( x _ { k } ) | ^ { 2 } } \\ & { = \alpha _ { k } ^ { 2 } - \beta _ { k } ^ { 2 } + 2 \varepsilon _ { k } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } p - \beta _ { k } ^ { 2 } q ) + o ( \varepsilon _ { k } ) } \\ & { = \lambda _ { + } ^ { 2 } - \lambda _ { - } ^ { 2 } + 2 \varepsilon _ { k } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } p - \beta _ { k } ^ { 2 } q ) + o ( \varepsilon _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \cal L } _ { \mathrm { g . f . } } } } & { { = } } & { { \displaystyle - \frac { 1 } { \xi } \mathrm { T r } ( f f ) , } } \\ { { f } } & { { = } } & { { \partial ^ { \mu } G _ { \mu } + i g \xi ( \phi ^ { \dagger } t ^ { A } \phi _ { 0 } - \phi _ { 0 } ^ { \dagger } t ^ { A } \phi ) t ^ { A } . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \frac { \partial f } { \partial q _ { a b } } \left( q _ { a d } w _ { d b } + q _ { d b } w _ { d a } \right) + \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { c } q _ { a b } } \bigg [ w _ { d c } \nabla _ { d } q _ { a b } + w _ { d b } \nabla _ { c } q _ { a d } + w _ { d a } \nabla _ { c } q _ { d b } \bigg ] , } \end{array}
\nabla f = \left( \frac { \partial f } { \partial w _ { 1 } } , . . . , \frac { \partial f } { \partial w _ { N _ { s } } } , \frac { \partial f } { \partial \ell _ { b 1 } } , . . . , \frac { \partial f } { \partial \ell _ { b N _ { b } } } , \frac { \partial f } { \partial \ell _ { p 1 } } , . . . , \frac { \partial f } { \partial \ell _ { p N _ { p } } } \right) .
\begin{array} { r l } { E } & { { } = \frac { \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta ( K ( \ensuremath { \mathbf { p } } ) + U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) ) } \ ( K ( \ensuremath { \mathbf { p } } ) + U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) ) } { \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta ( K ( \ensuremath { \mathbf { p } } ) + U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) ) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { Z = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \varepsilon \left( n + 1 / 2 \right) / k T } = e ^ { - \varepsilon / 2 k T } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - n \varepsilon / k T } = e ^ { - \varepsilon / 2 k T } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { - \varepsilon / k T } \right) ^ { n } } \\ { = { \frac { e ^ { - \varepsilon / 2 k T } } { 1 - e ^ { - \varepsilon / k T } } } = { \frac { 1 } { e ^ { \varepsilon / 2 k T } - e ^ { - \varepsilon / 2 k T } } } = { \frac { 1 } { 2 \sinh \left( { \frac { \varepsilon } { 2 k T } } \right) } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { U } ( \xi , t = 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { U } _ { l i q } ^ { - } + \xi \left( \mathbf { U } _ { l i q } \right) _ { \xi } ^ { - } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi < 0 } \\ { \mathbf { U } _ { g a s } ^ { + } + \xi \left( \mathbf { U } _ { g a s } \right) _ { \xi } ^ { + } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi \geq 0 } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { X } } } & { = \mathbf { I } + \frac { 1 } { 2 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } \left( 4 - \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \sin \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert - 4 \cos \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } + \frac { 1 } { 2 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 3 } } \left( 4 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert - 5 \sin \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert + \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \cos \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 4 } } \left( 2 - \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \sin \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert - 2 \cos \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 5 } } \left( 2 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert - 3 \sin \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert + \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \cos \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 4 } } \\ & { = \mathbf { I } + \left( \beta - \frac { \alpha } { 2 } \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } + \frac { 1 } { 2 } \left( 5 \delta - \frac { \beta } { 2 } \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } \left( \beta - \alpha \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } \left( 3 \delta - \frac { \beta } { 2 } \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 4 } } \\ { \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { X } } ^ { - 1 } } & { = \mathbf { I } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } + \left( \frac { 2 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } + \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert + 3 \sin \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { 4 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \left( \cos \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert - 1 \right) } \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 4 } } + \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert + \sin \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { 4 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 3 } \left( \cos \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert - 1 \right) } \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 4 } } \\ & { = \mathbf { I } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } + \frac { 1 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } \left( 2 - \frac { 1 + 3 \alpha } { 2 \beta } \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 4 } } \left( 1 - \frac { 1 + \alpha } { 2 \beta } \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { t > 0 } \frac { \P \left( \bigcap _ { j \in S } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { n } Z _ { j } ^ { ( k ) } > t x _ { j } \right\} \right) } { \P \left( Z _ { ( i ) } ^ { \oplus } > t \right) } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { t > 0 } \frac { \P \left( \bigcap _ { j \in \widetilde S } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { n } Z _ { j } ^ { ( k ) } > t \operatorname* { m i n } _ { j \in S } x _ { j } \right\} \right) } { \P \left( Z _ { ( i ) } ^ { \oplus } > t \operatorname* { m i n } _ { j \in S } x _ { j } \right) } \frac { \P \left( Z _ { ( i ) } ^ { \oplus } > t \operatorname* { m i n } _ { j \in S } x _ { j } \right) } { \P \left( Z _ { ( i ) } ^ { \oplus } > t \right) } } \\ & { \leq } & { \alpha _ { i , n } \operatorname* { s u p } _ { t > 0 } \frac { \P \left( Z _ { ( i ) } ^ { \oplus } > t \operatorname* { m i n } _ { j \in S } x _ { j } \right) } { \P \left( Z _ { ( i ) } ^ { \oplus } > t \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathcal { E } _ { 5 } ^ { \mathbb { Q } } | \leq \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } } \left| \eta - \int _ { \mathbb { Q } } \eta \right| \mathcal { L } ^ { n } ( \mathbb { Q } ) ( 1 + r _ { \mathbb { Q } } + \varepsilon ) \leq \mathcal { L } ^ { n } ( \mathbb { Q } ) ^ { \frac { 1 } { n } } \int _ { \mathbb { Q } } ( 2 + \phi \star \lambda ^ { s } ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \phi \left( x \right) - \phi \left( y \right) \right| } & { \le \sum _ { i = 1 } ^ { \lceil t \rceil } \left| \phi \left( \frac { ( \lceil t \rceil - i + 1 ) x + ( i - 1 ) y } { \lceil t \rceil } \right) - \phi \left( \frac { ( \lceil t \rceil - i ) x + i y } { \lceil t \rceil } \right) \right| } \\ & { \le \lceil t \rceil \omega _ { \phi } ( r ) } \end{array}
\lambda _ { l } = 1 / 2 + ( - 1 ) ^ { l - 1 } \sqrt { ( j + 1 / 2 ) ^ { 2 } - ( \beta g / 2 ) ^ { 2 } } , \qquad l = 1 , 2 , \quad \lambda _ { 0 } = \lambda _ { 3 } = 0 .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathscr { N } } = } & { \biggl \{ \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \theta } : \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { a } } ) \to \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { u } } ) \, : \, \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \theta } = ( W _ { L } + \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { L } ) \circ \sigma ( W _ { L - 1 } + \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { L - 1 } ) \circ \cdots \circ \sigma ( W _ { 0 } + \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { 0 } ) } \\ & { \theta = ( W _ { \ell } , \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { \ell } ) _ { \ell = 0 , . . . , L } , \, W _ { \ell } \in \mathbb { R } ^ { d _ { \ell + 1 } \times d _ { \ell } } , \mathrm { ~ a n d ~ } \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { \ell } : \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { \ell } } ) \to \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { \ell + 1 } } ) , \, \mathrm { ~ a n d ~ } d _ { 0 } = d _ { a } , \ d _ { L + 1 } = d _ { u } \biggr \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } ^ { k + 1 } } & { = p r o x _ { \mu f ^ { * } } ( \mathbf { y } ^ { k } + \mu \mathbf { K } \bar { \mathbf { x } } ^ { k } ) } \\ { \mathbf { x } ^ { k + 1 } } & { = p r o x _ { \tau g } ( \mathbf { x } ^ { k } - \tau \mathbf { K } ^ { H } \mathbf { y } ^ { k + 1 } ) } \\ { \bar { \mathbf { x } } ^ { k + 1 } } & { = 2 \mathbf { x } ^ { k + 1 } - \mathbf { x } ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { s } = \displaystyle { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } } \, \displaystyle { \sum _ { m = - l } ^ { l } } \Big [ - \beta _ { l m } \, { \boldsymbol \nabla } _ { s } \left( P _ { l } ^ { m } ( \cos \theta ) \, e ^ { i m \phi } \right) + \gamma _ { l m } \, { \bf \hat { r } } \times { \boldsymbol \nabla } _ { s } \left( P _ { l } ^ { m } ( \cos \theta ) \, e ^ { i m \phi } \right) \Big ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } } & { = \Delta _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { \mathrm { H } ( \pm ) } , \, \, \, \, \, \, \, n _ { x } ^ { \prime } , n _ { x } \leq n _ { x } ^ { \mathrm { N H } } , \, \, n _ { y } ^ { \prime } , n _ { y } \leq n _ { y } ^ { \mathrm { N H } } , \, \, \delta _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { x } } \delta _ { n _ { y } ^ { \prime } , n _ { y } } = 0 , } \\ { \Delta _ { n _ { x } , n _ { y } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } } & { = \Delta _ { n _ { x } , n _ { y } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { \mathrm { H } ( \pm ) } + i \sum _ { n _ { x } ^ { \prime } = ( n _ { x } ^ { \mathrm { N H } } + 1 ) } ^ { n _ { x } ^ { \mathrm { H } } } \; \sum _ { n _ { y } ^ { \prime } = ( n _ { y } ^ { \mathrm { N H } } + 1 ) } ^ { n _ { y } ^ { \mathrm { H } } } | \Delta _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { \mathrm { H } ( \pm ) } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \boldsymbol f } ( 0 , t ) = \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \iiint _ { \Omega _ { L } } \boldsymbol f ( \boldsymbol x , t ) d \, \boldsymbol x = \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { b } } \omega _ { j } \boldsymbol F _ { j } ( t ) , } \\ & { \hat { \boldsymbol u } ( 0 , t ) = \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \iiint _ { \Omega _ { L } } \boldsymbol u ( \boldsymbol x , t ) d \, \boldsymbol x . } \end{array}
T _ { \theta ^ { \prime } \iota ^ { \prime } \cdots \kappa ^ { \prime } } ^ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \cdots \zeta ^ { \prime } } = \Lambda ^ { \alpha ^ { \prime } } _ { \mu } \Lambda ^ { \beta ^ { \prime } } _ { \nu } \cdots \Lambda ^ { \zeta ^ { \prime } } _ { \rho } \Lambda _ { \theta ^ { \prime } } ^ { \sigma } \Lambda _ { \iota ^ { \prime } } ^ { \upsilon } \cdots \Lambda _ { \kappa ^ { \prime } } ^ { \phi } T _ { \sigma \upsilon \cdots \phi } ^ { \mu \nu \cdots \rho }
\mathbf { A } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { A } _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { A } _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \mathbf { A } _ { n } } \end{array} \right] }