harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { { \mathbf { V } } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , - } = \mathcal { R } _ { \mathrm { W E N O } } ( \overline { { \mathbf { V } } } _ { i - 2 , j + \frac { 1 } { 2 } } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i - 1 , j + \frac { 1 } { 2 } } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + 1 , j + \frac { 1 } { 2 } } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + 2 , j + \frac { 1 } { 2 } } ) , } \\ { { \mathbf { V } } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , + } = \mathcal { R } _ { \mathrm { W E N O } } ( \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + 3 , j + \frac { 1 } { 2 } } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + 2 , j + \frac { 1 } { 2 } } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + 1 , j + \frac { 1 } { 2 } } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i - 1 , j + \frac { 1 } { 2 } } ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { s } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } ) } & { = \sum _ { N = 0 } ^ { + \infty } p _ { s _ { N } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) P _ { N } ( \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) } \\ & { = \sum _ { N = 0 } ^ { + \infty } p _ { T e s _ { N } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N + 1 ) P _ { N } ( \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \omega _ { a b } ) = \left( \begin{array} { l l l } { 0 . } & { 0 . 3 5 6 } & { 1 . 1 3 1 } \\ { - 0 . 3 5 6 } & { 0 . } & { - 0 . 8 0 3 } \\ { - 1 . 1 3 1 } & { 0 . 8 0 3 } & { 0 . } \end{array} \right) \approx \left( \begin{array} { l l l } { 0 . } & { 0 . 3 3 6 } & { 1 . 2 1 9 } \\ { - 0 . 3 3 6 } & { 0 . } & { - 0 . 8 6 5 } \\ { - 1 . 2 1 9 } & { 0 . 8 6 5 } & { 0 . } \end{array} \right) = ( \omega _ { 0 , a b } ) + 0 . 1 ( \omega _ { a b } ^ { \prime } ) , } \end{array}
- 2 \omega t _ { o , n , \nu } = \omega t _ { f , n , \nu } = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \left( \frac { 8 n \hbar \mu _ { \nu } \omega ^ { 3 } } { e ^ { 2 } F _ { \mathrm { { T H z } } } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } .
\begin{array} { l l l } { { E _ { \pm } ^ { \dagger } = E _ { \mp } , } } & { { \quad \quad H ^ { \dagger } = H , } } & { { \quad \quad \quad \mathrm { f o r } \quad s u ( 2 ) , } } \\ { { E _ { \pm } ^ { \dagger } = - E _ { \mp } , } } & { { \quad \quad H ^ { \dagger } = H , } } & { { \quad \quad \quad \mathrm { f o r } \quad s u ( 1 , 1 ) . } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal L S } ^ { n } \equiv \frac { D } { D t } \overline { { ( \delta u _ { i } ^ { n } ) ^ { 2 } } } + \frac { \partial } { \partial _ { X _ { j } } } \overline { { \frac { u _ { j } ^ { n , + } + u _ { j } ^ { n , - } } { 2 } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } + 2 \overline { { \delta u _ { i } ^ { n } \delta u _ { j } ^ { n } } } \frac { \partial \overline { { U ^ { n } } } _ { i } } { \partial x _ { j } } } \\ { + \frac { 2 } { \rho _ { n } } \partial _ { X _ { i } } \overline { { \delta P ^ { n } \delta u _ { i } ^ { n } } } - 2 \frac { \rho _ { s } } { \rho } \overline { { ( \delta u _ { i } ^ { n } ) ( \delta F _ { i } ^ { n s } ) } } - 2 \overline { { ( \delta u _ { i } ^ { n } ) ( \delta f _ { i } ^ { n } ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \kappa } { d t } = } & { { } \left( \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \cdot \boldsymbol { H } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \right) \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \perp } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } - { l } } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } - \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \widehat { p } \left( X _ { t + 1 } ~ | ~ \mathcal { P } ; \theta \right) } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \log \frac { p ( X _ { t + 1 } ~ | ~ \mathcal { P } ) } { \widehat { p } ( X _ { t + 1 } ~ | ~ \mathcal { P } ; \theta ) } \right] \quad + \quad \underbrace { I \left( X _ { t + 1 } ; \mathbf { X } _ { t + 1 } ^ { - } \setminus \mathcal { P } ~ | ~ \mathcal { P } \right) } _ { = 0 } \quad + \quad H \left( X _ { t + 1 } ~ | ~ \mathbf { X } _ { t + 1 } ^ { - } \right) \, , } \end{array}
S = \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g } \left( { \frac { R } { 2 } } - \Lambda _ { b } + { \cal L } ^ { ( M ) } \right) + \sum _ { j = 1 , 2 \ \mathrm { b r a n e s } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g ^ { ( j ) } } \left( { \cal L } _ { j } ^ { ( M ) } - \Lambda _ { j } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { \left. { n } _ { \mathrm { i n d } } ( \boldsymbol { x } ) \right| _ { \boldsymbol { X } , A } } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { l = m } ^ { \infty } \left. { n } _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 2 l ) } ( 2 m \boldsymbol { X } ) \right| _ { A } \delta _ { \boldsymbol { x } , 2 m \boldsymbol { X } } } \\ & { + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { l = m } ^ { \infty } \left. { n } _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 2 l - 1 ) } [ ( 2 m - 1 ) \boldsymbol { X } ] \right| _ { A } \delta _ { \boldsymbol { x } , ( 2 m - 1 ) \boldsymbol { X } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c _ { i + 1 } ( F ^ { * } ) - c _ { i + 1 } ( Z _ { i + 1 } ) } \\ { } & { ~ ~ = c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( Z _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus Z _ { i } ) - f _ { 8 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { i } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { v i s c } ^ { * } = \mathbf { F } _ { v i s c , 1 } ^ { * } + \mathbf { F } _ { v i s c , 2 } ^ { * } + \mathbf { F } _ { v i s c , 3 } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Bar { P } _ { c } ^ { a } = 1 4 . 3 0 3 \, \, , \, \, \, \, \, \Bar { T } _ { c } ^ { a } = 8 . 9 4 2 \, \, , \, \, \, \, \, r _ { 0 ( c ) } ^ { a } = 0 . 2 3 4 4 , } \\ & { \Bar { P } _ { c } ^ { b } = 4 3 . 6 9 7 \, \, , \, \, \, \, \, \Bar { T } _ { c } ^ { b } = 2 0 . 6 6 2 \, \, , \, \, \, \, \, r _ { 0 ( c ) } ^ { b } = 0 . 1 7 7 3 . } \end{array}
j _ { a _ { 1 } } = - \frac 1 { \lambda ^ { 2 } } Z _ { \; a _ { 1 } } ^ { a } \Delta _ { a b } \left( \lambda f ^ { b } \left( Q \right) + Z _ { \; b _ { 1 } } ^ { b } y ^ { b _ { 1 } } - \dot { z } ^ { b } \right) \equiv - \lambda Z _ { \; a _ { 1 } } ^ { a } j _ { a } ,
\dot { m } = 0 . 1 4 { \left( { \frac { { { I _ { a } } } } { { { { 1 0 } ^ { 1 3 } } \mathrm { { W / c } } { \mathrm { { m } } ^ { \mathrm { { 2 } } } } } } } \right) ^ { 0 . 3 6 } } \frac { \mathrm { { g } } } { { \mathrm { { c } } { \mathrm { { m } } ^ { \mathrm { { 2 } } } } \cdot \mathrm { { \ m u s } } } } ,
\begin{array} { r l } { \xi w + \zeta ^ { 2 } + \zeta f _ { d _ { 1 } - a _ { \zeta } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x ) + f _ { d _ { 1 } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x , w ) } & { = 0 } \\ { \xi ^ { r } x _ { \mu } + \xi ^ { r - 1 } g _ { d _ { 2 } - ( r - 1 ) a _ { \xi } } + \cdots + \xi g _ { d _ { 2 } - a _ { \xi } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x , \zeta , w ) + w \zeta + g _ { d _ { 2 } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x ) } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { c } ( s _ { c } ) } & { { } = k _ { 1 } C _ { 0 } ( C _ { 0 } - 1 ) \left( e ^ { 2 r \, \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } } - 1 \right) + 2 k _ { 2 } C _ { 0 } D _ { 0 } \left( e ^ { s \, \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } } - 1 \right) \, , } \\ { \lambda _ { d } ( s _ { d } ) } & { { } = 2 k _ { 2 } C _ { 0 } D _ { 0 } \left( e ^ { \tau \, \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } } - 1 \right) + k _ { 4 } D _ { 0 } ( D _ { 0 } - 1 ) \left( e ^ { 2 p \, \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } } - 1 \right) \, , } \end{array}
\varphi _ { B } ( x ) = \frac { f _ { B } } { 1 2 } \, \frac { x ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 } } { [ a ^ { 2 } x + ( 1 - x ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } } \cdot \left\lbrace \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 } } { [ a ^ { 2 } x + ( 1 - x ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } } \; d x \right\rbrace ^ { - 1 }
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { x _ { 3 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { 4 ( x _ { 1 } - 2 ) ^ { 2 } - 2 u _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 1 } - u _ { 2 } ^ { 2 } + 2 x _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 2 } \leq x _ { 3 } } \\ & { x \in X = [ - 1 0 0 , 1 0 0 ] ^ { 2 } , } \\ & { u \in U = [ - 5 , 5 ] ^ { 2 } . } \end{array} \right.
Q _ { z z } = - \frac { 1 } { 2 } \, \left< \alpha \, J \, J \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \, \left( 2 z ^ { 2 } ( i ) - x ^ { 2 } ( i ) - y ^ { 2 } ( i ) \right) \right| \alpha \, J \, J \right> .
\begin{array} { r l } { \frac { N } { i } \left( \Sigma _ { i } ^ { ( N , G ) } - \Sigma _ { i } ^ { ( N + 1 , G ) } \right) } & { = \frac { N } { i } \frac { G } { \left( 2 G - 1 \right) } \frac { i } { N } \left( \frac { \Gamma \left( N + 1 \right) \Gamma \left( i - 1 + 1 / G \right) } { \Gamma \left( i + 1 \right) \Gamma \left( N - 1 + 1 / G \right) } + 1 - 1 / G \right) } \\ & { - \frac { N } { i } \frac { G } { \left( 2 G - 1 \right) } \frac { i } { \left( N + 1 \right) } \left( \frac { \Gamma \left( N + 2 \right) \Gamma \left( i - 1 + 1 / G \right) } { \Gamma \left( i + 1 \right) \Gamma \left( N + 1 / G \right) } + 1 - 1 / G \right) } \\ & { = \frac { \left( G - 1 \right) } { \left( 2 G - 1 \right) \left( N + 1 \right) } + \frac { G \Gamma \left( N + 1 \right) \Gamma \left( i - 1 + 1 / G \right) } { \left( 2 G - 1 \right) \Gamma \left( i + 1 \right) \Gamma \left( N - 1 + 1 / G \right) } \left( 1 - \frac { N } { N - 1 + 1 / G } \right) } \\ & { = - \frac { \left( 1 - G \right) } { \left( 2 G - 1 \right) \left( N + 1 \right) } + \frac { \left( 1 - G \right) \Gamma \left( N + 1 \right) \Gamma \left( i - 1 + 1 / G \right) } { \left( 2 G - 1 \right) \Gamma \left( i + 1 \right) \Gamma \left( N + 1 / G \right) } } \\ & { = \frac { \left( 1 - G \right) } { \left( 2 G - 1 \right) } \frac { 1 } { \left( N + 1 \right) } \left( \frac { \Gamma \left( N + 2 \right) \Gamma \left( i - 1 + 1 / G \right) } { \Gamma \left( N + 1 / G \right) \Gamma \left( i + 1 \right) } - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { U } ( t ) = \hat { S } _ { \pi } ^ { \dagger } ( r ) \hat { U } _ { H } ( t / 2 ) \hat { S } _ { \pi } ( r ) \hat { S } _ { 0 } ^ { \dagger } ( r ) \hat { U } _ { H } ( t / 2 ) \hat { S } _ { 0 } ( r ) , } \end{array}
\mathsf { f } _ { : , \, j } ^ { n , \star } = \mathsf { A } ^ { v _ { j } } \mathsf { f } _ { : , \, j } ^ { n } \, , \quad \mathrm { w i t h } \quad \mathsf { A } _ { k l } ^ { v } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \alpha ( v ) \, , } & { l = k + \mathrm { n } ( v ) \, , } \\ { \alpha ( v ) \, , } & { l = k + \mathrm { n } ( v ) + 1 \, , } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } \, . } \end{array} \right.
\theta = \left( \begin{array} { l } { { \theta ^ { \alpha } } } \\ { { \theta ^ { \alpha ^ { \prime } } } } \end{array} \right) \ , \qquad \kappa = \left( \begin{array} { l } { { \kappa ^ { \alpha } } } \\ { { \kappa ^ { \alpha ^ { \prime } } } } \end{array} \right) \ , \qquad \epsilon = \left( \begin{array} { l } { { \epsilon ^ { \alpha } } } \\ { { \epsilon ^ { \alpha ^ { \prime } } } } \end{array} \right)
{ \pmb { c } } _ { k } = { \pmb { c } } _ { k } - \alpha \left[ C \left( { \pmb { \psi } } _ { T } \star \left[ { \pmb { \psi } } _ { T } \circledast \mathrm { \bf p a d } ( { \pmb { c } } _ { k } ) - \bf y _ { T } \right] \right) + \lambda ^ { 2 } \, { \pmb { c } } _ { k } \right]
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \xi ^ { \nu } + u ^ { \nu } \cdot \nabla \xi ^ { \nu } = \nu \left( \Delta \xi ^ { \nu } + \frac { 3 } { r } \partial _ { r } \xi ^ { \nu } \right) + g ^ { \nu } } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \mathbb { H } , } \\ { \partial _ { r } \xi ^ { \nu } = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \mathbb { H } , } \\ { \xi ^ { \nu } | _ { t = 0 } = \xi _ { 0 } ^ { \nu } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { H } , } \\ { u ^ { \nu } = G \ast \omega ^ { \nu } , f ^ { \nu } = G \ast \tilde { g } ^ { \nu } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathcal { E } } ( \psi _ { \mathcal { E } } ^ { - 1 } ( \mathsf { q } ( a ) ) ) } & { = \psi _ { \mathcal { E } } ( a ) = \mathsf { q } ( a ) } \\ { \psi _ { \mathcal { E } } ( \psi _ { \mathcal { E } } ^ { - 1 } ( \lambda ( x ) ) ) } & { = \psi _ { \mathcal { E } } ( \delta _ { \mathcal { E } } ( x ) ) = \psi _ { \mathcal { E } } ( \mathsf { z } ( x ) ) = \mathsf { q } ( \mathsf { z } ( x ) ) = x } \\ { \psi _ { \mathcal { E } } ( \psi _ { \mathcal { E } } ^ { - 1 } ( \lambda ( \mathsf { d } ( x ) ) ) ) } & { = \psi _ { \mathcal { E } } ( \delta _ { \mathcal { E } } ( \mathsf { d } ( x ) ) ) = \psi _ { \mathcal { E } } ( \mathsf { D } _ { \lambda } ( x ) ) = \mathsf { D } _ { \lambda } ( x ) = \lambda ( \mathsf { d } ( x ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { P ^ { ( 2 ) } ( t ) = ( 1 - f ) \chi _ { h } ^ { ( 2 ) } E _ { \mathrm { a v } } ( t ) ^ { 2 } + f \chi _ { i } ^ { ( 2 ) } x E _ { \mathrm { l o c } } ( t ) ^ { 2 } , } \\ { P ^ { ( 3 ) } ( t ) = ( 1 - f ) \chi _ { h } ^ { ( 2 ) } E _ { \mathrm { a v } } ( t ) ^ { 3 } + f \chi _ { i } ^ { ( 3 ) } x E _ { \mathrm { l o c } } ( t ) ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 2 } \, \biggl ( \frac { \delta ( \boldsymbol { v } _ { 2 } - \boldsymbol { v } _ { 4 } ) } { \omega ^ { \prime } + \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } _ { 4 } } } & { - \frac { 1 } { n _ { i } } \frac { k _ { i 0 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e 1 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \epsilon ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } \frac { \boldsymbol { k \cdot v } _ { 2 } } { \omega + \boldsymbol { k \cdot v } _ { 2 } } \frac { 1 } { \omega + \boldsymbol { k \cdot v } _ { 4 } } f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } _ { 2 } ) \biggr ) } \\ & { = \frac { 1 } { \omega ^ { \prime } + \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } _ { 4 } } + \frac { 1 - \epsilon ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } { \epsilon ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } \frac { 1 } { \omega ^ { \prime } + \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } _ { 4 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \epsilon ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } \frac { 1 } { \omega ^ { \prime } + \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } _ { 4 } } \, . } \end{array}
S _ { i j k \ell } ^ { u \, \, ( 2 ) } = S _ { i j k \ell } + \Delta _ { i j k \ell } ^ { ( 2 ) } : = S _ { i j k \ell } - \frac { 1 } { 9 } S ^ { ( 2 ) } B _ { i j } ^ { ( 2 ) } B _ { k \ell } ^ { ( 2 ) } \, .
\begin{array} { r l } { U _ { \Delta _ { 2 } } = } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } \mathrm { { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } \bar { 3 } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } { \mathrm { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } \bar { 3 } } } } \right) { \eta _ { 1 } } + \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } \mathrm { { 3 } } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } + \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } { \mathrm { 2 ^ { \prime } } } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } { \mathrm { 2 ^ { \prime } } } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } } \right) { \eta _ { 3 ^ { \prime } } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d Y _ { s } = } & { d \left( \exp \left( - \int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \tau } , \tau ) \, d \tau \right) \right) u ( X _ { s } , s ) + \exp \left( - \int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \tau } , \tau ) \, d \tau \right) \, d u ( X _ { s } , s ) } \\ & { + d \left( \exp \left( - \int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \tau } , \tau ) \, d \tau \right) \right) d u ( X _ { s } , s ) + d \left( \int _ { t } ^ { s } \exp \left( - \int _ { t } ^ { r } V ( X _ { \tau } , \tau ) \, d \tau \right) f ( X _ { r } , r ) \, d r \right) } \end{array} }
{ \cal O } _ { \pm } ^ { a } ( \{ x \} ) : = \frac { 1 } { ( N ! ) ^ { 2 } } \sum _ { \pi , \pi ^ { \prime } } \prod _ { a = 1 } ^ { N } \overline { { { \psi } } } ^ { ( a ) } ( x ^ { ( \pi ( a ) ) } ) P _ { \pm } \psi ^ { ( a ) } ( x ^ { ( \pi ( a ) ) } ) \; .
\begin{array} { r l r } & { } & { \exp \left[ i \nu \int _ { t _ { s } } ^ { t _ { 0 } - i \delta } d s \frac { \kappa } { | \mathbf { r } + \mathbf { p } ( s - t _ { s } ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - \boldsymbol { \alpha } ( t _ { s } ) | } \right] } \\ { \approx } & { } & { \exp \left[ \nu \int _ { 0 } ^ { 1 } d \sigma \left( \frac { \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } \left( 2 \delta \kappa ^ { 2 } - ( \sigma - 1 ) ^ { 2 } R _ { E } ^ { 2 } \right) } { 2 ( \sigma - 1 ) ^ { 2 } R _ { E } } + \frac { 1 } { \sigma - 1 } \right) \right] } \\ & { } & { + { \cal O } ( \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } ) } \\ { \approx } & { } & { \left[ \delta \kappa ^ { 2 } \left( 1 / R _ { E } - \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } \right) \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } \right] ^ { \nu } + { \cal O } ( \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } ) } \\ { \approx } & { } & { \left( \delta \kappa / r _ { E } \right) ^ { \nu } + { \cal O } ( \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { D } } & { = \operatorname { t r u n c } ( \mathrm { D } _ { \mathrm { d e c } } , 0 ) } \\ { \mathrm { M } } & { = \operatorname { t r u n c } ( 6 0 \times | \mathrm { D } _ { \mathrm { d e c } } - \mathrm { D } | , 0 ) } \\ { \mathrm { S } } & { = 3 6 0 0 \times | \mathrm { D } _ { \mathrm { d e c } } - \mathrm { D } | - 6 0 \times \mathrm { M } } \end{array} }
E : = - \sum _ { x = - L } ^ { l - 1 } a _ { x , 1 } ^ { \ast } a _ { x , 1 } + \sum _ { x = - l } ^ { l } \frac { x } { l } \left( a _ { x , 1 } ^ { \ast } a _ { x , 1 } + a _ { x , 0 } ^ { \ast } a _ { x , 0 } \right) + \sum _ { x = l + 1 } ^ { L } a _ { x , 1 } ^ { \ast } a _ { x , 1 } ,
\begin{array} { r } { F = \int { d { \bf { r } } ^ { 2 } } \{ J [ \nabla { \bf { L } } ( { \bf { r } } ) ] ^ { 2 } + A [ { \bf { m } } ( { \bf { r } } ) ] ^ { 2 } + \mathcal { D } _ { K } \hat { p } \cdot { \bf { L } } ( { \bf { r } } ) \times { \bf { m } } ( { \bf { r } } ) + \mathcal { D } _ { C } { \bf { L } } ( { \bf { r } } ) \cdot [ ( \hat { p } \times { \bf { \nabla } } ) \times { \bf { L } } ( \bf { r } ) ] \} , } \end{array}
T _ { j } = \frac { \partial } { \partial z _ { j } } - \bar { z } _ { j } \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } z _ { k } \frac { \partial } { \partial z _ { k } } , \quad \quad \overline { { T } } _ { j } = \frac { \partial } { \partial \bar { z } _ { j } } - z _ { j } \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } \bar { z } _ { k } \frac { \partial } { \partial \bar { z } _ { k } } ,
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \xi } _ { 1 m } ( \theta , \varphi ) } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 \pi } } \left( \cos \theta e ^ { i m \varphi } \hat { { \bf u } } _ { \theta } + i m e ^ { i m \varphi } \hat { { \bf u } } _ { \varphi } \right) } \\ { \boldsymbol { \eta } _ { 1 m } ( \theta , \varphi ) } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 \pi } } \left( \cos \theta e ^ { i m \varphi } \hat { { \bf u } } _ { \theta } - i m e ^ { i m \varphi } \hat { { \bf u } } _ { \varphi } \right) } \end{array}
\begin{array} { c } { { U _ { 0 } ( z ) = \frac 1 2 ( u _ { 0 } + u _ { - 1 } ) + \frac 1 { \sqrt { 2 } } ( u _ { 0 } - u _ { - 1 } ) \, z _ { p e r } } } \\ { { V _ { 0 } ( z ) = \frac 1 2 ( v _ { 0 } + v _ { - 1 } ) + \frac 1 { \sqrt { 2 } } ( v _ { 0 } - v _ { - 1 } ) \, z _ { p e r } , } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { e _ { 1 } } & { = - { \frac { \Omega ( \alpha ^ { 4 } ) } { \Xi ^ { \prime } ( \alpha ^ { 4 } ) } } = { \frac { \alpha ^ { - 4 } + \alpha ^ { - 7 } + \alpha ^ { - 5 } + \alpha ^ { 7 } } { \alpha ^ { - 5 } } } = { \frac { \alpha ^ { - 5 } } { \alpha ^ { - 5 } } } = 1 } \\ { e _ { 2 } } & { = - { \frac { \Omega ( \alpha ^ { 7 } ) } { \Xi ^ { \prime } ( \alpha ^ { 7 } ) } } = { \frac { \alpha ^ { - 4 } + \alpha ^ { - 4 } + \alpha ^ { 1 } + \alpha ^ { 1 } } { \alpha ^ { 1 } } } = 0 } \\ { e _ { 3 } } & { = - { \frac { \Omega ( \alpha ^ { 1 0 } ) } { \Xi ^ { \prime } ( \alpha ^ { 1 0 } ) } } = { \frac { \alpha ^ { - 4 } + \alpha ^ { - 1 } + \alpha ^ { 7 } + \alpha ^ { - 5 } } { \alpha ^ { 7 } } } = { \frac { \alpha ^ { 7 } } { \alpha ^ { 7 } } } = 1 } \\ { e _ { 4 } } & { = - { \frac { \Omega ( \alpha ^ { 2 } ) } { \Xi ^ { \prime } ( \alpha ^ { 2 } ) } } = { \frac { \alpha ^ { - 4 } + \alpha ^ { 6 } + \alpha ^ { 6 } + \alpha ^ { 1 } } { \alpha ^ { 6 } } } = { \frac { \alpha ^ { 6 } } { \alpha ^ { 6 } } } = 1 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { E _ { X } ( \vec { x } , z , \omega ) } & { = \rho _ { m } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) e ^ { i \phi _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) } \cos ( \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) } \\ { E _ { Y } ( \vec { x } , z , \omega ) } & { = \rho _ { m } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) e ^ { i \phi _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) } \sin ( \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) } \end{array}
{ \frac { \partial R } { \partial E ^ { \prime } } ( E ^ { \prime } ) } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathop { d E _ { T } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathop { d E _ { 0 } } \Theta ( E _ { T } - \delta ) \mathcal { N } ( E ^ { \prime } , E _ { T } | E _ { 0 } , \Sigma ) \frac { \partial R } { \partial E _ { 0 } } ( E _ { 0 } ) .
\langle \nabla _ { p } \theta ( p , t ) , p \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { a } } \, b ^ { T } \, p \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } b ^ { T } \, p > r \, \overline { { a } } \, , } \\ { ( b ^ { T } \, p ) ^ { 2 } / r \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } r \, \underline { { a } } \le b ^ { T } \, p \le r \, \overline { { a } } \, , } \\ { \underline { { a } } \, b ^ { T } \, p \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } b ^ { T } \, p < r \, \underline { { a } } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \zeta } { \mathrm { d } \tau } } & { = C _ { 1 2 } ( \eta ) + s C _ { 1 3 } ( \eta ) \equiv F _ { \zeta } ( \eta , s ) \, , } \\ { \frac { \mathrm { d } \lambda } { \mathrm { d } \tau } } & { = C _ { 2 2 } ( \eta ) + s C _ { 2 3 } ( \eta ) \equiv F _ { \lambda } ( \eta , s ) \, , } \\ { \frac { \mathrm { d } \eta } { \mathrm { d } \tau } } & { = C _ { 3 2 } ( \eta ) + s C _ { 3 3 } ( \eta ) \equiv F _ { \eta } ( \eta , s ) \, . } \end{array}