harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { u _ { r } ( r , z ) } & { = { \frac { 3 R ^ { 3 } } { 4 } } \cdot { \frac { r z u } { { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ^ { 5 } } } - { \frac { 3 R } { 4 } } \cdot { \frac { r z u } { { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ^ { 3 } } } } \\ { u _ { z } ( r , z ) } & { = { \frac { R ^ { 3 } } { 4 } } \cdot \left( { \frac { 3 u z ^ { 2 } } { { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ^ { 5 } } } - { \frac { u } { { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ^ { 3 } } } \right) + u - { \frac { 3 R } { 4 } } \cdot \left( { \frac { u } { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } + { \frac { u z ^ { 2 } } { { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ^ { 3 } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { i j } } & { { } = \langle \Psi _ { 0 } | \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle \dag ; \quad ( i , j = 1 , . . , n _ { A } ) \dag } & { = [ \Pi _ { A } f ( h ) \Pi _ { A } ] _ { j i } \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( Q ) = \left\{ \begin{array} { l l } { R _ { 0 } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } Q \leq Q _ { c } } \\ { \frac { 1 } { 2 } R _ { 0 } [ 1 - \alpha ( Q - Q _ { c } ) ] \left[ 1 - \operatorname { t a n h } \left( \frac { Q - m Q _ { c } } { W } \right) \right] , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } Q > Q _ { c } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { l } { n \equiv \tilde { A } _ { a 1 } + \tilde { B } _ { a 1 } + \tilde { C } _ { a 1 } + \tilde { D } _ { a 1 } } \\ { n \equiv \tilde { A } _ { b 2 } + \tilde { B } _ { b 2 } + \tilde { C } _ { b 2 } + \tilde { D } _ { b 2 } } \\ { n \equiv \tilde { A } _ { m a p } + \tilde { B } _ { m a p } + \tilde { C } _ { m a p } + \tilde { D } _ { m a p } } \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { p } ( t + \delta t / 2 ) = \textbf { p } ( t - \delta t / 2 ) + \delta t \textbf { f } ( t ) } \\ { \textbf { r } ( t + \delta t ) = \textbf { r } ( t ) + \frac { \delta t } { m } \textbf { p } ( t + \delta t / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { X } ^ { \mathrm { g e n } } \bigl [ y \to X ^ { \prime } ( \tau ^ { \prime } ) \bigr ] = } & { \prod _ { i = k } ^ { \tau ^ { \prime } / \Delta t - 1 } p ( x _ { i \Delta t } ^ { \prime } \to x _ { ( i + 1 ) \Delta t } ^ { \prime } ) } \\ & { \times \prod _ { i = 1 } ^ { k } \bar { p } ( x _ { i \Delta t } ^ { \prime } \to x _ { ( i - 1 ) \Delta t } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 2 3 } ^ { ( 3 ) } } & { { } = } & { \frac { C _ { 9 } ^ { * } } { R _ { 1 2 } ^ { 3 } R _ { 1 3 } ^ { 3 } R _ { 2 3 } ^ { 3 } } \frac { f ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } , m ) } { 6 } } \\ { C _ { 9 } ^ { * } } & { { } = } & { \frac { 4 } { 9 } r _ { S P } ^ { 2 } ( C s ) r _ { S P } ^ { 4 } ( A r ) \frac { 2 E _ { S P } ( A r ) - E _ { S P } ( C s ) } { 2 ( E _ { S P } ( A r ) - E _ { S P } ( C s ) ) ^ { 2 } E _ { S P } ( A r ) } } \end{array}
- \frac { i } { \hbar } \int d ^ { 3 } r \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \left[ g _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) , \left( \begin{array} { c } { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) } \\ { \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } } \end{array} \right) \right] = - \frac { i } { \hbar } \int d ^ { 3 } r \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \left( \begin{array} { c } { - i \hbar \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) } \\ { - i \hbar q _ { a } \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) } \end{array} \right)
( \Gamma _ { ( n ) } ) _ { A B } = - ( - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } n ( n + 1 ) } ( \Gamma _ { ( n ) } ) _ { B A } \qquad \quad \Gamma _ { ( n ) } { } ^ { T } = ( - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } n ( n + 1 ) } C \, \Gamma _ { ( n ) } \, C ^ { - 1 } \ .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { P _ { p } ( t ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { p } t } e x p \left[ - \frac { ( \ln t - \mu _ { p } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p } ^ { 2 } } \right] , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f } { \partial t } + { \mathbf v } \cdot \frac { \partial f } { \partial \mathbf { x } } + ( { \mathbf E } + { \mathbf v } \times { \mathbf { B } } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf v } } = 0 \, , } \\ & { \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial t } = \left( \mathbf u - \frac { \mathbf J } { n } \right) \times { \mathbf { B } } \, , } \\ & { n = \int f \mathrm { d } { \mathbf v } , \quad n { \mathbf u } = \int { \mathbf v } f \mathrm { d } { \mathbf v } , \quad \mathbf { B } = \nabla \times { \mathbf A } \, , } \\ & { { \mathbf E } = - T \frac { \nabla n } { n } - \left( \mathbf u - \frac { \mathbf J } { n } \right) \times { \mathbf { B } } , \quad \mathbf J = \nabla \times { \mathbf B } . } \end{array}
Q _ { n } [ \overline { { { \psi } } } , \psi , A , h ] \; : = \; P [ \overline { { { \psi } } } , \psi , A , h ] \Big ( S _ { M } [ \overline { { { \psi } } } , \psi ] \Big ) ^ { n } \; \longrightarrow \; \tilde { Q _ { n } } [ G , \frac { \delta } { \delta a } , A , h ] \; .
\begin{array} { r l r } { | \alpha _ { \sigma } \rangle } & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \sigma } | ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \sigma } \hat { a } _ { \sigma } ^ { \dagger } } | 0 \rangle } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \sigma } | ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { n _ { \sigma } = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \alpha _ { \sigma } \hat { a } _ { \sigma } ^ { \dagger } ) ^ { n _ { \sigma } } } { n _ { \sigma } ! } | n _ { \sigma } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P \left( n ^ { - 1 / 2 } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } | \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) - f _ { X } ( x ) | > \varepsilon \sqrt { \mathrm { V a r } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) } \right) } \\ & { \leq \mathrm { ( c o n s t . ) } \frac { \mathrm { E } ( | \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) - f _ { X } ( x ) | ^ { 2 + \varsigma } ) } { n ^ { \varsigma / 2 } ( \mathrm { V a r } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ) ^ { 1 + \varsigma / 2 } } } \\ & { \leq \mathrm { ( c o n s t . ) } \frac { \mathrm { E } ( | \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) | ^ { 2 + \varsigma } ) } { n ^ { \varsigma / 2 } ( \mathrm { V a r } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ) ^ { 1 + \varsigma / 2 } } } \\ & { \rightarrow 0 , } \end{array}
E ( j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \mathrm { i f ~ t h e ~ p a t h ~ h a s ~ a n ~ e x t r e m u m ~ a t ~ ( ~ x ~ - p o s i t i o n ) ~ j ~ } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } j \qquad } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right.
\| h \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } = \| { \cal G } _ { \omega } ^ { - 1 } f \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \lesssim _ { s } \| f \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } + \| { \mathfrak I } \| _ { { \cal X } ^ { s + \sigma } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \| f \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s _ { 0 } } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } , \quad \forall s _ { 0 } \leq s \leq S / 2 - \sigma \, .
\begin{array} { r l r l } { ( \iota _ { 0 } ) _ { p _ { 0 } } ( 1 ) } & { = [ x _ { 0 } ] , } & { ( \iota _ { 1 } ) _ { p _ { 1 } } ( 1 ) } & { = [ x _ { 1 } ] - [ x _ { 0 } ] , } \\ { ( \iota _ { 2 } ) _ { p _ { 2 } } ( 1 ) } & { = [ x _ { 2 } ] - [ x _ { 1 } ] , } & { ( \iota _ { 3 } ) _ { p _ { 3 } } ( 1 ) } & { = [ x _ { 3 } ] - [ x _ { 0 } ] + [ x _ { 1 } ] - [ x _ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \tau } \left( \tau E _ { x } \right) } & { = } & { ( \partial _ { y } B _ { \eta } - \partial _ { \eta } B _ { y } ) - \tau V ^ { x } \; , } \\ { \partial _ { \tau } \left( \tau E _ { y } \right) } & { = } & { - ( \partial _ { x } B _ { \eta } - \partial _ { \eta } B _ { x } ) - \tau V ^ { y } \; , } \\ { \partial _ { \tau } \left( \tau ^ { - 1 } E _ { \eta } \right) } & { = } & { ( \partial _ { x } B _ { y } - \partial _ { y } B _ { x } ) - \tau V ^ { \eta } \; , } \end{array}
\sqrt { n h _ { n } } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } ( M _ { n } ( s _ { l } , t _ { l } ) - M ( s _ { l } , t _ { l } ) ) = \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } . ( I ) _ { s _ { l } , t _ { l } } - \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } . ( I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } } - \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } . ( I I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } } ,
\partial _ { t } \theta _ { m } - \nabla \cdot \bigl ( \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \phi _ { m } \sigma \bigr ) \nabla \theta _ { m } = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ ( 0 , \infty ) \times \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l r } { r \partial _ { r } \Psi _ { n } ^ { m } = } & { } & { \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n - m ) ! } } a ^ { - m / 2 } \mathrm { e } ^ { - a / 2 } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \\ & { } & { \cdot \left[ 2 ( n - m ) L _ { n } ^ { - m - 1 } ( a ) + m L _ { n } ^ { - m } ( a ) - a L _ { n } ^ { - m } ( a ) \right] , } \end{array}
\left( \Gamma _ { + } \right) = \left( \Gamma _ { 0 } \right) + \left( \Gamma _ { d - 1 } \right) = - 2 \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \mathbf { 1 } _ { \frac { n } { 2 } } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { a _ { 1 } ( \omega ) \approx \sqrt { \gamma _ { 1 } } A _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } A _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , } \\ { b _ { 1 } ( \omega ) \approx \sqrt { \gamma _ { 1 } } B _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } B _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , } \\ { a _ { 2 } ( \omega ) \approx \sqrt { \gamma _ { 1 } } C _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } C _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d y _ { 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \cosh ( U _ { - } ^ { \infty } ) } = \frac { \pi } { a } , } \\ & { \prod _ { j = 2 } ^ { N ^ { - } } \left( \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d y _ { j } ^ { \infty } \right) \times } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \times \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j , j ^ { \prime } = 2 } ^ { N ^ { - } } \mathbf { v } _ { j } ^ { T } ( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } ) ^ { -- } \mathbf { v } _ { j ^ { \prime } } y _ { j } ^ { \infty } y _ { j ^ { \prime } } ^ { \infty } \right\} = } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ = \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { N ^ { -- } 1 } / \operatorname* { d e t } ( { \mathbf { B } ) } } , } \\ & { \prod _ { k = 1 } ^ { N ^ { + } } \left( \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x _ { k } ^ { + \infty } \right) \times } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \times \exp \left\{ - \delta ( { \mathbf { x } } ^ { + \infty } ) ^ { T } ( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } ) ^ { + + } \delta { \mathbf { x } } ^ { + \infty } \right\} = } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ = \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { N ^ { + } } / \operatorname* { d e t } [ ( { \mathbf { \Sigma } } ^ { - 1 } ) ^ { + + } ] } , } \end{array}
T _ { \mu \nu } ( m _ { X } ^ { 2 } ) = 4 q _ { 0 } P _ { 0 } \sum _ { X } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( q + p _ { X } - P ) \langle B ( { \bf P } ) | H _ { i n t } | V ( { \bf q } , j ) X \rangle \langle V ( { \bf q } , i ) X | H _ { i n t } | B ( { \bf P } ) \rangle .
\begin{array} { r } { ( { \bf R } _ { i } , \ddot { \bf R } _ { j } ) + ( { \bf R } _ { j } , \ddot { \bf R } _ { i } ) = - 2 ( \dot { \bf R } _ { i } , \dot { \bf R } _ { j } ) , } \\ { ( { \bf R } _ { i } , \ddot { \bf R } _ { j } ) - ( { \bf R } _ { j } , \ddot { \bf R } _ { i } ) = - 2 \frac { g _ { i } - g _ { j } } { g _ { i } + g _ { j } } ( \dot { \bf R } _ { i } , \dot { \bf R } _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \tilde { B } } { \tilde { A } } } & { { } = \left\langle { \frac { B } { A } } \right\rangle + \left\langle { \frac { B } { A } G _ { , x } } \right\rangle { \langle G \rangle } ^ { - 1 } { \langle G _ { , x ^ { \prime } } \check { C } ( x ^ { \prime } ) \rangle } ^ { - 1 } } \\ { \frac { \tilde { W } } { \tilde { A } } } & { { } = s \left\langle { \frac { B } { A } G _ { , x } } \right\rangle { \langle G \rangle } ^ { - 1 } { \langle G \rho ( x ^ { \prime } ) \rangle } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { z _ { 1 1 } , m _ { 1 1 } } ^ { 1 1 + } = P _ { z _ { 1 1 } , m _ { 1 1 } } ^ { 1 1 - } = \delta ( \frac { m _ { 1 1 } } { z _ { 1 1 } } - \rho _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ & { P _ { z _ { 2 2 } , m _ { 2 2 } } ^ { 2 2 + } = P _ { z _ { 2 2 } , m _ { 2 2 } } ^ { 2 2 - } = \delta ( \frac { m _ { 2 2 } } { z _ { 2 2 } } - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ & { P _ { z _ { 1 2 } , m _ { 1 2 } } ^ { 1 2 + } = P _ { z _ { 1 2 } , m _ { 1 2 } } ^ { 1 2 - } = \delta ( \frac { m _ { 1 2 } } { z _ { 1 2 } } - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ & { P _ { z _ { 2 1 } , m _ { 2 1 } } ^ { 2 1 + } = P _ { z _ { 2 1 } , m _ { 2 1 } } ^ { 2 1 - } = \delta ( \frac { m _ { 2 1 } } { z _ { 2 1 } } - \rho _ { 1 } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( x , y ) } & { { } = H _ { l } \left( \sqrt { 2 } \frac { x } { w _ { 0 } } \right) H _ { m } \left( \sqrt { 2 } \frac { y } { w _ { 0 } } \right) \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } , } \end{array}
\frac { D } { D t } \vec { A } = \frac { D } { D t } \left( \boldsymbol { \ell } \boldsymbol { \ell } \right) = \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) ^ { T } \cdot \vec { A } + \vec { A } \cdot \boldsymbol { \nabla } \vec { u } + \left( \beta - 1 \right) \left( \vec { A } \cdot \vec { E } + \vec { E } \cdot \vec { A } \right) ,
\begin{array} { r l } { \bigl | \gamma ^ { - 6 } \bigl ( 1 - \widehat { K } _ { \gamma } ( \omega ) \bigr ) - \pi ^ { 2 } | \omega | ^ { 2 } \bigr | } & { \leq C _ { 1 } \gamma ^ { 3 } | \omega | ^ { 3 } , } \\ { \bigl | \gamma ^ { - 6 } \partial _ { j } \widehat { K } _ { \gamma } ( \omega ) + 2 \pi ^ { 2 } \omega _ { j } \bigr | } & { \leq C _ { 1 } \gamma ^ { 3 } | \omega | ^ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { } & { { \frac { \partial A _ { x } } { \partial x } } { \hat { \mathbf { x } } } \otimes { \hat { \mathbf { x } } } + { \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } { \hat { \mathbf { x } } } \otimes { \hat { \mathbf { y } } } + { \frac { \partial A _ { x } } { \partial z } } { \hat { \mathbf { x } } } \otimes { \hat { \mathbf { z } } } } \\ { + } & { { \frac { \partial A _ { y } } { \partial x } } { \hat { \mathbf { y } } } \otimes { \hat { \mathbf { x } } } + { \frac { \partial A _ { y } } { \partial y } } { \hat { \mathbf { y } } } \otimes { \hat { \mathbf { y } } } + { \frac { \partial A _ { y } } { \partial z } } { \hat { \mathbf { y } } } \otimes { \hat { \mathbf { z } } } } \\ { + } & { { \frac { \partial A _ { z } } { \partial x } } { \hat { \mathbf { z } } } \otimes { \hat { \mathbf { x } } } + { \frac { \partial A _ { z } } { \partial y } } { \hat { \mathbf { z } } } \otimes { \hat { \mathbf { y } } } + { \frac { \partial A _ { z } } { \partial z } } { \hat { \mathbf { z } } } \otimes { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma _ { \tau _ { n } ^ { \prime } } } \mathcal { E } _ { 2 } [ \phi _ { * } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r } & { \: \geq b ^ { 2 } , } \\ { | | Y ^ { k } \phi _ { * } | | _ { L ^ { \infty } ( \Sigma _ { \tau _ { n } } \cap \mathcal { H } ^ { + } ) } } & { \: \geq b \tau _ { n } ^ { \frac { 1 } { 2 } + k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J [ n ] } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \iint n ( x ) n ( x ^ { \prime } ) v _ { \mathrm { e x p } } ( x - x ^ { \prime } ) d x d x ^ { \prime } } \\ { v _ { H } ( x ) = \frac { \delta J } { \delta n } } & { = } & { \int n ( x ^ { \prime } ) v _ { \mathrm { e x p } } ( x - x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 \tilde { a } ^ { 2 } \tilde { D } \Delta R _ { 0 } = \frac { \alpha _ { 1 } F _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } , } \\ { \tilde { a } ^ { 2 } \tilde { D } \left( 1 + 3 \tilde { a } \Delta R _ { 0 } \right) = a ^ { 2 } D , } \\ { \frac { 1 } { 3 } \tilde { a } ^ { 3 } \tilde { D } \left( 3 + 7 \tilde { a } \Delta R _ { 0 } \right) = a ^ { 3 } D , } \end{array}
F _ { 2 } ( k r ) = { \frac { \mathrm { b e r } ( k r ) \mathrm { b e i } ( k R ) - \mathrm { b e i } ( k r ) \mathrm { b e r } ( k R ) } { \mathrm { b e r } ^ { 2 } ( k R ) + \mathrm { b e i } ^ { 2 } ( k R ) } } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { b } ^ { 2 } } & { = \Delta b ^ { 2 } \int _ { - B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { d } } } ^ { B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { d } } } T _ { s } \mathrm { s i n c } ^ { 2 } ( \pi f T _ { s } ) \mathrm { d } f , } \\ & { \approx 2 \Delta b ^ { 2 } B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { d } } T _ { s } . } \end{array}
{ \hat { A } } = { \left( \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 1 } } & { A _ { 1 2 } } & { \cdots } & { A _ { 1 n } } \\ { A _ { 2 1 } } & { A _ { 2 2 } } & { \cdots } & { A _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { A _ { n 1 } } & { A _ { n 2 } } & { \cdots } & { A _ { n n } } \end{array} \right) }
\mathbf { L } _ { \perp } = \mathbf { L } - ( \mathbf { L } \cdot \mathbf { n } ) \mathbf { n } \, , \quad \mathbf { N } _ { \perp } = \mathbf { N } - ( \mathbf { N } \cdot \mathbf { n } ) \mathbf { n }
\begin{array} { r l } & { ( A , \boldsymbol { a } ) \cdot w \cdot ( B , \boldsymbol { b } ) } \\ { = \; } & { ( A , \boldsymbol { a } ) ( B , \boldsymbol { b } ) ( B , \boldsymbol { b } ) ^ { m - 1 } ( A , \boldsymbol { a } ) ^ { m - 1 } ( A , \boldsymbol { a } ) ( B , \boldsymbol { b } ) } \\ { = \; } & { \left( I , ( 2 I + A ^ { - 1 } + \cdots + A ^ { - ( m - 1 ) } ) ( A \boldsymbol { b } + \boldsymbol { a } ) \right) } \\ { = \; } & { \left( I , ( 2 I + A ^ { - 1 } + \cdots + A ^ { - ( m - 1 ) } ) \boldsymbol { x } \right) } \\ { = \; } & { \left( I , ( m + 1 ) \boldsymbol { x } - \frac { m ( m - 1 ) } { 2 } \mu c \boldsymbol { v } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { y x } ^ { \textrm { Q } } = \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow 0 } \textrm { R e } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { d t _ { \textrm { a v } } } { T } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t _ { \textrm { r e l } } e ^ { i \omega t _ { \textrm { r e l } } } \sigma _ { y x } ^ { \textrm { Q } } ( t , t ^ { \prime } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } ( t ) } & { = R \left( { \frac { d \omega } { d t } } { \hat { \mathbf { u } } } _ { \theta } ( t ) + \omega { \frac { d { \hat { \mathbf { u } } } _ { \theta } } { d t } } \right) } \\ & { = R { \frac { d \omega } { d t } } { \hat { \mathbf { u } } } _ { \theta } ( t ) - \omega ^ { 2 } R { \hat { \mathbf { u } } } _ { R } ( t ) \, . } \end{array} }
N ( \Lambda , k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = \Lambda \frac { 2 \omega } { m _ { d } } ( \frac { \vec { p } \vec { \epsilon _ { 1 } } } { p \cdot k _ { 1 } } + \frac { \vec { p } \vec { \epsilon _ { 2 } } } { p \cdot k _ { 2 } } ) [ \omega - e ( \vec { p } ) ]
{ \begin{array} { r l } { X _ { k + { \frac { N } { 2 } } } } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 - 1 } x _ { 2 m } e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N / 2 } } m ( k + { \frac { N } { 2 } } ) } + e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N } } ( k + { \frac { N } { 2 } } ) } \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 - 1 } x _ { 2 m + 1 } e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N / 2 } } m ( k + { \frac { N } { 2 } } ) } } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 - 1 } x _ { 2 m } e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N / 2 } } m k } e ^ { - 2 \pi m i } + e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N } } k } e ^ { - \pi i } \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 - 1 } x _ { 2 m + 1 } e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N / 2 } } m k } e ^ { - 2 \pi m i } } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 - 1 } x _ { 2 m } e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N / 2 } } m k } - e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N } } k } \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 - 1 } x _ { 2 m + 1 } e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N / 2 } } m k } } \\ & { = E _ { k } - e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N } } k } O _ { k } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathbf { N } _ { s p i n , 1 } = \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { 0 } } R e \left\{ \mathbf { p } _ { 1 } \times \left[ \left( \hat { \alpha } _ { 0 } ^ { - 1 } \right) ^ { * } \mathbf { p } _ { 1 } ^ { * } \right] \right\} } \\ & { \mathbf { N } _ { o r b , 1 } = \mathbf { r } _ { 1 } \times \mathbf { F } _ { 1 } } \\ & { \mathbf { N } _ { 1 } = \mathbf { N } _ { s p i n , 1 } + \mathbf { N } _ { o r b , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( A _ { h } \nabla ( \check { u } _ { h } - \check { \chi } _ { h } ) , \nabla ( v - R _ { h } v ) ) | } & { \leq C \| \nabla ( \check { \chi } _ { h } - \check { u } _ { h } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega ) } \| \nabla ( v - R _ { h } v ) \| _ { L ^ { 1 } ( \varLambda _ { h } ) } } \\ & { \leq C h ^ { - 1 } \| \check { u } _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \varOmega ) } \| \nabla ( v - R _ { h } v ) \| _ { L ^ { 1 } ( \varLambda _ { h } ) } , } \end{array}
A _ { x } = \iint _ { S } d S = \iint _ { [ a , b ] \times [ 0 , 2 \pi ] } \left\| { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial t } } \times { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial \theta } } \right\| \ d \theta \ d t = \int _ { a } ^ { b } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\| { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial t } } \times { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial \theta } } \right\| \ d \theta \ d t
\frac { \partial } { \partial t } ( \Bar { \rho } \Tilde { u } _ { i } ) + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \Bar { \rho } \Tilde { u } _ { i } \Tilde { u } _ { j } ) = - \frac { \partial \Bar { p } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \Bar { \tau } _ { i j } - \overline { { \rho u _ { i } ^ { \prime \prime } u _ { j } ^ { \prime \prime } } } ) ,
\Omega _ { m , n , j } = \left[ \left( \frac { \nu _ { n } } { \nu _ { m } } \right) ^ { \frac { 1 } { j } } - x _ { 0 } ^ { 1 - j } \nu _ { n } ^ { - C _ { 0 } } \nu _ { m } ^ { - C _ { 0 } } , \, \left( \frac { \nu _ { n } } { \nu _ { m } } \right) ^ { \frac { 1 } { j } } + x _ { 0 } ^ { 1 - j } \nu _ { n } ^ { - C _ { 0 } } \nu _ { m } ^ { - C _ { 0 } } \right] , \qquad j , n , m \geq 1 .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \zeta } { \partial t } = } & { \frac { \partial } { \partial x } \bigg [ \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } ( \zeta - \xi ) ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \sigma } { \partial x } ( \zeta - \xi ) ^ { 2 } - H \zeta \bigg ( \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial t } - H \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial t } \bigg ) \bigg ] } \\ & { + \xi \frac { \partial } { \partial x } \bigg ( H \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial t } - H ^ { 2 } \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial t } \bigg ) + \frac { 2 H ^ { 3 } } { 3 } \frac { \partial ^ { 2 } b _ { 1 } } { \partial x \partial t } - \frac { H ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } b _ { 2 } } { \partial x \partial t } - E J . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \widehat { u } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } \right) ^ { \prime \prime } + ( \omega ^ { 2 } - V _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } ( r ) ) \widehat { u } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } = \varepsilon \cdot b ( r , \theta ) ( \widehat { \chi _ { \mathcal { T } } } * i \omega \widehat { u } ) _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } + H _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } \, , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \lambda } } = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d z \, { \cal H } _ { 0 } ^ { [ \ell ] } ( \alpha = 0 , z ) + \int _ { \alpha _ { \mathrm { t h } } } ^ { \infty } \, d \alpha \, \int _ { - 1 } ^ { 1 } d z \, { \cal H } _ { 0 } ^ { [ \ell ] } ( \alpha , z ) \, \int _ { - 1 } ^ { 1 } d z ^ { \prime } \, { \cal G } _ { 0 } ^ { [ \ell ] } ( \alpha , z ; \alpha ^ { \prime } = 0 , z ^ { \prime } ) + \cdots \; ,