harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathbf { H } _ { i j } = \frac { 3 } { 8 r ^ { 5 } } ( \frac { 3 5 } { 3 } \cos ^ { 4 } \theta - 1 0 \cos ^ { 2 } \theta + 1 ) \left( \begin{array} { l l l l } { H _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { 2 2 } } & { H _ { 2 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { 2 3 } ^ { * } } & { H _ { 3 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { H _ { 4 4 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \ensuremath { \mathrm { d } } s \iint _ { U ^ { 2 } } \ensuremath { \mathrm { d } } z \, \ensuremath { \mathrm { d } } z ^ { \prime } \, \Psi ( t - s , x ) \Psi ( t - s , x ^ { \prime } ) \Psi ( t - s , z ) \Psi ( t - s , z ^ { \prime } ) \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } ( t - s ) } } { 1 \wedge ( t - s ) ^ { d } } e ^ { - c _ { 1 } \frac { | x - z | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - z ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t - s } } } \\ & { \qquad \times f ( z - z ^ { \prime } ) \Psi ( s , z ) \Psi ( s , z ^ { \prime } ) \Psi ( s , y ) \Psi ( s , y ^ { \prime } ) \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } s } } { 1 \wedge s ^ { d } } e ^ { - \frac { 2 c _ { 1 } } { 3 } \frac { | z - y | ^ { 2 } + | z ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { s } } } \\ & { \le C \Psi ( t , x ) \Psi ( t , x ^ { \prime } ) \Psi ( t , y ) \Psi ( t , y ^ { \prime } ) \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - \frac { 2 c _ { 1 } } { 3 } \frac { | x - y | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } \int _ { 0 } ^ { t } \left( 1 \wedge \frac { ( t - s ) s } { t } \right) ^ { - \beta / 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { G } _ { \mathrm { 1 D } } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } , \omega ) } & { = \mathrm { i } \frac { a c } { 2 \omega } \left( \frac { c } { v _ { g } } \right) \frac { [ \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { r } ) \otimes \boldsymbol { E } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ) ] } { \int _ { \mathrm { c e l l } } d \boldsymbol { r } \epsilon ( \boldsymbol { r } ) \lvert \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { r } ) \rvert ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \textrm { d } x _ { C C } ( t ) } { \textrm { d } t } = \frac { 1 } { \Delta t } E ( \Delta x _ { C C } ) } \\ & { = \frac { 1 } { \frac { 1 } { n } } \bigg \{ \frac { ( k - 1 ) x _ { C | D } + 1 } { k n / 2 } P \Big ( \Delta x _ { C C } = \frac { ( k - 1 ) x _ { C | D } + 1 } { k n / 2 } \Big ) } \\ & { - \frac { 2 ( k - 1 ) x _ { C | C } } { k n } P \Big ( \Delta x _ { C C } = - \frac { 2 ( k - 1 ) x _ { C | C } } { k n } \Big ) \bigg \} } \\ & { = \frac { x _ { C } ( 1 - x _ { C | C } ) } { k } \Big [ 1 - ( k - 1 ) \frac { x _ { C \mid C } - x _ { C } } { 1 - x _ { C } } \Big ] + o ( \omega ) . } \end{array}
L = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( D _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } + \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \phi ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 } \phi ^ { 4 } ,
\begin{array} { r l } { | \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { D } ( j , k ) | } & { \overset { \le _ { \alpha } } | k | ^ { 2 } ( | j | + | k | ) ^ { 2 \alpha - 2 } , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { D } ( j _ { 1 } , k ) - \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { D } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \overset { , } { \le _ { \alpha } } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | | k | ^ { 2 } ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | + | k | ) ^ { \alpha - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } } ( t ) } & { = { \ensuremath { \boldsymbol { p } } ( t ) } } \\ { \dot { \ensuremath { \boldsymbol { p } } } ( t ) } & { = - \frac { \partial U ( \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } ( t ) ) } { \partial \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } } - \gamma \ensuremath { \boldsymbol { p } } ( t ) + \sqrt { 2 \gamma k _ { B } T } \ensuremath { \boldsymbol { R } } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { 0 } ( y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ) } & { { } = } & { - 1 + \frac { 1 } { 6 } ( 1 + \ln y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 6 } } \\ { u _ { 1 } ( y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ) } & { { } = } & { - \frac { 2 } { 1 1 } + \frac { 2 } { 8 0 } y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 0 0 } ( 1 + \ln y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ^ { 2 } ) } \\ { u _ { 2 } ( y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ) } & { { } = } & { \frac { 2 } { 1 1 } + \frac { 2 } { 3 } y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 0 0 } ( 1 + \ln y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ^ { 2 } ) } \\ { u _ { 3 } ( y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ) } & { { } = } & { \frac { 3 9 } { 2 0 } + \frac { 2 } { 3 } y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 0 0 } ( 1 + \ln y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { E } } & { = \left\langle \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta u } , \phi \right\rangle = \frac { d } { d s } \mathcal { E } [ u + s \phi ] \Bigg | _ { s = 0 } = \frac { d } { d s } \int _ { \Omega } \Psi ( u + s \phi , \nabla u + s \nabla \phi ) \, d x \Bigg | _ { s = 0 } } \\ & { = \int _ { \Omega } \left[ \Psi _ { u } ( u , \nabla u ) \phi + \Psi _ { v } ( u , \nabla u ) \cdot \nabla \phi \right] \, d x } \\ & { = \int _ { \Omega } \left[ \Psi _ { u } ( u , \nabla u ) - \mathrm { d i v } \Psi _ { v } ( u , \nabla u ) \right] \phi \, d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \boldsymbol { p } } ^ { ( 0 ) } = } & { \prod _ { \substack { j = - 1 } } ^ { 1 } \left[ \prod _ { \substack { i = 1 } } ^ { 4 } \sum _ { n _ { i } ^ { j } = - \infty } ^ { \infty } J _ { n _ { i } ^ { j } } ( x _ { i } ^ { j } ) \times \left[ \frac { \langle \boldsymbol { p } _ { N } | V ( \boldsymbol { r } ) | \Psi _ { 0 } \rangle } { I _ { p } + E _ { N } } + \langle \boldsymbol { p } _ { N } | \Psi _ { 0 } \rangle \right] \times \left[ 1 - e ^ { \dot { \iota } ( I _ { p } + E _ { N } ) \tau _ { p } } \right] \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { X } _ { k } ^ { \left( p \right) } \sim \mathcal { N } \left( \mathbf { 0 } , \mathbf { L } _ { k } ^ { \left( p \right) } + \frac { 1 } { N _ { k } ^ { \left( p \right) } } \mathbf { J } \right) , } \end{array}
\frac { d n _ { i } } { d t } = - \sum _ { j } R _ { i j } n _ { i } - \sum _ { j < i } A _ { i j } n _ { i } + \sum _ { j } R _ { j i } n _ { j } + \sum _ { j > i } A _ { j i } n _ { j } - \frac { n _ { i } } { \tau _ { \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } } } ,
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } \big ( ( T _ { n , 3 } ^ { a , b } ) ^ { c } \big ) = } & { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 + \sqrt { ( 4 n + 1 ) ^ { 2 } - 6 4 ( a + 1 ) ( b + 1 ) } } { 2 } } } \\ { = } & { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 + \sqrt { ( 4 n + 1 ) ^ { 2 } - 6 4 ( n - 3 + a ( n - 4 - a ) ) } } { 2 } } \qquad \mathrm { ( s i n c e , ~ a + b = n - 4 ~ ) } . } \end{array}
f ( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { _ V } ^ { 2 } } ) [ c _ { 1 } N _ { f } < \bar { V } _ { \mu \nu } \bar { V } ^ { \mu \nu } > - c _ { 1 } < \bar { V } _ { \mu \nu } > < \bar { V } ^ { \mu \nu } > ]
\int _ { D ( 1 , 1 ) } { d \mu _ { K } \left( \xi \right) P _ { K } = { \tilde { \rho } } _ { K } \left( 1 \right) = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { { \bf e } _ { m } ^ { \left( K \right) } { { \bf e } _ { m } ^ { \left( K \right) } } ^ { T } } } \ .
\left\{ \begin{array} { l l } { \Phi _ { t } ( x ) \geq \, \mathrm { e } ^ { - x - c _ { 1 } x ^ { 2 } / \log t } \, , } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } x \in ( - c _ { 2 } \log t , c _ { 2 } \log t ) } \\ { \Phi _ { t } ( x ) \leq \, \mathrm { e } ^ { - x + c _ { 1 } x ^ { 2 } / \log t } \, , } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } x \in ( - c _ { 2 } \log t , \frac { M - v _ { t } } { w _ { t } } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sigma _ { s _ { i + 1 } ^ { a ^ { \prime \prime } } } ^ { 2 } } & { { } = \sum _ { s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } } p ( s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } ) \Big ( H [ p ( s _ { i + 1 } ^ { a ^ { \prime \prime } } | s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } ) ] - } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \langle y , x \rangle } & { = { \overline { { \langle x , y \rangle } } } , \quad { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } x , y \in H } \\ { \langle x , x \rangle } & { \geq 0 , \quad { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } x \in H } \\ { \langle x , x \rangle = 0 { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } x } & { = 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla f _ { p } ( z _ { p } ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } , z _ { p } ^ { t , e } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } \rangle = \underbrace { \langle \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } , z _ { p } ^ { t , e } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } \rangle } _ { \mathrm { a p p l y i n g ~ Y o u n g ' s ~ i n e q u a l i t y } } + \underbrace { \langle \nabla f _ { p } ( z _ { p } ^ { t , e } ) , z _ { p } ^ { t , e } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } \rangle } _ { \mathrm { a p p l y i n g ~ t h e ~ L - s m o o t h n e s s ~ o f ~ f _ p ~ } } } \\ { \leq } & { \Big \{ \frac { 1 } { 2 ( 1 / \eta ^ { t } - L ) } \| \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + \frac { 1 / \eta ^ { t } - L } { 2 } \| z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } \Big \} + \Big \{ f _ { p } ( z _ { p } ^ { t , e } ) - f _ { p } ( z _ { p } ^ { t , e + 1 } ) + \frac { L } { 2 } \| z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u ( t ) } & { \| _ { \mathcal { G } _ { \beta ( t ) , x } ^ { 3 } L _ { y } ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } u ( t ) \| _ { \mathcal { G } _ { \beta ( t ) , x } ^ { 3 } L _ { y } ^ { 2 } } + \| \partial _ { t } u ( t ) \| _ { \mathcal { G } _ { \gamma ( t ) , x } ^ { 3 } L _ { y } ^ { 2 } } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \big \| u _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \Big \} + \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \big \| \partial _ { y } u _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \Big \} + \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \gamma ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \big \| \partial _ { t } u _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \Big \} } \\ & { \leq \tilde { C } _ { \sigma } ( t ) \Big ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) ^ { 3 } \Big ( \| u _ { \mathrm { i n } } \| _ { \mathcal { G } _ { \sigma , x } ^ { 3 } H _ { 0 , y } ^ { 1 } } + \| u _ { t , \mathrm { i n } } \| _ { \mathcal { G } _ { \sigma , x } ^ { 3 } L _ { y } ^ { 2 } } \Big ) , } \end{array}
{ \cal A } _ { 9 } = 4 \pi L ^ { 7 } \sum _ { c } ( Q _ { 1 c } ^ { ( 1 ) } Q _ { 2 c } ^ { ( 1 ) } Q _ { 1 c } ^ { ( 2 ) } Q _ { 2 c } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { p _ { Y } ( y ) } & { = \frac { \theta { ( 1 - \theta ) ^ { y } } } { \Gamma ( y + 1 ) } \exp { \left( \frac { \lambda \theta } { 1 - \theta } \right) } { \Gamma \left( y + 1 , \frac { \lambda } { 1 - \theta } \right) } } \\ & { = \theta { ( 1 - \theta ) ^ { y } } e ^ { - \lambda } \sum _ { i = 0 } ^ { y } \frac { 1 } { \Gamma ( i + 1 ) } \left( \frac { \lambda } { 1 - \theta } \right) ^ { i } } \\ & { = \theta { ( 1 - \theta ) ^ { y } } e ^ { - \lambda } s _ { y } . } \end{array}
\begin{array} { c } { \displaystyle \mathsf { e } ( { \boldsymbol \sigma } ) \, : = \, \| { \boldsymbol \sigma } - { \boldsymbol \sigma } _ { h } \| _ { \mathbf { d i v } ; \Omega } \, , \quad \mathsf { e } ( \mathbf { u } ) \, : = \, \| \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { h } \| _ { 1 , \Omega } \, , \quad \mathsf { e } ( p ) \, : = \, \| p - p _ { h } \| _ { 0 , \Omega } \, , } \\ { \displaystyle \displaystyle \mathsf { e } ( \mathbf { G } ) \, : = \, \| \mathbf { G } - \mathbf { G } _ { h } \| _ { 0 , \Omega } \, , \quad \mathsf { e } ( { \boldsymbol \omega } ) \, : = \, \| { \boldsymbol \omega } - { \boldsymbol \omega } _ { h } \| _ { 0 , \Omega } \, , { \quad \mathrm { a n d } \quad } \mathsf { e } ( \widetilde { { \boldsymbol \sigma } } ) \, : = \, \| \widetilde { { \boldsymbol \sigma } } - \widetilde { { \boldsymbol \sigma } } _ { h } \| _ { 0 , \Omega } \, , } \end{array}
^ 3 D _ { s _ { \sigma } t _ { \tau } u _ { \kappa } } ^ { p _ { \sigma } q _ { \tau } r _ { \kappa } } = \langle \Psi | \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q _ { \tau } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r _ { \kappa } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { u _ { \kappa } } \hat { a } _ { t _ { \tau } } \hat { a } _ { s _ { \sigma } } | \Psi \rangle ,
d f ( \mathbf { x } , \mathbf { h } ) = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } { \frac { f ( \mathbf { x } + t \mathbf { h } ) - f ( \mathbf { x } ) } { t } } = \left. { \frac { d } { d t } } f ( \mathbf { x } + t \mathbf { h } ) \right| _ { t = 0 } ,
n _ { 2 } ( q _ { B } ) = 2 \int d ^ { D } q _ { A } \frac { \lvert \chi ^ { ( A ) } ( q _ { A } ) \rvert ^ { 2 } } { \left( q _ { A } ^ { 2 } + \textbf { q } _ { A } . \textbf { q } _ { B } + q _ { B } ^ { 2 } / 2 \mu _ { B } \right) ^ { 2 } } \, .
S = M _ { 3 } \int d ^ { 3 } x { \sqrt { - g } } \left[ \pm R + { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } \left( R _ { \mu \nu } R ^ { \mu \nu } - { \frac { 3 } { 8 } } R ^ { 2 } \right) \right] .
\mathfrak { L } ( y ( \boldsymbol { \mu } ) , u ( \boldsymbol { \mu } ) , p ( \boldsymbol { \mu } ) ; \boldsymbol { \mu } ) = \mathcal { J } ( y ( \boldsymbol { \mu } ) , u ( \boldsymbol { \mu } ) ; \boldsymbol { \mu } ) + \langle p ( \boldsymbol { \mu } ) , \mathcal { E } ( y ( \boldsymbol { \mu } ) , u ( \boldsymbol { \mu } ) ; \boldsymbol { \mu } ) \rangle _ { Q ^ { * } Q } ,
\begin{array} { r l r } { | \Psi ^ { \pm } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | H \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \pm | V \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } \right) , } \\ { | \Phi ^ { \pm } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | H \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } \pm | V \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { e q , 2 } } } & { = \frac { f _ { \mathrm { C O } } } { \left( f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } P _ { 0 } \right) ^ { 1 / 2 } a _ { \mathrm { C } } } , } \\ { K _ { \mathrm { e q , 3 } } } & { = \frac { f _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { 0 } } { f _ { \mathrm { H _ { 2 } } } ^ { 2 } a _ { \mathrm { C } } } , } \\ { K _ { \mathrm { e q , 4 } } } & { = \frac { f _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } P _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } { f _ { \mathrm { H _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } ^ { 1 / 2 } a _ { \mathrm { C } } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ F i n d ~ } \phi \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t : ~ } } & \\ { \Delta \phi = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } { \Omega } _ { 0 } , } \\ { \phi = 0 } & { \mathrm { ~ a t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { { l v , e n d o } } } , { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { r v , e n d o } } } \\ { \phi = 1 } & { \mathrm { ~ a t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { { l v , e p i } } } , { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { r v , e p i } } , { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { { r v , e n d o - s e p } } } , } \\ { n _ { 0 _ { i } } \left( \nabla _ { 0 _ { i } } \phi \right) = 0 } & { \mathrm { ~ a t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { b a s e } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { A _ { \mu } ( x ) \rightarrow A _ { \mu } ^ { U _ { h } } ( x ) = U _ { h } ^ { \dagger } ( x ) A _ { \mu } ( x ) U _ { h } ( x ) + \frac { i } { g _ { \circ } } U _ { h } ^ { \dagger } ( x ) \partial _ { \mu } U _ { h } ( x ) } } \\ { { } } & { { } } & { { U _ { h } ( x ) = \exp [ i g _ { \circ } h ( x ) ] } } \\ { { } } & { { } } & { { A _ { \mu } ( x ) - A _ { \mu } ^ { U _ { h } } ( x ) \simeq D _ { \mu } ( A ) h ( x ) = \partial _ { \mu } h ( x ) - i g _ { \circ } [ A _ { \mu } ( x ) , h ( x ) ] } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { t < \tau _ { 1 } } } ^ { * } = \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { D } } + \eta \left( s ^ { \mathbf { D D } } \otimes s ^ { \mathbf { D D } } \right) t } \\ { \mathbf { B } _ { t + 1 < \tau _ { 1 } } = \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { t < \tau _ { 1 } } } ^ { * } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { { b } _ { t < \tau _ { 1 } } } , 0 } ^ { * } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ^ { \mathrm { h o m } } ( \mathbf { E } } & { : y ) = H ( \nu _ { + } ^ { \prime } ) + H ( \nu _ { - } ^ { \prime } ) - H \left[ \sqrt { \mu ^ { 2 } - \frac { \mu \tau ( \mu ^ { 2 } - 1 ) } { b } } \right] , } \\ { \chi ^ { \mathrm { h e t } } ( \mathbf { E } } & { : y ) = H ( \nu _ { + } ^ { \prime } ) + H ( \nu _ { - } ^ { \prime } ) - H \left[ \mu - \frac { \tau ( \mu ^ { 2 } - 1 ) } { b + 1 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { l } { \dot { x } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( ( x + \frac { \rho } { 3 } ) y P _ { D \to C } + ( x + \frac { \rho } { 3 } ) z P _ { L \to C } - x ( y + \frac { \rho } { 3 } ) P _ { C \to D } } \\ { - x ( z + \frac { \rho } { 3 } ) P _ { C \to L } ) } \\ { \dot { y } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( x ( y + \frac { \rho } { 3 } ) P _ { C \to D } + ( y + \frac { \rho } { 3 } ) z P _ { L \to D } - ( x + \frac { \rho } { 3 } ) y P _ { D \to C } } \\ { - y ( z + \frac { \rho } { 3 } ) P _ { D \to L } ) } \\ { \dot { z } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( x ( z + \frac { \rho } { 3 } ) P _ { C \to L } + y ( z + \frac { \rho } { 3 } ) P _ { D \to L } - ( x + \frac { \rho } { 3 } ) z P _ { L \to C } } \\ { - ( y + \frac { \rho } { 3 } ) z P _ { L \to D } ) } \end{array} .
\begin{array} { r l } { w ( x _ { 2 } , t _ { 2 } ) } & { = \int _ { \mathbb R } \left[ \frac { g ( x _ { 2 } - y , t _ { 2 } ) } { g ( x _ { 1 } - y , t _ { 1 } ) } \right] g ( x _ { 1 } - y , t _ { 1 } ) w _ { 0 } ( y ) { \, \mathrm { d } } y } \\ & { \geq \operatorname* { i n f } _ { y \in { \mathbb R } } \left[ \frac { g ( x _ { 2 } - y , t _ { 2 } ) } { g ( x _ { 1 } - y , t _ { 1 } ) } \right] \int _ { \mathbb R } g ( x _ { 1 } - y , t _ { 1 } ) w _ { 0 } ( y ) { \, \mathrm { d } } y } \\ & { = w ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ) \operatorname* { i n f } _ { y \in { \mathbb R } } \left[ \frac { g ( x _ { 2 } - y , t _ { 2 } ) } { g ( x _ { 1 } - y , t _ { 1 } ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \tilde { R } ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) E _ { 2 } } & { = - E _ { 1 } , } & & { \qquad \tilde { R } ( E _ { 2 } , E _ { 3 } ) E _ { 3 } = 2 E _ { 2 } , } \\ { \tilde { R } ( E _ { 1 } , E _ { 3 } ) E _ { 3 } } & { = 2 E _ { 1 } , } & & { \qquad \tilde { R } ( E _ { 2 } , E _ { 4 } ) E _ { 4 } = - E _ { 2 } , } \\ { \tilde { R } ( E _ { 1 } , E _ { 4 } ) E _ { 4 } } & { = - E _ { 1 } , } & & { \qquad \tilde { R } ( E _ { 3 } , E _ { 4 } ) E _ { 4 } = - 4 E _ { 3 } . } \end{array}
i \frac { d } { d z } \left( \begin{array} { l } { \tilde { A } _ { b } } \\ { \tilde { A } _ { f } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { - \Delta k } & { - \tilde { \kappa } } \\ { \tilde { \kappa } ^ { * } } & { \Delta k } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \tilde { A } _ { b } } \\ { \tilde { A } _ { f } } \end{array} \right)
\eta \, = \, \partial _ { Z } U _ { R } - \partial _ { R } U _ { Z } \, \equiv \, - \partial _ { R } \Bigl ( \frac { \partial _ { R } \phi } { 1 + \epsilon R } \Bigr ) - \frac { \partial _ { Z } ^ { 2 } \phi } { 1 + \epsilon R } \, , \qquad ( R , Z ) \in \Omega _ { \epsilon } \, ,
\begin{array} { r l } { ( 1 ) \quad } & { ( | d u | ^ { 2 } + \mathcal { F } _ { \varepsilon } ( u ) ) \mathrm { d i v } \left( \mathrm { d i v } X X \right) = \mathrm { d i v } \left( e \, \mathrm { d i v } X X \right) - ( \mathrm { d i v } X ) L _ { X } | d u | ^ { 2 } - ( \mathrm { d i v } X ) \mathcal { F } _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u ) L _ { X } u ; } \\ { ( 2 ) \quad } & { [ L _ { X } \bar { g } ] ( d u , d u ) \mathrm { d i v } X = ( \mathrm { d i v } X ) L _ { X } | d u | ^ { 2 } - 2 ( \mathrm { d i v } X ) \bar { g } ( L _ { X } d u , d u ) ; } \\ { ( 3 ) \quad } & { [ L _ { X } \bar { g } ] ( d u , d u ) \mathrm { d i v } X + [ L _ { X } ^ { 2 } \bar { g } ] ( d u , d u ) = } \\ & { = [ L _ { X } \bar { g } ] ( d u , d u ) \mathrm { d i v } X + L _ { X } \left( [ L _ { X } \bar { g } ] ( d u , d u ) \right) - 2 [ L _ { X } \bar { g } ] ( L _ { X } d u , d u ) } \\ & { = \mathrm { d i v } \left( [ L _ { X } \bar { g } ] ( d u , d u ) X \right) - 2 \left( L _ { X } \left( \bar { g } ( L _ { X } d u , d u ) \right) - \bar { g } ( L _ { X } ^ { 2 } d u , d u ) - \bar { g } ( L _ { X } d u , L _ { X } d u ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } } & { = - i \Delta \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } - i g _ { 0 } \bigg ( \frac { J } { \Delta } \bigg ) \cdot \sqrt { ( { n } _ { \mathrm { L } } - \tilde { n } _ { a } ) } \cdot b , } \\ { \frac { d } { d t } b } & { = - i \Omega _ { \mathrm { v } } b - i g _ { 0 } \bigg ( \frac { J } { \Delta } \bigg ) \sqrt { ( { n } _ { \mathrm { L } } - \tilde { n } _ { a } ) } \cdot \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ^ { ( n ) } } & { = \frac { \Gamma ( 4 n + 2 ) } { \Gamma ^ { 2 } ( 2 n ) } \int d ^ { D } l \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { x ^ { 2 n - 1 } y ^ { 2 n - 1 } } { ( l ^ { 2 } - \Delta ) ^ { 4 n + 2 } } } \\ & { = \frac { i ( - 1 ) ^ { 4 n + 2 } \Gamma ( 4 n + 2 ) } { \Gamma ^ { 2 } ( 2 n ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int d \Omega _ { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times x ^ { 2 n - 1 } y ^ { 2 n - 1 } \frac { l _ { E } ^ { D - 1 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 4 n + 2 } } } \\ & { = \frac { 2 i ( - 1 ) ^ { 4 n + 2 } \pi ^ { D / 2 } \Gamma ( 4 n + 2 ) } { \Gamma ^ { 2 } ( 2 n ) \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times x ^ { 2 n - 1 } y ^ { 2 n - 1 } \frac { l _ { E } ^ { D - 1 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 4 n + 2 } } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \gamma _ { n } ( A - h ) } & { = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } } } \int _ { A } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \langle x - h , x - h \rangle _ { \mathbf { R } ^ { n } } \right) \, d x } \\ & { = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } } } \int _ { A } \exp \left( { \frac { 2 \langle x , h \rangle _ { \mathbf { R } ^ { n } } - \langle h , h \rangle _ { \mathbf { R } ^ { n } } } { 2 } } \right) \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \langle x , x \rangle _ { \mathbf { R } ^ { n } } \right) \, d x . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \widehat { \theta } _ { N , T } } & { = \frac { 1 } { I _ { 1 } I _ { 2 } - I _ { 3 } ^ { 2 } } \big ( I _ { 3 } I _ { 5 } - I _ { 2 } I _ { 4 } \big ) , } \\ { \widehat { \beta } _ { N , T } } & { = \frac { 1 } { I _ { 1 } I _ { 2 } - I _ { 3 } ^ { 2 } } \big ( I _ { 1 } I _ { 5 } - I _ { 3 } I _ { 4 } \big ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r } { { 7 } 2 x } & { } & { \; + \; } & { } & { y } & { } & { \; - \; } & { } & { z } & { } & { \; = \; } & { } & { 0 } \\ { - 3 x } & { } & { \; - \; } & { } & { y } & { } & { \; + \; } & { } & { 2 z } & { } & { \; = \; } & { } & { 0 } \\ { - 2 x } & { } & { \; + \; } & { } & { y } & { } & { \; + \; } & { } & { 2 z } & { } & { \; = \; } & { } & { 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { u _ { j } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { u _ { j } ^ { n } - \frac { \Delta t } { h _ { j } } \left[ { R e s } _ { j } ^ { n } - s ( x _ { j } , t ^ { n } ) h _ { j } \right] , } \\ { u _ { j } ^ { n + 1 } } & { { } = } & { \frac { u _ { j } ^ { n } + u _ { j } ^ { ( 1 ) } } { 2 } - \frac { \Delta t } { 2 h _ { j } } \left[ { R e s } _ { j } ^ { ( 1 ) } - s ( x _ { j } , t ^ { n } + \Delta t ) h _ { j } \right] , } \end{array}