harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { i \hbar \Omega ^ { * } \partial _ { t } \Omega = i \sqrt { \mu } a _ { 0 } \Omega ^ { * } \lambda _ { 0 } ^ { - 3 N / 2 } \partial _ { t ^ { \prime } } \Omega ^ { \prime } \lambda _ { 0 } ^ { - 3 N / 2 } t _ { 0 } ^ { - 1 } = i \sqrt { \mu } \Omega ^ { * } \partial _ { t ^ { \prime } } \Omega ^ { \prime } \lambda _ { 0 } ^ { - 3 N } E _ { h } . } \end{array}
L = \frac { 1 } { g _ { Y M } ^ { 2 } } \left[ - \frac { 1 } { 4 } F _ { \alpha \beta } F ^ { \alpha \beta } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \alpha } \Phi ^ { i } \partial ^ { \alpha } \Phi ^ { i } \right] + \dots
a _ { 0 } = 0 . 3 6 3 5 8 1 9 ; \quad a _ { 1 } = 0 . 4 8 9 1 7 7 5 ; \quad a _ { 2 } = 0 . 1 3 6 5 9 9 5 ; \quad a _ { 3 } = 0 . 0 1 0 6 4 1 1 .
R _ { \mathrm { b o u n d a r y } } ( r ) = \frac { 1 } { \sqrt { r } } \left( A _ { \mathrm { 1 } } J _ { - \lambda } \left( \frac { \omega \ell ^ { 2 } } { r } \right) + A _ { \mathrm { 2 } } J _ { \lambda } \left( \frac { \omega \ell ^ { 2 } } { r } \right) \right) ,
\mathcal { E } _ { h } = \mathbf { d } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { M } } _ { 1 / \epsilon } ^ { 2 } \mathbf { d } + \mathbf { b } ^ { \top } \mathbf { M } _ { 1 / \mu } ^ { 2 } \mathbf { b } ,
\begin{array} { r l } { \lambda \kappa \mathbb { E } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } } & { \leq \left( \mathbb { E } F ( \mathbf { z } ^ { t } ) - \mathbb { E } F ( \mathbf { z } ^ { t + 1 } ) \right) + \frac { 3 2 \lambda \eta _ { l } L ^ { 2 } K } { \gamma m } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \mathbb { E } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + \frac { 4 \lambda ^ { 3 } L ^ { 2 } ( 1 - 2 \gamma ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 3 } } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + 3 2 \lambda \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K ( 1 6 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) + \lambda \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } ( 3 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { w ( u + v ) ^ { 3 } - c \Delta w ( u + w ) v - c \Delta w \sqrt { u v ( u + w ) ( v - w ) } } \\ { \geq } & { 2 c _ { 1 } \Delta w \Big \{ ( u + v ) ^ { 2 } - \frac { c ( u + w ) v } { 2 c _ { 1 } } - \frac { c \sqrt { u v ( u + w ) ( v - w ) } } { 2 c _ { 1 } } \Big \} } \\ { \geq } & { 2 c _ { 1 } \Delta w \Big \{ \Big ( 1 - c / \Big ( 2 c _ { 1 } \Big ) \Big ) ( u + v ) ^ { 2 } - 2 ^ { - 1 / 2 } c / c _ { 1 } u v \Big \} > 0 } \end{array}
\Psi _ { { \bf 4 } _ { + } , A } = { \bf J } _ { A C } \Psi _ { { \bf 4 } _ { + } , C } ^ { c } , \quad \Psi _ { { \bf 4 } _ { - } , B } = { \bf J } _ { B D } \Psi _ { { \bf 4 } _ { - } , D } ^ { c } , \quad \mathrm { w h e r e ~ ~ } { \bf J } _ { A C } = { \bf J } _ { B D } = \left( \begin{array} { c c } { { } } & { { { \bf 1 } } } \\ { { - { \bf 1 } } } & { { } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } f _ { 2 } = - v _ { 0 } \left[ \hat { n } ( \theta ) \cdot \partial _ { \vec { r } } + \hat { n } ( \beta ) \cdot \partial _ { \vec { z } } \right] f _ { 2 } - \Gamma \, a ( | \vec { r } - \vec { z } | ) } \\ & { } & { \times \big [ \big ( \partial _ { \theta } - \partial _ { \beta } \big ) \, \mathrm { s i n } ( \beta - \theta ) \, f _ { 2 } \big ] - \Gamma \int d \theta _ { 3 } \int d \vec { r } _ { 3 } \, F [ f _ { 3 } ] ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) \Big | _ { I = 2 } = 1 . 6 7 ( 6 4 ) \cdot \alpha _ { S } ( Q ^ { 2 } ) \cdot \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } ,
\lambda \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } \sum _ { \cal P } A _ { n _ { 1 } } ( p _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , p _ { n _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ) A _ { n _ { 2 } } ( p _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , \ldots , p _ { n _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ) A _ { n _ { 3 } } ( p _ { 1 } ^ { ( 3 ) } , \ldots , p _ { n _ { 3 } } ^ { ( 3 ) } )
\begin{array} { r } { \mathbf i ( \eta _ { a _ { 1 } } ) = \mathbf { M } ( a _ { 1 } ) { \small \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { \sqrt { 2 } } \end{array} \right) } = { \small \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { 1 } \\ { ( a _ { 1 } - 1 ) ^ { 2 } } \\ { \sqrt { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 1 } + 1 ) } \end{array} \right) } . } \end{array}
\pi ^ { - { \frac { s } { 2 } } } \Gamma \left( { \frac { s } { 2 } } \right) \zeta ( s ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { { \frac { s } { 2 } } - 1 } \psi ( x ) \, d x + \int _ { 1 } ^ { \infty } x ^ { { \frac { s } { 2 } } - 1 } \psi ( x ) \, d x
\gamma ^ { n } ( A ) = { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 \pi } } ^ { n } } } \int _ { A } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \| x \| _ { \mathbb { R } ^ { n } } ^ { 2 } \right) \, \mathrm { d } \lambda ^ { n } ( x )
D _ { { \cal F } } ^ { ( N , \alpha ) } ( \Delta ) = \frac { - i \pi ^ { 1 - N / 2 } \Gamma ( 2 - N / 2 ) } { 2 ^ { N - 2 } \alpha } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { i 2 \pi n \Delta / \alpha } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p \ p ^ { N - 3 } J _ { 2 \pi | n | / \alpha } ^ { 2 } ( p r ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 1 } } & { : = P ^ { \ast } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Gamma ) , } \\ { \mathcal { E } _ { 1 } } & { : = P \Lambda ^ { n - 1 } ( \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Sigma ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma ) , } \end{array}
\langle \phi _ { n , m } \left( z _ { 1 } \right) \phi _ { 1 , 2 } \left( z _ { 2 } \right) \phi _ { 1 , 2 } \left( z _ { 3 } \right) \phi _ { n , m } \left( z _ { 4 } \right) \rangle = \left( \prod _ { i < j } z _ { i j } ^ { \gamma _ { i j } } \right) \eta ^ { 2 \alpha _ { n , m } \alpha _ { 1 , 2 } - \gamma _ { 1 2 } } \left( 1 - \eta \right) ^ { 2 \alpha _ { 1 , 2 } ^ { 2 } - \gamma _ { 2 3 } } Y \left( \eta \right)
\begin{array} { r l r } & { \left\langle \hat { N } _ { a } \right\rangle = \left\langle \hat { a } _ { 3 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 3 } \right\rangle = k _ { 1 } ^ { \ast } k _ { 1 } N , } & \\ & { \left\langle \hat { N } _ { a } ^ { 2 } \right\rangle = \left\langle \hat { a } _ { 3 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 3 } \hat { a } _ { 3 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 3 } \right\rangle = ( k _ { 1 } ^ { \ast } k _ { 1 } ) ^ { 2 } N ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { \ast } k _ { 1 } N , } & \\ & { B = ( 1 - R _ { 1 } ) ( 1 - R _ { 2 } ) ( 1 - l _ { a } ) + R _ { 1 } R _ { 2 } ( 1 - l _ { b } ) , } & \\ & { C = 2 \sqrt { R _ { 1 } R _ { 2 } ( 1 - R _ { 1 } ) ( 1 - R _ { 2 } ) ( 1 - l _ { a } ) ( 1 - l _ { b } ) } . } & \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j = - \frac { N - 1 } { 2 } } ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } \delta _ { L , N } \left( x _ { 1 } - j h \right) \delta _ { L , N } \left( x _ { 2 } - j h \right) h } \\ & { = \frac { 1 } { L } \sum _ { k _ { 1 } = - \frac { N - 1 } { 2 } } ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } \sum _ { k _ { 2 } = - \frac { N - 1 } { 2 } } ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } e ^ { i \frac { 2 \pi } { L } \left( k _ { 1 } x _ { 1 } + k _ { 2 } x _ { 2 } \right) } \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { j = - \frac { N - 1 } { 2 } } ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } e ^ { - i \frac { 2 \pi } { N } \left( k _ { 1 } + k _ { 2 } \right) j } \right) } \\ & { = \sum _ { k = - \frac { N - 1 } { 2 } } ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } e ^ { i \frac { 2 \pi } { L } k \left( x _ { 1 } - x _ { 2 } \right) } } \\ & { = \delta _ { L , N } \left( x _ { 1 } - x _ { 2 } \right) , } \end{array}
\eta ( \bar { \eta } ) _ { \mu \nu } ^ { a } = - \eta ( \bar { \eta } ) _ { \nu \mu } ^ { a } = \left\{ \begin{array} { c c c } { { \epsilon ^ { a \mu \nu } } } & { { \quad \mathrm { f o r } \quad } } & { { \mu , \nu = 1 , 2 , 3 ; } } \\ { { ( - ) \delta ^ { \mu a } } } & { { \quad \mathrm { f o r } \quad } } & { { \nu = 4 . } } \end{array} \right.
\mathbf { R } _ { z } ( \mathbf { q } ) = \mathbf { B } ( \mathbf { q } ) \frac { \partial \mathbf { q } } { \partial z } + \mathbf { C } _ { 1 } ( \mathbf { q } ) \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { q } } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { \partial \mathbf { C } _ { 2 } } { \partial \mathbf { q } } \frac { \partial \mathbf { q } } { \partial z } \frac { \partial \mathbf { q } } { \partial z } + \mathbf { D } _ { 1 } ( \mathbf { q } ) \frac { \partial \mathbf { q } } { \partial z } \odot \mathbf { D } _ { 2 } ( \mathbf { q } ) \frac { \partial \mathbf { q } } { \partial z } .
\begin{array} { r l } { n _ { D } ( s ) } & { { } = n _ { T } ( s ) = 2 ^ { 2 0 } ( 1 - s ^ { 5 } ) \; \mathrm { ~ m ~ } ^ { - 3 } , } \\ { T _ { i } ( s ) } & { { } = 1 2 ( 1 - s ) \; \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \delta ^ { * } } = - \nabla H ( \beta ^ { * } ) , } \\ & { p ^ { * } ( \theta ) = f ( \theta , \beta ^ { * } ) , } \\ & { { \mu ^ { * } } ( \theta ) = x ^ { * } ( \theta ) \odot v ( \theta ) = \nabla _ { \beta } f ( \theta , \beta ^ { * } ) , } \\ & { { \bar { \mu } ^ { * } } = { \mathbb E } [ \nabla f ( \theta , \beta ^ { * } ) ] = \nabla { \bar { f } } ( \beta ^ { * } ) , } \\ & { { \small \textsc { { R E V } } } ^ { * } = { \bar { f } } ( \beta ^ { * } ) , \mathrm { ~ a n d } } \\ & { { \small \textsc { { N S W } } } ^ { * } = \Psi ( \beta ^ { * } ) + { \sum _ { i = 1 } ^ { n } } b _ { i } \log b _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { { \bf p } } _ { n } } & { = W _ { n - 1 } ^ { 1 } * \mathrm { U P } \left\{ \mathrm { B N } \left[ \mathcal { W } _ { n - 1 } ^ { \mathrm { u } } \left( { \bf p } _ { n - 1 } \right) \right] \right\} , } \\ { { \bf p } _ { n } } & { = \mathrm { C o n c a t } \left( \tilde { { \bf p } } _ { n } , { \bf u } _ { 6 - n } \right) , } \end{array}
\mathrm { p r o b } ( i , x _ { 1 } ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \delta _ { q } ^ { i } \, \varphi _ { \mathrm { i } / p ( \mathrm { v a l } ) } ( x _ { 1 } ) \, \sigma _ { T } ^ { \gamma ^ { * } i } ( x _ { 1 } \tilde { s } , Q ^ { 2 } , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } } & { { \mathrm { i f } } } & { { \mathrm { v a l } } } \\ { { \varphi _ { i / p ( \mathrm { s e a } ) } ( x _ { 1 } ) \, \sigma _ { T } ^ { \gamma ^ { * } i } ( x _ { 1 } \tilde { s } , Q ^ { 2 } , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } } & { { \mathrm { i f } } } & { { \mathrm { s e a } } } \end{array} \right. ,
\frac { \partial E ( \xi , T _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) } { \partial \xi } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 0 . 4 1 9 } { \xi } \mathrm { \; G P a \, s , \ } } & { \xi < 2 1 2 0 \mathrm { \, H z } } \\ { 0 \mathrm { \; G P a \, s , \ } } & { \xi \geqslant 2 1 2 0 \mathrm { \, H z } } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l } { \langle q _ { l i m } \rangle } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f _ { X } ( \alpha ) { \pi } _ { 1 } ( \alpha ) \, d \alpha + \int _ { - \infty } ^ { l _ { I I } } f _ { X } ( \alpha ) { \pi } _ { 2 } ( \alpha ) \, d \alpha + \int _ { - \infty } ^ { \operatorname* { m i n } { ( l _ { I I } , l _ { I I I } ) } } f _ { X } ( \alpha ) { \pi } _ { 3 } ( \alpha ) \, d \alpha , } \\ { \quad l _ { I I } } & { = F _ { Z } ^ { - 1 } ( p _ { I } ) - F _ { Y } ^ { - 1 } \left( \frac { { \epsilon } _ { 2 } } { { \Lambda } _ { b } } \right) , \quad l _ { I I I } = F _ { Z } ^ { - 1 } ( p _ { I I } ) - F _ { Y } ^ { - 1 } \left( \frac { { \epsilon } _ { 3 } } { { \Lambda } _ { b } } \right) } \end{array}
| W _ { \epsilon } ( R , Z ) - A ( \rho ) \bigr | \, \le \, \bigl | \chi _ { 1 } ( \epsilon R ) - 1 \bigr | \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \zeta _ { * } ) + \bigl | \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \zeta _ { * } ) - \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) \bigr | + \bigl | \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) - \Phi _ { 0 } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) \bigr | \, .
\begin{array} { r } { D ^ { 4 } I _ { i } ( s , z ) = - \textbf { i } R e ^ { 2 } P r R \Bigg [ \bigg ( \frac { 2 ( z - z _ { d } ) } { d ^ { 2 } } + \lambda _ { i } \bigg ) ^ { 3 } - \frac { 6 } { d ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 2 ( z - z _ { d } ) } { d ^ { 2 } } + \lambda _ { i } \bigg ) \Bigg ] \exp \bigg ( \displaystyle \frac { - ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigg ) \exp ( - \lambda _ { i } z ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { A _ { 0 } ( x ) } & { { } = \sin ( x ) , } & { } & { { } A _ { n + 1 } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } y A _ { n } ( y ) \, d y } \\ { U _ { 0 } ( x ) } & { { } = { \frac { \sin ( x ) } { x } } , } & { } & { { } U _ { n + 1 } ( x ) = - { \frac { U _ { n } ^ { \prime } ( x ) } { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp ( \hat { \mathbf { X } } ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { R } } & { \ \ \frac { 1 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } ( \mathbf { I } - \mathbf { R } ) \tilde { \mathbf { x } } \mathbf { y } + h \mathbf { y } } \\ { \mathbf { 0 } } & { 1 } \end{array} \right) , \ \mathrm { f o r \ } \mathbf { x } \neq \mathbf { 0 } \ } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { I } } & { \ \mathbf { y } } \\ { \mathbf { 0 } } & { 1 } \end{array} \right) , \ \mathrm { f o r \ } \mathbf { x } = \mathbf { 0 } } \end{array}
\Gamma _ { s } = { \frac { 3 f ^ { 4 } } { 4 \pi } } { \frac { M _ { i } } { x } } \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { x \ll 1 } } \\ { { { \frac { 2 } { 3 } } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } } & { { x \gg 1 } } \end{array} \right. .
{ \frac { \delta } { \delta \phi ^ { a _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) } } { \frac { \delta } { \delta \phi ^ { a _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) } } \cdots { \frac { \delta } { \delta \phi ^ { a _ { n } } ( x _ { n } ) } } ,
\begin{array} { r l } & { ( n - 1 ) | F _ { i } ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) - F _ { i } ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ( t ) ) | } \\ { = } & { \bigg | \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \exp \{ \alpha _ { i } ^ { * } ( t ) + \beta _ { j } ^ { * } ( t ) \} \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \Big [ \exp \{ Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ^ { * } ( t ) \} d s - \exp \{ Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} \Big ] \bigg | } \\ { = } & { \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \exp \{ \alpha _ { i } ^ { * } ( t ) + \beta _ { j } ^ { * } ( t ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \widetilde \gamma ( t ) \} | Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \{ \gamma ^ { * } ( t ) - \gamma ( t ) \} d s | } \\ { \le } & { 2 n e ^ { q _ { n } } \kappa _ { n } \varepsilon _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( k _ { 1 } , l _ { 1 } , \dots , k _ { n } , l _ { n } \, | \, \rho ) } & { { } \approx \frac { N ^ { n } } { n ! } \sum _ { i , j } w _ { i } \exp \left( - N \sum _ { k , l } a _ { l } I ( Q _ { i } S _ { j } \vec { x } _ { k , l } ) \right) \prod _ { m = 1 } ^ { n } a _ { l _ { m } } I ( Q _ { i } S _ { j } \vec { x } _ { k _ { m } , l _ { m } } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ F ~ i ~ n ~ d ~ } \gamma \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ : ~ } } & { } \\ { \Delta \gamma = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } { \Omega } _ { 0 } , } \\ { \gamma = 1 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ l ~ v ~ , ~ e ~ n ~ d ~ o ~ } } } \\ { \gamma = - 1 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { r v , e n d o } } , } \\ { n _ { 0 _ { i } } \left( \nabla _ { 0 _ { i } } \gamma \right) = 0 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { b a s e } } , { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { e p i } } . } \end{array} \right.
\tan [ 2 ( t - t _ { 0 } ) ] = \frac { 4 e - ( j ^ { 2 } - 1 + 2 e ) ( 1 - x ^ { 2 } ) } { \sqrt { - 2 e } ( x ^ { 2 } - 1 ) \sqrt { 2 e + ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - j ^ { 2 } / x ^ { 2 } ) } } .
C = \langle \left[ \theta _ { \mathrm { p r o p e l } } ( t ) - \langle \theta _ { \mathrm { p r o p e l } } \rangle \right] \left[ \theta _ { \mathrm { f l u i d } } ( t ) - \langle \theta _ { \mathrm { f l u i d } } \rangle \right] \rangle / \left( \sigma _ { \theta _ { \mathrm { p r o p e l } } } \sigma _ { \theta _ { \mathrm { f l u i d } } } \right) .
\varepsilon ( \xi _ { n } ^ { 1 } , Z ) = \frac { \partial \xi _ { n } ^ { 1 } } { \partial Z } \frac { \partial H } { \partial s } ( P _ { 1 } ; Z ) = \Phi _ { n } ^ { 1 } \left[ \frac 1 2 - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 s _ { { \scriptscriptstyle m } } ^ { 2 } } \right] = \Phi _ { n } ^ { 1 } \left[ \frac 1 2 - \frac { s _ { { \scriptscriptstyle M } } ^ { 2 } } { 2 \mu ^ { 2 } } \right] = \Phi _ { n } ^ { 1 } \left[ 1 - \frac { h } { \mu ^ { 2 } } ( h + \sqrt { h ^ { 2 } \! - \! \mu ^ { 2 } } ) \right]
{ \frac { \partial ( y _ { 1 } , \ldots , y _ { k } ) } { \partial ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } } = { \frac { \partial ( y _ { 1 } , \ldots , y _ { k } ) } { \partial ( u _ { 1 } , \ldots , u _ { m } ) } } { \frac { \partial ( u _ { 1 } , \ldots , u _ { m } ) } { \partial ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } } .
\frac { d ^ { 3 } x } { d y ^ { 3 } } = \frac { d } { d y } \frac { - y ^ { \prime \prime } } { ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } = \frac { ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( - y ^ { \prime \prime \prime } ) - ( - y ^ { \prime \prime } ) 2 ( y ^ { \prime } ) ( y ^ { \prime \prime } ) } { ( ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { 2 ( y ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } ( y ^ { \prime } ) - ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( y ^ { \prime \prime \prime } ) } { ( y ^ { \prime } ) ^ { 4 } } = \frac { 2 ( y ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } - y ^ { \prime } y ^ { \prime \prime \prime } } { ( y ^ { \prime } ) ^ { 3 } }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H e } ( 1 s ^ { 2 } ) } & { { } \xrightarrow { h \nu } } & { \mathrm { H e } ^ { + } ( 1 s ) + e _ { \varepsilon { p } } ^ { - } \xrightarrow { h \nu } \mathrm { H e } ^ { 2 + } + e _ { \varepsilon { p } } ^ { - } + e _ { \varepsilon ^ { \prime } p } ^ { - } } \\ { \mathrm { H e } ( 1 s ^ { 2 } ) } & { { } \xrightarrow { h \nu } } & { \mathrm { H e } ^ { + } ( 2 s ) + e _ { \varepsilon { p } } ^ { - } \xrightarrow { h \nu } \mathrm { H e } ^ { 2 + } + e _ { \varepsilon { p } } ^ { - } + e _ { \varepsilon ^ { \prime } p } ^ { - } } \\ { \mathrm { H e } ( 1 s ^ { 2 } ) } & { { } \xrightarrow { h \nu } } & { \mathrm { H e } ^ { + } ( 2 p ) + e _ { \varepsilon \, { s / d } } ^ { - } \xrightarrow { h \nu } \mathrm { H e } ^ { 2 + } + e _ { \varepsilon \, { s / d } } ^ { - } + e _ { \varepsilon ^ { \prime } \, { s / d } } ^ { - } . } \end{array}
A ( Q _ { 2 } , p _ { 2 } | Q _ { 1 } , p _ { 1 } ) = \frac { \sum _ { i \in Q _ { 1 } , p _ { 1 } } a _ { i } ( Q _ { 2 } , p _ { 2 } ) } { N ( Q _ { 1 } , p _ { 1 } ) } .
( x _ { j } , y _ { l } ) = ( j \mathcal { W } , l \mathcal { W } ) , \quad \textrm { w h e r e } ~ \left\{ \begin{array} { l l } { j = 0 , 1 , \cdots , J , } \\ { l = 0 , 1 , \cdots , L . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \tilde { W } _ { -- } - i \Omega ^ { ( a ) } ( k ^ { \prime } ) \tilde { W } _ { + - } - i \Omega ^ { ( b ) } ( k - k ^ { \prime } ) \tilde { W } _ { - + } - \Omega ^ { ( a ) } ( k ^ { \prime } ) \Omega ^ { ( b ) } ( k - k ^ { \prime } ) \tilde { W } _ { + + } = R ^ { ( a b ) } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \; , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right) } } & { = \operatorname* { d e t } ( A ) \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right) } \underbrace { \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l } { A ^ { - 1 } } & { - A ^ { - 1 } B } \\ { 0 } & { I _ { n } } \end{array} \right) } } _ { = \, \operatorname* { d e t } ( A ^ { - 1 } ) \, = \, ( \operatorname* { d e t } A ) ^ { - 1 } } } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( A ) \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l } { I _ { m } } & { 0 } \\ { C A ^ { - 1 } } & { D - C A ^ { - 1 } B } \end{array} \right) } } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( A ) \operatorname* { d e t } ( D - C A ^ { - 1 } B ) , } \end{array} }
J _ { 1 } ( z ) = \frac { \Omega } { 2 } d \sqrt { \pi } \exp { \bigg ( \frac { d ^ { 2 } } { 4 } - z _ { d } \bigg ) } \mathrm { E r f } \, { \bigg ( \frac { d } { 2 } + \frac { z - z _ { d } } { d } \bigg ) }
\left[ \begin{array} { c c c c c c c } { \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \chi _ { 1 4 } } & { \chi _ { 1 5 } } & { \chi _ { 1 6 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \epsilon _ { 2 } ^ { - 1 } } & { 0 } & { \chi _ { 2 4 } } & { \chi _ { 2 5 } } & { \chi _ { 2 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } } & { \chi _ { 1 6 } } & { \chi _ { 1 5 } } & { \chi _ { 1 4 } } & { 0 } \\ { \chi _ { 1 4 } } & { \chi _ { 1 5 } } & { \chi _ { 1 6 } } & { \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \chi _ { 2 4 } } & { \chi _ { 2 5 } } & { \chi _ { 2 4 } } & { 0 } & { \epsilon _ { 2 } ^ { - 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \chi _ { 1 6 } } & { \chi _ { 1 5 } } & { \chi _ { 1 4 } } & { 0 } & { 0 } & { \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { \chi _ { 7 1 } } & { \chi _ { 7 2 } } & { \chi _ { 7 1 } } & { \chi _ { 7 1 } } & { \chi _ { 7 2 } } & { \chi _ { 7 1 } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { q _ { 1 } } \\ { q _ { 2 } } \\ { q _ { 3 } } \\ { q _ { 4 } } \\ { q _ { 5 } } \\ { q _ { 6 } } \\ { q _ { 7 } } \end{array} \right] = \sigma \left[ \begin{array} { c } { ( F _ { 1 4 } + F _ { 1 5 } + F _ { 1 6 } ) \left( T _ { h } ^ { 4 } - T _ { s } ^ { 4 } \right) + F _ { 1 7 } \left( T _ { \mathrm { h } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) } \\ { ( 2 F _ { 2 4 } + F _ { 2 5 } ) \left( T _ { h } ^ { 4 } - T _ { s } ^ { 4 } \right) + F _ { 2 7 } \left( T _ { h } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) } \\ { ( F _ { 1 4 } + F _ { 1 5 } + F _ { 1 6 } ) \left( T _ { h } ^ { 4 } - T _ { s } ^ { 4 } \right) + F _ { 1 7 } \left( T _ { h } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) } \\ { - ( F _ { 1 4 } + F _ { 1 5 } + F _ { 1 6 } ) \left( T _ { h } ^ { 4 } - T _ { s } ^ { 4 } \right) + F _ { 1 7 } \left( T _ { \mathrm { s } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) } \\ { - ( 2 F _ { 2 4 } + F _ { 2 5 } ) \left( T _ { h } ^ { 4 } - T _ { s } ^ { 4 } \right) + F _ { 2 7 } \left( T _ { \mathrm { s } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) } \\ { - ( F _ { 1 4 } + F _ { 1 5 } + F _ { 1 6 } ) \left( T _ { h } ^ { 4 } - T _ { s } ^ { 4 } \right) + F _ { 1 7 } \left( T _ { \mathrm { s } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) } \\ { ( 2 F _ { 7 1 } + F _ { 7 2 } ) \left\{ \left( T _ { \mathrm { h } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) + \left( T _ { \mathrm { s } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) \right\} } \end{array} \right] { , }
\begin{array} { r l } { \mathcal { V } _ { i , j } } & { = \langle \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { i - 1 } \mathcal { R } _ { n } , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { j - 1 } \mathcal { R } _ { n } \rangle _ { \mathbb { K } } , } \\ & { = \langle \mathcal { H } _ { m \times n } \left( i \right) , \mathcal { H } _ { m \times n } \left( j \right) \rangle _ { \mathbb { K } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { c a v } = \omega \mu _ { 0 } \frac { \int _ { V } | \textbf H | ^ { 2 } \mathrm { d } v } { \int _ { A } | \textbf H _ { \tau } | ^ { 2 } \mathrm { d } a } = \omega \mu _ { 0 } D } \end{array}