harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left( H _ { v } ( \mathcal { B } , \mathcal { K } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { H _ { s } ( \mathcal { A } ^ { - } , \mathcal { K } ) - \mathcal { B } + \frac { \mathcal { K } } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { s } ( \mathcal { A } ^ { + } , \mathcal { K } ) + \mathcal { B } + \frac { \mathcal { K } } { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta ( \zeta , k ) = \left( \begin{array} { l l l } { \Delta _ { 1 1 } ( \zeta , k ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \Delta _ { 2 2 } ( \zeta , k ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Delta _ { 3 3 } ( \zeta , k ) } \end{array} \right) , \quad \zeta \in \mathcal { I } , \; k \in \mathbb { C } \setminus ( \partial \mathbb { D } \cup \hat { \mathsf { Z } } ) . } \end{array}
H _ { + } ( s ) \; = \; \frac { F _ { g g } ( s ) \; + \; \lambda _ { + } ( s ) } { \lambda _ { + } ( s ) \; - \; \lambda _ { - } ( s ) } \; \; , \; \; \; \; \; \; \; H _ { - } ( s ) \; = \; - \, \frac { F _ { g g } ( s ) \; + \; \lambda _ { - } ( s ) } { \lambda _ { + } ( s ) \; - \; \lambda _ { - } ( s ) } \; \; ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ; Y ) \, d s } & { + \partial _ { x } \left( c ( x ; Y ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) V ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ; Y ) \, d s \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ; Y ) f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ; Y ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \gamma \eta } { 2 } \partial _ { x } c ( x ; Y ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ^ { \prime } ( \tilde { s } ^ { \prime } ) V ( s _ { \ast } ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ; Y ) f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ; Y ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \eta } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ; Y ) \partial _ { x } f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ; Y ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \varepsilon \gamma \eta ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x } c ( x ; Y ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ^ { \prime } ( \tilde { s } ^ { \prime } ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \partial _ { x } f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ; Y ) \, d s \, d s _ { \ast } . } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } r } { \mathrm { d } t } } = - { \frac { 6 4 } { 5 } } \, { \frac { G ^ { 3 } } { c ^ { 5 } } } \, { \frac { ( m _ { 1 } m _ { 2 } ) ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { r ^ { 3 } } } \ ,
y ( x ) = R _ { m i n } + \frac { R _ { d } \mathrm { t a n } ( \frac { \pi } { 4 } ( 1 + x ) ) } { 1 + \frac { R _ { d } } { R _ { m a x } - R _ { m i n } } \mathrm { t a n } ( \frac { \pi } { 4 } ( 1 + x ) ) } ,
\begin{array} { r l r l r l } { \rho } & { = \rho _ { \mathrm { T i } } \, \frac { A _ { \mathrm { T i } } } { A _ { \mathrm { t o t } } } \, , } & { \kappa _ { \mathrm { e } } } & { = \frac { \kappa _ { \mathrm { m } } \, \kappa _ { \mathrm { M a c r o } } } { \kappa _ { \mathrm { m } } - \kappa _ { \mathrm { M a c r o } } } \, , } & { \mu _ { \mathrm { e } } } & { = \frac { \mu _ { \mathrm { m } } \, \mu _ { \mathrm { M a c r o } } } { \mu _ { \mathrm { m } } - \mu _ { \mathrm { M a c r o } } } \, , } \\ { * \mu _ { \mathrm { e } } ^ { * } } & { = \frac { \mu _ { \mathrm { m } } ^ { * } \, \mu _ { \mathrm { M a c r o } } ^ { * } } { \mu _ { \mathrm { m } } ^ { * } - \mu _ { \mathrm { M a c r o } } ^ { * } } \, , } & { \kappa _ { \gamma } } & { = \frac { \kappa _ { \mathrm { e } } + \kappa _ { \mathrm { m } } } { \rho \, L _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \, \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } } & { \gamma _ { 1 } } & { = \frac { \mu _ { \mathrm { e } } + \mu _ { \mathrm { m } } } { \rho \, L _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \, \omega _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } \, , } \\ { * \gamma _ { 1 } ^ { * } } & { = \frac { \mu _ { \mathrm { e } } ^ { * } + \mu _ { \mathrm { m } } ^ { * } } { \rho \, L _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \, \omega _ { \mathrm { s s } } ^ { 2 } } \, , } & { \gamma _ { 2 } } & { = \frac { \mu _ { \mathrm { c } } } { \rho \, L _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \, \omega _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { b _ { - 2 , 2 } } & { = } & { - h _ { 1 } h _ { 2 } ( 1 - \frac { 1 } { N } ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( a _ { j , - 1 } ^ { 2 } + 2 \sum _ { l > 0 } a _ { j , - l - 2 } a _ { j , l } ) } \\ & { } & { + \frac { 2 h _ { 1 } h _ { 2 } } { N } \sum _ { j < k } \left( a _ { j , - 1 } a _ { k , - 1 } + \sum _ { l > 0 } ( a _ { j , - l - 2 } a _ { k , l } + a _ { k , - l - 2 } a _ { j , l } ) \right) } \\ & { } & { - h _ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( N + 1 - 2 j ) a _ { j , - 2 } , } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { P } \sigma _ { i _ { K } } ^ { 2 } \parallel \mathbf { h } _ { i } \parallel ^ { 2 } \frac { \mathbf { h } _ { i } } { \parallel \mathbf { h } _ { i } \parallel } \frac { \mathbf { h } _ { i } ^ { T } } { \parallel \mathbf { h } _ { i } \parallel } = \sum _ { i = 1 } ^ { P } \lambda _ { i } \mathbf { q } _ { i } \mathbf { q } _ { i } ^ { T }
{ \cal W } _ { \mathrm { d i f f } } \Sigma = \displaystyle { \int } d ^ { 3 } x \, \displaystyle { \sum _ { \Phi } ^ { } } \delta _ { \mathrm { d i f f } } ^ { ( \varepsilon ) } \Phi { \displaystyle { \frac { \delta \Sigma } { \delta \Phi } } } = 0 \, ,
{ \mathrm { M i n i m i z e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } \left( x , y \right) = 0 . 5 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) + \sin \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } \\ { f _ { 2 } \left( x , y \right) = { \frac { \left( 3 x - 2 y + 4 \right) ^ { 2 } } { 8 } } + { \frac { \left( x - y + 1 \right) ^ { 2 } } { 2 7 } } + 1 5 } \\ { f _ { 3 } \left( x , y \right) = { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 1 } } - 1 . 1 \exp \left( - \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \right) } \end{array} \right. }
\frac { \delta ( \nu _ { a } / \nu _ { b } ) } { \nu _ { a } / \nu _ { b } } = 2 . 4 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \frac { \delta < r _ { n } ^ { 2 } > } { < r _ { n } ^ { 2 } > } = - 1 . 2 ( 1 . 8 ) \cdot 1 0 ^ { - 1 8 } / \mathrm { ~ y ~ }
\frac { \partial \vec { u } } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } = - \boldsymbol { \nabla } \left( \frac { | \vec { u } | ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \hbar } { \rho _ { 0 } ^ { 3 } } \boldsymbol { s } \cdot \boldsymbol { f } ^ { s } \right) - \frac { \hbar } { \rho _ { 0 } ^ { 3 } } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { s } \cdot \boldsymbol { f } ^ { s }
\begin{array} { r l } { | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle \propto } & { { } \left( \begin{array} { l } { \Delta \pm E } \\ { k _ { x } + i ( k _ { y } - i \kappa ) } \end{array} \right) } \\ { | \psi _ { \pm } ^ { L } \rangle \propto } & { { } \left( \begin{array} { l } { \Delta \pm E ^ { * } } \\ { k _ { x } + i ( k _ { y } + i \kappa ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { n } _ { T } } & { = } & { \tilde { n } + \hat { n } + \tilde { n } _ { Z c } + n ^ { h } , } \\ { n _ { T } ^ { 1 } } & { = } & { n ^ { 1 } + n _ { Z c } + n ^ { h } , } \\ { \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } } & { = } & { \tilde { n } ^ { 1 } + \hat { n } ^ { 1 } + \tilde { n } _ { Z c } + n ^ { h } . } \end{array}
\left( \frac { \partial ^ { 2 } \Omega } { \partial M ^ { 2 } } \right) _ { M = 0 } = \left( \frac { \rho _ { s } } { M } \right) _ { M \rightarrow 0 } = \nu _ { q } \left( \frac { T ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { \mu ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \gamma ( s ) = } & { \frac { ( 2 B + A - \lambda ( B + A ) ) m ^ { 2 } + ( A - \frac { 1 } { \lambda } ( B + A ) ) n ^ { 2 } } { B ^ { 3 } } } \\ { = } & { \frac { - m ^ { 2 } } { A B } } \\ { = } & { \frac { - ( B - A ) ^ { 2 } } { A B } ( c ^ { T } u ) ^ { 2 } } \\ { = } & { \frac { - ( 1 - Z ) ^ { 2 } } { Z } ( c ^ { T } u ) ^ { 2 } } \\ { \geq } & { \frac { - ( 1 - \frac { \| c \| } { r } ) ^ { 2 } } { \frac { \| c \| } { r } } \| c \| ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } } \\ { \geq } & { - \frac { R ^ { 2 } ( r - R ) } { r } \| u \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \boldsymbol { \mathsf { M } } - \gamma \Delta t \boldsymbol { \mathsf { W } } ^ { ( 1 ) } ) \delta \boldsymbol { x } ^ { ( 1 ) } } & { = \Delta t F ( \boldsymbol { x } ^ { n } ) , } \\ { \boldsymbol { x } ^ { ( 1 ) } } & { = \boldsymbol { x } ^ { n } + \delta \boldsymbol { x } ^ { ( 1 ) } , } \\ { ( \boldsymbol { \mathsf { M } } - \gamma \Delta t \boldsymbol { \mathsf { W } } ^ { ( 1 ) } ) \delta \boldsymbol { x } ^ { ( 2 ) } } & { = - \boldsymbol { \mathsf { M } } \delta \boldsymbol { x } ^ { ( 1 ) } + } \\ { \frac { \Delta t } { 2 } ( F ( \boldsymbol { x } ^ { n } ) + F ( \boldsymbol { x } ^ { ( 1 ) } ) ) , } \\ { \boldsymbol { x } ^ { n + 1 } } & { = \boldsymbol { x } ^ { n } + \delta \boldsymbol { x } ^ { ( 1 ) } + \delta \boldsymbol { x } ^ { ( 2 ) } } \end{array}
\int { \frac { d ^ { 3 - 2 \epsilon } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 - 2 \epsilon } } } { \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) [ ( p + q ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ] } } = { \frac { \Gamma ( \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } + \epsilon ) } { ( 4 \pi ) ^ { 3 - 2 \epsilon } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha [ \alpha ( 1 - \alpha ) p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ] ^ { - 1 / 2 - \epsilon } \, ,
\left\langle { \bar { P } } \right\rangle = \frac { { \int _ { 2 } ^ { \infty } { \bar { P } f ( E , \theta ) g ( E , \kappa ) d E } } } { { \int _ { 2 } ^ { \infty } { f ( E , \theta ) g ( E , \kappa ) d E } } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big ( \| \partial _ { i j } ^ { 2 } u _ { \delta } ^ { n , t } \| _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \geq \frac { 1 } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } \Big ) } & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbb { P } \Big ( \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } u _ { \delta } ^ { n , t } ( x _ { k } ) \vert \geq \frac { 1 } { 2 \log ^ { \upsilon } ( n ) } \Big ) } \\ & { \lesssim \eta _ { n } ^ { - 2 } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { M } } \mathbb { P } \Big ( \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } u _ { \delta } ^ { n , t } ( x ) \vert \geq \frac { 1 } { 2 \log ^ { \upsilon } ( n ) } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta s } & { \equiv } & { \frac { S _ { 2 } } { n _ { 2 } } - \frac { S _ { 1 } } { n _ { 1 } } = \frac { k _ { B } } { 2 } \left[ \ln \left( \frac { A _ { 2 } ^ { 2 } T _ { \parallel 2 } ^ { 3 } } { A _ { 1 } ^ { 2 } T _ { \parallel 1 } ^ { 3 } } \right) - 2 \ln r \right] } \\ & { = } & { k _ { B } \ln \left( \frac { 1 } { r } \frac { A _ { 2 } } { A _ { 1 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ( \mathbf { x } , z , t ) = ~ } & { { } \epsilon _ { 0 } B _ { 1 1 } ( \mathbf { x } , z , t ) + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } B _ { 2 0 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } B _ { 2 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } } \\ { \bar { W } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { { } \epsilon _ { 0 } \bar { W } _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , 0 , t ) + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \bar { W } _ { 2 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , 0 , t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } } \end{array}
\arctan ( z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 ^ { 2 n } ( n ! ) ^ { 2 } } { ( 2 n + 1 ) ! } } { \frac { z ^ { 2 n + 1 } } { ( 1 + z ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } } } .
\begin{array} { r l } { { \mathrm { D i v } _ { h } } ( \mathbf B _ { h } ^ { n + 1 } ) } & { { } = { \mathrm { D i v } _ { h } } ( \mathbf B _ { h } ^ { n } ) - \Delta t \, { \mathrm { D i v } _ { h } } ( { \mathrm { C u r l } _ { h } } ( \boldsymbol { \tau } _ { h } ^ { n + 1 } ) ) } \end{array}
- { \frac { \Psi ^ { 2 } } { N } } \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } i j = - { \frac { \Psi ^ { 2 } } { N } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } i \sum _ { j = 0 } ^ { N } j = - { \frac { N ( N + 1 ) ^ { 2 } } { 4 } } \Psi ^ { 2 } \, .
\int _ { | e _ { i } | } ^ { | e _ { f } | } d | e | ~ = ~ \int _ { | e _ { i } | } ^ { | e _ { f } | } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { J = 0 } ^ { \infty } \delta \left( | e | - \frac { J } { 2 } \right) d | e | ,
\psi _ { \mathrm { W K B } } ( A ) = \frac { \exp [ - 2 \, \pi \, n \, ( A / L _ { p } ) ^ { 2 } ] } { | - 1 - A ^ { 2 } / \ell ^ { 2 } + G ^ { 2 } ) | ^ { 1 / 4 } } \, e ^ { \pm i \, \int ^ { A } p \, d x } ,
\begin{array} { r l } { \texttt { \small d i s t r i b - d i f f } } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ P ( \omega ^ { D } ) - P ( \omega ^ { \theta } ) ] ^ { 2 } \mathrm { d } \, \omega , } \\ { \texttt { \small d i s t r i b - s g s - d i f f } } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ P ( \Pi ^ { D } ) - P ( \Pi ^ { \theta } ) ] ^ { 2 } \mathrm { d } \, \Pi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla = \widehat { t } _ { \sigma } \partial _ { \sigma } + \frac { 1 } { h _ { s } } \widehat { t } _ { s } \nabla _ { s } \, + \frac { 1 } { \sigma } \widehat { t } _ { \theta } \partial _ { \theta } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( t ) I _ { n } } & { = ( t I _ { n } - A ) B } \\ & { = ( t I _ { n } - A ) \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } t ^ { i } B _ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } t I _ { n } \cdot t ^ { i } B _ { i } - \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } A \cdot t ^ { i } B _ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } t ^ { i + 1 } B _ { i } - \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } t ^ { i } A B _ { i } } \\ & { = t ^ { n } B _ { n - 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } t ^ { i } ( B _ { i - 1 } - A B _ { i } ) - A B _ { 0 } . } \end{array} }
\tilde { A } _ { i } ( { \bf k } ) = \Gamma ( \nu ) \left( { \frac { | { \bf k } | } { 2 } } \right) ^ { - \nu } \left( { \frac { 1 } { 2 } } a _ { i } ( { \bf k } ) - i { \frac { k _ { i } } { | { \bf k } | ^ { 2 } } } c a _ { 0 } ( { \bf k } ) \right) .
\mathbf { a } \wedge \mathbf { b } = \left( a ^ { 2 } b ^ { 3 } - a ^ { 3 } b ^ { 2 } \right) \mathbf { e } _ { 2 3 } + \left( a ^ { 3 } b ^ { 1 } - a ^ { 1 } b ^ { 3 } \right) \mathbf { e } _ { 3 1 } + \left( a ^ { 1 } b ^ { 2 } - a ^ { 2 } b ^ { 1 } \right) \mathbf { e } _ { 1 2 } \ .
\begin{array} { r l r } { \Delta R ^ { i } } & { { } \approx } & { { \cal R } _ { k } ^ { i } \le \frac { u _ { k } ^ { i } } { 4 \, \nu _ { k e } ^ { i } } \, , } \\ { \nu _ { k e } ^ { i } } & { { } \ge } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } \, n _ { e } ^ { i } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k e } ^ { 2 } c ^ { 3 } } \, \ln \Lambda _ { k e } ^ { i } } \end{array}
U _ { \mathbf { x } } = \left\lvert \frac { \partial \phi _ { \mathbf { x } } } { \partial x } - \Psi _ { \mathbf { x } } ^ { x } \right\rvert ^ { p - 2 } , \qquad V _ { \mathbf { x } } = \left\lvert \frac { \partial \phi _ { \mathbf { x } } } { \partial y } - \Psi _ { \mathbf { x } } ^ { y } \right\rvert ^ { p - 2 } ,
\begin{array} { r } { Z _ { Y } ^ { \mathrm { ~ s ~ c ~ } } ( { \mu _ { i } } ) = Z _ { Y } ^ { \prime } ( { \mathrm { ~ 0 ~ } + \mu _ { i } } ) - \frac { Z _ { Y } ^ { \prime } ( { \mu _ { i } } ) } { 2 } - \frac { Z _ { Y } ^ { \prime } ( { \mathrm { ~ 0 ~ } } ) } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { M } } & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \hbar \omega _ { k } a ( k ) ^ { \dag } a ( k ) ^ { \vphantom { \dag } } d k + \sum _ { j } \hbar \omega _ { 0 } b _ { j } ^ { \dag } b _ { j } ^ { \vphantom { \dag } } } \\ & { + } & { \frac { \hbar g } { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { j } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( b _ { j } ^ { \dag } a { ( k ) } e ^ { i k z _ { j } } + b _ { j } a { ( k ) } ^ { \dag } e ^ { - i k z _ { j } } ) d k . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { ( 1 + x ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { = 1 + { \frac { 1 } { 2 } } x - { \frac { 1 } { 8 } } x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 1 6 } } x ^ { 3 } - { \frac { 5 } { 1 2 8 } } x ^ { 4 } + { \frac { 7 } { 2 5 6 } } x ^ { 5 } - \cdots } & & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( 2 n ) ! } { 4 ^ { n } ( n ! ) ^ { 2 } ( 2 n - 1 ) } } x ^ { n } , } \\ { ( 1 + x ) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } & { = 1 - { \frac { 1 } { 2 } } x + { \frac { 3 } { 8 } } x ^ { 2 } - { \frac { 5 } { 1 6 } } x ^ { 3 } + { \frac { 3 5 } { 1 2 8 } } x ^ { 4 } - { \frac { 6 3 } { 2 5 6 } } x ^ { 5 } + \cdots } & & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } ( 2 n ) ! } { 4 ^ { n } ( n ! ) ^ { 2 } } } x ^ { n } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { g _ { x } } & { { } = } & { g _ { x 0 } \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, , } \\ { g _ { y } } & { { } = } & { - \frac { \alpha \nu _ { k e } E } { \nu _ { k e } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } B ^ { 2 } } } \\ { g _ { z } } & { { } = } & { \frac { \alpha ^ { 2 } E B } { \nu _ { k e } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } B ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin ( u _ { 1 } + \dots + u _ { d } ) } & { = \operatorname { I m } ( e ^ { i ( u _ { 1 } + \dots + u _ { d } ) } ) = \operatorname { I m } \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { d } ( \cos u _ { j } + i \sin u _ { j } ) \right] } \\ & { = \sum _ { J \subset \{ 1 , \dots , d \} , \# J \ \mathrm { o d d } } ( - 1 ) ^ { ( \# J - 1 ) / 2 } \prod _ { j \not \in J } \cos u _ { j } \cdot \prod _ { j \in J } \sin u _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { C L } } ( g ) } & { = - \frac { \hbar } { 2 \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } } \int _ { 1 } ^ { \infty } p ^ { 2 } \mathrm { d } p \int _ { 0 } ^ { \infty } \xi ^ { 3 } \mathrm { d } \xi \Bigg \{ \left[ \left( \frac { K + \epsilon \left( i \xi \right) p } { K - \epsilon \left( i \xi \right) p } \right) ^ { 2 } e ^ { 2 ( \xi / c ) p g } - 1 \right] ^ { - 1 } } \\ & { + \left[ \left( \frac { K + p } { K - p } \right) ^ { 2 } e ^ { 2 ( \xi / c ) p g } - 1 \right] ^ { - 1 } \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( \xi , t ) = } & { { } \phi \left( \frac { \xi _ { 3 } } { \varepsilon } \right) \sigma ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , t ) + \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 3 } } \mathbb { E } \left[ \left. 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } ) \} } Q ( \eta , t ; 0 ) \omega ^ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \right| X _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , \xi ) \mathrm { d } \eta } \end{array}
n _ { l } \simeq 9 \times 1 0 ^ { 1 1 } \: \mathcal { A } \left( \frac { n _ { i , \mathrm { c } } } { n _ { 0 } } \right) \left( \frac { M _ { \mathrm { B H } } } { 1 0 ^ { 7 } \: \mathrm { M } _ { \odot } } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \Theta _ { e } } { 0 . 2 } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \frac { \ln { \Lambda _ { e } } } { 2 3 } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l r l r l r l r } { \bar { u } = \sqrt { \frac { m } { 2 T _ { 0 } } } u , } & { } & { \bar { V } = \sqrt { \frac { m } { 2 T _ { 0 } } } V _ { \parallel } , } & { } & { \bar { T } = \frac { T } { T _ { 0 } } , } & { } & { \bar { n } = \frac { n } { n _ { 0 } } , } & { } & { \bar { \phi } _ { c } = \frac { Z e \phi _ { c } R } { T _ { 0 } r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \left( t \right) } & { { } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \dot { \varepsilon } _ { c r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \sigma ^ { 2 } \left( t ^ { \prime } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } \right) } \end{array}
{ \frac { \mathrm { T } _ { \tau } } { \mathrm { T } _ { \mu } } } = { \frac { B \left( \tau ^ { - } \rightarrow e ^ { - } + { \bar { \nu _ { e } } } + \nu _ { \tau } \right) } { B \left( \mu ^ { - } \rightarrow e ^ { - } + { \bar { \nu _ { e } } } + \nu _ { \mu } \right) } } \left( { \frac { m _ { \mu } } { m _ { \tau } } } \right) ^ { 5 }
A _ { 2 } ^ { 0 } \big | _ { q _ { 3 } \rightarrow 0 } = \frac { g _ { d } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { d } } N ^ { 3 } d ( d - 2 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 3 } { \frac { t _ { 1 } + t _ { 2 } + 2 t _ { 3 } } { ( t _ { 1 } t _ { 2 } + t _ { 1 } t _ { 3 } + t _ { 2 } t _ { 3 } ) ^ { 1 + d / 2 } } } ~ .
\pi _ { m } \phi _ { n } \mid 0 \rangle = [ \pi _ { m } , \tilde { \phi } _ { n } ] \mid 0 \rangle + i \tilde { \phi } _ { n } F _ { m } ( \phi ) \mid 0 \rangle = i ( - \delta _ { m n } + F _ { m } ( \phi ) \phi _ { n } ) \mid 0 \rangle
\begin{array} { r l } { \left( \Lambda _ { \Omega } \ast \beta _ { k } \right) ( n ) } & { = \sum _ { d \mid n } \Lambda _ { \Omega } ( d ) \beta _ { k } \left( \frac { n } { d } \right) = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \sum _ { i = 1 } ^ { i = \alpha } \Lambda _ { \Omega } ( p ^ { i } ) \beta _ { k } \left( \frac { n } { p ^ { i } } \right) } \\ & { = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \sum _ { i = 1 } ^ { i = \alpha } \beta _ { k } \left( \frac { n } { p ^ { i } } \right) } \\ & { = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \left( - p ^ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { i = \alpha } \beta _ { k } \left( n \right) \right) } \\ & { = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } - p ^ { k } + \alpha \beta _ { k } \left( n \right) } \\ & { = \beta _ { k } ( n ) \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \alpha - \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } p ^ { k } } \\ & { = \beta _ { k } ( n ) \Omega ( n ) - \beta _ { k } ( n ) } \end{array}
{ \cal F } _ { m n } ^ { \alpha } = { \cal L } ^ { \alpha \beta } F _ { m n } ^ { \beta } - F _ { m n } ^ { * \alpha } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { m n p q } { \cal L } ^ { \alpha \beta } { \cal F } ^ { \beta p q } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 1 - 2 \cdot 1 0 } ^ { 1 - 9 } y f ( y ) \, \mathrm { d } y + \int _ { 1 + 9 } ^ { 1 + 1 \cdot 1 0 } y f ( y ) \, \mathrm { d } y } & { \approx 6 . 6 4 4 \dots \times 1 0 ^ { - 1 9 } } \\ { \int _ { 1 - 2 \cdot 1 0 0 } ^ { 1 - 9 } y f ( y ) \, \mathrm { d } y + \int _ { 1 + 9 } ^ { 1 + 1 \cdot 1 0 0 } y f ( y ) \, \mathrm { d } y } & { \approx 1 . 2 9 2 \dots \times 1 0 ^ { - 1 8 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { t t } ( { \bf k } ) } & { = } & { \frac { \beta } { \Lambda } \sum _ { p \neq 0 } \phi ( p , 0 ) ( { \bf p } \cdot { \bf e } _ { t } ) ^ { 2 } [ S ( { \bf p } - { \bf k } ) - S ( { \bf p } ) ] } \\ & { } & { \mathrm + \beta \rho \sum _ { p \neq 0 } \phi ( p , 0 ) ( { \bf p } \cdot { \bf e } _ { t } ) ^ { 2 } [ \delta ( { \bf p } - { \bf k } ) - \delta ( { \bf p } ) ] } \\ & { } & { \mathrm + \frac { \alpha } { N } \beta \sum _ { i = 1 } ^ { N } \langle ( { \bf e } _ { t } \nabla _ { i } ) ^ { 2 } V _ { e x t } ( { \bf r } _ { i } ) \rangle ~ ~ . } \end{array}
{ \bar { F } } ( C ) = p ( A ) + p ( B ) + { \frac { 1 } { 2 } } p ( C ) = { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 2 } } \cdot { \frac { 1 } { 6 } } = 0 . 6 6 6 6 6 . . .
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ A ~ I ~ R ~ } } ^ { ( k ) } } & { { } = c _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ A ~ I ~ R ~ } } ( F ^ { ( k ) } , F ^ { ( k - 1 ) } , G ^ { ( k ) } , \pi ^ { ( k ) } , \pi ^ { ( k - 1 ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { i _ { t } = \sigma _ { i } ( W _ { i x } x _ { t } + W _ { i h } h _ { t - 1 } + b _ { i } ) , } & & { \bullet \mathrm { I n p u t ~ g a t e } } \\ & { f _ { t } = \sigma _ { f } ( W _ { f x } x _ { t } + W _ { f h } h _ { t - 1 } + b _ { f } ) , \qquad } & & { \bullet \mathrm { F o r g e t ~ g a t e } } \\ & { o _ { t } = \sigma _ { o } ( W _ { o x } x _ { t } + W _ { o h } h _ { t - 1 } + b _ { o } ) , } & & { \bullet \mathrm { O u t p u t ~ g a t e } } \\ & { \tilde { c } _ { t } = \sigma _ { \tilde { c } } ( W _ { \tilde { c } x } x _ { t } + W _ { \tilde { c } h } h _ { t - 1 } + b _ { \tilde { c } } ) , } & & { \bullet \mathrm { N e w ~ m e m o r y ~ c e l l } } \\ & { c _ { t } = f _ { t } \odot c _ { t - 1 } + i _ { t } \odot \tilde { c } _ { t } , } & & { \bullet \mathrm { F i n a l ~ m e m o r y ~ c e l l } } \\ & { h _ { t } = o _ { t } \odot \sigma _ { h } ( c _ { t } ) , } & & { \bullet \mathrm { H i d d e n ~ s t a t e } } \end{array}