harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\| \nabla \eta \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } + \| \rho \eta \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } + \| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } \, \le \, C _ { 8 } Q _ { 0 } [ \eta ] + C _ { 9 } \bigl ( \mu _ { 0 } ^ { 2 } + \mu _ { 1 } ^ { 2 } + \mu _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) \, ,
\begin{array} { r l r } { k ^ { 2 } \; = \; \frac { U _ { 1 } } { U _ { 3 } } \; = \; \frac { 1 6 \sqrt { x } } { \left( 1 + \sqrt { x } \right) ^ { 3 } \left( 3 - \sqrt { x } \right) } , } & { } & { \bar { k } ^ { 2 } \; = \; 1 - k ^ { 2 } \; = \; \frac { U _ { 2 } } { U _ { 3 } } \; = \; \frac { \left( 1 - \sqrt { x } \right) ^ { 3 } \left( 3 + \sqrt { x } \right) } { \left( 1 + \sqrt { x } \right) ^ { 3 } \left( 3 - \sqrt { x } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \delta J ( \alpha ) \; = \sum _ { k = 1 } ^ { N } < \eta _ { k } , \delta x _ { k } > \; \; \; \mathrm { \; ~ f o r ~ m o r e ~ d e t a i l s ~ r e f e r ~ } } \\ { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = \sum _ { k = 1 } ^ { N } < \eta _ { k } , V _ { k } \delta \alpha > } \\ { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = < \sum _ { k = 1 } ^ { N } V _ { k } ^ { T } \eta _ { k } , \delta \alpha > } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { s = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ d , k \} } \frac { 1 } { s ! ( k - s ) ! } \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } } & { \sum _ { i ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { d } \operatorname* { i n f } _ { t \in E ^ { \prime } } \left| \operatorname* { d e t } ( { \underline { { v _ { i ^ { \prime } } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \Theta ( t , w _ { i ^ { \prime \prime } } ) } } } _ { | s } ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \geq c \sum _ { s = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ d , k \} } \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \sum _ { i ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { d } \operatorname* { s u p } _ { t \in E } \left| \operatorname* { d e t } ( { \underline { { v _ { i ^ { \prime } } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \Theta ( t , w _ { i ^ { \prime \prime } } ) } } } _ { | s } ) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda } & { : = \mathrm { d i a g } ( \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { k ^ { \prime } } ) , } \\ { D _ { i } } & { : = \mathrm { d i a g } ( \mu _ { i , 1 } , \ldots , \mu _ { i , { k _ { i } } } ) , \; i = 1 , \dots , n , } \\ { D _ { a } } & { : = \mathrm { d i a g } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } ) , } \\ { D _ { \mu } } & { : = D _ { 1 } \oplus \dots \oplus D _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { { } T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( N ) T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( S ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
[ \chi _ { N } Z + \bar { \chi } _ { N } Z ^ { - 1 } ] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } = z _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } \, \delta _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \beta _ { 1 } } \delta _ { \alpha _ { 2 } } ^ { \beta _ { 2 } } \quad , \quad [ \chi _ { N } Z ^ { - 1 } + \bar { \chi } _ { N } Z ] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } = z _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { - 1 } \, \delta _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \beta _ { 1 } } \delta _ { \alpha _ { 2 } } ^ { \beta _ { 2 } } \, , \nonumber
| z _ { i } \rangle \equiv U ( z _ { i } ) | 0 \rangle = e ^ { - \frac 1 2 | z _ { i } | ^ { 2 } } e ^ { z _ { i } a ^ { \dagger } } | 0 \rangle , \quad U ( z _ { i } ) = e ^ { z _ { i } a ^ { \dagger } - \bar { z } _ { i } a } ,
\frac { d ^ { 2 } \sigma } { d E _ { s } d \Omega } \simeq \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } E _ { s } } { 2 E _ { \gamma } | \overrightarrow { k _ { 1 } } - \overrightarrow { k _ { 2 } } | \left( m _ { e } ^ { 2 } + p _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \times \overline { { X } } \left( R _ { 1 } , R _ { 2 } \right) \times J \left( p _ { z } \right) ,
\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { t } \log \Vert \mathbf { M } ( \boldsymbol { z } _ { 0 } , t ) \boldsymbol { \zeta } _ { 0 } \Vert = \lambda ^ { ( i ) } \enspace \textrm { i f } \enspace \boldsymbol { \zeta } _ { 0 } \in E _ { \vec { z } _ { 0 } } ^ { ( i ) } \setminus E _ { \vec { z } _ { 0 } } ^ { ( i + 1 ) } ,
F _ { L } ^ { T M } ( x , Q ^ { 2 } ) = 4 \frac { m _ { p } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } x ^ { 3 } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d y } { y ^ { 2 } } F _ { 2 } ( y , Q ^ { 2 } ) - 2 \frac { m _ { p } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } x ^ { 2 } F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } )
\begin{array} { r } { F ( { \boldsymbol \pi } ) _ { i j } = \left\langle \left( \partial _ { \pi _ { i } } \log P ( { \boldsymbol n } | { \boldsymbol \pi } ) \right) \left( \partial _ { \pi _ { j } } \log P ( { \boldsymbol n } | { \boldsymbol \pi } ) \right) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ( \mathbf { b } _ { \beta } ) = } & { \sum _ { A = 1 } ^ { N } \int _ { u . c . } d \mathbf { r } \left| \tilde { \rho } _ { \beta } ^ { ( 1 ) , \mathrm { M L } } ( \mathbf { r } ; \mathbf { b } _ { \beta } ) - \rho _ { \beta } ^ { ( 1 ) , \mathrm { R I } } ( \mathbf { r } ) \right| ^ { 2 } } \\ & { + \eta \, \mathbf { b } ^ { T } \mathbf { K } _ { M M } \mathbf { b } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 4 } ^ { \mathrm { K n } _ { G l l } } } & { { } = \frac { \tau } { \Delta t } \left( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } \right) - e ^ { - \Delta t / \tau } \eta ( \mathrm { K n } _ { G l l } ) , } \\ { C _ { 5 } ^ { \mathrm { K n } _ { G l l } } } & { { } = \tau e ^ { - \Delta t / \tau } - \frac { \tau ^ { 2 } } { \Delta t } ( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } ) + \frac 1 2 \Delta t e ^ { - \Delta t / \tau } \eta ( \mathrm { K n } _ { G l l } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathfrak { b } | _ { m , s , \eta } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \le _ { \eta , s } | \mathfrak { a } | _ { m , { s + \mu } , \eta } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } , \quad | \mathfrak { a } | _ { m , s , \eta } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \le _ { \eta , s } | \mathfrak { b } | _ { m , { s + \mu } , \eta } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { P _ { z } ^ { * } = } & { \operatorname* { i n f } _ { w \in \mathcal { W } , z \in \mathbb { R } } \quad z } \\ & { \dot { x } ( t ) = f ( t , x ( t ) , w ( t ) ) } & & { \forall t \in [ 0 , T ] } \\ & { \dot { z } = 0 } & & { \forall t \in [ 0 , T ] } \\ & { z \geq \theta ( t ^ { \prime } , x ( t ^ { \prime } \mid x _ { 0 } , w ( \cdot ) ) , w ( t ^ { \prime } ) ) } & & { \forall t ^ { \prime } \in [ 0 , T ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { e _ { q } ( \lfloor C ^ { d } \rfloor , d ) } { e _ { q } ( 0 , d ) } } & { \ge } & { \left( \frac { p + 1 } { p } \right) ^ { d } \alpha _ { 1 } ^ { d } \sum _ { k = k ( d ) + 1 } ^ { d } C _ { d , k } \left( 1 - \frac { N } { 2 ^ { k } } \right) _ { + } } \\ & { \ge } & { ( 1 - b ) \left( \frac { p + 1 } { p } \right) ^ { d } \alpha _ { 1 } ^ { d } \sum _ { k = k ( d ) + 1 } ^ { d } C _ { d , k } } \\ & { = } & { ( 1 - b ) \left( \frac { p + 1 } { p } \right) ^ { d } \alpha _ { 1 } ^ { d } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { d } C _ { d , k } - \sum _ { k = 0 } ^ { k ( d ) } C _ { d , k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi ( \vec { r } , t ) } & { = } & { \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \frac { \varrho \left( \vec { r } \: ^ { \prime } , t - \frac { | \vec { r } - \vec { r } \: ^ { \prime } | } { c } \right) } { | \vec { r } - \vec { r } \: ^ { \prime } | } \, , } \\ { \vec { A } ( \vec { r } , t ) } & { = } & { \frac { 1 } { c } \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \frac { \vec { j } \left( \vec { r } \: ^ { \prime } , t - \frac { | \vec { r } - \vec { r } \: ^ { \prime } | } { c } \right) } { | \vec { r } - \vec { r } \: ^ { \prime } | } \, . } \end{array}
\int _ { - m / 2 } ^ { m / 2 } { s \, g _ { + } ^ { 2 } \, d s } = \int _ { - m / 2 } ^ { m / 2 } { s \left( s ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { k - 1 } e ^ { 2 r s } \, d s } \approx e ^ { m r } \int _ { - \infty } ^ { 0 } e ^ { 2 r u } u ^ { k - 1 } ( m + u ) ^ { k - 1 } \left( { \frac { m } { 2 } } + u \right) \, d u \, .
\begin{array} { r l r } { \sum \vert M _ { g } ^ { \mathrm { ~ v ~ i ~ o ~ l ~ } } \vert ^ { 2 } } & { { } = } & { g _ { S } ^ { 2 n - 4 } ( Q ^ { 2 } ) ~ N ^ { n - 2 } ( N ^ { 2 } - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \operatorname* { s u p } } ^ { k _ { 1 } , \dots , k _ { \ell } } } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \{ \xi _ { j } ^ { 1 } \} _ { j = 1 } ^ { k _ { 1 } } \in \mathcal { V } _ { k _ { 1 } } } \operatorname* { s u p } _ { \{ \xi _ { j } ^ { 2 } \} _ { j = 1 } ^ { k _ { 2 } } \in \mathcal { V } _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } } } \dots \operatorname* { s u p } _ { \{ \xi _ { j } ^ { \ell } \} _ { j = 1 } ^ { k _ { \ell } } \in \mathcal { V } _ { k _ { 1 } , \dots , k _ { \ell } } } } \\ & { = \operatorname* { s u p } \Big \{ \{ \xi _ { j } ^ { 1 } \} _ { j = 1 } ^ { k _ { 1 } } \in \mathcal { V } _ { k _ { 1 } } , \, \{ \xi _ { j } ^ { 2 } \} _ { j = 1 } ^ { k _ { 2 } } \in \mathcal { V } _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } } , \, \dots , \, \{ \xi _ { j } ^ { \ell } \} _ { j = 1 } ^ { k _ { \ell } } \in \mathcal { V } _ { k _ { 1 } , \dots , k _ { \ell } } \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ( m ( t ) ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 - s _ { i } \operatorname { t a n h } \left( \beta J m ( t ) \right) \right] } \\ { \rightarrow \; \; \gamma _ { \pm } ( m ( t ) ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 \pm \operatorname { t a n h } ( \beta J m ( t ) ) \right] } \end{array}
\overline { { f } } ( \mathbf { x } , t ) = G _ { f } ( \mathbf { x } ) * f ( \mathbf { x } , t ) = \int G _ { f } ( \mathbf { r } , \mathbf { x } , \Delta ) f ( \mathbf { x } - \mathbf { r } , t ) \mathrm { d } \mathbf { r }
{ \begin{array} { r l } { { \hat { A } } { \hat { B } } { \hat { C } } { \hat { D } } { \hat { E } } { \hat { F } } \ldots } & { = { \mathopen { : } } { \hat { A } } { \hat { B } } { \hat { C } } { \hat { D } } { \hat { E } } { \hat { F } } \ldots { \mathclose { : } } } \\ & { \quad + \sum _ { \mathrm { s i n g l e s } } { \mathopen { : } } { \hat { A } } ^ { \bullet } { \hat { B } } ^ { \bullet } { \hat { C } } { \hat { D } } { \hat { E } } { \hat { F } } \ldots { \mathclose { : } } } \\ & { \quad + \sum _ { \mathrm { d o u b l e s } } { \mathopen { : } } { \hat { A } } ^ { \bullet } { \hat { B } } ^ { \bullet \bullet } { \hat { C } } ^ { \bullet \bullet } { \hat { D } } ^ { \bullet } { \hat { E } } { \hat { F } } \ldots { \mathclose { : } } } \\ & { \quad + \ldots } \end{array} }
\begin{array} { r } { P _ { a } ( x , z , t ) + P _ { q } ( x , z , t ) = \left[ \underbrace { - \rho \frac { \partial \Phi ^ { * } } { \partial t } } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ d ~ e ~ d ~ m ~ a ~ s ~ s ~ } } + \underbrace { \rho ( \mathbf { u _ { r e l } } + \mathbf { U _ { \infty } } ) \cdot \nabla \Phi ^ { * } - \rho \frac { ( \nabla \Phi ^ { * } ) ^ { 2 } } { 2 } } _ { \mathrm { ~ q ~ u ~ a ~ s ~ i ~ - ~ s ~ t ~ e ~ a ~ d ~ y ~ } } \right] _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ w ~ a ~ k ~ e ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( G _ { N } ^ { \lambda } , - L ^ { N } G _ { N } ^ { \lambda } ) _ { \mu _ { N } } \leq c ( \lambda , G ) } \\ & { \| G _ { N } ^ { \lambda } \| _ { L ^ { 1 } ( \mu _ { N } ) } \, , \; \| G _ { N } ^ { \lambda } \| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { N } ) } \leq c ( \lambda , G ) } \\ & { \| L ^ { N } G _ { N } ^ { \lambda } \| _ { L ^ { 1 } ( \mu _ { N } ) } \, , \; \| L ^ { N } G _ { N } ^ { \lambda } \| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { N } ) } \leq c ( \lambda , G ) \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { f _ { R R E A } ^ { k + 1 } = \Hat { \nu } _ { e ^ { - } } f _ { R R E A } ^ { k } + \Hat { \nu } _ { \gamma e ^ { - } } f _ { \gamma } ^ { k } , } \\ { f _ { \gamma } ^ { k + 1 } = \Hat { \nu } _ { e ^ { - } \gamma } f _ { R R E A } ^ { k + 1 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = - \bigg ( ( \beta + 1 ) ( 1 9 \lambda + 1 6 ) x _ { 1 } \Big ( 9 ( - 1 2 7 \beta + 2 3 9 \lambda + 1 3 9 ) + 5 6 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 1 } ^ { 4 } - x _ { 1 } ^ { 2 } \big ( - 3 7 8 ( \beta - 1 ) \lambda ^ { 2 } } \\ & { + ( 1 9 1 \beta + 2 0 8 1 ) \lambda + 6 7 7 \beta + 3 5 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 2 } ^ { 2 } - 9 1 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 3 } ^ { 2 } + 1 8 1 1 \big ) - 2 8 7 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 2 } ^ { 4 } } \\ & { - 9 x _ { 2 } ^ { 2 } \big ( - \beta ( \lambda ( 9 8 \lambda + 7 4 1 ) + 6 3 1 ) + \lambda ( 9 8 \lambda - 2 5 1 ) + 2 8 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 3 } ^ { 2 } - 3 3 7 \big ) + 1 2 6 ( \beta - 1 ) \lambda ^ { 2 } \big ( 5 x _ { 3 } ^ { 2 } - 8 \big ) } \\ & { + x _ { 3 } ^ { 2 } \big ( 5 7 3 \beta + 3 5 0 ( \beta + 1 ) x _ { 3 } ^ { 2 } - 1 3 1 7 \big ) + \lambda \big ( - 2 2 5 9 \beta + 3 5 0 ( \beta + 1 ) x _ { 3 } ^ { 4 } + 3 ( 5 0 9 \beta - 5 4 1 ) x _ { 3 } ^ { 2 } \big ) \Big ) \bigg ) \Bigg / ( 2 5 2 0 ( \lambda + 1 ) ^ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } \! } & { { } = } & { \! \sqrt { \frac { c _ { 1 } } { c _ { 1 } - d _ { 1 } \, ( { \bf B } _ { 0 } \times \hat { { \bf k } } ) ^ { 2 } } } \; , } \\ { n _ { 2 } \! } & { { } = } & { \! \sqrt { \frac { c _ { 1 } + d _ { 2 } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } + d _ { 2 } \, ( { \bf B } _ { 0 } \cdot \hat { { \bf k } } ) ^ { 2 } } } \; . } \end{array}
\Gamma ( \phi \to \gamma f _ { 0 } \to \gamma \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { m _ { \phi } ^ { 2 } } \sqrt { t } d t \frac { \Gamma ( f _ { 0 } \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } , t ) \Gamma ( \phi \to \gamma f _ { 0 } , t ) } { | D _ { f _ { 0 } } ( t ) | ^ { 2 } } ,
\operatorname* { s u p } _ { P \in \Gamma _ { \mathrm { { s h o c k } } } ^ { ( n ) } \cap B _ { r / 2 } ( P _ { 3 i - 2 } ^ { ( n ) } ) } { \mathrm { d i s t } } ( P , \Gamma _ { \mathrm { { s y m } } } ^ { ( n ) } ) \leq \frac { 1 } { n } \qquad \mathrm { i f ~ | P ^ { ( n ) } _ { 3 i - 2 } - P ^ { ( n ) } _ { i + 1 } | \leq \frac { r } { 1 0 } ~ } \, .
\begin{array} { r l r } { \langle T _ { 1 } ^ { G } ( x _ { 0 } ) \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { r } \left( e ^ { \mu _ { 1 } x _ { 0 } } - 1 \right) + \frac { 1 } { r } \left[ \frac { \beta \mu _ { 1 } } { \alpha \mu _ { 2 } } e ^ { \mu _ { 1 } x _ { 0 } } \left( 1 - e ^ { - \mu _ { 2 } x _ { 0 } } \right) \right] , } \\ { \langle T _ { 0 } ^ { G } ( x _ { 0 } ) \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { r } \left( e ^ { \mu _ { 1 } x _ { 0 } } - 1 \right) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { r } \left[ \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 2 } } e ^ { \mu _ { 1 } x _ { 0 } } \left( e ^ { - \mu _ { 2 } x _ { 0 } } \left( 1 + \frac { r } { \alpha } \right) \right. + \left. \frac { \beta } { \alpha } \right) \right] , } \end{array}
\Sigma _ { \mathrm { g e n } } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { i } } ^ { t } \frac { \dot { T } ( \zeta ) } { T ^ { 2 } ( \zeta ) } \left( k _ { \mathrm { B } } T ( \zeta ) - \kappa s ( \zeta ) \right) \ \mathrm { d } \zeta ,
{ \begin{array} { r l } { D _ { t } } & { = D _ { t - 1 } + \rho \cdot \left( D _ { t } ^ { * } - D _ { t - 1 } \right) } \\ & { = D _ { t - 1 } + \rho \cdot \left( \tau \cdot E _ { t } - D _ { t - 1 } \right) } \\ & { = \rho \cdot \tau \cdot E _ { t } + ( 1 - \rho ) \cdot D _ { t - 1 } } \\ & { = \rho \cdot D _ { t } ^ { * } + ( 1 - \rho ) \cdot D _ { t - 1 } } \end{array} }
\frac { J ( \nu , z ) } { \phi ( \nu / 2 ) } = M e _ { \nu } ( z , h ^ { 2 } ) , \; \; \; \; ( - 1 ) ^ { n } \frac { \phi ( n + \nu / 2 ) } { \phi ( \nu / 2 ) } = \frac { c _ { 2 n } ^ { \nu } ( h ^ { 2 } ) } { c _ { 0 } ^ { \nu } ( h ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { \nabla ^ { 2 } V = \boldsymbol { \nabla } \mathbf { \cdot } ( \mathbf { E } _ { 1 } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } _ { 0 } ) = 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \partial _ { r } V \vert _ { r = R _ { \mathrm { ~ f ~ } } } = \mathbf { \hat { r } } \mathbf { \cdot } ( \mathbf { E } _ { 1 } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } _ { 0 } ) \vert _ { r = R _ { \mathrm { ~ f ~ } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \mathcal { L } ^ { - 1 } \{ \hat { P } _ { 4 1 } ( s ) \} \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } } \\ & { \leq \left\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { 1 } { \cosh ( l _ { 2 } s ^ { \alpha } ) \cdots \cosh ( l _ { n - 1 } s ^ { \alpha } ) } \right\} \right\| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } \left\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \sinh ( l s ^ { \alpha } ) } { \sinh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } \right\} \right\| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } \leq \frac { l } { l _ { n } } } \end{array}
= l o g ( \rho _ { 0 } ) + l o g ( 1 + \frac { 1 } { N } \sum _ { { \bf { q } } \neq 0 } ( e ^ { i { \bf { q } } . ( { \bf { x } } - { \bf { x } } ^ { ' } ) } - 1 ) \theta ( k _ { f } - | { \bf { q } } | ) ) \approx l o g ( \rho _ { 0 } ) + \frac { 1 } { N } \sum _ { { \bf { q } } \neq 0 } ( e ^ { i { \bf { q } } . ( { \bf { x } } - { \bf { x } } ^ { ' } ) } - 1 ) \theta ( k _ { f } - | { \bf { q } } | )
s ( x , y ) = \frac { 1 - \nu ^ { 2 } } { \pi E } \int _ { y _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \int _ { x _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \sigma _ { 0 } ( x _ { \mathrm { ~ m ~ } } , y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) \delta ( x - x _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) \delta ( y - y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) \mathrm { ~ d ~ } x _ { \mathrm { ~ m ~ } } \mathrm { ~ d ~ } y _ { \mathrm { ~ m ~ } } = \frac { 1 - \nu ^ { 2 } } { \pi E } \sigma _ { 0 } ( x , y )
\hat { r } = \left[ \begin{array} { r r } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad \hat { r } = \left[ \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { \partial _ { s } A _ { l } ^ { 2 } } & { { } = } & { - \frac { e k _ { p } \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( E _ { p } ) } { m \omega _ { b } \sqrt { v _ { g _ { l } } v _ { g _ { b } } } } \sqrt { \frac { \zeta _ { b } } { \zeta _ { l } } } A _ { l } [ A _ { b } + A _ { b _ { f } } ] , } \\ { \partial _ { s } A _ { b } ^ { 2 } } & { { } = } & { - \frac { e k _ { p } \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( E _ { p } ) } { m \omega _ { l } \sqrt { v _ { g _ { l } } v _ { g _ { b } } } } \sqrt { \frac { \zeta _ { l } } { \zeta _ { b } } } A _ { l } A _ { b } , } \\ { E _ { p } } & { { } = } & { \frac { \Gamma _ { p } } { \gamma + \nu _ { p } - i \delta \omega } \sqrt { \frac { v _ { g _ { l } } } { v _ { g _ { b } } } } \sqrt { \zeta _ { l } \zeta _ { b } } E _ { l _ { 0 } } ^ { 2 } A _ { l } [ A _ { b } + A _ { b _ { f } } ] , } \end{array}
G ( \mathbf { k } , \omega , \mathbf { U } _ { \mathrm { e f f } } ) = \mathrm { e x p } \left[ - 2 \left( \frac { \omega - \omega _ { \mathrm { D R } } ( \mathbf { k } , \mathbf { U } _ { \mathrm { e f f } } ) } { a } \right) ^ { 2 } \right] + \mathrm { e x p } \left[ - 2 \left( \frac { \omega + \omega _ { \mathrm { D R } } ( - \mathbf { k } , \mathbf { U } _ { \mathrm { e f f } } ) } { a } \right) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \langle f , \xi \rangle } & { = \langle f _ { \mathrm { f i n } } , \xi _ { \mathrm { f i n } } \rangle - \langle f _ { \mathrm { i n } } , \xi _ { \mathrm { i n } } \rangle } \\ & { = \langle f _ { \mathrm { f i n } } - f _ { \mathrm { i n } } , \xi _ { \mathrm { f i n } } \rangle + \langle f _ { \mathrm { i n } } , \xi _ { \mathrm { f i n } } - \xi _ { \mathrm { i n } } \rangle } \\ & { \equiv \langle f _ { \mathrm { d i f f } } , \xi _ { \mathrm { d i a g } } \rangle + \langle f _ { \mathrm { i n } } , \xi _ { \mathrm { d i f f } } \rangle . } \end{array}
\langle \beta \rangle = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \beta ( \mathbf { A } ) = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \frac { L ( \mathbf { A } ) } { W ^ { * } } = \frac { \langle L \rangle } { W ^ { * } }
\mathbf { W } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = \underbrace { ( { } _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ) ^ { - 1 } { } _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) \frac { J _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) \textup { d e t } ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) ) } { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } \mathbf { W } _ { t _ { 0 } } } _ { \mathbf { W } _ { I } } + \underbrace { { ( { } _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } } ( \mathbf { p } ) ) ^ { - 1 } \mathbf { B } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) , } _ { \mathbf { W } _ { I I } }
\begin{array} { r l } { \operatorname { K L } \big ( P _ { f _ { \theta } } , P _ { f _ { \theta + \delta } } \big ) } & { = \operatorname { K L } \big ( P _ { f _ { \theta + \delta } } , P _ { f _ { \theta } } \big ) = \frac n 2 \big \| f _ { \theta } - f _ { \theta + \delta } \big \| _ { L ^ { 2 } [ 0 , 1 ] } ^ { 2 } } \\ & { = \frac n 2 \Big \| \delta V B K \Big ( \frac { x - x _ { 0 } } { B ^ { 1 / \beta } } \Big ) \Big \| _ { L ^ { 2 } [ 0 , 1 ] } ^ { 2 } \leq \frac { n } { 2 } \delta ^ { 2 } V ^ { 2 } B ^ { 2 + 1 / \beta } \| K \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb R } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \mathrm { s } } } & { { } = N L _ { \mathrm { s } } ( w + s ) + ( N + 1 ) L _ { \mathrm { s } } ( l ) , } \\ { L _ { \mathrm { m } } } & { { } = 2 \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( N + 1 - n \right) L _ { \mathrm { m } } [ l , n ( w + s ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overrightarrow { \lambda } ^ { \prime \prime } = \left( \begin{array} { c } { \sin \left( \theta _ { l } \right) \cos \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { l } \right) \sin \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \theta _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } \right) } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
m _ { M } = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { q _ { m } ^ { 2 } } { 8 \pi ( r ^ { 4 } + \beta q _ { m } ^ { 2 } ) } r ^ { 2 } d r = \frac { \pi q _ { m } ^ { 3 / 2 } } { 4 \sqrt { 2 } \beta ^ { 1 / 4 } } \approx 0 . 5 6 \frac { q _ { m } ^ { 3 / 2 } } { \beta ^ { 1 / 4 } } .
\left. \frac { d } { d ( \kappa \phi ) } \log \mathrm { P r } ( y ) \right| _ { y = \hat { y } } = \frac { \hat { y } } { \hat { ( \kappa \phi ) } } - \frac { s - \hat { y } } { 1 - \hat { ( \kappa \phi ) } } = 0 \quad \Longrightarrow \quad \hat { ( \kappa \phi ) } = \frac { \hat { y } } { s } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { s } \hat { a } _ { i } } { s } ,
\begin{array} { r l r } { \mathbf { k } ^ { \left( i \right) } } & { { } = } & { \left( \phi _ { x } ^ { \left( i \right) } , \phi _ { y } ^ { \left( i \right) } , \sqrt { \left( 2 \pi n _ { i } / \lambda \right) ^ { 2 } - \phi _ { x } ^ { \left( i \right) 2 } - \phi _ { y } ^ { \left( i \right) 2 } } \right) } \\ { \mathbf { k } ^ { \left( r \right) } } & { { } = } & { \left( \phi _ { x } ^ { \left( r \right) } , \phi _ { y } ^ { \left( r \right) } , - \sqrt { \left( 2 \pi n _ { r } / \lambda \right) ^ { 2 } - \phi _ { x } ^ { \left( r \right) 2 } - \phi _ { y } ^ { \left( r \right) 2 } } \right) } \\ { \mathbf { k } ^ { \left( t \right) } } & { { } = } & { \left( \phi _ { x } ^ { \left( t \right) } , \phi _ { y } ^ { \left( t \right) } , \sqrt { \left( 2 \pi n _ { t } / \lambda \right) ^ { 2 } - \phi _ { x } ^ { \left( t \right) 2 } - \phi _ { y } ^ { \left( t \right) 2 } } \right) } \end{array}
\mathcal { P } \left( V _ { \alpha \beta } \right) = \int d \pmb { \vartheta } \mathcal { L } \left( \langle \pmb { f } _ { \oplus } \left( V _ { \alpha \beta } , \pmb { \vartheta } \right) \rangle \right) \pi ( \pmb { \vartheta } ) \pi \left( V _ { \alpha \beta } \right) \; .