harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { b _ { i } ( t + 1 ) = ~ } & { b _ { i } ( t ) + \eta _ { \mathrm { c } } c _ { i } ( t ) - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } d _ { i } ( t ) } \\ { \ge ~ } & { \underline { { B } } _ { i } + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } D _ { i } - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } D _ { i } = \underline { { B } } _ { i } } \\ { b _ { i } ( t + 1 ) = ~ } & { b _ { i } ( t ) + \eta _ { \mathrm { c } } c _ { i } ( t ) - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } d _ { i } ( t ) } \\ { \le ~ } & { \overline { { B } } _ { i } - \eta _ { \mathrm { c } } C _ { i } + \eta _ { \mathrm { c } } C _ { i } = \overline { { B } } _ { i } } \end{array}
H _ { \textrm { v i b } } ^ { ( C ) } ( \hat { \boldsymbol { Q } } , \hat { \boldsymbol { P } } ) = \frac { 1 } { 2 } \hat { \boldsymbol { P } } ^ { T } \hat { \boldsymbol { M } } ^ { - 1 } \hat { \boldsymbol { P } } + V ^ { ( C ) } ( \hat { \boldsymbol { Q } } ) + \epsilon _ { M } .
{ \bf v } _ { i a } ^ { h } = \frac { { \bf P } _ { h } \times \nabla B _ { h } } { \boldsymbol { \omega } _ { a } \cdot \nabla B _ { h } } , \qquad { \bf v } _ { i a } ^ { a } = \frac { { \bf P } _ { a } \times \nabla B _ { a } } { \boldsymbol { \omega } _ { a } \cdot \nabla B _ { a } } .
\begin{array} { r l } { S _ { n , l } } & { : = \frac { P ( r _ { n } ) } { \sqrt { b ( r _ { n } ) / n } } \exp \left( n \, \Lambda \left( \frac { r _ { n } - n } n \right) \right) , \quad \Lambda ( h ) = h - \log ( 1 + h ) , } \\ { * [ 2 m m ] \tilde { S } _ { n , l } } & { : = \frac { P ( n ) } { \sqrt { b ( n ) / n } } \exp \left( - \frac { ( n - a ( n ) ) ^ { 2 } } { 2 b ( n ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { X } } & { \equiv \sum _ { s } \mathbf { E } ^ { * } \left( \boldsymbol { \kappa } \cdot \boldsymbol { \chi } _ { s } ^ { H } \cdot \mathbf { E } \right) } \\ { \mathbf { Y } } & { \equiv \sum _ { s } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \kappa } \left( \mathbf { E } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \chi } _ { s } ^ { H } \cdot \mathbf { E } \right) } \\ { \mathbf { Z } } & { \equiv \sum _ { s } \frac { 1 } { 2 } \mathbf { k } _ { r } \left( \mathbf { E } ^ { * } \cdot \left( \boldsymbol { \chi } _ { s } \right) _ { A } \cdot \mathbf { E } \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { d S ( t , x ) = [ k _ { 1 } \triangle S ( t , x ) + \Lambda ( x ) - \mu _ { 1 } ( x ) S ( t , x ) - \alpha ( x ) \frac { S ( t , x ) I ( t , x ) } { S ( t , x ) + I ( t , x ) + E ( t , x ) + R ( t , x ) } } \\ { \quad \quad \quad \quad + \beta ( x ) R ( t , x ) ] d t + S ( t , x ) d W _ { 1 } ( t , x ) , \quad \mathrm { i n \; \mathbb { R ^ { + } } \times \mathcal { L } , } } \\ { d E ( t , x ) = [ k _ { 2 } \triangle E ( t , x ) - \mu _ { 2 } ( x ) E ( t , x ) + \alpha ( x ) \frac { S ( t , x ) I ( t , x ) } { S ( t , x ) + I ( t , x ) + E ( t , x ) + R ( t , x ) } } \\ { \quad \quad \quad \quad - \sigma ( x ) E ( t , x ) ] d t + E ( t , x ) d W _ { 2 } ( t , x ) , \quad \mathrm { i n \; \mathbb { R ^ { + } } \times \mathcal { L } , } } \\ { d I ( t , x ) = [ k _ { 3 } \triangle I ( t , x ) - \mu _ { 3 } ( x ) I ( t , x ) + \sigma ( x ) E ( t , x ) - \gamma ( x ) I ( t , x ) ] d t } \\ { \quad \quad \quad \quad + I ( t , x ) d W _ { 3 } ( t , x ) , \quad \mathrm { i n \; \mathbb { R ^ { + } } \times \mathcal { L } , } } \\ { d R ( t , x ) = [ k _ { 4 } \triangle R ( t , x ) - \mu _ { 4 } ( x ) R ( t , x ) + \gamma ( x ) I ( t , x ) - \beta ( x ) R ( t , x ) ] d t } \\ { \quad \quad \quad \quad + R ( t , x ) d W _ { 4 } ( t , x ) , \quad \mathrm { i n \; \mathbb { R ^ { + } } \times \mathcal { L } , } } \\ { \partial _ { \nu } S ( t , x ) = \partial _ { \nu } E ( t , x ) = \partial _ { \nu } I ( t , x ) = \partial _ { \nu } R ( t , x ) = 0 , \quad \mathrm { i n \; \mathbb { R ^ { + } } \times \partial \mathcal { L } } } \\ { S ( 0 , x ) = S _ { 0 } ( x ) , E ( 0 , x ) = E _ { 0 } ( x ) , I ( 0 , x ) = I _ { 0 } ( x ) , R ( 0 , x ) = R _ { 0 } ( x ) \quad \mathrm { i n \; \mathcal { L } , } } \end{array} \right.
\hat { \Phi ^ { \prime } } _ { E _ { 3 } \alpha } ( z ) = \; \Phi \, \left( \, \frac { 1 } { 4 } \, + \, \frac { i \, ( E _ { 2 } ^ { 2 } \, - \, \frac { \alpha } { 3 } ) } { 4 \, ( - \alpha ) ^ { 1 / 2 } \, \omega } \, , \, \frac { 1 } { 2 } \, , \, i \, \sqrt { - \, \alpha } \, \omega \, z ^ { 2 } \, \right) \,
\phi ^ { \prime } ( \vartheta , \nu ) = \displaystyle \frac { 1 } { p + 1 } \displaystyle \frac { 2 \sin \displaystyle \frac { 2 \nu \pi } { p + 1 } } { \cosh \displaystyle \frac { 2 \vartheta } { p + 1 } - \cos \displaystyle \frac { 2 \nu \pi } { p + 1 } } .
[ \hat { a } _ { i } , \hat { a } _ { j } ^ { + } ] = \delta _ { i j } \; \; \; , \; \; \; [ \hat { a } _ { i } , \hat { a } _ { j } ] = 0 = [ \hat { a } _ { i } ^ { + } , \hat { a } _ { j } ^ { + } ]
\mathrm { \boldmath ~ \ g a m m a ~ } _ { t } ( s ) = \frac { d { \mathbf Z } _ { t } } { d \ln \kappa } \, { \mathbf Z } _ { t } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - g _ { B } ^ { 2 } \, K _ { M m } ( s ) } } \\ { { - g _ { B } ^ { 2 } \, K _ { M m } ( s ) } } & { { 0 } } \end{array} \right) \: .
\begin{array} { r l } { g ( e ^ { - t H ^ { \epsilon } } v , w ) } & { = g ( v , e ^ { - t H } w ) + \int _ { t _ { 1 } + t _ { 2 } = t } d t _ { 1 } d t _ { 2 } \; g \left( e ^ { - t _ { 2 } H } \; { \epsilon } V _ { \Psi } \; e ^ { - t _ { 1 } H } v , w \right) } \\ & { = g ( v , e ^ { - t H } w ) + \int _ { t _ { 1 } + t _ { 2 } = t } d t _ { 1 } d t _ { 2 } \; g \left( v , e ^ { - t _ { 1 } H } \; { \epsilon } V _ { \Psi } \; e ^ { - t _ { 2 } H } w \right) } \\ & { = g ( v , e ^ { - t H ^ { \epsilon } } w ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { y } ( x ) } & { { } = e ^ { i q k _ { y } x } \sin \left( \frac { \pi n } { L } x \right) , } \\ { H _ { z } ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } i e ^ { i q k _ { y } x } \Biggl [ \left( \frac { 1 } { Z _ { x + } } - \frac { 1 } { Z _ { x - } } \right) \cos \left( \frac { \pi n } { L } x \right) } \\ { E _ { x } ( x ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } i e ^ { i q k _ { y } x } \Biggl [ \left( \frac { Z _ { y + } } { Z _ { x + } } - \frac { Z _ { y - } } { Z _ { x - } } \right) \cos \left( \frac { \pi n } { L } x \right) } \end{array}
\beta _ { \lambda } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ( N + 8 ) { \lambda } ^ { 2 } - \frac { 1 } { ( 1 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ( 9 N + 4 2 ) { \lambda } ^ { 3 } .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } { \frac { d \theta } { d t } } } & { = { \frac { d } { d t } } { \sqrt { { \frac { 2 g } { \ell } } \left( \cos \theta - \cos \theta _ { 0 } \right) } } , } \\ { { \frac { d ^ { 2 } \theta } { d t ^ { 2 } } } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { - { \frac { 2 g } { \ell } } \sin \theta } { \sqrt { { \frac { 2 g } { \ell } } ( \cos \theta - \cos \theta _ { 0 } ) } } } { \frac { d \theta } { d t } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { - { \frac { 2 g } { \ell } } \sin \theta } { \sqrt { { \frac { 2 g } { \ell } } ( \cos \theta - \cos \theta _ { 0 } ) } } } { \sqrt { { \frac { 2 g } { \ell } } ( \cos \theta - \cos \theta _ { 0 } ) } } = - { \frac { g } { \ell } } \sin \theta , } \\ { { \frac { d ^ { 2 } \theta } { d t ^ { 2 } } } } & { + { \frac { g } { \ell } } \sin \theta = 0 , } \end{array} }
H _ { \textrm { t o t , q M C } } = \omega _ { 1 } \sigma _ { \textrm { e } } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } } + \omega _ { \textrm { c } } a ^ { \dagger } a + g ( a ^ { \dagger } \sigma _ { \textrm { g } _ { 1 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } ) + \frac { \Omega } { 2 } ( \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } \textrm { e } } e ^ { i \omega _ { \textrm { p } \mathrm { ' } } t } + \textrm { h . ~ c . } ) + \epsilon ( a e ^ { i \omega _ { \textrm { p } } t } + \textrm { h . ~ c . } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } + \frac { \partial u _ { y } } { \partial y } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial u _ { x } } { \partial t } + u _ { x } \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } + u _ { y } \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } } & { { } = - \frac { \partial p } { \partial x } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } } { \partial y ^ { 2 } } \right) , } \\ { \frac { \partial u _ { y } } { \partial t } + u _ { x } \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } + u _ { y } \frac { \partial u _ { y } } { \partial y } } & { { } = \theta - \frac { \partial p } { \partial y } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } } { \partial y ^ { 2 } } \right) , } \\ { \frac { \partial \theta } { \partial t } + u _ { x } \frac { \partial \theta } { \partial x } + u _ { y } \frac { \partial \theta } { \partial y } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { R a P r } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial y ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
C _ { s t o r e } = m _ { E C } \cdot ( \frac { C C _ { s t o r e } \cdot t _ { s t o r e } } { t _ { y e a r } } \cdot ( C R F + \gamma _ { s t o r e } ) + C _ { e l e c } \cdot w _ { s t o r e } \ [ \mathrm { U S D } \cdot y e a r ^ { - 1 } ] \, .
d H _ { 2 } ( \Sigma ; \partial \Sigma _ { v } \mathcal { N } , \frac { \tau } { \rho } v _ { \Sigma } ) = \frac { \tau } { \rho } \int _ { \Sigma } \mathfrak { L } _ { \partial \Sigma _ { v } \mathcal { N } } v _ { \Sigma } = \frac { \tau } { \rho } \int _ { \Sigma } \big ( d i _ { \partial \Sigma _ { v } \mathcal { N } } v _ { \Sigma } + i _ { \partial \Sigma _ { v } \mathcal { N } } d v _ { \Sigma } \big ) .
\mathcal { L } _ { c } = \mathcal { L } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { \eta _ { 0 } } \mathbf { G } \cdot \mathbf { G } - \xi _ { 0 } \mathbf { F } \cdot \mathbf { F } \right) .
\begin{array} { r } { \left[ \frac { d \tilde { P } ( \alpha ) } { d \alpha } | _ { \alpha = 0 } x \right] _ { ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) } = \sum _ { s _ { t } ^ { \prime } , a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } } \frac { d \pi _ { 2 } ^ { \alpha } ( a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } | s _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ) } { d \alpha } | _ { \alpha = 0 } P ( s _ { t } ^ { \prime } | s _ { t } , a _ { t } ) x _ { s _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } , a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( x ) p ( y | x ) } & { = \sum _ { u \in \mathcal { U } } p ( x , y , u ) } \\ & { = \sum _ { u \in \mathcal { U } _ { y } } p ( x , y , u ) + \sum _ { u \not \in \mathcal { U } _ { y } } p ( x , y , u ) } \\ & { \geq \sum _ { u \in \mathcal { U } _ { y } } p ( u ) p ( x , y | u ) } \\ & { = p ( x ) \textnormal { P r } \{ U \in \mathcal { U } _ { y } \} , \ \forall x \in \mathcal { X } , } \end{array}
\Sigma _ { a } = \left\{ \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { I } } \\ { { - I } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - \sigma _ { 1 } } } \\ { { - \sigma _ { 1 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { l l } { { \sigma _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \sigma _ { 1 } } } \end{array} \right) \right\}
\begin{array} { r l r } { H [ h ] } & { = } & { \frac { 1 } { \pi } \mathrm { p . v . } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { h ( \eta ) } { \xi - \eta } d \eta } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \pi } \mathrm { p . v . } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \frac { \bar { h } ( r ) } { \cos ^ { 2 } r } \frac { d r } { \tan s - \tan r } , \; \; \mathrm { b y } \; r = \tan ^ { - 1 } \frac { \eta } { \mu } } \\ & { = } & { K \left[ \frac { \bar { h } ( s ) } { \cos ^ { 2 } s } \right] , } \end{array}
E _ { n } = - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { m _ { \mathrm { e } } q _ { \mathrm { e } } ^ { 4 } } { 8 h ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } = { \frac { - 6 . 8 ~ \mathrm { e V } } { n ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \langle \Psi _ { N } | f _ { l \sigma } ^ { \dagger } f _ { l \sigma ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } | \Psi _ { N } \rangle } & { = \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { 2 k _ { \mathrm { m a x } } + 1 } { L } } \\ & { = \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { N } { 2 L } \equiv \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \eta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp ( - \beta \hat { { \cal H } } ) } & { { } \approx 1 + \beta g { \ensuremath { \mu _ { \mathrm { B } } } } B _ { z } s \frac { 1 - | z | ^ { 2 } } { 1 + | z | ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \rho } ^ { \Sigma _ { 1 } } } & { { } = \left\{ \, v \in V \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to - \infty } \frac { 1 } { | t | } \ln { \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \mu \in [ - \mu _ { 1 } , - \mu _ { 2 } ) \, \right\} } \end{array}
\left( m + \frac { m _ { i } } { 2 } \right) { \ddot { v } } + \frac { m _ { i } } { 2 } { \ddot { v } _ { b } } + \frac { m _ { i } } { 2 } \frac { \left( \ddot { v } - \ddot { v } _ { b } \right) \left( 2 \, l \cos { \alpha _ { 0 } } - v _ { b } \right) ^ { 2 } } { 4 \, l ^ { 2 } - { \left( 2 \, l \cos { \alpha _ { 0 } } - v _ { b } \right) } ^ { 2 } } + c \dot { v } + k v = F .
f _ { \bf k } ( { \bf x } , t ) = { \frac { n _ { T } ^ { ( m - 2 ) / 2 } } { \left[ 2 \omega ( 2 \pi ) ^ { m } \right] ^ { 1 / 2 } } } \left\{ \Theta ( - x ) T _ { l g } e ^ { - i \beta ^ { \prime } x _ { 1 } } + \Theta ( x ) \left[ e ^ { i n _ { T } k _ { 1 } x _ { 1 } } + R _ { l g } e ^ { - i n _ { T } k _ { 1 } x _ { 1 } } \right] \right\} e ^ { i n _ { T } ( k _ { 2 } x _ { 2 } + \cdots + k _ { m } x _ { m } ) } e ^ { - i \omega t } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { G _ { * } } \mathbb { E } _ { p _ { G _ { * } } } ( \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } ( \| \widehat { \mu } _ { n } - \mu ^ { * } \| ^ { 4 } + \| \widehat { \Sigma } _ { n } - \Sigma ^ { * } \| ^ { 2 } ) ( \| \Delta \mu ^ { * } \| ^ { 4 } + \| \Delta \Sigma ^ { * } \| ^ { 2 } ) \lesssim \frac { \log ^ { 2 } ( n ) } { n } } \\ { \operatorname* { s u p } _ { G _ { * } } \mathbb { E } _ { p _ { G _ { * } } } | \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } | ^ { 2 } ( \| \Delta \widehat { \mu } _ { n } \| ^ { 4 } \| \Delta \widehat { \Sigma } _ { n } \| ^ { 2 } ) ( \| \Delta \mu ^ { * } \| ^ { 4 } \| \Delta \Sigma ^ { * } \| ^ { 2 } ) \lesssim \frac { \log ^ { 2 } ( n ) } { n } . } \end{array}
\operatorname { R e } \vartheta \Big \vert _ { \beta = 0 } = \frac { \xi _ { t } ^ { \mathrm { s } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } + \eta _ { t } ^ { \mathrm { s } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } { J ^ { \mathrm { s } } } , \qquad \qquad \operatorname { I m } \vartheta \Big \vert _ { \beta = 0 } = \frac { \eta _ { t } ^ { \mathrm { s } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } - \xi _ { t } ^ { \mathrm { s } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } { J ^ { \mathrm { s } } } ,
Q _ { 3 } = - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathrm { { s g n } } ( n + z ) b _ { n } ^ { \dagger } b _ { n } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \mathrm { s g n } } ( n - z ) d _ { n } ^ { \dagger } d _ { n } + \; ( z - { \frac { 1 } { 2 } } ) \ .
\begin{array} { r } { \biggr ( \lambda _ { n } ( \Delta \mu _ { n } ) _ { i } - \lambda _ { n } ^ { * } ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) _ { i } \biggr ) / \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \to 0 , \ \biggr ( \lambda _ { n } ( \Delta \Sigma _ { n } ) _ { u v } - \lambda _ { n } ^ { * } ( \Delta \Sigma _ { n } ^ { * } ) _ { u v } \biggr ) / \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \to 0 } \end{array}
V _ { 3 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } ) : = N _ { N _ { X _ { 1 } } ( X _ { 2 } ) } ( X _ { 3 } ) \not = N _ { X _ { 1 } } \left( N _ { X _ { 2 } } ( X _ { 3 } ) \right) \, .
\mathrm { \ m b { D } } _ { t } ( \theta \zeta ) = \theta \mathrm { \ m b { D } } _ { t } \zeta + \zeta \mathrm { \ m b { D } } _ { t } \theta - \mathrm { d } \Big \langle \int _ { 0 } ^ { t } \boldsymbol { \sigma } _ { s } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { s } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \theta , \int _ { 0 } ^ { t } \Sigma \mathrm { d } B _ { s } \Big \rangle _ { t } ,
\dot { \psi _ { j } } = p _ { j } \left( \frac { 1 } { I _ { 1 } } + \frac { 1 } { I _ { j } } \right) - \frac { 1 } { I _ { 1 } } \left( \mathsf { A } - \sum _ { k = 2 } ^ { N } p _ { k } \right) \, , \qquad \dot { p } _ { j } = \frac { \partial \hat { \Pi } } { \partial \psi _ { j } } \, ,
\sigma ^ { \mu \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } = - \frac { e ^ { n + 1 } } { \hslash ^ { n } } \int [ d \mathbf { k } ] \, \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { r } ^ { \alpha _ { 1 } } \hdots \hat { r } ^ { \alpha _ { n } } } ^ { ( n ) } \right\} \mathrm { ~ , ~ }
\left( \begin{array} { l l } { \mathrm { A _ { 1 1 } } } & { \mathrm { A _ { 1 2 } } } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { B _ { 1 1 } } } & { \mathrm { B _ { 1 2 } } } \\ { \mathrm { B _ { 2 1 } } } & { \mathrm { B _ { 2 2 } } } \end{array} \right) ,
( \infty , 0 ) \mathrm { - } \mathbf { C a t } \overset { \tau _ { 0 } } { \leftarrow } ( \infty , 1 ) \mathrm { - } \mathbf { C a t } \overset { \tau _ { 1 } } { \leftarrow } ( \infty , 2 ) \mathrm { - } \mathbf { C a t } \overset { \tau _ { 2 } } { \leftarrow } \dots \overset { \tau _ { n - 1 } } { \leftarrow } ( \infty , n ) \mathrm { - } \mathbf { C a t } \overset { \tau _ { n } } { \leftarrow } \dots
\frac { 8 } { c _ { 0 0 0 } } \left( \frac { \partial c _ { 0 0 0 } } { \partial y } \right) ^ { 2 } - 8 \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 0 0 } } { \partial y ^ { 2 } } + c _ { 0 0 0 } \left[ \left( 4 z ^ { 2 } - 1 \right) \frac { \partial ^ { 2 } p _ { 1 1 0 } } { \partial y ^ { 2 } } + 8 \frac { \partial w _ { 1 0 0 } } { \partial z } \right] = 0
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \parallel } = } & { \left( c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 6 } + c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 7 } \ln ( \alpha ) ^ { c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 8 } } \right) \, , } \\ { \gamma _ { \perp } = } & { \left( c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 6 } + c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 7 } \ln ( \alpha ) ^ { c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 8 } } \right) \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { U ( x , y ) } & { \propto \operatorname { s i n c } \left( { \frac { \pi W x } { \lambda R } } \right) \operatorname { s i n c } \left( { \frac { \pi H y } { \lambda R } } \right) } \\ & { \propto \operatorname { s i n c } \left( { \frac { k W x } { 2 R } } \right) \operatorname { s i n c } \left( { \frac { k H y } { 2 R } } \right) . } \end{array} }
\langle N \rangle _ { n } = \bigg ( \frac { \beta } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } \mathbb { E } \big [ X _ { 1 } X _ { 1 } ^ { T } \big ] + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { a ( \beta + 1 ) } { k \mu _ { k + 1 } } \Sigma _ { k } + \frac { 1 - a } { d } I _ { d } - \bigg ( \frac { \gamma _ { k } - 1 } { \mu _ { k + 1 } } \bigg ) ^ { 2 } Y _ { k } Y _ { k } ^ { T } .
\begin{array} { r l } { \operatorname { I V a r } _ { f _ { \theta } } ( \widetilde f ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } E _ { f _ { \theta } } \Bigg [ \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( \widetilde \theta _ { i } - E _ { f _ { \theta } } [ \widetilde \theta _ { i } ] ) \psi _ { i } ( x ) \bigg ) ^ { 2 } \Bigg ] \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } E _ { f _ { \theta } } \Bigg [ \sum _ { i = 1 } ^ { m } \Big ( \widetilde \theta _ { i } - E _ { f _ { \theta } } [ \widetilde \theta _ { i } ] \Big ) ^ { 2 } \psi _ { i } ^ { 2 } ( x ) \Bigg ] \, d x } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widetilde \theta _ { i } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \pi } _ { K } \circ \eta ( d ( d f _ { x } ) ) ( \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } ) : \ker d f _ { x } } & { \rightarrow \mathrm { c o k e r \, } d f _ { x } } \\ { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & { \mapsto \ \ \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } ( x ) } \end{array}
\lVert \omega \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } \rVert _ { { \mathbb { H } _ { \! \omega \! , m } ^ { 0 ; { q } } } [ 0 ] } \leq \lVert \omega \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } \rVert _ { \ell _ { m } ^ { 2 } L _ { \omega } ^ { 2 } } + \lVert \chi _ { \overline { { r } } ^ { \sharp } } ^ { 1 / 2 } W _ { 0 } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } \rVert _ { \ell _ { m } ^ { 2 } L _ { \omega } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 0 } ^ { \lfloor d / 2 \rfloor } ( - 1 ) ^ { m } \sum _ { P \in \mathcal { P } _ { m } ^ { ( d ) } } \prod _ { r = 1 } ^ { m } \mathbb { E } [ g _ { J , k _ { \ell _ { r } } } ^ { \phi } g _ { J , k _ { \ell _ { r } ^ { \prime } } } ^ { \phi } ] \prod _ { s = m + 1 } ^ { d - m } g _ { J , k _ { \ell _ { s } ^ { \prime \prime } } } } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { \lfloor d / 2 \rfloor } ( - 1 ) ^ { m } a _ { m } ^ { ( d ) } ( g _ { J , k _ { 1 } } ^ { \phi } ) ^ { d - 2 m } } \\ & { = H _ { d } ( g _ { J , k _ { 1 } } ^ { \phi } ) = \mu _ { J , \mathbf { k } } \, , } \end{array}
\Psi ( \mathbf { r } , t ) = { \left[ \begin{array} { l } { \Psi ( \mathbf { r } , s , t ) } \\ { \Psi ( \mathbf { r } , s - 1 , t ) } \\ { \vdots } \\ { \Psi ( \mathbf { r } , - ( s - 1 ) , t ) } \\ { \Psi ( \mathbf { r } , - s , t ) } \end{array} \right] }
\gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma _ { 1 } ( t ) } & { t \leq x } \\ { \gamma _ { 2 } ( t ) } & { t \geq x , } \end{array} \right. \qquad \qquad \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma _ { 2 } ( t ) } & { t \leq x } \\ { \gamma _ { 1 } ( t ) } & { t \geq x . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I _ { e } ( V ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 } e S _ { e f f } ^ { e } v _ { e } \frac { n _ { + } ^ { s } } { 1 + \alpha _ { s } } \bigg ( 2 \sqrt { e \frac { V - V _ { s } } { \pi T _ { e } } } + \exp { \bigg ( e \frac { V - V _ { s } } { T _ { e } } } \bigg ) \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \bigg ( { \sqrt { e \frac { V - V _ { s } } { T _ { e } } } } \bigg ) \bigg ) } \\ { I _ { + } ( V ) } & { { } = e S _ { e f f } ^ { + } ( V ) u _ { B } ^ { + } n _ { + } ^ { s } \exp \bigg ( { e \frac { V _ { s } - V } { T _ { + } } } \bigg ) } \\ { I _ { - } ( V ) } & { { } = e S _ { e f f } ^ { - } ( V ) n _ { + } ^ { s } u _ { B } ^ { - } \frac { \alpha _ { s } } { 1 + \alpha _ { s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 0 } } & { = O p ^ { W } ( d _ { 0 } ( \omega , \xi ) ) , \quad d _ { 0 } ( { \omega , \xi } ) : = \mathrm { i } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } ( \omega ) \lambda _ { \alpha } ( \xi ) + \xi \frac { T _ { \alpha } } 4 + \mathfrak { m } _ { 1 } ( \omega , \xi ) \right) , } \\ { \mathfrak { m } _ { 1 } } & { : = \xi \left( \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \omega , \xi ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathfrak { m } _ { \mathfrak { b } } ( \xi ) \right) \in \mathcal { S } ^ { 1 } , } \end{array}
\Phi _ { m } ^ { \pm } = \frac { 1 } { 2 T _ { 0 } } e ^ { \mp i m \frac { t _ { 0 } ( z ) } { T _ { 0 } } } = \frac { \omega _ { 0 } } { 2 \pi } e ^ { \mp i m \omega _ { 0 } t _ { 0 } ( z ) } .
\tilde { f } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , \tau ) + \tilde { G } ^ { - , + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , \tau ) = \int _ { - \infty } ^ { \tau } \tilde { R } ^ { \cup } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , S } , \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { f } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , \tau ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } ,
- \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \left( \nabla ^ { 2 } + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \Omega ^ { 2 } } \right) \psi _ { 4 } - \frac { e ^ { 2 } } { r _ { 4 } } \psi _ { 4 } = E \psi _ { 4 } ,
\begin{array} { r } { \frac { d } { d \tau } \left\{ f ^ { 2 } ( \tau ) \left[ \phi _ { \tau } ( \tau ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { G ( k ) } { \gamma } + D \right) \right] \right\} = 0 , \; \; \; } \end{array}