harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \left[ \phi \left( \frac { \xi _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \varLambda _ { 2 } ( \xi , x ) \wedge \sigma ( \xi _ { 1 } , t ) \mathrm { d } \xi _ { 1 } \right] \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } ) \} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \omega ^ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( X ^ { \eta } ) \right\} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge F ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( X ^ { \eta } ) \right\} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \chi _ { \varepsilon } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r } { \big | \Psi _ { \infty } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } \big | ^ { 2 } = \frac { 1 } { N ! } \sum _ { \wp = 1 } ^ { N ! } \int d \textbf { s } \frac { n ( \textbf { s } ) } { N } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \delta \left( \textbf { r } _ { i } - \textbf { f } _ { \wp ( i ) } ( \textbf { s } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { H } \} } \mathcal { E } _ { 2 - \epsilon } [ \widetilde { Z } ^ { k } K \phi ] \, d \sigma d r = } & { \: \sum _ { k \leq 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { H } \} } \mathcal { E } _ { 1 - \epsilon } [ \widetilde { Z } ^ { k } K \phi ] + ( r - 1 ) ^ { - 4 + \epsilon } | \underline { { L } } \widetilde { Z } ^ { k } K \phi | \, d \sigma d r } \\ { \leq } & { \: \sum _ { k \leq 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { H } \} } \mathcal { E } _ { 1 - \epsilon } [ \widetilde { Z } ^ { k } K \phi ] \, d \sigma d r } \\ & { \: + C \sum _ { k \leq 2 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { H } \} } ( r - 1 ) ^ { \epsilon } \mathcal { E } _ { 0 } [ \widetilde { Z } ^ { k } \phi ] \, d \sigma d r . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { M } d ^ { 2 } x \sqrt { - g } \left[ e ^ { - 2 \phi } [ R + 4 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } ] - \frac { 1 } { 2 } ( \nabla f ) ^ { 2 } + 4 \mu ^ { 2 } ( \cos f - 1 ) e ^ { - 2 \phi } \right] ,
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { b a } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } = - 2 \gamma e ^ { - 2 \gamma \tau _ { 1 } } \int _ { - \infty } ^ { \tau _ { 1 } } \mathrm { d } t _ { 1 } ~ e ^ { 2 \gamma t _ { 1 } } \xi ( t _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \end{array}
\sum _ { x } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { C } \oint _ { C } d x ^ { t } \frac { \delta ^ { 2 } \chi [ C ] } { \delta \sigma ^ { \nu t } ( x ) \delta \sigma ^ { \mu t } ( x ) } \epsilon ^ { 1 , \cdots , 7 \nu \mu t } \times \frac { 1 } { 7 ! } W _ { 1 , \cdots , 7 } ( x ) ,
G ^ { p e r t } \left( \hat { s } , \tau \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \tau } } \frac { 3 m _ { q } ^ { 2 } \left( \sqrt { \tau } \right) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ t \left( 1 + \frac { 1 7 } { 3 } \frac { \alpha \left( \sqrt { \tau } \right) } { \pi } \right) - 2 \frac { \alpha \left( \sqrt { \tau } \right) } { \pi } t \log { \left( \frac { t } { \sqrt { \tau } } \right) } \right] \exp { \left( - \frac { \left( t - \hat { s } \right) ^ { 2 } } { 4 \tau } \right) } \, d t
f _ { M } = n ( \psi ) \left( \frac { m } { 2 \pi T ( \psi ) } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { m \left( v _ { \parallel } - V _ { \parallel } ( \psi ) \right) ^ { 2 } } { 2 T ( \psi ) } - \frac { m \mu B ( \psi , \theta ) } { T ( \psi ) } \right)
\frac { 1 } { 4 \kappa ^ { 2 } \cos ^ { 2 } { t } } \frac { d ^ { 2 } \Omega ^ { ( 4 ) } } { d t ^ { 2 } } = - \Omega ^ { ( 4 ) } - \left( \frac { 3 } { 2 } \Omega ^ { ( 2 ) } - \frac { 1 } { \cos ^ { 4 } { t } } \right) \Omega ^ { ( 2 ) } .
H _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { A D S I C } } \left[ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } \right] = \frac { N - 1 } { N } H _ { \mathrm { H } } \left[ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } \right] \ \mathrm { a n d } \ H _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { A D S I C } } \left[ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } \right] = H _ { \mathrm { X C } } \left[ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } \right] - N ^ { \uparrow } H _ { \mathrm { X C } } \left[ \frac { \rho ^ { \uparrow } } { N ^ { \uparrow } } , 0 \right] - N ^ { \downarrow } H _ { \mathrm { X C } } \left[ 0 , \frac { \rho ^ { \downarrow } } { N ^ { \downarrow } } \right] ,
B \left( \psi _ { i } ^ { - } \to l l \right) = { \frac { \sum _ { k , l } \left| a _ { i } ^ { - } f _ { 1 k l } ^ { \ast } + b _ { i } ^ { - } f _ { 2 k l } ^ { \ast } \right| ^ { 2 } } { \left| a _ { i } ^ { - } \mu _ { 1 } + b _ { i } ^ { - } \mu _ { 2 } \right| ^ { 2 } / M _ { i } ^ { 2 } + \sum _ { k , l } \left| a _ { i } ^ { - } f _ { 1 k l } ^ { * } + b _ { i } ^ { - } f _ { 2 k l } ^ { * } \right| ^ { 2 } } } ,
\Delta x = x _ { 2 } - x _ { 1 } = - \frac { 1 } { \gamma } \ln \Tilde { R I R } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } , \omega ) = - \frac { 1 } { \gamma } \ln \frac { \Tilde { P } ( x _ { 2 } , \omega ) } { \Tilde { P } ( x _ { 1 } , \omega ) }
M = - \frac { 1 } { 8 \pi G _ { d + 1 } } \int \frac { d \Omega } { \sqrt { g _ { \Omega } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d v N \sqrt { g _ { d - 1 } } ( K - K _ { 0 } ) \Big | _ { R = R _ { m } } \ .
\ddot { u _ { l } } + \left[ a _ { l } ( \mathbf { u } _ { 0 } ) + 2 q _ { l } ( \mathbf { u } _ { 0 } ) \cos \left( \Omega t \right) \right] \frac { \Omega ^ { 2 } } { 4 } u _ { l } = \frac { Q \cdot E _ { l } } { m } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial T } a _ { p } + \frac { \partial } { \partial Z } a _ { p } } & { = - a _ { s } a _ { a } } \\ { \frac { \partial } { \partial T } a _ { s } - \frac { \partial } { \partial Z } a _ { s } } & { = a _ { p } a _ { a } ^ { * } } \\ { \frac { \partial } { \partial T } a _ { a } + ( 1 + j \Delta ) a _ { a } } & { = a _ { p } a _ { s } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S S _ { \mathrm { t o t a l } } = \Vert \mathbf { y } - { \bar { y } } \mathbf { 1 } \Vert ^ { 2 } } & { { } = \Vert \mathbf { y } - { \bar { y } } \mathbf { 1 } + \mathbf { \hat { y } } - \mathbf { \hat { y } } \Vert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { \mathrm { I } } ^ { ( 1 ) } = ( q - p ) J _ { 0 } ( \frac { 2 A } { \omega } ) S _ { y } ^ { 2 } - \left[ \frac { p + q } { 2 } - \frac { q - p } { 2 } J _ { 0 } ( \frac { 2 A } { \omega } ) \right] S _ { z } ^ { 2 } , } \\ & { H _ { \mathrm { I } } ^ { ( 2 ) } = ( p - q ) J _ { 0 } ( \frac { 2 A } { \omega } ) S _ { x } ^ { 2 } - \left[ \frac { p + q } { 2 } + \frac { q - p } { 2 } J _ { 0 } ( \frac { 2 A } { \omega } ) \right] S _ { z } ^ { 2 } . } \end{array}
\rho _ { a b } = \frac { \sum _ { l } p _ { a } ( t _ { l } ) p _ { b } ( t _ { l } ) } { \sqrt { ( \sum _ { l } p _ { a } ( t _ { l } ) ^ { 2 } ) ( \sum _ { l } p _ { b } ( t _ { l } ) ^ { 2 } ) } } \ ,
f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } = w _ { i } \rho \prod _ { \alpha = x , y } \left( 2 - \sqrt { { u _ { \alpha } } ^ { 2 } / c _ { s } ^ { 2 } + 1 } \right) { \left( \frac { 2 u _ { \alpha } + \sqrt { { u _ { \alpha } } ^ { 2 } / c _ { s } ^ { 2 } + 1 } } { 1 - u _ { \alpha } } \right) } ^ { c _ { i , \alpha } } .
\begin{array} { r l } & { \ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \big | ( \phi ^ { \lambda } * \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , \cdot ) ) ( z ) - \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) \big | d z \, d \tau } \\ & { \quad \quad = \ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \Big | \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \phi ^ { \lambda } ( z - w ) \big ( \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , w ) - \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) \big ) d w \Big | d z \, d \tau } \\ & { \quad \quad \leq \ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \phi ^ { \lambda } ( z - w ) \big | \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , w ) - \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) \big | d w \, d z \, d \tau } \\ & { \quad \quad \leq \ \frac { 1 } { c } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } ( J ^ { \lambda } * J ^ { \lambda } ) ( z - w ) \big | \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , w ) - \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) \big | d w \, d z \, d \tau } \\ & { \quad \quad \leq \ \lambda \, C ^ { \prime } \, \mathcal { X } ^ { \lambda } \big ( \hat { s } ; [ 0 , T ] \times \mathbb { T } _ { d } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \psi } _ { 2 } ^ { + , - } ( 0 ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to - \infty } \tilde { \psi } _ { 2 } ^ { + } ( x ; 0 ) = \frac { v ^ { - } ( 0 ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } _ { M } ^ { + } ( 0 ) } { | v ^ { - } ( 0 ) | | \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( 0 ) | } } \\ & { = \frac { p } { 2 \sqrt { 2 } \gamma } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 \gamma / p } \\ { 4 \gamma ^ { 2 } / p ^ { 2 } } \end{array} \right) \wedge \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \frac { p } { 2 \sqrt { 2 } \gamma } > 0 , } \end{array}
\mathcal { L } ( \mathcal { D } ; \boldsymbol { \Theta } ) : = \frac { 1 } { | \mathcal { D } | } \sum _ { d \in \mathcal { D } } \frac { 1 } { 2 | \Omega | } | | \mathcal { G } _ { \boldsymbol { \Theta } } ( \mathbf { W } _ { \mathbf { T } } \mathbf { u } _ { d } ) - \mathbf { W } _ { \mathbf { T } } f _ { h } ( \mathbf { u } _ { d } ) | | _ { \Omega _ { 2 } } ^ { 2 }
\tilde { \bar { \rho } } \ensuremath { \frac { \partial \tilde { u } ^ { \prime } } { \partial \tilde { t } } } + \tilde { \bar { u } } \ensuremath { \frac { \partial \tilde { u } ^ { \prime } } { \partial \tilde { x } } } + \ensuremath { \frac { \partial \tilde { p } ^ { \prime } } { \partial \tilde { x } } } = 0 ,
\begin{array} { r } { \lVert \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \rVert _ { \mathrm { B } _ { r , q } ^ { - \frac { 1 } { r } - \varepsilon } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \lesssim _ { p , s , n , \varepsilon } \lVert u \rVert _ { { \dot { \mathrm { B } } } _ { p , q } ^ { 0 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { { \dot { \mathrm { B } } } _ { p , q } ^ { 0 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } v _ { t } \rho _ { t } \langle C ( t , u ) , \nu \rangle \, d u = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \langle C ( t , u ) , \partial _ { u } T \rangle \, d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( - \partial _ { u } \langle C ( t , u ) , T \rangle + v _ { t } ) \, d u = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } v _ { t } \, d u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \varphi _ { \omega } \frac { \partial n _ { \omega } } { \partial t } \, d \omega } & { { } = S _ { \Lambda } \int \frac { \omega _ { 2 } \omega \sin ^ { 2 } ( \phi ) } { ( \omega _ { 2 } - 2 \sqrt { \omega _ { 2 } \omega } \cos ( \phi ) + \omega ) ^ { 3 / 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { 2 } n _ { \omega } ^ { 2 } \left( \partial _ { \omega } n _ { \omega } ^ { - 1 } - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } \right) \left( \partial _ { \omega } \varphi _ { \omega } \right) d \phi \, d \omega _ { 2 } \, d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( C _ { L _ { V ^ { - 1 } } } \circ C _ { R _ { V } } ) f } & { = \big \| K _ { I d } ^ { \mathfrak H _ { ( p , q ) } } \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { - 2 } \, C _ { L _ { V ^ { - 1 } } } ( K _ { I d } ^ { \mathfrak H _ { ( p , q ) } } \circ { R _ { V } } ) } \\ & { = \big \| K _ { I d } ^ { \mathfrak H _ { ( p , q ) } } \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { - 2 } \, C _ { L _ { V ^ { - 1 } } } ( K _ { V ^ { - 1 } } ^ { \mathfrak H _ { ( p , q ) } } ) = \big \| K _ { I d } ^ { \mathfrak H _ { ( p , q ) } } \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { - 2 } \, ( K _ { V ^ { - 1 } } ^ { \mathfrak H _ { ( p , q ) } } \circ L _ { V ^ { - 1 } } ) = f \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { x } } & { = } & { \frac { 8 } { 9 } \frac { ( 1 - f _ { s } ) b ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { 2 } { \nu ^ { 2 } - 1 } - \frac { ( 2 l _ { \perp } / X _ { 0 } ) ^ { ( 1 - \nu ) / 2 } K _ { \frac { 1 - \nu } { 2 } } \left( \frac { X _ { 0 } } { l _ { \perp } } \right) } { \Gamma ( \frac { 3 - \nu } { 2 } ) } \right) , } \\ { \mathcal { D } _ { y } } & { = } & { \frac { 8 } { 9 } \frac { ( 1 - f _ { s } ) b ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { 2 } { \nu ^ { 2 } - 1 } - \frac { ( 2 l _ { \perp } / X _ { 0 } ) ^ { ( 1 - \nu ) / 2 } K _ { \frac { 1 - \nu } { 2 } } \left( \frac { X _ { 0 } } { l _ { \perp } } \right) } { \Gamma ( \frac { 3 - \nu } { 2 } ) } \right. } \\ & { } & { \left. - \frac { 2 ( X _ { 0 } / ( 2 l _ { \perp } ) ) ^ { ( 1 + \nu ) / 2 } K _ { \frac { 3 - \nu } { 2 } } \left( \frac { X _ { 0 } } { l _ { \perp } } \right) } { \Gamma ( \frac { 3 - \nu } { 2 } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { \vartheta } [ \Phi _ { T } [ u ] ] } & { = \mathcal { F } ^ { - 1 } [ \tilde { \kappa } _ { \vartheta } \cdot \mathcal { F } [ \Phi _ { T } [ u ] ] ] = \mathcal { F } ^ { - 1 } [ \tilde { \kappa } _ { \vartheta } \cdot \exp ( i 2 \pi k a ) \exp ( i 2 \pi l b ) \, \mathcal { F } [ u ] ] } \\ & { = \Phi _ { T } [ \mathcal { F } ^ { - 1 } [ \tilde { \kappa } _ { \vartheta } \cdot \mathcal { F } [ u ] ] ] = \Phi _ { T } [ \mathcal { K } _ { \vartheta } [ u ] ] , } \end{array}
\omega \in \{ 0 ( \mathrm { ~ b ~ l ~ a ~ c ~ k ~ } \bigcirc ) , 1 ( \mathrm { ~ b ~ l ~ a ~ c ~ k ~ } \bigtriangleup ) , 2 ( \mathrm { ~ b ~ l ~ a ~ c ~ k ~ } + ) , 9 ( \mathrm { ~ b ~ l ~ a ~ c ~ k ~ } \times ) , - 0 . 5 ( \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ y ~ } \bigcirc ) , - 2 / 3 ( \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ y ~ } \bigtriangleup ) , - 0 . 9 ( \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ y ~ } + ) \}
P ^ { \prime } ( w ^ { \prime } ) = L ^ { \beta k } \; \sum _ { \left[ n _ { i ^ { \prime } } \right] _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { k } } \; \sum _ { \left[ X _ { i } \right] _ { i = 0 } ^ { n } } \int \prod _ { i = 0 } ^ { n } d t _ { i } \; \prod _ { j ^ { \prime } = 0 } ^ { k } \; \delta ( \sum _ { { i } = m _ { j ^ { \prime } - 1 } + 1 } ^ { m _ { j ^ { \prime } } } \; \; t _ { i } - L ^ { \beta } t _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \times
\begin{array} { r } { { \cal H } _ { \mathrm { 3 D } } ( { \bf k } ) \! = \! M ( { \bf k } ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \! \frac { A _ { 1 } } { a _ { z } } \sin ( k _ { z } a _ { z } ) \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } \! + \! \frac { A _ { 2 } } { a _ { | | } } \sin ( k _ { x } a _ { | | } ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \frac { A _ { 2 } } { a _ { | | } } \sin ( k _ { y } a _ { | | } ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } . } \end{array}
| \psi ( x , t ) | ^ { 2 } = | \psi _ { 1 } ( x , t ) | ^ { 2 } + | \psi _ { 2 } ( x , t ) | ^ { 2 } + 2 R e [ \psi _ { 1 } ^ { * } ( x , t ) \psi _ { 2 } ( x , t ) ] .
G ( x _ { 1 } ^ { \prime } x _ { 2 } ^ { \prime } ; x _ { 1 } x _ { 2 } ) = \frac { \langle 0 | T \left[ \psi _ { \mathrm { i n } } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) \psi _ { \mathrm { i n } } ( x _ { 2 } ^ { \prime } ) \overline { { \psi } } _ { \mathrm { i n } } ( x _ { 2 } ) \overline { { \psi } } _ { \mathrm { i n } } ( x _ { 1 } ) \right] \exp { \{ - i \int d ^ { 4 } z \; H _ { I } ( z ) \} } | 0 \rangle } { \langle 0 | T \left[ \exp { \{ - i \int d ^ { 4 } z \; H _ { I } ( z ) \} } \right] | 0 \rangle } .
F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } { 2 x ( 1 + R ( x , Q ^ { 2 } ) ) } \cdot ( 1 + \frac { 4 M ^ { 2 } x ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { n } ^ { N } + u _ { n } ^ { N } \cdot \nabla \rho _ { n } ^ { N } } & { { } = 2 \lambda \Re ( \overline { { \psi _ { n } ^ { N } } } B _ { n } ^ { N } \psi _ { n } ^ { N } ) , } \\ { \rho _ { n } ^ { N } ( 0 , x ) } & { { } = \rho _ { 0 } ^ { N } ( x ) \in C _ { x } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \hat { \eta } ( t , x ) = \beta \Delta _ { x } \hat { \eta } ( t , x ) , } \\ & { \partial _ { t } \eta ( t , x ) = - \beta \Delta _ { x } \eta ( t , x ) , } \\ & { \eta ( 0 , x ) \hat { \eta } ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , \quad \eta ( T , x ) = e ^ { \frac { \Phi ( T , x ) } { 2 \beta } } = e ^ { - \frac { V ( x ) } { 2 \beta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 - \cos \phi _ { 1 } } { \sin \phi _ { 1 } } } & { = \frac { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } } { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } } , } \\ { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } } & { = \frac { L } { R } \frac { \sqrt { \sin \phi _ { 1 } - \sin \phi _ { 0 } } } { \sin \phi _ { 1 } } , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \sigma _ { \mu N \rightarrow \mu N \pi ^ { 0 } } ( \nu , Q ^ { 2 } , t ) } { \mathrm { d } \nu \mathrm { d } Q ^ { 2 } \mathrm { d } t } = \Gamma ( Q ^ { 2 } , \nu ) \frac { \mathrm { d } \sigma _ { \gamma ^ { * } N \rightarrow N \pi ^ { 0 } } ( x = Q ^ { 2 } / ( 2 M _ { p } \nu ) , Q ^ { 2 } , t ) } { \mathrm { d } t } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f _ { \mathcal { T } } ( \boldsymbol { \xi } ) } { \partial \textbf { v } _ { p } } = } & { { } \boldsymbol { \xi } \left[ \frac { \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \mathbf { z } _ { p ^ { + } } \cdot \boldsymbol { \xi } } } { ( \textbf { v } _ { p ^ { - } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) ^ { 2 } ( \textbf { v } _ { p } \cdot \boldsymbol { \xi } ) } - \frac { \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \mathbf { z } _ { p ^ { - } } \cdot \boldsymbol { \xi } } } { ( \textbf { v } _ { p } \cdot \boldsymbol { \xi } ) ( \textbf { v } _ { p ^ { + } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) ^ { 2 } } \right. } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \bar { g } } \left( \bar { R } - \frac { 1 } { 2 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } + 1 6 \pi e ^ { \beta _ { I } \phi } { \cal L } _ { m _ { I } } + 1 6 \pi e ^ { \beta _ { V } \phi } { \cal L } _ { m _ { V } } \right)
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { p } = } & { g \left( \kappa _ { T } \alpha \frac { \partial \tilde { \theta } } { \partial z _ { r } } - \kappa _ { S } \beta \frac { \partial \tilde { S } } { \partial z _ { r } } \right) \left( | \nabla z _ { r } | ^ { 2 } - \frac { \partial z _ { r } } { \partial z } \right) + \frac { g ( \kappa _ { T } - \kappa _ { S } ) } { 2 \rho _ { \star } } \left( \nabla z _ { r } \cdot \nabla \xi - \frac { \partial \xi } { \partial z } \right) } \\ { = } & { K _ { \mathrm { e f f } } N _ { 0 } ^ { 2 } ( z _ { r } ) \left[ \frac { R _ { \rho } - \tau } { R _ { \rho } - 1 } + ( 1 - \tau ) { \cal M } \right] \left( 1 - \frac { \partial _ { z } z _ { r } } { | \nabla z _ { r } | ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\mathbf { E _ { c o m p o s i t e } ^ { S H C I } = E _ { 1 2 4 \thinspace s p i n o r s } ^ { S H C I } - E _ { 1 2 4 \thinspace s p i n o r s } ^ { E O M C C } + E _ { 1 0 0 \thinspace H a r t r e e } ^ { E O M C C } }
\begin{array} { r } { h ^ { \mathrm { N M S } } = \sum _ { i , k } ^ { \varepsilon _ { i } , \varepsilon _ { k } > 0 } | \psi _ { i } \rangle \langle \psi _ { i } | \frac { 1 } { 2 } \Big [ \mathrm { P } ( \varepsilon _ { i } ) + \mathrm { P } ( \varepsilon _ { k } ) \Big ] | \psi _ { k } \rangle \langle \psi _ { k } | \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { f } _ { \theta } ( t ) = \chi _ { \perp } \overline { \gamma } ^ { - 1 } \dot { h } _ { y } \cos \varphi _ { 0 } + \sqrt { 2 } m ^ { 2 } \xi _ { 2 } \cos \varphi _ { 0 } \left( E _ { x } ^ { 2 } - E _ { y } ^ { 2 } \right) + \epsilon \left( m h _ { x } \cos \varphi _ { 0 } + 2 m ^ { 2 } \xi _ { 1 } E _ { x } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \varphi _ { 0 } - m ^ { 2 } \xi _ { 2 } E ( t ) ^ { 2 } \right) } \\ { \bar { f } _ { \varphi } ( t ) = \left( m h _ { y } \cos \varphi _ { 0 } + 2 m ^ { 2 } \xi _ { 1 } E _ { x } E _ { y } \cos ^ { 2 } \varphi _ { 0 } \right) + \epsilon \left( - \chi _ { \perp } \overline { \gamma } ^ { - 1 } \dot { h } _ { x } \cos \varphi _ { 0 } + 2 \sqrt { 2 } m ^ { 2 } \xi _ { 2 } E _ { x } E _ { y } \cos \varphi _ { 0 } \right) } \end{array}
\frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 3 } ^ { 2 } } \dots \frac { \partial ^ { p - 2 } } { \partial x _ { p - 1 } ^ { p - 2 } } f \biggr | _ { x _ { 1 } = x _ { 2 } = \dots = x _ { p - 1 } } = 0 .
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 6 } + _ { 2 } + _ { 1 1 } } \\ & { = - \delta _ { j , i } \delta ( q \leq m - n ) \sum _ { \substack { x > m - n } } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { i , j } \delta ( q > m - n ) \sum _ { x > m - n } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { i , j } \sum _ { w > m - n } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { p , w } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = - \delta _ { i , j } \partial ( \sum _ { w > m - n } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , w } ^ { ( 2 ) } ) , } \\ & { \quad _ { 4 } + _ { 1 3 } + _ { 4 } } \\ & { = \delta _ { i , j } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } + \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta _ { i , j } \delta ( q > m - n ) \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta _ { i , j } \partial ( \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } ) + \delta _ { i , j } \sum _ { x \leq m - n } [ e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } , e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } ] [ - 3 ] } \end{array}
M _ { I } ( t ) = \left( \frac { - B _ { 0 } ( t ) } { I ( \eta _ { I } ( t ) , t ) } \right) = \left[ \frac { \mathcal { N } ( t ) } { I ( \eta _ { I } ( t ) , t ) } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \, \mathrm { ~ d ~ } s \right) ^ { - 1 } \right] ,
\begin{array} { r l } { j _ { 0 } } & { { } = \frac { m ^ { 2 } \left( 1 + e ^ { - \frac { T } { 2 m } } \right) ^ { 2 } } { 2 \gamma } \ , } \\ { j _ { \pm } } & { { } = \frac { j _ { 0 } } { \sqrt { 6 } } \ , } \\ { \zeta _ { 0 } } & { { } = \frac { T } { 2 m } \ , } \\ { \zeta _ { \pm } } & { { } = \mp \frac { 3 2 } { 9 } \sqrt { 6 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta } V _ { 0 } ^ { \theta } ( x _ { 0 } ) } & { = \; \mathbb { E } _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } \Big [ \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } V _ { i + 1 } ^ { \theta } ( X _ { t _ { i + 1 } } ) \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \theta } ( t _ { i } , X _ { t _ { i } } , \alpha _ { t _ { i } } ) \prod _ { j = 1 } ^ { i } 1 _ { X _ { t _ { j } } \in \mathcal { O } } \big | X _ { t _ { 0 } } = x _ { 0 } \Big ] } \end{array}
\delta \ = \ \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } \; \Big [ \, 1 + \frac { M _ { \pi } ^ { 2 } } { 3 \Delta _ { \eta \pi } } \; \big ( ( r - 1 ) ^ { 2 } \, \varepsilon - 3 \Delta _ { G M O } \big ) \Big ] .
\begin{array} { r l } { x _ { i } } & { { } = \sqrt { \Lambda _ { i } } \sqrt { 1 - \sqrt { 1 - e _ { i } ^ { 2 } } } \mathrm { E } ^ { j \varpi _ { i } } , } \\ { y _ { i } } & { { } = \sqrt { 2 \Lambda _ { i } } \left( 1 - e _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \sin ( \mathcal { I } _ { i } / 2 ) \mathrm { E } ^ { j \Omega _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { T } } ( \tau ) } & { = c _ { 0 } \left( \frac { \tilde { \tau } _ { c } } { 2 \pi \left( b \lvert \tau \rvert + 2 \epsilon \tilde { \tau } _ { c } \right) } \right) ^ { d / 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \left[ 1 + \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } + \frac { d \, b \lvert \tau \rvert } { 2 b \lvert \tau \rvert + 4 \epsilon \tilde { \tau } _ { c } } \right] . } \end{array}