harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { E _ { n } ^ { ( k ) } } & { = { \frac { 1 } { k ! } } { \frac { d ^ { k } E _ { n } } { d \lambda ^ { k } } } { \bigg | } _ { \lambda = 0 } } \\ { \left| n ^ { ( k ) } \right\rangle } & { = \left. { \frac { 1 } { k ! } } { \frac { d ^ { k } | n \rangle } { d \lambda ^ { k } } } \right| _ { \lambda = 0 . } } \end{array} }
J _ { m ^ { \prime } l ^ { \prime } } ( \widehat { p } _ { \perp } ) = \sum _ { j = 0 } ^ { \operatorname * { m i n } ( l ^ { \prime } , m ) } \frac { m ^ { \prime } ! l ^ { \prime } ! } { j ! ( l ^ { \prime } - j ) ! ( m ^ { \prime } - j ) ! } \left[ i s g n ( e B ) \widehat { p } _ { \perp } \right] ^ { m ^ { \prime } + l ^ { \prime } - 2 j }
S _ { a b } = \textstyle { \frac { 1 } { 1 2 } } T T _ { a b } - \textstyle { \frac { 1 } { 4 } } T _ { a } { } ^ { c } T _ { b c } + \textstyle { \frac { 1 } { 2 4 } } g _ { a b } \left[ 3 T ^ { c d } T _ { c d } - T ^ { 2 } \right] \, .
1 \mp \sqrt { { \tau } / { \lambda _ { \mathrm { h / c } } } } = \left( 1 + \frac { \tau } { 2 \Delta t } \ln \frac { T _ { \mathrm { R } } + T _ { f } } { T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } } \right) ^ { - 1 } ,
- 2 \mathrm { t r } \ln \left( \bar { D } ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \ln E + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \left( G _ { 0 } F \right) + \frac { 1 } { 4 } \mathrm { t r } \left( G _ { 0 } F G _ { 0 } F \right) + \frac { 1 } { 6 } \mathrm { t r } \left( G _ { 0 } F G _ { 0 } F G _ { 0 } F \right) + \ldots
g _ { \tilde { g } \tilde { g } g } ^ { 2 } = g _ { g g q } ^ { 2 } = [ C _ { 2 } ( { \underline { { 8 } } } ) / C _ { 2 } ( { \underline { { 3 } } } ) ] \; g _ { \bar { q } q g } ^ { 2 } = 2 . 2 5 \; g _ { \bar { q } q g } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { S _ { 1 } ^ { \mathrm { B o r n } } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 2 \pi \alpha } { M } \bigg [ \frac { 4 M ^ { 2 } Q ^ { 2 } \, G _ { M } ( Q ^ { 2 } ) F _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) } { Q ^ { 4 } - 4 M ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } - F _ { 2 } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) \bigg ] , } \\ { S _ { 2 } ^ { \mathrm { B o r n } } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } & { = } & { - \, \frac { 8 \pi \alpha M ^ { 2 } \nu } { Q ^ { 4 } - 4 M ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } \, G _ { M } ( Q ^ { 2 } ) F _ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) , } \end{array}
\log \left( \frac { S _ { \infty } } { S _ { 0 } } \right) - \beta \left( \frac { S _ { \infty } - S _ { 0 } } { \gamma _ { 1 } } + \alpha \frac { P _ { 0 } \left( \frac { S _ { \infty } } { S _ { 0 } } \right) ^ { \nu } - P _ { 0 } } { \gamma _ { 2 } } \right) = - \beta \left( \frac { I _ { 0 } } { \gamma _ { 1 } } + \alpha \frac { Y _ { 0 } } { \gamma _ { 2 } } \right) ,
V ^ { \prime \prime } ( x ) = \frac { k \left( \sqrt { x ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } } \left( - x ^ { 4 } - l _ { 0 } ^ { 2 } x ^ { 2 } \right) + \left( x ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \left( 2 x ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } \right) - l _ { 0 } ^ { 3 } x ^ { 2 } - l _ { 0 } ^ { 5 } \right) } { \left( x ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 5 } { 2 } } }
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 0 } } \int _ { V } d \mathbf { r } \left( \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } \cdot \varepsilon \nabla \nabla \cdot \varepsilon \mathbf { A } _ { \parallel } \right) = \int _ { V } d \mathbf { r } \left( \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } \cdot \lambda _ { \parallel } \varepsilon \mathbf { A } _ { \parallel } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { 2 S } = \frac { 1 } { ( 3 2 \pi ^ { 2 } a _ { f } ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( 2 - \frac { r } { a _ { f } } \right) e ^ { - \frac { r } { 2 a _ { f } } } , } \end{array}
\leq \; \left\langle \prod _ { b = 1 } ^ { N } 2 \cosh \left( \; 2 \beta ^ { ( b ) } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } x \; t ( x ) \; : \cos \left( 2 \sqrt { \pi } \varphi ^ { ( b ) } ( x ) \right) : _ { Q ^ { W } } \; \right) \; \right\rangle _ { Q ^ { \mu } }
\nabla _ { x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { M } } { \mathcal { L } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { M } ) = 0 \iff { \left\{ \begin{array} { l l } { \nabla f ( \mathbf { x } ) - \sum _ { k = 1 } ^ { M } { \lambda _ { k } \, \nabla g _ { k } ( \mathbf { x } ) } = 0 } \\ { g _ { 1 } ( \mathbf { x } ) = \cdots = g _ { M } ( \mathbf { x } ) = 0 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } } & { + j \varepsilon ) , t _ { 0 } + j \varepsilon ) - m _ { P } \le ( P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) , t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) - m _ { P } ) } \\ & { \times \left( 1 - \varepsilon \bar { \gamma } \mu ( P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) , t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) - m _ { P } ) ^ { \nu - 1 } \right) + \varepsilon c _ { p 3 } . } \end{array}
\Delta \sigma ( A _ { 1 } \, A _ { 2 } \to A _ { 1 } \, A _ { 2 } \, \gamma \, \gamma ) = 0 . 9 5 \, { \frac { Z ^ { 4 } \, \alpha ^ { 6 } } { 2 \, m _ { \mu } ^ { 2 } } } \, G ( \delta ) \, { \frac { \Delta m } { m _ { \mu } } } \approx { \frac { 1 } { \alpha } } { \frac { \Delta m } { m _ { \mu } } } \, \sigma _ { \mathrm { { \scriptscriptstyle P M } } } .
< x { \mid } \overline { { { h } } } _ { v } ( f ) { \mid } 0 > \ = \ N \ \sum _ { r = - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \ \int \ d \mu ( k ) \ \tilde { f } ( \vec { k } ) \ { \varphi } _ { r } ( \vec { k } ) \ e ^ { - i \vec { k } \vec { x } }
\dot { x } = \frac { \i } { \hbar } [ H , x ] = K ^ { 2 } [ \frac { \i } { \hbar } { \textstyle ( 1 - ( \frac { q } { \xi } ) ^ { 4 } ) p ^ { 2 } x + q \xi ^ { - 4 } ( ( \frac { q } { \xi } ) ^ { 2 } + 1 ) { \mit \Lambda } ^ { 2 } p } ] ,
\begin{array} { r l } { \left( \frac { b } { c } \right) ^ { \ast } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \left( 1 - a \right) N } & { N \rightarrow \infty , } \\ { \frac { - 3 N ^ { 9 } - 4 0 N ^ { 8 } - 2 0 4 N ^ { 7 } - 8 4 8 N ^ { 6 } - 2 4 6 4 N ^ { 5 } + 1 9 2 0 N ^ { 4 } + 1 5 8 7 2 N ^ { 3 } - 4 0 9 6 0 N ^ { 2 } + 2 4 5 7 6 N } { 6 N ^ { 8 } - 6 4 N ^ { 7 } - 5 2 0 N ^ { 6 } - 1 2 3 2 N ^ { 5 } + 3 8 7 2 N ^ { 4 } + 6 2 7 2 N ^ { 3 } - 2 4 3 2 0 N ^ { 2 } + 2 2 5 2 8 N + 4 0 9 6 } } & { a = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \alpha _ { 1 } \gamma _ { 1 } } { C _ { 1 } ( \gamma ) } \| n - \bar { n } \| ^ { 2 } + \displaystyle \frac { \alpha _ { 1 } \beta \gamma _ { 2 } } { C _ { 2 } ( \gamma ) } \| p - \bar { p } \| ^ { 2 } \leq } \\ { \leq \left[ \mu \rho + ( 1 - \eta ) \Phi + \sigma ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \Phi M _ { 1 } + 2 \sigma ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \Phi M _ { 2 } \right] \displaystyle \frac { \| n - \bar { n } \| ^ { 2 } } { 2 } } \\ { + \left[ \mu \rho + ( 1 - \eta ) \Phi + \sigma ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \Phi M _ { 1 } + 2 \right] \displaystyle \frac { \| p - \bar { p } \| ^ { 2 } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { c } _ { r \nu } \equiv \hat { b } _ { r } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \nu } , } \\ { \hat { c } _ { r \nu } ^ { \dagger } \equiv \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } \hat { b } _ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { T } _ { \mathrm { r o t } } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hfil B _ { 0 } \hat { J } _ { i } ^ { 2 } } & { , \mathrm { l i n e a r ~ r o t o r } } \\ { A _ { e } \hat { J } _ { a , i } ^ { 2 } + B _ { e } \hat { J } _ { b , i } ^ { 2 } + C _ { e } \hat { J } _ { c , i } ^ { 2 } } & { , \mathrm { a s y m m e t r i c ~ t o p } ~ , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 0 } } & { { } = \omega _ { 3 } = \omega _ { 5 } = \omega _ { 7 } = \omega _ { 1 } = 1 . 0 } \\ { \omega _ { 1 } } & { { } = 1 . 1 9 , } \\ { \omega _ { 2 } } & { { } = \omega _ { 1 0 } = \omega _ { 1 2 } = 1 . 6 } \\ { \omega _ { 4 } } & { { } = \omega _ { 6 } = \omega _ { 8 } = 1 . 2 } \\ { \omega _ { 1 6 } } & { { } = \omega _ { 1 7 } = \omega _ { 1 8 } = 1 . 9 8 } \end{array}
\mathbb { E } [ \tilde { \mathbf { r e g } } ] ( T , \Psi , R , \{ \epsilon \} ) = \tilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { T } \left( \sigma _ { R } ( m + n ) \sqrt { \log \left[ \frac { \| \vec { \omega } \| _ { 2 } \| \{ \vec { x } , \vec { u } \} \| _ { \operatorname* { m a x } } } { \epsilon _ { R } } \right] } + \mathbb { E } [ \mathcal { K } ] \sigma _ { \psi } n \sqrt { \log \left[ \frac { n \| \mathbf { A } \| _ { 1 } \| \mathbf { A } \| _ { \infty } \| \vec { x } \| _ { \operatorname* { m a x } } } { \epsilon _ { \psi } } \right] } \right) \right)
\widehat { L } = \left[ \begin{array} { l l l l } { D _ { 1 } ^ { + } } & { \varepsilon } & { n _ { 1 } } & { \varepsilon } \\ { \varepsilon } & { D _ { 2 } } & { \varepsilon } & { g _ { 2 } n _ { 2 } } \\ { - n _ { 1 } } & { - \varepsilon } & { - D _ { 1 } ^ { - } } & { - \varepsilon } \\ { - \varepsilon } & { - g _ { 2 } n _ { 2 } } & { - \varepsilon } & { - D _ { 2 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } \, \mathrm { e } ^ { - q \, r ^ { 2 } } = } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \gamma \, r ^ { 2 } / 2 } \sum _ { \nu } \, \left( c _ { 1 \nu } \; F _ { 1 } \left( ( 2 \nu - 1 ) \alpha , - \alpha , \frac { \gamma r ^ { 2 } } { 2 } \right) + d _ { 1 \nu } \, \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { ( 2 \alpha - 1 ) } { 2 } } \; \; F _ { 1 } \left( - 2 \nu \alpha , \alpha , \frac { \gamma r ^ { 2 } } { 2 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbb { W } } = \sum _ { k = 1 } ^ { L - 1 } \Big [ \; } & { p _ { + } \big ( \hat { \sigma } _ { k + 1 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { k } ^ { - } - \hat { n } _ { k } ( \hat { \mathbb { 1 } } - \hat { n } _ { k + 1 } ) \big ) } \\ { + } & { p _ { - } ( \hat { \sigma } _ { k } ^ { + } \hat { \sigma } _ { k + 1 } ^ { - } - \hat { n } _ { k + 1 } ( \hat { \mathbb { 1 } } - \hat { n } _ { k } ) \big ) \Big ] } \\ { + } & { \alpha [ \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { + } - ( \hat { \mathbb { 1 } } - \hat { n } _ { 1 } ) ] + \gamma [ \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { - } - \hat { n } _ { 1 } ] } \\ { + } & { \delta [ \hat { \sigma } _ { L } ^ { + } - ( \hat { \mathbb { 1 } } - \hat { n } _ { L } ) ] + \beta [ \hat { \sigma } _ { L } ^ { - } - \hat { n } _ { L } ] , } \end{array}
\overline { { F _ { \lambda } \theta _ { s , \lambda } ^ { 2 } } } = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \left[ \, { \overline { { I _ { \Delta , \lambda , j } ^ { ( m ) } } } - \overline { { I _ { \Delta , \lambda , j } ^ { ( s + m ) } } } } \, \right] } { \frac { 1 } { 2 } \Delta ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { j } } , \quad T _ { \lambda } = 1 ,
\begin{array} { r l } { \left( \widehat { Q } _ { n + 1 , \lambda , \gamma } ( u ) \right) _ { ( n + 1 - k , k ) , ( n + 1 - i , i ) } } & { { } = a _ { k , i } ^ { ( n + 1 ) } ; } \\ { \left( \widehat { Q } _ { n + 1 , \lambda , \gamma } ( u ) \right) _ { ( n + 1 - k , k ) , ( s , i ) } } & { { } = \sum _ { w = 2 } ^ { n + 1 } a _ { k , w } ^ { ( n + 1 ) } \gamma w \left( \widehat { Q } _ { n , \lambda , \gamma } ( u ) \right) _ { ( n + 1 - w , w - 1 ) , ( s , i ) } . } \end{array}
\sum _ { a = 1 } ^ { 3 } v _ { a } ^ { 2 } ( { \mathbf { n } _ { 1 } } ) = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } v _ { a } ^ { 2 } ( { \mathbf { n } _ { 2 } } ) = \frac { 2 S - A } { 6 \rho } + \frac 1 { 2 \rho } ( 2 P + Q )
{ \begin{array} { r l } { \left. { \frac { \partial H ^ { \prime } } { \partial { x _ { i } } } } \right| _ { p _ { i } ^ { \prime } } } & { = \left. { \frac { \partial } { \partial { x _ { i } } } } \right| _ { p _ { i } ^ { \prime } } ( { \dot { x } } _ { i } p _ { i } ^ { \prime } - L ^ { \prime } ) = - \left. { \frac { \partial L ^ { \prime } } { \partial { x _ { i } } } } \right| _ { p _ { i } ^ { \prime } } } \\ & { = - \left. { \frac { \partial L } { \partial { x _ { i } } } } \right| _ { p _ { i } ^ { \prime } } - q \left. { \frac { \partial } { \partial { x _ { i } } } } \right| _ { p _ { i } ^ { \prime } } { \frac { d f } { d t } } } \\ & { = - { \frac { d } { d t } } \left( \left. { \frac { \partial L } { \partial { { \dot { x } } _ { i } } } } \right| _ { p _ { i } ^ { \prime } } + q \left. { \frac { \partial f } { \partial { x _ { i } } } } \right| _ { p _ { i } ^ { \prime } } \right) } \\ & { = - { \dot { p } } _ { i } ^ { \prime } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { \mathcal { H } ^ { 2 } ( \partial B _ { \varepsilon } ( x ) \cap B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) } { \mathcal { H } ^ { 2 } ( \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap B _ { \varepsilon } ( x ) ) } \leq 2 . } \end{array}
< S _ { i } ^ { 2 } \cdot S _ { j } ^ { 2 } > \longrightarrow < S _ { i } ^ { 2 } > \cdot < S _ { j } ^ { 2 } > \; = \; < S _ { i } ^ { 2 } > ^ { 2 } \quad \mathrm { f o r ~ } \mid i - j \mid \rightarrow \infty
\begin{array} { r l } { \sum _ { a } x ^ { a } X ^ { a } } & { = \sum _ { a } g ^ { - 1 } \cdot g \cdot ( x ^ { a } X ^ { a } ) \cdot g ^ { - 1 } \cdot g = \sum _ { a } g ^ { - 1 } \cdot \operatorname { A d } ( g ) ( x ^ { a } X ^ { a } ) \cdot g } \\ & { = \sum _ { a } g ^ { - 1 } \cdot ( \operatorname { A d } ^ { * } ( g ) ( x ) ^ { a } X ^ { a } ) \cdot g , } \end{array}
N _ { p h } ( k , t ) = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \frac { d ^ { 6 } N ( t ) } { d ^ { 3 } x \, d ^ { 3 } k } = \frac { e ^ { 2 } } { 2 k } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \; q ^ { 2 } \; ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ) \left| \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } f _ { q } ( t _ { 1 } ) \; f _ { | \vec { q } + \vec { k } | } ( t _ { 1 } ) \; e ^ { - i k t _ { 1 } } \; d t _ { 1 } \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l r l } { \tau > \; } & { { } \frac { 1 } { 2 } } & { \; } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ f ~ i ~ n ~ i ~ t ~ e ~ R ~ e ~ y ~ n ~ o ~ l ~ d ~ ' ~ s ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ } } \\ { Q \; \in \; } & { { } [ 3 , 9 , 2 7 ] } & { \; } & { { } \mathrm { ~ b ~ y ~ c ~ h ~ o ~ i ~ c ~ e ~ o ~ f ~ l ~ a ~ t ~ t ~ i ~ c ~ e ~ } } \\ { N + 1 = } & { { } 2 ^ { q c } \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; q c \; \in \; \mathcal { N } ^ { + } } \\ { T > \; } & { { } 1 } \end{array}
{ \cal L } _ { V _ { a } } \iota _ { V _ { b } } - \iota _ { V _ { b } } { \cal L } _ { V _ { a } } = \iota _ { [ V _ { a } , V _ { b } ] } , \quad { \cal L } _ { V _ { a } } = d \iota _ { V _ { a } } + \iota _ { V _ { a } } d ,
\begin{array} { r l r } { v _ { B } ^ { \tau } } & { = } & { \frac { b - d _ { B } } { b + d _ { E } } v _ { E } ^ { \tau } + \frac { d _ { E } + d _ { B } } { b + d _ { E } } v _ { C } ^ { \tau } , } \\ { v _ { B } ^ { n } } & { = } & { - \frac { d _ { B } } { d _ { E } } ( v _ { E } ^ { n } - v _ { C } ^ { n } ) + v _ { C } ^ { n } . } \end{array}
\hat { \mathbf { y } } ( x ) = \left( \begin{array} { l } { p _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { p _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } \end{array} \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \hat { \mathsf { A } } = \left( \begin{array} { l l } { - \frac { \gamma } { v - f - U ^ { [ i ] } ( x ) } } & { \frac { \gamma } { v - f - U ^ { [ i ] } ( x ) } } \\ { \frac { \gamma } { - v - f - U ^ { [ i ] } ( x ) } } & { - \frac { \gamma } { - v - f - U ^ { [ i ] } ( x ) } } \end{array} \right) .
\tilde { \phi } ( \lambda ) \sim i \sqrt { \frac { 4 \lambda } { \pi } } e ^ { - 2 \lambda } K _ { \nu } ( - 2 \lambda ) \sim \sum _ { n \geq 0 } ( - 1 ) ^ { n } \frac { \Gamma ( \nu + n + 1 / 2 ) } { 4 ^ { n } n ! \Gamma ( \nu - n + 1 / 2 ) } \lambda ^ { - n } , \ \ \lambda \rightarrow \infty ,
D _ { \epsilon } \; = \; 2 \left( \epsilon _ { \mathrm { d } } - \epsilon _ { \mathrm { u } } \right) x _ { \mathrm { d } } \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { - 2 } } & { { - 2 } } & { { - 2 } } \end{array} \right) \; .
\left\{ \begin{array} { l } { { \frac { \varepsilon } { c } \frac { \partial I _ { g } } { \partial t } + \mu \frac { \partial I _ { g } } { \partial x } + \xi \frac { \partial I _ { g } } { \partial y } = L _ { a } ^ { \varepsilon } \left( \sigma _ { e , g } \phi _ { g } - \sigma _ { a , g } I _ { g } \right) + L _ { s } ^ { \varepsilon } \sigma _ { s , g } \left( \frac { \rho _ { g } } { 2 \pi } - I _ { g } \right) } } \\ { { \left. I _ { g } \left( x , y , t \right) \right| _ { t = t _ { n } } = I _ { g } \left( x , y , t _ { n } \right) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \nabla _ { X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } } \nabla _ { X _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } } } \left( f _ { \mu } + I ^ { 2 } \right) } & { = X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } \left( Z _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } \mu } ^ { \nu } f _ { \nu } \right) + I ^ { 2 } } \\ & { = X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } \left( Z _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } \mu } ^ { \nu } \right) f _ { \nu } + Z _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } \mu } ^ { \nu } Z _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } \nu } ^ { \lambda } f _ { \lambda } + I ^ { 2 } } \end{array}
\Delta S ^ { + } = \Delta S _ { \textrm { V O } ^ { 2 + } } + \Delta S _ { \textrm { H } _ { 2 } \textrm { O } } - \Delta S _ { \textrm { V O } _ { 2 } ^ { + } } - 2 \Delta S _ { \textrm { H } ^ { + } }
\begin{array} { r l r } { X ( t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } X ( z ^ { l } ( \theta ) ) e ^ { z ^ { l } ( \theta ) t } \frac { d z ^ { l } } { d \theta } d \theta , } \\ & { \sim } & { \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } ( N + 1 ) } \sum _ { j = - N } ^ { N } X ( z ^ { l } ( \theta _ { j } ) ) e ^ { z ^ { l } ( \theta _ { j } ) t } \frac { d z ^ { l } ( \theta _ { j } ) } { d \theta } } \\ & { \equiv } & { \sum _ { j = - N } ^ { N } \omega _ { j } ^ { l } X ( z _ { j } ^ { l } ) e ^ { z _ { j } ^ { l } t } , } \end{array}
- 5 \lambda ^ { 8 } \langle \omega \rangle + 2 0 \lambda ^ { 6 } \langle \omega ^ { 3 } \rangle - 2 1 \lambda ^ { 4 } \langle \omega ^ { 5 } \rangle + 8 \lambda ^ { 2 } \langle \omega ^ { 7 } \rangle - \langle \omega ^ { 9 } \rangle
\left( \begin{array} { l } { \langle I \rangle _ { \mathrm { s c a } } } \\ { \langle V \rangle _ { \mathrm { s c a } } } \end{array} \right) = \frac { ( k r ^ { 2 } ) j ( j + 1 ) } { f _ { j m } ^ { 2 } - g _ { j m } ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l l } { f _ { j m } } & & { g _ { j m } } \\ { g _ { j m } } & & { f _ { j m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { I _ { \mathrm { f a r } } } \\ { V _ { \mathrm { f a r } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { A } & { { } \equiv } & { \left( \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \right) ^ { 2 } V _ { \varphi } ^ { 2 } + 2 \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \psi V _ { \varphi } + \psi ^ { 2 } , } \\ { B } & { { } \equiv } & { \left( \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \right) ^ { 2 } 2 V _ { \varphi } + 2 \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \psi , } \\ { C } & { { } \equiv } & { \left( \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { I _ { 1 } } { I _ { 2 } } = \frac { g _ { 1 } A _ { 1 } \lambda _ { 2 } } { g _ { 2 } A _ { 2 } \lambda _ { 1 } } e x p \left( \frac { - ( E _ { 1 } - E _ { 2 } ) } { k _ { b } T _ { e } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \dot { \hat { J } } _ { + } \right\rangle } & { = i \omega _ { z } \left\langle \hat { J } _ { + } \right\rangle - i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } } \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle \left\langle \hat { J } _ { z } \right\rangle , } \\ { \left\langle \dot { \hat { J } } _ { - } \right\rangle } & { = - i \omega _ { z } \left\langle \hat { J } _ { - } \right\rangle + i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } } \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle \left\langle \hat { J } _ { z } \right\rangle , } \\ { \left\langle \hat { J } _ { z } \right\rangle } & { = - i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle \left( \left\langle \hat { J } _ { + } \right\rangle - \left\langle \hat { J } _ { - } \right\rangle \right) . } \end{array}
{ \bf u } ( { \bf X } , 0 ) = { \bf u } _ { 0 } ( { \bf X } ) , \, \, \bar { c } ( { \bf X } , 0 ) = \bar { c } _ { 0 } ( { \bf X } ) , \, \, \phi ( { \bf X } , 0 ) = \phi _ { 0 } ( { \bf X } ) , \, \, \bar { \xi } ( { \bf X } , 0 ) = \bar { \xi } _ { 0 } ( { \bf X } ) , \, \, \mathrm { a n d } \, \, \mathrm { d } ( { \bf X } , 0 ) = \mathrm { d } _ { 0 } ( { \bf X } ) .
{ P } _ { L } = { \frac { { \Gamma } _ { 0 0 } } { \Gamma } } = { \frac { \mid H _ { 0 0 } \mid ^ { 2 } } { \mid H _ { + + } \mid ^ { 2 } + \mid H _ { -- } \mid ^ { 2 } + \mid H _ { 0 0 } \mid ^ { 2 } } } .
E _ { \mathrm { ~ S ~ o ~ l ~ v ~ } } \left( \mathrm { ~ X ~ } \right) = E \left( \mathrm { ~ X ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ a ~ g ~ e ~ } } \right) - E \left( \mathrm { ~ X ~ } _ { \mathrm { ~ V ~ a ~ c ~ u ~ u ~ m ~ } } \right) - E _ { \mathrm { ~ C ~ a ~ g ~ e ~ } }
\begin{array} { r l } { \sigma ( J _ { i } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { q = - 1 , 1 } \frac { 1 } { 2 J _ { i } + 1 } \sum _ { M _ { i } } \sigma ( J _ { i } , M _ { i } , q ) } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \vec { p } \rightarrow 0 } \frac { C _ { 3 } ^ { * } \left( \left| \vec { p } \right| \right) } { 4 p _ { 0 } V } \sim \operatorname * { l i m } _ { \vec { p } \rightarrow 0 } \frac { C _ { 3 } ^ { * } \left( \left| \vec { p } \right| \right) \left| \vec { p } \right| ^ { 3 } } { 4 p _ { 0 } } = 0 .
B = \frac { 1 } { \beta N _ { c } } \frac { \partial I \left( \eta \right) } { \partial \eta ^ { \prime } } = \frac { 1 } { \beta N _ { c } } \mathrm { T r } \frac { i } { \partial _ { \tau } + h } \left( 1 - i h ^ { \prime } \right) \; ,
\mathcal { H } = p _ { 1 } \, \dot { \theta } _ { 1 } + p _ { 2 } \, \dot { \theta } _ { 2 } - \mathcal { L } = \frac { 1 } { 2 } \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { I _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } } { I _ { 2 } } + \Pi \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } } & { { } \phantom { : } = \hat { H } _ { \mathrm { ~ D ~ D ~ } } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ S ~ F ~ } } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ P ~ H ~ } } , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { ~ D ~ D ~ } } } & { { } : = \phantom { + { } } U \sum _ { m } \hat { n } _ { m { \uparrow } } \hat { n } _ { m { \downarrow } } } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { ~ S ~ F ~ } } } & { { } : = J \sum _ { m ^ { \prime } m } \left( \hat { d } _ { m { \uparrow } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { m { \downarrow } } \hat { d } _ { m ^ { \prime } { \uparrow } } \hat { d } _ { m ^ { \prime } { \downarrow } } ^ { \dagger } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { ~ P ~ H ~ } } } & { { } : = - J \sum _ { m ^ { \prime } > m } \left( \hat { d } _ { m { \uparrow } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { m { \downarrow } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { m ^ { \prime } { \uparrow } } \hat { d } _ { m ^ { \prime } { \downarrow } } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) , } \end{array}
\Delta ^ { ( r o t ) } ( \tau , { \vec { \sigma } } _ { o } ) = \sqrt { [ \mu \, n _ { o } ( { \vec { \sigma } } _ { o } ) ] ^ { 2 } + \sum _ { r s } \, A ^ { r s } ( { \vec { \sigma } } _ { o } , q ^ { \mu } ( \tau ) , \overline { { { \cal S } } } ^ { u } ) \, \overline { { { \cal S } } } ^ { r } \, \overline { { { \cal S } } } ^ { s } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { { \bf e } _ { \pm } ^ { \mathrm { ( T M ) } } ( x ) = \left( \frac { i \beta } { q _ { \mathrm { T i } } } \hat { e } _ { x } + \hat { e } _ { z } \right) e ^ { - q _ { \mathrm { T i } } \left( x - \frac { d } { 2 } \right) } \Theta \left( x - \frac { d } { 2 } \right) + } \\ & { } & { + \left( \mp \frac { i \beta } { q _ { \mathrm { T i } } } \hat { e } _ { x } \pm \hat { e } _ { z } \right) e ^ { q _ { \mathrm { T i } } \left( x + \frac { d } { 2 } \right) } \Theta \left( - x - \frac { d } { 2 } \right) + } \\ & { } & { + { \cal C } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( T M ) } } \left[ - \frac { i \beta } { q _ { \mathrm { A l } } } f _ { \mathrm { A l } } ^ { ( \mp ) } ( x ) \hat { e } _ { x } + f _ { \mathrm { A l } } ^ { ( \pm ) } ( x ) \hat { e } _ { z } \right] \Theta _ { \mathrm { i n } } ( x ) , } \end{array}
- \frac { \kappa _ { J } } { \gamma } \frac { d f } { d \kappa _ { J } } \; \; = \; \; \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \frac { \langle H _ { F , \bar { F } } \rangle } { L } \Big / e ^ { 2 } \frac { N } { 2 } \; \; \equiv \; \; \rho _ { F , \bar { F } } \; .