harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } ^ { 3 } x \, G ( \vec { x } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } ^ { 3 } x \, G ( \vec { x } - \vec { y } ) , \quad \mathrm { w i t h } \, | \vec { y } | < \infty .
\int D \alpha ( \gamma ) ~ D R ( \gamma ) ~ D r ( \gamma ) ~ e x p ( - \int _ { 0 } ^ { \prime } d \gamma \alpha ( \gamma ) \dot { R } ^ { 2 } ) e x p ( - \int _ { 0 } ^ { \prime } \alpha ( \gamma ) ( \dot { r } ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) d \gamma )
m _ { \mathrm { r } } = { \frac { R _ { A ^ { \prime } } } { R _ { A } } } = { \frac { R _ { I } } { R _ { 0 } } } = { \frac { R _ { I } } { R _ { I - 1 } } } \, { \frac { R _ { I - 1 } } { R _ { I - 2 } } } \cdots { \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } } \, { \frac { R _ { 1 } } { R _ { 0 } } } = \prod _ { i = 1 } ^ { i = I } { \frac { n _ { i } } { n _ { i - 1 } } } \, m _ { \mathrm { v } , i } \, m _ { \mathrm { c } , i } = { \frac { n ^ { \prime } } { n } } \, m _ { \mathrm { v } } \, m _ { \mathrm { c } } \, ,
\left[ \, \left( T _ { x } ^ { g } \right) ^ { \vee } \otimes \left( h ^ { * } T _ { x } ^ { g } \right) \, \right] \: \otimes \: \left[ \, \left( T _ { x } ^ { h } \right) ^ { \vee } \otimes \left( g ^ { * } T _ { x } ^ { h } \right) \, \right] ^ { \vee }
\begin{array} { r l } { \vert \vert F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \le } & { \vert \vert F _ { { h _ { 2 } } , i } \vert \vert _ { L _ { 2 } } + \vert \vert f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { O ( \kappa _ { k } ^ { - \frac { p } { 2 r } } ) + O ( 1 ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \alpha } } } & { = { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \left( \mathbf { r } \times { \frac { d \mathbf { v } } { d t } } + { \frac { d \mathbf { r } } { d t } } \times \mathbf { v } \right) - { \frac { 2 } { r ^ { 3 } } } { \frac { d r } { d t } } \left( \mathbf { r } \times \mathbf { v } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \left( \mathbf { r } \times \mathbf { a } + \mathbf { v } \times \mathbf { v } \right) - { \frac { 2 } { r ^ { 3 } } } { \frac { d r } { d t } } \left( \mathbf { r } \times \mathbf { v } \right) } \\ & { = { \frac { \mathbf { r } \times \mathbf { a } } { r ^ { 2 } } } - { \frac { 2 } { r ^ { 3 } } } { \frac { d r } { d t } } \left( \mathbf { r } \times \mathbf { v } \right) . } \end{array} }
n = | { \boldsymbol { \beta } } | = \sum _ { j = 1 } ^ { s } | { \boldsymbol { k } } _ { j } | | { \boldsymbol { \ell } } _ { j } | \leq | { \boldsymbol { \ell } } _ { s } | \sum _ { j = 1 } ^ { s } | { \boldsymbol { k } } _ { j } | = | { \boldsymbol { \ell } } _ { s } | | { \boldsymbol { \alpha } } |
\alpha ^ { 2 } = \frac { \xi _ { -- } \xi _ { + } } { \xi _ { - } + \xi _ { + } } < 0 , \qquad k ^ { 2 } = \frac { ( \xi _ { + } - \xi _ { - } ) \xi _ { i } } { \xi _ { + } ( \xi _ { - } + \xi _ { i } ) }
\begin{array} { r l r } { \textrm { a n d } } & { { } } & { \eta _ { i } ( r , z , T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } a _ { i } ^ { ( j ) } ( T _ { 0 } , T _ { 2 } ) \mathrm { J _ { 0 } } ( \alpha _ { j , q } r ) , \quad \alpha _ { j , q } \equiv \frac { l _ { j } } { l _ { q } } , \; i = 1 , 2 , 3 , \; j = 1 , 2 , 3 , 4 \ldots \dots } \end{array}
\begin{array} { r l } { k [ x ^ { \pm 1 } , y ^ { \pm 1 } , z ^ { \pm 1 } ] } & { = k ( x , y , z ) \cap k [ G ] ; } \\ { k [ \kappa _ { x } , \kappa _ { y } , \kappa _ { z } , \xi ] } & { = \emph { Z } ( k [ G ] ) = k ( \kappa _ { x } , \kappa _ { y } , \kappa _ { z } ) ( \xi ) \cap k [ G ] ; } \\ { k [ \kappa _ { x } , \kappa _ { y } , \kappa _ { z } ] } & { = k ( \kappa _ { x } , \kappa _ { y } , \kappa _ { z } ) \cap k [ x ^ { \pm 1 } , y ^ { \pm 1 } , z ^ { \pm 1 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \mathbf { x } , t ) = } & { { } \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { V } \frac { 1 } { r } \Big [ \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i j } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } \Big ] d \mathbf { y } } \\ { + } & { { } \int _ { \partial B } \frac { 1 } { 4 \pi r } \left[ \left( \frac { 1 } { c _ { 0 } } \frac { \partial p } { \partial t } + \frac { p } { r } \right) \frac { \mathbf { r } } { r } \cdot \mathbf { n } - \frac { \partial p } { \partial \mathbf { n } } \right] d \partial B , } \end{array}
\dot { x } _ { i } = \frac { 1 } { \rho } \in _ { i i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } } \in _ { r _ { 1 } r _ { 2 } r _ { 3 } } \partial _ { r _ { 1 } } x _ { i _ { 1 } } \partial _ { r _ { 2 } } x _ { i _ { 2 } } \partial _ { r _ { 3 } } x _ { i _ { 3 } } \, ,
\begin{array} { r } { ( \vec { F } _ { 1 } ^ { a } \cdot \vec { d } _ { 0 1 } ) ( \vec { d } _ { 0 1 } \cdot \vec { v } ) < 0 } \\ { ( \vec { F } _ { u } ^ { d } \cdot \vec { G } _ { \textrm { D } } ) ( \vec { G } _ { \textrm { D } } \cdot \vec { v } ) < 0 , } \end{array}
\displaystyle \prod _ { n = 1 \atop n \equiv \pm ( j + 1 ) ( \mathrm { m o d } 5 ) } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { n } ) ^ { - 1 } = \displaystyle \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \frac { q ^ { r ^ { 2 } + j r } } { ( q ) _ { r } } , ~ ~ ~ ~ j = 0 , 1 ,
\alpha \in \{ 0 . 2 , 0 . 2 5 , 0 . 3 , 0 . 4 , 0 . 4 5 , 0 . 5 , 0 . 5 5 , 0 . 6 , 0 . 6 5 , 0 . 7 , 0 . 7 5 , 0 . 8 \}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k + 1 } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { \frac { 3 } { \alpha _ { x } r \delta } \Bigg ( 1 2 \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } C \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 1 2 \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 1 2 \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { R } ^ { 2 } } \\ & { + 1 2 \widehat { \lambda } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { R } } _ { \gamma } \right\| _ { R } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + 1 2 C \widehat { \lambda } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 6 \widehat { \lambda } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { C } ^ { 2 } \Bigg ) } \\ & { + ( 1 - \frac { \alpha _ { x } r \delta } { 2 } ) \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 2 s _ { k } ^ { 2 } \alpha _ { x } r \sigma _ { r } ^ { 2 } + s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \widehat { \lambda } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \frac { 1 8 } { \alpha _ { x } r \delta } } \\ { = } & { \frac { 1 } { \alpha _ { x } r \delta } \Bigg ( d _ { 4 4 } C \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + d _ { 4 2 } \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { R } ^ { 2 } } \\ & { + c _ { 4 } \widehat { \lambda } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + c _ { 4 3 } \widehat { \lambda } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { C } ^ { 2 } } \\ & { + c _ { 4 5 } C \widehat { \lambda } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \Bigg ) } \\ & { + ( 1 - \frac { \alpha _ { x } r \delta } { 2 } ) \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + s _ { k } ^ { 2 } \zeta _ { c x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { P S } } } & { { } = - \hat { \mathbf { V } } + \frac { a } { 2 } \mathbf { G } \cdot \hat { \mathbf { V } } + \frac { a ^ { 3 } } { 6 } \left[ \hat { \lambda } \mathbf { D } ^ { \mathrm { e } } \cdot ( \mathbf { e } _ { z } \times \hat { \mathbf { V } } ) - \mathbf { D } ^ { \mathrm { o } } \cdot \hat { \mathbf { V } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \widehat { w } _ { \geq 1 } ^ { ( 0 ) } ( g , \theta , \alpha , z ) \| _ { \xi } ^ { \# } } & { = \sum _ { M + N \geq 1 } { \xi } ^ { - ( M + N ) } \| \widehat { \widetilde { w } } _ { M , N } ( g , \theta , \alpha , z ) \| ^ { \# } } \\ & { \leq \sum _ { M + N \geq 1 } \sum _ { L = 1 } ^ { \infty } \sum _ { ( \underline { { m } } , \underline { { p } } , \underline { { n } } , \underline { { q } } ) \in S _ { M , N } ^ { L } } \widetilde { \xi } ^ { - ( M + N ) } 4 ^ { L } \| V _ { \underline { { m } } , \underline { { p } } , \underline { { n } } , \underline { { q } } , \theta , \alpha } [ \widehat { w } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha , \zeta ) ] \| ^ { \# } } \\ & { \leq \sum _ { L = 1 } ^ { \infty } \sum _ { M + N \geq 1 } \sum _ { ( \underline { { m } } , \underline { { p } } , \underline { { n } } , \underline { { q } } ) \in S _ { M , N } ^ { L } } \widetilde { \xi } ^ { - | \underline { { m } } | - | \underline { { n } } | } ( L + 1 ) C _ { F } \left( 4 C _ { W } ( g ) C _ { F } \right) ^ { L } } \\ & { \leq \sum _ { L = 1 } ^ { \infty } ( L + 1 ) ( 1 4 ) ^ { L } \widetilde { \xi } ^ { - 2 L } C _ { F } \left( 4 C _ { W } ( g ) C _ { F } \right) ^ { L } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { \! \bot } \cdot u _ { \bot } = \operatorname { t r } ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \bot } ) = \nabla _ { 1 } u _ { 1 } + \nabla _ { 2 } u _ { 2 } + \omega _ { 2 } \, u _ { 1 } - \omega _ { 1 } \, u _ { 2 } . } \end{array}
\delta = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \iint _ { R _ { s t } } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { - { \frac { 3 } { 2 } } } { \left| \begin{array} { l l l } { x } & { y } & { z } \\ { { \frac { \partial x } { \partial s } } } & { { \frac { \partial y } { \partial s } } } & { { \frac { \partial z } { \partial s } } } \\ { { \frac { \partial x } { \partial t } } } & { { \frac { \partial y } { \partial t } } } & { { \frac { \partial z } { \partial t } } } \end{array} \right| } \, d s \, d t .
\mathrm { U c h } \left( { \mathbf { G } } _ { \sigma } ^ { F } , ( { \mathbf { M } } , \mu ) \right) = \mathrm { I r r } \left( { \mathbf { G } } _ { \sigma } ^ { F } \enspace \middle | \enspace { \mathcal { E } } \left( { \mathbf { L } } ( \sigma ) ^ { F } , ( { \mathbf { M } } , \mathrm { p s } _ { { \mathbf { L } } ( \sigma ) } ( \mu ) ) \right) \right) .
j _ { m } \approx \frac { c } { { 4 \pi } } \frac { { \operatorname* { m a x } B _ { l } } } { { B _ { n } } } \nabla _ { r } \operatorname* { m a x } B _ { l } \approx 5 . 5 \frac { { \mathrm { n A } } } { { \mathrm { m } ^ { \mathrm { 2 } } } } \cdot \left( { r / R _ { J } } \right) ^ { - 2 } \approx 1 2 \frac { { \mathrm { p A } } } { { \mathrm { m } ^ { \mathrm { 2 } } } } \cdot \left( { \frac { r } { { 3 0 R _ { J } } } } \right) ^ { - 2 }
\mathbb { E } \{ \mathbf { V } _ { m k } ^ { H } \mathbf { H } _ { m l } \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { H } _ { m ^ { \prime } l } ^ { H } \mathbf { V } _ { m ^ { \prime } k } \} = \mathbb { E } \{ \mathbf { V } _ { m k } ^ { H } \mathbf { H } _ { m l } \} \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } } \mathbb { E } \{ \mathbf { H } _ { m ^ { \prime } l } ^ { H } \mathbf { V } _ { m ^ { \prime } k } \} = \mathbf { \Lambda } _ { m k l } \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { \Lambda } _ { m ^ { \prime } l k }
J _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { u \, \rho \, D + D \, u \, \rho } } & { { \begin{array} { c } { { D \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \gamma - 2 ) u ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma - 1 } \rho ^ { \gamma - 1 } \right] } } \\ { { + \left[ \frac { 1 } { 2 } u ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma - 1 } \rho ^ { \gamma - 1 } \right] D } } \end{array} } } \\ { { \begin{array} { c } { { D \left[ \frac { 1 } { 2 } u ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma - 1 } \rho ^ { \gamma - 1 } \right] } } \\ { { + \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \gamma - 2 ) u ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma - 1 } \rho ^ { \gamma - 1 } \right] D } } \end{array} } } & { { u \, \rho ^ { \gamma - 2 } \, D + D \, u \, \rho ^ { \gamma - 2 } } } \end{array} \right)
\mathcal { L } = \frac { I _ { \mathrm { R E } } ^ { \mathrm { m a x } } } { I _ { \mathrm { R E } } ^ { \mathrm { t o l } } } + \frac { I _ { \mathrm { o h m } } ^ { \mathrm { f i n } } } { I _ { \mathrm { o h m } } ^ { \mathrm { t o l } } } + 1 0 \frac { \eta _ { \mathrm { c o n d } } } { \eta _ { \mathrm { c o n d } } ^ { \mathrm { t o l } } } + 1 0 0 \, \theta ( t _ { \mathrm { C Q } } ) ,
G ^ { \prime \prime } ( \omega _ { r } ) = G _ { c } \frac { \omega _ { r } \tau _ { Z } \textrm { c o s } \left[ \chi \textrm { a t a n } ( \omega _ { r } \tau _ { Z } ) \right] } { \left[ ( 1 + ( \omega _ { r } \tau _ { Z } ) ^ { 2 } ) \right] ^ { \chi / 2 } }
d ^ { 2 } \sigma ^ { J / \psi } / d ^ { 2 } b = \sigma ^ { J / \psi } \int d ^ { 2 } s T _ { A } ^ { e f f } ( { \bf s } ) T _ { B } ^ { e f f } ( { \bf s } - { \bf b } ) S ( { \bf b } , { \bf s } )
\begin{array} { r l } { a s _ { \mathcal { A } ^ { o p } } ( x , y , z ) } & { = - ( - 1 ) ^ { | y | | z | + | x | | z | + | y | | x | } a s _ { \mathcal { A } } ( z , y , x ) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | x | | y | + | x | | z | } a s _ { \mathcal { A } } ( y , z , x ) = - ( - 1 ) ^ { | y | | z | } a s _ { \mathcal { A } ^ { o p } } ( x , z , y ) } \\ { a s _ { \mathcal { A } ^ { o p } } ( x , y , z ) } & { = - ( - 1 ) ^ { | y | | z | + | x | | z | + | y | | x | } a s _ { \mathcal { A } } ( z , y , x ) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | y | | z | + | x | | z | } a s _ { \mathcal { A } } ( z , x , y ) ) = - ( - 1 ) ^ { | y | | x | } a s _ { \mathcal { A } ^ { o p } } ( y , x , z ) . } \end{array}
\zeta _ { L N } ^ { \prime } ( 0 ) = { \frac { 7 4 } { 4 5 } } \ln ( r _ { + } / r _ { - } ) - \ln ( \pi ) - 2 \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } n ^ { 2 } \ln \Bigr [ 1 - ( r _ { - } / r _ { + } ) ^ { 2 n } \Bigr ] .
A ^ { k ^ { n } } ( \ell ) : = \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { k ^ { n } \cos ( k ^ { n } \ell ) } { \sin ( k ^ { n } \ell ) } } & { \frac { k ^ { n } } { \sin ( k ^ { n } \ell ) } } \\ { \frac { k ^ { n } } { \sin ( k ^ { n } \ell ) } } & { - \frac { k ^ { n } \cos ( k ^ { n } \ell ) } { \sin ( k ^ { n } \ell ) } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { \hat { a } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { ( \hat { a } ) _ { + } } \\ { ( \hat { a } ) _ { - } } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { ( \hat { a } ) _ { \pm } } & { { } = } & { a _ { \mu } \sigma _ { \pm } ^ { \mu } } \end{array}
{ \hat { H } } = \frac { H } { M } = \frac { 2 \pi } { l } \left( H _ { \mathrm { C F T } } + \kappa ( h ) \frac { l ^ { 2 - h } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 1 - h } } B \right) \, , \qquad H _ { \mathrm { C F T } } = L _ { 0 } + \bar { L } _ { 0 } - \frac { c } { 1 2 } { \mathrm { I d } } \: .
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { H F } } [ \gamma ] = \frac 1 2 \int ( \mathrm { d } \vec { r } _ { 1 } ) ( \mathrm { d } \vec { r } _ { 2 } ) \, V _ { \mathrm { i n t } } ( \vec { r } _ { 1 } - \vec { r } _ { 2 } ) \left( n ( \vec { r } _ { 1 } ) n ( \vec { r } _ { 2 } ) - \sum _ { \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } } \gamma _ { \mathrm { H F } } ^ { N = 2 } ( r _ { 1 } ; r _ { 2 } ) \, \gamma _ { \mathrm { H F } } ^ { N = 2 } ( r _ { 2 } ; r _ { 1 } ) \right) } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! { R _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } = \operatorname { S m o o t h M i n W e i g h t e d } ( \{ \operatorname { S m o o t h M a x } ( \{ r _ { j } , r _ { j ^ { \prime } } \} | \beta ) + T ( \beta ) , p _ { j j ^ { \prime } } \} _ { j j ^ { \prime } } \cup \{ ( { R _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } , 1 . 0 ) \} | \beta ) + \Delta _ { R _ { c } } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { \dot { \theta } = \omega - \sigma ^ { \uparrow } \left( B ^ { k + 1 } ( V ^ { k + 1 } ) ^ { \top } \right) ^ { - } \sin \left( V ^ { k + 1 } D ^ { k } \theta + U ^ { k + 1 } \alpha _ { k + 1 } \right) } \\ { - \sigma ^ { \downarrow } \left( D ^ { k - 1 } ( V ^ { k - 1 } ) ^ { \top } \right) ^ { - } \sin \left( V ^ { k - 1 } B ^ { k } \theta + U ^ { k - 1 } \alpha _ { k - 1 } \right) \, . } \end{array}
\Gamma ^ { h } ( 1 s ) = \frac { 8 } { B } ( 1 + p _ { 1 } ( 1 s ) \frac { 8 a _ { c c } } { B } ) \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { 2 } m _ { c } q _ { t h } \frac { a _ { 0 c } ^ { 2 } } { ( 1 + q _ { t h } ^ { 2 } a _ { 0 0 } ^ { 2 } ) } \, ,
\| \tilde { \ell } _ { 1 } \| _ { \boldsymbol { Q } ^ { * } } \lesssim \big ( \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| R _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } + \big ( \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| \nabla \times ( \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } - \boldsymbol { u } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { I } & { \leq C \int _ { B _ { 1 } } \phi ( | g | ) d x + 2 a p b _ { 1 } ^ { \alpha _ { 2 } } \int _ { B _ { 1 } } \phi \left( b _ { 2 } \frac { | g | } { b _ { 1 } } \right) | g | ^ { p - \alpha _ { 2 } } \left\{ \int _ { 0 } ^ { \frac { | g | } { b _ { 1 } } } \frac { 1 } { \mu ^ { p + 1 - \alpha _ { 2 } } } d \mu \right\} d x } \\ & { \leq C \int _ { B _ { 1 } } \phi ( | g | ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle J _ { 0 } ^ { [ 0 ] } \rangle _ { \nu , h } = - \langle h v \rangle = - u , } \\ & { } & { \langle J _ { 0 } ^ { [ \phi ] } \rangle _ { \nu , h } = ( \nu - \mathsfit { a } ) ^ { - 1 } \big ( \langle h v \phi \rangle - u \langle h \phi \rangle \big ) = \nu ^ { - 1 } \langle h ( v ^ { \mathrm { e f f } } - u ) \phi \rangle , } \end{array}
\left( \boldsymbol { \mathcal { T } _ { s } } ( \boldsymbol { D } ) \right) _ { j k } \sim \mathcal { C N } \left( \left( \left( \boldsymbol { \mathcal { T } } _ { s } \circ \boldsymbol { \mathcal { J } } \right) \left( u \right) \right) _ { j k } , M _ { 1 } M _ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { { \widetilde { g } } } & { = \left| { \widetilde { \bf { b } } } ^ { H } ( r , \theta , \phi ) { \bf { b } } ( r , \theta , \phi ) \right| } \\ & { = \frac { 1 } { N } \left| \sum _ { n _ { 1 } } \sum _ { n _ { 2 } } \exp \left( \frac { j k n _ { 1 } n _ { 2 } d ^ { 2 } \cos \theta \sin \theta \sin \phi } { r } \right) \right| } \\ & { \approx \left| \frac { 1 } { \eta } \mathrm { { S i } } ( \eta ) \right| , } \end{array}
M _ { T } ^ { ( d ) } ( x , y ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \left[ \int _ { | p | < \sqrt { 2 \mu } } \frac { 1 } { K _ { T } ( p ) } \left( e ^ { i p \cdot ( x - y ) } - e ^ { i \sqrt { \mu } p / | p | \cdot ( x - y ) } \right) \, \textnormal { d } p + \int _ { | p | > \sqrt { 2 \mu } } \frac { 1 } { K _ { T } } e ^ { i p \cdot ( x - y ) } \, \textnormal { d } p \right] .
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { L ^ { 2 } } \left( \int ( { \mathbf A } _ { h } - { \mathbf p } ) f _ { h } \mathrm { d } { \mathbf p } \right) = \mathbb { \Lambda } ^ { 1 , \top } \mathbb { M } _ { 1 } ^ { - 1 } \int ( { \mathbf A } _ { h } - { \mathbf p } ) f _ { h } \mathrm { d } { \mathbf p } \mathbb \Lambda ^ { 1 } \mathrm { d } { \mathbf x } = \mathbb { \Lambda } ^ { 1 , \top } \mathbb { M } _ { 1 } ^ { - 1 } \left( { \mathbb P } _ { 1 } ^ { \top } \mathbb { W } { \mathbb P } _ { 1 } { \mathbf a } - \mathbb { P } _ { 1 } ^ { \top } \mathbb { W } { \mathbf P } \right) . } \end{array}
{ \left\langle { { G ^ { n } } \otimes f , g } \right\rangle _ { \bf { x } } } = { \left\langle { G \otimes { G ^ { n - 1 } } \otimes f , g } \right\rangle _ { \bf { x } } } = { \left\langle { { G ^ { n - 1 } } \otimes f , G \otimes g } \right\rangle _ { \bf { x } } } = \cdots = { \left\langle { f , { G ^ { n } } \otimes g } \right\rangle _ { \bf { x } } } .
\begin{array} { r l } { \left| \frac { \partial h _ { \varepsilon } } { \partial x _ { m } } ( \mathbf { x } ) - \frac { \partial h _ { \varepsilon } } { \partial x _ { m } } ( \mathbf { y } ) \right| } & { \leq \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { 1 } { ( 2 \pi \varepsilon ) ^ { \frac { d } { 2 } } } e ^ { - \frac { \| \mathbf { z } \| ^ { 2 } } { 2 \varepsilon } } \left| \frac { \partial h } { \partial x _ { m } } ( \mathbf { x } - \mathbf { z } ) - \frac { \partial h } { \partial x _ { m } } ( \mathbf { y } - \mathbf { z } ) \right| d \mathbf { z } , } \\ & { \leq \| \frac { \partial h } { \partial x _ { m } } \| _ { \textup { L i p } } \| \mathbf { x } - \mathbf { y } \| . } \end{array}
A = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { A } _ { 1 } } \\ { \mathbf { A } _ { 2 } } \\ { \mathbf { A } _ { 3 } } \end{array} \right) \equiv \left[ \begin{array} { l l l } { A _ { 1 1 } } & { A _ { 1 2 } } & { A _ { 1 3 } } \\ { A _ { 2 1 } } & { A _ { 2 2 } } & { A _ { 2 3 } } \\ { A _ { 3 1 } } & { A _ { 3 2 } } & { A _ { 3 3 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \mathbf { P } _ { b } ^ { ( 1 ) } = \left[ \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { 2 } M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } \left( U \mathbf { E } _ { \mathbf { h } } ^ { - } \right) - M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } \left( H \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } ^ { - } \right) } \\ { M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { R } \mathbf { e } _ { R } ^ { \top } \left( H \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } ^ { + } \right) } \end{array} \right] , } \\ & { \mathbf { P } _ { b } ^ { ( 2 ) } = \left[ \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { 3 } M _ { x } ^ { - 1 } D _ { x } ^ { \top } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } \left( H ^ { 2 } \frac { d } { d t } \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } ^ { - } \right) - \frac { 1 } { 3 } M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } \left( H ^ { 2 } \frac { d } { d t } \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } ^ { - } \right) - \frac { 1 } { 2 } M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } \left( U \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } ^ { - } \right) } \\ { - \frac { 1 } { 6 } M _ { x } ^ { - 1 } D _ { x } ^ { \top } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } \left( H ^ { 2 } U D _ { x } \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } ^ { - } \right) + \frac { 1 } { 3 } M _ { x } ^ { - 1 } \left( D _ { x } ^ { \top } \right) ^ { 2 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } \left( H ^ { 2 } U \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } ^ { - } \right) } \\ { \frac { 1 } { 3 } M _ { x } ^ { - 1 } D _ { x } ^ { \top } \mathbf { e } _ { R } \mathbf { e } _ { R } ^ { \top } \left( H ^ { 2 } \frac { d } { d t } \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } ^ { + } \right) - \frac { 1 } { 3 } M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { R } \mathbf { e } _ { R } ^ { \top } M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { R } \mathbf { e } _ { R } ^ { \top } \left( H ^ { 2 } \frac { d } { d t } \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } ^ { + } \right) - \frac { 1 } { 3 } M _ { x } ^ { - 1 } \left( D _ { x } ^ { \top } \right) ^ { 2 } \mathbf { e } _ { R } \mathbf { e } _ { R } ^ { \top } \left( H ^ { 2 } U \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } ^ { + } \right) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 3 D } = } & { \sum _ { \vec { j } } \Big \{ ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | - | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \downarrow | \bigr ) - \sum _ { k = x , y , z } \Big [ t _ { 0 } ^ { k } \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \uparrow | - e ^ { - i \vec { K } \cdot \vec { e } _ { k } } | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \downarrow | \bigr ) \Big ] } \\ & { + \sum _ { k = x , y } t _ { \mathrm { s o } } ^ { k } \bigr ( | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \uparrow | - e ^ { i \vec { K } \cdot \vec { e } _ { k } } | \vec { j } + \vec { e } _ { k } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | \bigr ) + h . c . \Big ] \Big \} , } \end{array}