harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \psi ( s ) } & { = 5 \nu ^ { 2 } \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left( \frac { c M _ { 1 } M _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } + \frac { c M _ { 0 } ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } + \frac { \mu \nu } { 4 } + \frac { \mu ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } + \frac { c } { \lambda _ { 1 } \nu ^ { 2 } } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 4 } \right) \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
Q _ { A } ( \alpha , \bar { \alpha } ) = \sum _ { K = 0 } ^ { M } \frac { P ! } { ( P - K ) ! } \left( 1 + \sum _ { i } ^ { N - 1 } | \alpha _ { i } | ^ { 2 } \right) ^ { - K } A _ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { K } } ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { K } } \alpha _ { \mu _ { 1 } } \ldots \alpha _ { \mu _ { K } } \bar { \alpha } _ { \nu _ { 1 } } \ldots \bar { \alpha } _ { \nu _ { K } } \: ,
\mathcal { U } _ { 0 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 0 } ( x ) = 1 . 0 \quad \forall x } \\ { u _ { 0 } ( x ) = 0 . 5 \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ \, ~ x ~ \leq ~ 0 ~ . ~ 5 ~ , ~ } \quad u _ { 0 } ( x ) = - 0 . 5 \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \\ { p _ { 0 } ( x ) = 1 . 0 \quad \forall x \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \rho _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } & { { } = } & { 0 , } \\ { \rho _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) } & { { } = } & { 0 , } \\ { \rho _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } & { { } = } & { \frac { \sigma _ { 0 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) } { \kappa ^ { 2 } } h ^ { 2 } \nu t ^ { \prime } \frac { 1 } { L ^ { 2 } } , } \\ { \rho _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) } & { { } = } & { \frac { 2 - \sigma _ { 1 } } { \kappa ^ { 2 } } h ^ { 2 } \nu t ^ { \prime } \frac { 1 } { L ^ { 2 } } , } \\ { \rho _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\tilde { m } = \tilde { m } _ { 0 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 1 / 3 } \tilde { m } _ { 1 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 2 / 3 } \log \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 2 / 3 } \tilde { m } _ { 1 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 2 / 3 } \tilde { m } _ { 2 }
\chi _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } = 4 . 6 7 + \biggl ( \frac { \alpha _ { s } - 0 . 1 0 2 4 } { 0 . 0 1 2 7 } \biggr ) ^ { 2 } + \biggl ( \frac { \delta _ { \alpha } } { 0 . 1 0 } \biggr ) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { o u t } } [ \omega ] = \frac { ( \sqrt { \eta } - 1 / \sqrt { \eta } ) ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \bar { S } _ { q q } ^ { 0 } [ \omega ] } \\ { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { o u t } } [ \omega ] = \frac { \omega ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { ( \sqrt { \eta } - 1 / \sqrt { \eta } ) ^ { 2 } } \bar { S } _ { p p } ^ { 0 } [ \omega ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta E _ { \mathrm { e x p } } ^ { ( 1 ) } } & { = 1 4 3 5 . 9 5 1 ( 8 1 ) \, \mathrm { m e V } } \\ { \Delta E _ { \mathrm { e x p } } ^ { ( 2 ) } } & { = 1 2 9 3 . 7 5 9 ( 8 6 ) \, \mathrm { m e V } } \\ { \Delta E _ { \mathrm { e x p } } ^ { ( 3 ) } } & { = 1 2 8 5 . 4 2 5 ( 8 1 ) \, \mathrm { m e V } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \sin k \theta } & { = { \frac { \cos { \frac { 1 } { 2 } } \theta - \cos \left( \left( n + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \theta \right) } { 2 \sin { \frac { 1 } { 2 } } \theta } } } \\ { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \cos k \theta } & { = { \frac { \sin { \frac { 1 } { 2 } } \theta + \sin \left( \left( n + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \theta \right) } { 2 \sin { \frac { 1 } { 2 } } \theta } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { J _ { 1 , \tau } ( \vec { y } ) = \ } & { G _ { 1 , \tau } ( u _ { \bot } ( 1 - T _ { 1 } ) y _ { 1 } + ( 1 - u _ { \bot } ) ( 1 - T _ { 1 } ) y _ { 2 } + u _ { \bot } T _ { 1 } y _ { 3 } , ( u _ { \Delta } ( 1 - T _ { 1 } ) ) ^ { 2 } y _ { 4 } + ( ( 1 - u _ { \Delta } ) ( 1 - T _ { 1 } ) ) ^ { 2 } y _ { 5 } + ( u _ { \Delta } T _ { 1 } ) ^ { 2 } y _ { 6 } } \\ & { + 2 u _ { \Delta } ( 1 - T _ { 1 } ) ^ { 2 } ( 1 - u _ { \Delta } ) ( 1 - T _ { 1 } ^ { 2 } ) y _ { 7 } + 2 u _ { \Delta } ( 1 - T _ { 1 } ) u _ { \Delta } T _ { 1 } y _ { 8 } + 2 ( 1 - u _ { \Delta } ) u _ { \Delta } T _ { 1 } ( 1 - T _ { 1 } ) ( 1 - T _ { 1 } ^ { 2 } ) y _ { 9 } ) } \end{array}
\hat { \eta } ( \hat { r } , 0 ) = \hat { a } _ { 0 } \exp \left( - \frac { \hat { r } ^ { 2 } } { \hat { d } ^ { 2 } } \right) \left[ 1 - \left( \frac { \hat { r } } { \hat { d } } \right) ^ { 2 } \right] , \; \hat { a } _ { 0 } > 0
k _ { 3 } \sim \pm ( 1 + i ) \, \omega ^ { 1 / 2 } \, \nu _ { \mathrm { n c } } ^ { 1 / 2 } \frac { \chi + 2 } { 2 c \, ( \chi + 1 ) ^ { 1 / 2 } } = \pm \frac { 1 + i } { 2 \epsilon ^ { 1 / 2 } } ( \chi + 2 ) ^ { 1 / 2 } \frac { \omega } { c _ { \mathrm { n } } }
\begin{array} { r } { H | \psi _ { n } ^ { R } \rangle = E _ { n } | \psi _ { n } ^ { R } \rangle ; \, \, \, \, H ^ { T } | \psi _ { n } ^ { L } \rangle ^ { \ast } = E _ { n } | \psi _ { n } ^ { L } \rangle ^ { \ast } . } \end{array}
\frac { \partial \varepsilon } { \partial t } + \pmb { u } \cdot \nabla \varepsilon = \nabla \cdot \left( \nu _ { e f f , \varepsilon } \nabla \varepsilon \right) + C _ { \varepsilon 1 } \frac { \varepsilon } { k } P _ { k } - C _ { \varepsilon 2 } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { k } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { r _ { * } \to - \infty } ( u _ { \mathrm { h o r } } ^ { \prime } + i \widetilde { \omega } u _ { \mathrm { h o r } } ) ( r _ { * } ) = } & { \: 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { r _ { * } \to + \infty } ( u _ { \mathrm { i n f } } ^ { \prime } - i \omega u _ { \mathrm { i n f } } ) ( r _ { * } ) = } & { \: 0 , } \\ { | u _ { \mathrm { h o r } } | ( - \infty ) = | u _ { \mathrm { i n f } } | ( + \infty ) = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( L _ { < } \left( S _ { k _ { n } ; n } \right) > ( 2 \sqrt { n k _ { n } } - k _ { n } ) ( 1 + \varepsilon ) \right) \leq } & { \ \mathbb { P } \left( E _ { n } ^ { \lambda _ { n } } \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ o c c u r } \right) } \\ { + } & { \ \mathbb { P } \left( \mathcal { L } _ { < } \left( \Pi _ { n k _ { n } , n } ^ { ( \lambda _ { n } ) } \right) > ( 2 \sqrt { n k _ { n } } - k _ { n } ) ( 1 + \varepsilon ) \right) } \\ { \leq } & { \ n \exp \left( - \frac { 1 } { 8 } k _ { n } ^ { \alpha } \right) \qquad \mathrm { ( u s i n g ~ ) } } \\ { + } & { \ \mathbb { P } \left( \mathcal { L } _ { < } \left( \Pi _ { n k _ { n } , n } ^ { ( \lambda _ { n } ) } \right) > ( 1 + \delta _ { n } ) ( 2 \sqrt { n k _ { n } } - k _ { n } ) \frac { 1 + \varepsilon } { 1 + \delta _ { n } } \right) } \\ { \leq } & { \ n \exp \left( - \frac { 1 } { 8 } k _ { n } ^ { \alpha } \right) } \\ { + } & { \ \mathbb { P } \left( \mathcal { L } _ { < } \left( \Pi _ { n k _ { n } , n } ^ { ( \lambda _ { n } ) } \right) > ( 2 \sqrt { n k _ { n } ( 1 + \delta _ { n } ) } - k _ { n } ( 1 + \delta _ { n } ) ) \frac { 1 + \varepsilon } { 1 + \delta _ { n } } \right) } \\ { \leq } & { \ n \exp \left( - \frac { 1 } { 8 } k _ { n } ^ { \alpha } \right) + \exp ( - \tilde { g } ( \varepsilon / 2 ) ( \sqrt { n k _ { n } } - k _ { n } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { h } ^ { \eta } } ] } & { \le } & { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { h } ^ { k } } \mathbb { I } _ { \eta \ge k } ] } \\ & { = } & { \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { h } } \mathbb { I } _ { \eta \ge 1 } ] + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \mathbb { E } [ \mathbb { I } _ { \eta \ge k } \lambda ^ { \tau _ { h } ^ { k - 1 } } \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { h } \circ \theta ^ { \tau _ { h } ^ { k - 1 } } } | { \mathcal F } _ { \tau _ { h } ^ { k - 1 } } ] ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) , \mathrm { X C } } \! \! } & { = } & { \! \frac { 1 } { 1 + \lambda ^ { 2 } } \! \! \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \frac { \mathrm d k } { \pi } \frac { \kappa ^ { 2 } e ^ { - 2 \kappa | x | } } { k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } \frac { \lambda ^ { 2 } - s _ { k } ^ { 2 } } { 1 - s _ { k } ^ { 2 } } f _ { k } ( x ) , \; \; \; \; } \end{array}
G ^ { \alpha \beta } + \Lambda g ^ { \alpha \beta } = { \frac { \kappa } { \mu _ { 0 } } } \left( { F ^ { \alpha } } ^ { \psi } { F _ { \psi } } ^ { \beta } + { \frac { 1 } { 4 } } g ^ { \alpha \beta } F _ { \psi \tau } F ^ { \psi \tau } \right) .
\begin{array} { r l } { \textbf { f } _ { * } | \mathcal { D } , \textbf { X } _ { * } } & { { } \sim \mathcal { N } ( \mathbb { E } [ \textbf { f } _ { * } ] , \textrm { c o v } ( \textbf { f } _ { * } ) ) , \ \textrm { w h e r e } } \\ { \mathbb { E } [ \textbf { f } _ { * } ] } & { { } = \hat { k } _ { L } ( \textbf { L } _ { * } , \textbf { L } ) \hat { k } _ { y } ^ { - 1 } \textbf { y } , } \\ { \textrm { c o v } ( \textbf { f } _ { * } ) } & { { } = \hat { k } _ { L } ( \textbf { L } _ { * } , \textbf { L } _ { * } ) - \hat { k } _ { L } ( \textbf { L } _ { * } , \textbf { L } ) \hat { k } _ { y } ^ { - 1 } \hat { k } _ { L } ( \textbf { L } , \textbf { L } _ { * } ) , } \end{array}
\Theta _ { B } = \frac { 1 } { | { \cal { B } } | } \sum _ { i \in { \cal { B } } } \theta _ { i } ^ { B } , \; \; \Theta _ { R } = \frac { 1 } { | { \cal { R } } | } \sum _ { j \in { \cal { R } } } \theta _ { j } ^ { R } .
C = \left( \begin{array} { c c c c } { { q } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { q ^ { - 1 } } } \end{array} \right) \nonumber
\begin{array} { r l } { \mathbb E \widehat Z _ { N } ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { \sigma , \tau } \exp \Bigl ( \sum _ { i < j } \sigma _ { i } \sigma _ { j } \tau _ { i } \tau _ { j } \mathbb E \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta J ) \Bigr ) } \\ & { \leq \sum _ { \sigma , \tau } \exp \Big ( \frac { 1 } { 2 } \Big ( \sum _ { i \leq N } \sigma _ { i } \tau _ { i } \Big ) ^ { 2 } \mathbb E \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta J ) \Big ) \leq 4 ^ { N } \big ( 1 - N \mathbb E \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta J ) \big ) ^ { - 1 / 2 } . } \end{array}
C _ { \mathrm { p e r f e c t - C S I } } = E \left[ \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { Q } ; \, { \mathrm { t r } } ( \mathbf { Q } ) \leq 1 } \log _ { 2 } \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { I } + \rho \mathbf { H } \mathbf { Q } \mathbf { H } ^ { H } \right) \right] = E \left[ \log _ { 2 } \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { I } + \rho \mathbf { D } \mathbf { S } \mathbf { D } \right) \right]
B _ { \theta } ( t ) = \sqrt { \frac { 1 6 n a _ { 1 1 } ^ { 3 } } { \pi } } \left( \frac { a _ { 1 2 } } { a _ { 1 1 } } \right) ^ { 2 } \int \mathrm { d } x \frac { x z ( u ) ^ { 2 } \left[ 1 - \cos \left( x ^ { 2 } \frac { t } { t _ { n } } + x \frac { t } { t _ { n } } \sqrt { x ^ { 2 } + w ( u ) } \right) \right] } { ( x + \sqrt { x ^ { 2 } + w ( u ) } ) ^ { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + w ( u ) } } .
\exp ( \mathrm { e } ^ { t } - 1 ) = \exp ( \mathrm { e } ^ { x + t } - \mathrm { e } ^ { x } ) | _ { x = 0 } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { F _ { n } ( 1 , 1 , \cdots , 1 ) } { n ! } t ^ { n } \equiv \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { B ( n ) } { n ! } t ^ { n } .
\begin{array} { r } { C ( \Omega _ { t } ^ { \mathbf { c } , \mathbf { d } } , \Omega _ { t ^ { \prime } } ^ { \mathbf { c ^ { \prime } } , \mathbf { d ^ { \prime } } } ) ( 0 , \tau _ { 2 } ) = \! C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( 0 , \tau _ { 2 } ) D E \! + C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( 0 , \tau _ { 2 } - \prod _ { j = 1 } ^ { b } q _ { j } ^ { n _ { j } } ) D E ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } = } & { { } { \hat { G } } _ { 1 , 1 } \hat { \mathbf { B } } _ { 1 , 0 } \Psi _ { 0 } + { \hat { G } } _ { 1 , N } \hat { \mathbf { B } } _ { N , N + 1 } \Psi _ { N + 1 } \; , } \\ { \Psi _ { N } = } & { { } { \hat { G } } _ { N , 1 } \hat { \mathbf { B } } _ { 1 , 0 } \Psi _ { 0 } + { \hat { G } } _ { N , N } \hat { \mathbf { B } } _ { N , N + 1 } \Psi _ { N + 1 } \; , } \end{array}
\xi ^ { i } = - { \frac { \rho d x _ { 0 } ^ { i } } { D ^ { 3 / 2 } } } - { \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { i } [ 2 \rho ^ { 2 } + ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } ] d \rho } { \rho ^ { 2 } D ^ { 3 / 2 } } } , \quad \quad \omega _ { ( 0 , 1 ) } ^ { u } = q ^ { t } I _ { u } \xi = - { \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { t } I ^ { u } d x _ { 0 } } { D ^ { 2 } } } .
K _ { ( h ) } ^ { d } \simeq { \frac { 1 } { ( d - 1 ) } } { \frac { 1 } { \Sigma _ { d } } } \left( { \frac { 1 } { \rho ^ { d - 1 } } } + { \frac { b _ { 0 } ^ { ( d ) } h } { \rho ^ { d - 2 } } } + . . . + { \frac { b _ { k } ^ { ( d ) } h ^ { k } } { \rho ^ { d - k - 1 } } } + . . . + b _ { d - 1 } ^ { ( d ) } h ^ { d - 1 } \ln ( \rho h ) \right) ~ ~ ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { I } ( t ) } & { = } & { \sum _ { m } \omega _ { m } \hat { a } _ { m } ^ { \dag } \hat { a } _ { m } + \sum _ { i } \Omega _ { i } \Big [ \cos \left( \mu t - \phi _ { i } \right) } \\ & { } & { - \sin \left( \mu t - \phi _ { i } \right) \sum _ { m } \eta _ { i , m } \left( \hat { a } _ { m } ^ { \dag } + \hat { a } _ { m } \right) \Big ] \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } . } \end{array}
\mathbf { \hat { m } } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { \hat { m } _ { 0 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { - Q + 1 } } & { \hat { m } _ { - Q } } & { \hat { m } _ { - Q - 1 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { - 2 Q } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { \hat { m } _ { + Q - 1 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { 0 } } & { \hat { m } _ { - 1 } } & { \hat { m } _ { - 2 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { - Q - 1 } } \\ { \hat { m } _ { + Q } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { + 1 } } & { \hat { m } _ { 0 } } & { \hat { m } _ { - 1 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { - Q } } \\ { \hat { m } _ { + Q + 1 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { + 2 } } & { \hat { m } _ { + 1 } } & { \hat { m } _ { 0 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { - Q + 1 } } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \hat { m } _ { + 2 Q } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { + Q + 1 } } & { \hat { m } _ { + Q } } & { \hat { m } _ { + Q - 1 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { 0 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \lambda ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { \partial \lambda ^ { 2 } } \lambda ^ { 2 } + B \lambda + C } \\ { B = \frac { \partial n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { \partial \lambda } - \frac { \partial ^ { 2 } n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { \partial \lambda ^ { 2 } } \lambda _ { 0 } } \\ { C = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { \partial \lambda ^ { 2 } } \lambda _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { \partial n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { \partial \lambda } \lambda _ { 0 } + n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ 0 ~ } } , } \end{array}
G ^ { \mathrm { r e t } } ( \omega , { \bf x } ) = \frac { i ^ { D } \pi } { 2 ( 2 \pi ) ^ { ( D - 1 ) / 2 } } \left( \frac { \omega } { r } \right) ^ { ( D - 3 ) / 2 } H _ { ( D - 3 ) / 2 } ^ { 1 } ( \omega r ) \, ,
f _ { \mathrm { p , v } } = \frac { \phi _ { \mathrm { v } } } { a _ { \mathrm { p } } } \Big \{ k _ { \mathrm { B } } T \big [ \ln ( \phi _ { \mathrm { v } } ) - \ln ( 1 - b _ { 0 } \phi _ { \mathrm { v } } ) - \ln ( 2 \pi ) \big ] + U _ { \mathrm { p , v } } \Big \} ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left\langle \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { = - \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { m } } \left\langle \chi _ { m } k _ { i j } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \frac { \partial P _ { 0 } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( \left\langle k _ { i j } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \frac { \partial P _ { 0 } } { \partial x _ { j } } \overline { { c } } _ { 1 } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left\langle v _ { 1 i } c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } \\ & { = - \left[ \left\langle \boldsymbol \chi \mathbf k \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } \right] _ { m i } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial x _ { m } } \right) } \\ & { \quad - \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( \left[ \left\langle \mathbf k \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } \right] _ { i } \overline { { c } } _ { 1 } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left\langle v _ { 1 i } c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } \\ & { = - \left[ \left( \left\langle \boldsymbol \chi \mathbf k \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } \right) \cdot \nabla _ { \mathbf x } \right] \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } } \\ & { \quad - \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left( \left\langle \mathbf k \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } \overline { { c } } _ { 1 } \right) + \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left( \left\langle \mathbf v _ { 1 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } c _ { 0 } \right) } \end{array}
\mathcal { L } _ { \textit { c o n t , i } } = \lambda _ { 1 } \| \hat { y } _ { i } - y _ { i } \| _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \| \hat { y } _ { i } - y _ { i } \| _ { 2 } - \lambda _ { 3 } \cdot \operatorname { S S I M } ( \hat { y } _ { i } , y _ { i } ) + \lambda _ { 4 } \left\| \left( \phi ( \hat { y } _ { i } ) - \phi ( y _ { i } ) \right) \right\| _ { 2 }
f ( x , \tilde { v } , t ) = f _ { 0 } ( x , \tilde { v } , t ) + \varepsilon f _ { 1 } ( x , \tilde { v } , t ) + \varepsilon ^ { 2 } f _ { 2 } ( x , \tilde { v } , t ) + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 3 } )
\left. - \frac { 1 } { 4 } e ^ { \varphi } \, { \widetilde F } _ { \mu \nu } ^ { J } { \widetilde F } ^ { J \mu \nu } - \frac { 1 } { \sqrt 2 } e ^ { \varphi } { \widetilde F } _ { \mu \nu } ^ { J } { \widetilde C } ^ { [ \mu } \partial ^ { \nu ] } { \tilde { D } } ^ { J } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { \varphi } { \widetilde C } _ { [ \mu } \partial _ { \nu ] } { \tilde { D } } ^ { J } { \widetilde C } ^ { [ \mu } \partial ^ { \nu ] } { \tilde { D } } ^ { J } \right.
\frac { \partial \Lambda } { \partial \lambda _ { j } } = \Lambda _ { j } , \qquad \Lambda _ { j } \Lambda _ { k } = { \bf 0 } , \quad j \neq k , \qquad \Lambda _ { j } ^ { 2 } = \Lambda _ { j } , \qquad \Lambda _ { j } \Sigma _ { x } = \Sigma _ { x } \Lambda _ { j } ,
{ \begin{array} { l } { 1 \times 3 ^ { 0 \, \, \, } + } \\ { 1 \times 3 ^ { - 1 \, \, } + 2 \times 3 ^ { - 2 \, \, \, } + } \\ { 1 \times 3 ^ { - 3 \, \, } + 1 \times 3 ^ { - 4 \, \, \, } + 2 \times 3 ^ { - 5 \, \, \, } + } \\ { 1 \times 3 ^ { - 6 \, \, } + 1 \times 3 ^ { - 7 \, \, \, } + 1 \times 3 ^ { - 8 \, \, \, } + 2 \times 3 ^ { - 9 \, \, \, } + } \\ { 1 \times 3 ^ { - 1 0 } + 1 \times 3 ^ { - 1 1 } + 1 \times 3 ^ { - 1 2 } + 1 \times 3 ^ { - 1 3 } + 2 \times 3 ^ { - 1 4 } + \cdots } \end{array} }
\langle \epsilon _ { T } \rangle _ { V , t } = \frac { \kappa _ { f } \Delta ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \langle \boldsymbol { \nabla } \cdot ( \tilde { \lambda _ { c p } } T \boldsymbol { \nabla } T ) \rangle _ { V , t } = \frac { \kappa _ { f } \Delta ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \langle \displaystyle \oint _ { b o u n d a r y } ( \tilde { \lambda _ { c p } } T \boldsymbol { \nabla } T \cdot \boldsymbol { n } ) \rangle _ { t } ;
S _ { M } \; = \; { \frac { 1 } { e ^ { 2 } } } \int _ { \cal B } { \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \tilde { A } } _ { \mu } ( p ) { \tilde { M } _ { \mu \nu } } ( p ) { \tilde { A } } _ { \nu } ( - p )
\dim \mathcal { Q } _ { \boldsymbol { L } , \boldsymbol { P } } ^ { \mathcal { B } , \boldsymbol { M } , \boldsymbol { \rho } } \times _ { \mathcal { B } / W } \mathcal { B } \le \dim \mathcal { Q } _ { \boldsymbol { L } , \boldsymbol { P } } \times _ { \mathcal { B } / W } \mathcal { B } + 2 d + \dim Z ( \boldsymbol { m } ) \cap \mathcal { B } - \dim \mathcal { B } .
R ( n ) = \operatorname* { m a x } _ { \{ \Pi _ { i } \} } R ( { \{ \Pi _ { i } \} } ) \le \operatorname* { m a x } _ { \{ \Pi _ { i } \} } R ( { \mathrm { \textbf { s y m } } \{ \Pi _ { i } \} } ) = 2 \operatorname* { m a x } _ { \{ \alpha _ { i } \hat { n } _ { i } \} } \mathrm { i n r } ( \mathfrak { m } _ { \{ \Pi _ { i } \} } ^ { * } ) = \operatorname* { m a x } _ { \{ \alpha _ { i } \hat { n } _ { i } \} } \operatorname* { m i n } _ { \hat { x } } \sum _ { i } \alpha _ { i } | \langle \hat { n } _ { i } , \hat { x } \rangle |
\frac { d } { d t } \langle \mathbf { r } \rangle = \frac { 1 } { \hbar } \langle \nabla _ { \mathbf { k } } \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle + \frac { 2 } { \hbar } \langle [ \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { k } ) , \mathbf { r } ] \rangle + \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { r } \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { k } ) \rangle - \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { r } \rangle \langle \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { k } ) \rangle .
\begin{array} { r l } & { \varepsilon ( \partial _ { t } d _ { j } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 \gamma } ( 3 d _ { j } + \frac { 3 \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 } } b _ { j } ) ) + \frac { 3 \sqrt { 3 } } { \sqrt { 5 } } ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x ^ { j } } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { j } ) c } \\ & { \ \ \ + \sqrt { \frac { 2 } { 5 } } ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { k } } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { k } ) \langle \mathfrak h _ { j k } , \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } + \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 0 } } \partial _ { x _ { k } } \langle \mathfrak h _ { j k l l } , f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \ \ \ + \frac { 1 } { \sqrt { 1 0 } } \langle \mathfrak h _ { j l l } , \mathcal L _ { \gamma } f + \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } = \langle \mathfrak h _ { j l l } , - e ^ { \gamma \psi } \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } \mathfrak h + \Gamma _ { \gamma } ( f , f ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { u ( x , t ) = v ( x ) \exp ( - i \omega ( t ) t ) \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \omega ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \omega ^ { - } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t < 0 , } \\ { \omega ^ { + } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t \geq 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \int _ { t _ { \mathrm { t h e n } } } ^ { t _ { \mathrm { n o w } } } { \frac { d t } { a } } - \int _ { t _ { \mathrm { t h e n } } + \lambda _ { \mathrm { t h e n } } / c } ^ { t _ { \mathrm { n o w } } + \lambda _ { \mathrm { n o w } } / c } { \frac { d t } { a } } } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \psi ( \boldsymbol { r } ; z ) \, = \, - \frac { \mathrm { i } \, U } { 2 \pi } \, \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \, \mathrm { d } ^ { 2 } \rho \, \psi _ { 0 } ( \boldsymbol { \rho } ) \, \exp \left( \frac { \mathrm { i } U } 2 \, \left| \boldsymbol { r } \, - \, \boldsymbol { \rho } \right| ^ { 2 } \right) \, , } \end{array}
\{ \phi , \, \, \, \, H ^ { \prime } , \, \, \, \, \overline { { { H } } } ^ { \prime } \} \rightarrow e ^ { - \frac { 2 \pi i } { 3 } } \{ \phi , \, \, \, \, H ^ { \prime } , \, \, \, \, \overline { { { H } } } ^ { \prime } \}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { I f } ~ | F _ { s b } | > G + F _ { b } + F _ { d } + F _ { a } + F _ { h } , } & { \mathrm { t h e ~ p a r t i c l e ~ b o u n c e s ~ e v e n ~ w i t h o u t ~ j e t ; } } \\ { \mathrm { I f } ~ | F _ { s b } | \leq G + F _ { b } + F _ { d } + F _ { a } + F _ { h } , } & { \mathrm { t h e ~ p a r t i c l e ~ c o u l d ~ n o t ~ b o u n c e ~ w i t h o u t ~ j e t . } } \end{array} \right.
\left( \frac { k _ { z } } { k _ { h } } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \left[ - ( N / ( 2 \Omega ) ) ^ { 2 } + \sqrt { ( N / ( 2 \Omega ) ) ^ { 4 } + 8 ( N / ( 2 \Omega ) ) ^ { 2 } } \right] ,
{ \hat { \nabla } } _ { a } { \hat { \nabla } } _ { a } { \hat { A } } = - \sum _ { J = 0 } ^ { N } \sum _ { m = - J } ^ { J } A _ { J m } [ { \hat { S } } _ { a } , [ { \hat { S } } _ { a } , { \hat { Y } } _ { m } ^ { J } ] ] = - \sum _ { J = 0 } ^ { N } \sum _ { m = - J } ^ { J } J ( J + 1 ) A _ { J m } { \hat { Y } } _ { m } ^ { J } .