harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { F ^ { \prime } G F ^ { \intercal } - Z } & { = F G F ^ { \intercal } - Z - X G F ^ { \intercal } - ( X G F ^ { \intercal } ) ^ { \intercal } + X G X ^ { \intercal } } \\ & { = A - ( L + 2 ^ { - 1 } D ) - ( L ^ { \intercal } + 2 ^ { - 1 } D ) + X G X ^ { \intercal } } \\ & { = X G X ^ { \intercal } \equiv 0 \mod 2 ^ { 2 a } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { i \mu } = \, } & { { } \sum _ { a } \epsilon _ { a } | D _ { i a } ^ { ( \mu ) } | ^ { 2 } , } \\ { t _ { i j \mu } = \, } & { { } - \sum _ { a } \epsilon _ { a } ( D _ { i a } ^ { ( \mu ) } ) ^ { * } D _ { j a } ^ { ( \mu ) } } & { i \neq j , } \end{array}
\left\| w ( t , \cdot ) \nabla ( \eta u ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } \right) } \leq C ( 1 + \left\| w \right\| _ { \underline { { L } } ^ { \sigma _ { d } } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \| w ^ { - 1 } ( t , \cdot ) \| _ { \underline { { L } } ^ { \tau _ { d } } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ) \left\| w ( t , \cdot ) \nabla u \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } .
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol E } & { { } = } & { \frac { \rho } { \epsilon _ { 0 } } - c g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol B \cdot \boldsymbol \nabla a , } \\ { \boldsymbol \nabla \times \boldsymbol B - \frac { \dot { \boldsymbol E } } { c ^ { 2 } } } & { { } = } & { \mu _ { 0 } \boldsymbol J } \\ { \boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol B } & { { } = } & { 0 , } \\ { \boldsymbol \nabla \times \boldsymbol E + \dot { \boldsymbol B } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \ddot { a } - c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla ^ { 2 } a + \frac { m _ { a } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { \hbar ^ { 2 } } a } & { { } = } & { \hbar c ^ { 3 } \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } } g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol E \cdot \boldsymbol B , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { - 2 } & { - 2 } & { 1 } & { 1 } & { - 3 } & { - 3 } & { - 2 } & { 3 } & { - 2 } \\ { - 2 } & { - 2 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 2 } & { - 2 } & { - 2 } & { 2 } & { - 1 } \\ { - 3 } & { - 3 } & { - 2 } & { 2 } & { 1 } & { - 4 } & { - 4 } & { - 3 } & { 3 } & { - 3 } \\ { - 3 } & { - 3 } & { - 2 } & { 2 } & { 1 } & { - 3 } & { - 3 } & { - 3 } & { 3 } & { - 2 } \\ { - 4 } & { - 4 } & { - 3 } & { 3 } & { 2 } & { - 6 } & { - 5 } & { - 4 } & { 5 } & { - 4 } \\ { - 4 } & { - 4 } & { - 3 } & { 3 } & { 2 } & { - 5 } & { - 4 } & { - 4 } & { 4 } & { - 3 } \\ { - 5 } & { - 5 } & { - 4 } & { 4 } & { 3 } & { - 7 } & { - 6 } & { - 5 } & { 6 } & { - 4 } \\ { - 6 } & { - 6 } & { - 4 } & { 5 } & { 3 } & { - 8 } & { - 7 } & { - 6 } & { 6 } & { - 6 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { L } _ { h } ( \mu ^ { * } ) \| _ { \infty } } & { = s \| \nabla _ { h } \cdot ( ( 1 + \gamma ( A _ { h } \phi ^ { n } ) ^ { 2 } ) \nabla _ { h } \mu ^ { * } ) + \nabla _ { h } \cdot ( A _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } p _ { \mu ^ { * } } ) \| _ { \infty } } \\ & { = \| \phi ^ { * } - \phi ^ { n } + \beta \| _ { \infty } } \\ & { \leq M + 1 . } \end{array}
T _ { \mu } { } ^ { \nu } = - \delta _ { \mu } ^ { \nu } { \mathcal { L } } + \delta _ { \mu } ^ { \sigma } \partial _ { \sigma } \varphi { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \varphi _ { , \nu } } } = \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \varphi _ { , \nu } } } \right) \cdot \varphi _ { , \mu } - \delta _ { \mu } ^ { \nu } { \mathcal { L } }
s _ { { \scriptscriptstyle \pm } } \big ( \hat { \Delta } , \xi ; Z \big ) \equiv \bar { \gamma } \big ( \hat { \Delta } , \xi ; Z \big ) \pm \sqrt { \bar { \gamma } ^ { 2 } \big ( \hat { \Delta } , \xi ; Z \big ) - \mu ^ { 2 } ( \xi ) } ;
\begin{array} { r l } { \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { t _ { 0 } \rightarrow - \infty } e ^ { \frac { i } { \hbar } \epsilon _ { { \bf k } , q } ^ { E } t _ { 0 } } \hat { e } _ { { \bf k } q } ( t _ { 0 } ) , } \\ { \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { ~ O ~ } } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } e ^ { \frac { i } { \hbar } \epsilon _ { { \bf k } , q } ^ { E } t } \hat { e } _ { { \bf k } q } ( t ) , } \end{array}
\mathbf { M _ { 2 1 } } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { \mathcal { B } _ { ( i \to \alpha ) ; ( \beta \to j ) } ^ { N H } } & { = } & { \delta _ { j , i } ( 1 - \delta _ { \beta , \alpha } ) , } \\ { \mathcal { B } _ { ( \alpha \to i ) ; ( j \to \beta ) } ^ { H N } } & { = } & { p _ { H } ^ { [ m _ { \alpha } ] } p _ { N } ^ { m _ { \alpha } - 1 } \delta _ { \alpha , \beta } ( 1 - \delta _ { i , j } ) , } \end{array}
g _ { \bar { i } } = \frac { { k _ { \mathrm { r } } C _ { \mathrm { e q } } - \tilde { g } _ { i } \left[ { { \frac { k _ { \mathrm { r } } } { 2 \mathrm { w } _ { i } } } - \frac { 1 } { \gamma } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } \right] } } { { { \frac { k _ { \mathrm { r } } } { 2 \mathrm { w } _ { i } } } - \frac { 1 } { \gamma } \mathbf { e } _ { i } \cdot \mathbf { n } } } .
\begin{array} { r l r } { \tilde { U } | \chi _ { 1 } \rangle _ { \mathrm { t o p o } } ^ { * } = | \chi _ { 2 } \rangle _ { \mathrm { t o p o } } , } & { { } \ } & { \tilde { U } | \chi _ { 3 } \rangle _ { \mathrm { t o p o } } ^ { * } = - | \chi _ { 4 } \rangle _ { \mathrm { t o p o } } , } \\ { \tilde { U } | \chi _ { 2 } \rangle _ { \mathrm { t o p o } } ^ { * } = | \chi _ { 1 } \rangle _ { \mathrm { t o p o } } , } & { { } \ } & { \tilde { U } | \chi _ { 4 } \rangle _ { \mathrm { t o p o } } ^ { * } = - | \chi _ { 3 } \rangle _ { \mathrm { t o p o } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal A } _ { 1 } } & { = 8 \sqrt { 6 } B ^ { 2 } + 3 2 \sqrt { 6 } \exp ( M ) B ^ { 2 } \Lambda _ { 0 } ( \tau ) + \frac { 7 6 8 R _ { 0 } \exp ( 3 M ) B ^ { 2 } \Lambda _ { 0 } ( \tau ) } { \rho _ { 0 } } , } \\ { { \cal A } _ { 2 } } & { = \frac { 8 \exp ( 3 M ) B } { \rho _ { 0 } } R _ { 1 } + \frac { 5 1 2 \sqrt { 6 } R _ { 0 } \exp ( 2 M ) B ^ { 3 } } { \rho _ { 0 } } \{ 1 + \exp ( M ) \Lambda _ { 0 } ( \tau ) \} , } \\ { { \cal C } _ { 0 } } & { = \frac { 3 { \cal K } _ { 0 } e B } { 2 \varrho _ { \star } ^ { 2 } } + \frac { 6 \eta _ { 0 } e B } { ( 1 - { \cal A } _ { 0 } ) \varrho _ { \star } ^ { 2 } } , } \\ { { \cal A } _ { 3 , \diamond } } & { = 2 B { \cal M } _ { \diamond } + 8 \exp ( M ) B { \cal M } _ { \diamond } \Lambda _ { 0 } ( { \tau } ) + \frac { 6 4 R _ { 0 } \exp ( 3 M ) B { \cal M } _ { \diamond } \Lambda _ { 0 } ( \tau ) } { \rho _ { 0 } } , } \\ { { \cal A } _ { 3 , \sharp } } & { = 2 B { \cal M } _ { \sharp } + 8 \exp ( M ) B { \cal M } _ { \sharp } \Lambda _ { 0 } ( { \tau } ) + \frac { 6 4 R _ { 0 } \exp ( 3 M ) B { \cal M } _ { \sharp } \Lambda _ { 0 } ( \tau ) } { \rho _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { A } _ { \parallel } ^ { T } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } ^ { T } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } } & { = \lambda _ { \varepsilon \perp } \mathsf { A } _ { \parallel } ^ { T } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { z } ^ { n , i , j } } & { = E _ { z } ( t = n \Delta t , x = i \Delta s , y = j \Delta s ) , } \\ { H _ { x } ^ { n , i , j } } & { = H _ { x } ( ( n - 0 . 5 ) \Delta t , i \Delta s , ( j + 0 . 5 ) \Delta s ) , } \\ { H _ { y } ^ { n , i , j } } & { = H _ { y } ( ( n - 0 . 5 ) \Delta t , ( i + 0 . 5 ) \Delta s , j \Delta s ) , } \end{array}
| \widetilde \gamma _ { m + 1 } | \setminus \bigcup _ { l ( w ) = m } ( | \widetilde \alpha _ { w } | \setminus \partial \widetilde \alpha _ { w } ) = | \widetilde \gamma _ { m } | \setminus \bigcup _ { l ( w ) = m } ( | \alpha _ { w } | \setminus \partial \alpha _ { w } ) = \partial \gamma \cup \left( | \widetilde \gamma _ { m } | \cap \bigcup _ { i = 1 } ^ { m } E _ { i } \right) .
\gamma _ { M } ~ \stackrel { \mathrm { ( A ) } } { = } ~ \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } ^ { + } \} } } \mathfrak { L } ~ \stackrel { \mathrm { ( B ) } } { = } ~ \operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } ^ { + } \} } } \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \mathfrak { L } ~ \stackrel { \mathrm { ( C ) } } { = } ~ \gamma _ { M } ^ { \ast } ,
\begin{array} { r l } { \hat { v } _ { j } } & { = \hat { \mathbf { c } } _ { j } ^ { \top } \left( \left\langle \phi \left( \mathbf { x } _ { 1 } \right) , \phi ( \mathbf { x } ) \right\rangle , \ldots , \left\langle \phi \left( \mathbf { x } _ { t } \right) , \phi ( \mathbf { x } ) \right\rangle \right) ^ { \top } } \\ & { = \hat { \mathbf { c } } _ { j } ^ { \top } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { t } } a _ { 1 , j } \left\langle \phi \left( \widetilde { \mathbf { x } } _ { j } \right) , \phi ( \mathbf { x } ) \right\rangle , \ldots , \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { t } } a _ { t , j } \left\langle \phi \left( \widetilde { \mathbf { x } } _ { j } \right) , \phi ( \mathbf { x } ) \right\rangle \right) ^ { \top } } \\ & { = \hat { \mathbf { c } } _ { j } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t } \widetilde { \mathbf { k } } _ { t } ( \mathbf { x } ) } \\ & { = \hat { \boldsymbol { \alpha } } _ { j } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { k } } _ { t } ( \mathbf { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { \Phi } } { \partial x ^ { 2 } } \right) _ { j } = \frac { \left( \frac { \partial \mathbf { \Phi } } { \partial x } \right) _ { j + 1 / 2 } - \left( \frac { \partial \mathbf { \Phi } } { \partial x } \right) _ { j - 1 / 2 } } { \Delta x } } \end{array}
H _ { 0 } = \int d p f ( p ) A _ { f } ^ { \dagger } ( p ) A _ { f } ( p ) = \int _ { x } [ { \frac { 1 } { 2 } } \Pi _ { x } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { x } \phi _ { x } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \mu ^ { 2 } ( \phi _ { x } - \varphi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } I _ { 0 } ( \mu ) ] \; .
\langle \Phi \rangle = ( { \langle \Phi _ { 3 } \rangle } / \sqrt { 2 } ) d i a g ( 1 , - 1 , 0 , 0 ) + ( { \langle \Phi _ { 8 } \rangle } / \sqrt { 6 } ) d i a g ( 1 , 1 , - 2 , 0 ) + ( { \langle \Phi _ { 1 5 } \rangle } / \sqrt { 1 2 } ) d i a g ( 1 , 1 , 1 , - 3 ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( + 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , j , k } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \bar { F } _ { i j } { F } _ { i j k k } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { j } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { j } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { k } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \Big ] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \tilde { \bar { F } } _ { i j } \tilde { { F } } _ { i j k k } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial x _ { i } ^ { \prime } } \left( \frac { \partial W ^ { \prime } } { \partial \theta _ { x _ { i } ^ { \prime } } } \right) - \frac { \partial W ^ { \prime } } { \partial \theta } + \tilde { g } _ { i } ^ { \prime } \frac { \partial n _ { i } } { \partial \theta } } & { { } = 0 , } \\ { - \frac { \partial \pi ^ { \prime } } { \partial x _ { i } ^ { \prime } } + \tilde { g } _ { k } ^ { \prime } \frac { \partial n _ { k } } { \partial x _ { i } ^ { \prime } } + \frac { \partial \tilde { t } _ { i k } ^ { \prime } } { \partial x _ { k } ^ { \prime } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial v _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } ^ { \prime } } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s _ { \sigma p } } & { { } = } & { - k _ { B } n _ { \sigma } \ln \left( \frac { n _ { \sigma } \Delta ^ { 3 } r _ { \sigma } } { N _ { \sigma } } \right) , } \\ { s _ { \sigma v } } & { { } = } & { - k _ { B } \int f _ { \sigma } \ln \left( \frac { f _ { \sigma } \Delta ^ { 3 } v _ { \sigma } } { n _ { \sigma } } \right) d ^ { 3 } v . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c c } { { e ^ { \textstyle 1 / 2 ( q _ { 1 } h _ { 1 } ) } } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { e ^ { \textstyle 1 / 4 ( q _ { 1 } h _ { 1 } ) } x _ { 1 } ^ { + } } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { \textstyle 1 / 2 ( q _ { 1 } h _ { 1 } ) } } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { e ^ { \textstyle 1 / 4 ( q _ { 1 } h _ { 1 } ) } x _ { 1 } ^ { - } } } \\ { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { e ^ { \textstyle 1 / 2 ( q _ { r } h _ { r } ) } } } & { { 0 } } & { { e ^ { \textstyle 1 / 4 ( q _ { r } h _ { r } ) } x _ { r } ^ { + } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { e ^ { \textstyle 1 / 2 ( q _ { r } h _ { r } ) } } } & { { e ^ { \textstyle 1 / 4 ( q _ { r } h _ { r } ) } x _ { r } ^ { - } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\rho _ { \mathrm { c } } ( \Omega _ { 1 } , \dots , \Omega _ { N _ { \mathrm { i n t } } } ) \propto \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { i n t } } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \beta \omega _ { i } ^ { 2 } \Omega _ { i } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } \ltimes \mathcal { B } } & { = \mathcal { A } \ast \left( \mathcal { B } \otimes \mathcal { I } _ { k } \right) } \\ & { = \mathrm { f o l d } \left[ \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d ( \mathcal { A } ) } \right) \cdot \mathrm { u n f o l d } \left( \mathcal { B } \otimes \mathcal { I } _ { k } \right) \right] } \end{array}
\mathbf { K } _ { \mathrm { D } } ^ { - 1 } \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } + \nabla p _ { \mathrm { D } } = \mathbf { f } _ { \mathrm { D } } { \quad \mathrm { i n } \quad } \Omega _ { \mathrm { D } } , \quad \mathrm { d i v } ( \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } ) = g _ { \mathrm { D } } { \quad \mathrm { i n } \quad } \Omega _ { \mathrm { D } } , \quad \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } \cdot { \mathbf { n } } = 0 { \quad \mathrm { o n } \quad } \Gamma _ { \mathrm { D } } ,
\begin{array} { r l } { S _ { l - 1 } ( x ) } & { { } = S _ { l } ^ { \prime } ( x ) + \frac { l S _ { l } ( x ) } { x } } \\ { S _ { l + 1 } ( x ) } & { { } = - S _ { l } ^ { \prime } ( x ) + \frac { ( l + 1 ) S _ { l } ( x ) } { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { j } ( t _ { k } + \Delta t / 2 ) } & { : = } & { p _ { j } ( t _ { k } ) - \frac { \Delta t } { 2 } A _ { j } ^ { ( 1 ) } ( q _ { 1 } ( t _ { k } ) , \dots , q _ { M } ( t _ { k } ) ) } \\ { q _ { j } ( t _ { k + 1 } ) } & { : = } & { q _ { j } ( t _ { k } ) + \Delta t \frac { 1 } { m _ { j } } p _ { j } ( t _ { k } + \Delta t / 2 ) } \\ { p _ { j } ( t _ { k + 1 } ) } & { : = } & { p _ { j } ( t _ { k } + \Delta t / 2 ) - \frac { \Delta t } { 2 } A _ { j } ^ { ( 1 ) } ( q _ { 1 } ( t _ { k + 1 } ) , \dots , q _ { M } ( t _ { k + 1 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi ^ { ' } = \arg \operatorname* { m i n } _ { \pi _ { k } \in I I } D _ { K L } \left( \pi _ { k } \left( \cdot | s _ { t } \right) \| \frac { \exp \left( \frac { 1 } { \alpha } Q _ { s o f t } ^ { \pi } \left( s _ { t } , \cdot \right) \right) } { Z _ { s o f t } ^ { \pi } \left( s _ { t } \right) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \left| w \left( k \right) w \left( \varphi \left( k \right) \right) \cdots w \left( \varphi ^ { n - 1 } \left( k \right) \right) \right| = \infty , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \left| w ( \varphi ^ { - 1 } ( k ) ) w ( \varphi ^ { - 2 } ( k ) ) \cdots w ( \varphi ^ { - n } ( k ) ) \right| = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { m } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } } & { \varphi _ { m } ^ { \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime } d x = \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \varphi _ { m } ^ { \prime \prime \prime \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime } d x } \\ & { = [ \varphi _ { m } ^ { \prime \prime \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime } ] _ { 0 } ^ { L _ { x } } + \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \varphi _ { m } ^ { \prime \prime \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime \prime } d x } \\ & { = [ \varphi _ { m } ^ { \prime \prime \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime } - \varphi _ { m } ^ { \prime \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime \prime } ] _ { 0 } ^ { L _ { x } } + \int _ { 0 } ^ { L } \varphi _ { m } ^ { \prime \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime \prime \prime } d x } \\ & { = [ \varphi _ { m } ^ { \prime \prime \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime } - \varphi _ { m } ^ { \prime \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime \prime } + \varphi _ { m } ^ { \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime \prime \prime } ] _ { 0 } ^ { L _ { x } } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \varphi _ { m } ^ { \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } d x } \\ & { = [ \varphi _ { m } ^ { \prime \prime \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime } - \varphi _ { m } ^ { \prime \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime \prime } + \varphi _ { m } ^ { \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime \prime \prime } - \varphi _ { m } ^ { \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } ] _ { 0 } ^ { L _ { x } } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \varphi _ { m } ^ { \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime \prime \prime \prime \prime } d x } \\ & { = \lambda _ { n } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \varphi _ { m } ^ { \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime } d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { s e l e c t i o n } } ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) } & { = \left( \prod _ { i ; z _ { i } = 1 } \exp ( - \beta U _ { \mathrm { f b } } ( r _ { c , i } ) ) \right) \times \left( \prod _ { i ; z _ { i } = 0 } ( 1 - \exp ( - \beta U _ { \mathrm { f b } } ( r _ { c , i } ) ) ) \right) } \\ { U _ { \mathrm { s e l e c t i o n } } ( \mathbf { x } ; \mathbf { z } ) } & { = \left( \sum _ { i ; z _ { i } = 1 } U _ { \mathrm { f b } } ( r _ { c , i } ) \right) + \left( - \beta ^ { - 1 } \sum _ { i ; z _ { i } = 0 } \log \left( 1 - \exp \left( - \beta U _ { \mathrm { f b } } ( r _ { c , i } ) \right) \right) \right) } \end{array}
{ \hat { D } } ( \alpha ) { \hat { S } } ( z ) = { \hat { S } } ( z ) { \hat { S } } ^ { \dagger } ( z ) { \hat { D } } ( \alpha ) { \hat { S } } ( z ) = { \hat { S } } ( z ) { \hat { D } } ( \gamma ) , \qquad { \mathrm { w h e r e } } \qquad \gamma = \alpha \cosh r + \alpha ^ { * } e ^ { i \theta } \sinh r
\begin{array} { r l } { L _ { K ( 1 ) } \prod _ { v \in S } ( K / p ) ( \mathcal { O } _ { v } ) } & { \cong L _ { \operatorname * { K U } } \prod _ { v \in S } ( K / p ) ( \mathcal { O } _ { v } ) } \\ & { \cong \left( \prod _ { v \in S } K ( \mathcal { O } _ { v } ) \right) \otimes _ { \mathsf { S p } } \mathbb { S } / p \otimes _ { \mathsf { S p } } \mathbb { S } _ { \operatorname * { K U } } } \\ & { \cong \left( \prod _ { v \in S } ( K / p ) ( \mathcal { O } _ { v } ) \right) [ \beta ^ { - 1 } ] } \end{array}
F ^ { ( p ) \, p e r t } \, ( \lambda \, = \, 0 ) \, = \, [ ( - ) ^ { p } \, + \, 1 ] \, \left( 1 \, - \, \frac { 1 } { 2 ^ { p \, - \, 1 } } \right) \, \zeta \, ( p ) \, \left( \frac { \eta } { 2 } \right) ^ { p } \, p !
\begin{array} { r l } { a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } ^ { \dagger } } & { = a _ { p _ { \pi } } ^ { \dagger } a _ { q _ { \theta } } ^ { \dagger } = b _ { p _ { \pi } } ^ { \dagger } b _ { q _ { \theta } } ^ { \dagger } = \sum _ { T \tau } C _ { \frac { 1 } { 2 } \pi , \frac { 1 } { 2 } \theta } ^ { T \tau } \, [ b _ { p } ^ { \dagger } \otimes b _ { q } ^ { \dagger } ] _ { T \tau } , } \\ { a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } ^ { \dagger } a _ { R } ^ { \dagger } } & { = \sum _ { J \mu T \tau } C _ { \frac { 1 } { 2 } \pi , T \tau } ^ { J \mu } C _ { \frac { 1 } { 2 } \theta , \frac { 1 } { 2 } \rho } ^ { T \tau } \, [ b _ { p } ^ { \dagger } \otimes [ b _ { q } ^ { \dagger } \otimes b _ { r } ^ { \dagger } ] _ { T } ] _ { J \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega \left( \theta \right) = \frac { \omega _ { \mathrm { C } } } { 1 + \exp \left[ - \kappa \left( g \left( \theta - \theta _ { \mathrm { C } } \right) + \theta _ { \mathrm { T } } \right) \right] } . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \left[ B _ { a } , B _ { b } \right] } } & { { = } } & { { C _ { a b } ^ { c } B _ { c } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \left[ B _ { a } , Q _ { \beta } \right] } } & { { = } } & { { C _ { a \beta } ^ { \gamma } Q _ { \gamma } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \left\{ Q _ { \alpha } , Q _ { \beta } \right\} } } & { { = } } & { { C _ { \alpha \beta } ^ { c } B _ { c } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 2 3 } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { \frac { 2 \langle 1 | | r ( 1 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } \langle 1 | | r ( 2 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } \langle 1 | | r ( 3 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { 2 7 R _ { 1 2 } ^ { 3 } R _ { 1 3 } ^ { 3 } R _ { 2 3 } ^ { 3 } } \times } \\ & { } & { f ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } , m ) \times } \\ & { } & { \frac { \Delta ( 1 ) + \Delta ( 2 ) + \Delta ( 3 ) } { ( \Delta ( 1 ) + \Delta ( 2 ) ) ( \Delta ( 2 ) + \Delta ( 3 ) ) ( \Delta ( 1 ) + \Delta ( 3 ) ) } } \end{array}