harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \cos ( ( \omega + \alpha ) t ) + \cos \left( ( \omega - \alpha ) t \right) } & { = \operatorname { R e } \left( e ^ { i ( \omega + \alpha ) t } + e ^ { i ( \omega - \alpha ) t } \right) } \\ & { = \operatorname { R e } \left( \left( e ^ { i \alpha t } + e ^ { - i \alpha t } \right) \cdot e ^ { i \omega t } \right) } \\ & { = \operatorname { R e } \left( 2 \cos ( \alpha t ) \cdot e ^ { i \omega t } \right) } \\ & { = 2 \cos ( \alpha t ) \cdot \operatorname { R e } \left( e ^ { i \omega t } \right) } \\ & { = 2 \cos ( \alpha t ) \cdot \cos \left( \omega t \right) . } \end{array} }
{ \cal H } _ { + } = [ ( \eta _ { R } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 e A _ { + } \eta _ { R } ^ { \prime } + { \frac { e ^ { 2 } } { 2 } } ( A _ { + } ^ { 2 } - A _ { + } A _ { - } ) ] + ( \eta _ { L } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { e _ { n m } } & { = 0 \quad \forall | m | \neq 1 , } \\ { f _ { n m } } & { = 0 \quad \forall | m | \neq 1 , } \\ { e _ { n , \pm 1 } } & { = \mathrm { i } \sqrt { \frac { 3 } { 8 } ( 2 n + 1 ) } \frac { \psi _ { n } ( x _ { p } ) } { x _ { p } } , } \\ { f _ { n , \pm 1 } } & { = \mp \sqrt { \frac { 3 } { 8 } ( 2 n + 1 ) } \frac { \psi _ { n } ^ { \prime } ( x _ { p } ) } { x _ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { \bigl ( \frac { 2 \eta } { \eta _ { t } } + \frac { z ^ { 2 } } { 3 } \bigl ) \partial _ { z } ^ { 2 } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + \bigl ( \frac { 8 \eta } { z \eta _ { t } } + 2 z \bigl ) \partial _ { z } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + \bigl ( \frac { 8 } { 3 } - \gamma \bigl ) \tilde { M } _ { \mathrm { L } } } \end{array}
\mathfrak { N } = - n ^ { \prime } q ( q ^ { \prime } - R _ { D } ) + n q ^ { \prime } ( q - R _ { D } ) = q q ^ { \prime } R _ { D } \left( { \frac { n ^ { \prime } } { q ^ { \prime } } } - { \frac { n } { q } } - { \frac { n ^ { \prime } - n } { R _ { D } } } \right) \, .
\begin{array} { c } { { p ^ { A } = p _ { 0 } ^ { A } } } \\ { { x ^ { A } \left( \tau \right) = x _ { 0 } ^ { A } + 2 \left( E _ { 1 } + E _ { 3 } \delta _ { 2 } ^ { 2 } \right) p _ { 0 } ^ { A } - m ^ { - 2 } V ^ { A } \left( \tau \right) } } \\ { { V ^ { A } \left( \tau \right) = V _ { 1 } ^ { A } \cos \left( 2 m ^ { 2 } E _ { 3 } \delta _ { 2 } \right) + V _ { 2 } ^ { A } \sin \left( 2 m ^ { 2 } E _ { 3 } \delta _ { 2 } \right) } } \end{array}
\, N = V \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { p ( k ) } { 1 - p ( k ) } } = V \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { e ^ { \frac { k ^ { 2 } } { 2 m T } } - 1 } }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } P _ { \mathrm { e x t } } ( \omega ) \, \mathrm { d } \lambda = \pi ^ { 2 } \mathbf { E } _ { 0 } \cdot \boldsymbol { \alpha } \mathbf { E } _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { : = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } L ( { \bf x } , ~ \dot { \bf x } , ~ t ) ~ d t \quad \textrm { w h e r e } \quad L = T - V } \\ { \quad \hat { \bf x } } & { ~ ~ \textrm { h a s t h e p r o p e r t y } \quad \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial L } { \partial \dot { \hat { x } } ( t ) } \right) = \frac { \partial L } { \partial \hat { x } ( t ) } \quad \textrm { f o r } \quad t \in [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } ( p ) } & { : = \frac { d f ( p ) ( w ) } { \| d f ( p ) ( w ) \| } } \\ { \mathbf { n } ( p ) } & { : = \frac { d f ( p ) ( v ) \wedge d f ( p ) ( w ) } { \| d f ( p ) ( v ) \wedge d f ( p ) ( w ) \| } \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathbf { t } ( p ) } & { : = \mathbf { w } ( p ) \wedge \mathbf { n } ( p ) . } \end{array}
\phi ( k ) = \int \frac { d ^ { d } x } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \phi ( x ) e ^ { - i k x } , \quad A _ { \mu } ( k ) = \int \frac { d ^ { d } x } { ( 2 \pi ) ^ { d } } A _ { \mu } ( x ) e ^ { - i k x } ,
Y ( T , U ) = \int _ { \cal F } \frac { d ^ { 2 } \tau } { \Im \tau } \Gamma _ { 2 , 2 } ( T , U ) \left( - 6 \left[ { \overline { { { \Omega } } } } _ { 2 } ^ { \phantom { 2 } } - \frac { 1 } { 8 \pi \Im \tau } \right] \frac { \overline { { { \Omega } } } } { \overline { { { \eta } } } ^ { 2 4 } } - \frac { \overline { { { j } } } } { 8 } + 1 2 6 \right) \ ,
\partial _ { x } ^ { 2 \jmath _ { 1 } + 1 } \sum _ { n , m } z ^ { h - h _ { 0 } - h _ { 1 } + n } x ^ { \jmath _ { 0 } + \jmath _ { 1 } - \jmath + m } | n , m \rangle _ { \jmath } = 0
{ \cal M } _ { f i } ^ { e } = - \frac { e ^ { 2 } } { 2 t s _ { W } ^ { 2 } } \bar { v } ( { \bf k } ^ { \prime } ) \epsilon ^ { \prime } \! \! \! / ( k \! \! \! / - p \! \! \! / ) \epsilon \! \! \! / u ( { \bf k } ) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \phi _ { 1 } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { n } , t ) = 0 } \\ { \qquad \qquad \dots \dots \dots } \\ { \qquad \qquad \dots \dots \dots } \\ { \phi _ { k } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { n } , t ) = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { E x p C u t o f f } } ( \omega , n ) } & { = \frac { 2 \pi } { \Delta s ^ { 2 } } \hbar \xi \frac { \omega ^ { n } } { \omega _ { c } ^ { n - 1 } } \exp \left( - \frac { \omega } { \omega _ { c } } \right) , } \\ { \mathrm { a n d ~ } J _ { \mathrm { D r u d e L o r e n t z } } ( \omega ) } & { = \frac { 2 \lambda } { \Delta s ^ { 2 } } \frac { \gamma \omega } { \omega ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { 1 } { T } = 1 + { \frac { r _ { 0 } ^ { r } } { t _ { 0 } } } { \frac { { r _ { 0 } ^ { l } } ^ { * } } { { t _ { 0 } } ^ { * } } \frac { \sin ^ { 2 } ( \beta ( 2 N + 1 ) \Lambda ) } { \sin ^ { 2 } ( \beta \Lambda ) } } = 1 + \bigg ( \frac { 1 } { T _ { 0 } } - 1 \bigg ) \frac { \sin ^ { 2 } ( \beta ( 2 N + 1 ) \Lambda ) } { { \sin ^ { 2 } ( \beta \Lambda ) } } .
\begin{array} { r l } { \mu } & { > \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { C M _ { 1 } M _ { 2 } } { \nu \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } , \, \, \frac { C M _ { 0 } ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu ^ { 3 } } , \, \, \frac { C M _ { 1 } M _ { 2 } } { \nu \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } + \frac { C M _ { 1 } ^ { 4 } } { \nu ^ { 3 } \lambda _ { 1 } } , 4 K _ { 2 } \right\} , } \\ { h } & { < \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \nu } { c _ { 0 } \mu } } , } \\ { \kappa } & { < \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { e ^ { - K _ { 2 } } } { 4 C \mu ^ { 2 } K _ { 1 } } , \frac { C \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \nu ^ { 1 / 2 } } { \mu ^ { 3 / 2 } } , \frac { \frac { 3 K _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \mu ^ { 2 } K _ { 1 } - \sqrt { D } } { K _ { 2 } ^ { 3 } } \right\} , } \\ & { \mathrm { w h e r e } \, \, D = \Big ( \frac { 3 K _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \mu ^ { 2 } K _ { 1 } \Big ) ^ { 2 } - 2 K _ { 2 } ^ { 4 } > 0 , } \\ { \mathrm { a n d } \quad \mu \tau } & { \geq 4 K _ { 2 } \kappa , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } f ( Y ( s ) ) d s } & { = \int _ { 0 } ^ { t } f \left( \sqrt { S ^ { - 1 } \left( \widetilde W ( \tau _ { u } ) \right) } \right) d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \varphi _ { t } } f \left( \sqrt { S ^ { - 1 } \left( \widetilde W ( z ) \right) } \right) \rho \left( S ^ { - 1 } \left( \widetilde W ( z ) \right) \right) d z } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } f \left( \sqrt { S ^ { - 1 } \left( x \right) } \right) \rho \left( S ^ { - 1 } \left( x \right) \right) L ^ { \widetilde W } \left( \varphi _ { t } , x \right) d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } f \left( y \right) \rho \left( y ^ { 2 } \right) L ^ { \widetilde W } \left( \varphi _ { t } , S ( y ^ { 2 } ) \right) 2 y S ^ { \prime } ( y ^ { 2 } ) d y } \\ & { = : \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( y ) L ^ { Y } ( t , y ) d y . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { P ^ { * } = } & { \operatorname* { i n f } _ { u ( t ) } \int _ { t = 0 } ^ { T } { J ( t , x ( t ) , x ( t - \tau ) , u ( t ) ) d t } + J _ { T } ( x ( T ) ) } \\ & { \dot { x } = f ( t , x ( t ) , x ( t - \tau ) , u ( t ) ) } & & { \forall t \in [ 0 , T ] } \\ & { u ( t ) \in U } & & { \forall t \in [ 0 , T ] } \\ & { x ( t ) = x _ { h } ( t ) } & & { \forall t \in [ - \tau , 0 ] } \\ & { x ( T ) \in X _ { T } . } \end{array}
[ - \xi _ { n + 1 } ( t ) ] = [ \xi _ { 1 } ( t ) - \xi _ { n + 1 } ( t ) \dots \xi _ { k } ( t ) - \xi _ { n + 1 } ( t ) \dots \xi _ { n } ( t ) - \xi _ { n + 1 } ( t ) ] ^ { T } { \left[ \begin{array} { l } { \alpha _ { 1 } ( t ) } \\ { \vdots } \\ { \alpha _ { k } ( t ) } \\ { \vdots } \\ { \alpha _ { n } ( t ) } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } & { \hat { w } _ { 1 } ( y , k ) = \frac { m _ { 1 } ^ { P } ( y ) } { f _ { \omega } ( k ) } , \qquad \hat { w } _ { 2 } ( x , t , k ) = \frac { Y m ^ { P } ( y , 0 ) m _ { 1 } ^ { W } ( \tilde { y } ) m ^ { P } ( y , 0 ) ^ { - 1 } Y ^ { - 1 } } { \frac { 2 ^ { 1 / 3 } } { 3 ^ { 1 / 1 2 } } f _ { \omega } ( k ) } , } \\ & { \hat { w } _ { 3 } ( y , \tilde { y } , k ) = \frac { \hat { m } _ { 1 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) } { f _ { \omega } ( k ) } , \qquad \hat { w } _ { 4 } ( y , \tilde { y } , k ) = \frac { m _ { 2 } ^ { P } ( y ) } { f _ { \omega } ( k ) ^ { 2 } } + \frac { \hat { m } _ { 1 } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) } { f _ { \omega } ( k ) } . } \\ & { \hat { w } _ { 5 } ( x , t , k ) = \frac { Y \hat { m } _ { 2 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) Y ^ { - 1 } } { f _ { \omega } ( k ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \langle r | u \rangle } & { = \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \langle u | + { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \langle d | \right) \cdot | u \rangle } \\ & { = \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } + { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \right) \cdot { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \end{array} }
H = t _ { 0 } [ \sum _ { i , j , k } ( \sqrt { i } b _ { i - 1 j k } ^ { \dagger } + \sqrt { j } b _ { i j - 1 k } ^ { \dagger } + \sqrt { k } b _ { i j k - 1 } ^ { \dagger } ) a _ { i j k } + H . c . ] .
\begin{array} { r l } { \beta } & { = \rho ( B ^ { 2 } d z \wedge d \theta _ { 1 } - B ^ { 1 } d z \wedge d \theta _ { 2 } ) } \\ { \vartheta } & { = \rho ( u ^ { 2 } d z \wedge d \theta _ { 1 } - u ^ { 1 } d z \wedge d \theta _ { 2 } ) } \\ { \iota _ { u } \iota _ { B } \mu } & { = \rho ( B ^ { 1 } u ^ { 2 } - B ^ { 2 } u ^ { 1 } ) d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } \rho } & { { } = - \rho ( \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } ) , } \\ { D _ { t } u _ { \alpha } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \alpha } p - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \beta } { \sigma } _ { \alpha \beta } , } \\ { D _ { t } T } & { { } = - \frac { 2 } { 3 } T ( \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } ) - \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { T } { p } \right) \sigma _ { \alpha \beta } ( \partial _ { \beta } u _ { \alpha } ) - \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { T } { p } \right) ( \partial _ { \alpha } q _ { \alpha } ) . } \end{array}
\prod _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } \left( 1 - { \frac { 1 } { p ^ { s } } } \right) = \left( \prod _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } { \frac { 1 } { 1 - p ^ { - s } } } \right) ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { \zeta ( s ) } } .
\begin{array} { r l } & { \frac 1 N \sum _ { n = 1 } \overline { \mathfrak { T } } _ { t , ( \xi _ { \overline { { \psi } } _ { t + 1 } ^ { N } } , \dots , \xi _ { \overline { { \psi } } _ { T - 1 } ^ { N } } ) } ^ { \tilde { \mathfrak { p } } ^ { n } } \circ \overline { S } _ { t , \xi _ { \overline { { \psi } } _ { t } ^ { N } } } ^ { \tilde { \pi } ^ { n } } \circ \overline { \mathcal { S } } _ { t + 1 , T , ( \xi _ { \overline { { \psi } } _ { t + 1 } ^ { N } } , \dots , \xi _ { \overline { { \psi } } _ { T - 1 } ^ { N } } ) } ^ { * } V _ { \overline { \mathfrak { M } } ^ { N } } } \\ & { \quad \ge \overline { \mathfrak { T } } _ { t , ( \xi _ { \overline { { \psi } } _ { 1 } ^ { N } } , \dots , \xi _ { \overline { { \psi } } _ { t - 1 } ^ { N } } ) } ^ { \overline { \mathfrak { p } } _ { \overline { \mathfrak { M } } ^ { N } } } \circ \overline { S } _ { t , \xi _ { \overline { { \psi } } _ { t } ^ { N } } } ^ { \overline { \pi } _ { \overline { { \psi } } _ { t } ^ { N } } } \circ \overline { { \mathcal { S } } } _ { t + 1 , T , ( \xi _ { \overline { { \psi } } _ { t + 1 } ^ { N } } , \dots , \xi _ { \overline { { \psi } } _ { T - 1 } ^ { N } } ) } ^ { * } V _ { \overline { \mathfrak { M } } ^ { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \mathbb { Z } 1 1 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } + \mathbb { Z } 1 2 _ { i j } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + \mathbb { Z } 1 3 _ { i j } \delta _ { r } + \mathbb { Z } 1 4 _ { i j } \delta _ { \theta } + \mathbb { Z } 1 5 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } } \\ { + \mathbb { Z } 1 6 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + \mathbb { Z } 1 7 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } + \mathbb { Z } 1 8 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } ^ { 2 } ] \Phi _ { i j } ^ { n + 1 } } \\ { = [ \mathbb { Z } 2 1 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } + \mathbb { Z } 2 2 _ { i j } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + \mathbb { Z } 2 3 _ { i j } \delta _ { r } + \mathbb { Z } 2 4 _ { i j } \delta _ { \theta } + \mathbb { Z } 2 5 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } } \\ { + \mathbb { Z } 2 6 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + \mathbb { Z } 2 7 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } + \mathbb { Z } 2 8 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } ^ { 2 } ] \Phi _ { i j } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { g } ( t ) } & { = \frac { S _ { g } ( t ) } { N } \sum _ { g ^ { \prime } = 1 } ^ { 2 } \mathbf { R } _ { \mathrm { e f f } , g , g ^ { \prime } } ( t ) \sum _ { \tau = 0 } ^ { 1 0 } I _ { g ^ { \prime } } ( t - 1 - \tau ) \, G ( \tau ) , } \\ { S _ { g } ( t ) } & { = S _ { g } ( t - 1 ) - E _ { g } ( t - 1 ) , } \\ { G ( \tau ) } & { = \mathrm { G a m m a } ( \tau ; \mu = 4 , \sigma = 1 . 5 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { | g ( x _ { \lambda } ) - L | \leq | g ( x _ { \lambda } ) - f _ { n _ { N } } ( x _ { \lambda } ) | + | f _ { n _ { N } } ( x _ { \lambda } ) - \operatorname* { l i m } _ { \lambda } f _ { n _ { N } } ( x _ { \lambda } ) | + | \operatorname* { l i m } _ { \lambda } f _ { n _ { N } } ( x _ { \lambda } ) - L | < \varepsilon } \end{array}
U ( S , T ) = A _ { 0 } e ^ { - T } \mathrm { s e c h } ^ { 2 } ( S e ^ { - T / 2 } ) + \frac { 1 } { 4 } A _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { - 2 T } \mathrm { s e c h } ^ { 4 } ( S e ^ { - T / 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { w } _ { \pm } \left( t , x \right) } & { { } \propto a ^ { - 1 } \left( t \right) \exp \left( i \phi _ { \mathrm { ~ w ~ a ~ v ~ e ~ } } \left( t \right) \mp i k x \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \alpha _ { c } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 1 } } } & { { } = \frac { b \alpha _ { c } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) + d ( t ) + s x _ { 2 } \big ( l r ( t ) - \alpha _ { c } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ) } { b x _ { 1 } + d ( t ) + s x _ { 2 } \big ( l r ( t ) - x _ { 1 } \big ) } , } \\ { \frac { \partial \alpha _ { c } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 2 } } } & { { } = 0 . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \tau } p ( y , \tau ) = \left( \frac { \partial } { \partial y } \left( \frac { d } { d y } V ( y ) \right) + \frac { q } { \alpha } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) p ( y , \tau ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } } & { h \left( x , y , \frac { | t u ( x ) - t u ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) \frac { ( t u ( x ) - t u ( y ) ) ^ { 2 } } { t ^ { h _ { 2 } } | x - y | ^ { N + 2 s } } d x \ d y + \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { V ( x ) h _ { x } ( x , | t u ( x ) | ) ( t u ( x ) ) ^ { 2 } d x } { t ^ { h _ { 2 } } } } \\ & { = \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { K ( x ) K ( y ) F ( t u ( x ) ) f ( t u ( y ) ) t u ( y ) } { t ^ { h _ { 2 } } | x - y | ^ { \lambda } } d x d y . } \end{array}
\omega ( H ) \equiv \frac { d H _ { 0 } } { d I } \approx \frac { \pi } { \sqrt { 2 } } \frac { \sqrt { H _ { s } + H } } { \ln { \frac { 1 6 ( H _ { s } + H ) } { H - H _ { s } } } } , \quad | H - H _ { s } | \ll H _ { s } .
\begin{array} { r l } { \overline { { I } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { p } \int _ { - y } ^ { 0 } U ( s + v ) \frac { 1 } { p } f _ { Y } ( y ) d s d v d y } \\ & { \overset { ( a ) } { = } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { - y } ^ { 0 } \int _ { 0 } ^ { p } U ( s + v ) \frac { 1 } { p } f _ { Y } ( y ) d v d s d y } \\ & { \overset { ( b ) } { = } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { - y } ^ { 0 } \int _ { 0 } ^ { p } U ( v ) \frac { 1 } { p } f _ { Y } ( y ) d v d s d y } \\ & { = \mathbb { E } [ Y ] \frac { 1 } { p } \int _ { 0 } ^ { p } U ( v ) d v = \mathbb { E } [ Y ] \overline { { U } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { e q \delta \rho } { \epsilon _ { 0 } } } & { = } & { - \big ( \vec { B } + \delta \vec { B } \big ) \cdot \big ( \nabla \times \delta \vec { v } \big ) + \big ( \langle \vec { v } \rangle + \delta \vec { v } \big ) \cdot \nabla \times \delta \vec { B } } \\ & { \longrightarrow } & { \ - B [ \vec { z } \cdot ( \nabla \times \delta \vec { v } ) ] = - B ( \nabla \times \delta \vec { v } ) _ { \| } } \end{array}
\begin{array} { r l } { s [ { \phi } , t , t + T ] = ~ } & { \frac { 1 } { \epsilon } \int _ { V } \mathrm { d } \boldsymbol { r } \int _ { t } ^ { t + T } \mathrm { d } t \, \sum _ { i } \big [ { \boldsymbol { J } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( \boldsymbol { r } , t ) + \sqrt { 2 \epsilon } { \boldsymbol { \Lambda } } _ { i } ( \boldsymbol { r } , t ) \big ] \cdot { \boldsymbol { J } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( \boldsymbol { r } , t ) } \\ & { + \int _ { V } \mathrm { d } \boldsymbol { r } \int _ { V } \mathrm { d } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \int _ { t } ^ { t + T } \mathrm { d } t \, \sum _ { i j } \big [ \nabla _ { \boldsymbol { r } } \cdot { \boldsymbol { \Lambda } } _ { i } ( { \boldsymbol { r } } , t ) , \nabla _ { { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } } \cdot { \boldsymbol { \Lambda } } _ { j } ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } , t ) \big ] \frac { \delta } { \delta \phi _ { i } ( { \boldsymbol { r } } ) } \mu _ { j } ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } , t ) \, , } \end{array}
\epsilon _ { 1 } = \frac { \Gamma _ { 1 } - \overline { { { \Gamma _ { 1 } } } } } { \Gamma _ { 1 } + \overline { { { \Gamma _ { 1 } } } } } \simeq - \frac { 3 } { 1 6 \pi v ^ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { I m } [ \{ ( { \bar { m } _ { D } } ^ { \dagger } \bar { m } _ { D } ) _ { 1 2 } \} ^ { 2 } ] } { ( { \bar { m } _ { D } } ^ { \dagger } \bar { m } _ { D } ) _ { 1 1 } } \frac { M _ { 1 } } { M _ { 2 } } + \frac { \mathrm { I m } [ \{ ( { \bar { m } _ { D } } ^ { \dagger } \bar { m } _ { D } ) _ { 1 3 } \} ^ { 2 } ] } { ( { \bar { m } _ { D } } ^ { \dagger } \bar { m } _ { D } ) _ { 1 1 } } \frac { M _ { 1 } } { M _ { 3 } } \right) \ ,
\left( { \frac { a } { p } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { a \equiv 0 { \bmod { p } } } \\ { 1 } & { a \not \equiv 0 { \bmod { p } } { \mathrm { ~ a n d ~ } } \exists x : a \equiv x ^ { 2 } { \bmod { p } } } \\ { - 1 } & { a \not \equiv 0 { \bmod { p } } { \mathrm { ~ a n d ~ t h e r e ~ i s ~ n o ~ s u c h ~ } } x . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle ( \delta x _ { i } ) ^ { n } \rangle _ { c } = \sum _ { i < j \leq N } \partial _ { \lambda _ { i } } ^ { n } f _ { j - i } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { i } ) | _ { \lambda _ { i } = \lambda _ { j } = 0 } + \sum _ { 1 \leq j < i } \partial _ { \lambda _ { i } } ^ { n } f _ { i - j } ( \lambda _ { i } - \lambda _ { j } ) | _ { \lambda _ { i } = \lambda _ { j } = 0 } + 2 t \delta _ { n , 2 } } \\ & { } & { = \sum _ { i < j \leq N } ( - 1 ) ^ { n } f _ { j - i } ^ { ( n ) } ( 0 ) + \sum _ { 1 \leq j < i } f _ { i - j } ^ { ( n ) } ( 0 ) + 2 t \delta _ { n , 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \widehat { X } ^ { * } \frac { d } { d \theta } \frac { \partial \mathrm { g } } { \partial \boldsymbol { p } } \frac { d \widehat { X } } { d \theta } } & { { } + \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } \widehat { X } ^ { * } \frac { d } { d \theta } \mathrm { g } \frac { d } { d \theta } \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \boldsymbol { p } } + \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \frac { \partial \mathrm { c } } { \partial \boldsymbol { p } } \lvert \widehat { X } \rvert ^ { 2 } + \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \mathrm { c } \widehat { X } ^ { * } \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \boldsymbol { p } } } \\ { = } & { { } \ \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \boldsymbol { p } } \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \mathrm { f } \lvert \widehat { X } \rvert ^ { 2 } + \widehat { \lambda } \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \frac { \partial \mathrm { f } } { \partial \boldsymbol { p } } \lvert \widehat { X } \rvert ^ { 2 } + \widehat { \lambda } \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \mathrm { f } \widehat { X } ^ { * } \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \boldsymbol { p } } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { \left( \tau + 1 \right) \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { - \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ { - \boldsymbol { G } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right) ^ { - 1 } = { \left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { L } _ { \tau } ^ { \ast } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { \boldsymbol { Q } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ { \boldsymbol { Q } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) ^ { T } } & { \boldsymbol { R } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } \end{array} \right) } ,
\begin{array} { r } { \left. \frac { \partial \mathcal { S } } { \partial \beta } \right| _ { \beta = \beta _ { c } ^ { - } } - \left. \frac { \partial \mathcal { S } } { \partial \beta } \right| _ { \beta = \beta _ { c } ^ { + } } = \frac { 1 } { \delta } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \left. \frac { \partial \mathcal { L } _ { q } [ P ] } { \partial p ( G _ { i } ) } \right| _ { p _ { q } ( G _ { i } ) } } \\ & { = } & { \frac { q } { 1 - q } \frac { p _ { q } ^ { q - 1 } ( G _ { i } ) } { \sum _ { j } p _ { q } ^ { q } ( G _ { j } ) } - \alpha - q \, p _ { q } ^ { q - 1 } ( G _ { i } ) \frac { \theta \cdot ( C ( G _ { i } ) - \langle C \rangle _ { q } ) } { \sum _ { j } p _ { q } ^ { q } ( G _ { j } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T } & { { } = \frac { 1 } { 2 } I _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } I _ { 2 } \dot { \alpha } _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { V } & { { } = - ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) g l _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } - m _ { 2 } g l _ { 2 } \cos \theta _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { Y \quad } & { \mathrm { s p e c i a l i z e s ~ v i a ~ } \ \beta \to \infty } & & { \mathrm { t o ~ } \left\{ c _ { 2 } = 0 \right\} \subset \mathbb { P } ^ { 6 } , } \\ { Z \quad } & { \mathrm { s p e c i a l i z e s ~ v i a ~ } \ \alpha \to \infty } & & { \mathrm { t o ~ } \left\{ c _ { 1 } = q _ { 1 } = 0 \right\} \subset \mathbb { P } ^ { 7 } , } \\ { W \quad } & { \mathrm { s p e c i a l i z e s ~ v i a ~ } \ \beta \to \infty } & & { \mathrm { t o ~ } \left\{ c _ { 2 } = f _ { 2 } = 0 \right\} \subset \mathbb { P } ^ { 6 } , } \\ { X _ { \overline { { K } } } \quad } & { \mathrm { s p e c i a l i z e s ~ v i a ~ } \ t \to \infty \mathrm { ~ a n d ~ } \alpha \to \infty } & & { \mathrm { t o ~ } \left\{ c _ { 1 } = f _ { 1 } = 0 \right\} \subset \mathbb { P } ^ { 7 } . } \end{array}