harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { S } & { = } & { S _ { 0 } + \sum _ { \overline { { x } } , k } a \left\langle \left\langle \Delta \rho _ { k } \right\rangle + \delta \rho _ { k } \right\rangle a _ { 0 } ^ { D } - \sum _ { \overline { { x } } , k } a ^ { \prime } \left\langle \left( \left\langle \Delta \rho _ { k } \right\rangle + \delta \rho _ { k } \right) ^ { 2 } \right\rangle \left( a _ { 0 } ^ { D } \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { S _ { 0 } + \sum _ { \overline { { x } } , k } a \left\langle \Delta \rho _ { k } \right\rangle a _ { 0 } ^ { D } - \sum _ { \overline { { x } } , k } a ^ { \prime } \left[ \left\langle \Delta \rho _ { k } \right\rangle ^ { 2 } + \left\langle \left( \delta \rho _ { k } \right) ^ { 2 } \right\rangle \right] \left( a _ { 0 } ^ { D } \right) ^ { 2 } \; . } \end{array}
( \mu _ { i j } ) \quad { \longrightarrow \atop { \theta , \hat { \theta } } } \quad \left( \begin{array} { c c } { { \begin{array} { c c } { { \mu _ { d } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \mu _ { s } } } \end{array} } } & { { ( \Delta \gamma _ { i j } ) } } \\ { { ( \Delta \gamma _ { i j } ^ { \prime } ) } } & { { \begin{array} { c c } { { \hat { \mu } _ { d } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \hat { \mu } _ { s } } } \end{array} } } \end{array} \right) .
\partial _ { x } R ( x , x ^ { \prime } ) + \partial _ { x ^ { \prime } } R _ { a j } ( x , x ^ { \prime } ) = M ^ { - 1 } \left[ - \frac { ( x + x ^ { \prime } ) } { 2 \pi } + A ( x , x ^ { \prime } ) + { \Large \sum _ { n \geq 1 } } \frac { m ^ { 2 } M ^ { - 1 } T ^ { 2 } \sin n ( x + x ^ { \prime } ) } { n \pi [ n ^ { 2 } - m ^ { 2 } M ^ { - 1 } T ^ { 2 } ] } \right] . \nonumber
\begin{array} { c } { { \left[ \begin{array} { c } { { U } } \\ { { V } } \end{array} \right] \longrightarrow \left[ \begin{array} { c } { { U } } \\ { { V } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { U } } \\ { { V } } \end{array} \right] ^ { \dagger } = \left[ \begin{array} { c c } { { U U ^ { \dagger } } } & { { U V ^ { \dagger } } } \\ { { V U ^ { \dagger } } } & { { V V ^ { \dagger } } } \end{array} \right] } } \\ { { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right] } } \\ { { + \frac { U U ^ { \dagger } - V V ^ { \dagger } } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right] + \frac { U V ^ { \dagger } + V U ^ { \dagger } } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right] + \frac { U V ^ { \dagger } - V U ^ { \dagger } } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right] . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { D _ { m ^ { * } } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } - \varepsilon \ \leq \ } & { \underset { K \longrightarrow + \infty } { \operatorname* { l i m } \operatorname* { i n f } } \frac { 1 } { K } \log \Big ( \mathrm { F D R } ( \Hat { m } ( K ) ) \Big ) } \\ & { \underset { K \longrightarrow + \infty } { \operatorname* { l i m } \operatorname* { s u p } } \frac { 1 } { K } \log \Big ( \mathrm { F D R } ( \Hat { m } ( K ) ) \Big ) \ \leq \ - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P } & { = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } { \frac { 1 } { T } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ x _ { T } ( t ) + y _ { T } ( t ) \right] ^ { * } \left[ x _ { T } ( t ) + y _ { T } ( t ) \right] d t } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } { \frac { 1 } { T } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | x _ { T } ( t ) | ^ { 2 } + x _ { T } ^ { * } ( t ) y _ { T } ( t ) + y _ { T } ^ { * } ( t ) x _ { T } ( t ) + | y _ { T } ( t ) | ^ { 2 } d t } \end{array} }
\frac { \partial f } { \partial t } + \frac { \mathbf { p } } { M } \cdot \nabla _ { \mathbf { r } } f - \nabla _ { \mathbf { r } } V _ { \mathrm { t h } } ^ { \mathrm { e f f } } \cdot \nabla _ { \mathbf { p } } f = 0
\begin{array} { r l } { J _ { x } ( x ) = } & { { } - D \left( \pi R ^ { 2 } ( x ) \partial _ { x } \overline { { \rho } } _ { \mathrm { s } } ( x ) + 2 \pi \sigma ( x ) \frac { e V } { k _ { \mathrm { B } } T } \frac { R _ { \mathrm { t } } R _ { \mathrm { b } } } { R ( x ) L } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol R ^ { 0 } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) , \; \; \boldsymbol R ^ { k } = \left( \begin{array} { l } { \omega _ { k } ^ { - 1 } \boldsymbol { \eta } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { r } _ { k } } \\ { \boldsymbol { r } _ { k } } \end{array} \right) \; \mathrm { f o r } \; k > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ( s ) - \frac { \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { e f f } } ( s ) } { s } } & { = \left( s \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } + \frac { \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } } { s } \right) \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ( s ) } \\ & { \quad + \left( s \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } + \frac { \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } } { s } \right) \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } ( s ) - \frac { \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } ( s ) + \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } ( s ) } { s } \, . } \end{array}
W ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 ! } \int _ { 1 \ldots 6 } V _ { 1 2 3 } V _ { 4 5 6 } ( - 2 ) \frac { \delta W _ { A } ^ { ( 0 ) } } { \delta D _ { 3 6 } ^ { - 1 } } \left( \frac { \delta ^ { 2 } W _ { \psi } ^ { ( 0 ) } } { \delta S _ { 1 2 } ^ { - 1 } \delta S _ { 4 5 } ^ { - 1 } } + \frac { \delta W _ { \psi } ^ { ( 0 ) } } { \delta S _ { 1 2 } ^ { - 1 } } \frac { \delta W _ { \psi } ^ { ( 0 ) } } { \delta S _ { 4 5 } ^ { - 1 } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { i j } = N _ { i } \Omega _ { i j } ^ { 2 } + 2 N _ { i } \Omega _ { i j } Y _ { i j } + \frac { 1 } { N _ { i } - 1 } \sum _ { 1 \leq r \neq s \leq N _ { i } } Z _ { i j r } Z _ { i j s } } \\ & { = N _ { i } \Omega _ { i j } ^ { 2 } + 2 \Omega _ { i j } \sum _ { r = 1 } ^ { N _ { i } } Z _ { i j r } + \frac { 1 } { N _ { i } - 1 } \sum _ { 1 \leq r \neq s \leq N _ { i } } Z _ { i j r } Z _ { i j s } . } \end{array}
\mathbf { Z } ^ { - 1 } \mathbf { \hat { F } } = \frac { 1 } { a } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int _ { x _ { n } - a / 2 } ^ { x _ { n } + a / 2 } \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( x ) \mathbf { \hat { F } } ( x ) \, \mathrm { d } x = \frac { 1 } { a } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( x ) \mathbf { \hat { F } } ( x ) \, \mathrm { d } x .
\begin{array} { r l r } { E _ { x } ^ { \left( i \right) } + E _ { x } ^ { \left( r \right) } } & { { } = } & { E _ { x } ^ { \left( t \right) } , E _ { y } ^ { \left( i \right) } + E _ { y } ^ { \left( r \right) } = E _ { y } ^ { \left( t \right) } } \\ { H _ { x } ^ { \left( i \right) } + H _ { x } ^ { \left( r \right) } } & { { } = } & { H _ { x } ^ { \left( t \right) } , H _ { y } ^ { \left( i \right) } + H _ { y } ^ { \left( r \right) } = H _ { y } ^ { \left( t \right) } } \end{array}
F ( \vec { r } , \theta ) \equiv A \, G _ { \beta } ( M ( \vec { r } ) ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 2 } \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { 2 } - \theta ) \, \bar { f } ( \vec { r } , \theta _ { 2 } )
\overline { { \frac { \partial U _ { i } } { \partial t } } } = { 1 / T } \int _ { T - t / 2 } ^ { T + t / 2 } { \frac { \partial } { \partial t } } \left( \overline { { U _ { i } } } + u _ { i } ^ { \prime } \right) d t = \overline { { \frac { \partial \overline { { U _ { i } } } } { \partial t } } } = { \frac { \partial \overline { { U _ { i } } } } { \partial t } }
\Gamma [ A , V ] = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \mathrm { d } T } { T } } \mathrm { e } ^ { - m ^ { 2 } T } \mathrm { t r } \; \; { \cal P } \int \! \mathrm { d } ^ { d } x _ { 0 } \int \! { \cal D } y \exp \Bigl [ - \int _ { 0 } ^ { T } \! \! \! \mathrm { d } \tau \bigl ( { \frac { \dot { y } ^ { 2 } } { 4 } } \! + \! i g \dot { y } ^ { \mu } A _ { \mu } \! + \! V \bigr ) \Bigr ] \, . \, \,
S ( \rho _ { A B } ) \simeq S ^ { W } ( \rho _ { A B } ) + \frac { 1 } { 2 } \ln \eta - \frac { D _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) + D _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 - x ) } { 2 } + \cdots , \quad ( \eta \ll 1 )
\begin{array} { r } { N _ { 1 } ^ { A } ( x , t , k ) = \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { * } \end{array} \right) + \frac { 1 } { k } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { * } & { * } \\ { 0 } & { * } & { * } \\ { 0 } & { * } & { * } \end{array} \right) + O ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \ensuremath { Z } } ( ( j , \ensuremath { s } ) , ( \ensuremath { d } , 1 ) ) } & { : = \ensuremath { \mathbb P } \{ \ensuremath { \ensuremath { Z } ^ { ( \ell + 1 ) } } = ( \ensuremath { d } , 1 ) \, | \, \ensuremath { \ensuremath { Z } ^ { ( \ell ) } } = ( j , \ensuremath { s } ) \} } \\ & { = \ensuremath { \mathbb P } \{ \ensuremath { \ensuremath { S } ^ { ( \ell + 1 ) } } = 1 , \ensuremath { \ensuremath { D } ^ { ( \ell + 1 ) } } = \ensuremath { d } \, | \, \ensuremath { \ensuremath { D } ^ { ( \ell ) } } = j \} . } \end{array}
\gamma _ { 2 } ( S ^ { 2 } \times U ) = \nu _ { q _ { 2 } } \left( \rho ^ { - 1 } ( S ^ { 2 } \times U ) \right) = \nu _ { q _ { 1 } } \left( \overline { { { q _ { 1 } } } } ^ { - 1 } ( S ^ { 2 } ) \cap \overline { { q _ { 2 } } } ^ { - 1 } ( U ) \right) = \nu _ { q _ { 1 } } \left( \overline { { q _ { 2 } } } ^ { - 1 } ( U ) \right) = \mu _ { q _ { 2 } } ( U ) .
\begin{array} { r l } { w _ { i } ^ { n | 2 } } & { = \frac { \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , n } } { \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 2 } } w _ { i } ^ { 2 | 2 } \mathrm { ~ f o r ~ } n \geqslant 2 \mathrm { ~ w i t h ~ } \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , n } = \sum _ { n ^ { \prime } = 2 } ^ { \infty } \frac { b _ { 1 n n ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( \sqrt { 2 n ^ { \prime } + 5 } b _ { 2 0 n ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } - \sqrt { 2 n ^ { \prime } } b _ { 2 0 , n ^ { \prime } - 1 } ^ { ( 0 ) } ) } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } , } \\ { w _ { i j } ^ { n | 2 } } & { = \frac { \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , n } } { \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 1 } } w _ { i j } ^ { 1 | 2 } \mathrm { ~ f o r ~ } n \geqslant 1 \mathrm { ~ w i t h ~ } \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , n } = \frac { 2 } { 5 } \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } \frac { b _ { 2 n n ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( \sqrt { 2 n ^ { \prime } + 5 } b _ { 1 1 n ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } - \sqrt { 2 ( n ^ { \prime } + 1 ) } b _ { 1 1 , n ^ { \prime } + 1 } ^ { ( 1 ) } ) } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( J _ { \epsilon } v ) ( x ) } & { = v ( x + \alpha ( \epsilon ) + r _ { \epsilon } ( x ) ) ( 1 + \partial _ { x } r _ { \epsilon } ( x ) ) - v ( x + \alpha ( \epsilon ) ) } \\ & { = v ( x + \alpha ( \epsilon ) + r _ { \epsilon } ( x ) ) \partial _ { x } r _ { \epsilon } ( x ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } r _ { \epsilon } ( x ) v ^ { \prime } ( x + \alpha ( \epsilon ) + t r _ { \epsilon } ( x ) ) \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } N _ { A } } { \mathrm { d } t } } } & { { } = - \left( { \frac { \mathrm { d } N _ { B } } { \mathrm { d } t } } + { \frac { \mathrm { d } N _ { C } } { \mathrm { d } t } } \right) } \\ { - \lambda N _ { A } } & { { } = - N _ { A } \left( \lambda _ { B } + \lambda _ { C } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { u } _ { \mathrm { w n } ; \mathrm { L S T } } ( x _ { \mathrm { w p } } , x _ { \mathrm { w n } } ) = \hat { u } _ { \mathrm { w n } } ( x _ { \mathrm { w p } } , x _ { \mathrm { w n } } ) \exp \left[ i \int _ { 0 } ^ { x _ { \mathrm { w p } } } \alpha ( X _ { \mathrm { w p } } ) d X _ { \mathrm { w p } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \underline { c } \bullet _ { i } \underline { a } ) \bullet _ { \ell - 1 + j } \underline { b } } & { = } & { ( c _ { 0 } , \ldots , c _ { i - 1 } , \underline { a } , c _ { i + 1 } , \ldots , c _ { n - 1 } ) \bullet _ { \ell - 1 + j } \underline { b } } \\ & { = } & { c _ { 0 } , \ldots , c _ { i - 1 } , \underline { a } , c _ { i + 1 } , \ldots c _ { j - 1 } , \underline { b } , c _ { j + 1 } , \ldots , c _ { n - 1 } } \\ & { = } & { ( \underline { c } \bullet _ { j } \underline { b } ) \bullet _ { i } \underline { a } } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { x c } } \ensuremath { [ n ] } = \frac { 1 } { 2 } \iint \mathrm { d } \ensuremath { \mathbf { r } } \mathrm { d } \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } \, \frac { n ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) \bar { n } _ { \mathrm { x c } } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } { | \ensuremath { \mathbf { r } } - \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } | } } \end{array}
P _ { H } \left( x , y \right) = \omega _ { 0 } \left( \frac { 1 } { \gamma _ { 0 } } P _ { 0 } \left( x , y \right) - \sum _ { n = 1 } ^ { 4 } \frac { \gamma _ { n } } { \gamma _ { 0 } } P _ { n } \left( x , y \right) \right) + \sum _ { n = 1 } ^ { 4 } \omega _ { n } P _ { n } \left( x , y \right) ,
\boldsymbol { \mathbf { q } } = k _ { r } ( 2 \omega ) \boldsymbol { \mathbf { u } } - k _ { r } ( \omega ) \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } - k _ { r } ( \omega ) \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime \prime }
\frac { \pi } { 4 } = 2 ^ { 2 6 } \arctan \left( \frac { 1 } { 8 5 4 4 5 6 5 9 } \right) - \arctan \left( \frac { \overbrace { 9 7 3 2 9 3 3 5 7 8 \ldots 4 9 7 5 6 9 2 7 9 9 } ^ { 5 2 2 , 1 8 5 , 8 0 7 \, \mathrm { d i g i t s } } } { \underbrace { 2 3 6 8 5 5 7 5 9 8 \ldots 9 9 0 3 5 5 4 5 6 1 } _ { 5 2 2 , 1 8 5 , 8 1 6 \, \mathrm { d i g i t s } } } \right) .
\begin{array} { r l } & { r _ { i k } \geq \mathrm { l b } _ { i k } \cdot z _ { i } + \frac { 1 } { N } \bar { d } _ { i k } - \frac { 1 } { N } \mathrm { l b } _ { i k } \quad \forall i \in \mathcal { C } , k \in \mathcal { K } } \\ & { r _ { i k } \geq \mathrm { u b } _ { i k } \cdot z _ { i } + \bar { d } _ { i k } - \mathrm { u b } _ { i k } \quad \forall i \in \mathcal { C } , k \in \mathcal { K } } \\ & { r _ { i k } \leq \mathrm { u b } _ { i k } \cdot z _ { i } + \frac { 1 } { N } \bar { d } _ { i k } - \frac { 1 } { N } \mathrm { u b } _ { i k } \quad \forall i \in \mathcal { C } , k \in \mathcal { K } } \\ & { r _ { i k } \leq \bar { d } _ { i k } + \mathrm { l b } _ { i k } \cdot z _ { i } - \mathrm { l b } _ { i k } \quad \forall i \in \mathcal { C } , k \in \mathcal { K } . } \end{array}
x = \left( 0 . a _ { 1 } a _ { 2 } 0 0 0 a _ { 3 } 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a _ { 4 } 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a _ { 5 } \ldots \right) _ { b }
\langle \bar { q } q \rangle ( z ) = \frac { N _ { c } } { 4 \pi ^ { 2 } } \left[ \frac { - \Phi _ { 0 } ( z ) \Lambda ^ { 2 } \left( \Lambda ^ { 2 } + 2 \Phi _ { 0 } ( z ) ^ { 2 } \right) } { \Lambda ^ { 2 } + \Phi _ { 0 } ( z ) ^ { 2 } } + 2 \Phi _ { 0 } ( z ) ^ { 3 } \log \left( 1 + \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \Phi _ { 0 } ( z ) ^ { 2 } } \right) \right] \; .
{ \frac { \partial U _ { i } } { \partial t } } + { \frac { \partial U _ { i } U _ { j } } { \partial x _ { j } } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } } + \nu { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } ~ ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3
S = \int ~ d ^ { 4 } x \sqrt { - g } ~ \left[ ~ \frac { \tilde { R } ( g , T ) } { \kappa } - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \tilde { H } _ { \mu \nu \lambda } \tilde { H } ^ { \mu \nu \lambda } + \frac { 1 } { \sqrt { \kappa } } T ^ { \mu \nu \lambda } \tilde { H } _ { \mu \nu \lambda } ~ \right]
\begin{array} { r l } & { \frac { d H } { d t } - y ^ { \top } u = 0 } \\ & { \frac { d S } { d t } - y ^ { \top } \tau = \sum _ { i } \hat { \gamma _ { i } } \left( x \right) \left\{ S , H \right\} _ { J _ { i } } ^ { 2 } + \sum _ { j } \widehat { \gamma _ { \textrm { p o r t } , j } } \left( x , u \right) \left\{ S _ { \textrm { t o t } } , H _ { \textrm { t o t } } \right\} _ { J _ { \textrm { p o r t } , g _ { j } } } ^ { 2 } \geq 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { r _ { i } = \hat { R } - \frac { 2 } { D } \ln \frac { \kappa _ { i } } { \kappa _ { 0 } } , \, \, \, \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \, \, \, \hat { R } = 2 \ln \left( \frac { 2 R } { ( \mu \kappa _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / D } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { m _ { r } \frac { x _ { r , k + 1 } - x _ { r , k } } { t _ { k + 1 } - t _ { k } } + \frac { \partial } { \partial x _ { r , k + 1 } } \sum _ { p = 1 } ^ { n } \kappa \log \Big ( \frac { \rho _ { k + 1 } ( x _ { p , k + 1 } ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \, m _ { p } = 0 , } \\ & { - \frac { m _ { r } } { 2 } \frac { \beta _ { r , k + 1 } ^ { - 1 / 2 } - \beta _ { r , k } ^ { - 1 / 2 } } { \beta _ { r , k + 1 } ^ { 3 / 2 } ( t _ { k + 1 } - t _ { k } ) } + \frac { \partial } { \partial \beta _ { r , k + 1 } } \sum _ { p = 1 } ^ { n } \kappa \log \Big ( \frac { \rho _ { k + 1 } ( x _ { p , k + 1 } ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \, m _ { p } = 0 . } \end{array}
{ \cal L } = \sqrt { - g } \, { \frac { 1 } { 2 } } \left[ ( \partial _ { \lambda } \phi _ { 0 } \, ( \lambda , \eta ) ) ^ { 2 } - r \, ( \partial _ { \eta } \phi _ { 0 } \, ( \lambda , \eta ) ) ^ { 2 } \right]
A _ { a _ { 1 } } ( \theta _ { 1 } ) A _ { a _ { 2 } } ( \theta _ { 2 } ) = \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \, \sum _ { \theta _ { 1 } ^ { \prime } { < } \dots { < } \theta _ { n } ^ { \prime } \atop { } } \! S _ { ~ a _ { 1 } a _ { 2 } } ^ { b _ { 1 } \dots b _ { n } } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ; \theta _ { 1 } ^ { \prime } \dots \theta _ { n } ^ { \prime } ) A _ { b _ { 1 } } ( \theta _ { 1 } ^ { \prime } ) \dots A _ { b _ { n } } ( \theta _ { n } ^ { \prime } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { b ( n , s , r + 1 ) } & { = \binom { s - 1 } { r } \binom { n - s } { s - r - 1 } } \\ & { = \frac { ( s - 1 ) ! ( n - s ) ! } { r ! ( s - r - 1 ) ! ( n - 2 s + r + 1 ) ! ( s - r - 1 ) ! } } \\ & { = \frac { ( s - r ) ^ { 2 } } { r ( n - 2 s + r + 1 ) } \frac { ( s - 1 ) ! ( n - s ) ! } { ( r - 1 ) ! ( s - r ) ! ( n - 2 s + r ) ! ( s - r ) ! } } \\ & { = \frac { ( s - r ) ^ { 2 } } { r ( n - 2 s + r + 1 ) } b ( n , s , r ) } \\ & { \leq \frac { s ^ { 2 } } { n ( 1 - n ^ { - 1 / 2 } ) } b ( n , s , r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { \rho } _ { g g } = - i \left[ \frac { \Omega _ { e g } } { 2 } \left( \rho _ { g e } - \rho _ { e g } \right) + \frac { \Omega _ { p g } } { 2 } \left( \rho _ { p g } - \rho _ { g p } \right) \right] + \Gamma _ { e e } \rho _ { e e } + \Gamma _ { p p } \rho _ { p p } } \\ & { \dot { \rho } _ { e e } = - i \left[ \frac { \Omega _ { e g } } { 2 } \left( \rho _ { e g } - \rho _ { g e } \right) + \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \left( \rho _ { p g } - \rho _ { g p } \right) \right] - \Gamma _ { e e } \rho _ { e e } } \\ & { \dot { \rho } _ { p p } = - i \left[ \frac { \Omega _ { p g } } { 2 } \left( \rho _ { g p } - \rho _ { p g } \right) + \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \left( \rho _ { e p } - \rho _ { p e } \right) \right] - \Gamma _ { p p } \rho _ { p p } } \\ & { \dot { \rho } _ { g e } = - i \left[ \frac { \Omega _ { e g } } { 2 } ( \rho _ { e e } - \rho _ { g g } ) - \Delta _ { e g } \rho _ { g e } + \frac { \Omega _ { p g } } { 2 } \rho _ { p e } - \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \rho _ { g p } \right] - \frac { \Gamma _ { e g } \rho _ { g e } } { 2 } } \\ & { \dot { \rho } _ { g p } = - i \left[ \frac { \Omega _ { p g } } { 2 } \left( \rho _ { p p } - \rho _ { g g } \right) + \frac { \Omega _ { e g } } { 2 } \rho _ { e p } - \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \rho _ { g e } - \Delta _ { p g } \rho _ { g p } \right] - \frac { \Gamma _ { p g } \rho _ { g p } } { 2 } } \\ & { \dot { \rho } _ { e p } = - i \left[ \frac { \Omega _ { e g } } { 2 } \rho _ { g p } - \frac { \Omega _ { p g } } { 2 } \rho _ { e g } + \Delta _ { e g } \rho _ { e p } + \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \left( \rho _ { p p } - \rho _ { e e } \right) - \Delta _ { p g } \rho _ { e p } \right] } \end{array}
I _ { \mathrm { O C M } } ( { \bf r } ) = \left| \sum _ { \omega } e ^ { - 2 i \omega \frac { z - z _ { \mathrm { f } } } { v _ { \mathrm { g } } } } \sum _ { \bf k _ { \mathrm { o u t } } , \bf k _ { \mathrm { i n } } } ^ { \mathrm { N A = 0 . 5 } } e ^ { i ( { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } - { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ) \cdot { \bf r } _ { \mathrm { f } } } R ( \bf k _ { \mathrm { o u t } } , \bf k _ { \mathrm { i n } } , \omega ) \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { e f f } \supseteq } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \partial ^ { \mu } a \right) \left( \partial _ { \mu } a \right) + \frac { 1 } { 2 } m _ { a } ^ { 2 } a ^ { 2 } - C _ { B B } \frac { a } { f _ { a } } B _ { \mu \nu } \tilde { B } ^ { \mu \nu } } \\ & { - C _ { W W } \frac { a } { f _ { a } } W _ { \mu \nu } ^ { i } \tilde { W } ^ { \mu \nu , i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ^ { - \gamma + \frac { 1 } { 2 } } \| t \| ^ { - \gamma - \frac { 1 } { 2 } } J _ { \gamma + \frac { 1 } { 2 } } ( 2 \pi N \| t \| ) } & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { c N ^ { - \gamma + \frac { 1 } { 2 } } \| t \| ^ { - \gamma - \frac { 1 } { 2 } } \left( N \| t \| \right) ^ { \gamma + \frac { 1 } { 2 } } } & { \textrm { i f } N \| t \| \leq 1 , } \\ { c N ^ { - \gamma + \frac { 1 } { 2 } } \| t \| ^ { - \gamma - \frac { 1 } { 2 } } \left( N \| t \| \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } & { \textrm { i f } N \| t \| > 1 , } \end{array} \right. } \\ & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { c N } & { \textrm { i f } N \| t \| \leq 1 , } \\ { c N ^ { - \gamma } \| t \| ^ { - \gamma - 1 } } & { \textrm { i f } N \| t \| > 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
I _ { B } ^ { ( + ) } ( \vec { q } _ { 1 } , 0 ) = \delta _ { \lambda _ { A ^ { \prime } } , \lambda _ { A } } \frac { 2 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 + \epsilon } } \, \Gamma ( - \epsilon ) \frac { [ \Gamma ( 1 + \epsilon ) ] ^ { 2 } } { \Gamma ( 1 + 2 \epsilon ) } ( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } ) ^ { \epsilon } \biggl [ 1 + \frac { 2 } { \epsilon ( 1 + 2 \epsilon ) } \biggr ] \; ,
\langle ( \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ^ { 1 } ) + \alpha I ) r ^ { 1 } , r ^ { 1 } \rangle \ge \gamma _ { \alpha } \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad r ^ { 1 } \in \mathbb { V } ^ { 1 } ,
d _ { \mathrm { S C L } } ( \boldsymbol { x } ) = \xi ( \boldsymbol { x } ) \ \mathrm { w h e r e } \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { a r g m i n } ( c ( \xi ( \vec { x } ) ) > c _ { \mathrm { b u l k , m i n } } ) } & { \quad \mathrm { i f } \ c < c _ { \mathrm { b u l k } } } \\ { \mathrm { a r g m i n } ( c ( \xi ( \vec { x } ) ) < c _ { \mathrm { b u l k , m a x } } ) } & { \quad \textrm { e l s e } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { E ( { \bf R } , D ) } & { { } = \sum _ { \sigma } \mathrm { T r } \left[ H _ { 0 } ^ { \sigma } ( D ^ { \sigma } - D _ { 0 } ^ { \sigma } ) \right] + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I , J } ^ { N } q _ { I } \gamma _ { I J } q _ { J } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sigma _ { p } } ( \partial _ { \epsilon _ { 1 } } \partial _ { \epsilon _ { 2 } } \partial _ { \epsilon _ { 3 } } \partial _ { \epsilon _ { 4 } } \Lambda _ { b ^ { ( 1 ) } , h ^ { ( 1 ) } , F ^ { ( 1 ) } } | _ { \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 2 } = \epsilon _ { 3 } = \epsilon _ { 4 } = 0 } ) ( y _ { | } , \eta _ { | } ) } & { = { \sigma _ { p } } ( \partial _ { \epsilon _ { 1 } } \partial _ { \epsilon _ { 2 } } \partial _ { \epsilon _ { 3 } } \partial _ { \epsilon _ { 4 } } \Lambda _ { b ^ { ( 2 ) } , h ^ { ( 2 ) } , F ^ { ( 2 ) } } | _ { \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 2 } = \epsilon _ { 3 } = \epsilon _ { 4 } = 0 } ) ( y _ { | } , \eta _ { | } ) } \\ { \Rightarrow \quad m _ { 4 } ^ { ( 1 ) } ( q , \zeta , \zeta ^ { 1 } ) } & { = m _ { 4 } ^ { ( 2 ) } ( q , \zeta , \zeta ^ { 1 } ) , } \end{array}