harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { n = e ^ { - \Phi } \left[ 1 - \gamma { \mathcal { E } } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) \right] \, , } \\ & { J _ { k y } = \frac { 2 \gamma \delta _ { 2 } } { 1 + 2 \delta _ { 2 } } Q _ { 1 } e ^ { - \Phi } { \mathcal { E } } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) \, , } \\ & { J _ { k z } = \frac { 2 \gamma \delta _ { 3 } } { 1 + 2 \delta _ { 3 } } Q _ { 2 } e ^ { - \Phi } { \mathcal { E } } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) \, , } \\ & { \Phi = \frac { \kappa } { 1 + \kappa } \ln \left[ 1 - \gamma { \mathcal { E } } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) \right] \, , } \\ & { V ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) = ( 1 + \kappa ) \left[ 1 - \gamma { \mathcal { E } } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) \right] ^ { \frac { 1 } { k + 1 } } \, , } \end{array}
{ S _ { 1 3 } ^ { q } = S _ { 1 3 } ^ { s h } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } 2 R T ( e V - 2 k _ { B } \mathcal { T } ) \simeq \frac { - 4 e ^ { 2 } } { h } R T e V , }
{ Z _ { 4 } = \{ W _ { i , \{ 1 , 4 \} } , W _ { i , \{ 2 , 4 \} } , W _ { i , \{ 3 , 4 \} } , W _ { i , \{ 3 , 5 \} } \forall i \in [ 1 0 ] \} } \cup \, { \{ D _ { \{ 1 , 2 , 4 \} , \{ 3 , 5 \} } ^ { 3 } , D _ { \{ 1 , 3 , 4 \} , \{ 2 , 5 \} } ^ { 3 } , D _ { \{ 1 , 4 , 5 \} , \{ 2 , 3 \} } ^ { 2 } , D _ { \{ 2 , 3 , 4 \} , \{ 1 , 5 \} } ^ { 3 } , D _ { \{ 2 , 4 , 5 \} , \{ 1 , 3 \} } ^ { 2 } , D _ { \{ 3 , 4 , 5 \} , \{ 1 , 2 \} } ^ { 2 } \} }
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma ^ { _ { \mathrm { ~ C ~ E ~ } \nu \mathrm { ~ N ~ S ~ } } } } { d E _ { R } } = } & { { } \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 8 \pi \cdot ( \hbar c ) ^ { 4 } } ( N + ( 1 - 4 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) Z ) ^ { 2 } } \end{array}
\boldsymbol { \mathbf { E } } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) = \sum _ { l m } \frac { 1 } { k _ { 0 } r } \left[ \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \boldsymbol { \mathbf { E } } _ { l m , \mathrm { ~ T ~ E ~ } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) + c \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \boldsymbol { \mathbf { E } } _ { l m , \mathrm { ~ T ~ M ~ } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) \right] ,
\sum _ { k _ { 1 } , . . . , k _ { 4 } \in \mathbb { Z } / \tilde { N } \mathbb { Z } } \sum _ { k _ { 1 } ^ { \prime } , . . . , k _ { 4 } ^ { \prime } \in \mathbb { Z } / \tilde { N } ^ { \prime } \mathbb { Z } } \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } a _ { n _ { i } } ( k _ { i } ) a _ { n _ { i } ^ { \prime } } ^ { \prime } ( k _ { i } ^ { \prime } ) \mu ( T _ { \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } k _ { i } \cdot k _ { i } ^ { \prime } } ^ { - 1 } A \cap T _ { \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } k _ { i } ^ { \prime } } ^ { - 1 } A \cap A ) \geq 0 .
\dot { v } _ { 0 } = \frac { 1 } { B } \frac { d E _ { y } } { d t } = \frac { 2 ( 1 + \langle Z \rangle ) } { \langle m _ { i } \rangle R _ { \mathrm { m } } } \left( T _ { 0 } - \frac { n _ { \mathrm { b g } } } { n _ { 0 } } T _ { \mathrm { b g } } \right) ,
\begin{array} { l } { { \displaystyle \theta = \sqrt \frac { m } { s } ( z _ { \alpha } \theta ^ { \alpha } - i z _ { \alpha } \chi ^ { \alpha } ) \left[ 1 + m \frac { 1 - b } { 4 s } ( \theta ^ { \alpha } \theta _ { \alpha } + \chi ^ { \alpha } \chi _ { \alpha } ) \right] } } \\ { { \displaystyle \chi = \sqrt \frac { m } { s } ( z _ { \alpha } \chi ^ { \alpha } - i z _ { \alpha } \theta ^ { \alpha } ) \left[ 1 + m \frac { 1 + b } { 4 s } ( \theta ^ { \alpha } \theta _ { \alpha } + \chi ^ { \alpha } \chi _ { \alpha } ) \right] \qquad z _ { \alpha } \equiv ( z , - 1 ) \; . } } \end{array}
{ \frac { \partial } { \partial \ln Q ^ { 2 } } } D _ { i } ^ { h } ( x , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { j } \int _ { x } ^ { 1 } { \frac { d z } { z } } { \frac { \alpha _ { S } } { 4 \pi } } P _ { j i } \! \left( { \frac { x } { z } } , Q ^ { 2 } \right) D _ { j } ^ { h } ( z , Q ^ { 2 } )
\lvert 1 - \left[ \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { ~ k ~ } , 1 } \right) / E _ { \mathrm { ~ k ~ } , 1 } \right] / \left[ \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { ~ k ~ } , 2 } \right) / E _ { \mathrm { ~ k ~ } , 2 } \right] \rvert
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } ( { \vec { c } } ) } & { : = \left\{ \varphi \in { H ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \setminus \{ 0 \} , \; \Psi ^ { \prime } ( \varphi ) = 0 , \; \Psi ( \varphi ) \leq \Psi ( u ) , \, \mathrm { f o r ~ a l l } \, u \in u \in { H ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \setminus \{ 0 \} \, \mathrm { s u c h ~ t h a t } \, \Psi ^ { \prime } ( u ) = 0 \right\} } \\ & { = \left\{ \varphi \in { H ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } , \; \Psi ( \varphi ) = m _ { 1 } ( { \vec { c } } ) , \mathbb { P } ( \varphi ) = 0 \right\} , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \mu } { 2 } \frac { d } { d t } \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } | p _ { t } | ^ { 2 } d x + \frac { \beta } { 2 } \frac { d } { d t } \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } | p _ { x } | ^ { 2 } d x - \beta \Re \left( p _ { x } ( l _ { 2 } , t ) \overline { { p _ { t } ( l _ { 2 } , t ) } } \right) + \beta \Re \left( p _ { x } ( l _ { 1 } , t ) \overline { { p _ { t } ( l _ { 1 } , t ) } } \right) } \\ { \displaystyle - \gamma \beta \Re \left( \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } v _ { x } \overline { { p _ { x t } } } d x \right) + \gamma \beta \Re \left( v _ { x } ( l _ { 2 } , t ) \overline { { p _ { t } ( l _ { 2 } , t ) } } \right) - \gamma \beta \Re \left( v _ { x } ( l _ { 1 } , t ) \overline { { p _ { t } ( l _ { 1 } , t ) } } \right) = 0 . } \end{array}
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \gamma } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = W \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \frac { B _ { i n } ( x _ { 1 } , \omega ) } { B _ { i n } ( 0 , \omega ) } = } & { { } 1 , } \\ { \frac { B _ { i n } ( x _ { 2 } , \omega ) } { B _ { i n } ( 0 , \omega ) } = } & { { } \frac { i ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } ) } { \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { k } \left( x \right) } & { { } = } & { a = \log \left( \overline { { N } } / \overline { { n } } \right) } \\ { a _ { k } ^ { \prime } \left( x \right) } & { { } = } & { a ^ { \prime } = \left( 2 \overline { { n } } \right) ^ { - 1 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ c ~ u ~ s ~ p ~ ) ~ } } } & { { } = - \frac { 3 } { 2 } t _ { 3 } ^ { 2 } \cosh ( s ) \left[ \cosh ( s ) + 1 \right] , } \\ { t _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ c ~ u ~ s ~ p ~ ) ~ } } } & { { } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } t _ { 3 } ^ { 2 } \sinh ( s ) \left[ \cosh ( s ) - 1 \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \mathbb { E } \left[ \left\| \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } A _ { i ^ { \tau } \tau } w _ { i ^ { \tau } \tau } \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \sum _ { \tau _ { 1 } \neq \tau _ { 2 } } \langle A _ { i ^ { \tau _ { 1 } } \tau _ { 1 } } w _ { i ^ { \tau _ { 1 } } \tau _ { 1 } } , A _ { i ^ { \tau _ { 2 } } \tau _ { 2 } } w _ { i ^ { \tau _ { 2 } } \tau _ { 2 } } \rangle \right] + \mathbb { E } \left[ \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| A _ { i ^ { \tau } \tau } w _ { i ^ { \tau } \tau } \| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { \tau _ { 1 } \neq \tau _ { 2 } } \left\langle \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } A _ { i \tau _ { 1 } } w _ { i \tau _ { 1 } } , \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } A _ { j \tau _ { 2 } } w _ { j \tau _ { 2 } } \right\rangle + \frac { 1 } { m } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| A _ { i \tau } w _ { i \tau } \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \sum _ { \tau _ { 1 } \neq \tau _ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { m } \langle A _ { i \tau _ { 1 } } w _ { i \tau _ { 1 } } , A _ { j \tau _ { 2 } } w _ { j \tau _ { 2 } } \rangle + \frac { 1 } { m } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| A _ { i \tau } w _ { i \tau } \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \sum _ { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } = 1 } ^ { n } \sum _ { i , j = 1 } ^ { m } \langle A _ { i \tau _ { 1 } } w _ { i \tau _ { 1 } } , A _ { j \tau _ { 2 } } w _ { j \tau _ { 2 } } \rangle - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i , j = 1 } ^ { m } \langle A _ { i \tau } w _ { i \tau } , A _ { j \tau } w _ { j \tau } \rangle + \frac { 1 } { m } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| A _ { i \tau } w _ { i \tau } \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \| A W \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { m } A _ { i \tau } w _ { i \tau } \right\| ^ { 2 } + \frac { 1 } { m } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| A _ { i \tau } w _ { i \tau } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \| A W \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { m } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| A _ { i \tau } w _ { i \tau } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { N R ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| w _ { i \tau } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { m } R _ { m } ^ { 2 } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| w _ { i \tau } \| ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { n R ^ { 2 } } { m } + \frac { 1 } { m } R _ { m } ^ { 2 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| w _ { i \tau } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\eta _ { j } ^ { + } \eta _ { j } ^ { - } - q ^ { - 2 } \eta _ { j } ^ { - } \eta _ { j } ^ { + } = q ^ { 4 ( L _ { z } ) _ { 1 } + \cdots + 4 ( L _ { z } ) _ { j - 1 } } \frac { q ^ { 4 ( L _ { z } ) _ { j } } - 1 } { q ^ { 2 } - 1 } .
\begin{array} { r l } { S p e c ( C ^ { s } \lfloor _ { S } , S ) } & { \sim \left[ 0 . 3 0 1 2 , 0 . 3 5 8 4 \right] \cup \left[ 0 . 6 0 2 3 , 1 \right] } \\ { \lbrack 0 . 3 0 1 5 , 0 . 3 5 7 7 ] \cup \lbrack 0 . 6 0 3 2 , 1 ] } & { \subset S p e c ( C ^ { s } \lfloor _ { S } , S ) \subset \lbrack 0 . 3 0 0 5 , 0 . 3 5 8 8 ] \cup \lbrack 0 . 6 0 0 2 , 1 ] } \end{array}
\Omega ( r _ { A } , r _ { B } , \gamma _ { A } , \gamma _ { B } ) = \int { \frac { d x _ { A } } { x _ { A } } } { \frac { d x _ { B } } { x _ { B } } } \sigma ( x _ { A } , x _ { B } ) \biggl ( { \frac { r _ { A } } { x _ { A } } } \biggr ) ^ { \gamma _ { A } } \biggl ( { \frac { r _ { B } } { x _ { B } } } \biggr ) ^ { \gamma _ { B } } \tilde { I } ( x _ { A } , x _ { B } , r _ { A } , r _ { B } , \gamma _ { A } , \gamma _ { B } ) \, \, ,
\begin{array} { r l r } { \left[ A p \right] _ { i , j } } & { = } & { \frac { 1 } { \Delta x } \left[ M _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } \frac { p _ { i + 1 , j } - p _ { i , j } } { \Delta x } - M _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } \frac { p _ { i , j } - p _ { i - 1 , j } } { \Delta x } \right] } \\ & { + } & { \frac { 1 } { \Delta y } \left[ M _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } \frac { p _ { i , j + 1 } - p _ { i , j } } { \Delta y } - M _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } \frac { p _ { i , j } - p _ { i , j - 1 } } { \Delta y } \right] , } \end{array}
I _ { F } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 2 . 5 0 0 \times 1 0 ^ { 5 } } } & { { ( C Z ) , } } \\ { { 2 . 5 0 5 \times 1 0 ^ { 5 } } } & { { ( G S ) , } } \\ { { 3 . 6 5 3 \times 1 0 ^ { 5 } } } & { { ( K S ) , } } \\ { { 2 . 8 9 7 \times 1 0 ^ { 5 } } } & { { ( C O Z ) , } } \\ { { 3 . 3 0 3 \times 1 0 ^ { 5 } } } & { { ( H E T ) , } } \\ { { 0 } } & { { ( A S Y ) . } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \alpha ^ { \alpha } } { m ^ { m } } \right) ^ { 1 / r } c _ { \ell _ { r , 1 } } ( \alpha ) } & { \sim _ { C ^ { m } } \left( \frac { m ^ { m } } { \alpha ^ { \alpha } } \frac { 1 } { 1 ^ { k ! } \cdot 2 ^ { k ! / 2 } \cdots k ^ { k ! / k } } \right) ^ { 1 / r ^ { \prime } } } \\ & { = \left( \frac { m ^ { m } } { k ! ^ { k ! } \cdot ( k ! / 2 ) ^ { k ! / 2 } \cdots ( k ! / k ) ^ { k ! / k } } \cdot \frac { 1 } { 1 ^ { k ! } \cdot 2 ^ { k ! / 2 } \cdots k ^ { k ! / k } } \right) ^ { 1 / r ^ { \prime } } } \\ & { = \left( \frac { m ^ { m } } { k ! ^ { k ! \sum _ { j = 1 } ^ { k } 1 / j } } \right) ^ { 1 / r ^ { \prime } } = \left( \frac { m } { k ! } \right) ^ { m / r ^ { \prime } } \succ _ { C ^ { m } } \left( \log ( k + 1 ) \right) ^ { m / r ^ { \prime } } \succ _ { C ^ { m } } \left( \log \log ( m + 1 ) \right) ^ { m / r ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot q ( \rho ) } & { = \alpha ( t , x ) f ( \rho ) - \beta ( t , x ) \rho } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , T ) \times \Omega , } \\ { \nabla \rho \cdot n } & { = 0 } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , T ) \times \partial \Omega , } \\ { \rho ( 0 ) } & { = \rho ^ { 0 } } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Theta _ { n } - \Theta _ { n ^ { \prime } } \| } & { \leq 8 \| X ^ { \prime } \| \| X \| \frac { A _ { x } } { n } \log \left( \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } } { \log ( 1 - \chi _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \right) } \\ & { \quad + 2 \| X ^ { \prime } \| \| X \| \frac { A _ { w } } { n } \log \left( \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } } { \log ( 1 - \chi _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \right) } \\ & { \quad + 8 \| X ^ { \prime } \| \| X \| \frac { A _ { x } } { n ^ { \prime } } \log \left( \frac { ( n ^ { \prime } + 1 ) ^ { 2 } } { \log ( 1 - \chi _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \right) } \\ & { \quad + 2 \| X ^ { \prime } \| \| X \| \frac { A _ { w } } { n ^ { \prime } } \log \left( \frac { ( n ^ { \prime } + 1 ) ^ { 2 } } { \log ( 1 - \chi _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \right) . } \end{array}
f _ { j , l } = 0 , \left\} \quad \begin{array} { r c l } { j } & { > } & { 3 } \\ { | l | } & { > } & { j } \\ { j } & { = } & { 1 , l = 0 } \\ { j } & { = } & { 3 , | l | > 1 } \end{array} \right.
\sum _ { Y _ { 1 } \sqcup Y _ { 2 } = Y , X _ { 1 } \sqcup X _ { 2 } = X } ( - 1 ) ^ { ( | Y _ { 1 } | + | X _ { 1 } | ) } R ^ { * } ( Y _ { 1 } , X _ { 1 } ) \times _ { \hbar } R ( Y _ { 2 } , X _ { 2 } ) = 0
\eta _ { 1 , \beta } ^ { \prime } \leqslant a \int _ { M } \lvert \nabla _ { g } \varphi _ { 1 } \rvert ^ { 2 } d \mathrm { V o l } _ { g } + \int _ { M } R _ { g } \varphi _ { 1 } ^ { 2 } d \mathrm { V o l } _ { g } + \frac { 2 a } { p - 2 } \int _ { \partial M } ( h _ { g } + \beta ) \varphi _ { 1 } ^ { 2 } d S = \eta _ { 1 } ^ { \prime } + \beta \int _ { \partial M } \varphi _ { 1 } ^ { 2 } d S .
\langle Q _ { e l } \rangle ^ { n } = \frac { 3 2 \hbar q _ { r } ^ { 4 } e ^ { - q _ { r } ^ { 2 } / q _ { T } ^ { 2 } } } { m B _ { p } q _ { T } ^ { 2 } } \int _ { 1 / { | A _ { p } | } } ^ { \infty } { \frac { d \left( 1 / A _ { p } + B _ { p } q ^ { 2 } \right) } { { \left( 1 / A _ { p } + B _ { p } q ^ { 2 } \right) } ^ { 2 } + q _ { r } ^ { 4 } } } .
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { f } } } } & { = \frac { \omega } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi / \omega } \mathbf { f } \, \mathrm { d } t } \\ & { \approx \frac { 1 } { 2 } \Re \{ [ \tilde { \alpha } _ { a b } ( \omega ) + \tilde { \alpha } _ { a b , c } ( \omega ) E _ { 0 c } ] \tilde { E } _ { b } ( \mathbf { R } _ { 0 } ) \boldsymbol { \nabla } _ { \mathbf { R } _ { 0 } } \tilde { E } _ { a } ^ { \ast } ( \mathbf { R } _ { 0 } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( r , t ) = \frac { \alpha A ^ { \prime } ( t ) } { r \rho ( r , t ) } \int _ { 0 } ^ { r } \tilde { r } \Theta ( \tilde { r } ) \, d \tilde { r } \, \mathbf { e } _ { r } . } \end{array}
\left( \mathcal { D } g _ { n } \right) \left[ \hat { r } \right] = g _ { n } ^ { \prime \prime } \left[ \hat { r } \right] + g _ { n } ^ { \prime } \left[ \hat { r } \right] / \hat { r } - g _ { n } \left[ \hat { r } \right] / \hat { r } ^ { 2 } .
\mathrm { ~ B ~ E ~ R ~ } = \frac { 1 } { 4 } \left[ \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { I _ { 1 } - I _ { D } } { \sigma _ { 1 } \sqrt { 2 } } \right) + \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { I _ { D } - I _ { 0 } } { \sigma _ { 0 } \sqrt { 2 } } \right) \right] .
b _ { i j } ^ { ( n ) } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { q _ { j - i } ^ { ( n ) } , } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ 0 \leq ~ i ~ \leq ~ j ~ < ~ C ~ } } \\ & { 1 - \sum _ { k = 0 } ^ { C - i - 1 } q _ { k } ^ { ( n ) } , } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ j ~ = ~ C ~ a n d ~ 0 ~ \leq ~ i ~ < ~ C ~ } } \\ & { 1 , } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ i ~ = ~ j ~ = ~ C ~ } } \\ & { 0 , } & { \quad \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \quad \quad \forall \; i , j = 0 , 1 , . . . , C
\begin{array} { r l } { \alpha _ { s } ( \xi , \overline { { \xi } } ) } & { = | \xi | ^ { 1 / 2 } \, ( a _ { 0 } + a _ { 1 } \cos ( \theta ) + a _ { 2 } \cos ( 2 \theta ) + a _ { 3 } \cos ( 3 \theta ) + \cdots ) } \\ & { + | \xi | ^ { 3 / 2 } \, ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \cos ( \theta ) + b _ { 2 } \cos ( 2 \theta ) + b _ { 3 } \cos ( 3 \theta ) + \cdots ) } \\ & { + | \xi | ^ { 5 / 2 } \, ( c _ { 0 } + c _ { 1 } \cos ( \theta ) + c _ { 2 } \cos ( 2 \theta ) + c _ { 3 } \cos ( 3 \theta ) + \cdots ) + \cdots \, , } \end{array}
\mathbf { B } [ \mathbf { r } ] = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } ( { \frac { 3 ( \mathbf { m } \cdot \mathbf { r } ) \mathbf { r } } { r ^ { 5 } } } - { \frac { \mathbf { m } } { r ^ { 3 } } } )
\begin{array} { c } { \alpha _ { n m } = \left\{ \begin{array} { c c } { \phantom { - } \bar { C } _ { n m } , } & { n - m = \mathrm { e v e n } , } \\ { - \bar { S } _ { n m } , } & { n - m = \mathrm { o d d } , } \end{array} \right. } \\ { \beta _ { n m } = \left\{ \begin{array} { c c } { \bar { S } _ { n m } , } & { n - m = \mathrm { e v e n } , } \\ { \bar { C } _ { n m } , } & { n - m = \mathrm { o d d } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( F ( \boldsymbol { w } _ { t + 1 } ) ) } & { \le \mathbb { E } ( F ( \boldsymbol { w } _ { t } ) - \lambda ( \nabla F ( \boldsymbol { w } _ { t } ) - \boldsymbol { J } ) ^ { T } \nabla F ( \boldsymbol { w } _ { t } ) } \\ & { + \frac { L \lambda ^ { 2 } } { 2 } \| \nabla F ( \boldsymbol { w } _ { t } ) - \boldsymbol { J } \| ^ { 2 } ) , } \\ & { = \mathbb { E } ( F ( \boldsymbol { w } _ { t } ) ) - \frac { 1 } { 2 L } \| \nabla F ( \boldsymbol { w } _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 L } \mathbb { E } ( \| \boldsymbol { J } \| ^ { 2 } ) , } \end{array}
I ^ { s s _ { p } s _ { q } } ( x ) = \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left[ ( { \tilde { p } } ^ { x - 1 } + s s _ { p } { \tilde { p } } ^ { 2 } ) ( - s s _ { q } - s _ { p } s _ { q } \tilde { p } ) ^ { x - 1 } + s s _ { q } { \tilde { p } } ^ { x - 1 } ( s + s _ { p } \tilde { p } ) ^ { 2 } \right] \mathrm { d } { \tilde { p } } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial t } } & { { } = - S _ { 1 } \, r _ { 1 } } \\ { \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial t } } & { { } = - S _ { 2 } \, r _ { 2 t } } \\ { \frac { \partial T } { \partial t } } & { { } = \frac { c _ { 1 } } { c _ { 0 } } \left( \mathcal D _ { \mathrm { e f f , x } } \frac { \partial ^ { 2 } T } { \partial x ^ { 2 } } + \mathcal D _ { \mathrm { e f f , y } } \frac { \partial ^ { 2 } T } { \partial y ^ { 2 } } - \left< u _ { x } \right> \frac { \partial T } { \partial x } - \left< u _ { y } \right> \frac { \partial T } { \partial y } \right) - \frac { c _ { 2 } } { c _ { 0 } } \, S _ { 1 } \, r _ { 1 } + \frac { c _ { 3 } } { c _ { 0 } } \, S _ { 2 } \, r _ { 2 t } - \frac { c _ { 4 } } { c _ { 0 } } \, U ( T - T _ { a } ) } \end{array}
\mathcal { L } _ { 1 } ( \hat { u } _ { 1 } ) = \mathcal { L } _ { 1 } ( \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } ) + \int _ { \Omega _ { 1 } } \left( \frac { c _ { 1 } } { 2 } | \nabla g | ^ { 2 } + \frac 1 2 | g | ^ { 2 } \right) d x + \frac { \beta _ { D } } { 2 } \int _ { \partial \Omega _ { 1 } } | g | ^ { 2 } d s \geq \mathcal { L } _ { 1 } ( \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } ) .
k _ { 0 } ^ { 2 } = \lambda ( \epsilon _ { a } ( { \bf p } ) - \epsilon _ { a } ( { \bf q } ) ) ( \epsilon _ { b } ( { \bf q } ) - \epsilon _ { b } ( { \bf p } ) ) + ( 1 - \lambda ) \frac 1 2 \left[ ( \epsilon _ { a } ( { \bf p } ) - \epsilon _ { a } ( { \bf q } ) ) ^ { 2 } + ( \epsilon _ { b } ( { \bf q } ) - \epsilon _ { b } ( { \bf p } ) ) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { E _ { 2 } - E _ { 3 } } & { \geq \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \left( \frac { | \bar { \mathcal { S } } | - | \mathcal { S } | } { m } \right) - \left( \sqrt { \frac { | \bar { \mathcal { S } } | } { m } } + \sqrt { \frac { | \mathcal { S } | } { m } } \right) \sqrt { \frac { c \operatorname* { m a x } \{ d _ { 1 } , d _ { 2 } \} ( k + r ) } { m } } } \\ & { \geq \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \left( \frac { m - 2 | \mathcal { S } | } { m } \right) - 2 \sqrt { \frac { 2 c \operatorname* { m a x } \{ d _ { 1 } , d _ { 2 } \} k } { m } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \sigma _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { r } } ^ { \frac { r } { 2 } } = \Vert | \sigma _ { A } ( x , [ \xi ] ) | ^ { \frac { r } { 2 } } \Vert _ { \textnormal { H S } } \leq \Vert \sigma _ { | A | ^ { \frac { r } { 2 } } } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } + \Vert r _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } ^ { 2 } = \mathbb { V } \left[ \left. \widehat { \gamma } _ { j , \mathtt { i n i } } \right| j \in \mathcal { S } _ { \lambda } \right] - \mathbb { E } \left[ \left. \mathbb { V } \left[ \left. \widehat { \gamma } _ { j , \mathtt { i n i } } \right| \widehat { \gamma } _ { j } , j \in \mathcal { S } _ { \lambda } \right] \right| j \in \mathcal { S } _ { \lambda } \right] . } \end{array}
g = \frac { 4 } { x ^ { 2 } } \left[ \sum _ { n } \frac { n ( n + 2 ) } { n + 1 } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ a _ { n } a _ { n + 1 } ^ { * } + b _ { n } b _ { n + 1 } ^ { * } \} + \sum _ { n } \frac { 2 n + 1 } { n ( n + 1 ) } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ a _ { n } b _ { n } ^ { * } \} \right]
\begin{array} { r l } { G \le } & { \displaystyle C \sum _ { n = 1 } ^ { N } \displaystyle \frac { k _ { n } ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { n } , s \} - 2 } } { r _ { n } ^ { 2 s - 2 } } \| u \| _ { H ^ { s + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } \le C \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \displaystyle \frac { k _ { n } ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { n } , s \} - 1 } } { r _ { n } ^ { 2 s - 2 } } \| u \| _ { W ^ { s + 1 , \infty } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } } \\ { \le } & { C \operatorname* { m a x } _ { 1 \le n \le N } \left\{ \displaystyle \frac { k _ { n } ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { n } , s \} - 2 } } { r _ { n } ^ { 2 s - 2 } } \| u \| _ { W ^ { s + 1 , \infty } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
I _ { 6 c } ^ { ( 1 ) } = - 4 D \int d ^ { D } k \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 2 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } \, .
\mathbf { C } = \left( \begin{array} { c c c c } { - ( \Gamma + \kappa ) } & { - ( \Delta _ { a } - \Delta _ { c } ) } & { 0 } & { 0 } \\ { \Delta _ { a } - \Delta _ { c } } & { - ( \Gamma + \kappa ) } & { - 2 g } & { 2 g } \\ { 0 } & { g } & { - 2 \kappa } & { 0 } \\ { 0 } & { - g } & { 0 } & { - 2 \Gamma } \end{array} \right) ,
\xi ^ { \alpha } = Q _ { 1 } ^ { \alpha } { \cal P } _ { 1 } ^ { t } + Q _ { 2 } ^ { \alpha } { \cal P } _ { 2 } ^ { t } + \varepsilon ( \alpha , p _ { u } , p _ { \bar { d } } , p _ { t } ) { \cal D } ^ { t } .
\begin{array} { r l } { g ( r , s ) } & { { } = \frac { \sqrt { s / D } \cosh \left[ \sqrt { s / D } ( r - R _ { 1 } ) \right] } { r } + \frac { ( q _ { s } + 1 / R _ { 1 } ) \sinh \left[ \sqrt { s / D } ( r - R _ { 1 } ) \right] } { r } . } \end{array}
V ^ { - 1 } A V = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { \lambda _ { 1 } } & { \beta _ { 1 } } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } } & { \beta _ { 2 } } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 3 } } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { \lambda _ { n } } \end{array} \right] } ,
t H _ { 0 } = \int _ { 0 } ^ { a } { \frac { \mathrm { d } a ^ { \prime } } { \sqrt { ( \Omega _ { 0 , R } a ^ { - 2 } + \Omega _ { 0 , M } a ^ { - 1 } + \Omega _ { 0 , k } + \Omega _ { 0 , \Lambda } a ^ { 2 } ) } } }