harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { W _ { + + } } & { { } = \frac { N } { 2 } \left( 1 - q + \Delta \right) ( 2 q - \Delta - \Sigma ) \left( \frac { 1 + \epsilon } { 2 } \right) , } \\ { W _ { + - } } & { { } = \frac { N } { 2 } \left( 1 - q + \Delta \right) ( \Sigma - \Delta ) \left( \frac { 1 - \epsilon } { 2 } \right) , } \\ { W _ { - + } } & { { } = \frac { N } { 2 } \left( q - \Delta \right) ( 2 - 2 q + \Delta - \Sigma ) \left( \frac { 1 + \epsilon } { 2 } \right) , } \\ { W _ { -- } } & { { } = \frac { N } { 2 } \left( q - \Delta \right) ( \Sigma + \Delta ) \left( \frac { 1 - \epsilon } { 2 } \right) . } \end{array}
A _ { a b } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 \; , } } & { { \mathrm { ~ a ~ a n d ~ b ~ m a y ~ n o t ~ b e ~ a d j a c e n t } } } \\ { { 1 \; , } } & { { \mathrm { ~ a ~ a n d ~ b ~ m a y ~ b e ~ a d j a c e n t } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \rho ( x , y ) = 1 . 1 3 2 \times 1 0 ^ { - 4 } \times \left[ 1 + 0 . 5 \sin \left( 2 \pi \frac { x } { L } \right) \sin \left( 4 \pi \frac { y } { L } \right) \right] \mathrm { k g } \cdot \mathrm { m } ^ { - 3 } , } \\ & { \theta ( x , y ) = 2 7 3 \times \left[ 1 + 0 . 0 5 \sin \left( 2 \pi \frac { x } { L } \right) \sin \left( 2 \pi \frac { y } { L } \right) \right] \mathrm { K } . } \end{array}
C _ { \textup { D } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha , \tilde { G } ) = C _ { \mathrm { ~ D ~ } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha ) + C _ { \textup { D } , \tilde { G } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha , \tilde { G } ) \, ,
0 = \ast d ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) = ( - 1 ) ^ { n } \delta ( \ast \frac { \delta _ { \beta } \mathcal { F } } { \delta v } + \ast \frac { \delta _ { \phi } \mathcal { F } } { \delta v } ) = ( - 1 ) ^ { n } \big ( \delta ( \ast d w ^ { \prime } ) - \delta ( \ast \ast d w ) \big ) = \delta d w ,
\overline { { N _ { \gamma } } } \simeq 1 . 8 2 \frac { \sigma _ { z } [ 0 . 1 \mathrm { \ m u m } ] } { \mathcal { E } _ { 0 } [ \mathrm { G e V } ] } \chi _ { e \, m a x } ^ { 2 / 3 } < 1 .
\Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } , t ) = e ^ { - i E t / \hbar } \, \psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ) \, ,
\begin{array} { r l } { C _ { 4 } } & { : = C _ { 1 } ( h _ { 0 } ) \mu _ { 1 } \left( \frac { 5 } { 8 2 } \right) + C _ { 2 } ( h _ { 0 } ) \mu _ { 2 } \left( \frac { 1 7 } { 3 2 8 } \right) h ^ { 1 7 K ( t _ { 1 } ) / 3 2 8 } t _ { 0 } ^ { - 3 / 6 5 6 } } \\ & { + E _ { 1 } ( h _ { 0 } ) \mu _ { 1 } \left( \frac { 8 7 } { 1 6 4 } \right) t _ { 0 } ^ { - 2 7 / 3 2 8 } + E _ { 2 } ( h _ { 0 } ) \mu _ { 2 } \left( \frac { 5 } { 2 4 6 } \right) h ^ { 5 K ( t _ { 1 } ) / 2 4 6 } t _ { 0 } ^ { - 1 3 / 2 4 6 } + E _ { 3 } ( h _ { 0 } ) K ( t _ { 1 } ) t _ { 0 } ^ { - 2 7 / 1 6 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r c l c l } { \dot { \mu } } & { = } & { c _ { u } - q _ { u } \mu + \frac { a _ { 1 } ^ { u } \mu } { b _ { 1 } ^ { u } + \mu } - \frac { a _ { 2 } ^ { u } \mu \eta } { b _ { 2 } ^ { u } + \mu } } & { \equiv } & { f ( \mu , \eta ) } \\ { \dot { \eta } } & { = } & { c _ { v } + w _ { v } \mu - q _ { v } \eta } & { \equiv } & { g ( \mu , \eta ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { L I S ( \sigma ) \geq \sqrt { 2 } T ^ { - 1 } \sqrt { n } \Big ( \rho _ { \theta } \Big ( \frac { 1 } { 2 T } , \frac { 1 } { 2 T } \Big ) ^ { 1 \slash 2 } + \rho _ { \theta } \Big ( \frac { 2 T - 1 } { 2 T } , \frac { 2 T - 1 } { 2 T } \Big ) ^ { 1 \slash 2 } \Big ) } \\ & { } & { \quad \quad + T ^ { - 1 } \sqrt { n } \sum _ { l = 2 } ^ { 2 T - 2 } \rho _ { \theta } \Big ( \frac { l } { 2 T } , \frac { l } { 2 T } \Big ) ^ { 1 \slash 2 } - C ^ { \prime } ( ( \epsilon + T ^ { - 1 \slash 2 } ) n ^ { 1 \slash 2 } + T ^ { 1 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) } \\ & { } & { \geq T ^ { - 1 } \sqrt { n } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T } \rho _ { \theta } \Big ( \frac { l } { 2 T } , \frac { l } { 2 T } \Big ) ^ { 1 \slash 2 } - C ^ { \prime } ( ( \epsilon + T ^ { - 1 \slash 2 } ) n ^ { 1 \slash 2 } + T ^ { 1 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { k } } & { { } = f _ { k } ( x _ { 1 } , \hdots , h _ { M } ; \mathbf { w } ) , \quad 1 \leq k \leq m } \\ { \dot { h } _ { k } } & { { } = f _ { k } ( x _ { 1 } , \hdots , h _ { M } ; \mathbf { w } ) , \quad m < k \leq M } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \boldsymbol { \widetilde { e } } } _ { I J } = \exp \left( - \frac { ( R _ { I J } - \mu _ { n } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) \otimes \left[ 1 | { \boldsymbol { R } } _ { I J } \right] } \\ & { { \boldsymbol { e } } _ { I J } ^ { 0 } = \mathrm { M L P } ( { \boldsymbol { \widetilde { e } } } _ { I J } ) } \\ & { { \boldsymbol { c } } _ { I } ^ { 0 } = { \boldsymbol { \alpha } } _ { I } } \end{array}
t = 0 \mathrm { ~ n ~ s ~ , ~ } 2 4 \mathrm { ~ n ~ s ~ , ~ } 3 6 . 8 \mathrm { ~ n ~ s ~ , ~ } 4 9 . 6 \mathrm { ~ n ~ s ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } 6 0 \mathrm { ~ n ~ s ~ }
\begin{array} { r l r l } { \left\| \widetilde u - u _ { h } \right\| _ { 0 , \Omega _ { h } } ^ { 2 } } & { = N _ { h } ( \widetilde u - u _ { h } , \phi ) } & \\ & { = N _ { h } ( \widetilde u - u _ { h } , \phi - \phi _ { h } ) + N _ { h } ( \widetilde u - u _ { h } , \phi _ { h } ) } & \\ & { \leq C \| \widetilde u - u _ { h } \| _ { 1 , \Omega _ { h } } \| \phi - \phi _ { h } \| _ { 1 , \Omega _ { h } } + N _ { h } ( \widetilde u - u _ { h } , \phi _ { h } ) } & { \textrm { ( \cite [ T h e o r e m 2 ] { c h e u n g 2 0 1 9 o p t i m a l l y } ) } } \\ & { \leq C h ^ { k + s } \left( | u | _ { k + 1 , \Omega _ { h } } + | f | _ { k - 1 , \Omega _ { h } } \right) | \phi | _ { 2 , \Omega _ { h } } + N _ { h } ( \widetilde u - u _ { h } , \phi _ { h } ) } & { \textrm { a n d \cite [ T h e o r e m 5 ] { c h e u n g 2 0 1 9 o p t i m a l l y } } } \\ & { \leq C h ^ { k + s } \left( | u | _ { k + 1 , \Omega _ { h } } + | f | _ { k - 1 , \Omega _ { h } } \right) | \phi | _ { 2 , \Omega _ { h } } } & & { } \\ & { \quad + C h ^ { k + 1 } \left( | u | _ { W _ { \infty } ^ { k + 1 } ( \Omega ) } + | f | _ { W _ { \infty } ^ { k - 1 } \Omega } \right) \| \phi _ { h } \| _ { 1 , \Omega _ { h } } } & { \textrm { L e m m a } } \\ & { \leq C h ^ { k + s } \left( | u | _ { W _ { \infty } ^ { k + 1 } ( \Omega ) } + | f | _ { W _ { \infty } ^ { k - 1 } \Omega } \right) \| \widetilde u - u _ { h } \| _ { 0 , \Omega _ { h } } } & { \textrm { a n d } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } g ( \Delta ) \ d \Delta \int _ { - \infty } ^ { + \infty } P _ { a / g } ( \Delta , t ^ { \prime } , z ) \ d t ^ { \prime } } \\ { \to 2 \pi \ g ( 0 ) \ P _ { a / g } ( 0 , t _ { 0 } + \tau , z ) , } \end{array}
r _ { w s } \approx e ^ { - \Gamma t } \begin{array} { l } { { [ r _ { D } + r _ { m i x } \times \frac { \Gamma ^ { 2 } t ^ { 2 } } { 2 } + } } \\ { { \sqrt { 2 r _ { m i x } r _ { D } } \cos { \Phi } \times \Gamma t ] } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } \hat { h } _ { m } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { h } _ { m - 1 } + \nabla \hat { h } _ { m + 1 } \right] } \\ & { } & { = \Gamma R ^ { 2 } \pi ^ { 2 } m \left[ \hat { h } _ { m - 1 } \hat { f } _ { 1 } - \hat { h } _ { m + 1 } \hat { f } _ { - 1 } \right] + R v _ { 0 } ( S c ) ^ { 2 } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \hat { h } _ { n } \hat { f } _ { m - n } \, g _ { m , n } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle x ^ { 2 } ( t ) \rangle = \langle \Psi ( t ) | \hat { x } ^ { 2 } | \Psi ( t ) \rangle = \frac { 1 } { N ^ { 2 } \sum _ { m } e ^ { - 2 \left( \frac { m a } { D } \right) ^ { 2 } } } \sum _ { j = - ( N - 1 ) / 2 } ^ { ( N - 1 ) / 2 } \left| \sum _ { k _ { 1 } } \sum _ { m } e ^ { - \left( \frac { m a } { D } \right) ^ { 2 } } e ^ { i k _ { 1 } m a } e ^ { - i k _ { 1 } j a } e ^ { i E _ { k _ { 1 } } t / \hbar } ( j a ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { P } } ( A ) = P _ { ( A ) } ( A ) } & { = \sum _ { E \in \mathcal { E } } P _ { ( A ) } ( A \mid E ) P _ { ( A ) } ( E ) } \\ & { \geq \sum _ { E \in \mathcal { E } } \underline { { P } } ^ { \times } ( A \mid E ) P _ { ( A ) } ( E ) } \\ & { \geq \sum _ { E \in \mathcal { E } } \operatorname* { i n f } _ { E \in \mathcal { E } } \underline { { P } } ^ { \times } ( A \mid E ) P _ { ( A ) } ( E ) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { E \in \mathcal { E } } \underline { { P } } ^ { \times } ( A \mid E ) \sum _ { E \in \mathcal { E } } P _ { ( A ) } ( E ) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { E \in \mathcal { E } } \underline { { P } } ^ { \times } ( A \mid E ) . } \end{array}
x ^ { 2 } a _ { 0 } = - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left[ \ln \left( \displaystyle \frac { x } { 2 } \right) \right] ^ { - 1 } + 0 \left[ \ln \left( \displaystyle \frac { x } { 2 } \right) \right] ^ { - 2 } ,
\eta ^ { y _ { 1 } } = \frac { \dot { l } ^ { y _ { 1 } } } { \dot { S } _ { r } ^ { y _ { 1 } } } \leqslant 1 - \frac { \dot { S } _ { r } ^ { y _ { 1 } } } { \theta ^ { y _ { 1 } } } .
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { f } } } ( f _ { \omega } ) } & { \approx k [ \alpha _ { y x } ( f _ { \omega } ) + \alpha _ { y x , z } ( f _ { \omega } ) \mathcal { E } _ { z } ] \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { x } \cos ( 2 k Z _ { 0 } ) \hat { \mathbf { z } } , } \\ { \overline { { \mathbf { f } } } ( g _ { \omega } ) } & { \approx \frac { 1 } { 2 } k \{ [ \alpha _ { y y } ( g _ { \omega } ) + \alpha _ { y y , z } ( g _ { \omega } ) \mathcal { E } _ { z } ] \mathcal { E } _ { y } ^ { 2 } - [ \alpha _ { x x } ( g _ { \omega } ) + \alpha _ { x x , z } ( g _ { \omega } ) \mathcal { E } _ { z } ] \mathcal { E } _ { x } ^ { 2 } \} \hat { \mathbf { z } } , } \\ { \overline { { \mathbf { f } } } ^ { \prime } ( f _ { \omega } ) } & { \approx - k [ \alpha _ { y x } ^ { \prime } ( f _ { \omega } ) + \alpha _ { y x , z } ^ { \prime } ( f _ { \omega } ) \mathcal { E } _ { z } ] \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { x } \sin ( 2 k Z _ { 0 } ) \hat { \mathbf { z } } , } \\ { \overline { { \mathbf { f } } } ^ { \prime } ( g _ { \omega } ) } & { \approx 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { V } ^ { S } ( V ) = \big \langle K _ { V } ^ { S } , K _ { V } ^ { S } \big \rangle _ { L _ { 2 } } = \big \langle K _ { I d } ^ { S } \circ L _ { V ^ { - 1 } } , K _ { V } ^ { S } \big \rangle _ { L _ { 2 } } = \big \langle K _ { I d } ^ { S } , K _ { V } ^ { S } \circ L _ { V } \big \rangle _ { L _ { 2 } } = \big \langle K _ { I d } ^ { S } , K _ { I d } ^ { S } \big \rangle _ { L _ { 2 } } = K _ { I d } ^ { S } ( I d ) > 0 \, , } \end{array}
H _ { 1 } ^ { s } \, \psi _ { p h } = - \, \sigma \, H _ { 1 } ^ { s } \, F \, \overline { { { \eta } } } \, \eta + H _ { 1 } ^ { s } \, p _ { y } F \, \equiv \, - \, \sigma \, F ^ { \prime } \, \overline { { { \eta } } } \, \eta + p _ { y } F ^ { \prime }
r _ { p } = \sqrt { \langle r ^ { 2 } \rangle _ { p } } \, , \qquad \langle r ^ { 2 } \rangle _ { p } = r _ { p } ^ { 2 } = 6 \hbar ^ { 2 } \left. \frac { \partial G _ { E } ( q ^ { 2 } ) } { \partial q ^ { 2 } } \right| _ { q ^ { 2 } = 0 }
g _ { i } ^ { e q } = w _ { i } T \left[ 1 + \frac { \textbf { c } _ { i } \cdot \textbf { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { ( \textbf { c } _ { i } \cdot \textbf { u } ) ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } - \frac { \textbf { u } \cdot \textbf { u } } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { A } ( t _ { * } + r ) - \mathcal { A } ( t _ { * } + r ^ { \prime } ) , r - r ^ { \prime } \rangle } & { { } = \langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) ( r - r ^ { \prime } ) , r - r ^ { \prime } \rangle + \langle \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; r ) - \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; r ^ { \prime } ) , r - r ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\left\{ { A } _ { i j } , { B } _ { i j } , { D } _ { i j } \right\} = \left\{ { A } _ { i j } ^ { ( 0 ) } , { B } _ { i j } ^ { ( 0 ) } , { D } _ { i j } ^ { ( 0 ) } \right\} + \beta \left\{ { A } _ { i j } ^ { ( 1 ) } , { B } _ { i j } ^ { ( 1 ) } , { D } _ { i j } ^ { ( 1 ) } \right\}
Z _ { \mathrm { d i s c } } ^ { \prime } ( 0 ) = { \frac { 1 } { 6 } } \log 2 + { \frac { 1 } { 2 } } \log \pi + { \frac { 1 } { 3 } } \log R + 2 \zeta ^ { \prime } ( - 1 ) + { \frac { 5 } { 1 2 } }
\lambda _ { \mathrm { a i r } } = - 3 . 4 7 \cdot 1 0 ^ { - 8 } \, T ^ { 2 } + 9 . 8 8 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, T - 2 . 7 5 \cdot 1 0 ^ { - 4 } ,
u ^ { \dagger } ( \phi _ { + } ^ { \dagger } \phi _ { + } ) _ { ( u u ) } u = \left( \begin{array} { l l l } { { | { \bf d } | ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { | { \bf d } | ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ ,
A _ { n } = \left( \begin{array} { c c c c } { { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { n } ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { C _ { 1 } ^ { 1 } D ^ { 1 } { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { n } ) } & { { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { n } ) } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { C _ { r } ^ { r } D ^ { r } { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { n } ) } & { C _ { r - 1 } ^ { r } D ^ { r - 1 } { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { n } ) } & { \cdots } & { { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { n } ) } \end{array} \right) ,
M _ { \gamma } ( V _ { G } ) = \sum p _ { i } \cdot q ( \frac { Q _ { i } } { p _ { i } \cdot q } - \frac { Q _ { j } } { p _ { j } \cdot q } ) ( \frac { J _ { i } } { p _ { i } \cdot q } - \frac { J _ { k } } { p _ { k } \cdot q } )
\frac { 1 } { 2 } m | { \bf u } | ^ { 2 } \; = \; q \, \psi \, \Phi ^ { \prime } \; \left( \frac { c \Phi ^ { \prime } } { \Omega _ { 0 } } \right) \; \equiv \; \epsilon \, q \, \Phi _ { 1 } ( \psi )
\begin{array} { r l } { \rho _ { i _ { 1 } , \hdots , i _ { k } } ( z ) } & { \triangleq \prod _ { j = 1 } ^ { k } p _ { i _ { j } } ( z ) } \\ { \rho _ { i _ { 1 } , \hdots , i _ { k } } ^ { \prime } ( z ) } & { \triangleq \sum _ { j = 1 } ^ { k } c _ { i _ { j } } \, p _ { i _ { j } } ^ { \prime } ( z ) \underset { l \ne j } { \prod _ { l = 1 } ^ { k } } p _ { i _ { l } } ( z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { n } ( r , \phi , z ) = } & { \frac { \pi } { 2 } \sqrt { \frac { ( - i ) ^ { | n | } } { \lambda z } } r \exp ( i n \phi ) \exp ( i k z ) \exp \left( \frac { i k r ^ { 2 } } { 4 z } \right) } \\ { \times } & { \left[ J _ { \frac { | n | - 1 } { 2 } } \left( \frac { k r ^ { 2 } } { 4 z } \right) - i J _ { \frac { | n | + 1 } { 2 } } \left( \frac { k r ^ { 2 } } { 4 z } \right) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle B _ { \tilde { l } _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t ) B _ { l _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 1 } ) \rangle _ { B } \to C _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } ^ { \alpha } ( t , t _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \partial n _ { \vec { k } } } { \partial t } \approx 8 \pi \int \Big \{ \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } n _ { \vec { k } _ { 1 } } n _ { \vec { k } _ { 3 } } ( n _ { \vec { k } _ { 2 } } - n _ { \vec { k } } ) } \\ { \displaystyle \times \delta ( \varOmega ) \Big \} _ { \vec { k } _ { 2 } = \vec { k } + \vec { q } } \mathrm d \vec { k } _ { 1 } \mathrm d \vec { k } _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( y ^ { \prime } - \frac { v _ { 0 } \textrm { c o t } \theta _ { 0 } } { g } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { \prime } + \frac { v _ { 0 } } { g } \right) ^ { 2 } } & { { } = \left( \frac { v _ { 0 } } { g \textrm { s i n } \theta _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } \\ { \left( g y ^ { \prime } - v _ { 0 } \textrm { c o t } \theta _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \left( g x ^ { \prime } + v _ { 0 } \right) ^ { 2 } } & { { } = v _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 + \textrm { c o t } ^ { 2 } \theta _ { 0 } \right) } \\ { ( g y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \left( g x ^ { \prime } + v _ { 0 } \right) ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } } & { { } = g y ^ { \prime } v _ { 0 } \textrm { c o t } \theta _ { 0 } } \\ { \textrm { t a n } ^ { - 1 } \left( \frac { g y ^ { \prime } v _ { 0 } } { ( g y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( g x ^ { \prime } - v _ { 0 } ) ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } & { { } = \theta _ { 0 } } \end{array}
D _ { \mathrm { K L } } ( \mathrm { W e i b } _ { 1 } \parallel \mathrm { W e i b } _ { 2 } ) = \log { \frac { k _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } } } - \log { \frac { k _ { 2 } } { \lambda _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } } } + ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \left[ \log \lambda _ { 1 } - { \frac { \gamma } { k _ { 1 } } } \right] + \left( { \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } } \right) ^ { k _ { 2 } } \Gamma \left( { \frac { k _ { 2 } } { k _ { 1 } } } + 1 \right) - 1
\begin{array} { r l } { D _ { \mu _ { 1 } , \gamma _ { 1 } } } & { = \mu _ { 1 } { \gamma _ { 1 } } _ { x } ; \ \ \ \ D _ { \mu _ { 2 } , \gamma _ { 2 } } = \mu _ { 2 } { \gamma _ { 2 } } _ { x } . } \\ { D _ { \mu _ { 1 } , \gamma _ { 1 } } - D _ { \mu _ { 2 } , \gamma _ { 2 } } } & { = \mu _ { 1 } { \gamma _ { 1 } } _ { x } - \mu _ { 2 } { \gamma _ { 2 } } _ { x } } \\ & { = \mu _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } ) _ { x } + ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) { \gamma _ { 2 } } _ { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } p + u \partial _ { x } p + \gamma p \partial _ { x } u } & { { } = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } p + M ^ { \- 2 } \frac { \gamma p } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p \pm \gamma p \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u } \\ { \rho \partial _ { t } u + M ^ { \- 2 } \partial _ { x } p + \rho u \partial _ { x } u } & { { } = \rho \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } u \phantom { \frac { \gamma p } { \rho | v | } } \pm M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { t } v + u \partial _ { x } v } & { { } = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } v } \\ { \partial _ { t } s + u \partial _ { x } s } & { { } = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } s } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \Lambda _ { 1 } , { A _ { 1 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } \right] = { A _ { 2 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } , \quad \left[ \Lambda _ { 1 } , { B _ { 1 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } \right] = { B _ { 2 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } , \quad \left[ \Lambda _ { 1 } , { C _ { 1 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } \right] = { C _ { 2 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } . } \end{array}
\bar { P } _ { i y m d h } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } = \left( 1 - \eta _ { i y m d h } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } \right) * \phi _ { i } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } * \bar { P } _ { i y } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } * \beta _ { m } ,
\begin{array} { r } { \left\| \big ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } \big ) P _ { \neq } [ ( a ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 1 } \Pi ) ) ] \right\| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } \left( \int _ { \Omega } \left| \nabla \mathbf { F } _ { m } \odot \boldsymbol { \Sigma } _ { m } - \nabla \mathbf { F } \odot \boldsymbol { \Theta } \right| ^ { \frac { 6 } { 5 } } \right) ^ { \frac { 5 } { 3 } } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } \left( \int _ { \Omega } \left| \nabla ( \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } ) \odot \boldsymbol { \Sigma } _ { m } + \nabla \mathbf { F } \odot ( \boldsymbol { \Sigma } _ { m } - \boldsymbol { \Theta } ) \right| ^ { \frac { 6 } { 5 } } \right) ^ { \frac { 5 } { 3 } } } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } | | \nabla ( \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } ) | | _ { L ^ { 3 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \Sigma } _ { m } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } | | \nabla \mathbf { F } | | _ { L ^ { 3 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \Sigma } _ { m } - \boldsymbol { \Theta } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq C | | \omega | | _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } ^ { 2 } | | \nabla ( \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } ) | | _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 3 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \Sigma } _ { m } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C | | \omega | | _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } ^ { 2 } | | \nabla \mathbf { F } | | _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 3 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \Sigma } _ { m } - \boldsymbol { \Theta } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } \to 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( E _ { \mathrm { c u t } } ) } & { < 1 6 \pi ^ { 2 } \int _ { \sqrt { 2 E _ { \mathrm { c u t } } } } ^ { \infty } \rho _ { \mu \nu } ( G ) \rho _ { \kappa \kappa } ( G ) d G } \\ & { \approx \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } N _ { \mu } N _ { \nu } \theta _ { \mu \nu \kappa \kappa } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } } { ( 2 l _ { \kappa } - 1 ) ! ! ( 2 \alpha _ { \mu \nu } ) ^ { l _ { \mu \nu } } ( 4 \alpha _ { \kappa } ) ^ { 2 l _ { \kappa } } } \big ( \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { \mu \nu } \alpha _ { \kappa } } \big ) ^ { 3 / 2 } ( 2 E _ { \mathrm { c u t } } ) ^ { ( l _ { \mu \nu } + 2 l _ { \kappa } - 1 ) / 2 } e ^ { - \frac { E _ { \mathrm { c u t } } } { 2 \theta _ { \mu \nu \kappa \kappa } } } . } \end{array}
4 1 \mu ^ { 2 } \frac { d a } { d \mu ^ { 2 } } = - \frac { 2 3 } { 1 2 } a ^ { 2 } - \frac { 2 9 } { 1 2 } a ^ { 3 } - \frac { 9 7 6 9 } { 3 4 5 6 } a ^ { 4 } - 1 8 . 8 5 2 1 7 a ^ { 5 } .
X _ { k } = \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { N / 2 - 1 } x _ { 2 n _ { 2 } } \omega _ { N / 2 } ^ { n _ { 2 } k } + \omega _ { N } ^ { k } \sum _ { n _ { 4 } = 0 } ^ { N / 4 - 1 } x _ { 4 n _ { 4 } + 1 } \omega _ { N / 4 } ^ { n _ { 4 } k } + \omega _ { N } ^ { 3 k } \sum _ { n _ { 4 } = 0 } ^ { N / 4 - 1 } x _ { 4 n _ { 4 } + 3 } \omega _ { N / 4 } ^ { n _ { 4 } k }
\phi ( x _ { i } , w ) = \phi _ { a s } ( x _ { i } ) \sum _ { j = 0 } ^ { 5 } N _ { j } \left[ \frac { \alpha _ { s } ( w ) } { \alpha _ { s } ( \mu _ { 0 } ) } \right] ^ { b _ { j } / ( 4 \beta _ { 0 } ) } a _ { j } A _ { j } ( x _ { i } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { x } ^ { d } \big ( \| X _ { \tau _ { d } + \theta } ^ { d } - X _ { \tau _ { d } } ^ { d } \| > \eta \big ) } & { \leq \mathbb { P } _ { x } ^ { d } \big ( \| H _ { \tau _ { d } + \theta } ^ { d } - H _ { \tau _ { d } } ^ { d } \| + \| \bar { J } _ { \tau _ { d } + \theta } ^ { d } - \bar { J } _ { \tau _ { d } } ^ { d } \| > \eta \big ) } \\ & { \leq \frac { 2 } { \eta ^ { 2 } } \big ( \mathbb { E } _ { \mathbb { P } _ { x } ^ { d } } \left[ \| H _ { \tau _ { d } + \theta } ^ { d } - H _ { \tau _ { d } } ^ { d } \| ^ { 2 } \right] + \mathbb { E } _ { \mathbb { P } _ { x } ^ { d } } \left[ \| \bar { J } _ { \tau _ { d } + \theta } ^ { d } - \bar { J } _ { \tau _ { d } } ^ { d } \| ^ { 2 } \right] \big ) , } \end{array}
{ \boldsymbol { S } } = { \boldsymbol { F } } ^ { - 1 } \cdot { \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { F } } } } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad S _ { I J } = F _ { I k } ^ { - 1 } { \frac { \partial W } { \partial F _ { k J } } } ~ .
b e g i n { e q n a r r a y } - i ( \Sigma ( x , y ) ) _ { 1 1 } = \left[ - i ( \Sigma ( y , x ) ) _ { 2 2 } \right] ^ { * } , \; \; \; \; - i ( \Sigma ( x , y ) ) _ { 1 2 ( 2 1 ) } = \left[ - i ( \Sigma ( y , x ) ) _ { 1 2 ( 2 1 ) } \right] ^ { * } .