harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { \epsilon } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { = } & { { \cal E } ^ { ( 1 ) } ( t ) + \epsilon ( u ^ { \prime } , u ) + \frac { \alpha \epsilon } { 2 } \| u \| ^ { 2 } } \\ & { \geq } & { { \cal E } ^ { ( 1 ) } ( t ) - \epsilon \| u ^ { \prime } \| \| u \| + \frac { \alpha \epsilon } { 2 } \| u \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \widetilde { \mathcal { M } } _ { n , \mathbf { j } } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { \leq ( d \, ! ) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { \textbf { k } \in \daleth _ { n , i } ( t ) } F _ { \textbf { j , k } } ^ { 2 } = ( d \, ! ) ^ { 2 } \sum _ { \textbf { k } \in \daleth _ { n } ( t ) } F _ { \textbf { j , k } } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { h } _ { i j } ^ { \mathrm { B P } } } & { = ( i | \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e n } } | j ) + \sum _ { k l } D _ { k l } \left( ( i j | \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e e } } | k l ) - \frac { 3 } { 2 } ( i l | \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e e } } | k j ) - \frac { 3 } { 2 } ( k j | \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e e } } | i l ) \right) , } \\ { \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e n } } } & { = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { A } \frac { Z _ { A } } { \hat { r } _ { 1 A } ^ { 3 } } \hat { \mathbf { l } } _ { 1 A } , \ \ \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e e } } = - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \frac { 1 } { \hat { r } _ { 1 2 } ^ { 3 } } \hat { \mathbf { l } } _ { 1 2 } , } \end{array}
I ^ { - 1 } ( k ^ { 2 } ) = \frac 1 2 \int \frac { d ^ { 3 } l } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \cos ^ { 2 } ( k \wedge l ) } { ( l ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( ( k + l ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l r } { \partial _ { x } { E _ { x } } + \partial _ { y } { E _ { y } } + \tau ^ { - 2 } \partial _ { \eta } { E _ { \eta } } } & { { } = } & { \rho \; , } \\ { \partial _ { x } { B _ { x } } + \partial _ { y } { B _ { y } } + \tau ^ { - 2 } \partial _ { \eta } { B _ { \eta } } } & { { } = } & { 0 \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| u - \Pi ^ { \bf { r } } u \| _ { L ^ { \infty } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } \le C \Big ( \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } + 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \displaystyle \frac { 1 } { ( r _ { n } - 2 ) ^ { 3 } } \| u \| _ { W ^ { s _ { n } + 1 , \infty } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \alpha ( Q ^ { 2 } ) } } } & { { } - } & { { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \ln \left( { \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \alpha ( Q ^ { 2 } ) } } \right) } \end{array}
{ \cal L } _ { V \gamma } = - { \frac { e } { \sqrt { 2 } } } ( g _ { \rho } \rho ^ { 0 \mu } + { \frac { g _ { \omega } } { 3 } } \omega ^ { \mu } - { \frac { \sqrt { 2 } g _ { \phi } } { 3 } } \phi ^ { \mu } ) ~ B _ { \mu } .
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \varkappa , \varkappa ^ { \prime } } = ( - 1 ) ^ { \varphi } \Pi _ { j j ^ { \prime } l l ^ { \prime } } } & { { } \left( \begin{array} { c c c } { j } & { 1 } & { j ^ { \prime } } \\ { - \mu } & { 0 } & { \mu } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { l ^ { \prime } } & { 1 } & { l } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { c c c } { l ^ { \prime } } & { \frac 1 2 } & { j ^ { \prime } } \\ { j } & { 1 } & { l } \end{array} \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \frac { \delta { \cal U } ^ { ( 1 ) } } { \delta n ^ { ( 0 ) } } \right\vert } & { { } = \left\vert \frac { \delta { \cal U } ^ { ( 1 ) } } { \delta n ^ { ( 1 ) } } \frac { \delta n ^ { ( 1 ) } } { \delta n ^ { ( 0 ) } } \right\vert } \end{array}
P _ { x } = \frac { 2 } { \pi \alpha ^ { \prime } \sqrt { - K } ( 1 - K L ^ { 2 } ) } \left\{ - \frac { 2 } { 3 } + \frac { 1 } { K L ^ { 2 } } - \frac { 1 - K L ^ { 2 } } { K L ^ { 3 } \sqrt { - K } } [ \frac { \pi } { 2 } - \arcsin \frac { 1 } { \sqrt { 1 - K L ^ { 2 } } } ] \right\} ,
\begin{array} { r } { \sigma _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { g } } = \sigma _ { x y } , \quad \sigma _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { g } } = \sigma _ { y z } , \quad \sigma _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { c } } = \frac { 2 \sqrt { 2 } \sigma _ { x z } - \sigma _ { x y } } { 3 } , \quad \sigma _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { c } } = \frac { 7 \sigma _ { y z } + 2 \sqrt { 2 } \left( \sigma _ { z z } - \sigma _ { y y } \right) } { 9 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left\| x ^ { k } - x ^ { * } \right\| ^ { 2 } \right] \leq \left( 1 - \frac { \beta \mu } 2 \left( 1 - 5 \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \right) \right) ^ { k } \left\| x ^ { 0 } - x ^ { * } \right\| ^ { 2 } + \frac { 4 \left( \frac \beta \tau + 3 \alpha ^ { 2 } L \delta ^ { 2 } \right) \sigma _ { * } ^ { 2 } } { \mu ( 1 - 2 \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\mathbf { H } _ { \ell } = \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } \sum _ { \nu = - \infty } ^ { \infty } \frac { i ^ { \nu } } { k _ { \ell } } \left[ c _ { \ell \nu } \mathbf { N } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ w ~ a ~ r ~ d ~ } ) } + d _ { \ell \nu } \mathbf { N } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ w ~ a ~ r ~ d ~ } ) } \right]
( J _ { 1 } \cdot J _ { 1 } ) _ { 0 } = ( J _ { 1 } ^ { 2 } ) _ { 0 } = \sum _ { m _ { 1 } } \sum _ { m _ { 2 } } \: \langle 1 , m _ { 1 } ; 1 , m _ { 2 } | 0 , 0 \rangle \; J _ { 1 , m _ { 1 } } J _ { 1 , m _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \Im \int _ { \Omega } ( - \Delta ) ^ { s } \Bar { \psi } ( - \Delta ) ^ { s + 1 } \psi } & { = \Im \left\langle ( - \Delta ) ^ { s } \psi , ( - \Delta ) ^ { s + 1 } \psi \right\rangle } \\ & { = \Im \left\langle ( - \Delta ) ^ { s + \frac { 1 } { 2 } } \psi , ( - \Delta ) ^ { s + \frac { 1 } { 2 } } \psi \right\rangle = 0 } \end{array}
V ^ { \prime \prime } = \frac { 8 \pi ^ { 2 } G _ { 0 } } { B _ { 0 } ^ { 3 } } \left[ \frac { 3 \eta ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 2 B _ { 2 0 } } { B _ { 0 } } - \frac { p _ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r } { k _ { \beta , x } = \sqrt { \frac { 1 } { \gamma m _ { e } c ^ { 2 } } \frac { e E _ { x } } { x } } = \sqrt { \frac { n _ { 0 } e ^ { 2 } } { \gamma \epsilon _ { 0 } m _ { e } c ^ { 2 } ( 1 + \alpha _ { p } ) } } } \\ { k _ { \beta , y } = \sqrt { \frac { 1 } { \gamma m _ { e } c ^ { 2 } } \frac { e E _ { y } } { y } } = \sqrt { \frac { n _ { 0 } \alpha _ { p } e ^ { 2 } } { \gamma \epsilon _ { 0 } m _ { e } c ^ { 2 } ( 1 + \alpha _ { p } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \frac { d ^ { 2 } h } { d \rho ^ { 2 } } } { \left( 1 + \left( \frac { d h } { d \rho } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } } \\ { \kappa _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \frac { d h } { d \rho } } { \rho \left( 1 + \left( \frac { d h } { d \rho } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln \Gamma ( x ) } & { { } = x \ln x - x + { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 2 \pi } { x } } + { \frac { 1 } { 1 2 ( x + 1 ) } } + { \frac { 1 } { 1 2 ( x + 1 ) ( x + 2 ) } } + } \end{array}
\mathrm { ~ P ~ r ~ o ~ b ~ } ( \sigma _ { i } ^ { t + 1 } = \omega | \{ \sigma _ { i } ^ { t } \} _ { t } ) = \frac { \chi _ { i , \omega } ( t ) } { \sum _ { \omega ^ { \prime } } \chi _ { i , { \omega ^ { \prime } } } ( t ) } .
\begin{array} { r } { C ^ { - 1 } \leq \| \mathbb { D } _ { u , k } \| _ { L ^ { 2 } \to L ^ { 2 } } \leq C , \quad C ^ { - 1 } \leq \| \mathbb { D } _ { u , k } ^ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } \to L ^ { 2 } } \leq C . } \end{array}
\lambda _ { R } = \lambda \left( 1 - \frac { ( - 1 ) ^ { n } \lambda ^ { 2 } } { 4 ( 2 \sqrt { \pi } ) ^ { D } n ! } M ^ { D - 6 } \zeta ^ { \prime } ( 6 - D ) \right) , \qquad D \equiv 2 n > 6
\begin{array} { r l r } { c \left( \mathbf { p } _ { - } ^ { \left( \zeta , \beta \right) } , T _ { \zeta , \beta } \right) } & { { } = } & { c \left( \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right) } , T _ { \left\{ \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right\} } + \tau \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } \right) \right) , } \\ { \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right) } } & { { } = } & { \mathbf { p } _ { - , T _ { \left\{ \zeta , \beta \right\} } - T _ { \left\{ \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right\} } - \tau \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } \right) } ^ { \left( \zeta , \beta \right) } , } \end{array}
\sum _ { \mathbf { j } \in \mathbb { Z } ^ { d } \, : \, \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { \ell \in [ \! [ 1 , d ] \! ] } j _ { \ell } \geq J } 2 ^ { j _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) + \cdots + j _ { d } ( 1 - h _ { d } ) } \| X _ { \mathbf { j } } \| _ { I , \infty } \leq \sum _ { n = 1 } ^ { d } \left( \mathcal { M } _ { n , J } + \sum _ { m = 0 } ^ { 3 } \mathcal { H } _ { n , J } ^ { m } \right) ,
\begin{array} { r } { \left| \lambda \right\rangle \left( z , \xi \right) = { { \left( { { h } _ { \lambda } } \left( z \right) - { { \Omega } _ { 2 } } \left( z \right) { { h } _ { \lambda } } \left( { { z } _ { f } } \right) \right) } ^ { T } } { { \xi } _ { \lambda } } + { { \Omega } _ { 2 } } \left( z \right) { \left| { { \lambda } _ { f } } \right\rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t _ { k } } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } ] } & { = 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t _ { k } } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } ] } & { = 0 . } \end{array}
\Delta ( \hbar ) \sim \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \frac { 2 \hbar } { \tau } \frac { \mathcal { G } _ { 0 } ^ { ( - ) } ( \hbar ) \left( 1 + \hbar \Gamma _ { 1 } ^ { ( - ) } + \mathcal { O } \big ( \hbar ^ { 2 } \big ) \right) } { \mathcal { G } _ { 0 } ^ { ( + ) } ( \hbar ) \left( 1 + \hbar \Gamma _ { 1 } ^ { ( + ) } + \mathcal { O } \left( \hbar ^ { 2 } \right) \right) } .
\begin{array} { r l r } { P ( \Delta X \mid z ^ { \prime } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { X } ^ { 2 } } } \exp \left[ \frac { - ( \Delta X ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { X } ^ { 2 } } \right] , } \\ { P ( \Delta Y \mid z ^ { \prime } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { Y } ^ { 2 } } } \exp \left[ \frac { - ( \Delta Y ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { Y } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
\left( \eta ^ { \beta } t \right) \left( \frac { N t } { \epsilon } \right) ^ { o ( 1 ) } \qquad \textrm { w h e r e } \qquad N = \Theta \left( \eta ^ { \alpha } \right) \qquad \textrm { a n d } \qquad \beta = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 4 \alpha + 1 } { 3 } } & { \alpha \leq 2 } \\ { \frac { \alpha + 7 } { 3 } } & { 2 \leq \alpha \leq 3 } \\ { \frac { 2 \alpha + 4 } { 3 } } & { 3 \leq \alpha \leq 4 } \\ { \frac { \alpha + 8 } { 3 } } & { \alpha \geq 4 } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l } & { 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \eta _ { i , \theta , h _ { n } } - \left( h ^ { T } \Delta _ { n , \theta } - \frac 1 4 h ^ { T } \Sigma _ { n , \theta } h \right) } \\ & { = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( U _ { i } - { \mathbb E } _ { n , \theta } [ U _ { i } | Z _ { 1 : i - 1 } ] \right) + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \mathbb E } _ { n , \theta } [ U _ { i } | Z _ { 1 : i - 1 } ] + \frac 1 2 { \mathbb E } _ { n , \theta } \left[ \left( \frac 1 2 h _ { n } ^ { T } t _ { i , \theta } \right) ^ { 2 } \Bigg | Z _ { 1 : i - 1 } \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { | 0 \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 \rangle , \quad | \mathrm { - } 1 0 \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 \rangle , \quad | \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 0 \mathrm { - } 1 \rangle , \quad | 0 1 0 \mathrm { - } 1 \rangle , } \\ { | \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 0 \rangle , \quad | \mathrm { - } 1 0 \mathrm { - } 1 0 \rangle , \quad | 1 0 \mathrm { - } 1 0 \rangle , \quad | \mathrm { - } 1 0 1 0 \rangle , } \\ { | 1 0 1 0 \rangle , \quad | 1 1 1 0 \rangle , \quad | 0 \mathrm { - } 1 0 1 \rangle , \quad | 1 1 0 1 \rangle , \quad | 1 0 1 1 \rangle , \quad | 0 1 1 1 \rangle . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \left( \hat { P } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \hat { Q } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { 2 } \right) \to \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \hat { P } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } - P _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } \left( \hat { Q } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } - Q _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } \right] + E _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { ( 0 ) }
\begin{array} { r l } & { \mathbf { m } _ { \mathbf { x } } ^ { a , \mathrm { D D } } = \mathbf { m } _ { \mathbf { x } } ^ { e , \mathrm { T } } = ( \mathbf { F } _ { N } \otimes \mathbf { I } _ { M } ) \mathbf { m } _ { \mathbf { s } } ^ { e , \mathrm { T } } , } \\ & { \mathbf { C } _ { \mathbf { x } } ^ { a , \mathrm { D D } } = \mathbf { C } _ { \mathbf { x } } ^ { e , \mathrm { T } } = ( \mathbf { F } _ { N } \otimes \mathbf { I } _ { M } ) \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { e , \mathrm { T } } ( \mathbf { F } _ { N } ^ { \mathrm { H } } \otimes \mathbf { I } _ { M } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \frac 1 2 g _ { i j } ^ { - 1 } p _ { k i } p _ { k j } + \frac 1 2 \lambda _ { i j } [ R _ { k i } R _ { k j } - \delta _ { i j } ] + \varphi _ { i j } \pi _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } + A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } & { = } & { \frac { k _ { \mathrm { t } } ^ { \mathrm { L } } } { k _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { L } } } A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } \, , } \\ { \left( A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } + A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \right) \sin \theta _ { \mathrm { i } } } & { + } & { \left( A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } - A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( L ) } } \right) \cos \theta _ { \mathrm { i } } = } \\ { = A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \sin \theta _ { \mathrm { t } } } & { + } & { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } \cos \theta _ { \mathrm { t } } \, , } \\ { \left( A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } - A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \right) \cos \theta _ { \mathrm { i } } } & { - } & { \left( A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } + A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( L ) } } \right) \sin \theta _ { \mathrm { i } } = } \\ { = A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \cos \theta _ { \mathrm { t } } } & { - } & { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } \sin \theta _ { \mathrm { t } } \, , } \end{array}
C _ { 7 } ^ { ( 0 ) e f f } ( \mu ) = \eta ^ { 1 6 / 2 3 } C _ { 7 } ^ { ( 0 ) } ( M _ { W } ) + \frac { 8 } { 3 } \left( \eta ^ { 1 4 / 2 3 } - \eta ^ { 1 6 / 2 3 } \right) C _ { 8 } ^ { ( 0 ) } ( M _ { W } ) + C _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( M _ { W } ) \sum _ { j = 1 } ^ { 8 } h _ { j } \eta ^ { a _ { j } } \ .
\boldsymbol { \mathcal { Q } } \boldsymbol { \mathcal { A } } \boldsymbol { \mathcal { Q } } ^ { \dagger } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathcal { A } ^ { ( 0 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 0 1 ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 1 ) } } & { \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 1 2 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 2 1 ) } } & { \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 2 2 ) } } & { \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 2 3 ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 3 2 ) } } & { \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 3 3 ) } } \end{array} \right] , \qquad \boldsymbol { \mathcal { Q } } \boldsymbol { \mathcal { L } } \boldsymbol { \mathcal { Q } } ^ { \dagger } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \tilde { \mathcal { L } } ^ { ( 2 2 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \tilde { \mathcal { L } } ^ { ( 3 3 ) } } \end{array} \right] .
{ 4 M ^ { 2 } } \, \left[ D \epsilon ^ { \beta \gamma \kappa \lambda } \partial _ { \nu } { \partial _ { \beta } } T _ { ( \kappa \lambda ) } { } ^ { \nu } + 2 a \partial _ { \nu } { \partial _ { \beta } } T ^ { ( \beta \gamma ) \nu } \right] = e ^ { 2 } \, \partial _ { \nu } \left( { \partial } ^ { \gamma } \lambda ^ { \nu } - { \partial } ^ { \nu } \lambda ^ { \gamma } \right) .
\frac { n } { \sqrt { k } } \left( \left( \begin{array} { c } { U _ { ( n - k ) } } \\ { U _ { ( n - 2 k ) } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c } { \frac { n - k } { n - 1 } } \\ { \frac { n - 2 k } { n - 1 } } \end{array} \right) \right) \xrightarrow { d } N \left( \Big ( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \Big ) , \Big ( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } \end{array} \Big ) \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { H _ { 1 } \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( B , G | P ^ { \prime } ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( G , B | P ) } \\ { H _ { 2 } \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( B , B | P ^ { \prime } ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( B , B | P ) } \\ { H _ { 3 } \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( G , G | P ^ { \prime } ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( G , G | P ) - \overline { { R } } _ { 1 } ( B , G | P ^ { \prime } ) - \overline { { R } } _ { 2 } ( G , B | P ) } \\ { H _ { 4 } \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( G , B | P ^ { \prime } ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( B , G | P ) - \overline { { R } } _ { 1 } ( B , B | P ^ { \prime } ) - \overline { { R } } _ { 2 } ( B , B | P ) } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r } & { } & { \phi _ { i } ^ { V H } = \sum _ { n m \ell } \chi _ { n \ell m } ^ { \mathrm { i n t } } \, c _ { n m \ell , i } + \sum _ { j } \phi _ { j } ^ { M } c _ { j i } , } \\ & { } & { \langle \phi _ { i } ^ { V H } | \phi _ { j } ^ { M } \rangle = 0 , \quad \langle \phi _ { i } ^ { V H } | \phi _ { j } ^ { V H } \rangle = \delta _ { i j } . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } = \sum _ { n _ { 2 } = 1 } ^ { \infty } A _ { n _ { 2 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \psi _ { n _ { 2 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ , ~ a ~ } } + \sum _ { n _ { 2 } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } B _ { n _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \psi _ { n _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ , ~ b ~ } } ,
\begin{array} { r l } { 2 + 1 } & { = 3 } \\ { 2 \cdot 3 + 1 } & { = 7 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1 } & { = 3 1 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 } & { = 2 1 1 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 1 + 1 } & { = 2 3 1 1 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 1 \cdot 1 3 + 1 } & { = 5 9 \cdot 5 0 9 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 7 + 1 } & { = 1 9 \cdot 9 7 \cdot 2 7 7 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 7 \cdot 1 9 + 1 } & { = 3 4 7 \cdot 2 7 9 5 3 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 7 \cdot 1 9 \cdot 2 3 + 1 } & { = 3 1 7 \cdot 7 0 3 7 6 3 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 7 \cdot 1 9 \cdot 2 3 \cdot 2 9 + 1 } & { = 3 3 1 \cdot 5 7 1 \cdot 3 4 2 3 1 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 7 \cdot 1 9 \cdot 2 3 \cdot 2 9 \cdot 3 1 + 1 } & { = 2 0 0 5 6 0 4 9 0 1 3 1 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 7 \cdot 1 9 \cdot 2 3 \cdot 2 9 \cdot 3 1 \cdot 3 7 + 1 } & { = 1 8 1 \cdot 6 0 6 1 1 \cdot 6 7 6 4 2 1 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 7 \cdot 1 9 \cdot 2 3 \cdot 2 9 \cdot 3 1 \cdot 3 7 \cdot 4 1 + 1 } & { = 6 1 \cdot 4 5 0 4 5 1 \cdot 1 1 0 7 2 7 0 1 } \\ { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 7 \cdot 1 9 \cdot 2 3 \cdot 2 9 \cdot 3 1 \cdot 3 7 \cdot 4 1 \cdot 4 3 + 1 } & { = 1 6 7 \cdot 7 8 3 3 9 8 8 8 2 1 3 5 9 3 } \end{array}
\sum _ { l = 0 } ^ { L _ { \textrm { m a x } } } P _ { l } ^ { ( \alpha , \alpha ) } ( \eta _ { 0 } ) \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { \textrm { m a x } } ( l ) } \left[ \left( \mathcal { I } _ { h } \right) ^ { L _ { \textrm { m a x } } - l } \, \left( \mathcal { I } _ { h } ^ { \dagger } \right) ^ { l } \right] _ { k , n } \widehat { F } _ { m , l , n } ^ { ( \alpha , \sigma ) } = 0 .
\left( \eta ( \Psi _ { \gamma } ) | \Phi _ { \widetilde { \gamma } } \right> : = \frac { 1 } { | \mathrm { G S } _ { \gamma } | } \sum _ { \varrho \in \mathrm { D i f f } / \mathrm { D i f f } _ { \gamma } } \sum _ { \varphi \in \mathrm { G S } _ { \gamma } } \left< \, \varrho ^ { * } \varphi ^ { * } \Psi _ { \gamma } \, , \, \Phi _ { \widetilde { \gamma } } \, \right> _ { \mathscr { H } } .
F _ { g } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } , q _ { 4 } , \ldots , q _ { l } ) = F _ { g } \bigl ( q _ { 1 } { q _ { 2 } } ^ { a - 2 } , { q _ { 2 } } ^ { - 1 } , q _ { 2 } q _ { 3 } , q _ { 4 } , \ldots , q _ { l } \bigr ) \, .
{ \begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 2 } } & { = s _ { 1 2 } / R , } \\ { \sin \phi _ { 2 } } & { = \sin \phi _ { 1 } \cos \sigma _ { 1 2 } + \cos \phi _ { 1 } \sin \sigma _ { 1 2 } \cos \alpha _ { 1 } , \quad { \mathrm { o r } } } \\ { \tan \phi _ { 2 } } & { = { \frac { \sin \phi _ { 1 } \cos \sigma _ { 1 2 } + \cos \phi _ { 1 } \sin \sigma _ { 1 2 } \cos \alpha _ { 1 } } { \sqrt { ( \cos \phi _ { 1 } \cos \sigma _ { 1 2 } - \sin \phi _ { 1 } \sin \sigma _ { 1 2 } \cos \alpha _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \sin \sigma _ { 1 2 } \sin \alpha _ { 1 } ) ^ { 2 } } } } , } \\ { \tan \lambda _ { 1 2 } } & { = { \frac { \sin \sigma _ { 1 2 } \sin \alpha _ { 1 } } { \cos \phi _ { 1 } \cos \sigma _ { 1 2 } - \sin \phi _ { 1 } \sin \sigma _ { 1 2 } \cos \alpha _ { 1 } } } , } \\ { \lambda _ { 2 } } & { = \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 1 2 } , } \\ { \tan \alpha _ { 2 } } & { = { \frac { \sin \alpha _ { 1 } } { \cos \sigma _ { 1 2 } \cos \alpha _ { 1 } - \tan \phi _ { 1 } \sin \sigma _ { 1 2 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { = } & { \frac { r ^ { n + 1 } - r ^ { n } } { \sqrt { c _ { 3 } } \, \Delta { t } } } \\ { v ^ { n } } & { = } & { \frac { r ^ { n + 1 } - ( 1 - c _ { 2 } ) r ^ { n } - c _ { 2 } r ^ { n - 1 } } { 2 \sqrt { c _ { 1 } c _ { 3 } } \, \Delta { t } } + \frac { 1 } { 4 m } ( \beta ^ { n } - \beta ^ { n + 1 } ) \, . } \end{array}