harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { p _ { t } ^ { h } ( x , y ) } & { = \sum _ { z \in V _ { h } } p _ { ( 1 - \varepsilon ) t } ^ { h } ( x , z ) p _ { \varepsilon t } ^ { h } ( z , y ) \geq \sum _ { z \in V _ { h } \cap B _ { \delta } ( y ) } p _ { ( 1 - \varepsilon ) t } ^ { h } ( x , z ) p _ { \varepsilon t } ^ { h } ( z , y ) } \\ & { \geq \left( \operatorname* { i n f } _ { z \in B _ { \delta } ( y ) } p _ { \varepsilon t } ^ { h } ( z , y ) \right) \sum _ { z \in V _ { h } \cap B _ { \delta } ( y ) } p _ { ( 1 - \varepsilon ) t } ^ { h } ( x , z ) \ , } \end{array}
\Delta _ { U | F } ( a _ { 1 } \overline { { D } } + a _ { 2 } \overline { { E } } ) = \Sigma ( \Gamma _ { U | F } ( a _ { 1 } \overline { { D } } + a _ { 2 } \overline { { E } } ) _ { \mathbb { N } \vec { a } } ) \cap ( \mathbb { R } ^ { d } \times \{ \vec { a } \} ) = \Delta _ { U | F } ( F ) _ { \mathbb { R } \vec { a } } \cap ( \mathbb { R } ^ { d } \times \{ \vec { a } \} ) = \Delta _ { U | F } ( F ) \cap ( \mathbb { R } ^ { d } \times \{ \vec { a } \} )
\mathbf { b } ^ { - } = \left[ \begin{array} { l } { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } \left( \Sigma _ { s , j } \phi _ { k , j , L } ^ { ( l ) } + Q _ { k , j , L } \right) + \frac { \Delta x _ { j } } { 2 v \Delta t } \psi _ { m , k - 1 / 2 , j , L } } \\ { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } \left( \Sigma _ { s , j } \phi _ { k , j , R } ^ { ( l ) } + Q _ { k , j , R } \right) + \frac { \Delta x _ { j } } { 2 v \Delta t } \psi _ { m , k - 1 / 2 , j , R } - \mu _ { m } \psi _ { m , k , j + 1 , L } } \\ { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } \left( \Sigma _ { s , j } \phi _ { k + 1 / 2 , j , L } ^ { ( l ) } + Q _ { k + 1 / 2 , j , L } \right) } \\ { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } \left( \Sigma _ { s , j } \phi _ { k + 1 / 2 , j , R } ^ { ( l ) } + Q _ { k + 1 / 2 , j , R } \right) - \mu _ { m } \psi _ { m , k + 1 / 2 , j + 1 , L } } \end{array} \right] \; .
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { n d C o M } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = } & { \nabla _ { p } \cdot \left( I _ { \mathrm { C o M } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) \mathbf { e } _ { p x } + I _ { \mathrm { C o M } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) \mathbf { e } _ { p y } \right) } \\ { = } & { \frac { \partial } { \partial x _ { p } } I _ { \mathrm { C o M } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) + \frac { \partial } { \partial y _ { p } } I _ { \mathrm { C o M } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) } \\ { = } & { \frac { \partial x _ { 0 } } { \partial x _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } x } } { \partial x _ { 0 } } + \frac { \partial y _ { 0 } } { \partial x _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } x } } { \partial y _ { 0 } } + \frac { \partial x _ { 0 } } { \partial y _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } y } } { \partial x _ { 0 } } + \frac { \partial y _ { 0 } } { \partial y _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } y } } { \partial y _ { 0 } } } \\ { = } & { \cos \theta \left( \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } x } } { \partial x _ { 0 } } + \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } y } } { \partial y _ { 0 } } \right) + \sin \theta \left( \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } y } } { \partial x _ { 0 } } - \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } x } } { \partial y _ { 0 } } \right) } \\ { = } & { I _ { \mathrm { d C o M } } ( \mathbf { r } _ { p } ) \cos \theta + I _ { \mathrm { c C o M } } ( \mathbf { r } _ { p } ) \sin \theta } \\ { = } & { I _ { \mathrm { d C o M } } ( \mathbf { r } _ { p } ) \cos \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { i } ^ { n + 1 } = } & { q _ { i } ^ { n } - c \left( q _ { i } ^ { n } - q _ { i - 1 } ^ { n } \right) - \frac { \Delta t } { \Delta x ^ { 2 } } \left[ \alpha _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } \left( q _ { i + 1 } ^ { n } - q _ { i } ^ { n } \right) + \alpha _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } \left( q _ { i - 1 } ^ { n } - q _ { i } ^ { n } \right) \right] + r q _ { i } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \hat { G } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \left[ \int d ^ { 4 } x _ { j } e ^ { - i k _ { j } \cdot x _ { j } } \right] G ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle - g ^ { 2 } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) \sum _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } } i P _ { \lambda _ { 1 } } ( k _ { 1 } ) i P _ { \lambda _ { 2 } } ( k _ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle \times \sum _ { \lambda } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( p + q - k _ { 1 } ) i P _ { \lambda } ( p ) i P _ { \lambda } ( q ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \times ( \mathrm { N C ~ v e r t i c e s } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \| z ^ { \Lambda } ( t _ { i + 1 } ) - z _ { t _ { i + 1 } } \| ^ { 2 } \leq \mathbb { E } \| \Lambda \Delta ( \Lambda , t _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } ) ( \eta ) \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \Lambda \Delta ( \Lambda , t _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } ) \| ^ { 2 } \mathbb { E } \| p ( z ^ { \Lambda } ) - \eta \| ^ { 2 } . } \end{array}
- \xi \; { \frac { d } { d \xi } } \left( \xi { \frac { d R _ { \ell } } { d \xi } } \right) + { \frac { \ell ( \ell + 1 ) \; \xi } { ( 1 - \xi ) ^ { 2 } } } \; R _ { \ell } = ( k r _ { 0 } ) ^ { 2 } \; R _ { \ell }
\sigma _ { \mathrm { i n t e r p } } ( \mathbf { r } , \mathbf { e } , \mathbf { \xi } ) = \| \mathbf { s } _ { \mathbf { r } , \mathbf { e } } \mathbf { I } _ { \alpha } \mathbf { S } ^ { \dagger } ( \mathbf { \xi } ) \| \sigma = \| \mathbf { s } _ { \mathbf { r } , \mathbf { e } } \mathbf { I } _ { \alpha } \big ( \mathbf { S ( \mathbf { \xi } ) } ^ { T } \mathbf { S ( \mathbf { \xi } ) } \big ) ^ { - 1 } \mathbf { S ( \mathbf { \xi } ) } ^ { T } \| \sigma .
\begin{array} { l } { \displaystyle { \overline { { F } } = \frac { n ^ { 2 } } { 2 } \! \int \! d { \bf r } d { \bf r } ^ { \prime } V \big ( | { \bf r } - { \bf r } ^ { \prime } | \big ) c ( { \bf r } ) c ( { \bf r } ^ { \prime } ) + n T \! \int \! d { \bf r } \Big [ c ( { \bf r } ) \ln c ( { \bf r } ) + \big ( 1 - c ( { \bf r } ) \big ) \ln \big ( 1 - c ( { \bf r } ) \big ) \Big ] , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } } & { = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i , j } - \mathbf { U } _ { i - 1 , j } } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } } { \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i - 1 , j } ^ { 0 } } } \\ { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } } & { = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i + 2 , j } - \mathbf { U } _ { i + 1 , j } } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } } { \mathbf { U } _ { i + 2 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { k } ( p _ { k } + p _ { * k } ) = R _ { k } \rho _ { k } \theta , } \\ { \rho _ { k } ( \varepsilon _ { k } - \varepsilon _ { 0 k } ) = c _ { V k } \rho _ { k } \theta + \alpha _ { k } p _ { * k } = c _ { V k } \rho _ { k } \theta + \frac { R _ { k } \rho _ { k } p _ { * k } } { p _ { k } + p _ { * k } } \theta . } \end{array}
\mathbf { P } _ { \mathbb { Z } } ^ { n } ( X ) = \left\{ ( { \mathcal { L } } , s _ { 0 } , \ldots , s _ { n } ) : { \begin{array} { l } { { \mathcal { L } } \to X { \mathrm { ~ i s ~ a ~ l i n e ~ b u n d l e } } } \\ { s _ { 0 } , \ldots , s _ { n } \in \Gamma ( X , { \mathcal { L } } ) } \\ { { \mathrm { ~ f o r m ~ a ~ b a s i s ~ o f ~ g l o b a l ~ s e c t i o n s } } } \end{array} } \right\} / \sim
\begin{array} { r l } { U _ { E } ^ { ( 2 ) } } & { = ( 1 - \frac { c } { \gamma } ) U ^ { n } + \frac { c } { \gamma } U _ { I } ^ { ( 1 ) } ; } \\ { U _ { I } ^ { ( 2 ) } } & { = ( 1 - \frac { 1 - \gamma } { \gamma } ) U ^ { n } + \frac { 1 - \gamma } { \gamma } U _ { I } ^ { ( 1 ) } + \Delta t \gamma K ( U _ { E } ^ { ( 2 ) } , U _ { I } ^ { ( 2 ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \tilde { A } } ^ { ( n ) } } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { n } \exp ( \mathrm { i } q ( n - j ) W ) \mathbf { \tilde { C } } ^ { ( j ) } } \\ { \mathbf { \tilde { B } } ^ { ( n ) } } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { n } \exp ( \mathrm { i } q ( n - j ) W ) \mathbf { \tilde { D } } ^ { ( j ) } . } \end{array}
\hat { \check { \Xi } } _ { z , j } = ( \hat { \check { e } } _ { j , h } ^ { i , l } / 2 - \hat { \check { e } } _ { j , k } ^ { i , l } ) / \check { \sigma } _ { i , l } ( t ) - 4 ^ { - 1 } \check { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t ) \big ( \hat { \check { e } } _ { j , h } ^ { i } / \check { \gamma } _ { 0 } ^ { i } ( t _ { j } ) + \hat { \check { e } } _ { j , h } ^ { l } / \check { \gamma } _ { 0 } ^ { l } ( t _ { j } ) \big )
\frac { d \mathbf { \hat { x } } ( t _ { i } ) } { d t } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { f } ( \mathbf { \hat { x } } ( t _ { i } ) , \; \mathbf { u } ( t _ { i } ) ) , } & { \mathrm { i f ~ } t _ { i } > t _ { 0 } } \\ { \hat { f } ( \mathbf { x } _ { 0 } ( t _ { i } ) , \; \mathbf { u } ( t _ { i } ) ) , } & { \mathrm { i f ~ } t _ { i } = t _ { 0 } } \end{array} \right.
I C E _ { e d g e } ^ { x } ( e ) = \frac { 1 } { 1 0 0 } \sum _ { x = 1 } ^ { 1 0 0 } \frac { | \textbf { C } _ { e , h i } ^ { x } | - | \textbf { C } _ { e , l o } ^ { x } | } { | \textbf { C } _ { e } ^ { x } | }
\partial _ { \theta } \left[ B _ { 2 } ( \theta , \varphi ) - \eta _ { 0 } ^ { \prime } B _ { 2 } ( \psi , \theta + \iota _ { 0 } \Delta \varphi _ { 0 } , \eta _ { 0 } ( \varphi ) ) - \left( 1 - \frac { 1 } { \eta _ { 0 } ^ { \prime } } \right) ( \partial _ { \varphi } + \iota _ { 0 } \partial _ { \theta } ) \left( \frac { B _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 B _ { 0 } ^ { \prime } } \right) - \frac { \eta _ { 0 } ^ { \prime \prime } } { ( \eta _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \frac { B _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 B _ { 0 } ^ { \prime } } \right] = 0
\begin{array} { r l } { E _ { R } ^ { \mathrm { i n } } } & { = E _ { L } ^ { \mathrm { o u t } } e ^ { 2 i \pi m + i \frac { 3 \pi } { 2 } - 2 \pi i \alpha } } \\ & { = - i E _ { L } ^ { \mathrm { o u t } } e ^ { - 2 \pi i \alpha } , } \\ { E _ { L } ^ { \mathrm { i n } } } & { = - i E _ { R } ^ { \mathrm { o u t } } e ^ { + 2 \pi i \alpha } , } \\ { E _ { R , L } ^ { \mathrm { o u t } } } & { = E _ { R , L } ^ { \mathrm { { i n } } } + \sqrt { 2 \kappa } a _ { R , L } , } \\ { \dot { a } _ { R , L } } & { = - \kappa a _ { R , L } - \sqrt { 2 \kappa } a _ { R , L } E _ { R , L } ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta \mathbf { B } = \delta B _ { x } = - \frac { k _ { \parallel } B _ { 0 } \delta v _ { x } } { \omega _ { A } } = \mp \frac { B _ { 0 } \delta v _ { x } } { v _ { A } } = \mp \frac { c \delta E } { v _ { A } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) } & { = P ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) } \\ & { \times \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } } \, e ^ { - \frac { ( u _ { i } - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } } \frac { \beta _ { i } ^ { \alpha _ { i } } } { \Gamma ( \alpha _ { i } ) } v _ { i } ^ { \alpha _ { i } - 1 } e ^ { - \beta _ { i } v _ { i } } \, . } \end{array}
\mathbf { M ^ { 2 } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { A _ { 1 } } } & { \mathbf { B _ { 1 } } + i \mathbf { C _ { 1 } } } & { \mathbf { B _ { 2 } } + i \mathbf { C _ { 2 } } } \\ { \mathbf { B _ { 1 } } - i \mathbf { C _ { 1 } } } & { \mathbf { A _ { 2 } } } & { \mathbf { B _ { 3 } } + i \mathbf { C _ { 3 } } } \\ { \mathbf { B _ { 2 } } - i \mathbf { C _ { 2 } } } & { \mathbf { B _ { 3 } } - i \mathbf { C _ { 3 } } } & { \mathbf { A _ { 3 } } } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { p _ { b , k } } & { = - \frac 2 { 2 ( D - 1 ) \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { v } } \left[ ( \boldsymbol { \nabla } p ) _ { j } \cdot \frac { \boldsymbol { r } _ { k j } } { r _ { k j } ^ { D } } \right] \delta V _ { j } + \frac 2 { 2 ( D - 1 ) \pi } \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { b } } p _ { b , k ^ { \prime } } \left( \frac { \boldsymbol { r } _ { k k ^ { \prime } } } { r _ { k k ^ { \prime } } ^ { D } } \cdot \delta \boldsymbol { S } _ { k ^ { \prime } } \right) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { v } } \underbrace { - \frac { 2 \delta V _ { j } } { 2 ( D - 1 ) \pi } \frac { \boldsymbol { r } _ { k j } } { r _ { k j } ^ { D } } } _ { 2 \displaystyle \boldsymbol { \alpha } _ { k j } } \cdot \; ( \boldsymbol { \nabla } p ) _ { j } + \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { b } } \underbrace { \frac 2 { 2 ( D - 1 ) \pi } \left( \frac { \boldsymbol { r } _ { k k ^ { \prime } } } { r _ { k k ^ { \prime } } ^ { D } } \cdot \delta \boldsymbol { S } _ { k ^ { \prime } } \right) } _ { 2 \beta _ { k k ^ { \prime } } } p _ { b , k ^ { \prime } } } \\ & { = 2 \gamma _ { k } + \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { b } } 2 \beta _ { k k ^ { \prime } } p _ { b , k ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { S } ^ { i } ( t + 1 ) } & { = P _ { S } ^ { i } ( 0 ) \prod _ { j \in \partial i } \theta ^ { j \to i } ( t + 1 ) } \\ { P _ { R } ^ { i } ( t + 1 ) } & { = P _ { R } ^ { i } ( t ) + \gamma ^ { i } P _ { I } ^ { i } ( t ) } \\ { P _ { I } ^ { i } ( t + 1 ) } & { = 1 - P _ { S } ^ { i } ( t + 1 ) - P _ { R } ^ { i } ( t + 1 ) } \end{array}
\frac { d } { d \theta } \frac { \partial \mathrm { g } } { \partial \boldsymbol { p } } \frac { d \widehat { X } } { d \theta } + \frac { d } { d \theta } \mathrm { g } \frac { d } { d \theta } \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \boldsymbol { p } } + \frac { \partial \mathrm { c } } { \partial \boldsymbol { p } } \widehat { X } + c \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \boldsymbol { p } } = \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \boldsymbol { p } } \mathrm { f } \widehat { X } + \widehat { \lambda } \mathrm { f } \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \boldsymbol { p } } + \widehat { \lambda } \widehat { X } \frac { \partial \mathrm { f } } { \partial \boldsymbol { p } } .
\begin{array} { r l } { | \theta _ { k , 1 } - \theta _ { k , 2 } | } & { = | z ( \alpha _ { k , 1 } ) ^ { H } A _ { k } z ( \alpha _ { k , 1 } ) - z ( \alpha _ { k , 2 } ) ^ { H } A _ { k } z ( \alpha _ { k , 2 } ) | } \\ & { = \frac { 4 | a _ { 1 2 , k } | \sqrt { - c _ { 1 , k } c _ { 2 , k } } } { c _ { 1 , k } - c _ { 2 , k } } \geq \frac { 2 | a _ { 1 2 , * } | \sqrt { - c _ { 1 , * } c _ { 2 , * } } } { 3 ( c _ { 1 , * } - c _ { 2 , * } ) } . } \end{array}
\langle Q \rangle _ { i } ^ { n } \equiv \frac { 1 } { \Delta x _ { i } } \int _ { x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } Q ( x , t _ { n } ) \, \mathrm { d } x \, .
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { v } _ { i } ^ { \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { = \int \mathrm { d } \vec { r } ^ { \prime } \Tilde { G } _ { i j } ( \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) \left[ \left( \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq 0 } \delta ( \vec { n } L - \vec { r } ^ { \prime } ) \right) - \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \right] \Tilde { F } _ { j } ( \omega ) } \\ & { = \left[ \left( \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq 0 } \Tilde { G } _ { i j } ( \vec { n } L , \omega ) \right) - \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \int \mathrm { d } \vec { r } ^ { \prime } \Tilde { G } _ { i j } ( \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) \right] \Tilde { F } _ { j } ( \omega ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { i } } = E [ i ( t ) ] } & { { } = \sum _ { l } p h ( t - l \Delta t ) , } \\ { E [ i ^ { 2 } ( t ) ] } & { { } = \sum _ { l } \sum _ { k } E [ X _ { l } X _ { k } ] h ( t - l \Delta t ) h ( t - k \Delta t ) } \end{array}
\Phi ( \Lambda ^ { 2 } \, u ) = { \frac { 1 } { \pi } } \int { \frac { ( { \bf r } ^ { 2 } - 1 ) } { ( { \bf r } - { \bf n } ) ^ { 2 } ( { \bf r } + { \bf n } ) ^ { 2 } } } \, { \frac { d ^ { 2 } r } { [ 1 + ( u / 4 ) ( { \bf r } - { \bf n } ) ^ { 2 } ] [ 1 + ( u / 4 ) ( { \bf r } + { \bf n } ) ^ { 2 } ] } } \, .
\begin{array} { r l } { \zeta } & { { } = B S _ { c } F ( t _ { 0 } ) - B D ( S _ { c } - 1 ) n _ { s } } \\ { \Omega } & { { } = \frac { \omega } { T _ { w } } \, , D = \frac { D ^ { * } } { T _ { w } n _ { c } } } \\ { F ( t _ { 0 } ) } & { { } = \frac { g L _ { i } \hat { w } } { c _ { p } R _ { v } T _ { 0 0 } ^ { 2 } } \cos ( \Omega t _ { 0 } + \phi ) } \end{array}
{ \hat { H } } = { \hat { T } } + { \hat { U } } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } { \frac { Z _ { \alpha } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } _ { \alpha } | } } + \sum _ { \alpha } ^ { M } \sum _ { \beta > \alpha } ^ { M } { \frac { Z _ { \alpha } Z _ { \beta } } { | \mathbf { R } _ { \alpha } - \mathbf { R } _ { \beta } | } } .
{ \cal I } _ { n } ^ { + } \; \equiv \; \int _ { 0 } ^ { \infty } d w \; \frac { w ^ { n + 2 i \Delta M / a } } { ( w ^ { 2 } - 1 + 2 i \epsilon w ) ^ { n + 1 } } \; , \; \; n \in \mathrm { N } \; .
\begin{array} { r l r } { E _ { n , k } } & { = } & { 3 + 3 \frac { \gamma _ { n , k } } { \alpha _ { n , k } } \alpha _ { n , k - 1 } - \frac { 1 2 + 6 \delta _ { n , k } } { \alpha _ { n , k } } - \frac { 2 9 } { 4 } \frac { \gamma _ { n , k } } { \alpha _ { n , k } } - 3 \frac { \gamma _ { n , k } } { \alpha _ { n , k } } \delta _ { n , k - 1 } } \\ & { = } & { 6 \frac { n + 2 k - 3 } { n + 2 k - 2 } - 6 \frac { n + 2 k - 2 } { \alpha _ { n , k } } - \frac { 2 9 } { 4 } \frac { \gamma _ { n , k } } { \alpha _ { n , k } } - 3 \frac { \gamma _ { n , k } } { \alpha _ { n , k } } \delta _ { n , k - 1 } } \\ & { = } & { 6 - \frac 6 { n + 2 k - 2 } - \frac 6 k - \frac 6 { n + k - 2 } - 3 \frac { \gamma _ { n , k } } { \alpha _ { n , k } } \left( ( n + 2 k - 4 ) + \frac 5 { 1 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { 4 , 2 , x x } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } \left( { v _ { i x } ^ { 2 } + v _ { i y } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { 2 } } \right) v _ { i x } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \rho [ ( n + 4 ) R ^ { 2 } T ^ { 2 } + R T \left( ( n + 7 ) u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { + u _ { x } ^ { 2 } \left( u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } \right) ] , } \\ { M _ { 4 , 2 , y y } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } \left( { v _ { i x } ^ { 2 } + v _ { i y } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { 2 } } \right) v _ { i y } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \rho [ ( n + 4 ) R ^ { 2 } T ^ { 2 } + R T \left( ( n + 7 ) u _ { y } ^ { 2 } + u _ { x } ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { + u _ { y } ^ { 2 } \left( u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } \right) ] , } \\ { M _ { 4 , 2 , x y } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } \left( { v _ { i x } ^ { 2 } + v _ { i y } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { 2 } } \right) { v _ { i x } } } { v _ { i y } } } \\ & { = } & { \rho { u _ { x } } { u _ { y } } \left[ { \left( { n + 6 } \right) R T + u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \pi } \oint _ { C } ( d \sigma ^ { 2 } j ^ { 1 } - d \sigma ^ { 1 } j ^ { 2 } ) \, { \cal A } ( z _ { 0 } , \bar { z } _ { 0 } ) \ = \ - i \delta { \cal A } ( z _ { 0 } , \bar { z } _ { 0 } ) .
{ \begin{array} { r l } { d S } & { = - k _ { \mathrm { B } } \, \sum _ { i } d p _ { i } \ln p _ { i } } \\ & { = - k _ { \mathrm { B } } \, \sum _ { i } d p _ { i } ( - E _ { i } / k _ { \mathrm { B } } T - \ln Z ) } \\ & { = \sum _ { i } E _ { i } d p _ { i } / T } \\ & { = \sum _ { i } [ d ( E _ { i } p _ { i } ) - ( d E _ { i } ) p _ { i } ] / T } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \mathbf { U } \; } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { U } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { U } ) } & & { } \\ { \mathbf { V } \; } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { V } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { V } ) } & & { } \\ { \mathbf { y } ^ { 1 } } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { 1 } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { 1 } ) } & & { } \\ { \mathbf { Z } ^ { l } } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { l } \mathbf { y } ^ { l - 1 } + \mathbf { b } ^ { l } ) , } & & { 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } ^ { l } } & { = ( 1 - \mathbf { Z } ^ { l } ) \odot \mathbf { U } + \mathbf { Z } ^ { l } \odot \mathbf { V } , } & & { 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } \; } & { = \mathbf { y } ^ { L + 1 } = \mathbf { W } ^ { L + 1 } \mathbf { y } ^ { L } + \mathbf { b } ^ { L + 1 } } & & { } \end{array} \right. ,
A _ { 1 1 } = 2 c _ { F } ( \gamma _ { 1 1 ^ { \prime } } c o t h \gamma _ { 1 1 ^ { \prime } } - 1 ) - { \frac { 1 } { N } } \left[ ( i \pi - \gamma _ { 1 2 } ) c o t h \gamma _ { 1 2 } + \gamma _ { 1 2 ^ { \prime } } c o t h \gamma _ { 1 2 ^ { \prime } } \right]
\begin{array} { r l } & { \| v _ { 1 } \| _ { W ^ { 2 , q } ( \varOmega ) } \leq C _ { q } \| f \| _ { L ^ { q } ( \varOmega ) } \quad \forall \, 1 < q < 2 + \varepsilon , } \\ & { \| v _ { 2 } \| _ { W ^ { 1 , q } ( \varOmega ) } \leq C _ { q } h \| v _ { 1 } \| _ { W ^ { 1 , q } ( \varOmega ) } \leq C _ { q } h \| f \| _ { L ^ { q } ( \varOmega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x - x ^ { \prime } \| ^ { 2 } } & { = \left( c ^ { T } ( x - x ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } + \| P _ { c } ( x - x ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } } { \| A y \| } - \frac { ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \| A y ^ { \prime } \| } \right) ^ { 2 } + \left\| \frac { c ^ { T } y } { \| A y \| } P _ { c } y - \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } } { \| A y ^ { \prime } \| } P _ { c } y ^ { \prime } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { \| A y \| } - \frac { 1 } { \| A y ^ { \prime } \| } \right) ^ { 2 } + \left\| \frac { 1 } { \| A y \| } P _ { c } y - \frac { 1 } { \| A y ^ { \prime } \| } P _ { c } y ^ { \prime } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + \left\| \frac { P _ { c } y } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } } - \frac { P _ { c } y ^ { \prime } } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } - 2 \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { \quad + \frac { \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } + \frac { \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } - 2 \frac { ( P _ { c } y ) ^ { T } ( P _ { c } y ^ { \prime } ) } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { = 2 - \frac { 2 + 2 ( P _ { c } y ) ^ { T } ( P _ { c } y ^ { \prime } ) } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { = 2 - \frac { 2 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } - \| P _ { c } y - P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { = 2 - \frac { ( 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) + ( 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } + \frac { \| P _ { c } y - P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { = 2 - \left( \frac { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } + \frac { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } } \right) + \frac { \| P _ { c } y - P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { \leq 2 - 2 + \| P _ { c } y - P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } \\ & { = \| y - y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = { \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt { \frac { \mu } { 2 r _ { p } ^ { 3 } } } } ( t - T ) } \\ { B } & { { } = { \sqrt [ [object Object] ] { A + { \sqrt { A ^ { 2 } + 1 } } } } } \end{array}