harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { P _ { \mu \mu } ( \mathrm { ~ S ~ I ~ } ) = P _ { \mu \mu } ( \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ u ~ u ~ m ~ } , \mathrm { ~ t ~ w ~ o ~ f ~ l ~ a ~ v ~ o ~ r ~ } ) + \alpha \mathbb { P } + \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 3 } \mathbb { Q } + \alpha \sin \theta _ { 1 3 } \mathbb { R } , } \end{array}
\int _ { I } \frac { d f } { d \mathbf { s } } \frac { d g } { d \mathbf { s } } d \mathbf { s } : = \int _ { I } \frac { d f ^ { c } } { d \mathbf { s } ^ { c } } \frac { d g ^ { c } } { d \mathbf { s } ^ { c } } d \mathbf { s } ^ { c } + \int _ { D ^ { + } } f _ { \mathbf { s } , + } ^ { \prime } g _ { \mathbf { s } , + } ^ { \prime } d \mu _ { d } ^ { + } + \int _ { D ^ { - } } f _ { \mathbf { s } , - } ^ { \prime } g _ { \mathbf { s } , - } ^ { \prime } d \mu _ { d } ^ { - } ,
a _ { 0 } + a _ { 0 } a _ { 1 } + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } + \cdots + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } = { \cfrac { a _ { 0 } } { 1 - { \cfrac { a _ { 1 } } { 1 + a _ { 1 } - { \cfrac { a _ { 2 } } { 1 + a _ { 2 } - { \cfrac { \ddots } { \ddots { \cfrac { a _ { n - 1 } } { 1 + a _ { n - 1 } - { \cfrac { a _ { n } } { 1 + a _ { n } } } } } } } } } } } } }
U _ { \mathrm { s u r f } } \propto \left\{ \begin{array} { r l r } { 4 \pi R L + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ { 8 \pi R ^ { 2 } + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ { 1 6 \pi R ^ { 2 } + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array} \right.
a _ { i j } = \frac { 1 } { \pi } \sqrt { \omega _ { i } \omega _ { j } } \ln \frac { ( p _ { j } - p _ { i } ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } { ( p _ { j } + p _ { i } ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } ~ .
\begin{array} { r l } & { A ^ { ( k ) } = A ^ { n } - \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \tilde { a } _ { k j } \, \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( j ) } } \\ & { ( A u ) ^ { ( k ) } = ( A u ) ^ { n } - \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \tilde { a } _ { k j } \partial _ { x } \frac { \left[ ( A u ) ^ { ( j ) } \right] ^ { 2 } } { A ^ { ( j ) } } - \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \tilde { a } _ { k j } \frac { A ^ { ( j ) } } { \rho } \partial _ { x } p ^ { ( j ) } } \\ & { p ^ { ( k ) } = p ^ { n } - \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { k } a _ { k j } E _ { 0 } G ( A ^ { ( j ) } ) \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( j ) } - \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { k } a _ { k j } \frac { 1 } { \tau _ { r } } \left( p ^ { ( j ) } - F ( A ^ { ( j ) } ) \right) , } \end{array}
E _ { 1 } = \frac 1 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \nu } { 2 \pi } \mathrm { T r } \; \log \left( K ^ { - 1 } ( \nu ) / a ^ { 2 } \right) = \frac 1 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \nu } { 2 \pi }
\bar { x } ^ { \mu } : = X ^ { \mu } \left( \pi / 2 \right) = x _ { 0 } ^ { \mu } - \sum _ { e } x _ { e } ^ { \mu } w _ { e } , \quad \langle \bar { x } | = \langle x _ { 0 } | \exp \left( i \hat { p } \cdot \sum _ { e } x _ { e } w _ { e } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \nabla u } & { = \widehat { n } \otimes ( \widehat { n } \, \partial _ { \sigma } u _ { \sigma } + \partial _ { \sigma } u _ { \bot } ) + J ^ { - 1 } \left( ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \sigma } + K u _ { \bot } ) \otimes \widehat { n } + ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \bot } \cdot \Pi - u _ { \sigma } \, K ) \right) . } \end{array}
\Gamma _ { \ell } = \frac { G _ { F } M _ { Z } ^ { 3 } } { 6 \pi \sqrt { 2 } } [ g _ { V \ell } ^ { 2 } + g _ { A \ell } ^ { 2 } ] \left( 1 + \frac { 3 \alpha } { 4 \pi } \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \hat { u } _ { \mathrm { w n } } } { \mathrm { d } x _ { \mathrm { w n } } ^ { 2 } } - \left( \frac { 1 } { \overline { { u } } _ { \mathrm { w p } } - \omega / \alpha } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \overline { { u } } _ { \mathrm { w p } } } { \mathrm { d } x _ { \mathrm { w n } } ^ { 2 } } + \alpha ^ { 2 } \right) \hat { u } _ { \mathrm { w n } } = 0 \quad ( 0 \leq x _ { \mathrm { w n } } \leq x _ { \mathrm { w n } ; \mathrm { m a x } } ) , } \\ & { \qquad \hat { u } _ { \mathrm { w n } } ( 0 ) = \hat { u } _ { \mathrm { w n } } ( x _ { \mathrm { w n } ; \mathrm { m a x } } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \alpha } { 2 } A + i \Delta _ { A } A - i \Gamma ( A ^ { 2 } + 2 B ^ { 2 } + 2 C ^ { 2 } ) A - i 2 \Gamma A B C e ^ { - i \phi } = \sqrt { \kappa } A _ { \mathrm { i n } } e ^ { - i \phi _ { A } } , } \\ & { \frac { \alpha } { 2 } B + i \Delta _ { B } B - i \Gamma ( 2 A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + 2 C ^ { 2 } ) B - i \Gamma A ^ { 2 } C e ^ { i \phi } = 0 , } \\ & { \frac { \alpha } { 2 } C + i \Delta _ { C } C - i \Gamma ( 2 A ^ { 2 } + 2 B ^ { 2 } + C ^ { 2 } ) C - i \Gamma A ^ { 2 } B e ^ { i \phi } = 0 . } \end{array}
| n | _ { * } = \left| \prod _ { i < r } p _ { i } ^ { e _ { i } } \right| _ { * } = \prod _ { i < r } \left| p _ { i } \right| _ { * } ^ { e _ { i } } = \left| p _ { j } \right| _ { * } ^ { e _ { j } } = ( p ^ { - e _ { j } } ) ^ { c } = | n | _ { p } ^ { c } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } _ { \mathbf { k } , + } = } & { { } \frac { e ^ { i \phi } } { \sqrt { 2 } } \Big ( \mathbf { J } _ { \mathbf { k } , \mathrm { T M } } + i \mathbf { J } _ { \mathbf { k } , \mathrm { T E } } \Big ) , } \\ { \mathbf { J } _ { \mathbf { k } , - } = } & { { } \frac { e ^ { - i \phi } } { \sqrt { 2 } } \Big ( \mathbf { J } _ { \mathbf { k } , \mathrm { T M } } - i \mathbf { J } _ { \mathbf { k } , \mathrm { T E } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \left[ f \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k + 1 ) \right) - f \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \right) \big | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( N ) } \right] } \\ & { = N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } f ^ { \prime } \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \right) \mathbb { E } \left[ M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k + 1 ) - M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \big | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( N ) } \right] } \\ & { \quad + \frac { N ^ { 2 - \beta } } { 2 } \mathbb { E } \left[ f ^ { \prime \prime } \left( m ^ { ( N ) } ( k ) \right) \left( M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k + 1 ) - M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \right) ^ { 2 } \big | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( N ) } \right] } \\ & { = \frac { N ^ { 2 - \beta } } { 2 ( N + k + 1 ) ^ { 2 } } \biggl [ \mathbb { E } \left[ f ^ { \prime \prime } \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \right) \xi _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) ^ { 2 } \big | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( N ) } \right] + o ( 1 ) \biggr ] } \\ & { = \frac { N ^ { 2 - \beta } } { 2 ( N + k + 1 ) ^ { 2 } } f ^ { \prime \prime } \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \right) \Big ( \left( 1 - p _ { 1 } ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \right) ^ { 2 } p _ { 1 } ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) } \\ & { \quad + p _ { 1 } ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) ^ { 2 } \left( 1 - p _ { 1 } ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \right) \Big ) + o \left( N ^ { - \beta } \right) } \\ & { = \frac { N ^ { 2 - \beta } } { 2 ( N + k + 1 ) ^ { 2 } } f ^ { \prime \prime } \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \right) p _ { 1 } ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \left( 1 - p _ { 1 } ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \right) + o \left( N ^ { - \beta } \right) } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \tau \frac { 6 e ^ { i \nu \tau } } { ( \tau - i \epsilon ) ^ { 4 } } = \frac { 1 } { 2 } \frac { 2 \pi i } { 6 } 6 ( i \nu ) ^ { 3 } e ^ { - \nu \epsilon } = \pi \nu ^ { 3 } e ^ { - \nu \epsilon } .
\begin{array} { r l } { G _ { N } ^ { ( m ) } ( q ) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \left( m ! \right) ^ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } u _ { j } } { 2 \pi i } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } v _ { i } } { 2 \pi i } \Bigg \{ \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { N } \right] \cdot \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { v _ { j } - u _ { i } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \cdot } \\ & { \cdot \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k } \frac { f \left( q ^ { k } \right) } { \left( 1 - f \left( q ^ { k } \right) \right) } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } ^ { k } - v _ { i } ^ { k } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( v _ { j } ^ { - k } - u _ { j } ^ { - k } \right) \right] \Bigg \} . } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 1 6 \pi \alpha ^ { ( n - 1 ) / 2 } } } \int d ^ { n + 1 } x \sqrt { | g | } e ^ { - \varphi } \left[ R + ( \nabla \varphi ) ^ { 2 } + { \frac { k \alpha ^ { \prime } } { 4 } } \left( R _ { G B } ^ { 2 } - ( \nabla \varphi ) ^ { 4 } \right) \right] .
\begin{array} { r l r } & { } & { \| u - I _ { h , p } ( u ) \| _ { H ^ { j } ( K _ { i } ) } \le C \frac { h _ { K } ^ { \nu - j } } { p ^ { s - j } } \| \tilde { u } _ { i } \| _ { H ^ { s } ( K ) } , \ \ 0 \le j \le s , } \\ & { } & { \| u - I _ { h , p } ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \partial K _ { i } ) } \le C \frac { h _ { K } ^ { \nu - 1 / 2 } } { p ^ { s - 1 / 2 } } \| \tilde { u } _ { i } \| _ { H ^ { s } ( K ) } , } \end{array}
\boldsymbol { B } ^ { \alpha , \beta } = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { A } ^ { \alpha , \beta } } \\ { \boldsymbol { A } ^ { \beta , \alpha } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { F ( \hat { T } ) } & { = } & { J ( \hat { T } ) + \sum _ { i \in [ n ] } C _ { i } ( \hat { T } _ { i } ) } \\ & { \leq } & { \sum _ { i \in [ n ] } \left( \frac { K _ { 0 } + K _ { i } } { \hat { T } _ { i } } + H _ { i } \hat { T } _ { i } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { i \in [ n ] } C _ { i } ^ { + } ( \hat { T } _ { i } ) \ . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { d { \vec { x } } _ { s t r } } { d t } } = { \vec { u } } _ { P } ( { \vec { x } } _ { s t r } , t ) } \\ { { \vec { x } } _ { s t r } ( t = \tau _ { P } ) = { \vec { x } } _ { P 0 } } \end{array} \right.
\lambda ( k , q , k ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) = \frac { 2 g ( k , q ) g ( k ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) \Delta E _ { k , q } } { ( \Delta E _ { k ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ) ^ { 2 } - \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) } \approx \frac { 2 g ^ { 2 } \Delta E } { ( \Delta E ) ^ { 2 } - \omega _ { p h } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mu ( \mathbf { X } ) } & { = \left( \begin{array} { l } { \mu ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { X } ) } \\ { \mu ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { X } ) } \end{array} \right) \, \mathrm { a n d } \, } \\ { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 1 , 1 } } & { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 1 , 2 } } \\ { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 2 , 1 } } & { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 2 , 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
Y _ { 2 } R _ { 2 1 } ^ { - 1 } d K _ { 1 } R _ { 2 1 } = R _ { 1 2 } d K _ { 1 } R _ { 2 1 } Y _ { 2 } \quad , \quad \tilde { Y } _ { 2 } R _ { 1 2 } d K _ { 1 } ^ { \dagger } R _ { 2 1 } = R _ { 1 2 } d K _ { 1 } ^ { \dagger } R _ { 1 2 } ^ { - 1 } \tilde { Y } _ { 1 } \quad ,
\begin{array} { r l } { { 1 } S _ { x } ( \omega ) \simeq \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \frac { 2 } { \tau } \Bigg | \sum _ { l } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { i \omega t } } & { { } e ^ { - \frac { \Gamma } { 2 } t } \Big ( s _ { l } \sin ( \omega _ { 0 } t ) } \\ { + } & { { } c _ { l } \cos ( \omega _ { 0 } t ) \Big ) \; d t \; \Bigg | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle 1 A , 2 B ; \Omega | } & { { } \hat { H } | 3 A , 4 B ; \Omega \rangle \sim } \\ { - } & { { } \langle 1 A , 2 B | \hat { H } | 4 A , 3 B \rangle } \\ { - } & { { } \langle 2 A , 1 B | \hat { H } | 3 A ; 4 B \rangle } \\ { + } & { { } \langle 2 A , 1 B | \hat { H } | 4 A ; 3 B \rangle \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } ( \mathbf { x } ) } & { = \left( \hat { \Psi } _ { + 1 } ( \mathbf { x } ) , \, \hat { \Psi } _ { 0 } ( \mathbf { x } ) , \, \hat { \Psi } _ { - 1 } ( \mathbf { x } ) \right) ^ { T } } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { \frac { k } { \sqrt { 2 } \pi } \cos { ( k x ) } ( e ^ { i k z } \hat { c } _ { + k , + 1 } + e ^ { - i k z } \hat { c } _ { - k , + 1 } ) } \\ { \frac { k } { 2 \pi } \hat { c } _ { 0 , 0 } + \frac { \sqrt { 2 } k } { \sqrt { 3 } \pi } \cos ^ { 2 } ( k x ) \hat { c } _ { \pm 2 k _ { x } , 0 } } \\ { \frac { k } { \sqrt { 2 } \pi } \cos { ( k x ) } ( e ^ { - i k z } \hat { c } _ { - k , - 1 } + e ^ { i k z } \hat { c } _ { + k , - 1 } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) } & { = \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t } \frac { \partial } { \partial \tilde { t } } [ A ( \tilde { t } ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( X _ { 0 } - \tilde { t } , Y _ { 0 } ) ] \, d \tilde { t } } \\ & { = A ( t ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( X _ { 0 } - t , Y _ { 0 } ) - A ( - t _ { 0 } ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( X _ { 0 } + t _ { 0 } , Y _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \delta } ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) = } & { \int _ { S ^ { 2 } \times S ^ { 2 } } \left| \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma } ( u , v ) } u - \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma } ( u , v ) } v \right| ^ { 2 } d \gamma ( u , v ) } \\ { = } & { \int _ { S ^ { 2 } \times S ^ { 2 } } \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma } ( u , v ) d \gamma ( u , v ) + \int _ { S ^ { 2 } \times S ^ { 2 } } \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma } ( u , v ) d \gamma ( u , v ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - 2 \int _ { S ^ { 2 } \times S ^ { 2 } } \frac { \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } } { \gamma } ( u , v ) \langle u , v \rangle d \gamma ( u , v ) } \\ { = } & { \int _ { \rho ^ { - 1 } ( S ^ { 2 } \times S ^ { 2 } ) } \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma } \circ \rho ( x ) \, d m + \int _ { \rho ^ { - 1 } ( S ^ { 2 } \times S ^ { 2 } ) } \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma } \circ \rho ( x ) \, d m } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - 2 \int _ { \rho ^ { - 1 } ( S ^ { 2 } \times S ^ { 2 } ) } \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma } \circ \rho ( x ) } \sqrt { \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma } \circ \rho ( x ) } \langle \rho ( x ) \rangle d \gamma ( u , v ) } \\ { = } & { \int _ { M } | { q _ { 1 } } ( x ) | ^ { 2 } d m + \int _ { M } | q _ { 2 } ( x ) | ^ { 2 } d m - 2 \int _ { M } | { q _ { 1 } } ( x ) | | q _ { 2 } ( x ) | \left\langle \frac { { q _ { 1 } } ( x ) } { | { q _ { 1 } } ( x ) | } , \frac { q _ { 2 } ( x ) } { | q _ { 2 } ( x ) | } \right\rangle d m } \\ { = } & { \| { q _ { 1 } } - q _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } ( | X - \hat { E } _ { 0 } | ^ { 2 } | X \in [ \hat { E } _ { 0 } - L , \hat { E } _ { 0 } - L ] ) \geq \sigma ^ { 2 } + 1 6 \eta \epsilon ^ { 2 } - \frac { \eta \epsilon ^ { 2 } } { 1 6 0 } > \sigma ^ { 2 } + 2 \epsilon ^ { 2 } \eta , } \end{array}
p _ { e f f } ( \phi ) = \frac { 1 } { 4 } \left( 1 + \frac { b _ { k } } { b _ { g } } \right) \dot { \phi } ^ { 2 } - \frac { \Delta ^ { 2 } } { 1 6 b _ { g } M ^ { 4 } } \dot { \phi } ^ { 4 } e ^ { 2 \alpha \phi / M _ { p } } - \frac { M ^ { 4 } } { 4 b _ { g } } e ^ { - 2 \alpha \phi / M _ { p } }
\begin{array} { r l } & { \left( \tau _ { k } \nu _ { k } ^ { \tau } x ^ { 0 } + \left( 1 - \tau _ { k } \nu _ { k } ^ { \tau } \right) x ^ { * } \right) ^ { \top } { s } ^ { k } + \left( \nu _ { k } s ^ { 0 } + \left( 1 - \nu _ { k } \right) s ^ { * } \right) ^ { \top } z ^ { k } } \\ { = } & { \left( \tau _ { k } \nu _ { k } ^ { \tau } x ^ { 0 } + \left( 1 - \tau _ { k } \nu _ { k } ^ { \tau } \right) x ^ { * } \right) ^ { \top } \left( \nu _ { k } s ^ { 0 } + \left( 1 - \nu _ { k } \right) s ^ { * } \right) + ( z ^ { k } ) ^ { \top } s ^ { k } . } \end{array}
{ \begin{array} { c c c c c c c } { T _ { A } } & { = } & { 0 } & { : } & { \sec ^ { 2 } { \frac { B } { 2 } } } & { : } & { \sec ^ { 2 } { \frac { C } { 2 } } } \\ { T _ { B } } & { = } & { \sec ^ { 2 } { \frac { A } { 2 } } } & { : } & { 0 } & { : } & { \sec ^ { 2 } { \frac { C } { 2 } } } \\ { T _ { C } } & { = } & { \sec ^ { 2 } { \frac { A } { 2 } } } & { : } & { \sec ^ { 2 } { \frac { B } { 2 } } } & { : } & { 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { 1 , \quad } & { r = 1 ; } \\ & { ( 3 - 2 r ) + , \quad } & { 1 < r \le 7 / 6 ; } \\ & { 2 / 3 , \quad } & { 7 / 6 < r \le 1 7 / 1 2 ; } \\ & { ( 7 / 2 - 2 r ) + , \quad } & { 1 7 / 1 2 < r \le 3 / 2 ; } \\ & { 5 / 4 - r / 2 , \quad } & { 3 / 2 < r < 5 / 2 ; } \\ & { 0 + , \quad } & { r = 5 / 2 ; } \\ & { 0 , \quad } & { r \ge 5 / 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \widetilde { X } ^ { \left( q \right) } } { \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } } } & { { } = \frac { \frac { \alpha } { \left( \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \right) ^ { \beta ^ { \left( q \right) } + 2 } } \Gamma \left( \beta ^ { \left( q \right) } + 2 \right) } { \frac { \alpha } { \left( \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \right) ^ { \beta ^ { \left( q \right) } + 1 } } \Gamma \left( \beta ^ { \left( q \right) } + 1 \right) } + \mu , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \pi ^ { t t } } & { = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } N _ { \ast s } 2 \pi e ^ { - \frac { q \Phi } { T } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } w ^ { 3 } d w } \\ & { } & { \times \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d u _ { z } \sqrt { 1 + u ^ { 2 } } e ^ { - \frac { \sqrt { 1 + w ^ { 2 } + u _ { z } ^ { 2 } } } { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } } & { \le 2 ^ { r - 1 } \tilde { \epsilon } \sum _ { i + j + k \ge r - 1 } \frac { ( i + j + k ) ^ { r - 1 } } { ( i + j + k ) ! } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { j } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + j + k - ( r - 1 ) } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } ( \partial _ { d } q ) \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + \sum _ { i + j + k < r - 1 } \| \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } \partial _ { d } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \le 2 ^ { r - 1 } \tilde { \epsilon } \sum _ { i + j + k \ge r - 1 } \frac { ( i + j + k ) ^ { r - 1 } } { ( i + j + k ) ! } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { j } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + j + k - ( r - 1 ) } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } \left( \partial _ { d } q + \frac { a } { b } q \right) \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + 2 ^ { r - 1 } \tilde { \epsilon } \left| \frac { a } { b } \right| \sum _ { i + j + k \ge r - 1 } \frac { ( i + j + k ) ^ { r - 1 } } { ( i + j + k ) ! } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { j } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + j + k - ( r - 1 ) } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + \sum _ { i + j + k < r - 1 } \| \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } \partial _ { d } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \end{array}
P ( \beta ) = ( \pi ( \beta + 1 ) / 1 6 ) ^ { \frac { 1 } { \beta + 1 } } \frac { 4 \sqrt { \pi } \Gamma ( 1 + \frac { 1 } { \beta + 1 } ) } { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \beta + 1 } ) }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \triangleright \, \, } & { \textrm { O f f - c e n t e r e d f i x e d p o i n t : } } \\ & { \quad \Gamma < \Gamma _ { \ast } ( 0 ) , } \\ & { \bullet \quad \textrm { A c c u m u l a t i o n a r o u n d t h e c e n t e r / } } \\ { \& \quad \quad \textrm { n e a r - w a l l a c c u m u l a t i o n , } } \\ & { \bullet \quad \textrm { D e p l e t i o n o f t h e u p p e r h a l f } } \\ { \triangleright \, \, } & { \textrm { S t a b l e n e a r - w a l l f i x e d p o i n t : } } \\ & { \quad \Gamma _ { \ast } ( 0 ) \leq \Gamma \leq \Gamma _ { \ast \ast } ( 0 ) , } \\ & { \quad \Gamma _ { w } \simeq \Gamma _ { \ast \ast } ( 0 ) , } \\ & { \bullet \quad \textrm { C o m p l e t e n e a r - w a l l a c c u m u l a t i o n } } \\ { \triangleright \, \, } & { \textrm { C h i r a l i t y - d o m i n a n t s w i m m i n g : } } \\ & { \quad \Gamma > \Gamma _ { \ast \ast } ( 0 ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\partial _ { t } \left( \varphi S _ { w } C _ { a , C l \left( - 1 \right) } \right) + \partial _ { x } \left( u C _ { a , C l \left( - 1 \right) } f _ { w } \right) = \partial _ { x } \left( \mathcal { D } C _ { a , C l \left( - 1 \right) } \partial _ { x } S _ { w } \right) + \partial _ { x } \left( \varphi D _ { w } S _ { w } \partial _ { x } C _ { a , C l \left( - 1 \right) } \right) .
\boldsymbol { p } _ { i , \mathrm { n e w } } = \boldsymbol { p } _ { i , \mathrm { t e m p l a t e } } + \sum _ { j } ^ { N _ { L } } k ( \boldsymbol { p } _ { i , \mathrm { t e m p l a t e } } , \boldsymbol { x } _ { j , \mathrm { t e m p l a t e } } ) w _ { j }
\frac { \mathrm { d } a } { \mathrm { d } t } = \frac { 4 a ^ { 2 } } { G m _ { 1 } m _ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } K _ { i } \left[ N ( e ) x _ { i } \frac { \Omega _ { i } } { n } - N _ { a } ( e ) \right] ,
{ \begin{array} { r l } & { \cos ( B - C ) : \cos ( C - A ) : \cos ( A - B ) } \\ & { = \cos A + 2 \cos B \cos C : \cos B + 2 \cos C \cos A : \cos C + 2 \cos A \cos B } \\ & { = \cos A - 2 \sin B \sin C : \cos B - 2 \sin C \sin A : \cos C - 2 \sin A \sin B } \\ & { = b c \left[ a ^ { 2 } ( b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) - ( b ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] : c a \left[ b ^ { 2 } ( c ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) - ( c ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] : a b \left[ c ^ { 2 } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) - ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { 2 \pi } \left\langle X \left( \omega \right) X ^ { * } \left( \omega ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { = S _ { x , x } \left( \omega \right) \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) , } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \left\langle \Xi \left( \omega \right) \Xi ^ { * } \left( \omega ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { = S _ { \xi , \xi } \left( \omega \right) \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { k } = \left( \begin{array} { l l } { X _ { i _ { k } } ^ { 1 / 2 } } & { X _ { i _ { k } } ^ { 1 / 2 } } \\ { 0 } & { X _ { i _ { k } } ^ { - 1 / 2 } } \end{array} \right) = X _ { i _ { k } } ^ { - 1 / 2 } \cdot \left( \begin{array} { l l } { X _ { i _ { k } } } & { X _ { i _ { k } } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { k e } } & { { } \approx } & { - \frac { p _ { e } ^ { 0 } } { c } \; \nu _ { k e } \, \vec { p } _ { e } \cdot \frac { \partial f _ { e } } { \partial \vec { p } _ { e } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \mathcal { C } ( x ) \middle | x \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \mathcal { C } _ { 1 } ( x ) + \mathcal { C } _ { 2 } \left( x - \mathcal { C } _ { 1 } ( x ) \right) \middle | x \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \mathcal { C } _ { 1 } ( x ) + \mathcal { C } _ { 2 } \left( x - \mathcal { C } _ { 1 } ( x ) \right) \middle | \mathcal { C } _ { 1 } ( x ) \right] \middle | x \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \mathcal { C } _ { 1 } ( x ) + x - \mathcal { C } _ { 1 } ( x ) \middle | x \right] } \\ & { = x . } \end{array}
\hbar \frac { \partial \phi } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 m _ { e } } \left( \hbar \vec { \nabla } \phi - e \vec { A } \right) ^ { 2 } - e \Phi = \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } a } { 2 m _ { e } a } = - Q
[ j _ { \mu } ( y ) , j _ { \nu } ^ { \dagger } ( 0 ) ] = \frac { 1 } { \pi } ( - S _ { \mu \alpha \nu \beta } + i \varepsilon _ { \mu \alpha \nu \beta } ) j ^ { \beta } ( 0 , y ) \partial ^ { \alpha } [ \varepsilon ( y _ { 0 } ) \delta ( y ^ { 2 } ) ] .