harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } } & { \mathrm { i f \, } \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { \mathrm { C D C ^ { - } } } , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } } & { \mathrm { i f \, } \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { D } , } \\ { p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } - [ \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \cdot \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } ] \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } ) } & { \mathrm { i f \, } \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { D K ^ { - } } , } \\ { p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } - [ \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \cdot \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D } ] \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D } ) } & { \mathrm { i f \, } \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { 1 ^ { - } D } , } \\ { p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } - [ \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \cdot \hat { \mathbf { n } } ^ { 2 ^ { - } K ^ { - } } ] \hat { \mathbf { n } } ^ { 2 ^ { - } K ^ { - } } ) } & { \mathrm { i f \, } \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { 2 ^ { - } K ^ { - } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \left\{ t | \ln ^ { 4 } n / n \ll t < T - \ln ^ { 2 } n / n ^ { 2 / 3 } \right\} , } \\ { I _ { 2 } } & { = \left\{ t | \ln ^ { 4 } n / n \ll t < T _ { 1 } - \ln ^ { 2 } n / n ^ { 2 / 3 } \right\} , } \\ { I _ { 3 } } & { = [ T _ { 1 } + \ln ^ { 2 } n / n ^ { 2 / 3 } , T _ { 2 } - \ln ^ { 2 } n / n ^ { 2 / 3 } ] , } \\ { I } & { = \left\{ t | 1 / n ^ { 2 / 3 } \ll T - t < \ln ^ { 2 } n / n ^ { 2 / 3 } \right\} . } \end{array}
D _ { \alpha } = \partial _ { \alpha } - \frac { 1 } { 2 } i \partial _ { \alpha \dot { \beta } } \widetilde { \vartheta } ^ { \dot { \beta } } , \qquad \widetilde { D } _ { \dot { \beta } } = - \widetilde { \partial } _ { \dot { \beta } } + \frac { 1 } { 2 } \vartheta ^ { \alpha } i \partial _ { \alpha \dot { \beta } }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } ^ { ( i ) } = \left\langle \left\{ \boldsymbol { u } ^ { ( i ) } \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } \right\rangle + \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } c _ { \alpha } ^ { ( i ) } \boldsymbol { \varphi } _ { \alpha } , \quad i \in [ 1 : N _ { e } ] \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { 1 } { 2 N ^ { 2 } } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \left( x _ { i } - x _ { j } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { { \frac { 1 } { 2 N ^ { 2 } } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \left( x _ { i } ^ { 2 } - 2 x _ { i } x _ { j } + x _ { j } ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { 2 N } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } ^ { 2 } \right) - \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } \right) \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } x _ { j } \right) + { \frac { 1 } { 2 N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } x _ { j } ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sigma ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } \right) - \mu ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sigma ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { \sigma ^ { 2 } } \end{array} }
\mathbf { S } _ { 2 , i j \nu } ( \mathbf { k , \mathbf { q } } ) = \sum _ { m } \frac { g _ { i m , \nu } ( \mathbf { k , q } ) \textbf { v } _ { m j } ( \mathbf { k + q } ) } { \epsilon _ { m , \mathbf { k + q } } - \epsilon _ { i , \mathbf { k } } \pm \hbar \omega _ { \nu \mathbf { q } } + i \eta } .
\begin{array} { r l } { P ^ { < } ( L , \tau | L _ { 0 } , \tau _ { 0 } = 0 ) } & { { } = \frac { L e ^ { - \frac { L ^ { 2 } + L _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 D \tau } } \left( \frac { L } { L _ { 0 } } \right) ^ { \frac { \gamma } { d } + \frac { 1 } { 2 } } I _ { \frac { \gamma } { D } + \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { L L _ { 0 } } { D \tau } \right) } { D \tau } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { D } : = \sqrt { \frac { k _ { B } } { 4 \pi e ^ { 2 } \left( \frac { Z n _ { i } ^ { \infty } } { T _ { i } } + \frac { n _ { e } ^ { \infty } } { T _ { e } } \right) } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( V _ { 1 } + I _ { 1 1 } ( \omega _ { 1 } ) X _ { 1 } ) ( X _ { 1 } \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 2 } ) ) + V _ { 1 } I _ { 2 2 } ( \omega _ { 2 } ) ) = ( V _ { 1 } + I _ { 1 1 } ( \omega _ { 2 } ) X _ { 1 } ) ( X _ { 1 } \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 1 } ) ) + V _ { 1 } I _ { 2 2 } ( \omega _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf U } _ { t } + \mathcal { N } [ { \bf U } ] } & { = \mathcal { N } [ { \bf g } ( { x } ) ] \chi ( - t ) } \\ & { + \left[ \frac { \partial { \bf f _ { 1 } } ( t ) } { \partial t } \chi ( X _ { 1 } - x ) + \frac { \partial { \bf f _ { 2 } } ( t ) } { \partial t } \chi ( x - X _ { 2 } ) \right] \chi ( t ) } \\ & { + \left\{ \mathcal { N } \left[ { \bf f _ { 1 } } ( t ) \right] \chi ( x - X _ { 1 } ) + \mathcal { N } \left[ { \bf f _ { 2 } } ( t ) \right] \chi ( X _ { 2 } - x ) \right\} \chi ( t ) , \quad t \in ( - \infty , T ] , \quad x \in ( - \infty , \infty ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \nu \xi + \bar { u } \xi _ { x } - \epsilon \xi _ { x x } + \bar { \rho } \eta _ { x } = f , } \\ { \nu \eta + \frac { R \bar { \theta } } { \bar { \rho } } \xi _ { x } - \lambda _ { 0 } \eta _ { x x } + \bar { u } \eta _ { x } + R \zeta _ { x } = g , } \\ { \nu \zeta + \frac { R \bar { \theta } } { c _ { 0 } } \eta _ { x } - \kappa _ { 0 } \zeta _ { x x } + \bar { u } \zeta _ { x } = h . } \end{array} \right.
\mathrm { g } = \frac { 1 } { I _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } ( x _ { f } , y _ { f } ; \lambda _ { o } ) } = \frac { 1 } { | \varphi _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } ( x _ { f } , y _ { f } ; \lambda _ { o } ) | ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { P r } \left( \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } \right) } & { = - \nabla p + \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + R a \left( \Theta - \Phi \right) \mathbf { \hat { z } } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \Theta } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \Theta } & { = - u + \nabla ^ { 2 } \Theta , } \\ { \frac { \partial \Phi } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \Phi } & { = - u + \frac { 1 } { L e } \nabla ^ { 2 } \Phi . } \end{array}
R _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l l l l } { { { F } ^ { - 1 } { K } _ { i } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { \mu < 0 } } & { { \mathrm { a n d } } } & { { E < | \hat { q } | } } \\ { { { K } _ { i } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { \mathrm { a n y } ~ \mu } } & { { \mathrm { a n d } } } & { { E = | \hat { q } | } } \\ { { \pm i { F } ^ { - 1 } { K } _ { i } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { \mathrm { a n y } ~ \mu } } & { { \mathrm { a n d } } } & { { E > | \hat { q } | } } \end{array} \right.
E _ { \mathrm { h f s } } ^ { \langle \bar { S } _ { 1 } ( 0 , Q ^ { 2 } ) \rangle } ( n S ) = \frac { E _ { \mathrm { F } } } { n ^ { 3 } } \frac { \alpha m } { \pi ( 1 + \kappa ) M } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } Q } { Q } \frac { 5 + 4 v _ { l } } { ( v _ { l } + 1 ) ^ { 2 } } \left[ 4 I _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) + F _ { 2 } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) \right] .
\aligned \frac { d } { d t } \int \phi ( \frac { r } { R } ) ^ { 2 } I m ( \bar { u } \cdot r \partial _ { r } u ) d x = 2 \int \phi ( \frac { r } { R } ) ^ { 2 } [ | \partial _ { r } u | ^ { 2 } + ( \frac { m + A _ { \theta } [ u ] } { r } ) ^ { 2 } | u | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 4 } ] d x \, + \frac { C } { R } \int \phi ^ { \prime } ( \frac { r } { R } ) \phi ( \frac { r } { R } ) \{ r | u _ { r } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { r } | u | ^ { 2 } \} d x . \endaligned
\begin{array} { r l } { \lambda _ { \mathbf { k } } } & { { } = \Phi _ { 0 } + P _ { \mathbf { k } 1 } ^ { ( 0 ) } \Phi _ { 1 } + P _ { \mathbf { k } 2 } ^ { ( 0 ) } \Phi _ { 2 } , } \\ { \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \rangle } } & { { } = \Phi _ { 0 } ^ { \langle \mu \rangle } + P _ { \mathbf { k } 1 } ^ { ( 1 ) } \Phi _ { 1 } ^ { \langle \mu \rangle } , } \\ { \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \nu \rangle } } & { { } = \Phi _ { 0 } ^ { \langle \mu \nu \rangle } . } \end{array}
Z Z _ { \phi } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { e ^ { i \phi / 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i \phi / 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { - i \phi / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { e ^ { i \phi / 2 } } \end{array} \right] }
\mathbf { A } = \left( \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 . 5 } & { - 0 . 5 } \\ { 0 . 5 } & { 2 . 5 } & { - 0 . 5 } \\ { - 0 . 5 } & { - 0 . 5 } & { 1 . 5 } \end{array} \right) \ \mathrm { ~ , ~ }
\phi _ { \mathrm { { a b s o r p t i o n } } } ^ { \mathrm { { C C } } } ( E _ { k } - \omega ; E _ { k } ) = - \phi _ { \mathrm { { e m i s s i o n } } } ^ { \mathrm { { C C } } } ( E _ { k } + \omega ; E _ { k } )
{ \cal J } _ { n l l ^ { \prime } , 1 s } ^ { a } ( \tau _ { 1 } , q ) = { \int } _ { 0 } ^ { \infty } d r \ r ^ { 2 } R _ { n l } ( r ) j _ { l ^ { \prime } } ( q r ) { \cal B } _ { 1 0 1 } ( \tau _ { 1 } ; r ) \; ,
\begin{array} { r } { i { \partial _ { z } U ( \mathbf { r } ) } + { \nabla _ { \bot } ^ { 2 } U ( \mathbf { r } ) } / { 2 k _ { p } } = - \kappa \rho _ { e g } ^ { ( 1 ) } U ( \mathbf { r } ) - \kappa \rho _ { e g } ^ { ( 3 1 ) } | U ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } U ( \mathbf { r } ) } \\ { - \kappa N _ { a } \int \rho _ { e g } ^ { ( 3 2 ) } ( \mathbf { r _ { \bot } } - \mathbf { r _ { \bot } ^ { \prime } } ) | U ( \mathbf { r _ { \bot } ^ { \prime } } , z ) | ^ { 2 } d \mathbf { r } _ { \bot } ^ { \prime } U ( \mathbf { r } ) } \end{array}
J _ { 2 } ^ { 7 } J _ { 3 } M _ { 7 , 1 } + J _ { 2 } ^ { 4 } J _ { 3 } ^ { 3 } M _ { 4 , 3 } + J _ { 2 } J _ { 3 } ^ { 5 } M _ { 1 , 5 }
\begin{array} { r l r } { E } & { { } = } & { - \frac { \sqrt { 6 } } { R _ { 1 2 } ^ { 3 } } \frac { \sqrt { 6 } } { R _ { 1 3 } ^ { 3 } } \frac { \sqrt { 6 } } { R _ { 2 3 } ^ { 3 } } \frac { \langle 1 | | r ( 1 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { 3 } \frac { \langle 1 | | r ( 2 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { 3 } \frac { \langle 1 | | r ( 3 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { 3 } \times } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { { \mathcal L } _ { 2 } } } & { { = } } & { { { p } ^ { 2 } + u _ { 2 } } } \\ { { } } & { { = } } & { { ( p + { \phi } ^ { \prime } ) \star ( p - { \phi } ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ( C \gets D ) = } & { { } ~ \frac { ( 1 - w _ { R } ) / k \cdot ( k - k _ { C } ) F _ { D | C } } { w _ { R } F _ { C } + ( 1 - w _ { R } ) / k \cdot [ k _ { C } F _ { C | C } + ( k - k _ { C } ) F _ { D | C } ] } } \\ { = } & { { } ~ ( 1 - w _ { R } ) \frac { k - k _ { C } } { k } + w _ { R } ( 1 - w _ { R } ) ( \pi _ { D | C } - \pi _ { C } ) \frac { k - k _ { C } } { k } \delta } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } + \delta ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) , \; \; \; \; \; \; \; } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \beta \lefteqn { I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } d x } } \\ { \leq } & { \ 4 \beta \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p - 1 ) / 2 ) } \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p + 1 } \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \left\| [ ( u ^ { k } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 } ] _ { x } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { + 4 \beta \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p + 1 ) / 2 } \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \left\| [ ( v ^ { k } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { + 2 \beta \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p + 1 } \| u _ { x } ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { + 2 \beta \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p + 1 } \| u _ { x } ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \| ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { + 4 \beta \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p - 1 ) / 2 } \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p + 1 } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| [ ( u ^ { k } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 } ] _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { + 4 \beta \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p + 1 ) / 2 } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| [ ( v ^ { k } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { + 4 \beta \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p - 1 ) / 2 } \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p + 1 } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| [ ( u ^ { k } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 ) } ] _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { + 4 \beta \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p + 1 ) / 2 } \| [ ( v ^ { j } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 8 \mathrm { i } a ^ { 3 } I _ { 1 3 } } { m _ { 0 } R ^ { 5 } } } & { { } = } & { \sin \theta \sum _ { k } \Big [ K ( k n - \omega ) \Big [ \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) - \cos \theta \left( 2 X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) \Big ] } \end{array}
- \left( K _ { 2 } \left( \mathbf { X } \right) - \nabla _ { \mathbf { X } } \cdot \left( \sigma _ { 2 2 } \left( \mathbf { X } \right) \right) \right) P \left( \mathbf { X } \right) + \sigma _ { 2 2 } \left( \mathbf { X } \right) \nabla _ { \mathbf { X } } \left( P \left( \mathbf { X } \right) \right) = 0 ,
\begin{array} { r } { s ( x ) = { s } _ { \mathrm { a d d } } + { s } _ { \mathrm { m u l t } } \cdot g ( \ln \varkappa _ { S } \cdot \chi _ { S } ( x ) ) , } \\ { \lambda ( x ) = \lambda _ { \mathrm { a d d } } + { \lambda } _ { \mathrm { m u l t } } \cdot g ( \ln \varkappa _ { \lambda } \cdot \chi _ { \lambda } ( x ) ) , } \\ { \gamma ( x ) = \gamma _ { \mathrm { a d d } } + \gamma _ { \mathrm { m u l t } } \cdot g ( \ln \varkappa _ { \gamma } \cdot \chi _ { \gamma } ( x ) ) . } \end{array}
\boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) = \left[ \psi _ { k , \sigma } ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) ~ \middle | ~ \psi _ { k , \sigma } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) ~ \middle | ~ \cdots ~ \middle | ~ \psi _ { k , \sigma } ^ { ( m _ { k , \sigma } ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right]
\begin{array} { r } { \gamma _ { 1 } ^ { + } = ( 1 - c _ { 1 } ) \sum _ { j = 0 } ^ { q } { \binom { q } { j } } ( 1 - v ) ^ { q - j } v ^ { j } \times } \\ { \sum _ { k = 0 } ^ { q - j } { \binom { q - j } { k } } c _ { 1 } ^ { q - j - k } ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { k } e _ { k , q } \sum _ { k = 0 } ^ { j } { \binom { j } { k } } c _ { 0 } ^ { j - k } ( 1 - c _ { 0 } ) ^ { k } e _ { k , q } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } } & { } & & { } & & { \qquad \mathrm { F o r w a r d } } & & { \qquad \qquad \mathrm { B a c k w a r d } } \\ { \mathrm { V o l m e r ( a c i d ) : } } & { } & { \quad } & { } & { \nu _ { V a } } & { = k _ { V a } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } ( 1 - \theta _ { a d s } ) e ^ { - \alpha _ { V a } \frac { \eta F } { R T } } \qquad } & & { \nu _ { V a } ^ { \prime } = k _ { V a } ^ { \prime } \theta _ { a d s } e ^ { ( 1 - \alpha _ { V a } ) \frac { \eta F } { R T } } } \\ { \mathrm { H e y r o v s k y ( a c i d ) : } } & { } & & { } & { \nu _ { H a } } & { = k _ { H a } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } \theta _ { a d s } e ^ { - \alpha _ { H a } \frac { \eta F } { R T } } \qquad } & & { \nu _ { H a } ^ { \prime } = k _ { H a } ^ { \prime } ( 1 - \theta _ { a d s } ) p _ { \mathrm { H } _ { 2 } } e ^ { ( 1 - \alpha _ { H a } ) \frac { \eta F } { R T } } } \\ { \mathrm { V o l m e r ( b a s e ) : } } & { } & & { } & { \nu _ { V b } } & { = k _ { V b } ( 1 - \theta _ { a d s } ) e ^ { - \alpha _ { V b } \frac { \eta F } { R T } } \qquad } & & { \nu _ { V b } ^ { \prime } = k _ { V b } ^ { \prime } C _ { \mathrm { O H } ^ { - } } \theta _ { a d s } e ^ { ( 1 - \alpha _ { V b } ) \frac { \eta F } { R T } } } \\ { \mathrm { H e y r o v s k y ( b a s e ) : } } & { } & & { } & { \nu _ { H b } } & { = k _ { H b } \theta _ { a d s } e ^ { - \alpha _ { H b } \frac { \eta F } { R T } } \qquad } & & { \nu _ { H b } ^ { \prime } = k _ { H b } ^ { \prime } ( 1 - \theta _ { a d s } ) p _ { \mathrm { H } _ { 2 } } C _ { \mathrm { O H } ^ { - } } e ^ { ( 1 - \alpha _ { H b } ) \frac { \eta F } { R T } } } \\ { \mathrm { T a f e l : } } & { } & & { } & { \nu _ { T } } & { = k _ { T } \left| \theta _ { a d s } \right| \theta _ { a d s } \qquad } & & { \nu _ { T } ^ { \prime } = k _ { T } ^ { \prime } ( 1 - \theta _ { a d s } ) p _ { \mathrm { H } _ { 2 } } } \\ { \mathrm { A b s o r p t i o n : } } & { } & & { } & { \nu _ { A } } & { = k _ { A } ( N _ { L } - C _ { L } ) \theta _ { a d s } \qquad } & & { \nu _ { A } ^ { \prime } = k _ { A } ^ { \prime } C _ { L } ( 1 - \theta _ { a d s } ) } \\ { \mathrm { C o r r o s i o n : } } & { } & & { } & { \nu _ { c } } & { = k _ { c } C _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } e ^ { - \alpha _ { c } \frac { \eta F } { R T } } \qquad } & & { \nu _ { c } ^ { \prime } = k _ { c } ^ { \prime } e ^ { ( 1 - \alpha _ { c } ) \frac { \eta F } { R T } } } \end{array}
s \, = \, \frac { \epsilon ^ { 2 } D ^ { 2 } } { ( 1 { + } \epsilon R ) ( 1 { + } \epsilon R ^ { \prime } ) } \, \equiv \, \epsilon ^ { 2 } \, \frac { ( R { - } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { ( 1 { + } \epsilon R ) ( 1 { + } \epsilon R ^ { \prime } ) } \, .
+ \frac { R ^ { 3 } } { N \kappa ^ { 2 } } G _ { \bar { A } B } D \bar { z } ^ { \bar { A } } D z ^ { B } + \frac { i } { 2 \kappa } D z ^ { B } ( \bar { \lambda } G _ { \bar { A } B } \bar { \chi } ^ { \bar { A } } + \lambda G _ { \bar { A } B } \bar { \phi } ^ { \bar { A } } )
\mathcal { H } _ { 4 } = \left( \begin{array} { c c c c c } { - 2 \epsilon - 2 G } & { - G \sqrt { 2 } } & { \frac { 2 \lambda - 2 G } { \sqrt { 2 } } } & { 2 \lambda } & { 0 } \\ { - G \sqrt { 2 } } & { - 2 G + 2 \gamma } & { - 2 G } & { 0 } & { - G \sqrt { 2 } } \\ { \frac { 2 \lambda - 2 G } { \sqrt { 2 } } } & { - 2 G } & { - 2 G } & { 2 \gamma \sqrt { 2 } } & { \frac { 2 \lambda - 2 G } { \sqrt { 2 } } } \\ { 2 \lambda } & { 0 } & { 2 \gamma \sqrt { 2 } } & { 2 \gamma } & { 2 \lambda } \\ { 0 } & { - G \sqrt { 2 } } & { \frac { 2 \lambda - 2 G } { \sqrt { 2 } } } & { 2 \lambda } & { 2 \epsilon - 2 G } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { H ( \rho , T ) = e ( \rho , T ) - e _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } ( \rho ^ { - 1 } - \rho _ { 0 } ^ { - 1 } ) \left[ p ( \rho , T ) + p _ { 0 } \right] = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { r _ { s } \to 0 } \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ( r _ { s } , \zeta ) \to } & { { } \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { U } + H ^ { \mathrm { ~ R ~ P ~ A ~ } } ( \zeta ) [ \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { P } - \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { U } ] \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { h } ( \mathbf { h } ) } & { = I _ { h } \left[ J _ { h } ( \mathbf { w } ) \cdotp \nabla J _ { h } ( \mathbf { w } ) + J _ { h } ( \mathbf { w } ) \cdotp \nabla \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdotp \nabla J _ { h } ( \mathbf { w } ) \right] } \\ & { \quad - \nu I _ { h } ( \nabla ^ { 2 } J _ { h } \mathbf { w } ) + O ( I _ { h } ( \mathbf { w } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i \frac { 1 + k / k _ { L } } { k _ { L } } \frac { \partial \alpha _ { k } ^ { 0 0 } } { \partial \eta } = \frac { 1 } { 8 } \frac { \omega _ { p 0 } ^ { 2 } } { k _ { L } ^ { 2 } c ^ { 2 } } \frac { \delta n _ { s } } { n _ { 0 0 } } \left( \alpha _ { k \pm k _ { p 0 } } ^ { 0 0 } + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { k \pm k _ { p 0 } } ^ { 1 0 } \exp \left[ - i k _ { w } \left( 1 - k / k _ { L } \mp k _ { p 0 } / k _ { L } \right) \eta \right] \right) \, , } \\ & { i \frac { 1 + k / k _ { L } } { k _ { L } } \frac { \partial \alpha _ { k } ^ { 1 0 } } { \partial \eta } = \frac { 1 } { 8 } \frac { \omega _ { p 0 } ^ { 2 } } { k _ { L } ^ { 2 } c ^ { 2 } } \frac { \delta n _ { s } } { n _ { 0 0 } } \left( \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { k \pm k _ { p 0 } } ^ { 0 0 } \exp \left[ i k _ { w } ( 1 - k / k _ { L } ) \eta \right] + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { k \pm k _ { p 0 } } ^ { 1 0 } \exp \left[ \pm i k _ { w } \left( k _ { p 0 } / k _ { L } \right) \eta \right] \right) } \end{array}
I _ { \mathrm { \boldmath ~ \ z e t a ~ } } = ( \mathrm { \boldmath ~ \ z e t a ~ } \mathrm { \boldmath ~ \ c h i ~ } { \bf v } ) \frac { \alpha m ^ { 2 } } { \pi } \mathrm { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u d u } { ( 1 + u ) ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( - i t ) \frac { \varphi } { \cosh ^ { 2 } \frac { \nu t } { 2 } } d t .
\begin{array} { r l r l r l } { { 5 } \| D ^ { j } v _ { h } \| _ { T } } & { \lesssim h ^ { i - j } \| D ^ { i } v _ { h } \| _ { T } } & & { \quad \forall \, T \in \mathcal { T } _ { h } , } & & { \quad 0 \leqslant i \leqslant j , } \\ { \| D ^ { j } v _ { h } \| _ { \partial T } } & { \lesssim h ^ { i - j - 1 / 2 } \| D ^ { i } v _ { h } \| _ { T } } & & { \quad \forall \, T \in \mathcal { T } _ { h } , } & & { \quad 0 \leqslant i \leqslant j - 1 / 2 , } \\ { \| D ^ { j } v _ { h } \| _ { \Gamma \cap T } } & { \lesssim h ^ { i - j - 1 / 2 } \| D ^ { i } v _ { h } \| _ { T } } & & { \quad \forall \, T \in \mathcal { T } _ { h } , } & & { \quad 0 \leqslant i \leqslant j - 1 / 2 , } \\ { \| D ^ { j } v _ { h } \| _ { E \cap F } } & { \lesssim h ^ { i - j - 1 / 2 } \| D ^ { i } v _ { h } \| _ { F } } & & { \quad \forall \, ( E , F ) \in \mathcal { E } _ { h } \times \mathcal { F } _ { h } , } & & { \quad 0 \leqslant i \leqslant j - 1 / 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { m u t \to r e s } } } & { = H ^ { \ast } h ^ { \ast } \widetilde { P } ^ { \prime } ( G , G ) + H ^ { \ast } ( 1 \! - \! h ^ { \ast } ) \widetilde { P } ^ { \prime } ( G , B ) } \\ & { \quad + ( 1 \! - \! H ^ { \ast } ) h ^ { \ast } \widetilde { P } ^ { \prime } ( B , G ) + ( 1 \! - \! H ^ { \ast } ) ( 1 \! - \! h ^ { \ast } ) \widetilde { P } ^ { \prime } ( B , B ) } \end{array} .
\gamma ^ { \mu } \Psi _ { , \mu } = - i \gamma ^ { \mu } \frac { e ^ { \gamma ^ { 5 } \alpha } } { \rho } \{ I m ( \overline { { { \Psi } } } _ { , \mu } \Psi ) - j _ { \mu } - \gamma ^ { 5 } [ I m ( \overline { { { \Psi } } } _ { , \mu } \gamma ^ { 5 } \Psi ) - g _ { \mu } ] \} \Psi