harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { Q _ { e } } & { = } & { ( I - P _ { \mathit { F } } ) P _ { \mathit { E } _ { - e } } ( I - P _ { \mathit { F } } ) + ( I - P _ { \mathit { F } } ) \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( P _ { \mathit { E } _ { - e } } P _ { \mathit { F } } ) ^ { m } P _ { \mathit { E } _ { - e } } ( I - P _ { \mathit { F } } ) } \\ & { = } & { P _ { \mathit { E } _ { - e } } - P _ { \mathit { F } } + ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( P _ { \mathit { F } } P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) ^ { m } P _ { \mathit { F } } ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( \omega _ { s } , \omega _ { i } , \omega ) } & { { } = \exp \left( \frac { i \Delta k ( \omega _ { s } , \omega _ { i } , \omega ) L } { 2 } \right) \, \mathrm { s i n c } \left( \frac { \Delta k ( \omega _ { s } , \omega _ { i } , \omega ) L } { 2 } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { x } ( w ) } & { = \sqrt { 2 \pi } \bar { \Phi } ( x ) \left( ( 1 + w ^ { 2 } ) e ^ { w ^ { 2 } / 2 } \Phi ( w ) + \frac { w } { \sqrt { 2 \pi } } \right) } \\ & { \leq \sqrt { 2 \pi } \bar { \Phi } ( x ) \left( ( 1 + x ^ { 2 } ) e ^ { x ^ { 2 } / 2 } \Phi ( x ) + \frac { x } { \sqrt { 2 \pi } } \right) } \\ & { \leq \left\{ \left( \frac { \sqrt { 2 \pi } } { 2 } + x \right) \Phi ( x ) + \frac { e ^ { - x ^ { 2 } / 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } \right\} \vee \left( \sqrt { 2 \pi } \bar { \Phi } ( 0 ) \cdot \Phi ( 0 ) \right) } \\ & { \leq \left\{ \left( \frac { \sqrt { 2 \pi } } { 2 } + 1 \right) \Phi ( 1 ) + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \right\} \vee 0 . 6 3 \leq 2 . 3 . } \end{array}
E ( \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) = \sum _ { m } k \big ( l _ { m } ( \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) - \tilde { l } _ { m } \big ) ^ { 2 } + \sum _ { n } \kappa \, \theta _ { n } ( \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \iota _ { 3 } ( ( 1 5 4 ) ( 2 6 ) ( 3 ) ) } & { = ( 1 5 4 ) ( 2 6 ) ( 3 7 ) } \\ { \iota _ { 3 } ( ( 1 3 ) ( 2 5 6 ) ( 4 ) ) } & { = ( 1 3 7 ) ( 2 5 6 ) ( 4 ) } \\ { \iota _ { 3 } ( ( 1 2 3 5 ) ( 6 4 ) ) } & { = ( 1 2 3 7 5 ) ( 6 4 ) } \\ { \iota _ { 3 } ( e ) = \iota _ { 3 } ( ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ) } & { = ( 1 ) ( 2 ) ( 3 7 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) = ( 3 7 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle \hat { P } \tilde { \eta } ( z , t ) \hat { P } \tilde { \eta } ( z ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right\rangle = \left\langle \tilde { \eta } ( z , y , t ) \hat { P } \tilde { \eta } ( z ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right\rangle = 2 T \frac { u _ { 0 } ( z ) u _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) } { ( u _ { 0 } , u _ { 0 } ) L _ { y } } \delta ( t - t ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } \leq } & { \frac { \mu } { 2 } \| \nabla u ^ { d } \| ^ { 2 } + C \| u ^ { d } \| _ { L _ { \rho ( \phi _ { 1 } ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + C \| \phi ^ { d } \| ^ { 2 } + C \| \nabla \phi ^ { d } \| ^ { 2 } \, , } \\ { R _ { 2 } \leq } & { C \| u ^ { d } \| _ { L _ { \rho ( \phi _ { 1 } ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + C \| \phi ^ { d } \| ^ { 2 } + C \| \nabla \phi ^ { d } \| ^ { 2 } \, , } \\ { R _ { 3 } \leq } & { \frac { \gamma \lambda } { 2 } \| \Delta \phi ^ { d } \| ^ { 2 } + C \| u ^ { d } \| _ { L _ { \rho ( \phi _ { 1 } ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + C \| \phi ^ { d } \| ^ { 2 } + C \| \nabla \phi ^ { d } \| ^ { 2 } \, . } \end{array}
\{ m _ { ( i ) ( j ) } , \ X ^ { a } \} = { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } { \cal P } ^ { a } \{ m _ { ( i ) ( j ) } , \ l \} = { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } { \cal P } ^ { a } m _ { ( i ) ( j ) }
\boldsymbol { B } = \left[ \begin{array} { c c c } { \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { Z } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { I } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } \end{array} \right] \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { u _ { \Delta x } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 \mp 1 \right) ( x + \frac { 1 } { 2 } ) , } & { - \frac { 1 } { 2 } < x \leq 0 , } \\ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( 1 \pm 1 \right) ( x - \frac { 1 } { 2 } ) , } & { 0 < x \leq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \mp ( x - \frac { 1 } { 2 } ) , } & { \frac { 1 } { 2 } < x \leq 1 , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \pm ( x - \frac { 3 } { 2 } ) , } & { 1 < x \leq \frac { 3 } { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( - 1 \mp 1 \right) ( x - \frac { 3 } { 2 } ) , } & { \frac { 3 } { 2 } < x \leq 2 , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( - 1 \pm 1 \right) ( x - \frac { 5 } { 2 } ) , } & { 2 < x \leq \frac { 5 } { 2 } , } \end{array} \right. } \end{array}
V _ { 2 } ( r ) Y _ { 0 } ^ { 2 } ( \theta , \phi ) = { { \frac { \alpha _ { s } v ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 1 2 } } e ^ { - m _ { e } r } Y _ { 0 } ^ { 2 } ( \theta , \phi ) \sqrt { \frac { 4 \pi } { 5 } } { \frac { 8 } { m _ { e } ^ { 2 } r ^ { 3 } } } \left[ \Sigma _ { n = 0 } ^ { 4 } { \frac { ( m _ { e } r ) ^ { n } } { n ! } } - e ^ { m _ { e } r } \right] } \, .
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { ~ f ~ } } \boldsymbol { \dot { \omega } } _ { \mathrm { ~ f ~ } } = \mathbf { m } _ { \mathrm { ~ f ~ } } \times \mathbf { B } _ { \mathrm { ~ r ~ } } - \zeta _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { ~ f ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { L } } } & { = } & { { \bf h } \cdot { \bf \sigma } = \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { \Delta } \\ { \Delta } & { - \xi } \end{array} \right) } \\ { H _ { \mathrm { R } } } & { = } & { - { \bf h } \cdot { \bf \sigma } = - \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { \Delta } \\ { \Delta } & { - \xi } \end{array} \right) , } \end{array}
| V _ { u b } | ^ { 2 } = \frac { 1 9 2 \pi ^ { 3 } E } { G _ { F } ^ { 2 } M ^ { 6 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi _ { u } \, \frac { 1 } { \xi _ { u } ^ { 5 } } \frac { d \Gamma ( B \to X _ { u } \ell \nu ) } { d \xi _ { u } } \, .
\begin{array} { r l } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { d } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { c } J _ { k } ^ { ( a , b ) } ( x ) \, \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { 2 \Gamma ( c - b + 1 ) \Gamma ( d - a + 1 ) } { \Gamma ( c + d + k + 2 ) } \sum _ { i = 0 } ^ { k } \frac { ( - 1 ) ^ { i } \Gamma ( c + i + 1 ) \Gamma ( d - i + k + 1 ) } { \Gamma ( i + 1 ) \Gamma ( k - i + 1 ) } } \\ & { ~ ~ ~ \! ~ \times \frac { 1 } { \Gamma ( d - a - i + 1 ) \Gamma ( c - b + i - k + 1 ) } , \quad \Re ( a , b , c , d ) > - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \omega _ { 0 } ^ { ( \ell ) } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \log \left( 6 \left( S _ { - 1 } ^ { ( 1 ) , \ell } \right) ^ { 2 } + x _ { 2 } \right) + C } \\ { \int \omega _ { j } ^ { ( \ell ) } } & { = - \frac { 1 } { 4 j } \left( 3 x _ { 1 } S _ { j } ^ { ( 1 ) , \ell } + 2 x _ { 2 } S _ { j } ^ { ( 2 ) , \ell } \right) \quad ( j \geq - 1 , j \neq 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| I _ { p } ( Z ; U ) - I _ { q } ( Z ; U ) \right| \leq \left| H _ { p } ( U ) - H _ { q } ( U ) \right| } \\ & { \quad + \left| H _ { p } ( Z ) - H _ { q } ( Z ) \right| + \left| H _ { p } ( U Z ) - H _ { q } ( U Z ) \right| } \\ & { \leq d _ { p , q } ( H ( Z ) ) + d _ { p , q } ( H ( U ) ) + d _ { p , q } ( H ( U Z ) ) } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \leq } \tau \log \frac { | { \cal Z } | } { \tau } + \tau \log \frac { | { \cal U } | } { \tau } + \tau \log \frac { | { \cal U } | | { \cal Z } | } { \tau } } \\ & { = \tau \log \frac { | { \cal U } | ^ { 2 } | { \cal Z } | ^ { 2 } } { \tau ^ { 3 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { p ( y _ { k } | x _ { k } ) } { \int p ( y _ { k } | x _ { k } ) p ( x _ { k } | x _ { k - 1 } ) d x _ { k } } } p ( x _ { k } | x _ { k - 1 } ) d x _ { k } } & { \simeq _ { N \uparrow \infty } { \frac { p ( y _ { k } | x _ { k } ) } { \int p ( y _ { k } | x _ { k } ) { \widehat { p } } ( d x _ { k } | x _ { k - 1 } ) } } { \widehat { p } } ( d x _ { k } | x _ { k - 1 } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { p ( y _ { k } | X _ { k } ^ { i } ( x _ { k - 1 } ) ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } p ( y _ { k } | X _ { k } ^ { j } ( x _ { k - 1 } ) ) } } \delta _ { X _ { k } ^ { i } ( x _ { k - 1 } ) } ( d x _ { k } ) } \end{array} }
\mathcal { H } = \frac { 1 } { 2 } \int | { \mathbf v } | ^ { 2 } f \, \textnormal { d } { \mathbf { x } } \textnormal { d } { \mathbf v } + \frac { 1 } { 2 } \int | { \mathbf { B } } | ^ { 2 } \, \textnormal { d } { \mathbf { x } } \, + \kappa \int \left( \int f \, \textnormal d \mathbf { v } \right) \ln \left( \int f \, \textnormal d \mathbf { v } \right) \textnormal { d } { \mathbf { x } } ,
\begin{array} { r l } { E _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( \lambda ; z ) E _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } ^ { ( n ^ { \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } , 0 ) } & { \sim - \frac { [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] } { z } \sum _ { n ^ { \prime \prime } } \sum _ { c } \left( \frac { n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } } { n ^ { \prime } + 1 } \delta _ { a _ { 2 } b _ { 1 } } E _ { a _ { 1 } c } ^ { ( n ^ { \prime \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } , 0 ) E _ { c b _ { 2 } } ^ { ( n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } - 1 ) } ( \lambda ^ { \prime } , 0 ) \right. } \\ & { \left. + \frac { n ^ { \prime \prime } + 1 } { n ^ { \prime } + 1 } \delta _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } E _ { b _ { 1 } c } ^ { ( n ^ { \prime \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } , 0 ) E _ { c a _ { 2 } } ^ { ( n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } - 1 ) } ( \lambda ^ { \prime } , 0 ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 2 } \Delta e ^ { \pi } ( w ) } & { = } & { | \nabla ^ { \pi } ( d ^ { \pi } w ) | ^ { 2 } + K | d ^ { \pi } w | ^ { 2 } + \langle \operatorname { R i c } ^ { \nabla ^ { \pi } } ( d ^ { \pi } w ) , d ^ { \pi } w \rangle } \\ & { } & { + \langle \delta ^ { \nabla ^ { \pi } } [ ( w ^ { * } \lambda \circ j ) \wedge ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) d ^ { \pi } w ] , d ^ { \pi } w \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { H _ { X F } ( \omega ) = - H _ { X \xi } ( \omega ) = - \sqrt { 2 } G \chi _ { m } ( \omega ) \chi ( \omega ) , } \\ & { } & { H _ { X Y } ( \omega ) = - \sqrt { \kappa } \chi ( \omega ) , } \\ & { } & { H _ { X X } ( \omega ) = - \frac { \frac { \kappa } { 2 } - \mathrm { i } \omega } { \Delta } \sqrt { \kappa } \chi ( \omega ) , } \\ & { } & { H _ { Y F } ( \omega ) = - \frac { \sqrt { 2 } G \chi _ { m } ( \omega ) \left( \frac { \kappa } { 2 } - \mathrm { i } \omega \right) } { 2 } \chi ( \omega ) , } \\ & { } & { H _ { Y \xi } ( \omega ) = - H _ { Y F } ( \omega ) , } \\ & { } & { H _ { Y X } ( \omega ) = - \frac { \sqrt { \kappa } \left( \frac { \kappa } { 2 } - \mathrm { i } \omega \right) ^ { 2 } } { 2 \Delta } \chi ( \omega ) - \frac { \sqrt { \kappa } } { \Delta } , } \\ & { } & { H _ { Y Y } ( \omega ) = - \frac { \sqrt { \kappa } \left( \frac { \kappa } { 2 } - \mathrm { i } \omega \right) } { 2 } \chi ( \omega ) , } \end{array}
I ^ { ( n _ { 1 } , 0 ) } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } , z _ { 4 } ) \sim \int _ { s _ { 1 } } d v _ { 1 } \int _ { s _ { 2 } } d v _ { 2 } \ldots \int _ { s _ { n _ { 1 } } } d v _ { n _ { 1 } } \times
\begin{array} { c } { { \Gamma _ { N } \left( k _ { 1 } , . . . , k _ { N } \right) = - ( i \; g ) ^ { N } \; \int _ { 0 } ^ { \infty } \; \frac { d T } T \prod _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { i } \; { \cal N \; } \int { \cal D } x \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \left[ \frac { \dot { x } ^ { 2 } } { 2 { \cal E } } - i g A ( x ) \cdot \dot { x } - m ^ { 2 } \right] \right\} \times } } \\ { { \exp \left. \left\{ + \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \; J _ { \mu } ( \tau ) x ^ { \mu } \left( \tau \right) \right\} \right| _ { l i n e a r \; i n \; e a c h \; \varepsilon } } } \end{array}
F ( \omega , n ) = r _ { 1 } - \frac { r _ { 2 } t _ { 1 } ^ { 2 } \exp \left( - \mathrm { i } \left( D \frac { \omega } { c } + ( n + 1 ) \Psi _ { r t } \right) \right) } { 1 - r _ { 1 } r _ { 2 } \exp \left( - \mathrm { i } \left( D \frac { \omega } { c } + ( n + 1 ) \Psi _ { r t } \right) \right) }
\begin{array} { r l } { h _ { \mathrm { t r a n s } } ( x ) } & { = 1 \ \mathrm { i f } \ ( \omega ^ { \mathrm { P 2 } } - \pi ) ^ { 2 } + ( \xi ^ { \mathrm { P 2 } } - \pi ) ^ { 2 } < 0 . 0 6 2 5 } \\ { h _ { \mathrm { c i s } } ( x ) } & { = 1 \ \mathrm { i f } \ ( \omega ^ { \mathrm { P 2 } } ) ^ { 2 } + ( \xi ^ { \mathrm { P 2 } } - \pi ) ^ { 2 } < 0 . 0 6 2 5 } \end{array}
\xi \equiv \left( \begin{array} { l } { { \xi _ { \alpha } } } \\ { { \bar { \xi } ^ { \dot { \alpha } } } } \end{array} \right) , \qquad \qquad \epsilon \equiv \left( \begin{array} { l } { { \epsilon _ { \alpha } } } \\ { { \bar { \epsilon } ^ { \dot { \alpha } } } } \end{array} \right) ,
V _ { i } = \bigsqcup _ { \gamma \in \Gamma } \bigsqcup _ { k = 1 } ^ { a _ { \gamma , i } } V _ { \gamma , i } ^ { ( k ) } , \quad W _ { j } = \bigsqcup _ { \lambda \in \Lambda } \bigsqcup _ { l = 1 } ^ { b _ { \lambda , j } } W _ { \lambda , j } ^ { ( l ) } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad U _ { r } = \bigsqcup _ { \delta \in \Delta } \bigsqcup _ { s = 1 } ^ { c _ { \delta , r } } U _ { \delta , r } ^ { ( s ) } ,
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { c ^ { T } y } { \| A y \| } y - \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } } { \| A y ^ { \prime } \| } y ^ { \prime } \right) ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) } \\ & { = \frac { c ^ { T } y } { \| A y \| } \| y \| ^ { 2 } - \left( \frac { c ^ { T } y } { \| A y \| } + \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } } { \| A y ^ { \prime } \| } \right) y ^ { T } y ^ { \prime } + \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } } { \| A y ^ { \prime } \| } \| y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { c ^ { T } y } { \| A y \| } \| y - y ^ { \prime } \| ^ { 2 } + \left( \frac { c ^ { T } y } { \| A y \| } - \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } } { \| A y ^ { \prime } \| } \right) y ^ { T } y ^ { \prime } + \left( \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } } { \| A y ^ { \prime } \| } - \frac { c ^ { T } y } { \| A y \| } \right) \| y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu , \nu ) } & { : = \operatorname* { i n f } \{ { \mathbb E } [ d ^ { 2 } ( X , Y ) ] : X \sim \mu , \ Y \sim \nu \} , } \\ { H ( \nu \, | \, \mu ) } & { : = \int _ { E } \frac { d \nu } { d \mu } \log \frac { d \nu } { d \mu } \, d \mu , \ \mathrm { i f ~ } \nu \ll \mu , \ \ \ H ( \nu \, | \, \mu ) = \infty \ \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array}
( \frac { 1 } { r } \frac { d } { d r } r \frac { d } { d r } + \epsilon ^ { 2 } - m ^ { 2 } - p _ { z } ^ { 2 } - \frac { ( l - 2 \mu \sigma ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } ) f _ { 1 } ( r ) + \frac { 4 i \mu \sigma p _ { z } } { r } f _ { 2 } ( r ) = 0
\begin{array} { r l } & { \left| { \delta _ { x } ^ { + } } ( \Phi _ { B } ^ { \tau } ( v ) - v ) _ { j } - { \delta _ { x } ^ { + } } ( \Phi _ { B } ^ { \tau } ( w ) - w ) _ { j } \right| } \\ & { \leq C ( M ) \tau \left( \left| { \delta _ { x } ^ { + } } V ( x _ { j } ) \right| + \left| { \delta _ { x } ^ { + } } v _ { j } \right| \right) ( | e _ { j } | + | e _ { j + 1 } | ) + C ( M , \| V \| _ { L ^ { \infty } } ) \tau \left| { \delta _ { x } ^ { + } } e _ { j } \right| , } \end{array}
S _ { B } = - \bar { z } ^ { i } \{ ( \partial _ { t } ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) ( \delta _ { i j } + H _ { i j } ) + r ^ { k } r ^ { l } H _ { k l } \delta _ { i j } - r ^ { i } r ^ { k } H _ { k j } - H _ { i k } r ^ { k } r ^ { j } \} z ^ { j }
\begin{array} { r l } { L ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) : = } & { M \displaystyle ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } ^ { n } ) + \tau ^ { n + 1 } B \widetilde { \pmb { Q } } ^ { n + 1 } , } \\ { \pmb { M } \widetilde { \pmb { Q } } ^ { n + 1 } = } & { C _ { d } ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) \widetilde { \pmb { S } } ^ { n + 1 } , } \\ { \pmb { M } \widetilde { \pmb { S } } ^ { n + 1 } = } & { A \widetilde { P } ^ { n + 1 } , } \\ { M \widetilde { P } ^ { n + 1 } = } & { D ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \mathrm { a , e f f } } ( \mu ) } & { = \omega _ { 0 } - \frac { \kappa } { 2 } \left( \operatorname { R e } ( \hat { \mathcal { F } } [ | \psi _ { a } ( \theta ) | ^ { 2 } \psi _ { a } ( \theta ) ] _ { \mu } / a _ { \mu } ) + 2 \sum _ { \eta } | b _ { \eta } | ^ { 2 } \right) } \\ { \omega _ { \mathrm { b , e f f } } ( \mu ) } & { = \omega _ { 0 } - \frac { \kappa } { 2 } \left( \operatorname { R e } ( \hat { \mathcal { F } } [ | \psi _ { b } ( \theta ) | ^ { 2 } \psi _ { b } ( \theta ) ] _ { \mu } / b _ { \mu } ) + 2 \sum _ { \eta } | a _ { \eta } | ^ { 2 } \right) } \end{array}
I _ { \ell _ { A } + \ell _ { B } } ^ { - ( m _ { A } + m _ { B } ) } ( \mathbf { R } _ { A B } ) \equiv \left[ { \frac { 4 \pi } { 2 \ell _ { A } + 2 \ell _ { B } + 1 } } \right] ^ { 1 / 2 } \; { \frac { Y _ { \ell _ { A } + \ell _ { B } } ^ { - ( m _ { A } + m _ { B } ) } \left( { \widehat { \mathbf { R } } } _ { A B } \right) } { R _ { A B } ^ { \ell _ { A } + \ell _ { B } + 1 } } }
{ \begin{array} { r l } { P ( x ; 2 n + 1 , \lambda ) } & { = 1 - Q _ { n + 1 / 2 } ( { \sqrt { \lambda } } , { \sqrt { x } } ) } \\ & { = 1 - \left[ Q ( { \sqrt { x } } - { \sqrt { \lambda } } ) + Q ( { \sqrt { x } } + { \sqrt { \lambda } } ) + e ^ { - ( x + \lambda ) / 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left( { \frac { x } { \lambda } } \right) ^ { m / 2 - 1 / 4 } I _ { m - 1 / 2 } ( { \sqrt { \lambda x } } ) \right] , } \end{array} }
\ensuremath { \widetilde { \mathcal { E } } } = \int _ { \ensuremath { \widetilde { \varepsilon } } < 0 } \ensuremath { \widetilde { \varepsilon } } \frac { 2 \, \mathrm { d } \mathbf { p } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } = \frac { 2 p _ { F } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } m v _ { L } } \int _ { \ensuremath { \widetilde { \varepsilon } } < 0 } \ensuremath { \widetilde { \varepsilon } } \, \mathrm { d } \mathbf { g } = - \frac { 4 \sqrt { 2 p _ { F } ^ { 7 } m } } { 1 5 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } v _ { L } } u ^ { 5 / 2 } \equiv - \gamma u ^ { 5 / 2 } .
p _ { \mathrm { T t } } = { \left| ( { { \bf p } _ { \mathrm { T } } ^ { \gamma _ { 1 } } } + { { \bf p } _ { \mathrm { T } } ^ { \gamma _ { 2 } } } ) \times ( { { \bf p } _ { \mathrm { T } } ^ { \gamma _ { 1 } } } - { { \bf p } _ { \mathrm { T } } ^ { \gamma _ { 2 } } } ) \right| / \left| { { \bf p } _ { \mathrm { T } } ^ { \gamma _ { 1 } } } - { { \bf p } _ { \mathrm { T } } ^ { \gamma _ { 2 } } } \right| } .
\tilde { H } = \int H + { \frac { 1 } { 2 } } \int [ d x d y \theta _ { 1 } ( x ) M _ { 1 1 } ( x , y ) \theta _ { 1 } ( y ) + \theta _ { 2 } ( x ) M _ { 2 2 } ( x , y ) \theta _ { 2 } ( y ) ]
\begin{array} { r l } & { - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \left( \psi \partial _ { t } \Bar { \varphi } + \frac { 1 } { 2 i } \nabla \psi \cdot \nabla \Bar { \varphi } - \lambda \Bar { \varphi } B \psi - i \mu \Bar { \varphi } \lvert \psi \rvert ^ { p } \psi \right) d x \ d t } \\ & { \quad = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Big ( \psi _ { 0 } \Bar { \varphi } ( 0 ) - \psi ( T ) \Bar { \varphi } ( T ) \Big ) d x , } \end{array}
{ \cal J } _ { n l l ^ { \prime } , 1 s } ^ { b } ( \tau _ { n } , q ) = { \int } _ { 0 } ^ { \infty } d r \ r ^ { 2 } R _ { 1 0 } ( r ) j _ { l ^ { \prime } } ( q r ) { \cal B } _ { n l l ^ { \prime } } ( \tau _ { n } ; r ) \; ,
\begin{array} { c c l l } { \Psi _ { s } } & { = } & { e ^ { - i \omega r _ { * } } + R e ^ { i \omega r _ { * } } , } & { r _ { * } \rightarrow + \infty , } \\ { \Psi _ { s } } & { = } & { T e ^ { - i \omega r _ { * } } , } & { r _ { * } \rightarrow - \infty . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \phi } _ { l } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \quad \mathrm { ~ i f ~ } l = 0 } \\ { r \quad \mathrm { ~ i f ~ } l = 1 } \\ { \frac { 2 l - 1 } { l } r \tilde { \phi } _ { l - 1 } ( r ) - \frac { l - 1 } { l } \tilde { \phi } _ { l - 2 } ( r ) \quad \mathrm { ~ i f ~ } l > 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \int ( d + e \, x ) ^ { m } ( A + B \, x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x = { \frac { ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } ( A \, c \, e ( m + 2 p + 2 ) - B ( c \, d + 2 c \, d \, p - b \, e \, p ) + B \, c \, e ( m + 2 p + 1 ) x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } } { c \, e ^ { 2 } ( m + 2 p + 1 ) ( m + 2 p + 2 ) } } \, - \, { \frac { p } { c \, e ^ { 2 } ( m + 2 p + 1 ) ( m + 2 p + 2 ) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int ( d + e \, x ) ^ { m } ( A \, c \, e ( b \, d - 2 a \, e ) ( m + 2 p + 2 ) + B ( a \, e ( b \, e - 2 c \, d \, m + b \, e \, m ) + b \, d ( b \, e \, p - c \, d - 2 c \, d \, p ) ) + } \\ & { \qquad \qquad \left( A \, c \, e ( 2 c \, d - b \, e ) ( m + 2 p + 2 ) - B \left( - b ^ { 2 } e ^ { 2 } ( m + p + 1 ) + 2 c ^ { 2 } d ^ { 2 } ( 1 + 2 p ) + c \, e ( b \, d ( m - 2 p ) + 2 a \, e ( m + 2 p + 1 ) ) \right) \right) x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p - 1 } d x } \end{array} }
\begin{array} { l } { { \displaystyle 4 \pi \int _ { 1 0 ^ { 1 7 } \, \mathrm { e V } } d E [ E \, d N _ { \nu } / d E ] \simeq { \cal L } _ { \mathrm { C R } } } } \\ { { \quad \simeq 7 . 2 \times 1 0 ^ { - 9 } \, \mathrm { e r g \, c m ^ { - 2 } \, s ^ { - 1 } \; , } } } \end{array}
\mathbf { E } : = \left( \begin{array} { l } { \frac { A _ { 1 } } { L _ { 1 } ^ { 3 } } \left( E _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + i E _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \right) } \\ { \frac { A _ { 1 } } { L _ { 1 } ^ { 3 } } \left( E _ { 1 } ^ { ( 3 ) ( 1 ) } + i E _ { 1 } ^ { ( 4 ) ( 1 ) } \right) } \\ { \vdots } \\ { \frac { A _ { 1 } } { L _ { 1 } ^ { 3 } } \left( E _ { 1 } ^ { ( 3 ) ( d ) } + i E _ { 1 } ^ { ( 4 ) ( d ) } \right) } \\ { \frac { A _ { 1 } } { L _ { 1 } ^ { 3 } } \left( E _ { 1 } ^ { ( 5 ) } + i E _ { 1 } ^ { ( 6 ) } \right) } \\ { \vdots } \\ { \frac { A _ { j } } { L _ { j } ^ { 3 } } \left( E _ { j } ^ { ( 1 ) } + i E _ { j } ^ { ( 2 ) } \right) } \\ { \frac { A _ { j } } { L _ { j } ^ { 3 } } \left( E _ { j } ^ { ( 3 ) ( 1 ) } + i E _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 ) } \right) } \\ { \vdots } \\ { \frac { A _ { j } } { L _ { j } ^ { 3 } } \left( E _ { j } ^ { ( 3 ) ( d ) } + i E _ { j } ^ { ( 4 ) ( d ) } \right) } \\ { \frac { A _ { j } } { L _ { j } ^ { 3 } } \left( E _ { j } ^ { ( 5 ) } + i E _ { j } ^ { ( 6 ) } \right) } \\ { \vdots } \\ { \frac { A _ { N } } { L _ { N } ^ { 3 } } \left( E _ { N } ^ { ( 1 ) } + i E _ { N } ^ { ( 2 ) } \right) } \\ { \frac { A _ { N } } { L _ { N } ^ { 3 } } \left( E _ { N } ^ { ( 3 ) ( 1 ) } + i E _ { N } ^ { ( 4 ) ( 1 ) } \right) } \\ { \vdots } \\ { \frac { A _ { N } } { L _ { N } ^ { 3 } } \left( E _ { N } ^ { ( 3 ) ( d ) } + i E _ { N } ^ { ( 4 ) ( d ) } \right) } \\ { \frac { A _ { N } } { L _ { N } ^ { 3 } } \left( E _ { N } ^ { ( 5 ) } + i E _ { N } ^ { ( 6 ) } \right) } \end{array} \right) \in \mathbb { R } ^ { ( d + 2 ) N } ,