harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \frac { m _ { \infty } } { \sqrt { q } } = \frac { J _ { 0 } } { \displaystyle 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } \chi } \, \cdot \omega _ { 1 } \, , \qquad \omega _ { 1 } : = \int _ { - \infty } ^ { \infty } D z \int _ { - \Delta ( z ) } ^ { \infty } D \tilde { z } \cdot \Big ( \Delta ( z ) + \tilde { z } \Big ) } \\ { 1 = \displaystyle \frac { J _ { 0 } ^ { 2 } } { \displaystyle \big [ 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } \chi \big ] ^ { 2 } } \, \cdot \omega _ { 2 } \, , \qquad \omega _ { 2 } : = \int _ { - \infty } ^ { \infty } D z \int _ { - \Delta ( z ) } ^ { \infty } D \tilde { z } \cdot \Big ( \Delta ( z ) + \tilde { z } \Big ) ^ { 2 } } \\ { \displaystyle \chi = \frac { \Phi } { \displaystyle 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } \chi } \, , \qquad \qquad \quad \Phi : = \omega _ { 0 } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } D z \int _ { - \Delta ( z ) } ^ { \infty } D \tilde { z } } \end{array} \right. \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \frac { m _ { \infty } } { \sqrt { q } } = \frac { \omega _ { 1 } } { \sqrt { \omega _ { 2 } } } } \\ { \displaystyle \chi = \frac { \Phi } { J _ { 0 } \sqrt { \omega _ { 2 } } } } \\ { \displaystyle \omega _ { 2 } = J _ { 0 } ^ { 2 } \cdot \big [ \omega _ { 2 } + \omega _ { 0 } \big ] ^ { 2 } } \end{array} \right. \,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \gamma } ^ { \mathrm { ~ P ~ R ~ M ~ } } } & { { } = \frac { \hslash } { i } \sqrt { \gamma _ { 0 } } \left( 1 + \frac { \eta } { 2 } \hat { x } \right) \left( \hat { c } _ { i n } \hat { a } _ { c } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { c } \hat { c } _ { i n } ^ { \dag } \right) + } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta M _ { i - 1 / 2 , j , k } ^ { n } = \Delta y \Delta z \Delta t _ { n } \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { i , j , k } ^ { n } u _ { i - 1 / 2 , j , k } ^ { n } , u _ { i - 1 / 2 , j , k } ^ { n } > 0 } \\ { D _ { i - 1 , j , k } ^ { n } u _ { i - 1 / 2 , j , k } ^ { n } , u _ { i - 1 / 2 , j , k } ^ { n } < 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
k _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } = \frac { \epsilon _ { \mathrm { ~ X ~ U ~ V ~ } } \, L _ { \mathrm { ~ X ~ U ~ V ~ } } \, R _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ r ~ } } ^ { 3 } } { M _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } } \, a _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ m ~ p ~ } } ^ { 2 } \, G \, M _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ r ~ } } }
\begin{array} { r } { \frac { \Delta \rho } { \Delta t } = \frac { 1 } { { { c } ^ { 2 } } } \frac { \Delta p } { \Delta t } = - \frac { \partial U _ { i } ^ { n } } { \partial { { x } _ { i } } } - \theta _ { 1 } \frac { \partial \Delta U _ { i } ^ { * } } { \partial { { x } _ { i } } } + \Delta t \theta _ { 1 } \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { p } ^ { n + { { \theta } _ { 2 } } } } } { \partial { { x } _ { i } } \partial { { x } _ { i } } } } \end{array}
\frac { n u m \underline { \ } e n s \underline { \ } s e m b l a n c e s \underline { \ } c a l l s } { n u m \underline { \ } j a d e \underline { \ } s e m b l a n c e s \underline { \ } c a l l s } \le 1 . 0 \, , \mathrm { ~ a ~ s ~ \ } N P _ { f } \ge 5 \, , N G _ { f } \ge 1 \, .
\begin{array} { r l } { A } & { = \ensuremath { \frac { \partial v _ { L } } { \partial \rho } } - \frac { 2 u } { 3 \gamma } \ensuremath { \frac { \partial \gamma } { \partial \rho } } , \qquad c ^ { 2 } = \rho \ensuremath { \frac { \partial ^ { 2 } E _ { 0 } ( \rho ) } { \partial \rho ^ { 2 } } } , } \\ { B } & { = j \ensuremath { \frac { \partial ^ { 2 } v _ { L } } { \partial \rho ^ { 2 } } } - u ^ { 5 / 2 } \ensuremath { \frac { \partial ^ { 2 } \gamma } { \partial \rho ^ { 2 } } } + \frac { 5 u ^ { 5 / 2 } } { 3 \gamma } \left( \ensuremath { \frac { \partial \gamma } { \partial \rho } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \mathcal { M } _ { 3 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 4 } ] \right\| _ { 2 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \left\| ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } ) [ P _ { \neq } \Xi _ { 4 } ] \right\| _ { 2 } } \end{array}
\mathrm { P r } ( a _ { i } , b _ { i } ) = \kappa ^ { a _ { i } } ( 1 - \kappa ) ^ { 1 - a _ { i } } \phi \delta _ { b _ { i } , 1 } + \delta _ { a _ { i } , 0 } ( 1 - \phi ) \delta _ { b _ { i } , 0 } , \quad [ a _ { i } , b _ { i } = 0 , 1 ] ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \alpha } m \varphi ^ { p } } & { = \int _ { 0 } ^ { \alpha } ( m + \beta ) \varphi ^ { p } - \beta \int _ { 0 } ^ { \alpha } \varphi ^ { p } \leqslant \int _ { 0 } ^ { \alpha } ( m + \beta ) ^ { * } ( \varphi ^ { * } ) ^ { p } - \beta \int _ { 0 } ^ { \alpha } ( \varphi ^ { * } ) ^ { p } = \int _ { 0 } ^ { \alpha } m ^ { * } ( \varphi ^ { * } ) ^ { p } } \end{array}
p ( t _ { 0 } , t _ { 1 } , \dots ) = \exp ( 2 t _ { 0 } ) \tilde { p } ( t _ { 1 } , \dots ) , \; \, q ( t _ { 0 } , t _ { 1 } , \dots ) = \exp ( - 2 t _ { 0 } ) \tilde { q } ( t _ { 1 } , \dots ) .
X _ { r } = 2 i g \sum _ { \alpha \in \Delta } x _ { r } ( \alpha \cdot q ) E _ { d } ( \alpha ) , \quad Y _ { r } = i g \sum _ { \alpha \in \Delta } y _ { r } ( \alpha \cdot q ) E _ { d } ( \alpha ) , \quad E _ { d } ( \alpha ) _ { \beta \gamma } = \delta _ { \beta - \gamma , 2 \alpha } .
\left( \begin{array} { c } { { \langle P _ { a } | } } \\ { { \langle P _ { b } | } } \end{array} \right) = \mathrm { \boldmath ~ X ~ } ^ { \dagger } \left( \begin{array} { c } { { \langle P ^ { 0 } | } } \\ { { \langle \overline { { { P ^ { 0 } } } } | } } \end{array} \right) ,
f _ { s } ^ { \left( 0 \right) } = \frac { \eta _ { s } \exp \left[ \frac { X _ { s } } { T _ { s } } \right] } { \left( 2 \pi / M _ { s } \right) ^ { 3 / 2 } T _ { s } ^ { 3 / 2 } } \exp \left\{ - \frac { M _ { s } \left( \mathbf { v } - \mathbf { V } _ { s } \right) ^ { 2 } } { 2 T _ { s } } - \alpha _ { s } Y _ { \ast s } \right\} ,
A _ { L L } ^ { l N \rightarrow h _ { 1 } h _ { 2 } } \sim \langle \hat { a } _ { L L } ^ { \gamma ^ { \ast } G \rightarrow q \bar { q } } \rangle \frac { \Delta G } { G } \, \frac { R } { 1 + R } + \langle \hat { a } _ { L L } ^ { \gamma ^ { \ast } q \rightarrow q G } \rangle \frac { \Delta u } { u } \, \frac { 1 } { 1 + R } \; .
\begin{array} { r l } { \hat { q } _ { \pi ^ { 1 } } ( \phi _ { j + 1 } | \phi _ { j } ) } & { \approx \hat { q } _ { \pi ^ { 2 } } ( \phi _ { j + 1 } | \phi _ { j } ) \approx \cdots \approx \hat { q } _ { \pi ^ { m } } ( \phi _ { j + 1 } | \phi _ { j } ) } \\ & { \approx \hat { q } _ { \pi ^ { * } } ( \phi _ { j + 1 } | \phi _ { j } ) \forall j \in [ 1 , M - 1 ] . } \end{array}
\left[ E ^ { 2 } - P _ { z } ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { 4 } - 2 \omega ( N + \left| m \right| ) \right] b _ { - } + 2 \omega \left( N + \left| m \right| \right) \left( N + \left| m \right| + 1 \right) b _ { + } = 0
\int r ^ { 1 + \alpha } \left| v ^ { 2 } W \left( c \varepsilon \rho ^ { 2 } \left( \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { \theta } * \widetilde { \partial } _ { \theta } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } \right) \! \right) \right| ^ { 2 } \! \! \lesssim \varepsilon ^ { 2 } \left\lVert \mathbf { B } _ { \mathcal { T } } \right\rVert _ { [ \alpha ] } ^ { 2 } \left( \! \mathcal { S } _ { 1 } ^ { W } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] \! + \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] \! + \! \int \! \! \frac { \Delta ^ { 2 } } { r ^ { 5 + \alpha } } \chi _ { \overline { { r } } ^ { \sharp } } \frac { | \frac { 1 } { r } W _ { 0 } \widetilde { \partial } _ { \theta } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } | ^ { 2 } } { \operatorname* { m a x } ( | \omega | , | m | , 1 ) ^ { 2 } } \right) .
\frac { { \partial { u _ { i } } } } { { \partial t } } + \frac { { \partial \left( { { u _ { i } } { u _ { j } } } \right) } } { { \partial { x _ { j } } } } = - \frac { { \partial p } } { { \partial { x _ { i } } } } + \nu \frac { { { \partial ^ { 2 } } { u _ { i } } } } { { \partial { x _ { j } } \partial { x _ { j } } } } + { { \mathcal F } _ { i } } ,
L = L _ { \ensuremath { \boldsymbol { \xi } } _ { \alpha } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ \exists \ \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } ( t ) \in W _ { \alpha } } \\ { \operatorname* { m i n } _ { t _ { 0 } < t < t _ { e } } ( \ensuremath { \boldsymbol { \xi } } ( \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } ( t ) ) - \ensuremath { \boldsymbol { \xi } } _ { \alpha } ) ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \ ,
\frac { { \langle \bar { q } q \rangle } _ { T } } { { \langle \bar { q } q \rangle } _ { \pi } } = 1 - \rho _ { s } \frac { \sigma _ { N } ( T ) } { { m _ { \pi } } ^ { 2 } { f _ { \pi } } ^ { 2 } ( T ) }
\begin{array} { r l } { T { \cal K } } & { { } = ( - ) ^ { p q + q } \tilde { \sigma } * \! \left( T \mathrm { d } \frac { \tilde { \mu } } { T } + \iota _ { u } \tilde { F } \right) } \\ { T { \cal V } } & { { } = ( - ) ^ { p q + p + q } \tilde { \sigma } _ { \ell } * \! \left( T \mathrm { d } \frac { \tilde { \mu } _ { \ell } } { T } + \tilde { \ell } \left( \iota _ { u } \tilde { \Xi } - \tilde { \mu } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { t \partial _ { t } \tilde { \eta } } & { + \frac { 1 } { \delta } \bigl \{ \phi _ { * } \, , \tilde { \zeta } \bigr \} + \frac { 1 } { \delta } \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \zeta _ { * } \bigr \} + \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \tilde { \zeta } \bigr \} - \frac { \epsilon \bar { r } } { \delta \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } \, \partial _ { R } \tilde { \eta } + \dot { \bar { z } } \, \partial _ { Z } \tilde { \eta } \Bigr ) } \\ { \, } & { = \, \mathcal { L } \tilde { \eta } + \epsilon \partial _ { R } \tilde { \zeta } + \frac { 1 } { \delta } \, \mathrm { R e m } ( R , Z , t ) + \frac { \epsilon \bar { r } \dot { \tilde { z } } } { \delta ^ { 2 } \Gamma } \, \Bigl ( \partial _ { Z } \eta _ { * } + \delta \partial _ { Z } \tilde { \eta } \Bigr ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \frac { 1 } { 2 } n ^ { \alpha } \{ \delta _ { \alpha \beta \zeta } ^ { \lambda \eta \sigma } g ^ { \beta \rho } g ^ { \zeta \phi } \delta g _ { \eta \rho } \wedge \nabla _ { \lambda } \delta g _ { \sigma \phi } - g ^ { \beta \mu } g ^ { \sigma \lambda } \nabla _ { \lambda } ( \delta g _ { \alpha \beta } \wedge \delta g _ { \mu \sigma } ) \} \mathrm { v o l } _ { \gamma } , } \\ { \delta \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \frac { 1 } { 2 } g ^ { \sigma \lambda } \overline { { m } } ^ { \beta } \nu ^ { \gamma } \delta g _ { \gamma \beta } \wedge \delta g _ { \sigma \lambda } \mathrm { v o l } _ { \gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon , i } - y _ { i } ) \theta ^ { j } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } } & { = \mathbf { E } _ { 0 , y } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon , i } - y _ { i } - \theta ^ { i } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \theta ^ { j } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } } \\ & { = \theta ^ { j } ( y ) \mathbf { E } _ { 0 , y } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { i , \varepsilon } - y _ { i } ) X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - \theta ^ { i } ( y ) \theta ^ { j } ( y ) \mathbf { E } _ { 0 , y } | X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 } ) } \\ & { = \theta ^ { j } ( y ) \Sigma ^ { 0 i } ( y ) \mathbf { E } _ { 0 , y } \tau ^ { \varepsilon } - \theta ^ { i } ( y ) \theta ^ { j } ( y ) \Sigma ^ { 0 0 } ( y ) \mathbf { E } _ { 0 , y } \tau ^ { \varepsilon } + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal H } ^ { + } ( \overline { { s } } ) } & { { } = } & { - { \sum _ { i < j } } ^ { \prime } J _ { i j } s _ { i } s _ { j } - { \sum _ { i } } ^ { \prime } h _ { i } s _ { i } - { \sum _ { i } } ^ { \prime } J _ { i N } s _ { i } - h _ { N } \; , } \\ { { \cal H } ^ { - } ( \overline { { s } } ) } & { { } = } & { - { \sum _ { i < j } } ^ { \prime } J _ { i j } s _ { i } s _ { j } - { \sum _ { i } } ^ { \prime } h _ { i } s _ { i } + { \sum _ { i } } ^ { \prime } J _ { i N } s _ { i } + h _ { N } \; , } \end{array}
{ \left| \begin{array} { l l l } { a } & { b } & { c } \\ { d } & { e } & { f } \\ { g } & { h } & { i } \end{array} \right| } = a { \left| \begin{array} { l l } { e } & { f } \\ { h } & { i } \end{array} \right| } - b { \left| \begin{array} { l l } { d } & { f } \\ { g } & { i } \end{array} \right| } + c { \left| \begin{array} { l l } { d } & { e } \\ { g } & { h } \end{array} \right| }
{ \cal S } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ ,
\operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { w _ { 1 } , w _ { 2 } \atop \operatorname { s u p p } _ { d } ( w _ { 1 } ) \cap \operatorname { s u p p } _ { d } ( w _ { 2 } ) \neq \phi } \prod _ { \tau \in K ^ { d } } \mathbb { E } B _ { \tau } ^ { N _ { w _ { 1 } } ( \tau ) + N _ { w _ { 2 } } ( \tau ) } = O \left( \frac { 1 } { n ^ { d } } \right) ,
m _ { | n _ { 1 } , n _ { 2 } , \dots , n _ { k } \rangle } = M \sum _ { i \textrm { o d d } } \cos ( \nu _ { n _ { i } } ) + M \sum _ { i \textrm { e v e n } } \cos ( w _ { n _ { i } } ) \, \, \, .
\begin{array} { r l r } { R _ { w i n d o w } } & { { } = } & { \left( \frac { \lambda _ { p l a s t i c } S _ { p l a s t i c } } { e _ { p l a s t i c } } + \frac { \lambda _ { g l a s s } S _ { g l a s s } } { e _ { g l a s s } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { 0 } } & { = \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } \hat { a } _ { H } + \hat { a } _ { V } ^ { \dagger } \hat { a } _ { V } , \qquad \hat { S } _ { 1 } = \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } \hat { a } _ { H } - \hat { a } _ { V } ^ { \dagger } \hat { a } _ { V } , } \\ & { } \\ { \hat { S } _ { 2 } } & { = \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } \hat { a } _ { V } + \hat { a } _ { V } ^ { \dagger } \hat { a } _ { H } , \qquad \hat { S } _ { 3 } = i ( \hat { a } _ { V } ^ { \dagger } \hat { a } _ { H } - \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } \hat { a } _ { V } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 2 , k } } & { = c _ { 2 , * } - ( c _ { 2 , * } - c _ { 2 , k } ) \leq c _ { 2 , * } + | c _ { 2 , * } - c _ { 2 , k } | \leq c _ { 2 , * } + \frac { \operatorname* { m i n } \{ | c _ { 1 , * } | , | c _ { 2 , * } | \} } { 2 } \leq \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 , * } ; } \\ { c _ { 2 , k } } & { = c _ { 2 , * } - ( c _ { 2 , * } - c _ { 2 , k } ) \geq c _ { 2 , * } - | c _ { 2 , * } - c _ { 2 , k } | \geq c _ { 2 , * } - \frac { \operatorname* { m i n } \{ | c _ { 1 , * } | , | c _ { 2 , * } | \} } { 2 } \geq \frac { 3 } { 2 } c _ { 2 , * } . } \end{array}
{ \frac { \left\| A ^ { - 1 } e \right\| } { \left\| A ^ { - 1 } b \right\| } } / { \frac { \| e \| } { \| b \| } } = { \frac { \left\| A ^ { - 1 } e \right\| } { \| e \| } } { \frac { \| b \| } { \left\| A ^ { - 1 } b \right\| } } .
\begin{array} { r } { \frac { d \rho } { d t } = \gamma \left( 2 c \rho c ^ { \dagger } - c ^ { \dagger } c \rho - \rho c ^ { \dagger } c \right) + g \left( 2 c ^ { \dagger } \rho c - c c ^ { \dagger } \rho - \rho c c ^ { \dagger } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d E } { d t } } & { { } = } & { \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ \nabla \tilde { \mu } _ { i } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } \right\} d x - \int _ { \Gamma } ( - \sum _ { i } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } \gamma _ { i } + \tilde { \mu } _ { e } \Delta z ) \mathcal { R } d S - \int _ { \Gamma } \phi \frac { \partial } { \partial t } \left( \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } - F C _ { e } \right) d S } \end{array}
{ N _ { \alpha } } ( u ) = 1 2 8 { \left( { 1 + 2 \cos \left[ u \right] } \right) ^ { 4 } } \left( { 5 + 4 \cos \left[ u \right] + 2 \cos \left[ { 2 u } \right] } \right) \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 6 } } \times \frac { { { L ^ { 2 } } s _ { a } ^ { 2 } } } { { { u ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } } + 9 6 \sin { \left[ { \frac { { 3 u } } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \times \frac { { { u ^ { 2 } } s _ { x } ^ { 2 } } } { { { L ^ { 2 } } } } ,
F _ { n } ( \hat { x } ) { } _ { \stackrel { \mathrm { \Large ~ \sim ~ } } { n \gg 1 } } \ e ^ { n \beta _ { 0 } ( { \hat { x } } ) / 2 } = e ^ { n \ln \left( \frac { { \hat { x } } + \sqrt { { \hat { x } } ^ { 2 } + 4 } } { 2 } \right) }
\frac { \partial p _ { g } } { \partial t } + \mathbf { u } _ { g } \mathbf { \cdot } \nabla p _ { g } = - \gamma p _ { g } \nabla \mathbf { \cdot } \mathbf { u } _ { g } - \mathcal { D } + \frac { \gamma - 1 } { 1 - \Phi _ { v } } \left( \mathbf { u } _ { p } - \mathbf { u } _ { g } \right) \mathbf { \cdot } \textbf { F } _ { p } + \gamma p _ { g } \frac { \mathrm { D } \ln { \Phi _ { v } } } { \mathrm { D } t } ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( \rho h ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u h ) + \frac { \partial ( \rho K ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u K ) - \frac { \partial p } { \partial t } + \rho g \mathbf u \cdot \widehat { \mathbf k } = 0 , } \end{array}
V _ { \mathrm { t r i v } } ( \phi _ { B } ) = V _ { \mathrm { t r i v } } ( \phi _ { R } ) = \pi ^ { 2 } X ^ { 2 } \phi _ { R } ^ { 4 } ( \ln { \frac { \phi _ { R } ^ { 2 } } { v _ { R } ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 } } )
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A _ { < z } ) _ { = z } } & { \cup ( A _ { = z } + \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A _ { = 0 } ) ) = \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A ) _ { = z } = \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A ^ { \prime } ) _ { = z } + ( \bar { g } , 0 ) } \\ & { = ( \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A _ { < z } ^ { \prime } ) _ { = z } + ( \bar { g } , 0 ) ) \cup ( A _ { = z } ^ { \prime } + \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A _ { = 0 } ^ { \prime } ) + ( \bar { g } , 0 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sqrt { n } \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \underset { n \rightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \mathcal { N } \left( \boldsymbol { 0 } _ { r } , \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { K } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \right) , } \\ & { \left( \boldsymbol { \bar { \Sigma } } _ { n , 2 1 , \beta } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { \bar { K } } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { \bar { \Sigma } } _ { n , 2 1 , \beta } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { n } \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \underset { n \rightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \mathcal { N } \left( \boldsymbol { 0 } _ { r } , \boldsymbol { I } _ { r } \right) , } \\ & { R _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) = n \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \left( \boldsymbol { \bar { \Sigma } } _ { n , 2 2 , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { \bar { K } } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { \bar { \Sigma } } _ { n , 2 2 , \beta } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \underset { n \rightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \chi _ { r } ^ { 2 } . } \end{array}
\langle \underline { { { { \mathcal J } } } } ( x ) \rangle _ { \beta , \underline { { { \mu } } } } \; = \; \frac { i q } { h } ~ \langle \left[ H , \underline { { { \varphi } } } ( x ) \right] \rangle _ { \beta , \underline { { { \mu } } } } ~ .
a ^ { \dagger } ( k , \rho ) \vert 1 \colon p _ { i } \rangle = - { \frac { e } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 k ^ { + } } } } f ^ { * } ( k , \rho : p _ { i } ) \vert 1 \colon p _ { i } \rangle + \vert 2 \colon p _ { i } , k _ { i } \rangle \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { i } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } & { { } = \int d \mathbf { r _ { 2 } } \, \left( \chi _ { i } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 2 } } ) \right) ^ { * } \, \tilde { K } _ { 1 2 } \, \phi _ { i } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 2 } } ) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \mathcal { K } _ { i } ^ { \sigma } \phi _ { a } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } & { { } = \int d \mathbf { r _ { 2 } } \, \left( \chi _ { i } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 2 } } ) \right) ^ { * } \, \tilde { K } _ { 1 2 } \, \phi _ { a } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 2 } } ) \, \phi _ { i } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
. B y r e s p e c t i v e l y a v e r a g i n g t h e s e p r e d i c t i o n s a n d l a b e l s a c r o s s a l l r e p l i c a s , w e c a n d e r i v e t h e m e a n o b s e r v a t i o n s p r e s e n t e d i n F i g s . ( a - e ) . M e a n w h i l e , w e c a n q u a n t i f y t h e d e p a r t u r e s f r o m t h e s c a l i n g r e l a t i o n b y t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n s o f
\begin{array} { r } { \left( \frac { \Delta N } { N } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { \Delta N _ { 0 } } { N _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { t \mathrm { { l n } ( 2 ) \Delta t _ { \mathrm { { D } } } } } { t _ { \mathrm { { D } } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathbb { P } \eta _ { 1 } c ( x _ { i } , x _ { j } ) \, d x _ { I } d x _ { J } } & { = \int c ( x _ { i } , x _ { j } ) \left( \int \mathbb { P } \eta _ { 1 } \, d x _ { I } \right) \, d x _ { J } } \\ & { = \int c ( x _ { i } , x _ { j } ) \rho _ { \hat { 1 } } ^ { 1 } ( x _ { J } ) \, d x _ { J } } \\ & { = \int c ( x _ { i } , x _ { j } ) \rho _ { \hat { 1 } } ^ { 1 } ( x _ { J } ) \left( \int \frac { \rho _ { 2 } ^ { 1 } ( x _ { I } ) } m \, d x _ { I } \right) \, d x _ { J } } \\ & { = \int c ( x _ { i } , x _ { j } ) \mathbb { P } _ { 1 } \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { \mathrm { A i } } ^ { T } ( \vec { r } ) = u _ { 0 } \times \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { a ( \vec { r } ) } { k _ { \mathrm { B } } T } \int \mathrm { d } x \, \mathcal { A } ( x ) \, \left[ u _ { 1 } \, \mathrm { L i } _ { 1 / 2 } \Big ( - \mathrm { e } ^ { - \nu _ { x } ( \vec { r } ) } \Big ) + u _ { 2 } ( \vec { r } ) \, \mathrm { L i } _ { - 3 / 2 } \Big ( - \mathrm { e } ^ { - \nu _ { x } ( \vec { r } ) } \Big ) \right] } & { , \; a ( \vec { r } ) > 0 } \\ { u _ { 1 } \, \mathrm { L i } _ { 1 / 2 } \Big ( - \mathrm { e } ^ { - \nu _ { 0 } ( \vec { r } ) } \Big ) + u _ { 2 } ( \vec { r } ) \, \mathrm { L i } _ { - 3 / 2 } \Big ( - \mathrm { e } ^ { - \nu _ { 0 } ( \vec { r } ) } \Big ) } & { , \; a ( \vec { r } ) = 0 } \end{array} \right. } \end{array}
( ( \mathcal { X } ^ { I } ) ^ { I } ) ^ { \simeq } \simeq \Bigl ( ( \mathcal { X } ^ { I } ) ^ { \simeq } \underset { \mathcal { X } ^ { \simeq } } { \times } ( \mathcal { X } ^ { I } ) ^ { \simeq } \Bigr ) \underset { ( \mathcal { X } ^ { I } ) ^ { \simeq } } { \times } \Bigl ( ( \mathcal { X } ^ { I } ) ^ { \simeq } \underset { \mathcal { X } ^ { \simeq } } { \times } ( \mathcal { X } ^ { I } ) ^ { \simeq } \Bigr ) ,
\begin{array} { r l } { R = \left( 1 - \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } \right) \Delta \ell } & { + \varepsilon \left( 1 - \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { \Delta x ^ { 2 } - \Delta y ^ { 2 } } { 4 \Delta \ell } \right) \bar { f } _ { + , \mathrm { t o t } } + \left( 1 - \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { \Delta x \Delta y } { 2 \Delta \ell } \right) \varepsilon \bar { f } _ { \times , \mathrm { t o t } } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } \left( \Delta \ell + \frac { \Delta z ^ { 2 } } { \Delta \ell } \right) . } \end{array}