harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { \tilde { Y } } _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } = [ \mathbf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) , \mathbf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { x } _ { 2 + \Delta t } ) , \dots , \mathbf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { x } _ { 2 + \lfloor \frac { n - 2 } { \Delta t } \rfloor \Delta t } ) ]
\begin{array} { r l } { u ( t , x ) = u _ { 0 } ( H ^ { - 1 } ( H ( x ) + Z _ { t } ) ) } & { = u _ { 0 } ( x ) + \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \partial } { \partial Z } u _ { 0 } ( H ^ { - 1 } ( H ( x ) + Z _ { r } ) ) \diamond \mathrm { d } Z _ { r } } \\ & { = u _ { 0 } ( x ) + \int _ { 0 } ^ { t } \nabla u _ { 0 } ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \alpha ( H ( x ) + Z _ { r } ) \diamond \mathrm { d } Z _ { r } } \\ & { = u _ { 0 } ( x ) + \int _ { 0 } ^ { t } \nabla u ( r , x ) \alpha ( x ) \diamond \mathrm { d } Z _ { r } . } \end{array}
\left| \frac { \omega _ { S } } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } + \omega _ { S } - 2 \omega _ { C } } { n } \right| = \frac { \omega _ { N } + \omega _ { S } - 2 \omega _ { C } } { n } - \frac { \omega _ { S } } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } } { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) }
P _ { z } = \frac { I \Delta V } { 4 \pi \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) } \int _ { - \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) } ^ { \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \, d \sigma d \tau .
\begin{array} { l r } { \mathbf { \sigma } _ { + } = \left[ ( 1 - s ) ^ { 2 } + k \right] \, \mathcal { E } \mathbf { \varepsilon } _ { + } , } & { \, \, \, \, \, \, \mathbf { \sigma } _ { - } = \mathcal { E } \mathbf { \varepsilon } _ { - } . } \end{array}
M = \left( \begin{array} { l l l } { { G ^ { - 1 } } } & { { - G ^ { - 1 } C } } & { { - G ^ { - 1 } a ^ { T } } } \\ { { - C ^ { T } G ^ { - 1 } } } & { { G + C ^ { T } G ^ { - 1 } C + a ^ { T } a } } & { { C ^ { T } G ^ { - 1 } a ^ { T } + a ^ { T } } } \\ { { - a G ^ { - 1 } } } & { { a G ^ { - 1 } C + a } } & { { I + a G ^ { - 1 } a ^ { T } } } \end{array} \right) ,
S _ { \mathbf { r } , \mu } ^ { z } = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { \mathrm { ~ u ~ . ~ c ~ . ~ } } } } \sum _ { \mathbf { k } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } S _ { \mathbf { k } , \mu } ^ { z } ,
\hat { \mathcal { P } } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { G } } ( x - 2 J \delta \sigma _ { 0 } ) } & { x < - \delta \sigma _ { 0 } } \\ { \sum _ { m _ { J } = - J } ^ { J } \mathcal { P } _ { \mathrm { G } } ( x - 2 m _ { J } \delta \sigma _ { 0 } ) } & { | x | < \delta \sigma _ { 0 } } \\ { \mathcal { P } _ { \mathrm { G } } ( x + 2 J \delta \sigma _ { 0 } ) } & { x > \delta \sigma _ { 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbf { x } _ { i } ( t + 1 ) = \mathbf { x } _ { i } ( t ) + \mathbf { v } _ { i } ( t + 1 ) , \quad i = 1 , \ldots , N , } \\ & { } & { \mathbf { v } _ { i } ( t + 1 ) = v _ { 0 } \mathcal { R } _ { \eta } \! \left[ \Theta \! \left( \sum _ { | \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { i } | < R _ { 0 } } \mathbf { v } _ { j } ( t ) - \beta \mathbf { x } _ { i } ( t ) \right) \! \right] \! , } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { i j } = ~ } & { \sum _ { m = j } ^ { 3 } \frac { - a _ { i m } } { ( \xi _ { i } - \xi _ { 3 } ) ^ { m - j + 1 } } , ~ ~ ~ ~ i = 1 , 2 ; ~ b _ { 3 1 } = - b _ { 1 1 } - b _ { 2 1 } ; ~ b _ { 3 2 } = b _ { 3 3 } = 0 , } \\ { \xi _ { 1 } = ~ } & { \frac { \omega _ { 1 } } { k _ { 1 x } S _ { 0 } } , ~ ~ ~ ~ \xi _ { 2 } = \frac { \omega _ { 2 } } { k _ { 2 x } S _ { 0 } } , ~ ~ ~ ~ \xi _ { 3 } = \frac { \omega _ { \pm } } { k _ { x } S _ { 0 } } , } \\ { \tilde { E } _ { j } ( \mu ) = ~ } & { \mathrm { e } ^ { \mu } \mu ^ { j - 1 } \int _ { \mu } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { - \tau } } { \tau ^ { j } } \mathrm { d } \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ \rho _ { 1 } ( 1 + \phi ) \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } + \rho _ { 1 } \left( \frac { \kappa } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) , } \\ { \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ - \rho _ { 2 } ( 1 - \phi ) \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } + \rho _ { 2 } \left( \frac { \kappa } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon \int _ { 0 } ^ { T } \bigg | \int _ { \Omega } \bigg ( \nabla u \otimes \nabla u : \nabla \mathbf { w } _ { 1 } \bigg ) \mathrm { d } x \bigg | \mathrm { d } t \leq C \varepsilon \| \nabla u \| _ { L ^ { 4 } ( 0 , T ; L ^ { 4 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } \| \nabla \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \leq C ( R ) \varepsilon ^ { 2 N - \frac { 9 } { 4 } } \| \nabla \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) } \leq C ( R ) \varepsilon ^ { N + \frac { 1 } { 4 } } \| \nabla \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) } } \end{array}
\frac { I _ { d } ( t ) } { I _ { 0 } } = \bigg | E _ { 0 } ( t ) e ^ { - i \Delta t } - \frac { \Gamma _ { 1 D } } { 4 } \sum _ { \xi = 1 } ^ { N } \eta _ { \xi } e ^ { - ( \Gamma ^ { \prime } + \Gamma _ { \xi } ) t / 2 } e ^ { - i J _ { \xi } t } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta + i \Gamma ^ { \prime } / 2 - \lambda _ { \xi } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \mathrm { e r f c } \left( \frac { - i ( \Delta + i \Gamma ^ { \prime } / 2 - \lambda _ { \xi } ) \sigma ^ { 2 } - t } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) \bigg | ^ { 2 } ,
\hat { \Delta } { \hat { H } _ { D } } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) = 0 , \quad { \hat { H } _ { D } } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) { | _ { \xi ^ { \prime } \in B } } = \hat { G } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) { | _ { \xi ^ { \prime } \in B } } .
u ^ { \prime } ( x , t ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { g } } \left\{ \begin{array} { l l } { \eta _ { j } ( t ) \Upsilon _ { j } ^ { ( 1 ) } ( x ) , \quad 0 \leq x < x _ { f } , } \\ { \eta _ { j } ( t ) \Upsilon _ { j } ^ { ( 2 ) } ( x ) , \quad x _ { f } < x \leq 1 , } \end{array} \right.
{ \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mathrm { d i r } } ( B _ { d } ^ { 0 } \to \pi ^ { - } K ^ { + } ) = 2 \, \frac { \mathrm { B R } ( B ^ { \pm } \to \pi ^ { \pm } K ) } { \mathrm { B R } ( B _ { d } \to \pi ^ { \mp } K ^ { \pm } ) } \, r \, \sin \delta \, \sin \gamma \, ,
\begin{array} { r l } { U _ { k , i } } & { { } = \int u _ { k , i } ( \vec { x } ) d ^ { 3 } \vec { x } = \frac { 1 } { 2 } m _ { i } \Delta x ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { z } } n _ { i , j , k } \left[ V _ { i x , i , j , k } ^ { 2 } + V _ { i y , i , j , k } ^ { 2 } + V _ { i z , i , j , k } ^ { 2 } \right] } \\ { U _ { t h , i } } & { { } = \int u _ { t h , i } ( \vec { x } ) d ^ { 3 } \vec { x } = \frac { 1 } { 2 } \Delta x ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { z } } n _ { i , j , k } k _ { B } \left[ T _ { i x , i , j , k } + T _ { i y , i , j , k } + T _ { i z , i , j , k } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { m } } _ { \theta } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } 1 - \operatorname* { m a x } \Big ( 0 , \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) + \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) - 1 \Big ) \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) ^ { - 1 } d \theta ^ { \prime } } \\ { \overline { { m } } _ { \theta } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } 1 - \operatorname* { m i n } \Big ( \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) , \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) \Big ) \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) ^ { - 1 } d \theta ^ { \prime } } \end{array}
R ( \textbf { x } _ { r } , \textbf { x } _ { s } , \omega ) = \frac { \partial _ { 3 , s } G ^ { - } ( \textbf { x } _ { r } , \textbf { x } _ { s } , \omega ) } { \frac { 1 } { 2 } i \omega \rho ( \textbf { x } _ { s } ) } ,
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { r l } & { \gamma _ { n } = e _ { n - 2 } - e _ { n - 1 } + \beta _ { n - 1 } d _ { n - 1 } + \frac { e _ { n - 2 } \gamma _ { n - 2 } } { e _ { n - 3 } } , ~ n \geq 3 } \\ & { \gamma _ { 2 } = e _ { 0 } - e _ { 1 } + \beta _ { 0 } d _ { 1 } , ~ \gamma _ { 1 } = - e _ { 0 } + \beta _ { 0 } d _ { 0 } , } \end{array} \right. } \\ & { \left\{ \begin{array} { r l } & { d _ { n - 1 } = \frac { \tau _ { n - 2 } c _ { n - 2 } } { \tau _ { n - 3 } } d _ { n - 2 } - e _ { n - 2 } \beta _ { n - 2 } , ~ n \geq 3 , } \\ & { d _ { 1 } = - e _ { 0 } \beta _ { 0 } , } \end{array} \right. } \\ & { ~ ~ ~ e _ { n - 2 } = \frac { e _ { n - 3 } \tau _ { n - 2 } } { \gamma _ { n - 2 } \tau _ { n - 3 } } c _ { n - 2 } , ~ n \geq 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { B } ( t , \Delta ) } & { { } \approx } & { \frac { \alpha ( \alpha - 1 ) ( 3 - \alpha ) \delta ^ { 2 } } { 4 } \int _ { 0 } ^ { t } q ^ { ( \alpha - 1 ) / 2 } ( q + \Delta ) ^ { ( \alpha - 5 ) / 2 } d q + \frac { \alpha ( \alpha - 1 ) \delta } { 2 } \int _ { t } ^ { t + \delta } q ^ { ( \alpha - 1 ) / 2 } ( q + \Delta ) ^ { ( \alpha - 3 ) / 2 } d q } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } \geq \frac { n p _ { \Delta } p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } { N } \left( R _ { \mathrm { ~ L ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } - \frac { \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } } { \sqrt { n p _ { \Delta } } } + \frac { \Theta - \Phi _ { n p _ { \Delta } } } { n p _ { \Delta } } \right) ,
\int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \Omega \, Y _ { l m } ( \Omega ) \left( 1 + \frac { 1 } { K } \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { N } \sum _ { m ^ { \prime } = - l ^ { \prime } } ^ { l ^ { \prime } } \lambda _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } Y _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ( \Omega ) \right) ^ { K } \, \mathrm { d } \Omega ,
\begin{array} { r l r } { { \cal N } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { m } , \mathbf { q } ) } & { = } & { ( 1 + { \cal P } _ { 1 m } ) \sum _ { j , l = 1 } ^ { 3 } \varepsilon _ { 1 j } \varepsilon _ { m l } \left[ \langle w _ { j , 1 0 0 } ( \Omega _ { 1 } ^ { - } ) | F ( \mathbf { q } ) | { w } _ { l , 1 0 0 } ( \Omega _ { m } ^ { + } ) \rangle \right. } \\ & { } & { \left. + \langle \psi _ { 1 s } | F ( \mathbf { q } ) | w _ { j l , 1 0 0 } ( { \Omega } ^ { \prime \, + } , \Omega _ { m } ^ { + } ) \rangle + \langle w _ { j l , 1 0 0 } ( { \Omega } ^ { \prime \, - } , \Omega _ { m } ^ { - } ) | F ( \mathbf { q } ) | \psi _ { 1 s } \rangle \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } & { = } & { \left\langle \frac { \partial r _ { 2 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } u _ { \mu } ^ { \prime } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } + \left\langle \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } V _ { \mu } ^ { \prime } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } q F _ { \nu \mu } ^ { \prime } \left\langle r _ { 1 } ^ { \prime \nu } \frac { \partial r _ { 2 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } + r _ { 2 } ^ { \prime \nu } \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( n , x ) } & { = \frac { \sin ( n \theta + \pi / 4 ) } { \cos ( n \theta + \pi / 4 ) } = \frac { \cos ( n \theta ) + \sin ( n \theta ) } { \cos ( n \theta ) - \sin ( n \theta ) } } \\ & { = \frac { \operatorname { R e } \big ( ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ { n } \big ) + \operatorname { I m } \big ( ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ { n } \big ) } { \operatorname { R e } \big ( ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ { n } \big ) - \operatorname { I m } \big ( ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ { n } \big ) } } \\ & { = \frac { \operatorname { R e } \big ( ( 1 + i \tan \theta ) ^ { n } \big ) + \operatorname { I m } \big ( ( 1 + i \tan \theta ) ^ { n } \big ) } { \operatorname { R e } \big ( ( 1 + i \tan \theta ) ^ { n } \big ) - \operatorname { I m } \big ( ( 1 + i \tan \theta ) ^ { n } \big ) } = \frac { \operatorname { R e } \big ( ( 1 + i x ) ^ { n } \big ) + \operatorname { I m } \big ( ( 1 + i x ) ^ { n } \big ) } { \operatorname { R e } \big ( ( 1 + i x ) ^ { n } \big ) - \operatorname { I m } \big ( ( 1 + i x ) ^ { n } \big ) } , } \end{array}
u _ { 2 } = - \frac { v } { H } \eta _ { 0 } e ^ { - \frac { f } { v } x _ { 1 } } e ^ { i k ( x _ { 2 } + v t ) } , \qquad \eta = \eta _ { 0 } e ^ { - \frac { f } { v } x _ { 1 } } e ^ { i k ( x _ { 2 } + v t ) } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } ( \| u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } + \| \phi \| ^ { 2 } + ( \gamma \lambda + 1 ) \| \nabla \phi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \phi \| ^ { 2 } ) } \\ & { + \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } + \| u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \nabla \phi \| ^ { 2 } + \| \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \phi \| ^ { 2 } + \| \nabla \phi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { 2 \delta _ { 1 } \| ( \phi _ { t } , \nabla \phi _ { t } ) \| ^ { 2 } + c _ { 1 } \delta _ { 1 } \| u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + 2 C _ { \delta _ { 1 } } \delta ^ { 2 } \big ( \| \Delta u \| ^ { 2 } + \| \nabla \Delta \phi \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { + \tilde { C } _ { \delta , \delta _ { 1 } } ( 1 + E _ { 0 } ^ { 1 2 } ( t ) ) E _ { 0 } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { S } _ { z } ( t ) \approx \eta \langle \hat { S } _ { y , \mathrm { i n } } \rangle \chi \Delta z _ { m } ( t ) + \sqrt { \eta \frac { c } { 2 } \langle \hat { S } _ { 0 , \mathrm { i n } } \rangle } \cos \alpha ( \hat { a } _ { \mathrm { V , 0 } } ^ { \dagger } ( c t ) + \hat { a } _ { \mathrm { V , 0 } } ( c t ) ) , } \end{array}
+ 1 / 2 \sqrt { 2 e B n ^ { \prime } } [ \gamma _ { + } \psi _ { n ^ { \prime } } ( \xi ) \psi _ { n ^ { \prime } - 1 } ( \xi ^ { \prime } ) - \left. \gamma _ { - } \psi _ { n ^ { \prime } - 1 } ( \xi ) \psi _ { n ^ { \prime } } ( \xi ^ { \prime } ) ] \right\}
\mathcal { I } _ { W } = \sum _ { k \geq 1 } \hat { \pi } _ { k } ^ { W } i _ { W } ( k ) \approx c \sum _ { k \geq 1 } \hat { \pi } _ { k } ^ { W } k = \frac { c } { m _ { W } } \sum _ { k \geq 1 } k ^ { 2 } \pi _ { k } ^ { W } = c \frac { m _ { W } ^ { ( 2 ) } } { m _ { W } } ,
\begin{array} { r l } { U \left( \frac { x _ { 1 } } { \frac { 3 } { 8 \pi } \log Q } , \frac { x _ { 2 } } { \frac { 3 } { 8 \pi } \log Q } \right) \log Q = } & { - | x _ { 1 } | - i \frac { 2 \gamma } { \pi } x _ { 1 } - i \frac { 2 } { \pi } x _ { 1 } \log \frac { \pi | x _ { 1 } | } { 3 \log Q } } \\ & { - | x _ { 2 } | + i \frac { 2 \gamma } { \pi } x _ { 2 } + i \frac { 2 } { \pi } x _ { 2 } \log \frac { \pi | x _ { 2 } | } { 3 \log Q } + O \left( \frac { ( \log \log Q ) ^ { 2 } } { \log Q } \right) . } \end{array}
g = \varrho ^ { 2 } [ - \mathrm { d } { \tilde { t } } ^ { 2 } + \mathrm { d } r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \mathrm { d } \vartheta ^ { 2 } + ( 1 - \varpi ) ^ { 2 } \mathrm { d } \sigma ^ { 2 } ] \, ,
\begin{array} { r l } { G _ { \ell } ( t ) } & { = - F _ { \ell } ( t ) ( \psi ( t + \ell - 1 ) + \psi ( 2 - t - \ell ) ) } \\ & { + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell } 4 ( 2 t ^ { 2 } - t - j ) \psi ( \ell + 1 - j ) { \frac { \Gamma ( 2 t + 2 j - 1 ) } { \Gamma ( 2 t + j + 1 ) } } { \frac { 1 } { j ! } } \left[ { \frac { \Gamma ( \ell + t - 1 ) } { \Gamma ( t + j - 1 ) \Gamma ( \ell - j + 1 ) } } \right] ^ { 2 } . } \end{array}
B _ { 1 } = - \frac { 1 } { 8 \eta ( 1 + \eta ) } [ ( c _ { 3 } + 4 c _ { 4 } - 2 c _ { 1 } ) ( 1 + \eta ) + 2 ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) - 4 c _ { 5 } ( 1 + \eta ) ^ { 2 } ] \ .
\langle h _ { 2 } ^ { 2 } ( x ) \rangle = l _ { T } ^ { 2 } \frac { 1 } { L _ { x } L _ { y } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \varphi _ { n } ^ { 2 } ( x ) } { \lambda _ { n } ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { i } ^ { \tilde { \mathbf { u } } } } & { = \mathbf { x } _ { i } ^ { T \mathbf { v } } - \bar { \mathbf { x } } ^ { T \mathbf { v } } } \\ & { = R \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathbf { v } } + t - ( R \bar { \mathbf { x } } ^ { \mathbf { v } } + t ) } \\ & { = R \left( \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathbf { v } } - \bar { \mathbf { x } } ^ { \mathbf { v } } \right) } \\ & { = R \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathbf { u } } } \end{array}
p _ { + } \equiv \mathsf { P } \, ( \mathcal { T } ) = \mathsf { P } \, ( \mathcal { T } \, | \, \mathcal { H } ) \cdot \mathsf { P } \, ( \mathcal { H } ) + \mathsf { P } \, ( \mathcal { T } \, | \, \bar { \mathcal { H } } ) \cdot \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { H } } ) \, = \, \varepsilon \cdot p _ { S } + \beta \cdot p _ { B } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } _ { a \rightarrow b , M _ { 1 } } ^ { a \rightarrow e , M _ { 2 } } } & { = \mathbf { w } _ { a \rightarrow b , M _ { 1 } } \mathbf { w } _ { a \rightarrow e , M _ { 2 } } , } \\ & { = ( C ^ { M _ { 1 } } ) _ { a b } ( C ^ { M _ { 2 } } ) _ { a e } , } \\ & { = ( ( C ^ { M _ { 1 } } ) ^ { T } ) _ { b a } ( C ^ { M _ { 2 } } ) _ { a e } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \tilde { p } } _ { r } ( k , s | x _ { 0 } ) } & { = } & { e ^ { i k x _ { 0 } } \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k , r + s ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( r \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k , r + s ) \right) ^ { n } = e ^ { i k x _ { 0 } } \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k , r + s ) \frac { 1 } { 1 - r \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k , r + s ) } } \\ & { = } & { e ^ { i k x _ { 0 } } \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k , s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \vec { r } } & { = \left\langle \frac { \partial r } { \partial \theta } \sin \theta \cos \phi + r \cos \theta \cos \phi , \frac { \partial r } { \partial \theta } \sin \theta \sin \phi + r \cos \theta \sin \phi , \frac { \partial r } { \partial \theta } \cos \theta - r \sin \theta \right\rangle \, d \theta } \\ & { \quad + \left\langle \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin \theta \cos \phi - r \sin \theta \sin \phi , \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin \theta \sin \phi + r \sin \theta \cos \phi , \frac { \partial r } { \partial \phi } \cos \theta \right\rangle \, d \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \dot { \gamma } _ { x x } - \dot { \gamma } _ { y y } \rangle } & { = \frac { 2 \alpha _ { x x } } { L \Lambda _ { + } } \bigg ( \frac { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta } { \zeta } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \pm } } \bigg ) \bigg ] \sinh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { + } } \bigg ) } \\ & { - \frac { 2 \alpha _ { y y } } { L \Lambda _ { - } } \bigg ( \frac { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) + \beta } { \zeta } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \mp } } \bigg ) \bigg ] \sinh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { - } } \bigg ) . } \end{array}
\left[ \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 1 } ^ { 0 } } } \\ { { \phi _ { 1 } ^ { - } } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 2 } ^ { 0 } } } \\ { { \phi _ { 2 } ^ { - } } } \end{array} \right) \right] \sim 2 , ~ ~ ~ \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 3 } ^ { 0 } } } \\ { { \phi _ { 3 } ^ { - } } } \end{array} \right) \sim 1 , ~ ~ ~ ( \xi ^ { + + } , \xi ^ { + } , \xi ^ { 0 } ) \sim 1 .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { ~ E ~ n ~ } } } & { { } = \left( \frac { X _ { \mathrm { ~ M ~ g ~ } } } { \rho _ { \mathrm { ~ M ~ g ~ } } } + \frac { X _ { \mathrm { ~ S ~ i ~ } } } { \rho _ { \mathrm { ~ S ~ i ~ } } } + \frac { X _ { \mathrm { ~ O ~ } } } { \rho _ { \mathrm { ~ O ~ } } } \right) ^ { - 1 } } \\ { \rho _ { \mathrm { ~ E ~ n ~ } } } & { { } = \left( \frac { 0 . 2 } { 0 . 0 4 3 1 } + \frac { 0 . 2 } { 0 . 0 4 9 9 } + \frac { 0 . 6 } { 0 . 0 4 2 9 } \right) ^ { - 1 } \; \mathrm { ~ a ~ t ~ A ~ } ^ { - 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { A \exp ( - t _ { \textrm { d e l a y } } / T _ { 2 } ^ { * , \textrm { e s t } } ) \cos \big ( 2 \pi \Delta \omega ^ { \textrm { e s t } } t _ { \textrm { d e l a y } } - C ) + B , } \end{array}
\underbrace { \left[ \begin{array} { l } { f ( x _ { 0 } ) } \\ { f ( x _ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { f ( x _ { n } ) } \end{array} \right] } _ { \mathbf { f } } = \underbrace { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { x _ { 0 } - x } & { ( x _ { 0 } - x ) ^ { 2 } } & { \cdots } & { ( x _ { 0 } - x ) ^ { n } } \\ { 1 } & { x _ { 1 } - x } & { ( x _ { 1 } - x ) ^ { 2 } } & { \cdots } & { ( x _ { 1 } - x ) ^ { n } } \\ { \vdots } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { 1 } & { x _ { n } - x } & { ( x _ { n } - x ) ^ { 2 } } & { \cdots } & { ( x _ { n } - x ) ^ { n } } \end{array} \right] } _ { \mathbf { V } ^ { T } ( x _ { 0 } - x , \cdots , x _ { n } - x ) } \underbrace { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 0 } ( x ) } \\ { a _ { 1 } ( x ) } \\ { \vdots } \\ { a _ { n } ( x ) } \end{array} \right] } _ { \mathbf { a } }
\begin{array} { r l } { P = } & { \; ( M _ { 3 3 } ^ { ( 1 ) } - N _ { 3 3 } ^ { ( 1 ) } ) \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { Q = } & { \; \Big ( M _ { 3 3 } ^ { ( 2 ) } - M _ { 3 3 } ^ { ( 1 ) } N _ { 3 3 } ^ { ( 1 ) } + ( N _ { 3 3 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } - N _ { 3 3 } ^ { ( 2 ) } \Big ) \left( \begin{array} { l l l } { \omega } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { + \frac { \widetilde { M } _ { 1 3 } ^ { ( 2 ) } - \widetilde { N } _ { 1 3 } ^ { ( 2 ) } } { 1 - \omega } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { - \omega } & { 0 } & { \omega } \\ { \omega ^ { 2 } } & { - \omega ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
f ^ { i j } ( \vec { P } ) = \delta ^ { i j } + \frac { 1 } { 2 } \, \ell \, ( 1 + A | \vec { P } | ) \left( \begin{array} { c c } { - P ^ { 1 } } & { P ^ { 2 } } \\ { P ^ { 2 } } & { P ^ { 1 } } \end{array} \right) - \frac { 1 } { 2 } \, \ell ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c } { ( P ^ { 1 } ) ^ { 2 } } & { P ^ { 1 } P ^ { 2 } } \\ { P ^ { 1 } P ^ { 2 } } & { ( P ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) \; ,
{ \begin{array} { r l } { \varepsilon } & { = \angle A + \angle B + \angle C - \pi } \\ & { = { \bigl ( } \pi - | B ^ { \prime } C ^ { \prime } | { \bigr ) } + { \bigl ( } \pi - | C ^ { \prime } A ^ { \prime } | { \bigr ) } + { \bigl ( } \pi - | A ^ { \prime } B ^ { \prime } | { \bigr ) } - \pi } \\ & { = 2 \pi - p ^ { \prime } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 1 } < t < \tau _ { 2 } } } ^ { \mathbf { D } } = \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { t < \tau _ { 1 } } } ^ { \mathbf { D } } + \frac { 1 } { 2 } \eta ( s ^ { \mathbf { D D } } \otimes s ^ { \mathbf { C C } } ) ( t - \tau _ { 1 } ) } \\ { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 1 } < t < \tau _ { 2 } } } ^ { \mathbf { C } } = \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { C } } + \frac { 1 } { 2 } \eta ( s ^ { \mathbf { C C } } \otimes s ^ { \mathbf { D D } } ) ( t - \tau _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \Psi _ { { \gamma } _ { 1 } } ^ { W } , \Psi _ { { \gamma } _ { 2 } } ^ { W } ) } & { = g ( \Psi _ { { \gamma } _ { 1 } } , \Psi _ { { \gamma } _ { 2 } } ) + g ( \Psi _ { { \gamma } _ { 1 } } , G _ { - } \chi _ { { \gamma } _ { 2 } } ^ { W } ) + g ( G _ { - } \chi _ { { \gamma } _ { 1 } } ^ { W } , \Psi _ { { \gamma } _ { 2 } } ) + g ( G _ { - } \chi _ { { \gamma } _ { 1 } } ^ { W } , G _ { - } \chi _ { { \gamma } _ { 2 } } ^ { W } ) } \\ & { = g ( \Psi _ { { \gamma } _ { 1 } } , \Psi _ { { \gamma } _ { 2 } } ) + g ( G _ { - } \Psi _ { { \gamma } _ { 1 } } , \chi _ { { \gamma } _ { 2 } } ^ { W } ) - g ( \chi _ { { \gamma } _ { 1 } } ^ { W } , G _ { - } \Psi _ { { \gamma } _ { 2 } } ) - g ( \chi _ { { \gamma } _ { 1 } } ^ { W } , G _ { - } ^ { 2 } \chi _ { { \gamma } _ { 2 } } ^ { W } ) } \\ & { = g ( \Psi _ { { \gamma } _ { 1 } } , \Psi _ { { \gamma } _ { 2 } } ) . } \end{array}