harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f _ { Y } ( y ) = \left| { \frac { d x } { d y } } \right| f _ { X } ( x ) = \left| { \frac { d } { d y } } ( x ) \right| f _ { X } ( x ) = \left| { \frac { d } { d y } } { \big ( } g ^ { - 1 } ( y ) { \big ) } \right| f _ { X } { \big ( } g ^ { - 1 } ( y ) { \big ) } = { \left| \left( g ^ { - 1 } \right) ^ { \prime } ( y ) \right| } \cdot f _ { X } { \big ( } g ^ { - 1 } ( y ) { \big ) } .
\begin{array} { r l } { \mu } & { { } = n _ { 0 } \Gamma \left( 1 + \frac { 1 } { m } \right) , } \\ { \sigma } & { { } = n _ { 0 } \sqrt { \Gamma \left( 1 + \frac { 2 } { m } \right) - \left[ \Gamma \left( 1 + \frac { 1 } { m } \right) \right] ^ { 2 } } , } \end{array}
d s ^ { 2 } = ( A _ { 1 } ^ { 2 } - B _ { 1 } ^ { 2 } ) d t ^ { 2 } + 2 ( A _ { 1 } A _ { 2 } - B _ { 1 } B _ { 2 } ) d t d \theta + ( A _ { 2 } ^ { 2 } - B _ { 2 } ^ { 2 } ) d \theta ^ { 2 } - d r ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 L } \lVert \nabla f ( y ) - \nabla f ( x ) \rVert ^ { 2 } } & { \leq } & { f ( y ) - f ( x ) - \left< \nabla f ( x ) , y - x \right> , } \\ { \frac { 1 } { L } \lVert \nabla f ( x ) - \nabla f ( y ) \rVert ^ { 2 } } & { \leq } & { \left< \nabla f ( y ) - \nabla f ( x ) , y - x \right> \quad ( \mathrm { C o - c o e r c i v i t y } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm d } { \mathrm { d } t } ( L _ { A } ^ { 0 } + L _ { B } ^ { 0 } ) } & { = \frac { \mathrm d } { \mathrm { d } t } ( L _ { A } + L _ { B } + x _ { A } \times p _ { A } + x _ { B } \times p _ { B } ) = \dot { L } _ { A } + \dot { L } _ { B } + x _ { A } \times \dot { p } _ { A } + x _ { B } \times \dot { p } _ { B } } \\ & { = \tau _ { A } + \tau _ { B } + x _ { A } \times f _ { A } + x _ { B } \times f _ { B } = r _ { A } \times f _ { A } + r _ { B } \times f _ { B } + x _ { A } \times f _ { A } + x _ { B } \times f _ { B } } \\ & { = ( x _ { A } + r _ { A } - x _ { B } - r _ { B } ) \times f . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M _ { \pm } } } & { \approx \mathbf { M _ { \pm } ^ { ( 0 ) } } + \mathbf { M _ { \pm } ^ { ( 1 ) } } + \ldots + \mathbf { M _ { \pm } ^ { ( n ) } } } \\ { \mathbf { T _ { \pm } } } & { \approx \mathbf { T _ { \pm } ^ { ( 0 ) } } + \mathbf { T _ { \pm } ^ { ( 1 ) } } + \ldots + \mathbf { T _ { \pm } ^ { ( n ) } } } \\ { \mathbf { S _ { \pm } } } & { \approx \mathbf { S _ { \pm } ^ { ( 0 ) } } + \mathbf { S _ { \pm } ^ { ( 1 ) } } + \ldots + \mathbf { S _ { \pm } ^ { ( n ) } } } \end{array}
\index { \textbf { L i n e a r m a p s } ! 3 1 @ \overset { w _ { 0 } , \gamma _ { 0 } } { P } } \overset { w _ { 0 } , \gamma _ { 0 } } { P } ( q , u , \eta , \gamma ) = \big ( \overset { w _ { 0 } } { P ^ { 1 } } ( q , u , \eta ) , \overset { w _ { 0 } , \gamma _ { 0 } } { P ^ { 2 } } ( q , u , \eta , \gamma ) , \overset { w _ { 0 } , \gamma _ { 0 } } { P ^ { 3 } } ( q , u , \eta , \gamma ) \big )
\begin{array} { r l } { \Big | \{ r : D \Big ( \frac { r } { { m _ { n } } } \Big \| 1 - u _ { 1 } \Big ) \le \frac { \epsilon _ { n } ^ { 2 } } { 2 \log _ { e } 2 } \} \Big | } & { \le \Big | \{ r : \mathbb { V } \Big ( \frac { r } { { m _ { n } } } , 1 - u _ { 1 } \Big ) \le \epsilon _ { n } \} \Big | } \\ & { = O ( { m _ { n } } \epsilon _ { n } ) } \end{array}
R = | B _ { 4 } ( t + t _ { 0 _ { 4 } } ) | ^ { 1 / 4 } \sqrt { C _ { 1 } | B _ { 4 } ( t + t _ { 0 _ { 4 } } ) | ^ { \mu } + C _ { 2 } | B _ { 4 } ( t + t _ { 0 _ { 4 } } ) | ^ { - \mu } }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } ^ { T } ( \mathbf { A } ^ { * * } - \mathbf { A } ) \mathbf { x } } & { = x _ { s } x _ { q } - \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ q , w \} } x _ { q } x _ { i } \, - \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ s , w \} } x _ { s } x _ { j } + \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ q , w \} } \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ s , w \} } x _ { i } x _ { j } } \\ & { = x _ { s } x _ { q } - \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ q , w \} } x _ { q } x _ { i } \, - \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ s , w \} } x _ { s } x _ { j } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ q , w \} } x _ { i } x _ { r } \, + \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ q , w \} } \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } x _ { i } x _ { j } } \\ & { > x _ { s } x _ { q } - \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ q , w \} } x _ { q } x _ { i } \, - \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ s , w \} } x _ { s } x _ { j } \, + \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ q , w \} } x _ { i } x _ { r } \, + \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } x _ { p } x _ { j } } \\ & { = x _ { s } x _ { q } + \Big [ \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ q , w \} } ( x _ { r } - x _ { q } ) x _ { i } \Big ] \, + \Big [ \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } ( x _ { p } - x _ { s } ) x _ { j } \Big ] \, - x _ { s } x _ { r } } \\ & { = \Big [ \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ q , w \} } ( x _ { r } - x _ { q } ) x _ { i } \Big ] \, + \Big [ \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } ( x _ { p } - x _ { s } ) x _ { j } \Big ] - x _ { s } ( x _ { r } - x _ { q } ) } \\ & { = \Big [ \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ p , q , w \} } ( x _ { r } - x _ { q } ) x _ { i } \Big ] \, + \, x _ { p } ( x _ { r } - x _ { q } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \Big [ \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } ( x _ { p } - x _ { s } ) x _ { j } \Big ] - x _ { s } ( x _ { r } - x _ { q } ) } \\ & { = ( x _ { p } - x _ { s } ) ( x _ { r } - x _ { q } ) \, + \Big [ \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ p , q , w \} } ( x _ { r } - x _ { q } ) x _ { i } \Big ] \, + \Big [ \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } ( x _ { p } - x _ { s } ) x _ { j } \Big ] } \\ & { > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { F } \left( x , y \right) } & { = } & { \left< 0 \right| T \left[ \psi \left( x \right) \bar { \psi } \left( y \right) \right] \left| 0 \right> } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { c c } { \sum _ { E _ { n } > 0 } \phi _ { n } \left( x \right) \bar { \phi } _ { n } \left( y \right) } & { t _ { x } > t _ { y } } \\ { - \sum _ { E _ { n } < 0 } \phi _ { n } \left( x \right) \bar { \phi } _ { n } \left( y \right) } & { t _ { x } < t _ { y } } \end{array} \right. } \\ & { = } & { \frac { - i } { 2 \pi } \int _ { C _ { F } } d z G \left( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 1 } , z ( 1 + i \delta ) \right) \gamma ^ { 0 } e ^ { - i z \left( t _ { 2 } - t _ { 1 } \right) } . } \end{array}
\phi \left( \mathbf { r } \right) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int \nabla _ { \mathbf { r } _ { 0 } } \cdot \left( \mathbf { p } \left( \mathbf { r } _ { 0 } \right) { \frac { 1 } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right| } } \right) d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 0 } - { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \nabla _ { \mathbf { r } _ { 0 } } \cdot \mathbf { p } \left( \mathbf { r } _ { 0 } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right| } } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 0 } \ .
\begin{array} { r l } { ( X ^ { * } ) ^ { \mathrm { H } } G _ { X } } & { = ( X ^ { * } ) ^ { \mathrm { H } } A \varDelta X + ( X ^ { * } ) ^ { \mathrm { H } } X ^ { * } \big ( ( X ^ { * } ) ^ { \mathrm { H } } \varDelta X + \varDelta X ^ { \mathrm { H } } X ^ { * } \big ) } \\ & { \quad + ( X ^ { * } ) ^ { \mathrm { H } } \varDelta X \big ( ( X ^ { * } ) ^ { \mathrm { H } } X ^ { * } - W \big ) , } \\ & { = ( W - \lvert S _ { p } \rvert ^ { 2 } ) ( X ^ { * } ) ^ { \mathrm { H } } \varDelta X + ( X ^ { * } ) ^ { \mathrm { H } } \varDelta X ( \lvert S _ { p } \rvert ^ { 2 } - W ) } \\ & { \quad + \lvert S _ { p } \rvert ^ { 2 } \big ( ( X ^ { * } ) ^ { \mathrm { H } } \varDelta X + \varDelta X ^ { \mathrm { H } } X ^ { * } \big ) , } \end{array}
P _ { n o r } ^ { c h a } ( \vec { p } ) = ( \frac { \frac { 1 } { \Delta ^ { 2 } } + \frac { R _ { 0 } ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } + 4 R _ { 0 } ^ { 2 } } } { \pi } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \exp \{ - \vec { p } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \Delta ^ { 2 } } + \frac { R _ { 0 } ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } + 4 R _ { 0 } ^ { 2 } } ) \}
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { \mathrm { K N } } = } & { } & { \kappa _ { \mathrm { T h } } \left\{ \frac { 1 + \gamma } { \gamma ^ { 2 } } \left[ \frac { 2 ( 1 + \gamma ) } { 2 \gamma + 1 } - \frac { 1 } { \gamma } \ln ( 2 \gamma + 1 ) \right] \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 1 } { 2 \gamma } \ln ( 2 \gamma + 1 ) - \frac { 3 \gamma + 1 } { ( 2 \gamma + 1 ) ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| f ( t , x - z ) \| _ { \mu } ^ { 2 } \leq \sum _ { z \in Z ^ { d } } f ^ { 2 } ( x - z ) \mu ( x ) \cdot \frac { \mu ( x - z ) } { \mu ( x - z ) } \leq \frac { \mu ( 0 ) } { \mu ( z ) } \| f \| _ { \mu } ^ { 2 } } \\ & { \| \bar { \mathcal { A } } \| _ { \mu } \leq \sum _ { z \neq 0 , z \in Z ^ { d } } a ( z ) \sqrt { \frac { \mu ( 0 ) } { \mu ( z ) } } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { { \cal D } _ { - } { \cal X } ^ { -- } { \cal X } ^ { - } { \cal D } _ { - } = \mu _ { - } ^ { - 1 } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mu _ { - } { \cal X } ^ { - } = q ^ { 2 } { \cal X } ^ { - } \mu _ { - } ~ , } } \\ { { \mu _ { - } { \cal D } _ { - } = q ^ { - 2 } { \cal D } _ { - } \mu _ { - } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mu _ { - } ^ { - 1 } \equiv 1 + ( q ^ { - 2 } - 1 ) { \cal X } ^ { - } { \cal D } _ { - } ~ ; } } \\ { { { \cal D } _ { 0 } { \cal X } ^ { 0 } - { \cal X } ^ { 0 } { \cal D } _ { 0 } = \mu _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mu _ { 0 } { \cal X } ^ { 0 } = q ^ { 2 } { \cal X } ^ { 0 } \mu _ { 0 } ~ , } } \\ { { \mu _ { 0 } { \cal D } _ { 0 } = q ^ { - 2 } { \cal D } _ { 0 } \mu _ { 0 } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mu _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \equiv 1 + ( q - 1 ) { \cal X } ^ { 0 } { \cal D } _ { 0 } ~ ; } } \\ { { { \cal D } _ { + } { \cal X } ^ { + } - { \cal X } ^ { + } { \cal D } _ { + } = \mu _ { + } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mu _ { + } { \cal X } ^ { + } = q ^ { 2 } { \cal X } ^ { + } \mu _ { + } ~ , } } \\ { { \mu _ { + } { \cal D } _ { + } = q ^ { - 2 } { \cal D } _ { + } \mu _ { + } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mu _ { + } ^ { 1 / 2 } = 1 + ( q ^ { 2 } - 1 ) { \cal X } ^ { + } { \cal D } _ { + } ~ ; } } \\ { { [ { \cal X } ^ { i } , { \cal X } ^ { j } ] = 0 ~ , ~ ~ ~ ~ [ { \cal D } _ { i } , { \cal D } _ { j } ] = 0 ~ , ~ ~ ~ ~ [ { \cal D } _ { i } , { \cal X } _ { j } ] = 0 ~ , } } \\ { { [ \mu _ { i } , { \cal X } ^ { j } ] = 0 ~ , ~ ~ ~ ~ [ \mu _ { i } , { \cal D } _ { j } ] = 0 ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ i \not = j ~ . } } \end{array}
\left( \frac { \partial \Omega } { \partial t } \right) _ { m } = \frac { 1 } { i } \left( \frac { \partial } { \partial m } \right) _ { t } \left[ ( 4 \pi r ^ { 2 } \rho ) ^ { 2 } i D \left( \frac { \partial \Omega } { \partial m } \right) \right] - \frac { 2 \Omega } { r } \left( \frac { \partial r } { \partial t } \right) _ { m } \left( \frac { 1 } { 2 } \frac { \textrm { d l n } i } { \textrm { d l n } r } \right)
V _ { x } = 3 \, { x ^ { 8 } } + 8 \, { x ^ { 7 } } \, { y ^ { 2 } } - 7 \, { x ^ { 6 } } \, { y ^ { 4 } } + 6 \, { x ^ { 5 } } \, { y ^ { 6 } } - 4 \, { x ^ { 3 } } \, { y ^ { 7 } } + 2 \, x \, { y ^ { 8 } } = 0
\begin{array} { r l r } { \langle I ( t ) I ( 0 ) \rangle } & { { } = } & { W _ { + + } ^ { \mathrm { e q } } ( t ) I _ { + } ^ { 2 } + W _ { + - } ^ { \mathrm { e q } } ( t ) I _ { + } I _ { - } + W _ { - + } ^ { \mathrm { e q } } ( t ) I _ { - } I _ { + } } \end{array}
{ \ensuremath { \mathbb E } } \left[ ( W _ { n , \zeta } ) ^ { q } \right] \le { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ W _ { n , \zeta } ( { \ensuremath { \mathcal A } } ) ^ { q } \right] + { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ W _ { n , \zeta } ( { \ensuremath { \mathcal B } } ) ^ { q } \right] + { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ W _ { n , \zeta } ( { \ensuremath { \mathcal C } } ) ^ { q } \right] .
\begin{array} { r l } { \tan \beta _ { 1 } } & { { } = \frac { \sin \beta _ { 2 } } { 1 + \cos \beta _ { 2 } } , } \\ { P _ { 1 } } & { { } = - \frac { P _ { 0 } \sin \beta _ { 2 } } { \sin \beta _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { \theta } ^ { * } \Phi _ { n } ^ { h } } & { = R \bar { \rho } ^ { 2 } \eta _ { n } ^ { h } ( 2 \pi ) + \frac { \bar { \rho } ^ { 2 } c _ { 0 } \bar { u } } { \bar { \theta } } \zeta _ { n } ^ { h } ( 2 \pi ) + \frac { \bar { \rho } ^ { 2 } c _ { 0 } \kappa _ { 0 } } { \bar { \theta } } ( \zeta _ { n } ^ { h } ) _ { x } ( 2 \pi ) } \\ & { = R \bar { \rho } ^ { 2 } \alpha _ { 2 } ^ { n } + \frac { \bar { \rho } ^ { 2 } c _ { 0 } } { \bar { \theta } } ( \bar { u } + \kappa _ { 0 } i n ) \alpha _ { 3 } ^ { n } = \frac { \bar { \rho } ^ { 2 } c _ { 0 } } { \bar { \theta } } \nu _ { 3 } ^ { n } \alpha _ { 3 } ^ { n } \neq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { 1 } \left( \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) , \mathbb { C } \right) } & { = 0 , } \\ { H ^ { 1 } \left( \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) \ltimes H ^ { \prime } , \mathbb { C } \right) } & { = 0 , } \\ { H ^ { 2 } \left( \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) , \mathbb { C } \right) } & { = \mathbb { C } \, \overline { { \alpha } } , } \\ { H ^ { 2 } \left( \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) \ltimes H ^ { \prime } , \mathbb { C } \right) } & { = \mathbb { C } \, \overline { { \alpha } } \oplus \mathbb { C } \, \overline { { \beta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c p _ { 1 } } & { { } = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } - c \left( \frac { p _ { 1 } - p _ { y } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & { \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ s ~ t ~ i ~ t ~ u ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ f ~ } \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \\ { c p _ { 1 } + \frac { c p _ { 1 } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } } & { { } = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } + c \left( \frac { p _ { y } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & { } \\ { c p _ { 1 } \left( \frac { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) + 1 } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & { { } = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } + c \left( \frac { p _ { y } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & { } \\ { c p _ { 1 } } & { { } = \frac { 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) + c p _ { y } } { 1 + \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } } & { } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { - \sqrt { 2 } \xi } } & { { \sqrt { 2 } \xi } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \sqrt { 2 } \xi } } & { { 0 } } & { { 1 - \xi ^ { 2 } } } & { { \xi ^ { 2 } } } \\ { { \sqrt { 2 } \xi } } & { { 0 } } & { { - \xi ^ { 2 } } } & { { 1 + \xi ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \varepsilon ^ { - n } \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \varepsilon } ( x ) ) \geq 2 \bar { \theta } _ { 0 } > \bar { \theta } _ { 0 } \geq \int _ { \varepsilon } ^ { \frac { r } { 4 } } \tilde { C } _ { \beta } \varepsilon \rho ^ { - M \gamma - n - 1 } \left( \int _ { B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \right) d \rho , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \psi } { d Z } } & { { } = - 2 \frac { \zeta _ { 1 } } { \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } - 2 \frac { \zeta _ { 1 } } { \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } } - 2 \frac { \zeta _ { 2 } } { \sigma _ { \tau } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { 1 , 2 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ S _ { x x } + S _ { y y } \pm \sqrt { ( S _ { x x } - S _ { y y } ) ^ { 2 } + 4 S _ { x y } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
( T _ { 6 i } ^ { ( r ) } ) _ { a A } \rho _ { A B } ^ { ( r ) } ( \zeta _ { E } ^ { \pm } ) _ { B } = \pm \frac { i } { 2 } ( \gamma _ { E } ^ { i } ) _ { a b } \rho _ { b B } ^ { ( r ) } ( \zeta _ { E } ^ { \pm } ) _ { B } ,
\begin{array} { r l } & { | V _ { k } ( y , T ) - v _ { T } ( x ) | = | v _ { T } ( y _ { i } ) - v _ { T } ( x ) | \le K _ { v _ { T } } | y _ { i } - x | \le K _ { v _ { T } } \frac { \Delta x } { 2 } , } \\ & { | V _ { k } ( y \pm \Delta x , T ) - v _ { T } ( x ) | = | v _ { T } ( y _ { i } \pm \Delta x ) - v _ { T } ( x ) | \le K _ { v _ { T } } | y _ { i } \pm \Delta x - x | \le K _ { v _ { T } } \frac { 3 \Delta x } { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \ln ( 1 + x ) } & { = { \frac { x ^ { 1 } } { 1 } } - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } - { \frac { x ^ { 4 } } { 4 } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } - \cdots } \\ & { = { \cfrac { x } { 1 - 0 x + { \cfrac { 1 ^ { 2 } x } { 2 - 1 x + { \cfrac { 2 ^ { 2 } x } { 3 - 2 x + { \cfrac { 3 ^ { 2 } x } { 4 - 3 x + { \cfrac { 4 ^ { 2 } x } { 5 - 4 x + \ddots } } } } } } } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { \omega _ { 0 } Z _ { 1 } } - C _ { 1 2 } = 6 . 3 5 2 \, \mathrm { p F } , } \\ { C _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { \omega _ { 0 } Z _ { 2 } } - C _ { 1 2 } - C _ { 2 3 } = 0 . 9 9 3 \, \mathrm { p F } , } \\ { C _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { \omega _ { 0 } Z _ { 3 } } - C _ { 2 3 } - C _ { 3 4 } = 1 . 0 5 8 \, \mathrm { p F } , } \\ { C _ { 4 } } & { = \frac { 1 } { \omega _ { 0 } Z _ { 4 } } - C _ { 3 4 } = 1 . 6 8 0 \, \mathrm { p F } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta \xi _ { y } ( x , t ) = \frac { \mathrm { ~ i ~ } } { k _ { y } } C ( x ) e ^ { \pm \mathrm { ~ i ~ } \omega _ { A } ( x ) t } = \delta \xi _ { y } ( x , 0 ) e ^ { \pm \mathrm { ~ i ~ } \omega _ { A } ( x ) t } : } \end{array}
Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 3 ) } = \lambda _ { 1 } [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] + \lambda _ { 2 } [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] + \lambda _ { 3 } [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] + \lambda _ { 4 } [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] .
\begin{array} { r l } { 2 \cos } & { \left( \gamma _ { n } \theta - \frac { ( \alpha + 1 ) \pi } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } \right) \cos \left( \gamma _ { m } \theta - \frac { \alpha \pi } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } \right) = 2 \sin \left( \gamma _ { n } \theta - \eta \right) \cos \left( \gamma _ { m } \theta - \eta \right) } \\ & { = \sin \left( ( \gamma _ { n } + \gamma _ { m } ) \theta - 2 \eta \right) + \sin \left( ( \gamma _ { n } - \gamma _ { m } ) \theta \right) } \\ & { = \cos ( 2 \eta ) ( \sin ( ( n + m ) \theta ) ( \cos ( \rho \theta ) - 1 ) + \sin ( ( n + m ) \theta ) + \sin ( \rho \theta ) \cos ( ( n + m ) \theta ) ) } \\ & { \: - \sin ( 2 \eta ) ( \cos ( ( n + m ) \theta ) ( \cos ( \rho \theta ) - 1 ) + \cos ( ( n + m ) \theta ) { - } \sin ( \rho \theta ) \sin ( ( n + m ) \theta ) ) } \\ & { \: + \sin ( ( n - m ) \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } \left( x , y \right) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { a - y } { \epsilon / 2 } , \quad x \leq a - \epsilon , y \geq a - \epsilon , } \\ { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { a - x } { \epsilon / 2 } , \quad x \geq a - \epsilon , y \leq a - \epsilon , } \\ { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { \epsilon - \sqrt { \left( x - a + \epsilon \right) ^ { 2 } + \left( y - a + \epsilon \right) ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } , \quad x \geq a - \epsilon , y \geq a - \epsilon , } \\ { 1 , \quad \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ { \phi _ { 2 } \left( x , y \right) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { a - y } { \epsilon / 2 } , \quad x \geq L x - a + \epsilon , y \geq a - \epsilon , } \\ { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { x - L x + a } { \epsilon / 2 } , \quad x \leq L x - a + \epsilon , y \leq a - \epsilon , } \\ { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { \epsilon - \sqrt { \left( x - L x + a - \epsilon \right) ^ { 2 } + \left( y - a + \epsilon \right) ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } , \quad x \leq L x - a + \epsilon , y \geq a - \epsilon , } \\ { 1 , \quad \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \kappa } { \sqrt { 2 \mathrm { K L } ( \kappa , 0 ) } } = \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { 1 } { \sqrt { \cfrac { 2 \left[ A _ { d } ( \kappa ) \kappa - \log a _ { d } ( \kappa ) + \log | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | \right] } { \kappa ^ { 2 } } } } = \sqrt { d } .
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { 1 } : = \partial _ { t } d _ { 1 } + \frac { \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } + \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } } { 2 } \cdot \nabla d _ { 1 } + \frac { \mathbf { v } _ { 1 } ^ { + } + \mathbf { v } _ { 1 } ^ { - } } { 2 } \cdot \nabla d _ { \Gamma } - \sigma ^ { - 1 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \big ( \theta _ { 0 } ^ { \prime } ( \rho ) \big ) ^ { 2 } \hat { \phi } _ { 0 } ( \rho , \cdot ) \, d \rho \, d _ { 1 } + D _ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\mathrm { ~ \textbf ~ { ~ p ~ r ~ } ~ } \mathbf { g } \left[ \Delta _ { a } ( q , \dot { q } , \ddot { q } ) \right] = - \frac { \partial \ddot { q } ^ { b } } { \partial q ^ { a } } M _ { b c } \rho ^ { c } + \frac { d } { d t } \left[ F _ { a b } \rho ^ { b } + M _ { a b } \dot { \rho } ^ { b } \right] ,
\Gamma _ { \mu } = { \frac { 1 } { 2 } } \Sigma ^ { a b } V _ { a \nu } ( \partial _ { \mu } V _ { b } ^ { \nu } + \Gamma _ { \mu \lambda } ^ { \nu } V _ { b } ^ { \lambda } ) ~ \mathrm { a n d } ~ \Sigma ^ { a b } = { \frac { 1 } { 4 } } [ \gamma ^ { a } , \gamma ^ { b } ] .
{ \cal M } _ { n } ^ { ( a ) } ( \xi ; t ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } \, A _ { n k } ^ { ( a ) } ( t ) \, \xi ^ { k } + D _ { n } ^ { ( a ) } ( t ) \xi ^ { n + 1 }
\begin{array} { r l } { \widehat { \tau } } & { { } \leq \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ v ~ } } ^ { 2 } + C _ { x y } ^ { 2 } } { \sigma _ { x } ^ { 4 } } - \frac { 2 } { \sigma _ { x } ^ { 4 } } \sqrt { \left( \sigma _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ v ~ } } ^ { 4 } + 2 \sigma _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ v ~ } } ^ { 2 } C _ { x y } ^ { 2 } \right) \ln \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } } } } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \left( \begin{array} { l } { u } \\ { v } \\ { \eta } \\ { b } \end{array} \right) = \underbrace { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - q } & { \partial _ { x } } & { - \frac { b _ { x } } { \eta } } \\ { q } & { 0 } & { \partial _ { y } } & { - \frac { b _ { y } } { \eta } } \\ { \partial _ { x } } & { \partial _ { y } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { b _ { x } } { \eta } } & { \frac { b _ { y } } { \eta } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } _ { = \mathbb { J } ( u , v , \eta , b ) } \left( \begin{array} { l } { \delta H _ { T R S W } / \delta u = \eta u } \\ { \delta H _ { T R S W } / \delta v = \eta v } \\ { \delta H _ { T R S W } / \delta \eta = B } \\ { \delta H _ { T R S W } / \delta b = T } \end{array} \right) ,
n e u r i p s _ { 2 } 0 2 3 r a c { \partial \phi _ { s o s } ( z ^ { ( i ) } ) } { \partial z ^ { ( i ) } } = \bigg ( a \sum _ { j = 1 } ^ { k } v _ { j } w _ { j } \ \sigma ^ { \prime } ( w _ { j } z ^ { ( i ) } + b _ { j } ) \bigg ) + \bigg ( \sigma ( - s + z ^ { ( i ) } ) + \sigma ( - s - z ^ { ( i ) } ) \bigg ) > 0 ,
{ \bf g } _ { t } ( z ) = e ^ { \Omega \circ w } | \partial _ { z } w | ^ { 2 } \, \left( \begin{array} { l l } { | 1 + \mu | ^ { 2 } } & { - i ( \mu - \bar { \mu } ) } \\ { - i ( \mu - \bar { \mu } ) } & { | 1 - \mu | ^ { 2 } } \end{array} \right) ,
\Delta \Lambda _ { 1 } = - T \left( 2 \lambda _ { 1 } \lambda ^ { 2 } { \frac { L _ { f } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } + ( { \frac { \lambda _ { 5 } ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { \lambda _ { 9 } } { 2 } } + ( \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } ) \lambda _ { 9 } ) { \frac { L _ { b } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } - \lambda ^ { 4 } { \frac { L _ { f } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \right)
+ \frac { 1 2 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \Gamma _ { + } \frac { - ( \rho _ { c } \, \delta _ { 0 \rho } - \rho _ { + } \delta _ { 0 \rho } + ( z _ { c } - z _ { + } ) \delta _ { 0 z } ) + \rho _ { + } \delta _ { 0 \rho } } { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 5 } ( 1 - { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { 5 / 2 } } ( z _ { c } - z _ { + } ) \cos ^ { 2 } \theta \, d \theta
S _ { l o c a l } [ g ] = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G } } \int \, d ^ { 4 } \, x \, \sqrt { - g } \, ( R - 2 \Lambda ) + S _ { l o c a l } ^ { ( 4 ) } + \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } S _ { l o c a l } ^ { ( 2 n ) } \, .