harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { A ^ { - 1 } } & { = \left[ g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } + 2 G _ { C i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i C } ^ { s _ { 2 } } \right] ^ { - 1 } } \\ & { = g _ { C } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } - 2 g _ { C } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } G _ { C i } ^ { s _ { 1 } } \left( \mathbb { I } + 2 G _ { i C } ^ { s _ { 2 } } g _ { C } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } G _ { C i } ^ { s _ { 1 } } \right) ^ { - 1 } G _ { i C } ^ { s _ { 2 } } g _ { C } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } } \end{array}
{ \cal L } = \bar { \nu } _ { \alpha } i \gamma ^ { \mu } ( \partial _ { \mu } - i g _ { X } q _ { \alpha } A _ { \mu } ) \nu _ { \alpha } + i \sqrt 2 g _ { X } ( \tilde { \nu } _ { \alpha } ^ { \ast } \lambda _ { X } q _ { \alpha } \nu _ { \alpha } - \tilde { \nu } _ { \alpha } \bar { \lambda } _ { X } q _ { \alpha } \bar { \nu } _ { \alpha } ) + \cdots .
\begin{array} { r l } { \overline { { \rho } } \overline { { h } } \overline { { \mu } } = \overline { { \mu } } \overline { { h } } \overline { { \rho } } } & { = \overline { { \rho } } - \overline { { \mu } } , } \\ { { d _ { \mathrm { n a t } } } ( \bar { \rho } ) } & { = \bar { \rho } ^ { 2 } - \bar { \rho } \overline { { d h } } \bar { \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { \alpha } = } & { ~ \tilde { \rho } _ { \alpha } ^ { 2 } \upsilon _ { \alpha } , } \\ { \upsilon _ { \alpha } : = } & { ~ \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \tilde { \rho } _ { \alpha } } - \frac { 1 } { \tilde { \rho } _ { \alpha } } \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \tilde { \rho } _ { \alpha } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { i n t } \left( x ^ { \prime \, m } , x ^ { m } ; x ^ { \prime \, \mu } , x ^ { \mu } \right) = \overline { { \mathcal { R } } } _ { i n t } \left( x ^ { \prime \, \mu } , x ^ { \mu } \right) \, \mathcal { R } _ { i n t } \left( x ^ { \prime \, m } , x ^ { m } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi _ { i } } & { { } = \sum _ { j = A , I } \mathcal D _ { i j } \nabla ^ { 2 } \phi _ { j } + k \left[ \frac { 2 \phi _ { 0 } } { 1 + ( \frac { \phi _ { I } } { \phi _ { A } } ) ^ { h } } - \phi _ { i } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla p \| ^ { 2 } } & { { } = - \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } p \kappa u _ { \tau } ^ { 2 } + 2 \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } p \tau \cdot \nabla \left( ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \right) + \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \int _ { \Omega } p ( \nabla u ) ^ { T } \colon \nabla u } \end{array}
\vec { P } _ { m e c h } ( t ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } ~ \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \rho _ { 2 } \partial _ { t } \rho _ { 1 } - \rho _ { 1 } \partial _ { t } \rho _ { 2 } \right) \hat { R } - ( \rho _ { 1 } \vec { J } _ { 2 } + \rho _ { 2 } \vec { J } _ { 1 } ) R ^ { - 1 } \right]
E ( a , b ) = { \frac { 1 } { 2 a + 2 b } } \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a } { \sigma \sqrt 2 } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b } { \sigma \sqrt 2 } } \right] \right) + { \frac { D \sigma ^ { - 4 } } { 8 \sqrt { 2 \pi } } } \left( { \frac { a } { \sigma } } \Big ( 1 - { \frac { a ^ { 2 } } { 3 \sigma ^ { 2 } } } \Big ) \, e ^ { - { \frac { a ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } + { \frac { b } { \sigma } } \Big ( 1 - { \frac { b ^ { 2 } } { 3 \sigma ^ { 2 } } } \Big ) \, e ^ { - { \frac { b ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \right) { \frac { 1 } { a + b } } \, .
\begin{array} { r l } { \rho _ { i } ( \boldsymbol { r } ) } & { { } = Z e n _ { i } \left( 1 - \frac { Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { T _ { i } } \frac { \mathrm { e } ^ { - k _ { D } r } } { r } \right) , } \\ { \rho _ { e } ( \boldsymbol { r } ) } & { { } = - e n _ { e } \left( 1 + \frac { Z e ^ { 2 } } { T _ { e } } \frac { \mathrm { e } ^ { - k _ { D } r } } { r } \right) . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } }
R = R _ { A d S _ { 3 } } + R _ { S ^ { 7 } } = { \frac { - 6 } { R _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { 2 1 } { 2 R _ { 2 } ^ { 2 } } } = 0 \Rightarrow { \frac { R _ { 1 } } { R _ { 2 } } } = { \frac { 2 } { \sqrt { 7 } } } .
\left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 0 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| = \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| = \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right|
\begin{array} { r l } & { \delta ^ { - 1 } \mu _ { 0 } ^ { \pm } + \mu _ { 1 } ^ { \pm } + \delta \mu _ { 2 } ^ { \pm } + \delta ^ { 2 } \mu _ { 3 } ^ { \pm } + o \left( \delta ^ { 2 } \right) = - \delta \nabla ^ { 2 } \left( \psi _ { 0 } ^ { \pm } + \delta \psi _ { 1 } ^ { \pm } + \delta ^ { 2 } \psi _ { 2 } ^ { \pm } + o \left( \delta ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { + \delta ^ { - 1 } \left( \psi _ { 0 } ^ { \pm } + \delta \psi _ { 1 } ^ { \pm } + \delta ^ { 2 } \psi _ { 2 } ^ { \pm } + o \left( \delta ^ { 2 } \right) \right) \left( \left( \psi _ { 0 } ^ { \pm } + \delta \psi _ { 1 } ^ { \pm } + \delta ^ { 2 } \psi _ { 2 } ^ { \pm } + o \left( \delta ^ { 2 } \right) \right) ^ { 2 } - 1 \right) , } \\ & { \delta ^ { - 1 } \mu _ { \psi 0 } ^ { \pm } + \mu _ { \psi 1 } ^ { \pm } + \delta \mu _ { \psi 2 } ^ { \pm } + \delta ^ { 2 } \mu _ { \psi 3 } ^ { \pm } + o \left( \delta ^ { 2 } \right) = \delta ^ { - 1 } \mu _ { 0 } ^ { \pm } + \mu _ { 1 } ^ { \pm } + \delta \mu _ { 2 } ^ { \pm } + \delta ^ { 2 } \mu _ { 3 } ^ { \pm } + o \left( \delta ^ { 2 } \right) } \\ & { - \frac { C a _ { E } } { 2 } \frac { \partial \epsilon _ { \it e f f } } { \partial \psi } \left| \nabla \left( \phi _ { 0 } ^ { \pm } + \delta \phi _ { 1 } ^ { \pm } + \delta ^ { 2 } \phi _ { 2 } ^ { \pm } + o \left( \delta ^ { 2 } \right) \right) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\tau _ { g } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } \Phi _ { t } \left( \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } \right) } { \mathrm { ~ d ~ } \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } \left\{ \arg \left[ F _ { T } \left( \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } \right) \right] \right\} } { \mathrm { ~ d ~ } \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } } .
( \widetilde u \cdot \nabla ) \theta ( \tau , \tilde { y } _ { 0 } ) - ( \widetilde u \cdot \nabla ) \theta ( \tau , \tilde { x } _ { 0 } ) = ( \widetilde u _ { 1 } ( \tau , \tilde { y } _ { 0 } ) - \widetilde u _ { 1 } ( \tau , \tilde { x } _ { 0 } ) ) \partial _ { 1 } \theta ( \tau , \tilde { x } _ { 0 } ) \leq g ( \tau ) \xi ^ { \beta } \partial _ { \xi } \Omega ( \tau , \xi ) .
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) } & { = } & { C _ { S C } \frac { R } { 2 \sqrt { 2 } \gamma \sigma _ { z } \epsilon _ { x } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \exp [ - \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ] \left[ I _ { 0 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) - I _ { 1 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) \right] \exp [ - \frac { a _ { y } ^ { 2 } u } { 4 } ] \exp [ - \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } ] } \\ & { } & { \times \Big \langle \left[ \frac { 1 } { [ ( \sigma _ { y } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } - 1 ) u + 1 ] } \frac { u } { [ ( 1 - \sigma _ { x } ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } ) u + \sigma _ { x } ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } ] } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { \times I _ { 0 } \left( \frac { a _ { y } ^ { 2 } } { 4 } \frac { u } { ( 1 - \sigma _ { x } ^ { 2 } / \sigma _ { y } ^ { 2 } ) u + \sigma _ { x } ^ { 2 } / \sigma _ { y } ^ { 2 } } \right) I _ { 0 } \left( \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 [ ( 1 - \sigma _ { x } ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } ) u + \sigma _ { x } ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } ] } \right) \Big \rangle _ { s } } \end{array}
\tau _ { i j } ^ { R R * } = \tau _ { i } ^ { R R * } = \tau _ { j } ^ { R R * } = \frac { 4 } { 3 } \eta _ { i } \eta _ { j } \frac { 1 + \sqrt { \nu _ { i } / \nu _ { j } } } { \eta _ { i } + \eta _ { j } \sqrt { \nu _ { i } / \nu _ { j } } } \frac { U _ { j } ^ { R } - U _ { i } ^ { R } } { | \overrightarrow { r _ { j } } - \overrightarrow { r _ { i } } | } ,
{ \displaystyle { \cal L } ( { \bf R } , { \bf { \dot { R } } } , { \bf X } , { \dot { \bf X } } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I } M _ { I } { \dot { R } } _ { I } ^ { 2 } - { \cal U } ( { \bf R } , { \bf X } ) + \frac { \mu } { 2 } \mathrm { T r } \left[ \vert { \dot { \bf X } } \vert ^ { 2 } \right] - \frac { \mu \omega ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { T r } \left[ \left( { \bf D } [ { \bf X } ] { \bf S } - { \bf X } \right) ^ { T } { \cal T } \left( { \bf D } [ { \bf X } ] { \bf S } - { \bf X } \right) \right] } .
V _ { ( j , m ) } ^ { \omega } ( z , \bar { z } ) ~ = ~ \gamma ^ { j - m } ( z ) \bar { \gamma } ^ { j - m } ( \bar { z } ) e ^ { \frac 2 { \alpha _ { + } } j \phi ( z , \bar { z } ) } e ^ { i \sqrt { \frac { 2 } { k } } m X ( z , \bar { z } ) } e ^ { i \sqrt { \frac { 2 } { k } } ( m + { \frac { k } { 2 } } \omega ) Y ( z , \bar { z } ) }
\Psi = C _ { m } ( \mathcal { Z } - \mathcal { Z } _ { 0 } ) ^ { m } \exp \left[ - \frac { ( \vec { r } - \vec { R } ) ^ { 2 } } { 4 \rho ^ { 2 } } - \frac { i } { 2 l _ { z } ^ { 2 } } \hat { z } \cdot ( \vec { r } \times \vec { R } ) \right] \exp \left[ i \frac { \alpha } { 4 } ( \vec { r } - \vec { R } ) ^ { 2 } \right] \exp \left[ i \frac { \vec { p } } { 2 \hbar } \cdot ( \vec { r } - \vec { R } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { | \rho _ { 1 , n + 1 } ( \tau ) | _ { - ( n + 1 ) \alpha , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le 2 C _ { 2 } ( \mathtt { p e } , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) | { \rho _ { 1 , n } } ( \tau ) | _ { - n \alpha , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } | \rho _ { 1 , 1 } | _ { - \alpha , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } } } \\ & { \le 2 C _ { 1 } ( \mathtt { p e } , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) C _ { 2 } ( \mathtt { p e } , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) | \rho _ { 1 , n } ( \tau ) | _ { - n \alpha , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \le \left( 2 C _ { 1 } ( \mathtt { p e } , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) C _ { 2 } ( \mathtt { p e } , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) \right) ^ { n + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ( h \overline { { v _ { x } } } ) } { \partial x } - v _ { x } ( z = h ) \frac { \partial h } { \partial x } + \frac { \partial ( h \overline { { v _ { y } } } ) } { \partial y } - v _ { y } ( z = h ) \frac { \partial h } { \partial y } + v _ { z } ( z = h ) } & { { } = 0 } \end{array}
\small \nabla \cdot \textbf { u } = \nabla \cdot \left( \frac { \hat { \rho } _ { 1 } } { \rho _ { 1 } } \textbf { u } _ { 1 } + \frac { \hat { \rho } _ { 2 } } { \rho _ { 2 } } \textbf { u } _ { 2 } \right) = \nabla \cdot \left( \frac { \hat { \textbf { J } } _ { 1 } } { \rho _ { 1 } } + \frac { \hat { \textbf { J } } _ { 2 } } { \rho _ { 2 } } \right) = - \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { \hat { \rho } _ { 1 } } { \rho _ { 1 } } + \frac { \hat { \rho } _ { 2 } } { \rho _ { 2 } } \right) = - \frac { \partial } { \partial t } ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ) = - \frac { \partial 1 } { \partial t } = 0 ,
\begin{array} { r } { n _ { \mathrm { e f f } } = n _ { \mathrm { e f f , ~ T ~ _ 0 ~ } } + \frac { \partial n _ { \mathrm { e f f } } } { \partial T } ( T - T _ { 0 } ) } \\ { \frac { \partial n _ { \mathrm { e f f } } } { \partial T } = \Gamma _ { \mathrm { c o r e } } \frac { n _ { \mathrm { c o r e } } } { n _ { \mathrm { e f f } } } \frac { \partial n _ { \mathrm { c o r e } } } { \partial T } + \Gamma _ { \mathrm { c l a d } } \frac { n _ { \mathrm { c l a d } } } { n _ { \mathrm { e f f } } } \frac { \partial n _ { \mathrm { c l a d } } } { \partial T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ^ { \prime } } & { = \frac { 2 } { S _ { 0 } ^ { \prime } } \left\{ \left[ J _ { n - 1 } ^ { 2 } ( z ) + J _ { n + 1 } ^ { 2 } ( z ) - 2 J _ { n } ^ { 2 } ( z ) \right] + 4 \left( 1 - \frac { n ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } } \right) J _ { n } ^ { 2 } ( z ) \right\} , } \\ { S _ { 2 } ^ { \prime } } & { = 0 , } \\ { S _ { 3 } ^ { \prime } } & { = \frac { S _ { 3 } ^ { \mathrm { l a s e r } } } { S _ { 0 } ^ { \prime } } \left( 1 - s + \frac { 1 } { 1 - s } \right) \left[ 1 - \frac { 2 s } { s _ { n } ( 1 - s ) } \right] \left[ J _ { n - 1 } ^ { 2 } ( z ) - J _ { n + 1 } ^ { 2 } ( z ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { B _ { A } } ( k _ { \perp } ) = \sum _ { k _ { \parallel } = 0 } ^ { k _ { \parallel } \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } P _ { B _ { A } } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } , f _ { s c } ) d f _ { s c } , } \\ { D _ { B _ { A } } ( k _ { \parallel } ) = \sum _ { k _ { \perp } = 0 } ^ { k _ { \perp } \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } P _ { B _ { A } } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } , f _ { s c } ) d f _ { s c } . } \end{array}
\partial ^ { \mu } \partial _ { \nu } \partial _ { \lambda } \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { \mu } { } _ { \nu } \partial _ { \lambda } [ \sigma \partial _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } \sigma - 2 ( \partial _ { \alpha } \sigma ) ( \partial ^ { \alpha } \sigma ) ] - [ \delta ^ { \mu } { } _ { \nu } \partial _ { \lambda } + \delta ^ { \mu } { } _ { \lambda } \partial _ { \nu } + \delta _ { \lambda \nu } \partial ^ { \mu } ] ( \partial _ { \alpha } \sigma ) ( \partial ^ { \alpha } \sigma ) = 0 .
\begin{array} { r } { \big [ \left( 1 + \textstyle \frac { 9 } { 4 x ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } \tau ( x ) \big ] ^ { \prime } = \textstyle \frac { 9 } { 4 x ^ { 3 } } \left( 1 + \textstyle \frac { 9 } { 4 x ^ { 2 } } \right) ^ { - 3 / 2 } \big [ \tau ( x ) - \left( 1 + \frac { 9 } { 4 x ^ { 2 } } \right) X _ { 0 } ^ { \prime } \big ] = \frac { 9 } { 4 x ^ { 3 } } \left( 1 + \frac { 9 } { 4 x ^ { 2 } } \right) ^ { - 3 / 2 } X _ { 0 } ^ { \prime \prime \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \sigma } _ { \pm } \delta \hat { \phi } _ { \pm } - \delta \hat { \psi } _ { \pm } } & { = \pm \frac { \mathrm { i } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { \pm } } \left( \begin{array} { c } { \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \delta \hat { \psi } _ { 0 } } \\ { \Lambda _ { k _ { 0 } ^ { * } } ^ { k _ { z } } \delta \hat { \psi } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right) \left[ \delta \hat { \phi } _ { z } \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { 0 } \right] } \\ & { \pm \frac { \mathrm { i } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \left( \omega _ { 0 } \pm \omega _ { z } \right) \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { \pm } } \left( \begin{array} { c } { \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } F _ { 1 + } \delta \hat { \phi } _ { 0 } } \\ { \Lambda _ { k _ { 0 } ^ { * } } ^ { k _ { z } } F _ { 1 - } \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right) \tau \delta \hat { \phi } _ { z } \left[ \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { 0 } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \right] , \raisetag { 3 \normalbaselineskip } } \end{array}
\mathrm { d } \mathscr { B } = e ^ { 0 } \wedge L _ { e _ { 0 } } \mathscr { B } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } e ^ { i } \wedge L _ { e _ { i } } \mathscr { B } = e ^ { 0 } \wedge L _ { e _ { 0 } } \mathscr { B } + \mathbf { d } \mathscr { B } .
\frac { 1 } { g _ { 3 } ^ { 2 } } = \frac { 1 2 } { 7 } \frac { 1 } { g _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { 5 } { 7 } \frac { 1 } { g _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \tilde { b } } { 8 \pi ^ { 2 } } \ln \frac { M _ { U } } { M _ { c } ^ { \prime } }
\begin{array} { r l r } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } P ( \delta ) d \delta } & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi } \sigma _ { D } } \exp \left( - \frac { ( \delta - \omega _ { e g } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { D } ^ { 2 } } \right) d \delta } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi } \sigma _ { D } } \exp \left( - \frac { ( \delta - \omega _ { e g } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { D } ^ { 2 } } \right) d \delta } \\ & { } & { + \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi } \sigma _ { D } } \exp \left( - \frac { ( \delta + \omega _ { e g } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { D } ^ { 2 } } \right) d \delta } \\ & { = } & { 1 . } \end{array}
[ M _ { a , b } ^ { v \times w } ( x ) ] _ { i + j m } = \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i + j m } } & { \mathrm { i f ~ } i \in [ a , a + v ) , j \in [ b , b + w ) } \\ { \operatorname { B e r } ( \{ - 1 , + 1 \} , 0 . 5 ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , \qquad ( a , b ) \sim { \cal U } \left( [ m ] \times [ d ] \right) .
\begin{array} { r l r } { I m ( R _ { + } ) } & { { } = } & { - \left\langle \Phi _ { s } ^ { * } \left( \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { + } } \right) ^ { 2 } \frac { \beta _ { s } ^ { + } \delta \phi _ { 0 } ^ { * } \beta _ { + } } { \tau b _ { s } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Phi ( x ) = { \Phi _ { 2 } } ( x ) - \frac { { F { e ^ { - \kappa x } } } } { { \alpha { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } } } \left[ { { \eta _ { 1 } } \left( { { q ^ { 2 } } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) \cos ( { k _ { 2 2 } } x ) - { \eta _ { 2 } } \left( { { q ^ { 2 } } - k _ { 1 1 } ^ { 2 } } \right) \cos ( { k _ { 1 2 } } x ) } \right] } \\ & { + \frac { { F \kappa { e ^ { - \kappa x } } } } { { \alpha { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } } } \left[ { { \eta _ { 1 } } \left( { { q ^ { 2 } } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) \frac { { \sin ( { k _ { 2 2 } } x ) } } { { { k _ { 2 2 } } } } - { \eta _ { 2 } } \left( { { q ^ { 2 } } + k _ { 1 1 } ^ { 2 } } \right) \frac { { \sin ( { k _ { 1 2 } } x ) } } { { { k _ { 1 2 } } } } } \right] } \\ & { + \frac { F } { { { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } } } \left\{ { \left[ { \left( { { q ^ { 2 } } - k _ { 1 1 } ^ { 2 } } \right) \left( { { q ^ { 2 } } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) - 4 { q ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } } \right] \cos ( q x ) + 2 q \kappa \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } - 2 { q ^ { 2 } } } \right) \sin ( q x ) } \right\} , } \\ & { \Psi ( x ) = { \Psi _ { 2 } } ( x ) + \frac { { F { { { e } } ^ { - \kappa x } } } } { { \alpha { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } } } \left[ { { \eta _ { 1 } } k _ { 2 1 } ^ { 2 } \left( { { q ^ { 2 } } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) \cos ( { k _ { 2 2 } } x ) - { \eta _ { 2 } } k _ { 1 1 } ^ { 2 } \left( { { q ^ { 2 } } - k _ { 1 1 } ^ { 2 } } \right) \cos ( { k _ { 1 2 } } x ) } \right] } \\ & { - \frac { { F \kappa { e ^ { - \kappa x } } } } { { \alpha { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } } } \left[ { { \eta _ { 1 } } k _ { 2 1 } ^ { 2 } \left( { { q ^ { 2 } } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) \frac { { \sin ( { k _ { 2 2 } } x ) } } { { { k _ { 2 2 } } } } - { \eta _ { 2 } } k _ { 1 1 } ^ { 2 } \left( { { q ^ { 2 } } + k _ { 1 1 } ^ { 2 } } \right) \frac { { \sin ( { k _ { 1 2 } } x ) } } { { { k _ { 1 2 } } } } } \right] } \\ & { - \frac { F } { { { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } } } \left\{ { \left[ { 1 - \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } - { q ^ { 2 } } } \right) \left( { { q ^ { 2 } } + 4 { \kappa ^ { 2 } } } \right) } \right] { q ^ { 2 } } \cos ( q x ) + 2 q \kappa \left( { 1 - { q ^ { 4 } } - 4 { \kappa ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } \right) \sin ( q x ) } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { H } \quad } & { J ( f [ H ] ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } f + v \partial _ { x } f - ( H + E [ f ] ) \partial _ { v } f = 0 } \\ { E [ f ] = \partial _ { x } G \ast ( 1 - \rho _ { f } ) } \\ { f ( t = 0 , x , v ) = f _ { 0 } = f ^ { \mathrm { e q } } + \tilde { f } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \phi ( 1 0 ) } & { = } & { \operatorname* { g c d } ( 1 , 1 0 ) \cos { \frac { 2 \pi } { 1 0 } } + \operatorname* { g c d } ( 2 , 1 0 ) \cos { \frac { 4 \pi } { 1 0 } } + \operatorname* { g c d } ( 3 , 1 0 ) \cos { \frac { 6 \pi } { 1 0 } } + \cdots + \operatorname* { g c d } ( 1 0 , 1 0 ) \cos { \frac { 2 0 \pi } { 1 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { P ^ { > } ( L , \tau | L _ { 0 } = 0 , \tau _ { 0 } = 0 ) \propto \operatorname* { l i m } _ { L _ { 0 } \to 0 } \frac { L _ { 0 } e ^ { - \frac { L ^ { 2 } + L _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 D \tau } } \left( \frac { L } { L _ { 0 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { \gamma } { D } } I _ { \frac { \gamma } { D } + \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { L L _ { 0 } } { D \tau } \right) } { D \tau \left( 1 - \frac { \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 1 } { 2 } , \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 D \tau } \right) } { \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 1 } { 2 } \right) } \right) } = \frac { L e ^ { - \frac { L ^ { 2 } } { 2 D \tau } } } { D \tau } \ , } \end{array}
( m _ { \nu } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { C _ { \scriptscriptstyle 4 } ^ { \prime } \, m _ { \tau } ^ { 2 } \, \lambda _ { \scriptscriptstyle 1 \! 3 3 } ^ { 2 } \; \; } } & { { \; \; C _ { \scriptscriptstyle 2 } ^ { \prime } \, m _ { \tau } \, m _ { \mu } ^ { 2 } \, \mu _ { \scriptscriptstyle 3 } \lambda _ { \scriptscriptstyle 1 \! 2 3 } + C _ { \scriptscriptstyle 5 } \; m _ { \tau } \, \mu _ { \scriptscriptstyle 3 } \lambda _ { \scriptscriptstyle 1 \! 2 3 } \lambda _ { \scriptscriptstyle 1 \! 3 3 } ^ { 2 } \; \; } } & { { \; \; C _ { \scriptscriptstyle 2 } ^ { \prime } \, m _ { \tau } ^ { 3 } \, \mu _ { \scriptscriptstyle 3 } \lambda _ { \scriptscriptstyle 1 \! 3 3 } + C _ { \scriptscriptstyle 5 } \; m _ { \tau } \, \mu _ { \scriptscriptstyle 3 } \lambda _ { \scriptscriptstyle 1 \! 3 3 } ^ { 3 } } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } & { { C _ { \scriptscriptstyle 1 } \; \mu _ { \scriptscriptstyle 3 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r } { 0 \leq \mathbb { E } \left[ \left( M _ { t + h } - M _ { t } \right) ^ { p } \right] \leq \sqrt { \mathbb { E } \left[ | \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq u \leq h } ( X _ { t + u } ^ { 1 } - X _ { t } ^ { 1 } ) | ^ { 2 p } \right] { \mathbb P } ( \{ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq u \leq h } ( X _ { t + u } ^ { 1 } - X _ { t } ^ { 1 } ) > M _ { t } - X _ { t } ^ { 1 } \} ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { ( M ( d ) \in s ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { k } } \left[ \mathbb { P } \left( M ( d ) \in s \ | \ \Phi ( d ) \in E _ { i } \right) \mathbb { P } \left( \Phi ( d ) \in E _ { i } \right) \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { k } } \left[ \mathbb { P } \left( M ( d ^ { \prime } ) \in s \ | \ \Phi ( d ^ { \prime } ) \in E _ { i } \right) \mathbb { P } \left( \Phi ( d ) \in E _ { i } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { 1 } ( \Bar { y } , \Bar { z } ) \equiv \frac { \int _ { | \bar { y } | } ^ { \infty } \mathrm { d } x \left( x ^ { 2 } - \bar { y } ^ { 2 } \right) k ( x , \bar { y } , \bar { z } ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \: 0 . 5 x ^ { 3 } e ^ { - x ^ { 2 } } [ \Xi ( x ) - \Psi ( x ) ] } = 5 . 6 6 \int _ { | \bar { y } | } ^ { \infty } \mathrm { d } x \left( x ^ { 2 } - \bar { y } ^ { 2 } \right) k ( x , \bar { y } , \bar { z } ) } \end{array}