harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { x _ { i } ( t + \Delta t ) = } & { { } x _ { i } + \Delta t v \cos ( \phi _ { i } ) - \frac { 1 } { 4 } \sigma ^ { 2 } v \cos ( \phi _ { i } ) ( \Delta t ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } v \Gamma \sin ( \phi _ { i } ) \sum _ { j \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] ( \Delta t ) ^ { 2 } } \\ { y _ { i } ( t + \Delta t ) = } & { { } y _ { i } + \Delta t v \sin ( \phi _ { i } ) - \frac { 1 } { 4 } \sigma ^ { 2 } v \sin ( \phi _ { i } ) ( \Delta t ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v \Gamma \cos ( \phi _ { i } ) \sum _ { j \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] ( \Delta t ) ^ { 2 } } \\ { \phi _ { i } ( t + \Delta t ) = } & { { } \phi _ { i } + \Delta t \omega + \Delta t \Gamma \sum _ { j \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] - 2 \sigma ^ { 2 } ( \Delta t ) ^ { 2 } \Gamma \sum _ { j \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 0 } ^ { \mathrm { p r o x y } } } & { = r _ { 0 } } \\ { r _ { k } ^ { \mathrm { p r o x y } } } & { = r _ { k - 1 } ^ { \mathrm { p r o x y } } e ^ { - \lambda _ { B } ( t _ { k } - t _ { k - 1 } ) } + r _ { k } } \\ & { \approx \left[ 1 - \lambda _ { B } ( t _ { k } - t _ { k - 1 } ) \right] r _ { k - 1 } ^ { \mathrm { p r o x y } } + r _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \left| \frac { \nu \lambda _ { K + 1 } } { 2 } \sigma ^ { - 1 } \Pi _ { K } ( \tilde { \mathbf { u } } - \mathbf { u } ) ( t ) \right| ^ { 2 } d t \right) ^ { a } } & { \leq c ( \nu \lambda _ { K + 1 } ) ^ { a } \| \sigma ^ { - 1 } \| ^ { 2 a } | \tilde { \mathbf { u } } _ { 0 } - \mathbf { u } _ { 0 } | ^ { 2 a } \exp \left( \frac { c a } { \nu ^ { 2 } } | \mathbf { u } _ { 0 } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq c ( \nu \lambda _ { K + 1 } ) ^ { a } \| \sigma ^ { - 1 } \| ^ { 2 a } M ^ { 2 a } \exp \left( \frac { c a } { \nu ^ { 2 } } M ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\mathbb { E } ( \mathcal T _ { n } ^ { k } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { O } \left( \left( \frac { \Delta _ { n } } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) } & { , \ k \quad \mathrm { o d d } , } \\ { ( 1 + o ( 1 ) ) ( k - 1 ) ! ! \left[ ( f ( \theta ) ^ { 2 } + 1 _ { \{ 0 , \pm \pi \} } ( \theta ) | \check { f } ( \theta ) | ^ { 2 } ) \| K \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] ^ { \frac { k } { 2 } } } & { , \ k \quad \mathrm { e v e n } , } \end{array} \right.
\Gamma _ { 0 } \, \langle { \cal O } ^ { H } [ n ] \rangle \left( \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { 4 \pi } \right) ^ { 2 } \, C _ { [ 8 ] } ^ { 2 } \, \frac { g _ { 2 } [ n ] ^ { 2 } } { f [ n ] }
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal Q } [ \{ u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } , } & { \{ v _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } , \{ w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } ] } \\ & { \geq c | \operatorname* { d e t } \{ u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } | ^ { \frac { s } { d _ { 1 } } } | \operatorname* { d e t } \{ v _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } | ^ { \frac { s } { k } } | \operatorname* { d e t } \{ w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } | ^ { \frac { s } { d } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 d _ { n + 1 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert _ { 1 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { p } 2 d _ { n + 1 } | s _ { ( n + 1 ) i } | \le \sum _ { i = 1 } ^ { p } \left( 2 d _ { n + 1 } ^ { 2 } a _ { ( n + 1 ) i } + \frac { s _ { ( n + 1 ) i } ^ { 2 } } { 2 a _ { ( n + 1 ) i } } \right) } \\ & { = 2 d _ { n + 1 } ^ { 2 } \| a _ { n + 1 } \| _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert _ { A _ { n + 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } } \\ & { \le 2 d _ { n + 1 } ^ { 2 } \| a _ { n + 1 } \| _ { 1 } + d _ { n + 1 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert _ { A _ { k } ^ { - 1 } } ^ { 2 } } \\ & { \le 2 d _ { n + 1 } ^ { 2 } \| a _ { n + 1 } \| _ { 1 } + d _ { n + 1 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert _ { 1 } + d _ { n + 1 } ^ { 2 } \| a _ { n + 1 } \| _ { 1 } . } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { { \sf T x c [ 3 ] } = } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 3 } { 4 } \, b ( - k n ) \, x y ^ { 2 } X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) } \end{array}
r _ { i , j } \propto \ensuremath { \left( \mathrm { ~ P ~ r ~ e ~ d ~ i ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ A ~ c ~ c ~ u ~ r ~ a ~ c ~ y ~ } \right) } \times \ensuremath { \left( \mathrm { ~ Q ~ u ~ e ~ s ~ t ~ i ~ o ~ n ~ S ~ i ~ g ~ n ~ i ~ f ~ i ~ c ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } \right) } \times \ensuremath { \left( \mathrm { ~ C ~ o ~ n ~ s ~ e ~ n ~ s ~ u ~ s ~ o ~ n ~ R ~ e ~ s ~ u ~ l ~ t ~ } \right) } \, .
\mathrm { S N R _ { J } } \approx \sqrt { \frac { \pi \mu _ { 0 \, } Q f _ { \mathrm { n q r } } } { 4 V _ { \mathrm { c \, } } k _ { \mathrm { B \, } } T } } \frac { m _ { \mathrm { s } } } { \rho _ { \mathrm { s } } } M _ { 0 } .
\tilde { \mathcal { M } } _ { 3 } \rightarrow - \frac { ( 1 - t ) } { \pi } \tilde { r } + \left( \frac { \alpha \sqrt { 1 - t } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) } { \pi } \right) \left( \log { \tilde { r } } + \log \left( \frac { 2 ( 1 - t ) } { ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) ^ { 2 } } \right) \right) + \frac { \alpha } { \pi } ( 1 - ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) ^ { 2 } ) \quad \mathrm { a s } \quad \tilde { r } \rightarrow \infty .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { I m } \big ( \mathrm { K } ^ { k } e ^ { - i \theta _ { A } ^ { k } } \big ) } { \mathcal { A } ^ { k } } = } & { ~ \frac { 1 } { 4 } \sum _ { { l } , { l ^ { \prime } } } ( q _ { l } ^ { 2 } + 2 q _ { l } q _ { l ^ { \prime } } ) \frac { \mathcal { A } _ { A } ^ { l , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { l ^ { \prime } , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { k - { l } - { l ^ { \prime } } , * } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k , * } } \big ( \Delta \theta _ { A } ^ { l } + \Delta \theta _ { A } ^ { l ^ { \prime } } + \Delta \theta _ { A } ^ { k - { l } - { l ^ { \prime } } } - \Delta \theta _ { A } ^ { k } \big ) g ^ { k , l , l ^ { \prime } } \, , } \\ { \mathrm { R e } ( \mathrm { K } ^ { k } e ^ { - i \theta _ { A } ^ { k } } ) = } & { ~ \frac { 1 } { 4 } \sum _ { { l } , { l ^ { \prime } } } ( q _ { l } ^ { 2 } + 2 q _ { l } q _ { l ^ { \prime } } ) \left( \mathcal { A } _ { A } ^ { l , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { l ^ { \prime } , * } \Delta \mathcal { A } _ { A } ^ { k - { l } - { l ^ { \prime } } } + \mathcal { A } _ { A } ^ { l , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { 1 - { l } - { l ^ { \prime } } , * } \Delta \mathcal { A } _ { A } ^ { l ^ { \prime } } + \mathcal { A } _ { A } ^ { l ^ { \prime } , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { 1 - { l } - { l ^ { \prime } } , * } \Delta \mathcal { A } _ { A } ^ { l } \right) h ^ { k , l , l ^ { \prime } } \, , } \end{array}
\Gamma _ { \alpha ^ { \prime } \alpha \mu } ^ { ( V ^ { \prime } \rightarrow V ) } ( k ^ { \prime } , k ) = - \delta _ { C P } ^ { \prime \ast } \delta _ { C P } \Gamma _ { \alpha \alpha ^ { \prime } \mu } ^ { P } ( - k , - k ^ { \prime } ) \, .
\begin{array} { r l } { \Pi _ { l } = } & { \Big ( ( \mathbb { J } _ { B } ^ { \mu } ) ^ { - 1 } \big [ ( \frac { \nu _ { 1 } \cdot \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } { \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } } , \frac { \nu _ { 2 } \cdot \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } { \mu _ { 2 } - \mu _ { 0 } } , \ldots , \frac { \nu _ { l _ { 0 } } \cdot \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } { \mu _ { l _ { 0 } } - \mu _ { 0 } } ) ^ { T } \big ] \Big ) _ { l } } \\ & { - \Big ( ( \mathbb { J } _ { B } ^ { \mu } ) ^ { - 1 } \big [ ( \frac { \omega \gamma _ { 1 } \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \cdot \mathbf { C } } { \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } } , \frac { \omega \gamma _ { 2 } \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } \cdot \mathbf { C } } { \mu _ { 2 } - \mu _ { 0 } } , \ldots , \frac { \omega \gamma _ { l _ { 1 } } \mu _ { l _ { 0 } } \nu _ { l _ { 0 } } \cdot \mathbf { C } } { \mu _ { l _ { 0 } } - \mu _ { 0 } } ) ^ { T } \big ] \Big ) _ { l } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l l } { a _ { i } ( u _ { h } ^ { i } ( u _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) , v _ { h } ^ { i } ) - b _ { i } ( \lambda _ { h } ^ { i } ( u _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) , v _ { h } ^ { i } ) } & { = } & { 0 } & { \qquad \forall v _ { h } ^ { i } \in V _ { h } ^ { i } , } \\ { b _ { i } ( \mu _ { h } ^ { i } , u _ { h } ^ { i } ( u _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) ) + \alpha c _ { i } ( \lambda _ { h } ^ { i } ( u _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) , \mu _ { h } ^ { i } ) } & { = } & { b _ { \gamma } ^ { i } ( \mu _ { h } ^ { i } , u _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) } & { \qquad \forall \mu _ { h } ^ { i } \in \Lambda _ { h } ^ { i } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \rightarrow ~ \leftarrow ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { \equiv } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ E = + J _ { 1 } ~ ~ ( J _ { 1 } > 0 ) } \\ { \leftarrow ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { \equiv } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ E = - J _ { 2 } ~ ~ ( J _ { 2 } > 0 ) } \\ { \rightarrow ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { \equiv } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ E = 0 } \\ { \leftarrow ~ \leftarrow ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { \equiv } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ E = 0 } \end{array}
\Omega _ { \pi ^ { + } , \pi ^ { - } , m , n } ^ { ( 2 ) } = { \cal P } _ { \pi ^ { + } , \pi ^ { - } , m } ^ { ( 1 ) } ( z ) \tilde { \cal O } _ { \pi ^ { + } , \pi ^ { - } , n } ^ { ( 1 ) } ( \bar { z } ) d z \wedge d \bar { z }
\begin{array} { r } { \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { i j } ^ { a b } = \frac { g _ { i j } ^ { a b } } { \epsilon _ { a } + \epsilon _ { b } - \epsilon _ { i } - \epsilon _ { j } } \approx \sum _ { R S } \tilde { X } _ { a } ^ { R } \tilde { X } _ { i } ^ { R } T _ { R S } ^ { [ 1 ] } \tilde { X } _ { b } ^ { S } \tilde { X } _ { j } ^ { S } } \\ { \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { i \bar { j } } ^ { a \bar { b } } = \frac { g _ { i \bar { j } } ^ { a \bar { b } } } { \epsilon _ { a } + \epsilon _ { \bar { b } } - \epsilon _ { i } - \epsilon _ { \bar { j } } } \approx \sum _ { R \bar { S } } \tilde { X } _ { a } ^ { R } \tilde { X } _ { i } ^ { R } T _ { R \bar { S } } ^ { [ 1 ] } \tilde { X } _ { \bar { b } } ^ { \bar { S } } \tilde { X } _ { \bar { j } } ^ { \bar { S } } } \\ { \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { \bar { i } \bar { j } } ^ { \bar { a } \bar { b } } = \frac { g _ { \bar { i } \bar { j } } ^ { \bar { a } \bar { b } } } { \epsilon _ { \bar { a } } + \epsilon _ { \bar { b } } - \epsilon _ { \bar { i } } - \epsilon _ { \bar { j } } } \approx \sum _ { \bar { R } \bar { S } } \tilde { X } _ { \bar { a } } ^ { \bar { R } } \tilde { X } _ { \bar { i } } ^ { \bar { R } } T _ { \bar { R } \bar { S } } ^ { [ 1 ] } \tilde { X } _ { \bar { b } } ^ { \bar { S } } \tilde { X } _ { \bar { j } } ^ { \bar { S } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { g , g } ^ { 2 } e = \left( \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } \sin x ^ { 3 } \right) \frac { \partial } { \partial x ^ { 1 } } - \left( \mu _ { 3 } \mu _ { 4 } \sin x ^ { 3 } \right) \frac { \partial } { \partial x ^ { 2 } } \in \mathcal { E } ^ { 1 } , } \\ & { \nabla _ { a d _ { e } ^ { k } g , a d _ { e } ^ { j } g } ^ { 2 } e = 0 \quad \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { \lambda } ^ { 2 ; \kappa ; \sigma } ( Q _ { \sigma } ^ { 2 ; \kappa } , t ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \alpha } } A _ { \lambda ; j } ^ { 3 ; \kappa ; \sigma } ( t ) \, \chi _ { j } ^ { ( \alpha ) } ( Q _ { \sigma } ^ { 2 ; \kappa } ) , \quad \quad \alpha = \sigma + \sum _ { i } ^ { \kappa - 1 } d _ { i } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V } _ { \mathrm { M C S } } ^ { \Omega , \, \mathrm { Q P D } _ { 1 } } } & { = \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \lambda m } { 2 \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \delta z _ { R } \bigg ( - A _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n + 2 , m ) } + A _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m + 2 ) } } \\ & { - B _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n - 2 , m ) } + B _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m - 2 ) } \bigg ) } \end{array}
\left\| \widetilde { \boldsymbol { \Gamma } } _ { t } - \boldsymbol { \Gamma } \right\| _ { \mathrm { H S } } \leq \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Gamma } } _ { t } - \widehat { \boldsymbol { \Gamma } } _ { t } \right\| _ { \mathrm { H S } } + \left\| \widehat { \boldsymbol { \Gamma } } _ { t } - \boldsymbol { \Gamma } \right\| _ { \mathrm { H S } } .
\begin{array} { r l r } { G _ { \perp m } ^ { \prime } ( b ) } & { = } & { - \sqrt { b / 2 } \left( \frac { \partial } { \partial l } \ln ( b B ) \right) G _ { \perp m } ^ { ( 1 ) } ( b ) , } \\ { G _ { \perp m } ^ { \prime \prime } ( b ) } & { = } & { b / 2 \left( \frac { \partial } { \partial l } \ln ( b B ) \right) ^ { 2 } G _ { \perp m } ^ { ( 2 ) } ( b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \lVert \mathbf Q _ { t } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } & { \ge M ^ { 2 } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left( \frac { Q _ { t , i ^ { * } } } M \right) ^ { 2 } } \\ & { \ge \frac { M ^ { 2 } } 3 \left( \frac { Q _ { T - 1 , i ^ { * } } } M \right) ^ { 3 } } \\ & { = \frac 1 { 3 M } Q _ { T - 1 , i ^ { * } } ^ { 3 } } \\ & { \ge \frac 1 { 3 M } \left( \frac { \lVert \mathbf Q _ { T - 1 } \rVert _ { 1 } } K \right) ^ { 3 } } \\ & { = \frac 1 { 3 M K ^ { 3 } } \lVert \mathbf Q _ { T - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 3 } } \end{array}
\psi _ { i } ^ { n } - \frac { b _ { 1 1 n } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } \psi _ { i } ^ { 1 } \in ( \mathbb { V } ^ { ( 0 ) } \oplus \mathbb { V } ^ { ( 1 ) } ) ^ { \perp } , \qquad \forall i = 1 , 2 , 3 , \quad n \geq 2 .
F _ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { - \omega _ { 1 } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \omega _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { - \omega _ { 5 } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \omega _ { 5 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { l } { { u _ { t } } + u ( { u _ { x } } + { u _ { y } } ) = 0 . 1 ( { u _ { x x } } + { u _ { y y } } ) , \mathrm { } ( x , y ) \in \left[ { 0 , 1 } \right] \times \left[ { 0 , 1 } \right] , t \in \left[ { 0 , 2 } \right] } \\ { u ( 0 , x , y ) = \frac { 1 } { { 1 + \exp \left( { \frac { { x + y } } { { 0 . 2 } } } \right) } } } \\ { u ( t , { x _ { b } } , { y _ { b } } ) = \frac { 1 } { { 1 + \exp \left( { \frac { { { x _ { b } } + { y _ { b } } - t } } { { 0 . 2 } } } \right) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \| Q _ { { \tt M } , R } ( x , y ) - x \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] } & { \leq d \, \varepsilon ^ { 2 } + 4 d k ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } e ^ { - \frac { d { \Delta ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 2 \Delta ^ { 2 } } } + 4 ( 2 \Delta ^ { 2 } + d \Delta ^ { \prime 2 } ) e ^ { - \frac { d { \Delta ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 2 \Delta ^ { 2 } } } } \\ & { = 2 4 \, \frac { \Delta ^ { 2 } } { ( k - 2 ) ^ { 2 } } \ln \frac \Delta \delta + 9 6 \delta ^ { 2 } \left( \frac { k } { k - 2 } \right) ^ { 2 } \cdot \frac { \ln ( \Delta / \delta ) } { ( \Delta / \delta ) } + 8 \delta ^ { 2 } \cdot \frac { 1 + 3 \ln ( \Delta / \delta ) } { ( \Delta / \delta ) } } \\ & { \leq 2 4 \, \frac { \Delta ^ { 2 } } { ( k - 2 ) ^ { 2 } } \ln \frac \Delta \delta + \left( \frac { 9 6 } { e } \left( \frac { k } { k - 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 4 } { e ^ { 2 / 3 } } \right) \cdot \delta ^ { 2 } , } \end{array}
{ \cal G } ( k _ { 1 } ) = e ^ { i ( 2 n + 1 ) \pi } \, \left( \frac { \omega _ { k } - k _ { 1 } } { \omega _ { k } + k _ { 1 } } \right) ^ { 1 / 2 } = e ^ { i ( 2 n + 1 ) } \, [ g ( k _ { 1 } ) ] ^ { - 1 } \, ,
Q _ { i L } = \left( \begin{array} { c } { { u _ { i } } } \\ { { d _ { i } } } \\ { { d _ { i } ^ { \prime } } } \end{array} \right) _ { L } \sim ( { \bf 3 } , 0 ) , \, i = 1 , 2 ; \, Q _ { 3 L } = \left( \begin{array} { c } { { t ^ { \prime } } } \\ { { t } } \\ { { b } } \end{array} \right) _ { L } \sim ( { \bf 3 } ^ { * } , 1 / 3 ) .
\left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle \widetilde Y ( t ) = \left( \, \sum _ { n = - 1 } ^ { N } \widetilde a _ { n } \, t ^ { n } + ( \ln t ) \sum _ { n = 0 } ^ { N } \widetilde b _ { n } \, t ^ { n } \right) + \left( \, \sum _ { n = N + 2 } ^ { + \infty } \widetilde a _ { n } \, t ^ { n } + ( \ln t ) \sum _ { n = N + 2 } ^ { + \infty } \widetilde b _ { n } \, t ^ { n } \right) } \, , } \\ { { \displaystyle \widetilde Z ( t ) = \left( \, \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \widetilde c _ { n } \, t ^ { n } + ( \ln t ) \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \widetilde d _ { n } \, t ^ { n } \right) + \left( \, \sum _ { n = N + 1 } ^ { + \infty } \widetilde c _ { n } \, t ^ { n } + ( \ln t ) \sum _ { n = N + 1 } ^ { + \infty } \widetilde d _ { n } \, t ^ { n } \right) } \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } _ { \tilde { \Phi } } } & { - H ( \tilde { \Phi } ) } \\ { \mathrm { ~ s . t . ~ } } & { \tilde { \Phi } ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) \geq 0 } \\ & { \int _ { \mathcal { I } ^ { d } } \alpha _ { k } ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) \tilde { \Phi } ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) d \boldsymbol { \theta } = \tilde { r } _ { k } } \\ & { \mathrm { ~ f o r ~ } k = 1 , \cdots , n . } \end{array}
g ( T ) \approx \int _ { \phi } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } ) \mathrm { d } \boldsymbol { r } } = \int _ { \phi } \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { A } ^ { x } ( \boldsymbol { r } ) } \\ { \boldsymbol { A } ^ { y } ( \boldsymbol { r } ) } \\ { \boldsymbol { A } ^ { \theta } ( \boldsymbol { r } ) } \end{array} \right] d \boldsymbol { r } ,
\begin{array} { r l } { ( \Lambda - I ) _ { K K } = } & { \left[ \begin{array} { l l } { I } & { O } \\ { O } & { ( \Omega ^ { - 1 } - I ) ^ { 1 / 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \Psi ^ { - 1 } - I } & { - W } \\ { O } & { I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I } & { O } \\ { - V ^ { T } } & { I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I } & { O } \\ { O } & { ( \Omega ^ { - 1 } - I ) ^ { 1 / 2 } } \end{array} \right] , } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { l l } { I } & { O } \\ { O } & { ( \Omega ^ { - 1 } - I ) ^ { 1 / 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \Psi ^ { - 1 } - I + W V ^ { T } } & { - W } \\ { - V ^ { T } } & { I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I } & { O } \\ { O } & { ( \Omega ^ { - 1 } - I ) ^ { 1 / 2 } } \end{array} \right] , } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { l l } { \Psi ^ { - 1 } - I + W V ^ { T } , } & { - W ( \Omega ^ { - 1 } - I ) ^ { 1 / 2 } } \\ { - ( \Omega ^ { - 1 } - I ) ^ { 1 / 2 } V ^ { T } } & { \Omega ^ { - 1 } - I } \end{array} \right] , } \end{array}
\rho _ { \mu \nu } ( q ) \stackrel { T \rightarrow 0 } { \longrightarrow } \rho _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { e m } } ( q ) \equiv \int d ^ { 4 } x e ^ { i q x } \langle 0 | J _ { \nu } ^ { \dagger \mathrm { e m } } ( x ) J _ { \mu } ^ { \mathrm { e m } } ( 0 ) | 0 \rangle \; .
H ( t ) = H _ { 0 } ^ { 2 } \sqrt { \Omega _ { 0 , C D M } \left( \frac { H _ { 0 } } { H ( t ) } \right) ^ { 3 } \frac { 1 } { a ^ { 3 } ( t ) } + \Omega _ { D E , 0 } \frac { 1 } { a ^ { 2 } ( t ) } } ,
\begin{array} { r l } { g ( \omega ) = \frac { c } { 2 n _ { \mathrm { c } } k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } \int _ { - k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } ^ { + k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } \delta ( \omega _ { \mathbf { k } } - \omega ) \ d k _ { \parallel } } & { { } = \frac { c } { 2 n _ { \mathrm { c } } k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } \int _ { 0 } ^ { \omega _ { \mathrm { m } } } \delta ( \omega _ { \mathbf { k } } - \omega ) \frac { d k _ { \parallel } } { d \omega _ { \mathbf { k } } } d \omega _ { \mathbf { k } } = \frac { \omega } { k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } \sqrt { \omega ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } } } \cdot \Theta ( \omega - \omega _ { c } ) , } \end{array}
g ^ { 3 m } = g ^ { 2 m e } = \frac { 1 } { s t - m _ { 2 } ^ { 2 } m _ { 4 } ^ { 2 } } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ g ^ { 2 m h } = g ^ { 1 m } = g ^ { 0 m } = \frac { 1 } { s t } ~ \cdot
\mathcal { S } = \mathcal { S } _ { c s } + \int d ^ { 3 } x \; \left( b ^ { a } \partial A ^ { a } + \partial ^ { \mu } \overline { { { c } } } ^ { a } ( D _ { \mu } c ) ^ { a } + \; \hat { A } _ { \mu } ^ { * } ( D ^ { \mu } c ) ^ { a } - \frac 1 2 \; f _ { a b c } C ^ { * a } c ^ { b } c ^ { c } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { C _ { W } ^ { t r o p } ( \Phi _ { 1 } , \Phi _ { 2 } ) } & { = - 2 \pi G _ { - } \chi \Big | _ { \psi = r = 0 } = i G _ { - } { \bf \Sigma } _ { W } \left( \mu _ { 2 } ( \Psi _ { 1 } ^ { W } , \Phi _ { 2 } ) - \Psi _ { { \gamma } J ^ { - 1 } \pi _ { W } ( \Phi _ { 1 } \Phi _ { 2 } ) } ^ { W } \right) \Big | _ { \psi = r = 0 } } \end{array}
c ^ { - 2 } ( { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } { \vec { v } } _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } + G M _ { \mathrm { E } } / ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) = c ^ { - 2 } 3 G M _ { \mathrm { E } } / 2 ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) \sim 1 . 0 1 \times 1 0 ^ { - 9 }
\int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) \rho _ { \varepsilon } ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s \to \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } \Big | _ { z _ { 2 } = 0 + } p ^ { D } ( s , z , t , y ) \theta ( z _ { 1 } , s ) \textrm { d } z _ { 1 } \textrm { d } s ,
\lambda = \left\{ \begin{array} { l } { 1 } \\ { \frac { 1 - \left( \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { x } ^ { 2 } \right) - 2 j \sqrt { \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { x } ^ { 2 } } } { 1 + \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } + \omega _ { z } ^ { 2 } } } \\ { \frac { 1 - \left( \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { x } ^ { 2 } \right) + 2 j \sqrt { \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { x } ^ { 2 } } } { 1 + \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } + \omega _ { z } ^ { 2 } } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } \bigl ( G ( \boldsymbol { x } ) [ \alpha ] \bigr ) = \sum _ { \# \beta = \# \alpha } \left( \prod _ { i \in \beta } \zeta _ { i } ( \boldsymbol { x } ) \right) \operatorname* { d e t } ( S [ \alpha , \beta ] ) \operatorname* { d e t } ( B [ \alpha , \beta ] ) . } \end{array}
E _ { \mathrm { M P 0 } } = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N / 2 } \varepsilon _ { i } , \qquad E _ { \mathrm { M P 1 } } = E _ { \mathrm { H F } } - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N / 2 } \varepsilon _ { i } .
\begin{array} { r l } { ( 2 i - 1 ) ! } & { \left( i ( i - 1 ) + ( - i + 1 ) ( 2 i - 2 ) + \frac { 1 } { 3 } \binom { 2 i - 2 } { 2 } + \frac { 1 } { 6 } \binom { 2 i - 3 } { 2 } \right) } \\ & { = ( 2 i - 1 ) ! \left( ( i - 1 ) ( - i + 2 ) + \frac { ( 2 i - 2 ) ( 2 i - 3 ) } { 6 } + \frac { ( 2 i - 3 ) ( 2 i - 4 ) } { 1 2 } \right) } \\ & { = ( 2 i - 1 ) ! \frac { i } { 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial A _ { p } } { \partial z } + \frac { \nabla _ { \bot } ^ { 2 } A _ { p } } { 2 i k _ { p } } + \frac { i } { 2 } k _ { p } b ^ { 2 } \rho ^ { 2 } A _ { p } } & { { } = \frac { i \omega _ { p } } { c } n _ { 2 } | A _ { p } | ^ { 2 } A _ { p } , } \\ { \frac { \partial A _ { s } } { \partial z } + \frac { \nabla _ { \bot } ^ { 2 } A _ { s } } { 2 i k _ { s } } + \frac { i } { 2 } k _ { s } b ^ { 2 } \rho ^ { 2 } A _ { s } } & { { } = \frac { i \omega _ { s } } { c } n _ { 2 } \left( | A _ { s } | ^ { 2 } + 2 | A _ { p } | ^ { 2 } \right) A _ { s } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { x } ^ { + } ( 0 ) = - 2 \pi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( - 2 \tilde { x } ) \left\{ 1 + \frac { g } { 2 } ( \tilde { x } - \tilde { x } ^ { 2 } ) \right\} \tilde { x } = - \pi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } , } \\ & { F _ { x } ^ { - } ( 0 ) = 2 \pi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { 0 } \exp ( 2 \tilde { x } ) \left\{ 1 + g x + \frac { g } { 2 } ( \tilde { x } - \tilde { x } ^ { 2 } ) \right\} d \tilde { x } = \pi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \left( 1 - g \right) . } \end{array}
{ \cfrac { d } { d t } } \left[ \int _ { \Omega } f ( \mathbf { x } , t ) ~ { \mathrm { d V } } \right] = \int _ { \partial \Omega } f ( \mathbf { x } , t ) [ u _ { n } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { v } ( \mathbf { x } , t ) \cdot \mathbf { n } ( \mathbf { x } , t ) ] ~ { \mathrm { d A } } + \int _ { \partial \Omega } g ( \mathbf { x } , t ) ~ { \mathrm { d A } } + \int _ { \Omega } h ( \mathbf { x } , t ) ~ { \mathrm { d V } } ~ .