harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } } & { = \mathbb { E } \left\{ \left( \bar { h } _ { \mathrm { D } } + \check { h } _ { \mathrm { D } } [ k ] \right) \left( \bar { h } _ { \mathrm { D } } + \check { h } _ { \mathrm { D } } [ k - \tau ] \right) ^ { * } \right\} } \\ & { = \left| \bar { h } _ { \mathrm { D } } \right| ^ { 2 } + \mathbb { E } \left\{ \check { h } _ { \mathrm { D } } [ k ] \check { h } _ { \mathrm { D } } ^ { * } [ k - \tau ] \right\} + } \\ & { + \mathbb { E } \left\{ \bar { h } _ { \mathrm { D } } \check { h } _ { \mathrm { D } } ^ { * } [ k - \tau ] \right\} + \mathbb { E } \left\{ \bar { h } _ { \mathrm { D } } ^ { * } \check { h } _ { \mathrm { D } } [ k ] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \left( a ^ { 2 } + n b ^ { 2 } \right) \left( c ^ { 2 } + n d ^ { 2 } \right) } & { { } { } = \left( a c - n b d \right) ^ { 2 } + n \left( a d + b c \right) ^ { 2 } } & { } & { { } } & { ( 1 ) } \end{array}
\frac { \partial f _ { \mu } } { \partial \dot { x } ^ { \nu } } + \frac { \partial f _ { \nu } } { \partial \dot { x } ^ { \mu } } = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac { \partial ^ { 2 } f _ { \mu } } { \partial \dot { x } ^ { \nu } \partial \dot { x } ^ { \lambda } } + \frac { \partial ^ { 2 } f _ { \nu } } { \partial \dot { x } ^ { \mu } \partial \dot { x } ^ { \lambda } } = 0 \ .
\begin{array} { r l } { P _ { | \downarrow \rangle } } & { = \frac { \gamma _ { \textrm { e } } \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { 4 } + \gamma _ { \textrm { e } } \gamma _ { \textrm { h } } ( \Gamma _ { 2 } + \Gamma _ { 4 } ) } { \alpha ( v _ { l } ) } , } \\ { P _ { | \downarrow \uparrow \Downarrow \rangle } } & { = \frac { \gamma _ { \textrm { e } } ( \Gamma _ { 4 } + \gamma _ { \textrm { h } } ) } { \alpha ( v _ { l } ) } v _ { l } , } \\ { P _ { \left| \uparrow \right\rangle } } & { = P _ { | \downarrow \rangle } + \frac { \Gamma _ { 2 3 } } { \gamma _ { \textrm { e } } } P _ { | \downarrow \uparrow \Downarrow \rangle } + \frac { \Gamma _ { 4 3 } \gamma _ { \textrm { h } } } { \alpha ( v _ { l } ) } v _ { l } , } \\ { P _ { | \uparrow \downarrow \Uparrow \rangle } } & { = \frac { \gamma _ { \textrm { e } } \gamma _ { \textrm { h } } } { \alpha ( v _ { l } ) } v _ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { r } } } & { { } = I _ { \mathrm { i } } N \sigma , } \\ { \sigma } & { { } = { \frac { I _ { \mathrm { r } } } { I _ { \mathrm { i } } } } { \frac { 1 } { N } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F } & { { } \sim \left| \sum _ { t } \sum _ { t ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } x \ \left[ \textbf { v } _ { t } ( x ) \textbf { v } _ { t ^ { \prime } } ^ { * } ( x ) + z ^ { * } + z \right] \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { p } C \dot { \boldsymbol { \psi } } ( t ) } & { = m \frac { R _ { p } } { R _ { r } } \Psi ( t ) \mathbf { e } _ { 1 } + m ^ { 2 } M _ { 2 } \boldsymbol { \psi } ( t ) - \frac { R _ { p } } { R _ { F } } \boldsymbol { \psi } ( t ) \, , } \\ { M _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l } { - 1 - r / R _ { r } } & { 1 } & & & \\ { 1 } & { - 2 } & { 1 } & & \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ & & & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] \, , } \end{array}
| \Psi _ { 6 q } > = \prod _ { k = 1 } ^ { 3 } \phi ( \vec { r } _ { k } - \frac { \vec { R } _ { i } } { 2 } , b ) \prod _ { k ^ { \prime } = 4 } ^ { 6 } \phi ( \vec { r } _ { k ^ { \prime } } + \frac { \vec { R } _ { i } } { 2 } , b ) .
{ \begin{array} { r l } { C } & { = \pi ( a + b ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { ( 2 n - 3 ) ! ! } { 2 ^ { n } n ! } } \right) ^ { 2 } h ^ { n } } \\ & { = \pi ( a + b ) \left[ 1 + { \frac { h } { 4 } } + \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \left( { \frac { ( 2 n - 3 ) ! ! } { 2 ^ { n } n ! } } \right) ^ { 2 } h ^ { n } \right] } \\ & { = \pi ( a + b ) \left[ 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { 2 ^ { n } n ! } } \right) ^ { 2 } { \frac { h ^ { n } } { ( 2 n - 1 ) ^ { 2 } } } \right] . } \end{array} }
\overleftrightarrow { \boldsymbol { \sigma } _ { \mathrm { H } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - p \boldsymbol { I } + \eta _ { \mathrm { i n } } \left( \nabla \otimes \boldsymbol { u } + ( \nabla \otimes \boldsymbol { u } ) ^ { t } \right) } & { \textrm { f o r } r < R } \\ { \displaystyle - p \boldsymbol { I } + \eta _ { \mathrm { o u t } } \left( \nabla \otimes \boldsymbol { u } + ( \nabla \otimes \boldsymbol { u } ) ^ { t } \right) } & { \textrm { f o r } r > R } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \langle \hat { \xi } _ { i } ( t ) \hat { \xi } _ { j } ( t ^ { \prime } ) \rangle = } & { \frac { \gamma _ { i } } { \Omega _ { i } } \int \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } e ^ { - \mathrm { i } \omega \left( t - t ^ { \prime } \right) } \omega } \\ & { \times \left[ \coth \left( \frac { \hbar \omega } { 2 k _ { B } T } \right) + 1 \right] \delta _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \lambda I ^ { 2 } } { K \rho } \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { i } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i } \| ^ { 2 } \leq \frac { \rho } { 8 4 \lambda } \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { i } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i } \| ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 8 4 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } + \frac { \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 4 2 \lambda L ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { i } ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \mathbf r } } & { { } = } & { v _ { s } \hat { \mathbf n } + \mathbf { u ( r ) } + \sqrt { 2 D _ { T } } \; \xi _ { r } } \\ { \dot { \phi } } & { { } = } & { \Omega _ { 0 } + \Omega _ { f } ( \mathbf r ) + \sqrt { 2 D _ { R } } \; \xi _ { \phi } , } \end{array}
\alpha _ { n } ^ { h } = \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { 1 } ^ { n } } \\ { \alpha _ { 2 } ^ { n } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \bar { \rho } } \\ { \nu _ { 2 } ^ { n } - \bar { u } } \end{array} \right) , \ \ \alpha _ { n } ^ { p } = \left( \begin{array} { l } { \beta _ { 1 } ^ { n } } \\ { \beta _ { 2 } ^ { n } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \frac { \bar { \rho } } { \nu _ { 1 } ^ { n } - \bar { u } } } \\ { 1 } \end{array} \right) , \ \ n \in \mathbb { Z } .
\begin{array} { r l r } { - \frac { d } { d t } \sum _ { k \le K } E _ { u } ( { \bf k } ) } & { = } & { - \sum _ { k \le K } T _ { u } ( { \bf k } ) - \sum _ { k \le K } \mathcal { F } _ { u } ( { \bf k } ) - \sum _ { k \le K } \mathcal { F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) + \sum _ { k \le K } D _ { u } ( { \bf k } ) } \\ & { = } & { \Pi _ { u } ( K ) + \Pi _ { B } ( K ) - \epsilon _ { \mathrm { i n j } } + \mathrm { t o t a l ~ v i s c o u s ~ d i s s i p a t i o n } . } \end{array}
\bigg \lvert \frac { \partial } { { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } } \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } \boldsymbol { : } \delta \widetilde { \boldsymbol { p } } \delta \widetilde { \boldsymbol { p } } \bigg \rvert \ll \bigg \lvert \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } \cdot \delta \widetilde { \boldsymbol { p } } \bigg \rvert , \quad \bigg \lvert \frac { \partial } { { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } } \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } \boldsymbol { : } \delta \widehat { \boldsymbol { p } } \delta \widehat { \boldsymbol { p } } \bigg \rvert \ll \bigg \lvert \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } \cdot \delta \widehat { \boldsymbol { p } } \bigg \rvert .
x _ { \mu } \; \to \; x _ { \mu } ^ { P } \; \; \; A _ { \mu } ( x ) \; \to \; A _ { \mu } ^ { P } ( x ^ { P } ) \; = \; \frac { \partial x _ { \mu } ^ { P } } { \partial x _ { \nu } } A _ { \nu } ( x ) \; ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { i d e a l } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } I _ { i } ( d _ { i } - d _ { i d e a l , i } ) ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { L } _ { h o m } } & { = \frac { 1 } { N _ { t a r g e t } } \sum _ { i \in t a r g e t } ( d _ { i } - \mu ( t a r g e t , \mathbf { d } ) ) ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { L } _ { m i n } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } | d _ { m i n , i } - d _ { i } | _ { + } , } \\ { \mathcal { L } _ { m a x } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } | d _ { i } - 1 . 0 5 D _ { p } | _ { + } , } \\ { \mathcal { L } _ { m e a n } ( o ) } & { = | \mu ( o , \mathbf { d } ) - \mu _ { c } ( o ) | _ { + } , } \\ { \mathcal { L } _ { m a x } ( o ) } & { = \sum _ { i \in o } \left| d _ { i } - M _ { c } ( o ) \right| _ { + } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { N } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , \phi _ { 1 } , x _ { 2 } , y _ { 2 } , \phi _ { 2 } , \dots , x _ { N } , y _ { N } , \phi _ { N } ) } \\ & { = P _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) P _ { 1 } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , \phi _ { 2 } ) \dots P _ { 1 } ( x _ { N } , y _ { N } , \phi _ { N } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { t } - L _ { t - 1 } } & { = \frac 1 2 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } + \mathbf A _ { t } - \mathbf S _ { t } \odot \mathbf 1 _ { a _ { t } } + \mathbf U _ { t } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } - \frac 1 2 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \frac 1 2 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } + \mathbf A _ { t } - \mathbf S _ { t } \odot \mathbf 1 _ { a _ { t } } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } + \frac 1 2 \lVert \mathbf U _ { t } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } + \langle \mathbf Q _ { t - 1 } + \mathbf A _ { t } - \mathbf S _ { t } \odot \mathbf 1 _ { a _ { t } } , \mathbf U _ { t } \rangle - \frac 1 2 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le \frac 1 2 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } + \mathbf A _ { t } - \mathbf S _ { t } \odot \mathbf 1 _ { a _ { t } } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } + \frac 1 2 \lVert \mathbf U _ { t } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } - \frac 1 2 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \frac 1 2 \lVert \mathbf A _ { t } - \mathbf S _ { t } \odot \mathbf 1 _ { a _ { t } } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } + \frac 1 2 \lVert \mathbf U _ { t } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } + \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf A _ { t } - \mathbf S _ { t } \odot \mathbf 1 _ { a _ { t } } \rangle } \\ & { \stackrel { ( b ) } \le \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } } 2 + \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf A _ { t } - \mathbf S _ { t } \odot \mathbf 1 _ { a _ { t } } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } = } & { { } \int _ { A } \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { c } \left( \rho \frac { \partial ( d + p ) } { \partial { \zeta } _ { c } } \right) \epsilon _ { a b } \nabla _ { b } { u } _ { a } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial x ( t ) } { \partial z _ { j } } = u ( t ) y _ { j } + v ( t ) w _ { j } , \qquad \frac { \partial u ( t ) } { \partial z _ { j } } = \frac { \partial u ( t ) } { \partial x _ { 0 } } y _ { j } + \frac { \partial u ( t ) } { \partial \alpha } w _ { j } , \qquad \frac { \partial v ( t ) } { \partial z _ { j } } = \frac { \partial v ( t ) } { \partial x _ { 0 } } y _ { j } + \frac { \partial v ( t ) } { \partial \alpha } w _ { j } , } \\ & { \frac { \partial D _ { h } ( x ( t ) ) } { \partial z _ { j } } = D _ { h } ^ { ( 2 ) } ( x ( t ) ) \frac { \partial x ( t ) } { \partial z _ { j } } , \qquad \mathrm { w h e r e ~ } D _ { h } ^ { ( 2 ) } ( x ) = \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x ^ { 2 } } \neq \left( \frac { \partial h } { \partial x } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \dot { g } _ { b , s _ { 0 } } ^ { * } , \dot { A } _ { b , s _ { 0 } } ^ { * } ) } & { = c _ { 1 } ( 2 G _ { g _ { b } } \delta _ { g _ { b } } ^ { * } \omega _ { b , s _ { 0 } } ^ { * } , \ 4 \widetilde { \mathcal { L } } _ { A _ { b } } ( \omega _ { b , s _ { 0 } } ^ { * } ) ^ { \sharp } + d \phi _ { b , s _ { 0 } } ^ { * } ) + c _ { 2 } ( 0 , \delta ( r - r _ { b } ) d r ) , \quad c _ { 1 } , c _ { 2 } \in \mathbb { R } , } \\ { ( \dot { g } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) , \dot { A } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) ) } & { = ( 2 G _ { g _ { b } } \delta _ { g _ { b } } ^ { * } \omega _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) , \ 4 \widetilde { \mathcal { L } } _ { A _ { b } } ( \omega _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) ) ^ { \sharp } + d \phi _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) ) , } \\ { ( \dot { g } _ { b , v _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { V } ) , \dot { A } _ { b , v _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { V } ) ) } & { = ( 2 G _ { g _ { b } } \delta _ { g _ { b } } ^ { * } \omega _ { b , v _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { V } ) , \ 4 \widetilde { \mathcal { L } } _ { A _ { b } } ( \omega _ { b , v _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { V } ) ) ^ { \sharp } + d \phi _ { b , v _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { V } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ^ { \beta } \vert \mathrm { R } \rangle = \big ( } & { \sin ^ { 2 } \theta \; { c } _ { \mathcal { B } \alpha } ^ { \dagger } { c } _ { \mathcal { B } \beta } ^ { \dagger } - \cos \theta \sin \theta { c } _ { \mathcal { A } \alpha } ^ { \dagger } { c } _ { \mathcal { B } \beta } ^ { \dagger } \big ) \vert \mathrm { v a c } \rangle . } \end{array}
i \frac { \partial \widetilde { \psi } ( x , \gamma ^ { \sigma } ) } { \partial \gamma _ { \sigma } } = \int S ( x - x _ { 1 } , m ) \partial ^ { \sigma } \widetilde { \psi } ( x _ { 1 } , \gamma ^ { \sigma } ) \, d ^ { 4 } x _ { 1 } ,
E _ { t o t } \{ \rho \} = E _ { k i n } + \int V _ { e x t } ( r ) \rho ( r ) d ^ { 3 } r + \frac 1 2 \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } \hat { \psi } ^ { \dag } ( r ) \hat { \psi } ^ { \dag } ( r ^ { \prime } ) v ( r - r ^ { \prime } ) \hat { \psi } ( r ) \hat { \psi } ( r ^ { \prime } )
\begin{array} { r l r } { \tilde { \dot { Q } } ( 0 ) } & { = } & { - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \omega \mathbf { E } ( \mathbf { r } _ { A } , \mathbf { r } _ { D } , - \omega ) \cdot { \mathbf { p } } _ { A } ( \omega ) } \\ & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \omega ^ { 4 } \mu _ { 0 } ^ { 2 } \, \sigma _ { A } ( \omega ) \, \sigma _ { D } ( \omega ) \, \cdot | \mathbf { n } _ { A } \cdot \hat { G } ( \mathbf { r } _ { A } , \mathbf { r } _ { D } , \omega ) \cdot \mathbf { n } _ { D } | ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ( ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , . . . , v _ { k - 1 } , v _ { k } ) ) : = } & { ( \lambda ( v _ { 1 } , v _ { 1 } ) , \lambda ( v _ { 2 } , v _ { 1 } ) , . . . , \lambda ( v _ { k - 1 } , v _ { 1 } ) , \lambda ( v _ { k } , v _ { 1 } ) ) , } \\ { \Lambda ^ { - 1 } ( ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , . . . , v _ { k - 1 } , v _ { k } ) ) = } & { ( \lambda ^ { - 1 } ( v _ { 1 } , v _ { 1 } ) , \lambda ^ { - 1 } ( v _ { 2 } , v _ { 1 } ) , . . . , \lambda ^ { - 1 } ( v _ { k - 1 } , v _ { 1 } ) , \lambda ^ { - 1 } ( v _ { k } , v _ { 1 } ) ) . } \end{array}
V _ { \mathrm { A B } } = \left( \begin{array} { l l } { \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { I } _ { 2 } } & { \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { I } _ { 2 } } \\ { \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { I } _ { 2 } } & { ( T \eta \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } + \xi _ { \mathrm { c h } } + \xi _ { \mathrm { e l e } } ) \mathrm { I } _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\operatorname* { l i m } _ { c \rightarrow \infty } K _ { 0 } = \operatorname* { l i m } _ { c \rightarrow \infty } ( H _ { 0 } - E _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \frac { L { ( 1 - 2 \delta ) } } { c ^ { 2 } } v ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } { m _ { 0 } } { ( 1 - 2 \delta ) } v ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { a _ { E I } ( x ) = \mathbb { E } [ u ( x ) | x , D ] } & { = \int _ { - \infty } ^ { f ^ { \prime } } ( f ^ { \prime } - f ) \mathcal { N } ( f ; \mu ( x ) , K ( x , x ) ) d f } \\ & { = ( f ^ { \prime } - \mu ( x ) ) ) \psi ( f ^ { \prime } ; \mu ( x ) , K ( x , x ) ) + K ( x , x ) \mathcal { N } ( f ^ { \prime } ; \mu ( x ) , K ( x , x ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { C } } & { { } = } & { b \theta ( j _ { C } + 1 - M ) + ( 1 - r ) b [ 1 - \theta ( j _ { C } + 1 - M ) ] - c \, , } \\ { P _ { D } } & { { } = } & { b \theta ( j _ { C } - M ) + ( 1 - r ) b ( 1 - \theta ( j _ { C } - M ) ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C ^ { i j k l } } & { { } = } & { a g ^ { i j } g ^ { k l } + b \left( g ^ { i k } g ^ { j l } + g ^ { i l } g ^ { j k } \right) + \left( g ^ { i j } { \hat { A } } ^ { k l } + g ^ { k l } { \hat { A } } ^ { i j } \right) + } \end{array}
\begin{array} { r } { - 1 = f ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } v ( \widehat { L } ) + \frac { D ( \widehat { L } ) } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } v ( \widehat { L } ) \quad \mathrm { w i t h } \quad v ( \widehat { L } _ { a } ) = 0 \ , \ v ( \widehat { L } _ { b } ) = 0 \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 4 , 2 , x x } ^ { \sigma , e q } } & { { } = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , e q } v _ { i x } ^ { 2 } ( v _ { i \alpha } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { \sigma 2 } ) = \rho ^ { \sigma } \{ ( D + I ^ { \sigma } + 2 ) R ^ { \sigma 2 } T ^ { 2 } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \theta } \mathbb { E } _ { ( \mathrm { X } , \mathrm { Y } ) } \left[ \mathcal { L } \left( \mathrm { Y } , G _ { \theta } \left( \mathrm { X } \right) \right) \right] \approx \operatorname* { m i n } _ { \theta } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathcal { L } \left( \mathrm { Y } _ { i } , G _ { \theta } \left( \mathrm { X } _ { i } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } \left[ e _ { 1 } I ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) + e _ { 2 } I ( m _ { 2 } , m _ { 1 } ) \right] = } \\ & { } & { ( 2 \pi ) ^ { 2 } n e _ { 1 } \left[ m _ { 1 } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) + m _ { 2 } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right] } \\ & { } & { + ( 2 \pi ) ^ { 2 } n e _ { 2 } \left[ m _ { 2 } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) + m _ { 1 } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right] , } \end{array}
F ^ { - } ( \tilde { M } _ { 5 } ) = \tilde { M } _ { 5 } ^ { 4 } ( M _ { 5 } L ) , F ^ { + } ( \tilde { M } _ { 5 } ) = \tilde { M } _ { 5 } ^ { 4 } ( M _ { 5 } L ) ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { a } \sum _ { \alpha } u _ { a } ( \ell ) ^ { 2 } H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } } & { = \sum _ { a } u _ { a } ( \ell ) ^ { 2 } \left( \sum _ { \alpha } H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } \right) } \\ & { = \sum _ { a } u _ { a } ( \ell ) ^ { 2 } ( 1 + z R _ { a a } ) } \\ & { = 1 + z s ( z ) + { \mathcal O } ( N ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) , } \end{array}
\sigma _ { 0 } = \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 m _ { h } ^ { 2 } } \Gamma _ { L O } ( h \rightarrow g g ) = \frac { G _ { F } \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 2 8 8 \sqrt { 2 } \pi } | \sum _ { Q } A _ { Q } ^ { h } ( \tau _ { Q } ) | ^ { 2 } ,
\tilde { \chi } [ J ] ( \lambda ) = \left[ \begin{array} { l } { \lambda ^ { 3 } + 2 \lambda ^ { 2 } \Gamma } \\ { + \lambda \left( \Omega ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } + \frac { 5 } { 4 } \Gamma ^ { 2 } - 2 ( \beta + 1 ) V _ { l } \Delta \left( \frac { \Omega \rho _ { g e } ^ { i } } { \Gamma } \right) ^ { \beta } + ( 2 \beta + 1 ) V _ { l } ^ { 2 } \left( \frac { \Omega \rho _ { g e } ^ { i } } { \Gamma } \right) ^ { 2 \beta } \right) } \\ { + \frac { \Gamma } { 4 } \left( 4 \Delta ^ { 2 } + 2 \Omega ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } - 8 ( \beta + 1 ) V _ { l } \Delta \left( \frac { \Omega \rho _ { g e } ^ { i } } { \Gamma } \right) ^ { \beta } + 4 ( 2 \beta + 1 ) V _ { l } ^ { 2 } \left( \frac { \Omega \rho _ { g e } ^ { i } } { \Gamma } \right) ^ { 2 \beta } \right) } \end{array} \right]
R _ { \mu \nu } = \partial _ { \alpha } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \alpha } - \partial _ { \nu } \Gamma _ { \mu \alpha } ^ { \alpha } + \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \alpha } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \beta } - \Gamma _ { \mu \beta } ^ { \alpha } \Gamma _ { \alpha \nu } ^ { \beta } .
\psi _ { m } ^ { \alpha } ( x ^ { i } , t ) = e _ { m } ^ { ( \mu ) } \sigma _ { ( \mu ) } ^ { \alpha \dot { \beta } } \bar { \lambda } _ { \dot { \beta } } ( x ^ { i } ) \bar { \lambda } ( t ) , \qquad \bar { \psi } _ { m } ^ { \dot { \alpha } } ( x ^ { i } , t ) = e _ { m } ^ { ( \mu ) } \sigma _ { ( \mu ) } ^ { \dot { \alpha } \beta } \lambda _ { \beta } ( x ^ { i } ) \lambda ( t ) ,
( \exp [ \langle . . \rangle _ { D _ { 2 } } + \langle . . \rangle _ { A _ { 2 } } ] ) _ { \log \epsilon } \approx ( \log \epsilon ) \, { \frac { 1 } { 2 ! } } ( \phi \cdot \nabla _ { Y } ) ^ { 2 } \exp [ { \langle \cdots \rangle _ { D _ { 2 } } } + \langle . . \rangle _ { A _ { 2 } } ] .
q _ { \pm } ( x ) = { \frac { 1 } { 4 P } } \sum _ { X } \left| \langle X | { \frac { 1 \pm \gamma _ { 5 } } { 2 } } \, \psi _ { + } ( 0 ) | P , \lambda = 1 / 2 \rangle \right| ^ { 2 } \, \delta [ n \cdot P _ { X } - ( 1 - x ) ] \, .
{ \begin{array} { r l } { E _ { T } } & { = \int _ { 0 } ^ { N } E \mathrm { d } N ( E ) = E N ( E ) { \big | } _ { 0 } ^ { N } - \int _ { E _ { 0 } } ^ { E _ { 0 } + E _ { F } } N ( E ) \mathrm { d } E } \\ & { = ( E _ { 0 } + E _ { F } ) N - \int _ { 0 } ^ { E _ { F } } N ( E ) \mathrm { d } ( E - E _ { 0 } ) } \\ & { = ( E _ { 0 } + E _ { F } ) N - { \frac { 2 } { 5 } } E _ { F } N ( E _ { F } ) = \left( E _ { 0 } + { \frac { 3 } { 5 } } E _ { \mathrm { F } } \right) N } \end{array} }
\mathbf { \sigma } = p \mathbb { I } - \mu \left( \nabla \mathbf { v _ { 0 } } + \nabla \mathbf { v _ { 0 } } ^ { T } \right) + { \frac { 2 } { 3 } } \mu ( \nabla \cdot \mathbf { v _ { 0 } } ) \mathbb { I } ,
\frac { P _ { 2 } } { P _ { 1 } } = \left( \frac { \rho _ { 2 } } { \rho _ { 1 } } \right) ^ { \gamma } = \left( \frac { T _ { 2 } } { T _ { 1 } } \right) ^ { \gamma / ( \gamma - 1 ) } ,
\acute { x } ^ { A A ^ { \prime } } = ( p + \bar { p } ) o ^ { A } \bar { o } ^ { A ^ { \prime } } + | q | ( \textrm { e } ^ { - \i \varphi } o ^ { A } \bar { \iota } ^ { A ^ { \prime } } + \textrm { e } ^ { \i \varphi } \iota ^ { A } \bar { o } ^ { A ^ { \prime } } ) .
m = \langle \sigma _ { 0 } \rangle = \frac { e ^ { h } g _ { n } ^ { \gamma } ( + ) - e ^ { - h } g _ { n } ^ { \gamma } ( - ) } { e ^ { h } g _ { n } ^ { \gamma } ( + ) + e ^ { - h } g _ { n } ^ { \gamma } ( - ) } = \frac { e ^ { h } x _ { n } ^ { \gamma } - 1 } { e ^ { h } x _ { n } ^ { \gamma } + 1 } .
g ( \alpha ) h ( \alpha ) = \left( \alpha ^ { 5 } + \alpha ^ { 2 } \right) \left( \alpha ^ { 3 } + 1 \right) = \alpha ^ { 8 } + 2 \alpha ^ { 5 } + \alpha ^ { 2 } = \left( \alpha ^ { 7 } \right) \alpha + 2 \alpha ^ { 5 } + \alpha ^ { 2 } = 2 \alpha ^ { 5 } + \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha .
\sigma ^ { * 2 } = \frac { ( n _ { x } ^ { 2 } + n _ { y } ^ { 2 } ) / L ^ { 2 } } { ( n _ { x } ^ { 2 } + n _ { y } ^ { 2 } ) / L ^ { 2 } + n _ { z } ^ { 2 } / H ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbb { P } } } f } & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 } \left( f - \mathrm { d } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } ^ { \ast } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } f \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 } \left( f - \mathrm { d } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - 1 } \mathrm { d } ^ { \ast } f \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 } \left( f + 0 \right) = f . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { e } _ { n } \rangle } { d t } = - 2 \Gamma \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { e } _ { n } \rangle } & { + } & { i \frac { \Omega ^ { * } } { 2 } ( \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { e } _ { n } \rangle + \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \rangle ) } \\ & { - } & { i \frac { \Omega } { 2 } ( \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \hat { e } _ { n } \rangle + \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { + } \rangle ) } \end{array}