harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { G _ { i i } ( t - \tau ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { - \tilde { h } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } \frac { - 1 + \sqrt { 1 + \frac { a ^ { 2 } } { ( d / 4 ) ^ { 2 } ( \alpha + i ) ^ { 2 } ( t - \tau ) ^ { 2 } } } } { \sqrt { 1 + \frac { a ^ { 2 } } { ( d / 4 ) ^ { 2 } ( \alpha + i ) ^ { 2 } ( t - \tau ) ^ { 2 } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H \Big | \frac { 1 } { H ^ { k } } \sum _ { \underline { { h } } \in [ H ] ^ { k } } ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k } } T ^ { a _ { 1 } ( \underline { { h } } \cdot \underline { { \epsilon } } ) } f _ { 1 } ) \otimes \cdots \otimes ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k } } T ^ { a _ { d } ( \underline { { h } } \cdot \underline { { \epsilon } } ) } f _ { d } ) \Big | ^ { 2 ^ { k - 2 } } } \\ & { \le \sum _ { h _ { 1 } = 0 } ^ { H - 1 } \Big ( \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { 2 } = 0 } ^ { H - 1 } \Big ( \cdots \Big ( \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k - 2 } = 0 } ^ { H - 1 } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { H - 1 } e ^ { 2 \pi i h _ { k } t } \cdot } \\ & { \ \ \ \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , h _ { k } \epsilon _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \Big | ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } \cdots \Big ) ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } . } \end{array}
d \left( \begin{array} { c } { { F } } \\ { { \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \, * F } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { * J _ { m } } } \\ { { * J _ { e } + \frac { \theta } { 2 \pi } \, * J _ { m } } } \end{array} \right) \, .
g _ { 0 } = - g _ { L } + \frac { \pi \eta _ { m } } { \eta _ { 0 } J _ { 1 } ( \eta _ { 0 } ) } \left\{ g _ { L } \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left( \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { m } } \right) + 4 \epsilon _ { 3 } \eta _ { m } ^ { 2 } \left[ \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left( \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { m } } \right) - \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { m } } \right] \right\} .
{ \bar { a } } _ { 1 2 } { \bar { a } } _ { 3 4 } [ s _ { 1 4 } - s _ { 1 3 } + s _ { 2 3 } - s _ { 2 4 } ] = 2 { \bar { a } } _ { 1 2 } { \bar { a } } _ { 3 4 } ( s _ { 2 3 } - s _ { 1 3 } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 2 \pi } { T } \left\langle \left| a \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { \left( 1 + \omega ^ { 2 } \right) } . } \\ { \left\langle \left| a _ { i n } \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \left\langle \left| a _ { o u t } \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \r { d } } \vert \partial ^ { \beta } h ( \sigma ( x ) ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x \le \Vert \det ( J \sigma ^ { - 1 } ) \Vert _ { \infty } \int _ { \r { d } } \vert \partial ^ { \beta } h ( x ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x \le \tilde { C } \int _ { \r { d } } \vert \partial ^ { \beta } h ( x ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x , } \end{array}
V _ { o u t } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { I _ { 0 } R _ { m _ { 0 } } ( 1 - e ^ { - \frac { t } { \tau } } ( 1 + \frac { t } { \tau } ) ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t < t _ { c } , } \\ { I _ { 0 } R _ { m _ { 0 } } e ^ { - \frac { t } { \tau } } ( B \frac { t } { \tau } + C ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t > t _ { c } , } \end{array} \right.
\langle \mathsf { a } , \mathrm { v e c } ( \Sigma _ { 1 } ) \rangle _ { \mathbb { R } ^ { r } } \notin \Sigma _ { 1 } , \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \mathsf { a } \in \mathbb { N } ^ { r } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } | \mathsf { a } | _ { \ell ^ { 1 } } = j ,
\begin{array} { r } { - ( ( x - x _ { i } ) / 2 ) \, a _ { 1 } ( 0 , 0 ) \, ( 1 + s _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) ) = \langle \phi ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) - \phi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) , X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \rangle = \langle \phi ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } } ~ - \left[ 2 + g ( t ) \right] x _ { 1 } + \left[ - 2 + g ( t ) \right] x _ { 2 } + n + 1 , } \\ & { \mathrm { s u b j e c t } ~ \mathrm { t o } ~ \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \leq x _ { 1 } + x _ { 2 } \leq n , } \\ { x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \mathbb { N } , } \\ { | g ( t ) | \leq 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 2 } } \langle e ^ { - \Phi } Q _ { B } e ^ { \Phi } | e ^ { - \Phi } \eta _ { 0 } e ^ { \Phi } \rangle - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d t \langle e ^ { - { \hat { \Phi } } } \partial _ { t } e ^ { \hat { \Phi } } | \{ e ^ { - { \hat { \Phi } } } Q _ { B } e ^ { \hat { \Phi } } , e ^ { - { \hat { \Phi } } } \eta _ { 0 } e ^ { \hat { \Phi } } \} \rangle
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \dot { \omega } } _ { \mathrm { ~ f ~ } } = - \frac { \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } ^ { 2 } } { 2 } \left( \begin{array} { l } { \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) \sin ( \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } t + \varphi ) } \\ { \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) \cos ( \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } t + \varphi ) } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \xi } ( \xi , \eta ) = } & { { \frac { \lambda _ { 0 } } { 4 } } + { { \frac { { 1 } } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \eta } \widetilde { \mu } ( \xi , s ) G ( \xi , s ) \mathrm { d } s } + \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \eta } f \left( \frac { \xi + s } { 2 } , \frac { \xi - s } { 2 } \right) \mathrm { d } s + \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { \xi } ^ { \xi + \eta - s } \widehat { G } ( \tau , s , \xi ) \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( X ) } & { : = \sum _ { p = 0 } ^ { n } \left[ \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { p } g _ { p j } h _ { p j } X ^ { j } \right] + \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { 1 } g _ { 1 j } h _ { 1 j } X ^ { j } \right) \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { n } g _ { n j } h _ { n j } X ^ { j } \right) = } \\ & { \left[ \sum _ { p = 0 } ^ { n } \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { p } g _ { p j } h _ { p j } \right] X ^ { j } + \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { 1 } g _ { 1 j } h _ { 1 j } X ^ { j } \right) \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { n } g _ { n j } h _ { n j } X ^ { j } \right) = } \\ & { = P ( X ) + S ( X ) T ( X ) , } \end{array}
\overline { { I _ { A } ( \omega _ { n } ) I _ { B } ( \omega _ { m } ) } } = \frac { 1 } { 2 } \langle \{ \hat { I } _ { A , \mathrm { o u t } } ( \omega _ { n } ) , \hat { I } _ { B , \mathrm { o u t } } ( \omega _ { m } ) \} \rangle ,
\begin{array} { r l } { ~ \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle = } & { ~ \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle + c _ { \eta } \cdot ( I _ { 3 } + I _ { 4 } ) } \\ { = } & { ~ \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle + c _ { \eta } \cdot I _ { 4 } } \\ { \ge } & { - c _ { \eta } \cdot \bigg ( 1 + \frac { \sigma } { c _ { \eta } } + \sigma t \cdot \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } \bigg ) - c _ { \eta } \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } } \\ { = } & { ~ - c _ { \eta } \cdot \bigg ( 1 + \frac { \sigma } { c _ { \eta } } + \sigma ( t + 1 ) \cdot \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } \bigg ) . } \end{array}
H ( t ) = \sum _ { \alpha } \Biggl [ \frac { 1 } { 2 } \pi _ { \alpha } ^ { 2 } ( t ) + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { \alpha } ^ { 2 } ( t ) \phi _ { \alpha } ^ { 2 } ( t ) \Biggr ] = \sum _ { \alpha } H _ { \alpha } ( t ) ,
\Omega _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } ( \Gamma ; t _ { d } ) \equiv \ln \frac { f ( \Gamma _ { t _ { 1 } } ; t _ { d } ) } { f ( M ^ { T } \Gamma _ { t _ { 2 } } ; t _ { d } ) } - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \Lambda ( \Gamma _ { s } ) d s ,
\mathbf { G } = - \frac { 1 } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \, d p _ { 2 } \otimes d p _ { 2 } + ( p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) \, d \psi _ { 2 } \otimes d \psi _ { 2 } \, ,
{ \begin{array} { r l } { \langle H ^ { \mathrm { k i n } } \rangle } & { = { \frac { 1 } { 2 m } } \langle p _ { x } ^ { 2 } + p _ { y } ^ { 2 } + p _ { z } ^ { 2 } \rangle } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \left\langle p _ { x } { \frac { \partial H ^ { \mathrm { k i n } } } { \partial p _ { x } } } \right\rangle + \left\langle p _ { y } { \frac { \partial H ^ { \mathrm { k i n } } } { \partial p _ { y } } } \right\rangle + \left\langle p _ { z } { \frac { \partial H ^ { \mathrm { k i n } } } { \partial p _ { z } } } \right\rangle \right) = { \frac { 3 } { 2 } } k _ { \mathrm { B } } T } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } ) = 1 - \frac { 2 \pi e ^ { 2 } \hbar } { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } ( \mathbf { x } ) | \mathbf { q } | } \Pi _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } ) , } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } _ { P } = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left\| | \boldsymbol { P } | _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ c ~ } , i } - | \boldsymbol { P } | _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } , i } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { r } } { \pi } \boldsymbol { \xi } ^ { 2 } e ^ { - \lambda _ { r } \vec { \xi } ^ { 2 } } \mathrm { { d } } { \vec { \xi } } = \frac { K _ { r } } { 2 \lambda _ { r } } , } \\ & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { r } } { \pi } \boldsymbol { \xi } ^ { 4 } e ^ { - \lambda _ { r } \vec { \xi } ^ { 2 } } { \mathrm { d } } { \vec { \xi } } = \frac { K _ { r } ^ { 2 } + 2 K _ { r } } { 4 \lambda _ { r } ^ { 2 } } , } \\ & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 4 \lambda _ { v } } { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) } \varepsilon _ { v } e ^ { - \frac { 4 \lambda _ { v } } { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) } { \varepsilon _ { v } } } \mathrm { { d } } \varepsilon _ { v } = \frac { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) } { 4 \lambda _ { v } } , } \\ & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 4 \lambda _ { v } } { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) } \varepsilon _ { v } ^ { 2 } e ^ { - \frac { 4 \lambda _ { v } } { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) } \varepsilon _ { v } } { \mathrm { d } } \varepsilon _ { v } = 2 \left( \frac { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) } { 4 \lambda _ { v } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \epsilon } { \partial t } + u _ { j } ^ { f } \frac { \partial \epsilon } { \partial x _ { j } } = C _ { 1 \epsilon } \frac { \epsilon } { k } \frac { R _ { i j } ^ { t } } { \rho ^ { f } } \frac { \partial u _ { i } ^ { f } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \nu ^ { f } + \frac { \nu ^ { t } } { \sigma _ { \epsilon } } \right) \frac { \partial \epsilon } { \partial x _ { j } } \right] - C _ { 2 \epsilon } \frac { \epsilon ^ { 2 } } { k } - C _ { 3 \epsilon } \frac { \epsilon } { k } \frac { 2 \nu ^ { f } ( 1 - t _ { m f } ) k } { K } } \end{array}
S = \Phi ( \{ p _ { i } \} , \{ \bar { m } _ { f } \} , \mu ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } S ^ { ( k ) } \left( \left\{ \frac { p _ { i } \cdot p _ { j } } { \mu ^ { 2 } } \right\} , \left\{ \frac { \bar { m } _ { f } ( \mu ) ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right\} \right) \bar { g } ^ { k } ( \mu ) .
i \int d x ~ e ^ { i k \cdot x } ~ \langle 0 | T ( J _ { \mu } ( x ) J _ { \nu } ( 0 ) ) | 0 \rangle = ( k _ { \mu } k _ { \nu } - k ^ { 2 } g _ { \mu \nu } ) \left\{ \Pi _ { 0 } ( k ^ { 2 } ) + \Pi _ { 2 } ( k ^ { 2 } ) F ^ { 2 } + O ( F ^ { 4 } ) \right\}
\begin{array} { r } { \delta _ { 2 , \alpha } ^ { M } ( \underline { { X } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { X _ { 2 } - c _ { 0 , 2 } , } & { \mathrm { ~ i f } \quad X _ { 1 } - c _ { 0 , 1 } \leq X _ { 2 } - c _ { 0 , 2 } } \\ { \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) ( X _ { 1 } - c _ { 0 , 1 } ) + ( 1 - \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) ) ( X _ { 2 } - c _ { 0 , 2 } ) , } & { \mathrm { ~ i f } \quad X _ { 1 } - c _ { 0 , 1 } > X _ { 2 } - c _ { 0 , 2 } } \end{array} \right. . } \end{array}
P _ { \mathrm { M F M L } } ^ { ( F ; f _ { b } ) } \left( \boldsymbol { X } _ { q } \right) : = P _ { \mathrm { K R R } } ^ { ( f _ { b } ) } \left( \boldsymbol { X } _ { q } \right) + \sum _ { f _ { b } \leq f < F } P _ { \mathrm { K R R } } ^ { ( f , f + 1 ) } \left( \boldsymbol { X } _ { q } \right)
\psi _ { \lambda } ^ { c } ( k ) = ( { \frac { \lambda ^ { c } } { 2 } } ) 2 g { \frac { ( \underline { { { \epsilon } } } ^ { \lambda } ) ^ { \ast } \cdot \underline { { { k } } } } { \underline { { { k } } } ^ { 2 } } } \ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ) ^ { 3 } 2 k _ { + } } } } .
\begin{array} { r } { \mathbf { H } ^ { \mathcal { I } } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } \times \mathbf { n } - \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \langle \mathcal M _ { q _ { 1 } , F _ { + } } g _ { \alpha } ^ { ( s ) } , g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ( \mathcal M _ { q _ { 1 } , F _ { + } } g _ { \alpha } ) - \mathcal M _ { q _ { 1 } , F _ { + } } g _ { \alpha } ^ { ( s ) } , g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \delta Q ( t ) } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { z } \mathcal { P } _ { s } ( z ) = } \\ & { = \frac { 1 } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j \prime = - \infty } ^ { \infty } k _ { j \prime } q _ { j } ( t ) B _ { j \prime } e ^ { i k _ { j \prime } z } [ \Gamma _ { j } + i \Theta _ { j } ] . } \end{array}
. W e c o m b i n e t h i s d a t a , w i t h o u r m e a s u r e o f s e g r e g a t i o n ( E q . ) t o d e f i n e r e s i d e n t i a l s e g r e g a t i o n f o r a c e n s u s b l o c k g r o u p ,
\epsilon _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ^ { \mathrm { ~ B ~ 3 ~ L ~ Y ~ P ~ } } = 0 . 4 0 5 \epsilon _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ^ { \mathrm { ~ L ~ Y ~ P ~ } } + 0 . 0 9 5 \epsilon _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ^ { \mathrm { ~ V ~ W ~ N ~ 5 ~ } }
\mathcal { M } _ { i } = 1 + \frac { \pi } { 4 } \chi _ { \rho } \chi _ { c } \chi _ { h } K \sin ^ { 2 } \theta _ { i } , ~ \mathcal { I } = 1 + \frac { 3 \pi } { 1 6 } \chi _ { \rho } \chi _ { h } K , ~ \widehat { \mathcal { M } } _ { i } = \frac { 3 \pi } { 8 } \frac { \chi _ { \rho } \chi _ { h } } { \chi _ { c } } K \sin \theta _ { i } , ~ \widehat { \mathcal { I } } _ { i } = \frac { \pi } { 8 } \chi _ { \rho } \chi _ { c } ^ { 2 } \chi _ { h } K \sin \theta _ { i } ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { f o r ~ } \tilde { x } > \tilde { a } } \\ & { \frac { B _ { 1 } e ^ { \tilde { x } } \sin { \tilde { x } } - B _ { 2 } e ^ { \tilde { x } } \cos { \tilde { x } } + B _ { 3 } e ^ { \tilde { x } } \cos { \tilde { x } } - B _ { 4 } e ^ { \tilde { x } } \sin { \tilde { x } } } { e ^ { 4 \Tilde { L } } + e ^ { 4 \Tilde { a } } + e ^ { 2 \Tilde { L } + 2 \Tilde { a } } [ 2 \cos ( 2 \Tilde { L } - 2 \Tilde { a } ) - 4 ] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { n } \Big | _ { H _ { \mathrm { c o n d } } ^ { I , I I } } ( ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) , ( b _ { 1 } , b _ { 2 } ) , ( c _ { 1 } , c _ { 2 } ) ) = } & { e ^ { \frac { 2 \pi i } { N ^ { 2 } } n \left( \sum _ { i } A _ { i } ( B _ { i } + C _ { i } - [ B _ { i } \oplus _ { N } C _ { i } ] ) + A _ { 1 } ( B _ { 2 } + C _ { 2 } - [ B _ { 2 } \oplus _ { N } C _ { 2 } ] ) \right) } } \\ { = } & { ( \delta \beta ^ { n } ) ( ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) , ( b _ { 1 } , b _ { 2 } ) , ( c _ { 1 } , c _ { 2 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } } & { \prod _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { i } } \rightarrow \sum _ { \tau \in S _ { m } } { \mathrm { s g n } } ( \tau ) \prod _ { j = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - u _ { j } / v _ { ( \sigma \circ \tau ) ( j ) } } \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { \sigma ( i ) } } } \\ & { = \left[ \sum _ { \rho \in S _ { m } } { \mathrm { s g n } } ( \rho ) \prod _ { j = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - u _ { j } / v _ { \rho ( j ) } } \right] \cdot \left[ { \mathrm { s g n } } ( \sigma ) \prod _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { \sigma ( i ) } } \right] . } \end{array}
\mathbf { \mu } = { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { \mu _ { X } } } \\ { \mathbf { \mu _ { Y } } } \end{array} \right] } , \qquad \mathbf { \Sigma } = { \left[ \begin{array} { l l } { \operatorname { K } _ { \mathbf { X X } } } & { \operatorname { K } _ { \mathbf { X Y } } } \\ { \operatorname { K } _ { \mathbf { Y X } } } & { \operatorname { K } _ { \mathbf { Y Y } } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left\lVert \widehat { x } - x _ { \bar { x } , \lambda } ^ { \star } \right\rVert ^ { 2 } } & { = \left\lVert \widehat { x } - \mathbb { E } \widehat { x } \right\rVert ^ { 2 } + \left\lVert \mathbb { E } \widehat { x } - x _ { \bar { x } , \lambda } ^ { \star } \right\rVert ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { 1 } { j _ { \operatorname* { m a x } } } \cdot \left( \frac { 1 4 C _ { \textup { s c } } j _ { \operatorname* { m a x } } L ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \cdot \left( \frac { d } { \beta ^ { 2 } T ^ { 2 } } + \frac 1 T \right) \right) + C _ { \textup { b i a s } } ^ { 2 } \left( \frac L \lambda \cdot \left( \frac { \sqrt d } { \beta n } + \frac 1 { \sqrt n } \right) \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { o d d } } ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) } & { { } = \frac { f ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) - f ( - \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) } { 2 } , } \\ { f _ { \mathrm { e v e n } } ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) } & { { } = \frac { f ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) + f ( - \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) } { 2 } . } \end{array}
{ \cal S } = ( m _ { { \cal H } } ^ { 2 } - m _ { { \cal \overline { { { H } } } } } ^ { 2 } ) - ( m _ { h } ^ { 2 } - m _ { \overline { { { h } } } } ^ { 2 } ) - \frac { 3 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } m _ { f _ { i } ^ { c } } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } m _ { { \cal F } _ { i } } ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { \bar { f } ( \Delta u ) } & { = \frac { 1 } { \Delta u } \int _ { 0 } ^ { \Delta u } f ( u _ { 0 } + \sigma ) \mathrm { d } \sigma = \frac { \sqrt { 2 } } { \Delta t - \Delta z } \int _ { 0 } ^ { ( \Delta t - \Delta z ) / \sqrt { 2 } } f ( u _ { 0 } + \sigma ) \mathrm { d } \sigma } \\ & { = \frac { \sqrt { 2 } } { \Delta \ell - \Delta z } \int _ { 0 } ^ { ( \Delta \ell - \Delta z ) / \sqrt { 2 } } f ( u _ { 0 } + \sigma ) \mathrm { d } \sigma + \mathcal O ( \varepsilon ) } \\ & { = \frac { \sqrt { 2 } } { \Delta \ell - \Delta z } \int _ { 0 } ^ { ( \Delta \ell - \Delta z ) / \sqrt { 2 } } f \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( t _ { 0 } - z _ { 0 } ) + \sigma \right) \mathrm { d } \sigma + \mathcal O ( \varepsilon ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \{ A _ { i } \mid 1 \leqslant i \leqslant t \} | } & { { } - | \{ A _ { i } \cap A _ { j } \mid 1 \leqslant i < j \leqslant t \} | + \cdots + ( - 1 ) ^ { t + 1 } | \{ A _ { 1 } \cap A _ { 2 } \cap \cdots \cap A _ { t } \} | = { \binom { t } { 1 } } - { \binom { t } { 2 } } + \cdots + ( - 1 ) ^ { t + 1 } { \binom { t } { t } } . } \end{array}
P _ { i \theta } = - \left< { u _ { k } ^ { \prime } } ^ { + } { \theta ^ { \prime } } ^ { + } \right> \frac { \partial \left< { U _ { i } } ^ { + } \right> } { \partial x _ { k } ^ { + } } - \left< { u _ { i } ^ { \prime } } ^ { + } { u _ { k } ^ { \prime } } ^ { + } \right> \frac { \partial \left< \Theta ^ { + } \right> } { \partial x _ { k } ^ { + } } + \left< { u _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { + } { u _ { i } ^ { \prime } } ^ { + } \right> \frac { \partial \left< T _ { w } \right> } { \partial x _ { 1 } ^ { + } }
\nabla \cdot \mathbf { v } _ { \omega } = \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \mathbf v _ { 0 } + \omega \mathbf v _ { 1 } + \omega ^ { 2 } \mathbf v _ { 2 } ) + \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \mathbf v _ { 0 } + \omega \mathbf v _ { 1 } + \omega ^ { 2 } \mathbf v _ { 2 } ) = 0
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } g = \operatorname* { d e t } \tilde { g } = g _ { 1 } g _ { 2 } g _ { 3 } , \qquad g _ { i } = \sum _ { N } m _ { N } ( U { \bf x } _ { N } ) ^ { i } ( U { \bf x } _ { N } ) ^ { i } , \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ o ~ u ~ t ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ v ~ e ~ r ~ i ~ } . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \varphi _ { u } \partial ^ { \mu } \varphi _ { u } - \frac { 1 } { 2 } m _ { 0 } ^ { 2 } ~ \varphi _ { u } ^ { 2 } - \frac { \lambda _ { 0 } } { 4 ! } \varphi _ { u } ^ { 4 } \,
\begin{array} { r l } { \| E \| } & { \, \leq \, \big ( \kappa + 3 \, \| H \| \, \frac { 1 6 } { \rho } \big ) N \, \leq \, \kappa \big ( 1 + \frac { \| H \| } { g } \, { \frac { 4 8 } { c _ { \rho } } } \big ) N \, \leq \, \kappa N \frac { \| H \| } { g } { \big ( 1 + \frac { 4 8 } { c _ { \rho } } \big ) } \, \leq \, c _ { \kappa } { \big ( 1 + \frac { 4 8 } { c _ { \rho } } \big ) } g ^ { 2 } \; , } \end{array}
P ( L ^ { + } ) = \binom { L } { L ^ { + } } ( p ^ { - } ) ^ { L ^ { - } } ( p ^ { + } ) ^ { L ^ { + } } = \binom { L } { L ^ { + } } ( p ^ { + } ) ^ { L ^ { + } } ( 1 - p ^ { + } ) ^ { L - L ^ { + } }
\gamma _ { n k } ^ { ( t ) } = \frac { \frac { e ^ { - H _ { t } } H _ { t } ^ { k } } { k ! } \phi ( x _ { n } ; \mu _ { t } + k / g _ { t } , \sigma _ { t } ^ { 2 } ) } { \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - H _ { t } } H _ { t } ^ { \ell } } { \ell ! } \phi ( x _ { n } ; \mu _ { t } + \ell / g _ { t } , \sigma _ { t } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { E _ { N } } & { = E _ { \boldsymbol { p } } + N ^ { ( 0 ) } \omega _ { 0 } , } \\ { \boldsymbol { p } _ { N } } & { = \boldsymbol { p } + N ^ { ( 0 ) } \boldsymbol { k } _ { 0 } , } \\ { \Phi _ { N } } & { = ( N ^ { ( 1 ) } + 2 N ^ { ( 2 ) } ) \phi _ { \mathrm { c e p } } + N ^ { ( 1 ) } \Lambda \varphi _ { p } ^ { ( \epsilon ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { T \frac { D s } { D t } = 2 \nu \boldsymbol { S } \otimes \boldsymbol { S } + \rho ^ { - 1 } \nabla ( c _ { p } \rho \chi \nabla T ) + \rho ^ { - 1 } \eta \mu _ { 0 } \boldsymbol { J } ^ { 2 } - \frac { 1 } { \tau _ { c o o l } } ( c _ { s } ^ { 2 } - c _ { s 0 } ^ { 2 } ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \psi _ { \pm 2 k _ { x } , 0 } } & { = - 4 i \omega _ { \mathrm { r e c } } \psi _ { \pm 2 k _ { x } , 0 } } \\ { + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \large [ - i \chi _ { + } } & { ( 2 \psi _ { 0 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { - } 1 } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { + } 1 } + \psi _ { k , 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { + } 1 } + \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { - } 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { - } 1 } ) } \\ { - i \chi _ { - } } & { ( 2 \psi _ { 0 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { - } 1 } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { + } 1 } + \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { + } 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { + } 1 } + \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { - } 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { - } 1 } ) } \\ { + \gamma _ { + } } & { ( \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { - } 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { - } 1 } - \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { + } 1 } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { + } 1 } ^ { * } ) } \\ { + \gamma _ { - } } & { ( \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { + } 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { + } 1 } - \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { - } 1 } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { - } 1 } ^ { * } ) ] . } \end{array}