harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Gamma _ { A } \left( D _ { 1 } ^ { * } \rightarrow D ^ { * } \pi \right) = { \frac { 3 } { 8 \pi } } { \frac { E _ { D ^ { * } } } { M _ { D _ { 1 } ^ { * } } } } \left( { \frac { g _ { A } ^ { q } } { f _ { \pi } } } \right) ^ { 2 } k ^ { 3 } { \cal M } _ { 1 } ^ { 2 } .
\phi ( a ) = \left[ \frac { 1 } { 8 \pi G } \right] ^ { 1 / 2 } \int \frac { d a } { a } \left[ a Q ^ { \prime } - ( 1 - Q ) \frac { d \ln H ^ { 2 } } { d \ln a } \right] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } & { \tau ^ { \prime } ( u , B _ { \rho } ( x _ { 0 } ) ) \leq \textnormal { m e d } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) \leq \tau ^ { \prime \prime } ( u , B _ { \rho } ( x _ { 0 } ) ) , } \\ & { \tau ^ { \prime } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) \leq \textnormal { m e d } ( u , B _ { \rho } ( x _ { 0 } ) ) \leq \tau ^ { \prime \prime } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) . } \end{array}
B _ { \varepsilon } ^ { a s y m } ( x _ { 1 } , \, x _ { 2 } ) = \operatorname* { s u p } \left\{ \left\langle e ^ { \varphi } \right\rangle _ { I } \big | \, \varphi \in \mathrm { B M O } _ { \varepsilon } ( I ) , \, \langle \varphi \rangle _ { I } = x _ { 1 } , \, \left\langle \varphi ^ { 2 } \right\rangle _ { I } = x _ { 2 } \right\} , \qquad x \in \Omega _ { \varepsilon } .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \Dot { \theta } _ { ( 0 ) } = \omega _ { ( 0 ) } - R _ { 1 } ^ { [ - ] } ( \theta _ { ( 1 ) } ) B ^ { 1 } \sin ( D ^ { 0 } \theta _ { ( 0 ) } ) } \\ { \begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { ( 1 ) } = \omega _ { ( 1 ) } } & { - R _ { 0 } ^ { [ + ] } ( \theta _ { ( 0 ) } ) R _ { 1 } ^ { [ + ] } ( \theta _ { ( 1 ) } ) D ^ { 0 } \sin ( B ^ { 1 } \theta _ { ( 1 ) } ) } \\ & { - R _ { 1 } ^ { [ - ] } ( \theta _ { ( 1 ) } ) B ^ { 2 } \sin ( D ^ { 1 } \theta _ { ( 1 ) } ) \, . } \end{array} } \end{array} \right. } \end{array}
( H _ { 0 } ^ { - ( 0 ) } ) ^ { 2 } - ( { \bf P } _ { 0 } ^ { - ( 0 ) } ) ^ { 2 } = 0 , \quad ( \widetilde { H } _ { 0 } ^ { - ( 1 / 2 ) } ) ^ { 2 } - ( \widetilde { \bf P } _ { 0 } ^ { - ( 1 / 2 ) } ) ^ { 2 } = 0 ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \mathcal { O } } [ \langle f ( \underline { { t } } _ { 1 } , \underline { { t } } _ { 2 } ) \rangle ] = \sum _ { \mathcal { O } } P _ { * } ( \mathcal { O } ) \langle f ( \underline { { t } } _ { 1 } , \underline { { t } } _ { 2 } ) \rangle } \\ & { = \sum _ { \mathcal { O } } \sum _ { \underline { { t } } _ { 1 } , \underline { { t } } _ { 2 } } P _ { * } ( \mathcal { O } ) f ( \underline { { t } } _ { 1 } , \underline { { t } } _ { 2 } ) P _ { I } ( \underline { { t } } _ { 1 } | \mathcal { O } ) P _ { I } ( \underline { { t } } _ { 2 } | \mathcal { O } ) } \\ & { = \sum _ { \underline { { t } } _ { 1 } , \mathcal { O } , \underline { { t } } _ { 2 } } P _ { * } ( \mathcal { O } ) \frac { P _ { I } ( \underline { { t } } _ { 1 } ) P _ { I } ( \mathcal { O } | \underline { { t } } _ { 1 } ) } { P _ { I } ( \mathcal { O } ) } P _ { I } ( \underline { { t } } _ { 2 } | \mathcal { O } ) f ( \underline { { t } } _ { 1 } , \underline { { t } } _ { 2 } ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 2 } ( \beta _ { k } ) = } & { \frac { 1 6 } { \sigma ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } } + \frac { 1 } { \rho } \right) \beta _ { k } ^ { 2 } + \frac { 1 6 } { \sigma ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } } + \frac { 1 } { \rho } \right) L _ { f } ^ { 2 } } \\ & { + \left[ \frac { 3 2 } { \sigma ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } } + \frac { 1 } { \rho } \right) L _ { f } - { \alpha } \right] \beta _ { k } , } \end{array}
\frac { \delta } { \delta \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) } \left[ \int \int F _ { e } ( X _ { g y } , v _ { g y , \parallel } , \mu _ { g y } ) \left\{ \left( \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } e ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 B ( \textbf { X } _ { g y } ) } \partial _ { \mu _ { g y } } \langle \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { 2 } ( X _ { g y } + \rho ) \rangle \right) \right\} d t d \Omega _ { g y } \right] .
S ^ { \mathrm { e f f } } = - i \ln \int \prod _ { X ^ { M } } d B _ { \bar { N } } d \sigma d \sigma ^ { \dagger } \delta \left( \sqrt { - g } \nabla _ { \bar { N } } B ^ { \bar { N } } \right) \prod _ { X _ { / \! / } } \delta ( \widetilde C ^ { M } ) \exp \left[ i \int \sqrt { - g } { \cal L } _ { 2 } d ^ { 6 } x \right] .
C _ { G _ { \delta } } = \frac { 2 } { \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } } + \left( \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 } { \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } } \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( \psi ( X _ { T } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) - \psi ( X _ { 0 } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) ) } & { = \mathbb { E } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } ( \psi ( X _ { t _ { n } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) - \psi ( X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) ) } \\ & { = \mathbb { E } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } ( \psi ( X _ { t _ { n } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) - \psi ( X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) ) - \left( \psi \left( W _ { t _ { n } } ^ { \tau , t _ { n - 1 } , X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } } \right) - \psi ( X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) \right) } \\ & { = \mathbb { E } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } \left[ D \psi ( X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) \cdot \left\{ ( X _ { t _ { n } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } - X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) - \left( W _ { t _ { n } } ^ { \tau , t _ { n - 1 } , X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } } - X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } \right) \right\} \right. } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { | \alpha | = 2 } D ^ { \alpha } \psi ( X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) \cdot \left\{ ( X _ { t _ { n } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } - X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) ^ { \alpha } - \left( W _ { t _ { n } } ^ { \tau , t _ { n - 1 } , X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } } - X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } \right) ^ { \alpha } \right\} } \\ & { \qquad + \left. R ( X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } , X _ { t _ { n } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) - R \left( X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } , W _ { t _ { n } } ^ { \tau , t _ { n - 1 } , X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } } \right) \right] } \\ & { = : A + B + C , } \end{array}
\left( \frac { \alpha _ { s } ^ { 0 } ( M _ { Z } ) } { \alpha _ { G } ^ { 0 } } \right) ^ { \frac { 8 } { 9 } } \times \left( 1 + \frac { 8 } { 9 } [ \alpha _ { s } ^ { 0 } ( M _ { Z } ) \Delta _ { \alpha _ { s } } + \alpha _ { G } ^ { 0 } \Delta _ { \alpha _ { G } } ] \right) .
m _ { A } ^ { 2 } = \left( \frac { t _ { \beta } ^ { 2 } + 1 } { t _ { \beta } ^ { 2 } - 1 } \right) \left( m _ { H _ { d } } ^ { 2 } - m _ { H _ { u } } ^ { 2 } \right) - M _ { Z } ^ { 2 } .
\frac { a _ { \operatorname* { m a x } } - \langle a \rangle } { a _ { \operatorname* { m a x } } - a _ { \operatorname* { m i n } } } = \frac { s _ { \operatorname* { m a x } } - \langle s \rangle } { s _ { \operatorname* { m a x } } - s _ { \operatorname* { m i n } } } .
\Omega _ { i } ^ { ( 2 ; 4 - 2 \varepsilon ) } = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { 0 i } } \frac { \mathrm { d } \theta } { \cos ^ { 2 - 2 \varepsilon } \theta } = 2 \tan \tau _ { 0 i } \; \; _ { 2 } F _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { c } { { 1 / 2 , \; \varepsilon } } \\ { { 3 / 2 } } \end{array} \right| - \tan ^ { 2 } \tau _ { 0 i } \right) ,
x _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ f ~ f ~ ) ~ } } = x _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ f ~ f ~ ) ~ } } \ e ^ { ( - t \gamma _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ f ~ f ~ ) ~ } } - t ^ { 2 } \sigma _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ f ~ f ~ ) ~ } 2 } ) }
\begin{array} { r l r } { \phi ( x , t ) } & { { } = } & { \left( \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 3 } c ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \frac { d k } { \sqrt { | k | } } \exp ( \mathrm { i } k x - \Delta x ^ { 2 } k ^ { 2 } - \mathrm { i } c | k | t ) , } \end{array}
{ \scriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \Gamma ( \nu ) + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( { \scriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } n z ) ^ { \nu } K _ { \nu } ( z ) = \Gamma ( { \scriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ) \Gamma ( \nu + { \scriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ) z ^ { 2 \nu } \left( { \frac { 1 } { z ^ { 2 \nu + 1 } } } + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( z ^ { 2 } + 4 n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } ) ^ { \nu + { \scriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } } } } \right) \; .
\begin{array} { r } { R ( \theta , \psi ) = R _ { 3 } ( \psi ) R _ { 1 } ( \theta ) = \left( \begin{array} { l l l } { \cos \psi } & { \sin \psi } & { 0 } \\ { - \sin \psi } & { \cos \psi } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \theta } & { \sin \theta } \\ { 0 } & { - \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right) \equiv R _ { a } ^ { b } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { K E } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \rho V _ { J } ^ { 2 } V _ { J } , } \\ { W _ { K E } } & { { } = } & { w _ { K E } L _ { J } ^ { 2 } } \end{array}
\frac { V _ { z } } { v _ { A } } = \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { V _ { x } } { v _ { A } } \right) ^ { 2 } = \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { b } { B _ { 0 } } \right) ^ { 2 } .
\frac { \partial \overline { { c } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial z } \left[ \left( \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } \right) ^ { 2 } \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 8 } \left( \frac { \partial } { \partial z } \ln c _ { 0 } \right) ^ { 2 } \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial z } \right] = \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { c } } } { \partial z ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \left\| \left( \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } - \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \right) \boldsymbol { \Gamma } \right\| _ { \mathrm { H S } } ^ { 2 } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { \Gamma } } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { \Gamma } } \tau _ { i } \left( \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } - \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \right) \varphi _ { i } \langle \varphi _ { i } , \varphi _ { j } \rangle \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { \Gamma } } \left\| \tau _ { j } \left( \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } - \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \right) \varphi _ { j } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { \Gamma } } \left\| \tau _ { j } \left( \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } - \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \right) \boldsymbol { \Sigma } \widetilde { \varphi } _ { j } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { \Gamma } } \left\| \tau _ { j } \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { \Sigma } - \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } \right) \widetilde { \varphi } _ { j } \right\| ^ { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { \Gamma } } \tau _ { j } ^ { 2 } \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } \right\| ^ { 2 } \left\| \boldsymbol { \Sigma } - \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } \right\| _ { \mathrm { H S } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big ( ( - s \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { P } _ { s + t } ( \mu ^ { n } - \rho ) ( x ) \Big ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \big ( \omega _ { s + t } ( x , X _ { k } ) \big ) ^ { 2 } + \frac { 2 } { n ^ { 2 } } \sum _ { 1 \leq \ell < \ell ^ { \prime } \leq n } \omega _ { s + t } ( x , X _ { \ell } ) \omega _ { s + t } ( x , X _ { \ell ^ { \prime } } ) . } \end{array}
e ^ { i \mathcal { L } t } z \approx \sum _ { n = 0 } ^ { N } D _ { n } ( t ) P _ { n } ( i \mathcal { L } z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N } D _ { n } ( t ) \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( i \mathcal { L } - \lambda _ { k } ) z
( P _ { i } ^ { \; \circ } { \, - \, } P _ { \! j } ^ { \; \circ } ) { \scriptstyle { \, [ \mathfrak { A } _ { 0 } { \, + \, } \mathfrak { A } _ { 1 } ] \, } } ( ( n { + } 1 ) G ^ { \circ } - 2 O ^ { \circ } ) = ( P _ { i } ^ { \; \circ } - P _ { \! j } ^ { \; \circ } ) { \scriptstyle { \, [ \mathfrak { A } _ { 0 } { \, + \, } \mathfrak { A } _ { 1 } ] \, } } ( ( n { + } 1 ) G ^ { \circ } - ( P _ { i } ^ { \circ } + P _ { j } ^ { \circ } ) )
{ \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { \alpha } & { - \alpha } & { - \beta } & { \beta } \\ { e ^ { i ( \alpha - k ) ( a - b ) } } & { e ^ { - i ( \alpha + k ) ( a - b ) } } & { - e ^ { - i ( \beta - k ) b } } & { - e ^ { i ( \beta + k ) b } } \\ { ( \alpha - k ) e ^ { i ( \alpha - k ) ( a - b ) } } & { - ( \alpha + k ) e ^ { - i ( \alpha + k ) ( a - b ) } } & { - ( \beta - k ) e ^ { - i ( \beta - k ) b } } & { ( \beta + k ) e ^ { i ( \beta + k ) b } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { A } \\ { A ^ { \prime } } \\ { B } \\ { B ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r } { U ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \ldots , { \bf r } _ { N } ) = U _ { o } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } \frac { 1 } { \Lambda } \sum _ { k \neq 0 } \frac { 2 \pi e ^ { 2 } } { k } e ^ { i { \bf k } ( { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } ) } + \alpha \sum _ { i } V _ { e x t } ( { \bf r } _ { i } ) ~ ~ . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } \left( f ( f ^ { - 1 } ( y ) ) \right) } { \mathrm { d } \left( f ^ { - 1 } ( y ) \right) } } { \frac { \mathrm { d } \left( f ^ { - 1 } ( y ) \right) } { \mathrm { d } y } } } & { = 1 } \\ { { \frac { \mathrm { d } f ( f ^ { - 1 } ( y ) ) } { \mathrm { d } f ^ { - 1 } ( y ) } } { \frac { \mathrm { d } f ^ { - 1 } ( y ) } { \mathrm { d } y } } } & { = 1 } \\ { f ^ { \prime } ( f ^ { - 1 } ( y ) ) ( f ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( y ) } & { = 1 } \end{array} }
\phi ( T ; m ) ~ \simeq ~ \left\{ \begin{array} { l l } { { \left( \frac { m T } { 2 \pi } \right) ^ { 3 / 2 } ~ \exp ( - m / T ) ~ , } } & { { m > > T } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \frac { T } { \pi ^ { 2 } } \left( T ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { 4 } \right) ~ , } } & { { m < < T } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \! \! \! \! \! \! \frac { \theta ( t _ { 2 } { - } t _ { 1 } ) } { T } \partial _ { t _ { 2 } } \mathcal { R } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) + \Big ( \frac { \mathcal { R } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) } { T } - 1 \Big ) \delta ( t _ { 1 } { - } t _ { 2 } ) = - \frac { 3 J ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t ^ { \prime } \ \mathcal { R } ( t _ { 2 } , t ^ { \prime } ) G ( t ^ { \prime } , t _ { 2 } ) ^ { 2 } \mathcal { R } ( t ^ { \prime } , t _ { 1 } ) ~ , } \\ & { \partial _ { t _ { 2 } } G ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \frac { 3 J ^ { 2 } } { T } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } d t ^ { \prime } \ G ( t _ { 2 } , t ^ { \prime } ) ^ { 3 } \mathcal { R } ( t _ { 1 } , t ^ { \prime } ) - \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } d t ^ { \prime } \ \mathcal { R } ( t _ { 2 } , t ^ { \prime } ) G ( t ^ { \prime } , t _ { 2 } ) ^ { 2 } G ( t _ { 1 } , t ^ { \prime } ) \Big ) ~ . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { s _ { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { P } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { g _ { 1 1 } } & { \hdots } & { g _ { 1 M } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { g _ { P 1 } } & { \hdots } & { g _ { P M } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { - ( M { - } 1 ) / 2 } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { k } ^ { ( M { - } 1 ) / 2 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { Q _ { 1 1 } = F ^ { \prime } ( x ) ( x ( F ( x ) - F ( y ) ) + F ^ { \prime } ( x ) ) = } \\ { F ^ { \prime } ( x ) ( x ( F ( x ) - F ( y ) ) + ( F ^ { \prime } ( x ) - F ^ { \prime } ( y ) ) ) + F ^ { \prime } ( x ) F ^ { \prime } ( y ) , } \\ { Q _ { 2 2 } = F ^ { \prime } ( y ) ( y ( F ( y ) - F ( x ) ) + ( F ^ { \prime } ( y ) - F ^ { \prime } ( x ) ) ) + F ^ { \prime } ( x ) F ^ { \prime } ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { Q } _ { n } = } & { { } i ^ { n / 2 - 1 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { d ( \omega \tau ) } { ( \omega \tau ) ^ { D / 2 } } J _ { n / 2 } [ \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \omega \tau \gamma ( \omega \tau ) \alpha ( \omega \tau ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( x , t ) } & { { } = } & { \frac { \omega _ { m } } { 1 + \left( \frac { r ( x , t ) } { r _ { t h r e s h } } \right) ^ { h } } \, f _ { G E N } ( x ) - \gamma _ { m } \, m ( x , t ) + D _ { m } \, \nabla ^ { 2 } m ( x , t ) } \\ { \dot { p } ( x , t ) } & { { } = } & { \omega _ { p } \; f _ { R I B } ( x ) \, m ( x , t ) - \gamma _ { p } \, p ( x , t ) + D _ { p } \nabla ^ { 2 } \, p ( x , t ) } \\ { \dot { r } ( x , t ) } & { { } = } & { \omega _ { r } \; f _ { R E P } ( x ) \, p ( x , t ) - \gamma _ { p } \, r ( x , t ) + D _ { r } \nabla ^ { 2 } \, r ( x , t ) } \end{array}
- \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 1 0 } x ^ { 9 } + \frac { 9 } { 8 0 } x ^ { 7 } + \frac { 2 1 } { 1 6 0 } x ^ { 5 } + \frac { 2 1 } { 1 2 8 } x ^ { 3 } + \frac { 6 3 } { 2 5 6 } x \right) + \frac { 6 3 } { 2 5 6 } \arcsin \left( x \right)
\begin{array} { r } { \mathrm { P r o b . } \left( \left| \hat { f } _ { i N } ( x ) - f _ { i } * F _ { \Lambda } ( x ) \right| \le \frac { \varepsilon } { 2 } , \ \forall i \in [ M ] \right) = \mathrm { P r o b . } \left( \bigcap _ { i = 1 } ^ { M } { \cal { A } } _ { i } \right) = 1 - \mathrm { P r o b . } \left( \bigcup _ { i = 1 } ^ { M } { \cal { A } } _ { i } ^ { c } \right) , } \end{array}
T ^ { F } ( z ) = { \frac { 2 \sum _ { i , j = 1 } ^ { h } \omega _ { i } ^ { \prime \prime } A _ { i j } \overline { { \omega } } _ { j } - 3 \left( \sum _ { i , j = 1 } ^ { h } \omega _ { i } ^ { \prime } A _ { i j } \overline { { \omega } } _ { j } \right) ^ { 2 } } { 2 \left( \sum _ { i , j = 1 } ^ { h } \omega _ { i } A _ { i j } \overline { { \omega } } _ { j } \right) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \lambda ^ { 5 } - 2 \mathrm { i } \omega _ { \eta } \lambda ^ { 4 } } & { - ( \omega _ { A } ^ { 2 } + \omega _ { C } ^ { 2 } + \omega _ { \eta } ^ { 2 } + 2 \omega _ { M } ^ { 2 } ) \lambda ^ { 3 } + 2 \mathrm { i } \omega _ { \eta } ( \omega _ { A } ^ { 2 } + \omega _ { C } ^ { 2 } + \omega _ { M } ^ { 2 } ) \lambda ^ { 2 } } \\ & { + ( \omega _ { A } ^ { 2 } \omega _ { \eta } ^ { 2 } + \omega _ { C } ^ { 2 } \omega _ { \eta } ^ { 2 } + \omega _ { A } ^ { 2 } \omega _ { M } ^ { 2 } + \omega _ { M } ^ { 4 } ) \lambda - \mathrm { i } \omega _ { A } ^ { 2 } \omega _ { \eta } \omega _ { M } ^ { 2 } = 0 , } \end{array}
A ( K _ { L } \rightarrow \gamma \gamma ^ { * } ( k ^ { 2 } ) ) \simeq A _ { P } ( K _ { L } \rightarrow \gamma \gamma ^ { * } ( k ^ { 2 } ) ) + A _ { K ^ { * } } ( K _ { L } \rightarrow \gamma \gamma ^ { * } ( k ^ { 2 } ) ) ,
\begin{array} { r l } & { \nabla g ^ { \lambda } ( x ) = \frac { 1 } { \lambda } ( x - \mathrm { p r o x } _ { g } ^ { \lambda } ( x ) ) , \quad \textnormal { w h e r e } \, \, \mathrm { p r o x } _ { g } ^ { \lambda } ( x ) = \arg \operatorname* { m i n } _ { z \in \mathbb { R } ^ { d } } \left\{ g ( z ) + \frac { 1 } { 2 \lambda } \lVert x - z \rVert ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\int _ { - \varepsilon _ { \alpha } } ^ { Q - \sum _ { \beta = 1 } ^ { \alpha - 1 } p ^ { \beta } + \varepsilon _ { \alpha } } d p ^ { \alpha } \to \int _ { \tilde { \varepsilon } _ { \alpha } } ^ { 2 \lambda - \sum _ { \beta = 1 } ^ { \alpha - 1 } \tilde { p } ^ { \beta } - \tilde { \varepsilon } _ { \alpha } } d \tilde { p } ^ { \alpha } \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } \slash 2 } } \\ & { } & { \times \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \Phi _ { 2 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \leq } & { L _ { 1 , l } \leq 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L - 2 L ^ { - 1 } ) _ { + } ^ { 2 } \slash 2 } } \\ & { } & { \times \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \Phi _ { 1 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) . } \end{array}
a = \sqrt { { a _ { \mathrm { r } } } ^ { 2 } + { a _ { \mathrm { z } } } ^ { 2 } } , \ \ \ \varepsilon = \operatorname* { m a x } \left( \frac { a _ { \mathrm { r } } } { a _ { \mathrm { z } } } , \frac { a _ { \mathrm { z } } } { a _ { \mathrm { r } } } \right) ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { [ c ] } & { { } a _ { 0 } ^ { 0 } = - \frac { 4 3 } { 3 8 4 } u _ { i - 1 } + \frac { 2 3 5 } { 1 9 2 } u _ { i } - \frac { 4 3 } { 3 8 4 } u _ { i + 1 } - \frac { 2 7 } { 6 4 } v _ { i - 1 } + \frac { 2 7 } { 6 4 } v _ { i + 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } u _ { s } \: d x } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \frac { 1 } { 2 } u _ { s } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \epsilon \left( c _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } \right) u _ { s } ^ { 3 } \right] \: d x } = \frac { 3 u _ { - } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \epsilon c _ { 1 } u _ { - } ^ { 3 } - \bar { Q } _ { m r } } { 2 u _ { - } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } \epsilon \left( c _ { 1 } + 3 c _ { 2 } - 6 c _ { 3 } \right) u _ { - } ^ { 4 } - \bar { Q } _ { e r } } ,
\begin{array} { r } { I _ { 2 } = \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } k _ { n } ^ { 2 } C _ { n + 2 } } { \nu _ { n + 1 } k _ { n + 1 } ^ { 2 } + \nu _ { n + 2 } k _ { n + 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\mathbf { e } \triangleq \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n } - ( \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n } + \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \Tilde { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } ) = \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } ( \mathbf { B } ^ { - 1 } - \mathbf { B } _ { v } ^ { - 1 } ) \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } ,
T = \mathrm { W I T H I N } + \mathrm { B E T W E E N } = \underbrace { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left( \frac { \lambda _ { i , k } } { \overline { { \lambda } } } \frac { A _ { i , k } } { A _ { k } } \right) \ln \left( \frac { A _ { i , k } } { A _ { k } } \right) } _ { \mathrm { s p a t i a l ~ e q u i t y } } + \underbrace { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \frac { \lambda _ { k } } { \bar { \lambda } } \frac { A _ { k } } { \overline { { A } } } \right) \ln \left( \frac { A _ { k } } { \bar { A } } \right) } _ { \mathrm { s o c i a l ~ e q u i t y } } .
p ^ { ( n ) } ( \mathbf { s } , \mathbf { r } ) = \iint p ( \mathbf { r } | \hat { \mathbf { r } } ) p ^ { ( n ) } ( \hat { \mathbf { r } } | \hat { \mathbf { s } } ) p ( \hat { \mathbf { s } } | \mathbf { s } ) p _ { o } ( \mathbf { s } ) \mathrm { { d } \hat { \mathbf { s } } \, \mathrm { { d } \hat { \mathbf { r } } . } }
\Bigl ( \rho ^ { m } \, \delta \vec { U } ^ { m } , ~ \vec { U } ^ { m + 1 } \, r \Bigr ) ^ { \diamond } \geq \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \rho ^ { m } \, | \vec { U } ^ { m + 1 } | ^ { 2 } , ~ r \Bigr ) - \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \rho ^ { m - 1 } \, | \vec { U } ^ { m } | ^ { 2 } , ~ r \Bigr ) ,
\mathcal { \tilde { C } } ( \kappa , \omega ) : = \left| a \mathbf { Z } ^ { - 1 } - \left[ \begin{array} { c c c } { 1 / [ \mathcal { D } ( \kappa - \kappa _ { m } ) ^ { 4 } - \rho \mathcal { A } ( \omega - \omega _ { m } ) ^ { 2 } ] } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 / [ \mathcal { D } \kappa ^ { 4 } - \rho \mathcal { A } \omega ^ { 2 } ] } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 / [ \mathcal { D } ( \kappa + \kappa _ { m } ) ^ { 4 } - \rho \mathcal { A } ( \omega + \omega _ { m } ) ^ { 2 } ] } \end{array} \right] \right| = 0 ,