harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \overline { { G } } _ { \sigma } ( z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sigma ^ { k } \frac { \langle x ^ { k } \rangle _ { + } } { 2 z ^ { k + 1 } } } \\ & { } & { \overline { { G } } _ { \sigma , \sigma } ^ { ( 2 ) } ( z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sigma ^ { k } \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \langle x _ { 1 } ^ { l } x _ { 2 } ^ { k - l } \rangle _ { + , + } } { 4 z ^ { k + 2 } } \; , } \end{array}
m \frac { d ^ { 2 } l _ { 0 \alpha i } } { d t ^ { 2 } } = - k _ { l } \left( l _ { 0 \alpha i } - l _ { \alpha i } - \xi ( l _ { \alpha i } - l _ { 0 \alpha i } ( 0 ) \right) - \eta \frac { d l _ { 0 \alpha i } } { d t } ,
e ^ { - u + 2 t } = \left\{ \begin{array} { l c } { { a c \xi e ^ { - \sqrt { \xi } ( t - t _ { 0 } ) } ( 1 - e ^ { - \sqrt { \xi } ( t - t _ { 0 } ) } ) ^ { - 2 } , } } & { { ( \xi > 0 ) } } \\ { { a c ( t - t _ { 0 } ) ^ { - 2 } , } } & { { ( \xi = 0 ) } } \\ { { - \frac { \xi a c } 4 \sec ^ { 2 } \frac { \sqrt { | \xi | } } 2 ( t - t _ { 0 } ) , } } & { { ( \xi < 0 ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { \mathrm { T r } } [ \mathcal D _ { \gamma } ( \theta ( \gamma ) - \gamma ) ] } & { = { \mathrm { T r } } [ ( P _ { \gamma } ^ { + } + P _ { \gamma } ^ { - } ) \mathcal D _ { \gamma } ( \theta ( \gamma ) - \gamma ) ( P _ { \gamma } ^ { + } + P _ { \gamma } ^ { - } ) ] } \\ & { = { \mathrm { T r } } [ | \mathcal D _ { \gamma } | P _ { \gamma } ^ { + } ( \theta ( \gamma ) - T ( \gamma ) ) P _ { \gamma } ^ { + } ] - { \mathrm { T r } } [ | \mathcal D _ { \gamma } | P _ { \gamma } ^ { - } ( \theta ( \gamma ) - \gamma ) P _ { \gamma } ^ { - } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { 1 , \mathrm { M G } } = 2 n _ { \mathrm { i } } + 2 n _ { \mathrm { h } } - 4 n _ { \mathrm { M G } } ( 0 . 5 ) \, , } \\ & { p _ { 2 , \mathrm { M G } } = - n _ { \mathrm { i } } - 3 n _ { \mathrm { h } } + 4 n _ { \mathrm { M G } } ( 0 . 5 ) \, , } \\ & { p _ { 3 , \mathrm { M G } } = n _ { \mathrm { h } } \, . } \end{array}
\mathbf { J _ { \mathrm { { r a d } } } } ( \mathbf { k } _ { \mathrm { r a d } } ) = \mathbf { J _ { \mathrm { { r a d } } } } ( - \mathbf { k } _ { \mathrm { r a d } } ) , ~ ~ \mathrm { { I } } _ { \mathrm { r a d } } ( \mathbf { k } _ { \mathrm { { r a d } } } ) = { \mathrm { I } } _ { \mathrm { { r a d } } } ( - \mathbf { k } _ { \mathrm { r a d } } ) .
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \prime } = 2 V _ { \alpha \beta } ( \eta + \eta _ { 1 } ) + V _ { \beta \gamma } \left[ 2 ( \eta _ { 2 } - \eta _ { 1 } ) b _ { \gamma } b _ { \alpha } + \eta _ { 3 } b _ { \alpha \gamma } \right] + V _ { \alpha \gamma } \left[ 2 ( \eta _ { 2 } - \eta _ { 1 } ) b _ { \gamma } b _ { \beta } + \eta _ { 3 } b _ { \beta \gamma } \right] } & { } & \\ { + V _ { \gamma \delta } \left[ ( \eta _ { 1 } + \zeta _ { 1 } ) \delta _ { \alpha \beta } b _ { \gamma } b _ { \delta } + ( \eta _ { 1 } - 4 \eta _ { 2 } ) b _ { \alpha } b _ { \beta } b _ { \gamma } b _ { \delta } + ( 2 \eta _ { 4 } - \eta _ { 3 } ) ( b _ { \alpha \gamma } b _ { \beta } b _ { \delta } + b _ { \beta \gamma } b _ { \alpha } b _ { \delta } ) \right] , } & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { + + } } & { = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( 1 - q + \Delta \right) \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 2 } \right) \right] \left( 2 q - \Delta - \Sigma \right) , } \\ { W ^ { + - } } & { = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( 1 - q + \Delta \right) \left( \frac { 1 - \varepsilon } { 2 } \right) \right] \left( \Sigma - \Delta \right) , } \\ { W ^ { - + } } & { = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( q - \Delta \right) \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 2 } \right) \right] \left( 2 - 2 q + \Delta - \Sigma \right) , } \\ { W ^ { -- } } & { = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( q - \Delta \right) \left( \frac { 1 - \varepsilon } { 2 } \right) \right] \left( \Sigma + \Delta \right) , } \end{array}
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \partial _ { t } m } & { = \nabla \cdot \left[ \nabla m - 2 \beta ( \phi - m ^ { 2 } ) ( \nabla J * m ) \right] , \quad ( t , x ) \in ( 0 , T ) \times \Omega = : Q _ { T } , } \\ { \partial _ { t } \phi } & { = \nabla \cdot \left[ \nabla \phi - 2 \beta m ( 1 - \phi ) ( \nabla J * m ) \right] . } \end{array} \right.
{ \frac { C _ { + + } ^ { g g ( 1 ) } ( - p _ { a } , p _ { a ^ { \prime } } ) } { C _ { - + } ^ { g g ( 0 ) } ( - p _ { a } , p _ { a ^ { \prime } } ) } } = - { \frac { 1 } { 4 8 \pi ^ { 2 } } } \, ( N _ { c } - N _ { f } ) \, { \frac { p _ { b ^ { \prime } \perp } ^ { * } } { p _ { b ^ { \prime } \perp } } } \, .
t _ { \mathrm { l i f e } } / ( R _ { p } \sqrt { \rho / ( p _ { 0 } - p _ { v } ) } ) = 1 . 0 8 5 ~ [ ( R _ { \mathrm { o u t } } ^ { 2 } - R _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } ) / R _ { p } ^ { 2 } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\mathbf { Q } = ( Q _ { x } , Q _ { y } , Q _ { z } ) ^ { T } = \mathbf { k } _ { \textrm { o u t } } - \mathbf { k } _ { \textrm { i n } } = k \, \hat { \mathbf { r } } _ { \! A B } - \mathbf { k } _ { \textrm { i n } }
\begin{array} { r l } { a ^ { \prime } } & { = a - \sum _ { p \geq 0 } ( - h a d _ { w } ) ^ { p } ( h a d _ { w } a ) = a , } \\ { \delta ^ { \prime } } & { = \delta _ { S } + b a d _ { w } a - \sum _ { p \geq 0 } b ( - a d _ { w } h ) ^ { p - 1 } a d _ { w } ( h a d _ { w } a ) = \delta _ { S , w } , } \\ { b ^ { \prime } } & { = b - \sum _ { p \geq 0 } ( b a d _ { w } h ) ( - a d _ { w } h ) ^ { p } = b . } \end{array}
\langle \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { C \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { X } \rangle = \langle \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { X \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { C } \rangle
\partial _ { t } \Delta v ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } = - F ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } + \frac { 1 } { R e } \Delta \Delta v ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } ,
\begin{array} { r } { S ( \omega ) = \frac { I _ { 1 } } { 2 \pi } \frac { \gamma _ { \Sigma } } { U ^ { 2 } + 4 \gamma _ { \Sigma } ^ { 2 } } \left( \frac { 8 \gamma _ { \Sigma } ^ { 2 } + U [ U + 2 ( \omega - \omega _ { 0 } ) ] } { ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + \gamma _ { \Sigma } ^ { 2 } } \right. } \\ { \left. + \frac { U [ 3 U - 2 ( \omega - \omega _ { 0 } - U ) ] } { ( \omega - \omega _ { 0 } - U ) ^ { 2 } + ( 3 \gamma _ { \Sigma } ) ^ { 2 } } \right) \: . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \varepsilon } ( \sigma ) } & { = \mathbb E \ln \mathbb E _ { u , \delta , x } \prod _ { k = 1 } ^ { \pi ( \gamma ) } \bigl ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta g _ { k , \varepsilon } ) s _ { k } \delta \bigr ) - \mathbb E \ln \mathbb E _ { u , x } \prod _ { k = 1 } ^ { \pi ( \gamma / 2 ) } \bigl ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta g _ { k , \varepsilon } ) s _ { 1 , k } s _ { 2 , k } \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { a r c c o s } ( x ) } & { { } = \arcsin \left( { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \right) \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } 0 \leq x \leq 1 { \mathrm { ~ , ~ f r o m ~ w h i c h ~ y o u ~ g e t ~ } } } \\ { \operatorname { a r c c o s } } & { { } \left( { \frac { 1 - x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } } \right) = \arcsin \left( { \frac { 2 x } { 1 + x ^ { 2 } } } \right) \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } 0 \leq x \leq 1 } \\ { \arcsin } & { { } \left( { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \right) = { \frac { \pi } { 2 } } - \operatorname { s g n } ( x ) \arcsin ( x ) } \\ { \operatorname { a r c c o s } ( x ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { a r c c o s } \left( 2 x ^ { 2 } - 1 \right) \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } 0 \leq x \leq 1 } \\ { \arcsin ( x ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { a r c c o s } \left( 1 - 2 x ^ { 2 } \right) \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } 0 \leq x \leq 1 } \\ { \arcsin ( x ) } & { { } = \arctan \left( { \frac { x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } \right) } \\ { \arctan ( x ) } & { { } = \arcsin \left( { \frac { x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } \right) } \\ { \operatorname { a r c c o t } ( x ) } & { { } = \operatorname { a r c c o s } \left( { \frac { x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \psi } { \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 8 } \log \left( 2 \nu \xi \right) - \frac { x _ { n } ^ { 2 } + y _ { n } ^ { 2 } } { 4 } } \\ & { - g \frac { \sqrt { 2 \nu \xi } } { 4 } x _ { n } \left\{ \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \log \left( 2 \nu \xi \right) + x _ { n } ^ { 2 } + y _ { n } ^ { 2 } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { C } _ { j , X _ { i , j } } ^ { p } [ k , k ] } & { = \mathbb { E } \left[ \left| X _ { i , j } [ k ] - \mathbb { E } \left[ X _ { i , j } [ k ] | \mathbf { m } _ { j , X _ { i , j } } ^ { p } \right] \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { \beta \in \mathcal { X } _ { j } } | X _ { i , j } [ k ] | ^ { 2 } P ( X _ { i , j } [ k ] = \beta [ k ] | \mathbf { m } _ { i } ) - | \mathbf { m } _ { j , X _ { i , j } } ^ { p } [ k ] | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { | f ( t ) | ^ { 2 } + | g ( t ) | ^ { 2 } \leq ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( | f ( 0 ) | ^ { 2 } + | g ( 0 ) | ^ { 2 } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } 0 < t < \kappa ^ { - 1 / 3 } } \\ { | f ( t ) | ^ { 2 } + | g ( t ) | ^ { 2 } \leq | f ( \kappa ^ { - 1 / 3 } ) | ^ { 2 } + | g ( \kappa ^ { - 1 / 3 } ) | ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } t > \kappa ^ { - 1 / 3 } . } \end{array} \right. } \end{array}
R _ { 2 } ( x , a , b , d ) = \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { d - 2 } b } \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } \int d ^ { d - 2 } p \frac { 1 } { \sqrt { \vec { p } ^ { \, 2 } + m ^ { 2 } + ( \frac { n ^ { \prime } \pi } { b } ) ^ { 2 } } } \frac { \cosh ( ( a - 2 x ) \sqrt { \vec { p } ^ { \, 2 } + m ^ { 2 } + ( \frac { n ^ { \prime } \pi } { b } ) ^ { 2 } } ) } { \sinh ( a \sqrt { \vec { p } ^ { \, 2 } + m ^ { 2 } + ( \frac { n ^ { \prime } \pi } { b } ) ^ { 2 } } ) } .
[ \partial _ { t } J _ { \parallel } ( t ) ] _ { \mathrm { c o r r } } \equiv \frac { 1 } { n } \frac { \sqrt { 3 } a ^ { 2 } q t _ { \mathrm { h o p } } } { 4 \pi \hbar } \int d k \{ [ \partial _ { t } \rho _ { k } ^ { R } ( t ) ] _ { \mathrm { c o r r } } - [ \partial _ { t } \rho _ { k } ^ { L } ( t ) ] _ { \mathrm { c o r r } } \}
U = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { a } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \bar { a } } } \end{array} \right) \quad a \in U ( 1 )
\cos \theta _ { - } = { \frac { ( \vec { p } _ { 1 } \times \vec { q } _ { - } ) \cdot ( \vec { q } _ { 1 } \times \vec { q } _ { 2 } ) } { | \vec { p } _ { 1 } \times \vec { q } _ { - } | \ | \vec { q } _ { 1 } \times \vec { q } _ { 2 } | } } ,
\textbf { F } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \textbf { F } _ { i } \textrm { i f } S ^ { - } > 0 } \\ { \textbf { F } ^ { h l l } = \frac { S ^ { + } \textbf { F } _ { i } - S ^ { - } \textbf { F } _ { i + 1 } + S ^ { + } S ^ { - } ( \textbf { U } _ { i + 1 } - \textbf { U } _ { i } ) } { S ^ { + } - S ^ { - } } \textrm { i f } S ^ { - } \leq 0 \leq S ^ { + } } \\ { \textbf { F } _ { i + 1 } \textrm { i f } S ^ { + } < 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { l l } { A _ { f f } u _ { f f } = b _ { f f } , } & { u _ { f f } \in \mathbb { R } ^ { N _ { f } ^ { ( x ) } N _ { f } ^ { ( x ) } } ; } \\ { A _ { f c } u _ { f c } = b _ { f c } , } & { u _ { f c } \in \mathbb { R } ^ { N _ { f } ^ { ( x ) } N _ { c } ^ { ( x ) } } ; } \\ { A _ { c f } u _ { c f } = b _ { c f } , } & { u _ { c f } \in \mathbb { R } ^ { N _ { c } ^ { ( x ) } N _ { f } ^ { ( x ) } } ; } \\ { A _ { c c } u _ { c c } = b _ { c c } , } & { u _ { c c } \in \mathbb { R } ^ { N _ { c } ^ { ( x ) } N _ { c } ^ { ( x ) } } ; } \\ { A _ { ( i j ) } u _ { ( i j ) } = b _ { ( i j ) } , } & { u _ { ( i j ) } \in \mathbb { R } ^ { ( n _ { x } - 1 ) ( n _ { y } - 1 ) } , \ i = 1 , . . . , n _ { x } - 1 , \ j = 1 , . . . , n _ { y } - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf y } _ { 0 } ( t ) = \frac 1 M \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } { \bf y } _ { N } ( t ) , ~ ~ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } ~ M = \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } , ~ \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } ~ \ddot { \bf y } _ { 0 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ a _ { 1 } \otimes 1 , } & { \dots , a _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes b _ { 1 } , \dots , 1 \otimes b _ { l - 1 } , \{ \tilde { a } _ { 1 } \otimes 1 , \dots , \tilde { a } _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes \tilde { b } _ { 1 } , \dots , 1 \otimes \tilde { b } _ { l } \} _ { n } \} _ { n } } \\ { = } & { \{ a _ { 1 } \otimes 1 , \dots , a _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes b _ { 1 } , \dots , 1 \otimes b _ { l - 1 } , \{ \tilde { a } _ { 1 } , \dots , \tilde { a } _ { k } \} _ { k } \otimes \{ \tilde { b } _ { 1 } , \dots , \tilde { b } _ { l } \} _ { l } \} _ { n } } \\ { = } & { \{ a _ { 1 } \otimes 1 , \dots , a _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes b _ { 1 } , \dots , 1 \otimes b _ { l - 1 } , \{ \tilde { a } _ { 1 } , \dots , \tilde { a } _ { k } \} _ { k } \otimes { 1 } \} _ { n } \left( 1 \otimes \{ \tilde { b } _ { 1 } , \dots , \tilde { b } _ { l } \} _ { l } \right) } \\ & { + \left( \{ \tilde { a } _ { 1 } , \dots , \tilde { a } _ { k } \} _ { k } \otimes 1 \right) \{ a _ { 1 } \otimes 1 , \dots , a _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes b _ { 1 } , \dots , 1 \otimes b _ { l - 1 } , 1 \otimes \{ \tilde { b } _ { 1 } , \dots , \tilde { b } _ { l } \} _ { l } \} _ { n } } \\ { = } & { \{ \tilde { a } _ { 1 } , \dots , \tilde { a } _ { k } \} _ { k } \{ a _ { 1 } , \dots , a _ { k } \} _ { k } \otimes \{ b _ { 1 } , \dots , b _ { l - 1 } , \{ \tilde { b } _ { 1 } , \dots , \tilde { b } _ { l } \} _ { l } \} _ { l } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \frac { \rho ( E ) e ^ { - \beta E } } { e ^ { - \beta E } - \lambda / \Gamma _ { 0 } } = \frac { \beta _ { 0 } } { \beta } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \frac { x ^ { \frac { \beta _ { 0 } } { \beta } } } { x - \lambda / \Gamma _ { 0 } } } \\ & { = - \frac { \beta _ { 0 } } { \beta } \frac { \Gamma _ { 0 } } { ( 1 + \beta _ { 0 } / \beta ) \lambda } \mathstrut _ { 2 } \mathrm { F } _ { 1 } \Big ( 1 , \frac { \beta _ { 0 } } { \beta } + 1 , \frac { \beta _ { 0 } } { \beta } + 2 , \frac { \Gamma _ { 0 } } { \lambda } \Big ) \quad , } \end{array}
\nabla ^ { * } \cdot \boldsymbol u ^ { * } = 0 ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ \rho \frac { D \boldsymbol { u } ^ { * } } { D t ^ { * } } = - \nabla ^ { * } p ^ { * } + \mu ^ { * } { \nabla ^ { * } } ^ { 2 } \boldsymbol u ^ { * } + \nabla ^ { * } \mu ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } \boldsymbol u ^ { * } + \nabla ^ { * } \mu ^ { * } \cdot \left( \nabla ^ { * } \boldsymbol u ^ { * } \right) ^ { \mathsf { T } } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { G } _ { \mathrm { 2 D } } ( x , x ^ { \prime } ) = } & { \; \hat { G } _ { \mathrm { 2 D } } ( x , x ^ { \prime } ) \; + } \\ { + R _ { \mathrm { s t } } \bar { G } _ { \mathrm { 2 D } } ( 0 , x ^ { \prime } ) } & { \alpha ( x ) \sqrt { \frac { A ( 0 ) k ( 0 ) } { A ( x ) k ( x ) } } \exp { - i \int _ { 0 } ^ { x } k ( \hat { x } ) d \hat { x } } , } \end{array}
4 \pi + 4 \pi N _ { \varepsilon } \varepsilon ^ { 2 } \geq E _ { \varepsilon } ( \Omega , X ) \geq 4 \pi + \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 2 } \left( \frac { N _ { \varepsilon } ^ { 2 } } { 2 } - C _ { 0 } N _ { \varepsilon } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) \geq 4 \pi + \frac 1 8 \gamma N _ { \varepsilon } ^ { 2 } \varepsilon ^ { 3 } ,
\tilde { \eta } = < ( e ^ { \frac { \alpha G } { 2 } } ) _ { , A } > \phi ^ { A } + < ( e ^ { \frac { \alpha G } { 2 } } ) _ { , \bar { A } } > \chi ^ { \bar { A } } , \qquad \qquad \bar { \tilde { \eta } } = < ( e ^ { \frac { \alpha G } { 2 } } ) _ { , A } > \chi ^ { A } + < ( e ^ { \frac { \alpha G } { 2 } } ) _ { , \bar { A } } > \phi ^ { \bar { A } } .
{ \cal E } ^ { U ( n ) } = \frac { 1 } { 2 } \, \frac { g _ { S Y M } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d - 2 } \, | n + \theta m | \sqrt { \operatorname * { d e t } ( G ^ { k l } ) } } \, G ^ { i j } ( n _ { i } + \theta m _ { i } ) ( n _ { j } + \theta m _ { j } ) ,
\begin{array} { r } { p _ { k + 1 / 3 } = p _ { k } + F _ { k } \frac { \Delta } { 2 } } \\ { q _ { k + 1 / 2 } = q _ { k } + p _ { k + 1 / 3 } \frac { \Delta } { 2 m } } \\ { p _ { k + 2 / 3 } = p _ { k + 1 / 3 } e ^ { - \beta \Delta } + \xi _ { k } \sqrt { k _ { \mathrm { B } } T \left( 1 - e ^ { - 2 \beta \Delta } \right) m } } \\ { q _ { k + 1 } = q _ { k + 1 / 2 } + p _ { k + 2 / 3 } \frac { \Delta } { 2 m } } \\ { p _ { k + 1 } = p _ { k + 2 / 3 } + F _ { k + 1 } \frac { \Delta } { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( 1 - r ) \sum _ { k = 1 } ^ { n } a r ^ { k - 1 } } & { = ( 1 - r ) \left( a r ^ { 0 } + a r ^ { 1 } + a r ^ { 2 } + a r ^ { 3 } + \cdots + a r ^ { n - 1 } \right) } \\ & { = a r ^ { 0 } + a r ^ { 1 } + a r ^ { 2 } + a r ^ { 3 } + \cdots + a r ^ { n - 1 } - a r ^ { 1 } - a r ^ { 2 } - a r ^ { 3 } - \cdots - a r ^ { n - 1 } - a r ^ { n } } \\ & { = a - a r ^ { n } } \end{array} }
h ( r ; t ) = \frac { \sin ( k _ { 0 } ( t ) r ) - k _ { 0 } ( t ) r \, \cos ( k _ { 0 } ( t ) r ) } { 2 \pi r \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) r ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } ( k _ { 0 } ( t ) r ) } }
\begin{array} { r } { - \int _ { s } ^ { r } \tilde { C } _ { \beta } \varepsilon \rho ^ { \gamma - 2 } \left( 1 + \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap \Omega } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } \right) \geq - \tilde { C } _ { \beta } \int _ { s } ^ { t } \rho ^ { \gamma - 1 } d \rho \leq - \tilde { C } _ { \beta } ( r ^ { \gamma } - s ^ { \gamma } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { \Pi } } & { { } = - \frac { 3 } { m ^ { 2 } } \frac { D _ { 3 0 } } { J _ { 2 0 } D _ { 2 0 } + J _ { 3 0 } G _ { 1 2 } + J _ { 4 0 } D _ { 1 0 } } , } \\ { \mathcal { B } _ { \Pi } } & { { } = - \frac { 3 } { m ^ { 2 } } \frac { G _ { 2 3 } } { J _ { 2 0 } D _ { 2 0 } + J _ { 3 0 } G _ { 1 2 } + J _ { 4 0 } D _ { 1 0 } } , } \\ { \mathcal { C } _ { \Pi } } & { { } = - \frac { 3 } { m ^ { 2 } } \frac { D _ { 2 0 } } { J _ { 2 0 } D _ { 2 0 } + J _ { 3 0 } G _ { 1 2 } + J _ { 4 0 } D _ { 1 0 } } . } \end{array}
{ \cal M } _ { \nu } = \left[ \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { - m _ { 0 } } } & { { 0 } } \\ { { - m _ { 0 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { 0 } } } \end{array} \right]
{ \frac { d \mathbf { r } _ { i } } { d t } } = \mathbf { v } _ { i } , \qquad { \frac { d \mathbf { v } _ { i } } { d t } } = { \frac { \mathbf { F } _ { i } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } , \mathbf { v } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { v } _ { N } , t ) } { m _ { i } } } , \quad i = 1 , \ldots , N .
H _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { L D A } } \left[ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } \right] = \frac { 1 } { 2 } \left( E _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { L D A } } \left[ 2 \rho ^ { \uparrow } \right] + E _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { L D A } } \left[ 2 \rho ^ { \downarrow } \right] \right) .
\begin{array} { r l r } { S _ { { \cal Q } , \beta } ^ { c } ( \lambda ) } & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { n } S _ { { \cal Q } , n } , } \\ { S _ { { \cal Q } , n } } & { = } & { { \frac { 1 } { n ! } } \sum _ { { \cal G } _ { \cal Q } ^ { r _ { m a x } } , { \cal { E Q } } , { \cal J } _ { r _ { m a x } } ^ { \prime } } \sum _ { \underline { \tau } } \sum _ { \{ { \sigma } \} } ^ { \prime } { \epsilon } ( { \cal J } ^ { \prime } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \chi _ { i } ( \{ \sigma \} ) \prod _ { Q \in { \cal Q } } \chi _ { Q } ( \{ \sigma \} ) } \\ & { } & { \quad \quad \prod _ { v } \int _ { \Lambda _ { \beta } } d x _ { v } \prod _ { \ell \in { \cal T } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d w _ { \ell } C _ { r _ { \ell } , { \sigma } _ { \ell } } ( x _ { \ell } , y _ { \ell } ) [ \operatorname* { d e t } C _ { r , { \sigma } } ( w ) ] _ { l e f t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { < a _ { 1 } } . . . \partial _ { a _ { \ell } > } \ln k \Big ( { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } + \tau } \Big ) ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ \sum _ { p = 1 } ^ { \ell } \frac { \ell ! } { p ! ( \ell - p ) ! } k _ { < a _ { 1 } } . . . k _ { a _ { p } } \partial _ { a _ { p + 1 } } . . . \partial _ { a _ { \ell } > } \Big \{ \frac { \partial ^ { p - 1 } } { \partial \tau ^ { p - 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } } \Big \} . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u = - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta { u } + \frac { 1 } { 2 \mu } ( \vec { \nabla } u ) ^ { 2 } + \gamma u + V [ m ] } \\ { u ( \vec { x } , t = T ) = c _ { T } ( \vec { x } ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \eta _ { 0 } ( \xi ; U ) = \xi \cdot v , } & { { } } \\ { \eta _ { 1 } ( \xi ; U ) = \xi \cdot v + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { r ( \rho , \theta ) + m ( \rho , \theta ) } , \quad \eta _ { 2 } ( \xi ; U ) } & { { } = \xi \cdot v + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { r ( \rho , \theta ) - m ( \rho , \theta ) } , } \\ { \eta _ { 3 } ( \xi ; U ) = \xi \cdot v - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { r ( \rho , \theta ) + m ( \rho , \theta ) } , \quad \eta _ { 4 } ( \xi ; U ) } & { { } = \xi \cdot v - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { r ( \rho , \theta ) - m ( \rho , \theta ) } , } \end{array}
\bf { M _ { 2 D } } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l } { \Omega _ { 1 } } & { M _ { 1 , 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 1 , 1 0 } } \\ { M _ { 1 , 2 } } & { \Omega _ { 2 } } & { M _ { 2 , 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 2 , 9 } } & { 0 } \\ { 0 } & { M _ { 2 , 3 } } & { \Omega _ { 3 } } & { M _ { 3 , 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 3 , 8 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { M _ { 3 , 4 } } & { \Omega _ { 4 } } & { M _ { 4 , 5 } } & { 0 } & { M _ { 4 , 7 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 4 , 5 } } & { \Omega _ { 5 } } & { M _ { 5 , 6 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 5 , 6 } } & { \Omega _ { 6 } } & { M _ { 6 , 7 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 4 , 7 } } & { 0 } & { M _ { 6 , 7 } } & { \Omega _ { 7 } } & { M _ { 7 , 8 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { M _ { 3 , 8 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 7 , 8 } } & { \Omega _ { 8 } } & { M _ { 8 , 9 } } & { 0 } \\ { 0 } & { M _ { 2 , 9 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 8 , 9 } } & { \Omega _ { 9 } } & { M _ { 9 , 1 0 } } \\ { M _ { 1 , 1 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 9 , 1 0 } } & { \Omega _ { 1 0 } } \end{array} \right)
E = \int d ^ { 3 } x \Biggl ( 4 \left( J _ { i } ^ { 1 } ( \vec { x } ) J _ { i } ^ { 1 } ( \vec { x } ) + J _ { i } ^ { 2 } ( \vec { x } ) J _ { i } ^ { 2 } ( \vec { x } ) \right) + 2 \left( J _ { i } ^ { 1 } ( \vec { x } ) J _ { j } ^ { 2 } ( \vec { x } ) - J _ { j } ^ { 1 } ( \vec { x } ) J _ { i } ^ { 2 } ( \vec { x } ) \right) ^ { 2 } \Biggr )
\begin{array} { r } { E _ { 4 } ^ { \ell } \left( \rho v _ { 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \rho v _ { 1 } ^ { \ell } \right) + E _ { 4 } ^ { \ell + 1 } \left( \rho v _ { 1 } ^ { \ell + 1 } - \rho v _ { 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \tilde { v } _ { J \, 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \beta _ { k } ^ { \ell } \left( J _ { k } ^ { \ell + 1 } - J _ { k } ^ { \ell } \right) } \\ { + \frac { 1 } { 2 } \tilde { v } _ { J \, 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \beta _ { k } ^ { \ell + 1 } \left( J _ { k } ^ { \ell + 1 } - J _ { k } ^ { \ell } \right) = \rho v _ { 1 } ^ { \ell + 1 } E _ { 4 } ^ { \ell + 1 } - \rho v _ { 1 } ^ { \ell } E _ { 4 } ^ { \ell } . } \end{array}