harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { { \mathrm { { I I I } } } _ { t } = \frac { 1 } { \sqrt t } { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } \nabla { \bar { f } } ( \beta ^ { * } ) ^ { \top } D _ { \beta } ( { \theta ^ { \tau } } ) + o _ { p } ( 1 ) = \frac { 1 } { \sqrt t } { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } ( { \bar { \mu } ^ { * } } ) ^ { \top } D _ { \beta } ( { \theta ^ { \tau } } ) + o _ { p } ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ^ { \theta _ { i } } ( w _ { 1 } W _ { \eta , \varepsilon } ) } & { \to \partial _ { t } ^ { \theta _ { i } } ( w _ { 1 } w _ { 2 } ) , \quad i = 1 , 2 , } \\ { \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta _ { i } } ( w _ { 1 } W _ { \eta , \varepsilon } ) } & { \to \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta _ { i } } ( w _ { 1 } w _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { A _ { i } } & { C _ { i } } & { - D _ { i } } \\ { A _ { i } } & { 0 } & { - E _ { i } } & { F _ { i } } \\ { C _ { i } } & { - E _ { i } } & { 0 } & { B _ { i } } \\ { - D _ { i } } & { F _ { i } } & { B _ { i } } & { 0 } \end{array} \right) } & { = A _ { i } ^ { 2 } B _ { i } ^ { 2 } + C _ { i } ^ { 2 } F _ { i } ^ { 2 } + D _ { i } ^ { 2 } E _ { i } ^ { 2 } - 2 A _ { i } B _ { i } C _ { i } F _ { i } - 2 A _ { i } B _ { i } D _ { i } E _ { i } - 2 C _ { i } D _ { i } E _ { i } F _ { i } } \\ & { = ( A _ { i } B _ { i } - C _ { i } F _ { i } - D _ { i } E _ { i } ) ^ { 2 } - 4 C _ { i } D _ { i } E _ { i } F _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r } { p = \sum _ { i } \left( \lambda ( p , [ \textsf { e f f } X _ { i } ] ) [ \textsf { e f f } Z _ { i } ] + \lambda ( p , [ \textsf { e f f } Z _ { i } ] ) [ \textsf { e f f } X _ { i } ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( 2 , 1 ) } & { = \cfrac { \gamma _ { 2 1 } + \gamma _ { 3 2 } + \Lambda } { D ^ { \prime } } \, \Lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } | c _ { 1 2 } ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau , } \\ { P ( 1 , 2 ) } & { = \cfrac { \gamma _ { 2 1 } + \Lambda } { D ^ { \prime } } \, ( \gamma _ { 2 1 } + \Lambda ) \int _ { 0 } ^ { \infty } | c _ { 1 2 } ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau , } \\ { P ( 4 , 1 ) } & { = \cfrac { \gamma _ { 3 4 } } { D ^ { \prime } } \, \Lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } | c _ { 4 1 } ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau , } \\ { P ( 1 , 3 ) } & { = \cfrac { \gamma _ { 2 1 } + \Lambda } { D ^ { \prime } } \, ( \gamma _ { 3 4 } + \gamma _ { 3 2 } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } | c _ { 1 3 } ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { { p _ { I I } } - { p _ { I } } } { \frac { 1 } { 2 } \rho v _ { 0 } ^ { 2 } } } & { { } = { } \left( \omega ^ { 2 } \gamma _ { 0 } + \cos ^ { 2 } { ( \beta ) } \right) \frac { 2 \omega \sin { ( \beta ) } } { \left( \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } \omega \right) ^ { 2 } } + \left( \sin { ( \beta ) } - \frac { 1 } { 2 } \omega \right) ^ { 2 } \theta ( s ) f ( R e _ { n } , \beta ) , } \end{array}
\psi _ { 0 } ( X ) \, = \, \psi _ { 0 } ( 0 ) \, - \, \int _ { 0 } ^ { | X | } \frac { 1 - e ^ { - \rho ^ { 2 } / 4 } } { \rho } \, \mathrm { d } \rho \, = : \, \tilde { \psi } _ { 0 } ( | X | ) \, , \qquad X \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { r \in \mathcal { C } } \left\| R _ { t } - r \right\| _ { ( t ) } ^ { 2 } } & { = \left\| R _ { t } - \pi _ { ( t ) } ^ { \mathcal { C } } ( R _ { t } ) \right\| _ { ( t ) } ^ { 2 } \leqslant \left\| R _ { t } - \pi _ { ( t ) } ^ { \mathcal { C } } ( R _ { t - 1 } ) \right\| _ { ( t ) } ^ { 2 } } \\ & { = \left\| R _ { t - 1 } + r _ { t } - \pi _ { ( t ) } ^ { \mathcal { C } } ( R _ { t - 1 } ) \right\| _ { ( t ) } ^ { 2 } } \\ & { = \left\| R _ { t - 1 } - \pi _ { ( t ) } ^ { \mathcal { C } } ( R _ { t - 1 } ) \right\| _ { ( t ) } ^ { 2 } + 2 \left< R _ { t - 1 } - \pi _ { ( t ) } ^ { \mathcal { C } } ( R _ { t - 1 } ) , r _ { t } \right> _ { ( t ) } + \left\| r _ { t } \right\| _ { ( t ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { s } = ( s _ { 1 } , \ldots , s _ { M } ) \qquad \Rightarrow \qquad | \mathbf { s } | ^ { 2 } = ( \mathbf { s } , \mathbf { s } ) = | s _ { 1 } | ^ { 2 } + \ldots | s _ { M } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } ( \tilde { \phi } , \phi ) } & { = } & { \sum _ { i } \Big \lbrace \bar { n } _ { 0 i } \tilde { \phi } _ { i } ( 0 ) - \phi _ { i } ( 0 ) \tilde { \phi } _ { i } ( 0 ) + \Delta t \sum _ { \tau = \Delta t } ^ { t } \left[ - \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ) \Delta _ { \tau } \phi _ { i } ( \tau ) + k _ { 1 i } \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ) - k _ { 2 i } \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ) \phi _ { i } ( \tau _ { - } ) \right] } \\ & { } & { + \Delta t \sum _ { \tau = 0 } ^ { t } \left[ \tilde { \theta } _ { i } ( \tau ) \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ) + \theta _ { i } ( \tau ) \phi _ { i } ( \tau ) \right] \Big \rbrace } \end{array}
\mathcal { F } _ { L = 0 } \left( r \right) = \frac { 5 \sqrt { \pi } } { 2 r _ { 0 } ^ { 3 } } \left[ 1 - \frac { r ^ { 2 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } \right] \theta \left( r _ { 0 } - r \right) \ ,
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( \boldsymbol { \theta } ; \mathcal { T } ) = \omega _ { \mathcal { P } } \mathcal { L } _ { \mathcal { P } } ( \boldsymbol { \theta } ; \mathcal { T } _ { \mathcal { P } } ) + \omega _ { \mathcal { B } } \mathcal { L } _ { \mathcal { B } } ( \boldsymbol { \theta } ; \mathcal { T } _ { \mathcal { B } } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { 1 } ( \mathbf { a } _ { k } ) = \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { a } _ { k } } [ \omega _ { 1 } \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } } \phi _ { i } ( \pi _ { i } , \tilde { \theta } _ { i } ( \mathbf { a } _ { k } ) , \psi _ { i } ( \mathbf { a } _ { k } ) ) + \omega _ { 2 } \sum _ { j \in \mathcal { J } } r _ { j } ( \mathbf { a } _ { k } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { \prime } ( \alpha ) \leq } & { \ \frac { 1 } { \alpha - 1 } \log \left( 1 + \gamma ^ { 2 } \binom { \alpha } { 2 } e ^ { \varepsilon ( 2 ) } ( e ^ { \varepsilon ( \infty ) } - 1 ) ^ { 2 } + \sum _ { j = 3 } ^ { \alpha } \gamma ^ { j } \binom { \alpha } { j } e ^ { ( j - 1 ) \varepsilon ( j ) } ( e ^ { \varepsilon ( \infty ) } - 1 ) ^ { j } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi ( \boldsymbol { r } , t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { A } { \sqrt { N } } \cos ( \omega _ { n } t - \boldsymbol { k } _ { n } \cdot \boldsymbol { r } + \theta _ { n } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { G } ^ { n , j } : = \mathrm { d i a g } \left( \sum _ { m = - M } ^ { M } r _ { i , m } f _ { K + 1 - n + m } ^ { j , i } \left[ \begin{array} { l l } { - \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x _ { i } ^ { - } } } & { \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x _ { i } ^ { - } } } \\ { \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x _ { i } ^ { + } } } & { - \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x _ { i } ^ { + } } } \end{array} \right] \right) _ { 1 \leq i \leq N } \in \mathbb { C } ^ { 2 N \times 2 N } , } \\ { \mathcal { V } ^ { n , j } : = \mathrm { d i a g } \left( f _ { K + 1 - n } ^ { j , i } \left[ \begin{array} { l l } { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x _ { i } ^ { - } } } & { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x _ { i } ^ { - } } } \\ { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x _ { i } ^ { + } } } & { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x _ { i } ^ { + } } } \end{array} \right] \right) _ { 1 \leq i \leq N } \in \mathbb { C } ^ { 2 N \times 2 N } . } \end{array}
m _ { f } = \gamma _ { 8 } ( P _ { 1 } + P _ { 3 } ) + \gamma _ { 9 } ( Q _ { 1 } - Q _ { 3 } ) + \gamma _ { 7 } P _ { 2 } + \gamma _ { 6 } Q _ { 2 } + \gamma _ { 1 } I v t + \gamma _ { 5 } I b .
S = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \int d ^ { 6 } x \ [ \dot { A } _ { a b } ^ { ( n ) } E _ { a b } ^ { ( n ) } - \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 4 } ( E _ { a b } ^ { ( n ) } E _ { a b } ^ { ( n ) } + B _ { a b } ^ { ( n ) } B _ { a b } ^ { ( n ) } ) + { \Lambda } _ { a b } ^ { ( n + 1 ) } { \Psi } _ { a b } ^ { ( n + 1 ) } - 2 A _ { t a } ^ { ( n ) } { \cal G } _ { a } ^ { ( n ) } ] ,
{ \frac { d \mathbf { r _ { i } } } { d t } } = { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial \mathbf { p _ { i } } } } , \qquad { \frac { d \mathbf { p _ { i } } } { d t } } = - { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial \mathbf { r _ { i } } } } ,
\begin{array} { r l r } { ( U _ { i } ) _ { j + \frac { 1 } { 2 } , L } } & { { } = } & { ( \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } ) _ { j + \frac { 1 } { 2 } , L } + ( \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } ) _ { j + \frac { 1 } { 2 } , L } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { \dots } & { x _ { n } } \\ { 1 } & { y _ { 1 } } & { y _ { 2 } } & { \dots } & { y _ { n } } \\ { 1 } & { z _ { 1 } } & { z _ { 2 } } & { \dots } & { z _ { n } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( + | 1 0 1 0 ; 0 1 0 1 \rangle - | 0 1 1 0 ; 1 0 0 1 \rangle - | 1 1 0 0 ; 0 0 1 1 \rangle - | 0 0 0 0 ; 1 1 1 1 \rangle \right. } \\ & { } & { \left. ~ - | 1 0 0 1 ; 0 1 1 0 \rangle + | 0 1 0 1 ; 1 0 1 0 \rangle - | 0 0 1 1 ; 1 1 0 0 \rangle - | 1 1 1 1 ; 0 0 0 0 \rangle \right) / 2 \sqrt { 2 } . } \end{array}
1 8 \mathrm { ~ -- ~ } 2 9 : \mathrm { ~ y ~ e ~ a ~ r ~ s ~ } = 1 , \, 3 0 \mathrm { ~ -- ~ } 3 9 : \mathrm { ~ y ~ e ~ a ~ r ~ s ~ } = 2 , \, 4 0 \mathrm { ~ -- ~ } 4 9 : \mathrm { ~ y ~ e ~ a ~ r ~ s ~ } = 3
\begin{array} { r l r } { \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } ^ { l } ) } & { = } & { \widetilde { r } \widetilde { h } _ { 1 } ^ { - 1 } ( \gamma _ { 1 } ^ { l } ) = \widetilde { r } ( t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } ^ { - 1 } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { k - 1 } } ^ { - 1 } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k - 1 } } ^ { - 1 } \cdots t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } ^ { - 1 } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { - 1 } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 1 } } ^ { - 1 } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } ^ { - 1 } ( \gamma _ { 1 } ^ { l } ) ) } \\ & { = } & { \widetilde { r } ( \gamma _ { 2 } ^ { l - 1 } ) = \gamma _ { 2 } ^ { k - l + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { o c e a n } } \dot { T } } & { { } = - \gamma ( I ) ( T - \theta ) - ( 1 + \mu \; | T - S | ) T , } \\ { \tau _ { \mathrm { o c e a n } } \dot { S } } & { { } = \sigma - ( 1 + \mu \; | T - S | ) \; S . } \end{array}
{ a _ { \alpha } } ^ { \dagger } { \Big | } n _ { 1 } \ldots n _ { \alpha - 1 } n _ { \alpha } n _ { \alpha + 1 } \ldots { \Big \rangle } = { \sqrt { n _ { \alpha } + 1 } } { \Big | } n _ { 1 } \ldots , n _ { \alpha - 1 } , ( n _ { \alpha } + 1 ) , n _ { \alpha + 1 } \ldots { \Big \rangle }
E \left( r \right) = C _ { 1 } + C _ { 2 } \left[ { \int } { \exp } \left[ { - 2 N \left( { \int } \frac { \left( \left( 1 - r \right) p + r \right) \left( 1 - r \right) ^ { q } + \left( 1 - p \right) ( r ^ { q + 1 } + r ^ { q } ) - p \left( 1 - r \right) } { \left( \left( 1 - r \right) p + r \right) \left( 1 - r \right) ^ { q } + \left( 1 - p \right) ( r ^ { q + 1 } - r ^ { q } ) - p \left( 1 - r \right) } \mathrm { d } r \right) } \right] \mathrm { d } r \right] ,
| V _ { u d } | , | V _ { c s } | , | V _ { t b } | \sim 1 , ~ ~ | V _ { u s } | , | V _ { c d } | \sim \lambda , ~ ~ | V _ { c b } | , | V _ { t s } | \sim \lambda ^ { 2 } , ~ ~ | V _ { u b } | , | V _ { t d } | \sim \lambda ^ { 3 } \ .
\boldsymbol { \beta } _ { i } = [ C _ { i } , A _ { i , . } , H _ { i , . } , K _ { i , . } ] ^ { T } , \; \; \mathcal { D } _ { i } ^ { T } = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 1 } } \\ { \mathbf { u } _ { q _ { f } ( i ) } ^ { m } } \\ { { \mathbf { u } _ { q _ { f } ( i ) } ^ { m } } ^ { 2 } } \\ { \mathbf { u } _ { q _ { f } ( i ) } ^ { m } \otimes \partial _ { t } \hat { \mathbf { d } } _ { f } ^ { m } } \end{array} \right] , \; \; \mathbf { y } _ { i } ^ { m + 1 } = [ u _ { i } ^ { t = 2 } \; . . . \; u _ { i } ^ { t = n _ { T _ { 1 } } } ] ^ { T } ,
\partial _ { t } \Delta \phi \approx \boldsymbol { \varphi } _ { 1 } ^ { \dagger } \left( T _ { 0 } / 2 \right) \mathbf { u } _ { 2 } \left( T _ { 0 } / 2 \right) - \boldsymbol { \varphi } _ { 2 } ^ { \dagger } \left( 0 \right) \mathbf { u } _ { 1 } \left( 0 \right) .
\begin{array} { r l } & { \log _ { 2 } \left( \frac { \rho } { 1 \! - \! \rho } \right) \left( 1 \! - \! \frac { p } { q } \right) - \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 q ) - \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 p ) } \\ & { + \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! - \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) + \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! - \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) \, . } \end{array}
\mathbf { A } _ { n } = \mathbf { f } _ { x } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } , { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { 1 } ( - \tau _ { 1 } ) , \ldots , { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { m } ( - \tau _ { d } ) ) , { \mathrm { ~ } } \mathbf { B } _ { n } ^ { i } = \mathbf { f } _ { x _ { t } ( - \tau _ { i } ) } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } , { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { 1 } ( - \tau _ { 1 } ) , \ldots , { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { m } ( - \tau _ { d } ) )
f _ { \mathrm { m 2 } } = \left[ 6 5 2 2 8 1 \pm 1 0 _ { \mathrm { s t a t } } \left( ^ { + 1 1 } _ { - 0 } \right) _ { \mathrm { s y s } } \right] \ensuremath { \, \mathrm { ~ G ~ H ~ z ~ } } .
\frac { { { q } _ { x } } } { \omega } G \left( q \right) \left[ { { \sigma } _ { R } } - { { \sigma } _ { L } } \right] { { \varphi } _ { { { q } _ { y } } } } \left( 0 \right) = \frac { i { { q } _ { x } } } { q _ { x } ^ { 2 } + q _ { y } ^ { 2 } } \left[ { { \varepsilon } _ { L } } - { { \varepsilon } _ { R } } \right] { { \varphi } _ { { { q } _ { y } } } } \left( 0 \right)
( H _ { 1 } ) ^ { - 2 / r } d z _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } d z _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } + . . . + ( H _ { n } ) ^ { - 2 / r } d z _ { n } ^ { m _ { n } } d z _ { n } ^ { m _ { n } } + d x ^ { \gamma } d x ^ { \gamma } ] ,
\begin{array} { r l } { I _ { o } } & { \propto R ^ { 0 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } - R ^ { 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } } \\ & { \propto R ( \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } - \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } ) } \\ & { \propto R ( \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } x _ { i } y _ { i } ) \propto \Vec { x } \cdot \Vec { y } } \end{array} .
\begin{array} { r l } { \frac { d E _ { 1 } } { d t } } & { = [ - 1 + i ( \vert E _ { 1 } \vert ^ { 2 } + B \vert E _ { 2 } \vert ^ { 2 } - \Delta ) ] E _ { 1 } + \sqrt { F } , } \\ { \frac { d E _ { 2 } } { d t } } & { = [ - 1 + i ( \vert E _ { 2 } \vert ^ { 2 } + B \vert E _ { 1 } \vert ^ { 2 } - \Delta ) ] E _ { 2 } + \sqrt { F } , } \end{array}
\rho c \left( T _ { P } - { T _ { P } } ^ { 0 } \right) \Delta V = \int _ { t } ^ { t + \Delta t } \left[ \left( K _ { e } A { \frac { T _ { E } - T _ { P } } { \delta x _ { P E } } } \right) - \left( K _ { w } A { \frac { T _ { P } - T _ { W } } { \delta x _ { W P } } } \right) \right] \, \mathrm { d } t + \int _ { t } ^ { t + \Delta t } { \bar { S } } \Delta V \, \mathrm { d } t
{ \cal G } ( { \bf x } ) \approx \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { { \frac { 1 } { 4 \pi \vert { \bf x } \vert } } \; } } & { { f o r \; \; \; \; \; \beta \ll \vert { \bf x } \vert , } } \\ { { { \frac { \beta } { 4 \pi ^ { 2 } \vert { \bf x } \vert ^ { 2 } } } \; } } & { { f o r \; \; \; \; \; \beta \gg \vert { \bf x } \vert . } } \end{array} \right. \right.
\overline { { { | { \cal M } _ { \pi } ( p _ { a } , p _ { b } , p _ { c } ) | ^ { 2 } } } } = \frac { 2 G ^ { 2 } g _ { \pi q q } ^ { 6 } ( N _ { f } ^ { ( j ) } ) ^ { 2 } s } { N _ { c } } \frac { | A _ { \pi \pi \pi \pi } ( p _ { a } , p _ { b } , p _ { c } ) | ^ { 2 } } { | 1 - 2 G \Pi _ { P S } ( k ^ { 2 } ) | ^ { 2 } }
{ V _ { - J } ^ { ( J ) } } ^ { \dag } = V _ { - J } ^ { ( J ) } \ , \ { V _ { J } ^ { ( J ) } } ^ { \dag } = V _ { J } ^ { ( J ) } \ , \ S _ { ( i ) } ^ { \dag } = S _ { ( i ) } \quad ( \varpi = - \varpi ^ { \ast } )
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { \sqrt { { \sigma } ^ { 2 } + { { \sigma _ { \phi } } } ^ { 2 } } , } \\ { B } & { { } = } & { \sqrt { { \sigma } ^ { 2 } + 2 \, { { \sigma _ { \phi } } } ^ { 2 } } , } \\ { C } & { { } = } & { { \mathrm { e } ^ { - { \frac { \left( { \xi } - { \tau _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } { { \sigma } ^ { 2 } + { { \sigma _ { \phi } } } ^ { 2 } } } } } , } \\ { D } & { { } = } & { { \mathrm { e } ^ { - { \frac { \left( { \xi } - { \tau _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } { { \sigma } ^ { 2 } + 2 \, { { \sigma _ { \phi } } } ^ { 2 } } } } } . } \end{array}
\sin x = { \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } ; \qquad \cos x = { \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } } ; \qquad e ^ { i x } = { \frac { 1 + i t } { 1 - i t } }
\psi = \left( \begin{array} { l l l } { - \psi _ { i } ^ { i } - \psi _ { 0 } ^ { 0 } } & { \mu _ { 0 } } & { \mu _ { j } } \\ { \alpha ^ { 0 } } & { \psi _ { 0 } ^ { 0 } } & { \nu _ { j } } \\ { \alpha ^ { i } } & { \beta ^ { i } } & { \psi _ { j } ^ { i } } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \Psi : = \mathrm { d } \psi + \psi { \, { \wedge } \; } \psi = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { M _ { 0 } } & { M _ { j } } \\ { 0 } & { \Psi _ { 0 } ^ { 0 } } & { V _ { j } } \\ { 0 } & { B ^ { i } } & { \Psi _ { j } ^ { i } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { \alpha } ( \mathbf { x } ) } & { { } = \phi ^ { \alpha } ( \mathbf { r } ) \, \alpha ( w ) } \\ { \Phi ^ { \beta } ( \mathbf { x } ) } & { { } = \phi ^ { \beta } ( \mathbf { r } ) \, \beta ( w ) } \\ { X ^ { \alpha } ( \mathbf { x } ) } & { { } = \chi ^ { \alpha } ( \mathbf { r } ) \, \alpha ( w ) } \\ { X ^ { \beta } ( \mathbf { x } ) } & { { } = \chi ^ { \beta } ( \mathbf { r } ) \, \beta ( w ) \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
F \lbrack \psi ( \cdot ) \rbrack = \int _ { \varphi ( 0 ) = 1 } F \lbrack \varphi ( \cdot ) \rbrack \, \mathrm { e } ^ { \frac { i } { 2 } \, \left( \left\langle \tilde { \varphi } \left\vert d _ { z } - g \vert S \vert ^ { 2 } \right\vert \varphi \right\rangle + c . \, c . \right) } \, \mathscr { D } ^ { 2 } \varphi \, \mathscr { D } ^ { 2 } \tilde { \varphi } ,
W _ { 0 } ( x ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - n ) ^ { n - 1 } } { n ! } } x ^ { n } = x - x ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 2 } } x ^ { 3 } - { \frac { 8 } { 3 } } x ^ { 4 } + { \frac { 1 2 5 } { 2 4 } } x ^ { 5 } - \cdots .
e ^ { - \hat { a } _ { u , 1 , 2 } ^ { \dagger } ( \hat { a } _ { f , 1 , 2 } - 2 \hat { a } _ { f , 1 , 1 } \hat { a } _ { f , 3 , 1 } + \hat { a } _ { f , 3 , 2 } ) - \hat { a } _ { u , 1 , 1 } ^ { \dagger } ( \hat { a } _ { f , 1 , 1 } - \hat { a } _ { f , 3 , 1 } ) } .
\begin{array} { r l } { H _ { c a v } } & { { } = \hbar ( \Delta _ { a } - i \kappa _ { 1 } ) \delta a _ { 1 } ^ { \dagger } \delta a _ { 1 } + \hbar ( \Delta _ { a } + i \kappa _ { 1 } ) \delta a _ { 2 } ^ { \dagger } \delta a _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { E } \, [ \, ( d _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } \ \big \vert \ \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } , \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \, ] = u ^ { 2 } \, ( 1 - p _ { 0 } ( t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \, ) = u \, \vert t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \vert . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { { \mathbf x } _ { k } ^ { n + 1 , i + 1 } - { \mathbf x } _ { k } ^ { n } } { \Delta t } = { \mathbf p } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } - { \mathbf A } _ { h } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } ( { \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } ) , } \\ & { \frac { { \mathbf p } _ { k } ^ { n + 1 , i + 1 } - { \mathbf p } _ { k } ^ { n } } { \Delta t } = - \left( \frac { \partial { \mathbf A } _ { h } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } } { \partial \mathbf x } ( { \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } ) \right) ^ { \top } ( { \mathbf A } _ { h } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } ( { \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } ) - { \mathbf p } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } ) , } \\ & { \frac { { \mathbf a } ^ { n + 1 , i + 1 } - { \mathbf a } ^ { n } } { \Delta t } = T \mathbb { G } \tilde { \Pi } _ { 0 } \left( \ln \left( F \left( \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } S ( { \mathbf x } - { \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } ) \right) \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { M \setminus B } e ^ { C _ { 2 } \theta ^ { - \frac 1 2 } T ^ { - \frac 1 2 } d _ { T _ { \theta } } ( w , z ^ { \prime } ) } \, d v _ { T _ { \theta } } ( w ) } \\ { \le } & { C _ { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \exp \left( C _ { 2 } 2 ^ { k } \theta ^ { - \frac 1 2 } T ^ { - \frac 1 2 } ( 1 - \theta _ { 1 } ) d - \frac { ( 2 ^ { k - 1 } ( 1 - \theta _ { 1 } ) d ) ^ { 2 } } { ( 4 + \epsilon / 4 ) ( 1 - \theta ) T } \right) } \\ { \le } & { C _ { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { ( 2 ^ { k - 1 } ( 1 - \theta _ { 1 } ) d ) ^ { 2 } } { ( 4 + \epsilon / 3 ) ( 1 - \theta ) T } + C _ { 4 } \theta ^ { - 1 } \right) } \\ { \le } & { C _ { 5 } \exp \left( - \frac { ( ( 1 - \theta _ { 1 } ) d ) ^ { 2 } } { ( 4 + \epsilon / 3 ) ( 1 - \theta ) T } + C _ { 4 } \theta ^ { - 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } H ( x ( t ) ) } & { = ( \nabla H ( x ) ) ^ { \top } \dot { x } = - ( \nabla H ( x ) ) ^ { \top } R \nabla H ( x ) + ( \nabla H ( x ) ) ^ { \top } B u ( t ) ) } \\ & { = - ( \nabla H ( x ) ) ^ { \top } R \nabla H ( x ) + y ( t ) ^ { \top } u ( t ) \le y ( t ) ^ { \top } u ( t ) } \\ { \Rightarrow H ( x ( t ) ) } & { = H ( x _ { 0 } ) - \int _ { 0 } ^ { t } ( \nabla H ( x ( \tau ) ) ) ^ { \top } R \nabla H ( x ( \tau ) ) \, \mathrm { d } \tau + \int _ { 0 } ^ { t } y ( \tau ) ^ { \top } u ( \tau ) \mathrm { d } \tau } \\ & { \le H ( x _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { t } y ( \tau ) ^ { \top } u ( \tau ) \mathrm { d } \tau . } \end{array}
( \mathbf { F } _ { i j } ^ { c } ) _ { t } = \textrm { m i n } \left( - k _ { t } \, \delta _ { t } - \gamma _ { t } \, ( \mathbf { U } _ { i j } ^ { p } ) _ { t } , \, \beta _ { s } \, | ( \mathbf { F } _ { i j } ^ { c } ) _ { n } | \; \frac { \delta _ { t } } { | \delta _ { t } | } \right) ,
\begin{array} { l } { { \displaystyle { A _ { \omega _ { 1 , 2 } } = \frac { 3 } { 2 } A _ { K } } , \quad \displaystyle { B _ { \omega _ { 1 , 2 } } = \frac { C _ { g } } { 1 8 } + \frac { 3 } { 2 } B _ { K } } , \quad } } \\ { { \displaystyle { A _ { \omega _ { 3 } } = \frac { 3 } { 2 } A _ { \pi } } , \quad \displaystyle { B _ { \omega _ { 3 } } = \frac { C _ { g } } { 1 8 } + \frac { 3 } { 2 } B _ { \pi } } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { \mathbf { W } } ( \mathbf { A } , \beta ) } & { = \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } \mathbf { A } ^ { 2 } + \mathbf { W } ( \mathbf { S } , \beta ) } \\ { \vec { \mathbf { V } } ( \mathbf { A } , \beta ) } & { = \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } \left( \mathbf { P N } + \mathbf { N P } \right) + \mathbf { V } ( \mathbf { S } , \beta ) } \end{array}
{ \cal L } = { \cal L } ( \omega ) , \; \; \; \; \; \; \; \; \omega = G ^ { \alpha \beta } ( \Phi _ { , \alpha } + A _ { \mu } X _ { , \alpha } ^ { \mu } ) ( \Phi _ { , \beta } + A _ { \mu } X _ { , \beta } ^ { \mu } ) .
\begin{array} { r l } { { 4 } \pi _ { R | R } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) = \pi _ { L | L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { = 1 , } \\ { \pi _ { R | L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) = \pi _ { L | R } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { = 0 , } \\ { \pi _ { R | R } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) = \pi _ { L | L } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) } & { = 0 , } \\ { \pi _ { R | L } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) = \pi _ { L | R } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) } & { = 0 , } \end{array}
\dot { Q } = - \int \left[ \frac { \eta } { 2 } \left( \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { k } } + \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { i } } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i k } \frac { \partial v _ { l } } { \partial x _ { l } } \right) ^ { 2 } + \xi \left( \nabla \cdot { \bf v } \right) ^ { 2 } \right] d V .