harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert _ { A _ { n + 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert _ { A _ { n } ^ { - 1 } } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left\Vert s _ { n } \right\Vert _ { A _ { n } ^ { - 1 } } ^ { 2 } + \lambda _ { n } \left\langle g _ { n } , A _ { n } ^ { - 1 } s _ { n } \right\rangle + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { n } ^ { 2 } \left\Vert g _ { n } \right\Vert _ { A _ { n } ^ { - 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
T _ { 2 } = T _ { 1 } + \left\lceil \frac { 1 } { n \eta } \ln \left( \frac { 1 } { 3 6 \epsilon _ { 2 } } \right) \right\rceil = O \left( \frac { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } { n \eta } \right) + O \left( \frac { \log ( 1 / \epsilon _ { 2 } ) } { n \eta } \right) = O \left( \frac { \log ( 1 / \epsilon _ { 2 } ) } { n \eta } \right) = O \left( \frac { \log n } { n \eta } \right)
\begin{array} { r l } { \| d v ( n _ { \widetilde { g } } - n _ { g } ) \| _ { L ^ { 2 } ( F , \widetilde { g } ) } } & { \le C \| d v ( n _ { \widetilde { g } } - n _ { g } ) \| _ { L ^ { 2 } ( F ) } } \\ & { \le C \| d v \| _ { L ^ { 2 } ( F ) } \| n _ { \widetilde { g } } - n _ { g } \| _ { L ^ { \infty } ( F ) } } \\ & { \le C \| d v \| _ { L ^ { 2 } ( F ) } \| \widetilde { g } - g \| _ { L ^ { \infty } ( F ) } } \\ & { \le C \| d v \| _ { L ^ { 2 } ( F ) } \| g _ { h } - g \| _ { L ^ { \infty } ( F ) } } \end{array}
K _ { n } ( r ^ { \prime } , r ; t ) = \int _ { r } ^ { r ^ { \prime } } [ r \, d r ] B _ { n } [ r ] \exp \left[ i \int _ { 0 } ^ { t } d s \left\{ \frac 1 2 \dot { r } ^ { 2 } - \frac { n ^ { 2 } } { 2 r ^ { 2 } } - V ( r ) \right\} \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \gamma _ { t , l } \gamma _ { t , l } ^ { \top } ] } & { = \mathbb { E } \left[ \left( \sum _ { i = 0 } ^ { l } F _ { \alpha } ( A ) A ^ { i } B u _ { t - i } \right) \left( \sum _ { i = 0 } ^ { l } F _ { \alpha } ( A ) A ^ { i } B u _ { t - i } \right) ^ { \top } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 0 } ^ { l } \left( F _ { \alpha } ( A ) A ^ { i } B u _ { t - i } \right) \left( F _ { \alpha } ( A ) A ^ { i } B u _ { t - i } \right) ^ { \top } \right] } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { l } ( ( F _ { \alpha } ( A ) A ^ { i } B ) ( ( F _ { \alpha } ( A ) A ^ { i } B ) ^ { \top } \, . } \end{array}
a _ { \nu } ^ { \textrm { T M } } = \frac { \eta _ { h } J _ { \nu } ( k _ { h } R ) J ^ { \prime } ( k _ { 1 } R ) - \eta _ { 1 } J _ { \nu } ( k _ { 1 } R ) J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { h } R ) - i \sigma _ { m } \eta _ { 0 } ^ { - 1 } J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { 1 } R ) J _ { \nu } ( k _ { h } R ) - i \sigma _ { e } \eta _ { 0 } \eta _ { 1 } \eta _ { h } J _ { \nu } ( k _ { h } R ) J _ { \nu } ( k _ { 1 } R ) } { \eta _ { 1 } H _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { h } R ) J _ { \nu } ( k _ { 1 } R ) - \eta _ { h } H _ { \nu } ( k _ { h } R ) J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { 1 } R ) + i \sigma _ { e } \eta _ { 1 } \eta _ { h } \eta _ { 0 } H _ { \nu } ( k _ { h } R ) J _ { \nu } ( k _ { 1 } R ) + i \sigma _ { m } \eta _ { 0 } ^ { - 1 } H _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { h } R ) J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { 1 } R ) }
{ \frac { d L _ { \nu _ { \alpha } } } { d t } } = { \frac { - 3 \beta ^ { 2 } \omega _ { 0 } } { 1 6 } } \left[ \langle \cos \int _ { t - \tau } ^ { t } \lambda d t ^ { \prime } \rangle - \langle \cos \int _ { t - \tau } ^ { t } \bar { \lambda } d t ^ { \prime } \rangle \right] .
\alpha _ { g } = 1 . 5 , \alpha _ { a } = 0 . 5 , J _ { 2 } = - 0 . 0 6 , h = 1 . 9 8 , \hat { s } = 1 5 , \eta = 0 . 9 5 , d = 1 0 ^ { - 4 } , l = 0 , b = 0 . 7 8 , c = 4 . 9 7 \cdot 1 0 ^ { - 4 } , s = 1 . 0
\begin{array} { r l } { \nabla \nabla } & { { } = \widehat { n } \otimes \partial _ { \sigma } ( \widehat { n } \partial _ { \sigma } + J ^ { - 1 } \cdot \nabla _ { \! \bot } ) + J ^ { - 1 } \cdot \nabla _ { \! \bot } ( \widehat { n } \partial _ { \sigma } + J ^ { - 1 } \cdot \nabla _ { \! \bot } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { \mu } ^ { \vec { k } } ( \vec { r } ) = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { \mathrm { ~ U ~ C ~ } } } } \sum _ { \vec { L } } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \vec { k } \cdot \vec { L } } \xi _ { \mu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ^ { l } \| x \| _ { P _ { s ( e ) } } + } & { W \sqrt { \frac { \lambda ^ { \operatorname* { m a x } } \left( P _ { t ( e ) } \right) } { \lambda ^ { \operatorname* { m i n } } \left( P _ { s ( e ) } \right) } } \sqrt { \lambda ^ { \operatorname* { m i n } } \left( P _ { s ( e ) } \right) } } \\ & { < \| A _ { e } x + w \| _ { P _ { t ( e ) } } + \sqrt { \lambda ^ { \operatorname* { m a x } } \left( P _ { t ( e ) } \right) } \| w \| } \\ & { < \| A _ { e } x + w \| _ { P _ { t ( e ) } } + \sqrt { \lambda ^ { \operatorname* { m a x } } \left( P _ { t ( e ) } \right) } W , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { { } = \epsilon \int d ^ { 2 } k \ { \sqrt { v ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } } e ^ { - v ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } } \cos ( \omega t - k \cdot x ) , } \\ { A _ { 2 } } & { { } = - \epsilon \int d ^ { 2 } k \ { \sqrt { v ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } } e ^ { - v ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } } \cos ( \omega t - k \cdot x - \varphi ( k ) ) , } \end{array}
- \sum _ { i = 1 } ^ { | V ^ { V } | } \left\{ \frac { \partial ^ { 2 } \delta v _ { x , i } ^ { V } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \delta v _ { x , i } ^ { V } } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \delta v _ { y , i } ^ { V } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \delta v _ { y , i } ^ { V } } { \partial y ^ { 2 } } \right\} \; \; .
\left\vert \psi ( t ) \right\rangle = \sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } e ^ { \mu _ { 3 } } e ^ { - \frac { i } { \hslash } g t \hat { \sigma } \hat { b } _ { 2 } } e ^ { e ^ { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } e ^ { \mu _ { 2 } \hat { \sigma } ^ { \dagger } \hat { \sigma } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle \left\vert A \right\rangle .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta _ { 1 } } J ( \left[ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \right] ) } & { = \mathbb { E } _ { s \sim \mu } [ \nabla _ { \theta _ { 1 } } [ \int _ { k = 0 } ^ { 1 } \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( k | s ) r ( s , k , \theta _ { 2 } ) d k ] ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { s \sim \mu , k \sim \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( \cdot | s ) } [ \nabla _ { \theta _ { 1 } } \log \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( k | s ) r ( s , k , \theta _ { 2 } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \in x _ { 1 } + a _ { 2 } x _ { 2 } + a _ { 3 } x _ { 3 } + a _ { 4 } x _ { 4 } } \\ { 0 } & { \in ( b _ { 2 } - a _ { 2 } ) x _ { 2 } + ( b _ { 3 } - a _ { 3 } ) x _ { 3 } + ( b _ { 4 } - a _ { 4 } ) x _ { 4 } } \\ { 0 } & { \in [ ( b _ { 2 } - a _ { 2 } ) ( c _ { 2 } - a _ { 2 } ) - ( c _ { 2 } - a _ { 2 } ) ( b _ { 3 } - a _ { 3 } ) ] x _ { 3 } + [ ( b _ { 2 } - a _ { 2 } ) ( c _ { 4 } - a _ { 4 } ) - ( c _ { 2 } - a _ { 2 } ) ( b _ { 4 } - a _ { 4 } ) ] x _ { 4 } } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ d ~ c ~ } } = G _ { \mathrm { ~ b ~ } } ( T _ { \mathrm { ~ h ~ } } - T _ { 0 } ) + G _ { \mathrm { ~ g ~ } } ( T _ { \mathrm { ~ h ~ } } - T _ { \mathrm { ~ c ~ } } ) + G _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } ( T _ { \mathrm { ~ h ~ } } - T _ { 0 } ) { , }
- \ln { p ^ { \prime \prime } ( s , \boldsymbol { \beta } ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { y } - h ( \mathbf { s } ) \right) ^ { \mathrm { T } } \mathbf { R } ^ { - 1 } \left( \mathbf { y } - h ( \mathbf { s } ) \right) + \left( \mathbf { s } - \mathbf { X } \boldsymbol { \beta } \right) ^ { \mathrm { T } } \mathbf { Q } ^ { - 1 } \left( \mathbf { s } - \mathbf { X } \boldsymbol { \beta } \right)
\begin{array} { r l r } { \overline { { A } } _ { 0 r } } & { = } & { \overline { { A } } _ { 0 i } \frac { n ^ { 2 } \cos \theta _ { i } - \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } { n ^ { 2 } \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 t } } & { = } & { \overline { { A } } _ { 0 i } \frac { 2 n \cos \theta _ { i } } { n ^ { 2 } \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { A _ { 0 r } } & { = } & { \frac { \phi _ { 0 r } } { c } = \overline { { A } } _ { 0 i } \frac { \left( n ^ { 2 } - 1 \right) \sin \theta _ { i } } { n ^ { 2 } \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { A _ { 0 t } } & { = } & { \frac { \phi _ { 0 t } } { c } = A _ { 0 i } + A _ { 0 r } . } \end{array}
\frac { 1 } { \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } t } = \frac { - 1 } { n _ { \mathrm { ~ v ~ } } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } t } .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \omega \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } r ( x , T ) d x } \\ & { \quad + o ( { \varDelta } x ) \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x . } \end{array}
\frac { \partial \underset { - } { F } } { \partial \underset { - } { q } } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 / 2 } & { 0 } \\ { Q _ { 1 1 } } & { Q _ { 1 2 } } & { Q _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { D _ { 1 } } \\ { Q _ { 2 1 } } & { Q _ { 2 2 } } & { Q _ { 2 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { D _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \| \mathbb E g _ { n } ( \theta ) - \mathbb E \hat { f } _ { n } ( \theta ) \| _ { \mathrm { H S } } } & { \le \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \sum _ { w \in \mathbb { T } _ { n } } \sum _ { v \in \mathbb { T } _ { n } } \iint _ { t , s \in T _ { n } } \| C ( t - s ) - C ( w - v ) \| _ { \mathrm { H S } } | L _ { n } ( w - v ) | d t d s } \\ & { + \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \sum _ { w \in \mathbb { T } _ { n } } \sum _ { v \in \mathbb { T } _ { n } } \iint _ { t , s \in T _ { n } } \| C ( t - s ) \| _ { \mathrm { H S } } | L _ { n } ( t - s ) - L _ { n } ( w - v ) | d s d t } \\ & { = : I _ { n } + J _ { n } , } \end{array}
\sigma _ { T } ^ { 2 } : = \mathrm { v a r } ( \hat { T } ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { p } } \mathrm { v a r } ( x _ { i } y _ { i } ) } { m _ { p } ^ { 2 } \sigma _ { x } ^ { 4 } } \simeq \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { m _ { p } \sigma _ { x } ^ { 2 } } + \frac { 2 \tau } { m _ { p } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ { \sf s g n } \! \left( \! \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { n } ^ { t } } \! \! \! { \sf T o p K S i g n } ( g _ { m , n } ^ { t } ) \right) \! \neq \! { \sf s i g n } \left( { \bar { g } } _ { n } ^ { t } \right) \right] } & { \! = \! \mathbb { P } \left[ Z _ { n } ^ { t } \! \geq \! \frac { M _ { n } ^ { t } } { 2 } \right] . } \end{array}
\mathcal { F } [ h , \zeta ] = \int \left[ f _ { \mathrm { c a p } } ( h , \zeta ) + \xi _ { \zeta } f _ { \mathrm { w e t } } ( h , \zeta ) + g _ { \mathrm { b r u s h } } ( \zeta ) \right] \mathrm { d } ^ { 2 } x .
\begin{array} { r l } { \hat { e } _ { - 1 } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \hat { x } - i \hat { y } ) } \\ { \hat { e } _ { 0 } } & { { } = \hat { z } } \\ { \hat { e } _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \hat { x } + i \hat { y } ) . } \end{array}
{ \cal I } = { \frac { g ^ { 4 } } { 2 } } \int \! { \frac { d q ^ { 0 } } { 2 \pi } } \int \! { \frac { d ^ { 4 } \ell _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \int \! { \frac { d ^ { 4 } \ell _ { 4 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \ { \cal W } .
( \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { 0 } , \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { 0 } ) \mapsto ( \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { n } , \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { n } )
\langle \mathrm { ~ E ~ P ~ E ~ } \rangle = \frac { 1 } { V } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } \int _ { \rho _ { b } } ^ { \rho _ { t } } \frac { g } { 2 \rho _ { 0 } } \left( \overline { { z ^ { 2 } } } - \overline { { z } } ^ { 2 } \right) \; \mathrm { d } \rho \ \mathrm { d } y \ \mathrm { d } x ,
( \mathfrak { g } ( D _ { n } ) \ensuremath { \boldsymbol { A } } ( \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { n } ) + \mathfrak { g } ( D _ { n + 1 } ) \ensuremath { \boldsymbol { A } } ( \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { n + 1 } ) ) / 2
\frac { 3 K _ { 0 } K _ { 2 } } { 2 } - \frac { K _ { 0 } K _ { 2 } } { 8 } \Delta _ { k } - \frac { K _ { 0 } ^ { 2 } K _ { 2 } } { 1 6 } \eta _ { k } \Delta _ { k } - \frac { K _ { 0 } } { 8 } - K _ { 3 } \geq \frac { 3 K _ { 0 } K _ { 2 } } { 2 } - \frac { K _ { 0 } K _ { 2 } } { 8 } - \frac { K _ { 0 } K _ { 2 } } { 1 6 } - \frac { K _ { 0 } K _ { 2 } } { 8 } - \frac { K _ { 0 } K _ { 2 } } { 8 } = \frac { 1 7 K _ { 0 } K _ { 2 } } { 1 6 } > 0 .
m _ { \xi i j } ^ { \nu } = ( 0 . 4 ~ \mathrm { e V } ) \times \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
G ( s , t ) = \exp \Big ( \frac { b _ { n } \mu ( s - 1 ) } { \lambda + \alpha } ( e ^ { \alpha t } - e ^ { - \lambda t } ) + \frac { \nu } { \lambda } ( s - 1 - e ^ { - \lambda t } ( s - 1 ) ) \Big ) ( 1 + e ^ { - \lambda t } ( s - 1 ) ) ^ { x _ { 0 } } .
\frac { \partial } { \partial N } ( - \log Z _ { N } ( g ) ) - \frac { 1 } { 2 } \log \frac { N g _ { 1 } } { 2 \pi } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \delta g _ { k } \frac { \partial } { \partial g _ { k } } ( - \log Z _ { N } ( g ) ) .
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \xi \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \lambda } \sin \left( \left( \xi + \lambda \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \kappa } \sin \left( \left( \xi + \kappa \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \xi - \alpha - \beta \right) \pi \right) } \end{array}
\forall x \in E , \; \; \phi _ { N } ( x ) = \sum _ { \substack { 1 \leq n \leq n _ { \operatorname* { m a x } } \, 0 \leq s \leq n } } \mathbf { 1 } _ { \left\{ \mathbf { n } ( x ) = n , \, \mathbf { s } ( x ) = s \right\} } \sum _ { k = 1 } ^ { m ( n , s ) } \sum _ { j \in J _ { N } ( k ) } \varphi _ { k } ^ { n - s } ( z _ { k , j } ^ { N } ) \mathbf { 1 } _ { B _ { k , j } ^ { N } } ( \tau _ { 1 , n - s } ( x ) ) .
\begin{array} { r l } & { \mu _ { V , W } ^ { T } \alpha _ { T ( V ) , T ( B ) , T ( N ) } ( \mathsf { I d } _ { T ( V ) } \otimes a _ { T ( W ) } ^ { l } ) ( ( ( \delta _ { g _ { i } } \otimes v ) \otimes ( \delta _ { g _ { j } } \otimes n ) ) \otimes ( \delta _ { g _ { k } } \otimes w ) ) } \\ & { \quad = \frac { \delta _ { j , k } \omega \big ( g _ { i } | v | g _ { i } ^ { - 1 } , g _ { j } n g _ { j } ^ { - 1 } , g _ { k } | w | g _ { k } ^ { - 1 } \big ) ^ { - 1 } } { \gamma ( g _ { j } ) ( n , | w | ) } \mu _ { V , W } ^ { T } \big ( ( \delta _ { g _ { i } } \otimes v ) \otimes _ { B } \big ( \delta _ { g _ { j } } \otimes \big ( w \cdot | w | ^ { - 1 } n | w | \big ) \big ) \big ) } \\ & { \quad = \frac { \delta _ { i , j } \delta _ { j , k } \omega \big ( g _ { i } | v | g _ { i } ^ { - 1 } , g _ { i } n g _ { i } ^ { - 1 } , g _ { i } | w | g _ { i } ^ { - 1 } \big ) ^ { - 1 } } { \gamma ( g _ { i } ) ( n , | w | ) \gamma ( g _ { i } ) ( | v | , n | w | ) } ( \delta _ { g _ { i } } \otimes \big ( v \otimes _ { B } \big ( w \cdot | w | ^ { - 1 } n | w | \big ) \big ) } \\ & { \quad \stackrel { \mathrm { L e m m a ~ } } { = } \frac { \delta _ { i , j } \delta _ { j , k } \omega ( | v | , n , | w | ) ^ { - 1 } } { \gamma ( g _ { i } ) ( | v | , n ) \gamma ( g _ { i } ) ( | v | n , | w | ) } ( \delta _ { g _ { i } } \otimes \big ( v \otimes _ { B } 0 \big ( w \cdot | w | ^ { - 1 } n | w | \big ) \big ) } \\ & { \quad = \frac { \delta _ { i , j } \delta _ { j , k } } { \gamma ( g _ { i } ) ( | v | , n ) \gamma ( g _ { i } ) ( | v | n , | w | ) } ( \delta _ { g _ { i } } \otimes ( v \cdot n \otimes _ { B } w ) ) } \\ & { \quad = \mu _ { V , W } ^ { T } ( a _ { T ( V ) } ^ { r } \otimes \mathsf { I d } _ { T ( W ) } ) ( ( ( \delta _ { g _ { i } } \otimes v ) \otimes ( \delta _ { g _ { j } } \otimes n ) ) \otimes ( \delta _ { g _ { k } } \otimes w ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } p _ { g } ( w , s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) d w = \frac { \sqrt { \pi } \, \Gamma ( \frac { N - 1 } { 2 } ) } { 2 ^ { N - 2 } \mu ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } } \left[ I _ { \frac { N - 2 } { 2 } } \left( \frac { s \mu } { 2 } \right) + I _ { \frac { N } { 2 } } \left( \frac { s \mu } { 2 } \right) \right] \frac { 1 } { s ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } Q _ { \alpha \beta } + u _ { \gamma } \partial _ { \gamma } Q _ { \alpha \beta } - S _ { \alpha \beta } = \Gamma H _ { \alpha \beta } , } \\ & { \partial _ { \beta } u _ { \beta } = 0 , } \\ & { \rho \partial _ { t } u _ { \alpha } + \rho u _ { \beta } \partial _ { \beta } u _ { \alpha } = \partial _ { \beta } [ 2 \eta D _ { \alpha \beta } + \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { n } } - \zeta Q _ { \alpha \beta } ] , } \\ & { \partial _ { t } \phi + \partial _ { \beta } ( \phi u _ { \beta } ) = M \nabla ^ { 2 } \mu , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { S } _ { \mathcal { Q } _ { \frac { M } { V } } ^ { V } } = } & { \Big \{ \mathrm { e } ^ { j \frac { 2 \pi v } { V } } \big ( \sum _ { l _ { 1 } ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 1 } } X _ { l _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ( I ) } } + \mathrm { e } ^ { j \frac { 2 \pi } { V } } \sum _ { l _ { 2 } ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 2 } } X _ { l _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ( Q ) } } \big ) | v = 0 , } \\ & { \quad \cdots , V - 1 ; l _ { 1 } , l _ { 2 } = 1 , \cdots , \sqrt { \frac { M } { V } } \Big \} , } \end{array}
\lambda ( L , n , k _ { 1 } , k _ { 3 } , M _ { 1 } , M _ { 3 } ) = \sqrt { \frac { C _ { n / 2 } ^ { k _ { 3 } } C _ { n / 2 + k _ { 3 } } ^ { k _ { 1 } } C _ { ( L - n ) / 2 } ^ { M _ { 3 } - k _ { 3 } } C _ { ( L - n ) / 2 + M _ { 3 } - k _ { 3 } } ^ { M _ { 1 } - k _ { 1 } } } { C _ { L / 2 } ^ { M _ { 3 } } C _ { L / 2 + M _ { 3 } } ^ { M _ { 1 } } } } .
\begin{array} { r l r } { P _ { t } } & { \equiv } & { m _ { o } c \frac { d r _ { t } } { d s } + \frac { q } { c } \left( \overline { { A } } _ { t } ^ { ( e x t ) } + \overline { { A } } _ { t } ^ { ( p l ) } + 2 \overline { { A } } _ { t } ^ { ( R R ) } ( r ) \right) , } \\ { P _ { z } } & { \equiv } & { m _ { o } c \frac { d r _ { z } } { d s } + \frac { q } { c } \left( \overline { { A } } _ { z } ^ { ( e x t ) } + \overline { { A } } _ { z } ^ { ( p l ) } + 2 \overline { { A } } _ { z } ^ { ( R R ) } ( r ) \right) . } \end{array}
C - { \frac { p } { 3 C } } \quad { \mathrm { w i t h } } \quad C = { \sqrt [ [object Object] ] { - { \frac { q } { 2 } } + { \sqrt { { \frac { q ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { p ^ { 3 } } { 2 7 } } } } } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { U ^ { * } = \overline { { U } } + \frac { p _ { L } - p _ { R } } { c ( \rho _ { L } + \rho _ { R } ) } , } \\ { p ^ { * } = \overline { { P } } + \frac { \rho _ { L } \rho _ { R } \beta ( U _ { L } - U _ { R } ) } { \rho _ { L } + \rho _ { R } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { C _ { n } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) \mathrm { d } U ( s ) } \\ & { = - \gamma U _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) e ^ { - \gamma s } \mathrm { d } s - \gamma \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) \Big ( \int _ { 0 } ^ { s } e ^ { - \gamma ( s - u ) } \mathrm { d } L ( u ) \Big ) \mathrm { d } s + \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) \mathrm { d } L ( s ) } \\ & { = : I _ { 1 , n } ( t ) + I _ { 2 , n } ( t ) + I _ { 3 , n } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { \hat { \theta } _ { a } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } } \right\| } & { = \left\| { \hat { \theta } _ { a } U ^ { T } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } U ^ { T } } \right\| } \\ & { = \left\| { \hat { \theta } _ { a } U ^ { T } - \theta _ { a } ^ { * } U ^ { * T } + \theta _ { a } ^ { * } U ^ { * T } - \theta _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { * } U ^ { * T } + \theta _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { * } U ^ { * T } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } U ^ { T } } \right\| } \\ & { \geq \left\| { \theta _ { a } ^ { * } U ^ { * T } - \theta _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { * } U ^ { * T } } \right\| - 2 \operatorname* { m a x } _ { b \in [ k ] } \left\| { \theta _ { b } ^ { * } U ^ { * T } - \hat { \theta } _ { b } U ^ { T } } \right\| } \\ & { = \left\| { \theta _ { a } ^ { * } - \theta _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { * } } \right\| - 2 \operatorname* { m a x } _ { b \in [ k ] } \left\| { \theta _ { b } ^ { * } U ^ { * T } - \hat { \theta } _ { b } U ^ { T } } \right\| } \\ & { \geq \sqrt { n _ { a } + n _ { z _ { i } ^ { * } } } ( p - q ) - 2 C _ { 2 } \beta ^ { - 0 . 5 } k \sqrt { p } , } \end{array}
S _ { 2 1 } ^ { \mathrm { c a l } } = \frac { k S _ { 2 1 } ^ { \mathrm { r a w } } u } { v } , \qquad S _ { 1 2 } ^ { \mathrm { c a l } } = \frac { S _ { 1 2 } ^ { \mathrm { r a w } } / k } { v } ,
\begin{array} { r l } { \ddot { x } + \frac { g } { l _ { e q } } x } & { { } = 0 , } \\ { \ddot { y } + \frac { g } { l _ { e q } } y } & { { } = 0 , } \\ { \ddot { z } + \frac { 3 k } { m } z } & { { } = 0 , } \\ { \ddot { \psi } + \frac { m g R ^ { 2 } } { I _ { z } l _ { e q } } \psi } & { { } = 0 . } \end{array}
\bf { M } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l } { 0 . 5 } & { - 0 . 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 0 . 5 } & { 1 } & { - 0 . 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 0 . 5 } & { 1 } & { - 0 . 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 0 . 5 } & { 1 } & { - 0 . 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 0 . 5 } & { 1 } & { - 0 . 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 0 . 5 } & { 1 } & { - 0 . 5 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 0 . 5 } & { 1 } & { - 0 . 5 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 0 . 5 } & { 1 } & { - 0 . 5 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 0 . 5 } & { 0 . 5 } \end{array} \right)
V ( \overline { { { \rho } } } ) = \frac { 3 } { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \ln ( p ^ { 2 } + e ^ { 2 } \overline { { { \rho } } } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \overline { { { \rho } } } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 4 } \overline { { { \rho } } } ^ { 4 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { - } ( \bar { \Phi } ( \bar { \mathbf { z } } ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \bar { \mathbf { z } } ^ { \top } \mathbf { \Sigma } ( \bar { \mathbf { z } } ) ^ { - 1 } \bar { \mathbf { z } } , } \\ { \quad \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { + } ( \bar { \Phi } ( \bar { \mathbf { z } } ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \bar { \mathbf { z } } ^ { \top } \mathbf { \Sigma } ( \bar { \mathbf { z } } ) \bar { \mathbf { z } } } \end{array}
\sin ^ { n } \theta = { \frac { 2 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { k = 0 } ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } ( - 1 ) ^ { \left( { \frac { n - 1 } { 2 } } - k \right) } { \binom { n } { k } } \sin { { \big ( } ( n - 2 k ) \theta { \big ) } }
\begin{array} { r l } { b _ { 1 } } & { { } = \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } - a _ { 3 } } { a _ { 1 } } , \; \; b _ { 3 } = \frac { a _ { 1 } a _ { 4 } - a _ { 5 } } { a _ { 1 } } , } \\ { c _ { 1 } } & { { } = \frac { b _ { 1 } a _ { 3 } - a _ { 1 } b _ { 2 } } { b _ { 1 } } , \; \; d _ { 1 } = \frac { c _ { 1 } b _ { 3 } - b _ { 1 } c _ { 2 } } { c _ { 1 } } . } \end{array}