harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left( \mathbb { M } _ { 1 } - \frac { \Delta t } { 2 } \mathbb { C } ^ { \top } \mathbb { Q } ^ { b b } ( { \mathbf b } _ { i } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \mathbb { C } \right) { \mathbf b } _ { i + 1 } ^ { n + 1 } = \mathbb { M } _ { 1 } { \mathbf b } ^ { n } + \frac { \Delta t } { 2 } \mathbb { C } ^ { \top } \mathbb { Q } ^ { b b } ( { \mathbf b } _ { i } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \mathbb { C } { \mathbf b } ^ { n } , \ { \mathbf b } _ { i } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } = \frac { { \mathbf b } ^ { n } + { \mathbf b } _ { i } ^ { n } } { 2 } . } \end{array}
\mathrm { ~ L ~ o ~ w ~ t ~ e ~ m ~ p ~ e ~ r ~ a ~ t ~ u ~ r ~ e ~ l ~ i ~ m ~ i ~ t ~ : ~ } \left\{ \begin{array} { l l } { I _ { 0 K } \approx I _ { e x a c t } } \\ { G _ { 0 K } \approx G _ { e x a c t } } \end{array} \right.
\frac { \delta } { \delta F _ { \mu \nu } ( x ) } \left( \int d ^ { 6 } x \; F _ { \mu \nu } ^ { 2 } - \lambda ( \frac { 1 } { 4 8 \pi ^ { 3 } } \int d ^ { 6 } x \; F \wedge F \wedge F - k ) \right)
\xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) = 1 + \tilde { \xi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \boldsymbol k \alpha , t ) , \qquad \qquad \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) = 1 + \tilde { \xi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \boldsymbol k \alpha , t ) ,
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { O u t p u t } \rangle } & { = } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , 2 \delta { \it \Psi } _ { \mathrm { t } } ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \pi / 2 ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , - 2 \delta { \it \Psi } _ { \mathrm { t } } ) | \mathrm { P o r t \ 1 } ^ { \prime } \rangle , } \end{array}
\sigma _ { i } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , t ) + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \zeta _ { i , j } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , t ) { \dot { q } } _ { j } ^ { p } = 0 , \qquad i = 1 , \dots , k
\begin{array} { r l } { \bar { \omega } } & { = \omega _ { j } ^ { \circ } , } \\ { 0 } & { = \omega ^ { \mathrm { d } } - \omega _ { j } ^ { \circ } + \kappa _ { j } P _ { j } ^ { \mathrm { d } } - \kappa _ { j } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } B _ { j , \ell } E _ { j } ^ { \circ } E _ { \ell } ^ { \circ } \sin ( \delta _ { j , \ell } ^ { \circ } ) , } \\ { 0 } & { = E _ { j } ^ { \mathrm { d } } - E _ { j } ^ { \circ } + \chi _ { j } Q _ { j } ^ { \mathrm { d } } + \chi _ { j } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } B _ { j , \ell } E _ { j } ^ { \circ } E _ { \ell } ^ { \circ } \cos ( \delta _ { j , \ell } ^ { \circ } ) , } \end{array}
\widetilde { \cal F } = \left( \begin{array} { c c } { { F - \Phi \Phi ^ { \dag } + \psi + \bar { \psi } + m + \lambda + \bar { m } } } & { { i ( D \Phi + \xi + \bar { \xi } ) } } \\ { { i ( D \Phi ^ { \dag } + \xi ^ { \dag } + \bar { \xi } ^ { \dag } ) } } & { { F - \Phi ^ { \dag } \Phi + \psi + \bar { \psi } + m + \lambda + \bar { m } } } \end{array} \right)
{ \begin{array} { r l } { { \hat { H } } _ { D } = } & { 2 g _ { \mathrm { I } } \mu _ { \mathrm { N } } \mu _ { \mathrm { B } } { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } { \frac { 1 } { L _ { z } } } \sum _ { i } { \frac { { \hat { \ell } } _ { z i } } { r _ { i } ^ { 3 } } } \mathbf { I } \cdot \mathbf { L } } \\ & { + g _ { \mathrm { I } } \mu _ { \mathrm { N } } g _ { \mathrm { s } } \mu _ { \mathrm { B } } { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } { \frac { 1 } { S _ { z } } } \sum _ { i } { \frac { { \hat { s } } _ { z i } } { r _ { i } ^ { 3 } } } \left\{ 3 \left( \mathbf { I } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } \right) \left( \mathbf { S } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } \right) - \mathbf { I } \cdot \mathbf { S } \right\} } \\ & { + { \frac { 2 } { 3 } } g _ { \mathrm { I } } \mu _ { \mathrm { N } } g _ { \mathrm { s } } \mu _ { \mathrm { B } } \mu _ { 0 } { \frac { 1 } { S _ { z } } } \sum _ { i } { \hat { s } } _ { z i } \delta ^ { 3 } { \left( \mathbf { r } _ { i } \right) } \mathbf { I } \cdot \mathbf { S } . } \end{array} }
\frac { \Gamma ( B \to X _ { s } \gamma ) } { \Gamma ( B \to X _ { c } e \bar { \nu } _ { e } ) } \simeq \frac { \Gamma ( b \to s \gamma ) } { \Gamma ( b \to c e \bar { \nu } _ { e } ) } \equiv R _ { \mathrm { q u a r k } } ,
\frac { V _ { g } } { 8 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { M } E _ { j } ^ { 2 } + m c ^ { 2 } \sqrt { 1 + p ^ { 2 } } = \frac { V _ { g } } { 8 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { M } { E _ { j } ^ { + } } ^ { 2 } + m c ^ { 2 } \sqrt { 1 + \sigma ^ { 2 } { p ^ { + } } ^ { 2 } } .
k ^ { ( 1 ) } \frac { \beta ^ { ( 1 ) } } { 1 + \beta ^ { ( 1 ) } } + k ^ { ( 1 , 0 ) } \frac { 2 \beta ^ { ( 1 ) } ( 1 + \beta ^ { ( 1 ) } ) } { 1 + 2 \beta ^ { ( 1 ) } ( 1 + \beta ^ { ( 1 ) } ) } + k ^ { ( 1 , 1 ) } \frac { \beta ^ { ( 1 ) } ( 2 + 2 \beta ^ { ( 1 ) } + \beta ^ { ( 2 ) } ) } { 1 + \beta ^ { ( 1 ) } ( 2 + 2 \beta ^ { ( 1 ) } + \beta ^ { ( 2 ) } ) } = 1
S _ { k } w _ { 2 k - 1 } = \bar { w } _ { 2 k - 1 } , \qquad S _ { k } w _ { 2 k } = \bar { w } _ { 2 k } , \qquad S _ { k } w _ { j } = 0 \mathrm { ~ f " u r ~ } j > 2 k .
\varpi _ { \infty } v _ { \phi , \infty } \Omega _ { 0 } - \frac { 3 } { 2 } ( G { M _ { \ast } } ) ^ { 2 / 3 } \Omega _ { 0 } ^ { 2 / 3 } - \frac { v _ { p , \infty } ^ { 2 } + v _ { \phi , \infty } ^ { 2 } } { 2 } \approx 0
\begin{array} { r l } { \mathcal { Y } ( z ) } & { { } = \mathcal { Y } ( 0 ) \, e ^ { 2 i \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z } , } \\ { \mathcal { Y } ( L ) } & { { } = \mathcal { Y } ( 0 ) \, e ^ { 2 i \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k L } . } \end{array}
3 . 1 4 1 5 9 2 { \underline { { 4 } } } 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 { \underline { { 4 } } } 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 { \underline { { 7 } } } 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 { \underline { { 8 7 3 } } } 0 5 8 . . .
{ \cal A } ^ { ( 1 ) } = \sqrt { 2 } d y _ { 0 } \wedge d z _ { 1 } H _ { 1 } ^ { - 1 } , ~ ~ { \cal A } ^ { ( 2 ) } = \sqrt { 2 } d y _ { 0 } \wedge d z _ { 2 } H _ { 2 } ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { ( F ( j _ { 1 } + 1 ) } & { - F ( j _ { 1 } ) ) - ( F ( j _ { 1 } ) - F ( j _ { 1 } - 1 ) ) } \\ & { = C \alpha ( \alpha - 1 ) \left( j _ { 1 } \frac { \Gamma \left( - 1 + \frac { \alpha } { 2 } + j _ { 1 } \right) } { \Gamma \left( 2 - \frac { \alpha } { 2 } + j _ { 1 } \right) } - ( j _ { 1 } + j _ { 2 } + j _ { 3 } ) \frac { \Gamma \left( - 1 + \frac { \alpha } { 2 } + j _ { 1 } + j _ { 2 } + j _ { 3 } \right) } { \Gamma \left( 2 - \frac { \alpha } { 2 } + j _ { 1 } + j _ { 2 } + j _ { 3 } \right) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { R } _ { x } \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) \mathcal { R } _ { y } \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { t _ { 0 } = t _ { E } \, , \qquad t _ { 1 } = t _ { S } \, , \qquad \sigma _ { i } ( t _ { 0 } ) = \sigma _ { i } ( t _ { E } ) = ( \partial / \partial y _ { i } ) L ( \vec { y } ( t _ { E } ) ) \, , } \\ & { h _ { i j } ( t _ { 0 } ) = h _ { i j } ( t _ { E } ) = ( \partial ^ { 2 } / \partial y _ { i } \partial y _ { j } ) L ( \vec { y } ( t _ { E } ) ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \bar { r } } \frac { \partial } { \partial \bar { r } } \left[ \bar { r } \int _ { 0 } ^ { h ( \bar { r } ) } \frac { { \partial } \bar { p } } { { \partial } \bar { r } } \left( \frac { { \bar { z } } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { { \bar { z } h ( \bar { r } ) } } { 2 } \right) d \bar { z } \right] = 1
\begin{array} { r } { \textbf { H } ( \textbf { x } _ { i } ) = \displaystyle \sum _ { j , j \neq i } ^ { N } \textbf { H } _ { j } ( \textbf { m } _ { j } , \textbf { r } _ { i j } ) = \displaystyle \sum _ { j , j \neq i } ^ { N } \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { 3 \hat { \textbf { r } } _ { i j } ( \textbf { m } _ { j } \cdot \hat { \textbf { r } } _ { i j } ) - \textbf { m } _ { j } } { r _ { i j } ^ { 3 } } , } \end{array}
\frac { \mathcal { Z } _ { X _ { p } } ^ { ( 0 | \bar { \ell } ) } ( \xi , g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } _ { X _ { p } } ^ { ( 0 | 0 ) } ( \xi , g _ { \mathrm { s } } ) } \simeq \frac { G _ { 2 } ( \bar { \ell } + 1 ) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \bar { \ell } / 2 } } \, { \mathrm { e } } ^ { + \frac { \bar { \ell } } { g _ { \mathrm { s } } } A ( \xi ) } \left( - \frac { g _ { \mathrm { s } } \left( x ^ { \star } \right) ^ { 2 } \left( a - b \right) ^ { 2 } } { 1 6 \left( x ^ { \star } - a \right) ^ { 3 / 2 } \left( x ^ { \star } - b \right) ^ { 3 / 2 } \left\{ p \sqrt { a b } - \left( p - 2 \right) x ^ { \star } \right\} } \right) ^ { \frac { \bar { \ell } ^ { 2 } } { 2 } } + \cdots .
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( a { \mathbf b } ) = } & { \frac { \partial } { \partial x } ( a b _ { x } ) + \frac { \partial } { \partial y } ( a b _ { y } ) + \frac { \partial } { \partial z } ( a b _ { z } ) } \\ { = } & { \frac { \partial a } { \partial x } b _ { x } + \frac { \partial a } { \partial y } b _ { y } + \frac { \partial a } { \partial z } b _ { z } + a \frac { \partial b _ { x } } { \partial x } + a \frac { \partial b _ { y } } { \partial y } + a \frac { \partial b _ { z } } { \partial z } } \\ { = } & { \left( \mathbf { i } \frac { \partial a } { \partial x } + \mathbf { j } \frac { \partial a } { \partial y } + \mathbf { k } \frac { \partial a } { \partial z } \right) \cdot ( \mathbf { i } b _ { x } + \mathbf { j } b _ { y } + \mathbf { k } b _ { z } ) + a \nabla \cdot { \mathbf b } } \\ { = } & { \nabla a \cdot { \mathbf b } + a \nabla \cdot { \mathbf b } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int | \Psi | ^ { 4 } \ln \left( \frac { | \Psi | ^ { 2 } } { \sqrt { e } } \right) \, d \vec { r } } & { = \frac { N ^ { 2 } } { \pi ( m ! ) ^ { 2 } 2 ^ { 2 m + 2 } } \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \left[ ( 2 m ) ! \ln \left( \frac { | C _ { m } | ^ { 2 } } { 4 ^ { m } \sqrt { e } } \right) - \frac { ( m + 1 ) ! } { 2 } \right. } \\ & { \left. + m \Gamma ^ { \prime } ( 2 m + 1 ) + ( 2 m ) ( 2 m ) ! \ln \rho \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Sigma } \epsilon _ { I J K L } \delta ( \mathrm { e } ^ { K } \wedge \mathrm { e } ^ { L } ) \wedge \delta \omega ^ { I J } } \\ & { \quad - \int _ { \partial \Sigma } \epsilon _ { I J K L } \big ( \delta ( \overline { { \mathrm { e } } } ^ { K } \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { L } ) \wedge N ^ { I } + \overline { { \mathrm { e } } } ^ { K } \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { L } \wedge \delta N ^ { I } \big ) \wedge \delta N ^ { J } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \left\{ \frac { 3 } { 2 \gamma ^ { \varepsilon } } + \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } \frac { | v | ^ { 2 } } { 2 } F _ { + } ^ { \varepsilon } d x d v + \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } | \nabla _ { x } \psi ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } d x \right\} = 0 , } \\ & { \gamma ^ { \varepsilon } ( 0 ) = \beta _ { i n } } \\ & { - \Delta _ { x } \psi ^ { \varepsilon } = 4 \pi ( n _ { + } ^ { \varepsilon } - e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \Gamma _ { i j } ^ { k } } & { = g ( e _ { i } , [ e _ { k } , e _ { j } ] ) - g ( e _ { j } , [ e _ { i } , e _ { k } ] ) = g ( f _ { i } , [ \partial _ { t _ { k } } , f _ { j } ] ) - g ( f _ { j } , [ f _ { i } , \partial _ { t _ { k } } ] ) } \\ & { = g ( \partial _ { y _ { i } } , - 1 / 2 \partial _ { t _ { k } } h \cdot \partial _ { y _ { j } } ) + g ( \partial _ { y _ { j } } , - 1 / 2 \partial _ { t _ { k } } h \cdot \partial _ { y _ { i } } ) } \\ & { = - 1 / 2 \partial _ { t _ { k } } h _ { i j } - 1 / 2 \partial _ { t _ { k } } h _ { j i } = - \partial _ { t _ { k } } h _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { q } _ { 1 } = - i \omega _ { 1 } q _ { 1 } - i \sigma q _ { 2 } , } \\ { \dot { q } _ { 2 } = - i \omega _ { 2 } q _ { 2 } + i \sigma q _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 3 \sqrt { \ln { e \sigma / \epsilon _ { 1 } } } + \sqrt { \ln { 2 0 0 c _ { 2 } ^ { 2 } \sigma \ln { e \sigma / \epsilon _ { 1 } } / ( 3 \epsilon _ { 1 } \eta ) } } } & { { } = 3 + \sqrt { \ln { 2 0 0 c _ { 2 } ^ { 2 } / ( 3 \eta ) } } } \end{array}
m _ { h ^ { 0 } } ^ { 2 } \leq m _ { Z ^ { 0 } } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } 2 \beta + { \frac { 3 } { \pi ^ { 2 } } } { \frac { m _ { t } ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \beta } { v ^ { 2 } } } \log { \frac { m _ { \tilde { t } } } { m _ { t } } }
\begin{array} { l } { { G _ { r } \mid \Phi \rangle = 0 \qquad r > 0 } } \\ { { L _ { n } \mid \Phi \rangle = 0 \qquad n > 0 } } \\ { { \left( L _ { 0 } - a \right) \mid \Phi \rangle = 0 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sigma _ { \pm } } & { = { \sqrt { | z _ { 0 } | ^ { 2 } + | z _ { 1 } | ^ { 2 } + | z _ { 2 } | ^ { 2 } + | z _ { 3 } | ^ { 2 } \pm { \sqrt { ( | z _ { 0 } | ^ { 2 } + | z _ { 1 } | ^ { 2 } + | z _ { 2 } | ^ { 2 } + | z _ { 3 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } - | z _ { 0 } ^ { 2 } - z _ { 1 } ^ { 2 } - z _ { 2 } ^ { 2 } - z _ { 3 } ^ { 2 } | ^ { 2 } } } } } } \\ & { = { \sqrt { | z _ { 0 } | ^ { 2 } + | z _ { 1 } | ^ { 2 } + | z _ { 2 } | ^ { 2 } + | z _ { 3 } | ^ { 2 } \pm 2 { \sqrt { ( \operatorname { R e } z _ { 0 } z _ { 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } + ( \operatorname { R e } z _ { 0 } z _ { 2 } ^ { * } ) ^ { 2 } + ( \operatorname { R e } z _ { 0 } z _ { 3 } ^ { * } ) ^ { 2 } + ( \operatorname { I m } z _ { 1 } z _ { 2 } ^ { * } ) ^ { 2 } + ( \operatorname { I m } z _ { 2 } z _ { 3 } ^ { * } ) ^ { 2 } + ( \operatorname { I m } z _ { 3 } z _ { 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 ^ { t / 2 } } \left( | 0 \rangle + e ^ { 2 \pi i 0 . _ { \theta _ { t } } } | 1 \rangle \right) \left( | 0 \rangle + e ^ { 2 \pi i 0 . _ { \theta _ { t - 1 } \theta _ { t } } } | 1 \rangle \right) \cdots } \\ { \cdots \left( | 0 \rangle + e ^ { 2 \pi i 0 . _ { \theta _ { 1 } \theta _ { 2 } \dots \theta _ { t } } } | 1 \rangle \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { g ( x _ { 0 } ) } { g ( x ) } } } & { { } = { \frac { M f ( x _ { 0 } ) } { M f ( x ) } } = { \frac { f ( x _ { 0 } ) } { f ( x ) } } } \\ { { \frac { h ( x _ { 0 } ) } { h ( x ) } } } & { { } = { \frac { e ^ { M f ( x _ { 0 } ) } } { e ^ { M f ( x ) } } } = e ^ { M ( f ( x _ { 0 } ) - f ( x ) ) } } \end{array}
\sum _ { j \in J } { \sum _ { i \in I _ { j } } { m _ { i } } } = \sum _ { i \in I } ( m _ { i } ) \quad { \mathrm { ~ i f ~ } } \bigcup _ { j \in J } I _ { j } = I { \mathrm { ~ a n d ~ } } I _ { j } \cap I _ { j ^ { \prime } } = \emptyset \quad { \mathrm { ~ f o r ~ } } j \neq j ^ { \prime }
\begin{array} { r } { h ^ { \mathrm { 1 p h } } = \sum _ { i _ { 1 } \neq i _ { 2 } , k _ { 1 } \neq k _ { 2 } } ^ { \varepsilon _ { i _ { 1 } } , \varepsilon _ { i _ { 2 } } , \varepsilon _ { k _ { 1 } } , \varepsilon _ { k _ { 2 } } > 0 } | \psi _ { i _ { 1 } } \psi _ { i _ { 2 } } \rangle \langle \psi _ { i _ { 1 } } \psi _ { i _ { 2 } } | \frac { 1 } { 2 } \Big [ I ( \varepsilon _ { i _ { 1 } } - \varepsilon _ { k _ { 1 } } ) + I ( \varepsilon _ { i _ { 2 } } - \varepsilon _ { k _ { 2 } } ) \Big ] | \psi _ { k _ { 1 } } \psi _ { k _ { 2 } } \rangle \langle \psi _ { k _ { 1 } } \psi _ { k _ { 2 } } | \, , } \end{array}
{ } \Sigma _ { A A } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = ( - \alpha k _ { 3 } ) \left\{ \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + \alpha k _ { 3 } \left[ R _ { A A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + R _ { A B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] \right\} ^ { - 1 } \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } )
\frac { d ^ { 2 } ( y _ { \mathrm { c o } } / \sqrt { \beta _ { y } } ) } { d \phi _ { y } ^ { 2 } } + \nu _ { y } ^ { 2 } ( y _ { \mathrm { c o } } / \sqrt { \beta _ { y } } ) = \nu _ { y } ^ { 2 } \beta _ { y } ^ { 3 / 2 } ( \frac { \Delta B _ { x } } { B \rho } ) _ { 0 }
\begin{array} { r l } { \phi _ { x _ { 1 } } ^ { \prime } P _ { \theta } ( x _ { 1 } , \alpha ) } & { = \phi _ { x _ { 1 } } ^ { \prime } P _ { \theta } ( x _ { 1 } , \underline { { \alpha } } _ { K } ) } \\ & { = \widetilde { \phi } _ { x _ { 1 } } ^ { \prime } P _ { \theta } ( x _ { 1 } , \underline { { \alpha } } _ { K } ) - C _ { x _ { 1 } } \underbrace { \iota ^ { \prime } P _ { \theta } ( x _ { 1 } , \underline { { \alpha } } _ { K } ) } _ { = 1 } } \\ & { = \widetilde { \phi } _ { x _ { 1 } } ^ { \prime } P _ { \theta } ( x _ { 1 } , \underline { { \alpha } } _ { K } ) - \widetilde { \phi } _ { x _ { 1 } } ^ { \prime } P _ { \theta } ( x _ { 1 } , \underline { { \alpha } } _ { K } ) } \\ & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { { M } _ { n } } { { \ddot { u } } _ { n } } } & { = } & { { { k } _ { u } } \left( { { u } _ { n + 1 } } + { { u } _ { n - 1 } } - 2 { { u } _ { n } } \right) } \\ & { + } & { { { k } _ { u } } l \left\{ \cos \left( { { \theta } _ { n - 1 } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) - \cos \left( { { \theta } _ { n + 1 } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) \right\} } \\ { { { J } _ { n } } { { \ddot { \theta } } _ { n } } } & { = } & { - { { k } _ { \theta } } \left( { { \theta } _ { n + 1 } } + { { \theta } _ { n - 1 } } + 4 { { \theta } _ { n } } + 6 { { \theta } ^ { ( 0 ) } } - 6 \theta _ { L i n } \right) } \\ & { - } & { { { k } _ { u } } l \sin \left( { { \theta } _ { n } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) \left( { { u } _ { n + 1 } } - { { u } _ { n - 1 } } \right) } \\ & { + } & { { { k } _ { u } } { { l } ^ { 2 } } \cos \left( { { \theta } _ { n } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) } \\ & { } & { \left\{ \sin \left( { { \theta } _ { n + 1 } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) + \sin \left( { { \theta } _ { n - 1 } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) \right\} } \\ & { - } & { { { T } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } _ { n , 1 } } \right) - { { T } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } _ { n - 1 , 1 } } \right) } \\ & { - } & { { { T } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } _ { n , 2 } } \right) } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { m a s s } } = \frac { m ^ { \prime } } { 2 } ( \overline { { { N } } } _ { R } j N _ { R } - i \overline { { { N } } } _ { R } j N _ { R } i ) + \frac { M } { 2 } \left[ \overline { { { N } } } _ { R } ( N _ { R } ) ^ { c } - i \overline { { { N } } } _ { R } ( N _ { R } ) ^ { c } i + \mathrm { H . c . } \right] .
\begin{array} { r l } { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle \le } & { ~ c _ { \eta } ( I _ { 3 } + I _ { 4 } ) } \\ { \le } & { ~ c _ { \eta } I _ { 4 } } \\ { \le } & { ~ c _ { \eta } \cdot \sigma \cdot \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 4 \pi } { | \mathbf v | } \frac { \partial J _ { \omega , 0 } } { \partial t } + \frac { 4 \pi } { 3 } \nabla \cdot \mathbf J _ { \omega , 1 } } & { = - \frac { 4 \pi } { | \mathbf v | \tau _ { \omega } } ( J _ { \omega , 0 } - I _ { \omega } ^ { 0 } ) , } \\ { \frac { 1 } { | \mathbf v | } \frac { \partial \mathbf J _ { \omega , 1 } } { \partial t } + \nabla J _ { \omega , 0 } } & { = - \frac { 1 } { | \mathbf v | \tau _ { \omega } } \mathbf J _ { \omega , 1 } , } \end{array}
F _ { \pi } ( Q ^ { 2 } , T ) = \frac { 1 } { f _ { \pi } ^ { 2 } ( T ) } \; \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } ( T ) } \; d x \; \int _ { - x } ^ { x } \; d y \; \rho ( x , y , Q ^ { 2 } ) | _ { Q C D } F ( x , y , Q ^ { 2 } , T ) \, ,
\begin{array} { r } { \left\langle \xi _ { i } ( t ) \right\rangle = 0 , \left\langle \xi _ { i } \left( t _ { 1 } \right) \xi _ { j } \left( t _ { 2 } \right) \right\rangle = \delta \left( t _ { 1 } - t _ { 2 } \right) , } \end{array}
\partial _ { r } s ( d , r ) = - \frac { 6 ( d + 2 ) } { ( - d ( r - 5 ) + r + 4 ) ^ { 2 } } ( r ^ { 2 } ( d - 1 ) + r ( 2 d ^ { 2 } - 2 d ) - d ( 4 + 5 d ) ) .
\begin{array} { r l } { u ( y , z ) } & { { } = { \frac { G } { 2 \mu } } y ( h - y ) - { \frac { 4 G h ^ { 2 } } { \mu \pi ^ { 3 } } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 2 n - 1 ) ^ { 3 } } } { \frac { \sinh ( \beta _ { n } z ) + \sinh ( \beta _ { n } ( l - z ) ) } { \sinh ( \beta _ { n } l ) } } \sin ( \beta _ { n } y ) , \quad \beta _ { n } = { \frac { ( 2 n - 1 ) \pi } { h } } , } \\ { Q } & { { } = { \frac { G h ^ { 3 } l } { 1 2 \mu } } - { \frac { 1 6 G h ^ { 4 } } { \pi ^ { 5 } \mu } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 2 n - 1 ) ^ { 5 } } } { \frac { \cosh ( \beta _ { n } l ) - 1 } { \sinh ( \beta _ { n } l ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { = 1 - \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } ) + \sin ( \theta ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) \big ( 1 - \cos ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) \big ) } \\ & { = 2 \Big [ \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta - \theta ^ { \prime } } { 2 } \right) + \sin ( \theta ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( u , t ) } & { = \int _ { \mathbb R ^ { d + 1 } } e ^ { 2 \pi i ( \omega ^ { T } u + \tau t ) } \varphi ( \omega , \tau ) \mathrm d \omega \mathrm d \tau , } \\ { \varphi ( \omega , \tau ) } & { = \int _ { \mathbb R ^ { d + 1 } } e ^ { - 2 \pi i ( \omega ^ { T } u + \tau t ) } C ( u , t ) \mathrm d u \mathrm d t , } \end{array}
X _ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { Z _ { l _ { k } + r } ^ { i } } & { \mathrm { i f ~ } T _ { k } \leq t < 2 T _ { k } , k \equiv 2 ^ { i - 1 } \bmod 2 ^ { i } , t - T _ { k } \equiv r \bmod \frac { T _ { k } } { n _ { i } } , 1 \leq r \leq \frac { T _ { k } } { n _ { i } } , } \\ { x _ { 0 } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { { t \ln t > ( t - 1 ) \ln ( t + 1 ) \qquad \mathrm { f o r } \quad t > 1 \, , } } \\ { { t \ln t < ( t - 1 ) \ln ( t + 1 ) \qquad \mathrm { f o r } \quad 0 < t < 1 \, , } } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { x _ { p } T _ { p } } = \left[ \begin{array} { l } { \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } T _ { p } ^ { \prime } } } } \\ { \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } T _ { p } ^ { \prime } } } } \\ { \overline { { { z _ { p } ^ { \prime } } T _ { p } ^ { \prime } } } } \end{array} \right] , \ \ \ k _ { u _ { p } T _ { p } } = \left[ \begin{array} { l } { \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } T _ { p } ^ { \prime } } } } \\ { \overline { { { v _ { p } ^ { \prime } } T _ { p } ^ { \prime } } } } \\ { \overline { { { w _ { p } ^ { \prime } } T _ { p } ^ { \prime } } } } \end{array} \right] , \ \ \ k _ { \alpha x _ { p } } = \left[ \begin{array} { l } { \overline { { \alpha ^ { \prime } { x _ { p } ^ { \prime } } } } } \\ { \overline { { \alpha ^ { \prime } { y _ { p } ^ { \prime } } } } } \\ { \overline { { \alpha ^ { \prime } { z _ { p } ^ { \prime } } } } } \end{array} \right] , \ \ \ k _ { \alpha u _ { p } } = \left[ \begin{array} { l } { \overline { { \alpha ^ { \prime } { u _ { p } ^ { \prime } } } } } \\ { \overline { { \alpha ^ { \prime } { v _ { p } ^ { \prime } } } } } \\ { \overline { { \alpha ^ { \prime } { w _ { p } ^ { \prime } } } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\{ B _ { 1 } ^ { \ast } , B _ { 2 } \right\} } & { { } \sim \mathcal { C } _ { \mathcal { N } } \left( F _ { B _ { 1 } ^ { \ast } } \left( b _ { 1 } ^ { \ast } \right) , F _ { B _ { 2 } } \left( b _ { 2 } \right) ; \mathbf { R } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta x _ { \mathrm { i n } } } & { = B d _ { \mathrm { I L } } d \theta _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \Delta y _ { \mathrm { i n } } } & { = B d _ { \mathrm { I L } } d \phi _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \Delta x _ { \mathrm { c } } } & { = C d _ { \mathrm { I L } } d \theta _ { \mathrm { b m } } , } \\ { \Delta y _ { \mathrm { c } } } & { = C d _ { \mathrm { I L } } d \phi _ { \mathrm { b m } } , } \\ { w _ { 0 } } & { = d _ { \mathrm { I L } } \theta _ { 0 } , } \end{array}
S = - \int d ^ { 2 } x \, \sqrt { g } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } Z ( \Phi ) g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \Phi \partial _ { \nu } \Phi + C ( \Phi ) R + V ( \Phi ) + \frac { 1 } { 4 } f ( \Phi ) F _ { \mu \nu } ^ { 2 } \right] .