harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
p ( \mu _ { \mathrm { p o p } } | \{ x _ { \mathrm { o b s } , i } \} , \sigma _ { \mathrm { o b s } } , \sigma _ { \mathrm { p o p } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( x _ { \mathrm { o b s } , i } - \mu _ { \mathrm { p o p } } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } } } .
\nabla \cdot \mathrm { \bf ~ E } ( \mathrm { \bf ~ r } ) = - \nabla ^ { 2 } \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) = \frac { \rho ( \mathrm { \bf ~ r } ) } { \epsilon _ { 0 } } \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \frac { 1 } { | \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } | } \rho ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } )
\overline { { w { \mit \Delta } X } } _ { \tau } ( z , t ) - \langle w { \mit \Delta } X \rangle = - K _ { X } ( z ) \! \left[ \overline { { { \mit \Delta } X ^ { 2 } } } _ { \tau } ( z , t ) - \langle { \mit \Delta } X ^ { 2 } ( z ) \rangle \right] \! .
\begin{array} { r l } & { \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left( z _ { k + 1 } - x _ { k + 1 } \right) + A _ { k } \left( x _ { k } - x _ { k + 1 } \right) + A _ { k + 1 } \left( x _ { k + 1 } - y _ { k } \right) } \\ & { = \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) z _ { k + 1 } + A _ { k } x _ { k } - A _ { k + 1 } y _ { k } } \\ & { = \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left( z _ { k + 1 } - z _ { k } \right) + \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) z _ { k } + A _ { k } x _ { k } - A _ { k + 1 } y _ { k } } \\ & { = \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left( z _ { k + 1 } - z _ { k } \right) , } \end{array}
\left[ - { \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } } + ( W - { \frac { 1 } { r } } ) ^ { 2 } + \frac { d } { d r } ( W - { \frac { 1 } { r } } ) - ( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) \right] \hat { G } _ { \ell j } = 0 .
\begin{array} { r l } { \hat { C } _ { 2 , 0 } ^ { ( 2 ) } } & { = g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } ^ { 2 } \frac { 3 ( k ^ { 2 } + 1 ) \coth ^ { 2 } ( h ) - 6 k \coth ( k h ) \coth ( h ) + k ^ { 2 } - 1 } { 2 k ( \coth ( k h ) - k \coth ( h ) ) } , } \\ { \hat { C } _ { 0 , 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = - g k \hat { \eta } _ { 0 , 1 } ^ { 2 } \frac { 3 ( k ^ { 2 } + 1 ) \coth ^ { 2 } ( k h ) - 6 k \coth ( k h ) \coth ( h ) - k ^ { 2 } + 1 } { 2 ( \coth ( k h ) - k \coth ( h ) ) } , } \\ { \hat { C } _ { 1 , 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = - g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \frac { ( k ^ { 2 } + 2 k ) \coth ^ { 2 } ( k h ) - ( 2 k + 1 ) \coth ^ { 2 } ( h ) + ( - k ^ { 2 } + 1 ) \coth ( k h ) \coth ( h ) - k ^ { 2 } + 1 } { \coth ( k h ) - k \coth ( h ) } , } \\ { \hat { C } _ { 1 , - 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \frac { ( k ^ { 2 } - 2 k ) \coth ^ { 2 } ( k h ) + ( 2 k - 1 ) \coth ^ { 2 } ( h ) + ( k ^ { 2 } - 1 ) \coth ( k h ) \coth ( h ) - k ^ { 2 } + 1 } { \coth ( k h ) - k \coth ( h ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { x } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \textrm { , } \ \sigma _ { y } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) \textrm { , } \ \sigma _ { z } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \textrm { , } \ } \end{array}
\mathbf { L } i ^ { * } ( \mathbf { R } ( \pi _ { \mathbb { P } } ) _ { * } \mathbf { L } u _ { \mathbb { P } } ^ { * } \mathbb { T } _ { [ \mathbb { A } ^ { N + 1 } / \mathbb { G } _ { m } ] } ^ { \log } ) ^ { \vee } \rightarrow ( \mathbf { R } \pi _ { * } \mathbf { L } u ^ { * } \mathbb { T } _ { [ \mathbb { A } ^ { M } / \mathbb { G } _ { m } ^ { s } ] } ^ { \log } ) ^ { \vee } \rightarrow ( \mathbf { R } \pi _ { * } \mathbf { L } u ^ { * } \mathbb { T } _ { j } ) ^ { \vee } \rightarrow \mathbf { L } i ^ { * } ( \mathbf { R } ( \pi _ { \mathbb { P } } ) _ { * } L u _ { \mathbb { P } } ^ { * } \mathbb { T } _ { [ \mathbb { A } ^ { N + 1 } / \mathbb { G } _ { m } ] } ^ { \log } ) ^ { \vee } [ 1 ] .
\begin{array} { r l } { ( z _ { 1 } ^ { k } , z _ { 1 } ^ { k } ) _ { S } } & { = ( z _ { 1 } ^ { k } z _ { 2 } , z _ { 1 } ^ { k } z _ { 2 } ) _ { S } = k ! | ( - \alpha ) _ { k } | , } \\ { ( z _ { 1 } ^ { k } z _ { 3 } , z _ { 1 } ^ { k } z _ { 3 } ) _ { S } } & { = ( z _ { 1 } ^ { k } z _ { 4 } , z _ { 1 } ^ { k } z _ { 4 } ) _ { S } = 2 k ! | ( - \alpha ) _ { k + 1 } | , } \end{array}
E = m _ { 0 } c ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \phi } { c ^ { 2 } } \right) = m _ { 0 } c ^ { 2 } \left( \frac { { 1 - \frac { V ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } } } { { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { u _ { t } } & { = \alpha _ { u } u _ { x x } + \rho _ { u } u _ { x } + r _ { u } ( a - ( w - 1 ) u + u ^ { 2 } v ) , } \\ { v _ { t } } & { = \alpha _ { v } v _ { x x } + \rho _ { v } v _ { x } + r _ { v } ( w u - u ^ { 2 } v ) , } \\ { w _ { t } } & { = \alpha _ { w } w _ { x x } + \rho _ { w } w _ { x } + r _ { w } ( \frac { b - w } { \varepsilon } - w u ) , } \end{array}
C _ { 8 } Q _ { 0 } [ \eta _ { 3 } ] \, \ge \, \| \nabla \eta _ { 3 } \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } + \| \rho \eta _ { 3 } \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } + \| \eta _ { 3 } \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } - C _ { 9 } \bigl ( \tilde { \mu } _ { 0 } ^ { 2 } + \tilde { \mu } _ { 1 } ^ { 2 } + \tilde { \mu } _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \dot { C } _ { - 1 } = ( - \gamma _ { 1 } + i \omega _ { 1 } ) C _ { - 1 } + ( i + \alpha ) \eta _ { 1 0 } C _ { 0 } e ^ { i \Omega t } , } \\ & { } & { \dot { C } _ { 0 } = ( - \gamma _ { 0 } + i \omega _ { 0 } ) C _ { 0 } + ( i + \alpha ) \left( \eta _ { 1 0 } C _ { 1 } e ^ { i \Omega t } + \eta _ { 1 0 } C _ { - 1 } e ^ { - i \Omega t } \right) , } \\ & { } & { \dot { C } _ { 1 } = ( - \gamma _ { 1 } + i \omega _ { 1 } ) C _ { 1 } + ( i + \alpha ) \eta _ { 1 0 } C _ { 0 } e ^ { - i \Omega t } , } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } \int _ { D ( t ) } F ( { \vec { \textbf { x } } } , t ) \, d V = \int _ { D ( t ) } { \frac { \partial } { \partial t } } F ( { \vec { \textbf { x } } } , t ) \, d V + \int _ { \partial D ( t ) } F ( { \vec { \textbf { x } } } , t ) { \vec { \textbf { v } } } _ { b } \cdot d \mathbf { \Sigma } ,
\begin{array} { r } { \| \mathbf { B } _ { ( n ) } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } \leq \| { \bf \Sigma } _ { n , 2 } \| _ { F } ^ { 2 } + \tau _ { \mu _ { n } } ^ { 4 q - 1 } \| { \bf \Sigma } _ { n , 2 } { \bf S } _ { n , 2 } { \bf S } _ { n , 1 } ^ { \dag } \| _ { F } ^ { 2 } , } \end{array}
\phi ^ { \prime } ( x ^ { 5 } ) \ = \ c \, e ^ { - 4 [ A ( x ^ { 5 } ) - A ( 0 ) ] } \qquad \phi ( x ^ { 5 } ) \ = \ c \int _ { 0 } ^ { x ^ { 5 } } \! \! \! d y \, e ^ { - 4 [ A ( y ) - A ( 0 ) ] } \, + \, d \ ,
\begin{array} { r } { \frac { g ^ { \prime \prime } ( \hat { r } _ { * } ) } { 2 g ( \hat { r } _ { * } ) } - \frac { g ^ { \prime } ( \hat { r } _ { * } ) ^ { 2 } } { 4 g ( \hat { r } _ { * } ) ^ { 2 } } = \hat { V } _ { \mathrm { ~ { ~ \scriptsize ~ B ~ T ~ Z ~ } ~ } } ( \hat { r } _ { * } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \nabla \cdot ( \varepsilon _ { 0 } \nabla V ^ { n + 1 } ) = f _ { V } ^ { n + 1 } - \nabla \cdot \left[ ( \epsilon ( \phi ^ { * , n + 1 } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \nabla V ^ { * , n + 1 } \right] , } \end{array}
\frac { \nu _ { T } ( y ) } { \nu } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ 1 + \frac { \kappa ^ { 2 } { \hat { R e } } ^ { 2 } \hat { B } } { 9 } \left( 2 y - y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( 3 - 4 y + 2 y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - e ^ { \left( \frac { - y \hat { R e } \sqrt { \hat { B } } } { A ^ { + } } \right) } \right] ^ { 2 } \right\} ^ { 1 / 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { , }
\begin{array} { r } { f _ { \theta } ( \mathbf { u } ^ { 0 , \mathbf { x } } , \mathbf { b } _ { \mathrm { ~ s ~ } } , \mathbf { b } _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { \mathbf { t } } , \mathbf { c } ) = \mathbf { u } ^ { \mathbf { t } , \mathbf { x } } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \varepsilon u _ { x } } & { = } & { p , } \\ { \varepsilon p _ { x } } & { = } & { - u + u ^ { 3 } + ( A _ { 0 } + \varepsilon A _ { 1 } ) v + ( B _ { 0 } + \varepsilon B _ { 1 } ) w + C _ { 0 } + \varepsilon C _ { 1 } , } \\ { v _ { x } } & { = } & { q , } \\ { q _ { x } } & { = } & { v - u , } \\ { w _ { x } } & { = } & { \frac { r } { D } , } \\ { r _ { x } } & { = } & { \frac { 1 } { D } ( w - u ) , } \end{array}
\widetilde { A _ { k } } = \sum _ { i } ^ { s w i t c h } \frac { \widetilde { V _ { s , i } } ^ { \alpha } } { \widetilde { R _ { i } } } ; \widetilde { R _ { o , k } } = \sum _ { i } ^ { s w i t c h } R _ { i } C _ { i } ( M ) \widetilde { I _ { o } } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \mathtt { L } _ { x _ { i } } v : = \sum _ { l , m = 1 } ^ { 3 } \partial _ { x _ { i } ^ { ( l ) } } \left( a _ { l m } ( x _ { i } ) \partial _ { x _ { i } ^ { ( m ) } } v \right) - \sum _ { l = 1 } ^ { 3 } \partial _ { x _ { i } ^ { ( l ) } } \left( b _ { l } ( x _ { i } ) v \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 2 } ( q _ { B } ) = } & { { } } & { \frac { 2 \mathcal { S } _ { D } } { q _ { B } ^ { 4 - D } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q _ { A } ^ { \prime } \, q _ { A } ^ { \prime D - 1 } | \chi ^ { ( A ) } ( q _ { B } \, q _ { A } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } \end{array}
{ \cal M } _ { o d d } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { s _ { 1 1 } } } & { { B \mu } } & { { - \mu \epsilon _ { 1 } } } & { { - \mu \epsilon _ { 2 } } } & { { - \mu \epsilon _ { 3 } } } \\ { { B \mu } } & { { s _ { 2 2 } } } & { { - B _ { 1 } \epsilon _ { 1 } } } & { { - B _ { 2 } \epsilon _ { 2 } } } & { { - B _ { 3 } \epsilon _ { 3 } } } \\ { { - \mu \epsilon _ { 1 } } } & { { - B _ { 1 } \epsilon _ { 1 } } } & { { s _ { 3 3 } } } & { { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 3 } } } \\ { { - \mu \epsilon _ { 2 } } } & { { - B _ { 2 } \epsilon _ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } } } & { { s _ { 4 4 } } } & { { \epsilon _ { 2 } \epsilon _ { 3 } } } \\ { { - \mu \epsilon _ { 3 } } } & { { - B _ { 3 } \epsilon _ { 3 } } } & { { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 3 } } } & { { \epsilon _ { 2 } \epsilon _ { 3 } } } & { { s _ { 5 5 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) = ( \dot { \mathrm { B } } _ { p , q _ { 0 } } ^ { s _ { 0 } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) _ { \theta , q } \hookrightarrow ( { \mathrm { L } } ^ { r _ { 0 } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , { \mathrm { L } } ^ { r _ { 1 } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) _ { \theta , q } = { \mathrm { L } } ^ { r , q } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\frac { 1 } { \tilde { \alpha } } + \left( a + \frac { 1 } { 2 } \right) \log \tilde { \alpha } = B - \frac { 1 } { 2 } \log ( B ) + \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { G _ { + } ( \mathrm { i } ) ^ { 2 } } { 2 \pi k ^ { 2 } } \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) - \log \Biggl ( \sum _ { n \ge 0 } b _ { n } ( B ) \mathrm { e } ^ { - 2 B \xi _ { n } } \Biggr ) .
\Theta ^ { \mathrm { ( 1 p h ) } } ( k , k ^ { \prime } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) = \frac { 2 \pi } { \hbar } \frac { 1 } { \Omega _ { \mathrm { B Z } } } | g _ { \mathrm { L O } } ( | \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } | ) | ^ { 2 } \sum _ { \alpha = \pm 1 } A _ { \alpha } \delta ( \epsilon _ { k } - \alpha \hbar \omega _ { \mathrm { L O } } - \epsilon _ { k ^ { \prime } } )
\begin{array} { r } { \mathbb { P } ( \mathbf { c } _ { i } = \mathbf { x } | \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \: \: \: } & { i = 1 , \mathbf { x } \neq 0 } \\ { 1 \: \: \: } & { i = 1 , \mathbf { x } = 0 } \\ { q ^ { - ( n ) } \: \: \: } & { i \in [ 2 : K ^ { * } ] , \mathbf { x } \neq 0 , \omega ( \mathbf { x } ) \leq \rho n } \\ { q ^ { - n ( 1 - \tau ) } \zeta ( n ) \: \: \: } & { i \in [ 2 : K ^ { * } ] \mathrm { ~ a n d ~ } \omega ( \mathbf { x } ) > \rho n } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla ^ { 2 } \bf { E } } & { { } = } & { \mu \epsilon \frac { \partial ^ { 2 } \bf { E } } { \partial t ^ { 2 } } + \mu \sigma \frac { \partial \bf { E } } { \partial \it { t } } + \frac { \bf { E } } { \lambda ^ { 2 } } } \\ { \nabla ^ { 2 } \bf { B } } & { { } = } & { \mu \epsilon \frac { \partial ^ { 2 } \bf { B } } { \partial t ^ { 2 } } + \mu \sigma \frac { \partial \bf { B } } { \partial \it { t } } + \frac { \bf { B } } { \lambda ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { n ( \tilde { r } , \tilde { \phi } , \xi ) = n _ { 0 } ( r _ { 0 } , \phi _ { 0 } ) \frac { r _ { 0 } d r _ { 0 } } { r d r } = n _ { 0 } ( r _ { 0 } , \phi _ { 0 } ) \frac { r _ { 0 } ^ { 3 } } { \tilde { r } | r _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \nu \xi | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \mathbb { E } _ { ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) \sim \pi _ { 1 } ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) } [ C ( s _ { 1 } , a _ { 1 } ) + \gamma \lambda \eta _ { 2 } + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 1 } , a _ { 1 } } [ J ^ { \pi } ( s _ { 2 } ) ] - J ^ { \pi } ( s _ { 1 } ) ] } \\ { = } & { - \mathbb { E } _ { ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) \sim \pi _ { 1 } ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) } [ Q ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 1 } , a _ { 1 } } [ J ^ { \pi } ( s _ { 2 } ) - \hat { J } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) ] - J ^ { \pi } ( s _ { 1 } ) ] } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) \sim \pi _ { 1 } ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) } [ A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 1 } , a _ { 1 } } [ \hat { J } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) - J ^ { \pi } ( s _ { 2 } ) ] ] } \end{array}
S _ { \chi } = ( 1 - 2 \psi ) ( \chi ^ { \prime \prime } + 3 \alpha \chi ^ { \prime } - 3 \psi ^ { \prime } \chi ^ { \prime } ) - \psi ^ { \prime } \chi ^ { \prime } + a ^ { 2 } \bar { M } ^ { 2 } \chi - ( 1 + 2 \psi ) \chi _ { , i , i }
\begin{array} { r l r } { \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { n } + \Delta t \mathbf { R e s } \left( \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { n } \right) } \\ { \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 3 } { 4 } \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { n } + \frac { 1 } { 4 } \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 4 } \Delta t \mathbf { R e s } \left( \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 1 ) } \right) } \\ { \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { n + 1 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 } \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { n } + \frac { 2 } { 3 } \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 2 ) } + \frac { 2 } { 3 } \Delta t \mathbf { R e s } \left( \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 2 ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \left\{ k \mathrm { - s o l i t o n s ~ i n ~ } \left( \eta ( y ) \right) _ { 1 \le y \le x } \right\} \right| = \sum _ { y = 1 } ^ { x } \left( \eta _ { k } ^ { \uparrow } ( y ) - \eta _ { k + 1 } ^ { \uparrow } ( y ) \right) = \sum _ { y = 1 } ^ { x } \left( \eta _ { k } ^ { \downarrow } ( y ) - \eta _ { k + 1 } ^ { \downarrow } ( y ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \widetilde { V } c = \omega ^ { ( - ) } - \sigma ^ { \downarrow } L _ { \uparrow } ^ { k - 1 } \sin ( \widetilde { V } c ) = \omega ^ { ( - ) } - \sigma ^ { \downarrow } \widetilde { V } \widetilde { \Lambda } \widetilde { V } ^ { * } \sin ( \widetilde { V } c ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \frac { d ^ { m } } { d t ^ { m } } \left( t \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \right) + \frac { d ^ { m } } { d t ^ { m } } \left( ( 1 - t ) \frac { d } { d t } \right) + n \frac { d ^ { m } } { d t ^ { m } } \right] L _ { n } ( t ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - ( 2 \alpha _ { - } + \kappa _ { - } ) } & { \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } - ( 2 \alpha _ { + } + \kappa _ { + } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { + } ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( \kappa _ { -- } 2 \alpha _ { + } + \frac { ( \kappa _ { - } - 2 \alpha _ { + } ) ^ { 2 } } { \alpha _ { - } + \alpha _ { + } } \right) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } } \\ & { \qquad - \left[ \alpha _ { - } + \alpha _ { + } \right] \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { u ^ { \prime } ( \vec { r } , t ) = \int \int \hat { u } ( \vec { k } , \omega ) e ^ { i ( \vec { k } \cdot \vec { r } - \omega t ) } d \vec { k } ~ d \omega } \\ { v ^ { \prime } ( \vec { r } , t ) = \int \int \hat { v } ( \vec { k } , \omega ) e ^ { i ( \vec { k } \cdot \vec { r } - \omega t ) } d \vec { k } ~ d \omega } \\ { w ^ { \prime } ( \vec { r } , t ) = \int \int \hat { w } ( \vec { k } , \omega ) e ^ { i ( \vec { k } \cdot \vec { r } - \omega t ) } d \vec { k } ~ d \omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 , n } ( x ) } & { = f _ { 1 } ^ { e } ( x ) + { \textstyle \frac 1 2 } ( \gamma + 2 \alpha ) n \int _ { - \infty } ^ { x } \big [ \textstyle { \frac 1 \gamma } k _ { 1 } ( y ) - { \textstyle \frac 1 2 } k _ { 2 } ( y ) \big ] \mathrm { e } ^ { - n \gamma ( x - y ) } \, \mathrm { d } y } \\ & { \phantom { = } - { \textstyle \frac 1 2 } ( \gamma - 2 \alpha ) n \int _ { x } ^ { \infty } \big [ \textstyle { \frac 1 \gamma } k _ { 1 } ( y ) + { \textstyle \frac 1 2 } k _ { 2 } ( y ) \big ] \mathrm { e } ^ { n \gamma ( x - y ) } \, \mathrm { d } y , \qquad x \in \mathbb { R } . } \end{array}
\Bar { T } _ { t r } = \frac { 1 } { r _ { s } ^ { 3 } } \left[ r _ { s } ^ { 2 } \left( r _ { s } ^ { 2 } + n ^ { 2 } \right) \Bar { P } + r _ { s } ^ { 2 } - q _ { m } ^ { 2 } \right]
{ \begin{array} { r l } { p ( \mathbf { X } \mid \mu , \tau ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \sqrt { \frac { \tau } { 2 \pi } } } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \tau ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = \left( { \frac { \tau } { 2 \pi } } \right) ^ { n / 2 } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \tau \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = \left( { \frac { \tau } { 2 \pi } } \right) ^ { n / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 } } \tau \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } + n ( { \bar { x } } - \mu ) ^ { 2 } \right) \right] . } \end{array} }
g ( \mu _ { m } ) = \eta _ { m } = \beta _ { 0 } + X _ { 1 } \beta _ { 1 } + \cdots + X _ { p } \beta _ { p } + \gamma _ { 2 } + \cdots + \gamma _ { m } = \eta _ { 1 } + \gamma _ { 2 } + \cdots + \gamma _ { m } { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \mu _ { m } = \operatorname { P } ( Y \leq m ) .
\sum _ { \ell + s \leq \Lambda } \Big ( \| \partial _ { t } ^ { \ell } u \| _ { s + 1 } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { \ell } p \| _ { s } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { \ell } \varphi \| _ { s + 2 } ^ { 2 } \Big ) ( t ) \leq C \big ( 1 + \mathfrak { E } _ { \Lambda } ^ { \aleph _ { \Lambda } } ( t ) \big ) \mathfrak { E } _ { \Lambda } ( t ) \leq c _ { 1 } \mathcal { E } _ { \Lambda } ^ { i n } e ^ { - c _ { \# } t }
\begin{array} { r l } { s _ { ( p | q ) ; a , b } ( x / y ) } & { = f _ { ( p | q ) ; a , b } ( x , y ) = ( x + y ) ( 1 - a _ { q + 1 } ^ { \prime } b _ { q + 1 } ^ { \prime } ) \frac { ( x | a ) ^ { p } } { ( x ; b ) ^ { p + 1 } } \frac { ( y | a ^ { \prime } ) ^ { q } } { ( y ; b ^ { \prime } ) ^ { q + 1 } } , } \\ { \widehat { s } _ { ( p | q ) ; a , b } ( x / y ) } & { = \widehat { f } _ { ( p | q ) ; a , b } ( x , y ) = ( x + y ) ( 1 - a _ { p + 1 } b _ { p + 1 } ) \frac { ( x | b ) ^ { p } } { ( x ; a ) ^ { p + 1 } } \frac { ( y | b ^ { \prime } ) ^ { q } } { ( y ; a ^ { \prime } ) ^ { q + 1 } } . } \end{array}
\frac { 1 } { J } \int _ { 0 } ^ { J } d ^ { 6 } a \, \delta ( a _ { 1 } + \ldots + a _ { 6 } - J ) \, \exp \frac { 2 \pi i n ( a _ { 2 } + a _ { 3 } ) } { J } \, \exp \frac { 2 \pi i m ( a _ { 1 } + a _ { 4 } ) } { J } ,
\int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { n } D _ { \alpha } \Big [ A ^ { \alpha \beta } ( x , u ) D _ { \beta } u ^ { i } \Big ] \varphi ^ { i } + D _ { \beta } \Big [ A ^ { \alpha \beta } ( x , u ) D _ { \alpha } u ^ { i } \Big ] \varphi ^ { i } \ \mathrm { d } x = \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { n } \sum _ { h = 1 } ^ { N } A _ { u ^ { h } } ^ { \alpha \beta } ( x , u ) \varphi ^ { h } D _ { \alpha } u ^ { i } D _ { \beta } u ^ { i } \ \mathrm { d } x .
\boldsymbol { N } = \left[ \xi , \eta , \xi ^ { 2 } , \eta ^ { 2 } , \xi \eta , \xi ^ { 3 } , \eta ^ { 3 } , \xi ^ { 2 } \eta , \xi \eta ^ { 2 } , \xi ^ { 4 } , \eta ^ { 4 } , \xi ^ { 3 } \eta , \xi \eta ^ { 3 } , \xi ^ { 2 } \eta ^ { 2 } , \ldots \right] ^ { T } ,
\begin{array} { r } { | g ( x ) - g ( y ) | = | f ( x ) - x - \left( f ( y ) - y \right) | \leq | f ( x ) - f ( y ) | + | x - y | \leq ( K + 1 ) | x - y | , \forall x , y \in [ 0 , \pi ] . } \end{array}
{ b } _ { k } = - 2 \left[ 1 + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { q } _ { k } } \left( 1 + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { 6 } { q } _ { k } } \right) \right] \, , \quad { \varphi } _ { k , i } = - \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { 6 } { q } _ { k } } \left( { v } _ { k , i - 1 } + { 2 } \left( 5 + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { q } _ { k } } \right) { v } _ { k , i } + { v } _ { k , i + 1 } \right) \, , \quad \delta = \frac { h } { \tau } \, .
\begin{array} { r l } & { \widetilde \mathbf { x } ( t _ { n + 1 } ) = \widetilde \mathbf { x } ( t _ { n } ) + \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t _ { n } ^ { + } ) h + \frac { h ^ { 2 } } { 2 } \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime \prime } ( t _ { n } ^ { + } ) + O ( h ^ { 3 } ) , } \\ & { \widetilde \mathbf { x } ( t _ { n } ) = \widetilde \mathbf { x } ( t _ { n - 1 } ) + h \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t _ { n } ^ { - } ) - \frac { h ^ { 2 } } { 2 } \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime \prime } ( t _ { n } ^ { - } ) + O ( h ^ { 3 } ) . } \end{array}
H _ { q } = \frac { K _ { q } } { F _ { q } } = \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } [ 1 - 2 h _ { 1 } \gamma + h _ { 2 } ( q ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } + q \gamma ^ { \prime } ) ] } { q ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } + q \gamma ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d P _ { a } ^ { T } } { d t } = } & { } & { - \frac { 2 \gamma } { 3 } \sum _ { b \in S } \left( k _ { a b } P _ { a } ^ { T } - k _ { b a } P _ { b } ^ { S } \right) } \\ & { } & { - \frac { \gamma } { 3 } \sum _ { b \in Q } \left( k _ { a b } P _ { a } ^ { T } - k _ { b a } P _ { b } ^ { Q } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | v ^ { ( k ) } | } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 ^ { k } } \sum _ { i = 0 } ^ { 2 k } \binom { 2 k } { i } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \binom { m + k - 1 } { m } \exp ( - P ( 2 ( 2 m A + k B + i ( A - B ) ) ) ^ { 1 / ( 1 - \nu ) } ) \| v ^ { ( 0 ) } \| } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 ^ { k } } \sum _ { i = 0 } ^ { 2 k } \exp ( - P ( 2 ( i ( A - B ) ) ) ^ { 1 / ( 1 - \nu ) } ) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \binom { m + k - 1 } { m } \exp ( - P ( 2 ( 2 m A + k B ) ) ^ { 1 / ( 1 - \nu ) } ) \| v ^ { ( 0 ) } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \ge ( c - p ) ( F ^ { * } ) - ( c - p ) ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } \\ { } & { = c ( F ^ { * } ) - c ( Z _ { q ^ { \prime } } ) - \delta \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus Z _ { q ^ { \prime } } ) - \Delta \cdot \left( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) \right) } \\ { } & { > c ( F ^ { * } ) - c ( Z _ { q ^ { \prime } } ) - d _ { q ^ { \prime } + 1 } \cdot \mu \left( F ^ { * } \setminus Z _ { q ^ { \prime } } \right) - \Delta \cdot \left( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) \right) . } \end{array}