harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
k _ { i } ^ { \leftarrow } = k _ { i } ^ { \rightarrow } \left[ \frac { \prod _ { \beta , \textrm { r e a c t a n t s } } { n _ { \beta } } ^ { b _ { i \beta } } } { \prod _ { \beta , \textrm { p r o d u c t s } } { n _ { \beta } } ^ { b _ { i \beta } } } \right] _ { \textrm { e q } } \equiv \frac { k _ { i } ^ { \rightarrow } } { K _ { i } ^ { \textrm { e q } } } ,
\Pi _ { \alpha \beta } ( q ) = - i \mathrm { T r } _ { c } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { T r } ~ [ S _ { 0 } ( p ) \Gamma _ { \alpha } S _ { 0 } ( p + q ) \Gamma _ { \beta } ] \, ,
\delta _ { \Lambda , \lambda } \Phi = \sum _ { k = 1 } ^ { r - 1 } \ln \left| \Lambda _ { 1 } ^ { 1 } \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } . . . \Lambda _ { k } ^ { k } \right| ^ { s _ { k } } + \ln \left| \lambda \right| ^ { 2 s _ { r } }
\partial _ { \lambda } \eta \left( \vec { x } { \, } \right) = \int _ { \Sigma } ^ { } \left( d \sigma _ { \mu } \left( \vec { y } { \, } \right) \frac { \partial } { \partial y _ { \lambda } } - d \sigma _ { \lambda } \left( \vec { y } { \, } \right) \frac { \partial } { \partial y _ { \mu } } \right) \frac { \partial } { \partial y _ { \mu } } \frac { 1 } { \left| \vec { x } - \vec { y } { \, } \right| } + \int _ { \Sigma } ^ { } d \sigma _ { \lambda } \left( \vec { y } { \, } \right) \Delta \frac { 1 } { \left| \vec { x } - \vec { y } { \, } \right| } .
\begin{array} { r l } & { i \left( \frac { \partial } { \partial s } + 2 \alpha _ { j } \right) \hat { U } _ { j } + i g _ { \delta } \frac { \partial \hat { U } _ { 1 } } { \partial \tau } + g _ { D j } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } \hat { U } _ { j } } \\ & { + 2 \left( g _ { j j } \hat { U } _ { j } ^ { \dag } \hat { U } _ { j } + g _ { j 3 - j } \hat { U } _ { 3 - j } ^ { \dagger } \hat { U } _ { 3 - j } \right) \hat { U } _ { j } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \lambda , B ^ { T } , \sigma } P _ { \sigma } B ^ { T } } & { = \sum _ { p , q } \left( \sum _ { r = 1 } ^ { \lambda } E _ { r r } + \sum _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } ( \ b _ { \sigma ( j ) \lambda } E _ { r r } - b _ { \sigma ( j ) r } E _ { r \lambda } ) \right) b _ { \sigma ( q ) p } E _ { p q } } \\ & { = \sum _ { q } \sum _ { r = 1 } ^ { \lambda } b _ { \sigma ( q ) r } E _ { r q } + \sum _ { q } \sum _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } ( b _ { \sigma ( j ) \lambda } b _ { \sigma ( q ) r } - b _ { \sigma ( j ) r } b _ { \sigma ( q ) \lambda } ) E _ { r q } . } \end{array}
T _ { \nu } ^ { \mu } = ( \stackrel { 0 } { \rho } + \stackrel { 0 } { p } ) \stackrel { 0 } { { u } ^ { \mu } } { \stackrel { 0 } { u } } _ { \nu } + \stackrel { 0 } { p } \delta _ { \nu } ^ { \mu } \equiv T _ { ( r a d . ) \nu } ^ { \mu } + T _ { ( c o s . ) \nu } ^ { \mu }
\int _ { \Omega } \left( u ^ { * } \Delta u - u \Delta u ^ { * } \right) d \Omega _ { \mathbf { x } } = \oint _ { \Gamma } \left( u ^ { * } \frac { \partial u } { \partial n } - u \frac { \partial u ^ { * } } { \partial n } \right) d \Gamma _ { \mathbf { x } } ,
\Pi _ { \mu \nu } ( q ) = \delta ^ { 2 } [ K ( q ) - 1 ] ( q ^ { 2 } g _ { \mu \nu } - q _ { \mu } q _ { \nu } ) - \frac { i \delta ^ { 2 } g _ { 0 } ^ { 2 } N _ { c } } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \int \pi _ { \mu \nu } ( q , k ) d ^ { d } k .
G _ { \hat { R } ( j ) } ^ { I _ { k } ^ { \prime } , I } \equiv G _ { \hat { R } ( j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } ) } ^ { I _ { k } ^ { \prime } , I } = \sum _ { k ^ { \prime } = a , b } D _ { k ^ { \prime } , k } ^ { ( \Gamma _ { I ^ { \prime } } ) } ( \hat { R } ^ { - 1 } ) \chi ^ { ( \Gamma _ { I } ) } ( \hat { R } ^ { - 1 } ) G _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } ) } ^ { I _ { k ^ { \prime } } ^ { \prime } , I } ; \qquad \qquad k = a , b
R _ { n j k } = 1 - \exp \left( - I _ { n } \alpha _ { j } \epsilon _ { k } \right) = 1 - \exp \left( - e ^ { \log { I _ { n } ^ { 0 } } + \log { \alpha _ { j } ^ { 0 } } + \log { \epsilon _ { k } ^ { 0 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { \mathrm { o u t } } ( \omega _ { n } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { T } } \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { d } \tau \, e ^ { i \omega _ { n } \tau } \hat { I } _ { \mathrm { o u t } } ( \tau ) = \frac { 1 } { \sqrt { T } } \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { d } \tau \, e ^ { i \omega _ { n } \tau } ( e ^ { - i \Delta _ { \mathrm { L O } } \tau } \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ( \tau ) + e ^ { i \Delta _ { \mathrm { L O } } \tau } \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { \dagger } ( \tau ) ) } \\ & { = a _ { \mathrm { o u t } } ( \omega _ { n } - \Delta _ { \mathrm { L O } } ) + a _ { \mathrm { o u t } } ^ { \dagger } ( \omega _ { n } + \Delta _ { \mathrm { L O } } ) , } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } } \left[ \| \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } - \ensuremath { \mathbf { \tilde { s } } } _ { [ n ] } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \tau \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } ^ { \top } \mathbf Q _ { [ n ] } \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } \right] .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial { s } } \, \frac { 1 } { r } } & { = } & { - \frac { ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) } { r ^ { 3 } } , \qquad \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial { s } ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { r } = \frac { 3 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 2 } } { r ^ { 5 } } - \frac { 1 } { r ^ { 3 } } , \qquad \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial { s } ^ { 3 } } \, \frac { 1 } { r } = - 3 \Big ( \frac { 5 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 3 } } { r ^ { 7 } } - \frac { 3 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) } { r ^ { 5 } } \Big ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 4 } } { \partial { s ^ { 4 } } } \, \frac { 1 } { r } } & { = } & { 3 \Big ( \frac { 3 5 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 4 } } { r ^ { 9 } } - \frac { 3 0 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 2 } } { r ^ { 7 } } + \frac { 3 } { r ^ { 5 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p \left( { \bf X } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right) } & { = \frac { 1 } { p \left( \boldsymbol { \mathcal { O } } \right) } p \left( { \bf X } \right) p \left( \boldsymbol { \mathcal { O } } \mid \bf X \right) } \\ & { = \frac { 1 } { p \left( \boldsymbol { \mathcal { O } } \right) } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \sum _ { y _ { i } ^ { t } } \int d h _ { i } ^ { t } P \left[ y _ { i } ^ { t } | h _ { i } ^ { t } \right] \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } + \left( 1 - x _ { i } ^ { t } \right) y _ { i } ^ { t } } \, \delta \left( h _ { i } ^ { t } - \sum _ { j } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } \right) \right] \right\} p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid \boldsymbol { x } _ { i } \right) } \\ & { \propto \prod _ { i } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \sum _ { y _ { i } ^ { t } } \int d h _ { i } ^ { t } P \left[ y _ { i } ^ { t } | h _ { i } ^ { t } \right] \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } + \left( 1 - x _ { i } ^ { t } \right) y _ { i } ^ { t } } \, \delta \left( h _ { i } ^ { t } - \sum _ { j } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } \right) p \left( { O } _ { i } ^ { t } \mid x _ { i } ^ { t } \right) \right] \right\} p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( - \Delta ) ^ { s } \omega _ { 2 } ( x ) } & { = C _ { s , n } P . V . \int _ { \mathbb R ^ { n } } \frac { 0 - \omega _ { 2 } ( y ) } { | x - y | ^ { n + 2 s } } \mathrm { d } y } \\ & { = C _ { s , n } P . V . \int _ { B _ { \lambda } ( 0 ) \setminus D ^ { - } } \frac { - \omega ( y ) } { | x - y | ^ { n + 2 s } } \mathrm { d } y + C _ { s , n } P . V . \int _ { \mathbb R ^ { n } \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) } \frac { - \omega ( y ) } { | x - y | ^ { n + 2 s } } \mathrm { d } y } \\ & { = C _ { s , n } P . V . \int _ { B _ { \lambda } ( 0 ) \setminus D ^ { - } } \frac { - \omega ( y ) } { | x - y | ^ { n + 2 s } } \mathrm { d } y + C _ { s , n } P . V . \int _ { B _ { \lambda } ( 0 ) } \frac { - \omega ( y ^ { \lambda } ) } { | x - y ^ { \lambda } | ^ { n + 2 s } } \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { 2 n } \mathrm { d } y } \\ & { = C _ { s , n } P . V . \int _ { B _ { \lambda } ( 0 ) \setminus D ^ { - } } \frac { - \omega ( y ) } { | x - y | ^ { n + 2 s } } \mathrm { d } y + C _ { s , n } P . V . \int _ { B _ { \lambda } ( 0 ) } \frac { \omega ( y ) } { | x - y ^ { \lambda } | ^ { n + 2 s } } \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { n + 2 s } \mathrm { d } y } \\ & { = C _ { s , n } P . V . \int _ { B _ { \lambda } ( 0 ) \setminus D ^ { - } } \left( \frac { 1 } { | x - y ^ { \lambda } | ^ { n + 2 s } } \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { n + 2 s } - \frac { 1 } { | x - y | ^ { n + 2 s } } \right) \omega ( y ) \mathrm { d } y } \\ & { \quad + C _ { s , n } P . V . \int _ { D ^ { - } } \frac { \omega ( y ) } { | x - y ^ { \lambda } | ^ { n + 2 s } } \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { n + 2 s } \mathrm { d } y \leq 0 . } \end{array}
\mathcal { Z } [ J ] = \frac { \displaystyle \int \mathcal { D } \phi \mathcal { D } \sigma \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ i \displaystyle \int d ^ { 4 } x \left( \mathcal { L } ^ { \prime } + J \phi \right) \right] } { \displaystyle \int \mathcal { D } \phi \mathcal { D } \sigma \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ i \displaystyle \int d ^ { 4 } x \mathcal { L } ^ { \prime } \right] }
\begin{array} { r l r } { \hat { h } _ { I } } & { = } & { \sum _ { p , j , { \bf k } } ( g _ { p } ( j , { \bf k } ) \hat { a } _ { j , p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \bf k } , p } + g _ { p } ^ { * } ( j , { \bf k } ) \hat { a } _ { { \bf k } , p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j , p } ) } \\ { g _ { p } ( j , { \bf k } ) } & { = } & { - \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } L } \sqrt { \omega _ { j } } D _ { j , p } e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { \bf r } _ { j } } , } \end{array}
2 i \frac { \partial ( \psi , q ) } { \partial ( \zeta , \bar { \zeta } ) } = 2 i \frac { \partial ( Y _ { n } + \Omega h , - n ( n + 1 ) Y _ { n } - 2 \Omega h ) } { \partial ( s , \bar { s } ) } = 2 \Omega i \left( n ( n + 1 ) - 2 \right) \frac { \partial ( Y _ { n } , h ) } { \partial ( s , \bar { s } ) } .
\begin{array} { r l } { V _ { j } ^ { ( n ) } ( t ) } & { = - \frac { \pi } { 2 n } \sin ( \zeta _ { j } ^ { ( n ) } - t ) + \frac { 2 \pi } { n } \sum _ { m = 2 } ^ { n - 1 } \frac { \sin [ m ( \zeta _ { j } ^ { ( n ) } - t ) ] } { m ^ { 2 } - 1 } + \frac { \pi \sin [ n ( \zeta _ { j } ^ { ( n ) } - t ) ] } { n ( n ^ { 2 } - 1 ) } , } \\ { W _ { j } ^ { ( n ) } ( t ) } & { = \frac { \pi } { n } \Big \{ \frac { 1 } { 4 } + \frac { 2 } { 3 } \cos ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) + \frac { 1 } { 8 } \cos [ 2 ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) ] \Big \} + \frac { 1 } { 2 } R _ { j } ^ { ( n ) } ( t ) } \\ & { \quad + \frac { \pi } { n } \sum _ { m = 3 } ^ { n - 1 } \frac { m } { m ^ { 2 } - 4 } \cos [ m ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) ] + \frac { \pi } { 2 ( n ^ { 2 } - 4 ) } \cos [ n ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi _ { 0 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) = k r _ { g } \ln \Big [ \frac { r + ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r _ { 0 } + ( \vec { k } \cdot \vec { r } _ { 0 } ) } \Big ] = k \frac { 2 G M } { c ^ { 2 } } \ln \Big [ \frac { r + r _ { 0 } + | { \vec { r } } - { \vec { r } } _ { 0 } | } { r + r _ { 0 } - | { \vec { r } } - { \vec { r } } _ { 0 } | } \Big ] . } \end{array}
\Psi _ { \kappa } ^ { ( P ) } = \frac { i } { 2 ^ { 3 / 2 } } \, \exp \left( - \frac { \pi \kappa } 2 - i \frac { \kappa } 2 \ln \left( \frac { - x _ { + } } { - x _ { - } } \right) \right) H _ { i \kappa } ^ { ( 1 ) } \left( m \sqrt { ( - x _ { - } ) ( - x _ { + } ) } \right) .
\begin{array} { r } { \frac { \delta \nu _ { \mathrm { M W } } } { \nu _ { \mathrm { M W } } } \approx - 0 . 1 1 \left[ \frac { \partial \ln g ( \theta ) } { \partial \ln m _ { \pi } ^ { 2 } } - \frac { \partial \ln m _ { p } } { \partial \ln m _ { \pi } ^ { 2 } } \right] \frac { \rho _ { \mathrm { D M } } } { m _ { a } ^ { 2 } f _ { a } ^ { 2 } } \cos ( 2 m _ { a } t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { S _ { x } } \\ { S _ { y } } \\ { S _ { z } } \end{array} \right) } & { { } = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { \sin \theta \cos \phi } \\ { \sin \theta \sin \phi } \\ { \cos \theta } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P ( x , t ) } { \partial t } } & { = \binom { x - 1 } { x - n } \left[ - n r _ { k } e ^ { - z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n } + r _ { k } ( x - n ) e ^ { - 2 z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n - 1 } \right] } \\ & { = r _ { k } \binom { x - 1 } { x - n } e ^ { - z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n } \left[ - n + ( x - n ) \frac { e ^ { - z } } { 1 - e ^ { - z } } \right] } \\ & { = r _ { k } \binom { x - 1 } { x - n } e ^ { - z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n } \left[ - n + ( x - n ) \frac { e ^ { - z } } { 1 - e ^ { - z } } - \frac { x - n } { 1 - e ^ { - z } } + \frac { x - n } { 1 - e ^ { - z } } \right] } \\ & { = r _ { k } \binom { x - 1 } { x - n } e ^ { - z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n } \left[ \frac { x - n } { 1 - e ^ { - z } } - n + \frac { ( x - n ) } { 1 - e ^ { - z } } \left( e ^ { - z } - 1 \right) \right] } \\ & { = r _ { k } \binom { x - 1 } { x - n } e ^ { - z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n } \left[ \frac { x - n } { 1 - e ^ { - z } } - x \right] } \\ & { = r _ { k } \left[ ( x - n ) \binom { x - 1 } { x - n } \right] e ^ { - z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n - 1 } - r _ { k } x \binom { x - 1 } { x - n } e ^ { - z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n } } \\ & { = r _ { k } ( x - 1 ) \left[ \binom { x - 2 } { x - n - 1 } e ^ { - z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n - 1 } \right] - r _ { k } x \left[ \binom { x - 1 } { x - n } e ^ { - z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n } \right] } \\ & { = r _ { k } ( x - 1 ) P ( x - 1 , t ) - r _ { k } x P ( x , t ) , } \end{array}
D _ { { \vec { c } } , p - 1 } = D _ { { \vec { c } } , 0 } e ^ { - i 2 \pi \left( q \mid c \mid + N _ { \Phi } c _ { \gamma } \right) / \ell } e ^ { \frac { i \pi \tau } { \omega \kappa ^ { 2 } } \left( p - 1 \right) ^ { 2 } } e ^ { i \tau \beta N _ { A } \left( p - 1 \right) / { \omega \kappa ^ { 2 } } } e ^ { - i \alpha N _ { A } \left( p - 1 \right) / { \omega \kappa ^ { 2 } } }
A _ { x _ { | | } } ^ { 1 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { \rho } } \int _ { \tilde { T } ^ { 2 } } d ^ { 2 } z \, K _ { - } ( \omega , z ; x ) e ^ { \phi ( z ) } \left( D _ { x } ^ { \dagger } ( \hat { A } ) \partial _ { x _ { | | } } D _ { x } ( \hat { A } ) \right) ^ { 1 1 } \frac { e ^ { \phi ( z ) } } { \sqrt { \rho } } K _ { - } ( z , \omega ; x ) .
\begin{array} { r } { \beta _ { x } = \hat { \tau } _ { x x } \tilde { u } + \hat { \tau } _ { x y } \tilde { v } + \hat { \tau } _ { x z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { x } \, \mathrm { , } } \\ { \beta _ { y } = \hat { \tau } _ { x y } \tilde { u } + \hat { \tau } _ { y y } \tilde { v } + \hat { \tau } _ { y z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { y } \, \mathrm { , } } \\ { \beta _ { z } = \hat { \tau } _ { x z } \tilde { u } + \hat { \tau } _ { y z } \tilde { v } + \hat { \tau } _ { z z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { z } \mathrm { . } } \end{array}
j ^ { \sigma } = \left[ { \frac { \partial L } { \partial { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } } } { \mathcal { L } } _ { X } \varphi ^ { A } - L \, X ^ { \sigma } \right] - \left( { \frac { \partial L } { \partial { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } } } \right) \Psi ^ { A } \, .
U ( \Theta ) = \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \left\| u _ { \Theta } - u \right\| _ { \mathcal { D } ^ { u } } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } \left\| \mathcal { F } ( u _ { \Theta } ) \right\| _ { \mathcal { D } ^ { \Omega } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \Theta } ^ { 2 } } \left\| \Theta \right\| ^ { 2 } : = \sum _ { k = 0 } ^ { K + 1 } \lambda _ { k } \mathcal { L } _ { k } ( \Theta )
\overline { { \Omega } } _ { \gamma } ^ { + , \theta } = \sum _ { r \geq 1 } \sum _ { \substack { \{ \gamma _ { i } \} _ { 1 \leq i \leq r } \, \sum _ { i = 1 } ^ { r } \gamma _ { i } = \gamma } } \frac { 1 } { | \mathrm { A u t } ( \{ \gamma _ { i } \} _ { i } ) | } F _ { r } ^ { \theta } ( \gamma _ { 1 } , \dots , \gamma _ { r } ) \prod _ { i = 1 } ^ { r } \overline { { \Omega } } _ { \gamma _ { i } } ^ { + , * } \, ,
\begin{array} { r l } & { \left[ \begin{array} { l l } { \Psi ^ { - 1 } - I + W V ^ { T } } & { - W } \\ { - V ^ { T } } & { I } \end{array} \right] , } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { l l } { B _ { R R } } & { B _ { R A } } \\ { B _ { A R } } & { B _ { A A } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { C _ { R R } } & { C _ { R A } } \\ { C _ { A R } } & { C _ { A A } } \end{array} \right] ^ { - 1 } , } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { l l } { B _ { R R } } & { B _ { R A } } \\ { B _ { A R } } & { B _ { A A } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { C _ { R R } ^ { - 1 } + C _ { R R } ^ { - 1 } C _ { R A } C _ { A | R } ^ { - 1 } C _ { A R } C _ { R R } ^ { - 1 } , } & { - C _ { R R } ^ { - 1 } C _ { R A } C _ { A | R } ^ { - 1 } } \\ { - C _ { A | R } ^ { - 1 } C _ { A R } C _ { R R } ^ { - 1 } , } & { C _ { A | R } ^ { - 1 } } \end{array} \right] , } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { l l } { B _ { R R } C _ { R R } ^ { - 1 } - ( B _ { R A } - B _ { R R } C _ { R R } ^ { - 1 } C _ { R A } ) C _ { A | R } ^ { - 1 } C _ { A R } C _ { R R } ^ { - 1 } , } & { ( B _ { R A } - B _ { R R } C _ { R R } ^ { - 1 } C _ { R A } ) C _ { A | R } ^ { - 1 } } \\ { B _ { A R } C _ { R R } ^ { - 1 } - ( B _ { A A } - B _ { A R } C _ { R R } ^ { - 1 } C _ { R A } ) C _ { A | R } ^ { - 1 } C _ { A R } C _ { R R } ^ { - 1 } , } & { ( B _ { A A } - B _ { A R } C _ { R R } ^ { - 1 } C _ { R A } ) C _ { A | R } ^ { - 1 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial \Phi } \left( \mathbf { R } _ { \mathrm { m } } ^ { \mathrm { i - 1 } } + \mathbf { R } _ { \mathrm { m } } ^ { \mathrm { i } } \right) = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \Phi } \left( \mathbf { R } _ { \mathrm { m } } ^ { \mathrm { i - 1 } } + \mathbf { R } _ { \mathrm { m } } ^ { \mathrm { i } } \right) + \frac { \partial } { \partial \Delta { { \mathbf { u } } ^ { \mathrm { i } } } } \left( \mathbf { R } _ { \mathrm { m } } ^ { \mathrm { i - 1 } } + \mathbf { R } _ { \mathrm { m } } ^ { \mathrm { i } } \right) \frac { \partial \Delta { { \mathbf { u } } ^ { \mathrm { i } } } } { \partial \Phi } + } \\ { \frac { \partial } { \partial { { d } ^ { \mathrm { i } } } } \left( \mathbf { R } _ { \mathrm { m } } ^ { \mathrm { i - 1 } } + \mathbf { R } _ { \mathrm { m } } ^ { \mathrm { i } } \right) \frac { \partial { { d } ^ { \mathrm { i } } } } { \partial \Phi } , } \end{array}
T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } = T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } - 1 + e ^ { j \varphi }
f = \frac { 1 } { 2 } \frac { { { L } _ { y } } } { { { L } _ { x } } } \gamma \sum { { { q } ^ { 2 } } { { \left| h _ { q } \right| } ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { { { L } _ { y } } } { { { L } _ { x } } } \kappa \sum { { { q } ^ { 4 } } { { \left| h _ { q } \right| } ^ { 2 } } } .
\left[ \begin{array} { c c } { 1 - v ^ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 } } & { - v ^ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { - v ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } } & { 1 - v ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \xi _ { 1 } } \\ { \xi _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \chi ^ { 2 } v ^ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \psi } \\ { \chi ^ { 2 } v ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \psi } \end{array} \right] \, ,
\Bigl \{ b ^ { r } ( k , \sigma ) , b ^ { s \dagger } ( p , \sigma ^ { \prime } ) \Bigr \} = \Bigl \{ d ^ { r } ( k , \sigma ) , d ^ { s \dagger } ( p , \sigma ^ { \prime } ) \Bigr \} = 1 6 \pi ^ { 3 } k ^ { + } \delta _ { r s } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta ^ { 3 } ( k - p ) \; .
\begin{array} { r l } { J _ { p } ( \phi _ { 1 2 } ^ { + } ( y ) ) } & { + J _ { p } ( \phi _ { 1 2 } ^ { - } ( y ) ) = J _ { p } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) + \frac { 1 } { 2 } J _ { p } ^ { \prime } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y + \frac { 1 } { 8 } J _ { p } ^ { \prime \prime } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) ( y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + J _ { p } ( - \nabla \phi ( x ) \cdot y ) + \frac { 1 } { 2 } J _ { p } ^ { \prime } ( - \nabla \phi \cdot y ) y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y + \frac { 1 } { 8 } J _ { p } ^ { \prime \prime } ( - \nabla \phi ( x ) \cdot y ) ( y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y ) ^ { 2 } + O ( | y | ^ { p + 2 } ) } \\ & { = J _ { p } ^ { \prime } ( \nabla \phi \cdot y ) y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y + O ( | y | ^ { p + 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ( \chi _ { \delta } \partial _ { s _ { i } } H _ { t } ) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } } & { = L _ { \epsilon } ( \chi _ { \delta } \phi _ { s _ { i } } ) + T _ { 0 } ( \phi ) \chi _ { \delta } \phi _ { s _ { i } } + [ L _ { \epsilon } , \chi _ { \delta } \partial _ { s _ { i } } ] ( \phi ) + \chi _ { \delta } R _ { \omega , \epsilon } } \\ & { = L _ { \epsilon } ( \chi _ { \delta } \phi _ { s _ { i } } ) + E } \end{array}
{ \bf { S } } = d i a g ( { s _ { 0 } } , { s _ { 1 } } , { s _ { 1 } } , { s _ { 1 } } , { s _ { 2 } } , { s _ { 2 } } , { s _ { 2 } } , { s _ { 2 b } } , { s _ { 2 } } , { s _ { 2 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 4 } } , { s _ { 4 } } , { s _ { 4 } } ) .
\begin{array} { r l } { A _ { n \ell } ( r ) } & { = C _ { n \ell } \left[ \beta _ { 3 } ( k _ { n \ell } R ) j _ { \ell } ^ { \prime } ( q _ { n \ell } r ) - \ell ( \ell + 1 ) \frac { q _ { n \ell } } { k _ { n \ell } } \beta _ { 1 } ( q _ { n \ell } R ) \frac { j _ { \ell } ( k _ { n \ell } r ) } { k _ { n \ell } r } \right] } \\ { B _ { n \ell } ( r ) } & { = C _ { n \ell } \left[ \beta _ { 3 } ( k _ { n \ell } R ) \frac { j _ { \ell } ( q _ { n \ell } r ) } { q _ { n \ell } r } - \frac { q _ { n \ell } } { k _ { n \ell } } \beta _ { 1 } ( q _ { n \ell } R ) \beta _ { 5 } ( k _ { n \ell } r ) \right] . } \end{array}
\bar { \mathbf { u } } ( \bar { y } ( t , \omega ) ) = ( \bar { u } _ { 1 } ( \bar { y } ( t , \omega ) ) , \dots , \bar { u } _ { N } ( \bar { y } ( t , \omega ) ) ) ^ { T } : = - \lambda \mathcal { I } P _ { \mathcal { O } _ { N } } ^ { \mathcal { E } _ { N } ^ { \perp } } \Delta P _ { \mathcal { E } _ { N } } ^ { \mathcal { O } _ { N } ^ { \perp } } \bar { y } ( t , \omega ) ,
\mathbf { W } : = \left( \begin{array} { l l l } { | } & { } & { | } \\ { \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } _ { 1 } \otimes \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } _ { 1 } } & { \dots } & { \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } _ { n _ { Ḋ } \mathrm Ḋ s Ḍ Ḍ } \otimes \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } _ { n _ { Ḋ } \mathrm Ḋ s Ḍ Ḍ } } \\ { | } & { } & { | } \end{array} \right) \in \mathbb { R } ^ { r ( 2 r + 1 ) \times n _ { Ḋ } \mathrm Ḋ s Ḍ Ḍ } .
\begin{array} { r l } { G _ { n _ { \perp } n _ { \perp } } ^ { R } } & { = \chi \left( \frac { i \omega } { i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma } - 1 \right) , } \\ { G _ { n _ { \perp } j _ { \| } } ^ { R } } & { = \frac { \omega k \sigma } { i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma } , } \\ { G _ { j _ { \| } j _ { \| } } ^ { R } } & { = - i \omega \sigma \left( \frac { D _ { n } k ^ { 2 } } { i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma } + 1 \right) . } \end{array}