harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \rho _ { s , l _ { 1 } , l _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ( t , t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = } \\ & { \quad \Theta ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) U ^ { s } ( t , t _ { 1 } ) A _ { l _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 1 } ) \rho _ { s , l _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 1 } - 0 ^ { + } , t _ { 2 } ) } \\ & { \quad + \Theta ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) U ^ { s } ( t , t _ { 2 } ) A _ { l _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 2 } ) \rho _ { s , l _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 2 } - 0 ^ { + } , t _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { \textrm { N } } } & { { } = } & { - \int \! d { \textbf { k } } \int _ { - \infty } ^ { \tau } \! \! \! d \tau _ { 1 } H ( \tau - \tau _ { 1 } ) \exp [ - \omega ( k , { \textbf { X } } ; T ) ( \tau - \tau _ { 1 } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { R M S E } } & { = \left( { { \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sum _ { t = n + 1 } ^ { n + n ^ { * } } ( \hat { y } _ { j } ( \mathbf x _ { t ^ { * } } ) - y _ { j } ( \mathbf x _ { t ^ { * } } ) ) ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { L ( 9 5 \% ) } & { = \frac { 1 } { m n ^ { * } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sum _ { t ^ { * } = n + 1 } ^ { n ^ { * } + n } \mathrm { l e n g t h } \left\{ C I _ { j , t ^ { * } } ( 9 5 \% ) \right\} , } \\ { P ( 9 5 \% ) } & { = \frac { 1 } { m n ^ { * } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sum _ { t ^ { * } = n + 1 } ^ { n ^ { * } + n } 1 _ { y _ { j } ( \mathbf x _ { t ^ { * } } ) \in C I _ { j , t ^ { * } } ( 9 5 \% ) } , } \end{array}
X ^ { k } = x ^ { k } + \frac { i \pi _ { r } } { m ( \omega + m ) } \sum _ { a = 1 } ^ { N } [ \psi _ { a } ^ { k } , \psi _ { a } ^ { r } ] \; , \; \; \theta _ { a } ^ { k } = \psi _ { a } ^ { k } + \frac { \pi _ { k } ( \omega - m ) } { { m \vec { \pi } } ^ { 2 } } \pi _ { r } \psi _ { a } ^ { r } \; .
\left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { i k _ { 2 } } & { - i k _ { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i k _ { 2 } a / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i k _ { 2 } a / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { C } \\ { D } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { i k _ { 1 } } & { - i k _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i k _ { 1 } a / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i k _ { 1 } a / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \gamma } \\ { \delta } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { b } & { { } = 2 \bar { n } _ { R } + 1 , } \\ { \theta } & { { } = - \sqrt { \tau ( 1 - \tau ) } \sigma _ { x } ^ { 2 } , } \\ { \phi } & { { } = ( 1 - \tau ) \sigma _ { x } ^ { 2 } + 2 \bar { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { r , r ^ { \prime } } } & { = \operatorname* { m a x } _ { \xi \in [ r , r ^ { \prime } ] } \| \partial _ { 2 } \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; \xi ) \| = \operatorname* { m a x } _ { \xi \in [ r , r ^ { \prime } ] } \| \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } + \xi ) - \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) \| } \\ & { \le \Big ( \operatorname* { m a x } _ { \xi \in [ r , r ^ { \prime } ] } \operatorname* { m a x } _ { \zeta \in [ 0 , \xi ] } \| \mathcal { A } ^ { \prime \prime } ( t _ { * } + \zeta ) \| _ { \mathcal { L } ( \mathbb { V } \times \mathbb { V } , \mathbb { V } ^ { * } ) } \Big ) \delta } \\ & { = \Big ( \operatorname* { s u p } _ { \| \zeta \| \le \delta } \| \mathcal { A } ^ { \prime \prime } ( t _ { * } + \zeta ) \| _ { \mathcal { L } ( \mathbb { V } \times \mathbb { V } , \mathbb { V } ^ { * } ) } \Big ) \delta = M _ { \delta } \delta } \end{array}
\begin{array} { r l } { a = \left. \frac { \partial \log f _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } } { \partial T } \right| _ { f _ { 0 } } \delta T } & { { } = - \frac { M ^ { \prime } ( 0 ) } { M ( 0 ) } \frac { \mathrm { d } \alpha } { \mathrm { d } T } \delta T = - \frac { M ^ { \prime } ( 0 ) } { M ( 0 ) } \frac { \tau _ { s } \Delta V } { V _ { s } \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } \Delta T } \delta T = } \end{array}
\int _ { m } ^ { + \infty } d y \frac { 1 } { \sqrt { y ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \frac { 1 } { y + 2 a } = \frac { 2 } { \sqrt { m ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } } } \left( \frac { \pi } { 2 } - \tan ^ { - 1 } \sqrt { \frac { m + 2 a } { m - 2 a } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { s 1 } } & { { } : ~ ~ \frac { \partial f _ { s } } { \partial t } + \nabla _ { x } \cdot \left( \textbf { u } f _ { s } \right) = \frac { g _ { s } - f _ { s } } { \tau _ { s } } , } \\ { \mathcal { L } _ { s 2 } } & { { } : ~ ~ \frac { \partial f _ { s } } { \partial t } + \nabla _ { u } \cdot \left( \textbf { a } f _ { s } \right) = 0 , } \end{array}
\| z _ { t + 1 } \| = \left\{ \begin{array} { l l } { \| z _ { t } \| | 1 - \lambda / \lambda | = 0 } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ 0 ~ . ~ 5 ~ } ; } \\ { \| z _ { t } \| | 1 - \lambda c _ { 0 } | } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ 0 ~ . ~ 5 ~ } . } \end{array} \right.
\Theta = { \cal L } ^ { \prime } - { \cal L } = i \int _ { 0 } ^ { L } \, ( \vec { l } \cdot \partial _ { x } \vec { n } ) \; d x = \, i \int _ { 0 } ^ { L } ( \partial _ { x } \vec { n } \wedge \partial _ { 0 } \vec { n } ) \cdot \vec { n } \; d x
{ \begin{array} { r l } { V ( \mathbf { R } ) } & { = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } ( - 1 ) ^ { m } I _ { \ell } ^ { - m } ( \mathbf { R } ) Q _ { \ell } ^ { m } } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \left[ { \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } } \right] ^ { 1 / 2 } \; { \frac { 1 } { R ^ { \ell + 1 } } } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } ( - 1 ) ^ { m } Y _ { \ell } ^ { - m } ( { \hat { R } } ) Q _ { \ell } ^ { m } , \qquad R > r _ { \mathrm { m a x } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { z } } & { { } = } & { \hbar m \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ { \hat { s } _ { z } } & { { } = } & { \frac { \hbar } { i } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla \cdot { \bf H } ( { \bf r } , t ) = 0 , } \\ { \nabla \times { \bf E } ( { \bf r } , t ) + \mu _ { 0 } \partial _ { t } { \bf H } ( { \bf r } , t ) = 0 , } \\ { \nabla \cdot [ \epsilon ( { \bf r } ) { \bf E } ( { \bf r } , t ) ] = 0 , } \\ { \nabla \times { \bf H } ( { \bf r } , t ) - \epsilon _ { 0 } \epsilon ( { \bf r } ) \partial _ { t } { \bf E } ( { \bf r } , t ) = 0 , } \end{array}
\mathcal { F } _ { 3 } = \{ x y z \, \vert \, x , y , z \in \{ 1 , \mathrm { R H } , q _ { i } , q _ { c } , T , \partial _ { z } \mathrm { R H } , \partial _ { z z } p , \partial _ { z } p , \partial _ { z z } \mathrm { R H } , \partial _ { z } T , p _ { s } , p \} \} .
f ( z ) = \gamma - \frac { \alpha z ^ { 2 } } { 2 } - 2 z - i \frac { c } { \omega } \ln \left[ - ( - 1 ) ^ { 3 / 4 } \sqrt { \pi c } \; \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ i ~ } \left( \sqrt [ 4 ] { - 1 } \sqrt { \frac { \omega } { \alpha c } } ( \alpha z + 1 ) \right) + 2 \beta _ { 1 } \sqrt { \alpha \omega } \; \exp \left( \frac { i } { \alpha } \frac { \omega } { c } \right) \right] ,
\left. - \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} + \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - 2 \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \} \right\}
\mathrm { ~ N ~ L ~ L ~ } ( \xi _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ s ~ t ~ } } | \xi _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ) = - \log \left( \sum _ { k = 1 } ^ { K } \pi _ { k } \mathcal { N } ( \xi _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ s ~ t ~ } } | \mu _ { k } , \Sigma _ { k } ) \right)
\ddot { p } + \frac { 2 } { s - s _ { 0 } - \epsilon } \dot { p } - r ^ { 2 } p + \frac { r } { s - s _ { 0 } - \epsilon } p - \frac { 3 } { 4 ( s - s _ { 0 } - \epsilon ) ^ { 2 } } p = 0
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma ^ { 2 } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { u = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \lambda \neq \lambda _ { 0 } } { \lambda _ { C } ^ { 2 u } } , } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { \lambda \neq \lambda _ { 0 } } \sum _ { u = 0 } ^ { \infty } { ( \lambda _ { C } ^ { 2 } ) ^ { u } } , } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { \lambda \neq \lambda _ { 0 } } \frac { 1 } { 1 - \lambda _ { C } ^ { 2 } } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \\ { \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } & { - \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \\ { \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } & { \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { - H ^ { \coth } \left[ \frac { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \right] + C _ { 1 } } \\ { - \frac { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } } \end{array} \right) , \qquad \left( \begin{array} { l } { \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } \\ { \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } \\ { \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } \end{array} \right) \bigg ( H ^ { \operatorname { c s c h } } \left[ \frac { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \right] + C _ { 1 } \bigg ) .
\boldsymbol f = \underset { \boldsymbol f \in \mathbb { F } } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } } ~ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ t ~ } ( \boldsymbol f ( \overline { { \boldsymbol X } } ^ { ( i ) } ) , \boldsymbol y ^ { ( i ) } )
\mathcal { H } _ { R } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( p _ { 2 } - \mathsf { A } \right) ^ { 2 } } { I _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } } { I _ { 2 } } + \Pi \left( \psi _ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l } { C _ { x x } ( 0 ) = } & { \frac { { \cal F } ^ { 2 } \! q ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } + \frac { k _ { B } \, T } { k } + \frac { { \cal F } ^ { 2 } \, \mu \, q ( 1 - q ) } { k ( w + w _ { r } ) } } \\ { C _ { \theta x } ( 0 ) = } & { \frac { { \cal F } ^ { 2 } \! q ^ { 2 } } { k } + \frac { { \cal F } \, \mu \, q ( 1 - q ) } { w + w _ { r } } = C _ { x \theta } ( 0 ) } \\ { C _ { \theta \theta } ( 0 ) = } & { q \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \rho } } & { = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { m } ( \Omega ) \left( 1 + \frac { \boldsymbol { \lambda } ( \boldsymbol { \rho } ) \cdot \boldsymbol { m } ( \Omega ) } { K } \right) ^ { K } \, \mathrm { d } \Omega , } \\ { \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \rho } ) } & { = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \Omega \boldsymbol { m } ( \Omega ) \left( 1 + \frac { \boldsymbol { \lambda } ( \boldsymbol { \rho } ) \cdot \boldsymbol { m } ( \Omega ) } { K } \right) ^ { K } \, \mathrm { d } \Omega , } \\ { \boldsymbol { L } ( \boldsymbol { \rho } ) } & { = \sigma \left( \frac { \rho _ { 0 } } { 4 \pi } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { m } ( \Omega ) d \Omega - \boldsymbol { \rho } \right) , } \end{array}
V _ { i n } \cap V _ { m } = 2 w _ { i n } \phi _ { i n } - \frac { ( \phi _ { i n } - \alpha _ { m } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } w _ { i n } } { ( \alpha _ { m } ^ { \prime } - \alpha _ { m } ^ { \prime \prime } ) } .
\begin{array} { l l l } { \eta ( \epsilon _ { 0 } ) + \mathrm { d i s t } ( A , B ) } & { \leq } & { \mathrm { d i s t } \left( \frac { x _ { n } + z _ { n } } { 2 } , B \right) \leq \left\| \displaystyle \frac { x _ { n } + z _ { n } } { 2 } - y _ { n } \right\| } \\ & { \leq } & { \displaystyle \frac { \| x _ { n } - y _ { n } \| + \| z _ { n } - y _ { n } \| } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \omega } _ { \mathrm { m } } } & { = [ \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { f } } \times \mathbf { \hat { m } } _ { \mathrm { f } } ] \cdot \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { f } } + \frac { 1 } { I _ { \mathrm { f } } } \mathbf { \hat { m } } _ { \mathrm { f } } \cdot [ \mathbf { m } _ { \mathrm { f } } \times \mathbf { B } _ { \mathrm { r } } - \zeta _ { \mathrm { r o t } } \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { f } } ] } \\ & { = - \frac { \zeta _ { \mathrm { r o t } } } { I _ { \mathrm { f } } } \omega _ { \mathrm { m } } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { < r | A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) > } } & { { \equiv } } & { { < r | z ^ { \pm \pm } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) > } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { = } } & { { e ^ { - \frac { k \tau _ { 2 } } { 2 \pi } \left( A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( 0 , 0 ) \right) ^ { 2 } } \ \frac { 1 } { \eta ( \tau ) } \ \Theta \left[ \begin{array} { c } { { r / k } } \\ { { 0 } } \end{array} \right] \Big ( - i \frac { k \tau _ { 2 } } { \pi } A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( 0 , 0 ) \Big | k \tau \Big ) \times } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \times } } & { { \, e ^ { - \frac { i k } { 4 \pi } \int _ { T _ { 2 } } d z \wedge d \bar { z } \, \left| A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) \right| ^ { 2 } } \, e ^ { \frac { i k } { 4 \pi } \int _ { T _ { 2 } } d z \wedge d \bar { z } \, \partial _ { \bar { z } } \chi ( z , \bar { z } ) \partial _ { z } \chi ( z , \bar { z } ) } \ \ \ , } } \end{array}
\tilde { f } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , - \tau ) = \tilde { f } _ { 1 , d } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , - \tau ) - \tilde { w } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } ) \int _ { - \infty } ^ { \tau } \tilde { R } ^ { \cup } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , S } , \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { f } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , \tau ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l r } { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \mathcal { T } _ { h } \colon \mathrm { H o m } ( \Gamma ^ { [ 0 ] } , M ) } & { \longrightarrow } & { \prod _ { E \in \Gamma ^ { [ 1 ] } \setminus \Gamma _ { \infty } ^ { [ 1 ] } } M / \mathbb { Z } u _ { ( \partial ^ { - } E , E ) } \times \prod _ { j = 1 } ^ { \ell } M / \big ( ( \mathbb { Q } u _ { ( \partial ^ { - } E _ { j } , E _ { j } ) } + L ( A _ { j } ) ) \cap M \big ) } \\ { \phi } & { \longmapsto } & { \big ( ( \phi ( \partial ^ { + } E ) - \phi ( \partial ^ { - } E ) ) _ { E } , ( \phi ( \partial ^ { - } E _ { j } ) ) _ { j } \big ) . } \end{array}
\left| { \mathcal E } _ { T } ^ { ( k ) } - \frac { 1 } { K } \sum _ { s = 1 } ^ { K } { \mathcal E } _ { T } ^ { ( s ) } \right| \le \frac { K - 1 } K \epsilon \qquad \forall k \in \{ 1 , \dots , K \} .
B _ { \infty } ^ { p , q } = \bigcup _ { r = 0 } ^ { \infty } B _ { r } ^ { p , q } = \bigcup _ { r = 0 } ^ { \infty } ( { \mathrm { i m ~ } } d ^ { p , q - r } : F ^ { p - r } C ^ { p + q - 1 } \rightarrow C ^ { p + q } ) \cap F ^ { p } C ^ { p + q }
\{ 0 \} = { \it G } _ { 0 } \subset { \it G } _ { 1 } \subset . . . \subset { \it G } \; \; \; \mathrm { w h e r e ~ } { \it G } _ { k } = \{ X \in { \it G } | X _ { i } = 0 , i \geq k \} ,
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { m } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { m } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { m } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { I _ { m } } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { 0 } } \end{array} \right] \, .
\kappa \cos ^ { 2 } { ( \frac { \pi } { 2 } - \delta ) } \approx 1 + \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } \cos ^ { 4 } { ( \frac { \pi } { 2 } - \delta ) } } - \frac { c _ { 1 } \sin { ( 2 \kappa \sin { t } ) } + c _ { 2 } \cos { ( 2 \kappa \sin { t } ) } } { \kappa ^ { 2 } \cos { ( \frac { \pi } { 2 } - \delta ) } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 1 } ^ { \pm } \left( \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { \Gamma } _ { 2 } \right) = } & { \Theta _ { 1 } ^ { \pm } \left( \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { \Gamma } _ { 2 } \right) + \partial _ { \hat { \psi } _ { 1 } } \Phi _ { 1 } \left( \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { \Gamma } _ { 2 } \right) \Delta _ { 1 } ^ { \pm } \left( \hat { \Gamma } _ { 2 } \right) } \\ { = } & { \mp \alpha _ { 1 } ^ { 2 3 } \, \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos \hat { v } _ { 3 } \right) ^ { 3 } \kappa \left( \frac { \pi \, \hat { \Gamma } _ { 2 } } { A _ { 2 } \, L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \, \frac { \partial B _ { 1 } } { \partial \hat { \psi } _ { 1 } } \left( \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } \right) + \frac { \alpha _ { 0 } ^ { 2 3 } \, \alpha _ { 2 } ^ { 1 2 } } { \alpha _ { 1 } ^ { 1 2 } } \frac { L _ { 1 } } { 6 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \hat { \Gamma } _ { 2 } } \\ & { \quad \times \sqrt { 1 - \frac { 5 } { 3 } \frac { \hat { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } } \, \frac { \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos \hat { v } _ { 3 } \right) ^ { 3 } } { \left( 3 \frac { \left( \hat { \Gamma } _ { 2 } \right) ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } - 1 \right) } \left[ A _ { 0 } \left( \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } \right) \, \sin 2 \hat { \psi } _ { 1 } - B _ { 0 } \left( \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } \right) \, \cos 2 \hat { \psi } _ { 1 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { \left( t M o n _ { j } \left( \frac { 1 } { N + 1 } \left( \chi ( 0 ) N + e ^ { ( j ) } \right) , N + 1 \right) \right) \le \frac { F _ { j } ( \chi ( 0 ) N + 1 ) } { F _ { j } ( \chi _ { i } ( 0 ) N + 1 ) + \sum _ { i \ne j } F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } } \\ & { = \left( 1 + \sum _ { i \ne j } \frac { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) ) } { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) ) } \cdot \frac { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) ) } { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) + 1 ) } \cdot \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { I ^ { \mathrm { { c o } } } ( \theta , \tau ) = | A _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { c o } } Y _ { 2 2 } ( \theta ) e ^ { i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o } } } } + A _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { c o } } Y _ { 2 0 } ( \theta ) e ^ { - i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { { c o } } } } + A _ { s } ^ { \mathrm { c o } } Y _ { 0 0 } ( \theta ) e ^ { - i \omega \tau + i \phi _ { s } ^ { \mathrm { { c o } } } } | ^ { 2 } } \end{array}
{ \mathcal { L } } \, = \, - { \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } } \, F _ { \alpha \beta } \, F ^ { \alpha \beta } \, { \frac { \sqrt { - g } } { c } } \, + \, A _ { \alpha } \, J _ { \mathrm { f r e e } } ^ { \alpha } \, + \, { \frac { 1 } { 2 } } \, F _ { \alpha \beta } \, { \mathcal { M } } ^ { \alpha \beta } \, .
\begin{array} { r l } { [ z ^ { n } ] P ( z ) } & { \sim \frac { e ^ { \pi ^ { 2 } \! / 1 2 - \gamma ^ { 2 } \! / 2 - 2 \gamma _ { 1 } + \gamma } \exp \left( \log ^ { 2 } ( \operatorname { W } ( e ^ { \gamma } n ) / n ) / 2 \right) } { \sqrt { 2 \pi } \big ( \log ( e ^ { \gamma } n ) / n \big ) ^ { \gamma } \sqrt { \log \big ( \log ( e ^ { \gamma } n ) / n ) \big ) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } | v | ^ { 2 } \partial _ { t } F _ { + } d x d v = 2 \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } v \cdot E F _ { + } d x d v + \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } | v | ^ { 2 } Q _ { - + } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ) d x d v } \end{array}
\varepsilon _ { c r } \left( t \right) = \frac { a _ { 1 } } { b _ { 2 } } e _ { \alpha + \beta , 1 + \alpha + 2 \beta + \nu , \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } \left( t \right) + \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } } e _ { \alpha + \beta , 1 + \beta + \nu , \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } \left( t \right) + \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } e _ { \alpha + \beta , 1 + \nu - \alpha , \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } \left( t \right) .
J _ { \ , \mu , \mu \nu } ( 1 , - 2 ^ { \prime } ) \ = \ \int d ^ { 4 } k \frac { ( 1 , k _ { \mu } , k _ { \mu } k _ { \nu } ) } { ( 0 ) ( 3 ) ( 1 ) ( - 2 ^ { \prime } ) } \ , \ \ \ \ \mathrm { e t c . } \ .
\begin{array} { r l } { e ^ { i \mathbb { S } ( P , t , \tau ) } = } & { e ^ { - i [ ( { 2 P ^ { 2 } } / { P _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } + 1 ) U _ { \mathrm { p } } - ( i \Gamma + \Delta ) ] ( { \tau } / { \hbar } ) } } \\ & { \sum _ { n _ { 1 } } J _ { n _ { 1 } } [ \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \sin ( \omega \tau ) ] i ^ { n _ { 1 } } e ^ { i n _ { 1 } \omega ( \tau - 2 t ) } } \\ & { \sum _ { n _ { 2 } } J _ { n _ { 2 } } [ \frac { 8 U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \frac { P } { P _ { \mathrm { m a x } } } \sin \frac { \omega \tau } { 2 } ] e ^ { i n _ { 2 } \omega ( \frac { \tau } { 2 } - t ) } . } \end{array}
\langle \! \langle \psi \rangle \! \rangle = \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } \, \psi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } , { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } ) \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } ) \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } ) .
\beta _ { D , \tilde { G } } = { 2 + c _ { \textup { d } , \tilde { G } , 5 } \left( c _ { \textup { d } , \tilde { G } , 6 } \alpha ^ { c _ { \textup { d } , \tilde { G } , 7 } } \right) ^ { - 1 } } \, ,
\frac { \mathrm { d } S } { \mathrm { d } E } = \varepsilon { ( E ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } g _ { \sigma } { \left( E ^ { \prime } - E \right) } \frac { \mathrm { d } R { ( E ^ { \prime } ) } } { \mathrm { d } E ^ { \prime } } \mathrm { d } E ^ { \prime } \, .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \bigl ( ( - \log u ) _ { s \bar { t } } } & { \bigr ) _ { n + 1 \leq s , t \leq m } } \\ { = } & { \Bigl ( \frac { 1 } { 2 X ^ { 2 } } \bigl ( Y - \frac { 2 k } { m + 1 } \bigr ) \Bigr ) ^ { k - 1 } \Bigl ( \frac { 1 } { 2 X ^ { 2 } } \bigl ( Y - \frac { 2 k } { m + 1 } \bigr ) + \bigl ( \frac { X Y ^ { \prime } } { 4 } - \frac { Y } { 2 } + \frac { k } { m + 1 } \bigr ) \frac { 1 } { X ^ { 2 } } \Bigr ) } \\ { = } & { \frac { Y ^ { \prime } } { 2 ^ { k + 1 } X ^ { 2 k - 1 } } \bigl ( Y - \frac { 2 k } { m + 1 } \bigr ) ^ { k - 1 } . } \end{array}
\mathbf { Q } _ { p } = \operatorname { Q u o t } \left( \mathbf { Z } _ { p } \right) = ( p ^ { \mathbf { N } } ) ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { p } = \mathbf { Z } _ { p } { \cup } ( p ^ { \mathbf { N } } ) ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { p } ^ { \times } .
A _ { W } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) \equiv \frac { \omega _ { W 0 } \varepsilon _ { W } ^ { 1 / 3 } } { \omega _ { \mathrm { s w } } \varepsilon _ { \mathrm { { s w } } } ^ { 1 / 3 } } = \frac { \omega _ { W 0 } \varepsilon _ { W } ^ { 1 / 3 } } { \omega _ { \mathrm { S } 0 } \varepsilon ^ { 1 / 3 } + \omega _ { W 0 } \varepsilon _ { W } ^ { 1 / 3 } } = \frac { \tau _ { \mathrm { { S W } } } } { \tau _ { W } }
\begin{array} { r l } { K E = } & { \; \frac { | \mathbf { p } _ { 1 } | ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } } + \frac { | \mathbf { p } _ { 2 } | ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } , } \\ { P E = } & { \; \frac 1 2 k _ { 1 } ( | \mathbf { q } _ { 1 } - \mathbf { q } _ { o } | - l _ { 1 } ) ^ { 2 } + \frac 1 2 k _ { 2 } ( | \mathbf { q } _ { 2 } - \mathbf { q } _ { 1 } | - l _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } \, \mathbf { g } \cdot ( \mathbf { q } _ { 1 } - \mathbf { q } _ { o } ) - m _ { 2 } \, \mathbf { g } \cdot ( \mathbf { q } _ { 2 } - \mathbf { q } _ { o } ) , } \end{array}