harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
i \hbar { \frac { \partial \Psi } { \partial t } } = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial y ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial z ^ { 2 } } } \right) + V ( x , y , z , t ) \Psi . \,
\left\langle N ( p ^ { \prime } ) \left| V _ { \mu } ^ { 0 , 8 } \right| N ( p ) \right\rangle = \bar { u } ( p ^ { \prime } ) \left[ F _ { 1 } ^ { 0 , 8 } ( Q ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } + F _ { 2 } ^ { 0 , 8 } ( Q ^ { 2 } ) \frac { i \sigma _ { \mu \nu } q ^ { \nu } } { 2 M } \right] u ( p )
\begin{array} { r l } { \| \mathbb { A } \mathbb { F } ( x ) \| _ { X } \leq } & { \mathcal { Y } _ { 0 } } \\ { \| I _ { d } - \mathbb { A } D \mathbb { F } ( x ) \| _ { X } \leq } & { \mathcal { Z } _ { 1 } } \\ { \| \mathbb { A } \left( { D } \mathbb { F } ( v ) - D \mathbb { F } ( x ) \right) \| _ { X } \leq } & { \mathcal { Z } _ { 2 } ( r ) \| v - x \| _ { X } , ~ ~ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } v \in \overline { { B _ { r } ( x ) } } . } \end{array}
E ^ { 2 } = m ^ { 2 } c ^ { 4 } + n ( n + 1 ) \frac { c ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = m ^ { 2 } c ^ { 4 } ( 1 + \frac { \lambda ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { F } ( \mathbf { x } ) } & { { } = U _ { B } ( M ( \mathbf { x } ) ) - U _ { A } ( \mathbf { x } ) - \beta ^ { - 1 } \log { \left| { J _ { M } ( \mathbf { x } ) } \right| } } \\ { \Phi _ { R } ( \mathbf { x } ) } & { { } = U _ { A } ( M ^ { - 1 } ( \mathbf { x } ) - U _ { B } ( \mathbf { x } ) - \beta ^ { - 1 } \log { \left| { J _ { M ^ { - 1 } } ( \mathbf { x } ) } \right| } . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { k + 1 } = p _ { k } e ^ { - \beta \Delta } + \frac { E F _ { k } } { \beta } + \tilde { p } _ { k } } \\ { q _ { k + 1 } = q _ { k } + \frac { E p _ { k } } { \gamma } + \frac { F _ { k } } { \gamma } \left[ \Delta - \frac { E } { \beta } \right] + \tilde { q } _ { k } } \\ { E \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } 1 - e ^ { - \beta \Delta } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { r \rightarrow \infty } \frac { 1 } { r } \cdot \log \bigg ( b _ { Z } \big ( r - u ^ { \prime } ( r ) \big ) / b _ { Z } \Big ( u ^ { \prime } \big ( r - u ^ { \prime } ( r ) \big ) \Big ) \bigg ) } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { r \rightarrow \infty } \frac { 1 } { r } \cdot \Bigg ( \log \bigg ( b _ { Z } \big ( r - u ^ { \prime } ( r ) \big ) \bigg ) - \log \bigg ( b _ { Z } \Big ( u ^ { \prime } \big ( r - u ^ { \prime } ( r ) \big ) \Big ) \bigg ) \Bigg ) } \\ & { \geq \operatorname* { l i m s u p } _ { r \rightarrow \infty } \Bigg [ \frac { 1 } { r } \cdot \log \bigg ( b _ { Z } \big ( r - u ^ { \prime } ( r ) \big ) \bigg ) - \operatorname* { l i m s u p } _ { s \rightarrow \infty } \bigg [ \frac { 1 } { s } \log \bigg ( b _ { Z } \Big ( u ^ { \prime } \big ( s - u ^ { \prime } ( s ) \big ) \Big ) \bigg ) \bigg ] \Bigg ] } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { r \rightarrow \infty } \frac { 1 } { r } \cdot \log \bigg ( b _ { Z } \big ( r - u ^ { \prime } ( r ) \big ) \bigg ) - \operatorname* { l i m s u p } _ { s \rightarrow \infty } \frac { 1 } { s } \log \bigg ( b _ { Z } \Big ( u ^ { \prime } \big ( s - u ^ { \prime } ( s ) \big ) \Big ) \bigg ) } \\ & { \geq \operatorname* { l i m s u p } _ { r \rightarrow \infty } \frac { 1 } { r } \cdot \log \bigg ( b _ { Z } \big ( r - 2 \varepsilon r \big ) \bigg ) - \operatorname* { l i m s u p } _ { s \rightarrow \infty } \frac { 1 } { s } \log \bigg ( b _ { Z } \Big ( 2 \varepsilon s \Big ) \bigg ) } \\ & { = ( 1 - 2 \varepsilon ) \delta ( Z ) - 2 \varepsilon \delta ( Z ) = ( 1 - 4 \varepsilon ) \delta ( Z ) } \end{array}
T _ { i j k } ^ { n | 1 } = \frac { 3 } { 7 } \left( \sqrt { 2 n + 7 } \frac { \partial w _ { \langle i j } ^ { n | 1 } } { \partial x _ { k \rangle } } - \sqrt { 2 ( n + 1 ) } \frac { \partial w _ { \langle i j } ^ { n + 1 | 1 } } { \partial x _ { k \rangle } } \right) = \frac { 3 } { 7 } \frac { \sqrt { 2 n + 7 } b _ { 2 0 n } ^ { ( 0 ) } - \sqrt { 2 ( n + 1 ) } b _ { 2 0 , n + 1 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } \frac { \partial w _ { \langle i j } ^ { 0 | 1 } } { \partial x _ { k \rangle } }
a _ { \nu } ^ { ( N + 2 ) } = \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } b _ { \nu } = \frac { \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } } { \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 1 1 ) } } = 0
{ } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , 1 - a ; c ; z ) = \Gamma ( c ) z ^ { \frac { 1 - c } { 2 } } ( 1 - z ) ^ { \frac { c - 1 } { 2 } } P _ { - a } ^ { 1 - c } ( 1 - 2 z )
\begin{array} { r l } & { \langle ( G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } - M _ { 1 } \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M _ { 2 } ) A _ { 2 } \rangle } \\ { = \ } & { \langle M _ { 1 } A _ { 1 } ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ A _ { 2 } ] \rangle - \langle M _ { 1 } \underline { { W G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } } } { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ A _ { 2 } ] \rangle } \\ & { + \langle M _ { 1 } \mathcal { S } [ G _ { 1 } - M _ { 1 } ] G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ A _ { 2 } ] \rangle + \langle M _ { 1 } \mathcal { S } [ G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ] ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ A _ { 2 } ] \rangle \, . } \end{array}
2 \boldsymbol { { E } } _ { \mathrm { ~ F ~ v ~ K ~ } } ^ { 0 } = \nabla \boldsymbol { { u } } ^ { 0 } + \left( \nabla \boldsymbol { { u } } ^ { 0 } \right) ^ { \mathrm { T } } + \nabla w \otimes \nabla w
\begin{array} { r l } { \ell ^ { \circ } \left( \mathsf { d } \left( \mu ( { \nu _ { 1 } } , \hdots , { \nu _ { n } } , a ) \right) \right) } & { = \ell ^ { \circ } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mu ( { \nu _ { 1 } } , \hdots , \mathsf d \nu _ { i } , \hdots { \nu _ { n } } , a ) \right) + \ell ^ { \circ } \left( \mu ( { \nu _ { 1 } } , \hdots , { \nu _ { n } } , \mathsf d a ) \right) } \\ & { = \mu \left( { \nu _ { 1 } } , \hdots , { \nu _ { n } } , \ell ^ { \circ } ( \mathsf d a ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } _ { \pm } ^ { * } } { \partial \tilde { \ell } _ { 3 } } = } & { \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \, \alpha _ { 1 } ^ { 2 3 } \, \frac { \partial \left( \mathcal { L } _ { 1 } ^ { 2 3 } \right) _ { \pm } ^ { * } } { \partial \tilde { \ell } _ { 3 } } + \cdots = \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \, \alpha _ { 1 } ^ { 2 3 } \, \frac { \partial \left( \mathcal { L } _ { 1 } ^ { 2 3 } \right) _ { \pm } ^ { * } } { \partial v _ { 3 } } \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial \tilde { \ell } _ { 3 } } + \cdots } \\ { = } & { \mp \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \, \alpha _ { 1 } ^ { 2 3 } \, \delta _ { 2 } ^ { - 3 } \, \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) ^ { 4 } \, \kappa \left( \frac { \pi \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } } { A _ { 2 } \, L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) } \\ & { \quad \times \left[ - 3 \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \sin v _ { 3 } \, B _ { 1 } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } \right) + \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) \frac { \partial B _ { 1 } } { \partial v _ { 3 } } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } \right) \right] + \cdots } \end{array}
\alpha _ { 1 } ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } , \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } ) = 1 \wedge \left\{ \frac { p ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } | y ) q ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } ) } { p ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } | y ) q ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } ) } \right\} ,
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \mathbf { C } _ { 1 } : = } & { ~ \mathbf { C } _ { 1 , p } \qquad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { P } , } \\ { \mathbf { C } _ { 1 } : = } & { ~ \mathbf { C } _ { 1 , w } \qquad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { W } , } \\ { \mathbf { C } _ { 2 } : = } & { ~ \mathbf { C } _ { 2 , p } \qquad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { P } , } \\ { \mathbf { C } _ { 2 } : = } & { ~ \mathbf { C } _ { 2 , w } \qquad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { W } ; } \end{array}
{ \frac { d \Phi } { d E } } = { \frac { 1 } { 4 \pi L ^ { 2 } } } \int \, d x \int \, d y { \frac { d \Gamma } { d E \, d x \, d y } } P = { \frac { g ^ { 4 } R _ { \odot } } { 6 4 \pi ^ { 4 } L ^ { 2 } } } \int d x \, d y \, F ( E , b ) \left| \vec { D } ( x , y ) \right| ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { \Theta } & { { } = \frac { 1 } { m _ { 3 } } \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( 3 ) } ( P _ { \vec { \mathbf { k } } } - S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ^ { \textnormal { l r } } ( F ) \circ \Gamma ^ { \textnormal { l r } } ( G ) ( y ) } & { \overset { = } \Gamma ^ { \textnormal { l r } } ( F ) \big ( \int _ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle x , y \rangle \otimes G ( x ) \big ) } \\ & { \overset { = } \int _ { x ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \big \langle x ^ { \prime } , \int _ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle x , y \rangle \otimes G ( x ) \big \rangle \otimes F ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \overset { \cong } \int _ { x ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \int _ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \big \langle x ^ { \prime } , _ { \mathcal { X } } \langle x , y \rangle \otimes G ( x ) \big \rangle \otimes F ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \overset { \cong } \int _ { x ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \int _ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle x , y \rangle \otimes \ _ { \mathcal { X } } \big \langle x ^ { \prime } , G ( x ) \big \rangle \otimes F ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \overset { \textnormal { F u b i n i } } { \cong } \int _ { x \in \mathcal { X } } \int _ { x ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle x , y \rangle \otimes \ _ { \mathcal { X } } \big \langle x ^ { \prime } , G ( x ) \big \rangle \otimes F ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \cong \int _ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle x , y \rangle \otimes \ \int _ { x ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \big \langle x ^ { \prime } , G ( x ) \big \rangle \otimes F ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \overset { = } \int _ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle x , y \rangle \otimes \ \Gamma ^ { \textnormal { l r } } ( F ) ( G ( x ) ) \overset { = } \Gamma ^ { \textnormal { l r } } ( \Gamma ^ { \textnormal { l r } } ( F ) \circ G ) ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { y ^ { n } \gamma } { x - y } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { d } ( 0 , - [ b _ { i } ^ { * } x ^ { n - 1 - k } ] ) \otimes b _ { i } y ^ { k } + \sum _ { k = n } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { d } ( b _ { i } ^ { * } x ^ { n - 1 - k } , 0 ) \otimes b _ { i } y ^ { k } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { d } w _ { k , i } \otimes b _ { i } y ^ { k } \in ( D _ { n } ( A ) \otimes A ) [ \! [ y ] \! ] . } \end{array}
\begin{array} { c } { \displaystyle \mathbf { u } _ { \mathrm { B } } = { \mathbf { 0 } } { \quad \mathrm { o n } \quad } \Gamma _ { \mathrm { B } } ^ { d } \, , \quad { \boldsymbol \sigma } _ { \mathrm { B } } { \mathbf { n } } = { \mathbf { 0 } } { \quad \mathrm { o n } \quad } \Gamma _ { \mathrm { B } } ^ { n } \, , } \\ { \displaystyle \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } \cdot { \mathbf { n } } = 0 { \quad \mathrm { o n } \quad } \Gamma _ { \mathrm { D } } ^ { d } \, , \quad p _ { \mathrm { D } } = 0 { \quad \mathrm { o n } \quad } \Gamma _ { \mathrm { D } } ^ { n } \, , } \end{array}
{ \cal L } _ { 0 } = { \cal L } _ { 0 } ( \Phi _ { \mu \nu , \alpha } ) + { \cal L } _ { 0 } ( h _ { \alpha \beta } ) + { \cal L } _ { 0 } ( B _ { \alpha \beta } ) + { \cal L } _ { 0 } ( A _ { \mu } )
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , F b } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 2 } { m _ { a } } \sum _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \sum _ { n } ^ { \varepsilon _ { n } = \varepsilon _ { b } } \left\{ \left[ \langle \xi _ { P a } P b _ { 2 } | I ^ { \prime } ( \Delta _ { P a a } ) | a n \rangle + \langle P a \xi _ { P b _ { 2 } } | I ^ { \prime } ( \Delta _ { P a a } ) | a n \rangle \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \frac { 1 } { \sqrt { \left( x ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) + k _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 ( m ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } + x ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 2 } ) k _ { 2 } ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { P \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \frac { 1 } { \sqrt { \left( x ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) + k _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 ( m ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } + x ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 2 } ) k _ { 2 } ^ { 2 } } } } \\ & { - } & { \frac { 2 \pi i n _ { 2 } } { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } } , } \end{array}
{ \tilde { Q } } _ { ( e m ) } = \int d ^ { 3 } x [ i ( { \vec { \tilde { W } } } _ { + } ^ { ' } \cdot { \vec { \tilde { \pi } } } ^ { ( { \tilde { W } } _ { + } ) { ' } } - { \vec { \tilde { W } } } _ { - } ^ { ' } \cdot { \vec { \tilde { \pi } } } ^ { ( { \tilde { W } } _ { - } ) { ' } } ) + { \tilde { j } } _ { ( e m ) } ^ { o } ] ( \vec { x } , x ^ { o } ) ,
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \bigl \| f ( g \circ Z ^ { - 1 } ) \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) ; \dot { H } ^ { - 1 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) ) } } \qquad } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \rho ( x , y ) = e N ^ { 2 } \sin ^ { 2 } [ k _ { x } ( x + L _ { x } ) ] \sin ^ { 2 } [ k _ { y } ( y + L _ { y } ) ] } \\ & { } & { + e N ^ { 2 } \frac { \eta _ { x } ^ { 2 } } { ( 1 + \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } } ) ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } [ k _ { x } ( x + L _ { x } ) ] \sin ^ { 2 } [ k _ { y } ( y + L _ { y } ) ] } \\ & { } & { + e N ^ { 2 } \frac { \eta _ { y } ^ { 2 } } { ( 1 + \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } } ) ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } [ k _ { x } ( x + L _ { x } ) ] \cos ^ { 2 } [ k _ { y } ( y + L _ { y } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal L = } & { { } \partial _ { \mu } \left( \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \partial _ { \nu } \psi \right) - \partial _ { \nu } \left( \partial _ { \mu } \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \psi \right) } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \beta \to \infty } \rho ( \alpha , \beta ) = \operatorname* { l i m } _ { \beta \to \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - n \hbar \beta \omega } ( 1 - e ^ { - \hbar \beta \omega } ) | \alpha , n \rangle \langle \alpha , n | = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \delta _ { n , 0 } | \alpha , n \rangle \langle \alpha , n | = | \alpha , 0 \rangle \langle \alpha , 0 | ,
{ \begin{array} { r l } { F _ { 3 , b } ( n _ { 2 } ) } & { = d _ { 0 } ^ { 3 } + d _ { 1 } ^ { 3 } + d _ { 2 } ^ { 3 } } \\ & { = k ^ { 3 } + ( 2 k + 1 ) ^ { 3 } + 1 ^ { 3 } } \\ & { = ( k ^ { 2 } - k ( 2 k + 1 ) + ( 2 k + 1 ) ^ { 2 } ) ( k + ( 2 k + 1 ) ) + 1 } \\ & { = ( k ^ { 2 } - 2 k ^ { 2 } - k + 4 k ^ { 2 } + 4 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) + 1 } \\ & { = ( 3 k ^ { 2 } + 3 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) + 1 } \\ & { = ( 3 k ^ { 2 } + 4 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) - k ( 3 k + 1 ) + 1 } \\ & { = ( k + 1 ) ( 3 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) - k ( 3 k + 1 ) + 1 } \\ & { = k ( 3 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) + ( 3 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) - k ( 3 k + 1 ) + 1 } \\ & { = k ( 3 k + 1 ) ^ { 2 } + ( 2 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) + 1 } \\ & { = d _ { 2 } b ^ { 2 } + d _ { 1 } b + d _ { 0 } } \\ & { = n _ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \dot { Q } _ { e } ( \dot { g } , \dot { F } ) } & { = \dot { Q } _ { e } ( \dot { h } , \dot { \mathbf { E } } ) : = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { S } \frac { d } { d s } \Big \lvert _ { s = 0 } \star _ { h _ { s } } \mathbf { E } _ { s } , } \\ { \dot { Q } _ { m } ( \dot { F } ) } & { = Q _ { m } ( \dot { \mathbf { H } } ) : = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { S } \frac { d } { d s } \Big \lvert _ { s = 0 } \star _ { h _ { s } } \mathbf { H } _ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( t ) = } & { 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } , } \\ { C _ { 2 } ( t ) = } & { - \frac { \varepsilon } { \sigma } \left( 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } \right) + \frac { c } { \varepsilon } t _ { p } e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } + \frac { c ^ { 2 } \sigma } { 2 \varepsilon ^ { 3 } } t _ { p } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } , } \\ { C _ { 3 } ( t ) = } & { - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { c \sigma } - \left( t ^ { n + 1 } - t \right) + \left( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { c \sigma } + t ^ { n + 1 } - t \right) e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } } \\ & { + \left( \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } \left( t ^ { n + 1 } - t \right) + 1 \right) t _ { p } e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } + \frac { c \sigma } { 2 \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } . } \end{array}
T = \sum _ { j = 1 } ^ { p } T _ { j } , \quad T _ { j } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \biggl [ n _ { k } \bar { N } _ { k } ( \hat { \mu } _ { k j } - \hat { \mu } _ { j } ) ^ { 2 } - \Bigl ( \frac { 1 } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } - \frac { 1 } { n \bar { N } } \Bigr ) \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { X _ { i j } ( N _ { i } - X _ { i j } ) } { N _ { i } - 1 } \biggr ] .
\operatorname* { s u p } _ { x \in C } \mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { \tau _ { C } - 1 } V ( \Phi ^ { k } ) r ^ { k } \right] \leq \frac { 2 + \operatorname* { m a x } \left\{ 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } p ( n ) r ^ { n } , \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } p ( n ) r ^ { n } + r ^ { M - 1 } \right\} } { 4 ( 1 - \eta r ) } ( r ^ { M - 1 } + 1 ) .
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { H } } _ { t o t } = \hbar \omega _ { p } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { p } + \hbar \omega _ { l } \hat { a } _ { l } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } + \hbar f _ { p , l } ( \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } + \hat { a } _ { l } ^ { \dagger } \hat { a } _ { p } ) } \\ { + i \hbar E _ { o } A ( t ) e ^ { - i \omega _ { o } t } ( \hat { a } _ { p , l } ^ { \dagger } ) } \end{array}
\begin{array} { c c l } { \displaystyle r _ { X } = \frac { \left( 1 - \frac { c o s ( \theta _ { T } ) } { n _ { G } c o s ( \theta ) } \right) + i \left( \frac { \aleph _ { Z } } { n _ { X } ^ { 2 } c o s ( \theta ) } - \frac { n _ { X } ^ { 2 } c o s ( \theta _ { T } ) } { n _ { G } \aleph _ { Z } } \right) t a n ( d k _ { 0 } \aleph _ { Z } ) } { \left( 1 + \frac { c o s ( \theta _ { T } ) } { n _ { G } c o s ( \theta ) } \right) - i \left( \frac { \aleph _ { Z } } { n _ { X } ^ { 2 } c o s ( \theta ) } + \frac { n _ { X } ^ { 2 } c o s ( \theta _ { T } ) } { n _ { G } \aleph _ { Z } } \right) t a n ( d k _ { 0 } \aleph _ { Z } ) } } \\ { \displaystyle r _ { Y } = \frac { \left( \frac { c o s ( \theta ) } { n _ { G } c o s ( \theta _ { T } ) } - 1 \right) + i \left( \frac { \aleph _ { X } } { n _ { G } c o s ( \theta _ { T } ) } - \frac { c o s ( \theta ) } { \aleph _ { X } } \right) t a n ( d k _ { 0 } \aleph _ { X } ) } { \left( \frac { c o s ( \theta ) } { n _ { G } c o s ( \theta _ { T } ) } + 1 \right) - i \left( \frac { \aleph _ { X } } { n _ { G } c o s ( \theta _ { T } ) } + \frac { c o s ( \theta ) } { \aleph _ { X } } \right) t a n ( d k _ { 0 } \aleph _ { X } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \tau _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ } } } { \tau _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ } } } \sim \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } R ^ { 2 } \omega ^ { 2 } = \left( \frac { R \omega } { c } \right) ^ { 2 } \approx 1 0 ^ { - 1 5 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| u - v \| = \Big \| \sum _ { i \in [ k ] } { \alpha _ { i } \cdot ( u _ { i } - v _ { i } ) } \Big \| \leq \sum _ { i \in [ k ] } { | \alpha _ { i } | \cdot \| u _ { i } - v _ { i } \| } \leq \Big ( \sum _ { i \in [ k ] } { \alpha _ { i } ^ { 2 } } \Big ) ^ { 1 / 2 } \cdot \Big ( \sum _ { i \in [ k ] } { \| u _ { i } - v _ { i } \| ^ { 2 } } \Big ) ^ { 1 / 2 } \leq 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \lambda } ( x ) = } & { { } 1 - \lambda x + \Sigma _ { n = 2 } ^ { \infty } ( ( - \lambda ) P _ { n - 1 } ( \lambda ) - ( n - 1 ) P _ { n - 2 } ( \lambda ) ) x ^ { n } } \\ { = } & { { } 1 - \lambda x + \Sigma _ { n = 2 } ^ { \infty } ( - \lambda ) P _ { n - 1 } ( \lambda ) x ^ { n } - \Sigma _ { n = 2 } ^ { \infty } ( n - 1 ) P _ { n - 2 } ( \lambda ) x ^ { n } } \\ { = } & { { } 1 - \lambda x - \lambda x ( - 1 + 1 + \Sigma _ { n = 1 } ^ { \infty } P _ { n } ( \lambda ) x ^ { n } ) + - \Sigma _ { n = 2 } ^ { \infty } ( n - 1 ) P _ { n - 2 } ( \lambda ) x ^ { n } } \\ { = } & { { } 1 - \lambda x - \lambda x ( g _ { \lambda } ( x ) - 1 ) - x ^ { 2 } \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } ( n + 1 ) P _ { n } ( \lambda ) x ^ { n } } \\ { = } & { { } 1 - \lambda x - \lambda x ( g _ { \lambda } ( x ) - 1 ) - x ^ { 2 } ( g _ { \lambda } ( x ) + x \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } ( n ) P _ { n } ( \lambda ) x ^ { n - 1 } ) } \\ { = } & { { } 1 - \lambda x - \lambda x ( g _ { \lambda } ( x ) - 1 ) - x ^ { 2 } ( g _ { \lambda } ( x ) + x g ^ { \prime } ( x ) ) } \end{array}
\tau _ { \chi _ { 1 } ^ { 0 } } \sim 0 . 7 m \left( \frac { 0 . 0 5 ~ \mathrm { e V } } { m _ { \nu _ { 3 } } } \right) \left( \frac { M _ { W } } { M _ { \chi _ { 1 } ^ { 0 } } } \right) ^ { 4 } .
\mathrm { P _ { 1 } } = { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { y _ { 1 } } \\ { z _ { 1 } } \end{array} \right] } , \mathrm { P _ { 2 } } = { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 2 } } \\ { y _ { 2 } } \\ { z _ { 2 } } \end{array} \right] } , \mathrm { P _ { 3 } } = { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 3 } } \\ { y _ { 3 } } \\ { z _ { 3 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \nabla \times { \vec { A } } } & { { } = \left( \partial _ { y } A _ { z } - \partial _ { z } A _ { y } \right) { \hat { i } } + \left( \partial _ { z } A _ { x } - \partial _ { x } A _ { z } \right) { \hat { j } } + \left( \partial _ { x } A _ { y } - \partial _ { y } A _ { x } \right) { \hat { k } } } \end{array}
{ \cal S } _ { W Z W } \, = \, - \frac { k } { 4 \pi } \int _ { \Sigma } T r ( g ^ { - 1 } d g \, g ^ { - 1 } d g ) + \frac { k } { 6 \pi } \int _ { B } T r ( g ^ { - 1 } d g \wedge g ^ { - 1 } d g \wedge g ^ { - 1 } d g ) \, ,
\begin{array} { r } { K \equiv \frac { 1 } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \operatorname* { l i m } _ { \mathrm { R e } ( \Delta \lambda ) \rightarrow 0 } \frac { \vert \lambda _ { 0 } \vert ^ { 2 } \mathrm { R e } \lambda _ { 1 } + \vert \lambda _ { 1 } \vert ^ { 2 } \mathrm { R e } \lambda _ { 0 } } { \mathrm { R e } \lambda _ { 0 } \mathrm { R e } \lambda _ { 1 } \vert \lambda _ { 0 } + \bar { \lambda } _ { 1 } \vert } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mu ( \tilde { Q } _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } ) - \mu ( \tilde { Q } ) ) ( x ) } & { \leq } & { \operatorname* { i n f } _ { \alpha } \parallel \tilde { \phi } _ { x } - \sum _ { v \in { \cal R } ( d , J ) } \alpha ( v ) \tilde { \phi } _ { v } \parallel _ { \mu } \parallel \tilde { Q } _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } - \tilde { Q } \parallel _ { \mu } } \\ & { = } & { O ( r ( d , J ) ^ { 2 } ) . } \end{array}