harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l l l } { - D } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { D ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { D ^ { 2 } } & { R a _ { c } ( 1 - L e ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { D ^ { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \tilde { p } _ { 2 } } \\ { \tilde { w } _ { 2 } } \\ { \tilde { w } _ { 3 } } \\ { \tilde { \theta } _ { 3 } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 0 } } \\ { f _ { 2 0 } } \\ { 0 } \\ { f _ { 4 0 } } \end{array} \right) , } \\ { \left( \begin{array} { l l l l } { D ^ { 2 } - 4 k _ { c } ^ { 2 } } & { 0 } & { - D } & { 0 } \\ { 0 } & { D ^ { 2 } - 4 k _ { c } ^ { 2 } } & { - 2 i k _ { c } } & { R a _ { c } ( 1 - L e ) } \\ { D } & { 2 i k _ { c } } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { D ^ { 2 } - 4 k _ { c } ^ { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \tilde { u } _ { 4 } } \\ { \tilde { w } _ { 4 } } \\ { \tilde { p } _ { 4 } } \\ { \tilde { \theta } _ { 4 } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 2 } } \\ { f _ { 2 2 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \left( \begin{array} { l l l l l } { D ^ { 2 } - 4 k _ { c } ^ { 2 } } & { 0 } & { - D } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { D ^ { 2 } - 4 k _ { c } ^ { 2 } } & { - 2 i k _ { c } } & { R a _ { c } ( 1 - L e ) } & { 0 } \\ { D } & { 2 i k _ { c } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { D ^ { 2 } - 4 k _ { c } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { D ^ { 2 } - 4 k _ { c } ^ { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \tilde { u } _ { 5 } } \\ { \tilde { w } _ { 5 } } \\ { \tilde { p } _ { 5 } } \\ { \tilde { \theta } _ { 5 } } \\ { \tilde { \theta } _ { 6 } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { f _ { 4 2 } } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \left( \begin{array} { l l l l } { D ^ { 2 } - k _ { c } ^ { 2 } } & { 0 } & { - D } & { 0 } \\ { 0 } & { D ^ { 2 } - k _ { c } ^ { 2 } } & { - i k _ { c } } & { R a _ { c } ( 1 - L e ) } \\ { D } & { i k _ { c } } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { D ^ { 2 } - k _ { c } ^ { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \tilde { u } _ { 7 } } \\ { \tilde { w } _ { 7 } } \\ { \tilde { p } _ { 7 } } \\ { \tilde { \theta } _ { 7 } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 1 } } \\ { f _ { 2 1 } } \\ { f _ { 3 1 } } \\ { f _ { 4 1 } } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \frac { z ^ { \prime \prime } } { ( 1 + z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } + { \frac { z ^ { \prime } } { r ( 1 + z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } = \Delta p ^ { * } - z ( r ) .
W _ { \mathrm { ~ F ~ e ~ r ~ m ~ i ~ } } ( s _ { i } \gets s _ { j } ) = \frac { F _ { j } } { F _ { i } + F _ { j } } = \frac { \exp ( \pi _ { j } / \kappa ) } { \exp ( \tau + \pi _ { i } / \kappa ) + \exp ( \pi _ { j } / \kappa ) } = \frac { 1 } { 1 + \exp ( \tau + ( \pi _ { i } - \pi _ { j } ) / \kappa ) } ;
\begin{array} { r } { \hat { u } = \frac { - i k _ { z } ^ { \prime } \hat { \eta } _ { y } + i k _ { x } ^ { \prime } \partial _ { y } \hat { v } } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } } \\ { \hat { w } = \frac { i k _ { x } ^ { \prime } \hat { \eta } _ { y } + i k _ { z } ^ { \prime } \partial _ { y } \hat { v } } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { G } } ^ { I J } } & { = } & { 2 \tilde { \Pi } ^ { a [ I } Q _ { a } ^ { J ] } , } \\ { \tilde { \mathcal { D } } _ { a } } & { : = } & { 2 \tilde { \Pi } ^ { b I } \partial _ { [ a } Q _ { b ] I } - Q _ { a I } \partial _ { b } \tilde { \Pi } ^ { b I } , } \\ { \tilde { \tilde { \mathcal { H } } } } & { : = } & { - \sigma \tilde { \Pi } ^ { a I } \tilde { \Pi } ^ { b J } R _ { a b I J } + 2 \tilde { \Pi } ^ { a [ I } \tilde { \Pi } ^ { | b | J ] } Q _ { a I } Q _ { b J } } \\ & { } & { + 2 \sigma h ^ { 1 / ( n - 2 ) } \Lambda , } \end{array}
( \Delta \Gamma ^ { \alpha \beta \mu } ) ^ { ( 1 ) } = C _ { 0 } ^ { ( 1 ) } p _ { + } ^ { \alpha } p _ { + } ^ { \beta } p _ { + } ^ { \mu } + C _ { 1 } ^ { ( 1 ) } q ^ { \alpha } p _ { + } ^ { \beta } p _ { + } ^ { \mu } + C _ { 2 } ^ { ( 1 ) } g ^ { \beta \alpha } p _ { + } ^ { \mu } + C _ { 3 } ^ { ( 1 ) } g ^ { \mu \beta } p _ { + } ^ { \alpha } + C _ { 4 } ^ { ( 1 ) } g ^ { \mu \beta } q ^ { \alpha } + C _ { 5 } ^ { ( 1 ) } g ^ { \mu \alpha } p _ { + } ^ { \beta } ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { t } \mu _ { t } } & { = \gamma _ { t - 1 } , } \\ { \gamma _ { t } \tau _ { t } } & { \leq \gamma _ { t - 1 } ( \tau _ { t - 1 } + \lambda _ { 2 } ) , } \\ { \gamma _ { t } \eta _ { t } } & { \leq \gamma _ { t - 1 } ( \eta _ { t - 1 } + \lambda _ { 2 } ) , } \\ { \tau _ { t } \eta _ { t - 1 } } & { \geq \mu _ { t } , } \\ { \mu _ { t } } & { \leq 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { n + 1 } \left( z \right) } & { = } & { \phi _ { \beta } \left( z \right) \Phi _ { n } \left( \phi _ { \nu } \left( z \right) \right) \mathrm { , ~ } \Phi _ { 0 } \left( z \right) = 1 } \\ { \Phi _ { n } \left( z \right) } & { = } & { \prod _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \phi _ { \beta } \left( \phi _ { \nu } ^ { \circ m } \left( z \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } / d t } & { { } = } & { - \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { - } } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } + \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } c _ { e ^ { - } } c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } - \gamma _ { h ^ { + } } ^ { \mathrm { N } V ^ { - } } c _ { h ^ { + } } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } + \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } } \\ { d c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } / d t } & { { } = } & { - \Gamma _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } + \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } c _ { e ^ { - } } c _ { \mathrm { N } ^ { + } } - \gamma _ { h ^ { + } } ^ { \mathrm { N } ^ { 0 } } c _ { h ^ { + } } c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } } \\ { d c _ { e ^ { - } } / d t } & { { } = } & { \Gamma _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } - \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } c _ { e ^ { - } } c _ { \mathrm { N } ^ { + } } + \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { - } } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } - \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } c _ { e ^ { - } } c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } - \gamma _ { e h } c _ { e ^ { - } } c _ { h ^ { + } } } \\ { d c _ { h ^ { + } } / d t } & { { } = } & { \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } - \gamma _ { h ^ { + } } ^ { \mathrm { N } V ^ { - } } c _ { h ^ { + } } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } - \gamma _ { h ^ { + } } ^ { \mathrm { N } ^ { 0 } } c _ { h ^ { + } } c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } - \gamma _ { e h } c _ { e ^ { - } } c _ { h ^ { + } } } \end{array}
\displaystyle x _ { 2 } = \pm r \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { ( 1 - \beta ) ( 1 + \lambda ) } { 2 r ^ { 2 } ( 1 + \beta ) } + \frac { E } { r ^ { 2 } ( 1 - r ^ { 2 } ) ^ { ( 2 / 3 ) } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }
- \int _ { s } ^ { t } \frac { d x } { \theta ( x ) } = \frac { \tau } { \theta _ { + } } \left( \frac { s - t } { \tau } + \kappa _ { C } \ln \left( \frac { \rho _ { C } e ^ { - s / \tau } + 1 } { \rho _ { C } e ^ { - t / \tau } + 1 } \right) + \kappa _ { R } \ln \left( \frac { \rho _ { R } e ^ { - s / \tau } + 1 } { \rho _ { R } e ^ { - t / \tau } + 1 } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \overline { { \texttt { m s e } _ { \mathrm { R R } } ^ { [ k ] } } } } & { = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } } \left[ \int _ { D ^ { [ k ] } } ^ { D ^ { [ k ] } + \Gamma } \texttt { m s e } _ { \mathrm { R R } } ^ { [ k ] } \left( t , \tilde { S } ^ { [ k ] } \right) d t \right] } { \mathbb { E } \left[ \Gamma \right] } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \theta _ { k } } \cdot \frac { { \mathbb { E } } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } Y } \right] } { { \mathbb { E } } [ \Gamma ( K , \epsilon , w ) ] } \left( 1 - { \mathbb { E } } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } \Gamma ( K , \epsilon , w ) } \right] \right) \right) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \theta _ { k } } \cdot \frac { \mu } { \mu + 2 \theta _ { k } } \cdot \frac { 1 - \epsilon } { \tilde { H } ( \tau ) + \frac { K } { \mu } } \cdot \left( 1 - \tilde { F } _ { k } ( \tau ) \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d u _ { z } } { d x _ { 0 } } } & { = \frac { \partial u _ { z } } { \partial x _ { z } } \frac { \partial x _ { z } } { \partial x _ { 0 } } + \frac { \partial u _ { z } } { \partial y _ { z } } \frac { \partial y _ { z } } { d x _ { 0 } } } \\ { \frac { d u _ { z } } { d y _ { 0 } } } & { = \frac { \partial u _ { z } } { \partial x _ { z } } \frac { \partial x _ { z } } { d y _ { 0 } } + \frac { d u _ { z } } { \partial y _ { z } } \frac { \partial y _ { z } } { \partial y _ { 0 } } } \\ { \frac { d v _ { z } } { d x _ { 0 } } } & { = \frac { \partial v _ { z } } { \partial x _ { z } } \frac { \partial x _ { z } } { \partial x _ { 0 } } + \frac { \partial v _ { z } } { \partial y _ { z } } \frac { \partial y _ { z } } { \partial x _ { 0 } } } \\ { \frac { d v _ { z } } { d y _ { 0 } } } & { = \frac { \partial v _ { z } } { d x _ { z } } \frac { \partial x _ { z } } { \partial y _ { 0 } } + \frac { \partial v _ { z } } { \partial y _ { z } } \frac { \partial y _ { z } } { \partial y _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { j = - M } ^ { l - 1 } v _ { j } ( K _ { a _ { j + 1 } } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) - K _ { a _ { j } } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) ) \right| } & { \le C \sum _ { j = - M } ^ { l - 1 } \frac { a _ { j } } { | n - m | ^ { 3 } } \le C \sum _ { j = - M } ^ { l - 1 } \frac { a _ { j } } { a _ { k } ^ { 3 / 2 } } } \\ & { \le \frac { C } { \sqrt { { a _ { k } } } } \lambda ^ { - ( k - { l } + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \big | e ^ { Y - \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ Y ^ { 2 } ] } { 2 } } - e ^ { X - \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ X ^ { 2 } ] } { 2 } } \big | \right] } & { = { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ e ^ { X _ { 1 } + \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ X _ { 2 } ^ { 2 } ] - { \ensuremath { \mathbb E } } [ X _ { 1 } ^ { 2 } ] } { 2 } } \big | e ^ { Y - X + \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ X ^ { 2 } ] - { \ensuremath { \mathbb E } } [ Y ^ { 2 } ] } { 2 } } - 1 \big | \right] } \\ & { = e ^ { \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ X _ { 2 } ^ { 2 } ] } { 2 } } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \big | e ^ { Y - X - \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ ( X - Y ) ^ { 2 } ] } { 2 } - i { \ensuremath { \mathbb E } } [ X _ { 2 } ( Y - X ) ] } - 1 \big | \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \alpha ^ { \prime \prime } ( r ) - \alpha ^ { \prime } ( r ) ^ { 2 } + \alpha ^ { \prime } ( r ) \beta ^ { \prime } ( r ) + \frac { 2 } { r } \beta ^ { \prime } ( r ) } \\ & { + e ^ { - 2 \beta ( r ) } e ^ { 2 \beta ( r ) } \left( \alpha ^ { \prime \prime } ( r ) + \alpha ^ { \prime } ( r ) ^ { 2 } - \alpha ^ { \prime } ( r ) \beta ^ { \prime } ( r ) + \frac { 2 } { r } \alpha ^ { \prime } ( r ) - \frac { 2 } { r } \beta ^ { \prime } ( r ) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } e ^ { 2 \beta ( r ) } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = 8 \pi e ^ { 2 \beta ( r ) } p ( r ) . } \end{array}
n _ { A } \cdot \Gamma = { \cal B } _ { \Gamma } ( m _ { A } \cdot \Gamma ) = { \cal B } _ { \Gamma } \left\{ \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \to 0 } { \hat { A } } ^ { * } ( x + \epsilon ) A ( x - \epsilon ) \right\} \, .
\mathrm { B . R . } \simeq 8 \cdot 1 0 ^ { - \, 5 } \: \left( \frac { v _ { r } } { 1 0 0 \, \mathrm { G e V } } \right) ^ { 2 } \: \left( \frac { m _ { \tilde { Z } } } { 5 0 \, \mathrm { G e V } } \right) ^ { 2 } \; \; .
\hat { U } ( t , t _ { 0 } ; \psi ) = \mathcal { T } \exp \left[ - \frac { i } { \hbar } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } [ \psi ( t ^ { \prime } ) ] d t ^ { \prime } \right] ,
\begin{array} { r l } { T _ { s } ^ { \vec { w } } [ n ] : = } & { { } \sum _ { k } f _ { k } ^ { \vec { w } } \int \frac { 1 } { 2 } | \nabla \phi _ { k } ( \boldsymbol { r } ) | ^ { 2 } d \boldsymbol { r } \; , } \\ { E _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \vec { w } } [ n ] : = } & { { } \sum _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } w _ { \operatorname* { m a x } ( \kappa , \kappa ^ { \prime } ) } U [ n _ { s , \kappa \kappa ^ { \prime } } ] \; , } \\ { E _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \vec { w } } [ n ] : = } & { { } - \sum _ { k k ^ { \prime } } f _ { \operatorname* { m a x } ( k , k ^ { \prime } ) } ^ { \vec { w } } U [ \phi _ { k } \phi _ { k ^ { \prime } } ^ { * } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { T \left( \sin ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 k } \right) \; } & { = \; \; \frac { \sin ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 k } } { \cos \left( \sin ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 k } \right) } \cdot e ^ { \left( \sin ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 k } \right) \cdot \tan \left( \sin ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 k } \right) } } \\ & { = \; \; \frac { \sin ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 k } } { \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } \left( \sin ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 k } \right) } } \cdot e ^ { \left( \sin ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 k } \right) \cdot \frac { \sin \left( \sin ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 k } \right) } { \sqrt { { 1 - \sin ^ { 2 } \left( \sin ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 k } \right) } } } } } \\ & { \le \; \; \frac { \frac { \pi } { 6 k } } { \sqrt { 1 - \frac { 1 } { 4 k ^ { 2 } } } } \cdot e ^ { \frac { \pi } { 6 k } \cdot \frac { \frac { 1 } { 2 k } } { \sqrt { { 1 - \frac { 1 } { 4 k ^ { 2 } } } } } } \; \; \le \; \; \frac { \pi } { 3 \sqrt { 4 k ^ { 2 } - 1 } } \cdot e ^ { \frac { \pi } { 6 k \sqrt { { 4 k ^ { 2 } - 1 } } } } } \\ & { < \; \; \frac { \pi } { 3 \sqrt { 3 } k } \cdot e ^ { \frac { \pi } { 6 \sqrt { 3 } k ^ { 2 } } } \; \; < \; \; 0 . 6 1 \cdot \frac { 1 } { k } \cdot 1 . 4 \; \; < \; \; \frac { 1 } { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { i } } & { = } & { \left( 2 \omega _ { i } \right) ^ { - 1 / 2 } \left( \hat { a } _ { i } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \right) , } \\ { - i \frac { \partial } { \partial Q _ { i } } } & { = } & { i \left( \frac { \omega _ { i } } { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } | E _ { j } | ^ { 2 } } & { { } \to \frac { L } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d k \left| 2 t \cos k - 2 i g \sin k \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 1 0 0 } & { = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 1 1 } \\ { 1 1 0 1 } & { = 3 \times 3 6 7 } \\ { 1 1 0 2 } & { = 2 \times 1 9 \times 2 9 } \\ { 1 1 0 3 } & { = 1 1 0 3 } \\ { 1 1 0 4 } & { = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 2 3 } \\ { 1 1 0 5 } & { = 5 \times 1 3 \times 1 7 } \\ { 1 1 0 6 } & { = 2 \times 7 \times 7 9 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { Q } _ { E } } { \partial t } } & { { } = \mathcal { H } \left( \mathbf { Q } _ { E } , \mathbf { Q } _ { I } \right) } \\ { \frac { \partial \mathbf { Q } _ { I } } { \partial t } } & { { } = \mathcal { H } \left( \mathbf { Q } _ { E } , \mathbf { Q } _ { I } \right) } \end{array}
S _ { H } = - \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \bar { g } } \left[ \bar { g } ^ { \mu \nu } D _ { \mu } H ^ { \dagger } D _ { \nu } H - \lambda _ { H } ( | H | ^ { 2 } - \upsilon _ { H } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] ,
- \gamma _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) - 2 ( h _ { 1 } - | h _ { 2 } | ) > \frac { 1 } { h _ { 1 } } \big ( \gamma _ { 1 } | h _ { 2 } | ( 1 - h _ { 1 } ) + 2 h _ { 1 } | h _ { 2 } | \big )
b _ { i , j } = \frac { 1 2 } { \Delta x _ { i } ^ { 3 } \Delta y _ { j } } \int _ { y _ { j - 1 } } ^ { y _ { j } } \int _ { x _ { i - 1 } } ^ { x _ { i } } \left( x - x _ { \mathrm { m i d } , i } \right) \phi ( x , y ) \, d x \, d y ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \frac { 1 } { \mathrm { R e } ( \bar { V } _ { 2 } ^ { * } ) } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mathrm { I m } ( \bar { V } _ { 2 } ^ { * } ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \mathrm { R e } ( \bar { V } _ { 3 } ^ { * } ) } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mathrm { I m } ( \bar { V } _ { 3 } ^ { * } ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mathrm { R e } ( \bar { V } _ { 4 } ^ { * } ) } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mathrm { I m } ( \bar { V } _ { 4 } ^ { * } ) } } \\ { \frac { 1 } { \mathrm { I m } ( \bar { V } _ { 2 } ^ { * } ) } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { - 1 } { \mathrm { R e } ( \bar { V } _ { 2 } ^ { * } ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \mathrm { I m } ( \bar { V } _ { 3 } ^ { * } ) } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { - 1 } { \mathrm { R e } ( \bar { V } _ { 3 } ^ { * } ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mathrm { I m } ( \bar { V } _ { 4 } ^ { * } ) } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { - 1 } { \mathrm { R e } ( \bar { V } _ { 4 } ^ { * } ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { P _ { 2 } } \\ { P _ { 3 } } \\ { P _ { 4 } } \\ { Q _ { 2 } } \\ { Q _ { 3 } } \\ { Q _ { 4 } } \end{array} \right] } \\ { - \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { Y _ { 1 2 } } \\ { Y _ { 2 3 } } \\ { Y _ { 2 4 } } \\ { W _ { 1 2 } } \\ { W _ { 2 3 } } \\ { W _ { 2 4 } } \end{array} \right] = 0 } \end{array}
V = \iiint _ { D } d V = \int _ { a } ^ { b } \int _ { g ( z ) } ^ { f ( z ) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } r \, d \theta \, d r \, d z = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } \int _ { g ( z ) } ^ { f ( z ) } r \, d r \, d z = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } { \frac { 1 } { 2 } } r ^ { 2 } \Vert _ { g ( z ) } ^ { f ( z ) } \, d z = \pi \int _ { a } ^ { b } ( f ( z ) ^ { 2 } - g ( z ) ^ { 2 } ) \, d z
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ { \tilde { S } } _ { Y } ^ { 2 } ] } & { = \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( Y _ { i } - { \frac { 1 } { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } Y _ { j } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { E } \left[ Y _ { i } ^ { 2 } - { \frac { 2 } { n } } Y _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { n } Y _ { j } + { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } Y _ { j } \sum _ { k = 1 } ^ { n } Y _ { k } \right] } \\ & { = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { n - 2 } { n } } \operatorname { E } \left[ Y _ { i } ^ { 2 } \right] - { \frac { 2 } { n } } \sum _ { j \neq i } \operatorname { E } \left[ Y _ { i } Y _ { j } \right] + { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { k \neq j } ^ { n } \operatorname { E } \left[ Y _ { j } Y _ { k } \right] + { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \operatorname { E } \left[ Y _ { j } ^ { 2 } \right] \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ { \frac { n - 2 } { n } } \left( \sigma ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } \right) - { \frac { 2 } { n } } ( n - 1 ) \mu ^ { 2 } + { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } n ( n - 1 ) \mu ^ { 2 } + { \frac { 1 } { n } } \left( \sigma ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { = { \frac { n - 1 } { n } } \sigma ^ { 2 } . } \end{array} }
\left( \frac { 1 + g } { g + e x p ( 3 \int _ { 1 } ^ { 3 } w _ { Q } \frac { d y } { y } ) } \right) ^ { 1 / 2 } = 3 ^ { 3 / 2 } \frac { d } { d x } \left( \frac { d _ { L } } { x } \right) _ { x = 3 } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \relax [ \omega _ { s } ^ { 2 } - | \mathbf { k } _ { s } | ^ { 2 } c ^ { 2 } - \omega _ { p } ^ { 2 } ] [ 1 + } & { \chi _ { e } ( \omega _ { e } \mathbf { k } _ { e } ) ] = } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \chi _ { e } ( \omega _ { e } , \mathbf { k } _ { e } ) ( c k _ { e } | \textbf { a } _ { i } ^ { \mathrm { i n } } | ) ^ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { x } \left( u _ { 1 } , u _ { 2 } \right) = \operatorname* { m a x } \{ \rho ( f ^ { \prime } ( u _ { \lambda } ) ) : u _ { \lambda } = \lambda u _ { 1 } + ( 1 - \lambda ) u _ { 2 } , \quad 0 \le \lambda \le 1 \} } \\ { \sigma _ { y } \left( u _ { 1 } , u _ { 2 } \right) = \operatorname* { m a x } \{ \rho ( g ^ { \prime } ( u _ { \lambda } ) ) : u _ { \lambda } = \lambda u _ { 1 } + ( 1 - \lambda ) u _ { 2 } , \quad 0 \le \lambda \le 1 \} } \end{array}
\nabla _ { N } ^ { 2 } = \frac { 1 } { r ^ { N - 1 } } \frac { \partial } { \partial r } r ^ { N - 1 } \frac { \partial } { \partial r } - \frac { L _ { N - 1 } ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } r ^ { 2 } } ,
\Omega _ { 2 } ( [ \Theta ] ) = \kappa \partial _ { Y } ^ { 2 } \Theta + \frac { 1 } { ( u _ { 0 } , u _ { 0 } ) } \left[ \left( u _ { 0 } , \frac { 1 } { 2 } f ^ { ( 3 ) } ( \phi _ { 0 } ) \rho _ { 1 } ^ { 2 } \right) - \Omega _ { 1 } ( u _ { 0 } , \partial _ { z } \rho _ { 1 } ) \right] ,
\begin{array} { r l r } { p ( c = { o n } ) } & { \stackrel { G } { \rightarrow } } & { p ( c = { o n } | g = { o f f } ) } \\ { p ( c = { o n } | g = { o f f } ) } & { \stackrel { A } { \rightarrow } } & { p ( c = { o n } | a = { o n } , g = { o f f } ) } \\ { p ( c = { o n } | a = { o n } , g = { o f f } ) } & { \stackrel { E } { \rightarrow } } & { p ( c = { o n } | a = { o n } , e = { o n } , g = { o f f } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { x } ( \omega ) } & { { } \simeq } & { \sum _ { l } \frac { 2 \Gamma k _ { b } T } { m \pi \tau } \frac { \delta t _ { l } } { \left( \omega ^ { 2 } - \omega ( t _ { l } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } } \end{array}
\varLambda = \operatorname* { l i m } _ { N _ { \varLambda } \to \infty } \frac { 1 } { N _ { \varLambda } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \varLambda } } \frac { 1 } { \Delta t } \ln \frac { \mathscr { D } ( t _ { i } ) } { \epsilon } ,
\frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \theta ^ { 2 } } = - \omega
\begin{array} { r l } { \widetilde { v } \left( \eta = 0 \right) } & { { } = A _ { v } \widetilde { p } \left( \eta = 0 \right) , } \\ { \widetilde { \tau } \left( \eta = 0 \right) } & { { } = A _ { \tau } \widetilde { p } \left( \eta = 0 \right) , } \end{array}
\left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { T } ^ { \theta / 2 } \left( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \right) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } \leq d \left\lVert E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } ^ { n } = d \rho ^ { n } .
\tilde { u } _ { 0 } ^ { n + 1 } \gets ( u _ { 0 } ^ { e + 1 } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { 0 } \Delta x _ { e + 1 } } ( f _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { e + 1 } - F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } )
\lambda _ { k } ^ { 2 } ( J , J _ { 1 } , \varepsilon ) = \lambda _ { k } ( J ^ { \prime } , J _ { 1 } ^ { \prime } , \varepsilon ^ { \prime } ) \, L ( J ^ { \prime } , J _ { 1 } ^ { \prime } , \varepsilon ^ { \prime } ) ,
\frac { R _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } } { 6 \pi \mu a } = \frac { 4 } { 3 } \cdot \frac { 2 0 + 1 1 \alpha + 1 1 \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { 5 } } { 2 8 + 1 3 \alpha + 1 3 \alpha ^ { 2 } + 3 \alpha ^ { 3 } + 3 \alpha ^ { 4 } } \in \left[ \frac { 2 0 } { 2 1 } , 1 \right] \, .
\begin{array} { r l } { h ( x _ { 1 1 } x _ { 1 1 } x _ { 1 1 } ^ { * } x _ { 1 1 } ^ { * } ) } & { = h ( a a a ^ { * } a ^ { * } ) = h ( a a ( e k - q \cdot f h ) ( e k - q \cdot f h ) ) } \\ & { = h ( a a e k e k ) - q \cdot h ( a a f h e k ) - q \cdot h ( a a e k f h ) + q ^ { 2 } \cdot h ( a a f h f h ) } \\ & { = \frac { 1 } { ( q ^ { 4 } + 1 ) ( q ^ { 4 } + q ^ { 2 } + 1 ) } . } \end{array}