harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } + \mathbf { B } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } } & { a _ { m 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l l l l } { b _ { 1 1 } } & { b _ { 1 2 } } & { \cdots } & { b _ { 1 n } } \\ { b _ { 2 1 } } & { b _ { 2 2 } } & { \cdots } & { b _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { b _ { m 1 } } & { b _ { m 2 } } & { \cdots } & { b _ { m n } } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } + b _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } + b _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } + b _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 1 } + b _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } + b _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } + b _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } + b _ { m 1 } } & { a _ { m 2 } + b _ { m 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } + b _ { m n } } \end{array} \right] } } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { e _ { 0 } } & { { } = 1 } \\ { e _ { 1 } } & { { } = \sum _ { i } x _ { i } } & { } & { { } = \sum _ { i } \tan \theta _ { i } } \\ { e _ { 2 } } & { { } = \sum _ { i < j } x _ { i } x _ { j } } & { } & { { } = \sum _ { i < j } \tan \theta _ { i } \tan \theta _ { j } } \\ { e _ { 3 } } & { { } = \sum _ { i < j < k } x _ { i } x _ { j } x _ { k } } & { } & { { } = \sum _ { i < j < k } \tan \theta _ { i } \tan \theta _ { j } \tan \theta _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ( x , y , t ) = A ( t ) A ^ { \prime } ( t ) \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) + A ( t ) ^ { 2 } \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon ^ { l } ( \mathbf { v } ^ { l } - \mathbf { v } ^ { s } ) = - \frac { k ^ { \varepsilon } } { \mu ^ { l } } ( \mathbf { \nabla } p ^ { l } - \rho ^ { l } \mathbf { g } ) } \\ { \varepsilon ^ { b } ( \mathbf { v } ^ { b } - \mathbf { v } ^ { s } ) = - \frac { k ^ { b } } { \mu ^ { b } } ( \mathbf { \nabla } p ^ { b } - \rho ^ { b } \mathbf { g } ) } \end{array}
\frac { a _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ m ~ p ~ } } } { R _ { A } } = 7 . 1 \times 1 0 ^ { - 4 } \, \frac { \lambda ^ { 3 / 8 } \, \gamma ^ { 1 / 2 } } { f _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ e ~ n ~ } } \, \alpha ^ { 1 1 / 4 } \, \beta ^ { 2 } }
I _ { S O V C } \left[ A ^ { 2 } \Pi _ { 1 / 2 } ( 0 0 0 ) \rightarrow X ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 1 0 ) \right] \propto \frac { | h _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { S O } } | ^ { 2 } | \lambda | ^ { 2 } } { ( \Delta E _ { A B } ) ^ { 2 } ( \Delta E _ { A A } + \omega ^ { A } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } } | h _ { \mathrm { A X } } ^ { \mathrm { d i p } } | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { l ^ { v } } | \nu _ { i } ^ { v } | ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } & { \leq \left( \sum _ { i = 1 } ^ { l ^ { v } } 2 ^ { p ( n - n _ { i } ^ { v } ) \alpha } \right) ^ { 1 / p } } \\ & { < \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } 2 ^ { - p \alpha i } \right) ^ { 1 / p } = 2 ^ { - \alpha } \left( \frac 1 { 1 - 2 ^ { - p \alpha } } \right) ^ { 1 / p } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { X } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } } & { { } = \langle \Psi _ { g } | e ^ { i \hat { H } _ { \mathrm { ~ Y ~ } } t _ { \mathrm { ~ Y ~ } } } \prod _ { i = 1 } ^ { 1 2 } ( 2 \hat { S } _ { i } ^ { z } ) e ^ { - i \hat { H } _ { \mathrm { ~ Y ~ } } t _ { \mathrm { ~ Y ~ } } } | \Psi _ { g } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| y ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } ] } & { \le l _ { * , 0 } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { \le \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } + \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] \le 2 \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ( \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { i } ^ { e q } ( \mathbf { r } , t ) = } & { \omega _ { i } \rho \left[ 1 + \mathbf { e } _ { i } \cdot \mathbf { v } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { v } \mathbf { v } : ( \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { i } - \mathbf { I } ) \right. } \\ & { \left. + \frac { 1 } { 2 } ( T - 1 ) ( \mathbf { e } _ { i } \cdot \mathbf { e } _ { i } - 3 ) \right] \, , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 } } & { - s _ { 1 } c _ { 3 } } & { - s _ { 1 } s _ { 3 } } \\ { s _ { 1 } c _ { 2 } } & { c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } - s _ { 2 } s _ { 3 } e ^ { i \delta } } & { c _ { 1 } c _ { 2 } s _ { 3 } + s _ { 2 } c _ { 3 } e ^ { i \delta } } \\ { s _ { 1 } s _ { 2 } } & { c _ { 1 } s _ { 2 } c _ { 3 } + c _ { 2 } s _ { 3 } e ^ { i \delta } } & { c _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } - c _ { 2 } c _ { 3 } e ^ { i \delta } } \end{array} \right] } .
N ^ { l } = \frac { 1 } { \frac { \exp ( \frac { E ^ { l } } { k _ { B } T } ) } { \big \langle \exp ( \frac { \mu ( \Vec { r } \, ) } { k _ { B } T } ) \big \rangle _ { } ^ { l } } \Big [ 1 + \big \langle K _ { n } ^ { l } ( \Vec { r } \, ) \big \rangle _ { } ^ { l } \Big ] - 1 } ,
{ \begin{array} { r l } { \zeta ( 2 ) } & { = - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \log x } { 1 - x } } \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x } { e ^ { x } - 1 } } \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { ( \log x ) ^ { 2 } } { ( 1 + x ) ^ { 2 } } } \, d x } \\ & { = 2 + 2 \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { \lfloor x \rfloor - x } { x ^ { 3 } } } \, d x } \\ & { = \exp \left( 2 \int _ { 2 } ^ { \infty } { \frac { \pi ( x ) } { x ( x ^ { 2 } - 1 ) } } \, d x \right) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d x \, d y } { 1 - x y } } } \\ & { = { \frac { 4 } { 3 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d x \, d y } { 1 - ( x y ) ^ { 2 } } } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 - x } { 1 - x y } } \, d x \, d y + { \frac { 2 } { 3 } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { A _ { \mu \nu } \left( n \right) } & { \rightarrow 1 + O \left( \mathcal { \ell } ^ { 2 } \right) } \\ { B _ { \mu \nu } ^ { i } \left( n \right) } & { \rightarrow \frac { \mathcal { \ell } } { 2 } \left( \omega _ { \mu } ^ { i } \left( n \right) + \omega _ { \nu } ^ { i } \left( n + \widehat { \mu } \right) \right) - \frac { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } { 4 } \left( \epsilon ^ { i j k } \omega _ { \mu } ^ { j } \left( n \right) \omega _ { \nu } ^ { k } \left( n \right) \right) + O \left( \mathcal { \ell } ^ { 3 } \right) } \end{array}
\textsl { L o s s = } | | \textbf { w } - \hat { \textbf { w } } | | + | | \nabla \cdot \hat { \textbf { w } } | | + | | \hat { \textbf { w } _ { t } } + ( \hat { \textbf { w } } \cdot \nabla ) \hat { \textbf { w } } - \nu \nabla ^ { 2 } \hat { \textbf { w } } - f | |
\psi ( 0 , \tau ) = \frac { d } { d \tau } \operatorname * { s g n } \tau \left[ \int _ { 0 } ^ { \lvert \tau \rvert } \frac { s \psi _ { 0 } \left( s \right) } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - s ^ { 2 } } } d x - \tau \int _ { 0 } ^ { \lvert \tau \rvert } \frac { s \varphi _ { 0 } ( s ) } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - s ^ { 2 } } } d s \right] ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { m , l } } & { ( x , t ) = \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } \Delta \rho _ { m , l } ( x , t ) - \nabla \cdot \left( \rho _ { m , l } ( x , t ) \, \mathcal F ( x , y _ { m } , z _ { l } , \rho ) \right) } \\ & { + \sum _ { l ^ { \prime } \neq l } \left( - \Lambda _ { m } ^ { \rightarrow l ^ { \prime } } ( x , t ) \, \rho _ { m , l } ( x , t ) + \Lambda _ { m } ^ { \rightarrow l } ( x , t ) \, \rho _ { m , l ^ { \prime } } ( x , t ) \right) } \end{array}
p = 1 0 ^ { - 2 1 7 . 3 5 7 1 + \frac { 1 0 8 8 . 6 7 6 } { T } - 0 . 0 8 3 3 6 1 8 5 \cdot { } T + 9 4 . 8 8 7 5 2 \log _ { 1 0 } ( T ) }
E _ { 0 } ^ { p , q } = { \frac { Z _ { 0 } ^ { p , q } } { B _ { 0 } ^ { p , q } + Z _ { - 1 } ^ { p + 1 , q - 1 } } } = { \frac { F ^ { p } C ^ { p + q } } { F ^ { p + 1 } C ^ { p + q } } }
\gamma p \gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { p ^ { 0 } + \vec { p } \, \cdot \vec { \sigma } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { p ^ { 0 } - \vec { p } \, \cdot \vec { \sigma } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { v _ { \theta } } & { { } = \frac { ( { x v _ { z } } - { z v _ { x } } ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , } \\ { v _ { r } } & { { } = \frac { ( { x v _ { z } } + { z v _ { x } } ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } . } \end{array}
\boldsymbol { w ^ { * } } = \arg \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { w } } \mathcal { L } \bigg ( \boldsymbol { y } , \mathrm { ~ S ~ } \big ( \mathrm { ~ N ~ N ~ } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { w } ) , \mathrm { ~ T ~ E ~ } , \mathrm { ~ T ~ R ~ } , \mathrm { ~ T ~ I ~ } \big ) \bigg )
\left( \boldsymbol { \mathcal { P } } _ { r } ( \boldsymbol { d } ) \right) _ { j } = \frac { 1 } { ( \boldsymbol { N } _ { \theta } ) _ { j } } \sum _ { k = 1 } ^ { ( \boldsymbol { N } _ { \theta } ) _ { j } } \boldsymbol { \mathcal { P } } ( \boldsymbol { d } ) ( \boldsymbol { r } _ { j } , \boldsymbol { \Theta } _ { j k } ) \, , \quad j = 1 , \dots , N _ { r } \, ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } g } & { = 2 s j ( k _ { 0 } ) + ( 1 + s ^ { 2 } ) \partial _ { s } j ( k _ { 0 } ) - \frac 1 \beta \partial _ { s } u _ { 1 } } \\ & { = \frac { 2 s } { 1 + s ^ { 2 } } ( g + \frac 1 \beta u _ { 1 } ) } \\ & { - \kappa _ { k _ { 0 } } ( 1 + s ^ { 2 } ) g + \frac { 2 s } { 1 + s ^ { 2 } } ( g + \frac 1 \beta u _ { 1 } ) } \\ & { + \frac 1 { \beta ^ { 2 } } \frac 1 { 1 + s ^ { 2 } } u _ { 1 } + \frac 1 \beta a _ { 1 } u _ { 2 } - \frac 1 \beta a _ { 2 } u _ { 3 } + \frac 1 \beta \frac 1 { 1 + s ^ { 2 } } g } \\ & { = ( \frac { 4 s + \frac 1 \beta } { 1 + s ^ { 2 } } - \kappa _ { k _ { 0 } } ( 1 + s ^ { 2 } ) ) g } \\ & { + \frac 1 \beta \frac { 4 s + \frac 1 \beta } { 1 + s ^ { 2 } } u _ { 1 } + \frac 1 \beta a _ { 1 } u _ { 2 } - \frac 1 \beta a _ { 2 } u _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 e } ^ { \prime } } & { = } & { \frac { \partial \ln { n _ { e } } } { \partial r } - \frac { 3 } { 2 } \frac { \partial \ln { T _ { e } } } { \partial r } , } \\ { \Gamma _ { e } } & { = } & { - n _ { e } \frac { 4 } { 3 \sqrt { \pi } } \nu _ { e i } \epsilon ^ { - 3 / 2 } \rho ^ { 2 } q ^ { 2 } \left( K _ { 1 1 } A _ { 1 e } ^ { \prime } + K _ { 1 2 } \frac { \partial \ln { T _ { e } } } { \partial r } \right) , } \\ { q _ { e } } & { = } & { - n _ { e } T _ { e } \frac { 4 } { 3 \sqrt { \pi } } \nu _ { e i } \epsilon ^ { - 3 / 2 } \rho ^ { 2 } q ^ { 2 } \left( K _ { 1 2 } A _ { 1 e } ^ { \prime } + K _ { 2 2 } \frac { \partial \ln { T _ { e } } } { \partial r } \right) } \\ & { - } & { \frac { 5 } { 2 } T _ { e } \Gamma _ { e } , } \\ { \left< ( J _ { \parallel } - J _ { \parallel s } ) / h \right> } & { = } & { - n _ { e } \frac { T _ { e } } { m _ { e } v _ { t h , e } } e \epsilon ^ { - 1 / 2 } \rho q \left( K _ { 1 3 } A _ { 1 e } ^ { \prime } + K _ { 2 3 } \frac { \partial \ln { T _ { e } } } { \partial r } \right) , } \end{array}
B _ { 2 } ( t ) = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \beta _ { i } ^ { ( n - i ) } b _ { i , n } \left( { \frac { t - t _ { 0 } } { 1 - t _ { 0 } } } \right) { \mathrm { ~ , ~ } } \qquad t \in [ t _ { 0 } , 1 ]
\begin{array} { r l r } { \tau ( 1 ( \rho _ { i } s _ { 1 } ) ^ { 2 } 1 ) } & { = } & { \gamma ( 1 , \rho _ { i } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , s _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) = x _ { i } w z _ { i } ^ { - 1 } \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 3 , } \\ & { } & \\ { \tau ( s _ { 1 } ( \rho _ { i } s _ { 1 } ) ^ { 2 } s _ { 1 } ) } & { = } & { \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , s _ { 1 } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) = z _ { i } w ^ { - 1 } x _ { i } ^ { - 1 } \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 3 , } \\ & { } & \\ { \tau ( \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } s _ { 1 } ) ^ { 2 } \rho _ { 1 } ) } & { = } & { \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , s _ { 1 } ) = x _ { i } ^ { - 1 } z _ { i } w ^ { - 1 } \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 3 , } \\ & { } & \\ { \tau ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } s _ { 1 } ) ^ { 2 } \rho _ { 1 } s _ { 1 } ) } & { = } & { \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( 1 , \rho _ { i } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , s _ { 1 } ) = z _ { i } ^ { - 1 } x _ { i } w \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 3 . } \end{array}
\Pr ( K \leq x ) = 1 - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k - 1 } e ^ { - 2 k ^ { 2 } x ^ { 2 } } = { \frac { \sqrt { 2 \pi } } { x } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } e ^ { - ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } / ( 8 x ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Sigma } _ { B } ^ { c } ( E ) } & { { } = \mathbf { \Sigma } _ { B } ^ { r } ( E ) + \mathbf { \Sigma } _ { B } ^ { < } ( E ) } \\ { \mathbf { \Sigma } _ { B } ^ { \tilde { c } } ( E ) } & { { } = \mathbf { \Sigma } _ { B } ^ { a } ( E ) + \mathbf { \Sigma } _ { B } ^ { > } ( E ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 \nabla _ { \mathrm { t w o } } ^ { 2 } ( x , y ) } & { \equiv \sum _ { \mu = 1 } ^ { 3 } \big [ V _ { \mu } ( x ) \, \delta _ { x + 2 \hat { \mu } , \, y } + V _ { \mu } ^ { \dagger } ( x - 2 \hat { \mu } ) \, \delta _ { x - 2 \hat { \mu } , \, y } \big ] - 6 \, \delta _ { x , y } } \\ & { = \sum _ { \mu = 1 } ^ { 3 } \big [ U _ { \mu } ( x ) \, U _ { \mu } ( x + \hat { \mu } ) \, \delta _ { x + 2 \hat { \mu } , \, y } + U _ { \mu } ^ { \dagger } ( x - \hat { \mu } ) \, U _ { \mu } ^ { \dagger } ( x - 2 \hat { \mu } ) \, \delta _ { x - 2 \hat { \mu } , \, y } \big ] - 6 \, \delta _ { x , y } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { k } } a _ { i } \vec { x } _ { i } } & { = \vec { 0 } , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { k } } a _ { i } } & { = 0 , } \\ { l _ { k } ( \vec { x } _ { i } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f } \; \vec { x } _ { i } \in \partial \Omega _ { k } } \\ { 1 } & { \mathrm { i f } \; \vec { x } _ { i } \in \partial \Omega _ { k _ { o } } } \end{array} \right. , \, \, i = 1 , \dots , M _ { k } , } \end{array}
\mathcal { R } _ { \mathrm { D } } = \frac { 9 } { 1 6 } \, \lambda ^ { - 2 } + \frac { 9 } { 4 } \, \lambda ^ { - 3 } + \frac { 4 5 } { 8 } \, \lambda ^ { - 4 } + \frac { 1 3 5 } { 1 6 } \, \lambda ^ { - 5 } + \mathcal { O } \left( \lambda ^ { - 7 } \right) .
\begin{array} { r } { \mathbf { M } ( k ) = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 - k ^ { 2 } } & { - k ( k + 2 ) } & { \sqrt { 2 } k ( k + 1 ) } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - k ( k - 2 ) } & { 1 - k ^ { 2 } } & { \sqrt { 2 } k ( k - 1 ) } \\ { 0 } & { - \sqrt { 2 } k ( k - 1 ) } & { - \sqrt { 2 } k ( k + 1 ) } & { 2 k ^ { 2 } + 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\mathbf { f } = \left[ \begin{array} { l } { f _ { 1 } } \\ { f _ { 2 } } \\ { f _ { 3 } } \\ { f _ { 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { q _ { 2 } } \\ { \frac { q _ { 2 } ^ { 2 } } { q _ { 1 } } + p } \\ { q _ { 2 } \frac { q _ { 3 } } { q _ { 1 } } } \\ { q _ { 4 } \frac { q _ { 2 } } { q _ { 1 } } + \frac { q _ { 2 } } { q _ { 1 } } p } \end{array} \right] , \qquad \mathbf { g } = \left[ \begin{array} { l } { g _ { 1 } } \\ { g _ { 2 } } \\ { g _ { 3 } } \\ { g _ { 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { q _ { 3 } } \\ { q _ { 2 } \frac { q _ { 3 } } { q _ { 1 } } } \\ { \frac { q _ { 3 } ^ { 2 } } { q _ { 1 } } + p } \\ { q _ { 4 } \frac { q _ { 3 } } { q _ { 1 } } + \frac { q _ { 3 } } { q _ { 1 } } p } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { \left[ e \left( \varphi \right) \right] \left( x , \mathrm { b } \right) } & { : = } & { - \mathbf { 1 } \left[ - L \leq x \leq l - 1 \right] \varphi \left( x , \mathrm { b } \right) } \\ & { } & { + \frac { x } { l } \mathbf { 1 } \left[ - l \leq x \leq l \right] \varphi \left( x , \mathrm { b } \right) } \\ & { } & { + \mathbf { 1 } \left[ l + 1 \leq x \leq L \right] \varphi \left( x , \mathrm { b } \right) , } \end{array}
x _ { n } ^ { 2 } = \frac { - 4 ( \delta _ { \pi } + \delta _ { 0 } + k r _ { c } \pi ) } { - ( k r _ { c } \pi + \delta _ { 0 } ) ( 2 \delta _ { \pi } + 1 ) + ( 1 + \delta _ { \pi } ) } .
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \boldsymbol \rho } ^ { \mathrm { m i n } } ( { \bf r } ) = \arg \operatorname* { m i n } _ { { \boldsymbol \rho } } \left\{ F [ { \boldsymbol \rho } ] + \int v ( { \bf R , r } ) \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } \right. } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left. \left\vert ~ \int \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } = N _ { e } \right. \right\} } . } \end{array}
\mathcal { P } _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ e ~ n ~ c ~ i ~ c ~ u ~ i ~ t ~ } } = I _ { 0 } V _ { 0 } \approx \frac { a } { b l \eta _ { \perp } } I _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { b l } { a } \eta _ { \perp } V _ { 0 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \| A _ { n } B _ { _ { n _ { \varepsilon } } } A _ { n } ^ { * } - A B A ^ { * } \| } & { \leqslant \| A _ { n } B _ { _ { n _ { \varepsilon } } } A _ { n } ^ { * } - A B _ { _ { n _ { \varepsilon } } } A ^ { * } \| + \| A ( B _ { _ { n _ { \varepsilon } } } - B ) A ^ { * } \| } \\ & { \leqslant \| A _ { n } B _ { _ { n _ { \varepsilon } } } A _ { n } ^ { * } - A B _ { _ { n _ { \varepsilon } } } A ^ { * } \| + \| B _ { _ { n _ { \varepsilon } } } - B \| \leqslant \varepsilon . } \end{array}
[ I | B ] = \left[ { \begin{array} { r r r r r r } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 3 } { 4 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 4 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { 1 } & { { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { { \frac { 1 } { 4 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 3 } { 4 } } } \end{array} } \right] .
\begin{array} { r l } { R = } & { { } { \frac { 1 } { 2 } } t \csc { \frac { \pi } { 3 2 } } } \\ { = } & { { } { \frac { 1 } { 2 } } t \left( { \sqrt { 1 6 + 8 { \sqrt { 2 } } + 4 { \sqrt { 2 0 + 1 4 { \sqrt { 2 } } } } + 2 { \sqrt { 1 6 8 + 1 1 6 { \sqrt { 2 } } + 2 { \sqrt { 1 3 7 8 0 + 9 7 4 2 { \sqrt { 2 } } } } } } } } \right) } \end{array}
{ \frac { d } { d \tau } } \left( { \frac { g _ { \lambda \nu } { \dot { x } } ^ { \nu } + g _ { \mu \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } } { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } \right) = { \frac { g _ { \mu \nu , \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } \qquad \qquad ( 3 )
H _ { \Phi } ( \mu ) = { \mathit { \Phi } } \left( { \frac { { \sqrt { n } } ( \mu - { \bar { X } } ) } { \sigma } } \right) , \quad { \mathrm { a n d } } \quad H _ { t } ( \mu ) = F _ { t _ { n - 1 } } \left( { \frac { { \sqrt { n } } ( \mu - { \bar { X } } ) } { s } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \chi _ { \mathrm { e e } } ^ { y y } } & { = \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { z z } \sin ^ { 2 } ( \theta ) , } \\ { \chi _ { \mathrm { m e } } ^ { x y } } & { = \frac { 2 j } { k } , } \\ { \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { x x } \in \mathbb { R } \quad } & { \mathrm { a n d } \quad \chi _ { \mathrm { e m } } ^ { y x } = - \chi _ { \mathrm { m e } } ^ { x y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { u } ( x _ { q } , 4 \ell _ { q } ) \le J _ { u } ( x _ { q } , 8 r _ { q } ) } & { = J _ { u } ( x _ { q } , 2 ^ { k - 1 } r _ { q } ) \exp \Big ( { - \sum _ { j = 3 } ^ { k - 2 } N _ { u } ( x _ { q } , 2 ^ { j } r _ { q } ) } \Big ) } \\ & { \le J _ { u } ( x _ { q } , \ell _ { Q } / 2 ) e ^ { - ( N - 2 ) ( k - 4 ) / 4 } } \\ & { \le 2 M ^ { 2 } e ^ { - ( N - 2 ) ( k - 4 ) / 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { - 2 ( w _ { i j } L _ { t j } + w _ { t j } L _ { i j } ) = \underbrace { w _ { i j } J _ { t j } + w _ { t j } J _ { l j } } _ { \mathrm { I } } + \underbrace { g _ { k l } ( \mathbf A , \mathbf W ) \left( w _ { i j } \frac { \partial g _ { t j } ( \mathbf A , \mathbf W ) } { \partial w _ { k l } } + w _ { t j } \frac { \partial g _ { i j } ( \mathbf A , \mathbf W ) } { \partial w _ { k l } } \right) } _ { \mathrm { I I } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j } \mathbf { R } _ { j } \frac { d \rho _ { j } ( t ) } { d t } = - \sum _ { j } \mathbf { R } _ { j } \nabla \cdot \mathbf { j } _ { j } ^ { ( \textrm { C } ) } ( t ) = \mathbf { J } _ { \textrm { C } } ( t ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \delta { \bf E } } \\ { \delta { \bf B } } \end{array} \right) \; = \; \left( \begin{array} { c } { - \, \delta t \; \partial { \bf E } / \partial t \; - \; \delta { \bf X } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla { \bf E } } \\ { - \, \delta t \; \partial { \bf B } / \partial t \; - \; \delta { \bf X } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla { \bf B } } \end{array} \right) ,
( \sum _ { w = - \infty } ^ { w = \infty } q ^ { \frac { 1 } { \alpha ^ { \prime } } ( w R _ { j } ) ^ { 2 } } ) ^ { 2 } \rightarrow \frac { 2 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } { V _ { j } t } \; \; \; \mathrm { a s } \; \; t \rightarrow 0 .
\begin{array} { r l } { F _ { k } ^ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } } & { { } = \mathbb { E } _ { \Pi } [ O _ { k } ^ { * } ( \sigma ) ( E _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma ) - \mathbb { E } _ { \Pi } [ E _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma ) ] ) ] } \\ { S _ { k k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } } & { { } = \mathbb { E } _ { \Pi } [ O _ { k } ^ { * } ( \sigma ) ( O _ { k ^ { \prime } } ( \sigma ) - \mathbb { E } _ { \Pi } [ O _ { k ^ { \prime } } ( \sigma ) ] ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { i } } & { { } = \frac { 1 } { N } \frac { \sum _ { j \in V } ( 1 - w ) e _ { i j } F _ { l } } { w F _ { i } + ( 1 - w ) \sum _ { l \in V } e _ { i l } F _ { l } } , } \\ { \mathcal { B } _ { i } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { j \in V } \frac { ( 1 - w ) e _ { j i } F _ { i } } { w F _ { j } + ( 1 - w ) \sum _ { l \in V } e _ { j l } F _ { l } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { a ( L ) = a ( L _ { 0 } + \epsilon L _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } L _ { 2 } + . . . ) = a _ { 0 } ( L _ { 0 } ) + \epsilon a _ { 1 } ( L _ { 0 } , L _ { 1 } ) + \epsilon ^ { 2 } a _ { 2 } ( L _ { 0 } , L _ { 1 } , L _ { 2 } ) + . . . \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf p _ { 1 } = \epsilon _ { 0 } \hat { F } \left( \mathbf E _ { 0 , 1 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \hat { \alpha } \hat { G } \hat { \alpha } \mathbf E _ { 0 , 2 } \right) , } \\ { \mathbf p _ { 2 } = \epsilon _ { 0 } \hat { F } \left( \mathbf E _ { 0 , 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \hat { \alpha } \hat { G } \hat { \alpha } \mathbf E _ { 0 , 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { p \to 1 ^ { + } } \frac { 1 } { p - 1 } ( \| \rho \| _ { L _ { 1 } ^ { p } ( { \mathcal N } \subset { \mathcal M } ) } - 1 ) } \\ { \ \le } & { \operatorname* { l i m } _ { p \to 1 ^ { + } } \frac { \| \rho ( p , E _ { N } ( \rho ( p ) ) ) \| _ { p } - 1 } { p - 1 } } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { p \to 1 ^ { + } } \tau _ { \mathcal M } ( \rho ( p , E _ { N } ( \rho ( p ) ) ) ) \frac { \| \hat { \rho } ( p , E _ { N } ( \rho ( p ) ) ) \| _ { p } - 1 } { p - 1 } + \operatorname* { l i m } _ { p \to 1 ^ { + } } \frac { \tau _ { \mathcal M } ( E _ { N } ( \rho ( p ) ) ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \rho ( p ) ) - 1 } { p - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { P } ( \beta ) } & { = } & { \frac { 2 } { 3 } \, \delta \left( \frac { \beta } { \sqrt { \langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \rangle } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 3 } \, \delta \left( \frac { \beta } { \sqrt { \langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \rangle } } - \sqrt { 2 } \right) \, , } \end{array}
A _ { i } = \frac { i } { 2 } [ \frac { \phi _ { 1 } } { s } \: \sigma _ { i } \: \: + \frac { 1 } { s ^ { 2 } } ( A _ { 1 } - \frac { \phi _ { 1 } } { s } ) \: x _ { i } \vec { x } . \vec { \sigma } \: \: + ( \frac { \phi _ { 2 } + 1 } { s ^ { 2 } } ) \: \varepsilon _ { i j k } \sigma _ { j } x _ { k } ]