harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } \hat { V } _ { 2 } | N \rangle \right] } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \tilde { \bar { F } } _ { i j } \tilde { \bar { F } } _ { i j } } { \omega _ { i } + \omega _ { j } } f _ { i } f _ { j } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \tilde { \bar { F } } _ { i j } \tilde { \bar { F } } _ { i j } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) } \\ & { } & { + \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { \bar { F } } _ { i j } \tilde { \bar { F } } _ { i j } } { \omega _ { i } - \omega _ { j } } f _ { i } ( f _ { j } + 1 ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \psi _ { n , 1 , - 1 } ^ { \mathrm { r e a l } } = } & { n { \mathrm { p } } _ { y } = { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } \left( n { \mathrm { p } } _ { - 1 } + n { \mathrm { p } } _ { + 1 } \right) } \\ { \psi _ { n , 1 , 0 } ^ { \mathrm { r e a l } } = } & { n { \mathrm { p } } _ { z } = 2 { \mathrm { p } } _ { 0 } } \\ { \psi _ { n , 1 , + 1 } ^ { \mathrm { r e a l } } = } & { n { \mathrm { p } } _ { x } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( n { \mathrm { p } } _ { - 1 } - n { \mathrm { p } } _ { + 1 } \right) } \\ { \psi _ { n , 3 , + 1 } ^ { \mathrm { r e a l } } = } & { n f _ { x z ^ { 2 } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( n f _ { - 1 } - n f _ { + 1 } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathcal E ^ { \prime } } & { = } & { \Gamma \oint E _ { x } d x + \Gamma \oint [ E _ { y } + ( \vec { V } \times \vec { B } ) _ { y } ] d y + \Gamma \oint [ E _ { z } + ( \vec { V } \times \vec { B } ) _ { z } ] d z } \\ & { } & \\ & { = } & { \Gamma \oint [ \vec { E } + ( \vec { V } \times \vec { B } ) \cdot \vec { d l } ] . } \end{array}
L _ { 0 } = \frac { M } { 2 } { \dot { q } } ^ { 2 } - V ( q ) + \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N } \{ \frac { m _ { \alpha } } { 2 } { \dot { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } - \frac { m _ { \alpha } } { 2 } \omega _ { \alpha } ^ { 2 } x _ { \alpha } ^ { 2 } + { \epsilon } _ { \alpha } x _ { \alpha } q \} ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( G ) } & { { } = \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ v ~ } } ( G ) + \lambda _ { \mathrm { ~ c ~ y ~ c ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ c ~ y ~ c ~ } } ( F , G ) + \lambda _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ } } ( G ) } \\ { \mathcal { L } ( F ) } & { { } = \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ v ~ } } ( F ) + \lambda _ { \mathrm { ~ c ~ y ~ c ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ c ~ y ~ c ~ } } ( F , G ) + \lambda _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ } } ( F ) } \end{array}
D _ { 3 } \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { P } } { \longrightarrow } } - \frac { \tau } { 4 } \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) .
{ \bf { H } } ^ { \mathrm { ~ T ~ C ~ } } = \left( \begin{array} { c c } { { \bf { H } } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } } & { { \bf { H } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } \\ { { \bf { H } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } \dagger } } & { { \bf { H } } ^ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } } \end{array} \right)
\delta _ { v } = - \frac { g ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \left\{ T _ { i } ( T _ { i } + 1 ) + \tan ^ { 2 } \theta _ { w } \left( \frac { Y _ { i } } { 2 } \right) ^ { 2 } \right\} \log ^ { 2 } \frac { s } { M ^ { 2 } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ( \boldsymbol { r } ) } & { = f _ { 0 } + \boldsymbol { r } \cdot \frac { \partial f } { \partial \vec { r } } , } \\ { g ^ { \ast } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = g _ { 0 } ^ { \ast } + \boldsymbol { r } \cdot \frac { \partial g ^ { \ast } } { \partial \vec { r } } + \frac { \partial g ^ { \ast } } { \partial t } t , } \end{array}
L _ { k } = \underbrace { \mathbb { 1 } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \otimes \dots \otimes \mathbb { 1 } _ { 2 } ^ { ( k - 1 ) } } _ { k - 1 } \otimes S _ { z } ^ { ( k ) } \otimes \underbrace { \mathbb { 1 } _ { 2 } ^ { ( k + 1 ) } \otimes \dots \otimes \mathbb { 1 } _ { 2 } ^ { ( n ) } } _ { n - k }
\langle \big | \delta \rho ^ { 2 } ( \vec { x } ) \big | \rangle \sim \langle \big | ( \nabla \times \delta \vec { v } ) _ { \| } \big | ^ { 2 } \rangle = \int d \vec { k } \, k _ { \perp } ^ { 2 } \mathcal { S } _ { \perp } ( k ) \delta ( k _ { \| } )
\begin{array} { r l } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } & { { } \geqslant 2 \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { 3 } ( z ) } & { = } & { - \frac { 1 } { 3 } h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } : J _ { 1 } ( z ) ^ { 3 } : + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 0 } h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { j < k } J _ { j } J _ { k } ^ { \prime } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 0 } h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { j < k } J _ { j } ^ { \prime } J _ { k } ( z ) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 0 } h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( N + 1 - 2 j ) J _ { j } ^ { \prime } J _ { j } ( z ) } \\ & { } & { + \alpha _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { ( j - 1 ) ( N - j ) } { 2 } - \frac { ( N - 1 ) ( N - j ) } { 1 2 } \right) J _ { j } ^ { \prime \prime } ( z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { S M S } , i k } } & { = \frac { 1 } { 2 } \, \frac { i } { 2 \pi } \, \int \! d \omega \, \sum _ { P } ( - 1 ) ^ { P } } \\ & { \times \, \Bigg \{ \, \langle \psi _ { P i _ { 1 } } \psi _ { P i _ { 2 } } | R ( \omega - \varepsilon _ { P i _ { 1 } } ) | \psi _ { k _ { 1 } } \psi _ { k _ { 2 } } \rangle \left( \frac { 1 } { \omega - \varepsilon _ { k _ { 1 } } + i 0 } + \frac { 1 } { E _ { i } ^ { ( 0 ) } - \omega - \varepsilon _ { k _ { 2 } } + i 0 } \right) } \\ & { \quad \, + \langle \psi _ { P i _ { 1 } } \psi _ { P i _ { 2 } } | R ( \varepsilon _ { k _ { 1 } } - \omega ) | \psi _ { k _ { 1 } } \psi _ { k _ { 2 } } \rangle \left( \frac { 1 } { \omega - \varepsilon _ { P i _ { 1 } } + i 0 } + \frac { 1 } { E _ { k } ^ { ( 0 ) } - \omega - \varepsilon _ { P i _ { 2 } } + i 0 } \right) \, \Bigg \} \, . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \mathbf { v } } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ( \mathbf { x } _ { 0 } , t ) , t ) - \mathbf { v } ( \mathbf { x } _ { 0 } , t ) } { \tau _ { p } } \left( 1 + 0 . 1 5 \, \mathrm { R e } _ { p } ^ { 0 . 6 8 7 } \right) ,
\begin{array} { c } { { \sum _ { i _ { 1 } . . . i _ { N } } d ^ { - N } \sum _ { S } \prod _ { j } { } \left( \varphi _ { j } , \psi _ { S ( j ) } \right) \left( e _ { i _ { P ( j ) } } , e _ { i _ { Q ( j ) } } \right) = } } \\ { { = \sum _ { S } \prod _ { j } \left( \varphi _ { j } , \psi _ { S ( j ) } \right) \varphi ^ { \left( N \right) } ( P S Q ^ { - 1 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 3 0 } ^ { \prime } } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 5 } { 2 } } R ^ { - 3 } { \cal T } _ { 3 3 3 } ^ { \prime } , \qquad C _ { 3 1 } ^ { \prime } = - { \textstyle \frac { 5 } { 4 } } R ^ { - 3 } { \cal T } _ { 1 3 3 } ^ { \prime } , \qquad C _ { 3 2 } ^ { \prime } = { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } R ^ { - 3 } \Big ( { \cal T } _ { 1 1 3 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 2 2 3 } ^ { \prime } \Big ) , \qquad C _ { 3 3 } ^ { \prime } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 4 } } R ^ { - 3 } \Big ( 3 { \cal T } _ { 1 2 2 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 1 1 1 } ^ { \prime } \Big ) , } \\ { S _ { 3 1 } ^ { \prime } } & { { } = } & { - { \textstyle \frac { 5 } { 4 } } R ^ { - 3 } { \cal T } _ { 2 3 3 } ^ { \prime } , \qquad \, S _ { 3 2 } ^ { \prime } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } R ^ { - 3 } { \cal T } _ { 1 2 3 } ^ { \prime } , \qquad ~ ~ ~ S _ { 3 3 } ^ { \prime } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 4 } } R ^ { - 3 } \Big ( { \cal T } _ { 2 2 2 } ^ { \prime } - 3 { \cal T } _ { 1 1 2 } ^ { \prime } \Big ) . ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 0 } \, \mathrm { d i s t } ( \gamma ( c ) , \gamma ( d ) ) } & { \geq ( K _ { 0 } + 1 ) \int _ { c } ^ { d } \lVert \dot { \gamma } ( s ) \rVert _ { \gamma ( s ) } \, \mathrm { d } s + C ( K _ { 0 } + 1 , \lambda _ { 0 } { \mathfrak C } ) ( d - c ) } \\ & { \geq ( K _ { 0 } + 1 ) \, \mathrm { d i s t } ( \gamma ( c ) , \gamma ( d ) ) + C ( K _ { 0 } + 1 , \lambda _ { 0 } { \mathfrak C } ) ( d - c ) . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { P } \sigma _ { i _ { K } } ^ { 2 } \mathbf { h } _ { i } \mathbf { h } _ { i } ^ { T } = \sum _ { i = 1 } ^ { P } \frac { \lambda _ { i } } { \parallel \mathbf { h } _ { i } \parallel ^ { 2 } } \mathbf { q } _ { i } \parallel \mathbf { h } _ { i } \parallel \mathbf { q } ^ { T } \parallel \mathbf { h } _ { i } \parallel
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial U } { \partial x } + \frac { \partial V } { \partial y } = 0 , } \\ & { \frac { \partial U } { \partial t } + U \frac { \partial U } { \partial x } + V \frac { \partial U } { \partial y } + g \frac { \partial \eta } { \partial x } = - \int _ { - d } ^ { \eta } ( \overline { { u ^ { \prime } \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial x } } } + \overline { { v ^ { \prime } \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial y } } } ) \mathrm { d } z , } \\ & { \frac { \partial V } { \partial t } + U \frac { \partial V } { \partial x } + V \frac { \partial V } { \partial y } + g \frac { \partial \eta } { \partial y } = - \int _ { - d } ^ { \eta } ( \overline { { u ^ { \prime } \frac { \partial v ^ { \prime } } { \partial x } } } + \overline { { v ^ { \prime } \frac { \partial v ^ { \prime } } { \partial y } } } ) \mathrm { d } z , } \\ & { \frac { \partial \eta } { \partial t } + \frac { \partial \left( d + \eta \right) U } { \partial x } + \frac { \partial \left( d + \eta \right) V } { \partial y } = - \frac { \partial } { \partial x } \overline { { \int _ { - d } ^ { \eta + \zeta ^ { \prime } } u ^ { \prime } \mathrm { d } z } } - \frac { \partial } { \partial y } \overline { { \int _ { - d } ^ { \eta + \zeta ^ { \prime } } v ^ { \prime } \mathrm { d } z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rVert \partial _ { y } P ( i ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 b } \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } , \quad \quad \rVert \partial _ { \theta } P ( i ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } + \varepsilon ^ { 1 1 - 6 b } \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } } \\ & { \rVert \nabla _ { z } P ( i ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ^ { 5 - b } + \varepsilon ^ { 6 - 3 b } \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } , \quad \quad \rVert X _ { P } ( i ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } + \varepsilon ^ { 2 b } \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } } \\ & { \rVert \partial _ { \theta } \partial _ { y } P ( i ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 5 - 2 b } \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } , \quad \quad \rVert \partial _ { y } \nabla _ { z } P ( i ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ^ { 3 + b } + \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } } \\ & { \rVert \partial _ { y y } P ( i ) - 6 \varepsilon ^ { 2 b } \mathbb { A } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ^ { 2 + 2 b } + \varepsilon ^ { 3 } \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } , \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ \mathbb { A } ~ i s ~ a s ~ i n ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { b } \Big ) ^ { 2 } \Big ( { \vec { k } } \cdot ( { \vec { n } } - { \vec { n } } _ { 0 } ) \Big ) = \frac { R _ { \oplus } ^ { 2 } } { r r _ { 0 } } \Big ( \frac { 1 } { r } + \frac { 1 } { r _ { 0 } } \Big ) \frac { | \vec { r } - \vec { r } _ { 0 } | } { 1 + ( \vec { n } \cdot \vec { n } _ { 0 } ) } \equiv \frac { R _ { \oplus } ^ { 2 } } { r r _ { 0 } } \Big ( \frac { 1 } { r } + \frac { 1 } { r _ { 0 } } \Big ) \frac { ( r + r _ { 0 } ) } { 1 + ( \vec { n } \cdot \vec { n } _ { 0 } ) } \Big ( 1 - \frac { 2 r r _ { 0 } } { ( r + r _ { 0 } ) ^ { 2 } } \Big ( 1 + ( \vec { n } \cdot \vec { n } _ { 0 } ) \Big ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { i } = } & { 2 \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , t \mu k } } \partial _ { \mu } \partial _ { j } \psi \epsilon _ { i j k } - \partial _ { \mu } \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , \mu t k } } \partial _ { j } \psi \epsilon _ { i j k } } \\ & { \quad + \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { t } \partial _ { k } \psi ) } \partial _ { j } \psi \epsilon _ { i j k } . } \end{array}
- \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { p = - \infty } ^ { \infty } \left( \omega + n \omega _ { m } \right) ^ { 2 } \hat { m } _ { p } \hat { v } _ { n } \, e ^ { i ( n + p ) \omega _ { m } t } + \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left( k + i c \left( \omega + n \omega _ { m } \right) \right) \, \hat { v } _ { n } \, e ^ { i n \omega _ { m } t } = 0 .
\bar { \theta } _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \widetilde { \bar { \alpha } } \, d t = - \theta _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } ( t ) \, , \qquad \bar { \theta } _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ o ~ m ~ } } = \frac { 1 } { \mathsf { A } } \int _ { \gamma } \bar { p } _ { 2 } \, d \bar { \psi } _ { 2 } = - \theta _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ o ~ m ~ } } \, .
J _ { m } \left( \xi \right) = \left( \frac { 2 } { \pi \xi } \right) ^ { 1 / 2 } \cos { \left( \xi - \frac { m \pi } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } \right) } \mathrm { ~ , ~ } m = 0 , 1 , 2 , \dots
{ \begin{array} { r l } { d s ^ { 2 } } & { = - c ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } } \\ & { = - \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { s } } r } { \Sigma } } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } + { \frac { \Sigma } { \Delta } } d r ^ { 2 } + \Sigma d \theta ^ { 2 } + \left( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } + { \frac { r _ { \mathrm { s } } r a ^ { 2 } } { \Sigma } } \sin ^ { 2 } \theta \right) \sin ^ { 2 } \theta \ d \phi ^ { 2 } - { \frac { 2 r _ { \mathrm { s } } r a \sin ^ { 2 } \theta } { \Sigma } } c \, d t \, d \phi } \end{array} }
\Delta \rho ^ { ' } ( r ) = \rho ( r ) - \rho ^ { 0 } ( r ) = \sum _ { k } v _ { k } \left( | \phi _ { k } | ^ { 2 } - | \phi _ { - k } | ^ { 2 } \right) = \sum _ { k } \Delta \rho _ { k } ^ { ' } ( r )
t ^ { - 1 } \mathrm { \Large { \{ } } - \eta _ { \mu \nu } a _ { - 1 } ^ { ( 1 ) \mu } a _ { - 1 } ^ { ( 2 ) \nu } | \downarrow \rangle ^ { ( 1 ) } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) } | \downarrow \rangle ^ { ( 2 ) }
\bar { \psi } ( s , z ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \exp { ( \lambda _ { i } z ) } \Bigg [ C _ { i } ( s ) + \mathscr { E } _ { i } ( s ) I _ { i } ( s , z ) \Bigg ] , \; \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \; \mathscr { E } _ { i } ( s ) \equiv \frac { 1 } { \displaystyle \prod _ { j = 1 , j \neq i } ^ { 6 } ( \lambda _ { i } - \lambda _ { j } ) } , \; I _ { i } ( s , z ) \equiv \int \exp ( - \lambda _ { i } z ) \mathscr { R } ( s , z ) d z .
c _ { k } , ~ \alpha , ~ \kappa = \delta t ^ { 2 } \omega ^ { 2 } ~ ~ [ \mathrm { ~ I ~ n ~ t ~ e ~ g ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ c ~ o ~ e ~ f ~ f ~ i ~ c ~ i ~ e ~ n ~ t ~ s ~ f ~ o ~ r ~ t ~ h ~ e ~ V ~ e ~ r ~ l ~ e ~ t ~ d ~ a ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ t ~ e ~ r ~ m ~ , ~ R ~ e ~ f ~ . ~ \ } ]
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } { \sum _ { i } \left( \left| \omega _ { \mathrm { p r o b e , r e f } } ( \zeta _ { i } ) - \frac { d \phi ( \zeta _ { i } ) } { d \zeta } \right| ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \underline { { t } } _ { 2 } = \frac { \log [ 2 / ( \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma ) ] } { \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } } , ~ \overline { { t } } _ { 2 } = \frac { \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma / 2 - C _ { 2 2 } \lambda _ { 1 } / ( \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } ) } { C _ { 2 1 } \lambda _ { 1 } } . } \end{array}
( l _ { s } ^ { n e w } ) ^ { 2 } = ( G _ { s } ^ { n e w } ) ^ { - 2 / 3 } L _ { p } ^ { 2 } = \frac { l _ { p } ^ { 9 } } { L _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } L _ { 4 } L _ { 5 } R ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { M ^ { \prime } } & { { } = S \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { B _ { 1 } } \\ { C _ { 1 } } & { D _ { 1 } } \end{array} \right] S ^ { - 1 } S \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 2 } } & { B _ { 2 } } \\ { C _ { 2 } } & { D _ { 2 } } \end{array} \right] S ^ { - 1 } \cdots S \left[ \begin{array} { l l } { A _ { n } } & { B _ { n } } \\ { C _ { n } } & { D _ { n } } \end{array} \right] S ^ { - 1 } } \end{array}
\lambda ( c ) = \operatorname* { i n f } _ { \psi \in { \mathscr { D } } ^ { + } } \, \operatorname* { s u p } _ { x \in { \mathcal { X } } } \frac { L \psi ( x ) + c ( x ) \psi ( x ) } { \psi ( x ) } = \operatorname* { s u p } _ { \mu \in { \mathcal { P } } ( { \mathcal { X } } ) } \, \operatorname* { i n f } _ { \psi \in { \mathscr { D } } ^ { + } } \int _ { { \mathcal { X } } } \frac { L \psi ( x ) + c ( x ) \psi ( x ) } { \psi ( x ) } \mathrm { d } \mu ,
\begin{array} { r } { \mathcal { T } _ { n } = \bar { C } \sum _ { j = 1 , 2 } \mu _ { j } ^ { D / 2 } Q _ { n } ^ { ( j ) } \left( \begin{array} { l l } { | { \bf d } _ { j } | ^ { 2 } } & { 2 d _ { j , - } ^ { * } d _ { j , + } } \\ { 2 d _ { j , - } d _ { j , + } ^ { * } } & { | { \bf d } _ { j } | ^ { 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 4 } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x } & { { } = 4 \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d x } { 1 + x ^ { 2 } } } } \end{array}
W ( { \boldsymbol { F } } ) = { \hat { W } } ( I _ { 1 } , I _ { 2 } , I _ { 3 } ) = { \bar { W } } ( { \bar { I } } _ { 1 } , { \bar { I } } _ { 2 } , J ) = { \tilde { W } } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } )
\begin{array} { r l r } { \left\{ F , G \right\} _ { D } } & { = } & { \left\{ F , G \right\} - \frac { \partial F } { \partial \eta _ { i } } J _ { i j } \frac { \partial c _ { a } } { \partial \eta _ { j } } \left[ \frac { \partial c _ { a } } { \partial \eta _ { m } } J _ { m n } \frac { \partial c _ { b } } { \partial \eta _ { n } } \right] ^ { - 1 } \frac { \partial c _ { b } } { \partial \eta _ { k } } J _ { k l } \frac { \partial G } { \partial \eta _ { l } } = } \\ & { = } & { \left\{ F , H \right\} - \left\{ F , c _ { a } \right\} \left\{ c _ { a } , c _ { b } \right\} ^ { - 1 } \left\{ c _ { b } , G \right\} } \\ { \left( \frac { \partial F } { \partial t } \right) _ { D } } & { = } & { \frac { \partial F } { \partial t } - \frac { \partial F } { \partial \eta _ { i } } J _ { i j } \frac { \partial c _ { a } } { \partial \eta _ { j } } \left[ \frac { \partial c _ { a } } { \partial \eta _ { m } } J _ { m n } \frac { \partial c _ { b } } { \partial \eta _ { n } } \right] ^ { - 1 } \frac { \partial c _ { b } } { \partial t } = } \\ & { = } & { \frac { \partial F } { \partial t } - \left\{ F , c _ { a } \right\} \left\{ c _ { a } , c _ { b } \right\} ^ { - 1 } \frac { \partial c _ { b } } { \partial t } \quad . } \end{array}
\overline { { C ( N , N _ { 0 } , \alpha , \beta ) _ { U C } } } \approx \frac { 1 } { R + 1 } + \frac { R } { R + 1 } \frac { \Gamma ( N _ { 0 } ) } { \Gamma ( N _ { 0 } - \alpha - \beta ) } N ^ { - \alpha - \beta } .
\widetilde { \mathscr J } = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { \mathscr J } _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \tilde { \mathscr J } _ { 2 } } \end{array} \right) , \qquad \tilde { \mathscr J } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \tilde { \mathscr J } _ { 2 } = \displaystyle \frac 1 { 2 c } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { ( - \Delta ) ^ { - 1 / 2 } } \\ { - ( - \Delta ) ^ { - 1 / 2 } } & { 0 } \end{array} \right) .
\alpha = \frac { 1 } { 3 } \left[ { - I \{ { G _ { b b } , H _ { u u } } \} + I \{ { G _ { u u } , H _ { b b } } \} - I \{ { G _ { b u } , H _ { u b } } \} + I \{ { G _ { u b } , H _ { b u } } \} } \right] ,
\delta B = - \frac { \mu ^ { 5 } ( Z \alpha ) ^ { 6 } } { 3 m _ { 1 } m _ { 2 } n ^ { 4 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } \frac { n ! } { ( n - k ) ! ( k ! ) ^ { 2 } }
\bar { w } = \sqrt [ 3 ] { w _ { 0 } ^ { 3 } - \log \biggl [ \frac { \mathcal { C } [ \tilde { W } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \chi _ { e } ) ] ( 1 - r ) } { \mathcal { C } [ \tilde { W } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \chi _ { e } ) ] - \mathcal { C } [ \tilde { I } _ { p e } ( w _ { 0 } , \chi _ { e } ) ] } \biggr ] } .
{ \frac { r ^ { 2 } } { 8 \pi { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } } + s { \frac { \theta _ { 3 } ^ { \prime } } { \theta _ { 3 } } } + t { \frac { \theta _ { 4 } ^ { \prime } } { \theta _ { 4 } } } + u { \frac { \theta _ { 2 } ^ { \prime } } { \theta _ { 2 } } } = 0
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } b _ { y } = } & { { } v _ { \mathrm { A } } \cos \theta \partial _ { x } u _ { y } - d _ { i } \cos \theta \partial _ { x } \left( \frac { 1 } { n } c _ { s } ^ { 2 } \partial _ { x } n + \mathrm { d } _ { t } u _ { x } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { i } ^ { 1 } = S _ { 0 } ( x _ { i } ) , \quad M _ { i } ^ { 1 } = M _ { 0 } ( x _ { i } ) , } \\ & { S _ { i } ^ { 2 } = S _ { i } ^ { 1 } + \frac { d _ { 1 } \Delta t } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } ( S _ { i + 1 } ^ { 1 } - 2 S _ { i } ^ { 1 } + S _ { i - 1 } ^ { 1 } ) - K _ { 1 } \Delta t \frac { S _ { i } ^ { 1 } M _ { i } ^ { 1 } } { K _ { 4 } + S _ { i } ^ { 1 } } + \Delta t F _ { i } ^ { 1 } , } \\ & { M _ { i } ^ { 2 } = M _ { i } ^ { 1 } - K _ { 2 } \Delta t M _ { i } ^ { 1 } + K _ { 3 } \Delta t \frac { S _ { i } ^ { 1 } M _ { i } ^ { 1 } } { K _ { 4 } + S _ { i } ^ { 1 } } + \Delta t G _ { i } ^ { 1 } } \\ & { \ + \frac { d _ { 2 } \Delta t } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } \left[ \lambda \left( \frac { M _ { i + 1 } ^ { 1 } + M _ { i } ^ { 1 } } { 2 } \right) ( M _ { i + 1 } ^ { 1 } - M _ { i } ^ { 1 } ) - \lambda \left( \frac { M _ { i } ^ { 1 } + M _ { i - 1 } ^ { 1 } } { 2 } \right) ( M _ { i } ^ { 1 } - M _ { i - 1 } ^ { 1 } ) \right] , } \end{array}
L = \frac { 1 } { M } \sum _ { m } ^ { M } \frac { 1 } { N _ { m } } \left[ w _ { m } ^ { E } \left( \hat { E } _ { m } - E _ { m } \right) ^ { 2 } + \frac { w _ { m } ^ { F } } { 3 } \sum _ { a , i } ^ { 3 N _ { m } } \left( \hat { F } _ { a , i , m } - F _ { a , i , m } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \left( \omega _ { t } + ( u \cdot \nabla ) \omega \right) - \Delta \omega } & { = { \mathrm { R a } } \partial _ { 1 } T } & { \textnormal { i n } } & { \Omega , } \\ { \omega } & { = - 2 ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } } & { \textnormal { o n } } & { \gamma ^ { \pm } . } \end{array}
J = \left( \begin{array} { c c } { \frac { \partial \dot { y } _ { i } } { \partial y _ { i } } } & { \frac { \partial \dot { y } _ { i } } { \partial y _ { t } } } \\ { \frac { \partial \dot { y } _ { t } } { \partial y _ { i } } } & { \frac { \partial \dot { y } _ { t } } { \partial y _ { t } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { J _ { 1 1 } } & { J _ { 1 2 } } \\ { J _ { 2 1 } } & { J _ { 2 2 } } \end{array} \right)