harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { g = } & { \frac { \bar { \rho } A } { c _ { s } } = \frac { \bar { \rho } A } { \sqrt { \gamma \bar { p } / \bar { \rho } } } , } \\ { f ( x ) = } & { \int \frac { | v | d x } { c _ { s } ^ { 2 } - v ^ { 2 } } , } \\ { H _ { \omega } = } & { g ^ { 1 / 2 } \int d t e ^ { i \omega [ t - f ( x ) ] } \phi ( t , x ) , } \\ { x _ { * } = } & { c _ { s 0 } \int \frac { d x } { c _ { s } ( 1 - \mathcal { M } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\{ F ( \bar { \psi } , \psi ) , G ( \bar { \psi } , \psi ) \} = ( 2 i N ) ^ { - 1 } \int d x ~ g ^ { i j } \left( \frac { \delta F } { \delta \bar { \psi } _ { i } ( x ) } \frac { \delta G } { \delta \psi _ { j } ( x ) } - \frac { \delta G } { \delta \bar { \psi } _ { i } ( x ) } \frac { \delta F } { \delta \psi _ { j } ( x ) } \right)
\begin{array} { r l r } { \Delta \tau _ { \odot } ^ { \mathrm { t i d a l } } } & { { } = } & { - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t \, c ^ { - 2 } u _ { \mathrm { E \odot } } ^ { \tt t i d a l } \simeq - \frac { G M _ { \odot } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt G P S } ) ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } \mathrm { A U } ^ { 3 } } \Big ( \Delta t + \frac { 3 } { n _ { \tt G P S } } \cos \big [ 2 \phi _ { \odot 0 } + n _ { \tt G P S } ( t + t _ { 0 } ) \big ] \sin \big [ n _ { \tt G P S } \Delta t \big ] \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E \left\{ \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { i } \sum _ { m = 1 } ^ { j } \psi _ { k } \psi _ { m } \right\} } & { { } = } & { \Psi ^ { 2 } \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } \operatorname* { m i n } ( i , j ) = \Psi ^ { 2 } \left( 2 \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { i = 0 } ^ { j - 1 } i + \sum _ { i = 0 } ^ { N } i \right) = } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal W : \Phi \to L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) , \; \phi \mapsto \mathcal W \phi : \mathrm { ~ w i t h ~ } \int _ { Q } y \mathcal W \phi \; d x d t = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } y ^ { i } \left( - \phi _ { t } ^ { i } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ) + q ^ { i } \phi ^ { i } \right) \; d x d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 6 } ^ { * } ( n ) q ^ { n } } & { = \left( \frac { ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } } \right) ^ { 6 } \equiv \left( \frac { 1 } { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } } \right) ^ { 3 } \pmod 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { G T C } } ( k _ { z } = 0 ) } & { = \sum _ { k _ { x } } \Bigg ( \sum _ { k _ { y } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \sum _ { m } \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , m } } \\ & { + \sum _ { { k _ { y } } , m } g _ { \boldsymbol k } \big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , m } + \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \big ) \sin ( { k _ { y } } Y _ { m } ) \Bigg ) } \\ & { \equiv \sum _ { k _ { x } } \hat { h } _ { \mathrm { G T C } } ( k _ { x } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } \left( \mathbf { r } , t \right) } & { = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int _ { \Omega } { \frac { \mathbf { J } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } } \\ { \phi \left( \mathbf { r } , t \right) } & { = { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } \int _ { \Omega } { \frac { \rho \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \vec { p } _ { k l } ^ { \, s } = \gamma \, \vec { \beta } _ { k l } \, p _ { k } ^ { 0 } - \frac { 1 } { \beta _ { k l } ^ { 2 } } \, \left( \gamma _ { k l } - 1 \right) \, \left( \vec { p } _ { k } \cdot \vec { \beta } _ { k l } \right) \, \vec { \beta } _ { k l } \, . } \end{array}
\| R _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ^ { 1 } ) } ^ { 2 } + \| R _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \leq \| R _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } ,
T ( z ) = \frac { 1 } { 8 \pi } \partial _ { z } \varphi \partial _ { z } \varphi = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } L _ { k } z ^ { - k - 2 } \quad , \quad \bar { T } ( \bar { z } ) = \frac { 1 } { 8 \pi } \partial _ { \bar { z } } \varphi \partial _ { \bar { z } } \varphi = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \bar { L } _ { k } \bar { z } ^ { - k - 2 }
\begin{array} { r l r } { G _ { \mu \nu } ^ { \lessgtr ^ { 0 } } ( i \tau ) = } & { G _ { \mu \nu , \upuparrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) + G _ { \mu \nu , \downdownarrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) = } & { 2 G _ { \mu \nu , \upuparrows } ^ { \lessgtr ^ { R } } ( i \tau ) , } \\ { G _ { \mu \nu } ^ { \lessgtr ^ { x } } ( i \tau ) = } & { G _ { \mu \nu , \updownarrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) + G _ { \mu \nu , \downuparrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) = } & { 2 G _ { \mu \nu , \updownarrows } ^ { \lessgtr ^ { I } } ( i \tau ) , } \\ { G _ { \mu \nu } ^ { \lessgtr ^ { y } } ( i \tau ) = } & { i G _ { \mu \nu , \updownarrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) - i G _ { \mu \nu , \downuparrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) = } & { 2 i G _ { \mu \nu , \updownarrows } ^ { \lessgtr ^ { R } } ( i \tau ) , } \\ { G _ { \mu \nu } ^ { \lessgtr ^ { z } } ( i \tau ) = } & { G _ { \mu \nu , \upuparrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) - G _ { \mu \nu , \downdownarrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) = } & { 2 G _ { \mu \nu , \upuparrows } ^ { \lessgtr ^ { I } } ( i \tau ) \; , } \end{array}
{ \tilde { u } } = { \tilde { u } } _ { 0 } + \tilde { \chi } _ { 0 } \lambda _ { 8 } , \quad \kappa = \kappa _ { 0 } + 2 { \tilde { u } } _ { 0 } \lambda _ { 8 } + \tilde { \chi } _ { 0 } \lambda _ { 8 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { e _ { r } } \\ { f _ { r } } \\ { h _ { r } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { - \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } & { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } & { - \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } \\ { \frac { ( 1 + \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } } & { - \gamma _ { 3 } ^ { 2 } } & { \frac { \gamma _ { 3 } \left( 1 + \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } \right) } { \gamma _ { 1 } } } \\ { 2 \frac { \gamma _ { 2 } \left( 1 + \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } \right) } { \gamma _ { 1 } } } & { - 2 \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } } & { 1 + 2 \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { e _ { \ell } } \\ { f _ { \ell } } \\ { h _ { \ell } } \end{array} \right) = S \cdot V _ { \ell } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 0 } = \gamma _ { 4 5 } } & { { } = \frac { \Delta \omega } { g _ { 4 } g _ { 5 } } , } \\ { \beta _ { k , k + 1 } } & { { } = \frac { \Delta \omega } { 2 \gamma _ { 0 } \sqrt { g _ { k } g _ { k + 1 } } } , \; \; \; k = 1 \dots 3 , } \\ { \beta _ { p } } & { { } = \frac { g _ { 4 } g _ { 5 } } { 2 g _ { 0 } g _ { 1 } } , } \end{array}
\nu = { \frac { - s } { \lambda } } = { \frac { - s } { ( V - s ) T } } = { \frac { c } { ( V + c ) \gamma _ { _ { V } } T ^ { \prime } } } = \nu ^ { \prime } { \frac { c { \sqrt { 1 - { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } { c + V } } = \nu ^ { \prime } { \sqrt { \frac { 1 - \beta } { 1 + \beta } } } \, .
H = \left( \begin{array} { l l l l } { - \Delta / 2 } & { 0 } & { - t } & { - t } \\ { 0 } & { \Delta / 2 } & { - t } & { - t } \\ { - t } & { - t } & { U } & { 0 } \\ { - t } & { - t } & { 0 } & { U } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } } & { = \frac 1 2 \lambda \big ( ( A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } + I ) B _ { 1 } ( C _ { 1 } + C _ { 2 } ) \big ) , } \\ { J _ { 2 } } & { = \frac 1 2 \lambda \big ( ( A _ { 1 } + A _ { 2 } - A _ { 3 } + I ) B _ { 2 } ( C _ { 1 } - C _ { 2 } ) \big ) + \frac 1 2 \lambda \big ( ( A _ { 1 } - A _ { 2 } ) B _ { 3 } ( C _ { 1 } - C _ { 2 } ) \big ) , } \\ { L } & { = 4 + \lambda ( A _ { 1 } ) + \lambda ( A _ { 2 } ) . } \end{array}
\mathrm { ~ p ~ s ~ e ~ u ~ d ~ o ~ - ~ P ~ S ~ F ~ } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \frac { \mathcal { F } ( I _ { 1 } ) } { \mathcal { F } ( I _ { 2 } ) } \right] \approx \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \frac { \mathcal { F } ( f _ { 1 } ) } { \mathcal { F } ( f _ { 2 } ) } \right]
\begin{array} { r l } { f _ { \epsilon } ^ { \prime } ( r ) = } & { - 4 \nu \int _ { - \infty } ^ { \infty } \chi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) ) \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) d \sigma + \mu _ { 1 } g ( r ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } h ( \sigma ) \partial _ { \sigma } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) \chi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) ) d \sigma } \\ & { + \mu _ { 1 } g ( r ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } h ( \sigma ) \chi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) ) \partial _ { \sigma } \Psi ( t - r , \sigma ) d \sigma . } \end{array}
\frac { \delta \mathcal { L } } { \delta v _ { \mathrm { x c } , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \textbf { Q } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { P } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \textbf { Q } _ { k , \sigma } \right) \, .
Y _ { S } ( \theta , \phi ) \; \; = \; \; k _ { S } \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname { T r } \big [ \hat { P } _ { S } \hat { \rho } ( 0 , t ) \big ] { \mathrm { ~ d ~ } } t \; \; = \; \; k _ { S } T r \big [ \hat { P } _ { S } \hat { \Bar { \rho } } ( 0 ) \big ] ,
\int d ^ { 3 } r \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) | 0 \rangle = \left[ \sum _ { b = 1 } ^ { N } U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { b } ) \right] \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } \left\| u - P _ { V _ { h } } u \right\| _ { W _ { 2 } ^ { 1 } ( \mathbb { M } ) } ^ { 2 } } & { \le a \left( u - P _ { V _ { h } } u , u - P _ { V _ { h } } u \right) = a \left( u - v , u - P _ { V _ { h } } u \right) } \\ & { \le c _ { 2 } \left\| u - P _ { V _ { h } } u \right\| _ { W _ { 2 } ^ { 1 } ( \mathbb { M } ) } \left\| u - v \right\| _ { W _ { 2 } ^ { 1 } ( \mathbb { M } ) } \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } v \in V _ { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \hat { H } + d + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { \hat { H } + d + 1 } ^ { k } ) = V _ { \bar { H } + d + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { \bar { H } + d + 1 } ^ { k } ) } & { = ( H - \bar { H } - d ) \times 1 \{ s _ { \bar { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } \} } \\ & { = ( H - \bar { H } - d ) \times 1 \{ s _ { \hat { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { E } _ { 2 } \left( \vec { r } _ { 1 } \right) } & { { } \approx } & { \vec { E } _ { 2 } ( \vec { 0 } ) + \left( \vec { r } _ { 1 } \cdot \vec { \nabla } \right) \vec { E } _ { 2 } ( \vec { 0 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \left| { \tilde { \psi } } \right\rangle } \left( z , \xi \right) = { { \left( { { h } _ { \psi } } \left( z \right) - { { \Omega } _ { 1 } } \left( z \right) { { h } _ { \psi } } \left( { { z } _ { 0 } } \right) - { { \Omega } _ { 2 } } \left( z \right) { { h } _ { \psi } } \left( { { z } _ { f } } \right) \right) } ^ { T } } { { \xi } _ { \psi } } } \\ & { \quad + { { \Omega } _ { 1 } } \left( z \right) { \left| { { \psi } _ { 0 } } \right\rangle } + { { \Omega } _ { 2 } } \left( z \right) { \left| { { \psi } _ { f } } \right\rangle } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { ( \phi _ { h } , \psi _ { h } ) _ { h } } & { \le } & { \displaystyle \frac { 1 } { \mu } ( \phi _ { h } , \log \frac { \phi _ { h } } { \bar { \phi } _ { h } } ) _ { h } } \\ & & { \displaystyle + \mu ( \delta + \frac { 1 + \lambda } { 8 \chi _ { \Omega } } ) \| \phi _ { h } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| \nabla \psi _ { h } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & & { \displaystyle + M \mu \| \phi _ { h } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| \psi _ { h } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & & { \displaystyle + \frac { M } { \mu } \| \phi _ { h } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi ( r , \vartheta ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { r } \frac { u \, d u } { h ( u , \vartheta ) } = \frac { 1 } { \cos { \vartheta } } \left( r - \frac { \ln h ( r , \vartheta ) } { \cos \vartheta } \right) , } \\ { \psi ( r ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { r } \frac { u \, d u } { q ( u ) } = \frac { 1 } { \sigma } \, \ln \left( \frac { q ( r ) } { q _ { 0 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = W _ { B } \Sigma W _ { B } ^ { \top } = S \left[ \begin{array} { l l } { I + V } & { I - V } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { I } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { I + V ^ { \top } } \\ { I - V ^ { \top } } \end{array} \right] S ^ { \top } = 2 S ( I - V V ^ { \top } ) S ^ { \top } , } \end{array}
\alpha e ^ { i \delta _ { \alpha } } = 1 , \quad \beta e ^ { i \delta _ { \beta } } = 0 , \quad r ^ { \prime } e ^ { i \delta _ { q } } = 2 \frac { ( 1 + 1 / N _ { c } ) c _ { 3 } + ( 1 + 1 / N _ { c } ) c _ { 4 } + c _ { 5 } + c _ { 6 } / N _ { c } } { ( 1 + 1 / N _ { c } ) ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) } \left| \frac { V _ { t b } V _ { t d } ^ { * } } { V _ { u b } V _ { u d } ^ { * } } \right| .
\begin{array} { r } { \lambda _ { 4 , 1 } ^ { U _ { 4 } U _ { 4 } U _ { 4 } } = \frac { 1 } { 2 } i \sqrt { \rho } e ^ { \frac { 3 } { 2 } i ( \gamma + \eta ) } ( e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i ( \gamma + \eta ) } + e ^ { \frac { 1 } { 2 } i ( \gamma + \eta ) } ) ( - 3 + 2 \rho + ( e ^ { - i ( \eta + \gamma ) } + e ^ { i ( \gamma + \eta ) } ) \rho ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { k } ^ { < , + } \mapsto \left( \bigotimes _ { l = 1 } ^ { k - 1 } \sigma _ { l } ^ { z } \right) \otimes \sigma _ { k } ^ { + } } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } c _ { k } ^ { > , + } \mapsto \sigma _ { k } ^ { + } \otimes \left( \bigotimes _ { l = k + 1 } ^ { K } \sigma _ { l } ^ { z } \right) } \\ { c _ { k } ^ { < , - } \mapsto \left( \bigotimes _ { l = 1 } ^ { k - 1 } \sigma _ { l } ^ { z } \right) \otimes \sigma _ { k } ^ { - } } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } c _ { k } ^ { > , - } \mapsto \sigma _ { k } ^ { - } \otimes \left( \bigotimes _ { l = k + 1 } ^ { K } \sigma _ { l } ^ { z } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \zeta t _ { \gamma ^ { 1 } } t _ { \gamma ^ { 2 } } \cdots t _ { \gamma ^ { k - 1 } } \zeta ^ { - 1 } } & { = } & { t _ { \gamma ^ { 2 } } t _ { \gamma ^ { 3 } } \cdots t _ { \gamma ^ { k } } } \\ & { = } & { ( t _ { \gamma ^ { 2 } } t _ { \gamma ^ { 3 } } \cdots t _ { \gamma ^ { k - 1 } } ) t _ { \gamma ^ { k } } ( t _ { \gamma ^ { 2 } } t _ { \gamma ^ { 3 } } \cdots t _ { \gamma ^ { k - 1 } } ) ^ { - 1 } \cdot t _ { \gamma ^ { 2 } } t _ { \gamma ^ { 3 } } \cdots t _ { \gamma ^ { k - 1 } } } \\ & { = } & { t _ { \gamma ^ { 1 } } t _ { \gamma ^ { 2 } } \cdots t _ { \gamma ^ { k - 1 } } } \end{array}
\mathcal { G } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { n } = { { G } _ { i , j + 1 / 2 } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , { { t } _ { n } } \right) + \frac { \Delta t } { 6 } \left[ { { \partial } _ { t } } { { G } _ { i , j + 1 / 2 } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , { { t } _ { n } } \right) + 2 { { \partial } _ { t } } { { G } _ { i , j + 1 / 2 } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { * } } , { { t } _ { * } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { h _ { 3 } ( x , t ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } e _ { n } ( t ) \varphi _ { n } ( x ) } \\ & { + N _ { 1 } ( t ) \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } \right) \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } - u _ { 1 0 } \frac { x } { L _ { x } } \right) } \\ & { + N _ { 2 } ( t ) \frac { x } { L _ { x } } \left[ \frac { x } { L _ { x } } - u _ { 2 0 } \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi ( r ) \, \Theta ( \theta ) \, T ^ { \prime } ( t ) = \frac { \eta } { \rho r ^ { 2 } } \Psi ( r ) \, \Theta ^ { \prime \prime } ( \theta ) \, T ( t ) + \frac { \eta } { \rho r } \Psi ^ { \prime } ( r ) \, \Theta ( \theta ) \, T ( t ) + \frac { \eta } { \rho } \Psi ^ { \prime \prime } ( r ) \, \Theta ( \theta ) \, T ( t ) \, , } \end{array}
S _ { \pm } ( x , y ) = \langle q _ { \alpha } ^ { a } ( x ) { \bar { q } } _ { \beta } ^ { b } ( y ) \rangle = \int d ^ { 4 } z \, \frac { \left[ \Psi _ { z } ^ { \pm } ( x ) { \bar { \Psi } } _ { z } ^ { \pm } ( y ) \right] _ { \alpha \beta } ^ { a b } } { m ^ { * } }
H _ { \textrm { X X Z } } = - \sum _ { i < j } \frac { J _ { \perp } ( \sigma _ { i } ^ { x } \sigma _ { j } ^ { x } + \sigma _ { i } ^ { y } \sigma _ { j } ^ { y } ) + J _ { z } \sigma _ { i } ^ { z } \sigma _ { j } ^ { z } } { r _ { i j } ^ { \alpha } } ,
\left( A _ { 1 } , A _ { 2 } \right) = \frac { \mathrm { i } } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( A _ { \nu _ { 1 } } ^ { * } \, \partial _ { \tau } A _ { \nu _ { 2 } } - A _ { \nu _ { 2 } } \, \partial _ { \tau } A _ { \nu _ { 1 } } ^ { * } \right) \mathrm { d } r \, .
m _ { 1 } = z e ^ { \frac { \beta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } - \beta a } \left[ - 1 + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e r f c } \left( \frac { l _ { m i n } - a + \beta \sigma ^ { 2 } } { \sigma \sqrt { 2 / 3 } } \right) \right] \ .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \sum _ { m = 1 } ^ { K } \left| c _ { j _ { m } , h } ^ { l , s } ( t ) - c _ { j _ { m - 1 } , h } ^ { l , s } ( t ) \right| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \sum _ { m = 1 } ^ { K } \left| \tilde { \mu } _ { j _ { m } , h } ^ { l } \{ ( t _ { j _ { m } } - t ) / b \} ^ { s } K _ { b } ( t _ { j _ { m } } - t ) \right| + \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \sum _ { m = 1 } ^ { K } \left| \tilde { \mu } _ { j _ { m - 1 } , h } ^ { l } \{ ( t _ { j _ { m - 1 } } - t ) / b \} ^ { s } K _ { b } ( t _ { j _ { m - 1 } } - t ) \right| } \\ & { = O ( h b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { y } ^ { \dagger } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) H _ { \mathrm { L } } \mathcal { D } _ { y } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) } & { { } = } & { \sqrt { \xi ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { \vec { U } } { \mathrm { m i n i m i z e } } \quad } & { J \left( \vec { \boldsymbol { x } } ( 1 ) , \ldots , \vec { \boldsymbol { x } } ( N ) , \vec { U } \right) } \\ { \mathrm { s u b j e c t \ t o } \quad } & { \vec { U } \in \mathcal { U } ^ { N } , } \\ & { \mathrm { D y n a m i c s ~ } \mathrm { ~ w i t h ~ } \vec { x } ( 0 ) } \\ & { \mathrm { P r o b a b i l i s t i c ~ c o n s t r a i n t ~ } } \end{array}
k _ { r w } = \left( \frac { S _ { w } - S _ { w c } } { 1 - S _ { w c } } \right) ^ { a _ { w } } , \quad k _ { r o } = \left( 1 - \frac { S _ { w } } { 1 - S _ { r o } } \right) ^ { a _ { o } } ,
\tau _ { n } ( \lambda ) = \frac { 2 \pi \exp ( 2 \Delta ( \lambda ) / \sigma ^ { 2 } ) } { \sqrt { V ^ { \prime \prime } ( m + \sqrt { | \lambda | / A } , \lambda ) | V ^ { \prime \prime } ( m - \sqrt { | \lambda | / A } , \lambda ) | } } = ( \pi / \sqrt { A | \lambda | } ) \exp ( 8 | \lambda | ^ { \frac { 3 } { 2 } } / 3 A ^ { \frac 1 2 } \sigma ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \cdots \left( \frac { 1 - \gamma ^ { 5 } } { 2 } \right) \gamma ^ { \nu } \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { u } } \left( \frac { 1 - \gamma ^ { 5 } } { 2 } \right) \gamma ^ { \mu } \cdots = \cdots \gamma ^ { \nu } \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { u } } \left( \frac { 1 - \gamma ^ { 5 } } { 2 } \right) \gamma ^ { \mu } \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { R _ { A A } \to 0 } \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r } } ( R _ { A A } ) } & { = \frac { 5 } { 1 6 } \tau _ { A } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { R _ { A A } \to 0 } \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { l r , H F } } ( R _ { A A } ) } & { = \frac { 5 } { 1 6 } \tau _ { A } - \frac { \tau _ { A } ^ { 8 } } { ( \tau _ { A } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 4 } } } \\ & { \times \left[ \frac { 5 \tau _ { A } ^ { 6 } + 1 5 \tau _ { A } ^ { 4 } \omega ^ { 2 } - 5 \tau _ { A } ^ { 2 } \omega ^ { 4 } + \omega ^ { 6 } } { 1 6 \tau _ { A } ^ { 5 } } - \omega \right] . } \end{array}
{ \bf { y } } = { a _ { 1 } } \cdot { \bf { x } } + { a _ { 2 } } \cdot \sigma \left( { { \bf { w } } \cdot { \bf { x } } + { \bf { b } } } \right) \cdot { \left( { \left[ { { g _ { 1 } } , { g _ { 2 } } , { g _ { 3 } } } \right] \times \left[ \begin{array} { l } { { \bf { m a s } } { { \bf { k } } _ { 1 } } } \\ { { \bf { m a s } } { { \bf { k } } _ { 2 } } } \\ { { \bf { m a s } } { { \bf { k } } _ { 3 } } } \end{array} \right] } \right) ^ { T } }
\begin{array} { r l } { \tilde { G } _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { = x ^ { \nu } ( G _ { n } ^ { ( 1 ) } - \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { - \nu - 1 } e ^ { - t - \frac { x y } { t } } d t ) } \\ & { = x ^ { \nu } \frac { \mathcal { N } _ { n } ( x , y , \nu ) - \mathcal { D } _ { n } ( x , y , \nu ) \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { - \nu - 1 } e ^ { - t - \frac { x y } { t } } d t } { \mathcal { D } _ { n } ( x , y , \nu ) } } \\ & { = x ^ { \nu } \frac { \tilde { \mathcal { N } } _ { n } ( x , y , \nu ) } { \mathcal { D } _ { n } ( x , y , \nu ) } . } \end{array}
{ \cal M } \stackrel { { \cal O } ( 1 ) } { = } \frac { \langle H \rangle ^ { 2 } } { M _ { X } } \cdot \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon ^ { 2 } } } & { { \epsilon } } & { { \epsilon } } \\ { { \epsilon } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { \epsilon } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \ \ \ \mathrm { w i t h ~ } \left\{ \begin{array} { l } { { \langle H \rangle = 1 7 4 \mathrm { ~ G e V } } } \\ { { M _ { X } = ( 8 - 1 6 ) \cdot 1 0 ^ { 1 5 } \mathrm { ~ G e V } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { K } ^ { t } } & { { } = \mathbf { G } ^ { - 1 } \mathbf { A } ^ { t } , } & { \mathbf { L } } & { { } = \mathbf { G } ^ { - 1 } \mathbf { A } ^ { L } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { u ( \mathcal { L } ) } \\ { u ^ { \prime } ( \mathcal { L } ) } \end{array} \right) = T _ { 0 , \mathcal { L } } ( \omega ) \left( \begin{array} { l } { u ( 0 ) } \\ { u ^ { \prime } ( 0 ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \Vert \Sigma _ { t } ^ { - 1 / 2 } \Vert } & { \leq \sqrt { \operatorname { t r } ( \Sigma _ { t } ^ { - 1 } ) } \leq \sqrt { \Sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { - 1 } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \Vert \mu _ { t } \Vert ^ { 2 } \leq \Vert \Sigma _ { t } \Vert \Vert \mu _ { t } \Vert _ { t } ^ { 2 } \leq 2 \Vert \Sigma _ { 1 } \Vert \textrm { F } _ { \operatorname* { m a x } } \, . } \end{array}