harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { 4 a _ { 1 } L ^ { 2 } \eta _ { k } ^ { 2 } n } { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } + \frac { 2 2 a _ { 2 } \eta _ { k } ^ { 2 } n L ^ { 2 } } { \alpha } } & { \leq \frac { \mu } { 6 } } \\ { \frac { 3 L ^ { 2 } } { n \mu } + \frac { 9 a _ { 2 } \gamma } { \tilde { \alpha } } } & { \leq \left( \frac { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } { 4 } - \frac { 4 } { 3 } \eta _ { k } \mu \right) a _ { 1 } } \\ { a _ { 1 } \gamma C } & { \leq \left( \frac { \alpha } { 3 } - \frac { 4 } { 3 } \eta _ { k } \mu \right) a _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { = } & { p _ { N } \sum _ { { \bf q } } P ( { \bf q } ) \left[ 1 - \prod _ { m ^ { \prime } = 2 } ^ { M } ( 1 - V _ { m ^ { \prime } } ) ^ { q _ { m ^ { \prime } } } \right] , } \\ { S } & { = } & { \sum _ { m } Q ( m ) p _ { H } ^ { [ m ] } p _ { N } ^ { m } \left[ 1 - ( 1 - W _ { m } ) ^ { m } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { b ( t , X _ { t } ) = 0 , ~ ~ \sigma ( t , X _ { t } ) = \frac { 1 } { \sqrt d } I _ { d } , ~ ~ \beta ( X _ { t ^ { - } } , e ) = e , ~ ~ \delta = 1 , ~ ~ d = 1 0 0 , } \\ { \begin{array} { r l } { f ( t , x , u , \sigma ^ { \mathsf { T } } \nabla _ { x } u , B [ u ] ) = } & { \frac { ( u - 2 ) \exp ( u ) } { 2 \exp ( \sin ( \bar { x } + t ) + 2 ) } - \frac { u ( I _ { d } \nabla _ { x } u ) } { \sin ( \bar { x } + t ) + 2 } } \\ & { - \int _ { E } ( u ( t , \bar { x } + e ) - u ( t , \bar { x } ) ) \lambda ( d e ) , } \end{array} } \end{array}
\mathbf { 2 7 } = ( \mathbf { 1 6 } , \mathbf { 1 0 } ) + ( \mathbf { 1 6 } , \mathbf { \bar { 5 } } ) + ( \mathbf { 1 6 } , \mathbf { 1 } ) + ( \mathbf { 1 0 } , \mathbf { 5 } ) + ( \mathbf { 1 0 } , \mathbf { \bar { 5 } } ) + ( \mathbf { 1 } , \mathbf { 1 } )
\chi ( x , t ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { - 3 / 2 } } } \int d ^ { 3 } k \left[ { \hat { a } } _ { k } \chi _ { k } ( t ) e ^ { i k x } + { \hat { a } } _ { k } ^ { \dag } \chi _ { k } ^ { * } ( t ) e ^ { - i k x } \right]
\beta _ { 2 } ( \beta _ { 1 } ) = \left( \mathbf { X } _ { 2 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } _ { 2 } \right) ^ { - 1 } \mathbf { X } _ { 2 } ^ { \mathsf { T } } \left( \mathbf { y } - \mathbf { X } _ { 1 } \beta _ { 1 } \right)
\Delta _ { S } ( q _ { 2 } ^ { 2 } , q _ { 1 } ^ { 2 } ) = \exp \left[ - { \frac { \alpha _ { S } } { 2 \pi } } \int _ { q _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { q _ { 2 } ^ { 2 } } { \frac { d k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } \int _ { Q _ { 1 } / Q _ { 2 } } ^ { 1 - Q _ { 1 } / Q _ { 2 } } { d z P ( z ) } \right]
\begin{array} { r l } { \sum _ { p = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { p ! } \left\vert \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } } \Gamma _ { \pi , G } \right\vert } & { \leq C N \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left[ C s ( \log N ) ^ { 3 } \right] ^ { k - 1 } \left[ \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } ( C a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { n - 1 } \right] ^ { k } } \\ & { \leq C N a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left[ C s a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ( \log N ) ^ { 3 } \right] ^ { k - 1 } } \\ & { \leq C N a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) < \infty , } \end{array}
\int _ { \Gamma _ { 0 } } \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 3 a } \cup \Gamma _ { 3 b } } \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 5 a } \cup \Gamma _ { 5 b } } \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 8 } } \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 9 } } \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s = 0 ,
\begin{array} { r } { \mathbb E ^ { e p } = \mathbb E _ { 0 } - \frac { ( \mathbb E _ { 0 } \cdot \Lambda ^ { p } ) \otimes ( \Lambda \cdot \mathbb E _ { 0 } ) } { \Lambda \cdot \mathbb E _ { 0 } \cdot \Lambda ^ { p } + h H h ^ { p } } . } \end{array}
\phi ( n ^ { \pm } / \varepsilon ) \left( \nu \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { \pm } } { \partial ( \tau ^ { \pm } ) ^ { 2 } } ( \tau ^ { \pm } , t ) - \frac { \partial \theta _ { \pm } } { \partial t } ( \tau ^ { \pm } , t ) \right) - u ^ { \tau ^ { \pm } } ( \tau ^ { \pm } , n ^ { \pm } , t ) \frac { \partial \theta _ { \pm } } { \partial \tau ^ { \pm } } ( \tau ^ { \pm } , t ) \phi ( n ^ { \pm } / \varepsilon ) ,
\begin{array} { r l } { C ^ { \prime } \left( t \right) } & { { } = - \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \frac { \cos \left( \omega t \right) } { \pi } \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) , } \\ { C ^ { \prime \prime } \left( t \right) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \frac { \sin \left( \omega t \right) } { \pi } \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { j } ^ { N } ( s ) } & { : = R _ { j } ^ { N } ( s ) A ( s , t _ { j } ) + \frac { \pi } { N } B ( s , t _ { j } ) , \quad s \in \mathbb { R } , } \\ { R _ { j } ^ { N } ( s ) } & { : = - \frac { 1 } { N } \left\{ \sum _ { m = 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { m } \cos m ( s - t _ { j } ) + \frac { 1 } { 2 N } \cos ( N ( s - t _ { j } ) ) \right\} . } \end{array}
\Delta t = \mathrm { C F L } \times \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ } } \left( \frac { 1 } { | U | + c \| \nabla \xi \| } , \frac { 1 } { | V | + c \| \nabla \eta \| } , \frac { 1 } { | W | + c \| \nabla \zeta \| } \right) .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \ell } _ { 2 } \left( \nabla S _ { h } \psi + \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } \right) } & { \lesssim } & { C _ { 1 } \| \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } \| _ { 0 , \Omega } ( \| \nabla S _ { h } \psi \| _ { 0 , \Omega } + \| \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } \| _ { 0 , \Omega } ) } \\ & { \lesssim } & { C _ { 1 } \| \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } \| _ { 0 , \Omega } ( \| \nabla \psi \| _ { 0 , \Omega } + \| \boldsymbol { v } ^ { \bot } \| _ { 0 , \Omega } ) } \\ & { \lesssim } & { C _ { 1 } \| \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } \| _ { 0 , \Omega } ( \| \nabla \psi \| _ { 0 , \Omega } + \| \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { v } ^ { \bot } \| _ { 0 , \Omega } ) } \\ & { \lesssim } & { C _ { 1 } \| \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } \| _ { 0 , \Omega } \| \boldsymbol { v } \| _ { \mathrm { c u r l } , \Omega } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { { \ell } \rightarrow \infty } \operatorname* { s u p } _ { \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } \in X ^ { M _ { \ell } } } | k ^ { [ M _ { \ell } ] } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) - k ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] ) | } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { { \ell } \rightarrow \infty } \operatorname* { s u p } _ { \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } \in X ^ { M _ { \ell } } } | k _ { \mathrm { M c K } } ^ { [ M _ { \ell } ] } ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] ) - k ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] ) | } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { { \ell } \rightarrow \infty } \operatorname* { s u p } _ { \mu , \mu ^ { \prime } \in \mathcal { P } ( X ) } | k ^ { [ M _ { \ell } ] } ( \mu , \mu ^ { \prime } ) - k ( \mu , \mu ^ { \prime } ) | } \\ & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { R } } & { { } = \frac { 1 } { \pi \sqrt { r r _ { 1 } } } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m ( \theta - \theta _ { 1 } ) } Q _ { m - 1 / 2 } ( \chi ) , } \\ { \chi } & { { } = \frac { r ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 2 } + x ^ { 2 } } { 2 r r _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \displaystyle ^ \# \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k + 1 } k = - \mathrm { e s s } \left( - \frac { 1 } { \pi i } e ^ { \pi i x } x - \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } e ^ { \pi i x } \right) = \frac { 1 } { \pi i } \mathrm { e s s } ( e ^ { \pi i x } x ) + \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \mathrm { e s s } ( e ^ { \pi i x } ) = \frac { 1 } { 4 } . } \end{array}
\omega _ { \mu } { } ^ { a b } ( e ) = - e ^ { \nu [ a } \left( \partial _ { \mu } e _ { \nu } { } ^ { b ] } - \partial _ { \nu } e _ { \mu } { } ^ { b ] } \right) - e ^ { \rho [ a } e ^ { \sigma b ] } \left( \partial _ { \sigma } e _ { c \rho } \right) e _ { \mu } { } ^ { c } \ .
\left. S _ { n , m } \, ( x _ { 1 } \, q _ { 1 } , . . . . . . , x _ { n } \, q _ { n } ; \, p _ { 1 } . . . . . . p _ { m } ) = \langle { \cal D } ( x _ { 1 } \, q _ { 1 } , . . . . . . , x _ { n } \, q _ { n } ) \, \psi _ { p _ { 1 } } . . . . . . . \psi _ { p _ { m } } \rangle \right.
\mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \rho _ { s } ^ { ( \mathrm { ~ e ~ x ~ . ~ } ) } ( \textbf { r } , \tau ) ) > \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \rho _ { s } ^ { ( \mathrm { ~ g ~ r ~ . ~ } ) } ( \textbf { r } , \tau ) ) \footnote { I n t h e s t o c h a s t i c f o r m a l i s m , t h e p o p u l a t i o n s a r e c o m p l e x , s o w e h a v e t o e x t r a c t t h e i r r e a l p a r t s . } \! \! .
\| x _ { T 2 } ^ { R } - x _ { T 2 } ^ { G } \| _ { L _ { 1 } } \leq \| x _ { T 2 } ^ { R } - x _ { T 2 } \| _ { L _ { 1 } } + C \| x _ { T 2 } ^ { G } - x _ { T 2 } \| _ { W _ { 1 } } ,
\Omega ( \vec { x } , t ) = \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, A _ { 0 } ( \vec { x } , t ^ { \prime } ) - { \frac { t } { \beta } } \int _ { 0 } ^ { \beta } d t \, A _ { 0 } ( \vec { x } , t )
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { u } _ { x , y , z } } & { { } = \overline { { \boldsymbol { T } } } \cdot \boldsymbol { u } _ { x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } } \Rightarrow \left( \begin{array} { l } { u _ { x } } \\ { u _ { y } } \\ { u _ { z } } \end{array} \right) } \end{array}
{ \hat { \cal T } } _ { J _ { 1 } } ^ { R _ { 1 } } { \hat { \cal T } } _ { J _ { 2 } } ^ { R _ { 2 } } = \sum _ { R , J } \left\langle \begin{array} { l } { { R } } \\ { { J } } \end{array} \right. \left| \begin{array} { l l } { { R _ { 1 } } } & { { R _ { 2 } } } \\ { { J _ { 1 } } } & { { J _ { 2 } } } \end{array} \right\rangle { \hat { \cal T } } _ { J } ^ { R } .
d _ { 0 } ^ { [ 1 ] 4 } = 1 2 7 . 6 - 4 4 . 2 \, n _ { f } + 3 . 6 4 \, n _ { f } ^ { 2 } - 0 . 0 1 0 0 9 2 8 \, n _ { f } ^ { 3 } d _ { 0 } ^ { [ 1 ] 4 } = 1 2 7 . 5 8 - 4 4 . 2 1 1 \, n _ { f } + 3 . 6 4 3 9 \, n _ { f } ^ { 2 } - 0 . 0 1 0 0 9 2 8 \, n _ { f } ^ { 3 } { } .
F _ { p } \triangleq \frac { k _ { d } } { c _ { t } \Vert \widehat { \Pi } ( k _ { d } ) \Vert } \Vert \hat { \eta } ( k _ { d } ) \Vert = \biggl ( P _ { N } ^ { - 2 } + \bigl ( 1 - \textit { F r } ^ { - 2 } \bigl ) ^ { 2 } \biggl ) ^ { - 0 . 5 }
\alpha = \sqrt { \frac { N _ { k } } { \hbar \tau _ { 2 } } } \left[ - i \tau \hat { A } _ { 1 } + i \hat { A } _ { 2 } \right] \ \ , \ \ \alpha ^ { \dagger } = \sqrt { \frac { N _ { k } } { \hbar \tau _ { 2 } } } \left[ i \bar { \tau } \hat { A } _ { 1 } - i \hat { A } _ { 2 } \right] \ \ .
\begin{array} { r } { d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - r ^ { 2 } } ( v _ { x _ { 0 } , t _ { 0 } ; t _ { 0 } - r ^ { 2 } } , \delta _ { x _ { 0 } } ) \le d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - r ^ { 2 } } ( v _ { x _ { 0 } , t _ { 0 } ; t _ { 0 } - r ^ { 2 } } , \delta _ { z } ) + d _ { t _ { 0 } - r ^ { 2 } } ( x _ { 0 } , z ) \le C _ { 2 } r , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { \mu \nu } } & { { } = } & { \sigma _ { \perp \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \Xi _ { \mu \nu } l ^ { \alpha } l ^ { \beta } \sigma _ { \alpha \beta } + 2 \Xi _ { ( \mu } ^ { \alpha } l _ { \nu ) } l ^ { \beta } \sigma _ { \alpha \beta } + l _ { \mu } l _ { \nu } l ^ { \alpha } l ^ { \beta } \sigma _ { \alpha \beta } . } \end{array}
F _ { \delta } ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 2 \delta \left( \frac { \pi } { \tau } \right) ^ { \delta / 2 } \exp \left\{ - \frac { \pi ^ { 2 } } { \tau } \right\} \quad \tau < \pi } } & { { } } \\ { { 1 + 2 \delta \exp \left\{ - \tau \right\} - \left( \frac { \pi } { \tau } \right) ^ { \delta / 2 } \quad \tau > \pi } } \end{array} \right. ~ .
F ( \Theta , p ) = q _ { o } e x p \left[ \frac { ( \mid \Theta \mid - \Theta _ { o } ) ^ { 2 } } { \Theta _ { w } ^ { 2 } } - \frac { ( \mid p \mid - p _ { o } ) ^ { 2 } } { p _ { w } ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r } { \sigma _ { a b } ^ { \mathrm { s } } = \rho \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { b } q _ { d c } } \nabla _ { a } q _ { d c } + \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { a } q _ { d c } } \nabla _ { b } q _ { d c } \right) + \frac { \partial d } { \partial d _ { a b } } + \frac { \partial p } { \partial d _ { a b } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \alpha } z ^ { \alpha } = \mathbf { z } ^ { T } \mathsf { K } ^ { T } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } ^ { \mathcal { V } } } \\ { \mathsf { P } ^ { \mathcal { I } } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { I } ( t ) } \\ { \boldsymbol { V } ( t ) } \end{array} \right) \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ^ { - 1 } ( f ( C ) ) = } & { f ^ { - 1 } \left( { \frac { 9 } { 5 } } C + 3 2 \right) = { \frac { 5 } { 9 } } \left( ( { \frac { 9 } { 5 } } C + 3 2 ) - 3 2 \right) = C , } \\ & { { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ v a l u e ~ o f ~ } } C , { \mathrm { ~ a n d ~ } } } \\ { f \left( f ^ { - 1 } ( F ) \right) = } & { f \left( { \frac { 5 } { 9 } } ( F - 3 2 ) \right) = { \frac { 9 } { 5 } } \left( { \frac { 5 } { 9 } } ( F - 3 2 ) \right) + 3 2 = F , } \\ & { { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ v a l u e ~ o f ~ } } F . } \end{array} }
{ \cal K } _ { r } ^ { \left( { \cal R } \right) Q } \left( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ; \vec { q } \, \right) = { \cal K } _ { R R G } ^ { \left( { \cal R } \right) Q } \left( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ; \vec { q } \, \right) + { \cal K } _ { R R Q \overline { { { Q } } } } ^ { \left( { \cal R } \right) } \left( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ; \vec { q } \, \right) ~ .
s _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } y \, \left\{ B ^ { 2 } + ( D \phi ) ^ { 2 } \right\} = \int d ^ { 3 } y \, D _ { m } ( B _ { m } ^ { a } \phi _ { 4 } ^ { a } ) \ = \ 4 \pi \phi _ { 0 } \ ,
\Gamma ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } , \boldsymbol { \mathbf { \uprho } } , \boldsymbol { \mathbf { \uprho } } ^ { \prime } , \omega ) = \left\langle V ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , \omega ) V ^ { * } ( \boldsymbol { \mathbf { \uprho } } , \omega ) \right\rangle _ { c } \delta ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } - \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) \delta ( \boldsymbol { \mathbf { \uprho } } - \boldsymbol { \mathbf { \uprho ^ { \prime } } } ) .
\begin{array} { r l } { \Psi ^ { x } } & { { } = D \nabla \phi _ { \mathbf { x } } \cdot \mathbf { v } _ { 1 } \approx \partial \phi _ { \mathbf { x } } / \partial x , } \\ { \Psi ^ { y } } & { { } = D \nabla \phi _ { \mathbf { x } } \cdot \mathbf { v } _ { 2 } \approx \partial \phi _ { \mathbf { x } } / \partial y , } \end{array}
\rho ( z , t ) = - v \frac { \sinh { \frac { z } { \epsilon } } } { \sinh { \frac { 1 } { \epsilon } } } - v \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 ( 1 + \epsilon s _ { n } ) } { 3 - s _ { n } ^ { 2 } } \frac { \sinh { \frac { z \sqrt { 1 + \epsilon s _ { n } } } { \epsilon } } } { \sinh { \frac { \sqrt { 1 + \epsilon s _ { n } } } { \epsilon } } } \operatorname { e } ^ { s _ { n } t } \, .
\begin{array} { r l r } { T _ { + + } ( k _ { x } ) } & { { } = } & { T _ { -- } ( k _ { x } ) \simeq \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } \right) - i \frac { \pi } { 2 } \left( \frac { 2 } { n _ { 1 } } + \frac { n _ { 2 } } { n _ { \perp } ^ { 2 } } + \frac { n _ { 2 } } { n _ { \parallel } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } } { K } + { \cal O } \left( \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } \right) , } \\ { T _ { + - } ( k _ { x } ) } & { { } = } & { T _ { - + } ( k _ { x } ) \simeq i \frac { \pi } { 2 } n _ { 2 } \left( \frac { 1 } { n _ { \perp } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { n _ { \parallel } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } } { K } + { \cal O } \left( \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \Omega _ { z } + \left\{ \Omega _ { z } , \phi \right\} - \left\{ j _ { z } , \psi \right\} - \mu \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \Omega _ { z } } & { = 0 } \\ { \partial _ { t } \psi + \left\{ \psi , \phi \right\} - \eta j _ { z } } & { = 0 } \\ { \Omega _ { z } - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi } & { = 0 } \\ { j _ { z } - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { v } ( \omega ) } & { { } = } & { 2 \, \sum _ { k } \frac { \left( E _ { k } - E _ { 0 } \right) | \langle \Psi _ { 0 } | D _ { 0 } | \Psi _ { k } \rangle | ^ { 2 } } { \left( E _ { k } - E _ { 0 } \right) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( r ) = f _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( r ) + \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } G ( r , r ^ { \prime } ) \frac { \hbar ^ { 2 } } { \mu } P _ { \mathrm { ~ B ~ A ~ } } \frac { d F _ { \mathrm { ~ A ~ } } } { d r } ( r ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { f _ { + , \omega } ^ { ( 1 ) } } \\ { f _ { + , \omega } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) = X \left( \begin{array} { l } { f _ { - , \omega } ^ { ( 1 ) } } \\ { f _ { - , \omega } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { X _ { 1 1 } } & { X _ { 1 2 } } \\ { X _ { 2 1 } } & { X _ { 2 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { f _ { - , \omega } ^ { ( 1 ) } } \\ { f _ { - , \omega } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { M } ( z , x , v _ { x } , v _ { x x } ) = v _ { x x } + g - \sum _ { n = 1 } ^ { N } \eta _ { n } z ^ { n } ( z ^ { n } ) ^ { \top } - \eta _ { P } \left( v _ { x } - \sum _ { n = 1 } ^ { N } z ^ { n } \right) \left( v _ { x } - \sum _ { n = 1 } ^ { N } z ^ { n } \right) ^ { \top } \; , } \\ & { m _ { l j } ( z , x , v _ { x } , v _ { x x } ) : = v _ { x _ { l } , x _ { j } } + g _ { l j } ^ { 2 } - \sum _ { n = 1 } ^ { N } \eta _ { n } z _ { l } ^ { n } z _ { j } ^ { n } - \eta _ { P } \left( v _ { x _ { l } } v _ { x _ { j } } - 2 v _ { x _ { j } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } z _ { l } ^ { n } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } z _ { j } ^ { n } \sum _ { m = 1 } ^ { N } z _ { l } ^ { m } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \widehat { \mathrm { S E C O } } _ { n , m } ( \bar { O } ) - \widehat { \mathrm { S E C O } } _ { n , m } ( \hat { O } ) ] } & { \leq 2 \left( D _ { m } + c \sqrt { \frac { \ln ( d ) } { k } } \operatorname* { m a x } ( G , I ) \operatorname* { m a x } ( \vee _ { g = 1 } ^ { G } d _ { g } ^ { 2 } , \vee _ { i = 1 } ^ { I } d _ { i } ^ { 2 } ) \right) } \\ & { + \mathrm { S E C O } ( \bar { O } ) - \mathrm { S E C O } ( \hat { O } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { d } \| Y _ { t } - \tilde { Y } _ { t } \| } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \| Y _ { t } - \tilde { Y } _ { t } \| + \frac { 1 } { \| Y _ { t } - \tilde { Y } _ { t } \| } \langle Y _ { t } - \tilde { Y } _ { t } , C \nabla \log p _ { T - t } ( Y _ { t } ) - \tilde { s } ( T - \lfloor t \rfloor , \tilde { Y } _ { \lfloor t \rfloor } ) \rangle } \\ & { \leqslant } & { \frac { 1 } { 2 } \| Y _ { t } - \tilde { Y } _ { t } \| + \| C \nabla \log p _ { T - t } ( Y _ { t } ) - s _ { \theta } ( T - t , \tilde { Y } _ { \lfloor t \rfloor } ) \| . } \end{array}
\{ D _ { F } ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) , D _ { F } ( x _ { 2 } - x _ { 4 } ) , D _ { F } ( x _ { 3 } - x _ { 4 } ) \} _ { \star } , \mathrm { ~ f o r ~ } \theta _ { 0 i } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \lambda } \left( ( 1 - \lambda ) \lambda ^ { - 3 } \frac { \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } } { 1 - y \cdot \eta } e ^ { 2 i \varphi ( t \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } , \frac { y - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } ) } P \left( \frac { y - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } \right) \right) } \\ { = } & { ( - 3 \lambda ^ { - 4 } ( 1 - \lambda ) - \lambda ^ { - 3 } ) \frac { \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } } { 1 - y \cdot \eta } e ^ { 2 i \varphi ( t \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } , \frac { y - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } ) } P \left( \frac { y - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } \right) } \\ & { + ( 1 - \lambda ) \lambda ^ { - 3 } \frac { 1 } { \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } } e ^ { 2 i \varphi ( t \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } , \frac { y - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } ) } P \left( \frac { y - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } \right) } \\ & { + ( 1 - \lambda ) \lambda ^ { - 3 } \frac { \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } } { 1 - y \cdot \eta } e ^ { 2 i \varphi ( t \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } , \frac { y - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } ) } P \left( \frac { y - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } \right) } \\ & { \quad \quad \quad \Big ( \frac { t - x \cdot \eta } { \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } } \partial _ { \rho } \varphi ( \textstyle t \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } , \frac { y - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \nabla _ { y } \varphi ( \textstyle t \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } , \frac { y - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } ) \cdot \frac { - y + \eta } { \lambda ^ { 2 } } \Big ) } \\ & { + ( 1 - \lambda ) \lambda ^ { - 3 } \frac { \sqrt { \lambda ^ { 2 } - | y - ( 1 - \lambda ) \eta | ^ { 2 } } } { 1 - y \cdot \eta } \nabla P \left( \frac { y - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } \right) \cdot ( - \frac { y - \eta } { \lambda ^ { 2 } } ) } \\ { = } & { : A + B + C _ { 1 } + C _ { 2 } + D , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { E } ^ { \left( i \right) } } & { = } & { \left( E _ { x } ^ { \left( i \right) } , E _ { y } ^ { \left( i \right) } , - \left( E _ { x } ^ { \left( i \right) } k _ { x } ^ { \left( i \right) } + E _ { y } ^ { \left( i \right) } k _ { y } ^ { \left( i \right) } \right) / k _ { z } ^ { \left( i \right) } \right) } \\ { \mathbf { E } ^ { \left( r \right) } } & { = } & { \left( E _ { x } ^ { \left( r \right) } , E _ { y } ^ { \left( r \right) } , \left( E _ { x } ^ { \left( r \right) } k _ { x } ^ { \left( r \right) } + E _ { y } ^ { \left( r \right) } k _ { y } ^ { \left( r \right) } \right) / k _ { z } ^ { \left( r \right) } \right) } \\ { \mathbf { E } ^ { \left( t \right) } } & { = } & { \left( E _ { x } ^ { \left( t \right) } , E _ { y } ^ { \left( t \right) } , \left( E _ { x } ^ { \left( t \right) } k _ { x } ^ { \left( t \right) } + E _ { y } ^ { \left( t \right) } k _ { y } ^ { \left( t \right) } \right) / k _ { z } ^ { \left( t \right) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega _ { i j } } & { { } = \frac { 2 } { N - m _ { i } } , \qquad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i , j \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ s ~ a ~ m ~ e ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \\ { \omega _ { i j } } & { { } = \frac { ( N - 1 ) ( 2 N - m _ { i } - m _ { j } ) } { N ( N - m _ { i } ) ( N - m _ { j } ) } , \qquad } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array}
\epsilon ^ { ( k ) } = \operatorname* { m a x } _ { i \in [ n ] } | \alpha _ { i } ^ { [ k ] } ( t ) - \alpha _ { i } ^ { [ k - 1 ] } ( t ) | + \operatorname* { m a x } _ { i \in [ n - 1 ] } | \beta _ { i } ^ { [ k ] } ( t ) - \beta _ { i } ^ { [ k - 1 ] } ( t ) | + \operatorname* { m a x } _ { j \in [ p ] } | \gamma _ { j } ^ { [ k ] } - \gamma _ { j } ^ { [ k - 1 ] } | \le 1 0 ^ { - 3 } ,