harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\eta = \eta _ { g } + \eta _ { q } = { \frac { T ^ { 3 } } { \alpha _ { s } ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 0 . 1 1 } { \ln ( 0 . 1 7 / \alpha _ { s } ) } } + { \frac { 0 . 3 7 } { \ln ( 0 . 1 4 / \alpha _ { s } ) } } \right] .
C ( u ) = B _ { 1 } \textrm { d i a g } \left( \frac { 1 } { | B _ { 1 l } ^ { T } | _ { \beta } } I _ { 2 } \right) B _ { 1 } ^ { T } + B _ { 2 } \textrm { d i a g } \left( \frac { 1 } { | B _ { 2 l } ^ { T } | _ { \beta } } I _ { 2 } \right) B _ { 2 } ^ { T } + \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 \lambda _ { 3 } K ^ { * } K
\mathrm { ~ \bf ~ L ~ } _ { o p } = \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) [ \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } \times ( - i \hbar \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } } ) ] \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } )
- 4 \pi l _ { B } ( n _ { b } + n _ { \mathrm { H } } ^ { b } ) \mathrm { e } ^ { - \psi } + 4 \pi l _ { B } n _ { b } \mathrm { e } ^ { \psi } = 8 \pi l _ { B } \sqrt { n _ { b } ( n _ { b } + n _ { \mathrm { H } } ^ { b } ) } \sinh { \psi } = \kappa ^ { 2 } \sinh { \psi }
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { k = 0 } ^ { n } \Theta _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } \right| \lesssim } & { \tau ^ { 2 } \left| \delta _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } \right| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \left( \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 1 } } \left( t _ { k } \right) - \widehat { \xi } _ { l _ { 1 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 2 } } \left( t _ { k } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 3 } } \left( t _ { k } \right) \right| \right. } \\ & { + \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 1 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 2 } } \left( t _ { k } \right) - \widehat { \xi } _ { l _ { 2 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 3 } } \left( t _ { k } \right) \right| } \\ & { \left. + \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 1 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 2 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 3 } } \left( t _ { k } \right) - \widehat { \xi } _ { l _ { 3 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \right) } \\ & { + \tau ^ { 2 } \left| \delta _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 1 } } \left( t _ { n } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 2 } } \left( t _ { n } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 3 } } \left( t _ { n } \right) \right| . } \end{array}
\hat { \lambda } ^ { u } = \left( \begin{array} { c c c } { { h _ { 1 1 } ^ { u } \hat { \epsilon } ^ { 4 } } } & { { h _ { 1 2 } ^ { u } \hat { \epsilon } ^ { 4 } } } & { { h _ { 1 3 } ^ { u } \hat { \epsilon } ^ { 4 } } } \\ { { h _ { 2 1 } ^ { u } \hat { \epsilon } ^ { 4 } } } & { { h _ { 2 2 } ^ { u } \hat { \epsilon } ^ { 2 } } } & { { h _ { 2 3 } ^ { u } \hat { \epsilon } ^ { 2 } } } \\ { { h _ { 3 1 } ^ { u } \hat { \epsilon } ^ { 4 } } } & { { h _ { 3 2 } ^ { u } \hat { \epsilon } ^ { 2 } } } & { { h _ { 3 3 } ^ { u } } } \end{array} \right) , \; \; \; \hat { \lambda } ^ { d } = \left( \begin{array} { c c c } { { h _ { 1 1 } ^ { d } \hat { \epsilon } ^ { 6 } } } & { { h _ { 1 2 } ^ { d } \hat { \epsilon } ^ { 6 } } } & { { h _ { 1 3 } ^ { d } \hat { \epsilon } ^ { 6 } } } \\ { { h _ { 2 1 } ^ { d } \hat { \epsilon } ^ { 6 } } } & { { h _ { 2 2 } ^ { d } \hat { \epsilon } ^ { 4 } } } & { { h _ { 2 3 } ^ { d } \hat { \epsilon } ^ { 4 } } } \\ { { h _ { 3 1 } ^ { d } \hat { \epsilon } ^ { 6 } } } & { { h _ { 3 2 } ^ { d } \hat { \epsilon } ^ { 4 } } } & { { h _ { 3 3 } ^ { d } \hat { \epsilon } ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\left[ \begin{array} { c c c } { { \boldsymbol { \Pi } ( \kappa _ { - 1 } , \omega _ { - 1 } ) } } & { { \boldsymbol { \Gamma } ( \kappa , \omega ) } } & { \mathbf { 0 } } \\ { { \boldsymbol { \Gamma } ( \kappa _ { - 1 } , \omega _ { - 1 } ) } } & { { \boldsymbol { \Pi } ( \kappa , \omega ) } } & { { \boldsymbol { \Gamma } ( \kappa _ { + 1 } , \omega _ { + 1 } ) } } \\ { \mathbf { 0 } } & { { \boldsymbol { \Gamma } ( k , \omega ) } } & { { \boldsymbol { \Pi } ( \kappa _ { + 1 } , \omega _ { + 1 } ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } { { \mathbf { \hat { V } } _ { - 1 } } } \\ { { \mathbf { \hat { V } } _ { 0 } } } \\ { { \mathbf { \hat { V } } _ { + 1 } } } \end{array} \right] = \mathbf { 0 } ,
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ C ~ C ~ } = \frac { \langle \left( \tau ^ { \mathrm { ~ R ~ V ~ M ~ } } - \langle \tau ^ { \mathrm { ~ R ~ V ~ M ~ } } \rangle \right) \left( \tau ^ { \mathrm { ~ F ~ D ~ N ~ S ~ } } - \langle \tau ^ { \mathrm { ~ F ~ D ~ N ~ S ~ } } \rangle \right) \rangle } { \sqrt { \langle \left( \tau ^ { \mathrm { ~ R ~ V ~ M ~ } } - \langle \tau ^ { \mathrm { ~ R ~ V ~ M ~ } } \rangle \right) ^ { 2 } \rangle } \sqrt { \langle \left( \tau ^ { \mathrm { ~ F ~ D ~ N ~ S ~ } } - \langle \tau ^ { \mathrm { ~ F ~ D ~ N ~ S ~ } } \rangle \right) ^ { 2 } \rangle } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { f } ( r , t ) - \sigma _ { \theta \theta } ^ { \Delta T } ( r , t ^ { \prime } ) - \sigma _ { n } ( r ) } & { = \int _ { \Sigma } \left[ H _ { n n } \left( r , r ^ { \prime } \right) u _ { n } ( r ^ { \prime } , t ) + H _ { n s } ( r , r ^ { \prime } ) u _ { s } \left( r ^ { \prime } , t \right) \right] \mathrm { d } r ^ { \prime } } \\ { 0 } & { = \int _ { \Sigma } \left[ H _ { s n } \left( r , r ^ { \prime } \right) u _ { n } ( r ^ { \prime } , t ) + H _ { s s } ( r , r ^ { \prime } ) u _ { s } \left( r ^ { \prime } , t \right) \right] \mathrm { d } r ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { i } ^ { ( 0 ) } } & { = 1 , } \\ { H _ { i \alpha } ^ { ( 1 ) } } & { = c _ { i \alpha } , } \\ { H _ { i \alpha \beta } ^ { ( 2 ) } } & { = c _ { i \alpha } c _ { i \beta } - \delta _ { \alpha \beta } , } \\ { H _ { i \alpha \beta \gamma } ^ { ( 3 ) } } & { = c _ { i \alpha } c _ { i \beta } c _ { i \gamma } - [ c _ { i \alpha } \delta _ { \beta \gamma } ] _ { \mathrm { c y c } } , } \\ { H _ { i \alpha \beta \gamma \delta } ^ { ( 4 ) } } & { = c _ { i \alpha } c _ { i \beta } c _ { i \gamma } c _ { i \delta } - [ c _ { i \alpha } c _ { i \beta } \delta _ { \gamma \delta } ] _ { \mathrm { c y c } } + [ \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { \gamma \delta } ] _ { \mathrm { c y c } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu \mathbin { \lrcorner } \mathrm { d } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } = - \mathfrak { e } _ { n } \mathbin { \lrcorner } \mathrm { d } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } } & { = - \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { 1 \leqslant \ell _ { 1 } < \ldots < \ell _ { k - 1 } < n } \partial _ { x _ { j } } u _ { \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } \ldots \ell _ { k - 1 } n } ( \cdot , 0 ) \, \mathrm { d } x _ { j } \wedge \mathrm { d } x _ { \ell _ { 1 } } \wedge \ldots \wedge \mathrm { d } x _ { \ell _ { k - 1 } } } \\ & { \quad - \sum _ { 1 \leqslant \ell _ { 1 } < \ldots < \ell _ { k - 1 } < \ell _ { k } < n } \partial _ { x _ { n } } u _ { \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } \ldots \ell _ { k } } ( \cdot , 0 ) \, \mathrm { d } x _ { \ell _ { 1 } } \wedge \ldots \wedge \mathrm { d } x _ { \ell _ { k } } } \\ & { = 0 \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { z \left( z ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } \left( q \right) \right) + Q _ { 2 } \left( q , z \right) \left( z ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } \left( q \right) \right) = 0 \ , } \end{array}
J _ { \Phi } \colon ( L \times _ { M } H / U , \int _ { L } \delta _ { L } \otimes \lambda _ { H / U } \, \mathrm { d } \mu _ { L } ; T _ { \varphi _ { c } } ) \rightarrow ( L _ { \mathrm { s t } } \times _ { M _ { \mathrm { s t } } } H _ { \mathrm { s t } } / U _ { \mathrm { s t } } , \int _ { L _ { \mathrm { s t } } } \delta _ { L _ { \mathrm { s t } } } \otimes \lambda _ { H _ { \mathrm { s t } } / U _ { \mathrm { s t } } } \, \mathrm { d } \mu _ { L _ { \mathrm { s t } } } ; T _ { \varphi _ { c _ { \mathrm { s t } } } } )
\begin{array} { r } { \mathcal { A } \= X _ { \alpha } ( \psi ) \; e ^ { \alpha } \qquad \implies \qquad \mathcal { F } \= X _ { \alpha } ^ { ' } \; e ^ { \psi } \wedge e ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \bigl ( - 2 f _ { \ \beta \gamma } ^ { \alpha } X _ { \alpha } + [ X _ { \beta } , X _ { \gamma } ] \bigr ) \; e ^ { \beta } \wedge e ^ { \gamma } } \end{array}
S O ( 1 2 ) / \mathrm { d i a g } ( + \sigma ^ { 2 } , + \sigma ^ { 2 } , + \sigma ^ { 2 } , + \sigma ^ { 2 } , + \sigma ^ { 2 } , - \sigma ^ { 2 } ) \approx S U ( 6 ) ^ { \prime } \times U ( 1 ) ^ { \prime } ~ , ~ \,
\begin{array} { r l } { \mathrm { I m } [ \rho ( k , t ) ] } & { = - \frac { j _ { \parallel } ( k , 0 ) } { s _ { \mathrm { T } } } e ^ { - \frac { t } { \tau _ { \parallel } } } \sin ( s _ { \mathrm { T } } k t ) , } \\ { \mathrm { I m } [ j _ { \parallel } ( k , t ) ] } & { = - \rho ( k , 0 ) e ^ { - \frac { t } { \tau _ { \parallel } } } \left( s _ { \mathrm { T } } - \frac { 1 } { s _ { \mathrm { T } } \tau _ { \parallel } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \right) \sin ( s _ { \mathrm { T } } k t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ( D I C ) } { d t } } & { { } = - C _ { P } \frac { d P } { d t } - C _ { Z } \frac { d Z } { d t } - \gamma _ { c } C _ { P } U _ { P } \; , } \\ { \frac { d ( T A ) } { d t } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho _ { w } } \frac { d N } { d t } - \frac { 2 \gamma _ { c } C _ { P } U _ { P } } { \rho _ { w } } \, , } \end{array}
\psi ( \underline { { \tilde { x } } } , \tilde { t } , \tilde { M } ) = \psi _ { 0 } ( \underline { { \tilde { x } } } , \tilde { t } , \tau ) + \tilde { M } \psi _ { 1 } ( \underline { { \tilde { x } } } , \tilde { t } , \tau ) + \tilde { M } ^ { 2 } \psi _ { 2 } ( \underline { { \tilde { x } } } , \tilde { t } , \tau ) + \mathcal { O } ( \tilde { M } ^ { 3 } )
\begin{array} { r } { S _ { \lambda } ^ { P l } ( a _ { 1 } \mathsf { 1 } , a _ { 2 } \mathsf { 2 } , , \ldots , a _ { n } \mathsf { n } ) : = \sum _ { \boldsymbol \lambda \in \mathbb { G T } ^ { ( n ) } ( \lambda ) } w ( \boldsymbol \lambda ) \cdot a _ { 1 } ^ { | \lambda ^ { ( 1 ) } | } a _ { 2 } ^ { | \lambda ^ { ( 2 ) } | - | \lambda ^ { ( 1 ) } | } \cdots a _ { n } ^ { | \lambda ^ { ( n ) } | - | \lambda ^ { ( n - 1 ) } | } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \Psi _ { v } ^ { ( 1 ) } \rangle } & { { } = } & { \sum _ { I \ne v } | \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } \rangle \frac { \langle \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } | H _ { W } | \Psi _ { v } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { v } ( E _ { v } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { G ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { c } } ) \sim \int \mathrm { d } \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { o } } \, \mathcal { P } \left( \frac { \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { c } } } { M _ { \mathrm { d } } } , \frac { \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { o } } } { M _ { \mathrm { u } } } \right) | T ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { o } } ) | . } \end{array}
{ \boldsymbol \theta } _ { k } ^ { ( n + 1 ) } = { \boldsymbol \theta } _ { k } ^ { ( n ) } - \tau \sum _ { k ^ { \prime } } \Re ( S ^ { - 1 } ) _ { k k ^ { \prime } } F _ { k ^ { \prime } } | _ { { \boldsymbol \theta } = { \boldsymbol \theta } ^ { ( n ) } } .
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathbf { T } } } _ { \mathbf { n } } \psi ( \mathbf { r } ) } & { = \psi ( \mathbf { r } + \mathbf { T } _ { \mathbf { n } } ) } \\ & { = \psi ( \mathbf { r } + n _ { 1 } \mathbf { a } _ { 1 } + n _ { 2 } \mathbf { a } _ { 2 } + n _ { 3 } \mathbf { a } _ { 3 } ) } \\ & { = \psi ( \mathbf { r } + \mathbf { A } \mathbf { n } ) } \end{array} }
\begin{array} { r c l } { p ( { \boldsymbol { \mu } } \mid { \boldsymbol { \Sigma } } , \mathbf { X } ) } & { \sim } & { { \mathcal { N } } \left( { \frac { n { \bar { \mathbf { x } } } + m { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } } { n + m } } , { \frac { 1 } { n + m } } { \boldsymbol { \Sigma } } \right) , } \\ { p ( { \boldsymbol { \Sigma } } \mid \mathbf { X } ) } & { \sim } & { { \mathcal { W } } ^ { - 1 } \left( { \boldsymbol { \Psi } } + n \mathbf { S } + { \frac { n m } { n + m } } ( { \bar { \mathbf { x } } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) ( { \bar { \mathbf { x } } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) ^ { \prime } , n + n _ { 0 } \right) , } \end{array}
[ j _ { + } { } ^ { n } , ( j _ { + } { } ^ { m } ) ^ { \dagger } ] = \operatorname * { l i m } _ { s \to 0 \atop r \to 0 } \sum _ { p } \left( \frac { 1 } { \lambda _ { p + m , s } \lambda _ { p + n , r } } - \frac { 1 } { \lambda _ { p , s + r } } \right) a _ { p + m } ^ { \dagger } a _ { p + n } ,
\begin{array} { r l } { 4 \left\| v ( t ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \geq \left\| 2 v ( t ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \left\| B _ { k } ^ { \top } L _ { k } x _ { + } ( t ) - 2 v ( t ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = - x _ { + } ( t ) ^ { \top } L _ { k } B _ { k } B _ { k } ^ { \top } L _ { k } x _ { + } ( t ) + 4 x _ { + } ( t ) ^ { \top } L _ { k } B _ { k } v ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { I } \ddot { \mathbf { x } } _ { I } = - \frac { \mathrm { d } E ( \mathbf { x } ) } { \mathrm { d } \mathbf { x } _ { I } } , \qquad \mathbf { x } = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { x } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { x } _ { N } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S \! D ( p _ { A } , p _ { B } ) } & { : = \mathrm { S D } ( \mathrm { d u r a t i o n ~ o f ~ g a m e ~ t o ~ 1 1 ~ u n d e r ~ s i d e - o u t ~ s c o r i n g } ) , } \\ { S \! D ^ { * } ( p _ { A } , p _ { B } ) } & { : = \mathrm { S D } ( \mathrm { d u r a t i o n ~ o f ~ g a m e ~ t o ~ 2 1 ~ u n d e r ~ m o d i f i e d ~ r a l l y ~ s c o r i n g } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } I ( \theta ) } { \partial \theta ^ { 2 } } = - \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \partial f ( \phi ) } { \partial \phi } \frac { \partial f ( \phi + \theta ) } { \partial \theta } \, d \phi \; . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ M ^ { \mu \nu } , Q _ { \alpha } \right] } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( \sigma ^ { \mu \nu } ) _ { \alpha } ^ { \; \; \beta } Q _ { \beta } } \\ { \left[ Q _ { \alpha } , P ^ { \mu } \right] } & { = 0 } \\ { \{ Q _ { \alpha } , { \bar { Q } } _ { \dot { \beta } } \} } & { = 2 ( \sigma ^ { \mu } ) _ { \alpha { \dot { \beta } } } P _ { \mu } } \end{array} }
V ( r ) = f ( r ) \left[ \frac { l ( l + d - 3 ) } { r ^ { 2 } } + \frac { ( d - 2 ) ( d - 4 ) f ( r ) } { 4 r ^ { 2 } } + \frac { ( d - 2 ) f ^ { \prime } ( r ) } { 2 r } \right] .
\{ a _ { x } = 1 . 4 / ( n _ { \mathrm { b } } ^ { 1 / 3 } - 1 ) , a _ { y } = 1 . 6 / ( n _ { \mathrm { b } } ^ { 1 / 3 } - 1 ) , a _ { t } = 1 / ( n _ { \mathrm { b } } ^ { 1 / 3 } - 1 ) \}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \bf r } \times ( \hat { \bf E } \times ( \nabla \times \hat { \bf A } ) ) = \hat { \bf E } ( { \bf r } \cdot ( \nabla \times \hat { \bf A } ) ) - ( { \bf r } \cdot \hat { \bf E } ) ( \nabla \times \hat { \bf A } ) } \\ & { } & { { \bf r } \cdot ( \nabla \times \hat { \bf A } ) = r _ { i } \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } \hat { A } _ { k } = \epsilon _ { i j k } r _ { i } \partial _ { j } \hat { A } _ { k } = ( { \bf r } \times \nabla ) \cdot \hat { \bf A } , } \end{array}
f ^ { ( 3 ) } = ( N _ { 0 } , N _ { 1 } ^ { \mathrm { S L } } , N _ { 1 } ^ { \mathrm { T L } } , N _ { 2 } ^ { \mathrm { S L } } , N _ { 2 } ^ { \mathrm { T L } } , N _ { 3 } ^ { ( 3 , 1 ) } , N _ { 3 } ^ { ( 2 , 2 ) } ) .
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { n o n - a d d } } ^ { \mathrm { c l a s s } } ( T ) } & { { } = - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } \int d r _ { 1 2 } \, d r _ { 2 3 } \, d \cos { \theta _ { 2 } } \, r _ { 1 2 } ^ { 2 } \, r _ { 2 3 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal M } = } & { } & { i g _ { Z } ^ { 2 } ( 4 E _ { 1 } E _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( l _ { i } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \delta _ { \sigma _ { 1 } , - \sigma _ { 2 } } ( g _ { \sigma _ { 2 } } ^ { e } ) ^ { 2 } \chi _ { - \sigma _ { 2 } } ( p _ { 2 } ) } \\ & { } & { \times [ \epsilon _ { j } l _ { i } \epsilon _ { i } ] _ { \sigma _ { 1 } } \chi _ { \sigma _ { 1 } } ( p _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { T _ { a b c } } } & { { = } } & { { T _ { a b { \dot { 5 } } } = T _ { a { \dot { 5 } } b } = 0 } } \\ { { T r ( T _ { { \dot { 5 } } A B } ) } } & { { = } } & { { 0 , } } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { y _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } } \\ { y _ { 3 } } \\ { y _ { 4 } } \\ { y _ { 5 } } \\ { y _ { 6 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { - \psi _ { C } / g _ { C } } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { g _ { C } / \rho _ { C } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \psi _ { C } } & { 0 } & { 0 } \\ { q _ { C } } & { 0 } & { 4 \pi G \rho _ { C } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { C _ { 1 } } \\ { C _ { 2 } } \\ { C _ { 3 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \Delta _ { D } } & { = ( \mathbf { u } , \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } ) _ { \omega } - ( \bar { \mathbf { u } } , \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \bar { \mathbf { u } } ) _ { \Omega } } \\ & { = \mathbf { u } ^ { T } \boldsymbol { \omega } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } - ( \mathbf { W } \mathbf { u } ) ^ { T } \boldsymbol { \Omega } \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \mathbf { W } \mathbf { u } \xrightarrow { \mathrm { u n i f o r m ~ g r i d } } } \\ & { = \mathbf { u } ^ { T } \frac { H } { J } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } - \mathbf { u } ^ { T } H \mathbf { W } ^ { T } \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \mathbf { W } \mathbf { u } } \\ & { = \frac { J } { H } \mathbf { u } ^ { T } ( \frac { H ^ { 2 } } { J ^ { 2 } } \mathbf { D } _ { 2 } - \frac { H ^ { 2 } } { J } \mathbf { W } ^ { T } \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \mathbf { W } ) \mathbf { u } } \\ & { = \frac { J } { H } \mathbf { u } ^ { T } \underbrace { ( h ^ { 2 } \mathbf { D } _ { 2 } - \frac { 1 } { J } \mathbf { W } ^ { T } ( H ^ { 2 } \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } ) \mathbf { W } ) } _ { = : \mathbf { D } _ { 2 } ^ { \Delta } } \mathbf { u } , } \end{array}
- T ^ { 0 \beta } = \varepsilon \frac { \varrho c } { p } \, U ^ { \beta } - \frac { c \epsilon _ { o } \mathbb { A } ^ { 0 } } { \gamma } \mathbb { F } ^ { 0 \mu } \partial _ { \mu } U ^ { \beta } + \Upsilon ^ { 0 \beta }
\Delta I / I _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } = \left( I _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } ( t ) - I _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } ( t < 0 ) \right) / I _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( t < 0 )
H _ { \mathrm { ~ e ~ - ~ p ~ h ~ } } = \sum _ { \boldsymbol { R } \kappa } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } \cdot \nabla V ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } _ { \kappa } ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \kappa } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } \cdot \nabla \nabla V ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } _ { \kappa } ) \cdot \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } ,
\begin{array} { r } { \Delta M _ { i , j + 1 / 2 , k } ^ { n } = \Delta x \Delta z \Delta t _ { n } \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { i , j , k } ^ { n } v _ { i , j + 1 / 2 , k } ^ { n } , v _ { i , j + 1 / 2 , k } ^ { n } > 0 } \\ { D _ { i , j + 1 , k } ^ { n } v _ { i , j + 1 / 2 , k } ^ { n } , v _ { i , j + 1 / 2 , k } ^ { n } < 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { T } ^ { ( 1 , 0 ) } } & { = \sum _ { i a } t _ { i } ^ { a } \, \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } } \\ { \hat { T } ^ { ( 0 , 1 ) } } & { = \sum _ { I A } t _ { I } ^ { A } \, \hat { a } _ { A } ^ { \dagger } \hat { a } _ { I } } \\ { \hat { T } ^ { ( 2 , 0 ) } } & { = \sum _ { i j a b } t _ { i j } ^ { a b } \, \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } } \\ { \hat { T } ^ { ( 0 , 2 ) } } & { = \sum _ { I J A B } t _ { I J } ^ { A B } \, \hat { a } _ { A } ^ { \dagger } \hat { a } _ { I } \hat { a } _ { B } ^ { \dagger } \hat { a } _ { J } } \\ { \hat { T } ^ { ( 1 , 1 ) } } & { = \sum _ { i J a B } t _ { i J } ^ { a B } \, \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { B } ^ { \dagger } \hat { a } _ { J } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x _ { n } ) } & { = f ( x _ { 0 } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \prod _ { j = 0 } ^ { i - 1 } ( x _ { n } - x _ { j } ) \right) f _ { x } [ 0 , 1 , \dots , i ] } \\ & { = f ( x _ { 0 } ) + ( x _ { n } - x _ { 0 } ) f _ { x } [ 0 , 1 ] + \cdots + ( x _ { n } - x _ { 0 } ) ( x _ { n } - x _ { 1 } ) \cdots ( x _ { n } - x _ { n - 1 } ) f _ { x } [ 0 , 1 , \dots , n ] } \end{array}
| \langle f \vert \mathcal { H } _ { x R } \vert 0 \rangle | ^ { 2 } = \left( \frac { e | \vec { E } | } { 2 m _ { e } \omega } \right) ^ { 2 } \frac { \kappa \pi e ^ { \pi \kappa } } { N V \textrm { s i n h } ( \pi \alpha ) } | P _ { c v } | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \sqrt { \widetilde { \mathrm { c a p } } _ { s } ( \Sigma ; B _ { R } ) } } & { \le C _ { N } \, \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 2 \, N } \, [ u ] _ { W ^ { s , 2 } ( Q _ { r } ) } + \frac { 2 } { ( R - \sqrt { N } \, r ) ^ { s } } \, \sqrt { \frac { 2 \, C } { s \, ( 1 - s ) } } \, \Big ( \mathcal { I } _ { 1 } + \mathcal { I } _ { 2 } \Big ) } \\ & { + \sqrt { \frac { N \, \omega _ { N } } { s } } \, \left( \frac { 2 \, R } { R - \sqrt { N } \, r } \right) ^ { \frac { N } { 2 } + s } \, \frac { 1 } { R ^ { s } } \, \Big ( \mathcal { I } _ { 1 } + \mathcal { I } _ { 2 } \Big ) . } \end{array}
t h e e n d p o i n t o f t h e m o v e m e n t h a s z e r o s t e e p n e s s , s o t h e l a s t p a r t o f t h e d e s c e n t w i l l o c c u r w i t h a d e c r e a s i n g v e l o c i t y . T h e l i m i t i n g v a l u e o f t h e f r i c t i o n c o e f f i c i e n t i n t h i s c a s e i s d e t e r m i n e d b y t h e f a c t t h a t t h e m o d u l u s o f t h e v e l o c i t y v e c t o r a t a n y p o i n t o f t h e t r a j e c t o r y , e x c e p t f o r t h e i n i t i a l o n e , s h o u l d n o t b e e q u a l t o z e r o . C a l c u l a t i o n s s h o w t h a t t h i s i s p o s s i b l e f o r
\vert S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x , z ) \vert ^ { 2 } \le \vert S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ) , z ) \vert ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { g ^ { t } = } & { { } \frac { I } { \Omega S } \left[ G ( \psi _ { f } , w _ { f } , \mu ) - w \right] \mathcal { D } f _ { M } ( v _ { \parallel } = - u ) + \textit { O } ( \epsilon f _ { M } ) , } \end{array}
[ F _ { 1 } ^ { + } ( z , \tau ) , F _ { 2 } ^ { + } ( z , \tau ) , \ldots , F _ { p - 2 } ^ { + } ( z , \tau ) , F _ { p - 1 } ^ { - } ( z , \tau ) , F _ { p - 2 } ^ { - } ( z , \tau ) , \ldots F _ { 2 } ^ { - } ( z , \tau ) ]
{ \cal J } _ { 4 } ^ { V _ { l } V _ { q } } \equiv { \frac { 1 } { 4 n _ { c } ^ { 2 } } } \sum _ { \mathrm { c o l o r s } } \sum _ { \mathrm { h e l i c i t i e s } } \mathrm { R e } \left[ E ^ { V _ { l } V _ { q } } \left( G ^ { V _ { l } V _ { q } } \right) ^ { + } + \left( E ^ { V _ { l } V _ { q } } \right) ^ { + } G ^ { V _ { l } V _ { q } } \right] \; .