harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { f _ { 0 } = \frac { \lambda _ { \mathrm { t } } f _ { \mathrm { t } } + \lambda _ { \mathrm { c } } f _ { \mathrm { c } } } { \varepsilon _ { \mathrm { t c } } + \lambda _ { \mathrm { t } } } , \ \varepsilon = \frac { \lambda _ { \mathrm { t } } \varepsilon _ { \mathrm { t } } + \lambda _ { \mathrm { c } } \varepsilon _ { \mathrm { c } } } { \lambda _ { \mathrm { c } } + \lambda _ { \mathrm { t } } } , \ \zeta _ { 0 } = \frac { \lambda _ { \mathrm { t } } \zeta _ { \mathrm { t } } + \lambda _ { \mathrm { c } } \zeta _ { \mathrm { c } } } { \lambda _ { \mathrm { c } } + \lambda _ { \mathrm { t } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ t ] r _ { \mathrm { ~ e ~ k ~ } } } & { { } = 5 . 7 8 7 \times 1 0 ^ { - 7 } } \\ { \delta } & { { } = \frac { H _ { 1 } } { H _ { 2 } } = 0 . 2 5 } \\ { \beta } & { { } = 1 . 5 \times 1 0 ^ { - 1 1 } } \\ { r _ { d } } & { { } = 1 5 \, 0 0 0 } \end{array}
\operatorname* { d e t } ( I + A ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { k ! } } \left( - \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j } } \operatorname { t r } \left( A ^ { j } \right) \right) ^ { k } \, ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \Phi _ { \gamma _ { 0 } } \circ \Pi ( \theta ^ { k } \Pi ^ { - 1 } ( x ) ) } & { = S _ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } R ( \tau ^ { k } x ) } \phi ( x ) - \gamma _ { 0 } \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } R ( \tau ^ { k } x ) } \\ & { = S _ { | \mathbf a | } \phi ( x ) - \gamma _ { 0 } | \mathbf a | . } \end{array}
\psi _ { L } ^ { m } \to \frac { 1 } { \sqrt { z } } \exp \left( - \frac { 1 - 2 n e _ { L } / e } { 2 a m _ { F } } z \right) \left( C _ { 1 } \sin ( \omega z ) + C _ { 2 } \cos ( \omega z ) \right) ~ ,
\quad m _ { i } ^ { k } \overline { { a } } _ { x , i } ^ { k } = \big ( f _ { x , i } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ , ~ k ~ } } + f _ { x , i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ , ~ k ~ } } \big ) \mathrm { ~ \ \ \ } \forall \mathrm { ~ \ } i \in \{ 1 , . . . , n _ { g } \} .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \hat { \varrho } ( t ) } { \partial t } = - \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, \frac { C ( t - t ^ { \prime } ) } { 4 } \left\{ \left[ \hat { J } ( t ) , \hat { J } ( t ^ { \prime } ) \hat { \varrho } ( t ) \right] + \mathrm { h . c . } \right\} , } \end{array}
{ \frac { d g _ { i } } { d t } } = { \frac { g _ { i } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left[ b _ { i } ^ { S M } g _ { i } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } b _ { i j } ^ { S M } g _ { i } ^ { 2 } g _ { j } ^ { 2 } - \sum _ { j = U , D , E } a _ { i j } ^ { S M } g _ { i } ^ { 2 } { \bf T r } [ { \bf Y _ { j } ^ { } Y _ { j } ^ { \dagger } } ] \right) \right] \; ,
\begin{array} { r l r l } & { v _ { 1 } ^ { P } = e ^ { - i ( y z + \frac { 4 z ^ { 3 } } { 3 } ) \hat { \sigma } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { v _ { 2 } ^ { P } = e ^ { - i ( y z + \frac { 4 z ^ { 3 } } { 3 } ) \hat { \sigma } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { v _ { 3 } ^ { P } = e ^ { - i ( y z + \frac { 4 z ^ { 3 } } { 3 } ) \hat { \sigma } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { v _ { 4 } ^ { P } = e ^ { - i ( y z + \frac { 4 z ^ { 3 } } { 3 } ) \hat { \sigma } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \mathcal { L } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \partial _ { \mu } \pi ^ { k } \right) \left( \partial ^ { \mu } \pi ^ { k } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \partial _ { \mu } \sigma \right) \left( \partial ^ { \mu } \sigma \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \left( 2 \mu ^ { 2 } \right) \sigma ^ { 2 } - { \sqrt { \lambda } } \mu \sigma ^ { 3 } - { \sqrt { \lambda } } \mu \pi ^ { k } \pi ^ { k } \sigma - { \frac { \lambda } { 2 } } \pi ^ { k } \pi ^ { k } \sigma ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 } } \left( \pi ^ { k } \pi ^ { k } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { C _ { x x } ( t ) = } & { \frac { { \cal F } ^ { 2 } \! q ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } + \left( \frac { k _ { B } \, T } { k } + \frac { { \cal F } ^ { 2 } \, \mu \, q ( 1 - q ) } { k ( w + w _ { r } ) } \right) \mathrm { e } ^ { - w _ { r } \, t } + \frac { { \cal F } ^ { 2 } \, \mu ^ { 2 } \, q ( 1 - q ) } { w ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } \, k ^ { 2 } } \left( \mathrm { e } ^ { - w _ { r } \, t } - \mathrm { e } ^ { - w _ { - } \, t } \right) } \\ { C _ { \theta x } ( t ) = } & { \frac { { \cal F } ^ { 2 } \! q ^ { 2 } } { k } + \frac { { \cal F } \, \mu \, q ( 1 - q ) } { w + w _ { r } } \mathrm { e } ^ { - w _ { r } \, t } } \\ { C _ { x \theta } ( t ) = } & { \frac { { \cal F } ^ { 2 } \! q ^ { 2 } } { k } + \frac { { \cal F } \, \mu \, q ( 1 - q ) } { w + w _ { r } } \mathrm { e } ^ { - w _ { r } \, t } + \frac { { \cal F } \, \mu \, q ( 1 - q ) } { w - w _ { r } } \left( \mathrm { e } ^ { - w _ { r } \, t } - \mathrm { e } ^ { - w _ { - } \, t } \right) } \\ { C _ { \theta \theta } ( t ) = } & { q ^ { 2 } + q ( 1 - q ) \mathrm { e } ^ { - w \, t } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega } & { { } = } & { \left[ \sqrt { \left( g k + \frac { \sigma k ^ { 3 } } { \rho } \right) \operatorname { t a n h } ( k h ) } - \frac { \sqrt { 2 \nu k ^ { 2 } \sqrt { \left( g k + \frac { \sigma k ^ { 3 } } { \rho } \right) \operatorname { t a n h } ( k h ) } } } { 2 \sinh ( 2 k h ) } \right] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d } { d t } n _ { t } ^ { C } ( X ) = - \mathbb { E } \left[ W _ { s o c } \right] \cdot n _ { t } ^ { C } ( X ) \cdot n _ { t } ^ { G } ( X ) } \\ { \frac { d } { d t } n _ { t } ^ { I } = \mathbb { E } \left[ W _ { s o c } \right] \cdot n _ { t } ^ { C } ( X ) \cdot n _ { t } ^ { G } ( X ) - \mathbb { E } \left[ W _ { e c } \right] \cdot \mathbb { E } \left[ U ( W _ { i r r } , n ^ { G } ) \right] \cdot n _ { t } ^ { I } ( X ) } \\ { \frac { d } { d t } n _ { t } ^ { G } = \mathbb { E } \left[ W _ { e c } \right] \cdot \mathbb { E } \left[ U ( W _ { i r r } , n ^ { G } ) \right] \cdot n _ { t } ^ { I } ( X ) } \end{array} \right.
\left\langle { ( r - r _ { 0 } ) ^ { 2 } } \right\rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 1 } { 3 } C _ { 2 } ( \epsilon r _ { 0 } ) ^ { 2 / 3 } \tau ^ { 2 } \quad \quad } & { \mathrm { f o r } \, \, \, \, \tau \ll \tau _ { b } } \\ { g \epsilon \tau ^ { 3 } } & { \mathrm { f o r } \, \, \, \, \tau _ { b } \ll \tau \ll T _ { L } } \\ { 2 \tilde { u } T _ { L } \tau } & { \mathrm { f o r } \, \, \, \, T _ { L } \ll \tau } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \gamma ( t ) } & { = \gamma ( 0 ) + \sum _ { l = 1 } ^ { d } \frac { a _ { l } ( 0 ) } { 2 } \left[ \sin ( 2 \theta _ { l } ( t ) ) - \sin ( 2 \theta _ { l } ( 0 ) ) \right] } \\ { s ( t ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \left( 2 h ( 0 ) + \sqrt { 4 h ( 0 ) ^ { 2 } - 1 } \right) \tan \left( \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } - 2 t \right) \right) } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \left( 2 h ( 0 ) + \sqrt { 4 h ( 0 ) ^ { 2 } - 1 } \right) \tan \left( \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } \right) \right) - m _ { t } \frac { \pi } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { K ( t , f , \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { J } } ) ) \leqslant \lVert a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + t \lVert { \Delta } _ { \mathcal { J } } b \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
+ \, \, \mathrm { e } ^ { \phi } \, { \widetilde { F } } _ { ( 3 ) } \wedge { } ^ { * } { \widetilde { F } } _ { ( 3 ) } \, + \, \frac { 1 } { 2 } \, { \widetilde { F } } _ { ( 5 ) } \wedge { } ^ { * } { \widetilde { F } } _ { ( 5 ) } \, + \, C _ { ( 4 ) } \wedge H _ { ( 3 ) } \wedge F _ { ( 3 ) } \Big ] \Bigg \}
\begin{array} { r l r } { D _ { j } \partial _ { x } \widetilde { p } _ { j } ( a _ { j - 1 } , s | a _ { j - 1 } ) } & { = } & { 2 \kappa _ { j - 1 } \widetilde { p } ( a _ { j - 1 } , s | a _ { j - 1 } ) - 1 , } \\ { D _ { j } \partial _ { x } \widetilde { p } _ { j } ( a _ { j } , s | a _ { j } ) } & { = } & { - 2 \kappa _ { j } \widetilde { p } _ { j } ( a _ { j } , s | a _ { j } ) + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { i , k + 1 } = } & { \mathbf { x } _ { i , k } - \Big ( 2 c d _ { i } \mathbf { I } + \nabla ^ { 2 } f _ { i } ( \mathbf { y } _ { i , k } ) \Big ) ^ { - 1 } \bigg ( \nabla f _ { i } ( \mathbf { x } _ { i , k } ) } \\ & { + c \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } ( \mathbf { y } _ { i , k } - \mathbf { y } _ { j , k } ) + \boldsymbol { \phi } _ { i , k } \bigg ) } \\ { \boldsymbol { \phi } _ { i , k + 1 } = } & { \boldsymbol { \phi } _ { i , k } + c \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } ( \mathbf { y } _ { i , k + 1 } - \mathbf { y } _ { j , k + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mu } } & { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } + \frac { \hat { \rho } } { n ( 1 - \hat { \rho } ) } ( x _ { n } - x _ { 0 } ) \approx \frac { 1 } { n + 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { n } x _ { i } \equiv \bar { x } , } \\ { \hat { \rho } } & { = } & { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \hat { \mu } ) ( x _ { i - 1 } - \hat { \mu } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i - 1 } - \hat { \mu } ) ^ { 2 } } , } \\ { \hat { \gamma } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } - x _ { i - 1 } \hat { \rho } - \hat { \mu } ( 1 - \hat { \rho } ) \right) ^ { 2 } } } { { n \left( 1 - \hat { \rho } ^ { 2 } \right) } } , } \end{array}
I _ { S t } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { m n [ A ] } F _ { [ A ] } ^ { m n } - \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } [ A _ { m } + \frac { 1 } { \mu } \partial _ { m } \phi ] [ A ^ { m } + \frac { 1 } { \mu } \partial ^ { m } \phi ] .
\langle \Delta \theta _ { 1 } ^ { 2 } \rangle = { \frac { \Gamma ^ { 2 } ( N - 1 ) } { 4 } } \int _ { t } ^ { t + \tau } d \tilde { t } \int _ { t } ^ { t + \tau } d t ^ { \prime } g ( \tilde { t } - t ^ { \prime } ) \Big [ \langle \tilde { z } _ { 2 } z _ { 2 } ^ { * } \rangle \langle \tilde { z } _ { 1 } ^ { * } z _ { 1 } \rangle + \langle \tilde { z } _ { 2 } ^ { * } z _ { 2 } \rangle \langle \tilde { z } _ { 1 } z _ { 1 } ^ { * } \rangle \Big ]
\begin{array} { r l r } { \langle v _ { \mathcal { O } } , \widehat { \chi } ( z ) v _ { \mathcal { P } } \rangle } & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { a = 1 } ^ { \infty } \Big ( \frac { 1 } { \epsilon _ { k } - \epsilon _ { a } - z } + \frac { 1 } { \epsilon _ { k } - \epsilon _ { a } + z } \Big ) \langle \psi _ { k } v _ { \mathcal { O } } , \psi _ { a } \rangle \langle \psi _ { a } , v _ { \mathcal { P } } \psi _ { k } \rangle } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { a = N + 1 } ^ { \infty } \Big ( \frac { 1 } { \epsilon _ { k } - \epsilon _ { a } - z } + \frac { 1 } { \epsilon _ { k } - \epsilon _ { a } + z } \Big ) \langle \psi _ { k } v _ { \mathcal { O } } , \psi _ { a } \rangle \langle \psi _ { a } , v _ { \mathcal { P } } \psi _ { k } \rangle . } \end{array}
\frac { \partial \widetilde { \textbf { f } } _ { 1 } ^ { e q } } { \partial \textbf { U } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] + \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \widetilde { \lambda } _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \widetilde { \lambda } _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \widetilde { \lambda } _ { 3 } } } \end{array} \right] \frac { \partial \textbf { G } } { \partial \textbf { U } }
e ^ { - \displaystyle 2 J \sqrt { \gamma } \Phi } = \beta ^ { 2 J } \sum _ { M = - J } ^ { J } ( - 1 ) ^ { J - M } f _ { M } ^ { ( J ) } ( x _ { + } ) \overline { { f } } _ { - M } ^ { ( J ) } ( x _ { - } ) .
\bar { \hat { v } } = ( 2 p - 1 ) \{ \frac { 2 \cdot ( 2 n + 1 ) ! } { ( n ! ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { \bar { \hat { v } } } { 2 } } x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } d x - 1 \} .
\begin{array} { r } { \mathbf { C } = \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { \mathbf { C } } _ { 1 1 } } & { \tilde { \mathbf { C } } _ { 1 2 } } \\ { \tilde { \mathbf { C } } _ { 2 1 } } & { \tilde { \mathbf { C } } _ { 2 2 } } \end{array} \right] , \quad \mathbf { N } = \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { \mathbf { N } } _ { 1 1 } } & { \tilde { \mathbf { N } } _ { 1 2 } } \\ { \tilde { \mathbf { N } } _ { 2 1 } } & { \tilde { \mathbf { N } } _ { 2 2 } , } \end{array} \right] , \quad S = \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { S } _ { 1 1 } } & { \tilde { S } _ { 1 2 } } \\ { \tilde { S } _ { 2 1 } } & { \tilde { S } _ { 2 2 } } \end{array} \right] } \end{array}
\left( - { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } r { \frac { \partial } { \partial r } } + { \frac { \left( m - \delta { \frac { r ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } - { \frac { g } { 2 } } \delta { \frac { 2 } { R ^ { 2 } } } \right) \psi _ { m } ( r ) = \epsilon \psi _ { m } ( r ) \, .
\begin{array} { r l r } { \vec { x } ^ { \prime } } & { { } = } & { D \vec { x } } \\ { D } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c c } { \cos \theta } & { \sin \theta } & { 0 } \\ { - \sin \theta } & { \cos \theta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \left( e ^ { - T } + e ^ { ( T - L ) } \right) \left( \frac { e ^ { L } } { e ^ { L } - 1 } \right) } & { = \frac { e ^ { \left( - T + \frac { L } { 2 } \right) } + e ^ { \left( T - \frac { L } { 2 } \right) } } { e ^ { \frac { L } { 2 } } - e ^ { - \frac { L } { 2 } } } } \\ & { = \frac { \cosh { \left( T - \frac { L } { 2 } \right) } } { \sinh { \left( \frac { L } { 2 } \right) } } . } \end{array}
\rho _ { 0 } ( T | \widehat { L } _ { 0 } ) = \frac { 2 ^ { - \frac { \gamma } { D } - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { \widehat { L } _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 D T } } \left( \frac { \widehat { L } _ { 0 } ^ { 2 } } { D T } \right) ^ { \frac { \gamma } { D } + \frac { 1 } { 2 } } } { T \ \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 1 } { 2 } \right) }
( 1 + \kappa \nu ) ( 2 \kappa ) ^ { \nu } { \frac { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } } { \frac { \alpha \beta ^ { \nu } } { \Gamma { \big ( } \nu { \big ) } } } x ^ { \alpha \nu - 1 } \exp _ { \kappa } ( - \beta x ^ { \alpha } )
\cot { \frac { 1 3 \pi } { 6 0 } } = \cot 3 9 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 4 } } \left[ \left( 2 + { \sqrt { 3 } } \right) \left( 3 - { \sqrt { 5 } } \right) - 2 \right] \left[ 2 + { \sqrt { 2 \left( 5 + { \sqrt { 5 } } \right) } } \, \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { \mu { \boldsymbol { W } } - \nabla \times { \boldsymbol { E } } = 0 , \ \ \nabla \times { \boldsymbol { W } } - k ^ { 2 } \varepsilon { \boldsymbol { E } } - \varepsilon \nabla \varphi = { \boldsymbol { J } } , \ \ \mathrm { d i v } \, ( \varepsilon { \boldsymbol { E } } ) = 0 \ \ \ \ \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ & { } & { { \boldsymbol { E } } \times \boldsymbol { n } = \boldsymbol { g } \times \boldsymbol { n } , \ \ \varphi = 0 \ \ \ \ \mathrm { o n ~ } \Sigma . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 } { n } \sum _ { v \in \mathcal { C } _ { 1 } } 1 ( R _ { v } < x _ { 0 } ) + \frac { 2 } { n } \sum _ { v \in \mathcal { C } _ { 2 } } 1 ( R _ { v } > x _ { 0 } ) } \\ & { \xrightarrow { P } \mathbb { P } ( { \mathcal { R } } ^ { ( 1 ) } < x _ { 0 } ) + \mathbb { P } ( { \mathcal { R } } ^ { ( 2 ) } > x _ { 0 } ) = \delta } \end{array}
\begin{array} { c c c } { \displaystyle { c _ { m 1 } = \overline { { c } } + \frac { 3 } { 4 } \Big ( q - \frac { 1 } { 2 } G \Big ) , \qquad c _ { m 2 } = \overline { { c } } + \frac { 3 } { 4 } \Big ( q + \frac { 1 } { 2 } G \Big ) , } } \end{array}
[ Q _ { i } , \; a _ { m } ^ { \dagger } ] = \psi _ { \dot { \alpha } } ^ { \dagger } ( \gamma _ { i } ^ { \dagger } ) _ { \dot { \alpha } m } , \; \; \; \; \; \; [ Q _ { i } , \; \psi _ { \dot { \alpha } } ^ { \dagger } ] _ { + } = a _ { m } ^ { \dagger } ( \gamma _ { i } ) _ { m \dot { \alpha } }
\begin{array} { r l } { \mathbb E \Bigl ( \prod _ { l \leq q } U _ { l , \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { m } ) ^ { a _ { l } } \Bigr ) V _ { \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { m } ) ^ { b } I _ { M } } & { = \mathbb E \bigl [ \mathbb E _ { u , \delta , x } [ L _ { m } ] I _ { M } \bigr ] = \mathbb E \bigl [ \mathbb E _ { u , v , x } [ L _ { m } ] I _ { M } \bigr ] } \\ & { \to \mathbb E \bigl [ \mathbb E _ { u , v , x } [ L _ { 0 } ] I _ { M } \bigr ] = \mathbb E \bigl [ \mathbb E _ { u , \delta , x } [ L _ { 0 } ] I _ { M } \bigr ] } \\ & { = \mathbb E \Bigl ( \prod _ { l \leq q } U _ { l , \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { 0 } ) ^ { a _ { l } } \Bigr ) V _ { \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { 0 } ) ^ { b } I _ { M } \, \, \mathrm { a s ~ m \to ~ \infty ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { G ( \mathbf { h } _ { t } , \epsilon , \mathbf { x } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { p } \sum _ { i = 1 } ^ { q } c _ { i } ^ { k } \sigma ( \sum _ { j = 1 } ^ { m + 2 } \xi _ { i j } ^ { k } \mathbf { h } _ { t , j } + \xi _ { i 0 } ^ { k } \epsilon + \theta _ { i } ^ { k } ) \sigma ( W _ { k } \cdot \mathbf { x } + \zeta _ { k } ) + b _ { 0 } , } \end{array}
\frac { d I } { d \omega } = \sqrt { 3 } \frac { e ^ { 2 } \gamma _ { p } \omega } { c \omega _ { c } } \int _ { \omega / \omega _ { c } } ^ { \infty } K _ { 5 / 3 } ( x ) d x , \; \omega _ { c } = \frac { 3 } { 2 } K \gamma _ { p } ^ { 2 } \omega _ { \beta }
\begin{array} { r } { \mathrm { A } \equiv \frac { \mu k _ { B } T _ { 0 } } { q D _ { T } } } \\ { \mathrm { B } \equiv \frac { q \mu s T _ { 0 } } { D _ { T } } } \\ { \mathrm { C } \equiv \frac { N _ { 0 } \tau _ { T } } { T _ { 0 } } } \end{array}
{ D } _ { \mathbf { g } } ( { \mathbf { f } ^ { ( n ) } } ) = \frac { 1 } { 2 } \! \parallel \mathcal { C } \mathcal { R } \mathcal { D } _ { B } { \mathbf { f } ^ { ( n ) } } - \mathbf { g } ^ { [ \mathcal { M } ] } \parallel _ { 2 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } ( i + 1 ) [ q _ { 1 } ( i + 1 ) - } & { { } q _ { 1 } ( i ) ] + } \\ { u _ { 2 } ( } & { { } i - 1 ) [ q _ { 2 } ( i - 1 ) - q _ { 1 } ( i ) ] = 0 } \\ { u _ { 2 } ( i - 1 ) [ q _ { 2 } ( i - 1 ) - } & { { } q _ { 2 } ( i ) ] + } \\ { u _ { 1 } ( } & { { } i + 1 ) [ q _ { 1 } ( i + 1 ) - q _ { 2 } ( i ) ] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } _ { \mathrm { l o s s y } } } & { = \mathscr { E } _ { \mathrm { l o s s } } ( \hat { \rho } _ { \mathrm { i n } } ) = \sum _ { n _ { \mathrm { l o s s } } = 0 } ^ { n _ { \mathrm { m a x } } } K ^ { ( n _ { \mathrm { l o s s } } ) } \hat { \rho } _ { \mathrm { i n } } K ^ { ( n _ { \mathrm { l o s s } } ) \dag } , } \\ { K ^ { ( n _ { \mathrm { l o s s } } ) } } & { = \sum _ { n _ { \mathrm { o u t } } , n _ { \mathrm { i n } } = 0 } ^ { n _ { \mathrm { m a x } } } K _ { n _ { \mathrm { o u t } } , n _ { \mathrm { i n } } } ^ { ( n _ { \mathrm { l o s s } } ) } \vert n _ { \mathrm { o u t } } \rangle \langle n _ { \mathrm { i n } } \vert } \\ { K _ { n _ { \mathrm { o u t } } , n _ { \mathrm { i n } } } ^ { ( n _ { \mathrm { l o s s } } ) } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \binom { n _ { \mathrm { i n } } } { n _ { \mathrm { o u t } } } \mu ^ { n _ { \mathrm { o u t } } } ( 1 - \mu ) ^ { n _ { \mathrm { l o s s } } } } } & { \quad \mathrm { i f ~ } n _ { \mathrm { i n } } - n _ { \mathrm { o u t } } = n _ { \mathrm { l o s s } } } \\ { 0 } & { \quad \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { h } \left| ( I _ { h } \varphi _ { h } , g _ { j } ( 2 ^ { a } ( \cdot - x ) ) ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \right| ^ { 2 } } \\ & { \quad \le \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { - 2 s } | \mathcal { F } _ { h } [ ( \Theta _ { h } * \tilde { g } _ { j } ^ { ( a ) } ) ( x - \cdot ) ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { - 2 s } \left| \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } } \mathcal { F } [ ( \Theta _ { h } * \tilde { g } _ { j } ^ { ( a ) } ) ( x - \cdot ) ] ( \xi + \zeta ) \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { - 2 s } \left| \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } } \mathcal { F } [ ( \Theta _ { h } ( x - \cdot ) ] ( \xi + \zeta ) \mathcal { F } [ \tilde { g } _ { j } ^ { ( a ) } ( x - \cdot ) ] ( \xi + \zeta ) \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ) } ^ { E } \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ) } ^ { E } = } & { { } \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } ) } ^ { A _ { 1 } } \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } ) } ^ { A _ { 2 } } \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } ) } ^ { E } } \\ { \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ) } ^ { A _ { 1 } } \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ) } ^ { E } = } & { { } \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } ) } ^ { E } } \end{array} } \end{array}
D _ { \mu \nu } ( q , n ) = \frac { i } { q ^ { 2 } + i \epsilon } \, \left[ - g _ { \mu \nu } + \frac { 1 } { n \cdot q } \, n _ { \left( \mu \right. } q _ { \left. \nu \right) } - \frac { n ^ { 2 } } { ( n \cdot q ) ^ { 2 } } \, q _ { \mu } q _ { \nu } \right] \, .
\begin{array} { r l } { \mu \int _ { B _ { s } } | \nabla u | ^ { p } \, d x } & { \le \frac { 1 } { \mu } \L { p } { \nabla u } { B _ { t } \setminus B _ { s } } ^ { p - 1 } \L { p } { \nabla \eta } { p } + \Big | \int _ { B _ { t } } f ( x , u ) ( \eta u ) \, d x \Big | } \\ & { \le \frac { C ( \mu , p ) } { { \delta _ { 0 } } ^ { p ^ { \prime } } } \L { p } { \nabla u } { B _ { t } \setminus B _ { s } } ^ { p } + { \delta _ { 0 } } ^ { p } \L { p } { \nabla \eta } { p } ^ { p } + C ( N ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } [ 1 ^ { \prime } \{ G > a \} f ( G ) ] } & { = - \intop _ { a } ^ { \infty } \frac { d } { d g } \left( f ( g ) \frac { e ^ { \frac { - g ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } \right) d g = - \left[ f ( g ) \frac { e ^ { \frac { - g ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } \right] _ { a } ^ { \infty } = 0 + f ( a ) \frac { e ^ { \frac { - a ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } , } \end{array}
\hat { I } _ { 2 3 } ( \sigma ) = \frac 1 2 \hat { k } _ { 2 } ( \sigma - \omega ) \left[ \hat { I } _ { 2 3 } ^ { p } ( \sigma ) - \mathrm { i } \, \hat { I } _ { 1 3 } ^ { p } ( \sigma ) \right] + \frac 1 2 \hat { k } _ { 2 } ( \sigma + \omega ) \left[ \hat { I } _ { 2 3 } ^ { p } ( \sigma ) + \mathrm { i } \, \hat { I } _ { 1 3 } ^ { p } ( \sigma ) \right] \ ,
\begin{array} { r l } { \mathring { A } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } } & { = \mathring { A } ^ { w _ { 1 , s } , w _ { 2 , t } } + \mathcal { O } ( | \sqrt { \eta _ { 1 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } - \eta _ { 1 } | + | \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } - \eta _ { 2 } | ) E _ { + } } \\ & { \quad + \mathcal { O } ( | \sqrt { \eta _ { 1 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } - \eta _ { 1 } | + | \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } - \eta _ { 2 } | ) E _ { - } \, , } \\ { ( \mathring { A } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } ) ^ { * } } & { = ( \mathring { A } ^ { * } ) ^ { w _ { 2 , t } , w _ { 1 , s } } + \mathcal { O } ( | e _ { 1 } - e _ { 2 } | + \sqrt { \eta _ { 1 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } + \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } ) E _ { + } } \\ & { \quad + \mathcal { O } ( | e _ { 1 } + e _ { 2 } | + \sqrt { \eta _ { 1 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } + \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } ) E _ { - } \, . } \end{array}