harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { 0 \leq a \leq 1 0 ^ { 1 0 } , \quad 1 \leq b \leq 1 0 ^ { 1 0 } , \quad 1 0 ^ { - 1 0 } \le d _ { 2 } \le 1 0 ^ { 1 0 } , } \\ { 1 0 ^ { - 1 0 } \leq K _ { 1 } \leq 1 0 ^ { 1 0 } , \quad 0 \leq K _ { 2 } \leq 1 0 ^ { 1 0 } , \quad 1 0 ^ { - 1 0 } \leq K _ { 3 } \leq 1 0 ^ { 1 0 } , \quad 1 0 ^ { - 1 0 } \leq K _ { 4 } \leq 1 0 ^ { 1 0 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x _ { c } } & { = - { \frac { 1 } { D } } \, { \left| \begin{array} { l l } { B _ { x } } & { A _ { x y } } \\ { B _ { y } } & { A _ { y y } } \end{array} \right| } \, , } \\ { y _ { c } } & { = - { \frac { 1 } { D } } \, { \left| \begin{array} { l l } { A _ { x x } } & { B _ { x } } \\ { A _ { x y } } & { B _ { y } } \end{array} \right| } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \left\{ \Phi _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 2 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} } \\ & { } & { \cup \, \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 1 ) \dots ( n _ { j } + 1 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} , } \\ { \left\{ \Phi _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 1 ) \dots ( n _ { j } - 1 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} , } \\ { \left\{ \Phi _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } - 2 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} } \\ & { } & { \cup \, \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } - 1 ) \dots ( n _ { j } - 1 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { H Q H ^ { \mathrm { T } } + R } } & { \mathbf { H X } } \\ { ( \mathbf { H X } ) ^ { \mathrm { T } } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \bar { \xi } } } \\ { \boldsymbol { \bar { \beta } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { y } - h ( \mathbf { \bar { s } } ) + \mathbf { H \bar { s } } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \widetilde { \sigma } _ { \infty } ^ { 2 } ( k ) - \mathbb { E } ( \breve { \sigma } _ { \infty } ^ { 2 } ( k ) ) = 2 \sum _ { l = S } ^ { \infty } \mathbb { E } ( \breve { Y } _ { i } \breve { Y } _ { i + l } ) + 2 \sum _ { l = 1 } ^ { S } \frac { l } { S } \mathbb { E } ( \breve { Y } _ { i } \breve { Y } _ { i + l } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } G ( s , t ) } & { = ( \nu + \mu b _ { n } e ^ { \alpha t } ) s G ( s , t ) + \lambda \partial _ { s } G ( s , t ) - ( \nu + \mu b _ { n } e ^ { \alpha t } ) G ( s , t ) - \lambda s \partial _ { s } G ( s , t ) } \\ & { = ( \nu + \mu b _ { n } e ^ { \alpha t } ) ( s - 1 ) G ( s , t ) - \lambda ( s - 1 ) \partial _ { s } G ( s , t ) . } \end{array}
L ( f , H , g , \eta ) = J ( f ) - \langle \partial _ { t } f + v \partial _ { x } f - ( H + \partial _ { x } G \ast ( 1 - \rho ) ) \partial _ { v } f \, , g \rangle _ { x , v , t } - \langle f ( t = 0 ) - f _ { 0 } , \eta \rangle _ { x , v } \, .
\Sigma _ { 1 } = \left\{ \, \lambda \in \sigma ( \Gamma ) \; \vert \; | \lambda | > \beta _ { 1 } \, \right\} , \qquad \Sigma _ { 2 } = \left\{ \, \lambda \in \sigma ( \Gamma ) \; \vert \; | \lambda | < \beta _ { 2 } \, \right\} ,
\begin{array} { r } { \lambda ( \omega , k ) = \frac { \lambda _ { 0 } } { 1 + i \omega \tau _ { 1 } + \frac { k ^ { 2 } l _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + i \omega \tau _ { 2 } + \frac { k ^ { 2 } l _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + i \omega \tau _ { 3 } + \dots } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial t } + \bar { u } _ { j } \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \bar { p ^ { \prime } } } { \partial x _ { i } } + 2 ( \nu + \nu _ { t } ) \frac { \partial S _ { i j } } { \partial x _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i ( 0 ) } & { { } = \varepsilon , } \\ { \theta ^ { G } ( 0 ) = \theta _ { n } ^ { X } ( 0 ) } & { { } = 1 - \varepsilon , } \\ { n _ { ( n , 0 , 0 ) } ^ { X } } & { { } = \frac { 1 } { n } \hat { \pi } _ { n } ^ { X } ( 1 - \varepsilon ) ^ { n } , } \\ { n _ { ( n - I , I , 0 ) } ^ { X } } & { { } = \hat { \pi } _ { n } ^ { X } ( 1 - \varepsilon ) ^ { n - I } \varepsilon ^ { I } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathcal { A } } = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { \mathcal { A } ( \mathcal { S ^ { \prime } } \rightarrow \mathcal { S } ) K ( \mathcal { S ^ { \prime } } ) } { \mathcal { A } ( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S ^ { \prime } } ) K ( \mathcal { S } ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { j } _ { x } ( p ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \hat { j } _ { + } ( p ) + \hat { j } _ { - } ( p ) \right] , } \\ { \hat { j } _ { y } ( p ) } & { = \frac { 1 } { 2 i } \left[ \hat { j } _ { + } ( p ) - \hat { j } _ { - } ( p ) \right] , } \\ { \hat { j } _ { z } ( p ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( p ) - \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) \right] , } \end{array}
0 = \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } \left[ \frac { C ^ { i } ( x ) } { \chi ( x ) } \right] = \left[ \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } C ^ { i } ( x ) \right] / \chi ( x ) - \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } \chi ( x ) C ^ { i } ( x ) / \chi ( x ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int f \bigg ( x _ { t + 1 } , y _ { ( - \infty , t + 1 ] } , u _ { ( - \infty , t ] } \bigg ) \mathbb { P } ( d x _ { t + 1 } , d y _ { ( - \infty , t ] + 1 } , d u _ { ( - \infty , t - 1 } | x _ { t } , y _ { ( - \infty , t ] } , u _ { ( - \infty , t - 1 } , u _ { t } ) } \\ & { } & { = \int f \bigg ( x _ { t + 1 } , y _ { ( - \infty , t + 1 ] } , u _ { ( - \infty , t ] } \bigg ) Q ( d y _ { t + 1 } | x _ { t + 1 } ) T ( d x _ { t + 1 } | x _ { t } , u _ { t } ) } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \times P ( d y _ { ( - \infty , t ] } | y _ { ( - \infty , t ] } ) P ( d u _ { ( - \infty , t ] } | u _ { ( - \infty , t ] } ) } \\ & { } & { = \int \int _ { x _ { t + 1 } } \bigg ( \bigg ( \int _ { y _ { t + 1 } } f ( x _ { t + 1 } , y _ { ( - \infty , t + 1 ] } , u _ { ( - \infty , t ] } ) Q ( d y _ { t + 1 } | x _ { t + 1 } ) \bigg ) T ( d x _ { t + 1 } | x _ { t } , u _ { t } ) \bigg ) } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \times P ( d y _ { ( - \infty , t ] } | y _ { ( - \infty , t ] } ) P ( d u _ { ( - \infty , t ] } | u _ { ( - \infty , t ] } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \rho _ { 1 } ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 2 } \bigg [ ( 1 - \rho _ { 1 } ^ { \prime } ) ( 1 + h _ { 1 } ) [ ( 1 - \gamma _ { 1 } ) \rho _ { 1 } ^ { \prime } + \gamma _ { 1 } \rho _ { 2 } ^ { \prime } ] - \rho _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 - h _ { 1 } ) [ ( 1 - \gamma _ { 1 } ) ( 1 - \rho _ { 1 } ^ { \prime } ) + \gamma _ { 1 } ( 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ) ] \bigg ] } \\ { \dot { \rho _ { 2 } ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 2 } \bigg [ ( 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ) ( 1 + h _ { 2 } ) [ \gamma _ { 2 } \rho _ { 1 } ^ { \prime } + ( 1 - \gamma _ { 2 } ) \rho _ { 2 } ^ { \prime } ) - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ( 1 - h _ { 2 } ) [ \gamma _ { 2 } ( 1 - \rho _ { 1 } ^ { \prime } ) + ( 1 - \gamma _ { 2 } ) ( 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ) ] \bigg ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { A _ { j } ^ { l } ( x , t ) } & { { } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } u ^ { l } ( x , t ) , } & { F ^ { 1 } ( x , t ) } & { { } = \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } \theta ( x , t ) - \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } \theta _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , } \\ { F ^ { 2 } ( x , t ) } & { { } = - \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \theta ( x , t ) + \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \theta _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , } & { F ^ { 3 } ( x , t ) } & { { } = 0 , } \end{array}
E \psi = - \hbar ^ { 2 } \left[ { \frac { 1 } { 2 \mu } } \left( \nabla _ { 1 } ^ { 2 } + \nabla _ { 2 } ^ { 2 } \right) + { \frac { 1 } { M } } \nabla _ { 1 } \cdot \nabla _ { 2 } \right] \psi + { \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \left[ { \frac { 1 } { r _ { 1 2 } } } - Z \left( { \frac { 1 } { r _ { 1 } } } + { \frac { 1 } { r _ { 2 } } } \right) \right] \psi
\begin{array} { r l r } { l _ { o r b } ^ { t o t a l } } & { = } & { \hbar \, \frac { \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \mathcal { I } _ { x } \, ( \partial _ { \phi } \Phi _ { x } ) + \mathcal { I } _ { y } \, ( \partial _ { \phi } \Phi _ { y } ) \right] \, d x \, d y } { \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \mathcal { I } _ { x } + \mathcal { I } _ { y } \right) \, d x \, d y } } \\ & { = } & { \hbar \, \frac { \mathcal { P } _ { x } \, l _ { o r b } ^ { ( x ) } + \mathcal { P } _ { y } \, l _ { o r b } ^ { ( y ) } } { \mathcal { P } _ { x } + \mathcal { P } _ { y } } \, ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { g } = \left( - \frac { 4 } { r ^ { 4 } + t ^ { 4 } - 2 \, { \left( r ^ { 2 } - 1 \right) } t ^ { 2 } + 2 \, r ^ { 2 } + 1 } \right) \mathrm { d } t ^ { 2 } } \\ { + \left( - \frac { 4 \, a \left( t \right) ^ { 2 } e ^ { \left( 2 \, t H \left( t \right) \right) } } { k r ^ { 6 } + { \left( 2 \, k - 1 \right) } r ^ { 4 } + { \left( k r ^ { 2 } - 1 \right) } t ^ { 4 } + { \left( k - 2 \right) } r ^ { 2 } - 2 \, { \left( k r ^ { 4 } - { \left( k + 1 \right) } r ^ { 2 } + 1 \right) } t ^ { 2 } - 1 } \right) \mathrm { d } r ^ { 2 } } \\ { + \left( \frac { 4 \, r ^ { 2 } a \left( t \right) e ^ { \left( 2 \, t H \left( t \right) \right) } } { r ^ { 4 } + t ^ { 4 } - 2 \, { \left( r ^ { 2 } - 1 \right) } t ^ { 2 } + 2 \, r ^ { 2 } + 1 } \right) \mathrm { d } { \theta } ^ { 2 } } \\ { + \left( \frac { 4 \, r ^ { 2 } a \left( t \right) e ^ { \left( 2 \, t H \left( t \right) \right) } \sin \left( { \theta } \right) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } + t ^ { 4 } - 2 \, { \left( r ^ { 2 } - 1 \right) } t ^ { 2 } + 2 \, r ^ { 2 } + 1 } \right) \mathrm { d } { \phi } ^ { 2 } } \\ { + \left( - \frac { 4 \, { \left( k r ^ { 2 } - 1 \right) } } { r ^ { 4 } + t ^ { 4 } - 2 \, { \left( r ^ { 2 } - 1 \right) } t ^ { 2 } + 2 \, r ^ { 2 } + 1 } \right) \mathrm { d } { \chi } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \partial _ { \tau } t _ { i } ^ { a } } & { { } = } & { \langle \Phi _ { i } ^ { a } | [ \bar { H } _ { N } , T _ { 1 } ( \tau ) ] + [ [ \bar { H } _ { N } , T _ { 1 } ( \tau ) ] , T _ { 2 } ( \tau ) ] | \Phi \rangle } \\ { i \partial _ { \tau } t _ { i j } ^ { a b } } & { { } = } & { \langle \Phi _ { i j } ^ { a b } | [ \bar { H } _ { N } , T _ { 1 } ( \tau ) ] + [ [ \bar { H } _ { N } , T _ { 1 } ( \tau ) ] , T _ { 2 } ( \tau ) ] } \end{array}
\frac { \omega } { c } = \frac { Z _ { 0 } ( \mathrm { i } \sigma _ { x x } ) [ 2 ( \gamma ^ { ( 1 ) } + \gamma ^ { ( 2 ) } ) - \beta ^ { 2 } \Gamma ] \pm \sqrt { Z _ { 0 } ^ { 2 } \sigma _ { x y } ^ { 2 } [ 2 ( \gamma ^ { ( 1 ) } + \gamma ^ { ( 2 ) } ) - \beta ^ { 2 } \Gamma ] ^ { 2 } + Z _ { 0 } ^ { 2 } \beta ^ { 4 } \Gamma ^ { 2 } [ ( \mathrm { i } \sigma _ { x x } ) ^ { 2 } - \sigma _ { x y } ^ { 2 } ] } } { 2 Z _ { 0 } ^ { 2 } [ ( \mathrm { i } \sigma _ { x x } ) ^ { 2 } - \sigma _ { x y } ^ { 2 } ] }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } u _ { n } \Phi ( 1 _ { \mathcal { R } } \otimes x \otimes m ) u _ { n } ^ { * } } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \Phi ( ( v _ { n } \otimes 1 _ { M } ) ( 1 _ { \mathcal { R } } \otimes x \otimes m ) ( v _ { n } ^ { * } \otimes 1 _ { M } ) ) } \\ & { = \Phi ( x \otimes 1 _ { \mathcal { R } } \otimes m ) } \\ & { = x \otimes m } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { i } } & { = \sqrt { \frac { N + 1 } { 2 } } { \Sigma } _ { j = 0 } ^ { q _ { c } - 1 } ( \sqrt { \frac { \hat { I } } { 2 ^ { j } } + { \Sigma } _ { k = 0 } ^ { j - 1 } ( \frac { \hat { n } _ { k , i } } { 2 ^ { k } } ) } \hat { \sigma } _ { j , i } ^ { - } \bigotimes _ { k = j + 1 } ^ { q _ { c } - 1 } ( \hat { \sigma } _ { k , i } ^ { + } ) ) } \end{array}
r _ { i j } ^ { ( B _ { R } ) } = \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi } \int _ { Z _ { j , 1 } } ^ { Z _ { j , 2 } } \int _ { R _ { j , 1 } } ^ { R _ { j , 2 } } \, d R d Z \frac { Z _ { i } - Z } { R _ { i } } \sqrt { \frac { k } { 4 R R _ { i } } } \Big [ K ( k ) + \frac { R ^ { 2 } + R _ { i } ^ { 2 } + ( Z _ { i } - Z ) ^ { 2 } } { ( R - R _ { i } ) ^ { 2 } + ( Z _ { i } - Z ) ^ { 2 } } E ( k ) \Big ]
\begin{array} { r l } & { \log \left[ \chi _ { i } \left( l _ { j } ^ { \parallel } , l _ { j } ^ { \perp } , \theta \right) + 1 \right] = \exp [ } \\ & { A _ { 0 } + A _ { 1 } l _ { j } ^ { \parallel } + A _ { 2 } \vert l _ { j } ^ { \parallel } \vert + A _ { 3 } ( l _ { j } ^ { \parallel } ) ^ { 2 } + } \\ & { A _ { 4 } l _ { j } ^ { \perp } + A _ { 5 } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 2 } + A _ { 6 } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 3 } + A _ { 7 } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 4 } + A _ { 8 } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 5 } + } \\ & { A _ { 9 } \tan { \theta } + A _ { 1 0 } \tan ^ { 2 } { \theta } + } \\ & { A _ { 1 1 } l _ { j } ^ { \parallel } l _ { j } ^ { \perp } + A _ { 1 2 } l _ { j } ^ { \parallel } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 2 } + A _ { 1 3 } l _ { j } ^ { \parallel } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 3 } + A _ { 1 4 } l _ { j } ^ { \parallel } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 4 } + } \\ & { A _ { 1 5 } \vert l _ { j } ^ { \parallel } \vert l _ { j } ^ { \perp } + A _ { 1 6 } \vert l _ { j } ^ { \parallel } \vert ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 2 } + A _ { 1 7 } \vert l _ { j } ^ { \parallel } \vert ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 3 } + A _ { 1 8 } \vert l _ { j } ^ { \parallel } \vert ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 4 } + } \\ & { A _ { 1 9 } ( l _ { j } ^ { \parallel } ) ^ { 2 } l _ { j } ^ { \perp } + A _ { 2 0 } ( l _ { j } ^ { \parallel } ) ^ { 2 } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 2 } + A _ { 2 1 } ( l _ { j } ^ { \parallel } ) ^ { 2 } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 3 } + } \\ & { A _ { 2 2 } l _ { j } ^ { \parallel } l _ { j } ^ { \perp } \tan { \theta } + A _ { 2 3 } l _ { j } ^ { \parallel } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 2 } \tan { \theta } + A _ { 2 4 } l _ { j } ^ { \parallel } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 3 } \tan { \theta } + } \\ & { A _ { 2 5 } \vert l _ { j } ^ { \parallel } \vert l _ { j } ^ { \perp } \tan { \theta } + A _ { 2 6 } \vert l _ { j } ^ { \parallel } \vert ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 2 } \tan { \theta } + A _ { 2 7 } \vert l _ { j } ^ { \parallel } \vert ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 3 } \tan { \theta } + } \\ & { A _ { 2 8 } ( l _ { j } ^ { \parallel } ) ^ { 2 } l _ { j } ^ { \perp } \tan { \theta } + A _ { 2 9 } ( l _ { j } ^ { \parallel } ) ^ { 2 } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 2 } \tan { \theta } + } \\ & { A _ { 3 0 } l _ { j } ^ { \parallel } l _ { j } ^ { \perp } \tan ^ { 2 } { \theta } + A _ { 3 1 } l _ { j } ^ { \parallel } ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 2 } \tan ^ { 2 } { \theta } + } \\ & { A _ { 3 2 } \vert l _ { j } ^ { \parallel } \vert l _ { j } ^ { \perp } \tan ^ { 2 } { \theta } + A _ { 3 3 } \vert l _ { j } ^ { \parallel } \vert ( l _ { j } ^ { \perp } ) ^ { 2 } \tan ^ { 2 } { \theta } + } \\ & { A _ { 3 4 } ( l _ { j } ^ { \parallel } ) ^ { 2 } l _ { j } ^ { \perp } \tan ^ { 2 } { \theta } ] . } \end{array}
p _ { s _ { 0 } } ( s ; \mu _ { t } , \sigma ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { + \infty } p _ { L B _ { s < \ell } } ( s ; \mu _ { t } , \ell ) p _ { T e s } ( \ell ; \sigma ) d \ell } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } p _ { L B _ { s < \ell } } ( s ; \mu _ { t } , \ell ) p _ { T e s } ( \ell ; \sigma ) d \ell d s } = ( \mu _ { t } + \sigma ) e ^ { - ( \mu _ { t } + \sigma ) s } ,
\begin{array} { r } { V ( t ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { ( 2 ) } \frac { W ( s ) } { s } w ( s ) t ^ { - s } \mathrm { d } s , \quad \mathrm { w h e r e } \quad w ( s ) = \frac { \Gamma ( \frac { 1 } { 4 } + \frac s 2 ) \Gamma ( \frac { \kappa } { 2 } + s ) } { \Gamma ( \frac { 1 } { 4 } ) \Gamma ( \frac { \kappa } { 2 } ) } \left( \frac { 8 } { 2 \pi } \right) ^ { s } \left( \frac { 8 } { \pi } \right) ^ { s / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \bar { b } _ { i } - \bar { b } _ { j } \rVert } & { = \lVert \Phi D ^ { ( i ) } R ^ { ( i ) } - \Phi D ^ { ( j ) } R ^ { ( j ) } \rVert } \\ & { \le \lVert \Phi D ^ { ( i ) } R ^ { ( i ) } - \Phi D ^ { ( i ) } R ^ { ( j ) } \rVert + \lVert \Phi D ^ { ( i ) } R ^ { ( j ) } - \Phi D ^ { ( j ) } R ^ { ( j ) } \rVert } \\ & { \le \lVert \Phi \rVert \lVert D ^ { ( i ) } \rVert \lVert R ^ { ( i ) } - R ^ { ( j ) } \rVert + \lVert \Phi \rVert \lVert D ^ { ( i ) } - D ^ { ( j ) } \rVert \lVert R ^ { ( j ) } \rVert } \\ & { \le \epsilon _ { 1 } + R _ { \operatorname* { m a x } } \left( 2 ( n - 1 ) \epsilon + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { M } + s _ { \pm } \Sigma _ { 1 } k _ { n } ^ { d } + \Sigma _ { 2 } q \right) u _ { n d } ^ { \pm } } & { { } = \left( E - \Phi _ { d } \right) u _ { n d } ^ { \pm } , } \\ { \mathcal { M } ^ { 2 } \, u _ { n d } ^ { \pm } } & { { } = \mu _ { n } ^ { 2 } \, u _ { n d } ^ { \pm } . } \end{array}
0 = \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { a } q _ { c d } } \nabla _ { b } q _ { c d } - \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { b } q _ { c d } } \nabla _ { a } q _ { c d } + 2 \left( \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { d } q _ { a c } } \nabla _ { d } q _ { c b } - \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { d } q _ { b c } } \nabla _ { d } q _ { c a } \right) .
e ^ { \boldsymbol { J } t } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \cos \omega _ { 1 } t + i \sin \omega _ { 1 } t } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \omega _ { 1 } t - i \sin \omega _ { 1 } t } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cos \omega _ { 2 } t + i \sin \omega _ { 2 } t } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cos \omega _ { 2 } t - i \sin \omega _ { 2 } t } \end{array} \right]
\left\{ \frac { d ^ { 2 } } { d \varrho ^ { 2 } } + \left[ f ^ { \prime } ( \varrho ) \right] ^ { 2 } \left[ E - V \mathrm { \boldmath \large ~ \left( ~ \right. ~ } \! \! f ( \varrho ) \! \mathrm { \boldmath \large ~ \left. ~ \right) ~ } \right] - { \mathcal L } _ { 1 } ^ { 2 } ( \varrho ) ( l + \nu ) ^ { 2 } + { \mathcal L } _ { 2 } ^ { \prime } ( \varrho ) - { \mathcal L } _ { 2 } ^ { 2 } ( \varrho ) \right\} \widetilde { u } ( \varrho ) = 0 \; ,
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { t } } & { = m ^ { - 1 } \cdot p _ { t } , } \\ { \dot { p } _ { t } } & { = - V _ { 1 } , } \\ { A _ { t } } & { = A _ { 0 } = \operatorname { c o n s t } = i \mathcal { B } , } \\ { \dot { \gamma } _ { t } } & { = T ( p _ { t } ) - V _ { 0 } - ( \hbar / 2 ) \operatorname * { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { B } \right) . } \end{array}
W _ { Y } = \lambda _ { i j } ^ { 1 } \varepsilon _ { X Y Z W U } H _ { 1 } ^ { X } M _ { i } ^ { Y Z } M _ { j } ^ { W U } + \lambda _ { i j } ^ { 2 } \overline { { { H } } } _ { 2 X } \overline { { { M } } } _ { i Y } M _ { j } ^ { X Y }
\mathbf { T } _ { n n ^ { \prime } } ^ { \ell \ell ^ { \prime } } = \delta _ { n n ^ { \prime } } \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } - \left( 1 - \delta _ { n n ^ { \prime } } \right) e ^ { j \left( \ell ^ { \prime } - \ell \right) \phi _ { n n ^ { \prime } } } H _ { \ell - \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } R _ { n n ^ { \prime } } \right) s _ { n \ell }
\begin{array} { r l } { l _ { 1 } ( t , \zeta ) } & { = \frac { \kappa } { 2 \pi } n ( \zeta ) \cdot \big [ \gamma ( \zeta ) - \gamma ( t ) \big ] \frac { J _ { 1 } ( \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) } { | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | } , ~ ~ s _ { 1 } ( t , \zeta ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } J _ { 0 } ( \mathrm { i } \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) , } \\ { k _ { 1 } ( t , \zeta ) } & { = \frac { \mathrm { i } \kappa } { 2 \pi } n ( t ) \cdot \big [ \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) \big ] \frac { J _ { 1 } ( \mathrm { i } \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) } { | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | } , } \\ { r _ { 1 } ( t , \zeta ) } & { = - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 \pi } J _ { 0 } ( \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) n ( t ) \cdot n ( \zeta ) , } \\ { h _ { 1 } ( t , \zeta ) } & { = - \frac { 1 } { 2 \pi } \tilde { h } ( t , \zeta ) \Bigg ( \kappa ^ { 2 } J _ { 0 } ( \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) - \frac { 2 \kappa J _ { 1 } ( \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) } { | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | } \Bigg ) } \\ & { \qquad - \frac { \kappa \gamma ^ { \prime } ( t ) \cdot \gamma ^ { \prime } ( \zeta ) } { 2 \pi | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | } J _ { 1 } ( \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { S _ { S } ^ { p e a k , R F } [ P _ { p } ] = \frac { S _ { S } ^ { p e a k , R F } [ P _ { 0 } ] } { G _ { B } P _ { 0 } L } \frac { G _ { B } P _ { p } L } { ( 1 - \frac { 1 } { 4 } G _ { B } P _ { p } L ) ^ { 2 } } \quad \quad } \\ & { } & { S _ { a S } ^ { p e a k , R F } [ P _ { p } ] = \frac { S _ { a S } ^ { p e a k , R F } [ P _ { 0 } ] } { G _ { B } P _ { 0 } L } \frac { G _ { B } P _ { p } L } { ( 1 + \frac { 1 } { 4 } G _ { B } P _ { p } L ) ^ { 2 } } . \quad \quad \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { k } - \frac { \pi } { n \sin { \left( \frac { k \pi } { n } \right) } } = \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { k - \frac { 1 } { 6 } k ^ { 3 } \frac { \pi ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \cos { \widehat { \theta } } } \simeq \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { k } + \frac { 1 } { 6 } k \frac { \pi ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \cos { \widehat { \theta } } } \\ & { \phantom { \frac { 1 } { k } - \frac { \pi } { n \sin { \left( \frac { k \pi } { n } \right) } } } = - \frac { 1 } { n - k } + \frac { 1 } { n - k } + \frac { 1 } { 6 } k \frac { \pi ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \cos { \widehat { \theta } } } \\ & { \phantom { \frac { 1 } { k } - \frac { \pi } { n \sin { \left( \frac { k \pi } { n } \right) } } } = - \frac { 1 } { n - k } + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { n } \right) , ~ 0 < \widehat { \theta } < k \frac { \pi } { n } . } \end{array}
a _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { w _ { i i } } & { \mathrm { i f ~ i = j ~ } , } \\ { w _ { i j } } & { \mathrm { i f ~ i \leftrightarrow ~ j ~ } , } \\ { \iota w _ { i j } } & { \mathrm { i f ~ i \rightarrow ~ j ~ } , } \\ { - \iota w _ { i j } } & { \mathrm { i f ~ j \rightarrow ~ i ~ } , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { I } + O ( | x | ^ { - 2 } ) , } & { z } & { \in \partial U ( z _ { \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { I } + O ( | x | ^ { - 2 \alpha } e ^ { - x ^ { 2 } } ) , } & { z } & { \in \partial U ( z _ { 0 } , \delta ) \cup \widehat { \gamma } _ { 2 } \cup \widehat { \gamma } _ { 6 } , } \\ & { \mathbf { I } + O ( e ^ { - c _ { 3 } x ^ { 2 } } ) , } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } , } \end{array}
{ \frac { \delta } { \delta \mathbf { r } _ { k } } } \equiv { \frac { \partial } { \partial \mathbf { r } _ { k } } } - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial } { \partial { \dot { \mathbf { r } } } _ { k } } }
\begin{array} { r l r } { E _ { 3 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } m _ { 3 } \left( \vec { v } _ { c m } + \vec { v } _ { 3 } ^ { ' } \right) ^ { 2 } , } \\ { x } & { = } & { E _ { 3 } ^ { ' } - E _ { 3 } ^ { * } , } \\ { \mu ^ { \prime } } & { = } & { \frac { 1 } { v _ { c m } } \left( v _ { 1 } \cos \alpha - v _ { 1 } ^ { ' } \right) \mu _ { s } + \frac { v _ { 1 } } { v _ { c m } } \sqrt { 1 - \mu _ { s } ^ { 2 } } \sin \alpha \cos \phi _ { s } , } \end{array}
L _ { B } ( 0 ) - \frac { { \overrightarrow { \pi } } ^ { 2 } ( 0 ) } { 2 } = \sum _ { w } a _ { w } { } ^ { \dag } \sum _ { i = 1 } ^ { D } \sum _ { m > 0 } \pi _ { i } ( - m ) \pi _ { i } ( m ) a _ { w }
\left( { \frac { 1 7 } { 9 1 } } , { \frac { 7 8 } { 8 5 } } , { \frac { 1 9 } { 5 1 } } , { \frac { 2 3 } { 3 8 } } , { \frac { 2 9 } { 3 3 } } , { \frac { 7 7 } { 2 9 } } , { \frac { 9 5 } { 2 3 } } , { \frac { 7 7 } { 1 9 } } , { \frac { 1 } { 1 7 } } , { \frac { 1 1 } { 1 3 } } , { \frac { 1 3 } { 1 1 } } , { \frac { 1 5 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 7 } } , { \frac { 5 5 } { 1 } } \right)