harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { P \left( A \cup B \cup C \right) = } & { P \left( \left( A \cup B \right) \cup C \right) } \\ { = } & { P \left( A \cup B \right) + P \left( C \right) - P \left( \left( A \cup B \right) \cap C \right) } \\ { = } & { P \left( A \right) + P \left( B \right) - P \left( A \cap B \right) + P \left( C \right) - P \left( \left( A \cap C \right) \cup \left( B \cap C \right) \right) } \\ { = } & { P \left( A \right) + P \left( B \right) + P \left( C \right) - P \left( A \cap B \right) - \left( P \left( A \cap C \right) + P \left( B \cap C \right) - P \left( \left( A \cap C \right) \cap \left( B \cap C \right) \right) \right) } \\ { P \left( A \cup B \cup C \right) = } & { P \left( A \right) + P \left( B \right) + P \left( C \right) - P \left( A \cap B \right) - P \left( A \cap C \right) - P \left( B \cap C \right) + P \left( A \cap B \cap C \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { \kappa } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial { t } ^ { 2 } } + \frac { \partial \Phi } { \partial { t } } = - \mu _ { s } D _ { 1 } ( \mu _ { s } ) K _ { s } \sin { \left( \Phi \right) } - \mu _ { s } D _ { 1 } ( { \mu } _ { 0 } ) K _ { N L } - \mu _ { s } D _ { 1 } ( { \mu } _ { 0 } ) K _ { 0 } + \delta \omega _ { \mathrm { r e f } } - \omega _ { 0 } + \omega _ { \mathrm { c a v } } ( \mu _ { s } ) } \end{array}
I _ { \mathrm { i } , n , s } ^ { ( f ) } \approx \frac { 4 \delta _ { n } q ^ { 2 } v } { r _ { 0 } r _ { c } \varepsilon _ { 0 } } \frac { \left( 1 - \varepsilon _ { 0 } / \varepsilon _ { 1 } \right) ^ { - 2 } u _ { n , s } ^ { 3 } \gamma _ { 0 } e ^ { - 2 \left( 1 - r _ { 0 } / r _ { c } \right) \gamma _ { 0 } u _ { n , s } } } { \left( \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } + \varepsilon _ { 0 } / \varepsilon _ { 1 } + 1 + 2 \beta _ { 0 } ^ { 2 } u _ { n , s } / \gamma _ { 0 } \right) ^ { 2 } } .
\mathbb { 1 } = \sum _ { \mathfrak { t } \in \mathrm { S t d } ( \mathrm { P a r } _ { n } ^ { \le 2 } ) } \mathbb { E } _ { \mathfrak { t } } , \, \, \, \, \, \mathbf { L } _ { i } \mathbb { E } _ { \mathfrak { t } } = \mathbb { E } _ { \mathfrak { t } } \mathbf { L } _ { i } = c _ { \mathfrak { t } } ( i ) \mathbb { E } _ { \mathfrak { t } } , \, \, \, \, \, \mathbb { E } _ { \mathfrak { s } } \mathbb { E } _ { \mathfrak { t } } = \delta _ { \mathfrak { s } \mathfrak { t } } \mathbb { E } _ { \mathfrak { s } }
\begin{array} { r l } & { e ^ { \lambda _ { 2 } t } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t } = 2 i \sin \Biggl ( \Biggl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Biggr ) t \Biggr ) } \\ & { e ^ { \lambda _ { 4 } t } - e ^ { - \lambda _ { 4 } t } = 2 i \sin \Biggl ( \Biggl ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Biggr ) t \Biggr ) } \\ & { e ^ { \lambda _ { 2 } t } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t } = 2 \cos \Biggl ( \Biggl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Biggr ) t \Biggr ) } \\ & { e ^ { \lambda _ { 4 } t } + e ^ { - \lambda _ { 4 } t } = 2 \cos \Biggl ( \Biggl ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Biggr ) t \Biggr ) . } \end{array}
\left[ \int _ { S _ { 2 } } \left| \int _ { S _ { 1 } } F ( x , y ) \, \mu _ { 1 } ( \mathrm { d } x ) \right| ^ { p } \mu _ { 2 } ( \mathrm { d } y ) \right] ^ { \frac { 1 } { p } } ~ \leq ~ \int _ { S _ { 1 } } \left( \int _ { S _ { 2 } } | F ( x , y ) | ^ { p } \, \mu _ { 2 } ( \mathrm { d } y ) \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \mu _ { 1 } ( \mathrm { d } x ) ,
\begin{array} { r l } & { E _ { \mathrm { m a g } } ( k _ { t } ) = } \\ & { \frac { 1 } { \Delta k _ { t } } \int _ { k _ { t } \le \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } < k _ { t } + \Delta k _ { t } } d k _ { x } d k _ { y } \left( \frac { L } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \left| \boldsymbol { B } _ { t } \left( k _ { x } , k _ { y } \right) \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\{ \lambda _ { 1 } - 1 , \lambda _ { 2 } - 2 , \ldots , \lambda _ { N } - N \right\} } & { = \{ 0 , 1 , 2 , \ldots , N + m - 1 \} \setminus \left\{ x _ { 1 } , \ldots , x _ { m } \right\} , } \\ { \left\{ \mu _ { 1 } - 1 , \mu _ { 2 } - 2 , \ldots , \mu _ { N - 1 } - ( N - 1 ) \right\} } & { = \{ 1 , 2 , \ldots , N + m - 1 \} \setminus \left\{ y _ { 1 } + 1 , \ldots , y _ { m } + 1 \right\} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( X ) } & { = \operatorname { E } \left( X ^ { 2 } \right) - ( \operatorname { E } ( X ) ) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } i ^ { 2 } - \left( { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } i \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) } { 6 } } - \left( { \frac { n + 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { n ^ { 2 } - 1 } { 1 2 } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname { C o v } _ { \sigma ( \beta , x ) } ( L , \, \widetilde { h } _ { k } ( x ) ) } & { = \operatorname { C o v } _ { \sigma ( \beta , x ) } ( L , \, \widetilde { h } _ { k } ( x ) - O _ { B _ { k } } ) + \operatorname { C o v } _ { \sigma ( \beta , x ) } ( L , \, O _ { B _ { k } } ) } \\ & { \le 2 \| L \| _ { \infty } \, \| \Phi _ { H ( x ) } ( \partial _ { x _ { k } ^ { \prime } } h _ { j _ { k } } ) - \Phi _ { H _ { B _ { k } } ( x ) } ( \partial _ { x _ { k } ^ { \prime } } h _ { j _ { k } } ) \| _ { \infty } + \operatorname { C o v } _ { \sigma ( \beta , x ) } ( L , \, O _ { B _ { k } } ) } \\ & { \le 2 n c ^ { \prime } ( 2 r _ { 0 } ) ^ { D } \, h \, \| L \| _ { \operatorname { L i p } } \, e ^ { - \mu ^ { \prime } \operatorname { d i s t } ( A _ { j _ { k } } , B _ { k } ^ { c } ) } + \operatorname { C o v } _ { \sigma ( \beta , x ) } ( L , O _ { B _ { k } } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { - 2 \widehat { \beta } ^ { \prime } \widehat { \gamma } + \widehat { \beta } ^ { \prime } \widehat { \Gamma } \widehat { \beta } + \lambda _ { N } \| \widehat { \beta } \| _ { 1 } \leq - 2 \beta _ { 0 } ^ { \prime } \widehat { \gamma } + \beta _ { 0 } ^ { \prime } \widehat { \Gamma } \beta _ { 0 } + \lambda _ { N } \| \beta _ { 0 } \| _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } ( \mathbf { X } ( t ) , t ) = } & { \mathbf { u } ( \mathbf { X } _ { 0 } + \alpha \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) + \mathrm { h . o . t . } , t ) } \\ { = } & { \alpha \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } + \alpha \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) + \mathrm { h . o . t . } , t ) } \\ & { + \alpha ^ { 2 } \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } + O ( \alpha ) , t ) + \alpha \beta \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ( \mathbf { X } _ { 0 } + O ( \alpha ) , t ) + \mathrm { c u b i c ~ a n d ~ h i g h e r - o r d e r ~ t e r m s } } \\ { = } & { \alpha \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , t ) + \alpha ^ { 2 } [ \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , t ) + \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) \cdot \nabla \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , t ) ] } \\ & { + \alpha \beta \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , t ) + \mathrm { c u b i c ~ a n d ~ h i g h e r - o r d e r ~ t e r m s } . } \end{array}
\sigma ^ { \mathrm { b a r e } } = \frac { \sigma ^ { \mathrm { d r e s s e d } } } { | 1 - \Pi ( s ) | ^ { 2 } } = \sigma ^ { \mathrm { d r e s s e d } } \cdot \left( \frac { \alpha ( 0 ) } { \alpha ( s ) } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { t r } \left\{ \left( { \mathbb { E } } \left[ \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} ^ { \top } \right] \right) ^ { 2 } \right\} } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { p } \sum _ { \ell = 1 } ^ { p } \left[ { \mathbb { E } } \left\{ \Gamma _ { j } S ( U _ { i } ) S ( U _ { i } ) ^ { \top } \Gamma _ { \ell } ^ { \top } \right\} \right] ^ { 2 } } \\ & { \lesssim } & { p ^ { - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \sum _ { \ell = 1 } ^ { p } | \omega _ { j \ell } | ^ { 2 } + p ^ { - 5 / 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \sum _ { \ell = 1 } ^ { p } | \omega _ { j \ell } | + p ^ { - 1 } } \\ & { \lesssim } & { p ^ { - 1 } a _ { 0 } ( p ) + p ^ { - 3 / 2 } a _ { 0 } ( p ) + p ^ { - 1 } } \\ & { \lesssim } & { p ^ { - \delta } \, . } \end{array}
{ \frac { 3 } { b ^ { 2 } } } { \frac { a ^ { \prime } } { a } } \left( { \frac { a ^ { \prime } } { a } } + { \frac { n ^ { \prime } } { n } } \right) - { \frac { 3 } { n ^ { 2 } } } \left[ { \frac { \dot { a } } { a } } \left( { \frac { \dot { a } } { a } } - { \frac { \dot { n } } { n } } \right) + { \frac { \ddot { a } } { a } } \right] - { \frac { 3 k } { a ^ { 2 } } } = \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \left[ { \frac { 4 } { 3 } } n ^ { - 2 } \dot { \phi } ^ { 2 } + { \frac { 4 } { 3 } } b ^ { - 2 } \phi ^ { \prime \, 2 } - e ^ { - 2 \alpha \phi } \Lambda \right] ,
\begin{array} { r l } { \lambda } & { = 1 + \frac { \Delta t ^ { 2 } f ^ { \prime } g ^ { \prime } } { 2 } \pm \sqrt { \Delta t ^ { 2 } f ^ { \prime } g ^ { \prime } \left( 1 + \frac { \Delta t ^ { 2 } f ^ { \prime } g ^ { \prime } } { 4 } \right) } = \left( \sqrt { 1 - y } \pm \mathbb { i } \sqrt { y } \right) ^ { 2 } } \\ { | \lambda | ^ { 2 } } & { = \left( 1 - y + y \right) ^ { 2 } = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \boldsymbol { w } } _ { j } } & { = \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } - \mathsf { P } ( \mathcal { N } ^ { \prime } [ \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } ] ) ^ { \top } \mathsf { Q } ^ { - 1 } ( \mathcal { N } [ \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } ] - \mathsf { y } _ { j } ^ { \mathrm { b } } ) } \\ { \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i + 1 } } & { = \tilde { \boldsymbol { w } } _ { j } + \mathsf { K } ( \mathsf { y } _ { j } ^ { \mathrm { u } } - \mathsf { H } \tilde { \boldsymbol { w } } _ { j } ) } \\ { \mathrm { w i t h } \quad \mathsf { K } } & { = \mathsf { P H } ^ { \top } ( \mathsf { H P H } ^ { \top } + \mathsf { R } ) ^ { - 1 } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 2 } ( \Delta _ { n } ) } & { \le \int _ { x \not \in \Delta _ { n } \cdot S _ { K } } \| C ( x ) \| _ { \mathrm { H S } } d x } \\ & { \le ( \Delta _ { n } \cdot m _ { K } ) ^ { - \beta } \cdot \int _ { \| x \| > \Delta _ { n } \cdot m _ { K } } \| x \| _ { 2 } ^ { \beta } \cdot \| C ( x ) \| _ { \mathrm { H S } } d x } \\ & { \le ( \Delta _ { n } \cdot m _ { K } ) ^ { - \beta } \cdot L = { \cal O } ( \Delta _ { n } ^ { - \beta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \Delta \ln \hat { \cal L } \right\rangle } & { { } \equiv \int d \Lambda \int d \Lambda ^ { \prime } p ( \Lambda | \{ d _ { i } \} ) p ( \Lambda ^ { \prime } | \{ d _ { i } \} ) \Sigma ( \Lambda , \Lambda ^ { \prime } ) } \\ { \Lambda _ { k } } & { { } \sim p ( \Lambda | \{ d _ { i } \} ) . } \end{array}
\ensuremath { \mathbf Ḋ Y Ḍ } _ { \ensuremath Ḋ \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ Ḍ _ { j } } : = \left( \begin{array} { l l l } { | } & & { | } \\ { ( \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } ( t _ { 1 } ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } _ { j } ) - \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } _ { \mathrm { Ḋ } r e f Ḍ } ) } & { \dots } & { ( \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } ( t _ { K } ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } _ { j } ) - \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } _ { \mathrm { Ḋ } r e f Ḍ } ) } \\ { | } & & { | } \end{array} \right) \in \mathbb { R } ^ { 2 n \times K } .
\begin{array} { r l } { D } & { = [ ( c + x ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + d ^ { 2 } ] ^ { 2 } - 4 d ^ { 2 } y ^ { 2 } } \\ & { = ( ( c + x ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + d ^ { 2 } - 2 d y ) ( ( c + x ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + d ^ { 2 } + 2 d y ) } \\ & { = \left( ( c + x ) ^ { 2 } + ( y - d ) ^ { 2 } \right) \left( ( c + x ) ^ { 2 } + ( y + d ) ^ { 2 } \right) \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial \overline { { \partial } } h _ { i j } = \tilde { h } _ { i j } \partial \overline { { \partial } } e _ { i j } + \partial \tilde { h } _ { i j } \overline { { \partial } } e _ { i j } - \overline { { \partial } } \tilde { h } _ { i j } \partial e _ { i j } + e _ { i j } \partial \overline { { \partial } } \tilde { h } _ { i j } } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } } V ( x ; \sigma , \gamma ) = { \frac { x ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } } { \sigma ^ { 4 } } } { \frac { \operatorname { R e } [ w ( z ) ] } { \sigma { \sqrt { 2 \pi } } } } - { \frac { 2 x \gamma } { \sigma ^ { 4 } } } { \frac { \operatorname { I m } [ w ( z ) ] } { \sigma { \sqrt { 2 \pi } } } } + { \frac { \gamma } { \sigma ^ { 4 } } } { \frac { 1 } { \pi } } ,
\frac { \delta S _ { 0 } ^ { L } } { \delta B _ { \mu \nu } ^ { a } } \equiv - \frac 1 2 F _ { a } ^ { \mu \nu } = 0 , \; \frac { \delta S _ { 0 } ^ { L } } { \delta A _ { a } ^ { \mu } } \equiv A _ { \mu } ^ { a } + \left( D ^ { \lambda } \right) _ { \; \; b } ^ { a } B _ { \lambda \mu } ^ { b } = 0 .
\frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 6 + 4 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \Big ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) ) d t \Big ) ^ { 2 } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) ) d t \Big ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) ) d t \Big ) ^ { 2 } } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 6 + 4 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \Big ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) ) d t \Big ) ^ { 2 } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) ) d t \Big ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) ) d t \Big ) ^ { 2 } } ,
V ( x , y , z ) = I _ { 0 } ^ { 2 } + I _ { 1 2 } + w I _ { 0 } + w ^ { \prime } I _ { 2 } = ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } + x y z + w ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + w ^ { \prime } z ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \partial _ { \mu } \bigg [ \frac { \partial \mathcal { L } _ { c u s c } } { \partial ( \partial _ { \mu } \psi ) } \bigg ] = \bigg ( \frac { \partial \mathcal { L } _ { c u s c } } { \partial \psi ^ { \prime } } \bigg ) ^ { \prime } = \eta \bigg ( \frac { \partial \vert \psi ^ { \prime } \vert } { \partial \psi ^ { \prime } } \bigg ) ^ { \prime } , } \end{array}
D _ { \mathrm { K L } } ( Q \parallel P ) = \sum _ { \mathbf { Z } } Q ( \mathbf { Z } ) \left[ \log { \frac { Q ( \mathbf { Z } ) } { P ( \mathbf { Z } , \mathbf { X } ) } } + \log P ( \mathbf { X } ) \right] = \sum _ { \mathbf { Z } } Q ( \mathbf { Z } ) \left[ \log Q ( \mathbf { Z } ) - \log P ( \mathbf { Z } , \mathbf { X } ) \right] + \sum _ { \mathbf { Z } } Q ( \mathbf { Z } ) \left[ \log P ( \mathbf { X } ) \right]
\sum _ { c = 1 } ^ { m } \phi _ { c } \Delta H _ { i j k \ell _ { c } } = m \overline { { \phi _ { c } \Delta H _ { i j k \ell _ { c } } } } \approx m \overline { { \phi _ { c } } } \, \, \overline { { \Delta H _ { i j k \ell _ { c } } } } \approx \phi ^ { ( p ) } \Delta H _ { i j k \ell } ^ { ( p ) } \, .
\mathbf { T } ( z ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \mathbf { U } ( z ) , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { o u t s i d e \ t h e \ f o u r \ l e n s \ r e g i o n s } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { U _ { 2 } } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ u p p e r \ p a r t \ o f \ t h e \ f i r s t \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { U _ { 1 } } ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ l o w e r \ p a r t \ o f \ t h e \ f i r s t \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { L _ { 2 } } ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ u p p e r \ p a r t \ o f \ t h e \ s e c o n d \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { L _ { 1 } } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ l o w e r \ p a r t \ o f \ t h e \ s e c o n d \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { L _ { 4 } } ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ u p p e r \ p a r t \ o f \ t h e \ t h i r d \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { L _ { 3 } } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ l o w e r \ p a r t \ o f \ t h e \ t h i r d \ l e n s \ r e g i o n } } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { U _ { 4 } } ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ u p p e r \ p a r t \ o f \ t h e \ f o u r t h \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { U _ { 3 } } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ l o w e r \ p a r t \ o f \ t h e \ f o u r t h \ l e n s \ r e g i o n } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { h } \frac { \partial v _ { x } } { \partial x } d z + \int _ { 0 } ^ { h } \frac { \partial v _ { y } } { \partial y } d z + \int _ { 0 } ^ { h } \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } d z = 0 } \end{array}
{ \mathcal P } = < n _ { 1 } , n _ { 2 } , \cdots , n _ { \kappa } , \cdots \mid { \bf P } \mid n _ { 1 } , n _ { 2 } , \cdots , n _ { \kappa } , \cdots > = - \lambda \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \sum _ { \bf K } \left( n _ { \kappa } ^ { ( \mu ) } + \frac { 1 } { 2 } \right) { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } \omega _ { \bf K } \leq 0
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { k ^ { ( 2 ) } \mathrm { m a x } \left( \nu _ { ( i + 1 , j , k ) } ^ { d } , \nu _ { ( i , j , k ) } ^ { d } \right) \, \mathrm { , } } \\ { \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 4 ) } } & { = } & { \mathrm { m a x } \left[ 0 , k ^ { ( 4 ) } - \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 2 ) } \right] \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \langle A | \rho _ { s } ( t ) | A \rangle = - 2 \gamma _ { A } \langle A | \rho _ { s } ( t ) | A \rangle } \\ & { \qquad \qquad - 2 V _ { B A } ^ { * } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { B } \tau } \langle 0 | \rho _ { s , 0 B } ^ { ( 1 ) L } ( t , t - \tau ) | A \rangle + \mathrm { c . c . } } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { i } ^ { e q } ( \vec { x } , t ) = { w _ { i } } ( 1 + 3 \vec { e } _ { i } \cdot f _ { j } \vec { e } _ { j } + \frac { 9 } { 2 } ( \vec { e } _ { i } \cdot f _ { j } \vec { e } _ { j } ) ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } f _ { j } f _ { k } \vec { e } _ { j } \cdot \vec { e } _ { k } ) ) } \end{array}
\Bigl \| e ^ { - i \tau \mathcal { A } _ { \varepsilon } } e ^ { i \varepsilon ^ { - 1 } \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \cdot \right\rangle } \varsigma _ { j } ^ { \varepsilon } - e ^ { i \varepsilon ^ { - 1 } \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \cdot \right\rangle } \sum _ { l = 1 } ^ { n } \varsigma _ { l } ^ { \varepsilon } \tilde { J } _ { l } e ^ { - i \tau \mathcal { A } _ { \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } } J _ { j } \Bigr \| _ { H ^ { 3 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \le \mathcal { C } ( 1 + | \tau | ) \varepsilon ,
\begin{array} { r } { \tilde { \bf Y } _ { 1 } ^ { - } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) = \tilde { \bf F } _ { 1 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) = \tilde { \bf W } _ { 1 1 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) + \tilde { \bf W } _ { 1 2 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { v a r \to 0 + } d e r i v = 0 \textbf { o r } \operatorname* { l i m } _ { v a r \to 0 + } d e r i v = \infty \textbf { o r } \operatorname* { l i m } _ { v a r \to 0 + } d e r i v = - \infty
{ \begin{array} { r l } { f _ { Y } ( y ) } & { = f _ { X } \left( g ^ { - 1 } ( y ) \right) \left| { \frac { d } { d y } } g ^ { - 1 } ( y ) \right| } \\ & { = { \frac { \beta ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) } } \left( { \frac { 1 } { y } } \right) ^ { \alpha - 1 } \exp \left( { \frac { - \beta } { y } } \right) { \frac { 1 } { y ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { \beta ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) } } \left( { \frac { 1 } { y } } \right) ^ { \alpha + 1 } \exp \left( { \frac { - \beta } { y } } \right) } \\ & { = { \frac { \beta ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) } } \left( y \right) ^ { - \alpha - 1 } \exp \left( { \frac { - \beta } { y } } \right) } \end{array} }
{ \left( \begin{array} { l } { \partial _ { t } { \tilde { u } } _ { \boldsymbol { k } } ( t ) } \\ { \partial _ { t } { \tilde { v } } _ { \boldsymbol { k } } ( t ) } \end{array} \right) } = - k ^ { 2 } { \left( \begin{array} { l } { D _ { u } { \tilde { u } } _ { \boldsymbol { k } } ( t ) } \\ { D _ { v } { \tilde { v } } _ { \boldsymbol { k } } ( t ) } \end{array} \right) } + { \boldsymbol { R } } ^ { \prime } { \left( \begin{array} { l } { { \tilde { u } } _ { \boldsymbol { k } } ( t ) } \\ { { \tilde { v } } _ { \boldsymbol { k } } ( t ) } \end{array} \right) } .
S _ { e n / I , e ^ { \prime } n ^ { \prime } / I } = i V \mathrm { e x p } \frac { 2 i \pi } { k } \left[ e ^ { \prime } ( \widetilde { n } - 1 / 2 ) + e ( \widetilde { n ^ { \prime } } - 1 / 2 ) \right] = \ S _ { e n / I , e ^ { \prime } n ^ { \prime } / I I }
\begin{array} { r l } { \frac { P _ { \| } } { P _ { \perp } } } & { > 1 + \frac { \mathbf { B } ^ { 2 } } { P _ { \perp } } , } \\ { \frac { P _ { \perp } } { P _ { \| } } } & { > 1 + \frac { \mathbf { B } ^ { 2 } } { 2 P _ { \perp } } , } \\ { \frac { P _ { \perp } } { P _ { \| } } } & { > 1 + C _ { 1 } \left( \frac { \mathbf { B } ^ { 2 } } { 2 P _ { \| } } \right) ^ { C _ { 2 } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \sinh \left( { \frac { x } { 2 } } \right) } & { = { \frac { \sinh x } { \sqrt { 2 ( \cosh x + 1 ) } } } } & & { = \operatorname { s g n } x \, { \sqrt { \frac { \cosh x - 1 } { 2 } } } } \\ { \cosh \left( { \frac { x } { 2 } } \right) } & { = { \sqrt { \frac { \cosh x + 1 } { 2 } } } } \\ { \operatorname { t a n h } \left( { \frac { x } { 2 } } \right) } & { = { \frac { \sinh x } { \cosh x + 1 } } } & & { = \operatorname { s g n } x \, { \sqrt { \frac { \cosh x - 1 } { \cosh x + 1 } } } = { \frac { e ^ { x } - 1 } { e ^ { x } + 1 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { O ( \varepsilon ^ { 2 } ) : \partial _ { t _ { 2 } } f _ { j , \alpha } ^ { ( 0 ) } + D _ { 1 j } f _ { j , \alpha } ^ { ( 1 ) } + \frac { h } { 2 } D _ { 1 j } ^ { 2 } f _ { j , \alpha } ^ { ( 0 ) } = } & { - \tilde { \Lambda } _ { j k } f _ { k , \alpha } ^ { ( 2 ) } + \frac { h } { 2 } ( - \tilde { \Lambda } _ { j k } D _ { 1 k } f _ { k , \alpha } ^ { ( 1 ) } ) + \bar { G } _ { j , \alpha } ^ { ( 2 ) } + F _ { j , \alpha } ^ { ( 2 ) } } \\ & { + \frac { h } { 2 } ( \partial _ { t _ { 1 } } F _ { j , \alpha } ^ { ( 1 ) } + \partial _ { t _ { 1 } } \bar { G } _ { j , \alpha } ^ { ( 1 ) } ) . } \end{array}
E \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) = 1 - \frac { h ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } - \frac { h ^ { 4 } } { 4 c ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \right) \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \right) } .
m _ { \mathrm { E M } } ^ { 2 } ( \rho ^ { \pm } ) _ { \mathrm { M Y M } } ^ { ( 4 ) } = - i e ^ { 2 } \frac { 9 m _ { \rho } ^ { 4 } } { 4 } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { k ^ { 2 } ( k ^ { 2 } - m _ { \rho } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .