harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\gamma ^ { 5 } = i \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } = { \frac { i } { 4 ! } } \varepsilon ^ { 0 1 2 3 } \varepsilon _ { \mu \nu \varrho \sigma } \, \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \varrho } \gamma ^ { \sigma } = { \frac { i } { 4 ! } } \varepsilon _ { \mu \nu \varrho \sigma } \, \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \varrho } \gamma ^ { \sigma } = - { \frac { i } { 4 ! } } \varepsilon ^ { \mu \nu \varrho \sigma } \, \gamma _ { \mu } \gamma _ { \nu } \gamma _ { \varrho } \gamma _ { \sigma }
\begin{array} { r l } & { V _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( r ) = V _ { 2 2 } ^ { 2 2 } ( r ) = \frac { 2 } { 8 1 } ( 2 C _ { 6 } ^ { ( i ) } + 1 1 C _ { 6 } ^ { ( i i ) } + 1 4 C _ { 6 } ^ { ( i i i ) } ) / r ^ { 6 } } \\ & { V _ { 1 2 } ^ { 1 2 } ( r ) = V _ { 2 1 } ^ { 2 1 } ( r ) = \frac { 2 } { 8 1 } ( 4 C _ { 6 } ^ { ( i ) } + 1 3 C _ { 6 } ^ { ( i i ) } + 1 0 C _ { 6 } ^ { ( i i i ) } ) / r ^ { 6 } } \\ & { V _ { 2 1 } ^ { 1 2 } ( r ) = V _ { 1 2 } ^ { 2 1 } ( r ) = \frac { 8 } { 8 1 } ( C _ { 6 } ^ { ( i ) } + C _ { 6 } ^ { ( i i ) } - 2 C _ { 6 } ^ { ( i i i ) } ) / r ^ { 6 } . } \end{array}
\displaystyle { \frac { m _ { h } ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } } \leq \frac { 1 } { 2 } ( g ^ { 2 } + g ^ { 2 } ) \cos ^ { 2 } 2 \beta + \vec { \lambda } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } 2 \beta + \vec { \chi } _ { 1 } ^ { 2 } \cos ^ { 4 } \beta + \vec { \chi } _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 4 } \beta .
E \left( \frac { \pi } { 2 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) = E \left( \frac { \pi } { 2 } , 1 - \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } c ^ { 2 } } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon } \right) } \right) = 1 - \frac { h ^ { 4 } } { 2 \varepsilon ^ { 2 } c ^ { 2 } } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon c } \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \right) } .
\left| \psi _ { 3 } \right\rangle = \left( C N O T \right) _ { 1 2 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | 0 \rangle _ { 1 } + | 1 \rangle _ { 1 } \right) | 0 \rangle _ { 2 } \otimes | 0 \rangle _ { 3 }
\begin{array} { r l } { H ^ { t _ { 1 } , t _ { 2 } , t _ { 3 } + 1 } } & { = \bigcup _ { \lambda \in \{ 0 , 1 \} } ( \Phi ( { \cal { H } } _ { 1 } , { \cal { H } } _ { 1 } \mid { \cal { H } } _ { 2 } , { \cal { H } } _ { 2 } \mid { \cal { H } } _ { 3 } , { \cal { H } } _ { 3 } ) + \lambda ( { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 1 } } , { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 1 } } , { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 1 } } ) ) } \\ & { = A _ { 0 } \cup A _ { 1 } , } \end{array}
\mathrm { a g h } \left( V _ { \alpha ( \lambda ) } \right) = \mathrm { a g h } \left( A _ { \alpha } ^ { \; \; ( \lambda ) } \right) = \mathrm { a g h } \left( \eta _ { ( \lambda ) } \right) = \mathrm { a g h } \left( C ^ { ( \lambda ) } \right) = 0 ,
J ^ { a } ( z ) J ^ { b } ( w ) = \frac { - \frac { 1 } { 2 } k \ell ^ { 2 } \eta ^ { a b } } { ( z - w ) ^ { 2 } } + \frac { f _ { ~ ~ c } ^ { a b } J ^ { c } ( w ) } { ( z - w ) } + \cdots ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { p , q , v , l , \alpha _ { i } , \beta _ { i } , \eta _ { i } , \delta _ { i } } { r ( p _ { 1 } ) } } \\ { s . t . ~ ~ g _ { i } ( v ) + \alpha _ { i } ^ { T } ( A p + B q - b ) + \alpha _ { i } ^ { T } C t ( v , l ) } \\ { + \beta _ { i } ^ { T } ( D v - d ) - \eta _ { i } ^ { T } e + \delta _ { i } ^ { T } \gamma _ { i } \le f _ { i } ~ ~ \forall i } \\ { l \otimes \beta _ { i } + \eta _ { i } = 0 ~ ~ \forall i } \\ { | | J ^ { T } \eta _ { i } | | _ { * } \le \delta _ { i } ~ ~ \forall i } \end{array}
F _ { \kappa } ( x ) = ( 1 + \kappa \nu ) ( 2 \kappa ) ^ { \nu } { \frac { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } } { \frac { \alpha \beta ^ { \nu } } { \Gamma { \big ( } \nu { \big ) } } } \int _ { 0 } ^ { x } z ^ { \alpha \nu - 1 } \exp _ { \kappa } ( - \beta z ^ { \alpha } ) d z
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f _ { 2 } ( r , \beta ) } { \partial r } = } & { \; 2 { \pi } D ^ { 2 } r \left( 9 { \pi } ^ { 2 } ( 4 \beta - 2 ) r ^ { 4 } + 2 0 { \pi } D ^ { 2 } r ^ { 2 } \right) } \\ & { + 2 { \pi } D ^ { 2 } r \left( D ^ { 4 } ( 4 \beta - 2 ) \right) } \\ { \triangleq } & { \; 2 { \pi } D ^ { 2 } r f _ { 3 } ( r , \beta ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \hat { \lambda } _ { 4 } , \hat { \lambda } _ { 5 } \right] = 2 i \left( \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 3 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \hat { \lambda } _ { 8 } \right) , } \end{array}
\sigma _ { \tilde { z } } ^ { 2 } = 2 \bar { n } _ { \ast } + \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } , ~ \bar { n } _ { \ast } : = \frac { \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } { p _ { \Delta } } \sum _ { k } \frac { p _ { k } } { \tau _ { k } } \bar { n } _ { k } .
\left( \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } f _ { u } ( \mathbf { x } ) \right) \Bigm | \{ \mathbf { y } _ { l , u } \} _ { u \in U _ { l } } = \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } ( f _ { u } ( \mathbf { x } ) \mid \mathbf { y } _ { l , u } ) \sim \mathcal { N } \left( \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } m _ { u } ( \mathbf { x } ) , \frac { \sigma _ { T _ { l } } ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } { | U _ { l } | } \right) .
T _ { \mathrm { v i r i a l } } = \frac { \gamma - 1 } { 2 } \Omega ^ { 2 } z _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } \Omega ^ { 2 } z _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \kappa \subset \overline { { \Omega } } _ { 1 1 } } \left( \Vert ( P _ { h } u - u ) ^ { + } \Vert _ { \partial _ { - } \kappa \cap \Gamma } ^ { 2 } + \Vert ( P _ { h } u - u ) ^ { + } \Vert _ { \partial _ { + } \kappa \cap \Gamma } ^ { 2 } \right) } \\ & { \le C \Vert P _ { h } u - u \Vert _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { 1 1 } ) } ^ { 2 } N N ^ { - 1 } } \\ & { \le C N ^ { - 2 ( k + 1 ) } . } \end{array}
\int d k \, { \frac { 1 } { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { ( k + p _ { 1 } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } \cdots { \frac { 1 } { ( k + p _ { n } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \iint _ { \mathrm { p o l y g o n } } d x d y e ^ { i q _ { \perp } \cdot r _ { \perp } } = } & { \sum _ { k \in \mathrm { v e r t i c e s } } \pm \frac { W \cdot \hat { \lambda } _ { k } } { W \cdot q _ { \perp } } \; \frac { 1 } { q _ { \perp } \cdot \hat { \mu } _ { k } } \; e ^ { i q _ { \perp } \cdot V _ { k } } } \end{array}
\left( { \frac { p } { q } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \left( { \frac { q } { p } } \right) } & { q \equiv 1 { \bmod { 4 } } } \\ { \left( { \frac { - q } { p } } \right) } & { q \equiv 3 { \bmod { 4 } } } \end{array} \right. }
m ( \gamma ) = P \left\{ \gamma \left[ \alpha ( a ) , \beta ( b ) \right] | ( a , b ) \in M \right\} = \sum _ { ( a , b ) \in M } P \left\{ \gamma \left[ \alpha ( a ) , \beta ( b ) \right] \right\} \cdot P \left[ ( a , b ) | M \right]
\left\{ \psi _ { n } ^ { 0 } , \phi _ { n t _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } , \phi _ { n t _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } , \phi _ { n t _ { 1 } } ^ { ( 2 ) } , \phi _ { n t _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } , \phi _ { n t _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } , \phi _ { n t _ { 1 } t _ { 1 } } ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 2 } \phi _ { n n n } ^ { ( 2 ) } , \phi _ { n } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \phi _ { n } ^ { ( 2 ) } , \mu _ { 1 } \phi _ { n n n } ^ { ( 2 ) } + \mu _ { 2 } \left( \phi _ { n } ^ { ( 2 ) } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \phi _ { n } ^ { ( 1 ) } \right) \right\} ,
\frac { 1 } { A _ { \phi } } \frac { d \Gamma _ { \phi } ^ { u } } { d t } + \Gamma _ { \phi } ^ { u } \Big ( \frac { 1 } { A _ { \phi } } \frac { u _ { \rho } } { \rho } \Big ) = \frac { \Gamma _ { \phi } ^ { u } } { A _ { \phi } } \frac { u _ { \rho } } { \rho } + \frac { \Gamma _ { \phi } ^ { b } } { A _ { \phi } }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { S } } & { = \hat { S } _ { i j } = \frac { { S } _ { i j } } { ( | \alpha | + | S _ { i j } | ) } , \; { S } _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \bar { u } _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) , } \\ { \boldsymbol { R } } & { = \hat { R } _ { i j } = \frac { { R } _ { i j } } { ( | \alpha | + | R _ { i j } | ) } , \; { R } _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \bar { u } _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \varepsilon } \dot { L } _ { \varepsilon } } & { = D L _ { \varepsilon } - C - { \varepsilon } L _ { \varepsilon } ( A - B L _ { \varepsilon } ) , } \\ { - { \varepsilon } \dot { H } _ { \varepsilon } } & { = H _ { \varepsilon } D - B + { \varepsilon } H _ { \varepsilon } L _ { \varepsilon } B - { \varepsilon } ( A - B L _ { \varepsilon } ) H _ { \varepsilon } . } \end{array}
\delta q ( t ) = i \{ \epsilon \bar { \psi } ( t ) + \bar { \epsilon } \psi ( t ) \} , \qquad \delta A = \epsilon \dot { \bar { \psi } } ( t ) - \bar { \epsilon } \dot { \psi } ( t ) = { \frac { d } { d t } } \{ \epsilon \bar { \psi } - \bar { \epsilon } \psi ) ,
p _ { N } = M _ { N } ^ { \mathrm { ~ a ~ t ~ m ~ } } \, \frac { g } { A } = ( M _ { N } ^ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } - M _ { N } ^ { \mathrm { ~ M ~ O ~ } } - M _ { N } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } ) \frac { g } { A } = \frac { M _ { p p } \, g } { A } \left( f _ { N } - ( 1 - f _ { N } ) \hat { f } _ { N } \right)
\vec { A } \cdot \vec { B } = \Re ( \Psi _ { B } ^ { * } \Psi _ { A } ) \propto \cos [ ( \sigma _ { B } \omega _ { B } - \sigma _ { A } \omega _ { A } ) t - ( \sigma _ { B } \ell _ { B } - \sigma _ { A } \ell _ { A } ) \varphi ]
\rho = M _ { W ^ { \prime } } ^ { 2 } / ( M _ { Z _ { 1 } } ^ { 2 } C _ { W } ^ { 2 } ) \simeq 1 - { \frac { 3 } { 8 } } q ^ { 2 } ( 1 + 2 T _ { W } ^ { 2 } - 3 T _ { W } ^ { 4 } ) ,
\begin{array} { r l } { x ( t ) } & { { } = \operatorname { s g n } \left( \sin { \frac { 2 \pi t } { T } } \right) = \operatorname { s g n } ( \sin 2 \pi f t ) } \\ { v ( t ) } & { { } = \operatorname { s g n } \left( \cos { \frac { 2 \pi t } { T } } \right) = \operatorname { s g n } ( \cos 2 \pi f t ) , } \end{array}
\frac { 1 } { \sin ( \theta _ { 0 } ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta _ { 0 } ) h \Big ) = \left( \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 } - \widetilde { \gamma } \right) \partial _ { \varphi } h = - \left( \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 } - \widetilde { \gamma } \right) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathbf { m } n h _ { n } \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) .
\frac { n } { \sqrt { k } } \left( \left( \begin{array} { c } { E _ { ( k ) } } \\ { E _ { ( 2 k ) } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { \ln ( 1 - k / n ) } \\ { \ln ( 1 - 2 k / n ) } \end{array} \right) \right) \xrightarrow { d } N \left( \Big ( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \Big ) , \Big ( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } \end{array} \Big ) \right) ,
\begin{array} { r } { \alpha _ { i } ^ { V } ( \omega ) = C _ { 1 } \sum _ { n } ( - 1 ) ^ { J _ { n } + J _ { i } } \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { J _ { i } } & { J _ { i } } & { J _ { n } } \end{array} \right\} } \\ { \frac { \omega | \langle n | | D | | i \rangle | ^ { 2 } } { ( E _ { n } - E _ { i } ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { z } \frac { d r } { d z } = p _ { r , 0 } - q b _ { \phi } d z , } \\ { \frac { d r } { d z } = \frac { p _ { r , 0 } } { p _ { z } } - \frac { q b _ { \phi } d z } { p _ { z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { k l } \, \sigma _ { R } ^ { k l } } & { { } = } & { \left( \frac { m _ { k l } } { 2 \, k _ { B } T } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, \int d ^ { 3 } u \, u \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u \right) } \end{array}
I _ { i } = \frac { 2 } { \Gamma _ { \mu } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( \delta _ { i } - i \frac { \Gamma _ { \mu } } { 2 } ) ) \exp \left( - \frac { 3 \delta _ { i } ^ { 2 } } { \Gamma _ { \mu } ^ { 2 } } + i \alpha _ { i } \delta _ { i } \right) d \delta _ { i } = i \sqrt { \frac { \pi } { 3 } } \Gamma _ { \mu } \exp \left( - \frac { \alpha _ { i } ^ { 2 } \Gamma _ { \mu } ^ { 2 } } { 1 2 } \right) \left[ \frac { \alpha _ { i } \Gamma _ { \mu } } { 3 } - 1 \right]
\begin{array} { r l r } { f _ { \alpha } ^ { e q } = } & { } & { \rho w _ { \alpha } \bigg \{ 1 + \frac { { c } _ { \alpha } ^ { i } { U } ^ { i } } { T _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 T _ { 0 } } ( \frac { { c } _ { \alpha } ^ { i } { c } _ { \alpha } ^ { j } } { T _ { 0 } } - \delta ^ { i j } ) [ ( g ^ { i j } - \delta ^ { i j } ) T _ { 0 } + { \tilde { U } } ^ { i } { \tilde { U } } ^ { j } ] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 6 T _ { 0 } ^ { 3 } } ( { c } _ { \alpha } ^ { i } { c } _ { \alpha } ^ { j } { c } _ { \alpha } ^ { k } - T _ { 0 } ( { c } _ { \alpha } ^ { i } \delta ^ { j k } + { c } _ { \alpha } ^ { j } \delta ^ { k i } + { c } _ { \alpha } ^ { k } \delta ^ { i j } ) ) [ T _ { 0 } [ ( g ^ { i j } { \tilde { U } } ^ { k } - \delta ^ { i j } U ^ { k } ) } \\ & { } & { + ( g ^ { j k } { \tilde { U } } ^ { i } - \delta ^ { j k } U ^ { i } ) + ( g ^ { k i } { \tilde { U } } ^ { j } - \delta ^ { k i } U ^ { j } ) ] + { \tilde { U } } ^ { i } { \tilde { U } } ^ { j } { \tilde { U } } ^ { k } ] \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } { \lambda \tilde { u } _ { z } ^ { ( k ) } } & { + \frac { \tilde { u } _ { \xi } ^ { ( k ) } } { H _ { \xi } } \frac { \partial U _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { \tilde { u } _ { \phi } ^ { ( k ) } } { H _ { \phi } } \frac { \partial U _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + i \alpha U _ { z } ^ { ( k ) } \tilde { u } _ { z } ^ { ( k ) } = - i \alpha \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \tilde { p } ^ { ( k ) } } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \Biggl [ \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } \right) + \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \phi } \left( \frac { H _ { \xi } } { H _ { \phi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } \right) } \\ & { - \alpha ^ { 2 } \tilde { u } _ { z } ^ { ( k ) } \Biggr ] . } \end{array} } \end{array}
\gamma _ { \scriptscriptstyle { l } } = \Phi / 2 \pi - l + \frac { a ^ { 2 l } } { \int _ { 0 } ^ { a } d r \, r ^ { 2 l - 1 } \, e ^ { 2 \phi ( r ) } } - k ^ { 2 } \, a \chi _ { \scriptscriptstyle { l } } ^ { \prime } ( a ) + \mathrm { O } ( k ^ { 4 } ) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } \widetilde { \phi } _ { n l } ^ { \mathrm { t e s t } } ( r ) } { d r ^ { 2 } } } & { = \frac { 2 } { r } \bigg [ \frac { l ( l + 1 ) } { 2 r } - r \left[ V ^ { \mathrm { l o c } } ( r ) + A ( r ) \right] + Y _ { \mu } ( n l ; r ) } \\ & { + ( 1 - \alpha - \beta ) r V _ { \mathrm { F R } } ^ { \mathrm { D F A } } ( r ) } \\ & { + \beta r V _ { \mathrm { S R } } ^ { \mathrm { D F A } } ( r ) + r V _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { D F A } } ( r ) \bigg ] \widetilde { \phi } _ { n l } ^ { \mathrm { t e s t } } ( r ) } \\ & { + \frac { 2 } { r } \bigg [ ( \alpha + \beta ) X _ { \mathrm { F R } } ( n l ; r ) - \beta X _ { \mathrm { { S R } } } ( n l ; r ) \bigg ] } \\ & { - 2 \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, \widetilde { \phi } _ { n l } ( r ) \Delta V _ { l } ( r ) \widetilde { \phi } _ { n l } ^ { \mathrm { t e s t } } ( r ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, \widetilde { \phi } _ { n l } ( r ) \Delta V _ { l } ( r ) \widetilde { \phi } _ { n l } ( r ) } \Delta V _ { l } ( r ) \widetilde { \phi } _ { n l } ( r ) } \\ & { + \widetilde { \epsilon } _ { n l } ^ { \mathrm { \, t e s t } } \widetilde { \phi } _ { n l } ^ { \mathrm { t e s t } } ( r ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left| { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial s } } \times { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial t } } \right| } & { = \left| \sum _ { k } \sum _ { m } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } h _ { k i } ~ { \frac { \partial q ^ { i } } { \partial s } } \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } h _ { m j } ~ { \frac { \partial q ^ { j } } { \partial t } } \right) \mathbf { e } _ { k } \times \mathbf { e } _ { m } \right| } \\ & { = \left| \sum _ { p } \sum _ { k } \sum _ { m } { \mathcal { E } } _ { k m p } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } h _ { k i } ~ { \frac { \partial q ^ { i } } { \partial s } } \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } h _ { m j } ~ { \frac { \partial q ^ { j } } { \partial t } } \right) \mathbf { e } _ { p } \right| } \end{array} }
S _ { 0 } \! \! = \! \int \! \! d t d ^ { 3 } \! \vec { r } \, \Psi ^ { \! \dag } \! ( \vec { r } , t ) i \! \left\{ \partial _ { t } \! + \! \alpha _ { 1 } \! \left( \! \partial _ { x } \! - \! \frac { i } { 2 } { \mathcal { B } } y \! \right) \! + \! \alpha _ { 2 } \! \left( \! \partial _ { y } \! + \! \frac { i } { 2 } { \mathcal { B } } x \! \right) \! + \! \alpha _ { 3 } \partial _ { z } \! + \! i \beta m \right\} \! \Psi ( \vec { r } , t ) ,
\begin{array} { r l } { \left\| p _ { u } ^ { x _ { 1 } } ( t ) - p _ { u } ^ { x _ { 2 } } ( t ) \right\| } & { = \bigg \| \underbrace { \frac { 1 } { 2 \gamma } \left[ \begin{array} { l l } { t ^ { 2 } ( \gamma \overline { { M } } + ( \gamma \Delta M ) _ { 2 } ) I _ { 2 \times 2 } } & { \left( \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \bar { u } _ { k } \Delta _ { k } + t ^ { 2 } F _ { 1 } \right) } \end{array} \right] } _ { A ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) } \underbrace { \left[ \begin{array} { l } { F _ { 1 } - F _ { 2 } } \\ { ( \gamma \Delta M ) _ { 1 } - ( \gamma \Delta M ) _ { 2 } } \end{array} \right] } _ { x _ { 1 } - x _ { 2 } } \bigg \| } \\ & { \leq \| A ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) \| \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta a } & { { } = a _ { - } \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { p } t } + a _ { + } \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { p } t } , } \\ { \delta b } & { { } = b _ { - } \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { p } t } + b _ { + } \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { p } t } , } \\ { \delta c } & { { } = c _ { - } \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { p } t } + c _ { + } \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { p } t } , } \end{array}
R _ { \mu } ( x ) = \Phi _ { \mu } ( \xi ) \sim \frac { \sqrt { \sinh \pi \mu } } { 2 \pi } \, \left\{ \Gamma ( i \mu ) \left( \frac { m x _ { + } } 2 \right) ^ { - i \mu } + \Gamma ( - i \mu ) \left( - \frac { m x _ { - } } 2 \right) ^ { i \mu } \right\} , \quad x \in R , \quad x _ { \pm } \to 0 .
\nabla ^ { 2 } \phi = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial r } \left( r ^ { 2 } \frac { \partial \phi } { \partial r } \right) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } \left( \sin \theta \frac { \partial \phi } { \partial \theta } \right) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial \psi ^ { 2 } } = 0
\hat { H } _ { \mathrm { O D F } } = \frac { \hbar f } { 2 \sqrt { N } } \left( \hat { a } e ^ { - i \phi _ { \mathrm { ~ O ~ D ~ F ~ } } } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \phi _ { \mathrm { ~ O ~ D ~ F ~ } } } \right) \sum _ { i } ^ { N } \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } - \hbar \delta \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } ,
\left( \begin{array} { c } { { X } } \\ { { \partial F } } \end{array} \right) _ { ( i ) } = e ^ { i c _ { i j } } M _ { i j } \left( \begin{array} { c } { { X } } \\ { { \partial F } } \end{array} \right) _ { ( j ) } + b _ { i j } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \varepsilon ^ { - } } { \partial t } = } & { - ( V - V _ { A } ) \frac { \partial \varepsilon ^ { - } } { \partial r } - \frac { 1 } { A } \frac { \partial } { \partial r } \left( A \left( V - V _ { A } \right) \right) \varepsilon ^ { - } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { A } \frac { \partial ( A V ) } { \partial r } \varepsilon ^ { - } + R _ { - } + D _ { - } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma } & { = \hat { \eta } ^ { \prime } q = ( 1 . 9 5 6 6 , 6 . 4 2 4 7 , 3 . 2 3 6 1 , 0 . 2 6 2 5 ) ^ { \prime } , \mathrm { ~ a n d } } \\ { \Sigma } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 . 7 0 9 7 } & { 0 . 1 9 1 8 } & { 0 . 0 9 6 6 } & { 0 . 0 0 7 8 } \\ { 0 . 1 9 1 8 } & { 2 . 3 3 0 2 } & { 0 . 3 1 7 3 } & { 0 . 0 2 5 7 } \\ { 0 . 0 9 6 6 } & { 0 . 3 1 7 3 } & { 1 . 1 7 4 2 } & { 0 . 0 1 3 0 } \\ { 0 . 0 0 7 8 } & { 0 . 0 2 5 7 } & { 0 . 0 1 3 0 } & { 0 . 0 9 3 7 } \end{array} \right] . } \end{array}
p d f _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ m ~ p ~ } } [ j ] \leftarrow \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d / 2 } \sqrt { | \Sigma _ { j } | } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } ( X _ { i } - \mu _ { j } ) ^ { T } \Sigma _ { j } ^ { - 1 } ( X _ { i } - \mu _ { j } ) \right)
\Delta ( \Omega _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ) = \int _ { 0 } ^ { t \gg 1 / \omega } e ^ { i \Omega _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } t ^ { \prime } } d t ^ { \prime } = { \frac { e ^ { i \Omega _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } t } - 1 } { i \Omega _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } } } \, .
\alpha _ { a } ^ { - 1 } ( \mu ) = \alpha _ { a } ^ { - 1 } ( \Lambda ) + { \frac { { \widetilde b } _ { a } } { 4 \pi } } \int _ { ( \xi \Lambda ) ^ { - 2 } } ^ { ( \xi \mu ) ^ { - 2 } } { \frac { d t } { t } } \sum _ { { \bf m } } \exp ( - \pi t M _ { \bf m } ^ { 2 } ) ~ .
\tilde { q } _ { \Lambda } ^ { ( e ) } = q _ { \Lambda } ^ { ( e ) } - W _ { \Sigma \Lambda } q _ { ( m ) } ^ { \Sigma } ; \ \ \ \ \left\{ \begin{array} { l } { { \tilde { q } _ { 0 } ^ { ( e ) } = q _ { 0 } ^ { ( e ) } - { \frac { c _ { 2 } J _ { a } } { 2 4 } } q _ { ( m ) } ^ { a } } } \\ { { \tilde { q } _ { a } ^ { ( e ) } = q _ { a } ^ { ( e ) } - { \frac { c _ { 2 } J _ { a } } { 2 4 } } q _ { ( m ) } ^ { 0 } } } \end{array} \right. .
{ \begin{array} { c c c c c c c c c c } { X _ { 0 } } & { \to } & { X _ { 1 } } & { \to } & { X _ { 2 } } & { \to } & { X _ { 3 } } & { \to } & { \cdots } & { { \mathrm { s i g n a l } } } \\ { \downarrow } & & { \downarrow } & & { \downarrow } & & { \downarrow } & & { \cdots } & \\ { Y _ { 0 } } & & { Y _ { 1 } } & & { Y _ { 2 } } & & { Y _ { 3 } } & & { \cdots } & { { \mathrm { o b s e r v a t i o n } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \Omega ^ { ( n ) } } & { = } & { \left[ E _ { N } ^ { ( n ) } \right] + \frac { ( - \beta ) } { 2 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \left( \left[ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( n - i ) } \right] - \Omega ^ { ( i ) } \Omega ^ { ( n - i ) } \right) } \\ & { } & { + \frac { ( - \beta ) ^ { 2 } } { 3 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - i - 1 } \left( \left[ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( j ) } E _ { N } ^ { ( n - i - j ) } \right] - \Omega ^ { ( i ) } \Omega ^ { ( j ) } \Omega ^ { ( n - i - j ) } \right) } \\ & { } & { + \cdots + \frac { ( - \beta ) ^ { n - 1 } } { n ! } \left\{ \left[ ( E _ { N } ^ { ( 1 ) } ) ^ { n } \right] - ( \Omega ^ { ( 1 ) } ) ^ { n } \right\} , } \end{array}
B _ { Q } \left( s , t _ { 1 } , u _ { 1 } \right) = \pi e _ { Q } ^ { 2 } \alpha _ { e m } \alpha _ { s } \left[ \frac { t _ { 1 } } { u _ { 1 } } + \frac { u _ { 1 } } { t _ { 1 } } + \frac { 4 m _ { Q } ^ { 2 } s } { t _ { 1 } u _ { 1 } } \left( 1 - \frac { m _ { Q } ^ { 2 } s } { t _ { 1 } u _ { 1 } } \right) \right] \delta \left( s + t _ { 1 } + u _ { 1 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 4 \, 2 } ^ { 2 } ( i ) } & { = \frac { 2 1 } { 1 6 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } ( \cos i ) ^ { 2 } + \frac { 2 1 } { 1 6 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } \cos i } \\ & { - \frac { 3 } { 1 6 } \sqrt { 5 } ( \cos i ) ^ { 2 } - \frac { 3 } { 8 } \sqrt { 5 } \cos i - \frac { 3 } { 1 6 } \sqrt { 5 } } \end{array}
C _ { F _ { n c } } = \frac { \pi c } { 2 U _ { \infty } ^ { 2 } } [ \dot { \alpha } c o s ( \alpha ) U + s i n ( \alpha ) \dot { U } + c \ddot { \alpha } ( 1 / 2 - x _ { p } ^ { * } ) ] [ 1 + k ( 1 / 2 h ^ { * } ) ^ { 2 } ]