harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 0 = \int _ { a } ^ { b } \eta ( x ) \biggl ( } & { \partial _ { 2 } F ( x , \phi ( x ) , \phi ^ { \prime } ( x ) , \phi ^ { \prime \prime } ( x ) ) } \\ & { - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } ( \partial _ { 3 } F ( x , \phi ( x ) , \phi ^ { \prime } ( x ) , \phi ^ { \prime \prime } ( x ) ) ) } \\ & { + \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( \partial _ { 4 } F ( x , \phi ( x ) , \phi ^ { \prime } ( x ) , \phi ^ { \prime \prime } ( x ) ) ) \biggr ) ~ \mathrm { d } x . } \end{array}
\mathcal { S } = \int d ^ { 4 } x \left( | W ( z ) | ^ { 2 } + \frac { \partial ^ { 2 } K } { \partial z ^ { i } \partial z ^ { \bar { j } } } D z ^ { i } D z ^ { \bar { j } } - \frac { 1 } { 4 g _ { i j } ^ { 2 } } F ^ { ( i ) } \wedge * F ^ { ( j ) } + \theta _ { i j } F ^ { ( i ) } \wedge F ^ { ( j ) } \right)
\begin{array} { r l } { \tau _ { x x } = \frac { 2 } { 3 } \mu \left( 2 \frac { \partial u } { \partial x } - \frac { \partial v } { \partial y } \right) , } & { \quad \tau _ { x y } = \tau _ { y x } = \mu \left( \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } \right) , \quad \tau _ { y y } = \frac { 2 } { 3 } \mu \left( 2 \frac { \partial v } { \partial y } - \frac { \partial u } { \partial x } \right) , } \\ { q _ { x } } & { = - k \frac { \partial T } { \partial x } , \quad q _ { y } = - k \frac { \partial T } { \partial y } , \quad T = \frac { \gamma p } { ( \gamma - 1 ) C _ { p } \rho } , } \end{array}
\overline { { { R } } } ( s , \Delta ) = \frac { \Delta } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { R ^ { e ^ { + } e ^ { - } } ( s ^ { ' } ) } { ( s ^ { ' } - s ) ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } d s ^ { ' } ~ ~ ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { Q } & { = e \int d ^ { 3 } p d ^ { 3 } x f _ { 0 } } \\ { \mathbf { J } } & { = \frac { e } { m } \int d ^ { 3 } p \, \mathbf { p } ( f _ { 2 } + f _ { 3 } ) } \\ { W } & { = \int d ^ { 3 } p d ^ { 3 } x \Big [ \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } ( f _ { 2 } + f _ { 3 } ) + m f _ { 3 } \Big ] } \\ { \mathbf { M } } & { = \int d ^ { 3 } p d ^ { 3 } x \, \mathbf { p } ( f _ { 0 } - f _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma ^ { \prime } } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 4 } \mathrm { d } x } & { \leq \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma ^ { \prime } } ( 1 + x \gamma ^ { \prime } ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \gamma ^ { \prime } } } x ^ { 4 } \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma ^ { \prime } } e ^ { - x } x ^ { 4 } \mathrm { d } x } \\ & { \leq \frac { 1 3 } { 2 } \Gamma ( 5 ) } \end{array}
\frac { \partial \rho } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial z } \frac { 1 } { \Gamma ( z ) } \frac { \partial F ( z ) } { \partial z } \rho ( z , t ) + \frac { \partial } { \partial z } \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { \Gamma ( z ) } \frac { \rho ( z , t ) } { \partial z } - k ( z ) \rho ( z )
( L _ { n } - \tilde { L } _ { - n } ) \left| B _ { _ { p ^ { + } , p ^ { - } , p _ { 2 } } } \right\rangle = 0 = \left\langle B _ { p ^ { + } , p ^ { - } , p _ { 2 } } \right| ( L _ { n } - \tilde { L } _ { - n } ) .
S = \int d ^ { 4 } x \, \sqrt { - \tilde { g } } \left\{ \tilde { R } - 2 \tilde { g } ^ { a b } \nabla _ { a } \Phi \nabla _ { b } \Phi - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - 2 \Phi } \tilde { g } ^ { a e } \tilde { g } ^ { b f } F _ { a b } F _ { e f } \right\} \; .
\begin{array} { r } { ( z - h ^ { 2 } P _ { m } ^ { \kappa } ) \tilde { \chi } _ { \kappa } ^ { \prime } [ \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } h ^ { j } \mathrm { O p } _ { h } ( p _ { h } ^ { ( j ) } ) ( z ) ] \chi _ { \kappa } ^ { \prime } = \chi _ { \kappa } ^ { \prime } + [ h ^ { 2 } P _ { m } ^ { \kappa } , \tilde { \chi } _ { \kappa } ^ { \prime } ] [ \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } h ^ { j } \mathrm { O p } _ { h } ( p _ { h } ^ { ( j ) } ) ( z ) ] \chi _ { \kappa } ^ { \prime } + h ^ { N } \mathrm { O p } _ { h } ( r _ { N } ( z , h ) ) \chi _ { \kappa } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ln \left[ ( 1 - \chi ) \tilde { r } _ { i } / a \right] e ^ { i \chi \phi } \frac { d } { d t } \tilde { z } _ { i } = \zeta \frac { 1 } { a } ( 1 - \chi ) ( 1 - 2 \chi ) - 3 \gamma ^ { - 1 } \chi ( K + K ^ { \prime } ) \frac { [ ( 1 - \chi ) \tilde { r } _ { i } ] ^ { \frac { \chi } { 1 - \chi } } } { \left[ ( 1 - \chi ) \overline { { \tilde { z } _ { i } } } \right] ^ { \frac { 1 } { 1 - \chi } } } } \end{array}
\sigma : { \bf y } \equiv ( z _ { b } ) | _ { b = 1 , 2 , 3 } \in { \bf C } ^ { 3 } \longmapsto \sigma \cdot { \bf y } \equiv ( e ^ { 2 \pi i v _ { b } } z _ { b } ) | _ { b = 1 , 2 , 3 } \in { \bf C } ^ { 3 }
\mathfrak { h } : = \ell ^ { 2 } ( \mathbb { Z } \times \{ 0 , 1 \} ) : = \left\{ ( \psi ( x ) ) _ { x \in \mathbb { Z } \times \{ 0 , 1 \} } \subseteq \mathbb { C } : \sum _ { x \in \mathbb { Z } \times \{ 0 , 1 \} } \left\vert \psi \left( x \right) \right\vert ^ { 2 } < \infty \right\}
\frac { d \mathcal { E } } { d t } = - \left( \int _ { 0 } ^ { L } h ^ { 3 } \left( \frac { \partial p } { \partial x } \right) ^ { 2 } ~ d x + \beta \int _ { 0 } ^ { L } \frac { p ^ { 2 } } { h + K } ~ d x \right) \le 0 \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { 4 t h } } ( \mathrm { \boldmath ~ d ~ } ) } & { \approx \frac { ( 2 M - 1 ) ! ! } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } d _ { j } ! } \, \sum _ { K = 0 } ^ { \infty } \frac { H _ { K } \left( 1 / 2 \right) } { K ! } \left( - \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \binom { d _ { j } } { 2 } } { 2 M } \right) ^ { K } } \\ & { = \frac { ( 2 M - 1 ) ! ! } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } d _ { j } ! } \, \mathrm { e } ^ { - \lambda - \lambda ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i } F _ { i i i i } \left[ \langle N | Q _ { i } ^ { 4 } | N \rangle \right] + \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } F _ { i i j j } \left[ \langle N | Q _ { i } ^ { 2 } Q _ { j } ^ { 2 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \tilde { F } _ { i i i i } { ( f _ { i } + 1 / 2 ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } \tilde { F } _ { i i j j } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } \tilde { F } _ { i i j j } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \Psi } { \partial t } } & { { } = \frac { 1 } { 2 M } ( - i \hbar \vec { \nabla } - M \Omega \hat { z } \times \vec { r } ) ^ { 2 } \Psi + \left[ \frac { 1 } { 2 } M ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) r ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda ^ { \prime } r ^ { 4 } \right] \Psi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { L B } } } & { = \tau _ { \mathrm { m i n } } - 2 w \sqrt { \frac { 2 \tau _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { m i n } } \sigma _ { \mathrm { w c } } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } } { m _ { \Delta } } } , } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { U B } } } & { = \bar { n } _ { \mathrm { w c } } + w \frac { \sigma _ { \mathrm { w c } } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 m _ { \Delta } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { \alpha } ^ { \circ } ( j ) = \mathcal { C } _ { \alpha } j ( \lambda _ { \alpha - 1 } ^ { \circ } ( j ) - \lambda _ { \alpha - 1 } ^ { \circ } ( 0 ) ) = \mathcal { C } _ { \alpha } j \left( \frac { \Gamma ( | j | + \frac { \alpha } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 + | j | - \frac { \alpha } 2 ) } - \frac { \Gamma ( \frac { \alpha } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 - \frac { \alpha } 2 ) } \right) . } \end{array}
\mathbf { \widetilde { A } } _ { i } { \mathbf \beta } = \mathbf { \widetilde { b } } _ { i } \Leftrightarrow { \mathbf \beta } = \mathbf { \widetilde { A } } _ { i } ^ { - 1 } \mathbf { \widetilde { b } } _ { i } = \mathbf { \widetilde { A } } _ { i } ^ { - 1 } \left( \mathbf { A } _ { \widetilde { b } _ { i } } { \mathbf \alpha } \right) = \mathbf { \widetilde { A } } _ { i } ^ { - 1 } \left( \mathbf { A } _ { \widetilde { b } _ { i } } \mathbf { A } _ { i } ^ { - 1 } \mathbf { d } _ { i } \right) ,
\begin{array} { r l } { C _ { i j n , i j n } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } & { { } = \Omega _ { n } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } - \epsilon _ { i } ^ { \mathrm { ~ G ~ T ~ } } - \epsilon _ { j } ^ { \mathrm { ~ G ~ T ~ } } } \\ { C _ { a b n , a b n } ^ { \mathrm { ~ h ~ h ~ } } } & { { } = \epsilon _ { a } ^ { \mathrm { ~ G ~ T ~ } } + \epsilon _ { b } ^ { \mathrm { ~ G ~ T ~ } } - \Omega _ { n } ^ { \mathrm { ~ h ~ h ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle { \widetilde { v } ^ { \bullet } } \right\rangle \left( y ^ { \bullet } \right) } & { { } = - \mathrm { i } \frac { \mathrm { d } \widetilde { p } ^ { \bullet } } { \mathrm { d } y ^ { \bullet } } \left[ 1 - \mathcal { F } \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) \right] , } \\ { \left\langle { \widetilde { \tau } ^ { \bullet } } \right\rangle \left( y ^ { \bullet } \right) } & { { } = \left( \gamma - 1 \right) \mathrm { H e } ^ { 2 } \widetilde { p } ^ { \bullet } \left[ 1 - \mathcal { F } \left( \left( \mathrm { i } \mathrm { P r } \right) ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( x ) _ { n } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } s ( n , k ) x ^ { k } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right] } ( - 1 ) ^ { n - k } x ^ { k } } \\ { x ^ { ( n ) } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right] } x ^ { k } } \end{array} }
f _ { j + \frac { 1 } { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \textnormal { m i n } _ { u _ { j } \le u \le u _ { j + 1 } } f ( u ) } & { \textnormal { i f } u _ { j } \le u _ { j + 1 } } \\ { \textnormal { m a x } _ { u _ { j } \le u \le u _ { j + 1 } } f ( u ) } & { \textnormal { i f } u _ { j } > u _ { j + 1 } } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { - \mu \Delta \varphi _ { k } ^ { 1 } + \mu \frac { \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \, \varphi _ { k } ^ { 1 } - ( \lambda + \mu ) \bigg [ \frac { \partial ^ { 2 } \varphi _ { k } ^ { 1 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \varphi _ { k } ^ { 2 } } { \partial x \partial y } + \frac { \pi k } h \frac { \partial \varphi _ { k } ^ { 3 } } { \partial x } \bigg ] = 0 \quad } & { \mathrm { i n ~ } C _ { a , b } \, , } \\ { - \mu \Delta \varphi _ { k } ^ { 2 } + \mu \frac { \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \, \varphi _ { k } ^ { 2 } - ( \lambda + \mu ) \bigg [ \frac { \partial ^ { 2 } \varphi _ { k } ^ { 1 } } { \partial x \partial y } + \frac { \partial ^ { 2 } \varphi _ { k } ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \pi k } h \frac { \partial \varphi _ { k } ^ { 3 } } { \partial y } \bigg ] = 0 \quad } & { \mathrm { i n ~ } C _ { a , b } \, , } \\ { - \mu \Delta \varphi _ { k } ^ { 3 } + \mu \frac { \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \, \varphi _ { k } ^ { 3 } + \frac { \pi k } h ( \lambda + \mu ) \bigg [ \frac { \partial \varphi _ { k } ^ { 1 } } { \partial x } + \frac { \partial \varphi _ { k } ^ { 2 } } { \partial y } + \frac { \pi k } h \varphi _ { k } ^ { 3 } \bigg ] = \Psi _ { k } \quad } & { \mathrm { i n ~ } C _ { a , b } \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { x } _ { k + 1 } } & { = \bar { A } \tilde { x } _ { k } + \bar { B } \tilde { u } _ { k } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { A } _ { j } q _ { j , k } x _ { k } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { B } _ { j } q _ { j , k } u _ { k } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { d } _ { j } q _ { j , k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 2 4 } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , s h } } { = \langle \Delta I _ { 2 } ^ { \sigma } \Delta I _ { 4 } ^ { \sigma ^ { \prime } } \rangle ^ { s h } } , \quad \mathrm { { w h e r e } } \quad { \sigma , \sigma ^ { \prime } = \uparrow / \downarrow } } \\ { { = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } \sum _ { \rho \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } ( f _ { \gamma } - f _ { a } ) ( f _ { \delta } - f _ { b } ) } } \\ { { \times T r ( s _ { 2 \gamma } ^ { \sigma \rho ^ { \dagger } } s _ { 2 \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } } s _ { 4 \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \dagger } } s _ { 4 \gamma } ^ { \sigma \rho } ) } } \end{array}
\mathbf { T } _ { f } = \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k \ell _ { m } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \ell _ { m } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r } ( \tilde { Y _ { 1 } } > y ) = } & { \mathrm { P r } ( \tilde { Y _ { 1 } } > y \mid G = g ) \mathrm { P r } \left( G = g \right) } \\ { = } & { \left( 1 - e ^ { - \frac { \gamma _ { s } } { \tilde { \Omega } _ { m } } } + e ^ { - \frac { y } { \tilde { \Omega } _ { m } } } \right) ^ { M } - \left( 1 - e ^ { - \frac { \gamma _ { s } } { \tilde { \Omega } _ { m } } } \right) ^ { M } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \! \! \! \! \! \! \! \Tilde { \mathcal { H } } ( \left| \tilde { \psi } \left( t \right) \right\rangle , u ( t ) , \lambda ( t ) , t ) = } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \left| \lambda \left( { t } \right) \right\rangle ^ { { T } } \tilde { H } \left( u \left( t \right) \right) \left| \tilde { \psi } \left( t \right) \right\rangle + \eta { { u } ^ { 2 } } \left( t \right) + \mu { { \nu } ^ { 2 } } + { \varphi \left( u - { { \phi } } \left( \nu \right) \right) } } \end{array}
y \tilde { p } _ { n } = \frac { h _ { n } } { h _ { n - 1 } } \tilde { p } _ { n - 1 } + \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { 1 } } g _ { 3 j - 1 } ( n ) \frac { h _ { n } } { h _ { n - 1 + 3 j } } \tilde { p } _ { n - 1 + 3 j } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { v a r i a b l e s : ~ } p , q , r , } \\ & { } & { 0 < p < q < N ; } \\ & { } & { - N \le q r \le N ; } \\ & { } & { w _ { N } \left( p , q , r \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { w _ { N } ( q , r ) } & { \mathrm { i f ~ } ( p , q ) = 1 } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ & { } & { w _ { N } ( q , r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 ^ { - N } \binom { N } { ( N + q r ) / 2 } } & { \mathrm { i f ~ } 2 | ( N - q r ) } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { 4 \pi + \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 2 ( 1 - \varepsilon ) } \geq E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) = 4 \pi - \frac { 2 \pi h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon c } \right) } } \\ { + 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } + \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 2 } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \varepsilon ^ { 3 } , h ^ { 2 } , \gamma \varepsilon ^ { 2 } h ^ { 2 } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon c } \right) } \right) } . } \end{array}
- \frac { m + 1 } { 2 m + 3 } \frac { \mathrm { d } ~ } { \mathrm { d } \xi } \left[ \xi F ( \xi ) ^ { m + 1 } \right] = \frac { \mathrm { d } ~ } { \mathrm { d } \xi } \left[ F ( \xi ) ^ { m + 1 } \frac { \mathrm { d } F } { \mathrm { d } \xi } \right] .
\begin{array} { r l r } { L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) ^ { \ast } \Phi ( x ) ( ( L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) ) ^ { \ast } ) ^ { - 1 } } & { = } & { - d ^ { ( \nu ) } x ^ { 2 } A ^ { \ast } + x ( d ^ { ( \nu ) } J + c ^ { ( \nu ) } ) } \\ { L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) ^ { \ast } \Psi ( x ) ( ( L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) ) ^ { \ast } ) ^ { - 1 } } & { = } & { x \Big ( d ^ { ( \nu ) } ( J - A ^ { \ast } ( J + \nu + 1 ) - N - 1 ) - c ^ { ( \nu ) } ) \Big ) } \\ & { } & { + ( \nu + J + 1 ) ( d ^ { ( \nu ) } J + c ^ { ( \nu ) } ) + ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) ^ { - 1 } A \Delta ^ { ( \nu + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I I I ^ { \prime } = } & { 0 . 0 1 1 0 5 | P _ { 4 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 2 } \cdot | P _ { 2 } ( r ) | } \\ { \geq } & { | \mathcal { E } | ^ { - 2 } | P _ { 2 } ( r ) | \left( 0 . 0 1 1 0 5 | P _ { 2 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 4 } \right) } \\ { \geq } & { | \mathcal { E } | ^ { - 4 } | P _ { 2 } ( r ) | \left( 0 . 0 1 1 0 5 | P _ { 1 } ( r ) | ^ { 2 } - | \mathcal { E } | ^ { 6 } \right) . } \end{array}
s _ { l } ( x ) = \sqrt { \frac { \pi x } { 2 } } \, I _ { \nu } ( x ) \, , \quad e _ { l } ( x ) = \sqrt { \frac { 2 x } { \pi } } \, K _ { \nu } ( x ) \, , \quad \nu = l + \frac { 1 } { 2 } \, .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { t \to \infty } b _ { i } ^ { \leftarrow } ( t ) \P ( \boldsymbol X + \boldsymbol Y \in t A ) } & { \geq } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } b _ { i } ^ { \leftarrow } ( t ) \, \P ( \boldsymbol X \in t A _ { \varepsilon } ^ { - } ) \P ( \boldsymbol Y \in t N _ { \varepsilon } ) } \\ & { = } & { \mu _ { i } ( A _ { \varepsilon } ^ { - } ) \uparrow \mu _ { i } ( A ) \quad \mathrm { ~ a s ~ } \varepsilon \downarrow 0 , } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ u ~ s ~ } } = \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \lambda _ { k } } { 1 - \lambda _ { k } } \frac { \operatorname* { d e t } ( g _ { C + i } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ) } { \operatorname* { d e t } ( g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ) } \}
T _ { 3 R } ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 2 } } T _ { 3 R } + { \frac { 3 } { 2 } } Y _ { R } , ~ ~ ~ Y _ { R } ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 2 } } T _ { 3 R } - { \frac { 1 } { 2 } } Y _ { R } .
{ \bf X } ( t + \delta t ) = 2 { \bf X } ( t ) - { \bf X } ( t - \delta t ) + \kappa { \ddot { \bf X } } ( t ) + \alpha \sum _ { k = 0 } ^ { k _ { \mathrm { m a x } } } c _ { k } { \bf X } ( t - k \delta t )
\begin{array} { r l } { \omega } & { { } = - i \Gamma - i \left( D _ { n } + \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { \tilde { \Gamma } } \right) k ^ { 2 } + \ldots , } \\ { \omega } & { { } = - i \tilde { \Gamma } + \ldots . } \end{array}
\left( \partial _ { t } ^ { 2 } + \omega _ { P } ^ { 2 } + m ( t ) \right) \langle P _ { c l } ( t ) \rangle + \alpha \biggl \langle \frac { 1 } { 2 } ( P _ { + } ^ { 3 } + P _ { - } ^ { 3 } ) \biggr \rangle = E ( t ) ,
\begin{array} { r l } { a _ { x , y } ^ { ( i , j ) } } & { { } = e _ { x , y } ^ { ( i , j ) } , } \\ { b _ { x , y } ^ { ( i , j ) } } & { { } = - e _ { x , y } ^ { ( i , j ) } + e _ { x , y } ^ { ( i + 1 , j ) } , } \\ { c _ { x , y } ^ { ( i , j ) } } & { { } = - e _ { x , y } ^ { ( i , j ) } + e _ { x , y } ^ { ( i , j + 1 ) } , } \\ { d _ { x , y } ^ { ( i , j ) } } & { { } = e _ { x , y } ^ { ( i , j ) } - e _ { x , y } ^ { ( i , j + 1 ) } - e _ { x , y } ^ { ( i + 1 , j ) } + e _ { x , y } ^ { ( i + 1 , j + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { C N 2 } = \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \omega _ { x g } \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } + \frac { g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x ( \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } + \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } ) + \Delta \omega \hat { \tau } _ { j } ^ { + } \hat { \tau } _ { j } ^ { - } + \lambda \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } ( \hat { \tau } _ { j } ^ { + } + \hat { \tau } _ { j } ^ { - } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \widetilde { \eta } } = \int _ { \Omega } } & { { } \left[ \frac { A } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \right. \left( \widetilde { \eta } _ { n } \mathcal { M } _ { \mathrm { M } , n } \widetilde { \eta } _ { n } ^ { * } + \widetilde { \eta } _ { n } ^ { * } \mathcal { M } _ { \mathrm { M } , n } \widetilde { \eta } _ { n } \right) + } \end{array}
\theta = \nabla _ { a } n ^ { a } = { \frac { - 1 } { \sqrt { g } } } { \frac { \partial } { \partial u } } { ( \sqrt { g } g ^ { u v } ) } = { \frac { 1 } { | g _ { u v } | \sqrt { g _ { x x } g _ { y y } } } } { \frac { \partial } { \partial u } } { ( \sqrt { g _ { x x } g _ { y y } } ) } \to - \infty
\begin{array} { r l r } & { } & { i k _ { 2 \nu } { M ^ { 0 } } _ { 5 } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) = } \\ & { } & { N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 2 \sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { u } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) \gamma ^ { \mu } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { d } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { s } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) i k \! \! \! / _ { 2 } \right] } \\ & { } & { + N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 2 \sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { \mathrm { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { u } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) i k \! \! \! / _ { 2 } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { d } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { s } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) \gamma ^ { \mu } \right] , } \end{array}
{ \bar { \mathcal { D } } } ^ { \mu \nu } = { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \mu } } { \partial x ^ { \alpha } } } \, { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } { \partial x ^ { \beta } } } \, { \mathcal { D } } ^ { \alpha \beta } \, \operatorname* { d e t } \left[ { \frac { \partial x ^ { \sigma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \rho } } } \right] ,
\sigma _ { A B } ( s ) = \int _ { \delta - i \infty } ^ { \delta + i \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi i } \, \int \frac { d ^ { 2 } q _ { A } } { 2 \pi \vec { q } _ { A } ^ { ~ 2 } } \int \frac { d ^ { 2 } q _ { B } } { 2 \pi \vec { q } _ { B } ^ { ~ 2 } } \left( \frac s { s _ { 0 } } \right) ^ { \omega } \, \Phi _ { A } ( { \vec { q } } _ { A } , s _ { 0 } ) G _ { \omega } ( { \vec { q } } _ { A } , - { \vec { q } } _ { B } ) \Phi _ { B } ( { \vec { q } } _ { B } , s _ { 0 } ) .
\frac { d f _ { j } } { d t } = \sum _ { k } \frac { \partial f _ { j } } { \partial q _ { k } } \dot { q } _ { k } + \frac { \partial f _ { j } } { \partial t } = \nabla _ { \mathbf { q } } f _ { j } \cdot \dot { \mathbf { q } } + \frac { \partial f _ { j } } { \partial t } = \sum _ { k } a _ { j k } \dot { q } _ { k } + b _ { j } = ( \mathbf { a } \cdot \dot { \mathbf { q } } + b ) _ { j } = 0
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { a b } ^ { c } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { d = 1 } ^ { n } { \Big ( } { \frac { \partial g _ { b d } } { \partial x ^ { a } } } + { \frac { \partial g _ { a d } } { \partial x ^ { b } } } - { \frac { \partial g _ { a b } } { \partial x ^ { d } } } { \Big ) } g ^ { c d } } \\ { R _ { i j } } & { { } = \sum _ { a = 1 } ^ { n } { \frac { \partial \Gamma _ { i j } ^ { a } } { \partial x ^ { a } } } - \sum _ { a = 1 } ^ { n } { \frac { \partial \Gamma _ { a j } ^ { a } } { \partial x ^ { i } } } + \sum _ { a = 1 } ^ { n } \sum _ { b = 1 } ^ { n } { \Big ( } \Gamma _ { a b } ^ { a } \Gamma _ { i j } ^ { b } - \Gamma _ { i b } ^ { a } \Gamma _ { a j } ^ { b } { \Big ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \nabla } ^ { 2 } w _ { j } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) = \left[ \begin{array} { c } { ( \nabla { g } _ { x } ) _ { j } ^ { G G } \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) } \\ { ( \nabla { g } _ { y } ) _ { j } ^ { G G } \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) } \\ { ( \nabla { g } _ { z } ) _ { j } ^ { G G } \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \displaystyle { g } _ { x } - ( \overline { { g } } _ { x } ) _ { j } } \\ { \displaystyle { g } _ { y } - ( \overline { { g } } _ { y } ) _ { j } } \\ { \displaystyle { g } _ { z } - ( \overline { { g } } _ { z } ) _ { j } } \end{array} \right] = { \bf g } - \overline { { \bf g } } _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 \to 2 } } & { { } = 1 \ll 2 + 1 \lor 2 = 1 0 0 0 _ { 2 } \lor 1 0 _ { 2 } = 1 0 1 0 _ { 2 } = 1 0 , } \\ { \alpha _ { 2 \to 3 } } & { { } = 2 \ll 2 + 1 \lor 3 = 1 0 0 0 0 _ { 2 } \lor 1 1 _ { 2 } = 1 0 0 1 1 _ { 2 } = 1 9 , } \end{array}
E r r _ { \mathrm { r e l } , f } ^ { L _ { 2 } } = \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { m o d e s } } } \left( f _ { \mathrm { m o d e , a n a l y t } } ^ { ( i ) } - f _ { \mathrm { m o d e , s i m } } ^ { ( i ) } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { m o d e s } } } \left( f _ { \mathrm { m o d e , a n a l y t } } ^ { ( i ) } \right) ^ { 2 } } } \, .