harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
U ( x , t ) = \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } G ( x , t , y , \tau ) \left[ \dot { \Lambda } \psi _ { 2 } \; \xi _ { \delta } ^ { 2 } + F _ { 2 } + F _ { 3 } + F _ { 4 } \right] ( y , \tau ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau + \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } G ( x , t , y , 0 ) U _ { 0 } ( y ) \; \mathrm { d } y ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } [ u ^ { 0 } ] } & { = E [ u ^ { 0 } ] , ~ \mathcal { E } [ u ^ { 1 } ] = E [ u ^ { 1 } ] + \frac { 3 } { 4 \tau } \big \| \triangledown _ { \tau } u ^ { 1 } \big \| ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { E } [ u ^ { n } ] } & { = E [ u ^ { n } ] + \frac { 3 } { 4 \tau } \big \| \triangledown _ { \tau } u ^ { n } \big \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 \tau } \big \| \triangledown _ { \tau } u ^ { n - 1 } \big \| ^ { 2 } , ~ ~ \mathrm { f o r } ~ n \ge 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ^ { + } ( T _ { 1 } = t < T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } , T > t - 2 ) } & { { } = 2 c ( 1 - c ) q + 2 ( 1 - c ) ^ { 2 } p q , } \\ { P ^ { - } ( T _ { 1 } = t < T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } , T > t - 2 ) } & { { } = 2 c ( 1 - c ) p + 2 ( 1 - c ) ^ { 2 } p q . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta { V } _ { A } } & { { } = } & { { V } _ { A _ { 2 } } - \widetilde { V } _ { A _ { 1 } } = { V } _ { A _ { 2 } } - { V } _ { A _ { 2 } } \frac { V _ { B _ { 1 } } } { { V } _ { A _ { 2 } } + { V } _ { B _ { 2 } } } , } \\ { \Delta { V } _ { B } } & { { } = } & { { V } _ { B _ { 2 } } - \widetilde { V } _ { B _ { 1 } } = { V } _ { B _ { 2 } } - { V } _ { B _ { 2 } } \frac { V _ { B _ { 1 } } } { { V } _ { A _ { 2 } } + { V } _ { B _ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { I } } ( \eta , t ) } & { { } = 1 - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t _ { 1 } V ^ { \mathrm { I } } ( \eta , t _ { 1 } ) + ( - i ) ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } T [ V ^ { \mathrm { I } } ( \eta , t _ { 1 } ) V ^ { \mathrm { I } } ( \eta , t _ { 2 } ) ] + \cdots , } \end{array}
t r \langle x | U ( \tau ) | x \rangle _ { d e r } = \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } \tau } \frac { \partial _ { \mu } \Phi \partial ^ { \mu } \Phi } { \Phi ^ { 2 } } ( 3 \omega ^ { 2 } Y ^ { 4 } - 3 \omega Y ^ { 3 } - 4 \omega ^ { 2 } Y ^ { 2 } + 3 \omega Y + \omega ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { X ^ { d } } \operatorname* { l i m s u p } _ { N \rightarrow \infty } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } e ^ { 2 \pi i n t } \prod _ { i = 1 } ^ { d } f _ { i } ( T ^ { a _ { i } n } x _ { i } ) \Big | ^ { 2 } d \mu _ { d } ^ { \mathcal { A } } ( \textbf { x } ) } \\ & { \le \frac { C } { H _ { 1 } } + \frac { C } { H _ { 1 } } \sum _ { h _ { 1 } = 1 } ^ { H _ { 1 } - 1 } \Big ( \operatorname* { l i m s u p } _ { N \rightarrow \infty } \int _ { X ^ { d } } \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { d } T ^ { a _ { i } n } ( f _ { i } \cdot T ^ { a _ { i } h _ { 1 } } f _ { i } ) ( x _ { i } ) \Big | ^ { 2 } d \mu _ { d } ^ { \mathcal { A } } ( \textbf { x } ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \le \frac { C } { H _ { 1 } } + \frac { C } { H _ { 1 } } \sum _ { h _ { 1 } = 1 } ^ { H _ { 1 } - 1 } \Big ( \operatorname* { l i m s u p } _ { N \rightarrow \infty } \int _ { X ^ { d } } \frac { C } { H _ { 2 } } + \frac { 2 ( N + H _ { 2 } - 1 ) } { H _ { 2 } N } \sum _ { h _ { 2 } = 1 } ^ { H _ { 2 } - 1 } \frac { H _ { 2 } - h _ { 2 } } { H _ { 2 } } \cdot } \\ & { \ \ \ \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { d } T ^ { a _ { i } n } ( f _ { i } \cdot T ^ { a _ { i } h _ { 1 } } f _ { i } ) ( x _ { i } ) T ^ { a _ { i } ( n + h _ { 2 } ) } ( f _ { i } \cdot T ^ { a _ { i } h _ { 1 } } f _ { i } ) ( x _ { i } ) d \mu _ { d } ^ { \mathcal { A } } ( \textbf { x } ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
M _ { X } ( s _ { X } ) = \left. e ^ { \tilde { H } ( s _ { X } ) t } e ^ { s _ { X } N _ { X } } P ( 0 , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } \, , \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ : ~ } \tilde { H } ( s _ { X } ) = H ( a _ { X } ^ { \dagger } \to e ^ { s _ { X } } a _ { X } ^ { \dagger } , a _ { X } \to e ^ { - s _ { X } } a _ { X } ) ~ .
I _ { \mathrm { p h } } = I _ { 0 } + G _ { \mathrm { p h } } V _ { \mathrm { s d } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { d ^ { 2 } I _ { \mathrm { p h } } } { d V _ { \mathrm { s d } } ^ { 2 } } V _ { \mathrm { s d } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } \frac { d ^ { 3 } I _ { \mathrm { p h } } } { d V _ { \mathrm { s d } } ^ { 3 } } V _ { \mathrm { s d } } ^ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \nu , z ) } & { { } = \Gamma ( \nu ) - \Gamma ( \nu ) z ^ { \nu } e ^ { - z } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n } } { \Gamma ( \nu + n + 1 ) } \qquad \mathrm { f o r } \ | z | < \infty } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { 2 \mathrm { ~ D ~ } } ^ { \varphi } \sim \frac { \omega _ { \parallel } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } E _ { 2 \mathrm { ~ D ~ } } ^ { T } \sim \frac { k _ { \parallel } ^ { 4 } k _ { \perp } ^ { - 3 } } { \omega ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { 3 } \! \! } & { { } = } & { \! \! \frac { 1 } { 2 } G m \left[ \left( \sigma _ { + + } { - } \sigma _ { -- } \right) e ^ { i \delta _ { 1 } t } - \sigma _ { + - } e ^ { - i ( \delta _ { 2 } - \delta _ { 1 } ) t } + \sigma _ { - + } e ^ { i ( \delta _ { 2 } + \delta _ { 1 } ) t } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B \left( s , \theta = \pi ( 1 - \iota / N _ { f p } ) + \iota \zeta , \zeta \right) } & { = } & { B _ { 0 0 } ^ { ( 0 ) } + \delta B _ { 0 0 } ^ { ( 1 ) } - | B _ { M } ^ { ( 0 ) } | - \delta | B _ { M } ^ { ( 1 ) } | } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } ( b _ { w } ^ { ( 0 ) } + \delta b _ { w } ^ { ( 1 ) } ) ( \zeta - \pi / N _ { f p } ) ^ { 2 } \, . } \end{array}
\hat { \varphi } _ { \mathrm { t } } ( s ) \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) ^ { j } = \hat { \varphi } _ { \mathrm { t } } ( s ) / [ 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) ] = 1 / s
\tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) = \frac { b _ { 1 } } { a _ { 2 } } \frac { s ^ { - \left( 1 - \xi \right) } } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } } + \frac { b _ { 2 } } { a _ { 2 } } \frac { s ^ { - \left( 1 - \xi - \lambda \right) } } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } } + \frac { b _ { 3 } } { a _ { 2 } } \frac { s ^ { - \left( 1 - \xi - \kappa \right) } } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { X _ { x y } ^ { L R } ( - E ^ { - } , - E ) } & { = \mathrm { T r } [ V ^ { x } A ^ { L } ( - E ^ { - } ) V ^ { y } A ^ { R } ( - E ) ] } \\ & { = \mathrm { T r } [ V ^ { x } A ^ { L \top } ( E ^ { - } ) V ^ { y } A ^ { R \top } ( E ) ] } \\ & { = \mathrm { T r } [ V ^ { x } A ^ { R } ( E ) V ^ { y } A ^ { L } ( E ^ { - } ) ] } \\ & { = X _ { x y } ^ { R L } ( E , E ^ { - } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { p a i r } } ^ { \mathrm { r i n g } } = } & { \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { N L } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 4 v _ { g } } { L } \right) ^ { 4 } \frac { Q _ { P } ^ { 4 } Q _ { S } ^ { 2 } Q _ { I } ^ { 2 } } { Q _ { C , P } ^ { 2 } Q _ { C , S } Q _ { C , I } } } \\ & { \times \frac { \omega _ { S } \omega _ { I } } { \omega _ { P } ^ { 2 } } \frac { L ^ { 2 } / 4 } { \omega _ { S } Q _ { I } + \omega _ { I } Q _ { S } } } \\ { = } & { \frac { 4 ^ { 3 } \gamma _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } P _ { P } ^ { 2 } v _ { g } ^ { 4 } \omega _ { S } \omega _ { I } } { L ^ { 2 } \omega _ { P } ^ { 4 } \left( \omega _ { S } Q _ { I } + \omega _ { I } Q _ { S } \right) } \frac { Q _ { P } ^ { 4 } Q _ { S } ^ { 2 } Q _ { I } ^ { 2 } } { Q _ { C , P } ^ { 2 } Q _ { C , S } Q _ { C , I } } \ . } \end{array}
\mathrm { ~ i ~ } \, \mathcal { I } _ { _ { D C } } \, \chi _ { _ { D C } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } } ^ { A _ { 2 } | F | ^ { 2 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } } ^ { A _ { 2 } | F | ^ { 2 } } \right) \, r \mathrm { ~ d ~ } r ,
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T _ { p = 0 } ^ { 1 } ( S ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = ( - 1 ) ^ { F - M } \left( \begin{array} { c c c } { F } & { 1 } & { F ^ { \prime } } \\ { - M } & { 0 } & { M ^ { \prime } } \end{array} \right) } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { F ^ { \prime } + F _ { 1 } + 1 + I _ { H } } \sqrt { ( 2 F + 1 ) ( 2 F ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { F _ { 1 } ^ { \prime } } & { F ^ { \prime } } & { I _ { H } } \\ { F } & { F _ { 1 } } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times \delta _ { N , N ^ { \prime } } \delta _ { K , K ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { F _ { 1 } + N + 1 + G ^ { \prime } } \sqrt { ( 2 F _ { 1 } + 1 ) ( 2 F _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { G ^ { \prime } } & { F _ { 1 } ^ { \prime } } & { N } \\ { F _ { 1 } } & { G } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { G + I + 1 + S } \sqrt { ( 2 G + 1 ) ( 2 G ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { G ^ { \prime } } & { I } \\ { G } & { S } & { 1 } \end{array} \right\} \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { k } ( t ) = } & { ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } \frac { e ^ { \lambda _ { 1 } t } - e ^ { \lambda _ { 2 } t } } { \gamma _ { k } } + \alpha _ { k } ^ { N } \frac { \lambda _ { 1 } e ^ { \lambda _ { 2 } t } - \lambda _ { 2 } e ^ { \lambda _ { 1 } t } } { \gamma _ { k } } } \\ & { + \frac { 1 } { \gamma _ { k } } \int _ { 0 } ^ { t } ( e ^ { \lambda _ { 1 } ( t - s ) } - e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - s ) } ) f _ { k } ( s ) \, \mathrm d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { s } } & { \left( \| \nabla _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| \nabla _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \nabla _ { h } ( \tilde { \phi } ^ { n + 1 } - \tilde { \phi } ^ { n } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \frac { 5 \varepsilon ^ { 2 } } { 4 } \| \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { - 2 } } { \gamma } ( \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \| \nabla _ { h } \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } ) } \\ & { \quad \leq 4 \varepsilon ^ { - 2 } \left( \| \tau _ { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { - 1 , h } ^ { 2 } + \| \tau _ { v } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) + 2 \varepsilon ^ { - 2 } \left( 2 ( C ^ { * } ) ^ { 2 } + C \right) \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \varepsilon ^ { - 2 } ( 4 + 2 \gamma ) \| \nabla _ { h } \mathcal { L } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq 4 \varepsilon ^ { - 2 } \left( \| \tau _ { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { - 1 , h } ^ { 2 } + \| \tau _ { v } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) + 2 \varepsilon ^ { - 2 } \left( 2 ( C ^ { * } ) ^ { 2 } + C \right) \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \quad \qquad + ( 1 2 + 6 \gamma ) \varepsilon ^ { - 2 } \left( 1 6 ( \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 2 } \| \nabla _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + C ( \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 4 } \| \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 4 } ^ { 2 } + \theta _ { 0 } ^ { 2 } \| \nabla _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad \leq 4 \varepsilon ^ { - 2 } \left( \| \tau _ { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { - 1 , h } ^ { 2 } + \| \tau _ { v } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) + 2 C \varepsilon ^ { - 2 } \left( 2 ( C ^ { * } ) ^ { 2 } + C \right) \| \nabla _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \quad \qquad + ( 1 2 + 6 \gamma ) \varepsilon ^ { - 2 } \left( \left( 1 6 ( \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 2 } + C ( \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 4 } \right) \| \nabla _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \theta _ { 0 } ^ { 2 } \| \nabla _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d { \mathbf F } } & { = \div B \, d x \wedge d y \wedge d z + \left( \frac { \partial E _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial E _ { x } } { \partial y } + \frac { \partial B _ { z } } { \partial t } \right) d x \wedge d y \wedge d t } \\ & { \quad \, + \left( \frac { \partial E _ { x } } { \partial z } - \frac { \partial E _ { z } } { \partial x } + \frac { \partial B _ { y } } { \partial t } \right) d z \wedge d x \wedge d t + \left( \frac { \partial E _ { z } } { \partial y } - \frac { \partial E _ { y } } { \partial z } + \frac { \partial B _ { x } } { \partial t } \right) d y \wedge d z \wedge d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert u \rVert _ { s _ { 0 } + q } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \le C \left( \rVert u \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \right) ^ { 1 - \frac { q } p } \left( \rVert u \rVert _ { s _ { 0 } + p } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \right) ^ { \frac { q } { p } } . } \end{array}
d l _ { \boldsymbol { \beta } } ^ { 2 } = { \frac { d { \boldsymbol { \beta } } ^ { 2 } - ( { \boldsymbol { \beta } } \times d { \boldsymbol { \beta } } ) ^ { 2 } } { ( 1 - \beta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } = { \frac { d \beta ^ { 2 } } { ( 1 - \beta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } + { \frac { \beta ^ { 2 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { 3 { \sqrt { 3 } } R } & { { } \geq a + b + c } \\ { 9 R ^ { 2 } } & { { } \geq a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } \\ { { \frac { 2 7 } { 4 } } R ^ { 2 } } & { { } \geq m _ { a } ^ { 2 } + m _ { b } ^ { 2 } + m _ { c } ^ { 2 } . } \end{array}
n _ { i } = \left\{ \begin{array} { c l } { { 1 } } & { { \mathrm { f o r ~ i = 1 , \dots , q - 2 ; ~ } } } \\ { { K / 4 } } & { { \mathrm { f o r ~ i = q - 1 ~ a n d ~ i = q ~ } } } \end{array} \right.
\cot ( \alpha + \beta ) = { \frac { 1 - \tan \alpha \tan \beta } { \tan \alpha + \tan \beta } } = { \frac { { \frac { 1 } { \tan \alpha \tan \beta } } - 1 } { { \frac { 1 } { \tan \alpha } } + { \frac { 1 } { \tan \beta } } } } = { \frac { \cot \alpha \cot \beta - 1 } { \cot \alpha + \cot \beta } }
\begin{array} { r l } & { v _ { 7 } = v _ { 7 } ^ { ( 1 ) } v _ { 8 } ^ { ( 1 ) } v _ { 9 } ^ { ( 1 ) } , \qquad v _ { 8 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { f ( k ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { f ( k ) } { f ( \omega ^ { 2 } k ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { f ( \omega ^ { 2 } k ) } \end{array} \right) + v _ { 8 , r } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { v _ { 7 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { b _ { 1 2 , a } e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { b _ { 1 3 , a } e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { b _ { 2 3 , a } e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad v _ { 9 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { b _ { 2 1 , a } e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { 0 } \\ { b _ { 3 1 , a } e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { b _ { 3 2 , a } e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( ( - \epsilon ^ { \prime } , \epsilon ^ { \prime } ) ^ { n } \cap \mathbb { H } ^ { n } ) } & { { } \subset \{ \kappa ^ { n } \geq 0 \} } \\ { F ( ( - \epsilon ^ { \prime } , \epsilon ^ { \prime } ) ^ { n } \backslash \mathbb { H } ^ { n } ) } & { { } \subset \{ \kappa ^ { n } < 0 \} . } \end{array}
V ( z _ { n } ) = - I _ { \mathrm { t } } \Delta z \sum _ { p = - \infty } ^ { \infty } Z ^ { \ast } ( p \omega _ { 0 } ) \mathcal { F } \left\{ \lambda ( z _ { j } ) \right\} _ { p } e ^ { 2 \pi i \frac { p n } { h N } } ,
\delta \sigma ^ { e l } ( s ) = \frac { \sigma _ { h p } ^ { t o t } ( \hat { s } ) \sigma _ { h n } ^ { t o t } ( \hat { s } ) } { 4 \pi ( R _ { d } ^ { 2 } + B _ { h p } ( \hat { s } ) + B _ { h n } ( \hat { s } ) ) } , \quad \hat { s } = \frac { s } { 2 } ,
A _ { l l } \sim \frac { | t | } { s } \frac { ( 2 - y ) ( 1 + 2 m \alpha _ { f l i p } ) } { ( 2 - 2 y + y ^ { 2 } ) ( ( 1 + 2 m \alpha _ { f l i p } ) ^ { 2 } + \alpha _ { f l i p } ^ { 2 } | t | ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } \left( \infty , 0 , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , 0 , t ^ { \prime } \right) } & { = e ^ { - t ^ { \prime } } \left\{ \mathfrak { E i } \left[ \left( 1 + i \frac { 1 } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \right) t ^ { \prime } \right] \right\} _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } } \\ & { = e ^ { - t ^ { \prime } } \left\{ \mathfrak { E i } \left[ \left( 1 + i \frac { 1 } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \right) t ^ { \prime } \right] - \tan ^ { - 1 } { \frac { 1 } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { m n } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \frac { m } { 2 } \right) ! \left( \frac { n } { 2 } \right) ! P _ { \frac { m } { 2 } \frac { n } { 2 } } ^ { ( 0 ) } } & { m , n \mathrm { ~ e v e n } } \\ { \left( \frac { m - 1 } { 2 } \right) ! \left( \frac { n } { 2 } \right) ! \sqrt { \frac { m + 1 } { 8 } } \left( P _ { \frac { m - 1 } { 2 } \frac { n } { 2 } } ^ { ( 1 ) } - P _ { \frac { m - 1 } { 2 } \frac { n } { 2 } } ^ { ( 2 ) } \right) } & { \mathrm { ~ m ~ o d d , ~ n ~ e v e n } } \\ { \left( \frac { m } { 2 } \right) ! \left( \frac { n - 1 } { 2 } \right) ! \sqrt { \frac { n + 1 } { 8 } } \left( P _ { \frac { m } { 2 } \frac { n - 1 } { 2 } } ^ { ( 3 ) } - P _ { \frac { m } { 2 } \frac { n - 1 } { 2 } } ^ { ( 4 ) } \right) } & { \mathrm { ~ m ~ e v e n , ~ n ~ o d d } } \\ { \left( \frac { m - 1 } { 2 } \right) ! \left( \frac { n - 1 } { 2 } \right) ! \sqrt { \frac { m + 1 } { 8 } } \sqrt { \frac { n + 1 } { 8 } } \left( P _ { \frac { m - 1 } { 2 } \frac { n - 1 } { 2 } } ^ { ( 5 ) } - P _ { \frac { m - 1 } { 2 } \frac { n - 1 } { 2 } } ^ { ( 6 ) } \right) } & { m , n \mathrm { ~ o d d . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \xi ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \nu \exp \left( - \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 \nu ^ { 2 } } \right) + \frac { \xi \sqrt { 1 - \nu ^ { 2 } } } { 2 } } & { \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \xi ^ { 2 } \right) \left[ 1 + \mathrm { e r f } \left( \frac { \xi \sqrt { 1 - \nu ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 } \nu } \right) \right] , } \end{array}
R _ { g } ( x = \xi ) \; = \; \frac { 2 ^ { 2 \lambda _ { g } + 3 } } { \sqrt { \pi } } \frac { \Gamma \! \left( \lambda _ { g } + \frac { 5 } { 2 } \right) } { \Gamma ( \lambda _ { g } + 4 ) } .
p ( x _ { k } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) d x _ { k } \to p ( x _ { k + 1 } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) = \int p ( x _ { k + 1 } | x _ { k } ^ { \prime } ) { \frac { p ( y _ { k } | x _ { k } ^ { \prime } ) p ( x _ { k } ^ { \prime } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) d x _ { k } ^ { \prime } } { \int p ( y _ { k } | x _ { k } ^ { \prime \prime } ) p ( x _ { k } ^ { \prime \prime } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) d x _ { k } ^ { \prime \prime } } }
\mathbb { E } \left| N ^ { - \varepsilon } ( \eta ^ { \prime } ) ^ { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( \mathbb { E } _ { k } - \mathbb { E } _ { k - 1 } ) \alpha _ { k } \beta _ { k } \right| ^ { 2 \ell } \leq C _ { \ell } N ^ { - 2 \varepsilon \ell } \left( \mathbb { E } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbb { E } _ { k } | ( \eta ^ { \prime } ) ^ { 2 } \alpha _ { k } | ^ { 2 } \right) ^ { \ell } + N ^ { - \ell + 1 } \right)
\begin{array} { r l r } { v _ { \mathrm { g } } } & { { } = } & { \frac { d k } { d \omega } } \\ { v _ { \mathrm { g } } ^ { \prime } } & { { } = } & { \frac { d k ^ { \prime } } { d \omega ^ { \prime } } . } \end{array}
C _ { i } = \frac { \mathrm { ~ P ~ L ~ } _ { i } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } - P L _ { i } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } } { \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \mathrm { ~ P ~ L ~ } _ { j } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } }
\hat { T } _ { \Lambda } ^ { \mu \nu } \equiv { \frac { 2 } { \sqrt { - g } } } { \frac { \delta { \cal S } _ { \Lambda } } { \delta g _ { \mu \nu } } } \equiv { \frac { 2 } { \sqrt { - g } } } { \frac { \partial ( \sqrt { - g } \, \Lambda ) } { \partial g _ { \mu \nu } } } ,
\begin{array} { c c } { { \begin{array} { r l } { T } & { { } = x \sinh ( \alpha t ) } \\ { X } & { { } = x \cosh ( \alpha t ) } \\ { Y } & { { } = y } \\ { Z } & { { } = z } \end{array} } } & { { \begin{array} { r l } { t } & { { } = { \frac { 1 } { \alpha } } \operatorname { a r c t a n h } { \frac { T } { X } } } \\ { x } & { { } = { \sqrt { X ^ { 2 } - T ^ { 2 } } } } \\ { y } & { { } = Y } \\ { z } & { { } = Z } \end{array} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \langle \xi _ { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } ( t ) \xi _ { \mathcal { A } _ { A } ^ { l } } ( t ^ { \prime } ) \big \rangle } & { = \big \langle \xi _ { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } ( t ) \xi _ { \mathcal { A } _ { B } ^ { l } } ( t ^ { \prime } ) \big \rangle = q _ { k } ^ { 2 } \frac { 4 \epsilon } { L } \delta _ { k l } \, , } \\ { \big \langle \xi _ { \theta _ { A } ^ { k } } ( t ) \xi _ { \theta _ { A } ^ { l } } ( t ^ { \prime } ) \big \rangle } & { = q _ { k } ^ { 2 } \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { A } ^ { 2 } } \delta _ { k l } \, , } \\ { \big \langle \xi _ { \theta _ { B } ^ { k } } ( t ) \xi _ { \theta _ { B } ^ { l } } ( t ^ { \prime } ) \big \rangle } & { = q _ { k } ^ { 2 } \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { B } ^ { 2 } } \delta _ { k l } \, . } \end{array}
\mathbf { K } ^ { R } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { K _ { 1 2 } ^ { R } } & { K _ { 1 3 } ^ { R } } \\ { K _ { 2 1 } ^ { R } } & { 0 } & { K _ { 2 3 } ^ { R } } \\ { K _ { 3 1 } ^ { R } } & { K _ { 3 2 } ^ { R } } & { 0 } \end{array} \right] .
t _ { r } ^ { 2 } = { \frac { \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( t - t _ { D } ) ^ { 2 } V ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } V ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t } } \quad \Longleftrightarrow \quad t _ { r } = { \sqrt { \frac { \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( t - t _ { D } ) ^ { 2 } V ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } V ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t } } }
\begin{array} { r l } { \frac { s _ { 2 1 , 1 } ( d \theta _ { \mathrm { i n } } , d \phi _ { \mathrm { i n } } , d \theta _ { \mathrm { b m } } , d \phi _ { \mathrm { b m } } ) } { s _ { 2 1 , 1 } ( 0 , 0 , 0 , 0 ) } } & { = \frac { \iint _ { x , y } E _ { a , 1 } ( x , y ) E _ { b , 1 } ^ { * } ( x , y , d \theta _ { \mathrm { i n } } , d \phi _ { \mathrm { i n } } , d \theta _ { \mathrm { b m } } , d \phi _ { \mathrm { b m } } ) d x d y } { \iint _ { x , y } E _ { a , 1 } ( x , y ) E _ { a , 1 } ^ { * } ( x , y , 0 , 0 , 0 , 0 ) d x d y } } \\ & { = e ^ { - ( d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } ) / 2 w _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ & { = e ^ { - \left( ( B d \theta _ { \mathrm { i n } } - C d \theta _ { \mathrm { b m } } ) ^ { 2 } + ( B d \phi _ { \mathrm { i n } } - C d \phi _ { \mathrm { b m } } ) ^ { 2 } \right) / 2 \theta _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\delta J = \int _ { a } ^ { b } \left( { \frac { \partial L } { \partial f } } \delta f ( x ) + { \frac { \partial L } { \partial f ^ { \prime } } } { \frac { d } { d x } } \delta f ( x ) \right) \, d x \, = \int _ { a } ^ { b } \left( { \frac { \partial L } { \partial f } } - { \frac { d } { d x } } { \frac { \partial L } { \partial f ^ { \prime } } } \right) \delta f ( x ) \, d x \, + \, { \frac { \partial L } { \partial f ^ { \prime } } } ( b ) \delta f ( b ) \, - \, { \frac { \partial L } { \partial f ^ { \prime } } } ( a ) \delta f ( a )