harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \lambda ( \textrm { K n } ) = \frac { 1 } { \pi R ^ { 2 } } \frac { L } { \delta T } Q _ { \textrm { t o t } } = \frac { \lambda _ { 0 } } { 8 \textrm { K n } ^ { 2 } } ( 1 + 4 C \textrm { K n } ) , \quad Q _ { \textrm { t o t } } = \int \displaylimits _ { 0 } ^ { R } 2 \pi \big ( q _ { b } ( r ) + q _ { w } ( r ) \big ) \textrm { d } r , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \cal V } _ { \mathrm { h y } } ( \lambda , N , \Theta ) \approx \frac { 4 \pi } { 3 } \left( \frac { 6 k _ { B } T _ { 0 } } { m \omega _ { \perp } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } } \\ & { \quad \quad \quad \times \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \left[ 2 . 2 1 + 0 . 6 7 \left( 1 + 0 . 2 6 \frac { \sigma _ { \mathrm { c o l l } } ( \Theta ) } { \overline { { \sigma } } _ { \mathrm { c o l l } } } \right) \frac { N } { 1 0 ^ { 5 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf G } } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { { \bf G } _ { \mathrm { l i n } } } & { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf G } _ { \mathrm { n o n l i n } } } \end{array} \right) . } \end{array}
{ { \cal G } ^ { - 1 } } _ { a b } ^ { c d } \eta _ { c d } ^ { \mathrm { L T T } } = \left( k ^ { 2 } - \Lambda _ { l } + \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } N ( N - 3 ) - \frac { N + d } { N + d - 2 } \Lambda \right) \eta _ { a b } ^ { \mathrm { L T T } } ,
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \cos ( \theta ) \cos ( \varphi ) } \\ { \cos ( \theta ) \sin ( \varphi ) } \\ { - \sin ( \theta ) } \end{array} \right) \, , } & { } & { \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime \prime } } \\ { y ^ { \prime \prime } } \\ { z ^ { \prime \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \sin ( \varphi ) } \\ { - \cos ( \varphi ) } \\ { 0 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 2 D _ { t } r _ { t } \gamma _ { t } \left\langle \xi _ { t } , \frac { x _ { * } - x _ { t } } { D _ { t } } \right\rangle \leq 4 D _ { \tau } r _ { \tau } \operatorname* { m a x } _ { t \in \left[ \tau \right] } \left| \sum _ { s = 1 } ^ { t } \gamma _ { s } \left\langle \xi _ { s } ^ { u } , \frac { x _ { * } - x _ { s } } { D _ { s } } \right\rangle \right| .
\left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { R } } _ { 1 } ( X , Y | P ^ { \prime } ) } & { \equiv \widetilde { P } ^ { \prime } ( X , Y ) \widetilde { R } _ { 1 } ( X , Y , C ) + \left( 1 - \widetilde { P } ^ { \prime } \left( X , Y \right) \right) \widetilde { R } _ { 1 } ( X , Y , D ) } \\ { \overline { { R } } _ { 2 } ( X , Y | P ) } & { \equiv \overline { { R } } _ { 2 } ( X , Y ) } \end{array} \right. .
\sum _ { l = 0 } ^ { \infty } F ( l + \frac 1 2 ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \nu F ( \nu ) + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \nu } { 1 + e ^ { 2 \pi \nu } } \frac { F ( i \nu ) - F ( - i \nu ) } { i } .
\tilde { y } - \tilde { y } _ { 0 } = \int _ { 0 } ^ { \tilde { \phi } ^ { ( 1 ) } } d \theta { \frac { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { 3 \alpha w _ { 0 } E ( \theta , k ) } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } [ u ] } & { : = \mathcal { I } [ \mathrm { E S } _ { u } ] = \int _ { S \times \mathbb { R } _ { + } } e ^ { z } \sqrt { \operatorname* { d e t } [ \bar { G } ^ { u } ] } } \\ & { = \int _ { S \times \mathbb { R } _ { + } } e ^ { z } z ^ { ( n - 1 ) / 2 } \tilde { F } ( x , z , u , \nabla u , z u _ { z } ) \ d \mathrm { v o l } _ { S \times \mathbb { R } _ { + } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { C _ { p j } = 1 + \vert \chi _ { p j } \vert ^ { 2 } = 1 + \frac { \left( \Omega _ { j } - \mu _ { j } \right) ^ { 2 } } { { \vert \nu _ { j } \vert } ^ { 2 } } , } \\ & { } & { C _ { h j } = 1 + \vert \chi _ { h j } \vert ^ { 2 } = 1 + \frac { \left( \Omega _ { j } + \mu _ { j } \right) ^ { 2 } } { { \vert \nu _ { j } \vert } ^ { 2 } } ~ ( j = 1 , 2 ) . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \lambda ^ { - i } \beta _ { 1 2 } ^ { ( i - 1 ) } = \beta _ { 1 2 } ( { \bf u _ { 2 } } - [ \lambda ^ { - 1 } ] ) \frac { \tau ( { \bf u _ { 2 } } - [ \lambda ^ { - 1 } ] ) } { \lambda \tau ( t ) }
\begin{array} { r l } { { \bf I } _ { \beta } ^ { < } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = } & { { } \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } { \bf G } ^ { R } ( t _ { 1 } , t _ { 3 } ) { \bf \Sigma } ^ { < } ( t _ { 3 } , t _ { 2 } ) d t _ { 3 } } \end{array}
\big \{ P _ { t + 1 } \in \mathcal { P } _ { t + 1 } ~ | ~ P _ { t + 1 } = \tilde { f } _ { t } ( P _ { t } , u _ { t } , y _ { t + 1 } ) , \; y _ { t + 1 } = h _ { t + 1 } ( x _ { t + 1 } , v _ { t + 1 } ) , \; x _ { t + 1 } = f _ { t } ( x _ { t } , u _ { t } , w _ { t } ) , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } [ x _ { t } \in Q _ { t } , w _ { t } \in \mathcal { W } _ { t } , v _ { t + 1 } \in \mathcal { V } _ { t + 1 } ] \big \}
u ( z , t ) = \frac { 3 P _ { A } } { 3 K + 4 G } \Bigg [ ( h - z ) + \gamma \alpha \sum _ { n = 1 , 3 } ^ { \infty } E _ { 1 - \beta , 1 } \left( - { \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \bar { \lambda } t ^ { 1 - \beta } } { 4 h ^ { 2 } } } \right) \frac { 8 h } { ( n \pi ) ^ { 2 } } \bigg ( ( - 1 ) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \sin \frac { n \pi z } { 2 h } - 1 \bigg ) \Bigg ]
\begin{array} { r l } { a _ { \mathrm { o u t , 1 } } } & { { } = a _ { \mathrm { i n , 1 } } - \sqrt { \kappa ^ { \mathrm { e x t 1 } } } a } \\ { a _ { \mathrm { o u t , 2 } } } & { { } = a _ { \mathrm { i n , 2 } } - \sqrt { \kappa ^ { \mathrm { e x t 2 } } } a . } \end{array}
\rho _ { I n } = 0 . 0 7 5 1 7 * ( 1 - { \frac { 0 . 0 0 3 5 6 6 6 * E } { 5 2 8 } } ) ^ { 5 . 2 5 5 3 } * ( { \frac { 5 2 8 } { T _ { I n } + 4 6 0 } } ) \,
\Psi ( p ) ~ = ~ { \frac { 1 } { E _ { \mathrm { O - P s } } - p ^ { 2 } / m _ { e } } } ~ \int { \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \, V _ { C } ( { \bf p } - { \bf q } ) \, \Psi ( q )
\langle + \vert T ( \psi ( q , t ) \ \psi ( p , t ^ { \prime } ) ^ { \dagger } ) \vert - \rangle = \langle + \vert - \rangle \ ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta _ { 2 \pi } ( q - p ) \ S _ { F } ( q , t , t ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } \frac { \sqrt { x } } { \sqrt { x ( x - \alpha ) ^ { 2 } - 4 } } \bigg \rvert _ { x = e ^ { i \theta } } \mathrm d \theta } & { = \frac { 1 } { i } \int _ { e ^ { i \theta _ { 1 } } } ^ { e ^ { i \theta _ { 2 } } } \frac { \sqrt { x } } { \sqrt { x ( x - \alpha ) ^ { 2 } - 4 } } \frac { \mathrm d x } { x } } \\ & { = \pm \int _ { e ^ { i \theta _ { 1 } } } ^ { e ^ { i \theta _ { 2 } } } \frac { 1 } { \sqrt { x ( \lambda ^ { 2 } - x ) ( x ^ { 2 } + ( 4 / \lambda - \lambda ^ { 2 } ) x + 4 / \lambda ^ { 2 } ) } } \mathrm d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { 3 ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \mathbb { E } _ { k } \| e _ { \tau } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| e _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \eta + \lambda \eta ^ { 2 } } { 2 n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \mathbb { E } _ { k } \| e _ { \tau } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \eta + \lambda \eta ^ { 2 } } { n } \left( \left( \frac { 3 } { \delta } + \frac { 1 } { 2 } \right) \left( 1 - \frac { \delta } { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| e _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 4 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta n } \left( \frac { 3 } { \delta } + \frac { 1 } { 2 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { m n } \left( \frac { 3 } { \delta } + \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \frac { 4 { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta } + R _ { m } ^ { 2 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 3 ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta n } \left( 1 - \frac { \delta } { 6 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| e _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 1 4 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta ^ { 2 } n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { m n } \left( \frac { 1 4 { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } + \frac { 7 R _ { m } ^ { 2 } } { 2 \delta } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \frac { 1 + M _ { A } } { 1 + R _ { n } } } \\ { \frac { v _ { c } } { v _ { 0 } } } & { { } = \frac { 1 } { M _ { A } } \frac { M _ { A } - R _ { n } } { 1 + R _ { n } } } \\ { \frac { v _ { f } } { v _ { 0 } } } & { { } = \frac { 1 } { M _ { A } } \frac { 1 + M _ { A } } { 1 + R _ { n } } \ . } \end{array}
d _ { g } ( p , q ) = \operatorname* { i n f } \{ L ( \gamma ) : \gamma { \mathrm { ~ a ~ p i e c e w i s e ~ c o n t i n u o u s l y ~ d i f f e r e n t i a b l e ~ c u r v e ~ f r o m ~ } } p { \mathrm { ~ t o ~ } } q \} .
\begin{array} { r l } { \left( \! \! \begin{array} { c } { a _ { m } ^ { + } } \\ { a _ { m } ^ { - } } \end{array} \! \! \right) } & { = \sum _ { q } T _ { m q } \left( \! \! \begin{array} { c } { c _ { q } ^ { + } } \\ { c _ { q } ^ { - } } \end{array} \! \! \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { q } \left( \! \! \begin{array} { c c } { M _ { m q } ^ { - } } & { M _ { m q } ^ { + } } \\ { M _ { m q } ^ { + } } & { M _ { m q } ^ { - } } \end{array} \! \! \right) \left( \! \! \begin{array} { c } { c _ { q } ^ { + } } \\ { c _ { q } ^ { - } } \end{array} \! \! \right) } \end{array}
- \frac { g } { 2 c _ { W } } [ a _ { L } ^ { \prime } ( f ) \bar { f } \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) f + a _ { R } ^ { \prime } ( f ) \bar { f } \gamma ^ { \mu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) f ] Z _ { \mu } ^ { 0 } ,
A _ { R ; R L } ^ { \mathrm { F T , E S M } } ( e e \to e e ) = \frac { \frac { 1 - y ^ { 4 } - ( 1 - y ) ^ { 4 } } { y ^ { 2 } ( 1 - y ) ^ { 2 } } + s \, \beta _ { W } ( g _ { V } ^ { 2 } + g _ { A } ^ { 2 } + 4 g _ { V } g _ { A } ) + O ( \beta _ { W } ^ { 2 } ) } { \frac { 1 + y ^ { 4 } + ( 1 - y ) ^ { 4 } } { y ^ { 2 } ( 1 - y ) ^ { 2 } } + s \, \beta _ { W } ( 3 g _ { V } ^ { 2 } + g _ { A } ^ { 2 } + 4 g _ { V } g _ { A } ) + O ( \beta _ { W } ^ { 2 } ) } ,
S _ { p a r e n t } ^ { \mathrm { I I I } } = - T _ { p } \int d ^ { p + 1 } { \xi } \left[ { \Phi } ^ { ( p + 1 ) / 2 } \sqrt { - g } + { \Lambda } ^ { i j } \left( { \Phi } g _ { i j } - h _ { i j } \right) \right] ,
\begin{array} { r l r } { \mathbf { x } _ { E } } & { { } = } & { \frac { \sum _ { A } \mathbf { x } _ { A } W _ { B A } } { \sum _ { A } W _ { B A } } , } \\ { \mathbf { v } _ { E } } & { { } = } & { \frac { \sum _ { A } \mathbf { v } _ { A } W _ { B A } } { \sum _ { A } W _ { B A } } . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { A ^ { 0 } } \\ { A ^ { 1 } } \\ { A ^ { 2 } } \\ { A ^ { 3 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { \cosh \phi } & { - \sinh \phi } & { 0 } & { 0 } \\ { - \sinh \phi } & { \cosh \phi } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { A ^ { 0 } } \\ { A ^ { 1 } } \\ { A ^ { 2 } } \\ { A ^ { 3 } } \end{array} \right) }
\quad \: \left< \beta ^ { \prime } \right> = \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta ^ { \prime } \cdot f ( \beta ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } \beta ^ { \prime } = \frac { 1 } { \, N _ { B } ^ { \prime } + 2 \, } \approx { N _ { B } ^ { \prime } } ^ { - 1 } > 0
f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - 2 x } & { x \in \left[ 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right] } \\ { 0 } & { x \in \left[ { \frac { 1 } { 2 } } , 1 \right] } \end{array} \right. } \qquad g ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { x \in \left[ 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right] } \\ { 2 x - 1 } & { x \in \left[ { \frac { 1 } { 2 } } , 1 \right] } \end{array} \right. }
\ln { \left[ \frac { f _ { i } } { x _ { i } p } \right] } = \frac { b _ { i } } { b _ { m } } \left[ \frac { p \tilde { v } } { R T } - 1 \right] - \ln { \left[ \frac { \left( \tilde { v } - b _ { m } \right) p } { R T } \right] } + \frac { ( a \alpha ) _ { m } } { 2 \sqrt { 2 } b _ { m } R T } \left[ \frac { b _ { i } } { b _ { m } } - \frac { 2 } { ( a \alpha ) _ { m } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { c } } x _ { j } ( a \alpha ) _ { i j } \right] \ln { \left[ \frac { \tilde { v } + \left( 1 + \sqrt { 2 } \right) b _ { m } } { \tilde { v } + \left( 1 - \sqrt { 2 } \right) b _ { m } } \right] }
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } : = } & { \sigma _ { f } ^ { 2 } + \frac { 3 } { \mu _ { g } ^ { 2 } } \left[ ( \sigma _ { f } ^ { 2 } + \ell _ { f , 0 } ^ { 2 } ) ( \sigma _ { g , 2 } ^ { 2 } + 2 \ell _ { g , 1 } ^ { 2 } ) + \sigma _ { f } ^ { 2 } \ell _ { g , 1 } ^ { 2 } \right] = \mathcal { O } ( \kappa _ { g } ^ { 2 } ) , } \\ { \tilde { D } _ { f } ^ { 2 } : = } & { \big ( \ell _ { f , 0 } + \frac { \ell _ { f , 0 } \ell _ { g , 1 } } { \mu _ { g } } + \frac { \ell _ { f , 1 } \ell _ { g , 1 } } { \mu _ { g } } \big ) ^ { 2 } + \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } = \mathcal { O } ( \kappa _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbf x } _ { 1 } ( t ) } & { = } & { { \mathbf o } + \frac { 3 } { 1 0 } \cos ( q \, t ) \, { \mathbf r } _ { 1 } + \frac { 1 } { 5 } \sin ( q \, t ) \, { \mathbf r } _ { 2 } } \\ { { \mathbf x } _ { 2 } ( t ) } & { = } & { { \mathbf o } + \frac { 4 } { 5 } \left( \frac { 3 } { 1 0 } \cos \left( q \, t - \frac { 2 } { 3 } \pi \right) \, { \mathbf r } _ { 1 } + \frac { 1 } { 5 } \sin \left( q \, t - \frac { 2 } { 3 } \pi \right) \, { \mathbf r } _ { 2 } \right) } \\ { { \mathbf x } _ { 3 } ( t ) } & { = } & { { \mathbf o } + \frac { 6 } { 5 } \left( \frac { 3 } { 1 0 } \cos \left( q \, t + \frac { 2 } { 3 } \pi \right) \, { \mathbf r } _ { 1 } + \frac { 1 } { 5 } \sin \left( q \, t + \frac { 2 } { 3 } \pi \right) \, { \mathbf r } _ { 2 } \right) } \end{array}
\cos \psi _ { 3 } = \frac { ( \vec { p _ { 3 } } \times \vec { p _ { \mathrm { A V } } } ) ( \vec { p _ { 4 } } \times \vec { p _ { 5 } } ) } { | \vec { p _ { 3 } } \times \vec { p _ { \mathrm { A V } } } | | \vec { p _ { 4 } } \times \vec { p _ { 5 } } | } .
\partial _ { t } \rho ( x , t ) + \nabla \cdot ( \rho u ) = 0 , \frac { \partial } { \partial t } ( \rho \mathbf { u } ) + \nabla \cdot ( \rho \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) = - \nabla p + \mu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \frac { 1 } { 3 } \mu \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) + \rho \mathbf { g }
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { a } } } & { { } = { \frac { \operatorname { d } ^ { 2 } { \boldsymbol { r } } } { \operatorname { d } t ^ { 2 } } } = { \frac { \operatorname { d } } { \operatorname { d } t } } { \frac { \operatorname { d } { \boldsymbol { r } } } { \operatorname { d } t } } = { \frac { \operatorname { d } } { \operatorname { d } t } } \left( \left[ { \frac { \operatorname { d } { \boldsymbol { r } } } { \operatorname { d } t } } \right] + { \boldsymbol { \omega } } \times { \boldsymbol { r } } \ \right) } \end{array}
\mathrm { L o g } _ { \omega _ { \textup { \bf f } } } \left( \delta ( T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { + } ) \right) = \delta ( T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathbf { g } } ) \, { = } \, \mathrm { E x p } _ { F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } } ^ { * } ( \delta ( M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) ) \cdot \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } \mathrm { L o g } _ { \omega _ { \textup { \bf f } } } ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) ) .
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { i j } } & { = } & { \gamma _ { i j } ^ { ( \Lambda \rho ) } + \frac { \alpha _ { \mathrm { M L T } } u _ { c } } { \gamma } \mathcal { H } \left( \beta \right) \mathrm { \hat { r } _ { n } \ v a r e p s i l o n _ { i n j } } , } \\ { \gamma _ { i j } ^ { ( \Lambda \rho ) } } & { \! \! = \! \! } & { \! 3 \nu _ { T } f _ { 1 } ^ { ( a ) } \! \! \! \left\{ \! \! \left( \mathbf { \boldsymbol { \Omega } } \cdot \boldsymbol { \Lambda } ^ { ( \rho ) } \! \right) \! \! \frac { \Omega _ { n } } { \Omega ^ { 2 } } \varepsilon _ { \mathrm { i n j } } \! - \! \frac { \Omega _ { j } } { \Omega ^ { 2 } } \mathrm { \ v a r e p s i l o n _ { i n m } \Omega _ { n } \Lambda _ { m } ^ { ( \ r h o ) } } \! \! \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { i - 1 } \kappa _ { i , j } \rho _ { i - 1 } } & { = } & { \rho _ { i - 1 } \rho _ { j - 1 } \rho _ { j - 2 } \ldots \rho _ { i + 1 } \kappa _ { i , i + 1 } \rho _ { i + 1 } \ldots \rho _ { j - 2 } \rho _ { j - 1 } \rho _ { i - 1 } } \\ & { = } & { \rho _ { j - 1 } \rho _ { j - 2 } \ldots \rho _ { i + 1 } ( \rho _ { i - 1 } \kappa _ { i , i + 1 } \rho _ { i - 1 } ) \rho _ { i + 1 } \ldots \rho _ { j - 2 } \rho _ { j - 1 } } \\ & { = } & { \rho _ { j - 1 } \rho _ { j - 2 } \ldots \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } \left( y _ { i - 1 } \rho _ { i - 1 } \right) \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \ldots \rho _ { j - 2 } \rho _ { j - 1 } } \\ & { = } & { \kappa _ { i - 1 , j } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a } & { = } & { - \mu + \beta _ { 1 } ( 1 - \eta ) \langle k \rangle } \\ { b } & { = } & { - \beta _ { 1 } ( 1 - \eta ) \langle k \rangle - \beta _ { 2 } \eta \langle k \rangle + \gamma _ { 1 } \tau _ { 3 } + \frac { \gamma _ { 2 } \tau _ { 2 } } { 3 } + \frac { 2 \gamma _ { 3 } \tau _ { 2 } } { 3 } } \\ { c } & { = } & { - \gamma _ { 1 } \tau _ { 3 } - \frac { \gamma _ { 2 } \tau _ { 2 } } { 3 } - \frac { 2 \gamma _ { 3 } \tau _ { 2 } } { 3 } - \frac { \gamma _ { 4 } } { 3 } \tau _ { 1 } - \gamma _ { 5 } \tau _ { 0 } \, . } \end{array}
\left\vert { V _ { i - 1 } ^ { \prime \prime } } \right\vert + \left\vert { V _ { i + 1 } ^ { \prime \prime } } \right\vert + \left\vert { V _ { i + 3 } ^ { \prime \prime } } \right\vert \leq n - ( \left\vert { V _ { i + 2 } ^ { \prime \prime } } \right\vert + \left\vert { V _ { i + 4 } ^ { \prime \prime } } \right\vert ) - ( \left\vert { V _ { i - 2 } ^ { \prime \prime } } \right\vert + \left\vert { V _ { i } ^ { \prime \prime } } \right\vert ) \leq n - 2 \left( \frac { 1 } { 4 } + \frac { \alpha } { 2 } \right) n < \frac { n } { 2 } .
{ \begin{array} { r l } { P _ { 0 } + P _ { 1 } x _ { 1 } + P _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + P _ { 3 } x _ { 1 } ^ { 3 } + \dots + P _ { N } x _ { 1 } ^ { N } - f ( x _ { 1 } ) } & { = + \varepsilon } \\ { P _ { 0 } + P _ { 1 } x _ { 2 } + P _ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } + P _ { 3 } x _ { 2 } ^ { 3 } + \dots + P _ { N } x _ { 2 } ^ { N } - f ( x _ { 2 } ) } & { = - \varepsilon } \\ & { \ \ \vdots } \end{array} }
\| L _ { Q } \epsilon - \frac { A _ { \theta } [ \epsilon ] } { r } \epsilon \| _ { L ^ { 2 } } = \| L _ { Q } ( \chi _ { R } \epsilon ) + ( D _ { Q } - \frac { A _ { \theta } [ \epsilon ] } { r } ) ( 1 - \chi _ { R } ) \epsilon \| _ { L ^ { 2 } } + \frac { 1 } { R } \| \epsilon \| _ { \dot { \mathcal H } _ { m } ^ { 1 } } + R M \| \epsilon \| _ { \dot { \mathcal H } _ { m } ^ { 1 } } ^ { 2 } .
{ \Bigg ( } { \frac { p } { q } } { \Bigg ) } _ { 4 } { \Bigg ( } { \frac { q } { p } } { \Bigg ) } _ { 4 } = \left( - 1 \right) ^ { \frac { f g } { 2 } } \left( { \frac { - 1 } { e } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } & { \le 2 \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t - \tau } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 2 4 \alpha \left[ \left( \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { N K } + M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right) 4 \tau + \frac { 8 L _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { 1 - \rho ^ { 2 } } \right] } \\ & { + 1 6 \alpha c _ { 4 } ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \tau } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } [ \delta _ { t - k } ^ { 2 } ] . } \end{array}
H _ { \mathrm { X X } } = H _ { \mathrm { X X } } ^ { \uparrow } + H _ { \mathrm { X X } } ^ { \downarrow } \quad \mathrm { w i t h } \quad H _ { \mathrm { X X } } ^ { \uparrow } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k , l } n _ { k } ^ { \uparrow } n _ { l } ^ { \uparrow } \iint \phi _ { k } ^ { \uparrow * } ( { \bf x } ) \phi _ { l } ^ { \uparrow * } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \mathcal { V } _ { \mathrm { e e } } ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) \phi _ { k } ^ { \uparrow } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \phi _ { l } ^ { \uparrow } ( { \bf x } ) \mathrm { d } { \bf x } \mathrm { d } { \bf x } ^ { \prime } .
W _ { x x / y y } = < E _ { x / y } ^ { * } E _ { x / y } > = \frac { q ^ { 2 } + 1 } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } + 1 + 2 \sqrt { \frac { q ^ { 2 } + 1 } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } } \eta _ { x x / y y } \cos { \psi _ { x / y } }
W = \lambda _ { 1 } S \bar { 5 } _ { l 1 } 5 _ { l 1 } + \lambda _ { 2 } S \bar { 5 } _ { l 2 } 5 _ { l 2 } + \lambda _ { 3 } S \bar { 5 } _ { l 3 } 5 _ { l 3 } + \lambda _ { 4 } S \bar { 5 } _ { q } 5 _ { q } ,
\begin{array} { r l } { T _ { \boldsymbol { p } } ^ { ( 0 ) } = } & { { } - \dot { \iota } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } d \tau \left( \langle \chi _ { \boldsymbol { p } } ( \tau ) | \frac { \overleftarrow { \partial } } { \partial \tau } + \frac { \overrightarrow { \partial } } { \partial \tau } | \Psi _ { 0 } ( \tau ) \rangle \right) } \\ { = } & { { } - \langle \chi _ { \boldsymbol { p } } ( \tau ) | \Psi _ { 0 } ( \tau ) \rangle | _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } - \dot { \iota } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } d \tau \langle \chi _ { \boldsymbol { p } } ( \tau ) | V ( \boldsymbol { r } ) | \Psi _ { 0 } ( \tau ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { m P ^ { D } ( 0 , T _ { 1 } ) } { P ^ { D } ( 0 , T _ { 2 } ) } } & { = } & { \frac { \beta _ { 0 } ^ { F } \left( T _ { 1 } , T _ { 2 } \right) P ^ { D } ( 0 , T _ { 1 } ) } { P ^ { D } ( 0 , T _ { 2 } ) } } \\ & { = } & { \frac { \left[ \frac { P ^ { F } ( 0 , T _ { 1 } ) } { P ^ { F } ( 0 , T _ { 2 } ) } \frac { P ^ { D } ( 0 , T _ { 2 } ) } { P ^ { D } ( 0 , T _ { 1 } ) } \right] P ^ { D } ( 0 , T _ { 1 } ) } { P ^ { D } ( 0 , T _ { 2 } ) } } \\ & { = } & { \frac { P ^ { F } ( 0 , T _ { 1 } ) } { P ^ { F } ( 0 , T _ { 2 } ) } . } \end{array}
A _ { \lambda } \lambda x = ( m _ { H _ { d } } ^ { 2 } + m _ { H _ { u } } ^ { 2 } + 2 \lambda ^ { 2 } x ^ { 2 } ) \frac { \sin 2 \beta } { 2 } + \lambda ( \lambda v _ { d } v _ { u } - k x ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { l l l l c } { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \underline { { { { \mathrm { i r r e p ~ o f ~ } } ~ S U ( 3 ) } } } } } \\ { { \alpha = 1 } } & { { \phantom { 6 } } } & { { { \bf Q } _ { 1 } ^ { L } = 0 } } & { { \phantom { 6 } } } & { { { \bf 1 } } } \\ { { \alpha = 2 } } & { { } } & { { { \bf Q } _ { 1 } ^ { L } = \tilde { e } _ { 2 } , - \tilde { e } _ { 1 } , \tilde { e } _ { 1 } - \tilde { e } _ { 2 } } } & { { } } & { { { \bf 3 } } } \\ { { \alpha = 3 } } & { { } } & { { { \bf Q } _ { 1 } ^ { L } = - \tilde { e } _ { 2 } , \tilde { e } _ { 1 } , \tilde { e } _ { 2 } - \tilde { e } _ { 1 } } } & { { } } & { { { \bf { \overline { { { 3 } } } } } } } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( n _ { \alpha } ^ { G S } , | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ) = \left. \frac { \delta ^ { 2 } E _ { x c } [ n _ { \uparrow } , n _ { \downarrow } ] } { \delta n _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) \delta n _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \right| _ { n _ { \alpha } = n _ { \alpha } ^ { G S } } ,
\begin{array} { r } { \Delta \mathbf { X } _ { 2 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } ; t _ { 0 } ) \sim - \frac { 1 } { 4 } \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } A ( t ) ^ { 2 } \, d t \left[ \mathbf { e } _ { x } \left( \frac { 1 } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 2 } } - \frac { 2 X _ { 0 } ^ { 2 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) + \mathbf { e } _ { y } \left( - \frac { 2 X _ { 0 } Y _ { 0 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { l l } { g ( s , t , u ) \! = \! \frac { - \, \mathrm { e } ^ { i s } } { ( s \! - \! t ) ( s \! - \! u ) } \! - \! \frac { \mathrm { e } ^ { i t } } { ( t \! - \! u ) ( t \! - \! s ) } \! - \! \frac { \mathrm { e } ^ { i u } } { ( u \! - \! s ) ( u \! - \! t ) } . } \end{array}