harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 0 \geqslant } & { - f ( x _ { k - 1 } ) + f ( x _ { k } ) + \langle \nabla f ( x _ { k } ) ; \, x _ { k - 1 } - x _ { k } \rangle + \frac { 1 } { 2 L } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { \mu } { 2 ( 1 - \mu / L ) } \| x _ { k - 1 } - x _ { k } - \frac { 1 } { L } ( \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { f ( x _ { k } ) + \gamma _ { k - 1 } \langle \nabla f ( x _ { k } ) ; \, d _ { k - 1 } \rangle + \frac { 1 } { 2 L } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { \mu } { 2 ( 1 - \mu / L ) } \| \gamma _ { k - 1 } d _ { k - 1 } - \frac { 1 } { L } ( \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) ) \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { a } { A } } } & { { } = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } - ( k + { \frac { 2 \pi n } { a } } ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\hat { U } _ { \mathrm { ~ R ~ - ~ C ~ X ~ } } ( \theta ) : = \hat { U } _ { \mathrm { ~ R ~ } } ( \theta ^ { d + 1 } ) \prod _ { i = d } ^ { 1 } \hat { U } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ t ~ } } \hat { U } _ { \mathrm { ~ R ~ } } ( \theta ^ { i } ) ,
\alpha _ { i } ^ { n + 1 } = \alpha _ { i } ^ { n } \frac { \Delta E _ { i } ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } - \lambda _ { i i } ( 0 , 1 ) } { \lambda _ { i i } ( \alpha _ { i } ^ { n } , 1 ) - \lambda _ { i i } ( 0 , 1 ) } ; \qquad \Delta E _ { i } ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } = E ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } ( N ) - E _ { i } ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } ( N - 1 )
\begin{array} { r l } { w _ { n + 1 } } & { { } = \mu [ w _ { n } + \Psi ( x _ { n } ) ] , } \\ { x _ { n + 1 } } & { { } = x _ { n } - C w _ { n } \Psi ^ { \prime } ( x _ { n } ) ; } \end{array}
\begin{array} { c l l r } { { } } & { { u ^ { \uparrow } = d ^ { \uparrow } = \frac { 1 } { 2 } ; ~ ~ ~ ~ } } & { { u ^ { \downarrow } = d ^ { \downarrow } = \frac { 1 } { 2 } ; } } \\ { { } } & { { s ^ { \uparrow } = 1 ; } } & { { s ^ { \downarrow } = 0 , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 , 0 } ( Z _ { B } ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { x \in B } P _ { 0 , 0 } ( X _ { n } ^ { B } = Y _ { n } ^ { B } = x ) } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { x \in B } P ^ { 0 } ( X _ { n } ^ { B } = x ) ^ { 2 } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } P ^ { 0 } ( X _ { 2 n } ^ { B } = 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } { \partial t } } & { { } \approx - \frac { i } { \hbar } ( 2 J \cos ( k _ { 1 } ) - 2 J \cos ( k _ { 2 } ) ) \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 0 \le \textnormal { h } ^ { 0 } ( \mathcal { A } ) - \textnormal { h } ^ { 1 } ( \mathcal { A } ) = \textnormal { d e g } ( \textnormal { d e t } ( \mathcal { A } ) ) + ( 1 - g ) \textnormal { r a n k } ( \mathcal { A } ) , } \\ & { 0 \le \textnormal { h } ^ { 0 } ( \mathcal { A } ^ { * } ) - \textnormal { h } ^ { 1 } ( \mathcal { A } ^ { * } ) = - \textnormal { d e g } ( \textnormal { d e t } ( \mathcal { A } ) ) + ( 1 - g ) \textnormal { r a n k } ( \mathcal { A } ) , } \end{array}
\int x ^ { 2 } \operatorname { a r c o s h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 3 } \operatorname { a r c o s h } ( a x ) } { 3 } } - { \frac { \left( a ^ { 2 } x ^ { 2 } + 2 \right) { \sqrt { a x + 1 } } { \sqrt { a x - 1 } } } { 9 a ^ { 3 } } } + C
{ \begin{array} { r l r l } { - ( a , b ) } & { = ( - a , b ) } & & { { \mathrm { a d d i t i v e ~ i n v e r s e ~ f r a c t i o n s , } } } \\ & { } & & { { \mathrm { w i t h ~ } } ( 0 , b ) { \mathrm { ~ a s ~ a d d i t i v e ~ u n i t i e s , ~ a n d } } } \\ { ( a , b ) ^ { - 1 } } & { = ( b , a ) } & & { { \mathrm { m u l t i p l i c a t i v e ~ i n v e r s e ~ f r a c t i o n s , ~ f o r ~ } } a \neq 0 , } \\ & { } & & { { \mathrm { w i t h ~ } } ( b , b ) { \mathrm { ~ a s ~ m u l t i p l i c a t i v e ~ u n i t i e s } } . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E } ( s , t ) } & { = \operatorname { R e } \! \left[ \mathbf { E } _ { 0 } e ^ { i ( { \underline { { k } } } x - \omega t ) } \right] } \\ & { = \operatorname { R e } \! \left[ \mathbf { E } _ { 0 } e ^ { i ( 2 \pi ( n + i \kappa ) x / \lambda _ { 0 } - \omega t ) } \right] } \\ & { = e ^ { - 2 \pi \kappa x / \lambda _ { 0 } } \operatorname { R e } \! \left[ \mathbf { E } _ { 0 } e ^ { i ( k x - \omega t ) } \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { P _ { y \mathrm { - b r e a t h e r } } ( x , y , t ) } & { = } & { \frac { - 2 k _ { 1 I } B _ { 2 } \left[ 4 k _ { 1 I } \cos ( E _ { 2 } ) + A \sin ( E _ { 2 } ) \right] } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } - \frac { k _ { 1 I } ^ { 2 } B _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( E _ { 2 } ) } { \left[ B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } } , \quad } \\ { Q _ { y \mathrm { - b r e a t h e r } } ( x , y , t ) } & { = } & { \frac { - 2 k _ { 1 I } B _ { 2 } \left[ 4 k _ { 1 I } \cos ( E _ { 2 } ) - A \sin ( E _ { 2 } ) \right] } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } - \frac { k _ { 1 I } ^ { 2 } B _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( E _ { 2 } ) } { \left[ B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } } . \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { a p a t } } & { { } = \left[ \begin{array} { l } { S _ { a p a t - m } ( \lambda ) } \end{array} \right] } \\ { M } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { c _ { 0 } S _ { b g - m } ( \lambda + \Delta \lambda _ { 0 } ) } & { c _ { 1 } S _ { 1 - m } ( \lambda + \Delta \lambda _ { 1 } ) } & { \ldots } & { c _ { 1 6 } S _ { 1 6 - m } ( \lambda + \Delta \lambda _ { 1 6 } ) } \end{array} \right] } \\ { a _ { a p a t } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { \ldots } & { 1 } \end{array} \right] ^ { T } } \\ { \operatorname* { m i n } _ { c _ { i } , \Delta \lambda _ { i } } } & { { } \parallel M a _ { a p a t } - b _ { a p a t } \parallel ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { a _ { k } ^ { \dagger } \dag ; \quad ( k = 1 , . . , n _ { A } ) \dag b _ { k } ^ { \dagger } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { B } } \mathcal { B } _ { j k } \dag , a _ { j + n _ { A } } ^ { \dagger } \dag ; \quad ( k = 1 , . . , n _ { A } ) \dag c _ { B , l } ^ { \dagger } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { B } } E _ { j l } \dag , a _ { j + n _ { A } } ^ { \dagger } \dag ; \quad ( l = n _ { A } + 1 , . . , N ) \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { L , \, V i T } } = \sum _ { \pm } \left[ e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { d } k _ { 1 } \, k _ { 1 } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } 2 k _ { 1 } } \frac { d - 1 } { d } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \right] \times } \\ { \left[ e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { d } k _ { 2 } \, k _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } 2 k _ { 2 } } \frac { d - 1 } { d } \right] \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } \times \right. \right. } \\ { \left. \left. r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } - k _ { 2 } } r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } r _ { i } \right| \phi _ { a } \right\rangle . } \end{array}
s _ { p } = M _ { Z } ^ { 2 } + \Pi _ { Z Z } ^ { ( 1 ) } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) + \Pi _ { Z Z } ^ { ( 2 ) } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) + \Pi _ { Z Z } ^ { ( 1 ) } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) \Pi _ { Z Z } ^ { ( 1 ) \prime } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) .
G _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ i ~ d ~ g ~ e ~ } } ( \vec { r } , t | \vec { r } _ { 0 } , 0 ; \vec { r } _ { 0 } , T ) = \frac { G _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } ( \vec { r } , t | \vec { r } _ { 0 } , 0 ) G _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } ( \vec { r } _ { 0 } , T | \vec { r } , t ) } { G _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } ( \vec { r } _ { 0 } , T | \vec { r } _ { 0 } , 0 ) } = \left( \frac { T } { 4 \pi D t ( T - t ) } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { T ( \vec { r } - \vec { r } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 D t ( T - t ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \dot { \mathcal { P } } _ { s } ( z ) } & { { } = D \partial _ { z } ^ { 2 } \mathcal { P } _ { s } ( z ) - \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { z } \mathcal { P } _ { s } ( z ) - \chi \mathcal { P } _ { s } ( z ) + \xi ( z ) , } \\ { Q _ { s } } & { { } = \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { 1 } { R _ { 0 } L } \int _ { - L } ^ { L } ( \partial _ { z } \mathcal { P } _ { s } ) \delta R ( z ) \ d z . } \end{array}
\frac { r } { \xi _ { 1 } } \to r , \quad \frac { t } { \tau _ { 1 } } \to t , \quad \frac { V } { \tilde { \mu } _ { 1 , 0 } } \to V , \quad \frac { \Psi _ { j } } { n _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \to \Psi _ { j } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { ( \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ) ^ { 2 } } \right] = \mathbb { E } \Bigg [ \prod _ { i \neq 0 } \left( 1 - \frac { \eta / F } { 1 + \Vert x _ { i } \Vert ^ { \alpha } / \theta r ^ { \alpha } } \right) ^ { - 2 } \Bigg ] } \\ & { = \exp { \bigg ( - \lambda \pi \delta \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big [ 1 - \Big ( 1 - \frac { \frac { \eta } { F } \theta r ^ { \alpha } } { u + \theta r ^ { \alpha } } \Big ) ^ { - 2 } \Big ] u ^ { \delta - 1 } \mathrm { d } u \bigg ) } } \\ & { \stackrel { ( a ) } { = } \exp { \bigg ( - \lambda \pi \delta \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big [ 1 - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( k + 1 ) \Big ( \frac { \frac { \eta } { F } \theta r ^ { \alpha } } { u + \theta r ^ { \alpha } } \Big ) ^ { k } \Big ] u ^ { \delta - 1 } \mathrm { d } u \bigg ) } } \\ & { = \exp { \bigg ( \lambda \pi \delta \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( k + 1 ) \Big ( \frac { \eta } { F } \theta r ^ { \alpha } \Big ) ^ { k } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { \delta - 1 } \mathrm { d } u } { ( u + \theta r ^ { \alpha } ) ^ { k } } \bigg ) } } \\ & { \stackrel { ( b ) } { = } \exp { \bigg ( - \lambda \pi \theta ^ { \delta } r ^ { 2 } \frac { \pi \delta } { \sin { ( \pi \delta ) } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( k + 1 ) \Big ( - \frac { \eta } { F } \Big ) ^ { k } \frac { \Gamma ( \delta ) } { \Gamma ( k ) \Gamma ( \delta \! - \! k \! + \! 1 ) } \bigg ) } } \\ & { \stackrel { ( c ) } { = } \exp { \bigg ( - C \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( k + 1 ) { \binom { \delta - 1 } { k - 1 } } \Big ( - \frac { \eta } { F } \Big ) ^ { k } \bigg ) } , } \end{array}
\hat { E } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \xi _ { x } \left( { \tau } _ { x x } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } \right) + \xi _ { y } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \xi _ { z } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } } \\ { \xi _ { x } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \xi _ { y } \left( { \tau } _ { y y } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } \right) + \xi _ { z } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } } \\ { \xi _ { x } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } + \xi _ { y } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } + \xi _ { z } \left( { \tau } _ { z z } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } \right) } \\ { \xi _ { x } { \beta } _ { x } + \xi _ { y } { \beta } _ { y } + \xi _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } & { { \cal { O } } ( \lambda ^ { 1 } ) : \Delta _ { n } ^ { ( 1 ) } = \langle \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } | V | \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } \rangle } \\ & { { \cal { O } } ( \lambda ^ { 2 } ) : \Delta _ { n } ^ { ( 2 ) } = \langle \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } | V | \psi _ { n } ^ { ( 1 ) } \rangle } \\ & { { \cal { O } } ( \lambda ^ { 3 } ) : \Delta _ { n } ^ { ( 3 ) } = \langle \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } | V | \psi _ { n } ^ { ( 2 ) } \rangle } \\ & { \cdots } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi \, \left( z \right) = \log z - \frac { 1 } { 2 z } - \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { B _ { 2 l } } { 2 l \, z ^ { 2 l } } \quad , \quad \psi ^ { \left( 1 \right) } \, \left( z \right) = \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { 2 z ^ { 2 } } + \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { B _ { 2 l } } { \, z ^ { 2 l + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { 0 } : \hat { \boldsymbol { \mathrm { f } } } = \mathcal { R } \boldsymbol { g } = \mathcal { R } ( \mathcal { H } \boldsymbol { f } _ { b } + \boldsymbol { n } ) , } \\ & { H _ { 1 } : \hat { \boldsymbol { \mathrm { f } } } = \mathcal { R } \boldsymbol { g } = \mathcal { R } ( \mathcal { H } ( \boldsymbol { f } _ { b } + \boldsymbol { f } _ { s } ) + \boldsymbol { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d } \mathrm { S } = \left( - B \mathrm { S } + u \right) \mathrm { d } t } \\ { \mathrm { d } u = \frac { 1 } { \tau _ { d } } ( \bar { u } - u ) \mathrm { d } t + \frac { \sigma _ { z } } { \tau _ { d } ^ { 1 / 2 } } \mathrm { d } W _ { t } . } \end{array}
\frac { d \hat { s } } { d t } = \frac { 2 \mu } { \hbar } \vec { B } _ { e f f } \times \hat { s } , \qquad \vec { B } _ { e f f } = \vec { B } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 \mu m _ { e } R ^ { 2 } } \partial _ { i } ( \rho \partial _ { i } \hat { s } )
\tau = { \mathrm { c o n s t a n t } } \pm { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { c } } \left( \arcsin { \sqrt { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } } - { \sqrt { { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } \left( 1 - { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } \right) } } \right) .
\begin{array} { r l } { F ^ { ( 1 ) } } & { ( l _ { t } ^ { ( 1 ) } , l _ { t } ^ { ( 2 ) } , p ) = } \\ & { 2 l _ { t } ^ { ( 1 ) } p ^ { 4 } + 4 \operatorname* { m i n } ( l _ { t } ^ { ( 1 ) } + l _ { t } ^ { ( 2 ) } , 2 l _ { t } ^ { ( 1 ) } ) p ^ { 3 } ( 1 - p ) } \\ { + } & { 2 \operatorname* { m i n } ( 2 l _ { t } ^ { ( 1 ) } , 2 l _ { t } ^ { ( 2 ) } ) p ^ { 2 } ( 1 - p ) ^ { 2 } + 4 ( l _ { t } ^ { ( 1 ) } + l _ { t } ^ { ( 2 ) } ) p ^ { 2 } ( 1 - p ) ^ { 2 } } \\ { + } & { 4 \operatorname* { m i n } ( l _ { t } ^ { ( 1 ) } + l _ { t } ^ { ( 2 ) } , 2 l _ { t } ^ { ( 2 ) } ) p ( 1 - p ) ^ { 3 } + 2 l _ { t } ^ { ( 2 ) } ( 1 - p ) ^ { 4 } , } \\ { F ^ { ( 2 ) } } & { ( l _ { t } ^ { ( 1 ) } , l _ { t } ^ { ( 2 ) } , p ) = } \\ & { 3 l _ { t } ^ { ( 1 ) } p ^ { 5 } + 2 \cdot 3 l _ { t } ^ { ( 1 ) } p ^ { 4 } ( 1 - p ) + 3 ( 2 l _ { t } ^ { ( 1 ) } + l _ { t } ^ { ( 2 ) } ) p ^ { 4 } ( 1 - p ) } \\ { + } & { 6 ( 2 l _ { t } ^ { ( 1 ) } + l _ { t } ^ { ( 2 ) } ) p ^ { 3 } ( 1 - p ) ^ { 2 } + 3 l _ { t } ^ { ( 1 ) } p ^ { 3 } ( 1 - p ) ^ { 2 } } \\ { + } & { 3 ( l _ { t } ^ { ( 1 ) } + 2 l _ { t } ^ { ( 2 ) } ) p ^ { 3 } ( 1 - p ) ^ { 2 } + 3 l _ { t } ^ { ( 2 ) } p ^ { 2 } ( 1 - p ) ^ { 3 } } \\ { + } & { 6 ( l _ { t } ^ { ( 1 ) } + 2 l _ { t } ^ { ( 2 ) } ) p ^ { 2 } ( 1 - p ) ^ { 3 } + 3 ( 2 l _ { t } ^ { ( 1 ) } + l _ { t } ^ { ( 2 ) } ) p ^ { 2 } ( 1 - p ) ^ { 3 } } \\ { + } & { 2 \cdot 3 l _ { t } ^ { ( 2 ) } p ( 1 - p ) ^ { 4 } + 3 ( l _ { t } ^ { ( 1 ) } + 2 l _ { t } ^ { ( 2 ) } ) p ( 1 - p ) ^ { 4 } } \\ { + } & { 3 l _ { t } ^ { ( 2 ) } ( 1 - p ) ^ { 5 } , } \end{array}
K = \frac { d ^ { 2 } ( 1 - \phi ) } { \alpha _ { E } \phi ^ { 2 } } + \frac { d \nu ^ { f } ( 1 - \phi ) ^ { 2 } } { \beta _ { E } \left\| \mathbf { u ^ { f } } - \mathbf { u ^ { s } } \right\| } ,
\left\{ \begin{array} { l } { { \frac { \varepsilon } { c } \frac { \partial I _ { g } } { \partial t } + \vec { \Omega } \cdot \nabla I _ { g } = L _ { a } ^ { \varepsilon } \left( \sigma _ { e , g } \phi _ { g } - \sigma _ { a , g } I _ { g } \right) + L _ { s } ^ { \varepsilon } \sigma _ { s , g } \left( \frac { \rho _ { g } } { 4 \pi } - I _ { g } \right) } } \\ { { C _ { V } \frac { \partial T } { \partial t } \equiv \frac { \partial U _ { m } } { \partial t } = \frac { L _ { a } ^ { \varepsilon } } { \varepsilon } \sum _ { g = 1 } ^ { G } \int _ { 4 \pi } \left( \sigma _ { a , g } I _ { g } - \sigma _ { e , g } \phi _ { g } \right) d \vec { \Omega } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \delta H _ { f } } & { = } & { \int d ^ { 3 } r \left[ \epsilon _ { 0 } \mathrm { \bf ~ E } \cdot \delta \mathrm { \bf ~ E } + \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } ( \nabla \times \mathrm { \bf ~ A } ) \cdot ( \nabla \times \delta \mathrm { \bf ~ A } ) \right] } \\ & { = } & { \int d ^ { 3 } \left[ \epsilon _ { 0 } \mathrm { \bf ~ E } \cdot \delta \mathrm { \bf ~ E } + \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } A _ { k } \epsilon _ { i l m } \partial _ { l } \delta A _ { m } \right] } \\ & { = } & { \int d ^ { 3 } r \left[ \epsilon _ { 0 } \mathrm { \bf ~ E } \cdot \delta \mathrm { \bf ~ E } - \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } \delta A _ { m } \epsilon _ { i l m } \epsilon _ { i j k } \partial _ { l } \partial _ { j } A _ { k } \right] } \\ & { = } & { \int d ^ { 3 } r \left[ \epsilon _ { 0 } \mathrm { \bf ~ E } \cdot \delta \mathrm { \bf ~ E } + \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } \delta \mathrm { \bf ~ A } \cdot \nabla \times \nabla \times \mathrm { \bf ~ A } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial { H _ { y } } } { \partial t } = - \frac { \partial { ( u _ { x } H _ { y } ) } } { \partial x } + \nu _ { m } \left( \frac { \partial ^ { 2 } H _ { y } } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } H _ { y } } { \partial t ^ { 2 } } \right) } \\ { + \frac { \partial { \nu _ { m } } } { \partial x } \left( \frac { \partial { H _ { y } } } { \partial x } - \frac { 1 } { c } \frac { \partial { E _ { z } } } { \partial t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { [ P _ { t t } - c ^ { 2 } \Delta P ] ( \tau _ { \mathrm { e n d } } \! - \! t ) = - ( U \! - \! \ensuremath { \mathbf d _ { \mathrm { e v e n } } } ) ( \tau _ { \mathrm { e n d } } \! - \! t ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \delta _ { \mathbf r _ { k } } , } & { \mathbf x \in R , } \\ { { \frac { \partial P } { \partial \mathbf n } } = 0 , } & { \mathbf x \in \partial R , } \\ { P ( \mathbf x , \tau _ { \mathrm { e n d } } ) = 0 , P _ { t } ( \mathbf x , \tau _ { \mathrm { e n d } } ) = 0 , } & { \mathbf x \in R , } \end{array} } \end{array}
\frac { \partial L } { \partial \mu } = \lambda _ { 2 } ( 1 - \theta ) - \lambda _ { 3 } ( 1 - \rho ) - w _ { 1 } + w _ { 2 } = 0 \quad ( 1 ) \, \frac { \partial L } { \partial x } = \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } \left( \frac { 4 } { 1 - \rho } - 5 \right) = - \dot { \lambda _ { 1 } } \quad ( 2 ) \, \frac { \partial L } { \partial \theta } = \frac { 5 \lambda _ { 1 } } { 2 } - \lambda _ { 2 } \mu = - \dot { \lambda _ { 2 } } \quad ( 3 ) \, \frac { \partial L } { \partial \rho } = \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } \frac { 4 x } { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } } - \lambda _ { 3 } ( 1 - \mu ) = - \dot { \lambda _ { 3 } } \quad ( 4 ) \, w _ { 1 } \geq 0 , w _ { 1 } \mu = 0 \, w _ { 2 } \geq 0 , w _ { 2 } ( 1 - \mu ) = 0
D _ { 1 1 1 1 } = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r } s ^ { 2 } \left( - T e r m 1 - T e r m { 2 ^ { \prime } } + T e r m 3 + T e r m 4 + T e r m 5 \right) d s .
f ( \mathbf { a } + \mathbf { v } + \mathbf { w } ) - f ( \mathbf { a } + \mathbf { v } ) - f ( \mathbf { a } + \mathbf { w } ) + f ( \mathbf { a } ) \approx f ^ { \prime } ( \mathbf { a } + \mathbf { v } ) \mathbf { w } - f ^ { \prime } ( \mathbf { a } ) \mathbf { w } .
\begin{array} { r l } & { \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { { \mathrm { S D } } , \mathrm { c o f e } } ( r _ { s } , \bar { f } ) : = ( \bar { f } - 1 ) \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 0 } + ( 2 - \bar { f } ) \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 1 } } \\ & { + ( \bar { f } - 1 ) ( 2 - \bar { f } ) \big [ M _ { 2 } ( r _ { s } ) + ( \frac 3 2 - \bar { f } ) M _ { 3 } ( r _ { s } ) \big ] } \end{array}
\int _ { \mathbb { B } } \int _ { \mathbb { H } } \frac { c } { | \boldsymbol { \xi } | ^ { b } } ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { a } ) ^ { 2 } \textup { d V d V } ^ { \prime } \sim \delta ^ { - ( 4 - b + d ) - b + 2 ( 1 + m ) + d } = \delta ^ { 2 ( m - 1 ) } ,
\begin{array} { r } { | \psi _ { l , m } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { l , m } } } \sum _ { p = 0 } ^ { q - 1 } e ^ { i m p \frac { 2 \pi } { q } } \hat { R } _ { q } ^ { p } | \phi _ { l } \rangle , \ \ \ \ \ \hat { R } _ { q } | \psi _ { l , m } \rangle = e ^ { - i m \frac { 2 \pi } { q } } | \psi _ { l , m } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N ( \hat { \cal R } , \Delta ) } & { = } & { \sum _ { { \cal A } \subseteq { \cal A } ^ { * } } \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell } , \Delta } \right| \cdot ( - 1 ) ^ { | { \cal A } | + 1 } } \\ & { = } & { \underbrace { \sum _ { { \cal A } \in \bar { \cal X } } \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell } , \Delta } \right| \cdot ( - 1 ) ^ { | { \cal A } | + 1 } } _ { \mathrm { ( I ) ~ u n c r o s s i n g } } + \underbrace { \sum _ { { \cal A } \in { \cal X } } \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell } , \Delta } \right| \cdot ( - 1 ) ^ { | { \cal A } | + 1 } } _ { \mathrm { ( I I ) ~ c r o s s i n g } } \ . } \end{array}
q _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { I _ { 0 } / N _ { s o u r c e s } \ \ } & { , \ \ i \in \mathrm { ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ s ~ } } \\ { - I _ { 0 } / N _ { s i n k s } \ \ } & { , \ \ i \in \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ k ~ s ~ } } \\ { 0 \ \ } & { , \ \ \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \qquad , \ i \in V
\begin{array} { r l r } { \ell _ { 2 } k _ { 1 } - k _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 1 } } & { = } & { \ell _ { 2 } \operatorname* { d e t } A - h a _ { 1 } ^ { 1 } = \ell _ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } ) - ( \ell _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 1 } + \ell _ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } ) a _ { 1 } ^ { 1 } } \\ & { = } & { - \ell _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } - \ell _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 1 } a _ { 1 } ^ { 1 } = - a _ { 2 } ^ { 1 } ( \ell _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } + \ell _ { 1 } a _ { 1 } ^ { 1 } ) = - a _ { 2 } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \epsilon } { 2 } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } \partial _ { R } \bigl ( W _ { \epsilon } ( 1 + \epsilon R ) \bigr ) \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, } & { = \, - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X - \frac { \epsilon } { 2 } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } \bigl ( \partial _ { R } W _ { \epsilon } \bigr ) \tilde { \zeta } \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { \le \, - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X + \frac { 1 } { 4 } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } \frac { ( \partial _ { R } W _ { \epsilon } ) ^ { 2 } } { W _ { \epsilon } } \, \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { N } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { a _ { k } e _ { k } } = \sum _ { k \in G _ { N } } { \left[ a _ { k } e _ { k } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { a _ { \varphi ^ { n N } ( k ) } e _ { \varphi ^ { n N } ( k ) } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { a _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } e _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } } \right] } } \\ & { = \sum _ { k \in G _ { N } } { \left[ a _ { k } e _ { k } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - 1 } ( k ) } } a _ { k } e _ { \varphi ^ { n N } ( k ) } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { [ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } ] a _ { k } e _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } } \right] } } \\ & { = \sum _ { k \in G _ { N } } { a _ { k } \left[ e _ { k } + \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - 1 } ( k ) } } \right] e _ { \varphi ^ { n N } ( k ) } } + \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } \right] e _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } } \right] } } \\ & { = \sum _ { k \in G _ { N } } { a _ { k } x _ { N , k } } . } \end{array}
\pi _ { \varphi } + { \frac { \kappa } { 2 } } \chi = \dot { \varphi } , \qquad ( \mu ^ { 2 } + { \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } } ) \chi + { \frac { \kappa } { 2 } } \pi _ { \varphi } = - \dot { \pi } _ { \chi }