harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \textrm { r o t } \; \textrm { r o t } { \bf E } ( \textbf { r } , t ) + \frac { \epsilon ( { \textbf { r } } ) } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } { \bf E } ( \textbf { r } , t ) } { \partial t ^ { 2 } } = - \frac { 4 \pi } { c ^ { 2 } } \frac { \partial { \bf j } ( \textbf { r } , t ) } { \partial t } . } \end{array}
1 = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 1 6 } } + \cdots
\begin{array} { r } { \mathbb P \left( \bigcap _ { t = 1 } ^ { \tau } \left( E _ { t } ^ { ( a ) } \cap E _ { t } ^ { ( b ) } \right) \right) = \mathbb P \left( \Sigma _ { \tau + 1 } \leq 2 \Sigma _ { 1 } \mathrm { ~ a n d ~ } \operatorname { t r } ( \Sigma _ { \tau + 1 } ^ { - 1 } ) \leq \Sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { - 1 } \right) \geq 1 - 3 / n \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { K _ { \mathrm { ~ d ~ } } , \bar { K } _ { \mathrm { ~ d ~ } } } ^ { \prime } } & { { } = \sum _ { K _ { \mathrm { ~ u ~ } } } \rho _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ~ K _ { \mathrm { ~ u ~ } } , K _ { \mathrm { ~ d ~ } } } ~ \rho _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ~ K _ { \mathrm { ~ u ~ } } , \bar { K } _ { \mathrm { ~ d ~ } } } ^ { * } } \end{array}
\langle A _ { \mu } ^ { a } ( x ) A _ { \nu } ^ { b } ( y ) \rangle _ { \mathrm { \scriptsize ~ F e y n } } = \delta ^ { a b } \, D _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ F e y n } } ( x , y ) = - { \frac { \Gamma ( D / 2 - 1 ) } { 4 \pi ^ { D / 2 } } } \, g _ { \mu \nu } \, \delta ^ { a b } \, [ ( x - y ) ^ { 2 } ] ^ { 1 - D / 2 } \, .
\mu / \mu _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sigma } } \end{array} \right) \, \mathrm { a n d } \; A = \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { s } } & { { c } } \end{array} \right) \! , \; \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { s } } & { { c } } \end{array} \right) \! ,
\begin{array} { r l r } { P } & { = } & { \left( \frac { r _ { 2 } ( r _ { 1 } / K _ { 2 } - \alpha _ { 1 2 } ) } { r _ { 1 } r _ { 2 } / ( K _ { 1 } K _ { 2 } ) - \alpha _ { 1 2 } \alpha _ { 2 1 } } , \frac { r _ { 1 } ( r _ { 2 } / K _ { 1 } - \alpha _ { 2 1 } ) } { r _ { 1 } r _ { 2 } / ( K _ { 1 } K _ { 2 } ) - \alpha _ { 1 2 } \alpha _ { 2 1 } } \right) } \end{array}
\Delta ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } ) = \frac { 1 } { q ^ { d } } \frac { 1 } { | S _ { t } | | S _ { t } ^ { d - 2 } | } \sum _ { x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } } S _ { t } ( x ^ { 1 } - x ^ { 2 } ) S _ { t } ( x ^ { 2 } - x ^ { 3 } ) S _ { t } ( x ^ { 3 } - x ^ { 1 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } f _ { i } ( x ^ { i } ) ,
\begin{array} { r l } { \rho ^ { 2 + \alpha } [ D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { \rho / 2 } ( x _ { \circ } ) ) } } & { \le \rho ^ { 2 + \alpha } \sum _ { j = 1 } ^ { N } [ D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { \rho / 8 } ( z _ { j } ) ) } } \\ & { \le 2 ^ { 2 + \alpha } N \operatorname* { s u p } _ { B _ { \rho } ( x _ { \circ } ) \subset B _ { 1 } } \rho ^ { 2 + \alpha } [ D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { \rho / 4 } ( x _ { \circ } ) ) } . } \end{array}
\langle U _ { 1 } \, , \, U _ { 1 } \rangle + \langle W _ { 1 } \, , \, W _ { 1 } \rangle + \langle P _ { 1 } \, , \, P _ { 1 } \rangle + \langle \Theta _ { 1 } \, , \, \Theta _ { 1 } \rangle = 1 ,
m _ { 1 } ^ { 2 } = 2 ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 4 } ) v ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta = 2 ( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 4 } ) v ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { N } } & { { } = \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { N } ^ { p _ { 0 } } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { N } ^ { T _ { 0 } } , } \\ { \mathbb { T } } & { { } = \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { T } ^ { p _ { 0 } } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { T } ^ { T _ { 0 } } , } \\ { \mathbb { U } } & { { } = \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { U } ^ { p _ { 0 } } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { U } ^ { T _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } \left| P \left( \left. \frac { | \mathbf Z ^ { \dagger } | } { \sqrt { 2 w ( \lceil n b \rceil - \lceil n \tau _ { n } \rceil ) } } \leq x \right| \mathcal { F } _ { n } \right) - P \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = \lceil n \tau _ { n } \rceil } ^ { 2 \lceil n b \rceil - \lceil n \tau _ { n } \rceil } \bar { \mathbf Z } _ { i } \right| _ { \infty } \leq x \right) \right| } \\ & { = O _ { \mathbb { P } } ( \vartheta _ { n } ^ { 1 / 3 } \left\{ 1 \vee \log ( n | \mathbb { B } | / \vartheta _ { n } ) \right\} ^ { 2 / 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { g } ( Y _ { k , t } , Y _ { k , t } ) } & { = \frac { \left| ( 1 + \frac { k ^ { 2 } t ^ { 2 } \mu } { 4 } ) x + k t \mu - k \tau \mathrm { i } \right| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { k ^ { 2 } t ^ { 2 } \mu } { 4 } ) ^ { 2 } \bar { y } ^ { \top } y + \tau ^ { 2 } } { | 1 + z | ^ { 4 } } } \\ & { = \frac { 1 } { | 1 + z | ^ { 4 } } \bigg ( \left( \mathrm { g } ( X , X ) - 2 k \tau ( \mathrm { I m } ( x ) - \frac { k \tau } { 2 } ) \right) + ( 2 k \mu \mathrm { R e } ( x ) ) t } \\ & { \quad + \frac { k ^ { 2 } \mu } { 2 } ( | x | ^ { 2 } + \bar { y } ^ { \top } y - k \tau \mathrm { I m } ( x ) + 2 \mu ) t ^ { 2 } + \frac { k ^ { 3 } \mu ^ { 2 } \mathrm { R e } ( x ) } { 2 } t ^ { 3 } } \\ & { \quad + \frac { k ^ { 4 } \mu ^ { 2 } } { 1 6 } ( | x | ^ { 2 } + \bar { y } ^ { \top } y ) t ^ { 4 } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \theta _ { i , l , t } } & { = } & { \tau _ { i , l } \theta _ { l , t } + \hat { \theta } _ { i , l , t } } \\ { \theta _ { l , t } } & { = } & { \theta _ { l , t - 1 } + \alpha _ { \theta _ { l } } s _ { \theta _ { l } , t - 1 } } \\ { \hat { \theta } _ { i , l , t } } & { = } & { \hat { \theta } _ { i , l , t - 1 } + \alpha _ { \hat { \theta } _ { i , l } } s _ { \hat { \theta } _ { i , l } , t - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { i \hbar ( \dot { \psi } _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 1 } \dot { \psi } _ { 2 } ) = \left( \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 4 } \right) ( \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) + \hat { H } _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \hat { V } _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \hat { H } _ { 2 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } + \hat { V } _ { 2 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l } { G ^ { s } \left( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } \right) = B ^ { s } \left( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } \right) G ^ { s } \left( \tau _ { 1 } \right) , } \\ { G ^ { s } \left( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } \right) = - \left[ \mathbb { I } - G ^ { s } \left( \tau _ { 1 } \right) \right] B ^ { s } \left( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } \right) ^ { - 1 } , } \end{array} \right. \ \ \ \ \tau _ { 2 } > \tau _ { 1 } , } \\ & { \left\{ \begin{array} { l } { G ^ { s } \left( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } \right) = - B ^ { s } \left( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } \right) ^ { - 1 } \left[ \mathbb { I } - G ^ { s } \left( \tau _ { 1 } \right) \right] , } \\ { G ^ { s } \left( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } \right) = G ^ { s } \left( \tau _ { 1 } \right) B ^ { s } \left( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } \right) , } \end{array} \right. \ \ \ \ \tau _ { 2 } < \tau _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { i \mathbb { S } ( P , t , \tau ) } = } & { { } e ^ { - i [ ( { 2 P ^ { 2 } } / { P _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } + 1 ) U _ { \mathrm { p } } - ( i \Gamma + \Delta ) ] ( { \tau } / { \hbar } ) } } \end{array}
\mathrm { t r } ^ { \prime } e ^ { - ( \Delta + m ^ { 2 } ) t } = \sum _ { \delta \neq { \bf 1 } } \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d u \left[ { \frac { { \sqrt { 2 } } l ( \delta ) } { ( 4 \pi t ) ^ { 3 / 2 } } } \int _ { \rho _ { H } } ^ { \infty } d b { \frac { b e ^ { - b ^ { 2 } / 4 t - M ^ { 2 } t } } { { \sqrt { \mathrm { C o s h } b - \mathrm { C o s h } \rho _ { H } } } } } \right] ,
\begin{array} { r l r l } { d _ { i } \nabla \rho _ { i } \cdot n } & { = 0 } & { \quad } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } \; \mathrm { ~ f o r ~ } i = 1 , \cdots , 5 , } \\ { d _ { i } \nabla \rho _ { i } \cdot n } & { = \rho _ { i } V _ { i } ( \rho ) - \rho _ { i } v _ { i , o u t } } & { \quad } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 2 } \; \mathrm { ~ f o r ~ } i = 1 , \cdots , 5 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { + } } & { { } ( \mathbf { x } ) = U ( 0 ) + \left( \mathbf { x } ^ { + } \right) ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } \right) ^ { + + } \mathbf { x } ^ { + } / 2 + } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { k j } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { l } \{ \hat { r } _ { k } ^ { \alpha } q _ { j } ( \underline { { y } } ) + \hat { r } _ { j } ^ { \alpha } q _ { k } ( \underline { { y } } ) - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { j k } \hat { r } _ { l } ^ { \alpha } q _ { l } ( \underline { { y } } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( y , y ^ { \prime } ) } & { { } = e ^ { - \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } } \frac { \alpha } { \sqrt { \pi } } e ^ { - \frac { y ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - e ^ { - 2 \beta \hbar \omega } } } \cdot } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \omega _ { \mathrm { P B C } } } { c } \right) ^ { 2 } } & { = \eta _ { y y } k _ { x } ^ { 2 } - \left( \eta _ { x y } + \eta _ { y x } \right) k _ { x } k _ { y } + \eta _ { x x } k _ { y } ^ { 2 } , } \\ & { = \eta _ { y y } \left( k _ { x } + q k _ { y } \right) ^ { 2 } + \left( \eta _ { x x } - q ^ { 2 } \eta _ { y y } \right) k _ { y } ^ { 2 } , } \\ { q } & { = - \frac { \eta _ { x y } + \eta _ { y x } } { 2 \eta _ { y y } } = \frac { \varepsilon _ { x y } + \varepsilon _ { y x } } { 2 \varepsilon _ { x x } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { x } } & { = B _ { 0 } \operatorname { t a n h } \left( \frac { z } { \lambda F ( x ) } \right) F ^ { - 1 } ( x ) , } \\ { B _ { y } } & { = B _ { 0 } \left[ \cosh \left( \frac { z } { \lambda F ( x ) } \right) \cdot F ( x ) \right] ^ { - 1 } , } \\ { B _ { z } } & { = \varepsilon B _ { 0 } \left[ 1 - \frac { z } { \lambda F ( x ) } \operatorname { t a n h } \left( \frac { z } { \lambda F ( x ) } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \frac 1 N \frac { \partial E } { \partial \theta } = ~ } & { { } 2 4 k _ { P } ( 1 - \cos \theta ) ( 1 2 \theta - 1 2 \sin \theta + P _ { 0 } - 2 \pi ) } \end{array}
\gamma ^ { \prime } + 3 \alpha \gamma = 0 \, , \qquad \alpha ^ { \prime } + \alpha ^ { 2 } - 2 \gamma = 0 \, , \qquad \omega ^ { \prime } + 2 \alpha \omega + 2 \beta \gamma = 0 \, , \qquad \zeta ^ { \prime } + \alpha \zeta + \beta \omega = 0 \, , \qquad \beta ^ { \prime } + \alpha \beta - \omega = 0 \, ,
\begin{array} { l } { n _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { | k | , } & { | k | \geq m , } \\ { m , } & { | k | < m , \quad m - k = \mathrm { e v e n } , } \\ { m + 1 , } & { | k | < m , \quad m - k = \mathrm { o d d } , } \end{array} \right. } \\ { n _ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { N , } & { N - k = \mathrm { e v e n } , } \\ { N - 1 , } & { N - k = \mathrm { o d d } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \widehat T } = { \widehat M } _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 2 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; .
T = \frac { \left( 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) r _ { 0 } ^ { 2 } - \left( q _ { m } + n \, \phi _ { e } \right) ^ { 2 } } { 4 \pi \, r _ { 0 } ^ { 3 } } \, + \, \frac { 3 \, r _ { 0 } ^ { 2 } \left( n ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } \right) } { 4 \pi \, L ^ { 2 } \, r _ { 0 } ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { p } } & { { } = } & { \frac { \kappa } { 2 } \, \sqrt { \left\langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } \right\rangle - \left\langle r ^ { n } r ^ { n } \right\rangle ^ { 2 } } \; = \; \frac { k _ { B } T } { \sqrt { 2 } } \, \sqrt { \frac { \frac { 1 } { 2 } X ^ { 4 } \left[ 3 - \Gamma _ { 4 } \right] + \frac { 1 } { 4 } X ^ { 3 } \left[ 7 - \Gamma _ { 4 } \right] + \frac { 1 } { 4 } ( X ^ { 2 } + X + 1 ) \left[ 1 + \Gamma _ { 4 } \right] } { X ^ { 3 } + X ^ { 2 } + X + 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } c _ { i , 0 } = \left( \frac { \widetilde { \mathrm { P e } } ^ { 2 } \left\langle u ( \partial _ { \tau } - \Delta ) ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } } { \tilde { \kappa } _ { i } } + \tilde { \kappa } _ { i } \right) \partial _ { \tilde { x } } ^ { 2 } c _ { i , 0 } , \quad i = 1 , \hdots , n , } \end{array}
D _ { \alpha } ^ { \mathbf i } = \partial _ { \alpha } ^ { \mathbf i } + i { \bar { \theta } } ^ { \dot { \alpha } { \mathbf i } } \partial _ { \alpha \dot { \alpha } } \ , \qquad \quad { \bar { D } } _ { \dot { \alpha } { \mathbf i } } = - { \bar { \partial } } _ { \dot { \alpha } { \mathbf i } } - i { \theta } _ { \mathbf i } ^ { \alpha } \partial _ { \alpha \dot { \alpha } } .
\tilde { \mu } ^ { 2 } = \tilde { m } _ { 0 } ^ { 2 } + ( 1 - \tilde { m } _ { 0 } ^ { 2 } ) ( \tilde { \mu } ^ { 2 } ) ^ { { \frac { \beta ^ { 2 } } { 8 \pi } } } c o s ( \beta \varphi ) ) \; ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f } { \partial t } = - ( { \mathbf p } - { \mathbf A } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf x } } + \left[ T \frac { \nabla n } { n } + \left( \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial \mathbf x } \right) ^ { \top } ( { \mathbf A } - { \mathbf p } ) \right] \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf p } } , } \\ & { \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial t } = - \frac { \nabla \times \nabla \times { \mathbf A } } { n } \times { \nabla \times { \mathbf A } } - \frac { \int ( { \mathbf A } - { \mathbf p } ) f \mathrm { d } { \mathbf p } } { n } \times { \nabla \times { \mathbf A } } , \quad n = \int f \mathrm { d } { \mathbf p } , } \end{array}
{ \hat { H } } _ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } = { \hat { H } } _ { \mathbf { k } } + { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \mathbf { q } \cdot ( - i \nabla + \mathbf { k } ) + { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } q ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \overline { { L } } ( \tau ) = \frac { 2 ^ { \frac { \beta - 1 } { \beta - 2 } } ( 2 - \beta ) ^ { - \frac { 2 } { \beta - 2 } } \Gamma \left( - \frac { 2 } { \beta - 2 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - \beta } \right) } ( D \tau ) ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p G _ { n } } & { = - \nu ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G _ { n } + \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n - 1 } - \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n + 1 } } \\ & { + i n B _ { 0 } ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { n } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \bigl [ ( n - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } - 1 \bigr ] H _ { n - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \bigl [ ( n + 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } - 1 \bigr ] H _ { n + 1 } , } \\ { p H _ { n } } & { = - \eta ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { n } - \frac { k } { 2 } \, H _ { n - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { n + 1 } } \\ & { + \frac { i n B _ { 0 } } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { n } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { n - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { n + 1 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { u ( y , z ) } & { = { \frac { G } { 2 \mu } } ( y + z ) ( \pi - y ) - { \frac { G } { \pi \mu } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \beta _ { n } ^ { 3 } \sinh ( 2 \pi \beta _ { n } ) } } \left\{ \sinh [ \beta _ { n } ( 2 \pi - y + z ) ] \sin [ \beta _ { n } ( y + z ) ] - \sinh [ \beta _ { n } ( y + z ) ] \sin [ \beta _ { n } ( y - z ) ] \right\} , \quad \beta _ { n } = n + { \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { Q } & { = { \frac { G \pi ^ { 4 } } { 1 2 \mu } } - { \frac { G } { 2 \pi \mu } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \beta _ { n } ^ { 5 } } } \left[ \coth ( 2 \pi \beta _ { n } ) + \csc ( 2 \pi \beta _ { n } ) \right] . } \end{array} }
J _ { T } ( \mathbf { u } ; \bar { t } _ { 0 } , \bar { y } _ { 0 } ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \mathbb { E } \left[ \| y ( t ) \| _ { V } ^ { 2 } \right] \, d t + \frac { \beta } { 2 } \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } | \mathbf { u } ( t ) | _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } d t .
A _ { \rho } \; = \; \sqrt { \sigma _ { \rho } } e ^ { - b _ { \rho } q _ { t } ^ { 2 } / 2 } \frac { \sqrt { M _ { 0 } \Gamma } } { M ^ { 2 } - M _ { 0 } ^ { 2 } + i M _ { 0 } \Gamma } \frac { H ^ { D } ( \theta , \phi ) } { \sqrt { \pi } } \; .
\begin{array} { r l r } { \hat { f } ^ { r } } & { = } & { \frac { 1 } { \gamma ^ { r } } \left( f e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } + ( 1 - e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } ) A ^ { r } f ^ { t } \right) } \\ { \textrm { a n d } \quad \widetilde { f } ^ { r } } & { = } & { \frac { 1 } { \gamma ^ { r } } \left( f - ( 1 - e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } ) B ^ { r } f ^ { t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle i ^ { 0 } \lvert U ^ { ( 3 ) } ( t , t _ { 0 } ) \lvert i ^ { 0 } \rangle = } & { \: \left( - \frac { i } { \hbar } \right) ^ { 3 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d s _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { s _ { 1 } } d s _ { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { s _ { 2 } } d s _ { 3 } \: \langle i ^ { 0 } \lvert H _ { \mathrm { i n t } } ^ { I } ( s _ { 1 } ) H _ { \mathrm { i n t } } ^ { I } ( s _ { 2 } ) H _ { \mathrm { i n t } } ^ { I } ( s _ { 3 } ) \lvert i ^ { 0 } \rangle } \\ & { = \left( - \frac { i } { \hbar } \right) ^ { 3 } \sum _ { m , n } f _ { m n } ( t , t _ { 0 } ) \times \langle i ^ { 0 } \lvert V \lvert m ^ { 0 } \rangle \langle m ^ { 0 } \lvert V \lvert n ^ { 0 } \rangle \langle n ^ { 0 } \lvert V \lvert i ^ { 0 } \rangle . } \end{array}
H _ { E } = \left( \begin{array} { l l l l } { D } & { 0 } & { 0 } & { u } \\ { 0 } & { D } & { 0 } & { v } \\ { 0 } & { 0 } & { D } & { w } \\ { u } & { v } & { w } & { g } \end{array} \right) \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { * } [ \mathcal { R } , \Lambda ] } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { \mathcal { N } } \sum _ { a , b = 1 } ^ { { B } \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ] _ { a b } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } + \sum _ { i \neq j } \hat { T } _ { i j } \dag \hat { T } _ { i j } } & { = \sum _ { a = 1 } ^ { B \nu _ { i } } \sum _ { b = 1 } ^ { B \nu _ { j } } [ \mathcal { R } _ { i } t _ { i j } \mathcal { R } _ { j } ^ { \dagger } ] _ { a b } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { j b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , , } \end{array}
\rho _ { \mathrm { 0 } } ~ { = } ~ \frac { e ^ { - h H _ { \mathrm { Q } } / ( k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { s } } ) } } { \mathrm { T r } [ e ^ { - h H _ { \mathrm { Q } } / ( k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { s } } ) } ] } ,
\begin{array} { r l r } { \nabla \mathbf { u } ^ { \prime } - \nabla p ^ { \prime } } & { { } = } & { R e \left( ( \bar { \mathbf { u } } - \bar { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { p } ) ) \cdot \nabla \mathbf { u } ^ { \prime } + \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \nabla \bar { \mathbf { u } } \right) - \frac { 2 0 \pi } { 3 } E : \nabla \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } ) } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } & { { } = } & { 0 } \end{array}
- \left\| c \right\| _ { \infty } - \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } g ^ { ( c + \Delta ^ { c } ) ( c + \Delta ^ { c } ) } ( x ) \ \leq g ^ { ( c + \Delta ^ { c } ) ( c + \Delta ^ { c } ) c } ( y ) \leq \left\| c \right\| _ { \infty } - \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } g ^ { ( c + \Delta ^ { c } ) ( c + \Delta ^ { c } ) } ( x ) .
\begin{array} { r l } & { \quad \mathrm { K L } ( p _ { t _ { i - 1 } } \times p _ { t _ { i } } | | \, p _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } \times p _ { t _ { i } } ) + \mathrm { K L } ( p _ { t _ { i } } \times p _ { t _ { i + 1 } } | | \, p _ { t _ { i } } \times p _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ) } \\ { = } & { \quad \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x _ { t _ { i - 1 } } } , \mathbf { x _ { t _ { i } } } ) } \left[ \log \frac { p _ { t _ { i - 1 } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } , \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) p ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } { p _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) p ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } \right] } \\ & { \quad + \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t } , \mathbf { x _ { t _ { i + 1 } } } ) } \left[ \log \frac { p _ { t _ { i } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) p ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } { p _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) p ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } \right] } \\ { = } & { \quad \mathbb { E } _ { \mathbf { x _ { t _ { i } } } } \mathbb { E } _ { \mathbf { x _ { t _ { i - 1 } } } | \mathbf { x _ { t _ { i } } } } \left[ \log \frac { p _ { t _ { i - 1 } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } { p _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } \right] } \\ & { \quad + \mathbb { E } _ { \mathbf { x _ { t _ { i } } } } \mathbb { E } _ { \mathbf { x _ { t _ { i + 1 } } } | \mathbf { x _ { t _ { i } } } } \left[ \log \frac { p _ { t _ { i } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } { p _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } \right] } \\ { = } & { \quad \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \mathrm { K L } ( p _ { t _ { i - 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } | | \, p _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) + \mathrm { K L } ( p _ { t _ { i + 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } | | \, p _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) \right] . } \end{array}
D = 1 0 0 \cdot \ln { \frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } } } \approx 1 0 0 \cdot { \frac { V _ { 2 } - V _ { 1 } } { V _ { 1 } } } = { \mathrm { P e r c e n t a g e ~ c h a n g e } } { \mathrm { ~ w h e n ~ } } \left| { \frac { V _ { 2 } - V _ { 1 } } { V _ { 1 } } } \right| < < 1
\frac { \partial f } { \partial t } + \boldsymbol { v } _ { k } \cdot { \frac { \partial f } { \partial \boldsymbol { r } } } + q _ { k } ( \boldsymbol { E } + \boldsymbol { v } _ { k } \times \boldsymbol { B } ) \cdot { \frac { \partial f } { \partial \boldsymbol { p } _ { t } } } = \frac { \partial f } { \partial t } | _ { \mathrm { c o l l } } ^ { \mathrm { B U U } } ,
\begin{array} { r l r l } & { v _ { 1 } ^ { \pm } ( k ) = \mathcal { A } v _ { 3 } ^ { \pm } ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } , \qquad k \in \Gamma _ { 1 } ; } & & { v _ { 2 } ^ { \pm } ( k ) = \mathcal { B } v _ { 6 } ^ { \mp } ( k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } , \qquad k \in \Gamma _ { 2 } ; } \\ & { v _ { 4 } ^ { \pm } ( k ) = \mathcal { A } v _ { 6 } ^ { \pm } ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } , \qquad k \in \Gamma _ { 4 } ; } & & { v _ { 5 } ^ { \pm } ( k ) = \mathcal { B } v _ { 3 } ^ { \mp } ( k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } , \qquad k \in \Gamma _ { 5 } ; } \\ & { v _ { 7 } ^ { \pm } ( k ) = \mathcal { A } v _ { 9 } ^ { \pm } ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } , \qquad k \in \Gamma _ { 7 } , } \end{array}