harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { R } & { = } & { \frac { \tau \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) ^ { T } \right) } \\ & { } & { + \frac { \tau } { 2 } \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 + 1 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) } \\ & { } & { + \frac { \tau } { 4 } \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 + 1 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) . } \end{array}
\left( { \frac { g } { f } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \operatorname* { g c d } ( f , g ) = 1 { \mathrm { ~ a n d ~ } } \exists h , k \in F [ x ] { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } g - h ^ { 2 } = k f } \\ { - 1 } & { \operatorname* { g c d } ( f , g ) = 1 { \mathrm { ~ a n d ~ } } g { \mathrm { ~ i s ~ n o t ~ a ~ s q u a r e } } { \bmod { f } } } \\ { 0 } & { \operatorname* { g c d } ( f , g ) \neq 1 } \end{array} \right. }
\partial _ { t } K _ { t } ( x , x ^ { \prime } ) + A \, K _ { t } ( x , x ^ { \prime } ) = 0 \: , \qquad \qquad \operatorname * { l i m } _ { t \to 0 _ { + } } K _ { t } ( x , x ^ { \prime } ) = [ g ( x ) ] ^ { 1 / 4 } \delta ( x , x ^ { \prime } ) [ g ( x ^ { \prime } ) ] ^ { 1 / 4 } \: ,
{ \frac { \partial V } { \partial \phi ^ { I } } } \Delta \phi ^ { I } + { \frac { \partial V } { \partial G } } \Delta G + { \frac { \partial V } { \partial \phi ^ { I * } } } \Delta \phi ^ { I * } + { \frac { \partial V } { \partial G ^ { * } } } \Delta G ^ { * } = 0 \ .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 1 } } & { = ( 3 \mathbf { z } - \mathbf { r } ) \times ( \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { r } } \times \mathbf { B } _ { 0 } ) = - \omega _ { \mathrm { r } } B _ { 0 } ( 2 \mathbf { z } - \mathbf { x } - \mathbf { y } ) \times ( \mathbf { \hat { z } } \times \mathbf { \hat { x } } ) = \omega _ { \mathrm { r } } B _ { 0 } [ 2 z \mathbf { \hat { x } } + x \mathbf { \hat { z } } ] } \\ { \mathbf { v } \times \mathbf { B } _ { 0 } } & { = [ \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { f } } \times \mathbf { r } ] \times \mathbf { B } _ { 0 } = - \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { f } } ( \mathbf { B } _ { 0 } \cdot \mathbf { r } ) + \mathbf { r } ( \mathbf { B } _ { 0 } \mathbf { \cdot } \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { f } } ) = \omega _ { \mathrm { f } } B _ { 0 } x \mathbf { \hat { z } } } \end{array}
\phi _ { i n t } ^ { 1 2 } = \lambda _ { 1 } \overline { { { \lambda } } } _ { 2 } + \lambda _ { 2 } \overline { { { \lambda } } } _ { 1 } + \left( x - a _ { 1 } \right) \overline { { { \left( x - a _ { 2 } \right) } } } + \left( x - a _ { 2 } \right) \overline { { { \left( x - a _ { 1 } \right) } } } \ ,
\begin{array} { r } { \frac { ( 1 - \rho _ { 1 } ) ^ { 2 } \cot { \theta _ { 1 } } } { 2 ( \rho _ { 1 } + \cot ^ { 2 } { \theta _ { 1 } } ) ( \ell ( \rho _ { 1 } ) ) ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } ( M _ { 2 } ^ { ( \theta _ { 1 } ) } ) ^ { 2 } } { \mathrm { d } \theta _ { 1 } } = \rho _ { 1 } + \frac { 1 } { 1 - \rho _ { 1 } } \frac { \ell ( \rho _ { 1 } ) } { \ell ^ { \prime } ( \rho _ { 1 } ) } - \cot ^ { 2 } { \theta _ { 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { v } _ { s } ( t _ { e } ) = } & { { } \ - \alpha \frac { i _ { e } } { s _ { e } } \left[ \hat { M } ( t _ { e } , { \tau _ { e c o n } } , \eta , p ) - \hat { M } ( t _ { e } , { \tau _ { e c o n } } , 1 , p ) \right] } \\ { \hat { v } _ { i } ( t _ { e } ) = } & { { } \ - \alpha \hat { M } ( t _ { e } , { \tau _ { e c o n } } , 1 , p ) } \end{array}
g _ { 0 0 } ^ { 2 } = 4 ( h _ { 0 } + { \frac { q _ { 0 } } { r } } ) \left( ( h _ { 1 } + { \frac { p _ { 1 } } { r } } ) ( h _ { 2 } + { \frac { p _ { 2 } } { r } } ) ( h _ { 3 } + { \frac { p _ { 3 } } { r } } ) + a ( h _ { 3 } + { \frac { p _ { 3 } } { r } } ) ^ { 3 } \right) ,
\Sigma ( p ^ { 2 } , \zeta , \delta ) \equiv \Gamma _ { 2 } ( p ^ { 2 } , \zeta , \delta ) = \sum _ { \nu = 1 } ^ { n } \delta ^ { \nu } \sum _ { J = 0 } ^ { J _ { m a x } } { \binom { 2 \nu - 2 - J } { J } } \zeta ^ { 2 \nu - 1 - 2 J } ( 1 - \zeta ) ^ { J } g _ { 0 } ^ { \nu - J } \Gamma _ { 2 } ^ { ( \nu - J ) } ( p ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { P ( K _ { ( m ) } } & { \geq k _ { ( m ) } \ | \ H _ { 0 } ) = P \Big ( K _ { m } > k _ { m } \ \cap \ E _ { m } \ | \ H _ { 0 } \Big ) } \\ & { = P \Big ( \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { j = 1 , . . , m } n \widehat { \theta } _ { ( j ) } ^ { 2 } > k _ { m } \ \cap \ E _ { m } \ | \ H _ { 0 } \Big ) } \\ & { = P \Big ( \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { j = 1 , . . , m } n \widehat { \theta } _ { ( j ) } ^ { 2 } > k _ { m } \ | E _ { m } \cap \ H _ { 0 } \Big ) P \Big ( E _ { m } \ | \ H _ { 0 } \Big ) } \\ & { = P \Big ( \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { j = 1 , . . , M } n \widehat { \theta } _ { ( j ) } ^ { 2 } > k _ { m } \ | E _ { m } \cap \ H _ { 0 } \Big ) P \Big ( E _ { m } \ | \ H _ { 0 } \Big ) } \\ & { \leq \sum _ { m = 1 } ^ { M } P \Big ( \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { j = 1 , . . , M } n \widehat { \theta } _ { ( j ) } ^ { 2 } > k _ { m } \ | E _ { m } \cap \ H _ { 0 } \Big ) P \Big ( E _ { m } \ | \ H _ { 0 } \Big ) } \\ & { = \ P \Big ( \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { j = 1 , . . , M } n \widehat { \theta } _ { ( j ) } ^ { 2 } > k _ { m } \ | \ H _ { 0 } \Big ) \stackrel { d } { \rightarrow } 1 - P \Big ( \chi _ { 1 } ^ { 2 } \leq k _ { m } \Big ) ^ { M } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { F _ { 1 } ^ { \prime ( 0 ) } } { F _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } } & { = } & { \frac { f _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) - g _ { \ell } ^ { \prime } ( i \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } { f _ { \ell } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) - g _ { \ell } ( i \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } } \\ & { - } & { \frac { f _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { + } ^ { ( 0 ) } ) - g _ { \ell } ^ { \prime } ( i \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } { f _ { \ell } ( D _ { + } ^ { ( 0 ) } ) - g _ { \ell } ( i \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } \; . } \end{array}
\hat { d } _ { k _ { x } , m , k _ { z } } = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { x } } } \sum _ { n } \hat { d } _ { n , m , k _ { z } } e ^ { - i k _ { z } X _ { n } } = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { x } N _ { z } } } \sum _ { n , l } e ^ { - i ( k _ { x } X _ { n } + k _ { z } Z _ { l } ) } \hat { d } _ { n , m , l }
\begin{array} { r l r l } { d ^ { * } = } & { \ \operatorname* { s u p } \quad v ( 0 , x _ { h } ( 0 ) ) + \textstyle \textstyle \int _ { - \tau } ^ { 0 } \phi ( t + \tau , x _ { h } ( t ) ) d t } & \\ & { J _ { T } ( x ) - v ( T , x ) \geq 0 } & & { \forall x \in X _ { T } } \\ & { \mathcal { L } _ { f } v + J ( t , x _ { 0 } , u ) - \phi ( t , x _ { 1 } ) + \phi ( t + \tau , x _ { 0 } ) \geq 0 } & & { \forall ( t , x _ { 0 } , x _ { 1 } , u ) \in [ 0 , T - \tau ] \times X ^ { 2 } \times U } \\ & { \mathcal { L } _ { f } v + J ( t , x _ { 0 } , u ) - \phi ( t , x _ { 1 } ) \geq 0 } & & { \forall ( t , x _ { 0 } , x _ { 1 } , u ) \in [ T - \tau , T ] \times X ^ { 2 } \times U } \\ & { v \in C ^ { 1 } ( [ 0 , T ] \times X ) } & \\ & { \phi \in C ( [ 0 , T ] \times X ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { b 0 } } & { = \gamma _ { b } \frac { \lambda _ { b } } { \Delta s _ { b } ^ { 2 } } \left( \cot \left( \frac { \beta \hbar \gamma _ { b } } { 2 } \right) - i \right) , } \\ { c _ { b m \ge 1 } } & { = \frac { 4 \lambda _ { b } \gamma _ { b } } { \beta \hbar \Delta s _ { b } ^ { 2 } } \left( \frac { \nu _ { b m } } { \nu _ { b m } ^ { 2 } - \gamma _ { b } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\lambda _ { 1 1 1 } ^ { \prime } \ \le \ 3 . 9 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, \left( \frac { m _ { \tilde { q } } } { 1 0 0 \, m b o x { G e V } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { m _ { \tilde { g } } } { 1 0 0 \ \mathrm { G e V } } \right) ^ { 1 / 2 } ,
\langle S ( t , \omega _ { 1 } ) S ( t , \omega _ { 2 } ) S _ { r e f } ( t , \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } ) \rangle = \frac { A } { 2 \pi ^ { 3 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 2 n + 1 ) ^ { 3 } } = A \epsilon .
\begin{array} { r l r } { \Psi ^ { * } \partial _ { y } \Psi + \Psi \partial _ { y } \Psi ^ { * } } & { = } & { 2 \Re [ \Psi ^ { * } \partial _ { y } \Psi ] } \\ & { = } & { 2 \Re \left[ \Psi ^ { * } \left( \sin \phi \partial _ { r } + \frac { 1 } { r } \cos \phi \partial _ { \phi } \right) \Psi \right] } \\ & { = } & { 2 \Re \left[ \Psi ^ { * } \left( \sin \phi \partial _ { r } \right) \Psi \right] } \\ & { = } & { \sin \phi \left( u ^ { * } \partial _ { r } u + u \partial _ { r } u ^ { * } \right) } \\ & { = } & { \sin \phi \partial _ { r } | u | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { { } = 1 - e ^ { - t / \tau } , } \\ { c _ { 2 } } & { { } = \left( t + \tau \right) e ^ { - t / \tau } - \tau , } \\ { c _ { 3 } } & { { } = t - \tau + \tau e ^ { - t / \tau } , } \\ { c _ { 4 } } & { { } = e ^ { - t / \tau } , } \\ { c _ { 5 } } & { { } = - \left( t + \tau \right) e ^ { - t / \tau } , } \\ { c _ { 6 } } & { { } = - \tau e ^ { - t / \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \frac { 1 } { n _ { \bf k } } + \frac { 1 } { n _ { 3 } } - \frac { 1 } { n _ { 1 } } - \frac { 1 } { n _ { 2 } } \right] } & { { } \approx \partial _ { \omega } { n _ { \omega } } ^ { - 1 } ( \omega - \omega _ { 1 } ) - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } ( \omega _ { 2 } - \omega _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { y } & { { } = - \tan t \left( x - \cos ^ { 3 } t \right) + \sin ^ { 3 } t , } \\ { y } & { { } = { \frac { 1 } { \tan t } } \left( x + \sin ^ { 3 } t \right) + \cos ^ { 3 } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ell ( w ; x _ { p i } , y _ { p i } ) : = - \textstyle \sum _ { k = 1 } ^ { K } y _ { p i k } \ln \big ( h _ { k } ( w ; x _ { p i } ) \big ) , \ \forall p \in [ P ] , \forall i \in [ I _ { p } ] , } \\ & { h _ { k } ( w ; x _ { p i } ) : = \frac { \exp ( \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { J } x _ { p i j } w _ { j k } ) } { \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \exp ( \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { J } x _ { p i j } w _ { j k ^ { \prime } } ) } , \ \forall p \in [ P ] , \forall i \in [ I _ { p } ] , \forall k \in [ K ] , } \\ & { r ( w ) : = \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { j k } ^ { 2 } , } \\ & { f _ { p } ( w ) = \textstyle - \frac { 1 } { I } \sum _ { i = 1 } ^ { I _ { p } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \big \{ y _ { p i k } \ln ( h _ { k } ( w ; x _ { p i } ) ) \big \} + \frac { \beta } { P } \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { j k } ^ { 2 } , \ \forall p \in [ P ] , } \\ & { \nabla _ { w _ { j k } } f _ { p } ( w ) = \textstyle \frac { 1 } { I } \sum _ { i = 1 } ^ { I _ { p } } x _ { p i j } ( h _ { k } ( w ; x _ { p i } ) - y _ { p i k } ) + \frac { 2 \beta } { P } w _ { j k } , \ \forall p \in [ P ] , \forall j \in [ J ] , \forall k \in [ K ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | F _ { 0 2 } ^ { m } - F _ { 2 } ^ { m } | } & { \le C \Delta x _ { m } \sum _ { K \in { \mathcal T } _ { m } } \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { \mathrm { i n t } , K } } \operatorname { m } ( \sigma ) ( u _ { i , m , K } ^ { k } ) ^ { + } | \mathrm { D } _ { K , \sigma } p _ { i } ( u _ { m } ^ { k } ) | } \\ & { \le C \Delta x _ { m } \bigg ( \sum _ { K \in { \mathcal T } _ { m } } | ( u _ { i , m , K } ^ { k } ) ^ { + } | ^ { 2 } \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { \mathrm { i n t } , K } } \operatorname { m } ( \sigma ) { \operatorname { d } } _ { \sigma } \bigg ) ^ { 1 / 2 } | p _ { i } ( u _ { m } ^ { k } ) | _ { 1 , 2 , { \mathcal T } _ { m } } } \\ & { \le C \Delta x _ { m } \bigg ( \frac { d } { \zeta } \sum _ { K \in { \mathcal T } _ { m } } \operatorname { m } ( K ) | ( u _ { i , m , K } ^ { k } ) ^ { + } | ^ { 2 } \bigg ) ^ { 1 / 2 } | p _ { i } ( u _ { m } ^ { k } ) | _ { 1 , 2 , { \mathcal T } _ { m } } } \\ & { \le C ( \zeta ) \Delta x _ { m } \| u _ { i , m } ^ { k } \| _ { 0 , 2 , { \mathcal T } _ { m } } | p _ { i } ( u _ { m } ^ { k } ) | _ { 1 , 2 , { \mathcal T } _ { m } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ X _ { 1 } ( X _ { 1 } + X _ { 2 } ) ] } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } p _ { i } x _ { 1 } ^ { ( i ) } ( x _ { 1 } ^ { ( i ) } + x _ { 2 } ^ { ( i ) } ) = ( q - Q _ { c } ) [ p _ { 1 } ( q - Q _ { c } - t _ { 1 } ) ) + p _ { 2 } ( q - Q _ { c } ) ] + p _ { 4 } ( q + Q _ { c } ) t _ { 2 } , } \\ & { = ( q - Q _ { c } ) ( \mu _ { 1 } - p _ { 3 } x _ { 1 } ^ { ( 3 ) } - p _ { 4 } x _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ) + p _ { 4 } ( q + Q _ { c } ) t _ { 2 } = ( q - Q _ { c } ) \mu _ { 1 } + 2 Q _ { c } p _ { 4 } t _ { 2 } = a \mu _ { 1 } ^ { 2 } + c \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \\ { \mathbb { E } [ ( X _ { 1 } + X _ { 2 } ) X _ { 2 } ] } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } p _ { i } ( x _ { 1 } ^ { ( i ) } + x _ { 2 } ^ { ( i ) } ) x _ { 2 } ^ { ( i ) } = p _ { 1 } ( q - Q _ { c } ) t _ { 1 } + ( q + Q _ { c } ) [ p _ { 3 } ( q + Q _ { c } ) + p _ { 4 } ( q + Q _ { c } - t _ { 2 } ) ] , } \\ & { = p _ { 1 } ( q - Q _ { c } ) t _ { 1 } + ( q + Q _ { c } ) ( \mu _ { 2 } - p _ { 1 } x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } - p _ { 2 } x _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) = ( q + Q _ { c } ) \mu _ { 2 } - 2 Q _ { c } p _ { 1 } t _ { 1 } = b \mu _ { 2 } ^ { 2 } + c \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { { } = \epsilon f \int d k \ e ^ { - v ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } } \cos ( \omega t - k x _ { 1 } ) , } \\ { A _ { 2 } } & { { } = - \epsilon \int d k \ \omega e ^ { - v ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } } \sin ( \omega t - k x _ { 1 } ) , } \end{array}
v ^ { 2 } = \frac { 3 5 } { 4 4 \lambda } \left( 1 - \frac { 3 } { 2 \mu ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) \mu ^ { 2 } \quad \mathrm { f o r } \quad r > \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \, \frac { 1 } { \mu } .
\mathbf { S } _ { i j } ^ { ( k ) } = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \psi _ { j } \left( s \cdot z _ { 1 } + o _ { 1 } ^ { ( k ) } , s \cdot z _ { 2 } + o _ { 2 } ^ { ( k ) } \right) \psi _ { i } \left( z _ { 1 } , z _ { 2 } \right) d z _ { 1 } d z _ { 2 } ,
\mathbf { { \overline { { K } } } } _ { 1 } ( t - t ^ { \prime } ) = \left( \begin{array} { l l } { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } \Bigl [ \cosh ( \sqrt { \dot { \gamma } \omega _ { i } } ( t - t ^ { \prime } ) ) + \cos ( \sqrt { \dot { \gamma } \omega _ { i } } ( t - t ^ { \prime } ) ) \Bigr ] } & { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } \sqrt { \dot { \gamma } \omega _ { i } } } \Bigl [ \sin ( \sqrt { \dot { \gamma } \omega _ { i } } ( t - t ^ { \prime } ) ) - \sinh ( \sqrt { \dot { \gamma } \omega _ { i } } ( t - t ^ { \prime } ) ) \Bigr ] } \\ { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } \sqrt { \dot { \gamma } \omega _ { i } } } \Bigl [ - \sin ( \sqrt { \dot { \gamma } \omega _ { i } } ( t - t ^ { \prime } ) ) + \sinh ( \sqrt { \dot { \gamma } \omega _ { i } } ( t - t ^ { \prime } ) ) \Bigr ] } & { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \dot { \gamma } \omega _ { i } } \Bigl [ \cosh ( \sqrt { \dot { \gamma } \omega _ { i } } ( t - t ^ { \prime } ) ) + \cos ( \sqrt { \dot { \gamma } \omega _ { i } } ( t - t ^ { \prime } ) ) \Bigr ] } \end{array} \right) .
\mathrm { H } { \bigl ( } X _ { 1 } , \ldots , X _ { n } { \bigr ) } \geq \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } { \Bigl \{ } \mathrm { H } { \bigl ( } X _ { i } { \bigr ) } { \Bigr \} }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 } } & { = \cfrac { 1 } { 6 } \left[ \begin{array} { l l l l } { 3 } & { \sqrt { 3 } } & { \sqrt { 3 } } & { \sqrt { 3 } } \\ { \sqrt { 3 } } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \sqrt { 3 } } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \sqrt { 3 } } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] , } \\ { \sigma _ { 2 } } & { = \cfrac { 1 } { 6 } \left[ \begin{array} { l l l l } { 3 } & { - \sqrt { 3 } } & { - \sqrt { 3 } } & { - \sqrt { 3 } } \\ { - \sqrt { 3 } } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - \sqrt { 3 } } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - \sqrt { 3 } } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta ( E ) = } & { { } \frac { 2 \pi } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } \frac { 1 } { \omega _ { \mathrm { L } } S _ { 0 } } e ^ { \left[ - \beta E + \beta Q \omega _ { \mathrm { L } } ^ { - 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } ( 1 - E ^ { 2 } ) ( c _ { 1 1 } + c _ { 2 2 } ) + c _ { 3 3 } E ^ { 2 } \right) \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i i ) } } \big ( \alpha \big ) } & { = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } | \alpha | ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { m = 0 } ^ { k } \Big \{ F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n + 1 ) \right] } \\ & { - 2 F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] + F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n - 1 ) \right] \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { V } { \Sigma } } & { = \frac { 1 } { 2 \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \left[ \left( \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } \right) g ( t ) \xi ^ { 2 } + 2 \sigma \left( | \nabla \Gamma | - 1 \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \left[ \left( \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } \right) g ( t ) \xi ^ { 2 } + \sigma \left( ( \nabla \xi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ( \nabla \xi ) ^ { 4 } + \cdots \right) \right] . } \end{array}
\bar { R } _ { \; \; \; ( \sigma ) } ^ { \alpha \beta \; \; \; \delta ( \rho ) } = \varepsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } \left( \left( D _ { \gamma } \right) _ { \; \; \sigma } ^ { \rho } + g \delta _ { \sigma } ^ { \rho } \left( \partial _ { \tau } B _ { \gamma } ^ { \; ( \tau ) } + B _ { \gamma } ^ { \; ( \tau ) } \partial _ { \tau } \right) \right) .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } Q _ { ( k ) } ( a _ { i , M } ^ { 2 } ; \theta ) y ^ { 2 k } = \prod _ { i = 1 } ^ { M } ( 1 - a _ { i , M } ^ { 2 } y ^ { 2 } ) ^ { - \theta } } \\ { = } & { \exp \Bigg [ - \theta \sum _ { i = 1 } ^ { M } \ln \Big ( 1 - a _ { i , M } ^ { 2 } y ^ { 2 } \Big ) \Bigg ] = \exp \Bigg [ \theta M \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { y ^ { 2 k } } { k } \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } ( a _ { i , M } ) ^ { 2 k } \Bigg ] } \end{array}
p _ { X } ( k ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 6 } } , } & { k \in \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \} } \\ { 0 , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \log \frac { ( 1 - t ^ { 2 } ) \sqrt { | x - y | ^ { 2 } + 1 - t ^ { 2 } } } { ( \sqrt { | x - y | ^ { 2 } + 1 - t ^ { 2 } } - | x - y | ) ( 1 - t ^ { 2 } - | x - y | ( \sqrt { | x - y | ^ { 2 } + 1 - t ^ { 2 } } - | x - y | ) ) } } \\ & { \leq h _ { \mathbb { B } ^ { n } } ( x , y ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \left\{ \log \frac { ( 1 + t ) ( 1 - t + | x - y | ) } { ( 1 - t ) ( 1 + t - | x - y | ) } , 2 \log \left( \frac { \sqrt { 4 ( 1 - t ^ { 2 } ) + | x - y | ^ { 2 } } + | x - y | } { \sqrt { 4 ( 1 - t ^ { 2 } ) + | x - y | ^ { 2 } } - | x - y | } \right) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathcal { T } } _ { \eta } = } & { \operatorname* { s u p } _ { a \le t _ { 1 } < t _ { 2 } \le b } \| \widehat \vartheta _ { \eta } ^ { - 1 / 2 } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \widetilde { T } _ { \eta } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \| _ { \infty } , } \\ { \widetilde { \mathcal { T } } _ { \gamma } = } & { \operatorname* { s u p } _ { a \le t _ { 1 } < t _ { 2 } \le b } \| \widehat \vartheta _ { \gamma } ^ { - 1 / 2 } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \widetilde { T } _ { \gamma } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \| _ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi ^ { \prime } = \frac { ( 2 \mu _ { r } \mu _ { d } + C _ { 1 } ) ( 2 \sigma _ { r d } + C _ { 2 } ) } { ( \mu _ { r } ^ { 2 } + \mu _ { d } ^ { 2 } + C _ { 1 } ) ( \sigma _ { r } ^ { 2 } + \sigma _ { d } ^ { 2 } + C _ { 2 } ) } . } \end{array}
\Phi = \tilde { \Phi } , ~ ~ ~ \Psi ~ = ~ { \cal F } ~ \tilde { \Psi } , ~ ( \tilde { \Psi } ~ = ~ { \cal G } { \Psi } ) , ~ ~ ~ \Phi ^ { i } = e _ { \mu } ^ { i } f _ { a } ^ { \mu } \tilde { \Phi } ^ { a } , ~ ( \tilde { \Phi } ^ { a } = f _ { \mu } ^ { a } e _ { i } ^ { \mu } { \Phi } ^ { i } ) .
\begin{array} { r l r l r l } { { 4 } } & { \textbf { S y s t e m A } \: \: \: \: } & & { V _ { 1 } ( x _ { 1 } ) } & & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 \cdot k ( x _ { 1 } - x _ { \mathrm { l } } ) ^ { 2 } , \: \: \: \: \mathrm { i f } \ x _ { 1 } < x _ { l } } \\ { 0 . 5 \cdot k ( x _ { 1 } - x _ { \mathrm { r } } ) ^ { 2 } , \: \: \: \: \mathrm { i f } \ x _ { 1 } > x _ { \mathrm { r } } } \\ { 0 , \: \: \: \: \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ & { } & & { V _ { 2 } ( x _ { 2 } ) } & & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 \cdot k ( x _ { 2 } - x _ { l } ) ^ { 2 } , \: \: \: \: \mathrm { i f } \ x _ { 2 } < x _ { l } } \\ { 0 . 5 \cdot k ( x _ { 2 } - x _ { r } ) ^ { 2 } , \: \: \: \: \mathrm { i f } \ x _ { 2 } > x _ { r } } \\ { 0 , \: \: \: \: \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ & { } & & { V _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & & { = 0 . 5 \cdot \kappa \cdot 0 . 5 ( C \operatorname { t a n h } ( \alpha ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \circ } ) ) + 1 . 0 ) \cdot ( ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) - d ) ^ { 2 } } \\ & { } & & { V } & & { = V _ { 1 } + V _ { 2 } + V _ { 3 } } \\ & { \textbf { S y s t e m B } \: \: \: \: } & & { V _ { 1 } ( x _ { 1 } ) } & & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 \cdot k ( x _ { 1 } - x _ { \mathrm { l } } ) ^ { 2 } , \: \: \: \: \mathrm { i f } \ x _ { 1 } < x _ { l } } \\ { 0 . 5 \cdot k ( x _ { 1 } - x _ { \mathrm { r } } ) ^ { 2 } , \: \: \: \: \mathrm { i f } \ x _ { 1 } > x _ { \mathrm { r } } } \\ { 0 , \: \: \: \: \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { d } } & { = \frac { \left( R _ { 1 1 } - R _ { 2 2 } \right) ^ { 2 } + \left( R _ { 1 1 } - R _ { 3 3 } \right) ^ { 2 } + \left( R _ { 2 2 } - R _ { 3 3 } \right) ^ { 2 } } { \left( R _ { 1 1 } + R _ { 2 2 } + R _ { 3 3 } \right) ^ { 2 } } , } \\ { A _ { n } } & { = \frac { R _ { 1 2 } ^ { 2 } + R _ { 1 3 } ^ { 2 } + R _ { 2 3 } ^ { 2 } } { \left( R _ { 1 1 } + R _ { 2 2 } + R _ { 3 3 } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
h _ { E A D } ( f t ) = 3 . 3 \cdot { \Bigl ( } R \cdot ( { \frac { h _ { d e p t h } ( f t ) } { 3 . 3 } } + 1 0 ) - 1 0 { \Bigr ) } = R \cdot ( h _ { d e p t h } ( f t ) + 3 3 ) - 3 3
\begin{array} { r l r } { \eta ( c \tau ) } & { = } & { \int \! d L \, \rho _ { L } ( L ) \int \! d t \, \Gamma ( t ) p ( c \tau ; t , L ) } \\ & { = } & { \! \int \! \! d L \, \rho _ { L } ( L ) \! \! \int \! \! d \mathbf { r } \rho _ { E } ( \mathbf { r } ) \bigg [ \theta \! \left( \frac { d } { c } - \frac { \tau } { 2 } \right) \! \int _ { \frac { d } { c } - \frac { \tau } { 2 } } ^ { \frac { d } { c } + \frac { \tau } { 2 } + L } \! \! \! \! d t \, \Gamma ( t ) } \\ & { } & { + \, \theta \! \left( \frac { \tau } { 2 } - \frac { d } { c } \right) \! \int _ { 0 } ^ { \frac { d } { c } + \frac { \tau } { 2 } + L } \! \! \! \! d t \, \Gamma ( t ) \bigg ] . } \end{array}