harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- v _ { \mathrm { A } } \cos \theta \partial _ { x } u _ { y } = \frac { 1 } { n } v _ { \mathrm { A } } \cos \theta \left( \frac { \partial _ { x } b _ { y } } { \Omega _ { i } } \partial _ { x } u _ { y } + \partial _ { x } b _ { y } \right)
\left( \begin{array} { c } { E _ { 1 , N } } \\ { E _ { 2 , N } } \\ { E _ { 3 , N } } \\ { E _ { 4 , N } } \end{array} \right) = \boldsymbol { M _ { N , N - 1 } P _ { N - 1 } M _ { N - 1 , N - 2 } P _ { N - 2 } } \cdot \cdot \cdot \boldsymbol { M _ { 2 , 1 } P _ { 1 } } \left( \begin{array} { c } { E _ { 1 , 1 } } \\ { E _ { 2 , 1 } } \\ { E _ { 3 , 1 } } \\ { E _ { 4 , 1 } } \end{array} \right) = \boldsymbol { Q } \left( \begin{array} { c } { E _ { 1 , 1 } } \\ { E _ { 2 , 1 } } \\ { E _ { 3 , 1 } } \\ { E _ { 4 , 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \nu ^ { 4 } \left\lVert u ^ { \nu } ( { \xi ^ { \nu } } ) \right\rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \le \left( \frac { \nu ^ { 3 } } { 2 T _ { \nu } } + \nu ^ { 4 } \right) \left\lVert u ^ { \nu } ( 0 ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \to 0 \qquad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \nu \to 0 } \end{array}
m _ { 0 } \delta v = m _ { 1 } \delta v + \frac { E _ { \gamma _ { + } } ^ { \prime \prime } } { c } - \frac { E _ { \gamma _ { - } } ^ { \prime \prime } } { c } = m _ { 1 } \delta v + { \frac { 1 } { 2 } } \frac { L ^ { \prime \prime } } c - { \frac { 1 } { 2 } } \frac { L ^ { \prime \prime } } c = m _ { 1 } \delta v .
- \left( { F } _ { T } ^ { ( i ) } ( \theta _ { i } ^ { \star } ) \right) ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } ( \hat { \theta } _ { i } - \theta _ { i } ^ { \star } ) = - \Delta _ { i } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } ( \hat { \theta } _ { i } - \theta _ { i } ^ { \star } ) \leq \| \Delta _ { i } \| _ { 2 } \| \hat { \theta } _ { i } - \theta _ { i } ^ { \star } \| _ { 2 } .
\cos \left( { \frac { \pi } { 4 0 } } \right) = \cos \left( 4 . 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { \frac { 5 + { \sqrt { 5 } } } { 2 } } } } } } }
\begin{array} { r l r } { \beta _ { + } } & { = } & { \tau ( \Gamma _ { s } - \Gamma _ { 0 } ) + \tau \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { s } \left[ F _ { + } - \Gamma _ { s } - \left( \frac { k _ { \parallel } b k _ { \parallel } } { \omega ^ { 2 } } \right) _ { + } \frac { \tau V _ { A } ^ { 2 } F _ { + } } { ( 1 - \omega _ { * e } / \omega ) _ { + } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iint _ { B _ { r } \times B _ { r } } \frac { | u ( x ) - u ( y ) | ^ { 2 } } { | x - y | ^ { N + 2 \, s } } \, d x \, d y } & { \ge \frac { 1 } { C \cdot A _ { 1 } \cdot A _ { 2 } } \, \int _ { B _ { r } } \left( \int _ { - 2 r } ^ { 2 r } \frac { | \widetilde { u } ( x ) - \widetilde { u } ( x + \varrho \, \omega ) | ^ { 2 } } { | \varrho | ^ { 1 + 2 \, s } } \, d \varrho \right) \, d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g } & { ( \rho , \alpha ) \triangleq \log _ { 2 } \left( \frac { \rho } { 1 \! - \! \rho } \right) \left( 1 \! - \! \frac { p } { q } \right) } \\ & { + \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! - \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) + \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! - \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } v _ { f } ( t ) } & { = [ ( \sigma - 2 \beta ) m _ { g } ( t ) - 2 \alpha \chi ] v _ { f } ( t ) + \sigma m _ { g } ( t ) m _ { f } ^ { 2 } ( t ) , } \\ { \frac { d } { d t } v _ { g } ( t ) } & { = [ ( \tilde { \sigma } + 2 \gamma ) m _ { f } ( t ) - 2 \gamma \mu ] v _ { g } ( t ) + \tilde { \sigma } m _ { f } ( t ) m _ { g } ^ { 2 } ( t ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \dot { x } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \dot { y } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \dot { z } } _ { 1 } ^ { 2 } - \left( { \dot { x } } _ { 2 } ^ { 2 } + { \dot { y } } _ { 2 } ^ { 2 } + { \dot { z } } _ { 2 } ^ { 2 } \right) = 0 , } \\ { { \dot { x } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \dot { y } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \dot { z } } _ { 1 } ^ { 2 } - \left( { \dot { x } } _ { 3 } ^ { 2 } + { \dot { y } } _ { 3 } ^ { 2 } + { \dot { z } } _ { 3 } ^ { 2 } \right) = 0 , } \\ { \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots } \\ { \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots } \\ { { \dot { x } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \dot { y } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \dot { z } } _ { 1 } ^ { 2 } - \left( { \dot { x } } _ { N } ^ { 2 } + { \dot { y } } _ { N } ^ { 2 } + { \dot { z } } _ { N } ^ { 2 } \right) = 0 , } \end{array} \right.
\cfrac { z - s } { s _ { 0 } } \leq \varepsilon _ { S S l } \cdot \cfrac { 1 } { q } \bigg ( \cfrac { s _ { 0 } + K _ { S } } { s _ { 0 } + K _ { M } } \bigg ) \exp \left( \frac 1 q k _ { 1 } s _ { 0 } t _ { S S l } \cdot \varepsilon _ { S S l } \log \left( 1 + \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \frac { C ^ { * } } { q } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } & { \left| \langle G _ { 1 } A G _ { 2 } B \rangle \right| \prec \Lambda _ { k } \Lambda _ { l } + \frac { \Lambda _ { k } } { L \eta _ { * } } , \, } \\ & { \left| \langle \Im G _ { 1 } A G _ { 2 } B \rangle \right| \prec \rho _ { 1 } \Lambda _ { k } \Lambda _ { l } + \frac { \rho _ { 1 } \Lambda _ { k } } { L \eta _ { * } } , \, } \\ & { \left| \langle \Im G _ { 1 } A \Im G _ { 2 } B \rangle \right| \prec \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \Lambda _ { k } \Lambda _ { l } + \frac { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \Lambda _ { k } } { L \eta _ { * } } . \, } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \mathfrak { n } \to \infty } \mathfrak { n } ^ { 2 / 3 } \nu _ { \mathfrak { n } } t _ { \mathfrak { n } } = \operatorname* { l i m } _ { \mathfrak { n } \to \infty } \frac { 2 \omega } { ( 3 \pi ) ^ { 1 / 2 } } \mathfrak { n } ^ { 2 / 3 } \lambda _ { \mathfrak { n } } = \frac { 2 ^ { 1 0 / 3 } } { 3 ^ { 1 3 / 6 } \pi ^ { 4 / 3 } } \, \omega
{ \hat { \cal H } } \, \psi ( { \bf X } ) = \int d ^ { 3 } x \left[ \, \frac { g ^ { 2 } } { 2 } { \hat { X } } ^ { a x } { \hat { X } } ^ { a x } + \, \frac { 1 } { 4 g ^ { 2 } } \, ( \partial _ { [ a } { \hat { P } } _ { b ] x } ) ^ { 2 } \right] \, \psi ( { \bf X } )
\begin{array} { r l } { - i \partial _ { z } A _ { n } } & { = t _ { 1 } B _ { n } + t _ { 2 } B _ { n + 1 } \, , } \\ { - i \partial _ { z } B _ { n } } & { = t _ { 1 } ( A _ { n } + C _ { n } ) + t _ { 2 } ( A _ { n - 1 } + C _ { n - 1 } ) \, , } \\ { - i \partial _ { z } C _ { n } } & { = t _ { 1 } B _ { n } + t _ { 2 } B _ { n + 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| y _ { \lambda _ { k + 1 } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } ] } & { \le \frac { 8 \delta _ { k } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } ^ { 2 } \lambda _ { k + 1 } ^ { 2 } } + 2 l _ { \lambda , 0 } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { \le 4 \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ( \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] ) + \frac { 8 \delta _ { k } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \varphi ( t _ { 1 } , x _ { 1 } ) - \varphi ( t _ { 2 } , x _ { 2 } ) | } & { { } \le | \varphi ( t _ { 1 } , x _ { 1 } ) - \varphi ( t _ { 2 } , x _ { 1 } ) | + | \varphi ( t _ { 2 } , x _ { 1 } ) - \varphi ( t _ { 2 } , x _ { 2 } ) | } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P ^ { ( n ) } ( t ) } & { \sim \int _ { - \infty } ^ { t } \mathrm { d } t _ { n } \int _ { - \infty } ^ { t _ { n } } \mathrm { d } t _ { n - 1 } \dots \int _ { - \infty } ^ { t _ { 2 } } \mathrm { d } t _ { 1 } R ^ { ( n ) } ( t , t _ { n } , \dots , t _ { 1 } ) } \\ & { \times \mathcal { E } _ { n } ( t _ { n } ) \dots \mathcal { E } _ { 1 } ( t _ { 1 } ) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mu } } & { : = ( \mathbb { E } _ { 0 } , \mathbb { E } _ { 1 } ) = ( t , t ^ { 2 } ) , } \\ { \xi ^ { \mu } } & { : = ( \xi ^ { 0 } , \xi ^ { 1 } ) = \left( \frac { i \langle t \rangle } { \sigma ^ { 2 } } , - \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) , } \\ { \phi ( \xi ^ { \nu } ) } & { : = \frac { 1 } { 2 } \ln \left( - \frac { \pi } { \xi ^ { 1 } } \right) - \frac { ( \xi ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 \xi ^ { 1 } } = \ln \left( \sqrt { 2 \pi } \sigma \right) + \frac { \langle t \rangle ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal H } _ { \mathrm { e f f } } = - \frac { 4 G _ { F } } { \sqrt { 2 } } V _ { t b } V _ { t s } ^ { \star } \sum _ { i , \ell = \mu , e } C _ { i \ell } ( \mu ) { \cal O } _ { i \ell } ( \mu ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ^ { \prime } } & { = { \frac { \partial f } { \partial x } } = f _ { x } } \\ { f _ { \prime } } & { = { \frac { \partial f } { \partial y } } = f _ { y } } \\ { f ^ { \prime \prime } } & { = { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } = f _ { x x } } \\ { f _ { \prime } ^ { \prime } } & { = { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y \partial x } } \ = f _ { x y } } \\ { f _ { \prime \prime } } & { = { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y ^ { 2 } } } = f _ { y y } } \end{array} }
{ \frac { 1 } { \, 2 \, } } \, K _ { i j k } \; + \; J _ { j , i k } \; = \; \operatorname { \mathbb { E } } \, { \biggl [ } \; { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 3 } \ln f _ { \theta _ { 0 } } ( X _ { t } ) } { \partial \theta _ { i } \; \partial \theta _ { j } \; \partial \theta _ { k } } } + { \frac { \; \partial \ln f _ { \theta _ { 0 } } ( X _ { t } ) \; } { \partial \theta _ { j } } } \, { \frac { \; \partial ^ { 2 } \ln f _ { \theta _ { 0 } } ( X _ { t } ) \; } { \partial \theta _ { i } \, \partial \theta _ { k } } } \; { \biggr ] } ~ .
\begin{array} { r l r } { { \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } } } & { = } & { \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } + { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \ln \left( { \frac { \ln \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } \right) + \mathrm { c o n s t . } } \\ & { + } & { { \cal O } \left( { \frac { 1 } { \ln ( \Lambda ^ { 2 } / \lambda _ { P } ^ { 2 } ) } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K L } ( p _ { t } \| p _ { t } ^ { * } ) } & { \leq \delta _ { t , 1 } ( p ) , \, \mathrm { K L } ( q _ { t } \| q _ { t } ^ { * } ) \leq \delta _ { t , 1 } ( q ) , } \\ { \left| \mathbb { E } _ { p } [ \log ( p _ { t } / p _ { t } ^ { * } ) ] \right| \leq \delta _ { t , 2 } ( p ) , \, } & { \left| \mathbb { E } _ { q } [ \log ( q _ { t } / q _ { t } ^ { * } ) ] \right| \leq \delta _ { t , 2 } ( q ) , \, \, \, \, \forall \, p \in \mathcal { P } _ { 2 } ( \mathcal { X } ) , \, q \in \mathcal { P } _ { 2 } ( \mathcal { Y } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d { p } } \sum _ { i \neq j } k ( \mathbf { X } ^ { [ i ] } , \mathbf { X } ^ { [ j ] } ; p ) } & { = } & { \sum _ { i _ { 0 } } \mathbf { c } _ { 1 } ( i _ { 0 } ) ^ { T } \mathbf { X } _ { p } ^ { [ i _ { 0 } ] } + \sum _ { j _ { 0 } } \mathbf { c } _ { 2 } ( j _ { 0 } ) ^ { T } \mathbf { X } _ { p } ^ { [ j _ { 0 } ] } + \mathbf { c } _ { 3 } , } \end{array}
\Phi _ { T } ( E _ { 0 } , \theta ) = A _ { T } E _ { 0 } ^ { - \gamma } \left( \frac { 1 } { 1 + \frac { \hat { E } _ { 0 } \cos \theta ^ { * } } { E _ { 0 , \pi } } } + \frac { B _ { G } } { 1 + \frac { \hat { E } _ { 0 } \cos \theta ^ { * } } { E _ { 0 , k } } } + r _ { c } \right) ,
D ( E ) \approx E \left( 1 - e ^ { - \mu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } ( E ) \lambda _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } } \right) \frac { \mu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ n ~ } } ( E ) } { \mu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } ( E ) }
\begin{array} { r l } { G _ { \mu \kappa , \uparrow \uparrow } ^ { > ^ { I } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \uparrow \uparrow } ^ { < ^ { R } } ( - i \tau ) = } & { - G _ { \mu \kappa , \downarrow \downarrow } ^ { > ^ { I } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \downarrow \downarrow } ^ { < ^ { R } } ( - i \tau ) } \\ { G _ { \mu \kappa , \uparrow \uparrow } ^ { > ^ { R } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \uparrow \uparrow } ^ { < ^ { I } } ( - i \tau ) = } & { - G _ { \mu \kappa , \downarrow \downarrow } ^ { > ^ { R } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \downarrow \downarrow } ^ { < ^ { I } } ( - i \tau ) } \\ { G _ { \mu \kappa , \uparrow \downarrow } ^ { > ^ { I } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \downarrow \uparrow } ^ { < ^ { R } } ( - i \tau ) = } & { - G _ { \mu \kappa , \downarrow \uparrow } ^ { > ^ { I } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \uparrow \downarrow } ^ { < ^ { R } } ( - i \tau ) } \\ { G _ { \mu \kappa , \uparrow \downarrow } ^ { > ^ { R } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \downarrow \uparrow } ^ { < ^ { I } } ( - i \tau ) = } & { - G _ { \mu \kappa , \downarrow \uparrow } ^ { > ^ { R } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \uparrow \downarrow } ^ { < ^ { I } } ( - i \tau ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { e _ { 1 2 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \boldsymbol { \vartheta } _ { 1 } ^ { I } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \nabla _ { \xi } b _ { 0 0 k } ^ { p + 1 } \, , } & & { 0 < k < p + 1 \, , } \\ & { e _ { 1 3 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \boldsymbol { \vartheta } _ { 2 } ^ { I } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \nabla _ { \xi } b _ { 0 j 0 } ^ { p + 1 } \, , } & & { 0 < j < p + 1 \, , } \\ & { e _ { 1 4 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \boldsymbol { \vartheta } _ { 3 } ^ { I } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \nabla _ { \xi } b _ { i 0 0 } ^ { p + 1 } \, , } & & { 0 < i < p + 1 \, , } \\ & { e _ { 2 3 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \boldsymbol { \vartheta } _ { 4 } ^ { I } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \nabla _ { \xi } b _ { 0 j , p + 1 - j } ^ { p + 1 } \, , } & & { 0 < j < p + 1 \, , } \\ & { e _ { 2 4 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \boldsymbol { \vartheta } _ { 5 } ^ { I } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \nabla _ { \xi } b _ { i 0 , p + 1 - i } ^ { p + 1 } \, , } & & { 0 < i < p + 1 \, , } \\ & { e _ { 3 4 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \boldsymbol { \vartheta } _ { 6 } ^ { I } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \nabla _ { \xi } b _ { 0 0 k } ^ { p + 1 } \, , } & & { 0 < i < p + 1 \, ; } \end{array}
\left\langle v _ { 1 } v _ { 2 } \hat { f } _ { i } ^ { e q } \right\rangle = \lambda _ { 1 i } \lambda _ { 2 i } ( f _ { 1 i } ^ { e q } - f _ { 2 i } ^ { e q } + f _ { 3 i } ^ { e q } - f _ { 4 i } ^ { e q } ) = 0
\begin{array} { r l } { S _ { q _ { 1 } , \, o f f } } & { \ll \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { 0 } } \sum _ { q _ { 1 } \in \Phi _ { 1 } } \sum _ { q _ { 1 } ^ { \prime } \in \Phi _ { 1 } ^ { \prime } } \chi ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) \overline { { \chi } } ( q _ { 1 } ) } \\ & { \times \sum _ { 1 \leq r \ll \frac { M _ { 0 } - p ^ { 2 } n } { Q _ { 1 } } } \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r ) \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } ^ { \prime } r ) \frac { \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r , x ) \overline { { \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + q _ { 1 } ^ { \prime } r , x ) } } } { ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r ) ^ { 1 / 4 } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } ^ { \prime } r ) ^ { 1 / 4 } } } \\ & { \ll \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { 0 } } \sum _ { q _ { 1 } \in \Phi _ { 1 } } \sum _ { q _ { 1 } ^ { \prime } \in \Phi _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { \times \Big | \sum _ { 1 \leq r \ll \frac { M _ { 0 } - p ^ { 2 } n } { Q _ { 1 } } } \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r ) \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } ^ { \prime } r ) \frac { \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r , x ) \overline { { \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + q _ { 1 } ^ { \prime } r , x ) } } } { ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r ) ^ { 1 / 4 } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } ^ { \prime } r ) ^ { 1 / 4 } } \Big | . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( \sum _ { i \neq m } \frac { x _ { i } ^ { 1 - \alpha _ { i } } } { 1 - \alpha _ { i } } + \frac { ( P - \sum _ { i \neq m } x _ { i } ) ^ { 1 - \alpha _ { m } } } { 1 - \alpha _ { m } } ) } { \partial x _ { j } } = x _ { j } ^ { - \alpha _ { j } } - \big ( P - \sum _ { i \neq m } x _ { i } \big ) ^ { - \alpha _ { m } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega } { N _ { l m } ^ { f } } ^ { * } \cdot N _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { g } d \Omega = \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } \left( f _ { l } ^ { * } ( u ) g _ { l } ( u ) + \frac { 1 } { u ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial u } \left( u f _ { l } ^ { * } ( u ) \frac { \partial } { \partial u } \left( u g _ { l } ( u ) \right) \right) \right) , } & { { } } & { \int _ { \Omega } { M _ { l m } ^ { f } } ^ { * } \cdot M _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { g } d \Omega = f _ { l } ^ { * } ( u ) g _ { l } ( u ) \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { n R } & { \leq \sum ( h ( Y _ { i } ) - h ( Z _ { i } ) ) + n \varepsilon _ { n } } \\ & { \leq \sum \left( { \frac { 1 } { 2 } } \log ( 2 \pi e ( P _ { i } + N ) ) - { \frac { 1 } { 2 } } \log ( 2 \pi e N ) \right) + n \varepsilon _ { n } } \\ & { = \sum { \frac { 1 } { 2 } } \log \left( 1 + { \frac { P _ { i } } { N } } \right) + n \varepsilon _ { n } } \end{array} }
\bar { \mu } ^ { \dot { A } } = \left( X ^ { B \dot { A } } - i \Theta ^ { B } \bar { \Theta } ^ { \dot { A } } \right) \lambda _ { B } + 2 \bar { z } ^ { \dot { A } \dot { B } } \bar { \lambda } _ { \dot { B } } - i \bar { \Theta } ^ { \dot { A } } \bar { \Theta } ^ { \dot { B } } \bar { \lambda } _ { \dot { B } }
u ^ { ( - ) } ( \mathfrak { u } ) = \frac { m } { 4 \lambda } \frac { i _ { \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } } \mathbf { d } \gamma ^ { [ 1 ] } } { \left[ 1 - ( \widehat { q } _ { 1 } \cdot \widehat { q } _ { 2 } ) \right] } ,
{ \begin{array} { r l } { \Gamma ( z ) } & { = \int _ { 0 } ^ { x } e ^ { - t } t ^ { z } \, { \frac { d t } { t } } + \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { - t } t ^ { z } \, { \frac { d t } { t } } } \\ & { = x ^ { z } e ^ { - x } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n } } { z ( z + 1 ) \cdots ( z + n ) } } + \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { - t } t ^ { z } \, { \frac { d t } { t } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle I _ { \alpha } ^ { \alpha } | \hat { H } _ { \mathrm { g r a p h } } | I _ { \alpha } ^ { \alpha } \rangle } & { { } = E _ { 0 } + \delta _ { \alpha M } \Delta \epsilon ^ { 1 } , } \\ { \langle T _ { \alpha } ^ { \beta } | \hat { H } _ { \mathrm { g r a p h } } | T _ { \alpha } ^ { \beta } \rangle } & { { } = E _ { 0 } + \delta _ { \alpha M } \Delta \epsilon ^ { 1 } , } \\ { \langle S _ { \alpha } ^ { \beta } | \hat { H } _ { \mathrm { g r a p h } } | S _ { \alpha } ^ { \beta } \rangle } & { { } = E _ { 0 } + \Delta E ^ { \beta } + \delta _ { \alpha M } \Delta \epsilon ^ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { c } { { B _ { 1 } = \left( t _ { 1 } - t _ { 2 } \right) \frac { p _ { 1 } } { s _ { 2 } } - \frac { q _ { 1 } + q _ { 2 } } 2 \qquad , \qquad k B _ { 1 } = 0 } } \\ { { B _ { 2 } = \left( t _ { 1 } - t _ { 2 } \right) \frac { p _ { 2 } } { s _ { 2 } } - \frac { q _ { 1 } + q _ { 2 } } 2 \qquad , \qquad k B _ { 2 } = 0 } } \\ { { B _ { 2 ^ { \prime } } = - \left( t _ { 1 } - t _ { 2 } \right) \frac { p _ { 3 } } { s _ { 2 ^ { \prime } } } - \frac { q _ { 1 } + q _ { 2 } } 2 \qquad , \qquad k B _ { 2 ^ { \prime } } = 0 } } \\ { { t _ { i } = q _ { i } ^ { 2 } \ , \ q _ { 1 } = p _ { 1 } + p _ { 4 } \ , \ q _ { 2 } = p _ { 2 } + p _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { R U } , l } = } & { z _ { l } \left( P _ { \mathrm { R U } , 0 } + \Delta ^ { \mathrm { t r } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } x _ { k , l } p _ { k l } + \mathbb { I } _ { s } \left( P _ { \mathrm { R U , 0 } } ^ { \mathrm { p r o c } } + \Delta _ { \mathrm { R U } } ^ { \mathrm { p r o c } } \frac { C _ { \mathrm { R U } , l } } { C _ { \mathrm { R U } } ^ { \mathrm { m a x } } } \right) \right) } \\ { \stackrel { ( a ) } = } & { z _ { l } \left( P _ { \mathrm { R U } , 0 } + \mathbb { I } _ { s } P _ { \mathrm { R U , 0 } } ^ { \mathrm { p r o c } } + \Delta _ { \mathrm { R U } } ^ { \mathrm { p r o c } } \frac { C _ { \mathrm { R U } , l } } { C _ { \mathrm { R U } } ^ { \mathrm { m a x } } } \right) + \Delta ^ { \mathrm { t r } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } x _ { k , l } p _ { k l } , } \end{array}
W [ \tilde { \phi } ] = W _ { \chi } [ \tilde { \phi } ] + W _ { \kappa } [ \tilde { \phi } ] = \frac { 1 } { \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, \sum _ { i < j } \tilde { \chi } _ { i j } \tilde { \phi } _ { i } ( \mathbf { r } ) \tilde { \phi } _ { j } ( \mathbf { r } ) + \frac { 1 } { 2 \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, \left( \sum _ { i } \tilde { \phi } _ { i } ( \mathbf { r } ) - \phi _ { 0 } \right) ^ { 2 }
\tilde { \rho } _ { B ^ { 2 } } ( s ) = \frac { \beta } { 2 \pi } \ \ \ \ \ \ \rho _ { B ^ { 2 } } ( s ) = \frac { \beta } { 2 \pi } \sqrt { \frac { b ^ { 2 } - s } { s - c ^ { 2 } } } \ \ \ \ \ \ \rho _ { B } ( \eta ) = \frac { \beta \eta } { \pi } \sqrt { \frac { b ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } - c ^ { 2 } } }
\frac { d N _ { \gamma } } { d t \; d E _ { \gamma } } = \frac { f N _ { e } N _ { p } } { 2 \pi } \frac { L _ { \mathrm { i n t } } } { \sqrt { \sigma _ { e x } ^ { 2 } + \sigma _ { L x } ^ { 2 } } \sqrt { \sigma _ { e y } ^ { 2 } + \sigma _ { L y } ^ { 2 } } } \frac { d \sigma } { d E _ { \gamma } } \; ,
\operatorname* { s u p } _ { \eta \in V _ { T } \backslash \{ 0 \} } \frac { \| \Delta _ { T } \eta \| _ { L ^ { 2 } } } { \| \eta \| _ { L ^ { 2 } } } \leq \frac { ( 1 + C e ^ { - \delta \tau T } ) } { ( 1 - \tau ) ^ { 2 } T ^ { 2 } } \operatorname* { s u p } _ { f \in V \backslash \{ 0 \} } \frac { \| f ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { 2 } } } { \| f \| _ { L ^ { 2 } } } + C ^ { \prime } e ^ { - \delta \tau T } \operatorname* { s u p } _ { \eta \in V _ { T } \backslash \{ 0 \} } \frac { \| \eta \| _ { W ^ { 2 , 2 } } } { \| \eta \| _ { L ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { \left[ \hat { y } , \hat { v } _ { \pm } \right] = \frac { 2 } { 3 } \left[ \hat { u } _ { 3 } + \hat { v } _ { 3 } , \hat { v } _ { \pm } \right] = \pm \hat { v } _ { \pm } , } \end{array}
\tilde { w } ^ { * } ( | \tilde { z } | = \tilde { R } _ { 1 } ) = \frac { 1 - \tilde { R } _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - \tilde { R } _ { 1 } \ln ( \tilde { R } _ { 1 } ) \frac { \tilde { R } _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \tilde { R } _ { 1 } \tilde { \lambda } _ { \mathrm { e f f } } - 1 } { 4 ( \tilde { \lambda } _ { \mathrm { e f f } } - \tilde { R } _ { 1 } \ln ( \tilde { R } _ { 1 } ) ) } .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \psi } _ { o u t } = S _ { 0 2 } \boldsymbol { \psi } _ { i n } , \quad S _ { 0 2 } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\left. \tilde { S } _ { \mathrm { \scriptsize ~ r e d } } ( \hat { \xi } ( p ) , \hat { \eta } ( p ) ) = S _ { \mathrm { \scriptsize ~ e f f } } ( \hat { \xi } , \hat { \eta } ) \right| _ { \hat { \xi } ( p ) = \hat { \eta } ( p ) = 0 \atop { | p | > \Lambda } } .
\begin{array} { r l } { \check { v } _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { { P } _ { 0 + } } \frac { W } { 1 + W } \left\{ \check { v } _ { 1 c } + ( { T } _ { 1 + } - { P } _ { 1 + } { V } _ { 0 + } ) \left( \frac { 1 } { W } - \ln { | W | } \right) \right. } \end{array}
\delta ^ { x } i = \frac { P _ { \mathrm { o g } } \delta ^ { x } i _ { \mathrm { m a g } } + P _ { \mathrm { f r e e } } \delta ^ { x } i _ { \mathrm { f r e e } } } { P _ { \mathrm { o g } } + P _ { \mathrm { f r e e } } } ,
\begin{array} { r } { \ddot { u } _ { n } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } u _ { n } - \frac { 2 \omega _ { 0 } J } { \hbar } ( u _ { n + 1 } + u _ { n - 1 } ) + \left( \frac { 2 J } { \hbar } \right) ^ { 2 } \frac { ( u _ { n + 2 } + u _ { n - 2 } ) } { 2 } = - \left[ \omega _ { 0 } g S _ { n } ^ { x } - \frac { J g } { \hbar } ( S _ { n + 1 } ^ { x } + S _ { n - 1 } ^ { x } ) \right] . } \end{array}