harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\psi _ { \mathrm { b a } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = - \frac { 4 \sqrt { 2 } \gamma \kappa \left( e ^ { 2 \gamma \tau _ { 1 } } - e ^ { \kappa \tau _ { 1 } } \right) e ^ { - 2 \tau _ { 1 } ( \gamma + \kappa ) - \tau _ { 2 } ( 2 \gamma + \kappa ) } \left( 2 \gamma e ^ { 2 \gamma \tau _ { 1 } + \kappa \tau _ { 2 } } - \kappa e ^ { \kappa \tau _ { 1 } + 2 \gamma \tau _ { 2 } } \right) } { ( \kappa - 2 \gamma ) ^ { 2 } }
\operatorname { v a r } ( \mathbf { X } + \mathbf { Y } ) = \operatorname { v a r } ( \mathbf { X } ) + \operatorname { c o v } ( \mathbf { X } , \mathbf { Y } ) + \operatorname { c o v } ( \mathbf { Y } , \mathbf { X } ) + \operatorname { v a r } ( \mathbf { Y } )
\begin{array} { r } { w _ { i j } ( t ) = \frac { ( | x _ { i } - x _ { j } | + \delta ) ^ { - \beta } } { \sum _ { l = 1 } ^ { N } A _ { i l } ( | x _ { i } - x _ { l } | + \delta ) ^ { - \beta } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { d i v } ( \nabla c _ { \varepsilon } \otimes \nabla c _ { \varepsilon } ) = \frac { 1 } { 2 } \nabla \big ( | \nabla c _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \big ) + \Delta c _ { \varepsilon } \nabla c _ { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } & { \mathbb { P } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \Big ( h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } \big ( \epsilon _ { i } + \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ( W _ { t _ { i } ^ { n } } - W _ { k h _ { n } } ) \big ) > x \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } \Big ) \ } & { = \mathbb { P } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \Big ( \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } \big ( h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \big ( W _ { t _ { i } ^ { n } } - W _ { k h _ { n } } \big ) + h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ^ { - 1 } \epsilon _ { i } \big ) > x \Big ) \ } & { = \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \bigg [ \prod _ { i = \lfloor k n h _ { n } \rfloor + 1 } ^ { \lfloor ( k + 1 ) n h _ { n } \rfloor } \mathbb { P } \Big ( \epsilon _ { i } > h _ { n } ^ { 1 / 2 } \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } \big ( x - h _ { n } ^ { - 1 / 2 } ( W _ { t _ { i } ^ { n } } - W _ { k h _ { n } } ) \big ) | \mathcal { F } ^ { X } \Big ) \bigg ] \ } & { = \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \bigg [ \exp \Big ( \sum _ { i = \lfloor k n h _ { n } \rfloor + 1 } ^ { \lfloor ( k + 1 ) n h _ { n } \rfloor } \log \big ( 1 - F _ { \eta } \big ( h _ { n } ^ { 1 / 2 } \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } \big ( x - h _ { n } ^ { - 1 / 2 } ( W _ { t _ { i } ^ { n } } - W _ { k h _ { n } } ) \big ) \big ) \big ) \Big ) \bigg ] } \end{array}
{ \cal A } _ { \mathrm { o f f } } ^ { \gamma } = \frac { g _ { 1 } ( p ^ { 2 } ) + g _ { 2 } ( p ^ { 2 } ) \displaystyle \frac { B _ { 0 } ( p ^ { 2 } , m ^ { 2 } , 0 ) - B _ { 0 } ( m ^ { 2 } , m ^ { 2 } , 0 ) } { p ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } { p ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } ^ { \mathrm { H H G } } } & { = \frac { i } { \hbar } \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { T _ { 0 } } d t e ^ { i ( n + 1 ) \omega _ { 0 } t } \int \frac { d ^ { D } { \bf P } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } { \bf d } ^ { * } } \\ & { \exp \{ - \frac { i } { \hbar } \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } d t ^ { \prime \prime } ( E _ { \mathrm { c v } } [ { \bf k } ( t ^ { \prime \prime } ) ] - i \Gamma ) \} { \bf d } \cdot { \bf F } _ { 0 } ( t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\partial _ { \eta \eta } \overline { { \mathbf { W } } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r _ { \eta } } ( \mathbf { p } ) ) \vert _ { \eta = 0 } = \partial _ { \eta \eta } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \dot { \overline { { \mathbf { W } } } } _ { t _ { 0 } } ^ { \tau } ( \mathbf { p } ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \partial _ { \eta \eta } \dot { \mathbf { W } } _ { t _ { 0 } } ^ { \tau } ( \mathbf { p } ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau .
\alpha _ { 2 } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \tau \rho + i \alpha _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \rho - i \alpha _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = 0 , \ \ \ \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } - \beta _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \tau \rho + i \beta _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \rho - i \beta _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = 0 .
\begin{array} { r } { p ( x ^ { p } ( t + \tau ) , x ^ { v } ( t + \tau ) | x ^ { p } ( t ) ) : = q ( x ^ { p } ( t + \tau ) - \overline { { x ^ { p } ( t ) } } , x ^ { v } ( t + \tau ) | x ^ { p } ( t ) - \overline { { x ^ { p } ( t ) } } ) } \end{array}
\operatorname { e r f i } ^ { - 1 } ( z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } c _ { k } } { 2 k + 1 } } \left( { \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } } z \right) ^ { 2 k + 1 } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \hat { \beta } } _ { n } } & { = \underset { \beta \in \mathbb { R } ^ { p } } { \operatorname { a r g m i n } } \frac { 1 } { 2 } \Vert y - X \beta \Vert _ { 2 } ^ { 2 } + J _ { \boldsymbol { \lambda } ^ { n } } ( \beta ) } \\ & { = \underset { \beta \in \mathbb { R } ^ { p } } { \operatorname { a r g m i n } } \frac { 1 } { 2 } ( \beta - \beta ^ { 0 } ) ^ { T } X ^ { T } X ( \beta - \beta ^ { 0 } ) + ( \beta - \beta ^ { 0 } ) ^ { T } X ^ { T } \varepsilon + \Vert \varepsilon \Vert _ { 2 } ^ { 2 } / 2 + J _ { \boldsymbol { \lambda } ^ { n } } ( \beta ) } \end{array}
\Delta = \mathrm { d e t } \parallel \lambda _ { i } ^ { j - 1 } \parallel = \mathrm { d e t } \parallel P _ { j - 1 } ( \lambda _ { i } ) \parallel = \sum _ { \sigma } ( - 1 ) ^ { p ( \sigma ) } \prod _ { i } ^ { N } P _ { \sigma ( i ) - 1 } ( \lambda _ { i } )
\begin{array} { r c l } { { d \left( \hat { G } _ { ( 5 ) } + \hat { H } \hat { C } _ { ( 2 ) } \right) } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { d \left( \hat { \overline { { { G } } } } _ { ( 5 ) } + \hat { H } \hat { \overline { { { C } } } } _ { ( 2 ) } \right) } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \end{array}
{ \bf q } _ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ^ { ( 1 ) } ] \Rightarrow \mathrm { ~ s ~ h ~ a ~ d ~ o ~ w ~ } ~ { \cal U } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R } , { \bf n } ) ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ f ~ o ~ r ~ c ~ e ~ s ~ } , ~ { \bf F }
\begin{array} { r l } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 3 } \frac { d V _ { 0 } } { d r } = } & { \: 2 \Lambda ( r - 1 ) ( 1 - r ^ { 2 } + 2 r ) - 8 a m \widetilde { \omega } - 2 m ( r - 1 ) ( m + 3 m r + 6 a \widetilde { \omega } ( 1 + r ) ) } \\ & { + \Lambda ( 1 - a ^ { 2 } ) [ 3 + r ( 3 r - 2 ) - ( 1 - a ^ { 2 } ) ] } \\ & { + \left[ - 4 m ^ { 2 } r + 6 a m \widetilde { \omega } ( r ^ { 2 } - 1 ) + 2 m ^ { 2 } \left( r ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \right) \right] ( 1 - a ^ { 2 } ) } \\ & { + 2 m ( a \widetilde { \omega } + m ) ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
2 \left( \Pi _ { 0 } ^ { + } - C \Pi _ { 1 } ^ { + } \right) \left( \Pi _ { 0 } ^ { - } + C \Pi _ { 1 } ^ { - } \right) + S ^ { 2 } \left( \Pi _ { 1 } ^ { 2 } \Pi _ { 2 1 } + \Pi _ { 1 } ^ { i } \Pi _ { i 1 } \right) \neq 0
\left( \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell _ { 3 } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } \end{array} \right) = \frac { ( - 1 ) ^ { \ell _ { 1 } - \ell _ { 2 } - m _ { 3 } } } { \sqrt { 2 \ell _ { 3 } + 1 } } \, C _ { \ell _ { 1 } m _ { 1 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { \ell _ { 3 } - m _ { 3 } } ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { c _ { 0 } } \\ { c _ { 1 } } \\ { c _ { 2 } } \\ { c _ { 3 } } \\ { c _ { 4 } } \\ { c _ { 5 } } \\ { c _ { 6 } } \\ { c _ { 7 } } \\ { c _ { 8 } } \\ { c _ { 9 } } \end{array} \right] \mapsto \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { c _ { 0 } ^ { \prime } } \\ { c _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { c _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { c _ { 3 } ^ { \prime } } \end{array} \right] } \end{array}
P = \left( { \frac { 2 \left( { \frac { m } { n } } \right) } { \left( { \frac { m } { n } } \right) ^ { 2 } + 1 } } , { \frac { \left( { \frac { m } { n } } \right) ^ { 2 } - 1 } { \left( { \frac { m } { n } } \right) ^ { 2 } + 1 } } \right) = \left( { \frac { 2 m n } { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } } , { \frac { m ^ { 2 } - n ^ { 2 } } { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } } \right) .
\phi _ { \mathrm { T L D } } ( k ) \, = \, \exp \left[ - \gamma \, \frac { ( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) ^ { \alpha / 2 } \cos [ \alpha \arctan ( | k | / \lambda ) ] - \lambda ^ { \alpha } } { \cos \left( \frac { \pi } { 2 } \alpha \right) } \right] \quad \, \, \alpha \neq 1 \, ,
\begin{array} { r } { { { \sigma _ { p } } } ( Q _ { g } ^ { ( 1 ) } ) ( x _ { 1 } ( s ) , \xi _ { 1 } ^ { \sharp } ( s ) , x _ { 1 } ( s _ { o } ) , \xi _ { 1 } ^ { \sharp } ( s _ { o } ) ) = \varrho ( x _ { 1 } ( s ) ) { { \sigma _ { p } } } ( Q _ { g } ^ { ( 2 ) } ) ( x _ { 1 } ( s ) , \xi _ { 1 } ^ { \sharp } ( s ) , x _ { 1 } ( s _ { o } ) , \xi _ { 1 } ^ { \sharp } ( s _ { o } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( \frac { \tilde { H } ( \tau ) + \frac { K } { \mu } } { 1 - \epsilon } - \frac { 1 } { 2 \theta _ { k } } \cdot \frac { \mu } { \mu + 2 \theta _ { k } } \cdot \left( 1 - \tilde { F } _ { k } ( \tau ) \right) \right) - \beta ^ { * } \left( \frac { \tilde { H } ( \tau ) + \frac { K } { \mu } } { 1 - \epsilon } \right) = 0 } \end{array}
\epsilon ( \Delta E _ { \pm } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { n _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ s ~ t ~ } } } \sum _ { A ^ { \pm } } | ( \tilde { E } ( A ^ { + } ) - \tilde { E } ( A ^ { - } ) ) - ( { E } ( A ^ { + } ) + { E } ( A ^ { - } ) ) | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathbf u \mathbf u ^ { \mathrm T } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } \mathbf J _ { k } } & { a b \mathbf J _ { k \times ( n - k ) } } \\ { a b \mathbf J _ { ( n - k ) \times k } } & { b ^ { 2 } \mathbf J _ { ( n - k ) } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } \mathbf J _ { k } } & { - \frac 1 n \mathbf J _ { k \times ( n - k ) } } \\ { - \frac 1 n \mathbf J _ { ( n - k ) \times k } } & { b ^ { 2 } \mathbf J _ { ( n - k ) } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial z _ { j } } H ( z , w ) } & { = \frac { 1 + w } { 2 } \left( e _ { j } \big ( z _ { 1 } , \dots , z _ { m - 1 } , \frac { 1 - w } { 1 + w } \big ) + \big ( z _ { 1 } , \dots , z _ { m - 1 } , \frac { 1 - w } { 1 + w } \big ) e _ { j } ^ { T } \right) , } \\ { \frac { \partial } { \partial w } H ( z , w ) } & { = \frac { 1 } { 2 } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { m - 1 } , - 1 ) ^ { T } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { m - 1 } , - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { { \omega _ { \parallel } } } { \omega _ { * e } } \right) ^ { 2 } = \frac { \displaystyle \frac { 3 } { 2 } \left( 1 + \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \bar { \tau } ^ { 2 } } { \displaystyle ( 1 + \bar { \tau } ) \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } \left[ 1 + \bar { \tau } + \frac { 2 } { 3 } \left( 1 + \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } \right] ^ { 2 } } . } \end{array}
\langle { \hat { F } } _ { \alpha \beta } ( z , t ) { \hat { F } } _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } ( z ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \rangle \equiv \mathrm { T r } _ { \mathrm { R } } [ { \hat { F } } _ { \alpha \beta } ( z , t ) { \hat { F } } _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } ( z ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) { \hat { S } } _ { \mathrm { R } } ]
\begin{array} { r } { \frac 1 2 \| y ( \cdot , T ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \delta \int _ { 0 } ^ { T } \| y ( \cdot , t ) \| _ { V _ { 0 } } ^ { 2 } \; d t \leq \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \delta } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } ^ { 2 } + \frac { \delta } { 2 } \| y \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\theta _ { \pm } \gets \operatorname* { m i n } \left\{ \left| \frac { \epsilon _ { k } - p _ { k } \left( u _ { j } ^ { n } \right) } { p _ { k } \left( u _ { j } ^ { \ast , \pm } \right) - p _ { k } \left( u _ { j } ^ { n } \right) } \right| , 1 \right\}
H ^ { ( 2 ) } = \int d x \left[ \frac { 1 } { 2 } e ^ { 4 } ( \Phi ^ { 1 } ) ^ { 2 } + e ^ { 2 } \Phi ^ { 1 } \Phi ^ { 3 } + e ^ { 2 } ( \partial _ { 1 } \Phi ^ { 1 } ) ^ { 2 } - e ^ { 2 } \Phi ^ { 1 } \partial _ { 1 } \Phi ^ { 2 } - \Phi ^ { 2 } \Phi ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } ( \Phi ^ { 3 } ) ^ { 2 } \right] .
F \left( \beta \right) = E _ { 0 } + \widetilde { F } \left( \beta \right) = - \frac { \pi ^ { 2 } a } { 6 \beta ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 \beta } \log \left( \frac { \beta } { 2 \pi a } \right) - \frac { 1 } { \beta } \sum _ { p , \, n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } \, e ^ { - 4 \pi ^ { 2 } \, n \, p \, a / \beta } .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) = } & { ( 2 - \beta ) ^ { - \frac { 4 } { \beta - 2 } } \Bigg ( 3 \cdot 4 ^ { \frac { 1 } { \beta - 2 } } \frac { \Gamma \left( - \frac { 3 } { \beta - 2 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - \beta } \right) } } \\ & { - 4 ^ { \frac { \beta - 1 } { \beta - 2 } } \frac { \Gamma \left( - \frac { 2 } { \beta - 2 } \right) ^ { 2 } } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - \beta } \right) ^ { 2 } } \Bigg ) ( D \tau ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \beta / 2 } } \ . } \end{array}
B ^ { 0 } = \left( \begin{array} { l l } { K } & { - \frac { K } { \nu \mu } w _ { j } } \\ { - \frac { K } { \nu \mu } w _ { i } } & { M _ { i j } } \end{array} \right) , \quad B ^ { k } = \left( \begin{array} { l l } { \frac { K } { \nu } u ^ { k } } & { \frac { s ^ { 2 } } { \nu } \delta _ { j } ^ { k } } \\ { \frac { K } { \nu } \delta _ { i } ^ { k } } & { \frac { 1 } { \nu } M _ { i j } u ^ { k } } \end{array} \right) , \quad H = \left( \begin{array} { l } { K \ell } \\ { \Bigl ( \frac { 1 - 3 K } { \nu \mu } w _ { i } \Bigr ) + m _ { i } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { a \rightarrow \infty } \frac { z ^ { * } ( a , b ) } { \bar { F } ( a ) } = \operatorname* { l i m } _ { a \rightarrow \infty } \frac { z ^ { * } ( a , b ) } { \beta } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } } & { \mathrm { i f ~ } x \geq 1 ; } \\ { 1 - x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ } x < 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \frac { L _ { + } } { z - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } + \frac { L _ { - } } { z + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } , } & { z } & { \notin \overline { { U ( z _ { 1 , + } , \delta ) } } \cup \overline { { U ( z _ { 1 , - } , \delta ) } } , } \\ & { \frac { L _ { + } } { z - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } + \frac { L _ { - } } { z + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } - \mathbf { G } ( z ) , } & { z } & { \in U ( z _ { 1 , + } , \delta ) \cup U ( z _ { 1 , - } , \delta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf A } _ { \kappa _ { \perp } \, \parallel } ^ { t w } = \frac { i } { \sqrt { 2 } } \, ( { \bf A } _ { \kappa _ { \perp } m _ { \mathsf { t a m } } = m _ { \mathsf { o a m } } + 1 , \, \lambda = + 1 } ^ { t w } - } \\ { - { \bf A } _ { \kappa _ { \perp } m _ { \mathsf { t a m } } = m _ { \mathsf { o a m } } - 1 , \, \lambda = - 1 } ^ { t w } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = - t \sum _ { \langle i , j \rangle \sigma } \hat { d } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { d } _ { j \sigma } - t ^ { \prime } \sum _ { \langle \langle i , j \rangle \rangle \sigma } s ( \sigma ) \hat { d } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { d } _ { j \sigma } } \\ { + U \sum _ { i } ( \hat { m } _ { i \uparrow } - \hat { m } _ { i \downarrow } \hat { m } _ { i \uparrow } ) - \mu \sum _ { i } ( \hat { m } _ { i \uparrow } + 1 - \hat { m } _ { i \downarrow } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { F } _ { { \mathrm { B , p } } } ^ { ( s ) } ( \vec { r } ) } & { = } & { \hat { z } \frac { 1 2 8 \pi ^ { 5 } R ^ { 6 } } { 3 c \lambda _ { 0 } ^ { 4 } } \left( \frac { m ^ { 2 } - 1 } { m ^ { 2 } + 2 } \right) ^ { 2 } n _ { m } ^ { 5 } I _ { p } ( \vec { r } ) } \\ { \vec { F } _ { { \mathrm { B , p } } } ^ { ( g ) } ( \vec { r } ) } & { = } & { \frac { 2 \pi n _ { m } R ^ { 3 } } { c } \left( \frac { m ^ { 2 } - 1 } { m ^ { 2 } + 2 } \right) \nabla I _ { p } ( \vec { r } ) } \end{array}
\left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 3 } { r } \frac { \partial } { \partial r } - \frac { 4 } { r ^ { 2 } } \: \hat { L } ^ { 2 } - \frac { r ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } + \frac { 2 } { g ^ { 2 } } \: E \right) \Psi ( r , \vartheta , \psi ) = 0
\begin{array} { r l r } { i \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } u _ { 1 } - | u _ { 1 } | ^ { 2 } u _ { 1 } - u _ { 2 } , } \\ { i \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } u _ { 2 } - | u _ { 2 } | ^ { 2 } u _ { 2 } - u _ { 1 } , } \end{array}
W _ { P Q } ^ { \mathbf { q } } = \sum _ { i j \mathbf { k } } u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } u _ { j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { P } ) u _ { j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { Q } ) ^ { * } u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { Q } )
\mathbf { f } ^ { ( n + 1 ) } = \mathbf { f } ^ { ( n ) } - \mathcal { T } ( \mathcal { H } ^ { \top } \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } + \nu _ { 1 } \mathcal { D } _ { x } ^ { \top } { \mathbf { p } } ^ { ( n + 1 ) } + \nu _ { 2 } \mathcal { D } _ { y } ^ { \top } { \mathbf { q } } ^ { ( n + 1 ) }
\mathbf { F } _ { \mathrm { t o t } } = \mathbf { F } _ { \mathrm { o p t } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { t h p h } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { e x p } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { w e i g h t } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { b u o y a n c y } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { i n t } }
\begin{array} { r l } { P _ { a , g } ^ { ( ( 1 , 2 ) , ( 1 , 1 ) ) } ( y , y ^ { \prime } ) = } & { V _ { Q _ { g } y , y ^ { \prime } } a + V _ { g , y ^ { \prime } } V _ { g , y } a , } \\ { R _ { g , h } ^ { ( ( 2 , 2 ) , ( 1 , 1 ) ) } ( c , b ) = } & { - V _ { g , b } T _ { g , h } ^ { ( 1 , 2 ) } c - V _ { h , b } T _ { g , h } ^ { ( 2 , 1 ) } c + \psi ( Q _ { g } c , Q _ { h } b ) + \psi ( Q _ { g , h } ^ { ( 1 , 1 ) } c , Q _ { g , h } ^ { ( 1 , 1 ) } b ) + \psi ( Q _ { h } c , Q _ { g } b ) , } \\ { P _ { g , x , a } ^ { ( 1 , 1 , 1 ) } y = } & { \; Q _ { g , x } ^ { ( 1 , 1 ) } Q _ { y ^ { - 1 } } a - V _ { a , y } Q _ { g , x } ^ { ( 1 , 1 ) } y , } \\ { R _ { g , x , a } ^ { ( 2 , 1 , 1 ) } y = } & { T _ { g , x } ^ { ( 2 , 1 ) } Q _ { y ^ { - 1 } } a - V _ { a , y } T _ { g , x } ^ { ( 2 , 1 ) } y + \psi ( Q _ { g } y , Q _ { x , a } ^ { ( 1 , 1 ) } y ) + \psi ( Q _ { g , x } ^ { ( 1 , 1 ) } y , Q _ { g , a } ^ { ( 1 , 1 ) } y ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \upmu > 0 , \uplambda \geqslant 0 \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { R } ^ { + } , \mathrm { ~ a n d ~ } \varsigma > 0 } & { \mathrm { i f ~ } n \geqslant 3 } \\ { \upmu > 0 , \uplambda > 0 \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { R } ^ { + } , \mathrm { ~ a n d ~ } \varsigma \geqslant 0 } & { \mathrm { i f ~ } n = 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r a c e } ( U A U ) = } & { { } \ \mathrm { t r a c e } ( ( I - G ) A ( I - G ) ) , } \\ { = } & { { } \ \mathrm { t r a c e } ( A - A G - G A + G A G ) , } \\ { = } & { { } \ \sum _ { i } { A _ { i i } } - \frac { 2 } { N } \sum _ { i , j } { A _ { i j } } } \\ { = } & { { } \ \sum _ { i } { A _ { i i } } - \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j } { A _ { i j } } } \end{array}
\int ( \cos a _ { 1 } x ) ( \cos a _ { 2 } x ) \, d x = { \frac { \sin ( ( a _ { 2 } - a _ { 1 } ) x ) } { 2 ( a _ { 2 } - a _ { 1 } ) } } + { \frac { \sin ( ( a _ { 2 } + a _ { 1 } ) x ) } { 2 ( a _ { 2 } + a _ { 1 } ) } } + C \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } | a _ { 1 } | \neq | a _ { 2 } | { \mathrm { ) } }
\tau _ { B 1 } = t _ { \xi } \circ \alpha _ { B ^ { ' } } , \; \; \; \tau _ { B 2 } = t _ { \xi - e _ { 4 } } \circ \alpha _ { B ^ { ' } } , \; \; \; \tau _ { B 3 } = t _ { \xi - e _ { 6 } } \circ \alpha _ { B }
F \left( { \cal A } , G , p , t _ { n , l } ^ { ( A ) } \right) = \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } F ^ { ( \mathrm { c o v ) } } \left( G , p , r _ { n , l } ^ { ( A ) } \right) \prod _ { A = 1 } ^ { p } \prod _ { l = 1 } ^ { \infty } \left[ t _ { n , l } ^ { ( A ) } \right] ^ { r _ { n , l } ^ { ( A ) } } \mathrm { e } ^ { - | r | _ { n } { \cal A } v ( n ) } ~ .
X _ { a } ^ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } \theta _ { a } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } 1 - \theta _ { a } , } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \theta _ { a } \in ( 0 , 1 ) , \forall a \in \mathcal { A } .
{ \tilde { S } } ( z ) = { \frac { 6 } { ( 1 - 3 z ) } } F \left( { \frac { z } { 1 - 3 z } } \right) + { \frac { 1 8 z } { ( 1 - 3 z ) ^ { 2 } } } F ^ { \prime } \left( { \frac { z } { 1 - 3 z } } \right) + { \frac { 9 z ^ { 2 } } { ( 1 - 3 z ) ^ { 3 } } } F ^ { \prime \prime } \left( { \frac { z } { 1 - 3 z } } \right) + { \frac { z ^ { 3 } } { ( 1 - 3 z ) ^ { 4 } } } F ^ { \prime \prime \prime } \left( { \frac { z } { 1 - 3 z } } \right) .
{ \begin{array} { r l r l } { \mathbf { B } ( t ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } { \binom { n } { i } } ( 1 - t ) ^ { n - i } t ^ { i } \mathbf { P } _ { i } } \\ & { = ( 1 - t ) ^ { n } \mathbf { P } _ { 0 } + { \binom { n } { 1 } } ( 1 - t ) ^ { n - 1 } t \mathbf { P } _ { 1 } + \cdots + { \binom { n } { n - 1 } } ( 1 - t ) t ^ { n - 1 } \mathbf { P } _ { n - 1 } + t ^ { n } \mathbf { P } _ { n } , } & & { 0 \leqslant t \leqslant 1 } \end{array} }
\int { \frac { x \, d x } { 1 - \sin a x } } = { \frac { x } { a } } \cot \left( { \frac { \pi } { 4 } } - { \frac { a x } { 2 } } \right) + { \frac { 2 } { a ^ { 2 } } } \ln \left| \sin \left( { \frac { \pi } { 4 } } - { \frac { a x } { 2 } } \right) \right| + C
\delta ^ { 2 } \mathrm { ~ A ~ E ~ L ~ B ~ O ~ } [ \lambda , \zeta ] = \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \partial ^ { 2 } g ( \lambda ( Y ) , Y ) } { \partial \lambda _ { i } \partial \lambda _ { j } } \zeta _ { i } ( Y ) \zeta _ { j } ( Y ) \right] < - \kappa \parallel \zeta \parallel ^ { 2 } .
U = \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \end{array} \right)
\mathbb E \left[ | \psi _ { \eta } ^ { \prime } ( i ) | ^ { 2 \Delta _ { \alpha } - 2 } \right] = \frac { \mathrm { { C R } } _ { 2 } ( \alpha ) } { { \mathrm { C R } } _ { 2 } ( \gamma ) } = \frac { \Gamma ( \frac { 2 \alpha } { \gamma } ) \Gamma ( \frac { 8 } { \kappa } - \frac { 2 \alpha } { \gamma } + 1 ) } { \Gamma ( \frac { 8 } { \kappa } - 1 ) } .
\frac { \ell _ { a } ^ { \mu } ( \sigma ) } { \sqrt { 2 } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \ell _ { a , 2 n + 1 } ^ { \mu } \cos ( 2 n + 1 ) \sigma , \quad \frac { r _ { a } ^ { \mu } ( \sigma ) } { \sqrt { 2 } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r _ { a , 2 n + 1 } ^ { \mu } \cos ( 2 n + 1 ) \sigma .
\frac { \left( \mathcal P _ { \mathrm { r } } ^ { n + 1 } + \mathcal P _ { \mathrm { b } } ^ { n + 1 } + \mathcal P _ { \mathrm { p } } ^ { n + 1 } \right) - \left( \mathcal P _ { \mathrm { r } } ^ { n } + \mathcal P _ { \mathrm { b } } ^ { n } + \mathcal P _ { \mathrm { p } } ^ { n } \right) } { \Delta t } = - \mathcal I _ { P , \mathrm { r } } | ^ { n + \frac 1 2 } - \mathcal I _ { P , \mathrm { b } } | ^ { n + \frac 1 2 } - \mathcal I _ { P , \mathrm { p } } | ^ { n + \frac 1 2 } = 0