harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { p } } & { { } = \phantom { - \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } p \phantom { - \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) } + M ^ { 2 } u ( \gamma - 1 ) \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \\ { \mathcal { R } _ { u } } & { { } = \phantom { - } \rho \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } u \phantom { - \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) } \phantom { M ^ { 2 } ( \gamma - 1 ) u } + \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \\ { \mathcal { R } _ { v } } & { { } = \phantom { - \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } v } \\ { \mathcal { R } _ { s } } & { { } = - a ^ { 2 } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \rho - \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) + M ^ { 2 } u ( \gamma - 1 ) \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { \gamma _ { \mathrm { s c } } | U } ( x | u ) = \operatorname* { P r } ( \gamma _ { 1 } \leq x ^ { \alpha } , \cdots , \gamma _ { L } \leq x ^ { \alpha } | u ) } \\ & { = \operatorname* { P r } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \mu } | h _ { 1 j } | ^ { 2 } \leq \frac { x ^ { \alpha } } { \bar { \gamma } } , \cdots , \sum _ { j = 1 } ^ { \mu } | h _ { L j } | ^ { 2 } \leq \frac { x ^ { \alpha } } { \bar { \gamma } } | u \right) } \\ & { = \left( 1 - Q _ { \mu } \left( \sqrt { \frac { 2 r u } { 1 - r } } , \sqrt { \frac { 2 x ^ { \alpha } } { ( 1 - r ) \bar { \beta } \bar { \gamma } } } \right) \right) ^ { L } , } \end{array}
\begin{array} { r } { C = \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } \int _ { \Omega \cap \{ y _ { 2 } = z \} } ( \partial _ { 2 } T - u _ { 2 } T ) \, d S \, d z = \int _ { \Omega } ( \partial _ { 2 } T - u _ { 2 } T ) . } \end{array}
K _ { J } ( s _ { i k } ) = L _ { J } ( s _ { i k } ) \int _ { { ( m _ { i } + m _ { k } ) } ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d s _ { i k } ^ { \prime } } { \pi } \frac { { \rho } _ { J } ( s _ { i k } ^ { \prime } ) G _ { J } ( s _ { i k } ^ { \prime } ) } { s _ { i k } ^ { \prime } - s _ { i k } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { d z } { 2 }
\left[ \begin{array} { l } { \hat { X } _ { L , o u t } } \\ { \hat { P } _ { L , o u t } } \end{array} \right] = \left\{ \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] + 2 \Gamma _ { S } ^ { } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { \chi _ { S } ^ { } } & { 0 } \end{array} \right] \right\} \left[ \begin{array} { l } { \hat { X } _ { L , i n } } \\ { \hat { P } _ { L , i n } } \end{array} \right] + \sqrt { \Gamma _ { S } ^ { } \gamma _ { S } ^ { } } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { - i \chi _ { S } ^ { } } & { \chi _ { S } ^ { } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { \zeta } _ { X } ^ { } } \\ { \hat { \zeta } _ { P } ^ { } , } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { W ^ { + } ( \Delta ) } & { { } = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { 2 a } { h } \left( q - \Delta \right) + \frac { 1 - q + \Delta } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left( \left( \Delta - q \right) \left( \varepsilon \left( 1 - 2 q \right) - 1 + 2 \varepsilon ^ { 2 } ( 1 - q + \Delta ) \right) - \frac { 2 a } { h } \left( 2 \Delta + \varepsilon - 2 q ( 1 + \varepsilon ) \right) \right) \right] , } \\ { W ^ { - } ( \Delta ) } & { { } = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { 2 a } { h } \left( 1 - q + \Delta \right) - \frac { \Delta - q } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left( \left( 1 + \Delta - q \right) \left( \left( 1 + \varepsilon \right) \left( 1 - 2 \varepsilon q \right) + 2 \Delta \varepsilon ^ { 2 } \right) + \frac { 2 a } { h } \left( 1 + 2 \Delta + \left( 1 + \varepsilon \right) \left( 1 - 2 q \right) \right) \right) \right] . } \end{array}
\psi ^ { j } ( \textbf { x } , t ) \sim \exp \left( \frac { i } { \hbar } \operatorname* { m i n } _ { \textbf { x } _ { 0 } ^ { j } } \left( S _ { 0 } ^ { j } ( \textbf { x } _ { 0 } ^ { j } ) + S _ { c l } ^ { j } ( \textbf { x } , t ; \textbf { x } _ { 0 } ^ { j } ) \right) \right)
\mathbf { \overline { { f } } } _ { n + 1 } ^ { e } \leftarrow C N N _ { n } ^ { 3 } ( \mathbf { \overline { { f } } } _ { n } ^ { e } , \mathbf { B } \mathbf { p } _ { n + 1 } , \mathbf { q } _ { n + 1 } )
I _ { \mathrm { R 2 } } ( = I _ { \mathrm { E } } = I _ { \mathrm { C } } ) = { \frac { V _ { \mathrm { R 2 } } } { R _ { \mathrm { R 2 } } } } = { \frac { V _ { \mathrm { Z } } - V _ { \mathrm { B E } } } { R _ { \mathrm { R 2 } } } } .
\begin{array} { r l } { i \dot { \hat { c } } _ { m } } & { \left. = m \omega _ { B } \hat { c } _ { m } - \frac { V N } { \beta } \left\{ - \frac { \beta } { N } \left[ \hat { c } _ { m } , \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } \right] + ( \frac { \beta } { N } ) ^ { 2 } \left[ \hat { c } _ { m } , \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } \right] - \left( \frac { \beta } { N } \right) ^ { 3 } \left[ \hat { c } _ { m } , \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } ^ { 3 } \right] + \cdots \right] \right\} } \\ & { \left. = m \omega _ { B } \hat { c } _ { m } - \frac { V N } { \beta } \left\{ - \frac { \beta } { N } \sum _ { n } J _ { m n } \hat { c } _ { n } + ( \frac { \beta } { N } ) ^ { 2 } \left( \sum _ { n } J _ { m n } \hat { c } _ { n } \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } + \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } \sum _ { n } J _ { m n } \hat { c } _ { n } \right) + \cdots \right] \right\} . } \end{array}
E { \left[ \arctan ( x ) , k \right] } + E { \left[ \arctan ( y ) , k \right] } = E { \left[ \arctan \left( { \frac { x { \sqrt { k ^ { 2 } y ^ { 2 } + 1 } } } { \sqrt { y ^ { 2 } + 1 } } } \right) + \arctan \left( { \frac { y { \sqrt { k ^ { 2 } x ^ { 2 } + 1 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } } \right) , k \right] } + { \frac { k ^ { 2 } x y } { k ^ { 2 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 1 } } \left( { \frac { x { \sqrt { k ^ { 2 } y ^ { 2 } + 1 } } } { \sqrt { y ^ { 2 } + 1 } } } + { \frac { y { \sqrt { k ^ { 2 } x ^ { 2 } + 1 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } } \right)
\tilde { \mathbf { e } } _ { i j } = \mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } ^ { c ( \mathrm { v t , e x , c t 1 , c t 2 } ) } \cdot \mathbf { \widetilde { K } } _ { i j } ^ { ( \mathrm { v t , e x , c t 1 , c t 2 } ) } ,
\sin { \frac { \pi } { 1 5 \times 2 ^ { 1 } } } = { \frac { \sqrt { 2 . 2 5 - { \sqrt { { \sqrt { 0 . 7 0 3 1 2 5 } } + 1 . 8 7 5 } } - { \sqrt { 0 . 3 1 2 5 } } } } { 2 } }
K _ { \mu \rho } ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { \mu } \partial x _ { \rho } ^ { \prime } } n ^ { b } ( x ) n ^ { c } ( x ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } d s \int D z \mathrm { e } ^ { - \frac 1 4 \int _ { 0 } ^ { s } \dot { z } ^ { 2 } d \lambda } \left[ P { \, } \exp \left( i g \int _ { 0 } ^ { s } d \lambda \dot { z } _ { \alpha } B _ { \alpha } \right) \right] ^ { b c } ,
A _ { i } ( T ) = { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 4 } } } { \frac { 1 } { n _ { i } ! } } \int _ { 4 m _ { i } ^ { 2 } } ^ { \infty } d s \ \sigma _ { i } ( s ) \ s \ ( s - 4 m _ { i } ^ { 2 } ) \sum _ { l = 2 } ^ { \infty } \ \sum _ { k = - l + 2 } ^ { l - 2 } ( \pm 1 ) ^ { l } { \frac { K _ { 1 } ( a _ { k l } ) } { a _ { k l } } } \ ,
\left\vert \psi ( t ) \right\rangle = N ( t ) e ^ { - \frac { i } { \hslash } \gamma g A e ^ { \mu _ { 1 } ( t ) } t \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } } e ^ { e ^ { \mu _ { 1 } ( t ) - \mu _ { 2 } ( t ) } \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle \left\vert e ^ { \mu _ { 2 } ( t ) } A \right\rangle ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { 1 } = m ( | x | - | x _ { b } | ) ^ { 2 } , \quad \sigma _ { 2 } = \sigma _ { 3 } = 0 } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { x } ^ { \mathrm { P M L } } } \\ { \sigma _ { 2 } = m ( | y | - | y _ { b } | ) ^ { 2 } , \quad \sigma _ { 1 } = \sigma _ { 3 } = 0 } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { y } ^ { \mathrm { P M L } } } \\ { \sigma _ { 1 } = m ( | x | - | x _ { b } | ) ^ { 2 } , \quad \sigma _ { 2 } = m ( | y | - | y _ { b } | ) ^ { 2 } , \quad \sigma _ { 3 } = 0 } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { x y } ^ { \mathrm { P M L } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \alpha _ { 0 } } { \partial \tau } } & { = 2 \Omega _ { s } \cos ( k _ { p 0 } \xi ) \left( \alpha _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 1 } e ^ { - i \omega _ { w } \tau } \right) \, , } \\ { i \frac { \partial \alpha _ { 1 } } { \partial \tau } } & { = 2 \Omega _ { s } \cos ( k _ { p 0 } \xi ) \left( \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 0 } e ^ { i \omega _ { w } \tau } + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( Z - ( Z _ { N } ^ { \mathrm { m a r g i n a l } } ) \right) ^ { 2 } } & { = \left( \int _ { U } \exp \big ( - \Phi ( u ) \big ) - \mathbb { E } \big [ \exp \big ( - \Phi _ { N } ( u ) \big ) \big ] \mu _ { 0 } ( \mathrm { d } u ) \right) ^ { 2 } } \\ & { = \left( \int _ { U } \left( \mathbb { E } \big [ 1 - \exp \big ( \Phi ( u ) - \Phi _ { N } ( u ) \big ) \big ] \right) ^ { 2 } \mu ^ { y } ( \mathrm { d } u ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 ^ { p _ { 2 } - 1 } ( 1 + C _ { 1 } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) ) \left\| \mathbb { E } \big [ \left( \Phi - \Phi _ { N } \right) ^ { p _ { 2 } ^ { \prime } } \big ] ^ { 1 / p _ { 2 } ^ { \prime } } \right\| _ { L _ { \mu ^ { y } } ^ { 2 p _ { 1 } ^ { \prime } } } ^ { 2 } } \end{array}
X _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } ( E , E ^ { - } ) = \operatorname { T r } [ V ^ { \mu } A ^ { \alpha } ( E ) V ^ { \nu } A ^ { \beta } ( E ^ { - } ) ] = \operatorname { T r } [ V ^ { \nu } A ^ { \beta } ( E ^ { - } ) V ^ { \mu } A ^ { \alpha } ( E ) ] = X _ { \nu \mu } ^ { \beta \alpha } ( E ^ { - } , E )
\begin{array} { r l } { U ( \textbf { x } ) = } & { \alpha _ { b } \mathcal { I } _ { \mathrm { b l u e } } | \textbf { E } _ { b } ( \textbf { x } ) | ^ { 2 } + \alpha _ { r } \mathcal { I } _ { \mathrm { r e d } } | \textbf { E } _ { r } ( \textbf { x } ) | ^ { 2 } } \\ & { - \frac { C _ { 4 } } { z ^ { 3 } ( z + \tilde { \lambda } ) } . } \end{array}
\bar { \psi } _ { a _ { 0 } } \rightarrow ( - i ) ^ { n } ( \partial _ { \mu _ { n } } \partial _ { \mu _ { n - 1 } } \cdots \partial _ { \mu _ { 1 } } \bar { \psi } _ { a _ { 0 } } ) \gamma _ { a _ { 0 } a _ { 1 } } ^ { \mu _ { 1 } \dagger } \cdots \gamma _ { a _ { n - 2 } a _ { n - 1 } } ^ { \mu _ { n - 1 } \dagger } \gamma _ { a _ { n - 1 } a _ { n } } ^ { \mu \dagger } \, .
\begin{array} { r } { I _ { + } + I _ { - } = \frac { 8 } { ( \Omega - 2 \omega _ { 0 } - U ) ^ { 2 } + 4 \gamma _ { \mathrm { 1 D } } ^ { 2 } } \, \sum _ { i } | g _ { i } | ^ { 2 } \: . } \end{array}
\begin{array} { r } { w _ { t + 1 } \; \gets \; w _ { t } - \eta \Big ( \frac { 1 } { | B _ { t } | } \sum _ { i \in B _ { t } } \mathrm { c l i p } _ { \theta _ { t } } ( x _ { i } ( w _ { t } ^ { \top } x _ { i } - y _ { i } ) ) + \frac { \theta _ { t } \sqrt { 2 \log ( 1 . 2 5 / \delta ) } } { \varepsilon | B _ { t } | } \nu _ { t } \Big ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { \dot { v _ { 0 } } \dot { w } \rho , \dot { v } ^ { \prime } } \circ \theta _ { \rho , \dot { v _ { 0 } } \dot { w } } } & { = \rho ( t ^ { - 1 } ) \circ \theta _ { \dot { w } ^ { \prime } \rho , \dot { v } ^ { \prime } } \circ \theta _ { \rho , \dot { w } ^ { \prime } } } \\ & { = c ^ { \prime } ( v ^ { \prime } , w ^ { \prime } ) \cdot \rho ( t ^ { - 1 } ) \circ \theta _ { \rho , \dot { v } ^ { \prime } \dot { w } ^ { \prime } } } \\ & { = c ^ { \prime } ( v ^ { \prime } , w ^ { \prime } ) \cdot \rho ( t ^ { - 1 } ) \circ \theta _ { \rho , \dot { v } ^ { \prime } \dot { v _ { 0 } } \dot { w } t ^ { - 1 } } } \\ & { = c ^ { \prime } ( v ^ { \prime } , w ^ { \prime } ) \cdot \theta _ { \rho , \dot { v } ^ { \prime } \dot { v _ { 0 } } \dot { w } } } \\ & { = c ^ { \prime } ( v ^ { \prime } , w ^ { \prime } ) \cdot \theta _ { \rho , \dot { v } \dot { w } } . } \end{array}
\frac { \Delta \psi _ { 2 i } - \Delta \theta _ { 1 i } } { \Delta \psi _ { 1 i } - \Delta \theta _ { 1 i } } = - r _ { e 1 } , \, \frac { \Delta \psi _ { 3 i } - \Delta \theta _ { 1 i } } { \Delta \psi _ { 2 i } - \Delta \theta _ { 1 i } } = - r _ { e 2 } , \, \frac { \Delta \psi _ { 4 i } - \Delta \theta _ { 1 i } } { \Delta \psi _ { 3 i } - \Delta \theta _ { 1 i } } = - r _ { e 3 }
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { K , F ^ { \prime } } ( t ) } & { = } & { \operatorname* { d e t } ( t A ^ { \prime } - ( A ^ { \prime } ) ^ { \mathsf { T } } ) = \operatorname* { d e t } \left[ \begin{array} { l l l } { t A - A ^ { \mathsf { T } } } & { * } & { \textbf { 0 } } \\ { * } & { * } & { t - 1 } \\ { \textbf { 0 } } & { t - 1 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ & { = } & { \pm ( t - 1 ) ^ { 2 } \operatorname* { d e t } ( t A - A ^ { \mathsf { T } } ) \doteq \Delta _ { K , F } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { d } = } & { { \overline { { \nu } } } \omega ^ { \dagger } \omega + } \\ { { d } ^ { r } { \alpha _ { 1 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } & { { d } ^ { g } { \alpha _ { 2 } } \omega ^ { \dagger } \omega + { d } ^ { b } { \alpha _ { 3 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } \\ { \overline { { u ^ { r } } } { \alpha _ { 3 } } { \alpha _ { 2 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } & { \overline { { u ^ { g } } } { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 3 } } \omega ^ { \dagger } \omega + \overline { { u ^ { b } } } { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } \\ & { e ^ { - } { \alpha _ { 3 } } { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } \omega ^ { \dagger } \omega } \end{array}
( v _ { a } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) , \sigma _ { a b } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) ) = A _ { \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( v _ { a \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) , \mu \sigma _ { a b \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) )
{ \begin{array} { r l } & { \sigma ^ { \mu } { \left( \Lambda ^ { - 1 } \right) ^ { \nu } } _ { \mu } \partial _ { \nu } R \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ) } \\ { = } & { \sigma ^ { \mu } { \left( \Lambda ^ { - 1 T } \right) _ { \mu } } ^ { \nu } \partial _ { \nu } R \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ) } \\ { = } & { \sigma _ { \mu } { \Lambda ^ { \mu } } _ { \nu } \partial ^ { \nu } R \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ) } \\ { = } & { \left( S ^ { - 1 } \right) ^ { \dagger } \sigma _ { \mu } \partial ^ { \mu } S ^ { - 1 } R \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { h _ { 2 } ( 0 , t ) } & { { } + h _ { 3 } ( 0 , t ) = N _ { 1 } ( t ) , } \\ { h _ { 2 } ( L _ { x } , t ) } & { { } + h _ { 3 } ( L _ { x } , t ) = N _ { 2 } ( t ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 3 } h _ { 2 } } { \partial x ^ { 3 } } ( 0 , t ) } & { { } + \frac { \partial ^ { 3 } h _ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } ( 0 , t ) = 0 , } \\ { \frac { \partial ^ { 3 } h _ { 2 } } { \partial x ^ { 3 } } ( L _ { x } , t ) } & { { } + \frac { \partial ^ { 3 } h _ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } ( L _ { x } , t ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tilde { G } _ { n } ( x ) - \mathbb { F } _ { \{ \check { S } _ { b } \} } ( x ) | } & { \leq \mathbb { F } _ { \{ \check { S } _ { b } \} } ( x + \varepsilon _ { n } ) - \mathbb { F } _ { \{ \check { S } _ { b } \} } ( x - \varepsilon _ { n } ) } \\ & { \leq G _ { P _ { 0 } } ( x + \varepsilon _ { n } ) - G _ { P _ { 0 } } ( x - \varepsilon _ { n } ) + 2 \delta _ { n } } \\ & { \leq 2 g _ { \operatorname* { m a x } , P _ { 0 } } \varepsilon _ { n } + 2 \delta _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B } & { { } = } & { - 2 \pi N _ { \mathrm { A } } \int \left\langle \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { 1 2 } ) } - 1 \right\rangle r _ { 1 2 } ^ { 2 } ~ \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { B _ { \varepsilon } } & { { } = } & { \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \int \left\langle \overline { { \Delta \alpha _ { 2 } } } ( r ) \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { 1 2 } ) } \right\rangle r _ { 1 2 } ^ { 2 } \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { C } & { { } = } & { - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \int \left\langle \left[ \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 3 } } } ( r _ { 1 2 } , r _ { 1 3 } , r _ { 2 3 } ) } - \sum _ { i < j } \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { i j } ) } + 2 - 3 ( \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { 1 2 } ) } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { 1 3 } ) } - 1 ) \right] \right\rangle ~ \mathrm { d } \Omega _ { 3 } } \\ { C _ { \varepsilon } } & { { } = } & { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { 9 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 3 } \int \left\langle \left[ \left( \frac { \beta | \overline { { \mathbf { m } _ { 3 } } } | ^ { 2 } } { 3 } + \overline { { \Delta \alpha _ { 3 } } } \right) \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 3 } } } } - \sum _ { i < j } \overline { { \Delta \alpha _ { 2 } } } ( r _ { i j } ) \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { i j } ) } - \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ M ~ A ~ D ~ } } & { { } = \langle | E - \langle E \rangle _ { \beta } | \rangle _ { \beta } \simeq \sqrt { \frac 2 \pi \underbrace { \sigma ^ { 2 } ( E ) } _ { C _ { V } L ^ { d } / \beta ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { _ { \mathcal { C } } \langle x \otimes y , z \rangle \cong \ _ { \mathcal { C } } \langle x \otimes y , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { D ^ { - 1 } ( \overline { { z } } ) } } ) \rangle \overset { \cong } \ _ { \mathcal { C } } \langle x , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { y \otimes D ^ { - 1 } ( \overline { { z } } ) } } ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 3 } } H ( { \bf k } ) d { \bf k } } { \partial t } = \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } } { 1 6 } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 9 } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } \left( \frac { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } { \sin \theta _ { k } } \right) ^ { 2 } \delta ( \Omega _ { k p q } ) \delta ( { \bf k } + { \bf p } + { \bf q } ) \quad \quad } \\ & { } & { \frac { k p q } { k _ { \parallel } p _ { \parallel } q _ { \parallel } } ( k _ { \parallel } + p _ { \parallel } + q _ { \parallel } ) \left[ \frac { s k _ { \parallel } } { h ^ { s } ( { \bf k } ) } + \frac { s _ { p } p _ { \parallel } } { h ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) } + \frac { s _ { q } q _ { \parallel } } { h ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) } \right] h ^ { s } ( { \bf k } ) h ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) h ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) \mathrm { d } { \bf k } \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } = 0 \, . } \end{array}
y _ { p } ^ { ( n ) } ( x ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } ^ { \prime } ( x ) y _ { i } ^ { ( n - 1 ) } ( x ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } ( x ) y _ { i } ^ { ( n ) } ( x ) \, \mathrm { . } \quad \quad \mathrm { { ( v i ) } }
0 \xrightarrow { \tilde { d ^ { 0 } } } \tilde { \mathcal { L } } ^ { \infty } ( ^ { * } \Gamma , \mathcal { V } ) ^ { ^ { * } \Gamma } \xrightarrow { \tilde { d ^ { 1 } } } \tilde { \mathcal { L } } ^ { \infty } ( ( ^ { * } \Gamma ) ^ { 2 } , \mathcal { V } ) ^ { ^ { * } \Gamma } \xrightarrow { \tilde { d ^ { 2 } } } \tilde { \mathcal { L } } ^ { \infty } ( ( ^ { * } \Gamma ) ^ { 3 } , \mathcal { V } ) ^ { ^ { * } \Gamma } \xrightarrow { \tilde { d ^ { 3 } } } \cdots
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } & { { } = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } , \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } \right) } \end{array} ,
\Delta t \sum _ { K } ( \varepsilon _ { K } ( c _ { h } ^ { n } ) \nabla \rho ^ { n } , \nabla \rho ^ { n } ) _ { K } \leq \frac { 1 } { 1 6 } \left\Vert e ^ { n } - e ^ { \ast n - 1 } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( D ) } ^ { 2 } + 4 c _ { 3 } ^ { 4 } C _ { \varepsilon } ^ { 2 } h ^ { 2 \alpha } C _ { D } ^ { 2 } \left\Vert \nabla c ^ { n } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( D ) } ^ { 4 } .
\langle \Psi _ { 2 } , \Psi _ { 1 } \rangle = \Psi _ { 2 } ^ { \dagger } ( x ) \Psi _ { 1 } ( x ) = f _ { 2 } ^ { * } ( x ) f _ { 1 } ( x ) - \tilde { f } _ { 2 } ^ { * } ( x ) \tilde { f } _ { 1 } ( x ) + { \cal F } _ { 2 \mu } ^ { * } ( x ) { \cal F } _ { 1 } ^ { \mu } ( x ) - \tilde { \cal F } _ { 2 \mu } ^ { * } ( x ) \tilde { \cal F } _ { 1 } ^ { \mu } ( x ) .
\begin{array} { r l } { f ( z ) } & { = 2 8 8 0 0 \pi ^ { 2 } q ^ { 4 } + 1 0 3 6 8 0 0 \pi ^ { 2 } q ^ { 6 } + 1 4 1 6 9 6 0 0 \pi ^ { 2 } q ^ { 8 } + \ldots = : \sum _ { n = 4 } ^ { \infty } a _ { n } q ^ { n } , } \\ { g ( z ) } & { = 2 0 4 8 0 q ^ { 3 } + 2 0 1 5 2 3 2 q ^ { 5 } + 4 1 6 5 6 3 2 0 q ^ { 7 } + \ldots = : \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } b _ { n } q ^ { n } . } \end{array}
\Gamma _ { i j } { } ^ { k } \ = \ \tilde { \Gamma } _ { i j } { } ^ { k } + \partial _ { ( i } \delta _ { j ) } { } ^ { k } \log ( | \zeta | ) - \frac 1 2 \tilde { g } _ { i j } \tilde { g } ^ { k l } \partial _ { l } \log ( | \zeta | ) ~ ,
m ( h ) = m _ { \mathrm { m a x } } - \frac { m _ { \mathrm { m a x } } } { h _ { \mathrm { t h r e s } } } \epsilon \log \left( 1 + \exp \left( \frac { 1 } { \epsilon } \left( h _ { \mathrm { t h r e s } } - h \right) \right) \right) \, .
\rho = \frac { 1 } { 1 2 8 \pi ^ { 3 } p ^ { 2 } } \int _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 3 } } \frac { \mathrm { d } s } { s } \sqrt { ( s - s _ { 1 } ) ( s - s _ { 2 } ) ( s _ { 3 } - s ) ( s _ { 4 } - s ) } \; ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \mathbf { x } , k } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) } & { { } = j ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { k } ) \Psi ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u = 0 , \quad w = 0 , \quad \frac { \partial p } { \partial x } = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } , \quad T = 0 , \quad C = 0 } & { \quad \mathrm { ~ o n ~ } \quad x = 0 , } \\ { u = 0 , \quad w = 0 , \quad \frac { \partial p } { \partial x } = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } , \quad T = 1 , \quad C = 1 } & { \quad \mathrm { ~ o n ~ } \quad x = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { m , n } \frac { Q _ { 1 } ^ { n } Q _ { 2 } ^ { m } } { 2 ^ { m + n } m ! n ! } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d p _ { y } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d p _ { z } e ^ { - \frac { p _ { y } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { p _ { z } ^ { 2 } } { 2 } } H _ { n } \left( \frac { p _ { y } } { \sqrt { 2 } } \right) H _ { m } \left( \frac { p _ { z } } { \sqrt { 2 } } \right) g ( p _ { y } , p _ { z } ) } \\ { = \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \left( \frac { V _ { 0 } } { \kappa + 1 } \right) ^ { \kappa + 1 } \sum _ { \mu } \sum _ { \nu = 0 } ^ { \mu } \left( \begin{array} { l } { \kappa + 1 } \\ { \mu } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mu } \\ { \nu } \end{array} \right) \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 ( \mu - \nu ) } \omega _ { 2 } ^ { 2 \nu } } { ( 2 V _ { 0 } ) ^ { \mu } } Q _ { 1 } ^ { 2 ( \mu - \nu ) } Q _ { 2 } ^ { 2 \nu } \, . } \end{array}
\Phi _ { 1 } ( z , t ) < t \left( u _ { * } ( y _ { 1 } ) + \frac { u _ { * } ( y _ { 2 } ) - u _ { * } ( y _ { 1 } ) } { 4 } \right) \qquad y _ { 1 } - c _ { 2 } < \Phi _ { 2 } ( z , t ) < y _ { 1 } + c _ { 2 } \qquad \forall z \in A ( t ) ,
T r \epsilon ^ { r _ { 1 } s _ { 1 } } \cdots \epsilon ^ { r _ { p } s _ { p } } u _ { r _ { 1 } } ^ { \ A _ { 1 } } u _ { s _ { 1 } } ^ { \ B _ { 1 } } \cdots u _ { r _ { p } } ^ { \ A _ { p } } u _ { s _ { p } } ^ { \ B _ { p } } \Phi _ { A _ { 1 } B _ { 1 } \cdots A _ { p } B _ { p } }