harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( - \omega ^ { 2 } + i \omega \Gamma + \omega _ { m } ^ { 2 } - \frac { 2 \beta P _ { \mathrm { o p t } } } { I } \tau _ { 0 } [ \omega ] \right) \delta \theta [ \omega ] = \frac { 1 } { I } \left( \tau _ { \mathrm { { t h } } } [ \omega ] - 2 \beta P _ { \mathrm { o p t } } \tau _ { 0 } [ \omega ] \delta \theta _ { \mathrm { L } } [ \omega ] \right) ,
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } \wedge \partial \eta = \int _ { \Omega } \partial \eta \wedge \ast \delta \ast \big ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \big ) = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } d \big ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \big ) \wedge \partial \eta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \mathbb { E } \left[ X ( t ) \right] - x ( t ) \Vert ^ { 2 } \leq \mathbb { E } \left[ \Vert X ( t ) - x ( t ) \Vert ^ { 2 } \right] \leq 2 d _ { x } ( 2 \beta ) ^ { - 1 } t \exp \left\{ 2 t ^ { 2 } D ^ { 2 } \right\} \le d _ { x } T \exp \left\{ 2 T ^ { 2 } D ^ { 2 } \right\} \beta ^ { - 1 } = C _ { 1 } \beta ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } h \left( x , y , \frac { | u ( x ) - u ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) \frac { ( u ( x ) - u ( y ) ) ( v ( x ) - v ( y ) ) } { | x - y | ^ { N + 2 s } } d x \ d y } \\ & { + \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } V ( x ) h _ { x } ( x , | u | ) u v d x = \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { K ( x ) K ( y ) F ( u ( x ) ) f ( u ( y ) ) v ( y ) } { | x - y | ^ { \lambda } } d x d y , \ \forall v \in W . } \end{array}
\Theta ( t ) \approx a _ { 1 } ( t ) \cos ( \frac { \omega _ { \mathrm { m o d } } } { 2 } t + \frac { \phi _ { \mathrm { m o d } } } { 2 } ) + a _ { 2 } ( t ) \sin ( \frac { \omega _ { \mathrm { m o d } } } { 2 } t + \frac { \phi _ { \mathrm { m o d } } } { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial \lambda } \ln \frac { \pi ( m ) } { \pi ( m ^ { \prime } ) } } & { = \sum _ { i = m ^ { \prime } } ^ { m - 1 } \frac { \partial } { \partial \lambda } \ln \frac { \pi ( i + 1 ) } { \pi ( i ) } } \\ & { = \sum _ { i = m ^ { \prime } } ^ { m - 1 } \frac { \partial } { \partial \lambda } \ln \left( \frac { \sum _ { \rho \in \mathcal { R } } w _ { + \rho } ( i ) } { \sum _ { \rho \in \mathcal { R } } w _ { - \rho } ( i + 1 ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \imath } { 1 6 \pi ^ { 2 } } A ( m ) = \mu ^ { 4 - D } \int \frac { d ^ { D } k } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { 1 } { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { a _ { 0 } + a _ { 0 } a _ { 1 } + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } & { = a _ { 0 } ( a _ { 1 } ( a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 ) + 1 ) } \\ & { = { \cfrac { a _ { 0 } } { \cfrac { 1 } { a _ { 1 } ( a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 ) + 1 } } } } \\ & { = { \cfrac { a _ { 0 } } { { \cfrac { a _ { 1 } ( a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 ) + 1 } { a _ { 1 } ( a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 ) + 1 } } - { \cfrac { a _ { 1 } ( a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 ) } { a _ { 1 } ( a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 ) + 1 } } } } = { \cfrac { a _ { 0 } } { 1 - { \cfrac { a _ { 1 } ( a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 ) } { a _ { 1 } ( a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 ) + 1 } } } } } \\ & { = { \cfrac { a _ { 0 } } { 1 - { \cfrac { a _ { 1 } } { \cfrac { a _ { 1 } ( a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 ) + 1 } { a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 } } } } } } \\ & { = { \cfrac { a _ { 0 } } { 1 - { \cfrac { a _ { 1 } } { { \cfrac { a _ { 1 } ( a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 ) } { a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 } } + { \cfrac { a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 } { a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 } } - { \cfrac { a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) } { a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 } } } } } } = { \cfrac { a _ { 0 } } { 1 - { \cfrac { a _ { 1 } } { 1 + a _ { 1 } - { \cfrac { a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) } { a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 } } } } } } } \\ & { = { \cfrac { a _ { 0 } } { 1 - { \cfrac { a _ { 1 } } { 1 + a _ { 1 } - { \cfrac { a _ { 2 } } { \cfrac { a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 } { a _ { 3 } + 1 } } } } } } } } \\ & { = { \cfrac { a _ { 0 } } { 1 - { \cfrac { a _ { 1 } } { 1 + a _ { 1 } - { \cfrac { a _ { 2 } } { { \cfrac { a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) } { a _ { 3 } + 1 } } + { \cfrac { a _ { 3 } + 1 } { a _ { 3 } + 1 } } - { \cfrac { a _ { 3 } } { a _ { 3 } + 1 } } } } } } } } = { \cfrac { a _ { 0 } } { 1 - { \cfrac { a _ { 1 } } { 1 + a _ { 1 } - { \cfrac { a _ { 2 } } { 1 + a _ { 2 } - { \cfrac { a _ { 3 } } { 1 + a _ { 3 } } } } } } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 1 - 2 \alpha C _ { 1 } + 2 L ^ { 2 } \alpha ( \alpha - C _ { 2 } ) } & { = 1 - 2 \alpha ( C _ { 1 } + L ^ { 2 } C _ { 2 } ) + 2 L ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } \\ & { = 1 - 2 \alpha \left( \frac { \ell L } { \ell + L } + \frac { L ^ { 2 } } { \ell + L } \right) + 2 L ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } \\ & { = 1 - 2 L \alpha + 2 L ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } . } \end{array}
\langle f | i \rangle = g ^ { 4 } \int d x _ { 1 } d x _ { 2 } d x _ { 1 } ^ { \prime } d x _ { 2 } ^ { \prime } e ^ { i ( k _ { 1 } x _ { 1 } + k _ { 2 } x _ { 2 } - k _ { 1 } ^ { \prime } x _ { 1 } ^ { \prime } - k _ { 2 } ^ { \prime } x _ { 2 } ^ { \prime } ) } \frac { 1 } { 1 6 } \langle 0 | T \phi ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } \phi ( x _ { 2 } ) ^ { 2 } \phi ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \phi ( x _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } | 0 \rangle + \mathrm { g r a v e y a r d ~ o f ~ n e g l e c t e d ~ c o n t a c t ~ t e r m s }
\begin{array} { r l } { | \mathtt { m } _ { \alpha , 1 } | ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } } 1 , } \\ { | \mathtt { m } _ { \alpha , 2 } | ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 7 - 4 b } , \quad | d _ { i } \mathtt { m } _ { \alpha , 2 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon \rVert \hat { \textbf { \i } } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } , } \\ { \rVert \tilde { q } _ { \alpha } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , \quad \rVert d _ { i } \tilde { q } _ { \alpha } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { 0 } = I ^ { p _ { 1 } } \odot I ^ { p _ { 2 } } \odot I ^ { p _ { 3 } } } \\ & { { \mathbf \Pi } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { H ^ { p _ { 1 } - 1 } \odot I ^ { p _ { 2 } } \odot I ^ { p _ { 3 } } } \\ { I ^ { p _ { 1 } } \odot H ^ { p _ { 2 } - 1 } \odot I ^ { p _ { 3 } } } \\ { I ^ { p _ { 1 } } \odot I ^ { p _ { 2 } } \odot H ^ { p _ { 3 } - 1 } } \end{array} \right) } \\ & { { \mathbf \Pi } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { I ^ { p _ { 1 } } \odot H ^ { p _ { 2 } - 1 } \odot H ^ { p _ { 3 } - 1 } } \\ { H ^ { p _ { 1 } - 1 } \odot I ^ { p _ { 2 } } \odot H ^ { p _ { 3 } - 1 } } \\ { H ^ { p _ { 1 } - 1 } \odot H ^ { p _ { 2 } - 1 } \odot I ^ { p _ { 3 } } } \end{array} \right) } \\ & { \Pi _ { 3 } = H ^ { p _ { 1 } - 1 } \odot H ^ { p _ { 2 } - 1 } \odot H ^ { p _ { 3 } - 1 } , } \end{array}
\Psi ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { n } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \; = \; ( \Psi _ { 1 } \wedge \cdots \wedge \Psi _ { n } ) ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { n } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \; .
\frac { \gamma ^ { 4 } R ^ { 2 } \left( \mathcal C _ { 1 } \Gamma _ { x x } \Gamma _ { z z } + \mathcal C _ { 2 } \Gamma _ { y y } \Gamma _ { z z } \right) } { 8 \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } \Gamma _ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) \left( ( \Omega - \omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( ( \Omega + \omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { Y _ { ( i ) } ^ { * } } & { = y _ { n } + \Delta t \sum _ { j } \tilde { a } _ { i j } N ( Y _ { ( j ) } ^ { * } , Y _ { ( j ) } ) , } \\ { Y _ { ( i ) } } & { = y _ { n } + \Delta t \sum _ { j } { a _ { i j } } N ( Y _ { ( j ) } ^ { * } , Y _ { ( j ) } ) , } \\ { y _ { n + 1 } } & { = y _ { n } + \Delta t \sum _ { j } { b _ { j } } N ( Y _ { ( j ) } ^ { * } , Y _ { ( j ) } ) . } \end{array}
{ \cal L } = \sum _ { f = 1 } ^ { N _ { f } } \left[ \bar { \psi } _ { f } \gamma _ { \mu } D _ { \mu } \psi _ { f } + \mu \bar { \psi } _ { f } \gamma _ { 0 } \psi _ { f } + m _ { q } \bar { \psi } _ { f } \psi _ { f } \right] ,
\begin{array} { r l } { g _ { i j k l } } & { { } = \sum _ { L } J _ { L } ( i j k l ) X _ { L } ( i j k l ) \, , } \\ { \tilde { g } _ { i j k l } } & { { } = \sum _ { L } J _ { L } ( i j k l ) Z _ { L } ( i j k l ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \lvert u ( v , \cdot ) - u ( w , \cdot ) \rvert ^ { p - 2 } ( u ( v , \cdot ) - u ( w , \cdot ) ) \left( ( \omega _ { + } \varphi ^ { p } ) ( v , \cdot ) - ( \omega _ { + } \varphi ^ { p } ) ( w , \cdot ) \right) } \\ & { } & { \, = ( u ( v , \cdot ) - u ( w , \cdot ) ) ^ { p - 1 } ( ( \omega _ { + } \varphi ^ { p } ) ( v , \cdot ) - ( \omega _ { + } \varphi ^ { p } ) ( w , \cdot ) ) } \\ & { } & { \, \ge \left\{ \begin{array} { l l } { ( \omega _ { + } ( v , \cdot ) - \omega _ { + } ( w , \cdot ) ) ^ { p - 1 } ( ( \omega _ { + } \varphi ^ { p } ) ( v , \cdot ) - ( \omega _ { + } \varphi ^ { p } ) ( w , \cdot ) ) , } & { \ u ( v , \cdot ) , \, u ( w , \cdot ) > k , } \\ { ( u ( v , \cdot ) - k ) ^ { p - 1 } ( \omega _ { + } \varphi ^ { p } ) ( v , \cdot ) , } & { \ u ( v , \cdot ) > k \ge u ( w , \cdot ) , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ & { } & { \, \geq \ ( \omega _ { + } ( v , \cdot ) - \omega _ { + } ( w , \cdot ) ) ^ { p - 1 } ( ( \omega _ { + } \varphi ^ { p } ) ( v , \cdot ) - ( \omega _ { + } \varphi ^ { p } ) ( w , \cdot ) ) . } \end{array}
\frac { \Sigma _ { o } \; < e d u > _ { o } \cdot \: \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ o ~ r ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } _ { o , s } } { \Sigma _ { o } \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ o ~ r ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } _ { e , o } }
\begin{array} { r l } { a _ { \mathrm { P 2 } , \mathrm { T } } } & { : = \frac { \Delta V _ { \mathrm { T } } } { \Delta V _ { \mathrm { P 2 } } } } \\ & { = \frac { \alpha _ { \mathrm { P 2 } , \mathrm { P 2 } } - \alpha _ { \mathrm { T } , \mathrm { P 2 } } } { \alpha _ { \mathrm { P 2 } , \mathrm { T } } - \alpha _ { \mathrm { T } , \mathrm { T } } } . } \end{array}
\gamma = I \{ { G _ { \mathrm { { S } } } , Q _ { u b } } \} + I \{ { G _ { \mathrm { { S } } } , Q _ { b u } } \} - I \{ { G _ { \mathrm { { A } } } , Q _ { u u } } \} - I \{ { G _ { \mathrm { { A } } } , Q _ { b b } } \} ,
\begin{array} { r l r } { { M I } [ A , B ] } & { { } = } & { \sum _ { a } \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \Big ( \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ( n - 1 ) \cdot p ( a ) ^ { n - 1 } } \Big ) \cdot { E } _ { B } \Big [ ( p ( a | b ) - p ( a ) ) ^ { n } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \} } & { { } = } & { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \} = \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \} = \dots } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { { 2 } \overbrace { ( 2 0 5 1 - 2 0 5 2 ) ^ { 2 } } ^ { { \mathrm { T h i s ~ i s ~ } } a ^ { 2 } . } \ } & { + \ \overbrace { 2 ( 2 0 5 1 - 2 0 5 2 ) ( 2 0 5 2 - 2 0 5 0 ) } ^ { { \mathrm { T h i s ~ i s ~ } } 2 a b . } \ } & & { + \ \overbrace { ( 2 0 5 2 - 2 0 5 0 ) ^ { 2 } } ^ { { \mathrm { T h i s ~ i s ~ } } b ^ { 2 } . } } \\ { ( 2 0 5 3 - 2 0 5 2 ) ^ { 2 } \ } & { + \ 2 ( 2 0 5 3 - 2 0 5 2 ) ( 2 0 5 2 - 2 0 5 0 ) \ } & & { + \ ( 2 0 5 2 - 2 0 5 0 ) ^ { 2 } } \\ { ( 2 0 5 5 - 2 0 5 2 ) ^ { 2 } \ } & { + \ 2 ( 2 0 5 5 - 2 0 5 2 ) ( 2 0 5 2 - 2 0 5 0 ) \ } & & { + \ ( 2 0 5 2 - 2 0 5 0 ) ^ { 2 } } \\ { ( 2 0 5 0 - 2 0 5 2 ) ^ { 2 } \ } & { + \ 2 ( 2 0 5 0 - 2 0 5 2 ) ( 2 0 5 2 - 2 0 5 0 ) \ } & & { + \ ( 2 0 5 2 - 2 0 5 0 ) ^ { 2 } } \\ { ( 2 0 5 1 - 2 0 5 2 ) ^ { 2 } \ } & { + \ \underbrace { 2 ( 2 0 5 1 - 2 0 5 2 ) ( 2 0 5 2 - 2 0 5 0 ) } _ { \begin{array} { l } { { \mathrm { T h e ~ s u m ~ o f ~ t h e ~ e n t r i e s ~ i n ~ t h i s } } } \\ { { \mathrm { m i d d l e ~ c o l u m n ~ m u s t ~ b e ~ 0 . } } } \end{array} } \ } & & { + \ ( 2 0 5 2 - 2 0 5 0 ) ^ { 2 } } \end{array} }
\sigma _ { 1 } ( \delta _ { g } ) = i \left( \begin{array} { l l l l l l } { \alpha ^ { - 1 } \sigma } & { - \alpha \xi } & { - r ^ { - 2 } \iota _ { \eta } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \alpha ^ { - 1 } \sigma } & { 0 } & { - \alpha \xi } & { - r ^ { - 2 } \iota _ { \eta } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \alpha ^ { - 1 } \sigma } & { 0 } & { - \alpha \xi } & { - r ^ { - 2 } \iota _ { \eta } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { f ^ { e q } = \frac { \rho } { ( 2 \pi R T ) ^ { \frac { d } { 2 } } } e ^ { - \frac { ( \Vec { c } - \Vec { u } ) ^ { 2 } } { 2 R T } } = } & { { } \frac { \rho } { ( 2 \pi R T ) ^ { \frac { d } { 2 } } } e ^ { - \frac { \vec { c } ^ { 2 } } { 2 R T } } ( 1 + \frac { \Vec { c } \cdot \Vec { u } } { R T } + \frac { ( \Vec { c } \cdot \Vec { u } ) ^ { 2 } } { 2 ( R T ) ^ { 2 } } - \frac { \Vec { u } ^ { 2 } } { 2 R T } + O ( \Vec { u } ^ { 3 } ) ) } \\ { = } & { { } \frac { \rho } { ( \frac { 2 } { 3 } \pi ) ^ { \frac { d } { 2 } } c ^ { d } } e ^ { - \frac { 3 \vec { c } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } } ( 1 + 3 \frac { \Vec { c } \cdot \Vec { u } } { c ^ { 2 } } + 9 \frac { ( \Vec { c } \cdot \Vec { u } ) ^ { 2 } } { 2 c ^ { 4 } } - 3 \frac { \Vec { u } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } + O ( \Vec { u } ^ { 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { U } ( \eta , x , \phi , p , y ) } & { = } & { \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } d z d s \, \sqrt { \frac { 8 \pi i } { k ( z - s ) } } \exp \left[ i k _ { u } \Delta \nu ( z - s ) - 2 i k _ { u } \eta ( z - s ) \right. } \\ & { } & { \quad \left. + i k _ { u } T _ { \alpha } \left\{ ( x + y ) ( z - s ) + \frac { p } { 2 } ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) \right\} - \frac { 2 i k } { z - s } x ^ { 2 } - \frac { 2 i k s z } { z - s } \phi ^ { 2 } + \frac { 2 i k ( z + s ) } { z - s } x \phi \right] . } \end{array}
H = \omega b ^ { \dagger } b - \sum _ { k = 1 } ^ { N } \tilde { C } _ { k } x _ { k } ( b ^ { \dagger } + b ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \bigg ( \frac { p _ { k } ^ { 2 } } { 2 m _ { k } } + \frac { 1 } { 2 } m _ { k } \omega _ { k } ^ { 2 } x _ { k } ^ { 2 } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { L H S } } & { \leq r ( d + 1 ) \mathrm { ~ w i t h ~ e q u a l i t y ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } a = b = 0 ; } \\ { \mathrm { R H S } } & { \geq a ^ { \prime } ( d + 1 ) + b ^ { \prime } ( d + 2 ) + c ^ { \prime } ( d + 3 ) \geq r ( d + 1 ) \mathrm { ~ w i t h ~ e q u a l i t y ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } b ^ { \prime } = c ^ { \prime } = 0 ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { S } _ { z } \approx \frac { c } { 2 } \left( \chi \Delta z _ { m } ( \hat { a } _ { \mathrm { V , i n } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H , i n } } + \hat { a } _ { \mathrm { H , i n } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V , i n } } ) + ( \hat { a } _ { \mathrm { V , 0 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H , i n } } + \hat { a } _ { \mathrm { H , i n } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V , 0 } } ) \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { a x ^ { 2 } \parallel b x \parallel c } & { = \infty } \\ { x ^ { 2 } \parallel { \frac { b } { a } } x } & { = - { \frac { c } { a } } } \\ { x ^ { 2 } \parallel { \frac { b } { a } } x \parallel { \frac { 4 b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } & { = \left( - { \frac { c } { a } } \right) \parallel { \frac { 4 b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } \\ { \left( x \parallel { \frac { 2 b } { a } } \right) ^ { 2 } } & { = { \frac { b ^ { 2 } \parallel - { \frac { 1 } { 4 } } a c } { { \frac { 1 } { 4 } } a ^ { 2 } } } } \\ { \implies x } & { = { \frac { ( - b ) \parallel \pm { \sqrt { b ^ { 2 } \parallel - { \frac { 1 } { 4 } } a c } } } { { \frac { 1 } { 2 } } a } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { y _ { i } ^ { ( l ) } } & & { = V _ { i } ^ { { ( l ) } ^ { * } } x _ { i } ^ { ( l ) } } & & { \mathrm { ~ d e n o t e d ~ a s ~ E q u a t i o n ~ \mathrm { Y } _ { i } ^ { ( l ) } ~ } } \\ & { b _ { i } ^ { ( l ) } } & & { = U _ { i } ^ { ( l ) } z _ { i } ^ { ( l ) } + \sum _ { j ^ { ( l ) } \in \mathcal { N } ( i ^ { ( l ) } ) } K _ { i j } ^ { ( l ) } x _ { j } ^ { ( l ) } } & & { \mathrm { ~ d e n o t e d ~ a s ~ E q u a t i o n ~ \mathrm { X } _ { i } ^ { ( l ) } ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int _ { \Gamma } d y \sin \left( \left( y - y _ { 0 } \right) t \right) \frac { \sin \left( y t \right) } { y } g \left( y \right) } & { \sim \int d y \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \left( - t \cos \left( \left( y - y _ { 0 } \right) t \right) g \left( y \right) + \sin \left( \left( y - y _ { 0 } \right) t \right) g _ { y } \left( y \right) \right) 2 = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varrho _ { l } ( \tau _ { 2 } ; \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } ) = \frac { 1 - \mathcal { Q } _ { l } ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } ) } { \tau _ { \mathrm { d } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { A ( x , t ) = \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { { i } } } { 1 0 } t ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { ( 1 + \mathrm { { i } } ) x - 2 \ln ( \cosh ( t ) ) } } { 1 + \frac { \mathrm { e } ^ { 2 x - 4 \ln ( \cosh ( t ) ) } } { 8 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi _ { n } = \frac { 1 } { ( n _ { \mathrm { H } } ^ { b } a ^ { 3 } ) \mathrm { e } ^ { \alpha _ { n } - \psi } + 1 } = \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { \bar { \alpha } _ { n } - \psi } + 1 } \ , } \\ & { \phi _ { p } = \frac { 1 } { ( n _ { \mathrm { H } } ^ { b } a ^ { 3 } ) ^ { - 1 } \mathrm { e } ^ { \psi - \alpha _ { p } } + 1 } = \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { \psi - \bar { \alpha } _ { p } } + 1 } \ , } \end{array}
{ \hat { F } } [ { \cal L } ( p , ~ q ) ] ~ = ~ \alpha ^ { - \sigma [ L , ~ f ] } ~ { \alpha } ^ { ( \sum a _ { i } ) / 3 } ~ ~ { \frac { ( S ~ M ^ { ( p , ~ q ) } ) _ { 0 0 } } { S _ { 0 0 } } } ~ ,
\Lambda _ { e } ^ { + } = a _ { e } ^ { 0 } \, , \qquad \Lambda _ { \mu } ^ { + } = \operatorname * { m i n } \left[ a _ { \mu } ^ { 0 } \, , \, a _ { \mu } ^ { \mathrm { S K } } \, , \, a _ { \mu } ^ { \mathrm { L S N D } } \right] \, .
H _ { e f f } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } M ^ { 2 } + \sum _ { K = 1 } ^ { \infty } \frac { c _ { K } g ^ { K } } { N ^ { 4 K - 2 } } ( \mathrm { t r } M ^ { 2 } ) ^ { 2 K } .
E _ { \pm } = E _ { 0 } \exp ( \pm i \omega t \mp i k z ) \, \; , \, \; B _ { \pm } = \pm i \frac { k } { \omega } \, E _ { \pm } \, \; , \, \; u _ { \pm } = \mp \frac { i q _ { s } } { \gamma _ { s } m _ { s } ( \omega + \omega _ { c s } ) } E _ { \pm } \; \, ,
[ Y ^ { a } , Y ^ { b } ] = i f _ { a b c } \, Y ^ { c } , \mathrm { w h e r e \; \; \mit Y ^ { a } = \frac { \ l a m b d a ^ { a } } { 2 } = \; \mit S U _ { C } ( \mathrm { 3 ) \; \; \mathrm { g e n e r a t o r s \; \; i n \; \; \underline { { { 3 } } } \; \; r e p r e s e n t a t i o n } } }
\begin{array} { r l } { [ K _ { + } , K _ { - } ] } & { = a ^ { \dagger } b ^ { \dagger } b a - b a a ^ { \dagger } b ^ { \dagger } } \\ & { = a ^ { \dagger } b ^ { \dagger } b a - a a ^ { \dagger } b b ^ { \dagger } } \\ & { = a ^ { \dagger } b ^ { \dagger } b a - a ^ { \dagger } a b b ^ { \dagger } - b b ^ { \dagger } } \\ & { = a ^ { \dagger } a ( b ^ { \dagger } b - b b ^ { \dagger } ) - b b ^ { \dagger } } \\ & { = - a ^ { \dagger } a - \mathbb { 1 } - b ^ { \dagger } b = - 2 K _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { \partial u } { \partial t } ( t , x ) \ge { \mathcal { D } } [ \, { u } \, ] ( t , x ) , } & { \quad t \in ( t _ { 0 } , t _ { 1 } ) , \ x \in [ R , + \infty ) , } \\ & { \frac { \partial v } { \partial t } ( t , x ) \le { \mathcal { D } } [ \, { v } \, ] ( t , x ) , } & { \quad t \in ( t _ { 0 } , t _ { 1 } ) , \ x \in [ R , + \infty ) , } \\ & { u ( t , x ) > v ( t , x ) , } & { \quad t \in ( t _ { 0 } , t _ { 1 } ) , \ x \in ( - \infty , R ] , } \\ & { u ( t _ { 0 } , x ) \ge v ( t _ { 0 } , x ) , } & { \quad x \in \mathbb { R } , . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { R _ { 1 } } ( x , y ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { L } \frac { 1 } { - \mathrm { i } \sin ( z ) + \mathcal { S } ( \cos ( z ) , n ) } e ^ { \mathrm { i } k _ { + } | x - y ^ { \prime } | \cos ( z - \theta ) } ( - 1 ) \sin ( z ) d z , } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { L } \frac { - \textrm { i } \sin ^ { 2 } ( z ) + \sin ( z ) S ( \cos ( z ) , n ) } { n ^ { 2 } - 1 } e ^ { \mathrm { i } k _ { + } | x - y ^ { \prime } | \cos ( z - \theta ) } d z . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \mathrm { H } _ { 2 j } ^ { \left( k \right) } = \varepsilon ^ { j } \left( 1 - \varepsilon \right) ^ { j } } } \\ { { \mathrm { H } _ { 2 j + 1 } ^ { \left( k \right) } = \varepsilon ^ { j } \left( 1 - \varepsilon \right) ^ { j + 1 } } } \end{array} \; \forall \; 0 \leq j \leq \frac { k - 1 } 2
R _ { \gamma } ( \Psi _ { 0 } ) \approx \sum _ { n \neq 0 } \frac { \langle \Psi _ { 0 } | \vec { d } \cdot \vec { \mathcal { E } } ^ { * } | \Psi _ { n } \rangle \langle \Psi _ { n } | \vec { d } \cdot \vec { \mathcal { E } } | \Psi _ { 0 } \rangle } { \hbar ^ { 2 } \left\{ \, \omega - ( \omega _ { n } - \omega _ { 0 } ) \right\} ^ { 2 } } \Gamma ( n ) ,
\begin{array} { r l } { \omega ^ { 2 } } & { + \left[ 1 + \bar { \tau } + \frac { 2 } { 3 } \left( 1 + \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } \right] i { \omega _ { \parallel } } \omega } \\ & { \quad \quad \quad \quad - \left[ \frac { 2 } { 3 } ( 1 + \bar { \tau } ) \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } { \omega _ { \parallel } } + \left( 1 + \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } \right) i \omega _ { * e } \bar { \tau } \right] { \omega _ { \parallel } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E } & { = \nabla \cdot \vec { F } ^ { \mathrm { a d v } } \quad [ \mathrm { k g } \, \mathrm { m } ^ { - 2 } \mathrm { s } ^ { - 1 } ] } \\ { \vec { F } ^ { \mathrm { a d v } } } & { = C \, \vec { w } = C \, w _ { x } \, \vec { e _ { x } } + C \, w _ { y } \, \vec { e _ { y } } \quad [ \mathrm { k g } \, \mathrm { m } ^ { - 1 } \, \mathrm { s } ^ { - 1 } ] , } \end{array}
\Psi _ { A G P , \mathbf { q } } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \dots , \mathbf { x } _ { N _ { \mathrm { e l } } } ) = \hat { A } \left[ \Phi _ { \mathbf { q } } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } ) , \dots , \Phi _ { \mathbf { q } } ( \mathbf { x } _ { N _ { \mathrm { e l } } - 1 } , \mathbf { x } _ { N _ { \mathrm { e l } } } ) \right] .
{ \begin{array} { r l r l } { f \cdot f ^ { - 1 } } & { = e \cdot ( f \cdot f ^ { - 1 } ) } & & { { \mathrm { ( l e f t ~ i d e n t i t y ) } } } \\ & { = ( ( f ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \cdot f ^ { - 1 } ) \cdot ( f \cdot f ^ { - 1 } ) } & & { { \mathrm { ( l e f t ~ i n v e r s e ) } } } \\ & { = ( f ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \cdot ( ( f ^ { - 1 } \cdot f ) \cdot f ^ { - 1 } ) } & & { { \mathrm { ( a s s o c i a t i v i t y ) } } } \\ & { = ( f ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \cdot ( e \cdot f ^ { - 1 } ) } & & { { \mathrm { ( l e f t ~ i n v e r s e ) } } } \\ & { = ( f ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \cdot f ^ { - 1 } } & & { { \mathrm { ( l e f t ~ i d e n t i t y ) } } } \\ & { = e } & & { { \mathrm { ( l e f t ~ i n v e r s e ) } } } \end{array} }
G _ { 0 } \; { \xrightarrow { \ f _ { 1 } \ } } \; G _ { 1 } \; { \xrightarrow { \ f _ { 2 } \ } } \; G _ { 2 } \; { \xrightarrow { \ f _ { 3 } \ } } \; \cdots \; { \xrightarrow { \ f _ { n } \ } } \; G _ { n }