harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { { \bf S } = | E _ { 0 } | ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { \cos ( 2 \alpha ) } \\ { \sin ( 2 \alpha ) \cos \delta } \\ { \sin ( 2 \alpha ) \sin \delta } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( \delta ) } & { { } \propto } & { \exp ( - \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( \delta / \omega - E _ { R } / ( \hbar \omega ) \right) ^ { 2 } } { ( \Delta k \, l ) ^ { 2 } \tilde { T } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ~ ~ ~ } & { \left( \frac { d t _ { \mathrm { c m } } } { d ( y ^ { 2 } ) } \right) _ { y ^ { 2 } = y _ { \mathrm { m a } } ^ { 2 } } = } \\ & { p _ { 0 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) + x _ { \mathrm { m a } } p _ { 1 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) + x _ { \mathrm { m a } } ^ { 2 } p _ { 2 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) + x _ { \mathrm { m a } } ^ { 3 } p _ { 3 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) } & { { } = } & { C _ { S C } \frac { R } { 2 \sqrt { 2 } \gamma \sigma _ { z } \epsilon _ { x } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \exp [ - \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ] \left[ I _ { 0 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) - I _ { 1 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) \right] \exp [ - \frac { a _ { y } ^ { 2 } u } { 4 } ] \exp [ - \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ S ~ J ~ L ~ } , L ^ { 1 } } : x \in [ 0 , 1 ] ^ { p } , y \in \{ 0 , 1 \} ^ { p } \mapsto 1 - \frac { \langle x , y \rangle } { \| x \| _ { 1 } + \| y \| _ { 1 } - \langle x , y \rangle } . } \end{array}
\sum | { \cal M } | ^ { 2 } = { \frac { 1 6 g _ { s } ^ { 2 } g _ { Z } ^ { 2 } } { ( p ^ { 2 } - m _ { b } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } ( N _ { 0 } + m _ { b } m _ { \tilde { g } } N _ { 1 } \sin 2 \theta _ { b } + m _ { b } ^ { 2 } N _ { 2 } ) \ ,
\begin{array} { r } { \mathscr { L } _ { i } = \sum _ { j } ^ { n } g _ { i } ^ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } + \sum _ { j < k } ^ { n } ( g _ { i } ^ { j k } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { k } + ( g _ { i } ^ { j k } ) ^ { * } \hat { b } _ { k } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } ) + \mathrm { C } , } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { B } ^ { 2 } ( y ) = \frac { 1 } { \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } \right) ^ { 3 } } \left( \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) \bar { \zeta } \bar { \zeta } ^ { T } - \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ( \bar { \zeta } \bar { y } ^ { T } + \bar { y } \bar { \zeta } ^ { T } ) + \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } \right) ^ { 2 } I \right)
\left\{ \begin{array} { r l } { 0 = } & { ~ \varepsilon _ { 0 } \Lambda - ( r + \mu ) y _ { 0 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( r + \mu ) y _ { 0 } ^ { * * } } { \alpha [ y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) ] } , } \\ { 0 = } & { ~ \varepsilon _ { 1 } \Lambda - ( r + \mu ) y _ { 1 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( r + \mu ) y _ { 1 } ^ { * * } } { \alpha [ y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) ] } , } \\ { 0 = } & { ~ \varepsilon _ { 2 } \Lambda - ( r + \mu ) y _ { 2 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( r + \mu ) y _ { 2 } ^ { * * } } { \alpha ( 1 - p _ { S } ) [ y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) ] } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { Q _ { z \bar { z } } } & { { } \equiv \rho v \bar { v } - 4 i \eta v \bar { \partial } \sigma + 4 \eta ^ { 2 } \frac { 1 } { \rho } \bar { \partial } \sigma \partial \sigma , } \\ { Q } & { { } \equiv \rho v v + 4 i \eta v \partial \sigma - 4 \eta ^ { 2 } \frac { 1 } { \rho } \partial \sigma \partial \sigma . } \end{array}
{ \hat { H } } _ { 2 } = - \sum _ { i > j } { \frac { q _ { i } q _ { j } } { 2 r _ { i j } m _ { i } m _ { j } c ^ { 2 } } } \left[ \mathbf { \hat { p } } _ { i } \cdot \mathbf { \hat { p } } _ { j } + { \frac { ( \mathbf { r _ { i j } } \cdot \mathbf { \hat { p } } _ { i } ) ( \mathbf { r _ { i j } } \cdot \mathbf { \hat { p } } _ { j } ) } { r _ { i j } ^ { 2 } } } \right]
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } \phi _ { i } ( \nabla _ { \xi } ^ { 2 } \phi ) _ { i } } & { = \sum _ { i } \phi _ { i } \left[ \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \right) _ { i + 1 / 2 } ( \phi _ { i + 1 } - \phi _ { i } ) - \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \right) _ { i - 1 / 2 } ( \phi _ { i } - \phi _ { i - 1 } ) \right] } \\ & { = - \sum _ { i } \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \right) _ { i + 1 / 2 } ( \phi _ { i + 1 } - \phi _ { i } ) ( \phi _ { i + 1 } - \phi _ { i } ) } \\ & { = - \sum _ { i } \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \right) _ { i + 1 / 2 } E _ { \xi , i + 1 / 2 } ^ { 2 } = - \sum _ { i } \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \right) _ { i + 1 / 2 } ( J _ { \xi } { E _ { z } } ) _ { i + 1 / 2 } ^ { 2 } } \\ & { = - \sum _ { i } J _ { i + 1 / 2 } ( { E _ { z } } ) _ { i + 1 / 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\delta _ { f } L _ { 3 } = - \frac { 6 \kappa _ { 1 } ^ { 2 } } { r } \left( ( 1 - f ^ { 2 } ) f _ { r r } - f \: f _ { r } ^ { 2 } - \frac { 1 } { r } ( 1 - f ^ { 2 } ) f _ { r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ( 1 - f ^ { 2 } ) ^ { 2 } f \right)
( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r } { S _ { i i } ^ { s h } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } R T \left( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right) , } \\ { i \in \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { 0 } ^ { ( m ) } \equiv \sum _ { j = 0 } ^ { m } \left[ \frac { 1 } { 2 } B _ { 0 } ^ { ( m j ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } j ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { c . c . } \right] \equiv \sum _ { j = 0 } ^ { m } \left[ \frac { 1 } { 2 } \bar { \Phi } _ { 0 } ^ { ( m j ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } j ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { c . c . } \right] . } \end{array}
- \frac { \epsilon } { 2 } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \partial _ { R } \bigl ( W _ { \epsilon } ( 1 + \epsilon R ) \bigr ) \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, \le \, - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X + C \epsilon ^ { \gamma _ { 1 } } \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \, .
\mathcal { M } ^ { ( n ) } = \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( n ) } + \mathcal { M } _ { 2 } ^ { ( n ) } + \mathcal { M } _ { 3 } ^ { ( n ) } + \mathcal { M } _ { 4 } ^ { ( n ) } \sim \frac { g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n + 2 } \pi ^ { 2 } \Lambda ^ { 8 n } } \bigg ( \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { n } + \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 1 - 4 n } + \frac { \Lambda ^ { 4 } } { 4 M _ { W } ^ { 2 } ( 1 - 2 n ) } \bigg )
R _ { i } ^ { \mathrm { { d i f f } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \nu _ { i } ^ { \mathrm { o s c } } Q _ { \mathrm { { B e l l } } } , } & { \mathrm { i f ~ { \bf ~ p } ~ \rightarrow ~ { \bf ~ p } ~ o r ~ { \bf ~ c } ~ \rightarrow ~ { \bf ~ c } : ~ \Delta ~ E _ { i f } ~ = ~ 0 ~ } } \\ { \nu _ { i } ^ { \mathrm { o s c } } Q _ { B e l l } \; \mathrm { e x p } \left( \frac { - \Delta E _ { i j } } { k _ { \mathrm { { B } } } T _ { s } } \right) \bigg / n b _ { s i t e } , } & { \mathrm { i f ~ { \bf ~ p / c } ~ \rightarrow ~ { \bf ~ c / p } : ~ \Delta ~ E _ { i f } ~ \ne ~ 0 ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) , ( b _ { 1 } , b _ { 2 } ) ) _ { T } \ast ( ( a _ { 1 } ^ { \prime } , a _ { 2 } ^ { \prime } ) , ( b _ { 1 } ^ { \prime } , b _ { 2 } ^ { \prime } ) ) _ { T } = } & { \delta _ { a , a ^ { \prime } } \omega _ { I I } ^ { n _ { 1 2 } } ( ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) , ( b _ { 1 } , b _ { 2 } ) , ( b _ { 1 } ^ { \prime } , b _ { 2 } ^ { \prime } ) ) ( ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) , ( b _ { 1 } \oplus b _ { 1 } ^ { \prime } , b _ { 2 } \oplus b _ { 2 } ^ { \prime } ) ) _ { T } } \\ { = } & { \delta _ { a , a ^ { \prime } } e ^ { \frac { 2 \pi i } { p } a _ { 1 } ( b _ { 2 } + b _ { 2 } ^ { \prime } - b _ { 2 } \oplus b _ { 2 } ^ { \prime } ) / q } ( ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) , ( b _ { 1 } \oplus b _ { 1 } ^ { \prime } , b _ { 2 } \oplus b _ { 2 } ^ { \prime } ) ) _ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma T } & { { } = \ln \! 2 + \mu \Gamma T ( y _ { 0 } - c _ { 1 } ) + \frac { c _ { 2 } \mu ^ { 2 } ( \Gamma T ) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { c _ { 3 } \mu ^ { 3 } ( \Gamma T ) ^ { 3 } } { 6 } \; , } \\ { ( 2 - A - B ) c _ { 1 } } & { { } = ( A + B ) ( \lambda - c _ { 2 } \mu \Gamma T + \frac { 1 } { 2 } c _ { 3 } \mu ^ { 2 } ( \Gamma T ) ^ { 2 } ) \; , } \\ { ( 4 - 2 A ^ { 2 } - 2 B ^ { 2 } ) c _ { 2 } } & { { } = ( A ^ { 2 } + B ^ { 2 } ) ( - 2 c _ { 3 } \mu \Gamma T ) + \varepsilon ( \lambda + c _ { 1 } - c _ { 2 } \mu ( \Gamma T ) ) ^ { 2 } \; , } \\ { ( 4 - 2 A ^ { 3 } - 2 B ^ { 3 } ) c _ { 3 } } & { { } = 3 c _ { 2 } \varepsilon ( A + B ) ( \lambda + c _ { 1 } - c _ { 2 } \mu \Gamma T ) \; . } \end{array}
{ v _ { p } } \left( t \right) = \left\{ \begin{array} { r l r } & { \frac { 1 } { C _ { p } } \int _ { 0 } ^ { t } i _ { h } ( t ) \mathrm { d } t - { V _ { M } } , } & { 0 \le t < \frac { \pi } { \omega } ; } \\ & { { V _ { M } } - \frac { 1 } { C _ { p } } \int _ { \frac { \pi } { \omega } } ^ { t } i _ { h } ( t ) \mathrm { d } t , } & { \frac { \pi } { \omega } \le t < \frac { 2 \pi } { \omega } , } \end{array} \right.
\xi = e ^ { - \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } \, , \qquad \zeta = e ^ { - \sqrt { z ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } \, , \quad \mathrm { a n d } \quad a = { \frac { m _ { \mathrm { p } } } { T } } \, .
\begin{array} { r } { \delta _ { \overline { { \Gamma } } } S = \frac { 1 } { 2 \kappa } \int \sqrt { - g } \delta _ { \overline { { \Gamma } } } ( \overline { { \mathbf { G } } } ) \, d ^ { 4 } x = \frac { 1 } { 2 \kappa } \int \sqrt { - g } \delta \overline { { \Gamma } } _ { \mu \nu } ^ { \lambda } P ^ { \mu \nu } _ { \lambda } d ^ { 4 } x \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( N _ { n } ( X ) = 0 ) } & { = \mathbb { E } [ ( 1 - p _ { n } ( X ) ) ^ { n } ] \leq \mathbb { E } [ e ^ { - n p _ { n } ( X ) } ] } \\ & { \leq \big ( \operatorname* { m a x } _ { u > 0 } u e ^ { - u } \big ) \times \mathbb { E } \Big [ \frac { 1 } { n p _ { n } ( X ) } \Big ] } \\ & { \leq \frac { c _ { k } } { n h _ { n } ^ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf { I } } _ { N _ { R } } } & { = ( { \bf { U } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \\ & { \quad ( { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } { \bf { V } } _ { N _ { T } } - { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } { \bf { I } } _ { N _ { S } } ) } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i j } { \frac { \partial ^ { 2 } \varepsilon _ { n } } { \partial k _ { i } \partial k _ { j } } } q _ { i } q _ { j } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } q ^ { 2 } + \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } { \frac { | \langle n \mathbf { k } | { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \mathbf { q } \cdot ( - i \nabla ) | n ^ { \prime } \mathbf { k } \rangle | ^ { 2 } } { \varepsilon _ { n \mathbf { k } } - \varepsilon _ { n ^ { \prime } \mathbf { k } } } }
\begin{array} { r } { \mathbb { P } [ | h _ { j } ( \boldsymbol { Y } ) - \mathbb { E } [ h _ { j } ( \boldsymbol { Y } ) ] | \leq a ] \geq 1 - \frac { \mathrm { V a r } [ h _ { j } ( \boldsymbol { Y } ) ] } { a ^ { 2 } } \; \Rightarrow \; \mathbb { P } [ h _ { j } ( \boldsymbol { Y } ) \leq a + \mathbb { E } [ h _ { j } ( \boldsymbol { Y } ) ] ] \geq 1 - \frac { \mathrm { V a r } [ h _ { j } ( \boldsymbol { Y } ) ] } { a ^ { 2 } } } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ i ~ } } = \sum _ { \textbf { k } \textbf { k } ^ { \prime } \textbf { q } \atop \sigma \sigma ^ { \prime } } v _ { \mathrm { ~ e ~ i ~ } , | \textbf { q } | } ( t ) \hat { a } _ { \textbf { k } ^ { } + \textbf { q } ^ { } , \sigma } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textbf { k } ^ { } - \textbf { q } ^ { } , \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textbf { k } ^ { } \sigma ^ { \prime } } ^ { } \hat { a } _ { \textbf { k } \sigma } ^ { } .
\sum _ { j = 0 } ^ { i } q ^ { j r } \chi _ { 1 , k ( r + 1 ) + 1 - i + 2 j } ^ { ( p , k p + 1 ) } ( q ) = \displaystyle \sum _ { n _ { 1 } \geq \cdots \geq n _ { k } \geq 0 } \frac { q ^ { n _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + n _ { k - 1 } ^ { 2 } + 2 n _ { k } ^ { 2 } + r ( n _ { 1 } + \cdots + n _ { k - 1 } + 2 n _ { k } ) - ( n _ { 1 } + \cdots + n _ { i } ) } } { ( q ) _ { n _ { 1 } - n _ { 2 } } \cdots ( q ) _ { n _ { k - 1 } - n _ { k } } ( q ) _ { 2 n _ { k } + r } } \overline { { { F } } } _ { p - 1 ; r } ^ { ( 2 n _ { k } + r ) } ( q ) .
{ \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 } \\ { 3 } & { 4 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 3 } & { 4 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { \partial _ { x } \Dot { \Phi } _ { C } ( { \bf r } , t ) = \frac { v q \Theta ( t ) \left[ y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - 2 ( x - v t ) ^ { 2 } \right] } { \left[ ( x - v t ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right] ^ { 5 / 2 } } \, , } \\ { \partial _ { x } \Dot { \Phi } _ { L } ( { \bf r } , t ) = \frac { v q \Theta ( t ) \left[ [ 1 - ( v / c ) ^ { 2 } ] ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) - 2 ( x - v t ) ^ { 2 } \right] } { \left[ ( x - v t ) ^ { 2 } + [ 1 - ( v / c ) ^ { 2 } ] ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \right] ^ { 5 / 2 } } \, . } \end{array}
< P _ { 1 c } > = \omega I m [ \frac { F _ { 2 } \Omega ^ { 2 } + F _ { 1 } ( i \gamma _ { 2 } \omega + \omega ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } ) } { F 1 ( ( - i \gamma _ { 1 } \omega - \omega ^ { 2 } + \omega _ { 1 } ^ { 2 } ) ( i \gamma _ { 2 } \omega + \omega ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } ) + 2 \Omega ^ { 2 } } ]
\begin{array} { r l } { u ( x , t _ { k } ) = } & { \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \\ & { + \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \delta h ^ { 2 } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge F \left( X _ { t _ { j - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { j - 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { t \Delta _ { \mathcal { H } } } \, : \, \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) + \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { H } } ) \longrightarrow \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) + \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { H } } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { z \in K , z ^ { \prime } \in K } \\ { ( r ^ { \prime } ) ^ { 1 - n _ { j } } , } & { z \in K , z ^ { \prime } \in E _ { j } } \\ { r ^ { - n _ { i } } , } & { z \in E _ { i } , z ^ { \prime } \in K } \\ { \operatorname* { m i n } \left( r ^ { - n _ { i } } ( r ^ { \prime } ) ^ { 2 - n _ { j } } ; r ^ { 1 - n _ { i } } ( r ^ { \prime } ) ^ { 1 - n _ { j } } \right) , } & { z \in E _ { i } , z ^ { \prime } \in E _ { j } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \tilde { u } ( \gamma ^ { 1 } ) = \tilde { u } ( \gamma _ { E _ { h } } ^ { 1 } + \gamma _ { E _ { h } ^ { c } } ^ { 1 } ) = \tilde { u } _ { E _ { h } , \gamma ^ { 1 } } ( \gamma _ { E _ { h } } ^ { 1 } ) = C _ { E _ { h } , \gamma ^ { 2 } } ^ { k } = \tilde { u } _ { E _ { h } , \gamma ^ { 2 } } ( \gamma _ { E _ { h } } ^ { 2 } ) = \tilde { u } ( \gamma _ { E _ { h } } ^ { 2 } + \gamma _ { E _ { h } ^ { c } } ^ { 2 } ) = \tilde { u } ( \gamma ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { H ^ { 5 D } = 0 . 1 5 5 \cdot \frac { B _ { R } } { \sigma \sqrt [ 3 ] { G _ { V } } } - 0 . 3 5 3 \cdot \frac { G _ { V } } { D } \cdot \log { R _ { X } } + 0 . 0 5 4 \cdot \frac { F r } { R _ { W } \log { e l } } } } \\ { { - 1 0 2 7 \cdot \frac { | B _ { V } - G _ { R } | } { \exp { A _ { N } } } + 3 . 1 9 0 \cdot \frac { R _ { W } } { e l | B _ { R } - G _ { V } | } - 5 . 8 7 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { i j } = \omega ( r ) \frac { E t ^ { 3 } } { 2 \alpha } \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } ( \kappa _ { i j } ) \operatorname* { m i n } ( | \kappa _ { i j } | , \frac { \kappa _ { c r i t } ^ { 2 } } { | \kappa _ { i j } | } ) , } \end{array}
\displaystyle \operatorname* { m i n } _ { L _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \operatorname { d } ^ { 2 } \left( { \bf { x } } _ { i } , L _ { k } \right) = \displaystyle \operatorname* { m i n } _ { a _ { j l } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { l = 1 } ^ { n } \left( x _ { i l } - a _ { 0 l } - \sum _ { j = 1 } ^ { k } a _ { j l } \sum _ { q = 1 } ^ { n } a _ { j q } \left( x _ { i q } - a _ { 0 q } \right) \right) ^ { 2 } ,
\boldsymbol { \Lambda } _ { i j } ^ { \mathrm { P } } = \frac { 5 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \ln \frac { \left| \mathbf { K } _ { i j } ^ { - } \right| } { \left| \mathbf { K } _ { i j } ^ { + } \right| } \left( \mathbf { I } - \frac { 2 } { 5 } \, \mu \boldsymbol { \epsilon } \right) + \frac { 3 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left( \frac { \mathbf { K } _ { i j } ^ { + } \mathbf { K } _ { i j } ^ { + } } { \left| \mathbf { K } _ { i j } ^ { + } \right| ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { K } _ { i j } ^ { - } \mathbf { K } _ { i j } ^ { - } } { \left| \mathbf { K } _ { i j } ^ { - } \right| ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \tilde { \Delta } _ { k } [ g _ { 1 } , g _ { 2 } ] } & { = \frac { g _ { 1 } g _ { 2 } } { v _ { g } ^ { + } ( k ) } \sin { \big ( k \Delta x + \theta _ { k } \big ) } , } \\ { \tilde { \Gamma } _ { k } [ g _ { 1 } , g _ { 2 } ] } & { = \frac { 1 } { v _ { g } ^ { + } ( k ) } \Big ( g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } + 2 g _ { 1 } g _ { 2 } \cos { \big ( k \Delta x + \theta _ { k } \big ) } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } { \partial t } } & { \approx - \frac { i } { \hbar } ( 2 J \cos ( k _ { 1 } ) - 2 J \cos ( k _ { 2 } ) ) \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } \\ & { - \frac { g ( 0 ) } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q \int _ { 0 } ^ { t } \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; \tau ) \rangle _ { E } d \tau } \\ & { - \frac { g ( 0 ) } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q \int _ { 0 } ^ { t } \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; \tau ) \rangle _ { E } d \tau } \\ & { + \frac { g ( 0 ) } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q \int _ { 0 } ^ { t } \langle \tilde { \rho } ( q , q + k _ { 2 } - k _ { 1 } ; \tau ) \rangle _ { E } d \tau } \\ & { + \frac { g ( 0 ) } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q \int _ { 0 } ^ { t } \langle \tilde { \rho } ( q + k _ { 1 } - k _ { 2 } , q ; \tau ) \rangle _ { E } d \tau . } \end{array}
\frac { V _ { D } } { V _ { 0 } } = \frac { 3 } { 2 } \left[ \left( \frac { 2 R _ { i } } { d _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { h _ { i } } { d _ { 0 } } \right) - 2 \left( 1 - \frac { \pi } { 4 } \right) \left( \frac { 2 R _ { i } } { d _ { 0 } } \right) \left( \frac { h _ { i } } { d _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { \Psi [ \boldsymbol { F } ] = \mathcal { N } ^ { ( F ) } \exp ( - \frac { 1 } { 2 } \beta ^ { ( F ) } \! \! \int \mathrm { d } ^ { 3 } r \int \mathrm { d } ^ { 3 } r ^ { \prime } ~ \mathbfscr { K } ^ { ( F ) } \boldsymbol { F } \cdot \boldsymbol { F } ^ { \prime } ) } \end{array}
\alpha = \left\{ \begin{array} { c c } { \alpha , } & { { \epsilon _ { \mathrm { r e l } } } > \epsilon _ { T } } \\ { 0 . 7 5 \alpha , } & { { \epsilon _ { \mathrm { r e l } } } \leq \epsilon _ { T } } \end{array} \right. , \qquad \epsilon _ { T } = \left\{ \begin{array} { c c } { \epsilon _ { T } , } & { { \epsilon _ { \mathrm { r e l } } } > \epsilon _ { T } } \\ { 0 . 7 5 \epsilon _ { T } , } & { { \epsilon _ { \mathrm { r e l } } } \leq \epsilon _ { T } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } & { f _ { \alpha } ( \vec { m } ^ { N } ) = i \sum _ { \beta = 1 } ^ { d ^ { 2 } } A _ { \alpha \beta } m _ { \beta } ^ { N } + i \sum _ { \beta , \gamma = 1 } ^ { d ^ { 2 } } B _ { \alpha \beta \gamma } m _ { \beta } ^ { N } m _ { \gamma } ^ { N } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { q } \sum _ { \beta = 1 } ^ { d ^ { 2 } } M _ { \ell \alpha } ^ { \beta } \Gamma _ { \ell } ^ { 2 } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) m _ { \beta } ^ { N } } \\ & { A _ { \alpha \beta } = \sum _ { \beta ^ { \prime } } \epsilon _ { \beta ^ { \prime } } a _ { \beta ^ { \prime } \alpha } ^ { \beta } \quad B _ { \alpha \beta \gamma } = \sum _ { \beta ^ { \prime } } a _ { \beta ^ { \prime } \alpha } ^ { \gamma } ( h _ { \beta \beta ^ { \prime } } + h _ { \beta ^ { \prime } \beta } ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ( s ) \eta ( s ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { s - 1 } } { e ^ { x } + 1 } } \, d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { x } { \frac { x ^ { s - 2 } } { e ^ { x } + 1 } } \, d y \, d x } \end{array}
{ \bf J } _ { \mu } ^ { \mathcal { I ^ { + } } } [ \mathbf { U } _ { + } ] = \chi _ { R } \left( \mathbf { T } _ { \mu \nu } [ \mathbf { U } _ { + } ] T ^ { \nu } + \frac { M ^ { \alpha } } { r ^ { 1 + \alpha } } \nabla _ { \mu } \left| \mathbf { U } _ { + } \right| ^ { 2 } - \nabla _ { \mu } \left( \frac { M ^ { \alpha } } { r ^ { 1 + \alpha } } \right) \left| \mathbf { U } _ { + } \right| ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \, ( f ) ^ { - 1 / 2 } } & { = \dot { x } \, ( - 1 / 2 ) f ^ { - 3 / 2 } \frac { \partial f } { \partial x } + \ddot { x } \, ( - 1 / 2 ) f ^ { - 3 / 2 } \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 \, f ^ { 3 / 2 } } \left[ \dot { x } \, \frac { \partial f } { \partial x } + \ddot { x } \, \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \right] , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \frac { d } { d t } \, \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } } & { = \dot { x } \, \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \, \partial \dot { x } } + \ddot { x } \, \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \dot { x } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { c } _ { m } ( s , x ) \partial _ { x } ^ { m } \left( c ( x ) \Lambda _ { \alpha _ { n } h } ( \Psi _ { 0 } ) \right) } & { = \tilde { c } _ { m } ( s , x ) \sum _ { l = 0 } ^ { m } { \binom { m } { l } } c ^ { ( m - l ) } ( x ) \left( \Lambda _ { \alpha _ { n } h } ( \Psi _ { 0 } ) \right) ^ { ( l ) } ( x ) ) } \\ & { = \underbrace { \left( \sum _ { l = 0 } ^ { m } { \binom { m } { l } } \tilde { c } _ { m } ( s , x ) c ^ { ( m - l ) } ( x ) \frac { Q _ { l } ( ( \alpha _ { n } h ) ^ { - 1 / 2 } x ) } { ( \alpha _ { n } h ) ^ { l / 2 } } \right) } _ { C _ { m } ( s , x ) } \Lambda _ { \alpha _ { n } h } ( \Psi _ { 0 } ) ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { i \partial _ { t } \psi = - \frac { 1 } { 2 } ( [ \sin ^ { 2 } \alpha + s \cos ^ { 2 } \alpha ] \partial _ { x ^ { \prime } } ^ { 2 } + [ s \sin ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \alpha ] \partial _ { z ^ { \prime } } ^ { 2 } + } \\ & { } & { - 2 ( 1 - s ) \sin 2 \alpha \partial _ { x ^ { \prime } z ^ { \prime } } ^ { 2 } \psi ) - [ i - \delta ] \psi - | \psi | ^ { 2 } \psi - h _ { 0 } . } \end{array}