harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \beta _ { k } } & { = \beta _ { 0 } + N _ { k } } \\ { \mathbf { m } _ { k } } & { = { \frac { 1 } { \beta _ { k } } } ( \beta _ { 0 } \mathbf { \mu } _ { 0 } + N _ { k } { \bar { \mathbf { x } } } _ { k } ) } \\ { \mathbf { W } _ { k } ^ { - 1 } } & { = \mathbf { W } _ { 0 } ^ { - 1 } + N _ { k } \mathbf { S } _ { k } + { \frac { \beta _ { 0 } N _ { k } } { \beta _ { 0 } + N _ { k } } } ( { \bar { \mathbf { x } } } _ { k } - \mathbf { \mu } _ { 0 } ) ( { \bar { \mathbf { x } } } _ { k } - \mathbf { \mu } _ { 0 } ) ^ { \mathrm { { T } } } } \\ { \nu _ { k } } & { = \nu _ { 0 } + N _ { k } } \\ { N _ { k } } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } r _ { n k } } \\ { { \bar { \mathbf { x } } } _ { k } } & { = { \frac { 1 } { N _ { k } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } r _ { n k } \mathbf { x } _ { n } } \\ { \mathbf { S } _ { k } } & { = { \frac { 1 } { N _ { k } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } r _ { n k } ( \mathbf { x } _ { n } - { \bar { \mathbf { x } } } _ { k } ) ( \mathbf { x } _ { n } - { \bar { \mathbf { x } } } _ { k } ) ^ { \mathrm { { T } } } } \end{array} }
\frac { q _ { \bot } ^ { 2 } } { q _ { - } ^ { 2 } } \cdot \frac { i } { q ^ { 2 } + i { \epsilon } } = \frac { 2 q _ { + } } { q _ { - } } \cdot \frac { i } { q ^ { 2 } + i { \epsilon } } - \frac { i } { q _ { - } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { D = } & { - \left( \delta + \bar { \delta } _ { \mathrm { f } } \right) T - \left( \frac { 4 } { \pi } - \frac { 2 \pi - 4 } { \pi } \epsilon \right) \left( \delta + \bar { \delta } _ { \mathrm { p } } \right) \tau } \\ & { - \left( \delta \Delta _ { \mathrm { p } } + \frac { \Delta _ { 2 , \mathrm { p } } } { 2 } \right) \frac { 4 - \pi } { 2 \pi } \tau ^ { 2 } \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { z } = } & { - \frac { \partial ^ { 2 } p _ { l } } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ( \frac { z ^ { 3 } } { 6 } - \frac { \zeta z ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \xi ^ { 2 } z } { 2 } + \zeta \xi z + \frac { \xi ^ { 3 } } { 3 } - \frac { \zeta \xi ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) - \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } \bigg ( - \frac { z ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial \zeta } { \partial x } - \xi z \frac { \partial \xi } { \partial x } } \\ & { + \xi z \frac { \partial \zeta } { \partial x } + \zeta z \frac { \partial \xi } { \partial x } - \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial \zeta } { \partial x } + \xi ^ { 2 } \frac { \partial \xi } { \partial x } - \xi \zeta \frac { \partial \xi } { \partial x } \bigg ) - \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } \sigma } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ( \frac { z ^ { 2 } } { 2 } - \xi z + \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) } \\ & { + \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \sigma } { \partial x } \bigg ( z \frac { \partial \xi } { \partial x } - \xi \frac { \partial \xi } { \partial x } \bigg ) + \frac { \partial ^ { 2 } b _ { 2 } } { \partial x \partial t } \bigg ( - H z - \frac { H ^ { 2 } } { 2 } + H \xi \bigg ) } \\ & { + \frac { \partial ^ { 2 } b _ { 1 } } { \partial x \partial t } \bigg ( H ^ { 2 } z + \frac { 2 H ^ { 3 } } { 3 } - H ^ { 2 } \xi \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \mu } ^ { \mathrm { W B R M } } ( \omega ) } & { = \omega \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } t e ^ { i \omega t } \sum _ { \textbf { k } } \sum _ { j } a _ { j } ^ { * } ( t ) \textbf { d } _ { j c } ( \textbf { k } ) a _ { c } ( \textbf { k } , t ) + c . c . , } \\ & { = \omega \left| \tilde { w } _ { v } \right| ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } t e ^ { i \omega t } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { j } a _ { j } ^ { * } ( t ) \left[ \textbf { d } _ { \mu } ^ { \textbf { k } } \right] ^ { * } e ^ { i \textbf { k } \cdot \textbf { x } _ { j } } } \\ & { \ \ \ \times \sum _ { j ^ { \prime } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathrm { d } s \textbf { F } ( s ) \cdot \textbf { d } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } e ^ { - i \kappa ( \textbf { k } , t , s ) \cdot \textbf { x } _ { j ^ { \prime } } } e ^ { - i \int _ { s } ^ { t } E _ { c } \textbf { ( } \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) \textbf { ) } \mathrm { d } t ^ { \prime } } . } \end{array}
\partial _ { r } \Phi _ { i } ( r , \theta ) | _ { r = r _ { h } } = H _ { 1 } ( r = r _ { h } , \theta ) = \partial _ { r } H _ { j } ( r , \theta ) | _ { r = r _ { h } } = 0 \ , \ i = 1 , 2 , 3 , 4 \ , \ j = 2 , 3 , 4
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } } & { = \frac { V _ { T } } { V _ { f } } = \frac { [ N _ { d } ( \texttt { f i n a l } ) - N _ { d } ( \texttt { i n i t i a l } ) ] \times d ^ { 3 } } { N _ { d } ( \texttt { f i n a l } ) \times d ^ { 3 } } } \\ & { = \frac { [ N _ { d } ( \texttt { f i n a l } ) - N _ { d } ( \texttt { i n i t i a l } ) ] } { N _ { d } ( \texttt { f i n a l } ) } } \end{array}
H _ { \varepsilon } = \{ z = ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \in \Delta ^ { 2 } : | z _ { 1 } | < \varepsilon \ { \mathrm { ~ o r ~ } } \ 1 - \varepsilon < | z _ { 2 } | \} \ ( 0 < \varepsilon < 1 )
m _ { s } G _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) = m _ { s } G _ { 2 } ( 0 ) B _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) = m _ { s } \frac { \partial \bar { M } _ { K } ^ { 2 } } { \partial m _ { s } } B _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) = \lambda _ { K } M _ { K } ^ { 2 } B _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) .
- 4 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } - 4 \mathbb { E } ^ { 2 } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - 3 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } + \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ ( V _ { n } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } ] = } & { n ^ { - 2 q r } \widetilde \Sigma _ { r } ^ { - 2 } ( q ) \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } , l _ { 4 } \in \mathcal { L } } \sum _ { i , j = q r } ^ { n } \sum _ { i _ { t } < i } \sum _ { j _ { t } < j } \mathbb { E } \left[ H _ { q , l _ { 1 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } } , X ^ { \prime } ) H _ { q , l _ { 2 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } } , X ^ { \prime } ) \right. } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left. H _ { q , l _ { 3 } } ^ { ( r ) } ( X _ { j _ { 1 } } , \ldots , X _ { j _ { q r - 1 } } , X ^ { \prime \prime } ) H _ { q , l _ { 4 } } ^ { ( r ) } ( X _ { j _ { 1 } } , \ldots , X _ { j _ { q r - 1 } } , X ^ { \prime \prime } ) \right] . } \end{array}
\mathrm { M _ { \ m u \ n u } ^ { ( d ) } = \ v a r e p s i l o n _ { \ r h o } ^ { \ast } ( q _ { 2 } ) \left[ \frac { ( q _ { 2 } + p _ { 2 } - k ) _ { \ m u } } { 2 m _ { 2 } } g _ { \ r h o \ l a m b d a } F _ { 1 } - \frac { ( q _ { 2 } + p _ { 2 } - k ) _ { \ m u } } { 2 m _ { 2 } } \frac { k _ { \ r h o } k _ { \ l a m b d a } } { 2 m _ { 2 } ^ { 2 } } F _ { 2 } - \Sigma _ { \ r h o \ l a m b d a } ^ { \ m u \ a l p h a } \frac { k _ { \ a l p h a } } { 2 m _ { 2 } } F _ { 3 } \right] \times }
\begin{array} { r l r } { \frac { d L } { d t } = 2 v _ { p } } & { { } + } & { \left[ 1 + \frac { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } { 2 } \frac { \cosh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L ) - 1 } { \sinh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L ) } \ N \right] ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma T } & { { } = \ln \! 2 + \mu \Gamma T ( x _ { 0 } - c _ { 1 } ) + \frac { c _ { 2 } \mu ^ { 2 } ( \Gamma T ) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { c _ { 3 } \mu ^ { 3 } ( \Gamma T ) ^ { 3 } } { 6 } \; , } \\ { ( 2 - A - B ) c _ { 1 } } & { { } = ( A + B ) ( \lambda - c _ { 2 } \mu \Gamma T + \frac { 1 } { 2 } c _ { 3 } \mu ^ { 2 } ( \Gamma T ) ^ { 2 } ) \; , } \\ { ( 4 - 2 A ^ { 2 } - 2 B ^ { 2 } ) c _ { 2 } } & { { } = ( A ^ { 2 } + B ^ { 2 } ) ( - 2 c _ { 3 } \mu \Gamma T ) + ( A - B ) ^ { 2 } ( \lambda + c _ { 1 } - c _ { 2 } \mu \Gamma T ) ^ { 2 } \; , } \\ { ( 4 - 2 A ^ { 3 } - 2 B ^ { 3 } ) c _ { 3 } } & { { } = 3 c _ { 2 } ( A - B ) ( A ^ { 2 } - B ^ { 2 } ) ( \lambda + c _ { 1 } - c _ { 2 } \mu \Gamma T ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Sigma } _ { i = 1 } ^ { Q } \frac { \partial } { \partial \hat { q } _ { i } } \Omega _ { i } ( \hat { q } ) = { \Sigma } _ { i = 1 } ^ { Q } \frac { \partial } { \partial f _ { i } } \Omega _ { i } ( \vec { f } ) = } & { - \frac { 1 } { \tau } ( Q - D ) } \\ { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 2 } { \tau } \hat { I } } & { D 1 Q 3 } \\ { - \frac { 7 } { \tau } \hat { I } } & { D 2 Q 9 } \\ { - \frac { 2 4 } { \tau } \hat { I } } & { D 3 Q 2 7 } \end{array} \right. } \end{array}
\hat { \cal H } \prod _ { j = 1 } ^ { r } \, ( B _ { f _ { j } } ^ { + } ) ^ { n _ { j } } \, e ^ { W } = \left( { \cal E } _ { 0 } + \omega \sum _ { k = 1 } ^ { r } n _ { k } f _ { k } \right) \prod _ { j = 1 } ^ { r } \, ( B _ { f _ { j } } ^ { + } ) ^ { n _ { j } } \, e ^ { W } .
Q _ { 2 } = \underbrace { \varphi _ { n } q _ { 3 } c _ { 2 } } _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ c ~ a ~ y ~ } } - \underbrace { \varphi _ { n } \varphi _ { f } q _ { 4 } c _ { 1 } c _ { 2 } } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ d ~ u ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } ,
\begin{array} { c } { { L = g _ { \alpha \beta } ( d X ^ { \alpha } \cdot d X ^ { \beta } ) + 2 g _ { \alpha a } ( d X ^ { \alpha } \cdot d X ^ { a } ) + g _ { a b } ( d \Phi ^ { a } \cdot d \Phi ^ { b } ) + } } \\ { { + b _ { \alpha \beta } d X ^ { \alpha } \wedge d X ^ { \beta } + 2 b _ { \alpha a } d X ^ { \alpha } \wedge d \Phi ^ { a } + b _ { a b } d \Phi ^ { a } \wedge d \Phi ^ { b } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \underbrace { \left[ \frac { C _ { p } H } { k \epsilon T _ { \mathrm { b o t } } } \right] \langle \rho u _ { z } T \rangle _ { A , t } } _ { = J _ { c } ( z ) } \underbrace { - \left[ \frac { H } { k \epsilon T _ { \mathrm { b o t } } } \right] \int _ { 0 } ^ { z } \Big \langle u _ { j } \frac { \partial p } { \partial x _ { j } } \Big \rangle _ { A , t } d z ^ { \prime } } _ { = J _ { p } ( z ) } \underbrace { - \left[ \frac { H } { \epsilon T _ { \mathrm { b o t } } } \right] \Big \langle \frac { d T _ { \mathrm { s a } } } { d z } \Big \rangle _ { A , t } } _ { = J _ { d } ( z ) } \underbrace { - \left[ \frac { H } { k \epsilon T _ { \mathrm { b o t } } } \right] \int _ { 0 } ^ { z } \langle \sigma _ { i j } S _ { i j } \rangle _ { A , t } d z ^ { \prime } } _ { = J _ { \langle \epsilon \rangle } ( z ) } = \mathrm { c o n s t . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { M } _ { n } \mathbf { W } } & { { } = \left[ \beta _ { j } ^ { n } \mathbf { W } _ { j } \right] _ { j } ; \quad \beta _ { j } ^ { n } : = \sum _ { c _ { k } \in \mathcal { C } ( n _ { j } ) } \alpha _ { c _ { k } } ^ { n } ; \quad \alpha _ { c _ { k } } ^ { n } : = \frac { | c _ { k } | } { 8 } ; } \\ { \mathbb { M } _ { e } ^ { ( 3 ) } \mathbf { Y } } & { { } = { \Big [ } \hat { \beta } _ { l } ^ { e } \mathbf { Y } _ { l } { \Big ] } _ { l } ; \quad \hat { \beta } _ { l } ^ { e } : = \sum _ { c _ { k } \in \mathcal { C } ( e _ { l } ) } \hat { \alpha } _ { c _ { k } } ^ { e } ; \quad \hat { \alpha } _ { c _ { k } } ^ { e } : = \frac { | c _ { k } | } { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | \check { \chi } _ { k } ( y ) | \, ( 1 + 2 ^ { k } | y | ) ^ { a } \, \mathrm { d } y } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } 2 ^ { - k n } | \check { \chi } _ { k } ( 2 ^ { - k } z ) | \, ( 1 + | z | ) ^ { a } \, \mathrm { d } z } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | \mathscr { F } _ { \xi \to z } \chi _ { k } ( 2 ^ { k } \cdot ) | \, ( 1 + | z | ) ^ { a + b } \, ( 1 + | z | ) ^ { - b } \, \mathrm { d } z } \\ & { \lesssim \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | \mathscr { F } _ { \xi \to z } \big \{ ( 1 - \Delta ) ^ { [ a + b ] / 2 } \chi _ { k } ( 2 ^ { k } \cdot ) \big \} | \, ( 1 + | z | ) ^ { - b + \{ a + b \} } \, \mathrm { d } z } \\ & { \leq \| ( 1 - \Delta ) ^ { [ a + b ] / 2 } \chi _ { k } ( 2 ^ { k } \cdot ) \| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } ( 1 + | z | ) ^ { - b + \{ a + b \} } \, \mathrm { d } z } \\ & { \lesssim 1 } \end{array}
\frac { { \epsilon } ^ { 1 / 2 } } { V _ { 0 } } \frac { 1 } { \bar { r } } \frac { \partial } { { \partial } \bar { r } } \left( \bar { r } { u } _ { r } \right) + \frac { { \partial } \bar { u } _ { z } } { { \partial } \bar { z } } = 0
\begin{array} { r l } { P \Bigg ( } & { E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] } \\ & { \leq \left\vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right\vert \sqrt { \frac { 2 \log ( \frac { S A H K } { \delta } ) } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s , a ) \} } } , } \\ & { V _ { h + 1 } ^ { * } : \mathcal { S } \to [ 0 , H - h ] , \lambda _ { h + 1 } ^ { * } \in [ 0 , H - h ] , \forall ( s , a , h , k ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } \times [ H ] \times [ K ] \Bigg ) \geq 1 - \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { h h } } ( \mathbf k ) = } & { A k ^ { 2 } + [ B ^ { 2 } k ^ { 4 } + C ^ { 2 } ( k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 2 } , } \\ { \epsilon _ { \mathrm { l h } } ( \mathbf k ) = } & { A k ^ { 2 } - [ B ^ { 2 } k ^ { 4 } + C ^ { 2 } ( k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\frac 1 m \left( \sigma { \frac { \beta } { \beta _ { H } } } - a _ { s u r f } \left( \beta \beta _ { H } ^ { - 1 } \right) \right) - { \frac { \beta } { m } } \left( { \frac { \partial W _ { Q } } { \partial \beta } } \right) _ { m } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r } { \cos \varphi = - \frac { m _ { 3 } } { m _ { 2 } } \frac { 1 - \cos \theta } { \sin \theta } , \quad \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } \quad \sin \varphi = \pm \sqrt { 1 - ( m _ { 3 } / m _ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L [ n ] = } & { T _ { \mathrm { s } } [ n ] + W _ { \mathrm { H } } [ n ] + W _ { \mathrm { e i } } [ n ] + V _ { \mathrm { x c } } [ n ] } \\ & { + \int \mathrm { d } \vec { r } ~ 2 A \cos ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) n ( \vec { r } ) - \mu _ { c } \left( \int \mathrm { d } \vec { r } ~ n ( \vec { r } ) - N \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } } & { = } & { c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } ^ { * } - c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } } \\ { c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } } & { = } & { c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } ^ { * } + c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } } \\ { c _ { \mathrm { N } ^ { + } } } & { = } & { c _ { \mathrm { N } ^ { + } } ^ { * } - c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { ( 1 ) } } & { { } = A ^ { n } } \\ { \boldsymbol { \hat { A } } } & { { } = A ^ { n } \boldsymbol { \hat { e } } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { a } } \, \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \hat { \tilde { \mathcal { A } } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } \\ { A u ^ { ( 1 ) } } & { { } = ( A u ) ^ { n } } \\ { \boldsymbol { \hat { A u } } } & { { } = ( A u ) ^ { n } \boldsymbol { \hat { e } } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { a } } \, \partial _ { x } ( A u ^ { 2 } ) ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \hat { \tilde { \mathcal { A } } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } ^ { 2 } } ) } \\ { p ^ { ( 1 ) } } & { { } = p ^ { n } } \\ { \boldsymbol { \hat { p } } } & { { } = p ^ { n } \boldsymbol { \hat { e } } - \Delta t \, \boldsymbol { a } \, E _ { 0 } G ( A ^ { ( 1 ) } ) \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \hat { \mathcal { A } } \, E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } \end{array}
\langle f \rangle ( \varepsilon ) \simeq \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { \bar { \eta } D ( \varepsilon ( p ) ) } \int _ { \eta _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \eta _ { \mathrm { m a x } } } \mathrm { d } \eta \, \eta e ^ { - \beta \eta \varepsilon + \ln \bar { \eta } F ( \eta ) } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \varepsilon < f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta _ { \mathrm { m i n } } ) , } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \varepsilon > f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta _ { \mathrm { m i n } } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { ( X _ { g } ^ { * } ) ^ { N } \equiv \prod _ { u = 1 } ^ { N } X _ { u } ^ { * } = \left( \tau _ { z } ^ { N } \tau _ { x } ^ { N } \prod _ { u = 1 } ^ { N } p _ { u } q _ { u } \right) ^ { - 1 / 2 } , } \\ & { ( Z _ { g } ^ { * } ) ^ { N } \equiv \prod _ { u = 1 } ^ { N } Z _ { u } ^ { * } = \left( \tau _ { x } ^ { N } \prod _ { u = 1 } ^ { N } q _ { u } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r } { \Delta ^ { 2 } \psi _ { 2 , k } ^ { ( 1 ) } - \left( 2 i \textrm { W o } ^ { 2 } + \alpha _ { k } \right) \Delta \psi _ { 2 , k } ^ { ( 1 ) } = \textrm { W o } ^ { 2 } \sum _ { j = \infty } ^ { \infty } \nabla ^ { \perp } \psi _ { 1 , j } ^ { ( 0 ) } \cdot \nabla \Delta \psi _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } { \Delta ^ { 2 } \psi _ { 1 , k } ^ { ( 2 ) } } & { - \left( i \textrm { W o } ^ { 2 } + \alpha _ { k } \right) \Delta \psi _ { 1 , k } ^ { ( 2 ) } = \textrm { W o } ^ { 2 } \sum _ { j = \infty } ^ { \infty } \left( \nabla ^ { \perp } \psi _ { 2 , j } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla \Delta \overline { { \psi _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } } } \right. } \\ & { \left. + \nabla ^ { \perp } \psi _ { 0 , j } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla \Delta \psi _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } + \nabla ^ { \perp } \overline { { \psi _ { 1 , j } ^ { ( 0 ) } } } \cdot \nabla \Delta \psi _ { 2 , k - j } ^ { ( 1 ) } + \nabla ^ { \perp } \psi _ { 1 , j } ^ { ( 0 ) } \cdot \nabla \Delta \psi _ { 0 , k - j } ^ { ( 1 ) } \right) } \end{array} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { r } _ { 1 } = - r _ { 1 } } \\ { \tilde { r } _ { 2 } = - r _ { 2 } } \\ { \tilde { t } _ { 1 } = 1 - r _ { 1 } = ( 1 - r _ { 1 } ) \frac { 1 + r _ { 1 } } { 1 + r _ { 1 } } = \frac { 1 - r _ { 1 } ^ { 2 } } { t _ { 1 } } } \\ { \tilde { t } _ { 2 } = \frac { n _ { 1 } } { n _ { 0 } } ( 1 - r _ { 2 } ) = \frac { 1 - r _ { 1 } ^ { 2 } } { t _ { 1 } } } \end{array} \right. \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { r } _ { j } = - r _ { j } } \\ { \tilde { t } _ { j } = \frac { 1 - r _ { j } ^ { 2 } } { t _ { j } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { L D O S } _ { z } } { \mathrm { L D O S } _ { 0 } } = - 3 \mathrm { R e } \left\{ \int \frac { k _ { \parallel } d k _ { \parallel } } { k _ { 0 } ^ { 2 } } \epsilon _ { 0 } c \, \overline { G } _ { z z } ( k _ { \parallel } , z _ { 0 } , z _ { 0 } , \omega , \omega ) \right\} . } \end{array}
- { \frac { \mathrm { i } \Gamma _ { a } } { 2 \pi } } = - { \frac { A Z ^ { \prime } ( 1 / a ) } { 2 a ^ { 2 } } } \sim - { \frac { \mathrm { i } A } { 2 a } } , \qquad - { \frac { \mathrm { i } \Gamma _ { b } } { 2 \pi } } = - { \frac { B Z ^ { \prime } ( 1 / b ) } { 2 b ^ { 2 } } } \sim - { \frac { \mathrm { i } B } { 2 b } } ,
{ \frac { 1 } { { g _ { g r a v } } ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) } } = { \frac { 1 } { { g _ { g r a v } } ^ { 2 } ( { M _ { I } } ^ { 2 } ) } } + { \frac { { \tilde { b } } _ { g r a v } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \log { \frac { M _ { I } ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } - \frac { { \tilde { a } } _ { g r a v } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \log \left( ( T + { \bar { T } } ) ( U + { \bar { U } } ) \right) .
\operatorname* { l i m } _ { c _ { 1 } \to \infty } { \phi _ { \mathbf { c } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { c } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \phi _ { \mathbf { c } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { c } _ { 2 } ^ { \prime \prime } ) } / { \phi _ { \mathbf { c } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { c } _ { 1 } ) \phi _ { \mathbf { c } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { c } _ { 2 } ) } = 0
\alpha _ { u _ { i } v } ^ { \mathcal { X } \times \mathcal { H } } = \frac { \alpha _ { u _ { i } v } ^ { \mathcal { X } } \alpha _ { u _ { i } v } ^ { \mathcal { H } } } { \sum \alpha _ { u v } ^ { \mathcal { X } } \alpha _ { u v } ^ { \mathcal { H } } } .
\hat { \lambda } ( z ) \sigma ^ { \mu } - \tilde { \hat { w } } ( z ) \sigma ^ { \mu } + \sigma ^ { \mu } \hat { w } ( z ) = \hat { \lambda } ( z ) \sigma ^ { \mu } - \sigma ^ { \nu } \hat { w } _ { \nu } ^ { ~ \mu } ( z ) = \sigma ^ { \nu } \partial _ { \nu } h ^ { \mu } ( z ) \, ,
\mathcal { A } _ { S V } = \tilde { \mathcal { A } } _ { S 0 } \left( 1 + \tilde { \sigma } _ { Q } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta + R _ { S V } \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } \right) ,
\begin{array} { r l } { \rho ^ { 1 + \gamma } < } & { \frac 1 { \epsilon _ { k } } \operatorname* { s u p } _ { B _ { \rho } } | u _ { k } ( x ) - H _ { k } ( x ) | } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } \left( \alpha _ { k } \left\| v _ { k } ^ { + } - \frac { H _ { k } - H _ { \alpha _ { k } , \textbf { e } _ { n } } } { \epsilon _ { k } \alpha _ { k } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { u _ { k } } ^ { + } \cap B _ { \rho } ) } , \beta _ { k } \left\| v _ { k } ^ { -- } \frac { H _ { k } - H _ { \alpha _ { k } , \textbf { e } _ { n } } } { \epsilon _ { k } \beta _ { k } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { u _ { k } } ^ { - } \cap B _ { \rho } ) } \right) . } \end{array}
H _ { \mathrm { o p } } = \int _ { 0 } ^ { L } d x \left[ \frac { 1 } { 2 } \pi _ { \mathrm { o p } } ^ { 2 } ( x ) + \frac { v ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \partial \phi _ { \mathrm { o p } } ( x ) } { \partial x } \right) ^ { 2 } \right]
a _ { 1 } b _ { 2 } \sin \frac { \left( 1 - 3 \alpha - \gamma + 2 \mu \right) \pi } { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } \sin \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 2 } \geqslant 0 ,
E _ { 1 } : \quad I _ { g r a v } ^ { ( s ) } + ( \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } ) ^ { 4 } ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } x _ { 3 4 } ^ { 2 } ) ^ { - 4 } [ 6 4 u ^ { - 4 } G _ { 4 5 } ( \frac { 1 } { u } , \frac { v } { u } ) - 3 2 u ^ { - 4 } G _ { 4 4 } ( \frac { 1 } { u } , \frac { v } { u } ) ]
\Gamma ( \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ) = \frac { n _ { g } A \overline { { v } } } { \sqrt { 2 \pi } } \Big [ ( 1 - \alpha ) \eta _ { s } \Big ( \frac { \Delta p _ { \mathrm { m i n } } } { m _ { g } \overline { { v } } } \Big ) + \alpha \, \eta _ { d } \Big ( \frac { \Delta p _ { \mathrm { m i n } } } { m _ { g } \overline { { v } } } \Big ) \Big ] ,
\Lambda _ { \theta , \varphi } \equiv \operatorname* { l i m } _ { k r \rightarrow \infty } \frac { | \mathbf { E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma + } ( r , \theta , \varphi ) | ^ { 2 } - | \mathbf { E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma - } ( r , \theta , \varphi ) | ^ { 2 } } { | \mathbf { E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma + } ( r , \theta , \varphi ) | ^ { 2 } + | \mathbf { E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma - } ( r , \theta , \varphi ) | ^ { 2 } } ,
\mathbf { \Sigma } _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l l } { \mathbf { \Sigma } _ { 1 1 } } & { \mathbf { 0 } _ { 1 2 } } & { \dots } & { \mathbf { 0 } _ { 1 k } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 1 2 } ^ { \mathrm { T } } } & { \mathbf { \Sigma } _ { 2 2 } } & { \dots } & { \mathbf { 0 } _ { 2 k } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { 0 } _ { 1 k } ^ { \mathrm { T } } } & { \mathbf { 0 } _ { 2 k } ^ { \mathrm { T } } } & { \dots } & { \mathbf { \Sigma } _ { k k } } \end{array} \right)