harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf { a } } \operatorname* { d e t } ( A ) } & { = \mathbf { b } \times \mathbf { c } } \\ { \nabla _ { \mathbf { b } } \operatorname* { d e t } ( A ) } & { = \mathbf { c } \times \mathbf { a } } \\ { \nabla _ { \mathbf { c } } \operatorname* { d e t } ( A ) } & { = \mathbf { a } \times \mathbf { b } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c c c c c } { \boldsymbol { R } _ { L } } & { - \boldsymbol { W } _ { 1 } ^ { \top } \Lambda _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & & \\ { - \Lambda _ { 1 } \boldsymbol { W } _ { 1 } } & { 2 \Lambda _ { 1 } } & { - \boldsymbol { W } _ { 2 } ^ { \top } \Lambda _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { \phantom { \ddots } } \\ { 0 } & { - \Lambda _ { 2 } \boldsymbol { W } _ { 2 } } & { 2 \Lambda _ { 2 } } & { \ddots } & { \phantom { \ddots } } & { \vdots } \\ { \vdots } & { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { - \boldsymbol { W } _ { l _ { 2 } - 1 } ^ { \top } \Lambda _ { l _ { 2 } - 1 } } & { 0 } \\ & { \vdots } & { \phantom { \ddots } } & { - \Lambda _ { l _ { 2 } - 1 } \boldsymbol { W } _ { l _ { 2 } - 1 } } & { 2 \Lambda _ { l _ { 2 } - 1 } } & { - \boldsymbol { W } _ { l _ { 2 } } ^ { \top } } \\ & { \phantom { \ddots } } & { \cdots } & { 0 } & { - \boldsymbol { W } _ { l _ { 2 } } } & { L ^ { 2 } \boldsymbol { I } } \end{array} \right) \succeq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H } & { { } = } & { - t \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } ( c _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } c _ { 2 \sigma } + c _ { 2 \sigma } ^ { \dagger } c _ { 1 \sigma } ) + \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } ( \epsilon _ { 1 } n _ { 1 \sigma } + \epsilon _ { 2 } n _ { 2 \sigma } ) } \end{array}
\begin{array} { l l } { \left| \psi _ { 0 } \right\rangle _ { \mu _ { 1 } } = \left| \sqrt { \mu _ { 1 } } \right\rangle \left| 0 \right\rangle ; \; } & { \left| \psi _ { 0 } \right\rangle _ { \mu _ { 2 } } = \left| \sqrt { \mu _ { 2 } } \right\rangle \left| 0 \right\rangle } \\ { \left| \psi _ { 1 } \right\rangle _ { \mu _ { 1 } } = \left| 0 \right\rangle \left| \sqrt { \mu _ { 1 } } \right\rangle ; \; } & { \left| \psi _ { 0 } \right\rangle _ { \mu _ { 2 } } = \left| 0 \right\rangle \left| \sqrt { \mu _ { 2 } } \right\rangle } \\ { \left| \psi _ { + } \right\rangle _ { \mu _ { 1 } } = 1 / \sqrt { 2 } \left( \left| \sqrt { \mu _ { 1 } } \right\rangle \left| 0 \right\rangle + \left| 0 \right\rangle \left| \sqrt { \mu _ { 1 } } \right\rangle \right) ; \; } & { \left| \psi _ { + } \right\rangle _ { \mu _ { 2 } } = 1 / \sqrt { 2 } \left( \left| \sqrt { \mu _ { 2 } } \right\rangle \left| 0 \right\rangle + \left| 0 \right\rangle \left| \sqrt { \mu _ { 2 } } \right\rangle \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal L } ( \hat { \Theta } ; \lambda ) - { \cal L } ( \Theta ; \lambda ) } & { \geq \sum _ { i \leq k } \lambda _ { i } ^ { 2 } \left( f _ { i } ^ { \top } f _ { i } - f _ { i } ^ { \top } \Pi _ { \hat { \cal F } } f _ { i } \right) - \sum _ { k < i \leq k _ { \lambda } } \lambda _ { i } ^ { 2 } f _ { i } ^ { \top } \Pi _ { \hat { \cal F } } f _ { i } } \\ & { = \sum _ { i \leq k } \lambda _ { i } ^ { 2 } \left\langle f _ { i } , ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) f _ { i } \right\rangle - \sum _ { k < i \leq k _ { \lambda } } \lambda _ { i } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { \hat { \cal F } } f _ { i } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i \leq k } \lambda _ { i } ^ { 2 } \left\| ( \Pi _ { \cal F } - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) f _ { i } \right\| ^ { 2 } - \sum _ { k < i \leq k _ { \lambda } } \lambda _ { i } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { \hat { \cal F } } f _ { i } \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Gamma } _ { ^ { 2 S _ { i } + 1 } L _ { i } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { { M } _ { { L } _ { i } } ; { M } _ { { L } _ { f } } } ( n _ { j } l _ { j } , n _ { h } l _ { h } ) = } & { \frac { 4 l _ { > } } { 3 ( 2 l _ { h } + 1 ) } \alpha ^ { 3 } ( { E } _ { L _ { i } S _ { i } } - { E } _ { L _ { f } S _ { f } } ) { ( { \varepsilon } _ { n _ { h } l _ { h } } - { \varepsilon } _ { n _ { j } l _ { j } } ) ^ { 2 } } \left\vert \int _ { 0 } ^ { \infty } d r { u } _ { n _ { h } { l } _ { h } } ^ { \ast } ( r ) r { u } _ { { n _ { j } } { l _ { j } } } ( r ) \right\vert ^ { 2 } } \\ & { \times \left\vert \sum _ { h , j } C ( 1 , { l } _ { j } , l _ { h } ; { M } _ { { L } _ { f } } - { M } _ { { L } _ { i } } , { m } _ { { l } _ { j } } , { m } _ { l _ { h } } ) \ensuremath { \left\langle { L } _ { f } { S } _ { f } { M } _ { { L } _ { f } } { { S } _ { f } } \left\lvert { \hat { c } } _ { h } ^ { \dagger } { \hat { c } } _ { j } \right\rvert { L } _ { i } { S } _ { i } { M } _ { { L } _ { i } } { S } _ { i } \right\rangle } \right\vert ^ { 2 } . } \end{array}
= \frac { p _ { f _ { n } } - \delta ( \omega _ { n } ) \left( v _ { n - 1 } e ^ { - \textrm { i } \phi _ { m } } + v _ { n + 1 } e ^ { \textrm { i } \phi _ { m } } + . . . \right) } { Z ( \omega _ { n } ) }
\left\{ \begin{array} { r l } { \mathrm { d } \chi ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 1 - k r ^ { 2 } } \mathrm { d } r ^ { 2 } } \\ { \hfill } \\ { r ^ { 2 } } & { \left( \mathrm { d } \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } ( \theta ) \mathrm { d } \phi ^ { 2 } \right) = S _ { k } ^ { 2 } ( \chi ) \left( \mathrm { d } \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } ( \theta ) \mathrm { d } \phi ^ { 2 } \right) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \delta ( g ) ( x ) } & { = } & { \sum _ { i } \delta \Big ( ( x ^ { i } - p ^ { i } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial g } { \partial x ^ { i } } ( x t + ( 1 - t ) p ) d t \Big ) } \\ & { = } & { \sum _ { i } h ^ { i } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial g } { \partial x ^ { i } } ( \gamma ( t ) ) d t + \sum _ { i } ( x ^ { i } - p ^ { i } ) \delta \Big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial g } { \partial x ^ { i } } ( \gamma ( t ) ) d t \Big ) . } \end{array}
L _ { V } ^ { \mathcal { H } _ { x } } ( { \mathbb R } ^ { N } ) = \left\lbrace u : { \mathbb R } ^ { N } \rightarrow { \mathbb R } \ \mathrm { i s ~ m e a s u r a b l e } \left| \ \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } V ( x ) \mathcal { H } _ { x } \left( x , \tau | u | \right) d x < \infty , \ \mathrm { f o r ~ s o m e } \ \tau > 0 \right\rbrace \right. \cdot
\frac { d W } { d z } = \frac { d W ^ { ( 0 ) } } { d z } - \frac { 4 q ^ { 2 } } { \pi r _ { c } ^ { 2 } } \mathrm { I m } \left\{ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \delta _ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, \frac { u \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 0 } W _ { n } ^ { I } } \left[ W _ { n } ^ { K } + \frac { K _ { n } ( u \gamma _ { 1 } ) } { 2 \gamma _ { 0 } u \alpha _ { n } ( u ) } \sum _ { p = \pm 1 } \frac { K _ { n + p } ( u \gamma _ { 1 } ) } { W _ { n + p } ^ { I } } \right] I _ { n } ^ { 2 } ( u \gamma _ { 0 } r _ { 0 } / r _ { c } ) \right\} ,
{ \Delta \theta } = \left[ \begin{array} { r } { 2 . 2 } \\ { 6 . 2 } \\ { - 4 . 2 } \\ { - 7 . 3 } \\ { - 1 0 . 2 } \\ { 8 . 9 } \end{array} \right] \mathrm { ~ K ~ } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \Delta \zeta } = \left[ \begin{array} { r } { 0 } \\ { 0 . 2 8 } \\ { 0 . 3 2 } \\ { 0 . 0 1 } \\ { - 0 . 5 2 } \\ { - 0 . 5 3 } \end{array} \right] \mathrm { ~ k ~ m ~ } .
\begin{array} { r l } { y _ { 2 } - ( - a ) } & { = L _ { - } ( E _ { - } ) = L ( - q _ { 0 } ( E _ { - } ) , - q _ { \infty } ^ { - } ( E _ { - } ) ; E _ { - } , - 1 ) , } \\ { y _ { 2 } - y _ { 1 } } & { = L _ { + } ( E _ { - } ) = L ( - q _ { \infty } ^ { - } ( E _ { - } ) , q _ { \infty } ^ { - } ( E _ { - } ) ; 2 - E _ { - } , + 1 ) , } \\ { 0 - y _ { 1 } } & { = L ( q _ { \infty } ^ { - } ( E _ { - } ) , q _ { 0 } ( E _ { - } ) ; E _ { - } , - 1 ) = L _ { - } ( E _ { - } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exists K _ { 1 } , K _ { 2 } \mathrm { ~ s . t . ~ } \forall i \neq j \mathrm { ~ e i t h e r ~ } \left\{ \begin{array} { l l } & { [ \prod _ { k = n _ { 0 } } ^ { n } | \frac { \lambda _ { j } ( k ) } { \lambda _ { i } ( k ) } | \to 0 \mathrm { ~ a s ~ } n \to \infty \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { \qquad \prod _ { k = n _ { n _ { 1 } } } ^ { n _ { 2 } } | \frac { \lambda _ { j } ( k ) } { \lambda _ { i } ( k ) } | \leq K _ { 1 } , \forall n _ { 0 } \leq n _ { 1 } \leq n _ { 2 } ] } \\ & { \mathrm { o r ~ } \prod _ { k = n _ { n _ { 1 } } } ^ { n _ { 2 } } | \frac { \lambda _ { j } ( k ) } { \lambda _ { i } ( k ) } | \geq K _ { 2 } , \forall n _ { 0 } \leq n _ { 1 } \leq n _ { 2 } , } \end{array} \right. } \\ & { \mathrm { a n d ~ } \operatorname* { s u p } _ { 1 \leq i \leq p } \sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { | | R ( n ) | | } { | \lambda _ { i } ( n ) | } < \infty . } \end{array}
R _ { V W } ^ { + } ( z ) = 1 + \sum _ { k \geq 0 } ( u p ) ^ { k } v _ { + } + \frac { 1 } { ( 2 ) _ { p } } \sum _ { k \geq 0 } ( k + 1 ) _ { p } ( u p ) ^ { k } v _ { + } ^ { 2 } +
\begin{array} { r } { \rho ( x ^ { \mu } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } g _ { \mu \nu } } } \sum _ { i } \delta ( x ^ { \mu } - x _ { i } ^ { \mu } ) , } \\ { \sigma ( x ^ { \mu } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } g _ { \mu \nu } } } \sum _ { i } \sigma _ { i } \delta ( x ^ { \mu } - x _ { i } ^ { \mu } ) . } \end{array}
E _ { C } ^ { ( 2 ) \; r e n } ( R ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \ln \left( 1 - e ^ { - 2 R \sqrt { \omega ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) = - \frac { \omega _ { 0 } } { 2 \pi } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { - 1 } K _ { 1 } ( 2 n \omega _ { 0 } R ) ,
S _ { i n t } = - \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } y \ F \left[ x + y / 2 , x - y / 2 ; \Lambda ^ { - 2 } \right] \bar { q } ( x + y / 2 ) \ [ M _ { q } + g _ { \pi \bar { q } q } i \gamma _ { 5 } \tau ^ { a } \pi ^ { a } ( x ) ] \ q ( x - y / 2 ) ,
F _ { k l } ^ { ( 1 ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { p i x } } } \frac { \partial _ { k } p ( i _ { + } ) \partial _ { l } p ( i _ { + } ) } { p ( i _ { + } ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { p i x } } } \frac { \partial _ { k } p ( i _ { - } ) \partial _ { l } p ( i _ { - } ) } { p ( i _ { - } ) } .
V _ { i } \cdot V _ { j } = { \vec { U } } _ { i } \cdot { \vec { U } } _ { j } - \sum _ { r } V _ { i } ^ { r } V _ { j } ^ { r } + \sum _ { \ell : { \mathrm { r i g h t } } } T _ { i } ^ { \ell } T _ { j } ^ { \ell } - \sum _ { \ell : { \mathrm { l e f t } } } T _ { i } ^ { \ell } T _ { j } ^ { \ell } ~ .
\begin{array} { r l r } { \vec { E } \left( \vec { r } , t \right) } & { { } \approx } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { j _ { e } ^ { 2 } \, r } { 2 \epsilon _ { 0 } \, c ^ { 2 } \, q _ { e } n _ { e } } \, \vec { e } _ { r } } & { r \le R _ { L } } \\ { 0 } & { r > R _ { L } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 1 - e ^ { i \xi \cdot s _ { k } } } & { { } \approx } & { i \xi _ { \alpha } s _ { k } ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \, \xi _ { \alpha } \xi _ { \beta } s _ { k } ^ { \alpha } s _ { k } ^ { \beta } \pm . . . } \end{array}
\omega ^ { 1 2 } = - i \{ \frac { 1 } { 2 } d \ln ( \frac { d \overline { { { g } } } _ { 1 } } { d \overline { { { z } } } _ { 1 } } \frac { d z _ { 1 } } { d g _ { 1 } } ) + \frac { ( g _ { 1 } d \overline { { { g } } } _ { 1 } - \overline { { { g } } } _ { 1 } d g _ { 1 } ) } { ( 1 - g _ { 1 } \overline { { { g } } } _ { 1 } ) } \} ,
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \hat { \omega } _ { i \rightarrow \alpha } } & { = } & { x _ { i } \left[ 1 - \prod _ { \beta \in N ( i ) \setminus \alpha } ( 1 - \hat { v } _ { \beta \rightarrow i } ) \right] , } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \hat { v } _ { \alpha \rightarrow i } } & { = } & { y _ { \alpha } \! \left( \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } x _ { i } \right) \! \! \left[ 1 - \! \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } \! \! ( 1 - \hat { \omega } _ { j \rightarrow \alpha } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \hat { p } } [ l ( \theta ) ] + \mu \mathcal { E } ( \hat { p } ) + \mathrm { K L } ( \hat { p } \| \Tilde { p } ) + ( \mu + 1 ) \mathrm { K L } ( p \| \hat { p } ) = \mathbb { E } _ { p } [ l ( \theta ) ] + \mu \mathcal { E } ( p ) + \mathrm { K L } ( p \| \Tilde { p } ) , \, \, \, \, \forall p \in \mathcal { P } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta U } & { = \underbrace { \langle \mathcal { H } _ { u v } \rangle _ { \lambda = 1 } } _ { \Delta U _ { u v } } } \\ & { + \underbrace { \beta \! \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \! d \lambda \left[ \langle \mathcal { H } _ { v v } \rangle \! \left\langle \frac { \partial \mathcal { H } _ { u v } } { \partial \lambda } \right\rangle _ { \! \! \lambda } \! \! - \! \left\langle \mathcal { H } _ { v v } \frac { \partial \mathcal { H } _ { u v } } { \partial \lambda } \right\rangle _ { \! \! \lambda } \right] } _ { \Delta U _ { v v } } } \\ & { = \Delta U _ { u v } + \Delta U _ { v v } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r } & { = \left[ ( 1 + \chi ) \sqrt { 1 + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( m \phi ^ { \prime } ) } r ^ { \prime } \right] ^ { \frac { 1 } { 1 + \chi } } } \\ { \phi } & { = \frac { 1 } { 1 + \chi } \int _ { 0 } ^ { \phi ^ { \prime } } d \phi ^ { \prime } \frac { \sqrt { 1 + a ^ { 2 } [ 1 + ( m ^ { 2 } - 1 ) \sin ^ { 2 } \phi ] } } { 1 + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( m \phi ^ { \prime } ) } , } \end{array}
\Sigma _ { \delta , \sigma } I _ { \mu , \sigma } ( w _ { b } y k w _ { b } ^ { - 1 } ) = \Sigma _ { \delta , \sigma } \sigma ( w _ { b } ) I _ { \mu ^ { w _ { b } } , \sigma } ( y k ) \sigma ( w _ { b } ^ { - 1 } ) = \sigma ( w _ { b } ) \Sigma _ { \delta ^ { w _ { b } } , \sigma } I _ { \mu ^ { w _ { b } } , \sigma } ( y k ) \sigma ( w _ { b } ^ { - 1 } ) .
n _ { \pm } ^ { 2 } = \frac { n _ { \mathrm { s u p } } ^ { 2 } } { 2 } \, b i g g l ( 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { n _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { s u p } } ^ { 2 } } } \biggr ) ,
P ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ) = \delta _ { \alpha \beta } - 4 \sum _ { i < j } ^ { n } \mathrm { R e } \left[ U _ { \alpha i } U _ { \beta i } ^ { * } U _ { \alpha j } ^ { * } U _ { \beta j } \sin ^ { 2 } X _ { i j } \right] + 2 \sum _ { i < j } ^ { n } \mathrm { I m } \left[ U _ { \alpha i } U _ { \beta i } ^ { * } U _ { \alpha j } ^ { * } U _ { \beta j } \right] \sin 2 X _ { i j } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { V } ( f ) = 4 \sin ^ { 2 } ( \pi \tau f ) \mathcal { L } _ { \psi } ( f ) + \mathcal { L } _ { \mathrm { A O M } } ( f ) + \mathcal { L } _ { \mathrm { f i b e r } } ( f ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \overline { { p } } _ { i , j } ^ { t + 1 - \tau } } & { \geq \frac { \big [ \exp \big ( 3 \operatorname* { m a x } _ { i } \eta _ { p , i } r _ { i } + \eta B \big ) \big ] ^ { - 1 } } { 1 + e ^ { - B } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { t - \tau } } \\ & { > \frac { \big [ \exp \big ( 3 \operatorname* { m a x } _ { i } \eta _ { p , i } r _ { i } + \eta B \big ) \big ] ^ { - \tau - 1 } } { 1 + e ^ { - B } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { t } } \\ & { \qquad \qquad - \frac { \big [ \exp \big ( 3 \operatorname* { m a x } _ { i } \eta _ { p , i } r _ { i } + \eta B \big ) \big ] ^ { - 1 } } { 1 + e ^ { - B } } \cdot \frac { e ^ { - B } } { 1 - \big [ \exp \big ( 3 \operatorname* { m a x } _ { i } \eta _ { p , i } r _ { i } + \eta B \big ) \big ] ^ { - 1 } } } \\ & { > e ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { t } - \frac { 1 } { 1 + e ^ { - B } } \cdot \frac { e ^ { - B } } { \exp \big ( \frac { 3 C _ { 2 } } { \sqrt { B } } + \frac { C _ { 2 } ^ { 2 } \sqrt { B } \varepsilon } { \log n } \big ) - 1 } } \\ & { > e ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { t } - \frac { 0 . 5 } { n } > 2 c _ { j } + \frac { 1 . 5 } { n } , } \end{array}
\left[ e ^ { i \gamma \varphi } \right] _ { n } ( \theta _ { 1 , } \theta _ { 2 , } \dots , \theta _ { n } ) = \left[ e ^ { i \gamma \varphi } \right] _ { 1 } ( \theta _ { 1 } ) \, \left[ e ^ { i \gamma \varphi } \right] _ { n - 1 } ( \theta _ { 2 , } \dots , \theta _ { n } ) + O ( e ^ { - \theta _ { 1 } } ) \, .
\rho _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ t ~ h ~ ) ~ } } = \frac { e ^ { - ( \hat { H } _ { \mathrm { ~ Q ~ } } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ , ~ Z ~ e ~ e ~ } } ) / k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } } { \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ e ^ { - ( \hat { H } _ { \mathrm { ~ Q ~ } } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ , ~ Z ~ e ~ e ~ } } ) / k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } \right] }
\frac { D } { D t } \vec { A } = \frac { D } { D t } \left( \boldsymbol { \ell } \boldsymbol { \ell } \right) = \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) ^ { T } \cdot \vec { A } + \vec { A } \cdot \boldsymbol { \nabla } \vec { u } + ( \beta - 1 ) \left( \vec { A } \cdot \vec { E } + \vec { E } \cdot \vec { A } \right) - 2 \beta \vec { A } \cdot \vec { E } \cdot \vec { A } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\left\langle \hat { Q } \tilde { \eta } ( z , y , t ) \hat { Q } \tilde { \eta } ( z ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right\rangle = \left\langle \tilde { \eta } ( z , y , t ) \hat { Q } \tilde { \eta } ( z ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right\rangle = 2 T \left[ \delta ( z - z ^ { \prime } ) \delta ( y - y ^ { \prime } ) - \frac { u _ { 0 } ( z ) u _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) } { ( u _ { 0 } , u _ { 0 } ) L _ { y } } \right] \delta ( t - t ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( \tau , \alpha ) } & { { } = \int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 0 , \alpha _ { 1 } ) } ( q _ { r } \mathrm { d } r + q _ { \theta } \mathrm { d } \theta ) + \int _ { ( 0 , \alpha _ { 1 } ) } ^ { ( \tau , \alpha ) } ( q _ { r } \mathrm { d } r + q _ { \theta } \mathrm { d } \theta ) , } \\ { S _ { 1 } ( r , \theta ) } & { { } = q _ { \theta } \theta _ { 1 } + q _ { \theta } ( \theta - \theta _ { 1 } ) + \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } q _ { r } ^ { \mathrm { i n c } } ( r ^ { \prime } ) \mathrm { d } r ^ { \prime } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \pi } W _ { 0 } \left( 2 \cot ^ { 2 } x \right) \sec ^ { 2 } x \, d x = 4 { \sqrt { \pi } } . } \\ & { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { W _ { 0 } ( x ) } { x { \sqrt { x } } } } \, d x = 2 { \sqrt { 2 \pi } } . } \\ & { \int _ { 0 } ^ { \infty } W _ { 0 } \left( { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right) \, d x = { \sqrt { 2 \pi } } . } \end{array} }
{ 2 \theta \omega _ { \pm } } = \left\{ \begin{array} { c } { { \pm ( \kappa - { \cal E } ) + ( { \cal E } + \kappa ) \cosh 2 \chi - 2 \sqrt { \kappa } \sinh 2 \chi \sin ( \phi + \psi ) \; , \quad \mathrm { f o r ~ } \kappa > 0 } } \\ { { ( { \cal E } - \kappa ) \pm \left[ ( { \cal E } + \kappa ) \cos 2 \chi - 2 \sqrt { - \kappa } \sin 2 \chi \sin ( \phi + \psi ) \right] \; , \quad \mathrm { f o r ~ } \kappa < 0 \; . } } \end{array} \right.
\frac { 1 } { 2 } { { F } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , { { t } _ { n } } \right) \Delta t + \frac { 1 } { 8 } { { \partial } _ { t } } { { F } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , { { t } _ { n } } \right) \Delta { { t } ^ { 2 } } = { { \mathbb { F } } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , \Delta t / 2 \right) .
u \star v = \exp \Big ( { \frac { \kappa } { 2 } } \, \omega ^ { i j } { \frac { \partial \phantom { x ^ { i } } } { \partial x ^ { i } } } { \frac { \partial \phantom { x ^ { j } } } { \partial { \tilde { x } } ^ { j } } } \Big ) u ( { \bf x } ) v ( { \bf { \tilde { x } } } ) \Big \vert _ { { \bf x } = { \bf { \tilde { x } } } }
\begin{array} { r l } & { \big ( \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \mu } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho ] \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \mu } p ^ { \prime } ( \varrho ) ] { \cdot } e _ { i } + \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \mu } p ^ { \prime } ( \varrho ) ] { \cdot } e _ { i } \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \nu } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho ] \big ) ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \nabla _ { v } f ( t , x , v ) } \\ & { \qquad - \big ( \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \mu } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho ] \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \mu } p ^ { \prime } ( \varrho ) ] { \cdot } e _ { i } + \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \mu } p ^ { \prime } ( \varrho ) ] { \cdot } e _ { i } \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \nu } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho ] \big ) ( s , x + ( 1 - e ^ { t - s } ) v ) \cdot \nabla _ { v } f ( t , x , v ) } \\ & { = \Big ( \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \mu } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho ] ( s , x - ( t - s ) v ) - \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \mu } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho ] ( s , x + ( 1 - e ^ { t - s } ) v ) \Big ) \cdot G _ { 8 , \mu , i } ( s , t , x , v ) } \\ & { \quad + \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \mu } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho ] ( s , x + ( 1 - e ^ { t - s } ) v ) \cdot G _ { 9 , \mu , i } ( s , t , x , v ) } \\ & { \quad + \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \nu } p ^ { \prime } ( \varrho ) ] ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot G _ { 1 0 , \nu , i } ^ { K } ( s , t , x , v ) } \\ & { \quad + \Big ( \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \nu } p ^ { \prime } ( \varrho ) ] ( s , x - ( t - s ) v ) - \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \nu } p ^ { \prime } ( \varrho ) ] ( s , x + ( 1 - e ^ { t - s } ) v ) \Big ) \cdot G _ { 1 1 , \nu , i } ^ { K } ( s , t , x , v ) . } \end{array}
\frac { \partial \overline { { k } } } { \partial t } + \overline { { u } } _ { i } \frac { \partial \overline { { k } } } { \partial x _ { j } } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \nu + \frac { \nu _ { t } } { \sigma _ { k } } \right) \frac { \partial \overline { { k } } } { \partial x _ { j } } \right] + P _ { k - \omega } - \beta ^ { * } \overline { { \omega } } \overline { { k } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { \mathrm { A } } } { \partial z } + \frac { 1 } { v _ { \mathrm { g } } } \frac { \partial E _ { \mathrm { A } } } { \partial t } } & { = i g _ { \mathrm { c o } } E _ { \mathrm { B } } } \\ { \frac { \partial E _ { \mathrm { B } } } { \partial z } + \frac { 1 } { v _ { \mathrm { g } } } \frac { \partial E _ { \mathrm { B } } } { \partial t } } & { = i g _ { \mathrm { c o } } E _ { \mathrm { A } } } \end{array}
\Phi _ { 1 , 2 } ^ { ( 1 ) } = P _ { \chi _ { 1 , 2 } } \, , \; \; \Phi _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = P _ { e } \, , \; \; \Phi _ { 4 n } ^ { ( 1 ) } = P _ { n } + i \psi _ { n } \; .
{ W } _ { \alpha } = \frac { 1 } { 8 } \; \bar { D } ^ { 2 } \, \left( { e } ^ { - V } \! D _ { \alpha } { e } ^ { V } \right) = i \left( \lambda _ { \alpha } + i \theta _ { \alpha } D - \theta ^ { \beta } \, G _ { \alpha \beta } - i \theta ^ { 2 } { \cal D } _ { \alpha \dot { \alpha } } \bar { \lambda } ^ { \dot { \alpha } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \bar { \mu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 4 L ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| u _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
{ \tilde { A } } ( \bar { c } , l _ { o } ^ { b } , l _ { o } ^ { c } , r _ { o } ^ { b } , r _ { o } ^ { c } ) \sim \Psi ( c _ { 0 } , x _ { n } , y _ { n } ) : = \langle c _ { 0 } , x _ { n } , y _ { n } | \Psi \rangle \, .
\begin{array} { r l } { \llangle \alpha ( \mathbf { x } ) \rrangle } & { = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \alpha ^ { + } ( \mathbf { x } ) + \alpha ^ { - } ( \mathbf { x } ) \Big ) } \\ { \llangle \mathbf { a } ( \mathbf { x } ) \rrangle } & { = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \mathbf { a } ^ { + } ( \mathbf { x } ) + \mathbf { a } ^ { - } ( \mathbf { x } ) \Big ) } \end{array}