harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { P ( k \mid H _ { 0 } ) } & { = { \binom { n } { k } } ( 0 . 5 ) ^ { k } ( 1 - 0 . 5 ) ^ { n - k } \approx 1 . 9 5 \times 1 0 ^ { - 4 } } \\ { P ( k \mid H _ { 1 } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \binom { n } { k } } \theta ^ { k } ( 1 - \theta ) ^ { n - k } d \theta = { \binom { n } { k } } \mathrm { \mathrm { B } } ( k + 1 , n - k + 1 ) = 1 / ( n + 1 ) \approx 1 . 0 2 \times 1 0 ^ { - 5 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } ( m ) _ { s t } \sim \, } & { \gamma _ { 1 } ^ { - 1 } } \\ & { \times \exp \left( \frac { N } { 2 } \, \left( \ln \left( 4 \gamma _ { 1 } \right) + \frac { \left( 2 - 6 \, p \right) \arctan \sqrt { \frac { p - 1 } { 3 p + 1 } } m ^ { 2 } } { \sqrt { 3 \, p ^ { 2 } - 2 \, p - 1 } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| x ^ { * } \| _ { 2 } = | ( x ^ { * } ) _ { i } | = | | ( x ^ { \prime } ) _ { i } | + ( \alpha - 1 ) \lambda | = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha \lambda , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \| x ^ { \prime } \| _ { \infty } = \lambda , } \\ { \| x ^ { \prime } \| _ { \infty } + ( \alpha - 1 ) \lambda , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \| x ^ { \prime } \| _ { \infty } < \lambda . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ( y = m ^ { i } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \Delta } \sum _ { \alpha } p ( y = m ^ { i } | \alpha ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \Delta } \left\{ p ( y = m ^ { i } | i ) + \sum _ { \alpha \neq i } p ( y = m ^ { i } | \alpha ) \right\} } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \Delta } \left\{ ( \eta _ { w } + \frac { 1 - \eta _ { w } } { \Delta } ) + ( \Delta - 1 ) ( \frac { 1 - \eta _ { w } } { \Delta } ) \right\} } \\ & { = } & { 1 / \Delta } \end{array}
T = \frac { 3 p } { R } \left( \frac { A _ { \varepsilon } + A _ { \mu } } { n ^ { 2 } - 1 } \right) \left( 1 - \frac { 2 \kappa _ { \mathrm { e f f } } R T n ^ { 2 } } { 3 ( A _ { \varepsilon } + A _ { \mu } ) } \right) + \ldots ,
\alpha _ { \pm } = \frac { a } { \sqrt { h _ { \pm } ^ { 2 } + \left( r + a \right) ^ { 2 } } } , \ \ \ \, \ \ \ \ \beta _ { \pm } = \frac { h _ { \pm } } { \sqrt { h _ { \pm } ^ { 2 } + \left( r + a \right) ^ { 2 } } } \ \ \ \ \
B = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \dim _ { \mathrm { H } } F } & { \geq ( \frac { t } { 2 } + s ) + \frac { 2 - t } { 2 - s } \frac { s } { 2 } = 2 s + \frac { ( t - s ) ( 1 - s ) } { 2 - s } } & { ( t \le 1 ) , } \\ { \dim _ { \mathrm { H } } F } & { \geq ( \frac { t } { 2 } + s ) + \frac { t } { 2 - s } \frac { s } { 2 } = \operatorname* { m i n } \{ s + \frac { t } { 2 - s } , s + 1 \} } & { ( t \ge 1 ) . } \end{array}
{ \mathrm { d } } ^ { 3 } \mathbf { r } \, { \mathrm { d } } ^ { 3 } \mathbf { p } = { \mathrm { d } } x \, { \mathrm { d } } y \, { \mathrm { d } } z \, { \mathrm { d } } p _ { x } \, { \mathrm { d } } p _ { y } \, { \mathrm { d } } p _ { z } .
\begin{array} { r l r } { u _ { k l } } & { { } = } & { \left| \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { l } \right| \, , } \\ { m _ { k l } } & { { } = } & { \frac { m _ { k } \, m _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, . } \end{array}
\Delta F _ { \perp } \equiv \frac { 8 \pi ^ { 2 } \, f _ { B } f _ { \perp } } { N _ { C } \, M } \, \langle l _ { + } ^ { - 1 } \rangle _ { B } \, \langle \bar { u } ^ { - 1 } \rangle _ { \perp } \ ,
\begin{array} { r } { 0 = ( B + C ) \mathrm { S } ( 1 + \mathrm { S } ) f ( \mathrm { S } ) + A ^ { 2 } ( 1 + \mathrm { S } ) f ( \mathrm { S } ) + \frac { A ^ { 2 } } { 2 } ( 1 + \mathrm { S } ) ^ { 2 } \partial _ { \mathrm { S } } f ( \mathrm { S } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , \Bar 3 ^ { \prime } } ( \vec { R } , \vec { r } ) = } & { + 2 \, \big ( \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } - \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } \big ) } \\ & { - \phantom { 2 } \, \big ( \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } - \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } \big ) } \\ & { - \phantom { 2 } \, \big ( \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } - \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 5 3 } ( t ) = } & { \frac { 1 } { 6 } \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { k , l , s = 1 } ^ { 2 n - 1 } g _ { k l s } ^ { i j } ( t ) ( \widehat { \eta } _ { k , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { k } ^ { * } ( t ) ) ( \widehat { \eta } _ { l , \gamma ^ { * } } ^ { * } ( t ) - \eta _ { l } ^ { * } ( t ) ) ( \widehat { \eta } _ { s , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { s } ^ { * } ( t ) ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 6 } \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } g _ { i i i } ^ { i j } ( t ) ( \widehat { \eta } _ { i , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { i } ^ { * } ( t ) ) ^ { 3 } } \\ & { + \frac { 1 } { 6 } \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } g _ { j j j } ^ { i j } ( t ) ( \widehat { \eta } _ { n + j , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { n + j } ^ { * } ( t ) ) ^ { 3 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } g _ { i i j } ^ { i j } ( t ) ( \widehat { \eta } _ { i , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { i } ^ { * } ( t ) ) ^ { 2 } ( \widehat { \eta } _ { n + j , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { n + j } ^ { * } ( t ) ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } g _ { j j i } ^ { i j } ( t ) ( \widehat { \eta } _ { i , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { i } ^ { * } ( t ) ) ( \widehat { \eta } _ { n + j , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { n + j } ^ { * } ( t ) ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \varphi _ { [ t _ { n } , 0 ] } - \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , 0 ] } \rVert _ { C ^ { 0 , \alpha } } } & { \leq \lVert ( \varphi _ { [ t _ { n - 1 } , 0 ] } - \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n - 1 } , 0 ] } ) \circ \varphi _ { [ t _ { n } , t _ { n - 1 } ] } \rVert _ { C ^ { 0 , \alpha } } } \\ & { + \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n - 1 } , 0 ] } \circ \varphi _ { [ t _ { n } , t _ { n - 1 } ] } - \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n - 1 } , 0 ] } \circ \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , t _ { n - 1 } ] } \rVert _ { C ^ { 0 , \alpha } } } \\ & { \leq \lVert \varphi _ { [ t _ { n - 1 } , 0 ] } - \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n - 1 } , 0 ] } \rVert _ { C ^ { 0 , \alpha } } + C _ { n - 1 } \lVert \varphi _ { [ t _ { n } , t _ { n - 1 } ] } - \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , t _ { n - 1 } ] } \rVert _ { C ^ { 0 , \alpha } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 1 } ) } & { { } = \frac { e ^ { - \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { \pi } } \mathcal { R } ^ { ( A ) } ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c c c c c c c } { | A ^ { i j } | _ { 1 1 } } & { - | A ^ { i j } | _ { 2 1 } } & { \hdots } & { ( - 1 ) ^ { i } | A ^ { i j } | _ { ( i - 1 ) 1 } } & { 0 } & { ( - 1 ) ^ { i } | A ^ { i j } | _ { ( i + 1 ) 1 } } & { \hdots } & { ( - 1 ) ^ { n + 1 } | A ^ { i j } | _ { n 1 } } \\ { - | A ^ { i j } | _ { 1 2 } } & { | A ^ { i j } | _ { 2 2 } } & { \hdots } & { ( - 1 ) ^ { i + 1 } | A ^ { i j } | _ { ( i - 1 ) 2 } } & { 0 } & { ( - 1 ) ^ { i + 1 } | A ^ { i j } | _ { ( i + 1 ) 2 } } & { \hdots } & { ( - 1 ) ^ { n } | A ^ { i j } | _ { n 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { ( - 1 ) ^ { j } | A ^ { i j } | _ { 1 ( j - 1 ) } } & { ( - 1 ) ^ { j + 1 } | A ^ { i j } | _ { 2 ( j - 1 ) } } & { \hdots } & { ( - 1 ) ^ { i + j } | A ^ { i j } | _ { ( i - 1 ) ( j - 1 ) } } & { 0 } & { ( - 1 ) ^ { i + j } | A ^ { i j } | _ { ( i + 1 ) ( j - 1 ) } } & { \hdots } & { ( - 1 ) ^ { n + j + 1 } | A ^ { i j } | _ { n ( j - 1 ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { 0 } \\ { ( - 1 ) ^ { j } | A ^ { i j } | _ { 1 ( j + 1 ) } } & { ( - 1 ) ^ { j + 1 } | A ^ { i j } | _ { 2 ( j + 1 ) } } & { \hdots } & { ( - 1 ) ^ { i + j } | A ^ { i j } | _ { ( i - 1 ) ( j + 1 ) } } & { 0 } & { ( - 1 ) ^ { i + j } | A ^ { i j } | _ { ( i + 1 ) ( j + 1 ) } } & { \hdots } & { ( - 1 ) ^ { n + j + 1 } | A ^ { i j } | _ { n ( j + 1 ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { ( - 1 ) ^ { n + 1 } | A ^ { i j } | _ { 1 n } } & { ( - 1 ) ^ { n + 2 } | A ^ { i j } | _ { 2 n } } & { \hdots } & { ( - 1 ) ^ { i + n + 1 } | A ^ { i j } | _ { ( i - 1 ) n } } & { 0 } & { ( - 1 ) ^ { i + n + 1 } | A ^ { i j } | _ { ( i + 1 ) n } } & { \hdots } & { | A ^ { i j } | _ { n n } } \end{array} \right) , } \end{array}
P = P _ { 0 } ( l ) \left( \frac { 2 } { \lambda } \right) ^ { 2 l + 1 } \frac { \Gamma ^ { 4 } ( 1 + l / 2 ) } { \pi } = P _ { 0 } ( l ) \left( \frac { 4 \pi T _ { H } } { \omega } \right) ^ { 2 l + 1 } \frac { \Gamma ^ { 4 } ( 1 + l / 2 ) } { \pi } \, .
\nabla L = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 1 } ^ { T } \left( \nabla L _ { \mathbf { a } _ { M } } \oplus \frac { d \mathbf { a } _ { M } } { d \sqrt { \mu } _ { 1 } } \right) } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { 1 } ^ { T } \left( \nabla L _ { \mathbf { a } _ { M } } \oplus \frac { d \mathbf { a } _ { M } } { d x _ { M _ { n } } } \right) } \\ { \mathbf { 1 } ^ { T } \left( \nabla L _ { \mathbf { a } _ { M } } \oplus \frac { d \mathbf { a } _ { M } } { d y _ { M _ { n } } } \right) } \\ { \mathbf { 1 } ^ { T } \left( \nabla L _ { \mathbf { a } _ { M } } \oplus \frac { d \mathbf { a } _ { M } } { d z _ { M _ { n } } } \right) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 6 } + _ { 3 } } \\ & { = \delta _ { i , q } \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 1 } ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] - 2 \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] } \\ & { = - \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] , } \\ & { \quad _ { 6 } + _ { 2 2 } + _ { 1 } + _ { 7 } + _ { 3 } + _ { 4 } } \\ & { = - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } ^ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] - \delta ( j \leq m - n ) \alpha _ { 1 } ( m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] + \delta _ { i , q } \alpha _ { 2 } ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \\ & { \quad + 2 \delta ( j \leq m - n ) \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] - \delta _ { i , q } \alpha _ { 2 } ^ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] + \delta _ { i , q } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \\ & { = - \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 2 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \end{array}
U _ { L } ^ { \dag } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 / \sqrt { 2 } } } & { { - 1 / \sqrt { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 1 / \sqrt { 6 } } } & { { 1 / \sqrt { 6 } } } & { { - 2 / \sqrt { 6 } } } \\ { { 1 / \sqrt { 3 } } } & { { 1 / \sqrt { 3 } } } & { { 1 / \sqrt { 3 } } } \end{array} \right) \equiv U _ { F D } .
\begin{array} { r l r l } { X _ { \operatorname { c h i l d } ( i ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { X _ { 1 } } & { \cdots } & { X _ { q } } \end{array} \right] W _ { \operatorname { c h i l d } ( i ) } , } & { W _ { \operatorname { c h i l d } ( i ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { W _ { j _ { 1 } } } & { W _ { j _ { 2 } } } \end{array} \right] , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { i n t . } } = \tilde { G } _ { 1 } \mathrm { t r } \left( \bar { Q } _ { v } D ^ { \dag } \right) \left( D Q _ { v } \right) - \tilde { G } _ { 2 } \mathrm { t r } \left( \bar { Q } _ { v } F ^ { \dag \mu } \right) P _ { \mu \nu } ^ { \perp } \left( F ^ { \nu } Q _ { v } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { E _ { x } } & { = \rho _ { x x } J _ { x } + \rho _ { x y } J _ { y } + \rho _ { x z } J _ { z } , } \\ { E _ { y } } & { = \rho _ { y x } J _ { x } + \rho _ { y y } J _ { y } + \rho _ { y z } J _ { z } , } \\ { E _ { z } } & { = \rho _ { z x } J _ { x } + \rho _ { z y } J _ { y } + \rho _ { z z } J _ { z } . } \end{array} }
\langle \sigma v \rangle = 3 . 6 8 { \cdot } 1 0 ^ { - 1 8 } \, T _ { i 0 } ^ { - 2 / 3 } \mathrm { e x p } \left\{ - 1 9 . 9 4 ~ T _ { i 0 } ^ { - 1 / 3 } \right\} ~ \mathrm { m } ^ { - 3 } \mathrm { s } ^ { - 1 } ,
\begin{array} { l } { S _ { r } = \int d r \left[ \frac { { \cal { E } } _ { 0 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) ^ { - 2 } \right. } \\ { \left. - \left( m ^ { 2 } c ^ { 2 } + \frac { { \cal { L } } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) ^ { - 1 } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
n _ { \mathrm { ~ S ~ O ~ A ~ P ~ , ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { \mathrm { s h o r t } } = 8 , l _ { \mathrm { ~ S ~ O ~ A ~ P ~ , ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { \mathrm { s h o r t } } = 4 , n _ { \mathrm { ~ S ~ O ~ A ~ P ~ , ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { \mathrm { l o n g } } = 4 ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { a v } ( \Delta z ) } & { = \frac { 1 } { \left( \pi R ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \int d \mathbf { x } d \mathbf { y } e ^ { - \frac { \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } \mathcal { G } \left( \mathbf { x } - \mathbf { y } , \Delta z \right) } \\ & { = \frac { \lambda _ { \Omega } ^ { 2 } } { 2 \pi R ^ { 2 } + i \Delta z \lambda _ { \Omega } } . } \end{array}
G ^ { \prime } ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d T N ( T ) \exp \left( - \frac { i } { 2 \kappa _ { 0 } } M ^ { 2 } T \right) \left< - \frac { i } { 2 \kappa _ { 0 } } M - i \dot { x } ( T ) \cdot \zeta ( T ) \right> _ { S }
\langle E ^ { - 1 } \rangle ^ { - 1 } = \frac { ( 1 \! + \! \nu _ { h } ) ( 1 \! - \! 2 \nu _ { h } ) } { 1 \! - \! \nu _ { h } } \biggl [ \frac { 1 } { E _ { v } } - \frac { 2 \nu _ { h } ^ { 2 } } { ( 1 \! - \! \nu _ { h } ) E _ { h } } \biggr ] ^ { - 1 } .
\sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } ( A _ { m + 1 } - A _ { m } ) = A _ { n } - A _ { 0 } = \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } { \frac { g _ { m } } { \prod _ { k = 0 } ^ { m } f _ { k } } }
\sigma _ { t \bar { t } } ( S ) = \sum _ { i j = q \bar { q } , g g } \int _ { \frac { 4 m _ { t } ^ { 2 } } { S } } ^ { 1 } \frac { d \tau } { \tau } \left( \frac { 1 } { S } \frac { d L _ { i j } } { d \tau } \; \hat { s } \hat { \sigma } _ { i j } ( \hat { s } , \alpha _ { s } ( \mu ) ) \right)
S _ { E } = { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { D } ^ { 2 } } } \int d ^ { D } x \sqrt { - g ^ { E } } \left[ { \cal R } _ { g ^ { E } } - { \frac { 4 } { D - 2 } } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 \cdot ( p + 2 ) ! } } e ^ { 2 a _ { p } \phi } F _ { p + 2 } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 \cdot D ! } } e ^ { 2 a \phi } F _ { D } ^ { 2 } \right] ,
h ( i , j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { m _ { i } \neq 0 ; m _ { j } \neq 0 ; i + j \mathrm { ~ e v e n } } \\ { 2 } & { m _ { i } \neq 0 ; m _ { j } \neq 0 ; i + j \mathrm { ~ o d d } } \\ { 3 } & { m _ { i } = 0 ; j \mathrm { ~ e v e n } \oplus m _ { j } = 0 ; i \mathrm { ~ e v e n } } \\ { 4 } & { m _ { i } = 0 ; j \mathrm { ~ o d d } \oplus m _ { j } = 0 ; i \mathrm { ~ o d d } } \\ { 5 } & { m _ { i } = 0 ; m _ { j } = 0 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } & { \ln z _ { 1 , \star } = \ln | z _ { 1 , \star } | + i \arg z _ { 1 , \star } = \ln | z _ { 1 , \star } | + i \big ( \frac { \pi } { 2 } - \arg ( \omega k _ { 4 } ) \big ) , } \\ & { \ln z _ { 2 , \star } = \ln | z _ { 2 , \star } | + i \arg z _ { 2 , \star } = \ln | z _ { 2 , \star } | + i \big ( \frac { \pi } { 2 } - \arg ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \big ) , } \end{array}
\hat { A } _ { \varphi } ( r , \omega _ { 0 } ) = \left\{ \begin{array} { c l } { a _ { \varphi } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega _ { 0 } ) J _ { 1 } ( k _ { 1 } r ) , } & { r \leq r _ { 1 } , } \\ { c _ { \varphi } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega _ { 0 } ) J _ { 1 } ( k _ { 2 } r ) + c _ { \varphi } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega _ { 0 } ) H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 2 } r ) , } & { r _ { 1 } < r < r _ { 2 } , } \\ { d _ { \varphi } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega _ { 0 } ) H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 3 } r ) , } & { r _ { 2 } \le r . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { c _ { \phi } ^ { \pm } } & { : = \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) } \\ & { - \frac { b _ { \pm } \left( 1 - \Gamma _ { 0 } \right) } { b _ { 0 } \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { \pm } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) } \left[ 1 + \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \tau \left( 1 - \frac { F _ { 1 } } { \sigma _ { 0 } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) } \right) \right] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { f _ { 2 \mp 2 } ^ { + } = \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } + 2 f _ { e } \pm 2 f _ { o } , } \\ { f _ { 2 \mp 2 } ^ { - } = \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } - 2 f _ { e } \mp 2 f _ { o } , } \end{array} \right.
\mu _ { J } = \left( \frac { \partial T } { \partial P } \right) _ { M } = \frac { 1 } { C _ { P } } \left[ T \left( \frac { \partial V } { \partial T } \right) _ { P } - V \right] = \frac { ( \partial T / \partial r _ { + } ) _ { M } } { ( \partial P / \partial r _ { + } ) _ { M } } .
\begin{array} { r l } { H _ { z } } & { { } \simeq \frac { A } { \Gamma \left( \nu + 1 \right) } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu } } \\ { H _ { \rho } } & { { } \simeq \frac { A a \pi } { 2 \Gamma \left( \nu + 1 \right) d } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { H _ { \phi } } & { { } \simeq - \frac { i A \pi a } { 2 \Gamma ( \nu + 1 ) d } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { E _ { \rho } } & { { } \simeq - \frac { A \omega \mu a } { 2 \Gamma ( \nu + 1 ) } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { E _ { \phi } } & { { } \simeq - \frac { i A \omega \mu a } { 2 \Gamma ( \nu + 1 ) } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { T _ { i j h l } ^ { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } = \tau ^ { 2 } \langle u _ { i } ( \boldsymbol { x } ) u _ { j } ( \boldsymbol { x } ) u _ { h } ( \boldsymbol { y } ) u _ { l } ( \boldsymbol { y } ) \rangle , } \\ & { } & { T _ { i j h l } ^ { x ^ { 3 } y } = \tau ^ { 2 } \langle u _ { i } ( \boldsymbol { x } ) u _ { j } ( \boldsymbol { x } ) u _ { h } ( \boldsymbol { x } ) u _ { l } ( \boldsymbol { y } ) \rangle , } \\ & { } & { T _ { i j h l } ^ { x ^ { 4 } } = \tau ^ { 2 } \langle u _ { i } ( \boldsymbol { x } ) u _ { j } ( \boldsymbol { x } ) u _ { h } ( \boldsymbol { x } ) u _ { l } ( \boldsymbol { x } ) \rangle , } \end{array}
\| \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \frac { \tau } { 2 } a _ { h } \big ( \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } , \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \big ) - \frac { \tau } { 2 } a _ { h } \big ( \mathbf { y } _ { h } ^ { M } , \mathbf { y } _ { h } ^ { M } \big ) \leq \tau \ell \big [ \mathbf { y } _ { h } ^ { M } \big ] ( \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } ) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } ^ { I } \rho _ { f } ( t , x ) } & { = p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \nabla _ { x } [ \mathrm { J } _ { \varepsilon } \partial _ { x } ^ { I } \varrho ] ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s + R ^ { I } [ \rho _ { f } ] ( t , x ) , } \\ { \partial _ { x } ^ { I } j _ { f } ( t , x ) } & { = p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } v \nabla _ { x } [ \mathrm { J } _ { \varepsilon } \partial _ { x } ^ { I } \varrho ] ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s + R ^ { I } [ j _ { f } ] ( t , x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { y } \, \, \, } & { { } = } & { 0 , } \\ { J _ { y } ^ { ( i ) } } & { { } = } & { l \frac { \varepsilon _ { 0 } c t _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 0 } } \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } | f ( \rho ) | ^ { 2 } \rho d \rho , } \\ { J _ { y } ^ { ( e ) } } & { { } = } & { - l \frac { \varepsilon _ { 0 } c t _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 0 } } \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } | f ( \rho ) | ^ { 2 } \rho d \rho , } \end{array}
\bar { L } _ { j k } = \int \int d \boldsymbol { r } _ { 2 } d \boldsymbol { r } _ { 3 } \psi _ { j } ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \psi _ { k } ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { L } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } , \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \mathcal { P } _ { 3 } \phi _ { j } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \phi _ { k } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } )
S _ { g } ( x , x ^ { \prime } , \alpha , f ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 } e ^ { \pm i 2 \theta } S _ { \widetilde { n } } ( x , x ^ { \prime } , 0 , f ) } & { \mathrm { f o r ~ } \alpha = \pm 2 f _ { 0 } } \\ { \frac { 1 } { 4 } S _ { \widetilde { n } } ( x , x ^ { \prime } , 0 , f + f _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 4 } S _ { \widetilde { n } } ( x , x ^ { \prime } , 0 , f - f _ { 0 } ) } & { \mathrm { f o r ~ } \alpha = 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e ~ } } \end{array} \right.
\mathcal { L } _ { \mathrm { e f f } } ^ { Z } = - \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } X _ { s d } ^ { 2 } \left( \bar { s } _ { L } \gamma ^ { \mu } d _ { L } \right) \, \left( \bar { s } _ { L } \gamma _ { \mu } d _ { L } \right) \, .
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { C } } / \mathrm { F S } ^ { 2 } } & { { } = \frac { \langle \{ F _ { \mathrm { p u r e } } ( t ) \} ^ { 2 } \rangle } { A _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } = \frac { ( A _ { 0 } / A _ { \mathrm { R } } ) ^ { 2 } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { 1 } \Gamma ^ { 1 - \delta _ { i } } ( | t | ) f _ { i } ^ { \prime \prime } ( t ) } & { \leq } & { f _ { i } ( t ) \hspace * { \arraycolsep } \leq \hspace * { \arraycolsep } c _ { 2 } f _ { i } ^ { \prime \prime } ( t ) \Gamma ^ { 1 + \theta _ { i } } ( | t | ) \, , } \\ { | f _ { i } ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } } & { \leq } & { c _ { 3 } f _ { i } ^ { \prime \prime } ( t ) f _ { i } ( t ) \Gamma ^ { \theta _ { i } } ( | t | ) \, , } \end{array}
\sum _ { b = 0 } ^ { a - 1 } e ^ { \frac { p a } { 2 } \cdot \frac { b } { a } \left( 1 - \frac { b } { a } \right) } \le a \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { \frac { p a } { 2 } x ( 1 - x ) } \, \mathrm { d } x + e ^ { \frac { p a } { 8 } } \le a e ^ { \frac { p a } { 8 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - \frac { p a } { 2 } ( x - 1 / 2 ) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } x + e ^ { \frac { p a } { 8 } } = \left( \sqrt { \frac { 2 \pi a } { p } } + 1 \right) e ^ { \frac { p a } { 8 } } .
h ^ { \ast } ( s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \, s } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ s ~ \leq ~ \frac ~ 1 ~ 2 ~ } \, , } \\ { \, 1 } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ s ~ \geq ~ 1 ~ } \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \sum _ { r } \, { ^ { 2 } \mathfrak { G } _ { p r q r } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { k } { ^ { 1 } \Gamma } _ { p k } { ^ { 1 } \Gamma } _ { k q } - { ^ { 1 } \Gamma } _ { p q } \right) \, . } \end{array}