harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { \varepsilon } _ { c r } \left( s \right) } & { = \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \nu - \alpha } } \frac { 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } } { 1 + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } } } \\ & { = \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \nu - \alpha } } \left( 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } \right) \left( 1 + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \nu - \alpha } } \left( 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } \right) \left( 1 - \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } + \left( \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } + O \left( s ^ { - 3 \left( \alpha + \beta \right) } \right) \right) } \\ & { = \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \nu - \alpha } } \left( 1 + \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } - \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right) \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } + \left( \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } + \left( \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) \frac { 1 } { s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } + O \left( s ^ { - 3 \left( \alpha + \beta \right) } \right) \right) } \\ & { = \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \nu - \alpha } } + \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } - \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right) \frac { 1 } { s ^ { 1 + \beta + \nu } } } \\ & { \quad + \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \left( \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } + \left( \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) \frac { 1 } { s ^ { 1 + \alpha + 2 \beta + \nu } } + O \left( s ^ { ^ { - \left( 1 + 2 \alpha + 3 \beta + \nu \right) } } \right) , \quad \mathrm { w h e n } \quad s \rightarrow \infty \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { i j } } & { { } = u _ { i } \omega _ { j } - u _ { j } \omega _ { i } + \nu \left( \frac { \partial \omega _ { i } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \omega _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) - \epsilon _ { i j k } g _ { k } , } \end{array}
\bar { \alpha } \bar { v } _ { \mathrm { p } } = \frac { \rho _ { s } + \alpha \zeta \varDelta } { q + \zeta ^ { 2 } \varDelta ^ { 2 } } \frac { v _ { \mathrm { d } } } { \alpha 2 \cos \phi _ { 0 } } - \frac { \rho _ { s } + \alpha \zeta \varDelta } { q + \zeta ^ { 2 } \varDelta ^ { 2 } } ( \frac { v _ { \mathrm { a } } + v _ { \mathrm { d i p } } + v _ { \mathrm { p \ p h i } } } { \alpha } ) \frac { q \pi \zeta } { \sinh \left( \pi \zeta \varDelta \right) } - v _ { \mathrm { p x } } \frac { \sin { { x _ { 0 } } / { \varDelta } } } { \sin 2 \phi _ { 0 } }
\begin{array} { r l r } { u _ { 0 1 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) } & { = } & { \int d \tau _ { 1 } G _ { u u } ^ { i j } F _ { 0 1 u } ^ { j } + \int d \tau _ { 1 } G _ { u b } ^ { i j } F _ { 0 1 b } ^ { j } } \\ & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { \tau } \! \! \! d \tau _ { 1 } G _ { u b } ^ { i j } ( { \bf { k } } ; \tau , \tau _ { 1 } ) \left[ { - i k ^ { m } B ^ { m } b _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { k } } ; \tau ) } \right] , } \end{array}
\frac { \partial \rho _ { m } \kappa _ { m } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho _ { m } \kappa _ { m } \mathbf { u } _ { m } \right) - \nabla \cdot \left( \frac { \mu _ { m , t } } { \sigma _ { m } } \nabla \kappa _ { m } \right) = G _ { m , \kappa } - \rho _ { m } \epsilon _ { m } + S _ { m , \kappa } \ ,
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { u } \\ { v } \end{array} \right) } & { = e ^ { i k x - i \omega t } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \frac { C _ { \alpha } e ^ { s _ { \alpha } y } } { k ^ { 2 } - s _ { \alpha } ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l } { k ^ { 2 } - s _ { \alpha } ^ { 2 } } \\ { \omega k - \omega _ { B } Q _ { \alpha } s _ { \alpha } } \\ { i \omega _ { B } Q _ { \alpha } k - i \omega s _ { \alpha } } \end{array} \right) , } \end{array}
\pi \mu _ { i } ( G ) \gamma ( e _ { i } ^ { 2 } b ^ { 2 } / 2 ) = \left( \pi \mu _ { i } ( G ^ { \vee } ) \gamma ( 2 / ( e _ { i } ^ { 2 } b ^ { 2 } ) ) \right) ^ { e _ { i } ^ { 2 } b ^ { 2 } / 2 }
\gamma _ { d } ^ { j } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { i \gamma _ { d - 1 } ^ { j } } \\ { - i \gamma _ { d - 1 } ^ { j } } & { 0 } \end{array} \right) , \quad j = 1 , \dots , d - 1 , \qquad \gamma _ { d } ^ { d } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { I _ { 2 ^ { \frac { d - 2 } 2 } } } \\ { I _ { 2 ^ { \frac { d - 2 } 2 } } } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { Y ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , g ) } & { = Y _ { \alpha } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , g ) \mathbb { P } ( A _ { \alpha } ) + Z _ { \alpha } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , g ) \mathbb { P } ( A _ { \alpha } ^ { c } ) } \\ & { \le e ^ { c _ { k } t ^ { 3 } } \mathbb { P } ( A _ { \alpha } ) + Z _ { \alpha } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , g ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P [ k _ { i } ( t ) < k ] } & { = } & { P \left[ ( \frac { r } { \omega } ) ^ { ( 1 + \omega ) / \omega } \frac { t } { ( k + r \frac { 1 + \omega } { \omega } ) ^ { ( 1 + \omega ) / \omega } } < t _ { i } \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { r + t } \left[ t - ( \frac { r } { \omega } ) ^ { ( 1 + \omega ) / \omega } \frac { t } { ( k + r \frac { 1 - \omega } { \omega } ) ^ { ( 1 + \omega ) / \omega } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } - { l } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } - \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \widehat { p } \left( X _ { t + 1 } ~ | ~ \mathcal { P } ; \theta \right) } \end{array}
\frac { d \mathcal { W } } { d t } = \frac { \mathcal { I } _ { 0 } } { \rho ^ { 2 } } [ \textrm { s i n } \ \varphi \ \textrm { s i n } \ \delta + \textrm { c o s } \ \varphi \ \textrm { c o s } \ \delta \ \textrm { c o s } \ ( \omega + \psi ) ] .
\frac { { \Gamma } \left( K _ { 0 } ^ { * } \rightarrow \pi K \right) } { { \Gamma } \left( a _ { 0 } ^ { * } \rightarrow \pi \eta \right) } \sim \left[ 1 . 4 4 4 \frac { 1 } { 2 \mathrm { { c o s } } ^ { 2 } { \theta } _ { p } } \right] \left[ { \frac { { \mathrm { c o s } } { \psi } _ { K } } { \mathrm { { c o s } } { \psi } _ { a } } } \right] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { U _ { \tilde { J } , m } = } & { \, u _ { \tilde { J } , m } - B \tilde { J } ( \tilde { J } + 1 ) } \\ { = } & { - \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } E _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } - \frac 1 2 \left[ \frac 1 3 - \frac { ( 2 | m | - 1 ) ( 2 | m | + 1 ) } { ( 2 \tilde { J } - 1 ) ( 2 \tilde { J } + 3 ) } \right] \frac { \Delta \alpha _ { \mathrm { s } } E _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } } \\ & { + \left[ \frac { - ( \tilde { J } - | m | + 1 ) ( \tilde { J } - | m | + 2 ) ( \tilde { J } + | m | + 1 ) ( \tilde { J } + | m | + 2 ) } { 2 ( 2 \tilde { J } + 1 ) ( 2 \tilde { J } + 3 ) ^ { 3 } ( 2 \tilde { J } + 5 ) } \right. } \\ & { \hphantom { + } \left. + \frac { ( \tilde { J } - | m | - 1 ) ( \tilde { J } - | m | ) ( \tilde { J } + | m | - 1 ) ( \tilde { J } + | m | ) } { 2 ( 2 \tilde { J } - 3 ) ( 2 \tilde { J } - 1 ) ^ { 3 } ( 2 \tilde { J } + 1 ) } \right] \frac { 1 } { B } \left( \frac { \Delta \alpha _ { \mathrm { s } } E _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { 2 } } \\ & { + B \left( O \left( \frac { \Delta \alpha _ { \mathrm { s } } E _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 B } \right) ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 3 } = } & { ~ \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle } \\ { = } & { ~ \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle } \\ { \ge } & { ~ 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { Q } } & { : = \mathbb { E } \{ Q ( t ) \} } \\ & { = I - \frac { 1 } { 2 \alpha } \left[ \begin{array} { l l l l } { d _ { 1 } } & { - a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { - a _ { 1 , r _ { 0 } n } } \\ { - a _ { 2 1 } } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { \vdots } & & & { \vdots } \\ { - a _ { r _ { 0 } n , 1 } } & { \cdots } & { - a _ { r _ { 0 } n , r _ { 0 } n - 1 } } & { d _ { r _ { 0 } n } } \end{array} \right] , } \\ { \bar { R } } & { : = \mathbb { E } \{ R ( t ) \} = \frac { 1 } { 2 \alpha } \tilde { M } : = \frac { 1 } { 2 \alpha } \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 , r _ { 0 } n + 1 } } & { \cdots } & { a _ { 1 , n } } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { a _ { r _ { 0 } n , r _ { 0 } n + 1 } } & { \cdots } & { a _ { r _ { 0 } n , n } } \end{array} \right] , } \end{array}
I ( \omega ) = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { e ^ { 2 } E _ { \textrm { p } } ^ { 2 } } { 2 \hbar ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } ( t - t _ { 0 } ) } \iint _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } d t _ { 2 } C _ { P , P } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \textrm { R e } [ e ^ { - i \omega ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } - e ^ { - i \omega ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) } ] .
N ^ { - + } = N ( B ^ { 0 } \bar { B } ^ { 0 } ) [ B ( B ^ { 0 } \to l ^ { + } X ^ { - } ) ] ^ { 2 } \epsilon _ { t a g } ^ { 2 } n ^ { - + } \simeq 2 . 8 \times 1 0 ^ { 5 } .
\begin{array} { r l r } { d _ { x } \delta f ( y _ { 1 } ) } & { = } & { [ x , \delta f ( y _ { 1 } ) ] - ( - 1 ) ^ { x f } \delta f ( [ x , y _ { 1 } ] ) } \\ & { = } & { - [ x , [ f , y _ { 1 } ] ] + ( - 1 ) ^ { x f } [ f , [ x , y _ { 1 } ] ] } \\ & { = } & { - [ [ x , f ] , y _ { 1 } ] } \\ & { = } & { \delta d _ { x } f ( y _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { x } ^ { K } } & { = \rho _ { 0 } \otimes \tau _ { 0 } \otimes ( - \mathrm { i } \sigma _ { 2 } ) , } \\ { \mathcal { L } _ { y } ^ { K } } & { = \rho _ { 0 } \otimes ( - \mathrm { i } \tau _ { 2 } ) \otimes \sigma _ { 3 } , } \\ { \mathcal { L } _ { z } ^ { K } } & { = ( - \mathrm { i } \rho _ { 2 } ) \otimes \tau _ { 3 } \otimes \sigma _ { 3 } . } \end{array}
\mathcal { P } _ { u } \bar { f } = \mathcal { P } _ { u } \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \bar { f } = \mathcal { P } _ { u } \bar { \mathcal { S } } \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } ) = 0 .
\begin{array} { r } { \nabla _ { \mathbf { y } } \phi _ { 0 } = 0 , \quad \nabla _ { \mathbf { y } } \phi _ { 1 } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( \kappa _ { n } - \kappa _ { i } ) z _ { i } \nabla _ { \mathbf { y } } c _ { i , 1 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } \kappa _ { i } - z _ { n } \kappa _ { n } ) z _ { i } c _ { i , 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( \lambda ) = H _ { 0 } \exp { ( - \frac { 1 } { 2 } ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } ( 1 + \frac { R \omega } { c } ) ^ { 2 } ) } } \\ { \times ( 1 + \cos { ( \frac { 8 \pi ^ { 2 } c } { \omega \lambda } ( \frac { \triangledown \lambda } { \lambda } ) ^ { 2 } ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } \, \hat { m } _ { k } } & { = { \mathbb E } \left( \frac { 1 } { \alpha N } \sum _ { \ell = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { i k \frac { 2 \pi } { N } \ell } \hat { \Phi } _ { \ell } ^ { \alpha } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \alpha N } \sum _ { \ell = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { i k \frac { 2 \pi } { N } \ell } \lambda _ { \ell } ^ { \alpha } \Gamma ( \alpha + 1 ) } \\ & { \to \frac { \Gamma ( \alpha + 1 ) } { \alpha } \int _ { \mathbb T } e ^ { i k \theta } \Phi ( \theta ) ^ { \alpha } \frac { \mathrm { d } \theta } { 2 \pi } \quad \mathrm { ~ a s ~ } \ N \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { A D } } & { { } \approx \prod _ { n = 1 } ^ { N } U _ { A D } ^ { \lambda _ { n } } , ~ ~ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } ~ ~ U _ { A D } ^ { \lambda _ { n } } = \exp \left( - i H _ { A D } ^ { \lambda _ { n } } \tau _ { 0 } \right) } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ U _ { C D } } & { { } \approx \prod _ { n = 1 } ^ { N } U _ { C D } ^ { \lambda _ { n } } , ~ ~ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } ~ ~ U _ { C D } ^ { \lambda _ { n } } = \exp \left( - i H _ { C D } ^ { \lambda _ { n } } \tau _ { 0 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } \partial _ { t } ( \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \epsilon _ { \alpha } - \psi _ { \alpha } \right) ) + \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \epsilon _ { \alpha } - \psi _ { \alpha } \right) \mathbf { v } _ { \alpha } \right) + \mathrm { d i v } \left( \theta \boldsymbol { \Phi } _ { \alpha } \right) - \tilde { \rho } _ { \alpha } s _ { \alpha } \theta } & { ~ \geq 0 . } \end{array}
D ^ { \left( 1 \right) } ( R ) \rightarrow \left\{ \begin{array} { c } { { D ^ { \left[ 1 , 0 \right] } } } \\ { { D ^ { \left[ 0 , 1 \right] } } } \\ { { D ^ { \left[ \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right] } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \bigg | \int _ { 1 } ^ { \infty } } & { \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { k - 1 } \left( \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) \right) d y \bigg | } \\ & { \le \varepsilon \int _ { 1 } ^ { \infty } \left| \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) \right| y ^ { k - 4 } d y } \\ & { \le \varepsilon C \int _ { 1 } ^ { \infty } y ^ { k - 4 } d y \to 0 , \quad \varepsilon \downarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { \bf n } ^ { ( n ) } ( t ; \hat { A } ^ { \times } ) \equiv \mathrm { t r } _ { \mathrm { \tiny ~ B } } \Big [ \big ( \hat { f } _ { K } ^ { n _ { K } } \cdots \hat { f } _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \big ) ^ { \circ } \hat { A } ^ { \times } \rho _ { \mathrm { \tiny ~ T } } ( t ) \Big ] , } \\ & { \rho _ { \bf n } ^ { ( n ) } ( t ; \hat { A } ^ { \mathrm { \tiny ~ \lessgtr ~ } } ) \equiv \mathrm { t r } _ { \mathrm { \tiny ~ B } } \Big [ \big ( \hat { f } _ { K } ^ { n _ { K } } \cdots \hat { f } _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \big ) ^ { \circ } \hat { A } ^ { \mathrm { \tiny ~ \lessgtr ~ } } \rho _ { \mathrm { \tiny ~ T } } ( t ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } z e ^ { i \alpha _ { 0 } } \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } \left[ \partial ^ { 2 } \alpha _ { 0 } - \partial \alpha _ { 0 } \partial \varphi - i \partial ^ { 2 } \varphi + i ( \partial \varphi ) ^ { 2 } \right] } \\ { I _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } z e ^ { - i \alpha _ { 0 } } \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } \left[ \bar { \partial } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } - \bar { \partial } \alpha _ { 0 } \bar { \partial } \varphi + i \bar { \partial } ^ { 2 } \varphi - i ( \bar { \partial } \varphi ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
| \lambda ( t , \omega ) | \leqslant \Lambda \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \| \widehat { \widetilde { S } } ( t , \omega ) \| \leqslant \widetilde { \alpha } \quad \forall t \in \mathbb { R } ^ { + } , \quad \forall \omega \in \Omega ,
{ \begin{array} { l } { { Q _ { 1 } \ R 1 } } \\ { { Q _ { 5 } \ R 5 } } \\ { { Q _ { p } \ W } } \end{array} } \left[ { \begin{array} { l l l l l l l l l l } { { 0 } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { 5 } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \\ { { 0 } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { 5 } } & { { 6 } } & { { 7 } } & { { 8 } } & { { 9 } } \\ { { 0 } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { 5 } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \end{array} } \right] \quad .
\left\langle F \right\rangle = \left\langle \frac { \int \mathcal { D } \, \Psi _ { b } ^ { \dagger } \, \mathcal { D } \, \Psi _ { b } \, F \left[ \Psi _ { b } ^ { \dagger } , \Psi _ { b } \right] \, e ^ { - \widetilde { S } _ { B } \left[ \Psi _ { b } ^ { \dagger } , \Psi _ { b } \right] } } { \int \mathcal { D } \, \underline { { \Psi } } _ { \, b } ^ { \dagger } \, \mathcal { D } \, \underline { { \Psi } } _ { \, b } \, e ^ { - \widetilde { S } _ { B } \left[ \underline { { \Psi } } _ { \, b } ^ { \dagger } , \underline { { \Psi } } _ { \, b } \right] } } \right\rangle
\hat { P } _ { m } \, \left( \hat { \mathrm { \bf ~ j } } _ { \mathrm { \bf ~ k } } | n , \mathrm { \bf ~ P } _ { i } \rangle \right) = \left[ \hat { P } _ { m } \, , \, \hat { \mathrm { \bf ~ j } } _ { \mathrm { \bf ~ k } } \right] | n , \mathrm { \bf ~ P } _ { i } \rangle + P _ { m } ^ { ( i ) } \hat { \mathrm { \bf ~ j } } _ { \mathrm { \bf ~ k } } | n , \mathrm { \bf ~ P } _ { i } \rangle
\operatorname* { s u p } _ { \nu , \tilde { \nu } \in \mathbb { R } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { \langle \nu \rangle \langle \tilde { \nu } \rangle } { \langle p \rangle ^ { d + 1 } \langle p - q \rangle ^ { d + 1 } | \frac { 1 } { 2 } p ^ { 2 } + \nu + i \zeta | | \frac { 1 } { 2 } ( p - q ) ^ { 2 } + \tilde { \nu } + i \zeta | } \, d p \leq \frac { C \log ( \zeta ) ^ { 2 } } { | q | } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> } } & { \supset } & { - \frac { 1 } { 2 \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> } \left( \frac { 1 + 5 g _ { A } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } } + \frac { 0 . 6 8 } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } } \right) \frac { \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } } \\ & { \simeq } & { - 0 . 2 \, \frac { \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\Theta = \frac { h } { 2 } [ \langle \rho \rangle \dot { u } _ { \alpha } \dot { u } _ { \alpha } + \langle \rho \rangle \dot { \bar { u } } ^ { 2 } + \langle \rho \zeta ^ { 2 } + 2 \rho \alpha \rangle h ^ { 2 } \dot { \psi } _ { \alpha } \dot { \psi } _ { \alpha } + \rho ^ { * } h ^ { 2 } ( \dot { u } _ { \alpha , \alpha } ) ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l } { \dot { a } _ { c } } & { { } = - i \omega _ { 0 } \xi x \, a _ { c } - \frac { \gamma + \gamma _ { 1 } } { 2 } \, a _ { c } + \sqrt { \gamma } \, b _ { i n } + \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, c _ { i n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu _ { 1 } ^ { a } \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W ) \left[ L _ { W } e ^ { - \mu _ { 1 } L _ { W } - R _ { W } } \right] d \mu _ { 1 } } & { = \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W ) \left[ L _ { W } e ^ { - R _ { W } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu _ { 1 } ^ { a } e ^ { - \mu _ { 1 } L _ { W } } d \mu _ { 1 } \right] } \\ & { = \Gamma ( a + 1 ) \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W ) \left[ L _ { W } ^ { - a } e ^ { - R _ { W } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } } ~ - \left[ 2 + g ( t ) \right] x _ { 1 } + \left[ - 2 + g ( t ) \right] x _ { 2 } + n , } \\ & { \mathrm { s u b j e c t } ~ \mathrm { t o } ~ \left\{ \begin{array} { l l } { \eta \leq x _ { 1 } + x _ { 2 } \leq n , } \\ { x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \mathbb { N } . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf { F } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { v _ { 0 } } { \mu } ( \mathbf { p } \cdot \mathbf { N } ) \mathbf { N } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | \Delta \mathbf { r } _ { 0 } | \leq R } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\mathbf { p } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } ) = \frac { \mathbf { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i ( \kappa _ { x } x + \kappa _ { y } y ) } { d \kappa _ { x } } { d \kappa _ { y } }
\vec { R } _ { \mu \nu } ^ { \prime } \vec { T } = - i ( D _ { \mu } ^ { \prime } D _ { \nu } ^ { \prime } - D _ { \nu } ^ { \prime } D _ { \mu } ^ { \prime } ) = \Omega \vec { R } _ { \mu \nu } \vec { T } \Omega ^ { \dagger }
\begin{array} { r l } { \ln \left( \frac { E \left( b _ { 2 i } = + 1 \right) } { E \left( b _ { 2 i } = - 1 \right) } \right) } & { = \frac { 2 A } { \sigma ^ { 2 } } r _ { 1 , \, i } } \\ { \ln \left( \frac { E \left( c _ { \pi ( 2 i ) } = + 1 \right) } { E \left( c _ { \pi ( 2 i ) } = - 1 \right) } \right) } & { = \frac { 2 A } { \sigma ^ { 2 } } r _ { 2 , \, i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \gamma \in P _ { k n } ( F ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 k n } ( F ) } \int _ { N _ { n ^ { k } , 2 k n } ^ { 0 } ( \mathbb { A } ) } \psi _ { 0 } ( u ) } \\ { \times } & { \int _ { U _ { 2 } ( F ) \backslash U _ { 2 } ( \mathbb { A } ) } \theta _ { \psi , k n ^ { 2 } } ^ { \Phi } ( l _ { T } ^ { 0 } ( u _ { b } u ) i _ { T } ^ { 0 } ( 1 , \gamma g ) ) f _ { 2 n , k , s } ^ { \psi _ { 1 } ^ { \prime } } ( w _ { 0 } u _ { b } u \widetilde { \gamma g } ) d u _ { b } d u . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } = \epsilon ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \tau ^ { * } } \right) ^ { 2 } \sum _ { i } \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { r } \big \vert \nabla ^ { - 1 } \varphi _ { i } \big \vert ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 0 } ) \, , } \end{array}
_ { \sigma } < \varsigma | \mathcal { A } _ { 1 } \mathcal { A } _ { 2 } | \varsigma ^ { ^ { \prime } } > _ { \sigma } = \int _ { \mathbb { C } } d ^ { 2 } \varsigma _ { \sigma } ^ { ^ { ^ { \prime \prime } } } < \varsigma | \mathcal { A } _ { 1 } | \varsigma ^ { ^ { ^ { \prime \prime } } } > _ { \sigma } W _ { \sigma } ( | \varsigma ^ { ^ { \prime \prime } } | ^ { 2 } ) _ { \sigma } < \varsigma ^ { ^ { \prime \prime } } | \mathcal { A } _ { 2 } | \varsigma ^ { ^ { \prime } } > _ { \sigma } ,
\begin{array} { r l } { \Delta _ { b } ^ { \prime } : = } & { \Delta _ { b } + 2 \mathrm { i } \mathcal { X } _ { b } | \langle b \rangle | ^ { 2 } + \mathrm { g } _ { b c } | \langle c \rangle | ^ { 2 } , } \\ { \Delta _ { c } ^ { \prime } : = } & { \Delta _ { c } + 2 \mathrm { i } \mathcal { X } _ { c } | \langle c \rangle | ^ { 2 } + \mathrm { g } _ { b c } | \langle b \rangle | ^ { 2 } , } \end{array}
\left( \rho , u , p , E O S \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 . 9 9 1 , 0 , 3 . 0 5 9 \times 1 0 ^ { - 4 } , \mathrm { s t i f f e n d ~ g a s } ) } & { \mathrm { l i q u i d ~ p h a s e , ~ o u t s i d e ~ t h e ~ b u b b l e , } } \\ { ( 1 . 2 4 1 , 0 , 2 . 7 5 3 , \mathrm { s t i f f e n e d ~ g a s } ) } & { \mathrm { g a s ~ p h a s e , ~ i n s i d e ~ t h e ~ b u b b l e . } } \end{array} \right.
\big [ \hat { \Sigma } ( k , \hat { \nu } , \lambda ) \big ] _ { 1 1 } : = \big [ \Sigma ^ { \le r _ { m a x } } ( k , \hat { \nu } ^ { \le r _ { m a x } } , \lambda ) \big ] _ { 1 1 } = \sum _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } \sum _ { \sigma = ( s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } ) } \big [ \hat { \Sigma } _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } } ^ { r } ( k , \hat { \nu } ^ { \le ( r ) } , \lambda ) \big ] _ { 1 1 } ,
\epsilon ( \langle E _ { \pm } \rangle ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { n _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ s ~ t ~ } } } \sum _ { A ^ { \pm } } | \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { E } ( A ^ { + } ) + \tilde { E } ( A ^ { - } ) ) - \frac { 1 } { 2 } ( { E } ( A ^ { + } ) + { E } ( A ^ { - } ) ) | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \mathsf { P } \biggl [ \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ t - x , t ] , } \{ - A ( t - x , \tau ) - S _ { P _ { L } } ( \tau , t ) \} \ge 0 \biggr ] } \\ { \le } & { \mathsf { P } [ Z _ { S } \ge x - w + ( t - x + o ) \bmod w ] } \\ { \le } & { \varepsilon _ { S } ^ { \prime } ( \rho _ { S } ^ { \prime } ( x - ( w - ( t - x + o ) \bmod w ) ) - l ) , } \end{array}