harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma _ { i j } = \mu \bigg ( \frac { \partial \xi _ { k } } { \partial x _ { j } } \frac { \partial u _ { i } } { \partial \xi _ { k } } + \frac { \partial \xi _ { k } } { \partial x _ { i } } \frac { \partial u _ { j } } { \partial \xi _ { k } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial \xi _ { l } } { \partial x _ { k } } \frac { \partial u _ { k } } { \partial \xi _ { l } } \delta _ { i j } \bigg )
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { \sigma \in S _ { 2 d } } \mathrm { s g n } ( \sigma ) \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( 2 ) } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 3 ) \sigma ( 4 ) } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 5 ) \sigma ( 6 ) } ^ { r _ { 3 } } \cdots \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 2 d - 1 ) \sigma ( 2 d ) } ^ { r _ { d } } } \\ & { = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { \sigma \in S _ { 2 d } } \left( \mathrm { s g n } ( \sigma ) \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( 2 ) } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 3 ) \sigma ( 4 ) } ^ { r } + \mathrm { s g n } ( \sigma ^ { \prime } ) \tilde { \Gamma } _ { \sigma ^ { \prime } ( 1 ) \sigma ^ { \prime } ( 2 ) } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { \sigma ^ { \prime } ( 3 ) \sigma ^ { \prime } ( 4 ) } ^ { r } + \mathrm { s g n } ( \sigma ^ { \prime \prime } ) \tilde { \Gamma } _ { \sigma ^ { \prime \prime } ( 1 ) \sigma ^ { \prime \prime } ( 2 ) } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { \sigma ^ { \prime \prime } ( 3 ) \sigma ^ { \prime \prime } ( 4 ) } ^ { r } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 5 ) \sigma ( 6 ) } ^ { r _ { 3 } } \cdots \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 2 d - 1 ) \sigma ( 2 d ) } ^ { r _ { d } } } \\ & { = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { \sigma \in S _ { 2 d } } \mathrm { s g n } ( \sigma ) \left( \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( 2 ) } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 3 ) \sigma ( 4 ) } ^ { r } - \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( 3 ) } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 2 ) \sigma ( 4 ) } ^ { r } - \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( 4 ) } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 3 ) \sigma ( 2 ) } ^ { r } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 5 ) \sigma ( 6 ) } ^ { r _ { 3 } } \cdots \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 2 d - 1 ) \sigma ( 2 d ) } ^ { r _ { d } } } \\ & { = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { \sigma \in S _ { 2 d } } \mathrm { s g n } ( \sigma ) \left( \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( 2 ) } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 3 ) \sigma ( 4 ) } ^ { r } - \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( 3 ) } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 2 ) \sigma ( 4 ) } ^ { r } + \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( 4 ) } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 2 ) \sigma ( 3 ) } ^ { r } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 5 ) \sigma ( 6 ) } ^ { r _ { 3 } } \cdots \tilde { \Gamma } _ { \sigma ( 2 d - 1 ) \sigma ( 2 d ) } ^ { r _ { d } } } \\ & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { P } ( n ) = } & { { } \int _ { 0 } ^ { + \infty } d ( \omega \tau ) e ^ { - i [ 2 { P ^ { 2 } } / { P _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } + 1 ) U _ { \mathrm { p } } - n { \hbar \omega } - ( i \Gamma + \Delta ) ] ( { \tau } / { \hbar } ) } } \end{array}
\frac { d } { d y } \left( \mu \frac { d } { d y } \langle u _ { f } \rangle - \rho _ { f } \langle u _ { f } ^ { \prime } v _ { f } ^ { \prime } \rangle \right) + \langle F _ { p , x } \rangle = - \bigg \langle \frac { \partial p } { \partial x } \bigg \rangle ,
\frac { \Gamma ( \Lambda _ { b } \to \Lambda \bar { D } ^ { 0 } ) } { \Gamma ( \Lambda _ { b } \to \Lambda J / \psi ) } = 1 0 . 2 3 5 \times 1 0 ^ { - 2 } ~ | V _ { u b } / V _ { c b } | ^ { 2 } = 4 . 9 3 6 \times 1 0 ^ { - 3 } ~ ( \rho ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } ) \; .
\nabla Q _ { i , j , k } = \frac { Q _ { i + 1 , j , k } - Q _ { i - 1 , j , k } } { 2 \Delta x } { \bf \hat { x } } + \frac { Q _ { i , j + 1 , k } - Q _ { i , j - 1 , k } } { 2 \Delta y } { \bf \hat { y } } + \frac { Q _ { i , j , k + 1 } - Q _ { i , j , k - 1 } } { 2 \Delta z } { \bf \hat { z } }
\gamma ^ { \mu } = \left( \begin{array} { l l } { { \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } & { { \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \mathbf { \sigma } } } \\ { { - \mathbf { \sigma } } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } \end{array} \right) \ .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { H } ( X ) } & { = \operatorname { E } [ - \ln ( p ( X ) ) ] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ - \alpha \ln ( \beta ) + \ln ( \Gamma ( \alpha ) ) + ( \alpha + 1 ) \ln ( X ) + { \frac { \beta } { X } } \right] } \\ & { = - \alpha \ln ( \beta ) + \ln ( \Gamma ( \alpha ) ) + ( \alpha + 1 ) \ln ( \beta ) - ( \alpha + 1 ) \psi ( \alpha ) + \alpha } \\ & { = \alpha + \ln ( \beta \Gamma ( \alpha ) ) - ( \alpha + 1 ) \psi ( \alpha ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Y _ { 3 a } ) } & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { i j k \ell } [ \beta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } ^ { 2 } + \beta _ { i } \beta _ { j } \beta _ { k } \beta _ { \ell } ] \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } + \sum _ { i j k \ell j ^ { \prime } k ^ { \prime } } \beta _ { k } \beta _ { \ell } ^ { 2 } \beta _ { k ^ { \prime } } \theta _ { i } ^ { 3 } \theta _ { j } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \theta _ { j ^ { \prime } } \theta _ { k ^ { \prime } } ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } ( 2 3 + 4 { \sqrt { 3 4 } } ) } \\ { b } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 9 { \sqrt { 2 } } + 7 { \sqrt { 1 7 } } ) } \\ { c } & { { } = ( 4 2 9 + 3 0 4 { \sqrt { 2 } } ) } \\ { d } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } ( 6 2 7 + 4 4 2 { \sqrt { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( X ) } & { = - \left( \begin{array} { l } { a ^ { 1 } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \\ { \vdots } \\ { a ^ { d } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \\ { X ^ { d + 1 } b ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \\ { X ^ { d + 1 } c ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \end{array} \right) , } \\ { F ( X ) } & { = - \left( \begin{array} { l l l } { A _ { 1 } ^ { 1 } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } & { \cdots } & { A _ { 1 } ^ { m } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { A _ { d } ^ { 1 } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } & { \cdots } & { A _ { d } ^ { m } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \\ { X ^ { d + 1 } B _ { 1 } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } & { \cdots } & { X ^ { d + 1 } B _ { m } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \\ { X ^ { d + 1 } C _ { 1 } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } & { \cdots } & { X ^ { d + 1 } C _ { m } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \end{array} \right) , } \\ { \Sigma ( X ) } & { = - \left( \begin{array} { l l l } { \alpha _ { 1 } ^ { 1 } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } & { \cdots } & { \alpha _ { 1 } ^ { m } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \alpha _ { d } ^ { 1 } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } & { \cdots } & { \alpha _ { d } ^ { m } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \\ { X ^ { d + 1 } \beta _ { 1 } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } & { \cdots } & { X ^ { d + 1 } \beta _ { m } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \\ { X ^ { d + 1 } \sigma _ { 1 } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } & { \cdots } & { X ^ { d + 1 } \sigma _ { m } ( X ^ { 1 } , \dots , X ^ { d } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 . 5 } & { \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { J M L , 1 } } ( x , y ) + 0 . 5 \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { J M L , 1 } } ( x ^ { \prime } , y ) > \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { J M L , 1 } } ( 0 . 5 x + 0 . 5 x ^ { \prime } , y ) , } \\ { 0 . 5 } & { \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { J M L , 2 } } ( x , y ) + 0 . 5 \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { J M L , 2 } } ( x ^ { \prime } , y ) > \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { J M L , 2 } } ( 0 . 5 x + 0 . 5 x ^ { \prime } , y ) . } \end{array}
g \ = \ \left( \begin{array} { l l l } { \gamma \beta + 2 \zeta _ { 3 } ( \sigma _ { 3 } + \zeta _ { 3 } ) } & { \alpha ( \sigma _ { 3 } - \zeta _ { 3 } ) + \beta ( \sigma _ { 3 } + \zeta _ { 3 } ) } & { 0 } \\ { \alpha ( \sigma _ { 3 } - \zeta _ { 3 } ) + \beta ( \sigma _ { 3 } + \zeta _ { 3 } ) } & { \gamma \alpha + 2 \zeta _ { 3 } ( \zeta _ { 3 } - \sigma _ { 3 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \alpha \beta + ( \zeta _ { 3 } - \sigma _ { 3 } ) ( \zeta _ { 3 } + \sigma _ { 3 } ) } \end{array} \right)
\forall v , w \in V ^ { 1 } : \forall x , y \in V ^ { 3 } : \left( \begin{array} { l } { v } \\ { x } \end{array} \right) \boldsymbol { \cdot } \left( \begin{array} { l } { w } \\ { y } \end{array} \right) = \langle v , w \rangle + \langle x , y \rangle
\frac { \mu ^ { ( \nu ) } } { \beta ^ { ( \nu ) } } \sim 0 . 0 2 4 6 \; \; \mathrm { t o } \; \; 0 . 0 0 0 0 4 9 2 \; , \; \frac { \beta ^ { ( \nu ) } } { \mu ^ { ( \nu ) } } \sim 4 0 . 7 \; \; \mathrm { t o } \; \; 2 0 3 0 0
\mathrm { 2 \ N a A l S i _ { 3 } O _ { 8 } + 2 \ H _ { 2 } C O _ { 3 } + 9 \ H _ { 2 } O \longrightarrow 2 \ N a ^ { + } + 2 \ H C O _ { 3 } ^ { - } + 4 \ H _ { 4 } S i O _ { 4 } + A l _ { 2 } S i _ { 2 } O _ { 5 } ( O H ) _ { 4 } }
\begin{array} { r l } { I ( { \bf k } , \omega ) } & { { } \propto \frac { A _ { \bf k } ( \omega ) \gamma _ { \bf k } ^ { C } + B _ { \bf k } ( \omega ) \gamma _ { \bf k } ^ { X } + D _ { \bf k } ( \omega ) \sqrt { \gamma _ { \bf k } ^ { X } \gamma _ { \bf k } ^ { C } } } { | \hbar \omega - \hbar \omega _ { \bf k } ^ { L } | ^ { 2 } | \hbar \omega - \hbar \omega _ { \bf k } ^ { U } | ^ { 2 } } n _ { \bf k } ( \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \phi } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) } & { = \phi _ { j , k } ( \xi _ { 1 } + p P - j J , \xi _ { 2 } + q Q - k K ) } \\ & { = 2 \pi \left( c _ { j , k } + \boldsymbol { s } _ { j , k } \cdot ( \xi _ { 1 } + p P - j J , \xi _ { 2 } + q Q - k K ) + \eta _ { j , k } ( \xi _ { 1 } + p P - j J , \xi _ { 2 } + q Q - k K ) \right) } \\ & { = 2 \pi \left( c _ { j , k } + \boldsymbol { s } _ { j , k } \cdot ( p P - j J , q Q - k K ) + \boldsymbol { s } _ { j , k } \cdot \boldsymbol { \xi } + \eta _ { j , k } ( \xi _ { 1 } + p P - j J , \xi _ { 2 } + q Q - k K ) \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { y _ { 1 } ( y ; m ) = \left( m + y \right) \left( \frac { 1 - y } { 1 + y } \right) ^ { m / 2 } } \\ & { } & { y _ { 2 } ( y ; m ) = \frac { 1 } { 2 m ( m ^ { 2 } - 1 ) } \left( m - y \right) \left( \frac { 1 + y } { 1 - y } \right) ^ { m / 2 } } \\ & { } & { y _ { 1 } ^ { ' } ( y ; m ) = \left( \frac { 1 - y } { 1 + y } \right) ^ { m / 2 } \left[ 1 - m \left( \frac { y + m } { 1 - y ^ { 2 } } \right) \right] } \\ & { } & { y _ { 2 } ^ { ' } ( y ; m ) = \frac { 1 } { 2 m ( m ^ { 2 } - 1 ) } \left( \frac { 1 + y } { 1 - y } \right) ^ { m / 2 } \left[ 1 - m \left( \frac { y - m } { 1 - y ^ { 2 } } \right) \right] } \\ & { } & \end{array}
d s ^ { 2 } = d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } \eta _ { \mu \nu } \ , \qquad T _ { \mu \nu } ^ { - } = { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { i - } = 0 \ , \qquad z ^ { i } = z _ { 0 } ^ { i } \ , \qquad q ^ { u } = q _ { 0 } ^ { u } \ .
\frac { \partial \left| J ^ { - 1 } \right| u _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial \left[ C _ { n j } u _ { j } \right] u _ { i } } { \partial \zeta _ { n } } = - \frac { \partial C _ { n i } P } { \partial \zeta _ { n } } + g T \delta _ { i n } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \frac { \partial } { \partial \zeta _ { n } } \left( G _ { n j } \frac { \partial u _ { i } } { \partial \zeta _ { j } } \right)
\tan ^ { - 1 } ( x ) = { \frac { \sqrt { 5 } } { 2 \imath } } \times \sum _ { b = \pm 1 } \sum _ { j \geq 0 } { \frac { b } { \sqrt { 5 } } } { \binom { j + { \frac { 1 } { 2 } } } { j } } ^ { - 1 } \left[ { \frac { \left( b \imath \varphi t / { \sqrt { 5 } } \right) ^ { j } } { \left( 1 - { \frac { b \imath \varphi t } { \sqrt { 5 } } } \right) ^ { j + 1 } } } - { \frac { \left( b \imath \Phi t / { \sqrt { 5 } } \right) ^ { j } } { \left( 1 + { \frac { b \imath \Phi t } { \sqrt { 5 } } } \right) ^ { j + 1 } } } \right] ,
\_ H = { \frac { j E _ { 0 } } { 2 \mu } } \Bigg [ \Big ( { \frac { \beta _ { \/ R } } { \omega } } + { \frac { \omega \kappa } { c } } \Big ) ( \_ a _ { x } - j \_ a _ { y } ) \exp ( - j \beta _ { \/ R } z ) - \Big ( { \frac { \beta _ { \/ L } } { \omega } } - { \frac { \omega \kappa } { c } } \Big ) ( \_ a _ { x } + j \_ a _ { y } ) \exp ( - j \beta _ { \/ L } z ) \Bigg ] \exp ( j \omega t ) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { \hat { z } } \times \Delta \mathbf { H } } & { { } = - \nabla \times \mathbf { H } _ { 0 } - j \omega \mathbf { D } _ { 0 } + \mathbf { J } _ { 0 } } \\ { \mathbf { \hat { z } } \times \Delta \mathbf { E } } & { { } = - \nabla \times \mathbf { E } _ { 0 } + j \omega \mathbf { B } _ { 0 } } \\ { \mathbf { \hat { z } } \cdot \Delta \mathbf { D } } & { { } = \rho _ { 0 } - \nabla \cdot \mathbf { D } _ { 0 } } \\ { \mathbf { \hat { z } } \cdot \Delta \mathbf { J } } & { { } = \rho _ { 0 } - \nabla \cdot \mathbf { D } _ { 0 } \ \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { D } } r \left( \Delta \varphi - \frac { \varphi } { r ^ { 2 } } \right) - \phi \varphi } & { = 0 } \\ { \frac { 1 } { \overline { { \alpha } } ( 1 - \overline { { \nu } } _ { A } ^ { 2 } ) } r \left( \Delta \phi - \frac { \phi } { r ^ { 2 } } \right) + \frac { \varphi ^ { 2 } } { 2 } } & { = 0 . } \end{array}
F _ { \sigma , \tau } \big ( x \big ) \equiv \sum _ { v } ( - 1 ) ^ { v } v ! { \binom { \sigma } { v } } { \binom { \tau } { v } } x ^ { v } = ( 1 - x { \frac { d } { d y } } ) ^ { \tau } y ^ { \sigma } | _ { y = 1 } .
\begin{array} { r l } { Z _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { { } = - \frac { \alpha ^ { 2 } } \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \omega ^ { 2 } \, \alpha _ { 1 } ^ { 3 } ( \mathrm { i } \omega ) ~ d \omega , } \\ { Z _ { 2 , 3 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { { } = - \frac { \alpha ^ { 2 } } \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \omega ^ { 2 } \, \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ( \mathrm { i } \omega ) \alpha _ { 2 } ( \mathrm { i } \omega ) ~ d \omega , } \\ { Z _ { 4 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { { } = - \frac { \alpha ^ { 2 } } \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \omega ^ { 2 } \, \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ( \mathrm { i } \omega ) \beta _ { 1 } ^ { - } ( \mathrm { i } \omega ) ~ d \omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { S } } ( t ) = } & { \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { { \boldsymbol { r } } } \frac { \sum _ { i } \langle \vert { { \boldsymbol { J } } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( { \boldsymbol { r } } , t ) \vert ^ { 2 } \rangle } { \epsilon } } \\ & { + \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { r } \sum _ { i } \left\langle \frac { \delta } { \delta { \phi _ { i } ( \boldsymbol { r } , t ) } } \nabla \cdot { \boldsymbol { J } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( { \boldsymbol { r } } , t ) \right\rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I } & { = } & { \{ l _ { 1 1 } , l _ { 1 2 } , . . . , l _ { n k } | \mathrm { ~ } 0 \leq l _ { r s } \leq j \mathrm { , ~ } \sum _ { s = 1 } ^ { k } \sum _ { r = 1 } ^ { n } l _ { r s } = j \} , } \\ { a } & { = } & { \sum _ { s = 1 } ^ { k } \sum _ { r = 1 } ^ { n } ( m - r + 1 ) l _ { r s } } \\ & { = } & { ( m + 1 ) j - \sum _ { s = 1 } ^ { k } \sum _ { r = 1 } ^ { n } r l _ { r s } \mathrm { , } } \\ { b } & { = } & { \sum _ { s = 1 } ^ { k } \sum _ { r = 1 } ^ { n } ( k - s + 1 ) l _ { r s } } \\ & { = } & { ( k + 1 ) \sum _ { s = 1 } ^ { k } \sum _ { r = 1 } ^ { n } l _ { r s } - \sum _ { s = 1 } ^ { k } \sum _ { r = 1 } ^ { n } s l _ { r s } } \\ & { = } & { ( k + 1 ) j - \sum _ { s = 1 } ^ { k } \sum _ { r = 1 } ^ { n } s l _ { r s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { Q } ^ { x } } & { = \frac { \mathrm { t r } \{ \tau _ { Q } ^ { x } \} } { \mathrm { t r } \{ \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x } \} } \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x } } \\ & { = \sum _ { x ^ { \prime } } \tilde { q } _ { x ^ { \prime } | x } \frac { \mathrm { t r } \{ \tau _ { Q } ^ { x } \} } { \mathrm { t r } \{ \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x } \} } \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } . } \end{array}
\mathbf { H } _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { H _ { 0 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { H _ { 1 0 } } & { H _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { H _ { 2 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { H _ { 3 3 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { = \, } & { { } G _ { l ^ { \prime } L l } ^ { m ^ { \prime } M m } r [ x ( i ) ] ^ { 5 / 2 } \left( \epsilon _ { i - r a d } ^ { ( 1 ) } \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } - V _ { \mu } ^ { ( 1 ) } [ x ( i ) ] \right) u _ { i , l } [ x ( i ) ] } \end{array}
S = \left( \begin{array} { l l l l } { - \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } - i \omega _ { 1 } } & { - \Gamma _ { c } } & { - i \frac { V _ { 1 } } { 2 } } & { 0 } \\ { - \Gamma _ { c } } & { - \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } - i \omega _ { 2 } } & { 0 } & { - i \frac { V _ { 2 } } { 2 } } \\ { - i \frac { V _ { 1 } } { 2 } } & { 0 } & { - \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } - i \omega _ { 1 } } & { - \Gamma _ { c } } \\ { 0 } & { - i \frac { V _ { 2 } } { 2 } } & { - \Gamma _ { c } } & { - \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } - i \omega _ { 2 } } \end{array} \right)
\tilde { G } _ { - + } ^ { \beta } ( k + q ) \tilde { G } _ { + - } ^ { \beta } ( q ) + \tilde { G } _ { + - } ^ { \beta } ( k + q ) \tilde { G } _ { - + } ^ { \beta } ( q ) \ = \ \coth \left( { \frac { \beta k ^ { o } } { 2 } } \right) [ \tilde { G } _ { - + } ^ { \beta } ( k + q ) \tilde { G } _ { + - } ^ { \beta } ( q ) - \tilde { G } _ { + - } ^ { \beta } ( k + q ) \tilde { G } _ { - + } ^ { \beta } ( q ) ] .
\int _ { 0 } ^ { \infty } \displaystyle \frac { R ( u ) } { \kappa ( u ) + \displaystyle \frac { R ( u ) } { \kappa ( u ) } } ~ d u \leq \int _ { 0 } ^ { \infty } \displaystyle \frac { R ( u ) } { \kappa ( u ) } ~ d u
f _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , 2 2 } ( \theta , n ) = \frac { n } { 2 } \left\{ \left[ - 2 - ( - 1 ) ^ { n } + \frac { n } { 2 } \right] \sin \left( \left( \frac { n } { 2 } - 1 \right) \theta \right) - \left( \frac { n } { 2 } - 1 \right) \sin \left( \left( \frac { n } { 2 } - 3 \right) \theta \right) \right\}
\begin{array} { r l r } { \dot { S } } & { { } = } & { S _ { \mathrm { e x t } } ( \frac { T } { n _ { T } } ) ^ { \alpha } - \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) S \frac { X } { n _ { X } } - \mu S , } \\ { \dot { T } } & { { } = } & { \phi _ { S } n _ { T } v \frac { \phi _ { S } / n _ { X } } { \phi _ { S } v + \mu } S X - \phi T X + \phi n _ { T } v \frac { \phi / n _ { X } } { \phi v + \mu } X ^ { 2 } - \mu T , } \\ { \dot { X } } & { { } = } & { \frac { n _ { X } \phi _ { S } v - ( n _ { T } + n _ { X } ) \mu } { \phi _ { S } v + \mu } \phi _ { S } S \frac { X } { n _ { X } } + \frac { \phi v - \mu } { \phi v + \mu } \phi T X - \phi \frac { 2 ( n _ { T } + n _ { X } ) \mu + n _ { T } v \phi } { \phi v + \mu } X ^ { 2 } / n _ { X } - \mu X . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d \mathrm { { \bf ~ O } } ( \mathrm { { \bf ~ R } } , t ) } { d t } = F _ { \mathrm { { \bf ~ R } } } ( { \mathrm { { \bf ~ S } } } ( \mathrm { { \bf ~ r } } , t ) , \theta ) + [ { \cal F } ( \mathrm { { \bf ~ R } } , t ) , 0 ] , } \\ & { } & { \frac { d \mathrm { { \bf ~ O } } ( I , J , t ) } { d t } = F _ { I , J } ( { \mathrm { { \bf ~ S } } } ( i , j , t ) , \theta ) + [ { \cal F } ( I , J , t ) , 0 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { m } ^ { n _ { \mathrm { s m } } } ( i , j , k ) = } & { } \\ { \sum _ { k _ { l } = - 1 } ^ { 1 } \sum _ { j _ { l } = - 1 } ^ { 1 } } & { \sum _ { i _ { l } = - 1 } ^ { 1 } \mathbf { P } \left( i _ { l } , j _ { l } , k _ { l } \right) f _ { m } ^ { n _ { \mathrm { s m } } - 1 } ( i + i _ { l } , j + j _ { l } , k + k _ { l } ) } \end{array}
| \{ q _ { a } q _ { b } \} q _ { c } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } ( 1 - \delta _ { a b } ) + 2 \delta _ { a b } } ( | q _ { a } q _ { b } q _ { c } \rangle + | q _ { b } q _ { a } q _ { c } \rangle ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \left| \mathrm { E C T } _ { \gamma _ { e } } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { b _ { e } } ( v , t ) \right| \; \mathrm { d } t } & { \leq \int _ { d _ { 1 } } ^ { d _ { 4 } } \mathrm { E C T } _ { \gamma _ { e } } ( v , t ) \; \mathrm { d } t - ( d _ { 3 } - d _ { 2 } ) } \\ & { \leq \sqrt { l _ { e } ^ { 2 } - \left( l _ { e } - \frac { M ^ { 2 } } { 2 4 } l _ { e } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \sqrt { \frac { M ^ { 2 } } { 1 2 } l _ { e } ^ { 4 } - \frac { M ^ { 4 } } { 2 4 ^ { 2 } } l _ { e } ^ { 6 } } } \\ & { \leq \frac { M } { \sqrt { 1 2 } } l _ { e } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ( r ) = } & { { } \mathrm { R e } [ \kappa \theta ( R - r ) \sqrt { \varepsilon } J _ { 0 } ( \sqrt { \varepsilon } \omega r / c ) Y _ { 1 } ( \omega R / c ) } \\ { E ( r ) = } & { { } \mathrm { R e } [ \kappa \theta ( R - r ) J _ { 1 } ( \sqrt { \varepsilon } \omega r / c ) Y _ { 1 } ( \omega R / c ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } \left[ ^ { 1 } E \right] } & { = 2 \mathcal { E } \left[ ^ { m } \Phi _ { 2 } \right] - \mathcal { E } \left[ ^ { 3 } A _ { 2 } \right] = 2 \mathcal { E } \left[ ^ { m } \Phi _ { 2 } \right] - \mathcal { E } \left[ ^ { 3 } \Phi _ { 1 } \right] , } \\ { \mathcal { E } \left[ ^ { 1 } A _ { 1 } \right] } & { = 2 \mathcal { E } \left[ ^ { 1 } \Phi _ { 3 } \right] - \mathcal { E } \left[ ^ { 1 } E \right] = \mathcal { E } [ ^ { 3 } \Phi _ { 1 } ] + 2 ( \mathcal { E } [ ^ { 1 } \Phi _ { 3 } ] - \mathcal { E } [ ^ { m } \Phi _ { 2 } ] ) , } \end{array}
B ( \mathbf { n } , \phi ) = I + \phi \left. { \frac { \partial B } { \partial \phi } } \right| _ { \phi = 0 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } - \phi { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { n _ { x } } & { n _ { y } } & { n _ { z } } \\ { n _ { x } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { n _ { y } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { n _ { z } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { ( \vec { r } _ { k } ) _ { x } } & { = \rho \cos ( \pi / 4 - \theta / 2 ) \cos ( \varphi _ { k } / 2 ) , } \\ { ( \vec { r } _ { k } ) _ { y } } & { = \rho \sin ( \pi / 4 - \theta / 2 ) \sin ( \varphi _ { k } / 2 ) , } \\ { ( \vec { r } _ { k } ) _ { z } } & { = 0 , } \\ { ( \vec { R } _ { k } ) _ { x } } & { = - \rho \cos ( \pi / 4 - \theta / 2 ) \sin ( \varphi _ { k } / 2 ) , } \\ { ( \vec { R } _ { k } ) _ { y } } & { = \rho \sin ( \pi / 4 - \theta / 2 ) \cos ( \varphi _ { k } / 2 ) , } \\ { ( \vec { R } _ { k } ) _ { z } } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 3 } N _ { c } ( \Delta p ) } { d A \, d t } = n _ { g } \frac { d \Delta p } { m _ { g } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \bigg ( } & { { } \frac { \Delta p } { 2 m _ { g } } e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \end{array}
- { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \left( i { \frac { 2 m c ^ { 2 } } { \hbar } } { \frac { \partial \phi } { \partial t } } + \left( { \frac { m c ^ { 2 } } { \hbar } } \right) ^ { 2 } \phi \right) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } m c ^ { 2 } t } \approx \left( \nabla ^ { 2 } - \left( { \frac { m c ^ { 2 } } { \hbar } } \right) ^ { 2 } \right) \phi \, e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } m c ^ { 2 } t }
\Delta \mathcal { H } _ { A c t } ( \vec { c } \rightarrow \vec { m } ) = \frac { \lambda _ { A c t } } { \mathrm { ~ M ~ a ~ x ~ } _ { A c t } } \left( \prod _ { \vec { y } \in \mathrm { ~ N ~ B ~ } ( \vec { c } ) } A c t ( \vec { y } ) \right) ^ { \frac { 1 } { | \mathrm { ~ N ~ B ~ } ( \vec { c } ) | } } .