harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { d Z _ { s , u } ( t ) } { d t } = p _ { s , u } X _ { s , u } ( t ) X _ { s + 1 , u ^ { \prime } } ( t ) - \frac { Z _ { s , u } ( t ) } { \tau _ { z } } , } \\ & { \frac { d X _ { s , u } ( t ) } { d t } = q _ { s , u } Z _ { s , u } ( t ) X _ { s + 1 , u ^ { \prime \prime } } ( t ) - \frac { X _ { s , u } ( t ) } { \tau _ { x } } . } \end{array}
\theta \simeq \frac { m } { Q } \frac { y } { x ( 1 - y ) ^ { 1 / 2 } } , ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ \beta \simeq \theta \frac { 1 - y } { y } , ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ y = \frac { \nu } { | { \bf k } | } .
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { e _ { S } } \\ { e _ { R } } \\ { e _ { P } } \end{array} \right] \mapsto \left[ \begin{array} { l } { f _ { S } } \\ { f _ { R } } \\ { f _ { P } } \end{array} \right] : = \left[ \begin{array} { l l l } { - J } & { - G _ { R } } & { - G } \\ { G _ { R } ^ { \top } } & { 0 } & { 0 } \\ { G ^ { \top } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { e _ { S } } \\ { e _ { R } } \\ { e _ { P } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { Q _ { i j } } } & { { = \mathrm { d i a g } ( n _ { 2 } n _ { 3 } m _ { 1 } , n _ { 1 } n _ { 3 } m _ { 2 } , n _ { 2 } n _ { 1 } m _ { 3 } ) \, , } } \\ { { P ^ { i j } } } & { { = \mathrm { d i a g } ( m _ { 2 } m _ { 3 } n _ { 1 } , m _ { 1 } m _ { 3 } n _ { 2 } , m _ { 2 } m _ { 1 } n _ { 3 } ) \, , } } \\ { { q _ { 0 } } } & { { = n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } \, , } } \\ { { p ^ { 0 } } } & { { = - m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { T } ( z _ { 0 } ) \rangle } & { = \frac { H ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 D } + \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \biggl [ \langle \mathcal { T } _ { H } ( 0 ) \rangle - \frac { H ^ { 2 } } { 2 D } + \frac { \langle \mathcal { T } _ { w } \rangle + \mathcal { E } _ { 0 } ( 0 ) \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( 0 ) \rangle } { \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) } \biggr ] } \\ & { = \frac { H ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 D } + \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \biggl [ \frac { \langle \mathcal { T } _ { w } \rangle } { \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) } \underbrace { + \frac { \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) \langle \mathcal { T } _ { H } ( 0 ) \rangle + \mathcal { E } _ { 0 } ( 0 ) \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( 0 ) \rangle } { \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) } - \frac { H ^ { 2 } } { 2 D } } _ { = 0 } \biggr ] } \\ & { = \frac { H ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 D } + \underbrace { \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \frac { \langle \mathcal { T } _ { w } \rangle } { \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) } } _ { = q ( H - z _ { 0 } ) \langle \mathcal { T } _ { w } \rangle } , } \end{array}
+ 9 [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ]
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial { u } _ { i } ^ { \prime } } { \partial t } + \tilde { u } _ { j } \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { j } } + u _ { j } ^ { \prime } \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { = - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { f } } } \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } + ( \nu _ { \mathrm { f } } + \nu _ { \mathrm { t } } ^ { \prime } ) \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } + \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } + s _ { i } ^ { \prime } . } \end{array}
\delta _ { 1 } = ( C _ { A } + 2 C _ { F } ) \, \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi \epsilon } \, , \qquad \delta _ { 2 } = 2 \delta _ { 3 } = \delta _ { 4 } = - C _ { A } \, \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi \epsilon } \, ,
\Delta ^ { \prime } ( s ) = 2 { \big ( } u ( \mathbf { X } ( s ) ) - U ( s ) { \big ) } { \Big ( } \mathbf { a } ( \mathbf { X } ( s ) , U ( s ) ) \cdot \nabla u ( \mathbf { X } ( s ) ) - c ( \mathbf { X } ( s ) , U ( s ) ) { \Big ) }
\hat { U } ^ { b } = \left( \begin{array} { c c c } { \frac { 2 t ^ { b } } { \sqrt { ( \Delta \epsilon ^ { b } + \Omega ^ { b } ) ^ { 2 } + 8 ( t ^ { b } ) ^ { 2 } } } } & { \frac { \Delta \epsilon ^ { b } + \Omega ^ { b } } { \sqrt { ( \Delta \epsilon ^ { b } + \Omega ^ { b } ) ^ { 2 } + 8 ( t ^ { b } ) ^ { 2 } } } } & { \frac { 2 t ^ { b } } { \sqrt { ( \Delta \epsilon ^ { b } + \Omega ^ { b } ) ^ { 2 } + 8 ( t ^ { b } ) ^ { 2 } } } } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { \frac { 2 t ^ { b } } { \sqrt { ( \Delta \epsilon ^ { b } - \Omega ^ { b } ) ^ { 2 } + 8 ( t ^ { b } ) ^ { 2 } } } } & { \frac { \Delta \epsilon ^ { b } - \Omega ^ { b } } { \sqrt { ( \Delta \epsilon ^ { b } - \Omega ^ { b } ) ^ { 2 } + 8 ( t ^ { b } ) ^ { 2 } } } } & { \frac { 2 t ^ { b } } { \sqrt { ( \Delta \epsilon ^ { b } - \Omega ^ { b } ) ^ { 2 } + 8 ( t ^ { b } ) ^ { 2 } } } } \end{array} \right) ,
{ \mathbf { A } } ^ { \prime } ( \mathbf { x } ) = \partial _ { \mathbf { x } } { \mathbf { A } } ( \mathbf { x } ) = \bigl ( \partial _ { j } { \mathbf { A } } _ { i } ( \mathbf { x } ) \bigr ) _ { i , j = 1 } ^ { 4 }
\mathbf { x } _ { 1 } = \mathbf { x } _ { 0 } + \mathbb { E } _ { p _ { \hat { \theta } _ { 0 } } ( \mathbf { \Delta x } _ { 0 } \mid \mathbf { \bar { y } } _ { 0 } ) } \, \left[ \mathbf { \Delta x } _ { 0 } \mid \mathbf { \bar { y } } _ { 0 } \right] ,
M ( v = ( 1 , \vec { 0 } ) ) = \left( \begin{array} { l r } { { 0 } } & { { X } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l r } { { 1 } } & { { - \frac { \vec { \sigma } \cdot \vec { k } } { m _ { q } + \omega _ { q } } } } \\ { { - \frac { \vec { \sigma } \cdot \vec { k } } { m _ { q } + \omega _ { q } } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \sqrt { \frac { m _ { q } + \omega _ { q } } { 2 m _ { q } } }
\begin{array} { r } { H _ { 5 } = 4 \alpha c _ { 1 } ( 1 + \alpha c _ { 4 } ) \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert \Gamma ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \le 4 \alpha \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 4 \alpha c _ { 1 } ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) , } \end{array}
A ^ { \mathrm { S M } } ( B ^ { + } \rightarrow \pi ^ { + } K ^ { 0 } ) = - A \lambda ^ { 2 } ( 1 - \lambda ^ { 2 } / 2 ) \left[ 1 + \rho e ^ { i \theta } e ^ { i \gamma } \right] | P _ { t c } | e ^ { i \delta _ { t c } } ,
l . h . s . = \sum _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } Y _ { l ^ { \prime } } ^ { m ^ { \prime } } ( \theta , \phi ) \left( - \frac { 1 } { 2 r } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } r + \frac { l ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) } { 2 r ^ { 2 } } + V _ { e f f } ( r ) - \epsilon _ { i } + i \omega \right) u _ { i \mu , l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( r , i \omega ) \, .
\begin{array} { r l r } { \vec { u } , \delta \vec { u } \in V _ { h } } & { = } & { \{ \vec { v } : \vec { v } | _ { T } \in [ P ^ { k } ( T ) ] ^ { 3 } , \vec { v } _ { t } \mathrm { ~ c o n t i n u o u s } \} , } \\ { \underline { { \sigma } } , \delta \underline { { \sigma } } \in \Sigma _ { h } } & { = } & { \{ \underline { { \tau } } : \underline { { \tau } } | _ { T } \in [ P ^ { k } ( T ) ] _ { s y m } ^ { 3 \times 3 } , \tau _ { n n } \mathrm { ~ c o n t i n u o u s } \} . } \end{array}
\Lambda _ { \theta , \varphi } \equiv \operatorname* { l i m } _ { k r \rightarrow \infty } \frac { | \mathbf { E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma + } ( r , \theta , \varphi ) | ^ { 2 } - | \mathbf { E } _ { \mathrm { s c a } } ^ { \sigma - } ( r , \theta , \varphi ) | ^ { 2 } } { | \mathbf { E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma + } ( r , \theta , \varphi ) | ^ { 2 } + | \mathbf { E } _ { \mathrm { s c a } } ^ { \sigma - } ( r , \theta , \varphi ) | ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { b ^ { \prime } - { \frac { 2 z ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } { ( d - 2 ) b ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } f ^ { \prime } \bar { f } ^ { \prime } + { \frac { 2 \omega ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } { ( d - 2 ) b ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } ( \bar { f } ^ { \prime } + f ^ { \prime } ) + { \frac { 2 \omega ^ { 2 } z } { ( d - 2 ) b ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } , } \\ { 0 } & { = } & { - f ^ { \prime \prime } - { \frac { 2 z ( b ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) } { ( d - 2 ) b ^ { 2 } ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } f ^ { 2 } \bar { f } ^ { \prime } + { \frac { 2 } { ( f - \bar { f } ) } } \left( 1 + { \frac { \omega ( b ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) } { ( d - 2 ) b ^ { 2 } ( f - \bar { f } ) } } \right) f ^ { 2 } } \\ & { } & { + { \frac { 2 \omega ( b ^ { 2 } + 2 z ^ { 2 } ) } { ( d - 2 ) b ^ { 2 } ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } f ^ { \prime } \bar { f } ^ { \prime } + { \frac { 2 } { z } } \left( - \frac { ( z ^ { 2 } - \frac { ( d - 2 ) b ^ { 2 } } { 2 } ) } { ( z ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) } + { \frac { 2 \omega z ^ { 2 } } { ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) ( f - \bar { f } ) } } \right. } \\ & { } & { + \left. { \frac { 2 \omega ^ { 2 } z ^ { 4 } } { ( d - 2 ) b ^ { 2 } ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } \right) f ^ { \prime } - { \frac { 2 \omega ^ { 2 } z } { ( d - 2 ) b ^ { 2 } ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } \bar { f } ^ { \prime } + } \\ & { } & { { \frac { 2 \omega } { ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } } \left( - \frac { 1 } { 2 } - { \frac { \omega } { ( f - \bar { f } ) } } \right. - \left. { \frac { \omega ^ { 2 } z ^ { 2 } } { ( d - 2 ) b ^ { 2 } ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial A ( z ) } { \partial z } } & { { } = \left< - \nabla U \cdot \frac { \nabla q _ { 1 } } { | \nabla q _ { 1 } | ^ { 2 } } + { k _ { \mathrm { B } } T } \left[ \nabla \cdot \frac { \nabla q _ { 1 } } { | \nabla q _ { 1 } | ^ { 2 } } \right] \right> _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { t + 1 } - w ^ { * } = } & { \hat { B } ( w _ { t } - w ^ { * } ) + \eta u _ { t } - \eta \phi _ { t } \nu _ { t } \; } \\ { = } & { \hat { B } ^ { t + 1 } ( w _ { 0 } - w ^ { * } ) + \eta \sum _ { i = 0 } ^ { t } \hat { B } ^ { i } u _ { t - i } - \eta \sum _ { i = 0 } ^ { t } \phi _ { t - i } \hat { B } ^ { i } \nu _ { t - i } \; . } \end{array}
\Bigl ( V ( \psi \otimes \bar { w } , z ) \; \left( | \chi \rangle _ { l } \otimes | \bar { u } \rangle _ { l } \right) \Bigr ) _ { m } : = \operatorname * { l i m } _ { \bar { z } \rightarrow 0 } \bar { z } ^ { \bar { \Delta } _ { j } + \bar { \Delta } _ { l } - \bar { \Delta } _ { m } } \; \Bigl ( \phi ( \psi \otimes \bar { w } ; z , \bar { z } ) \; \left( | \chi \rangle _ { l } \otimes | \bar { u } \rangle _ { l } \right) \Bigr ) _ { m } ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \sigma } } & { = } & { \int _ { \Omega } \mathrm { { C } } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) d \Omega = \int _ { \Omega } \sigma | { \bf E } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } d \Omega , } \\ { \tilde { \mathrm { C } } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } } & { = } & { \int _ { \Omega } { \mathrm { C } } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) d \Omega = \int _ { \Omega } | { \bf E } _ { \mathrm { s c a } } ^ { \sigma + } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } - | { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma - } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } d \Omega , } \\ { { \mathrm { C } } _ { \mathrm { { i n t } } } ^ { \sigma } } & { = } & { \int _ { \Omega } \tilde { { \mathrm { C } } } _ { \mathrm { { i n t } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) d \Omega = 2 \sigma \int _ { \Omega } \mathrm { R e } \{ { { \bf E } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \sigma } } ^ { * } ( { \bf r } ) \cdot { { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma \sigma } } ( { \bf r } ) \} d \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| p \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } } & { \leq C \| p \| _ { H ^ { 1 } } \left[ \mathrm { { R a } } + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 2 } } + \left( \frac { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { \mathrm { P r } } \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } + \dot { \kappa } \| _ { \infty } \right) \| u \| _ { H ^ { 1 } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| v \| _ { 2 , h , \widetilde { g } } ^ { 2 } \le C \bigg [ \| v \| _ { 2 , h , g } ^ { 2 } + \left( \operatorname* { m a x } _ { T } h _ { T } ^ { - 2 } \| g _ { h } - g \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } _ { T } | g _ { h } - g | _ { W ^ { 1 , \infty } ( T ) } ^ { 2 } \right) } \\ { \times \sum _ { T } \left( \| d v \| _ { L ^ { 2 } ( T ) } ^ { 2 } + h _ { T } ^ { 2 } | d v | _ { H ^ { 1 } ( T ) } ^ { 2 } \right) \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } } & { = } & { \partial _ { j } ^ { + } \overline { { u _ { j } ^ { + } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } + \partial _ { j } ^ { - } \overline { { u _ { j } ^ { - } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial } { \partial { X _ { j } } } \overline { { u _ { j } ^ { + } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } + \frac { \partial } { \partial { r _ { j } } } \overline { { u _ { j } ^ { + } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial } { \partial { X _ { j } } } \overline { { u _ { j } ^ { - } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } } \\ & { } & { - \frac { \partial } { \partial { r _ { j } } } \overline { { u _ { j } ^ { - } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { \frac { \partial } { \partial { X _ { j } } } \overline { { \frac { u _ { j } ^ { + } + u _ { j } ^ { - } } { 2 } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } + \frac { \partial } { \partial { r _ { j } } } \overline { { \delta u _ { j } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { ( i ) } ^ { * } } & { = y _ { n } ^ { * } + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \hat { a } _ { i j } N _ { I } ( Y _ { ( j ) } ^ { * } , Y _ { ( j ) } ) + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \tilde { a } _ { i j } N _ { E } ( Y _ { ( j ) } ^ { * } ) , } \\ { Y _ { ( i ) } } & { = y _ { n } + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { i } a _ { i j } N _ { I } ( Y _ { ( j ) } ^ { * } , Y _ { ( j ) } ) + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { i } \tilde { a } _ { i j } N _ { E } ( Y _ { ( j ) } ^ { * } ) , } \\ { y _ { n + 1 } ^ { * } } & { = y _ { n } ^ { * } + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { s } \hat { b } _ { j } N _ { I } ( Y _ { ( j ) } ^ { * } , Y _ { ( j ) } ) + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { s } \tilde { b } _ { j } N _ { E } ( Y _ { ( j ) } ^ { * } ) , } \\ { y _ { n + 1 } } & { = y _ { n } + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { s } b _ { j } N _ { I } ( Y _ { ( j ) } ^ { * } , Y _ { ( j ) } ) + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { s } \tilde { b } _ { j } N _ { E } ( Y _ { ( j ) } ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \bar { A } } = \mathcal { X } _ { 2 } ( : , 1 : n ) , \; \; \hat { C } = Y _ { p , p } ^ { ( l ) } \Big ( \hat { X } _ { p , p } ^ { ( l ) } \Big ) ^ { \dagger } , \; \; \hat { \tilde { L } } = \mathcal { X } _ { 2 } ( : , n + 1 : n + r ) , \; \hat { A } = \hat { \bar { A } } + \hat { \tilde { L } } \hat { C } . } \end{array}
A _ { L L } = \frac { 2 \sqrt { d \sigma ^ { P } d \sigma ^ { f _ { 1 } } } } { d \sigma ^ { P } + d \sigma ^ { f _ { 1 } } } \, \sin \left\{ \frac { \pi } { 2 } [ \alpha _ { P } ^ { } ( t ) - 1 ] \right\} ,
\begin{array} { r l r } { p ( c ) } & { = } & { \frac { p ( a , b ) - p ( a ) p ( b ) } { p ( a | c ) p ( b | c ) - p ( b ) p ( a | c ) - p ( a ) p ( b | c ) + p ( a , b ) } } \\ & { } & { \leq \mathrm { m i n } \Big [ \frac { p ( a ) } { p ( a | c ) } , \frac { 1 - p ( a ) } { 1 - p ( a | c ) } , \frac { p ( b ) } { p ( b | c ) } , \frac { 1 - p ( b ) } { 1 - p ( b | c ) } \Big ] , } \end{array}
\hat { H } = - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } k \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } k \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \left| \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 1 } - \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 2 } \right| } ,
\begin{array} { r l } { p _ { x } } & { { } = \frac { ( 1 - d ) | e | E _ { 0 } } { 4 c } \left[ \frac { L \cos ( \xi ( k - 2 \pi / L ) ) } { 2 \pi - k L } - \frac { L \cos ( \xi ( k + 2 \pi / L ) ) } { 2 \pi + k L } - \frac { 2 \cos ( k \xi ) } { k } \right] _ { \xi ^ { \prime } } ^ { \xi ^ { \prime } - \phi } } \\ { p _ { y } } & { { } = \frac { ( 1 - d ) | e | E _ { 0 } } { 4 c } \left[ \frac { L \sin ( \xi ( k - 2 \pi / L ) ) } { k L - 2 \pi } + \frac { L \sin ( \xi ( k + 2 \pi / L ) ) } { 2 \pi + k L } + \frac { 2 \sin ( k \xi ) } { k } \right] _ { \xi ^ { \prime } } ^ { \xi ^ { \prime } - \phi } } \\ { \forall \xi \in [ - L / 2 , L / 2 ] , 0 \ \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( a ) = 1 + \int _ { a } ^ { 1 } \frac { \d b } { b } \left[ 4 \frac { \Omega _ { r } ( b ) } { b ^ { 4 } } + 3 \frac { \Omega _ { b } ( b ) } { b ^ { 3 } } + 3 \frac { \Omega _ { e } ( b ) } { b ^ { 3 } } \right] , } \end{array}
R _ { i } ^ { ( 1 ) } = ( S _ { i } ^ { - 1 } e ^ { r _ { 1 } \Delta } S _ { i + 1 } e ^ { - r _ { b } \Delta } + S _ { i } e ^ { r _ { b } \Delta } S _ { i + 1 } ^ { - 1 } e ^ { - r _ { 1 } \Delta } - 2 ) / \Delta
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { s e r v e r } } } & { = \big ( 1 + \frac { 2 A + T } { K } \big ) L + ( T + A + K - \frac { 1 } { 2 } ) { N ( N - 1 ) } , } \\ { R _ { \mathrm { u s e r } } } & { \le \operatorname* { m i n } ( \frac { 2 N } { K } , N ) L + \big ( 1 + 2 \mathbb { I } ( K > 1 ) \big ) \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } , } \end{array}
\Phi _ { \mathrm { r m s , m v } } ( t _ { i } ) = \left[ \frac { 1 } { 2 r + 1 } \sum _ { k = - r } ^ { r } ( \Phi ( t _ { i + k } ) - \ensuremath { \langle \Phi ( t _ { i } ) \rangle } _ { \mathrm { m v } } ) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { a \Delta _ { g } w } & { = ( 2 - p ) u ^ { 1 - p } \left( a \Delta _ { g } u \right) + a ( 2 - p ) ( 1 - p ) u ^ { - p } \lvert \nabla _ { g } u \rvert ^ { 2 } } \\ & { \geqslant ( p - 2 ) u ^ { 1 - p } \left( - R _ { g } u + S u ^ { p - 1 } \right) + a ( 2 - p ) ( 1 - p ) ( 2 - p ) ^ { - 2 } u ^ { 2 p - 2 } u ^ { - p } \lvert \nabla _ { g } v \rvert ^ { 2 } } \\ & { = ( p - 2 ) S + ( 2 - p ) R _ { g } u ^ { 1 - p } + \frac { a ( p - 1 ) } { p - 2 } u ^ { p - 2 } \lvert \nabla _ { g } v \rvert ^ { 2 } } \\ & { = ( p - 2 ) S + ( 2 - p ) R _ { g } w + \frac { a ( p - 1 ) } { p - 2 } \frac { \lvert \nabla _ { g } w \rvert ^ { 2 } } { w } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ^ { \prime } \left( t \right) } & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \frac { \cos \left( \omega t \right) } { \pi } \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) , } \\ { C ^ { \prime \prime } \left( t \right) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \frac { \sin \left( \omega t \right) } { \pi } \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) . } \end{array}
E _ { S G - 2 } = \int \left[ \frac { | \nabla \psi | ^ { 2 } } { 1 - \frac { 1 } { 2 } | \psi | ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - | \psi | ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] { d ^ { 2 } x } .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } \approx } & { { } \left[ \left( p - 1 \right) m ^ { 4 } + 3 \, p + 1 \right] / 4 , } \\ { \gamma _ { 2 } \approx } & { { } \left[ \left( p - 1 \right) m ^ { 2 } - 3 \, p + 1 \right] m . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta H _ { k i } ^ { ( 0 ) } \simeq \frac { e } { T _ { i } } F _ { M } J _ { k } \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { k } \delta \phi _ { k } ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
R o _ { m } = \frac { \mathrm { ~ I ~ n ~ e ~ r ~ t ~ i ~ a ~ } } { \mathrm { ~ L ~ o ~ r ~ e ~ n ~ t ~ z ~ } } = R e _ { f \! f } C h ^ { - 1 } = \sqrt { \frac { R a C h ^ { - 2 } } { P r } } ,
\begin{array} { r l r } { 0 < } & { { } \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( \kappa + 1 ) ) < } & { 1 } \\ { - 1 < } & { { } \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( \kappa + 1 ) < } & { 1 } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \chi _ { i } ( n ) } { \chi _ { 1 } ( n ) + \ldots \chi _ { A } ( n ) } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { \Xi _ { i } ( t ) } { \Xi _ { 1 } ( t ) + \ldots \Xi _ { A } ( t ) } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { a _ { i } ^ { - 1 } ( t ) } { a _ { 1 } ^ { - 1 } ( t ) + \ldots a _ { A } ^ { - 1 } ( t ) } = \frac { 1 } { A } \ .
\begin{array} { r l } & { 0 , 3 8 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \leq \lambda \leq 0 , 6 4 \cdot 1 0 ^ { - 6 } } \\ & { \Rightarrow 0 , 3 8 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \leq \frac { 6 \cdot 1 0 ^ { - 6 } } { k _ { 1 } } \leq 0 , 6 4 \cdot 1 0 ^ { - 6 } } \\ & { \Rightarrow 1 5 , 8 \geq k _ { 1 } \geq 9 , 3 \Rightarrow k _ { 1 } = 1 5 } \\ & { \Rightarrow \lambda = 0 , 4 \cdot 1 0 ^ { - 6 } ( \mathrm { ~ m } ) } \end{array}
S = \nu \cos ( \frac { \theta } { 2 } ) \big \{ \sqrt { \mu ^ { 2 } + \tan ^ { 2 } ( \frac { \theta } { 2 } ) - 2 \mu \cos ( \gamma + \phi ) \tan ( \frac { \theta } { 2 } ) } + \sqrt { 1 + \mu ^ { 2 } \tan ^ { 2 } ( \frac { \theta } { 2 } ) + 2 \mu \cos ( \gamma + \phi ) \tan ( \frac { \theta } { 2 } ) } \; \big \}
\begin{array} { r l } & { S _ { \mathrm { c o n v } } ^ { ( 4 ) } ( \textbf { k } _ { 1 } , \textbf { k } _ { 2 } , \textbf { k } _ { 3 } ) \approx S ( k _ { 1 } ) S ( k _ { 2 } ) S ( k _ { 3 } ) S ( | \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { 2 } + \mathbf { k } _ { 3 } | ) } \\ & { \times \left( S ( | \textbf { k } _ { 1 } + \textbf { k } _ { 2 } | ) + S ( | \textbf { k } _ { 1 } + \textbf { k } _ { 3 } | ) + S ( | \textbf { k } _ { 2 } + \textbf { k } _ { 3 } | ) - 2 \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho ( t , x ) + \nabla \cdot \big ( \rho ( t , x ) \nabla _ { x } \Phi ( t , x ) \big ) = 0 , } \\ & { \partial _ { t } \Phi ( t , x ) + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla _ { x } \Phi ( t , x ) \| ^ { 2 } = 0 , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , \quad \Phi ( T , x ) = - V ( x ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { c _ { i + 1 } ( F ^ { * } ) - c _ { i + 1 } ( X _ { i + 1 } ) } \\ { } & { ~ ~ = c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( X _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus X _ { i } ) - f _ { 1 2 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( X _ { i } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 4 - 4 \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) + \left. | z _ { j } \right| ^ { 2 } } { 1 - 2 \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) + | z _ { j } | ^ { 2 } } > \frac { 5 - 4 \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) } { 2 - 2 \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) } } \\ { \Leftrightarrow } & { \left. \left( 3 - 2 \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) \right) | z _ { j } \right| ^ { 2 } < 3 - 2 \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { \left| z _ { j } \right| ^ { 2 } < 1 } \end{array}
\frac { { \partial { f _ { i } } } } { { \partial t } } + { { \bf { v } } _ { i } } \cdot \frac { { \partial { f _ { i } } } } { { \partial { \bf { r } } } } + \frac { { { \bf { a } } \cdot \left( { { \bf { u } } - { { \bf { v } } _ { i } } } \right) } } { { R T } } f _ { i } ^ { e q } = - \frac { 1 } { \tau } \left( { { f _ { i } } - f _ { i } ^ { e q } } \right) ,
\begin{array} { r l } { v _ { p h } ^ { ( L ) , ( \infty ) } = } & { { } \pm \sqrt { \frac { 4 { \hat { c } _ { v } } + 7 + F } { 2 ( 1 + \hat { c } _ { v } ) } } c _ { s } , } \\ { \alpha ^ { ( L ) , ( \infty ) } = } & { { } \pm \frac { \sqrt { 2 ( 1 + { \hat { c } _ { v } } ) ^ { 3 } } \left\{ F \left( 4 + { \hat { c } _ { v } } \right) - 2 2 - 1 1 { \hat { c } _ { v } } + 2 { \hat { c } _ { v } } ^ { 2 } \right\} } { 9 \hat { c } _ { v } \tau _ { \sigma } c _ { s } \sqrt { 7 + 4 { \hat { c } _ { v } } + F } \left( 7 + 4 { \hat { c } _ { v } } - F \right) ^ { 2 } F } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Y } ^ { n + 1 } ( t ) } & { \leq C _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( C \mathcal { B } ^ { n } ( s ) \mathcal { Y } ^ { n } ( s ) \, d s + C \mathcal { I } ^ { n } ( s ) \int _ { 0 } ^ { s } \mathcal { Y } ^ { n } ( \tau ) \, d \tau \right) \, d s } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { Y } ^ { n } ( s ) \, d s , } \end{array}