harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } \Big ( f ^ { \mathrm { S D P } } ( X _ { \ell } ) - } & { f ^ { \mathrm { S D P } } ( X _ { \ell + 1 } ) ) \Big ) = { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } \left( f ^ { \mathrm { S D P } } ( X _ { \ell } ) - f ^ { \mathrm { S D P } } ( X _ { \ell } ^ { 1 / 2 } \Psi ( \mathcal { Y } ^ { \ast } ) X _ { \ell } ^ { 1 / 2 } \right) } \\ & { = \underbrace { n { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } \log ( { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } ) } _ { = f ^ { \mathrm { F W } ( k ) } ( \mathcal { Y } _ { 0 } ) \mathrm { ~ b y ~ C o r . ~ } } \underbrace { - f ^ { \mathrm { S D P } } ( \Psi ( \mathcal { Y } ^ { \ast } ) ) - n { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } \log { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } } _ { \ge - f ^ { \mathrm { F W } ( k ) } ( \mathcal { Y } ^ { \ast } ) \mathrm { ~ b y ~ L e m m a ~ } } } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } \Psi ( x ) = { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } M ( x ) \Psi ( x ) = - k ^ { 2 } \Psi ( x ) , \; \; \; \; \; \; \mathrm { w h e r e } \; \; \; k ^ { 2 } = - { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } M .
G ^ { 1 } ( z ) = - \frac { i e ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \left( \gamma ^ { 0 } \otimes \gamma ^ { 0 } + \gamma ^ { 1 } \otimes \gamma ^ { 1 } \right) \frac { d ^ { 2 } } { d z ^ { 2 } } \beta ( z ) \; .
\Gamma ^ { ( 1 ) } = \frac { n _ { 6 } } { g _ { s } ( 2 \pi ) ^ { 6 } } V _ { 6 } \int d t \left( \frac { \epsilon ^ { 2 } M } { 8 r } - \frac { \epsilon \sqrt { 3 } M } { 2 r } v ^ { 2 } - \frac { M } { 2 r } v ^ { 4 } \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { - \nabla \cdot { \pmb \tau } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = \mu \Delta { \pmb w } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) - \nabla q ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = 0 } \\ { \nabla \cdot { \pmb w } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = 0 \qquad { \pmb x } \in D _ { f } } \\ { { \pmb w } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = { \pmb w } ^ { ( S , n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) , \ { \pmb \tau } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = { \pmb \tau } ^ { ( S , n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) \qquad { \pmb x } \in \partial D _ { b } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { E \mathrm { g c } 2 } } & { { } = } & { - \; \frac { q } { c } \left[ \left( G _ { 2 } ^ { \psi } \, { \sf d } \theta - G _ { 2 } ^ { \theta } \, { \sf d } \psi \right) \; + \frac { } { } \Psi _ { 1 } ^ { \prime } \left( G _ { 1 } ^ { \psi } \, { \sf d } \theta - G _ { 1 } ^ { \theta } \, { \sf d } \psi \right) \right] \; - \; \frac { m } { 2 } \left( G _ { 1 } ^ { \mu } \, \frac { \partial \bf w } { \partial \mu _ { 0 } } + G _ { 1 } ^ { \zeta } \, \frac { \partial \bf w } { \partial \zeta _ { 0 } } \right) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \frac { \partial \bf x } { \partial \psi } \, { \sf d } \psi + \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \, { \sf d } \theta \right) } \end{array}
\frac { \partial H ( \lambda | d ) } { \partial \lambda _ { i } } = - \frac { \frac { \partial } { \partial \lambda _ { i } } \int _ { \Phi } \mathcal { D } \phi \; p ( \phi , \lambda | d ) } { \int _ { \Phi } \mathcal { D } \phi \; p ( \phi , \lambda | d ) } = - \frac { \frac { \partial } { \partial \lambda _ { i } } \int _ { \Phi } \mathcal { D } \phi \; p ( \phi , \lambda | d ) } { p ( \lambda | d ) } .
B = \left( \begin{array} { l l l l } { b _ { 0 , 0 } } & { b _ { 0 , 1 } } & { b _ { 0 , 2 } } & { b _ { 0 , 3 } } \\ { b _ { 1 , 0 } } & { b _ { 1 , 1 } } & { b _ { 1 , 2 } } & { b _ { 1 , 3 } } \\ { b _ { 2 , 0 } } & { b _ { 2 , 1 } } & { b _ { 2 , 2 } } & { b _ { 2 , 3 } } \\ { b _ { 3 , 0 } } & { b _ { 3 , 1 } } & { b _ { 3 , 2 } } & { b _ { 3 , 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { a d d } } ^ { * } } & { = \frac { { N _ { \mathrm { r } } } N \zeta ^ { 2 } ( { N _ { \mathrm { r } } } ^ { 2 } + N ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } ) } { { N _ { \mathrm { r } } } \zeta ^ { 2 } ( { N _ { \mathrm { r } } } ^ { 2 } - N ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } ) + \zeta _ { \mathrm { a d d } } ^ { 2 } ( { N _ { \mathrm { r } } } ^ { 2 } + N ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \; , } \end{array}
{ \mathcal { L } } = - { \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } } \left( \partial _ { \mu } A _ { \nu } \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } \right) - J ^ { \mu } A _ { \mu } .
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 2 } \tilde { g } ^ { a b } \tilde { \varphi } _ { , a } \tilde { \varphi } _ { , b } - V _ { B } ( \tilde { \varphi } ) - \sum _ { \sigma = \pm } V _ { ( \sigma ) } ( \tilde { \varphi } ) \delta ( y - y _ { \sigma } ) \, ,
F _ { q _ { i } \rightarrow G } ( \frac x y ) = \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } C _ { 2 } ( R ) [ \frac { 1 + ( 1 - \frac x y ) ^ { 2 } } { \frac x y } ] l n \frac { { \langle K _ { \perp } ^ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) \rangle } ^ { G ^ { N } } } { { \langle K _ { \perp } ^ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) \rangle } ^ { G ^ { A } } }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \uplambda _ { e } ^ { 0 } ( w + \epsilon ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \uplambda _ { e } ^ { 0 } ( w + \epsilon ) } \\ { \implies \uplambda _ { e } ^ { 0 } ( w ) } & { { } = \uplambda _ { e } ^ { 1 } ( w ) \, , } \end{array}
\rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) = \textbf { T r } \left( \hat { \mathcal { D } } _ { \sigma } \hat { \rho } _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) = \sum _ { j = 1 } ^ { L } d _ { j } \rho _ { j , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { M } ) ( \omega ) \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \beta _ { 1 } ^ { - 1 } , \ldots , \beta _ { M } ^ { - 1 } ) ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { M } ) ^ { - 1 } ( \omega ) , } \end{array}
\left| \begin{array} { r l } { k _ { t } } & { = - \partial _ { B } \mathcal { H } } \\ { B _ { t } } & { = \partial _ { k } \mathcal { H } } \\ { X _ { t } } & { = \nabla _ { \beta } \mathcal { H } } \\ { \beta _ { t } } & { = - \nabla _ { X } \mathcal { H } } \\ { A _ { t } } & { = \frac { A B } { 2 } ( d - 2 ) e ^ { - 4 k } } \\ { \gamma _ { t } } & { = | \beta | ^ { 2 } - | X | ^ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { 0 } & { < c _ { i _ { 2 } } ( F ^ { * } ) - c _ { i _ { 2 } } ( F _ { i _ { 2 } } ) } \\ { } & { = c _ { i _ { 2 } } ( F ^ { * } ) - c _ { i _ { 2 } } ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) } \\ { } & { = c _ { i _ { 2 } } ( F ^ { * } ) - c _ { i _ { 2 } } ( X _ { i _ { 1 } + 1 } ) } \\ { } & { = c _ { i _ { 1 } + 1 } ( F ^ { * } ) - c _ { i _ { 1 } + 1 } ( X _ { i _ { 1 } + 1 } ) - ( \delta _ { i _ { 1 } + 2 } + \ldots + \delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( X _ { i _ { 1 } + 1 } \cap F ^ { * } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ - ( \Delta _ { i _ { 1 } + 2 } + \ldots + \Delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) \big ) } \\ { } & { = c _ { i _ { 1 } + 1 } ( F ^ { * } ) - c _ { i _ { 1 } + 1 } ( F _ { i _ { 1 } } ) - 0 \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( X _ { i _ { 1 } + 1 } \cap F ^ { * } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ - ( \Delta _ { i _ { 1 } + 2 } + \ldots + \Delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) \big ) } \\ { } & { < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { k + 1 } - q _ { k } \approx \frac { \Delta } { 2 m } \left( p _ { k + 1 } + p _ { k } \right) } \\ { \int _ { t _ { 1 } + k \Delta } ^ { t _ { 1 } + \left( k + 1 \right) \Delta } F \left[ \textbf { q } \left( t \right) , t \right] \, d t \approx \frac { F _ { k } + F _ { k + 1 } } { 2 } \Delta } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { 1 1 } } & { = } & { \bar { \chi } \Gamma ^ { 2 } + \Gamma - \frac { k ^ { 2 } \bar { \lambda } _ { \perp } } { 3 } + \frac { \bar { k } ^ { 2 } } { 3 } ( \bar { \lambda } _ { \perp } - \bar { \lambda } _ { l } ) \; , } \\ { M _ { 1 2 } } & { = } & { i \bar { k } \left[ \left( \bar { \lambda } _ { l } + \bar { \chi } \right) \Gamma + 1 \right] \; , } \\ { M _ { 1 3 } } & { = } & { i \kappa \left[ \left( \bar { \lambda } _ { \perp } + \bar { \chi } \right) \Gamma + 1 \right] \; , } \\ { M _ { 2 1 } } & { = } & { \frac { i } { 3 } \bar { k } \left[ \left( \bar { \lambda } _ { l } + \bar { \chi } _ { l } \right) \Gamma + 1 \right] \; , } \\ { M _ { 2 2 } } & { = } & { \bar { \lambda } _ { l } \Gamma ^ { 2 } + \Gamma + \kappa ^ { 2 } \bar { \eta } _ { l } + \frac { ( 4 \bar { \eta } _ { l l } - \bar { \chi } _ { l } ) \bar { k } ^ { 2 } } { 3 } \; , } \\ { M _ { 2 3 } } & { = } & { \frac { \bar { k } \kappa } { 3 } \left( 3 \bar { \eta } _ { l } - \bar { \chi } _ { l } - 2 \bar { \eta } _ { l l } \right) \; , } \\ { M _ { 3 1 } } & { = } & { \frac { i \kappa } { 3 } \left[ \left( \bar { \chi } _ { l } + \bar { \lambda } _ { \perp } \right) \Gamma + 1 \right] \; , } \\ { M _ { 3 2 } } & { = } & { \frac { \bar { k } \kappa } { 3 } \left( 3 \bar { \eta } _ { l } - \bar { \chi } _ { l } - 2 \bar { \eta } _ { l l } \right) \; , } \\ { M _ { 3 3 } } & { = } & { \Gamma ^ { 2 } \bar { \lambda } _ { \perp } + \Gamma + \frac { k ^ { 2 } } { 3 } \left( - \bar { \chi } _ { l } + \bar { \eta } _ { l l } + 3 \bar { \eta } _ { \perp } \right) + \frac { \bar { k } } { 3 } \left( 3 \bar { \eta } _ { l } + \bar { \chi } _ { l } - \bar { \eta } _ { l l } - 3 \bar { \eta } _ { \perp } \right) \; . } \end{array}
\left( \mathbf { I } - \exp ( \tau \mathbf { L } ^ { \dagger } ) \right) \mathbf { U } ^ { \dagger } = \int _ { 0 } ^ { \tau } \exp ( ( \tau - t ) \mathbf { L } ^ { \dagger } ) \nabla _ { \mathbf { U } } \lambda \ \mathrm { d } t ,
\rho _ { \uparrow } \left( \sum _ { i } \lambda _ { i } w _ { i } \right) \leq \operatorname* { m a x } _ { i } \left( \rho _ { \uparrow } ( w _ { i } ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { i } ) \right) < \operatorname* { m a x } _ { i } \left( \rho _ { \uparrow } ( v _ { i } ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { i } ) \right) = \rho _ { \uparrow } \left( \sum _ { i } \lambda _ { i } v _ { i } \right)
\frac { { \partial ( \rho E ) } } { { \partial t } } + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } ( \rho H { u _ { j } } ) = \frac { { \partial ( { \tau _ { i j } } { u _ { i } } ) } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial ( { \sigma _ { i j } } { u _ { i } } ) } } { { \partial { x _ { j } } } } - \frac { { \partial { q _ { j } } } } { { \partial { x _ { k } } } } - \frac { { \partial q _ { j } ^ { \left( t \right) } } } { { \partial { x _ { j } } } } .
\begin{array} { r } { \mathcal { U } \left( \gamma , y \right) = \int _ { \chi _ { k , \ell } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( y \right) } ^ { \infty } { \left[ 1 - \mathcal { M } _ { \mathsf { H } _ { \ell } } \left( m \gamma \phi _ { k } h _ { \ell } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( r \right) / l _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( y \right) \right) \right] \bar { \lambda } _ { \ell } \left( r \right) \, \mathrm { d } r } } \end{array}
\vec { v } ^ { \prime } = W ^ { 0 } \left[ \vec { v } + \vec { W } \left( \frac { ( \vec { W } \vec { v } ) } { \left( 1 + \sqrt { 1 + ( \vec { W } ) ^ { 2 } } \right) } - u ^ { 0 } ( \vec { u } \vec { v } ) - 1 \right) \right]
A _ { \pm } \left( \lambda ; \lambda _ { 0 } , \Delta \lambda , \sigma \right) = \frac { 1 } { 2 \sigma \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( - \frac { \left( \lambda - \lambda _ { 0 } \pm \frac { \Delta \lambda } { 2 } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { c _ { n } } & { { } = { \frac { 1 } { P } } \int _ { P } \operatorname { R e } \{ s ( x ) \} \cdot e ^ { - i { \frac { 2 \pi n x } { P } } } \ d x + i \cdot { \frac { 1 } { P } } \int _ { P } \operatorname { I m } \{ s ( x ) \} \cdot e ^ { - i { \frac { 2 \pi n x } { P } } } \ d x } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { u _ { 1 } ^ { + } = \cos { \frac { \theta } { 2 } } \exp { \frac { i } { 2 } } ( \psi + \phi ) } } \\ { { u _ { 2 } ^ { + } = \sin { \frac { \theta } { 2 } } \exp { \frac { i } { 2 } } ( \psi - \phi ) } } \\ { { u _ { 1 } ^ { - } = \sin { \frac { \theta } { 2 } } \exp { \frac { - i } { 2 } } ( \psi + \phi ) } } \\ { { u _ { 2 } ^ { - } = \cos { \frac { \theta } { 2 } } \exp { \frac { - i } { 2 } } ( \psi - \phi ) . } } \end{array}
V _ { 1 } = \left( \sqrt { J _ { 2 } } \right) ^ { 3 } \frac { m _ { x } ( \theta ) } { 6 \sqrt 2 } \left( \sqrt { \beta _ { x } ( \theta ) } \right) ^ { 3 } \cos \left( 3 \psi _ { 2 } - 3 \nu _ { x } \theta + 3 \chi _ { x } ( \theta ) \right) ,
K _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x _ { 1 } d x _ { 2 } \delta ( 1 - x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \alpha _ { S } ( \widehat { Q } _ { 2 } ^ { 2 } ) \Phi _ { M } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; \widehat { Q } _ { 2 } ^ { 2 } ) } { x _ { 1 } } ,
\begin{array} { r } { Q = \frac { \mathrm { ~ P ~ f ~ } [ D _ { 1 } ( \pi ) ] } { \mathrm { ~ P ~ f ~ } [ D _ { 1 } ( 0 ) ] } \frac { \sqrt { \operatorname* { d e t } [ D _ { 1 } ( 0 ) ] } } { \sqrt { \operatorname* { d e t } [ D _ { 1 } ( \pi ) ] } } , } \end{array}
A _ { n + 1 } = \frac { A _ { 0 } \tilde { d } _ { n } + \tilde { e } _ { n } } { K _ { 1 } ( n + 1 ) n ( n - 1 ) + k _ { 2 } ( n + 1 ) n + k _ { 3 } ( n + 1 ) - \frac { ( 2 - \alpha ) A _ { 0 } d _ { 0 } } { c _ { 0 } } ( n + 1 ) ( k _ { 4 } n + k 5 ) } ~ , ~ n \geq 2 ,
d \Theta ^ { 1 \underline { { \mu } } } = v _ { ( \underline { { \alpha } } ) } ^ { \underline { { \mu } } } \pi ^ { 1 ( \underline { { \alpha } } ) } = v _ { q } ^ { - \underline { { \mu } } } \pi _ { q } ^ { 1 + } + v _ { \dot { q } } ^ { + \underline { { \mu } } } \pi _ { \dot { q } } ^ { 1 - } ,
\begin{array} { r } { \lVert f \rVert _ { ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { D } } ) ) _ { \theta , q } } \sim _ { p , s , n , \theta , \eta } \lVert f \rVert _ { ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) ) _ { \frac { \theta - \eta } { 1 - \eta } , q } } \sim _ { p , s , n , \theta , \eta } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \theta } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
I = - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } \Big [ \sum _ { i \neq j } { \cal L } _ { i j } + \sum _ { i } { \cal W } _ { i } + \sum _ { i } { \cal T } _ { i } \Big ] _ { t = - \infty } ^ { t = + \infty } .
\begin{array} { r } { L . H . S . = \overline { { U } } A _ { 1 } P r R e { \frac { \partial \theta } { \partial \widetilde { t } } } + \overline { { U } } A _ { 1 } P r R e \widetilde { u } { \frac { \partial \theta } { \partial \widetilde { x } } } + \overline { { U } } A _ { 1 } \widetilde { u } + } \\ { \overline { { U } } A _ { 1 } P r R e \widetilde { v } { \frac { \partial \theta } { \partial \widetilde { y } } } + \overline { { U } } A _ { 1 } P r R e \widetilde { w } { \frac { \partial \theta } { \partial \widetilde { z } } } . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { u ( s , 0 ) \in S y m ^ { k } ( \phi ) ( S y m ^ { k } ( \underline { { L } } ) ) , \, \, u ( s , 1 ) \in S y m ^ { k } ( \underline { { L } } ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { s \to - \infty } u ( s , t ) = y _ { 0 } , \, \, \operatorname* { l i m } _ { s \to + \infty } u ( s , t ) = y _ { 1 } } \\ { ( \partial _ { s } + J _ { t } \partial _ { t } ) u ( s , t ) = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \| \chi \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } } & { \leqslant } & { \left( \left\| \boldsymbol { f } _ { h } - \boldsymbol { f } \right\| _ { 0 , \tau } + \| \beta \| _ { 0 , \infty } \left\| \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } \right\| _ { 0 , \tau } \right) \left\| \nabla \chi _ { b } \right\| _ { 0 , \tau } } \\ & { \lesssim } & { C _ { 1 } h _ { \tau } ^ { - 1 } \left( \left\| \boldsymbol { f } _ { h } - \boldsymbol { f } \right\| _ { 0 , \tau } + \left\| \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } \right\| _ { 0 , \tau } \right) \| \chi \| _ { 0 , \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { m } ^ { r / b } } & { \equiv \left\{ \begin{array} { l l } { \Omega _ { m } ^ { r } ( \omega ) } & { \mathrm { f o r ~ r e d ~ p u m p i n g } } \\ { \Omega _ { m } ^ { b } ( - \omega ) } & { \mathrm { f o r ~ b l u e ~ p u m p i n g } } \end{array} \right. } \\ { \Gamma _ { m } ^ { r / b } } & { \equiv \left\{ \begin{array} { l l } { \Gamma _ { m } ^ { r } ( \omega ) } & { \mathrm { f o r ~ r e d ~ p u m p i n g } } \\ { \Gamma _ { m } ^ { b } ( - \omega ) } & { \mathrm { f o r ~ b l u e ~ p u m p i n g . } } \end{array} \right. } \end{array}
\sum _ { { \lambda } = 1 } ^ { 2 } { \epsilon } _ { \mu } ^ { ( { \lambda } ) } ( k ) { \epsilon } _ { \nu } ^ { ( { \lambda } ) } ( k ) = - g _ { { \mu } { \nu } } + \frac { n _ { \mu } k _ { \nu } + n _ { \nu } k _ { \mu } } { k _ { - } } - n ^ { 2 } \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k _ { - } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d S _ { n } } { d t } } & { = } & { - \beta S _ { n } \sum _ { m } P _ { n m } \frac { \sum _ { k } P _ { k m } I _ { k } } { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } } } \\ { \frac { d I _ { n } } { d t } } & { = } & { + \beta S _ { n } \sum _ { m } P _ { n m } \frac { \sum _ { k } P _ { k m } I _ { k } } { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } } - \gamma I _ { n } } \\ { \frac { d R _ { n } } { d t } } & { = } & { + \gamma I _ { n } . } \end{array}
C _ { I } ( \Delta \lambda ) \equiv \frac { \langle P ( r , \varphi ; \lambda ) \, P ( r , \varphi ; \lambda + \Delta \lambda ) \rangle _ { r , \varphi , \lambda } } { \langle P ( r , \varphi ; \lambda ) \rangle _ { r , \varphi , \lambda } \, \langle { P ( r , \varphi ; \lambda + \Delta \lambda ) \rangle _ { r , \varphi , \lambda } } } - 1 \, ,
\frac { d ^ { 2 } \sigma _ { i n } ^ { A A } } { d ^ { 2 } b } ( { \bf b } , \sqrt { s } ) = \left[ 1 - \left( 1 - \frac { 1 } { A ^ { 2 } } T _ { A A } ( { \bf b } ) \sigma _ { N N } ^ { i n } ( \sqrt { s } ) \right) ^ { A ^ { 2 } } \right]
- \left[ \int d ^ { D } p \, { \frac { 1 } { p ^ { 2 } + 1 } } + { \frac { \mathrm { c o n s t } \times \left( \mu / \kappa \right) ^ { D - 4 } } { D - 4 } } \right] \Biggr \} + o ( \kappa ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { D _ { A } \delta \xi _ { \parallel } = \frac { 4 \pi } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \mathrm { i } k _ { \parallel } \delta \tilde { p } + \mathrm { i } k _ { \parallel } \left( \mathrm { i } k _ { \parallel } \delta \xi _ { \parallel } + \mathrm { i } k _ { y } \delta \xi _ { y } + \frac { \textrm { d } \delta \xi _ { x } } { \textrm { d } x } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \forall k \in \{ 1 , 2 \} , \quad \left| \sin \left( \frac { f _ { k } ( \varphi ) - f _ { k } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) \right| } & { \leqslant | f _ { k } ( \varphi ) - f _ { k } ( \varphi ^ { \prime } ) | } \\ & { \leqslant \| f _ { k } \| _ { C ^ { 1 + \alpha } ( \mathbb { T } ) } | \varphi - \varphi ^ { \prime } | } \\ & { \leqslant C r \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi \sim } & { \, \frac { \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } } { \sigma } \sum _ { n m } { T _ { n i _ { + } } ^ { l } ( 0 ) T _ { n i _ { + } } ^ { l } ( 0 ) ( T ^ { l } ) _ { i _ { + } m } ^ { - 1 } ( 0 ) ( T ^ { l } ) _ { i _ { + } m } ^ { - 1 } ( 0 ) } } \\ & { + \frac { \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } } { \sigma } \sum _ { n m } { T _ { n i _ { - } } ^ { l } ( 0 ) T _ { n i _ { - } } ^ { l } ( 0 ) ( T ^ { l } ) _ { i _ { - } m } ^ { - 1 } ( 0 ) ( T ^ { l } ) _ { i _ { - } m } ^ { - 1 } ( 0 ) } } \\ { = } & { \frac { \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } } { \sigma } \frac { C _ { i _ { + } i _ { + } } ^ { l } ( 0 ) + C _ { i _ { - } i _ { - } } ^ { l } ( 0 ) } { \vert \operatorname* { d e t } T ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \, , ~ ~ ~ \mathrm { a s } ~ \sigma \rightarrow 0 \, . } \end{array}
\ell ( \gamma _ { t ^ { \prime } } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \dot { \gamma } _ { t ^ { \prime } } \| _ { h } \mathrm { ~ d ~ } t ^ { \prime } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \dot { \gamma } _ { t ^ { \prime } } ^ { \top } H ( \gamma _ { t ^ { \prime } } ) \dot { \gamma } _ { t ^ { \prime } } } \mathrm { ~ d ~ } t ^ { \prime } ,
\hat { H } _ { 1 } = 8 S c \, v _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \theta } { 2 \pi } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d x \, \int _ { \Omega } d \phi \, \mathrm { c o s } \phi \, \left| \mathrm { s i n } ( 2 S c \, x ) \right| { \frac { \mathrm { s i n h } ( 2 S c \tilde { \beta } ) } { 1 + \mathrm { s i n h } ^ { 2 } ( 2 S c \, \tilde { \beta } ) } } { \frac { 1 + \mathrm { t a n } ^ { 2 } ( 2 S c \, x ) } { \mathrm { t a n } ( 2 S c \, x ) } } \mathrm { e } ^ { i S }
G ( L ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ . ~ } } & { \mathrm { ~ ( ~ l ~ o ~ c ~ a ~ l ~ i ~ z ~ e ~ d ~ ) ~ } } \\ { 1 / L } & { \mathrm { ~ ( ~ d ~ e ~ l ~ o ~ c ~ a ~ l ~ i ~ z ~ e ~ d ~ / ~ e ~ x ~ t ~ e ~ n ~ d ~ e ~ d ~ ) ~ } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } & { \rho ^ { ( \mu , \lambda ) } ( p _ { Z K _ { i } } ) } \\ & { : = { \operatorname* { m a x } _ { \scriptstyle ( \nu , p _ { i } ) \in [ 0 , \lambda ] \atop { \scriptstyle \times \tilde { \cal P } ( p _ { Z K _ { i } } ) : \atop { \scriptstyle \tilde { \Omega } ^ { ( \mu , \lambda ) } ( p _ { i } ) \atop { \scriptstyle = \tilde { \Omega } ^ { ( \mu , \lambda ) } ( p _ { Z K _ { i } } ) } } } } } \mathrm { V a r } _ { { p _ { i } ^ { ( \nu ) } } } \left[ \tilde { \omega } _ { p _ { i } } ^ { ( \mu ) } ( { Z } , K _ { i } | U ) \right] , } \end{array}
{ \Gamma } _ { ^ { 2 S _ { i } + 1 } L _ { i } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { { M } _ { { L } _ { i } } ; { M } _ { { L } _ { f } } } ( n _ { j } l _ { j } , n _ { j ^ { \prime } } l _ { j ^ { \prime } } , n _ { h } l _ { h } ) = 2 \pi \sum _ { l _ { a } } \sum _ { M _ { S _ { f } } } \left\vert \sum _ { h , j , j ^ { \prime } } \lbrack { v } _ { a h j j ^ { \prime } } - { v } _ { a h j ^ { \prime } j } \rbrack \ensuremath { \left\langle { L } _ { f } { S } _ { f } { M } _ { { L } _ { f } } { M } _ { { S } _ { f } } \left\lvert { \hat { c } } _ { h } ^ { \dagger } { \hat { c } } _ { j ^ { \prime } } { \hat { c } } _ { j } \right\rvert { L } _ { i } { S } _ { i } { M } _ { { L } _ { i } } { S } _ { i } \right\rangle } \right\vert ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ s ~ } } = \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { r } \, b _ { r } \, \partial _ { x } ^ { 2 r + 1 } \left( \sqrt { n } v _ { x } \right) \Big | _ { y = 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { E } } & { = } & { \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } } \left( \mathbf { D } - \mathbf { P } \right) = - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } , } \\ { \mathbf { B } } & { = } & { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left( \mathbf { H } + \mathbf { M } \right) = \nabla \times \mathbf { A } , } \\ { S } & { = } & { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial \phi } { \partial t } + \nabla \cdot \mathbf { A } , } \end{array}
\sum _ { i x , i y } \sqrt { ( \Delta _ { 4 , 2 , x x } ^ { \sigma * } ) ^ { 2 } + ( 2 \Delta _ { 4 , 2 , x y } ^ { \sigma * } ) ^ { 2 } + ( \Delta _ { 4 , 2 , y y } ^ { \sigma * } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { = 4 5 c ^ { 2 } u _ { 1 } ( s _ { 0 } ) + 2 c u _ { 2 } ( s _ { 0 } ) + 2 N , } \\ { \tilde { c } _ { 1 } } & { = 2 \frac { c ^ { 3 } } { \beta \vee 1 } c _ { 2 } , } \\ { c _ { 2 } } & { = 2 u _ { 1 } ( s _ { 0 } ) + 4 5 c u _ { 2 } ( s _ { 0 } ) + 2 N , } \\ { \tilde { c } _ { 2 } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { c t - 2 } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { n , m } ^ { \prime } \frac { \langle a | V _ { \mathrm { s c r } } | n \rangle \langle n | U | m \rangle \langle m | V _ { \mathrm { s c r } } | a \rangle } { ( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { n } ) ( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } ) } + \frac { 2 } { m _ { a } } \langle \xi _ { a } ^ { \prime } | V _ { \mathrm { s c r } } | a \rangle \langle a | V _ { \mathrm { s c r } } | a \rangle } \end{array}