harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { l l } { m c ^ { 2 } + V - E } & { - c \mathbf { \sigma } \cdot i \nabla } \\ { c \mathbf { \sigma } \cdot i \nabla } & { - m c ^ { 2 } - V - E } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \Psi _ { L } } \\ { \Psi _ { S } } \end{array} \right) = 0 .
\delta F = \frac { 1 } { 2 F } \{ A _ { 0 } ( m _ { K } ^ { 2 } ) + 2 A _ { 0 } ( m _ { \pi } ^ { 2 } ) + 8 L _ { 4 } ( 2 m _ { K } ^ { 2 } + m _ { \pi } ^ { 2 } ) + 8 L _ { 5 } m _ { \pi } ^ { 2 } \} \: .
( c ^ { 2 } - V ^ { 2 } ) \Delta { Z } ^ { 2 } + 2 c ( a \Delta { X } + b \Delta { Y } ) \Delta { Z } + ( a \Delta { X } + b \Delta { Y } ) ^ { 2 } - V ^ { 2 } ( \Delta { X } ^ { 2 } + \Delta { Y } ^ { 2 } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = f ( 1 ) + f ^ { \prime } ( 1 ) ( x - 1 ) + \frac { f ^ { \prime \prime } ( 1 ) } { 2 } ( x - 1 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 ! } \int _ { \underline { { m } } } ^ { x } ( x - t ) ^ { 2 } f ^ { ( 3 ) } ( t ) \, d t } \\ & { = \frac { f ^ { \prime \prime } ( 1 ) } { 2 } ( x - 1 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 ! } \int _ { \underline { { m } } } ^ { x } ( x - t ) ^ { 2 } f ^ { ( 3 ) } ( t ) \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon = } & { { } A \left( \nabla \boldsymbol { m } \right) ^ { 2 } + D \left[ m _ { z } \left( \boldsymbol { m } \cdot \nabla \right) - \left( \nabla \cdot \boldsymbol { m } \right) m _ { z } \right] } \\ { - } & { { } K ( \boldsymbol { n } \cdot \boldsymbol { m } ) ^ { 2 } - \frac { M _ { \mathrm { ~ S ~ } } } { 2 } ( \boldsymbol { m } \cdot \boldsymbol { B } _ { \mathrm { ~ d ~ } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi _ { g , n } \bigl ( \varphi _ { 1 } \otimes \ldots \otimes \varphi _ { 2 g + n } \bigr ) = \xi _ { b _ { 1 } } ( \varphi _ { 1 } ) \, \xi _ { a _ { 1 } } ( \varphi _ { 2 } ) \ldots \xi _ { b _ { g } } ( \varphi _ { 2 g - 1 } ) \, \xi _ { a _ { g } } ( \varphi _ { g } ) \, \xi _ { m _ { g + 1 } } ( \varphi _ { 2 g + 1 } ) \ldots \xi _ { m _ { g + n } } ( \varphi _ { 2 g + n } ) . } \end{array}
\epsilon ( { A d S } ) = \left[ \sqrt { f ^ { 1 / 2 } + 1 } - \sqrt { f ^ { 1 / 2 } - 1 } \gamma _ { \overline { { { r } } } } \right] e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { \overline { { { \theta r } } } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { \overline { { { \phi \theta } } } } } e ^ { - { \frac { g t } { \sqrt { 2 } } } \gamma _ { \overline { { { 0 } } } } } \epsilon _ { 0 } .
\begin{array} { r } { \hat { \mathsf { Z } } : = \mathsf { Z } \cup \mathsf { Z } ^ { * } \cup \omega \mathsf { Z } \cup \omega \mathsf { Z } ^ { * } \cup \omega ^ { 2 } \mathsf { Z } \cup \omega ^ { 2 } \mathsf { Z } ^ { * } \cup \mathsf { Z } ^ { - 1 } \cup \mathsf { Z } ^ { - * } \cup \omega \mathsf { Z } ^ { - 1 } \cup \omega \mathsf { Z } ^ { - * } \cup \omega ^ { 2 } \mathsf { Z } ^ { - 1 } \cup \omega ^ { 2 } \mathsf { Z } ^ { - * } , } \end{array}
\left| v ( y _ { 1 } ) t - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 1 } \psi _ { * } ( x _ { 2 } , t ) F ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 2 } \mathrm { d } s \right| \leq \varepsilon t , \qquad \left| v ( y _ { 2 } ) t - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 1 } \psi _ { * } ( x _ { 2 } , t ) G ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 2 } \mathrm { d } s \right| \leq \varepsilon t ,
\begin{array} { r } { \delta f ( \boldsymbol { v } ) \sim \left( \frac { m _ { i } \boldsymbol { v } ^ { 2 } } { 2 T _ { i 0 } ^ { 2 } } \delta T _ { \mathrm { i } } \right) f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \operatorname { U } ( N ) } \mathrm { d } U \, U _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } } U _ { i _ { 2 } , j _ { 2 } } } & { U _ { m _ { 1 } , n _ { 1 } } ^ { * } U _ { m _ { 2 } , n _ { 2 } } ^ { * } = \frac { 1 } { N ^ { 2 } - 1 } \big ( \delta _ { i _ { 1 } , m _ { 1 } } \delta _ { i _ { 2 } , m _ { 2 } } \delta _ { j _ { 1 } , n _ { 1 } } \delta _ { j _ { 2 } , n _ { 2 } } + \delta _ { i _ { 1 } , m _ { 2 } } \delta _ { i _ { 2 } , m _ { 1 } } \delta _ { j _ { 1 } , n _ { 2 } } \delta _ { j _ { 2 } , n _ { 1 } } \big ) } \\ & { - \frac { 1 } { N ( N ^ { 2 } - 1 ) } \big ( \delta _ { i _ { 1 } , m _ { 1 } } \delta _ { i _ { 2 } , m _ { 2 } } \delta _ { j _ { 1 } , n _ { 2 } } \delta _ { j _ { 2 } , n _ { 1 } } + \delta _ { i _ { 1 } , m _ { 2 } } \delta _ { i _ { 2 } , m _ { 1 } } \delta _ { j _ { 1 } , n _ { 1 } } \delta _ { j _ { 2 } , n _ { 2 } } \big ) , } \end{array}
L = - { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } \! \int \! d ^ { 2 } x \Bigl ( { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } * F ^ { \mu \nu } + D _ { \mu } \phi * ( D ^ { \mu } \phi ) ^ { \dagger } + { \frac { \lambda } { 2 } } ( \phi * \phi ^ { \dagger } \! - \! v ^ { 2 } ) ^ { 2 } \Bigr )
{ \frac { \omega _ { \mathrm { o b s } } } { \omega _ { s } } } = { \frac { 1 } { \gamma ( 1 + \beta ) } } = { \frac { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } { 1 + \beta } } = { \frac { \sqrt { ( 1 + \beta ) ( 1 - \beta ) } } { 1 + \beta } } = { \frac { \sqrt { 1 - \beta } } { \sqrt { 1 + \beta } } }
g ( \beta ) \approx \frac { \pi \Lambda } { 1 6 } \ln \left( \frac { \sqrt { 2 } } { \beta \sqrt [ 4 ] { \Lambda } } \right) , \quad \Lambda = \ln ^ { 2 } \left( \frac { 2 } { \beta \ln ^ { 1 / 2 } ( 1 / \beta ) } \right) .
\mathcal { P } ( z , t ) = \mathcal { P } _ { 0 } ( t ) + \sum _ { j > 0 } \mathcal { P } _ { j } ( t ) \cos \left( k _ { j } z \right) + \sum _ { j > 0 } \tilde { \mathcal { P } } _ { j } ( t ) \sin \left( k _ { j } z \right) ,
z = \frac { v _ { \mathrm { S F } _ { 5 } ^ { - } } \cdot v _ { \mathrm { S F } _ { 6 } ^ { - } } } { v _ { \mathrm { S F } _ { 5 } ^ { - } } - v _ { \mathrm { S F } _ { 6 } ^ { - } } } \Delta t ,
\begin{array} { r } { C _ { \Bar { \nu } _ { k \eta } ^ { r } } : = 2 \operatorname* { i n f } _ { \lambda > 0 } \left( \frac { 1 } { \lambda } \left( \frac { 3 } { 2 } + \log \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } e ^ { \lambda \left| x \right| ^ { 2 } } \Bar { \nu } _ { k \eta } ^ { r } \left( \mathrm { d } x \right) \right) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { C P L E A R : } ~ ~ ~ \phi _ { \mathrm { S W } } + \phi _ { \eta } ^ { C P T } } & { = } & { 4 2 . 9 1 ^ { \circ } \pm 0 . 5 3 ^ { \circ } \mathrm { ( s t a t ) } \pm 0 . 2 8 ^ { \circ } \mathrm { ( s y s t ) } , } \\ { \mathrm { E 7 7 3 : ~ ~ } ~ ~ ~ \phi _ { \mathrm { S W } } + \phi _ { \eta } ^ { C P T } } & { = } & { 4 2 . 9 4 ^ { \circ } \pm 0 . 5 8 ^ { \circ } \mathrm { ( s t a t ) } \pm 0 . 4 9 ^ { \circ } \mathrm { ( s y s t ) } , } \end{array}
A \simeq s _ { 2 3 } ^ { 2 } s _ { 1 3 } ^ { 2 } + c _ { 2 3 } ^ { 2 } s _ { 1 2 } ^ { 2 } + 2 s _ { 2 3 } c _ { 2 3 } s _ { 1 2 } s _ { 1 3 } c _ { \delta } \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { A } _ { 1 } } & { = \frac { \mathcal { C } _ { \alpha } } { \alpha ( \alpha + 1 ) } \mathbb { A } _ { 1 1 } + \mathbb { A } _ { 1 2 } , \mathrm { ~ w h e r e ~ \mathcal { C } _ { \alpha } = - \frac { 2 \pi \Gamma ( 1 - \alpha ) } { \Gamma \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) \Gamma \left( 1 - \frac { \alpha } { 2 } \right) } ~ , } } \end{array}
\sum _ { \beta \in \{ { \bf B } ^ { \tilde { \tau } } , { \bf B } ^ { r } , { \bf B } ^ { \theta } , { \bf B } ^ { \tilde { \phi } } , { \bf B } ^ { 0 } \} } \lVert \widehat { \chi _ { \mathcal { T } } \beta } \rVert _ { \ell _ { m } ^ { 1 } L _ { \omega } ^ { 1 } } \leq C \sum _ { \beta \in \{ { \bf B } ^ { \tilde { \tau } } , { \bf B } ^ { r } , { \bf B } ^ { \theta } , { \bf B } ^ { \tilde { \phi } } , { \bf B } ^ { 0 } \} } \left( | \beta | + | W _ { 0 } ( \beta ) | \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { d u _ { n } } { d t } + \bar { \nu } k _ { n } ^ { 2 } u _ { n } } & { { } = } & { - i \lambda [ a _ { 1 } k _ { n } u _ { n + 1 } ^ { * } u _ { n + 2 } + a _ { 2 } k _ { n - 1 } u _ { n - 1 } ^ { * } u _ { n + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \underline { { \underline { { T } } } } ( { \bf k } ) } & { = } & { T _ { p p } ( { \bf k } ) { \hat { \bf e } } _ { p } \otimes { \hat { \bf e } } _ { p } + T _ { s s } ( { \bf k } ) { \hat { \bf e } } _ { s } \otimes { \hat { \bf e } } _ { s } , } \\ { \underline { { \underline { { R } } } } ( { \bf k } ) } & { = } & { R _ { p p } ( { \bf k } ) { \hat { \bf e } } _ { p } \otimes { \hat { \bf e } } _ { p } + R _ { s s } ( { \bf k } ) { \hat { \bf e } } _ { s } \otimes { \hat { \bf e } } _ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | E ( \gamma ) - \mathcal { E } ( \gamma ) | } & { \leq C _ { \kappa , L } \frac { ( 4 8 + 8 \pi ) R + ( 4 8 + 3 \pi ^ { 2 } C _ { \kappa , L } ^ { - 1 } ) q } { 8 ( 1 - \kappa ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } \alpha _ { c } ^ { 2 } \| g - \gamma \| _ { X } ^ { 2 } } \\ & { \leq C _ { \kappa , L } \frac { ( 6 + \pi ) ( R + q ) \alpha _ { c } ^ { 2 } } { ( 1 - \kappa ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } \| g - \gamma \| _ { X } ^ { 2 } \leq \frac { 5 \pi ^ { 2 } ( 6 + \pi ) } { 4 ( 1 - \kappa ) ^ { 4 } \lambda _ { 0 } ^ { 5 / 2 } ( 1 - L ) ^ { 2 } } ( R + q ) \alpha _ { c } ^ { 2 } \| g - \gamma \| _ { X } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \mathcal { C } _ { \ell } v \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } \le \left\| \mathcal { C } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } + C \left\| \mathcal { C } _ { \ell - 1 } ^ { \tau } \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } \left\| P _ { \Xi _ { \ell - 1 } } \mathcal { S } _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } . } \end{array}
\mathbf { a } _ { \mathrm { i } } \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { r } } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } \right) _ { \mathrm { i } } = \left( { \frac { \mathrm { d } \mathbf { v } } { \mathrm { d } t } } \right) _ { \mathrm { i } } = \left[ \left( { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \right) _ { \mathrm { r } } + { \boldsymbol { \Omega } } \times \right] \left[ \left( { \frac { \mathrm { d } \mathbf { r } } { \mathrm { d } t } } \right) _ { \mathrm { r } } + { \boldsymbol { \Omega } } \times \mathbf { r } \right] \ ,
\left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } + k ^ { 2 } + \left( \frac { m } { H } \right) ^ { 2 } a ^ { 2 } \left( \tau \right) - \left( 1 - 6 \xi \right) \frac { \ddot { a } \left( \tau \right) } { a \left( \tau \right) } \right] \phi _ { \kappa } \left( \tau \right) = 0 ,
v _ { L } = \frac { p _ { F } } { m } \left( \sqrt { 1 + \frac { 2 m \Delta } { p _ { F } ^ { 2 } } } - 1 \right) \approx \frac { \Delta } { p _ { F } } - \frac { m \Delta ^ { 2 } } { 2 p _ { F } ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T _ { p = 0 } ^ { 1 } ( D ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = ( - 1 ) ^ { F - M } \left( \begin{array} { c c c } { F } & { 1 } & { F ^ { \prime } } \\ { - M } & { 0 } & { M ^ { \prime } } \end{array} \right) } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { F ^ { \prime } + F _ { 1 } + 1 + I _ { H } } \sqrt { ( 2 F + 1 ) ( 2 F ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { F _ { 1 } ^ { \prime } } & { F ^ { \prime } } & { I _ { H } } \\ { F } & { F _ { 1 } } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times \delta _ { G , G ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { F _ { 1 } ^ { \prime } + N + 1 + G } \sqrt { ( 2 F _ { 1 } + 1 ) ( 2 F _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { N ^ { \prime } } & { F _ { 1 } ^ { \prime } } & { G } \\ { F _ { 1 } } & { N } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N - K } \sqrt { ( 2 N + 1 ) ( 2 N ^ { \prime } + 1 ) } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 1 } & { N ^ { \prime } } \\ { - K } & { 0 } & { K ^ { \prime } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } v _ { i } + \partial _ { i } P } & { = \mu \nabla ^ { 2 } v _ { i } + M _ { j } \partial _ { j } B _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } \left( \epsilon _ { k l m } M _ { l } B _ { m } \right) , } \\ { D _ { t } M _ { i } } & { = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } \omega _ { j } M _ { k } - \frac { 1 } { 4 \Gamma } \epsilon _ { i j k } M _ { j } \left( \epsilon _ { k l m } M _ { l } B _ { m } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t \partial _ { t } E _ { \epsilon } \, } & { = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \Bigl ( W _ { \epsilon } \tilde { \eta } \, t \partial _ { t } \tilde { \eta } + \frac 1 2 t ( \partial _ { t } W _ { \epsilon } ) \tilde { \eta } ^ { 2 } \Bigr ) \, \mathrm { d } X \, - \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \Bigl ( \tilde { \phi } \, t \partial _ { t } \tilde { \eta } + \frac { t \dot { \epsilon } } { 2 } \frac { R | \nabla \tilde { \phi } | ^ { 2 } } { ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } } \Bigr ) \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { = \, I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } + I _ { 4 } + I _ { 5 } + I _ { 6 } \, , } \end{array}
H _ { \mathrm { ~ I ~ E ~ S ~ H ~ } } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } , t ) = \sum _ { \nu } \frac { p _ { \nu } ^ { 2 } } { 2 m _ { \nu } } + U _ { 0 } ( \mathbf { x } ) + \sum _ { k \in \mathbf { s } ( t ) } \lambda _ { k } ( \mathbf { x } ) ,
\int ( d + e \, x ) ^ { m } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x = { \frac { ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } } { e ( m + 1 ) } } \, - \, { \frac { p ( d + e \, x ) ^ { m + 2 } ( b + 2 \, c \, x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p - 1 } } { e ^ { 2 } ( m + 1 ) ( m + 2 ) } } \, + \, { \frac { 2 \, c \, p \, ( 2 \, p - 1 ) } { e ^ { 2 } ( m + 1 ) ( m + 2 ) } } \int ( d + e \, x ) ^ { m + 2 } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p - 1 } d x
\operatorname { d i a g } \left( F _ { 1 } \cdots F _ { k } \right) : = \sum _ { n \geq 0 } f _ { 1 , n } \cdots f _ { k , n } z ^ { n } = [ x _ { k - 1 } ^ { 0 } \cdots x _ { 2 } ^ { 0 } x _ { 1 } ^ { 0 } ] F _ { k } \left( { \frac { z } { x _ { k - 1 } } } \right) F _ { k - 1 } \left( { \frac { x _ { k - 1 } } { x _ { k - 2 } } } \right) \cdots F _ { 2 } \left( { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } } \right) F _ { 1 } ( x _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } ) } & { = ( A _ { 1 } + B _ { 1 } , A _ { 2 } + B _ { 1 } , A _ { 3 } + B _ { 1 } , 1 + B _ { 1 } - B _ { 2 } , 1 + B _ { 1 } - B _ { 3 } ) , } \\ { ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } ) } & { = ( A _ { 1 } + B _ { 1 } , A _ { 1 } + B _ { 2 } , A _ { 1 } + B _ { 3 } , 1 + A _ { 1 } - A _ { 2 } , 1 + A _ { 1 } - A _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { l l } { \tilde { \xi } _ { x } = \frac { \xi _ { x } } { \| \nabla \xi \| } , \quad \tilde { \xi } _ { y } = \frac { \xi _ { y } } { \| \nabla \xi \| } , \quad \tilde { \xi } _ { z } = \frac { \xi _ { z } } { \| \nabla \xi \| } , } \\ { \tilde { \eta } _ { x } = \frac { \eta _ { x } } { \| \nabla \eta \| } , \quad \tilde { \eta } _ { y } = \frac { \eta _ { y } } { \| \nabla \eta \| } , \quad \tilde { \eta } _ { z } = \frac { \eta _ { z } } { \| \nabla \eta \| } , } \\ { \tilde { \zeta } _ { x } = \frac { \zeta _ { x } } { \| \nabla \zeta \| } , \quad \tilde { \zeta } _ { y } = \frac { \zeta _ { y } } { \| \nabla \zeta \| } , \quad \tilde { \zeta } _ { z } = \frac { \zeta _ { z } } { \| \nabla \zeta \| } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 5 } } & { \mathrm { S t e p ~ 1 : ~ t r a n s p o r t } \qquad } & { \partial _ { t } \textrm { \boldmath { q } } } & { + \mathbf { A } ( \textrm { \boldmath { q } } ) \partial _ { x } \textrm { \boldmath { q } } } & { \; = \; } & { 0 \, , } \\ & { \mathrm { S t e p ~ 2 : ~ f r i c t i o n } \qquad } & { \partial _ { t } \textrm { \boldmath { q } } } & { } & { \; = \; } & { \textrm { \boldmath { g } } ( \textrm { \boldmath { q } } ) \, , } \end{array}
i \frac { \partial \tilde { a } _ { j } ( x , z , \omega ) } { \partial z } = - \frac { c } { 2 n _ { 0 } ( \omega ) \omega } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { a } _ { j } ( x , z , \omega ) } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { \omega } { c } \delta n _ { j } \exp \left( - \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { j } ^ { 2 } } \right) ^ { m } \right) \tilde { a } _ { j } ( x , z , \omega ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \left[ \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { x } } \right) \zeta ( x ) \right] ^ { 2 } } { 3 ^ { x } \ln 3 } h ^ { \prime } ( x ) } & { = \zeta ( x ) \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { x } } \right) \sum _ { p \in \mathcal { P } } \left( \frac { 1 } { p ^ { x } } - \frac { ( \ln p ) / ( \ln 3 ) } { ( p ^ { x } - 1 ) } \right) < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { S = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { c } = } & { { } \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } \mathbf { p } _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } \frac { 1 } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } - \sum _ { i , M } \frac { Z _ { M } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } _ { M } | } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { M \neq N } \frac { Z _ { M } Z _ { N } } { | \mathbf { R } _ { N } - \mathbf { R } _ { M } | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } [ Q _ { \ell } - Q _ { \ell - 1 } ] } & { \ = { \mathbb { E } } [ Q _ { \ell } - { \mathcal { Q } } ] - { \mathbb { E } } [ Q _ { \ell - 1 } - { \mathcal { Q } } ] \approx c _ { 1 } N _ { 0 } ^ { - \alpha _ { M } } \big ( s ^ { - \alpha \ell } - s ^ { - \alpha _ { M } ( \ell - 1 ) } \big ) } \\ & { \ = c _ { 1 } N _ { 0 } ^ { - \alpha _ { M } } s ^ { - \alpha _ { M } \ell } \big ( 1 - s ^ { \alpha _ { M } } \big ) \approx { \mathbb { E } } [ Q _ { \ell } - { \mathcal { Q } } ] ( 1 - s ^ { \alpha _ { M } } ) . } \end{array}
\tau _ { \mathrm { n c } } ^ { \mathrm { n o n p l } } ( q ) = \frac { - 1 } { 3 2 \pi } \left( \frac { | \theta q | ^ { 2 } } { 4 } + \frac { 1 } { \Lambda ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac 1 2 } + \frac { | q | } { 1 6 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d \alpha } { \sqrt { \alpha ( 1 - \alpha ) } } \exp \left( - | \theta q | | q | \sqrt { \alpha ( 1 - \alpha ) } \right)
\delta = - \frac { 1 9 } { 2 8 } \frac { \alpha _ { 3 } ^ { 2 } ( M _ { Z } ) } { \pi } \ln \frac { \hat { M } _ { S U S Y } } { M _ { Z } } \simeq - 0 . 0 0 3 \ln \frac { \hat { M } _ { S U S Y } } { M _ { Z } } .
\begin{array} { r l } { \small } & { \int _ { \Omega _ { 2 D } } \nabla _ { 2 D } \hat { \psi } _ { k } ^ { n + 1 } \cdot \nabla _ { 2 D } \omega + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } + \beta _ { k } ^ { 2 } \right) \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { \psi } _ { k } ^ { n + 1 } \omega = \int _ { \Omega _ { 2 D } } ( \beta _ { k } ^ { 2 } \hat { Q } _ { 2 , k } - \hat { Q } _ { 1 , k } ) \omega + \int _ { \Omega _ { 2 D } } \nabla _ { 2 D } \hat { Q } _ { 2 , k } \cdot \nabla \omega } \\ & { \quad \quad \quad \quad + \int _ { \partial \Omega _ { o } ^ { 2 D } } \left[ \hat { g } _ { 1 , k } ^ { n + 1 } + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } \right) \hat { g } _ { 2 , k } ^ { n + 1 } \right] \omega + \int _ { \partial \Omega _ { s } ^ { 2 D } } \left[ \hat { g } _ { 1 , k } ^ { n + 1 } + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } \right) \hat { U } _ { k } \right] \omega , \quad \forall \omega ( x , y ) ; } \end{array}
0 = [ \hat { p } , 1 ] = \left[ \hat { p } , \frac { \hat { q } } { \hat { q } } \right] = \hat { q } \left[ \hat { p } , \frac { 1 } { \hat { q } } \right] + [ \hat { p } , \hat { q } ] \frac { 1 } { \hat { q } } = \hat { q } \left[ \hat { p } , \frac { 1 } { \hat { q } } \right] - \frac { i \hbar } { \hat { q } } ,
\begin{array} { r l r } { \eta _ { 0 } } & { = } & { t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 2 } + t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { g } q _ { j } - \sum _ { s = 1 } ^ { n } r _ { s } X _ { s } \right) \, \, , \, \, \mathrm { ~ i f ~ } \, r _ { \infty } \geq 2 } \\ { \eta _ { 0 } } & { = } & { \frac { 1 } { t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 0 } } \Big [ - \sum _ { s = 1 } ^ { n } ( 2 X _ { s } P _ { X _ { s } , 2 } ^ { ( 2 ) } \delta _ { r _ { s } = 1 } + P _ { X _ { s } , 3 } ^ { ( 2 ) } \delta _ { r _ { s } = 2 } ) } \\ & { } & { + \sum _ { s = 1 } ^ { n } ( X _ { s } ^ { 2 } H _ { X _ { s } , 1 } + 2 X _ { s } H _ { X _ { s } , 2 } \delta _ { r _ { s } \geq 2 } + H _ { X _ { s } , 3 } \delta _ { r _ { s } \geq 3 } ) - \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } p _ { j } q _ { j } ^ { 2 } } \\ & { } & { - t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } \underset { s = 1 } { \overset { n } { \sum } } \left( ( t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , 1 } + t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , 1 } ) \delta _ { r _ { s } \geq 2 } + X _ { s } ( t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , 0 } + t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , 0 } ) \right) } \\ & { } & { + t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 0 } - \hbar ) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { g } q _ { j } - \sum _ { s = 1 } ^ { n } r _ { s } X _ { s } \right) \Big ] \, \, \, \mathrm { ~ i f ~ } \, \, r _ { \infty } = 1 . } \end{array}
W _ { C D B } { } ^ { A } \equiv \varepsilon ^ { i j } f _ { j C } ^ { X } f _ { i D } ^ { Y } { \cal R } _ { X Y B } { } ^ { A } = \frac 1 2 \varepsilon ^ { i j } f _ { j C } ^ { X } f _ { i D } ^ { Y } f _ { k B } ^ { Z } f _ { W } ^ { A k } R _ { X Y Z } { } ^ { W } \, .
{ \bf a } = \left( \begin{array} { l l } { { { \bf 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \sigma _ { 1 } } } \end{array} \right) \qquad \qquad \sigma _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \nabla P _ { h } = \mathbf f _ { h } , \quad \Rightarrow \quad \nabla \left( \frac { \gamma _ { h } \rho } { c ^ { 2 } } ( c _ { v } T ) ^ { 2 } \right) = - \mu \frac { \mathbf q } { \rho c _ { v } T } \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac { \gamma _ { h } \rho ^ { 2 } c _ { v } ^ { 2 } T ^ { 2 } } { c ^ { 2 } \mu } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma } & { { } = ( z _ { + } F ) ^ { 2 } \mathcal { L _ { + + } } ( 1 - ( c _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } - c _ { + } ) c _ { + } \Delta \nu ) , } \\ { D _ { + } } & { { } = \mathcal { L _ { + + } } R T \frac { c _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { ( c _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } - c _ { + } ) c _ { + } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d i v } ( \mathbf { A } \mathbf { u } ) = \mathrm { d i v } ( \mathbf { A } ) \cdot \mathbf { u } + \mathrm { T r } \left( \mathbf { A } \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial \mathbf { x } } \right) , \qquad \mathrm { d i v } ( \mathbf { u } \otimes \mathbf { v } ) = \mathrm { d i v } ( \mathbf { u } ) \ \mathbf { v } + \frac { \partial \mathbf { v } } { \partial \mathbf { x } } \ \mathbf { u } , \qquad \mathrm { T r } ( \mathbf { u } \otimes \mathbf { v } \ \mathbf { A } ) = \mathbf { v } \cdot \mathbf { A } \mathbf { u } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \Delta ( x - 1 \epsilon ( x ) ) } } & { { = } } & { { x _ { ( 1 ) } \otimes x _ { ( 2 ) } - 1 \epsilon ( x ) \otimes 1 } } \\ { { } } & { { = } } & { { ( x - 1 \epsilon ( x ) ) \otimes 1 + x _ { ( 1 ) } \otimes ( x _ { ( 2 ) } - 1 \epsilon ( x _ { ( 2 ) } ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \xi } u ^ { - } ( 0 , t ) = \frac { b ^ { + } ( u ^ { + } - u ^ { - } ) } { \partial \sqrt { \pi t } ( b ^ { + } \sqrt { a ^ { - } } + b ^ { - } \sqrt { a ^ { + } } ) } + \frac { \sqrt { a ^ { + } } b ^ { + } u _ { \xi } ^ { + } + b ^ { + } \sqrt { a ^ { - } } u _ { \xi } ^ { - } } { b ^ { + } \sqrt { a ^ { - } } + b ^ { - } \sqrt { a ^ { + } } } , } \\ { \frac { \partial } { \xi } u ^ { + } ( 0 , t ) = \frac { b ^ { - } ( u ^ { + } - u ^ { - } ) } { \partial \sqrt { \pi t } ( b ^ { + } \sqrt { a ^ { - } } + b ^ { - } \sqrt { a ^ { + } } ) } + \frac { \sqrt { a ^ { + } } b ^ { - } u _ { \xi } ^ { + } + b ^ { - } \sqrt { a ^ { - } } u _ { \xi } ^ { - } } { b ^ { + } \sqrt { a ^ { + } } + b ^ { - } \sqrt { a ^ { + } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s } & { { } = ( 1 1 - ( ( ( 0 \times 1 0 ) + ( 3 \times 9 ) + ( 0 \times 8 ) + ( 6 \times 7 ) + ( 4 \times 6 ) + ( 0 \times 5 ) + ( 6 \times 4 ) + ( 1 \times 3 ) + ( 5 \times 2 ) ) \, { \bmod { \, } } 1 1 ) ) \, { \bmod { \, } } 1 1 } \end{array}