harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \pi } 6 \xi \vec { D } ( \xi ) \cdot \mathbb { A } ^ { - 1 } \overline { { \omega } } } & { = - { \alpha ( \alpha + 1 ) \mathcal { C } _ { \alpha } } \xi \left( | \xi | ^ { \alpha - 1 } ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { 3 } \vec { u } + \vec { m } _ { 5 } ( \xi ) \right) \cdot \left( \mathbb { A } _ { S _ { 0 } ^ { + } } ^ { - 1 } \left( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } \right) ^ { \alpha } \vec { u } + \vec { v } \right) } \\ & { = : - \alpha ( \alpha + 1 ) \mathcal { C } _ { \alpha } I _ { S _ { 0 } ^ { + } } \xi | \xi | ^ { \alpha - 1 } + m _ { 6 } ( \xi ) , } \end{array}
A _ { g } ~ = ~ ( g ! ) ^ { 2 } \int _ { { \cal M } _ { g } } B \bar { B } \operatorname * { d e t } { \int ( { \mu _ { a } } h _ { b } } ) \operatorname * { d e t } { \int ( \widetilde { \mu } _ { a } \widetilde { h } _ { b } ) } \, ( \mathrm { { l a t t i c e ~ s u m } } ) ~ ,
| I + t A | _ { i i } = \mathrm { d e t } ( I + t A ) \left( \mathrm { d e t } ( I + t A ^ { i i } ) \right) ^ { - 1 } = \ \sum _ { k = 0 } ^ { + \infty } \, \Lambda _ { k } ( { \bf \alpha } - { \bf \alpha } ^ { i } ) \, t ^ { k }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \eta _ { \mathrm { a p p } } ( R , Z , t ) \, \mathrm { d } R \, \mathrm { d } Z \, = \, 1 \, , } \\ & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } R \, \eta _ { \mathrm { a p p } } ( R , Z , t ) \, \mathrm { d } R \, \mathrm { d } Z \, = \, \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } Z \, \eta _ { \mathrm { a p p } } ( R , Z , t ) \, \mathrm { d } R \, \mathrm { d } Z \, = \, 0 \, . } \end{array}
\operatorname* { d e t } M ( t ; { \mathbf { u } } ) = t ^ { 3 } + a _ { 2 } ( { \mathbf { u } } ) t ^ { 2 } + a _ { 1 } ( { \mathbf { u } } ) t + a _ { 0 } ( { \mathbf { u } } ) = 0 \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { k = 0 } ^ { r _ { \infty } - 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { g } H _ { \infty , k } q _ { i } ^ { k } \partial _ { q _ { j } } \mu _ { i } ^ { \boldsymbol { ( \alpha ) } } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { g } H _ { X _ { s } , k } ( q _ { i } - X _ { s } ) ^ { - k } \partial _ { q _ { j } } \mu _ { i } ^ { \boldsymbol { ( \alpha ) } } } \\ & { } & { = - \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { r _ { \infty } - 4 } k H _ { \infty , k } q _ { j } ^ { k - 1 } - \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { s } } k H _ { X _ { s } , k } \frac { \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } { ( q _ { j } - X _ { s } ) ^ { k + 1 } } \right) } \\ & { } & { + \left( \partial _ { q _ { j } } \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \right) \left( \sum _ { s = 1 } ^ { n } H _ { X _ { s } , 2 } \delta _ { r _ { s } \geq 2 } + X _ { s } H _ { X _ { s } , 1 } \right) + \left( \partial _ { q _ { j } } \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \right) \left( \sum _ { s = 1 } ^ { n } H _ { X _ { s } , 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { k } ( z ) = } & { \frac { 1 } { N } \! \left( \begin{array} { l l l l } { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } \! \psi _ { k } ( | x _ { j } ^ { k } - x _ { 1 } ^ { k } | ) } & { - \psi _ { k } ( | x _ { 2 } ^ { k } - x _ { 1 } ^ { k } | ) } & { \ldots } & { - \psi _ { k } ( | x _ { N } ^ { k } - x _ { 1 } ^ { k } | ) } \\ { - \psi _ { k } ( | x _ { 1 } ^ { k } - x _ { 2 } ^ { k } | ) } & { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } \! \psi _ { k } ( | x _ { j } ^ { k } - x _ { 2 } ^ { k } | ) } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { - \psi _ { k } ( | x _ { N } ^ { k } \! - \! x _ { N - 1 } ^ { k } | ) } \\ { - \psi _ { k } ( | x _ { 1 } ^ { k } - x _ { N } ^ { k } | ) } & { \ldots } & { - \psi _ { k } ( | x _ { N - 1 } ^ { k } \! - \! x _ { N } ^ { k } | ) } & { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } \! \psi _ { k } ( | x _ { j } ^ { k } - x _ { N } ^ { k } | ) } \end{array} \right) } \\ & { + \frac { 1 } { N } \! \left( \begin{array} { l l l l } { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } \! \psi _ { c } ( | x _ { j } ^ { \ell } - x _ { 1 } ^ { k } | ) } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } \! \psi _ { c } ( | x _ { j } ^ { \ell } - x _ { 2 } ^ { k } | ) } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } \! \psi _ { c } ( | x _ { j } ^ { \ell } - x _ { N } ^ { k } | ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { c l c r } { { } } & { { u _ { v } ( x ) = d _ { v } ( x ) = \frac { 1 } { 4 } a _ { V ( q s ) } ( x ) + \frac { 1 } { 1 2 } a _ { S ( q s ) } ( x ) ; } } \\ { { } } & { { s _ { v } ( x ) = \frac { 1 } { 3 } a _ { S ( u d ) } ( x ) , } } \end{array}
\vec { W } _ { \perp } = \frac { 1 } { 2 } P ^ { + } \hat { z } \times \left( \vec { F } - \vec { E } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( P ^ { + } - P ^ { - } \right) \hat { z } \times \vec { E } _ { \perp } - \left( \hat { z } \times \vec { P } _ { \perp } \right) K _ { z } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \tau b _ { 0 } \left\{ \left[ \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega _ { 0 } } \right) _ { 0 } \frac { ( 1 - \Gamma _ { 0 } ) } { b _ { 0 } } + \alpha _ { 0 } ^ { + } \lvert \delta \phi _ { s } \rvert ^ { 2 } \right] \delta \phi _ { 0 } - \left( \frac { V _ { A } ^ { 2 } } { b } \frac { k _ { \parallel } b k _ { \parallel } } { \omega ^ { 2 } } \right) _ { 0 } \delta \psi _ { 0 } \right\} } \\ & { = } & { i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { 0 } } \gamma _ { 0 } ^ { + } \delta \psi _ { s } ^ { * } \delta \phi _ { + } + \delta \phi _ { - } \ \mathrm { c o n t r i b u t i o n } . } \end{array}
\Psi ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { 2 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) = f ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { 2 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) \, e ^ { i \theta ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { 2 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) } ,
\begin{array} { r l } { \| f _ { 2 } - f _ { 1 } \| _ { H _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } } & { \leq \| \Pi _ { \gamma _ { 1 } } ( f _ { 2 } ) - f _ { 1 } \| _ { H _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } + \| \widetilde f _ { 2 } \| _ { H _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C \| L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } [ \Pi _ { \gamma _ { 1 } } ( f _ { 2 } ) - f _ { 1 } ] \| _ { L _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } + \| \widetilde f _ { 2 } \| _ { H _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C \| L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) \| _ { L _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } + C \| L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ( \widetilde f _ { 2 } ) \| _ { L _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } + \| \widetilde f _ { 2 } \| _ { H _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C \| L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) \| _ { L _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } + C ^ { \prime } \| \widetilde f _ { 2 } \| _ { H _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C _ { 1 } \Big ( \| L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) \| _ { L _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } + \| \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } \| _ { C ^ { 0 } ( \Omega ) } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \big ( \overrightarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ( s ) \big ) ^ { 2 } - \big ( \overrightarrow { \Xi } _ { j } ^ { \ell } ( s ) \big ) ^ { 2 } \big ) \nabla ^ { 1 , n } \varphi _ { j } ^ { n } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] \lesssim T ^ { 2 } \bigg ( \frac { n \beta _ { n } ^ { 2 } } { \ell } + \frac { n } { \ell ^ { 2 } } \bigg ) \| \partial _ { x } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal F } ( x _ { s } ) = \frac { e ^ { - \alpha _ { g } s } \delta ( x _ { s } ) + \sqrt { \frac { \alpha _ { g } \alpha _ { l } ( 1 - x _ { s } ) s ^ { 2 } } { x _ { s } } } I _ { 1 } \left( 2 \sqrt { \alpha _ { g } \alpha _ { l } x _ { s } ( 1 - x _ { s } ) s ^ { 2 } } \right) e ^ { - \alpha _ { g } ( 1 - x _ { s } ) s - \alpha _ { l } x _ { s } s } } { \frac { \alpha _ { l } } { \alpha _ { g } + \alpha _ { l } } + \frac { \alpha _ { g } } { \alpha _ { g } + \alpha _ { l } } e ^ { - ( \alpha _ { g } + \alpha _ { l } ) s } } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } \rho ( x , t ) = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \bigg [ \bigg ( \frac { \partial D ^ { i } ( x , t ) } { \partial x _ { i } } - \mu ( x , t ) \bigg ) \rho ( x , t ) \bigg ] } \\ & { \quad + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \bigg [ D ^ { i } ( x , t ) \frac { \partial \rho ( x , t ) } { \partial x _ { i } } \bigg ] } \\ & { \quad = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \partial M ^ { i } ( x , t ) } { \partial x _ { i } } \rho ( x , t ) + \sum _ { i = 1 } ^ { d } D ^ { i } ( x , t ) \frac { \partial ^ { 2 } \rho ( x , t ) } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \bigg ( M ^ { i } ( x , t ) + \frac { \partial D ^ { i } ( x , t ) } { \partial x _ { i } } \bigg ) \frac { \partial \rho ( x , t ) } { \partial x _ { i } } , } \end{array}
S _ { Y K } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { r < 0 } \\ { r ^ { 3 } ( 1 0 - 1 5 r + 6 r ^ { 2 } ) } & { 0 \leqslant r \leqslant 1 } \\ { 1 } & { r > 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { L } } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \langle \phi _ { a } | p _ { i } ( H _ { S } - E _ { a } ) \left[ \frac { 1 } { 2 \varepsilon } + \frac { 5 } { 6 } - \frac { \gamma _ { E } } { 2 } \right. } \\ & { \left. - \log [ 2 ( H _ { S } - E _ { a } ) ] + \frac { 1 } { 2 } \log 4 \pi \right] p _ { i } | \phi _ { a } \rangle . } \end{array}
\frac { \partial \rho _ { \hbar } ^ { j } ( \textbf { x } , t ) } { \partial t } + d i v \left( \rho _ { \hbar } ^ { j } ( \textbf { x } , t ) \frac { \nabla _ { j } S _ { \hbar } ^ { j } ( \textbf { x } , t ) } { m _ { j } } \right) = 0 , ~ ~ ~ ~ \frac { d X _ { \hbar } ^ { j } ( t ) } { d t } = \frac { \nabla _ { j } S _ { \hbar } ^ { j } ( \textbf { x } , t ) } { m _ { j } } \vert _ { \textbf { x } = X _ { \hbar } ^ { j } ( t ) }
\begin{array} { c } { { H = \left( \begin{array} { l l l l } { { a } } & { { b } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { c } } & { { d } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { e } } & { { f } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { g } } & { { h } } \end{array} \right) T ^ { \prime \prime } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { \omega ^ { i } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \omega ^ { - i } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { D } F ( x ) } { \mathrm { D } x } = \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } \big ( F ( x \oplus _ { - k } \delta _ { - k } ) \ominus _ { - k } F ( x ) \big ) \oslash _ { - k } \delta _ { - k } , } \end{array}
H _ { d } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { h _ { d } } } & { { h _ { s } V _ { 1 2 } } } & { { z } } \\ { { x } } & { { h _ { s } } } & { { h _ { b } V _ { 2 3 } } } \\ { { x } } & { { x } } & { { h _ { b } } } \end{array} \right)
x _ { i } ^ { * } = \frac { x _ { i } } { L _ { o } } , \, \rho _ { i } ^ { * } = \frac { \rho _ { i } } { \rho _ { o } } , \, t ^ { * } = \frac { t U _ { o } } { L _ { o } } , \, u _ { i } ^ { * } = \frac { u _ { i } } { U _ { o } } , \, p _ { i } ^ { * } = \frac { p _ { i } } { \rho _ { o } U _ { o } { ^ 2 } } ,
\begin{array} { r l } { C = } & { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } ^ { 2 } \right) \langle n _ { \mathrm { s h o t } } ^ { 2 } ( t ) \rangle \left( \begin{array} { l l } { 8 \mathrm { I } _ { 2 \tau \times 2 \tau } } & { - 4 \mathrm { I } _ { 2 \tau \times 2 \tau } } \\ { - 4 \mathrm { I } _ { 2 \tau \times 2 \tau } } & { 8 \mathrm { I } _ { 2 \tau \times 2 \tau } } \end{array} \right) } \\ { = } & { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } ^ { 2 } \right) C _ { \mathrm { 1 ~ e v e n t } } } \end{array}
C _ { a b c } = \theta _ { 0 a } \left( F _ { b c } ^ { 0 } + \lambda _ { b } A _ { c } ^ { 0 } - \lambda _ { c } A _ { b } ^ { 0 } \right) + \theta _ { 0 b } \left( F _ { c a } ^ { 0 } + \lambda _ { c } A _ { a } ^ { 0 } - \lambda _ { a } A _ { c } ^ { 0 } \right) - \theta _ { 0 c } \left( F _ { a b } ^ { 0 } + \lambda _ { a } A _ { b } ^ { 0 } - \lambda _ { b } A _ { a } ^ { 0 } \right) ,
\eta = \frac { M _ { \pi } } { 1 0 T } \left( \frac { 2 T } { M _ { \pi } } \right) ^ { 5 / 2 } A \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \frac { x ^ { 5 / 2 } } { z ^ { - 1 } e ^ { x } - 1 } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } B _ { s } P _ { r } ^ { s } \left( z ; x \right)
\begin{array} { r l } { 2 \omega _ { \mathrm { c } } } & { = \sum _ { k } \frac { K _ { k } ^ { \prime \prime } ( 0 ) \sinh \left( \beta K _ { k } ( 0 ) \right) } { \cosh \left( \beta \left( \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right) \right) + \cosh \left( \beta K _ { k } ( 0 ) \right) } } \\ & { = 4 g ^ { 2 } \sum _ { k } \frac { \sinh \left( \beta \delta _ { k } \right) } { \delta _ { k } \left[ \cosh \left( \beta \left( \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right) \right) + \cosh \left( \beta \delta _ { k } \right) \right] } , } \end{array}
R _ { m } ( \varepsilon ) \frac { \textrm { d } i _ { L } ( t ) } { \textrm { d } t } + \frac { \textrm { d } R _ { m } ( \varepsilon ) } { \textrm { d } t } i _ { L } ( t ) + L \frac { \textrm { d } ^ { 2 } i _ { L } ( t ) } { \textrm { d } t ^ { 2 } } = R _ { c t } \frac { \textrm { d } i _ { C } ( t ) } { \textrm { d } t } + \frac { i _ { C } ( t ) } { C _ { m } ( \varepsilon ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \lambda \tilde { c } _ { \phi } } G _ { n _ { \| } \tilde { \jmath } _ { \perp } } ^ { R } } & { = \frac { i \omega ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } ) - ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } ) D _ { \ell } k ^ { 2 } / \lambda + v _ { \| } ^ { 2 } k ^ { 2 } / \lambda } { \big ( i \omega - D _ { \ell } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \| } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \frac { * k } { | k | } , } \\ { \frac { 1 } { \tilde { c } _ { \phi } } G _ { j _ { \perp } \tilde { n } _ { \| } } ^ { R } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { q } ^ { \mathrm { p o l } } = } & { \Theta ( k _ { F } ^ { \mathord { \uparrow } } - q ) + \Theta ( k _ { F } ^ { \mathord { \downarrow } } - q ) \; , ~ k _ { F } ^ { \mathord { \uparrow } , \mathord { \downarrow } } = ( 6 \pi ^ { 2 } n _ { \mathord { \uparrow } , \mathord { \downarrow } } ) ^ { 1 / 3 } \; . } \end{array}
( \psi ^ { - } , \phi ^ { + } ) = \sum _ { j } \int _ { m _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { \infty } d { \mathsf s } \, \sum _ { j _ { 3 } } \int \frac { d ^ { 3 } \hat { \bf p } } { 2 \hat { E } } \langle \psi ^ { - } | [ j , { \mathsf s } ] , j _ { 3 } , \hat { \bf p } ^ { - } \rangle S _ { j } ( { \mathsf s } ) \langle ^ { + } j _ { 3 } , \hat { \bf p } , [ j , { \mathsf s } ] | \phi ^ { + } \rangle \, .
\begin{array} { r } { \textup { P o i s s o n } ( y ; f _ { M } ( x ; \theta _ { M } ) \times T ) = \frac { \exp ( - f _ { M } ( x ; \theta _ { M } ) \times T ) \left( f _ { M } ( x ; \theta _ { M } ) \times T \right) ^ { y } } { y ! } , } \end{array}
\operatorname * { d e t } { \cal L } _ { { \tilde { x } } ^ { \prime } } = 2 \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \epsilon _ { 2 } \epsilon _ { 2 1 } a _ { 2 1 } \left( a _ { 2 1 } - \epsilon _ { 1 } \right) \left( a _ { 1 2 } + \epsilon \right) \left( a _ { 1 2 } + 2 \epsilon _ { 1 } + \epsilon _ { 2 } \right) .
M _ { \rho } ^ { \Sigma _ { 2 } } ( u ) \cap M _ { \rho } ^ { \Sigma _ { 2 } } ( v ) = \emptyset \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } u , v \in W _ { \rho } ^ { \Sigma _ { 1 } } , u \neq v ; \qquad \bigcup _ { u \in W _ { \rho } ^ { \Sigma _ { 1 } } } M _ { \rho } ^ { \Sigma _ { 2 } } ( u ) = V ;
\beta \, = \, i \, \frac { \alpha } { 2 \, n } \, \, \Longleftrightarrow \, \, E \, = \, - \frac { M \, \alpha ^ { 2 } } { 4 \, n ^ { 2 } } \, , \qquad \qquad ( n = 1 , 2 , 3 , \ldots ) \, ,
\begin{array} { r l } { p _ { i j } = p _ { i j } ^ { - } + p _ { i j } ^ { + } } & { = \frac { y _ { i } y _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } + \frac { x _ { i } x _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } = \frac { y _ { i } y _ { j } + x _ { i } x _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } = } \\ & { = \frac { \mathbf { z } _ { i } \cdot \mathbf { z } _ { j } } { 1 + \mathbf { z } _ { i } \cdot \mathbf { z } _ { j } } = \frac { | \mathbf { z } _ { i } | | \mathbf { z } _ { j } | \cos \phi _ { i j } } { 1 + | \mathbf { z } _ { i } | | \mathbf { z } _ { j } | \cos \phi _ { i j } } = \frac { \sqrt { ( x _ { i } ^ { 2 } + y _ { i } ^ { 2 } ) \cos \phi _ { i j } } \cdot \sqrt { ( x _ { j } ^ { 2 } + y _ { j } ^ { 2 } ) \cos \phi _ { i j } } } { 1 + \sqrt { ( x _ { i } ^ { 2 } + y _ { i } ^ { 2 } ) \cos \phi _ { i j } } \cdot \sqrt { ( x _ { j } ^ { 2 } + y _ { j } ^ { 2 } ) \cos \phi _ { i j } } } \equiv \frac { z _ { i } z _ { j } \cos \phi _ { i j } } { 1 + z _ { i } z _ { j } \cos \phi _ { i j } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nu _ { e k } } & { = } & { \frac { a _ { e k } } { u _ { k e } ^ { 3 } } \, , } \\ { \nu _ { e l } } & { = } & { \frac { a _ { e l } } { u _ { k e } ^ { 3 } } \, , } \\ { \nu _ { e m } } & { = } & { \frac { a _ { e m } } { u _ { k e } ^ { 3 } } \, , } \\ { a _ { e k } } & { = } & { \frac { n _ { k } ^ { e } } { C _ { k e } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } } \, \Lambda _ { k e } \, , } \\ { a _ { e l } } & { = } & { \frac { n _ { l } ^ { e } } { C _ { k e } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } } \, \Lambda _ { k e } \, , } \\ { a _ { e m } } & { = } & { \frac { n _ { m } ^ { e } } { C _ { k e } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } } \, \Lambda _ { k e } \, , } \\ { C _ { k e } } & { = } & { \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k e } ^ { 2 } } { q _ { k } ^ { 2 } q _ { e } ^ { 2 } } \, , } \\ { \gamma _ { e } } & { \approx } & { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { u _ { e } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \, , } \\ { u _ { k e } } & { = } & { \left| \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { e } \right| } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { k } ^ { \; c m } } & { { } = } & { \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { k l } ^ { \; s } \, , } \\ { \vec { u } _ { l } ^ { \; c m } } & { { } = } & { \vec { u } _ { l } - \vec { u } _ { k l } ^ { \; s } \, , } \end{array}
\mathcal { F } \{ \mathcal { U } ; k \} = \sum _ { j = 1 } ^ { U } e ^ { - i k \, x _ { j } } \quad , \quad \mathcal { F } \{ \mathcal { V } ; k \} = \sum _ { j = 1 } ^ { V } e ^ { - i k \, y _ { j } }
\begin{array} { r l r } { i \int { \frac { d ^ { \, 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } } & { { } } & { \mathrm { ~ \ f ~ o ~ r ~ g ~ l ~ u ~ o ~ n ~ l ~ o ~ o ~ p ~ s ~ } } \\ { - i \int { \frac { d ^ { \, 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } } & { { } } & { \mathrm { ~ \ f ~ o ~ r ~ q ~ u ~ a ~ r ~ k ~ l ~ o ~ o ~ p ~ s ~ } } \end{array}
\mathcal { N } _ { e i } = \frac { \mu _ { s } a _ { \mathrm { r e f } } L _ { \mathrm { r e f } } ^ { 3 } } { \overline { { E I } } } = \frac { 4 \pi ^ { 2 } \mu _ { s } R \psi _ { 0 } f ^ { 2 } c _ { m } ^ { 3 } } { \overline { { E I } } } \; ,
\begin{array} { r l } { \overline { { g } } ( x , \zeta , \nu ) } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { d - 1 } } \int _ { B _ { \varepsilon } ( x ) \cap J _ { v _ { \varepsilon } } } g ( y , [ v _ { \varepsilon } ] ( y ) , \nu _ { v _ { \varepsilon } } ( y ) ) \, d \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( y ) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { d - 1 } } \int _ { B _ { \varepsilon } ( x ) \cap J _ { v _ { \varepsilon } } } g ( x , [ v _ { \varepsilon } ] ( y ) , \nu _ { v _ { \varepsilon } } ( y ) ) \, d \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( y ) + \eta } \\ & { = \int _ { B \cap J _ { w } } g ( x , [ w ] ( y ) , \nu _ { w } ( y ) ) \, d \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( y ) + \eta \leq \mathcal { R } g ( x , \zeta , \nu ) + 2 \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi ^ { ( 1 ) } } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \psi ^ { ( 1 ) } } { \partial x ^ { 2 } } + \sigma ( | \psi ^ { ( 1 ) } | ^ { 2 } + | \psi ^ { ( 2 ) } | ^ { 2 } ) \psi ^ { ( 1 ) } } & { = 0 , } \\ { i \frac { \partial \psi ^ { ( 2 ) } } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \psi ^ { ( 2 ) } } { \partial x ^ { 2 } } + \sigma ( | \psi ^ { ( 1 ) } | ^ { 2 } + | \psi ^ { ( 2 ) } | ^ { 2 } ) \psi ^ { ( 2 ) } } & { = 0 , } \end{array}
+ \frac 5 8 F ^ { \lambda \nu } F ^ { \mu \rho } F _ { \lambda \mu } F _ { \nu \rho } + 2 F _ { \mu \rho } ~ ^ { ; \rho } F ^ { \mu \lambda } ~ _ { ; \lambda } - 2 ( F _ { \rho } ~ ^ { \nu } F ^ { \rho \mu } ) _ { ; \nu \mu } + ( F _ { \nu \rho } F ^ { \nu \rho } ) ^ { ; \mu } ~ _ { \mu } ~ ~ .
\begin{array} { r } { \delta \phi _ { + } - \delta \psi _ { + } = i \frac { c } { B _ { 0 } } k _ { Z } k _ { \theta 0 } \frac { 1 } { \omega _ { 0 } } \delta \phi _ { 0 } \left( \delta \psi _ { Z } - \delta \phi _ { Z } \right) . } \end{array}
\Gamma _ { k } \sim \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { \hbar } \left( \frac { k } { k _ { \operatorname* { m a x } } } \right) ^ { 3 } \big | g ^ { ( 2 ) } ( k _ { \operatorname* { m a x } } , k _ { \operatorname* { m a x } } ) \big | ^ { 2 } A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { \mathrm { O } } ) A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { \mathrm { A } } ) \frac { 1 } { \epsilon _ { k } } \sim 1 0 ^ { - 8 } \mathrm { R y } \sim 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { p s } ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } { \rho _ { \alpha } ^ { r _ { I } } } = \sigma _ { \alpha } \Delta { \rho _ { \alpha } ^ { r _ { I } } } + \nabla \cdot \left( \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { S } } { \rho _ { \alpha } ^ { r _ { I } } } \nabla { V _ { \alpha \beta } ^ { r _ { I } } } \ast { \rho _ { \beta } ^ { r _ { I } } } \right) + N ^ { - 1 / 2 } \nabla \cdot ( \sqrt { 2 \sigma _ { \alpha } { \rho _ { \alpha } ^ { r _ { I } } } } \, \xi _ { \alpha } ) } \end{array}
A _ { \alpha } ^ { i } = e _ { \mu } ^ { i } A _ { \alpha } ^ { \mu } \, , \quad \partial _ { \mu } A _ { \alpha } ^ { i } = - C ^ { i } { } _ { j k } e _ { \mu } ^ { j } A _ { \alpha } ^ { k } + \partial _ { \alpha } e _ { \mu } ^ { i } \, .
\begin{array} { l } { \displaystyle \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { a , b } \\ { c , c ^ { \prime } } \end{array} \right| z , w \right) \, = \, \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \, \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \, \frac { ( a ) _ { k + \ell } \, ( b ) _ { k } } { ( c ) _ { k } ( c ^ { \prime } ) _ { \ell } } \, \frac { z ^ { k } } { k ! } \, \frac { w ^ { \ell } } { \ell ! } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \psi _ { 1 } \rangle } & { { } = } & { \left| t _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } , t _ { 8 } = \frac { 1 } { 3 } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right\rangle = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ { | \psi _ { 2 } \rangle } & { { } = } & { \left| t _ { 3 } = - \frac { 1 } { 2 } , t _ { 8 } = \frac { 1 } { 3 } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right\rangle = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ { | \psi _ { 3 } \rangle } & { { } = } & { \left| t _ { 3 } = 0 , t _ { 8 } = - \frac { 2 } { 3 } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right\rangle = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
A _ { 1 } = \frac { 2 - \chi } { \chi } \eta _ { \mathrm { V S } } \mathrm { ~ , ~ } A _ { 2 } = \frac { 2 } { \pi } \frac { \eta ^ { 1 } } { \operatorname* { P r } } \mathrm { ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } A _ { 3 } = \frac { \eta ^ { 1 } c _ { p } } { \operatorname* { P r } } = \sigma _ { T } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l r } { \psi ( r , \phi , z ) = } & { { } } & { \frac { w _ { 0 } } { w } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w } \right) ^ { m } L _ { p } ^ { m } \left( 2 \left( \frac { r } { w } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}