harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { ( q ; q ) _ { \infty } } { ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } } & { = \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } { ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 7 } } - q \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } ^ { 6 } } { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 9 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } ^ { \mathrm { { o u t } } } = } & { { } ( s _ { 1 1 } + \frac { s _ { 1 2 } s _ { 2 1 } \sqrt { 1 - L } } { e ^ { i \theta _ { 0 } } - s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } } ) \hat { a } ^ { \mathrm { { i n } } } } \\ { \hat { b } ^ { \mathrm { { o u t } } } = } & { { } \frac { s _ { 2 1 } } { 1 - s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } e ^ { - i \theta _ { 0 } } } \hat { a } ^ { \mathrm { { i n } } } + \frac { s _ { 2 2 } \sqrt { L } } { 1 - s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } e ^ { - i \theta _ { 0 } } } \hat { v } _ { b } , } \end{array}
, w e g e t t h a t t h e b o u n d a r y c o n t r i b u t i o n s i n a r e a l l i d e n t i t y , s o i n t h e f o l l o w i n g , w e o n l y w o r k o n t h e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n s t o t h e v a r i a t i o n a l e q u a t i o n a s w e l l a s t h e l e f t - r i g h t t r a n s i t i o n s . W e s t r e s s t h a t t h e c o n t r i b u t i o n f r o m t h e l a t t e r i s e s s e n t i a l f o r t h e
\begin{array} { r l } { P _ { \alpha \rightarrow \beta } = \delta _ { \alpha \beta } } & { { } { } - 4 \sum _ { i > j } \mathrm { { R e } } \left( U _ { \alpha i } ^ { * } U _ { \beta i } U _ { \alpha j } U _ { \beta j } ^ { * } \right) \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \Delta m _ { i j } ^ { 2 } L } { 4 E } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { f } ( z ) } & { { } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( z - c ) ^ { k } } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { ( w - c ) ^ { k + 1 } } } \, d w } \end{array}
T ( k ) = \frac { \Gamma ( - 1 - i k / m ) \Gamma ( 2 - i k / m ) \Gamma ( 1 / 2 \mp i B - i k / m ) \Gamma ( 1 / 2 \pm i B - i k / m ) } { \Gamma ( - i k / m ) \Gamma ( 1 - i k / m ) \Gamma ^ { 2 } ( 1 / 2 - i k / m ) } \; ,
\begin{array} { r l } { E I ( \textbf { x } ) = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { ( \mu ( \textbf { x } ) - \mu ^ { + } - \varepsilon ) \varphi ( Z ) + \sigma ( \textbf { x } ) \phi ( Z ) } & { \mathrm { , i f ~ } \sigma ( \textbf { x } ) > 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { , i f ~ } \sigma ( \textbf { x } ) = 0 } \end{array} \right. } \\ & { Z = \frac { \mu ( \textbf { x } ) - \mu ^ { + } - \varepsilon } { \sigma ( \textbf { x } ) } } \end{array}
{ \frac { { \mathcal F } _ { D } ( 1 ) ^ { 2 } } { { \mathcal F } _ { D ^ { * } } ( 1 ) ^ { 2 } } } \simeq \left( { \frac { { { \mathcal F } _ { D } ^ { \mathrm { \tiny ~ ( S M ) } } ( 1 ) } ^ { 2 } + \beta _ { 0 } + \beta _ { 0 } ^ { \prime \prime } } { { { \mathcal F } _ { D ^ { * } } ^ { \mathrm { \tiny ~ ( S M ) } } ( 1 ) } ^ { 2 } + \beta _ { 0 } - \beta _ { 0 } ^ { \prime \prime } } } \right) .
E _ { N B } \left[ \frac { \mathrm { ~ V ~ } } { \mathrm { ~ m ~ } } \right] = \frac { 2 B \nu \tau } { M v ^ { 2 } N _ { p } } \cdot P _ { N B } \left[ \frac { \mathrm { ~ W ~ } } { \mathrm { ~ m ~ } ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r l r l } & { \mathbb { P } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \Big ( h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } \big ( \epsilon _ { i } + \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ( W _ { t _ { i } ^ { n } } - W _ { k h _ { n } } ) \big ) > x \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } \Big ) = \mathbb { P } \big ( \operatorname* { i n f } _ { 0 \le t \le 1 } B _ { t } \ge x \big ) \ } & { + \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \Big [ \mathbf { 1 } \big ( \operatorname* { i n f } _ { 0 \le t \le 1 } B _ { t } < x \big ) \exp \Big ( - h _ { n } ^ { 3 / 2 } n \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } \eta \int _ { 0 } ^ { 1 } ( B _ { t } - x ) _ { - } \, d t \, ( 1 + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } ( 1 ) ) \Big ) \Big ] \ } & { = \mathbb { P } \big ( \operatorname* { i n f } _ { 0 \le t \le 1 } B _ { t } \ge x \big ) + \mathbb { P } \big ( \operatorname* { i n f } _ { 0 \le t \le 1 } B _ { t } < x \big ) \cdot { \scriptstyle { \mathcal { O } } } ( 1 ) \, . } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } C ( \tau ) } { d \tau ^ { 2 } } } = \ddot { C } = - v _ { 0 } ^ { 2 } \Big [ \langle \ddot { \theta } _ { i } ( t + \tau ) \, \mathrm { s i n } ( \Delta \theta _ { i } ) \rangle + \langle \dot { \theta } _ { i } ^ { 2 } ( t + \tau ) \, \mathrm { c o s } ( \Delta \theta _ { i } ) \rangle \Big ]
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { d } { d t } L _ { n } ^ { m } ( t ) \tau ^ { n } = - \frac { \tau } { 1 - \tau } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } L _ { n } ^ { m } ( t ) \tau ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { k } { n } \sqrt { D } } & { = } & { \frac { u _ { 0 } } { u _ { 0 } - \hat { u } _ { 0 } } \frac { \gamma } { \gamma + 1 } \sqrt { \Big ( \frac { \hat { u } _ { 0 } } { u _ { 0 } } \Big ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \hat { u } _ { 0 } } { u _ { 0 } } \frac { u _ { 0 } ^ { \prime } ( n / ( 2 k ) ) } { u _ { 0 } ^ { \prime } ( n / k ) } + \frac { 1 } { 8 } \Big ( \frac { u _ { 0 } ^ { \prime } ( n / ( 2 k ) ) } { u _ { 0 } ^ { \prime } ( n / k ) } \Big ) ^ { 2 } } ( 1 + o ( 1 ) ) } \\ & { \to } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } ( 2 ^ { \gamma } - 1 ) } \frac { \gamma } { \gamma + 1 } } \end{array}
T \prod _ { i = 1 } ^ { n ^ { \prime } } : \! \varphi ( x _ { i } ) ^ { k _ { i } } \! : = T \prod _ { i = 1 } ^ { l } : \! \varphi ( x _ { i } ) ^ { k _ { i } } \! : T \prod _ { i = l + 1 } ^ { n ^ { \prime } } : \! \varphi ( x _ { i } ) ^ { k _ { i } } \! :
\Rightarrow - { \frac { 6 } { 7 } } = \dots 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 \times 6 = \dots 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2
\begin{array} { r l } { \left( M ^ { + } x + M ^ { - } \widehat { x } _ { [ i : x ] } \right) _ { i } } & { = \left( \lceil M \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x + \lfloor M \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } \right) _ { i } , } \\ { \left( \lceil M \rceil ^ { \mathrm { M z l } } + \lceil L \rceil ^ { \mathrm { M z l } } \right) x } & { + \left( \lfloor M \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } + \lfloor L \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \right) \widehat { x } \le \lceil M + L \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x + \lfloor M + L \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( { x } ^ { t , M } ) - f ( { x } ^ { * } ) } \\ { \le \ } & { \frac { \eta } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle + 2 \eta L D \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \| - \frac { \widetilde \mu } { 2 } \eta ^ { 2 } } \\ { \le \ } & { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle + 2 \eta L D \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \| - \frac { \widetilde \mu } { 2 } \eta ^ { 2 } } \end{array}
( \mathbf { c } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } ) _ { m } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , m ) } } & { \mathrm { i f ~ } m > 0 } \\ { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , 0 ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , 0 ) } } & { \mathrm { i f ~ } m = 0 } \\ { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , - m ) } } & { \mathrm { i f ~ } m < 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \delta \left( { \cal F } _ { \mathrm { g c } } \; { \cal H } _ { \mathrm { g c } } \right) } & { { } = } & { - \; { \cal F } _ { \mathrm { g c } } \, \delta L _ { \mathrm { g c } } + B _ { \| } ^ { * } \, \delta { \sf S } \left\{ { \cal F } _ { \mathrm { g c } } / B _ { \| } ^ { * } , \frac { } { } { \cal H } _ { \mathrm { g c } } \right\} _ { \mathrm { g c } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( a { \mathbf b } ) = } & { { } \frac { \partial } { \partial x } ( a b _ { x } ) + \frac { \partial } { \partial y } ( a b _ { y } ) + \frac { \partial } { \partial z } ( a b _ { z } ) } \\ { = } & { { } \frac { \partial a } { \partial x } b _ { x } + \frac { \partial a } { \partial y } b _ { y } + \frac { \partial a } { \partial z } b _ { z } + a \frac { \partial b _ { x } } { \partial x } + a \frac { \partial b _ { y } } { \partial y } + a \frac { \partial b _ { z } } { \partial z } } \\ { = } & { { } \left( \mathbf { i } \frac { \partial a } { \partial x } + \mathbf { j } \frac { \partial a } { \partial y } + \mathbf { k } \frac { \partial a } { \partial z } \right) \cdot ( \mathbf { i } b _ { x } + \mathbf { j } b _ { y } + \mathbf { k } b _ { z } ) + a \nabla \cdot { \mathbf b } } \\ { = } & { { } \nabla a \cdot { \mathbf b } + a \nabla \cdot { \mathbf b } } \end{array}
{ \bf E } _ { \omega } ( { \mathrm { \boldmath ~ \ v a r r h o ~ } } ) = - { \frac { \mathrm { i } e } { \pi c } } \ \int { \frac { { \bf q } _ { \bot } \; \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \bf q } _ { \bot } { \mathrm { \scriptsize \boldmath ~ \ v a r r h o ~ } } } } { { \bf q } _ { \bot } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } / ( c \gamma _ { p } ) ^ { 2 } } } \, F ( { \bf q } ) \; d ^ { 2 } q _ { \bot } \,
\left[ \begin{array} { c } { P } \\ { E } \\ { H } \end{array} \right] \mid \mathbf { X } _ { P } , \mathbf { X } _ { E } , \mathbf { X } _ { H } \sim G P \left( \left[ \begin{array} { c } { \mu _ { P } \left( \mathbf { X } _ { P } \right) } \\ { \mu _ { E } \left( \mathbf { X } _ { E } \right) } \\ { \mu _ { H } \left( \mathbf { X } _ { H } \right) } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c c } { K _ { P P } \left( \mathbf { X } _ { P } , \mathbf { X } _ { P } \right) } & { K _ { P E } \left( \mathbf { X } _ { P } , \mathbf { X } _ { E } \right) } & { K _ { P H } \left( \mathbf { X } _ { P } , \mathbf { X } _ { H } \right) } \\ { K _ { E P } \left( \mathbf { X } _ { E } , \mathbf { X } _ { P } \right) } & { K _ { E E } \left( \mathbf { X } _ { E } , \mathbf { X } _ { E } \right) } & { K _ { E H } \left( \mathbf { X } _ { E } , \mathbf { X } _ { H } \right) } \\ { K _ { H P } \left( \mathbf { X } _ { H } , \mathbf { X } _ { P } \right) } & { K _ { H E } \left( \mathbf { X } _ { H } , \mathbf { X } _ { E } \right) } & { K _ { H H } \left( \mathbf { X } _ { H } , \mathbf { X } _ { H } \right) } \end{array} \right] \right)
v _ { \parallel } ^ { 2 } = \dot { x } ^ { 2 } + x ^ { 2 } \dot { \theta } _ { \parallel } ^ { 2 } , \ \ \ \ v _ { \perp } ^ { 2 } = \dot { z } ^ { 2 } + z ^ { 2 } \dot { \theta } _ { \perp } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } ( L ( 0 ) \vee L ( t ) > m ) \le e ^ { - \frac { 4 } { 3 } m ^ { 3 / 2 } + c m ^ { 5 / 4 } } , \qquad \mathbb { P } ( L ( 0 ) \wedge L ( t ) < - m ) \le 2 e ^ { - d m ^ { 3 } } , } \\ { \qquad } & { \mathbb { P } ( | L ( 0 ) - L ( t ) | > m ) \le e ^ { - \frac { m ^ { 2 } } { 4 t } - \frac { 4 k - 2 } { 3 } m ^ { 3 / 2 } + c m ^ { 5 / 4 } } . } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } \int _ { S _ { t } } d { \boldsymbol { r } } = \int _ { S _ { t } } { \frac { d { \boldsymbol { r } } } { d t } } \cdot d { \boldsymbol { S } } = \int _ { S _ { t } } { \boldsymbol { F } } \cdot d { \boldsymbol { S } } = \int _ { S _ { t } } \nabla \cdot { \boldsymbol { F } } \, d { \boldsymbol { r } } = 0
\begin{array} { r } { \mathrm { K } ^ { k } = \sum _ { l , l ^ { \prime } } \frac { q _ { l } ^ { 2 } + 2 q _ { l } q _ { l ^ { \prime } } } { 4 q _ { k } ^ { 2 } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } \mathcal { A } ^ { l } } _ { A } \mathcal { A } _ { A } ^ { k - l ^ { \prime } - l } e ^ { i ( \theta _ { A } ^ { l } + \theta _ { A } ^ { l ^ { \prime } } + \theta _ { A } ^ { k - l ^ { \prime } - l } - { i \theta _ { A } ^ { k } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { X } _ { 1 } = } & { \frac { 2 \alpha \cos \left( \frac { \psi } { 2 } \right) \left[ \alpha \sin \left( \omega t + \frac { \psi } { 2 } \right) - \omega \cos \left( \omega t + \frac { \psi } { 2 } \right) \right] } { \alpha ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } , } \\ { { Y } _ { 1 } = } & { \frac { 2 \beta \sin \left( \frac { \psi } { 2 } \right) \left[ \beta \cos \left( \omega t + \frac { \psi } { 2 } \right) + \omega \sin \left( \omega t + \frac { \psi } { 2 } \right) \right] } { \beta ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } , } \\ { { X } _ { 2 } = } & { - \frac { 3 a \beta k \omega \sin ( \psi ) } { 2 \alpha \gamma d \left( \alpha ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) \left( \alpha ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 2 } \right) \left( \beta ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) } } \\ & { \left[ \left( \alpha ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 2 } \right) \left( \alpha \beta + \omega ^ { 2 } \right) + \alpha \omega \left( \alpha ^ { 2 } + 3 \alpha \beta - 2 \omega ^ { 2 } \right) \sin ( 2 \omega t + \psi ) + \alpha \left( \alpha ^ { 2 } \beta - 3 \alpha \omega ^ { 2 } - 2 \beta \omega ^ { 2 } \right) \cos ( 2 \omega t + \psi ) \right] , } \\ { { Y } _ { 2 } = } & { - \frac { 3 a \beta k \omega \sin ^ { 2 } \left( \frac { \psi } { 2 } \right) \left[ \left( 2 \omega ^ { 3 } - 4 \beta ^ { 2 } \omega \right) \cos ( 2 \omega t + \psi ) + \beta \left( \beta ^ { 2 } - 5 \omega ^ { 2 } \right) \sin ( 2 \omega t + \psi ) \right] } { \gamma d \left( \beta ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \beta ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { k \setminus i } ^ { t t ^ { \prime } } = C _ { k \setminus i } ^ { t , t ^ { \prime } } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] x _ { k } ^ { t } x _ { k } ^ { t ^ { \prime } } } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { s } _ { k } = 0 | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] x _ { k } ^ { t } x _ { k } ^ { t ^ { \prime } } , } \end{array}
\frac { \partial P } { \partial t } = - \sum _ { p = 1 } ^ { , 2 } \frac { \partial } { \partial M _ { p } } \left( K _ { p } P \right) + \sum _ { p , q = 1 } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial M _ { p } \partial M _ { q } } \left( \sigma _ { q p } P \right)
h = { \mathrm { e } } ^ { a _ { 0 } L _ { 0 } } \; { \mathrm { e } } ^ { a _ { 1 } L _ { 1 } } \; { \mathrm { e } } ^ { b _ { - 1 } J _ { - 1 } } \; { \mathrm { e } } ^ { b _ { 0 } J _ { 0 } } \; { \mathrm { e } } ^ { b _ { 1 } J _ { 1 } } \; { \mathrm { e } } ^ { b _ { 2 } J _ { 2 } } \; \tilde { h } \; ,
\hat { H } _ { I } / \hbar = g _ { 0 } ( \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { e } \hat { a } _ { o } + \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { e } ^ { \dagger } \hat { a } _ { t } ) + J \hat { a } _ { t } \hat { a } _ { \mathrm { t m } } ^ { \dagger } + h . c . ,
\begin{array} { r l } & { { \big \vert \operatorname* { d e t } ( \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) , \hat { e } ^ { * } , \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) ) \big \vert ^ { 2 } } } \\ & { = { \big \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } \big \vert \operatorname* { d e t } ( \hat { e } _ { \perp } , \hat { e } ^ { * } , \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) ) \big \vert ^ { 2 } } } \\ & { = { \big \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { a } } { \mathrm { d } t } = } & { - \left( \kappa _ { a } + \mathrm { i } \Delta _ { a } \right) \hat { a } - \mathrm { i } G _ { a b } \hat { b } + \mathcal { E } _ { p } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Delta _ { p } t } + \sqrt { 2 \kappa _ { a } } \hat { a } ^ { \mathrm { i n } } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \hat { b } } { \mathrm { d } t } = } & { - \left( \gamma _ { b } + \mathrm { i } \Delta _ { b } \right) \hat { b } - \mathrm { i } G _ { a b } \hat { a } + \Omega _ { b } - \mathrm { i } \mathrm { g } _ { b c } \hat { b } \hat { c } ^ { \dagger } \hat { c } - 2 \mathrm { i } \mathcal { X } _ { b } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } \hat { b } } \\ & { + \sqrt { 2 \gamma _ { b } } \hat { b } ^ { \mathrm { i n } } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \hat { c } } { \mathrm { d } t } = } & { - \left( \gamma _ { c } + \mathrm { i } \Delta _ { c } \right) \hat { c } - 2 \mathrm { i } \mathcal { X } _ { c } \hat { c } ^ { \dagger } \hat { c } \hat { c } - \mathrm { i } \mathrm { g } _ { b c } \hat { c } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } + \Omega _ { c } + \sqrt { 2 \gamma _ { c } } \hat { c } ^ { \mathrm { i n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \boldsymbol { \Gamma _ { D } } } & { = \Bar { \varepsilon } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { r _ { x y } ^ { 2 } } \end{array} \right] , } & { \boldsymbol { \Gamma _ { C M } } } & { = \Bar { \rho _ { e } ^ { * } } \left[ \begin{array} { l l } { H } & { 0 } \\ { 0 } & { H r _ { x y } } \end{array} \right] , } & { \boldsymbol { \Gamma _ { C 1 } } } & { = \Bar { \rho _ { 1 } ^ { * } } \left[ \begin{array} { l l } { H } & { 0 } \\ { 0 } & { H r _ { x y } } \end{array} \right] . } \end{array}
g _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) = g _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ) + \int _ { k _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { W ^ { 2 } } { \frac { d k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } f ( x ^ { \prime } = x ( 1 + { \frac { k ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } ) , k ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { u _ { 1 } } { 2 } \left[ ( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } ) ^ { 2 } + ( \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } ) ^ { 2 } \right] - v _ { 1 } \left( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } + \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } \right) , } \\ { \hat { H } _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { u _ { 2 } } { 2 } \left[ ( \hat { b } _ { L } ^ { \dagger } \hat { b } _ { L } ) ^ { 2 } + ( \hat { b } _ { R } ^ { \dagger } \hat { b } _ { R } ) ^ { 2 } \right] - v _ { 2 } \left( \hat { b } _ { L } ^ { \dagger } \hat { b } _ { R } + \hat { b } _ { R } ^ { \dagger } \hat { b } _ { L } \right) , } \\ { \hat { H } _ { 1 2 } } & { { } = } & { u _ { 1 2 } \left( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } \hat { b } _ { L } ^ { \dagger } \hat { b } _ { L } + \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } \hat { b } _ { R } ^ { \dagger } \hat { b } _ { R } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \boldsymbol { \chi } _ { e , v _ { j } } ^ { 0 } } & { = ( x _ { 0 } ^ { v _ { j } } , 0 , 0 ) ^ { \top } , \quad } & { \boldsymbol { \chi } _ { e , v _ { j } } ^ { 3 } } & { = ( x _ { 1 } ^ { v _ { j } } / 2 , x _ { 0 } ^ { v _ { j } } / 2 , 0 ) ^ { \top } , } \\ { \boldsymbol { \chi } _ { e , v _ { j } } ^ { 1 } } & { = ( 0 , x _ { 1 } ^ { v _ { j } } , 0 ) ^ { \top } , \quad } & { \boldsymbol { \chi } _ { e , v _ { j } } ^ { 4 } } & { = ( 0 , x _ { 2 } ^ { v _ { j } } / 2 , x _ { 1 } ^ { v _ { j } } / 2 ) ^ { \top } , } \\ { \boldsymbol { \chi } _ { e , v _ { j } } ^ { 2 } } & { = ( 0 , 0 , x _ { 2 } ^ { v _ { j } } ) ^ { \top } , \quad } & { \boldsymbol { \chi } _ { e , v _ { j } } ^ { 5 } } & { = ( x _ { 2 } ^ { v _ { j } } / 2 , 0 , x _ { 0 } ^ { v _ { j } } / 2 ) ^ { \top } , } \end{array}
D _ { i j } ^ { M } = \oint _ { A } n _ { m } \left( C _ { S } \frac { k ^ { 2 } } { \varepsilon } + \nu \right) \frac { \partial R _ { i j } ^ { V } } { \partial x _ { m } } d A - \oint _ { A } n _ { m } \left( C _ { S } \frac { k ^ { 2 } } { \varepsilon } + \nu \right) \frac { \partial } { \partial x _ { m } } \left( \frac { 2 } { 3 } k \delta _ { i j } \right) d A ,
y ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \int _ { 0 } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal F } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ) d e + \int _ { 0 } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal G } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ) d \hat { \cal W } ( e ) } \\ { + \int _ { 0 } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) \sigma ( e ) d { \cal B } ^ { \hat { \cal H } } ( e ) , } & { \mathrm t \in [ 0 , t _ { 1 } ] } \\ { { \cal K } _ { i } ( t , g _ { t } + \bar { y } _ { t } ) , } & { \mathrm t \in ( t _ { i } , s _ { i } ] } \\ { { \cal T } _ { q } ( t - s _ { i } ) { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , g _ { s _ { i } } + \bar { y } _ { s _ { i } } ) + \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal F } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ) d e } \\ { + \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal G } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ) d \hat { \cal W } ( e ) + \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) \sigma ( e ) d \hat { \cal B } ^ { \cal H } ( e ) } & { \mathrm t \in ( s _ { i } , t _ { i + 1 } ] . } \end{array} \right.
\widetilde { \mathcal { M } \times \Omega } \ni \left( x , \omega \right) \longmapsto \left( \bar { R } _ { \pi \left( \omega \right) } \left( x \right) \circ \kappa _ { \pi \left( \omega \right) } , \theta \omega \right) = \left( \kappa _ { \pi \left( \omega \right) } \circ R _ { \pi \left( \omega \right) } \left( x \right) , \theta \omega \right) \in \mathcal { M } \times \Omega \ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { c \rightarrow a } \Delta \phi } & { = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } \psi } { a + b \cos ^ { 2 } \psi } d \psi = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \Big [ \frac { 1 + a } { a + b \cos ^ { 2 } \psi } - 1 \Big ] d \psi } \\ & { = 2 \pi \Big [ \frac { a + 1 } { \sqrt { a ( a + b ) } } - 1 \Big ] = 2 \pi \mathcal { J } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { 1 , 1 - N } \\ { 2 , 1 } \end{array} \right| t , - s \right) \, = \, } \\ { \, = \, \frac { \exp ( - s ) } { ( 1 - t ) ^ { 1 - N } } \, \Phi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { c } { 1 - N , 1 } \\ { 2 } \end{array} \right| \frac t { t - 1 } , \frac { s t } { t - 1 } \right) \, , \displaystyle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { \mathrm { g c } \phi } } & { = } & { \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \left( P _ { \phi } - \frac { e } { \partial c } \, A _ { \phi } + J \, b _ { z } \right) \; - \; \frac { 1 } { c } \, \mathrm { \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla A _ { \phi } } \\ & { = } & { \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \left( P _ { \phi } \; + \frac J \, b _ { z } \right) - \nabla \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \frac { 1 } { c } \, A _ { \phi } \; \mathrm { \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \right) , } \end{array}
I _ { 3 } ( p ) \sim \frac { 1 } { ( \sigma \omega ) ^ { ( 3 - D ) / 2 } } \Gamma \left( \frac { 3 - D } { 2 } \right) \; F \left( \frac { 3 - D } { 4 } , \; \frac { 5 - D } { 4 } ; \; \frac { D } { 2 } ; \frac { p ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) \; ,
\alpha _ { n ^ { \prime } , 3 } = \frac { \psi ^ { \prime \prime } ( \chi _ { n ^ { \prime } + 1 } ) - \psi ^ { \prime \prime } ( \chi _ { n ^ { \prime } } ) } { 6 ( \chi _ { n ^ { \prime } + 1 } - \chi _ { n ^ { \prime } } ) } .
\left( 1 / 2 \right) A _ { 2 } F \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 2 } F } e ^ { \mathrm { i } \left( \left( 3 \omega _ { 2 n } / 2 \right) t - 3 \theta \right) } e ^ { \mathrm { i } \Lambda T _ { 1 } } + \left( 1 / 2 \right) A _ { 2 } \overline { { F } } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 2 } \overline { { F } } } e ^ { \mathrm { i } \left( \left( \omega _ { 2 n } / 2 \right) t - \theta \right) } e ^ { - \mathrm { i } \Lambda T _ { 1 } } ,
\begin{array} { r } { \gamma _ { 1 } = \frac { I _ { 1 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \left[ I _ { 1 } \Omega _ { 2 } \dot { \gamma } _ { 3 } + ( c - m _ { 3 } \gamma _ { 3 } ) \Omega _ { 1 } \right] , \qquad \gamma _ { 2 } = \frac { I _ { 1 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \left[ - I _ { 1 } \Omega _ { 1 } \dot { \gamma } _ { 3 } + ( c - m _ { 3 } \gamma _ { 3 } ) \Omega _ { 2 } \right] . } \end{array}