harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\cos \left( { \frac { \pi } { 9 6 } } \right) = \cos \left( 1 . 8 7 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 3 } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l r } { f ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } , m ) } & { = } & { - ( 1 + 3 \cos ( 2 \theta _ { 1 } ) + 3 \cos ( 2 \theta _ { 2 } ) + 9 \cos ( 2 \theta _ { 3 } ) ) } \\ & { } & { \mathrm { f o r } \ m = 0 } \\ { f ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } , m ) } & { = } & { ( 5 - 3 \cos ( 2 \theta _ { 1 } ) - 3 \cos ( 2 \theta _ { 2 } ) + 9 \cos ( 2 \theta _ { 3 } ) ) / 4 } \\ & { } & { \mathrm { f o r } \ m = \pm 1 } \end{array}
{ \cal L } _ { Y } \ = \ - \, \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { R } } \, h _ { l j } \, ( \bar { \nu } _ { l L } , \ \bar { l } _ { L } ) \, \left( \begin{array} { c } { { ( H \, - \, i \chi ^ { 0 } ) / \sqrt { 2 } } } \\ { { - \, \chi ^ { - } } } \end{array} \right) \, N _ { j } \ + \ \mathrm { H . c . }
| 0 , \theta > = { \cal Z } \sum _ { n , l } \frac { \chi ^ { n + l } } { n ! l ! } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 1 } ^ { \dagger } ) ^ { n } ( a _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 2 } ^ { \dagger } ) ^ { l } | 0 > ,
\zeta + a _ { 0 } \frac { 1 } { \zeta } x _ { 1 } ^ { 4 - n } z ^ { 8 - n } \to \zeta + a _ { 0 } \frac { 1 } { \zeta } \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } ( x _ { 1 } - m _ { i } ^ { 4 } ) \prod _ { j = 1 } ^ { N _ { f } } ( z - m _ { j } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 3 } \vert } & { \le \vert u _ { 3 } \vert ( - d ) + \int a ( k _ { \pm 2 } ) w ( k _ { \pm 2 } ) + j ( k _ { \pm 1 } ) } \\ & { \le 2 M _ { 1 } + \frac 5 \eta ( 7 \pi L \frac 4 \eta ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M + 2 M _ { 2 } ) + 7 \pi L \frac { 3 d } { \beta \eta ^ { 2 } } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M } \\ & { < 8 \pi L ( \frac 5 \eta ) ^ { 2 } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M + 2 M _ { 1 } . } \end{array}
\int d \beta \, \mathrm { e } ^ { - \sum _ { k } \beta _ { k } ^ { 2 } / 2 \hat { x } - l \sum _ { k } t _ { k } \beta _ { k } } { \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { n } \prod _ { k < l } 2 \sinh { \frac { \beta _ { k } - \beta _ { l } } { 2 p _ { i } } } } { \prod _ { k < l } \Bigl ( 2 \sinh { \frac { \beta _ { k } - \beta _ { l } } { 2 } } \Bigr ) ^ { n - 2 } } }
\delta _ { W } ( q ^ { 2 } ) \equiv Z _ { W } \left[ \Pi _ { W W } ^ { \prime } ( M _ { W } ^ { 2 } ) - \frac { \Pi _ { W W } ( q ^ { 2 } ) - \Pi _ { W W } ( M _ { W } ^ { 2 } ) } { q ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } } \right] .
\bigl ( - \kappa _ { m } \Delta + ( \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } - \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } ) \cdot \nabla \bigr ) \tilde { \theta } _ { m } = - \nabla \cdot \bigl ( \bigl ( \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \tilde { \psi } _ { m } \sigma \bigr ) \nabla \tilde { \theta } _ { m } \bigr ) .
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { X } _ { 1 , 1 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 1 , 2 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 4 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) , } \\ & { \mathcal { X } _ { 1 , 3 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 6 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 1 , 4 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 3 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) , } \end{array}
L _ { \nu _ { \alpha } } \equiv \frac { N _ { \nu _ { \alpha } } - N _ { \bar { \nu } _ { \alpha } } } { N _ { \gamma } ^ { i n } } \simeq \frac { n _ { \nu _ { \alpha } } - n _ { \bar { \nu } _ { \alpha } } } { n _ { \gamma } }
\ast v _ { \Sigma } = \ast i _ { \mathcal { N } } v _ { \Omega } | _ { \Sigma } = \ast \ast ( \mathcal { N } ^ { \flat } \wedge \ast v _ { \Omega } ) | _ { \Sigma } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \mathcal { N } ^ { \flat } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { - i p \xi } ( 1 - r _ { j } e ^ { i \xi } ) ^ { - \delta } \, d \xi } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \gamma _ { m } ^ { ( \delta ) } r _ { j } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { - i p \xi } e ^ { i m \xi } \, d \xi = 2 \pi r _ { j } ^ { p } \gamma _ { p } ^ { ( \delta ) } . } \end{array}
\left. \begin{array} { l l } { \sigma _ { r } = - 2 \sigma _ { y } \ln \left( \frac { R _ { c } } { r } \right) - \frac { 2 \sigma _ { y } } { 3 } } \\ { \sigma _ { \theta } = \sigma _ { y } - 2 \sigma _ { y } \ln \left( \frac { R _ { c } } { r } \right) - \frac { 2 \sigma _ { y } } { 3 } } \end{array} \right\} \, \, \, \, c \geq r
\begin{array} { r l r l } & { \overrightarrow { A D _ { i } } \cdot \overrightarrow { n } = t _ { i } } & & { \overrightarrow { A D _ { i } } = \overrightarrow { O A } - \overrightarrow { O D _ { i } } } \\ & { \mathbf { H } _ { i } = \mathbf { A } + t _ { i } \cdot \overrightarrow { n } } & & { i = 1 , 2 , 3 , \dotsc , N _ { d } } \end{array}
\varpi _ { j } ( \psi , \phi ) = - \frac { 1 } { 6 } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } \alpha ^ { j m } \Gamma ( \frac { m } { 6 } ) } { \Gamma ( m ) \Gamma ( 1 - \frac { m } { 2 } ) \Gamma ^ { 2 } ( 1 - \frac { m } { 6 } ) } ( 1 2 \psi ) ^ { m } u _ { - \frac { m } { 6 } } ( ( - 1 ) ^ { j } \phi )
\sin ^ { 2 } 2 \vartheta = \sin ^ { 2 } 2 \vartheta _ { \mathrm { s u n } } = \frac { 4 \, | U _ { e 1 } | ^ { 2 } \, | U _ { e 2 } | ^ { 2 } } { ( | U _ { e 1 } | ^ { 2 } + | U _ { e 2 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, .
\theta ( \omega ) = \Tilde { a } _ { 1 } \frac { \omega - \omega _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } + \Tilde { a } _ { 2 } \left( \frac { \omega - \omega _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \Tilde { a } _ { 3 } \left( \frac { \omega - \omega _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 3 } ,
\chi _ { 2 , 2 } ^ { V i r ~ ( 4 ) } ( q ) = \chi _ { 2 , 2 } ^ { V i r ~ ( 3 ) } ( q ) { } ~ \left( \chi _ { 1 , 1 } ^ { V i r ~ ( 5 ) } ( q ) - \chi _ { 4 , 1 } ^ { V i r ~ ( 5 ) } ( q ) \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { ( \rho , u , p ) _ { R } = \left( 0 . 1 2 5 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 0 . 1 \mathrm { ~ P a } \right) } & { x > 0 . 5 \mathrm { ~ m } } \\ { ( \rho , u , p ) _ { L } = \left( 1 . 0 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 . 0 \mathrm { ~ P a } \right) } & { x \leq 0 . 5 \mathrm { ~ m } } \end{array} \right.
S _ { \mathrm { O R N } } = \frac { \mathbf { P } ( N , N _ { 0 } , p _ { 1 } ) - \mathbf { P } ( N , N _ { 0 } , p _ { 2 } ) } { \mathbf { P } ( N , N _ { 0 } , p _ { 1 } ) } .
\begin{array} { r l r } & { - } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( v ~ \kappa ^ { 2 } - \gamma _ { 1 } ~ v ~ ( 1 + t ^ { 2 } ) H + \gamma _ { 1 } ~ ( u t + v ) ~ E _ { c } + 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ v ~ E _ { c } ) ~ d \rho } \\ & { + } & { d x ^ { 2 } ~ d y ~ \kappa ~ ( \gamma ~ \kappa ~ v + 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ) ~ d \rho u + d x ^ { 2 } ~ d y ~ \kappa ~ ( - 2 ~ t ~ E _ { c } + \gamma ~ v ~ ( t ~ v + u ) ) ~ d \rho v } \\ & { - } & { d x ^ { 2 } d y ~ \kappa ~ \gamma _ { 1 } ~ ( t v + u ) ~ d \rho E = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { n } = \frac { n } { 2 l _ { r e s } \sqrt { L C } } \approx \frac { n c } { 2 l _ { r e s } \sqrt { \varepsilon _ { r } } } \sqrt { \frac { s } { s + 2 \lambda \coth ( d / \lambda ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S = V _ { \mathrm { r } } ( B , t ) - V _ { \mathrm { l , r } } - ( V _ { \mathrm { n } } - V _ { \mathrm { l , n } } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { } \\ { = G \bigl [ \frac { N _ { \mathrm { r } } ( B , t ) } { t _ { \mathrm { r } } } - \frac { N _ { \mathrm { l , r } } } { t _ { \mathrm { r } } } - \frac { N _ { \mathrm { n } } } { t _ { \mathrm { n } } } + \frac { N _ { \mathrm { l , n } } } { t _ { \mathrm { n } } } \bigr ] . } \end{array}
( \gamma ^ { [ a } \tilde { \gamma } ^ { b } \gamma ^ { c ] } ) _ { \alpha \beta } \equiv \gamma _ { \alpha \beta } ^ { a b c } = \gamma _ { \beta \alpha } ^ { a b c } = - { \frac { 1 } { 6 } } \epsilon ^ { a b c d e f } ( \gamma _ { d e f } ) _ { \alpha \beta } .
P _ { \alpha \beta } = \delta _ { \alpha \beta } \left[ 1 - 2 U _ { \alpha 4 } ^ { 2 } \left( 1 - x \cos { \frac { m _ { 4 } ^ { 2 } L } { 2 E } } \right) \right] + U _ { \alpha 4 } ^ { 2 } U _ { \beta 4 } ^ { 2 } \left[ 1 - 2 x \cos { \frac { m _ { 4 } ^ { 2 } L } { 2 E } } + x ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l r } { \frac { p _ { 0 y } } { p _ { \mathrm { ~ C ~ } } } } & { { } = } & { \frac { A _ { \mathrm { ~ t ~ } } } { A _ { y } ^ { * } } = \bigg [ \frac { 2 \gamma M _ { x } ^ { 2 } - ( \gamma - 1 ) } { \gamma + 1 } \bigg ] ^ { \frac { - 1 } { \gamma - 1 } } \bigg [ \frac { ( \gamma + 1 ) M _ { x } ^ { 2 } } { 2 + ( \gamma - 1 ) M _ { x } ^ { 2 } } \bigg ] ^ { \frac { \gamma } { \gamma - 1 } } } \\ { \frac { A _ { \mathrm { ~ e ~ } } } { A _ { y } ^ { * } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { M _ { \mathrm { ~ e ~ } } } \bigg [ \frac { 2 } { \gamma + 1 } \bigg ( 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } M _ { \mathrm { ~ e ~ } } ^ { 2 } \bigg ) \bigg ] ^ { \frac { \gamma + 1 } { 2 ( \gamma - 1 ) } } } \\ { \frac { p _ { 0 y } } { p _ { \mathrm { ~ e ~ } } } } & { { } = } & { \bigg [ 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } M _ { \mathrm { ~ e ~ } } ^ { 2 } \bigg ] ^ { \frac { \gamma } { \gamma - 1 } } } \\ { p _ { \mathrm { ~ e ~ } } } & { { } = } & { p _ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d L _ { i , r } ( \mathfrak { g } , \xi ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \rho C _ { L } ( \alpha _ { i , r } ) c _ { i } ( r ) \left\| \overline { { W } } _ { i , r } ^ { a c } \right\| \operatorname { s i g n } ( \bar { w } _ { r x } ^ { i } \bar { w } _ { r z } ^ { i } ) ( e _ { 2 } \times \overline { { W } } _ { i , r } ^ { a c } ) d r , } \\ { d D _ { i , r } ( \mathfrak { g } , \xi ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \rho C _ { D } ( \alpha _ { i , r } ) c _ { i } ( r ) \left\| \overline { { W } } _ { i , r } ^ { a c } \right\| \overline { { W } } _ { i , r } ^ { a c } d r , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \left\lVert { R _ { X ^ { k } } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } } & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left\lVert { \langle f _ { s } , \varphi _ { i } \rangle \langle f _ { t } , \varphi _ { i } \rangle } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left\lVert { \langle f _ { t } , \varphi _ { i } \rangle } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ 0 , 1 ] } ^ { 2 } } \\ & { \leq k { \left\lVert { R } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \frac { \partial \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial c } } = ( \beta - 1 ) \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { c - Y _ { i } } } \, - N ( \alpha + \beta - 1 ) { \frac { 1 } { c - a } } = 0
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( { \hat { Y } } _ { { \mathrm { p w r ~ ( k n o w n ~ } } N { \mathrm { ) } } } ) } & { = { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( { \check { \Delta } } _ { i j } { \check { y } } _ { i } { \check { y } } _ { j } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \check { \Delta } } _ { i i } { \check { y } } _ { i } { \check { y } } _ { i } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( ( 1 - \pi _ { i } ) { \frac { y _ { i } } { \pi _ { i } } } { \frac { y _ { i } } { \pi _ { i } } } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( w _ { i } y _ { i } \right) ^ { 2 } } \end{array} }
\mathrm { ~ N ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } = \frac { \sqrt { \sum _ { i , j } ( \mathrm { ~ I ~ m ~ a ~ g ~ e ~ } _ { t r u e } - \mathrm { ~ I ~ m ~ a ~ g ~ e ~ } _ { t e s t } ) ^ { 2 } } } { \mathrm { ~ M ~ a ~ x ~ } ( \mathrm { ~ I ~ m ~ a ~ g ~ e ~ } _ { t r u e } ) - \mathrm { ~ M ~ i ~ n ~ } ( \mathrm { ~ I ~ m ~ a ~ g ~ e ~ } _ { t r u e } ) } .
\begin{array} { r } { \Gamma _ { n u , m v , \mathbf { k } } = ( \epsilon _ { u \mathbf { k } } + n \hbar \Omega ) \delta _ { n m } \delta _ { u v } - \frac { e E _ { \textrm { d } } } { 2 i m _ { e } \Omega } \hat { \mathbf { e } } _ { \textrm { d } } \cdot \mathbf { p } _ { u \mathbf { k } , v \mathbf { k } } ( \delta _ { n , m - 1 } - \delta _ { n , m + 1 } ) . } \end{array}
V _ { \cal { C } } ^ { - 1 } ( { \bf { r } } ) = \exp \left( i g { \cal X } ^ { \alpha } ( { \bf { r } } ) { \textstyle \frac { \lambda ^ { \alpha } } { 2 } } \right) \, \exp \left( \, i g { \overline { { { { \cal { Y } } ^ { \alpha } } } } } ( { \bf { r } } ) { \textstyle \frac { \lambda ^ { \alpha } } { 2 } } \, \right) \; .
\begin{array} { r } { F = f \left( C _ { 1 1 1 1 } ^ { H } , C _ { 2 2 2 2 } ^ { H } , C _ { 3 3 3 3 } ^ { H } , C _ { 1 1 2 2 } ^ { H } , C _ { 2 2 3 3 } ^ { H } , C _ { 3 3 1 1 } ^ { H } \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \xi _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { \xi _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { \xi _ { 3 } ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \delta \phi } & { - \sin \delta \phi } & { 0 } \\ { \sin \delta \phi } & { \cos \delta \phi } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \xi _ { 1 } } \\ { \xi _ { 2 } } \\ { \xi _ { 3 } } \end{array} \right) \equiv { \mathrm { Q E D } } ( \delta \phi ) \cdot \boldsymbol { \xi } .
\begin{array} { r l r } { f _ { 2 } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } - 8 q - 4 q ^ { 2 } - 4 4 q ^ { 3 } + 4 q ^ { 4 } - 4 8 q ^ { 5 } - 4 0 q ^ { 6 } + { \mathcal O } \left( q ^ { 7 } \right) , } \\ { f _ { 3 } } & { = } & { - 3 \sqrt { 3 } \left[ q - 5 q ^ { 2 } + 9 q ^ { 3 } - 1 1 q ^ { 4 } + 2 4 q ^ { 5 } - 4 5 q ^ { 6 } \right] + { \mathcal O } \left( q ^ { 7 } \right) , } \\ { f _ { 4 } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } + 6 q + 5 4 q ^ { 2 } + 2 2 2 q ^ { 3 } + 4 3 8 q ^ { 4 } + 7 5 6 q ^ { 5 } + 1 9 9 8 q ^ { 6 } + { \mathcal O } \left( q ^ { 7 } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { D } ^ { \prime } } & { = \gamma \left( \mathbf { D } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \mathbf { v } \times \mathbf { H } \right) + ( 1 - \gamma ) ( \mathbf { D } \cdot \mathbf { \hat { v } } ) \mathbf { \hat { v } } } \\ { \mathbf { H } ^ { \prime } } & { = \gamma \left( \mathbf { H } - \mathbf { v } \times \mathbf { D } \right) + ( 1 - \gamma ) ( \mathbf { H } \cdot \mathbf { \hat { v } } ) \mathbf { \hat { v } } } \end{array} }
S \left( { \boldsymbol { \beta } } + { \boldsymbol { \delta } } \right) \approx \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left[ y _ { i } - f \left( x _ { i } , { \boldsymbol { \beta } } \right) - \mathbf { J } _ { i } { \boldsymbol { \delta } } \right] ^ { 2 } ,
\vert S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x , z ) \vert ^ { 2 } > \vert S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ) , z ) \vert ^ { 2 }
G ( n , m ; k , j ) = ( 4 \pi \mu ^ { 2 } ) ^ { \epsilon } \frac { \Gamma ( n + m - j - { \frac { D } { 2 } } ) } { \Gamma ( n ) \Gamma ( m ) } B \Big ( \frac { D } { 2 } - n + k - j , \frac { D } { 2 } - m + j \Big ) ,
\begin{array} { r l } { c _ { \psi _ { 1 } } } & { { } = \sigma _ { + } \left( \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } + \frac { \tau \omega _ { * i } \Gamma _ { + } } { \omega _ { 0 } \sigma _ { + } } \right) \left[ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { i } ) > \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) > \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { i } ) \big ) } \\ { = } & { \Big ( \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { g } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { l } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) \Big ) \mathbb { P } \big ( \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) } \\ { + } & { \Big ( \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { g } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { l } \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { l } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { l } \big ) \Big ) \mathbb { P } \big ( \Phi \in Y _ { i j } ^ { l } \big ) . } \end{array}
d s ^ { 2 } - d s _ { 0 } ^ { 2 } = { \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } W ^ { 2 } } { 2 \sigma U } } \left( - r _ { 0 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \Delta + k + \Delta \dot { f } ^ { 2 } - 2 a _ { i } \dot { f } ^ { i } \right) + h i g h e r \ o r d e r \ i n \ U .
\| f \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \triangleq \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } + \operatorname* { s u p } _ { ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \in \mathbb { T } ^ { 2 } \atop \varphi \neq \varphi ^ { \prime } } \frac { | f ( \varphi ) - f ( \varphi ^ { \prime } ) | } { | \varphi - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } } \cdot
\begin{array} { r } { \Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { r l o s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , { \omega _ { \mathrm { a } } } ) = \sum _ { \mu , \eta } \tilde { g } _ { \mu } S _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { r l o s s } } \tilde { g } _ { \eta } ^ { * } \frac { i ( \omega _ { \mu } - \omega _ { \eta } ) + ( \gamma _ { \mu } + \gamma _ { \eta } ) } { ( \Delta _ { \mu a } - i \gamma _ { \mu } ) ( \Delta _ { \eta a } + i \gamma _ { \eta } ) } , } \\ { \Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { n l o s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , { \omega _ { \mathrm { a } } } ) = \sum _ { \mu , \eta } \tilde { g } _ { \mu } S _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { n l o s s } } \tilde { g } _ { \eta } ^ { * } \frac { i ( \omega _ { \mu } - \omega _ { \eta } ) + ( \gamma _ { \mu } + \gamma _ { \eta } ) } { ( \Delta _ { \mu a } - i \gamma _ { \mu } ) ( \Delta _ { \eta a } + i \gamma _ { \eta } ) } , } \end{array}
\Gamma ( \mu \rightarrow e \nu { \bar { \nu } } ) = \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { \mu } ^ { 5 } } { 1 9 2 \pi ^ { 2 } } ( 1 + \frac { v ^ { 4 } } { 1 6 M _ { H } ^ { 4 } } \Omega _ { \mu \mu } \Omega _ { e e } ) \ ,
V _ { m d } ( r ) = \frac { \hbar } { c } \frac { g _ { s } ^ { a } g _ { p } ^ { b } } { 8 \pi m _ { b } } \boldsymbol { \sigma } _ { b } \cdot \hat { \boldsymbol { r } } \left( \frac { 1 } { r \lambda } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \right) e ^ { - r / \lambda } ,
V ( r ) = - \; { \frac { G M _ { 1 } M _ { 2 } } { r } } \left\{ \left[ 1 - A \; { \frac { G ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) } { r c ^ { 2 } } } + \cdots \right] + B \; { \frac { G \hbar } { r ^ { 2 } c ^ { 3 } } } + \cdots \right\} ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } ( z ) } & { = \sqrt { \epsilon _ { c } } \; \frac { \mathcal { Z } ( 0 ) \cos ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) - \sqrt { \epsilon _ { c } } \sin ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) } { \mathcal { Z } ( 0 ) \sin ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) + \sqrt { \epsilon _ { c } } \cos ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( \xi , \xi _ { { \scriptscriptstyle + } } ) \equiv \frac { \pi e ^ { 2 } } { m c ^ { 2 } k ^ { 2 } } \left. \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { \hat { s } \, \hat { J } } \right\vert _ { Z = \hat { Z } _ { e } \left[ \xi , ( \xi + \xi _ { { \scriptscriptstyle + } } ) / 2 \right] } , \qquad g ( \xi , \xi _ { { \scriptscriptstyle + } } ) \equiv \! \! \int _ { 0 } ^ { \xi } \! \! d \xi _ { { \scriptscriptstyle + } } ^ { \prime } \, f ( \xi , \xi _ { { \scriptscriptstyle + } } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf { y } } ( \alpha , r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { { \sqrt { T _ { p } } } } \int _ { { T _ { p } } } { { \bf { r } } ( t ) { s ^ { * } } ( t - \alpha ) } d t } \\ & { = \kappa \frac { { \sqrt { { T _ { p } } P } } } { { \| { { \bf { a } } ( r , \theta ) } \| } } { \bf { b } } ( r , \theta ) { { \bf { a } } ^ { T } } ( r , \theta ) { { \bf { a } } ^ { * } } ( r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) R ( \alpha - \tau ) + { \bf { \tilde { n } } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial \Pi ( n , k ) } { \partial n } } } & { = { \frac { 1 } { 2 \left( k ^ { 2 } - n \right) ( n - 1 ) } } \left( E ( k ) + { \frac { 1 } { n } } \left( k ^ { 2 } - n \right) K ( k ) + { \frac { 1 } { n } } \left( n ^ { 2 } - k ^ { 2 } \right) \Pi ( n , k ) \right) } \\ { { \frac { \partial \Pi ( n , k ) } { \partial k } } } & { = { \frac { k } { n - k ^ { 2 } } } \left( { \frac { E ( k ) } { k ^ { 2 } - 1 } } + \Pi ( n , k ) \right) } \end{array} }
\Gamma _ { \mu a b } ( p , q ) = \gamma _ { \mu a b } + \int \frac { d ^ { 3 } \ell } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left[ S ( p + \ell ) \Gamma _ { \mu } ( p + \ell , q + \ell ) S ( q + \ell ) \right] _ { d c } K _ { c d , b a } ( q + \ell , p + \ell , \ell ) ,
\left( 1 - \frac { w N } { 6 } e ^ { 2 \phi } \right) \left( \dot { \phi } ^ { \prime } - \dot { \rho } \phi ^ { \prime } - \rho ^ { \prime } \dot { \phi } \right) - \dot { \phi } \phi ^ { \prime } = \frac { N } { 1 2 } e ^ { 2 \phi } \left[ \dot { Z } Z ^ { \prime } + 2 \dot { Z } ^ { \prime } - 2 \left( \dot { \rho } Z ^ { \prime } + \rho ^ { \prime } \dot { Z } \right) \right] .
I _ { 1 } = \frac { { \cal A } } { 2 \Gamma ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } c ^ { 2 } } \left[ \int _ { 1 / \Gamma } ^ { 1 5 / \Gamma } d w ( e ^ { w / k T } - 1 ) ^ { - 1 } { \cal J } + \int _ { 1 5 / \Gamma } ^ { \infty } d w ( e ^ { w / k T } - 1 ) ^ { - 1 } { \cal J ^ { \prime } } \right] \, ,
\beta _ { k } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { 1 5 0 \frac { \epsilon _ { k } \left( 1 - \epsilon _ { g } \right) \mu _ { g } } { \epsilon _ { g } d _ { k } ^ { 2 } } + 1 . 7 5 \frac { \epsilon _ { k } \rho _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } _ { k } | } { d _ { k } } , } & { \epsilon _ { g } \le 0 . 8 , } \\ & { \frac { 3 } { 4 } C _ { d } \left( R e _ { s , k } \right) \frac { \epsilon _ { k } \epsilon _ { g } \rho _ { g } } { d _ { k } } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } _ { k } | \epsilon _ { g } ^ { - 2 . 6 5 } , } & { \epsilon _ { g } > 0 . 8 , } \end{array} \right.
\pmb { \nabla } \pmb { \cdot } ( \pmb { \tau } - p \mathbf { I } ) + \mathbf { f } = 0 \qquad \textnormal { o r } \qquad \nabla _ { j } \left( \tau _ { i j } - p \delta _ { i j } \right) + f _ { i } = 0 .
{ \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } } = \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } + { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \ln \left( { \frac { 1 } { \beta _ { 0 } \, g _ { 0 } ^ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r l r } { E = } & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } V _ { \mathrm { N e \ m h y p h e n N e } } ( | \Vec { r } _ { i } - \Vec { r } _ { j } | ) } \\ { + } & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } V _ { \mathrm { B a F \ m h y p h e n N e } } ( | \Vec { r } _ { i } - \Vec { r } _ { 0 } | , \theta _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { Q \exp \left( \left( \frac { ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { 2 } } { ( 4 + \epsilon / 3 ) ( 1 - \theta ) } - \frac { 1 } { ( 4 + \epsilon ) } \right) \frac { d ^ { 2 } } { T } \right) \ge Q \exp \left( \frac { c ( \epsilon ) d ^ { 2 } } { T } \right) \ge Q ^ { 1 + c ( \epsilon ) } C _ { 1 } ^ { - c ( \epsilon ) } \ge 2 C _ { 6 } \theta ^ { - \frac n 2 } e ^ { C _ { 6 } \theta ^ { - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ \tilde { \mu } _ { a } ( t ) \geq \mu _ { 1 } - \epsilon , \mathcal { E } _ { a , n } ( \epsilon ) \right] } & { \leq \mathbb { P } \left[ Z \leq 2 ( n - k ) \frac { n } { n - k } \left( \frac { 1 } { \alpha _ { a } } + \epsilon \right) \left( \alpha _ { a } - \eta _ { a } ( \epsilon ) \right) \right] } \\ & { \leq \mathbb { P } \left[ Z \leq 2 ( n - k ) \left( \frac { 1 } { \alpha _ { a } } + \epsilon \right) \left( \alpha _ { a } - \eta _ { a } ( \epsilon ) \right) \right] . } \end{array}
= 1 + \frac { z } { 1 ! } + \left| \begin{array} { l l } { 1 } & { - 1 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 3 } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 2 } } { 2 ! } + \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 3 } } & { 1 } & { - 2 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 3 } } { 1 - y } \right) ^ { 3 } } & { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 3 } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! }