harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Psi _ { x _ { j } } \eta _ { j } ^ { \prime } A _ { j } \Psi _ { x _ { j } } ^ { \prime } \eta _ { j } ( D _ { \Gamma } - \lambda ) } & { \sim \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Psi _ { x _ { j } } A _ { j } \eta _ { j } ^ { \prime } \Psi _ { x _ { j } } ^ { \prime } ( D _ { \Gamma } - \lambda ) \eta _ { j } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Psi _ { x _ { j } } A _ { j } \Psi _ { x _ { j } } ^ { \prime } \eta _ { j } ( D _ { \Gamma } - \lambda ) \eta _ { j } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Psi _ { x _ { j } } A _ { j } \eta _ { j } ^ { \prime } ( D _ { \Gamma _ { x _ { j } } } - \lambda ) \eta _ { j } ^ { \prime } \Psi _ { x _ { j } } ^ { \prime } \sim \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Psi _ { x _ { j } } \eta _ { j } ^ { \prime } A _ { j } ( D _ { \Gamma _ { x _ { j } } } - \lambda ) \eta _ { j } ^ { \prime } \Psi _ { x _ { j } } ^ { \prime } } \\ & { \sim \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Psi _ { x _ { j } } \eta _ { j } ^ { 2 } \Psi _ { x _ { j } } ^ { \prime } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \eta _ { j } ^ { 2 } = I . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } | | \; | \psi ; t > _ { \perp } \; | | ^ { 2 } \; \stackrel { ( ? ) } { = } \; \sum _ { F } ( < F | T | \psi ; t > _ { | | } ) ^ { \ast } \, < F | T | \psi ; t > _ { | | } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ \mathcal { W } _ { 1 } ( \hat { F } _ { n , X } , F _ { X } ) \big ] } & { \leq L \Big ( h _ { n } ^ { H } + k ^ { H / 2 } \frac { c _ { k } } { n h _ { n } ^ { k } } \Big ) + M \left( \frac { ( 2 + 1 / n ) c _ { k } } { n h _ { n } ^ { k } } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq L h _ { n } ^ { H } + M \sqrt { ( 2 + 1 / n ) c _ { k } } ( n h _ { n } ^ { k } ) ^ { - 1 / 2 } + L k ^ { H / 2 } c _ { k } ( n h _ { n } ^ { k } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } ] } & { \leq 4 R ^ { 2 } ( 1 + T ) ^ { \nu } + \left[ 2 L ^ { 2 } G _ { H } ^ { 2 } + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { \mathrm { m i x } } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { \operatorname* { m a x } } \right) \right] \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( 1 + t ) ^ { - \nu } } \\ & { \qquad + 4 T R \widetilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { \mathrm { m i x } } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } } \right) } \\ & { \qquad + L ^ { 2 } G _ { H } ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( 1 + t ) ^ { - 2 ( \sigma - \nu ) } . } \end{array}
K ( s _ { 1 } , x _ { 1 } ; s _ { 2 } , x _ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - z ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) } \textup { A i } ( x _ { 1 } + z ) \textup { A i } ( x _ { 2 } + z ) d z } & { \textrm { i f } \quad s _ { 1 } \geq s _ { 2 } , } \\ { - \int _ { - \infty } ^ { 0 } e ^ { - z ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) } \textup { A i } ( x _ { 1 } + z ) \textup { A i } ( x _ { 2 } + z ) d z } & { \textrm { i f } \quad s _ { 1 } < s _ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { f _ { v } } & { { } = d \big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ) \big ) + i _ { ( \ast e _ { v } ) ^ { \sharp } } d v , } \\ { f _ { v } ^ { \prime } } & { { } = d \big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ) \big ) + i _ { ( \ast e _ { v } ) ^ { \sharp } } d v , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t + 1 } ) ] } & { \leq \mathbb { E } \bigg [ h ( \bar { x } _ { t } ) + \langle \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) , \bar { x } _ { t + 1 } - \bar { x } _ { t } \rangle + \frac { \bar { L } } { 2 } \| \bar { x } _ { t + 1 } - \bar { x } _ { t } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( a ) } { = } \mathbb { E } \bigg [ h ( \bar { x } _ { t } ) - \eta \alpha _ { t } \langle \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) , \bar { \nu } _ { t } \rangle + \frac { \eta ^ { 2 } \alpha _ { t } ^ { 2 } \bar { L } } { 2 } \| \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( b ) } { = } \mathbb { E } \bigg [ h ( \bar { x } _ { t } ) - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \bigg \| \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { \eta \alpha _ { t } ^ { 2 } \bar { L } } { 2 } \bigg \| \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigg [ h ( \bar { x } _ { t } ) - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 4 } \bigg \| \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \underbrace { \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { L ( \theta ) = \mathbb { E } _ { s , a } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \Big \lbrace \mathbb { E } _ { s ^ { \prime } } \left[ r ( s , a ) + \gamma \mathrm { m a x } _ { a ^ { \prime } } Q _ { \theta } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) \right] - Q _ { \theta } ( s , a ) \Big \rbrace ^ { 2 } \bigg ] } \\ { = \mathbb { E } _ { s , a , s ^ { \prime } } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left\lbrace r ( s , a ) + \gamma \mathrm { m a x } _ { a ^ { \prime } } Q _ { \theta } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) - Q _ { \theta } ( s , a ) \right\rbrace ^ { 2 } \right] } \\ { + \mathbb { E } _ { s , a , s ^ { \prime } } \left[ \frac { 1 } { 2 } \mathbb { V } _ { s ^ { \prime } } \left[ r ( s , a ) + \gamma \mathrm { m a x } _ { a ^ { \prime } } Q _ { \theta } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) \right] \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { Y } ( t , \Delta ) = C _ { B } ( t , \Delta | \alpha _ { 2 } ) \sim \frac { \alpha _ { 2 } \left( \alpha _ { 2 } - 1 \right) \Gamma ^ { 2 } \left( \left( \alpha _ { 2 } + 1 \right) / 2 \right) \delta ^ { 2 } } { 2 \Gamma \left( \alpha _ { 2 } \right) \sin \left( \pi \alpha _ { 2 } / 2 \right) } \Delta ^ { \alpha _ { 2 } - 2 } , } \end{array}
i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } \Psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { N } , t ) = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { m _ { n } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { n } ^ { 2 } } } \Psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { N } , t ) + V ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { N } , t ) \Psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { N } , t ) \, .
\begin{array} { r l } { \hat { R } _ { p } ^ { 0 } ( q ) } & { \geq \bar { R } _ { p } ^ { * } ( q ) - ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { \frac { 7 } { 8 } } - 6 \frac { \sqrt { | \mathcal { A } | \ln | \mathcal { A } | } } { 2 ^ { p / 4 } } ( T _ { p } ^ { q + 1 } - T _ { p } ^ { q } ) - \epsilon ( \delta _ { p } ) | \mathcal { T } _ { p } ( q ) | } \\ { \hat { R } _ { p } ^ { 0 } ( q ) } & { \leq \bar { R } _ { p } ^ { * } ( q ) - ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { \frac { 7 } { 8 } } - 6 \frac { \sqrt { | \mathcal { A } | \ln | \mathcal { A } | } } { 2 ^ { p / 4 } } ( T _ { p } ^ { q + 1 } - T _ { p } ^ { q } ) . } \end{array}
t = { \sqrt [ [object Object] ] { - { \frac { q } { 2 } } + { \sqrt { { \frac { q ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { p ^ { 3 } } { 2 7 } } } } } } + { \sqrt [ [object Object] ] { - { \frac { q } { 2 } } - { \sqrt { { \frac { q ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { p ^ { 3 } } { 2 7 } } } } } }
E = ( 4 \pi ) ^ { 1 / 3 } ( 3 / 4 ) ^ { 5 / 3 } Q ^ { 4 / 3 } / R + \beta e ^ { 2 } Q ^ { 2 } / R + ( 4 \pi R ^ { 3 } / 3 ) \lambda \sigma _ { 0 } ^ { 4 } / 4 .
h ^ { - } ( w ^ { - } ) : = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \mathcal { O } } g ( v , w ^ { - } , w ^ { + } , t ) \, d v \, d w ^ { + } , \qquad h ^ { + } ( w ^ { + } ) : = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \mathcal { O } } g ( v , w ^ { - } , w ^ { + } , t ) \, d v \, d w ^ { - }
\Delta ( \vec { k } ) = { \textstyle { \frac { 1 } { N } } } \sum _ { \vec { k } ^ { \prime } } \Gamma _ { P } ( \vec { k } , \vec { k } ^ { \prime } ) \langle c _ { \downarrow } ^ { \vphantom { \dag } } ( - \vec { k } ^ { \prime } ) c _ { \uparrow } ^ { \vphantom { \dag } } ( \vec { k } ^ { \prime } ) \rangle
e _ { \mathrm { x } } = - { \frac { ( v _ { \mathrm { x f } } - r \omega _ { \mathrm { f } } ) - ( u _ { \mathrm { x f } } - R \Omega _ { \mathrm { f } } ) } { ( v _ { \mathrm { x i } } - r \omega _ { \mathrm { i } } ) - ( u _ { \mathrm { x i } } - R \Omega _ { \mathrm { i } } ) } } ,
\begin{array} { r l } { ( \eta _ { p } ) _ { * } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \alpha _ { p } } { \partial x _ { 1 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { \frac { \partial \alpha _ { p } } { \partial x _ { 2 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \\ { \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \alpha _ { p } } { \partial x _ { 1 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { \frac { \partial \alpha _ { p } } { \partial x _ { 2 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
E \left[ X _ { 1 } ^ { r _ { 1 } } X _ { 2 } ^ { r _ { 2 } } \cdots X _ { k } ^ { r _ { k } } \right] = \prod _ { j = 1 } ^ { k } { \frac { \Gamma \left( \alpha _ { j } + \beta _ { j } \right) \Gamma \left( \alpha _ { j } + r _ { j } \right) \Gamma \left( \beta _ { j } + \delta _ { j } \right) } { \Gamma \left( \alpha _ { j } \right) \Gamma \left( \beta _ { j } \right) \Gamma \left( \alpha _ { j } + \beta _ { j } + r _ { j } + \delta _ { j } \right) } }
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \xi \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \lambda } \sin \left( \left( \xi + \lambda \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \kappa } \sin \left( \left( \xi + \kappa \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \xi - \alpha - \beta \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta + \lambda } \sin \left( \left( \xi + \lambda - \alpha - \beta \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 3 } \rho ^ { \alpha + \beta + \kappa } \sin \left( \left( \xi + \kappa - \alpha - \beta \right) \pi \right) } \end{array}
f _ { a } ( x , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { b } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d z } { z } \; F _ { a b } ( x / z , Q ^ { 2 } ; Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \; f _ { b } ( z , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \; .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } u _ { x } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { = 0 } & & { \qquad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { y } \times \mathcal { T } } \\ { u _ { y } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { = 0 } & & { \qquad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { x } \times \mathcal { T } } \\ { u ( \boldsymbol { x } , 0 ) } & { = u _ { t } ( \boldsymbol { x } , 0 ) = 0 } & & { \qquad \mathrm { o n ~ } \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 2 } \vert } & { \le 2 ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M + \int 2 c \eta \frac 1 { 1 + s ^ { 2 } } u _ { 1 } + a ( k _ { \pm 2 } ) w ( k _ { \pm 2 } ) + j ( k _ { \pm 1 } ) } \\ & { \le 2 ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M + 2 \pi c \eta \vert u _ { 1 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \frac 4 \eta \vert w ( k _ { \pm 2 } ) \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \int j ( k _ { \pm 2 } ) } \\ & { < 7 \pi L ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M . } \end{array}
J _ { 1 } ( m ^ { 2 } ) = \frac { \Gamma ( 3 - D ) } { ( 4 \pi ) ^ { D } } ( m ^ { 2 } ) ^ { D - 3 } \frac { 2 D } { D / 2 - 1 } B ( 2 - D / 2 , 3 - D / 2 ) ,
\begin{array} { r } { \partial _ { \rho } ^ { 2 } \hat { c } _ { 1 } - f ^ { \prime \prime } ( \theta _ { 0 } ) \hat { c } _ { 1 } = \theta _ { 0 } ^ { \prime } \big ( \partial _ { t } d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \hat { \mathbf { v } } _ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \nabla d _ { \Gamma } - \hat { \phi } _ { 0 } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \hat { \phi } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { \Gamma } - \Delta d _ { \Gamma } \big ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { k } } & { \geq \log _ { 2 } \left( C \frac { \lambda _ { r _ { k - 1 } + 1 } ^ { \star } } { \lambda _ { r _ { k } + 1 } ^ { \star } } \right) , \quad \forall 1 \leq k \leq k _ { \sf m a x } - 1 , } \\ { t _ { k _ { \sf m a x } } } & { \geq \log \left( C \frac { n \lambda _ { r _ { k _ { \sf m a x } - 1 } + 1 } ^ { \star } } { \omega ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial x ^ { k } } \left( a ^ { k j } \frac { \partial \phi } { \partial x ^ { j } } \right) = \frac { 1 } { J } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { k } } \left( J \left( a ^ { \alpha j } \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \alpha } } \frac { \partial \xi ^ { \beta } } { \partial x ^ { j } } \right) \frac { \partial \phi } { \partial \xi ^ { \beta } } \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial t } { u } _ { 1 } ( t ) } & { { } = } & { \; \frac { i } { 2 } { \Omega } _ { p } ( t ) u _ { 2 } ( t ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } { u } _ { 2 } ( t ) } & { { } = } & { - ( i \delta _ { p } + \gamma ) u _ { 2 } ( t ) + \; \frac { i } { 2 } { \Omega } _ { p } ( t ) u _ { 1 } ( t ) } \\ { \frac { \partial } { \partial t } { u } _ { 3 } ( t ) } & { { } = } & { - i ( \delta _ { p } - \delta _ { c } ) u _ { 3 } ( t ) + \; \frac { i } { 2 } { \Omega } _ { c } ( t ) u _ { 2 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( q _ { A } , \phi _ { A , i } ) _ { \mathcal { T } _ { A } } } & { { } = ( q _ { F } , \phi _ { A , i } ) _ { \mathcal { T } _ { A } } \quad \forall \phi _ { A , i } \in V _ { A } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \hat { \phi } _ { ( I ) } ( t , \vec { x } \, ) } } & { { = } } & { { e ^ { i ( t - t _ { 0 } ) \hat { H } _ { 0 } } \, \hat { \phi } ( t _ { 0 } , \vec { x } \, ) \, e ^ { - i ( t - t _ { 0 } ) \hat { H } _ { 0 } } \ , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { \pi } _ { ( I ) } ( t , \vec { x } \, ) } } & { { = } } & { { e ^ { i ( t - t _ { 0 } ) \hat { H } _ { 0 } } \, \hat { \pi } ( t _ { 0 } , \vec { x } \, ) \, e ^ { - i ( t - t _ { 0 } ) \hat { H } _ { 0 } } \ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ o ~ n ~ t ~ } , i } } & { { } = \left( \sum _ { j < i } A _ { i j } \right) ^ { - 1 } , } \\ { \tau _ { \mathrm { ~ b ~ b ~ r ~ } , i } } & { { } = \left( \sum _ { j } R _ { i j } \right) ^ { - 1 } , } \\ { \tau _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } , i } } & { { } = \left( \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ o ~ n ~ t ~ } , i } } + \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ b ~ b ~ r ~ } , i } } + \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } } } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( t ) } & { = \lambda _ { \perp } \cos \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \sin ( \omega _ { \perp } t ) , } \\ { y ( t ) } & { = - \lambda _ { \perp } \sin \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \sin ( \omega _ { \perp } t ) , } \\ { z ( t ) } & { = \lambda _ { z } \sin ( \omega _ { z } t ) , } \end{array}
\mathbf { { K } } _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 3 } } \sin \left[ \omega _ { i } ( t - t ^ { \prime } ) \right] } \\ { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 3 } } \sin \left[ \omega _ { i } ( t - t ^ { \prime } ) \right] } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { ~ \underset { y \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } \frac { 1 } { t } | ( T f _ { 1 } ) ( y ) - ( T f _ { 2 } ) ( y ) | \leq ~ \phi ( P ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , t ) ) ~ ~ ~ \forall t > 0 , ~ \forall y \in [ 0 , T ] } \\ { i . e } & { ~ ~ ~ P ( T f _ { 1 } , T f _ { 2 } , t ) \leq ~ \phi ( P ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , t ) ) ~ ~ ~ \forall t > 0 . } \end{array}
\hat { \Theta } ^ { 0 0 } \, = \, - \hat { \Theta } ^ { 0 1 } \, = \, - \hat { \Theta } ^ { 1 0 } \, = \, \hat { \Theta } ^ { 1 1 } \, = \, \frac { 1 } { 2 } \, : ( \partial _ { 1 } \hat { \phi } ) ( \partial _ { 1 } \hat { \phi } ) : \, \, .
2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } \xi \; \xi f _ { \mathrm { \scriptsize ~ v a l e n c e } } ( \xi , \mu ^ { 2 } = 4 9 \mathrm { G e V } ^ { 2 } ) = 0 . 4 0 \pm 0 . 0 2 .
\mathbf { e } _ { 1 1 } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad \mathbf { e } _ { 1 2 } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad \mathbf { e } _ { 2 1 } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad \mathbf { e } _ { 2 2 } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } .
U _ { \mathrm { e f f } } ( B ^ { 2 } ) = \frac { B ^ { 2 } } { g _ { R } ^ { 2 } ( M ) } + U _ { 1 } ( B ^ { 2 } ) + U _ { 2 } ( B ^ { 2 } ) + U _ { 3 } ( B ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { | L _ { i } ( v _ { j } ) | } & { \geq k - | N _ { G } ( v _ { j } ) \cap X _ { i } | } \\ & { \geq \frac { k } { 3 } + \frac { 2 } { 3 } \frac { 3 } { 2 } ( \delta ^ { * } + 1 ) - | N _ { G } ( v _ { j } ) \cap X _ { i } | } \\ & { \geq | N _ { G } ( v _ { j } ) \cap \{ v _ { j + 1 } , \dots , v _ { i } \} | + 1 + \frac { k } { 3 } } \end{array}
\left. \partial _ { \theta } \ln \frac { \eta _ { 2 } } { \eta _ { 1 } } \right| _ { \mathrm { i } \sigma } = \left. - \mathrm { R e } \, \frac { 1 } { a \eta } \right| _ { \mathrm { i } \sigma } \, , \quad \left. \partial _ { \theta } ^ { 2 } \ln \frac { \eta _ { 2 } } { \eta _ { 1 } } \right| _ { \mathrm { i } \sigma } = \left. \frac { 1 } { 2 } \, \mathrm { I m } \left\{ \frac { H } { a \eta } - \frac { 1 } { ( a \eta ) ^ { 2 } } \right\} \right| _ { \mathrm { i } \sigma }
\lambda _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \Big [ \delta _ { 0 } \log { ( n ) } + \delta _ { 1 } \Big ] \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \delta _ { 2 } \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { - \sin ( \check { \theta } _ { 1 } ( t ) ) \frac { d \check { \theta } _ { 1 } ( t ) } { d t } ( t ) } & { = \cos \check { \theta } _ { 2 } ( t ) \left( \frac { ( \tilde { \zeta } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } + \sum _ { j = 2 } ^ { p } ( \tilde { z } _ { j } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } { | \tilde { z } ^ { ( 0 ) } + t \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } | ^ { 2 } + | \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } | ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \\ & { = \cos \check { \theta } _ { 2 } ( t ) ( 1 - \cos ^ { 2 } \check { \theta } _ { 1 } ( t ) ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } = \cos \check { \theta } _ { 2 } ( t ) \sin ^ { 3 } \check { \theta } _ { 1 } ( t ) , } \end{array}
\Sigma ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l } { \alpha \mathbb { 1 } _ { 2 } } & { \left\langle \sqrt { \tau } \right\rangle \gamma Z } \\ { \left\langle \sqrt { \tau } \right\rangle \gamma Z } & { \left[ \langle \tau \rangle \beta + \left( 1 - \langle \tau \rangle \right) m \right] \mathbb { 1 } _ { 2 } } \end{array} \right) .
- \frac { 1 } { 9 } S ^ { ( p ) } B _ { i j } ^ { ( p ) } B _ { k \ell } ^ { ( p ) } = - \phi ^ { ( p ) } \left( \frac { 1 } { K _ { d } ^ { ( p ) } } + \frac { 1 } { K _ { f } } - \frac { 1 } { K _ { 0 } } \right) \, Q _ { i j } ^ { ( p ) } Q _ { k \ell } ^ { ( p ) } \, .
\begin{array} { r l } { k ( t ) } & { \equiv \mathcal { F } ^ { - 1 } \{ \tilde { g } _ { \ell \to x } ( \omega ) \} = b \gamma { \tau _ { \mathrm { c } } } { \tau _ { \mathrm { r } } } \frac { 1 } { { \tau _ { \mathrm { r } } } - { \tau _ { \mathrm { c } } } } \left( e ^ { - t / { \tau _ { \mathrm { r } } } } - e ^ { - t / { \tau _ { \mathrm { c } } } } \right) , } \\ & { = X _ { \mathrm { T } } f ( 1 - f ) ( 1 - p ) / \bar { \ell } \frac { 1 } { { \tau _ { \mathrm { r } } } - { \tau _ { \mathrm { c } } } } \left( e ^ { - t / { \tau _ { \mathrm { r } } } } - e ^ { - t / { \tau _ { \mathrm { c } } } } \right) , } \end{array}
f ^ { \Pi } ( \gamma , g ^ { \Pi } ( \gamma , \underline { { z } } ^ { \prime } ) ) \equiv f ^ { \Pi } ( \gamma , z ) = \lambda \underline { { x } } ^ { \prime } : A ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) \; . \; \textnormal { e v } ( \underline { { z } } ^ { \prime } , \underline { { x } } ^ { \prime } ) = \underline { { z } } ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { [ \Omega _ { 0 } ^ { ( 1 ) } , H _ { 0 } ] P _ { 0 } } & { { } = } & { ( H _ { W } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + U _ { r e s } \Omega _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ) P _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { k } ( | \xi } & { + j _ { k } | ^ { \alpha + 1 } + | \xi - j _ { k } | ^ { \alpha + 1 } - 2 ( | \xi | ^ { \alpha + 1 } + | j _ { k } | ^ { \alpha + 1 } ) ) } \\ & { = \alpha ( \alpha + 1 ) j _ { k } ^ { 3 } | \xi | ^ { \alpha - 1 } + \alpha ( \alpha + 1 ) ( \alpha - 1 ) j _ { k } | \xi | ^ { \alpha + 1 } \int _ { 0 } ^ { \frac { j _ { k } } { | \xi | } } \int _ { - t } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } ( 1 + u ) ^ { \alpha - 2 } d u d s d t } \\ & { = : \alpha ( \alpha + 1 ) j _ { k } ^ { 3 } | \xi | ^ { \alpha - 1 } + ( \vec { m } _ { 3 , r } ( \xi ) ) _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { e v } } = \frac { M _ { \mathrm { e v } } } { \rho _ { \mathrm { l i q } } } ( \mu _ { \mathrm { f i l m } } - \mu _ { \mathrm { v a p } } ) , \quad J _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } = \frac { M _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } } { \rho _ { \mathrm { l i q } } } ( \mu _ { \mathrm { b r u s h } } - \mu _ { \mathrm { v a p } } ) , \quad J _ { \mathrm { i m } } = \frac { M _ { \mathrm { i m } } } { \rho _ { \mathrm { l i q } } } ( \mu _ { \mathrm { f i l m } } - \mu _ { \mathrm { b r u s h } } ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { { H \equiv P _ { + } = \int d x ^ { - } \big [ ( 1 / 8 ) \mathrm { t r } ~ E ^ { 2 } - ( m / 2 ) \big ( \psi _ { - } ^ { \dagger } ( x ) \psi _ { + } ( x ) + \psi _ { + } ^ { \dagger } ( x ) \psi _ { - } ( x ) \big ) \big ] } } \\ { { \left[ A _ { - } ( x ^ { - } , x ^ { + } ) , E ( y ^ { - } , x ^ { + } ) \right] = i \delta ( x ^ { - } - y ^ { - } ) } } \end{array}
\delta _ { s _ { 1 } - s _ { 2 } } \delta _ { \frac { | k _ { 1 } | - c t + c s _ { 1 } } { | k _ { 1 } | } \, k _ { 1 } - \frac { | k _ { 2 } | - c t + c s _ { 2 } } { | k _ { 2 } | } \, k _ { 2 } } = \delta _ { s _ { 1 } - s _ { 2 } } \delta _ { \frac { | k _ { 1 } | - c t + c s _ { 1 } } { | k _ { 1 } | } \, k _ { 1 } - \frac { | k _ { 2 } | - c t + c s _ { 1 } } { | k _ { 2 } | } \, k _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { c y c } } ( G _ { X } , G _ { Y } ) } & { = \mathbb { E } _ { x \sim p _ { \mathrm { d a t a ~ } } ( x ) } \left[ \| G _ { Y } ( G _ { X } ( x ) ) - x \| _ { 1 } \right] } \\ & { + \mathbb { E } _ { y \sim p _ { \mathrm { d a t a ~ } } ( y ) } \left[ \| G _ { X } ( G _ { Y } ( y ) ) - y \| _ { 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { F } ( \Omega ) } & { { } = \frac { k _ { B } T } { m } \frac { \Gamma _ { 0 } } { ( \Omega _ { 0 } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } \Gamma _ { 0 } ^ { 2 } } , } \end{array}
P C L _ { 0 } W _ { 0 } k ^ { 2 } / k _ { 0 } ^ { 2 } + 2 k P ( C - 1 ) ( A _ { P S } + A _ { Y } ) + 2 ( P - 1 ) k A _ { Y } + ( P - 1 ) k ( k - 1 ) A _ { C R } ; ~ P , C =
\begin{array} { r } { \mathbf { L _ { 1 } } \left( \theta _ { 1 } \right) = \biggr \| \left< \widehat { \mathbf { X } } _ { t r a i n } \right> \biggr \rvert _ { k _ { x } \geq k _ { T _ { S } } } - \widehat { \mathbf { H } } \left[ \mathcal { N } \left( \mathbf { X } \left( t \right) , \theta \right) \right] \bigg \rvert _ { k _ { x } \geq k _ { T _ { S } } } \biggr \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
f ( x ) = - 1 - \frac { x } { 1 6 \alpha ^ { 2 } } \left[ ( x ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) \log \left( \frac { x + \alpha } { x - \alpha } \right) ^ { 2 } + 4 \alpha x \right] - \frac { x ^ { 3 } } { 4 } \int _ { \alpha } ^ { \infty } \frac { d y } { y ^ { 3 } } \log \left( \frac { x + y } { x - y } \right) ^ { 2 } f ( y )