harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { x _ { 1 } } & { = \pi + \frac { \pi } { 4 } \cos ( \theta ) , } & { \quad y _ { 1 } } & { = \pi + \frac { \pi } { 4 } \sin ( \theta ) } \\ { x _ { 2 } } & { = \pi + \frac { \pi } { 4 } \cos ( \theta + 1 8 0 ^ { \circ } ) , } & { \quad y _ { 2 } } & { = \pi + \frac { \pi } { 4 } \sin ( \theta + 1 8 0 ^ { \circ } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } } & { = H _ { p } \left[ H _ { e } \left[ \mathbf { u } ^ { n } + \Delta t L _ { 1 } ( \mathbf { u } ^ { n } ) \right] + \Delta t L _ { 2 } ( \mathbf { u } ^ { n } ) \right] , } \\ { \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } } & { = H _ { p } \left[ H _ { e } \left[ \frac { 3 } { 4 } \mathbf { u } ^ { n } + \frac { 1 } { 4 } \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 4 } \Delta t L _ { 1 } ( \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } ) \right] + \frac { 1 } { 4 } \Delta t L _ { 2 } ( \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } ) \right] , } \\ { \mathbf { u } ^ { n + 1 } } & { = H _ { p } \left[ H _ { e } \left[ \frac { 1 } { 3 } \mathbf { u } ^ { n } + \frac { 2 } { 3 } \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } + \frac { 2 } { 3 } \Delta t L _ { 1 } ( \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } ) \right] + \frac { 2 } { 3 } \Delta t L _ { 2 } ( \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } ) \right] , } \end{array}
\partial _ { 3 } f _ { 1 } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } , t ) | _ { x _ { 3 } = x _ { 3 , F } } = - \frac { 1 } { 2 } \rho ( { \bf x } _ { F } ) \delta ( { \bf x } _ { H } - { \bf x } _ { H , F } ) { \partial _ { t } } \delta ( t ) ,
{ \cal L } = \int d ^ { 4 } x \left\{ \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { \mu } \phi _ { \alpha } \partial _ { \mu } \phi _ { \alpha } - \frac { \lambda } { 4 } \left( \phi _ { \alpha } \phi _ { \alpha } - v ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + H \phi _ { 0 } \right\} \ ,
\left\{ \begin{array} { l l } { y _ { j k } = \sum _ { i } x _ { j i } p _ { j , i k } } & { \forall j \forall k } \\ { \sum _ { k } p _ { j , i k } = 1 } & { \forall j \forall i } \\ { p _ { j , i k } \geq 0 } & { \forall j \forall i \forall k } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathrm { T r } \left[ \mathcal { E } _ { Q \rightarrow Q ^ { \prime } } ( \tau _ { C Q } ) \gamma _ { C Q ^ { \prime } } \right] } \\ & { = \sum _ { x ^ { \prime } , x } q _ { x ^ { \prime } , x } \mathrm { T r } \left[ | x \rangle _ { C } \langle x | \otimes \mathcal { E } _ { Q \rightarrow Q ^ { \prime } } ( \tau _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } ) \gamma _ { C Q ^ { \prime } } \right] } \\ & { = \sum _ { x ^ { \prime } , x } q _ { x ^ { \prime } , x } \langle x | \mathcal { E } _ { Q \rightarrow Q ^ { \prime } } ( \tau _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } ) | x \rangle } \\ & { \geq \sum _ { ( x ^ { \prime } , x ) \in \gamma } q _ { x ^ { \prime } , x } \langle x | \mathcal { E } _ { Q \rightarrow Q ^ { \prime } } ( \tau _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } ) | x \rangle } \\ & { = \mathrm { T r } \left[ \mathcal { E } _ { Q \rightarrow Q ^ { \prime } } ( \tilde { \tau } _ { C Q } ) \gamma _ { C Q ^ { \prime } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { < ( S _ { n } * B ) ( x ) > \ = \ } & { { } Q _ { 0 } + n Q _ { s } , } \\ { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ ( S _ { n } * B ) ( x ) ] \ = \ } & { { } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + n \sigma _ { s } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { X } } \ } & { = \ f ( x , y ) \, , } \\ { \cdot { \mathcal { X } } \ } & { = \ x { \frac { \partial f } { \partial x } } = x f _ { x } \, , } \\ { { \mathcal { X } } \! \cdot \ } & { = \ y { \frac { \partial f } { \partial y } } = y f _ { y } \, , } \\ { \colon \! { \mathcal { X } } \, { \mathrm { ~ o r ~ } } \, \cdot \! \left( \cdot { \mathcal { X } } \right) \ } & { = \ x ^ { 2 } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } = x ^ { 2 } f _ { x x } \, , } \\ { { \mathcal { X } } \colon \, { \mathrm { ~ o r ~ } } \, \left( { \mathcal { X } } \cdot \right) \! \cdot \ } & { = \ y ^ { 2 } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y ^ { 2 } } } = y ^ { 2 } f _ { y y } \, , } \\ { \cdot { \mathcal { X } } \! \cdot \ \ } & { = \ x y { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \, \partial y } } = x y f _ { x y } \, , } \end{array} }
\operatorname* { l i m } _ { \kappa \to 0 } \kappa \| \nabla \theta ^ { \kappa } \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , t ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } ) } ^ { 2 } = 0 \, , \quad \forall t \in ( 0 , \infty ) \, ,
\begin{array} { r l } { I _ { 4 2 2 } = } & { t _ { h } ( u _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) - t _ { h } ( \Pi _ { V } u ^ { n } ; \boldsymbol { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) } \\ { = } & { ( \nabla e _ { u } ^ { I , n + 1 } , e _ { u } ^ { h , n + 1 } \otimes ( u _ { h } ^ { n } - \Pi _ { V } u ^ { n } ) ) _ { \Omega ^ { s } } - \langle ( ( e _ { u } ^ { I , n + 1 } - \bar { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } ) \otimes ( u _ { h } ^ { n } - \Pi _ { V } u ^ { n } ) ) n , e _ { u } ^ { h , n + 1 } \rangle _ { \partial \mathcal { T } ^ { s } } } \\ & { + \langle ( \operatorname* { m a x } ( u _ { h } ^ { n } \cdot n , 0 ) - \operatorname* { m a x } ( \Pi _ { V } u ^ { n } \cdot n , 0 ) ) ( e _ { u } ^ { I , n + 1 } - \bar { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } ) , e _ { u } ^ { h , n + 1 } - \bar { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } \rangle _ { \partial \mathcal { T } ^ { s } } } \\ { = } & { ( \nabla e _ { u } ^ { I , n + 1 } , e _ { u } ^ { h , n + 1 } \otimes e _ { u } ^ { h , n } ) _ { \Omega ^ { s } } - \langle ( ( e _ { u } ^ { I , n + 1 } - \bar { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } ) \otimes e _ { u } ^ { h , n } ) n , e _ { u } ^ { h , n + 1 } \rangle _ { \partial \mathcal { T } ^ { s } } } \\ & { + \langle ( \operatorname* { m a x } ( u _ { h } ^ { n } \cdot n , 0 ) - \operatorname* { m a x } ( \Pi _ { V } u ^ { n } \cdot n , 0 ) ) ( e _ { u } ^ { I , n + 1 } - \bar { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } ) , e _ { u } ^ { h , n + 1 } - \bar { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } \rangle _ { \partial \mathcal { T } ^ { s } } } \\ { = } & { ( e _ { u } ^ { h , n } \cdot \nabla e _ { u } ^ { I , n + 1 } , e _ { u } ^ { h , n + 1 } ) _ { \Omega ^ { s } } - \langle e _ { u } ^ { h , n } \cdot n , e _ { u } ^ { h , n + 1 } \cdot ( e _ { u } ^ { I , n + 1 } - \bar { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } ) \rangle _ { \partial \mathcal { T } ^ { s } } } \\ & { + \langle ( \operatorname* { m a x } ( u _ { h } ^ { n } \cdot n , 0 ) - \operatorname* { m a x } ( \Pi _ { V } u ^ { n } \cdot n , 0 ) ) ( e _ { u } ^ { I , n + 1 } - \bar { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } ) , e _ { u } ^ { h , n + 1 } - \bar { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } \rangle _ { \partial \mathcal { T } ^ { s } } } \\ { = } & { I _ { 4 2 2 a } + I _ { 4 2 2 b } + I _ { 4 2 2 c } . } \end{array}
\partial _ { z } \partial _ { z ^ { \prime } } g ( z , z ^ { \prime } ) | _ { z = z ^ { \prime } = 0 , a } = { \frac { 2 } { a } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } / a ^ { 2 } } { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } / a ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } } .
g _ { s } = 2 + 2 C _ { 2 } \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) + 2 C _ { 4 } \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { 2 } + 2 C _ { 6 } \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { 3 } + \cdots ,
\Delta \otimes \mathrm { i d } , \mathrm { i d } \otimes \Delta \colon T _ { \mathcal { O } } ^ { \bullet } \mathcal { V } \otimes T _ { \mathcal { O } } ^ { \bullet } \mathcal { V } \rightarrow T _ { \mathcal { O } } ^ { \bullet } \mathcal { V } \otimes T _ { \mathcal { O } } ^ { \bullet } \mathcal { V } \otimes T _ { \mathcal { O } } ^ { \bullet } \mathcal { V }
\left\{ \begin{array} { l l } { q _ { i } + d _ { i } + ( 0 , 0 , \dots , 0 ) } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 0 } \\ { \emptyset } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 1 } \\ { q _ { i } + d _ { i } + ( 0 , 0 , \dots , 0 ) } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 2 } \\ { q _ { i } + d _ { i } + ( 0 ) } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 3 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { v _ { \alpha } ( \theta , z ) = i ~ \epsilon _ { \alpha \beta } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q ~ A ( \Lambda ) ~ \Lambda ^ { \beta } e ^ { i \Lambda _ { \mu } x ^ { \mu } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { c r } \left( t \right) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \epsilon _ { c r } \left( t ^ { \prime } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } } \\ & { = \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { t ^ { - \left( 1 - \left( \nu - \alpha \right) \right) } } { \Gamma \left( \nu - \alpha \right) } + \frac { 1 } { \pi } \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } - \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { 1 + \nu - \alpha } } \frac { \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \beta + \nu \right) \pi \right) + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \sin \left( \left( \nu - \alpha \right) \pi \right) } { \left\vert \rho ^ { \alpha + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right\vert ^ { 2 } } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - \rho t } \right) \mathrm { d } \rho } \\ & { + \frac { 1 } { \pi } \frac { a _ { 1 } } { b _ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { 1 + \beta + \nu } } \frac { \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \alpha + 2 \beta + \nu \right) \pi \right) + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \sin \left( \left( \beta + \nu \right) \pi \right) } { \left\vert \rho ^ { \alpha + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right\vert ^ { 2 } } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - \rho t } \right) \mathrm { d } \rho , } \end{array}
E = \int \{ - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } ( R _ { i } R _ { i } ) - \frac { 1 } { 1 6 } \mathrm { T r } ( [ R _ { i } , R _ { j } ] [ R _ { i } , R _ { j } ] ) \} \ d ^ { 3 } { \bf x } .
\sum _ { m = 1 } ^ { 2 I _ { \lambda } ^ { - 1 } \log n } m \cdot m ^ { m - 2 } \cdot \binom { m } { 2 } \cdot \binom { n } { m } \cdot \left( \frac { \lambda } { n } \right) ^ { m } \left( 1 - \frac { \lambda } { n } \right) ^ { m ( n - m ) } \le ( 1 + o ( 1 ) ) \sum _ { m = 1 } ^ { 2 I _ { \lambda } ^ { - 1 } \log n } m \cdot \mathrm { e } ^ { - I _ { \lambda } m } = \mathcal { O } ( 1 ) .
\begin{array} { r l } { n ( \mathbf { r } ) } & { { } = 2 \mathrm { T r } \left[ f \left( \hat { H } _ { \mathrm { D F T } } , \mu , T \right) \delta ( \hat { \mathbf { r } } - \mathbf { r } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \Delta E } { Z ( \mu ) } \approx - \frac { 0 . 0 6 8 6 1 8 \log ^ { 0 . 4 4 4 2 0 } \left( \frac { 1 } { \mu } \right) } { \mu ^ { 0 . 4 5 5 8 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { 1 } ( z ) } & { = } & { z ^ { - 1 1 / 2 } \, \exp \left( \frac { 2 i \, \sqrt { 3 } } { 3 z } \right) \, \left[ z ^ { 2 } + \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 2 } \, z ^ { 3 } \right] , } \\ { w _ { 2 } ( z ) } & { = } & { z ^ { - 1 1 / 2 } \, \exp \left( \frac { - 2 i \, \sqrt { 3 } } { 3 z } \right) \, \left[ z ^ { 2 } - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 2 } \, z ^ { 3 } \right] } \end{array}
I = ( \sigma ^ { 2 } i \partial _ { \mu } \gamma ^ { \mu } ) _ { \alpha \alpha _ { j } } ( i \partial _ { \nu } \gamma ^ { \nu } ) _ { \alpha \alpha _ { i } } \Psi _ { \alpha _ { i } \alpha _ { j } } ^ { ( \pm ) } = m ^ { 2 } \sigma _ { \alpha _ { i } \alpha _ { j } } ^ { 2 } \Psi _ { \alpha _ { i } \alpha _ { j } } ^ { ( \pm ) }
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { A } } ( \hat { \boldsymbol { r } } ) = \sum _ { \boldsymbol { q } n } { \cal A } _ { \boldsymbol { q } n } \boldsymbol { e } _ { \boldsymbol { q } } \left( \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } n } e ^ { i \boldsymbol { q } \cdot \hat { \boldsymbol { r } } } + \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { \dagger } e ^ { - i \boldsymbol { q } \cdot \hat { \boldsymbol { r } } } \right) , } \end{array}
G \left( b \right) = 2 i \left\{ \mathrm { L } { { \mathrm { i } } _ { 2 } } \left( i \left( \sqrt { { { b } ^ { - 2 } } - 1 } - { { b } ^ { - 1 } } \right) \right) - \mathrm { L } { { \mathrm { i } } _ { 2 } } \left( \frac { i } { { { b } ^ { - 1 } } + \sqrt { { { b } ^ { - 2 } } - 1 } } \right) \right\} + 4 \ln \left( \sqrt { { { b } ^ { - 2 } } - 1 } + { { b } ^ { - 1 } } \right) \mathrm { a r c c o t } \left( \sqrt { { { b } ^ { - 2 } } - 1 } + { { b } ^ { - 1 } } \right) .
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \partial _ { t } \ell \left( \left( \bar { X } _ { t , T } \circ X _ { 0 , t } \right) _ { \sharp } \vartheta \right) \d t = \int _ { 0 } ^ { T } \partial _ { t } \ell \left( \left( \mathcal F _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta \right) \d t . } \end{array}
\frac { i } { 2 } T r D ^ { - 1 } G = \frac { 1 } { 1 2 N } \int d ^ { D } x \left( \lambda _ { 0 } + \frac { \eta _ { 0 } \phi ^ { 2 } } { 1 0 N } \right) [ G _ { a a } ( x , x ) ] ^ { 2 } + \frac { 3 \eta _ { 0 } } { 6 ! N ^ { 2 } } \int d ^ { D } x [ G _ { a a } ( x , x ) ] ^ { 3 } + c t e .
\begin{array} { r l } { \mathrm { T r } ( ( \mathcal { T } _ { \pi } X ) \, Y ) } & { = \int _ { G } \mathrm { T r } ( \pi ( x ) X \pi ( x ^ { - 1 } ) Y ) d x } \\ & { = \mathrm { T r } \left( X \int _ { G } \pi ( x ^ { - 1 } ) Y \pi ( x ) d x \right) } \\ & { = \mathrm { T r } \left( X \int _ { G } \pi ( x ) Y \pi ( x ^ { - 1 } ) d x \right) = \mathrm { T r } ( X ( \mathcal { T } _ { \pi } Y ) ) } \end{array}
H ^ { 2 } \equiv \left( { \frac { \dot { a } } { a } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 8 \pi G } { 3 } } \rho - { \frac { k c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { \Lambda c ^ { 2 } } { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { j ^ { \mu } = \bar { \psi } \gamma ^ { \mu } \psi } & { = \left( \begin{array} { l l } { u ^ { \dagger } } & { v ^ { \dagger } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \bar { \sigma ^ { \mu } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sigma ^ { \mu } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { u } \\ { v } \end{array} \right) = u ^ { \dagger } \bar { \sigma ^ { \mu } } u + v ^ { \dagger } \sigma ^ { \mu } v \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ^ { 3 } N _ { c } ( \Delta p ) } & { { } = n _ { g } \, d A \, d t \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 3 / 2 } \int _ { 0 } ^ { \Delta p / m _ { g } } d v _ { i , z } \iint _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { i , x } d v _ { i , y } \, v _ { i , z } \, e ^ { - ( v _ { i , x } ^ { 2 } + v _ { i , y } ^ { 2 } + v _ { i , z } ^ { 2 } ) \big / 2 \overline { { v } } ^ { 2 } } } \end{array}
Z ( 1 ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d t ~ { \frac { d Z ( t ) } { d t } } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - ) ^ { n - 1 } } { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d t ~ ( e ^ { t \, \mathrm { a d } _ { X } } e ^ { t \mathrm { a d } _ { Y } } - 1 ) ^ { n - 1 } ~ ( X + e ^ { t \, \mathrm { a d } _ { X } } Y ) ~ .
\begin{array} { r l r l } { n _ { 0 } } & { : = f _ { 0 } ( d _ { 0 } - d _ { 2 } , d _ { 4 } - d _ { 6 } , d _ { 1 } - d _ { 3 } , d _ { 5 } - d _ { 7 } ) , } & { n _ { 1 } } & { : = f _ { 1 } ( d _ { 0 } + d _ { 2 } , d _ { 4 } + d _ { 6 } , d _ { 1 } + d _ { 3 } , d _ { 5 } + d _ { 7 } ) , } \\ { d } & { : = ( d _ { 0 } + d _ { 2 } ) ( d _ { 4 } + d _ { 6 } ) + ( d _ { 1 } + d _ { 3 } ) ( d _ { 5 } + d _ { 7 } ) , } & { d ^ { * } } & { : = d _ { 0 } d _ { 2 } + d _ { 4 } d _ { 6 } + d _ { 1 } d _ { 3 } + d _ { 5 } d _ { 7 } . } \end{array}
L = P _ { x } \dot { x } + P _ { y } \dot { y } + P _ { z } \dot { z } - \left( \frac { 1 } { 2 } P _ { x } ^ { 2 } + a P _ { x } y + b y z + \frac { 1 } { 2 } c y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } d z ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r } { ( \nabla _ { \xi } ^ { 2 } \phi ) _ { i } = \partial _ { \xi } \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \partial _ { \xi } \phi \right) _ { i } \approx \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \right) _ { i + 1 / 2 } ( \phi _ { i + 1 } - \phi _ { i } ) - \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \right) _ { i - 1 / 2 } ( \phi _ { i } - \phi _ { i - 1 } ) . } \end{array}
C _ { m _ { F } , q } = ( - 1 ) ^ { F ^ { \prime } - 1 + m _ { F } } \sqrt { 2 F + 1 } \left( \begin{array} { l l l } { F ^ { \prime } } & { 1 } & { F } \\ { m _ { F } ^ { \prime } } & { q } & { - m _ { F } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \Delta T ( x , y , t ) = \frac { Q \cdot \Delta T _ { i n j } } { 4 \cdot n _ { e } \cdot M \cdot v _ { a } \cdot \sqrt { \pi \cdot \alpha _ { T } } } \cdot e x p \left( \frac { x - r } { 2 \cdot \alpha _ { L } } \right) \cdot } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { r } } \cdot e r f c \left( \frac { r - v _ { a } \cdot t / R } { 2 \cdot \sqrt { v _ { a } \cdot \alpha _ { L } \cdot t / R } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \omega _ { i } } { d t } } & { { } = - \frac { 1 } { \tau } [ \omega _ { i } - J \mathcal { F } ( \theta _ { i } ) ] + \sqrt { 2 D _ { \omega } } \xi _ { i } ( t ) , } \\ { \frac { d \theta _ { i } } { d t } } & { { } = \omega _ { i } - J \mathcal { F } ( \theta _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { 2 } ( \omega ) = \frac { i e ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } R _ { C N T } \hbar } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \int _ { - a } ^ { a } \frac { \omega _ { c v } ( p _ { z } , k ) P _ { c v } ^ { 2 } ( p _ { z } , k ) \rho ^ { e q } ( p _ { z } , k ) ( \omega + i / \tau _ { 2 } ) } { \omega _ { c v } ^ { 2 } ( p _ { z } , k ) - ( \omega + i / \tau _ { 2 } ) ^ { 2 } } d p _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { a = 0 } ^ { \infty } \sum _ { b = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( a , b ) } \sum _ { k = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( a , b ) - s } \frac { ( - 1 ) ^ { s } } { s ! } \frac { Q _ { a - k - s , b - k - s } } { k ! } \left( { \alpha ^ { * } } \right) ^ { a } \alpha ^ { b } . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } ^ { n } { \left( \begin{array} { l } { 3 } \\ { 0 } \\ { 2 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { P \left( n \right) } \\ { P \left( n + 1 \right) } \\ { P \left( n + 2 \right) } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { \chi _ { \psi , \psi } ( q ) } & { { } = } & { - \frac { K } { \frac { 1 } { \epsilon _ { e } - 1 } \left( \frac { \epsilon _ { w } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } + q ^ { 2 } \right) + q ^ { 2 } } } \\ { \chi _ { i j } ( q ) } & { { } = } & { \chi _ { \parallel } ( q ) \frac { q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } } + \chi _ { \perp } \left( \delta _ { i j } - \frac { q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } } \right) , \quad \chi _ { \parallel } ( q ) = \frac { \epsilon _ { w } - 1 } { \epsilon _ { w } } \frac { \frac { \epsilon _ { w } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } + q ^ { 2 } } { \frac { 1 } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } + q ^ { 2 } } , \quad \chi _ { \perp } ( q ) = \frac { 1 } { K + \kappa _ { t } q ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r o b } ( S \subseteq C ) } & { = \frac { { \binom { | C | } { s } } } { { \binom { n } { s } } } \geq \frac { { \binom { n - t } { s } } } { { \binom { n } { s } } } = \frac { ( n - s ) ( n - s - 1 ) \cdots ( n - s - t + 1 ) } { n ( n - 1 ) \cdots ( n - t + 1 ) } } \\ & { = \prod _ { i = 0 } ^ { t - 1 } \left( 1 - \frac { s } { n - i } \right) \geq \left( 1 - \frac { s } { n - t + 1 } \right) ^ { t } \geq \exp \left( \frac { - 2 s t } { n - t + 1 } \right) } \\ & { \geq \exp \left( \frac { - 2 0 0 } { 4 9 5 } \right) \geq \frac 2 3 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } n + \partial _ { i } ( n v ^ { i } ) = 0 \, , } \\ & { \partial _ { t } v _ { i } + v ^ { j } \partial _ { j } v _ { i } = \frac { 1 } { m n } \partial _ { j } T _ { \, \, \, i } ^ { j } - \frac { e } { m } ( E _ { i } + B \epsilon _ { i j } v ^ { j } ) , } \\ & { \left[ \epsilon ^ { i j } \partial _ { i } v _ { j } - \omega _ { B } + \frac { \hbar } { m } \partial _ { i } \left( \frac { \partial ^ { i } n } { n } \right) \right] \frac { 1 } { n } = - \frac { 2 \pi \hbar } { \nu m } \, , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { d _ { L } ^ { \prime } } } \\ { { s _ { L } ^ { \prime } } } \\ { { b _ { L } ^ { \prime } } } \\ { { x _ { L } ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { { V _ { u d } } } & { { V _ { u s } } } & { { V _ { u b } } } & { { V _ { u x } } } \\ { { V _ { c d } } } & { { V _ { c s } } } & { { V _ { c b } } } & { { V _ { c x } } } \\ { { V _ { t d } } } & { { V _ { t s } } } & { { V _ { t b } } } & { { V _ { t x } } } \\ { { V _ { o d } } } & { { V _ { o s } } } & { { V _ { o b } } } & { { V _ { o x } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { d _ { L } } } \\ { { s _ { L } } } \\ { { b _ { L } } } \\ { { x _ { L } } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r } { \sum _ { \xi \in \Xi _ { \ell - 1 } } c _ { \xi } \chi _ { \xi } ^ { ( \ell - 1 ) } = \sum _ { \xi \in \Xi _ { \ell - 1 } } c _ { \xi } \sum _ { \eta \in \Xi _ { \ell } } \chi _ { \xi } ^ { ( \ell - 1 ) } ( \eta ) \chi _ { \eta } ^ { ( \ell ) } = \sum _ { \eta \in \Xi _ { \ell } } \sum _ { \xi \in \Xi _ { \ell - 1 } } c _ { \xi } \chi _ { \xi } ^ { ( \ell - 1 ) } ( \eta ) \chi _ { \eta } ^ { ( \ell ) } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { F _ { \alpha , \beta } ^ { ( 1 2 ) } } & { F _ { \beta , \alpha } ^ { ( 1 2 ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { r _ { \beta } } { r _ { \alpha } } r _ { \alpha , \beta } z _ { 1 } } \\ { ( r _ { \beta } - r _ { \beta , \alpha } ) z _ { 1 } - 1 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { F _ { \alpha , \beta } ^ { ( ) } } & { F _ { \beta , \alpha } ^ { ( ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { r _ { \beta } } { r _ { \alpha } } r _ { \alpha , \beta } z _ { 2 } } \\ { ( r _ { \beta } - r _ { \beta , \alpha } ) z _ { 2 } - 1 } \end{array} \right) = 0
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { 1 } } & { = ( v _ { 1 1 } , v _ { 1 2 } , \dots , v _ { 1 n } ) ^ { T } } \\ { \mathbf { v } _ { 2 } } & { = ( v _ { 2 1 } , v _ { 2 2 } , \dots , v _ { 2 n } ) ^ { T } } \\ & { \, \, \, \vdots } \\ { \mathbf { v } _ { n } } & { = ( v _ { n 1 } , v _ { n 2 } , \dots , v _ { n n } ) ^ { T } \, , } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { I _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 } { 2 } s + s ^ { 2 } + \frac { 9 } { 4 } s ^ { 3 } - 2 s ^ { 4 } + \mathcal { O } ( s ^ { 5 } ) , } \\ & { I _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 s } + \frac { 3 } { 2 } + \frac { 7 } { 4 } s + 2 s ^ { 2 } + \frac { 4 7 } { 1 6 } s ^ { 3 } + 4 s ^ { 4 } + \mathcal { O } ( s ^ { 5 } ) , } \\ & { I _ { 3 } = - \frac { 1 } { s } + 2 + \frac { 3 } { 2 } s - \frac { 2 7 } { 8 } s ^ { 3 } + \mathcal { O } ( s ^ { 5 } ) . } \end{array}
N ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 3 } - | u | ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | u | \leq 1 } \\ { \frac { 1 } { 6 } ( 2 - | u | ) ^ { 3 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | u | \in [ 1 , 2 ] } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | u | \geq 0 } \end{array} \right.
\beta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = \beta _ { 0 } ^ { ( 0 ) } ( 1 - t _ { 0 } ) + \beta _ { 1 } ^ { ( 0 ) } t _ { 0 } = \beta _ { 0 } ( 1 - t _ { 0 } ) + \beta _ { 1 } t _ { 0 }
\begin{array} { r l r } { { \cal G } _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } \equiv } & { \frac { T } { 2 { \cal Z } ^ { 2 } } \biggl ( { \frac { \cal Z } { \mathrm { s i n } { \cal Z } } } \, \mathrm { e } ^ { - i { \cal Z } \dot { G } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } + i { \cal Z } \dot { G } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) - 1 \biggr ) } \\ { { \cal G } _ { F } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } \equiv } & { G _ { F } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) { \frac { \mathrm { e } ^ { - i { \cal Z } \dot { G } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } } { \mathrm { c o s } { \cal Z } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { b \left( \zeta _ { 1 , k } ^ { ( 0 ) } , u _ { k } \right) } & { - \alpha _ { k } c \left( \zeta _ { 1 , k } ^ { ( 0 ) } , u _ { k } \right) + \textrm { W o } ^ { 2 } c \left( \xi _ { 1 , k } ^ { ( 0 ) } , u _ { k } \right) } \\ & { + b \left( \xi _ { 1 , k } ^ { ( 0 ) } , v _ { k } \right) - \alpha _ { k } c \left( \xi _ { 1 , k } ^ { ( 0 ) } , v _ { k } \right) - \textrm { W o } ^ { 2 } c \left( \zeta _ { 1 , k } ^ { ( 0 ) } , v _ { k } \right) = 0 } \end{array}