harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \psi _ { 0 } ( a + 2 k + 1 ) } { 2 k + 1 } } & { = \sum _ { k = 2 } ^ { 2 m } \frac { \psi _ { 0 } ( 2 a + k ) } { a + k } - \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { \psi _ { 0 } ( 2 a + 2 k ) } { a + 2 k } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { a + 2 m } \frac { \psi _ { 0 } ( a + k ) } { k } - \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { \psi _ { 0 } ( 2 a + 2 k ) } { a + 2 k } + \mathrm { C F } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma S ( U _ { i } ) \| ^ { 2 } \} } & { = } & { { \mathbb { E } } ( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 2 } \| U _ { i } \| ^ { - 2 } ) } \\ & { = } & { p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 2 } \} + { \mathbb { E } } \left\{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 2 } \left( \| U _ { i } \| ^ { - 2 } - p ^ { - 1 } \right) \right\} } \\ & { = } & { 1 + { \mathbb { E } } \left\{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 2 } \left( \| U _ { i } \| ^ { - 2 } - p ^ { - 1 } \right) \right\} \, , } \end{array}
\int _ { \Omega } \, \Bigl | \omega _ { \theta } ( r , z , t ) - \frac { \Gamma } { 4 \pi \nu t } \, e ^ { - \frac { ( r - \bar { r } ( t ) ) ^ { 2 } + ( z - \bar { z } ( t ) ) ^ { 2 } } { 4 \nu t } } \Bigr | \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } z \, \le \, K \, \Gamma \, \frac { \sqrt { \nu t } } { r _ { 0 } } \, , \qquad t \in ( 0 , T _ { \mathrm { a d v } } \, \mathrm { R e } ^ { \sigma } ) \, ,
\operatorname* { m a x } \biggl \{ \frac { \kappa _ { n - 1 } } { \kappa _ { n - 1 } ^ { \prime } } \, , \frac { \kappa _ { n - 1 } ^ { \prime } } { \kappa _ { n - 1 } } \biggr \} \leq \prod _ { j = n } ^ { N } \Bigl ( 1 + C \varepsilon _ { j - 1 } ^ { 2 ( \delta \wedge \gamma ) } \Bigr ) \leq \Bigl ( 1 + C \varepsilon _ { n - 1 } ^ { 2 ( \delta \wedge \gamma ) } \Bigr ) \, .
\begin{array} { r l } { \overline { { P } } } & { \approx 2 \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } \Big ( \frac { \pi n I _ { 0 } } { 4 l } \Big ) ^ { 2 } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big \{ r _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \Big ( \frac { r _ { 1 } \omega _ { 0 } } { c _ { 1 } } \Big ) ^ { 2 } + \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } \Big ( 1 - \Big ( \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \Big ) ^ { 4 } \Big ) \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { ( \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \big [ ( r _ { 1 } ^ { 6 } + 2 r _ { 1 } ^ { 4 } r _ { 2 } ^ { 2 } ) \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } \right) ^ { 2 } + 6 ( r _ { 1 } r _ { 2 } ) ^ { 3 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) + 3 r _ { 2 } ^ { 6 } \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ^ { 2 } \big ] \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } ^ { \prime } = - K \frac { \mathrm { ~ B ~ i ~ } } { W } } & { { } = - \pi K \mathrm { ~ B ~ i ~ } , } \\ { c _ { 2 } ^ { \prime } = K \frac { \mathrm { ~ A ~ i ~ } } { W } } & { { } = \pi K \mathrm { ~ A ~ i ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { 2 } \psi _ { 0 , k } ^ { ( 3 ) } } & { - \alpha _ { k } \Delta \psi _ { 0 , k } ^ { ( 3 ) } = \textrm { W o } ^ { 2 } \sum _ { j = \infty } ^ { \infty } \bigg ( \nabla ^ { \perp } \overline { { \psi _ { 1 , j } ^ { ( 2 ) } } } \cdot \nabla \Delta \psi _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } + \nabla ^ { \perp } \psi _ { 1 , j } ^ { ( 2 ) } \cdot \nabla \Delta \overline { { \psi _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } } } } \\ & { + \nabla ^ { \perp } \psi _ { 2 , j } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla \Delta \overline { { \psi _ { 2 , k - j } ^ { ( 1 ) } } } + \nabla ^ { \perp } \psi _ { 0 , j } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla \Delta \psi _ { 0 , k - j } ^ { ( 1 ) } + \nabla ^ { \perp } \overline { { \psi _ { 2 , j } ^ { ( 1 ) } } } \cdot \nabla \Delta \psi _ { 2 , k - j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { + \nabla ^ { \perp } \overline { { \psi _ { 1 , j } ^ { ( 0 ) } } } \cdot \nabla \Delta \psi _ { 1 , k - j } ^ { ( 2 ) } + \nabla ^ { \perp } \psi _ { 1 , j } ^ { ( 0 ) } \cdot \nabla \Delta \overline { { \psi _ { 1 , k - j } ^ { ( 2 ) } } } \bigg ) } \end{array}
H = \sum _ { i } \bigg ( - \Delta E S _ { i } ^ { z } + 2 g Q _ { i } S _ { i } ^ { x } + \frac { P _ { i } ^ { 2 } } { 2 M } + \frac { M \omega ^ { 2 } } { 2 } Q _ { i } ^ { 2 } \bigg ) .
{ \mathcal { H } } ^ { ( 1 ) } = \left( { \frac { e ^ { 2 } } { R _ { a b } } } + { \frac { e ^ { 2 } } { r _ { 1 2 } } } - { \frac { e ^ { 2 } } { r _ { a 1 } } } - { \frac { e ^ { 2 } } { r _ { b 2 } } } \right)
{ \begin{array} { r l } { \psi ( x ) = } & { \int { \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \delta ( ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } - E ( \mathbf { p } ) ^ { 2 } ) \left( A ( p ) e ^ { - i p ^ { 0 } x ^ { 0 } + i p ^ { i } x ^ { i } } + B ( p ) e ^ { + i p ^ { 0 } x ^ { 0 } + i p ^ { i } x ^ { i } } \right) \theta ( p ^ { 0 } ) } \\ { = } & { \int { \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \delta ( ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } - E ( \mathbf { p } ) ^ { 2 } ) \left( A ( p ) e ^ { - i p ^ { 0 } x ^ { 0 } + i p ^ { i } x ^ { i } } + B ( - p ) e ^ { + i p ^ { 0 } x ^ { 0 } - i p ^ { i } x ^ { i } } \right) \theta ( p ^ { 0 } ) } \\ { \rightarrow } & { \int { \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \delta ( ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } - E ( \mathbf { p } ) ^ { 2 } ) \left( A ( p ) e ^ { - i p \cdot x } + B ( p ) e ^ { + i p \cdot x } \right) \theta ( p ^ { 0 } ) } \end{array} }
g _ { 2 1 } = \pm \cos ( \sqrt { - H } t ) \quad , \quad g _ { 2 2 } = \sqrt { - H } ^ { - 1 } \sin ( \sqrt { - H } t ) \quad ; \qquad - \frac { \pi } { 2 } - \delta ( \epsilon ) < \sqrt { - H } t < \frac { \pi } { 2 } + \delta ( \epsilon ) ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \gamma , \omega \right\rangle - \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle w , \omega u ^ { \perp } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot w , P \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , \nabla \cdot u \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
G ( { \hat { x } } , { \hat { y } } ) \; = \; \int _ { { \hat { z } } } { \hat { \Delta } } _ { \varphi } ( { \hat { x } } , \hat { z } ) { \bar { \hat { \chi } } } ( { \hat { z } } ) { \hat { \mathcal D } } ( { \hat { z } } , { \hat { y } } ) { \hat { \chi } } ( { \hat { y } } ) \; .
\bar { Z } _ { \; \; j _ { 1 } \ldots j _ { p - k } } ^ { i _ { 1 } \ldots i _ { p - k + 1 } } = \frac 1 { \left( p - k \right) ! } \partial _ { } ^ { \left[ i _ { 1 } \right. } \delta _ { \; \; j _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } } \ldots \delta _ { \; \; j _ { p - k } } ^ { \left. i _ { p - k + 1 } \right] } , \; k = 1 , \ldots , p .
\begin{array} { r l } { R ( P _ { X } , D _ { 1 } ) } & { = I ( P _ { X } , P _ { \hat { X } _ { 1 } | X } ^ { * } ) , ~ \mathbb { E } _ { P _ { X } \times P _ { \hat { X } _ { 1 } | X } ^ { * } } [ d _ { 1 } ( X , \hat { X } _ { 1 } ) ] \leq D _ { 1 } , } \\ { R ( P _ { X } , D _ { 2 } ) } & { = I ( P _ { X } , P _ { \hat { X } _ { 2 } | X } ^ { * } ) , ~ \mathbb { E } _ { P _ { X } \times P _ { \hat { X } _ { 2 } | X } ^ { * } } [ d _ { 2 } ( X , \hat { X } _ { 2 } ) ] \leq D _ { 2 } , } \end{array}
\tilde { H } _ { w } = { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } V _ { u d } V _ { c b } \Bigl \{ c _ { 2 } \tilde { O } _ { 1 } + c _ { 1 } \tilde { O } _ { 2 } \Bigr \} + h . c . ,
\begin{array} { r l } { \| R ( f , \, g ) \| _ { { F } _ { 1 , \infty } ^ { s } } } & { \lesssim 2 ^ { - k s } \sum _ { l = - 3 } ^ { 3 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \underset { j \in \mathbb { Z } } { \operatorname* { s u p } } \; \left| ( \Delta _ { j } f ) 2 ^ { ( j + l ) s } \Delta _ { j + l } g \right| ( x ) d x } \\ & { \lesssim 2 ^ { - k s } \| f \| _ { L ^ { \infty } } \sum _ { l = - 3 } ^ { 3 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \underset { j \in \mathbb { Z } } { \operatorname* { s u p } } \; | 2 ^ { ( j + l ) s } \Delta _ { j + l } g | ( x ) d x } \\ & { \lesssim 2 ^ { - k s } \| f \| _ { { F } _ { 1 , \infty } ^ { s } } \| g \| _ { { F } _ { 1 , \infty } ^ { s } } . } \end{array}
\ell _ { \textrm { C } } = C _ { \ell 1 } K ^ { 3 / 2 } \varepsilon ^ { - 1 } + C _ { \ell 2 } K ^ { 3 / 2 } \varepsilon ^ { - 2 } \frac { D K } { D t } - C _ { \ell 3 } K ^ { 5 / 2 } \varepsilon ^ { - 3 } \frac { D \varepsilon } { D t }
{ \begin{array} { r l } { C ( S , t ) } & { = N ( d _ { 1 } ) S - N ( d _ { 2 } ) K e ^ { - r ( T - t ) } } \\ { d _ { 1 } } & { = { \frac { 1 } { \sigma { \sqrt { T - t } } } } \left[ \ln \left( { \frac { S } { K } } \right) + \left( r + { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } } \right) ( T - t ) \right] } \\ { d _ { 2 } } & { = d _ { 1 } - \sigma { \sqrt { T - t } } } \end{array} }
f ^ { { \cal { B } } { \cal { D } } } = \frac { 1 } { 8 } \sum _ { \tilde { \cal B } , \tilde { \cal D } , \tilde { \cal R } } { \cal \tilde { B } } { \cal \tilde { D } } f ( { \cal \tilde { D } } , { \cal \tilde { B } } , { \cal \tilde { R } } ) .
\frac { \partial \overline { { u _ { i } } } } { \partial t } + \overline { { u _ { j } } } \frac { \partial \overline { { u _ { i } } } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial \overline { { p _ { d } } } } { \partial x _ { i } } \, + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \lbrack \nu \frac { \partial \overline { { u _ { i } } } } { \partial x _ { j } } - \overline { { u _ { i } ^ { ' } u _ { j } ^ { ' } } } { ] } - g _ { k } x _ { k } \frac { \partial \overline { { \rho } } } { \partial x _ { i } }
{ \frac { \rho _ { 0 } u _ { 0 } ^ { 2 } } { r _ { 0 } } } { \frac { \partial \rho ^ { * } \mathbf { u } ^ { * } } { \partial t ^ { * } } } + { \frac { \nabla ^ { * } } { r _ { 0 } } } \cdot \left( \rho _ { 0 } u _ { 0 } ^ { 2 } \rho ^ { * } \mathbf { u } ^ { * } \otimes \mathbf { u } ^ { * } + p _ { 0 } p ^ { * } \right) = - { \frac { \tau _ { 0 } } { r _ { 0 } } } \nabla ^ { * } \cdot { \boldsymbol { \tau } } ^ { * } + f _ { 0 } \mathbf { f } ^ { * }
\operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { - 1 } | \operatorname { T r } _ { s } ( N ^ { \mathbb { R } } e ^ { - t \Delta _ { t ^ { - 7 } T } ^ { \mathbb { R } } } ) - \operatorname { T r } _ { s } ( N ^ { \mathbb { R } } e ^ { - t ( \Delta _ { B , 1 } ^ { \mathbb { R } } \oplus \Delta _ { B , 2 } ^ { \mathbb { R } } ) } ) | d t = 0 .
r _ { n } \simeq M _ { 4 + n } ^ { - 1 } \left( \frac { M _ { \mathrm { P l } } } { M _ { 4 + n } } \right) ^ { 2 / n } \simeq 2 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \left( \frac { \mathrm { T e V } } { M _ { 4 + n } } \right) \left( \frac { M _ { \mathrm { P l } } } { M _ { 4 + n } } \right) ^ { 2 / n } \, \mathrm { c m } \, ,
\begin{array} { r l } { A _ { n } ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) \mathrm { d } U ( s ) } \\ & { = - U _ { 0 } \gamma \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) e ^ { - \gamma s } \mathrm { d } s } \\ & { \, \quad - \gamma \sigma \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) \Big ( \int _ { 0 } ^ { s } e ^ { - \gamma ( s - u ) } \mathrm { d } W ( u ) \Big ) \mathrm { d } s + \sigma \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) \mathrm { d } W ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi ( X , Z ) ^ { 3 } \right] } } & { = \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 1 } ( X , Z ) ^ { 3 } R _ { 1 } ( X , Z ) \right] } + \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 3 } ( X , Z ) ^ { 2 } R _ { 2 } ( X , Z ) \right] } } \\ & { + \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 3 } ( X , Z ) ^ { 3 } R _ { 3 } ( X , Z ) \right] } + \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 4 } ( X , Z ) ^ { 3 } R _ { 4 } ( X , Z ) \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } ( t ) } & { { } = \left[ \mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } ( t ) + \sum _ { k , \lambda } \varepsilon _ { k , \lambda } q _ { k , \lambda } \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \ \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } ( t ) \right] } \\ { i \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ n ~ } } ( t ) } & { { } = \left[ \mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ n ~ } } ( t ) + \sum _ { k , \lambda } \varepsilon _ { k , \lambda } q _ { k , \lambda } \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ n ~ } } , \ \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ n ~ } } ( t ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \psi \big | _ { \Gamma _ { 1 } } = - \psi \big | _ { \Gamma _ { 2 } } = \psi \big | _ { \Gamma _ { 6 } } = \psi \big | _ { \Gamma _ { 7 } } } & { { } = \Psi _ { 0 } , } \\ { \boldsymbol { \nabla } \psi \cdot \boldsymbol { n } \big | _ { \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 5 } , \Gamma _ { 8 } } } & { { } = 0 . } \end{array}
i s t w i c e t h e t o t a l s i z e o f t h e p r e v i o u s i n b o t h t h e h o r i z o n t a l ( s t r e a m w i s e ) a n d v e r t i c a l d i r e c t i o n s , w i t h h a l f t h e s p a t i a l r e s o l u t i o n . T h e l a r g e r g r i d s a r e o f f s e t s u c h t h a t t h e m a j o r i t y o f t h e d o m a i n i s d o w n s t r e a m o f t h e p l a t e s . T h e r e s o l u t i o n o f t h e g r i d f o r t h e R e y n o l d s n u m b e r s c o n s i d e r e d h e r e h a s b e e n v a l i d a t e d i n a r a n g e o f p a s t s t u d i e s . F o r t h e a n a l y s i s , w e w i l l u s e v e l o c i t y d a t a f r o m t h e
\langle \psi _ { a } | ( H x - x H ) | \psi _ { b } \rangle = ( \langle \psi _ { a } | H ) x | \psi _ { b } \rangle - \langle \psi _ { a } | x ( H | \psi _ { b } \rangle ) = ( E _ { a } - E _ { b } ) \langle \psi _ { a } | x | \psi _ { b } \rangle
J ^ { n c } ( \mathbf { P } ) \approx { \frac { 4 } { A } } ( \mathbf { P } - \mathcal { P } _ { * } ) { \mathcal { G } } ( \mathbf { P } ) { \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } [ { \mathcal { G } } ( \mathbf { P } ) ] } , \qquad { \mathcal { G } } ( \mathbf { P } ) = \left[ 1 + { \frac { 2 K \mathbf { P } } { A ^ { 2 } } } \right] ^ { - 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { { \mathfrak { e } _ { \mathbb { T } } ^ { \mathbb { T } ^ { \prime } } } _ { \vec { x } } ^ { - 1 } \colon F ^ { \mathbb { T } } ( \vec { x } ) } & { \rightarrow F ^ { \mathbb { T } ^ { \prime } } ( \vec { x } ) , } \\ { \left( \, \vec { { x } } , { \varphi } \, \right) _ { \mathbb { T } } } & { \mapsto \left( \, \vec { { x } } , { \varphi } \, \right) _ { \mathbb { T } ^ { \prime } } } \end{array}
Z [ J ] = \int { \mathcal { D } } \phi e ^ { i \int d ^ { 4 } x \left( { \frac { 1 } { 2 } } \partial ^ { \mu } \phi \partial _ { \mu } \phi - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \phi ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 ! } } \phi ^ { 4 } + J \phi \right) } = Z [ 0 ] \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } \langle \Omega | { \mathcal { T } } \{ { \phi } ( x _ { 1 } ) \cdots { \phi } ( x _ { n } ) \} | \Omega \rangle .
\begin{array} { r l } { \{ H _ { 1 } , \ldots , H _ { j + 1 } \} } & { = \{ A _ { 1 } , \ldots , A _ { p - 1 } , H _ { p } , A _ { p } , \ldots , A _ { j } \} , } \\ { \{ H _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , H _ { k + 1 } ^ { \prime } \} } & { = \{ A _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , A _ { q - 1 } ^ { \prime } , H _ { q } ^ { \prime } , A _ { q } ^ { \prime } , \ldots , A _ { k } ^ { \prime } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } u _ { \tau } \omega } & { = - \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } u _ { \tau } \tau \cdot ( \tau \cdot \nabla ^ { \perp } ) u - \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } u _ { \tau } n \cdot ( n \cdot \nabla ^ { \perp } ) u } \\ & { = - \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } u \cdot ( n \cdot \nabla ) u + \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } n \cdot ( u \cdot \nabla ) u , } \end{array}
n _ { e } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 . 1 \times 1 0 ^ { 4 } \times 1 0 ^ { 4 . 3 2 / r } } & { \mathrm { ( 1 . 0 2 ~ < ~ r ~ < ~ 1 . 5 ) } } \\ { 4 . 6 2 \times 1 0 ^ { 5 } r ^ { - 2 } + 4 . 7 4 \times 1 0 ^ { 7 } r ^ { - 3 . 3 } } \\ { + 3 . 1 9 \times 1 0 ^ { 7 } r ^ { - 5 . 8 } } & { \mathrm { ( 1 . 5 ~ \leq ~ r ~ < ~ 2 1 5 ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \mathrm { S } ( t ) \right] } & { { } = e ^ { - ( B + C ) t } \mathrm { S } ( 0 ) + \mathrm { S } ^ { \ast } \left( 1 - e ^ { - ( B + C ) t } \right) } \\ { \mathrm { V a r } \left( \mathrm { S } ( t ) \right) } & { { } = \frac { 1 } { \alpha } \left( 1 - e ^ { - 2 ( B + C ) t } \right) = \frac { A ^ { 2 } } { 2 ( B + C ) } \left( 1 - e ^ { - 2 ( B + C ) t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { B O } } } & { { } = } & { \frac { \omega } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { 6 } \frac { q _ { m } ^ { 2 } } { x _ { \mathrm { h o } } ^ { 2 } } + \sqrt { 2 } \kappa ( P _ { 1 } + P _ { 3 } + P _ { 5 } ) \frac { q _ { 1 } } { x _ { \mathrm { h o } } } } \end{array}
{ \left\langle { { \bf { R } } \left( { { \bf { \bar { v } } } } \right) , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle _ { { \bf { x } } , t } } = { \left\langle { { \bf { \bar { v } } } , { { \bf { R } } ^ { \dag } } \left( { { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right) } \right\rangle _ { { \bf { x } } , t } } + { \left. { { { \left\langle { { \bf { \bar { F } } } , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { t } } } \right| _ { \Gamma } } + \left. { { { \left\langle { { \bf { \bar { v } } } , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { \bf { x } } } } \right| _ { 0 } ^ { T } = { \left\langle { { \bf { \bar { v } } } , { { \bf { R } } ^ { \dag } } \left( { { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right) } \right\rangle _ { { \bf { x } } , t } } + B T ,
p _ { \mathrm { s c a t } } \simeq \gamma _ { \mathrm { 7 p } } t \frac { | \Omega _ { 4 5 9 } | ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { \mathrm { 7 p } } ^ { 2 } } = \frac { \pi \gamma _ { \mathrm { 7 p } } } { 4 | \Omega _ { \mu } | } \frac { | \Omega _ { 4 5 9 } | ^ { 2 } } { \Delta _ { \mathrm { 7 p } } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq \mathcal { E } _ { k + 1 } - \mathcal { E } _ { k } } \\ & { \quad + \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , z _ { k + 1 } - z _ { k } \right\rangle } \\ & { \quad + \frac { 1 + \mu A _ { k } } { p } \left\Vert z _ { k + 1 } - z _ { k } \right\Vert ^ { p } + M A _ { k + 1 } s ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left\Vert \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) \right\Vert ^ { \frac { p } { p - 1 } } . } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } D ( \bar { \rho } _ { B E F | T _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } ^ { n } , \omega _ { B } ^ { n } \otimes \bar { \rho } _ { E F | T _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } ^ { n } ) \leq \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ } } .
\frac { d } { d t } \frac { \delta \hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { w } } } { \delta \left( \partial _ { \tau } \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \right) } - \frac { \delta } { \delta \hat { \varsigma } ^ { \dagger } } ( \hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { w } } + \hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { d } } ) = - \frac { \delta \hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { d } } } { \delta \left( \rho _ { n } \partial _ { \tau } \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \right) }
\begin{array} { r l } { \deg _ { q } T _ { n } = \deg _ { q } T _ { n } ^ { \prime } } & { = 4 n , } \\ { * [ 1 m m ] \# \mathrm { ( ~ q ~ - m o n o m i a l s ~ w i t h ~ n o n - z e r o ~ c o e f f i c i e n t ~ i n ~ T _ n ~ ) } } & { = 2 ( n ^ { 2 } - n + 2 ) \quad ( n \geq 2 ) , } \\ { * [ 1 m m ] \# \mathrm { ( ~ q ~ - m o n o m i a l s ~ w i t h ~ n o n - z e r o ~ c o e f f i c i e n t ~ i n ~ T _ n ' ~ ) } } & { = 2 n ^ { 2 } + 1 . } \end{array}
\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \tan ^ { 2 } \alpha = 4 \left( a ^ { 2 } y ^ { 2 } + b ^ { 2 } x ^ { 2 } - a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \widehat { \sigma _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { 2 } } } & { { } : = \frac { 1 } { m _ { \Delta } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { \Delta } } \left( y _ { i } ^ { \prime \prime } - \hat { T } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } x _ { i } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } \quad V ( \delta ) = \bigg ( \frac { 1 8 . 2 5 2 } { { \delta _ { 1 } } } \bigg ) ^ { { \delta _ { 1 } } } \bigg ( \frac { 3 9 . 8 0 4 } { { \delta _ { 2 } } } \bigg ) ^ { { \delta _ { 2 } } } \bigg ( \frac { 2 3 . 2 5 2 } { { \delta _ { 3 } } } \bigg ) ^ { { \delta _ { 3 } } } \bigg ( \frac { \Phi _ { \tilde { \beta } _ { 1 1 } ^ { 1 } } ^ { - 1 } ( \gamma ) } { { \delta _ { 4 } } } \bigg ) ^ { { \delta _ { 4 } } } \big ( \delta _ { 4 } \big ) ^ { \delta _ { 4 } } } \\ & { \mathrm { s . t . } } \\ & { \qquad \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } + \delta _ { 3 } = 1 , \quad ( \mathrm { N o r m a l i t y ~ c o n d i t i o n } ) } \\ & { \qquad \delta _ { 1 } + \delta _ { 3 } - \delta _ { 4 } = 0 , } \\ & { \qquad \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } - \delta _ { 4 } = 0 , \quad ( \mathrm { O r t h o g o n a l i t y ~ c o n d i t i o n s } ) } \\ & { \qquad \delta _ { 2 } + \delta _ { 3 } - \delta _ { 4 } = 0 . } \end{array}
\beta \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \left( \frac { S ( t ) + I ( t ) } { \gamma _ { 1 } } + \alpha \frac { P ( t ) + Y ( t ) } { \gamma _ { 2 } } \right) = - \beta ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) = \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \log ( S ( t ) ) ,
\mathbb { M } = \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } } } & { - \alpha } & { - \beta } \\ { - \gamma } & { e ^ { \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } } } & { - \delta } \\ { - \varepsilon } & { - \zeta } & { e ^ { \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \ast } } } \end{array} \right) .
\frac { \Omega _ { \nu } } { \Omega _ { m } } = 0 . 0 3 \frac { m ( \nu ) } { 1 e V } \left( \frac { 0 . 6 } { h } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \Omega _ { m } } \simeq 0 . 0 9 \frac { m _ { 0 } } { 1 e V } \left( \frac { 0 . 6 } { h } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \Omega _ { m } }
\int d ^ { 4 } x _ { 1 } d ^ { 4 } x _ { 2 } \Theta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) \int \frac { d { \vec { k } _ { i } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { k } } \exp \left( \imath { \vec { k } _ { i } } ( { \vec { x } _ { 2 } } - { \vec { x } _ { 1 } } ) \right) \exp \left( - \imath E _ { k } ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) \right) a ( x _ { 1 } ) b ^ { * } ( x _ { 2 } ) ,
P _ { n m } \left( \left| \alpha _ { n } \right\rangle \otimes \left| \alpha _ { m } \right\rangle \right) = \left| \alpha _ { m } \right\rangle \otimes \left| \alpha _ { n } \right\rangle , \qquad \left| \alpha _ { n } \right\rangle \otimes \left| \alpha _ { m } \right\rangle \in { \cal H } _ { n } \otimes { \cal H } _ { m } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ Y _ { j } ^ { 4 } ] \le } & { \kappa \sum _ { m = 1 } ^ { p } \mathbb { E } \left[ \left| \sum _ { i = ( j - 1 ) b _ { N } + 1 } ^ { j b _ { N } } \, \breve { Y } _ { i , m } \frac { ( a _ { m } + a _ { m } ^ { \prime } w _ { i , N } ) } { \sqrt { b _ { N } } } \right| ^ { 4 } \right] } \\ { = } & { \kappa \sum _ { m = 1 } ^ { p } \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \left| \sum _ { i = ( j - 1 ) b _ { N } + 1 } ^ { j b _ { N } } \breve { Y } _ { i , m } \, \frac { ( a _ { m } + a _ { m } ^ { \prime } w _ { i , N } ) } { \sqrt { b _ { N } } } \right| ^ { 4 } \bigg | w _ { 1 , N } , \ldots , w _ { N , N } \right] \right] } \\ { \le } & { \kappa \sum _ { m = 1 } ^ { p } \mathbb { E } \left[ \left( \sum _ { i = ( j - 1 ) b _ { N } + 1 } ^ { j b _ { N } } \left( \frac { ( a _ { m } + a _ { m } ^ { \prime } w _ { i , N } ) } { \sqrt { b _ { N } } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 4 } \right] \le \kappa . } \end{array}
\tilde { G } _ { ( 1 ) } ^ { R / A } = \frac { 1 } { 2 i } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R / A } \Big [ \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R / A } , \partial _ { T } h \Big ] \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R / A } ,
= i \int \frac { d ^ { 4 } x _ { 1 } d ^ { 4 } p ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } e ^ { - i p _ { \mu } ^ { \prime } x _ { 2 } ^ { \mu } } \frac { p _ { \nu } ^ { \prime } \gamma ^ { \nu } + m } { p _ { \tau } ^ { \prime } p ^ { \tau \, \prime } - m + i \epsilon } e ^ { i p _ { \eta } ^ { \prime } x _ { 1 } ^ { \eta } } N _ { \sigma } \gamma ^ { \sigma } \psi ( 1 )