harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { | A | { t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } } } { \delta n } = \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } \right) \cdot O _ { \gamma } ( n ^ { 2 \kappa - 1 / 2 } { t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } } ) = \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } \right) \cdot o _ { \gamma } ( n ^ { 3 \kappa - 1 / 2 } { t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } } )
\hat { \phi } _ { n , m } ^ { \pm } ( x ^ { 0 } , x ^ { 1 } ) = \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } e ^ { ( 2 \pi i e h _ { 1 } \mp i \mu L ) j } \phi _ { n + j k ^ { \prime } , m } ^ { \pm } ( x ^ { 0 } , x ^ { 1 } )
\hat { \rho } ^ { ( n ) } ( \omega ^ { ( n ) } ) = \frac { 1 } { \omega ^ { ( n ) } - \hat { \epsilon } } \circ \left[ \hat { V } ( \omega _ { n } ) \, , \, \hat { \rho } ^ { ( n - 1 ) } ( \omega ^ { ( n - 1 ) } ) \right] \mathrm { ~ , ~ }
- \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { A } } \left( R _ { A } ^ { G } ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { u } \right) \mathbf { y } ^ { H } d z + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { A } } \left( R _ { A } ^ { G } ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { x } \right) \mathbf { v } ^ { H } d z .
\begin{array} { r l } { v _ { 2 } } & { \leq \frac { g _ { 2 } s ^ { 2 } } { 1 - g _ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 1 - g _ { 2 } } - \frac { 1 } { 1 - g _ { 1 } } \right) ( 1 - c ) ^ { 2 } s ( 1 - s ) } \\ & { \leq \frac { g _ { 2 } s ^ { 2 } } { 1 - g _ { 2 } } + \frac { g _ { 2 } } { 2 ( 1 - g _ { 1 } ) ( 1 - g _ { 2 } ) } ( 1 - c ) ^ { 2 } s ( 1 - s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { x x } = \frac { M _ { x x } ^ { B } - m ^ { + } } { 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { + } } \bigg ) \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \pm } } \bigg ) } , } & { } & { \alpha _ { y y } = \frac { M _ { y y } ^ { B } - m ^ { - } } { 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { - } } \bigg ) \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \mp } } \bigg ) } . } \end{array}
\aligned \| ( \textbf { u } ^ { k } \cdot \nabla ) \textbf { u } ^ { k } \| ^ { 2 } \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \| \textbf { u } ^ { k } \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } \| \nabla \textbf { u } ^ { k } \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } \leq C \| \textbf { u } ^ { k } \| _ { L ^ { 2 } } \| \nabla \textbf { u } ^ { k } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \| \nabla \textbf { u } ^ { k } \| _ { H ^ { 1 } } , \ \ d = 2 , } \\ { \| \textbf { u } ^ { k } \| _ { L ^ { 6 } } ^ { 2 } \| \nabla \textbf { u } ^ { k } \| _ { L ^ { 3 } } ^ { 2 } \leq C \| \nabla \textbf { u } ^ { k } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } \| \nabla \textbf { u } ^ { k } \| _ { H ^ { 1 } } , \ \ d = 3 . } \end{array} \right. \endaligned
S = \frac 1 2 ( ^ { + } \tau - ^ { - } \tau ) \int _ { M } \varepsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \, { \cal R } _ { \mu \nu } ^ { a b } \, { \cal R } _ { \alpha \beta } ^ { c d } \epsilon _ { a b c d } - \frac i 2 ( ^ { + } \tau + ^ { - } \tau ) \int _ { M } \varepsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \, { \cal R } _ { \mu \nu } ^ { a b } \, { ^ { * } { \cal R } } _ { \alpha \beta } ^ { c d } \, \epsilon _ { a b c d } ,
E _ { R } ^ { ( T , S ) } ( t ) = \frac { 1 } { \tau _ { R , d } ^ { ( T , S ) } - \tau _ { R , r } ^ { ( T , S ) } } \left( e ^ { - t / \tau _ { R , d } ^ { ( T , S ) } } - e ^ { - t / \tau _ { R , r } ^ { ( T , S ) } } \right) \cdot \Theta ( t ) .
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { \theta _ { \mathrm { ~ S ~ o ~ l ~ v ~ e ~ } } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \mathcal { F } _ { \theta _ { \mathrm { ~ S ~ o ~ l ~ v ~ e ~ } , i } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( L _ { i + 1 } , \tau _ { i + 1 } | L _ { i } , \tau _ { i } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi D \Delta \tau } } e ^ { - \frac { \left( L _ { i + 1 } - L _ { i } - f ^ { \mathrm { T S A } } ( L _ { i } ) \Delta \tau \right) ^ { 2 } } { 2 D \Delta \tau } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { D T } } & { { } \approx } & { \frac { 2 } { 3 } \, \frac { E _ { \alpha } + E _ { D } + E _ { p } } { \nu _ { \alpha } \, m _ { \alpha } \, N _ { \alpha } \, \Delta u _ { \alpha } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \cosh \left( \frac { B - x _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } \right) } & { - } & { \cosh \left( \frac { A - x _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } \right) ~ ~ = ~ \frac { K - H } { \lambda } , } \\ { \sinh \left( \frac { B - x _ { \mathrm { x m i n } } } { \lambda } \right) } & { - } & { \sinh \left( \frac { A - x _ { \mathrm { x m i n } } } { \lambda } \right) ~ = ~ \frac { L } { \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { w _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) - w _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) = \chi \left[ 1 - 2 \phi _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) \right] - v \frac { \partial \epsilon } { \partial \phi _ { \mathrm { p } } } \frac { | \nabla \psi | ^ { 2 } } { 2 } - \alpha \psi ( \mathbf { r } ) } \\ & { \phi _ { \mathrm { p } j } ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { Q _ { \mathrm { p } j } } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s q _ { j } ( \mathbf { r } , s ) q _ { j } ( \mathbf { r } , N - s ) } \\ & { 1 - \phi _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) = \exp \left[ \mu _ { \mathrm { s } } - w _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) \right] } \\ & { - \nabla \cdot \left[ \epsilon ( \mathbf { r } ) \nabla \psi ( \mathbf { r } ) \right] = z _ { + } c _ { + } ( \mathbf { r } ) - z _ { - } c _ { - } ( \mathbf { r } ) - \frac { \alpha } { v } \phi _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) } \\ & { { \int \mathrm { d } \mathbf { r } \phi _ { \mathrm { p } j } ( \mathbf { r } ) \cdot ( \mathbf { r } - \boldsymbol { \xi } _ { j } ) } = \mathbf { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma q ^ { n _ { i } - n _ { j } } \varepsilon ^ { - 1 / 2 } Q ^ { n _ { j } - n _ { i } } ( z _ { i } , z _ { j } ) } & { = \frac { \sigma } { \theta } \varepsilon ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { z _ { i } - z _ { j } + 1 } ( 1 + p w / q ) ^ { n _ { j } - n _ { i } } } { w ^ { z _ { i } - z _ { j } - n _ { j } + n _ { i } + 1 } ( 1 - w ) ^ { n _ { j } - n _ { i } } } } \\ & { = \frac { \sigma } { \theta } \varepsilon ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, e ^ { F _ { \varepsilon } ( w ) } = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } v \, e ^ { F _ { \varepsilon } ( \theta ( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \frac { { \partial } ^ { 9 } \varphi \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 9 } } } } = { - } { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 9 } } { \Bigl ( } \mathrm { 3 6 2 8 8 0 } \lambda { \frac { \partial \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial \lambda } } + \mathrm { 1 4 5 1 5 2 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + \mathrm { 1 6 9 3 4 4 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } + \mathrm { 8 4 6 7 2 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } { \frac { { \partial } ^ { 4 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } } } + \mathrm { 2 1 1 6 8 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } { \frac { { \partial } ^ { 5 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } } } + \mathrm { 2 8 2 2 4 } { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } { \frac { { \partial } ^ { 6 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } } } + } \\ { + \mathrm { 2 0 1 6 } { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } { \frac { { \partial } ^ { 7 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } } } + \mathrm { 7 2 } { \lambda } ^ { \mathrm { 8 } } { \frac { { \partial } ^ { 8 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 8 } } } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 9 } } { \frac { \partial ^ { \mathrm { 9 } } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 9 } } } } { \Bigr ) } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \bar { \varepsilon } ( \omega ) = \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon ^ { \bot } ( \omega ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \varepsilon ^ { \bot } ( \omega ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \varepsilon ^ { \parallel } ( \omega ) } \end{array} \right) } \end{array}
\left( \frac { \mathrm { C F } } { \mathrm { C A } } \right) _ { D ^ { + } } \cdot \; \left( \frac { \mathrm { D C F } } { \mathrm { C F } } \right) _ { D _ { s } ^ { + } } \; = \; \left( \frac { \mathrm { C F } } { \mathrm { C A } } \right) _ { D _ { s } ^ { + } } \cdot \; \left( \frac { \mathrm { D C F } } { \mathrm { C F } } \right) _ { D ^ { + } } \; = \; \tan ^ { 4 } \theta _ { C } \; ,
\begin{array} { r l r l } { [ { P } _ { i } ^ { 0 } ] _ { n n ^ { \prime } } } & { = \langle n , i | \hat { P } _ { i } ^ { 0 } | n ^ { \prime } , i \rangle \qquad ( n , n ^ { \prime } \in \dag { 0 , . . , 2 ^ { B { \nu } _ { i } } - 1 \dag } ) \dag [ F _ { i \alpha } ] _ { \Gamma \Gamma ^ { \prime } } } & { = \langle \Gamma , i | c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } | \Gamma ^ { \prime } , i \rangle \qquad ( \Gamma , \Gamma ^ { \prime } \in \dag { 0 , . . , 2 ^ { { \nu } _ { i } } - 1 \dag } ) \dag [ \tilde { F } _ { i a } ] _ { n n ^ { \prime } } } & { = \langle n , i | f _ { i a } ^ { \phantom { \dagger } } | n ^ { \prime } , i \rangle \qquad ( n , n ^ { \prime } \in \dag { 0 , . . , 2 ^ { B { \nu } _ { i } } - 1 \dag } ) \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big \langle \frac { \sigma ^ { ( k ) } \big ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } + \frac { p _ { + } } { \rho } \big ) } { p _ { + } + p _ { * k } } \Big \rangle } \\ { = \frac { 1 } { \rho } \Big \langle \frac { \sigma ^ { ( k ) } ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) - p _ { * k } + p + p _ { * k } ) } { p _ { + } + p _ { * k } } \Big \rangle } \\ { = \frac { 1 } { \rho } ( 1 + \langle \sigma ^ { ( k ) } \rangle ) = \frac { \gamma } { \rho } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb S ^ { 2 } } m ( \Omega ) \left[ I ( 0 , x , \Omega ) - I _ { 0 } ( x , \Omega ) \right] \, \mathrm { d } \Omega } & { { } = 0 , \quad \forall x \in \mathbb { R } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { x x } ^ { \mathrm { n u m } } = \frac { 2 } { 3 } \eta ^ { \mathrm { n u m } } \left( 2 \frac { \partial U _ { x } } { \partial x } - \frac { \partial U _ { y } } { \partial y } - \frac { \partial U _ { z } } { \partial z } \right) , } \\ { \tau _ { y y } ^ { \mathrm { n u m } } = \frac { 2 } { 3 } \eta ^ { \mathrm { n u m } } \left( 2 \frac { \partial U _ { y } } { \partial y } - \frac { \partial U _ { x } } { \partial x } - \frac { \partial U _ { z } } { \partial z } \right) , } \\ { \tau _ { z z } ^ { \mathrm { n u m } } = \frac { 2 } { 3 } \eta ^ { \mathrm { n u m } } \left( 2 \frac { \partial U _ { z } } { \partial z } - \frac { \partial U _ { x } } { \partial x } - \frac { \partial U _ { y } } { \partial y } \right) , } \\ { \tau _ { x y } ^ { \mathrm { n u m } } = \eta ^ { \mathrm { n u m } } \left( \frac { \partial U _ { x } } { \partial y } + \frac { \partial U _ { y } } { \partial x } \right) = \tau _ { y x } ^ { \mathrm { n u m } } , } \\ { \tau _ { x z } ^ { \mathrm { n u m } } = \eta ^ { \mathrm { n u m } } \left( \frac { \partial U _ { z } } { \partial x } + \frac { \partial U _ { x } } { \partial z } \right) = \tau _ { z x } ^ { \mathrm { n u m } } , } \\ { \tau _ { y z } ^ { \mathrm { n u m } } = \eta ^ { \mathrm { n u m } } \left( \frac { \partial U _ { y } } { \partial z } + \frac { \partial U _ { z } } { \partial y } \right) = \tau _ { z y } ^ { \mathrm { n u m } } . } \end{array}
\Big ( \frac { \log x } { \log R } \Big ) ^ { 2 } \cdot \frac { e ^ { 2 c \sqrt { \log \log x - \log \log R } } } { V \log R } \cdot \int _ { \frac { V } { \log x } \le | t | \le \frac { 1 } { \log R } } \frac { 1 } { | t | } d t \ll \Big ( \frac { \log x } { \log R } \Big ) ^ { 2 } \cdot \frac { \log \log x } { V \cdot e ^ { 2 c \sqrt { \log \log x } } } ,
\begin{array} { r l r } & { \boldsymbol { \mathcal { E } } _ { R } = \boldsymbol { \mathcal { E } } _ { R + } + \boldsymbol { \mathcal { E } } _ { R - } = \mathcal { E } _ { R + } \, \hat { \boldsymbol { \sigma } } ^ { + } + \mathcal { E } _ { R - } \, \hat { \boldsymbol { \sigma } } ^ { - } ; } & \\ & { \mathcal { E } _ { R \pm } = \left( G _ { R } / \sqrt { 2 } w _ { R } \right) ( A _ { 1 } x \mp i A _ { 2 } y ) = \mathcal { E } _ { R 0 } \, e ^ { i \Phi _ { \pm } } ; } & \\ & { \mathcal { E } _ { R 0 } = \left( G _ { R } / \sqrt { 2 } w _ { R } \right) \left( A _ { 1 } ^ { 2 } x ^ { 2 } + A _ { 2 } ^ { 2 } y ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ; } & \\ & { \Phi _ { \pm } = \mp \tan ^ { - 1 } [ ( A _ { 2 } / A _ { 1 } ) \tan \phi ] ; } & \end{array}
{ \tilde { D } } = 1 + q \left[ { \cal G } ( x - x _ { 0 } , x ^ { 1 1 } - x _ { 0 } ^ { 1 1 } ) + { \cal G } ( x - x _ { 0 } , x ^ { 1 1 } + x _ { 0 } ^ { 1 1 } ) \right] \ .
F _ { 2 } ( m | n _ { 1 } ) = \frac { \ln \left( m + \sqrt { m ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 2 } } \right) - \ln | n _ { 1 } | } { \ln \left( 1 + \sqrt { 1 - n _ { 1 } ^ { 2 } } \right) - \ln | n _ { 1 } | } , \quad | n _ { 1 } | \leq m \leq 1 .
\begin{array} { r l r } { p _ { \textrm { v i s } } } & { = } & { - \zeta \Big [ \nabla _ { a } u ^ { a } + \beta _ { 0 } \dot { p } _ { \textrm { v i s } } - \alpha _ { 0 } \nabla _ { a } q ^ { a } - \gamma _ { 0 } T q ^ { a } \nabla _ { a } \left( \frac { \alpha _ { 0 } } { T } \right) } \\ & { + } & { \frac { p _ { \textrm { v i s } } ~ T } { 2 } \nabla _ { a } \left( \frac { \beta _ { 0 } u ^ { a } } { T } \right) \Big ] ~ ; } \\ { q ^ { b } } & { = } & { - \kappa T h ^ { a b } \Big [ \frac { \nabla _ { a } T } { T } + \dot { u _ { a } } + \beta _ { 1 } \dot { q } _ { a } - \alpha _ { 0 } \nabla _ { a } p _ { \textrm { v i s } } - \alpha _ { 1 } \nabla _ { c } \pi _ { a } ^ { c } } \\ & { + } & { \frac { T } { 2 } q _ { a } \nabla _ { c } \left( \frac { \beta _ { 1 } u ^ { c } } { T } \right) - ( 1 - \gamma _ { 0 } ) p _ { \textrm { v i s } } T \nabla _ { a } \left( \frac { \alpha _ { 0 } } { T } \right) } \\ & { - } & { ( 1 - \gamma _ { 1 } ) T \pi _ { a } ^ { c } \nabla _ { c } \left( \frac { \alpha _ { 1 } } { T } \right) + \gamma _ { 2 } \nabla _ { [ b } u _ { c ] } q ^ { c } \Big ] ~ ; } \\ { \pi _ { a b } } & { = } & { - 2 \eta \Big [ \beta _ { 2 } \dot { \pi } _ { a b } + \frac { T } { 2 } \pi _ { a b } \nabla _ { i } \left( \frac { \beta _ { 2 } u ^ { i } } { T } \right) } \\ & { + } & { \Big < \nabla _ { a } u _ { b } - \alpha _ { 1 } \nabla _ { a } q _ { b } - \gamma _ { 1 } T q _ { a } \nabla _ { b } \left( \frac { \alpha _ { 1 } } { T } \right) } \\ & { + } & { \gamma _ { 3 } \nabla _ { [ a } u _ { i ] } \pi _ { b } ^ { i } \Big > \Big ] ~ ; } \\ { \nu ^ { a } } & { = } & { - \sigma T ^ { 2 } h ^ { a b } \nabla _ { b } \left( \frac { \mu } { T } \right) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { s } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , t = \tau + z / c ) \quad } & { \to \quad \Omega _ { s } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , \tau ) , } \\ { f _ { s } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , t = \tau + z / c ) \quad } & { \to \quad f _ { s } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , \tau ) , } \\ { \rho _ { p q } ( \textbf { r } , t = \tau + z / c ) \quad } & { \to \quad \rho _ { p q } ( \textbf { r } , \tau ) } \end{array}
\partial \phi _ { 0 } \gamma _ { 2 1 } \phi _ { 0 } ^ { - 1 } = \mathrm { e } ^ { \gamma _ { 5 } \beta } ( \lambda _ { 0 } + \gamma _ { 5 } \kappa _ { 0 } ) v = ( \Lambda _ { 0 } + \gamma _ { 5 } K _ { 0 } ) v ,
\Omega _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ^ { \mathrm { i n } } = \overline { { \overline { { B } } } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } \sqrt { \frac { 2 \gamma \omega _ { H } } { \omega ^ { 2 } \rho M _ { s } d ( d + s ) } } \Big ( 1 - \cos { \frac { n \pi d } { d + s } } \Big ) ,
d s _ { ( 4 ) } ^ { 2 } = \frac { 1 6 } { \lambda } \frac { \dot { f } \dot { g } } { ( f + g ) ^ { 2 } } d t ^ { 2 } + \frac { 1 } { ( f + g ) ^ { 2 } } ( d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } + d z ^ { 2 } )
\psi ^ { h } ( - 1 , \eta ; k _ { 2 } ) = \sum _ { i , j = 1 } ^ { m + 1 } { \psi _ { i j k _ { 2 } } l _ { i } ( - 1 ) l _ { j } ( \eta ) } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { m + 1 } { \psi _ { 1 j k _ { 2 } } l _ { j } ( \eta ) } \mathrm { ~ . ~ }
\operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { N } { \binom { N } { k } } \int _ { [ 0 , 1 ] } \varphi _ { k , \tau _ { i } } ( \alpha ) \; \mathrm { d } \breve { \mathfrak { m } } _ { k , N } ^ { + , i } \leq \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { N } { \binom { N } { k } } \int _ { [ 0 , 1 ] } \varphi _ { k , \tau _ { i } } ( \alpha ) \; \mathrm { d } \tilde { \mathfrak { m } } _ { k , N } ^ { + , i } .
\begin{array} { r l } { 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { a _ { 2 n } } { x ^ { 2 n } } } & { = ( \widetilde F ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( x ) \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \widetilde F ^ { - 1 } ( x ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 2 \right) \right] } \\ & { = \left( 1 - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( 2 n - 1 ) \kappa _ { 2 n } } { x ^ { 2 n } } \right) \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } \left( 1 + \sum _ { n \ge 2 } \frac { \kappa _ { 2 n } } { x ^ { 2 n - 2 } } \right) ^ { 2 } - \sum _ { n \ge 2 } \frac { \kappa _ { 2 n } } { x ^ { 2 n - 2 } } \right] } \\ & { = 1 - \frac { 5 } { 2 x ^ { 2 } } - \frac { 4 3 } { 8 x ^ { 4 } } - \frac { 5 7 9 } { 1 6 x ^ { 6 } } - \cdots . } \end{array}
S _ { F } [ \psi , a _ { \mu } , b _ { \mu } ] = \int d ^ { 2 } x ( - \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi + i \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \mu } \psi a _ { \mu } + i \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 3 } \psi b _ { \mu } ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 + | \nu | } { ( 1 + u ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( | \frac { 1 } { 2 } u + \nu | + \zeta ) } \, d u } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 + \nu } { ( 1 + u ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( \frac { 1 } { 2 } u + \nu + \zeta ) } \, d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 1 + u ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( \frac { 1 } { 2 } u + \nu + \zeta ) } \, d u + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \nu } { ( 1 + u ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( \frac { 1 } { 2 } u + \nu + \zeta ) } \, d u } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 1 + u ) ( \frac { 1 } { 2 } u + \zeta ) } \, d u + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 1 + u ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, d u } \\ & { \leq C | \log ( \zeta ) | + C } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { N ( T , 1 ) } { D \log ( 1 / ( T - 1 / 2 ) ) ) \log \log ( 1 / ( T - 1 / 2 ) ) ) } } \\ & { \leq \frac { D \log ( 1 / ( T _ { n } - 1 / 2 ) ) ) \log \log ( 1 / ( T _ { n } - 1 / 2 ) ) ) } { D \log ( 1 / ( T _ { n - 1 } - 1 / 2 ) ) ) \log \log ( 1 / ( T _ { n - 1 } - 1 / 2 ) ) ) } } \\ & { \leq 4 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { k } } & { = } & { \frac { c \vec { p } _ { k } } { \sqrt { m _ { k } ^ { 2 } c ^ { 2 } + \vec { p } _ { k } ^ { \, 2 } } } \, , } \\ { u _ { k l } } & { = } & { \frac { c \sqrt { \left( p _ { k } \cdot p _ { l } \right) ^ { 2 } - m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } c ^ { 4 } } } { p _ { k } ^ { 0 i } p _ { l } ^ { 0 j } } \, , } \\ { \vec { p } _ { k l } ^ { \, s } } & { = } & { \gamma _ { k l } \, \vec { \beta } _ { k l } \, p _ { k } ^ { 0 } - \frac { 1 } { \beta _ { k l } ^ { 2 } } \, ( \gamma _ { k l } - 1 ) \, \left( \vec { p } _ { k } \cdot \vec { \beta } _ { k l } \right) \, \vec { \beta } _ { k l } \, , } \\ { \vec { \beta } _ { k l } } & { = } & { \frac { \vec { p } _ { k } + \vec { p } _ { l } } { p _ { k } ^ { 0 } + p _ { l } ^ { 0 } } \, , } \\ { \gamma _ { k l } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \beta _ { k l } ^ { 2 } } } \, , } \end{array}
{ \bf S } = { \bf E } \times { \bf B } , \, \ \ \, \ \ \, { \cal { E } } = \frac { 1 } { 2 } \, ( { \bf E } ^ { 2 } + { \bf B } ^ { 2 } ) + \frac { 3 \gamma } { 2 } \, ( { \bf E } \cdot { \bf B } ) ^ { 2 } \, ,
\mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } M _ { s } \right] \leq 4 \sqrt { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\langle M \right\rangle _ { t } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] = 8 \sqrt { \beta ^ { - 1 } } p \mathbb { E } \left[ \left( \int _ { 0 } ^ { t } | \bar { X } _ { s } | ^ { 2 p - 2 } d s \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] .
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \tau ^ { \prime \prime } \triangle ^ { - 1 } ( \tau - \tau ^ { \prime \prime } ) \triangle ( \tau ^ { \prime \prime } - \tau ^ { \prime } ) = \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { 2 \pi } , \ \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { n } e ^ { i n ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } \ .
\frac { 4 \pi ^ { 2 } } { N } V ^ { ( 2 ) } ( \sigma _ { \mathrm { s p o n t } } ) = \frac { 1 6 \Lambda ^ { 2 } } { \left[ 1 + 2 \delta _ { 0 } - \ln \left( \frac { M _ { d } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) \right] \left[ 2 + 2 \delta _ { 0 } - \ln \left( \frac { M _ { d } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) \right] }
f _ { u } ( \cos \theta ) \equiv \frac { d \sigma } { d \Omega } | _ { R ^ { 0 } } = \frac { 1 + u ^ { 2 } \cos 2 \theta } { ( 1 - u ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { 1 / 2 } } ( \simeq \frac { 1 + ( 2 . 5 \pm 0 . 6 ) \cos 2 \theta } { ( 1 - ( 2 . 5 \pm 0 . 6 ) \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { 1 / 2 } } )
{ \nabla } _ { \boldsymbol { \theta } } \bar { R } [ \pi _ { \boldsymbol { \theta } } ] \approx \hat { \mathcal { Q } } _ { \boldsymbol { \eta } } ( \sigma , \alpha ) \, \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \log \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \alpha \vert \sigma )
\begin{array} { r l r } { \dot { V } } & { = } & { - \hat { w } ^ { 2 } ( 0 ) - c \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { e } ^ { c x } \hat { w } ^ { 2 } ( x , t ) d x } \\ & { } & { + \hat { w } ( 0 ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \delta ( x ) \mathrm { e } ^ { c x } \hat { w } ( x ) d x } \\ & { \leq } & { - { \frac { 1 } { 2 } } w ^ { 2 } ( 0 ) - c \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { e } ^ { c x } \hat { w } ^ { 2 } ( x , t ) d x } \\ & { } & { + \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \delta ( x ) \mathrm { e } ^ { c x } \hat { w } ( x ) d x \right) ^ { 2 } } \end{array}
T ^ { i } = T _ { s a t } [ 1 + { \Delta p } / ( { { \cal L } \rho _ { l } } ) + { J ^ { 2 } } ( \rho _ { v } ^ { - 2 } - \rho _ { l } ^ { - 2 } ) / ( { 2 { \cal L } } ) ] + R ^ { i } J { \cal L } ,
\mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } }
P ^ { \mathrm { f w } } ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } = 0 ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi D t } } \left( e ^ { - \frac { ( \widehat { L } + \gamma t - \widehat { L } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 D t } } - e ^ { - \frac { ( \widehat { L } + \gamma t + \widehat { L } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 D t } + \frac { 2 \gamma \widehat { L } _ { 0 } } { D } } \right) \ ,
\varepsilon ^ { 2 } Q ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } \Psi _ { \varepsilon } ^ { \prime } ) \Psi _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } - F ^ { \prime } ( \Psi _ { \varepsilon } ) = 0 , \qquad \operatorname* { l i m } _ { x \to \pm \infty } \Psi _ { \varepsilon } ( x ) = \mp 1 , \qquad \Psi _ { \varepsilon } ( 0 ) = 0 , \qquad \Psi _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( x ) \leq 0 ,
\overline { { \mathrm { K L } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \mathrm { K L } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) } { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { \log | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) | } } - \overline { { \log | { \bf C } | } } + \log \overline { { \mathrm { T r } [ \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } } \right)