harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- \frac { d - 1 } { d - 2 } \, ( \xi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 ( d - 1 ) \, \frac { \xi ^ { \prime } } { r } + \frac { ( d - 2 ) ( p + 1 ) } { 4 } \left( Y ^ { \prime } \right) ^ { 2 } = F ^ { 2 } \, T ( x ) \, \delta ^ { ( 5 - p ) } ( \vec { x } ) ~ ~ .
\partial _ { \tilde { t } } \tilde { \phi } = \nu \partial _ { \tilde { x } } ^ { 2 } \tilde { \phi } + \frac { \lambda } { 2 } ( \partial _ { \tilde { x } } \tilde { \phi } ) ^ { 2 } + \sqrt { \mathcal { D } } { \xi _ { 1 } } .
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf U } \approx \Theta \dot { \mathbf U } _ { t + \Delta t } + ( 1 - \Theta ) \dot { \mathbf U } _ { t } = \frac { { \mathbf U } _ { t + \Delta t } - \mathbf U _ { t } } { \Delta t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha , \beta , \alpha + 1 , \beta + 1 ) } } & { ( n - 1 , m ) = \frac { ( n + \alpha + \beta + 2 ) ( m + \alpha + \beta + 1 ) } { 2 ( ( n - m ) ( n + m + \alpha + \beta + 1 ) - ( \alpha + \beta + 2 ) ) } } \\ & { \Bigg ( \frac { t } { m + \alpha + \beta + 1 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 2 , \beta + 2 , \alpha , \beta , \alpha + 2 , \beta + 2 ) } { ( n - 2 , m ) } } \\ & { - \frac { t } { n + \alpha + \beta + 2 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 2 , \beta + 2 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } } \\ & { + \frac { 1 } { { n } + \alpha + \beta + 2 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 2 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } } \\ & { { - } \frac { 1 } { n + \alpha + \beta + 2 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 2 , \beta + 1 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( t u ) } & { = \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \mathcal { H } \left( x , y , \frac { | t u ( x ) - t u ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) \frac { d x \ d y } { | x - y | ^ { N } } + \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } V ( x ) \mathcal { H } _ { x } ( x , | t u | ) d x } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { K } \int _ { K } \frac { K ( x ) K ( y ) F ( t u ( x ) ) F ( t u ( y ) ) } { | x - y | ^ { \lambda } } d x d y } \\ & { \leq t ^ { h _ { 2 } } \left( \operatorname* { m a x } \left\lbrace [ u ] _ { s , \mathcal { H } } ^ { h _ { 1 } } , [ u ] _ { s , \mathcal { H } } ^ { h _ { 2 } } \right\rbrace + \operatorname* { m a x } \left\lbrace \| u \| _ { V , \mathcal { H } } ^ { h _ { 1 } } , \| u \| _ { V , \mathcal { H } } ^ { h _ { 2 } } \right\rbrace \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { K } \int _ { K } \frac { K ( x ) K ( y ) ( m _ { 1 } t ^ { \sigma } ( u ( x ) ) ^ { \sigma } - m _ { 2 } ) ( m _ { 1 } t ^ { \sigma } ( u ( y ) ) ^ { \sigma } - m _ { 2 } ) } { | x - y | ^ { \lambda } } d x d y } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = } & { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) \otimes \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) } \\ & { } & { - \ensuremath { \mathbf { X } } \; \left( \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) \otimes \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \right) . } \end{array}
C _ { I } ( i , j ) = \frac { { F T } ^ { - 1 } [ { | F T [ I ( i , j ) ] | } ^ { 2 } ] - { \langle I ( i , j ) \rangle } ^ { 2 } } { \langle I ( i , j ) ^ { 2 } \rangle - { \langle I ( i , j ) \rangle } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { S } & { = - \int \frac { f _ { s } } { 2 } \, \xi \wedge { \star \xi } - \star { \cal L } _ { \mathrm { p o l } } + \xi \wedge \tilde { A } } \\ & { \qquad \qquad - \frac { 1 } { c _ { \phi } } \mathrm { d } \tilde { \phi } \wedge \left( \xi - c _ { \phi } A \right) - \frac { ( - ) ^ { p } } { c _ { \phi } } \tilde { \psi } \wedge { \mathrm { d } V } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { 0 \, , } \\ { B _ { \alpha } } & { = } & { \left( 1 - \frac { \Delta t } { 2 \tau } \right) F _ { \alpha } \, , } \\ { C _ { \alpha \beta } } & { = } & { \left( 1 - \frac { \Delta t } { 2 \tau } \right) \left\{ \mathrm { v } _ { \alpha } ^ { * } F _ { \beta } + F _ { \alpha } \mathrm { v } _ { \beta } ^ { * } + ( 1 - T ) \right. } \\ & { \times } & { \left. [ \mathrm { v } _ { \alpha } ^ { * } \partial _ { \beta } \rho + \mathrm { v } _ { \beta } ^ { * } \partial _ { \alpha } \rho + \partial _ { \gamma } ( \rho \mathrm { v } _ { \gamma } ^ { * } \delta _ { \alpha \beta } ) ] \right\} \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( L _ { \downarrow } ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } \omega ^ { ( + ) } } & { { } = ( D ^ { k } B ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } D ^ { k } \omega = ( B ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } ( D ^ { k } ) ^ { \dagger } D ^ { k } \omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { ~ C ~ } } ( t ) - V _ { \mathrm { ~ L ~ } } } & { { } = ( V _ { \mathrm { ~ S ~ } } - 2 V _ { \mathrm { ~ L ~ } } ) \exp \left[ - t / R C \right] . } \\ { I ( t ) } & { { } = - \frac { V _ { \mathrm { ~ S ~ } } - 2 V _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { R } \exp \left[ - t / R C \right] . } \end{array}
\left( \hat { f } ^ { * } \hat { \bf \omega } ^ { n } \right) \left. \left( \hat { \bf A } _ { 1 } , \ldots , \hat { \bf A } _ { n } \right) \right| _ { \Phi _ { p } } = \hat { f } _ { * } \hat { \bf \omega } ^ { n } \left. \left( \hat { f } _ { * } \hat { \bf A } _ { 1 } , \ldots , \hat { f } _ { * } \hat { \bf A } _ { n } \right) \right| _ { f \left( \Phi _ { p } \right) } .
\alpha ^ { 2 } = \frac { [ \cos \beta - \sin ^ { 2 } \theta \cos \varphi \cos ( \varphi - \beta ) ] ^ { 2 } } { ( 1 - \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \varphi ) ( 1 - \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } ( \varphi - \beta ) ) }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 0 } } & { = f ( a ) - \lambda _ { 1 } a - \lambda _ { 2 } ( \mu - a ) , \ \lambda _ { 1 } = \frac 1 2 \left( \frac { f ( b ) - f ( \mu ) } { b - \mu } + \frac { f ( \mu ) - f ( a ) } { \mu - a } \right) , } \\ { \lambda _ { 2 } } & { = \frac 1 2 \left( \frac { f ( b ) - f ( \mu ) } { b - \mu } - \frac { f ( \mu ) - f ( a ) } { \mu - a } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { 1 } \times \pi _ { 2 } \colon \mathcal { N } } & { \longrightarrow \mathcal { M } \times \mathcal { M } , } \\ { \pi _ { 1 } \times \pi _ { 2 } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } \colon \mathcal { N } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } } & { \longrightarrow \mathcal { M } \times \mathcal { M } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } . } \end{array}
f _ { k , k ^ { \prime } } ^ { \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } } ( t ) = \frac { 1 - \exp ( - \frac { i } { \hbar } t ( E _ { \sigma _ { 1 } } ( k ) - E _ { \sigma _ { 2 } } ( k ^ { \prime } ) ) } { \frac { i } { \hbar } ( E _ { \sigma _ { 1 } } ( k ) - E _ { \sigma _ { 2 } } ( k ^ { \prime } ) ) } .
\begin{array} { r } { L ( \omega \hat { \mathrm { n } } \cdot S , - i \hat { \mathrm { n } } \cdot S ) = - i \cos \left( \frac { \omega } { 2 } \right) \hat { \mathrm { n } } \cdot S - \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \frac { \omega } { 2 } \right) \mathbb { 1 } . } \end{array}
{ { \chi } _ { B E } } = S \left( { { \rho } _ { { E _ { 0 } } E } } \right) - \int { d { { m } _ { B _ { 1 } } } p \left( { { m } _ { B _ { 1 } } } \right) } S \left( \rho _ { { E _ { 0 } } E } ^ { { m } _ { B _ { 1 } } } \right) ,
\frac { f _ { + } ^ { B _ { s } ^ { 0 } K ^ { - } } ( 0 ) } { f _ { + } ^ { B ^ { 0 } \pi ^ { - } } ( 0 ) } = \frac { m _ { B } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { B _ { s } } ^ { 2 } - m _ { K } ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l } { \langle D \phi _ { A } ( z ) ( v ) , D \phi _ { A } ( z ) ( w ) \rangle _ { \phi _ { A } ( z ) } } & { = \left\langle \frac { v } { ( c z + d ) ^ { 2 } } , \frac { w } { ( c z + d ) ^ { 2 } } \right\rangle _ { \phi _ { A } ( z ) } } \\ & { = \frac { 1 } { ( \mathrm { I m } \phi _ { A } ( z ) ) ^ { 2 } } \mathrm { R e } \left( \frac { v \overline { { w } } } { ( c z + d ) ^ { 2 } ( c \overline { { z } } + d ) ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { | c z + d | ^ { 4 } } { y ^ { 2 } } \frac { \mathrm { R e } ( v \overline { { w } } ) } { | c z + d | ^ { 4 } } } \\ & { = \frac { \alpha \alpha ^ { \prime } + \beta \beta ^ { \prime } } { y ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Big [ E _ { N } ^ { ( 3 ) } \Big ] } & { { } = } & { \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] _ { { L } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 2 } ( \lambda ) } & { \sim \frac { 1 } { 6 ( \mathrm { i } | \mathbf { k } | \tau ) ^ { 3 } } \left( \zeta + 6 \mathrm { i } | \mathbf { k } | ^ { 3 } \tau ^ { 3 } - \zeta ( \zeta ^ { 2 } + 5 ) | \mathbf { k } | ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } ( \zeta ^ { 2 } + 3 ) | \mathbf { k } | \tau \right. } \\ & { \qquad + Z ( \zeta ) ( \zeta ^ { 2 } - ( \zeta ^ { 4 } + 4 \zeta ^ { 2 } + 1 1 ) | \mathbf { k } | ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \zeta ^ { 3 } | \mathbf { k } | \tau - 5 ) } \\ & { \qquad \left. - 4 \mathrm { i } Z ^ { 2 } ( \zeta ) ( ( \zeta ^ { 2 } + 1 ) | \mathbf { k } | \tau - \mathrm { i } \zeta ) \right) \Big | _ { \zeta = \frac { - \tau \lambda - 1 } { \mathrm { i } | \mathbf { k } | \tau } } } \\ & { \sim \frac { 1 } { 6 ( \mathrm { i } | \mathbf { k } | \tau ) ^ { 3 } } \left( \zeta + 6 \mathrm { i } | \mathbf { k } | ^ { 3 } \tau ^ { 3 } - \zeta ( \zeta ^ { 2 } + 5 ) | \mathbf { k } | ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } ( \zeta ^ { 2 } + 3 ) | \mathbf { k } | \tau \right. } \\ & { \qquad + ( - \zeta ^ { - 1 } - \zeta ^ { - 3 } - 3 \zeta ^ { - 5 } + \mathcal { O } ( | \zeta | ^ { - 7 } ) ) ( \zeta ^ { 2 } - ( \zeta ^ { 4 } + 4 \zeta ^ { 2 } + 1 1 ) | \mathbf { k } | ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \zeta ^ { 3 } | \mathbf { k } | \tau - 5 ) } \\ & { \qquad \left. - 4 \mathrm { i } ( - \zeta ^ { - 1 } - \zeta ^ { - 3 } - 3 \zeta ^ { - 5 } + \mathcal { O } ( | \zeta | ^ { - 7 } ) ) ^ { 2 } ( ( \zeta ^ { 2 } + 1 ) | \mathbf { k } | \tau - \mathrm { i } \zeta ) \right) \Big | _ { \zeta = \frac { - \tau \lambda - 1 } { \mathrm { i } | \mathbf { k } | \tau } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { \vartheta } _ { a , b ; 1 } ^ { T } } \\ { \dot { \boldsymbol { \vartheta } } _ { a , b ; 1 } ^ { T } } \end{array} \right) \boldsymbol { C } = A e ^ { - \ell \left| k _ { 1 } \right| } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \left| k _ { 1 } \right| } \end{array} \right) } \\ { \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { \vartheta } _ { a , b ; 2 } ^ { T } } \\ { \dot { \boldsymbol { \vartheta } } _ { a , b ; 2 } ^ { T } } \end{array} \right) \boldsymbol { C } = B e ^ { - \ell \left| k _ { 2 } \right| } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - \left| k _ { 2 } \right| } \end{array} \right) } \end{array} \right. \quad \tilde { E } < 0
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } m _ { t } } { \mathrm { d } t } } & { = - e ^ { - t } C _ { t } C _ { 0 } ^ { - 1 } ( m _ { 0 } - m _ { \star } ) + e ^ { - t } \frac { \mathrm { d } C _ { t } } { \mathrm { d } t } C _ { 0 } ^ { - 1 } ( m _ { 0 } - m _ { \star } ) } \\ & { = - e ^ { - t } C _ { t } C _ { 0 } ^ { - 1 } ( m _ { 0 } - m _ { \star } ) + e ^ { - t } ( C _ { t } - C _ { t } C _ { \star } ^ { - 1 } C _ { t } ) C _ { 0 } ^ { - 1 } ( m _ { 0 } - m _ { \star } ) } \\ & { = C _ { t } C _ { \star } ^ { - 1 } e ^ { - t } C _ { t } C _ { 0 } ^ { - 1 } ( m _ { \star } - m _ { 0 } ) } \\ & { = C _ { t } C _ { \star } ^ { - 1 } \bigl ( m _ { \star } - m _ { t } \bigr ) . } \end{array}
= { \frac { 1 } { N } } \sum _ { n } \langle n | H | n \rangle + { \frac { 1 } { N } } \sum _ { n } \langle n - 1 | H | n \rangle e ^ { + i k a } + { \frac { 1 } { N } } \sum _ { n } \langle n + 1 | H | n \rangle e ^ { - i k a }
\begin{array} { l } { \displaystyle \psi ( \boldsymbol { r } ; z ) \, = \, } \\ { \displaystyle \, = \, - { \mathrm { i } \, U \, \exp \left( \frac { \mathrm { i } U \, r ^ { 2 } } 2 \right) } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } \rho \, \rho \, \exp \left( - \frac U { 2 \mathrm { i } } \, \rho ^ { 2 } \right) \, J _ { 0 } ( U r \, \rho ) \, } \\ { \displaystyle \, + \, \frac { \mathrm { i } \, U \, \exp \left( \frac { \mathrm { i } U \, r ^ { 2 } } 2 \right) } { \Gamma ( N ) } \, } \\ { \displaystyle \qquad \, \times \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } \rho \, \rho \, \exp \left( - \frac U { 2 \mathrm { i } } \, \rho ^ { 2 } \right) \, \gamma \left( N , N \rho ^ { 2 } \right) \, J _ { 0 } ( U r \, \rho ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \mu } ^ { j } : = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 0 } } \hat { p } _ { n } ^ { j } \delta _ { \hat { x } _ { n } ^ { j } } , \qquad \mathrm { ~ w h e r e } } \\ & { \hat { p } _ { n } ^ { j } : = \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { j } } \gamma _ { n , m } ^ { j } , \qquad 1 \leq n \leq N _ { 0 } , } \\ & { \hat { x } _ { n } ^ { j } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \hat { p } _ { n } ^ { j } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { j } } \gamma _ { n , m } ^ { j } x _ { m } ^ { j } } & { \mathrm { i f ~ } \, { \hat { p } _ { n } ^ { j } } > 0 } \\ { x _ { n } ^ { 0 } } & { \mathrm { i f ~ } \, { \hat { p } _ { n } ^ { j } } = 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
+ \sum _ { i } ^ { } \left[ \left| \left( \partial _ { \mu } - i g _ { m } { \bf q } _ { i } { \bf B } _ { \mu } \right) \Phi _ { i } \right| ^ { 2 } + \lambda \left( | \Phi _ { i } | ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] - \frac { i \Theta g _ { m } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left( { \bf F } _ { \mu \nu } + { \bf F } _ { \mu \nu } ^ { ( \alpha ) } \right) \left( \tilde { \bf F } _ { \mu \nu } + \tilde { \bf F } _ { \mu \nu } ^ { ( \alpha ) } \right) \Biggr ] \Biggr \} .
\begin{array} { r l } { S \left( \boldsymbol { p } ^ { ( N + 1 , G ) } \right) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left| p _ { i } ^ { ( N + 1 , G ) } - p _ { j } ^ { ( N + 1 , G ) } \right| + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( p _ { i } ^ { ( N + 1 , G ) } - p _ { N + 1 } ^ { ( N + 1 , G ) } \right) } \\ & { = S \left( \boldsymbol { p } ^ { ( N , G ) } \right) b _ { N } + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } b _ { N } p _ { i } ^ { ( N , G ) } = 2 ( N - 1 ) G b _ { N } + 2 b _ { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } f _ { i } = } & { { } - \omega ( f _ { i } - f _ { i } ^ { e q } ) } & { \forall \; i \in [ 0 , b - 1 ] } \\ { \partial _ { t } u _ { \mu } = } & { { } 0 } & { \forall \; \mu \in [ 1 , d ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { ~ i ~ } } ^ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ t ~ } } } & { { } = p _ { \mathrm { ~ i ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ a ~ w ~ } } + \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ } } } \\ { p _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ t ~ } } } & { { } = p _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ a ~ w ~ } } + \alpha _ { \mathrm { ~ x ~ } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( \mu \mid \sigma ^ { 2 } ; \mu _ { 0 } , n _ { 0 } ) } & { \sim { \mathcal { N } } ( \mu _ { 0 } , \sigma ^ { 2 } / n _ { 0 } ) } \\ { p ( \sigma ^ { 2 } ; \nu _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) } & { \sim I \chi ^ { 2 } ( \nu _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) = I G ( \nu _ { 0 } / 2 , \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } / 2 ) } \end{array} }
S _ { \mathrm { e f f } } \left[ A _ { \mu } \right] = S _ { \mathrm { Y M } } \left[ A _ { \mu } , A _ { 3 } = 0 \right] + S _ { \mathrm { g f } } \Bigl [ \int _ { 0 } ^ { L } d z \, A _ { \mu } ^ { 3 } \Bigr ] + M ^ { 2 } \int d ^ { 4 } x \, \, \Phi _ { \mu } ^ { \dagger } ( x ) \Phi ^ { \mu } ( x ) .
l i m _ { Q \to q } [ { { \frac { Q ^ { \frac { k N _ { B } } { 2 } } { ( B ^ { - } ) } ^ { k } } { ( [ k ] ! ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } , { { \frac { { ( B ^ { + } ) } ^ { k } Q ^ { { \frac { k N _ { B } } { 2 } } } } { ( [ k ] ! ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } } } ] ~ = ~ 1
\omega _ { \mathrm { m a x } } ( t _ { \mathrm { e w } } ) = \frac { c } { 2 } \biggl ( \frac { \psi _ { 0 } } { M } \biggr ) \biggl ( \frac { m } { H _ { i } } \biggr ) \sqrt { \frac { H _ { i } } { M _ { P } } } ( N _ { e f f } ) ^ { 1 / 4 } T _ { c } ,
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ E ~ C ~ A ~ P ~ E ~ } _ { A } = \frac { V _ { S R } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { - 1 - \psi - \frac { 2 \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } \mathrm { ~ N ~ C ~ A ~ P ~ E ~ } } { 4 \frac { \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } } + } \\ { \frac { \sqrt { \left( 1 + \psi + \frac { 2 \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } N C A P E \right) ^ { 2 } + 8 \frac { \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } \left( \mathrm { ~ C ~ A ~ P ~ E ~ } - \psi \mathrm { ~ N ~ C ~ A ~ P ~ E ~ } \right) } } { 4 \frac { \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } } . } \end{array}
A _ { 1 1 } = \left[ \begin{array} { c c } { O ( 1 ) } & { O ( 1 ) } \\ { O ( 1 ) } & { O ( 1 ) } \end{array} \right] , A _ { 1 2 } = \left[ \begin{array} { c c } { a ( = O ( 1 ) ) } & { 0 } \\ { b ( = O ( 1 ) ) } & { 0 } \end{array} \right] , A _ { 2 1 } = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { - b } & { a } \end{array} \right] , A _ { 2 2 } = \left[ \begin{array} { c c } { O ( 1 ) } & { 0 } \\ { O ( 1 ) } & { 0 } \end{array} \right] .
\langle S _ { i j } S _ { m n } \rangle = \frac { S ^ { 2 } } { 1 0 } \left[ \delta _ { i m } \delta _ { j n } + \delta _ { i n } \delta _ { j m } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i j } \delta _ { m n } \right]
\begin{array} { r } { \boldsymbol \omega = \left( \begin{array} { c } { \omega _ { 1 } } \\ { \omega _ { 2 } } \\ { \omega _ { 3 } } \end{array} \right) \quad \leftrightarrow \quad \hat { \omega } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { \omega _ { 3 } } & { - \omega _ { 2 } } \\ { - \omega _ { 3 } } & { 0 } & { \omega _ { 1 } } \\ { \omega _ { 2 } } & { - \omega _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\textbf { P } _ { i } \widetilde { \Lambda } _ { 1 i } ^ { 2 } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } = \widetilde { \lambda } _ { 1 i } ^ { 2 } U _ { i } , \textbf { P } _ { i } \widetilde { \Lambda } _ { 2 i } ^ { 2 } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } = \widetilde { \lambda } _ { 2 i } ^ { 2 } U _ { i } , \textbf { P } _ { i } \widetilde { \Lambda } _ { 1 i } \widetilde { \Lambda } _ { 2 i } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } = 0
W ^ { * } = \mathop { \arg \operatorname* { m i n } } _ { W } \frac { \operatorname* { m a x } \left\{ \lambda _ { n } - \lambda _ { 1 } , 2 ( w _ { 1 } - \lambda _ { 1 } ) , \operatorname* { m a x } _ { i < j } \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( M _ { i j } ) \right\} } { \operatorname* { m i n } \left\{ \lambda _ { p + 1 } - \lambda _ { p } , 2 ( w _ { p } - \lambda _ { p } ) , \operatorname* { m i n } _ { i < j } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( M _ { i j } ) \right\} } .
\mathcal E _ { 2 } = - \frac { d p _ { 2 } } { d t } = \oint _ { l _ { 2 } } \left[ ( \vec { v } _ { 2 } \times \vec { B } _ { 1 } ) - \frac { \partial \vec { A } _ { 1 } } { \partial t } - \nabla \varphi \right] \cdot \vec { d l _ { 2 } } ,
\left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { 1 } } \\ { \dot { x } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \frac { \partial } { \partial \zeta } } \\ { \frac { \partial } { \partial \zeta } } & { - R } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { L } _ { 1 } x _ { 1 } } \\ { \mathcal { L } _ { 2 } x _ { 2 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] u _ { d }
\begin{array} { r l } { r _ { 3 } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) = } & { \varepsilon ^ { 3 / 2 } \sum _ { i \in S _ { 1 } } \sum _ { { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) \in S _ { 2 } } } [ f _ { i } , f _ { j _ { 1 } } ] ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) a _ { i } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \sqrt { \frac { | a _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) | } { \pi \kappa _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } } } } \\ & { + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } \in S _ { 1 } } L _ { f _ { i _ { 2 } } } f _ { i _ { 1 } } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) a _ { i 1 } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) a _ { i 2 } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { 1 } } & { = } & { \frac { 2 \left( \omega ^ { 2 } - \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } + d _ { 2 } \, B _ { 0 } ^ { 2 } \, \omega ^ { 2 } / c _ { 1 } \right) } { \omega _ { c } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \left[ 1 - \chi ( \theta ) - \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \right] + } \\ & { + } & { 2 \sin ^ { 2 } \theta \left[ ( \chi ( \theta ) - 1 ) \frac { \omega _ { c } ^ { 2 } } { \omega _ { c } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } - ( \chi ( \theta ) - 1 ) \, \frac { \omega ^ { 2 } } { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } \, \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { c } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 } ^ { 2 } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ( x , y ) = \sum _ { m , n = 0 } ^ { N } \frac { \beta _ { m n } \phi _ { m n } ( x , y ) } { 2 ^ { m + n + 2 } m ! n ! \pi \sigma ^ { 2 } } , } \end{array}
\mathscr { E } \left\{ \left| d _ { u _ { k } , r } ^ { - \frac { \alpha _ { r } } { 2 } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \frac { \alpha _ { e } } { 2 } } \mathbf { h } _ { e _ { j } , r } \Theta \bar { \Theta } \mathbf { h } _ { r , k } + \, d _ { e _ { j } , k } ^ { - \frac { \alpha _ { e } } { 2 } } h _ { e _ { j } , k } \right| ^ { 2 } \right\} = d _ { u _ { k } , r } ^ { - \alpha _ { r } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \mathscr { E } \left\{ \left| \mathbf { h } _ { e _ { j } , r } \Theta \bar { \Theta } \mathbf { h } _ { r , k } \right| ^ { 2 } \right\} + d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } }
\begin{array} { r l } { I _ { p _ { i } } = 2 \mathrm { R e } \int _ { - \infty } ^ { \infty } } & { \Big [ \left( ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | \bar { u } _ { p _ { i } } | ^ { 2 } - \phi ^ { \prime \prime } \right) v _ { s } - ( v _ { s } ) ^ { 2 } \bar { u } _ { p _ { i } } ^ { * } - ( \bar { u } _ { p _ { i } } ) ^ { 2 } v _ { s } ^ { * } \Big ] \; \bar { u } _ { p _ { i } } ^ { * } \; d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { i } } & { = } & { \frac { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } { L } \int _ { - H } ^ { H } \frac { \beta _ { i } ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } , } \\ { f _ { i } ( x ) } & { = } & { \int _ { - H } ^ { x } \frac { \mathrm { e } ^ { W _ { i } ( x ^ { \prime } ) } } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } d x ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar { P } _ { c } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { = \left( \frac { 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } \right) \left( \frac { 6 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 2 \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } \right) - \frac { \left( 1 - 1 3 \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } { n ^ { 2 } } , } \\ { \Bar { T } _ { c } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { = \pm \frac { 1 } { 3 n ^ { 4 } } \left[ 1 6 \left( 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) \left( \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } \right) ^ { 3 / 2 } \right. } \\ & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left. + n ^ { 2 } \left( 8 - 1 0 4 \phi _ { e } ^ { 2 } \right) \sqrt { \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } } \; \right] , } \\ { r _ { 0 ( c ) } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { = \pm \sqrt { \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } } . } \end{array}
\left( t _ { A a } ^ { ( 9 ) } \right) _ { B i C j } \ \ = \ \ \delta _ { A B } \delta _ { A C } \left( t _ { A a } \right) _ { i j } \qquad \qquad \qquad ( 1 \leq A \leq 4 ) \qquad \qquad \qquad \quad