harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { A \left( t \right) = - \frac { c } { \omega } f \left( t \right) \Bigg [ E _ { \omega } { \cos } \left\{ \omega \left( t - \frac { T _ { P } } { 2 } \right) + \varphi _ { \omega } \right\} } \\ { + \frac { 1 } { 2 } E _ { 2 \omega } { \cos } \left\{ 2 \omega \left( t - \frac { T _ { P } } { 2 } \right) + \varphi _ { 2 \omega } \right\} \Bigg ] } \end{array}
4 ^ { 4 } \frac { \partial } { \partial B ^ { \prime } } \frac { \partial } { \partial b _ { 3 } } \frac { \partial } { \partial b _ { 4 } } \frac { \partial } { \partial b _ { 5 } } \hat { \vartheta } ( \mu ) = \left( \psi _ { 0 } \frac { \partial ^ { 4 } } { \partial \psi _ { 0 } ^ { 4 } } \right) \frac { 1 } { \psi _ { 0 } } \hat { \vartheta } ( \mu ) \ .
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( \hbar \omega ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha } } & { { } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \sigma ( \hbar \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } ) ( \hbar \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } ) ^ { 2 } - \sigma ( \hbar \omega ) ( \hbar \omega ) ^ { 2 } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } - ( \hbar \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \right. } \end{array}
\bar { C } _ { T } = \frac { 1 } { \mathcal { T } } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } C _ { T } d t , \quad \eta = \frac { \bar { C } _ { T } } { \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } C _ { \mathcal { P } } d t } = \frac { \bar { C } _ { T } } { \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } \frac { 1 } { U _ { \infty } } ( C _ { L } \dot { h } + C _ { M } \dot { \theta } ) d t } ,
\begin{array} { r l } { S _ { i j } ^ { \mathrm { r o t } } = } & { \delta _ { p _ { i } , - p _ { j } } ( 1 + \delta _ { K _ { i } 0 } + \delta _ { K _ { j } 0 } - 2 \delta _ { K _ { i } 0 } \delta _ { K _ { j } 0 } ) } \\ & { \times ( 2 N _ { i } + 1 ) ( 2 N _ { j } + 1 ) \left( \begin{array} { l l l } { N _ { i } } & { 1 } & { N _ { j } } \\ { - K _ { i } } & { K _ { i } - K _ { j } } & { K _ { j } } \end{array} \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\mathcal { E } ( \psi , \psi ^ { \ast } ) = \int \! \! \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \left[ | \nabla _ { \mathbf { r } } \psi | ^ { 2 } + [ V ( { \mathbf { r } } ) + i W ( { \mathbf { r } } ) ] | \psi | ^ { 2 } + \frac { \sigma } { 4 } ( 2 \ln ( | \psi | ^ { 2 } ) - 1 ) | \psi | ^ { 4 } \right] \mathrm { d } ^ { 2 } { \mathbf { r } } .
\tau _ { i } = \left( \Gamma _ { \mathrm { ~ B ~ B ~ R ~ } , i } \right) ^ { - 1 } = \left( \frac { 4 \omega _ { i } ^ { 3 } | \vec { \mu } _ { v , i } | ^ { 2 } } { 3 c ^ { 3 } } \frac { 1 } { e ^ { \omega _ { i } / k _ { B } T } - 1 } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { R ( \tau _ { 2 } ) = } & { \; R _ { \infty } e ^ { - \tau _ { 2 } } , } \\ { P ( \tau _ { 2 } ) = } & { \; ( P _ { \infty } + T _ { \infty } ) e ^ { - \tau _ { 2 } } + \tau _ { 2 } R _ { \infty } e ^ { - \tau _ { 2 } } = ( 1 - S _ { \infty } ) \tau _ { 2 } e ^ { - \tau _ { 2 } } + ( P _ { \infty } + T _ { \infty } ) ( 1 - \tau _ { 2 } ) e ^ { - \tau _ { 2 } } , } \\ { S ( \tau _ { 2 } ) = } & { \; 1 - ( P _ { \infty } + T _ { \infty } ) e ^ { - \tau _ { 2 } } - R _ { \infty } ( 1 + \tau _ { 2 } ) e ^ { - \tau _ { 2 } } = 1 - ( 1 - S _ { \infty } ) ( 1 + \tau _ { 2 } ) e ^ { - \tau _ { 2 } } + ( P _ { \infty } + T _ { \infty } ) \tau _ { 2 } e ^ { - \tau _ { 2 } } . } \end{array}
K _ { \alpha } \left( x , x ^ { \prime } , s \right) = K ( x , x ^ { \prime } , s ) + { \frac { i } { 2 \alpha } } \int _ { \Gamma } \cot \left( \pi \alpha ^ { - 1 } w \right) K \left( x ( w ) , x ^ { \prime } , s \right) d w ~ ~ ~ ,
\Re e \widehat { \Sigma } _ { \scriptscriptstyle R } ^ { ( 1 ) } ( p ) = ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } \int _ { t _ { 2 } } ^ { \infty } d t \, \frac { A _ { s s } ^ { [ 2 ] } ( t ) } { { ( t - p ^ { 2 } ) } ( t - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
\omega _ { n } = \frac { \bar { \omega } _ { n } } { \sum _ { k = 0 } ^ { 4 } \bar { \omega } _ { k } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \bar { \omega } _ { n } = \gamma _ { n } \left( 1 + \frac { \tau ^ { 2 } } { \left( \beta _ { n } \right) ^ { 2 } + \epsilon } \right) , n = 0 , \dots , 4 ,
\hat { \mathbf { S } } _ { s } ^ { b } = \hat { S } _ { x , s } ^ { b } \mathbf { \hat { e } _ { i } } + \hat { S } _ { y , s } ^ { b } \mathbf { \hat { e } _ { j } } + \hat { S } _ { z , s } ^ { b } \mathbf { \hat { e } _ { k } }
\begin{array} { r l } { T ( x , \omega ) = } & { e ^ { i ( \bar { q } + i \bar { \kappa } ) x } \cos ( \delta q x ) \sum _ { m = 0 } ^ { N } \left( \begin{array} { l } { N } \\ { m } \end{array} \right) \chi ( \omega ) ^ { m } } \\ { = } & { e ^ { i ( \bar { q } + i \bar { \kappa } ) x } \cos ( \delta q x ) ( 1 + \chi ( \omega ) ) ^ { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ker _ { R } ( A ) } & { = \{ \vec { v } \in R ^ { n } \ | \ A \vec { v } = \vec { 0 } \} , \ \ \ \operatorname { i m } _ { R } ( A ) = \{ A \vec { v } \in R ^ { n } \ | \vec { v } \in R ^ { m } \} = A R ^ { n } , } \\ { \ker _ { Q } ( A ) } & { = \{ \vec { v } \in Q ^ { n } \ | \ A \vec { v } = \vec { 0 } \} \simeq Q \otimes _ { R } \ker _ { R } ( A ) , \ \ \ \operatorname { i m } _ { Q } ( A ) = \{ A \vec { v } \in Q ^ { n } \ | \vec { v } \in Q ^ { m } \} = A Q ^ { n } . } \end{array}
\bar { q } \Gamma _ { i } q = \left\{ \begin{array} { l c l } { { \bar { q } _ { R } \Gamma _ { 1 } q _ { R } + \bar { q } _ { L } \Gamma _ { 1 } q _ { L } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { \Gamma _ { 1 } \in \{ \gamma ^ { \mu } , \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \} } } \\ { { \bar { q } _ { R } \Gamma _ { 2 } q _ { L } + \bar { q } _ { L } \Gamma _ { 2 } q _ { R } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { \Gamma _ { 2 } \in \{ 1 , \gamma _ { 5 } , \sigma ^ { \mu \nu } \} } } \end{array} \right. ,
\Delta S _ { \mathrm { ~ I ~ D ~ P ~ } } = 1 . 2 \times 1 0 ^ { - 5 } \, \frac { \alpha ^ { 6 } \, \beta ^ { 1 / 2 } } { \lambda ^ { 3 1 / 2 0 } \, \gamma ^ { 7 / 2 } } \, \theta ( \sigma _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ e ~ m ~ } } - \mu _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } )
\begin{array} { r l } { \Delta n _ { i n t } ( \varphi ) = } & { - 2 \left[ v _ { { \psi } - \varphi } v _ { { \psi } } + v _ { \varphi } ^ { 2 } \ln ( { \frac { v _ { { \psi } - \varphi } + v _ { { \psi } } } { v _ { \varphi } } } ) \right] f ^ { \prime } } \\ & { - { \frac { 1 } { 1 2 } } \left[ v _ { { \psi } - \varphi } v _ { { \psi } } ( 2 v _ { { \psi } } ^ { 2 } + 3 v _ { \varphi } ^ { 2 } ) + 3 v _ { \varphi } ^ { 4 } \ln ( { \frac { v _ { { \psi } - \varphi } + v _ { { \psi } } } { v _ { \varphi } } } ) \right] f ^ { \prime \prime \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { \theta G } } & { { } = 1 + \theta G + \frac { \theta ^ { 2 } G ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \theta ^ { 3 } G } { 3 ! } - \frac { \theta ^ { 4 } G ^ { 2 } } { 4 ! } + \frac { \theta ^ { 5 } G } { 5 ! } + \cdots } \end{array}
- \frac { 1 } { k ^ { + 2 } } \, { \bar { u } } ( \nu _ { \mu } ) \, ( 1 + \gamma _ { 5 } ) \, \gamma ^ { + } \, u ( \mu ) \, { \bar { u } } ( e ) \, \gamma ^ { + } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \, v ( { \bar { \nu } } _ { e } ) \ .
g _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = - 1 0 \bigg [ \frac { \sin ^ { 6 } ( 0 . 0 5 \pi \frac { 1 } { 1 0 0 } x _ { 1 } ) } { 2 ^ { 2 ( \frac { x _ { 1 } - 9 0 } { 5 0 } ) ^ { 2 } } } + \frac { \sin ^ { 6 } ( 0 . 0 5 \pi \frac { 1 } { 1 0 0 } x _ { 2 } ) } { 2 ^ { 2 ( \frac { x _ { 2 } - 9 0 } { 5 0 } ) ^ { 2 } } } \bigg ] , \quad 0 \leq x _ { 1 } , x _ { 2 } \leq 1 0 \, 0 0 0 ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u _ { 1 } + \nabla P _ { 1 } = \Delta u _ { 1 } + f } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ( - 4 , 0 ) \times \Omega } \\ { \operatorname { d i v } u _ { 1 } = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ( - 4 , 0 ) \times \Omega } \\ { u _ { 1 } = 0 } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } ( - 4 , 0 ) \times \partial \Omega } \\ { u _ { 1 } \bigr \rvert _ { t = - 4 } = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega } \end{array} \right. } \end{array}
\tilde { S } _ { Q 1 } ^ { p o t } ( B _ { i } ) = \frac { g } { N } \mathrm { T r } \, \sum _ { i } \sum _ { j k l m } U _ { i j } B _ { j } U _ { i k } B _ { k } U _ { i l } B _ { l } U _ { i m } B _ { m }
\frac { d ^ { 2 } \theta _ { 2 } } { d \uptau ^ { 2 } } \ + \ \theta _ { 2 } \ = \ \Ddot { \theta } _ { 2 } \ + \ \theta _ { 2 } \ = \ \frac { 1 } { 6 4 } \uptau ^ { 3 } \sin { \uptau } \ = \ G ( \uptau )
\Gamma ( H ^ { 0 } \to f \bar { f } ) = \frac { g _ { f f H } ^ { 2 } ( M _ { H } ^ { 2 } ) } { 4 \pi } \, \frac { N _ { C } } { 2 } \, M _ { H } \left( 1 - \frac { 4 m _ { f } ^ { 2 } } { M _ { H } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ,
\sigma _ { \varepsilon } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , t ) \phi ( n ^ { + } / \varepsilon ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \arg x \in [ \alpha , \alpha + \frac { \pi } { 2 } ] , } \\ { \theta ( t ) \phi ( | x | / \varepsilon ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \arg x \in ( \alpha + \frac { \pi } { 2 } , \frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha ) , } \\ { \theta _ { - } ( \tau ^ { - } , t ) \phi ( n ^ { - } / \varepsilon ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \arg x \in [ \frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha , 2 \pi - \alpha ] ; } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \tilde { l } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( b _ { ( X , Y ) } ) = \tilde { l } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( a _ { ( X , Y ) } ) + ( b _ { ( X , Y ) } - a _ { ( X , Y ) } ) \tilde { l } ^ { \alpha ^ { \prime \prime } } ( a _ { ( X , Y ) } ) + \frac { ( b _ { ( X , Y ) } - a _ { ( X , Y ) } ) ^ { 2 } } { 2 } \tilde { l } ^ { \alpha ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { \alpha } ) , } \end{array}
\sigma _ { s r } \left( t \right) = \frac { b _ { 1 } } { a _ { 2 } } e _ { \alpha + \beta , 1 - \xi + \alpha + \beta , \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } } \left( t \right) + \frac { b _ { 2 } } { a _ { 2 } } e _ { \alpha + \beta , 1 - \xi + \alpha + \beta - \lambda , \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } } \left( t \right) + \frac { b _ { 3 } } { a _ { 2 } } e _ { \alpha + \beta , 1 - \xi + \alpha + \beta - \kappa , \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } } \left( t \right) ,
\begin{array} { r l } & { C ( \Omega _ { t } ^ { \mathbf { c } , \mathbf { d } } , \Omega _ { t ^ { \prime } } ^ { \mathbf { c } ^ { \prime } , \mathbf { d } ^ { \prime } } ) ( 0 , 0 ) } \\ & { = \sum _ { \theta \in \Theta } C ( \psi _ { \delta } ( ( b _ { t } ^ { \theta , \mathbf { c } , \mathbf { d } } ) ) , \psi _ { \delta } ( ( b _ { t ^ { \prime } } ^ { \theta , \mathbf { c } ^ { \prime } , \mathbf { d } ^ { \prime } } ) ) ) ( 0 , 0 ) } \\ & { = \sum _ { \theta \in \Theta } \sum _ { \hat { \gamma } = 0 } ^ { l _ { 1 } - 1 } \sum _ { \hat { \mu } = 0 } ^ { l _ { 2 } - 1 } \omega _ { \delta } ^ { ( b _ { t } ^ { \theta , \mathbf { c } , \mathbf { d } } ) _ { \hat { \gamma } , \hat { \mu } } - ( b _ { t ^ { \prime } } ^ { \theta , \mathbf { c } ^ { \prime } , \mathbf { d } ^ { \prime } } ) _ { \hat { \gamma } , \hat { \mu } } } } \\ & { = \sum _ { \theta \in \Theta } \sum _ { \gamma = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { \mu = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { \gamma _ { 1 } ^ { \prime } = 0 } ^ { p _ { 1 } ^ { \prime } - 1 } \ldots \sum _ { \gamma _ { a ^ { \prime } } ^ { \prime } = 0 } ^ { p _ { a ^ { \prime } } ^ { \prime } - 1 } \sum _ { \mu _ { 1 } = 0 } ^ { q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 } \ldots \sum _ { \mu _ { b ^ { \prime } } ^ { \prime } = 0 } ^ { q _ { b ^ { \prime } } ^ { \prime } - 1 } \omega _ { \delta } ^ { D } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { Y } ( t , \Delta ) _ { t + \Delta > \tau } } & { = } & { \frac { \sqrt { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ( \alpha _ { 2 } - 1 ) ( 3 - \alpha _ { 2 } ) \delta ^ { 2 } } { 4 } \mathrm { B } \left( \frac { t / \Delta } { 1 + t / \Delta } ; \frac { \alpha _ { 1 } + 1 } { 2 } , 2 - \frac { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } { 2 } \right) \Delta ^ { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) / 2 - 2 } } \\ & { } & { + \frac { \sqrt { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ( \alpha _ { 2 } - 1 ) \delta } { 2 } \int _ { t } ^ { t + \delta } q ^ { ( \alpha _ { 1 } - 1 ) / 2 } ( q + \Delta ) ^ { ( \alpha _ { 2 } - 3 ) / 2 } d q . } \end{array}
\Big < \frac { ( i \omega ) ^ { n _ { 0 } } } { n _ { 0 } ! } \frac { ( - i k _ { 1 } ) ^ { n _ { 1 } } } { n _ { 1 } ! } \frac { ( - i k _ { 2 } ) ^ { n _ { 2 } } } { n _ { 2 } ! } \frac { ( - i k _ { 3 } ) ^ { n _ { 3 } } } { n _ { 3 } ! }
\dot { o } _ { i } ( t ) = m _ { i } ( t ) ( 1 - o _ { i } ( t ) ) + \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } a _ { i j } ( o _ { j } ( t ) - o _ { i } ( t ) ) + a _ { i j } ( x _ { j } ( t ) - o _ { i } ( t ) )
\sigma _ { k } ^ { 2 } : = \mathrm { v a r } ( z ^ { \prime \prime k } ) = 2 \bar { n } ( \tau _ { k } ) \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } / \tau _ { k } + \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } \geq \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } .
- r u _ { i + 1 } ^ { n + 1 } + ( 1 + 2 r ) u _ { i } ^ { n + 1 } - r u _ { i - 1 } ^ { n + 1 } = r u _ { i + 1 } ^ { n } + ( 1 - 2 r ) u _ { i } ^ { n } + r u _ { i - 1 } ^ { n }
\Gamma [ \psi , \sigma ] \rightarrow \int d ^ { 4 } x \; \left[ - \overline { { { \psi } } } _ { r } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi _ { r } + \sigma _ { \ell } ( x ) j _ { \ell } ( x ) \right] + N T [ \sigma ] + N G [ \sigma ] \; ,
H _ { 3 } ^ { N S } = \frac { 2 \sin { \theta } \cos { \theta } } { g ^ { 2 } \Omega ( z ) ^ { 2 } } \left( \sin { \theta } \cos { \theta } \dot { x } ( z ) d z - d \theta \right) \wedge \left( d \phi _ { 1 } + \widetilde { A } \right) \wedge d \phi _ { 2 } + \frac { e ^ { - x ( z ) } \sin ^ { 2 } { \theta } } { g ^ { 2 } \Omega ( z ) } d \widetilde { A } \wedge d \phi _ { 2 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \beta , 1 \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { C } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } } M _ { \alpha , i } M _ { \beta , j \ast } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \, d \boldsymbol { \omega } \! \right) ^ { 2 } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \left( \Psi _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } + \left( \Psi _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \right) ^ { \gamma / 2 } \right) \mathbf { 1 } _ { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } > 2 \widetilde { \Delta } I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { C } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } } e ^ { - \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) \left\vert \mathbf { G } _ { \alpha \beta } \right\vert ^ { 2 } / 2 - E _ { i j } ^ { \alpha \beta } } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \left( 1 + \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } \right) \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { C \frac { \left( 1 + \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } } e ^ { - \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) \left\vert \mathbf { G } _ { \alpha \beta } \right\vert ^ { 2 } / 2 - E _ { i j } ^ { \alpha \beta } } } \end{array}
\Pi _ { s c } ( x ) = - ( \Lambda _ { s c } ) ^ { 2 } D ^ { \prime } ( M _ { N } , x ) - \frac { 1 } { 6 4 \, \pi ^ { 4 } } \, \int _ { s _ { 0 } } ^ { \infty } \, d s \, s ^ { 2 } \, D ^ { \prime } ( \sqrt { s } , x ) ,
f ( t , { \mathbf x } , { \mathbf p } ) \approx f _ { h } ( t , { \mathbf x } , { \mathbf p } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } S ( { \mathbf x } - { \mathbf x } _ { k } ) \delta ( { \mathbf p } - { \mathbf p } _ { k } ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \sigma _ { s } ^ { S } ( \ell ) { \mathrm { d } } B _ { s } = } & { \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \sum _ { | I | \leq n } \ell _ { I } ( T _ { i } ) 1 _ { [ T _ { i } , T _ { i + 1 } ) } \langle e _ { I } , \widehat { \mathbb { X } } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } B _ { s } } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { N } \sum _ { | I | \leq n } \ell _ { I } ( T _ { i } ) \int _ { t \land T _ { i } } ^ { t \land T _ { i + 1 } } \langle e _ { I } , \widehat { \mathbb { X } } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } B _ { s } } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { N } \sum _ { | I | \leq n } \ell _ { I } ( T _ { i } ) \left( \int _ { 0 } ^ { t \land T _ { i + 1 } } \langle e _ { I } , \widehat { \mathbb { X } } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } B _ { s } - \int _ { 0 } ^ { t \land T _ { i } } \langle e _ { I } , \widehat { \mathbb { X } } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } B _ { s } \right) } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { N } \sum _ { | I | \leq n } \ell _ { I } ( T _ { i } ) \langle \tilde { e } _ { I } ^ { B } , \widehat { \mathbb { Z } } _ { t \land T _ { i + 1 } } - \widehat { \mathbb { Z } } _ { t \land T _ { i } } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { s _ { i } \in S _ { 1 } } t _ { s _ { i } } ^ { n } } & { { } = \sum _ { s _ { i } } \theta _ { X , s _ { i } , 0 } t _ { s _ { i } } ^ { n } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; ( n = 1 , 2 , . . ) , } \\ { \sum _ { s _ { i } \in S _ { 0 } } t _ { s _ { i } } ^ { n } } & { { } = \sum _ { s _ { i } } ( 1 - \theta _ { X , s _ { i } , 0 } ) t _ { s _ { i } } ^ { n } \; \; \; ( n = 1 , 2 , . . ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { \psi _ { 1 } ( x + h , \chi ) - \psi _ { 1 } ( x , \chi ) } { h } \right| \leq | \mathfrak { a } ( \chi ) | + \left| \frac { \mathfrak { c } ( x + h , \chi ) - \mathfrak { c } ( x , \chi ) } { h } \right| + \bigg | \sum _ { \varrho _ { \chi } } \frac { ( x + h ) ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } - x ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } } { h \varrho _ { \chi } ( \varrho _ { \chi } + 1 ) } \bigg | } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad < \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi } + \frac { \log { q } } { 2 \pi } + g _ { 1 } ( x ) \right) \sqrt { x } \log { x } + k _ { 2 } ( x _ { 0 } ) \sqrt { x } \log { q } + g _ { 2 } ( q ) , } \end{array}
K _ { 0 } = - \left( \frac { c _ { p } { \bf J } _ { T } } { T } + \frac { L } { L _ { s s } } { \bf J } _ { s } \right) \cdot ( \upsilon _ { \eta \eta } ^ { \star } \nabla \eta + \upsilon _ { \eta S } ^ { \star } \nabla S ) - { \bf J } _ { s } \cdot [ \upsilon _ { S \eta } ^ { \star } \nabla \eta + \upsilon _ { S S } ^ { \star } \nabla S ) ] - \Gamma _ { p } ^ { \star } \dot { \eta } _ { i r r }
\Gamma ( \hat { T } , ( \mathcal { M } ^ { c } ( G ^ { a } \tilde { \Phi } ) ) ^ { \mathrm { C P } } ) = \Gamma ( \hat { T } ^ { \mathrm { C P } } , ( G ^ { a } \tilde { \Phi } ) ^ { \mathrm { C P } } ) = \Gamma ( \hat { T } , \tilde { \Phi } )
\frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { \sin \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \cos \frac { \left( 1 - \alpha - 3 \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } \frac { \cos \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \sin \frac { \left( 1 - \alpha - 3 \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } \leqslant \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } } \leqslant \frac { a _ { 3 } } { b _ { 3 } } \frac { \cos \frac { \left( 1 - \alpha - 3 \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \sin \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } \frac { \sin \frac { \left( 1 - \alpha - 3 \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \cos \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } ,
\begin{array} { r c l } { { u _ { 2 , t _ { 3 } } } } & { { = } } & { { \kappa ^ { 2 } u _ { 2 , x x x } + 3 u _ { 2 } u _ { 2 , x } \, , } } \\ { { u _ { 2 , t _ { 5 } } } } & { { = } } & { { 1 0 \kappa ^ { 4 } u _ { 2 , x x x x x } + 5 \kappa ^ { 2 } u _ { 2 } u _ { 2 , x x x } + 1 0 \kappa ^ { 2 } u _ { 2 , x } u _ { 2 , x x } + \frac { 1 5 } { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 2 , x } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { \frac { 2 \epsilon _ { 1 } ^ { k l } } { m _ { k } } } \le \sqrt { 2 \, a _ { k } + b _ { k } ^ { s } } \le \sqrt { \frac { 2 \epsilon _ { 2 } ^ { k l } } { m _ { k } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { [ ( 1 a ) + ( 1 b ) + ( 1 c ) + ( 2 a ) + ( 2 b ) ] _ { \delta Z _ { \phi } } } } & { { = } } & { { \displaystyle ( \mathrm { ~ o n e ~ l o o p ~ r e s u l t ~ } ) \times ( - \delta Z _ { \phi } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { \Gamma } _ { \alpha _ { k - 1 } \alpha _ { k } } ^ { [ k ] i _ { k } } } & { = V _ { ( j _ { k } , \alpha _ { k - 1 } ) , \beta _ { k } } / \lambda _ { \alpha _ { k - 1 } } ^ { [ k - 1 ] } } \\ { \Tilde { \Gamma } _ { \alpha _ { k } \alpha _ { k + 1 } } ^ { [ k + 1 ] i _ { k + 1 } } } & { = W _ { \beta _ { k } , ( j _ { k + 1 } , \alpha _ { k + 1 } ) } / \lambda _ { \alpha _ { k + 1 } } ^ { [ k + 1 ] } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \medskip \zeta _ { t } } \\ { \sigma _ { t } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { \medskip H _ { d , \, \zeta \sigma } } & { H _ { d , \, \sigma \sigma } } \\ { H _ { d , \, \zeta \zeta } } & { H _ { d , \, \zeta \sigma } } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { l } { \medskip \zeta _ { x } } \\ { \sigma _ { x } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \medskip 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \, .
G ( x , y , \eta ) | _ { y ^ { d } = \varepsilon } = - a ( \eta ) \varepsilon ^ { \Delta + \bar { \eta } \eta - d } \left( \frac { x ^ { d } } { ( x ^ { d } ) ^ { 2 } + | \mathbf { x - y } | ^ { 2 } } \right) ^ { \Delta + \bar { \eta } \eta } .
\begin{array} { r } { D ( k _ { l } , t _ { r } , s ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } t \mathrm { d } \textbf { k } ^ { \prime } g ( \textbf { k } ^ { \prime } , \textbf { k } _ { l } ) e ^ { - i S ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) } R ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) w ( t , t _ { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \bar { F } _ { s } } { \partial t } + \frac { 1 } { B _ { \parallel } ^ { * } } \nabla _ { \textbf { z } } \cdot ( \dot { \textbf { z } } B _ { \parallel } ^ { * } \bar { F _ { s } } ) = \mathcal { C } ( \bar { F } _ { s } ) + \mathcal { S } _ { \mathrm { h e a t } } + \mathcal { S } _ { \mathrm { \mathrm { m o m } } } , } \end{array}
\widehat { A } _ { m n } \approx \tilde { A } _ { m n } : = ( - \mathrm { i } ) ^ { n - m } \sum _ { j = 0 } ^ { N ^ { \prime } - 1 } w _ { j } \mathcal { A } ( k _ { j } ) \varphi _ { m } ( k _ { j } ) \varphi _ { n } ( k _ { j } ) , \qquad 0 \leq m , n \leq N - 1 .
M S E ( a ) = \left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { a } \int _ { 0 } ^ { a } ( N ^ { \prime } ( v ) - P ^ { \prime } ( a - v ) ) ^ { 2 } d v } & { , } & { 0 < a \leq v _ { 2 } - v _ { 1 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) - a } \int _ { a - v _ { 2 } + v _ { 1 } } ^ { v _ { 2 } - v _ { 1 } } ( N ^ { \prime } ( v ) - P ^ { \prime } ( a - v ) ) ^ { 2 } d v } & { , } & { v _ { 2 } - v _ { 1 } < a < 2 ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) . } \end{array} \right.
V _ { k } ^ { R } [ \vec { V } ] \equiv R _ { k j } V _ { j } \equiv \left( \delta _ { k j } ^ { T } - { \frac { M ^ { 2 } } { \vec { \partial } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } \delta _ { k j } ^ { | | } \right) V _ { j }
\sigma _ { n } \, \, \, = \, \, \int \, \, d ^ { 2 } r _ { t } d z d ^ { 2 } b _ { t } | \Psi ( Q ^ { 2 } , r _ { t } , z ) | ^ { 2 } \, \, \frac { \Omega ^ { n } } { n ! } \, e ^ { - \Omega }
{ \sqrt { 2 } } \approx 1 + { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 3 \cdot 4 } } - { \frac { 1 } { 3 \cdot 4 \cdot 3 4 } } = { \frac { 5 7 7 } { 4 0 8 } } \approx 1 . 4 1 4 2 1 6 ,
\begin{array} { r l } { 2 \hat { p } _ { \mu } ^ { ( L ) } \hat { p } _ { \mu } ^ { ( L ) } } & { { } = 2 \left( \bigotimes _ { r = L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { L ( \mu - 1 ) } \hat { Z } _ { r } \bigotimes _ { r ^ { \prime } = L ( \mu - 1 ) + 1 } ^ { \mu L } \hat { X } _ { r ^ { \prime } } \right) \left( \bigotimes _ { s = L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { L ( \mu - 1 ) } \hat { Z } _ { s } \bigotimes _ { s ^ { \prime } = L ( \mu - 1 ) + 1 } ^ { \mu L } \hat { X } _ { s ^ { \prime } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap \Omega ^ { \prime } } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } \leq C _ { k } ( 1 + r ^ { - 2 k } \varepsilon ^ { 2 k } ) \varepsilon ^ { 2 } \int _ { \Omega _ { i - 1 } ^ { \prime } } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + C _ { k } r ^ { - 2 k } \varepsilon ^ { 2 k } \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap \Omega } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } } \end{array}