harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \big [ \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } \big ] } \\ & { \leq \frac { 4 ( \Phi _ { 1 } - \Phi _ { T + 1 } ) } { T \eta _ { T } \gamma } + \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \big ( \frac { 1 6 m \sigma ^ { 2 } } { k ^ { 2 } \eta _ { T } } + \frac { 4 m \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma k ^ { 2 } \eta _ { T } } \big ) \eta _ { t } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 4 ( F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) + 4 \gamma \sigma ^ { 2 } + \lambda \sigma ^ { 2 } ) } { T \eta _ { T } \gamma } + \big ( \frac { 1 6 m \sigma ^ { 2 } } { k ^ { 2 } \eta _ { T } } + \frac { 4 m \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma k ^ { 2 } \eta _ { T } } \big ) \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \eta _ { t } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 4 ( F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) + 4 \gamma \sigma ^ { 2 } + \lambda \sigma ^ { 2 } ) } { T \eta _ { T } \gamma } + \big ( \frac { 1 6 m \sigma ^ { 2 } } { k ^ { 2 } \eta _ { T } } + \frac { 4 m \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma k ^ { 2 } \eta _ { T } } \big ) \frac { 1 } { T } \int _ { 1 } ^ { T } \frac { k ^ { 2 } } { m + t } d t } \\ & { \leq \frac { 4 ( F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) + 4 \gamma \sigma ^ { 2 } + \lambda \sigma ^ { 2 } ) } { T \eta _ { T } \gamma } + \big ( \frac { 1 6 m \sigma ^ { 2 } } { \eta _ { T } } + \frac { 4 m \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma \eta _ { T } } \big ) \frac { \ln ( m + T ) } { T } } \\ & { \leq \Big ( \frac { 4 ( F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) ) } { k \gamma } + \frac { 1 6 \sigma ^ { 2 } } { k } + \frac { 4 \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma k } + \big ( \frac { 1 6 m \sigma ^ { 2 } } { \eta _ { T } } + \frac { 4 m \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma \eta _ { T } } \big ) \ln ( m + T ) \Big ) \frac { ( m + T ) ^ { 1 / 2 } } { T } } \end{array}
\langle r \rangle _ { k k ^ { \prime } } \equiv \frac { \sum _ { i \in G _ { k } , j \in G _ { k ^ { \prime } } } { T _ { i j } r _ { i j } } } { \sum _ { i \in G _ { k } , j \in G _ { k ^ { \prime } } } { T _ { i j } } } .
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { \mathrm { n u m , R F } } } & { = } & { \int _ { \Omega } \left[ \left( u _ { i } \mathcal { G } _ { \mathrm { f i l } } \mathcal { E } _ { \mathrm { t r u n c } } ^ { ( \rho u _ { i } ) } - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { 2 } \mathcal { G } _ { \mathrm { f i l } } \mathcal { E } _ { \mathrm { t r u n c } } ^ { ( \rho ) } \right) + \left( u _ { i } \mathcal { D } _ { \mathrm { f i l } } \mathcal { R } _ { \mathrm { o , e x } } ^ { ( \rho u _ { i } ) } - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \mathrm { f i l } } \mathcal { R } _ { \mathrm { o , e x } } ^ { ( \rho ) } \right) \right] d \Omega \ , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d y } { d x } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { ( x + \Delta x ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { \Delta x } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { x ^ { 2 } + 2 x \Delta x + ( \Delta x ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { \Delta x } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { 2 x \Delta x + ( \Delta x ) ^ { 2 } } { \Delta x } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } 2 x + \Delta x } \end{array} }
\begin{array} { r } { \| { \mathbf { x } } ^ { k } - \mathbf { 1 } \otimes \bar { x } ^ { k } \| ^ { 2 } \overset { = } \| \hat { { \mathbf { V } } } \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } - \| \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \tilde { { \mathbf { z } } } ^ { k } \| ^ { 2 } \leq \| \hat { { \mathbf { V } } } \| ^ { 2 } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { b o u n d } } ^ { ( 2 \rightarrow 3 ) } = \psi _ { \mathrm { b o u n d } } ( r _ { 2 1 } ) + \psi _ { \mathrm { b o u n d } } ( r _ { 1 3 } ) + \psi _ { \mathrm { b o u n d } } ( r _ { 3 2 } )
\tilde { \mathbf { u } } _ { \tilde { z } } = - \sigma ^ { 2 } ( \tilde { z } + 1 ) \tilde { \nabla } ( \tilde { \nabla } \cdot \tilde { \mathbf { u } } _ { b } ) - \sigma ^ { 2 } \tilde { \nabla } \tilde { \zeta } _ { \tilde { t } } + O ( \sigma ^ { 4 } , \varepsilon \sigma ^ { 2 } , \beta \sigma ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r } { \Lambda = \pi \sqrt { - \frac { 2 \Gamma _ { 4 } } { \Gamma _ { 2 } } } , \qquad \kappa = \left( - \frac { \Gamma _ { 2 } } { \Gamma _ { 4 } } - 2 \sqrt { \frac { \Gamma _ { 0 } } { \Gamma _ { 4 } } } \right) ^ { 1 / 2 } , \qquad \tau = \frac { 2 \Gamma _ { 4 } } { \Gamma _ { 2 } } \left( \Gamma _ { 0 } - \frac { \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \Gamma _ { 4 } } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
- c \sqrt { 4 c _ { 2 } - c ^ { 2 } } + 2 c _ { 2 } \left( \pi - 2 \arctan \frac { c } { \sqrt { 4 c _ { 2 } - c ^ { 2 } } } \right) - \frac { \sqrt { 4 c _ { 2 } - c ^ { 2 } } ( 4 c _ { 2 } - c ^ { 2 } ) } { 2 \sqrt { c _ { 2 } - \rho _ { 2 } } } = 0
( \alpha _ { i } ^ { 2 } + \beta _ { i - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } = \Big \| \left( \begin{array} { l } { \beta _ { i - 1 } e _ { i } ^ { ( i ) } } \\ { \alpha _ { i } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) \Big \| \leq \Big \| \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } v _ { i } } \end{array} \right) \Big \| + \| f _ { i } \| \leq 1 + \mathcal { O } ( i \kappa ( C ) \tau ) .
\begin{array} { r l } { \textbf { J } _ { \mathrm { r a } } ( t ) } & { = - \sum _ { \textbf { k } _ { 0 } } \nabla _ { \textbf { k } } \omega _ { g } ^ { \textbf { k } ( t ) } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \cdot \left[ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) } \right] ^ { * } e ^ { i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { D } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { B } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) \textbf { ) } \right] } } \\ & { \ \ \ \ \times \int _ { t _ { 0 } } ^ { t ^ { \prime } } \textbf { F } ( t ^ { \prime \prime } ) \cdot \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ^ { \prime \prime } ) } e ^ { - i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { D } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ^ { \prime \prime } ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { B } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ^ { \prime \prime } ) \textbf { ) } \right] } \mathrm { d } t ^ { \prime \prime } + \mathrm { c . c . } , } \\ { \textbf { J } _ { \mathrm { e r } } ( t ) } & { = \sum _ { \textbf { k } _ { 0 } } \omega _ { g } ^ { \textbf { k } ( t ) } \left[ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \right] ^ { * } e ^ { i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { D } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { B } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \right] } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \cdot \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) } e ^ { - i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { D } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { B } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) \textbf { ) } \right] } \mathrm { d } t ^ { \prime } + \mathrm { c . c . } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha } & { = } & { \frac { 1 } { 6 \hbar } \sum _ { n ^ { \prime } } { | \langle n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \omega - ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } - \frac { 1 } { \omega + ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } \right] } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 6 \hbar } \sum _ { n ^ { \prime } } { | \langle n ^ { \prime } P _ { 3 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \omega - ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 3 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } - \frac { 1 } { \omega + ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 3 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } \right] , } \\ { \beta } & { = } & { \frac { 1 } { 6 \hbar } \sum _ { n ^ { \prime } } { | \langle n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \omega - ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } + \frac { 1 } { \omega + ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } \right] } \\ & { - } & { \frac { 1 } { 1 2 \hbar } \sum _ { n ^ { \prime } } { | \langle n ^ { \prime } P _ { 3 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \omega - ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 3 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } + \frac { 1 } { \omega + ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 3 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } \right] , } \end{array}
\sigma _ { i j } = - 2 \mu _ { s g s } \left( \tilde { S } _ { i j } - \frac { 1 } { 3 } \tilde { S } _ { k k } \right) + \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i j } \sigma _ { k k } \, \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l r } & { } & { \eta _ { 1 } ^ { k l } \approx \frac { \sigma _ { 0 } ^ { k l } \, \sum _ { s } \alpha _ { k } ^ { s } \, n _ { l } \, \sqrt { b _ { k } ^ { s } } \, \frac { 1 - e ^ { - \nu _ { k e } \, t _ { C } } } { \nu _ { k e } } } { 1 + \sigma _ { 0 } ^ { k l } \, \sum _ { s } \alpha _ { k } ^ { s } \, n _ { l } \, \sqrt { b _ { k } ^ { s } } \, \frac { 1 - e ^ { - \nu _ { k e } \, t _ { C } } } { \nu _ { k e } } } \, . } \end{array}
S _ { e f f } = \int d ^ { 3 } x \, \left\{ \frac { | m | } { 1 6 \pi } \, \mathrm { t r } \, ( \partial _ { \mu } \hat { n } ) ^ { 2 } + i \frac { \mathrm { s g n } ( m ) } { 4 \pi } \, \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } \, a _ { \mu } \, \partial _ { \nu } a _ { \lambda } \right\} ,
{ \begin{array} { r l } { { 3 } { \bar { n } } _ { i } \ } & { = { \frac { \displaystyle \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { 1 } n _ { i } \ e ^ { - \beta ( n _ { i } \varepsilon _ { i } ) } \ \ Z _ { i } ( N - n _ { i } ) } { \displaystyle \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { 1 } e ^ { - \beta ( n _ { i } \varepsilon _ { i } ) } \qquad Z _ { i } ( N - n _ { i } ) } } } \\ & { = \ { \frac { \quad 0 \quad \; + e ^ { - \beta \varepsilon _ { i } } \; Z _ { i } ( N - 1 ) } { Z _ { i } ( N ) + e ^ { - \beta \varepsilon _ { i } } \; Z _ { i } ( N - 1 ) } } } \\ & { = \ { \frac { 1 } { [ Z _ { i } ( N ) / Z _ { i } ( N - 1 ) ] \; e ^ { \beta \varepsilon _ { i } } + 1 } } \quad . } \end{array} }
\sum _ { t = 0 } ^ { T } \| x _ { t } \| ^ { 4 } = O ( ( L _ { f } ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa ) ^ { 4 \mathbb M } \| x _ { 0 } \| ^ { 4 } + \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } ( T + J ) + ( L _ { f } ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa ) ^ { 4 \mathbb M } ( \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } + \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 4 } ) ) ,
\cdot \left[ \hat { K } ^ { S } F _ { S } y _ { i j k } + \hat { K } ^ { T } F _ { T } \left( \left( 1 + \frac { \sum n _ { i } } { 3 } \right) y _ { i j k } ( T ) - \frac { ( T + T ^ { * } ) } { 3 } y _ { i j k } ^ { \prime } ( T ) \right) \right] .
w _ { d - 6 } = { \frac { 1 } { 5 7 6 0 } } ( d - 1 ) ( d - 2 ) ( d - 3 ) ( d - 4 ) ( d - 5 ) ( 1 5 d ^ { 3 } - 7 5 d ^ { 2 } + 1 1 0 d - 4 8 ) ~ ~ ~ .
U _ { L } ( a ) = \left( \begin{array} { c c } { { \ \ \mathrm { c o s h } a } } & { { \ \ - \mathrm { s i n h } a } } \\ { { \ - \mathrm { s i n h } a } } & { { \ \ \ \ \mathrm { c o s h } a } } \end{array} \right)
\alpha _ { B } = \frac { \log ( B _ { 2 } / B _ { 1 } ) } { \log ( r _ { H 2 } / r _ { H 1 } ) } , \ \mathrm { { a n d } } \ \alpha _ { r } = \frac { \log ( S _ { r 2 } / S _ { r 1 } ) } { \log ( r _ { H 2 } / r _ { H 1 } ) } ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { C } + \frac { \xi } { 2 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } + \partial _ { \xi } \left( \tilde { \mathbf { D } } - \mathrm { P e } ^ { 2 } \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \tilde { \mathbf { D } } ^ { - 1 } \right) \partial _ { \xi } \mathbf { C } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| d _ { i n } \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \lambda _ { i n } } } ^ { 2 } = \sum _ { k } \int \left| \widehat { d } _ { i n } ( k , \eta ) \right| ^ { 2 } e ^ { 2 \lambda _ { i n } \langle k , \eta \rangle ^ { s } } d \eta \leq \epsilon ^ { 2 } , \quad \int _ { \mathbb { T } \times [ 0 , 1 ] } d _ { i n } ( x , y ) d x d y = 0 } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } , \sigma } = \int \frac { d ^ { 3 } k } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \left( \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 4 m } + E _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } , \sigma } \right) \hat { d } _ { \sigma , \vec { k } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { \sigma , \vec { k } } .
\begin{array} { r l } { P _ { 0 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \aftergroup \egroup \right) } & { { } = 1 ~ , } \\ { P _ { 1 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \aftergroup \egroup \right) } & { { } = \theta ~ , } \\ { P _ { 2 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \aftergroup \egroup \right) } & { { } = 2 \theta ^ { 2 } - 1 ~ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial { { p } ^ { n + \theta } } } { \partial { { x } _ { i } } } = \theta \frac { \partial { { p } ^ { n + 1 } } } { \partial { { x } _ { i } } } + \left( 1 - \theta \right) \frac { \partial { { p } ^ { n } } } { \partial { { x } _ { i } } } } \\ { \frac { \partial { { p } ^ { n - \theta } } } { \partial { { x } _ { i } } } = \theta \frac { \partial { { p } ^ { n - 1 } } } { \partial { { x } _ { i } } } + \left( 1 - \theta \right) \frac { \partial { { p } ^ { n } } } { \partial { { x } _ { i } } } } \end{array}
{ \overline { { S } } _ { 1 } } ^ { { \cal O } ( p ^ { 4 } ) } ( 0 ) = { \frac { g _ { A } ^ { 2 } m _ { \pi } } { 8 \pi f _ { \pi } ^ { 2 } M } } \left( \kappa _ { S } \tau ^ { 3 } + \kappa _ { V } \right) \ .
\begin{array} { r l } { ( C _ { 4 } D ^ { 2 n - 1 } ) ^ { k } C _ { 3 } ^ { - 2 } D ^ { 2 n } B ^ { 2 } } & { \leq C _ { 3 } ^ { - 2 } D ^ { - 2 n } ( C _ { 3 } ^ { 2 } C _ { 4 } D ^ { - 1 } ) ^ { k } N ^ { 2 } } \\ & { \leq C _ { 3 } ^ { - 2 - 1 / n } D ^ { 1 - 2 n } ( C _ { 4 } C _ { 3 } ^ { 2 - 1 / n } ) ^ { k } B ^ { 1 / n } N ^ { 2 - 1 / n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { t } \left( f ( y ^ { t } ) - f ( x ^ { * } ) \right) } & { \le } & { \frac { 1 } { 2 } R _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } R _ { t } ^ { 2 } + \sum _ { l = 0 } ^ { t - 1 } \alpha _ { l + 1 } \left\langle \theta _ { l + 1 } , x ^ { * } - z ^ { l } + \alpha _ { l + 1 } \nabla f ( x ^ { l + 1 } ) \right\rangle + \sum _ { l = 0 } ^ { t - 1 } \alpha _ { l + 1 } ^ { 2 } \left\| \theta _ { l + 1 } \right\| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial U } { \partial R } = 0 , ~ \tau _ { R Z } = 0 ~ a t ~ R = 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { { a n d ~ ~ ~ } } } \\ { U = U _ { s } ( Z ) = - \frac { \zeta E _ { Z } } { \mu _ { s } } \xi ( Z ) ~ \mathrm { { a t } ~ R = h ( Z ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } \end{array}
\; { } _ { E } \langle T _ { O } | = \mathrm { T r } \left[ { } _ { E } \langle W | \; \frac { b _ { 0 } } { L _ { 0 } } \right] = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { T r } \left[ { } _ { E } \langle W | \; b _ { 0 } \, k ^ { L _ { 0 } } \right] \frac { d k } { k } ~ ,
Z = \int [ { \cal D } \phi ] _ { \langle \phi \rangle = 0 } \, \exp \left\{ i \int d x \left[ \frac { 1 } { 2 } \, ( \partial \phi ) ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 3 ! } \, \phi ^ { 3 } \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } } W ^ { \prime } ( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ) - 2 \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } } { \mathrm { d } \xi ^ { 2 } } = } & { ~ 0 , } \\ { \frac { 1 } { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } } W ( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ) - \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } \left( \frac { \mathrm { d } \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } } { \mathrm { d } \xi } \right) ^ { 2 } = } & { ~ 0 , } \end{array}
\widehat { G } ( k , l ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \kappa < \kappa _ { c } } \\ { \exp ( - 2 3 . 6 ( \Delta x ) ^ { 4 } ( \kappa - \kappa _ { c } ) ^ { 4 } ) , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \\ { 0 , } & { \kappa _ { m a x } \leq k \mathrm { ~ o ~ r ~ } \kappa _ { m a x } \leq l } \end{array} \right.
{ w } _ { j l , 1 0 0 } ( \Omega ^ { \prime } , \Omega ; \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { 6 \sqrt { \pi } } \left\{ \frac { 3 x _ { j } x _ { l } } { r ^ { 2 } } { \cal B } _ { 1 0 } ^ { 2 1 } ( \Omega ^ { \prime } , \Omega ; \mathbf { r } ) + \delta _ { j l } [ { \cal B } _ { 1 0 } ^ { 0 1 } ( \Omega ^ { \prime } , \Omega ; \mathbf { r } ) - { \cal B } _ { 1 0 } ^ { 2 1 } ( \Omega ^ { \prime } , \Omega ; \mathbf { r } ) ] \right\} ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \eta \in P _ { 2 k n } ( F ) \backslash \mathrm { S p } _ { 4 k n } ( F ) / N _ { n ^ { k } , 2 k n } ( F ) \widehat { \mathrm { S p } } _ { 2 k n } ( F ) } \int _ { N _ { n ^ { k } , 2 k n } ( F ) \backslash N _ { n ^ { k } , 2 k n } ( \mathbb { A } ) } \theta _ { \psi , k n ^ { 2 } } ^ { \Phi } ( l _ { T } ^ { 0 } ( u ) i _ { T } ^ { 0 } ( 1 , g ) ) } \\ { \times } & { \sum _ { \gamma \in S _ { \eta } \backslash N _ { n ^ { k } , 2 k n } ( F ) \widehat { \mathrm { S p } } _ { 2 k n } ( F ) } f _ { 2 n , k , s } ( \eta \gamma \hat { g } ) \psi _ { N _ { n ^ { k } , 2 k n } } ( u ) d u , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial t ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \sigma } { \partial x } = \frac { \mu } { \rho } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } = c ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } ,
\alpha \left| g g \right\rangle + \beta \left| g e \right\rangle + \gamma \left| e g \right\rangle + \delta \left| e e \right\rangle \longrightarrow \alpha \left| g g \right\rangle + \beta \left| g e \right\rangle + \gamma \left| e g \right\rangle - \delta \left| e e \right\rangle \; .
\begin{array} { r l r } { Z _ { 1 } - Z _ { 2 } } & { = } & { \int \exp ( - \Phi ( x + A _ { t } x _ { t } ) ) - \exp ( - \Phi ( x + A _ { t } y _ { t } ) ) \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , Q _ { t } ) ( x ) } \\ & { \leqslant } & { \int \exp ( - E _ { 0 } ) L \| A _ { t } x _ { t } - A _ { t } y _ { t } \| \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , Q _ { t } ) ( x ) } \\ & { = } & { \exp ( - E _ { 0 } ) L \| A _ { t } x _ { t } - A _ { t } y _ { t } \| \leqslant E L \| x _ { t } - y _ { t } , \| } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \exp \! \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \exp ( - i k x ) \, \mathrm { d } x = \sqrt { 2 \pi } \sigma \exp ( - \frac { 1 } { 2 } k ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ) ,
\left( \begin{array} { c } { { A ^ { Y } } } \\ { { A ^ { B } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { c } } \\ { { 0 } } & { { \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { A ^ { Y } } } \\ { { A ^ { B } } } \end{array} \right)
\frac { | Z _ { \operatorname* { m i n } ( \mu - \sigma , \rho + d - \nu ) } | } { p ^ { \mu - \operatorname* { m i n } ( \mu , \rho + \sigma + d - \nu ) } } = \frac { | Z _ { \operatorname* { m i n } ( \mu - \sigma , \rho + d - \nu ) + 1 } | } { p ^ { \mu - \operatorname* { m i n } ( \mu , \rho + \sigma + d - \nu ) } } + \frac { | Y _ { \operatorname* { m i n } ( \mu - \sigma , \rho + d - \nu ) } | } { p ^ { \mu - ( \sigma + \operatorname* { m i n } ( \mu - \sigma , \rho + d - \nu ) ) } }
{ \begin{array} { r l } { P _ { \alpha \rightarrow \beta } = \delta _ { \alpha \beta } } & { - 4 \, \sum _ { j > k } \, \operatorname { \mathcal { R _ { e } } } \left\{ \, U _ { \alpha j } ^ { * } \, U _ { \beta j } \, U _ { \alpha k } \, U _ { \beta k } ^ { * } \, \right\} \, \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \Delta _ { j k } m ^ { 2 } \, L } { 4 E } } \right) } \\ & { + 2 \, \sum _ { j > k } \, \operatorname { \mathcal { I _ { m } } } \left\{ \, U _ { \alpha j } ^ { * } \, U _ { \beta j } \, U _ { \alpha k } \, U _ { \beta k } ^ { * } \, \right\} \, \sin \left( { \frac { \Delta _ { j k } m ^ { 2 } \, L } { 2 E } } \right) ~ , } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { d } } } & { = { \frac { 2 F _ { \mathrm { d } } } { \rho v ^ { 2 } A } } } \\ & { = c _ { \mathrm { p } } + c _ { \mathrm { f } } } \\ & { = \underbrace { { \frac { 2 } { \rho v ^ { 2 } A } } \displaystyle \int _ { S } \mathrm { d } S ( p - p _ { o } ) \left( { \hat { \mathbf { n } } } \cdot { \hat { \mathbf { i } } } \right) } _ { c _ { \mathrm { p } } } + \underbrace { { \frac { 2 } { \rho v ^ { 2 } A } } \displaystyle \int _ { S } \mathrm { d } S \left( { \hat { \mathbf { t } } } \cdot { \hat { \mathbf { i } } } \right) T _ { \mathrm { { w } } } } _ { c _ { \mathrm { f } } } } \end{array} }
\tilde { \mathbf { x } } = \frac { \mathbf { x } } { L _ { 0 } } , \quad \tilde { t } = \frac { t } { T _ { 0 } } , \quad \tilde { \mathbf { v } } = \frac { \mathbf { v } } { U _ { 0 } } , \quad \tilde { \eta } = \frac { \eta } { H _ { 0 } } , \quad \tilde { H } = \frac { H } { H _ { 0 } } , \quad \tilde { b } = \frac { b } { H _ { 0 } } , \quad \tilde { \mathbf { q } } = \frac { \mathbf { q } } { U _ { 0 } H _ { 0 } } , \quad \tilde { p } = \frac { p L _ { 0 } } { \nu U _ { 0 } } ,
\bigl \langle B ^ { - } \bigl ( p ^ { \prime } \bigr ) \pi ^ { + } ( p ) \bigr | \bar { B } ^ { * 0 } ( k , \varepsilon ) \bigr \rangle \, = \, - { \frac { 2 g \, \sqrt { M _ { B } ^ { } M _ { B ^ { * } } ^ { } } } { f _ { \pi } ^ { } } } \, \varepsilon \cdot p ^ { } \, \, ,
\begin{array} { r l } { n ( t , \mathbf { x } ) } & { = \int f ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { \mathbf { v } ( t , \mathbf { x } ) } & { = \frac { 1 } { n ( t , \mathbf { x } ) } \int \mathbf { u } f ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { T ( t , \mathbf { x } ) } & { = \frac { m } { 3 k _ { B } n ( t , \mathbf { x } ) } \int \mathbf { c } ^ { 2 } f ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } , } \end{array}
\overline { { r _ { k } ( f _ { 1 } ) \, e _ { k } ( f _ { 1 } ) \, \ldots \, r _ { 1 } ( f _ { 1 } ) \, e _ { 1 } ( f _ { 1 } ) } } ^ { \boldsymbol { b } } = \left[ n \ \mathrm { m o d } \ b _ { 1 } b _ { 2 } \cdots b _ { 2 k } \right] = \overline { { r _ { k } ( f _ { 2 } ) \, e _ { k } ( f _ { 2 } ) \, \ldots \, r _ { 1 } ( f _ { 2 } ) \, e _ { 1 } ( f _ { 2 } ) } } ^ { \boldsymbol { b } } .
\int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \omega x } \; x ^ { - \alpha } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, \eta x \right) d x = \omega ^ { \alpha - 1 } \; G _ { p + 1 , \, q } ^ { \, m , \, n + 1 } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \alpha , \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, { \frac { \eta } { \omega } } \right) ,
( \partial _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \dots + \partial _ { x _ { n } } ^ { 2 } + \partial _ { x + 1 } ^ { 2 } ) u = \underbrace { ( \partial _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \dots + \partial _ { x _ { n } } ^ { 2 } ) u } _ { = 0 } + \partial _ { n + 1 } ^ { 2 } u = 0 \, \implies \partial _ { n + 1 } ^ { 2 } u = 0 \implies \partial _ { n + 1 } ^ { 2 } = 0 , \mathrm { ~ b e c a u s e ~ u ~ \neq ~ 0 ~ }
\left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } + v _ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { r } ) \right) \varphi _ { i } ( \mathbf { r } ) = \varepsilon _ { i } \varphi _ { i } ( \mathbf { r } ) .
\delta t \mathcal { D } _ { t } f _ { i } + \frac { { \delta t } ^ { 2 } } { 2 } { \mathcal { D } _ { t } } ^ { 2 } f _ { i } + { O } ( { \delta t } ^ { 3 } ) = \frac { \delta t } { \bar { \tau } } \left( f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } - f _ { i } \right) + \left( f _ { i } ^ { * } - f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } \right) ,