harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ \left[ \nabla _ { i } - i \alpha \epsilon _ { i j } r _ { j } / r ^ { 2 } \right] ^ { 2 } - \alpha \mu ( { \frac { s } { M } } + { \frac { s ^ { \prime } } { M ^ { \prime } } } ) { \frac { 1 } { r } } \delta ( r ) + k ^ { 2 } \right] f ( { \bf r } ) = 0
{ \cal M } _ { \gamma } ^ { \mathrm { R I A } } \: \: = \: \: \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \, r ^ { \prime } u _ { f } ( r ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, r \, u _ { i } ( r ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d P \, P ^ { 2 } \: \frac { 1 } { 4 } \left[ \frac { Q _ { 1 } } { m _ { 1 } } f _ { 1 } ^ { \gamma } - \frac { Q _ { 2 } } { m _ { 2 } } f _ { 2 } ^ { \gamma } \right] \: j _ { 0 } \left( r ^ { \prime } P \right) j _ { 0 } \left( r P \right) ,
( i \mathcal { L } ) ^ { n } q = \sum _ { \{ \alpha , \beta \} } F _ { \{ \alpha , \beta \} } \prod _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } ^ { \alpha _ { k } } B _ { k } ^ { \beta _ { k } } , \quad ( i \mathcal { L } ) ^ { n } p = ( - 1 ) ^ { n } \sum _ { \{ \alpha , \beta \} } F _ { \{ \alpha , \beta \} } \prod _ { k = 1 } ^ { n } B _ { k } ^ { \alpha _ { k } } A _ { k } ^ { \beta _ { k } }
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { ~ d ~ \, ~ \, ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \bar { x } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ( x _ { j } - x _ { i } ) = 0 } \end{array}
\sqrt { \gamma _ { 2 , k } } = \sqrt { \gamma _ { 2 , k - 1 } } + \sqrt { 2 / T _ { 2 , k } } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad k = 1 , 2 , 3 , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \gamma _ { 2 , 0 } = 0 .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I } } & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { 0 } \frac { 1 } { k _ { 0 } ^ { 2 } - a ^ { 2 } } e ^ { - i k _ { 0 } t } } \\ & { = } & { \int _ { l _ { 1 } } d z \frac { 1 } { z ^ { 2 } - a ^ { 2 } } e ^ { - i z t } + \int _ { l _ { 2 } } d z \frac { 1 } { z ^ { 2 } - a ^ { 2 } } e ^ { - i z t } } \\ & { = } & { \bigg ( \int _ { l _ { 5 } } d z \frac { 1 } { z ^ { 2 } - a ^ { 2 } } e ^ { - i z t } + \int _ { l _ { 3 } } d z \frac { 1 } { z ^ { 2 } - a ^ { 2 } } e ^ { - i z t } \bigg ) + \bigg ( \int _ { l _ { 4 } } d z \frac { 1 } { z ^ { 2 } - a ^ { 2 } } e ^ { - i z t } + \int _ { l _ { 6 } } d z \frac { 1 } { z ^ { 2 } - a ^ { 2 } } e ^ { - i z t } \bigg ) } \\ & { } & { \bigg [ \mathrm { n o t e : ~ s e t ~ } z = i k _ { E } ^ { 0 } \mathrm { ~ i n ~ } l _ { 3 } , l _ { 4 } \mathrm { ~ a n d ~ c o m b i n e ~ } l _ { 5 } , l _ { 6 } \bigg ] } \\ & { = } & { ( - i ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { E } ^ { 0 } \frac { 1 } { ( k _ { E } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + a ^ { 2 } } e ^ { t k _ { E } ^ { 0 } } + \int _ { l _ { 6 } } d z \frac { 1 } { z ^ { 2 } - a ^ { 2 } } ( e ^ { - i z t } + e ^ { i z t } ) , \ \bigg [ \mathrm { s e t ~ } z = R e ^ { i \phi } \mathrm { ~ i n ~ } l _ { 6 } \bigg ] } \\ & { = } & { ( - i ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { E } ^ { 0 } \frac { 1 } { ( k _ { E } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + a ^ { 2 } } e ^ { t k _ { E } ^ { 0 } } } \\ & { } & { - i R \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } d \phi e ^ { i \phi } \frac { 1 } { R ^ { 2 } e ^ { 2 i \phi } - a ^ { 2 } } ( e ^ { - i t R \cos \phi + t R \sin \phi } + e ^ { i t R \cos \phi - t R \sin \phi } ) } \\ & { \equiv } & { ( - i ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { E } ^ { 0 } \frac { 1 } { ( k _ { E } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + a ^ { 2 } } e ^ { t k _ { E } ^ { 0 } } + \mathrm { I I } } \end{array}
( \kappa _ { \tau } \frac { \partial } { \partial \kappa _ { \tau } } + \beta _ { \tau } \frac { \partial } { \partial u _ { \tau } } - \frac { 1 } { 2 } N \gamma _ { \phi ( \tau ) } ( u _ { \tau } ) + L \gamma _ { \phi ^ { 2 } ( \tau ) } ( u _ { \tau } ) ) \Gamma _ { R ( \tau ) } ^ { ( N , L ) } = \delta _ { N , 0 } \delta _ { L , 2 } ( \kappa _ { \tau } ^ { - 2 \tau } ) ^ { \frac { \epsilon _ { L } } { 2 } } B _ { \tau } ( u _ { \tau } ) ,
f _ { a b { b } _ { 1 } b _ { 2 } } ( { \pmb x } ) = a \, \delta _ { a b } n _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } ( { \pmb x } ) + b \, \delta _ { a b } \delta _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } + c \, ( \delta _ { a b _ { 1 } } n _ { b b _ { 2 } } ( { \pmb x } ) + \delta _ { a b _ { 2 } } n _ { b b _ { 1 } } ( { \pmb x } ) ) + d \, \delta _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } n _ { a b } ( { \pmb x } ) + e \, n _ { a b b _ { 1 } b _ { 2 } } ( { \pmb x } )
M \times \, ^ { \prime \prime } 0 \; 1 \; 0 \; 0 \; 0 \; 0 { \mathrm { - 1 } } \; 0 \, ^ { \prime \prime } = M \times ( 2 ^ { 6 } - 2 ^ { 1 } ) = M \times 6 2 .
\begin{array} { r l } { ( \triangle ^ { \prime } f ^ { \prime } ) \Big | _ { t = 0 } } & { = ( - u _ { t } \triangle f ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 } \langle \nabla u _ { t } , \nabla f ^ { \prime } \rangle ) \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = - \frac { u } { 2 } \triangle u + \frac { 1 } { 4 } | \nabla u | ^ { 2 } } \\ & { = 2 u ^ { 2 } \mu + \frac { 1 } { 4 } | \nabla u | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Sigma } \frac { \tau k } { \rho } \wedge \mathrm { t r } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) = \int _ { \partial \Omega } \mathrm { t r } ( \frac { \tilde { p } } { \rho } ) \wedge \mathrm { t r } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } \wedge d \big ( \frac { \tilde { p } } { \rho } \big ) . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \sigma \sqrt { - h } h ^ { a b } \partial _ { a } X ^ { \mu } \partial _ { b } X ^ { \nu } - \int _ { \partial \Sigma } d s \left( A _ { \mu } \frac { \partial } { \partial s } X ^ { \mu } + \phi ^ { i } \frac { \partial } { \partial \sigma } X ^ { i } \right)
Y _ { i } : = [ r _ { i } ^ { \mathrm { ~ f ~ i ~ r ~ s ~ t ~ } } N _ { i } ^ { \beta _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ r ~ s ~ t ~ } } } , r _ { i } ^ { \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ o ~ n ~ d ~ } } N _ { i } ^ { \beta _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ o ~ n ~ d ~ } } } , r _ { i } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ i ~ r ~ d ~ } } N _ { i } ^ { \beta _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ i ~ r ~ d ~ } } } , r _ { i } ^ { \mathrm { ~ f ~ o ~ u ~ r ~ t ~ } } N _ { i } ^ { \beta _ { \mathrm { ~ f ~ o ~ u ~ r ~ t ~ h ~ } } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } | R _ { k } ^ { n } | \le } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \widetilde { \Pi } _ { 1 , k } \omega _ { 2 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t ) | v ^ { \prime \prime } ( t ) | d t } \\ { \le } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } ( a _ { n - k - 1 } ^ { ( n ) } - a _ { n - k } ^ { ( n ) } ) \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } ( t - t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } ) | v ^ { \prime \prime } ( t ) | d t } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } ( a _ { n - k - 1 } ^ { ( n ) } - a _ { n - k } ^ { ( n ) } ) G ^ { k } . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } k _ { i } ^ { 2 } = a \, k _ { 1 } ^ { 2 } + b \, k _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \, c \, k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } + 2 \, d \cdot k _ { 1 } + 2 \, e \cdot k _ { 2 } + f \ .
\Big [ \hat { T } _ { n } ( R ) + \hat { H } ^ { e l } ( r , R ) \Big ] \sum _ { I } | \Phi _ { I } ( r ; R ) \, \mathbf { \xi } _ { I } ^ { T } ( R ) \rangle = \mathcal { E } ^ { T } \sum _ { I } | \Phi _ { I } ( r ; R ) \, \mathbf { \xi } _ { I } ^ { T } ( R ) \rangle
B _ { n + h } = { \frac { ( n + h ) ! } { W ( n ) ^ { n + h } } } \times { \frac { \exp ( e ^ { W ( n ) } - 1 ) } { ( 2 \pi B ) ^ { 1 / 2 } } } \times \left( 1 + { \frac { P _ { 0 } + h P _ { 1 } + h ^ { 2 } P _ { 2 } } { e ^ { W ( n ) } } } + { \frac { Q _ { 0 } + h Q _ { 1 } + h ^ { 2 } Q _ { 2 } + h ^ { 3 } Q _ { 3 } + h ^ { 4 } Q _ { 4 } } { e ^ { 2 W ( n ) } } } + O ( e ^ { - 3 W ( n ) } ) \right)
\begin{array} { r l } { \vert \Phi _ { \textbf { a } , \textbf { b } } ( z ^ { \prime } ) - \Phi _ { \textbf { a } , \textbf { b } } ( z ) \vert } & { \geqslant \vert \Phi _ { \textbf { a } , \textbf { b } } ^ { \prime } ( z ) \vert \vert z ^ { \prime } - z \vert - \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { \vert \Phi _ { \textbf { a } , \textbf { b } } ^ { ( n ) } ( z ) \vert } { n ! } \vert z ^ { \prime } - z \vert ^ { n } } \\ & { \geqslant C _ { 0 } \mathcal { D } _ { \textbf { a } , \textbf { b } } \vert z ^ { \prime } - z \vert - \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } C ^ { n } \mathcal { D } _ { \textbf { a } , \textbf { b } } \vert z ^ { \prime } - z \vert ^ { n } . } \end{array}
( a + b S _ { 2 k } ) ( a + b S _ { 2 k - 1 } ) R _ { 2 k } = { \frac { 1 } { 4 } } [ S _ { 2 k } ( a + b S _ { 2 k } ) + b ( R _ { 2 k + 1 } - R _ { 2 k } ) - { \frac { 1 } { \beta } } ] ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \mathbf { A } _ { \textrm { C } } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right] , \mathbf { A } _ { \textrm { R } } = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] \mathrm { ~ a n d ~ } \mathbf { A } _ { \textrm { I } } = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
u _ { * } , \ - ( \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 ) x , \ - ( \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 1 ) y , \ ( \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 1 ) \delta , \ 2 V .
\delta _ { \epsilon } u ^ { a } = \dot { \epsilon } _ { 2 } ^ { a } + \left[ C _ { b } ^ { 0 } , f ^ { a } \left( C \right) \right] \epsilon _ { 2 } ^ { b } - \Delta _ { c b } \frac { \partial f ^ { a } \left( C \right) } { \partial C _ { c } } \epsilon _ { 1 } ^ { b } .
{ L _ { 1 - 5 } } = \sqrt { { L _ { 0 - 1 } } ^ { 2 } + { L _ { 5 - 0 } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 0 - 1 } } \cdot { L _ { 5 - 0 } } \cdot c o s ( { A _ { 0 } } ) ) }
\begin{array} { l } { \displaystyle \psi _ { 1 } ( \boldsymbol { r } ) \, = \, \exp \left( \frac { \mathrm { i } k r ^ { 2 } } { 2 Q _ { N } } \right) \, \frac { q _ { N } N } { B } \, \left( \frac { 1 } { 1 \, + \, \frac { A \, q _ { N } } { B } } \right) ^ { N } \, } \\ { \times \, \Phi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { c } { 1 - N , 1 } \\ { 2 } \end{array} \right| - \frac { A \, q _ { N } } { B } \, , \frac { \mathrm { i } k r ^ { 2 } } { 2 A B } \, \frac 1 { 1 \, + \, \frac B { A q _ { N } } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ^ { ( n ) } = } & { \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } \left( \frac { 1 } { 6 3 0 } \cos ^ { 3 } \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n \right) + \frac { 2 } { 2 1 } \cos ^ { 2 } \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n \right) \right. } \\ & { \left. + \frac { 3 3 } { 7 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n \right) + \frac { 1 3 6 } { 3 1 5 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { a } ^ { b } \int _ { M } | u | | \nabla w | \, d V _ { t } d t \le C ( \operatorname* { s u p } _ { M \times [ a , b ] } | u | ) \left( \int _ { a } ^ { b } \int _ { M } \frac { | \nabla w | ^ { 2 } } { w } \, d V _ { t } d t \right) ^ { \frac 1 2 } \left( \int _ { a } ^ { b } \int _ { M } w \, d V _ { t } d t \right) ^ { \frac 1 2 } < \infty . } \end{array}
D _ { x 0 } \zeta ^ { 1 / 2 } = D _ { x 0 } \zeta ^ { - 1 / 2 } - S H _ { y 0 } ^ { * } \left( e ^ { i k _ { z } \Delta z / 2 } - e ^ { - i k _ { z } \Delta z / 2 } \right) - v S D _ { x 0 } \zeta ^ { - 1 / 2 } e ^ { - i k _ { z } \Delta z / 2 } \left( e ^ { i k _ { z } \Delta z / 2 } - e ^ { - i k _ { z } \Delta z / 2 } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = - g ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } \nabla _ { \nu } \psi + { \frac { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } } \psi = - g ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } ( \partial _ { \nu } \psi ) + { \frac { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } } \psi } \\ & { = - g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi + g ^ { \mu \nu } \Gamma ^ { \sigma } _ { \mu \nu } \partial _ { \sigma } \psi + { \frac { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } } \psi , } \end{array} }
\frac { 8 } { 9 } \frac { \hat { s } ^ { 2 } + \hat { u } ^ { 2 } } { \hat { t } ^ { 2 } } - \frac { 4 } { 9 } \left( \frac { \hat { s } } { \hat { u } } + \frac { \hat { u } } { \hat { s } } \right) ~ .
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { D } _ { t } v - \mathcal { L } _ { 1 } v - \mathcal { K } * \mathcal { L } _ { 2 } v = G ( x , t ) - F ( v ) \quad \mathrm { i n } \quad \Omega _ { T } , } \\ { v ( x , 0 ) = 0 \quad \mathrm { i n } \quad \bar { \Omega } , } \\ { v ( x , t ) = 0 \quad \mathrm { o n } \quad \partial \Omega _ { T } . } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { S [ x , { \dot { x } } ] } & { = - m \, c \, \int d t \, { \sqrt { c ^ { 2 } + 2 \, \phi ( x ) - { \dot { \mathbf { x } } } ^ { 2 } } } } \\ & { = - m \, c \, \int d t \, \left( { \sqrt { c ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 \, { \sqrt { c ^ { 2 } } } } } \, \left( 2 \, \phi ( x ) - { \dot { \mathbf { x } } } ^ { 2 } \right) + . . . \right) } \\ & { \approx \int d t \, \left( - m \, c ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m { \dot { \mathbf { x } } } ^ { 2 } - m \, \phi ( x ) \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { \langle { \cal K } _ { i } \Pi ( H ) { \cal K } _ { i } ^ { \dagger } \rangle \; = \; } } & { { { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 J + 1 } } } { \cal O } _ { \alpha } ^ { H } ( { } ^ { 2 S + 1 } L _ { J } ^ { N } ) , } } \\ { { \langle { \cal K } _ { i } \Pi ( H ) { \cal K } _ { j } ^ { \dagger } \rangle \; = \; } } & { { { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 J + 1 } } } { \cal P } _ { \alpha } ^ { H } ( { } ^ { 2 S + 1 } L _ { J } ^ { N } , { } ^ { 2 S + 1 } L _ { J } ^ { N ^ { \prime } } ) , } } \end{array}
t - t _ { 0 } = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } d x ^ { \prime } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \sqrt { E + \int _ { x _ { 0 } } ^ { x ^ { \prime } } f _ { 0 } ( x ^ { \prime \prime } ) d x ^ { \prime \prime } + \int _ { x _ { 0 } } ^ { x ^ { \prime } } f _ { 1 } ( x ^ { \prime \prime } ) d x ^ { \prime \prime } } }
\begin{array} { r } { \left( u , w , p , \Theta , \Phi \right) ^ { T } \approx \sqrt { - \frac { a _ { 1 } ( R a - R a _ { c } ) } { a _ { 2 } } } \bigg ( U _ { 1 } ( x ) , W _ { 1 } ( x ) , P _ { 1 } ( x ) , \Theta _ { 1 } ( x ) , L e \Theta _ { 1 } ( x ) \bigg ) ^ { T } e ^ { i k _ { c } z } + c . c , } \end{array}
v _ { 4 } ^ { \mathrm { e f f } } ( T , n ) = \Delta v _ { 3 } ^ { \mathrm { r e d } } ( T , n ) \, \frac { \pi } { T n ^ { 1 / 2 } } = v _ { 4 } ( T ) + { \cal O } ( n ^ { 1 / 2 } \ln ( n ) ) .
\langle \ddot { x } \rangle + \omega _ { \mathrm { r e l } } ( \omega _ { \mathrm { r e l } } + \kappa _ { 2 } s _ { n n } ) \left\langle x \right\rangle = - \omega _ { \mathrm { r e l } } \kappa _ { 1 } s _ { n n } ,
\begin{array} { r } { \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { j , N } ^ { - 1 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 1 } ] \right\| _ { 2 } \lesssim \left\| \mathcal { M } _ { 3 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 1 } ] \right\| _ { 2 } , } \\ { \left\| \mathcal { M } _ { 4 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { j , N } ^ { - 1 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 1 } ] \right\| _ { 2 } \lesssim \left\| \mathcal { M } _ { 4 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 1 } ] \right\| _ { 2 } , } \\ { \left\| \mathcal { M } _ { 5 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { j , N } ^ { - 1 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 1 } ] \right\| _ { 2 } \lesssim \left\| \mathcal { M } _ { 5 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 1 } ] \right\| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \xi _ { k } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } } & { \Bigl ( \sum _ { i \in S _ { k } } N _ { i } ^ { 2 } Y _ { i j } ^ { 2 } \Bigr ) = \underbrace { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { \xi _ { k } N _ { i } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } ( 1 - 2 \Omega _ { i j } ) Y _ { i j } } _ { J _ { 3 } } } \\ & { + \underbrace { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { \xi _ { k } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } \sum _ { r \neq s } Z _ { i j r } Z _ { i j s } } _ { J _ { 4 } } + \underbrace { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { \xi _ { k } N _ { i } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } \Omega _ { i j } ( 1 - \Omega _ { i j } ) } _ { J _ { 5 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ L ~ M ~ } } = \sum _ { n } ^ { N _ { M } } \sum _ { q } - i \frac { \Omega _ { R } } { 2 } \sqrt { \frac { E _ { n } } { N _ { M } \hbar \omega _ { q } } } \left( e ^ { i q x _ { n } } \hat { b } _ { n } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q } - e ^ { - i q x _ { n } } \hat { a } _ { q } ^ { \dagger } \hat { b } _ { n } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \mathcal { G } ( x _ { t } , \nabla F ( x _ { t } ) , \gamma ) \| } & { \leq \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \big [ \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| + \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| \big ] } \\ & { \leq \frac { \sqrt { 2 \breve { M } } ( m + T ) ^ { 1 / 6 } } { \sqrt { T } } \leq \frac { \sqrt { 2 \breve { M } } m ^ { 1 / 6 } } { \sqrt { T } } + \frac { \sqrt { 2 \breve { M } } } { T ^ { 1 / 3 } } . } \end{array}
\varepsilon _ { \mathrm { w } } = D _ { \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } } ( { S ( \mathbf { d } } _ { \mathbf { w } } ) ) = \log \frac { { S ( \mathbf { d } } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ) } { { S ( \mathbf { d } } _ { \mathbf { w } } ) } = \log { \ S ( \mathbf { d } } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ) - \log \ { S ( \mathbf { d } } _ { \mathbf { w } } ) \
\begin{array} { r l r } { \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { v } } \log P ( \boldsymbol { \theta } _ { v } | { \bf d } ) } & { = } & { \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { v } } \log P ( \mathbf { T } _ { \mathrm { o b s } } | \boldsymbol { \theta } _ { v } ) + \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { v } } \log P ( \boldsymbol { \theta } _ { v } ) } \\ & { = } & { \frac { d J _ { \mathrm { L } } } { d \boldsymbol { \theta } _ { v } } + \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { v } } \log P ( \boldsymbol { \theta } _ { v } ) . } \end{array}
| \phi ( { \bf k } _ { 1 } , t ) | ^ { 2 } \approx \frac { 1 } { E _ { k _ { 1 } } } \, N ( { \bf k } _ { 1 } , t ) \approx \frac { 1 } { E _ { k _ { 1 } } } \, ( 1 + N ( { \bf k } _ { 1 } , t ) ) \; ,
{ \boldsymbol { \epsilon } } = \left[ { \begin{array} { l l l } { \epsilon _ { x x } } & { \epsilon _ { x y } } & { \epsilon _ { x z } } \\ { \epsilon _ { y x } } & { \epsilon _ { y y } } & { \epsilon _ { y z } } \\ { \epsilon _ { z x } } & { \epsilon _ { z y } } & { \epsilon _ { z z } } \end{array} } \right] .
\begin{array} { r l } { \langle g \rangle _ { T } } & { \approx \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { t } } g ( \pmb { s } ( t _ { n } ) ) } \\ { R _ { T } ( g , \tau ) } & { \approx \frac { 1 } { N _ { t } ^ { \prime } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { t } ^ { \prime } } g ( \pmb { s } ( t _ { n } + \mathrm { r o u n d } ( \tau / \Delta t ) \Delta t ) ) g ( \pmb { s } ( t _ { n } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } \quad } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( \nu _ { i } - \tau _ { i } ) f _ { i } ^ { \prime } - \left( \nu ( \Omega ) - 1 \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { f _ { i } ^ { \prime } - f _ { j } ^ { \prime } \leq \| y _ { i } - y _ { j } \| _ { \infty } , } & { \forall i , j \leq m , i \not = j , } \\ & { - f _ { i } ^ { \prime } + f _ { j } ^ { \prime } \leq \| y _ { i } - y _ { j } \| _ { \infty } , } & { \forall i , j \leq m , i \not = j , } \\ & { 0 \leq f _ { i } ^ { \prime } \leq 2 , } & { \forall i \leq m . } \end{array}
\overline { { { M } } } _ { \mathrm { q } } \; = \; \left( \begin{array} { l l l } { { E _ { \mathrm { q } } } } & { { | D _ { \mathrm { q } } | } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { | D _ { \mathrm { q } } | } } & { { C _ { \mathrm { q } } } } & { { | B _ { \mathrm { q } } | } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { | B _ { \mathrm { q } } | } } & { { A _ { \mathrm { q } } } } \end{array} \right) \;
\begin{array} { r l r } { E _ { + } ( z ) } & { = } & { \exp \left( - \zeta \right) \exp \left[ i \frac { \omega } { c } \left( z \left( 1 - \frac { c ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } L _ { 2 } ^ { 2 } } \right) + \frac { z ^ { 2 } } { 2 L _ { 1 } } + \frac { z ^ { 3 } } { 3 L _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \right] \, , } \\ { E _ { - } ( z ) } & { = } & { \exp \left[ i \frac { \omega } { c } \left( z + \frac { z ^ { 2 } } { 2 L _ { 1 } } + \frac { z ^ { 3 } } { 3 L _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \right] \, . } \end{array}
\mathrm { R } ^ { - \frac { 1 } { 1 + h _ { \operatorname* { m i n } } } } \lesssim \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { 0 } } \lesssim \mathrm { R } ^ { - \frac { 1 } { 1 + h _ { \operatorname* { m a x } } } } ,
\begin{array} { r l } & { ~ \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \left[ \eta _ { t } \hat { \rho } \widehat \lambda _ { t } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) + \eta _ { t } \hat { \rho } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } > \epsilon _ { t } ) \right] \cdot \frac { \mu } { 2 } \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \left[ \eta _ { t } \hat { \rho } ( \hat { \rho } - \rho ) \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } - \eta _ { t } \hat { \rho } \widehat \lambda _ { t } \epsilon _ { t } \right] \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) + \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \epsilon _ { t } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } > \epsilon _ { t } ) } \\ { \leq } & { ~ \frac { \hat { \rho } D ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 2 } M ^ { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 4 } M ^ { 4 } } } \\ & { + \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } 4 \eta _ { t } ^ { 2 } \hat { \rho } ^ { 2 } M ^ { 2 } D ^ { 2 } } + \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( 4 ( T - S ) / \delta ) } \left[ \widehat \lambda _ { t } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) + \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } > \epsilon _ { t } ) \right] . } \end{array}
+ r ( q - 1 ) ( b _ { 2 } f _ { 1 } + b _ { 1 } f _ { 2 } ) + r q ( f _ { 1 } a _ { 2 } + f _ { 2 } a _ { 1 } ) + \frac { \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } } { 2 } = 0 .
V _ { - 1 / 2 } ^ { T } = e ^ { - \phi / 2 } e ^ { - \tilde { \phi } / 2 } ~ H ^ { I } ~ S ^ { \alpha } \tilde { S } _ { \beta } ~ { \Sigma ^ { \mu \nu } } _ { \alpha } ^ { \beta } ~ \zeta _ { \mu \nu } \ .
\int _ { 0 } ^ { T } \left( \frac { \partial z } { \partial t } , \rho \right) \, d t + \int _ { 0 } ^ { T } ( v \cdot \nabla z , \rho ) \, d t + \int _ { 0 } ^ { T } ( L ( \varphi ) \cdot \nabla \theta , \rho ) \, d t = 0 .
\begin{array} { r } { \hat { I _ { \alpha } ^ { \sigma } } ( t ) = \frac { e } { h } \sum _ { n = 1 } ^ { M } \int \int d E d E ^ { \prime } e ^ { i ( E - E ^ { \prime } ) t / \hbar } } \\ { \times ( \hat { a } _ { \alpha n } ^ { \sigma \dagger } ( E ) \hat { a } _ { \alpha n } ^ { \sigma } ( E ^ { \prime } ) - \hat { b } _ { \alpha n } ^ { \sigma \dagger } ( E ) \hat { b } _ { \alpha n } ^ { \sigma } ( E ^ { \prime } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mu \nu } ^ { x c } } & { { } \approx \sum _ { i \in \mathcal { Q } } \Phi _ { \mu i } Z _ { \nu i } + Z _ { \mu i } \Phi _ { \nu i } } \\ { \Phi _ { \mu i } } & { { } = \phi _ { \mu } ( \ensuremath \mathbf { r } _ { i } ) } \end{array}
M \times \, ^ { \prime \prime } 0 \; 0 \; 1 \; 1 \; 1 \; 0 \; 1 \; 0 \, ^ { \prime \prime } = M \times ( 2 ^ { 5 } + 2 ^ { 4 } + 2 ^ { 3 } + 2 ^ { 1 } ) = M \times 5 8
\begin{array} { r } { U _ { x } = \frac { F _ { x } } { \pi a \eta _ { 0 } ( 6 - 0 . 5 \beta ^ { 2 } ) } ; \qquad U _ { y } = U _ { z } = 0 } \\ { \omega _ { x } = \omega _ { y } = 0 \qquad \omega _ { z } = 0 . 2 5 \beta \frac { F _ { x } } { \pi \eta _ { 0 } a ^ { 2 } ( 6 - 0 . 5 \beta ^ { 2 } ) } } \end{array}