harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 2 , 1 } } & { = } & { \hbar \partial _ { \lambda } \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 1 } + \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } L _ { 2 , 1 } ( \lambda ) , } \\ { \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 2 , 2 } } & { = } & { \hbar \partial _ { \lambda } \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } + \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 1 } + \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } L _ { 2 , 2 } ( \lambda ) , } \end{array}
( - 1 ) ^ { \frac { N _ { o d d } \left( N _ { o d d } - 1 \right) } { 2 } } = ( - 1 ) ^ { m } = ( - 1 ) ^ { \frac { N _ { o d d } - 1 } { 2 } + \frac { N _ { o d d } + N _ { e v e n } - 3 } { 2 } } = ( - 1 ) ^ { N _ { o d d } + \frac { N _ { e v e n } } { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \Tilde { G } _ { i j } ^ { T } ( \vec { r } , \omega ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi \eta \alpha ^ { 2 } r ^ { 3 } } \Big [ \delta _ { i j } ( ( 1 + r \alpha + r ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } ) \mathrm { e } ^ { - r \alpha } - 1 ) } \\ & { \qquad + \frac { 3 r _ { i } r _ { j } } { r ^ { 2 } } ( 1 - ( 1 + r \alpha + r ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } / 3 ) \mathrm { e } ^ { - r \alpha } ) \Big ] } \\ { \Tilde { G } _ { i j } ^ { L } ( \vec { r } , \omega ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi \eta \alpha ^ { 2 } r ^ { 3 } } \Big [ \delta _ { i j } ( 1 - ( 1 + r \lambda ) \mathrm { e } ^ { - r \lambda } ) } \\ & { \qquad - \frac { 3 r _ { i } r _ { j } } { r ^ { 2 } } ( 1 - ( 1 + r \lambda + r ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } / 3 ) \mathrm { e } ^ { - r \lambda } ) \Big ] \, . } \end{array}
\frac 1 2 M _ { S } { \bf \dot { a } } ^ { T } { \bf \dot { a } } = \frac 1 2 M _ { \mathrm { e f f } } { \bf \dot { u } } ^ { T } { \bf \dot { u } } = \frac 1 2 M _ { \mathrm { e f f } } \alpha ^ { 2 } { \bf \dot { a } } ^ { T } { \bf B } { \bf B } ^ { T } { \bf \dot { a } } .
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { g } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = 0 , \sigma = 2 ) \quad \mathrm { w i t h ~ } g = \{ \mathrm { m a l e , ~ f e m a l e } \} } \\ { \tau _ { g } } & { \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } ( \beta = 1 0 ) } \\ { I _ { c , g } ^ { \dagger } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = \hat { I } _ { g } , \sigma = \tau _ { g } ) } \\ { \hat { \sigma } _ { c , g } } & { \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } ( \beta = 1 0 ) } \\ { I _ { s , c , g } } & { \sim \mathrm { S t u d e n t T } _ { \nu = 4 } \left( \mu = I _ { c , g } ^ { \dagger } , \sigma = \hat { \sigma } _ { c , g } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { t + h } } & { { } = \frac { 1 - e ^ { - h \nu } } { h \nu } \left( \frac { h \nu e ^ { - h \nu } } { 1 - e ^ { - h \nu } } f _ { t } + ( 1 - B ) f ^ { M } \right) + ( 1 - A ) f ^ { M } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert Z _ { n } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \mathcal { G } _ { n } ) } } & { \le _ { \mathtt { p } , b , \mathtt { M } , S _ { 0 } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 4 } } , } \\ { \rVert Z _ { n } \rVert _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \mathcal { G } _ { n } ) } } & { \le _ { \mathtt { p } , b , \mathtt { M } , S _ { 0 } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime } ( z _ { 2 } ( x ) / \varepsilon ) \textrm { d } x = - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \beta ( z _ { 1 } , 0 ) J ( T ^ { - 1 } ) ( z _ { 1 } , 0 ) \textrm { d } z _ { 1 } . } \end{array}
j _ { \sigma _ { p } \nu _ { p } } ^ { \mu } ( \vec { p } , \vec { k } ) = \overline { { { u } } } ( \vec { p } , \sigma _ { p } ) \gamma ^ { \mu } u ( \vec { k } , \nu _ { p } ) = \frac { 2 } { \sqrt { 2 m ( \Delta ^ { 0 } + m ) } } \xi _ { \sigma _ { p } } ^ { * } \left[ p ^ { \mu } ( \Delta _ { 0 } + m ) + 2 W ^ { \mu } ( \vec { p } ) ( \vec { \sigma } \vec { \Delta } ) \right] \xi _ { \nu _ { p } } ,
\begin{array} { r l } { p ( 0 ) } & { \leq \mathbb { P } \big ( 2 P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } ( X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } ) / \sigma ^ { 2 } \geq \beta \big ) } \\ & { \stackrel { ( a ) } { = } \mathbb { P } \Big ( \sqrt { X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } } \geq \sigma \sqrt { \beta / ( 2 P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } ) } \Big ) , } \end{array}
{ \cal T } ~ = ~ \left( \begin{array} { l l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { - 2 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 3 } } & { { 5 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \lambda _ { \pi \Omega } } & { { } = - \left( \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } } { \partial \alpha _ { 0 } } + h _ { 0 } ^ { - 1 } \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } } { \partial \beta _ { 0 } } \right) , } \\ { \tau _ { \pi \Omega } } & { { } = \beta _ { 0 } \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } } { \partial \beta _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { a } ) } & { = } & { 1 - \left( \frac { X ( t ) + Y ( t ) } { n } \right) ^ { k } } \\ { \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { b } ) } & { = } & { \left( \frac { X ( t ) + Y ( t ) } { n } \right) ^ { k } - \left( \frac { X ( t ) } { n } \right) ^ { k } } \\ { \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { c } ) } & { = } & { \left( \frac { X ( t ) } { n } \right) ^ { k } - \left( \frac { X ( t ) - 2 R ( t ) + \mathcal { O } ( 1 ) } { n } \right) ^ { k } } \\ { \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { d } ) } & { = } & { \left( \frac { X ( t ) - 2 R ( t ) + \mathcal { O } ( 1 ) } { n } \right) ^ { k } - \left( \frac { 3 R ( t ) + \mathcal { O } ( 1 ) } { n } \right) ^ { k } } \\ { \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { e } ) } & { = } & { \left( \frac { 3 R ( t ) + \mathcal { O } ( 1 ) } { n } \right) ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| x ( t ) - \hat { x } ( t ) \right\| } & { \leq \left\| x \left( \frac { j T } { k } \right) - \hat { x } \left( \frac { j T } { k } \right) \right\| + \frac { \varepsilon } { 2 e ^ { C T } } } \\ & { \leq \frac { \varepsilon } { e ^ { C T } } + C \int _ { 0 } ^ { \frac { j T } { k } } \left\| x ( s ) - \hat { x } ( s ) \right\| d s } \\ & { \leq \frac { \varepsilon } { e ^ { C T } } + C \int _ { 0 } ^ { t } \left\| x ( s ) - \hat { x } ( s ) \right\| d s } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 4 } } & { { } \textbf { S y s t e m A } \: \: \: \: } & { } & { { } V _ { 1 } ( x _ { 1 } ) } & { } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 \cdot k ( x _ { 1 } - x _ { \mathrm { ~ l ~ } } ) ^ { 2 } , \: \: \: \: \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ x _ { 1 } < x _ { l } } \\ { 0 . 5 \cdot k ( x _ { 1 } - x _ { \mathrm { ~ r ~ } } ) ^ { 2 } , \: \: \: \: \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ x _ { 1 } > x _ { \mathrm { ~ r ~ } } } \\ { 0 , \: \: \: \: \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
{ \cal L } _ { N S D } = \beta ^ { 2 } \, \ln \left( \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } \, A _ { \mu } \, A ^ { \mu } \right) - \chi \, \frac { m } { 2 } \, \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } \, A _ { \mu } \, \partial _ { \nu } A _ { \lambda } \, ,
\begin{array} { r l } { f _ { i j } \left( \beta _ { i j } ^ { k } \right) } & { = w _ { i j } \mathrm { l o g } \left( \frac { \overline { { \beta } } _ { i j } ^ { k } } { \beta _ { i j } ^ { k } } \right) } \\ { g _ { i } \left( \overline { { \Delta } } - \delta _ { i } ^ { k } \right) } & { = w _ { i i } \mathrm { l o g } \left( \frac { \overline { { \Delta } } - \underline { { \delta } } _ { i } ^ { k } } { \overline { { \Delta } } - \delta _ { i } ^ { k } } \right) } \end{array}
\sim \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left| ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) / v _ { Z , \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ t ~ r ~ o ~ p ~ i ~ c ~ } } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right|
{ \begin{array} { r l } & { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } , x _ { n + 1 } , \ldots ) + ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , \ldots , y _ { n } , y _ { n + 1 } , \ldots ) } \\ { = } & { ( x _ { 1 } + y _ { 1 } , x _ { 2 } + y _ { 2 } , \ldots , x _ { n } + y _ { n } , x _ { n + 1 } + y _ { n + 1 } , \ldots ) , } \\ & { \lambda \cdot \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } , x _ { n + 1 } , \ldots \right) } \\ { = } & { ( \lambda x _ { 1 } , \lambda x _ { 2 } , \ldots , \lambda x _ { n } , \lambda x _ { n + 1 } , \ldots ) . } \end{array} }
| \mathscr { W } ( s , z ) | = \exp { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } z \right) } \left| \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \lambda _ { 1 } } & { \lambda _ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } } & { \lambda _ { 4 } } & { \lambda _ { 5 } } & { \lambda _ { 6 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 2 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 3 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 4 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 5 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 5 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 5 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 5 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 5 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 5 } } \end{array} \right| = \exp { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } z \right) } \mathscr { E } _ { \lambda } ( s )
\begin{array} { c c c } { { \Psi _ { I } } } & { { = } } & { { ( w _ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Psi ~ ~ ; } } \\ { { F _ { I } ^ { \mu \nu } } } & { { = } } & { { ( w _ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } F ^ { \mu \nu } ~ ~ ; } } \end{array} \quad \begin{array} { c c c } { { m _ { I } } } & { { = } } & { { \frac { w _ { 0 } } { w _ { 2 } } m } } \\ { { e _ { I } } } & { { = } } & { { \frac { w _ { 1 } } { w _ { 2 } w _ { 3 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } e } } \end{array}
\Phi / \Psi = \{ ( [ a ^ { \prime } ] _ { \Psi } , [ a ^ { \prime \prime } ] _ { \Psi } ) : ( a ^ { \prime } , a ^ { \prime \prime } ) \in \Phi \} = [ \ ] _ { \Psi } \circ \Phi \circ [ \ ] _ { \Psi } ^ { - 1 }
{ \frac { 1 } { 2 } } [ \dot { x } _ { \mu } ( \tau _ { i } + \epsilon ) - \dot { x } _ { \mu } ( \tau _ { i } - \epsilon ) ] = l i m _ { \epsilon \rightarrow 0 } \, i k _ { i \mu } , \quad i = 1 , . . . , M .
{ \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { e } _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) } \\ { \mathbf { e } _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) } \\ { \mathbf { e } _ { 3 } ^ { \prime } ( t ) } \end{array} \right] } = \left\Vert \gamma ^ { \prime } \left( t \right) \right\Vert { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \kappa ( t ) } & { 0 } \\ { - \kappa ( t ) } & { 0 } & { \tau ( t ) } \\ { 0 } & { - \tau ( t ) } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { e } _ { 1 } ( t ) } \\ { \mathbf { e } _ { 2 } ( t ) } \\ { \mathbf { e } _ { 3 } ( t ) } \end{array} \right] }
\hat { H } _ { \mathrm { D C B Q } } = \Lambda ^ { + } ( \hat { H } _ { \mathrm { D } } + \hat { H } _ { \mathrm { C } } + \hat { H } _ { \mathrm { B } } + \hat { V } _ { \mathrm { Q E D } } ^ { \mathrm { m o d } } ) \Lambda ^ { + } .
\sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } \mu _ { i } \equiv \langle \mu \rangle _ { x } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { x _ { i } } { L _ { i } } \log \phi _ { i } + \langle 1 / L \rangle _ { x } - 1 - \log ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) + \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } \langle \epsilon \rangle _ { x } ,
\begin{array} { r } { \widetilde { \mathbf { C } } _ { 1 } = ( \widehat { \mathbf { M } } ^ { 3 } ) ^ { \top } \otimes ( \widehat { \mathbf { M } } ^ { 2 } ) ^ { \top } \otimes ( \widehat { \mathbf { G } } ^ { 1 } ) ^ { \top } , } \\ { \widetilde { \mathbf { C } } _ { 2 } = ( \widehat { \mathbf { M } } ^ { 3 } ) ^ { \top } \otimes ( \widehat { \mathbf { G } } ^ { 2 } ) ^ { \top } \otimes ( \widehat { \mathbf { M } } ^ { 1 } ) ^ { \top } , } \\ { \widetilde { \mathbf { C } } _ { 3 } = ( \widehat { \mathbf { G } } ^ { 3 } ) ^ { \top } \otimes ( \widehat { \mathbf { M } } ^ { 2 } ) ^ { \top } \otimes ( \widehat { \mathbf { M } } ^ { 1 } ) ^ { \top } , } \end{array}
\theta _ { B _ { 2 } } ( \Tilde { \psi } ^ { \prime } ( g ) ) = \theta _ { B _ { 2 } } ( \sum _ { \Tilde { g } \twoheadrightarrow g } \Tilde { g } ) = ( \sigma _ { w } - 1 ) \sum _ { \Tilde { g } \twoheadrightarrow g } \Tilde { g } = \sum _ { \Tilde { h } \twoheadrightarrow \sigma _ { v } g } \Tilde { h } - \sum _ { \Tilde { g } \twoheadrightarrow g } \Tilde { g } , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } g \in G _ { 1 } .
u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } = u _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } + ( w _ { i + 1 } - w _ { i } ) - \left\lfloor \frac { w _ { i + 1 } - w _ { i } } { L _ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor L _ { i + 1 } \, .
\omega ^ { 3 } + i \left( \eta + \xi \right) \omega ^ { 2 } - \omega _ { \textrm { D I A } } ^ { 2 } \omega - i \left( \eta \omega _ { \textrm { D I A } } ^ { 2 } + \xi \omega _ { s } ^ { 2 } \right) = 0 ,
\operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \lVert \partial _ { x } u _ { n } \rVert _ { L ^ { 2 l } ( \Omega ) } \leq C _ { 6 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , T , l ) , \ l = 1 , 2 , \cdots
\begin{array} { r l } { \left( - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + v _ { \mathrm { e x t } } + v _ { \mathrm { H } } \right) \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) + \int \Sigma ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; E _ { i } ) } & { { } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \, d \mathbf { r } ^ { \prime } } \end{array}
{ \frac { \delta W } { \delta J } } = { \bar { \phi } } ~ , ~ { \frac { \delta W } { \delta J } } { \Bigg | } _ { J = 0 } = \langle \phi \rangle ~ , ~ { \frac { \delta \Gamma [ { \bar { \phi } } ] } { \delta { \bar { \phi } } } } { \Bigg | } _ { J } = - J ~ , ~ { \frac { \delta \Gamma [ { \bar { \phi } } ] } { \delta { \bar { \phi } } } } { \Bigg | } _ { { \bar { \phi } } = \langle \phi \rangle } = 0 .
\nabla \nabla V ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) = Z _ { \kappa } ( \boldsymbol { k } + \boldsymbol { G } ) ( \boldsymbol { k } + \boldsymbol { G } ) \sum _ { \boldsymbol { k } } \sum _ { \boldsymbol { G } } V ( \boldsymbol { k } + \boldsymbol { G ) } e ^ { i ( \boldsymbol { k } + \boldsymbol { G } ) \cdot ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \gamma _ { t } } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } } & { - \frac { 1 } { 2 \gamma _ { t } } \Vert x ^ { t } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } } \\ & { = \frac { - 1 } { 2 \gamma _ { t } } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \Vert ^ { 2 } - \langle \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) + \eta ^ { t + 1 } , x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \rangle } \\ & { = \frac { - 1 } { 2 \gamma _ { t } } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \Vert ^ { 2 } - \langle \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { t } ) , x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \rangle - \langle \nabla f ( x ^ { t } ) + \eta ^ { t + 1 } , x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { e } _ { 4 } = \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \pmb { \kappa } _ { n } / k _ { 0 } ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ \sigma _ { 4 } = \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \sqrt { g | \pmb { \kappa } _ { n } | \operatorname { t a n h } ( | \pmb { \kappa } _ { n } | h ) } / \omega _ { 0 } ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } ~ \pmb { \kappa } _ { n } \cdot \mathbf { k } _ { 0 } > 0 , } \end{array}
r ( t ) _ { 1 , 2 } = \Big [ \left( r _ { 0 } - 1 / 2 \right) \big [ \left( r _ { 0 } - 1 / 2 \right) \exp ( t ) \pm \big [ \big ( \left( r _ { 0 } - 1 / 2 \right) ^ { 2 } \exp ( t ) - r _ { 0 } ^ { 2 } + r _ { 0 } \big ) \exp ( t ) \big ] ^ { 1 / 2 } \big ] - r _ { 0 } ^ { 2 } + r _ { 0 } \Big ] / 2 \big [ ( r _ { 0 } - 1 / 2 ) ^ { 2 } \exp ( t ) - r _ { 0 } ^ { 2 } + r _ { 0 } \big ]
\begin{array} { r l } { q ^ { \prime } ( x , y , z ) } & { { } = \frac { 1 } { f _ { 0 } } \nabla _ { H } ^ { 2 } \phi ^ { \prime } + \frac { f _ { 0 } } { N ^ { 2 } } b u t c h a r t 2 0 1 4 b r e w e r - \frac { f _ { 0 } } { H N ^ { 2 } } \frac { \mathrm { ~ d ~ } \phi ^ { \prime } } { \mathrm { ~ d ~ } z } } \end{array}
P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { e } } = \left( 1 - \sum _ { j = 1 , 2 } \left| U _ { e j } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 2 } P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { e } } ^ { ( 3 , 4 ) } + \sum _ { j = 1 , 2 } \left| U _ { e j } \right| ^ { 4 } \; ,
\lvert g _ { \varepsilon } \rvert = \lvert D \tilde { \Psi } \rvert ^ { - 2 } \lvert \hat { g } \rvert = \sqrt { \lvert \hat { g } \rvert } \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } \quad \mathrm { a n d } \quad \lvert g _ { \varepsilon ^ { \prime } } \rvert = \lvert D \tilde { \Psi } ^ { \prime } \rvert ^ { - 2 } \lvert \hat { g } ^ { \prime } \rvert = \sqrt { \lvert \hat { g } ^ { \prime } \rvert } \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } .
{ \begin{array} { r l l l } { { \mathrm { m e a n } } } & { = e ^ { \mu + \sigma ^ { 2 } / 2 } } & { = e ^ { 0 + 0 . 2 5 ^ { 2 } / 2 } } & { \approx 1 . 0 3 2 } \\ { { \mathrm { m o d e } } } & { = e ^ { \mu - \sigma ^ { 2 } } } & { = e ^ { 0 - 0 . 2 5 ^ { 2 } } } & { \approx 0 . 9 3 9 } \\ { { \mathrm { m e d i a n } } } & { = e ^ { \mu } } & { = e ^ { 0 } } & { = 1 } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } & { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } - q \cdot \frac { a + b - 2 c } { a b - c ^ { 2 } } \ } & & { \mathrm { i f ~ C o n d i t i o n ~ 1 ~ h o l d s } ; } \\ & { \frac { b - 1 } { 2 b } \left( ( q + Q _ { b } ) - \frac { b - c } { b - 1 } \mu _ { 1 } \right) + \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } - q \ } & & { \mathrm { i f ~ C o n d i t i o n ~ 2 ~ h o l d s } ; } \\ & { \frac { a - 1 } { 2 a } \left( ( q + Q _ { a } ) - \frac { a - c } { 2 a } \mu _ { 2 } \right) + \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } - q \ } & & { \mathrm { i f ~ C o n d i t i o n ~ 3 ~ h o l d s } ; } \\ & { \frac { b - 1 } { 2 b } \left( \frac { b - c } { b - 1 } \mu _ { 1 } - ( q - Q _ { b } ) \right) \ } & & { \mathrm { i f ~ C o n d i t i o n ~ 4 ~ h o l d s } ; } \\ & { \frac { a - 1 } { 2 a } \left( \frac { a - c } { a - 1 } \mu _ { 2 } - ( q - Q _ { a } ) \right) \ } & & { \mathrm { i f ~ C o n d i t i o n ~ 5 ~ h o l d s } ; } \\ & { \frac { 1 } { 2 } ( Q _ { c } - q + \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) \ } & & { \mathrm { i f ~ C o n d i t i o n ~ 6 ~ h o l d s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \boldsymbol { k } } } & { \sim \frac { 2 \pi } { \hbar } \frac { 1 } { \Omega _ { \mathrm { B Z } } ^ { 2 } } \delta ( \epsilon _ { k ^ { \prime } } - \epsilon _ { k } - \Delta E ) \int _ { \boldsymbol { q } + \boldsymbol { p } = \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } } N _ { q } N _ { p } \big | g ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } ) \big | ^ { 2 } d ^ { 3 } \boldsymbol { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \{ 0 x \mid C _ { n + 1 , ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { h } ) } ( 0 x ) = t , | x | = n \} = \{ 0 x \mid C _ { n , ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { h } ) } ( x ) = t , | x | = n \} , \mathrm { ~ a n d } } \\ & { \{ 1 x \mid C _ { n + 1 , ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { h } ) } ( 1 x ) = t , | x | = n \} = \{ 1 x \mid D _ { n , ( m _ { 1 } , \ldots , m _ { h } ) } ( x ) = t , | x | = n \} . } \end{array}
f ^ { i } = f _ { \, { \hat { \alpha } } { \hat { \beta } } } ^ { i } { \hat { e } } ^ { \hat { \alpha } } \wedge { \hat { e } } ^ { \hat { \beta } } = 2 { \hat { e } } ^ { 5 } \wedge { \hat { e } } ^ { i } + \varepsilon _ { i j k } { \hat { e } } ^ { j } \wedge { \hat { e } } ^ { k }
\Phi _ { R } \left( p ^ { \mu } \right) = \Lambda _ { R } \left( \dot { p } ^ { \mu } \to p ^ { \mu } \right) \Phi _ { R } \left( \dot { p } ^ { \mu } \right) = e ^ { i \vec { J } \cdot ( \vec { \vartheta } - i \vec { \varphi } ) } ~ \Phi _ { R } \left( \dot { p } ^ { \mu } \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell _ { 3 } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 3 } } & { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } \\ { m _ { 3 } } & { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 2 } } & { \ell _ { 3 } } & { \ell _ { 1 } } \\ { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } & { m _ { 1 } } \end{array} \right\} ,
\gamma _ { n } \mu ( t ) ^ { \left( 1 - \frac { 1 } { n } \right) \frac { p } { p - 1 } } \leq \left( \int _ { 0 } ^ { \mu ( t ) } f ^ { \ast } ( s ) \, d s \right) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left( - \mu ^ { \prime } ( t ) + \frac { 1 } { \beta ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } } \int _ { \partial U _ { t } ^ { \mathrm { e x t } } } \frac { 1 } { u } \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( x ) \right)
\begin{array} { r l } & { \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } | v | ^ { 2 } Q _ { - + } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ) d x d v } \\ & { \quad = - 2 \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } v _ { j } \{ \varepsilon \Phi _ { i j } * _ { \xi } F _ { - } | _ { \xi = \varepsilon v } \partial _ { v _ { i } } F _ { + } - \partial _ { \xi _ { i } } \Phi _ { i j } * _ { \xi } F _ { - } | _ { \xi = \varepsilon v } F _ { + } \} d x d v } \\ & { \quad = 2 \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } \{ \varepsilon \ \mathrm { t r } ( \Phi * _ { \xi } F _ { - } | _ { \xi = \varepsilon v } ) + ( 1 + \varepsilon ^ { 2 } ) v _ { j } \partial _ { \xi _ { i } } \Phi _ { i j } * _ { \xi } F _ { - } | _ { \xi = \varepsilon v } \} F _ { + } d x d v } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \mathrm { e f f } , 1 2 } = D _ { 4 5 } ^ { 0 } + D _ { 4 5 } ^ { \mathrm { p e r t } } + \sum _ { l = 1 , 2 , 3 , 6 } \frac { D _ { 4 l } ^ { \mathrm { p e r t } } D _ { l 5 } ^ { \mathrm { p e r t } } } { \omega _ { 4 } ^ { 2 } - \omega _ { l } ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \frac { \overline { { G B } } } { \overline { { G A } } } } \times { \frac { \overline { { H A } } } { \overline { { H F } } } } \times { \frac { \overline { { K F } } } { \overline { { K E } } } } \times { \frac { \overline { { G E } } } { \overline { { G D } } } } \times { \frac { \overline { { H D } } } { \overline { { H C } } } } \times { \frac { \overline { { K C } } } { \overline { { K B } } } } = 1 .
\begin{array} { r } { \mathcal { F } ^ { j } ( x ) = \rho \mathrm { u } ^ { j } \mathcal { F } ^ { \mathsf { t } } ( x ) + \sum _ { \lambda \in \Gamma } \frac { \lambda ^ { x } } { \lambda - 1 } l _ { \lambda } ( x ) \Big ( \lambda \mathrm { u } _ { \lambda } ^ { j } - \rho \mathrm u ^ { j } \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { J } \mathrm { u } _ { \lambda } ^ { i } \Big ) \Big ) W _ { \lambda } + o ( \gamma ^ { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda \varphi } & { { } = ( \partial _ { \beta } u _ { \alpha } ) \left( C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) + \sqrt { R T } \left( \frac { \partial _ { \alpha } T } { T } \right) C _ { \alpha } \left( \frac { C ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) . } \end{array}
C _ { 0 } = \mathrm { ~ 3 ~ . ~ 4 ~ 0 ~ 5 ~ 1 ~ 7 ~ 1 ~ 0 ~ 4 ~ } \, m , \quad \, \tau _ { 0 } = \mathrm { ~ 2 ~ . ~ 0 ~ 5 ~ 8 ~ 2 ~ 2 ~ 4 ~ 4 ~ } .