harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f ( z ) } & { = \frac { 4 } { 3 } \left( \frac { 1 } { z + 1 } \right) + \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { 1 } { z - 2 } \right) } \\ & { = \frac { 4 } { 3 z } \left( \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { z } } \right) - \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 1 } { 2 } z } \right) } \\ & { = \frac { 4 } { 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { z ^ { n + 1 } } + \frac { 1 } { 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } z ^ { n } } \\ & { = \frac { 4 } { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { z ^ { n } } + \frac { 1 } { 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } z ^ { n } } \end{array}
\mathrm { m } _ { i } \left[ a _ { 0 } \otimes \cdots \otimes a _ { i - 1 } \otimes a _ { i } \otimes \cdots \otimes a _ { p } \right] = a _ { 0 } \otimes \cdots \otimes a _ { i - 1 } a _ { i } \otimes a _ { i + 1 } \otimes \cdots \otimes a _ { p } .
\begin{array} { r l } & { g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } = \left( \begin{array} { c c } { I _ { \tilde { C } \tilde { C } } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { i i } } \end{array} \right) + 2 \left( \begin{array} { c c } { G _ { \tilde { C } \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } } } & { G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } } \\ { G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } } } & { G _ { i i } ^ { s _ { 1 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { G _ { \tilde { C } \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } } & { G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 2 } } } \\ { G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } } & { G _ { i i } ^ { s _ { 2 } } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c c } { G _ { \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } } \tilde { C } } & { G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } } \\ { G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } } } & { G _ { i i } ^ { s _ { 1 } } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c c } { G _ { \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \tilde { C } } & { G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 2 } } } \\ { G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } } & { G _ { i i } ^ { s _ { 2 } } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { g _ { \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } + 2 G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } } & { 2 G _ { \tilde { C } \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } } G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 2 } } - G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } - G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 2 } } + 2 G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { \tilde { C } } } G _ { i i } ^ { s _ { 2 } } } \\ { 2 G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } } G _ { \tilde { C } \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } - G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } } - G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } + 2 G _ { i i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } } & { I _ { i i } + 2 G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } } G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 2 } } - G _ { i i } ^ { s _ { 1 } } - G _ { i i } ^ { s _ { 2 } } + 2 G _ { i i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i i } ^ { s _ { 2 } } } \end{array} \right) } \\ & { \equiv \left( \begin{array} { l l } { \tilde { A } } & { \tilde { B } } \\ { \tilde { C } } & { \tilde { D } } \end{array} \right) } \\ & { } \end{array}
\sigma _ { k } = 1 + \left( \frac { 1 } { 2 ^ { k } } - 1 \right) \zeta ( k ) + \frac { \gamma \, \gamma _ { k - 2 } } { \Gamma ( k - 1 ) } + \frac { k \, \gamma _ { k - 1 } } { \Gamma ( k ) } - \sum _ { j = 1 } ^ { k - 2 } \frac { \gamma _ { j - 1 } } { \Gamma ( j ) } \, \left( 1 + \left( \frac { 1 } { 2 ^ { k - j } } - 1 \right) \zeta ( k - j ) - \sigma _ { k - j } \right)
P _ { d e p t h } ( a t m ) = 1 + { \frac { \rho _ { s e a w a t e r } \cdot g \cdot h _ { d e p t h } } { P _ { a t m o s p h e r e } ( P a ) } } = 1 + { \frac { 1 0 2 7 \cdot 9 . 8 \cdot h _ { d e p t h } } { 1 0 1 3 2 5 } } \ \approx 1 + { \frac { h _ { d e p t h } ( m ) } { 1 0 } }
\partial _ { \nu } \left\{ \begin{array} { c } { { L \left( \begin{array} { c } { { G _ { \mu } } } \\ { { H _ { \mu } } } \end{array} \right) } } \end{array} \right\} = \{ \partial _ { \nu } ( L A _ { \mu } ^ { a } ) \} \left( \begin{array} { c } { { \frac { \partial n ^ { a } } { \partial \theta } } } \\ { { \frac { 1 } { \sin \theta } \frac { \partial n ^ { a } } { \partial \varphi } } } \end{array} \right) + D _ { \nu \mu }
\begin{array} { r l } { ( S \circ P _ { k } ) ( u ) ( x ) } & { = u \bigl ( \sum _ { n = 1 } ^ { k } Q _ { n } ^ { t } ( \delta _ { x } ) \bigr ) = u \bigl ( \sum _ { n = 1 } ^ { k } \lambda _ { n } ^ { \mathbb { K } } ( \cdot ) f _ { n } ( x ) \bigr ) = \sum _ { n = 1 } ^ { k } u ( \lambda _ { n } ^ { \mathbb { K } } ) f _ { n } ( x ) } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { k } \lambda _ { n } ^ { E } ( S ( u ) ) f _ { n } ( x ) = ( P _ { k } ^ { E } \circ S ) ( u ) ( x ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \| r _ { n } \| } & { = \| b - A x _ { n } \| } \\ & { = \| b - A ( x _ { 0 } + Q _ { n } y _ { n } ) \| } \\ & { = \| r _ { 0 } - A Q _ { n } y _ { n } \| } \\ & { = \| \beta q _ { 1 } - A Q _ { n } y _ { n } \| } \\ & { = \| \beta q _ { 1 } - Q _ { n + 1 } { \tilde { H } } _ { n } y _ { n } \| } \\ & { = \| Q _ { n + 1 } ( \beta e _ { 1 } - { \tilde { H } } _ { n } y _ { n } ) \| } \\ & { = \| \beta e _ { 1 } - { \tilde { H } } _ { n } y _ { n } \| } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { \cal M } = } & { { } } & { i g _ { Z } ^ { 2 } ( 4 E _ { 1 } E _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( l _ { i } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \delta _ { \sigma _ { 1 } , - \sigma _ { 2 } } ( g _ { \sigma _ { 2 } } ^ { e } ) ^ { 2 } \chi _ { - \sigma _ { 2 } } ( p _ { 2 } ) } \end{array}
\hat { \sigma } _ { R } ^ { 2 } ( \bar { \mathcal O } ) = \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \mathcal { O } _ { i } ^ { ( n ) } - \bar { \mathcal O } \right) ^ { 2 } \, ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { N O T } x } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor \log _ { 2 } ( x ) \rfloor } 2 ^ { n } \left[ \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } + 1 \right) { \bmod { 2 } } \right] = 2 ^ { \left\lfloor \log _ { 2 } ( x ) \right\rfloor + 1 } - 1 - x } \\ { x \operatorname { A N D } y } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor \log _ { 2 } ( x ) \rfloor } 2 ^ { n } \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) \left( \left\lfloor { \frac { y } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) } \\ { x \operatorname { O R } y } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor \log _ { 2 } ( x ) \rfloor } 2 ^ { n } \left( \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) + \left( \left\lfloor { \frac { y } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) - \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) \left( \left\lfloor { \frac { y } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) \right) } \\ { x \operatorname { X O R } y } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor \log _ { 2 } ( x ) \rfloor } 2 ^ { n } \left( \left[ \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) + \left( \left\lfloor { \frac { y } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) \right] { \bmod { 2 } } \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor \log _ { 2 } ( x ) \rfloor } 2 ^ { n } \left[ \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { y } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor \right) { \bmod { 2 } } \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { 2 } \frac { \partial \b u } { \partial t } \bigg | _ { \b X } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + \nu \nabla ^ { 2 } \b u + \b f } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega , } \\ { \nabla \cdot \b u } & { { } = 0 } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { s \leq t } Y ^ { p } ( s \wedge T _ { n } ) } & { \leq \mathbb { E } Y _ { 0 } ^ { p } + C \int _ { 0 } ^ { \tau _ { n } } \left[ \left( Y ( s _ { - } ) + 1 \right) ^ { p } - Y ( s ) ^ { p } \right] N ^ { Y } ( d s , d z ) \leq } \\ & { \leq \mathbb { E } Y _ { 0 } ^ { p } + C \int _ { 0 } ^ { \tau _ { n } } \left[ \left( Y ^ { p - 1 } ( s _ { - } ) + 1 \right) Y ( s ) ^ { p } \right] N ^ { Y } ( d s , d z ) \leq } \\ & { \leq C \left( 1 + \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { q \leq s \wedge T _ { n } } Y ^ { p } ( q ) d s \right) \, , } \end{array}
\tilde { S } ^ { c } ( x , y ) = S ^ { c } ( x , y ) \gamma ^ { D + 1 } , \; \; \left( \hat { { \cal P } } _ { \mu } \tilde { \gamma } ^ { \mu } - m \gamma ^ { D + 1 } \right) \tilde { S } ^ { c } ( x , y ) = \delta ^ { D } ( x - y ) ,
\begin{array} { r l } { \mathsf { \Phi } _ { d _ { i j , k } } } & { = \ensuremath { \frac { \partial \phi } { \partial r _ { c } ^ { k } } } \Bigr | _ { r ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { j } , \textbf { l } ) } = \ensuremath { \frac { \partial \phi } { \partial r } } \Bigr | _ { r ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { j } , \textbf { l } ) } \ensuremath { \frac { \partial r } { \partial r _ { c } ^ { k } } } \Bigr | _ { ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { j } , \textbf { l } ) } , } \\ { \mathsf { \Phi } _ { d d _ { i j , k l } } } & { = \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial r _ { c } ^ { k } \partial r _ { p } ^ { l } } \Bigr | _ { r ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { j } , \textbf { l } ) } = \ensuremath { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial r ^ { 2 } } } \Bigr | _ { r ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { j } , \textbf { l } ) } \ensuremath { \frac { \partial r } { \partial r _ { c } ^ { k } } } \Bigr | _ { ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { j } , \textbf { l } ) } \ensuremath { \frac { \partial r } { \partial r _ { p } ^ { l } } } \Bigr | _ { ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { j } , \textbf { l } ) } + \ensuremath { \frac { \partial \phi } { \partial r } } \Bigr | _ { r ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { j } , \textbf { l } ) } \frac { \partial ^ { 2 } r } { \partial r _ { c } ^ { k } \partial r _ { p } ^ { l } } \Bigr | _ { ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { j } , \textbf { l } ) } . } \end{array}
y = y _ { 0 } + A \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \frac { x - x _ { c } + w _ { 1 } / 2 } { w _ { 2 } } } } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \frac { x - x _ { c } - w _ { 1 } / 2 } { w _ { 3 } } } } \right) ,
\begin{array} { r } { { \mathbf B } = { \mathbf 0 } , \ f = \frac { 1 } { \pi ^ { \frac { 3 } { 2 } } v _ { T } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } e ^ { - \frac { | v _ { x } | ^ { 2 } } { v _ { T } ^ { 2 } } - \frac { | v _ { y } | ^ { 2 } } { v _ { T } ^ { 2 } } - \frac { | v _ { z } - 0 . 1 | ^ { 2 } } { v _ { T } ^ { 2 } } } , \, \kappa = 1 , \, v _ { T } = 0 . 1 . } \end{array}
W = m _ { 1 } X _ { 1 } ^ { k + 1 } + m _ { 2 } X _ { 2 } ^ { k + 1 } + X _ { 1 } \tilde { F } F + X _ { 2 } \tilde { F } F + \lambda _ { 1 } Q X _ { 1 } \tilde { Q } + \lambda _ { 2 } Q ^ { \prime } X _ { 2 } \tilde { Q } ^ { \prime }
\left( \begin{array} { l l l l l l l } { \tilde { \tau } _ { 2 } ^ { 1 } } & { \tilde { \tau } _ { 2 } ^ { 2 } } & { \tilde { \alpha } _ { 2 } \frac { b _ { 2 0 3 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } } & { \tilde { \alpha } _ { 2 } \frac { b _ { 2 0 4 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } } & { \cdots } & { \tilde { \alpha } _ { 2 } \frac { b _ { 2 0 D } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } } & { \cdots } \\ { \tilde { \tau } _ { 3 } ^ { 1 } } & { \tilde { \alpha } _ { 3 } \frac { b _ { 2 0 2 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } } & { \tilde { \tau } _ { 3 } ^ { 3 } } & { \tilde { \alpha } _ { 3 } \frac { b _ { 2 0 4 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } } & { \cdots } & { \tilde { \alpha } _ { 3 } \frac { b _ { 2 0 D } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \ddots } \\ { \tilde { \tau } _ { D } ^ { 1 } } & { \tilde { \alpha } _ { D } \frac { b _ { 2 0 2 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } } & { \tilde { \alpha } _ { D } \frac { b _ { 2 0 3 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } } & { \cdots } & { \tilde { \alpha } _ { D } \frac { b _ { 2 0 , D - 1 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } } & { \tilde { \tau } _ { D } ^ { D } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \bar { c } _ { 2 } ^ { 1 } } \\ { \bar { c } _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \bar { c } _ { 2 } ^ { D - 1 } } \\ { \bar { c } _ { 2 } ^ { D } } \\ { \vdots } \end{array} \right) = \boldsymbol { 0 }
V _ { s } ( r ) = \left( 1 - \frac { 2 M r ^ { 2 } } { \left( g ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } + \frac { \alpha \log \left( \frac { r } { \vert \alpha \vert } \right) } { r } \right) \left( \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } + \frac { 6 M r ^ { 2 } } { \left( g ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) ^ { 5 / 2 } } - \frac { 4 M } { \left( g ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } + \frac { \alpha } { r ^ { 3 } } - \frac { \alpha \log \left( \frac { r } { \operatorname { \vert \alpha \vert } } \right) } { r ^ { 3 } } \right) .
\int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x \, \, \Psi _ { k } ( x ) \Psi _ { k \, ^ { \prime } } ( x ) = \delta ( k - k \, ^ { \prime } ) , ~ ~ ~ ~ ~ \int _ { 0 } ^ { + \infty } d k \, \, \Psi _ { k } ( x ) \Psi _ { k } ( x ^ { \prime } ) = \delta ( x - x \, ^ { \prime } )
\Delta \alpha = \frac { \ell _ { 0 } } { q \psi _ { 0 } } \sqrt { \frac { m H } { 2 } } \int \frac { \lambda \partial _ { \hat { \psi } } \hat { B } } { \sqrt { 1 - \lambda \hat { B } } } \mathrm { d } \hat { \ell }
\sum _ { \substack { 0 \le N < q _ { K } \, | b _ { k } ( N ) - a _ { k + 1 } / 2 | > \operatorname* { m a x } \{ 1 0 , 1 0 / \sqrt { | p | } \} \sqrt { a _ { k + 1 } \log a _ { k + 1 } } } } e ^ { p S _ { N } ( \alpha ) } \le a _ { k + 1 } ^ { - 4 8 \operatorname* { m a x } \{ | p | , 1 \} } \sum _ { 0 \le N < q _ { K } } e ^ { p S _ { N } ( \alpha ) } .
\left\{ \begin{array} { l } { { \psi _ { \scriptscriptstyle \Sigma _ { 0 } } ( 1 + E _ { 0 } ) \tilde { \psi } _ { \scriptscriptstyle \Sigma _ { 0 } } = P } } \\ { { \psi _ { \scriptscriptstyle \Sigma _ { 0 } } ( 1 + E _ { 0 } ) E _ { 1 } E _ { 2 } \tilde { \psi } _ { \scriptscriptstyle \Sigma _ { 0 } } = Q } } \end{array} \right.
\left[ \Pi ( \Lambda _ { 1 } ) \Pi ( \Lambda _ { 2 } ) \Pi ^ { - 1 } ( \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } = 1 \Rightarrow \Pi ( \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 2 } ) = \pm \Pi ( \Lambda _ { 1 } ) \Pi ( \Lambda _ { 2 } ) , \quad \Lambda _ { 1 } , \Lambda _ { 2 } \in \mathrm { S O } ( 3 ; 1 ) ,
\frac { \partial T } { \partial t } + \frac { \rho c _ { p } } { \rho _ { \mathrm { { e f f } } } c _ { p , \mathrm { { e f f } } } } \vec { V } \cdot \nabla T - \nabla \cdot \left( \alpha _ { \mathrm { { e f f } } } \nabla T \right) = \frac { S _ { \mathrm { { h } } } } { \rho _ { \mathrm { { e f f } } } c _ { p , \mathrm { { e f f } } } }
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } m _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = \dot { m } _ { \mathrm { O 2 , k i n } } = \dot { m } _ { \mathrm { O 2 , d i f f } } , } \\ { \dot { m } _ { \mathrm { O 2 , k i n } } } & { = Y _ { \mathrm { O 2 } , s } A _ { p } k _ { \infty } \, \mathrm { e x p } \left( - \frac { T _ { a } } { T _ { p } } \right) , } \\ { \dot { m } _ { \mathrm { O 2 , d i f f } } } & { = \varrho _ { f } \, A _ { p } \frac { \mathrm { S h } \, D _ { \mathrm { O 2 } , f } } { d _ { p } } \mathrm { l n } \left( 1 + B _ { m } \right) , } \\ { B _ { m } } & { = B _ { t } = \frac { Y _ { \mathrm { O 2 } , s } - Y _ { \mathrm { O 2 } , g } } { 1 - Y _ { \mathrm { O 2 } , s } } . } \end{array}
+ \, \, \mathrm { e } ^ { \varphi } \, { F } _ { [ 3 ] } ^ { R R } \wedge \star { F } _ { [ 3 ] } ^ { R R } \, + \, \frac { 1 } { 2 } \, { F } _ { [ 5 ] } ^ { R R } \wedge \star { F } _ { [ 5 ] } ^ { R R } \, - \, C _ { [ 4 ] } \wedge F _ { [ 3 ] } ^ { N S } \wedge F _ { [ 3 ] } ^ { R R } \Big ] \Bigg \}
H _ { T } = \frac { u _ { ( 1 ) } } { \vert q \vert } \gamma _ { 1 } ^ { [ 0 ] } ( \mathfrak { s } ) + \frac { u _ { ( 2 ) } } { 2 m \vert q \vert } \gamma _ { 2 } ^ { [ 0 ] } ( \mathfrak { s } ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta \! = \! i ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \underset { y ^ { t } \in \mathcal { Y } _ { \epsilon } ^ { ( i , n ) } } { \sum V _ { i } } ( y ^ { t } ) \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } \! = \! y ^ { t } \mid \theta \! = \! i ) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta \! = \! i ) \! \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \! \mathsf { E } \left[ U _ { i } \left( \! t _ { 0 } ^ { ( n ) } \! + \! T ^ { ( n ) } \! \right) \! - \! U _ { i } \left( t _ { 0 } ^ { ( n ) } \right) \! \mid \! \theta \! = \! i \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N } & { = \sum _ { \vert m \vert \ge 2 } ( 2 c ) ^ { \vert m \vert } ( w + \frac 8 { \kappa \eta \xi } j ) ( k _ { m } , \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { + 2 c ( u _ { 3 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac 8 { \kappa \eta \xi } j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) ) } \\ & { + \frac { 2 c } { \xi \kappa } j ( k _ { 0 } , s _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( 1 - e ^ { - C _ { 1 } \tau } ) } \tau \left[ V ^ { \tau , h } ( t _ { 0 } , x _ { 0 } ) + V ^ { \tau , h } ( t _ { 0 } , z _ { 0 } ) - 2 V ^ { \tau , h } ( t _ { 0 } , y _ { 0 } ) \right] } \\ & { \qquad \qquad \leq C e ^ { C _ { 1 } ( T - t _ { 0 } ) } \gamma _ { 0 } + C e ^ { C _ { 1 } ( T - t _ { 0 } ) } h ^ { 4 } / \delta + C C _ { T , \delta } h ( | x _ { 0 } - y _ { 0 } | ^ { 2 } + | z _ { 0 } - y _ { 0 } | ^ { 2 } + 1 ) + C h } \\ & { \qquad \qquad \leq C e ^ { C _ { 1 } ( T - t _ { 0 } ) } \gamma _ { 0 } + C e ^ { C _ { 1 } ( T - t _ { 0 } ) } \delta ^ { - 1 } ( | x _ { 0 } - y _ { 0 } | ^ { 4 } + | z _ { 0 } - y _ { 0 } | ^ { 4 } ) + C e ^ { C _ { 1 } ( T - t _ { 0 } ) } \sqrt { h } } \\ & { \qquad \qquad \leq C e ^ { C _ { 1 } ( T - t _ { 0 } ) } \gamma _ { 0 } + C e ^ { C _ { 1 } ( T - t _ { 0 } ) } \sqrt { h } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { C } \rho \ddot { \vec { u } } ( \boldsymbol { x } _ { k } , t ) \, \mathrm { d } v } & { = } \\ { \int _ { \partial { C } _ { \mathrm { i n t } } } } & { \boldsymbol { \sigma } ( \boldsymbol { x } , t ) \boldsymbol { n } \, \mathrm { d } a + \int _ { \partial { C } _ { \mathrm { e x t } } } \boldsymbol { t } ^ { * } ( \boldsymbol { x } , t ) \, \mathrm { d } a , } \end{array}
\gamma _ { M N } ^ { \mathrm { ~ T ~ C ~ } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma _ { M N } ^ { \mathrm { f r / l r , H F } } ( R _ { M N } ) } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } R _ { M N } < R _ { \mathrm { ~ c ~ } } } \\ { 0 } & { \quad \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E ( t , \tau ) } { \partial t } } & { { } = \left[ - 1 + i ( | E | ^ { 2 } - \Delta _ { 0 } ) + i \hat { \beta } \left( i \frac { \partial } { \partial \tau } \right) \right] E } \end{array}
( ( \mathbf { S } _ { L } \mathbf { S } _ { R } ^ { T } ) \circ \mathbf { E } ) \mathbf { D } + \mathbf { D } ( ( \mathbf { S } _ { L } \mathbf { S } _ { R } ^ { T } ) \circ \mathbf { E } ) = \mathbf { S } _ { L } \mathbf { S } _ { R } ^ { T } ,
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { x _ { i } = \sum _ { k = 0 } ^ { d + 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { d + 1 } \lambda _ { k ( d + 2 ) + l + 1 } ^ { i j } p _ { l } ^ { i } , \quad \: \: \: } & & { x _ { j } = \sum _ { k = 0 } ^ { d + 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { d + 1 } \lambda _ { k ( d + 2 ) + l + 1 } ^ { i j } p _ { k } ^ { j } , \quad \: \: \: } & & { w _ { i j } = \sum _ { k = 0 } ^ { d + 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { d + 1 } \lambda _ { k ( d + 2 ) + l + 1 } ^ { i j } p _ { l } ^ { i } p _ { k } ^ { j } , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { d + 1 } y _ { k } ^ { i } = 1 , } & & { \sum _ { k = 1 } ^ { d + 1 } y _ { k } ^ { j } = 1 , } & & { \sum _ { k = 1 } ^ { ( d + 2 ) ^ { 2 } } \lambda _ { k } ^ { i j } = 1 , } \\ & { \sum _ { k = 0 } ^ { d + 1 } \lambda _ { k ( d + 2 ) + 1 } ^ { i j } \leq y _ { 1 } ^ { i } , } & & { \sum _ { k = 1 } ^ { d + 2 } \lambda _ { k ( d + 2 ) } ^ { i j } \leq y _ { d + 1 } ^ { i } , } & & { \sum _ { k = 0 } ^ { d + 1 } \lambda _ { k ( d + 2 ) + l + 1 } ^ { i j } \leq y _ { l } ^ { i } + y _ { l + 1 } ^ { i } , \: \: \forall l \in [ d ] , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { d + 2 } \lambda _ { k } ^ { i j } \leq y _ { 1 } ^ { j } , } & & { \sum _ { k = 1 } ^ { d + 2 } \lambda _ { ( d + 2 ) ^ { 2 } - k } ^ { i j } \leq y _ { d + 1 } ^ { j } , } & & { \sum _ { k = 1 } ^ { d + 2 } \lambda _ { l ( d + 2 ) + k } ^ { i j } \leq y _ { l } ^ { j } + y _ { l + 1 } ^ { j } , \: \: \forall l \in [ d ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } } & { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta \leq \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \Theta _ { \epsilon } ( v ) \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta - \frac { 2 } { 3 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \tilde { \Theta } _ { \epsilon } ( a , v ) a \partial _ { a } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta } \\ & { - \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \Theta _ { \epsilon } ( v ) v \partial _ { v } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta + ( 1 - \gamma ) \langle \mathbb { K } _ { \epsilon , R } [ g ] , \varphi \rangle + \lambda ( 1 - \gamma ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { \mu } v ^ { \sigma } ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , t ) \partial _ { a } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \binom { n _ { \mathrm { S } } } { \delta n _ { \mathrm { I } } } \binom { n _ { \mathrm { S } } - \delta n _ { \mathrm { I } } } { \delta n _ { \mathrm { R } } } p ( n _ { \mathrm { I } } ) ^ { \delta n _ { \mathrm { I } } } ( 1 - p ( n _ { \mathrm { I } } ) ) ^ { n _ { \mathrm { S } } + \delta n _ { \mathrm { S } } } } \\ { \cdot \alpha ^ { \delta n _ { \mathrm { R } } } ( 1 - \alpha ) ^ { n _ { \mathrm { S } } - \delta n _ { \mathrm { R } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Pi = \nu \delta u + [ u ] [ \rho ] \widehat { w } } \\ { + [ \tau ] \Big ( [ u ] \delta p + [ \rho c _ { s } ^ { 2 } ] \delta u - \frac { [ c _ { s } ^ { 2 } ] } { [ \gamma c _ { V } ] [ \theta ] } Q \Big ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ F ~ i ~ n ~ d ~ } \left( u _ { i } , l ^ { \mathrm { { c } } } , \tilde { p } \right) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t \in \left( 0 , T \right] , } & { \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ : ~ } } \\ { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \sigma _ { i j } ^ { \phantom { } } ( l ^ { \mathrm { { c } } } , u _ { k } , t ) = 0 _ { j } } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \times ( 0 , T ] , } \\ { \mathcal { A } ( l ^ { \mathrm { { c } } } , u _ { i } ) = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \times ( 0 , T ] , } \\ { \mathcal { M } ( \tilde { p } ^ { \mathrm { 0 D } } , u _ { i } ) = \left\{ 0 \right\} } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ( 0 , T ] , } \\ { \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ : ~ } } & { } \\ { n _ { i } \sigma _ { i j } ^ { \phantom { } } = - p ^ { \mathrm { l v } } ( u _ { k } ) \ n _ { j } } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma ^ { \mathrm { l v , e n d o } } \times ( 0 , T ] , } \\ { n _ { i } \sigma _ { i j } ^ { \phantom { } } = - p ^ { \mathrm { r v } } ( u _ { k } ) \ n _ { j } } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma ^ { \mathrm { r v , e n d o } } \times ( 0 , T ] , } \\ { n _ { i } \sigma _ { i j } ^ { \phantom { } } = - k ^ { \mathrm { p e r i } } u _ { j } } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma ^ { \mathrm { e p i } } , } \\ { n _ { i } u _ { i } = 0 } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma ^ { \mathrm { b a s e } } , } \\ { \tilde { p } = \tilde { p } _ { \mathrm { 0 } } , l ^ { \mathrm { { c } } } = l ^ { \mathrm { { s 0 } } } , \ u _ { i } = 0 _ { i } } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } t = 0 . } \end{array} \right.