harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { 1 } { c t } } \mathbf { x } = { \frac { \mathbf { w } } { c } } = { \boldsymbol { \beta } } = { \left( \begin{array} { l } { { \frac { x _ { 1 } } { c t } } } \\ { { \frac { x _ { 2 } } { c t } } } \\ { { \frac { x _ { 3 } } { c t } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { \beta _ { x } } \\ { \beta _ { y } } \\ { \beta _ { z } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { { \Lambda _ { 0 } } ^ { 1 } / { \Lambda _ { 0 } } ^ { 0 } } \\ { { \Lambda _ { 0 } } ^ { 2 } / { \Lambda _ { 0 } } ^ { 0 } } \\ { { \Lambda _ { 0 } } ^ { 3 } / { \Lambda _ { 0 } } ^ { 0 } } \end{array} \right) } .
A _ { i } = B _ { i } \left( \begin{array} { l l } { - \gamma } & { - 1 } \\ { 1 } & { - a } \end{array} \right) \, , \quad b _ { i } = B _ { i } \left( \begin{array} { l } { i _ { e x t } + \gamma \bar { v } } \\ { 0 } \end{array} \right)
\frac { \Delta \Omega } { \Omega } = \frac { \Omega _ { \chi , \, \mathrm { { n o \, c o a n n } } } - \Omega _ { \chi \, \mathrm { { c o a n n } } } } { \Omega _ { \chi , \, \mathrm { { c o a n n } } } } \, .
\begin{array} { r } { u = \sqrt { \mathcal R + Z } \exp \left\{ \frac { i } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { X } { \mathcal R + Z } d \tau ^ { \prime } + i \, \mathrm { A r g } \, u ( 0 ) \right\} , } \\ { v = \sqrt { \mathcal R - Z } \exp \left\{ \frac { i } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { X } { \mathcal R - Z } d \tau ^ { \prime } + i \, \mathrm { A r g } \, v ( 0 ) \right\} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { U ( t ) = 1 } & { - \left[ { \frac { i \lambda } { \hbar } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \sum _ { m } \sum _ { n } \langle m | V | n \rangle e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } ( E _ { n } - E _ { m } ) ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } | m \rangle \langle n | \right] } \\ & { - \left[ { \frac { \lambda ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } \sum _ { m } \sum _ { n } \sum _ { q } e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } ( E _ { n } - E _ { m } ) ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } \langle m | V | n \rangle \langle n | V | q \rangle e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } ( E _ { q } - E _ { n } ) ( t _ { 2 } - t _ { 0 } ) } | m \rangle \langle q | \right] + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { \hbar D _ { 1 , 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { 1 , 2 } } { \partial x ^ { 2 } } - \hbar \omega _ { n } \sin \theta _ { 1 , 2 } + \Delta _ { 1 , 2 } ( x ) \cos \theta _ { 1 , 2 } = 0 , } \end{array}
{ \frac { \partial } { \partial t } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \| { \bf { v } } \| ^ { 2 } \right) + { \bf { v } } \cdot \nabla \left( { \frac { 1 } { 2 } } \| { \bf { v } } \| ^ { 2 } + { \frac { p } { \rho } } + \Phi \right) = 0
\begin{array} { r l r } { \rho _ { e } ( z ) } & { { } = } & { \rho _ { s } e ^ { - \beta z } \ \ ( z > 0 ) , } \\ { \rho _ { s } } & { { } = } & { \frac { m _ { e } k _ { B } T _ { e } } { 2 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } \sqrt { \frac { \pi m _ { e } k _ { B } T _ { e } } { 2 } } e ^ { - \frac { W } { k _ { B } T _ { e } } } , } \\ { \beta } & { { } = } & { \sqrt { \frac { e ^ { 2 } \rho _ { s } } { \epsilon _ { 0 } k _ { B } T _ { e } } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \dot { q } } _ { 2 } = \frac { y _ { Q } ( t ) - q _ { 2 } } { x _ { Q } ( t ) - q _ { 1 } } { \dot { q } } _ { 1 } = \alpha _ { 1 , 1 } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , t ) { \dot { q } } _ { 1 } , } \\ { { \dot { q } } _ { 3 } = \frac { z _ { Q } ( t ) - q _ { 3 } } { x _ { Q } ( t ) - q _ { 1 } } { \dot { q } } _ { 1 } = \alpha _ { 2 , 1 } ( q _ { 1 } , q _ { 3 } , t ) { \dot { q } } _ { 1 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \widehat f ) ^ { \vee } ( x ) } & { = \frac { 1 } { q ^ { n } } \sum _ { \xi \in \mathbb { F } _ { q } ^ { n } } \sum _ { y \in \mathbb { F } _ { q } ^ { n } } f ( y ) e _ { p } ( - \textup { T r } ( y \cdot \xi ) ) e _ { p } ( \textup { T r } ( x \cdot \xi ) ) } \\ & { = \frac { 1 } { q ^ { n } } \sum _ { y \in \mathbb { F } _ { q } ^ { n } } \sum _ { \xi \in \mathbb { F } _ { q } ^ { n } } f ( y ) e _ { p } \bigg ( \textup { T r } \Big ( ( x - y ) \cdot \xi \Big ) \bigg ) } \\ & { = \frac { 1 } { q ^ { n } } \sum _ { y \in \mathbb { F } _ { q } ^ { n } } \sum _ { \xi \in \mathbb { F } _ { q } ^ { n } } f ( y ) \prod _ { j = 0 } ^ { n } e _ { p } \bigg ( \textup { T r } \Big ( ( x _ { j } - y _ { j } ) \xi _ { j } \Big ) \bigg ) } \end{array}
W _ { 1 2 } \, \psi \, = \, ( h _ { 1 } + h _ { 2 } + \Lambda _ { 1 2 } ^ { + + } \, V _ { 1 2 } \, \Lambda _ { 1 2 } ^ { + + } + \Lambda _ { 2 } ^ { + } \, V _ { 2 } ^ { + } \, \Lambda _ { 2 } ^ { + } + \Lambda _ { 1 } ^ { + } \, V _ { 1 } ^ { + } \, \Lambda _ { 1 } ^ { + } ) \, \psi
\begin{array} { c } { { A _ { n } = 0 \qquad , \quad \mathrm { f o r } \quad n > k + \alpha - \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { B _ { n } = 0 \qquad , \quad \mathrm { f o r } \quad n \leq k + \alpha - \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
s _ { 4 } = \left( \begin{array} { l l l l } { \sqrt { \beta } } & { 0 } & { \sqrt { ( 1 - \alpha ) ( 1 - \beta ) } } & { \sqrt { \alpha ( 1 - \beta ) } } \\ { 0 } & { \sqrt { \beta } } & { - \sqrt { \alpha ( 1 - \beta ) } } & { \sqrt { ( 1 - \alpha ) ( 1 - \beta ) } } \\ { \sqrt { ( 1 - \alpha ) ( 1 - \beta ) } } & { - \sqrt { \alpha ( 1 - \beta ) } } & { - \sqrt { \beta } } & { 0 } \\ { \sqrt { \alpha ( 1 - \beta ) } } & { \sqrt { ( 1 - \alpha ) ( 1 - \beta ) } } & { 0 } & { - \sqrt { \beta } } \end{array} \right)
M _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { n } } ( { \pmb \xi } ) = \int _ { \partial D _ { b } } \left( \sigma _ { \alpha b } ( { \pmb x } ) ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { n } } - \mu v _ { c } ( { \pmb x } ) \, \pi _ { b c \alpha { \pmb \alpha } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \right) n _ { b } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } )
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { - 4 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x - 7 5 K _ { 2 } r _ { 1 } z - 2 4 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x ^ { 2 } - 3 2 K _ { 2 } r _ { 1 } x y - 3 0 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x z } \\ & { } & { - 6 0 K _ { 2 } r _ { 1 } y z - 3 2 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x ^ { 3 } - 1 9 2 K _ { 2 } r _ { 1 } x ^ { 2 } y - 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 1 } x ^ { 3 } y - 2 4 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x y z , } \\ { \dot { y } } & { = } & { \left( 8 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 1 2 0 r _ { 2 } \right) y + \left( 2 5 r _ { 2 } - 1 0 0 K _ { 2 } r _ { 2 } \right) z + \left( 6 4 K _ { 2 } r _ { 2 } - 9 6 r _ { 2 } \right) x y + \left( 2 0 r _ { 2 } - 8 0 K _ { 2 } r _ { 2 } \right) x z } \\ & { } & { + \left( 1 0 0 r _ { 2 } - 4 0 0 K _ { 2 } r _ { 2 } \right) y z + \left( 3 2 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 5 6 0 r _ { 2 } \right) y ^ { 2 } + \left( 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 2 } - 4 4 8 r _ { 2 } \right) x y ^ { 2 } } \\ & { } & { + \left( 8 0 r _ { 2 } - 3 2 0 K _ { 2 } r _ { 2 } \right) x y z - 3 2 0 r _ { 2 } y ^ { 3 } - 2 5 6 r _ { 2 } x y ^ { 3 } , } \\ { \dot { z } } & { = } & { 2 4 0 c _ { 1 } K _ { 2 } r _ { 1 } x + \left( 3 2 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 8 0 r _ { 2 } \right) y - 4 0 0 K _ { 2 } m z + \left( 1 9 2 c _ { 1 } K _ { 2 } r _ { 1 } + 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 2 } - 6 4 r _ { 2 } \right) x y } \\ & { } & { + \left( 2 4 0 c _ { 1 } K _ { 2 } r _ { 1 } - 3 2 0 K _ { 2 } m \right) x z + \left( - 3 2 0 K _ { 2 } m + 3 2 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 8 0 r _ { 2 } \right) y z - 4 0 0 K _ { 2 } m z ^ { 2 } } \\ & { } & { + \left( 1 9 2 c _ { 1 } K _ { 2 } r _ { 1 } - 2 5 6 K _ { 2 } m + 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 2 } - 6 4 r _ { 2 } \right) x y z } \\ & { } & { - 3 2 0 K _ { 2 } m x z ^ { 2 } - 3 2 0 K _ { 2 } m y z ^ { 2 } - 2 5 6 K _ { 2 } m x y z ^ { 2 } . } \end{array}
\mathrm { R M S E _ { a v g } } = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i \in \{ x , y , z \} } \Bigg \{ \sqrt { \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( f _ { i } ^ { j } - \hat { f } _ { i } ^ { j } ) ^ { 2 } } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } f _ { i } ^ { j \, 2 } } } \Bigg \} ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 } ^ { \prime } } & { { } = { \frac { 1 } { E } } \sigma _ { 1 } \, , } \\ { \varepsilon _ { 2 } ^ { \prime } } & { { } = - { \frac { \nu } { E } } \sigma _ { 1 } \, , } \\ { \varepsilon _ { 3 } ^ { \prime } } & { { } = - { \frac { \nu } { E } } \sigma _ { 1 } \, , } \end{array}
P _ { l } \Xi _ { i } ^ { \prime } = ( \ensuremath { \mathrm { ~ K ~ n ~ } } \tau ) ^ { 2 } P _ { l } \sum _ { j \neq i } \frac { \Xi _ { i } } { \mu _ { j } - \mu _ { i } } \sum _ { k \notin D _ { l } } \Xi _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathcal C _ { s } \Xi _ { k } \frac { 1 } { \lambda _ { D _ { l } } - \lambda _ { k } } \Xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathcal C _ { s } \Xi _ { j } \ ,
\begin{array} { r l } & { \Sigma _ { e } ( E + i \, 0 ^ { + } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \int _ { 0 } ^ { \pi } d q \frac { \langle \varphi , e | \hat { H } _ { g } | \phi _ { q } ^ { + } \rangle _ { L } | g \rangle \langle g | _ { L } \langle \phi _ { q } ^ { + } | \hat { H } _ { g } | \varphi , e \rangle } { E - \omega _ { q } ^ { + } + i \epsilon } } \\ & { \quad + \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \int _ { 0 } ^ { \pi } d q \frac { \langle \varphi , e | \hat { H } _ { g } | \phi _ { q } ^ { - } \rangle _ { L } | g \rangle \langle g | _ { L } \langle \phi _ { q } ^ { - } | \hat { H } _ { g } | \varphi , e \rangle } { E - \omega _ { q } ^ { - } + i \epsilon } } \\ & { = \frac { 1 } { \pi } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \int _ { 0 } ^ { \pi } d q \frac { 1 } { E - \omega _ { q } ^ { + } + i \epsilon } \frac { g _ { L } ^ { 2 } v ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { q } } { f _ { q } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + \frac { 1 } { \pi } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \int _ { 0 } ^ { \pi } d q \frac { 1 } { E - \omega _ { q } ^ { - } + i \epsilon } \frac { g _ { L } ^ { 2 } v ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { q } } { f _ { q } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } ( E - \omega _ { o } + i \epsilon ) \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q \frac { g _ { L } ^ { 2 } v ^ { 2 } ( 1 - \cos { 2 q } ) } { ( E - \omega _ { o } + i \epsilon ) ^ { 2 } - f _ { q } ^ { 2 } } \frac { 1 } { f _ { q } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } ( E - \omega _ { o } + i \epsilon ) \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q \frac { g _ { L } ^ { 2 } v ^ { 2 } ( 1 - e ^ { i 2 q } ) } { ( E - \omega _ { o } + i \epsilon ) ^ { 2 } - f _ { q } ^ { 2 } } \frac { 1 } { f _ { q } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { f _ { s } } ( n , d ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) n ! \Gamma ( d - 1 ) } { \sqrt { \pi } \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) \Gamma ( n + d - 1 ) } \frac { ( - 2 ) ^ { n } \Gamma ( n + \frac { d - 1 } { 2 } ) \Gamma ( n + d - 1 ) } { n ! \Gamma ( \frac { d - 1 } { 2 } ) \Gamma ( 2 n + d - 1 ) } } \\ & { \quad \times \int _ { - 1 } ^ { 1 } \log ( 1 - t ) \big ( \frac { d } { d t } \big ) ^ { n } ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { n + \frac { d - 2 } { 2 } } d t } \\ & { = 2 ^ { n - 1 } \frac { \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) \Gamma ( d - 1 ) } { \sqrt { \pi } \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) } \frac { \Gamma ( n + \frac { d - 1 } { 2 } ) ( n - 1 ) ! } { \Gamma ( \frac { d - 1 } { 2 } ) \Gamma ( 2 n + d - 1 ) } } \\ & { \quad \times \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - t ) ^ { 1 - n } ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { n + \frac { d - 2 } { 2 } } d t } \\ & { = 2 ^ { n - 1 } \frac { \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) \Gamma ( d - 1 ) } { \sqrt { \pi } \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) } \frac { \Gamma ( n + \frac { d - 1 } { 2 } ) ( n - 1 ) ! } { \Gamma ( \frac { d - 1 } { 2 } ) \Gamma ( 2 n + d - 1 ) } } \\ & { \quad \times \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - t ) ^ { \frac { d } { 2 } } ( 1 + t ) ^ { n + \frac { d - 2 } { 2 } } d t } \\ & { = 2 ^ { n - 1 } \frac { \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) \Gamma ( d - 1 ) } { \sqrt { \pi } \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) } \frac { \Gamma ( n + \frac { d - 1 } { 2 } ) ( n - 1 ) ! } { \Gamma ( \frac { d - 1 } { 2 } ) \Gamma ( 2 n + d - 1 ) } \frac { 2 ^ { n + d - 1 } \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) \Gamma ( n + \frac { d } { 2 } ) } { \Gamma ( n + d ) } } \\ & { = 2 ^ { d - 2 } \frac { \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) } { \sqrt { \pi } } \frac { \Gamma ( n ) } { \Gamma ( n + d ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 1 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { + } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 1 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { = } & { I _ { 5 } + I _ { 6 } , } \end{array}
f \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } , t , u , v , \xi \right) = \frac { 1 } { \tau } \int _ { 0 } ^ { t } { g \left( { x } ^ { \prime } , { t } ^ { \prime } , u , v , \xi \right) } { { e } ^ { - \left( t - { t } ^ { \prime } \right) / \tau } } d { t } ^ { \prime } + { { e } ^ { - t / \tau } } { { f } _ { 0 } } \left( - u t y - v t , u , v , \xi \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathcal { L } ( n _ { \mathrm { L 1 } } , n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } , \lambda ) } { \partial n _ { \mathrm { L 1 } } } = 0 ; } \\ { \frac { \partial \mathcal { L } ( n _ { \mathrm { L 1 } } , n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } , \lambda ) } { \partial n _ { \mathrm { L 2 } } } = 0 ; } \\ { \frac { \partial \mathcal { L } ( n _ { \mathrm { L 1 } } , n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } , \lambda ) } { \partial n _ { \mathrm { H F } } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 3 } { 5 } A _ { 5 9 } \frac { \partial } { \partial x _ { n } } \left( u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right) - \frac { 2 } { 5 } A _ { 5 9 } \frac { \partial } { \partial x _ { t _ { 1 } } } \left( u _ { n t _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { n t _ { 1 } } ^ { ( 2 ) } \right) - \frac { 2 } { 5 } A _ { 5 9 } \frac { \partial } { \partial x _ { t _ { 2 } } } \left( u _ { n t _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { n t _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } \right) } \\ { = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \mathscr { L } _ { 3 } ^ { ( 2 2 ) } u _ { n n n } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\delta _ { i _ { 0 } , i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m a x } _ { i _ { 0 } \leq k \leq i } p _ { i _ { 0 } , k } - p _ { i _ { 0 } , i } , } & { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ n ~ u ~ p ~ w ~ a ~ r ~ d ~ - ~ t ~ r ~ e ~ n ~ d ~ } ~ } , } \\ { p _ { i _ { 0 } , i } - \operatorname* { m i n } _ { i _ { 0 } \leq k \leq i } p _ { i _ { 0 } , k } , } & { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ d ~ o ~ w ~ n ~ w ~ a ~ r ~ d ~ - ~ t ~ r ~ e ~ n ~ d ~ } ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } ^ { I } \rho _ { f } ( t , x ) } & { = p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \nabla _ { x } [ \mathrm { J } _ { \varepsilon } \partial _ { x } ^ { I } \varrho ] ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s + R , } \\ { \partial _ { x } ^ { I } j _ { f } ( t , x ) } & { = p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } v \nabla _ { x } [ \mathrm { J } _ { \varepsilon } \partial _ { x } ^ { I } \varrho ] ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s + R , } \end{array}
\gamma _ { g } = \frac { | \sum _ { s \in \mathcal { V } _ { g } } \alpha _ { s g } \textbf { h } _ { s g } ^ { \mathrm { H } } \textbf { w } _ { s g } | ^ { 2 } } { \sum _ { g ^ { ' } \not = g } | \sum _ { s \in \mathcal { V } _ { g } } \alpha _ { s g ^ { ' } } \textbf { h } _ { s g } ^ { \mathrm { H } } \textbf { w } _ { s g ^ { ' } } | ^ { 2 } + \sigma _ { s } ^ { 2 } } .
\sum _ { \eta } \sum _ { l ^ { \prime } } \langle \kappa , l | \hat { H } _ { F } ( t ; E _ { t } ) | \eta , l ^ { \prime } \rangle \langle \eta , l ^ { \prime } | \lambda ( t ; E _ { t } ) \rangle = \mathcal { E } _ { \lambda } ( t ; E _ { t } ) \langle \kappa , l | \lambda ( t ; E _ { t } ) \rangle .
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \boldsymbol { u } _ { l } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { = \mathcal { P } _ { l } \{ \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) \} } & & { = \sum _ { | m | \le m _ { x } } \: \: \sum _ { | n | \le 1 } } & & { \boldsymbol { \hat { u } } ( y ) \: e ^ { i ( m x + 2 n z ) } , } \\ { \boldsymbol { u } _ { s } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { = \mathcal { P } _ { s } \{ \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) \} } & & { = \sum _ { | m | \le m _ { x } } \sum _ { 2 \le | n | \le n _ { z } } } & & { \boldsymbol { \hat { u } } ( y ) \: e ^ { i ( m x + 2 n z ) } . } \end{array}
T _ { \tau \tau } = { \frac { 1 } { 4 8 \pi } } ( 2 g _ { \rho } ^ { \prime \prime } - { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { ( g _ { \rho } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { g } } + { \frac { b ^ { 2 } } { 2 } } ) .
\gamma = \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } { \frac { \left\lfloor \log _ { 2 } k \right\rfloor } { k } } = { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 3 } } + 2 \left( { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 6 } } - { \frac { 1 } { 7 } } \right) + 3 \left( { \frac { 1 } { 8 } } - \cdots - { \frac { 1 } { 1 5 } } \right) + \dots
\begin{array} { r l } { \langle U ^ { \angle } \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) \Phi _ { 0 } , V ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle } & { = \sum _ { \alpha \in \Xi ( G ^ { 0 } ) } \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) \Phi _ { 0 } , \Phi _ { \alpha } \rangle \langle X _ { \alpha } U ^ { \angle } \Phi _ { 0 } , V ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle + \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) \langle U ^ { \angle } \Phi _ { 0 } , V ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle , } \end{array}
[ \mathbf { M } _ { g } ] _ { i , j } = \langle \mathbf { W } _ { i } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) , \nabla W _ { j } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) \rangle ; i \in \mathcal { E } , j \in \mathcal { N }
\begin{array} { r l } { \Xi _ { e } } & { = \frac { 1 } { \tau } \left( \frac { Z _ { i } } { \tau } + 1 \right) ^ { - 1 } \frac { M ^ { 2 } } { 2 } T _ { e } \left( 1 - \frac { R ^ { 2 } } { R _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } \right) - e \varphi _ { 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { Z _ { i } + \tau } \frac { M ^ { 2 } } { 2 } T _ { e } \left( 1 - \frac { R ^ { 2 } } { R _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } \right) - e \varphi _ { 1 } , } \end{array}
C _ { 2 \mp 2 } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 2 \mp 2 } ^ { c } \right) ^ { 2 } + \left( \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 2 \mp 2 } ^ { s } \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \mathcal { I } } } & { { } { } = \frac { j } { \epsilon \omega } \big ( k ^ { 2 } \mathbf { I } _ { \mathcal { E } _ { \mathbf { A } } } - \mathbf { I } _ { \mathcal { E } _ { \Phi } } \big ) , } \\ { \mathbf { H } ^ { \mathcal { I } } } & { { } { } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } \times \mathbf { n } - \mathbf { I } _ { \mathcal { M } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { s } } & { = \left( \begin{array} { l l } { \sigma ^ { 2 } } & { \sigma ^ { 2 } + s - T _ { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \sigma ^ { 2 } } & { \sigma ^ { 2 } } \\ { \sigma ^ { 2 } } & { ( s - T _ { 0 } ) ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } T + \frac { ( T _ { 1 } - s ) ( s - T _ { 0 } ) } { T } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { X _ { 0 } } \\ { I _ { s } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right) , } \\ & { = I _ { s } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
a _ { m } \, \varphi _ { m } = l _ { m } \, \, \varphi _ { 1 - m } \, \, , \, \, \, \, \, \, \, a _ { 1 - m } \, \varphi _ { 1 - m } = l _ { 1 - m } \, \varphi _ { m } \, ,
\theta = \sum _ { f = f _ { \mathrm { l o w e r } } } ^ { f _ { \mathrm { u p p e r } } } \left[ \theta ( f ) P _ { \mathrm { B _ { \perp } } } ( f ) \right] / \sum _ { f = f _ { \mathrm { l o w e r } } } ^ { f _ { \mathrm { u p p e r } } } P _ { \mathrm { B _ { \perp } } } ( f )
: \hat { \mathrm { H } } _ { \pm } : | m _ { 1 } ; m _ { 2 } ; . . . ; m _ { n } ; A ; \pm \rangle = \hbar \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \varepsilon } _ { m _ { k } , \pm } \cdot \mathrm { s i g n } ( { \varepsilon } _ { m _ { k } , \pm } ) | m _ { 1 } ; m _ { 2 } ; . . . ; m _ { n } ; A ; \pm \rangle
O _ { i t } = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ^ { t } A _ { i j } ^ { t + 1 } } { \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ^ { t } \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ^ { t + 1 } } } \, ,
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } \times \left[ \mathbf { E } _ { \ell + 1 } - \mathbf { E } _ { \ell } \right] } & { { } = - \mathbf { j } _ { m ( \ell ) } = - \sigma _ { m } ( \ell ) \mathbf { H } _ { \ell } } \\ { \hat { \rho } \times \left[ \mathbf { H } _ { \ell + 1 } - \mathbf { H } _ { \ell } \right] } & { { } = \mathbf { j } _ { e ( \ell ) } = \sigma _ { e ( \ell ) } \mathbf { E } _ { \ell } } \end{array}
\varphi ( x ) = \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 / 2 } } \int \frac { d ^ { 3 } k } { \sqrt { 2 \omega } } \left[ a ( \vec { k } ) \; e ^ { i k \cdot x } + a ^ { + } ( \vec { k } ) \; e ^ { - i k \cdot x } \right]
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { U _ { p } ^ { \bullet } ( \pi _ { T } \Delta _ { \mathrm { C M } } , T ) = C _ { \mathrm { c o n t } } ^ { \bullet } ( D _ { p } , T ) = : U _ { p } ^ { \bullet } ( \Delta _ { \emptyset } , T ) \qquad \mathrm { ( r e l a x e d ~ c o n d i t i o n s ) } } \\ & { U _ { p } ^ { \bullet } ( j _ { T } ^ { * } \Delta _ { \mathrm { C M } } , T \otimes \epsilon _ { K } ) = \{ 0 \} = U _ { p } ^ { \bullet } ( \Delta _ { 0 } , T \otimes \epsilon _ { K } ) \qquad \mathrm { ( s t r i c t ~ c o n d i t i o n s ) } } \end{array} } \end{array}
\left( P ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \, \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } \right) ^ { - 1 } = d _ { A } { \cal T } _ { A \; { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \, \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } } + d _ { B } { \cal T } _ { A \; { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \, \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } } + d _ { C } { \cal T } _ { A \; { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \, \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } } + \sum _ { i = 4 } ^ { 1 4 } d _ { i } T _ { i \; { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \, \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \tilde { u } ( \gamma ^ { 1 } ) = \tilde { u } ( \gamma _ { E _ { h } } ^ { 1 } + \gamma _ { E _ { h } ^ { c } } ^ { 1 } ) = \tilde { u } _ { E _ { h } , \gamma ^ { 1 } } ( \gamma _ { E _ { h } } ^ { 1 } ) = C _ { E _ { h } , \gamma ^ { 2 } } ^ { k } = \tilde { u } _ { E _ { h } , \gamma ^ { 2 } } ( \gamma _ { E _ { h } } ^ { 2 } ) = \tilde { u } ( \gamma _ { E _ { h } } ^ { 2 } + \gamma _ { E _ { h } ^ { c } } ^ { 2 } ) = \tilde { u } ( \gamma ^ { 2 } ) \, \, \mathrm { , } \; \, } \end{array}
W _ { a _ { 0 } } = \frac { 2 } { \lambda + g } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l \rho ( l ) \int _ { 0 } ^ { \frac { g - s } { 2 } } d t _ { 1 } = \frac { g - s } { \lambda + g } \approx 1 - \frac { \lambda } { g } - \frac { s } { g }
\times \Bigg [ \int _ { \Lambda } \prod _ { c = 1 } ^ { N } \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { n _ { c } } d ^ { 2 } x _ { j } ^ { ( c ) } d ^ { 2 } y _ { j } ^ { ( c ) } \right] \prod _ { d < e } ^ { N } \Big | B ( d , e ) \Big | ^ { \frac { g } { \pi + g N } q } \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { q } }