harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
I _ { 4 f } ^ { ( n ) } = \frac { i ( - 1 ) ^ { 4 n } \Gamma ( 4 n ) \Gamma \big ( 4 n - \frac { D } { 2 } \big ) } { 4 \Gamma ( 4 n + 1 ) M _ { W } ^ { 8 n + 4 - D } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \frac { \, _ { 2 } \tilde { F } _ { 1 } \big ( 1 , 4 n - \frac { D } { 2 } , 4 n - 1 , 1 - \frac { 1 } { r } \big ) } { ( 1 - r ) ^ { 4 n - 2 } r ^ { 4 n - \frac { D } { 2 } } } \, .
\begin{array} { r } { p _ { Y , n } \left( t \right) = \frac { 1 } { \left( 1 + e ^ { - 2 \left( \left| \alpha \left( t \right) \right| ^ { 2 } + \left| \beta \left( t \right) \right| ^ { 2 } \right) } \right) } e ^ { - \left| \beta \left( t \right) \right| ^ { 2 } } \frac { \left| \beta \left( t \right) \right| ^ { 2 n } } { n ! } } \\ { \times \left( 1 + \left( - 1 \right) ^ { n } \frac { \left( d _ { 1 1 } ^ { - 2 \alpha } + d _ { 1 1 } ^ { 2 \alpha } \right) } { 2 } \right) } \end{array}
u _ { s } \equiv \frac { \mathrm { d } z _ { s } } { \mathrm { d } t } = \frac { \left[ \left( \tilde { w } _ { s } \Gamma \right) _ { z } \right] _ { - } ^ { + } } { \left[ \Gamma _ { z } \right] _ { - } ^ { + } } .
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \varphi _ { v \omega _ { z } } ( k _ { i } , k _ { j } , y ) \Delta k _ { x } \Delta k _ { z } = \langle v \omega _ { z } \rangle ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \sum _ { k _ { 2 } = 1 } ^ { N } A _ { 2 k _ { 2 } } \left( \hat { a } _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { k _ { 2 } } \right) \right) \left( \sum _ { k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { 1 k _ { 1 } } \left( \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { k _ { 1 } } \right) \right) } \\ & { = \sum _ { k _ { 2 } , k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { 2 k _ { 2 } } A _ { 1 k _ { 1 } } \left( \hat { a } _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { k _ { 2 } } \right) \left( \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { k _ { 1 } } \right) } \\ & { = \sum _ { k _ { 2 } , k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { 2 k _ { 2 } } A _ { 1 k _ { 1 } } \left( \hat { a } _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { 1 } } + \hat { a } _ { k _ { 2 } } \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { k _ { 2 } } \hat { a } _ { k _ { 1 } } \right) , } \end{array}
\Delta _ { h } ( \mu ) = \operatorname* { m i n } _ { \alpha \in \mathbb { R } } \left( \int _ { k _ { 1 } } ^ { k _ { c } } | E _ { h } ( k ; \mu ) - \alpha ( \mu ) k ^ { - 5 / 3 } | ^ { 2 } \ d k \right) ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r } { \hat { v } _ { 1 } = V _ { 1 - } - \frac { T _ { 1 - } } { P _ { 0 - } } + \frac { 1 } { \lambda P _ { 0 - } } \frac { d T _ { 0 } } { d z } \Big | _ { - } + \frac { \hat { \theta } _ { 1 } } { P _ { 0 - } } - \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda \eta } } { P _ { 0 - } } \int _ { - \infty } ^ { \eta } \mathrm { e } ^ { \lambda \eta } \frac { d \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta } d \eta , } \end{array}
\sqrt { t } ( \hat { \tau } _ { \small \textsc { { R E V } } } - \tau _ { \small \textsc { { R E V } } } ) { \, \overset { { \, d \, \, } } { \rightarrow } \, } { \mathcal { N } } \allowbreak \big ( 0 , \frac { \sigma _ { \small \textsc { { R E V } } } ^ { 2 } ( 1 ) } { \pi } \allowbreak + \allowbreak \frac { \sigma _ { \small \textsc { { R E V } } } ^ { 2 } ( 0 ) } { ( 1 - \pi ) } \big ) .
\vec { F } _ { \mathrm { S , i j } } = - 8 r _ { \mathrm { 0 } } G ^ { * } \vec { \zeta } \frac { \left( a _ { \mathrm { m o n , j } } \vec { n } _ { \mathrm { j } } + a _ { \mathrm { m o n , i } } \vec { n } _ { \mathrm { i } } \right) \vec { n } _ { \mathrm { c } } } { \left| \vec { X } _ { \mathrm { i } } - \vec { X } _ { \mathrm { j } } \right| }
\langle 0 | \bar { d } \gamma _ { \mu } \gamma _ { \nu } \mathrm { P } _ { R } \, s | \bar { K } ^ { 0 } ( p ) \rangle \ = \ g _ { \mu \nu } \, \langle 0 | \bar { d } \gamma _ { 5 } s | \bar { K } ^ { 0 } ( p ) \rangle \, + \, \frac { 1 } { 2 } \, \langle 0 | \bar { d } \, [ \gamma _ { \mu } , \gamma _ { \nu } ] \, \gamma _ { 5 } s | \bar { K } ^ { 0 } ( p ) \rangle \, .
\begin{array} { r } { C _ { 0 } = \frac { \sigma ^ { * } L _ { y } ^ { * 2 } } { ( K _ { + } ^ { * } + K _ { - } ^ { * } ) \varepsilon ^ { * } \phi _ { 0 } ^ { * } } , \; K _ { r } = \frac { K _ { - } ^ { * } } { K _ { + } ^ { * } } , \; \alpha = \frac { D _ { \nu \pm } ^ { * } } { K _ { \pm } ^ { * } \phi _ { 0 } ^ { * } } = \frac { k _ { B } ^ { * } T ^ { * } / e _ { 0 } ^ { * } } { \phi _ { 0 } ^ { * } } , \; R e ^ { W } = \frac { \rho ^ { * } U _ { 0 } ^ { * } R ^ { * } } { \mu ^ { * } } , \; } \\ { R e ^ { E } = \frac { \rho ^ { * } K _ { + } ^ { * } \phi _ { 0 } ^ { * } } { \mu ^ { * } } , \; U _ { 0 } = \frac { R e ^ { W } } { R e ^ { E } } = \frac { U _ { 0 } ^ { * } R ^ { * } } { K _ { + } ^ { * } \phi _ { 0 } ^ { * } } , \; M = \frac { \sqrt { \frac { \varepsilon ^ { * } } { \rho ^ { * } } } } { K _ { + } ^ { * } } , \; C _ { I } = \frac { Q _ { 0 } ^ { * } R ^ { * 2 } } { \varepsilon ^ { * } \phi _ { 0 } ^ { * } } , \; } \\ { O _ { s } = \frac { e _ { 0 } ^ { * 3 } \phi _ { 0 } ^ { * } } { 1 6 \pi \varepsilon ^ { * } k _ { B } ^ { * 2 } T ^ { * 2 } R ^ { * } } , \; \lambda = \frac { R ^ { * } } { L _ { y } ^ { * } } , \; \Lambda _ { 1 } = \frac { L _ { x 1 } ^ { * } } { R ^ { * } } , \; \Lambda _ { 2 } = \frac { L _ { x 2 } ^ { * } } { R ^ { * } } . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { S _ { I I } ^ { ( \alpha = 0 ) } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { 4 k ^ { 2 } } { \pi ^ { 3 } } ~ \sigma _ { 0 } \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau _ { f } } d \tau ~ \sum _ { n \neq 0 } ^ { } { \sin } ^ { 2 } \left( \frac { 2 \pi } { \sigma _ { 0 } } | n | ( \tau - \tau _ { 0 } ) \right) } ~ | \phi _ { n } ( \sigma _ { 0 } ) | ^ { 2 } \; \sim } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \sim } } & { { { \displaystyle \frac { 2 k ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } ~ ( \tau _ { f } - \tau _ { 0 } ) ~ \frac { \sigma _ { 0 } } { \pi } ~ \sum _ { n \neq 0 } ^ { } | \phi _ { n } ( \sigma _ { 0 } ) | ^ { 2 } } ~ = } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { 2 k ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } ~ ( \tau _ { f } - \tau _ { 0 } ) ~ \frac { \sigma _ { 0 } } { 2 \pi } \left( 1 + \frac { \sin 2 r \sigma _ { 0 } } { 2 r \sigma _ { 0 } } - \frac { 2 \, { \sin } ^ { 2 } \, r \sigma _ { 0 } } { r ^ { 2 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { i \leftarrow j } ( s ) = } & { { } \phi \sum _ { \{ s _ { k } : k \in \partial _ { \nu } ( j ) \backslash i \} } \left[ \prod _ { k \in \partial ( j ) \backslash i } \pi _ { j \leftarrow k } ( s _ { k } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 4 } \, \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| u _ { i } ( t ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 4 } + 3 \eta \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| u _ { i } \nabla u _ { i } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { + P \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } ( u _ { i } - u _ { j } ) ^ { 2 } ( u _ { i } ^ { 2 } + u _ { i } u _ { j } + u _ { j } ^ { 2 } ) \, d x } \\ { = } & { \, \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } ( f ( u _ { i } , x ) u _ { i } ^ { 3 } - \sigma u _ { i } ^ { 3 } w _ { i } + J u _ { i } ^ { 3 } - k \operatorname { t a n h } ( \rho _ { i } ) u _ { i } ^ { 4 } ) \, d x } \\ { \leq } & { \, \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } ( - \lambda u _ { i } ^ { 6 } + u _ { i } ^ { 2 } \varphi ( x ) - \sigma u _ { i } ^ { 3 } w _ { i } + J u _ { i } ^ { 3 } + k u _ { i } ^ { 4 } ) \, d x , \quad t > 0 . } \end{array}
P ( \mathcal { K } | u , \beta _ { S } , n ) = \frac { \big ( \sqrt { u \beta _ { S } } \big ) ^ { 3 n } } { B \Big ( \frac { 3 n } { 2 } , \frac { 1 } { u } \Big ) } \Big [ 1 + u \beta _ { S } \mathcal { K } \Big ] ^ { - \big ( \frac { 1 } { u } + \frac { 3 n } { 2 } \big ) } \mathcal { K } ^ { \frac { 3 n } { 2 } - 1 } ,
\int \frac { \mathrm { d } \vec { x } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { x } } f ( \boldsymbol { x } ) g ( \boldsymbol { x } ) = \int \mathrm { d } \boldsymbol { p } \, \widetilde { f } ( \boldsymbol { p } ) \widetilde { g } ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { p } )
\ensuremath { \mathbf { M } } \dot { \ensuremath { \mathbf { v } } } + \Pi ^ { \top } [ \bigl ( \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \rho _ { i } ( \ensuremath { \mathbf { v } } ) \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { w } } _ { i } ) \bigr ) \ensuremath { \mathbf { v } } + \ensuremath { \mathbf { A } } \ensuremath { \mathbf { v } } - \ensuremath { \mathbf { f } } ] = 0
\begin{array} { r l r } { \overrightarrow { S } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c } { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \\ { S _ { 3 } } \\ { S _ { 4 } } \\ { S _ { 5 } } \\ { S _ { 6 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { \prime \prime } } \\ { \lambda _ { 5 } ^ { \prime \prime } } \\ { \lambda _ { 8 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { { } = \int _ { D } \mathbb { E } \left[ K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi , 0 } ) : t < \tau _ { \xi , 0 } \right] \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { 2 } } { d t } } & { { } = \frac { 1 } { k _ { 2 } } \Big ( w _ { 2 1 } \, \phi ( | x _ { 2 } - x _ { 1 } | ) \, ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) + w _ { 2 3 } \, \phi ( | x _ { 2 } - x _ { 3 } | ) \, ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) \Big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle u ^ { 2 } \rangle = \frac { \hbar } { \pi N m } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { \bf k } \left( n _ { i } ( { \bf k } ) + \frac { 1 } { 2 } \right) \omega _ { i } ( { \bf k } ) ~ ~ , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int \sec ^ { 3 } x \, d x } & { = { \frac { 1 } { 4 } } \ln | 1 + u | - { \frac { 1 } { 4 ( 1 + u ) } } - { \frac { 1 } { 4 } } \ln | 1 - u | + { \frac { 1 } { 4 ( 1 - u ) } } + C } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } \ln { \Biggl | } { \frac { 1 + u } { 1 - u } } { \Biggl | } + { \frac { u } { 2 ( 1 - u ^ { 2 } ) } } + C } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } \ln { \Biggl | } { \frac { 1 + \sin x } { 1 - \sin x } } { \Biggl | } + { \frac { \sin x } { 2 \cos ^ { 2 } x } } + C } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } \ln \left| { \frac { 1 + \sin x } { 1 - \sin x } } \right| + { \frac { 1 } { 2 } } \sec x \tan x + C } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } \ln \left| { \frac { ( 1 + \sin x ) ^ { 2 } } { 1 - \sin ^ { 2 } x } } \right| + { \frac { 1 } { 2 } } \sec x \tan x + C } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } \ln \left| { \frac { ( 1 + \sin x ) ^ { 2 } } { \cos ^ { 2 } x } } \right| + { \frac { 1 } { 2 } } \sec x \tan x + C } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left| { \frac { 1 + \sin x } { \cos x } } \right| + { \frac { 1 } { 2 } } \sec x \tan x + C } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( \ln | \sec x + \tan x | + \sec x \tan x ) + C . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { v _ { j } ( k ) = } & { f _ { ( \frac { j } { n } , 0 , n ) } ( a , b , x ) + ( - 1 ) ^ { k } f _ { ( \frac { - j } { n } , 0 , n ) } ( a , b , x ) } \\ { + } & { \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left[ ( - i ) ^ { k } f _ { ( 0 , \frac { j } { n } , 1 ) } ( a ^ { 1 / n ^ { 2 } } , b ^ { 1 / n ^ { 2 } } , x / n ) + ( - i ) ^ { 3 k } f _ { ( 0 , \frac { - j } { n } , 1 ) } ( a ^ { 1 / n ^ { 2 } } , b ^ { 1 / n ^ { 2 } } , x / n ) \right] . } \end{array}
\| \boldsymbol { \lambda } _ { k } ^ { \prime } \| \leq C _ { 1 } \| \boldsymbol { \lambda } _ { k } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { m } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } = C _ { 1 } \| g _ { k } ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , \qquad \| g _ { k } ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \leq C _ { 2 } \| g _ { k } ^ { \prime } \| _ { L ^ { K + 1 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { d { S _ { L } } } & { = \frac { 1 } { V _ { L } } \{ - ( F + F _ { L } ) S _ { 0 } + | q _ { L } | ( S _ { A } - S _ { L } ) \} d t } \\ & { + \epsilon d W , } \\ { d { S _ { N } } } & { = \frac { 1 } { V _ { N } } \{ - ( F + F _ { N } ) S _ { 0 } + | q _ { N } | ( S _ { A } - S _ { N } ) \} d t } \\ & { + \epsilon d W , } \\ { V _ { T o t a l } S _ { 0 } } & { = V _ { L } S _ { L } + V _ { A } S _ { A } + V _ { N } S _ { N } , } \\ { q _ { L } } & { = - k \left[ \alpha ( T _ { L } - T _ { A } ) - \beta ( S _ { L } - S _ { A } ) \right] , } \\ { q _ { N } } & { = - k \left[ \alpha ( T _ { N } - T _ { A } ) - \beta ( S _ { N } - S _ { A } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { X } _ { \alpha } ( \omega _ { n } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \, \mathcal { G } ( \omega _ { n } - \omega ) \hat { a } _ { \alpha , \mathrm { o u t } } ( \omega ) + \mathrm { h . c . } } \\ { \hat { P } _ { \alpha } ( \omega _ { n } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } i } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \, \mathcal { G } ( \omega _ { n } - \omega ) \hat { a } _ { \alpha , \mathrm { o u t } } ( \omega ) + \mathrm { h . c . } } \end{array}
\tilde { \theta } _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { r } ) \equiv \tilde { \theta } _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) + \sum _ { A } \sum _ { i } C _ { i \alpha } ^ { A } g _ { i } ^ { A } ( \mathbf { r } ) ,
\begin{array} { r } { \displaystyle \sum _ { \alpha } \tilde { \rho } _ { \alpha } \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { w } _ { \alpha } \| ^ { 2 } \mathbf { w } _ { \alpha } = \displaystyle \sum _ { \alpha } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } \mathbf { w } _ { \alpha } - \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathbf { w } _ { \alpha } ( \mathbf { w } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } ) \right) . } \end{array}
b \left( \psi _ { 0 , k } ^ { ( 1 ) } , w _ { k } \right) - \alpha _ { k } c \left( \psi _ { 0 , k } ^ { ( 1 ) } , w _ { k } \right) = 2 \textrm { W o } ^ { 2 } \sum _ { j = k - K } ^ { K } L _ { j , k } ( w _ { k } ) ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { x } B _ { y } - \partial _ { y } B _ { x } = - \mu _ { 0 } e n v _ { z } } \\ { \partial _ { t } B _ { x } = - \partial _ { y } E _ { z } } \\ { \partial _ { t } B _ { y } = \partial _ { x } E _ { z } } \\ { e n E _ { z } = - \partial _ { x } P _ { x z } - \partial _ { y } P _ { y z } } \\ { \partial _ { t } P _ { x z } = - P _ { x x } \partial _ { x } v _ { z } - \frac { e } { m _ { e } } B _ { y } ( P _ { x x } - P _ { z z } ) } \\ { \partial _ { t } P _ { y z } = - P _ { y y } \partial _ { y } v _ { z } - \frac { e } { m _ { e } } B _ { x } ( P _ { z z } - P _ { y y } ) } \\ { \partial _ { t } P _ { x x } = 2 \frac { e } { m _ { e } } B _ { y } P _ { x z } } \\ { \partial _ { t } P _ { y y } = - 2 \frac { e } { m _ { e } } B _ { x } P _ { y z } } \\ { \partial _ { t } P _ { z z } = - 2 ( P _ { x z } \partial _ { x } v _ { z } + P _ { y z } \partial _ { y } v _ { z } ) - 2 \frac { e } { m _ { e } } ( P _ { x z } B _ { y } - P _ { y z } B _ { x } ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d { \bf m } } { d t } = \frac { d ( R { \bf M } ) } { d t } = \dot { R } { \bf M } + R \dot { \bf M } = 0 , \quad \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } ~ \quad \dot { \bf M } = - R ^ { T } \dot { R } { \bf M } = \hat { \Omega } { \bf M } , } \end{array}
B _ { 0 } ( p _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 0 } ^ { 2 } , m _ { 1 } ^ { 2 } ) = \Delta - \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \log \left[ \frac { x ^ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 } - x ( p _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) + m _ { 0 } ^ { 2 } - i \epsilon } { \mu ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { a ( \mathbf { u } , \mathbf { v } ) } & { { } { } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \cdot \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) d S - \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \cdot \bigg ( \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) \times \int _ { S ^ { \prime } } \big [ \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } \bigg ) d S , } \\ { b ( \mathbf { u } , \mathbf { v } ) } & { { } { } = \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \cdot [ \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) \times \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) ] d S . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int d ^ { D } \! p \, f ( p ) \, e ^ { 2 \pi i p \cdot x } } & { { } = } & { \phi ( x ) } \\ { \int d ^ { D } \! p \, \phi ( x ) \, e ^ { - 2 \pi i p \cdot x } } & { { } = } & { f ( p ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A - ( 1 + \eta ) B } & { \geq w ^ { \prime } \left[ \frac { 3 E } { 4 } + \frac { 4 K ^ { 2 } } { ( 1 + r ) ^ { 3 } } - ( 1 + \eta ) \frac { K h _ { 0 } } { 2 7 } - ( y ( r ) + c _ { 0 } m ( r ) ) \mathbf { 1 } _ { 1 \leq r \leq b } \right] } \\ & { \geq w ^ { \prime } \left[ \frac { 3 E } { 4 } + \left( \frac { 4 K ^ { 2 } } { ( 1 + r ) ^ { 3 } } - ( y ( r ) + c _ { 0 } m ( r ) ) \right) \mathbf { 1 } _ { 1 \leq r \leq b } - ( 1 + \eta ) \frac { K h _ { 0 } } { 2 7 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { 1 1 - } = \frac { b _ { 1 1 } ^ { - + } } { 1 - \rho _ { 1 } ^ { \prime } } = \frac { b _ { 1 1 } ^ { + - } } { 1 - \rho _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { p _ { 1 1 + } = \frac { b _ { 1 1 } ^ { + - } } { \rho _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { p _ { 2 2 - } = \frac { b _ { 2 2 } ^ { - + } } { 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } } = \frac { b _ { 2 2 } ^ { + - } } { 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } } } \\ & { p _ { 2 2 + } = \frac { b _ { 2 2 } ^ { + - } } { \rho _ { 2 } ^ { \prime } } } \\ & { p _ { 1 2 - } = \frac { b _ { 1 2 } ^ { - + } } { 1 - \rho _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { p _ { 1 2 + } = \frac { b _ { 1 2 } ^ { + - } } { \rho _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { p _ { 2 1 - } = \frac { b _ { 2 1 } ^ { + - } } { 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } } = \frac { b _ { 1 2 } ^ { - + } } { 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } } } \\ & { p _ { 2 1 + } = \frac { b _ { 2 1 } ^ { + - } } { \rho _ { 2 } ^ { \prime } } = \frac { b _ { 1 2 } ^ { - + } } { \rho _ { 2 } ^ { \prime } } } \end{array}
\gamma _ { \mu \nu } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma _ { N _ { \uparrow } } ^ { ( 1 ) } ( x _ { i } ; x _ { j } ) } & { \mu = ( i , \uparrow ) , \nu = ( j , \uparrow ) , } \\ { 0 } & { \mu = ( i , \uparrow ) , \nu = ( j , \downarrow ) , } \\ { 0 } & { \mu = ( i , \downarrow ) , \nu = ( j , \uparrow ) , } \\ { \gamma _ { N _ { \downarrow } } ^ { ( 1 ) } ( y _ { i } ; y _ { j } ) } & { \mu = ( i , \downarrow ) , \nu = ( j , \downarrow ) , } \end{array} \right.
\frac { H ^ { 2 } } { H _ { 0 } ^ { 2 } } \equiv \mathcal { H } ^ { 2 } = \frac { \Omega _ { M } } { y ^ { 3 } } + \Omega _ { X } \frac { \rho _ { X } } { \rho _ { X 0 } } + \frac { \Omega _ { k } } { y ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { P _ { k } } & { \geq f ( x _ { k } ) + \frac { \rho } { 2 } \| F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } + \langle \lambda _ { k } \; , \; F ( x _ { k } ) \rangle } \\ & { \geq f ( x _ { k } ) + \frac { \rho } { 2 } \| F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } - \frac { \| \lambda _ { k } \| ^ { 2 } } { 2 ( \rho - \rho _ { 0 } ) } - \frac { \rho - \rho _ { 0 } } { 2 } \| F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { { \overset { { ( ) } } { \geq } } f ( x _ { k } ) + \frac { \rho _ { 0 } } { 2 } \| F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } - 1 { \overset { { ( \mathrm { L e m m a ~ } ) } } { \geq } } \bar { L } - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| v - \beta \| ^ { 2 } + \varepsilon \| ( v - \beta ) _ { x } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } v u _ { x } \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta _ { x } ( u - \alpha ) \mathrm { d } x - \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 1 } ( v - \beta ) ^ { 2 } \beta _ { x } \mathrm { d } x - 2 \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta \beta _ { x } ( v - \beta ) \mathrm { d } x } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( v - \beta ) \beta _ { t } \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { V S C } } } & { { } = \frac { 2 } { \hbar } N \mu _ { \mathrm { L L } ^ { \prime } } ^ { 2 } \cdot J _ { \mathrm { e f f } } ( \omega _ { 0 } ) \cdot n ( \omega _ { 0 } ) } \end{array}
\left( \left[ \frac { \bf \tilde { F } _ { 8 } } { \tilde { \omega } ^ { 2 } } \right] ( z ) \frac { \bf G _ { 0 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \right) _ { q q } \approx - \frac { N ^ { 2 } - 1 } { 4 \pi N ^ { 2 } } \alpha _ { s } ( q _ { \perp } ^ { 2 } ) \ln ^ { 2 } ( z ) \; .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { S } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , 0 } } & { = } & { \sum _ { 1 \leq j _ { 2 } < j _ { 3 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } B ^ { ( 0 ) } \prod _ { k = 2 } ^ { \ell } B ^ { ( j _ { k } ) } + \chi _ { \ell \neq n } \, \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } < j _ { 2 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } B ^ { ( j _ { k } ) } } \\ & { = } & { B \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , 0 } + \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , 0 } \, \chi _ { \ell \neq n } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { ~ } & { ~ ~ \int _ { A } ^ { B } \sqrt { 1 + \sinh ^ { 2 } \left( \frac { x - x _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } \right) } ~ d x = L } \\ & { \Leftrightarrow } & { ~ ~ \int _ { A } ^ { B } \cosh \left( \frac { x - x _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } \right) ~ d x = L } \\ & { \Leftrightarrow } & { ~ ~ \left. \lambda \sinh \left( \frac { x - x _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } \right) \right| _ { A } ^ { B } = L } \\ & { \Leftrightarrow } & { ~ ~ \sinh \left( \frac { B - A } { 2 \lambda } \right) = \frac { L } { 2 \lambda } . } \end{array}
\small { \varphi } ^ { t } = { \varphi } ^ { ( t - 1 ) } - \eta ^ { ( t - 1 ) } \left( \mathbf { B } ^ { \mathbf { T } } \left( \varLambda ^ { - 1 } \left( \mathbf { B } { \varphi } ^ { ( t - 1 ) } - \Phi \right) \right) \right) - \tau \frac { \nabla \mathbf { R } _ { \mathrm { T V } } \left( { \varphi } ^ { ( t - 1 ) } \right) } { \left\| \nabla \mathbf { R } _ { \mathrm { T V } } \left( { \varphi } ^ { ( t - 1 ) } \right) \right\| } ,
\int x \arcsin ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 2 } \arcsin ( a x ) } { 2 } } - { \frac { \arcsin ( a x ) } { 4 \, a ^ { 2 } } } + { \frac { x { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } { 4 \, a } } + C
| p _ { \uparrow } \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 8 } } } [ 2 | u _ { \uparrow } d _ { \downarrow } u _ { \uparrow } \rangle + 2 | u _ { \uparrow } u _ { \uparrow } d _ { \downarrow } \rangle + 2 | d _ { \downarrow } u _ { \uparrow } u _ { \uparrow } \rangle - | u _ { \uparrow } u _ { \downarrow } d _ { \uparrow } \rangle - | u _ { \uparrow } d _ { \uparrow } u _ { \downarrow } \rangle - | u _ { \downarrow } d _ { \uparrow } u _ { \uparrow } \rangle - | d _ { \uparrow } u _ { \downarrow } u _ { \uparrow } \rangle - | d _ { \uparrow } u _ { \uparrow } u _ { \downarrow } \rangle - | u _ { \downarrow } u _ { \uparrow } d _ { \uparrow } \rangle ] .
\ell _ { j } ^ { ( 2 ) } ( x ) : = \sum _ { \begin{array} { l } { i = 0 } \\ { i \neq j } \end{array} } ^ { k } { \frac { 1 } { x _ { j } - x _ { i } } } \left[ \sum _ { \begin{array} { l } { m = 0 } \\ { m \neq ( i , j ) } \end{array} } ^ { k } \left( { \frac { 1 } { x _ { j } - x _ { m } } } \prod _ { \begin{array} { l } { l = 0 } \\ { l \neq ( i , j , m ) } \end{array} } ^ { k } { \frac { x - x _ { l } } { x _ { j } - x _ { l } } } \right) \right]
\left( \begin{array} { c } { \tilde { s } _ { 2 } ^ { \scriptscriptstyle ( \! + \! ) } } \\ { \tilde { s } _ { 2 } ^ { \scriptscriptstyle ( \! - \! ) } } \end{array} \right) = \widehat { T } ( \omega ) \left( \begin{array} { c } { { s } _ { 2 } ^ { \scriptscriptstyle ( \! + \! ) } } \\ { { s } _ { 2 } ^ { \scriptscriptstyle ( \! - \! ) } } \end{array} \right) .
f _ { \mathrm { ~ Q ~ I ~ } } = \frac { n _ { \mathrm { ~ f ~ p ~ } } } { 4 \pi ^ { 2 } } \sum _ { s _ { j } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \alpha \int _ { 0 } ^ { 2 \pi / n _ { \mathrm { ~ f ~ p ~ } } } d \varphi \left( \frac { B - B _ { Q I } } { B _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } - B _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } \right) ^ { 2 } ,