harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left< \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) \phi _ { j } ( \mathbf { u } ) \right> } & { = \frac { 1 } { \beta _ { 0 } } \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) \phi _ { j } ( \mathbf { u } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ; n , \boldsymbol { \beta } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ & { - \frac { 1 } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ; n , \boldsymbol { \beta } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } \int \phi _ { j } ( \mathbf { u } ^ { \prime } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ^ { \prime } ; n , \boldsymbol { \beta } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c a p } _ { U , a } ( R ) } & { = \langle D _ { u } q , L _ { R } D _ { v } q \rangle } \\ & { = \langle ( D _ { u } ) _ { U } a , L _ { R } | _ { U } ( D _ { v } ) _ { U } a \rangle } \\ & { = \langle D _ { u } D _ { v } ^ { - 1 } L _ { R } ^ { + } r , r \rangle } \\ & { = \langle r _ { U } , ( L _ { R } ^ { + } ) _ { U } r _ { U } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to + \infty } \left\{ N ^ { \vartheta } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { T } ^ { d } } \left\{ \left| \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( x ) \right| \right\} \right\} } \\ & { \geq H 2 ^ { - \vartheta } \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to + \infty } \left\{ \sum _ { \| m \cdot \alpha \| > \frac { 1 } { N } } | m | ^ { - d \vartheta } \log ^ { - 1 } ( 1 + | m | ) \| m \cdot \alpha \| ^ { - \vartheta } \right\} = + \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = } & { \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } e ^ { - a x ^ { 2 } + b x + c } \ d x } \\ { = } & { e ^ { c } \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } e ^ { - a ( x ^ { 2 } - \frac { b } { a } x ) } \ d x } \\ { = } & { e ^ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c } \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } e ^ { - a ( x - \frac { b } { 2 a } ) ^ { 2 } } \ d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla \eta _ { 3 } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } + \| \nabla \eta _ { 4 } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } + \| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } } & { + \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } \cup \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime \prime } } W _ { \epsilon } \, \rho _ { \gamma } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { \le \, C _ { 1 0 } \bigl ( Q _ { \epsilon } [ \eta _ { 3 } ] + Q _ { \epsilon } [ \eta _ { 4 } ] \bigr ) + C _ { 1 1 } \Bigl ( \tilde { \mu } ^ { 2 } + \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } } W _ { \epsilon } \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \Bigr ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \Psi _ { k } ( x ) } { k ! } \ge \frac { 1 } { x ^ { k + 1 } } - \frac { 2 k } { ( 2 \pi ) ^ { k + 1 } } ( \zeta ( k + 1 ) - 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { k + 1 } } ) } \\ { + \frac { x - 2 \pi k i } { ( x + 2 \pi i ) ^ { k + 2 } } + \frac { x + 2 \pi k i } { ( x - 2 \pi i ) ^ { k + 2 } } } \\ { + \frac { x - 4 \pi k i } { ( x + 4 \pi i ) ^ { k + 2 } } + \frac { x + 4 \pi k i } { ( x - 4 \pi i ) ^ { k + 2 } } = } \\ { = \frac { q _ { k } ( x ) } { x ^ { k + 1 } ( 4 \pi ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { k + 2 } ( 1 6 \pi ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { k + 2 } } , } \end{array}
\varphi _ { 0 } = - \frac { \sin \theta } { 4 } \left( 3 \frac { h _ { 1 } ( m r ) } { m h _ { 0 } ( m ) } - r - \frac { h _ { 2 } ( m ) } { r ^ { 2 } h _ { 0 } ( m ) } \right) e ^ { - i t } + c . c . , ~ r \geq 1
\begin{array} { r l } { A ^ { 0 } ( U ) : = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \rho e _ { \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \tau } \end{array} \right) } & { , \quad A ^ { 1 } ( U ) : = \left( \begin{array} { c c c c } { v } & { \rho } & { 0 } & { 0 } \\ { p _ { \rho } } & { \rho v } & { p _ { \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { \theta p _ { \theta } } & { \rho v e _ { \theta } } & { 1 } \\ { 0 } & { ( \lambda + \nu ) q } & { \kappa } & { \tau v } \end{array} \right) , } \\ { Q ( U ) } & { : = \left( 0 , 0 , 0 , q \right) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { f } ( L , 0 , s ) \langle \hat { x } ( L , s ) \rangle _ { 0 } } & { = \frac { e ^ { \frac { - 2 A L R } { B } } B ^ { 2 } \left( 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \right) + e ^ { \frac { A L \left( 1 - R \right) } { B } } \left[ A L \left( R + 1 \right) - B \right] } { s A ^ { 2 } R \left( R + 1 \right) ^ { 2 } \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } } \\ & { \approx - \frac { B ( 2 A L - B ) } { 4 A ^ { 3 } s } \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \frac { s ^ { \alpha } } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } , } \end{array}
\sum _ { g } w _ { g } ( v _ { g } - v ^ { ( b ) } ( u _ { g } ) ) ^ { 2 } + \eta \int _ { \operatorname* { m i n } _ { g } \{ u _ { g } \} } ^ { \operatorname* { m a x } _ { g } \{ u _ { g } \} } \left( \frac { d ^ { 2 } v ^ { ( b ) } } { d \xi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } d \xi ,
\Gamma ^ { \tilde { \phi } ^ { - } } ( p ) = 0 , \ \ \ \ \tilde { \phi } ^ { - } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \bar { U } [ \cos \varphi + \sin \varphi + ( \cos \varphi - \sin \varphi ) \gamma _ { 5 } ] D ,
U ( r ) = \frac { \chi ^ { 4 } } { 4 N ^ { 2 } ( a + \chi ^ { 2 } / 2 ) ^ { 2 } } r ^ { 2 ( 1 - N ) } - \frac { 4 M } { ( d - 2 ) N } r ^ { ( 1 - \chi ^ { 2 } / ( 2 a ) ) ( 1 - N ) } ,
\begin{array} { r l } & { E \{ H X \} } \\ { = } & { \int \sum _ { n } ^ { N } \sigma _ { n } \phi _ { n } \cdot \sum _ { m } ^ { N } X _ { m } ( \langle \hat { \phi } _ { m } , \phi _ { m } \rangle \phi _ { m } + \langle \Delta \phi _ { m } , \hat { \phi } _ { m } \rangle \Delta \phi _ { m } ) d t } \\ { = } & { \sum _ { n } ^ { N } \int \sigma _ { n } \phi _ { n } \cdot x _ { n } ( \langle \phi _ { n } , \hat { \phi } _ { n } \rangle \phi _ { n } + \langle \phi _ { n } , \hat { \phi } _ { n } \rangle \Delta \phi _ { n } ) } \\ { + } & { \sum _ { m \neq n } ^ { N } \sigma _ { n } \phi _ { n } \cdot x _ { m } ( \langle \phi _ { m } , \hat { \phi } _ { n } \rangle \phi _ { m } + \langle \Delta \phi _ { n } , \hat { \phi } _ { m } \rangle \Delta \phi _ { n } ) d t } \\ { = } & { \sum _ { n } ^ { N } \{ \sigma _ { n } x _ { n } \langle \phi _ { n } \hat { \phi } _ { n } \rangle \cdot \int \phi _ { n } \phi _ { n } d t + \sigma _ { n } x _ { n } \langle \Delta \phi _ { n } , \hat { \phi } _ { n } \rangle \cdot \int \phi _ { n } \Delta \phi _ { n } d t } \\ { + } & { \sum _ { m \neq n } ^ { N } [ \sigma _ { n } x _ { m } \langle \phi _ { m } , \hat { \phi } _ { m } \rangle \cdot \int \phi _ { n } \phi _ { m } d t + \sigma _ { n } x _ { m } \langle \Delta \phi _ { m } \hat { \phi } _ { m } \rangle \int \Delta \phi _ { m } \phi _ { n } d t ] \} } \\ { = } & { \sum _ { n } ^ { N } [ \sigma _ { n } x _ { n } \langle \phi _ { n } , \hat { \phi } _ { n } \rangle + \sum _ { m } ^ { N } \sigma _ { n } x _ { m } \langle \Delta \phi _ { m } , \hat { \phi } _ { m } \rangle \int \phi _ { n } \Delta \phi _ { m } d t ] } \\ { = } & { \sum _ { n } ^ { N } [ \sigma _ { n } x _ { n } \langle \phi _ { n } , \hat { \phi } _ { n } \rangle + \sum _ { m } ^ { N } \sigma _ { n } x _ { m } \langle \Delta \phi _ { m } , \hat { \phi } _ { m } \rangle \langle \phi _ { n } , \Delta \phi _ { m } \rangle ] } \end{array}
( P _ { L } U _ { L } ^ { - 1 } ) _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { i } \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 1 } } { \kappa _ { i } } } , i = j , } \\ { \theta _ { i } \sqrt { \frac { \kappa _ { j + 1 } } { \kappa _ { i } } } \frac { \sigma _ { i } } { \gamma _ { i + 1 } \cdots \gamma _ { j } \sigma _ { j } } , i < j , } \\ { 0 , \textit { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \quad ( P _ { R } U _ { R } ^ { - 1 } ) _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { m + i } \sqrt { \frac { \kappa _ { m + i + 1 } } { \kappa _ { m + i } } } , i = j , } \\ { \theta _ { m + i } \sqrt { \frac { \kappa _ { m + j + 1 } } { \kappa _ { m + i } } } \frac { \sigma _ { m + j } } { \sigma _ { m + i } \gamma _ { m + j + 1 } \cdots \gamma _ { m + i } } , i > j , } \\ { 0 , \textit { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { d _ { p , i } } & { = - \delta _ { p , i } \sum _ { x , w \leq m - n } ( \partial W _ { w , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { x , w } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } - \delta _ { p , i } \sum _ { x , w \leq m - n } ( W _ { w , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { x , w } ^ { ( 1 ) } t } \\ & { = - \delta _ { p , i } \sum _ { x , w \leq m - n } \sum _ { s \geq 0 } ( ( s + 1 ) W _ { w , x } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } W _ { x , w } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } - s W _ { x , w } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } W _ { w , x } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } ) . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { g _ { + - } } } & { { : } } & { { 2 e ^ { - 2 \Phi } \left( \partial _ { + } \partial _ { - } \Phi - g _ { + - } \left( 2 g ^ { + - } \partial _ { + } \partial _ { - } \Phi - 2 g ^ { + - } \partial _ { + } \Phi \partial _ { - } \Phi + \lambda ^ { 2 } \right) \right) } } \\ { { \ } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } \left( \partial _ { + } f _ { i } \partial _ { - } f _ { i } - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { + - } \, 2 g ^ { + - } \partial _ { + } f _ { i } \partial _ { - } f _ { i } \right) } } \\ { { \ } } & { { \Leftrightarrow } } & { { 4 \partial _ { + } \Phi \partial _ { - } \Phi - 2 \partial _ { + } \partial _ { - } \Phi + \lambda ^ { 2 } e ^ { 2 \rho } = 0 } } \\ { { \Phi } } & { { : } } & { { 2 e ^ { - 2 \rho } \partial _ { + } \partial _ { - } \rho - 4 e ^ { - 2 \rho } \partial _ { + } \partial _ { - } \Phi + 4 e ^ { - 2 \rho } \partial _ { + } \Phi \partial _ { - } \Phi + \lambda ^ { 2 } = 0 } } \\ { { \ } } & { { \Leftrightarrow } } & { { 2 \partial _ { + } \partial _ { - } \rho - 4 \partial _ { + } \partial _ { - } \Phi + 4 \partial _ { + } \Phi \partial _ { - } \Phi + \lambda ^ { 2 } e ^ { 2 \rho } = 0 } } \\ { { f _ { i } } } & { { : } } & { { \partial _ { + } \partial _ { - } f _ { i } = 0 \; . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi \frac { \partial \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } = \nabla \cdot \left[ \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } \nabla \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } - \mathrm { P e } \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } \langle \mathbf v \rangle _ { \mathcal { I B } } \right] + \phi \omega ^ { - \gamma } \mathcal { K } ^ { \star } \mathrm { D a } ( 1 - \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } ^ { a } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ^ { \mu } } & { { } = n u ^ { \mu } + n ^ { \mu } , } \\ { T ^ { \mu \nu } } & { { } = \varepsilon u ^ { \mu } u ^ { \nu } - \Delta ^ { \mu \nu } ( P _ { 0 } + \Pi ) + W ^ { \mu } u ^ { \nu } + W ^ { \nu } u ^ { \mu } + \pi ^ { \mu \nu } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \pi ^ { \mu \nu } } & { = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } N _ { \ast s } e ^ { - \frac { q \Phi } { T } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \int _ { 0 } ^ { + \infty } w ^ { 3 } d w } \\ & { } & { \times \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d u _ { z } \frac { u ^ { \mu } u ^ { \nu } } { \sqrt { 1 + u ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { \sqrt { 1 + w ^ { 2 } + u _ { z } ^ { 2 } } } { T } } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { r } } = { \sqrt { \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } x } { \mathrm { d } s ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } s ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } }
{ \cal V } \left[ \phi , { \vec { \lambda } } ( \mu ) , M _ { 2 } , \mu \right] \, = \, e ^ { 4 t } \, { \cal V } \left[ e ^ { - t } { \bar { \phi } } ( t ) , { \vec { \bar { \lambda } } } ( t ) , e ^ { - t } M _ { 2 } , \mu \right] \, .
\tilde { \varphi } _ { m n } ( \vec { k } ) = \frac { 1 } { \sqrt { m ! n ! } } e ^ { \frac { k _ { c } k _ { \bar { c } } } { 2 } } \left( i \frac { \partial } { \partial k _ { c } } \right) ^ { m } \left( i \frac { \partial } { \partial k _ { \bar { c } } } \right) ^ { n } \tilde { \chi } _ { 0 0 } ( \vec { k } ) ,
\begin{array} { r l r } { F _ { \tau } ^ { A } \! } & { = } & { \! | e \rangle \! \langle e | + | c \rangle \! \langle c | + | c ^ { 2 } \rangle \! \langle c ^ { 2 } | + | t \rangle \! \langle t | + | t c \rangle \! \langle t c | + | t c ^ { 2 } \rangle \! \langle t c ^ { 2 } | , \, \, \, \, } \\ { F _ { \tau } ^ { B } \! } & { = } & { \! | e \rangle \! \langle e | + | c \rangle \! \langle c | + | c ^ { 2 } \rangle \! \langle c ^ { 2 } | - | t \rangle \! \langle t | - | t c \rangle \! \langle t c | - | t c ^ { 2 } \rangle \! \langle t c ^ { 2 } | . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { \Delta _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \Delta _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { \Delta _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \Delta _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { \ddots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \Delta _ { k } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \Delta _ { k } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
{ R } _ { 1 } ^ { n } = \frac { i \varepsilon ^ { 2 } } { 8 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \sum _ { l \in { T } _ { N _ { 0 } } } \sum _ { \left( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } \right) \in { I } _ { l } ^ { N _ { 0 } } } \frac { 1 } { \delta _ { l } } \Theta _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } \textrm { e } ^ { i \mu _ { l } ( x - a ) } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { a ( \mathbf { v } , \mathbf { v } ) = \int _ { \Omega } 2 p _ { 1 } \nabla \mathbf { v } : \nabla \mathbf { v } + ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) \, d \Omega } \\ & { } & { \geq \int _ { \Omega } 2 p _ { 1 } \nabla \mathbf { v } : \nabla \mathbf { v } d \Omega = 2 p _ { 1 } \left\lVert \mathbf { v } \right\rVert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathcal { M B } } ( \mathcal { T } , \omega _ { 1 } ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi i ) ^ { 2 } } \int _ { i \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathrm { B } ^ { 2 } \bigl ( \frac { 3 } { 1 6 } - s _ { 1 } , \frac { 9 } { 1 6 } + 2 s _ { 1 } - s _ { 2 } \bigr ) \mathrm { B } \bigl ( \frac 1 8 + 2 s _ { 2 } , \frac 3 4 + s _ { 1 } - s _ { 2 } \bigr ) \, d s _ { 1 } d s _ { 2 } , } \\ { I _ { \mathcal { M B } } ( \mathcal { T } , \omega _ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi i ) ^ { 2 } } \int _ { i \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathrm { B } ^ { 2 } \bigl ( \frac { 9 } { 1 6 } + 2 s _ { 1 } - s _ { 2 } , \frac 1 4 - s _ { 1 } + s _ { 2 } \bigr ) \mathrm { B } \bigl ( \frac 1 8 + 2 s _ { 2 } , \frac 1 8 - s _ { 1 } - s _ { 2 } \bigr ) \, d s _ { 1 } d s _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textrm { A v g . \, \, c r e s t p h . \, v e l o c i t y : \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \overline { { u ^ { \textnormal { L , c r e s t } } } } = \frac { 2 \mathcal { C } _ { \alpha } } { \pi } c \epsilon + \frac { c } { 2 } \bigg [ 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } \bigg \{ 1 - \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } } ( 1 - \Gamma ) \bigg \} \bigg ] \epsilon ^ { 2 } , } \\ & { \textrm { A v g . \, \, t r o u g h p h . \, v e l o c i t y : \, \, } \overline { { u ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } } } = - \frac { 2 \mathcal { C } _ { \alpha } } { \pi } c \epsilon + \frac { c } { 2 } \bigg [ 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } \bigg \{ 1 - \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } } ( 1 - \Gamma ) \bigg \} \bigg ] \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { m _ { 1 } \mathbf { a } _ { 1 } } & { = { \frac { G m _ { 1 } m _ { 2 } } { r _ { 1 2 } ^ { 3 } } } ( \mathbf { r } _ { 2 } - \mathbf { r } _ { 1 } ) } & & { \quad { \mathrm { S u n – E a r t h } } } \\ { m _ { 2 } \mathbf { a } _ { 2 } } & { = { \frac { G m _ { 1 } m _ { 2 } } { r _ { 2 1 } ^ { 3 } } } ( \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 2 } ) } & & { \quad { \mathrm { E a r t h – S u n } } } \end{array} }
p ( x , t | x _ { 0 } , 0 ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi S ( t ) } } \bigg ( e ^ { - \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 S ( t ) } } - e ^ { - \frac { ( x + x _ { 0 } - 2 a ) ^ { 2 } } { 4 S ( t ) } } \bigg ) .
\begin{array} { r } { \textbf { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 \pi } { L \Delta t } \left[ - \frac { L - 1 } { 2 } , - \frac { L - 1 } { 2 } + 1 , . . . , \frac { L - 1 } { 2 } \right] \, } & { \mathrm { i f } \, L \, \mathrm { i s ~ o d d } } \\ { \frac { 2 \pi } { L \Delta t } \left[ - \frac { L } { 2 } , - \frac { L } { 2 } + 1 , . . . , \frac { L } { 2 } \right] \, } & { \mathrm { i f } \, L \, \mathrm { i s ~ e v e n . } } \end{array} \right. } \end{array}
\Phi ( x , y , z , t ) = \int d t { ' } d x { ' } d y { ' } d z { ' } G ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } , t , z , z { ' } ) \frac { { I _ { k } ( x { ' } , y { ' } , z { ' } , t { ' } ) } } { c } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( t ) } & { = V ( X ( t ) , Z ( t ) , t ) } \\ & { = \cosh _ { p } ^ { p } \left( C ^ { 1 / p } \mu ^ { 1 / p } t \right) D _ { h } \left( x ^ { * } , Z ( t ) \right) + C t ^ { p } \operatorname { s i n h c } _ { p } ^ { p } \left( C ^ { 1 / p } \mu ^ { 1 / p } t \right) \left( f ( X ( t ) ) - f \left( x ^ { * } \right) \right) } \end{array}
\mathbf { { y } } = \left( \begin{array} { l } { q _ { x } } \\ { q _ { y } } \\ { p _ { x } } \\ { p _ { y } } \end{array} \right) \quad \mathbf { { A } } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \dot { \gamma } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { - \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \omega ^ { 2 } } & { - \dot { \gamma } } & { 0 } \end{array} \right) \quad \mathbf { { C } } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { Q _ { x } } \\ { Q _ { y } } \end{array} \right)
\frac { H _ { \mu } ^ { ( 1 ) } ( \lambda z ) } { H _ { \nu } ^ { ( 1 ) } ( z ) } F ( z ) = \frac { H _ { \mu } ^ { ( 2 ) } ( \lambda z _ { 1 } ) } { H _ { \nu } ^ { ( 2 ) } ( z _ { 1 } ) } F ( z _ { 1 } ) , \, z _ { 1 } = e ^ { - \pi i } ,
\rho { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } + \rho \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } = - \nabla P + \mu \left( \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + { \frac { 1 } { 3 } } \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf { u } \right) \right)
\left| f _ { \pi } ^ { 2 } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \left( { \frac { m _ { \pi } } { x } } K _ { 1 } ( m _ { \pi } x ) \right) \right| \leq f _ { \pi } ^ { 2 } B _ { 0 } ( \mu ) ^ { 2 } Z ( \mu ) { \frac { m _ { \pi } } { x } } K _ { 1 } ( m _ { \pi } x ) \ .
( \lambda - 3 ) v ( \phi ^ { 2 } ) + \phi ^ { 2 } v ^ { \prime } ( \phi ^ { 2 } ) = \frac { ( N - 1 ) v ^ { \prime } ( \phi ^ { 2 } ) } { \left( 2 + 2 V ^ { \prime } ( \phi ^ { 2 } ) \right) ^ { 3 / 2 } } + \frac { v ^ { \prime } ( \phi ^ { 2 } ) + 2 \phi ^ { 2 } v ^ { \prime \prime } ( \phi ^ { 2 } ) } { \left( 2 + 2 V ^ { \prime } ( \phi ^ { 2 } ) + 4 \phi ^ { 2 } V ^ { \prime \prime } ( \phi ^ { 2 } ) \right) ^ { 3 / 2 } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial U ( x , a , t ) } { \partial t } } & { = } & { D \frac { \partial ^ { 2 } U ( x , a , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , \quad x \in ( 0 , L ) , } \\ { D \partial _ { x } U ( L , a , t ) } & { = } & { J _ { L } \delta ( a ) , \quad V ( a , t ) = \nu U ( 0 , a , t ) , } \\ { D \partial _ { x } U ( 0 , a , t ) } & { = } & { \left[ \frac { \partial V ( a , t ) ) } { \partial a } + \frac { \partial V ( a , t ) } { \partial t } + \delta ( a ) V ( 0 , t ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } ) } & { = - i ( \tilde { \omega } _ { \mathrm { c a v } } - \tilde { \omega } _ { \mathrm { L } } ) \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } - i g _ { 0 } \cos \varphi \sin \varphi \cdot ( \tilde { n } _ { \mathrm { L } } - \tilde { n } _ { a } ) \cdot b . } \end{array}
- \mathrm { s i g n } \left( \frac { \mathrm { d } \sigma } { \Lambda _ { a = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } - 1 } \mathsf { D } _ { j _ { a } } \wedge \Omega } \right) \mathcal { C } _ { \Omega } ^ { J ^ { \mathrm { o r } } } ( p ( m ) ) = \pm \sum _ { i _ { \pm } } \sum _ { q \in ( p ( m ) + \mathbb { R } _ { \ge 0 } h ) \cap \mathbb { K } _ { J \cup \{ i _ { \pm } \} } ^ { { \mathrm { e f f } } } ( \alpha ) } \mathrm { s i g n } \left( \frac { \mathrm { d } \sigma } { \Lambda _ { a = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } - 1 } \mathsf { D } _ { j _ { a } } \wedge \mathsf { D } _ { i _ { \pm } } } \right) \mathcal { C } ^ { ( J ^ { \mathrm { o r } } , i _ { \pm } ) } ( q ) .
\begin{array} { r } { \frac 3 4 \kappa _ { m _ { * } } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { m _ { * } } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \leq \kappa \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { M } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \leq \frac 4 3 \kappa _ { m _ { * } } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { m _ { * } } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { k } ( k , t ) = M _ { 0 } e ^ { \gamma \lambda t } k ^ { 3 / 2 } K _ { \mathrm { M c } } ( k / k _ { 0 } ) , } & { { } } & { \mathrm { M c } = \sqrt { 5 ( \lambda - \frac { 3 } { 4 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle \tilde { x } _ { n } ^ { 2 } \right\rangle = \frac { k _ { B } T } { \kappa } \mathcal { F } ( \alpha ) \, , \quad \left\langle \tilde { x } _ { n } \tilde { x } _ { n + \ell } \right\rangle = \frac { k _ { B } T } { \kappa } \left[ \frac { \sinh ( \alpha ) } { \alpha } \right] ^ { 2 } e ^ { - | \tau _ { \ell } | / \tau _ { \mathrm { o t } } } \, , } \end{array}
e ^ { - { \lambda } } ( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { { \lambda } ^ { \prime } } { r } ) - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } = k ( h _ { 1 } h ^ { 1 } + h _ { 2 } h ^ { 2 } + h _ { 3 } h ^ { 3 } - h _ { 4 } h ^ { 4 } )
| \alpha _ { g } | = \left| \frac { 1 } { a } \int _ { 0 } ^ { a } ( \pi - b z ) \tilde { g } ( z ) d z \right| \leq \frac { 1 } { a } \int _ { 0 } ^ { a } \left| ( \pi - b z ) \right| d z = \frac { \pi } { 2 } \: ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \ell } ( T _ { 2 } , T _ { 3 } ) } & { \le C ( 1 + T _ { 3 } ) ^ { 1 + \beta _ { 2 } } \mathcal { E } _ { k } ( T _ { 1 } , T _ { 3 } ) ^ { 1 + \beta _ { 1 } } } \\ & { \qquad \times \left[ \frac { 1 } { ( T _ { 2 } - T _ { 1 } ) ( \ell - k ) ^ { 1 + \gamma } } + \frac { 1 } { ( \ell - k ) ^ { \gamma } } + \frac { 1 + \ell } { ( \ell - k ) ^ { 1 + \gamma } } + \frac { 1 + \ell + \ell ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { 0 } ^ { \beta _ { 0 } } ( T _ { 1 } , T _ { 3 } ) } { ( \ell - k ) ^ { 2 + \gamma } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat f _ { j , n } ^ { + } = \frac { \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { i , j + 1 } ^ { + } } { \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { i , j } ^ { + } } = \frac { \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { i , j + 1 } ^ { + } } { \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { i , j + 1 } ^ { + } G _ { i , j } ^ { + } } , \quad j = 0 , \dots , I + n - 1 . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \bar { \varepsilon } } \frac { d ^ { 2 } W _ { p p } } { d t d \varepsilon _ { e } } ( \varepsilon _ { e } , \varepsilon _ { \gamma } , \chi _ { \gamma } ) d \varepsilon _ { e } - r \int _ { 0 } ^ { \varepsilon _ { \gamma } } \frac { d ^ { 2 } W _ { p p } } { d t d \varepsilon _ { e } } ( \varepsilon _ { e } , \varepsilon _ { \gamma } , \chi _ { \gamma } ) d \varepsilon _ { e } = I _ { p p } ( \bar { \varepsilon } , \varepsilon _ { \gamma } , \chi _ { \gamma } ) - r R _ { p p } ( \varepsilon _ { \gamma } , \chi _ { \gamma } ) = 0 ,
Z ( J , \phi _ { a } ^ { * } , \bar { \phi } ) = \int \; d \phi \exp \bigg \{ \frac { i } { \hbar } \bigg ( S _ { \mathrm { e x t } } ( \phi , \phi _ { a } ^ { * } , \bar { \phi } ) + J _ { A } \phi ^ { A } \bigg ) \bigg \} .