harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { F _ { 2 } = \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { 2 } + \lambda _ { n } ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { 2 } + ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( - \Delta v _ { n } ^ { * } ) + \lambda _ { n } ( \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } ) } { \overline { { Q } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( x ) } & { = S m o k e s ( x ) \wedge F r i e n d s ( x , x ) , } \\ { C _ { 2 } ( x ) } & { = \neg S m o k e s ( x ) \wedge F r i e n d s ( x , x ) , } \\ { C _ { 3 } ( x ) } & { = \neg S m o k e s ( x ) \wedge \neg F r i e n d s ( x , x ) , } \\ { C _ { 4 } ( x ) } & { = S m o k e s ( x ) \wedge \neg F r i e n d s ( x , x ) . } \end{array}
< s _ { \alpha \beta } ( \vec { r } , t ) s _ { \gamma \nu } ( \vec { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) > = 2 k _ { B } T \eta _ { \alpha \beta \gamma \nu } \delta ( \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } ) \delta ( t - t ^ { \prime } )
\left[ \begin{array} { l l } { 2 \left( ( P ^ { T } M ) ^ { T } P ^ { T } M + \alpha \Gamma \right) } & { ( \boldsymbol { a } ^ { T } \Phi ^ { T } M ) ^ { T } } \\ { \boldsymbol { a } ^ { T } \Phi ^ { T } M } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { c } _ { o } } \\ { \lambda _ { o } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 2 ( P ^ { T } M ) ^ { T } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) + 2 \alpha \Gamma \boldsymbol { \mu } } \\ { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { S _ { i j } } & { = \left\{ L \in \mathsf { G r } ( r , n ; F ) \; \bigg | \; p _ { I \cup i } ( L ) = p _ { I \cup j } ( L ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } | I | = r - 1 , \mathrm { ~ w i t h ~ } i , j \notin I \right\} } \\ { S _ { i } } & { = \left\{ L \in \mathsf { G r } ( r , n ; F ) \; \bigg | \; p _ { I \cup i } ( L ) = 0 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } | I | = r - 1 , \mathrm { ~ a n d ~ } i \notin I \right\} . } \end{array}
N ^ { 2 } M \int _ { 0 } ^ { M } { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } = { \frac { N ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } } M \left[ { \frac { 1 } { 3 } } M ^ { 3 } - \sigma ^ { 2 } M + \sigma ^ { 3 } \arctan { \frac { M } { \sigma } } \right]
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \left\langle ( x _ { i } ( t ) - \bar { x } ( t ) ) ^ { 2 } \right\rangle } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( r ) } & { = \frac { 2 } { r } + k _ { 1 } ( r ) \overset { ! } { = } \frac { 1 } { r } \, \Rightarrow \quad k _ { 1 } ( r ) = - \frac { 1 } { r } } \\ { G ( r ) } & { = - \left( r + k _ { 2 } ( r ) \, r ^ { 2 } \right) \overset { ! } { = } 1 \, \Rightarrow \quad k _ { 2 } ( r ) = - { \frac { r + 1 } { { r } ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { 1 } _ { T _ { C } } \left( ( \Phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) \mathbf { 1 } _ { T _ { F } } \left( ( \tilde { \Phi } _ { k } ^ { i } , \tilde { y } _ { k } ^ { i } ) \right) = 1 \ \textrm { i f f } } \\ & { e ^ { - \zeta ( g ) } \left( \rho _ { \operatorname* { m a x } } - \frac { \Phi _ { k } ^ { i } } { w } \right) \leq \left[ e ^ { \zeta ( g ) } \frac { \Phi _ { k } ^ { i } + \Delta \Phi _ { k } ^ { i } } { v _ { f } } \right] - \Delta y _ { k } ^ { i } \ \& } \\ & { \left[ e ^ { - \zeta ( g ) } \frac { \Phi _ { k } ^ { i } + \Delta \Phi _ { k } ^ { i } } { v _ { f } } \right] - \Delta y _ { k } ^ { i } \leq e ^ { \zeta ( g ) } \left( \rho _ { \operatorname* { m a x } } - { \frac { \Phi _ { k } ^ { i } } { w } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ( z _ { \mathbf { k } } ) Z ( z _ { \mathbf { l } } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { q \to 1 - 0 } Z _ { q } ( g _ { \mathbf { k } } ) Z _ { q } ( g _ { \mathbf { l } } ) = \operatorname* { l i m } _ { q \to 1 - 0 } Z _ { q } ( g _ { \mathbf { k } } \bullet g _ { \mathbf { l } } ) } \\ & { = Z ( \iota ( g _ { \mathbf { k } } \bullet g _ { \mathbf { l } } ) ) = Z ( \iota ( g _ { \mathbf { k } } ) \bullet \iota ( g _ { \mathbf { l } } ) ) = Z ( z _ { \mathbf { k } } \bullet z _ { \mathbf { l } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { n \ell } } & { { } = - \frac { J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) - \Gamma _ { n \ell } J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } { H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) - \Gamma _ { n \ell } H _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } } \\ { \Gamma _ { n \ell } } & { { } = \frac { \xi _ { n } k _ { n } J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { n } r _ { n } \right) } { k _ { o } J _ { \ell } \left( k _ { n } r _ { n } \right) } } \\ { \xi _ { n } } & { { } = \frac { \mu _ { o } } { \mu _ { n } } ~ \left[ \frac { \epsilon _ { o } } { \epsilon _ { n } } \right] ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \mathrm { T M } ~ [ \mathrm { T E } ] } \end{array}
G \approx \frac { 1 } { 2 \pi ( 1 + g ^ { 2 } / \pi ) } \bigg [ 1 - 2 ^ { ( 5 \pi + 3 g ^ { 2 } ) / ( \pi + g ^ { 2 } ) } \frac { ( 1 + g ^ { 2 } / \pi ) ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \bigg ( \frac { m ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \bigg ) ^ { ( \pi + 2 g ^ { 2 } ) / ( \pi + g ^ { 2 } ) } \bigg ] .
\frac { \left( f _ { + } ( R ) + \dot { R } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } { R } + \frac { \left( f _ { - } ( R ) + \dot { R } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } { R } = \frac { 8 \pi G } { 3 } \, ( \rho + \sigma ) \, .
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } - \left( ( \pi _ { \alpha } + p \phi _ { \alpha } ) \mathbf { I } + \tilde { \rho } _ { \alpha } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } + \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } \right) : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } } & { { } } \\ { + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { q } _ { \alpha } - \theta \hat { \boldsymbol { \Phi } } _ { \alpha } - \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \phi _ { \alpha } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \right) \right) + \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \theta s _ { \alpha } - r _ { \alpha } \right) } & { { } } \\ { + \left( \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } / 2 - p \nabla \phi _ { \alpha } \right) \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } + \gamma _ { \alpha } \left( \hat { \psi } _ { \alpha } + \chi _ { \alpha } + \rho _ { \alpha } ^ { - 1 } p \right) } & { { } ~ \leq 0 . } \end{array}
\delta _ { z } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { 2 ( 3 a - x ) x ^ { 2 } } { Y w d ^ { 3 } } } F } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ x ~ < ~ a ~ , ~ } } \\ { \displaystyle { \frac { 2 ( 3 x - a ) a ^ { 2 } } { Y w d ^ { 3 } } } F } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ x ~ \geq ~ a ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 3 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } k r _ { g } \bigg \{ \Big \{ \Big ( { \cal T } _ { 1 1 1 } ^ { \prime } - 3 { \cal T } _ { 1 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \cos 3 \phi _ { \xi } + \Big ( 3 { \cal T } _ { 1 1 2 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 2 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \sin 3 \phi _ { \xi } \Big \} \Big \{ \frac { 1 } { b } \Big ( \frac { 1 } { r \big ( r + ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) \big ) } - \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { 2 r ^ { 3 } } \Big ) - { \textstyle \frac { 3 } { 8 } } b \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 5 } } \Big \} + } \\ & { + } & { { \textstyle \frac { 9 } { 4 } } \Big \{ \Big ( { \cal T } _ { 1 1 3 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 2 2 3 } ^ { \prime } \Big ) \cos 2 \phi _ { \xi } + 2 { \cal T } _ { 1 2 3 } ^ { \prime } \sin 2 \phi _ { \xi } \Big \} \frac { b ^ { 2 } } { r ^ { 5 } } + { \textstyle \frac { 4 5 } { 8 } } \Big \{ { \cal T } _ { 1 3 3 } ^ { \prime } \cos \phi _ { \xi } + { \cal T } _ { 2 3 3 } ^ { \prime } \sin \phi _ { \xi } \Big \} b \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 5 } } + } \\ & { + } & { { \textstyle \frac { 5 } { 2 } } { \cal T } _ { 3 3 3 } ^ { \prime } \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \Big ( 1 - { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \frac { b ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \Big ) \bigg \} \Big | _ { r _ { 0 } } ^ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \Big ( \frac { 1 } { q _ { n } ( i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } } & { = \Big ( \frac { 1 } { q _ { n } ( 1 , \ldots , 1 ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \Big ( \frac { q _ { n } ( 1 , \ldots , 1 ) } { q _ { n } ( i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } } \\ & { \le \Big ( \frac { 1 } { q _ { n } ( 1 , \ldots , 1 ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \Big ( \frac { 4 \tau ( 1 ) } { \tau ( i ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } ; } \end{array}
Z = \int \exp \{ i S [ q , p , \xi , \pi ] \} \prod { ( \mathrm { B e r } \{ \Phi , T \} ^ { * } \delta ( \Theta ) ( \mathrm { B e r } \{ \Theta , \Theta \} ) ^ { 1 / 2 } d q \; d p \; d \xi d \pi } ) \ ,
\delta _ { 2 } \omega _ { \nu } { } ^ { m n } = - ( D _ { \phi } \bar { \epsilon } ) \Gamma _ { \nu } { } ^ { \phi \rho m n } \psi _ { \rho } + \bar { \epsilon } \Gamma _ { \nu } { } ^ { \kappa \lambda m n } { \cal T } _ { \kappa } \cdot \hat { H } \psi _ { \lambda } \, .
p ( \mathrm { { l a b e l } } | { \boldsymbol { x } } , { \boldsymbol { \theta } } ) = { \frac { p ( { { \boldsymbol { x } } | \mathrm { { l a b e l , { \ b o l d s y m b o l { \ t h e t a } } } } } ) p ( \mathrm { { l a b e l | { \ b o l d s y m b o l { \ t h e t a } } } } ) } { \int _ { L \in { \mathrm { a l l ~ l a b e l s } } } p ( { \boldsymbol { x } } | L ) p ( L | { \boldsymbol { \theta } } ) \operatorname { d } L } } .
f ( t , x ) = \frac { r } { \frac { \rho } { 2 } ( { \mathrm { e } } ^ { r t } - 1 ) } \sqrt { \frac { { \mathrm { e } } ^ { r t } } { x } } I _ { 1 } \left( \frac { 2 r \sqrt { x { \mathrm { e } } ^ { r t } } } { \frac { \rho } { 2 } ( { \mathrm { e } } ^ { r t } - 1 ) } \right) { \mathrm { e x p } } \left( - \frac { r ( { \mathrm { e } } ^ { r t } + x ) } { \frac { \rho } { 2 } ( { \mathrm { e } } ^ { r t } - 1 ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \| \mathscr { Z } _ { s } ^ { \varepsilon } ( u ) \| _ { n } } & { \leqslant C e ^ { a u } , } \\ { \| \mathscr { Z } _ { s } ^ { \varepsilon } ( u ) - \mathscr { Z } _ { s } ^ { \varepsilon } ( u ^ { \prime } ) \| _ { 2 n } } & { \leqslant C | u - u ^ { \prime } | ^ { \alpha } e ^ { a ( u + v ) } , } \\ { \| \mathscr { Z } _ { s } ^ { \varepsilon } ( u ) - \mathscr { Z } _ { s ^ { \prime } } ^ { \varepsilon } ( u ^ { \prime } ) \| _ { 2 n } } & { \leqslant C \left( \varepsilon ^ { 2 \alpha } \vee | t - t ^ { \prime } | ^ { \alpha / 2 } \right) e ^ { 2 a u } . } \end{array}
\mathbf { - 1 . 1 0 2 \, 6 4 1 \, 5 8 1 \, 0 3 2 \, 5 7 7 \, 1 6 4 \, 1 1 8 \, 1 2 4 \, 9 9 9 \, 9 5 7 \, 6 } 8 0
\begin{array} { l c c } { { \mathrm { w i t h } \; 1 \; \mathrm { f b ^ { - 1 } } : \quad } } & { { \kappa _ { t c } ^ { } \sim 9 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \quad \mathrm { o r } } } & { { B R ( t \rightarrow Z c ) \sim 4 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } } \\ { { \mathrm { w i t h } \; 1 0 \; \mathrm { f b ^ { - 1 } } : \quad } } & { { \kappa _ { t c } ^ { } \sim 4 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \quad \mathrm { o r } } } & { { B R ( t \rightarrow Z c ) \sim 8 \cdot 1 0 ^ { - 4 } } } \\ { { \mathrm { w i t h } \; 1 0 0 \; \mathrm { f b ^ { - 1 } } : \quad } } & { { \kappa _ { t c } ^ { } \sim 2 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \quad \mathrm { o r } } } & { { B R ( t \rightarrow Z c ) \sim 2 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { a } ^ { \alpha - 1 } } & { ( \Psi h ) ( B ^ { - 1 } ( x ) ) } \\ & { = \int ( 2 - 2 \cos ( B ^ { - 1 } ( x ) - B ^ { - 1 } ( y ) ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } B _ { 2 } ^ { - 1 } [ a ] ( x , y ) ( B ^ { \prime } ( B ^ { - 1 } ( x ) ) h ( x ) - B ^ { \prime } ( B ^ { - 1 } ( y ) ) h ( y ) ) \frac { 1 } { B ^ { \prime } ( B ^ { - 1 } ( y ) ) } d y } \\ & { = \int ( 2 - 2 \cos ( B ^ { - 1 } ( x ) - B ^ { - 1 } ( y ) ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } B _ { 2 } ^ { - 1 } [ a ] ( x , y ) \left( \frac { B ^ { \prime } ( B ^ { - 1 } ( x ) ) } { B ^ { \prime } ( B ^ { - 1 } ( y ) ) } - 1 \right) d y h ( x ) } \\ & { \ + \int ( 2 - 2 \cos ( B ^ { - 1 } ( x ) - B ^ { - 1 } ( y ) ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } B _ { 2 } ^ { - 1 } [ a ] ( x , y ) ( h ( x ) - h ( y ) ) d y } \\ & { = : A _ { 1 } + A _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q E \delta x _ { G } + m v _ { \parallel } \delta v _ { \parallel } + m v _ { c } \delta v _ { c } } & { { } = \frac { \delta \mathcal { E } } { \omega } \left( \frac { k _ { \perp } E } { B } + k _ { \parallel } v _ { \parallel } + N \omega _ { c } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \ell } = \frac { | \beta _ { \mathrm { ~ \textsc ~ { ~ P ~ E ~ } ~ } } | ^ { 2 | \ell | } } { | \ell | ! } \mathrm { e } ^ { - | \beta _ { \mathrm { ~ \textsc ~ { ~ P ~ E ~ } ~ } } | ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathbf { x } } } } & { = { \frac { x { \hat { \boldsymbol { \rho } } } - y { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } } \\ { { \hat { \mathbf { y } } } } & { = { \frac { y { \hat { \boldsymbol { \rho } } } + x { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } } \\ { { \hat { \mathbf { z } } } } & { = { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array} }
\operatorname * { l i m } _ { \omega \rightarrow - 0 } \frac { \sin \pi \omega } { \pi } \frac { \Theta ( k _ { + } ^ { \prime } - k _ { + } ) } { ( k _ { + } ^ { \prime } - k _ { + } ) ^ { 1 + \omega } } = - \delta ( k _ { + } ^ { \prime } - k _ { + } ) \, .
{ \mathcal { L } } = - b ^ { 2 } { \sqrt { 1 - { \frac { E ^ { 2 } - B ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } - { \frac { ( \mathbf { E } \cdot \mathbf { B } ) ^ { 2 } } { b ^ { 4 } } } } } + b ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { { } \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \big | \mathcal { N } ( c _ { A } , u ) \Delta u \big | \mathrm { d } x \mathrm { d } t \leq C R ^ { 2 } \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 N + 2 } \| \Delta u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \check { \mathbf { U } } _ { i , j , k } = \mathbf { R e s } _ { i , j , k } = } & { - \left. \frac { \mathrm { d } \check { \mathbf { F } } ^ { c } } { \mathrm { d } x } \right| _ { i , j , k } - \left. \frac { \mathrm { d } \check { \mathbf { G } } ^ { c } } { \mathrm { d } y } \right| _ { i , j , k } - \left. \frac { \mathrm { d } \check { \mathbf { H } } ^ { c } } { \mathrm { d } z } \right| _ { i , j , k } } \\ & { + \left. \frac { \mathrm { d } \check { \mathbf { F } } ^ { v } } { \mathrm { d } x } \right| _ { i , j , k } + \left. \frac { \mathrm { d } \check { \mathbf { G } } ^ { v } } { \mathrm { d } y } \right| _ { i , j , k } + \left. \frac { \mathrm { d } \check { \mathbf { H } } ^ { v } } { \mathrm { d } z } \right| _ { i , j , k } , } \end{array} } \end{array}
{ \cal H } _ { P V } = - \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \, \bar { e } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } e \, \left( C _ { 1 u } \, \bar { u } \gamma ^ { \mu } u + C _ { 1 d } \, \bar { d } \gamma ^ { \mu } d \right) \, ,
\hat { \rho } _ { 1 , 2 } = \frac { 1 + 2 i \hat { \beta } \pm \sqrt { \hat { \alpha } ^ { 2 } - 3 \hat { \beta } ^ { 2 } + 6 i \hat { \beta } } } { 1 - \hat { \alpha } - i \hat { \beta } } ,
i \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { C C W } } \\ { \alpha _ { C W } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \omega _ { 0 } - i ( \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } ) } & { - i \beta _ { 1 2 } } \\ { - i \beta _ { 2 1 } } & { \omega _ { 0 } - i ( \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { C C W } } \\ { \alpha _ { C W } } \end{array} \right) - \sqrt { 2 \Gamma _ { 1 } } \left( \begin{array} { l } { E _ { \mathrm { i n } } } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { f _ { d } } & { { } = 1 - \operatorname { t a n h } { \left( { 1 6 r _ { d } } ^ { 3 } \right) } \ \ \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { r _ { d } } & { { } = \frac { \nu + \nu _ { t } } { \sqrt { \sum _ { i , j } { \left( \partial u _ { i } / \partial x _ { j } \right) } ^ { 2 } } \kappa ^ { 2 } d _ { w } ^ { 2 } } \ \ \ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ \ \ \nu _ { t } = \frac { \Tilde { k } } { \omega } = \frac { \widetilde { v _ { i } ^ { \prime \prime } v _ { i } ^ { \prime \prime } } } { 2 \omega } \ \ . } \end{array}
V ( \phi , g ) = g \int { \mathrm d } ^ { 4 } x \left\{ \frac { \mu ^ { ( 1 ) } } { 2 } \phi ( x ) ^ { 2 } + \frac { \zeta ^ { ( 1 ) } } { 2 } \phi ( x ) ( - \bigtriangleup ) \phi ( x ) + \frac { 1 } { 4 ! } \phi ( x ) ^ { 4 } \right\} + O ( g ^ { 2 } ) .
\frac { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } { e ^ { 2 } } \hat { V } _ { k } ( r _ { k } ) = - \frac { Z _ { k } } { r _ { k } } - \frac { \alpha _ { k } } { 2 \, r _ { k } ^ { ~ 4 } } \left( 1 - \exp [ - ( \frac { r _ { k } } { a _ { k } } ) ^ { 2 } ] \right) ^ { 2 } + B _ { k } \, \exp [ - ( \frac { r _ { k } } { b _ { k } } ) ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } ( t ) } & { \leq - \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { 3 } \, d x d r + C _ { 0 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } ( 1 + u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } + u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } ) \, d x d r } \\ & { \stackrel { \leq } - \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { 3 } \, d x d r + C _ { 0 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } u _ { 2 } ^ { 2 } \, d x d r + C _ { 0 } \mathsf { H } ( t ) . } \end{array}
\left( \frac { h ^ { \prime } } { h } \right) ^ { 2 } = \frac { \sin ^ { 2 } \beta } { h ^ { 2 } } + \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { h ^ { 4 } } - \frac { 2 h _ { 0 } \sin \beta } { h ^ { 3 } } \, ,
\mathbb { M } _ { ( N ) , \nu } ^ { \mathrm { ~ P ~ } } \left( \begin{array} { l } { b _ { \nu } ^ { ( 1 ) } } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { a _ { \nu } ^ { ( N + 1 ) } } \end{array} \right)
[ \mathbf { u } _ { t } ^ { ( z ) } ] _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \! = \! \! \left\{ \begin{array} { l l } { \! \sum _ { k } \alpha _ { k t } ^ { ( z ) } U _ { t , k j _ { 1 } } ^ { ( z ) } U _ { t , k j _ { 2 } } ^ { ( z ) } } & { \! \! \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; [ \mathbf { u } _ { t } ^ { \! ( z ) } ] _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \! \! = \! [ \mathbf { u } _ { t } ^ { \! ( z ) } ] _ { j _ { 2 } j _ { 1 } } , } \\ { \! \sum _ { k } \beta _ { k t } ^ { ( z ) } U _ { t , k j _ { 1 } } ^ { ( z ) } V _ { t , k j _ { 2 } } ^ { ( z ) } } & { \! \! \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \kappa _ { a i } ( t ) } & { = \int d \omega \; e ^ { - i \omega t } \kappa _ { a i } ^ { \omega } + \int \int d \omega \, d \omega ^ { \prime } \; e ^ { - i \omega t } e ^ { - i \omega ^ { \prime } t } \kappa _ { a i } ^ { \omega , \omega ^ { \prime } } + \dots } \\ { \gamma ( t ) } & { = \int d \omega \; e ^ { - i \omega t } \gamma _ { \alpha } ^ { \omega } + \int \int d \omega \, d \omega ^ { \prime } \; e ^ { - i \omega t } e ^ { - i \omega ^ { \prime } t } \gamma _ { \alpha } ^ { \omega , \omega ^ { \prime } } + \dots } \end{array}
\frac { H \operatorname* { m a x } ( \| W ^ { \star } ( \tau \cdot / h ) \| _ { 1 } , \| W ^ { \star } ( \tau \cdot / h ^ { \prime } ) \| _ { 1 } ) } { | \lambda _ { h ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } } ( \tau ) | | \lambda _ { h , \ell } ( \tau ) | } \biggl ( \frac { H ^ { 2 } } { N } + \exp \Bigl ( - \frac { c _ { 0 } } { 4 } \sqrt { \log N } \Bigr ) \biggr ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial A _ { p } } { \partial z } } & { = i \gamma _ { p } ( 1 - f _ { R } ) ( | A _ { p } | ^ { 2 } A _ { p } + 2 | A _ { s } | ^ { 2 } A _ { p } ) + R _ { p } ( z , t ) } \\ { \frac { \partial A _ { s } } { \partial z } } & { = i \gamma _ { s } ( 1 - f _ { R } ) ( | A _ { s } | ^ { 2 } A _ { s } + 2 | A _ { p } | ^ { 2 } A _ { s } ) + R _ { s } ( z , t ) } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } W _ { 1 } ( \pi _ { s } ( \cdot | z _ { 0 } ^ { \prime } ) , \pi _ { s } ( \cdot | z _ { 0 } ) ) \leq K _ { T , D } \mathbb { E } | \zeta _ { 0 } ^ { \prime } - \zeta _ { 0 } | + K _ { T , D } \int _ { 0 } ^ { t } W _ { 1 } ( \pi _ { s } ( \cdot | z _ { 0 } ^ { \prime } ) , \pi _ { s } ( \cdot | z _ { 0 } ) ) d s .
\begin{array} { r l } { E _ { S _ { 1 } } ^ { \pi } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { k } r ( S _ { k } , A _ { k } ) } & { = E _ { S _ { 1 } } ^ { \pi } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \gamma ^ { m j + k } r _ { \pi } ( S _ { m j + k } ) } \\ & { = E _ { S _ { 1 } } ^ { \pi } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \gamma ^ { m j + k } r _ { \pi } ( S _ { m j + k } ) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \gamma ^ { k } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { m j } E _ { S _ { 1 } } ^ { \pi } E [ r _ { \pi } ( S _ { m j + k } ) | \mathcal { F } _ { m j } ] } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \gamma ^ { k } E _ { S _ { 1 } } ^ { \pi } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { m j } E _ { S _ { m j } } r _ { \pi } ( S _ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { n } } & { { } = \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { \pi \, n } { 2 \, N } \right) , ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \kappa _ { n } } & { { } = \frac { - \dot { \lambda _ { n } } \delta J } { 4 \delta ^ { 2 } ( \lambda _ { n } - 1 ) ^ { 2 } + J ^ { 2 } } . } \end{array}
( D _ { j } ) _ { i } ^ { l } = \left( \begin{array} { c c c } { { d _ { j ( 1 ) } } } & { { \dots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \ddots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \dots } } & { { d _ { j ( k ) } } } \end{array} \right) \, , \qquad ( \hat { D } _ { j } ) _ { \alpha } ^ { \beta } = \left( \begin{array} { c c c } { { a _ { j ( 1 ) } \cdot { \bf 1 } } } & { { \dots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \ddots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \dots } } & { { a _ { j ( N ) } \cdot { \bf 1 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { { } \geq \left( 3 \left| \lambda _ { 2 } \right| - \lambda _ { 2 } \right) / 2 } \\ { \quad \lambda _ { 1 } } & { { } \leq 1 / 3 - \lambda _ { 2 } } \end{array} \qquad ( \lambda _ { 1 } \geq \lambda _ { 2 } \geq \lambda _ { 3 } )
C _ { N \times n } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { \alpha _ { 1 , 1 } } & { \alpha _ { 1 , 2 } } & { \dots } & { \alpha _ { 1 , n } } & { \kappa _ { 1 , 1 } } & { \kappa _ { 1 , 2 } } & { \dots } & { \kappa _ { 1 , n } } \\ { \alpha _ { 2 , 1 } } & { \alpha _ { 2 , 2 } } & { \dots } & { \alpha _ { 2 , n } } & { \kappa _ { 2 , 1 } } & { \kappa _ { 2 , 2 } } & { \dots } & { \kappa _ { 2 , n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \alpha _ { N , 1 } } & { \alpha _ { N , 2 } } & { \dots } & { \alpha _ { N , n } } & { \kappa _ { N , 1 } } & { \kappa _ { N , 2 } } & { \dots } & { \kappa _ { N , n } } \end{array} \right]
\langle \Phi _ { \vartheta } ( \mu ) | e ^ { - T ( \mu ) } H e ^ { T ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle c _ { \mu } ^ { \alpha } + \sum _ { \nu \ne \mu } H _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { e f f } } c _ { \nu } ^ { \alpha } \langle \Phi _ { \vartheta } ( \mu ) | e ^ { - T ( \mu ) } e ^ { T ( \nu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle = 0
\frac { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \hat { a } _ { P } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } | \Psi _ { k } ^ { w } \rangle } { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \Psi _ { k } ^ { w } \rangle } = \Bigl [ \Psi _ { k } ^ { w } \big ( \Psi _ { \mathrm { T } } ^ { \dagger } \Psi _ { k } ^ { w } \big ) ^ { - 1 } \Psi _ { \mathrm { T } } ^ { \dagger } \Bigr ] _ { R P }