harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \hat { v } ^ { i } = \sqrt { g _ { i i } } v ^ { i } \Rightarrow \left[ \begin{array} { l l l } { \hat { v } ^ { 1 } } & { \hat { v } ^ { 2 } } & { \hat { v } ^ { 3 } } \end{array} \right] ^ { T } = \sqrt { d i a g \left[ \boldsymbol { G } \right] } \left[ \begin{array} { l l l } { v ^ { 1 } } & { v ^ { 2 } } & { v ^ { 3 } } \end{array} \right] ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { S R G M } } ( x , y ) } { \partial x } = \frac { L ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { x } - \binom { N } { 2 } \frac { 1 } { 1 + x + y } , \quad \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { S R G M } } ( x , y ) } { \partial y } = \frac { L ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { y } - \binom { N } { 2 } \frac { 1 } { 1 + x + y } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle j \, k \, m | \hat { H } _ { \mathrm { r o t } } | j \, k \, m \rangle } & { { } = \frac { B + C } { 2 } \left( j ( j + 1 ) - k ^ { 2 } \right) + A \, k ^ { 2 } \, , } \\ { \langle j \, k \, m | \hat { H } _ { \mathrm { r o t } } | j \, k \pm 2 \, m \rangle } & { { } = \frac { B - C } { 4 } f _ { \pm } ( j , k ) \, , } \end{array}
\mathbf { G } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { \alpha _ { 1 } } & { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } & { \hdots } & { \alpha _ { 1 } ^ { k - 1 } } \\ { 1 } & { \alpha _ { 2 } } & { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } & { \hdots } & { \alpha _ { 2 } ^ { k - 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \alpha _ { n } } & { \alpha _ { n } ^ { 2 } } & { \hdots } & { \alpha _ { n } ^ { k - 1 } } \end{array} \right) \in \mathbb { F } _ { q } ^ { n \times k } ,
{ \cal Z } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { { \cal C } _ { 0 } } \frac { d z } { z + e ^ { - \frac { \pi } { g _ { n c } ^ { 2 } \theta } } } \exp \left[ z \Phi ( - z ; \frac { 3 } { 2 } ; 1 ) \frac { A _ { n c } } { \sqrt { 2 \pi g _ { n c } ^ { 2 } \theta ^ { 3 } } } \, \, \right] ,
\begin{array} { r l r } { \mathbf { K } ^ { i } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { K } _ { 1 1 } ^ { i } } & { \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { i } } \\ { \mathbf { K } _ { 2 1 } ^ { i } } & { \mathbf { K } _ { 2 2 } ^ { i } } \end{array} \right] = \mathbf { S } ^ { i } \left( \mathbf { D } ^ { i } \right) ^ { - 1 } } & \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { S } ^ { + } } & { \mathbf { S } ^ { - } \mathbf { E } } \\ { \mathbf { S } ^ { + } \mathbf { E } } & { \mathbf { S } ^ { - } } \end{array} \right] ^ { i } \left( \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { D } ^ { + } } & { \mathbf { D } ^ { - } \mathbf { E } } \\ { \mathbf { D } ^ { + } \mathbf { E } } & { \mathbf { D } ^ { - } } \end{array} \right] ^ { i } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( r ) = } & { \: W ^ { - 1 } \left[ u _ { \mathrm { i n f } } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } u _ { \mathrm { h o r } } ( r ^ { \prime } ) H ( r ^ { \prime } ) \, \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { \Delta } d r ^ { \prime } + u _ { \mathrm { h o r } } ( r ) \int _ { r } ^ { \infty } u _ { \mathrm { i n f } } ( r ^ { \prime } ) H ( r ^ { \prime } ) \, \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { \Delta } d r ^ { \prime } \right] , } \\ { u ^ { \prime } ( r ) = } & { \: W ^ { - 1 } \left[ u _ { \mathrm { i n f } } ^ { \prime } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } u _ { \mathrm { h o r } } ( r ^ { \prime } ) H ( r ^ { \prime } ) \, \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { \Delta } d r ^ { \prime } + u _ { \mathrm { h o r } } ^ { \prime } ( r ) \int _ { r } ^ { \infty } u _ { \mathrm { i n f } } ( r ^ { \prime } ) H ( r ^ { \prime } ) \, \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { \Delta } d r ^ { \prime } \right] . } \end{array}
\mathcal { E } ( \mathfrak { p } ) = E ( \mathfrak { p } ) + \mathfrak { E } ( \omega ) , \; \; \; \; \; \Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ; \mathfrak { p } ) = \psi _ { \mathrm { r e l } } ( \mathbf { r } ; \mathfrak { p } ) \, \psi _ { \mathrm { c m } } ( \mathbf { r } ^ { + } ; \omega ) .
\begin{array} { r } { \| \boldsymbol { v } _ { h } - \mathcal { I } _ { h } \boldsymbol { v } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \lesssim \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } } h _ { f } \| [ [ \boldsymbol { v } _ { h } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ^ { 2 } , } \\ { \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| \nabla \times ( \boldsymbol { v } _ { h } - \mathcal { I } _ { h } \boldsymbol { v } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } \lesssim \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } } h _ { f } ^ { - 1 } \| [ [ \boldsymbol { v } _ { h } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { y } } = { \Bigg \{ } 0 , { \frac { 1 + ( y _ { R } - y ) ( { \frac { 1 } { y } } ) _ { L } } { y _ { R } } } , { \frac { 1 + ( y _ { L } - y ) ( { \frac { 1 } { y } } ) _ { R } } { y _ { L } } } { \Bigg | } { \frac { 1 + ( y _ { L } - y ) ( { \frac { 1 } { y } } ) _ { L } } { y _ { L } } } , { \frac { 1 + ( y _ { R } - y ) ( { \frac { 1 } { y } } ) _ { R } } { y _ { R } } } { \Bigg \} }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { C a ^ { + } + C _ { 4 } H _ { 4 } B r _ { 2 } } } & { { } \stackrel { k ^ { ( 1 ) } } { \to } } & { \mathrm { C a B r ^ { + } + C _ { 4 } H _ { 4 } B r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { \dagger } = 0 , \, w ^ { \dagger } = 0 , \, \theta ^ { \dagger } = 0 , \, \phi ^ { \dagger } = 0 \quad } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } x = 0 , 1 , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \dagger } } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { \partial p ^ { \dagger } } { \partial x } = 0 \quad } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } x = 0 , 1 , } \end{array}
E _ { 0 0 } ^ { ( i ) } \approx \frac { 1 } { 2 } \left\{ \frac { \ddot { a } _ { 0 } } { a _ { 0 } } + \frac { \dot { a } _ { 0 } } { a _ { 0 } } \frac { \dot { d } _ { 0 } } { d _ { 0 } } - \frac { \dot { a } _ { 0 } ^ { 2 } } { a _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { \ddot { d } _ { 0 } } { d _ { 0 } } - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \frac { ( \rho _ { i } + P _ { i } ) } { 2 d _ { 0 } } \right\} \, .
\begin{array} { r } { \lambda _ { 1 } = T r ( S _ { n } ^ { 2 } ) } \\ { \lambda _ { 2 } = T r ( W _ { n } ^ { 2 } ) } \\ { \lambda _ { 3 } = T r ( S _ { n } ^ { 3 } ) } \\ { \lambda _ { 4 } = T r ( W _ { n } ^ { 2 } S _ { n } ) } \\ { \lambda _ { 5 } = T r ( W _ { n } ^ { 2 } S _ { n } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { e _ { 1 } ^ { n } = \frac { \Delta t \, C _ { 1 } ( \Delta t + h ) } { \mu } \left[ 1 - e ^ { - \frac { a T _ { f } } { h } } + \frac { a \mu T _ { f } } { 2 h } e ^ { - \frac { a T _ { f } } { h } } + O ( \mu ^ { 2 } ) \right] , } \end{array}
\times \exp \left[ i y \left( \frac { | P _ { 1 } ^ { \perp } | ^ { 2 } + M ^ { 2 } } { 2 P _ { 1 } ^ { + } } - k _ { 1 } ^ { - } - \frac { | P _ { 2 } ^ { \perp } | ^ { 2 } + M ^ { 2 } } { 2 P _ { 2 } ^ { + } } + k _ { 2 } ^ { - } \right) \right] \, ,
\begin{array} { r l } & { N _ { 1 } + \left( \begin{array} { c c c } { 1 + \lambda d _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + \lambda d _ { n } } \end{array} \right) } \\ & { = \underbrace { N _ { 1 } + \left( \begin{array} { c c c } { 1 - \frac { 1 } { 2 } d _ { 1 } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 - \frac { 1 } { 2 } d _ { n } ^ { 2 } } \end{array} \right) } _ { \geqslant 0 \mathrm { ~ b y ~ } ( ) } + \left( \begin{array} { c c c } { \frac 1 2 d _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda d _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac 1 2 d _ { n } ^ { 2 } + \lambda d _ { n } } \end{array} \right) . } \end{array}
\Gamma _ { a , s } ( l _ { 1 s } ) = \tilde { \Gamma } _ { s } ^ { - 1 } \Gamma _ { a , s } ^ { ( o ) } ( l _ { 1 s } ) \tilde { \Gamma } _ { s } , \qquad \Gamma _ { b , s } ( l _ { 2 s } ) = \tilde { \Gamma } _ { s } ^ { - 1 } \Gamma _ { b , s } ^ { ( o ) } ( l _ { 2 s } ) \tilde { \Gamma } _ { s }
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { a } \int _ { 0 } ^ { a } ( N ^ { \prime } ( v ) - P ^ { \prime } ( a - v ) ) ^ { 2 } d v } & { , } & { 0 < a \leq v _ { 2 } - v _ { 1 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) - a } \int _ { a - v _ { 2 } + v _ { 1 } } ^ { v _ { 2 } - v _ { 1 } } ( N ^ { \prime } ( v ) - P ^ { \prime } ( a - v ) ) ^ { 2 } d v } & { , } & { v _ { 2 } - v _ { 1 } < a < 2 ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) . } \end{array}
\langle \frac { \partial \tilde { q } } { \partial t } , \Phi _ { i } \rangle _ { \Omega } + \langle \frac { \partial \tilde { F } _ { j } } { \partial \xi _ { j } } , \Phi _ { i } \rangle _ { \Omega } = \langle \frac { \partial \tilde { F } _ { j } ^ { v i s } } { \partial \xi _ { j } } , \Phi _ { i } \rangle _ { \Omega }
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } - \kappa _ { m } \Delta + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } \cdot \nabla ) \tilde { \theta } _ { m } } & { { } = \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \tilde { \theta } _ { m } + \bigl ( - \kappa _ { m } \Delta + ( \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } - \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } ) \cdot \nabla \bigr ) \tilde { \theta } _ { m } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { u _ { k l } \, \sigma _ { R } ^ { k l } } \\ & { \approx } & { \frac { 2 \pi \, S _ { k l } \, \Delta _ { k l } \, e ^ { - 3 \xi _ { k l } } } { \sqrt { 2 \, m _ { k l } \, \left( k _ { B } T \right) ^ { 3 } } } \, \int _ { - \frac { 2 \, \epsilon _ { G p } ^ { k l } } { \Delta } } ^ { \infty } d \epsilon \, e ^ { - \epsilon ^ { 2 } } } \\ & { \approx } & { \frac { 8 \, \sqrt { 2 \pi } ^ { \, 3 } } { \sqrt { 3 } } \, \frac { \epsilon _ { 0 } \, \hbar } { e ^ { 2 } \, m _ { k l } \, Z _ { k } Z _ { l } } \, S _ { k l } \, \xi _ { k l } ^ { 2 } \, e ^ { - 3 \xi _ { k l } } \, . } \end{array}
G ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) = \left( \begin{array} { l l l l l } { - r _ { 1 A } ^ { \prime } } & { 0 } & { r _ { 3 C } ^ { \prime } } & { r _ { 3 D } ^ { \prime } } & { 0 } \\ { r _ { 1 A } ^ { \prime } } & { - r _ { 2 B } ^ { \prime } } & { 0 } & { 2 r _ { 5 D } ^ { \prime } } & { 0 } \\ { r _ { 1 A } ^ { \prime } } & { r _ { 2 B } ^ { \prime } } & { - r _ { 3 C } ^ { \prime } - r _ { 4 C } ^ { \prime } } & { - r _ { 3 D } ^ { \prime } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - r _ { 3 C } ^ { \prime } } & { - r _ { 3 D } ^ { \prime } - r _ { 5 D } ^ { \prime } - r _ { 6 D } ^ { \prime } } & { - r _ { 6 E } ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { r _ { 4 C } ^ { \prime } } & { r _ { 6 D } ^ { \prime } } & { r _ { 6 E } ^ { \prime } - r _ { 7 E } ^ { \prime } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \langle u _ { \mathbf { k } } | v _ { \mathbf { k } } \rangle } & { = \left( f _ { 2 1 - 1 } ^ { * } , f _ { 2 1 0 } ^ { * } , f _ { 2 1 1 } ^ { * } , \ldots \right) \left( \begin{array} { l } { f _ { 2 1 - 1 } ^ { \prime } } \\ { f _ { 2 1 0 } ^ { \prime } } \\ { f _ { 2 1 1 } ^ { \prime } } \\ { \vdots } \end{array} \right) } \\ & { = f _ { 2 1 - 1 } ^ { * } f _ { 2 1 - 1 } ^ { \prime } + f _ { 2 1 0 } ^ { * } f _ { 2 1 0 } ^ { \prime } + f _ { 2 1 1 } ^ { * } f _ { 2 1 1 } ^ { \prime } + \ldots } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { \varepsilon } } & { = } & { \left\lbrack \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \varepsilon } \vec { E } _ { 1 } \right) \cdot \vec { E } _ { 2 } - \vec { E } _ { 1 } \cdot \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \varepsilon } \vec { E } _ { 2 } \right) \right\rbrack \, , } \\ { \Delta _ { \mu } } & { = } & { \left\lbrack \vec { H } _ { 1 } \cdot \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \mu } \vec { H } _ { 2 } \right) - \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \mu } \vec { H } _ { 1 } \right) \cdot \vec { H } _ { 2 } \right\rbrack \, , } \\ { \Delta _ { \nu } } & { = } & { \left\lbrack \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \nu } \vec { H } _ { 1 } \right) \cdot \vec { E } _ { 2 } + \vec { H } _ { 1 } \cdot \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \xi } \vec { E } _ { 2 } \right) \right\rbrack } \\ & { + } & { \left\lbrack - \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \xi } \vec { E } _ { 1 } \right) \cdot \vec { H } _ { 2 } - \vec { E } _ { 1 } \cdot \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \nu } \vec { H } _ { 2 } \right) \right\rbrack \, . } \end{array}
[ Q _ { b o u n d } , \omega _ { I J } M ^ { I J } ] = - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \sigma c ^ { 0 } ( \sigma ) Y ^ { I } \omega _ { I J } X ^ { J } ( \sigma ) ( \delta _ { N } ( \sigma , \pi ) - \delta _ { N } ( \sigma , 0 ) ) \ .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 2 \sqrt { T } \Delta _ { T + 1 } } { \eta } } \\ { \le } & { \sqrt { T } \left( \frac { 2 \Delta _ { 1 } } { \eta } + 3 \sigma ^ { 2 } \eta L \left( 1 + \log T \right) + \frac { 2 } { w \eta } \log \frac { 1 } { \delta } \right) } \\ { = } & { \sqrt { T } \left( \frac { 2 \Delta _ { 1 } } { \eta } + 3 \sigma ^ { 2 } \eta L \left( 1 + \log T \right) + 1 2 \sigma ^ { 2 } \log \frac { 1 } { \delta } \right) . } \end{array}
H _ { F } \ = \ \left( \vec { q } _ { 1 } + i \, \vec { q } _ { 2 } \right) \; \cdot \; \left( \vec { \lambda } \wedge \vec { \lambda } \right) - \left( \vec { q } _ { 1 } - i \, \vec { q } _ { 2 } \right) \cdot \left( \frac { \partial } { \partial \vec { \lambda } } \wedge \frac { \partial } { \partial \vec { \lambda } } \right) \ .
\psi _ { \mathrm { S M T } } ( \bf r ) = \sum _ { \bf k _ { \mathrm { o u t } } , \bf k _ { \mathrm { i n } } , \omega } \it e ^ { \it i ( \bf k _ { \mathrm { o u t } } - \bf k _ { \mathrm { i n } } ) \cdot { \bf r } } \it S ( \bf k _ { \mathrm { o u t } } , \bf k _ { \mathrm { i n } } , \omega ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } ( E _ { i } x _ { i } ) } & { = ( J _ { i } - R _ { i } ) z _ { i } ( x _ { i } ) + \hat { B } _ { i } \hat { u } _ { i } + \bar { B } _ { i } \bar { u } _ { i } , } \\ { \hat { y } _ { i } } & { = \hat { B } _ { i } ^ { \top } z _ { i } ( x _ { i } ) , } \\ { \bar { y } _ { i } } & { = \bar { B } _ { i } ^ { \top } z _ { i } ( x _ { i } ) . } \end{array}
\alpha = a r g \left( - \frac { V _ { t d } V _ { t b } ^ { \ast } } { V _ { u d } V _ { u b } ^ { \ast } } \right) , \qquad \beta = a r g \left( - \frac { V _ { c d } V _ { c b } ^ { \ast } } { V _ { t d } V _ { t b } ^ { \ast } } \right) , \qquad \gamma = a r g \left( - \frac { V _ { u d } V _ { u b } ^ { \ast } } { V _ { c d } V _ { c b } ^ { \ast } } \right) ,
\begin{array} { r l } { z _ { \lambda } } & { \leftarrow \mathcal { P } _ { L 1 ( \nu _ { \lambda } \gamma _ { \lambda } ) } ( v _ { \lambda } / \sigma _ { \lambda } + \nu _ { \lambda } D \lambda ) , } \\ { z _ { \mu } } & { \leftarrow \mathcal { P } _ { L 1 ( \nu _ { \mu } \gamma _ { \mu } ) } ( v _ { \mu } / \sigma _ { \mu } + \nu _ { \mu } D \mu ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle { \hat { \phi } _ { s _ { m } } ^ { ( m ) } } | { \hat { \chi } _ { s _ { m } } ^ { ( m ) } } \rangle = c ^ { 2 } \sum _ { k \in \mathcal { I } _ { \mathcal { E } } ^ { ( m ) } } \sum _ { k ^ { \prime } \in \mathcal { I } _ { \mathcal { E } } ^ { ( m ) } } e ^ { \frac { 2 \pi i ( g ^ { ( m ) } ( k ) - g ^ { ( m ) } ( k ^ { \prime } ) ) s _ { m } } { K _ { m } ^ { \prime } } } \langle { \phi } _ { k ^ { \prime } } ^ { ( m ) } | { \chi } _ { k } ^ { ( m ) } \rangle , } \end{array}
g _ { \mu \nu , \kappa \lambda } ^ { \mathbf { k } _ { \mu } \mathbf { k } _ { \nu } \mathbf { k } _ { \kappa } \mathbf { k } _ { \lambda } } = \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { \mathbf { G } } \frac { 4 \pi \rho _ { \mu \nu } ^ { \mathbf { k } _ { \mu } \mathbf { k } _ { \nu } } ( \mathbf { G } + \mathbf { k } _ { \mu \nu } ) \rho _ { \kappa \lambda } ^ { \mathbf { k } _ { \kappa } \mathbf { k } _ { \lambda } } ( - \mathbf { G } + \mathbf { k } _ { \kappa \lambda } ) } { | \mathbf { G } + \mathbf { k } _ { \mu \nu } | ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( w q ^ { - p _ { 1 } } ) ^ { t _ { 1 } + 1 + k } ( q ^ { k + 1 } , q ) _ { t _ { 1 } } } & { = ( w q ^ { - p _ { 1 } } ) ^ { t _ { 1 } + 1 } ( q ; q ) _ { t _ { 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( w q ^ { - p _ { 1 } } ) ^ { k } \frac { ( q , q ) _ { k + t _ { 1 } } } { ( q ; q ) _ { k } ( q ; q ) _ { t _ { 1 } } } } \\ & { = ( w q ^ { - p _ { 1 } } ) ^ { t _ { 1 } + 1 } \frac { ( q ; q ) _ { t _ { 1 } } } { ( w q ^ { - p _ { 1 } } ; q ) _ { t _ { 1 } + 1 } } , } \end{array}
I ( E ) = I _ { 0 } + f _ { \mathrm { r f } } \cdot \frac { 2 A } { \pi } \cdot \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { f _ { \mathrm { r f } } } } \frac { \omega } { 4 ( E - ( E _ { 0 } + \Delta E \cdot \sin ( 2 \pi f _ { \mathrm { r f } } \cdot t ) ) ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } \mathrm { d } t \ .
\begin{array} { r l r } { \left. D G \right\vert _ { \left( 0 , 0 \right) } \left( b , \eta \right) } & { = } & { \left. \frac { d } { d t } \left( d ^ { \omega } \right) ^ { \ast } \left( U _ { t \eta } ^ { \left( s \right) } \left( t b \right) + U _ { t \eta } ^ { \left( s \right) } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } U _ { t \eta } ^ { \left( s \right) } \left( \tau \right) ^ { - 1 } d \tau \right) d ^ { \omega } \left( t \eta \right) \right) \right\vert _ { t = 0 } } \\ & { = } & { \left( d ^ { \omega } \right) ^ { \ast } b + \left( d ^ { \omega } \right) ^ { \ast } d ^ { \omega } \eta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left\| h \right\| _ { \dot { H } ^ { s } } ^ { 2 } } & { { } = - \frac { 3 } { 2 } \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } ( h h _ { x } ) \Lambda ^ { s } h \ d x - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } \left( [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } _ { x } h ] h \right) \Lambda ^ { s } h \ d x } \end{array}
\begin{array} { r } { u : = \dot { g } g ^ { - 1 } , \quad \omega : = ( \dot { q } q ^ { - 1 } ) g ^ { - 1 } , \quad \chi : = ( \chi _ { 0 } q ^ { - 1 } ) g ^ { - 1 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad a : = a _ { 0 } g ^ { - 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Phi _ { 0 } ( x ) ^ { ( 0 ) } ( \alpha ) , e \rangle } & { = \Phi _ { 0 } ( x ) ^ { ( 0 ) } [ \langle \alpha , e \rangle ] - [ \Phi _ { 0 } ( x ) ^ { ( 0 ) } , \iota _ { e } ] ^ { ( - 1 ) } ( \alpha ) } \\ & { = \varrho ( x ) [ \langle \alpha , e \rangle ] - \langle \alpha , \nabla _ { x } ( e ) \rangle . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { v _ { t } = k v _ { x x } + f , \, w _ { t } = k w _ { x x } \, } & { ( x , t ) \in \mathbf { R } \times ( 0 , \infty ) } \\ { v ( x , 0 ) = 0 , \, w ( x , 0 ) = g ( x ) \, } & { I C } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( s \circ ( E \times \eta _ { A } ) ) ^ { \flat } ( e , [ \, ] ) } & { = [ \, ] = s ( e , [ \, ] ) } \\ { ( s \circ ( E \times \eta _ { A } ) ) ^ { \flat } ( e , a \mathbin { : : } a s ) } & { = s ( e , a ) \mathbin { : : } ( s \circ ( E \times \eta _ { A } ) ) ^ { \flat } ( d ( a , e ) , a s ) } \\ & { = s ( e , a ) \mathbin { : : } s ( d ( a , e ) , a s ) } \\ & { = s ( e , a \mathbin { : : } a s ) } \end{array}
B R ( B \to X _ { s } \eta ^ { \prime } ) = ( 7 . 5 \pm 1 . 5 \pm 1 . 1 ) \times 1 0 ^ { - 4 } \; \; \; 2 . 0 \le p _ { \eta ^ { \prime } } \le 2 . 7 \; \; G e V \; \; .
\begin{array} { r l r } { R _ { \oplus } ^ { 2 } \Big ( \vec { k } \cdot \Big ( \frac { \vec { n } } { r ^ { 2 } } - \frac { \vec { n } _ { 0 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } \Big ) \Big ) } & { { } = } & { \frac { R _ { \oplus } ^ { 2 } } { r r _ { 0 } } \frac { 1 + \Big ( 1 - \frac { r ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } } { r r _ { 0 } } \Big ) ( \vec { n } \cdot \vec { n } _ { 0 } ) } { \Big ( 1 - \frac { 2 r r _ { 0 } } { ( r + r _ { 0 } ) ^ { 2 } } \Big ( 1 + ( \vec { n } \cdot \vec { n } _ { 0 } ) \Big ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle m ( \infty , A _ { s } ) \rangle = \sum _ { k = 0 } ^ { N } p ( k , A _ { s } ) } & { \left[ \quad \sum _ { \lambda = 0 } ^ { S \gamma } p ( \lambda , k / N ) m ( \lambda ) + \right. } \\ & { + \sum _ { \lambda = S \gamma } ^ { S - S \gamma } p ( \lambda , k / N ) m ( \lambda ) + } \\ & { + \left. \sum _ { \lambda = S - S \gamma } ^ { S } p ( \lambda , k / N ) m ( \lambda ) \right] n } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e f f } } } & { = \hbar \Delta \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } ^ { \dagger } \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } + \hbar \Omega _ { \mathrm { v } } b ^ { \dagger } b + \hbar g _ { 0 } \bigg ( \frac { J } { \Delta } \bigg ) \sqrt { n _ { \mathrm { L } } } \big ( \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } ^ { \dagger } b + \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } b ^ { \dagger } \big ) . } \end{array}
\hat { H } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ C ~ A ~ S ~ / ~ A ~ } } = \sum _ { i } \hat { E } _ { i i } \epsilon _ { i } + \sum _ { t u } h _ { t u } ^ { \prime } \hat { E } _ { i i } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { t u v w } ( t u | v w ) \hat { e } _ { t u , v w } + \sum _ { a } \hat { E } _ { a a } \epsilon _ { a }
\Gamma ( 2 \gamma + 1 ) \Psi ( 2 \gamma + 1 , 2 ; B ) \left( y ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } \right) + 2 \, y \, C \, \Gamma ( \gamma + 1 ) \, \Psi ( \gamma + 1 , 2 ; B ) + \frac { C ^ { 2 } } { B } ~ ,
\left[ \begin{array} { l l l l } { A } & { 0 } & { 0 } & { B + v C } \\ { 0 } & { A } & { B + v C } & { 0 } \\ { - \epsilon } & { 0 } & { 1 } & { - \epsilon v D e ^ { - i k _ { z } \Delta z } } \\ { 0 } & { - \mu } & { - \mu v D } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { E _ { x 0 } ^ { * } } \\ { H _ { y 0 } ^ { * } } \\ { D _ { x 0 } } \\ { B _ { y 0 } } \end{array} \right] = 0 ,
{ \begin{array} { r l } { { \binom { F _ { n + 1 } } { F _ { n } } } } & { = A ^ { n } { \binom { F _ { 1 } } { F _ { 0 } } } } \\ & { = S \Lambda ^ { n } S ^ { - 1 } { \binom { F _ { 1 } } { F _ { 0 } } } } \\ & { = S { \left( \begin{array} { l l } { \varphi ^ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { ( - \varphi ) ^ { - n } } \end{array} \right) } S ^ { - 1 } { \binom { F _ { 1 } } { F _ { 0 } } } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l } { \varphi } & { - \varphi ^ { - 1 } } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { \varphi ^ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { ( - \varphi ) ^ { - n } } \end{array} \right) } { \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \varphi ^ { - 1 } } \\ { - 1 } & { \varphi } \end{array} \right) } { \binom { 1 } { 0 } } , } \end{array} }
\langle \Omega | T [ \psi ^ { \dagger } ( x ) \psi ( y ) \phi ( z ) ] | \Omega \rangle = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { \langle 0 | T [ \psi _ { I } ^ { \dagger } ( x ) \psi _ { I } ( y ) \phi _ { I } ( z ) \exp \left( - i \int _ { - t } ^ { t } \mathcal { H } _ { \mathrm { i n t } } \: \mathrm { d } ^ { 4 } s \right) ] | 0 \rangle } { \langle 0 | T [ \exp \left( - i \int _ { - t } ^ { t } \mathcal { H } _ { \mathrm { i n t } } \: \mathrm { d } ^ { 4 } s \right) ] | 0 \rangle }
M H z . A l l t h e i n p u t s i g n a l s a r e s y n c h r o n i z e d w i t h t h e r o u n d t r i p t i m e o f t h e l o o p , i n s u c h a w a y t h a t e a c h t i m e s t e p o f t h e i n p u t s i g n a l s e n t i r e l y f i l l s t h e l o o p . H e n c e , t h e p r o c e s s i n g f r e q u e n c y o f o u r s y s t e m i s f i x e d b y t h e c a v i t y l e n g t h a n d i s a p p r o x i m a t e l y
\mu _ { 1 } = \frac { \lambda _ { 1 } \alpha _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } \alpha _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \alpha _ { 2 } } , \qquad \mu _ { 2 } = \frac { \lambda _ { 2 } \alpha _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } \alpha _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \alpha _ { 2 } ) }
d s ^ { 2 } = - \left( 1 - \left( { \frac { r _ { 0 } } { r } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \left( 1 - \left( { \frac { r _ { 0 } } { r } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { - 2 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { 3 a } } ^ { ( 4 ) } } & { { } = S _ { 1 2 3 } \: Z _ { 1 } \, W _ { 1 } \: D ( \eta ^ { ( 4 ) } ; 7 , 3 , 4 ) + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 2 } \, W _ { 2 } \: D ( \eta ^ { ( 4 ) } ; 6 , 4 , 4 ) } \end{array}
\rho ( p , \nu ) = \frac { \pi } { 1 2 } \left( \frac { \lambda T } { 4 \pi } \right) ^ { 2 } \textmd { s i g n } ( \nu ) \left[ \Theta ( | \nu | - p ) + \frac { | \nu | } { p } \Theta ( p - | \nu | ) \right]
\dot { \bf P } _ { j } = \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 p _ { j } } \, { \bf B } \times { \bf P } _ { j } + \frac { \sqrt 2 G _ { \mathrm { F } } } { { \cal V } } \, { \bf J } \times { \bf P } _ { j } ,