harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
d s ^ { 2 } = { \frac { x ^ { 2 } } { R _ { 1 } ^ { 2 } } } ( - d t ^ { 2 } + d z ^ { 2 } ) + R _ { 1 } ^ { 2 } { \frac { d x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } + R _ { 1 } ^ { 2 } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } + H _ { 5 } ^ { \prime } ( y ) ( d y ^ { 2 } + y ^ { 2 } d { \Omega _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) ,
g _ { J } = g _ { L } { \frac { J ( J + 1 ) + L ( L + 1 ) - S ( S + 1 ) } { 2 J ( J + 1 ) } } + g _ { S } { \frac { J ( J + 1 ) - L ( L + 1 ) + S ( S + 1 ) } { 2 J ( J + 1 ) } }
\begin{array} { r l r } & { \large ( \Delta \theta ^ { n } } & { \rightarrow M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } \large ) _ { 2 l i n k } + \large ( S S N _ { 2 7 } ^ { n } \rightarrow M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } \large ) _ { 2 l i n k } } \\ & { = } & { 1 / 2 \ \large [ \ I ( M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } ; \Delta \theta ^ { n } ) - I ( M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } ; \Delta \theta ^ { n } | S S N _ { 2 7 } ^ { n } ) } \\ & { + } & { I ( M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } ; S S N _ { 2 7 } ^ { n } ) - I ( M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } ; S S N _ { 2 7 } ^ { n } | \Delta \theta ^ { n } ) \large ] } \end{array}
\phi ( \mathbf { r } ) \! = \! \exp \! \left\{ - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } - \frac { i \sqrt { \pi } W _ { 0 } } { 8 } \left[ \mathrm { e r f } \left( \frac { x } { 2 } \right) + \mathrm { e r f } \left( \frac { y } { 2 } \right) \right] \right\} ,
\hat { L } ^ { - } { } _ { \alpha } | \mathrm { p h y s } \rangle = 0 , \qquad ( \Gamma ^ { n } \hat { p } _ { n } \hat { L } ) _ { \alpha } | \mathrm { p h y s } \rangle = 0 , \qquad \hat { p } ^ { 2 } | \mathrm { p h y s } \rangle = 0 . \qquad
\sum _ { 1 \le a < b \le N } ( t _ { 2 a b } ) _ { j k } ( t _ { 2 a b } ) _ { p q } = - \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { j p } \delta _ { k q } - \delta _ { j q } \delta _ { k p } ) ( \theta _ { j k } + \theta _ { k j } )
{ \bf n } _ { \bf K } ^ { ( \mu ) } \mid n _ { 1 } , n _ { 2 } , \cdots , n _ { \kappa } , \cdots > = n _ { \kappa } ^ { ( \mu ) } \mid n _ { 1 } , n _ { 2 } , \cdots , n _ { \kappa } , \cdots >
A _ { i } ^ { ( g ) } ( x _ { 0 } , { \bf x } ) = x _ { 0 } ^ { d / 2 } \int { \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } } e ^ { - i { \bf k } \cdot { \bf x } } a _ { i } ( { \bf k } ) K _ { \nu } ( | { \bf k } | x _ { 0 } )
\begin{array} { r l } & { { { { \bar { a } } } _ { 1 } } = - \frac { 2 { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } + { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } - { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } - 2 { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } } { 1 0 \Delta x } } \\ & { { { { \bar { a } } } _ { 2 } } = \frac { 4 { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } + { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } - 1 0 { { { \bar { Q } } } _ { i } } + { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } + 4 { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } } { 3 4 \Delta { { x } ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , d } ( \vec { R } , \vec { r } ) = \, } & { \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } \pm \vec { \delta } _ { 2 } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } - \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } \pm \vec { \delta } _ { 1 } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { U _ { A N } = \frac { U \cdot \sqrt { r ^ { 2 } + \left( Z _ { L } - Z _ { C _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } } { \sqrt { ( R + r ) ^ { 2 } + \left( Z _ { L } - Z _ { C _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } } = \frac { U \sqrt { r ^ { 2 } + Z _ { L C } ^ { 2 } } } { \sqrt { ( R + r ) ^ { 2 } + Z _ { L C } ^ { 2 } } } } \\ & { \Rightarrow U _ { A N } = \frac { U } { \sqrt { \frac { R ^ { 2 } + 2 R r } { r ^ { 2 } + Z _ { L C } } + 1 } } } \end{array}
h _ { I J } ^ { \alpha } = \langle \Phi _ { I } | ( \nabla _ { \alpha } \bar { H } ) | \Phi _ { J } \rangle \neq \langle \Phi _ { J } | ( \nabla _ { \alpha } \bar { H } ) | \Phi _ { I } \rangle = h _ { J I } ^ { \alpha }
\varepsilon ^ { * \alpha } ( p ^ { \prime } ; h ^ { \prime } ) J _ { \alpha \beta } ^ { \mu } ( p ^ { \prime } , p ) \varepsilon ^ { \beta } ( p ; h ) = \varepsilon ^ { * \alpha } ( p ^ { \prime } ; h ^ { \prime } ) J _ { \beta \alpha } ^ { \mu * } ( p , p ^ { \prime } ) \varepsilon ^ { \beta } ( p ; h ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \phi } ~ } & { { } J } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } ~ } & { { } G _ { 1 } = \int _ { Y } C ( \chi _ { \phi } ) e _ { y } ( { w _ { 1 1 } } ) \cdot e _ { y } ( \tilde { { v _ { 1 } } } ) d { y } + \int _ { Y } C ( \chi _ { \phi } ) e _ { 1 1 } \cdot e _ { y } ( \tilde { { v _ { 1 } } } ) d { y } = 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \frac { \partial R _ { n s } } { \partial x _ { i } } } & { { } = - \cos \left( \theta _ { n s } \right) \delta _ { i n } } & { \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial x _ { i } } } & { { } = + \frac { \sin \left( \theta _ { n s } \right) } { R _ { n s } } \delta _ { i n } } \\ { \frac { \partial R _ { n s } } { \partial y _ { i } } } & { { } = - \sin \left( \theta _ { n s } \right) \delta _ { i n } } & { \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial y _ { i } } } & { { } = - \frac { \cos \left( \theta _ { n s } \right) } { R _ { n s } } \delta _ { i n } } \\ { \frac { \partial R _ { n s } } { \partial r _ { i } } } & { { } = 0 } & { \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial r _ { i } } } & { { } = 0 } \end{array} }
q \rightarrow V ^ { q } q ~ \; \; , \; \; ~ Y ^ { q } \rightarrow ( V ^ { q } ) ^ { T } ~ Y ^ { q } ~ ( V ^ { q } ) ^ { * } ~ = ~ \mathrm { d i a g } ( h _ { 1 } ^ { q } , h _ { 2 } ^ { q } , h _ { 3 } ^ { q } ) \; \; ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \left( \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( \rho ^ { N } ( t ^ { N } ) ) ^ { 2 } - \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( \rho ( t ) ) ^ { 2 } \right) } & { = 2 \lambda \Re \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { t ^ { N } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( \rho ^ { N } - \rho ) \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N } } \\ & { \quad + 2 \lambda \Re \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { t ^ { N } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \rho \left( \overline { { \psi ^ { N } } } - \overline { { \psi } } \right) B ^ { N } \psi ^ { N } } \\ & { \quad + 2 \lambda \Re \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { t ^ { N } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \rho \overline { { \psi } } \left( B ^ { N } \psi ^ { N } - B \psi \right) } \\ & { \quad + 2 \lambda \Re \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \int _ { t } ^ { t ^ { N } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \rho \overline { { \psi } } B \psi . } \end{array}
\frac { 1 } { 3 } \nabla _ { k } v _ { k } \delta _ { i j } + \frac { 1 } { 2 G } \frac { \mathcal { D } \tau _ { i j } } { \mathcal { D } t } + \frac { \tau _ { i j } } { 2 \mu _ { s } } + \dot { \lambda } \frac { \partial Q } { \partial \sigma _ { i j } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla _ { i } v _ { j } + \nabla _ { j } v _ { i } \right) = \dot { \varepsilon } _ { i j } .
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \mathcal P } ( 0 , a , s ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm e } ^ { - s t } { \mathcal P } ( 0 , a , t ) d t = { \mathcal L } _ { a } ^ { - 1 } \left[ \frac { \cosh ( \sqrt { s / D } ( L - x _ { 0 } ) ) } { \sqrt { s D } \sinh ( \sqrt { s / D } L ) + \nu ( s + z ) \cosh ( \sqrt { s / D } L ) } \right] } \\ & { = } & { { \mathcal L } _ { a } ^ { - 1 } \left[ \frac { \cosh ( \sqrt { s / D } ( L - x _ { 0 } ) ) } { \nu \cosh ( \sqrt { s / D } L ) } \frac { 1 } { z + s + \nu ^ { - 1 } \sqrt { s D } \operatorname { t a n h } ( \sqrt { s / D } L ) } \right] } \\ & { = } & { \frac { \cosh ( \sqrt { s / D } ( L - x _ { 0 } ) ) } { \nu \cosh ( \sqrt { s / D } L ) } \exp \left( - s a - \nu ^ { - 1 } \sqrt { s D } \operatorname { t a n h } ( \sqrt { s / D } L ) a \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi ( t ) = \frac { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( s _ { m } ) } S _ { \vec { \mathbf { k } } } ( t ) \left\{ \sum _ { n = 0 } ^ { s _ { m } - 1 } \beta ( s _ { m } , n ) ( k ^ { ( s _ { m } ) } - 1 ) W _ { s _ { m } , n } ( t ) + \sum _ { s = 2 } ^ { s _ { m } - 1 } \sum _ { q = 0 } ^ { s - 1 } \beta ( s , q ) \left[ ( k ^ { ( s _ { m } ) } - 1 ) \frac { k ^ { ( s , \mathrm { n e s t e d } ) } } { k ^ { ( s _ { m } ) } } W _ { s , q } ^ { ( \mathrm { n e s t e d } ) } ( t ) + k ^ { ( s , \mathrm { f r e e } ) } W _ { s , q } ^ { ( \mathrm { f r e e } ) } ( t ) \right] \right\} } { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( s _ { m } ) } S _ { \vec { \mathbf { k } } } ( t ) } . } \end{array}
\mathbf { \partial } = \partial ^ { \alpha } = \eta ^ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } = \left( \partial ^ { 0 } , \partial ^ { 1 } , \partial ^ { 2 } , \partial ^ { 3 } \right) = \left( \partial ^ { 0 } , \partial ^ { i } \right) = \left( { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial } { \partial t } } , - { \vec { \nabla } } \right) = \left( { \frac { \partial _ { t } } { c } } , - { \vec { \nabla } } \right) = \left( { \frac { \partial _ { t } } { c } } , - \partial _ { x } , - \partial _ { y } , - \partial _ { z } \right)
v _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { m B J } } = c v _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { B R } } ( \mathbf { r } ) + ( 3 c - 2 ) \frac { 1 } { \pi } \sqrt { \frac { 5 } { 1 2 } } \sqrt { \frac { 2 t ( \mathbf { r } ) } { n ( \mathbf { r } ) } } ,
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { I I } } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } } & { { } ~ = \nabla \phi \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } ^ { \mathrm { I I } } } { \partial \nabla \phi } } \end{array}
\frac { \Delta x } { 2 } = 2 D \frac { x _ { m } } { w _ { e } ^ { 2 } } e ^ { - x _ { m } ^ { 2 } / w _ { e } ^ { 2 } } \left[ \frac { L } { 2 } + D \left( - 1 + e ^ { - x _ { m } ^ { 2 } / w _ { e } ^ { 2 } } \right) \right] - x _ { m } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d g ( R _ { 2 } , s ) } { d s } | _ { s = s _ { n } } } & { { } = \frac { R _ { 2 } - R _ { 1 } } { 2 D R _ { 2 } i \beta _ { n } } \biggl \{ \biggl ( 1 + \frac { R _ { 2 } - R _ { 1 } } { R _ { 1 } } + \frac { \kappa _ { a } } { 1 - \kappa _ { d } / \beta _ { n } ^ { 2 } } \biggr ) \cos \beta _ { n } - \biggl ( 1 + \frac { 2 \kappa _ { a } \kappa _ { d } } { ( \kappa _ { d } - \beta _ { n } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \biggr ) \beta _ { n } \sin \beta _ { n } \biggr \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \Xi } _ { \alpha , i i ^ { \prime } } ^ { c } } & { = \sum _ { k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau e ^ { i \omega \tau } e ^ { \frac { \tau } { 2 } d _ { T } ^ { A } } A _ { i k \alpha } ( T ) g _ { k \alpha } ^ { c } ( t , t ^ { \prime } ) e ^ { \frac { - \tau } { 2 } d _ { T } ^ { B } } B _ { k \alpha i ^ { \prime } } ( T ) } \\ & { = \sum _ { k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau e ^ { i \omega \tau } e ^ { \frac { 1 } { 2 i } \overleftarrow { \partial _ { \omega } ^ { e } } ( d _ { T } ^ { A } - d _ { T } ^ { B } ) } A _ { i k \alpha } ( T ) g _ { k \alpha } ^ { c } ( t , t ^ { \prime } ) B _ { k \alpha i ^ { \prime } } ( T ) , } \end{array}
\frac { 1 } { \pi x } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ i \tau - \left( \frac { \tau } { x } \right) ^ { \alpha } \exp \left\{ i \frac { \pi } { 2 } \alpha \theta \right\} \right\} d \tau = \frac { 1 } { \pi x } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ i \tau e ^ { i \varphi } - \left( \frac { \tau } { x } \right) ^ { \alpha } \exp \left\{ i \alpha ( \varphi + \frac { \pi } { 2 } \theta ) \right\} + i \varphi \right\} d \tau .
\begin{array} { r l } { m _ { \mathrm { c o m p } } ( r , t ) = } & { { } \; m _ { 0 } ( r , t ) + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { 2 / 3 } \tilde { m } _ { 0 } \left( \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { 1 / 3 } \tilde { m } _ { 1 } \left( \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) + } \end{array}
\phi = \phi ( v ) = \left[ \left( \frac { { 1 - \frac { V ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } } } { { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - 1 \right] c ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mu } { \partial N } \, = \, \frac { 1 } { g _ { \mathrm { D O S } } ^ { T } ( \mu ) } + \int \frac { g _ { \mathrm { L D O S } } ^ { T } ( \mu , \mathbf { r } ) } { g _ { \mathrm { D O S } } ^ { T } ( \mu ) } \left( ( - e ) \frac { \partial \left[ \phi ( \mathbf { r } ) - \phi _ { \mathrm { e l y t e } } \right] } { \partial N } + \frac { \partial \mu _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { r } ) } { \partial N } \right) \mathrm { d } \mathbf { r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { C o v } ( \hat { A } , \hat { B } ) } & { : = \langle ( \hat { A } - \langle \hat { A } \rangle ) \otimes ( \hat { B } - \langle \hat { B } \rangle ) ^ { T } \rangle } \\ & { = \langle \hat { A } \otimes \hat { B } ^ { T } \rangle - \langle \hat { A } \rangle \otimes \langle \hat { B } \rangle ^ { T } . } \end{array}
\frac { \partial t _ { s } } { \partial t _ { c } } = \frac { \Bigg ( 1 - e ^ { - \frac { t _ { s } } { \tau } } \Bigg ( 1 + \frac { t _ { s } } { \tau } \Bigg ) \Bigg ) \Bigg ( \frac { \partial B } { \partial t _ { c } } \frac { T _ { p e a k } } { \tau } + \frac { \partial C } { \partial t _ { c } } \Bigg ) } { \Bigg ( e ^ { - \frac { t _ { s } } { \tau } } \frac { t _ { s } } { \tau ^ { 2 } } \Bigg ) \Bigg ( B \frac { T _ { p e a k } } { \tau } + C \Bigg ) } ~ ,
\mathcal { D } = \left[ \begin{array} { l l l l } { - \Gamma _ { y y } - \Gamma _ { z z } } & { \Gamma _ { x y } } & { \Gamma _ { z x } } & { 0 } \\ { \Gamma _ { x y } } & { - \Gamma _ { z z } - \Gamma _ { x x } } & { \Gamma _ { y z } } & { 0 } \\ { \Gamma _ { z x } } & { \Gamma _ { y z } } & { - \Gamma _ { x x } - \Gamma _ { y y } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \mu ( r , \theta ) } & { = r ^ { 2 } \sum _ { m = - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 N } } ^ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 N } } \frac { 1 } { N ^ { 2 } d ^ { 2 } m ^ { 2 } - 2 r N d \sin ( \theta ) m + r ^ { 2 } } \Delta _ { m } } \\ & { \overset { N \rightarrow \infty } { = } r ^ { 2 } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { 1 } { N ^ { 2 } d ^ { 2 } m ^ { 2 } - 2 r N d \sin ( \theta ) m + r ^ { 2 } } \mathrm { d } m . } \end{array}
I _ { 3 } = \frac { 1 } { i } \int \, d ^ { D } p \, \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } + i \varepsilon ) [ ( p + q _ { 1 } ) ^ { 2 } + i \varepsilon ] [ ( p + k ) ^ { 2 } + i \varepsilon ] } = \frac { 1 + 2 \epsilon } { \epsilon } \, \frac { I _ { 2 } ( q _ { 2 } ) - I _ { 2 } ( q _ { 1 } ) } { t _ { 1 } - t _ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } { \dot { \mathcal { A } } _ { A } ^ { k } = } & { - q _ { k } ^ { 2 } \left[ ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) \mathcal { A } _ { A } ^ { k } + ( \kappa - \delta ) \mathcal { A } _ { B } ^ { k } \cos ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) + \mathrm { R e } ( \mathrm { K } ^ { k } ) - \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \right] + \xi _ { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } } \\ { \dot { \mathcal { A } } _ { B } ^ { k } = } & { - q _ { k } ^ { 2 } \left[ \beta \mathcal { A } _ { B } ^ { k } + ( \kappa + \delta ) \mathcal { A } _ { A } ^ { k } \cos ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) - \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \right] + \xi _ { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { c o f e } } ( r _ { s } , \bar { f } ) : = ( \bar { f } - 1 ) \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 0 } ( r _ { s } ) + ( 2 - \bar { f } ) \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 1 } ( r _ { s } ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + ( \bar { f } - 1 ) ( 2 - \bar { f } ) \big [ M _ { 2 } ( r _ { s } ) + ( \frac 3 2 - \bar { f } ) M _ { 3 } ( r _ { s } ) \big ] \; , } \end{array}
\varepsilon _ { \mathrm { { a } } } ( f ) \approx \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| { \frac { \partial f } { \partial x _ { i } } } \right| \varepsilon _ { \mathrm { { a } } } ( x _ { i } ) = \left| { \frac { \partial f } { \partial x _ { 1 } } } \right| \varepsilon _ { \mathrm { { a } } } ( x _ { 1 } ) + \left| { \frac { \partial f } { \partial x _ { 2 } } } \right| \varepsilon _ { \mathrm { { a } } } ( x _ { 2 } ) + \ldots + \left| { \frac { \partial f } { \partial x _ { N } } } \right| \varepsilon _ { \mathrm { { a } } } ( x _ { N } )
\left( \boldsymbol { H } _ { 1 } \right) _ { m ^ { \prime } m } = \delta _ { m ^ { \prime } m } + i \gamma \tau _ { m ^ { \prime } m } , \quad \left( \boldsymbol { H } _ { 2 } \right) _ { m ^ { \prime } m } = \delta _ { m ^ { \prime } m } \left( \frac { \omega _ { \boldsymbol { k } m } ^ { ( 0 ) } } { c } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \sin ^ { 2 } \angle ( u _ { i } , \tilde { u } _ { i } ^ { ( k ) } ) + \sin ^ { 2 } \angle ( v _ { i } , \tilde { v } _ { i } ^ { ( k ) } ) \leq 2 \biggl ( 1 + \frac { ( \alpha ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { ( \eta _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } \biggr ) \biggl ( \frac { \gamma _ { p + 1 } } { \gamma _ { i } } \biggr ) ^ { 2 k } \| E ^ { ( 0 ) } \| ^ { 2 } , } \\ & { | \sigma _ { i } - \tilde { \sigma } _ { i } ^ { ( k ) } | \leq 2 \| A \| \biggl ( 1 + \frac { ( \alpha ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { ( \eta _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } \biggr ) \biggl ( \frac { \gamma _ { p + 1 } } { \gamma _ { i } } \biggr ) ^ { 2 k } \| E ^ { ( 0 ) } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E = \gamma \Bigg ( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } \sqrt { 1 + \left( \frac { \partial h } { \partial r } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial h } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } } r d r d \theta - \pi a ^ { 2 } \Bigg ) } \end{array}
\frac { \partial q } { \partial t } = \cdots - C _ { R } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { u _ { j } ^ { \prime } ~ q ^ { \prime } } } - \overline { { u _ { j } ^ { \prime } } } ~ \overline { { q ^ { \prime } } } \right) ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } + i 2 \beta \omega _ { c } \omega } & { i \omega ^ { 2 } K _ { F } } \\ { - i \omega _ { s } K _ { A } } & { \omega - \tilde { \omega } _ { m } + \gamma \tilde { c } _ { \mathrm { J } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { j } \\ { m } \end{array} \right) } \\ { = \left( \begin{array} { c } { i \omega \omega _ { c } j _ { 0 } } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { c _ { n } \Delta _ { x } ^ { \frac { n + 1 } { 2 } } \iint _ { S ^ { n - 1 } } \varphi ( y ) | ( y - x ) \cdot \xi | \, d \omega _ { \xi } \, d y } \\ & { \qquad = c _ { n } \Delta _ { x } ^ { ( n + 1 ) / 2 } \int _ { S ^ { n - 1 } } \, d \omega _ { \xi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | p | R \varphi ( \xi , p + x \cdot \xi ) \, d p } \end{array} }
\begin{array} { r l } { R _ { n } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { R _ { n } ^ { [ 1 ] } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { R _ { n } ^ { [ B ] } } \end{array} \right] \times ( \hat { R } _ { n } \otimes I _ { \frac { P } { B } } ) = \left[ \begin{array} { l l l } { R _ { n } ^ { [ 1 ] } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { R _ { n } ^ { [ B ] } } \end{array} \right] \times \left[ \begin{array} { l l l } { \hat { R } _ { n } ( 1 , 1 ) I _ { \frac { P } { B } } } & { \dotsc } & { \hat { R } _ { n } ( 1 , B ) I _ { \frac { P } { B } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \hat { R } _ { n } ( B , 1 ) I _ { \frac { P } { B } } } & { \dotsc } & { \hat { R } _ { n } ( B , B ) I _ { \frac { P } { B } } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \left( \frac { X _ { \mathrm { F e O } _ { 1 . 5 } } ^ { \mathrm { m o l } } } { X _ { \mathrm { F e O } } ^ { \mathrm { m o l } } } \right) } & { = a \log f _ { O _ { 2 } } + b + \frac { c } { T } - \frac { \Delta C _ { p } } { R \ln ( 1 0 ) } \left[ 1 - \frac { T _ { 0 } } { T } - \ln \left( \frac { T } { T _ { 0 } } \right) \right] - \frac { \int _ { P _ { 0 } } ^ { P } \Delta V d p } { R T \ln ( 1 0 ) } } \\ & { + \frac { 1 } { T } [ \gamma _ { 1 } X _ { \mathrm { S i O } _ { 2 } } ^ { \mathrm { m o l } } + \gamma _ { 2 } X _ { \mathrm { T i O } _ { 2 } } ^ { \mathrm { m o l } } + \gamma _ { 3 } X _ { \mathrm { M g O } } ^ { \mathrm { m o l } } + \gamma _ { 4 } X _ { \mathrm { C a O } } ^ { \mathrm { m o l } } + \gamma _ { 5 } X _ { \mathrm { N a O } _ { 0 . 5 } } ^ { \mathrm { m o l } } } \\ & { + \gamma _ { 6 } X _ { \mathrm { K O } _ { 0 . 5 } } ^ { \mathrm { m o l } } + \gamma _ { 7 } X _ { \mathrm { P O } _ { 2 . 5 } } ^ { \mathrm { m o l } } + \gamma _ { 8 } X _ { \mathrm { S i O } _ { 2 } } ^ { \mathrm { m o l } } X _ { \mathrm { A l O } _ { 1 . 5 } } ^ { \mathrm { m o l } } + \gamma _ { 9 } X _ { \mathrm { S i O } _ { 2 } } ^ { \mathrm { m o l } } X _ { \mathrm { M g O } } ^ { \mathrm { m o l } } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \frac { \mathrm { d } H ( s , t ) } { \vert 1 + s \underline { { g } } ( z _ { n } ) + t \underline { { m } } ( z _ { n } ) \vert } \leq \lambda _ { - 1 } \sqrt { B _ { 1 } } \leq M _ { 1 } , } \\ { \int \frac { t \mathrm { d } H ( s , t ) } { \vert 1 + s \underline { { g } } ( z _ { n } ) + t \underline { { m } } ( z _ { n } ) \vert } \leq \lambda _ { 1 } \sqrt { B _ { 1 } } \leq M _ { 1 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \boldsymbol { J } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ { \mathbf { G } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { T } } \end{array} \right) I F ( \boldsymbol { y } , \widetilde { T } _ { \tau } , \boldsymbol { \theta } ) = \left( \begin{array} { c } { \boldsymbol { \Psi } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { y } ; \boldsymbol { \theta ) } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } & { { \cal W } _ { a } ( x _ { s } | s ) \approx \delta ( x _ { s } ) + \frac { \lambda } { g } \left( - ( 1 + \frac { s } { \lambda } ) \delta ( x _ { s } ) + \frac { ( 1 - x _ { s } ) s ^ { 2 } } { \lambda } \rho _ { l } ( x _ { s } s ) \right) , \ \ \mathrm { f o r } \ \ 0 \le x _ { s } < 1 , } & \\ & { { \cal W } _ { b } ( T , q | s ) \approx 2 \frac { \lambda } { g } \frac { T } { \lambda } \rho _ { l } ( T ) , \ \ \mathrm { f o r } \ \ 0 \le q \le m i n [ 1 , \frac { s } { T } ] , T \ge 0 , } & \\ & { { \cal W } _ { c } ( T , q | s ) \approx \frac { \lambda } { g } \frac { T } { \lambda } \rho _ { l } ( T ) , \ \ \mathrm { f o r } \ \ \frac { s } { T } \le q \le 1 , T \ge s . } & \end{array}
x _ { 1 } = \frac { x ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \frac { x ( x ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } } , \ \ \ \mathrm { c y c l i c } .
\mathbf { E } = - \mathbf { u } \times \mathbf { B } + \frac { 1 } { n } \mathbf { J } \times \mathbf { B } - \frac { 1 } { n } \nabla \cdot \textbf { P } _ { e } + \frac { d _ { e } ^ { 2 } } { n } \left[ \frac { \partial \mathbf { J } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \mathbf { u } \mathbf { J } + \mathbf { J } \mathbf { u } - \frac { \mathbf { J } \mathbf { J } } { n e } \right) \right] ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { c c c } { \psi _ { 2 l } ^ { ( j ) } } & { = } & { \psi _ { 0 } ^ { ( j ) } \frac { \mathcal { M } _ { l } ^ { - } } { \mathcal { N } _ { l } ^ { - } } , ~ ~ t \rightarrow - \infty , } \\ { \psi _ { 2 l } ^ { ( j ) } } & { = } & { \psi _ { 0 } ^ { ( j ) } \frac { \mathcal { M } _ { l } ^ { + } } { \mathcal { N } _ { l } ^ { + } } , ~ ~ t \rightarrow + \infty , } \end{array} \right. } \end{array}
H _ { + } ( x ) = \left( \begin{array} { l l } { { h _ { G } ^ { ( 1 ) } ( x ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { h _ { G } ^ { ( 1 ) } ( x ) } } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad H _ { - } ( x ) = \left( \begin{array} { l l } { { h _ { G + 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { h _ { G - 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } } \end{array} \right)
\lambda ( p _ { z } , r , \theta _ { 0 } ) = \frac { r } { \tan \theta } \sim \frac { r } { \theta } = \frac { r } { \theta _ { 0 } - \frac { q \mu _ { 0 } I } { 2 \pi p _ { z } } \left( a _ { 1 } + a _ { 2 } r + a _ { 3 } r ^ { 2 } \right) }
\psi _ { k n \textbf { p } \, } ( \textbf { x } ) = ( 2 \pi ) ^ { \frac { 1 - d } 2 } J _ { | n - \Phi | } ( k r ) e ^ { i n \varphi } e ^ { i \textbf { p } { \textbf { x } } _ { d - 2 } } \, ,