harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mu _ { i j } ^ { r r } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 8 \pi \eta a _ { i } ^ { 3 } } \mathbf { I } } & { i = j , } \\ { \frac { 1 } { 1 6 \pi \eta r _ { i j } ^ { 3 } } \left( 3 \hat { \boldsymbol { r } } _ { i j } \hat { \boldsymbol { r } } _ { i j } - \mathbf { I } \right) } & { i \neq j , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| f _ { 0 } ^ { L _ { n } ^ { c } } \| _ { \infty } } & { \leq \sum _ { l > L ^ { n } } \operatorname* { m a x } _ { k } \left| f _ { 0 , l k } \right| \| \sum _ { k } | \psi _ { l k } | \| _ { \infty } \lesssim \sum _ { l > L ^ { n } } 2 ^ { - l ( \frac { 1 } { 2 } + \beta ) } 2 ^ { l / 2 } \lesssim 2 ^ { - \beta L _ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { | e | E _ { y , 0 } } { m _ { e } \omega _ { 0 } c } = } & { { } a _ { 0 } \exp \left\{ - \left( \frac { \phi - \phi _ { 0 } } { \omega _ { 0 } \tau _ { 0 } / \sqrt { 2 \ln 2 } } \right) ^ { 2 } \right\} \cos ( \phi ) , } \\ { \frac { | e | E _ { y , 1 } } { m _ { e } \omega _ { 0 } c } = } & { { } a _ { 1 } \exp \left\{ - \left( \frac { \phi + 2 k _ { 0 } x - \phi _ { 1 } } { \omega _ { 0 } \tau _ { 0 } / \sqrt { 2 \ln 2 } } \right) ^ { 2 } \right\} \cos ( \phi + 2 k _ { 0 } x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( A _ { 2 } ( a _ { 2 } ) ) g ( z ) } & { = \exp ( - z _ { 1 } ) \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \exp ( a _ { 2 } ( 2 k - \alpha ) ) ( g _ { 1 , k } + g _ { 2 , k } z _ { 2 } ) L _ { k } ^ { ( - 1 - \alpha ) } ( 2 z _ { 1 } ) ) \right. } \\ & { \quad \left. + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \exp ( a _ { 2 } ( 2 k - \alpha - 1 ) ) ( g _ { 3 , k } z _ { 3 } + g _ { 4 , k } z _ { 4 } ) L _ { k - 1 } ^ { ( - \alpha ) } ( 2 z _ { 1 } ) ) \right) . } \end{array}
\int _ { \mathrm { ~ P ~ } } ( \mathrm { ~ D ~ i ~ v ~ } \boldsymbol { \zeta } - \varpi ) \delta \mathrm { ~ d ~ } \, d v _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } + \int _ { \partial \mathrm { ~ P ~ } } \left( \gamma - \boldsymbol { \zeta } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } \right) \delta \mathrm { ~ d ~ } \, d a _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = 0
S _ { i } = - \frac { k } { 4 \pi } \int _ { \cal M } d ^ { 2 } x d ^ { 2 } \theta Y _ { ( i ) } ^ { - 2 } D Y _ { ( i ) } D Y _ { ( i ) } + ( S U ( 2 ) \mathrm { ~ S W Z W ~ w i t h ~ l e v e l ~ } k ) _ { i }
( X , Y ) _ { \lambda , { \bf k } } = \frac { 1 } { 2 } \int { \mathrm { T r } } _ { \bf k } \bigg ( { \frac { \delta _ { r } X } { \delta { \cal A } } } { \frac { \delta _ { l } Y } { \delta { \cal A } _ { \lambda } ^ { * } } } - { \frac { \delta _ { r } X } { \delta { \cal A } _ { \lambda } ^ { * } } } { \frac { \delta _ { l } Y } { \delta { \cal A } } } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { C E ~ l o s s } } & { = - \frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } y _ { i } \cdot \log \left( p _ { i } \right) + \left( 1 - y _ { i } \right) \cdot \log \left( 1 - p _ { i } \right) , } \\ { \mathrm { F o c a l ~ l o s s } } & { = - \frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } y _ { i } \cdot \alpha ( 1 - p _ { i } ) ^ { \gamma } \log ( p _ { i } ) + \left( 1 - y _ { i } \right) \cdot ( 1 - \alpha ) p _ { i } ^ { \gamma } \log ( 1 - p _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { N } _ { i } ^ { \mathrm { X } } } & { = } & { \sum _ { j , l } R _ { i j , l n } ( N _ { j } ^ { \mathrm { A } } - N _ { i } ^ { \mathrm { X } } ) + \sum _ { j } \Gamma _ { j i } r _ { j i } N _ { j } ^ { A } } \\ { \dot { N } _ { i } ^ { \mathrm { A } } } & { = } & { \sum _ { j , l } R _ { j i , l n } ( N _ { j } ^ { \mathrm { X } } - N _ { i } ^ { \mathrm { A } } ) - \Gamma N _ { i } ^ { A } } \end{array}
\frac { \partial \Phi ( k , z ) } { \partial z } = \int \frac { d \xi ^ { \prime } } { \xi ^ { \prime } } \left\{ \left[ \frac { \xi + \xi ^ { \prime } } { | \xi - \xi ^ { \prime } | } - 1 \right] ( \Phi ( k ^ { \prime } , z ) - \Phi ( k , z ) ) + \Phi ( k , z ) \left[ \frac 1 { \sqrt { \frac { 4 \xi ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } + 1 } } - 1 \right] \right\} ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } [ A ; d ( \gamma _ { l } ^ { \delta } , \cup _ { j \neq l , e _ { l } } ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) ) < \epsilon _ { l } | E ^ { * } ] } \\ { \le } & { \sum _ { i = 1 } ^ { l - 1 } \epsilon _ { i } + C \frac { \mathbb { P } [ A ; E ^ { * } \cap \{ d ( \gamma _ { l } ^ { \delta } , \cup _ { j \neq l , e _ { l } } ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) ) < \epsilon _ { l } , d ( \gamma _ { k } ^ { \delta } , \cup _ { j \neq k , e _ { k } } ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) ) > \epsilon _ { l - 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } k < l \} ] } { \Pi _ { k = 1 } ^ { n - 1 } h _ { r } ^ { \delta } ( z _ { l } ^ { \delta , + } ) } } \\ { \le } & { \sum _ { i = 1 } ^ { l - 1 } \epsilon _ { i } + C \frac { \mathbb { P } [ d ( \gamma _ { l } ^ { \delta } , \cup _ { j \neq l , e _ { l } } ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) ) < \epsilon _ { l } \, | \, d ( \gamma _ { k } ^ { \delta } , \cup _ { j \neq k , e _ { k } } ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) ) > \epsilon _ { l - 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } k < l ] } { h _ { r } ^ { \delta } ( z _ { l } ^ { \delta , + } ) } } \\ { \le } & { \sum _ { i = 1 } ^ { l - 1 } \epsilon _ { i } + C \left( \frac { \epsilon _ { l } } { \epsilon _ { l - 1 } } \right) ^ { c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - c \lambda \frac { \mathrm { d } U } { \mathrm { d } \epsilon } } & { = \lambda ^ { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \epsilon } \bigg [ ( 1 - M ) \frac { \mathrm { d } U } { \mathrm { d } \epsilon } + U \frac { \mathrm { d } M } { \mathrm { d } \epsilon } \bigg ] + U ( 1 - U - M ) , } \\ { \lambda \frac { \mathrm { d } M } { \mathrm { d } \epsilon } } & { = \frac { \lambda } { c } M U . } \end{array}
\frac { d x _ { \mu } } { d s \, } \frac { d ^ { 2 } x _ { \mu } } { d s ^ { 2 } \, } \, = \, 0 ; \qquad \frac { d x _ { \mu } } { d s \, } \frac { d ^ { 3 } x _ { \mu } } { d s ^ { 3 } \, } \, = \, k _ { 1 } ^ { 2 } ; \qquad \frac { d ^ { 2 } x _ { \mu } } { d s ^ { 2 } \, } \frac { d ^ { 3 } x _ { \mu } } { d s ^ { 3 } \, } \, = \, - \, k _ { 1 } \, \frac { d k _ { 1 } } { d s \, } \, { . }
\begin{array} { r l } { s _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { 4 } ( 2 p _ { 1 } ^ { \prime } + 2 q _ { 1 } ^ { \prime } - 4 r _ { 1 } ^ { \prime } + \rho ( c _ { 4 } + c _ { 5 } - c _ { 2 } - c ) ) , } \\ { t } & { = \frac { 6 p _ { 1 } ^ { \prime } - 4 r _ { 1 } ^ { \prime } + \rho ( c _ { 4 } + c _ { 5 } - 2 c _ { 1 } - 3 c _ { 2 } - 3 c _ { 3 } ) } { 2 p _ { 1 } ^ { \prime } + 4 q _ { 1 } ^ { \prime } - 4 r _ { 1 } ^ { \prime } + \rho ( c _ { 4 } + c _ { 5 } - c _ { 2 } - c _ { 3 } ) , } } \end{array}
\Delta v _ { 3 } ^ { \mathrm { r e d } } ( T , n ) = \left[ v ^ { \mathrm { P I M C } } - v ^ { ( 1 ) } ( T , n ) - v _ { 2 } ( T ) n - v _ { 3 } ( T ) n ^ { 3 / 2 } \ln \left( \frac { 4 \pi n } { T ^ { 2 } } \right) \right] \, \frac { T } { \pi n } .
\begin{array} { r l } { \overline { { \beta } } _ { 1 k } } & { = A _ { z 1 } ( \overline { { \tau } } _ { 1 k } , \sigma _ { 2 k } ^ { 2 } ) , } \\ { \rho _ { 2 k } ^ { 2 } } & { = \frac { \mathcal { E } _ { z 1 } ( \overline { { \tau } } _ { 1 k } , \rho _ { 1 k } ^ { 2 } ) - \overline { { \beta } } _ { 1 k } ^ { 2 } \rho _ { 1 k } ^ { 2 } } { ( 1 - \overline { { \beta } } _ { 1 k } ) ^ { 2 } } , } \\ { \overline { { \tau } } _ { 2 k } } & { = \overline { { \tau } } _ { 1 k } \Big ( \frac { 1 } { \overline { { \beta } } _ { 1 k } } - 1 \Big ) , } \\ { \overline { { \beta } } _ { 2 k } } & { = A _ { z 2 } ( \overline { { \gamma } } _ { 2 k } , \overline { { \tau } } _ { 2 k } ) , } \\ { \rho _ { 1 ( k + 1 ) } ^ { 2 } } & { = \frac { \mathcal { E } _ { z 2 } ( \overline { { \gamma } } _ { 2 k } , \overline { { \tau } } _ { 2 k } , \rho _ { 2 k } ^ { 2 } , \sigma _ { 2 k } ^ { 2 } ) - \overline { { \beta } } _ { 2 k } ^ { 2 } \rho _ { 2 k } ^ { 2 } } { ( 1 - \overline { { \beta } } _ { 2 k } ) ^ { 2 } } , } \\ { \overline { { \tau } } _ { 1 ( k + 1 ) } } & { = \overline { { \tau } } _ { 2 k } \Big ( \frac { 1 } { \overline { { \beta } } _ { 2 k } } - 1 \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { k + 1 } } & { { } = F _ { \phi _ { k } } \left( q _ { k } , A x _ { k } , y \right) } \\ { x _ { k + 1 } } & { { } = G _ { \theta _ { k } } \left( x _ { k } , A ^ { * } q _ { k + 1 } \right) . } \end{array}
V _ { P } ( B ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } l ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \eta \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \, u ^ { 2 } \ln \left[ \frac { [ r + c ] [ r + c - c \, \eta ^ { 2 } / 2 ] } { [ r + \pi / 2 u ] ^ { 2 } } \right] .
S _ { h } = \left\lVert \hat { \boldsymbol { d } } ^ { r } \right\rVert _ { \omega } , \hat { \boldsymbol { d } } ^ { r } = ( \hat { d } _ { 1 } ^ { r } , \ldots , \hat { d } _ { N _ { \mathrm { S P } } } ^ { r } ) \in \mathbb { R } ^ { N _ { \mathrm { S P } } } .
I _ { j , k } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) = e ^ { 2 \pi i c _ { j , k } } \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } \left( \mathcal { F } \left( I \right) ( \boldsymbol { \xi } ) + \delta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \right) ( \boldsymbol { x } + \boldsymbol { s } _ { j , k } ) \, ,
\mathrm { B o u n d ~ b : } \quad - A _ { \mu } \leq \frac { c _ { \mu } ^ { 2 } + 2 \, a _ { e } ^ { 0 } ( 1 - a _ { e } ^ { 0 } ) / r } { c _ { \mu } ^ { 2 } + 2 ( 1 - c _ { \mu } ) ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P _ { 0 } ( \boldsymbol { \theta } ) } { \partial \theta _ { i } } } & { = \left( \frac { 1 } { \det ( \tilde { \Gamma } + \mathbb { I } ) } \right) \operatorname { T r } \left( - ( \tilde { \Gamma } + \mathbb { I } ) ^ { - 1 } \frac { \partial \tilde { \Gamma } } { \partial \theta _ { i } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \mathcal { C } \left[ \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { j \varepsilon } \right) , \ldots , \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { \left( j + m \right) \varepsilon } \right) \right] ^ { \mathsf { T } } , \; \forall j = 1 , \ldots , n . } \end{array}
\Delta \alpha _ { v \leftrightarrow v ^ { \prime } } ( \omega ) = \Delta \alpha _ { v \leftrightarrow v ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } + \Delta \alpha _ { v \leftrightarrow v ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } \omega ^ { 2 } + \Delta \alpha _ { v \leftrightarrow v ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } \omega ^ { 4 } + \ldots
\begin{array} { r l } & { p = \frac { 1 } { ( 1 + h _ { x } ^ { 2 } ) } \biggl [ 2 \left\{ u _ { x } h _ { x } ^ { 2 } - ( u _ { y } + v _ { x } ) h _ { x } + v _ { y } \right\} + \mu \left\{ ( u _ { y } + v _ { x } ) ( 1 - h _ { x } ^ { 2 } ) - 2 ( u _ { x } - v _ { y } ) h _ { x } \right\} \biggr ] } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - 1 / C a \biggl [ 1 - M a ( \Gamma - 1 ) \biggr ] \frac { h _ { x x } } { ( 1 + h _ { x } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } ~ ~ ~ \mathrm { a t } ~ ~ ~ ~ y = h ( x , t ) . } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { i m p l } } ^ { \mathrm { n } } = \alpha \; { \frac { F _ { 0 } - K } { D ( \zeta ) } } \; \left\{ 1 + \left[ { \frac { 2 \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 4 } } \; \left( { \frac { \sigma _ { 0 } C ( F _ { \mathrm { m i d } } ) } { \alpha } } \right) ^ { 2 } + { \frac { \rho \gamma _ { 1 } } { 4 } } \; { \frac { \sigma _ { 0 } C ( F _ { \mathrm { m i d } } ) } { \alpha } } + { \frac { 2 - 3 \rho ^ { 2 } } { 2 4 } } \right] \varepsilon \right\} .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } ( w _ { i j } w _ { t j } ) } & { = w _ { i j } \circ \mathrm { d } w _ { t j } + w _ { t j } \circ \mathrm { d } w _ { i j } } \\ & { = ( w _ { i j } g _ { t j } ( \mathbf A , \mathbf W ) + w _ { t j } g _ { i j } ( \mathbf A , \mathbf W ) ) \mathrm { d } t + ( w _ { i j } P _ { t j k l } + w _ { t j } P _ { i j k l } ) ( f _ { k l } \mathrm { d } t + H _ { k l r s } \circ \mathrm { d } B _ { r s } ) . } \end{array}
S _ { P - o d d } = - i \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } \int d ^ { 3 } x \, \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } = - i \frac { \Phi } { 2 } \, \int e A _ { 0 } \, d \tau
\bar { \Psi } M _ { 2 } \Psi = { \left( \begin{array} { l l } { { \bar { \psi } _ { a } } } & { { \bar { \psi } _ { b } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { m _ { s } } } & { { m _ { k } } } \\ { { m _ { k } } } & { { m _ { s } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { { \psi _ { a } } } \\ { { \psi _ { b } } } \end{array} \right) } ~ ,
\vec { P } _ { m e c h } \cong \frac { \mu _ { 0 } } { 8 \pi } \partial _ { t } I _ { 1 } ( t ) I _ { 2 } ( \frac { h } { c } ) ^ { 2 } \vec { K } _ { 1 2 2 } , \qquad \vec { K } _ { 1 2 2 } = - \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \oint \oint \hat { R } ( d \vec { l } _ { 2 } \cdot d \vec { l } _ { 1 } )
S [ x , y ] = 2 \int d \tau \sqrt { \frac { m } { 2 } \left( \dot { x } ^ { 2 } + \dot { y } ^ { 2 } \right) \left( E - \frac { 1 } { 2 } ( k _ { x } x ^ { 2 } + k _ { y } y ^ { 2 } ) \right) } \, .
\begin{array} { r l } { ( F _ { t } * F _ { t ^ { \prime } } * k _ { S } ) ( h ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } k _ { S } ( h - s ) d ( F _ { t } * F _ { t ^ { \prime } } ) ( s ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } k _ { S } ( h - s _ { 1 } - s _ { 2 } ) d F _ { t } ( s _ { 1 } ) d F _ { t ^ { \prime } } ( s _ { 2 } ) } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { F } } = \sum _ { n } \left[ { \cal J } _ { 0 } \left( \frac { K } { \omega } \right) J ( e ^ { - \gamma } \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n + 1 } + e ^ { \gamma } \hat { c } _ { n + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } ) + V \cos ( 2 \pi \alpha n ) \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \binom { n } { m } } { l _ { s } } \quad } & { \geq \quad \left( \frac { n - s } { s + 1 } \right) \left( \frac { n - s + 1 } { s + 2 } \right) \dotsb \left( \frac { n - m + 1 } { m } \right) } \\ & { \geq \quad \left( \frac { n - m + 1 } { m } \right) ^ { m - s } } \\ & { = \quad \left( \frac { n } { m } \right) ^ { m - s } \left( 1 - \frac { m - 1 } { m } \right) ^ { m - s } } \\ & { \geq \quad \left( \frac { n } { m } \right) ^ { m - s } \exp \! \left( - \frac { 2 m ( m - s ) } { n } \right) \enspace . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \Delta \lambda } \big ( ( \bar { T } ) ^ { T } T \big ) _ { 0 1 } + \partial _ { \Delta \lambda } \big ( ( \bar { T } ) ^ { T } T \big ) _ { 1 0 } = \partial _ { \Delta \lambda } \vert \hat { e } _ { 0 } \vert ^ { 2 } \big \rvert _ { \Delta \lambda = 0 } + \partial _ { \Delta \lambda } \vert \hat { e } _ { 1 } \vert ^ { 2 } \big \rvert _ { \Delta \lambda = 0 } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( W _ { a } ^ { t } \xi ) } & { = e ^ { i t c ( a ) } \psi ( W _ { a } \xi ) } \\ & { = e ^ { i t c ( a ) } \phi ( U _ { t } ^ { * } W _ { a } \xi ) } \\ & { = e ^ { i t c ( a ) } \phi ( U _ { t } ^ { * } V _ { a } \xi ) } \\ & { = e ^ { i t c ( a ) } e ^ { - i t c ( a ) } \phi ( V _ { a } U _ { t } ^ { * } \xi ) } \\ & { = e ^ { - \frac { \beta c ( a ) } { 2 } } \phi ( U _ { t } ^ { * } \xi ) ~ ~ ~ ( \textrm { b y E q . } ) } \\ & { = e ^ { - \frac { \beta c ( a ) } { 2 } } \psi ( \xi ) . } \end{array}
r a n k _ { \mathcal O _ { \chi } } ( k e r ( f _ { n } ^ { \chi , \mathbb S } ) ) \leq r a n k _ { \mathcal { O } _ { \chi } } ( \bigoplus _ { \substack { \psi _ { n } | _ { G ^ { \prime } } = \chi \, \psi _ { n } ( G _ { n , v } ) = 1 \, \mathrm { f o r ~ s o m e ~ } v \in \mathbb S } } \mathcal { O } _ { \chi } [ \psi _ { n } ] ) \leq r a n k _ { \mathcal { O } _ { \chi } } ( \bigoplus _ { v \in \mathbb S } \mathcal { O } _ { \chi } [ \mathcal G / \mathcal G _ { v } ] ) = K < \infty ,
\mathrm { p } ( \mathbf { x } ^ { [ 0 ] } , \mathbf { x } ^ { [ 1 ] } , \mathbf { x } ^ { [ 2 ] } , \ldots , \mathbf { x } ^ { [ N ] } ) = \mathrm { p } ( \mathbf { x } ^ { [ 0 ] } ) \mathrm { p } ( \mathbf { x } ^ { [ 1 ] } | \mathbf { x } ^ { [ 0 ] } ) \mathrm { p } ( \mathbf { x } ^ { [ 2 ] } | \mathbf { x } ^ { [ 1 ] } ) \ldots \mathrm { p } ( \mathbf { x } ^ { [ N ] } | \mathbf { x } ^ { [ N - 1 ] } ) \enspace ,
\widehat { V } _ { c e l l } ( t ) = V _ { c e l l } ( t ) + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \frac { a _ { k } } { k ^ { 2 } } \sin \left( \frac { 2 \pi k t } { t _ { f } } \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \frac { b _ { k } } { k ^ { 2 } } \cos \left( \frac { 2 \pi k t } { t _ { f } } \right) , \qquad t \in [ 0 , t _ { f } ] ,
\begin{array} { r l } { | c _ { g } | = } & { k \left[ - 5 \left( \nu _ { o } - 2 \nu _ { 4 } \right) ^ { 2 } \cos ^ { 6 } \theta + \left( 7 \nu _ { o } - 1 6 \nu _ { 4 } \right) \left( \nu _ { o } - 2 \nu _ { 4 } \right) \cos ^ { 4 } \theta \right. } \\ & { \left. - 3 \left( \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) \left( \nu _ { o } - 3 \nu _ { 4 } \right) \cos ^ { 2 } \theta + \left( \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
V ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) = | E _ { s 1 } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 1 } ) | ^ { 2 } + | E _ { s 2 } ^ { ( 1 ) } ( y _ { 1 } ) | ^ { 2 } . \eqno { ( \textrm { S 6 c } ) }
\begin{array} { r l } { E ^ { \mathrm { F F } } = } & { { } \sum _ { \mathrm { b o n d s } } ^ { \mathrm { 1 - 2 a t o m s } } \frac { 1 } { 2 } K _ { i j } ^ { r } \left( r _ { i j } - r _ { i j } ^ { 0 } \right) ^ { 2 } + \sum _ { \mathrm { a n g l e s } } ^ { \mathrm { 1 - 3 a t o m s } } \frac { 1 } { 2 } K _ { i j } ^ { \theta } \left( \theta _ { i j } - \theta _ { i j } ^ { 0 } \right) ^ { 2 } + \sum _ { \mathrm { d i h e d r a l s , n } } ^ { \mathrm { 1 - 4 a t o m s } } V _ { n } ^ { i j } \left( 1 + c o s \left( n \phi _ { i j } - \phi _ { i j } ^ { 0 } \right) \right) } \end{array}
\mathscr { O } ( \mathbb { C } ^ { k } \times \mathbb { C } ^ { \kappa } ; C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { t _ { 1 } , \cdots , t _ { k } } ^ { k } ; \mathcal { E } ^ { \prime } ( \mathbb { R } _ { t _ { k + 1 } , \cdots , t _ { N } } ^ { N - k } ) ) ) = \bigcup _ { m , s \in \mathbb { R } } \mathscr { O } ( \mathbb { C } ^ { k } \times \mathbb { C } ^ { \kappa } ; C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { t _ { 1 } , \cdots , t _ { k } } ^ { k } ; H _ { \mathrm { s c , c } } ^ { m , s } ( \mathbb { R } ^ { N - k } ) ) ) ,
E _ { \mathrm { ~ R ~ S ~ } } ^ { ( 2 ) } = \sum _ { k \neq 0 } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | \hat { V } | \Phi _ { k } \rangle \langle \Phi _ { k } | \hat { V } | \Phi _ { 0 } \rangle } { E _ { 0 } - E _ { k } }
\mathcal { A } \left( l ^ { \mathrm { { c } } } , u _ { i } \right) = \left\{ \begin{array} { r l r } & { \frac { d l ^ { \mathrm { c } } } { d t } - \left[ E ^ { \mathrm { a } } \left( l ^ { \mathrm { s } } - l ^ { \mathrm { c } } \right) - 1 \right] v ^ { \mathrm { 0 } } = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { 0 } \times ( T ^ { \mathrm { a c t } } , T ] , } \\ & { l ^ { \mathrm { c } } = l ^ { s } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { 0 } \times [ 0 , T ^ { \mathrm { a c t } } ] , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { q _ { 1 } = \frac { \tau _ { 1 } } { 2 } e ^ { i \theta _ { 1 } } \bigg ( ( 1 + Z _ { 1 } ) - ( 1 - Z _ { 1 } ) \operatorname { t a n h } \frac { \xi _ { 1 } } { 2 } \bigg ) , } \\ { q _ { 2 } = \frac { \tau _ { 2 } } { 2 } e ^ { i \theta _ { 2 } } \bigg ( ( 1 + Z _ { 2 } ) - ( 1 - Z _ { 2 } ) \operatorname { t a n h } \frac { \xi _ { 1 } } { 2 } \bigg ) . } \end{array}
{ i \cal M } _ { \mathrm { 1 ( a ) } } = \tau _ { 2 } ^ { \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { 1 } ) \bigg [ \frac { i { \cal P } _ { \mu \nu \alpha \beta } } { q ^ { 2 } } \bigg ] \tau _ { 2 } ^ { \alpha \beta } ( k _ { 3 } , k _ { 4 } , m _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { s c } } ( P _ { n } , t _ { n } , \tau _ { n } ) = } & { { } n \hbar \omega t _ { n } - \int _ { t _ { n } - \tau _ { n } } ^ { t _ { n } } d t ^ { \prime \prime } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } [ P _ { n } + \frac { e } { \hbar } A ( t ^ { \prime \prime } ) ] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { l } ( 1 _ { ( v _ { 0 } , j ) } ) } & { \cong L _ { 0 0 } + L _ { 0 1 } \cdot \omega + H _ { l } ( N _ { 1 } ) \cdot \omega ^ { * } + \mathbf 1 + H _ { l } ( n _ { 2 } ) \cdot \omega + L _ { 2 1 } \cdot \omega ^ { * } + L _ { 2 0 } + \mathbf 1 } \\ & { \cong L _ { 0 0 } + L _ { 0 1 } \cdot \omega + H _ { l } ( N _ { 1 } ) \cdot ( \omega ^ { * } + \omega ) + L _ { 2 1 } \cdot \omega ^ { * } + L _ { 2 0 } } \\ & { \cong L _ { 0 } + ( L _ { 1 0 } + L _ { 1 2 } \cdot \omega + \Xi ( L _ { 1 1 } \cdot \omega ^ { * } + L _ { 1 0 } + L _ { 1 2 } \cdot \omega ) + L _ { 1 1 } \cdot \omega ^ { * } ) \cdot ( \omega ^ { * } + \omega ) + L _ { 2 } } \\ & { \cong L _ { 0 } + \Xi ( L _ { 1 1 } \cdot \omega ^ { * } + L _ { 1 0 } + L _ { 1 2 } \cdot \omega ) + L _ { 2 } } \\ & { \cong L _ { 0 } + \Xi ( L _ { 1 } ) + L _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( r ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } , z ) } & { { } = \frac { k } { i z } e ^ { i k z } e ^ { i \frac { k r ^ { 2 } } { 2 z } } ( F _ { l _ { 1 } } ( { k r ^ { \prime } } / { z } ) e ^ { i l _ { 1 } ( \phi ^ { \prime } - \frac { \pi } { 2 } ) } } \end{array}
\psi _ { 1 m } ( ^ { 1 } \! P _ { 1 } ) = \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \psi _ { 1 m } ( \frac { 3 } { 2 } \: \frac { 1 } { 2 } ) - \sqrt { \frac { 1 } { 3 } } \psi _ { 1 m } ( \frac { 1 } { 2 } \: \frac { 1 } { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k _ { y } , m } { g _ { \bf k } } ( \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \bf k } + \hat { d } _ { k _ { x } , m } \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } ) \sin ( k _ { y } \cdot Y _ { m } ) \approx \sum _ { k _ { y } \in \mathcal { K } _ { c } } { g _ { \bf k } } k _ { y } \sum _ { m } ( \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \bf k } + \hat { d } _ { k _ { x } , m } \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } ) Y _ { m } , } \end{array}
\rho _ { 2 } = \delta _ { 2 } \ \frac { ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( b _ { 1 } - b _ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( b _ { 1 } - b _ { 2 } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \frac { \partial z _ { i } ^ { ( 0 ) } } { \partial ( - \beta \omega _ { i } ) } = \frac { \partial ( f _ { i } + 1 ) } { \partial ( - \beta \omega _ { i } ) } = f _ { i } ( f _ { i } + 1 ) . } \end{array}
( u _ { \sigma } \, p _ { * } u _ { 0 } - u _ { 0 } \, p _ { * } u _ { b } ) \bigg | _ { - \infty } ^ { \infty } = ( \sigma _ { 0 } ^ { 2 } - \sigma _ { b } ^ { 2 } ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { { \cal E } } { { \cal A } } \, u _ { b } \, u _ { 0 } \, d r ^ { * }
- \; \frac { \partial } { \partial x } \left[ \left( \frac { \partial \phi _ { \mathbf { x } } } { \partial x } - \Psi _ { \mathbf { x } } ^ { x } \right) U _ { \mathbf { x } } \right] - \; \frac { \partial } { \partial y } \left[ \left( \frac { \partial \phi _ { \mathbf { x } } } { \partial y } - \Psi _ { \mathbf { x } } ^ { y } \right) V _ { \mathbf { x } } \right] = 0 ,
\begin{array} { r l } { h } & { \le c _ { 1 } , ~ ~ \Delta t \le c _ { 2 } , } \\ { c _ { \rho } h ^ { - 1 } } & { \leq \rho _ { u } \lesssim h ^ { - 1 } , } \\ { \rho _ { p } } & { \simeq h , } \\ { \tau } & { \simeq h ^ { - 2 } , } \\ { \Delta t } & { \geq 2 \, \tau ^ { - 1 } , } \\ { c _ { \delta } \Delta t } & { \le \delta _ { n } \lesssim h , } \end{array}
- D ( \phi ) R _ { \alpha \beta } + ( \nabla _ { \alpha } \nabla _ { \beta } - g _ { \alpha \beta } \nabla ^ { 2 } ) D ( \phi ) + \frac { 1 } { 2 } V ( \phi ) g _ { \alpha \beta } + \frac { 1 } { 2 } D ( \phi ) R g _ { \alpha \beta } = 0
\begin{array} { r l r } { r _ { i } } & { { } = } & { p _ { N } \left[ 1 - \prod _ { \alpha \in N ( i ) } ( 1 - v _ { \alpha \rightarrow i } ) \right] , } \\ { s _ { \alpha } } & { { } = } & { p _ { H } ^ { [ m ] } \left[ 1 - \prod _ { i \in N ( \alpha ) } ( 1 - w _ { i \rightarrow \alpha } ) \right] , } \end{array}
\mathcal { H } = \omega \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \omega _ { 0 } \hat { J } _ { z } + \left( \frac { 2 \gamma } { \sqrt { N } } \hat { J } _ { x } + \sqrt { \frac { N \omega _ { 0 } } { 2 } } \alpha \right) ( \hat { a } ^ { \dagger } + \hat { a } ) .