harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \langle \mathcal { R } _ { 1 } ( t ) , \psi _ { 1 } \rangle = - \int _ { \Omega } \frac { \partial u _ { h } ^ { \mathbf { k } } } { \partial t } \psi _ { 1 } d x - \int _ { \Omega } d _ { 1 } ( u _ { h } ^ { \mathbf { k } } , v _ { h } ^ { \mathbf { k } } , w _ { h } ^ { \mathbf { k } } ) \nabla u _ { h } ^ { \mathbf { k } } \nabla \psi _ { 1 } d x + \int _ { \Omega } \chi _ { u } ( v _ { h } ^ { \mathbf { k } } ) u _ { h } ^ { \mathbf { k } } \nabla v _ { h } ^ { \mathbf { k } } \nabla \psi _ { 1 } d x } \\ { + \int _ { \Omega } \lambda u _ { h } ^ { \mathbf { k } } ( 1 - u _ { h } ^ { \mathbf { k } } - v _ { h } ^ { \mathbf { k } } ) \psi _ { 1 } d x + \int _ { \Omega } \frac { \partial u } { \partial t } \psi _ { 1 } d x + \int _ { \Omega } d _ { 1 } ( u , v , w ) \nabla u \nabla \psi _ { 1 } d x } \\ { - \int _ { \Omega } \chi _ { u } ( v ) u \nabla v \nabla \psi _ { 1 } d x - \int _ { \Omega } \lambda u ( 1 - u - v ) \psi _ { 1 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { s _ { t + 1 } = s _ { t } - \beta \langle k \rangle a _ { t } ^ { 2 } s _ { t } i _ { t } } \\ & { i _ { t + 1 } = i _ { t } + \beta \langle k \rangle a _ { t } ^ { 2 } s _ { t } i _ { t } - \mu i _ { t } } \\ & { r _ { t + 1 } = r _ { t } + \mu i _ { t } } \\ & { a _ { t + 1 } = \frac { 1 } { 1 + \alpha \delta \beta \langle k \rangle \theta _ { t } } } \\ & { \theta _ { t } = a _ { t } i _ { t } } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \tilde { w } } { \mathrm { d } \tilde { s } } = \frac { \beta _ { m } ^ { 3 } } { 3 \tilde { w } ^ { 2 } } + \frac { \chi \beta _ { \tilde { m } } ^ { 4 } } { 4 \tilde { w } ^ { 3 } } - \frac { 4 } { \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Delta \Sigma _ { j } \left( \frac { \tilde { s } _ { j } } { \tilde { s } } \right) ^ { 2 } G ^ { \prime } \left( \frac { \tilde { s } _ { j } } { \tilde { s } } \right) , \qquad \tilde { w } ( 0 ) = 1 ,
\begin{array} { r } { W _ { 2 } ^ { 2 } ( \rho _ { a _ { t } } , \rho _ { a _ { \star } } ) \leq \frac { 2 } { \alpha } \left( { \mathrm { K L } } [ \rho _ { a _ { t } } \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] - { \mathrm { K L } } [ \rho _ { a _ { \star } } \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] \right) } \\ { \leq \frac { 2 e ^ { - K t } } { \alpha } \left( { \mathrm { K L } } [ \rho _ { a _ { 0 } } \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] - { \mathrm { K L } } [ \rho _ { a _ { \star } } \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { 3 } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) = \mathrm { e } ^ { - \frac { \pi } { 4 } i } \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \frac { { \bf k } } { \varepsilon _ { 0 } } \times \left[ { \underline { { \underline { \varepsilon } } } } ^ { - 1 } \left( t \right) \cdot { \bf d } \left( { \bf k } , t \right) \right] } & { = } & { - \frac { d { \bf b } \left( { \bf k } , t \right) } { d t } , } \\ { i { \bf k } \times { \bf b } \left( { \bf k } , t \right) } & { = } & { \mu _ { 0 } \frac { d { \bf d } \left( { \bf k } , t \right) } { d t } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta ^ { * } \Psi ^ { * } + \frac { p _ { \| } } { q R } = - \mu _ { 0 } n _ { R E } q \frac { p _ { \| } } { \gamma m } \frac { 1 } { B _ { \| } ^ { * } } \left[ \bar { F } - \frac { p _ { \| } } { q B } \left( \Delta ^ { * } \Psi ^ { * } + \frac { p _ { \| } } { q R } \right) \right] . } \end{array}
p _ { a } - \Phi + \sigma _ { z z } - h ^ { \prime } \sigma _ { r z } + \rho { g } h = \frac { \Gamma } { r } \left[ \frac { r h ^ { \prime } } { \sqrt { 1 + h ^ { 2 } } } \right] ^ { \prime } \textrm { a t } z = h ( \Omega , r , \alpha ) .
w ^ { N _ { I } } - d = ( 1 - s ) \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) \implies \mathrm { s i g n } \left( w ^ { N _ { I } } - d \right) = \mathrm { s i g n } \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) \implies \mathrm { s i g n } \left( w - d ^ { 1 / N _ { I } } \right) = \mathrm { s i g n } \left( w - 1 \right) \implies \left( w < d ^ { 1 / N _ { I } } < 1 \right) \lor \left( 1 < d ^ { 1 / N _ { I } } < w \right) \implies \left( d ^ { 1 / N _ { I } } - 1 \right) \left( d ^ { 1 / N _ { I } } - w \right) < 0 \implies \mathrm { s i g n } \left( \left( d ^ { 1 / N _ { I } } - 1 \right) \left( d ^ { 1 / N _ { I } } - w \right) \right) = - 1
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { n } + n ^ { h } + \hat { n } \right) \left( \tilde { n } _ { A } + n ^ { h } + \hat { n } \right) + } \\ & { } & { \frac { 1 } { 2 } \overline { { \left( n ^ { 1 } + n ^ { h } \right) \left( n ^ { 1 } + n ^ { h } \right) } } + \overline { { \left( n _ { Z c } \right) \left( n ^ { 1 } + n ^ { h } \right) } } - } \\ & { } & { \frac { 1 } { 2 } \overline { { \left( \tilde { n } ^ { 1 } + \hat { n } + n ^ { h } \right) \left( \tilde { n } ^ { 1 } + \hat { n } + n ^ { h } \right) } } + } \\ & { } & { \int V _ { l o c } ( { \bf r } ) \left( \tilde { n } ( { \bf r } ) + \hat { n } ( { \bf r } ) + n ^ { h } \right) ~ d { \bf r } - } \\ & { } & { \int _ { \omega _ { a } } V _ { l o c } ( { \bf r } ) \left( \tilde { n } ^ { 1 } ( { \bf r } ) + \hat { n } ( { \bf r } ) + n ^ { h } \right) ~ d { \bf r } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { V } _ { \beta } = \frac { 1 } { 2 } \hat { \Omega } _ { \alpha \beta } C _ { \beta } ; } \\ & { } & { \oint \hat { \Omega } _ { \alpha \beta } C _ { \beta } \hat { \Omega } _ { \beta \gamma } d C _ { \alpha } \propto \hat { \Omega } _ { \alpha \beta } \hat { \Omega } _ { \beta \gamma } \Sigma _ { \alpha \beta } ( C ) ; } \end{array}
N _ { \mathrm { C L } } ^ { \mathrm { s e s s i l e } } ( t ) = 2 \pi c _ { \mathrm { i } } h _ { \mathrm { i } } R ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } \frac { r ^ { \star } ( t ) ^ { 4 } } { R ^ { 4 } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) } { R ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { r ^ { \star } ( t ) ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \in \cup _ { i = 1 , 2 , 3 } \chi _ { k } ^ { i } } \sum _ { \operatorname* { m i n } \{ j _ { 1 } , j _ { 2 } \} \geq ( 1 - \delta ) j } 2 ^ { ( 1 + \alpha ) j } \| P _ { k } \big [ \varphi _ { j , k } ( \cdot ) \mathcal { F } ^ { - 1 } \big [ \mathcal { J } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t , \xi ) \big ] \big ] ( x ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \in \cup _ { i = 1 , 2 , 3 } \chi _ { k } ^ { i } } \sum _ { \operatorname* { m i n } \{ j _ { 1 } , j _ { 2 } \} \geq ( 1 - \delta ) j } 2 ^ { ( 1 + \alpha ) j } \operatorname* { m i n } \big \{ \| h _ { 1 ; j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { \mu } ( t , x ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \times \| h _ { 2 ; j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { \mu } ( t , x ) \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } , \| h _ { 1 ; j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { \mu } ( t , x ) \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } \| h _ { 2 ; j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { \mu } ( t , x ) \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \big \} } \\ & { \lesssim \sum _ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \in \cup _ { i = 1 , 2 , 3 } \chi _ { k } ^ { i } } \sum _ { \operatorname* { m i n } \{ j _ { 1 } , j _ { 2 } \} \geq ( 1 - \delta ) j } 2 ^ { ( 1 + \alpha ) j } \big [ 2 ^ { - ( 1 + \alpha ) j _ { 1 } + \delta m } 2 ^ { 3 k _ { 2 } / 2 } } \\ & { \times \operatorname* { m i n } \{ 2 ^ { - N _ { 0 } k _ { 2 , + } + \delta m } , 2 ^ { - ( 1 + \alpha ) j _ { 2 } + \delta m } \} + 2 ^ { - ( 1 + \alpha ) j _ { 2 } + \delta m } 2 ^ { 3 k _ { 1 } / 2 } \operatorname* { m i n } \{ 2 ^ { - N _ { 0 } k _ { 1 , + } + \delta m } , 2 ^ { - ( 1 + \alpha ) j _ { 1 } + \delta m } \} \big ] \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \sum _ { \operatorname* { m i n } \{ j _ { 1 } , j _ { 2 } \} \geq ( 1 - \delta ) j } 2 ^ { ( 1 + \alpha ) j } 2 ^ { - ( 1 + \alpha ) j _ { 2 } - ( 1 + \alpha ) j _ { 1 } + 3 \delta m } \lesssim 2 ^ { - m - 1 0 \delta m } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { a b } ^ { ( n ) } } & { \equiv } & { \left\langle \frac { 1 } { r _ { a b } ^ { n } } ( E - V ) \right\rangle , } \\ { \tilde { V } _ { a b } ^ { ( n ) } } & { \equiv } & { \left\langle \frac { \ln r _ { a b } } { r _ { a b } ^ { n } } ( E - V ) \right\rangle , } \\ { R _ { a b } ^ { ( n ) } } & { \equiv } & { - \sum _ { i = 1 , 2 } \left\langle \vec { \nabla } _ { i } \frac { 1 } { r _ { a b } ^ { n } } \vec { \nabla } _ { i } \right\rangle , } \\ { \tilde { R } _ { a b } ^ { ( n ) } } & { \equiv } & { - \sum _ { i = 1 , 2 } \left\langle \vec { \nabla } _ { i } \frac { \ln r _ { a b } } { r _ { a b } ^ { n } } \vec { \nabla } _ { i } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ( \xi , \overline { { \xi } } ) = - \log | \mathfrak { q } | } & { = 2 \log { \frac { 4 } { 3 \sqrt { 3 } } } - \left[ { \frac { \partial f _ { \alpha ^ { 2 } } } { \partial \alpha } } ( q ) \right] _ { \alpha = 1 } - \left[ { \frac { \partial \overline { { f _ { \alpha ^ { 2 } } } } } { \partial \alpha } } ( \overline { { q } } ) \right] _ { \alpha = 1 } } \\ & { = 2 \log { \frac { 4 } { 3 \sqrt { 3 } } } - \log 1 6 | q | + 6 4 \, \mathrm { R e } ( q ^ { 2 } ) + 4 8 0 0 \, \mathrm { R e } ( q ^ { 4 } ) + \cdots \, , } \end{array}
e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } a \phi - ( p + 1 ) A } = 1 + { \frac { \lambda _ { 1 } } { a \sqrt { 2 } } } { \frac { 1 } { r ^ { p + 1 } } } , \ \ \ \ e ^ { + { \frac { 1 } { 2 } } a \phi - ( p + 1 ) A } = 1 + { \frac { \lambda _ { 2 } } { a \sqrt { 2 } } } { \frac { 1 } { r ^ { p + 1 } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { X } _ { l + 1 } ^ { ' } } & { { } = \mathrm { ~ M ~ H ~ A ~ } ( \mathrm { ~ L ~ N ~ } ( \mathbf { X } _ { l } ) ) + \mathbf { X } _ { l } } \\ { \mathbf { X } _ { l + 1 } } & { { } = \mathrm { ~ F ~ F ~ N ~ } ( \mathrm { ~ L ~ N ~ } ( \mathbf { X } _ { l + 1 } ^ { ' } ) ) + \mathbf { X } _ { l + 1 } ^ { ' } } \end{array}
\beta _ { k , r _ { k } } = \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { k } - 1 } \Delta x ^ { 2 j - 1 } \int _ { x _ { i - 1 / 2 } } ^ { x _ { i + 1 / 2 } } \left( \frac { d ^ { j } } { d x ^ { j } } \hat { f } _ { k } ( x ) \right) ^ { 2 } d x .
\hat { H } _ { \mathrm { ~ E ~ P ~ } } = \left( \begin{array} { c c c c c } { E _ { 0 } } & { A } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { E _ { 0 } } & { A } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { E _ { 0 } } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { E _ { 0 } } \end{array} \right) \ .
\Gamma ^ { 1 , 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } ) | _ { \alpha } = - 2 \alpha k _ { 3 } \frac { \delta _ { \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } } } { \Delta t } \frac { \delta _ { \tau ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } } } { \Delta t }
M _ { 4 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { c _ { 1 1 } } } & { { c _ { 1 3 } } } & { { 0 } } & { { d _ { 1 3 } } } \\ { { c _ { 1 3 } } } & { { c _ { 3 3 } } } & { { - d _ { 1 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - d _ { 1 3 } } } & { { c _ { 1 1 } } } & { { c _ { 1 3 } } } \\ { { d _ { 1 3 } } } & { { 0 } } & { { c _ { 1 3 } } } & { { c _ { 3 3 } } } \end{array} \right)
h _ { p p } ^ { \bar { p } p } ( s , b ) = { \frac { 1 } { 2 s } } \int _ { p p ; B o r n } ^ { \bar { p } p } ( s , - q ^ { 2 } ) J _ { 0 } ( b q ) q \, d q \quad \mathrm { w i t h } \quad q = \sqrt { - t } \ . \eqno ( B 1 )
S ^ { \alpha - 1 } \left( 1 - \frac { S ^ { 2 } } { 2 } \right) = \frac { \alpha } { \pi ^ { \alpha } } \left( 1 - 2 ^ { 1 - \alpha } \right) \Gamma ( 1 + \alpha ) \zeta ( \alpha ) \left( \frac { 6 } { N } \right) ^ { \alpha } .
\mathcal C _ { s } ^ { ( k ) } ( \vec { x } ) = - \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l } { \mathcal B _ { 1 } ^ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal B _ { 2 } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { \mathcal B _ { k - 2 } ^ { k - 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { \mathcal B _ { k - 1 } ^ { k - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mathcal B _ { k } ^ { k } } \end{array} \right)
H _ { 3 } \! = \! \! ( q - q ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \! x _ { + } ( k ^ { 2 } A ^ { 2 } + k ^ { - 2 } D ^ { 2 } ) - ( q - q ^ { - 1 } ) x _ { - } C ^ { 2 } + 2 x _ { 0 } ( s k ^ { - 1 } \! D C \! - s ^ { - 1 } \! k A C ) ,
\frac { \mathrm { d } u _ { b } ^ { l } } { \mathrm { d } r } + \frac { u _ { r } ^ { l } } { r ^ { 2 } } = 0 \quad \mathrm { a t } \quad r = \alpha r _ { 0 } \quad \mathrm { a n d } \quad r = r _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \Delta \epsilon = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { d } \epsilon } \\ { = } & { - \frac { \Gamma _ { 0 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { p ^ { 2 } } { m \epsilon } \mathrm { d } t - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } ( \epsilon ) p ^ { 2 } } { m \epsilon } \mathrm { d } t } \\ & { + \sqrt { 2 m \Gamma _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { p } { 2 m \epsilon } \mathrm { d } W } \\ & { + \Gamma _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { 1 } { 2 \epsilon } \left( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { 2 m \epsilon ^ { 2 } } \right) ( \mathrm { d } W ) ^ { 2 } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi _ { k } ^ { m } } & { = } & { \phi _ { k } ^ { c m } + m \phi _ { k } ^ { r e p } + \phi ^ { x } ( m , k ) } \\ & { = } & { \phi _ { k } ^ { c m } + m \phi _ { k } ^ { r e p } + \overbrace { \phi _ { 1 } ^ { x } ( m , k ) + \phi _ { 2 } ^ { x } ( m , k ) + \cdots + \phi _ { P } ^ { x } ( m , k ) } ^ { \phi ^ { x } ( m , k ) } } \\ & { \equiv } & { \phi _ { k } ^ { s _ { 1 } } + m \phi _ { k } ^ { s _ { 2 } } + a ( m ) \phi _ { k } ^ { s _ { 3 } } + b ( m ) \phi _ { k } ^ { s _ { 4 } } + \cdots + p ( m ) \phi _ { k } ^ { s _ { P } } } \end{array}
I = \frac { 1 } { 1 6 \pi ( 8 \pi ^ { 6 } ) } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g ^ { ( 1 0 ) } } \left( e ^ { - 2 \phi ^ { ( 1 0 ) } } R ^ { ( 1 0 ) } + 4 e ^ { - 2 \phi ^ { ( 1 0 ) } } ( D \phi ^ { ( 1 0 ) } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 } H ^ { ( 1 0 ) 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } = \pi / 2 , \delta _ { \mathrm { s f } } ) } & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \cos ( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } ) { \bf 1 } - i \sin ( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } ) \sigma _ { 1 } \right) , } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \exp \left( - \frac { i \sigma _ { 1 } { \delta _ { \mathrm { s f } } } } { 2 } \right) } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) . } \end{array}
\frac { S _ { 3 } } { \hbar } = \left( \begin{array} { l l l l } { - 2 \Delta } & { \Omega _ { 2 } ( x _ { 1 } ) / 2 } & { \Omega _ { 2 } ( x _ { 2 } ) / 2 } & { 0 } \\ { \Omega _ { 2 } ( x _ { 1 } ) / 2 } & { - \Delta } & { 0 } & { \Omega _ { 2 } ( x _ { 1 } ) / 2 } \\ { \Omega _ { 2 } ( x _ { 2 } ) / 2 } & { 0 } & { - \Delta } & { \Omega _ { 2 } ( x _ { 2 } ) / 2 } \\ { 0 } & { \Omega _ { 2 } ( x _ { 1 } ) / 2 } & { \Omega _ { 2 } ( x _ { 2 } ) / 2 } & { V } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \delta \phi _ { m } - \frac { n \sigma ^ { 2 } } { S ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { F + \frac { 2 \delta _ { a } } { \pi } \delta { \hat { W } } _ { n k u 0 } } { \epsilon _ { A 0 } } \right) \delta \phi _ { m } - \frac { 1 } { 4 } z ^ { 2 } \delta \phi _ { m } = 0 , } \\ & { \frac { 2 n \sigma ^ { 4 } \delta _ { a } \delta { \hat { W } } _ { n k u 0 } } { \epsilon _ { A 0 } \pi S ^ { 2 } \delta _ { c } ^ { 2 } L _ { P E ; c l } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 } , } \end{array}
Y _ { i } ^ { \{ S \} } = y _ { n } + H \sum _ { j = 1 } ^ { s ^ { \{ F \} } } a _ { i , j } ^ { \{ S , F , i \} } f _ { i j } ^ { \{ F \} } + H \sum _ { j = 1 } ^ { s ^ { \{ F \} } } { \bf A } _ { i , j } ^ { \{ S , E \} } f _ { j } ^ { \{ E \} } + H \sum _ { j = 1 } ^ { s ^ { \{ F \} } } { \bf A } _ { i , j } ^ { \{ S , I \} } f _ { j } ^ { \{ I \} } .
\begin{array} { r l } { l ( t , \zeta ) } & { = \frac { \mathrm { i } \kappa } { 2 } n ( \zeta ) \cdot [ \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) ] \frac { H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) } { | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | } , \quad s ( t , \zeta ) = \frac { \mathrm { i } } { 2 } H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathrm { i } \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) , } \\ { k ( t , \zeta ) } & { = \frac { \kappa } { 2 } n ( t ) \cdot [ \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) ] \frac { H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \mathrm { i } \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) } { | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | } , } \\ { r ( t , \zeta ) } & { = \frac { \mathrm { i } \kappa ^ { 2 } } { 2 } H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) n ( t ) \cdot n ( \zeta ) , } \\ { h ( t , \zeta ) } & { = \frac { \mathrm { i } } { 2 } \tilde { h } ( t , \zeta ) \Big \{ \kappa ^ { 2 } H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) - \frac { 2 \kappa H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) } { | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | } \Big \} } \\ & { \qquad + \frac { \mathrm { i } \kappa \gamma ^ { \prime } ( t ) \cdot \gamma ^ { \prime } ( \zeta ) } { 2 | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | } H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \kappa | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) + \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } ( t - \zeta ) } . } \end{array}
\phi ( \mathbf { R } ) \ = \ { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { q \mathbf { d } \cdot { \hat { \mathbf { R } } } } { R ^ { 2 } } } + O \left( { \frac { d ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } \right) \ \approx \ { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { \mathbf { p } \cdot { \hat { \mathbf { R } } } } { R ^ { 2 } } } \ ,
{ \cal H } _ { - } = { \frac { 1 } { 2 } } g _ { i } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 m _ { - } ^ { 2 } } } ( \epsilon _ { i j } \partial _ { i } g _ { j } ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \pi _ { g } ^ { 2 } + m _ { - } ^ { 2 } g ^ { 2 } ) + { \frac { 1 } { 2 m _ { - } ^ { 2 } } } ( \epsilon _ { i j } \partial _ { i } g _ { j } ) ^ { 2 } .
T r \, T _ { a } = \sqrt N \delta _ { a , N ^ { 2 } } , \; \; \; \; \; \; ( T _ { a } ) _ { r s } ( T _ { a } ) _ { u v } = \delta _ { s u } \delta _ { r v } , \; \; \; \; \; \; r , s = 1 \ldots N
X \sim \operatorname { B e t a } \left( 1 + \lambda { \frac { m - \operatorname* { m i n } } { \operatorname* { m a x } - \operatorname* { m i n } } } , 1 + \lambda { \frac { \operatorname* { m a x } - m } { \operatorname* { m a x } - \operatorname* { m i n } } } \right)
\begin{array} { r l } { \widetilde { v } _ { i n } \left( 0 ; y \right) = \widetilde { \tau } _ { i n } \left( 0 ; y \right) } & { = 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { r _ { s } \to \infty } \widetilde { v } _ { i n } \left( r _ { s } ; y \right) } & { = \widetilde { v } _ { o u t } \left( y \right) , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { r _ { s } \to \infty } \widetilde { \tau } _ { i n } \left( r _ { s } ; y \right) } & { = \widetilde { \tau } _ { o u t } \left( y \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 5 } : = } & { \int _ { 1 / 2 + \epsilon - i T } ^ { 1 / 2 + \epsilon + i T } F _ { f } ( s , \ \chi ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s } \\ { = } & { \int _ { 1 / 2 + \epsilon - i T } ^ { 1 / 2 + \epsilon + i T } L ^ { 2 } ( s , \ \chi ) L ^ { 3 } ( s , \ { \mathrm { s y m } ^ { 2 } } f \otimes \chi ) \times } \\ & { \qquad L ( s , \ \mathrm { { s y m } } ^ { 4 } f \otimes \chi ) U ( s ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s } \\ { \ll } & { \int _ { - T } ^ { T } \mid L ^ { 2 } ( \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + i t , \ \chi ) L ^ { 3 } ( \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + i t , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 2 } f \otimes \chi ) \times } \\ & { \qquad L ( \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + i t , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 4 } f \otimes \chi ) \mid \frac { x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } } { \mid 1 / 2 + \epsilon + i t \mid } \ \mathrm { d } t } \\ { \ll } & { x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } + \operatorname* { s u p } _ { 1 \leq T _ { 1 } \leq T } x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } T _ { 1 } ^ { - 1 } I _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { 6 } } I _ { 2 } ^ { \frac { 3 } { 4 } } I _ { 3 } ^ { \frac { 1 } { 1 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \, . . . , \, \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) } \left[ \sum _ { k = i + 1 } ^ { j - 1 } | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathbf { x } _ { t _ { j } } ^ { \mathrm { O D E } } = \mathbf { x } _ { t _ { i } } + \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { j } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E } } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , F } } , t ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { D } } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { A } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { H } } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { V } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu _ { i j j } ^ { ( 2 ) } ( t ; 0 ) = \frac { 1 } { 4 } \beta _ { i j j } ^ { \mathrm { O R } } ( \omega ) [ F ^ { \mathrm { P W } } ( t ; 0 ) ] ^ { 2 } , } \\ & { \mu _ { i j j } ^ { ( 2 ) } ( t ; 2 \omega ) = \frac { 1 } { 4 } \beta _ { i j j } ^ { \mathrm { S H G } } ( \omega ) [ F ^ { \mathrm { P W } } ( t ; 2 \omega ) ] ^ { 2 } , } \end{array}
\ensuremath { \mathrm { ~ C ~ H ~ } _ { 4 } } + 2 \ensuremath { \mathrm { ~ O ~ } _ { 2 } } \rightarrow \ensuremath { \mathrm { ~ C ~ O ~ } _ { 2 } } + 2 \ensuremath { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } }
\begin{array} { r } { { \bf y } _ { 2 } = { \bf y } _ { 1 } + { \bf z } _ { 2 } , \quad { \bf y } _ { 3 } = { \bf y } _ { 1 } + { \bf z } _ { 3 } , \quad { \bf y } _ { 4 } = { \bf y } _ { 1 } + { \bf z } _ { 4 } , \quad { \bf y } _ { \alpha } = { \bf y } _ { 1 } + k _ { \alpha } ^ { A } { \bf z } _ { A } . } \end{array}
0 \leq s - \underline { { s } } \leq \overline { { s } } - \underline { { s } } \leq s _ { 0 } \, \exp \left( \frac { s _ { 0 } } { K _ { M } } - 1 \right) \cdot \frac { \delta } { 1 - \delta } \leq s _ { 0 } \, \exp \left( \frac { s _ { 0 } } { K _ { M } } - 1 \right) \cdot \frac { \delta ^ { * } } { 1 - \delta ^ { * } } = : s _ { 0 } \cdot \varepsilon _ { W } .
{ \rho } _ { a } \left( \frac { { \partial } { u } _ { z } } { { \partial } t } + { u } _ { r } \frac { { \partial } { u } _ { z } } { { \partial } r } + { u } _ { z } \frac { { \partial } { u } _ { z } } { { \partial } z } \right) = - \frac { { \partial } { p } } { { \partial } z } + { \mu } _ { a } \left( \frac { { \partial } ^ { 2 } { u } _ { z } } { { \partial } { z } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { { \partial } } { { \partial } r } \left( r \frac { { \partial } { u } _ { z } } { { \partial } r } \right) \right)