harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { \Gamma _ { 9 } } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s = - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } .
\boldsymbol { U } _ { i } ( \boldsymbol { x } ) = ( \boldsymbol { U } _ { i - 1 } ( \boldsymbol { x } ) \cdot \boldsymbol { e } _ { \bot , i } ) ( 1 - W _ { i } ( \boldsymbol { x } ) ) \boldsymbol { e } _ { \bot , i } + ( \boldsymbol { U } _ { i - 1 } ( \boldsymbol { x } ) \cdot \boldsymbol { e } _ { \parallel , i } ) \boldsymbol { e } _ { \parallel , i } , \quad \mathrm { f o r } \ i = 1 , . . . . , N _ { t }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \ell _ { N _ { k } } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \ell _ { N _ { k } } \mathbf { 1 } _ { \vert N _ { k } - N u _ { k } \vert < \log ( N ) ^ { 2 } \sqrt { N u _ { k } } } \right] + \mathbb { E } \left[ \ell _ { N _ { k } } \mathbf { 1 } _ { \vert N _ { k } - N u _ { k } \vert \geq \log ( N ) ^ { 2 } \sqrt { N u _ { k } } } \right] } \\ & { \leq 3 \sqrt { N u _ { k } + \log ( N ) ^ { 2 } \sqrt { N u _ { k } } } \; + \; N \mathbf { P } \left( \vert N _ { k } - N u _ { k } \vert \geq \log ( N ) ^ { 2 } \sqrt { N u _ { k } } \right) } \\ & { \leq 3 \sqrt { N u _ { k } } + 3 \log ( N ) ( N u _ { k } ) ^ { 1 / 4 } \; + \; 2 N \exp \left( - \delta \log ( N ) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\partial _ { z } A _ { 0 } + \partial _ { \bar { z } } \bar { A } _ { 0 } = \left. { \cal L } \right| _ { \varphi = \varphi _ { 0 } } = \partial _ { z } \varphi _ { 0 } \partial _ { \bar { z } } \varphi _ { 0 } - V ( \varphi _ { 0 } ) .
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { k _ { \pm } } & { { } = \pm \frac { \pi n } { L } - q k _ { y , n } ( \omega ) } \\ { k _ { y , n } ( \omega ) } & { { } = \pm \sqrt { \frac { 1 } { \eta _ { x x } - q ^ { 2 } \eta _ { y y } } \left\{ \left( \frac { \omega } { c } \right) ^ { 2 } - \eta _ { y y } \left( \frac { \pi n } { L } \right) ^ { 2 } \right\} } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| { ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) \bar { U } ^ { ( i ) } W ^ { ( i ) } } \right\| } \\ & { \quad \leq \left\| { ( \check { A } _ { i \cdot } - \check { P } _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) \bar { U } ^ { ( i ) } } \right\| + \sum _ { j \in S ^ { C } \cap S _ { i } } \left| A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } \right| \left( t + \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \right) } \\ & { \quad \leq \left\| { ( \check { A } _ { i \cdot } - \check { P } _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) \bar { U } ^ { ( i ) } } \right\| + \sum _ { j \in S _ { i } } \left| A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } \right| \left( t + \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \textbf { \textsc { p } } , \textbf { \textsc { q } } } \left( v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) , } \\ { \hat { P } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } , \textbf { \textsc { q } } } } \left( S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } } S _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) , \, } \\ { \widehat { V P } _ { \mathrm { s } } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } , \textbf { \textsc { q } } } } \left( \nu _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) } \end{array}
- 1 + { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 7 } } - { \frac { 1 } { 9 } } + \cdots = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \left( - 1 \right) ^ { n } } { 2 n - 1 } } = - { \frac { \pi } { 4 } }
\begin{array} { r l } { \bigvee _ { n = 0 } ^ { N } T ^ { - n } Q } & { { } = \{ Q _ { i _ { 0 } } \cap T ^ { - 1 } Q _ { i _ { 1 } } \cap \cdots \cap T ^ { - N } Q _ { i _ { N } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } d _ { \ell } v _ { \ell } \cdot \frac { \ell - 1 } { \ell ^ { 2 } } \cdot \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { f ( x ) } } & { = C ^ { \prime } ( \mu ) \cdot \Big ( \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } d _ { \ell } \Big ) , } \\ { \mu } & { = \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } d _ { \ell } x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha ( T , P ) } & { { } = } & { 3 . 6 2 2 \times 1 0 ^ { - 5 } \exp ( - 2 . 3 7 7 \times 1 0 ^ { - 5 } T - 0 . 0 1 0 6 P ) , } \\ { \rho ( T , P ) } & { { } = } & { 2 8 7 0 - 0 . 0 8 2 T + 1 6 2 P ^ { 0 . 5 8 } , } \\ { C _ { P } ( T , P ) } & { { } = } & { 6 2 7 + 0 . 4 1 1 T - 0 . 2 1 1 P , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { P _ { Z ^ { n } } ( { \cal B } _ { n } \cap { \cal T } _ { n } ( P _ { Z } ) ) } } \\ & { = } & { \sum _ { e \in { \cal E } _ { n } } P _ { Z ^ { n } } ( \Pi _ { \sqrt { \varepsilon } } ( { \cal A } _ { n } ( e ) ) \cap g _ { n } ^ { - 1 } ( e ) \cap { \cal T } _ { n } ( P _ { Z } ) ) } \\ & { \le } & { \sum _ { e \in { \cal E } _ { n } } P _ { Z ^ { n } } ( \Pi _ { \sqrt { \varepsilon } } ( { \cal A } _ { n } ( e ) ) \cap { \cal T } _ { n } ( P _ { Z } ) ) . } \end{array}
{ \cal L } ^ { \prime } = { \frac { g _ { 8 } ^ { \phantom { 2 } } } { \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } } T r \left( U ^ { \dagger } \lambda _ { 6 } D _ { \mu } D _ { \nu } U D ^ { \mu } U ^ { \dagger } D ^ { \nu } U \right) ,
\begin{array} { r l } & { \theta = \nabla _ { i } v ^ { i } \; , } \\ & { \sigma _ { i j } = \nabla _ { ( i } v _ { j ) } - \frac { 1 } { 3 } \theta g _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla _ { i } v _ { j } + \nabla _ { j } v _ { i } \right) - \frac { 1 } { 3 } \theta g _ { i j } \; , } \\ & { \omega _ { i j } = \nabla _ { [ i } v _ { j ] } = \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla _ { i } v _ { j } - \nabla _ { j } v _ { i } \right) \; . } \end{array}
\mathcal { D } _ { \ell } ( t , x , y ) = \sum _ { \ell } \textrm { E O F } _ { \ell } ( x , y ) \Big ( \mathbf { E } _ { \ell } ^ { j } ( t ) + i \overline { { \mathbf { E } } } _ { \ell } ^ { j } ( t ) \Big ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tilde { v } _ { 0 } ( t ) = } & { - \tilde { v } _ { 0 } ( t ) \tilde { v } _ { y } ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tilde { v } _ { x } ( t ) = } & { - \tilde { v } _ { x } ( t ) \tilde { v } _ { y } ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tilde { v } _ { y } ( t ) = } & { - \bar { f } \tilde { v } _ { x } ( t ) - \tilde { v } _ { y } ( t ) ^ { 2 } - \bar { f } ^ { 2 } , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tilde { h } _ { 0 } ( t ) = } & { - \tilde { h } _ { 0 } ( t ) \tilde { v } _ { y } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { \mathrm { t o p } } ^ { ( 4 ) } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { r _ { 1 1 } } & { r _ { 1 2 } } & { r _ { 1 3 } } & { \dots } & { r _ { 1 N } } \\ { r _ { 2 1 } } & { r _ { 2 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { r _ { 3 1 } } & { 0 } & { r _ { 3 3 } } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { r _ { N 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { r _ { N N } } \end{array} \right] _ { \mathrm { t o p } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { \alpha } \grave { \mathbf { v } } _ { \alpha } + \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } } & { = ~ \gamma _ { \alpha } , } \\ { \tilde { \rho } _ { \alpha } \grave { \mathbf { v } } _ { \alpha } - \mathrm { d i v } \mathbf { T } _ { \alpha } - \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathbf { b } _ { \alpha } } & { = ~ \mathbf { p } _ { \alpha } , } \\ { \tilde { \rho } _ { \alpha } \grave { \epsilon } _ { \alpha } - \mathbf { T } _ { \alpha } : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \mathbf { q } _ { \alpha } - \tilde { \rho } _ { \alpha } r _ { \alpha } } & { = ~ \breve { e } _ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( \overline { { \sigma } } _ { x y } ( t ) , \overline { { \sigma } } _ { x ^ { \prime } y ^ { \prime } } ( t ) ) } & { \leq \frac { 1 } { 2 } d ( \overline { { \sigma } } _ { x y } ( s ) , \overline { { \sigma } } _ { x ^ { \prime } y ^ { \prime } } ( s ) ) + \frac { 1 } { 2 } d ( \overline { { \sigma } } _ { x y } ( r ) , \overline { { \sigma } } _ { x ^ { \prime } y ^ { \prime } } ( r ) ) } \\ & { \leq \Big ( \frac { 1 - s } { 2 } + \frac { 1 - r } { 2 } \Big ) d ( x , x ^ { \prime } ) + \Big ( \frac { s } { 2 } + \frac { r } { 2 } \Big ) d ( y , y ^ { \prime } ) ; } \end{array}
\left( \eta ^ { \beta } t \right) \left( \frac { N t } { \epsilon } \right) ^ { o ( 1 ) } \qquad \textrm { w h e r e } \qquad N = \Theta \left( \eta ^ { \alpha } \right) \qquad \textrm { a n d } \qquad \beta = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 4 \alpha + 7 } { 3 } } & { \alpha \leq 3 } \\ { \frac { 5 \alpha + 4 } { 3 } } & { \alpha \geq 3 } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l } & { \pi \frac { d \Breve { \mathbf { u } } } { d t } = \pi \texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { G } ) \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \Breve { \mathbf { u } } ( 0 ) = \mathbf { z } } \\ & { \Rightarrow \quad \frac { d \Breve { \mathbf { u } } } { d t } = \texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { G } ) \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \Breve { \mathbf { u } } ( 0 ) = \mathbf { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { | I | + 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I ) } & { = \frac { \lambda } { x ( v ) } \Big \{ \frac { \lambda } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \frac { r _ { k } W _ { | I | + 1 } ^ { ( 0 ) } ( \varepsilon _ { k } ; I ) } { x ( z ) - x ( \varepsilon _ { k } ) } - \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } \frac { \lambda W _ { | I | } ^ { ( 0 ) } ( u _ { j } ; I \setminus u _ { j } ) } { x ( z ) - x ( u _ { j } ) } } \\ & { + \frac { \lambda \delta _ { | I | , 2 } } { ( x ( z ) - x ( u _ { 1 } ) ) ( x ( z ) - x ( u _ { 2 } ) ) } \Big \} + \mathcal { O } ( ( x ( v ) ) ^ { - 2 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \mathbf { p } \left( \mathbf { r } _ { 0 } \right) \cdot d \mathbf { A } _ { 0 } } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right| } } \ , } \end{array}
\xi _ { k } ^ { * } ( u ) = \operatorname* { m a x } _ { x } \langle x , u + \frac { \kappa } { { \tilde { \lambda } } } y ^ { k - 1 } \rangle - { \tilde { \xi } } ( x ) - \frac { \kappa } { 2 { \tilde { \lambda } } } \| y ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } = { \tilde { \xi } } ^ { * } \left( u + \frac { \kappa } { { \tilde { \lambda } } } y ^ { k - 1 } \right) - \frac { \kappa } { 2 { \tilde { \lambda } } } \| y ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } ,
\left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e L } } } \\ { { \nu _ { \mu L } } } \\ { { \nu _ { \tau L } } } \\ { { C \bar { \nu } _ { R 1 } ^ { T } } } \\ { { C \bar { \nu } _ { R 2 } ^ { T } } } \end{array} \right) = O \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { 1 L } } } \\ { { i \nu _ { 2 L } } } \\ { { \nu _ { 3 L } } } \\ { { \nu _ { 4 L } } } \\ { { i \nu _ { 5 L } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { 1 - \eta } ^ { 1 - \rho } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s } & { > \int _ { 1 - \rho } ^ { 1 } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s , } \\ { \int _ { - 1 + \rho } ^ { - 1 + \eta } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s } & { > \int _ { - 1 } ^ { - 1 + \rho } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s . } \end{array}
\frac { \overline { { \epsilon } } _ { h y d r o } } { \epsilon _ { 0 } } \left( \omega , \mathbf { k } \right) = \mathbf { 1 } + \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega } \left[ - \omega \mathbf { 1 } + i \omega _ { c } \mathbf { \hat { z } } \times \mathbf { 1 } _ { t } + \frac { \beta ^ { 2 } } { \omega } \mathbf { k } \otimes \mathbf { k } \right] ^ { - 1 } .
C ^ { ( 3 ) } = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 4 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { c _ { 2 5 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { c _ { 3 6 } } } \end{array} \right) \; , \; S ^ { ( 3 ) } = \left( \begin{array} { c c c } { { s _ { 1 4 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { s _ { 2 5 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { s _ { 3 6 } } } \end{array} \right) \; ,
\Psi _ { j } \rightarrow \Psi _ { j } + \alpha _ { j } , \; \Psi _ { - j } \rightarrow \Psi _ { - j } + \alpha _ { j } , j = 1 , \ldots , r , \Psi _ { 0 } \rightarrow \Psi _ { 0 } + \alpha _ { 0 } ,
( f _ { c } ^ { p } ) ^ { \prime } ( z _ { 0 } ) = { \frac { d } { d z } } f _ { c } ^ { p } ( z _ { 0 } ) = \prod _ { i = 0 } ^ { p - 1 } f _ { c } ^ { \prime } ( z _ { i } ) = 2 ^ { p } \prod _ { i = 0 } ^ { p - 1 } z _ { i } = \lambda
\varepsilon _ { 0 } \partial _ { r } \varphi _ { \omega } ^ { \mathrm { ( P ) } } | _ { r = r _ { c } - 0 } - \varepsilon _ { 1 } \partial _ { r } \varphi _ { \omega } ^ { \mathrm { ( P ) } } | _ { r = r _ { c } + 0 } = i \left( \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { 1 } \right) \frac { \omega } { c } A _ { \omega 1 } ^ { \mathrm { ( P ) } } | _ { r = r _ { c } } ,
\mathbf { z } = \mathbf { H \odot r } = { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \odot { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } .
\phi ^ { ( 8 + 9 ) } ( 1 , 2 , 3 ) + \phi ^ { ( 8 + 9 ) } ( 1 , 3 , 2 ) - \phi ^ { ( 8 + 9 ) } ( 3 , 1 , 2 ) - \phi ^ { ( 8 + 9 ) } ( 3 , 2 , 1 ) = 0 \ .
\bar { \psi } m _ { W } \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) \psi + \bar { \psi } m _ { W } \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \psi = \bar { \psi } m _ { W } \psi ,
\ensuremath { r _ { h } } ^ { 2 } - \ensuremath { r _ { \alpha } } ^ { 2 } = - \frac { E _ { \mathrm { L S } } ^ { \mathrm { e x p } } ( \mu ^ { 3 } \mathrm { H e } ^ { + } ) } { 1 0 3 . 3 8 3 \mathrm { \, \frac { m e V } { f m ^ { 2 } } } } + \frac { E _ { \mathrm { L S } } ^ { \mathrm { e x p } } ( \mu ^ { 4 } \mathrm { H e } ^ { + } ) } { 1 0 6 . 2 0 9 \mathrm { \, \frac { m e V } { f m ^ { 2 } } } } + 0 . 2 5 8 5 ( 3 0 ) \, \mathrm { f m ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \log \frac { p ( x ) } { q ( x ) } } & { { } = \log \frac { e ^ { - \eta _ { 0 } } \eta _ { 0 } ^ { x } / [ ( 1 - e ^ { - \eta _ { 0 } } ) x ! ] } { e ^ { - \eta _ { 1 } } \eta _ { 1 } ^ { x } / [ ( 1 - e ^ { - \eta _ { 1 } } ) x ! ] } } \end{array}
\frac { d N } { d y } \sim \frac { S _ { A } Q _ { s , A } ^ { 2 } } { \alpha ( Q _ { s , A } ) } \frac { \lambda y } { \sinh ( \lambda y ) } [ 6 + \frac { 1 } { 1 8 } ( 2 \lambda y ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 8 0 0 } ( 2 \lambda y ) ^ { 4 } + \dots ] .
\begin{array} { r l } { A _ { x } } & { { } = - ( y - y _ { c } ) A _ { b } \left( 1 - \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) ^ { n _ { s } } \operatorname* { m a x } ( P _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } - P , 0 ) , } \\ { A _ { y } } & { { } = ( x - x _ { c } ) A _ { b } \left( 1 - \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) ^ { n _ { s } } \operatorname* { m a x } ( P _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } - P , 0 ) , } \\ { A _ { z } } & { { } = 0 , } \\ { \varphi } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p \left( { \bf X } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right) } & { { } \propto \prod _ { i } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left( 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \right) \right] p \left( { O } _ { i } ^ { t } \mid x _ { i } ^ { t } \right) \right\} p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { u } . \nabla \mathbf { u } + \Delta p } & { { } = \frac { 1 } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \sin { ( n y ) } \hat { \mathbf { x } } } \\ { \nabla . \mathbf { u } } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } : \ensuremath { \mathbb { Z } } / p \ensuremath { \mathbb { Z } } \oplus \ensuremath { \mathbb { Z } } / p \ensuremath { \mathbb { Z } } \longrightarrow \textup { U } ( 4 , \overline { { \mathbb { F } _ { q } } } ) } \\ { \mathrm { d e f i n e d ~ a s ~ } } & { \varphi _ { 1 } ( ( 1 , 0 ) ) = X _ { 1 } , \varphi _ { 1 } ( ( 0 , 1 ) ) = X _ { a } , } \\ & { \varphi _ { 2 } ( ( 1 , 0 ) ) = X _ { a } , \varphi _ { 2 } ( ( 0 , 1 ) ) = X _ { 1 } . } \end{array}
E _ { c } \equiv m ^ { 2 } c ^ { 3 } / e \hbar \approx 1 , 3 \times 1 0 ^ { 1 8 } \, \textrm { V / m } \; \, , \; \, B _ { c } \equiv m ^ { 2 } c ^ { 2 } / e \hbar \approx 4 , 4 \times 1 0 ^ { 9 } \, \textrm { T } \, .
\langle D _ { \alpha } D _ { \beta } D _ { \mu } D _ { \nu } \rangle = \left( g _ { \alpha \nu } g _ { \beta \mu } - g _ { \alpha \beta } g _ { \mu \nu } \right) \frac { e ^ { 2 } F ^ { 2 } } { 2 d ( d - 1 ) }
U _ { \mathrm { M N S } } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { \lambda } } & { { \lambda ^ { 3 - \Delta } } } \\ { { \lambda } } & { { 1 } } & { { \lambda ^ { 2 - \Delta } } } \\ { { \lambda ^ { 3 - \Delta } } } & { { \lambda ^ { 2 - \Delta } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
{ \begin{array} { r l r } { \arcsin ( z ) } & { = - i \ln \left( { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + i z \right) = i \ln \left( { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } - i z \right) } & { = \operatorname { a r c c s c } \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \\ { \operatorname { a r c c o s } ( z ) } & { = - i \ln \left( i { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + z \right) = { \frac { \pi } { 2 } } - \arcsin ( z ) } & { = \operatorname { a r c s e c } \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \\ { \arctan ( z ) } & { = - { \frac { i } { 2 } } \ln \left( { \frac { i - z } { i + z } } \right) = - { \frac { i } { 2 } } \ln \left( { \frac { 1 + i z } { 1 - i z } } \right) } & { = \operatorname { a r c c o t } \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \\ { \operatorname { a r c c o t } ( z ) } & { = - { \frac { i } { 2 } } \ln \left( { \frac { z + i } { z - i } } \right) = - { \frac { i } { 2 } } \ln \left( { \frac { i z - 1 } { i z + 1 } } \right) } & { = \arctan \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \\ { \operatorname { a r c s e c } ( z ) } & { = - i \ln \left( i { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } } } + { \frac { 1 } { z } } \right) = { \frac { \pi } { 2 } } - \operatorname { a r c c s c } ( z ) } & { = \operatorname { a r c c o s } \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \\ { \operatorname { a r c c s c } ( z ) } & { = - i \ln \left( { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } } } + { \frac { i } { z } } \right) = i \ln \left( { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } } } - { \frac { i } { z } } \right) } & { = \arcsin \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \end{array} }
{ \mathsf { C a s e \, 2 \! : } } \; \phi ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , { \vec { Y } } ) = \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , { \vec { Y } } ) \land \psi _ { 2 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , { \vec { Y } } ) .
\begin{array} { r l } { \| \mu _ { q _ { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mu _ { \gamma } \| _ { \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } } } & { \lesssim \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \sigma _ { i j } ( \frac { \xi } { \varepsilon } ) \xi _ { i } \xi _ { j } e ^ { - \frac { \beta _ { i n } } { 1 0 } | \xi | ^ { 2 } } d \xi } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \frac { | \xi | ^ { 2 } } { \langle \xi / \varepsilon \rangle ^ { 3 } } e ^ { - \frac { \beta _ { i n } } { 1 0 } | \xi | ^ { 2 } } d \xi } \\ & { \leq \varepsilon ^ { 2 } \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \frac { 1 } { | \xi | } e ^ { - \frac { \beta _ { i n } } { 1 0 } | \xi | ^ { 2 } } d \xi } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } L _ { c } ^ { ( i ) } } & { { } \le L _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } , } \\ { \kappa _ { i } } & { { } \le \kappa _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } , ~ i = 1 , \ldots , N _ { c } , } \\ { \frac { 1 } { L _ { c } ^ { ( i ) } } \int _ { \gamma ^ { ( i ) } } \kappa _ { i } ^ { 2 } d l } & { { } \le \kappa _ { \mathrm { ~ m ~ s ~ c ~ } } , ~ i = 1 , \ldots , N _ { c } , } \\ { \| \Gamma ^ { ( i ) } - \Gamma ^ { ( j ) } \| } & { { } \geq d _ { \operatorname* { m i n } } ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i \neq j , . } \end{array}
{ \cal T } _ { 1 2 \to c \bar { c } } \; = \; { \frac { g ^ { 2 } } { 2 m _ { c } } } \; { \bar { v } } ( k _ { 2 } ) \gamma _ { \mu } T ^ { a } u ( k _ { 1 } ) \; L _ { \ i } ^ { \mu } \; \xi ^ { \dagger } \sigma ^ { i } T ^ { a } \eta .
\boldsymbol { \underline { { \underline { { \lambda } } } } } = \left( \begin{array} { l l l } { \lambda ^ { - 1 / 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda ^ { - 1 / 2 } } & { \tau \lambda ^ { - 1 / 2 } r } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \frac 1 D | \! | X \boldsymbol { v } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } } & { \geq } & { \frac 1 D \sum _ { m = 1 } ^ { M } | \! | X _ { m } \boldsymbol { v } _ { m } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \geq } & { \frac { \epsilon ^ { 2 } } 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \frac { \sigma _ { m } ^ { 2 } T _ { m } } { D } | \! | \boldsymbol { v } _ { m } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 8 L \log L } { T _ { m } \zeta ^ { 2 } } \right) } \\ & { > } & { \frac { 4 \alpha \epsilon ^ { 2 } } { 9 } | \! | \boldsymbol { v } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } \, . } \end{array}
d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + d x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ( t ) d \theta _ { 1 } ^ { 2 } + b ^ { 2 } ( x ) d \theta _ { 2 } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { D - 4 } d \xi _ { i } ^ { 2 }