harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } ) } & { = ( 3 \times \{ 1 \} \{ 2 \} \{ 3 \} ) } \\ & { + 2 \times ( \{ 1 \} \{ 2 \} + \{ 1 \} \{ 3 \} + \{ 2 \} \{ 3 \} ) ) } \\ & { + \{ 1 \} \{ 2 , 3 \} + \{ 2 \} \{ 1 , 3 \} + \{ 3 \} \{ 1 , 2 \} } \\ & { - \{ 1 , 2 \} \{ 1 , 3 \} - \{ 1 , 2 \} \{ 2 , 3 \} - \{ 1 , 3 \} \{ 2 , 3 \} } \\ & { - 2 \times ( \{ 1 , 2 \} + \{ 1 , 3 \} + \{ 2 , 3 \} ) } \\ & { - ( 3 \times \{ 1 , 2 , 3 \} ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h ( t , f ; \tau , \nu ) \triangleq \mathbb { F } ^ { 2 } \{ S _ { H } ( \tau , \nu + \Delta \nu ) g ^ { * } ( \tau - \Delta \tau , \nu ) \} } \\ & { = \iint S _ { H } ( \tau , \nu + \Delta \nu ) g ^ { * } ( \tau - \Delta \tau , \nu ) } \\ & { \times e ^ { j 2 \pi ( t \Delta \nu - f \Delta \tau ) } ~ d \Delta \tau ~ d \Delta \nu } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { U } } & { = \frac { \eta \sum _ { \ell } \zeta _ { \ell } } { \pi \Omega ^ { 1 / 3 } } \lambda _ { \nu } , } \\ { \lambda _ { V } } & { = \frac { \eta ( \eta - 1 ) } { 2 \pi \Omega ^ { 1 / 3 } } \lambda _ { \nu } , } \\ { \lambda _ { \nu } } & { = \sum _ { \nu \in G _ { 0 } } \frac 1 { \| \nu \| ^ { 2 } } \le 4 \pi N ^ { 1 / 3 } , } \end{array}
( \epsilon _ { k ^ { \prime } } + \alpha _ { 2 } \hbar \omega _ { 0 } - 6 \hbar \Gamma _ { k _ { m } } , \epsilon _ { k ^ { \prime } } + \alpha _ { 2 } \hbar \omega _ { 0 } + 6 \hbar \Gamma _ { k _ { m } } )
F _ { 1 } = \left( \frac { L - \overline { { \Lambda } } } { L - \Lambda } \right) ^ { 4 } \partial _ { x } ( ( \varphi ^ { 3 } + 3 \overline { { h } } \; \varphi \; ( \overline { { h } } + \varphi ) ) \; \partial _ { x } ^ { 3 } \varphi ) , \qquad F _ { 2 } = \dot { \Lambda } \; \frac { ( L - x ) } { ( L - \Lambda ) } \; \partial _ { x } \overline { { h } } .
A _ { r e s t } = - \frac { 4 g _ { \pi } ^ { 4 } } { Z _ { \pi } ^ { 2 } } \left\{ 4 I _ { 2 } ( 1 - \beta _ { \pi } ^ { 2 } s ) + \frac { h _ { 1 } } { 8 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } \left[ s - 3 \delta ^ { 2 } ( s - 2 m _ { \pi } ^ { 2 } ) \right] \right\} + { \cal O } ( E ^ { 4 } ) .
b _ { 1 } = 1 + \frac { m _ { 1 \bot } ^ { 2 } - m _ { 2 \bot } ^ { 2 } } { s _ { 1 } } , c _ { 1 } = b _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 4 { k } _ { \bot } ^ { 2 } { \cos } ^ { 2 } \phi } { s _ { 1 } }
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { \, \, \, i i } ^ { 0 } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { 0 0 } \, \partial _ { 0 } \left( g _ { i i } \right) , \quad \Gamma _ { \, \, \, 0 i } ^ { i } = + \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { i i } \, \partial _ { 0 } \left( g _ { i i } \right) = \Gamma _ { \, \, \, i 0 } ^ { i } \, , } \\ { \Gamma _ { \, \, \, i i } ^ { i } } & { = } & { + \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { i i } \, \partial _ { i } \left( g _ { i i } \right) , ~ \quad \Gamma _ { \, \, \, j j } ^ { i } = - \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { i i } \, \partial _ { i } \left( g _ { j j } \right) \, , } \\ { \Gamma _ { \, \, \, i j } ^ { i } } & { = } & { + \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { i i } \, \partial _ { j } \left( g _ { i i } \right) = \Gamma _ { \, \, \, j i } ^ { i } . } \end{array}
{ \cal A } _ { n } [ A ( \tau ) ] = \int d { \vec { x } } \; \Phi _ { n } ^ { \dagger } [ { \vec { A } } ( \tau ) ] ( { \vec { x } } ) \left( - i \partial _ { \tau } + e A _ { 4 } \right) \Phi _ { n } [ { \vec { A } } ( \tau ) ] ( { \vec { x } } )
\mathcal { A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mu \rightarrow e } = P _ { \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { e } } - P _ { \overline { { \nu } } _ { \mu } \rightarrow \overline { { \nu } } _ { e } } = - 1 6 J \sin \frac { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } L } { 4 E } \sin \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } L } { 4 E } \sin \frac { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } L } { 4 E } \; .
S ( \bar { r } , t , { \bar { r } _ { \mathrm { t x } } } , t _ { 0 } ) = \frac { { \delta ( r - { r _ { \mathrm { t x } } } ) \delta ( \theta - \theta _ { \mathrm { t x } } ) \delta ( \varphi - \varphi _ { \mathrm { t x } } ) \delta ( t - t _ { 0 } ) } } { r ^ { 2 } \sin \theta }
[ U ( \mathbf { \epsilon } ) ] ^ { N } f ( \mathbf { x } ) = f ( \mathbf { x } + N \mathbf { \epsilon } ) = f ( \mathbf { x } + \mathbf { \lambda } ) = U ( \mathbf { \lambda } ) f ( \mathbf { x } ) = \exp \left( \mathbf { \lambda } \cdot \nabla \right) f ( \mathbf { x } ) ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { m } \dot { R } } & { { } = \frac { \gamma } { \pi \tau _ { m } } + 2 R V \; , } \\ { \tau _ { m } \dot { V } } & { { } = V ^ { 2 } - ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } + I _ { 0 } + I _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 8 } ( x , t ) } & { { } = + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 4 k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \end{array}
\left[ p _ { g } ^ { k } \frac { \mathrm { d } \langle v _ { x } \rangle } { \mathrm { d } z } \right] _ { z = 0 } = \operatorname* { m a x } \left( p _ { g } ^ { k } \frac { \mathrm { d } \langle v _ { x } \rangle } { \mathrm { d } z } \right) .
\begin{array} { r l } { f _ { \epsilon } ^ { \mathrm { r e c } } ( x ) = } & { - \frac { \Delta \alpha } { 2 \pi } \sum _ { \alpha _ { k } \in \Omega } \frac { 1 } \pi \int \frac { \partial _ { \rho } \hat { f } _ { \epsilon } ( \alpha _ { k } , \rho ) } { p - \mathcal P _ { * } ( x , \alpha _ { k } ) } \mathrm { d } \rho , } \\ { \hat { f } ( \alpha _ { k } , \rho ) = } & { \int w _ { \epsilon } ( \rho - \rho ’ ) \hat { f } ( \alpha _ { k } , \rho ’ ) \mathrm { d } \rho ’ , \ \alpha _ { k } = ( 2 \pi / N _ { \alpha } ) k , \ w ( \rho ) = ( 1 5 / 1 6 ) ( 1 - \rho ^ { 2 } ) _ { + } ^ { 2 } , } \end{array}
K _ { r } ( S _ { i } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i = 0 , } \\ { \sum _ { m = 1 } ^ { i } \frac { \exp ( \omega _ { m } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \exp ( \omega _ { j } ) } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i = 1 , \ldots , n - 1 , } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i = n , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \omega ( y , t ) } & { { } = ( \omega _ { 0 } ( y _ { 1 } , 0 + , t ) + \omega _ { 0 } ( y _ { 1 } , 0 - , t ) ) 1 _ { \{ y \in \partial D \} } + \int _ { D } p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta | \Phi ( H ) | _ { H } ^ { 2 } } & { = \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } d d ^ { c } | \Phi ( H ) | _ { H } ^ { 2 } = \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } d d ^ { c } \mathrm { t r } ( \Phi ( H ) \Phi ( H ) ) } \\ & { = \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } d \{ \mathrm { t r } ( D _ { H } ^ { c } \Phi ( H ) \cdot \Phi ( H ) + \Phi ( H ) \cdot D _ { H } ^ { c } \Phi ( H ) ) \} } \\ & { = \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } \mathrm { t r } \left\{ D D _ { H } ^ { c } \Phi ( H ) \cdot \Phi ( H ) - D _ { H } ^ { c } \Phi ( H ) \wedge D \Phi ( H ) \right. } \\ & { \quad + \left. D \Phi ( H ) \wedge D _ { H } ^ { c } \Phi ( H ) + \Phi ( H ) D D _ { H } ^ { c } \Phi ( H ) \right\} } \\ & { = 2 \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } \mathrm { t r } ( \Phi ( H ) D D _ { H } ^ { c } \Phi ( H ) ) + 2 | D \Phi ( H ) | _ { H } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial u } { \partial \nu } + \frac { 2 } { p - 2 } H u ^ { \frac { p } { 2 } } \geqslant \frac { 2 } { p - 2 } h _ { g } u \Leftrightarrow \frac { 1 } { 2 - p } w ^ { \frac { 1 } { 2 - p } - 1 } \frac { \partial w } { \partial \nu } + \frac { 2 } { p - 2 } h _ { g } w ^ { \frac { 1 } { 2 - p } } \geqslant \frac { 2 } { p - 2 } H w ^ { \frac { p } { 2 ( 2 - p ) } } } \\ { \Leftrightarrow } & { - \frac { n - 2 } { 4 } w ^ { - \frac { n } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } } \frac { \partial w } { \partial \nu } + \frac { n - 2 } { 2 } h _ { g } w ^ { - \frac { n } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } } \geqslant \frac { n - 2 } { 2 } H w ^ { - \frac { n } { 4 } } } \\ { \Leftrightarrow } & { \frac { \partial w } { \partial \nu } - 2 h _ { g } w \leqslant - 2 H w ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \zeta \rightarrow \infty } P _ { n m } = \delta _ { m M } \implies \operatorname* { l i m } _ { \zeta \rightarrow \infty } \sum _ { k } \beta _ { n k } i _ { k } = \beta \frac { I _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } .
\begin{array} { r l r } { P ( x , t | x _ { 0 } , 0 ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi t } } e ^ { - \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 t } } } & { = } & { p _ { - } Q ^ { - } ( x , t | x _ { 0 } , 0 ) + p _ { + } Q ^ { + } ( x , t | x _ { 0 } , 0 ) } \\ & { = } & { \left[ p _ { - } { \frac { h ^ { - } ( x , t ) } { h ^ { - } ( x _ { 0 } , 0 ) } } + p _ { + } { \frac { h ^ { + } ( x , t ) } { h ^ { + } ( x _ { 0 } , 0 ) } } \right] e ^ { - \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } \, } & { { } = \, - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } | \nabla \tilde { \eta } | ^ { 2 } \, \mathrm { d } X - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } ( \nabla W _ { \epsilon } \cdot \nabla \tilde { \eta } ) \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } V _ { \epsilon } \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial \phi } { \partial r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial \theta ^ { 2 } } = \frac { R e P r } { 2 } \left( u \frac { \partial \phi } { \partial r } + \frac { v } { r } \frac { \partial \phi } { \partial \theta } + \frac { \partial \phi } { \partial t } \right)
\Gamma ( t ) \dot { x } _ { \delta _ { n } } ( t ) - \Gamma ( t _ { 0 } ) \dot { x } _ { \delta _ { n } } ( t _ { 0 } ) + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \Gamma ( s ) \, \mathcal F \big ( x _ { \delta _ { n } } ( s ) \big ) \dot { x } _ { \delta _ { n } } ( s ) \, d s + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \Gamma ( s ) \, \mathcal G \big ( x _ { \delta _ { n } } ( s ) \big ) \, d s = 0 .
\omega = { \frac { 1 } { r } } \sum _ { j = 1 } ^ { n + 1 } ( - 1 ) ^ { j - 1 } x _ { j } \, d x _ { 1 } \wedge \cdots \wedge d x _ { j - 1 } \wedge d x _ { j + 1 } \wedge \cdots \wedge d x _ { n + 1 } = * d r
\left( - \Delta + V _ { 1 } ( r ) - \left( { \bf s \cdot l } \right) \cdot V _ { 2 } ( r ) - 2 ( { \bf s + l } ) \cdot { \bf h \cdot } V _ { 3 } ( r ) \right) \Psi ( x , y , z ) = E \Psi ( x , y , z )
\begin{array} { r l r } { \langle z , t | \theta , \phi \rangle } & { = } & { \mathrm { e } ^ { i ( k z - \omega t ) } \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
L _ { f } ^ { m } = q ^ { 1 / 2 } p _ { \mu } \dot { x } ^ { \mu } + \frac { i } { 2 } ( \psi _ { \mu } \; \dot { \psi } ^ { \mu } - \psi _ { 5 } \dot { \psi } _ { 5 } ) - \; \frac { e } { 1 + q ^ { 2 } } ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) + i \chi ( \psi _ { \mu } p ^ { \mu } - \psi _ { 5 } m ) ,
p _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ( T ) = \frac { \mathrm { e } ^ { - J _ { \alpha } / k _ { \mathrm { B } } T } / \bar { \nu } _ { \alpha } ^ { \kappa } } { \sum _ { \gamma } \mathrm { e } ^ { - J _ { \gamma } / k _ { \mathrm { B } } T } / \bar { \nu } _ { \gamma } ^ { \kappa } } .
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { \le 2 \int \frac { I _ { \{ t > t _ { 0 } \} } s \mathrm { d } H ( s , t ) } { \vert 1 + s \underline { { g } } + t \underline { { m } } \vert ^ { 2 } } \le \frac 2 { t _ { 0 } } \int \frac { I _ { \{ t > t _ { 0 } \} } s t \mathrm { d } H ( s , t ) } { \vert 1 + s \underline { { g } } + t \underline { { m } } \vert ^ { 2 } } \le \frac 2 { t _ { 0 } } A _ { 2 } \le M . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | + \rangle } & { { } = \sqrt { \frac { 1 - \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } { 2 ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) } } | \sqrt { \tau _ { 1 } } \alpha \rangle - \sqrt { \frac { 1 + \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } { 2 ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) } } | \sqrt { \tau _ { 0 } } \alpha \rangle } \\ { | - \rangle } & { { } = \sqrt { \frac { 1 + \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } { 2 ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) } } | \sqrt { \tau _ { 1 } } \alpha \rangle - \sqrt { \frac { 1 - \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } { 2 ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) } } | \sqrt { \tau _ { 0 } } \alpha \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } Q _ { \alpha \beta } + u _ { \gamma } \partial _ { \gamma } Q _ { \alpha \beta } - S _ { \alpha \beta } = \Gamma H _ { \alpha \beta } , } \\ & { \partial _ { \beta } u _ { \beta } = 0 , } \\ & { \rho \partial _ { t } u _ { \alpha } + \rho u _ { \beta } \partial _ { \beta } u _ { \alpha } = - \chi u _ { \alpha } + \partial _ { \beta } [ 2 \eta A _ { \alpha \beta } + \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { n } } + \rho f _ { \alpha } ] , } \end{array}
\varepsilon : = \varepsilon _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ } } + \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ } } = \varepsilon _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ } } + \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } + \varepsilon _ { \mathrm { ~ h ~ } }
\delta \rho = \frac { i \sqrt { \kappa } A _ { p } e ^ { - i ( \omega _ { p } - \omega _ { d } ) t } } { ( \omega _ { p } - \tilde { \omega } _ { c } ) - \frac { ( \omega _ { p } - \tilde { \omega } _ { d } ) g ^ { 2 } + ( \omega _ { p } - \tilde { \omega } _ { w } ) g _ { c } ^ { 2 } + 2 g g _ { c } g _ { d } } { ( \omega _ { p } - \tilde { \omega } _ { d } ) ( \omega _ { p } - \tilde { \omega } _ { w } ) - g _ { d } ^ { 2 } } } .
+ P _ { e } \, P _ { l } \left( \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } z } \right) \left[ \left( 1 + \frac { 2 } { z } \right) \ln ( z + 1 ) - \frac { 5 } { 2 } + \frac { 1 } { z + 1 } - \frac { 1 } { 2 ( z + 1 ) ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r } { { \boldsymbol \omega } \equiv ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) ^ { T } = { \bf e } _ { i } \omega _ { i } = { \bf e } _ { i } R _ { i j } \Omega _ { j } = { \bf R } _ { j } ( t ) \Omega _ { j } . } \end{array}
\partial _ { i } V = { \frac { 1 } { 4 } } \bar { Z } ^ { C D } \bar { Z } ^ { A B } P _ { A B C D , i } + { \frac { 1 } { 4 } } Z _ { A B } Z _ { C D } P ^ { A B C D } { } _ { , i } + { \frac { 1 } { 2 } } \bar { Z } _ { I } P _ { A B , i } ^ { I } \bar { Z } ^ { A B } + { \frac { 1 } { 2 } } Z ^ { I } P _ { I , i } ^ { A B } Z _ { A B } = 0 \ .
\begin{array} { r l } & { \mu _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \alpha _ { i j } ( - \omega ; \omega ) \tilde { F } ( \omega ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega t } \mathrm { d } \omega , } \\ & { \mu _ { i j k } ^ { ( 2 ) } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \iint _ { - \infty } ^ { \infty } \beta _ { i j k } ( - \omega ^ { ( 2 ) } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) } \\ & { \qquad \qquad \quad \times \tilde { F } ( \omega _ { 1 } ) \tilde { F } ( \omega _ { 2 } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } ) t } \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } , } \\ & { \mu _ { i j k l } ^ { ( 3 ) } ( t ) = \frac { 1 } { 6 } \iint \! \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \gamma _ { i j k l } ( - \omega ^ { ( 3 ) } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) } \\ & { \qquad \qquad \times \tilde { F } ( \omega _ { 1 } ) \tilde { F } ( \omega _ { 2 } ) \tilde { F } ( \omega _ { 3 } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } + \omega _ { 3 } ) t } } \\ & { \qquad \qquad \times \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \mathrm { d } \omega _ { 3 } , } \\ & { \mu _ { i j k l m } ^ { ( 4 ) } ( t ) = \frac { 1 } { 2 4 } \iint \! \! \! \iint _ { - \infty } ^ { \infty } \delta _ { i j k l m } ( - \omega ^ { ( 4 ) } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) } \\ & { \qquad \qquad \times \tilde { F } ( \omega _ { 1 } ) \tilde { F } ( \omega _ { 2 } ) \tilde { F } ( \omega _ { 3 } ) \tilde { F } ( \omega _ { 4 } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } + \omega _ { 3 } + \omega _ { 4 } ) t } } \\ & { \qquad \qquad \times \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \mathrm { d } \omega _ { 3 } \mathrm { d } \omega _ { 4 } , } \end{array}
\Delta _ { I _ { i j k \ell } } = \sum _ { c = 1 } ^ { x } \phi _ { c } \Delta H _ { i j k \ell _ { c } } = \Delta H _ { i j k \ell } ^ { ( p ) } \sum _ { c = 1 } ^ { x } \phi _ { c } = \sum _ { p = 1 } ^ { n < x } \phi ^ { ( p ) } \Delta H _ { i j k \ell } ^ { ( p ) } = \Delta _ { { I I } _ { i j k \ell } } \, .
\begin{array} { r l r } { D ^ { i } } & { { } = } & { - \sqrt { - g } \frac { g ^ { i j } } { g ^ { 0 0 } } E _ { j } + \varepsilon ^ { 0 i j k } \frac { g _ { 0 j } } { g _ { 0 0 } } H _ { k } \, , } \\ { B ^ { i } } & { { } = } & { - \sqrt { - g } \frac { g ^ { i j } } { g ^ { 0 0 } } H _ { j } - \varepsilon ^ { 0 i j k } \frac { g _ { 0 j } } { g _ { 0 0 } } E _ { k } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta L } & { = } & { ( x f _ { 1 } ( x , y ) - x _ { * } ) ^ { 2 } + ( y f _ { 2 } ( x , y ) - y _ { * } ) ^ { 2 } - ( x - x _ { * } ) ^ { 2 } - ( y - y _ { * } ) ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { ( \alpha x - x _ { * } ) ^ { 2 } + ( \beta x - y _ { * } ) ^ { 2 } - ( x - x _ { * } ) ^ { 2 } - ( y - y _ { * } ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { ( \alpha ^ { 2 } - 1 ) x ^ { 2 } - 2 ( \alpha - 1 ) x _ { * } x + ( \beta ^ { 2 } - 1 ) y ^ { 2 } - 2 ( \beta - 1 ) y _ { * } y } \\ & { = } & { ( \alpha ^ { 2 } - 1 ) \left( x - \frac { 1 } { \alpha + 1 } x _ { * } \right) ^ { 2 } - \frac { \alpha - 1 } { \alpha + 1 } x _ { * } ^ { 2 } } \\ & { + } & { ( \beta ^ { 2 } - 1 ) \left( y - \frac { 1 } { \beta + 1 } y _ { * } \right) ^ { 2 } - \frac { \beta - 1 } { \beta + 1 } y _ { * } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ( \theta _ { i } ) : = } & { - \frac { E } { 2 u \ell } \left[ \frac { ( e - 1 ) \ell + E \ln ( 1 - \cos \theta _ { i } ) } { ( e - 1 ) ^ { 2 } } + \frac { ( e \ell + \ell - E ) \ln ( 1 - \cos \theta _ { i } ) } { ( e + 1 ) ^ { 2 } } \right. } \\ & { \left. + \frac { 2 e } { ( e ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } \left( \frac { E ( e ^ { 2 } - 1 ) } { - 1 + e \cos \theta _ { i } } + ( \ell - e ^ { 2 } \ell - 2 E ) \ln ( 1 - \cos \theta _ { i } ) \right) \right] . } \end{array}
C _ { n } = \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } R ^ { 2 - n y } \int \langle \Phi ( 0 ) \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \Phi ( \xi _ { j } ) \ \mathrm { d } ^ { 2 } \xi _ { j } \ \rangle _ { 0 , c } \ ,
\left( ( - 2 7 ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } = { \sqrt { \left( { \sqrt [ [object Object] ] { ( - 2 7 ) ^ { 2 } } } \right) ^ { 3 } } } = { \sqrt { ( - 2 7 ) ^ { 2 } } } \neq - 2 7
\operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb { E } _ { N } ^ { V , P } \left[ \mathbf { 1 } _ { \{ d _ { \mathrm { L i p } } ( \hat { \mu } _ { N } , \mu _ { P } ) \leqslant \delta \} } e ^ { t \sqrt { N } \Lambda _ { N } } \right] = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb { E } _ { N } ^ { V , P } \left[ e ^ { t \sqrt { N } \Lambda _ { N } } \right] .
\begin{array} { r l } & { \left[ x _ { r } ^ { ( a ) } , x _ { s } ^ { ( b ) } \right] = \delta _ { r + s , 0 } \frac { [ r ] _ { \mathfrak { q } } ^ { 2 } } { r } \sum _ { i } \mathfrak { q } H _ { b a , i } , } \\ & { \left[ y _ { r } ^ { ( b ) } , y _ { s } ^ { ( a ) } \right] = \delta _ { r + s , 0 } \frac { [ r ] _ { \mathfrak { q } } ^ { 2 } } { r } \sum _ { i } \mathfrak { q } H _ { a b , i } , } \\ & { \left[ \gamma _ { r } ^ { ( a ) } , \gamma _ { s } ^ { ( b ) } \right] = \delta _ { a b } \delta _ { r + s , 0 } \frac { [ r ] _ { \mathfrak { q } } ^ { 2 } } { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathbf { i j } } ^ { \mathrm { E x } } } & { = - \sum _ { n } ^ { \mathrm { o c c } } \sum _ { \mathbf { k , l } } c _ { n \mathbf { k } } c _ { n \mathbf { l } } ^ { * } ( \mathbf { i k } | \mathbf { l j } ) , } \\ { ( \mathbf { i k } | \mathbf { l j } ) } & { = \int \int d \mathbf { r } d \mathbf { r ^ { \prime } } \phi _ { \mathbf { i } } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \phi _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) v ( \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } ) \phi _ { \mathbf { l } } ^ { * } ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) \phi _ { \mathbf { j } } ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { Z = - \frac { \xi \, \hslash \omega _ { 0 } } { m } \, A \left( a ^ { \dag } + a \right) - } \\ & { \quad - \frac { i \hslash \eta \sqrt { \gamma _ { 0 } } } { 2 m } \left( B a ^ { \dag } + b A ^ { * } - B ^ { * } a - A b ^ { \dag } \right) + \frac { F _ { s } } { m } = } \\ & { = - \frac { \sqrt 2 \xi \, \hslash \omega _ { 0 } A } { m } \, a _ { a } - } \\ & { \quad - \frac { \hslash \eta \sqrt { 2 \gamma _ { 0 } } } { 2 m } \left( B a _ { \phi } - A b _ { \phi } \right) + \frac { F _ { s } } { m } , } \end{array}
{ E u l e r } [ E _ { ( 3 ) } ] = - 1 + \phi - \phi ^ { 2 } = - 1 - 1 + 2 \phi = - 1 + \phi ^ { 3 } = { \frac { \phi ^ { 3 } } { 2 } } - ( 1 - { \frac { \phi ^ { 3 } } { 2 } } ) .
\left[ 2 z d _ { z } - \frac { 2 k _ { - } k _ { 2 } } { L } + \frac { L } { 1 - z } \right] A _ { 1 } = \left[ 2 z d _ { z } - \frac { 2 k _ { - } k _ { 2 } } { L } - \frac { L } { 1 - z } \right] A _ { 2 }
V _ { 0 } = { \frac { \partial } { \partial \bar { z } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \xi _ { i } ^ { s } \lambda _ { , \bar { z } } ^ { i } ( { \frac { \partial \sigma _ { s } } { \partial p } } { \frac { \partial } { \partial q } } - { \frac { \partial \sigma _ { s } } { \partial q } } { \frac { \partial } { \partial p } } ) ,
\ensuremath { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } } \cdot \left[ \nabla ( \ensuremath { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } } \cdot \nabla s ) + \frac { 1 } { \gamma } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial T } \right) _ { p } \nabla s + \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial T } \right) _ { s } \nabla \ln p \right] = 0 .
\begin{array} { r l } { H ( A ) } & { = \sum _ { i } \left( \alpha _ { i } ^ { \rightarrow } k _ { i } ^ { \rightarrow } + \alpha _ { i } ^ { \leftarrow } k _ { i } ^ { \leftarrow } + \alpha _ { i } ^ { \leftrightarrow } k _ { i } ^ { \leftrightarrow } \right) = } \\ & { = \sum _ { i , j < i } \left( \alpha _ { i } ^ { \rightarrow } + \alpha _ { j } ^ { \leftarrow } \right) a _ { i j } ^ { \rightarrow } + \left( \alpha _ { i } ^ { \leftarrow } + \alpha _ { j } ^ { \rightarrow } \right) a _ { i j } ^ { \leftarrow } + } \\ & { + \left( \alpha _ { i } ^ { \leftrightarrow } + \alpha _ { j } ^ { \leftrightarrow } \right) a _ { i j } ^ { \leftrightarrow } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u } & { { } = \left( \partial _ { t } u _ { s } - a u _ { \sigma } - b u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { s } + \left( \partial _ { t } u _ { \sigma } + a u _ { s } - c u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { \sigma } + \left( \partial _ { t } u _ { \theta } + b u _ { s } + c u _ { \sigma } \right) \widehat { t } _ { \theta } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \rho B { \frac { \partial \zeta } { \partial t } } + { \frac { \partial } { \partial x } } \left( { \frac { \partial H } { \partial u } } \right) = \rho \left( B { \frac { \partial \zeta } { \partial t } } + { \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } } \right) = \rho \left( { \frac { \partial A } { \partial t } } + { \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } } \right) = 0 , } \\ & { \rho B { \frac { \partial u } { \partial t } } + { \frac { \partial } { \partial x } } \left( { \frac { \partial H } { \partial \zeta } } \right) = \rho B \left( { \frac { \partial u } { \partial t } } + u { \frac { \partial u } { \partial x } } + g { \frac { \partial \zeta } { \partial x } } \right) = 0 , } \end{array} }
G _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { N } \to \Delta } ( Q ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } [ d x ] \int _ { 0 } ^ { 1 } [ d y ] \, \Phi _ { \Delta } ( y _ { i } , \tilde { Q } _ { y } ) \, T _ { \mathrm { H } } ( x _ { i } , y _ { i } , Q ) \, \Phi _ { N } ( x _ { i } , \tilde { Q } _ { x } ) \; ,
S _ { \mathrm { I I B } } = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g } \left[ R + \frac { 1 } { 4 } \, \mathrm { T r } \left( \partial { \cal { M } } \, \partial { \cal { M } } ^ { - 1 } \right) - \frac { 1 } { 1 2 } \, { \bf F } ^ { T } { \cal { M } } { \bf F } \right]
\hat { B } _ { 1 q _ { + } } ( \omega ) = { \frac { 2 \sinh \Bigl ( ( \nu - q _ { + } ) { \frac { \omega } { 2 } } \Bigr ) \cosh \Bigl ( ( \nu - 1 ) { \frac { \omega } { 2 } } \Bigr ) } { \sinh ( { \frac { \nu \omega } { 2 } } ) } } \, .