harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } & { { \mathcal { L } } \left( \alpha , \{ \psi _ { j } \} _ { j = 1 } ^ { n } \right) } \\ { = } & { - \sum _ { G \in { \mathcal { G } } _ { n } } \mathbb { P } _ { \mathrm { S C M } } ( G ) \log \mathbb { P } _ { \mathrm { S C M } } ( G ) + \alpha \left( 1 - \sum _ { G \in { \mathcal { G } } _ { n } } \mathbb { P } _ { \mathrm { S C M } } ( G ) \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \psi _ { j } \left( { \widehat { k } } _ { j } - \sum _ { G \in { \mathcal { G } } _ { n } } \mathbb { P } _ { \mathrm { S C M } } ( G ) k _ { j } ( G ) \right) , } \end{array} }
\left( \begin{array} { l } { b _ { 2 } } \\ { b _ { 1 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( a _ { 1 } + a _ { 2 } \right) \lambda _ { + } \vec { \varphi } _ { + } + \left( a _ { 1 } - a _ { 2 } \right) \lambda _ { - } \vec { \varphi } _ { - } \right] .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \left( \begin{array} { l } { \theta _ { c } } \\ { { \Delta \widetilde { \theta } ^ { \pi } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 2 \delta } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \theta _ { c } } \\ { { \Delta \widetilde { \theta } ^ { \pi } } } \end{array} \right) + \sqrt { 2 \epsilon / \bar { \Gamma } } \, \tilde { \xi } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } ^ { \ast } } & { { } = ( \{ v _ { 3 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 5 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 2 } } & { { } = ( \{ v _ { 1 } , v _ { 3 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 2 } , e _ { 4 } , e _ { 5 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 3 } } & { { } = ( \{ v _ { 2 } , v _ { 3 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 3 } , e _ { 4 } , e _ { 5 } \} ) . } \end{array}
\boldsymbol \sigma = \left[ { \frac { ( R _ { D } - d ) ( d + R _ { A } - R _ { D } ) } { \lambda ^ { 2 } R _ { D } ^ { 2 } d ( R _ { A } + d ) } } \right] ^ { 1 / 4 } \boldsymbol s = \left[ { \frac { ( R _ { D } - d ) ( q - R _ { D } ) } { \lambda ^ { 2 } R _ { D } ^ { 2 } d q } } \right] ^ { 1 / 4 } \boldsymbol s \, ,
\textbf { B } = B _ { \mathrm { X } _ { \mathrm { c } } } \textbf { X } _ { \mathrm { c } } + B _ { \mathrm { Y } _ { \mathrm { c } } } \textbf { Y } _ { \mathrm { c } } + B _ { \mathrm { Z } _ { \mathrm { c } } } \textbf { Z } _ { \mathrm { c } } + \textbf { B } _ { \mathrm { r e s i d u a l } }
\begin{array} { r l } & { \Delta w _ { i \, c o r r } = \sqrt { \langle w _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { c o r r } } = \sqrt { \frac { 4 g } { \operatorname { t a n h } ( 2 g ) } } \frac { 1 } { { \Delta _ { p } } _ { i } } } \\ & { \Delta { w _ { i } } _ { c o h } = \sqrt { \langle w _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { c o h } } = \sqrt { \frac { 4 g } { \operatorname { t a n h } ( g ) } } \frac { 1 } { { \Delta _ { p } } _ { i } } } \end{array}
\Delta _ { I I } = - \frac { 1 } { S } \left[ \begin{array} { c c c } { Z _ { N 1 } ^ { 2 } } & { Z _ { N 1 } Z _ { N 2 } } & { Z _ { N 1 } Z _ { N 3 } } \\ { Z _ { N 1 } Z _ { N 2 } } & { Z _ { N 2 } ^ { 2 } } & { Z _ { N 2 } Z _ { N 3 } } \\ { Z _ { N 1 } Z _ { N 3 } } & { Z _ { N 2 } Z _ { N 3 } } & { Z _ { N 3 } ^ { 2 } } \end{array} \right] \, = - \frac { 1 } { 9 S } \left[ \begin{array} { c c c } { S ^ { 2 } B _ { 1 1 } ^ { 2 } } & { S ^ { 2 } B _ { 1 1 } B _ { 2 2 } } & { S ^ { 2 } B _ { 1 1 } B _ { 3 3 } } \\ { S ^ { 2 } B _ { 1 1 } B _ { 2 2 } } & { S ^ { 2 } B _ { 2 2 } ^ { 2 } } & { S ^ { 2 } B _ { 2 2 } B _ { 3 3 } } \\ { S ^ { 2 } B _ { 1 1 } B _ { 3 3 } } & { S ^ { 2 } B _ { 2 2 } B _ { 3 3 } } & { S ^ { 2 } B _ { 3 3 } ^ { 2 } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r } { \! \pi _ { j } ( \theta _ { j } ^ { r } ; \! \lambda ^ { r } ) \! = \! \! ( c _ { j } \! + \! \epsilon _ { j } ) ( \omega _ { j } { d ^ { d } } ) ^ { 2 } \! + \! \theta _ { j } ^ { r } { \lambda ^ { r } } ^ { 2 } \! - \! \frac { c _ { j } } { 2 } \! \! \left( \! \omega _ { j } d ^ { d } \! + \! \theta _ { j } ^ { r } { \lambda ^ { r } } \! \right) ^ { 2 } } \end{array}
I _ { m } = - \int d \bar { x } e ^ { \rho - 2 \phi + \frac { b } { 2 } f } \left[ 2 \phi ^ { \prime } \rho ^ { \prime } + \frac { 1 } { 4 } f ^ { \prime 2 } + \frac { 1 } { 4 } e ^ { \chi f + 4 \phi } A ^ { \prime 2 } + \frac { \Lambda } { 4 } \right] .
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| A ^ { n } \vec { x } \| ^ { \frac { 1 } { n } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| A ^ { n + k } \vec { x } \| ^ { \frac { 1 } { n + k } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| A ^ { n + k } \vec { x } \| ^ { \frac { 1 } { n } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| A ^ { n } ( A ^ { k } \vec { x } ) \| ^ { \frac { 1 } { n } } .
\frac { 1 } { g _ { h } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { g _ { h } ^ { 2 } } + \frac { b _ { 0 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \mathrm { l n } \frac { M } { M ^ { \prime } } - \sum _ { i } \frac { t _ { 2 } ( i ) } { 8 \pi ^ { 2 } } \mathrm { l n } Z _ { i } ( M , M ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { \mathrm { b o t } } ^ { ( 4 ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l } { r _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { r _ { 2 1 } } & { r _ { 2 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { r _ { 3 1 } } & { 0 } & { r _ { 3 3 } } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { r _ { N 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { r _ { N N } } \end{array} \right] _ { \mathrm { b o t } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { B } _ { n } ^ { \pm } \! } & { = } & { \! \frac { 1 } { 2 } \Big [ \tilde { z } J _ { n } ( z ) + \tilde { z } _ { \alpha } J _ { n \pm \sigma } ( z ) \Big ] \, e ^ { - i ( n \pm \sigma ) \eta _ { 0 } } \, e ^ { \pm i \tilde { \eta } _ { \alpha } } } \\ { \widetilde { C } _ { n } ^ { \pm } \! } & { = } & { \! \frac { 1 } { 2 } \left( \widetilde { B } _ { n - 1 } ^ { \pm } + \widetilde { B } _ { n + 1 } ^ { \pm } \right) \, , } \\ { w i d e t i l d e { D } _ { n } ^ { \pm } = \frac { 1 } { 2 i } \left( \widetilde { B } _ { n - 1 } ^ { \pm } - \widetilde { B } _ { n + 1 } ^ { \pm } \right) } \\ { \mathcal { B } _ { n } ^ { \pm } \! } & { = } & { \! B _ { n \pm \sigma } \, e ^ { \pm i \tilde { \eta } _ { \alpha } } \, , } \\ { m a t h c a l { C } _ { n } ^ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \, \mathcal { B } _ { n \mp \sigma } ^ { \pm } \, , } \\ { m a t h c a l { D } _ { n } ^ { \pm } = \pm \frac { \sigma } { 2 i } \, \mathcal { B } _ { n \mp \sigma } ^ { \pm } } \end{array}
f _ { M \ast } = \beta _ { \ast } e ^ { - P _ { \mu R } U _ { R } ^ { \mu } \left( r \right) \gamma _ { \ast } - \mu \alpha _ { \ast } } \left[ 1 - \left( \varepsilon \mu _ { 1 } + \varepsilon \delta _ { \left( \mu \right) } \right) \alpha _ { \ast } \right] ,
\begin{array} { r } { \! \left( \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } b _ { 1 } \mathbf { K } _ { 1 1 } } & { \! \! \! \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \! \! \! \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \! + j \omega \! \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } b _ { 1 } \mathbf { M } _ { 1 1 } } & { a _ { 1 } b _ { 2 } \mathbf { M } _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 } b _ { 1 } \mathbf { M } _ { 1 2 } ^ { \top } } & { a _ { 2 } b _ { 2 } \mathbf { M } _ { 2 2 } } \end{array} \right] \right) \! \! \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \xi } _ { 1 } } \\ { \boldsymbol { \xi } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } \mathbf { r } _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } \mathbf { r } _ { 2 } } \end{array} \right] } \end{array}
\sigma _ { s r } \left( t \right) = \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } \frac { t ^ { - \left( \beta + \nu \right) } } { \Gamma \left( 1 - \left( \beta + \nu \right) \right) } + O \left( t ^ { - \left( 1 - \delta \right) } \right) , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \quad t \rightarrow \infty ,
\mathbf { M } _ { i j } = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \psi _ { i } ( z ) \psi _ { j } ( z ) d z , \quad \mathbf { S } _ { i j } ^ { ( k ) } = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \psi _ { i } ( z ) \psi _ { j } \left( s \cdot z + o ^ { ( k ) } \right) d z , \quad k = 1 , 2
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c c c c c } { 0 } & { - t _ { 3 } } & { 0 } & { - \sqrt { 2 } t _ { 6 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - t _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \sqrt { 2 } t _ { 5 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - s t _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { - \sqrt { 2 } t _ { 4 } } \\ { - \sqrt { 2 } t _ { 6 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sqrt { 2 } t _ { 5 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - t _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { - \sqrt { 2 } t _ { 4 } } & { 0 } & { - t _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { q } \left( \tau \right) = \left. \left< \textbf { q } \left( t _ { 1 } \right) \textbf { q } \left( t \right) \right> \right/ \left( 3 N \right) = } \\ { \frac { \beta _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T } { \pi m _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { e ^ { - i \omega \tau } d \omega } { \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \beta _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { C _ { p } \left( \tau \right) = - m _ { 0 } ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d \tau ^ { 2 } } C _ { q } \left( \tau \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \frac { \partial } { \partial t } } \\ { \frac { \partial } { \partial z } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \frac { \partial t ^ { ' } } { \partial t } \frac { \partial } { \partial t ^ { ' } } + \frac { \partial z ^ { ' } } { \partial t } \frac { \partial } { \partial z ^ { ' } } } \\ { \frac { \partial t ^ { ' } } { \partial z } \frac { \partial } { \partial t ^ { ' } } + \frac { \partial z ^ { ' } } { \partial z } \frac { \partial } { \partial z ^ { ' } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { a \frac { \partial } { \partial t ^ { ' } } - b c \frac { \partial } { \partial z ^ { ' } } } \\ { - \frac { b } { c } \frac { \partial } { \partial t ^ { ' } } + a \frac { \partial } { \partial z ^ { ' } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\left< \mu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } \right> _ { i } = 2 d \frac { \sum _ { j \in I } \left( \frac { 2 \widetilde { \mu } _ { i } \widetilde { \mu } _ { j } } { \widetilde { \mu } _ { i } + \widetilde { \mu } _ { j } } \right) ( \mathbf { u } _ { i } - \mathbf { u } _ { j } ) W _ { i j } \left( 1 - \mathbf { r } _ { i j } \cdot \mathbf { o } _ { i } \right) } { \sum _ { j \in I } \lVert \mathbf { r } _ { i j } \rVert ^ { 2 } W _ { i j } \left( 1 - \mathbf { r } _ { i j } \cdot \mathbf { o } _ { i } \right) } .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { 1 } : = } & { \{ \sigma \in \mathbb { R } \; | \; \mathrm { s p r e a d i n g ~ h a p p e n s ~ f o r ~ } u _ { \sigma } \} ; } \\ { \Sigma _ { 2 } : = } & { \{ \sigma \in \mathbb { R } \; | \; u _ { \sigma } \mathrm { ~ i s ~ a ~ t r a n s i t i o n ~ s o l u t i o n } \} ; } \\ { \Sigma _ { 3 } : = } & { \{ \sigma \in \mathbb { R } \; | \; \mathrm { r e s i d u e ~ h a p p e n s ~ f o r ~ } u _ { \sigma } \} . } \end{array}
{ \hat { J } } ^ { \mu } ( \frac { x } { 2 } ) { \hat { J } } ^ { \nu } ( - \frac { x } { 2 } ) = A J _ { p e r t } ^ { \mu } ( \frac { x } { 2 } ) J _ { p e r t } ^ { \nu } ( - \frac { x } { 2 } ) A ^ { - 1 }
B _ { n } ( F , G ) : = \sum \Theta ^ { i _ { 1 } j _ { 1 } } \Theta ^ { i _ { 2 } j _ { 2 } } \dots \Theta ^ { i _ { n } j _ { n } } \partial _ { i _ { 1 } } \partial _ { i _ { 2 } } \dots \partial _ { i _ { n } } F \ \partial _ { j _ { 1 } } \partial _ { j _ { 2 } } \dots \partial _ { j _ { n } } G ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial \gamma } \log { \bar { F } ^ { \prime \prime } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ( \varepsilon , \gamma ) ; \varepsilon , \gamma ) } = 4 b _ { \varepsilon } \gamma \frac { \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } } { ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 + \theta ) } . } \end{array}
\langle N _ { \mathrm { C S } } ^ { 2 } \rangle = \frac { g ^ { 4 } } { 1 0 2 4 \pi ^ { 4 } } \int d ^ { 3 } x d ^ { 3 } y \epsilon _ { i j k } \epsilon _ { l m n } \langle F _ { i j } ( x ) A _ { k } ( x ) F _ { l m } ( y ) A _ { n } ( y ) \rangle \, .
\begin{array} { r l r } { { P e a n u t : } } & { { } \quad } & { \{ ( x , y ) : x = \sqrt { 3 \cos ^ { 2 } ( s ) + 1 } \cos ( s ) , \ y = \sqrt { 3 \cos ^ { 2 } ( s ) + 1 } \sin ( s ) , \ 0 \le s \le 2 \pi \} , } \\ { { K i t e : } } & { { } \quad } & { \{ ( x , y ) : x = \cos ( s ) + 0 . 6 5 \cos ( 2 s ) - 0 . 6 5 , \ y = 1 . 5 \sin ( s ) , \ 0 \le s \le 2 \pi \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( G ) } & { = \mathcal { L } _ { \mathrm { a d v } } ( G ) + \lambda _ { \mathrm { c y c } } \mathcal { L } _ { \mathrm { c y c } } ( F , G ) + \lambda _ { \mathrm { i d } } \mathcal { L } _ { \mathrm { i d } } ( G ) } \\ { \mathcal { L } ( F ) } & { = \mathcal { L } _ { \mathrm { a d v } } ( F ) + \lambda _ { \mathrm { c y c } } \mathcal { L } _ { \mathrm { c y c } } ( F , G ) + \lambda _ { \mathrm { i d } } \mathcal { L } _ { \mathrm { i d } } ( F ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ^ { + } } & { } & { = \int \! \! \! \! \! \iiiint \displaylimits _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \! \! \int J ^ { + } \, d k _ { 1 x } \, d k _ { 1 y } \, d k _ { 2 x } \, d k _ { 2 y } \, d m _ { 1 } \, d m _ { 2 } } \\ & { } & { = \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { + \infty } \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { + \infty } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { + \infty } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { + \infty } k _ { 1 } k _ { 2 } J ^ { + } \, d k _ { 1 } \, d k _ { 2 } \, d \theta _ { 1 } \, d \theta _ { 2 } \, d m _ { 1 } \, d m _ { 2 } , } \end{array}
w _ { i } ^ { n } - \frac { b _ { 1 1 n } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } w _ { i } ^ { 1 } = \left\langle f , \psi _ { i } ^ { n } - \frac { b _ { 1 1 n } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } \psi _ { i } ^ { 1 } \right\rangle \sim O ( \mathrm { K n } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } n \geq 2 ,
\begin{array} { r l } & { \widetilde { A } _ { n } = \sum _ { k = M _ { 1 } + 1 } ^ { n - M _ { 2 } } \lambda _ { k } x _ { k } x _ { k } ^ { H } , ~ \widehat { A } _ { n } = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { 1 } } \lambda _ { k } x _ { k } x _ { k } ^ { H } + \sum _ { k = n - M _ { 2 } + 1 } ^ { n } \lambda _ { k } x _ { k } x _ { k } ^ { H } \mathrm { ~ κ α ι } } \\ & { \widetilde { A } _ { n } ^ { \prime } = \sum _ { k = M _ { 1 } ^ { \prime } + 1 } ^ { n - M _ { 2 } ^ { \prime } } \mu _ { k } y _ { k } y _ { k } ^ { H } , ~ \widehat { A } _ { n } ^ { \prime } = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { 1 } ^ { \prime } } \mu _ { k } y _ { k } y _ { k } ^ { H } + \sum _ { k = n - M _ { 2 } ^ { \prime } + 1 } ^ { n } \mu _ { k } y _ { k } y _ { k } ^ { H } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( \mathrm { s t u f f } ) } & { = \frac { d } { d t } ( A \Delta x ~ u ) = A \Delta x ~ u _ { t } } \\ { \mathrm { s t u f f ~ i n } } & { = A q ( x ) } \\ { \mathrm { s t u f f ~ o u t } } & { = A q ( x + \Delta x ) } \\ & { \implies } \\ { A \Delta x ~ u _ { t } } & { = A ( q ( x ) - q ( x + \Delta x ) ) . } \end{array}
\mathcal { Q } = \frac { 2 \pi \omega _ { \alpha } g _ { \alpha } ^ { 2 } } { g _ { s } g _ { v } } [ n _ { \mathrm { B } } ( \omega _ { \alpha } , T _ { \mathrm { e } } ) - n _ { \mathrm { B } } ( \omega _ { \alpha } , T _ { \mathrm { b } } ) ] \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \d \epsilon [ n _ { \mathrm { F } } ( \epsilon - \omega _ { \alpha } , T _ { \mathrm { e } } ) - n _ { \mathrm { F } } ( \epsilon , T _ { \mathrm { e } } ) ] \overline { { \nu } } ( \epsilon ) \overline { { \nu } } ( \epsilon - \omega _ { \alpha } ) ,
\begin{array} { r l } { k _ { i } } & { { } = \frac { \partial \varphi } { \partial x _ { i } } = \frac { \partial \varphi } { \partial x _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } \frac { \partial x _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } = F _ { i ^ { \prime } i } k _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \vec { D } ( \xi ) ) _ { k } } & { = \frac { \alpha } { 1 6 } m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi , j _ { k } ) j _ { k } , } \\ & { - j _ { k } \frac { \alpha } { 1 6 } \left( ( { \alpha + 4 } ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { k } ) ) + \frac { \alpha } { 2 } ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 0 ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi + j _ { k } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi - j _ { k } ) ) - ( \alpha + 2 ) T _ { \alpha } \right) } \\ & { + \frac { \alpha ^ { 2 } } { 3 2 } j _ { k } \left( \frac { ( \xi + j _ { k } ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi ) + m _ { 1 , \alpha } ( j _ { k } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi + j _ { k } ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { ( \xi + j _ { k } ) m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } - \xi m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi ) - j _ { k } m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { k } ) } - \frac { ( \xi - j _ { k } ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { k } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi - j _ { k } ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { \xi m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi ) - ( \xi - j _ { k } ) m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi - j _ { k } ) - j _ { k } m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { k } ) } \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { w _ { 1 } \to \infty } \phi _ { \mathbf { w } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { w } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \phi _ { \mathbf { w } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { w } _ { 2 } ^ { \prime \prime } ) / \phi _ { \mathbf { w } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { w } _ { 1 } ) \phi _ { \mathbf { w } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { w } _ { 2 } ) = 0
\begin{array} { r l } & { | \partial _ { \xi } ^ { \alpha } a _ { k , l } ( x , \xi ) | = | ( \mathcal { F } \psi _ { k + l } ) * \partial _ { \xi } ^ { \alpha } a _ { k } ( \cdot , \xi ) ) ( x ) | } \\ & { = \Big | \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | \eta | ^ { - 2 M } \, \psi _ { k + l } ( \eta ) \Big ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | \eta | ^ { 2 M } \partial _ { \xi } ^ { \alpha } a _ { k } ( y , \xi ) \, e ^ { - i y \cdot \eta } \, \mathrm { d } y \Big ) \, e ^ { i x \cdot \eta } \, \, \mathrm { d } \eta \Big | } \\ & { = \Big | \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | \eta | ^ { - 2 M } \psi _ { k + l } ( \eta ) \Big ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \Delta _ { y } ^ { M } \partial _ { \xi } ^ { \alpha } a _ { k } ( y , \xi ) \, e ^ { - i y \cdot \eta } \, \mathrm { d } y \Big ) \, e ^ { i x \cdot \eta } \, \, \mathrm { d } \eta \Big | } \\ & { = 2 ^ { - 2 M ( k + l ) } 2 ^ { ( k + l ) n } \Big | \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | \eta | ^ { - 2 M } \psi _ { 1 } ( \eta ) \, \Big ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \Delta _ { y } ^ { M } \partial _ { \xi } ^ { \alpha } a _ { k } ( y , \xi ) \, e ^ { - i 2 ^ { k + l } y \cdot \eta } \, \mathrm { d } y \Big ) \, e ^ { i 2 ^ { k + l } x \cdot \eta } \, \, \mathrm { d } \eta \Big | } \\ & { = 2 ^ { - 2 M ( k + l ) } 2 ^ { ( k + l ) n } \Big | \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \theta ^ { \vee } ( 2 ^ { k + l } y ) \, \Delta _ { y } ^ { M } \partial _ { \xi } ^ { \alpha } a _ { k } ( x - y , \xi ) \, \mathrm { d } y \Big | } \\ & { = 2 ^ { - 2 M ( k + l ) } 2 ^ { ( k + l ) n } \, \operatorname* { s u p } _ { y } | \Delta _ { y } ^ { M } \partial _ { \xi } ^ { \alpha } a _ { k } ( y , \xi ) | \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | \theta ^ { \vee } ( 2 ^ { k + l } y ) | \, \mathrm { d } y } \\ & { = 2 ^ { - 2 M ( k + l ) } 2 ^ { ( k + l ) n } 2 ^ { - ( k + l ) n } 2 ^ { 2 M k } 2 ^ { \frac { - k n } { r } } \lesssim 2 ^ { - 2 M l } 2 ^ { \frac { - k n } { r } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| \xi ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } \le } & { \displaystyle \frac { C k _ { n } } { 1 - \gamma } \left( \| \eta \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } + \| \xi \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } \right) + \displaystyle \frac { \sqrt { 2 } L k _ { n } } { 1 - \gamma } \| e \| _ { H ^ { 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } } \\ { \le } & { C k _ { n } \| \eta \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } + C k _ { n } \| \xi \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } . } \end{array} } \end{array}
\mathrm { R e } _ { \mathrm { \ t h e t a } } = \frac { \Vert \overline { { \mathbf { u } } } _ { \infty } \Vert \theta } { \nu _ { \mathrm { w a l l } } } , \quad \theta = \int _ { 0 } ^ { \delta _ { 9 9 } } \frac { \Vert \overline { { \mathbf { u } } } ( z ) \Vert } { \Vert \overline { { \mathbf { u } } } _ { \infty } \Vert } \left( 1 - \frac { \Vert \overline { { \mathbf { u } } } ( z ) \Vert } { \Vert \overline { { \mathbf { u } } } _ { \infty } \Vert } \right) \mathrm d z
\begin{array} { r l } { \rho ^ { 2 } \eta _ { i } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | d _ { i } ^ { ( k ) } - \tilde { d } _ { i } | | ^ { 2 } } & { \leq { 2 \lambda ^ { 2 } ( I - 1 ) } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } + { 2 \lambda ^ { 2 } ( I - 1 ) } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq { 4 \lambda ^ { 2 } ( I - 1 ) } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { \textup { D } , \tilde { G } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha , \tilde { G } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { R e _ { \textup { p } } < 1 \, , } \\ { C _ { \textup { D } , \tilde { G } , \alpha = 1 } + C _ { \textup { D } , \tilde { G } , \alpha > 1 } } & { R e _ { \textup { p } } \geq 1 \, , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( \omega ) = \frac { e ^ { 2 } E _ { \textrm { p } } ^ { 2 } \pi } { 2 V ^ { 4 } \hbar m _ { e } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } } \sum _ { \alpha , \beta } \sum _ { n } \left( D _ { u v , \alpha \alpha , \mathbf { k } } ^ { ( - n ) } D _ { u ^ { \prime } v ^ { \prime } , \beta \beta , \mathbf { k } } ^ { ( n ) } \delta ( n \hbar \Omega - \hbar \omega ) \right. } \\ { \left. + D _ { u v , \beta \alpha , \mathbf { k } } ^ { ( - n ) } D _ { u ^ { \prime } v ^ { \prime } , \alpha \beta , \mathbf { k } } ^ { ( n ) } \delta ( E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } + n \hbar \Omega - \hbar \omega ) \right) N _ { u , v , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } , \mathbf { k } } + ( \omega \leftrightarrow - \omega ) , } \end{array}
u ( \mathbf { r } + \mathbf { a } _ { j } ) = \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot ( \mathbf { r } + \mathbf { a } _ { j } ) } \psi ( \mathbf { r } + \mathbf { a } _ { j } ) = { \big ( } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \mathbf { a } _ { j } } { \big ) } { \big ( } \mathrm { e } ^ { 2 \pi \mathrm { i } \theta _ { j } } \psi ( \mathbf { r } ) { \big ) } = \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \mathrm { e } ^ { - 2 \pi \mathrm { i } \theta _ { j } } \mathrm { e } ^ { 2 \pi \mathrm { i } \theta _ { j } } \psi ( \mathbf { r } ) = u ( \mathbf { r } )
\begin{array} { r l } { H ^ { k } = } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { { l } , { l ^ { \prime } } } ( { l } ^ { 2 } + 2 { l } { l ^ { \prime } } ) \mathcal { A } _ { A } ^ { l } \mathcal { A } _ { A } ^ { l ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { A } ^ { k - { l } - { l ^ { \prime } } } } \\ & { \times \sin \big ( \theta _ { A } ^ { l } + \theta _ { A } ^ { l ^ { \prime } } + \theta _ { A } ^ { k - { l } - { l ^ { \prime } } } - \theta _ { A } ^ { k } \big ) \, . } \end{array}
T _ { a } = \left( \begin{array} { c c } { { t _ { a } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { t _ { a } } } \end{array} \right) , ~ ~ ~ T ^ { a } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \frac { 1 } { \lambda } t _ { a } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,