harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { i } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i } \| ^ { 2 } \leq \frac { K L \rho } { 2 \lambda I } \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { i } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \ell } \| ^ { 2 } + { \frac { K \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 \lambda I L b _ { 1 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { i } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 3 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + { \frac { K \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \lambda I L } } \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { i } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 3 } + \frac { 2 8 8 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } I ^ { 3 } } { \rho ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { i } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } \frac { K L \rho } { 2 \lambda I } \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { i } \bigg ) \sum _ { \ell = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \ell } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \ell } \| ^ { 2 } + \bigg ( { \frac { K \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 \lambda I L b _ { 1 } } } + { \frac { K \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \lambda I L } } \bigg ) \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { i } \bigg ) \sum _ { \ell = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 3 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 2 8 8 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } I ^ { 3 } } { \rho ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { i } \bigg ) \sum _ { \ell = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \frac { K \rho ^ { 2 } } { 9 6 \lambda ^ { 2 } I ^ { 2 } } \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { i } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i } \| ^ { 2 } + \bigg ( \frac { K \rho ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 9 6 \lambda ^ { 2 } I ^ { 2 } L ^ { 2 } b _ { 1 } } + \frac { K \rho ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 4 8 \lambda ^ { 2 } I ^ { 2 } L ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { i } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 8 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { I - 1 } \eta _ { \ell } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 1 } ( \eta ) } & { = \operatorname { d i s t } ( \eta , \operatorname { ( I ) - e n v } ( A ) ) , } \\ { d _ { 2 } ( \eta ) } & { = \operatorname* { s u p } \left\{ \operatorname* { i n f } _ { n \in \mathbb N } \operatorname { R e } \eta ( x _ { n } ) - \operatorname* { s u p } _ { \xi \in A } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \operatorname { R e } \xi ( x _ { n } ) ; \, ( x _ { n } ) \subset B _ { X } \right\} . } \end{array}
\frac { B } { A } = \frac { \Gamma ( 1 - | \alpha | ) \left( | \alpha | - \frac { m \bar { \lambda } _ { \theta } } { 2 \pi } \right) } { \Gamma ( 1 + | \alpha | ) \left( | \alpha | + \frac { m \bar { \lambda } _ { \theta } } { 2 \pi } \right) } \left( \frac { k r _ { 0 } } { 2 } \right) ^ { 2 | \alpha | } .
g _ { c d } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \! = \! \frac { 1 } { 2 } \left\{ 1 \! - \! \cos [ \Phi _ { A } ( \boldsymbol { r } ) \! - \! \Phi _ { B } ( \bar { \boldsymbol { r } } ) \! + \! \Phi _ { B } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \! - \! \Phi _ { A } ( \bar { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) ] \right\} .
\Pi ( k _ { 0 } ) = { \frac { e ^ { 2 } } { 2 i k _ { 0 } } } \left( \operatorname { t a n h } { \frac { \beta m } { 2 } } - \operatorname { t a n h } { \frac { \beta ( m - i k _ { 0 } ) } { 2 } } \right) + ( k _ { 0 } \leftrightarrow - k _ { 0 } )
g _ { 0 } ( k ) = \frac { | k | ^ { 2 } } { ( | k | ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \nu \, \Gamma ( 1 + i \nu ) \Gamma ( 1 - i \nu ) \left( | k | ^ { 2 } \right) ^ { i \nu } .
\begin{array} { r l } & { m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \omega C _ { 1 } m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \frac { 1 } { k - \omega k _ { 0 } } + O ( 1 ) , \qquad k \to \omega k _ { 0 } , } \\ & { m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \omega C _ { 2 } m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \frac { 1 } { k - \omega k _ { 0 } } + O ( 1 ) , \qquad k \to \omega k _ { 0 } , } \\ & { m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \omega ^ { 2 } C _ { 1 } m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \frac { 1 } { k - \omega ^ { 2 } k _ { 0 } } + O ( 1 ) , \qquad k \to \omega ^ { 2 } k _ { 0 } , } \\ & { m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \omega ^ { 2 } C _ { 2 } m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \frac { 1 } { k - \omega ^ { 2 } k _ { 0 } } + O ( 1 ) , \qquad k \to \omega ^ { 2 } k _ { 0 } . } \end{array}
\mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \lvert _ { \mathcal { P } _ { 0 } } \stackrel { d } { = } \sqrt { \rho _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } } \, \mathbf { O } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } \, \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } + \boldsymbol { \Delta } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \lvert _ { \mathcal { P } _ { k } } \stackrel { d } { = } \sum _ { \ell = 0 } ^ { k - 1 } [ \boldsymbol { \beta } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { \ell + 1 } \, \mathbf { p } _ { \ell } ^ { \mathrm { i n } } + \sqrt { \rho _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } } \, \mathbf { O } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \, \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } + \boldsymbol { \Delta } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta _ { a } } J ( \theta _ { a } ) } & { = \mathbb { E } _ { s \sim \rho ^ { \mu } } \left[ \nabla _ { \theta _ { a } } { { Q } } _ { \mu } ( s _ { t } , \mu ( s _ { t } ; \theta _ { a } ) ; \theta _ { k } ) \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { s \sim \rho ^ { \mu } } \left[ \nabla _ { \theta _ { a } } \mu ( s _ { t } ; \theta _ { a } ) \nabla _ { a } { { Q } } _ { \mu } ( s _ { t } , \mu ( s _ { t } ; \theta _ { a } ) ; \theta _ { k } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } } & { = 2 \mathbf { F } \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ( \boldsymbol { \Lambda } ) } { \partial \mathbf { C } } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \boldsymbol { \xi } } & { = \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ( \boldsymbol { \Lambda } ) } { \partial \nabla { \mathsf { d } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } & { = \exp \left\{ - \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } d _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } \right\} \frac { 1 } { n ! } \left( \sum _ { j \geq 1 } c _ { j } g _ { j } ( t ) \xi _ { j } ( x _ { 1 } ) \right) \cdot \cdot \cdot \left( \sum _ { j \geq 1 } c _ { j } g _ { j } ( t ) \xi _ { j } ( x _ { n } ) \right) } \\ & { = \exp \left\{ - \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } d _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } \right\} \frac { 1 } { n ! } \left( \sum _ { j \geq 1 } c _ { j } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { j } t } } { \alpha _ { j } } \xi _ { j } \right) ^ { \otimes n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) . } \end{array}
\eta _ { 1 } \frac { \partial I } { \partial x _ { 1 } } + \eta _ { 2 } \frac { \partial I } { \partial x _ { 2 } } + \eta _ { 3 } \frac { \partial I } { \partial x _ { 3 } } + \tau _ { h } n I ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { r } ) = \frac { \omega \tau _ { h } n } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } I ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) ( 1 + A \cos { \alpha } \cos { \alpha ^ { \prime } } ) d \Omega ^ { \prime } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \langle \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } , \dot { \mathrm { \boldmath ~ w ~ } } _ { i } \rangle = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { d } { d t } \langle \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } , \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } \rangle - \langle \dot { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } } _ { i } , \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } \rangle \right] = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \langle \dot { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } } _ { i } , \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } \rangle F _ { i } + | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } | ^ { 2 } \dot { F } _ { i } \right] } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \big \langle \dot { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } } _ { i } , \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } \big \rangle \bigg ( \Gamma _ { i } \bigg ( 1 + \frac { \Gamma _ { i } } { c ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ) + | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } | ^ { 2 } \frac { d } { d t } \bigg ( \Gamma _ { i } \bigg ( 1 + \frac { \Gamma _ { i } } { c ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ) \right] } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bigg [ \frac { c ^ { 2 } } { \Gamma _ { i } ^ { 2 } } \bigg ( 1 + \frac { \Gamma _ { i } } { c ^ { 2 } } \bigg ) + | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } | ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 2 \Gamma _ { i } } { c ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ] \frac { d \Gamma _ { i } } { d t } } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bigg [ c ^ { 2 } + \Gamma _ { i } \bigg ( 1 + \displaystyle \frac { | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } | ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ] \frac { d \Gamma _ { i } } { d t } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bigg ( c ^ { 2 } + \Gamma _ { i } \bigg ( 2 - \frac { 1 } { \Gamma _ { i } ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ) \frac { d \Gamma _ { i } } { d t } } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { d } { d t } \bigg [ c ^ { 2 } \bigg ( \Gamma _ { i } - 1 \bigg ) + \bigg ( \Gamma _ { i } ^ { 2 } - \log { \Gamma _ { i } } \bigg ) \bigg ] = \frac { d } { d t } \mathcal { E } _ { k } ^ { c } ( t ) . } \end{array} } \end{array}
\nabla ^ { 2 } f = { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r ^ { 2 } { \frac { \partial f } { \partial r } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( \sin \theta { \frac { \partial f } { \partial \theta } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \varphi ^ { 2 } } } = 0 .
{ G ^ { \mu \nu } } ^ { \prime } = \Lambda _ { \sigma } ^ { \mu } \Lambda _ { \tau } ^ { \nu } \Lambda _ { \rho } ^ { \alpha } \Lambda _ { \gamma } ^ { \beta } ( \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \sigma \tau \rho \gamma } ) \Lambda _ { \alpha } ^ { \xi } \Lambda _ { \beta } ^ { \omega } ( F _ { \xi \omega } ) = \Lambda _ { \sigma } ^ { \mu } \Lambda _ { \tau } ^ { \nu } \delta _ { \rho } ^ { \xi } \delta _ { \gamma } ^ { \omega } \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \sigma \tau \rho \gamma } F _ { \xi \omega } = \, \Lambda _ { \sigma } ^ { \mu } \Lambda _ { \tau } ^ { \nu } \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \sigma \tau \rho \gamma } F _ { \rho \gamma } = \Lambda _ { \sigma } ^ { \mu } \Lambda _ { \tau } ^ { \nu } G ^ { \sigma \tau }
\begin{array} { r } { K \tau \geq \operatorname* { m a x } \left\lbrace \frac { C | | x _ { 0 } - x ^ { \ast } | | ^ { 2 } } { \epsilon } , \frac { 3 2 C \delta | | x _ { 0 } - x ^ { \ast } | | ^ { 2 } } { ( 1 - L \gamma ) L ^ { 3 } \omega \epsilon } , \frac { 4 8 C ^ { 2 } \omega \gamma \delta | | x _ { 0 } - x ^ { \ast } | | ^ { 4 } } { ( 1 - \gamma L ) ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } } , \frac { 2 C ^ { 2 } \omega \gamma \sigma _ { \ast } ^ { 2 } | | x _ { 0 } - x ^ { \ast } | | ^ { 2 } } { ( 1 - L \gamma ) \epsilon ^ { 2 } } \right\rbrace . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } I _ { \mathrm { f } } } { \mathrm { d } z } = - ( K _ { \mathrm { K M } } + S _ { \mathrm { K M } } ) I _ { \mathrm { f } } + S _ { \mathrm { K M } } I _ { \mathrm { b } } ; \, \, \, \, \, \, \, \frac { - \mathrm { d } I _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { d } z } = - ( K _ { \mathrm { K M } } + S _ { \mathrm { K M } } ) I _ { \mathrm { b } } + S _ { \mathrm { K M } } I _ { \mathrm { f } } ;
Z _ { 1 } ( 0 ) = - 2 \, \zeta ( - 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \ln \frac { y } { \sqrt { 1 + y ^ { 2 } } } = - 2 \left( - \frac { 1 } { 1 2 } \right) \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) = - \frac { \pi } { 1 2 } .
\hat { T } _ { 5 5 } = | \Lambda _ { B } | - \frac { | \Lambda _ { B } | } { \mathrm { c o s h } ^ { 2 } \left( \sqrt { \frac { 2 \hat { \kappa } ^ { 2 } } { 3 } | \Lambda _ { B } | } \, y \right) } \, .
\frac { \partial \mathcal { E } } { \partial t } + \mathrm { d i v } \left( \mathcal { E } \mathbf { u } + \Pi \mathbf { u } + \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho } \theta ( \rho , \eta ) \, \j + \varkappa a _ { c } \j \wedge \boldsymbol { \psi } \right) = 0 ,
- \Delta \epsilon = \frac { k _ { 1 } t ^ { 2 } ( 1 + \nu ) } { 1 2 r ^ { 2 } } ( 1 - \frac { z _ { 0 } } { z } ) + \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 r ^ { 2 } } ( z ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } ) ,
\eta _ { \mu \nu } ^ { a } = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \epsilon ^ { a \mu \nu } \: } } & { { } } & { { \mu , \nu = 1 , 2 , 3 } } \\ { { \delta _ { \mu } ^ { a } \: } } & { { } } & { { \: \nu = 4 \: \: } } \\ { { - \delta _ { \nu } ^ { a } \: } } & { { } } & { { \: \mu = 4 \: \: } } \end{array} \right.
\mathbf { S } _ { 4 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { s _ { 1 2 } } & { s _ { 1 3 } } & { s _ { 1 4 } } \\ { - s _ { 1 2 } } & { 0 } & { s _ { 2 3 } } & { s _ { 2 4 } } \\ { - s _ { 1 3 } } & { - s _ { 2 3 } } & { 0 } & { s _ { 3 4 } } \\ { - s _ { 1 4 } } & { - s _ { 2 4 } } & { - s _ { 3 4 } } & { 0 } \end{array} \right) \, .
{ \left[ \begin{array} { l l } { E ^ { \prime } } & { F ^ { \prime } } \\ { F ^ { \prime } } & { G ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial u } { \partial u ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial u } { \partial v ^ { \prime } } } } \\ { { \frac { \partial v } { \partial u ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial v } { \partial v ^ { \prime } } } } \end{array} \right] } ^ { \mathsf { T } } { \left[ \begin{array} { l l } { E } & { F } \\ { F } & { G } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial u } { \partial u ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial u } { \partial v ^ { \prime } } } } \\ { { \frac { \partial v } { \partial u ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial v } { \partial v ^ { \prime } } } } \end{array} \right] }
\left\{ \begin{array} { l } { \partial _ { i } \left( \rho \left( m ^ { - 1 } \right) _ { i j } \partial _ { j } \phi \right) - \nabla \cdot ( \rho \Omega \times r ) = 0 } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( m ^ { - 1 } \right) _ { i j } m ^ { - 1 } \partial _ { i } \phi \partial _ { j } \phi + \frac { V } { m } + \frac { g \rho } { m } - v \cdot ( \Omega \times r ) = \mu } \end{array} \right.
{ \frac { 1 } { 4 \pi } } D ^ { ( + ) } ( \nu , t ) = { \frac { W } { M } } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) + { \frac { t } { 4 M Q ^ { 2 } } } \biggl [ E ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) - M ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) \biggr ] \, ,
\begin{array} { r l } { a _ { h } ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } ) } & { = \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } \int _ { T } - \frac { 1 } { 2 \nu } \: \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } \, : \, \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } \: d \underline { { x } } , } \\ { b _ { 1 h } ( \underline { { u } } _ { h } , q _ { h } ) } & { = - \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } \int _ { T } ( \nabla \, \cdot \, \underline { { u } } _ { h } ) q _ { h } \: d \underline { { x } } = - ( \nabla \, \cdot \, \underline { { u } } _ { h } , q _ { h } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u ( t , x , y ) + u ( t , x , y ) ( \partial _ { x } u ( t , x , y ) + \partial _ { y } u ( t , x , y ) ) } & { { } = \nu / \pi ( \partial _ { x x } u ( t , x , y ) + \partial _ { y y } u ( t , x , y ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { \Omega } v _ { i } \partial _ { j } \sigma _ { i j } ^ { u } } & { { } = + \int _ { \Omega } ( \partial _ { j } v _ { i } ) \sigma _ { i j } ^ { u } - \int _ { \partial \Omega } v _ { i } \sigma _ { i j } ^ { u } n _ { j } } \end{array}
\int T _ { n } \, \mathrm { d } x = { \frac { n } { n ^ { 2 } - 1 } } T _ { n + 1 } - { \frac { 1 } { n - 1 } } T _ { 1 } T _ { n } = { \frac { n } { \, n ^ { 2 } - 1 \, } } \, T _ { n + 1 } - { \frac { 1 } { \, 2 ( n - 1 ) \, } } \, ( T _ { n + 1 } + T _ { n - 1 } ) = { \frac { 1 } { \, 2 ( n + 1 ) \, } } \, T _ { n + 1 } - { \frac { 1 } { \, 2 ( n - 1 ) \, } } \, T _ { n - 1 } ~ .
\operatorname* { d e t } ( \lambda I _ { 2 } - { \mathfrak { H } } ) = \lambda ^ { 2 } - \operatorname { t r } { \mathfrak { H } } \, \lambda + \operatorname* { d e t } { \mathfrak { H } } = \lambda ^ { 2 } - ( a + d ) \lambda + ( a d - b c )
\begin{array} { r } { f _ { A } ( \mathbf { u } ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \frac { ( \mathbf { x } _ { i } ^ { T } \mathbf { x } _ { i } ) ^ { 1 / 4 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { b } } \exp { \left( - \frac { ( \mathbf { u } - \mathbf { x } _ { i } ) ^ { T } ( \mathbf { u } - \mathbf { x } _ { i } ) } { 2 \sigma _ { b } ^ { 2 } } \right) } } \end{array}
\alpha _ { z } = \frac { \Gamma _ { + } } { 4 \pi { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 3 } } \Bigg ( ( I _ { 2 A } ^ { \delta } - I _ { 1 A } ^ { \delta } ) + \frac { 3 } { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 2 } } \bigg [ ( \rho _ { c } - \rho _ { + } ) ^ { 2 } ( I _ { 1 B } ^ { \delta } - I _ { 2 B } ^ { \delta } ) - \rho _ { + } \rho _ { c } I _ { 3 B } ^ { \delta } \bigg ] \Bigg )
\sqrt { 2 K } ( 2 \alpha _ { 1 } - \beta _ { 1 } ) = \frac { \alpha _ { 0 } ( 2 \beta _ { 0 } - \alpha _ { 0 } ) } { \phi _ { r } } - \frac { \phi _ { r t } } { \phi _ { r } ^ { 2 } } - \frac { B } { \phi _ { r } } + K \frac { \phi _ { r r r } } { \phi _ { r } ^ { 2 } } ,
\Gamma = \frac { 2 J + 1 } { 2 J ^ { \prime } + 1 } \frac { \omega _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \pi \epsilon _ { 0 } \hbar c ^ { 3 } } | \langle J ^ { \prime } \| \hat { D } \| J \rangle | ^ { 2 } .
\psi _ { \mathrm { a b } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = - 2 \gamma e ^ { - 2 \gamma \tau _ { 2 } } \Biggl ( \int _ { - \infty } ^ { \tau _ { 1 } } \mathrm { d } t _ { 1 } ~ e ^ { 2 \gamma t _ { 1 } } \xi ( t _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) + \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } \mathrm { d } t _ { 2 } ~ e ^ { 2 \gamma t _ { 2 } } \xi ( \tau _ { 1 } , t _ { 2 } ) \Biggl ) + \psi _ { \mathrm { b b } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } )
u _ { 1 } ( 0 , \bar { \alpha } ) = q ( 0 , \bar { \alpha } ) < 1 \; , \; \; { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \; \; \; u _ { 1 } ( 1 , \bar { \alpha } ) = p ( 1 , \bar { \alpha } ) < 1 \; ,
L ( \mathbf { z } ( t _ { 0 } ) ) \, = \, L \left( \mathbf { z } ( t _ { 0 } ) + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } f ( \mathbf { z } ( t ) , t , \theta ) d t \right) \, = \, L ( \mathrm { O D E S o l v e } ( \mathbf { z } ( t _ { 0 } ) , f , t _ { 0 } , t _ { 1 } , \theta ) )
\begin{array} { r } { \psi _ { \mathrm { H F } } ^ { N = 2 } \big ( r _ { 1 } = ( \vec { r } _ { 1 } , \sigma _ { 1 } ) , r _ { 2 } = ( \vec { r } _ { 2 } , \sigma _ { 2 } ) \big ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \phi ( \vec { r } _ { 1 } ) \, \phi ( \vec { r } _ { 2 } ) \, { \left\langle { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \right| } \, \big ( { \left| { \uparrow \downarrow } \right\rangle } - { \left| { \downarrow \uparrow } \right\rangle } \big ) } \end{array}
{ \frac { \pi } { 4 } } \approx 1 - { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - \cdots + ( - 1 ) ^ { ( n - 1 ) / 2 } { \frac { 1 } { n } } + ( - 1 ) ^ { ( n + 1 ) / 2 } f _ { i } ( n + 1 )
z _ { 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( x ^ { 1 } + i x ^ { n + 1 } ) \, , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( x ^ { 2 } + i x ^ { n + 2 } ) \, , \dots \, , z _ { n } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( x ^ { n } + i x ^ { 2 n } ) \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \rangle } { d t } } & { = } & { - g _ { n 0 } ^ { * } \langle \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle - V _ { 1 } - V _ { 2 } + 2 V _ { 3 } - V _ { 4 } } \\ { \frac { d \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \rangle } { d t } } & { = } & { 2 V _ { 5 } - V _ { 6 } + 2 V _ { 7 } - V _ { 8 } } \\ { \frac { d \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { e } _ { n } \rangle } { d t } } & { = } & { - V _ { 9 } - V _ { 1 0 } - V _ { 1 1 } - V _ { 1 2 } } \\ { \frac { d \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { \sigma } _ { n } ^ { + } \rangle } { d t } } & { = } & { ( g _ { n 0 } + g _ { n 0 } ^ { * } ) ( 2 \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { e } _ { n } \rangle - \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle ) } \\ & { \null } & { + 2 V _ { 1 3 } - V _ { 1 4 } + 2 V _ { 1 5 } - V _ { 1 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } P _ { s } | g | ( x _ { 0 } ) d s } & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } P _ { s } \exp ( a ( | { \, \cdot \, } | + 1 ) ) ( x _ { 0 } ) d s } \\ & { \leq e ^ { a } \int _ { 0 } ^ { t } P _ { s } \exp ( a ( { \, \cdot \, } ) ) ( x _ { 0 } ) + P _ { s } \exp ( - a ( { \, \cdot \, } ) ) ( x _ { 0 } ) d s } \\ & { < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { i \Pi _ { S T \mu \nu } ^ { \underline { { { a } } } \underline { { { b } } } } ( q ) } } & { { = } } & { { N g ^ { 2 } \delta _ { \underline { { { a } } } \underline { { { b } } } } \mu ^ { 2 \epsilon } \displaystyle \int \displaystyle \frac { d ^ { n } \ell } { ( 2 \pi ) ^ { n } } \left\{ - \displaystyle \frac { m _ { G } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \displaystyle \frac { ( q ^ { 2 } g _ { \mu \nu } - q _ { \mu } q _ { \nu } ) } { ( \ell + q ) ^ { 2 } ( \ell ^ { 2 } - m _ { G } ^ { 2 } ) } \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle \left. + \frac { ( \ell _ { \mu } q ^ { 2 } - q _ { \mu } \ell \cdot q ) ( \ell _ { \nu } q ^ { 2 } - q _ { \nu } \ell \cdot q ) } { ( q ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( \ell + q ) ^ { 2 } ( \ell ^ { 2 } - m _ { G } ^ { 2 } ) } + \frac { 1 } { 8 } \frac { ( 2 \ell + q ) _ { \mu } ( 2 \ell + q ) _ { \nu } } { \ell ^ { 2 } ( \ell + q ) ^ { 2 } } \right\} \; . } } \end{array}
\begin{array} { r } { G ( R , 1 ) \triangleq \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \rho ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \rho ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \Bigg [ \ln \left[ \rho ^ { 2 } + ( 1 - \rho ^ { 2 } ) \cos ^ { 2 } \left( \arctan \frac { R } { r _ { q } } \right) \right] \Bigg ] ^ { 2 } , } & { 0 < \rho < 1 } \\ { \frac 1 4 \Bigg [ \cos ^ { 2 } \left( \arctan \frac { R } { r _ { q } } \right) - 1 \Bigg ] ^ { 2 } , } & { \rho = 1 } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { R } r \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \log | \zeta - p - r e ^ { i \theta } | \, d \theta \, d r } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { | \zeta - p | } r \, \log | \zeta - p | \, d r + 2 \int _ { | \zeta - p | } ^ { R } r \, \log r \, d r } \\ & { = R ^ { 2 } \log R - \frac { R ^ { 2 } } { 2 } + \frac { | \zeta - p | ^ { 2 } } { 2 } , } \end{array}
\hat { G } _ { u } ^ { ( P ) } ( x , z , \omega _ { P } ) = \frac { \mathrm { i } } { \pi \rho c _ { T } ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \sin ( \kappa _ { P } \ell _ { s } / 2 ) \frac { 2 \beta _ { L } \beta _ { T } \mathrm { e } ^ { \beta _ { T } z } - ( 2 \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { T } ^ { 2 } } ) \mathrm { e } ^ { \beta _ { L } z } } { 4 \kappa _ { P } ^ { 2 } \beta _ { L } \beta _ { T } - \left( 2 \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { T } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { P } x } \, \mathrm { d } \kappa _ { P } ,
r _ { i } = \left| \left\{ U _ { j } : \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } \tau _ { i } \leq U _ { j } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { j } \tau _ { i } \right\} \right| \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } U _ { j } = ( j - 1 ) + u _ { 1 } \, ,