harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { C _ { \wedge } \vert \vert \phi \vert \vert ^ { \alpha _ { \wedge } } + D _ { \wedge } \geq - D _ { \vee } - 1 + n \implies \vert \vert \phi \vert \vert \geq \left( \frac { - D _ { \vee } - D _ { \wedge } - 1 + n } { C _ { \wedge } } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha _ { \wedge } } } \, } \end{array}
{ \cal L } _ { e f f } ^ { f e r } = i \sqrt { 2 } \widetilde \psi _ { + } ^ { \dagger } \partial _ { + } \widetilde \psi _ { + } - e \sqrt { 2 } \widetilde { \psi _ { + } } ^ { \dagger } \widetilde { \psi } _ { + } \widetilde { V } _ { + } ^ { \prime } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \widetilde \xi ^ { \dagger } \left( \frac { 1 } { i \partial _ { - } - e V _ { - } ^ { C o u l } } \ast \widetilde \xi \right) - \frac 1 2 \frac { e ^ { 2 } } { 4 L ^ { 2 } } \widetilde \Gamma ^ { i } \left( { \cal G } _ { ( \perp ) } [ \widetilde { \cal M } _ { C o u l } ^ { 2 } ] \ast \widetilde \Gamma ^ { i } \right) \ ,
\hat { \mathbf { y } } ( x ) = \left( \begin{array} { l } { p _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { p _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \hat { \mathsf { A } } = \left( \begin{array} { l l } { - \frac { \gamma } { v - f - U ^ { [ i ] } ( x ) } } & { \frac { \gamma } { v - f - U ^ { [ i ] } ( x ) } } \\ { \frac { \gamma } { - v - f - U ^ { [ i ] } ( x ) } } & { - \frac { \gamma } { - v - f - U ^ { [ i ] } ( x ) } } \end{array} \right) .
j _ { p } = d \zeta _ { \tilde { m } } ^ { \wedge p } \int _ { \partial { \cal M } ^ { p + 1 } } d { \hat { \zeta } } ^ { \tilde { m } } ( \tau ) \delta ^ { p + 1 } \left( \zeta - { \hat { \zeta } } ( \tau ) \right) ~ = ( - ) ^ { p } d \zeta _ { \tilde { n } } ^ { \wedge p } j ^ { \tilde { n } } . \qquad
{ \begin{array} { r l } { P ( H \mid E ) } & { = { \frac { P ( E \mid H ) P ( H ) } { P ( E ) } } } \\ & { = { \frac { P ( E \mid H ) P ( H ) } { P ( E \mid H ) P ( H ) + P ( E \mid \neg H ) P ( \neg H ) } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 1 + \left( { \frac { 1 } { P ( H ) } } - 1 \right) { \frac { P ( E \mid \neg H ) } { P ( E \mid H ) } } } } } \end{array} }
A _ { p } + B _ { p } = \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { x _ { i } } { p ^ { i } } \colon x _ { i } \in A \right\} + \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { y _ { i } } { p ^ { i } } \colon y _ { i } \in B \right\} = \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { x _ { i } } { p ^ { i } } + \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { y _ { i } } { p ^ { i } } \colon x _ { i } \in A , y _ { i } \in B \right\}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f } { \partial t } + { \mathbf v } \cdot \frac { \partial f } { \partial \mathbf { x } } + ( { \mathbf E } + { \mathbf v } \times { \mathbf { B } } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf v } } = 0 \, , } \\ & { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } = - \nabla \times { \mathbf E } \, , \quad \nabla \cdot \mathbf { B } = 0 \, , } \\ & { \frac { \partial n _ { \mathrm { e } } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( n _ { \mathrm { e } } \mathbf u \right) = 0 , \quad { \mathbf u } = { \int { \mathbf v } f \mathrm { d } { \mathbf v } } \Big / { \int f \mathrm { d } { \mathbf v } } , } \\ & { { \mathbf E } = - \kappa \frac { \nabla n _ { \mathrm { e } } } { n _ { \mathrm { e } } } - \left( \mathbf u - \frac { \mathbf J } { n _ { \mathrm { e } } } \right) \times { \mathbf { B } } , \quad \mathbf J = \nabla \times { \mathbf B } . } \end{array}
\frac { 1 } { \mu ( 0 , { \bf p } ) } = 1 + \frac { \Pi _ { i } ^ { i } ( 0 , { \bf p } ) } { { \bf p ^ { 2 } } } = 1 - \frac { e ^ { 2 } } { \pi m } C _ { 1 } \, \, .
\begin{array} { r l } { O _ { \mu \nu } ( \underline { { R } } , \underline { { R } } ^ { \prime } ) } & { = \displaystyle \int \mathrm { d } \underline { { r } } \, \Psi _ { \mu } ^ { ( e ) } ( \underline { { r } } ; \underline { { R } } ) \, \Psi _ { \nu } ^ { ( e ) \star } ( \underline { { r } } ; \underline { { R } } ^ { \prime } ) = O _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } \quad . } \end{array}
\partial _ { t } \left( \begin{array} { l } { \hat { S } _ { x } } \\ { \hat { Y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { - \frac { \Gamma } { 2 } } & { - 2 g N z } \\ { - g } & { - \frac { \kappa } { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { S } _ { x } } \\ { \hat { Y } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { ( i J ) \Delta _ { t } + \sqrt { N \gamma } \hat { X } _ { \gamma } ( t ) + \sqrt { N \gamma _ { p } } \hat { X } _ { \gamma _ { p } } ( t ) + \sqrt { N \gamma _ { d } } \hat { X } _ { \gamma _ { d } } ( t ) } \\ { \sqrt { \kappa } \delta \hat { Y } _ { \mathrm { i n } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } Z ( n ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } z \cdot n f ( z ) \Phi ( z ) ^ { n - 1 } d z = \int _ { - \infty } ^ { 0 } z \cdot \frac { d } { d z } \left[ \Phi ( z ) ^ { n } \right] d z - \int _ { 0 } ^ { \infty } z \cdot \frac { d } { d z } \left[ 1 - \Phi ( z ) ^ { n } \right] d z } \\ & { = - \int _ { - \infty } ^ { 0 } \Phi ( z ) ^ { n } d z + \int _ { 0 } ^ { \infty } 1 - \Phi ( z ) ^ { n } d z } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \rho } _ { S } ( t ) = } & { \sum _ { M = 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \int _ { 0 } ^ { t _ { M } } \int _ { \Omega } \cdots \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \Omega } } \\ & { \times U \left( t , t _ { M } \right) S \left( t _ { M } , \omega _ { M } \right) U \left( t _ { M } , t _ { M - 1 } \right) S \left( t _ { M - 1 } , \omega _ { M - 1 } \right) \cdots } \\ & { \times U \left( t _ { 2 } , t _ { 1 } \right) S \left( t _ { 1 } , \omega _ { 1 } \right) U \left( t _ { 1 } , 0 \right) ( { \rho } _ { S } ( 0 ) ) \mathrm { d } \mu _ { \omega _ { 1 } } \mathrm { ~ d } t _ { 1 } \cdots \mathrm { d } \mu _ { \omega _ { M - 1 } } \mathrm { ~ d } t _ { M - 1 } \mathrm { ~ d } \mu _ { \omega _ { M } } \mathrm { ~ d } t _ { M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 1 } ^ { M \prime } = } & { { } \exp \left( - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } N \tau \right) \left( 1 - \exp \left( - \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) \tau _ { 1 } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) \Pi _ { \cal F } \right\| ^ { 2 } } & { = \left\| ( \Pi _ { \cal F } - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) \Pi _ { \cal F } \right\| ^ { 2 } = \sum _ { i \leq k } \left\| ( \Pi _ { \cal F } - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) f _ { i } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = k - k ^ { \prime } + \left\| \Pi _ { \hat { \cal F } } ( I - \Pi _ { \cal F } ) \right\| ^ { 2 } = k - k ^ { \prime } + \sum _ { i > k } \left\| \Pi _ { \hat { \cal F } } f _ { i } \right\| ^ { 2 } \leq k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ( n ) } & { = c ( 4 i + 3 ) = { \frac { 1 } { 2 } } c ( 2 i ) + c ( 2 i + 3 ) + { \frac { 1 } { 2 } } c ( 2 i + 4 ) + a _ { 3 } ( i ) } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } c ( ( n - 3 ) / 2 ) + c ( ( n + 3 ) / 2 ) + c ( ( n + 5 ) / 2 ) + a _ { 3 } ( ( n - 3 ) / 4 ) } \\ & { \geq { \frac { 1 } { 2 } } ( { \frac { 4 } { 3 } } ( n - 3 ) / 2 - 2 ) + ( 4 { \frac { n + 3 } { 2 } } + 1 6 ) / 3 + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \frac { 4 } { 3 } } ( n + 5 ) / 2 - 2 ) - 1 } \\ & { \quad \quad \mathrm { ( b y ~ c o n d i t i o n s ~ o n ~ ( n - 3 ) / 2 , ~ ( n + 3 ) / 2 , ~ ( n + 5 ) / 2 ~ } } \\ & { \quad \quad \mathrm { a n d ~ ( n + 5 ) / 2 \geq ~ ( n + 3 ) / 2 ~ \geq ~ ( n - 3 ) / 2 ~ \geq ~ 4 7 ) ~ } } \\ & { = { \frac { 4 } { 3 } } n + 6 \geq ( 4 n + 1 6 ) / 3 . } \end{array}
\nu _ { 4 } ^ { * } = \mu _ { m a x , H } \frac { S _ { D O C } ^ { * } } { K _ { H , D O C } + S _ { D O C } ^ { * } } \frac { S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } { K _ { H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } \frac { S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } { K _ { H , O _ { 2 } } + S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } \frac { K _ { M ^ { * } } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M ^ { * } } \psi _ { H } ^ { * }
\begin{array} { r l r } { \eta ( t ) = } & { } & { \Theta ( t ) \Bigl \{ \sum _ { j = I } ^ { N } \frac { \eta _ { 0 , j } \tau _ { n , j } } { \tau _ { o , j } ^ { 2 } } e ^ { - t / 2 \tau _ { n , j } } \Bigl [ \frac { 1 } { \kappa _ { j } } \sin { \Bigl ( \frac { \kappa _ { j } } { 2 \tau _ { n , j } } t \Bigr ) } } \\ & { } & { + \cos { \Bigl ( \frac { \kappa _ { j } } { 2 \tau _ { n , j } } t \Bigr ) } \Bigr ] \Bigr \} \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } ( P _ { r } , P _ { \theta } ) = \underset { \gamma } { \operatorname* { i n f } } \ \underset { f , g } { \operatorname* { s u p } } \ \mathcal { L } ( \gamma , f , g ) \ = { } } & { { } \underset { f , g } { \operatorname* { s u p } } \ \underset { \gamma } { \operatorname* { i n f } } \ \mathcal { L } ( \gamma , f , g ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \alpha _ { l m } \mathbf { B } _ { \alpha _ { l m } } ( \mathbf { r } ) } \\ { \mathbf { B } _ { \beta } ( \mathbf { r } ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \beta _ { l m } \mathbf { B } _ { \beta _ { l m } } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { g } _ { q s } ^ { p r } } & { = \sum _ { J K } ( p r | J ) ( J | K ) ^ { - 1 } ( K | q s ) } \\ { V _ { R S } } & { = \underset { V _ { R S } } { \operatorname { a r g m i n } } \, \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } \left| \tilde { g } _ { q s } ^ { p r } - \sum _ { R S } ( X ^ { ( p r ) } ) _ { p } ^ { R } ( X ^ { ( p r ) } ) _ { r } ^ { R } V _ { R S } ( X ^ { ( q s ) } ) _ { q } ^ { S } ( X ^ { ( q s ) } ) _ { s } ^ { S } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { R ^ { \prime } S ^ { \prime } } ( S _ { R R ^ { \prime } } ^ { ( p r ) } ) ^ { - 1 } E _ { R ^ { \prime } S ^ { \prime } } ( S _ { S ^ { \prime } S } ^ { ( q s ) } ) ^ { - 1 } } \\ { E _ { R S } } & { = \sum _ { p q r s } ( X ^ { ( p r ) } ) _ { p } ^ { R } ( X ^ { ( p r ) } ) _ { r } ^ { R } \tilde { g } _ { q s } ^ { p r } ( X ^ { ( q s ) } ) _ { q } ^ { S } ( X ^ { ( q s ) } ) _ { s } ^ { S } } \\ { S _ { R S } ^ { ( p q ) } } & { = \sum _ { p q } ( X ^ { ( p q ) } ) _ { p } ^ { R } ( X ^ { ( p q ) } ) _ { q } ^ { R } ( X ^ { ( p q ) } ) _ { p } ^ { S } ( X ^ { ( p q ) } ) _ { q } ^ { S } } \end{array}
\begin{array} { r } { K \left( x , y , z \right) = \frac { 1 } { 3 } \, \bigg [ - \frac { 2 } { R ^ { 2 } } \frac { \partial _ { i } ^ { 2 } R } { R } + \frac { 1 } { R ^ { 2 } } \left( \frac { \partial _ { i } R } { R } \right) ^ { 2 } \bigg ] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \psi _ { L } ( 0 ) } & { = \psi _ { C } ( 0 ) } \\ { \left. { \frac { d \psi _ { L } } { d x } } \right| _ { x = 0 } } & { = \left. { \frac { d \psi _ { C } } { d x } } \right| _ { x = 0 } } \\ { \psi _ { C } ( a ) } & { = \psi _ { R } ( a ) } \\ { \left. { \frac { d \psi _ { C } } { d x } } \right| _ { x = a } } & { = \left. { \frac { d \psi _ { R } } { d x } } \right| _ { x = a } . } \end{array} }
f ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - ( t - t _ { 0 } ) ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } , } & { - c \le t \le c , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l } { | e ( t _ { n } ) | ^ { 2 } \le C \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \left\{ \displaystyle \frac { k _ { i } ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } - 2 , s \} + 2 } } { r _ { i } ^ { 2 ( s + 1 ) } } \right\} \| e \| _ { H ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } + C \| e \| _ { H ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } \| e \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 3 } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \displaystyle \frac { \partial P } { \partial t } } & { { } = } & { - \frac { \partial J } { \partial f } } \\ { J } & { { } = } & { \displaystyle \frac { 1 } { \tau _ { 0 } } P \frac { \partial U } { \partial f } + \frac { \partial ( D P ) } { \partial f } } \end{array}
\Delta = \frac { [ c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } ^ { * } + c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } ^ { * } ] } { [ c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } ^ { * } + c _ { \mathrm { N } ^ { + } } ^ { * } ] } \frac { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } } { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } } \frac { \Gamma _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } } { \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { - } } } .
\begin{array} { r l } { { W ( x ) } } & { { } { { } = P \exp \left( i g \int _ { - \infty } ^ { 0 } \! d s \, \bar { n } \cdot A _ { c } ( x + s \bar { n } ) \right) , } } \\ { { S ( x ) } } & { { } { { } = P \exp \left( i g \int _ { - \infty } ^ { 0 } \! d t \, n \cdot A _ { s } ( x + t n ) \right) , } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sigma _ { T } = { \frac { F } { A _ { f } } } } & { = { \frac { F } { A _ { i } } } \times { \frac { A _ { i } } { A _ { f } } } } \\ & { = \sigma _ { e } \times { \frac { l _ { f } } { l _ { i } } } } \\ & { = \sigma _ { E } \times { \frac { l _ { i } + \delta l } { l _ { i } } } } \\ & { = \sigma _ { E } ( 1 + \varepsilon _ { E } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \beta ( x ) { \frac { s i } { s + i } } , \quad } & { { } \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; ( s , i ) \in \mathbf { D } , } \\ { 0 , \quad } & { { } \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w _ { * } ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p _ { * } \| p _ { 0 } ^ { * } ) - \gamma _ { T } ( \eta _ { T } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p _ { * } \| p _ { T } ^ { * } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { 0 } ^ { * } ) } \\ & { - \frac { \gamma _ { T } } { 2 } ( \tau _ { T } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { T } ^ { * } ) } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma ^ { t } \left[ 8 \epsilon + ( 1 0 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 3 2 ) T ^ { - J } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { t _ { 1 } } + \tilde { e } _ { \beta } ^ { \mathcal { F } _ { t _ { 1 } } } ( X _ { t _ { 2 } } - X _ { t _ { 1 } } ) } & { = X _ { t _ { 1 } } + \sqrt { t _ { i + 1 } - t _ { i } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \sqrt { \beta ( t _ { i + 1 } - t _ { i } ) } + o \bigl ( t _ { t + 1 } - t _ { i } \bigr ) } \\ & { = X _ { t _ { 1 } } + \sqrt { \frac { 2 \beta } { \pi } } ( t _ { i + 1 } - t _ { i } ) + o \bigl ( t _ { t + 1 } - t _ { i } \bigr ) . } \end{array}
r = \frac { p _ { r } ( \alpha _ { l + 1 } ) \times p _ { r } ( \kappa _ { l + 1 } ) \times p _ { r } ( \sigma _ { l + 1 } ) \times p _ { l i k } ( \Tilde { P } ( x _ { 2 } , \omega ) | \Tilde { P } ^ { m } ( x _ { 1 } , \omega ) , \alpha _ { l + 1 } , \kappa _ { l + 1 } , \sigma _ { l + 1 } ) \times p _ { l i k } ( \Tilde { P } ( x _ { 1 } , \omega ) | \Tilde { P } ^ { m } ( x _ { 2 } , \omega ) , \alpha _ { l + 1 } , \kappa _ { l + 1 } , \sigma _ { l + 1 } ) } { p _ { r } ( \alpha _ { l } ) \times p _ { r } ( \kappa _ { l } ) \times p _ { r } ( \sigma _ { l } ) \times p _ { l i k } ( \Tilde { P } ^ { m } ( x _ { 1 } , \omega ) | \Tilde { P } ( x _ { 2 } , \omega ) , \alpha _ { l } , \kappa _ { l } , \sigma _ { l } ) \times p _ { l i k } ( \Tilde { P } ^ { m } ( x _ { 2 } , \omega ) | \Tilde { P } ( x _ { 1 } , \omega ) , \alpha _ { l } , \kappa _ { l } , \sigma _ { l } ) }
2 \cdot { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 8 } & { - 3 } \\ { 4 } & { - 2 } & { 5 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 2 \cdot 1 } & { 2 \cdot 8 } & { 2 \cdot - 3 } \\ { 2 \cdot 4 } & { 2 \cdot - 2 } & { 2 \cdot 5 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 1 6 } & { - 6 } \\ { 8 } & { - 4 } & { 1 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } { A _ { \mathrm { 0 + } } ^ { \mathrm { ( L ) } } e ^ { i \xi _ { \mathrm { L } } } + A _ { \mathrm { 0 - } } ^ { \mathrm { ( L ) } } e ^ { - i \xi _ { \mathrm { L } } } } & { { } = } & { \frac { k } { k _ { \mathrm { L } } ^ { \prime } } A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } \, , } \\ { A _ { \mathrm { 0 + } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } e ^ { i \xi _ { \mathrm { T } } } - A _ { \mathrm { 0 - } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } e ^ { - i \xi _ { \mathrm { T } } } } & { { } = } & { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \, , } \\ { A _ { \mathrm { 0 + } } ^ { \mathrm { ( L ) } } e ^ { i \xi _ { \mathrm { L } } } - A _ { \mathrm { 0 - } } ^ { \mathrm { ( L ) } } e ^ { - i \xi _ { \mathrm { L } } } } & { { } = } & { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } \, , } \\ { A _ { \mathrm { 0 + } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } e ^ { i \xi _ { \mathrm { T } } } + A _ { \mathrm { 0 - } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } e ^ { - i \xi _ { \mathrm { T } } } } & { { } = } & { \frac { k } { k _ { \mathrm { T } } ^ { \prime } } A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } _ { L } } & { : = \widehat { g } _ { L } ( \mathbf { x } ) = s _ { O } ^ { - 1 } \left( g _ { L } ( \gamma \left( s _ { I } ( \mathbf { x } ) \right) ) \right) } \\ { \mathbf { y } _ { H } } & { : = \widehat { g } _ { H } ( \mathbf { x } ) = s _ { O } ^ { - 1 } \left( g _ { H } ( \gamma \left( s _ { I } ( \mathbf { x } ) \right) ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { M ^ { ( n ) } = \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } \left( \frac { 1 } { 3 0 } \cos ^ { 2 } \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n \right) + \frac { 1 3 } { 3 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n \right) + \frac { 8 } { 1 5 } \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { e v } _ { A } \left( p ( t ) I _ { n } \right) } & { = \operatorname { e v } _ { A } ( ( t I _ { n } - A ) B ) } \\ { p ( A ) } & { = \operatorname { e v } _ { A } ( t I _ { n } - A ) \cdot \operatorname { e v } _ { A } ( B ) } \\ { p ( A ) } & { = ( A I _ { n } - A ) \cdot \operatorname { e v } _ { A } ( B ) = O \cdot \operatorname { e v } _ { A } ( B ) = O . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { g } \int } & { { } - g ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) \log g ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { s . t \ \ \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) f ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } & { { } = \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) g ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } ; i = 0 , \cdots , M } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \sigma } ^ { a } } & { = \sum _ { a , a ^ { \prime } , c } W _ { a ^ { \prime } a } ^ { c } p \left( a ^ { \prime } , c \right) \mathrm { l n } \frac { W _ { a ^ { \prime } a } ^ { c } p \left( a ^ { \prime } , c \right) } { W _ { a a ^ { \prime } } ^ { c } p \left( a , c \right) } } \\ & { = \dot { S } _ { r } ^ { a } - \dot { l } ^ { a } \mathrm { , } } \end{array}
\boldsymbol { \sigma } ^ { a } = \rho _ { 0 } K \langle \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \otimes \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \, \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \otimes \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \, \boldsymbol { \ell } _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \otimes \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \, \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \cdot \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \rangle ,
E _ { c } ^ { ( 2 ) } = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { P Q R S } \sum _ { i _ { P } j _ { Q } a _ { R } b _ { S } } \frac { | ( i _ { P } j _ { Q } | | a _ { R } b _ { S } ) | ^ { 2 } } { \Delta _ { i _ { P } j _ { Q } } ^ { a _ { R } b _ { S } } + \frac { 1 } { 2 } ( W _ { i _ { P } i _ { P } } + W _ { j _ { Q } j _ { Q } } ) }
\begin{array} { r l } { \chi ^ { l } \sim } & { \, - \frac { \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } ^ { l } } \sum _ { n m } { \bar { T } _ { n 0 } ^ { l } ( 0 ) T _ { n 0 } ^ { l } ( 0 ) ( \bar { T } ^ { l } ) _ { 0 m } ^ { - 1 } ( 0 ) ( T ^ { l } ) _ { 0 m } ^ { - 1 } ( 0 ) } } \\ & { = - \frac { \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } ^ { l } } \frac { C _ { 0 0 } ^ { l } ( 0 ) } { \vert \operatorname* { d e t } T ^ { l } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \, , ~ ~ ~ \mathrm { a s } ~ \mathrm { R e } \lambda _ { 0 } ^ { l } \rightarrow 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } _ { a \rightarrow b , M } } & { { } = \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } \ldots n _ { M - 1 } } { C _ { a n _ { 1 } } C _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } \ldots C _ { n _ { M - 1 } b } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { v ( V ) = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r e s t } } } \left( 2 \Delta V - V _ { \frac { 1 } { 2 } } + V _ { \mathrm { r e s t } } \right) - \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r e s t } } } \frac { 1 } { 1 2 \Delta V ^ { 2 } } ( V - V _ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 3 } + \mathcal { O } \left( ( V - V _ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 4 } \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \ a [ D a ] \rightarrow [ D a ] a } \\ { \ [ a D B ] \rightarrow [ D a B ] } \\ { \ [ A a ] [ D a ] \rightarrow [ A D a ] a } \\ { \ a [ D a B ] \rightarrow [ D a ] [ a B ] } \\ { \ [ A a ] [ D a B ] \rightarrow [ A D a ] [ a B ] } \end{array} \right.
\mathrm { d } \sigma _ { \mathrm { s y s } } ( x _ { j } , T ( t ) ) = \frac { \kappa } { T ( t ) } x _ { j } \textrm { d } x _ { j } + \frac { k _ { \mathrm { B } } } { 2 T ( t ) } \left( 1 - \frac { \kappa x _ { j } ^ { 2 } } { k _ { \mathrm { B } } T ( t ) } \right) \textrm { d } T .
\int d \mathbf { r } \int _ { 0 } ^ { L _ { z } } d z \mathbf { f } _ { \mathbf { k } , \alpha } ^ { * } ( \mathbf { r } , z ) \mathbf { f } _ { \mathbf { k } , \alpha } ( \mathbf { r } , z ) = L _ { z } A .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } \mathcal { L } _ { i } ( \rho ) } & { = \sum _ { c = \mathrm { a } , \sigma } \frac { \gamma _ { \mathrm { c } } } { 2 } \left( 2 c \rho c ^ { \dagger } - c ^ { \dagger } c \rho - \rho c ^ { \dagger } c \right) + \sum _ { c = \mathrm { a } , \sigma } \frac { P _ { \mathrm { c } } } { 2 } \left( 2 c \rho c ^ { \dagger } - c ^ { \dagger } c \rho - \rho c ^ { \dagger } c \right) } \\ & { + \frac { \gamma _ { \phi } } { 2 } \left( \sigma ^ { \dagger } \sigma \rho \sigma ^ { \dagger } \sigma - \sigma ^ { \dagger } \sigma \rho - \rho \sigma ^ { \dagger } \sigma \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { A } _ { m } ^ { n + 1 } ( t ) = \boldsymbol { A } _ { m } ^ { * } ( t ) - \boldsymbol { k } _ { m } \frac { \boldsymbol { k } _ { m } \cdot \boldsymbol { A } _ { m } ^ { * } ( t ) } { \lvert \boldsymbol { k } _ { m } \rvert ^ { 2 } } , } \\ { \boldsymbol { B } _ { m } ^ { n + 1 } ( t ) = \boldsymbol { B } _ { m } ^ { * } ( t ) - \boldsymbol { k } _ { m } \frac { \boldsymbol { k } _ { m } \cdot \boldsymbol { B } _ { m } ^ { * } ( t ) } { \lvert \boldsymbol { k } _ { m } \rvert ^ { 2 } } . } \end{array}
p _ { 1 , x } = ( 1 - 2 x ) \left[ p _ { 0 } ^ { 4 } + 4 p _ { 0 } ^ { 3 } ( 1 - p _ { 0 } ) + 3 p _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - p _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] + x ,
i o n s w i l l b e a c c e l e r a t e d b y t h e E S S i n s t e a d o f p r o t o n s , t h e i r t w o e x t r a e l e c t r o n s w i l l b e s t r i p p e d a t t h e m o m e n t t h e y e n t e r t h e a c c u m u l a t o r r i n g : t h i s w i l l a v o i d s p a c e c h a r g e i s s u e s w h i c h w o u l d a r i s e f r o m t h e e l e c t r o m a g n e t i c r e p u l s i o n b e t w e e n t h e p r o t o n s a l r e a d y c i r c u l a t i n g w i t h i n t h e r i n g a n d t h o s e b e i n g i n j e c t e d . T h e l o n g E S S
f _ { \mathrm { i n j } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \gamma < \gamma _ { \mathrm { i n j } } } \\ { Q _ { \mathrm { i n j } } \gamma ^ { - p } , } & { \gamma \geq \gamma _ { \mathrm { i n j } } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { \partial _ { z } { w } + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r { u } ) , } \\ { \partial _ { r } { p } } & { { } = } & { \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r \tau _ { r r } ) + \partial _ { z } \tau _ { r z } - \frac { \tau _ { \theta \theta } } { r } , } \\ { \partial _ { z } { p } } & { { } = } & { \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r \tau _ { r z } ) + \partial _ { z } \tau _ { z z } . } \end{array}