harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\vec { K } _ { { \mathrm { \scriptsize ~ b f } } } = - \int \! \! d ^ { 3 } r \; \textstyle \, \mathrm { T r } \{ ( { \vec { L } } H _ { { \mathrm { \scriptsize ~ b f } } } + [ \textstyle \frac 1 2 { \vec { \sigma } } , H _ { { \mathrm { \scriptsize ~ b f } } } ] + H _ { { \mathrm { \scriptsize ~ b f } } } ( - \textstyle \frac 1 2 { \vec { \tau } } ) ) { \bar { H } } _ { { \mathrm { \scriptsize ~ b f } } } \} .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| 1 / \hat { f } - 1 / f \| _ { \infty } ^ { 4 } } & { \leq c _ { 2 } | ( 2 / m ) ^ { 4 } \exp \{ 4 \phi ( m / 2 ) \} | \cdot \mathbb { E } \| \exp \{ - 4 \sqrt { 2 } \widehat { H ( f ) } \} \| _ { \infty } + c _ { 3 } } \\ & { \leq c _ { 2 } | ( 2 / m ) ^ { 4 } \exp \{ 4 \phi ( m / 2 ) \} | \cdot \mathbb { E } \exp \{ 4 \sqrt { 2 } \| \widehat { H ( f ) } \| _ { \infty } \} + c _ { 3 } = \mathcal { O } ( T ) . } \end{array}
A ( 0 ) = \frac { g _ { a _ { 1 } \pi \sigma } ^ { 2 } } { 4 8 \pi } \left[ R e \ G ( M ^ { 2 } ) - M ^ { 2 } \ R e \ G ^ { \prime } ( M ^ { 2 } ) \right] , \, \ \ \ \ A ^ { \prime } ( 0 ) = \frac { g _ { a _ { 1 } \pi \sigma } ^ { 2 } } { 4 8 \pi } \Re \ G ^ { \prime } ( M ^ { 2 } )
\sum _ { \bf n } \xi ( { \overline { { { \alpha V } } } } , { \bf n } ) = \xi ( { \overline { { { \alpha V } } } } ) = ( M ( { \overline { { { \alpha V } } } } ) ) ^ { - 1 / 2 } \prod _ { \ell } [ 2 \sin ( \pi { \overline { { { \alpha T } } } } ^ { \, \ell } ) ] ~ ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { l } \left( \vec { r } \right) = } & { \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \phi _ { 2 } } d \Phi \left\{ \begin{array} { l l } & { \cos { \Phi } \left[ D ( \Phi ) + r \cos { \Phi } \sinh ^ { - 1 } { \beta _ { 1 } ( \Phi ) } \right] , } \\ & { \sin { \Phi } \left[ D ( \Phi ) + r \cos { \Phi } \sinh ^ { - 1 } { \beta _ { 1 } ( \Phi ) } \right] , } \\ & { \gamma \sinh ^ { - 1 } { \beta _ { 1 } ( \Phi ) } - r \cos { \Phi } \sinh ^ { - 1 } { \beta _ { 2 } ( \Phi ) } - r \sin { \Phi } \tan ^ { - 1 } { \beta _ { 3 } ( \Phi ) } , } \end{array} \right. } \\ & { l = r , \phi , z , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { M } } _ { 3 } ( \tilde { r } , t ) = } & { \; \int _ { 0 } ^ { \tilde { r } } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \left( \int _ { 0 } ^ { s } \mathcal { V } ( \sigma , t ) I ( \sigma , t ) \, \mathrm { d } \sigma \right) \, \mathrm { d } s + B _ { 3 } ( t ) \int _ { 0 } ^ { \tilde { r } } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { 2 } = A ^ { \prime } \left[ \frac { k _ { e p } } { k _ { e l } } ( 1 - e ^ { - k _ { e l } t } ) - ( 1 - e ^ { - k _ { e p } t } ) \right] , t \leq \tau } \\ & { C _ { 2 } = A ^ { \prime } \left[ \frac { k _ { e p } } { k _ { e l } } ( e ^ { k _ { e l } \tau } - 1 ) e ^ { k _ { e l } t } - ( e ^ { k _ { e p } \tau } - 1 ) e ^ { - k _ { e p } t } \right] , t > \tau } \end{array}
\frac { ( 2 k + 1 ) } { 2 \mu } \frac { \left( - 1 \right) ^ { k } } { \Gamma \left( \frac 1 2 \right) \Gamma \left( k + 1 \right) } \left( \frac { t } { 2 \mu } \right) ^ { 2 k } a _ { d + 2 k + 1 } \left[ 2 \ln ( \frac { t } { 2 \mu } ) - 2 + \Psi ( 1 ) + \sum _ { l = 0 } ^ { k - 1 } \frac 1 { k - l } \right]
\begin{array} { r l } { \frac { | e | E _ { y , 0 } } { m _ { e } \omega _ { 0 } c } = } & { a _ { 0 } \exp \left\{ - \left( \frac { \phi - \phi _ { 0 } } { \omega _ { 0 } \tau _ { 0 } / \sqrt { 2 \ln 2 } } \right) ^ { 2 } \right\} \cos ( \phi ) , } \\ { \frac { | e | E _ { y , 1 } } { m _ { e } \omega _ { 0 } c } = } & { a _ { 1 } \exp \left\{ - \left( \frac { \phi + 2 k _ { 0 } x - \phi _ { 1 } } { \omega _ { 0 } \tau _ { 0 } / \sqrt { 2 \ln 2 } } \right) ^ { 2 } \right\} \cos ( \phi + 2 k _ { 0 } x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { n } ( \lambda _ { 1 } , \dots , \lambda _ { M } ) = 1 } & { + \sum _ { m = 2 } ^ { M } \frac { p _ { m } } { p _ { 1 } } e ^ { - \lambda _ { m } + \lambda _ { 1 } } \left( \frac { \lambda _ { m } } { \lambda _ { 1 } } \right) ^ { n + 1 } } \\ & { + \sum _ { k = n + 2 } ^ { \infty } \lambda _ { 1 } ^ { k - ( n + 1 ) } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \frac { p _ { m } } { p _ { 1 } } e ^ { - \lambda _ { m } + \lambda _ { 1 } } \left( \frac { \lambda _ { m } } { \lambda _ { 1 } } \right) ^ { k } \frac { ( n + 1 ) ! } { k ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { H N C } } ( \boldsymbol { k } ) } & { = - \frac { 1 } { n } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { q } } { k ^ { 2 } } \frac { k ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \left[ S ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { q } ) - 1 \right] } \\ & { \quad \times \left\{ 1 - \left[ { G } ( \boldsymbol { q } ) - 1 \right] \left[ S ( \boldsymbol { q } ) - 1 \right] \right\} \, . } \\ { G _ { \mathrm { I E T } } ( \boldsymbol { k } ) } & { = \frac { { B } ( \boldsymbol { k } ) } { \beta { U } ( \boldsymbol { k } ) } - \frac { 1 } { n } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { q } } { k ^ { 2 } } \frac { k ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \left[ S ( | \boldsymbol { k } - \boldsymbol { q } | ) - 1 \right] } \\ & { \quad \times \left\{ - \frac { B ( \boldsymbol { q } ) } { \beta { U } ( \boldsymbol { q } ) } + 1 - \left[ G ( \boldsymbol { q } ) - 1 \right] \left[ S ( \boldsymbol { q } ) - 1 \right] \right\} \, , } \end{array}
\Delta \, P = ( \delta _ { 1 } \otimes 1 + 1 \otimes \delta _ { 1 } ) ^ { a _ { 1 } } \, ( \delta _ { 2 } \otimes 1 + 1 \otimes \delta _ { 2 } + R _ { 1 } ) ^ { a _ { 2 } } \ldots ( \delta _ { n } \otimes 1 + 1 \otimes \delta _ { n } + R _ { n - 1 } ) ^ { a _ { n } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathrm { p r e c i s i o n } ( a _ { n } > 1 ) } & { = \frac { \mathrm { t r u e ~ p o s i t i v e } } { \mathrm { t r u e ~ p o s i t i v e } + \mathrm { \bf ~ f a l s e ~ p o s i t i v e } } = \frac { \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ A } } { \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ A } + \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ C } } , } \\ { \mathrm { r e c a l l } ( a _ { n } > 1 ) } & { = \frac { \mathrm { t r u e ~ p o s i t i v e } } { \mathrm { t r u e ~ p o s i t i v e } + \mathrm { \bf ~ f a l s e ~ n e g a t i v e } } = \frac { \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ A } } { \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ A } + \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ B } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \left( \Bar { \phi } _ { r } \right) ( x ) } & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \phi \left( y \right) \left( \nabla \rho _ { r } \right) \left( x - y \right) \mathrm { d } y = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left( \phi \left( y \right) - \phi \left( x \right) \right) \left( \nabla \rho _ { r } \right) \left( x - y \right) \mathrm { d } y } \end{array}
\{ R _ { 1 1 1 } ^ { 1 1 1 } , R _ { 1 1 2 } ^ { 1 1 2 } , R _ { 1 2 1 } ^ { 1 2 1 } , R _ { 1 2 2 } ^ { 1 2 2 } , R _ { 2 1 1 } ^ { 2 1 1 } , R _ { 2 1 2 } ^ { 2 1 2 } , R _ { 2 2 1 } ^ { 2 2 1 } , R _ { 2 2 2 } ^ { 2 2 2 } \}
\begin{array} { r l r } { z ^ { \prime } ( s ) } & { = } & { k y ^ { \prime } ( s ) + x ( s ) ^ { N - 1 } [ N x ^ { \prime } ( s ) a ( x ( s ) , y ( s ) ) + x ( s ) ( a _ { x } ( x ( s ) , y ( s ) ) x ^ { \prime } ( s ) + a _ { y } ( x ( s ) , y ( s ) ) y ^ { \prime } ( s ) ) ] } \\ & { } & { + y ^ { \prime } ( s ) [ x ( s ) b ( x ( s ) , y ( s ) ) + x ( s ) y ( s ) b _ { y } ( x ( s ) , y ( s ) ) + 2 y ( s ) c ( y ( s ) ) + y ^ { 2 } ( s ) c ^ { \prime } ( y ( s ) ) ] } \\ & { } & { + y ( s ) [ x ^ { \prime } ( s ) b ( x ( s ) , y ( s ) ) + x ( s ) x ^ { \prime } ( s ) b _ { x } ( x ( s ) , y ( s ) ) ] } \\ & { \leq } & { k | y ^ { \prime } ( s ) | + C _ { 1 } x ( s ) ^ { N - 1 } + C _ { 2 } | y ^ { \prime } ( s ) | + C _ { 3 } | y ( s ) | } \\ & { \leq } & { ( k + C _ { 2 } ) ( 1 + \beta ) k z ^ { \prime } ( s ) + C _ { 1 } x ( s ) ^ { N - 1 } + C _ { 3 } B x ( s ) ^ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } } & { = \frac { \partial D } { \partial \varepsilon _ { x x } } = ( - 1 9 . 2 \pm 0 . 2 ) ~ \frac { \mathrm { G H z } } { \mathrm { s t r a i n } } \ \mathrm { , } } \\ { g _ { 2 } } & { = \frac { \partial ( D _ { x x } - D _ { y y } ) / 2 } { \partial \varepsilon _ { x x } } = ( 2 . 6 \pm 0 . 8 ) ~ \frac { \mathrm { G H z } } { \mathrm { s t r a i n } } \ \mathrm { , } } \\ { g _ { 2 } ^ { \prime } } & { = \frac { \partial ( D _ { x y } + D _ { y x } ) / 2 } { \partial \varepsilon _ { x x } } = 0 \ \mathrm { , } } \\ { g _ { 3 } } & { = \frac { \partial ( D _ { x x } - D _ { y y } ) / 2 } { \partial \varepsilon _ { x y } } \approx 0 \ \mathrm { , } } \\ { g _ { 3 } ^ { \prime } } & { = \frac { \partial ( D _ { x y } + D _ { y x } ) / 2 } { \partial \varepsilon _ { x y } } = ( 5 . 8 \pm 0 . 1 ) ~ \frac { \mathrm { G H z } } { \mathrm { s t r a i n } } \ \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textbf { f } \in H ^ { 1 } ( I ; \textbf { L } ^ { 2 } ( \Omega ) ) , \, \, \, \gamma \in H ^ { 1 } ( I , L ^ { 2 } ( \Omega ) ) , \, \, \, \gamma \ge 0 , } \\ & { \overline { { \gamma } } \in L ^ { 1 } ( I ; L ^ { 2 } ( \Gamma ) ) , \quad \overline { { \gamma } } \ge 0 \quad \mathrm { a . e . ~ \, \, \, ~ i n } \, \Gamma \times I , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho ^ { f } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho ^ { f } \boldsymbol { U } ) } & { = 0 } \\ { \frac { \partial \rho ^ { f } \boldsymbol { U } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho ^ { f } \boldsymbol { U } \boldsymbol { U } + p \mathbb { I } ) } & { = 0 } \\ { \frac { \partial E } { \partial t } + \nabla \cdot ( ( E + p ) \boldsymbol { U } ) } & { = 0 , } \end{array}
\langle s _ { x _ { 1 } } \ldots s _ { x _ { n } } \rangle _ { ( s | d ) } ^ { \mathrm { c } } = { \frac { \partial ^ { n } \ln { \mathcal { Z } } } { \partial j _ { x _ { 1 } } \ldots \partial j _ { x _ { n } } } } .
\left. \begin{array} { r l } { \check { g } \mathrm { ~ i s ~ a ~ m e a s u r a b l e ~ s y m m e t r i c ~ m a t r i x - v a l u e d ~ f u n c t i o n ~ w i t h ~ r e a l ~ e n t r i e s , } } & { } \\ { \alpha _ { 0 } \mathbf { 1 } \le \check { g } ( \mathbf { x } ) \le \alpha _ { 1 } \mathbf { 1 } , \qquad 0 < \alpha _ { 0 } \le \alpha _ { 1 } < \infty , } & { } \end{array} \; \right\rbrace
L _ { n } ( \mathcal { F } ) \leq C \operatorname* { i n f } _ { \alpha > 0 } \left( 2 \alpha + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \int _ { \alpha } ^ { \infty } \sqrt { { \log \mathcal { N } ( \mathcal { F } , u , \| \cdot \| _ { \infty } ) } } \mathrm { d } u + \frac { 1 } { { n } } \int _ { \alpha } ^ { \infty } { \log \mathcal { N } ( \mathcal { F } , u , \| \cdot \| _ { \infty } ) } \mathrm { d } u \right)
\begin{array} { r l } & { \rho _ { s l } ^ { ( 1 ) } ( t , \tilde { t } ) = \delta _ { k _ { m } 1 } \delta _ { l _ { m } l } \left\langle T _ { \leftarrow } \prod _ { i = 1 . i \neq m } ^ { M } B _ { l _ { i } } ^ { ( k _ { i } ) } ( i ) \right\rangle _ { B } } \\ & { \qquad \sum _ { k _ { 1 } \dots k _ { M } } \sum _ { l _ { 1 } \dots l _ { M } } T _ { \leftarrow } A _ { l } ^ { ( 1 ) } ( m ) \left( \prod _ { i = 1 , i \neq m } ^ { M } \varepsilon ^ { k _ { i } } A _ { l _ { i } } ^ { ( k _ { i } ) } ( i ) \right) \rho _ { s } ( t _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E ( \Delta D ^ { 3 } ) = \frac { 1 } { 3 ! } \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j } \left( \sum _ { k l , m n } \left( \frac { \partial ^ { 2 } F [ \rho ] _ { i j } } { \partial D _ { k l } \partial D _ { m n } } \right) _ { \rho ^ { T } } \Delta D _ { k l } \Delta D _ { m n } \right) \Delta D _ { i j } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \bar { D } } { D t } \frac { \rho ^ { \prime } } { \bar { \rho } } + \bar { u } \frac { \partial } { \partial x } \left( \frac { u ^ { \prime } } { \bar { u } } \right) = 0 , } \\ & { \frac { \bar { D } } { D t } \left( \frac { u ^ { \prime } } { \bar { u } } \right) + \left( 2 \frac { u ^ { \prime } } { \bar { u } } + \frac { \rho ^ { \prime } } { \bar { \rho } } - \frac { p ^ { \prime } } { \bar { p } } \right) \left( \frac { \partial \bar { u } } { \partial x } \right) + \frac { 1 } { \bar { \gamma } } \left( \frac { \bar { u } } { \bar { M } ^ { 2 } } \right) \frac { \partial } { \partial x } \frac { p ^ { \prime } } { \bar { p } } = 0 , } \\ { \bar { \rho } } & { \frac { \bar { D } } { D t } \left( \frac { s ^ { \prime } } { \bar { c } _ { p } } \right) = - \frac { 1 } { \bar { T } \bar { c } _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { \bar { \mu } _ { i } } { \bar { W } _ { i } } \right) \dot { \omega } _ { i } ^ { \prime } , } \\ { \bar { \rho } } & { \frac { \bar { D } Y _ { i } ^ { \prime } } { D t } = { \Dot \omega _ { i } ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { \Phi } ( \mathbf { x } , z , 0 ) , \, \hat { \mathrm { I } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left\{ \bigl [ \hat { \phi } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] + \bigl [ \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] \right\} } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \left\{ \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) - \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { l , m } = \int _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } } & { { } \int _ { \theta = 0 } ^ { 2 \pi } \mathop { r } \mathop { d r } \mathop { d \theta } ~ \mathrm { E } _ { \mathrm { H G } } ( r , \theta , z _ { f } ) } \end{array}
( \tilde { \Sigma } \lambda ^ { - } \hat { G } _ { C } v _ { C } ) ^ { + } + ( \tilde { \Sigma } \Lambda ^ { -- } F ^ { \prime } v _ { C } \hat { G } _ { C } v _ { C } ) ^ { + } = - ( \tilde { \Sigma } \Lambda ^ { -- } F ^ { \prime } \Gamma _ { 0 } v _ { C } ) ^ { + } = K _ { \Sigma } - K _ { C } ^ { + } .
\frac { 1 } { Q _ { i } } = \frac { \intop \, \varepsilon ( \mathbf { r } ) \, | E _ { 0 } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } \, \tan \delta _ { t l s } ( \mathbf { r } ) \ d \mathbf { r } ^ { 3 } } { \intop \, \varepsilon ( \mathbf { r } ) \, | E _ { 0 } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } \ d \mathbf { r } ^ { 3 } } ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j < i } \left( [ 2 \mid a _ { j } ] a _ { j } + 2 [ r ( \lambda _ { j } ) = 1 ] \right) - \sum _ { j < i } \left( [ r ( \lambda _ { j } ) = 1 ] - [ r ( \lambda _ { j } ) = 3 ] \right) } \\ { = } & { \sum _ { j < i } \left( [ 2 \mid a _ { j } ] a _ { j } + [ r ( \lambda _ { j } ) = 1 ] + [ r ( \lambda _ { j } ) = 3 ] \right) = C _ { i } . } \end{array}
\mathcal { M } _ { 4 } ^ { ( n ) } \sim \frac { 2 ^ { 1 - D } g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } \sqrt { \pi ^ { D } } \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) M _ { W } ^ { 2 } } \int ^ { \Lambda } \frac { k ^ { D - 1 } d k } { k ^ { 8 n } } = \frac { 2 ^ { 1 - D } g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } \sqrt { \pi ^ { D } } M _ { W } ^ { 2 } \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) ( D - 8 n ) } \Lambda ^ { D - 8 n } \, .
C _ { A B } ( \omega ) = ( C ( \omega ) ) _ { A B } = \frac { 1 } { 2 } \left( U \tilde { C } _ { \boldsymbol { f } \boldsymbol { f } ^ { \dagger } } ( \omega ) U ^ { \dagger } + ( U \tilde { C } _ { \boldsymbol { f } \boldsymbol { f } ^ { \dagger } } ( \omega ) U ^ { \dagger } ) ^ { \top } \right) _ { A B } .
\begin{array} { r l } { \varphi ( t ) \approx } & { \frac { A _ { 0 } } { R } \sqrt { \frac { \tau _ { 0 } } { \tau } } \exp { \left( - \frac { ( t - t _ { s } ) ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } \right) } } \\ & { \times \cos { \left( \omega _ { 0 } ( t - t _ { s } ) - \frac { \omega _ { 0 } } { 4 \delta t } ( t - t _ { s } ) ^ { 2 } \right) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( t ^ { \ast } \leq t ; t > \Delta t ) } & { { } = P _ { \mathrm { e } } ( t ^ { \ast } \leq \Delta t ) + P _ { \mathrm { e } } ( t ^ { \ast } > \Delta t ) P _ { \mathrm { e } } ( t ^ { \ast } \leq t - \Delta t ) } \end{array}
\Lambda \simeq \pi \int _ { 0 } ^ { \gamma t _ { E W } } \, d R \, R ^ { 2 } \, R _ { s } \, n \left( R , t _ { E W } \right) = \frac { \pi } { 3 } \, \nu \, \gamma ^ { 1 / 2 } \left( \frac { R _ { s } } { t _ { E W } } \right) \ .
W [ f ( t ) ; x _ { f } , t _ { f } ; x _ { i } , t _ { i } ] \equiv \int _ { q ( t _ { i } ) = x _ { i } } ^ { q ( t _ { f } ) = x _ { f } } { \cal D } q ( t ) \exp \left\{ i \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } d t \ [ \ { \cal L } [ q ( t ) , \dot { q } ( t ) ] - f ( t ) q ( t ) \ ] \right\} .
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \frac { \lambda ^ { \prime } \sqrt { 2 \Omega ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } + 8 \lambda ^ { 2 } } } { 2 \Omega ^ { 2 } } , ~ b = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , } \\ { c } & { { } = \frac { \delta \sqrt { 8 \lambda ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } } } { 2 \lambda ^ { 2 } } , ~ d = \frac { \lambda ^ { \prime } \sqrt { 2 \Omega ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } + 8 \lambda ^ { 2 } } } { 2 \Omega ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { \ddot { T } _ { k } } { 1 - \dot { T } ^ { 2 } } + \frac { 2 \dot { T } \ddot { T } } { ( 1 - \dot { T } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \dot { T } _ { k } + \left[ k ^ { 2 } + ( \log V ) _ { , T T } \right] T _ { k } = 0 \ .
\alpha _ { k } = \frac { \delta t } { 1 + \delta t q _ { k } \frac { \| \nabla f ( \theta _ { k } ) \| ^ { 2 } } { f ( \theta _ { k } ) } } = \frac { 1 } { 1 / \delta t + q _ { k } \frac { \| \nabla f ( \theta _ { k } ) \| ^ { 2 } } { f ( \theta _ { k } ) } } \leq \operatorname* { m i n } \left\{ \delta t , \frac { f ( \theta _ { k } ) } { q _ { k } \| \nabla f ( \theta _ { k } ) \| ^ { 2 } } \right\} .
\left[ \Pi _ { V + A ; u d } ^ { ( 0 + 1 ) } - \Pi _ { V + A ; u s } ^ { ( 0 + 1 ) } \right] _ { D = 2 } = { \frac { 3 } { 2 \pi ^ { 2 } } } { \frac { m _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { Q ^ { 2 } } } \left[ 1 + { \frac { 7 } { 3 } } a + 1 9 . 9 3 3 2 a ^ { 2 } + \cdots \right]
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \bar { H } } = \left( \begin{array} { l l } { E _ { 0 } } & { \boldsymbol { \eta } ^ { \mathrm { T } } } \\ { \boldsymbol \Omega } & { \boldsymbol { J } + E _ { 0 } \boldsymbol { I } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { E _ { 0 } } & { \boldsymbol { \eta } ^ { \mathrm { T } } } \\ { \boldsymbol 0 } & { \boldsymbol { J } + E _ { 0 } \boldsymbol { I } } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \frac { \delta } { \delta \phi ( x ) } } = { \frac { \delta \hat { x } _ { 0 } } { \delta \phi ( x ) } } { \frac { \delta } { \delta \hat { x } _ { 0 } } } + \sum _ { m \neq 0 } { \frac { \delta Q _ { m } } { \delta \phi ( x ) } } { \frac { \delta } { \delta Q _ { m } } } .
{ \bf { y } } = \sigma \left( { { \bf { w } } \cdot { \bf { x } } + { \bf { b } } } \right) \cdot { \left( { \left[ { { g _ { 1 } } , { g _ { 2 } } , { g _ { 3 } } } \right] \times \left[ \begin{array} { l } { { \bf { m a s } } { { \bf { k } } _ { 1 } } } \\ { { \bf { m a s } } { { \bf { k } } _ { 2 } } } \\ { { \bf { m a s } } { { \bf { k } } _ { 3 } } } \end{array} \right] } \right) ^ { T } }
\begin{array} { r l r } { d r ^ { \mu } } & { = } & { d r ^ { \prime \mu } + \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } d \phi ^ { \prime } + \varepsilon ( d r _ { 1 } ^ { \prime \mu } ) _ { \phi ^ { \prime } } } \\ & { } & { + \varepsilon \frac { \partial r _ { 2 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } d \phi ^ { \prime } + \varepsilon ^ { 2 } ( d r _ { 2 } ^ { \prime \mu } ) _ { \phi ^ { \prime } } . } \end{array}
\theta _ { \mathrm { { B L } } } = - \delta ^ { - 1 } \psi _ { \mathrm { { B L } } } = - \delta ^ { - 1 } \left( \frac { z _ { c } \beta _ { 1 } x _ { \mathrm { { L } } } ^ { 2 } } { 2 } + A _ { 0 } x _ { \mathrm { { L } } } + z _ { c } - c - \delta \frac { A _ { 1 } } { A _ { 0 } } x _ { \mathrm { { L } } } \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname { a r c o t h } x = \operatorname { a r t a n h } { \frac { 1 } { x } } } & { { } = x ^ { - 1 } + { \frac { x ^ { - 3 } } { 3 } } + { \frac { x ^ { - 5 } } { 5 } } + { \frac { x ^ { - 7 } } { 7 } } + \cdots } \end{array}
\large ( S S N _ { 2 7 } ^ { n } \rightarrow M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } \large ) _ { 1 l i n k } = I ( M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } ; S S N _ { 2 7 } ^ { n } | \Delta \theta ^ { n } )
\begin{array} { r l r } { U _ { \mathrm { H V } } } & { { } = } & { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H V } } \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { H V } } \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) } \end{array}
{ \mathcal { Z } } ( \mathbf { W } ^ { n } , { \boldsymbol { \tilde { \eta } } } _ { i } ) : = { \mathbf { \mathcal { F } } } ( \mathbf { W } ^ { n } ) { \boldsymbol { \tilde { \eta } } } _ { i } , \quad \mathrm { w i t h } \quad \mathbf { \mathcal { F } } ( \mathbf { W } ^ { n } ) = \left( \mathbf { \mathcal { F } } ^ { \rho } ( \mathbf { W } ^ { n } ) , \mathbf { \mathcal { F } } ^ { \mathbf { w } _ { \mathbf { u } } } ( \mathbf { W } ^ { n } ) \right) ^ { T } .
R _ { \mathrm { C C , S N O } } \simeq \frac { \left[ R _ { \mathrm { S K } } - f _ { B } \left( \sigma _ { \mathrm { N C ; } \, \nu - e } / \sigma _ { \mathrm { C C ; } \, \nu - e } \right) \right] } { \left[ 1 - \sigma _ { \mathrm { N C ; } \, \nu - e } / \sigma _ { \mathrm { C C ; } \, \nu - e } \right] } \approx 1 . 2 \left[ 0 . 4 7 5 - 0 . 1 6 \times f _ { B } \right] .
\delta _ { n } ( t + 1 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } \zeta _ { n } ( t ) = 1 \textrm { a n d \ensuremath { \xi _ { n , m } ( t ) \geq \xi _ { \mathrm { t h } } , } } } \\ { \textrm { m i n } ( \delta _ { n } ( t ) + 1 , \delta _ { \operatorname* { m a x } } ) , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } & { A _ { 1 } \cos ( \omega t + \theta _ { 1 } ) + A _ { 2 } \cos ( \omega t + \theta _ { 2 } ) } \\ { = } & { \operatorname { R e } \left( A _ { 1 } e ^ { i \theta _ { 1 } } e ^ { i \omega t } \right) + \operatorname { R e } \left( A _ { 2 } e ^ { i \theta _ { 2 } } e ^ { i \omega t } \right) } \\ { = } & { \operatorname { R e } \left( A _ { 1 } e ^ { i \theta _ { 1 } } e ^ { i \omega t } + A _ { 2 } e ^ { i \theta _ { 2 } } e ^ { i \omega t } \right) } \\ { = } & { \operatorname { R e } \left( \left( A _ { 1 } e ^ { i \theta _ { 1 } } + A _ { 2 } e ^ { i \theta _ { 2 } } \right) e ^ { i \omega t } \right) } \\ { = } & { \operatorname { R e } \left( \left( A _ { 3 } e ^ { i \theta _ { 3 } } \right) e ^ { i \omega t } \right) } \\ { = } & { A _ { 3 } \cos ( \omega t + \theta _ { 3 } ) , } \end{array} }
E _ { \epsilon } ( t ) \, \le \, c _ { 3 } \Bigl ( \epsilon ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 \gamma _ { 3 } } } { \delta ^ { 2 } } \Bigr ) \, , \qquad t \in ( 0 , T _ { \mathrm { a d v } } \delta ^ { - \sigma } ) \, ,
\rho _ { B } = \frac { 1 } { 3 } \times 3 \times 2 \times \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \Big ( \sum _ { u , d , s } \sin ^ { 2 } \theta _ { - } ^ { i } - \sum _ { u , d , s } \sin ^ { 2 } \theta _ { + } ^ { i } \Big ) d \vec { k } ,
g = \frac { 1 } { N } \frac { G } { G _ { 0 } } = \frac { \tilde { \Gamma } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } + \tilde { \Gamma } ^ { 2 } } = \underbrace { \frac { \tilde { \Gamma } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } } } _ { g _ { 3 } } \left[ 1 + \mathcal { O } \left( \frac { \tilde { \Gamma } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \right]
a _ { m } = \frac { 1 } { - 8 \mu _ { m } ^ { \prime } + 4 \zeta _ { m } ^ { 2 } } \Bigg ( \mu _ { m } ^ { \prime } \Big ( - 5 6 \mu _ { m } ^ { \prime } + 7 0 \zeta _ { m } ^ { 2 } + 4 \kappa _ { m } \Big ) - 3 \zeta _ { m } ^ { 2 } \Big ( 1 4 \zeta _ { m } ^ { 2 } + \kappa _ { m } - 6 \mu _ { m } ^ { \prime } \Big ) \Bigg ) e x p \Bigg ( \frac { 1 2 \zeta _ { m } ^ { 2 } } { \kappa _ { m } } \Bigg ) ,
\omega = \frac { 1 } { 2 } ( { \bar { \omega } } _ { d i } + \omega _ { \ast p i } ) \pm \frac { 1 } { 2 } \left[ ( \omega _ { \ast p i } - { \bar { \omega } } _ { d i } ) ^ { 2 } - \frac { 4 \omega _ { A } ^ { 2 } \sqrt { \epsilon } } { q _ { m i n } ^ { 2 } c _ { 0 } } \left( \frac { n \left( \delta { \hat { W } } _ { n f } + \mathrm { R e } ( { \delta { \hat { W } } _ { n k } ( \omega _ { r } ) ) } \right) ^ { 2 } } { \left| k _ { \parallel n 0 } q _ { m i n } R _ { 0 } \right| S ^ { 2 } } - k _ { \parallel n 0 } ^ { 2 } q _ { m i n } ^ { 2 } R _ { 0 } ^ { 2 } \right) \right] ^ { 1 / 2 } ,