harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \{ u _ { 2 } , u _ { 4 } , u _ { 5 } \} = } & { - \frac { 8 2 0 9 3 1 4 7 8 1 9 2 9 } { 7 0 9 9 8 2 9 2 1 9 2 } u _ { 2 } ^ { 4 } - \frac { 4 9 9 9 2 9 9 0 3 4 7 7 } { 9 0 9 8 7 5 5 9 0 } u _ { 4 } ^ { 2 } u _ { 1 } + \frac { 3 8 3 2 8 6 2 1 9 7 5 3 3 3 } { 3 6 3 9 5 0 2 3 6 0 } u _ { 4 } ^ { 2 } u _ { 2 } + \frac { 4 9 0 8 0 9 4 7 3 3 8 8 8 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 3 } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 8 4 3 7 6 3 5 6 4 5 3 2 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 5 } ^ { 2 } + \frac { 2 9 6 4 0 4 5 3 2 7 3 2 3 4 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 1 } ^ { 3 } u _ { 2 } - \frac { 1 2 1 1 5 6 8 8 4 8 9 6 1 9 2 1 } { 1 1 5 3 7 2 2 2 4 8 1 2 0 } u _ { 2 } ^ { 3 } u _ { 1 } - \frac { 7 0 1 7 2 2 2 5 5 1 9 2 8 3 } { 1 1 0 9 3 4 8 3 1 5 5 0 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 4 4 3 3 5 2 6 6 6 0 1 2 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 3 } - \frac { 5 8 3 4 2 6 9 2 6 8 1 6 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 5 } + \frac { 6 5 0 3 1 8 0 7 4 0 0 2 6 3 } { 1 1 5 3 7 2 2 2 4 8 1 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 3 } + \frac { 8 9 2 3 7 1 2 0 8 5 5 9 4 } { 1 4 4 2 1 5 2 8 1 0 1 5 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 5 } } \\ & { - \frac { 5 7 2 5 0 7 8 7 0 5 5 9 2 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 3 } u _ { 5 } } \end{array}
{ \sqrt { { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } } } = { \sqrt { { \frac { 1 } { n } } \left( x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + x _ { n } ^ { 2 } \right) } }
\sum _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } \in { \bf Z } } = \int d \alpha _ { 1 } d \alpha _ { 2 } d \alpha _ { 3 } \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } \in { \bf Z } } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \delta ( \alpha _ { i } - n _ { i } ) = \int d \alpha _ { 1 } d \alpha _ { 2 } d \alpha _ { 3 } \sum _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } \in { \bf Z } } \exp \left( 2 \pi i \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } m _ { i } \right)
\delta \partial _ { i } \partial _ { j } \psi = - \partial _ { i } \partial _ { j } \partial _ { k } \psi \delta x _ { k } - \partial _ { i } \partial _ { k } \psi \theta _ { l } \epsilon _ { k l j } - \partial _ { j } \partial _ { k } \psi \theta _ { l } \epsilon _ { k l i }
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i s } ( \phi _ { k } ^ { r } ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \overline { { \mathbb B } } _ { r } } \left\vert ( \phi _ { k } ^ { r } ) ^ { * } d ( x , y ) - d _ { \rho _ { c } } ( x , y ) \right\vert = \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \overline { { \mathbb B } } _ { r } } \left\vert d ( \phi _ { k } ( x ) , \phi _ { k } ( y ) ) - d _ { \rho _ { c } } ( x , y ) \right\vert } \\ & { \leqslant \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \overline { { \mathbb B } } _ { r } } \left\vert d ( \phi _ { k } ( x ) , \phi _ { k } ( y ) ) - d _ { u _ { k } } ( x , y ) \right\vert + \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \overline { { \mathbb B } } _ { r } } \left\vert d _ { u _ { k } } ( x , y ) - d _ { \rho _ { c } } ( x , y ) \right\vert } \\ & { \leqslant \mathrm { d i s } ( \phi _ { k } ) + \| d _ { u _ { k } } - d _ { \rho _ { c } } \| _ { L ^ { \infty } ( \overline { { \mathbb B } } _ { r } \times \overline { { \mathbb B } } _ { r } ) } \to 0 \mathrm { \quad ~ a s \quad } k \to \infty . } \end{array}
u _ { 0 } ( \theta ^ { \prime } ) = - { \frac { c _ { 1 } l ^ { d - 1 } } { 2 ^ { d } } } ( 2 k _ { + } + d ) { \frac { 1 } { k _ { + } } } \int _ { S ^ { d } } ( \sin ^ { 2 } { \frac { \gamma } { 2 } } ) ^ { k _ { + } } u _ { 1 } ( \theta ) d \mu ( \theta ) ~ ~
\mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } \to - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } , \; \; \; , \; \; \; \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } \to - \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } \; \; \; \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \to - \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \; , \; \; \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \to - \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
y _ { \mathrm { c o } } ( \theta ) = \beta _ { y } ( \theta ) ^ { 1 / 2 } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \frac { \nu _ { y } ^ { 2 } f _ { k } e ^ { i k \phi _ { y } ( \theta ) } } { \nu _ { y } ^ { 2 } - k ^ { 2 } }
\frac e { 2 \sin \theta \cos \theta } \left( \begin{array} { c c c } { { \overline { { { d _ { L } } } } } } & { { \ \overline { { { s _ { L } } } } } } & { { \overline { { { b _ { L } } } } } } \end{array} \right) \gamma ^ { \mu } \left[ - 1 + \frac 2 3 \sin ^ { 2 } \theta + \frac { \sin ^ { 4 } \phi } x - \frac { \sin ^ { 2 } \phi } x L _ { d } ^ { \dagger } G L _ { d } \right] \left( \begin{array} { c } { { d _ { L } } } \\ { { s _ { L } } } \\ { { b _ { L } } } \end{array} \right) Z _ { \mu } \, ,
U _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r _ { 2 } } , \mathbf { r } _ { 3 } ) = E _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r _ { 2 } } , \mathbf { r } _ { 3 } ) - E _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) - E _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 2 } , \mathbf { r } _ { 3 } ) - E _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 3 } , \mathbf { r } _ { 1 } ) + 3 E _ { 1 } ,
\mathcal { U } ( \mathcal { R } ) = m \Omega ^ { 2 } \left\{ \left[ \mathcal { R } ^ { 2 } ( \kappa _ { 0 } + \kappa _ { 1 } e ^ { - \mathcal { R } ^ { 2 } / d ^ { 2 } } ) + \kappa _ { 2 } ( e ^ { - 2 ( \mathcal { X } / d ) ^ { 2 } } + e ^ { - 2 ( \mathcal { Y } / d ) ^ { 2 } } ) \right] + i \kappa _ { 3 } \left( \frac { \mathcal { X } } { d } e ^ { - 2 ( \mathcal { X } / d ) ^ { 2 } } + \frac { \mathcal { Y } } { d } e ^ { - 2 ( \mathcal { Y } / d ) ^ { 2 } } \right) \right\} ,
\begin{array} { r } { \int \frac { \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \rangle ^ { - d - 1 } } { | q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } - q _ { i ^ { * } - 1 } | } \frac { \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } - q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 2 } \rangle ^ { - d - 1 } } { | \frac { 1 } { 2 } q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } ^ { 2 } - \tilde { \nu } - i \zeta | } \, d q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \leq C | \log ( \zeta ) | . } \end{array}
u _ { a } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \nabla _ { b } \sigma _ { a b } ( { \pmb x } ) - v _ { a } ( { \pmb x } ) \nabla _ { b } \pi _ { a b } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = \nabla _ { b } \left( u _ { a } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \sigma _ { a b } ( { \pmb x } ) - v _ { a } ( { \pmb x } ) \pi _ { a b } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \right)
\begin{array} { r l r } { \mathcal { M } \Big [ \mathcal { P } _ { A ^ { \prime } } [ p ^ { \prime } ( a ) ] \Big ] } & { { } = } & { \sum _ { a ^ { \prime } \in A ^ { \prime } } \exp \Big ( t \, p ( a | a ^ { \prime } ) \Big ) p ( a ^ { \prime } ) } \end{array}
0 = - \Delta p 2 \pi r \, \mathrm { d } r + 2 \pi \mu \, \mathrm { d } r \, \Delta x { \frac { \mathrm { d } v } { \mathrm { d } r } } + 2 \pi r \mu \, \mathrm { d } r \, \Delta x { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } v } { \mathrm { d } r ^ { 2 } } } + 2 \pi \mu ( \mathrm { d } r ) ^ { 2 } \, \Delta x { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } v } { \mathrm { d } r ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { d } = } & { \frac { i } { 2 \pi \epsilon _ { d } } \int \frac { d ^ { 2 } \mathbf { q } } { w _ { d } } \left[ k _ { d } ^ { 2 } \mathbf { p } - \mathbf { k } _ { d } ( \mathbf { k } _ { d } \cdot \mathbf { p } ) \right] } \\ & { \exp \left[ i \mathbf { q } \cdot \left( \boldsymbol { \rho } - \boldsymbol { \rho } _ { d } \right) + i w _ { d } \left\vert z - z _ { d } \right\vert \right] , } \end{array}
\tilde { \phi } ( q ) = 2 ^ { d / 2 } \pi ^ { \frac { ( d - 2 ) } { 2 } } 3 ^ { 1 / 2 } \left| q \right| ^ { 1 - ( d / 2 ) } K _ { \frac { d } { 2 } - 1 } ( \left| q \right| ) \, ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho u _ { \alpha } ) } & { + \frac { \partial \sum _ { \sigma } ( p ^ { \sigma } \delta _ { \alpha \beta } + \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } u _ { \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { \beta } } } \\ & { + \frac { \partial \sum _ { \sigma } ( P _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } + U _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { \beta } } = 0 , } \end{array} } \end{array}
< D ^ { + } \rho ^ { - } | { \cal H } _ { e f f } | \bar { B } ^ { 0 } > = - \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } V _ { c b } V _ { u d } ^ { * } a _ { 1 } f _ { B } ( \epsilon ^ { * } \cdot p _ { D ^ { + } } ) 2 m _ { \rho } A _ { 0 } ^ { D \to \rho } ( 0 ) .
\begin{array} { r l r l } { z ^ { 2 } } & { { } = \frac { 4 n ^ { 2 } a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } { 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } \frac { 1 } { s _ { n } s ( 1 - s ) } \left[ 1 - \frac { 1 } { s _ { n } s ( 1 - s ) } \right] , } & { s _ { n } } & { { } = \frac { 2 n \eta } { 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } , } \end{array}
V = \lambda \left( \phi ^ { \dagger } \phi - \frac { 1 } { 2 } f \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \lambda f ^ { 2 } - \lambda f \phi ^ { \dagger } \phi + \lambda ( \phi ^ { \dagger } \phi ) ^ { 2 } ~ .
( { \dot { q } } _ { 2 N + 2 } , { \dot { q } } _ { 2 N + 3 } , \dots , { \dot { q } } _ { 3 N } ) = ( { \dot { z } } _ { 2 } , { \dot { z } } _ { 3 } , \dots , { \dot { z } } _ { N } )
\langle \hat { c } _ { { 1 } , \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { { 1 } , \sigma } ^ { \phantom { \dagger } } \rangle = \langle \hat { c } _ { { 1 } , \uparrow } ^ { \phantom { \dagger } } \hat { c } _ { { - 1 } , \downarrow } ^ { \phantom { \dagger } } \rangle = 0 , \ \textnormal { a n d } \ \langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \rangle = N _ { m } ( 0 ) ,
\operatorname* { s u p } _ { n \in \mathbb { Z } } \, \big | \mathcal { M } ( S _ { h } ^ { n } u ) - \mathcal { M } ( u ) \big | \leq C | h | ^ { p } | u | ^ { 2 } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \operatorname* { s u p } _ { n \in \mathbb { Z } } \, \big | \mathcal { H } ( S _ { h } ^ { n } u ) - \mathcal { H } ( u ) \big | \leq C | h | ^ { p } | u | ^ { 2 } ,
{ \hat { H } } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { { \hat { p } } _ { n } ^ { 2 } } { 2 m _ { n } } } + V ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { N } , t ) \, , \quad { \hat { p } } _ { n } = - i \hbar { \frac { \partial } { \partial x _ { n } } }
\varphi = \tan ^ { - 1 } \left[ \sinh \left( { \frac { y } { R } } \right) \right] = \tan ^ { - 1 } \left[ \sinh \pi \right] = \tan ^ { - 1 } \left[ 1 1 . 5 4 8 7 \right] = 8 5 . 0 5 1 1 3 ^ { \circ } .
\begin{array} { r } { { V a r } _ { B , C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big ] = { E } _ { B } \Bigg [ { V a r } _ { C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big | b \Big ] \Bigg ] + { V a r } _ { B } \Big [ p ( a | b ) \Big ] . } \end{array}
\operatorname { H o m } _ { \mathfrak { g } } ( \operatorname { I n d } _ { \mathfrak { h } } ^ { \mathfrak { g } } W , E ) \simeq \operatorname { H o m } _ { \mathfrak { h } } ( W , \operatorname { R e s } _ { \mathfrak { h } } ^ { \mathfrak { g } } E )
\begin{array} { r l } { \left. \mathrm { I m [ r _ { s \rightarrow s } ( \Phi ^ { ' } ) ] } \right| _ { \Phi ^ { \prime } = 0 } } & { \simeq \left. \frac { \mathrm { d } \mathrm { I m } [ r _ { s \rightarrow s } ( \Phi ^ { \prime } ) ] } { \mathrm { d } \Phi ^ { \prime } } \right| _ { \Phi ^ { \prime } = 0 } \times \delta \Phi ^ { ' } } \\ & { = \left. \frac { \mathrm { d } \mathrm { I m } [ r _ { s \rightarrow s } ( \Phi ^ { \prime } ) ] } { \mathrm { d } \Phi ^ { \prime } } \right| _ { \Phi ^ { \prime } = 0 } \times \frac { 4 \omega _ { 0 } \delta l _ { \mathrm { P C C } } } { c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { { \nabla \cdot } \, } ( { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) { \mathbf v } ) } & { = \sum _ { i } ( { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) { \mathbf v } ) _ { i , i } = \sum _ { i j } ( { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) _ { i j } { \mathbf v } _ { j } ) _ { , i } = \sum _ { i j } \big ( { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) _ { i j } { \mathbf v } _ { j , i } + { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) _ { i j , i } { \mathbf v } _ { j } \big ) } \\ & { = \sum _ { i j } { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) _ { i j } { \mathbf v } _ { j , i } + \sum _ { i j } ( { \mathbf u } _ { i , j i } + { \mathbf u } _ { j , i i } ) { \mathbf v } _ { j } } \\ & { = { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : \nabla { \mathbf v } ^ { t } + { \mathbf v } \cdot \nabla ( { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf u } ) + \Delta { \mathbf u } \cdot { \mathbf v } . } \end{array}
U _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } = \sum _ { i } k _ { \mathrm { ~ b ~ } } ( r _ { i , i + 1 } - b _ { 0 } ) ^ { 2 } + \sum _ { i , j } \phi ^ { \mathrm { ~ v ~ d ~ w ~ } } ( r _ { i j } ) + \sum _ { i , j } \phi ^ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ( r _ { i j } ) ,
\begin{array} { r l } { \| e ^ { i t P _ { m } ^ { 1 / 2 } } \varphi ( - h ^ { 2 } \Delta _ { g } ) u _ { 0 } \| _ { L ^ { p } ( I , L ^ { q } ( \mathcal { M } ) ) } } & { \leq \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \int _ { I _ { c _ { n } } } \| e ^ { i t P _ { m } ^ { 1 / 2 } } \varphi ( - h ^ { 2 } P _ { 0 } ) u _ { 0 } \| _ { L ^ { q } ( \mathcal { M } ) } d t \right) ^ { 1 / p } } \\ & { \leq C N ^ { 1 / p } h ^ { - \gamma _ { p , q } ^ { \mathrm { K G } } } \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } \leq C h ^ { - \gamma _ { p , q } ^ { \mathrm { K G } } - \frac { 1 } { 2 p } } \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = i \sum _ { \mathbf { k } } { \sum _ { \mu = \pm 1 } \omega { \left( { \mathbf { e } ^ { ( \mu ) } } ( \mathbf { k } ) a _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) { e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } } - { { \overline { { \mathbf { e } } } } ^ { ( \mu ) } } ( \mathbf { k } ) { \bar { a } } _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) { { e } ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } } \right) } } } \\ { \mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = i \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { \mu = \pm 1 } \left\{ \left( \mathbf { k } \times { { \mathbf { e } } ^ { ( \mu ) } } ( \mathbf { k } ) \right) a _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } - \left( \mathbf { k } \times { { \overline { { \mathbf { e } } } } ^ { ( \mu ) } } ( \mathbf { k } ) \right) { \bar { a } } _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) { { e } ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } } \right\} } \end{array}
\displaystyle \frac { 1 } { \lambda - x } = \displaystyle \frac { 1 } { \epsilon } = \displaystyle \frac { ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z _ { N } ( x + \epsilon ) } i Z _ { _ { N } } ^ { \prime } ( x + \epsilon ) } { 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z _ { N } ( x + \epsilon ) } } + . . . = { \cal R } _ { \delta } ( x + \epsilon ) + . . .
\begin{array} { r l } { \left[ R \left( e ^ { j } - e ^ { j ^ { \prime } } \right) \right] _ { i } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { J } R _ { i l } \left( e _ { l } ^ { j } - e _ { l } ^ { j ^ { \prime } } \right) = \sum _ { l = 1 } ^ { J } \mu _ { l } ^ { * } \mathbf { 1 } _ { \left\{ b ( l ) = i \right\} } \left( e _ { l } ^ { j } - e _ { l } ^ { j ^ { \prime } } \right) = \mu _ { j } ^ { * } \mathbf { 1 } _ { \left\{ b ( j ) = i \right\} } - \mu _ { j ^ { \prime } } ^ { * } \mathbf { 1 } _ { \left\{ b ( j ^ { \prime } ) = i \right\} } } \\ & { = \mu _ { j } ^ { * } \left( \mathbf { 1 } _ { \left\{ b ( j ) = i \right\} } - \mathbf { 1 } _ { \left\{ b ( j ^ { \prime } ) = i \right\} } \right) = \mu _ { j } ^ { * } \left( e _ { i } ^ { b ( j ) } - e _ { i } ^ { b ( j ^ { \prime } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ^ { T } ( L ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - L ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ) = ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ^ { T } M ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) } \\ & { + \tau ^ { n + 1 } ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ^ { T } B \pmb { M } ^ { - 1 } C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) \pmb { M } ^ { - 1 } B ^ { T } M ^ { - 1 } ( D ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - D ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ) } \\ & { + \tau ^ { n + 1 } ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ^ { T } B \pmb { M } ^ { - 1 } ( C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ) \pmb { M } ^ { - 1 } B ^ { T } M ^ { - 1 } D ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) } \\ { \geqslant } & { \sigma \| \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } - 2 c \tau ^ { n + 1 } \| \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { L = \frac 1 2 \left[ g _ { 1 } \dot { \bf R } _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } \dot { \bf R } _ { 2 } ^ { 2 } + g _ { 3 } \dot { \bf R } _ { 3 } ^ { 2 } \right] - \frac 1 2 \lambda _ { i j } \left[ ( { \bf R } _ { i } , { \bf R } _ { j } ) - \delta _ { i j } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W } & { = } & { 2 \int d { \bf { k } } \ \varepsilon ^ { - 1 / 3 } ( { \bf { x } } ; t ) \varepsilon ( { \bf { x } } ; t ) k ^ { - 1 1 / 3 } } \\ & { } & { - 2 \int d { \bf { k } } \ \left[ { \frac { 1 } { \omega _ { \mathrm { { S } } } + \omega _ { W } } \frac { D \sigma _ { W } } { D t } - \frac { \sigma _ { W } } { ( \omega _ { \mathrm { S } } + \omega _ { W } ) ^ { 2 } } \frac { D \omega _ { W } } { D t } } \right] . } \end{array}
\mathcal { A } = \left( \begin{array} { c c } { \bar { n } _ { 2 1 } } & { \bar { n } _ { 2 2 } } \\ { \bar { n } _ { 3 1 } } & { \bar { n } _ { 3 2 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ \mathcal { B } = - \left( \begin{array} { c c } { \, m _ { 2 1 } - \, \bar { n } _ { 2 1 } } & { \, m _ { 2 2 } - \, \bar { n } _ { 2 2 } } \\ { \, m _ { 3 1 } - \, \bar { n } _ { 3 1 } } & { \, m _ { 3 2 } - \, \bar { n } _ { 3 2 } } \end{array} \right) ,
\overline { { { z } } } _ { + } \overline { { { z } } } _ { - } ( \Psi ^ { + - } \left( x ; \tau \right) + \Psi ^ { - + } \left( x ; \tau \right) ) + \overline { { { z } } } _ { - } \overline { { { z } } } _ { - } \Psi ^ { -- } \left( x ; \tau \right) \} \rangle = 2
\begin{array} { r l } { S _ { L } ^ { l } } & { = \mathrm { m i n } ( u _ { L } - c _ { L } , u _ { R } - c _ { R } ) } \\ { S _ { L } ^ { s } } & { = S ^ { \star } - b _ { L } ^ { \star } } \\ { S ^ { \star } } & { = \frac { \rho _ { L } u _ { L } ( S _ { L } ^ { l } - u _ { L } ) - \rho _ { R } u _ { R } ( S _ { R } ^ { l } - u _ { R } ) + \sigma _ { L , 1 1 } - \sigma _ { R , 1 1 } } { \rho _ { L } ( S _ { L } ^ { l } - u _ { L } ) - \rho _ { R } ( S _ { R } ^ { l } - u _ { R } ) } } \\ { S _ { R } ^ { s } } & { = S ^ { \star } + b _ { R } ^ { \star } } \\ { S _ { R } ^ { l } } & { = \mathrm { m a x } ( u _ { L } + c _ { L } , u _ { R } + c _ { R } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { H } ( X \mid Y ) } & { = \log ( N ) - D _ { \mathrm { K L } } ( P ( X , Y ) \parallel P _ { U } ( X ) P ( Y ) ) } \\ & { = \log ( N ) - D _ { \mathrm { K L } } ( P ( X , Y ) \parallel P ( X ) P ( Y ) ) - D _ { \mathrm { K L } } ( P ( X ) \parallel P _ { U } ( X ) ) } \\ & { = \mathrm { H } ( X ) - \operatorname { I } ( X ; Y ) } \\ & { = \log ( N ) - \operatorname { E } _ { Y } \left[ D _ { \mathrm { K L } } \left( P \left( X \mid Y \right) \parallel P _ { U } ( X ) \right) \right] } \end{array} }
\frac { \partial f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } } { \partial f _ { j } } = f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } \left( \frac { \partial \ln \rho } { \partial f _ { j } } + \sum _ { \alpha = x , y } \frac { \partial \ln \Lambda _ { \alpha } } { \partial f _ { j } } + \frac { \partial \ln \Gamma _ { i \alpha } } { \partial f _ { j } } \right) ,
\begin{array} { r } { Q _ { p a d } ( t ) = \frac { Q _ { e } } { 4 } \times \left[ e r f ( \frac { x _ { \textup { h i g h } } - x _ { 0 } } { \sqrt { 2 } \sigma ( t ) } ) - e r f ( \frac { x _ { \textup { l o w } } - x _ { 0 } } { \sqrt { 2 } \sigma ( t ) } ) \right] \times } \\ { \left[ e r f ( \frac { y _ { \textup { h i g h } } - y _ { 0 } } { \sqrt { 2 } \sigma ( t ) } ) - e r f ( \frac { y _ { \textup { l o w } } - y _ { 0 } } { \sqrt { 2 } \sigma ( t ) } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { 0 } ( k , s ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \, \exp [ i k ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] \hat { G } _ { 0 } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) , } \end{array}
\omega _ { \pm } ^ { 2 } = \frac { \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } { 2 } \pm \sqrt { \left( \frac { \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { 2 } - \omega _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } + C _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { l } { \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { \bar { \Omega } } n ( \mathbf x ) \leq M _ { 1 } , \quad \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { \bar { \Omega } } p ( \mathbf x ) \leq M _ { 2 } , } \\ { \displaystyle \frac { \operatorname* { m a x } _ { \bar { \Omega } } n ( \mathbf x ) } { \operatorname* { m i n } _ { \bar { \Omega } } n ( \mathbf x ) } \leq C _ { 1 } ( \gamma ) , \quad \displaystyle \frac { \operatorname* { m a x } _ { \bar { \Omega } } p ( \mathbf x ) } { \operatorname* { m i n } _ { \bar { \Omega } } p ( \mathbf x ) } \leq C _ { 2 } ( \gamma ) . } \end{array}
\underset { \phi } { \operatorname* { m i n } } \; E ( \phi _ { \mathbf { x } } ) = \iint _ { \Omega } \left\lvert \frac { \partial \phi _ { \mathbf { x } } } { \partial x } - \Psi _ { \mathbf { x } } ^ { x } \right\rvert ^ { p } + \left\lvert \frac { \partial \phi _ { \mathbf { x } } } { \partial y } - \Psi _ { \mathbf { x } } ^ { y } \right\rvert ^ { p } \; d \mathbf { x }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( X + Y ) } & { = \operatorname { E } \left[ X ^ { 2 } \right] + 2 \operatorname { E } [ X Y ] + \operatorname { E } \left[ Y ^ { 2 } \right] - \left( \operatorname { E } [ X ] ^ { 2 } + 2 \operatorname { E } [ X ] \operatorname { E } [ Y ] + \operatorname { E } [ Y ] ^ { 2 } \right) } \\ & { = \operatorname { E } \left[ X ^ { 2 } \right] + \operatorname { E } \left[ Y ^ { 2 } \right] - \operatorname { E } [ X ] ^ { 2 } - \operatorname { E } [ Y ] ^ { 2 } } \\ & { = \operatorname { V a r } ( X ) + \operatorname { V a r } ( Y ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { \mathrm { o u t } } ( \omega _ { n } ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { T } } \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { d } \tau \, e ^ { i \omega _ { n } \tau } \hat { I } _ { \mathrm { o u t } } ( \tau ) = \frac { 1 } { \sqrt { T } } \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { d } \tau \, e ^ { i \omega _ { n } \tau } ( e ^ { - i \Delta _ { \mathrm { L O } } \tau } \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ( \tau ) + e ^ { i \Delta _ { \mathrm { L O } } \tau } \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { \dagger } ( \tau ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } = \left\{ \prod _ { k = 1 } ^ { K } \tau _ { i _ { k } j _ { k } } ~ | ~ K \in \mathbb { N } , \, i _ { k } \neq j _ { k } \in \left\{ 1 , \dots , N \right\} \right\} , } \end{array}
\boldsymbol { M } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { Z } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } \end{array} \right] \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { { } \mathcal { R } \left( \int a ( \omega ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \psi } \mathrm { d } \omega \right) , } \\ { \zeta ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { { } \mathcal { R } \left\{ \iint a _ { 1 } a _ { 2 } \left[ { \hat { A } } _ { 1 2 } ^ { + } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ) } + { \hat { A } } _ { 1 2 } ^ { - } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) } \right] \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \right\} . } \end{array}