harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { s \cdot 0 } & { { } = s \cdot ( 0 + 0 ) = s \cdot 0 + s \cdot 0 } \\ { \Rightarrow s \cdot 0 } & { { } = s \cdot 0 - s \cdot 0 } \\ { \Rightarrow s \cdot 0 } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { l l } { \nabla \boldsymbol { \phi } ^ { * } ( \boldsymbol { y } ) = \operatorname { c o l } \{ { \nabla \phi _ { i } ^ { * } } \left( y _ { i } \right) \} _ { i = 1 } ^ { N } , } & { \nabla \boldsymbol { \varphi } ^ { * } ( \boldsymbol { \nu } ) = \operatorname { c o l } \{ \nabla \varphi _ { i } ^ { * } \left( \nu _ { i } ) \right\} _ { i = 1 } ^ { N } . } \end{array}
a _ { j , n + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l l } { n ^ { \alpha + 1 } - ( n - \alpha ) ( n + 1 ) ^ { \alpha } , \ \ \mathrm { i f } \ j = 0 , } \\ { ( n - j + 2 ) ^ { \alpha + 1 } + ( n - j ) ^ { \alpha + 1 } - 2 ( n - j + 1 ) ^ { \alpha + 1 } , \ \ \mathrm { i f } \ 1 \leq j \leq n } \\ { 1 , \ \ \mathrm { i f } j = n + 1 , } \end{array} \right.
f _ { u } ^ { q G } ( \Delta _ { u } ; q ) = \frac { 1 } { C _ { u } ^ { q G } \sqrt { 5 - 3 q } \Sigma _ { u } ^ { q G } } e _ { q } \left( - \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { ( 5 - 3 q ) \Sigma _ { u } ^ { q G ^ { 2 } } } \right) ,
\frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { n } } { \partial t ^ { 2 } } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \left[ \psi _ { n } - \left( w _ { n } + ( - 1 ) ^ { n } \theta _ { n } \frac { b + \hat { L } } { 2 } \right) \right] = 0 .
\begin{array} { r l r } { \frac { d N _ { a } } { d t } } & { = } & { - \gamma N _ { a } - i g _ { o m } ( \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle - \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle ^ { * } ) , } \\ { \frac { d N _ { b } } { d t } } & { = } & { - \Gamma N _ { b } + i g _ { o m } ( \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle - \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle ^ { * } ) + \Gamma _ { \mathrm { m } } n _ { t h } , } \\ { \frac { d \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle } { d t } } & { = } & { - \left( i ( \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } ) + \frac { \gamma + \Gamma } { 2 } \right) \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle - i g _ { o m } N _ { a } + i g _ { o m } N _ { b } . } \end{array}
a _ { \nu } ^ { \textrm { T E } } = \frac { \eta _ { 1 } [ J _ { \nu } ( k _ { h } R ) - i \eta _ { h } \sigma _ { e } \eta _ { 0 } J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { h } R ) ] J ^ { \prime } ( k _ { 1 } R ) - [ \eta _ { h } J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { h } R ) + i \sigma _ { m } \eta _ { 0 } ^ { - 1 } J ( k _ { h } R ) ] J _ { \nu } ( k _ { 1 } R ) } { \eta _ { 1 } [ H _ { \nu } ( k _ { h } R ) - i \eta _ { h } \sigma _ { e } \eta _ { 0 } H _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { h } R ) ] J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { 1 } R ) - [ \eta _ { h } H _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { h } R ) + i \sigma _ { m } \eta _ { 0 } ^ { - 1 } H _ { \nu } ( k _ { h } R ) ] J _ { \nu } ( k _ { 1 } R ) }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial n _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } ( n _ { i } v _ { i } ) } & { { } = } & { 0 , } \\ { m _ { i } n _ { i } \frac { d v _ { i } } { d t } } & { { } = } & { - \frac { \partial p _ { i } } { \partial x } - e n _ { i } \frac { \partial \phi } { \partial x } , } \\ { \epsilon _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { 2 } } } & { { } = } & { e ( n _ { e } - n _ { i } ) - q _ { d } n _ { d } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { M } _ { j m } ^ { ( 3 ) } ( k { \mathbf { r } } - k { \mathbf { R } } ) = \sum _ { \iota = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \mu = - \iota } ^ { \iota } A _ { \iota \mu j m } ( - k { \mathbf { R } } ) \mathbf { M } _ { \iota \mu } ^ { ( 1 ) } ( k { \mathbf { r } } ) + B _ { \iota \mu j m } ( - k { \mathbf { R } } ) \mathbf { N } _ { \iota \mu } ^ { ( 1 ) } ( k { \mathbf { r } } ) , } \\ { \mathbf { N } _ { j m } ^ { ( 3 ) } ( k { \mathbf { r } } - k { \mathbf { R } } ) = \sum _ { \iota = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \mu = - \iota } ^ { \iota } B _ { \iota \mu j m } ( - k { \mathbf { R } } ) \mathbf { M } _ { \iota \mu } ^ { ( 1 ) } ( k { \mathbf { r } } ) + A _ { \iota \mu j m } ( - k { \mathbf { R } } ) \mathbf { N } _ { \iota \mu } ^ { ( 1 ) } ( k { \mathbf { r } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { I } { I _ { c } } } & { = \frac { ( f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { x } ^ { 2 } - f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { y } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { x } ^ { 2 } + f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { y } ^ { 2 } ) ( \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } ) } + \frac { f _ { x x } ^ { \mathrm { n } } \omega _ { x } ^ { 2 } + f _ { y y } ^ { \mathrm { n } } \omega _ { y } ^ { 2 } } { \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { h o p } } ^ { ( \ell ) } } & { \rightarrow \hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { h o p } } ^ { ( \ell ) } = \sqrt { t ^ { ( \ell ) } } \left( \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell ) } + a _ { \ell } \mathbb { I } \right) \, \, , } \\ { H = 0 } & { \rightarrow \hat { H } = \frac { 1 } { 2 i } \sum _ { \ell } t ^ { ( \ell ) } \left( a _ { \ell } ^ { * } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell ) } - a _ { \ell } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell ) } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \Omega _ { k , s } | } & { = } & { \sum _ { \omega \in \Omega _ { k , s } } 1 = \sum _ { \omega \in \Omega _ { k , s } } \int _ { \omega } | \omega ( x ) | ^ { - d } \, d x = \int _ { \bigcup _ { \omega \in \Omega _ { k , s } } \omega } | \omega ( x ) | ^ { - D } \, d x } \\ & { \leq } & { \int _ { \bigcup _ { \omega \in \Omega _ { k , s } } \omega } \operatorname* { m a x } ( \ell , c \| x - x _ { s } ^ { \star } \| _ { 2 } ) ^ { - D } \, d x } \\ & { \leq } & { \int _ { \Omega } \operatorname* { m a x } ( \ell , c \| x - x _ { s } ^ { \star } \| _ { 2 } ) ^ { - D } \, d x } \\ & { \leq } & { \int _ { B ( x _ { s } ^ { \star } , \sqrt { D } ) } \operatorname* { m a x } ( \ell , c \| x - x _ { s } ^ { \star } \| _ { 2 } ) ^ { - D } \, d x } \\ & { = } & { \int _ { B ( x _ { s } ^ { \star } , \ell / c ) } \ell ^ { - d } \, d x + \int _ { B ( x _ { s } ^ { \star } , \sqrt { D } ) \setminus B ( x _ { s } ^ { \star } , \ell / c ) } ( c \| x - x _ { s } ^ { \star } \| _ { 2 } ) ^ { - D } \, d x } \\ & { \lesssim } & { 1 + \int _ { \rho = \ell / c } ^ { \sqrt { D } } \rho ^ { - D } \rho ^ { D - 1 } d \rho \lesssim 1 + | \log _ { 2 } ( \ell ) | \lesssim 1 + J . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } & { = } & { \sum _ { \mathrm { \bf ~ k } } \hat { a } _ { \mathrm { \bf ~ k } } u _ { \mathrm { \bf ~ k } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } } \sum _ { \mathrm { \bf ~ k } } \hat { a } _ { \mathrm { \bf ~ k } } e ^ { i \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } } } \\ { \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } & { = } & { \sum _ { \mathrm { \bf ~ k } } \hat { a } _ { \mathrm { \bf ~ k } } ^ { + } u _ { \mathrm { \bf ~ k } } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } } \sum _ { \mathrm { \bf ~ k } } \hat { a } _ { \mathrm { \bf ~ k } } ^ { + } e ^ { - i \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { k + 1 } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) } & { = k ! \prod _ { j = 1 } ^ { k - 1 } x _ { j } ^ { - \binom { k } { j } } \frac { \partial } { \partial x _ { k } } G _ { k + 1 } ( \mathbf { x } ) , } \\ { G _ { k } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) } & { = \exp \left( G _ { k + 1 } ^ { ( k ) } \big ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , x _ { k } G _ { k } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } \big ) \right) , } \\ { G _ { k } ( \mathbf { x } ) } & { = \frac { 1 } { k ! } \prod _ { j = 1 } ^ { k - 1 } x _ { j } ^ { \binom { k } { j } } \int G _ { k } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) \, \, d x _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { B } } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { s } \operatorname* { s u p } _ { \alpha } s g ^ { - 1 } \left( \frac { ( 1 - s ) ^ { \gamma } } { \left( 1 + \alpha n \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } } \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { s } \operatorname* { s u p } _ { \alpha } s 2 \pi \sigma _ { W } ^ { 2 } \frac { ( 1 - s ) ^ { \frac { 2 \gamma } { d } } } { V _ { d } ^ { \frac { 2 } { d } } \left( 1 + \alpha n \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) } } \\ & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \alpha } \pi \sigma _ { W } ^ { 2 } \frac { ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \frac { 2 \gamma } { d } } } { V _ { d } ^ { \frac { 2 } { d } } \left( 1 + \alpha n \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) } , } \end{array}
\kappa _ { | | , d + } = 3 . 9 \frac { p _ { d + } } { m _ { d + } \nu _ { d + } } \qquad \kappa _ { | | , e } = 3 . 1 6 \frac { p _ { e } } { m _ { e } \nu _ { e } } \qquad \kappa _ { d } = \frac { p _ { d } } { m _ { d } \nu _ { d } }
\phi _ { 1 } = { \frac { \Theta ( R ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) } { \sqrt { \Pi _ { 1 } } } } + \Theta ( x ^ { 2 } - R ^ { 2 } ) \sqrt { 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } \Pi _ { 1 } ^ { - 1 } G _ { H } ( x ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } v _ { \beta _ { 1 } } ( x ) } & { = - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } r + \beta _ { 1 } x + \frac { \hat { \alpha } } { 4 } \int _ { 0 } ^ { x } v _ { \beta _ { 1 } } ^ { 2 } ( y ) \, d y + \eta \int _ { 0 } ^ { x } y \left( v _ { \beta _ { 1 } } ( y ) - \frac { h } { \eta } \right) \, d y - \int _ { 0 } ^ { x } a v _ { \beta _ { 1 } } ( y ) d y , } \\ { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } v _ { \beta _ { 2 } } ( x ) } & { = - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } r + \beta _ { 2 } x + \frac { \hat { \alpha } } { 4 } \int _ { 0 } ^ { x } v _ { \beta _ { 2 } } ^ { 2 } ( y ) \, d y + \eta \int _ { 0 } ^ { x } y \left( v _ { \beta _ { 2 } } ( y ) - \frac { h } { \eta } \right) \, d y - \int _ { 0 } ^ { x } a v _ { \beta _ { 2 } } ( y ) d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { r 1 } } & { = ( 1 - p _ { e } ) p _ { r 1 } / \mathrm { n o r m } } \\ { f _ { r 2 } } & { = ( 1 - p _ { e } ) ( 1 - p _ { r 1 } ) / \mathrm { n o r m } } \\ { f _ { e 1 } } & { = p _ { e } p _ { r 1 } k _ { r 1 } / ( k _ { r 1 } + k _ { e } ) / \mathrm { n o r m } } \\ { f _ { e 2 } } & { = p _ { e } ( 1 - p _ { r 1 } ) k _ { r 2 } / ( k _ { r 2 } + k _ { e } ) / \mathrm { n o r m } } \\ { \mathrm { n o r m } } & { = ( 1 - p _ { e } ) p _ { r 1 } + ( 1 - p _ { e } ) ( 1 - p _ { r 1 } ) + p _ { e } p _ { r 1 } k _ { r 1 } / ( k _ { r 1 } + k _ { e } ) + p _ { e } ( 1 - p _ { r 1 } ) k _ { r 2 } / ( k _ { r 2 } + k _ { e } ) \quad . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \mathrm { { B S } _ { 1 } } } = S _ { \mathrm { { B S } _ { 2 } } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , - m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , - m ) } } & { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , - m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , m ) } } \\ { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , - m ) } } & { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , m ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { - i ( - 1 ) ^ { m } } { \sqrt { 2 } } } \\ { \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , - m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , - m ) } } & { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , - m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , m ) } } \\ { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , - m ) } } & { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , m ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { - i ( - 1 ) ^ { m } } { \sqrt { 2 } } } \\ { \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right) ^ { - 1 } = } \\ { = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , m ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , m ) } } \end{array} \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } l _ { i } + l _ { f } + l _ { o } \mathrm { ~ i s ~ e v e n } } \\ { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 2 ( - 1 ) ^ { m } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , - m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , m ) } } \\ { - 2 ( - 1 ) ^ { m } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , - m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , m ) } } & { 0 } \end{array} \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } l _ { i } + l _ { f } + l _ { o } \mathrm { ~ i s ~ o d d } } \end{array} \right. } \end{array}
{ \widetilde { \Gamma } } _ { \alpha \beta } ^ { \mu } = \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \mu \nu } k ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \left( A _ { \alpha } F _ { \beta \nu } + A _ { \beta } F _ { \alpha \nu } - A _ { \alpha } A _ { \beta } \partial _ { \nu } \ln \phi ^ { 2 } \right)
g _ { s } = \delta { \mathcal { F } } _ { s } + \frac { 1 } { d _ { i } } \frac { 2 Z _ { s } } { \tau _ { s } \beta _ { e } } \left( \phi - \left\langle \phi - d _ { i } \sqrt { \frac { \tau _ { s } \beta _ { e } } { 2 \sigma _ { s } } } \textbf { v } _ { \perp } \cdot \textbf { A } _ { \perp } \right\rangle _ { \textbf { X } _ { s } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { 3 } } & { = - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } S _ { \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 2 } } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 4 } } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 2 } } } \\ & { = - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } S _ { \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \operatorname* { l i m i n f } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \log \mathbb { P } _ { 0 } \left( \widehat { \mu } _ { T } ^ { \mathrm { A I P W } , a ^ { * } ( P ) } \leq \widehat { \mu } _ { T } ^ { \mathrm { A I P W } , a } \right) \geq \frac { ( \Delta ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } } { 2 V ^ { a * } ( P ) } - O \left( ( \Delta ^ { a } ( P ) ) ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z } & { = \sum _ { \ell _ { 0 } \cdots \ell _ { N - 1 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d x _ { 0 } \cdots d x _ { N - 1 } \int _ { \mathbb { R } } \frac { d p _ { 0 } \cdots d p _ { N - 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { N } } \exp \sum _ { n } \left( i p _ { n } ( x _ { n } - x _ { n - 1 } + 2 \pi \ell _ { n } ) - \Delta \tau H ( p _ { n } , x _ { n } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { c } { { - \beta \frac { \partial G } { \partial \mu } ( \beta , R , \mu ) = T r \{ \frac \partial { \partial \mu } \ln \left( D ( \beta , R ) - i \mu \gamma ^ { 0 } \right) _ { b c } \} } } \\ { { = T r \{ - i \gamma ^ { 0 } K _ { b c } ( t , x ; t ^ { \prime } , x ^ { \prime } ) \} , } } \end{array}
\Pi _ { \star } \in \big \{ P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 1 } ) , \, P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 1 } \Pi _ { l , 2 } ) , \, P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { n , 1 } ) , \, P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 1 } \Pi _ { n , 2 } ) , \, P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) \big \}
\begin{array} { r l r } { x ( t ^ { \prime } ) } & { { } = } & { r ( t ^ { \prime } ) \; \cos \theta ( t ^ { \prime } ) , } \\ { y ( t ^ { \prime } ) } & { { } = } & { r ( t ^ { \prime } ) \; \sin \theta ( t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ( \mathbf { r } , \eta ) } & { { } = } & { \psi ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } , \eta ) \psi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } , \eta ) } \\ { \psi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } , \eta ) } & { { } = } & { \exp \left\{ i \int _ { \eta } d s \frac { Z \tilde { \varepsilon } ( s ) } { \tilde { \Lambda } c ^ { 2 } } \right. } \end{array}
p ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { F } ^ { \boldsymbol { M } _ { 1 } , \boldsymbol { M } _ { 2 } , \boldsymbol { b } } ( \boldsymbol { x } ) ) = \mathcal { N } ( \boldsymbol { y } ; \boldsymbol { F } ^ { \boldsymbol { M } _ { 1 } , \boldsymbol { M } _ { 2 } , \boldsymbol { b } } ( \boldsymbol { x } ) , \tau ^ { - 1 } I )
\begin{array} { r l } { \int d \omega _ { 1 } } & { \omega _ { 1 } ( 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) \mathcal { C } _ { 2 } ( \omega _ { 1 } ) } \\ & { = \frac { \pi } { 2 } \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } } { \left( \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } \right) } \left( 2 \omega _ { P } \omega _ { I } - \omega _ { I } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { \pi } { 2 } \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } } { \left( \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } \right) } \left( \omega _ { S } \omega _ { I } \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle F \right\rangle } & { = } & { \frac { 1 } { C } \left\langle \int \mathcal { D } \, \Psi _ { b } ^ { \dagger } \, \mathcal { D } \, \Psi _ { b } \, \mathcal { D } \, \Psi _ { f } ^ { \dagger } \, \mathcal { D } \, \Psi _ { f } \, F \, e ^ { - \widetilde { S } _ { B } \left[ \Psi _ { b } ^ { \dagger } , \Psi _ { b } \right] } e ^ { - \widetilde { S } _ { B } \left[ \Psi _ { f } ^ { \dagger } , \Psi _ { f } \right] } \right\rangle } \\ & { = } & { \frac { 1 } { C } \left\langle \int \mathcal { D } \, \Psi ^ { \dagger } \, \mathcal { D } \, \Psi \, F \, e ^ { - \widetilde { S } _ { b f } \left[ \Psi ^ { \dagger } , \Psi \right] } \right\rangle } \end{array}
S ( n ) = 3 , { \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } } , { \frac { 7 } { 2 ^ { 2 } } } , { \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } } , { \frac { 7 \cdot 3 } { 2 ^ { 4 } } } , { \frac { 7 { \sqrt { 7 } } } { 2 ^ { 4 } } } , { \frac { 7 \cdot 5 } { 2 ^ { 5 } } } , { \frac { 7 ^ { 2 } { \sqrt { 7 } } } { 2 ^ { 7 } } } , { \frac { 7 ^ { 2 } \cdot 5 } { 2 ^ { 8 } } } , { \frac { 7 \cdot 2 5 { \sqrt { 7 } } } { 2 ^ { 9 } } } , { \frac { 7 ^ { 2 } \cdot 9 } { 2 ^ { 9 } } } , { \frac { 7 ^ { 2 } \cdot 1 3 { \sqrt { 7 } } } { 2 ^ { 1 1 } } } ,
\begin{array} { r l } { I _ { m } \left( \frac { k \rho } { \rho _ { c } } \right) \cos \left( \frac { k z } { \rho _ { c } } \right) } & { = \sum _ { { \nu } = 0 } ^ { \infty } \ \frac { ( - 1 ) ^ { { \nu } } } { ( 2 ( { \nu } + m ) ) ! } \ \times } \\ & { \left( \frac { k r } { \rho _ { c } } \right) ^ { 2 { \nu } + m } P _ { 2 { \nu } + m , m } \left( \cos \theta \right) . } \end{array}
f _ { 0 } ( \tilde { x } ) = ( - \Delta ) ^ { s } v ( \tilde { x } ) = C _ { s , n } \, P . V . \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \frac { v ( \tilde { x } ) - v ( y ) } { | \tilde { x } - y | ^ { n + 2 s } } \mathrm { d } y = C _ { s , n } \, P . V . \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \frac { - v ( y ) } { | \tilde { x } - y | ^ { n + 2 s } } \mathrm { d } y < 0 ,
z ( j , l , m ) = ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } p _ { i } - \sum _ { i = 1 } ^ { j } k _ { i } - \sum _ { i = 1 } ^ { l } k _ { i } + k _ { 1 } + k _ { j } + k _ { l } ) \cdot \frac { k _ { l } } { k _ { j } \cdot k _ { l } }
\begin{array} { r l } { J ^ { x } ( \bar { q } ) \frac { \{ \{ \{ q \} _ { i + \frac 1 2 } \} \} _ { j \pm \frac 1 2 } } { 8 } - \frac 1 2 | \bar { u } | [ q ] _ { i + \frac 1 2 , j } } & { - \Delta t f ^ { x } ( \bar { q } ) \left( - \frac { \bar { u } } { \bar { \rho } } , \frac { 1 } { \bar { \rho } } , 0 , 0 \right) \frac { \{ \{ [ q ] _ { i + \frac 1 2 } \} \} _ { j \pm \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } } \\ & { - \Delta t f ^ { x } ( \bar { q } ) \left( - \frac { \bar { v } } { \bar { \rho } } , 0 , \frac { 1 } { \bar { \rho } } , 0 \right) \frac { [ \{ q \} _ { i + \frac 1 2 } ] _ { j \pm 1 } } { 4 \Delta y } } \end{array}
W ^ { [ 2 , 2 ] } ( \Phi ^ { 1 } , \Phi ^ { 2 } ) = { \frac { ( \Phi ^ { 1 } ) ^ { 5 } } { 5 } } - ( \Phi ^ { 1 } ) ^ { 3 } \Phi ^ { 2 } + \Phi ^ { 1 } ( \Phi ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \mu \Phi ^ { 1 } ~ .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \operatorname* { s u p } _ { f ^ { \prime } \in S ( \overline { v } , \theta ) } \Delta _ { | \overline { v } } E ( h , f ^ { \prime } , \theta _ { n } ) \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \Delta _ { | \overline { v } } E ( h , f _ { n } , \theta _ { n } ) \geq \operatorname* { s u p } _ { f ^ { \prime } \in S ( \overline { v } , \theta ) } \Delta _ { | \overline { v } } E ( h , f ^ { \prime } , \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { v \in \mathcal { N } _ { L ^ { 2 } } ^ { L } } \mathbb { P } _ { x _ { v } } \left( Z _ { t N } ^ { ( v ) } > 0 \right) \right] } & { = \int _ { 0 } ^ { L } p _ { L ^ { 2 } } ( x , y ) u ( t N , y ) d y = \left( 1 + O \left( e ^ { - b L } \right) \right) h ( 0 , x ) a ( t N ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \kappa } ^ { R / L } = \sum _ { p > q } \kappa _ { p q } ^ { R / L } \big ( \hat { E } _ { p q } - \hat { E } _ { q p } \big ) } \\ & { \hat { E } _ { p q } = \hat { b } _ { p \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { q \uparrow } + \hat { b } _ { q \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { p \uparrow } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int \mathrm { A } D ( \mathrm { U } \cdot \nabla _ { z , v } \Omega ) \mathrm { A } D ( \Omega ) d z d v } \\ & { = \int \mathrm { A } ( \mathrm { U } \cdot \nabla _ { z , v } \Omega ) \mathrm { A } ( \Omega ) d z d v + \int [ \mathrm { A } , D ^ { 1 } ] ( \mathrm { U } \cdot \nabla _ { z , v } \Omega ) D \mathrm { A } ( \Omega ) d z d v } \\ & { \quad + \int \mathrm { A } D ^ { 1 } ( \mathrm { U } \cdot \nabla _ { z , v } \Omega ) [ \mathrm { A } , D ] ( \Omega ) d z d v + \int \mathrm { A } ( D - D ^ { 1 } ) ( \mathrm { U } \cdot \nabla _ { z , v } \Omega ) \mathrm { A } D ( \Omega ) d z d v . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { t } = k u _ { x x } } & { ( x , t ) \in [ 0 , \infty ) \times ( 0 , \infty ) } \\ { u ( x , 0 ) = g ( x ) } & { I C } \\ { u _ { x } ( 0 , t ) = 0 } & { B C } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| M _ { k ^ { \; ^ { \prime } } l ^ { \; ^ { \prime } } k l } \right| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { s _ { k } ^ { \; ^ { \prime } } s _ { l } ^ { \; ^ { \prime } } s _ { k } s _ { l } } \left| \bar { u } _ { k } ^ { \; ^ { \prime } } \gamma _ { \mu } u _ { k } \; \frac { 1 } { t + i \epsilon } \; \bar { u } _ { l } ^ { \; ^ { \prime } } \gamma ^ { \mu } u _ { l } \right| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { ( p _ { l } ^ { \; ^ { \prime } } \cdot p _ { k } ^ { \; ^ { \prime } } ) ( p _ { l } \cdot p _ { k } ) + ( p _ { l } ^ { \; ^ { \prime } } \cdot p _ { k } ) ( p _ { l } \cdot p _ { k } ^ { \; ^ { \prime } } ) } { 2 m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } c ^ { 4 } t ^ { 2 } } } \\ & { } & { - \frac { m _ { k } ^ { 2 } c ^ { 2 } ( p _ { l } ^ { \; ^ { \prime } } \cdot p _ { l } ) + m _ { l } ^ { 2 } c ^ { 2 } ( p _ { k } ^ { \; ^ { \prime } } \cdot p _ { k } ) - 2 m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { 2 m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } c ^ { 4 } t ^ { 2 } } \; , } \end{array}