harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { L H S } _ { ( 1 ) } } & { = \frac { a } { 3 } f ( b , c , \sqrt { a b c } ) + \frac { b } { 3 } f ( c , a , \sqrt { a b c } ) + \frac { c } { 3 } f ( a , b , \sqrt { a b c } ) } \\ & { \ge f \left( \frac { a b + b c + c a } { 3 } , \frac { a b + b c + c a } { 3 } , \sqrt { a b c } \right) } \\ & { = \sqrt { \left( \frac { a b + b c + c a } { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { a b + b c + c a } { 3 } \right) ^ { 2 } + a b c } } \\ & { \ge \sqrt { 3 a b c } } \end{array}
\nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \bar { R } [ \pi _ { \boldsymbol { \theta } } ] = \left\langle A _ { \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } } ( \sigma , \alpha ) \, \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \log \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \alpha \vert \sigma ) \right\rangle ,
\begin{array} { r l } { G _ { \mu \nu , \upuparrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) = } & { { } - G _ { \mu \nu , \downdownarrows } ^ { \lessgtr * } ( i \tau ) } \\ { G _ { \mu \nu , \updownarrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) = } & { { } G _ { \mu \nu , \downuparrows } ^ { \lessgtr * } ( i \tau ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \psi } ( z , t ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathbf { i } } \int _ { \gamma - \textbf { i } \infty } ^ { \gamma + \textbf { i } \infty } \exp { ( s t ) } d s \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \exp { ( \lambda _ { i } ( s ) z ) } \Bigg [ \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s ) | } A d j ( \mathscr { D } ( s ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s ) + \mathscr { F } _ { i } ( s ) I _ { i } ( s , z ) \Bigg ] . } \end{array}
\Sigma ( p ^ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 4 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } T r \lbrack \gamma _ { \mu } G ( k ) \Gamma _ { \nu } ( p , k ) D _ { \mu \nu } ( p - k ) \rbrack .
\begin{array} { r l } { \frac { d a ( t ) } { d t } } & { { } = i \left[ \Delta + \mathrm { ~ g ~ } _ { \theta } \theta ( t ) + \mathrm { ~ g ~ } _ { N } N ( t ) \right] a ( t ) - \frac { \kappa + \alpha _ { T P A } \left| ~ a ( t ) ~ \right| ^ { 2 } + \alpha _ { N } \left| N ( t ) \right| } { 2 } a ( t ) + \sqrt { \kappa _ { e } P _ { i n } } } \\ { \frac { d N ( t ) } { d t } } & { { } = - \gamma _ { F C } N ( t ) + \beta _ { F C } \left| ~ a ( t ) ~ \right| ^ { 4 } } \\ { \frac { d \theta ( t ) } { d t } } & { { } = - \gamma _ { t h } \theta ( t ) + \beta _ { t h } \left( \kappa _ { l i n } + \sigma _ { S i } v _ { g } N ( t ) + \alpha _ { T P A } \left| ~ a ( t ) ~ \right| ^ { 2 } \right) \left| ~ a ( t ) ~ \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { I _ { \mathrm { V } } ^ { ( \pm ) } } { I _ { 0 } } } & { = } & { \frac { \ln [ ( 1 + \alpha ) / ( 1 - \alpha ) ] } { 2 \alpha } \biggl [ \frac { 2 W } { e \xi _ { L , R } } } \\ & { } & { \mp \frac { 2 ( B / B _ { \phi } ) } { \alpha \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \alpha } \biggl \{ 2 \alpha - ( 1 \mp \alpha ) \ln \frac { 1 + \alpha } { 1 - \alpha } \biggr \} \biggr ] , } \\ { \frac { I _ { \mathrm { A V } } ^ { ( \pm ) } } { I _ { 0 } } } & { = } & { \frac { \ln [ ( 1 + \alpha ) / ( 1 - \alpha ) ] } { 2 \alpha } \biggl [ \frac { 2 W } { e \xi _ { R , L } } } \\ & { } & { \mp \frac { 2 ( B / B _ { \phi } ) } { \alpha \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \alpha } \biggl \{ 2 \alpha - ( 1 \pm \alpha ) \ln \frac { 1 + \alpha } { 1 - \alpha } \biggr \} \biggr ] . } \end{array}
\rho _ { g / e } ^ { \mathrm { e s t } } = \int \mathrm d \rho _ { g } d \rho _ { e } \mathrm \ r h o _ { g / e } \mathrm P ( \{ \rho _ { g } , \rho _ { e } \} | x ^ { ( \mathrm N _ { \mathrm { s h o t s } } ) } )
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 } = } & { \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } - \alpha _ { - n } ) \sin ( n \phi _ { l } ) } \\ { \sigma _ { 2 } = } & { \; 1 + \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } + \alpha _ { - n } ) \cos ( n \phi _ { l } ) } \\ { \sigma _ { 3 } = } & { \; \omega _ { 0 } + \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } \big ( \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) + \alpha _ { - n } ( \omega _ { 0 } - n \Omega ) \big ) \cos ( n \phi _ { l } ) } \\ { \sigma _ { 4 } = } & { \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } \big ( \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) - \alpha _ { - n } ( \omega _ { 0 } - n \Omega ) \big ) \sin ( n \phi _ { l } ) } \end{array}
f _ { E _ { 8 } } = \frac { K _ { 2 } ( S _ { 1 } ) } { ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } S _ { 1 } ^ { 2 } } e ^ { - i \frac { x _ { 0 } I _ { 3 } } { y ( x _ { 0 } ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } }
\mathrm { F l o w } _ { H _ { T } } : = \mathcal { L } _ { * } \left( \overline { { \mathcal { S } \mathrm { o l } } } \right) = \big \{ \mathfrak { X } _ { H _ { T } } \in \mathbf { T } _ { \mathfrak { s } = \mathcal { L } ( \mathfrak { u } ) } \mathbb { P } _ { C } \ \backslash \ \mathfrak { X } _ { H _ { T } } = \mathcal { L } _ { * } \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } \forall \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } \in \overline { { \mathcal { S } \mathrm { o l } } } \big \} .
\begin{array} { l l l l } { { \mathrm { ~ R ~ s y m m e t r y ~ s i n g l e t ~ ( a = 0 ) : } } } & { { d \geq s + 2 , } } & { { s \geq 1 , } } & { { r = 0 } } \\ { { } } & { { d \geq 1 , } } & { { s = 0 , } } & { { r = 0 } } \\ { { \mathrm { ~ R ~ s y m m e t r y ~ t r i p l e t ~ ( a = 2 ) : } } } & { { d = 2 , } } & { { s = 0 , } } & { { r = 0 \quad \mathrm { ( c u r r e n t ~ m - t ) } } } \\ { { } } & { { d = s + 4 , } } & { { s \geq 0 , } } & { { r = 0 } } \\ { { \mathrm { ~ R ~ s y m m e t r y ~ 5 - p l e t ~ ( a = 4 ) : } } } & { { d = 4 , } } & { { s = 0 , } } & { { r = 0 } } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { y ^ { 2 } + n ^ { 2 } } = \frac { \pi } { 2 y } \left( \coth \pi y + \frac { 1 } { \pi y } \right) \simeq \frac { \pi } { 2 y } + \frac { 1 } { 2 y ^ { 2 } } \equiv \bar { S } _ { 1 } ( y ) \, { . }
\begin{array} { l l } { N _ { d } = 0 , } & { \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ d ~ i ~ v ~ e ~ r ~ g ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } } \\ { N _ { d } = 2 , } & { \mathrm { ~ q ~ u ~ a ~ d ~ r ~ a ~ t ~ i ~ c ~ d ~ i ~ v ~ e ~ r ~ g ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } } \\ { N _ { d } < 0 , } & { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ e ~ r ~ g ~ e ~ s ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } _ { t } u } & { = \, _ { 1 } \mathbf { D } _ { t } u + \, _ { 2 } \mathbf { D } _ { t } u , \quad \, _ { 1 } \mathbf { D } _ { t } u = \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu } ( \varrho u ) + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu _ { i } } ( \varrho _ { i } u ) , } \\ { \, _ { 2 } \mathbf { D } _ { t } u } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } [ \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu } ( \gamma _ { j } u ) - \mathbf { D } _ { t } ^ { \mu _ { j } } ( \gamma _ { j } u ) ] = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \partial } { \partial t } \bigg ( \mathcal { N } ( t ; \nu , \mu _ { j } ) * ( \gamma _ { j } u - \gamma _ { j } ( 0 ) u _ { 0 } ) \bigg ) } \end{array}
\operatorname* { d e t } ( A ) = \sum _ { \begin{array} { c } { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \ldots , k _ { n } \geq 0 } \\ { k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } + \cdots + n k _ { n } = n } \end{array} } \prod _ { l = 1 } ^ { n } { \frac { ( - 1 ) ^ { k _ { l } + 1 } } { l ^ { k _ { l } } k _ { l } ! } } \operatorname { t r } \left( A ^ { l } \right) ^ { k _ { l } } ,
\begin{array} { r } { \cos \beta \frac { \partial ^ { n } k _ { \delta } } { \partial u ^ { n } } ( u , v ) = \sum _ { p = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \partial ^ { n - p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { n - p } } \sum _ { I } c _ { I } A ^ { n - p - | I | } ( \frac { \partial A } { \partial u } ) ^ { i _ { 1 } } ( \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial u ^ { 2 } } ) ^ { i _ { 2 } } \cdots ( \frac { \partial ^ { p } A } { \partial u ^ { p } } ) ^ { i _ { p } } , } \end{array}
\tau _ { \alpha \alpha } \geq 0 \ \mathrm { ~ , ~ } \quad \tau _ { \alpha \alpha } \cdot \tau _ { \beta \beta } \geq \tau _ { \alpha \beta } ^ { 2 } \ \mathrm { ~ , ~ } \quad \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } \left( \mathbf { \tau } \right) \geq 0 \ \mathrm { ~ , ~ } \ \quad \alpha , \beta = { 1 , 2 , 3 }
a _ { \mathrm { W I M P } } \approx 1 0 ^ { - ( 1 7 + \Delta ) } \left( \frac { \beta _ { X } } { 1 0 ^ { - 3 } } \right) ^ { 2 } \frac { A } { 1 0 0 } ~ \frac { \mathrm { c m } } { \mathrm { s e c } ^ { 2 } } ~ .
m _ { p } \frac { d v _ { p } ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } = m _ { f } \frac { D u ^ { \prime } } { D t ^ { \prime } } + C _ { m } m _ { f } \left( \frac { D u ^ { \prime } } { D t ^ { \prime } } - \frac { d v _ { p } ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } \right) - C _ { D } \frac { 1 } { 2 } \rho | v _ { p } ^ { \prime } - u ^ { \prime } | ( v _ { p } ^ { \prime } - u ^ { \prime } ) D _ { p } H _ { p w } + \left[ \; F _ { F } ^ { \prime } \; \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { E _ { \mathrm { t o t a l } } } ( \mathbf { r } ) } & { = E _ { 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mathcal { P } _ { j } ^ { - } ( \kappa , \alpha ) \Phi _ { j } ^ { - } ( \kappa , \alpha | \mathrm { r } ) \bigg ) \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { k } _ { | | } } \\ & { = E _ { 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mathcal { P } _ { j } ^ { - } ( \kappa , \alpha ) \hat { \mathbf { e } } _ { j } ^ { - } e ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } ^ { - } \cdot \mathbf { r } } \bigg ) \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { k } _ { | | } } \\ & { = E _ { 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mathcal { P } _ { j } ^ { - } ( \kappa , \alpha ) \hat { \mathbf { e } } _ { j } ^ { - } e ^ { \mathrm { i } ( k _ { x } x + k _ { y } y + k _ { z } | z | ) } \bigg ) \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { k } _ { | | } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { Q } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } & { { } = } & { 4 \pi r _ { \mathrm { ~ p ~ } } k ( T _ { \mathrm { ~ p ~ } } - T _ { \mathrm { ~ g ~ } } ) } \\ { \dot { m } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } & { { } = } & { 4 \pi r _ { \mathrm { ~ p ~ } } \mathcal { D } ( C _ { \mathrm { ~ g ~ } } - C _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) } \end{array}
{ \cal L } _ { m _ { \tilde { d } } } = - \left( \tilde { d } _ { L } ^ { \ast } , \tilde { d } _ { R } ^ { \ast } \right) \left( \begin{array} { c c } { { a ^ { \prime } } } & { { b ^ { \prime } } } \\ { { b ^ { \prime } } } & { { c ^ { \prime } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \tilde { d } _ { L } } } \\ { { \tilde { d } _ { R } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { \mu } ^ { L } ( n l , n ^ { \prime } l ^ { \prime } ; r ) } & { = \mu r \int _ { 0 } ^ { r } d r ^ { \prime } \Phi _ { L } ( \mu r ^ { \prime } , \mu r ) \phi _ { n l } ^ { * } ( r ^ { \prime } ) \phi _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } ( r ^ { \prime } ) } \\ & { + \mu r \int _ { r } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \Phi _ { L } ( \mu r , \mu r ^ { \prime } ) \phi _ { n l } ^ { * } ( r ^ { \prime } ) \phi _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } ( r ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bigl ( } \mathbf { O A } \cdot ( \mathbf { O B } \times \mathbf { O C } ) { \bigr ) } ^ { 2 } } & { { } = { \bigl ( } \operatorname* { d e t } ( \mathbf { O A } , \mathbf { O B } , \mathbf { O C } ) { \bigr ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \int \mathcal { K } _ { h } ( x _ { i } - z ) d F _ { t } ( z ) - \int \mathcal { K } _ { h } ( x - z ) d F _ { t } ( z ) \Big ) \Big | } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \frac { \sqrt { h ^ { p } } h 2 C \sqrt { p } } { h ^ { p + 1 } \sqrt { T } } \Big ) \Big | \le \frac { 2 C \sqrt { p } } { \sqrt { h ^ { p } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } \left[ { } ^ { m } \Phi _ { 2 } \right] = \left( \mathcal { E } \left[ { } ^ { 1 } E \right] + \mathcal { E } \left[ { } ^ { 3 } A _ { 2 } \right] \right) / 2 , } \\ { \mathcal { E } \left[ { } ^ { 1 } \Phi _ { 3 } \right] = \left( \mathcal { E } \left[ { } ^ { 1 } E \right] + \mathcal { E } \left[ { } ^ { 1 } A _ { 1 } \right] \right) / 2 . } \end{array}
\hat { \psi } _ { ( 1 , 0 ) } ( \hat { y } ) = A _ { ( 1 , 0 ) } + B _ { ( 1 , 0 ) } \mathrm { e } ^ { - 2 \hat { y } } - \mathrm { e } ^ { - 2 \hat { y } } \int _ { 0 } ^ { \hat { y } } \log { ( y ) } \mathrm { e } ^ { 2 y } \mathrm { d } y .
\begin{array} { r l } & { \zeta _ { t } + A \sigma _ { x } + \alpha B ( { \zeta } { \sigma } ) _ { x } - \alpha ^ { 2 } C ( { \zeta } ^ { 2 } { \sigma } ) _ { x } + \epsilon ^ { 2 } \kappa { \sigma } _ { x x x } = 0 } \\ & { \sigma _ { t } + \zeta _ { x } + \alpha B { \sigma } { \sigma } _ { x } - \alpha ^ { 2 } C ( { \zeta } { \sigma } ^ { 2 } ) _ { x } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { P } \cup \mathcal { Q } \cup \cdots \mathcal { U } \cup \mathcal { V } = \mathcal { T } , } \\ & { \left( \mathcal { P } \cap \mathcal { Q } \right) \cup \left( \mathcal { P } \cap \mathcal { U } \right) \cup \left( \mathcal { P } \cap \mathcal { V } \right) \cup \cdots \cup \left( \mathcal { U } \cap \mathcal { V } \right) = \varnothing , } \\ & { \| \mathcal { P } | - | \mathcal { Q } \| \le 1 , \| \mathcal { P } | - | \mathcal { V } \| \le 1 , \cdots , \| \mathcal { U } | - | \mathcal { V } \| \le 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \langle Q _ { - + , D } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } ) , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q _ { - + , D } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ) - Q _ { - + , D } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } ) , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q _ { - + , T } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ) , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \end{array}
\kappa _ { 0 } = \frac { N } { 4 \pi ^ { 2 } T ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \omega \omega ^ { 2 } } { \cosh ^ { 2 } \frac { \omega } { 2 T } } \left[ 1 + \frac { \omega ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } } { \omega \Gamma } \arctan \frac { \omega } { \Gamma } \right] ,
\mathcal { H } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { p _ { j } ^ { 2 } } { I _ { j } } + \Pi \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } , \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } , . . . , \theta _ { N } - \theta _ { N - 1 } \right) \, .
\frac { \partial \psi ^ { d } } { \partial x _ { 3 } } + \frac { i ( a _ { 1 } \eta _ { 1 } + a _ { 2 } \eta _ { 2 } ) + \tau _ { h } n _ { b } } { \eta _ { 3 } } \psi ^ { d } = \frac { \omega \tau _ { h } } { 4 \pi \eta _ { 3 } } ( n _ { b } G + \mathcal { G } _ { b } \hat { n } + A \eta _ { 3 } ( n _ { b } \hat { q } _ { 3 } - q _ { b } \hat { n } ) ) - \frac { \tau _ { h } } { \eta _ { 3 } } I _ { b } ^ { d } \hat { n } ,
{ \frac { \sin \left( { \frac { \alpha } { 2 } } - { \frac { \beta } { 2 } } \right) } { \sin \left( { \frac { \alpha } { 2 } } + { \frac { \beta } { 2 } } \right) } } = { \frac { \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) - \cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) } { \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) + \cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) } } = { \frac { a - b } { 2 s - a - b } } .
\Delta \delta _ { F } ( n ) = \Big | \frac { 1 } { 2 } s ^ { - 3 / 2 } \Big | \sqrt { \big ( \frac { \nu } { c R _ { C s } } \big ) ^ { 2 } \big [ ( \frac { \Delta \nu } { \nu } ) ^ { 2 } + ( \frac { \Delta R _ { C s } } { R _ { C s } } ) ^ { 2 } \big ] + \big [ 2 ( n + 2 ) _ { D } ^ { * - 3 } \Delta ( n + 2 ) _ { D } ^ { * } \big ] ^ { 2 } } \quad .
, y i e l d s o r d e r e d Q W s ( a s s h o w n b y R e f . ~ ) a n d h e n c e r e c u r r e n t M E S P S w i t h d i f f e r e n t p e r i o d s . F o r i n s t a n c e , t h e s i n g l e c o i n e v o l u t i o n s e q u e n c e
\widetilde { \nu } _ { e ^ { - } } = \frac { P \lambda _ { R R E A } } { \lambda _ { R R E A } - \widetilde { \lambda } } \left( 1 - e x p \left( L \left( \frac { 1 } { \lambda _ { R R E A } } - \frac { 1 } { \widetilde { \lambda } } \right) \right) \right)
k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \beta \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) = k _ { \beta \alpha , j i } ^ { \left( \alpha , 1 \right) } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } ) - k _ { \beta \alpha , j i } ^ { \left( \alpha , 2 \right) } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } ) = k _ { \beta \alpha , j i } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } ) ,
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \partial c _ { \omega } } { \partial t } + \omega ^ { - 1 } \frac { \partial c _ { \omega } } { \partial \tau } \right) } & { + \nabla _ { \mathbf x } \cdot [ - \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { \omega } + \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf y } c _ { \omega } ) + \mathrm { P e } \mathbf v c _ { \omega } ] } \\ & { + \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf y } \cdot [ - \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { \omega } + \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf y } c _ { \omega } ) + \mathrm { P e } \mathbf v c _ { \omega } ] = 0 . } \end{array}
\frac { d } { d r } \Big [ | H _ { n } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) | ^ { 2 } \Big ] = 8 n r | H _ { n - 1 } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) | ^ { 2 } + 4 n ( n - 1 ) \frac { d } { d r } \Big [ | H _ { n - 2 } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) | ^ { 2 } \Big ] .
\begin{array} { r l } & { \beta _ { 1 } ^ { e } \prod _ { \ell \in [ \Delta ] } \tilde { f } _ { \ell } ( \beta _ { 1 } ) \textrm { T r } ( v _ { 1 } \phi ( \beta _ { 1 } ) ) + \ldots } \\ & { + \beta _ { k } ^ { e } \prod _ { \ell \in [ \Delta ] } \tilde { f } _ { \ell } ( \beta _ { k } ) \textrm { T r } ( v _ { k } \phi ( \beta _ { k } ) ) = 0 , } \end{array}
p _ { \mathrm { R A } } ^ { \mathrm { i n } } , \, p _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } , \, p _ { \mathrm { L A } } ^ { \mathrm { i n } } , \, p _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } }
\begin{array} { r l r } & { } & { P _ { C _ { k , m } \rightarrow C _ { k , m - 1 } } ( k , m ) = \sum _ { k _ { i } } P _ { C - D } ( k _ { i } ) \left( \frac { 1 } { N _ { D - C } ( k _ { i } ) } \right. } \\ & { } & { \left. \times \phi ( \pi _ { C - D } ( k _ { i } ) , \pi _ { C } ( k , m ) ) + \frac { N _ { D - C } ( k _ { i } ) - 1 } { N _ { D - C } ( k _ { i } ) } \right. } \\ & { } & { \left. \times \sum _ { k _ { j } } P _ { D - C } ( k _ { j } ) \phi ( \pi _ { C - D } ( k _ { i } ) , \pi _ { D - C } ( k _ { j } ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \hat { H } _ { 0 } + \hat { H } _ { + } + \hat { H } _ { - } , \ \ \mathrm { w i t h } } \\ { \hat { H } _ { 0 } } & { = \hbar \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } ( \hat { c } _ { + k , + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { + k , + 1 } + \hat { c } _ { - k , + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - k , + 1 } } \\ & { + \hat { c } _ { - k , - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - k , - 1 } + \hat { c } _ { + k , - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { + k , - 1 } ) } \\ & { + 4 \hbar \omega _ { \mathrm { r e c } } \hat { c } _ { \pm 2 k _ { x } , 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { \pm 2 k _ { x } , 0 } , } \\ { \hat { H } _ { + } } & { = \hbar \chi _ { + } ( 2 \hat { c } _ { - k , - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { + k , + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } \hat { c } _ { 0 } + \hat { c } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { + k , + 1 } \hat { c } _ { + k , + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } } \\ & { + \hat { c } _ { - k , - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } \hat { c } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - k , - 1 } + \mathrm { h . c . } ) , } \\ { \hat { H } _ { - } } & { = \hbar \chi _ { - } ( 2 \hat { c } _ { - k , + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { + k , - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } \hat { c } _ { 0 } + \hat { c } _ { - k , + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } \hat { c } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - k , + 1 } } \\ & { + \hat { c } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { + k , - 1 } \hat { c } _ { + k , - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } + \mathrm { h . c . } ) , } \end{array}
u _ { 2 \, s \, + \, 1 } ^ { [ r ] } \, = \, \left( \frac { \overline { { { g } } } _ { 0 } } { 4 \, \pi } \right) ^ { 2 } \, r _ { 2 \, s \, + \, 1 } ^ { [ r ] } \, ( - u _ { 2 \, s } \, \Lambda ^ { 2 } , \, \Lambda ^ { 2 } ; \, \varepsilon ) \qquad ( s \, = \, 1 \, . . . \, r ) \, \, .
\mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , 0 } = \mathcal { S } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , 0 } - B \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , 0 } \mathrm { ~ a n d ~ } \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , 1 } = \mathcal { S } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , 1 } - C \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , 0 } - B \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , 1 } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { f \in { \mathscr C } ^ { \beta } ( R ) } \, \Big | \operatorname { B i a s } _ { f } \big ( \widehat f ( x _ { 0 } ) \big ) \Big | ^ { 1 / \beta } \operatorname* { s u p } _ { f \in { \mathscr C } ^ { \beta } ( R ) } \operatorname { V a r } _ { f } ( \widehat f ( x _ { 0 } ) ) \geq \frac { \gamma _ { \mathrm { L o w } } ( R , \beta ) } { n } . } \end{array}
\delta \, d s \, = \, \delta \, \sqrt { d x _ { \mu } \, d x ^ { \mu } } \, = \, \frac { d x _ { \mu } \, \delta \, d x ^ { \mu } } { d s } \, = \, \dot { x } _ { \mu } \, d \, ( \delta x ^ { \mu } ) \, { . }
w _ { a } ( \tilde { z } ) = \frac { s _ { a } R _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { a } } \left( \frac { 1 } { 4 } \left( \tilde { R } _ { 1 } ^ { 2 } - | \tilde { z } | ^ { 2 } \right) + \alpha ( \tilde { \Lambda } _ { a } ) \frac { \tilde { R } _ { 1 } ^ { 2 } } { N } \tau ( \tilde { z } ) \right) ,
[ \mathbf { W } ^ { - 1 } ] _ { \mathcal { P P } } = \left( \mathbf { W } _ { \mathcal { P P } } - \mathbf { W } _ { \mathcal { P \Bar { P } } } \mathbf { W } _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathcal { \Bar { P } P } } \right) ^ { - 1 } = \mathbf { R } ^ { - 1 }
\frac { \partial } { \partial \tau } \rho _ { } ^ { ( \mathrm { n e u t r a l } ) } = - \sum _ { i ^ { \prime } , \mathcal { F } ^ { \prime } } S _ { \mathcal { F } ^ { \prime } i ^ { \prime } } ^ { ( \mathrm { n e u t r a l } ) } J _ { \mathcal { F } ^ { \prime } } \rho ^ { ( \mathrm { n e u t r a l } ) } .
\begin{array} { r l } & { D _ { N } ^ { * } \left( X _ { 1 } , X _ { 2 } , \ldots , X _ { N } ; R ^ { \prime } \right) } \\ & { \leq \frac { \sqrt { 2 4 d \sqrt { d + 3 } \cdot A ( d , q , N ) + \frac { A ^ { 2 } ( d , q , N ) } { 9 N ^ { 1 - \frac { 1 } { d } } } } } { N ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 d } } } + \frac { A ( d , q , N ) } { 3 N } } \end{array}
\mathbf { E } ^ { \prime } = \mathbf { E } , \; \mathbf { H } ^ { \prime } = \sqrt { \frac { - \mathrm { i } \omega } { 2 \omega _ { 0 } } } \mathbf { H } , \; \mathbf { M } ^ { \prime } = \mathbf { M } , \; \mathbf { J } ^ { \prime } = \sqrt { \frac { - \mathrm { i } \omega } { 2 \omega _ { 0 } } } \mathbf { J } , \; \omega ^ { \prime } = ( 1 + \mathrm { i } ) \sqrt { \omega \omega _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j : r ( i , j ) \le R } | J _ { i j } | - \sum _ { j : r ( i , j ) > R } | J _ { i j } | } \\ & { \ge ( \gamma _ { n + 1 } / N ) ^ { 1 / \alpha } \big ( 0 . 9 R ^ { - 1 / \alpha } - \ln N \cdot 1 . 1 T ^ { - 1 / \alpha } - N \cdot 1 . 1 N ^ { - 1 / \alpha } \big ) } \\ & { \ge ( 0 . 9 ) 2 ^ { - 1 / \alpha } ( N - 1 ) ^ { 1 / \alpha } \big ( 0 . 9 R ^ { - 1 / \alpha } - \ln N \cdot 1 . 1 T ^ { - 1 / \alpha } - N \cdot 1 . 1 N ^ { - 1 / \alpha } \big ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { { } = \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \Omega , } \\ { \mathcal { B } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { { } = \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \partial \Omega , } \end{array} \right.