harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { Z _ { m a } ^ { \mathrm { R P A } } } & { { } = \left( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } + \omega \right) \sum _ { \mu } \frac { \mathrm { s i g n } \left( \omega ^ { \mu } \right) } { \omega - \omega _ { \mu } } S _ { \mu } \chi _ { m a } ^ { \mu } \, , } \\ { Z _ { a m } ^ { \mathrm { R P A } } } & { { } = \left( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } - \omega \right) \sum _ { \mu } \frac { \mathrm { s i g n } \left( \omega ^ { \mu } \right) } { \omega - \omega _ { \mu } } S _ { \mu } \left( \eta _ { m a } ^ { \mu } \right) ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \; \mathrm { \mathrm { s g n } } ( k ) \dot { P } _ { k } ^ { ( 1 ) } - \omega _ { k } P _ { k } ^ { ( 1 ) } } & { = - i V _ { k } ^ { t } } \\ { i \; \mathrm { \mathrm { s g n } } ( k ) \dot { P } _ { k } ^ { ( 2 ) } - \omega _ { k } P _ { k } ^ { ( 2 ) } } & { = \sum _ { n } V _ { k - n } ^ { t } P _ { n } ^ { ( 1 ) } } \\ { i \; \mathrm { \mathrm { s g n } } ( k ) \dot { D } _ { k } ^ { ( 3 ) } - \omega _ { k } D _ { k } ^ { ( 3 ) } } & { = \sum _ { n } \bigg [ V _ { k - n } ^ { t } P _ { n } ^ { ( 2 ) } + i \theta ( k n ) V _ { n } ^ { t } P _ { - n } ^ { ( 1 ) } P _ { k } ^ { ( 1 ) } \bigg ] + i V _ { k } ^ { t } \sum _ { n > 0 } P _ { - n } ^ { ( 1 ) } P _ { n } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
( \rho E _ { v } ) ^ { n + 1 } = \left( 1 + \frac { \Delta t } { 2 Z _ { v } \tau } \right) ^ { - 1 } \left[ ( \rho { E _ { v } } ) ^ { \dagger } + \frac { \Delta t } { 2 } \left( s _ { v } ^ { n } + \frac { ( \rho E _ { v } ^ { M } ) ^ { n + 1 } } { Z _ { v } \tau } \right) \right] .
\mathcal T _ { k } ( B _ { n } ) = \mathbb E _ { Z } \Big [ \sum _ { j \geq k } \lambda _ { j } ( B _ { n } ) \Big ] \leq \sum _ { j \geq k } \lambda _ { j , \rho } \lesssim \lambda _ { k } \| \varphi _ { k } \| _ { \rho } ^ { 2 } , \quad \mathrm { ~ w h e n e v e r ~ } \sum _ { i \geq k } \frac { ( i - k + 1 ) \lambda _ { i } \| \varphi _ { i } \| _ { \rho } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } \| \varphi _ { k } \| _ { \rho } ^ { 2 } } < + \infty .
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \alpha _ { \mathrm { H } } , \alpha _ { \mathrm { V } } | \hat { \mathcal P } _ { x } ^ { \mathrm { H V } } | \alpha _ { \mathrm { H } } , \alpha _ { \mathrm { V } } \rangle } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta } { 2 } } \cos \alpha } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta } { 2 } } \sin \alpha \ } \end{array} \right) } \\ & { } & { = { \mathcal P } _ { x } ^ { \mathrm { H V } } | \mathrm { J o n e s } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal P } _ { x } ^ { \mathrm { H V } } = \mathrm { e } ^ { i k _ { 0 } n _ { x } d - \alpha _ { x } d } \frac { \mathrm { e } ^ { i \beta } } { \sqrt { N } } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \hat { \bf x } + \mathrm { e } ^ { i k _ { 0 } n _ { y } d - \alpha _ { y } d } \frac { \mathrm { e } ^ { i \beta } } { \sqrt { N } } \hat { a } _ { \mathrm { V } } \hat { \bf y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { p = 1 } ^ { P } \Big [ \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } f _ { p } ( z _ { p } ^ { t , e + 1 } ) - f _ { p } ( z _ { p } ) - \langle \lambda _ { p } ^ { t + 1 } , z _ { p } ^ { t + 1 } - z _ { p } \rangle \Big ] } \\ { \leq } & { \sum _ { p = 1 } ^ { P } \Big [ \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { \| \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 / \eta ^ { t } - L ) } + \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \Big ( \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } - \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } \Big ) + \langle \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } , z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \rangle \Big \} \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { M _ { m } ^ { \varepsilon e } \mapsto - M _ { m } ^ { \varepsilon e } , \enspace } & { M _ { e } ^ { \varepsilon m } \mapsto - M _ { e } ^ { \varepsilon m } , \enspace } & { M _ { m } ^ { e \varepsilon } \mapsto - M _ { m } ^ { e \varepsilon } , \enspace } \\ { M _ { \varepsilon } ^ { e m } \mapsto - M _ { \varepsilon } ^ { e m } , \enspace } & { M _ { e } ^ { m \varepsilon } \mapsto - M _ { e } ^ { m \varepsilon } , \enspace } & { M _ { \varepsilon } ^ { m e } \mapsto - M _ { \varepsilon } ^ { m e } , } \end{array}
\epsilon _ { j } > \operatorname* { m a x } _ { \substack { i \in \{ 1 , \dots , m \} \, k \in \{ 1 , \dots , j - 1 \} } } \epsilon _ { k } \, \frac { ( n - 1 ) ^ { 2 } } { 4 } \frac { \left| v _ { k } ^ { \dagger } A ^ { ( i ) } v _ { j } \right| ^ { 2 } } { \left| \Re \left( \lambda _ { j } ^ { ( i ) } \right) \right| \left| \Re \left( \lambda _ { k } ^ { ( i ) } \right) \right| }
\frac { \mathrm { d } y _ { \mathrm { { e f f } } } } { \mathrm { d } t } = I - \gamma y _ { \mathrm { e f f } } - \frac { \beta } { \beta + \alpha } \frac { w y _ { \mathrm { { e f f } } } ( t - \tau _ { 1 } ) ^ { n } } { K ^ { n } + y _ { \mathrm { e f f } } ( t - \tau _ { 1 } ) ^ { n } } - \frac { \alpha } { \beta + \alpha } \frac { w y _ { \mathrm { { e f f } } } ( t - \tau _ { 2 } ) ^ { n } } { K ^ { n } + y _ { \mathrm { e f f } } ( t - \tau _ { 2 } ) ^ { n } } .
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { \alpha } } & { { } \simeq } & { \delta _ { 1 } \, \, \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, { \alpha } = 1 , 2 , 3 } \\ { \Delta _ { \alpha } } & { { } \simeq } & { \delta _ { 2 } \, \, \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, { \alpha } = 4 , 5 \, . } \end{array}
C _ { f } = \frac { \tau _ { w } } { \frac { 1 } { 2 } \rho _ { \infty } u _ { \infty } ^ { 2 } } , \quad C _ { p } = \frac { p _ { w } - p _ { \infty } } { \frac { 1 } { 2 } \gamma M a _ { \infty } ^ { 2 } p _ { \infty } } , \quad S t = \frac { q _ { w } } { \rho _ { \infty } u _ { \infty } c _ { p } ( T _ { a w } - T _ { w } ) }
\frac { \textrm { d } \Delta { h } ( \Omega , a ) } { \textrm { d } \Omega ^ { 2 } } \approx \frac { a } { 2 \left( \Gamma \rho { g } \right) ^ { 1 / 2 } } \left[ \frac { 4 \hat { \beta } } { 4 + \sqrt { B o } } - \frac { \rho { a } ^ { 2 } } { 2 + \sqrt { B o } } \right]
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } } ^ { \prime { ( 2 ) } } = \big ( \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } , \mathrm { ~ L ~ } } ^ { \prime { ( 2 ) } } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } , \mathrm { ~ R ~ } } ^ { \prime { ( 2 ) } } \big ) / 2
( \zeta _ { i } \cdot \zeta _ { j } ) ( \zeta _ { k } \cdot k _ { l } ) ( \zeta _ { m } \cdot k _ { n } ) ( \zeta _ { p } \cdot k _ { q } ) \times \{ \mathrm { k i n e m a t i c ~ f a c t o r } \} \, .
U _ { F ^ { \prime } } ( \boldsymbol s ^ { \prime } ) = { \frac { \mathrm { i } } { \lambda ^ { \prime } R _ { A ^ { \prime } } } } \, \widehat U _ { A ^ { \prime } } \left( { \frac { \boldsymbol s ^ { \prime } } { \lambda ^ { \prime } R _ { A ^ { \prime } } } } \right) = { \frac { \mathrm { i } m _ { \mathrm { v } } } { \lambda ^ { \prime } R _ { A ^ { \prime } } } } \; \widehat U _ { A } \left( { \frac { m _ { \mathrm { v } } \boldsymbol s ^ { \prime } } { \lambda ^ { \prime } R _ { A ^ { \prime } } } } \right) = m _ { \mathrm { v } } { \frac { \lambda R _ { A } } { \lambda ^ { \prime } R _ { A ^ { \prime } } } } \; U _ { F } \left( m _ { \mathrm { v } } { \frac { \lambda R _ { A } \boldsymbol s ^ { \prime } } { \lambda ^ { \prime } R _ { A ^ { \prime } } } } \right) \, .
V _ { \mathrm { O G E } } ^ { \mathrm { T } } = \frac { 2 } { 9 \pi } S _ { 1 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \: k ^ { 2 } \: j _ { 2 } ( k r ) \left( \frac { M _ { Q } + M _ { \bar { Q } } } { e _ { Q } + e _ { \bar { Q } } } \right) \frac { \alpha _ { s } ( k ^ { 2 } ) } { e _ { Q } e _ { \bar { Q } } } .
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { k } } & { = - \sum _ { i j } 2 \frac { \bar { \lambda } _ { i } ^ { k } \lambda _ { j } ^ { k } } { \bar { \lambda } _ { i } ^ { k } + \lambda _ { j } ^ { k } } \frac { C _ { i j } ^ { k } } { \vert \operatorname* { d e t } T ^ { k } \vert ^ { 2 } } \, , } \\ { C _ { i j } ^ { k } } & { = \sum _ { n m } \bar { T } _ { m i } ^ { k } T _ { m j } ^ { k } \left( ( \bar { T } ^ { k } ) _ { i n } ^ { - 1 } \right) \left( T ^ { k } \right) _ { j n } ^ { - 1 } \left\vert \operatorname* { d e t } T ^ { k } \right\vert ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { n m } \bar { T } _ { m i } ^ { k } T _ { m j } ^ { k } \left( \mathrm { a d j } ( \bar { T } ^ { k } ) ^ { T } \right) _ { n i } \left( \mathrm { a d j } ( T ^ { k } ) ^ { T } \right) _ { n j } } \\ & { = \left( ( \bar { T } ^ { k } ) ^ { T } T ^ { k } \right) _ { i j } \left( \mathrm { a d j } \bar { T } ^ { k } \mathrm { a d j } ( T ^ { k } ) ^ { T } \right) _ { i j } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { f } } = \omega _ { \mathrm { r } } \left[ - \mathbf { \hat { z } } + \cos \theta _ { \mathrm { f } } \mathbf { \hat { m } } \right] = \frac { \omega _ { \mathrm { r } } } { 2 } \left( \begin{array} { l } { \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { f } } ) \cos ( \omega _ { \mathrm { r } } t + \varphi ) } \\ { - \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { f } } ) \sin ( \omega _ { \mathrm { r } } t + \varphi ) } \\ { - 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { f } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathcal { F } } ( t ) } & { = \mathfrak { N } ^ { t , 0 } \widetilde { \mathcal { F } } _ { \mid t = 0 } - \int _ { 0 } ^ { t } \mathfrak { N } ^ { t , s } \left[ \widetilde { \mathcal { L } } ( s ) + \widetilde { \mathcal { R } } _ { 0 } ( s ) + \widetilde { \mathcal { R } } _ { 1 } ( s ) \right] \, \mathrm { d } s } \\ & { = e ^ { d t } \mathrm { N } ^ { t ; 0 } \widetilde { \mathcal { F } } _ { \mid t = 0 } - \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { d ( t - s ) } \mathrm { N } ^ { t ; s } \left[ \widetilde { \mathcal { L } } ( s ) + \widetilde { \mathcal { R } } _ { 0 } ( s ) + \widetilde { \mathcal { R } } _ { 1 } ( s ) \right] \, \mathrm { d } s . } \end{array}
V ( x , y , z ) = { \frac { 1 } { 2 } } m \omega _ { x } ^ { 2 } x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m \omega _ { y } ^ { 2 } y ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m \omega _ { z } ^ { 2 } z ^ { 2 }
G ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } \sqrt { \tau \tau ^ { \prime } } } \int d ^ { 3 } k e ^ { i [ \mathbf { k } _ { \bot } \cdot ( \mathbf { x } _ { \bot } - \mathbf { x } _ { \bot } ^ { \prime } ) + k _ { \eta } ( \eta - \eta ^ { \prime } ) ] } \left[ a _ { k _ { \eta } } ( \tau ) b _ { k _ { \eta } } ( \tau ^ { \prime } ) - a _ { k _ { \eta } } ( \tau ^ { \prime } ) b _ { k _ { \eta } } ( \tau ) \right] \: ,
\left( P _ { n } - P \right) \frac { 4 \frac { d \sqrt { P - P _ { 0 } } } { d \rho } } { \delta r ^ { 2 } \sqrt { P - P _ { 0 } } } = \frac { d } { d \rho } \left[ { \left( \frac { d \sqrt { P - P _ { 0 } } } { d \rho } \right) } ^ { 2 } { \left( \frac { d \rho } { d x } \right) } ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( \tilde { T } ^ { - } } & { ( z _ { a } ) , \tilde { T } ^ { - } ( z _ { b } ) ) = \operatorname* { m i n } _ { \sigma \in \mathcal { P } _ { p } } \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , \ldots , p \} } | g _ { i } ( z _ { a } ) - g _ { \sigma ( i ) } ( z _ { b } ) | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , \ldots , p \} } | g _ { i } ( z _ { a } ) - g _ { i } ( z _ { b } ) | \leq \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , \ldots , p \} } L _ { i } \ | z _ { a } - z _ { b } | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha \left( { \mathbf { q } } \right) } & { = } & { 2 k _ { B } T \gamma \left( { \mathbf { q } } \right) , } \\ { \left\langle { { \eta _ { i } } \left( t \right) { \eta _ { j } } \left( { t ^ { \prime } } \right) } \right\rangle } & { = } & { { \alpha _ { i , j } } \left( { \mathbf { q } } \right) \delta \left( { t - t ^ { \prime } } \right) , } \end{array}
{ \boldsymbol { \omega } } ( \mathbf { x } ) = { \frac { R ^ { 3 } \cdot { \boldsymbol { \omega } } _ { R } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 3 } } } - { \frac { 3 R ^ { 3 } \cdot ( { \boldsymbol { \omega } } _ { R } \cdot \mathbf { x } ) \cdot \mathbf { x } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 5 } } }
\begin{array} { r } { E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) > 4 \pi c ^ { 2 } + \frac { 4 \pi c h ^ { 2 } } { \varepsilon } - \frac { 2 \pi h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon c } \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \varepsilon ^ { 2 } \right) } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( - \Delta ) ^ { s } w ( x ) = 0 , \ \ \ \ } & { x \in \Omega \bigcap B _ { \lambda } ( 0 ) , } \\ { w ( x ) = \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } G _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) \geq 0 , } & { x \in ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } \setminus ( \Omega \bigcap B _ { \lambda } ( 0 ) ) , } \\ { w ( x ) \equiv 0 , } & { x \in B _ { \lambda } ( 0 ) \setminus ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } , } \\ { w ( x ) = - \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } w ( x ^ { \lambda } ) , } & { x \in B _ { \lambda } ( 0 ) \setminus \{ 0 \} . } \end{array} \right.
i \tilde { M } \dot { \boldsymbol { c } } _ { p } = ( 1 - \tilde { M } \sum _ { q } \boldsymbol { c } _ { q } \boldsymbol { c } _ { q } ^ { \dagger } ) \left[ \tilde { H } _ { 1 } \boldsymbol { c } _ { p } + \tilde { M } \sum _ { o q r s } ( D ^ { - 1 } ) _ { p } ^ { o } P _ { o r } ^ { q s } \boldsymbol { W } _ { s } ^ { r } \circ \boldsymbol { c } _ { q } \right] + i \tilde { M } \sum _ { q } \boldsymbol { c } _ { q } X _ { p } ^ { q }
( 1 - \delta _ { l } ) ( U _ { 0 } ^ { + } + U _ { m t } ) + \delta _ { l } U _ { m b } \approx ( 1 - \delta _ { l } ) U _ { m t } + ( 1 - 0 . 1 5 \delta _ { l } ) U _ { 0 } ^ { + } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { { } = { \frac { \zeta + { \bar { \zeta } } } { \zeta { \bar { \zeta } } + 1 } } } \\ { x _ { 2 } } & { { } = { \frac { \zeta - { \bar { \zeta } } } { i ( \zeta { \bar { \zeta } } + 1 ) } } } \\ { x _ { 3 } } & { { } = { \frac { \zeta { \bar { \zeta } } - 1 } { \zeta { \bar { \zeta } } + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \partial _ { s } J ) _ { B } } & { { } = } & { \partial _ { s } J _ { 0 } ( s , { \cal E } , \mu ) + \delta \partial _ { s } J _ { 1 } ( s , \alpha , { \cal E } , \mu ) \, , } \\ { ( \partial _ { \alpha } J ) _ { B } } & { { } = } & { \delta \partial _ { \alpha } J _ { 1 } ( s , \alpha , { \cal E } , \mu ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { * } ( \tilde { z } , z ) } & { = } & { \frac { J _ { 0 } \sqrt { q } } { 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } \chi } \, \Big ( \Delta ( z ) + \tilde { z } \Big ) \, , \qquad \Delta ( z ) = \frac { \mu \cdot m _ { \infty } + \sigma z } { J _ { 0 } \sqrt { q } } } \\ { x _ { * } ( \tilde { z } , z ) } & { > } & { 0 \, \quad \mathrm { a n d } \, \quad \partial x _ { * } / \partial \tilde { z } > 0 \, \quad \mathrm { i f } \, \quad \tilde { z } > - \Delta ( z ) \, \quad \mathrm { a n d } \, \quad 1 > J _ { 0 } ^ { 2 } \chi } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { S O } ( 2 n ) } & { \supset \operatorname { S U } ( n ) } \\ { \operatorname { S p } ( n ) } & { \supset \operatorname { S U } ( n ) } \\ { \operatorname { S p i n } ( 4 ) } & { = \operatorname { S U } ( 2 ) \times \operatorname { S U } ( 2 ) } \\ { \operatorname { E } _ { 6 } } & { \supset \operatorname { S U } ( 6 ) } \\ { \operatorname { E } _ { 7 } } & { \supset \operatorname { S U } ( 8 ) } \\ { \operatorname { G } _ { 2 } } & { \supset \operatorname { S U } ( 3 ) } \end{array} }
\mathbb { E } V _ { j } ( Z _ { d , \ell , \rho } ^ { ( k ) } ) = { \frac { \ell ! } { j ! ( \ell - j ! ) } } { \frac { \Gamma ( { \frac { j } { 2 } } + 1 ) \Gamma ( { \frac { \ell - j } { 2 } } + 1 ) } { \Gamma ( { \frac { \ell } { 2 } } + 1 ) } } { \frac { \gamma _ { k - j } ( \mathcal { W } _ { d , \rho } \cap \mathbb { R } ^ { \ell - j } ) } { \gamma _ { k } ( \mathcal { W } _ { d , \rho } \cap \mathbb { R } ^ { \ell } ) } } ,
Q + Q ^ { - 1 } = \left\{ \begin{array} { l l l } { { 1 - [ 2 n ] _ { q } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { B ( 0 , n ) } } \\ { { - ( q ^ { n } + q ^ { - n } ) [ n - 1 ] _ { q } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { C ( n + 1 ) } } \\ { { 1 - [ 2 ( n - m ) ] _ { q } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { B ( m , n ) } } \\ { { 2 - ( q ^ { n - m } + q ^ { - n + m } ) [ n - m - 1 ] _ { q } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { D ( m , n ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { Z _ { \mathfrak { X } } } & { : = \exp ( Z ( v ) ) = \{ g \in G : \exp ( - t v ) g \exp ( t v ) = g \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \in \mathbb R \} } \\ { M _ { \mathfrak { X } } } & { : = K \cap Z _ { \mathfrak { X } } = K \cap G _ { \mathfrak { X } } } \\ { N _ { \mathfrak { X } } } & { : = \ker ( T _ { \mathfrak { X } } ) } \\ { A _ { \mathfrak { X } } } & { : = \exp \{ Z ( v ) \cap \mathfrak p \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { y } _ { / \mathbb { B } } : = \big ( \boldsymbol { y } _ { / \mathbb { B } } ( \boldsymbol { \tau } ) , \boldsymbol { \tau } \in \mathbb { E } / \mathbb { B } \big ) , \mathrm { ~ s . t . ~ ~ } \boldsymbol { y } _ { / \mathbb { B } } ( \boldsymbol { \tau } ) : = \bigoplus _ { \boldsymbol { z } \in \boldsymbol { \tau } } \boldsymbol { y } ( \boldsymbol { z } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } c _ { v } ( t ) = - \sum _ { v ^ { \prime } \ne v } p _ { v v ^ { \prime } } ( t ) \, \exp ( i ( E _ { v } ^ { \Omega } - E _ { v ^ { \prime } } ^ { \Omega } ) t / \hbar ) \, c _ { v ^ { \prime } } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s } } ] - \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ] } & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] + \bigg ( \frac { 9 \eta c _ { \omega } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 3 2 } + \frac { 9 \eta c _ { \nu } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 3 2 } + \frac { 9 \eta c _ { u } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 3 2 } \bigg ) \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } ^ { 3 } } \\ & { \qquad - \frac { 9 \eta \gamma ^ { 2 } \tilde { L } ^ { 2 } } { 8 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } F _ { t } - \frac { \eta } { 8 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } E _ { t } - \frac { \tilde { L } ^ { 2 } \eta } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } B _ { t } - \frac { L ^ { 2 } \eta } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } I _ { t } } \\ & { \qquad - \frac { 9 \eta \tau ^ { 2 } L ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } Q _ { t } + C _ { 1 } I \eta ^ { 3 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } D _ { t } + C _ { 1 } I \gamma ^ { 2 } \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } G _ { t } + C _ { 1 } I \tau ^ { 2 } \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } J _ { t } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r } { { \frac { 3 } { 4 } } + { \frac { 5 } { 6 } } } & { = { \frac { 3 \cdot 6 } { 4 \cdot 6 } } + { \frac { 4 \cdot 5 } { 4 \cdot 6 } } = { \frac { 1 8 } { 2 4 } } + { \frac { 2 0 } { 2 4 } } } & { = { \frac { 1 9 } { 1 2 } } } \\ & { = { \frac { 3 \cdot 3 } { 4 \cdot 3 } } + { \frac { 2 \cdot 5 } { 2 \cdot 6 } } = { \frac { 9 } { 1 2 } } + { \frac { 1 0 } { 1 2 } } } & { = { \frac { 1 9 } { 1 2 } } } \end{array} }
\frac { 3 4 m ^ { 4 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \biggl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \biggr ) \biggr ] \simeq \frac { m ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \psi + \frac { m ^ { 4 } } { p ^ { 2 } M _ { f } ^ { 2 } } \frac { 3 4 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \biggr ( \frac { 2 } { \epsilon } + l o g \frac { \mu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \biggl )
\begin{array} { r l } & { \frac { \omega _ { p j } ^ { 2 } p _ { \perp } ^ { 2 } \overleftrightarrow { \mathbf { S } } f _ { j } } { \left[ p _ { \parallel } - \frac { m _ { j } ( \omega - n \Omega _ { j } ) } { k _ { \parallel } } \right] \omega ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \omega _ { p j } ^ { 2 } p _ { \perp } ^ { 2 } \overleftrightarrow { \mathbf { S } } f _ { j } \left[ p _ { \parallel } + \frac { m _ { j } ( \omega + n \Omega _ { j } ) } { k _ { \parallel } } \right] } { \left[ p _ { \parallel } - \frac { m _ { j } ( \omega - n \Omega _ { j } ) } { k _ { \parallel } } \right] \left[ p _ { \parallel } + \frac { m _ { j } ( \omega + n \Omega _ { j } ) } { k _ { \parallel } } \right] \omega ^ { 2 } } . } \end{array}
2 = b + \frac { 5 } { 1 2 } \partial ^ { 2 } b + \frac { 1 7 } { 7 2 } \partial ^ { 4 } b + \frac { 3 \pi ^ { 2 } - 2 5 } { 1 4 4 } ( \partial _ { i j } ^ { 2 } b ) ^ { 2 } + \frac { 2 1 - 2 \pi ^ { 2 } } { 9 6 } ( \partial ^ { 2 } b ) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ X _ { k } \right] = \int _ { \tilde { E } _ { 0 } - w } ^ { \tilde { E } _ { 0 } + w } \xi \cdot p ( X _ { k } = \xi ) d \xi = \frac { \int _ { \tilde { E } _ { 0 } - w } ^ { \tilde { E } _ { 0 } + w } \xi q ( \xi ) d \xi } { \int _ { \tilde { E } _ { 0 } - w } ^ { \tilde { E } _ { 0 } + w } q ( \xi ) d \xi } . } \end{array}
g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \sum _ { m _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } h ^ { \mathrm { o n e } } ( m _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot e ^ { i 2 \pi { \frac { m _ { 1 } } { a _ { 1 } } } x _ { 1 } }
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c c } { \vec { E _ { j } } } \\ { \vec { H _ { j } } } \end{array} \right) } & { = \sum _ { \sigma = 1 } ^ { 4 } E _ { j , \sigma } \left( \begin{array} { c c } { \vec { e _ { j , \sigma } } } \\ { \vec { h _ { j , \sigma } } } \end{array} \right) \textrm { e x p } ( i k _ { j , \sigma } z - i \omega t ) , } \\ { \vec { h _ { j , \sigma } } } & { = \frac { k _ { j , \sigma } \hat { z } \times \vec { e _ { j , \sigma } } } { \omega \mu _ { 0 } } , } \\ { k _ { j , 1 } } & { = - k _ { j , 2 } = k _ { 0 } n _ { s _ { j } } , } \\ { k _ { j , 3 } } & { = - k _ { j , 4 } = k _ { 0 } n _ { p _ { j } } , } \\ { \vec { e _ { j , 1 } } } & { = \vec { e _ { j , 2 } } = \textrm { s i n } \theta _ { j } \hat { y } + \textrm { c o s } \theta _ { j } \hat { x } , } \\ { \vec { e _ { j , 3 } } } & { = \vec { e _ { j , 4 } } = \textrm { c o s } \theta _ { j } \hat { y } - \textrm { s i n } \theta _ { j } \hat { x } , } \\ { \vec { h _ { j , 1 } } } & { = - \vec { h _ { j , 2 } } = \frac { k _ { 0 } n _ { s _ { j } } } { \omega \mu _ { 0 } } ( - \textrm { s i n } \theta _ { j } \hat { x } + \textrm { c o s } \theta _ { j } \hat { y } ) , } \\ { \vec { h _ { j , 3 } } } & { = - \vec { h _ { j , 4 } } = \frac { k _ { 0 } n _ { p _ { j } } } { \omega \mu _ { 0 } } ( - \textrm { c o s } \theta _ { j } \hat { x } - \textrm { s i n } \theta _ { j } \hat { y } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { m u l t i , S D E } } ( \theta ) = \: } & { { } \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \, . . . , \, \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) } \left[ \sum _ { k = i + 1 } ^ { j - 1 } | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { S D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad } & { { } \mathbf { x } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { S D E } } = \mathbf { x } _ { t _ { j } } + \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { i } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { S D E } } ) - g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { S D E , B } } , t ) d t + \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { i } } g ( t ) d w . } \end{array}
E _ { 2 } ( x , y , t ) = 2 k _ { 1 I } ( x - { p _ { 0 } } / { 2 } ) + 2 ( k _ { 1 R } l _ { 1 I } + k _ { 1 I } l _ { 1 R } ) ( y - { q _ { 0 } } / { 2 } ) + 2 ( k _ { 1 R } m _ { 1 I } + k _ { 1 I } m _ { 1 R } ) ( t - { r _ { 0 } } / { 2 } )