harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\eta _ { \varepsilon } ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } u \le 0 , } \\ { \displaystyle \frac { u ^ { 2 } } { 4 \varepsilon } } & { \mathrm { i f ~ } 0 < u \le 2 \varepsilon , } \\ { u - \varepsilon } & { \mathrm { i f ~ } u > 2 \varepsilon . } \end{array} \right. \qquad \mathrm { w i t h } \quad \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } u \le 0 , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { 2 \varepsilon } } & { \mathrm { i f ~ } 0 < u \le 2 \varepsilon , } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ } u > 2 \varepsilon . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { \{ v _ { i } , p , \sigma _ { i j } , \dot { \gamma } _ { i j } , F _ { i } , U _ { i } , \omega _ { i } \} } = } & { { } \left\{ v _ { i } ^ { ( 0 ) } , p ^ { ( 0 ) } , \sigma _ { i j } ^ { ( 0 ) } , \dot { \gamma } _ { i j } ^ { ( 0 ) } , F _ { i } ^ { ( 0 ) } , U _ { i } ^ { ( 0 ) } , \omega _ { i } ^ { ( 0 ) } \right\} } \end{array}
\kappa = \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 2 } ( z ) ( - \Delta _ { z } ) ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } ( z ) \, { \mathrm { d } } z = \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } \displaystyle \frac { | \widehat \sigma _ { 2 } ( \xi ) | ^ { 2 } } { | \xi | ^ { 2 } } \displaystyle \frac { \, { \mathrm { d } } \xi } { ( 2 \uppi ) ^ { n } } > 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \Sigma = \sigma _ { 1 } \star \sigma _ { 1 } .
\left. \begin{array} { r l } & { \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { \mathrm { m + } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { e } } , \xi ) \overset { \mathrm { d e f } } { = } J ^ { \mathrm { c } } \left[ G ( \bar { \xi } ) \bigg ( \langle \mathrm { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { + } ^ { 2 } + \langle \mathrm { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { + } ^ { 2 } + \langle \mathrm { E } _ { 3 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { + } ^ { 2 } \bigg ) + \frac { 1 } { 2 } \left( K ( \bar { \xi } ) - \frac { 2 } { 3 } G ( \bar { \xi } ) \right) \bigg ( \langle \mathrm { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 3 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { + } \bigg ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { \mathrm { m - } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { e } } , \xi ) \overset { \mathrm { d e f } } { = } J ^ { \mathrm { c } } \left[ G ( \bar { \xi } ) \bigg ( \langle \mathrm { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { - } ^ { 2 } + \langle \mathrm { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { - } ^ { 2 } + \langle \mathrm { E } _ { 3 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { - } ^ { 2 } \bigg ) + \frac { 1 } { 2 } \left( K ( \bar { \xi } ) - \frac { 2 } { 3 } G ( \bar { \xi } ) \right) \bigg ( \langle \mathrm { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 3 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { - } \bigg ) ^ { 2 } \right] } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l r } { y _ { \mathrm { \footnotesize { t d } } } [ k ] } & { = } & { \sum _ { k ^ { \prime } \in { \mathbb Z } } x _ { \mathrm { \footnotesize { t d } } } [ k ^ { \prime } ] \, h _ { _ { \mathrm { \footnotesize { t d } } } } [ k - k ^ { \prime } \, ; \, k ^ { \prime } ] \, + \, n _ { \mathrm { \footnotesize { t d } } } [ k ] } \end{array}
L _ { 1 0 } ( \mu ) = - \ \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { 1 5 } { 3 2 \pi ^ { 2 } \sqrt { 6 } } \right) - \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \log \frac { \Lambda _ { \chi } } { \mu } \ ,
\begin{array} { r l r } { \tau _ { 0 } } & { = } & { \eta ^ { 3 } \langle k _ { \Delta } \rangle \, , \tau _ { 1 } = 3 \eta ^ { 2 } ( 1 - \eta ) \langle k _ { \Delta } \rangle } \\ { \tau _ { 2 } } & { = } & { 3 \eta ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \langle k _ { \Delta } \rangle \mathrm { ~ a n d ~ } \tau _ { 3 } = ( 1 - \eta ) ^ { 3 } \langle k _ { \Delta } \rangle \, , } \end{array}
| { \cal N } ( \kappa / p ) | ^ { 2 } = \operatorname * { l i m } _ { R \rightarrow 0 } | \psi _ { L } ( p , R ) | ^ { 2 } = { \cal C } ( \kappa / p ) \equiv \frac { 2 \pi \kappa / p } { e ^ { 2 \pi \kappa / p } - 1 } .
f ( x ) \ast g ( x ) = \exp \left. \left( \frac { i } { 2 } \theta ^ { i j } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { i } } \frac { \partial } { \partial \zeta ^ { j } } \right) f ( x + \xi ) g ( x + \zeta ) \right| _ { \xi = \zeta = 0 } ,
C _ { \overline { { { q } } } q } ^ { f \neq f ^ { \prime } } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } \biggl ( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \biggr ) ^ { 2 } C _ { F } T \biggl ( - \frac { 5 } { 4 } \biggr ) + O ( \alpha _ { s } ^ { 3 } )
\begin{array} { r l } { \int _ { { \Omega _ { 0 } } } ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } v ( x ) e ^ { - i 2 \pi \tilde { n } \cdot x } d x } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } v ( x ) e ^ { - i 2 \pi \tilde { n } \cdot x } d x - \int _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus { \Omega _ { 0 } } } ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } v ( x ) e ^ { - i 2 \pi \tilde { n } \cdot x } d x } \\ & { = \frac { ( - i 2 \pi \tilde { n } ) ^ { \alpha } \hat { v } ( \tilde { n } ) } { { l ( - \tilde { n } ) } } - \int _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus { \Omega _ { 0 } } } ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } v ( x ) e ^ { - i 2 \pi \tilde { n } \cdot x } d x } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d x p _ { r } ( x , t | x _ { 0 } ) = e ^ { - r t } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( r t ) ^ { n } } { n ! } \sum _ { m = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { ( c ^ { - \alpha } ; c ^ { - \alpha } ) _ { m } ( c ^ { \alpha } ; c ^ { \alpha } ) _ { n - m } } .
\rho _ { A } ^ { \prime } = 1 0 ^ { - 2 } L _ { z } ^ { \prime } n _ { \mathrm { Y } ^ { 3 + } } \rho _ { \mathrm { Y A G } } N _ { A } / M _ { \mathrm { Y A G } } = 1 . 2 5 \times 1 0 ^ { 7 } \mu
{ \cal A } ^ { i l } = \frac { A } { 1 2 \rho } \left( n ^ { i } n ^ { l } - g ^ { i l } \right) + \frac 1 { 2 \rho } \left( Q ^ { i l } + g ^ { i l } Q ^ { j k } n _ { j } n _ { k } - Q ^ { i k } n ^ { l } n _ { k } - Q ^ { l k } n ^ { i } n _ { k } \right)
\begin{array} { r l } { J ( 0 , M , 0 ) = } & { \left( \begin{array} { l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \tau } & { 0 } & { - \tau } \end{array} \right) , } \\ { J ( u _ { \pm } , v _ { \pm } , u _ { \pm } ) = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { u _ { \pm } / v _ { \pm } } & { - u _ { \pm } / ( 1 + u _ { \pm } ) } \\ { - 1 } & { - u _ { \pm } / v _ { \pm } } & { u _ { \pm } / ( 1 + u _ { \pm } ) } \\ { \tau } & { 0 } & { - \tau } \end{array} \right) . } \end{array}
P _ { R } = P _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , \ldots } = { \frac { e ^ { - \beta ( n _ { 1 } \varepsilon _ { 1 } + n _ { 2 } \varepsilon _ { 2 } + \cdots ) } } { \displaystyle \sum _ { { n _ { 1 } } ^ { \prime } , { n _ { 2 } } ^ { \prime } , \ldots } e ^ { - \beta ( { n _ { 1 } } ^ { \prime } \varepsilon _ { 1 } + { n _ { 2 } } ^ { \prime } \varepsilon _ { 2 } + \cdots ) } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } n } { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } } \left[ ( m _ { d } - m _ { u } ) \left( m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) + m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) \right) \right. } \\ & { } & { \left. - ( m _ { d } + m _ { u } ) \left( - m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) + m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) \right) \right. } \\ & { } & { \left. + ( m _ { u } - m _ { s } ) \left( m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) - m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right) \right. } \\ & { } & { \left. - ( m _ { u } + m _ { s } ) \left( m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) + m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right) \right] } \\ & { } & { = ( m _ { d } - m _ { u } ) J ( m _ { u } , - m _ { d } , m _ { s } ) - ( m _ { d } + m _ { u } ) J ( m _ { u } , m _ { d } , - m _ { s } ) } \\ & { } & { + ( m _ { u } - m _ { s } ) J ( - m _ { u } , - m _ { d } , m _ { s } ) - ( m _ { u } + m _ { s } ) J ( m _ { u } , - m _ { d } , m _ { s } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 - \| v \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathcal E _ { K } ( \tilde { \eta } ) + \nabla V _ { K , \nu } ( p ) ^ { \mathrm { T } } v } & { \ge ( 1 - \| v \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathcal E _ { K } ( \tilde { \eta } ) - \| \nabla V _ { K , \nu } ( p ) \| _ { 2 } \| v \| _ { 2 } } \\ & { = \Big \langle \left( \begin{array} { l } { ( 1 - \| v \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \| v \| _ { 2 } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { \mathcal E _ { K } ( \tilde { \eta } ) } \\ { - \| \nabla V _ { K , \nu } ( p ) \| _ { 2 } } \end{array} \right) \Big \rangle } \end{array}
\mathcal { C } _ { i j } ^ { 3 } = \{ \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } : ( u _ { i _ { 1 } } , u _ { i _ { 2 } } ) = ( 1 , \pm t ) , \ \boldsymbol { u } \notin \mathcal { C } _ { i j } ^ { 1 } \cup \mathcal { C } _ { i j } ^ { 2 } \} \cup \{ \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } : ( u _ { i _ { 1 } } , u _ { i _ { 2 } } ) = ( 0 , 1 ) \}
\theta _ { 2 } ^ { [ k ] } = \operatorname * { a r g \, m i n } _ { \theta _ { 2 } } L _ { \Omega _ { 2 } } ( \hat { u } _ { 2 } ) + L _ { N } ( \hat { u } _ { 2 } , \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } ) + L _ { \Gamma _ { N } } ( \hat { u } _ { 2 } ) + \frac { \beta _ { N } } { 2 } \left( L _ { D _ { 1 } } ( \hat { u } _ { 2 } ) + L _ { D _ { 2 } } ( \hat { u } _ { 2 } ) \right)
\begin{array} { r } { H = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \textrm { i f } \phi < - \delta } \\ { 1 } & { \textrm { i f } \phi > \delta } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { \phi } { \delta } + \frac { 1 } { \pi } \sin \frac { \pi \phi } { \delta } \right) } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \Lambda _ { e , e } = } & { 3 0 . 4 - 0 . 5 \log n _ { e } + \frac { 5 } { 4 } \log T _ { e } - \sqrt { \epsilon + \left( \log T _ { e } - 2 \right) ^ { 2 } / 1 6 } } \\ { \log \Lambda _ { e , i } = } & { \left\{ \begin{array} { c c } { 3 1 - 0 . 5 \log n _ { e } + \log T _ { e } } & { \textrm { i f } T _ { i } \frac { m _ { e } } { m _ { i } } < 1 0 Z _ { i } ^ { 2 } < T _ { e } } \\ { 3 0 - 0 . 5 \log n _ { e } - \log Z _ { i } + 1 . 5 \log T _ { e } } & { \textrm { i f } T _ { i } \frac { m _ { e } } { m _ { i } } < T _ { e } < 1 0 Z _ { i } ^ { 2 } } \\ { 2 3 - 0 . 5 \log n _ { i } + 1 . 5 \log T _ { i } - \log \left( Z _ { i } ^ { 2 } A _ { i } \right) } & { \textrm { i f } T _ { e } < T _ { i } m _ { e } / m _ { i } } \end{array} \right. } \\ { \log \Lambda _ { i , i } = } & { 2 9 . 9 1 - \log \left[ \frac { Z _ { 1 } Z _ { 2 } \left( A _ { 1 } + A _ { 2 } \right) } { A _ { 1 } T _ { 2 } + A _ { 2 } T _ { 1 } } \sqrt { n _ { 1 } Z _ { 1 } ^ { 2 } / T _ { 1 } + n _ { 2 } Z _ { 2 } ^ { 2 } / T _ { 2 } } \right] } \end{array}
\dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { t } } } ^ { s + 2 \theta } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) = ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ) _ { \theta , q } \subset \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) + \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } )
{ { \bar { \mathcal P } } _ { j } } = { { \bar { \mathcal E } } ^ { \dag } } { { \bar { u } } _ { j } } + \left( { { { \bar { p } } ^ { \dag } } + { { \bar { u } } _ { i } } \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } \right) \bar { u } _ { j } ^ { \dag } + \left( { \nu \frac { { \partial \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } } } + \tau _ { i j } ^ { \dag } } \right) \bar { u } _ { i } ^ { \dag } ,
\begin{array} { r } { ( \Pi _ { g } ( i ) ) ( p , \sigma _ { g } ) = \rho _ { i } \left( p , j \mapsto \textup { m a p } ( \sigma _ { g } ( j ) , p ^ { \prime } \mapsto \mu _ { i j } ( p , p ^ { \prime } ) ) \right) . } \end{array}
- \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Big ( \rho \partial _ { t } \sigma + \rho u \cdot \nabla \sigma + 2 \lambda \sigma \Re ( \Bar { \psi } B \psi ) \Big ) d x \ d t = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Big ( \rho _ { 0 } \sigma ( 0 ) - \rho ( T ) \sigma ( T ) \Big ) d x ,
\begin{array} { r l } { \| \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \Delta } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \| _ { \mathrm { F } } } & { \geq \| \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } \cup \mathcal { S } _ { 1 } ^ { c } } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \| _ { \mathrm { F } } - \sum _ { j = 2 } ^ { J } \| \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } _ { j } ^ { c } } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \| _ { \mathrm { F } } } \\ & { \geq \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \hat { \boldsymbol { \Sigma } } , s + l ) \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } \cup \mathcal { S } _ { 1 } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } - \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \hat { \boldsymbol { \Sigma } } , l ) \sum _ { j = 2 } ^ { J } \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } _ { j } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } . } \end{array}
b _ { 3 } = \frac { 7 } { 2 4 } , a _ { 3 } = \frac { 2 } { 3 } , b _ { 2 } = \frac { 3 } { 4 } , a _ { 2 } = - \frac { 2 } { 3 } , b _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 4 } , a _ { 1 } = 1 ,
( \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { \theta } ) ^ { - 1 } - ( \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { \theta ^ { \prime } } ) ^ { - 1 } = ( \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { \theta } ) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { \theta } - \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { \theta ^ { \prime } } \right) ( \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { \theta ^ { \prime } } ) ^ { - 1 } .
\tilde { U } ^ { i } ( q , t ) = U ^ { i } ( q , t ) + \frac { a ^ { i } ( q , t ) } { 2 } , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ : ~ } a ^ { i } ( q , t ) \equiv \frac { F ^ { i } ( q , t ) } { \rho ( q , t ) } .
\frac { 1 } { e ^ { 2 } } = \frac { 1 } { g _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { g _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { g _ { 3 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { g _ { 4 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \Pi _ { n } } & { { } = } & { 2 a _ { 3 } k _ { n - 1 } \Im [ \left\langle u _ { n - 1 } ^ { * } ( t ) u _ { n } ^ { * } ( t ) u _ { n + 1 } ( t ) \right\rangle ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( H ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \widetilde { \boldsymbol { m } } ) _ { j } \ } & { = \ - \Re \left( \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { j } v ( \boldsymbol { m } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) } \\ { \beta _ { j } v ( \boldsymbol { m } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) , \lambda ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } } \\ & { \quad - \Re \left( \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \left( \begin{array} { l } { \widetilde { m } \frac { \partial u } { \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } ) } \\ { \widetilde { m } \frac { \partial u } { \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } ) \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) \, , \, \lambda ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } } \\ & { \quad + \Re \left( \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \frac { \mathrm { i } \omega } { 4 m ^ { 3 / 2 } } \beta _ { j } \widetilde { m } u \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) \, , \, \lambda ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S ( \xi ; K , \lambda ) } & { \equiv } & { \sum _ { m = 0 } ^ { K } \frac { G _ { m } ( \lambda ) } { \xi ^ { m + 1 } } } \\ { F ( \omega ; K , P , \lambda ) } & { \approx } & { - \frac { 1 } { \pi } \mathrm { I m } \left( \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \left( \big [ P / P \big ] _ { S ( \xi ; K , \lambda ) } \big \vert _ { \xi \to \left( ( \omega - i \epsilon ) \pm \sqrt { ( \omega - i \epsilon ) ^ { 2 } - 4 \lambda ^ { 2 } } \right) / 2 } \right) \right) . } \end{array}
\left| \left| \mathbf \Lambda _ { U , i j k } \right| \right| _ { 2 } = \operatorname* { m a x } \left( \left| U | _ { i , j , k } \right| , \left| U | _ { i + 1 , j , k } \right| , \left| U | _ { i , j + 1 , k } \right| , \left| U | _ { i + 1 , j + 1 , k } \right| , \left| U | _ { i , j , k + 1 } \right| , \left| U | _ { i + 1 , j , k + 1 } \right| , \left| U | _ { i , j + 1 , k + 1 } \right| , \left| U | _ { i + 1 , j + 1 , k + 1 } \right| \right) \, .
\zeta ( \mathbf { X } ) = P ( \mathbf { X } ) \int _ { \mathbf { Z } _ { 2 } } { \frac { P ( \mathbf { Z } _ { 2 } \mid \mathbf { X } ) } { \exp ( D _ { \mathrm { K L } } ( q ^ { * } ( \mathbf { Z } _ { 1 } \mid \mathbf { Z } _ { 2 } ) \parallel P ( \mathbf { Z } _ { 1 } \mid \mathbf { Z } _ { 2 } , \mathbf { X } ) ) ) } } = \int _ { \mathbf { Z } _ { 2 } } \exp \mathbb { E } _ { q ^ { * } ( \mathbf { Z } _ { 1 } \mid \mathbf { Z } _ { 2 } ) } \left( \log { \frac { P ( \mathbf { Z } , \mathbf { X } ) } { q ^ { * } ( \mathbf { Z } _ { 1 } \mid \mathbf { Z } _ { 2 } ) } } \right) .
+ g ^ { \mu \alpha } g ^ { \beta \sigma } ( \Gamma _ { \alpha \rho } ^ { \nu } \Gamma _ { \beta \sigma } ^ { \rho } + \Gamma _ { \beta \sigma } ^ { \nu } \Gamma _ { \alpha \rho } ^ { \rho } - \Gamma _ { \sigma \rho } ^ { \nu } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \rho } - \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \nu } \Gamma _ { \sigma \rho } ^ { \rho } ) +
\lambda _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 5 - \sqrt { 1 8 5 } \right) , \qquad \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \qquad \lambda _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 5 + \sqrt { 1 8 5 } \right) .
\begin{array} { r } { \Big ( \frac { \Omega _ { \mathrm { [ 1 1 1 ] } } ^ { \mathrm { o u t } } } { 2 } \Big ) ^ { 2 } \frac { d ( d + s ) } { 2 } ( m _ { 0 } ^ { + } ) ^ { 2 } ( u _ { 0 } ^ { + } ) ^ { 2 } } \\ { = - \frac { \gamma \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } } { 2 \omega \rho M _ { s } } \left( \int _ { - d } ^ { s } d z m ^ { + } \frac { \partial u ^ { + } } { \partial z } \right) \left( \int _ { - d } ^ { s } d z u ^ { + } \frac { \partial m ^ { + } } { \partial z } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \mathbf { x } ) } & { = \operatorname* { m i n } \{ d _ { P _ { j } } ( \mathbf { x } ) : \alpha _ { j } \ne 0 , \, j = 1 , \dots , M \} , } \\ { \lambda _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \mathbf { x } ) } & { = \operatorname* { m i n } \{ \lambda _ { P _ { j } } ( \mathbf { x } ) : \alpha _ { j } \ne 0 , \, j = 1 , \dots , M \} } \end{array}
\begin{array} { r } { { w } _ { i } = \frac { 1 } { n _ { i } } \sum _ { k \in \{ k _ { i } ^ { ( 0 ) } \} } \left[ { w } _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \bf g } _ { i } + \overline { { \bf g } } _ { k } \right) \cdot ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { k } ) \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \{ A , B \} \equiv \{ A , B \} _ { \mathbf { q } , \mathbf { p } } } & { = { \frac { \partial A } { \partial \mathbf { q } } } \cdot { \frac { \partial B } { \partial \mathbf { p } } } - { \frac { \partial A } { \partial \mathbf { p } } } \cdot { \frac { \partial B } { \partial \mathbf { q } } } } \\ & { \equiv \sum _ { k } { \frac { \partial A } { \partial q _ { k } } } { \frac { \partial B } { \partial p _ { k } } } - { \frac { \partial A } { \partial p _ { k } } } { \frac { \partial B } { \partial q _ { k } } } \, , } \end{array} }
R _ { A 1 , A 2 } ( \beta , Q ^ { 2 } , x _ { I \! \! P } ) = F _ { 2 , A 1 } ^ { D ( 3 ) } ( \beta , Q ^ { 2 } , x _ { I \! \! P } ) / F _ { 2 , A 2 } ^ { D ( 3 ) } ( \beta , Q ^ { 2 } , x _ { I \! \! P } ) ,
G ^ { a b } ( k ) = \left( \begin{array} { l l } { { G ^ { 1 1 } ( k ) } } & { { G ^ { 1 2 } ( k ) } } \\ { { G ^ { 2 1 } ( k ) } } & { { G ^ { 2 2 } ( k ) } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l r l r l } & { e _ { 1 2 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = \boldsymbol { \vartheta } _ { 1 } ^ { I } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = \nabla _ { \xi } b _ { 0 j } ^ { p + 1 } \, , } & & { 0 < j < p + 1 \, , } \\ & { e _ { 1 3 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = \boldsymbol { \vartheta } _ { 2 } ^ { I } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = \nabla _ { \xi } b _ { i 0 } ^ { p + 1 } \, , } & & { 0 < i < p + 1 \, , } \\ & { e _ { 2 3 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = \boldsymbol { \vartheta } _ { 3 } ^ { I } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = \nabla _ { \xi } b _ { i , p + 1 - i } ^ { p + 1 } \, , } & & { 0 < i < p + 1 \, . } \end{array}
\left( \partial _ { t } z _ { n } , z _ { n } ^ { 2 l + 1 } \right) _ { \Omega } + \left( \gamma \left( u _ { n } + \frac { 1 } { n } \right) \partial _ { x } z _ { n } , ( 2 l + 1 ) z _ { n } ^ { 2 l } \partial _ { x } z _ { n } \right) _ { \Omega } = \left( g _ { 0 } z _ { n } , z _ { n } ^ { 2 l + 1 } \right) _ { \Omega } + \left( u _ { n } \partial _ { x } g _ { 0 } , z _ { n } ^ { 2 l + 1 } \right) _ { \Omega } .
( 0 . 8 2 0 , 0 . 0 9 1 ) , ( 0 . 9 4 0 , 0 . 0 9 1 ) , ( 0 . 7 0 0 , 0 . 0 9 1 ) , ( 0 . 8 2 0 , 0 . 0 9 1 )
Z ( { X _ { f i s h } } , t ) = \left( { { c _ { 1 } } \frac { { { X _ { f i s h } } } } { L } + { c _ { 2 } } { { \left( { \frac { { { X _ { f i s h } } } } { L } } \right) } ^ { 2 } } } \right) A _ { m a x } \sin \left( { k \frac { { { X _ { f i s h } } } } { L } + w t } \right) L
\begin{array} { r l } { k _ { i } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } & { = \sum _ { j \neq i } | a _ { i j } ^ { * } | \frac { x _ { i } x _ { j } } { x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } = \langle k _ { i } ^ { + } \rangle \quad \forall \: i , } \\ { k _ { i } ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } & { = \sum _ { j \neq i } | a _ { i j } ^ { * } | \frac { y _ { i } y _ { j } } { x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } = \langle k _ { i } ^ { - } \rangle \quad \forall \: i , } \end{array}
e ^ { 2 \mu _ { 2 } } A ^ { 2 } - \frac { \tilde { \gamma } ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \gamma } ^ { 2 } } - \frac { e ^ { 2 \mu _ { 1 } } \tilde { \gamma } ^ { 2 } \left( \gamma \Lambda t \right) ^ { 2 } } { \left( 1 - \tilde { \gamma } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } = A ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 - \gamma ^ { 2 } } ,
R ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } } ^ { j _ { 1 } j _ { 2 } j _ { 3 } } \stackrel { \rho } { = } R ( ( \omega u _ { 2 } ) ^ { - 1 } , u _ { 1 } , ( \omega u _ { 3 } ) ^ { - 1 } ) _ { - j _ { 2 } i _ { 1 } - i _ { 3 } } ^ { - i _ { 2 } j _ { 1 } - j _ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { Y } X } & { = \sum _ { i } Y ^ { i } \nabla _ { \partial _ { i } } \left( \sum _ { j } X ^ { j } \partial _ { j } \right) } \\ & { = \sum _ { i , j } Y ^ { i } \nabla _ { \partial _ { i } } \left( X ^ { j } \partial _ { j } \right) } \\ & { = \sum _ { i , j } Y ^ { i } \left( \frac { \partial X ^ { j } } { \partial x ^ { i } } \partial _ { j } + X ^ { j } \nabla _ { \partial _ { i } } \partial _ { j } \right) } \\ & { = \sum _ { i , j } Y ^ { i } \left( \frac { \partial X ^ { j } } { \partial x ^ { i } } \partial _ { j } + X ^ { j } \sum _ { k } \Gamma _ { i j } ^ { k } \partial _ { k } \right) } \\ & { = \sum _ { i , j } Y ^ { i } \frac { \partial X ^ { j } } { \partial x ^ { i } } \partial _ { j } + \sum _ { i , j } Y ^ { i } X ^ { j } \sum _ { k } \Gamma _ { i j } ^ { k } \partial _ { k } } \\ & { = \sum _ { k } \left( \sum _ { i } Y ^ { i } \frac { \partial X ^ { k } } { \partial x ^ { i } } + \sum _ { i , j } \Gamma _ { i j } ^ { k } Y ^ { i } X ^ { j } \right) \partial _ { k } . } \end{array}