harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c c c } { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ - \frac { 7 } { 2 } ) ~ \rightarrow } } & { { } } & { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ - \frac { 7 } { 2 } ) ( \frac { 7 } { 2 } ) \oplus ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ - \frac { 5 } { 2 } ) ( - \frac { 1 } { 2 } ) , } } \\ { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ - \frac { 1 } { 2 } ) ~ \rightarrow } } & { { } } & { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ - \frac { 1 } { 2 } ) ( \frac { 1 } { 2 } ) \oplus ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ + \frac { 1 } { 2 } ) ( - \frac { 7 } { 2 } ) . } } \end{array}
Q _ { 4 } \left( q , 0 \right) = i h _ { 4 } \left( q , \tilde { \omega } \right) = \frac { i \omega _ { 3 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 2 } ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } \right) \left( \omega _ { 4 } ^ { 2 } - \omega _ { 3 } ^ { 2 } \right) } { \omega _ { 1 } \sqrt { 2 \left( \omega _ { 3 } ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 3 } \left( \omega _ { 3 } ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } \right) } } \ .
K ( \omega ) _ { p q r s } = \sum _ { m } \frac { \langle \Psi _ { 0 } ^ { N } | \hat { a } _ { p } \hat { a } _ { q } | \Psi _ { 0 } ^ { N + 2 } \rangle \langle \Psi _ { 0 } ^ { N + 2 } | \hat { a } _ { s } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r } ^ { \dagger } | \Psi _ { 0 } ^ { N } \rangle } { \omega - \Omega _ { m } ^ { N + 2 } + i \eta } - \sum _ { m } \frac { \langle \Psi _ { 0 } ^ { N } | \hat { a } _ { s } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r } ^ { \dagger } | \Psi _ { 0 } ^ { N - 2 } \rangle \langle \Psi _ { 0 } ^ { N - 2 } | \hat { a } _ { p } \hat { a } _ { q } | \Psi _ { 0 } ^ { N } \rangle } { \omega - \Omega _ { m } ^ { N - 2 } - i \eta }
\vec { A } = \left( \begin{array} { l l l l } { - { \omega } } & { \rho k _ { 1 } } & { \rho k _ { 2 } } & { \rho k _ { 3 } } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \rho } k _ { 1 } } & { - { \omega } - i \sigma _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \rho } k _ { 2 } } & { 0 } & { - { \omega } - i \sigma _ { 2 } } & { 0 } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \rho } k _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { - { \omega } + i ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } & { \frac { c } { a } \rightarrow \frac { \sin c } { \sin a } = \frac { 1 } { \sin A } \rightarrow \sqrt { 2 } } \\ & { \frac { d c } { d a } = 2 \cos a \frac { \sin a } { \sin c } = 2 \cos a \sin A \rightarrow \sqrt { 2 } } \\ & { \frac { d \sin A } { d a } \rightarrow 0 } \\ & { \frac { d ^ { 2 } c } { d ^ { 2 } a } \rightarrow - 2 \sin a \sin A = 0 } \\ & { \frac { d ^ { 3 } c } { d ^ { 3 } a } \rightarrow - 2 \cos a \sin A = - \sqrt { 2 } } \\ & { \frac { c } { a } \rightarrow \sqrt { 2 } - \frac { \sqrt { 2 } } { 6 } a ^ { 2 } } \\ & { \frac { d c } { d a } \rightarrow \sqrt { 2 } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } a ^ { 2 } } \\ & { \frac { d ^ { 2 } c } { d ^ { 2 } a } \rightarrow - \sqrt { 2 } a } \\ & { r \equiv \frac { c ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } \rightarrow \frac { 1 } { 2 } } \\ & { \frac { d r } { d a } = \frac { c } { 2 a ^ { 2 } } \frac { d c } { d a } - \frac { c ^ { 2 } } { 2 a ^ { 3 } } = \frac { c } { 2 a ^ { 2 } } ( \frac { d c } { d a } - \frac { c } { a } ) \rightarrow 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathcal { A } } : = } & { \widehat { \mathcal { M } } ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l } { \mathcal { L } _ { 1 1 } } & { 0 } \\ { - \mathrm { i } k _ { z } U ^ { \prime } } & { \mathcal { L } _ { 2 2 } } \end{array} \right] , \; \widehat { \mathcal { M } } : = \left[ \begin{array} { l l } { \widehat { \nabla } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { I } } \end{array} \right] , } \\ { \mathcal { \widehat { B } } : = } & { \widehat { \mathcal { M } } ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l l } { - \mathrm { i } k _ { x } \partial _ { y } } & { - ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } ) } & { - \mathrm { i } k _ { z } \partial _ { y } } \\ { \mathrm { i } k _ { z } } & { 0 } & { - \mathrm { i } k _ { x } } \end{array} \right] , } \\ { \mathcal { \widehat { C } } : = } & { \frac { 1 } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { \mathrm { i } k _ { x } \partial _ { y } } & { - \mathrm { i } k _ { z } } \\ { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { \mathrm { i } k _ { z } \partial _ { y } } & { \mathrm { i } k _ { x } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \lambda _ { k } ( c _ { k } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t + \int _ { 0 } ^ { T } ( c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t \leq \ } & { ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } \left( \frac { 3 6 \lambda _ { k } } { \beta _ { \operatorname* { m i n } } ( 4 \lambda _ { k } - \beta _ { k } ^ { 2 } ) } + \frac { 3 } { \sqrt { \kappa _ { 0 } } } \right) } \\ & { + 4 ( \alpha _ { k } ^ { N } ) ^ { 2 } \left( \frac { 5 \lambda _ { k } } { \beta _ { \operatorname* { m i n } } } + \frac { \lambda _ { k } \beta _ { \operatorname* { m a x } } } { 4 ( 4 \lambda _ { k } - \beta _ { k } ^ { 2 } ) } + \frac { \beta _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } { 3 2 \sqrt { \kappa _ { 0 } } } \right) } \\ & { + \left( \frac { 2 \lambda _ { k } } { \beta _ { k } ( 4 \lambda _ { k } - \beta _ { k } ^ { 2 } ) } + \frac { 1 } { 8 \sqrt { \kappa _ { 0 } } } + \frac { 4 } { \beta _ { \operatorname* { m i n } } } \right) T \| f _ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } } & { { } = w _ { i } - n _ { i } L _ { i } \, , } \\ { n _ { i + 1 } } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { i } \left\lfloor \frac { w _ { j + 1 } - w _ { j } } { L _ { j + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) = \hat { E _ { \varepsilon } } ( h ) = 4 \pi \left( ( a + c ) c E \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) + \varepsilon \left( \varepsilon - \sqrt { \varepsilon ^ { 2 } - h ^ { 2 } } \right) \right) } \\ { + \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 2 \left( a F \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) + c E \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) - \sqrt { \varepsilon ^ { 2 } - h ^ { 2 } } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { O } _ { \mathrm { ~ I ~ M ~ O ~ M ~ } } = | \boldsymbol { C } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ i ~ a ~ l ~ } } ^ { \dagger } \boldsymbol { S } \boldsymbol { D } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } | } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf { I } } _ { n } ^ { z _ { d } } = \left| { \bf K } _ { 2 } ^ { H } { \bf P } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( { \bf h } ) { \bf K } _ { 1 } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( { \bf { T M } } _ { e s t } e ^ { j { \theta } _ { n } ^ { z _ { d } } } ) e ^ { j \phi } \right| ^ { 2 } , } \end{array}
S _ { f i } \equiv \left\langle { { p _ { 3 } , p _ { 4 } ; o u t } } \mathrel { \left| { \vphantom { { o u t \, p _ { 3 } , p _ { 4 } } { p _ { 1 } , p _ { 2 } \, i n } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { { p _ { 1 } , p _ { 2 } ; i n } } \right\rangle = \delta _ { f i } + { \frac { i { \cal M } _ { f i } } { \prod _ { i } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 \omega _ { i } } } } } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } - p _ { 3 } - p _ { 4 } )
\frac { \partial P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) } { \partial t } = - \nabla _ { \mathbf { Y } } \cdot \left( K _ { 1 } \left( \mathbf { Y } , \mathbf { X } , t \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) \right) + \nabla _ { \mathbf { Y } } ^ { 2 } \left( \sigma _ { 1 1 } \left( \mathbf { Y } , \mathbf { X } , t \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { g _ { \pm , x x } ^ { N H } = } & { \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { ( k _ { y } - i \kappa ) ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } { 4 E ^ { 4 } } + \frac { ( k _ { y } + i \kappa ) ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } { 4 E ^ { * 4 } } \bigg ) } \\ { g _ { \pm , x y } ^ { N H } = } & { \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { k _ { x } ( k _ { y } - i \kappa ) } { 4 E ^ { 4 } } + \frac { k _ { x } ( k _ { y } + i \kappa ) } { 4 E ^ { * 4 } } \bigg ) } \\ { g _ { \pm , y y } ^ { N H } = } & { \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { k x ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } { 4 E ^ { 4 } } + \frac { k x ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } { 4 E ^ { * 4 } } \bigg ) } \\ { \Omega _ { \pm } ^ { z , N H } = } & { \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \mp \frac { \Delta } { 2 E ^ { 3 } } \mp \frac { \Delta } { 2 E ^ { * 3 } } \bigg ) } \end{array}
\mathcal { R } = - \frac { 9 } { 8 } + \frac { 6 } { 5 \pi } \, \xi ^ { 5 } - \frac { 1 8 } { 7 \pi } \, \xi ^ { 7 } + \frac { 4 } { \pi } \, \xi ^ { 9 } + \mathcal { O } \left( \xi ^ { 1 1 } \right) .
t e n d t o b e m a g n i f i e d , r e s u l t i n g i n c l e a r v i o l a t i o n s o f t h e i n e q u a l i t y a t p a r t i c u l a r a n g l e s . O n t h e o t h e r h a n d , s i n c e t h e p r o d u c t s t a t e i s c h a n g e d b y t h e p o l a r i z a t i o n r o t a t o r a s s h o w n i n F i g . ~ ( b ) , t e r m s c o m p o s e d o f t h e c o r r e l a t i o n s t e n d t o c a n c e l e a c h o t h e r . T h i s f a c t p r e v e n t s
\begin{array} { r l } & { P \left( | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( t _ { n , i } - \epsilon ) | < | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( t _ { n , i } + \epsilon ) | \right) } \\ & { \leq E \left[ P \left( | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( t _ { n , i } - \epsilon ) | < | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( t _ { n , i } + \epsilon ) | \left| \mathscr { F } _ { t _ { n , i } - \epsilon } ^ { ( i ) } \right. \right) \right] } \\ & { \leq E \left[ P \left( \left. \mathrm { E x p } ( C _ { f } \Lambda _ { i } ( t _ { n , i } - \epsilon ) ) \leq 2 \epsilon ) \right| \Lambda _ { i } ( t _ { n , i } - \epsilon ) \right) \right] } \\ & { \leq E \left[ 1 - e ^ { - C _ { f } 2 \epsilon \Lambda _ { i } ( t _ { n , i } ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \nabla \log f | = \frac { | \nabla f | } { f } = \frac { 4 } { f ^ { 1 / 4 } } \Big | \sum _ { k \in \mathbb Z _ { + } } \frac { m _ { k } / 2 } { | x - c _ { k } | ^ { 2 } } \frac { x - c _ { k } } { | x - c _ { k } | } \Big | \leq 2 \sum _ { k \in \mathbb Z _ { + } } \frac { m _ { k } } { | x - c _ { k } | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { t } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k } \\ { B _ { t } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k ^ { 2 } } \\ { C _ { t } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l } { { \frac { \partial f } { \partial x } } ( 0 , r _ { 0 } ) } & { = 0 , } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } ( 0 , r _ { 0 } ) } & { = 0 , } & { { \frac { \partial ^ { 3 } f } { \partial x ^ { 3 } } } ( 0 , r _ { 0 } ) } & { \neq 0 , } \\ { { \frac { \partial f } { \partial r } } ( 0 , r _ { 0 } ) } & { = 0 , } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial r \partial x } } ( 0 , r _ { 0 } ) } & { \neq 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { e ^ { - \alpha } q _ { \varepsilon } ( z | j ) \le 1 } & { = q _ { \varepsilon } ( z | j ^ { * } ) = \frac { 1 } { \mu ( B _ { j } ) } \int _ { B _ { j } } e ^ { \alpha } e ^ { - \alpha } \mu ( d x ) } \\ & { = e ^ { \alpha } \frac { 1 } { \mu ( B _ { j } ) } \int _ { B _ { j } } e ^ { - \alpha } \mu ( d x ) \le e ^ { \alpha } q _ { \varepsilon } ( z | j ) , } \end{array}
\begin{array} { l l l l l l l l l } { \sin \left( 0 \right) } & { = } & { \sin \left( 0 ^ { \circ } \right) } & { = } & { { \frac { \sqrt { 0 } } { 2 } } } & { = } & { \cos \left( 9 0 ^ { \circ } \right) } & { = } & { \cos \left( { \frac { \pi } { 2 } } \right) } \\ { \sin \left( { \frac { \pi } { 6 } } \right) } & { = } & { \sin \left( 3 0 ^ { \circ } \right) } & { = } & { { \frac { \sqrt { 1 } } { 2 } } } & { = } & { \cos \left( 6 0 ^ { \circ } \right) } & { = } & { \cos \left( { \frac { \pi } { 3 } } \right) } \\ { \sin \left( { \frac { \pi } { 4 } } \right) } & { = } & { \sin \left( 4 5 ^ { \circ } \right) } & { = } & { { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } } & { = } & { \cos \left( 4 5 ^ { \circ } \right) } & { = } & { \cos \left( { \frac { \pi } { 4 } } \right) } \\ { \sin \left( { \frac { \pi } { 3 } } \right) } & { = } & { \sin \left( 6 0 ^ { \circ } \right) } & { = } & { { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } } & { = } & { \cos \left( 3 0 ^ { \circ } \right) } & { = } & { \cos \left( { \frac { \pi } { 6 } } \right) } \\ { \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } \right) } & { = } & { \sin \left( 9 0 ^ { \circ } \right) } & { = } & { { \frac { \sqrt { 4 } } { 2 } } } & { = } & { \cos \left( 0 ^ { \circ } \right) } & { = } & { \cos \left( 0 \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { i j k l } = G \left\{ \left[ \left( \delta _ { i k } \delta _ { j l } + \delta _ { i l } \delta _ { k j } \right) \! + \! \left( \frac { K } { G } - \frac { 2 } { 3 } \right) \delta _ { k l } \delta _ { i j } \right] \right. - } \\ { \left. - \frac { G } { ( H + G ) + \alpha \Lambda K } \left( N _ { i j } \! + \! \frac { K } { G } \Lambda \delta _ { i j } \right) ( N _ { k l } \! + \! \frac { K } { G } \alpha \delta _ { k l } ) \right\} , } \end{array}
\sum _ { m _ { 2 } } \langle 0 _ { 2 } | r _ { q _ { 2 } } ( 2 ) | m _ { 2 } \rangle . . . . \langle m _ { 2 } | r _ { q _ { 2 } ^ { \prime } } ( 2 ) | 0 _ { 2 } \rangle = - \sum _ { m _ { 2 } } C _ { 1 m _ { 2 } 1 q _ { 2 } } ^ { 0 0 } . . . \frac { C _ { 0 0 1 q _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { 1 m _ { 2 } } } { \sqrt { 3 } } \langle 1 | | r ( 2 ) | | 0 \rangle ^ { 2 }
H _ { B } = - \sum _ { m < n } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi _ { m n } ^ { a } \partial ( \phi _ { m n } ^ { a } ) ^ { * } } + \sum _ { m < n } r _ { m n } ^ { 2 } \phi _ { m n } ^ { a } ( \phi _ { m n } ^ { a } ) ^ { * } .
F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\tilde { D } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { \xi } ) : = \tilde { \chi } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) D ^ { m } ( \boldsymbol { \xi } ) = \tilde { \chi } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { i \phi ( \boldsymbol { \xi } ) } \mathcal { F } ( I ) ( \boldsymbol { \xi } ) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { F _ { i j } : = \int \mathrm { ~ d ~ } \alpha _ { x } \mathrm { ~ d ~ } \alpha _ { p } \; P ( \alpha _ { x } , \alpha _ { p } ) \frac { \partial \log P ( \alpha _ { x } , \alpha _ { p } ) } { \partial \alpha _ { i } } \frac { \partial \log P ( \alpha _ { x } , \alpha _ { p } ) } { \partial \alpha _ { j } } \; , } \end{array}
\xi _ { k } ( t ) = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { C L } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { C A L } & { C L } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { C A ^ { 2 } L } & { C A L } & { C L } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \\ { C A ^ { n - 2 } L } & { C A ^ { n - 3 } L } & { C A ^ { n - 4 } L } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \int _ { t - t _ { d } } ^ { t } { { n - 1 } \atop \cdots } \int _ { t - t _ { d } } ^ { t } \eta _ { k } ( \tau ) d \tau } \\ { \vdots } \\ { \eta ( t ) - \eta ( t - ( n - 1 ) t _ { d } ) } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 1 } } & { = \left\| \rho _ { 0 } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } + \left\| q _ { \mathrm { o n } } ^ { \mathrm { r a m p } } ( \cdot ) \right\| _ { \L { 1 } ( [ 0 , t ] ) } - \operatorname* { m i n } _ { x \in \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left\| q _ { \mathrm { o n } } ^ { \mathrm { r a m p } } ( \cdot ) \rho ( \cdot , x ) \right\| _ { \L { 1 } ( [ 0 , t ] ) } } \\ & { - \operatorname* { m i n } _ { x \in \Omega _ { \mathrm { o f f } } } \left\| q _ { \mathrm { o f f } } ^ { \mathrm { r a m p } } ( \cdot ) \rho ( \cdot , x ) \right\| _ { \L { 1 } ( [ 0 , t ] ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } = } & { { } ~ 0 \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { W } , } \\ { { \mathbf V } _ { \perp } = } & { { } ~ \mathbf { 0 } \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { W } , } \end{array}
Q ^ { ( n ) } ( E ) = \frac { 8 \pi } { \kappa ^ { 2 } } \sum _ { l = 0 , \, e v e n } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \lfloor ( n - 1 ) / 2 \rfloor } C _ { i j } ^ { ( n ) } \mathrm { s i n } ^ { 2 } ( \delta _ { l } - \delta _ { l + n - 2 j } )
{ \cal F } = \sum _ { r _ { 1 } > r _ { 2 } > \cdots > r _ { N } \geq 0 } ^ { \infty } \operatorname * { d e t } \left[ d _ { r _ { j } , i } \right] \operatorname * { d e t } \left[ t _ { i } ^ { r _ { j } + \frac { 1 } { 2 } } - t _ { i } ^ { - ( r _ { j } + \frac { 1 } { 2 } ) } \right] .
\begin{array} { r } { \mathrm { I f ~ } | d _ { i j } ( t ) | < \epsilon \mathrm { ~ t h e n ~ } \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { i } ( t + 1 ) = a _ { i } ( t ) + \mu d _ { j i } ( t ) ( \epsilon - | d _ { i j } ( t ) | ) , } \\ { a _ { j } ( t + 1 ) = a _ { j } ( t ) + \mu d _ { i j } ( t ) ( \epsilon - | d _ { i j } ( t ) | ) , } \end{array} \right. } \end{array}
W _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ d ~ i ~ s ~ t ~ r ~ i ~ c ~ t ~ s ~ \ensuremath ~ { ~ i ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ \ensuremath ~ { ~ j ~ } ~ a ~ r ~ e ~ a ~ d ~ j ~ a ~ c ~ e ~ n ~ t ~ } ~ } ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ O ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
e ^ { - \xi \lambda _ { 9 } } \left( \begin{array} { c } { { A } } \\ { { B } } \\ { { D } } \end{array} \right) = U \left( \begin{array} { c } { { A } } \\ { { B ^ { \prime } } } \\ { { D ^ { \prime } } } \end{array} \right) ,
{ \frac { 1 } { g ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } } = { \frac { R } { g _ { 5 } ^ { 2 } } } + \lambda _ { k } ( k / 2 ) + \lambda _ { T } ( 2 T ) - { \frac { 1 } { 4 8 \pi ^ { 2 } } } \left[ \ln \left( { \frac { 2 + \nu } { 2 \nu } } \right) + \nu \ln { \frac { k } { T } } \right] .
\begin{array} { r l } { H _ { p } ( n _ { e } , A _ { e } ) = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \int d x d y \, \left( \rho _ { s } ^ { 2 } n _ { e } G _ { 1 0 e } ^ { - 2 } n _ { e } + d _ { e } ^ { 2 } \left( G _ { 1 0 e } ^ { - 1 } u _ { e } \right) ^ { 2 } + | \nabla _ { \perp } ^ { 2 } A _ { \parallel } | ^ { 2 } + d _ { i } ^ { 2 } | B _ { \parallel } | ^ { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } } & { \ \frac { 1 } { n } \# \left\{ 1 \leq k \leq n : \eta ^ { ( T ^ { k } \omega ) } \mathrm { ~ i s ~ } ( C _ { \varepsilon } , \rho ) \mathrm { - F r o s t m a n ~ o n ~ t u b e s ~ a n d ~ } H _ { m } ( \eta ^ { ( T ^ { k } \omega ) } ) \geq \alpha - \varepsilon / 8 \right\} } \\ & { \geq 1 - \varepsilon . } \end{array}
P _ { 0 } { \Phi } = \left( { \alpha } _ { + } P ^ { 1 } + { \alpha } _ { - } p ^ { 1 } - \frac { e _ { 1 } e _ { 2 } } { c } D _ { - } + { \beta } _ { 1 } m _ { 1 } c + { \beta } _ { 2 } m _ { 2 } c \right) { \Phi } ,
\left[ \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) - i \sigma _ { 3 } \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) \right] \sigma _ { 3 } \left[ \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) + i \sigma _ { 3 } \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) \right] = \left[ \cos ^ { 2 } \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) + \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) \right] \sigma _ { 3 } = \sigma _ { 3 } .
1 7 P ^ { \, \iota } = { \cal O } _ { 8 } ^ { \, \iota } \phi ^ { 8 } + { \cal O } _ { 0 } ^ { \, \iota } \phi ^ { 0 } + { \cal O } _ { \! S } ^ { \, \iota } P ^ { S } + { \cal O } _ { \! N } ^ { \, \iota } P ^ { N } + { \cal O } _ { \! G } ^ { \, \iota } P ^ { G } .
\Phi _ { 1 } = \left( \! \! \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { A _ { 1 } } } \\ { { - B ^ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \! \! \right) = \left( \! \! \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { A _ { 1 } } } \\ { { B _ { 1 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , \quad \Phi _ { 2 } = \left( \! \! \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { A _ { 2 } } } \\ { { B ^ { 1 } } } & { { 0 } } \end{array} \! \! \right) = \left( \! \! \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { A _ { 2 } } } \\ { { B _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \! \! \right) \, , \quad \Phi _ { 3 } = \left( \! \! \begin{array} { c c } { { \phi _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \phi _ { 2 } } } \end{array} \! \! \right) .
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow } & { { } ~ \frac { 1 } { N ( k + \mathrm { e } ^ { \tau } ) ^ { 2 } } \left( k ( k + \mathrm { e } ^ { \tau } ) \left\langle \pi _ { 1 } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } - \mathrm { e } ^ { \tau } \left\langle \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \pi _ { j } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } - \left\langle \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \sum _ { \ell \in \Omega _ { i } \backslash \{ i \} } \pi _ { \ell } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { { } \left\langle \pi _ { 1 } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } - \frac { 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k ( k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } ) } \left\langle \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \pi _ { j } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } - \frac { 1 } { k ( k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } ) } \left\langle \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \sum _ { \ell \in \Omega _ { i } \backslash \{ i \} } \pi _ { \ell } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } > 0 . } \end{array}
\eta _ { \varepsilon } ( x ) = { \frac { 1 } { \pi } } \mathrm { I m } \left\{ { \frac { 1 } { x - \mathrm { i } \varepsilon } } \right\} = { \frac { 1 } { \pi } } { \frac { \varepsilon } { \varepsilon ^ { 2 } + x ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \xi x - | \varepsilon \xi | } \, d \xi
\begin{array} { r } { Z _ { k } ( t + 1 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac 1 2 ( Z _ { i } ( t ) + Z _ { j } ( t ) ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } k \in \mathcal { V } _ { r } \cap \{ i , j \} , } \\ { Z _ { k } ( t ) , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp \left\lbrace \mathcal { L } \left( Z _ { t } \! \! \to \! \! W _ { t } | W _ { t - 1 } = w _ { t - 1 } \right) \right\rbrace } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \operatornamewithlimits { e s s - s u p } _ { P _ { z _ { t } } } p ( w _ { t } | Z _ { t } ) \mathrm { d } w _ { t } } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \operatornamewithlimits { e s s - s u p } _ { P _ { z _ { t } } } f _ { t } \left( w _ { t } - g ( w _ { t - 1 } ) + \eta _ { t } F ( w _ { t - 1 } , Z _ { t } ) \right) \mathrm { d } w _ { t } , } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \operatornamewithlimits { e s s - s u p } _ { P _ { z _ { t } } } f _ { t } \left( w _ { t } + \eta _ { t } F ( w _ { t - 1 } , Z _ { t } ) \right) \mathrm { d } w _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \rho _ { 1 } ( 1 + \phi ) \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } + \rho _ { 1 } \left( \frac { \kappa } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) , } \\ { \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ - \rho _ { 2 } ( 1 - \phi ) \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } + \rho _ { 2 } \left( \frac { \kappa } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) . } \end{array}