harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathfrak { D } ( \varphi , x , \xi ) } & { = \sum _ { j _ { 1 } \in S ^ { + } } \left( D _ { j _ { 1 } , - j _ { 1 } } + D _ { - j _ { 1 } , j _ { 1 } } \right) ( \xi ) | \overline { { v } } _ { j _ { 1 } } ( \varphi , x ) | ^ { 2 } + \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } \ne 0 } D _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( \xi ) \overline { { v } } _ { j _ { 1 } } ( \varphi , x ) \overline { { v } } _ { j _ { 2 } } ( \varphi , x ) } \\ & { = \underbrace { \sum _ { j _ { 1 } \in S ^ { + } } \frac { 1 8 } { \pi ^ { 2 } } \left( \frac { ( \xi - j _ { 1 } ) H _ { 3 , - j _ { 1 } , \xi , - ( \xi - j _ { 1 } ) } H _ { 3 , j _ { 1 } , \xi - j _ { 1 } , - \xi } } { \lambda _ { \alpha } ( j _ { 1 } ) + \lambda _ { \alpha } ( \xi - j _ { 1 } ) - \lambda _ { \alpha } ( \xi ) } + \frac { ( \xi + j _ { 1 } ) H _ { 3 , j _ { 1 } , \xi , - ( \xi + j _ { 1 } ) } H _ { 3 , - j _ { 1 } , \xi + j _ { 1 } , - \xi } } { - \lambda _ { \alpha } ( j _ { 1 } ) + \lambda _ { \alpha } ( \xi + j _ { 1 } ) - \lambda _ { \alpha } ( \xi ) } \right) | \overline { { v } } _ { j _ { 1 } } | ^ { 2 } } _ { = : \mathfrak { D } _ { 3 } ( \xi ) } } \\ & { \ + \underbrace { \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } \ne 0 , j _ { 1 } , j _ { 2 } \in S } D _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( \xi ) \overline { { v } } _ { j _ { 1 } } ( \varphi , x ) \overline { { v } } _ { j _ { 2 } } ( \varphi , x ) } _ { = : \mathfrak { D } _ { 4 } ( \varphi , x \xi ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Gamma ( B , A ) } | \partial _ { \nu } u _ { - } ^ { s } | ^ { 2 } d s } & { \leq \sqrt { L ^ { 2 } + 1 } \left( \int _ { \Gamma _ { 0 } ( B , A ) } ( | \partial _ { 2 } u _ { - } ^ { s } | ^ { 2 } - | \partial _ { 1 } u _ { - } ^ { s } | ^ { 2 } + k _ { - } ^ { 2 } | u _ { - } ^ { s } | ^ { 2 } ) d s + R _ { 1 } ( B , A ) \right) } \\ & { \leq C \left( \int _ { \Gamma _ { 0 } ( B , A ) } \left( | \partial _ { 2 } u _ { + } ^ { s } | ^ { 2 } - | \partial _ { 1 } u _ { + } ^ { s } | ^ { 2 } + k _ { + } ^ { 2 } | u _ { + } ^ { s } | ^ { 2 } \right) d s + R _ { 1 } ( B , A ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ i \hbar \partial _ { t } - H _ { \mathrm { L } } \right] \left[ i \hbar \partial _ { t } - H _ { \mathrm { R } } \right] \psi _ { z } ( t ) } \\ & { } & { = \left[ i \hbar \partial _ { t } - \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { 0 } \\ { 0 } & { - \xi } \end{array} \right) \right] \left[ i \hbar \partial _ { t } + \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { 0 } \\ { 0 } & { - \xi } \end{array} \right) \right] \frac { - i \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega t } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \frac { - i \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega t } } { \sqrt { 2 } } \xi ^ { 2 } \left[ 1 - \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \right] \left[ 1 + \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \right] \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \frac { - i \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega t } } { \sqrt { 2 } } \xi ^ { 2 } \left[ 1 - \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \right] \left[ \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) \right] } \\ & { } & { = \frac { - i \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega t } } { \sqrt { 2 } } \xi ^ { 2 } \left[ \left( \begin{array} { c } { 2 } \\ { 0 } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c } { 2 } \\ { 0 } \end{array} \right) \right] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { R e s } [ f ( E _ { r } , \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) , \mathrm { R e } f ( E _ { r } + i E _ { i } , \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) , E _ { r } ] = E _ { i } ^ { 6 } \, g _ { 1 } ( E _ { i } , \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) = 0 ; } \\ { \mathrm { R e s } [ f ( E _ { r } , \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) , \mathrm { I m } f ( E _ { r } + i E _ { i } , \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) , E _ { r } ] = E _ { i } ^ { 3 } \, g _ { 2 } ( E _ { i } , \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \| x _ { k } - x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ^ { \prime } \right] } & { \le \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } \right] + \xi ^ { 2 } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { \mathbb { Y } } ( E ) \tilde { \psi } ( r ) } & { = } & { - \tilde { \psi } ^ { \prime \prime } ( r ) + \tilde { U } ( r ) \tilde { \psi } ( r ) , } \\ { 1 } & { = } & { \langle \tilde { \psi } | \tilde { \psi } \rangle = \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \tilde { \psi } ( r ) | ^ { 2 } { \textrm d } r . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { M F A I R } , p } ^ { ( k ) } = \operatorname { M F } \left( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } , \pi ^ { ( k ) } , \frac { p } { 2 } \right) + \gamma \left[ \widehat { F } _ { \mathrm { M F A I R } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \operatorname { M F } \left( F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } , G ^ { ( k - 1 ) } , \pi ^ { ( k ) } , \frac { p } { 2 } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { i } \equiv \left| \begin{array} { l l l l l } { \Tilde { Q } _ { 2 } } & { R _ { 2 } } & { } & { } & { } \\ { P _ { 3 } } & { \Tilde { Q } _ { 3 } } & { } & { } & { } \end{array} \right| , } \end{array}
+ a ^ { 2 } ( x ^ { \perp } , t ) \! \left( \delta _ { i j } + k \frac { x _ { i } x _ { j } } { 1 - k r ^ { 2 } } \right) d x ^ { i } d x ^ { j } + b ^ { 2 } ( x ^ { \perp } , t ) d { x ^ { \perp } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { T ( x = 0 , t ) } & { = \underbrace { \left[ A _ { 0 } T _ { 0 } \frac { 1 + \Gamma _ { 1 } \exp { ( - 2 \sigma _ { 1 } L _ { 1 } ) } } { 1 - R _ { 0 } \Gamma _ { 1 } \exp { ( - 2 \sigma _ { 1 } L _ { 1 } ) } } \right] } _ { = : A _ { \Tilde { T } } \exp ( i \varphi _ { \Tilde { T } } ) , \ A _ { \Tilde { T } } \in \mathbb { R } _ { + } , \varphi _ { \Tilde { T } } \in \mathbb { R } } \exp { \left[ i \left( \omega t - \frac { \pi } { 4 } \right) \right] } , } \end{array}
\dot { \overline { { \int _ { \mathrm { P } } \! \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \, d v _ { \mathrm { \tiny ~ R } } } } } \le \mathcal { W } _ { \mathrm { e x t } } ( \mathrm { P } ) - \int _ { \partial \mathrm { P } } \mu { \bf j } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \, d a _ { \mathrm { \tiny ~ R } } - \int _ { \partial \mathrm { P } } F \phi { \bf j } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \, d a _ { \mathrm { \tiny ~ R } } - \int _ { \partial \mathrm { P } } \phi \dot { \textbf { d } } _ { \mathrm { R } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \, d a _ { \mathrm { \tiny ~ R } } .
{ \begin{array} { r l } { p _ { 1 } } & { = e _ { 1 } , } \\ { p _ { 2 } } & { = e _ { 1 } p _ { 1 } - 2 e _ { 2 } = e _ { 1 } ^ { 2 } - 2 e _ { 2 } , } \\ { p _ { 3 } } & { = e _ { 1 } p _ { 2 } - e _ { 2 } p _ { 1 } + 3 e _ { 3 } = e _ { 1 } ^ { 3 } - 3 e _ { 1 } e _ { 2 } + 3 e _ { 3 } , } \\ { p _ { 4 } } & { = e _ { 1 } p _ { 3 } - e _ { 2 } p _ { 2 } + e _ { 3 } p _ { 1 } - 4 e _ { 4 } = e _ { 1 } ^ { 4 } - 4 e _ { 1 } ^ { 2 } e _ { 2 } + 4 e _ { 1 } e _ { 3 } + 2 e _ { 2 } ^ { 2 } - 4 e _ { 4 } , } \\ & { \ \ \vdots } \end{array} }
{ \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { v } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } { \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } } \mathbf { e } _ { i } \otimes \mathbf { e } _ { j } = v _ { i , j } \mathbf { e } _ { i } \otimes \mathbf { e } _ { j } ~ ; ~ ~ { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { v } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { i } } } = v _ { i , i } ~ ; ~ ~ { \boldsymbol { \nabla } } \cdot { \boldsymbol { S } } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } { \frac { \partial S _ { i j } } { \partial x _ { j } } } ~ \mathbf { e } _ { i } = \sigma _ { i j , j } ~ \mathbf { e } _ { i } ~ .
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { X } _ { b } \rangle _ { \mathrm { F } } } & { = } & { \langle \mathrm { F } | \hat { X } _ { b } | \mathrm { F } \rangle . } \\ & { = } & { \langle \mathrm { I } | \mathrm { e } ^ { i \hat { X } _ { a } \theta } \hat { X } _ { b } \mathrm { e } ^ { - i \hat { X } _ { a } \theta } | \mathrm { I } \rangle . } \\ & { \approx } & { \langle \mathrm { I } | ( 1 + i \hat { X } _ { a } \theta ) \hat { X } _ { b } ( 1 - i \hat { X } _ { a } \theta ) | \mathrm { I } \rangle + { \mathcal O } ( \theta ^ { 2 } ) } \\ & { \approx } & { \langle \mathrm { I } | ( \hat { X } _ { b } + i \theta [ \hat { X } _ { a } , \hat { X } _ { b } ] ) | \mathrm { I } \rangle + { \mathcal O } ( \theta ^ { 2 } ) } \\ & { \approx } & { ( \delta _ { b c } - \sum _ { c } f _ { a b c } \theta ) \langle \hat { X } _ { c } \rangle _ { \mathrm { I } } + { \mathcal O } ( \theta ^ { 2 } ) } \\ & { \approx } & { \sum _ { c } \left( \mathrm { e } ^ { - \hat { F } _ { a } \theta } \right) _ { b c } \langle \hat { X } _ { c } \rangle _ { \mathrm { I } } + { \mathcal O } ( \theta ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \Big [ \widehat f _ { N , \lambda } ( X _ { i } ) \Big ] _ { 1 \leq i \leq n } ^ { T } = A _ { N } \big ( A _ { N } ^ { * } A _ { N } + \lambda I _ { N } \big ) ^ { - 1 } A _ { N } ^ { * } \Big [ \big ( \widetilde \pi _ { N } f ^ { * } ( X _ { j } ) + \varepsilon _ { j } ) + } } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \big ( f ^ { * } ( X _ { j } ) - \pi _ { N } f ^ { * } ( X _ { j } ) \big ) + \big ( \pi _ { N } f ^ { * } ( X _ { j } ) - \widetilde \pi _ { N } f ^ { * } ( X _ { j } ) \big ) \Big ] _ { 1 \leq j \leq n } ^ { T } . } \end{array}
\frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } } | J _ { \epsilon } | \, \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, = \, \frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } } \frac { | J _ { \epsilon } | \, \tilde { \eta } ^ { 2 } } { ( 1 { + } \epsilon R ) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } X \, \le \, \frac { C \epsilon ^ { 2 } } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } } W _ { \epsilon } \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, .
\begin{array} { r l } & { \kappa r + \lambda _ { r } ( A - \varphi ( r ) ) + M r \left( \varphi ( - r ) - \varphi ( r ) \right) } \\ & { \quad \leq \left( \kappa - M \left( \varphi \left( \frac { q \lambda _ { r } } { 4 \kappa } \right) - \varphi \left( - \frac { q \lambda _ { r } } { 4 \kappa } \right) \right) \right) r - \lambda _ { r } q / 2 } \\ & { \quad \leq - \lambda _ { r } q / 2 \, , } \end{array}
\mathbf { v } _ { 2 } = \left( \frac { 1 } { 3 } , \ \frac { 2 \left( - 1 5 + \sqrt { 1 8 5 } \right) } { 3 \left( - 1 3 + \sqrt { 1 8 5 } \right) } , \ 1 \right) , \qquad \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \qquad \mathbf { v } _ { 3 } = \left( \frac { 1 } { 3 } , \ \frac { 2 \left( 1 5 + \sqrt { 1 8 5 } \right) } { 3 \left( 1 3 + \sqrt { 1 8 5 } \right) } , \ 1 \right) .
E _ { 2 } ( \mathbf { x } _ { o } ) = P _ { o } ( \mathbf { x } _ { o } ) \, \int \, \chi ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } ) \, G ( \mathbf { r } , \mathbf { u } _ { i } ) \, \exp \left( \pm i \, 2 \, \pi \, \frac { \kappa _ { 2 } } { f _ { o } } \, \mathbf { r } \cdot \mathbf { x } _ { o } \right) \, d ^ { 2 } \mathbf { r } ,
\begin{array} { r } { W ( \Omega _ { 0 } , \delta , \varphi , \tau ) = } \\ { \quad \left( \begin{array} { c c } { \cos { \frac { \Omega \tau } { 2 } } + i \frac { \delta } { \Omega } \sin { \frac { \Omega \tau } { 2 } } } & { i \frac { \Omega _ { 0 } } { \Omega } e ^ { - i \varphi } \sin { \frac { \Omega \tau } { 2 } } } \\ { i \frac { \Omega _ { 0 } } { \Omega } e ^ { i \varphi } \sin { \frac { \Omega \tau } { 2 } } } & { \cos { \frac { \Omega \tau } { 2 } } - i \frac { \delta } { \Omega } \sin { \frac { \Omega \tau } { 2 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m = 0 \quad \Rightarrow \quad ( 1 - e ^ { 2 } ) \, X _ { k } ^ { - 4 , 0 } } & { = \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , - 1 } + X _ { k } ^ { - 3 , 0 } + \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 1 } \ , } \\ { m = 1 \quad \Rightarrow \quad ( 1 - e ^ { 2 } ) \, X _ { k } ^ { - 4 , 1 } } & { = \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 0 } + X _ { k } ^ { - 3 , 1 } + \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \ , } \\ { m = 2 \quad \Rightarrow \quad ( 1 - e ^ { 2 } ) \, X _ { k } ^ { - 4 , 2 } } & { = \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 1 } + X _ { k } ^ { - 3 , 2 } + \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 3 } \ . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int F ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) { \widehat { p } } ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) } & { : = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } F \left( { \widehat { \xi } } _ { 0 , k } ^ { i } , \cdots , { \widehat { \xi } } _ { 0 , k } ^ { i } \right) } \\ & { \approx _ { N \uparrow \infty } \int F ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) p ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) } \\ & { \approx _ { N \uparrow \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { p ( y _ { k } | \xi _ { k , k } ^ { i } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } p ( y _ { k } | \xi _ { k , k } ^ { j } ) } } F \left( \xi _ { 0 , k } ^ { i } , \cdots , \xi _ { k , k } ^ { i } \right) } \\ & { \ } \\ { \int F ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) { \widehat { p } } ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } & { : = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } F \left( \xi _ { 0 , k } ^ { i } , \cdots , \xi _ { k , k } ^ { i } \right) } \\ & { \approx _ { N \uparrow \infty } \int F ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) p ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \mathbb { P } ( \{ \tau = \eta \} \cap \{ R = r , \mathscr { I } _ { 1 } = i _ { 1 } , \cdots , \mathscr { I } _ { r } = i _ { r } , \mathscr { J } _ { 1 } = j _ { 1 } , \cdots , \mathscr { J } _ { r } = j _ { r } \} | \mathcal { F } _ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ) } { \mathbb { P } ( R = r , \mathscr { I } _ { 1 } = i _ { 1 } , \cdots , \mathscr { I } _ { r } = i _ { r } , \mathscr { J } _ { 1 } = j _ { 1 } , \cdots , \mathscr { J } _ { r } = j _ { r } | \mathcal { F } _ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ) } } \\ & { } & { = \frac { | M _ { r , \eta } | } { \sum _ { \eta ^ { \prime } \in S _ { r } } | M _ { r , \eta ^ { \prime } } | } = \frac { 1 } { r ! } . } \end{array}
\left\langle \widetilde { \Lambda } _ { 1 } \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } \right\rangle = \textbf { P } \widetilde { \Lambda } _ { 1 } \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } = \textbf { G } _ { 1 } \Rightarrow \textbf { P } \widetilde { \Lambda } _ { 1 } \boldsymbol { \alpha } _ { 0 } = 0 , \textbf { P } \widetilde { \Lambda } _ { 1 } \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = I , \textbf { P } \widetilde { \Lambda } _ { 1 } \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } = 0
\begin{array} { l l } { { \mathrm { S e c t o r } \ \ } } & { { \mathrm { F i e l d ~ c o n t e n t } } } \\ { { \mathrm { e v e n } } } & { { [ 1 , 1 ] , \, [ 3 , 3 ] , \, [ 5 , 5 ] , \, [ 7 , 7 ] , \, [ 9 , 9 ] , \, [ 1 1 , 1 1 ] , \, [ 1 3 , 1 3 ] } } \\ { { \mathrm { o d d } } } & { { [ 2 , 2 ] , \, [ 4 , 4 ] , \, [ 6 , 6 ] , \, [ 8 , 8 ] , \, [ 1 0 , 1 0 ] , \, [ 1 2 , 1 2 ] } } \\ { { \mathrm { t w i s t e d } } } & { { [ 1 , 1 3 ] , \, [ 3 , 1 1 ] , \, [ 5 , 9 ] , \, [ 7 , 7 ] , \, [ 9 , 5 ] , \, [ 1 1 , 3 ] , \, [ 1 3 , 1 ] } } \end{array}
J ^ { ( N ) } ( n ; 1 , \ldots , 1 ) = 2 \mathrm { i } ^ { 1 - 2 N } \pi ^ { n / 2 } \; \Gamma \left( N - { \textstyle { \frac { n } { 2 } } } \right) \; \frac { m _ { 0 } ^ { n - N - 1 } } { \sqrt { \Lambda ^ { ( N ) } } } \; \begin{array} { c } { { { } } } \\ { { \int \ldots \int } } \\ { { { } ^ { \Omega ^ { ( N ) } } } } \end{array} \frac { \prod \mathrm { d } \gamma _ { i } } { \gamma _ { N } ^ { n - N } } \; \delta \left( \sum \gamma _ { i } ^ { 2 } - 1 \right) ,
\begin{array} { r l } { [ M _ { i j } ] } & { { } = \mathcal { N } + \mathrm { i } \frac { \mu } { \omega } \left( \begin{array} { l l l } { - ( n _ { 2 } b _ { 2 } + n _ { 3 } b _ { 3 } ) } & { n _ { 1 } b _ { 2 } } & { n _ { 1 } b _ { 3 } } \\ { n _ { 2 } b _ { 1 } } & { - ( n _ { 1 } b _ { 1 } + n _ { 3 } b _ { 3 } ) } & { n _ { 2 } b _ { 3 } } \\ { n _ { 3 } b _ { 1 } } & { n _ { 3 } b _ { 2 } } & { - ( n _ { 1 } b _ { 1 } + n _ { 2 } b _ { 2 } ) } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } v _ { n } + \frac { \rho _ { 0 } ( \omega + n \Omega ) ^ { 2 } } { \kappa _ { 0 } } v _ { n } = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \left( 0 , L \right) \backslash D , } \\ & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } v _ { i , n } ^ { * } + \frac { \rho _ { \mathrm { r } } ( \omega + n \Omega ) ^ { 2 } } { \kappa _ { \mathrm { r } } } v _ { i , n } ^ { * * } = 0 } & { \mathrm { i n ~ } D _ { i } , } \\ & { \left. v _ { n } \right| _ { - } \left( x _ { i } ^ { \pm } \right) = \left. v _ { n } \right| _ { + } \left( x _ { i } ^ { \pm } \right) } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } 1 \leq i \leq N , } \\ & { \left. \frac { \mathrm { d } v _ { i , n } ^ { * } } { \mathrm { ~ d } x } \right| _ { + } \left( x _ { i } ^ { - } \right) = \left. \delta \frac { \mathrm { d } v _ { n } } { \mathrm { d } x } \right| _ { - } \left( x _ { i } ^ { - } \right) } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } 1 \leq i \leq N , } \\ & { \left. \frac { \mathrm { d } v _ { i , n } ^ { * } } { \mathrm { ~ d } x } \right| _ { - } \left( x _ { i } ^ { + } \right) = \left. \delta \frac { \mathrm { d } v _ { n } } { \mathrm { d } x } \right| _ { + } \left( x _ { i } ^ { + } \right) } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } 1 \leq i \leq N , } \end{array}
u _ { 0 } ( x , y ) = - \frac { \tilde { h } _ { y } } { F ^ { 2 } \bar { f } } , \; \; v _ { 0 } ( x , y ) = \frac { \tilde { h } _ { x } } { F ^ { 2 } \bar { f } } , \; \; h _ { 0 } ( x , y ) = \tilde { h } _ { x } x + \tilde { h } _ { y } y ,
\begin{array} { r l } { \dot { \varphi _ { p } } = \gamma ^ { - 1 } \left\{ \left[ \gamma _ { 0 } - \gamma + b ( \xi ) \right] + \right. } & { \frac { g _ { 0 } ^ { h f } } { 2 k _ { \perp } ^ { * } } u _ { z } \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \left. \times \sin \varphi _ { p } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \| _ { ( L ^ { p ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \alpha } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } & { \sim \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } \left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ( \cdot ) } - \frac { n } { q } } \| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \chi _ { B ( \cdot , r ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \geq \operatorname* { s u p } _ { r > 2 r _ { 0 } } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p _ { - } } - \frac { n } { q } } \left\| \chi _ { B ( x _ { 0 } , \frac { r } { 2 } ) } \| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \gtrsim \operatorname* { s u p } _ { r > 2 r _ { 0 } } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p _ { - } } - \frac { n } { q } } \cdot r ^ { \frac { n } { q } } } \\ & { \geq \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow + \infty } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p _ { - } } } = + \infty . } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 < \frac { \theta _ { p } - \theta _ { M } } { 2 } \le - \theta _ { M } - \frac { \theta _ { p } - \theta _ { M } } { 2 } + \theta _ { m } \le ( \theta + \theta _ { m } ) - 2 \pi < \theta _ { m } < \theta _ { 1 } < \frac { \pi } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ) \| u \| _ { p } } & { \leq C \| \nabla u \| _ { p } + C \left( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { \frac { 1 } { 1 - \theta } } \right) \| u \| _ { q } } \\ & { \leq C \| \nabla u \| _ { p } + C \left( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { 1 + \frac { 2 } { q } - \frac { 2 } { p } } \right) \| u \| _ { q } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac 1 2 \| \tilde { u } _ { x t } \| ^ { 2 } \le | \alpha ^ { \prime \prime } | \, \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } + C \big ( } & { \| \tilde { u } _ { x x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } } \\ & { + | \alpha ^ { \prime } | + | \alpha ^ { \prime \prime } | + | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | + | \beta _ { 1 } ^ { \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime } | \big ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { X } ^ { T } \mathbf { X } } & { = \mathbf { W } \mathbf { \Sigma } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { U } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { U } \mathbf { \Sigma } \mathbf { W } ^ { \mathsf { T } } } \\ & { = \mathbf { W } \mathbf { \Sigma } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { \Sigma } \mathbf { W } ^ { \mathsf { T } } } \\ & { = \mathbf { W } \mathbf { \hat { \Sigma } } ^ { 2 } \mathbf { W } ^ { \mathsf { T } } } \end{array} }
S \to S _ { \infty } = \int _ { V \times \Sigma ^ { 2 } } \ \bigg \{ - \frac { 1 } { 3 } \theta \{ \partial _ { x } \theta , \partial _ { y } \theta \} _ { P } + \frac { 1 } { 2 } \ ( ( \partial _ { x } \theta ) ( \partial _ { \tilde { x } } \theta )
\widehat { R } _ { \mu \nu } \, \widehat { \xi } ^ { \mu } \, \widehat { \xi } ^ { \nu } = - \frac { d - 1 } { d } \, \frac { d \widehat { K } } { d \tau } \ge 0 ~ ~ ~ \mathrm { f o r ~ a n y ~ n u l l ~ v e c t o r } ~ \widehat { \xi } ^ { \mu } .
\frac { \delta } { \delta \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) } \int d \Omega _ { g y } d t \left[ ( - \varepsilon _ { \delta } e \left\langle \psi _ { 1 } \right\rangle ) - \frac { \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } e ^ { 2 } } { 2 B ( X _ { g y } ) } \partial _ { \mu _ { g y } } \left\langle \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { 2 } \right\rangle \right] F _ { e } \circ \hat { \chi } ( \textbf { x } ) .
\begin{array} { r } { D = ( \tilde { g } , { \cal D } \tilde { g } ) = \left\langle T _ { i } \int d ^ { 3 } v \frac { \tilde { g } ^ { * } } { F _ { 0 } } { \cal D } \tilde { g } \right\rangle , } \\ { K _ { \| } = ( \tilde { g } , { \cal K } _ { \| } \tilde { g } ) = \left\langle T _ { i } \int d ^ { 3 } v \frac { \tilde { g } ^ { * } } { F _ { 0 } } { \cal K } _ { \| } \tilde { g } \right\rangle , } \\ { K _ { d } = ( \tilde { g } , { \cal K } _ { d } \tilde { g } ) = \left\langle T _ { i } \int d ^ { 3 } v \frac { \tilde { g } ^ { * } } { F _ { 0 } } { \cal K } _ { d } \tilde { g } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { * } \psi } & { { } \equiv \left( R \frac { \partial } { \partial R } \frac { 1 } { R } \frac { \partial } { \partial R } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Z ^ { 2 } } \right) \psi } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \bf s } } _ { j } = \frac { 1 } { V _ { j } } \int _ { V _ { j } } \left[ { \bf s } _ { j } + \nabla { \bf s } _ { j } \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) + \frac { 1 } { 2 } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) ^ { t } \nabla ^ { 2 } { \bf s } _ { j } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) \right] \, d V , } \end{array}
\mathcal { N } ( \psi ) = \big ( 2 x - ( \gamma + 1 ) \psi _ { x } + \mathcal { O } _ { 1 } \big ) \psi _ { x x } + \mathcal { O } _ { 2 } \psi _ { x y } + \big ( \frac { 1 } { c _ { 5 } } + \mathcal { O } _ { 3 } \big ) \psi _ { y y } - \big ( 1 + \mathcal { O } _ { 4 } \big ) \psi _ { x } + \mathcal { O } _ { 5 } \psi _ { y } = 0 \, ,
A ( N , N ^ { \prime } ) \geq \frac { c _ { 5 } } { R ^ { 4 } \cdot Q ^ { 4 } } \cdot \delta ^ { 4 } - \left( \frac { c _ { 5 } \delta ^ { 8 } } { Q ^ { 4 } R ^ { 4 } } + \frac { 8 } { \tilde { N ^ { \prime } } } + \frac { 8 } { \tilde { N } } \right) \geq \frac { c _ { 5 } } { R ^ { 4 } \cdot Q ^ { 4 } } ( \delta ^ { 4 } - \delta ^ { 8 } ) - \frac { 8 } { \tilde { N } } - \frac { 8 } { \tilde { N } ^ { \prime } } .