harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
= \Omega _ { d } \left( { \frac { m _ { B } ^ { 2 } } { 2 } } \varphi _ { B } ^ { 2 } + { \frac { \lambda _ { B } } { 2 4 } } \varphi _ { B } ^ { 4 } \right) + { \frac { \hbar } { 2 } } \log \operatorname * { d e t } ( \triangle + M ^ { 2 } ) + O ( \hbar ^ { 2 } ) + \Sigma _ { d - 2 } \left( \mu _ { B } + \sigma _ { B } \varphi _ { B } ^ { 2 } \right)
\centering \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { Z _ { ( 1 ) } } = G _ { 0 } + \sum _ { j } \frac { S _ { j } } { 2 } } \\ & { + \sum _ { j } \frac { S _ { j } } { 4 } \left[ \frac { 1 } { 1 + ( 2 \omega \tau _ { j } ) ^ { 2 } } - i \frac { 2 \omega \tau _ { j } } { 1 + ( 2 \omega \tau _ { j } ) ^ { 2 } } \right] } \\ & { + i C \omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \tilde { \mathcal { M } } ^ { j } ( A ) Z \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } & { \leq \frac { C } { \sigma _ { 2 } } \Big ( 1 + \Big ( \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ) \| Z \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) \cap L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { B ( x _ { i } , 2 r ) } | f ( y ) - f _ { B ( x _ { i } , r ) } | ^ { 2 } d \mu ( y ) } \\ { \le } & { 2 \left( \int _ { B ( x _ { i } , 2 r ) } | f ( y ) - f _ { B ( x _ { i } , 2 r ) } | ^ { 2 } d \mu ( y ) + \mu ( B ( x _ { i } , 2 r ) ) | f _ { B ( x _ { i } , 2 r ) } - f _ { B ( x _ { i } , r ) } | ^ { 2 } \right) } \\ { \le } & { C \left( r ^ { d _ { w } } \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \to 0 } E _ { d _ { w } / 2 , B ( x _ { i } , 2 \lambda r ) } ( f , \varepsilon ) + \mu ( B ( x _ { i } , 2 r ) ) | f _ { B ( x _ { i } , 2 r ) } - f _ { B ( x _ { i } , r ) } | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d X _ { i } } { d t } } & { = \frac { 1 } { K _ { i } } \sum _ { j \neq i } \, \phi \big ( | X _ { i } - X _ { j } | \big ) ^ { 2 } \, ( X _ { j } - X _ { i } ) , \quad X _ { i } ( 0 ) = X _ { i } ^ { 0 } } \\ { K _ { i } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \phi \big ( | X _ { i } - X _ { j } | \big ) . } \end{array}
\begin{array} { c } { { e _ { 1 } e _ { 2 } = e _ { 3 } \ , \ e _ { 2 } e _ { 3 } = e _ { 1 } \ , \ e _ { 3 } e _ { 1 } = e _ { 2 } } } \\ { { e _ { 3 } e _ { 2 } = - e _ { 1 } \ , \ e _ { 2 } e _ { 1 } = - e _ { 3 } \ , \ e _ { 1 } e _ { 3 } = - e _ { 2 } \ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla g ( y ) - \nabla g ( y _ { 0 } ) \| } & { = \big \| 2 \| A y \| _ { 2 } c + 2 ( c ^ { T } y ) \frac { A ^ { T } A } { \| A y \| _ { 2 } } y - 2 \| A y _ { 0 } \| _ { 2 } c - 2 ( c ^ { T } y _ { 0 } ) \frac { A ^ { T } A } { \| A y _ { 0 } \| _ { 2 } } y _ { 0 } \big \| } \\ & { = \big \| 2 ( \| A y \| _ { 2 } - \| A y _ { 0 } \| _ { 2 } ) c + 2 ( ( c ^ { T } y ) \frac { A ^ { T } A } { \| A y \| _ { 2 } } y - ( c ^ { T } y _ { 0 } ) \frac { A ^ { T } A } { \| A y _ { 0 } \| _ { 2 } } y _ { 0 } ) \big \| } \\ & { \leq 2 ( I + I I ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl \| F _ { \boldsymbol { \omega } } ^ { \prime } ( \boldsymbol { \beta } ) - F _ { \boldsymbol { \omega } } ^ { \prime } ( \boldsymbol { \beta } ^ { \prime } ) \bigr \| _ { \Phi } } & { = \bigl \| ( \Phi ^ { \dagger } \circ F _ { \boldsymbol { \omega } } \circ \Phi ) ( \boldsymbol { \beta } ) - ( \Phi ^ { \dagger } \circ F _ { \boldsymbol { \omega } } \circ \Phi ) ( \boldsymbol { \beta } ^ { \prime } ) \bigr \| _ { \Phi } } \\ & { = \bigl \| \Phi ( \Phi ^ { \dagger } \circ F _ { \boldsymbol { \omega } } \circ \Phi ) ( \boldsymbol { \beta } ) - \Phi ( \Phi ^ { \dagger } \circ F _ { \boldsymbol { \omega } } \circ \Phi ) ( \boldsymbol { \beta } ^ { \prime } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { \le \kappa \, \bigl \| F _ { \boldsymbol { \omega } } ( \Phi \boldsymbol { \beta } ) - F _ { \boldsymbol { \omega } } ( \Phi \boldsymbol { \beta } ^ { \prime } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { \leq \kappa \gamma ^ { T } \, \bigl \| \Phi \boldsymbol { \beta } - \Phi \boldsymbol { \beta } ^ { \prime } \bigr \| _ { \infty } } \\ & { = \kappa \gamma ^ { T } \, \bigl \| \boldsymbol { \beta } - \boldsymbol { \beta } ^ { \prime } \bigr \| _ { \Phi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { p _ { G _ { * } } } | \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } | ^ { 2 } ( \| \Delta \widehat { \mu } _ { n } \| ^ { 4 } \| \Delta \widehat { \Sigma } _ { n } \| ^ { 2 } ) \gtrsim ( \| \Delta \mu ^ { * } \| ^ { 4 } \| \Delta \Sigma ^ { * } \| ^ { 2 } ) \mathbb { E } _ { p _ { G _ { * } } } | \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } | ^ { 2 } } \end{array}
\Gamma ^ { ( 2 a ) } / A _ { - 1 } ^ { 2 } = \Gamma ^ { ( e - a ) } / A _ { - 1 } A _ { + 1 } = \Gamma ^ { ( a - e ) } / A _ { - 1 } A _ { + 1 } = \Gamma ^ { ( 2 e ) } / A _ { + 1 } ^ { 2 }
f ( x ^ { 2 } ) = { \frac { 8 i \left( m ^ { 2 } \right) ^ { 4 } } { \pi ^ { 3 } } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d \kappa _ { 1 } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d \kappa _ { 2 } \, \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } \, e ^ { - i ( \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } ) ( m ^ { 2 } x ^ { 2 } - i \delta ) } e ^ { - i ( 1 - i \epsilon ) ( \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } ) / ( 4 \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } ) } .
{ \begin{array} { r l } { \int _ { 1 1 } ^ { 1 4 } \int _ { 7 } ^ { 1 0 } \, \left( x ^ { 2 } + 4 y \right) \, d y \, d x } & { = \int _ { 1 1 } ^ { 1 4 } { \Big [ } x ^ { 2 } y + 2 y ^ { 2 } { \Big ] } _ { y = 7 } ^ { y = 1 0 } \, d x } \\ & { = \int _ { 1 1 } ^ { 1 4 } \, ( 3 x ^ { 2 } + 1 0 2 ) \, d x } \\ & { = { \Big [ } x ^ { 3 } + 1 0 2 x { \Big ] } _ { x = 1 1 } ^ { x = 1 4 } } \\ & { = 1 7 1 9 . } \end{array} }
\sum _ { \{ \nu \} } \prod _ { a = 1 } ^ { n - 1 } \prod _ { j = 1 } ^ { l _ { * } } \biggl ( \begin{array} { c } { { s _ { j } ^ { ( a ) } + h _ { j } ^ { ( a ) } } } \\ { { s _ { j } ^ { ( a ) } } } \end{array} \biggr ) .
\begin{array} { r } { \mathrm { E } \, [ \, d _ { i } ^ { ( k ) } \ \big \vert \ t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ] = \left\{ \begin{array} { l l } { u \, \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) , } & { \mathrm { i f ~ \varepsilon \ge 1 - \frac { \vert \, t \, \nabla ~ f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ i \, \vert } { u } ~ , } } \\ { t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \varepsilon \, u \, \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
U _ { 0 1 } = \frac { k _ { 1 } } { r _ { 1 } } - \frac { 2 m _ { 1 } } { ( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } / 4 ) ^ { 1 / 2 } } , \quad U _ { 2 } = \frac { k _ { 2 } } { r _ { 2 } } - \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { r _ { 2 } - \frac { 2 r _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } } - \frac { 2 m _ { 2 } } { \big ( ( r _ { 2 } + \frac { m _ { 1 } r _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } ) ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } / 4 \big ) ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathfrak N ^ { \mathbb W } ( x ) } & { = \mathfrak a ( x ) + \sum _ { j = 1 } ^ { d } w _ { j } ^ { 2 } ( w _ { j } ^ { 1 } \cdot x + b _ { j } ^ { 1 } ) ^ { + } = \mathfrak a ( x ) + \sum _ { j = 1 } ^ { d } \Delta _ { j } \Bigl ( \frac 1 { | w _ { j } ^ { 1 } | } w _ { j } ^ { 1 } \cdot x + \frac 1 { | w _ { j } ^ { 1 } | } b _ { j } ^ { 1 } \Bigr ) ^ { + } } \\ & { = \mathfrak a ( x ) + \sum _ { j = 1 } ^ { d } \Delta _ { j } \bigl ( \mathfrak { n } _ { j } \cdot x - o _ { j } \bigr ) ^ { + } . } \end{array}
\omega ( x , \zeta ) ~ = ~ { \frac { \zeta ^ { 2 } - 1 } { ( x ^ { 2 } + \rho _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \rho _ { 1 } ^ { - 2 } + ( ( x - R ) ^ { 2 } + \rho _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { - 2 } } } ~ ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l r } { J _ { x } } & { = } & { \frac { 2 } { B _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } { \int } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z - z ^ { \prime } } P _ { x x } ( \mathbf { k } ) e ^ { - i k _ { z } \Delta z ^ { \prime } } } \\ & { } & { \times e ^ { - ( \langle b _ { x } ^ { 2 } \rangle k _ { x } ^ { 2 } + \langle b _ { y } ^ { 2 } \rangle k _ { y } ^ { 2 } ) \Delta z ^ { 2 } / ( 2 B _ { 0 } ^ { 2 } ) } \cos \left( k _ { x } X _ { 0 } \right) } \\ & { } & { \times e ^ { - ( \mathcal { D } _ { x } k _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { D } _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) z ^ { 2 } / 2 } d \Delta z ^ { \prime } d z ^ { \prime } d \mathbf { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ^ { k } = } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { { l } , { l ^ { \prime } } } ( { l } ^ { 2 } + 2 { l } { l ^ { \prime } } ) \mathcal { A } _ { A } ^ { l } \mathcal { A } _ { A } ^ { l ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { A } ^ { k - { l } - { l ^ { \prime } } } } \\ & { \times \cos \left( \theta _ { A } ^ { l } + \theta _ { A } ^ { l ^ { \prime } } + \theta _ { A } ^ { k - { l } - { l ^ { \prime } } } - \theta _ { A } ^ { k } \right) \, . } \end{array}
( \alpha ^ { 2 } + i 2 \alpha \kappa ) \Tilde { P } _ { 0 } ( \omega ) e ^ { - ( \alpha + i \kappa ) x } + ( \alpha ^ { 2 } + i 2 \alpha \kappa ) \Tilde { P } _ { 0 } ^ { \prime } ( \omega ) e ^ { ( \alpha + i \kappa ) x } = 0
\begin{array} { r l } { \Gamma ( r , t ) = } & { { } - \rho _ { \epsilon } \sum _ { j = - 1 } ^ { 1 } \frac { D _ { j } } { C _ { j } } \sin ( C _ { j } \mathrm { ~ u ~ } + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } - \Lambda \varphi _ { p } ^ { ( \epsilon ) } ) - \alpha \frac { 1 - \epsilon ^ { 2 } } { 1 + \epsilon ^ { 2 } } \sum _ { j = - 1 } ^ { 1 } \frac { D _ { j } ^ { 2 } } { 2 C _ { j } } \sin ( 2 C _ { j } \mathrm { ~ u ~ } + 2 \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \hat { \gamma } ^ { j } ; \mu ^ { 0 } , \hat { \mu } ^ { j } , \lambda ) } & { = \sum _ { k \in D } \| x _ { k } ^ { 0 } \| ^ { 2 } ( \hat { \gamma } _ { 0 } ^ { j } ) _ { k } + \sum _ { k ^ { \prime } \in D } \| \hat { x } _ { k ^ { \prime } } ^ { j } \| ^ { 2 } \hat { p } _ { k ^ { \prime } } ^ { j } - 2 \sum _ { k \in D } \sum _ { k ^ { \prime } \in D } x _ { k } ^ { 0 } \cdot \hat { x } _ { k ^ { \prime } } ^ { j } \, \hat { \gamma } _ { k , k ^ { \prime } } ^ { j } + \lambda ( | p ^ { 0 } | + | \hat { p } ^ { j } | - 2 | \hat { \gamma } ^ { j } | ) } \\ & { = \sum _ { k \in D } \| x _ { k } ^ { 0 } \| ^ { 2 } \hat { p } _ { k } ^ { j } + \sum _ { k ^ { \prime } \in D } \| \hat { x } _ { k ^ { \prime } } ^ { j } \| ^ { 2 } \hat { p } _ { k ^ { \prime } } ^ { j } - 2 \sum _ { k \in D } \sum _ { k ^ { \prime } \in D } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } x _ { k } ^ { 0 } \cdot x _ { i } ^ { j } \, \gamma _ { k ^ { \prime } , i } ^ { j } \frac { \hat { \gamma } _ { k , k ^ { \prime } } ^ { j } } { \hat { \gamma } _ { k ^ { \prime } , k ^ { \prime } } ^ { j } } + \lambda ( | p ^ { 0 } | + | \gamma _ { 1 } ^ { j } | - 2 | \gamma ^ { j } | ) } \\ & { = \sum _ { k \in D } \| x _ { k } ^ { 0 } \| ^ { 2 } \hat { p } _ { k } ^ { j } + \sum _ { k ^ { \prime } \in D } \| \hat { x } _ { k ^ { \prime } } ^ { j } \| ^ { 2 } \hat { p } _ { k ^ { \prime } } ^ { j } - 2 \sum _ { k \in D } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } x _ { k } ^ { 0 } \cdot x _ { i } ^ { j } \, \gamma _ { k , i } ^ { j } + \lambda ( | p ^ { 0 } | + | \gamma _ { 1 } ^ { j } | - 2 | \gamma ^ { j } | ) } \\ & { = C ( \gamma ^ { j } ; \mu ^ { 0 } , \gamma _ { 1 } ^ { j } , \lambda ) - \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \| x _ { i } ^ { j } \| ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } ^ { j } ) _ { i } + \sum _ { k ^ { \prime } \in D } \| \hat { x } _ { k ^ { \prime } } ^ { j } \| ^ { 2 } \hat { p } _ { k ^ { \prime } } ^ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \nu _ { \mu } \to \nu _ { \tau } ) } & { { } \simeq \sin ^ { 2 } \left( 2 \theta _ { 2 3 } \right) \cos ^ { 4 } ( \theta _ { 1 3 } ) \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } L } { E _ { \nu } } \right) \pm 1 . 2 7 \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } L } { E _ { \nu } } \right) \times 8 J _ { \mathrm { C P } } , } \\ { P ( \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { e } ) } & { { } \simeq \sin ^ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 3 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 2 3 } ) \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \mp 1 . 2 7 \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \times 8 J _ { \textrm { C P } } , } \\ { P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \tau } ) } & { { } \simeq \sin ^ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 3 } ) \cos ^ { 2 } ( \theta _ { 2 3 } ) \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \mp 1 . 2 7 \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \times 8 J _ { \textrm { C P } } , } \\ { P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) } & { { } \simeq \sin ^ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 3 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 2 3 } ) \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \pm 1 . 2 7 \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \times 8 J _ { \textrm { C P } } , } \end{array}
\delta \sim { \frac { 1 } { m _ { H } \left( T _ { s } \right) } } = \frac 1 { \lambda ^ { 4 / 7 } } \left( { \frac { m _ { P } } { T _ { c } } } \right) ^ { 3 / 1 4 } { \frac { 1 } { T _ { c } } } ~ ,
\sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \left[ - C _ { \perp } \left( \mathbb { 1 } - C _ { R } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \right) \cdot \bar { \boldsymbol { W } } ^ { c } + \hat { \boldsymbol { e } } _ { g } \right] = 0
{ \cal Q } = { \frac { V ( r ) } { f } } = ( \nabla \bar { \Phi } ) ^ { 2 } - \nabla ^ { 2 } \bar { \Phi } - m _ { 0 } ^ { 2 } ; ~ ~ ~ ~ ~ m ^ { 2 } = \lambda ^ { 2 } - m _ { 0 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \left[ n _ { i } v _ { i } \right] _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \left[ n _ { i } k _ { B } T _ { \perp i } + \frac { B _ { i } ^ { 2 } } { 8 \pi } + m n _ { i } v _ { i } ^ { 2 } \right] _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \left[ B _ { i } v _ { i } \right] _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \left[ \frac { n _ { i } v _ { i } } { 2 } ( k _ { B } T _ { \parallel i } + 4 k _ { B } T _ { \perp i } ) + n _ { i } v _ { i } \frac { 1 } { 2 } m v _ { i } ^ { 2 } + v _ { i } \frac { B _ { i } ^ { 2 } } { 4 \pi } \right] _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { L } = } & { \partial _ { \mu } \left( - \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { i } \psi ) } \partial _ { j } \psi \theta _ { l } \epsilon _ { j l i } \right) } \\ & { - \partial _ { \mu } \bigg ( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { i } \psi ) } \partial _ { j } \partial _ { i } \psi \delta x _ { j } - \partial _ { \lambda } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \lambda } \psi ) } \partial _ { j } \psi \delta x _ { j } } \\ & { + \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \psi ) } \partial _ { j } \psi \delta x _ { j } - \eta ^ { \mu j } \mathcal { L } \delta x _ { j } \bigg ) } \\ { = } & { \theta _ { i } \partial _ { \mu } \left( - \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { k } \psi ) } \partial _ { j } \psi \epsilon _ { j i k } \right) + \theta _ { i } \partial _ { \mu } \left( \epsilon _ { j i k } T ^ { j \mu } x _ { k } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { N } } & { : = } & { \frac { 1 } { N T D _ { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } b ( X _ { s } ^ { i } ) d X _ { s } ^ { i } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { N T D _ { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( { \tt b } ( X _ { T } ^ { i } ) - { \tt b } ( X _ { 0 } ^ { i } ) ) \quad \mathrm { w i t h } \quad { \tt b } ^ { \prime } ( . ) = b ( . ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { * } } & { { } = \int _ { - \pi / 4 \Omega + \alpha / \Omega } ^ { \alpha / \Omega } { \vec { d F } } ( t ) { \vec { u } } ( t ) \, d t = - 2 \Omega \, d F _ { 0 } \xi _ { 0 } \int _ { - \pi / 4 \Omega + \alpha / \Omega } ^ { \alpha / \Omega } \cos ( 2 \Omega t ) \sin ( 2 ( \Omega t - \alpha ) ) \, d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { i } } & { { } = \langle F _ { 1 1 } ^ { \alpha } - A _ { 1 1 } ^ { \alpha } , \Phi _ { i } \rangle _ { \Omega } } \\ { L _ { i j } } & { { } = \langle F _ { 1 ( j + 1 ) } ^ { \alpha } + F _ { ( j + 1 ) 1 } ^ { \alpha } - A _ { 1 ( j + 1 ) } ^ { \alpha } - A _ { ( j + 1 ) 1 } ^ { \alpha } , \Phi _ { i } \rangle _ { \Omega } } \\ { Q _ { i j k } } & { { } = \langle F _ { ( j + 1 ) ( k + 1 ) } ^ { \alpha } - A _ { ( j + 1 ) ( k + 1 ) } ^ { \alpha } , \Phi _ { i } \rangle _ { \Omega } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } - ( 1 + i ( \alpha + I _ { t 0 } - 2 I ) ) E _ { t 0 } - i \frac { \xi } { 2 } E _ { r 0 } } \\ { 0 = } & { { } - ( 1 + i ( \alpha + I _ { r 0 } - 2 I ) ) E _ { r 0 } - i \frac { \xi } { 2 } E _ { t 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { x } } & { = } & { u _ { 0 } \sqrt { 1 - \sigma ^ { * 2 } } \frac { k _ { x } } { k _ { \perp } } \cos { ( { \bf k } \cdot { \bf x } - \sigma t + \varphi ) } \, , } \\ { u _ { y } } & { = } & { u _ { 0 } \sqrt { 1 - \sigma ^ { * 2 } } \frac { k _ { y } } { k _ { \perp } } \, \cos { ( { \bf k } \cdot { \bf x } - \sigma t + \varphi ) } \, , } \\ { u _ { z } } & { = } & { - u _ { 0 } \sigma ^ { * } \, \cos { ( { \bf k } \cdot { \bf x } - \sigma t + \varphi ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \alpha } ^ { S } ( y ) } & { = \left( \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \left( \frac { 1 } { l ( s , y ) } \right) ^ { \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } \leq { \varepsilon } \Rightarrow P _ { S } ( s _ { y } ) \left( \frac { 1 } { l ( s _ { y } , y ) } \right) ^ { \alpha } = P _ { S } ( s _ { y } ) \left( \frac { 1 } { \Psi ( y ) } \right) ^ { \alpha } \leq { \varepsilon ^ { \alpha } } , } \end{array}
t ^ { \prime } = \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial E } = 1 \, , \quad E ^ { \prime } = - \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial t } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { d \mathsf { M } _ { j } ^ { e } } { d t } \theta _ { j } \, , \quad \theta _ { j } ^ { \prime } = \frac { p _ { j } } { I _ { j } } \, , \quad p _ { j } ^ { \prime } = - \frac { \partial \Pi } { \partial \theta _ { j } } + \mathsf { M } _ { j } ^ { e } ( t ) \, , \quad j = 1 , \hdots N \, .
\begin{array} { r } { \mathcal { T } _ { n } = \bar { C } \mu ^ { D / 2 } Q _ { n } \left( \begin{array} { l l } { | { \bf d } | ^ { 2 } } & { 2 d _ { - } ^ { * } d _ { + } } \\ { 2 d _ { - } d _ { + } ^ { * } } & { | { \bf d } | ^ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
L _ { 1 } ^ { * } = \int d ^ { 4 } x \bigg [ \dots + A _ { \mu } ^ { i } [ { \bf T } ] _ { i j } ^ { \mu \nu } A _ { \nu } ^ { j } + \dots \bigg ] + l n ( \sqrt \pi d e t { \bf M } ^ { - \frac 1 2 } ) ,
{ \begin{array} { r l } { \nabla \times \mathbf { B } } & { = \mu _ { 0 } \mathbf { J } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } } \\ { \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf { A } \right) } & { = } \\ { \Rightarrow \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf { A } \right) - \nabla ^ { 2 } \mathbf { A } } & { = \mu _ { 0 } \mathbf { J } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ( \nabla \varphi ) } { \partial t } } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { A } } { \partial t ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\mathbb { P } \big ( | { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } | < \rho n \big ) \ge \prod _ { i \le \lceil C / \rho \rceil } \mathbb { P } \big ( | { \mathcal E } ( \Xi ^ { \scriptscriptstyle ( i ) } , \Xi \setminus \Xi ^ { \scriptscriptstyle ( i ) } ) | = 0 \big ) \cdot \mathbb { P } \big ( | \Xi ^ { \scriptscriptstyle ( i ) } | < \rho n \big ) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { V } ^ { 2 } W ( S , V ) } & { = \frac { 1 } { 2 \beta } \sum _ { \pm } \frac { 1 } { 1 \pm S } \frac { 1 } { A _ { \pm } } \left( ( 1 \pm S ) \frac { \partial A _ { \pm } } { \partial V } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \beta } \sum _ { \pm } \frac { ( 1 \pm S ) A _ { \pm } } { V ^ { 2 } + ( 1 - S ) ( 1 + S ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \beta } \frac { 1 } { \sqrt { V ^ { 2 } + ( 1 - S ) ( 1 + S ) } } } \end{array}
\dot { x } ^ { A A ^ { \prime } } = o ^ { A } \bar { o } ^ { A ^ { \prime } } - \frac { \rho ^ { \sigma } } { \rho ^ { \tau } } \acute { x } ^ { A A ^ { \prime } } , \, \, \, \, \acute { x } ^ { A A ^ { \prime } } = o ^ { A } \bar { \iota } ^ { A ^ { \prime } } + \iota ^ { A } \bar { o } ^ { A ^ { \prime } } .
F _ { G } ( \omega , t _ { d } ) = i \sqrt { 2 \pi e } \alpha ^ { 2 } t _ { d } ^ { 2 } \omega e ^ { i \frac { T } { 2 } \omega } e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } t _ { d } ^ { 2 } } { 2 } \omega ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \int _ { h _ { i } + r _ { + } } ^ { h _ { i } + r } \left[ \frac { \tilde { Q } ( \varepsilon ^ { 2 } z ^ { \prime } ) } { \varepsilon ^ { 3 } } + \frac { F ( z ) } { \varepsilon } \right] \, d x } & { \geq \varepsilon ^ { - 1 } \left| \int _ { z ( h _ { i } + r _ { + } ) } ^ { 1 } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s \, - \right. } \\ & { \qquad \qquad \left. \int _ { z ( h _ { i } + r ) } ^ { 1 } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s \right| } \\ & { \geq \beta _ { \varepsilon } - \frac { C } { 2 N } \exp ( - A / \varepsilon ) . } \end{array}
\left. \overline { { { R } } } \right| , \left. \nabla _ { A } \overline { { { R } } } \right| , \left. \nabla ^ { 2 } \overline { { { R } } } \right| , \left. G _ { A \dot { A } } \right| , \left. \nabla _ { \underline { { { A } } } } G _ { \underline { { { B } } } \dot { A } } \right| , \left. \nabla _ { \underline { { { \dot { A } } } } } \nabla _ { \underline { { { A } } } } G _ { \underline { { { B } } } \underline { { { \dot { B } } } } } \right| , \left. W _ { A B C } \right| , \left. \nabla _ { \underline { { { D } } } } W _ { \underline { { { A B C } } } } \right|
\begin{array} { r c l } { { P _ { a , b } ( \mu , \nu ; 2 \lambda ; q ) } } & { { = } } & { { q ^ { \lambda ( 2 ( a + b ) \lambda - a + b ) } \displaystyle \left[ \begin{array} { c } { { \mu + \nu } } \\ { { \mu - ( a + b ) \lambda } } \end{array} \right] _ { q } , } } \\ { { P _ { a , b } ( \mu , \nu ; 2 \lambda - 1 ; q ) } } & { { = } } & { { q ^ { ( 2 \lambda - 1 ) ( ( a + b ) \lambda - b ) } \displaystyle \left[ \begin{array} { c } { { \mu + \nu } } \\ { { \mu - ( a + b ) \lambda + b } } \end{array} \right] _ { q } . } } \end{array}
\Sigma ~ [ X _ { \mu } ( \sigma ^ { 1 } ) | _ { ( i , f ) } ] ~ = ~ { \tilde { x } } _ { \mu } ^ { ( i , f ) } [ f ^ { ( i , f ) } ( \sigma ^ { 1 } ) ] \quad \quad 0 \le \sigma ^ { 1 } \le 1 \quad ,
\begin{array} { r l } { R + R + 1 } & { { } = 2 \left\lfloor \frac { 1 } { 2 } r \left( \frac { e t } { 2 } , \frac { 5 } { 4 } \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } \right) \right\rfloor + 1 } \end{array}
( \mathcal M _ { k } + T ) ^ { - 1 } x = \left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { J _ { \Delta _ { k } A } ( \Delta _ { k } x _ { 1 } ) } \\ { J _ { \Delta _ { k } ^ { - 1 } B ^ { - 1 } } ( \Delta _ { k } ^ { - 1 } ( 2 J _ { \Delta _ { k } A } ( \Delta _ { k } x _ { 1 } ) + x _ { 2 } ) ) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { [ c ] } & { { } a _ { 0 } ^ { 1 } = - \frac { 1 } { 1 2 } u _ { i - 1 } + \frac { 1 3 } { 1 2 } u _ { i } - v _ { i } , } \end{array} \right. } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ } , \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } } = \frac { 2 } { 2 \kappa - 3 } \left\{ 3 + k - 3 \kappa + \kappa ^ { 2 } - k \kappa \sigma \pm \sqrt { 3 k ( 1 - \kappa \sigma ) } \right\} ,
V ( r ) = - C _ { F } 4 \pi \alpha _ { s } \int \frac { d ^ { 3 } { \bf k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { e ^ { i { \bf k } \cdot { \bf r } } } { { \bf k } ^ { 2 } } = - C _ { F } \frac { \alpha _ { s } } { r } \; \; \; ( C _ { F } = 4 / 3 ) \; \, ,