harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial P _ { \mathrm { l } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) } { \partial \lambda } = - \frac { e ^ { L / \lambda } L \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } \left( - 2 e ^ { L / \lambda } \xi S _ { \mathrm { l } } \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } + S _ { \mathrm { r } } \left( e ^ { 2 L / \lambda } + \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } \right) \right) } { \lambda ^ { 2 } \xi \left( e ^ { 2 L / \lambda } - \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } } \ ,
S _ { 2 } ^ { ( 0 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { i } \Lambda _ { i j } x ^ { j } + x _ { i a } ^ { * } D _ { 1 \alpha } ^ { i } c ^ { \alpha a } + y _ { \mu a } ^ { * } D _ { 2 \alpha } ^ { \mu } c ^ { \alpha a } + \bar { x } _ { i } D _ { 3 \alpha } ^ { i } B ^ { \alpha } + \bar { y } _ { \mu } D _ { 4 \alpha } ^ { \mu } B ^ { \alpha } - \varepsilon ^ { a b } c _ { \alpha a | b } ^ { * } D _ { 5 \beta } ^ { \alpha } B ^ { \beta } .
Y _ { 4 } ^ { - 2 } = { \frac { 1 } { r ^ { 4 } } } \left[ { \frac { 9 } { 4 \pi } } \cdot { \frac { 5 } { 3 2 } } \right] ^ { 1 / 2 } ( 7 z ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) ( x - i y ) ^ { 2 } = \left[ { \frac { 9 } { 4 \pi } } \cdot { \frac { 5 } { 3 2 } } \right] ^ { 1 / 2 } ( 7 \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) ( \sin ^ { 2 } \theta e ^ { - 2 i \varphi } )
\begin{array} { r l } { \Pi _ { N + 1 } ^ { \mathrm { ( i i ) } } \big ( \alpha \big ) = } & { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } - N \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } - \frac { \tau _ { \mathrm { m } } ( N + 1 ) } { | \alpha | ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { d } } } } \\ & { + \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { | \alpha | ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { d } } } \sum _ { k = 0 } ^ { N } \sum _ { m = 0 } ^ { k } F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( N ) \right] , } \end{array}
+ \sum _ { 0 \le i _ { 0 } < i _ { 1 } < \cdots < i _ { k } \le n \atop i _ { k } > k } \left| z \right| ^ { 2 ( \sum _ { j = 0 } ^ { k } \beta _ { i _ { j } } - \frac { k ( k + 1 ) } { 2 } + \alpha _ { k + 1 } ) } \left| G _ { k } \big ( \beta _ { i _ { 0 } } , \beta _ { i _ { 1 } } , \cdots , \beta _ { i _ { k } } ; g _ { i _ { 0 } } ( z ) , g _ { i _ { 1 } } ( z ) , \cdots , g _ { i _ { k } } ( z ) \big ) \right| ^ { 2 } \bigg ) .
{ \begin{array} { r l } { \chi ^ { 2 } } & { = \sum { \frac { ( O - E ) ^ { 2 } } { E } } } \\ & { = { \frac { ( 1 4 6 9 - 1 4 6 7 . 4 ) ^ { 2 } } { 1 4 6 7 . 4 } } + { \frac { ( 1 3 8 - 1 4 1 . 2 ) ^ { 2 } } { 1 4 1 . 2 } } + { \frac { ( 5 - 3 . 4 ) ^ { 2 } } { 3 . 4 } } } \\ & { = 0 . 0 0 1 + 0 . 0 7 3 + 0 . 7 5 6 } \\ & { = 0 . 8 3 } \end{array} }
V _ { 3 } ( r _ { 1 2 } , r _ { 2 3 } , r _ { 3 1 } ) = U _ { 3 } ( r _ { 1 2 } , r _ { 2 3 } , r _ { 3 1 } ) + U _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) + U _ { 2 } ( r _ { 2 3 } ) + U _ { 2 } ( r _ { 3 1 } )
\begin{array} { r l } { { \mathbf { x } } ^ { k + 1 } } & { = ( 2 { \mathbf { W } } - { \mathbf { I } } ) { \mathbf { x } } ^ { k } - \alpha { \mathbf { W } } ^ { 2 } { \nabla } { \mathbf { F } } ( { \mathbf { x } } ^ { k } ) - \mathbf { B } { \mathbf { z } } ^ { k } } \\ { { \mathbf { z } } ^ { k + 1 } } & { = { \mathbf { z } } ^ { k } + \mathbf { B } { \mathbf { x } } ^ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf X } _ { i } ^ { \mathrm { P r o b } } } & { { } = \mathrm { S o f t m a x } \left( { \bf p } _ { f , i } \right) , } \\ { { \bf X } _ { i } ^ { \mathrm { P r e d } } } & { { } = \arg \operatorname* { m a x } \left( { \bf X } _ { i } ^ { \mathrm { P r o b } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { \mathrm { m o m } } } & { = \frac { S _ { m o m } S _ { r } } { 4 \pi ^ { 3 / 2 } T _ { s c e } ^ { 2 } } [ 2 \bar { v } _ { G \parallel } ( 2 - \bar { \mu } ) - J _ { \parallel B } ( 1 + 2 \bar { v } _ { G \parallel } ^ { 2 } - \bar { \mu } ) ] e ^ { - \bar { v } _ { G \parallel } ^ { 2 } - \bar { \mu } } , } \end{array}
\alpha _ { \pm } = - \left( \alpha _ { 1 } A \right) ^ { - 1 } \left( \cosh \frac { \triangle \theta _ { n } } { 4 } - i \sinh \frac { \triangle \theta _ { n } } { 4 } \right) ^ { - 1 } \left( \pm 1 - A ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \frac { \triangle \theta _ { n } } { 4 } \right) \; .
\rho = g _ { \mathrm { { e f f } } } ( T ) \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 0 } T ^ { 4 } \quad , \quad s = h _ { \mathrm { e f f } } ( T ) \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { 4 5 } T ^ { 3 } .
F _ { h } = \frac { { \varepsilon _ { \! \scriptscriptstyle K } } } { { U _ { h } } ^ { 2 } N } ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ ~ \mathcal { R } = \frac { { \varepsilon _ { \! \scriptscriptstyle K } } } { \nu N ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \lesssim \varepsilon \| \langle \xi \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { \partial _ { t } \{ \mu _ { \gamma } e ^ { \gamma \psi } \} } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } e ^ { q _ { \alpha } \phi } } } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \| \langle \xi \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon \| \langle \xi \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { \partial _ { t } \{ \mu _ { \gamma } e ^ { \gamma \psi } \} } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } e ^ { q _ { \alpha } \phi } } } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } . } \end{array}
f _ { p \pm } \equiv \frac { 6 \rho _ { 3 } } { \pi } \mp \frac { 2 7 \left( c _ { s 0 } ^ { \left( 3 \right) } \right) ^ { 6 } } { 3 2 \left( c _ { s \pm } ^ { \left( 3 \right) } \right) ^ { 6 } } \frac { 1 } { L ^ { 3 } } + \left( - 1 \right) ^ { p } \left[ \frac { 9 \rho _ { 3 } ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \pm \frac { 8 1 \left( c _ { 0 } ^ { \left( 3 \right) } \right) ^ { 6 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } \left( c _ { s \pm } ^ { \left( 3 \right) } \right) ^ { 6 } } \frac { \rho _ { 3 } } { L ^ { 3 } } \right] ^ { 1 / 2 } \, .
\begin{array} { r l } { u _ { N } ( t , z ) } & { = e ^ { - \gamma t } \mathbb { E } \left[ \exp \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { N } c _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { Z } _ { k } ^ { z _ { k } } ( s ) d s \right\} \right] = e ^ { - \gamma t } \mathbb { E } \left[ \prod _ { k = 1 } ^ { N } \exp \left\{ c _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { Z } _ { k } ^ { z _ { k } } ( s ) d s \right\} \right] } \\ & { = e ^ { - \gamma t } \prod _ { k = 1 } ^ { N } \mathbb { E } \left[ \exp \left\{ c _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { Z } _ { k } ^ { z _ { k } } ( s ) d s \right\} \right] . } \end{array}
\omega _ { 2 } ^ { + } = \frac { 1 - n _ { 1 } v / c } { 1 - n _ { 2 } v / c } \omega _ { \mathrm { ~ i ~ } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \omega _ { 2 } ^ { - } = \frac { 1 - n _ { 1 } v / c } { 1 + n _ { 2 } v / c } \omega _ { \mathrm { ~ i ~ } } ,
\pi = { \sqrt { 1 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 3 ) ^ { - k } } { 2 k + 1 } } = { \sqrt { 1 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - { \frac { 1 } { 3 } } ) ^ { k } } { 2 k + 1 } } = { \sqrt { 1 2 } } \left( 1 - { \frac { 1 } { 3 \cdot 3 } } + { \frac { 1 } { 5 \cdot 3 ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 7 \cdot 3 ^ { 3 } } } + \cdots \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { f } } } { \mathrm { d } t } } & { = } & { \dot { m } _ { \mathrm { f , i n } } - \dot { m } _ { \mathrm { f , o u t } } } \\ { \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { o } } } { \mathrm { d } t } } & { = } & { \dot { m } _ { \mathrm { o , i n } } - \dot { m } _ { \mathrm { o , o u t } } } \end{array}
\mathrm { R H } > \mathrm { R H } _ { 0 } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \mathrm { R H } _ { \mathrm { 0 , t o p } } + ( \mathrm { R H } _ { \mathrm { 0 , s u r f } } - \mathrm { R H } _ { \mathrm { 0 , t o p } } ) \exp ( 1 - \left( p _ { s } / p \right) ^ { n } ) ,
\prod _ { \substack { \operatorname* { g c d } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { n } ) = 1 \, a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { n - 1 } < a _ { n } \, a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { n } \geq 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - { x _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } { x _ { 2 } } ^ { a _ { 2 } } { x _ { 3 } } ^ { a _ { 3 } } \cdots { x _ { n } } ^ { a _ { n } } } \right) ^ { \frac { 1 } { { a _ { 1 } } ^ { b _ { 1 } } { a _ { 2 } } ^ { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } ^ { b _ { 3 } } \cdots { a _ { n } } ^ { b _ { n } } } }
\frac { 1 } { 2 } [ Q ( \hat { K } _ { L } ( \hat { I } ) , \hat { K } _ { L } ( \hat { I } ) ] = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } d \sigma c ^ { 0 } ( \sigma ) \partial _ { \sigma } F _ { i k } ^ { I } ( \sigma ) \eta _ { I J } \partial _ { \sigma } F _ { k j } ^ { J } ( \sigma )
\begin{array} { r l } & { \bar { p } _ { \mathrm { M W } } = \bar { p } _ { \mathrm { W W } } \{ h ( e _ { 2 } ) a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { G C } } + ( 1 - h ( e _ { 2 } ) ) a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { G D } } \} + ( 1 - \bar { p } _ { \mathrm { W W } } ) \{ h ( e _ { 2 } ) a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { B C } } + ( 1 - h ( e _ { 2 } ) ) a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { B D } } \} . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, y ^ { 1 - s } \frac { d } { d y } t ^ { 2 ( \rho - 1 ) } = ( 1 - \rho ) \, \frac { \Gamma \left( \frac { \displaystyle 3 - s } { \displaystyle 2 } \right) \Gamma \left( \rho - \frac { \displaystyle 3 - s } { \displaystyle 2 } \right) } { \Gamma ( \rho ) } , \quad 3 - 2 \mathrm { ~ R e ~ } \rho < \mathrm { ~ R e ~ } s < 3 .
K _ { \mu \nu } ^ { k } = \sum _ { \lambda \sigma k ^ { \prime } } ( \phi _ { \mu } ^ { k } \phi _ { \lambda } ^ { k ^ { \prime } } | \phi _ { \sigma } ^ { k ^ { \prime } } \phi _ { \nu } ^ { k } ) P _ { \lambda \sigma } ^ { k ^ { \prime } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \exists ( \lambda _ { 1 } ^ { \star } , \dots , \lambda _ { l } ^ { \star } ) \in { \mathbb R } ^ { l } \, : } \\ { h _ { j } ( x ^ { \star } ) = 0 \, , \, j = 1 , \dots , l \, , } \\ { \nabla h _ { 0 } ( x ^ { \star } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { l } \lambda _ { j } ^ { \star } \nabla h _ { j } ( x ^ { \star } ) \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \big \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \big \| \partial _ { y } f _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } \big \| \partial _ { y } f _ { k } ( s ) \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } d s = \frac { 1 } { 2 } \big \| u _ { \mathrm { i n } , k } + i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \Phi _ { \mathrm { i n } , k } + u _ { t , \mathrm { i n } , k } \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + } \\ { + \frac { 1 } { 2 } \big \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , k } \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + { \mathfrak { R e } } \bigg ( i k \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 1 } [ i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } , \partial _ { y } ^ { 2 } ] \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } \big ) \overline { { ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } } } d y d s \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { A } ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( x _ { A } - v t \right) } \\ { x _ { B } ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( x _ { A } + L - v t \right) } \\ { L ^ { \prime } } & { { } = x _ { B } ^ { \prime } - x _ { A } ^ { \prime } = \gamma L } \end{array}
\Delta = \frac { 1 } { \widetilde { H } ^ { 4 } } \left[ 4 - 8 H \widetilde { H } - \left( 4 - \frac { 2 6 } { 3 } H ^ { 2 } \right) \widetilde { H } ^ { 2 } + \left( 6 - \frac { 2 0 } { 3 } H ^ { 2 } \right) H \widetilde { H } ^ { 3 } \right]
\begin{array} { r l } { U _ { \epsilon , R , N } } & { : = \{ \tilde { g } \in \mathscr { M } _ { + } ^ { I } ( \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } ) , \tilde { g } \Big ( \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } \setminus [ c _ { 0 } \epsilon ^ { \frac { 2 } { 3 } } , \infty ) \times [ \epsilon , 2 R ) \Big ) = 0 , \tilde { g } \textup { s a t i s f i e s } ( ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 8 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 7 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 4 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 3 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { T _ { 1 } } \\ { T _ { 2 } } \\ { T _ { 3 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \frac { | c _ { 1 2 } | ^ { 2 } } { 2 } } & { \frac { | c _ { 1 3 } | ^ { 2 } } { 2 } } \\ { \frac { | c _ { 2 1 } | ^ { 2 } } { 2 } } & { 0 } & { \frac { | c _ { 2 3 } | ^ { 2 } } { 2 } } \\ { \frac { | c _ { 3 1 } | ^ { 2 } } { 2 } } & { \frac { | c _ { 3 2 } | ^ { 2 } } { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { | c _ { 1 1 } | ^ { 2 } + | c _ { 2 1 } | ^ { 2 } + | c _ { 3 1 } | ^ { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { | c _ { 1 2 } | ^ { 2 } + | c _ { 2 2 } | ^ { 2 } + | c _ { 3 2 } | ^ { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { | c _ { 1 3 } | ^ { 2 } + | c _ { 2 3 } | ^ { 2 } + | c _ { 3 3 } | ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
+ ( C _ { 1 ( 2 ) } + D _ { 1 ( 2 ) } \beta _ { 0 } + E _ { 1 ( 2 ) } \beta _ { 0 } ^ { 2 } + B _ { 1 ( 2 ) } \beta _ { 1 } ) a _ { s } ^ { 3 } ( Q ^ { 2 } / \Lambda _ { \overline { { { M S } } } } ^ { 2 } ) ~ ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \ddot { x } - ( 1 + x ) \dot { y } ^ { 2 } } & { { } = - \frac { \dot { x } - u _ { r } } { \mathrm { S t } } , } \\ { \ddot { y } + \frac { 2 } { 1 + x } \dot { x } \dot { y } } & { { } = - \frac { \dot { y } + u _ { \theta } } { \mathrm { S t } } . } \end{array}
\nabla _ { \mathbf { d } _ { t } } \log q ( \mathbf { d } _ { t } \vert \mathbf { d } _ { 0 } ) = - \frac { \mathbf { d } _ { t } - \sqrt { \bar { \alpha } _ { t } } \mathbf { d } _ { 0 } } { 1 - \bar { \alpha } _ { t } }
S ^ { l i n } \; \equiv \; \mathrm { T r } _ { 1 } \left\{ \hat { \rho } - \hat { \rho } ^ { \; 2 } \right\} \; = \; 1 - \; \mathrm { T r } _ { 1 } \; \hat { \rho } ^ { \; 2 } \; = \; 1 - \; \operatorname * { d e t } \left\{ \frac { 1 - Y } { 1 + Y } \right\} \; \; .
\begin{array} { r } { \log \left( p _ { \mathrm { F } } ( E _ { i } ^ { { \tt A } } , E _ { i } ^ { { \tt B } } \, ; \, E _ { f } ^ { { \tt A } } , E _ { f } ^ { { \tt B } } ) / p _ { \mathrm { R } } ( E _ { f } ^ { { \tt A } } , E _ { f } ^ { { \tt B } } \, ; \, E _ { i } ^ { { \tt A } } , E _ { i } ^ { { \tt B } } ) \right) . } \end{array}
\hat { \beta } ^ { ( n ) } = \Bigg \{ \begin{array} { l l l } { \frac { - \pi } { n } } & { \mathrm { i f } } & { \hat { \theta } ^ { ( n ) } - 2 n \hat { \phi } ^ { ( 1 ) } > \pi } \\ { 0 } & { \mathrm { i f } } & { | \hat { \theta } ^ { ( n ) } - 2 n \hat { \phi } ^ { ( 1 ) } | \leq \pi } \\ { \frac { \pi } { n } } & { \mathrm { i f } } & { \hat { \theta } ^ { ( n ) } - 2 n \hat { \phi } ^ { ( 1 ) } < - \pi } \end{array} .
\begin{array} { r l } { V _ { m } ( x ) = } & { e ^ { i ( \bar { q } + i \bar { \kappa } ) x } \bar { V } _ { m } ( x ) , } \\ { \bar { V } _ { m } ( x ) = } & { \sum _ { i _ { 1 } < i _ { 2 } \ldots i _ { m - 1 } < i _ { m } } \bar { U } ( x - x _ { i _ { m } } ) \prod _ { j = 1 } ^ { m - 1 } [ \bar { U } ( x _ { i _ { j + 1 } } - x _ { i _ { j } } ) ] \frac { \bar { B } _ { i n } ( x _ { i _ { 1 } } , \omega ) } { \bar { B } _ { i n } ( 0 , \omega ) } , } \\ { \bar { U } ( x ) = } & { \frac { 1 } { 2 } ( e ^ { i \delta q x } + e ^ { - i \delta q x } ) = \cos ( \delta q x ) , } \\ { \bar { B } _ { i n } ( x , \omega ) = } & { \beta _ { 1 } e ^ { i \delta q x } + \beta _ { 2 } e ^ { - i \delta q x } . } \end{array}
K ( B _ { X _ { n } } , J ) : = \operatorname* { s u p } \Big \{ 0 < r < 1 \colon \operatorname* { s u p } _ { z \in r B _ { X _ { n } } } \sum _ { \alpha \in J } \Big | \frac { \partial ^ { \alpha } f ( 0 ) } { \alpha ! } z ^ { \alpha } \Big | \le \| f \| _ { \infty } \, \, \, \mathrm { f o r ~ a l l ~ f ~ \in ~ H ^ J _ \infty ~ ( B _ { X _ n } ) ~ } \Big \} \, ,
F ( k _ { x } , k _ { y } ) = \frac { 1 } { M N } \sum _ { x = - M / 2 } ^ { M / 2 - 1 } \sum _ { y = - N / 2 } ^ { N / 2 - 1 } f ( x , y ) e ^ { - i 2 \pi \left( \frac { k _ { x } x } { M } + \frac { k _ { y } y } { N } \right) } ,
\begin{array} { r l } & { A = \Big [ { \psi ^ { * } } ^ { \prime } \Big ( \frac { \ell _ { \xi } ( x ) - \eta } { \lambda } \Big ) \big ( \nabla \ell _ { \xi } ( x ^ { \prime } ) - \nabla \ell _ { \xi } ( x ) \big ) ; 0 \Big ] } \\ & { B = \Big [ { \psi ^ { * } } ^ { \prime } \Big ( \frac { \ell _ { \xi } ( x ^ { \prime } ) - \eta ^ { \prime } } { \lambda } \Big ) \! - \! { \psi ^ { * } } ^ { \prime } \Big ( \frac { \ell _ { \xi } ( x ) - \eta } { \lambda } \Big ) \Big ] \big [ \nabla \ell _ { \xi } ( x ^ { \prime } ) ; - 1 \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d a _ { a s } } { d t } } & { = } & { \left[ - i ( - \Delta _ { L } + \Delta _ { 1 } ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } \right] a _ { a s } - i g _ { \mathrm { o m } } b _ { a c } + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \xi _ { a s } , } \\ { \frac { d b _ { a c } } { d t } } & { = } & { \left[ - i ( \Omega _ { \mathrm { B } } + \Delta _ { 2 } ) - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } \right] b _ { a c } - i g _ { \mathrm { o m } } a _ { a s } + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \xi _ { a c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = ( 1 - 2 \lambda _ { 2 } ) \| X ^ { \xi } ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n } \| X ^ { \eta } ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { 4 \lambda _ { 2 } - 3 \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n } } \\ & { \| X ^ { \xi } ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n } \| X ^ { \Gamma } ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { s } \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } X ( t ) ^ { T } \xi \tilde { \xi } ^ { T } z ^ { s } } \\ & { - \frac { \lambda _ { 1 } } { r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } X ( t ) ^ { T } \tilde { M } z ^ { s } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } ( z ^ { s } ) ^ { T } \tilde { D } ^ { ( s ) } z ^ { s } . } \end{array}
l ^ { j } - \theta ^ { j i } \hat { F } _ { i i ^ { \prime } } l ^ { i ^ { \prime } } = i \theta ^ { j j ^ { \prime } } ( i k _ { j ^ { \prime } } + i \partial _ { j ^ { \prime } } \hat { A } _ { i ^ { \prime } } l ^ { i ^ { \prime } } ) + \theta ^ { j j ^ { \prime } } l ^ { i ^ { \prime } } D _ { i ^ { \prime } } \hat { A } _ { j ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l } { 2 \lambda = } & { - 2 [ D k _ { r } ^ { 2 } + \chi ] - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Gamma _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Theta _ { r } ) \pm } \\ & { \pm \sqrt { \left[ \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Gamma _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Theta _ { r } ) \right] ^ { 2 } - 8 \left[ \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { r } \right] ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( A - A ^ { \mathsf { T } } ) \mathbf { e } _ { 1 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { a _ { 3 } } \\ { - a _ { 2 } } \end{array} \right) } = \mathbf { a } \times \mathbf { e } _ { 1 } } \\ { ( A - A ^ { \mathsf { T } } ) \mathbf { e } _ { 2 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l } { - a _ { 3 } } \\ { 0 } \\ { a _ { 1 } } \end{array} \right) } = \mathbf { a } \times \mathbf { e } _ { 2 } } \\ { ( A - A ^ { \mathsf { T } } ) \mathbf { e } _ { 3 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l } { a _ { 2 } } \\ { - a _ { 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right) } = \mathbf { a } \times \mathbf { e } _ { 3 } } \end{array}
\mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { H = } & { { } \frac { K } { 2 } \sum _ { \langle i , j \rangle } u _ { i j } ^ { 2 } - \sum _ { \langle i , j \rangle \sigma } ( t _ { 0 } - \alpha u _ { i j } ) \big ( c _ { i \sigma } ^ { \dag } c _ { j \sigma } ^ { \phantom { } } + c _ { j \sigma } ^ { \dag } c _ { i \sigma } ^ { \phantom { } } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho \left( \left( x + \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } h _ { i } \omega _ { i } + \sum _ { 1 \leq i < j \leq 6 } h _ { i j } \omega _ { i } \omega _ { j } \right) _ { \omega \in \{ 0 , 1 \} ^ { 6 } } \right) } \\ & { \quad = \sum _ { \omega \in \{ 0 , 1 \} ^ { 6 } } ( - 1 ) ^ { | \omega | } F \left( x + \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } h _ { i } \omega _ { i } + \sum _ { 1 \leq i < j \leq 6 } h _ { i j } \omega _ { i } \omega _ { j } \right) } \end{array}
J = ( 2 \pi a ^ { 2 } ) ^ { ( n - 1 ) / 2 } \sqrt { 1 - [ ( { \bf v } _ { 1 } , { \bf v } _ { 2 } ) ^ { 2 } - { \bf v } _ { 1 } ^ { 2 } { \bf v } _ { 2 } ^ { 2 } ] ( { \bf v } _ { 1 } - { \bf v } _ { 2 } ) ^ { - 2 } }
\textrm { E f f i c i e n c y } = \frac { N _ { \mathrm { t r a c k s } } ^ { \mathrm { m a t c h e d } } } { N _ { \mathrm { t r a c k s } } ^ { \mathrm { g e n e r a t e d } } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \textrm { F a k e r a t e } = \frac { N _ { \mathrm { t r a c k s } } ^ { \mathrm { f a k e } } } { N _ { \mathrm { t r a c k s } } ^ { \mathrm { r e c o n s t r u c t e d } } } \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } G _ { \epsilon , R , \delta } ( A , V , t ) \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V , t ) } x _ { t , V } ( A ) \textup { d } V \textup { d } A } & { \leq 2 \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } g _ { \textup { i n } , R } ( A , V ) A \textup { d } V \textup { d } A , } \end{array}
\Omega _ { G W } ( \omega , \eta _ { 0 } ) = \frac { \rho _ { \omega } } { \rho _ { \mathrm { c } } } = \Omega _ { \gamma } ( t _ { 0 } ) ~ \varepsilon ~ \biggl ( \frac { H _ { 1 } } { M _ { P } } \biggr ) ^ { 2 } \biggl ( \frac { \omega } { \omega _ { r } } \biggr ) ~ \ln ^ { 2 } { \biggl ( \frac { \omega } { \omega _ { 1 } } \biggr ) } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \omega _ { r } < \omega < \omega _ { 1 } ,
\begin{array} { r } { \frac { \exp \big ( ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \epsilon \big ) - 1 } { \exp \big ( ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \epsilon \big ) + 1 } \leq \frac { | 2 \widetilde { \eta } _ { i j } - 1 | } { | 2 \eta _ { i j } - 1 | } \leq \frac { \exp \big ( \frac { 2 | \Omega | - 3 } { | \Omega | - 1 } \epsilon \big ) - 1 } { \exp \big ( \frac { 2 | \Omega | - 3 } { | \Omega | - 1 } \epsilon \big ) + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { E } ( t _ { n } ) \simeq E _ { 0 } ( t ) + \frac { \delta t ^ { 2 } } { 1 2 } ( \textbf { v } _ { n } ^ { N } ) ^ { T } \textbf { J ( r } _ { n } ^ { N } ) \textbf { v } _ { n } ^ { N } - \frac { \delta t ^ { 2 } } { 2 4 m } \textbf { F } _ { n } ^ { N } ( \textbf { r } _ { n } ^ { N } ) ^ { 2 } } \\ { = E _ { 0 } ( t ) + E _ { 1 } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert u \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \alpha _ { q } } ) } \lesssim _ { p , q , n } ^ { \alpha , s } \left\lVert ( \partial _ { t } u , \nabla ^ { 2 } u ) \right\rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { \alpha , q } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , r } ^ { s } ) } \lesssim _ { p , q , n } ^ { \alpha , s } \left\lVert f \right\rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { \alpha , q } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , r } ^ { s } ) } + \left\lVert u _ { 0 } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \alpha _ { q } } } . } \end{array}
\Sigma _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { \alpha _ { 1 } \mathbb { 1 } _ { 2 } } & { \gamma _ { 1 } Z } \\ { \gamma _ { 1 } Z } & { \beta _ { 1 } \mathbb { 1 } _ { 2 } } \end{array} \right) , \qquad \Sigma _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { \alpha _ { 2 } \mathbb { 1 } _ { 2 } } & { \gamma _ { 2 } Z } \\ { \gamma _ { 2 } Z } & { \beta _ { 2 } \mathbb { 1 } _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { f _ { k , N } ( G ) = \frac { \Gamma ( N ) \Gamma ( k - 1 + 1 / G ) } { G \, \Gamma ( k ) \Gamma ( N - 1 + 1 / G ) } \left( - G + ( 2 G - 1 ) \left( H _ { N - 2 + \frac { 1 } { G } } - H _ { k - 2 + \frac { 1 } { G } } \right) \right) + \frac { k } { N } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 2 } ( p , \xi ) = - f ( p , \xi ) \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Pi ( \gamma , \xi ; \gamma ^ { \prime } , \xi ^ { \prime } ) 2 \pi p ^ { 2 } d p ^ { \prime } \, d \xi ^ { \prime } , } \end{array}