harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | x _ { k } ( t ) - x ^ { k } | } & { { } < \frac { 1 } { 4 d } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \, , } \\ { | x _ { k } ( t ) - x _ { k } ( t ^ { \prime } ) | } & { { } < \frac { 1 } { 4 d } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 0 } } & { = } & { - 3 6 4 - 1 6 2 3 \kappa ^ { 2 } + 1 6 7 4 \kappa ^ { 4 } - 1 1 9 \kappa ^ { 6 } < 0 , \quad \forall \; \kappa ^ { 2 } \in [ 0 , 1 ] } \\ { \alpha _ { 1 } } & { = } & { 1 6 2 2 4 + 1 9 6 0 1 \kappa ^ { 2 } - 1 9 9 2 5 \kappa ^ { 4 } > 0 , \quad \forall \; \kappa \in [ 0 , 1 ] } \\ { \alpha _ { 2 } } & { = } & { - 1 8 ( 7 2 5 4 - 2 0 3 \kappa ^ { 2 } ) < 0 , \quad \forall \; \kappa \in [ 0 , 1 ] } \\ { \alpha _ { 3 } } & { = } & { 1 2 6 3 6 0 \; , } \end{array}
c \cdot \nabla F = { \frac { c \cdot \nabla \, x \cdot x } { \left[ 1 + ( a \cdot x ) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } } - { \frac { 2 x \cdot x } { \left[ 1 + ( a \cdot x ) ^ { 2 } \right] ^ { 3 } } } \, 2 a \cdot x ( c \cdot \nabla ) ( a \cdot x )
\begin{array} { r l } { S _ { q _ { 2 } , \, o f 2 } } & { = Q _ { 2 } \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { 0 } } \sum _ { Q _ { 4 } \leq v \ll \frac { M _ { 0 } - p ^ { 2 } n } { Q _ { 3 } } } \sum _ { q _ { 3 } \in \Phi _ { 3 } } \sum _ { q _ { 3 } ^ { \prime } \in \Phi _ { 3 } ^ { \prime } } \overline { { \chi } } ( q _ { 3 } ^ { \prime } ) \chi ( q _ { 3 } ) \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 3 } v ) \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 3 } ^ { \prime } v ) } \\ & { \times \frac { \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + q _ { 3 } v , x ) } { ( p ^ { 2 } n + q _ { 3 } v ) ^ { 1 / 4 } } \frac { \overline { { \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + q _ { 3 } ^ { \prime } v , x ) } } } { ( p ^ { 2 } n + q _ { 3 } ^ { \prime } v ) ^ { 1 / 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N T } & { { } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \ne j } ^ { N } \left\langle \Delta _ { i j } f _ { i j } ^ { x } \right\rangle - \sum _ { i } ^ { N } \langle x _ { i } \frac { \partial \phi } { \partial x _ { i } } \rangle } \end{array}
H _ { 0 } ( r _ { i } , \theta _ { i } ) = - \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 \kappa _ { 0 } } \kappa _ { 0 } \overline { { h } } } \frac { 1 } { \sin \frac { 1 } { 2 } \Theta _ { 0 } } \Big [ M \left( \theta _ { i } + \Theta _ { 0 } , \theta _ { i } - \Theta _ { 0 } \right) - M \left( \theta _ { i } - \Theta _ { 0 } , \theta _ { i } + \Theta _ { 0 } \right) \Big ] ,
\left\langle v _ { 2 } ^ { 2 } \hat { f } _ { i } ^ { e q } \right\rangle = ( \lambda _ { 2 i } ^ { 2 } + \frac { \delta \lambda _ { 2 i } ^ { 2 } } { 3 } ) ( f _ { 1 i } ^ { e q } + f _ { 2 i } ^ { e q } + f _ { 3 i } ^ { e q } + f _ { 4 i } ^ { e q } ) = ( \widetilde { \lambda } _ { 2 i } ) ^ { 2 } U _ { i }
\int \prod _ { i > j } [ d c ^ { i j } ] [ d \bar { c } ^ { i j } ] [ d A _ { \mu } ^ { i j } ] e ^ { - S _ { \mathrm { o f f - d i a g } } } = \exp \left[ { \frac { 1 } { 8 \pi } } \int _ { \Sigma _ { g } } R \sum _ { i > j } \log ( \lambda _ { i } - \lambda _ { j } ) \right] ~ .
\begin{array} { r l } { \sum _ { | v | + | \mu | = | \lambda | } C _ { \lambda ^ { ' } } ^ { v ^ { ' } , \mu ^ { ' } } } & { \frac { \prod _ { s \in \lambda } ( l ( s ) + 1 ) } { \prod _ { s \in v } ( l ( s ) + 1 ) \cdot \prod _ { s \in \mu } ( l ( s ) + 1 ) } \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \binom { M } { i } ^ { \lambda _ { i } - \lambda _ { i + 1 } } } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \binom { M } { i } ^ { v _ { i } - v _ { i + 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { M } \binom { M } { i } ^ { \mu _ { i } - \mu _ { i + 1 } } } } \\ & { \prod _ { m = 1 } ^ { M } ( N - m + 1 ) ^ { \lambda _ { i } - v _ { i } - \mu _ { i } } \prod _ { i = 1 } ^ { M } \left[ e _ { i } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , a _ { M } ^ { 2 } ) \right] ^ { v _ { i } - v _ { i + 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { M } \left[ e _ { i } ( b _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , b _ { M } ^ { 2 } ) \right] ^ { \mu _ { i } - \mu _ { i + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vert e V \vert } & { { } < } & { 1 . 4 \, \left\vert \varepsilon _ { 0 } \right\vert \mathrm { ~ o ~ r ~ , ~ e ~ q ~ u ~ i ~ v ~ a ~ l ~ e ~ n ~ t ~ l ~ y ~ } } \\ { \vert e V \vert } & { { } < } & { 1 . 2 5 \, e V _ { t } \mathrm { ~ ( ~ \emph ~ { ~ c ~ f ~ . ~ } ~ ~ ~ e ~ q ~ n ~ ~ ~ ( ~ ) ~ ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( r ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } k \, \frac { k \left( k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } \right) } { 4 \left( k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } k ^ { 4 } } \left( 4 J _ { 0 } ( k r ) - \frac { 3 } { k r } \, J _ { 1 } ( k r ) \right) \, , } \\ { C _ { 2 } ( r ) } & { = \frac { 3 } { 2 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } k \, \frac { k \left( k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } \right) } { 4 \left( k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } k ^ { 4 } } \left( \frac { 2 } { k r } \, J _ { 1 } ( k r ) - J _ { 0 } ( k r ) \right) \, , } \\ { C _ { 3 } ( r ) } & { = - \frac { \mu } { 2 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } k \, \frac { k ^ { 3 } J _ { 0 } ( k r ) } { 4 \left( k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } k ^ { 4 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \xi } ^ { n } = \widetilde { \xi } ^ { n - 1 } + \delta [ \nu \Delta \widetilde { \xi } ^ { n } - \Pi _ { N } ( \widetilde { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } \cdot \nabla \widetilde { \xi } ^ { n } ) - \beta \Pi _ { K } ( \widetilde { \xi } ^ { n } - \xi ^ { n } ( \Pi _ { N } \xi _ { 0 } ) ) ] + \sum _ { k = 1 } ^ { d } \Pi _ { N } \sigma _ { k } ( W ^ { k } ( t _ { n } ) - W ^ { k } ( t _ { n - 1 } ) ) , } \end{array}
\hat { V } ( \hat { k } ^ { \prime } , \hat { k } , \hat { p } , \Lambda ) = \sum _ { l , n , m } \widehat C _ { l m n } \left( { \frac { \Lambda } { \Lambda _ { 0 } } } \right) ^ { \nu } \hat { k } ^ { \prime l } \hat { k } ^ { m } \hat { p } ^ { n } .
\begin{array} { r l } { [ \Psi _ { \gamma } ^ { W } ] ^ { \epsilon } } & { = \Psi _ { \gamma } ^ { W } + 2 \pi K _ { W } G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Phi , \Psi _ { \gamma } ^ { W } ) + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) } \\ & { = \Psi _ { \gamma } + 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( W , \Psi _ { \gamma } ) + 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Phi , \Psi _ { \gamma } ) } \\ & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; + 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( W , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( W , \Psi _ { \gamma } ) ) + 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Phi , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( W , \Psi _ { \gamma } ) ) } \\ & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; + 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( W , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Phi , \Psi _ { \gamma } ) ) + . . . + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) } \\ & { = \Psi _ { \gamma } + 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( W + { \epsilon } \Phi , \Psi _ { \gamma } ^ { W } ) } \\ & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; + 2 \pi K G _ { - } ( W + { \epsilon } \Phi , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( W + { \epsilon } \Phi , \Psi _ { \gamma } ^ { W } ) ) + . . . + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) } \\ & { = \Psi _ { \gamma } ^ { W _ { \epsilon } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { k } ^ { z _ { k } } ( t ) } & { { } = z _ { k } e ^ { - \alpha _ { k } t } + \frac { d _ { k } - c _ { k } } { \alpha _ { k } } \left( 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } \right) + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \alpha _ { k } ( t - s ) } \sqrt { 2 \alpha _ { k } } d W _ { k } ( s ) , } \end{array}
\ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } = U ( { \boldsymbol { \theta } } ) \ensuremath { \lvert { 0 } \rangle } = \prod _ { k = 0 } ^ { n _ { p } - 1 } U _ { k } ( \theta _ { k } ) V _ { k } \ensuremath { \lvert { 0 } \rangle }
\begin{array} { r l } & { \frac { \bar { D } } { D t } \left( \frac { \rho ^ { \prime } } { \bar { \rho } } \right) = \frac { \bar { D } } { D t } \left( \frac { p ^ { \prime } } { \bar { \gamma } \bar { p } } \right) - \frac { \bar { D } } { D t } \left( \frac { s ^ { \prime } } { \bar { c } _ { p } } \right) - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \bar { \aleph } _ { 1 , i } + \bar { \psi } _ { 1 , i } \right) \frac { \bar { D } Y _ { i } ^ { \prime } } { D t } - \frac { \gamma ^ { \prime } } { \bar { \gamma } } \frac { \bar { D } } { D t } { \log \bar { p } ^ { \frac { 1 } { \bar { \gamma } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { \mathrm { p } } } & { { } = } & { \frac { \kappa _ { \mathrm { p } } a _ { \mathrm { p } } } { 2 } ( C _ { \ell 1 } - C _ { \mathrm { p } } ) ^ { 2 } + \frac { \kappa _ { \mathrm { s i d e } } a _ { \mathrm { p } } } { 2 } ( C _ { \ell 2 } - C _ { \mathrm { s i d e } } ) ^ { 2 } , } \\ { C _ { \ell 1 } } & { { } = } & { C _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { p c } } ) + C _ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { p c } } ) , } \\ { C _ { \ell 2 } } & { { } = } & { C _ { 1 } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { p c } } ) + C _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { p c } } ) , } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 1 } { 1 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \right) = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } } .
\begin{array} { c c } { { K _ { a b } ^ { - 1 } = } } & { { \left( \begin{array} { c c } { { \sqrt { g } } } & { { { \frac { 1 } { \sqrt { g } } } } } \\ { { { \frac { 1 } { \sqrt { g } } } } } & { { \sqrt { g } } } \end{array} \right) } } \end{array}
\nu = \lambda ^ { - 3 } \frac { m _ { o } } { M } = \left( \frac { R _ { o } } { a _ { 1 } } \right) ^ { - 3 } \frac { m _ { o } } { M } = \frac { \frac { G m _ { o } } { R _ { o } ^ { 3 } } a _ { 1 } ^ { 2 } } { \frac { G M } { a _ { 1 } } } \sim \frac { \Phi _ { o } ( a _ { 1 } ) } { \Phi _ { i } ( a _ { 1 } ) } ,
\begin{array} { r l } { d _ { 0 } ( t ) } & { { } = \sum _ { j } | c _ { j e a } ( t ) | ^ { 2 } \prod _ { k \neq j } | c _ { k g a } ( t ) | ^ { 2 } , } \\ { d _ { 1 } ( t ) } & { { } = \sum _ { j } | c _ { j e b } ( t ) | ^ { 2 } \prod _ { k \neq j } | c _ { k g a } ( t ) | ^ { 2 } . } \end{array}
L = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { A } \phi \partial ^ { A } \phi - \frac { 1 } { 4 } \lambda ( \phi ^ { 2 } - \frac { \mu ^ { 2 } } { \lambda } ) ^ { 2 } ~ , ~ ~ ~ A = 0 , 1 , 2 , 3 , 4
\tilde { \psi } _ { n + 1 } = \frac { \sqrt { m } + \lambda \left| \tilde { \psi } _ { n } \right| } { \left( 1 + \lambda \right) \left| \tilde { \psi } _ { n } \right| } \tilde { \psi } _ { n } . \; \; \; \textrm { ( p r o x i m a l A n s c o m b e u p d a t e ) } .
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { p r e d } } ( x _ { 0 } ; \ell _ { \tau } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { \sigma _ { x } ^ { 2 } } { \sigma _ { x | \ell _ { \tau } } ^ { 2 } } \right) , } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 + \frac { \sigma _ { x | \eta } ^ { 2 } } { \sigma _ { x | L } ^ { 2 } } \right) - \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 + \frac { \sigma _ { x | \eta } ^ { 2 } - \langle \delta x ( 0 ) \delta \ell ( \tau ) \rangle ^ { 2 } / \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } { \sigma _ { x | L } ^ { 2 } } \right) , } \\ & { = I _ { \mathrm { p a s t } } - \frac { 1 } { 2 } \log ( 1 + \mathrm { c S N R } ) . } \end{array}
\frac { \partial \hat { Q } } { \partial \mathcal { T } } + \frac { \partial \hat { E } _ { e } } { \partial \xi } + \frac { \partial \hat { F } _ { e } } { \partial \eta } + \frac { \partial \hat { G } _ { e } } { \partial \zeta } = \frac { \partial \hat { E } _ { v } } { \partial \xi } + \frac { \partial \hat { F } _ { v } } { \partial \eta } + \frac { \partial \hat { G } _ { v } } { \partial \zeta } \, \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { ( K _ { \mathcal { Y } / B } - a _ { r e l } f ^ { * } K _ { \mathcal { X } / B } ) \cdot C } & { \leq T + a _ { r e l } ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) ( g ( B ) - 1 ) + ( \dim ( \mathcal { Y } ) - 1 ) } \\ & { \leq T + a _ { r e l } ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) ( g ( B ) - 1 ) + ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma ^ { + } ( \mathbf { x } ) : = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \; \gamma ( \mathbf { x } - | \epsilon | \, \mathbf { n } ^ { + } ( \mathbf { x } ) ) \quad \mathrm { a n d } \quad \gamma ^ { - } ( \mathbf { x } ) : = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \; \gamma ( \mathbf { x } - | \epsilon | \, \mathbf { n } ^ { - } ( \mathbf { x } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { q } ^ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ } } = } & { { } \Theta ( k _ { F } ^ { \mathord { \uparrow } } - q ) + \Theta ( k _ { F } ^ { \mathord { \downarrow } } - q ) \; , ~ k _ { F } ^ { \mathord { \uparrow } , \mathord { \downarrow } } = ( 6 \pi ^ { 2 } n _ { \mathord { \uparrow } , \mathord { \downarrow } } ) ^ { 1 / 3 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \textcircled { 2 } \| \leq } & { \ \beta \left\| \int _ { s = 0 } ^ { 1 } \left( J _ { \mu } ( \theta ( s ) ) - J _ { \mu } ^ { k } \right) d s \right\| \cdot \frac { \left\| J _ { \mu } ^ { k } ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } \right\| } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( J _ { \mu } ^ { k } ) } } \\ { \leq } & { \ \beta \left( \left\| \int _ { s = 0 } ^ { 1 } \left( J _ { \mu } ( \theta ( s ) ) - J _ { \mu } ^ { 0 } \right) d s \right\| + \left\| \int _ { s = 0 } ^ { 1 } \left( J _ { \mu } ^ { 0 } - J _ { \mu } ^ { k } \right) d s \right\| \right) \cdot \frac { \left\| J _ { \mu } ^ { k } ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } \right\| } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { k } ) } } \\ { \overset { ( i ) } { \leq } } & { \ \beta \cdot \frac { 2 C \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } { 3 } \cdot \frac { \left\| J _ { \mu } ^ { k } ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } \right\| } { \sqrt { \frac { 4 } { 9 } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } } } \\ { \leq } & { \ \beta C \left\| J _ { \mu } ^ { k } ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } \right\| } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x _ { 1 } > 0 \ , \qquad x _ { 1 } x _ { 2 } - | s _ { 0 } | ^ { 2 } > 0 \ , } \\ & { d ^ { \prime } ( X ) \= x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } - x _ { 1 } | s _ { 0 } | ^ { 2 } - x _ { 2 } | s _ { 1 } | ^ { 2 } - x _ { 3 } | v | ^ { 2 } + 2 \langle \mu _ { v } ( s _ { 0 } ) , s _ { 1 } \rangle + } \\ & { \phantom { a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a } + \frac { | s _ { 0 } | ^ { 2 } | s _ { 1 } | ^ { 2 } - \langle s _ { 0 } { \boldsymbol { \cdot } } s _ { 1 } ^ { \flat } , s _ { 0 } { \boldsymbol { \cdot } } s _ { 1 } ^ { \flat } \rangle } { x _ { 3 } } > 0 \ . } \end{array}
g ( x , y ) = \textbf { \textit { I F T } } \left( \textbf { \textit { F T } } \left[ o ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \right] \textbf { \textit { F T } } \left[ \exp \left[ \frac { i \pi } { \lambda z } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \right] \right] \right) .
{ \left[ \begin{array} { l l l } & { L o a v e s } & { C o m m o n \; f o o d } \\ { 4 \; f i n e \; o x e n } & { 2 4 \; h e q a t } & { 2 \; h e q a t } \\ { 2 \; f i n e \; o x e n } & { 2 2 \; h e q a t } & { 6 \; h e q a t } \\ { 3 \; c a t t l e } & { 2 0 \; h e q a t } & { 2 \; h e q a t } \\ { 1 \; o x } & { 2 0 \; h e q a t } & \\ { T o t a l } & { 8 6 \; h e q a t } & { 1 0 \; h e q a t } \\ { i n \; s p e l t } & { 9 \; h e q a t } & { ( 7 + { \frac { 1 } { 2 } } ) \; h e q a t } \\ { 1 0 \; d a y s } & { ( { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } ) \; c . \; h e q a t } & { ( { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } ) \; c . \; h e q a t } \\ & { + 1 5 \; h e q a t } & \\ { o n e \; m o n t h } & { 2 0 0 \; h e q a t } & { ( { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } ) \; c . \; h e q a t } \\ & & { + 1 5 \; h e q a t } \\ { d o u b l e \; h e q a t } & { { \frac { 1 } { 2 } } \; c . \; h e q a t } & { { \frac { 1 } { 4 } } \; c . \; h e q a t } \\ & { + ( 1 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 8 } } ) \; h e q a t } & { + 5 \; h e q a t } \\ & { + 3 \; r o } & \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { { \bf I } _ { \beta } ^ { < } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = } & { \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } { \bf G } ^ { R } ( t _ { 1 } , t _ { 3 } ) { \bf \Sigma } ^ { < } ( t _ { 3 } , t _ { 2 } ) d t _ { 3 } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } { \bf G } ^ { < } ( t _ { 1 } , t _ { 3 } ) { \bf \Sigma } ^ { A } ( t _ { 3 } , t _ { 2 } ) d t _ { 3 } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { s } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , t = \tau + z / c ) \quad } & { { } \to \quad \Omega _ { s } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , \tau ) , } \\ { \rho _ { p q } ( \textbf { r } , t = \tau + z / c ) \quad } & { { } \to \quad \rho _ { p q } ( \textbf { r } , \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { r U \cos ^ { 2 } u } & { = n ^ { 2 } \frac { \cos ^ { 2 } u } { A _ { 1 } \cos ( \theta _ { * } \sin u ) } + m n \cos ^ { 2 } u \left( \frac { 1 } { A _ { 2 } \sin ( \theta _ { * } + \theta ) } + \frac { 1 } { A _ { 2 } \sin ( \theta _ { * } - \theta ) } \right) } \\ & { = n ^ { 2 } \frac { \cos ^ { 2 } u } { A _ { 1 } \cos ( \theta _ { * } \sin u ) } + \frac { 2 m n \sin \theta _ { * } } { A _ { 2 } } \frac { \cos ^ { 2 } u \cos \theta } { \cos ^ { 2 } \theta - \cos ^ { 2 } \theta _ { * } } . } \end{array}
1 - \frac { 2 m } { u ^ { 4 } \triangle } - \frac { \lambda \tilde { \triangle } \Omega ^ { 2 } } { \triangle u ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \theta + \frac { 2 \sqrt { 2 m \lambda } l \Omega } { \triangle u ^ { 4 } } \sin ^ { 2 } \theta = 0 .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \left( \mathbb { E } _ { \epsilon } \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { X } \in S _ { \xi ; ( J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } ) } } \left\vert \sum _ { j _ { 1 } = 1 , \cdots , j _ { N } = 1 } ^ { J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } } \epsilon _ { i _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } f _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) \right\vert ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } } \\ & { \lesssim } & { \gamma _ { 2 } \left( S _ { \xi ; ( J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } ) } , d _ { \theta } \right) \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { X } \in S _ { \xi ; ( J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } ) } } \left( \sum _ { j _ { 1 } = 1 , \cdots , j _ { N } = 1 } ^ { J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } } f _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { + \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { X } \in S _ { \xi ; ( J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } ) } } \left( \mathbb { E } _ { \epsilon } \left\vert \sum _ { j _ { 1 } = 1 , \cdots , j _ { N } = 1 } ^ { J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } } \epsilon _ { i _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } f _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) \right\vert ^ { p } \right) ^ { 1 / p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small \int _ { \Omega _ { h } } \nabla \phi _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \omega _ { h } - \alpha \int _ { \Omega _ { h } } \phi _ { h } ^ { n + 1 } \omega _ { h } = } & { { } \int _ { \partial \Omega _ { o h } } g _ { 2 h } ^ { n + 1 } \omega _ { h } + \int _ { \partial \Omega _ { s h } } \left[ - g _ { 3 h } ^ { n + 1 } - \frac { \Theta ^ { \prime } ( \phi _ { h } ^ { * , n + 1 } ) } { \lambda } \right] \omega _ { h } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { V _ { 0 } : = \mathrm { s p a n } \{ \Lambda _ { i } ^ { 0 } | 0 \le i < N _ { 0 } \} , } & & { \ni { a } _ { h } ^ { 0 } ( t , { \mathbf x } ) = \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { 0 } - 1 } a _ { i } ( t ) \Lambda _ { i } ^ { 0 } ( { \mathbf x } ) } \\ & { V _ { 1 } : = \mathrm { s p a n } \left\{ \left( \begin{array} { l } { \Lambda _ { 1 , i } ^ { 1 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \Lambda _ { 2 , i } ^ { 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \Lambda _ { 3 , i } ^ { 1 } } \end{array} \right) \Bigg | \begin{array} { l } { 0 \le i < N _ { 1 } ^ { 1 } } \\ { 0 \le i < N _ { 2 } ^ { 1 } } \\ { 0 \le i < N _ { 3 } ^ { 1 } } \end{array} \right\} } & & { \ni { \mathbf a } _ { h } ^ { 1 } ( t , { \mathbf x } ) = \sum _ { \mu = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mu } ^ { 1 } - 1 } a _ { \mu , i } ( t ) \Lambda _ { \mu , i } ^ { 1 } ( { \mathbf x } ) { \mathbf e } _ { \mu } , } \\ & { V _ { 2 } : = \mathrm { s p a n } \left\{ \left( \begin{array} { l } { \Lambda _ { 1 , i } ^ { 2 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \Lambda _ { 2 , i } ^ { 2 } } \\ { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \Lambda _ { 3 , i } ^ { 2 } } \end{array} \right) \Bigg | \begin{array} { l } { 0 \le i < N _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { 0 \le i < N _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { 0 \le i < N _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array} \right\} } & & { \ni { \mathbf a } _ { h } ^ { 2 } ( t , { \mathbf x } ) = \sum _ { \mu = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mu } ^ { 1 } - 1 } a _ { \mu , i } ( t ) \Lambda _ { \mu , i } ^ { 2 } ( { \mathbf x } ) { \mathbf e } _ { \mu } , } \\ & { V _ { 3 } : = \mathrm { s p a n } \{ \Lambda _ { i } ^ { 3 } | 0 \le i < N _ { 3 } \} , } & & { \ni { a } _ { h } ^ { 3 } ( t , { \mathbf x } ) = \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { 3 } - 1 } a _ { i } ( t ) \Lambda _ { i } ^ { 3 } ( { \mathbf x } ) \, . } \end{array}
\frac { d \Delta _ { 3 } \overline { { u v } } _ { o 4 } } { d x } = \frac { d \Delta _ { 3 } } { d x } \overline { { u v } } _ { o 4 } + \Delta _ { 3 } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 4 } } { d x } = \Delta _ { 3 } ^ { ' } \frac { d R e _ { x } } { d x } \overline { { u v } } _ { o 4 } + \Delta _ { 3 } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 4 } } { d x } ,
\sum _ { \substack { j = 1 \, Q ( C _ { j } ^ { ( m ) } | x ^ { ( m ) } ) > 0 } } ^ { \ell _ { m } } \int _ { C _ { j } ^ { ( m ) } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal X } \left| q _ { m } ( z | x ) - \frac { Q ( C _ { j } ^ { ( m ) } | x ) } { Q ( C _ { j } ^ { ( m ) } | x ^ { ( m ) } ) } \right| Q ( d z | x ^ { ( m ) } ) \; \xrightarrow [ m \to \infty ] \; 0 .
\begin{array} { r } { X = ( y _ { 2 } \rho ( \frac { | | y | | ^ { 2 } } { \epsilon } ) + \frac { 1 } { \epsilon } \rho ^ { \prime } ( \frac { | | y | | ^ { 2 } } { \epsilon } ) ( y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) y _ { 2 } ) \frac { \partial } { \partial y _ { 1 } } - ( y _ { 1 } \rho ( \frac { | | y | | ^ { 2 } } { \epsilon } ) + \frac { 1 } { \epsilon } \rho ^ { \prime } ( \frac { | | y | | ^ { 2 } } { \epsilon } ) ( y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) y _ { 1 } ) \frac { \partial } { \partial y _ { 2 } } } \\ { - \frac { 1 } { \epsilon } \rho ^ { \prime } ( \frac { | | y | | ^ { 2 } } { \epsilon } ) ( y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) y _ { 4 } ) \frac { \partial } { \partial y _ { 3 } } + \frac { 1 } { \epsilon } \rho ^ { \prime } ( \frac { | | y | | ^ { 2 } } { \epsilon } ) ( y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) y _ { 4 } ) \frac { \partial } { \partial y _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \phi _ { r _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } } \circ \cdots \circ \phi _ { i _ { k } } ^ { i _ { k } } \circ \alpha \right) ^ { 2 } } & { = \phi _ { r _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } } \circ \cdots \circ \phi _ { i _ { k } } ^ { i _ { k } } \circ \phi _ { r _ { \alpha ( 1 ) } } ^ { - i _ { 1 } } \circ \cdots \circ \phi _ { i _ { \alpha ( k ) } } ^ { - i _ { k } } } \\ & { = \phi _ { r _ { \alpha ( 1 ) } } ^ { i _ { \alpha ( 1 ) } } \circ \cdots \circ \phi _ { i _ { \alpha ( k ) } } ^ { i _ { \alpha ( k ) } } \circ \phi _ { r _ { \alpha ( 1 ) } } ^ { - i _ { 1 } } \circ \cdots \circ \phi _ { i _ { \alpha ( k ) } } ^ { - i _ { k } } } \\ & { = \phi _ { r _ { \alpha ( 1 ) } } ^ { i _ { \alpha ( 1 ) } - i _ { 1 } } \circ \cdots \circ \phi _ { i _ { \alpha ( k ) } } ^ { i _ { \alpha ( k ) } - i _ { k } } \in G ( x ) , } \end{array}
y ( z | \Omega _ { m } , w ) = 1 0 + 5 \log \left( ( 1 + z ) \, \chi _ { H } \int _ { 0 } ^ { z } \mathrm { d } { z ^ { \prime } } \: \frac { 1 } { \sqrt { \Omega _ { m } ( 1 + z ^ { \prime } ) ^ { 3 } + ( 1 - \Omega _ { m } ) ( 1 + z ^ { \prime } ) ^ { 3 ( 1 + \omega ) } } } \right) .