harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) } & { = \iota _ { \xi } L _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) - \iota _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \Theta _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \iota _ { \xi } \mathrm { t r } ( \mathrm { F } \wedge \star \mathrm { F } ) + \iota _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \mathrm { t r } ( \delta \mathrm { A } \wedge \star \; \mathrm { F } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \iota _ { \xi } \mathrm { t r } ( \mathrm { F } \wedge \star \mathrm { F } ) + \mathrm { t r } ( \mathcal { L } _ { \xi } A \wedge \star \; \mathrm { F } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \iota _ { \xi } \mathrm { t r } ( \mathrm { F } \wedge \star \mathrm { F } ) + \mathrm { t r } ( \iota _ { \xi } \mathrm { F } \wedge \star \mathrm { F } ) + \mathrm { t r } ( D \iota _ { \xi } \mathrm { A } \wedge \star \mathrm { F } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad ( W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( 3 ) } W _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = ( 1 + \alpha _ { 1 } ^ { 2 } - 6 \alpha _ { 2 } ^ { 2 } ) \delta _ { p , q } \delta _ { i , j } | 0 \rangle } \\ & { \quad + ( 6 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ( m - n ) + \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 1 } ( m - n ) - \alpha _ { 1 } ( m - n ) ^ { 2 } - 6 \alpha _ { 2 } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ) \delta _ { p , j } \delta _ { i , q } | 0 \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { F } ( { \mathbf a } ) _ { i j } = \int \left( \nabla \times { \mathbf A } _ { h } \right) \cdot ( \Lambda _ { j } ^ { 1 } \times \Lambda _ { i } ^ { 1 } ) \frac { 1 } { n _ { h } } \mathrm { d } { \mathbf x } , \quad \Pi _ { L ^ { 2 } } \left( { \nabla } \times ( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } ) \right) = ( \mathbb { \Lambda } ^ { 1 } ) ^ { \top } \mathbb { M } _ { 1 } ^ { - 1 } \left( \mathbb { C } ^ { \top } \mathbb { M } _ { 2 } \mathbb { C } { \mathbf a } \right) . } \end{array}
f _ { \mathrm { A r } } = \frac { n _ { \mathrm { t o t } } } { n _ { \mathrm { t o t } } ^ { \prime } } \frac { \rho _ { \mathrm { { A r } _ { i } } } + \rho _ { \mathrm { { A r } _ { A l } } } + \rho _ { \mathrm { { A r } _ { N } } } } { \rho _ { \mathrm { { A r } _ { i } } } ^ { \prime } + \rho _ { \mathrm { { A r } _ { A l } } } ^ { \prime } + \rho _ { \mathrm { { A r } _ { N } } } ^ { \prime } + 1 0 ^ { - 7 } }
\left. \frac { \partial \langle n _ { \mathrm { ~ c ~ } } ( u ) \rangle } { \partial u } \right\vert _ { u \rightarrow 0 ^ { + } } = \langle n _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \prime } ( 0 ) \rangle = \langle n _ { \mathrm { ~ c ~ } } ( 0 ) \rangle + \frac { 1 } { 2 \ensuremath { N _ { \mathrm { ~ e ~ } } } } \int \mathrm { ~ d ~ } \ensuremath { \mathbf { r } } \, n ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) .
\begin{array} { r l } { \widetilde { K } ( z ) ^ { - 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { \partial B _ { \delta } ( 1 ) } \frac { 1 } { \mu - 1 } \bigr ( \mu - \widehat { \chi } _ { s } ( z ) \bigr ) ^ { - 1 } \mathrm { d } \mu } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { \partial B _ { \delta } ( 1 ) } \frac { 1 } { \mu - 1 } \bigr ( \mu P _ { V _ { j } } ^ { \perp } - \widehat { \chi } _ { s , j } ( z ) \bigr ) ^ { - 1 } \mathrm { d } \mu + \mathcal { O } ( | z - \omega _ { j } | ) } \\ & { = \biggr ( \bigr ( P _ { V _ { j } } ^ { \perp } - Q _ { j } ( z ) \bigr ) \bigr ( 1 - \widehat { \chi } _ { s , j } ( z ) \bigr ) \bigr ( P _ { V _ { j } } ^ { \perp } - Q _ { j } ( z ) \bigr ) \biggr ) ^ { - 1 } + \mathcal { O } ( | z - \omega _ { j } | ) = \mathcal { O } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { k } ( x , \alpha ) = \phi _ { k } ^ { + } ( x , \alpha ) + } & { \Big ( g _ { 1 } \langle g | \langle x , \alpha | G _ { o } ^ { R } | 0 , A \rangle | g \rangle } \\ & { + g _ { 2 } \langle g | \langle x , \alpha | G _ { o } ^ { R } | \Delta x , B \rangle | g \rangle \Big ) \psi _ { e } , } \\ { \psi _ { e } = \frac { 1 } { E - \omega _ { e } } \Big ( g _ { 1 } \psi _ { k } ( 0 } & { , A ) + g _ { 2 } \psi _ { k } ( \Delta x , B ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf e } _ { \{ r \} } ^ { j } } & { { } = } & { \left( \frac { 1 } { r ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) } , 0 , 0 \right) , } \\ { { \bf e } _ { \{ \theta \} } ^ { j } } & { { } = } & { \left( 0 , \frac { 1 } { r ( x _ { 1 } ) } , 0 \right) , } \\ { { \bf e } _ { \{ \varphi \} } ^ { j } } & { { } = } & { \left( 0 , 0 , \frac { 1 } { r ( x _ { 1 } ) \ \sin \theta } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \alpha \beta \beta \beta } ^ { ( 4 ) } } & { = \frac { P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + 2 \beta ) } } - 2 P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + \beta ) } } + 2 P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( - \beta ) } } - P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( - 2 \beta ) } } } { 2 \xi ^ { 3 } } } \\ { C _ { \alpha \beta \gamma \gamma } ^ { ( 4 ) } } & { = \frac { P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + \beta , + 2 \gamma ) } } - P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( - \beta , + 2 \gamma ) } } + P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + \beta , - 2 \gamma ) } } - P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( - \beta , - 2 \gamma ) } } - 2 ( P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + \beta ) } } - P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( - \beta ) } } ) } { 8 \xi ^ { 3 } } } \\ { C _ { \alpha \beta \gamma \delta } ^ { ( 4 ) } } & { = ( P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + \beta , + \gamma , + \delta ) } } - P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + \beta , + \gamma , - \delta ) } } - P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + \beta , - \gamma , + \delta ) } } + P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + \beta , - \gamma , - \delta ) } } - P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( - \beta , + \gamma , + \delta ) } } + } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( - \beta , + \gamma , - \delta ) } } + P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( - \beta , - \gamma , + \delta ) } } - P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( - \beta , - \gamma , - \delta ) } } ) / 8 \xi ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 3 } ^ { n } \sum _ { l = 3 } ^ { k } \vartheta _ { k - l } \big \langle ( 1 + \Delta _ { h } ) ^ { 2 } e ^ { l } , e ^ { k } \big \rangle = \sum _ { k = 3 } ^ { n } \sum _ { l = 3 } ^ { k } \vartheta _ { k - l } \big \langle ( 1 + \Delta _ { h } ) e ^ { l } , ( 1 + \Delta _ { h } ) e ^ { k } \big \rangle \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ^ { 2 } \left( e ^ { \frac { s } { 2 } A _ { ( i ) } ^ { 2 } } \right) } & { = \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { \frac { s x ^ { 2 } } { 2 } } f _ { ( i ) } ( x ) d x \right) ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { n ! } { i ! ( n - i ) ! } \right) ^ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } x f _ { X } ( x ) F ^ { i - 1 } ( x ) ( 1 - F ( x ) ) ^ { n - i } d x \right) ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { n ! } { i ! ( n - i ) ! } \right) ^ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( e ^ { \frac { s x ^ { 2 } } { 2 } } \sqrt { f _ { X } ( x ) } ) \sqrt { f _ { X } ( x ) } F ^ { i - 1 } ( x ) ( 1 - F ( x ) ) ^ { n - i } d x \right) ^ { 2 } } \\ & { \le \left( \frac { n ! } { i ! ( n - i ) ! } \right) ^ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { s x ^ { 2 } } f _ { X } ( x ) d x \right) \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } f _ { X } ( x ) F ^ { 2 i - 2 } ( x ) ( 1 - F ( x ) ) ^ { 2 n - 2 i } d x \right) } \\ & { = \mathbb { E } \left( e ^ { s X ^ { 2 } } \right) \left( \frac { n ! } { i ! ( n - i ) ! } \right) ^ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } u ^ { 2 i - 2 } ( 1 - u ) ^ { 2 n - 2 i } d u \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { s u p p } \, \Omega \subset \Big [ 2 . 5 \kappa _ { 0 } - 8 C ( k _ { M } ) \epsilon , 1 - 2 . 5 \kappa _ { 0 } + 8 C ( k _ { M } ) \epsilon \Big ] , } \\ { \mathrm { s u p p } \, a \subset \Big [ 2 . 5 \kappa _ { 0 } - 8 C ( k _ { M } ) \epsilon , 1 - 2 . 5 \kappa _ { 0 } + 8 C ( k _ { M } ) \epsilon \Big ] ; } \end{array}
\begin{array} { l l l l } { \tau } & { = x + \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } } & { r } & { = x + a + b } \\ { a } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \, , } & { u _ { l } \geq 1 - \epsilon _ { l } } \\ { 0 \, , } & { u _ { l } < 1 - \epsilon _ { l } } \end{array} \right. ; \quad \quad \quad } & { b } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \, , } & { u _ { r } \leq \epsilon _ { r } } \\ { 0 \, , } & { u _ { r } > \epsilon _ { r } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \frac { \partial l } { \partial \xi ^ { \alpha } } \pm \frac { \partial l } { \partial \xi ^ { \beta } } c _ { \alpha \lambda } ^ { \beta } \xi ^ { \lambda } } & { = 0 } \\ { \frac { d } { d t } \frac { \partial l } { \partial \dot { r } ^ { I } } - \frac { \partial l } { \partial r ^ { I } } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ L ~ } ~ } } } } ^ { - 1 } ( { \bf x } ) { \bf Y } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) . } \end{array}
P ( \mathbf { J } ( \tau + 1 ) ) = \sum _ { \mathbf { J } ( \tau ) } P ( \mathbf { J } ( \tau ) ) \prod _ { k \neq j } \frac { e ^ { \displaystyle \beta J _ { k j } ( \tau + 1 ) h _ { k j } ( \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \mathbf { x } ( t , \tau ) ) } } { 2 \mathrm { c o s h } [ \beta h _ { k j } ( \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \mathbf { x } ( t , \tau ) ) ] }
\begin{array} { r l } { U ( \rho , \theta , \phi ) } & { { } = \frac { \sin { \theta } \sin { \phi } } { \rho \lambda j } \int \int U ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , 0 ) { e ^ { j k r } } \, d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } } \end{array}
\boldsymbol { C } _ { 1 , t c a } ^ { \prime } = \ensuremath { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { k ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \boldsymbol { C } _ { 1 , t c a }
\mathrm { S S I M } ( \vec { u } , \, \vec { v } ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \frac { ( 2 \mu _ { \vec { u } _ { i } } \mu _ { \vec { v } _ { i } } + c _ { 1 } ) ( 2 \sigma _ { \vec { u } _ { i } \vec { v } _ { i } } + c _ { 2 } ) } { ( { \mu _ { \vec { u } _ { i } } ^ { 2 } } + { \mu _ { \vec { v } _ { i } } ^ { 2 } } + c _ { 1 } ) ( { \sigma _ { \vec { u } _ { i } } ^ { 2 } } + { \sigma _ { \vec { v } _ { i } } ^ { 2 } } + c _ { 2 } ) } ,
h = \sqrt { n _ { r } ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } - b ^ { 2 } n _ { r } ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { b ^ { 2 } } - 1 \right) n _ { i } ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \tan \Big ( \frac { \Phi _ { n + 1 } ( z ) + \tilde { \Phi } } { 2 } \Big ) } & { { } = } & { \tan \Big ( \frac { \Phi _ { n + 1 } ( 0 ) + \tilde { \Phi } } { 2 } \Big ) \cdot } \\ { \sin \tilde { \Phi } } & { { } = } & { \frac { P _ { n } } { \sqrt { P _ { n } ^ { 2 } + d _ { 1 2 } ^ { 2 } N _ { n } ^ { 2 } } } , } \\ { 0 } & { { } \le } & { z \le L _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ d ~ } } , } \\ { \Phi _ { n + 1 } ( 0 ) } & { { } = } & { \Phi _ { n } ( L _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } ) , } \end{array}
\tilde { G } _ { \mu \nu } ^ { ( 5 ) } = \kappa _ { ( 5 ) } ^ { 2 } [ - \Lambda _ { ( 5 ) } g _ { \mu \nu } ^ { ( 5 ) } + \delta ( y ) ( - \lambda h _ { \mu \nu } ^ { ( 4 ) } + T _ { \mu \nu } ^ { ( 4 ) } ) ]
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial { \hat { H } } } { \partial X _ { \gamma } } } } & { = { \frac { \partial } { \partial X _ { \gamma } } } \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } { \frac { Z _ { \alpha } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } _ { \alpha } | } } + \sum _ { \alpha } ^ { M } \sum _ { \beta > \alpha } ^ { M } { \frac { Z _ { \alpha } Z _ { \beta } } { | \mathbf { R } _ { \alpha } - \mathbf { R } _ { \beta } | } } \right) , } \\ & { = - Z _ { \gamma } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { x _ { i } - X _ { \gamma } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } _ { \gamma } | ^ { 3 } } } + Z _ { \gamma } \sum _ { \alpha \neq \gamma } ^ { M } Z _ { \alpha } { \frac { X _ { \alpha } - X _ { \gamma } } { | \mathbf { R } _ { \alpha } - \mathbf { R } _ { \gamma } | ^ { 3 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f _ { \mathcal { T } } ( \boldsymbol { \xi } ) } { \partial \textbf { v } _ { p } } = } & { \boldsymbol { \xi } \left[ \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { z } _ { p ^ { + } } \cdot \boldsymbol { \xi } } } { ( \textbf { v } _ { p ^ { - } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) ^ { 2 } ( \textbf { v } _ { p } \cdot \boldsymbol { \xi } ) } - \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { z } _ { p ^ { - } } \cdot \boldsymbol { \xi } } } { ( \textbf { v } _ { p } \cdot \boldsymbol { \xi } ) ( \textbf { v } _ { p ^ { + } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) ^ { 2 } } \right. } \\ & { \left. - \frac { \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { z } _ { p } \cdot \boldsymbol { \xi } } } { ( \textbf { v } _ { p ^ { - } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) ( \textbf { v } _ { p ^ { + } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) } + \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { z } _ { p } \cdot \boldsymbol { \xi } } } { ( \textbf { v } _ { p ^ { - } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) ^ { 2 } ( \textbf { v } _ { p ^ { + } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) } \right. } \\ & { \left. - \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { z } _ { p } \cdot \boldsymbol { \xi } } } { ( \textbf { v } _ { p ^ { - } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) ( \textbf { v } _ { p ^ { + } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \theta , \phi , \chi | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { = \sqrt { \frac { ( J + m ) ! ( J - m ) ! ( J + \kappa ) ! ( J - \kappa ) ! ( 2 J + 1 ) } { 8 \pi ^ { 2 } } } } \\ & { \times \sum _ { \sigma = \mathrm { m a x } ( 0 , \kappa - m ) } ^ { \mathrm { m i n } ( J - m , J + \kappa ) } ( - 1 ) ^ { \sigma } \frac { ( \cos \frac { 1 } { 2 } \theta ) ^ { 2 J + \kappa - m - 2 \sigma } ( - \sin \frac { 1 } { 2 } \theta ) ^ { m - \kappa + 2 \sigma } } { \sigma ! ( J - m - \sigma ) ! ( m - \kappa + \sigma ) ! ( J + \kappa - \sigma ) ! } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m \phi } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa \chi } . } \end{array}
\mathbf { Y } _ { m } ^ { ( l ) } ( \mathbf { R } _ { s t } \cdot \hat { \mathbf { r } } _ { s t } ) \propto \mathbf { \delta } _ { m } ^ { ( l ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m = 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m \neq 0 } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { { \hat { T } } _ { x } } & { = { \frac { 1 } { 2 m } } \left( - i \hbar { \frac { \partial } { \partial x } } - q A _ { x } \right) ^ { 2 } } \\ { { \hat { T } } _ { y } } & { = { \frac { 1 } { 2 m } } \left( - i \hbar { \frac { \partial } { \partial y } } - q A _ { y } \right) ^ { 2 } } \\ { { \hat { T } } _ { z } } & { = { \frac { 1 } { 2 m } } \left( - i \hbar { \frac { \partial } { \partial z } } - q A _ { z } \right) ^ { 2 } } \end{array} } \,
\begin{array} { r l } { \frac { p ^ { - } } { p } } & { = \frac { p ^ { - } } { p ^ { - } + p ^ { + } } = \frac { P ( \mathrm { ` l i n k ' } \: \cap \: \mathrm { ` l i n k ~ - ~ ' } ) } { P ( \mathrm { ` l i n k ' } ) } = P ( \mathrm { ` l i n k ~ - ~ ' } \: | \: \mathrm { ` l i n k ' } ) , } \\ { \frac { p ^ { + } } { p } } & { = \frac { p ^ { + } } { p ^ { - } + p ^ { + } } = \frac { P ( \mathrm { ` l i n k ' } \: \cap \: \mathrm { ` l i n k ~ + ~ ' } ) } { P ( \mathrm { ` l i n k ' } ) } = P ( \mathrm { ` l i n k ~ + ~ ' } \: | \: \mathrm { ` l i n k ' } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { g } ^ { \pm } = V _ { E } ^ { \pm } = \frac { \sqrt { | g ( \omega ) | } } { \displaystyle \mu \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \right) } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ , ~ w ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ L ~ O ~ } } } & { { } \simeq \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } / \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } , } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ , ~ w ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ L ~ O ~ } } } & { { } \simeq \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } + \pi \tau _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \sigma _ { x } ^ { 2 } C ^ { - 1 } l _ { \mathrm { ~ W ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle p _ { 3 } ^ { 2 } \rangle } & { = \left( \frac { 8 \ell \ln { 2 \kappa } } { 1 0 R e _ { \ell } W _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \delta _ { i 3 } \delta _ { m 3 } \left[ \frac { S ^ { 2 } } { 1 0 } \left( \delta _ { i m } + \frac { \langle p _ { i } p _ { m } \rangle } { 3 } \right) + \frac { R ^ { 2 } } { 6 } \left( \delta _ { i m } - \langle p _ { i } p _ { m } \rangle \right) \right] } \\ & { = \left( \frac { 8 \ell \ln { 2 \kappa } } { 1 0 R e _ { \ell } W _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \left[ \frac { S ^ { 2 } } { 1 0 } + \frac { R ^ { 2 } } { 6 } \right] } \\ & { \langle p _ { 3 } ^ { 2 } \rangle = \left( \frac { 8 \ell \ln { 2 \kappa } } { 5 R e _ { \ell } W _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \frac { \Gamma _ { \eta } ^ { 2 } } { 3 0 } = \frac { 1 } { 3 0 } { S _ { F } ^ { f } } ^ { - 2 } } \end{array}
\sum _ { l } A _ { l } \Big ( \frac { A _ { l } ^ { T } u ^ { k + 1 } } { | A _ { l } ^ { T } u ^ { k } | _ { \beta } } \Big ) + \lambda _ { 1 } ( u ^ { k + 1 } - d _ { 1 } ) + \lambda _ { 2 } ( u ^ { k + 1 } - d _ { 2 } ) + 2 \lambda _ { 3 } K ^ { * } ( K u ^ { k + 1 } - d _ { 3 } ) = 0 .
A _ { 7 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } [ \delta ^ { \prime } g _ { { } _ { \Sigma ^ { + } , \Lambda \pi ^ { + } } } ^ { { } ^ { p , s p } } + \delta ( g _ { { } _ { \Xi ^ { - } , \Lambda K ^ { - } } } ^ { { } ^ { s , s s } } + \sqrt 3 g _ { { } _ { \Xi ^ { 0 } , \Xi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } } ^ { { } ^ { s , p p } } ) ] ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial p ( x , t ) } { \partial t } } & { = } & { D \frac { \partial ^ { 2 } p ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , \ x > 0 , } \\ { q ( t ) } & { = } & { \nu p ( 0 , t ) , } \\ { \frac { d q ( t ) } { d t } } & { = } & { - \kappa _ { 0 } q ( t ) + D \frac { \partial p ( 0 , t ) } { \partial x } . } \end{array}
I _ { N } ( p , \{ \nu \} ) = c _ { N \ell } \Delta ^ { ( N - 1 ) ( 2 \ell + 1 ) - 2 \sum _ { i } \nu _ { i } } ( \prod _ { i } m _ { i } ^ { \ell - \nu _ { i } - 1 } ) / ( 4 \pi ) ^ { \ell ( N - 1 ) } \sigma ^ { ( 2 - N ) \ell - N + \sum _ { i } \nu _ { i } } ,
\begin{array} { r l } { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( U _ { t } ) ) } & { : = \left\{ g \in L ^ { 2 } ( \mathcal { U } ) : g ( \cdot , t ) \in H ^ { s } ( U _ { t } ) \mathrm { ~ f o r ~ a . e . \ } t \in ( 0 , T ) , \| g ( \cdot , t ) \| _ { H ^ { s } ( U _ { t } ) } \in L ^ { 2 } ( 0 , T ) \right\} , } \\ { \| g \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( U _ { t } ) ) } } & { : = \left( \int _ { 0 } ^ { T } \| g ( \cdot , t ) \| _ { H ^ { s } ( U _ { t } ) } ^ { 2 } \, d t \right) ^ { \frac 1 2 } , } \\ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( \Gamma _ { t } ) ) } & { : = \left\{ g \in L ^ { 2 } ( \Gamma ) : g \circ X _ { 0 } \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) \right\} , } \\ { \| g \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( \Gamma _ { t } ) ) } } & { : = \| g \circ X _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ( I I ) } } & { = } & { \sum _ { { \cal A } \in { \cal X } } \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell } , \Delta } \right| \cdot ( - 1 ) ^ { | { \cal A } | + 1 } } \\ & { \leq } & { \sum _ { { \cal A } \in { \cal X } } \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell } , \Delta } \right| } \\ & { \leq } & { 2 ^ { | { \cal A } ^ { * } | } \cdot \left( \frac { 2 } { \Psi } \cdot N ( { \cal R } ^ { * } , \Delta ) + 1 \right) } \\ & { \leq } & { \epsilon \cdot N ( { \cal R } ^ { * } , \Delta ) + 2 ^ { | { \cal A } ^ { * } | } \ , } \end{array}
| 0 _ { M } > = Z \, \exp \left[ { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tilde { \omega } \, \int d ^ { n - 2 } k \sum _ { \sigma } \, e ^ { - \pi \tilde { \omega } / a } b _ { k } ^ { ( \sigma ) \dagger } \bar { b } _ { \tilde { k } } ^ { ( - \sigma ) \dagger } } \right] | 0 _ { R } > \, { , }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P ^ { ( v ) } ( { 2 } , { t } ) \gg } & { P ^ { ( v ) } ( { z } , { t } ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } z > 0 \mathrm { ~ b u t ~ } z = 2 \, , } \\ { P ^ { ( e ) } ( { 2 } , { t } ) \gg } & { P ^ { ( e ) } ( { n } , { t } ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } n > 0 \mathrm { ~ b u t ~ } n = 2 \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { C H S H } } } & { : = E ( \sigma _ { \textsf { X } } , \sigma _ { \textsf { X + Y } } ) + E ( \sigma _ { \textsf { Y } } , \sigma _ { \textsf { X + Y } } ) + E ( \sigma _ { \textsf { X } } , \sigma _ { \textsf { X } - \textsf { Y } } ) } \\ & { - E ( \sigma _ { \textsf { Y } } , \sigma _ { \textsf { X } - \textsf { Y } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r | \hat { l } _ { - } \psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) | ^ { 2 } } \\ & { = } & { 8 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } ( n + m ) \frac { n ! } { ( n + m - 1 ) ! } \frac { 1 } { w _ { 0 } ^ { 2 } } w _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { } & { \cdot \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } d a \mathrm { e } ^ { - a } a ^ { m - 1 } L _ { n } ^ { m - 1 } ( a ) L _ { n } ^ { m - 1 } ( a ) \right. } \\ & { } & { \left. - \frac { 1 } { n + m } \int _ { 0 } ^ { \infty } d a \mathrm { e } ^ { - a } a ^ { m } L _ { n } ^ { m } ( a ) L _ { n } ^ { m - 1 } ( a ) \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 1 } { 4 ( n + m ) ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { k ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 z ^ { 2 } } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } d a \mathrm { e } ^ { - a } a ^ { m + 1 } L _ { n } ^ { m } ( a ) L _ { n } ^ { m } ( a ) \right) } \\ & { = } & { 8 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } ( n + m ) \frac { n ! } { ( n + m - 1 ) ! } } \\ & { } & { \cdot \left( \frac { ( n + m - 1 ) ! } { n ! } - \frac { ( n + m ) ! } { n ! } \frac { 1 } { n + m } \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 1 } { 4 ( n + m ) ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { k ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 z ^ { 2 } } \right) \frac { ( n + m ) ! } { n ! } ( 2 n + m + 1 ) \right) } \\ & { = } & { \hbar ^ { 2 } \left( 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n + m + 1 ) . } \end{array}
\delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } = 1 \times 1 0 ^ { - 3 } \mathrm { e V ^ { 2 } } , \; \psi = \frac { \pi } { 4 } , \; L = 1 0 0 0 0 \mathrm { k m } , \quad \mathrm { a n d } \quad \rho = 4 . 4 6 \mathrm { g / c m ^ { - 3 } } .
\mathrm { X } ~ ^ { 2 } \Sigma ^ { + } , \mathrm { A } ~ ^ { 2 } \Pi , \mathrm { B } ~ ^ { 2 } \Sigma ^ { + } , \mathrm { C } ~ ^ { 2 } \Pi , \mathrm { D } ~ ^ { 2 } \Sigma ^ { + } , \mathrm { a n d } \mathrm { E } ~ ^ { 2 } \Delta
a _ { k - 1 } r ^ { k - 1 } + . . . + a _ { 1 } r ^ { 1 } + a _ { 0 } r ^ { 0 } , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } a _ { 0 } , . . . , a _ { k - 1 } { \mathrm { ~ i n ~ } } \mathbf { Q } .
\varepsilon _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { 1 + \xi } } \frac { K \left( \rho \right) } { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right\vert ^ { 2 } } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - \rho t } \right) \mathrm { d } \rho ,
\begin{array} { r l } { \int _ { M } ( \Delta u - \lambda u ) P _ { X } u } & { = \int _ { M } \langle \nabla _ { \nabla u } X , \nabla u \rangle \ge C _ { 1 } \int _ { M } | \nabla ^ { \bot } u | ^ { 2 } } \\ & { \ge \frac { C _ { 1 } } { C _ { 2 } } \int _ { M } | Y u | ^ { 2 } = \frac { C _ { 1 } } { C _ { 2 } } \| T _ { Y } u \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \mathcal { L } _ { \phi _ { t } } } { \partial \dot { y } _ { i } } \right) - \frac { \partial \mathcal { L } _ { \phi _ { t } } } { \partial y _ { i } } = \rho \dot { x } _ { i } \biggr [ \underset { i \neq j } { \sum _ { j } } \left( I _ { y _ { i j } } - I _ { x _ { i j } } \right) + \Gamma _ { i } \biggr ] .