harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A ( \gamma _ { T } P \rightarrow V _ { T } P ) \propto \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d z } { z ( 1 - z ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d ^ { 2 } b _ { t } \, m _ { r u n } ^ { 2 } \, \psi _ { \gamma , T } ( z , b _ { t } ) \, { \hat { \sigma } } ( b _ { t } ^ { 2 } ) \, \psi _ { V , T } ( z , b _ { t } ) ,
\Sigma { \phi } _ { n } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } = ( \omega _ { n } ^ { + } + \omega _ { n } ^ { - } ) d _ { i } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Delta \phi _ { n } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } = ( \omega _ { n } ^ { + } - \omega _ { n } ^ { - } ) d _ { n } ,
G _ { { \bf a } , k ^ { 2 } } ( x , x ^ { \prime } ) = G _ { k ^ { 2 } } ( x , x ^ { \prime } ) + { \frac { \bf a } { 1 - { \bf a } G _ { k ^ { 2 } } ( y , y ) } } G _ { k ^ { 2 } } ( y , x ^ { \prime } ) G _ { k ^ { 2 } } ( x , y ) ~ ~ .
\nabla _ { \mu } e _ { \nu } ^ { \alpha } = \partial _ { \mu } e _ { \nu } ^ { \alpha } - \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \rho } e _ { \rho } ^ { \alpha } + \omega _ { \mu \; \; \beta } ^ { \; \, \alpha } e _ { \nu } ^ { \beta } \; .
\frac { \partial \mathbf { U } } { \partial t } + \sum _ { k } \frac { \partial \mathbf { F } _ { k } ( \mathbf { U } ) } { \partial x _ { k } } = \sum _ { k } \mathbf { S } _ { k } ( \mathbf { U } ) + \mathbf { S } _ { \mathrm { s p l i t } } ( \mathbf { U } )
\begin{array} { r l } { w } & { = \frac { \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } } { ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ) ^ { 2 } + ( \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } ) ^ { 2 } } , } \\ { ( \alpha _ { 1 } + j \alpha _ { 2 } ) ^ { 3 } } & { = \frac { 1 } { \lambda ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } - j \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } ) ^ { 2 } } , } \\ { \beta _ { 1 } } & { = E _ { 1 } ( w ) , } \\ { \beta _ { 2 } } & { = E _ { 2 } ( w ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K ( t - t ^ { \prime } ) = } \\ & { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } \cos \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \Bigr ) \cos \Bigl ( \frac { \dot { \gamma } } { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) \Bigr ) + o ( \dot { \gamma } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { p _ { I I } } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) - { p _ { I } } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \rho { v _ { I } } _ { t } ^ { 2 } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) \left( 1 - E ^ { 2 } ( \psi _ { I } , \chi _ { I } ) \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \rho { v _ { I } } _ { n } ^ { 2 } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) \theta ( s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } } } & { { } = \frac { A } { R _ { 1 } \rho _ { 0 } } \exp \left( { - R _ { 1 } \frac { \rho _ { 0 } } { \rho } } \right) + \frac { B } { R _ { 2 } \rho _ { 0 } } \exp \left( { - R _ { 2 } \frac { \rho _ { 0 } } { \rho } } \right) } \\ { p _ { \mathrm { r e f } } } & { { } = A \exp \left( { - R _ { 1 } \frac { \rho _ { 0 } } { \rho } } \right) + B \exp \left( { - R _ { 2 } \frac { \rho _ { 0 } } { \rho } } \right) } \end{array}
\eta _ { \nu ^ { \pm } , \lambda } ( r , \varphi ) = N _ { \nu ^ { \pm } , \lambda } \left( \begin{array} { l } { { \zeta ^ { \pm 1 } J _ { n - 1 } ( q r ) e ^ { i ( n - 1 ) \varphi } } } \\ { { - i J _ { n } ( q r ) e ^ { i n \varphi } } } \\ { { \pm \zeta ^ { \pm 1 } J _ { n - 1 } ( q r ) e ^ { i ( n - 1 ) \varphi } } } \\ { { \pm i J _ { n } ( q r ) e ^ { i n \varphi } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Pi _ { t } \triangleq \sum _ { i = \omega } ^ { \infty } \pi _ { i , t } = } & { \sum _ { i = \omega } ^ { \infty } \bigg ( p _ { t } P _ { i - t , i } ^ { t } ( 1 ) \pi _ { i - t } \bigg ) } \\ { = } & { \sum _ { i = \omega - t } ^ { \infty } \bigg ( p _ { t } P _ { i , i + t } ^ { t } ( 1 ) \pi _ { i } \bigg ) . } \end{array}
\partial _ { \tau } \mu ( \tau ) = \dots + ( \alpha k _ { 3 } ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \left( \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + 2 \alpha k _ { 3 } R ^ { 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right) ^ { - 1 } \mu ( \tau ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \frac { { p _ { I I } } - { p _ { I } } } { \frac { 1 } { 2 } \rho v _ { 0 } ^ { 2 } } } & { = \left( \omega ^ { 2 } \gamma _ { 0 } + \cos ^ { 2 } { ( \beta ) } \right) \frac { 2 \omega \sin { ( \beta ) } } { \left( \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } \omega \right) ^ { 2 } } + \left( \sin { ( \beta ) } - \frac { 1 } { 2 } \omega \right) ^ { 2 } \theta ( s ) f ( R e _ { n } , \beta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { m + 1 } } & { = r _ { m } - \int _ { s _ { m } } ^ { s _ { m + 1 } } \cos \theta ( u ) d u } \\ & { = r _ { m } - \int _ { s _ { m } } ^ { s _ { m + 1 } } \cos \left( s _ { m } + k _ { m + 1 } ( u - s _ { m } ) \right) d u } \\ & { = r _ { m } - \frac { 1 } { k _ { m + 1 } } \left( \sin \theta _ { m + 1 } - \sin \theta _ { m } \right) } \\ & { = r _ { m } - \frac { 1 } { k _ { m + 1 } } \left( 1 - \sin \bar { \theta } \right) } \\ & { > \frac { r _ { m } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { i j } ^ { \mathrm { E V } } } & { = 2 \frac { \partial } { \partial x _ { \ell } } \left< \nu ^ { \mathrm { s g s } } \left( \overline { { s } } _ { i \ell } \overline { { u } } _ { j } ^ { \prime } + \overline { { s } } _ { j \ell } \overline { { u } } _ { i } ^ { \prime } \right) \right> , } \\ { D _ { i j } ^ { \mathrm { A S } } } & { = - \frac { \partial } { \partial x _ { \ell } } \left< \tau _ { i \ell } ^ { \mathrm { a n i } } \overline { { u } } _ { j } ^ { \prime } + \tau _ { j \ell } ^ { \mathrm { a n i } } \overline { { u } } _ { i } ^ { \prime } \right> . } \end{array}
\boldsymbol { f } _ { \mathrm { o u t } } ( t ) = ( \hat { a } _ { e , \mathrm { o u t } } ( t ) , \hat { a } _ { e , \mathrm { o u t } } ^ { \dagger } ( t ) , \hat { a } _ { o , \mathrm { o u t } } ( t ) , \hat { a } _ { o , \mathrm { o u t } } ^ { \dagger } ( t ) ) ^ { \top } ,
\begin{array} { r l } { A ( T ) } & { = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } ] , } \\ { B ( T ) } & { = \frac { L ^ { 2 } G _ { H } ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( 1 + t ) ^ { - 2 ( \sigma - \nu ) } , } \\ { C ( T ) } & { = 2 R ^ { 2 } ( 1 + T ) ^ { \nu } + \left[ L ^ { 2 } G _ { H } ^ { 2 } + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { \mathrm { m i x } } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { \operatorname* { m a x } } \right) \right] \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( 1 + t ) ^ { - \nu } } \\ & { \qquad + 2 T R \widetilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { \mathrm { m i x } } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sin \theta [ \dot { \theta } - ( m _ { 1 } \cos \varphi + m _ { 2 } \sin \varphi ) ( \frac { 1 } { I _ { 1 } } \cos ^ { 2 } \psi + \frac { 1 } { I _ { 2 } } \sin ^ { 2 } \psi ) - I _ { ( 1 - 2 ) } [ ( m _ { 2 } \cos \varphi - m _ { 1 } \sin \varphi ) \cos \theta + m _ { 3 } \sin \theta ] \sin \psi \cos \psi ] = 0 , \quad } \\ { \dot { \varphi } \sin \theta = I _ { ( 1 - 2 ) } ( m _ { 1 } \cos \varphi + m _ { 2 } \sin \varphi ) \sin \psi \cos \psi + ( \frac { 1 } { I _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { 1 } { I _ { 2 } } \cos ^ { 2 } \psi ) [ ( m _ { 2 } \cos \varphi - m _ { 1 } \sin \varphi ) \cos \theta + m _ { 3 } \sin \theta ] , \quad } \\ { \dot { \psi } \sin \theta = - [ \dot { \varphi } \sin \theta ] \cos \theta + \frac { 1 } { I _ { 3 } } [ - ( m _ { 2 } \cos \varphi - m _ { 1 } \sin \varphi ) \sin ^ { 2 } \theta + m _ { 3 } \sin \theta \cos \theta ] , \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { x } } & { { } = - \mathrm { i } \hbar \left( - \sin \phi \frac { \partial } { \partial \theta } - \cot \theta \cos \phi \frac { \partial } { \partial \phi } + \csc \theta \cos \phi \frac { \partial } { \partial \chi } \right) , } \\ { J _ { y } } & { { } = - \mathrm { i } \hbar \frac { \partial } { \partial \phi } , } \\ { J _ { z } } & { { } = - \mathrm { i } \hbar \left( - \cos \phi \frac { \partial } { \partial \theta } + \cot \theta \sin \phi \frac { \partial } { \partial \phi } - \csc \theta \sin \phi \frac { \partial } { \partial \chi } \right) , } \end{array}
{ \mathcal { Z } } : = \{ \{ z \in \mathbb { C } \mid a z + { \overline { { a z } } } + b = 0 \ { \mathrm { ( l i n e ) } } \ \} \cup \{ \infty \} \mid \ 0 \neq a \in \mathbb { C } , b \in \mathbb { R } \}
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { g f } } = - { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { t r } \left( F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } \right) = - { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { a \mu \nu } F _ { \mu \nu } ^ { a }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \rho _ { 1 } \otimes \rho _ { 2 } \otimes \cdots \otimes \rho _ { N } ) } & { { } = ( \mathcal { L } ^ { ( 1 ) } ( \rho _ { 1 } ) \otimes \rho _ { 2 } \otimes \cdots \otimes \rho _ { N } ) + ( \rho _ { 1 } \otimes \mathcal { L } ^ { ( 2 ) } ( \rho _ { 2 } ) \otimes \cdots \otimes \rho _ { N } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { \deg } ( \operatorname { g r } ^ { ( n , ( n a , n \alpha ) ) } ( V _ { \bullet } ( D ) ) , \| \cdot \| _ { ( n , ( n a , n \alpha ) ) , D } , \| \cdot \| _ { \eta ^ { ( n , ( n a , n \alpha ) ) } } ) } \\ { = } & { \widehat { \deg } ( \operatorname { g r } ^ { ( n , ( n ( a + t ) , n \alpha ) ) } ( V _ { \bullet } ( D + t E ) ) ) , \| \cdot \| _ { ( n , ( n ( a + t ) , n \alpha ) ) , D + t E } , \| \cdot \| _ { \eta ^ { ( n , ( n ( a + t ) , n \alpha ) ) } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \textbf { I } _ { \{ N 2 i + \} } \circ \mathbb { N } ^ { + } = } & { } & { i \textbf { I } _ { \{ N 2 i + \} } \circ ( i N _ { 1 0 } ^ { i + } + N _ { 1 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i N _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ N 1 i + \} } + N _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } ) } \\ & { } & { + i k _ { e g } ( i \textbf { I } _ { \{ N 2 i + \} } \circ \textbf { N } _ { 2 0 } ^ { i + } + \textbf { I } _ { \{ N 2 i + \} } \circ \textbf { N } _ { 2 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ - i N _ { 2 } ^ { i + } + N _ { 2 } ^ { + } \textbf { I } _ { \{ N 2 i + \} } \circ \textbf { I } _ { \{ N 2 + \} } ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \gamma , \delta \rangle } & { = } & { \hat { \mathcal { R } } _ { 1 } ( \delta ) \hat { \mathcal { R } } _ { 3 } ( \gamma ) | \mathrm { H } \rangle } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \delta / 2 } \cos \alpha } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \delta / 2 } \sin \alpha } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { h } ^ { * } ( s , a ) } & { = r _ { h } ( s , a ) + O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) ) , } \\ { V _ { h } ^ { * } ( s ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } Q _ { h } ^ { * } ( s , a ) , \quad \quad V _ { H + 1 } ^ { * } ( s ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 9 \tilde { \chi } } { 4 } f ( w ) ^ { 2 } + w f ( w ) \left( 1 + \frac { 3 } { 4 } \tilde { \chi } f ^ { \prime } ( w ) \right) - \frac { \tilde { \chi } - 1 5 \tilde { \chi } _ { \perp } } { 4 } f ( w ) + \frac { 1 8 \tilde { \chi } - 2 \tilde { \chi } _ { \perp } - 3 \tilde { \eta } _ { \perp } - \tilde { \eta } _ { l l } } { 1 2 } - \frac { 2 w } { 3 } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { k - 1 } } & { { } = \big ( \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } - \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } \big ) \partial _ { t } d _ { k - 1 } + \sigma \Delta d _ { k - 1 } \nabla d _ { \Gamma } + \big ( \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } - \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } \big ) \frac { \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } + \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } } { 2 } \cdot \nabla d _ { k - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \mathcal { F } , \mathcal { G } \} ( f , { \mathbf A } ) } & { { } = \int f \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta f } , \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta f } \right] _ { x p } \mathrm { d } { \mathbf x } \mathrm { d } { \mathbf p } - \int \frac { 1 } { n } \nabla \times \mathbf { A } \cdot \left( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta { \mathbf A } } \times \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta { \mathbf A } } \right) \mathrm { d } { \mathbf x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L G _ { p \ell } ( r , \phi , 0 ) = } & { \sqrt { \frac { 2 p ! } { \pi ( p + | \ell | ) ! } } \frac { 1 } { \omega _ { 0 } } \left[ \frac { \sqrt { 2 } r } { \omega _ { 0 } } \right] ^ { | \ell | } \exp [ i \ell \phi ] \exp \left[ \frac { - r ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right] L _ { p } ^ { | \ell | } \left( \frac { 2 r ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } | \bar { V } _ { n + 1 } ^ { \lambda } | ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \lambda \gamma ) \mathbb { E } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } - 2 ( 1 - \lambda \gamma ) \lambda \mathbb { E } \langle \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } , h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) \rangle + \lambda ^ { 2 } \mathbb { E } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda \gamma } { \beta } d } \\ & { \leq ( 1 - \lambda \gamma ) \mathbb { E } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda \gamma \mathbb { E } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + 2 \lambda \gamma ^ { - 1 } \mathbb { E } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } \mathbb { E } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda \gamma } { \beta } d } \\ & { \leq ( 1 - \frac { \lambda \gamma } { 2 } ) \mathbb { E } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + 4 \lambda \frac { m ^ { 2 } } { 4 } \bar { C } _ { 2 } + 8 + \lambda ^ { 2 } ( m ^ { 2 } + 4 \gamma \bar { C } _ { 2 } ) + \frac { 2 \lambda \gamma } { \beta } d . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \big [ \| \widehat C _ { \mathbb H } ^ { m , t } - C _ { \mathbb H } ^ { t } \| _ { H S } ^ { 2 } \big ] } & { = \frac 1 m \mathbb E _ { 0 } ( t ) + \frac 2 m \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } d _ { j , t } \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } ( 1 - \frac k m ) q _ { j } ^ { k } } \\ & { = \frac 1 m \left[ \mathbb E _ { 0 } ( t ) + 2 \sum _ { j = 1 } ^ { \nu _ { 0 } - 1 } d _ { j , t } \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } ( 1 - \frac k m ) q _ { j } ^ { k } + 2 \sum _ { j = \nu _ { 0 } } ^ { \infty } d _ { j , t } \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } ( 1 - \frac k m ) q _ { j } ^ { k } \right] . } \end{array}
\rho _ { \bf { k } } ( t ) = \sum _ { c , v } \left| \int _ { \Omega } d ^ { 3 } r \, u _ { v , { \bf k } } ^ { \ast } ( { \bf r } , t ) \, u _ { c , { \bf k } + \frac { e } { \hbar c } { \bf A } ^ { \mathrm { ( t ) } } ( t ) } ^ { \mathrm { G S } } ( { \bf r } ) \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \| \textcircled { 1 } \| _ { 2 } } & { \leq } & { \beta \left\| \int _ { s = 0 } ^ { 1 } \left( J _ { \mu } ( \theta ( s ) ) - J _ { \mu } ^ { k } \right) d s \right\| _ { 2 } \cdot \left\| ( J _ { \mu } ^ { k } ) ^ { \top } \left( J _ { \mu } ^ { k } ( J _ { \mu } ^ { k } ) ^ { \top } \right) ^ { - 1 } \right\| _ { 2 } \cdot \| T Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } } \\ & { \leq } & { \beta \left( \left\| \int _ { s = 0 } ^ { 1 } \left( J _ { \mu } ( \theta ( s ) ) - J _ { \mu } ^ { 0 } \right) d s \right\| _ { 2 } + \left\| \int _ { s = 0 } ^ { 1 } \left( J _ { \mu } ^ { 0 } - J _ { \mu } ^ { k } \right) d s \right\| _ { 2 } \right) \cdot \left\| ( J _ { \mu } ^ { k } ) ^ { \top } \left( J _ { \mu } ^ { k } ( J _ { \mu } ^ { k } ) ^ { \top } \right) ^ { - 1 } \right\| _ { 2 } \cdot \| T Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } } \\ & { \overset { ( i ) } { \leq } } & { \beta \cdot \frac { 2 } { 3 } C \cdot \sqrt { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { k } ) } } \| T Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \leq } } & { \beta C \| T Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } , } \end{array}
{ \cal B } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \; \overline { { { u } } } ( p ) \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) u ( P ) \; \overline { { { u } } } ( k _ { - } ) \gamma _ { \mu } ( g _ { V } - g _ { A } \gamma _ { 5 } ) v ( k _ { + } ) ,
\begin{array} { r l } { I _ { \partial D ( \epsilon ) } = } & { - 2 i \omega \Big ( \frac { 2 } { 3 } \Big ) ^ { 1 / 3 } ( 1 , 1 , 1 ) \bigg ( \frac { m _ { 1 } ^ { P } ( y ) } { t ^ { 1 / 3 } } + \frac { Y m ^ { P } ( y , 0 ) m _ { 1 } ^ { W } ( \tilde { y } ) m ^ { P } ( y , 0 ) ^ { - 1 } Y ^ { - 1 } } { \frac { 2 ^ { 1 / 3 } } { 3 ^ { 1 / 1 2 } } t ^ { 1 / 2 } } } \\ & { - 2 i \Big ( \frac { 2 } { 3 } \Big ) ^ { 1 / 3 } \frac { m _ { 2 } ^ { P } ( y ) } { t ^ { 2 / 3 } } + \frac { \hat { m } _ { 1 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) \ln t } { t ^ { 2 / 3 } } + \frac { \hat { m } _ { 1 } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) } { t ^ { 2 / 3 } } + \frac { Y \hat { m } _ { 2 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) Y ^ { - 1 } \ln t } { t ^ { 5 / 6 } } \bigg ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \frac { \int _ { \partial D ( \epsilon ) } \hat { \mu } _ { 1 } \hat { w } _ { 1 } d k } { t ^ { 2 / 3 } } + O \bigg ( \frac { 1 } { t ^ { 5 / 6 } } \bigg ) . } \end{array}
\hat { U } ( h , \bar { h } ) = { \frac { 1 } { 2 } } h ^ { 1 / 2 } < H > ^ { 1 / 2 } + C _ { 2 } h + { \frac { 1 } { 2 } } \bar { h } ^ { 1 / 2 } < \bar { H } > ^ { 1 / 2 } + \bar { C } _ { 2 } \bar { h } ,
\begin{array} { r l } { \frac { m ^ { \frac { m } { r } } } { n ^ { \frac { m } { r } } } | \Lambda _ { T } ( m , n ) | } & { = m ^ { \frac { m } { r } } \sum _ { \alpha \in \Lambda _ { T } ( m , n ) } | u ^ { \alpha } | \leq \operatorname* { s u p } _ { z \in B _ { \ell _ { r } ^ { n } } } \sum _ { \alpha \in \Lambda _ { T } ( m , n ) } c _ { X _ { n } } ( \alpha ) | z ^ { \alpha } | = \widehat { \boldsymbol { \lambda } } \big ( \mathcal { P } _ { \Lambda _ { T } ( m , n ) } ( \ell _ { r } ^ { n } ) \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { f _ { b } } \\ { e _ { b } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { - 1 \quad } & { 0 } \\ { 0 \quad } & { E ( \cdot ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { \delta \bar { H } } { \delta \phi _ { \partial } } } \\ { \frac { \delta \bar { H } } { \delta \Sigma } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { N } ( \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) = } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 - P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { a } ) } & { \mathrm { i f ~ N = 0 ~ } } \\ { \left\{ \prod _ { k = 1 } ^ { N / 2 } \left[ P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { a } ) P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { b } ) \right] \right\} \left[ 1 - P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { a } ) \right] } & { \mathrm { i f ~ N ~ e v e n } } \\ { \left\{ P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { a } ) \prod _ { k = 1 } ^ { ( N - 1 ) / 2 } \left[ P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { a } ) P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { b } ) \right] \right\} \left[ 1 - P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { b } ) \right] } & { \mathrm { i f ~ N ~ o d d } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { 1 } ^ { ( m ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { 1 } } & { m \leq 0 , } \\ { v _ { 2 } } & { m > 0 , } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad v _ { 2 } ^ { ( m ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { 2 } } & { m \leq 0 , } \\ { v _ { 1 } } & { m > 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
H [ \pi ( x ) , \phi ( x ) ] = \int _ { 0 } ^ { L } d x \left[ \frac { 1 } { 2 } \pi ^ { 2 } ( x ) + \frac { v ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \partial \phi ( x ) } { \partial x } \right) ^ { 2 } \right]
E ^ { ( 0 ) } ( \lambda ) = \frac { 4 L ^ { 2 } \alpha \lambda ^ { 2 } \bigl [ ( 1 0 + 1 8 \lambda ^ { 2 } - 1 8 \lambda ^ { 4 } - 1 0 \lambda ^ { 6 } ) + ( 3 + 2 1 \lambda ^ { 2 } + 2 1 \lambda ^ { 4 } + 3 \lambda ^ { 6 } ) \log ( \lambda ^ { 2 } ) \bigr ] } { 3 ( \lambda ^ { 2 } - 1 ) ^ { 5 } } ,
w _ { r } ^ { + } = w _ { r } ^ { \mathrm { { e q } } } \exp \left( \sum _ { i } { \frac { \alpha _ { r i } ( \mu _ { i } - \mu _ { i } ^ { \mathrm { { e q } } } ) } { R T } } \right) ; \; \; w _ { r } ^ { - } = w _ { r } ^ { \mathrm { { e q } } } \exp \left( \sum _ { i } { \frac { \beta _ { r i } ( \mu _ { i } - \mu _ { i } ^ { \mathrm { { e q } } } ) } { R T } } \right) ;
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ F ( z ^ { ( T ) } ) - F ( z ^ { * } ) + \gamma \| A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \| \Big ] \leq \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { \mathrm { m a x } } + ( \gamma + \| \lambda ^ { 1 } \| ) ^ { 2 } / \rho ^ { 1 } + 2 \gamma U _ { 2 } } { 2 T } } \\ & { + \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 T E \eta ^ { T } } + \frac { 1 } { T E } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { \eta ^ { t } } { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P } \underbrace { \mathbb { E } [ \| f _ { p } ^ { \prime } ( z _ { p } ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } ] } _ { \leq U _ { 1 } ^ { 2 } + \overline { { U } } ( \bar { \epsilon } ) } + \langle \underbrace { \mathbb { E } [ \tilde { \xi } ^ { t , e } ] } _ { = 0 } , z ^ { * } - z ^ { t , e } \rangle \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ( x , t ) } & { { } = } & { f ( x , t ) \cos \varPsi ( x , t ) , \; \; \varPsi = k x - \omega t + \phi ( x , t ) , } \\ { S ^ { x } ( x , t ) } & { { } = } & { \mathcal { S } ^ { x } ( x , t ) \cos \varPsi ( x , t ) + \mathcal { S } ^ { y } ( x , t ) \sin \varPsi ( x , t ) , \; \; \; } \\ { S ^ { y } ( x , t ) } & { { } = } & { \mathcal { S } ^ { y } ( x , t ) \cos \varPsi ( x , t ) - \mathcal { S } ^ { x } ( x , t ) \sin \varPsi ( x , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { T \Big | _ { \partial \Omega } = T _ { w } , \quad u _ { 1 } \Big | _ { \partial \Omega } : = \big ( u _ { 1 , \iota _ { 1 } } , u _ { 1 , \iota _ { 2 } } , u _ { 1 , n } \big ) \Big | _ { \partial \Omega } = \Big ( \beta _ { 0 } \partial _ { \iota _ { 1 } } T _ { w } , \beta _ { 0 } \partial _ { \iota _ { 2 } } T _ { w } , 0 \Big ) . } \end{array}
C _ { n _ { \vec { b } } } ( \varphi _ { \vec { b } } ) = \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \left\{ \frac { \sin ( ( n _ { \vec { b } } + 1 ) \varphi _ { \vec { b } } ) } { \sin \varphi _ { \vec { b } } } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \tilde { U } _ { e } = \int _ { t _ { e } } ^ { \infty } } & { { } \Big [ [ 1 - C ( t ) ] \, e ^ { - t / { \tau _ { e c o n } } } \left[ - \alpha \delta \psi _ { i } ( t ) - \beta ( \psi _ { s , \infty } + \delta \psi _ { s } ) \delta \kappa ^ { 2 } \right] } \end{array}
\hat { Q } ^ { \nu \mu } = \left( \begin{array} { l l } { \hat { Q } ^ { x x } } & { \hat { Q } ^ { x y } } \\ { \hat { Q } ^ { y x } } & { \hat { Q } ^ { y y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \hat { \mathcal { A } } ^ { x } \cdot \hat { \mathcal { A } } ^ { x } } & { 2 \hat { \mathcal { A } } ^ { x } \cdot \hat { \mathcal { A } } ^ { y } } \\ { 2 \hat { \mathcal { A } } ^ { y } \cdot \hat { \mathcal { A } } ^ { x } } & { \hat { \mathcal { A } } ^ { y } \cdot \hat { \mathcal { A } } ^ { y } } \end{array} \right) \mathrm { , }
E _ { n _ { r } , l _ { D } , q } = \pm M c ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { \alpha ^ { 2 } } { \left( \frac 1 2 + \frac 1 2 \sqrt { \left( 2 l _ { D } + 1 \right) ^ { 2 } - 4 \left( q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) } + n _ { r } \right) ^ { 2 } } \right] ^ { - 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { D _ { \vec { n } } ( \boldsymbol { x } ) } & { \sim \frac { 1 } { n ! } \frac { 1 } { \Delta t } \langle ( \boldsymbol { x } ( t + \Delta t ) - \boldsymbol { x } ( t ) ) ^ { n } | \boldsymbol { x } ( t ) = \boldsymbol { x } \rangle } \\ & { \sim \frac { 1 } { n ! } \frac { 1 } { \Delta t } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } ( \boldsymbol { x } _ { i + 1 } - \boldsymbol { x } _ { i } ) ^ { \vec { n } } K ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { i } ) , } \end{array}