harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \bigg ( \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) + 2 \lambda \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) - \frac { f _ { 2 } ( n ) } { \theta ( n ) \alpha _ { n } } \overline { { \zeta } } _ { j } ( s ) \bigg ) \partial _ { x } T _ { f _ { 2 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s + E _ { t } ^ { 2 , n } , } \end{array}
- { \frac { t _ { 1 } } { t _ { 3 } } } = ( E _ { 1 } ^ { ( B = 0 ) } ) ^ { - 2 } = { \frac { 1 } { \xi _ { 1 } } } , \qquad - { \, f r a c { t _ { 2 } } { t _ { 4 } } } = ( E _ { 2 } ^ { ( B = 0 ) } ) ^ { - 2 } = { \frac { 1 } { \xi _ { 2 } } }
\bar { u } _ { 1 } u _ { 2 } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \! \begin{array} { c c } { { \bar { u } _ { n 1 , 1 } u _ { 2 , n 1 } } } & { { \bar { u } _ { n 1 , 1 } u _ { 2 , n 2 } } } \\ { { \bar { u } _ { n 2 , 1 } u _ { 2 , n 1 } } } & { { \bar { u } _ { n 2 , 1 } u _ { 2 , n 2 } } } \end{array} \! \right) \equiv \left( \! \begin{array} { c c } { { U _ { x } } } & { { U _ { y } } } \\ { { U _ { z } } } & { { U _ { t } } } \end{array} \! \right) ,
\begin{array} { r l } { g _ { L } ( \xi ) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { N } } { 2 } \left[ L _ { N } ( 2 \xi - 1 ) - \frac { ( N + 1 ) L _ { N - 1 } ( 2 \xi - 1 ) + N L _ { N + 1 } ( 2 \xi - 1 ) } { 2 N + 1 } \right] } \\ { g _ { R } ( \xi ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ L _ { N } ( 2 \xi - 1 ) + \frac { ( N + 1 ) L _ { N - 1 } ( 2 \xi - 1 ) + N L _ { N + 1 } ( 2 \xi - 1 ) } { 2 N + 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { u } _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad } & { \mathrm { i f ~ } u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ( x ) > 1 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ( x ) < 0 , } \\ { u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ( x ) , } & { \mathrm { e l s e w h e r e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { 4 } ( \mathbf { A } ^ { \top } + \mathbf { V } _ { 2 } \mathbf { B } \mathbf { B } ^ { \top } ) \widetilde { \mathbf { v } } _ { 4 } } \\ & { \quad ~ = - \mathcal { L } _ { 3 } ( \mathbf { N } ^ { \top } ) \mathbf { v } _ { 3 } - \frac { 9 } { 4 } \mathrm { v e c } ( \mathbf { V } _ { 3 } ^ { \top } \mathbf { B } \mathbf { B } ^ { \top } \mathbf { V } _ { 3 } ) . } \end{array}
W _ { i \rightarrow f } = { \frac { { \vert \langle \Phi _ { f } \mid S \mid \Phi _ { i } \rangle \vert } ^ { 2 } } { \langle \Phi _ { f } \mid \Phi _ { f } \rangle \langle \Phi _ { i } \mid \Phi _ { i } \rangle } }
u _ { 2 } ( t , \alpha _ { 2 } ) = 1 + r - ( r - 1 ) \frac { t ^ { \gamma _ { r } } } { \left( t ^ { \gamma _ { r } } + ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } \right) } \frac { ( 1 - t ) ^ { \gamma _ { p } } } { \left( ( 1 - t ) ^ { \gamma _ { p } } + ( ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) ^ { \gamma _ { p } } \right) } - \frac { t ^ { \gamma _ { r } } } { \left( t ^ { \gamma _ { r } } + ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } \right) } - \frac { ( 1 - t ) ^ { \gamma _ { p } } } { \left( ( 1 - t ) ^ { \gamma _ { p } } + ( ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) ^ { \gamma _ { p } } \right) }
\pi = { \cfrac { 4 } { 1 + { \cfrac { 1 ^ { 2 } } { 2 + { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 2 + { \cfrac { 5 ^ { 2 } } { 2 + { \cfrac { 7 ^ { 2 } } { 2 + { \cfrac { 9 ^ { 2 } } { 2 + \ddots } } } } } } } } } } } } = { \cfrac { 4 } { 1 + { \cfrac { 1 ^ { 2 } } { 3 + { \cfrac { 2 ^ { 2 } } { 5 + { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 7 + { \cfrac { 4 ^ { 2 } } { 9 + \ddots } } } } } } } } } } = 3 + { \cfrac { 1 ^ { 2 } } { 6 + { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 6 + { \cfrac { 5 ^ { 2 } } { 6 + { \cfrac { 7 ^ { 2 } } { 6 + { \cfrac { 9 ^ { 2 } } { 6 + \ddots } } } } } } } } } }
\sum _ { l k } \psi ^ { j p , l k } \partial _ { \| } \hat { M } ^ { l k } + \psi _ { B } ^ { j p , l k } ( \partial _ { \| } \ln B ) \hat { M } ^ { l k } = \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { C } } } c ^ { j p , l k } \hat { M } ^ { l k } + \frac { \partial _ { \| } \ln B } { B / B _ { 0 } } \left( g _ { p } ^ { j p } \hat { p } _ { 0 , \psi } + g _ { T } ^ { j p } \hat { T } _ { 0 , \psi } \right) ,
\begin{array} { r l } & { | \phi ( t = 0 ) \rangle _ { I } = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { i \epsilon } { E _ { i } - H _ { 0 } + i \epsilon } | i \rangle + } \\ & { \frac { 1 } { E _ { i } - H _ { 0 } + i \epsilon } V \frac { i \epsilon } { E _ { i } - H + i \epsilon } | i \rangle = } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { i \epsilon } { E _ { i } - H _ { 0 } + i \epsilon } | i \rangle + \frac { 1 } { E _ { i } - H _ { 0 } + i \epsilon } V | \phi ( t = 0 ) \rangle _ { I } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { y ^ { T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T } } \phi _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T } , x ^ { 2 : T } ) \prod _ { t = 1 } ^ { T } F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ^ { y _ { t } } [ 1 - F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { t } } } \\ & { = \sum _ { y ^ { T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T } } \phi _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } ( y _ { 1 } ) \prod _ { t = 1 } ^ { T } F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ^ { y _ { t } } [ 1 - F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { t } } } \\ & { = \sum _ { y _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \phi _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } ( y _ { 1 } ) \sum _ { y ^ { 2 : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T } } \prod _ { t = 1 } ^ { T } F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ^ { y _ { t } } [ 1 - F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { t } } } \\ & { = \sum _ { y _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \phi _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } ( y _ { 1 } ) F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ^ { y _ { 1 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 1 } } } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle E _ { C T } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { N _ { t r } } \sum _ { \alpha } ^ { N _ { t r } } \left( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \nu } ^ { N _ { n } } M _ { \nu } \dot { \mathbf { R } } _ { \nu } ^ { ( \alpha ) 2 } + \sum _ { l } \rho _ { l l } ^ { ( \alpha ) } \epsilon _ { l } ^ { ( \alpha ) } \right) } \end{array}
< \Lambda _ { c } ^ { + } P ^ { - } ( V ^ { - } ) | ( \bar { D } U ) ( \bar { c } b ) | \Lambda _ { b } > = < P ^ { - } ( V ^ { - } ) | ( \bar { D } U ) | 0 > < \Lambda _ { c } ^ { + } | ( \bar { c } b ) | \Lambda _ { b } > . \;
\begin{array} { r } { \frac { \partial r ( \xi ) } { \partial t } = \frac { \Dot { z } } { \sqrt { \Dot { r } ^ { 2 } + \Dot { z } ^ { 2 } } } \cdot \frac { V _ { \mathrm { M } } } { F } \cdot J ( \xi ) \ , } \\ { \frac { \partial z ( \xi ) } { \partial t } = \frac { - \Dot { r } } { \sqrt { \Dot { r } ^ { 2 } + \Dot { z } ^ { 2 } } } \cdot \frac { V _ { \mathrm { M } } } { F } \cdot J ( \xi ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { \Phi } ( \mathbf { x } , z , 0 ) , \, \hat { \mathrm { I } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \bigl [ \hat { \phi } ( \mathbf { x } , z ) + \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left\{ \bigl [ \hat { \phi } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] + \bigl [ \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] \right\} . } \end{array}
\mathbf { E } ( e ) + \frac { 2 } { \xi ^ { 4 } - 1 } [ \mathbf { E } ( e ) - \mathbf { K } ( e ) ] + \frac { 8 } { \pi } \Lambda ^ { 2 } \, \frac { \xi ( 1 - \xi ^ { 4 } ) } { ( \xi ^ { 4 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0
k _ { i j A } = - { \cal Z } _ { , i } ^ { \mu } { \eta } _ { A ; j } ^ { \nu } { \cal G } _ { \mu \nu } , \; \; A _ { i A B } = \eta _ { A , i } ^ { \mu } \eta _ { B } ^ { \nu } { \cal G } _ { \mu \nu } ,
\gamma B _ { \mu \nu } ^ { A } = \partial _ { \mu } C _ { \nu } ^ { A } - \partial _ { \nu } C _ { \mu } ^ { A } , \; \gamma C _ { \mu } ^ { A } = \partial _ { \mu } \rho ^ { A } , \; \gamma \rho ^ { A } = 0 , \; \gamma B _ { A } ^ { * \mu \nu } = 0 , \; \gamma C _ { A } ^ { * \mu } = 0 , \; \gamma \rho _ { A } ^ { * } = 0 .
\Vert \Pi _ { \tau } \left( R ^ { \tau } ( u ^ { \tau } ( t _ { n } ) ) - R ^ { \tau } ( u ^ { \tau } ( t _ { n } ) - e _ { n } ) \right) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b _ { 0 } - 1 } } \lesssim \tau ^ { 1 - \frac { 3 \delta } 2 - ( b _ { 0 } - \frac 1 2 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { 5 } \left\| | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) | ^ { 5 - j } | \Pi _ { \tau } e _ { n } | ^ { j } \right\| _ { l _ { \tau } ^ { \frac { 4 } { 3 } } L ^ { \frac { 4 } { 3 } } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { m _ { e } } { q _ { e } } \sum _ { i } \mu _ { e , i } ( \textbf { u } _ { e } - \textbf { v } _ { i } ) } & { = } & { \frac { 1 } { q _ { e } n _ { e } } \sum _ { i } m _ { i } n _ { i } \mu _ { i , e } ( \textbf { u } _ { e } - \textbf { v } _ { i } ) } \\ & { \equiv } & { \frac { 1 } { q _ { e } n _ { e } } \sum _ { i } m _ { i } n _ { i } \frac { \partial \textbf { v } _ { i } } { \partial t } | _ { i , e } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { r r } ( \tilde { r } _ { 0 } , \tilde { t } ) } & { = - \frac { \tilde { P } _ { \mathrm { i n j } } ( \tilde { t } ) M } { K } , } \\ { \tilde { q } _ { t } ( \tilde { r } _ { 0 } , \tilde { t } ) } & { = \tilde { q } _ { w } ( \tilde { r } _ { 0 } , \tilde { t } ) = \frac { \tilde { Q } R } { \tilde { r } _ { 0 } h } - \frac { c _ { \mathrm { s y s } } V _ { \mathrm { s y s } } M } { 2 \pi r _ { 0 } k h } , } \\ { \tilde { p } ( 1 , \tilde { t } ) } & { = \tilde { u } _ { r } ( 1 , \tilde { t } ) = 0 . } \end{array}
K ( x , y , \beta , T , \rho _ { T } ) : = \frac { e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( V ( x ) + ( W * \rho _ { T } ) ( x ) + U ^ { \prime } ( \rho _ { T } ( x ) ) + \frac { \| x - y \| ^ { 2 } } { 2 T } ) } } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( V ( z ) + ( W * \rho _ { T } ) ( z ) + U ^ { \prime } ( \rho _ { T } ( z ) ) + \frac { \| z - y \| ^ { 2 } } { 2 T } ) } d z } .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \delta T _ { \mathrm { W } } } { \delta \rho ( { \boldsymbol { r } } ) } } } & { = { \frac { \partial t _ { \mathrm { W } } } { \partial \rho } } - \nabla \cdot { \frac { \partial t _ { \mathrm { W } } } { \partial \nabla \rho } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { 8 } } { \frac { \nabla \rho \cdot \nabla \rho } { \rho ^ { 2 } } } - \left( { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { \nabla ^ { 2 } \rho } { \rho } } - { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { \nabla \rho \cdot \nabla \rho } { \rho ^ { 2 } } } \right) \qquad { \mathrm { w h e r e } } \ \ \nabla ^ { 2 } = \nabla \cdot \nabla \ , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathrm { d } \theta _ { t } = \Bigl ( \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta _ { t } ) + \bigl ( D ( \theta _ { t } , \rho _ { t } ) - I \bigr ) \nabla _ { \theta } \log \rho _ { t } ( \theta _ { t } ) - d ( \theta _ { t } , \rho _ { t } ) \Bigr ) \mathrm { d } t + h ( \theta _ { t } , \rho _ { t } ) \mathrm { d } W _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { j , \ell } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } a _ { j - 1 , 1 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ell = 0 } \\ { a _ { j - 1 , 0 } + \frac { 1 } { 2 } a _ { j - 1 , 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ell = 1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( a _ { j - 1 , \ell - 1 } + a _ { j - 1 , \ell + 1 } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 1 < \ell < j } \\ { \frac { 1 } { 2 } a _ { j - 1 , \ell - 1 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ell = j } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 3 } \right) _ { p q } ^ { + } } & { { } = 2 \left[ p \ge b \right] S _ { p p } ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = b } ^ { b + a - 1 } \frac { H _ { i q } / \Delta t _ { q } ^ { 2 } } { \sqrt { S _ { i i } } } } \\ { \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 3 } \right) _ { p q } ^ { - } } & { { } = 2 \left[ p \ge b \right] S _ { p p } ^ { - 3 / 2 } \frac { H _ { p q } } { \Delta t _ { q } ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { H _ { p k } } { \Delta t _ { k } } \sum _ { i = b } ^ { b + a - 1 } \frac { H _ { i k } / \Delta t _ { k } } { \sqrt { S _ { i i } } } , } \end{array}
\mathcal { P } _ { c h } ^ { ( k ) } ( z ) = \int _ { B _ { c h } } \mathrm { d } f \: \mathcal { G } ^ { ( k ) } ( z , f ) = P _ { c h } \: e ^ { - \alpha _ { c h } z } \exp \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { k } \Gamma _ { c h } ^ { ( j ) } ( z ) \right] \: ,
[ X , \mathcal { S } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } ] = \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { 0 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \\ { \eta = ( \eta _ { 1 } , \ldots , \eta _ { \ell } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { \ell } } \\ { | \eta | = m } \end{array} } \, \, \left[ X , \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } A _ { \eta _ { k } } ^ { ( j _ { k } ) } \right] , \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } A _ { \eta } = C ^ { \eta } B ^ { 1 - \eta } , \, \eta \in \{ 0 , 1 \} .
y ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x / 2 0 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 < x < L / 3 } \\ { A ( 1 - \lvert \sin ( x / B ) \rvert ) + C , ~ ~ ~ L / 3 < x < L } \end{array} \right.
X _ { A R } = - \frac { 1 } { \epsilon _ { r } \epsilon _ { 0 } \omega } \frac { 2 d } { A } + \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \omega A } \frac { e ^ { 2 } N _ { s } f _ { 1 2 } n ( T ) } { m ^ { * } } \frac { \omega ^ { * 2 } - \omega ^ { 2 } } { \left( \omega ^ { * 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } } .
T x = \left\{ \begin{array} { r l } { \displaystyle \left( - \frac { \mathrm { d i s t } ( x , \overline { { A } } ) } { 2 } , - \frac { \mathrm { d i s t } ( x , \overline { { A } } ) } { 2 } \right) , } & { x \in A } \\ { \displaystyle \left( 1 + \frac { \mathrm { d i s t } ( x , \overline { { B } } ) } { 2 } , 1 + \frac { \mathrm { d i s t } ( x , \overline { { B } } ) } { 2 } \right) , } & { x \in B . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { ( x c ^ { T } + c ^ { T } x I ) x ^ { T } A ^ { T } A x - c ^ { T } x x x ^ { T } A ^ { T } A } { \| A x \| ^ { 3 } } } \\ { = } & { \frac { ( x c ^ { T } + c ^ { T } x I ) x ^ { T } ( c c ^ { T } + r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) x - c ^ { T } x x x ^ { T } ( c c ^ { T } + r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } { \| A x \| ^ { 3 } } } \\ { = } & { \frac { ( x c ^ { T } + c ^ { T } x I ) x ^ { T } ( c c ^ { T } + r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) x - c ^ { T } x x x ^ { T } ( c c ^ { T } + r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } { \| A x \| ^ { 3 } } } \\ { = } & { \frac { c ^ { T } x x ^ { T } c c ^ { T } x I + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) x c ^ { T } x ^ { T } x + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } x I x ^ { T } x - ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } x x x ^ { T } } { \| A x \| ^ { 3 } } } \\ { = } & { \frac { ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ( \| x \| ^ { 2 } x c ^ { T } - c ^ { T } x x x ^ { T } ) + ( c ^ { T } x x ^ { T } c c ^ { T } x + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } x x ^ { T } x ) I } { \| A x \| ^ { 3 } } } \end{array}
A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 b ) } ( \omega ) = \frac { Z ^ { 2 } } { 6 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } q _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } q _ { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \varphi \; ( \cos \varphi ) ^ { 2 } ( \sin \varphi ) ^ { 2 } } \\ { \times \left( \frac { q _ { 1 } ^ { 2 } } { q _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { q _ { 2 } ^ { 2 } } { q _ { 1 } ^ { 2 } } + 2 x \right) \Biggl [ \theta ( E ) \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { 2 } } { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } E ^ { 2 } } \Bigl ( ( 2 E ) ^ { 2 } \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q _ { 1 } , \sqrt { 2 E } \cos \varphi ) } \\ { \times \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q _ { 2 } , \sqrt { 2 E } \sin \varphi ) \Bigl ) \Biggl ] _ { E = E ( \omega , q _ { 1 } , q _ { 2 } , x ) } . \; \; \; \; \; \; } \end{array}
| H _ { g } ( x , \xi , t ) | \leq \sqrt { \left( 1 - \frac { t _ { 0 } } { t } \right) ^ { - 1 } \frac { x ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } } { 1 - \xi ^ { 2 } } g ( x _ { 1 } ) g ( x _ { 2 } ) } \, .
\mathrm { ~ M ~ S ~ D ~ } ( \tau ) = \left\langle [ x ( t + \tau ) - x ( t ) ] ^ { 2 } \right\rangle = \frac { 2 k _ { \mathrm { B } } T } { \kappa } \left( 1 - e ^ { - \tau / \tau _ { \mathrm { o t } } } \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { a _ { n \ell , x } ^ { 0 E } = } & { } & { - \frac { 1 } { 8 j } \left[ H _ { \ell + 1 } ( k _ { o } R _ { n s } ) e ^ { - j ( \ell + 1 ) \theta _ { n s } } \right. } \\ & { } & { + \left. H _ { \ell - 1 } ( k _ { o } R _ { n s } ) e ^ { - j ( \ell - 1 ) \theta _ { n s } } \right] } \\ { a _ { n \ell , y } ^ { 0 E } = } & { } & { - \frac { 1 } { 8 j } \left[ H _ { \ell + 1 } ( k _ { o } R _ { n s } ) e ^ { - j ( \ell + 1 ) \theta _ { n s } } \right. } \\ & { } & { - \left. H _ { \ell - 1 } ( k _ { o } R _ { n s } ) e ^ { - j ( \ell - 1 ) \theta _ { n s } } \right] } \\ { a _ { n \ell , z } ^ { 0 E } = } & { } & { \frac { 1 } { 4 j } H _ { 0 } ( k _ { o } R _ { n s } ) e ^ { - j \ell \theta _ { n s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { q } { \phi ( q ) } = } & { \prod _ { p \mid q } \left( 1 - \frac { 1 } { p } \right) ^ { - 1 } } \\ { = } & { \exp \left\{ - \sum _ { p \mid q } \log \left( 1 - \frac { 1 } { p } \right) \right\} } \\ { \leq } & { \exp \left\{ \sum _ { p \mid q } \left( \frac { 1 } { p } + \frac { \frac { 1 } { p ^ { 2 } } } { 1 - \frac { 1 } { p } } \right) \right\} } \\ { \leq } & { \exp \left\{ \sum _ { p \mid q } \frac { 1 } { p } + 1 \right\} . } \end{array}
G _ { \gamma } ^ { t } \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 1 } } \end{array} \begin{array} { c c } { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) G _ { \gamma } - \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 1 } } \end{array} \begin{array} { c c } { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) = 2 \left( \begin{array} { c } { { a _ { 1 1 } a _ { 2 1 } } } \\ { { a _ { 1 2 } a _ { 2 1 } } } \end{array} \begin{array} { c c } { { a _ { 1 2 } a _ { 2 1 } } } \\ { { a _ { 1 2 } a _ { 2 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { L _ { Y _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } = y _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } , x _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } , z _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } } ( \theta ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \exp \left[ - \frac { \left( h _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ( x _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } , \theta , z _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } ) - y _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ( x _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } , z _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } ) \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\sigma ^ { [ k ] } ( \eta , m ^ { 2 } ) = \int _ { 1 - 4 ( 1 + \eta ) + 4 \sqrt { 1 + \eta } } ^ { 1 } d z H ^ { [ k ] } ( z , \alpha ) \sigma _ { i j } ^ { \prime } ( \eta , z , m ^ { 2 } ) \ .
\widehat { R } _ { ( S , X ) } \left( \widehat { \beta } ^ { S } ; \beta \right) = \frac { 1 } { 5 0 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { 5 0 0 } \left\{ \frac { 1 } { n _ { \mathrm { n e w } } } \sum _ { r = 1 } ^ { n _ { \mathrm { n e w } } } \left( x _ { \mathrm { n e w } , r } ^ { \top } \widehat { \beta } ( k ) ^ { S _ { \widehat m ( k ) } } - x _ { \mathrm { n e w } , r } ^ { \top } \beta ( k ) \right) ^ { 2 } \right\} .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \gamma _ { i j } } & { = - 2 \alpha K _ { i j } + \mathcal { L } _ { \beta } \gamma _ { i j } } \\ { \partial _ { t } K _ { i j } } & { = - D _ { i } D _ { j } \alpha + \alpha \left[ R _ { i j } + K K _ { i j } - 2 K _ { i k } K _ { j } ^ { k } + 2 \hat { D } _ { ( i } Z _ { j ) } \right. } \\ & { \, \left. \phantom { \hat { D } } - \kappa _ { 1 } ( 1 + \kappa _ { 2 } ) \Theta \gamma _ { i j } \right] + 4 \pi \alpha \left[ \gamma _ { i j } ( S - \rho _ { \mathrm { A D M } } ) - 2 S _ { i j } \right] + \mathcal { L } _ { \beta } K _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \cos ( 2 \theta _ { 0 } ) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } y _ { i } \right) - \sin ( 2 \theta _ { 0 } ) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { x _ { i } ^ { 2 } - y _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \right) = 0 } \\ { \cos ( 2 \theta _ { 0 } ) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { x _ { i } ^ { 2 } - y _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \right) + \sin ( 2 \theta _ { 0 } ) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } y _ { i } \right) \geq 0 . } \end{array}
\overline { { \varepsilon } } _ { \gamma } = \int _ { 0 } ^ { \eta } \mathrm { d } \eta { \bf F } _ { \mathrm { r a d } } \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } \eta } \simeq M _ { 2 } \tau \gamma _ { e } ^ { 2 } \xi ^ { 2 }
f = a _ { x } \Omega ^ { 2 } = \pm | a | \left( \lambda - \left( \frac { \nu _ { _ { S C } } + \xi _ { S C } } { 4 } \right) | a | ^ { 2 } - \left( \frac { 3 \nu _ { _ { S C } } - \xi _ { S C } } { 4 } \right) | b | ^ { 2 } \right) \frac { 1 } { \mu _ { _ { S C } } } ,
\begin{array} { l } { { \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } e ^ { - \lambda _ { g } \left( t _ { n + 1 } - s \right) } \left[ \begin{array} { l } { { \frac { c L _ { a } ^ { \varepsilon } \sigma _ { e , g } } { \varepsilon } \phi _ { g } \left( s , - \frac { \mu ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t _ { n + 1 } - s \right) , - \frac { \xi ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t _ { n + 1 } - s \right) \right) } } \\ { { + \frac { c L _ { s } ^ { \varepsilon } \sigma _ { s , g } } { \varepsilon } \frac { \rho _ { g } } { \mathrm { 2 } \pi } \left( s , - \frac { \mu ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t _ { n + 1 } - s \right) , - \frac { \xi ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t _ { n + 1 } - s \right) \right) } } \end{array} \right] d s } } \\ { { = \frac { 1 } { \lambda _ { g } } \left( 1 - e ^ { - \lambda _ { g } \Delta t } \right) \left[ \frac { c L _ { a } ^ { \varepsilon } \sigma _ { e , g } } { \varepsilon } \phi _ { j , g } ^ { n + 1 } + \frac { c L _ { s } ^ { \varepsilon } \sigma _ { s , g } } { \varepsilon } \frac { \rho _ { j , g } ^ { n + 1 } } { \mathrm { 2 } \pi } \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } ( \boldsymbol { v } \otimes \boldsymbol { v } ) : \nabla \boldsymbol { v } d x } & { = \int _ { \Omega } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \boldsymbol { v } _ { i } \boldsymbol { v } _ { j } \partial _ { i } \boldsymbol { v } _ { j } d x = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \boldsymbol { v } _ { i } \partial _ { i } \left\lvert \boldsymbol { v _ { j } } \right\rvert ^ { 2 } d x , } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( - \int _ { \Omega } \mathrm { d i v } \boldsymbol { v } \left\lvert \boldsymbol { v } \right\rvert ^ { 2 } d x + \int _ { \partial \Omega } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } \left\lvert \boldsymbol { v } \right\rvert ^ { 2 } d S \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { N ^ { * } = \arg \operatorname* { m a x } _ { N } \; \left| \operatorname* { m a x } \left[ { E ( \theta ) } \right] - \operatorname* { m a x } \left[ \frac { N ( N \theta ) ^ { N - 1 } } { ( N - 1 ) ! } e ^ { - N \theta } \right] \right| . } \end{array}