harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S F ^ { 2 } ( \ell ^ { \ast } , \theta _ { B V } ) = \frac { ( d _ { i } / V _ { S W } ) } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } | \frac { \boldsymbol { \omega } ( t _ { n } , \ell , \theta _ { B V } ) } { \sqrt { \tau } } | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { | | } & { \lesssim \varepsilon ( \| ( F _ { + } ^ { \varepsilon } ) ^ { ( m _ { 0 } + \frac { 5 } { 2 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } \| G ^ { ( m _ { 0 } - \frac { 3 } { 2 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } H _ { v } ^ { 1 } } + \| ( F _ { + } ^ { \varepsilon } ) ^ { ( m _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } H _ { v } ^ { 1 } } \| G ^ { ( m _ { 0 } - \frac { 3 } { 2 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } H _ { v } ^ { 1 } } ) } \\ & { \lesssim \varepsilon \langle \| F _ { + } ^ { \varepsilon } \| _ { \mathfrak D } \rangle ( \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } + \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { v } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { t _ { \mathrm { n l } } ^ { - 1 } \frac { \delta \bar { T } _ { e } ^ { 2 } } { T _ { 0 e } ^ { 2 } } \sim \varepsilon = \mathrm { c o n s t } \quad \Rightarrow \quad \bar { \varphi } \frac { \delta \bar { T } _ { e } ^ { 2 } } { T _ { 0 e } ^ { 2 } } \sim \frac { \varepsilon } { \Omega _ { e } } ( k _ { \perp } \rho _ { e } ) ^ { - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \boldsymbol { \hat { e } } _ { + } \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , + ) } \right) } & { = \mathcal { D } _ { ( \alpha , + ) } ^ { - } \, \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , + ) } } \\ { \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \boldsymbol { \hat { e } } _ { - } \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , - ) } \right) } & { = \mathcal { D } _ { ( \alpha , - ) } ^ { + } \, \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , - ) } } \\ { \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \boldsymbol { \hat { e } } _ { 0 } \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } \right) } & { = \mathcal { D } _ { ( \alpha , 0 ) } ^ { 0 } \, \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { r } ^ { H } R } & { = \hat { r } ^ { H } \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \vert } & & { \vert } & { \vert } & { \vert } & & { \vert } \\ { r _ { 1 } } & { \dots } & { r _ { j - 1 } } & { r _ { j } } & { r _ { j + 1 } } & { \dots } & { r _ { m } } \\ { \vert } & & { \vert } & { \vert } & { \vert } & & { \vert } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } & { \alpha } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \end{array} \right] } \\ & { = \alpha e _ { j } ^ { \top } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { b } ( t ) = } & { q _ { b 0 } + \left( \frac { p _ { b 0 } } { v _ { 0 } } + 2 \alpha k _ { 1 } \right) \frac { t \left( u _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } \right) + u _ { 0 } x _ { 0 } - u ( t ) x ( t ) } { v _ { 0 } ( \alpha + 1 ) } } \\ & { - \frac { k _ { 2 } } { v _ { 0 } } \left( u ( t ) ^ { 2 } - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) - k _ { 3 } \frac { u _ { 0 } x _ { 0 } - \alpha t \left( u _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } \right) + ( \alpha + 1 ) t u ( t ) ^ { 2 } - u ( t ) x ( t ) } { v _ { 0 } ( \alpha + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ^ { ( i ) } \left( \rho _ { i } ^ { \prime } , r _ { i } ^ { \prime } \right) } & { \underset { r _ { i } ^ { \prime } \to 0 } { = } } & { C ^ { ( i ) } \frac { \sqrt { 2 } \left[ 1 - i \cot \left( D \pi / 2 \right) \operatorname { t a n h } \left( s _ { 0 } \pi / 2 \right) \right] } { \Gamma \left( 2 - D / 2 \right) } } \\ & { \times } & { \ { r _ { i } ^ { \prime } } ^ { 2 - D } \frac { K _ { i s _ { 0 } } \left( \sqrt { 2 } \kappa _ { 0 } \rho _ { i } ^ { \prime } \right) } { \rho _ { i } ^ { \prime } } , } \end{array}
M ^ { 2 } \phi = \left[ M _ { T } ^ { 2 } + \frac { r } { r _ { 0 } ^ { \prime } } p _ { 9 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { r _ { 0 } ^ { \prime } r } \partial _ { r } r ^ { 2 } \partial _ { r } + \frac { 1 } { r _ { 0 } ^ { \prime } r } L ( L + 1 ) \right] \phi .
\begin{array} { r } { \Phi ( \omega ) \leq \sum _ { i } \left[ \frac { 1 } { 2 \pi } \Theta ( \zeta _ { A } \zeta _ { B } g _ { i } ^ { 2 } - 1 ) + \frac { 2 } { \pi } \frac { \zeta _ { A } \zeta _ { B } g _ { i } ^ { 2 } } { ( 1 + \zeta _ { A } \zeta _ { B } g _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \Theta ( 1 - \zeta _ { A } \zeta _ { B } g _ { i } ^ { 2 } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { i } ^ { l a t } = } & { - \frac { b _ { l a t } ^ { 2 } \overline { { \triangle } } _ { r } ^ { 2 } } { 2 r _ { i } ^ { 2 } } + 2 a _ { l a t } b _ { l a t } \log \frac { r _ { i } } { \overline { { \triangle } } _ { r } M } + \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { l a t } ^ { 2 } + \frac { b _ { l a t } A _ { l a t } } { 4 } \right) \frac { r _ { i } ^ { 2 } } { \overline { { \triangle } } _ { r } ^ { 2 } } + } \\ & { + \frac { a _ { l a t } A _ { l a t } } { 1 6 } \frac { r _ { i } ^ { 4 } } { \overline { { \triangle } } _ { r } ^ { 4 } } + \frac { A _ { l a t } ^ { 2 } } { 3 8 4 } \frac { r _ { i } ^ { 6 } } { \overline { { \triangle } } _ { r } ^ { 6 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { ( G _ { 2 } ^ { \otimes m + 1 } ) ^ { \prime } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = \epsilon \right) } & { = Z \left[ W ( U _ { i } ) | Z ( W ( X _ { j } ) ) = \epsilon ^ { 2 } , \mathrm { ~ f o r ~ } f ( m ) + 1 \leqslant j \leqslant 2 f ( m ) \right] } \\ { = Z _ { ( G _ { 2 } ^ { \otimes m } ) ^ { \prime } } \left( U _ { i - f ( m ) } \, | \, Z ( W ) = \epsilon ^ { 2 } \right) } & { \leqslant Z _ { G _ { 2 } ^ { \otimes m } } \left( U _ { i - f ( m ) } \, | \, Z ( W ) = \epsilon ^ { 2 } \right) = Z _ { G _ { 2 } ^ { \otimes m + 1 } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = \epsilon \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \cos { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 1 } ) \sin { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { 1 2 } } & { = \sin { \frac { 1 } { 2 } } ( \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } ) \cos { \frac { 1 } { 2 } } \lambda _ { 1 2 } , } \\ { \sin { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 1 } ) \sin { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { 1 2 } } & { = \cos { \frac { 1 } { 2 } } ( \phi _ { 2 } + \phi _ { 1 } ) \sin { \frac { 1 } { 2 } } \lambda _ { 1 2 } , } \\ { \cos { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } ) \cos { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { 1 2 } } & { = \cos { \frac { 1 } { 2 } } ( \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } ) \cos { \frac { 1 } { 2 } } \lambda _ { 1 2 } , } \\ { \sin { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } ) \cos { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { 1 2 } } & { = \sin { \frac { 1 } { 2 } } ( \phi _ { 2 } + \phi _ { 1 } ) \sin { \frac { 1 } { 2 } } \lambda _ { 1 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbb E \left[ \int _ { 0 } ^ { t ^ { * } } \| f \| _ { q } ^ { p } d s \right] \leq C t ^ { * } \mathbb E \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ^ { * } ] } \| W \| _ { p } ^ { p } \right] , \quad \mathbb E \left[ \int _ { 0 } ^ { t ^ { * } } \| g \| _ { \mathbb L ^ { p } } ^ { p } d s \right] \leq C t ^ { * } \mathbb E \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ^ { * } ] } \| W \| _ { p } ^ { p } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { | A \rangle = \sum _ { m _ { 1 } m _ { 2 } . . . m _ { M } } \sum _ { n _ { 1 } n _ { 2 } . . . n _ { N } } a _ { m _ { 1 } m _ { 2 } . . . m _ { M } n _ { 1 } n _ { 2 } . . . n _ { N } } | 1 1 . . . 1 m _ { 1 } m _ { 2 } . . . m _ { M } n _ { 1 } n _ { 2 } . . . n _ { N } 0 0 . . . 0 \rangle } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { n ! \, \Gamma \left( \alpha + 1 \right) } { \Gamma \left( n + \alpha + 1 \right) } } L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( x ) L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( y ) t ^ { n } = { \frac { 1 } { ( 1 - t ) ^ { \alpha + 1 } } } e ^ { - ( x + y ) t / ( 1 - t ) } \, _ { 0 } F _ { 1 } \left( ; \alpha + 1 ; { \frac { x y t } { ( 1 - t ) ^ { 2 } } } \right) ,
{ \mathcal { M } } = - { \frac { 1 } { \sqrt { Z } } } \int \! \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { 1 } \partial _ { 0 } { \big ( } \mathrm { e } ^ { i p _ { 1 } \cdot x _ { 1 } } \langle \beta \ \mathrm { o u t } | { \bar { \Psi } } ( x _ { 1 } ) \gamma ^ { 0 } u _ { { \textbf { p } } _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } | \alpha ^ { \prime } \ \mathrm { i n } \rangle { \big ) }
{ \begin{array} { r l } { L ( f ) } & { = \int _ { a } ^ { b } { \Big | } f ^ { \prime } ( t ) { \Big | } \ d t = \int _ { a } ^ { b } { \Big | } g ^ { \prime } ( \varphi ( t ) ) \varphi ^ { \prime } ( t ) { \Big | } \ d t } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } { \Big | } g ^ { \prime } ( \varphi ( t ) ) { \Big | } \varphi ^ { \prime } ( t ) \ d t \quad { \mathrm { i n ~ t h e ~ c a s e ~ } } \varphi { \mathrm { ~ i s ~ n o n - d e c r e a s i n g } } } \\ & { = \int _ { c } ^ { d } { \Big | } g ^ { \prime } ( u ) { \Big | } \ d u \quad { \mathrm { u s i n g ~ i n t e g r a t i o n ~ b y ~ s u b s t i t u t i o n } } } \\ & { = L ( g ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\langle \omega ( \vec { 0 } ) ^ { 2 n } \right\rangle = \frac { 1 } { 4 ^ { n } ( t + t _ { 0 } ) ^ { 2 n } } \sum _ { 0 \le m _ { 1 } < \dots m _ { 2 n } < N } \left\langle \omega _ { m _ { 1 } } \dots \omega _ { m _ { 2 n } } \right\rangle _ { \mathbb { E } ( N ) } ; } \\ & { } & { \omega _ { k } = \frac { \imath \sigma _ { k } } { 2 } \cot \left( \frac { \beta } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { F a c e t } _ { \eta } : = S ^ { 1 } \times \triangle \cup _ { S ^ { 1 } \times e _ { \eta } } ( \mathring { F } _ { \eta } \times e _ { \eta } ) \cup _ { S ^ { 1 } \times e _ { \theta _ { 1 } } } ( D ^ { 2 } \times e _ { \theta _ { 1 } } ) \cup _ { S ^ { 1 } \times e _ { \theta _ { 2 } } } ( D ^ { 2 } \times e _ { \theta _ { 2 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \bf { T M } } \sum _ { n } \| { \bf { I } } _ { n } - \left| { \bf { T M } } e ^ { j { \mathbf { \theta } } _ { n } } \right| ^ { 2 } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
d s _ { E } ^ { 2 } = \left[ U ^ { 2 } \left( f ( U ) d t ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } d x _ { i } d x _ { i } \right) + \frac { f ( U ) ^ { - 1 } } { U ^ { 2 } } d U ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r } { I _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , I _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , I _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
0 . 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 \ldots \; = \; { \frac { a } { 1 - r } } \; = \; { \frac { 1 2 3 4 / 1 0 0 0 0 } { 1 - 1 / 1 0 0 0 0 } } \; = \; { \frac { 1 2 3 4 / 1 0 0 0 0 } { 9 9 9 9 / 1 0 0 0 0 } } \; = \; { \frac { 1 2 3 4 } { 9 9 9 9 } } .
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ p ~ l ~ u ~ s ~ } } } & { { } = \mu _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ p ~ l ~ y ~ } } - \mu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ m ~ a ~ n ~ d ~ } } , } \\ { \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ p ~ l ~ u ~ s ~ } } ^ { 2 } } & { { } = \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ p ~ l ~ y ~ } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ m ~ a ~ n ~ d ~ } } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( \mathbb { X } \mid { \boldsymbol { \alpha } } ) } & { = \int _ { \mathbf { p } } p ( \mathbb { X } \mid \mathbf { p } ) p ( \mathbf { p } \mid { \boldsymbol { \alpha } } ) { \textrm { d } } \mathbf { p } } \\ & { = { \frac { \Gamma \left( \sum _ { k } \alpha _ { k } \right) } { \Gamma \left( N + \sum _ { k } \alpha _ { k } \right) } } \prod _ { k = 1 } ^ { K } { \frac { \Gamma ( c _ { k } + \alpha _ { k } ) } { \Gamma ( \alpha _ { k } ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { F ^ { 2 } } & { { } = } & { \left[ { \cal R } { \cal L } - \left( 1 + \frac { d _ { 1 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 } ^ { 2 } \right) { \cal S } { \cal P } \right] ^ { 2 } \sin ^ { 4 } \theta + 4 \left[ 1 - \chi ( \theta ) \right] { \cal S } ^ { 2 } { \cal P } ^ { 2 } + 4 \left[ 1 - \chi ( \theta ) \right] { \cal S } { \cal P } { \cal R } { \cal L } \sin ^ { 2 } \theta } \end{array}
\begin{array} { r } { V ^ { i n i t } ( { s } _ { 0 } , \bar { s } ) = \operatorname* { l i m i n f } _ { R \rightarrow \infty } \operatorname* { i n f } _ { \tilde { s } \in C ^ { 1 } ( [ 0 , R ] ) } \Big \{ \int _ { 0 } ^ { R } \Big ( \mathcal { W } _ { \beta } \big ( \tilde { s } ( t ) \big ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Psi \big ( \tilde { s } ( t ) , \tilde { s } ^ { \prime } ( t ) \big ) \Big ) d t ; \tilde { s } ( 0 ) = { s } _ { 0 } , \tilde { s } ( R ) = \bar { s } \Big \} - \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi ( s _ { 0 } ) . } \end{array}
H _ { i \leftarrow \tau } ( z ) = \sum _ { \kappa = 0 } ^ { | \tau | - 1 } P ( \kappa ) \sum _ { a _ { \kappa } \in A _ { \kappa } } \sum _ { s _ { \tau } = 0 } ^ { \infty } z ^ { s _ { \tau } } \pi _ { i \leftarrow \tau } ( s _ { \tau } \mid a _ { \kappa } ) ,
\hat { T } _ { i j } \approx \bar { \rho } \bar { u } _ { i } \hat { u } _ { j } ^ { t } + \bar { \rho } \hat { u } _ { i } ^ { t } \bar { u } _ { j } + \hat { \rho } ^ { t } \bar { u } _ { i } \bar { u } _ { j }
\begin{array} { r l } { \frac { ( B ^ { z } ) ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \left( ( E ^ { y } ) ^ { n } \mathscr D _ { x } - ( E ^ { x } ) ^ { n } \mathscr D _ { y } \right) } \\ { \frac { ( E ^ { x } ) ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = ( B ^ { z } ) ^ { n + 1 } \mathscr D _ { y } ^ { \prime } } \\ { \frac { ( E ^ { y } ) ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = - ( B ^ { z } ) ^ { n + 1 } \mathscr D _ { x } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { 3 } ( f ) } & { = \left[ \frac { A - c } { 2 B } \left| \log \left( \frac { A + c } { A - c } \right) \right| ^ { 3 } + \frac { A + c } { 2 B } \left| \log \left( \frac { A - c } { A + c } \right) \right| ^ { 3 } \right] } \\ & { = \frac { A } { B } \left| \log \left( \frac { A + c } { A - c } \right) \right| ^ { 3 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { X ^ { k + 1 } = } & { \frac { 1 } { 1 + \tau } \mathsf { P r o j } _ { + } \left( X ^ { k } + \tau C - \tau \left( y _ { 1 } ^ { k } \mathbf { e } _ { n } ^ { \mathsf { T } } + \mathbf { e } _ { n } ( y _ { 2 } ^ { k } ) ^ { \mathsf { T } } \right) \right) , } \\ { a ^ { k + 1 } = } & { \mathbf { e } _ { n } ^ { \mathsf { T } } ( 2 X ^ { k + 1 } - X ^ { k } ) \mathbf { e } _ { n } + n + \theta , } \\ { y ^ { k + 1 } = } & { y ^ { k } + \frac { 1 } { \gamma \tau ( n + \theta ) } \left( \begin{array} { l } { ( 2 X ^ { k + 1 } - X ^ { k } ) \mathbf { e } _ { n } } \\ { ( 2 X ^ { k + 1 } - X ^ { k } ) ^ { \mathsf { T } } \mathbf { e } _ { n } } \end{array} \right) - \frac { a ^ { k + 1 } } { \gamma \tau ( n + \theta ) ( 2 n + \theta ) } \mathbf { e } _ { 2 n } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { S } } _ { \mathrm { o n } } ^ { 1 } } & { = } & { S _ { \mathrm { o n } } \left( t , x , q _ { \mathrm { o n } } , \rho , R _ { \mathrm { o n } } \right) - S _ { \mathrm { o n } } \left( t , x , q _ { \mathrm { o n } } , \rho , \tilde { R } _ { \mathrm { o n } } \right) , } \\ { \tilde { \mathcal { S } } _ { \mathrm { o n } } ^ { 2 } } & { = } & { S _ { \mathrm { o n } } \left( t , x , q _ { \mathrm { o n } } , \rho , \tilde { R } _ { \mathrm { o n } } \right) - S _ { \mathrm { o n } } \left( t , x , q _ { \mathrm { o n } } , \tilde { \rho } , \tilde { R } _ { \mathrm { o n } } \right) , } \\ { \tilde { \mathcal { S } } _ { \mathrm { o n } } ^ { 3 } } & { = } & { S _ { \mathrm { o n } } \left( t , x , q _ { \mathrm { o n } } , \tilde { \rho } , \tilde { R } _ { \mathrm { o n } } \right) - S _ { \mathrm { o n } } \left( t , x , \tilde { q } _ { \mathrm { o n } } , \tilde { \rho } , \tilde { R } _ { \mathrm { o n } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { v } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } = v _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } + 2 v _ { j j } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } \delta _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } / \tilde { \eta } _ { B } + 2 v _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { i i } \delta _ { t _ { 1 } t _ { 2 } } / \tilde { \eta } _ { A } + 4 v _ { j j } ^ { i i } \delta _ { t _ { 1 } t _ { 2 } } \delta _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } / ( \tilde { \eta } _ { A } \tilde { \eta } _ { B } ) , } \end{array}
S _ { q , \, o f f } \ll \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { 0 } } \sum _ { q _ { 1 } \in \Phi _ { 1 } } \sum _ { q _ { 1 } ^ { \prime } \in \Phi _ { 1 } ^ { \prime } } \frac { 1 } { M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \Big | \sum _ { Q _ { 2 } \leq r \ll \frac { M _ { 0 } } { Q _ { 1 } } } \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r ) \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } ^ { \prime } r ) \Big | .
\sigma _ { \eta } ^ { 2 } = \left\langle \sigma _ { \delta _ { n } | \epsilon _ { n } } ^ { 2 } \right\rangle \approx \left\langle \left( \left. \frac { \partial \bar { x } _ { n } } { \partial \delta } \right| _ { \delta = 0 } \right) ^ { - 2 } \sigma _ { x _ { n } | \epsilon _ { n } } ^ { 2 } \right\rangle = \frac { \left\langle \sigma _ { x _ { n } | \epsilon _ { n } } ^ { 2 } \right\rangle } { c _ { 2 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } ( x _ { 1 } ( i _ { 1 } + 1 , i _ { 2 } ) ) + V _ { 2 } ( x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } + 1 ) ) } & { \leq V _ { 1 } ( x _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) + V _ { 2 } ( x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) + s ( u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) , y ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) + s ^ { w } ( z ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) , w ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { p } \in \tilde { H } ^ { s } ( \Omega ) : \quad \mathcal { A } ( v , \mathfrak { p } ) + ( q _ { h } \mathfrak { p } , v ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = ( u _ { h } - u _ { \Omega } , v ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \quad \forall v \in \tilde { H } ^ { s } ( \Omega ) . } \\ { p _ { h } \in \mathbb { V } _ { h } : \quad \mathcal { A } ( v _ { h } , p _ { h } ) + ( q _ { h } p _ { h } , v _ { h } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = ( u _ { h } - u _ { \Omega } , v _ { h } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \quad \forall v _ { h } \in \mathbb { V } _ { h } . } \end{array}
\mathrm { W e } _ { \ell } = \frac { 8 \pi ( d R k _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 3 } \Big ( \frac { d R } { R _ { 0 } } \Big ) ^ { 2 } \frac { ( ( \ell + 2 ) ! ) ^ { 2 } } { ( 2 \ell + 1 ) ! } \Big [ 1 - \frac { 1 } { ( 1 + e ^ { R _ { 0 } / d R } ) ^ { 2 } } \Big ] ^ { - 1 } \Big [ \frac { ( F _ { \ell + 1 } ( R _ { 0 } / d R ) ) ^ { 2 } } { F _ { 2 \ell } ( R _ { 0 } / d R ) } \Big ]
\begin{array} { r l } { \frac { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } } & { = \frac { S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { e n d } } S _ { 2 } ( t , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t , m ) d t + S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) \big ( S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) \big ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) d t } { S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) - S _ { 3 } ( t , m ) d t } } \\ & { = \frac { \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { e n d } } S _ { 2 } ( t , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t , m ) d t } { S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) - S _ { 3 } ( t , m ) d t } + \frac { \big ( S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) \big ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) d t } { S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) - S _ { 3 } ( t , m ) d t } } \end{array}
M ( \nu ) = \mathrm { d i a g } ( \epsilon , 1 , 1 ) R ( \nu ) \mathrm { d i a g } ( m _ { 1 } , - m _ { 2 } , m _ { 3 } ) R ^ { \mathrm { T } } ( \nu ) \mathrm { d i a g } ( \epsilon ^ { * } , 1 , 1 ) ,
\dot { r } ^ { 2 } \; - \; ( 1 - H ^ { 2 } r ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { E ^ { 2 } } \; ( 1 - H ^ { 2 } r ^ { 2 } ) ^ { 3 } ( \mu + \frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 r ^ { 2 } } ) ^ { 2 } = 0 ,
\begin{array} { r } { \mathcal { V } { \, \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \, } \mathcal { W } \times \mathrm { i n t } ( B _ { \mathcal { N } } ^ { \perp } ( r + 1 ) ) \times \mathrm { i n t } ( B _ { \mathcal { N } } ^ { \perp } ( \delta ) ) \ \ \ \mathrm { ~ a n d ~ } \ \ \ \mathcal { U } { \, \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \, } \bar { \Phi } ( \mathcal { V } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S O ( 6 , 1 ) } & { { } \rightarrow } & { S O ( 3 ) _ { s p i n } \times S O ( 3 ) _ { i s o s p i n } } \\ { 7 } & { { } \rightarrow } & { ( 1 , 1 ) + ( 1 , 3 ) + ( 3 , 1 ) } \end{array}
f _ { T T T } = \frac { 9 6 i } { \pi } \frac { ( \Phi _ { T } ( T ) ) ^ { 2 } } { \Phi ( T ) ( \Phi ( T ) - \Phi ( \frac { i } { \sqrt { 2 } } ) ) } \frac { \Phi ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( U ) } { \Phi _ { U } ( U ) } \frac { { ( \Phi ( U ) - \Phi ( \frac { i } { \sqrt { 2 } } ) ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { ( \Phi ( U ) - \Phi ( T ) ) } .
\begin{array} { r l } { | R _ { n } ^ { n } | } & { \le \int _ { t _ { n - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } } \widetilde { \Pi } _ { 1 , n } \omega _ { 2 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t ) | v ^ { \prime \prime } ( t ) | d t } \\ & { \le a _ { 0 } ^ { ( n ) } \int _ { t _ { n - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } } ( t - t _ { n - \frac { 3 } { 2 } } ) | v ^ { \prime \prime } ( t ) | d t = a _ { 0 } ^ { ( n ) } G ^ { n } , ~ ~ n \ge 1 . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \mathbf { y } } \\ { \mathbf { f _ { * } } } \end{array} \right] \sim \mathcal { N } \bigg ( 0 , \left[ \begin{array} { l l } { K ( X , X ) + \sigma _ { y } ^ { 2 } I } & { K ( X , X _ { * } ) \: } \\ { K ( X _ { * } , X ) \phantom { + \: \: \sigma { y } ^ { 2 } } } & { K ( X _ { * } , X _ { * } ) } \end{array} \right] \bigg ) ,
\begin{array} { r } { d \Psi _ { 0 } ^ { I } \left( x \right) = \sum _ { x ^ { \prime } } \sum _ { \mu } \sum _ { i } \frac { \partial \Psi _ { 0 } ^ { I } \left( x \right) } { \partial A _ { \mu } ^ { i } \left( x ^ { \prime } \right) } d A _ { \mu } ^ { i } \left( x ^ { \prime } \right) + \sum _ { x ^ { \prime } } \sum _ { \mu } \sum _ { \nu } \frac { \partial \Psi _ { 0 } ^ { I } \left( x \right) } { \partial g _ { \mu \nu } \left( x ^ { \prime } \right) } d g _ { \mu \nu } \left( x ^ { \prime } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { f } } { \rho _ { p } ^ { 2 } } } & { \approx } & { \epsilon _ { f } ^ { D T } \, \frac { n _ { D } \, n _ { T } } { m _ { p } ^ { 2 } \, n _ { p } ^ { 2 } } \, u _ { D T } \, \sigma _ { R 0 } ^ { D T } + \epsilon _ { f } ^ { p B } \, \frac { n _ { p } \, n _ { B } } { m _ { p } ^ { 2 } \, n _ { p } ^ { 2 } } \, u _ { p B } \, \sigma _ { R 0 } ^ { p B } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq \frac { 2 \Delta } { \eta \alpha _ { T } T } + \frac { 9 b \sigma ^ { 2 } } { 8 b _ { 1 } T \alpha _ { 1 } \alpha _ { T } } + \frac { 3 6 \hat { L } ^ { 2 } \Delta _ { y } } { \kappa \mu \gamma T \alpha _ { T } } + \frac { 9 b \sigma ^ { 2 } } { 8 b _ { 1 } T \alpha _ { 1 } \alpha _ { T } } + \frac { 2 b ^ { 2 } M ^ { 2 } C _ { \sigma , \zeta } \ln ( T ) } { \hat { L } ^ { 2 } T \alpha _ { T } } + \frac { 8 b ^ { 2 } M ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } \ln ( T ) } { \hat { L } ^ { 2 } T \alpha _ { T } ^ { 3 } } } \end{array}
\langle \Delta \bar { r } ^ { 2 } ( t _ { \textnormal { l a g } } ) \rangle _ { \textnormal { T } } = \frac { 1 } { n - m } \sum _ { k = 1 } ^ { n - m } \left( R ( t _ { k } + t _ { \textnormal { l a g } } ) - R ( t _ { k } ) \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 \leftrightarrow N _ { x } } = } & { } & { \frac { v } { 2 } \sum _ { k } ^ { N _ { y } } [ \hat { \psi } _ { N _ { x } , k } ^ { \dag } ( \sigma _ { x } - i \sigma _ { y } ) \hat { \psi } _ { 1 , k } + \mathrm { H . c . } ] , } \\ { H _ { 1 \leftrightarrow N _ { y } } = } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } ^ { N _ { x } } [ t _ { 1 } ( \hat { \psi } _ { j , N _ { y } } ^ { \dag } \hat { \psi } _ { j , 1 } + \mathrm { H . c . } ) - i t _ { 2 } ( i \hat { \psi } _ { j , N _ { y } } ^ { \dag } \sigma _ { y } \hat { \psi } _ { j , 1 } + \mathrm { H . c . } ) ] . } \end{array}