harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \mathbb P } _ { \mu _ { n } } \left( \left| \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } S _ { t } ^ { \sigma } f \, \mathrm { \normalfont ~ d } \ensuremath { \mathcal X } _ { 0 } ^ { n } - q \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } S _ { t } ^ { \sigma } f \, \gamma \, \mathrm { \normalfont ~ d } x \right| > \varepsilon \right) = 0 \ , \qquad \varepsilon > 0 \ .
+ \left( \frac { 1 } { 2 } \bar { C } _ { \gamma } ^ { \dagger } U _ { \alpha \beta } ^ { \dagger \gamma } C ^ { \alpha } C ^ { \beta } + \frac { 1 } { 2 } C ^ { \dagger \beta } C ^ { \dagger \alpha } U _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } \bar { C } _ { \gamma } + C ^ { \dagger \alpha } \bar { U } _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } \bar { C } _ { \gamma } C ^ { \beta } + C ^ { \dagger \beta } \bar { C } _ { \gamma } ^ { \dagger } \bar { U } _ { \alpha \beta } ^ { \dagger \gamma } C ^ { \alpha } \right) ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \beta } } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { n } \left\vert \int \frac { t \mathrm { d } H ^ { \epsilon _ { n } } ( s , t ) } { 1 + s \underline { g } ^ { \epsilon _ { n } } + t \underline { m } ^ { \epsilon _ { n } } } - \int \frac { t \mathrm { d } H ( s , t ) } { 1 + s \underline { g } + t \underline { m } } \right\vert } \\ { \le } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { n } \left\vert \int \frac { ( s ( \underline { g } - \underline { g } ^ { \epsilon _ { n } } ) + t ( \underline { m } - \underline { m } ^ { \epsilon _ { n } } ) ) t \mathrm { d } H ^ { \epsilon _ { n } } ( s , t ) } { \left( 1 + s \underline { g } ^ { \epsilon _ { n } } + t \underline { m } ^ { \epsilon } \right) \left( 1 + s \underline { g } + t \underline { m } \right) } \right\vert } \\ & { + \operatorname* { l i m s u p } _ { n } \left\vert \int \frac { t \mathrm { d } H ^ { \epsilon } ( s , t ) } { 1 + s \underline { g } + t \underline { m } } - \int \frac { t \mathrm { d } H ( s , t ) } { 1 + s \underline { g } + t \underline { m } } \right\vert } \\ { \leq } & { \frac 1 { \delta ^ { 2 } } \operatorname* { l i m s u p } _ { n } ( \vert \underline { g } - \underline { g } ^ { \epsilon _ { n } } \vert + \vert \underline { m } - \underline { m } ^ { \epsilon _ { n } } \vert ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { r } _ { k } } { d t } } & { \approx } & { \vec { u } _ { k } \, , } \\ { \frac { d \vec { p } _ { k } } { d t } } & { \approx } & { \frac { q _ { k } } { V } \, \int _ { V } d ^ { 3 } r \, \phi \left( \vec { r } , \vec { r } _ { k } \right) \, \left( \vec { E } _ { k } + \vec { u } _ { k } \times \vec { B } _ { k } \right) } \\ & { } & { - \sum _ { l = 1 } ^ { N } \nu _ { k l } \left( u _ { k l } \right) \, \left( \vec { p } _ { k } - \vec { p } _ { k l } ^ { \, s } \right) \, \delta _ { \vec { r } _ { k } , \vec { r } _ { l } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial } { \partial \varepsilon } \right| _ { \varepsilon = 0 } f _ { e q } [ \phi + \varepsilon f ] } & { = \left( \frac { 2 \pi k _ { B } T _ { 0 } } { m } \right) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - \frac { m } { 2 k _ { B } T _ { 0 } } | \mathbf { v } | ^ { 2 } } \left( M _ { 0 } - \frac { m } { k _ { B } T _ { 0 } } \frac { \mathrm { t r a c e } \mathbf { M } _ { 2 } - 3 \frac { k _ { B } T _ { 0 } } { m } M _ { 0 } } { 2 } \right. } \\ & { \qquad \left. + \left( - \frac { m } { k _ { B } T _ { 0 } } \right) \mathbf { M } _ { 1 } \cdot \mathbf { v } + \frac { \mathrm { t r a c e } \mathbf { M } _ { 2 } - 3 \frac { T _ { 0 } k _ { B } } { m } M _ { 0 } } { 6 } | \mathbf { v } | ^ { 2 } \left( \frac { m } { T _ { 0 } k _ { B } } \right) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 6 } } + \cdots \rightarrow \infty .
( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) \times \mathbf { c } = - \mathbf { c } \times ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) = - ( \mathbf { c } \cdot \mathbf { b } ) \mathbf { a } + ( \mathbf { c } \cdot \mathbf { a } ) \mathbf { b }
( \Delta w ) _ { \mathrm { m a g n } } = \frac { e ^ { 2 } { \cal B } ^ { 2 } } { 1 2 \pi } \ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \exp \left\{ - n \, \frac { \pi m ^ { 2 } } { e { \cal E } } \right\} + O \left( \frac { { \cal B } ^ { 4 } } { { \cal E } ^ { 4 } } \right) .
\dot { B } ( t ) = \dot { Q } ( t ) - T _ { \mathrm { r e f } } \, \dot { m } ( t ) \, \int _ { T _ { \mathrm { i n } } } ^ { T _ { \mathrm { o u t } } } \frac { \, c _ { p } ( T ) } { T } \, \mathrm { d } T .
\begin{array} { r c l } { { g ( s ; y , z ) } } & { { = } } & { { \frac { 2 ^ { 1 - s } } { \Gamma ( s ) } \sum _ { k = 0 } ^ { N } \frac { { \bf B } _ { 2 k } } { ( 2 k ) ! } y ^ { 2 k } \Gamma ( s - 1 + 2 k ) \Bigl \{ 2 \zeta _ { R } \left( s - 1 + 2 k ; 1 + \frac { z } { 2 } \right) + } } \\ { { } } & { { + } } & { { \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { 1 - 2 k - s } \Bigr \} + O \left( y ^ { 2 N + 2 } \right) , } } \end{array}
R a = \frac { \epsilon \bar { \rho } _ { \mathrm { b o t } } ^ { 2 } C _ { p } g H ^ { 3 } } { \mu _ { 0 } k _ { 0 } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad P r = \frac { \mu _ { 0 } C _ { p } } { k _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \frac { | e ^ { i \, t \, \xi } - e ^ { i \, \tau \, \xi } | ^ { 2 } } { | \xi | ^ { 2 \, s } } \, d \xi } & { \le 2 \, | t - \tau | ^ { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { \alpha } \xi ^ { 2 - 2 \, s } \, d \xi + 8 \, \int _ { \alpha } ^ { + \infty } \xi ^ { - 2 \, s } \, d \xi } \\ & { = \frac { 2 } { 3 - 2 \, s } \, | t - \tau | ^ { 2 } \, \alpha ^ { 3 - 2 \, s } + \frac { 8 } { 2 \, s - 1 } \, \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 \, s - 1 } } , } \end{array}
C _ { \eta } = { \frac { \Biggl ( \int _ { V } d ^ { 3 } x \vec { B } _ { 0 } ( \vec { x } ) \cdot \vec { E } _ { \eta } ( \vec { x } ) \Biggr ) ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } V ~ \int _ { V } d ^ { 3 } x ~ \epsilon ( \vec { x } ) \vec { E } _ { \eta } ( \vec { x } ) \cdot \vec { E } _ { \eta } ( \vec { x } ) } } ~ ~ ~ \ .
\begin{array} { r } { A ( \tau ) \equiv \frac { \sin \tau ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { \cos \tau ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } , \ \ \ B ( \tau ) \equiv \Big ( \frac { \cos \tau ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { \sin \tau ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \Big ) - \frac { 1 } { 4 A ( \tau ) } \sin ^ { 2 } 2 \tau \Big ( \frac { 1 } { a ^ { 2 } } - \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { P } : = } & { \mathrm { d i a g } \left( \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } \right) , } \\ { \boldsymbol { \widehat { u } } _ { \Xi , c } : = } & { \mathcal { I } _ { 3 \times 3 } \otimes \mathrm { d i a g } \left( - \widehat { u } _ { \xi } , - \widehat { v } _ { \xi } , - \widehat { w } _ { \xi } \right) ， } \end{array}
\Psi _ { 0 } ( x ) = e ^ { \sigma _ { 3 } ~ W ( x ) } \left( \begin{array} { c } { { c _ { 1 } } } \\ { { c _ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { e ^ { W ( x ) } c _ { 1 } } } \\ { { e ^ { - W ( x ) } c _ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { d } \left( \left\{ \mathfrak { u } _ { \varepsilon } ^ { \psi } \neq \overline { { u } } _ { \varepsilon } \right\} \cap B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) \right) } & { \leq \mathcal { L } ^ { d } \left( B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) \cap \left\{ | \overline { { u } } _ { \varepsilon } - \textnormal { m e d } ( \overline { { u } } _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) | \geq \varepsilon ( \psi _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } ^ { - } ) ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 \varepsilon } \right) \right\} \right) } \\ & { \leq \mathcal { L } ^ { d } \left( B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) \cap \left\{ \psi _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } ^ { - } \left( \frac { | \overline { { u } } _ { \varepsilon } - \textnormal { m e d } ( \overline { { u } } _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) | } { \varepsilon } \right) \geq \frac { 1 } { 4 K \varepsilon } \right\} \right) } \\ & { \leq 4 K \varepsilon \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } ^ { - } \left( \frac { | \overline { { u } } _ { \varepsilon } ( x ) - \textnormal { m e d } ( \overline { { u } } _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) | } { \varepsilon } \right) \, d x } \\ & { = 4 K \varepsilon \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } ^ { - } \left( \frac { | T _ { \varepsilon } ( u ( x ) - \nabla u ( x _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } ) ) - m _ { \varepsilon } | } { \varepsilon } \right) \, d x } \\ & { \leq \varepsilon C \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } ^ { - } ( | \nabla u ( x ) - \nabla u ( x _ { 0 } ) | ) \, d x } \\ & { \leq \varepsilon C \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi ( x , | \nabla u ( x ) - \nabla u ( x _ { 0 } ) | ) \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi \{ ( p { - } 2 { + } l ) / 2 \} { - } \phi \{ ( p { - } 2 { - } l ) / 2 \} = \phi \{ ( p { - } 3 { + } l ) / 2 + 1 / 2 \} { - } \phi \{ ( p { - } 3 { - } l ) / 2 + 1 / 2 \} } \\ & { = \sum _ { k = ( p { - } 3 { - } l ) / 2 + 1 } ^ { ( p { - } 3 { + } l ) / 2 } \frac { 1 } { 2 k + 1 } \leq \frac { l } { p - 1 - l } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { R } _ { n } = ( \bar { R } \otimes I _ { \ell } ) + ( I _ { B } \otimes \Gamma _ { n } ^ { - 1 } ) \hat { Z } = \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 1 , 1 } ^ { [ n ] } } & { \dotsc } & { b _ { 1 , B } ^ { [ n ] } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { b _ { B , 1 } ^ { [ n ] } } & { \dotsc } & { b _ { B , B } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { { } = } & { j _ { l } ( x ) + i n _ { l } ( x ) , } \\ { h _ { l } ^ { ( 2 ) } ( x ) } & { { } = } & { j _ { l } ( x ) - i n _ { l } ( x ) , } \end{array}
M _ { i } ( t + \Delta t , n ; \mathbf { g } ) = M _ { i } ( t , n ; \mathbf { g } ) + \frac { \Delta t } { \Delta x } \left[ F _ { i } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) - F _ { i } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n + \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \Delta \left( f _ { \vert _ { L } } , x \right) } & { = \operatorname* { s u p } _ { \vert \vert d \vert \vert _ { x = 1 } } \langle d , P _ { L , x } n ( x ) \rangle _ { x } = \operatorname* { s u p } _ { \stackrel { \vert \vert d \vert \vert _ { x = 1 } } { d \in L } } \langle d , n ( x ) \rangle _ { x } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { 0 \neq d \in L } \frac { \langle d , n ( x ) \rangle _ { x } } { \vert \vert d \vert \vert _ { x } } \ge \frac { \langle d , n ( x ) \rangle _ { x } } { \vert \vert d \vert \vert _ { x } } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } d \in L \setminus \{ 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { M } = \left[ \begin{array} { l l } { \sigma _ { a } ( \mathbf I _ { k } - \frac 1 k \mathbf J _ { k } ) } & { \mathbf O _ { k \times ( n - k ) } } \\ { \mathbf O _ { ( n - k ) \times k } } & { \sigma _ { b } ( \mathbf I _ { ( n - k ) } - \frac { 1 } { n - k } \mathbf J _ { ( n - k ) } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \dot { { x } _ { 1 } } } & { = { x } _ { 1 } ( 1 - { x } _ { 2 } + { r } { x } _ { 1 } - { p } { x } _ { 3 } { x } _ { 1 } ) + { u } _ { 1 } , } \\ { \dot { { x } _ { 2 } } } & { = { x } _ { 2 } ( - 1 + { x } _ { 1 } ) + { u } _ { 2 } , } \\ { \dot { { x } _ { 3 } } } & { = { x } _ { 3 } ( - { q } + { p } { x } _ { 1 } ^ { 2 } ) + { u } _ { 3 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( { \frac { - 1 } { p } } \right) } & { = ( - 1 ) ^ { \frac { p - 1 } { 2 } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { p \equiv 1 { \bmod { 4 } } } \\ { - 1 } & { p \equiv 3 { \bmod { 4 } } } \end{array} \right. } } \\ { \left( { \frac { 2 } { p } } \right) } & { = ( - 1 ) ^ { \frac { p ^ { 2 } - 1 } { 8 } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { p \equiv 1 , 7 { \bmod { 8 } } } \\ { - 1 } & { p \equiv 3 , 5 { \bmod { 8 } } } \end{array} \right. } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { P ( X , Y , Z , W ) } & { = R ( X , Y , Z , W ) - \frac { 1 } { 2 n } \{ g ( X , Z ) r ( Y , W ) - g ( X , W ) r ( Y , Z ) \} ; } \\ { C ( X , Y , Z , W ) } & { = R ( X , Y , Z , W ) - \frac { s } { 2 n ( 2 n + 1 ) } \{ g ( X , Z ) g ( Y , W ) - g ( X , W ) g ( Y , Z ) \} ; } \\ { B ( X , Y , Z , W ) } & { = a _ { 0 } R ( X , Y , Z , W ) + a _ { 1 } \{ g ( X , Z ) r ( Y , W ) - g ( X , W ) r ( Y , Z ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad + r ( X , Z ) g ( Y , W ) - r ( X , W ) g ( Y , Z ) \} } \\ & { \quad + 2 a _ { 2 } s \{ g ( X , Z ) g ( Y , W ) - g ( X , W ) g ( Y , Z ) \} ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { L } ( i j k l ) } & { \equiv \sum _ { M } ( - 1 ) ^ { j _ { i } - m _ { i } + j _ { j } - m _ { j } } } \\ & { \times \left( \begin{array} { l l l } { j _ { i } } & { L } & { j _ { k } } \\ { - m _ { i } } & { - M } & { m _ { k } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { j _ { j } } & { L } & { j _ { l } } \\ { - m _ { j } } & { M } & { m _ { l } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
E _ { y } \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } , \Delta k \right) = \frac { \Delta k \cos \left( \Delta k z _ { 0 } \right) } { 2 \pi \epsilon } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x d y ( y - y _ { 0 } ) \frac { K _ { 1 } \left( \Delta k \sqrt { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \rho _ { 0 } ( x , y )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { l \rightarrow \infty } \Delta _ { | \overline { v } } E ( h , f _ { n _ { k _ { l } } } , \theta _ { n _ { k _ { l } } } ) } & { = \Delta _ { | \overline { v } } E ( h , f , \theta ) = \operatorname* { s u p } _ { f ^ { \prime } \in S ( \overline { v } , \theta ) } \Delta _ { | \overline { v } } E ( h , f ^ { \prime } , \theta ) . } \end{array}
M = Q ^ { - 1 } D Q = Q ^ { * } D Q = Q ^ { * } D ^ { \frac { 1 } { 2 } } D ^ { \frac { 1 } { 2 } } Q = Q ^ { * } D ^ { { \frac { 1 } { 2 } } * } D ^ { \frac { 1 } { 2 } } Q = B ^ { * } B
\begin{array} { r } { \langle \hat { x } ( x _ { \mathrm { i } } , s ) \rangle = \langle \hat { x } ( x _ { \mathrm { i } } , s ) \rangle _ { 0 } - \hat { f } ( L , x _ { \mathrm { i } } , s ) \langle \hat { x } ( L , s ) \rangle _ { 0 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { r = 0 } ^ { m + n } { \binom { m + n } { r } } x ^ { r } } & { = ( 1 + x ) ^ { m + n } } \\ & { = ( 1 + x ) ^ { m } ( 1 + x ) ^ { n } } \\ & { = { \biggl ( } \sum _ { i = 0 } ^ { m } { \binom { m } { i } } x ^ { i } { \biggr ) } { \biggl ( } \sum _ { j = 0 } ^ { n } { \binom { n } { j } } x ^ { j } { \biggr ) } } \\ & { = \sum _ { r = 0 } ^ { m + n } { \biggl ( } \sum _ { k = 0 } ^ { r } { \binom { m } { k } } { \binom { n } { r - k } } { \biggr ) } x ^ { r } , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \Delta U \equiv \mathrm { ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ s ~ t ~ o ~ r ~ e ~ d ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ s ~ p ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } & { { } = } & { \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ a ~ \triangle ~ { ~ O ~ B ~ A ~ } ~ } } \\ { \Delta Q \equiv \mathrm { ~ w ~ a ~ s ~ t ~ e ~ d ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } & { { } = } & { \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ a ~ \triangle ~ { ~ E ~ B ~ C ~ } ~ } + \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ a ~ \triangle ~ { ~ O ~ E ~ D ~ } ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial \tau } R ( L , \tau ) = } & { - \frac { \partial } { \partial L } \left( \left( f ( L ) + f ^ { \mathcal { F } } ( L ) \right) R ( L , \tau ) \right) } \\ & { + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial L ^ { 2 } } R ( L , \tau ) - P ^ { \mathrm { i n } } ( L ) \rho ( \tau | L ) } \end{array}
f _ { 5 } ( e ) = X _ { 0 } ^ { - 8 , 0 } ( e ) - X _ { 0 } ^ { - 8 , 2 } ( e ) = \frac { 1 + \frac { 1 5 } { 4 } e ^ { 2 } + \frac { 1 5 } { 8 } e ^ { 4 } + \frac { 5 } { 6 4 } e ^ { 6 } } { ( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { 1 3 / 2 } } \ ,
\tilde { F } ( x _ { q _ { i } } , x _ { q _ { j } } , X _ { Q _ { i } } , X _ { Q _ { j } } , \beta ) = F ( x _ { q _ { i } } , x _ { q _ { j } } , \beta ) - F ( X _ { Q _ { i } } , x _ { Q _ { j } } , \beta ) - F ( x _ { q _ { i } } , X _ { Q _ { j } } , \beta ) + F ( X _ { Q _ { i } } , X _ { Q _ { j } } , \beta ) \ ,
\begin{array} { r l } { e ^ { n + 1 } = } & { \textrm { e } ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } e ^ { n } + \varepsilon ^ { 2 } \tau / 2 \left( P _ { N } G \left( \varphi ^ { [ n + 1 ] } \right) - I _ { N } G \left( I _ { N } \varphi ^ { n + 1 } \right) \right. } \\ & { \left. + \textrm { e } ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \left( P _ { N } G \left( \varphi ^ { [ n ] } \right) - I _ { N } G \left( I _ { N } \varphi ^ { n } \right) \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { c } \partial _ { t } I + { \Omega } \cdot \nabla I + \sigma I = \frac { c \sigma _ { a } } { 4 \pi } B + \sigma _ { s } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 4 \pi } g ( { \Omega } \cdot { \Omega } ^ { \prime } ) I ( { \Omega } ^ { \prime } ) \textrm { d } { \Omega } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { T E } , ( \mathrm { i n } ) } = } & { \bigg [ \frac { k _ { n } } { k _ { n m } } \frac { \cos ( k _ { n } w _ { \mathrm { x } } / 2 ) } { \cos ( k _ { \mathrm { t } } w _ { \mathrm { x } } / 2 ) } \frac { ( k _ { \mathrm { t } } w _ { \mathrm { x } } ) ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } } { ( k _ { n } w _ { \mathrm { x } } ) ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } } \frac { \sin ( k _ { m } w _ { \mathrm { y } } / 2 ) } { k _ { m } w _ { \mathrm { y } } / 2 } \bigg ] ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { T M } , ( \mathrm { i n } ) } } & { = \frac { k _ { m } ^ { 2 } } { k _ { n } ^ { 2 } } \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { T E } , ( \mathrm { i n } ) } } \\ { \alpha _ { 1 0 } ^ { \mathrm { T E , ~ ( R W G ) } } } & { = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { p _ { \mathrm { x } } p _ { \mathrm { y } } } { w _ { \mathrm { x } } w _ { \mathrm { x } } } \bigg [ \frac { ( k _ { \mathrm { t } } w _ { \mathrm { x } } ) ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } } { \cos ( k _ { \mathrm { t } } w _ { \mathrm { x } } / 2 ) } \bigg ] ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbf { q } } ^ { \left( k \right) } \left( t _ { j + 1 } \right) = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { F F T } } } \sum _ { m = - N _ { \mathrm { F F T } } / 2 + 1 } ^ { N _ { \mathrm { F F T } } / 2 } \hat { { \mathbf { q } } } _ { m } ^ { \left( k \right) } \exp \left( { \frac { i 2 \pi j m } { N _ { \mathrm { F F T } } } } \right) , } \\ { j = 0 , \dots , N _ { \mathrm { F F T } } - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { p } _ { m n } ^ { \textbf { k } _ { 0 } + \textbf { A } ( t ) } } & { = - i \left\langle \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \left| \left[ \hat { \textbf { r } } \hat { H } _ { V G } ( t ) - \hat { H } _ { V G } ( t ) \hat { \textbf { r } } \right] \right| \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right\rangle } \\ & { = \sum _ { l , \textbf { k } ^ { \prime } } - i \langle \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \hat { \textbf { r } } | \varphi _ { l , \textbf { k } ^ { \prime } } ( t ) \rangle \langle \varphi _ { l , \textbf { k } ^ { \prime } } ( t ) | \hat { H } _ { V G } ( t ) | \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle } \\ & { \ \ \ \ + i \langle \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \hat { H } _ { V G } ( t ) | \varphi _ { l , \textbf { k } ^ { \prime } } ( t ) \rangle \langle \varphi _ { l , \textbf { k } ^ { \prime } } ( t ) | \hat { \textbf { r } } | \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle } \\ & { = \sum _ { l , \textbf { k } ^ { \prime } } - i \langle \psi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } + \textbf { A } ( t ) } | \hat { \textbf { r } } | \psi _ { l , \textbf { k } ^ { \prime } + \textbf { A } ( t ) } \rangle E _ { n } \textbf { ( } \textbf { k } _ { 0 } + \textbf { A } ( t ) \textbf { ) } \delta _ { l n } \delta ( \textbf { k } - \textbf { k } ^ { \prime } ) } \\ & { \ \ \ \ + i E _ { l } \textbf { ( } \textbf { k } ^ { \prime } + \textbf { A } ( t ) \textbf { ) } \delta _ { m l } \delta ( \textbf { k } - \textbf { k } ^ { \prime } ) \langle \psi _ { l , \textbf { k } ^ { \prime } + \textbf { A } ( t ) } | \hat { \textbf { r } } | \psi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } + \textbf { A } ( t ) } \rangle } \\ & { = \delta _ { m n } \left[ \nabla _ { \textbf { k } } E _ { n } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \right] + i ( 1 - \delta _ { m n } ) \left[ E _ { m } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } - E _ { n } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \right] \textbf { d } _ { m n } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } . } \end{array}
\hat { \xi } = \left( \iota _ { 0 } \right) _ { b _ { 1 } \dots b _ { 4 } } \left( \iota _ { 1 } \right) ^ { a _ { 1 } \dots a _ { 4 } } \sum _ { c _ { I } } \left( a _ { j _ { 1 } } ^ { \dagger } \right) _ { a _ { 1 } } ^ { c _ { 1 } } \dots \left( a _ { j _ { 4 } } ^ { \dagger } \right) _ { a _ { 4 } } ^ { c _ { 4 } } \left( a _ { j _ { 1 } } ^ { \dagger } \right) _ { c _ { 1 } } ^ { b _ { 1 } } \dots \left( a _ { j _ { 4 } } ^ { \dagger } \right) _ { c _ { 4 } } ^ { b _ { 4 } } .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \Dot { \theta } _ { ( 0 ) } = \omega _ { ( 0 ) } - R _ { 1 } ^ { [ - ] } ( \theta _ { ( 1 ) } ) B ^ { 1 } \sin ( D ^ { 0 } \theta _ { ( 0 ) } ) } \\ { \Dot { \theta } _ { ( 1 ) } = \omega _ { ( 1 ) } - R _ { 0 } ^ { [ + ] } ( \theta _ { ( 0 ) } ) D ^ { 0 } \sin ( B ^ { 1 } \theta _ { ( 1 ) } ) \, , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { S _ { p } } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \mathcal { I } _ { x } ^ { 2 } ( x , w ) + \mathcal { J } ^ { 2 } ( x , w ) \mathrm { d } x \mathrm { d } w , } \\ { \alpha _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { S _ { p } } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \mathcal { J } ( x , w ) \mathrm { d } x \mathrm { d } w . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { E } _ { h } ( u _ { h } ^ { n + 1 } ) - { E } _ { h } ( u _ { h } ^ { n } ) = } & { \left( \phi ( \pmb { x } ) , u _ { h } ^ { n + 1 } - u _ { h } ^ { n } \right) + \left( H ( u _ { h } ^ { n + 1 } ) - H ( u _ { h } ^ { n } ) , 1 \right) } \\ { = } & { - \tau ^ { n + 1 } \left( f ( u _ { h } ^ { n + 1 } ) \pmb { s } _ { h } ^ { n + 1 } , \pmb { s } _ { h } ^ { n + 1 } \right) - \frac 1 2 \left( H ^ { \prime \prime } ( \xi ^ { n + 1 } ) , \left( u _ { h } ^ { n + 1 } - u _ { h } ^ { n } \right) ^ { 2 } \right) } \\ { \leqslant } & { \ 0 . } \end{array}
e ^ { \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } + \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } + \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \ast } } = \delta \, \zeta e ^ { \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } } + \beta \, \varepsilon \, e ^ { \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } } + \alpha \, \gamma \, e ^ { \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \ast } } + \beta \, \gamma \, \zeta + \alpha \, \delta \, \varepsilon .
\begin{array} { r l } & { \| ( I _ { d } - P _ { \tilde { \Phi } ( t , 0 ) Q ( 0 ) V } ) \tilde { A } ( t ) P _ { \tilde { \Phi } ( t , 0 ) Q ( 0 ) V } \| = \| ( I _ { d } - P _ { Q ( t ) \Phi ( t , 0 ) V } ) \tilde { A } ( t ) P _ { Q ( t ) \Phi ( t , 0 ) V } \| } \\ & { \le \| ( I _ { d } - P _ { Q ( t ) \Phi ( t , 0 ) V } ) \dot { Q } ( t ) Q ( t ) ^ { - 1 } P _ { Q ( t ) \Phi ( t , 0 ) V } \| } \\ & { \phantom { = \ } + \| ( I _ { d } - P _ { Q ( t ) \Phi ( t , 0 ) V } ) Q ( t ) ( I _ { d } - P _ { \Phi ( t , 0 ) V } ) A ( t ) P _ { \Phi ( t , 0 ) V } Q ( t ) ^ { - 1 } P _ { Q ( t ) \Phi ( t , 0 ) V } \| } \\ & { \le \| Q ^ { - 1 } \| _ { \infty } \| \dot { Q } ( t ) \| + \| Q \| _ { \infty } \| Q ^ { - 1 } \| _ { \infty } \| ( I _ { d } - P _ { \Phi ( t , 0 ) V } ) A ( t ) P _ { \Phi ( t , 0 ) V } \| . } \end{array}
V _ { 0 0 } ^ { \prime } \left( \sum _ { r } q _ { r } ^ { 2 } - Q ^ { 3 } \right) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \kappa \, J _ { \kappa } ^ { 2 } ( 1 + 3 \mu ) \left( \sum _ { r } q _ { r } ^ { 2 } - Q ^ { 2 } \right) .