harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \widetilde { S } _ { B } \left[ \Psi _ { b } ^ { \dagger } , \Psi _ { b } \right] = \int d ^ { D } x \, \Bigg \{ \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \left[ \frac { \partial \Psi _ { b } ^ { \dagger } } { \partial x ^ { M } } \frac { \partial \Psi _ { b } } { \partial x ^ { M } } + \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { \partial ^ { 2 } \Psi _ { b } ^ { \dagger } } { \partial \left( x ^ { M } \right) ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \Psi _ { b } } { \partial \left( x ^ { M } \right) ^ { 2 } } \right] - \mu _ { 0 } \, \left( \widetilde { \Psi } _ { b } ^ { \dagger } \widetilde { \Psi } _ { b } - \overline { { \Psi } } _ { b } ^ { \dagger } \overline { { \Psi } } _ { b } \right) + i \widetilde { V } \, \Psi _ { b } ^ { \dagger } \Psi _ { b } \Bigg \} \; . } \end{array}
G ( R , { \vec { v } } , { \vec { a } } , s ) = 1 \! \! 1 _ { 5 } + \left( { \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { \theta _ { 3 } } & { - \theta _ { 2 } } & { v _ { 1 } } & { a _ { 1 } } \\ { - \theta _ { 3 } } & { 0 } & { \theta _ { 1 } } & { v _ { 2 } } & { a _ { 2 } } \\ { \theta _ { 2 } } & { - \theta _ { 1 } } & { 0 } & { v _ { 3 } } & { a _ { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { s } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) + \ . . . ~ .
F \left( \frac { \pi } { 2 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) = F \left( \frac { \pi } { 2 } , 1 - \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } c ^ { 2 } } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon } \right) } \right) = - \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon c } \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( 1 \right) } ,
\begin{array} { r l } { \Delta \nu _ { \mathrm { 1 , B } } ( t ) \simeq } & { \rho _ { 2 } ( t ) - \rho _ { 1 } ( t ) + \Delta f _ { \mathrm { d r i f t } } ( t ) + \eta ( t ) } \\ { \Delta \nu _ { \mathrm { 2 , B } } ( t ) \simeq } & { \rho _ { 1 } ( t ) - \rho _ { 2 } ( t ) - \Delta f _ { \mathrm { d r i f t } } ( t ) + \eta ( t ) \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } z _ { n } - \partial _ { x } \left( \gamma \left( u _ { n } + \frac { 1 } { n } \right) \partial _ { x } z _ { n } \right) - g _ { 0 } z _ { n } - u _ { n } \partial _ { x } g _ { 0 } = 0 , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega } \\ & { \partial _ { x } z _ { n } = 0 , } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega } \\ & { z _ { n } ( x , 0 ) = \partial _ { x } \varphi _ { 0 } ( x ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \widetilde { V } ^ { * } \frac { \omega ^ { ( - ) } } { \sigma ^ { \downarrow } } } & { { } = \widetilde { \Lambda } \widetilde { V } ^ { * } \sin ( \widetilde { V } c ) \iff \widetilde { \Lambda } ^ { - 1 } \widetilde { V } ^ { * } \frac { \omega ^ { ( - ) } } { \sigma ^ { \downarrow } } = \widetilde { V } ^ { * } S ( c ) \widetilde { V } c } \end{array}
\tau = { \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { \mathrm { P e } ^ { 2 } + 2 \mathrm { P e } + 2 C } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \mathrm { P e } } { A } } \right) ^ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { \overline { { F _ { t } \circ d { x } _ { t } } } } & { = \frac 1 2 \overline { { \left( F _ { t + d t } + F _ { t } \right) \left( x _ { t + d t } - x _ { t } \right) } } } \\ & { = \frac 1 2 \overline { { \left( F _ { t + d t } + F _ { t } \right) \left( y _ { t + d t } - y _ { t } + v d t \right) } } } \\ & { = \frac 1 2 \left[ C _ { y F } ( d t ) - C _ { F y } ( d t ) \right] + \frac { v ^ { 2 } } { \mu } d t } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { \beta } = \frac { \sum _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } } { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( - \Delta v _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } + \lambda _ { n } ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } { 2 ^ { | \alpha _ { 2 } | } \alpha _ { 1 } ! \alpha _ { 2 } ! } } } { \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \to 0 . } \end{array}
S _ { \mathrm { e t } } ( \vec { k } , \omega ) = - \frac { \epsilon _ { 0 } \hbar \vec { k } ^ { 2 } } { \pi e ^ { 2 } n _ { e } } \frac { \operatorname { I m } \left[ \epsilon ^ { - 1 } ( \vec { k } , \omega ) \right] } { 1 - \exp \left( \frac { - \hbar \omega } { k _ { \mathrm { B } } T _ { e } } \right) } .
\begin{array} { r l } { a _ { 0 } + a _ { 0 } a _ { 1 } + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } & { { } = a _ { 0 } ( a _ { 1 } ( a _ { 2 } ( a _ { 3 } + 1 ) + 1 ) + 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { i j } ^ { \prime } \equiv [ i j k ] l B _ { k } / a _ { k } , } \\ { T ^ { \mu \nu } \equiv \frac { P } { \Gamma - 1 } \frac { U ^ { \mu } U ^ { \nu } } { c ^ { 2 } } + T _ { \mathrm { ~ H ~ D ~ } } ^ { \mu \nu } + T _ { \mathrm { ~ E ~ M ~ } } ^ { \mu \nu } , } \\ { T _ { \mathrm { ~ H ~ D ~ } } ^ { \mu \nu } \equiv \left( \rho + P / c ^ { 2 } \right) U ^ { \mu } U ^ { \nu } + P g ^ { \mu \nu } , } \\ { T _ { \mathrm { ~ E ~ M ~ } } ^ { \mu \nu } \equiv F ^ { \mu \alpha } F _ { \alpha } ^ { \nu } - \frac { 1 } { 4 } g ^ { \mu \nu } F ^ { \alpha \beta } F _ { \alpha \beta } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } } & { } & { = \left[ \begin{array} { l } { \widetilde { f } _ { 1 1 } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 2 1 } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 1 2 } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 2 2 } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 1 3 } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 2 3 } ^ { e q } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \textbf { U } + \frac { 1 } { 2 \widetilde { \lambda } } \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] \textbf { G } } \\ & { } & { = \boldsymbol { \alpha } _ { 0 } \textbf { U } + \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } \textbf { G } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { 1 } = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { v a r } } \overline { { \phi } } _ { j } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } , \ \ \ \ \ \ \mu _ { 2 } = \left| \begin{array} { l l l } { \overline { { { \phi _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } & { \dots } & { \overline { { \phi _ { N _ { v a r } } ^ { \prime } \phi _ { 1 } ^ { \prime } } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \overline { { \phi _ { 1 } ^ { \prime } \phi _ { N _ { v a r } } ^ { \prime } } } } & { \dots } & { \overline { { { \phi _ { N _ { v a r } } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } \end{array} \right| . } \end{array}
t _ { i } ^ { ~ m } t _ { k } ^ { ~ n } \hat { \Phi } _ { m n ~ b d } ^ { ~ p r ~ a c } S ( t _ { p } ^ { ~ j } ) S ( t _ { r } ^ { ~ l } ) = S ( t _ { b } ^ { ~ s } ) S ( t _ { d } ^ { ~ p } ) \hat { \Phi } _ { i k ~ s p } ^ { ~ j l ~ m n } t _ { m } ^ { ~ a } t _ { n } ^ { ~ c }
\begin{array} { r } { n _ { \mathrm { { e } } } ( r ) = n _ { \mathrm { e } , 0 } c _ { 3 } \exp \left( - \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } \operatorname { t a n h } \frac { r - c _ { 0 } } { c _ { 2 } } \right) \; \; , } \\ { \frac { d \ln n _ { e } } { d r } = - \frac { 1 } { c _ { 1 } } \left[ 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \frac { r - c _ { 0 } } { c _ { 2 } } \right] \; \; , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle \psi ^ { i } ( z ) = \sum _ { m \in { \bf Z } } { \left[ g ^ { - 1 } ( g - 2 \pi \alpha ^ { \prime } B ) \right] ^ { i } } _ { j } d _ { m } ^ { j } z ^ { - m - \frac { 1 } { 2 } } } } \\ { { \displaystyle \widetilde { \psi } ^ { i } ( \overline { { { z } } } ) = \sum _ { m \in { \bf Z } } { \left[ g ^ { - 1 } ( g + 2 \pi \alpha ^ { \prime } B ) \right] ^ { i } } _ { j } d _ { m } ^ { j } \overline { { { z } } } ^ { - m - \frac { 1 } { 2 } } } } \end{array} \right. ~ , \quad \mathrm { w i t h ~ \ ~ \{ d _ { m } ^ { i } , d _ { n } ^ { j } \} = G ^ { i j } \ d e l t a _ { m + n } ~ } ~ .
\begin{array} { r l } { d q _ { i } } & { { } = ( - \gamma _ { i } q _ { i } / 2 + \omega _ { 0 } p _ { i } ) \, d t + \sqrt { \gamma _ { i } ( \bar { n } _ { i } + 1 ) / 2 } \, d W _ { q _ { i } } } \\ { d p _ { i } } & { { } = ( - \gamma _ { i } p _ { i } / 2 - \omega _ { 0 } q _ { i } ) \, d t + \sqrt { \gamma _ { i } ( \bar { n } _ { i } + 1 ) / 2 } \, d W _ { p _ { i } } , } \end{array}
d \Omega / ( d \ln \omega ) = z _ { e q } ^ { - 1 } z _ { S } ^ { - 4 } g _ { 1 } ^ { 2 } \frac { \sqrt { M ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } { \omega _ { s } } \left( \frac { \omega } { \omega _ { s } } \right) ^ { 3 } N _ { \omega } .
s = ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } \gg u _ { 1 , 2 } ~ , \qquad u _ { 1 } = { q ^ { \prime } } _ { 1 } ^ { 2 } = ( p _ { 2 } ^ { \prime } - p _ { 1 } ) ^ { 2 } ~ , \qquad u _ { 2 } = { q ^ { \prime } } _ { 2 } ^ { 2 } = ( p _ { 2 } - p _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } .
\mathcal E _ { C } = \oint _ { l } \vec { E } \cdot \vec { d l } = \int _ { S } \nabla \times \vec { E } \cdot \hat { n } \, d S = - \int _ { S } \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } \cdot \hat { n } \, d S = - \frac { d } { d t } \int _ { S } \vec { B } \cdot \hat { n } \, d S ,
\Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { g a i n } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) = \sum _ { \mu , \eta } \tilde { g } _ { \mu } S _ { \eta \mu } ^ { \mathrm { G } } \tilde { g } _ { \eta } ^ { * } \frac { i ( \omega _ { \mu } - \omega _ { \eta } ) + ( \gamma _ { \mu } + \gamma _ { \eta } ) } { ( \Delta _ { \mu a } - i \gamma _ { \mu } ) ( \Delta _ { \eta a } + i \gamma _ { \eta } ) } ,
\begin{array} { r } { J ( \Omega ) = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \Gamma _ { o b s } } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { e n d } } } | u _ { \Omega } ( \mathbf x , s ) - \ensuremath { \mathbf d _ { \mathrm { e v e n } } } ( \mathbf x , s ) | ^ { 2 } d s d x , } \end{array}
g ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } \nabla _ { \nu } \phi _ { q } + ( m _ { r } ^ { 2 } + \xi R ) \phi _ { q } - 1 2 \kappa _ { r } \phi _ { c } ^ { 2 } \phi _ { q } + 1 5 \lambda _ { r } ^ { 2 } \phi _ { c } ^ { 4 } \phi _ { q } = 0
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \prime } } & { { } \approx \mathbf { E } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } } \\ { \mathbf { B } ^ { \prime } } & { { } \approx \mathbf { B } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \mathbf { v } \times \mathbf { E } } \\ { \mathbf { J } ^ { \prime } } & { { } \approx \mathbf { J } - \rho \mathbf { v } } \\ { \rho ^ { \prime } } & { { } \approx \left( \rho - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \mathbf { J } \cdot \mathbf { v } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf G } ( { \bf r } , \omega _ { 0 } ) } & { { } = \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { 4 \pi k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 3 } } \left[ ( k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } + i k _ { 0 } r - 1 ) \mathcal { I } - ( k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } + 3 i k _ { 0 } r - 3 ) \frac { { \bf r } \otimes { \bf r } ^ { \mathrm { T } } } { r ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
E _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = \lambda \left( { \frac { \alpha } { \pi } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha ^ { 2 } } } \left( { \frac { \pi } { \alpha } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \lambda { \frac { 3 } { 4 } } { \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } } = { \frac { 3 } { 4 } } { \frac { \hbar ^ { 2 } \lambda } { m ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } & { p _ { T e s _ { N } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) = } \\ & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } p _ { T e s } ( \ell _ { 1 } ; \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { a } , \frac { N } { 2 } ) p _ { T e s } ( \ell _ { 2 } ; \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { b } , \frac { N } { 2 } ) \delta ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } - s ) d \ell _ { 1 } d \ell _ { 2 } } \\ & { = p _ { k } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) \int _ { 0 } ^ { 1 } p _ { g } ( w , s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) d w , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( U _ { h } \circ f _ { h } ) ( e ^ { i \varphi } ) = - \int _ { \mathbb { D } } \frac { | f _ { h } ^ { \prime } ( y ) | ^ { 2 } } { | f _ { h } ( e ^ { i \varphi } ) - f _ { h } ( y ) | ^ { \nu } } \, d y = - \int _ { \mathbb { D } } \frac { | f _ { h } ^ { \prime } ( e ^ { i \varphi } y ) | ^ { 2 } } { | f _ { h } ( e ^ { i \varphi } ) - f _ { h } ( e ^ { i \varphi } y ) | ^ { \nu } } \, d y . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { n _ { \mathrm { N I R } } } { n _ { \mathrm { P L } } } \sim \frac { ( \gamma _ { \mathrm { N I R } } - 1 ) f ( \gamma _ { \mathrm { N I R } } - 1 ) } { ( \gamma _ { \mathrm { m i n } } - 1 ) f ( \gamma _ { \mathrm { m i n } } - 1 ) } \sim \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { N I R } } - 1 } { \gamma _ { \mathrm { m i n } } - 1 } \right) ^ { 1 - \alpha } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { \mathrm { { O } } } = \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } \langle l ^ { \prime } m _ { l } ^ { \prime } | } & { \frac { \widehat { x } \cos \theta + \mathrm { i } \widehat { y } } { \sqrt { 2 } } Y _ { 1 , 1 } + \frac { \widehat { x } \cos \theta - \mathrm { i } \widehat { y } } { \sqrt { 2 } } Y _ { 1 , - 1 } } \\ & { + \widehat { x } \sin \theta Y _ { 1 , 0 } | l m _ { l } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i , \gamma } ( \eta ( t ) ) } { \partial ^ { 2 } \alpha _ { i } ( t ) } = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \exp \{ \alpha _ { i } ( t ) + \beta _ { j } ( t ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} d s } \\ { = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { j \neq i } \exp \{ \alpha _ { i } ( t ) + \beta _ { j } ( t ) + Z _ { i j } ( t ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} + O _ { p } \big ( ( e ^ { q _ { n } } h ^ { 2 } ) \big ) , } \\ { - \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i , \gamma } ( \eta ( t ) ) } { \partial \beta _ { j } ( t ) \partial \alpha _ { i } ( t ) } = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \exp \{ \alpha _ { i } ( t ) + \beta _ { j } ( t ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} d s } \\ { = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \exp \{ \alpha _ { i } ( t ) + \beta _ { j } ( t ) + Z _ { i j } ( t ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} + O _ { p } \big ( ( e ^ { q _ { n } } h ^ { 2 } ) \big ) , ~ ~ j \in [ n - 1 ] , j \neq i , } \\ { - \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i , \gamma } ( \eta ( t ) ) } { \partial ^ { 2 } \beta _ { j } ( t ) } = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \exp \{ \alpha _ { i } ( t ) + \beta _ { j } ( t ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} d s } \\ { = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \exp \{ \alpha _ { i } ( t ) + \beta _ { j } ( t ) + Z _ { i j } ( t ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} + O _ { p } \big ( ( e ^ { q _ { n } } h ^ { 2 } ) \big ) ~ ~ j \in [ n - 1 ] , j \neq i , } \\ { - \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i , \gamma } ( \eta ( t ) ) } { \partial \alpha _ { i } ( t ) \partial \alpha _ { j } ( t ) } = } & { 0 ~ ~ ( j \neq i ) , ~ ~ - \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i , \gamma } ( \eta ( t ) ) } { \partial \beta _ { i } ( t ) \partial \alpha _ { i } ( t ) } = 0 , ~ ~ - \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i , \gamma } ( \eta ( t ) ) } { \partial \beta _ { j } ( t ) \partial \beta _ { k } ( t ) } = 0 , ~ ~ j \neq k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Big \lVert \theta _ { t , k } ^ { ( i ) } - \bar { \theta } _ { t } \Big \rVert ^ { 2 } } & { \le \sum _ { s = 0 } ^ { k - 1 } \mathcal { D } _ { 1 } \left\{ \Pi _ { j = s + 1 } ^ { k - 1 } ( 1 + \frac { 3 } { K - 1 } ) \left[ 1 - \alpha ( 1 - \gamma ) \bar { \omega } \right] \right\} } \\ & { \stackrel { ( e ) } { \le } \sum _ { s = 0 } ^ { k - 1 } \Big [ \alpha _ { l } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 3 K \alpha _ { l } ^ { 2 } B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) , + 2 \alpha _ { l } ^ { 2 } K \mathbb { E } \Big \lVert \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) \Big \rVert ^ { 2 } \Big ] \times \Pi _ { j = s + 1 } ^ { k - 1 } ( 1 + \frac { 3 } { K - 1 } ) [ 1 - \alpha _ { l } ( 1 - \gamma ) \bar { \omega } ] } \\ & { \le \sum _ { s = 0 } ^ { k - 1 } \Big [ \alpha _ { l } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 3 \alpha _ { l } ^ { 2 } K B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 \alpha _ { l } ^ { 2 } K \mathbb { E } \Big \lVert \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) \Big \rVert ^ { 2 } \Big ] ( 1 + \frac { 3 } { K - 1 } ) ^ { K - 1 } \Pi _ { j = s + 1 } ^ { k - 1 } [ 1 - \alpha _ { l } ( 1 - \gamma ) \bar { \omega } ] } \\ & { \stackrel { ( f ) } { \le } 2 7 ( \sigma ^ { 2 } + 3 K B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 K \mathbb { E } \Big \lVert \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) \Big \rVert ^ { 2 } ) \sum _ { s = 0 } ^ { k - 1 } \alpha _ { l } ^ { 2 } \times \underbrace { \Pi _ { j = s + 1 } ^ { k - 1 } [ 1 - \alpha ( 1 - \gamma ) \bar { \omega } ] } _ { \le 1 } } \\ & { \le 2 7 ( \sigma ^ { 2 } + 3 K B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 K G ^ { 2 } ) K \alpha _ { l } ^ { 2 } \quad ( \mathrm { c o n s t a n t ~ l o c a l ~ s t e p - s i z e } ) } \end{array}
J _ { \mu \nu , \kappa } \approx N _ { \mu } N _ { \nu } N _ { \kappa } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } \sum _ { l } ^ { l _ { \mu \nu } } L _ { l _ { \mu } , l _ { \nu } } ^ { l } ( d _ { \mu \nu } ) \frac { \pi ^ { 3 } ( \Gamma ( l + l _ { \kappa } + \frac { 1 } { 2 } ) - \Gamma ( l + l _ { \kappa } + \frac { 1 } { 2 } , \theta _ { \mu \nu \kappa } R ^ { 2 } ) ) } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { l + 3 / 2 } \alpha _ { \kappa } ^ { l _ { \kappa } + 3 / 2 } \sqrt { \pi } R ^ { l + l _ { \kappa } + 1 } } .
) u n d e r t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s : d _ { m } = d _ { a } = 5 \times 1 0 ^ { - 4 } , \sigma = 1 , \gamma = 5 , r = 1 \times 1 0 ^ { - 3 } , h = 1 \times 1 0 ^ { - 4 } ( l a r g e r d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s u s e d i n F i g .
\begin{array} { r l } & { a _ { \mathrm { T L S } } ^ { 2 \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } = - i \frac { \chi ^ { 2 } ( \omega _ { c } ) } { F _ { c } \, | \chi ( \omega _ { c } ) | ^ { 2 } } \sum _ { n } \frac { \hbar } { 4 T _ { 1 } ^ { ( n ) } } \, \Psi ^ { 2 \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } ( \xi ^ { ( n ) } ) , } \\ & { \Psi ^ { 2 \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } ( \xi ) = \frac { 3 } { 4 } \xi ^ { - 1 / 2 } \, \log \left( \sqrt { \xi } + \sqrt { \xi + 1 } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } \, ( \xi + 1 ) ^ { 1 / 2 } - 1 } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 1 } ^ { M } ( g _ { i } ^ { b } , g _ { j } ^ { b } ) _ { U _ { a d } } \cdot D J ( g ) _ { j } = D J ( g ; g _ { i } ^ { b } ) , \quad i = 1 , \cdots , M . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \langle \alpha | \overline { { \mu } } \rangle | ^ { 2 } } & { \longrightarrow \left| d _ { \alpha , \overline { { \mu } } } ^ { ( a ) } ( \theta _ { G g } ) \langle \psi _ { N } | N , g - \alpha \rangle \right| ^ { 2 } } \\ { | \langle \overline { { \nu } } | \beta \rangle | ^ { 2 } } & { \longrightarrow \left| d _ { \beta , \overline { { \nu } } } ^ { ( b ) } ( \theta _ { G ^ { \prime } g ^ { \prime } } ) \langle \psi _ { N } | N , g ^ { \prime } - \beta \rangle \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { D } _ { k + 1 } } & { = { D } _ { k } + \frac { \gamma } { 2 } ( I - W ) E _ { k } + \frac { \gamma } { 2 } ( I - W ) \mathbf { y } _ { k } } \\ & { = { D } _ { k } + \frac { \gamma } { 2 } ( I - W ) E _ { k } + \frac { \gamma } { 2 } ( I - W ) ( \mathbf { x } _ { k } - \eta _ { k } G _ { k } - { D } _ { k } ) } \\ & { = \tilde { W } { D } _ { k } + ( I - \tilde { W } ) E _ { k } + ( I - \tilde { W } ) ( \mathbf { x } _ { k } - \eta _ { k } G _ { k } ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { B } ^ { * } } & { \mathbf { A } ^ { * } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { U } } \\ { \mathbf { U } ^ { * } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { R } } \\ { \mathbf { R } ^ { * } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \mathbf { B } _ { \mathrm { d i p } } ( \mathbf { r } ) = \frac { \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } } { 4 \pi } \frac { 3 \mathbf { r } \left( \mathbf { I } \cdot \mathbf { r } \right) - r ^ { 2 } \mathbf { I } } { r ^ { 5 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { J ( s , i , r ) = \left( \begin{array} { l l l } { - \beta i ( g _ { s } s + g ) - \mu } & { - \beta s ( g _ { i } i + g ) } & { - \beta s i g _ { r } } \\ { \beta i ( g _ { s } s + g ) } & { \beta s ( g _ { i } i + g ) + \phi r - ( \mu + \gamma ) } & { \beta s i g _ { r } + \phi i } \\ { 0 } & { \gamma - \phi r } & { - \phi i - \mu } \end{array} \right) , } \end{array}
\langle \mathcal { A } _ { t } ^ { 2 } \rangle \approx \langle \mathcal { A } _ { c _ { S } } ^ { 2 } \rangle \gg \langle \mathcal { T } _ { p } ^ { 2 } \rangle = 4 \langle \mathit { \Pi } _ { \overline { { I } } } ^ { 2 } \rangle = 4 \langle \mathcal { T } _ { \overline { { I } } } ^ { 2 } \rangle = \langle \mathcal { A } _ { c _ { I } } ^ { 2 } \rangle \gg \langle \mathcal { D } ^ { 2 } \rangle \gg \langle \mathcal { I } ^ { 2 } \rangle ,
{ \begin{array} { r l } { \left[ { \left[ \begin{array} { l l l } { a } & { b } & { c } \\ { 0 } & { d } & { e } \\ { 0 } & { 0 } & { f } \end{array} \right] } , { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { x } & { y } \\ { 0 } & { 0 } & { z } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \right] } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { a x } & { a y + b z } \\ { 0 } & { 0 } & { d z } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } - { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { d x } & { e x + y f } \\ { 0 } & { 0 } & { f z } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { ( a - d ) x } & { ( a - f ) y - e x + b z } \\ { 0 } & { 0 } & { ( d - f ) z } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } } \end{array} }
- \frac { 2 N _ { c } g _ { t } ^ { 6 } D 6 } { 3 } ( \Phi ^ { \dag } \Phi ) ^ { 3 } + \frac { N _ { c } g _ { t } ^ { 2 } g _ { w } ^ { 4 } D 6 } { 1 6 } ( A _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \Phi ^ { \dag } \Phi \, ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathbf { m } } { \partial \tau } = \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { p } , \quad \frac { \partial \mathbf { p } } { \partial \tau } = - \frac { \partial U } { \partial \mathbf { m } } \, . } \end{array}
\phi _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } ( R , Z ) - \frac { r _ { 0 } \dot { \bar { z } } } { 2 \Gamma } \, ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } \, = \, \Phi _ { \epsilon } \biggl ( \frac { \eta _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } ( R , Z ) } { 1 + \epsilon R } \biggr ) + \mathcal { O } \bigl ( \epsilon ^ { M + 1 - } \bigr ) \, ,
\frac { D \left< { u _ { i } ^ { \prime } } ^ { + } { \theta ^ { \prime } } ^ { + } \right> } { D t ^ { + } } = \underbrace { P _ { i \theta } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ P ~ r ~ o ~ d ~ u ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ~ } } - \underbrace { \epsilon _ { i \theta } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ D ~ i ~ s ~ s ~ i ~ p ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ~ } } + \underbrace { T _ { i \theta } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ T ~ u ~ r ~ b ~ u ~ l ~ e ~ n ~ t ~ d ~ i ~ f ~ f ~ u ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } ~ } } + \underbrace { D _ { i \theta } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ M ~ o ~ l ~ e ~ c ~ u ~ l ~ a ~ r ~ d ~ i ~ f ~ f ~ u ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } ~ } } + \underbrace { \Pi _ { i \theta } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ P ~ r ~ e ~ s ~ s ~ u ~ r ~ e ~ - ~ t ~ e ~ m ~ p ~ e ~ r ~ a ~ t ~ u ~ r ~ e ~ g ~ r ~ a ~ d ~ i ~ e ~ n ~ t ~ c ~ o ~ r ~ r ~ e ~ l ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ~ } }
{ \begin{array} { r l } { \langle 0 | T \{ \phi ( x _ { 1 } ) \phi ( x _ { 2 } ) \phi ( x _ { 3 } ) \phi ( x _ { 4 } ) \} | 0 \rangle } & { = \langle 0 | T \{ \phi ( x _ { 1 } ) \phi ( x _ { 2 } ) \} | 0 \rangle \langle 0 | T \{ \phi ( x _ { 3 } ) \phi ( x _ { 4 } ) \} | 0 \rangle } \\ & { + \langle 0 | T \{ \phi ( x _ { 1 } ) \phi ( x _ { 3 } ) \} | 0 \rangle \langle 0 | T \{ \phi ( x _ { 2 } ) \phi ( x _ { 4 } ) \} | 0 \rangle } \\ & { + \langle 0 | T \{ \phi ( x _ { 1 } ) \phi ( x _ { 4 } ) \} | 0 \rangle \langle 0 | T \{ \phi ( x _ { 2 } ) \phi ( x _ { 3 } ) \} | 0 \rangle . } \end{array} }