harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { \mu \Delta { \pmb v } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) - \nabla p ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) = \frac { \mu } { k } { \pmb v } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) } \\ { \nabla \cdot { \pmb v } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) = 0 , \qquad { \pmb x } \in D _ { b } } \end{array} \right.
{ \bf j } ^ { \uparrow } = \left( 1 + 2 \rho \ \frac { \partial \varepsilon _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { m G G A } } } { \partial \kappa ^ { \uparrow } } \right) { \bf j } _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } ^ { \uparrow } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial ^ { 2 } x } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial ^ { 2 } y } + \lambda u - f ( x , y ) = 0 , } \\ & { u ( x , 2 ) = 0 , \, \, \, u ( - 2 , y ) = 0 , \, \, \, u ( x , - 2 ) = 0 , \, \, \, u ( y , 2 ) = 0 , } \\ & { f = - \left( a _ { 1 } \pi \right) ^ { 2 } \sin \left( a _ { 1 } \pi x \right) \sin \left( a _ { 2 } \pi y \right) } \\ & { \quad - \left( a _ { 2 } \pi \right) ^ { 2 } \sin \left( a _ { 1 } \pi x \right) \sin \left( a _ { 2 } \pi y \right) } \\ & { \quad + \lambda \sin \left( a _ { 1 } \pi x \right) \sin \left( a _ { 2 } \pi y \right) , } \end{array}
( - 1 / N _ { c } ) \langle 1 _ { q 1 } 1 _ { 1 2 } 1 _ { 2 3 } \cdots 1 _ { i , i + 1 } \cdots 1 _ { n \overline { { { q } } } } \mid 1 _ { 2 } ( 1 _ { q 1 } 1 _ { 1 3 } 1 _ { 3 4 } \cdots 1 _ { i , i + 1 } \cdots 1 _ { n \overline { { { q } } } } ) \rangle
{ \cal P } _ { \mathrm { A } } ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ) = \langle \nu _ { \beta } | \left( \begin{array} { c c } { { C _ { f } ^ { 2 } } } & { { S _ { f } ^ { 2 } } } \\ { { S _ { f } ^ { 2 } } } & { { C _ { f } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { C _ { i } ^ { 2 } } } & { { S _ { i } ^ { 2 } } } \\ { { S _ { i } ^ { 2 } } } & { { C _ { i } ^ { 2 } } } \end{array} \right) | \nu _ { \alpha } \rangle ,
\mathrm { t r } [ a _ { 1 } ^ { \dagger } ( \frac { P ^ { + } } { 3 } ) a _ { 2 } ^ { \dagger } ( \frac { 2 P ^ { + } } { 3 } ) ] | 0 \rangle + \mathrm { t r } [ a _ { 2 } ^ { \dagger } ( \frac { P ^ { + } } { 3 } ) a _ { 1 } ^ { \dagger } ( \frac { 2 P ^ { + } } { 3 } ) ] | 0 \rangle ,
\begin{array} { r l r } { \langle g _ { v } , g _ { w } \rangle } & { = } & { ( | v | _ { x } + | v | _ { y } ) ( | w | _ { x } + | w | _ { y } ) - 2 ( | v | _ { x } + | v | _ { y } ) | w | _ { x } - 2 ( | v | _ { x } + | v | _ { y } ) | w | _ { y } } \\ & { } & { \qquad + | v | _ { x } | w | _ { x } + 2 | v | _ { x } | w | _ { y } + | v | _ { y } | w | _ { y } } \\ & { = } & { | v | _ { x } | w | _ { y } - | v | _ { y } | w | _ { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { h } _ { 1 } = \left( { 1 - ( 1 - p q ) ^ { \bar { v } - 2 } } \right) { h } _ { 2 } + \frac { ( 1 - p q ) ^ { \bar { v } - 2 } { h } _ { 2 } } { 1 + ( 1 - p ) ( 1 - q ) } } \\ & { { h } _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 - ( 1 - p q ) ^ { \bar { v } - 2 } \left( 2 - \frac { 1 } { 1 + ( 1 - p ) ( 1 - q ) } \left( \frac { 1 + p q } { p q } \right) \right) } } \\ & { { h } _ { j } = ( 1 - p q ) ^ { \bar { v } - 2 } { h } _ { 2 } , \quad 2 \leq j \leq \bar { v } } \\ & { { h } _ { \bar { v } + i } = \left( \frac { r _ { 2 } - ( 1 - p q ) } { r _ { 2 } - r _ { 1 } } r _ { 1 } ^ { i } + \frac { ( 1 - p q ) - r _ { 1 } } { r _ { 2 } - r _ { 1 } } r _ { 2 } ^ { i } \right) { h } _ { \bar { v } } , \quad i \geq 1 } \end{array}
2 1 \frac { d \bar { x } _ { 2 } } { d t } + \left( 2 \beta _ { 0 } \bar { x } _ { 0 } ( t ) \right) \bar { x } _ { 2 } = - \beta _ { 2 } \bar { x } _ { 0 } ^ { 4 } ( t ) - 3 \beta _ { 1 } \bar { x } _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) \bar { x } _ { 1 } ( t ) - \beta _ { 0 } \bar { x } _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) , \; \; \; \bar { x } _ { 2 } ( 0 ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { S _ { \Sigma } ^ { \mathrm { f b } } } & { { } = \Bigg ( \frac { | P _ { \Delta } | ^ { 2 } + 2 r \Omega G _ { 1 2 } \Im ( P _ { \Delta } e ^ { i \Omega \tau } ) + r ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } G _ { 1 2 } ^ { 2 } } { | P _ { \Sigma } P _ { \Delta } + \Omega ^ { 2 } G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } e ^ { - 2 i \Omega \tau } | ^ { 2 } } \Bigg ) \Omega ^ { 2 } g ^ { 2 } S _ { \mathrm { n n } } , } \\ { S _ { \Delta } ^ { \mathrm { f b } } } & { { } = \Bigg ( \frac { r ^ { 2 } | P _ { \Sigma } | ^ { 2 } + 2 r \Omega G _ { 2 1 } \Im ( P _ { \Sigma } e ^ { i \Omega \tau } ) + \Omega ^ { 2 } G _ { 2 1 } ^ { 2 } } { | P _ { \Sigma } P _ { \Delta } + \Omega ^ { 2 } G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } e ^ { - 2 i \Omega \tau } | ^ { 2 } } \Bigg ) \Omega ^ { 2 } g ^ { 2 } S _ { \mathrm { n n } } , } \end{array}
\tilde { L } ^ { ( 0 ) } = \pi _ { i } \dot { a } _ { i } + ( a _ { i } a _ { i } - 1 ) { \eta } - M - \frac { 1 } { 8 \lambda } \pi _ { i } \pi _ { i } + \frac { 1 } { 4 \lambda } ( a _ { i } \pi _ { i } ) \theta - \frac { 1 } { 8 \lambda } a _ { i } ^ { 2 } \theta ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { F _ { \mathrm { c v } } } & { = } & { 4 \pi \bar { \kappa } _ { \mathrm { d } } ( 1 - g _ { \mathrm { v e s } } ) + \int { \mathrm { d } } A \ \Big \{ 2 \kappa _ { \mathrm { d } } H ^ { 2 } ( 1 - \phi ) } \\ & { } & { + \frac { \kappa _ { \mathrm { p i } } } { 2 } ( 2 H - C _ { 0 } ) ^ { 2 } \phi + ( \bar { \kappa } _ { \mathrm { p i } } - \bar { \kappa } _ { \mathrm { d } } ) K \phi \Big \} , } \end{array}
{ \cal S } ( t ) = \frac { 4 ~ \! { \cal F } ^ { 2 } ~ \! q ( 1 - q ) } { k ( w + w _ { r } ) } \left( 1 - \frac { w ~ \! \mathrm { ~ e ~ } ^ { - w _ { r } ~ \! t } } { w - w _ { r } } + \frac { w _ { r } ~ \! \mathrm { ~ e ~ } ^ { - w ~ \! t } } { w - w _ { r } } \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \phi _ { 0 r } } & { { } = } & { \left( \phi _ { 0 i } - c A _ { 0 i } \right) \frac { \left( n ^ { 2 } - 1 \right) \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } { n ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { i } + \cos \theta _ { i } \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { \phi _ { 0 t } } & { { } = } & { c A _ { 0 t } = \phi _ { 0 i } + \phi _ { 0 r } , } \\ { A _ { 0 r } } & { { } = } & { A _ { 0 i } - \phi _ { 0 i } / c + \phi _ { 0 r } / c , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 r } } & { { } = } & { \left( \phi _ { 0 i } / c - A _ { 0 i } \right) \frac { 2 n ^ { 2 } \sin \theta _ { i } } { n ^ { 2 } \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 t } } & { { } = } & { \frac { \overline { { A } } _ { 0 r } } { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \chi \in \hat { A } } \| \sum _ { \gamma \in \Gamma } c _ { \gamma } \tilde { f } _ { \gamma } \| _ { \ensuremath { \ell ^ { 1 } } ( \ensuremath { \mathcal { G } } ^ { \chi } ) } } & { = \operatorname* { s u p } _ { \chi \in \hat { A } } \sum _ { g A \in \Gamma / A } \left| \sum _ { \gamma \in \Gamma } c _ { \gamma } \tilde { f } _ { \gamma } ( [ g , 1 , g ^ { - 1 } \chi ] ) \right| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \chi \in \hat { A } } \sum _ { g A \in \Gamma / A } \left| \sum _ { \gamma \in g A } c _ { \gamma } \chi ( g \gamma ^ { - 1 } ) \right| } \\ & { \leq \sum _ { \gamma } | c _ { \gamma } | \ensuremath { \, \mathrm { . } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \kappa = - \frac { 1 } { s _ { v } } \, \iota _ { v } \, \frac { \partial \alpha _ { v } } { \partial t } + \frac { 1 } { s _ { v } } \, \pounds _ { v } ^ { 2 } \log s _ { v } - \frac { 3 } { s _ { v } } \, ( \pounds _ { v } \log s _ { v } ) ^ { 2 } \ , } \end{array}
\exp ( - F _ { Q } ) \sim \int d N \exp [ N \ \ l n ( L ^ { 3 } \lambda ) - \frac { N + Q } { 2 } ( l n \frac { N + Q } { 2 } - 1 ) - \frac { N - Q } { 2 } ( l n \frac { N - Q } { 2 } - 1 ) - \frac { Q ^ { 2 } } { L } ]
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { 0 } s \log ( 1 + \exp ( s / \varepsilon ) ) d s } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \varepsilon \log ( t ) \log ( 1 + t ) } { t / \varepsilon } d t } \\ & { = \varepsilon ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \log ( t ) \log ( t + 1 ) d \log ( t ) } \\ & { = \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \left. ( \log ( t ) ) ^ { 2 } \log ( t + 1 ) \right| _ { 0 } ^ { 1 } - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \log ( t ) ) ^ { 2 } d \log ( t + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { S } ( l ^ { \prime } , l ) } & { = \frac { z } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( l ^ { \prime } - a ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { l ^ { \prime } - l _ { s } } { \sigma _ { s } } \right) ^ { 2 } } } \\ { K _ { A } ( l ^ { \prime } , l ) } & { = \frac { 2 z } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( 2 l ^ { \prime } - l - a ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { l ^ { \prime } - l _ { s } } { \sigma _ { s } } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
( a _ { 1 } + i b _ { 1 } ) \cdot ( a _ { 2 } + i b _ { 2 } ) = ( a _ { 1 } a _ { 2 } - b _ { 1 } b _ { 2 } ) + i ( a _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } ) .
\frac { \partial | u _ { \mathbf { k } } \rangle } { \partial k _ { i } } \approx \frac { | u _ { \mathbf { k } + \Delta k _ { i } \hat { \mathbf { k } } _ { i } } \rangle - | u _ { \mathbf { k } - \Delta k _ { i } \hat { \mathbf { k } } _ { i } } \rangle } { 2 \Delta k _ { i } } + \mathcal { O } ( \Delta k _ { i } ^ { 2 } ) ,
\mathbb { E } _ { y \sim N _ { \rho } ( x ) } \left[ \prod _ { i \in [ n ] } \omega _ { i } ^ { u _ { i } y _ { i } } \right] = \prod _ { i \in [ n ] } \left( \rho \cdot \omega _ { i } ^ { u _ { i } x _ { i } } + \frac { 1 - \rho } { m _ { i } } \sum _ { z \in \mathbb { Z } _ { m _ { i } } } \omega _ { i } ^ { u _ { i } z } \right) = \rho ^ { ( \# u ) } \prod _ { i \in [ n ] } \omega _ { i } ^ { u _ { i } x _ { i } } .
T \, ( p ^ { ' } , \, P , \, p ; \, \alpha ) \, = \, \frac { \alpha \, \Phi \, ( p ^ { ' } \, / \, \Lambda _ { 0 } ; \, \alpha ) \, \cdot \, \alpha \, \overline { { { \Phi } } } \, ( p \, / \, \Lambda _ { 0 } ; \, \alpha ) } { P ^ { 2 } \, + \, c \, \Lambda _ { 0 } ^ { 2 } } \, + \, [ \mathrm { r e g u l a r ~ t e r m s } ] \, \, ,
\begin{array} { r } { F \left[ \textbf { q } \left( t \right) , t \right] \rvert _ { t \in \left( t _ { 1 } + k \Delta , t _ { 1 } + \left( k + 1 \right) \Delta \right) } \approx F _ { k } = \mathrm { c o n s t } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( k _ { 1 } \triangleright k _ { 2 } ) ( t , x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) = \int _ { 0 } ^ { t } \ensuremath { \mathrm { d } } s \iint _ { U ^ { 2 } } \ensuremath { \mathrm { d } } z \, \ensuremath { \mathrm { d } } z ^ { \prime } \, k _ { 1 } ( t - s , x , x ^ { \prime } , z , z ^ { \prime } ) k _ { 2 } ( s , z , z ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) f ( z - z ^ { \prime } ) } \end{array}
\tilde { a } \left( o , \mathbf { p } , t \right) = \frac { f \left( t \right) } { 2 \Delta } \left\{ \Omega _ { 1 } \exp \left[ - i \left( \Delta _ { 1 } t + \phi _ { 1 } \left( t \right) \right) \right] \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } - \hbar \mathbf { q } _ { 1 } , t \right) + \Omega _ { 2 } \exp \left[ - i \left( \Delta _ { 2 } t + \phi _ { 2 } \left( t \right) \right) \right] \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } - \hbar \mathbf { q } _ { 2 } , t \right) \right\} ,
s = \frac { \Delta n _ { \mathrm { o r i } } } { n _ { \mathrm { o r i } } ( t _ { \mathrm { i } } ) } = \frac { n _ { \mathrm { o r i } } ( t _ { \mathrm { f } } ) - n _ { \mathrm { o r i } } ( t _ { \mathrm { i } } ) } { n _ { \mathrm { o r i } } ( t _ { \mathrm { i } } ) }
V = \frac { \Delta V - 2 \rho J z } { 2 \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) } \ln \! \left( \frac { \sqrt { \left( x + a \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { \left( x - a \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) ,
H _ { \mathrm { m o l } } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } \frac { { \mathbf { P } } _ { \alpha } ^ { 2 } } { 2 M _ { \alpha } } + H _ { e } ( x ; { \mathbf { r } } , { \mathbf { p } } , { \mathbf { S } } ) ,
\begin{array} { r l } { a _ { 1 , 1 } x _ { 1 } + a _ { 1 , 2 } x _ { 2 } + } & { { } \cdots + a _ { 1 , n } x _ { n } = b _ { 1 } } \\ { a _ { m , 1 } x _ { 1 } + a _ { m , 2 } x _ { 2 } + } & { { } \cdots + a _ { m , n } x _ { n } = b _ { m } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { ( - i \, \sqrt { 3 } ) ^ { 5 / 2 } } { 4 } \, z ^ { 3 / 2 } \, \exp \left( \frac { 2 i \, \sqrt { 3 } } { 3 z } \right) \, \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - 2 \pi \, i ( - 5 / 2 ) } \right) \int _ { i \, \sqrt { 3 } } ^ { i \, \infty } ( \xi - i \, \sqrt { 3 } ) ^ { - 5 / 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { = } & { \frac { ( - i \, \sqrt { 3 } ) ^ { 5 / 2 } } { 2 } \, z ^ { 3 / 2 } \, \exp \left( - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 z } \right) \, \int _ { 0 } ^ { i \, \infty } u ^ { - 5 / 2 } \, \mathrm { e } ^ { - 5 / 2 } \, \mathrm { d } u } \\ & { = } & { \frac { ( - i \, \sqrt { 3 } ) ^ { 5 / 2 } } { 2 } \, \exp \left( - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 z } \right) \, \int _ { 0 } ^ { + \infty } \tau ^ { - 5 / 2 } \, \mathrm { e } ^ { - \tau } \, \mathrm { d } \tau } \\ & { = } & { \frac { ( - i \, \sqrt { 3 } ) ^ { 5 / 2 } } { 2 } \, \exp \left( - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 z } \right) \, \Gamma \left( - \frac { 3 } { 2 } \right) = \frac { ( - i \, \sqrt { 3 } ) ^ { 5 / 2 } } { 2 } \, \frac { \pi } { \Gamma \left( 1 + \frac { 3 } { 2 } \right) } \exp \left( - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 z } \right) } \\ & { = } & { \frac { 2 \, ( - i \, \sqrt { 3 } ) ^ { 5 / 2 } \, \sqrt { \pi } } { 3 } \, \exp \left( - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 z } \right) = \mu _ { 1 } \, y _ { 2 } ( z ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda } & { { } = } & { \frac { 3 } { 2 } \left( \langle p _ { 3 } ^ { 2 } \rangle - 1 \right) = \langle \textrm { P } _ { 2 } \left( p _ { 3 } \right) \rangle - 1 , } \\ { \bar { \lambda } } & { { } = } & { \frac { 6 \langle p _ { 3 } ^ { 2 } \rangle - 5 \langle p _ { 3 } ^ { 4 } \rangle - 3 } { 8 } = \frac { \langle \textrm { P } _ { 2 } \left( p _ { 3 } \right) \rangle - \langle \textrm { P } _ { 4 } \left( p _ { 3 } \right) \rangle } { 7 } - \frac { 1 } { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textstyle U _ { 1 } : = \operatorname* { m a x } _ { u \in \mathcal { W } , p \in [ P ] } \| f _ { p } ^ { \prime } ( u ; \mathcal { D } _ { p } ) \| , } \\ & { \textstyle U _ { 2 } : = \operatorname* { m a x } _ { u , v \in \mathcal { W } } \| u - v \| , } \\ & { \textstyle U _ { 3 } : = \operatorname* { m a x } _ { u \in \mathcal { W } , p \in [ P ] , \mathcal { D } _ { p } ^ { \prime } \in \widehat { \mathcal { D } } _ { p } } \| f _ { p } ^ { \prime } ( u ; \mathcal { D } _ { p } ) - f _ { p } ^ { \prime } ( u ; \mathcal { D } _ { p } ^ { \prime } ) \| _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \delta h ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { l _ { T } ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { { } \mathcal { J } \mathcal { M } | \hat { s } _ { 3 , q } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } ^ { \prime } \mathcal { M } \rangle = } \end{array}
\theta _ { a b } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { \theta _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \theta _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \theta _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \theta _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \theta _ { i j } } } \end{array} \right) , \ i , j = 5 , \dots , 2 p \ .
\begin{array} { r } { \mathfrak { S } _ { 1 } ^ { n } : = \left( \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n + 1 } } - \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n } } \right) \Big ( \Delta _ { x } + \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } \Big ) u ^ { n } , \ \ \mathfrak { S } _ { 2 } ^ { n } : = - ( w ^ { n - 1 } \cdot \nabla _ { x } ) u ^ { n } , \ \ \mathfrak { S } _ { 3 } ^ { n } : = - ( u ^ { n - 1 } \cdot \nabla _ { x } ) w ^ { n - 1 } , } \\ { \mathfrak { S } _ { 4 } ^ { n } : = - \nabla _ { x } \left[ \pi ( \varrho ^ { n - 1 } ) - \pi ( \varrho ^ { n } ) \right] , \ \ \mathfrak { S } _ { 5 } ^ { n } : = \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n } } ( j _ { f ^ { n } } - \rho _ { f ^ { n } } u ^ { n } ) - \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n - 1 } } ( j _ { f ^ { n - 1 } } - \rho _ { f ^ { n - 1 } } u ^ { n - 1 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \theta : \ } & { \rho \left( { \partial _ { t } u _ { \theta } } + u _ { r } { \partial _ { r } u _ { \theta } } + { \frac { u _ { \varphi } } { r \sin \theta } } { \partial _ { \varphi } u _ { \theta } } + { \frac { u _ { \theta } } { r } } { \partial _ { \theta } u _ { \theta } } + { \frac { u _ { r } u _ { \theta } - u _ { \varphi } ^ { 2 } \cot \theta } { r } } \right) } \\ & { \quad = - { \frac { 1 } { r } } { \partial _ { \theta } p } } \\ & { \qquad + \mu \left( { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \partial _ { r } \left( r ^ { 2 } { \partial _ { r } u _ { \theta } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { \partial _ { \varphi } ^ { 2 } u _ { \theta } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } \partial _ { \theta } \left( \sin \theta { \partial _ { \theta } u _ { \theta } } \right) + { \frac { 2 } { r ^ { 2 } } } { \partial _ { \theta } u _ { r } } - { \frac { u _ { \theta } + 2 \cos \theta { \partial _ { \varphi } u _ { \varphi } } } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } \right) } \\ & { \qquad + { \frac { 1 } { 3 } } \mu { \frac { 1 } { r } } \partial _ { \theta } \left( { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \partial _ { r } \left( r ^ { 2 } u _ { r } \right) + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } \partial _ { \theta } \left( u _ { \theta } \sin \theta \right) + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \partial _ { \varphi } u _ { \varphi } } \right) } \\ & { \qquad + \rho g _ { \theta } . } \end{array} }
\| \mathscr { A } _ { n } h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } = n \iint _ { [ - \frac { n } { 2 } , \frac { n } { 2 } ] ^ { 2 } } \frac { \Omega ( \frac { \xi - k ^ { \prime } } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) ^ { 4 } | \widehat { \varphi } _ { n } ( \xi ) | ^ { 2 } } { \alpha _ { n } ^ { - 2 } \Lambda ( \frac { \xi - k ^ { \prime } } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) ^ { 2 } + \Omega ( \frac { \xi - k ^ { \prime } } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) ^ { 2 } } d \xi d k ^ { \prime } .
G = \mathbb { T } ^ { 2 } = \left\{ \left. \left( { \begin{array} { l l } { e ^ { 2 \pi i \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { 2 \pi i \phi } } \end{array} } \right) \right| \theta , \phi \in \mathbb { R } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \overline { { e ( H _ { \theta } ) } } } & { = \frac { 1 } { M + 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { M } H ( y ( t _ { n } ) ) - H _ { \theta } ( y ( t _ { n } ) ) , } \\ { e ( H _ { \theta } ) } & { = \frac { 1 } { M + 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { M } \bigg | H ( y ( t _ { n } ) ) - H _ { \theta } ( y ( t _ { n } ) ) - \overline { { e ( H _ { \theta } ) } } \bigg | , } \end{array}
k _ { F G R } = \frac { 2 \pi } { \hbar } \sum _ { i \in S _ { i } } \sum _ { f \in S _ { f } } p _ { i } \left| \langle \psi _ { f } | \hat { H } _ { c } | \psi _ { i } \rangle \right| ^ { 2 } \delta ( E _ { f } - E _ { i } ) ,
\begin{array} { r l r } & { F ( x , u ( x ) , D u ( x ) ) = 0 , \enspace } & { x \in \mathcal { O } \ , } \\ & { F ( x , u ( x ) , D u ( x ) ) \geq 0 , \enspace } & { x \in \partial \mathcal { O } \setminus ( \partial _ { \mathrm t } \mathcal { O } ) \ , } \\ & { u ( x ) = 0 , \enspace } & { x \in \partial _ { \mathrm t } \mathcal { O } \ . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { g _ { \mu \nu } } & { = [ S 1 ] \times \operatorname { d i a g } ( - 1 , + 1 , + 1 , + 1 ) } \\ { { R ^ { \mu } } _ { \alpha \beta \gamma } } & { = [ S 2 ] \times \left( \Gamma _ { \alpha \gamma , \beta } ^ { \mu } - \Gamma _ { \alpha \beta , \gamma } ^ { \mu } + \Gamma _ { \sigma \beta } ^ { \mu } \Gamma _ { \gamma \alpha } ^ { \sigma } - \Gamma _ { \sigma \gamma } ^ { \mu } \Gamma _ { \beta \alpha } ^ { \sigma } \right) } \\ { G _ { \mu \nu } } & { = [ S 3 ] \times \kappa T _ { \mu \nu } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { J ( \Delta + 1 , \tilde { k } ) - J ( \Delta , \tilde { k } ) } & { = - P ( \tilde { Z } = \tilde { k } + \Delta ) } \\ & { + \frac { P ( \tilde { Z } = \tilde { k } + \Delta + 1 ) - P ( \tilde { Z } = \tilde { k } + \Delta ) } { P ( \tilde { Z } = \tilde { k } ) } [ P ( \tilde { Z } < \tilde { k } ) - \alpha ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ( f ) \circ o } & { = I ( g ) \circ o } & { \mathrm { ~ o ~ e q u a l i s e s ~ I ( f ) , I ( g ) ~ } } \\ { I ( f ) \circ ( o \circ p ) } & { = I ( g ) \circ ( o \circ p ) } & { \mathrm { p r e c o m p o s i t i o n ~ b y ~ p ~ } } \\ { I ( f ) \circ ( m \circ w ) } & { = I ( g ) \circ ( m \circ w ) } & { o \circ p = m \circ w } \\ { ( I ( f ) \circ m ) \circ w } & { = ( I ( g ) \circ m ) \circ w } \\ { I ( f ) \circ m } & { = I ( g ) \circ m } & { \mathrm { q u o t i e n t ~ w ~ i s ~ e p i c } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { \| } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } + 2 r ( v _ { \| } \cos \theta + v _ { \perp } \cos \alpha \sin \theta ) + r ^ { 2 } } \\ & { \quad = v _ { \| } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + v _ { \perp } ^ { 2 } ( \cos ^ { 2 } \theta + \sin ^ { 2 } \alpha \sin ^ { 2 } \theta ) + ( r + v _ { \| } \cos \theta + v _ { \perp } \cos \alpha \sin \theta ) ^ { 2 } } \\ & { \quad \geq v _ { \perp } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + ( r + v _ { \| } \cos \theta + v _ { \perp } \cos \alpha \sin \theta ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { u _ { m } ^ { \prime } v _ { m } ^ { \prime } } } + \overline { { u _ { T } ^ { \prime } v _ { T } ^ { \prime } } } } & { = \frac { 1 } { 2 } j ^ { 2 } l ^ { 2 } b \left( { A _ { m } ^ { 2 } } + { B _ { m } ^ { 2 } } + { A _ { T } ^ { 2 } } + { B _ { T } ^ { 2 } } \right) \sin ^ { 2 } l y , } \\ { \overline { { u _ { m } ^ { \prime } v _ { T } ^ { \prime } } } + \overline { { u _ { T } ^ { \prime } v _ { m } ^ { \prime } } } } & { = j ^ { 2 } l ^ { 2 } b \left( { A _ { m } A _ { T } } + { B _ { m } B _ { T } } \right) \sin ^ { 2 } l y . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \Phi _ { 0 0 } \rangle = E _ { 0 } ( r ) | D \rangle | - \ell \rangle , } \\ & { | \Phi _ { 0 1 } \rangle = E _ { 0 } ( r ) | D \rangle | \ell \rangle , } \\ & { | \Phi _ { 1 0 } \rangle = E _ { 0 } ( r ) | A \rangle | - \ell \rangle , } \\ & { | \Phi _ { 1 1 } \rangle = E _ { 0 } ( r ) | A \rangle | \ell \rangle . } \end{array}
\xi _ { 0 } = \xi _ { 1 } , \; \; a = \frac { 3 v } { 2 \xi _ { 0 } } , \; \; b = 0 , \; \; c = \frac { - 3 v } { \xi _ { 0 } ^ { 3 } } = - \frac { 8 a ^ { 3 } } { 9 v ^ { 2 } } .
\tilde { a } ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { r l } { { a ( \tau ) } } & { { 0 \leq \tau \leq t _ { 1 } } } \\ { { { } ^ { \rho } a ( \tau ) } } & { { t _ { 1 } \leq \tau \leq t , } } \end{array} \right.