harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle } & { = \left( \sum _ { k \neq n } \left| k ^ { ( 0 ) } \right\rangle \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right| \right) V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle + \left( \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle \left\langle n ^ { ( 0 ) } \right| \right) V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle } \\ & { = \sum _ { k \neq n } \left| k ^ { ( 0 ) } \right\rangle \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right| V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle + E _ { n } ^ { ( 1 ) } \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { k _ { h } } & { = \frac { 1 } { 8 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } H + \frac { 1 } { 8 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H \delta _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } H - \frac { 1 } { 8 } \lambda _ { 1 } H ^ { 3 } + \frac { 7 } { 8 } \lambda _ { 1 } H \delta _ { 1 } ^ { 2 } + } \\ & { + \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } \delta _ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 2 } H ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } H - \frac { 1 } { 8 } H ^ { 4 } - \frac { 1 } { 4 } H ^ { 3 } \delta _ { 1 } + \frac { 1 } { 8 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } H \delta _ { 1 } ^ { 3 } + \frac { 3 } { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { i + 1 } v _ { i } } & { = ( v _ { i } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots \underline { { v _ { i } } } ) \underline { { v _ { i } } } } \\ & { = v _ { i } ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) } \\ & { = v _ { i } \gamma _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ^ { \prime } } & { = 2 x ( x + 1 ) ( y ^ { \prime \prime } ) ( y ^ { \prime \prime \prime } ) + ( x ^ { \prime } ) ( x + 1 ) ( y ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + x ( x ^ { \prime } ) ( y ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime \prime } + x ^ { \prime \prime } y ^ { \prime \prime } + 4 x ^ { 3 } x ^ { \prime } } \\ & { = ( 2 x ( x + 1 ) y ^ { \prime \prime } + x ^ { \prime } ) ( y ^ { \prime \prime \prime } ) + ( 2 x + 1 ) ( x ^ { \prime } ) ( y ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + x ^ { \prime \prime } y ^ { \prime \prime } + 4 x ^ { 3 } x ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { x _ { j } } [ p _ { i j } ( w _ { i } , w _ { j } , x _ { i } , x _ { j } ) ] } & { = \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \left( \frac { w _ { i } w _ { j } } { n \mu | | x _ { i } - x _ { j } | | ^ { d } } \wedge 1 \right) ^ { \gamma } \mathrm { d } x _ { j } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \left( \frac { w _ { i } w _ { j } } { n \mu r ^ { d } } \wedge 1 \right) ^ { \gamma } \mathbb { P } \left( | | x _ { j } | | = r \right) \mathrm { d } r } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \left( \frac { w _ { i } w _ { j } } { n \mu 2 ^ { - d } V ( r ) } \wedge 1 \right) ^ { \gamma } V ^ { \prime } ( r ) \mathrm { d } r } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } B _ { i } + \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } E _ { k } = 0 \, , } \\ & { } & { \partial _ { t } E _ { i } - c ^ { 2 } \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } B _ { k } = - \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \, j _ { i } \, , } \\ & { } & { \partial _ { j } E _ { j } = \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \, \rho \, , } \\ & { } & { \partial _ { j } B _ { j } = 0 \, , } \end{array}
\nabla \cdot { \boldsymbol { \sigma } } = { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { \partial \sigma _ { x x } } { \partial x } } + { \frac { \partial \sigma _ { y x } } { \partial y } } + { \frac { \partial \sigma _ { z x } } { \partial z } } } \\ { { \frac { \partial \sigma _ { x y } } { \partial x } } + { \frac { \partial \sigma _ { y y } } { \partial y } } + { \frac { \partial \sigma _ { z y } } { \partial z } } } \\ { { \frac { \partial \sigma _ { x z } } { \partial x } } + { \frac { \partial \sigma _ { y z } } { \partial y } } + { \frac { \partial \sigma _ { z z } } { \partial z } } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { t } \operatorname* { m a x } _ { \theta _ { 0 } } \left( z _ { t } ( \theta _ { 0 } ) + \mathbb { E } [ m _ { t } ] \right) } & { = \frac { 1 } { t } \operatorname* { m a x } _ { \theta _ { 0 } } \log \left\| \prod _ { i } ^ { t } ( I - \lambda \hat { H } _ { i } ) ( \theta _ { t } - \theta _ { 0 } ) \right\| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \triangle _ { { \mathbb { S } ^ { 2 } } , 1 } K ( \xi , \zeta ) } & { = \sum _ { j , j ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { j } \sum _ { k = - j } ^ { j } \sum _ { k ^ { \prime } = - j ^ { \prime } } ^ { j ^ { \prime } } a _ { j , j ^ { \prime } , k , k ^ { \prime } } Y _ { j } ^ { k } ( \xi ) \overline { { Y _ { j ^ { \prime } } ^ { k ^ { \prime } } ( \zeta ) } } , } \\ { \triangle _ { { \mathbb { S } ^ { 2 } } , 2 } K ( \xi , \zeta ) } & { = \sum _ { j , j ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { j ^ { \prime } } \sum _ { k = - j } ^ { j } \sum _ { k ^ { \prime } = - j ^ { \prime } } ^ { j ^ { \prime } } a _ { j , j ^ { \prime } , k , k ^ { \prime } } Y _ { j } ^ { k } ( \xi ) \overline { { Y _ { j ^ { \prime } } ^ { k ^ { \prime } } ( \zeta ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } f + v \cdot \nabla _ { x } f + \mathrm { d i v } _ { v } \big [ ( u _ { 2 } - v ) f - \nabla _ { x } p ( \varrho _ { 2 } ) f \big ] + \Big ( u - \nabla _ { x } p ( \varrho _ { 1 } ) + \nabla _ { x } p ( \varrho _ { 2 } ) \Big ) \cdot \nabla _ { v } f _ { 1 } = 0 , } \\ & { \partial _ { t } u + ( u _ { 2 } \cdot \nabla _ { x } ) u + ( u \cdot \nabla _ { x } ) u _ { 1 } + \frac { 1 } { \varrho _ { 1 } } \nabla _ { x } p ( \varrho _ { 1 } ) - \frac { 1 } { \varrho _ { 2 } } \nabla _ { x } p ( \varrho _ { 2 } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad - \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } \varrho _ { 1 } } \Big ( \Delta _ { x } + \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } \Big ) u - \left( \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } \varrho _ { 1 } } - \frac { 1 } { \alpha _ { 2 } \varrho _ { 2 } } \right) \Big ( \Delta _ { x } + \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } \Big ) u _ { 2 } = j _ { f } - \rho _ { f } u _ { 1 } - \rho _ { f _ { 2 } } u , } \end{array}
\overline { { { d } } } _ { 4 } ^ { \mathrm { N N A } } = \beta _ { 0 } ^ { 3 } \left( { \frac { 1 7 5 9 7 } { 3 2 4 } } + { \frac { 2 0 } { 3 } } \zeta ( 3 ) - 6 0 \zeta ( 5 ) \right)
\int _ { t ^ { 0 } } ^ { t ^ { \prime } } u _ { j } ( \tau , t ) d \tau = \int _ { t ^ { 0 } } ^ { t ^ { 0 } + \Delta t _ { 1 } } + \int _ { t ^ { 0 } + \Delta t _ { 1 } } ^ { t ^ { 0 } + \Delta t _ { 2 } } + \int _ { t ^ { 0 } + \Delta t _ { 2 } } ^ { t ^ { 0 } + \Delta t _ { 3 } } + \int _ { t ^ { 0 } + \Delta t _ { 3 } } ^ { t ^ { \prime } }
\mathrm { ~ P ~ } _ { \mathcal { W } } ( X _ { 0 : T } ) = \exp \left( - \frac { 1 } { 2 \mathrm { ~ d ~ } t } \sum _ { t } \| X _ { t + \mathrm { ~ d ~ } t } - X _ { t } \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) ,
2 L R T _ { 0 } : \, \, \, \, \, \, V _ { a b s } ^ { s i m , e x p } \, = \, V _ { t h e r m } ^ { s i m } \, < \, V _ { p r o b e } ^ { s i m , e x p } \, < \, V _ { t h e r m } ^ { e x p } .
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta - \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \alpha + \gamma } \sin \left( \left( 2 \alpha + \gamma - \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \beta + \mu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \alpha + \beta + \gamma } \sin \left( \left( \alpha + \gamma - \beta - \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 3 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \gamma + \mu \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \alpha + \beta + \gamma } \sin \left( \left( \alpha + \beta - \gamma - \mu \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \gamma \right) } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) , } \end{array}
r > a : \quad \frac { v ( r ) } { c } = \sqrt { \frac { G } { c ^ { 2 } } \cdot \frac { 2 m } { L } } \cdot \frac { 1 } { \left( 1 + r ^ { 2 } / L ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 4 } } , \qquad \frac { v ^ { 2 } ( r ) } { c ^ { 2 } } = \frac { G } { c ^ { 2 } } \cdot \frac { 2 m } { r } \cdot \frac { 1 } { \left( 1 + L ^ { 2 } / r ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \left\langle w _ { i } ^ { x } \left( t , \mathbf { x } \right) w _ { j } ^ { x } \left( t , \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { { } = } & { \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) \delta _ { i j } } \\ { \left\langle \tilde { w } _ { i } ^ { k } \left( t , \mathbf { k } \right) \tilde { w } _ { j } ^ { k } \left( t , \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { { } = } & { \delta \left( \mathbf { k } - \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) \delta _ { i j } } \\ { \left\langle \tilde { w } _ { i } ^ { k f } \left( t , \mathbf { k } \right) \tilde { w } _ { j } ^ { k f } \left( t ^ { \prime } , \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { { } = } & { \left\langle f _ { i } ^ { ( n ) } \left( \tilde { \mathbf { w } } ^ { k } \left( t , \mathbf { k } \right) \right) f _ { j } ^ { ( n ) } \left( \tilde { \mathbf { w } } ^ { k } \left( t ^ { \prime } , \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \right) \right\rangle . } \end{array}
\mathbf { R } ^ { + } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \mathbf { A } _ { 0 } ^ { + } } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { \mathbf { D } _ { 0 } ^ { + } } & { \mathbf { A } _ { 1 } ^ { + } } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { D } _ { 1 } ^ { + } } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mathbf { D } _ { J - 1 } ^ { + } } & { \mathbf { A } _ { J } ^ { + } } \end{array} \right]
\chi _ { \mathrm { m o d } } ^ { 2 } = \sum _ { i \in \mathrm { b i n s } } ^ \frac { ( N _ { i } ^ { \mathrm { e x p } } - N _ { i } ^ { \mathrm { o b s } } ) ^ { 2 } } { N _ { i } ^ { \mathrm { e x p } } + ( \sigma _ { i } ^ { \mathrm { s i m } } ) ^ { 2 } } + \sum _ { j \in \mathrm { s y s t } } ^ \frac { ( s _ { j } - \hat { s _ { j } } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { s _ { j } } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \vec { a } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { - a _ { 2 3 } } \\ { a _ { 1 3 } } \\ { - a _ { 1 2 } } \end{array} \right) \, , } & { { } } & { \vec { a } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 4 } } \\ { a _ { 2 4 } } \\ { a _ { 3 4 } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
i G _ { \mu \nu } ^ { a b } ( x , y ) = ( \delta _ { \mu } ^ { \xi } - { \cal P } _ { \mu } \frac { e ^ { \xi } } { { \cal P } e } ) \left[ \frac { \delta _ { \xi \eta } } { { \cal P } ^ { 2 } } - 2 i \frac { 1 } { { \cal P } ^ { 2 } } F _ { \xi \eta } \frac { 1 } { { \cal P } ^ { 2 } } + { \cal O } _ { \xi \eta } \right] ( \delta _ { \nu } ^ { \eta } - \frac { e ^ { \eta } } { { \cal P } e } { \cal P } _ { \nu } ) + \ldots
\begin{array} { r } { ( \dot { \bf R } _ { i } , { \bf R } _ { j } ) + ( { \bf R } _ { i } , \dot { \bf R } _ { j } ) = 0 , \qquad ( \ddot { \bf R } _ { i } , { \bf R } _ { j } ) + ( { \bf R } _ { i } , \ddot { \bf R } _ { j } ) + 2 ( \dot { \bf R } _ { i } , \dot { \bf R } _ { j } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } _ { k } ( n + 1 ) = [ } & { 1 , } \\ & { u _ { 0 } ( n ) , \, \, u _ { 1 } ( n ) , \, \, u _ { 0 } ( n - 1 ) , \, \, u _ { 1 } ( n - 1 ) , \, \, \cdots \, \, u _ { 0 } ( n - N _ { \mathrm { l a g } } ) , \, \, u _ { 1 } ( n - N _ { \mathrm { l a g } } ) , } \\ & { u _ { 0 } ^ { 2 } ( n ) , \, \, u _ { 1 } ^ { 2 } ( n ) , \, \, u _ { 0 } ( n ) u _ { 1 } ( n ) , \, \, u _ { 0 } ^ { 2 } ( n - 1 ) , \, \, \cdots \, \, u _ { 1 } ^ { 2 } ( n - N _ { \mathrm { l a g } } ) } \\ & { u _ { 0 } ( n ) u _ { 0 } ( n - 1 ) , \, \, u _ { 0 } ( n ) u _ { 1 } ( n - 1 ) , \, \, \cdots \, \, u _ { 0 } ( n - N _ { \mathrm { l a g } } ) u _ { 1 } ( n ) , \, \, \cdots ] } \\ { \hat { \mathbf { v } } _ { k } ( n + 1 ) = } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { o u t } } ^ { k } \mathbf { r } _ { k } ( n + 1 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i j } } & { { } = \sum _ { q = 0 } ^ { i } \sum _ { u = 0 } ^ { j } \binom { i } { q } \binom { j } { u } ( - \Delta r ) ^ { q } ( - \Delta z ) ^ { u } S _ { i - q , j - u } ^ { \prime } , } \end{array}
Z \sim \int { \left( \prod _ { n = N _ { s } } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) \; e ^ { - \frac { \beta E _ { 0 } G _ { N _ { s } } ^ { 2 } } { 2 } } } \prod _ { p = 1 } ^ { N _ { s } - 1 } { \int { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { p } } \; e ^ { - \frac { \beta E _ { 0 } G _ { p } ^ { 2 } } { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { ( \chi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 \chi ^ { \prime } + ( 1 - z ) } & { = 0 , } \\ { 2 ( 1 - \chi ^ { \prime } ) B _ { 0 } ^ { \prime } - \chi ^ { \prime \prime } B _ { 0 } } & { = 0 , } \\ { B _ { p - 2 } ^ { \prime \prime } + 2 ( 1 - \chi ^ { \prime } ) B _ { p - 1 } ^ { \prime } - \chi ^ { \prime \prime } B _ { p - 1 } } & { = 0 . } \end{array}
L _ { \mathrm { L D M } } = \mathbb { E } _ { \mathcal { E } ( x ) , y , \epsilon \sim \mathcal { N } ( 0 , \mathbf { I } ) , t } \left[ \Vert \epsilon - \epsilon _ { \theta } ( z _ { t } , t , \tau _ { \theta } ( y ) ) \Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right]
v ^ { \mathrm { o f } } = 1 - { \frac { | m _ { l } | ^ { 2 } } { 2 | { \vec { p } } | ^ { 2 } } } + \sum _ { d j m } ( d - 3 ) | { \vec { p } } | ^ { d - 4 } \, Y _ { j m } ( { \hat { p } } ) { \big [ } ( a _ { \mathrm { o f } } ^ { ( d ) } ) _ { j m } - ( c _ { \mathrm { o f } } ^ { ( d ) } ) _ { j m } { \big ] } ,
{ { \cal R } ^ { \hat { t } \hat { \imath } } } _ { \hat { t } \hat { \imath } } = - { \frac { 1 } { G ^ { 2 } } } { ( \ln B ) ^ { \prime } } ^ { 2 } = - { \frac { ( d - 2 ) ^ { 2 } Q ^ { 2 } } { 2 \Delta ( D - 2 ) } } \left[ r ^ { d - 2 } + { \frac { 1 } { d - 2 } } \sqrt { \frac { \Delta } { 2 ( D - 2 ) } } | Q | \right] ^ { - 2 \left( 1 + { \frac { p + 1 } { \Delta } } \right) } r ^ { - a ^ { 2 } { \frac { D - 2 } { \Delta } } } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big [ \hat { \sigma } _ { \tau - } ^ { 2 } - \Psi _ { n } \big ( \sigma _ { \tau - } ^ { 2 } \big ) \big ] = \frac { \pi } { 2 ( \pi - 2 ) K _ { n } } \sum _ { k = ( \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - K _ { n } ) \vee 1 } ^ { \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - 1 } h _ { n } ^ { - 1 } \mathbb { E } \Big [ \big ( m _ { k , n } - m _ { k - 1 , n } ) ^ { 2 } \Big ] - \mathbb { E } \big [ \Psi _ { n } \big ( \sigma _ { \tau - } ^ { 2 } \big ) \big ] } \\ & { = \frac { 1 } { K _ { n } } \frac { \pi } { 2 ( \pi - 2 ) } \sum _ { k = ( \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - K _ { n } ) \vee 1 } ^ { \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - 1 } h _ { n } ^ { - 1 } \mathbb { E } \Big [ \big ( \tilde { m } _ { k , n } - \tilde { m } _ { k - 1 , n } ^ { * } ) ^ { 2 } \Big ] - \mathbb { E } \big [ \Psi _ { n } \big ( \sigma _ { \tau - } ^ { 2 } \big ) \big ] + \mathcal { O } \big ( h _ { n } ^ { \alpha \wedge 1 / 2 } \big ) } \\ & { = \frac { 1 } { K _ { n } } \frac { \pi } { 2 ( \pi - 2 ) } \sum _ { k = ( \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - K _ { n } ) \vee 1 } ^ { \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - 1 } \frac { 2 ( \pi - 2 ) } { \pi } \mathbb { E } \big [ \Psi _ { n } \big ( \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ^ { 2 } \big ) \big ] - \mathbb { E } \big [ \Psi _ { n } \big ( \sigma _ { \tau - } ^ { 2 } \big ) \big ] + \mathcal { O } \big ( h _ { n } ^ { \alpha \wedge 1 / 2 } \big ) } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { K _ { n } } \sum _ { k = ( \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - K _ { n } ) \vee 1 } ^ { \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - 1 } \mathbb { E } \big [ \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ^ { 2 } - \sigma _ { \tau - } ^ { 2 } \big ] + \mathcal { O } \big ( h _ { n } ^ { \alpha \wedge 1 / 2 } \big ) } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { K _ { n } } \sum _ { k = ( \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - K _ { n } ) \vee 1 } ^ { \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - 1 } \mathbb { E } \big [ \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } - \sigma _ { \tau - } \big ] + \mathcal { O } \big ( h _ { n } ^ { \alpha \wedge 1 / 2 } \big ) } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { K _ { n } } \sum _ { k = ( \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - K _ { n } ) \vee 1 } ^ { \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - 1 } \Big ( \mathbb { E } \big [ \big ( \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } - \sigma _ { \tau - } \big ) ^ { 2 } \big ] \Big ) ^ { 1 / 2 } + \mathcal { O } \big ( h _ { n } ^ { \alpha \wedge 1 / 2 } \big ) } \\ & { = \mathcal { O } \big ( ( K _ { n } \, h _ { n } ) ^ { \alpha } \big ) = { \scriptstyle { \mathcal { O } } } \big ( h _ { n } ^ { \alpha / ( 1 + 2 \alpha ) } \big ) = { \scriptstyle { \mathcal { O } } } \big ( K _ { n } ^ { - 1 / 2 } \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial ^ { \sigma } ( \theta _ { \delta } \zeta _ { \epsilon } ) ( z ) } & { = \sum _ { \mu \le \sigma } { \binom { \sigma } { \mu } } \partial ^ { \mu } \theta _ { \delta } ( z ) \partial ^ { \sigma - \mu } \zeta _ { \epsilon } ( z ) } \\ & { = \partial ^ { \sigma } \theta _ { \delta } ( z ) + \partial ^ { \sigma } \zeta _ { \epsilon } ( z ) , } \end{array}
S ( \mathbf { q } ) = S ( \tilde { \mathbf { q } } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { q } - \tilde { \mathbf { q } } ) ^ { T } S ^ { ( 2 ) } ( \tilde { \mathbf { q } } ) ( \mathbf { q } - \tilde { \mathbf { q } } ) + \cdots ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \Sigma ^ { ( 2 ) } ( s + i t ) d t } & { \ll _ { \epsilon } \tau _ { 0 } ^ { - \delta + 2 \sigma } \tau _ { 1 } ^ { - 2 \delta + 2 \sigma } \tau _ { 1 } ^ { - 1 } T ^ { - 1 + \epsilon } h ^ { - 1 - \delta / 2 } } \\ & { \ll T ^ { 2 \delta - 2 \sigma + \epsilon } \tau _ { 1 } ^ { - 2 \delta + 2 \sigma } \cdot \tau _ { 1 } ^ { - 1 } T ^ { - \delta / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \psi _ { 2 } | { \hat { \mathbf { r } } } | \psi _ { 2 } \rangle } & { { } = ( \langle \psi | ( { \hat { T } } ( \mathbf { x } ) ) ^ { \dagger } ) { \hat { \mathbf { r } } } ( { \hat { T } } ( \mathbf { x } ) | \psi \rangle ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { s = 1 } ^ { t } \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { s } } \bigg ( \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 3 } } } \frac 1 { \beta ^ { 2 } } ( 1 - 1 / \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 3 } } ) + \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 2 } } } \frac 1 { \beta ^ { 2 } + 1 } ( 1 - 1 / \beta ^ { 4 n _ { s , 4 j - 2 } } ) + \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j } } } \frac 1 { \beta ^ { 2 } + 1 } ( 1 - 1 / \beta ^ { 4 n _ { s , 4 j } } ) } \\ & { + \sum _ { \ell = 1 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } } v ( 1 \mathbf X _ { 1 } \mathbf Y _ { 1 } \cdots \mathbf X _ { s - 1 } \mathbf Y _ { s - 1 } \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 1 } } \cdots ( \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 4 } } \mathbf w _ { 2 } ^ { \ell } ) } \\ & { - n _ { s , 4 j - 1 } v ( 1 \mathbf X _ { 1 } \mathbf Y _ { 1 } \cdots \mathbf X _ { s - 1 } \mathbf Y _ { s - 1 } \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 1 } } \cdots ( \mathbf w _ { 2 } \mathbf w _ { 0 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 2 } } ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { ~ N ~ } , i } ( t ) } & { { } = \frac { N _ { i } ( t ) } { V _ { \mathrm { u } } } \, = X _ { N _ { i } } \cdot I _ { i } ( t ) \, , \phantom { \rho _ { \mathrm { ~ N ~ } , i } ( t ) \cdot \rho _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ r ~ t ~ } , i } \cdot } \qquad i \in \{ 1 , \dots , 1 4 \} \, , } \\ { \rho _ { \mathrm { ~ M ~ } , i } ( t ) } & { { } = \frac { M _ { i } ( t ) } { V _ { \mathrm { u } } } = \rho _ { \mathrm { ~ N ~ } , i } ( t ) \cdot \left( \pi \frac { d _ { \mathrm { ~ S ~ } , i } ^ { 3 } } { 6 } \right) \cdot \rho _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ r ~ t ~ } , i } \, , \qquad i \in \{ 1 , \dots , 1 4 \} \, . } \end{array}
\tilde { \omega } F _ { \mathrm { L } } + G _ { \mathrm { L } } ^ { \prime } + \frac { 1 - f _ { A } } { x } G _ { \mathrm { L } } + \frac { f _ { B } } { x } F _ { \mathrm { L } } - \frac { f _ { C } } { 2 x } F _ { \mathrm { L } } - \tilde { M } _ { F } ( H F _ { \mathrm { R } } - K G _ { \mathrm { R } } ) = 0 \ ,
\operatorname * { l i m } _ { q \to 1 } < ( a ^ { * } ) ^ { k _ { 1 } } ( a ) ^ { k _ { 2 } } ( c ^ { * } ) ^ { k _ { 3 } } ( c ) ^ { k _ { 4 } } > _ { q } = \int ( \alpha ^ { * } ) ^ { k _ { 1 } } ( \alpha ) ^ { k _ { 2 } } ( \gamma ^ { * } ) ^ { k _ { 3 } } ( \gamma ) ^ { k _ { 4 } } d u ,
\begin{array} { r l } { ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { r } = \operatorname* { l i m } _ { S ^ { \perp { \boldsymbol { \hat { r } } } } \to 0 } { \frac { \int _ { \partial S } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { \ell } } { \iint _ { S } d S } } } & { { } = { \frac { A _ { \theta } ( \phi ) \, r d \theta + A _ { \phi } ( \theta + d \theta ) \, r \sin ( \theta + d \theta ) d \phi - A _ { \theta } ( \phi + d \phi ) \, r d \theta - A _ { \phi } ( \theta ) \, r \sin ( \theta ) d \phi } { r d \theta \, r \sin \theta d \phi } } } \end{array}
\mathcal { E } _ { \gamma } ^ { - } ( \mathbf { x } _ { 0 } ) : = \operatorname* { m i n } _ { \substack { \mathbf { u } \in L _ { 2 } ( - \infty , 0 ] \, \mathbf { x } ( - \infty ) = \mathbf { 0 } , \, \mathbf { x } ( 0 ) = \mathbf { x } _ { 0 } } } \ \frac { 1 } { 2 } \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { 0 } ( 1 - \gamma ^ { - 2 } ) \Vert \mathbf { y } ( t ) \Vert ^ { 2 } + \Vert \mathbf { u } ( t ) \Vert ^ { 2 } \mathrm { { d } } t .
5 2 8 _ { B } = \frac 1 2 \left[ \left( 1 2 0 , 1 , 1 \right) + \left( 1 2 0 , 1 , 1 \right) ^ { \prime } \right] + \left( 1 0 , 3 , 1 \right) + \left( 1 2 6 _ { + } , 3 , 1 \right) .
{ \boldsymbol { E } } ( { \boldsymbol { x } } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int _ { P } \, { \frac { \lambda ( { \boldsymbol { x } } ^ { \prime } ) d L } { ( { \boldsymbol { x } } ^ { \prime } - { \boldsymbol { x } } ) ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { r } } } ^ { \prime }
\sigma ( { \bf x _ { * } } ) = K ( { \bf x _ { * } } , { \bf x _ { * } } ) - K ( { \bf x _ { * } } , { \bf x } ) ^ { T } \left[ K ( { \bf x } , { \bf x } + \sigma _ { N } ^ { 2 } I ) \right] ^ { - 1 } K ( { \bf x _ { * } } , { \bf x } )
\frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { \sin \frac { \left( \alpha + 2 \beta - \nu \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( \alpha + \nu \right) \pi } { 2 } } \frac { \cos \frac { \left( \alpha + 2 \beta - \nu \right) \pi } { 2 } } { \cos \frac { \left( \alpha + \nu \right) \pi } { 2 } } \leqslant \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { g ^ { \nu } ( W _ { t } ^ { ( 2 ) } , W _ { t - 1 } ^ { ( 2 ) } ) = } & { \left\{ \frac { \langle W _ { t } ^ { \nu } \pi + W _ { t } ^ { \nu _ { 2 } } ( D ^ { \nu _ { 1 } } \pi ) + W _ { t } ^ { \nu _ { 1 } } ( D ^ { \nu _ { 2 } } \pi ) + W _ { t } ^ { 0 } ( D ^ { \nu } \pi ) \rangle } { \langle W _ { t } ^ { 0 } \pi \rangle } \right. } \\ & { \left. - \frac { \langle W _ { t - 1 } ^ { \nu } \pi + W _ { t - 1 } ^ { \nu _ { 2 } } ( D ^ { \nu _ { 1 } } \pi ) + W _ { t - 1 } ^ { \nu _ { 1 } } ( D ^ { \nu _ { 2 } } \pi ) + W _ { t - 1 } ^ { 0 } ( D ^ { \nu } \pi ) \rangle } { \langle W _ { t - 1 } ^ { 0 } \pi \rangle } \right\} } \\ & { - \left\{ \frac { \langle W _ { t } ^ { \nu _ { 2 } } \pi + W _ { t } ^ { 0 } ( D ^ { \nu _ { 2 } } \pi ) \rangle \times \langle W _ { t } ^ { \nu _ { 1 } } \pi + W _ { t } ^ { 0 } ( D ^ { \nu _ { 1 } } \pi ) \rangle } { \langle W _ { t } ^ { 0 } \pi \rangle ^ { 2 } } \right. } \\ & { \left. - \frac { \langle W _ { t - 1 } ^ { \nu _ { 2 } } \pi + W _ { t - 1 } ^ { 0 } ( D ^ { \nu _ { 2 } } \pi ) \rangle \times \langle W _ { t - 1 } ^ { \nu _ { 1 } } \pi + W _ { t - 1 } ^ { 0 } ( D ^ { \nu _ { 1 } } \pi ) \rangle } { \langle W _ { t - 1 } ^ { 0 } \pi \rangle ^ { 2 } } \right\} , } \end{array}