harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { i \partial _ { t } \rho _ { m n } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) = [ E _ { m } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } - E _ { n } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } ] \rho _ { m n } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) + \textbf { F } ( t ) \cdot \sum _ { l } \left[ \textbf { d } _ { m l } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \rho _ { l n } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) - \rho _ { m l } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \textbf { d } _ { l n } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \right] . } \end{array}
\mathrm { T r } \left[ \gamma ^ { 0 } \langle \psi ( \vec { x } _ { 0 } , t ) \bar { \psi } ( \vec { x } _ { 0 } , t ) \rangle _ { \beta } \right] = \frac { \Delta _ { n } } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \; F _ { 1 / 2 , n } ( \omega ) .
P = \frac { K N L ^ { 3 } l _ { p } ^ { 9 } ( 2 \pi ) ^ { 3 } } { l _ { p } ^ { 3 } R ^ { 3 } L ^ { 3 } } \Rightarrow K = P \left( \frac { R } { l _ { p } ^ { 3 } ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { P _ { - } }
\bar { d } _ { M } ( x , Q ^ { 2 } ) = \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d y } { y } [ P _ { \pi n } ( y ) + \frac { 1 } { 6 } P _ { \pi \Delta ^ { + + } } ( y ) ] d _ { \pi } ( \frac { x } { y } , Q ^ { 2 } )
q _ { 0 } = { \frac { d _ { a b c } p ^ { a } p ^ { b } p ^ { c } } { \lambda ^ { 2 } } } + 2 c \lambda , \ \ \ \ \ q _ { a } = - { \frac { 3 p ^ { 0 } } { \lambda ^ { 2 } } } d _ { a b c } p ^ { b } p ^ { c } .
\frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \mathrm { I } ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ) } { \ensuremath { \mathrm { d } } s } + \kappa n \mathrm { I } ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ) = \frac { \omega \kappa n } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } \mathrm { I } ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ^ { \prime } ) \, d \Omega ^ { \prime } .
r ( s _ { t } , a _ { t } , s _ { t + 1 } ) \equiv r ( s _ { t } ) = c _ { 1 } - c _ { 2 } \cdot \frac { \mathcal L ( \tau ( s _ { t } ) , \tau ^ { * } ) } { \mathcal L _ { \operatorname* { m a x } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \{ F ( s ; a , b , 2 p ) \} } & { { } = \frac { \sqrt { \pi } ( \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { b } ) ^ { p } ( \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { a } ) ^ { p } } { \mu ^ { \frac { 2 p - 1 } { 2 } } \Gamma \left( p \right) } \mathcal { L } \{ \int _ { 0 } ^ { s } s ^ { \frac { 2 p - 1 } { 2 } } I _ { \frac { 2 p - 1 } { 2 } } \left( \frac { s ^ { \prime } \mu } { 2 } \right) e ^ { - \frac { ( \mu _ { t _ { a } } + \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { a } + \sigma _ { b } ) } { 2 } s ^ { \prime } } d s ^ { \prime } \} } \end{array}
\rho ( { \bf k } , k ^ { 0 } ) = i \: \left[ \frac { 1 } { ( k ^ { 0 } + i \: \varepsilon + i \: \Gamma ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ( k ) } - \frac { 1 } { ( k ^ { 0 } - i \: \varepsilon - i \: \Gamma ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ( k ) } \right] .
\begin{array} { r l } & { \theta ^ { \prime \prime } \Psi ^ { \prime } + 2 \theta ^ { \prime } \Psi ^ { \prime \prime } + \theta \Psi ^ { \prime \prime \prime } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { 2 } ( v - v _ { 0 } ) g ^ { \prime \prime \prime } - \frac { 1 } { 2 } \mathcal { G } ^ { \prime \prime } \left( \theta - \theta _ { 0 } \right) ^ { 2 } - \left( 2 \mathcal { G } ^ { \prime } \theta ^ { \prime } + \mathcal { G } \theta ^ { \prime \prime } \right) \left( \theta - \theta _ { 0 } \right) - \mathcal { G } \theta ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\Psi _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = N e ^ { - \pi x _ { 4 } ^ { 2 } / V } \theta _ { 2 } ( \tau | \bar { z } ) \quad ; \quad \Psi _ { 0 } ^ { ( 2 ) } = N e ^ { - \pi x _ { 4 } ^ { 2 } / V } \theta _ { 3 } ( \tau | \bar { z } ) \quad ; \quad \tau \equiv 2 i { \frac { R _ { 4 } } { R _ { 5 } } } \ ,
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \theta _ { 2 } } J ^ { \pi } ( \rho ) } \\ { = } & { \gamma \sum _ { s _ { 2 } , \eta _ { 2 } } \sum _ { s _ { 1 } } \rho ( s _ { 1 } ) \mathrm { P r } ^ { \pi _ { 1 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) \nabla _ { \theta _ { 2 } } \hat { J } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { = } & { \gamma \sum _ { s _ { 2 } , \eta _ { 2 } } \rho ^ { \pi } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) \nabla _ { \theta _ { 2 } } \hat { J } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { = } & { \frac { \gamma } { 1 - \gamma } \mathbb { E } _ { ( s _ { t } , \eta _ { t } ) \sim d _ { \rho ^ { \pi } } ^ { \pi } } \mathbb { E } _ { ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) \sim \pi _ { 2 } ( \cdot | s _ { t } , \eta _ { t } ) } [ \nabla _ { \theta _ { 2 } } \log \pi _ { 2 } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) \hat { Q } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { U = \xi _ { t } + \xi _ { x } \overline { { u } } + \xi _ { y } \overline { { v } } + \xi _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { , } } \\ { V = \eta _ { t } + \eta _ { x } \overline { { u } } + \eta _ { y } \overline { { v } } + \eta _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { , } } \\ { W = \zeta _ { t } + \zeta _ { x } \overline { { u } } + \zeta _ { y } \overline { { v } } + \zeta _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { . } } \end{array}
\left| { \sqrt { 2 } } - { \frac { a } { b } } \right| = { \frac { | 2 b ^ { 2 } - a ^ { 2 } | } { b ^ { 2 } \left( { \sqrt { 2 } } + { \frac { a } { b } } \right) } } \geq { \frac { 1 } { b ^ { 2 } \left( { \sqrt { 2 } } + { \frac { a } { b } } \right) } } \geq { \frac { 1 } { 3 b ^ { 2 } } } ,
P a _ { S t } = \frac { 1 } { 5 4 \sqrt { 2 } } \frac { R e _ { b } ^ { 2 } } { S t _ { K } ^ { 1 / 2 } } \left( \frac { \rho _ { p } } { \rho _ { f } } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \frac { d _ { p } } { L } \right) ^ { 3 }
\begin{array} { r l } & { C _ { 0 , m } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { k ! } { ( k - j ) ! } ( \tau _ { 1 } K ^ { - 1 } ) ^ { j } \Vert \chi \Vert _ { C ^ { m , \theta } ( D ) } ^ { j } \Vert \zeta \Vert _ { C ^ { m , \theta } ( \mathbb { R } ) } ^ { j } 2 ^ { m j } } \\ & { \qquad = C _ { 0 , m } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { k ( k - 1 ) \cdots ( k - ( j - 1 ) ) } { K ^ { j } } \tau _ { 1 } ^ { j } \Vert \chi \Vert _ { C ^ { m , \theta } ( D ) } ^ { j } \Vert \zeta \Vert _ { C ^ { m , \theta } ( \mathbb { R } ) } ^ { j } 2 ^ { m j } } \\ & { \qquad \leq C _ { 0 , m } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \tau _ { 1 } ^ { j } \Vert \chi \Vert _ { C ^ { m , \theta } ( D ) } ^ { j } \Vert \zeta \Vert _ { C ^ { m , \theta } ( \mathbb { R } ) } ^ { j } 2 ^ { m j } \leq \gamma . } \end{array}
P = \left\{ \begin{array} { l r } { 0 , } & { \Delta t \leq \tau , } \\ { \frac { t } { \tau + t } | _ { t = \Delta t - \tau } = \frac { \Delta t - \tau } { \Delta t - \tau + \tau } = 1 - \frac { \tau } { \Delta t } , } & { \Delta t > \tau . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \Delta u _ { i , a } ^ { * } = \Delta t { { \left[ - \frac { \partial \left( { { u } _ { j } } { { u } _ { i } } \right) } { \partial { { x } _ { j } } } + \frac { \Delta t } { 2 } { { u } _ { k } } \frac { \partial } { \partial { { x } _ { i } } } \left( \frac { \partial \left( { { u } _ { j } } { { u } _ { i } } \right) } { \partial { { x } _ { j } } } \right) + \frac { 1 } { \operatorname { R e } } \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { u } _ { i } } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } \right] } ^ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | S _ { \rho } | = \left| \frac { \tau ^ { - 1 } } { \rho } \left( \int _ { x + h } ^ { x + h + \tau } t ^ { \rho } \, d t - \int _ { x - \tau } ^ { x } t ^ { \rho } \, d t \right) \right| } & { \leq \frac { \sqrt { x } } { | \rho | } \left( 1 + \sqrt { 1 + \frac { 1 + \kappa _ { 0 } } { \eta ( x ) } } \right) : = \frac { \ell _ { 2 } ( x ) \sqrt { x } } { | \rho | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( y ^ { * } ) } & { \geq g ( y _ { t } ) + \langle \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) , y ^ { * } - y _ { t } \rangle + \frac { \mu } { 2 } \| y ^ { * } - y _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { = g ( y _ { t } ) + \langle w _ { t } , y ^ { * } - \tilde { y } _ { t + 1 } \rangle + \langle \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) - w _ { t } , y ^ { * } - \tilde { y } _ { t + 1 } \rangle + \langle \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) , \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \rangle + \frac { \mu } { 2 } \| y ^ { * } - y _ { t } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \ensuremath { \boldsymbol } q } _ { 1 } ^ { c } } & { = } & { - \mathrm { I } _ { t } \exp \left( \frac { - \kappa \int _ { z } ^ { 1 } n _ { s } ( z ^ { \prime } ) \, d z ^ { \prime } } { \cos { \theta _ { 0 } } } \right) \left( \frac { \kappa \int _ { 1 } ^ { z } n _ { 1 } d z ^ { \prime } } { \cos { \theta _ { 0 } } } \right) \cos { \theta _ { 0 } } \hat { \ensuremath { \boldsymbol } z } , } \\ { { \ensuremath { \boldsymbol } q } _ { 1 } ^ { d } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } \mathrm { I } _ { 1 } ^ { d } ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ) \, { \ensuremath { \boldsymbol } s } \, d \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi \left( X \rightarrow X + 1 , t \right) = } & { { } \gamma t ^ { \gamma - 1 } \left( N - X \right) \left( \varepsilon _ { 1 } + X \right) = \gamma t ^ { \gamma - 1 } \pi _ { b } , } \\ { \pi \left( X \rightarrow X - 1 , t \right) = } & { { } \gamma t ^ { \gamma - 1 } X \left( \varepsilon _ { 2 } + \left[ N - X \right] \right) = \gamma t ^ { \gamma - 1 } \pi _ { d } . } \end{array}
\langle \frac { \vert P _ { h T } \vert } { M _ { h } } \sin \phi _ { h } \rangle ( x , y , z ) = { \frac { 1 } { I _ { 0 } ( x , y , z ) } } [ I _ { 1 L } ( x , y , z ) + I _ { 1 T } ( x , y , z ) ] ,
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { { } ( N ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\bar { P } ^ { \prime } \left( p , \xi , t ; \mathbf { \lambda } \right) = P _ { R E } \left( p \right) + \left( \frac { p - p _ { m i n } } { p _ { m a x } - p _ { m i n } } \right) \left( \frac { t - t _ { m i n } } { t _ { m a x } - t _ { m i n } } \right) \left( \frac { p _ { m a x } - p \Xi \left( \xi \right) } { p _ { m a x } - p _ { m i n } } \right) P _ { N N } \left( p , \xi , t ; \mathbf { \lambda } \right) .
{ \mathfrak { g } } > [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] > [ [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] , [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] ] > [ [ [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] , [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] ] , [ [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] , [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] ] ] > \cdots
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mu } & { \int _ { D } ( h \cdot \nabla u _ { j } ) \Delta \bar { v } _ { j } \, \mathrm { d } x = } \\ & { - \mu \int _ { D } \nabla ( h \cdot \nabla u ) : \nabla \bar { v } \, \mathrm { d } x + \mu \int _ { S } ( h \cdot \nabla u ) \cdot ( n \nabla \bar { v } ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\lambda _ { 0 } ^ { \prime } = \lambda _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \alpha _ { i } - 1 ) \log | \omega _ { i } c + d | , \quad \displaystyle \omega _ { i } ^ { \prime } = \frac { a \omega _ { i } + b } { c \omega _ { i } + d } , \qquad \alpha _ { i } ^ { \prime } = \alpha _ { i } \, .
\cos \! { \Bigl ( } { \begin{array} { l } { { \mathrm { i n n e r } } } \\ { { \mathrm { s i d e } } } \end{array} } { \Bigr ) } \cos \! { \Bigl ( } { \begin{array} { l } { { \mathrm { i n n e r } } } \\ { { \mathrm { a n g l e } } } \end{array} } { \Bigr ) } = \cot \! { \Bigl ( } { \begin{array} { l } { { \mathrm { o u t e r } } } \\ { { \mathrm { s i d e } } } \end{array} } { \Bigr ) } \sin \! { \Bigl ( } { \begin{array} { l } { { \mathrm { i n n e r } } } \\ { { \mathrm { s i d e } } } \end{array} } { \Bigr ) } - \cot \! { \Bigl ( } { \begin{array} { l } { { \mathrm { o u t e r } } } \\ { { \mathrm { a n g l e } } } \end{array} } { \Bigr ) } \sin \! { \Bigl ( } { \begin{array} { l } { { \mathrm { i n n e r } } } \\ { { \mathrm { a n g l e } } } \end{array} } { \Bigr ) } ,
\begin{array} { r } { 2 i k \frac { \partial u ( \mathbf { r } ; z ) } { \partial z } + \Delta _ { \mathbf { r } } u ( \mathbf { r } ; z ) + 2 k ^ { 2 } \delta n ( \mathbf { r } , z ) u ( \mathbf { r } ; z ) = 0 , } \end{array}
P _ { G _ { 2 } } ^ { \Delta _ { S } } ( 3 | x ) = P _ { D _ { 4 } } ^ { { \cal R } } ( x ) / x ^ { 2 } \quad ( { \cal R } = { \bf V } , { \bf S } , { \bf \bar { S } } ) , \quad P _ { G _ { 2 } } ^ { \Delta _ { L } } ( 3 | x ) \left( P _ { G _ { 2 } } ^ { \Delta _ { S } } ( 3 | x ) \right) ^ { 3 } = P _ { D _ { 4 } } ^ { \Delta } ( x ) .
\begin{array} { r l } { a \left( t , x _ { n } \right) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { N - 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } a _ { j } \left( t \right) \cos \left[ \frac { \pi } { N - 1 } \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( n - 1 \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { i ( m - i ) } { \Gamma ( b + i + 1 ) \Gamma ( a - i + m + 1 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { m - i } \frac { \Gamma ( a + j + m + 1 ) \Gamma ( b - j + m + 1 ) } { j \Gamma ( i + j + 1 ) \Gamma ( m - i - j + 1 ) } } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { \times \left( \psi _ { 0 } ( m - i + 1 ) + \psi _ { 0 } ( a + j + m + 1 ) \right) . } \end{array}
\mathrm { L i } _ { 3 } ( 2 - \tau ) = \frac { 4 } { 5 } \mathrm { L i } _ { 3 } ( 1 ) + \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 5 } \log ( 2 - \tau ) - \frac { 1 } { 1 2 } \log ^ { 3 } ( 2 - \tau )
{ \cal E } _ { \mathrm { r e n } } \; = \; - { \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { \Gamma ( { \frac { 1 } { 4 } } ) ^ { 4 } L R } } \; { \frac { p Q _ { 5 } } { g _ { s } } } \ - \ { \frac { q Q _ { 5 } } { 4 L R } } \ + \ o ( g _ { s } ) \ .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { e B H } } & { { } = \sum _ { i < j } t _ { i j } ( \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } ) + \sum _ { i < j } V _ { i j } \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 5 } ^ { \prime \prime } } \\ { \lambda _ { 7 } ^ { \prime \prime } } \end{array} \right) } & { { } = } & { { \mathcal R } \left( - \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 5 } ^ { \prime } } \\ { \lambda _ { 7 } ^ { \prime } } \end{array} \right) } \end{array}
m _ { \nu } m _ { \nu } ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { l l l } { { a ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { a ^ { \prime } c } } \\ { { 0 } } & { { b ^ { 2 } } } & { { b b ^ { \prime } } } \\ { { a ^ { \prime } c } } & { { b b ^ { \prime } } } & { { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \Delta \theta = \mathrm { A r g } \bigg ( \frac { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \Psi _ { k + 1 } ^ { w } \rangle } { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \Psi _ { k } ^ { w } \rangle } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { \mathrm { f i t } , ( 0 0 0 ) } ( t ) } & { = a _ { ( 0 0 0 ) } n _ { \mathrm { o b s } , ( 0 0 0 ) } ( t , \left| \frac { d \vec { \mu } } { d Q _ { 1 } } \right| , \left| \frac { d \vec { \mu } } { d Q _ { 2 } } \right| , \tau _ { \mathrm { v a c } } ) + a _ { \mathrm { o f f } , ( 0 0 0 ) } , } \\ { n _ { \mathrm { f i t } , ( 0 1 0 ) } ( t ) } & { = a _ { ( 0 1 0 ) } n _ { \mathrm { o b s } , ( 0 1 0 ) } ( t , \left| \frac { d \vec { \mu } } { d Q _ { 1 } } \right| , \left| \frac { d \vec { \mu } } { d Q _ { 2 } } \right| , \tau _ { \mathrm { v a c } } ) + a _ { \mathrm { o f f } , ( 0 1 0 ) } , } \\ { n _ { \mathrm { f i t } , ( 1 0 0 ) } ( t ) } & { = a _ { ( 1 0 0 ) } n _ { \mathrm { o b s } , ( 1 0 0 ) } ( t , \left| \frac { d \vec { \mu } } { d Q _ { 1 } } \right| , \left| \frac { d \vec { \mu } } { d Q _ { 2 } } \right| , \tau _ { \mathrm { v a c } } ) + a _ { \mathrm { o f f } , ( 1 0 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { H , \Delta t } ^ { \textrm { S L } } } & { { } : = \Psi _ { \textrm { S L } ^ { b } , \frac { \Delta t } { 2 } } \circ \Phi _ { H _ { 1 } , \Delta t } \circ \Psi _ { \textrm { S L } ^ { a } , \frac { \Delta t } { 2 } } \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
< \Delta v _ { - } , t _ { 1 } ^ { - 1 } \otimes t _ { 2 } ^ { - 1 } > = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { q ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { q } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { q ^ { 3 } } } & { { q ^ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { d _ { * } ( a ^ { \prime } , \Gamma _ { 1 } ( c t ) ) } & { = \left| \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } T - \frac { c - c _ { 0 } } { c _ { 1 } - c _ { 0 } } T \right| } \\ & { \leq c \cdot \{ 2 d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( t ) , \Gamma _ { 2 } ( s ) ) \} . } \end{array}
\mathbf { P } ( { \mathcal { G } } ) \to \mathbf { P } \left( { \mathcal { E } } _ { \mathbf { G r } ( r , { \mathcal { E } } ) } \right) = \mathbf { P } ( { \mathcal { E } } ) \times _ { S } \mathbf { G r } ( r , { \mathcal { E } } ) .
f ( t , { \mathbf x } , { \mathbf p } ) \approx f _ { h } ( t , { \mathbf x } , { \mathbf p } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } \delta ( { \mathbf x } - { \mathbf x } _ { k } ) \delta ( { \mathbf p } - { \mathbf p } _ { k } ) ,
W _ { \mu \nu } = \frac { 1 2 8 \pi ^ { 5 } \alpha _ { s } } { N _ { c } ^ { 2 } } \int _ { B } ^ { 1 } \frac { d { \xi _ { 2 } } } { \xi _ { 2 } } f _ { \bar { q } } ( \xi _ { 2 } ) \operatorname * { l i m } _ { K ^ { \perp } \rightarrow 0 } T _ { q g } ( \xi _ { 1 } , x ) H _ { \mu \nu }
\begin{array} { r l } { \textrm { V a r } _ { X | T = t } [ Z ] } & { = \textrm { V a r } _ { X | T = t } \left[ \frac { 1 } { n } \sum _ { d = 0 } ^ { M } d n _ { d } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \textrm { V a r } _ { X | T = t } \left[ \sum _ { d = 0 } ^ { M } d n _ { d } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \left\{ \sum _ { d = 0 } ^ { M } d ^ { 2 } \textrm { V a r } _ { X | T = t } \left[ n _ { d } \right] + 2 \sum _ { 0 = i < j } ^ { M } i j \textrm { C o v } _ { X | T = t } \left( n _ { i } , n _ { j } \right) \right\} } \\ & { = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \left\{ \sum _ { d = 0 } ^ { M } d ^ { 2 } n p _ { t } ( d ) \left( 1 - p _ { t } ( d ) \right) - 2 \sum _ { 0 = i < j } ^ { M } i j n p _ { t } ( i ) p _ { t } ( j ) \right\} } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { d = 0 } ^ { M } d ^ { 2 } p _ { t } ( d ) - \frac { 1 } { n } \left\{ \sum _ { d = 0 } ^ { M } d ^ { 2 } p _ { t } ^ { 2 } ( d ) + 2 \sum _ { 0 = i < j } ^ { M } i j p _ { t } ( i ) p _ { t } ( j ) \right\} } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { d = 0 } ^ { M } d ^ { 2 } p _ { t } ( d ) - \frac { 1 } { n } \left( \sum _ { d = 0 } ^ { M } d p _ { t } ( d ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \mathcal { L } } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \phi _ { r } ) ( \partial ^ { \mu } \phi _ { r } ) - { \frac { 1 } { 2 } } m _ { r } ^ { 2 } \phi _ { r } ^ { 2 } - { \frac { \lambda _ { r } } { 4 ! } } \phi _ { r } ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { Z } ( \partial _ { \mu } \phi _ { r } ) ( \partial ^ { \mu } \phi _ { r } ) - { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { m } \phi _ { r } ^ { 2 } - { \frac { \delta _ { \lambda } } { 4 ! } } \phi _ { r } ^ { 4 } ,
\begin{array} { r l } { \ln n ! - { \frac { 1 } { 2 } } \ln n } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdots + \ln ( n - 1 ) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln n } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 0 } ( y ^ { \ast } ) = \phi ^ { + } ( y ^ { + } ) } & { { } = } & { f _ { 0 } ( y ^ { + } ) + f _ { 1 } ( y ^ { + } ) / R e _ { \tau } ^ { 1 / 4 } } \end{array}
\begin{array} { l } { \| \nabla \xi \| = \sqrt { \xi _ { x } ^ { 2 } + \xi _ { y } ^ { 2 } + \xi _ { z } ^ { 2 } } , \quad \| \nabla \eta \| = \sqrt { \eta _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \eta _ { z } ^ { 2 } } , \mathrm { ~ a n d } \quad \| \nabla \zeta \| = \sqrt { \zeta _ { x } ^ { 2 } + \zeta _ { y } ^ { 2 } + \zeta _ { z } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ^ { \omega , X } \models } & { \forall y \preceq _ { \sigma } s ( x ) \Big ( \Omega ^ { f } \mathrm { ~ i s ~ a ~ f u l l ~ m o d u l u s ~ f o r ~ t h e ~ c o n v e r g e n c e ~ c o n d i t i o n ~ f o r ~ } A } \\ & { \qquad \qquad \rightarrow \exists v \leq _ { \mathbb { N } } \Phi ( x , z ^ { * } , \Omega ^ { f } , \omega , n ) \, C _ { \exists } ( x , y , z , v ) \Big ) } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ n ] = E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ \tilde { n } ] + \sum _ { A } ( E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ n _ { A } ^ { 1 } ] - E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ \tilde { n } _ { A } ^ { 1 } ] ) .
\begin{array} { r } { \big \| \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W \big \| _ { \infty } = \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } | w _ { j } | \cdot \big | \mathrm e ^ { - 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x _ { j } } \big | \leq \sum _ { j = 1 } ^ { N } | w _ { j } | \cdot \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } 1 = \| \boldsymbol w \| _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ \mathcal { L } ^ { \prime } \sim \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { k _ { 0 } } & { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { \dots } & { m _ { N - 1 } } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { : } & { : } & { \dots } & { : } & { : } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { \dots } & { \lambda _ { N - 1 } } \end{array} \right) , ~ ~ \mathrm { a s } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \Omega , } \\ { \mathcal { B } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \partial \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } \right. } & { { } \left. + \frac { 1 } { \omega } \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial \tau } \right) + \left( \omega \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } + \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial \tau } \right) + \left( \omega ^ { 2 } \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial t } + \omega \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] \mathsf { y } ^ { \mathrm { a } } } & { = [ \mathsf { y } ^ { \boldsymbol { u } } , \mathsf { y } ^ { k } ] } \\ { J } & { = \parallel \boldsymbol { w } ^ { i + 1 } - \boldsymbol { w } ^ { i } \parallel _ { \mathsf { P } } ^ { 2 } + \parallel \mathsf { y } ^ { \mathrm { a } } - \mathcal { H } ^ { \mathrm { a } } [ \boldsymbol { w } ^ { i + 1 } ] \parallel _ { \mathsf { R } ^ { \mathrm { a } } } ^ { 2 } } \end{array}
D _ { 1 } = \kappa _ { 5 } ^ { 2 } e ^ { - 2 A _ { + } - \alpha _ { + } ^ { ( 0 ) } } \bar { \tau } _ { + ( T ) } = - \kappa _ { 5 } ^ { 2 } e ^ { - 2 A _ { -- } \alpha _ { - } ^ { ( 0 ) } } \bar { \tau } _ { - ( T ) } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \boldsymbol { \rho } _ { k } ^ { \mathrm { L B } } ( t ) } & { { } = - \frac { q } { \hbar } E ( t ) \partial _ { k } \boldsymbol { \rho } _ { k } ^ { \mathrm { L B } } ( t ) + \frac { i } { \hbar } [ \boldsymbol { \rho } _ { k } ^ { \mathrm { L B } } ( t ) , { \boldsymbol \epsilon } ( k ) - q E ( t ) { \bf d } ( k ) ] } \end{array}
[ { \tilde { \alpha } } _ { \mu , { \bf K } } , { \tilde { X } } _ { \bf K ^ { \prime } } ^ { \nu } ] = i \delta _ { \mu \nu } \delta _ { { \bf K } { \bf K ^ { \prime } } } \qquad \mathrm { s o } \quad [ \alpha _ { \mu , { \bf K } } , X _ { \bf K ^ { \prime } } ^ { \nu } ] = i \frac { { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } } { 2 } \delta _ { \mu \nu } \delta _ { { \bf K } { \bf K ^ { \prime } } }
\Psi _ { s } ( \textbf { r } _ { e } , \textbf { r } _ { h } ) = \sum _ { \textbf { k } , m , n } A _ { m n \textbf { k } } ^ { s } \psi _ { \textbf { k } , n } ( \textbf { r } _ { e } ) \psi _ { \textbf { k } , m } ^ { * } ( \textbf { r } _ { h } ) ,