harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { p } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d w _ { \mathrm { S L } } \, p ( w _ { \mathrm { S L } } ) e ^ { - t w _ { \mathrm { S L } } } = \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, g ( u ) e ^ { - t u / N } \right] ^ { N } \, .
\begin{array} { r l } { \widehat { J } _ { N , p , q } ^ { \mathrm { A } } ( \varepsilon ) } & { = \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathcal { X } , \tau \in \mathbb { R } } \left( \varepsilon \| x \| _ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 1 , 2 \} } | a _ { k } | + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 1 , 2 \} } \left( a _ { k } \langle a , \widehat { \xi } _ { i } \rangle + b _ { k } \tau \right) \right) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathcal { X } , \tau \in \mathbb { R } , \lambda \geq 0 , s \in \mathbb { R } ^ { N } } } } & { { \displaystyle \lambda \varepsilon + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } s _ { i } } } & \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { { \displaystyle a _ { k } \langle x , \widehat { \xi } _ { i } \rangle + b _ { k } \tau \leq s _ { i } , } } & { \forall i \in [ N ] , k \in \{ 1 , 2 \} } \\ & { { \displaystyle \| x \| _ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 1 , 2 \} } | a _ { k } | \leq \lambda } } & \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } \leq e ^ { C _ { T } ( u , f ) t / 2 } \left( \Vert \varrho ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } + \int _ { 0 } ^ { t } \left[ \Vert u ( \tau ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } + \Vert B ( \tau ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } \right] \Vert \varrho ( \tau ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } \, \mathrm { d } \tau \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \tilde { u } _ { y } ^ { \mathrm { ( s t ) } } } { \partial \tilde { y } } = - \kappa , } \\ & { \frac { \partial \tilde { u } _ { y } ^ { \mathrm { ( s t ) } } } { \partial \theta } = \frac { \kappa \alpha ^ { 2 / 3 } \sin 2 \theta } { \left( \sin ^ { 2 } \theta + \alpha ^ { - 2 } \cos ^ { 2 } \theta \right) } \left( \frac { \alpha ^ { 2 } - 1 } { \alpha ^ { 2 } } \right) \cdot } \end{array}
h ( \mathbf { G } ) = { \frac { 1 } { a _ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 3 } } d x _ { 3 } \, { \frac { 1 } { a _ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 2 } } d x _ { 2 } \, { \frac { 1 } { a _ { 1 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 1 } } d x _ { 1 } \, f \left( x _ { 1 } { \frac { \mathbf { a } _ { 1 } } { a _ { 1 } } } + x _ { 2 } { \frac { \mathbf { a } _ { 2 } } { a _ { 2 } } } + x _ { 3 } { \frac { \mathbf { a } _ { 3 } } { a _ { 3 } } } \right) \cdot e ^ { - i \mathbf { G } \cdot \mathbf { r } } .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left| \left\langle v , \sigma ^ { - 1 } \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } z _ { i } \right\rangle \right| ^ { k } \right] = \mathbb { E } \left[ \left| \left\langle v , \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } \right\rangle \right| ^ { k } \right] \mathbb { E } \left[ \left| \sigma ^ { - 1 } z _ { i } \right| ^ { k } \right] \leq 2 ( k a ) ^ { k a } K ^ { k } \kappa _ { 2 } ^ { k } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { c o s } ( n , m ) } & { { } = } & { \frac { 2 } { ( m + 1 ) T } \bigg [ { } _ { p } F _ { q } \bigg ( \frac { m + 1 } { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } , \frac { m + 3 } { 2 } ; - \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } t _ { 2 } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \bigg ) t _ { 2 } ^ { m + 1 } } \end{array}
f _ { i , p } ^ { e q } = \omega _ { i , p } \phi _ { p } \left( 1 + \frac { \mathbf { c } _ { i } \cdot \mathbf { u } } { c _ { s , p } ^ { 2 } } \right) , \quad R _ { i , p } = \omega _ { i , p } \left[ \frac { \mathbf { c } _ { i } \cdot \partial _ { t } \left( \phi _ { p } \mathbf { u } \right) } { c _ { s , p } ^ { 2 } } + \mathbf { c } _ { i } \cdot \mathbf { R } _ { p } \right] ,
r _ { 1 2 } ^ { - } ( u , v ) = a _ { 1 2 } ( u , v ) - s _ { 1 2 } ( u ) + s _ { 2 1 } ( v ) , \mathrm { ~ \ \ \ } r _ { 1 2 } ^ { + } ( u , v ) = a _ { 1 2 } ( u , v ) + u _ { 1 2 } ^ { + } + u _ { 1 2 } ^ { - } ,
\boldsymbol { \Sigma } ^ { \mathrm { c l } } = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { 0 } _ { m \times m } } & { \boldsymbol { 1 } _ { m \times m } } \\ { - \boldsymbol { 1 } _ { m \times m } } & { \boldsymbol { 0 } _ { m \times m } } \end{array} \right) .
\hat { V } _ { \mathrm { p } } = \epsilon _ { \mathrm { p x } } \exp \left( i \frac { 2 \pi } { \varDelta } \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \boldsymbol { \sigma } \hat { \varsigma } \cdot \boldsymbol { r } _ { i } \right) \delta \left( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { i } \right) + \epsilon _ { \mathrm { p \ p h i } } \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \boldsymbol { \sigma } \hat { \varsigma } \cdot \boldsymbol { s } _ { i } \delta \left( \boldsymbol { r } - \tilde { \boldsymbol { r } } _ { i } \right) = \epsilon _ { \mathrm { p x } } \left( 1 - \cos \frac { x } { \varDelta } \right) + \epsilon _ { \mathrm { p \ p h i } } \left( 1 - \cos \phi \right)
\psi ^ { \prime } = \Big ( { \bf 1 } - i \epsilon \, P _ { + } \, \Big ) \psi , \; { \overline { { \psi } } } ^ { \prime } = { \overline { { \psi } } } \Big ( { \bf 1 } - i \epsilon P _ { - } \, \Big ) , \; A _ { \mu } ^ { \prime } = A _ { \mu }
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \boldsymbol { v } } & { { } = - \frac { b ^ { 2 } } { 1 2 \mu } \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } p , \qquad } & { \boldsymbol { x } } & { { } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \backslash \Omega ( t ) . } \end{array}
L = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } a ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - V ( a ) + g { \epsilon ^ { N } } \epsilon ^ { \nu \mu } A _ { \mu } \partial _ { \nu } a + h i g h e r ~ d e r i v a t i v e ~ t e r m s
\begin{array} { r } { - \frac { E h } { ( 1 - \nu ) R ^ { 2 } } { \Big ( v _ { \langle \theta \rangle } ^ { \prime } + \cot \! \theta \, v _ { \langle \theta \rangle } + 2 w \Big ) } + \frac { p } { 2 R } \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial \theta ^ { 2 } } + \cot \! \theta \, \frac { \partial w } { \partial \theta } + 2 w \Big ) = \rho h \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial t ^ { 2 } } . } \end{array}
\hat { \mathcal { L } } \hat { \rho } ( x , t ) = \frac { { \partial } } { { \partial x } } \left( D ( x ) e ^ { - v ( x ) } \frac { { \partial } } { { \partial x } } \left( e ^ { + v ( x ) } \hat { \rho } ( x , t ) \right) \right) ,
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } { T ^ { \circ } } & { ( \delta \mathbf { k } , \zeta ) = P T ( \delta \mathbf { k } , \zeta ) P } \\ & { = \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } - \zeta } P \omega ^ { - 1 } ( \delta \mathbf { k } ) ^ { * } g ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } R _ { 0 } ( \zeta ) \omega ^ { - 1 } ( \delta \mathbf { k } ) ^ { * } g ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } - \zeta } P } \\ & { + \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } - \zeta } P \omega ^ { - 1 } ( \delta \mathbf { k } ) ^ { * } g ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } \bigl ( ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } R _ { 0 } ( \zeta ^ { * } ) \bigr ) ^ { * } g ( \delta \mathbf { k } ) \omega ^ { - 1 } \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } - \zeta } P } \\ & { + \Bigl ( ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } - \zeta ^ { * } } P \Bigr ) ^ { * } g ( \delta \mathbf { k } ) \omega ^ { - 1 } R _ { 0 } ( \zeta ) \omega ^ { - 1 } ( \delta \mathbf { k } ) ^ { * } g ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } - \zeta } P } \\ & { + \Bigl ( ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } - \zeta ^ { * } } P \Bigr ) ^ { * } g ( \delta \mathbf { k } ) \omega ^ { - 1 } \bigl ( ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } R _ { 0 } ( \zeta ^ { * } ) \bigr ) ^ { * } g ( \delta \mathbf { k } ) \omega ^ { - 1 } \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } - \zeta } P } \\ & { - \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } - \zeta } P \omega ^ { - 1 } ( \delta \mathbf { k } ) ^ { * } g ( \delta \mathbf { k } ) \omega ^ { - 1 } \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } - \zeta } P , } \end{array} } \\ & { T ^ { \times } ( \delta \mathbf { k } , \zeta ) = P T ( \delta \mathbf { k } , \zeta ) P ^ { \perp } , \qquad T ^ { \perp } ( \delta \mathbf { k } , \zeta ) = P ^ { \perp } T ( \delta \mathbf { k } , \zeta ) P ^ { \perp } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \| A _ { - 1 } ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { t } T _ { - 1 } ( t - s ) B u ( s ) d s \Big \| _ { X } } & { = \Big \| \int _ { 0 } ^ { t } A _ { - 1 } ^ { - 1 } T _ { - 1 } ( t - s ) B u ( s ) d s \Big \| _ { X } } \\ & { = \Big \| \int _ { 0 } ^ { t } T _ { - 1 } ( t - s ) A _ { - 1 } ^ { - 1 } B u ( s ) d s \Big \| _ { X } . } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \| T ( t - s ) \| _ { L ( X ) } \| A _ { - 1 } ^ { - 1 } B \| _ { L ( U , X ) } \| u ( s ) \| _ { U } d s } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } M d s \| A _ { - 1 } ^ { - 1 } B \| _ { L ( U , X ) } \| u \| _ { \infty } } \\ & { \leq M t \| A _ { - 1 } ^ { - 1 } B \| _ { L ( U , X ) } \| u \| _ { \infty } . } \end{array}
{ { f } _ { 0 } } = \left\{ \begin{array} { r l } & { { { g } ^ { l } } \left( 1 + a _ { 1 } ^ { l } x + a _ { 2 } ^ { l } y - \tau \left( a _ { 1 } ^ { l } u + a _ { 2 } ^ { l } v + { { A } ^ { l } } \right) \right) , x \le 0 , } \\ & { { { g } ^ { r } } \left( 1 + a _ { 1 } ^ { r } x + a _ { 2 } ^ { r } y - \tau \left( a _ { 1 } ^ { r } u + a _ { 2 } ^ { r } v + { { A } ^ { r } } \right) \right) , x > 0 . } \end{array} \right.
\operatorname { R e } M _ { r } ( \nu + i t ) - \epsilon _ { 0 } = \frac { \alpha } { r } \frac { ( 2 \gamma + \nu - r ) t ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } r + ( 2 \gamma r + \omega _ { 0 } ^ { 2 } ) \nu + ( 2 \gamma + r ) \nu ^ { 2 } + \nu ^ { 3 } } { \bigl ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } - t ^ { 2 } + 2 \nu \gamma \bigr ) ^ { 2 } + 4 \bigl ( \nu + \gamma \bigr ) ^ { 2 } }
\mathrm { g } _ { j + 1 / 2 } \frac { ( \widehat { X } _ { j + 1 } - \widehat { X } _ { j } ) } { \Delta \theta ^ { 2 } } - \mathrm { g } _ { j - 1 / 2 } \frac { ( \widehat { X } _ { j } - \widehat { X } _ { j - 1 } ) } { \Delta \theta ^ { 2 } } + ( \mathrm { c } _ { j } - \widehat { \lambda } \mathrm { f } _ { j } ) \widehat { X } _ { j } = 0 , \quad j = 0 \ldots N - 1
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { = \int _ { D } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) \textrm { d } y \right) \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) \textrm { d } y \right) G ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \\ & { + \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } \Big | _ { z _ { 2 } = 0 + } p ^ { D } ( s , ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) , t , y ) \textrm { d } y \right) \theta ( z _ { 1 } , s ) \textrm { d } z _ { 1 } \textrm { d } s , } \end{array}
\frac { \partial v _ { 2 } } { \partial \kappa } = - 2 k _ { 2 } \frac { \partial \hat { A } _ { 2 } } { \partial \kappa } - 6 k _ { 2 } \frac { \partial \hat { A } _ { 3 } } { \partial \kappa } - 2 k _ { 3 } \frac { \partial \hat { A } _ { 2 } } { \partial \kappa } + \hat { A } _ { 1 } \frac { \partial \hat { d } _ { 0 } } { \partial \kappa } - 1 2 k _ { 1 } \frac { \partial \hat { A } _ { 3 } } { \partial \kappa } ,
I _ { \mathrm { q u } } = \frac { q } { \eta _ { q } } \frac { 1 } { 3 } \frac { \gamma _ { c } } { \beta } \left[ 1 + 2 \beta + 2 \xi ( 1 - \beta ) \right] \quad \mathrm { ~ ( ~ q ~ u ~ a ~ n ~ t ~ u ~ m ~ t ~ h ~ r ~ e ~ s ~ h ~ o ~ l ~ d ~ ) ~ }
\begin{array} { r } { P T E = 1 - \frac { 2 } { 1 + \sqrt { \frac { R _ { 1 } R _ { 2 } + \omega ^ { 2 } M _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } { R _ { 1 } R _ { 2 } - \omega ^ { 2 } M _ { \mathrm { I } } ^ { 2 } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { 2 } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) = \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( l ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( j ) } + \zeta ^ { ( k ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } } \\ { = } & { 8 ( S _ { 1 2 } S _ { 3 4 } \times 2 + S _ { 1 4 } S _ { 2 3 } ) = - \frac { 5 } { 8 s ^ { 5 } } + \frac { 1 } { 4 s ^ { 4 } } - \frac { 1 9 } { 1 6 s ^ { 3 } } - \frac { 1 } { 4 s ^ { 2 } } - \frac { 1 9 5 } { 6 4 s } + \mathcal { O } ( 1 ) . } \end{array}
k _ { j } \; = \; ( k _ { j } ^ { + } , \, k _ { j } ^ { 2 } ) \; = \; ( x _ { j } P ^ { + } , \, k _ { j } ^ { 2 } ) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \frac { d ^ { 4 } k _ { j } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \; ( 2 \pi ) \, \delta ^ { + } \left( k _ { j } ^ { 2 } - M ^ { 2 } ( k _ { j } ) \right) \; = \; \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \; \frac { d x _ { j } } { x _ { j } } \; d k _ { j } ^ { 2 } \; .
Q ( z ) = \frac { \left[ \sum _ { i = O _ { 2 } , N _ { 2 } } \sum _ { J _ { i } } \tau ( J _ { i } ) _ { l o w } \eta _ { i } ( \frac { d \sigma } { d \Omega } ) ^ { i } ( J _ { i } ) \right] } { \left[ \sum _ { i = O _ { 2 } , N _ { 2 } } \sum _ { J _ { i } } \tau ( J _ { i } ) _ { h i g h } \eta _ { i } ( \frac { d \sigma } { d \Omega } ) ^ { i } ( J _ { i } ) \right] } .
\begin{array} { r } { 4 \pi + \frac 1 2 \gamma \varepsilon _ { n } ^ { 3 } N _ { n } ^ { 2 } \left( F _ { \infty } ( \frac { 1 } { 4 \pi } \mathcal H ^ { 2 } \lfloor _ { \partial \Omega } ) + o _ { n } ( 1 ) \right) \geq E _ { \varepsilon _ { n } } ( \Omega _ { n } , X _ { n } ) \geq 4 \pi + \frac 1 2 \gamma \varepsilon _ { n } ^ { 3 } N _ { n } ^ { 2 } F _ { \infty } ( \mu _ { \infty } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta \overline { { \ell } } _ { \mathtt { G H Y } } ( \mathrm { e } ) - \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } = \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } \wedge \delta \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } - \mathrm { d } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { \mu \nu } ^ { \alpha \alpha , \vec { L } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } ( X _ { \mu \nu } ^ { 0 , \vec { L } } + X _ { \mu \nu } ^ { z , \vec { L } } ) , } \\ { X _ { \mu \nu } ^ { \beta \beta , \vec { L } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } ( X _ { \mu \nu } ^ { 0 , \vec { L } } - X _ { \mu \nu } ^ { z , \vec { L } } ) , } \\ { X _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta , \vec { L } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } ( X _ { \mu \nu } ^ { x , \vec { L } } - \mathrm { ~ i ~ } X _ { \mu \nu } ^ { y , \vec { L } } ) , } \\ { X _ { \mu \nu } ^ { \beta \alpha , \vec { L } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } ( X _ { \mu \nu } ^ { x , \vec { L } } - \mathrm { ~ i ~ } X _ { \mu \nu } ^ { y , \vec { L } } ) ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf R } _ { \bf { E } } ( { \bf { r } } , { \bf { r } } ^ { \prime } ) = \int _ { V _ { s } } \int _ { V _ { s } } { \bf G } ( { \bf r } , { \bf s } ) { \bf R } _ { \bf { J } } ( { \bf { s } } , { \bf { s } } ^ { \prime } ) { \bf G } ^ { \mathrm { H } } ( { \bf r } , { \bf s } ) \mathrm { d } { \bf s } \mathrm { d } { \bf s } ^ { \prime } . } \end{array}
\left[ H _ { 0 } , G _ { a } ^ { ( 1 ) } \right] = G _ { a } ^ { ( 2 ) } , \; \left[ H _ { 0 } , G _ { a } ^ { ( 2 ) } \right] = - f _ { \; \; a b } ^ { c } A _ { 0 } ^ { b } G _ { c } ^ { ( 2 ) } ,
\begin{array} { r } { \phi ( \xi , \alpha _ { b } , \alpha _ { p } ) = \phi _ { 0 } ( \xi ) + \phi _ { p } ( \xi , \alpha _ { p } ) + \phi _ { b } ( \xi , \alpha _ { b } ) } \\ { A _ { z } ( \xi , \alpha _ { b } ) = A _ { z 0 } ( \xi ) + c \Phi _ { b } ( \xi , \alpha _ { b } ) } \\ { F _ { x } = \partial _ { x } \phi _ { p } + ( 1 - v _ { z } ) \partial _ { x } \phi _ { b } + ( 1 - v _ { z } ) \partial _ { \xi } A _ { x } - v _ { y } B _ { z } } \\ { F _ { y } = \partial _ { y } \phi _ { p } + ( 1 - v _ { z } ) \partial _ { y } \phi _ { b } + ( 1 - v _ { z } ) \partial _ { \xi } A _ { y } + v _ { x } B _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { G } ( t ) = \frac { \alpha | { \mathcal { H } } | } { p } } & { \leq } & { \frac { \alpha \operatorname* { m a x } \{ \sum _ { j = 1 } ^ { p } { \mathbb { I } } ( | T _ { i } | \geq 2 ^ { 1 / 2 } \log ^ { 1 / 2 } p ) , 1 \} } { p } } \\ & { \leq } & { \frac { \alpha \operatorname* { m a x } \{ \sum _ { j = 1 } ^ { p } { \mathbb { I } } ( | T _ { i } | \geq t ) , 1 \} } { p } \, , } \end{array}
p _ { i } \propto \gamma \left[ \gamma ( 1 + \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( \gamma s ) ) + \frac { 1 } { s \sqrt { \pi } } e ^ { - \gamma ^ { 2 } s ^ { 2 } } \right] + \frac { 1 } { 2 s ^ { 2 } } ( 1 + \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( \gamma s ) ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } P ^ { - 1 } x ( t ) \right] } & { \leq \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } \left\| u ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb E \left\| u ( v ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } d v \, c \operatorname { e } ^ { c ( t - s ) } d s } \\ & { \leq \operatorname { e } ^ { c t } \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } \left\| u ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } d s . } \end{array}
\mathbf { U } \cdot \mathbf { \partial } = U ^ { \mu } \eta _ { \mu \nu } \partial ^ { \nu } = \gamma ( c , { \vec { u } } ) \cdot \left( { \frac { \partial _ { t } } { c } } , - { \vec { \nabla } } \right) = \gamma \left( c { \frac { \partial _ { t } } { c } } + { \vec { u } } \cdot { \vec { \nabla } } \right) = \gamma \left( \partial _ { t } + { \frac { d x } { d t } } \partial _ { x } + { \frac { d y } { d t } } \partial _ { y } + { \frac { d z } { d t } } \partial _ { z } \right) = \gamma { \frac { d } { d t } } = { \frac { d } { d \tau } }
\Omega ( p ) \bigg | _ { \mathrm { d i v } } ^ { \Lambda ^ { 0 } } = - g ^ { 2 } c _ { v } \int \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { k p } { k ^ { 2 } q ^ { 2 } } = - \frac { g ^ { 2 } c _ { v } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } p ^ { 2 } \ln \mathcal { M } .
\begin{array} { r l } & { 2 c \Big \{ | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } - \Theta _ { 0 1 } | | _ { F } ^ { 2 } + | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } - \Theta _ { 0 2 } | | _ { F } ^ { 2 } \Big \} + \lambda \Big \{ | | \Delta _ { 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ { \leq } & { 4 \lambda \Big \{ | | \Delta _ { 1 S _ { 1 } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { 2 S _ { 2 } } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ & { + 2 \Big \{ | | \widehat { \Sigma } _ { 1 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { + } - \Theta _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } + | | \widehat { \Sigma } _ { 2 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { + } - \Theta _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \left( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } \left( \vec { E } \right) \operatorname { c u r l } \left( \vec { \varphi } \right) - \varepsilon \omega ^ { 2 } \vec { E } \cdot \vec { \varphi } \right) ~ \mathsf { d } x + } & { i \kappa \omega \int _ { \Gamma ^ { \infty } } \gamma ^ { T } \left( \vec { E } \right) \cdot \gamma ^ { T } \left( \vec { \varphi } \right) ~ \mathsf { d } s } \\ & { = \int _ { \Gamma ^ { \mathrm { i n c } } } \gamma ^ { T } \left( \vec { E } ^ { \mathrm { i n c } } \right) \cdot \gamma ^ { T } \left( \vec { \varphi } \right) ~ \mathsf { d } s . } \end{array}
W e _ { \mathcal { S } } = \frac { 2 \rho _ { c } U _ { \tau } ^ { 2 } D ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } y \sigma } \ln \frac { y } { y _ { 0 } } \quad \mathrm { a n d } \quad W e _ { \mathcal { S , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } = \frac { \ln ( 1 8 0 ) \rho _ { c } U _ { \tau } ^ { 3 } D ^ { 2 } } { 1 0 \kappa ^ { 2 } \nu _ { c } \sigma } \approx \frac { 3 \rho _ { c } U _ { \tau } ^ { 3 } D ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } \nu _ { c } \sigma }
\begin{array} { r l } { \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 3 } \tilde { \phi } } & { { } = \frac { 1 } { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \partial _ { x _ { 2 } } \left( \partial _ { x _ { 2 } } ( ( 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) \partial _ { x _ { 2 } } \tilde { \phi } \right) } \end{array}
\mathcal { L } _ { \boldsymbol { \alpha } } = \hbar \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } \alpha _ { \infty ^ { ( i ) } , k } \partial _ { t _ { \infty ^ { ( i ) } , k } } + \hbar \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { s } - 1 } \alpha _ { X _ { s } ^ { ( i ) } , k } \partial _ { t _ { X _ { s } ^ { ( i ) } , k } } + \hbar \sum _ { s = 1 } ^ { n } \alpha _ { X _ { s } } \partial _ { X _ { s } }
\| e _ { n + 1 } \| _ { H ^ { \sigma } } \leq ( 1 + C h ) \| e _ { n } \| _ { H ^ { \sigma } } + C h \left[ \delta ^ { n + 1 } \| P _ { - 1 } \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , D } + C \sum _ { k = 0 } ^ { n } \delta ^ { n - k } \left( \| e _ { k } \| _ { H ^ { \sigma } } + \| R _ { k } ^ { 1 } \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , D } \right) \right] + C h ^ { s + 1 } .
\begin{array} { r l } { F _ { \rho } ^ { G } F _ { \rho } ^ { G } } & { { } = 2 F _ { \rho } ^ { e , e } + 2 F _ { \rho } ^ { e , c } + 2 F _ { \rho } ^ { e , c ^ { 2 } } + F _ { \rho } ^ { c , e } + \omega F _ { \rho } ^ { c , c } } \end{array}
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W } { \mathrm { d } \omega \mathrm { d } \Omega } = \frac { e ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } c } \left\vert \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } t ^ { \prime } { \hat { \mathbf { n } } \times ( \hat { \mathbf { n } } \times \boldsymbol { \beta } ) } e ^ { j \omega ( t ^ { \prime } + R ( t ^ { \prime } ) / c ) } \right\vert ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { d ^ { 2 } \vec { A } } & { = \pm \left( \frac 1 r \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) \hat { r } + \hat { \theta } \right) r d \theta \times \left( \frac 1 { r \sin \theta } \left( \frac { \partial r } { \partial \phi } \right) \hat { r } + \hat { \phi } \right) r \sin \theta d \phi } \\ & { = \pm \left( - \frac 1 r \frac { \partial r } { \partial \theta } \hat { \theta } - \frac 1 { r \sin \theta } \frac { \partial r } { \partial \phi } \hat { \phi } + \hat { r } \right) r ^ { 2 } \sin \theta d \theta d \phi } \end{array}
\mathrm { { \frac { d f } { d \Omega } } \simeq { \frac { 1 + z } { 4 \, \ p i \, D _ { L } ^ { 2 } } } \, { E _ { p u l s e } ^ { r e s t } } \; \left[ { \frac { 2 \, \ g a m m a _ { o u t } } { 1 + \ t h e t a ^ { 2 } \, \ g a m m a _ { o u t } ^ { 2 } } } \right] ^ { 3 } \; . }
U ( r ) \equiv \frac { \kappa _ { \mathrm { d i f f } } ^ { \prime \prime } } { 2 } - \frac { ( \kappa _ { \mathrm { d i f f } } ) ^ { \prime } } { 4 \kappa _ { \mathrm { d i f f } } } + \frac { 2 \kappa _ { \mathrm { d i f f } } } { r ^ { 2 } } + \frac { 2 T _ { \mathrm { N } } ^ { \prime } } { r } + \frac { 2 ( T _ { \mathrm { L } } - T _ { \mathrm { N } } ) } { r ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { 2 } } ^ { ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } ( k , k ^ { \prime } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) } & { = \int _ { \boldsymbol { q } + \boldsymbol { p } = \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } } \mathrm { R e } ( \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \alpha _ { 2 } } \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \alpha _ { 2 } } ^ { * } ) \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { p } \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { q } } \end{array}
\frac { 1 } { 4 \pi } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \left( 1 + 4 \pi \frac { \rho _ { t h } ^ { 2 } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } \right) + u _ { e \parallel } \frac { \rho _ { t h } ^ { 2 } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } A _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) = \sum _ { i } q _ { i } n _ { i } ( \textbf { x } ) - e n _ { e } ( \textbf { x } ) .