harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \bigg [ - \Lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } \log { ( n ) } + \bigg ( \Lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } \log { ( 2 ) } - \Lambda _ { \mathrm { ~ Q ~ } } } & { { } } \\ { + \Big [ \Lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } - \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ R ~ } } } { 2 } \Big ] \log ( 1 + Y ) \bigg ) } & { { } \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 0 } ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { n / 2 + \alpha _ { 0 } } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { - \Lambda _ { \mathrm { ~ R ~ } } } & { { } \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + { \alpha _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } } ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { n / 2 + { \alpha _ { 0 } + 1 / 2 } } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array}
R ( T , T ^ { \prime } ) = \frac { M e V } { \sqrt { 2 \pi T ^ { \prime } } \Delta _ { 1 M e V } } e x p \left( \frac { - ( T - T ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { 1 M e V } ^ { 2 } T ^ { \prime } } \right)
F = { \frac { 1 } { 4 } } + \left( { \frac { 1 } { 4 } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { 1 } { 4 } } \right) ^ { 3 } + \left( { \frac { 1 } { 4 } } \right) ^ { 4 } + \cdots = { \frac { \frac { 1 } { 4 } } { 1 - { \frac { 1 } { 4 } } } } = { \frac { 1 } { 3 } } .
\begin{array} { l } { \varepsilon \frac { d \Gamma } { d t } = - \Gamma + \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { b } } I _ { \mathrm { b } } + \tilde { \alpha } _ { \mathrm { g } } ( I _ { 0 \mathrm { g } } + \xi ) + \beta } } \\ { + \gamma + \sqrt { 0 . 0 2 } n _ { a } ( t ) , } \\ { \tau _ { c } \frac { d \xi } { d t } = - \xi + \sqrt { 2 D _ { \mathrm { g } } \tau _ { c } } n ( t ) , } \\ { I _ { \mathrm { b } } = I _ { 0 \mathrm { b } } \Big \{ 1 + R ^ { 2 } + 2 R \cos ( 2 \phi _ { 0 } + \phi _ { 1 } + 2 \Gamma ) \Big \} , } \end{array}
S _ { w o r l d \atop v o l } = T _ { ( p ) } \int d ^ { p + 1 } \zeta \ e ^ { ( p - 3 ) \Phi / 8 } \sqrt { \vert d e t { \hat { g } } _ { \alpha \beta } \vert } + \mu _ { ( p ) } \int d ^ { p + 1 } \zeta \ C _ { ( p + 1 ) } \ .
\begin{array} { r l } { p G _ { n } = - [ \nu ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) + i n U _ { 0 } ] G _ { n } } & { + \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n - 1 } } \\ & { - \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n + 1 } + i k B _ { 0 } ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { n } , } \\ { p H _ { n } = - [ \eta ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) + i n U _ { 0 } ] H _ { n } } & { - \frac { k } { 2 } \, H _ { n - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { n + 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { n } , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { R \rightarrow 0 } E _ { a s } \sim - \frac { \alpha C _ { 0 } } { 1 6 \pi R } - \frac { \alpha ^ { 3 } } { 2 4 \pi R } \left( \ln \frac { 1 } { R m } - C _ { 3 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \tan { \frac { \theta } { 2 } } } & { { } = \csc \theta - \cot \theta = \pm \, { \sqrt { \frac { 1 - \cos \theta } { 1 + \cos \theta } } } = { \frac { \sin \theta } { 1 + \cos \theta } } } \end{array}
W _ { f } ( \tilde { w } , n ) = \sqrt { \frac { \Delta x } { \tilde { w } } } { \sum _ { n ^ { \prime } = - N _ { \chi } } ^ { N _ { \chi } - 1 } } \int _ { \chi _ { n ^ { \prime } } } ^ { \chi _ { n ^ { \prime } { + } 1 } } f _ { c } \left( n { - } \frac { \tilde { u } } { \tilde { w } } \right) \psi _ { n ^ { \prime } } ( \tilde { u } ) \mathrm { d } \tilde { u } .
\begin{array} { r } { D ( ( - H ^ { s } ) \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) + ( ( - H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) D \; = \; \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { [ H , D _ { 0 } ] ^ { * } } \\ { { } [ H , D _ { 0 } ] } & { 0 } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \mathrm { X } ^ { 1 } ( \tau ^ { 1 } ) , \dots , \mathrm { X } ^ { i _ { 1 } - 1 } ( \tau ^ { 1 } ) , \mathrm { X } ^ { i _ { 1 } + 1 } ( \tau ^ { 1 } ) , \dots , \mathrm { X } ^ { i _ { 2 } - 1 } ( \tau ^ { 1 } ) , \mathrm { X } ^ { i _ { 2 } + 1 } ( \tau ^ { 1 } ) , \dots , \mathrm { X } ^ { N ^ { \mathrm { X } } } ( \tau ^ { 1 } ) ) \, , } \\ & { ( \mathrm { Y } ^ { 1 } ( \tau ^ { 1 } ) , \dots , \mathrm { Y } ^ { N ^ { \mathrm { Y } } } ( \tau _ { - } ^ { 1 } ) , \mathrm { Y } ^ { N ^ { \mathrm { Y } } + 1 } ( \tau ^ { 1 } ) ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { N } \Big ( \langle \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } f , \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } f \rangle _ { 2 } + \| Y \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \langle y , \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } f \rangle _ { 2 } \Big ) + \gamma \langle f , f \rangle _ { \ensuremath { \mathscr { H } } } } \\ { = } & { \Big \langle \Big ( \frac { 1 } { N } \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } ^ { \top } \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } + \gamma I \Big ) f , f \Big \rangle _ { \ensuremath { \mathscr { H } } } - \frac { 2 } { N } \langle \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } ^ { \top } y , f \rangle _ { \ensuremath { \mathscr { H } } } + \frac { 1 } { N } \| Y \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \mathrm { d i r e c t ~ c y c l e : } \, - | Q _ { W } | f \left( T _ { h } \right) + | Q _ { t } | F \left( T _ { h } , T _ { l } \right) } & { = 0 } \\ { \mathrm { r e v e r s e d ~ c y c l e : } \, \, + | Q _ { W } | f \left( T _ { h } \right) - | Q _ { t } | F \left( T _ { h } , T _ { l } \right) } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { I , p } ( { \bf r } ) } & { = } & { e ^ { \imath \, { \bf k _ { i } } . { \bf r } } + e ^ { \imath \, { \bf k _ { r } } . { \bf r } } \left[ r _ { 1 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } t _ { 1 2 } t _ { 2 1 } ( r _ { 2 1 } ) ^ { 2 n - 1 } e ^ { \imath \Phi _ { m } n } e ^ { - \imath n \, { \bf k _ { r } } . \Delta { \bf r } } \right] } \\ & { = } & { e ^ { \imath \, { \bf k _ { i } } . { \bf r } } + a _ { 1 } ( \theta _ { i } , n _ { m } , d ) e ^ { \imath \, { \bf k _ { r } } . { \bf r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ( G , H , i ) = \psi ( w _ { 0 1 } ) + \sum _ { j = 1 , 2 } } & { ( \lambda _ { j } + \lambda _ { j } ^ { \prime } + \psi _ { j } ) ( w _ { 1 1 } ) } \\ & { \in \bar { C } _ { * } ( \mathcal { T } _ { \delta _ { i } G } ) \oplus \bar { C } _ { * } ( \mathcal { T } _ { \delta _ { i } \partial _ { 1 } G } ) \oplus \bar { C } _ { * } ( \mathcal { T } _ { \delta _ { i } \partial _ { 2 } G } ) } \end{array}
\begin{array} { l l } { - 2 p _ { 1 } \Delta \mathbf { v } - \nabla [ \nabla \cdot \mathbf { v } ] = \mathbf { g } ( m ) + \mathbf { d } } & { \textrm { i n } \quad \Omega } \\ { \mathbf { v } = \mathbf { 0 } } & { \textrm { o n } \quad \partial \Omega } \\ { - 2 p _ { 1 } \Delta \boldsymbol { \lambda } - \nabla [ \nabla \cdot \boldsymbol { \lambda } ] = - \nabla \cdot \Big ( ( s _ { 1 } - z ) \, \boldsymbol { \xi } _ { 1 } \otimes \boldsymbol { \xi } _ { 1 } \Big ) } & { \textrm { i n } \quad \Omega } \\ { \boldsymbol { \lambda } = \mathbf { 0 } } & { \textrm { o n } \quad \partial \Omega } \\ { - \beta \Delta m + \beta m - \nabla \boldsymbol { \lambda } : \mathbf { A } = 0 } & { \textrm { i n } \quad \Omega , } \end{array}
M _ { \zeta } ^ { a b } ( X , Z ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } B _ { a b } ( u , v ) \, \delta ( X - \bar { u } Z + v ( Z - \zeta ) ) \, \theta ( u + v \leq 1 ) \, d u \, d v \, .
S _ { \mathrm { m a s s i v e \ N S 5 - b r a n e } } \sim \int d ^ { 6 } \xi \ m \ \epsilon ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { 6 } } c ^ { ( 6 ) } { } _ { i _ { 1 } \cdots i _ { 6 } } \, .
\Bigl ( X ^ { a A , b B } ( x , y ) \Bigr ) = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { g } { 2 m ^ { 2 } } \, f ^ { a b c } \bigl ( D _ { i } \pi ^ { i } \bigr ) ^ { c } } } & { { \delta ^ { a b } } } \\ { { - \, \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \, \delta ^ { a b } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, \delta ( x - y ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { E _ { 1 } \cdots E _ { t } } } & { : = \bigg \{ P _ { E _ { 1 } \cdots E _ { t } } : P _ { E _ { 1 } \cdots E _ { t } } ( A ) \equiv P _ { E _ { 1 } \cdots E _ { t - 1 } } ( A \mid E _ { t } ) } \\ & { \propto P ( E _ { t } \mid A , E _ { 1 } , \ldots , E _ { t - 1 } ) P _ { E _ { 1 } \cdots E _ { t - 1 } } ( A ) \mathrm { , ~ } \forall A \in \mathcal { F } \bigg \} , } \end{array}
0 < \, \mathbf { x } \cdot ( \mathbf { e } _ { 1 } ^ { + } + \mathbf { e } _ { 1 } ^ { - } + \mathbf { e } _ { 2 } ^ { + } + \mathbf { e } _ { 2 } ^ { - } ) = 4 \cos ( \tau ) \cos ( \omega _ { - } ) \big ( x _ { 1 } \cos ( \omega _ { + } ) - x _ { 2 } \sin ( \omega _ { + } ) \big )
\begin{array} { r l r } { \binom { - n } { i } } & { = } & { \frac { - n ( - n - 1 ) ( - n - 2 ) ( - n - 3 ) \ldots ( - n - ( i - 2 ) ) ( - n - ( i - 1 ) ) } { 1 . 2 . 3 . \ldots ( i - 1 ) i } } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { i } \frac { n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) \ldots ( n + ( i - 2 ) ) ( n + ( i - 1 ) ) } { i ! } } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { i } \binom { n + i - 1 } { i } } \\ & { \Longrightarrow } & { ( - 1 ) ^ { i } \binom { - n } { i } = \binom { n + i - 1 } { i } . } \end{array}
G _ { \nu } ^ { \mu } ( \{ \} ) = 8 \pi G ( 2 \alpha g ^ { \mu \alpha } \partial _ { \alpha } \Lambda \partial _ { \nu } \Lambda - \alpha \delta _ { \nu } ^ { \mu } g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } \Lambda \partial _ { \beta } \Lambda + T _ { \nu } ^ { \mu } ) = 8 \pi G \tilde { T } _ { \nu } ^ { \mu }
\begin{array} { r l } { \delta ^ { ( 1 ) } [ \Psi ] ( t ) = \sum _ { u = 1 } ^ { U } \varepsilon _ { 1 } ^ { u } } & { { } \left( g _ { 1 } ^ { u } \bullet \mathcal { G } _ { d , \Psi } ^ { u } \right) ( t ) } \end{array}
G _ { z } \equiv F _ { z } - \left. \frac { e } { m } \left\langle \delta L _ { g } \right\rangle _ { z } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } \right| _ { \bar { \psi } } + \frac { R B _ { \phi } } { B _ { 0 } } \left\langle \delta A _ { \| g } \right\rangle _ { z } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \bar { \psi } }
\begin{array} { r l } { \varpi _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) } & { = r _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) \sin ( \theta ) = v _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) \sin ( \theta ) t } \\ { z _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) } & { = r _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) \cos ( \theta ) = v _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) \cos ( \theta ) t \ . } \end{array}
c ( u _ { 1 } ^ { * } ) = C _ { i _ { 1 } \ldots i _ { 2 n - m - k + 1 } } { \frac { \partial } { \partial u _ { i _ { 1 } 1 } ^ { * } } } \ldots { \frac { \partial } { \partial u _ { i _ { 2 n - m - k + 1 } 1 } ^ { * } } } Q _ { 1 } ,
\boldsymbol { k } = \tilde { \boldsymbol { \rho } } + k _ { z } \boldsymbol { e } _ { z } = \tilde { \rho } \cos \tilde { \varphi } \boldsymbol { e } _ { x } + \tilde { \rho } \sin \tilde { \varphi } \boldsymbol { e } _ { y } + k _ { z } \boldsymbol { e } _ { z }
\begin{array} { r l } { | c _ { i j } ( t ) - c ^ { i j } | } & { { } < \epsilon / 2 \, , } \\ { | c _ { i j } ( t _ { 1 } ) - c _ { i j } ( t _ { 2 } ) | } & { { } < \frac { 1 } { 2 } \left( \operatorname* { m i n } \{ 1 - \delta , \gamma \} \right) \epsilon \, , } \end{array} \quad \! \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t , t _ { 1 } , t _ { 2 } \geq T \, .
F _ { a , b } ( - b u , u ) = \frac { 1 } { \sqrt { a b } } \int _ { u } ^ { 1 } \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x - u ) } } d x \sim \frac { 1 - b } { \sqrt { a b ( 1 + \frac { b } { a } ) } } \int _ { u } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 - x ) ( x - u ) } } d x .
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { \mu ^ { + } \mu ^ { - } \to h h } } & { = } & { \frac { \left| \lambda _ { \mu \mu } ^ { h h } \right| ^ { 2 } } { 6 4 \pi } = \frac { 9 } { 6 4 \pi } \left( \frac { m _ { \mu } ^ { L E } } { v ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \\ { \sigma _ { \mu ^ { + } \mu ^ { - } \to h h h } } & { = } & { \frac { \left| \lambda _ { \mu \mu } ^ { h h h } \right| ^ { 2 } } { 6 1 4 4 \pi ^ { 3 } } s = \frac { 3 } { 4 0 9 6 \pi ^ { 3 } } \left( \frac { m _ { \mu } ^ { L E } } { v ^ { 3 } } \right) ^ { 2 } s . } \end{array}
\frac { \zeta \beta } { \gamma } \Delta ^ { 2 } = \frac { \left( \frac { 2 \left( 3 + \frac { \left( C + 4 \right) } { b } \right) \left( 2 + \frac { \left( C + 3 b \right) } { 2 } \pm \sqrt { \left( 2 - C \right) ^ { 2 } - 1 6 \Sigma \left( \frac { C } { b } + 1 \right) } \right) } { \frac { C } { b } + 1 } - 3 \left( C + 3 b \right) - \frac { 3 2 \Sigma } { b } - 1 2 \right) } { 1 6 \left( \frac { C } { b } + 1 \right) } ,
s = { \frac { 1 } { 6 \pi ^ { 2 } T ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { l } ( 2 s _ { i } + 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d p p ^ { 4 } } { E _ { i } } } { \frac { ( E _ { i } - \mu _ { i } ) \exp \left\{ { \frac { E _ { i } - \mu _ { i } } { T } } \right\} } { \left( \exp \left\{ { \frac { E _ { i } - \mu _ { i } } { T } } \right\} + g _ { i } \right) ^ { 2 } } } \ ,
\begin{array} { r l r l } { J } & { { } = 1 - \sigma K = 1 - \varepsilon \xi K , } & { J ^ { - 1 } } & { { } = ( 1 - \sigma K ) ^ { - 1 } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { k } \xi ^ { k } K ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta X _ { \mathrm { a c } } ^ { 2 } ( t ) \rangle } & { \simeq \frac { 1 6 } { 3 \Gamma ^ { 2 } ( 1 / 4 ) { \pi } ^ { 1 / 2 } } ( \sigma \mathcal { Y } ) ^ { 2 } M \left( \sqrt { t / \tau _ { A } } \right) } \\ & { \simeq \frac { 1 6 } { 3 \Gamma ^ { 2 } ( 1 / 4 ) { \pi } ^ { 1 / 2 } } ( \sigma \mathcal { Y } ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \left\{ \begin{array} { l r } { \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { t } { \tau _ { A } } \right) ^ { 3 / 2 } , } & { \tau _ { 0 } \ll t \ll \tau _ { A } } \\ { \left( \frac { t } { \tau _ { A } } \right) ^ { 1 / 2 } , } & { \tau _ { A } \ll t \ll \tau _ { R } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \Phi _ { S N } = } & { \int 2 N _ { \mathrm { o u t } } \delta B _ { S N } d A } \\ & { = \frac { \mu _ { 0 } \mu _ { B } \sqrt { N _ { s } T _ { 2 } } N _ { \mathrm { o u t } } } { r _ { \mathrm { o u t } } [ 1 + ( d / r _ { \mathrm { o u t } } ) ^ { 2 } ] ^ { 3 / 2 } } L ( \nu - \nu _ { 0 } , \delta \nu ) , } \end{array}
{ \cal { L } } _ { w ^ { - } w ^ { + } V } = i e w ^ { - } { \overleftrightarrow { \partial ^ { \mu } } } w ^ { + } A _ { \mu } + i \frac { g } { \cos \vartheta _ { W } } ( \frac { 1 } { 2 } - \sin ^ { 2 } \vartheta _ { W } ) w ^ { - } { \overleftrightarrow { \partial ^ { \mu } } } w ^ { + } Z _ { \mu }
\begin{array} { r l } { s \, J ^ { \lambda } * s \leq } & { \ s \, J ^ { \lambda } * s + ( \mathfrak { s } - s ) \, ( J ^ { \lambda } * s - J ^ { \lambda } * s ^ { b - } ) } \\ { = } & { \ \mathfrak { s } \, ( J ^ { \lambda } * s - J ^ { \lambda } * s ^ { b - } ) + s \, J ^ { \lambda } * s ^ { b - } } \\ { = } & { \ \mathfrak { s } \, ( J ^ { \lambda } * s ^ { b + } - \hat { J } \, \mathfrak { s } ) + s ^ { b - } \, J ^ { \lambda } * s ^ { b - } } \\ { = } & { \ s ^ { b - } \, J ^ { \lambda } * s ^ { b - } + s ^ { b + } \, J ^ { \lambda } * s ^ { b + } - \hat { J } \mathfrak { s } ^ { 2 } . } \end{array}
f ^ { \prime \prime } ( x ) \approx { \frac { \delta _ { h } ^ { 2 } [ f ] ( x ) } { h ^ { 2 } } } = { \frac { { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } - { \frac { f ( x ) - f ( x - h ) } { h } } } { h } } = { \frac { f ( x + h ) - 2 f ( x ) + f ( x - h ) } { h ^ { 2 } } } .
C ( V | v _ { r } ) \propto \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { V \leq | v _ { r } - v | } \\ { 1 - e ^ { - \beta ^ { 2 } V ^ { 2 } } } & { | v _ { r } - v | < V < v _ { r } + v } \\ { 1 } & { v _ { r } + v \leq V } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | \mathrm { i } \omega \cdot l } & { - ( d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) ) | < 2 \langle l \rangle ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | ( \gamma _ { n + 1 } + 2 ^ { - n - 1 } \gamma ) } \\ & { = 2 \langle l \rangle ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | \gamma _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { G } _ { c } } & { = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { \infty } g _ { c } ( r ) f _ { c } ( r ) d r , } \\ { \mathcal { F } _ { c } } & { = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big [ 1 - \mathcal { M } _ { c } ( r ) \Big ] g _ { c } ( r ) f _ { c } ( r ) d r . } \end{array}
\widehat { b } _ { \pm \nu } = \widehat { a } _ { \pm \nu } \cosh \zeta + \widehat { a } _ { \mp \nu } ^ { \dagger } \sinh \zeta \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \operatorname { t a n h } \zeta = \mathrm { e } ^ { - \pi \nu } \, .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { p l } = \omega _ { c } a ^ { \dagger } a + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Omega _ { i } ( \boldsymbol { R } ) \sigma _ { i } ^ { \dagger } \sigma _ { i } + g _ { c } ^ { i } ( a ^ { \dagger } \sigma _ { i } + a \sigma _ { i } ^ { \dagger } ) , } \end{array}
{ \tau _ { i j } } = { C _ { 1 } } { \bar { \Delta } ^ { 2 } } \left| { \bar { S } } \right| { \bar { S } _ { i j } } + { C _ { 2 } } \left( { \widetilde { { { \bar { u } } _ { i } } { { \bar { u } } _ { j } } } - { { \tilde { \bar { u } } } _ { i } } { { \tilde { \bar { u } } _ { j } } } } \right) .
0 \subset V _ { \mu _ { 2 } - \lambda _ { 2 } , | \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } | } \subset \cdots \subset V _ { 2 , | \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } | } \subset V _ { 2 , 2 } \cdots V _ { 2 , 1 } \subset V _ { 2 , 0 } \subset V _ { 1 , | \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } | } \subset \cdots V _ { 1 , 1 } \subset V _ { 1 , 0 } = \operatorname { K e r } \phi ( \lambda , \mu ) ,
\begin{array} { r l } { R _ { \hat { n } _ { 1 } \hat { n } _ { 2 } } ( \theta ) } & { { } = I + ( \hat { n } _ { 2 } \hat { n } _ { 1 } ^ { \top } - \hat { n } _ { 1 } \hat { n } _ { 2 } ^ { \top } ) \sin \theta } \end{array}
\mathrm { F } ( \mathbf { r } ; \lambda ) = \frac { \rho ( \mathbf { r } ; \lambda ) } { \rho _ { 0 } ( \mathbf { r } ; \lambda ) } = - 4 \: \Im \left\{ \mathrm { T r } [ \boldsymbol { \mathrm { G } } ^ { e } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ; \lambda ) ] \right\} = \frac { \Gamma ( \mathbf { r } ; \lambda ) } { \Gamma _ { 0 } ( \mathbf { r } ; \lambda ) }
S _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { n } = M _ { \mathrm { ~ P ~ } } \cdot M _ { \mathrm { ~ Q ~ W ~ P ~ } } ^ { n } \cdot S _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } = M _ { \mathrm { ~ P ~ } } \cdot M _ { \mathrm { ~ Q ~ W ~ P ~ } } ^ { n } \cdot ( A ^ { - 1 } \cdot I )
\begin{array} { r l } & { { \boldsymbol { \rho } } _ { k } = \left[ \sqrt { p _ { k 1 } } x _ { k , 1 } \, \ldots \, \sqrt { p _ { k L } } x _ { k , L } \right] ^ { \mathrm { \tiny ~ \mathrm { T } ~ } } = \left[ \rho _ { k , 1 } \, \ldots \, \rho _ { k , L } \right] ^ { \mathrm { \tiny ~ \mathrm { T } ~ } } , } \\ & { { \boldsymbol { \rho } } _ { l } ^ { \prime } = \left[ \sqrt { p _ { 1 l } } x _ { 1 , l } \, \ldots \, \sqrt { p _ { K l } } x _ { K , l } \right] ^ { \mathrm { \tiny ~ \mathrm { T } ~ } } = \left[ \rho _ { 1 , l } \, \ldots \, \rho _ { K , l } \right] ^ { \mathrm { \tiny ~ \mathrm { T } ~ } } . } \end{array}
a g f _ { \pi } ^ { 2 } \ = \ \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } } { 2 \gamma _ { \rho } } \ = \ \frac { m _ { \phi } ^ { 2 } } { 2 \gamma _ { \phi } } \ = \ \frac { m _ { \omega } ^ { 2 } } { 2 \gamma _ { \omega } } ,
\begin{array} { r } { \tilde { \bf Y } _ { 2 } ^ { - } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) = \tilde { \bf F } _ { 2 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) = \tilde { \bf W } _ { 2 1 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) + \tilde { \bf W } _ { 2 2 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r \, { \mathrm d } \rho _ { \! \mathscr I } } & { = - r \, { \mathrm d } \Bigl ( \frac { x ^ { 1 } } { r } \Bigr ) = - { \mathrm d } x ^ { 1 } + \frac { x ^ { 1 } } { r } { \mathrm d } r = - { \mathrm d } x ^ { 1 } + \frac { x ^ { 1 } } { r } \Bigl ( 1 - \frac { 2 \mathfrak { m } } { r } \Bigr ) { \mathrm d } r _ { * } } \\ & { = \frac { x ^ { 1 } } { 2 r } \Bigl ( 1 - \frac { 2 \mathfrak { m } } { r } \Bigr ) { \mathrm d } x ^ { 0 } - \Bigl ( 1 + \frac { x ^ { 1 } } { 2 r } \Bigl ( 1 - \frac { 2 \mathfrak { m } } { r } \Bigr ) \Bigr ) { \mathrm d } x ^ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { \mathrm { M B } } = \frac { \mathbf { u } _ { \mathrm { m } } ^ { * } \cdot \mathbf { n } \, \left( \delta \varepsilon _ { \mathrm { M B } } \, \mathbf { E } _ { \mathrm { p , t } } ^ { * } \cdot \mathbf { E } _ { \mathrm { s , t } } - \delta \varepsilon _ { \mathrm { M B } } ^ { - 1 } \, \mathbf { D } _ { \mathrm { p , n } } ^ { * } \cdot \mathbf { D } _ { \mathrm { s , n } } \right) } { \operatorname* { m a x } | \mathbf { u } _ { \mathrm { m } } | \, P _ { \mathrm { p } } \, P _ { \mathrm { s } } } } \\ & { \mathrm { a n d } \quad f _ { \mathrm { P E } } = \frac { \mathbf { E } _ { \mathrm { p } } ^ { * } \cdot \delta \varepsilon _ { \mathrm { P E } } ^ { * } \cdot \mathbf { E } _ { \mathrm { s } } } { \operatorname* { m a x } | \mathbf { u } _ { m } | \, P _ { \mathrm { p } } \, P _ { \mathrm { s } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathfrak { D } \equiv d _ { 2 } \left( \hat { S } , S _ { \parallel } ^ { y _ { \mathrm { m i n } } } \right) } & { = } & { \operatorname* { m i n } _ { y \in \Lambda } \, \| \hat { S } - S _ { \parallel } ^ { y } \| _ { 2 , \Lambda \times \lbrack 0 , L \rbrack } } \\ & { = } & { \sqrt { 1 - \operatorname* { m a x } _ { y \in \Lambda } \, \vert ( \hat { S } , \hat { S } _ { \mathrm { i n s t } } ^ { y } ) \vert ^ { 2 } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { ( z _ { 1 } + i z _ { 2 } ) \xi _ { 1 } - ( z _ { 3 } + i z _ { 4 } ) \xi _ { 2 } = 0 } } \\ { { ( z _ { 3 } - i z _ { 4 } ) \xi _ { 1 } + ( z _ { 1 } - i z _ { 2 } ) \xi _ { 2 } = 0 } } \end{array} \right. ~ , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \left\{ \begin{array} { l } { { z _ { 1 } \pm i z _ { 2 } \equiv e ^ { \pm i \omega } ( z _ { 1 } \pm i z _ { 2 } ) } } \\ { { z _ { 3 } \pm i z _ { 4 } \equiv e ^ { \pm i \omega } ( z _ { 3 } \pm i z _ { 4 } ) } } \end{array} \right. ~ .
\Lambda ^ { \mu } \left( { k ^ { ' } , k } \right) \; = \; \gamma ^ { \mu } \; { - \, i e ^ { 2 } } \, \mu ^ { 4 - D } \, \int { { \frac { d ^ { D } l } { \left( { 2 \pi } \right) ^ { D } } } } \; { \frac { \gamma ^ { \alpha } \left( { \not k ^ { ' } + \not l + m } \right) \gamma ^ { \mu } \left( { \not k + \not l + m } \right) \gamma _ { \alpha } } { \left[ { l ^ { 2 } } \right] \, \left[ { l ^ { 2 } + 2 l . k ^ { ' } } \right] \, \left[ { l ^ { 2 } + 2 l . k } \right] \, } } + O \left( { e ^ { 4 } } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { i j } } & { : = - \left< u _ { i } u _ { k } \right> \frac { \partial \left< U _ { i } \right> } { \partial x _ { k } } - \left< u _ { j } u _ { k } \right> \frac { \partial \left< U _ { j } \right> } { \partial x _ { k } } \, , } \\ { \epsilon _ { i j } } & { : = 2 \nu \left< \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { k } } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { k } } \right> \, , } \\ { C _ { i j } } & { : = - \frac { 1 } { \rho } \left< u _ { i } \frac { \partial p } { \partial x _ { j } } + u _ { j } \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } \right> \, , } \\ { T _ { i j } } & { : = - \frac { \partial } { \partial x _ { k } } \left< u _ { i } u _ { j } u _ { k } \right> \, , } \\ { D _ { i j } } & { : = \nu \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } \left< u _ { i } u _ { j } \right> \, . } \end{array}
\frac { d \; \varphi ^ { u } } { d t } = - ( 3 k _ { u } ^ { 2 } + k _ { d } ^ { 2 } ) \left[ \begin{array} { c c c } { { \varphi _ { 1 1 } ^ { u } } } & { { \varphi _ { 1 2 } ^ { u } } } & { { 0 } } \\ { { \varphi _ { 2 1 } ^ { u } } } & { { \varphi _ { 2 2 } ^ { u } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] - k _ { d } ^ { 2 } \left[ \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { \varphi _ { 1 3 } ^ { u } - \varphi _ { 1 3 } ^ { d } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \varphi _ { 2 3 } ^ { u } - \varphi _ { 2 3 } ^ { d } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \; ,