harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { e _ { x } } & { = \frac { E _ { x ^ { \prime } } } { \sqrt { 3 } } - \frac { E _ { y ^ { \prime } } ( 3 + \sqrt { 3 } ) } { 6 } + \frac { E _ { z ^ { \prime } } ( 3 - \sqrt { 3 } ) } { 6 } } \\ { e _ { y } } & { = \frac { E _ { x ^ { \prime } } } { \sqrt { 3 } } + \frac { E _ { y ^ { \prime } } ( 3 - \sqrt { 3 } ) } { 6 } - \frac { E _ { z ^ { \prime } } ( 3 + \sqrt { 3 } ) } { 6 } } \\ { e _ { z } } & { = \frac { E _ { x ^ { \prime } } } { \sqrt { 3 } } + \frac { E _ { y ^ { \prime } } } { \sqrt { 3 } } + \frac { E _ { z ^ { \prime } } } { \sqrt { 3 } } } \end{array}
^ { + } S _ { 2 } = \frac { i } { 4 } { ^ + \tau } \int _ { M } e F ^ { \mu \nu i } F ^ { \alpha \beta j } g _ { i j } \, \, { ^ + { \cal R } } _ { \mu \nu } ^ { a b } \, \, { ^ + { \cal R } } _ { \alpha \beta } ^ { c d } \, \epsilon _ { a b c d } \, .
\rho ( i , j ) = \frac { \mathrm { c o v } ( C _ { i } ^ { * } , C _ { j } ^ { * } ) } { [ \mathrm { c o v } ( C _ { i } ^ { * } , C _ { i } ^ { * } ) \, \mathrm { c o v } ( C _ { j } ^ { * } , C _ { j } ^ { * } ) ] ^ { 1 / 2 } } ~ .
\begin{array} { r l } { 2 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } } & { \le t ^ { - ( \frac 1 4 - \frac \delta 2 ) } \sqrt { 8 6 M ^ { 2 } K ^ { 6 } t ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } , } \\ & { \Updownarrow } \\ { 4 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 2 } } & { \le t ^ { - \frac 1 2 + \delta } \left( 8 6 M ^ { 2 } K ^ { 6 } t ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right) , } \\ & { \Uparrow ( a ) } \\ { 4 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 2 } } & { \le t ^ { - \frac 1 2 + \delta } \left( 8 6 M ^ { 2 } K ^ { 6 } t ^ { \frac 3 2 } + \frac 1 { 3 M K ^ { 3 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 3 } \right) } \\ & { \Updownarrow } \\ { 4 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 2 } } & { \le t ^ { - \frac 1 2 + \delta } \left( \frac 1 3 \cdot 2 5 8 M ^ { 2 } K ^ { 6 } t ^ { \frac 3 2 } + \frac 2 3 \cdot \frac 1 { 2 M K ^ { 3 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 3 } \right) , } \\ & { \Uparrow ( b ) } \\ { 4 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 2 } } & { \le t ^ { - \frac 1 2 + \delta } \cdot 2 5 8 ^ { \frac 1 3 } 2 ^ { - \frac 2 3 } t ^ { \frac 1 2 } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \Updownarrow } \\ { 4 } & { \le t ^ { \delta } \left( \frac { 2 5 8 } 4 \right) ^ { \frac 1 3 } , } \end{array}
\Sigma ( \Psi _ { p } ^ { \mathrm { t o t } } ) = \nu _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 1 } \nu _ { i } ^ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } \nu _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \: ,
A _ { L L } ^ { Z ^ { 0 } } ( y ) \sim \Sigma _ { i } { \frac { \Delta q _ { i } ( x _ { a } ) \Delta \bar { q } _ { i } ( x _ { b } ) + \Delta \bar { q } _ { i } ( x _ { a } ) \Delta q _ { i } ( x _ { b } ) } { q _ { i } ( x _ { a } ) \bar { q } _ { i } ( x _ { b } ) + \bar { q } _ { i } ( x _ { a } ) q _ { i } ( x _ { b } ) } } \nonumber
\begin{array} { r l } { I \dot { \boldsymbol { \omega } } _ { \mathrm { ~ f ~ } } } & { { } = \mathbf { m } _ { \mathrm { ~ f ~ } } \times \mathbf { B } _ { \mathrm { ~ r ~ } } - \zeta _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \\ { \mathfrak { m } \dot { \mathbf { v } } _ { \mathrm { ~ f ~ } } } & { { } = \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ } } - \zeta _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ } } \mathbf { v } _ { \mathrm { ~ f ~ } } - g \hat { \mathbf { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { 1 } ( y ) } & { = } & { \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 ~ \sqrt { E } } ~ \exp ( 2 ~ y ) + \frac { y } { 2 } \sqrt { 1 - 4 ~ \epsilon _ { 1 } } \right] L _ { - \frac { 1 } { 2 } + \frac { E ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } \sqrt { 1 - 4 \epsilon _ { 1 } } } ^ { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - 4 \epsilon _ { 1 } } } \left[ \frac { \exp ( 2 ~ y ) } { \sqrt { E } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \lambda _ { 1 x } ) ^ { m _ { x } ^ { 1 } } ( \lambda _ { 1 y } ) ^ { m _ { y } ^ { 1 } } ( \lambda _ { 2 x } ) ^ { m _ { x } ^ { 2 } } ( \lambda _ { 2 y } ) ^ { m _ { y } ^ { 2 } } } \\ { \left( i \frac { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 2 } } { \hat { \mu } _ { 1 } \cdot \hat { \lambda } _ { 2 } } \right) ^ { m _ { x } ^ { 1 } + m _ { y } ^ { 1 } } \left( i \frac { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 1 } } { \hat { \mu } _ { 2 } \cdot \hat { \lambda } _ { 1 } } \right) ^ { m _ { x } ^ { 2 } + m _ { y } ^ { 2 } } } \end{array}
R _ { q } \equiv g _ { V q } / g _ { A q } = 1 - 4 | Q _ { q } | s ^ { 2 } + \frac { 3 | Q _ { q } | } { 4 \pi ( c ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) } \bar { \alpha } V _ { R q } ( t , h ) \; \; .
\begin{array} { r l } { { \bf r } _ { V } } & { = \sum _ { e } { \bf r } _ { V e } = \sum _ { e } \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , \partial _ { { t } } { \bf U } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } + \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , \nabla \cdot { \bf F } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , \nabla \cdot { \bf Q } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , { \bf S } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } = { \bf 0 } } \\ { { \bf r } _ { E } } & { = \sum _ { e } { \bf r } _ { E e } = \sum _ { e } \big \langle { { \bf w } _ { E } } \, , { \bf E } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle { { \bf w } _ { E } } \, , \nabla \cdot { \bf G } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } = { \bf 0 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha \colon \mathcal { E } \left( \mathbb { K } \right) } & { \longrightarrow \mathcal { W } \left( \mathbb { K } \right) } \\ { ( \hat { x } , \hat { y } ) } & { \longmapsto ( x , y ) = \left( x _ { 1 } \frac { 1 + \hat { y } } { 1 - \hat { y } } , y _ { 1 } \frac { ( 1 + \hat { y } ) } { \hat { x } ( 1 - \hat { y } ) } \right) } \\ { \beta \colon \mathcal { W } \left( \mathbb { K } \right) } & { \longrightarrow \mathcal { E } \left( \mathbb { K } \right) } \\ { ( x , y ) } & { \longmapsto ( \hat { x } , \hat { y } ) = \left( \frac { y _ { 1 } x } { x _ { 1 } y } , \frac { x - x _ { 1 } } { x + x _ { 1 } } \right) , } \end{array}
C _ { 1 } = x ^ { 1 } \cos ( \xi x ^ { 2 } ) + x ^ { 2 } \sin ( \xi x ^ { 2 } ) \ , \ \ \ C _ { 2 } = x ^ { 2 } \cos ( \xi x ^ { 2 } ) - x ^ { 1 } \sin ( \xi x ^ { 2 } ) \ .
\frac { 1 } { \sqrt { - \operatorname * { d e t } G } } \, \partial _ { \mu } \left( \sqrt { - \operatorname * { d e t } G } \, G ^ { \mu \nu } \, \partial _ { \nu } \eta _ { a } \right) = \frac { 1 } { 2 } \, T ( x ) \, \delta ^ { d } ( x )
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \frac { d } { d t } \Phi _ { t } ( \xi ) } & { = \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \pm } ( \Phi _ { t } ( \xi ) , t ) } & { \quad } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \xi \in \overline { { \Omega _ { 0 } ^ { \pm } } } , t \in [ 0 , T _ { 0 } ] , } \\ { \Phi _ { 0 } ( \xi ) } & { = \xi } & { \quad } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \xi \in \overline { { \Omega _ { 0 } ^ { \pm } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \operatorname { a r g m a x } _ { \theta } \left[ \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 ^ { + } } { \frac { 1 } { h } } \int _ { x _ { j } } ^ { x _ { j } + h } f ( x \mid \theta ) \, d x \right] = \operatorname { a r g m a x } _ { \theta } f ( x _ { j } \mid \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { b } ^ { \prime } } { \partial t } - \eta \nabla ^ { 2 } \mathbf { b } ^ { \prime } + \left( \left\langle \mathbf { U } \right\rangle \cdot \nabla \right) \mathbf { b } ^ { \prime } - \left( \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \cdot \nabla \right) \mathbf { u } ^ { \prime } + \left( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \nabla \right) \left\langle \mathbf { B } \right\rangle - \left( \mathbf { b } ^ { \prime } \cdot \nabla \right) \left\langle \mathbf { U } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( w _ { t + 1 } ) - f ( w _ { t } ) \le } & { \gamma \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 - \beta } + \frac { \gamma } { 6 } \Big ( \mathcal { O } ( \gamma ) \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 - 2 \beta } } \\ & { + \mathcal { O } ( \gamma ) \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 + \alpha - 2 \beta } + \mathcal { O } ( \gamma ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } ) \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { \frac { ( 2 - \alpha ) ( 1 - \beta ) } { 1 - \alpha } } \Big ) . } \end{array}
Q \left( z + z ^ { \prime } \right) \equiv Q ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l l } { a ^ { \prime } } & { b ^ { \prime } } \\ { b ^ { \prime } } & { c ^ { \prime } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { a + b z ^ { \prime } + \left( c z ^ { \prime } + b \right) z ^ { \prime } } & { b + c z ^ { \prime } } \\ { b + c z ^ { \prime } } & { c } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \delta } { \delta \zeta _ { 1 } } \left[ G _ { 1 2 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 2 } } \right] \right) _ { i , j , k } = } & { { } \left[ G _ { 1 2 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 2 } } \right] _ { i + 1 / 2 , j , k } - \left[ G _ { 1 2 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 2 } } \right] _ { i - 1 / 2 , j , k } } \\ { = } & { { } + \frac { G _ { 1 2 } ^ { 2 } | _ { i + 1 , j , k } } { 2 } \left[ + \frac { \phi | _ { i , j + 1 , k } + \phi | _ { i + 1 , j + 1 , k } } { 2 } \right. } \end{array}
\vec { F } _ { T } = \frac { d \vec { P } _ { T } } { d t } = \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi } \sigma \frac { d J _ { 0 } } { d t } w a b ^ { 2 } \left( \tilde { \Lambda } ( \frac { a } { \Delta _ { 1 } } , \frac { b } { \Delta _ { 1 } } ) - \tilde { \Lambda } ( \frac { a } { \Delta _ { 2 } } , \frac { b } { \Delta _ { 2 } } ) \right) \hat { x } .
\int _ { \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m } } \varphi \, \Bigl ( r - \, \Delta t \, [ \vec { W } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ] \Bigr ) \, \mathcal { J } ^ { m } \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z = \int _ { \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m - 1 } } \varphi \circ \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t _ { m - 1 } ] ^ { - 1 } \, r \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ b ~ i ~ t ~ v ~ a ~ l ~ u ~ e ~ } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \ x _ { \phi } > x _ { 0 } } \\ { 0 } & { \ x _ { \phi } < - x _ { 0 } } \\ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ o ~ n ~ c ~ l ~ u ~ s ~ i ~ v ~ e ~ } } & { - x _ { 0 } < x _ { \phi } < x _ { 0 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } \big ( ( T _ { n , 3 } ^ { a , b } ) ^ { c } \big ) = } & { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 + \sqrt { ( 4 n + 1 ) ^ { 2 } - 6 4 ( a + 1 ) ( b + 1 ) } } { 2 } } \quad \mathrm { a n d } } \\ { \xi _ { 2 } \big ( ( T _ { n , 3 } ^ { a , b } ) ^ { c } \big ) = } & { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 - \sqrt { ( 4 n + 1 ) ^ { 2 } - 6 4 ( a + 1 ) ( b + 1 ) } } { 2 } } . } \end{array}
\vec { \mathcal { F } } _ { e } ( \vec { Q } ) \equiv \vec { E } _ { e } ( \vec { Q } ) \: \hat { i } + \vec { F } _ { e } ( \vec { Q } ) \: \hat { j } + \vec { G } _ { e } ( \vec { Q } ) \: \hat { k } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { F _ { \alpha , \beta } ^ { ( 1 2 ) } } & { F _ { \beta , \alpha } ^ { ( 1 2 ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { ( r _ { \alpha } - r _ { \alpha , \beta } ) z _ { 1 } - 1 } & { \frac { r _ { \beta } } { r _ { \alpha } } r _ { \alpha , \beta } z _ { 1 } } \\ { \frac { r _ { \alpha } } { r _ { \beta } } r _ { \beta , \alpha } z _ { 1 } } & { ( r _ { \beta } - r _ { \beta , \alpha } ) z _ { 1 } - 1 } \end{array} \right) = } \\ { - \left( \begin{array} { l l } { F _ { \alpha , \beta } ^ { ( ) } } & { F _ { \beta , \alpha } ^ { ( ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { ( r _ { \alpha } - r _ { \alpha , \beta } ) z _ { 2 } - 1 } & { \frac { r _ { \beta } } { r _ { \alpha } } r _ { \alpha , \beta } z _ { 2 } } \\ { \frac { r _ { \alpha } } { r _ { \beta } } r _ { \beta , \alpha } z _ { 2 } } & { ( r _ { \beta } - r _ { \beta , \alpha } ) z _ { 2 } - 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\mathcal { F } ( \rho _ { \mathcal { T } } ^ { } , \rho _ { \widetilde { \mathcal { T } } } ) = \left[ \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left( \sqrt { \sqrt { \rho _ { \mathcal { T } } } \rho _ { \widetilde { \mathcal { T } } } \sqrt { \rho _ { \mathcal { T } } } } \right) \right] ^ { 2 } ,
\int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \varphi ( \mathbf t ) \varphi ( \mathbf { s } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } | t _ { i } - s _ { i } | ^ { 2 H - 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { t } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \le C _ { H } ^ { n } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \left| \varphi ( \mathbf { t } ) \right| ^ { 1 / H } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { t } \right) ^ { 2 H } ,
\Delta \Sigma _ { n p } = \frac { g ^ { 2 } } 6 \frac { \pi ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \alpha } { \alpha ^ { 2 } } e ^ { - \alpha m ^ { 2 } - \frac { \tilde { p } ^ { 2 } } { 4 \alpha } } ,
\begin{array} { r l } { \pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( g ^ { - 1 } \mathbb { F } _ { 2 } ) } & { = \mathbb { F } _ { 2 } [ h _ { 2 , 1 } ^ { \pm } , v _ { 1 } , v _ { 2 } ^ { 8 } ] , } \\ { \pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ) } & { = \mathbb { F } _ { 2 } [ h _ { 2 , 1 } ^ { \pm } , v _ { 1 } , v _ { 2 } ^ { 8 } ] / ( v _ { 1 } ) \{ t _ { 1 , 1 } \} , } \\ { \pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 2 } } ) } & { = \mathbb { F } _ { 2 } [ h _ { 2 , 1 } ^ { \pm } , v _ { 1 } , v _ { 2 } ^ { 8 } ] / ( v _ { 1 } ^ { 2 } ) \{ Q _ { 1 } ( x _ { 1 , 1 } x _ { 1 , 2 } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U } & { = \left[ \begin{array} { l l } { U _ { \widehat { k } } } & { \widehat { U } } \end{array} \right] , \quad V = \left[ \begin{array} { l l } { V _ { \widehat { k } } } & { \widehat { V } } \end{array} \right] , \quad W = \left[ \begin{array} { l l } { W _ { \widehat { k } } } & { \widehat { W } } \end{array} \right] , \quad Z = \left[ \begin{array} { l l } { Z _ { \widehat { k } } } & { \widehat { Z } } \end{array} \right] , } \\ { D _ { A } } & { = \operatorname { d i a g } \left( D _ { A _ { \widehat { k } } } , \widehat { D } _ { A } \right) , \quad D _ { B } = \operatorname { d i a g } \left( D _ { B _ { \widehat { k } } } , \widehat { D } _ { B } \right) , \quad D _ { G } = \operatorname { d i a g } \left( D _ { G _ { \widehat { k } } } , \widehat { D } _ { G } \right) , } \end{array}
w _ { u } \equiv \frac { M _ { u } } { Q _ { u } } , \quad b _ { u } \equiv \frac { B _ { u } M _ { u } } { Q _ { u } ^ { 2 } } , \; \textrm { a n d } \quad r _ { u } \equiv \frac { Q _ { u } } { M _ { u } ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { v } } & { = 0 } \\ { \partial _ { t } \boldsymbol { v } + \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { v } } & { = b ~ \boldsymbol { e } _ { z } - \boldsymbol { \nabla } p + \nu \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { v } + \boldsymbol { f } , } \\ { \partial _ { t } { b } + \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } b } & { = - N ^ { 2 } v _ { z } + \kappa \nabla ^ { 2 } { b } , } \end{array}
e ^ { i Q _ { G } } \left( \delta \dot { \psi } _ { z } \partial _ { \psi } + \delta \dot { \theta } _ { z } \partial _ { \theta } + \delta \dot { \cal E } _ { z } \partial _ { \cal E } \right) e ^ { - i Q _ { G } } \delta F _ { B G } = \left[ e ^ { i Q _ { z } } \left( \delta \dot { \theta } _ { z } \partial _ { \theta } + \delta \dot { \cal E } _ { z } \partial _ { \cal E } \right) \right] \delta F _ { B G } \; .
\begin{array} { r } { K L \left( Q ( \boldsymbol { \theta } ) \| P ( \boldsymbol { \theta } | \mathbf { d } ) \right) = \int Q ( \boldsymbol { \theta } ) \log \frac { Q ( \boldsymbol { \theta } ) } { P ( \boldsymbol { \theta } | \mathbf { d } ) } d \boldsymbol { \theta } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \forall } & { \rho _ { 0 } , \qquad \sum _ { k } \tilde { E } _ { k } \rho _ { 0 } \tilde { E } _ { k } ^ { \dag } = U \rho _ { 0 } U ^ { \dag } - \gamma t \frac { 1 } { 2 } \left\{ L ^ { \dag } L , U \rho _ { 0 } U ^ { \dag } \right\} + \gamma t L U \rho _ { 0 } U ^ { \dag } L ^ { \dag } + o ( \gamma t ) } \\ & { \forall } & { \rho ^ { * } , \qquad \sum _ { k } E _ { k } \rho ^ { * } E _ { k } ^ { \dag } = \rho ^ { * } - \gamma t \frac { 1 } { 2 } \left\{ L ^ { \dag } L , \rho ^ { * } \right\} + \gamma t L \rho ^ { * } L ^ { \dag } + o ( \gamma t ) . } \end{array}
S = 4 \pi [ \textstyle { { \frac { 1 } { 2 } } } { \tilde { \beta } } ( \vec { \cal \alpha } ^ { T } L \vec { \cal \alpha } ) - \textstyle { { \frac { 1 } { 4 } } } J ^ { 2 } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { Q } \\ { \Phi _ { 1 } } \\ { \Phi _ { 2 } } \\ { \lambda } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { L _ { 1 } } { L _ { 1 } + L _ { 2 } } } & { \frac { L _ { 1 } L _ { 2 } } { L _ { 1 } + L _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { - L _ { 2 } } { L _ { 1 } + L _ { 2 } } } & { \frac { L _ { 1 } L _ { 2 } } { L _ { 1 } + L _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \tilde { \phi } _ { 1 } } \\ { \tilde { \phi } _ { 2 } } \\ { \tilde { q } _ { 1 } } \\ { \tilde { q _ { 2 } } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { l } { { t _ { 1 1 } = \frac { 1 } { \Delta _ { c } } ( \Delta _ { \pi } V _ { 1 1 } + V _ { 1 2 } ^ { 2 } G _ { 2 2 } ) } } \\ { { t _ { 2 1 } = \frac { 1 } { \Delta _ { c } } ( V _ { 2 1 } G _ { 1 1 } V _ { 1 1 } + \Delta _ { k } V _ { 2 1 } ) } } \\ { { t _ { 2 2 } = \frac { V _ { 2 2 } } { \Delta _ { \pi } } + \frac { V _ { 1 2 } ^ { 2 } G _ { 1 1 } } { \Delta _ { \pi } \Delta _ { c } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C } & { = } & { \frac { 1 } { r _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } \int _ { 0 } ^ { \theta } w ^ { j - 1 } ( 1 - w ) ^ { x - j } d w } \\ & { = } & { \frac { 1 } { r _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } B _ { \theta } ( j , x - j + 1 ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho ( t , x ) = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x x } \rho ( t , x ) - \partial _ { x } \left( ( \mathcal { P } ( \rho ( t , \cdot ) ) ( t , x ) + s ( t , x , \rho ( t , x ) ) u ( t , x ) ) \rho ( t , x ) \right) , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , } \\ & { \left( ( \mathcal { P } ( \rho ( t , \cdot ) ) ( t , x ) + s ( t , x , \rho ( t , x ) ) u ( t , x ) ) \rho ( t , x ) - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x } \rho ( t , x ) \right) \bigg | _ { a } = \beta _ { a } \rho ( t , a ) , } \\ & { \left( ( \mathcal { P } ( \rho ( t , \cdot ) ) ( t , x ) + s ( t , x , \rho ( t , x ) ) u ( t , x ) ) \rho ( t , x ) - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x } \rho ( t , x ) \right) \bigg | _ { b } = \beta _ { b } \rho ( t , b ) , } \end{array} \right.
\sigma _ { i j } = 3 K \left( { \frac { 1 } { 3 } } \varepsilon _ { k k } \delta _ { i j } \right) + 2 G \left( \varepsilon _ { i j } - { \frac { 1 } { 3 } } \varepsilon _ { k k } \delta _ { i j } \right) \, ; \qquad { \boldsymbol { \sigma } } = 3 K \operatorname { v o l } ( { \boldsymbol { \varepsilon } } ) + 2 G \operatorname { d e v } ( { \boldsymbol { \varepsilon } } )
\mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } & { \hat { \rho } _ { \mathrm { o u t } } = \sum _ { k _ { \mathrm { u } } , k _ { \mathrm { d } } , k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } } \vert k _ { \mathrm { u } } , k _ { \mathrm { d } } \rangle \rho _ { \mathrm { o u t } ~ k _ { \mathrm { u } } , k _ { \mathrm { d } } ; k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } } \langle k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } \vert } \\ { \rightarrow } & { \vert \hat { \rho } _ { \mathrm { o u t } } \rangle \rangle = \sum _ { k _ { \mathrm { u } } , k _ { \mathrm { d } } , k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } } \rho _ { \mathrm { o u t } ~ k _ { \mathrm { u } } , k _ { \mathrm { d } } ; k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } } \vert k _ { \mathrm { u } } , k _ { \mathrm { d } } ; k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } \rangle } \\ { = } & { \sum _ { K _ { \mathrm { u } } , K _ { \mathrm { d } } } \rho _ { \mathrm { o u t } ~ K _ { \mathrm { u } } , K _ { \mathrm { d } } } \vert K _ { \mathrm { u } } , K _ { \mathrm { d } } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a ^ { 2 } = \frac { X _ { o } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \varphi - Z _ { o } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi } { \cos ^ { 2 } \varphi - \sin ^ { 2 } \varphi } } \\ & { b ^ { 2 } = \frac { Z _ { o } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \varphi - X _ { o } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi } { \cos ^ { 2 } \varphi - \sin ^ { 2 } \varphi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \pm , \mu \nu } ^ { N H } = } & { { } \frac { 1 } { 4 } \operatorname { R e } \left[ \partial _ { \mu } \theta _ { \pm } ^ { L R } \partial _ { \nu } \theta _ { \pm } ^ { L R } + \sin ^ { 2 } \theta _ { \pm } ^ { L R } \partial _ { \mu } \phi _ { \pm } ^ { L R } \partial _ { \nu } \phi _ { \pm } ^ { L R } \right] } \\ { \Omega _ { \pm } ^ { z , N H } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \operatorname { R e } \left[ \sin \theta _ { \pm } ^ { L R } \left( \partial _ { k _ { x } } \phi _ { \pm } ^ { L R } \partial _ { k _ { y } } \theta _ { \pm } ^ { L R } - \partial _ { k _ { y } } \phi _ { \pm } ^ { L R } \partial _ { k _ { x } } \theta _ { \pm } ^ { L R } \right) \right] . } \end{array}
\widetilde { K } _ { j } ^ { - } ( s ) = \frac { D _ { j } \widetilde { \psi } _ { j } ^ { - } ( h _ { j } ( s ) ) } { \widetilde { \Psi } _ { j } ^ { - } ( h _ { j } ( s ) ) } , \quad \widetilde { K } _ { j } ^ { + } ( s ) = \frac { D _ { j + 1 } \widetilde { \psi } _ { j } ^ { + } ( \overline { { h } } _ { j + 1 } ( s ) ) } { \widetilde { \Psi } _ { j } ^ { + } ( \overline { { h } } _ { j + 1 } ( s ) ) }
\mathcal { E } ^ { \mathrm { o u t } } = [ \mathcal { E } _ { \bot } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathcal { E } _ { \| } ^ { \mathrm { o u t } } ] ^ { T } = F \Big ( \mathfrak { n } _ { \mathrm { G } } , \phi _ { 0 } , \Phi _ { 1 } , \Phi _ { 2 } , \mathfrak { n } _ { \mathrm { S } } , { \Psi } _ { \mathrm { S } } , \mathcal { E } ^ { \mathrm { i n } } \Big ) ,
P _ { \nu _ { i } \rightarrow \nu _ { j } } ( t ) = - 4 \sum _ { k \not = k ^ { \prime } } V _ { i k } ^ { ( l ) } V _ { j k } ^ { ( l ) } V _ { i k ^ { \prime } } ^ { ( l ) } V _ { j k ^ { \prime } } ^ { ( l ) } \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \Delta m _ { k k ^ { \prime } } ^ { 2 } t } { 4 E } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { v } } \log P ( \boldsymbol { \theta } _ { v } | { \bf d } ) } & { { } = } & { \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { v } } \log P ( \mathbf { T } _ { \mathrm { o b s } } | \boldsymbol { \theta } _ { v } ) + \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { v } } \log P ( \boldsymbol { \theta } _ { v } ) } \end{array}
P c c = \frac { \Sigma _ { t = 1 } ^ { T } \left( V _ { m } ( t ) - \langle V _ { m } ( t ) \rangle \right) \left( V _ { o } ( t ) - \langle V _ { o } ( t ) \rangle \right) } { \sqrt { \Sigma _ { t = 1 } ^ { T } \left( V _ { m } ( t ) - \langle V _ { m } ( t ) \rangle \right) ^ { 2 } } \sqrt { \Sigma _ { t = 1 } ^ { T } \left( V _ { o } ( t ) - \langle V _ { o } ( t ) \rangle \right) ^ { 2 } } } .