harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { A } ( u _ { h } ) ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ R R } } } } & { \mathbf { A } ( u _ { h } ) ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ I R } } } } \\ { \mathbf { A } ( u _ { h } ) ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ R I } } } } & { \mathbf { A } ( u _ { h } ) ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ I I } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { v } _ { \ell } ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ R e } } } } \\ { \mathbf { v } _ { \ell } ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ I m } } } } \end{array} \right) = \lambda _ { \ell } \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { M } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { M } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { v } _ { \ell } ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ R e } } } } \\ { \mathbf { v } _ { \ell } ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ I m } } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { e } ^ { t } \frac { d ^ { n } } { d t ^ { n } } \left( t ^ { n } \mathrm { e } ^ { - t } \right) } & { { } = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { n } \frac { n ! } { j ! ( n - j ! ) } \frac { n ! } { ( n - j ! ) } ( - 1 ) ^ { n - j } t ^ { n - j } } \end{array}
\langle A \rangle = \sum _ { j } p _ { j } \langle \psi _ { j } | A | \psi _ { j } \rangle = \sum _ { j } p _ { j } \operatorname { t r } \left( | \psi _ { j } \rangle \langle \psi _ { j } | A \right) = \sum _ { j } \operatorname { t r } \left( p _ { j } | \psi _ { j } \rangle \langle \psi _ { j } | A \right) = \operatorname { t r } \left( \sum _ { j } p _ { j } | \psi _ { j } \rangle \langle \psi _ { j } | A \right) = \operatorname { t r } ( \rho A ) ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { A r g } ( z _ { 1 } z _ { 2 } ) } & { \equiv \operatorname { A r g } ( z _ { 1 } ) + \operatorname { A r g } ( z _ { 2 } ) { \pmod { \mathbb { R } / 2 \pi \mathbb { Z } } } , } \\ { \operatorname { A r g } \left( { \frac { z _ { 1 } } { z _ { 2 } } } \right) } & { \equiv \operatorname { A r g } ( z _ { 1 } ) - \operatorname { A r g } ( z _ { 2 } ) { \pmod { \mathbb { R } / 2 \pi \mathbb { Z } } } . } \end{array} }
g ( x , \alpha , \theta ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i t x } \hat { g } ( t , \alpha , \theta ) d t = \left\{ \begin{array} { c } { \displaystyle \frac { 1 } { \pi } \Re \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { i t x } \hat { g } ( t , \alpha , - \theta ) d t , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { \pi } \Re \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - i t x } \hat { g } ( t , \alpha , \theta ) d t . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { S _ { x , \pm } ^ { L R } } & { { } = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \sigma _ { x } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \\ { S _ { y , \pm } ^ { L R } } & { { } = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \sigma _ { y } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \\ { S _ { z , \pm } ^ { L R } } & { { } = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \sigma _ { z } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \end{array} .
\begin{array} { r l } { w ( E _ { i } ) } & { = w \Big ( - \big ( H ( E _ { i - 1 } ) \oplus p _ { i - 1 } ^ { * } H ( E _ { i - 2 } ) \oplus \cdots \oplus ( p _ { i - 1 } \circ \cdots \circ p _ { 1 } ) ^ { * } H ( E _ { 1 } ) \big ) \Big ) } \\ & { = w \big ( - H ( E _ { i - 1 } ) \big ) \cdot w \big ( - p _ { i - 1 } ^ { * } H ( E _ { i - 2 } ) \big ) \cdots w \big ( - ( p _ { i - 1 } \circ \cdots \circ p _ { 1 } ) ^ { * } H ( E _ { 1 } ) \big ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l } { \boldsymbol { D } _ { 1 } } & { \boldsymbol { C } _ { 1 } } & { } & { } & { } \\ { \boldsymbol { B } _ { 1 } } & { \boldsymbol { D } _ { 2 } } & { \boldsymbol { C } _ { 2 } } & { } & { } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { w } ^ { 1 } } \\ { \boldsymbol { \rho u } ^ { 2 } } \\ { \boldsymbol { \vdots } } \\ { \boldsymbol { w } ^ { L - 1 } } \\ { \boldsymbol { \rho u } ^ { L } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { b } _ { 1 } } \\ { \boldsymbol { b } _ { 2 } } \\ { \boldsymbol { \vdots } } \\ { \boldsymbol { b } _ { L - 1 } } \\ { \boldsymbol { b } _ { L } } \end{array} \right] .
2 X _ { [ i j } \cdot P _ { e _ { 1 } } X _ { k l ] } \cdot P _ { e _ { 2 } } = X _ { [ i j } \cdot X _ { k l ] } \cdot ( P _ { e _ { 1 } } P _ { e _ { 2 } } ) - ( X _ { [ i j } X _ { k l ] } \cdot P _ { e _ { 1 } } ) P _ { e _ { 2 } } - P _ { e _ { 1 } } ( X _ { [ i j } X _ { k l ] } \cdot P _ { e _ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial S ^ { S P } } { \partial Q _ { { \bf k } n } } } & { { } = } & { \frac { \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { l } - \mu } { \tau _ { e } } , } \\ { \frac { \partial S ^ { S P } } { \partial P _ { { \bf k } n } } } & { { } = } & { \frac { \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } - \mu } { \tau _ { e } } . } \end{array}
P _ { 2 } ( Q ^ { 2 } \rightarrow \infty ) - P _ { 2 } ( 0 ) = \frac { 2 } { \pi } \sum _ { n _ { 1 } = 0 , 2 , 4 . . . } \frac { ( m _ { 0 } ^ { 2 } \pi ^ { 2 } ) f _ { n _ { 1 } } ^ { 2 } } { m _ { n _ { 1 } } ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } \rightarrow - \frac { 2 } { 2 \pi } \ln ( Q ^ { 2 } ) ,
E _ { r a t i o } = \frac { 1 } { N _ { z } } \sum _ { z = - z _ { R } } ^ { + z _ { R } } \frac { \int \displaylimits _ { r = 0 } ^ { r _ { e f f } } \int \displaylimits _ { \theta = 0 } ^ { 2 \pi } \mathop { r } \mathop { d r } \mathop { d \theta } F ( r , \theta , z ) } { \int \displaylimits _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } \int \displaylimits _ { \theta = 0 } ^ { 2 \pi } \mathop { r } \mathop { d r } \mathop { d \theta } F ( r , \theta , z ) } \, ,
\begin{array} { r } { \ddot { \theta } _ { l } + \zeta \dot { \theta } _ { l } + \frac { \overline { { \gamma } } ^ { 2 } } { \chi _ { \perp } } U _ { \theta } ^ { \prime \prime } ( \theta _ { 0 } ) \theta _ { l } - \sin \theta _ { 0 } \frac { \overline { \gamma } ^ { 2 } } { \gamma _ { \mathrm { e f f } } } | { \lambda } | m \dot { \varphi } _ { l } = \frac { \overline { \gamma } ^ { 2 } } { \chi _ { \perp } } \bar { f } _ { \theta } ( t ) , \quad \quad \quad \ddot { \varphi } _ { l } + \zeta \dot { \varphi } _ { l } + \frac { \overline { \gamma } ^ { 2 } U _ { \varphi } ^ { \prime \prime } ( \theta _ { 0 } , \varphi _ { 0 } ) } { \chi _ { \perp } \sin \theta _ { 0 } } \varphi _ { l } + \frac { \overline { { \gamma } } ^ { 2 } } { \gamma _ { \mathrm { e f f } } } | { \lambda } | m \dot { \theta } _ { l } = \frac { \overline { \gamma } ^ { 2 } } { \chi _ { \perp } } \frac { \bar { f } _ { \varphi } ( t ) } { \sin \theta _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \rho C ( T _ { m , n } ^ { p + 1 } - T _ { m , n } ^ { p } ) } { \Delta t } = } & { \kappa \frac { T _ { m + 1 , n } ^ { p } + T _ { m - 1 , n } ^ { p } - 2 T _ { m , n } ^ { p } } { \Delta x ^ { 2 } } + \kappa \frac { T _ { m , n + 1 } ^ { p } + T _ { m , n - 1 } ^ { p } - 2 T _ { m , n } ^ { p } } { \Delta y ^ { 2 } } } \\ & { + \omega \rho _ { b } C _ { b } ( T _ { b } - T _ { m , n } ^ { p } ) + Q _ { m e t } + Q _ { g e n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n } \left( \hat { q } \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } \right) } & { = - i \sqrt { \frac { 2 } { \hbar \omega } } \hat { A } ^ { \dagger } ( - i ) ^ { n - 1 } \sqrt { \frac { 2 ^ { n - 1 } } { ( \hbar \omega ) ^ { n - 1 } } } ( \hat { A } ^ { \dagger } ) ^ { n - 1 } | \psi _ { 0 } \rangle } \\ & { = - i \sqrt { \frac { 2 } { \hbar \omega } } \left( \hat { A } + i \sqrt { 2 m } \omega \hat { q } \right) ( - i ) ^ { n - 1 } \sqrt { \frac { 2 ^ { n - 1 } } { ( \hbar \omega ) ^ { n - 1 } } } ( \hat { A } ^ { \dagger } ) ^ { n - 1 } | \psi _ { 0 } \rangle } \\ & { = 2 \hat { q } \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } H _ { n - 1 } \left( \hat { q } \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } \right) | \psi _ { 0 } \rangle + ( - i ) ^ { n } \sqrt { \frac { 2 ^ { n } } { ( \hbar \omega ) ^ { n } } } \left[ \hat { A } , ( \hat { A } ^ { \dagger } ) ^ { n - 1 } \right] | \psi _ { 0 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { p } _ { 2 } ( k , \omega ) = } & { ( - i ) ^ { 2 } \tilde { p } _ { 0 } ( k , \omega ) \int \frac { \mathrm { d } k ^ { \prime } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } k \bigg [ \tilde { v } ( k ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } ) \tilde { p _ { 0 } } ( k - k ^ { \prime } , \omega - \omega ^ { \prime } ) } \\ & { \, \, \, \times \int \frac { \mathrm { d } k ^ { \prime \prime } \mathrm { d } \omega ^ { \prime \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } ( k - k ^ { \prime } ) \tilde { v } ( k ^ { \prime \prime } , \omega ^ { \prime \prime } ) \tilde { p _ { 0 } } ( k - k ^ { \prime } - k ^ { \prime \prime } , \omega - \omega ^ { \prime } - \omega ^ { \prime \prime } ) \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { b _ { i } ^ { x } = \sum _ { j \neq i } \frac { G _ { i , j } ^ { x , x } b _ { j } ^ { x } + G _ { i , j } ^ { x , y } b _ { j } ^ { y } + G _ { i , j } ^ { x , z } b _ { j } ^ { z } } { \Delta ^ { x } + i \Gamma / 2 } } \\ { b _ { i } ^ { y } = \sum _ { j \neq i } \frac { G _ { i , j } ^ { y , x } b _ { j } ^ { x } + G _ { i , j } ^ { y , y } b _ { j } ^ { y } + G _ { i , j } ^ { y , z } b _ { j } ^ { z } } { \Delta ^ { y } + i \Gamma / 2 } } \\ { b _ { i } ^ { z } = \frac { \Omega ^ { z } e ^ { i k _ { 0 } \cdot r _ { i } } / 2 } { \Delta ^ { z } + i \Gamma / 2 } + \sum _ { j \neq i } \frac { G _ { i , j } ^ { z , x } b _ { j } ^ { x } + G _ { i , j } ^ { z , y } b _ { j } ^ { y } + G _ { i , j } ^ { z , z } b _ { j } ^ { z } } { \Delta ^ { z } + i \Gamma / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { L o s s = C _ { 1 } \| \nabla \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Omega } + C _ { 2 } \| \mathbf { n } \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Gamma - \Gamma _ { t } } + C _ { 3 } \| \hat { h } - g \phi | _ { \Gamma _ { t } } + L _ { 1 } ( \int _ { \Gamma _ { t } } \mathbf { n } \cdot ( K \cdot \nabla h ) d s ) ^ { 2 } , } \end{array}
{ \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } L ( \delta ( x ) - \theta ) f ( x _ { 1 } - \theta , \dots , x _ { n } - \theta ) d \theta } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x _ { 1 } - \theta , \dots , x _ { n } - \theta ) d \theta } } ,
\begin{array} { r l r } { \langle \Phi _ { i } | \Phi _ { i } \rangle } & { = \langle \Psi _ { 0 } | \Psi _ { 0 } \rangle = 1 \dag \langle \Phi _ { i } | \dag , b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } b _ { i a } ^ { \dagger } \dag , | \Phi _ { i } \rangle } & { = \langle \Psi _ { 0 } | \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle = [ \Delta _ { i } ] _ { a b } \qquad \forall \dag , a , b = 1 , . . . , B { \nu } _ { i } \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { \eta } ( t ) } { \hat { \eta } ( 0 ) } = 1 - } & { { } \frac { \textbf { i } } { \hat { \eta } ( 0 ) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \Bigg [ \frac { 1 } { s | \mathscr { D } ( s _ { n } ) | ^ { \prime } } A d j ( \mathscr { D } ( s _ { n } ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s _ { n } ) \Bigg ] \exp { ( s _ { n } t ) } - \frac { \textbf { i } } { \hat { \eta } ( 0 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \Bigg [ \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( 0 ) | } A d j ( \mathscr { D } ( 0 ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( 0 ) \Bigg ] } \end{array}
\frac { 1 } { N g ^ { 2 } } = 2 \int _ { 0 } ^ { \Lambda } \frac { \mathrm { d } k } { 2 \pi } \frac { 1 } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } = \frac { 1 } { \pi } \ln ( 2 \Lambda ) \ .
\begin{array} { r l } { E ^ { ( m + 1 ) } ( 0 , \tau ) e ^ { - i \omega _ { 0 } T } } & { = \sqrt { 1 - 2 \alpha } E ^ { ( m ) } ( L , \tau ) e ^ { - i \delta _ { 0 } - i \omega _ { 0 } T } } \\ & { + \sqrt { \theta _ { + } } E _ { \mathrm { i n , + } } e ^ { - i \omega _ { + } T } } \\ & { + \sqrt { \theta _ { - } } E _ { \mathrm { i n , - } } e ^ { - i \omega _ { - } T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \| \theta _ { i } - \theta _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } } & { = \frac { A ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } \bigg [ ( m _ { * } - 1 ) \Big ( \sqrt { 1 - \frac { \Delta } { m _ { * } - 1 } } - 1 \Big ) ^ { 2 } + \Big ( \sqrt { 1 + \Delta } - 1 \Big ) ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { = \frac { A ^ { 2 } } { 4 } \Big ( 1 + \frac { 1 } { m _ { * } - 1 } \Big ) + O ( \Delta ) . } \end{array}
\frac { v ^ { ( 0 ) } } { \bar { r } } T _ { \theta } ^ { ( 1 ) } + u ^ { ( 1 ) } T _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } + \frac { w ^ { ( 0 ) } } { \sigma ^ { ( 0 ) } } T _ { s } ^ { ( 0 ) } = 0
{ \cal L } _ { I } \rightarrow \frac { G } { 2 M } \sum _ { p = - \infty } ^ { \infty } ( \partial _ { x } \phi _ { + } ) \bar { \psi } _ { p } \psi _ { p - 1 } + ( \partial _ { x } \phi _ { - } ) \bar { \psi } _ { p - 1 } \psi _ { p }
\begin{array} { r l } { 2 ^ { - 1 / 3 } T ^ { 1 / 3 } \big ( \mathfrak { h } ^ { T , n } ( \bar { x } , y ) - \mathfrak { h } ^ { T , n } ( x , y ) \big ) } & { - \log \mathfrak { A } _ { k } ^ { T , n } ( x , y ; \bar { z } ) } \\ & { \geq F _ { k } ^ { T , n } ( 2 ^ { 1 / 3 } T ^ { 2 / 3 } \bar { x } , 2 ^ { 1 / 3 } T ^ { 2 / 3 } \bar { z } ) - F _ { k } ^ { T , n } ( 2 ^ { 1 / 3 } T ^ { 2 / 3 } x , 2 ^ { 1 / 3 } T ^ { 2 / 3 } \bar { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } M } & { = 1 - r _ { 0 } ^ { \mathrm { G R } } ( R _ { s } ^ { \mathrm { G R } } + R _ { p } ^ { \mathrm { G R } } ) \cos \delta \phi e ^ { i \Phi ^ { ' } } } \\ & { \qquad \qquad + ( r _ { 0 } ^ { \mathrm { G R } } ) ^ { 2 } R _ { s } ^ { \mathrm { G R } } R _ { p } ^ { \mathrm { G R } } e ^ { 2 i \Phi ^ { ' } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \! \pi _ { j } ( \theta _ { j } ^ { d } , \! \lambda ^ { d } ) \! = } & { \ \! \theta _ { j } ^ { d } { { \lambda \! } ^ { d } } ^ { 2 } \! \! + \! \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \! \! c _ { k } ^ { - 1 } } \! \! \left( \! \omega _ { j } d \! - \theta _ { j } ^ { d } { { \lambda \! } ^ { d } } \! \right) \! \! - \! \frac { c _ { j } } { 2 } \! { \left( \omega _ { j } d \right) } ^ { 2 } } \end{array}
= \sqrt { \rho _ { b } } \rho _ { k } \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } \stackrel [ n = 1 ] { N } { \sum } a _ { N , n } ^ { H } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) \tilde { g } _ { n m } ^ { H } e ^ { - j \varphi _ { m } } a _ { M , m } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } } f _ { k , m } ,
p _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { 2 } } = \frac { Z _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { 2 } } } { Z _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { 0 } } + 2 \, Z _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { 1 } } + Z _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { 2 } } }
{ Z } _ { 1 } ( x ) = { \frac { K _ { 1 } ( 1 - a x ) } { ( 1 - a ) ( 1 - x ) } } \ln { \frac { 1 - a x } { 1 - x } } - { \frac { 2 a ( 1 - a x ) } { ( 1 + 3 \beta ^ { 2 } ) ( 1 - x ) } } \int _ { 0 } ^ { x } d y \left[ { \frac { ( 1 - y ) ^ { \frac { 2 \beta ^ { 2 } } { 1 + \beta ^ { 2 } } } } { 1 - a y } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \omega t \rightarrow \infty } \int K _ { p } d K _ { p } \int K _ { q } d K _ { q } \delta \left( \mathbf { k } \right) \int d x \int _ { \Gamma } d y \operatorname* { d e t } J \sin \left( N \left( y - 2 \cos \theta _ { k } \right) t \right) \frac { \sin \left( N y t \right) } { y } \mathcal { K } \left( x , y \right) } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle S _ { + } \rangle = } & { \left[ - i \Omega _ { 0 } - i \gamma _ { \mathrm { R b } } B _ { \mathrm { a c } } \cos \left( { \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } } \right) - \Gamma _ { \mathrm { R b } } \right] \langle S _ { + } \rangle } \\ { + } & { i \gamma _ { \mathrm { R b } } b _ { c } ( t ) \langle S _ { z } \rangle } \end{array}
f ( z > 1 ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \left\{ ( y ^ { 2 } - 1 ) \frac { d } { d y } \right\} ^ { n } f ( y ) \mid _ { y = y _ { C } } } { n ! } ( - i \frac { \pi } { 4 } ( 2 - r ) ) ^ { n } .
\begin{array} { r } { u _ { i } ^ { P V ( 1 ) } | i ^ { P V } \rangle = \sum _ { b } ^ { N _ { c } } \left[ \langle b ^ { P V } | g | b ^ { P V } \rangle | i ^ { P V \pm } \rangle \right. } \\ { \left. - \langle b ^ { P V } | g | i ^ { P V \pm } \rangle | b ^ { P V } \rangle \right. } \\ { \left. + \langle b ^ { P V } | g | b ^ { P V } \rangle | i ^ { P V \pm } \rangle \right. } \\ { \left. - \langle b ^ { P V } | g | i ^ { P V \pm } \rangle | b ^ { P V } \rangle \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { h ^ { \beta } t } ^ { h } ( u , v ) = \tilde { p } _ { \tau ^ { - 1 } ( h ^ { \beta } t ) } ^ { h } ( u , v ) } & { \geq \frac { c _ { l } m _ { v } } { \operatorname { v o l } _ { h } ( u , \sqrt { \tau ^ { - 1 } ( h ^ { \beta } t ) } ) } e ^ { - C _ { l } d _ { h } ^ { c } ( u , v ) ^ { 2 } / \tau ^ { - 1 } ( h ^ { \beta } t ) } } \\ & { \geq \frac { c _ { l } m _ { v } } { \operatorname { v o l } _ { h } ( u , \sqrt { \tau ^ { - 1 } ( h ^ { \beta } t ) } ) } e ^ { - \tilde { C } _ { l } \frac { \lvert u - v \rvert ^ { 2 } } { h ^ { \beta } t } } \ , } \end{array}
- \frac { 1 } { 8 } s _ { \mathrm { i m } } \left( 8 s _ { \mathrm { i m } } ^ { 2 } a _ { 0 3 0 1 } + 8 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 0 2 0 0 } ( s _ { \mathrm { i m } } a _ { 0 2 0 0 } + 1 ) ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 0 2 0 0 } ( s _ { \mathrm { i m } } a _ { 0 2 0 0 } + 1 ) + 1 ) - 8 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 0 2 0 2 } + 1 \right) + s _ { \mathrm { i m } } ^ { 4 } a _ { 0 4 0 0 } - \frac { s _ { \mathrm { o b } } } { 8 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { L o s s } = } & { \frac { W _ { 1 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta t } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - v _ { \theta } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 2 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ v _ { \theta t } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - u _ { \theta x x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) + u _ { \theta } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) + \sin ( u _ { \theta } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) ) - f ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 3 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta t x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - v _ { \theta x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } + \frac { W _ { 4 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) - \psi _ { 1 } ( x _ { t b } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 5 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ v _ { \theta } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) - \psi _ { 2 } ( x _ { t b } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } + \frac { W _ { 6 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta x } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) - \psi _ { 1 x } ( x _ { t b } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 7 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ ( v _ { \theta } ( 0 , t _ { s b } ^ { n } ) - \phi _ { 1 t } ( { t _ { s b } ^ { n } } ) ) ^ { 2 } + ( v _ { \theta } ( 1 , t _ { s b } ^ { n } ) - \phi _ { 2 t } ( { t _ { s b } ^ { n } } ) ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { R e s } ( f , c ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { z \to c } ( z - c ) f ( z ) = \operatorname* { l i m } _ { z \to c } { \frac { z g ( z ) - c g ( z ) } { h ( z ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | N ( M _ { 4 } , \gamma ) - \alpha ^ { 2 } \cdot 3 1 8 9 7 2 6 4 0 | < 7 . 8 \times 1 0 ^ { - 4 7 } } \\ & { | N ( M _ { 6 } , \gamma ) - \alpha ^ { 3 } \cdot 1 2 2 5 3 6 1 8 5 1 3 3 6 | < 5 . 5 \times 1 0 ^ { - 3 9 } } \\ & { | N ( M _ { 1 0 } , \gamma ) - \alpha ^ { 5 } \cdot 1 0 2 4 1 5 3 0 6 4 3 5 2 5 8 3 9 | < 1 . 6 \times 1 0 ^ { - 2 9 } } \\ & { | N ( M _ { 1 2 } , \gamma ) + \alpha ^ { 6 } \cdot 3 0 7 1 0 5 1 6 5 2 3 3 2 4 2 2 3 2 7 2 4 | < 4 . 6 \times 1 0 ^ { - 2 2 } } \end{array}
\int _ { \mathrm { C Z } } F _ { \mathrm { c o n v } } \bigg | \frac { 1 } { T _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d T _ { 0 } } { d r } \bigg | d V = \int _ { \mathrm { C Z } } \frac { \Phi } { T _ { 0 } } d V + \left[ - \int _ { \mathrm { P Z } } F _ { \mathrm { c o n v } } \bigg | \frac { 1 } { T _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d T _ { 0 } } { d r } \bigg | d V + \int _ { \mathrm { P Z } } \frac { \Phi } { T _ { 0 } } d V \right] .
\mathbf { A } _ { \mathrm { 3 D } } \, ( \mathbf { \overline { { q } } } ) \mathbf { q } ^ { \prime } = ( \mathbf { A } ( \mathbf { \overline { { q } } } ) + \mathbf { A } _ { z } ( \mathbf { \overline { { q } } } ) ) \, \mathbf { q } ^ { \prime } = \left( \mathbf { A } ( \mathbf { \overline { { q } } } ) + i \beta \mathbf { B } ( \mathbf { \overline { { q } } } ) - \beta ^ { 2 } \mathbf { C } _ { 1 } ( \mathbf { \overline { { q } } } ) \right) \mathbf { q } ^ { \prime } .
\begin{array} { r } { \dot { v } = \{ v ^ { } , H \} = \Pi ^ { v ^ { i } x ^ { i } } \frac { \partial H } { \partial x ^ { j } } + \Pi ^ { v ^ { i } v ^ { j } } \frac { \partial H } { \partial v ^ { j } } = - \delta ^ { i j } \frac { \partial H } { \partial x ^ { j } } + \epsilon ^ { i j k } \frac { \partial H } { \partial v ^ { i } } = \frac { \partial \phi } { \partial x ^ { i } } + \epsilon ^ { i j k } v _ { j } B _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d v } { d t } } } & { { } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { d p } { d z } } } \\ { \rightarrow d p } & { { } = ( - \rho d v ) { \frac { d z } { d t } } = ( v d \rho ) v } \\ { \rightarrow v ^ { 2 } } & { { } \equiv c ^ { 2 } = { \frac { d p } { d \rho } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \Psi } & { { } = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { i \phi } \left( - \frac { z } { r } m - i k r \right) \Psi , } \\ { \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \Psi } & { { } = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { - i \phi } \left( - \frac { z } { r } m + i k r \right) \Psi , } \\ { \hat { l } _ { z } ( r , \phi , z ) \Psi } & { { } = } & { \hbar m \Psi , } \end{array}
\begin{array} { r } { T ^ { - 1 } \tilde { T } = \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } T } \left( \begin{array} { l l l l l l } { \operatorname* { d e t } T } & { \operatorname* { d e t } ( \hat { e } _ { \perp } , \hat { e } _ { 1 } , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } ) } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { \operatorname* { d e t } \tilde { T } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { \operatorname* { d e t } ( \hat { e } _ { 0 } , \hat { e } _ { 1 } , \hat { e } _ { \perp } , \hat { e } _ { 3 } , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } ) } & { \operatorname* { d e t } \tilde { T } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { : } & { : } & { \dots } & { : } & { : } \\ { 0 } & { \operatorname* { d e t } ( \hat { e } _ { 0 } , \hat { e } _ { 1 } , \dots , \hat { e } _ { { N } - 2 } , \hat { e } _ { \perp } ) } & { \dots } & { 0 } & { \dots } & { \operatorname* { d e t } \tilde { T } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { P _ { 0 } \! } & { = } & { \! 1 } \\ { P _ { 1 } \! } & { = } & { \! \frac { 1 } { 2 } ( R + R ^ { \prime } ) } \\ { P _ { 2 } \! } & { = } & { \! \frac { 1 } { 1 6 } ( R - R ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 1 6 } ( Z - Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \end{array} \qquad \begin{array} { r c l } { Q _ { 0 } \! } & { = } & { \! - 2 } \\ { Q _ { 1 } \! } & { = } & { \! - \frac { 1 } { 2 } ( R + R ^ { \prime } ) } \\ { Q _ { 2 } \! } & { = } & { \! \frac { 1 } { 4 } ( R ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 1 6 } \, D ^ { 2 } \, . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { { \beta } _ { i - 1 } \left( { \vartheta } _ { i + 1 } ^ { 2 } - { \vartheta } _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } \leq { 2 } { \mathrm { M } } _ { 2 } { \mathrm { M } } _ { 3 } { \mathrm { c } } _ { 2 3 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } \, , \quad { \mathrm { c } } _ { 2 3 } = \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq { T } } { \beta \left( t \right) } \, .