harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I _ { \omega = 0 } ( Z ) = } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon , \epsilon ^ { \prime } \to 0 ^ { + } } \int _ { \mathscr D _ { N - 1 } ^ { \sigma } \times \mathscr D _ { N - 1 } ^ { \sigma } } \! \phi ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , x ) \left( \phi ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , x ^ { \prime } ) \right) ^ { \dagger } \pi ( - 1 ) ^ { \sum _ { k < j } [ \mathrm { i } ( x _ { k } - x _ { j } ) ] } \mathrm { i } ^ { N - N ^ { \prime } } } \\ & { \times R ( x , x ^ { \prime } ) \left( 1 + \frac { q _ { 1 } } { q _ { 2 } } \right) ^ { \mathrm { i } ( X ^ { \prime } - X ) } \left( 1 + \frac { \bar { q } _ { 1 } } { \bar { q } _ { 2 } } \right) ^ { \mathrm { i } ( \bar { X } ^ { \prime } - \bar { X } ) } \left( \frac M 2 \right) ^ { 2 \mathrm { i } ( \mathcal V - \mathcal V ^ { \prime } ) } } \\ & { \times \prod _ { k , j = 1 } ^ { N - 1 } \boldsymbol \Gamma [ \mathrm { i } ( x _ { k } - x _ { j } ^ { \prime } ) + \epsilon _ { k j } ] \mathrm { d } ^ { 2 } q _ { 1 } \mathrm { d } ^ { 2 } q _ { 2 } \mathrm { d } \mu _ { N - 1 } ^ { B } ( x ) \mathrm { d } \mu _ { N - 1 } ^ { B } ( x ^ { \prime } ) + \cdots , } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { \Delta - a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { \Sigma } \left( d t - \omega d \varphi \right) ^ { 2 } - \Sigma \left( \frac { d r ^ { 2 } } { \Delta } + d \theta ^ { 2 } + \frac { \Delta \sin ^ { 2 } \theta } { \Delta - a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } d \varphi ^ { 2 } \right) ,
\sigma _ { p } ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { * 2 } { } \, ^ { 3 } ( \sigma _ { s } \sigma _ { s } ^ { * } ) \left( ^ 3 ( \overline { { \pi _ { x } } } \overline { { \pi _ { x } ^ { * } } } ) + { } ^ { 3 } ( \overline { { \pi _ { y } } } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) \right)
\begin{array} { l } { \displaystyle \vec { E } ( \vec { k } , \omega ) = i \left[ \frac { \omega \epsilon _ { r } ( \omega ) } { c } \, \frac { \vec { v } } { c } - \vec { k } \right] \Phi ( \vec { k } , \omega ) } \\ { \displaystyle \vec { B } ( \vec { k } , \omega ) = i \, \epsilon _ { r } ( \omega ) \vec { k } \times \frac { \vec { v } } { c } \, \Phi ( \vec { k } , \omega ) \, . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \begin{array} { c c } { { \left( \begin{array} { c } { { u ^ { \alpha } } } \\ { { d ^ { \alpha } } } \\ { { D ^ { \alpha } } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c } { { c ^ { \alpha } } } \\ { { s ^ { \alpha } } } \\ { { S ^ { \alpha } } } \end{array} \right) } } \end{array} : ~ ( 3 , 3 , - 1 / 3 ) , } } \\ { { \begin{array} { c c } { { \begin{array} { c } { { u _ { \alpha } ^ { c } , } } \\ { { d _ { \alpha } ^ { c } , } } \\ { { D _ { \alpha } ^ { c } , } } \end{array} \begin{array} { c } { { c _ { \alpha } ^ { c } : ~ ( 3 , 1 , - 2 / 3 ) , } } \\ { { s _ { \alpha } ^ { c } : ~ ( 3 , 1 , + 1 / 3 ) , } } \\ { { S _ { \alpha } ^ { c } : ~ ( 3 , 1 , + 4 / 3 ) , } } \end{array} } } \end{array} } } \end{array}
\hat { \mathbf { G } } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; \omega ) = \frac { i } { 8 \pi ^ { 2 } } ( \frac { \omega } { c } ) P V \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \kappa } { p } ( \hat { s } r ^ { s } \hat { s } + \hat { p } _ { + } r ^ { p } \hat { p } _ { - } ) e ^ { i \mathbf { \nu } \cdot \mathbf { r } _ { M } } d { \varphi } d { \kappa } ,
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { q ( q - 1 ) } \sum _ { \lambda \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \psi \left( \frac { 1 } { \lambda } \right) \sum _ { \chi } \chi ^ { - 1 } ( b ) \sum _ { x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \left( \chi \chi _ { 1 } \right) ( x _ { 1 } ) \cdots \left( \chi \chi _ { n + 1 } \right) ( x _ { n + 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { q ( q - 1 ) } \sum _ { \lambda \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \psi \left( \frac { 1 } { \lambda } \right) \sum _ { \chi } \chi ^ { - 1 } ( b ) \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \left( \sum _ { x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \left( \chi \chi _ { i } \right) ( x _ { i } ) \right) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \frac { ( q - 1 ) ^ { n } } { q } \chi _ { 1 } ( b ) , } & { \mathrm { i f } \ \chi _ { 1 } = \cdots = \chi _ { n + 1 } , } \\ { \displaystyle 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
| \nu _ { \mathrm { L } } ^ { \prime } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \big ( | \nu _ { 2 } \rangle + | \nu _ { 3 } \rangle \big ) , ~ ~ ~ ~ ~ | \nu _ { \mathrm { R } } ^ { \prime } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \big ( | \nu _ { 2 } \rangle - | \nu _ { 3 } \rangle \big ) ,
R _ { 1 1 } ^ { F U } = \frac { 1 2 \eta _ { 0 } V } { \chi _ { 0 } + \alpha _ { 1 } a _ { 1 } ^ { 2 } } ; \quad R _ { 1 1 } ^ { T \omega } = \frac { 4 \eta _ { 0 } V \left( a _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } \right) } { \alpha _ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } + \alpha _ { 3 } a _ { 3 } ^ { 2 } }
\left| k _ { \pm \rho } \frac { \partial } { \partial k _ { \pm \rho } } \ln \left( \frac { [ X _ { i } ] _ { \mathrm { s s } } } { \sum _ { j \in \mathcal { S } \setminus \{ i \} } [ X _ { i } ] _ { \mathrm { s s } } } \right) \right| \leq 1 .
\sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left[ \, \, \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { 2 } C _ { i j k \ell } \left( \frac { \partial u _ { k } } { \partial { x _ { j } } \partial { x _ { \ell } } } + \frac { \partial u _ { \ell } } { \partial { x _ { j } } \partial { x _ { k } } } \right) - \alpha _ { i j } ^ { ( 1 ) } \frac { \partial { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } } { \partial { x _ { j } } } - \alpha _ { i j } ^ { ( 2 ) } \frac { \partial { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } } { \partial { x _ { j } } } \right] = 0 \, .
\frac { c } { 4 \pi } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } { A } _ { 1 \parallel } \left( 1 - \frac { \beta _ { e } } { 2 } \right) - u _ { e } \frac { \rho _ { e } ^ { 2 } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) = \frac { e ^ { 2 } } { m _ { e } c } n _ { e } { A } _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) - I _ { e } + \sum _ { i } I _ { i \parallel } ,
\begin{array} { r l } { \dot { \Delta } _ { W } } & { = \frac { t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \mu \nabla h ( X ) - \mu W - \nabla f ( X ) - \mu \nabla h \left( \bar { X } \right) + \mu \bar { W } + \nabla f \left( \bar { X } \right) \right) } \\ { \dot { \Delta } _ { X } } & { = \frac { 2 } { t } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \nabla h ^ { * } ( W ) - \nabla h ^ { * } \left( \bar { W } \right) - \Delta _ { X } \right) } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array}
\sum e ( \textbf { R } _ { o } \textbf { r } ) \textbf { v } = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \sum e \textbf { r } ( \textbf { R } _ { o } \textbf { r } ) + \frac { 1 } { 2 } \sum e [ \textbf { v } ( \textbf { r } \textbf { R } _ { o } ) - \textbf { r } ( \textbf { v } \textbf { R } _ { o } ) ]
E _ { 1 p 1 h } ^ { ( i _ { 0 } ) } \simeq m _ { 0 } \cosh \beta _ { i _ { 0 } } - 2 m _ { 0 } N _ { 0 } - \frac { m _ { 0 } } { 2 } \sum _ { \stackrel { \scriptstyle i = - N _ { 0 } } { i \not = i _ { 0 } } } ^ { N _ { 0 } } \alpha _ { i } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { G _ { i , j } ^ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } = \frac { 3 } { 4 } \Gamma \mathbf { \hat { r } } _ { i , j } ^ { \alpha } \mathbf { \hat { r } } _ { i , j } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { k _ { 0 } r } + 3 i \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } - 3 \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { k _ { 0 } ^ { 3 } r ^ { 3 } } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { x } _ { 1 } = x _ { 2 } - f ( x _ { 1 } , x _ { 4 } ) - x _ { 3 } + I _ { 1 } , } \\ { \dot { x } _ { 2 } = r _ { 2 } - 5 x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } , } \\ { \dot { x } _ { 3 } = \frac { 1 } { \tau _ { 0 } } ( 4 ( x _ { 1 } - r _ { 1 } ) - x _ { 3 } ) , } \\ { \dot { x } _ { 4 } = - x _ { 5 } + x _ { 4 } - x _ { 4 } ^ { 3 } + I _ { 2 } + 0 . 0 0 2 g ( x _ { 1 } ) - 0 . 3 ( x _ { 3 } - 3 . 5 ) , } \\ { \dot { x } _ { 5 } = \frac { 1 } { \tau _ { 2 } } ( - x _ { 5 } + f _ { 2 } ( x _ { 4 } ) ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { \Phi } ( } & { n _ { \mathrm { L 1 } } , n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } ) } \\ & { = \eta \cdot ( \rho _ { \mathrm { L 1 } } \cdot n _ { \mathrm { L 1 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } } { d } } + \rho _ { \mathrm { L 2 } } \cdot n _ { \mathrm { L 2 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } } { d } } + n _ { \mathrm { H F } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } } { d } } ) } \\ & { \sim \mathcal { N } ( \mu = \Phi ( n _ { \mathrm { L 1 } } , n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } ) , \sigma ^ { 2 } = \Phi _ { \mathrm { v a r } } ( n _ { \mathrm { L 1 } } , n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { x } ^ { ( i + 1 ) } } & { = \boldsymbol { x } ^ { ( i ) } + \delta \boldsymbol { x } ^ { ( i ) } = \boldsymbol { x } ^ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { i } \delta \boldsymbol { x } ^ { ( j ) } , } \\ { \boldsymbol { y } ^ { ( i + 1 ) } } & { = \boldsymbol { y } ^ { ( i ) } + \delta \boldsymbol { y } ^ { ( i ) } = \boldsymbol { y } ^ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { i } \delta \boldsymbol { y } ^ { ( j ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l l l l l l } { P = \rho R T , } & { \rho e _ { o } = \frac { P } { \gamma - 1 } + \frac { 1 } { 2 } \rho u _ { i } u _ { i } , } & { \tau _ { i j } = \overbrace { \mu \cdot \left( \partial _ { x _ { j } } u _ { i } + \partial _ { x _ { i } } u _ { j } \right) } ^ { 2 S _ { i j } } - \frac { 2 } { 3 } \mu \ \delta _ { i j } \cdot \partial _ { x _ { k } } u _ { k } , } \\ { \gamma = c _ { p } / c _ { v } , } & { R = c _ { p } - c _ { v } , } & { q _ { i } = \kappa \cdot \partial _ { x _ { i } } T } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & { { } { } + { \frac { v _ { 1 } ( u _ { 2 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } + 1 ) - v _ { 2 } ( u _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 1 } ^ { 2 } + 1 ) } { u _ { 1 } v _ { 2 } - u _ { 2 } v _ { 1 } } } x } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t } & { = } & { \frac { \mu L } { W } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \ \xi ^ { - 2 } ( \tau ^ { \prime } ) } \\ & { \sim } & { \frac { \mu L } { W \xi _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \ \exp [ - 2 F _ { \lambda } ( \eta ^ { \ast } , s ) \tau ^ { \prime } ] } \\ & { \sim } & { \frac { - \mu L } { 2 F _ { \lambda } ( \eta ^ { \ast } , s ) W \xi _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \exp [ - 2 F _ { \lambda } ( \eta ^ { \ast } , s ) \tau ] - 1 \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { c c } { { G _ { \mu \nu } ( X ^ { i } ) = } } & { { \left( \begin{array} { c c } { { \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { G _ { i j } } } \end{array} \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { j } = \mathbf { j } _ { \psi } ^ { \mathrm { p } } + \frac { \mathbf { j } - \mathbf { j } _ { \psi } ^ { \mathrm { p } } } { \rho _ { \psi } } \rho _ { \psi } = : \mathbf { j } _ { \psi } ^ { \mathrm { p } } + \mathbf { a } [ \psi ; \mathbf { j } ] \rho _ { \psi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { { { d ^ { 2 } } \Psi _ { 2 } ( x ) } } { { d { x ^ { 2 } } } } + 2 \kappa \frac { { d \Psi _ { 2 } ( x ) } } { { d x } } + \Phi _ { 2 } ( x ) + E \Psi _ { 2 } ( x ) = 0 , } \\ & { \frac { { { d ^ { 2 } } \Phi _ { 2 } ( x ) } } { { d { x ^ { 2 } } } } + 2 \kappa \frac { { d \Phi _ { 2 } ( x ) } } { { d x } } - \Psi _ { 2 } ( x ) = 0 , } \end{array}
\delta a _ { \mu } = \frac { m _ { \mu } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \, \Lambda ^ { 2 } \, \left[ \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { 1 } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 - x _ { 1 } } d x _ { 2 } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 - x _ { 1 } - x _ { 2 } } d x _ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } X _ { i } + \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { 1 } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 - x _ { 1 } } d x _ { 2 } \sum _ { i = 5 } ^ { 8 } X _ { i } \right] \nonumber
\begin{array} { r } { \mathbf { T } _ { \mathrm { 2 D / 1 D } } = \left( \begin{array} { l } { \phi _ { 0 } ( z ) \mathbf { T } _ { 0 , x } ( x , y ) + \phi _ { 2 } ( z ) \mathbf { T } _ { 2 , x } ( x , y ) } \\ { \phi _ { 0 } ( z ) \mathbf { T } _ { 0 , x } ( x , y ) + \phi _ { 2 } ( z ) \mathbf { T } _ { 2 , y } ( x , y ) } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathcal { F } ( z _ { \varepsilon } , B _ { ( 1 - \theta ) \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \varepsilon ^ { d } } } & { \leq s ^ { d } \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( u , B _ { s \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { s ^ { d } \varepsilon ^ { d } } + b \mathcal { L } ^ { d } ( C _ { 1 , \theta } ( x _ { 0 } ) ) \left( 1 + C \psi _ { \varepsilon } ^ { + } ( | \nabla u ( x _ { 0 } ) | ) \right) } \\ & { \leq ( 1 - 3 \theta ) ^ { d } \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \varepsilon ^ { d } } + b \mathcal { L } ^ { d } ( C _ { 1 , \theta } ( x _ { 0 } ) ) \left( 1 + C \psi _ { \varepsilon } ^ { + } ( | \nabla u ( x _ { 0 } ) | ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \theta } _ { A } ^ { k } = } & { { } k ^ { 2 } \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \frac { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } ( \kappa - \delta ) + H ^ { k } + \xi _ { \theta _ { A } ^ { k } } \, , } \\ { \dot { \theta } _ { B } ^ { k } = } & { { } - k ^ { 2 } \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \frac { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } ( \kappa + \delta ) + \xi _ { \theta _ { B } ^ { 1 } } \, , } \end{array}
\mathbf { u ^ { * } } - \mathbf { U ^ { * } } = - M ^ { * } g ^ { * } \frac { \phi ^ { 2 } } { \phi _ { 0 } ^ { 3 } } \frac { \Delta v _ { \mathrm { l } } } { v _ { \mathrm { 0 } } } \mathbf { e _ { r } } \, .
\int \partial _ { t } \phi \Big ( \frac { \rho _ { s } | { \bf u } | ^ { 2 } } { 2 } \Big ) + \int \mathrm { d i v } ( \phi { \bf u } ) \Big ( \frac { \rho _ { s } | { \bf u } | ^ { 2 } } { 2 } \Big ) = 0 .
{ \frac { d { q _ { r } } } { d t } } = \varepsilon _ { r } { \frac { \delta { \bf A } } { \delta p _ { r } } } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ { \frac { d { p _ { r } } } { d t } } = - { \frac { \delta { \bf A } } { \delta q _ { r } } } ,
\begin{array} { r l } { | \aa \lrcorner \boldsymbol { \mu } | ^ { 2 } } & { = | ( \aa \cdot \tt _ { 1 } ) ( \tt _ { 2 } \wedge . . . \wedge \tt _ { k } ) | ^ { 2 } + | ( \aa \cdot \tt _ { 2 } ) ( \tt _ { 1 } \wedge \tt _ { 3 } \wedge . . . \wedge \tt _ { k } ) | ^ { 2 } + . . . + | ( \aa \cdot \tt _ { k } ) ( \tt _ { 1 } \wedge . . . . \wedge \tt _ { k - 1 } ) | ^ { 2 } } \\ & { = | ( \aa \cdot \tt _ { 1 } ) | ^ { 2 } + \dots + | ( \aa \cdot \tt _ { k } ) | ^ { 2 } = | { \bf P } _ { \boldsymbol { \mu } } \aa | ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { \partial \overline { { \epsilon } } } { \partial t } + \overline { { u _ { i } } } \frac { \partial \overline { { \epsilon } } } { \partial x _ { i } } = \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left[ \left( \nu + \frac { \nu _ { t } } { \sigma _ { \epsilon } } \right) \frac { \partial \overline { { \epsilon } } } { \partial x _ { i } } \right] + C _ { \epsilon 1 } \frac { \overline { { \epsilon } } } { \overline { { k } } } P _ { k - \epsilon } - C _ { \epsilon 2 } \frac { \overline { { \epsilon } } ^ { 2 } } { \overline { { k } } } ,
\begin{array} { r l } { f ^ { * } ( \mathbf { p } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } - \frac { 1 } { \mu } \log \big ( \mathbf { z } - \frac { \mathbf { p } _ { i } } { \mu N _ { 0 } } \big ) \mathbf { p } _ { i } - \big ( \mathbf { z } - \frac { \mathbf { p } _ { i } } { \mu N _ { 0 } } \big ) + \mathbf { z } \log \big ( \mathbf { z } - \frac { \mathbf { p } _ { i } } { \mu N _ { 0 } } \big ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \big ( \mathbf { z } - \frac { \mathbf { p } _ { i } } { \mu } \big ) \log \big ( \mathbf { z } - \frac { \mathbf { p } _ { i } } { \mu N _ { 0 } } \big ) - \big ( \mathbf { z } - \frac { \mathbf { p } _ { i } } { \mu N _ { 0 } } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \langle \xi _ { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } ( t ) \xi _ { \mathcal { A } _ { A } ^ { l } } ( t ^ { \prime } ) \big \rangle } & { { } = \big \langle \xi _ { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } ( t ) \xi _ { \mathcal { A } _ { B } ^ { l } } ( t ^ { \prime } ) \big \rangle = q _ { k } ^ { 2 } \frac { 4 \epsilon } { L } \delta _ { k l } \, , } \\ { \big \langle \xi _ { \theta _ { A } ^ { k } } ( t ) \xi _ { \theta _ { A } ^ { l } } ( t ^ { \prime } ) \big \rangle } & { { } = q _ { k } ^ { 2 } \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { A } ^ { 2 } } \delta _ { k l } \, , } \\ { \big \langle \xi _ { \theta _ { B } ^ { k } } ( t ) \xi _ { \theta _ { B } ^ { l } } ( t ^ { \prime } ) \big \rangle } & { { } = q _ { k } ^ { 2 } \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { B } ^ { 2 } } \delta _ { k l } \, . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial z } \left( \frac { \partial u } { \partial t } + u \frac { \partial u } { \partial x } + w \frac { \partial u } { \partial z } - \nu \triangle { u } \right) = \frac { \partial } { \partial x } \left( \frac { \partial { w } } { \partial t } + u \frac { \partial w } { \partial x } + w \frac { \partial w } { \partial z } - \nu \triangle { w } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { { } \geq a \langle | \nabla \omega | ^ { 2 } \rangle - a \left[ 3 \epsilon + C \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 2 } } ^ { 2 } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { \mathcal { L } } _ { 0 } ( \bar { Q } _ { P } ^ { ( 0 ) } ( X ) , O ) ( \phi ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( \phi ( \bar { Q } _ { P } ^ { ( 0 ) } ( X ) ) ) H _ { 0 } ( O ) + \dot { \mathcal { L } } _ { 1 } ( \bar { Q } _ { P } ^ { ( 1 ) } ( X ) , O ) ( \phi ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( \phi ( \bar { Q } _ { P } ^ { ( 1 ) } ( X ) ) ) H _ { 1 } ( O ) } \\ & { = \dot { \mathcal { L } } _ { 0 } ( \bar { Q } _ { P } ^ { ( 0 ) } ( X ) , O ) H _ { 0 } ( O ) + \dot { \mathcal { L } } _ { 1 } ( \bar { Q } _ { P } ^ { ( 1 ) } ( X ) , O ) H _ { 1 } ( O ) } \\ & { = - \left\{ \frac { I ( A = 1 ) } { g _ { P } ( 1 , X ) } - \frac { I ( A = 0 ) } { g _ { P } ( 0 , X ) } \right\} ( Y - \bar { Q } _ { P } ^ { ( A ) } ( X ) ) } \\ & { = - \Delta _ { P } ^ { * } ( X ) . } \end{array}
( \frac { q } { p } ) _ { B } \simeq - \frac { M _ { 1 2 } ^ { * } } { | M _ { 1 2 } | } = \frac { ( V _ { t b } ^ { * } V _ { t d } ) ^ { 2 } } { | V _ { t b } ^ { * } V _ { t d } | ^ { 2 } } = \frac { V _ { t b } ^ { * } V _ { t d } } { V _ { t b } V _ { t d } ^ { * } } = e ^ { - 2 i \beta } \, .
\begin{array} { r l } { \lVert \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ^ { * } ) } ^ { 2 } = \lVert \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } ^ { 2 } \leq } & { { } 2 C _ { 1 } \left( - \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( T ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } + \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { l l l l l l } { k _ { 1 } } & { - k _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { - k _ { 1 } } & { k _ { 1 } + k _ { 2 } } & { - k _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - k { n - 2 } } & { k _ { n - 2 } + k _ { n - 1 } } & { - k _ { n - 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - k _ { n - 1 } } & { k _ { n - 1 } } \end{array} \right) \quad \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( 0 ) } \\ { x _ { 2 } ( 0 ) } \\ { x _ { 3 } ( 0 ) } \\ { \vdots } \\ { x _ { n - 1 } ( 0 ) } \\ { x _ { n } ( 0 ) } \end{array} \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { l } { ( \sum _ { j = 2 } ^ { n } m _ { j } ) g } \\ { m _ { 2 } g } \\ { m _ { 3 } g } \\ { \vdots } \\ { m _ { n - 1 } g } \\ { m _ { n } g } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } \mathbf v ^ { m - 2 } } & { = \mathcal { S } \mathbf w _ { j } ^ { m - 2 } = ( \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \mathbf { w } _ { i } ^ { \circ m } ) \mathbf w _ { j } ^ { m - 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } ( \mathbf w _ { j } ^ { \mathrm T } \mathbf { w } _ { i } ) ^ { m - 2 } \mathbf { w } _ { i } \mathbf { w } _ { i } ^ { \mathrm T } } \\ & { = \mathbf { w } _ { j } \mathbf { w } _ { j } ^ { \mathrm T } + \frac { 1 } { ( - n ) ^ { m - 2 } } \sum _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n + 1 } \mathbf { w } _ { i } \mathbf { w } _ { i } ^ { \mathrm T } = \mathbf { w } _ { j } \mathbf { w } _ { j } ^ { \mathrm T } + \frac { 1 } { ( - n ) ^ { m - 2 } } ( \frac { n + 1 } { n } \mathbf { I } - \mathbf { w } _ { j } \mathbf { w } _ { j } ^ { \mathrm T } ) } \\ & { = ( 1 - \frac { 1 } { ( - n ) ^ { m - 2 } } ) \mathbf { w } _ { j } \mathbf { w } _ { j } ^ { \mathrm T } + \frac { n + 1 } { ( - n ) ^ { m - 2 } n } \mathbf { I } . } \end{array}
= \int _ { p _ { 0 } ( z _ { r } ) } ^ { p _ { 0 } ( z ) } [ \upsilon ( \eta , S , p ^ { \prime } ) - \upsilon _ { 0 } ( p ^ { \prime } ) ] \, \mathrm { d } p ^ { \prime } = g \int _ { z _ { r } } ^ { z } \frac { ( \rho ( \eta , S , p _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) ) - \rho _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) ) } { \rho ( \eta , S , p _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) ) } \, \mathrm { d } z ^ { \prime } .
\hat { H } = \sum _ { \mathbf { k } , \sigma } \epsilon _ { \mathbf { k } } c _ { \mathbf { k } , \sigma } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } , \sigma } + \sum _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } , \mathbf { q } } U _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } , \mathbf { q } } c _ { \mathbf { k ^ { \prime } - q } , \uparrow } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k + q } , \downarrow } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } , \downarrow } c _ { \mathbf { k } ^ { \prime } , \uparrow }
\begin{array} { r l } { d ( \varphi + h \tilde { \mathcal { K } } ( t , \varphi ) ; X _ { \beta - 1 } ^ { [ 0 , + \infty ) } ) ^ { p } } & { \leq \| \varphi + h \tilde { \mathcal { K } } ( t , \varphi ) - \varphi _ { h } \| _ { \beta - 1 } ^ { p } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \omega > 0 } \omega ^ { \beta } \int _ { x \in \Omega } \mid R ( \omega , \lambda - \mathcal { A } _ { - 1 } ) \left( \varphi ( x ) + h [ \tilde { \mathcal { K } } ( t , \varphi ) ] ( x ) - \varphi _ { h } ( x ) \right) \mid _ { p } ^ { p } d x } \\ & { = \int _ { x \in \Omega } d ( \operatorname* { s u p } _ { \omega > 0 } \omega ^ { \beta } R ( \omega , \lambda - \mathcal { A } _ { - 1 } ) \left( \varphi ( x ) + h [ \tilde { \mathcal { K } } ( t , \varphi ) ] ( x ) \right) ; \Lambda _ { 0 , + \infty } ) ^ { p } d x } \end{array}
\begin{array} { c c c } { - \log p ( \theta , \lambda | d , r = 0 ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { s } \left[ \hat { \phi } ( x _ { j } ; \theta ) - d _ { j } \right] ^ { 2 } } \\ & & { + \frac { 1 } { 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ D [ \hat { \phi } ( x _ { i } ^ { c } ; \theta ) ; \lambda ] - f ( x _ { i } ^ { c } ) \right] ^ { 2 } } \\ & & { + \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \theta } ^ { 2 } } \lVert \theta \rVert ^ { 2 } + H ( \lambda ) + \mathrm { c o n s t . } } \end{array}
\Phi ( \omega _ { s } , \omega _ { i } ) = A ( \omega _ { s } - \omega _ { i } - \omega _ { - } ) \phi \left[ \frac { k ( \omega _ { s } , \omega _ { i } ) L } { 2 } \right] e ^ { i k ( \omega _ { s } , \omega _ { i } ) L / 2 }