harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ ( x _ { i } - \overline { x } ) + \overline { x } \right] ^ { 2 } } \\ & { = n \overline { x } ^ { 2 } + 2 \overline { x } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \overline { x } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \overline { x } ) ^ { 2 } } \\ & { = n \overline { x } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \overline { x } ) ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le n \overline { x } ^ { 2 } + n ^ { 3 } } \\ & { = \frac { S ^ { 2 } } n + n ^ { 3 } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } \sum _ { k = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } \left[ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } ( - 1 ) ^ { j \cdot k } | j \rangle \right] | f ( k ) \rangle = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } | j \rangle \left[ { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { k = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } ( - 1 ) ^ { j \cdot k } | f ( k ) \rangle \right] .
\begin{array} { r } { \mathsf { P R E P A R E } _ { F _ { 2 } F _ { 1 } } ^ { \dagger } \mathsf { S E L E C T } _ { F _ { 2 } F _ { 1 } } \mathsf { P R E P A R E } _ { F _ { 2 } F _ { 1 } } . } \end{array}
Q ( t , x ; q ) \, = \, \left( \begin{array} { c c c c } { { Q _ { 1 1 } } } & { { Q _ { 1 2 } } } & { { . . } } & { { Q _ { 1 n } } } \\ { { Q _ { 2 1 } } } & { { Q _ { 2 2 } } } & { { . . } } & { { Q _ { 2 n } } } \\ { { . . } } & { { . . } } & { { . . } } & { { . . } } \\ { { Q _ { n 1 } } } & { { Q _ { n 2 } } } & { { . . } } & { { Q _ { n n } } } \end{array} \right) \, ,
\mu _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ q ~ } } \mathrm { ~ \boldmath ~ D ~ } _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ q ~ } } \cdot \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } = \mu _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ s ~ } } \mathrm { ~ \boldmath ~ D ~ } _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ s ~ } } \cdot \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } ,
Z _ { I } ( \mathbf { L } _ { \mathsf { t } } ) = \sum _ { q \in \mathbb { K } _ { I } ^ { { \mathrm { e f f } } } ( \alpha ) } \mathrm { s i g n } \left( \frac { \mathrm { d } \sigma } { \Lambda _ { a = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \mathsf { D } _ { i _ { a } } } \right) \int _ { \mathcal { C } ^ { I ^ { \mathrm { o r } } } ( q ) } \mathrm { d } \sigma \; \Gamma \cdot e ^ { \langle \theta + 2 \pi \sqrt { - 1 } \mathsf { t } , \sigma \rangle } , \; \; \; I \in \mathcal { A } _ { C _ { \pm } } ^ { { \mathrm { n o n e s s } } } .
c = \sqrt { | \eta | + ( k r _ { 1 } ) ^ { 2 } } - \sqrt { | \eta | } \ln \left( \sqrt { 1 + \frac { | \eta | } { ( k r _ { 1 } ) ^ { 2 } } } + \frac { \sqrt { | \eta | } } { k r _ { 1 } } \right) , \; \; \; \; \; \left( \mathrm { f o r } \; \eta = \alpha ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } < 0 \right) .
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r } { { 7 } 2 x } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { y } & { { } } & { \; - \; } & { { } } & { z } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { 8 } \\ { - 3 x } & { { } } & { \; - \; } & { { } } & { y } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { 2 z } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { - 1 1 } \\ { - 2 x } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { y } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { 2 z } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { - 3 } \end{array} } \qquad
\operatorname { L o g } ( - 1 ) + \operatorname { L o g } ( i ) = \left( \ln ( 1 ) + \pi i \right) + \left( \ln ( 1 ) + { \frac { \pi i } { 2 } } \right) = { \frac { 3 \pi i } { 2 } } \neq - { \frac { \pi i } { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { ( ( \gamma - \omega _ { 0 } ) + 2 \omega _ { 0 } ) ^ { k } } & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { k } \binom { k } { i } ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - i } ( 2 \omega _ { 0 } ) ^ { i } } \\ & { = } & { ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k } + k ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - 1 } ( 2 \omega _ { 0 } ) } \\ & { + } & { \sum _ { i = 2 } ^ { k } \binom { k } { i } ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - i } ( 2 \omega _ { 0 } ) ^ { i } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { a } } & { = \sqrt { q ^ { 2 } - 2 q \frac { a - c } { a - 1 } \mu _ { 2 } + \frac { a b - c ^ { 2 } } { a - 1 } \mu _ { 2 } ^ { 2 } } , } \\ { Q _ { b } } & { = \sqrt { q ^ { 2 } - 2 q \frac { b - c } { b - 1 } \mu _ { 1 } + \frac { a b - c ^ { 2 } } { b - 1 } \mu _ { 1 } ^ { 2 } } , } \\ { Q _ { c } } & { = \sqrt { q ^ { 2 } - 2 q ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) + a \mu _ { 1 } ^ { 2 } + b \mu _ { 2 } ^ { 2 } + 2 c \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } . } \end{array}
\left( \mathrm { ~ P ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ s ~ T ~ o ~ K ~ e ~ e ~ p ~ } [ \mathrm { ~ i ~ d ~ x ~ } ] . \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } \cdot \mathrm { ~ P ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ s ~ T ~ o ~ K ~ e ~ e ~ p ~ } [ \mathrm { ~ i ~ d ~ x ~ } ] . \mathrm { ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } + \right.
\begin{array} { r l } { \varphi ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) } & { = \sum _ { k l } W _ { k l } h _ { i } ^ { L \uparrow ( k ) } h _ { j } ^ { L \downarrow ( l ) } } \\ & { = \sum _ { \gamma } \sigma _ { \gamma } \left( \sum _ { k } U _ { \gamma k } h _ { i } ^ { L \uparrow ( k ) } \right) \left( \sum _ { k } V _ { \gamma l } h _ { j } ^ { L \uparrow ( l ) } \right) } \\ & { = \sum _ { \gamma } \sigma _ { \gamma } ( U \mathbf { h } _ { i } ^ { L \uparrow } ) _ { \gamma } ( V \mathbf { h } _ { j } ^ { L \downarrow } ) _ { \gamma } . } \end{array}
C _ { H } ^ { d } ( S ) : = \operatorname* { i n f } { \Bigl \{ } \sum _ { i } r _ { i } ^ { d } : { \mathrm { ~ t h e r e ~ i s ~ a ~ c o v e r ~ o f ~ } } S { \mathrm { ~ b y ~ b a l l s ~ w i t h ~ r a d i i ~ } } r _ { i } > 0 { \Bigr \} } .
m _ { D } ^ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } g ^ { 2 } T ^ { 2 } - \frac { ( g H ) ^ { 1 / 2 } } { \pi } T - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } ( g H ) + O ( ( g H ) ^ { 2 } / T ^ { 2 } ) .
\sigma _ { L } ^ { 2 } = \frac { 2 \xi \sigma _ { Z } ^ { 2 } } { L } [ \frac { \xi } { \sqrt { 2 \pi } } ( e ^ { - \frac { 2 L ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } } - 1 ) + L \operatorname { e r f } ( \frac { \sqrt { 2 } L } { \xi } ) ]
\begin{array} { r l } & { \sqrt { n a _ { n } } \operatorname* { s u p } _ { | v | \leq K } | \widehat { \Gamma } _ { n } ^ { \ast } ( \mathsf { x } + v a _ { n } ^ { - 1 } ) - \widehat { \Gamma } _ { n } ^ { \ast } ( \mathsf { x } ) - \bar { \Gamma } _ { n } ^ { \ast } ( \mathsf { x } + v a _ { n } ^ { - 1 } ) + \bar { \Gamma } _ { n } ^ { \ast } ( \mathsf { x } ) | = o _ { \mathbb { P } } ( 1 ) , } \\ & { \sqrt { n a _ { n } } \operatorname* { s u p } _ { | v | \leq K } | \widehat { \Phi } _ { n } ^ { \ast } ( \mathsf { x } + v a _ { n } ^ { - 1 } ) - \widehat { \Phi } _ { n } ^ { \ast } ( \mathsf { x } ) - \bar { \Phi } _ { n } ^ { \ast } ( \mathsf { x } + v a _ { n } ^ { - 1 } ) + \bar { \Phi } _ { n } ^ { \ast } ( \mathsf { x } ) | = o _ { \mathbb { P } } ( 1 ) , } \end{array}
\mathcal { K } _ { \widehat { m } } ^ { [ V ] } \left( t \right) = K _ { I c } \frac { t ^ { 1 / 4 } } { E ^ { \prime 1 1 / 1 6 } V _ { o } ^ { 3 / 1 6 } \varDelta \gamma ^ { 1 / 1 6 } \mu ^ { \prime 1 / 4 } } = \mathcal { B } _ { k s } ^ { 5 / 4 8 } \mathcal { M } _ { \widehat { k } } ^ { [ V ] } \left( t \right) ^ { - 1 / 4 } = \mathcal { B } _ { k s } ^ { 5 / 4 8 } \mathcal { M } _ { \widehat { k } } ^ { - 1 / 4 } \left( \frac { t } { t _ { s } } \right) ^ { 1 / 4 } .
\begin{array} { r } { { \underset { \smile } { \Delta } } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \Bigl ( { \cal { G } } _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) - { \cal { G } } _ { B } ( \tau , 0 ) - { \cal { G } } _ { B } ( 0 , \tau ^ { \prime } ) + { \cal { G } } _ { B } ( 0 , 0 ) \Bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { 1 } = \frac { m _ { 2 } } { I _ { 2 } } \sin \phi t , \qquad \Omega _ { 2 } = \frac { m _ { 2 } } { I _ { 2 } } \cos \phi t , \qquad \Omega _ { 3 } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 3 } } . } \end{array}
\pi _ { d } \left( \hat { u } _ { v } \mid \hat { v } ; \theta _ { d } \right) = \frac { \exp \left( \theta _ { d } ^ { \top } ( \hat { u } _ { v } ) \cdot \theta _ { d } ( \hat { v } ) \right) } { \sum _ { \hat { u } _ { v } \subseteq { \cal R } _ { v } } \exp \left( \theta _ { d } ^ { \top } ( \hat { u } _ { v } ) \cdot \theta _ { d } ( \hat { v } ) \right) } ,
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { \beta } , \Phi _ { \alpha } \rangle } & { = \langle \mathcal { F } _ { K } \Phi _ { \beta } , \Phi _ { \alpha } \rangle + \langle [ \mathcal { F } _ { K } , T _ { * } ] \Phi _ { \beta } , \Phi _ { \alpha } \rangle + \langle \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { \beta } , \Phi _ { \alpha } \rangle } \\ & { = ( \Lambda _ { 0 } + \varepsilon _ { \alpha } ) \delta _ { \alpha \beta } + \sum _ { \gamma \in \Xi ( G ) } t _ { * , \gamma } \varepsilon _ { \gamma } \langle X _ { \gamma } \Phi _ { \beta } , \Phi _ { \alpha } \rangle + \langle \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { \beta } , \Phi _ { \alpha } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { C } } & { = } & { { \frac { 1 2 8 R } { 9 \pi ^ { 2 } v _ { 0 } } } \, \left[ \sqrt { 1 + { \frac { 8 1 9 2 \, M \, S c ^ { 2 } } { 8 1 \pi ^ { 4 } } } } - 1 \right] ^ { - 1 } } \\ { D } & { = } & { { \frac { 6 4 v _ { 0 } R } { 9 \pi ^ { 2 } } } \, \left[ \sqrt { 1 + { \frac { 8 1 9 2 \, M \, S c ^ { 2 } } { 8 1 \pi ^ { 4 } } } } - 1 \right] ^ { - 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( 1 - b ( 1 + \operatorname* { m a x } h - \operatorname* { m i n } h ) ) \mathrm { { N u } } + b \leq M \mathrm { { R a } } ^ { 2 } + 2 \langle | \nabla \eta | ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \Delta \phi + \frac { c } { B _ { 0 } } \left( \partial _ { x } \phi \partial _ { y } \Delta \phi - \partial _ { y } \phi \partial _ { x } \Delta \phi \right) = } \\ & { \qquad \qquad \qquad = \frac { \sigma K _ { B } T _ { 0 } } { \bar { n } _ { 0 } e ^ { 2 } } \partial _ { z } ^ { 2 } \Delta \phi - 4 \pi \frac { v _ { A } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \sigma \partial _ { z } ^ { 2 } \phi \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { e r f } z } & { = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } z ^ { 2 n + 1 } } { n ! ( 2 n + 1 ) } } } \\ & { = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } \left( z - { \frac { z ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { z ^ { 5 } } { 1 0 } } - { \frac { z ^ { 7 } } { 4 2 } } + { \frac { z ^ { 9 } } { 2 1 6 } } - \cdots \right) } \end{array} }
\frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { T } \right) = - \left( \vec { F } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { T } \right) \cdot \frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) \cdot \left( \vec { F } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { T } \right) ,
H = H _ { \mathrm { { e l a s t i c } } } + H _ { \mathrm { { e n t h a l p i c } } } + H _ { \mathrm { { e x t e r n a l } } } = { \frac { 1 } { 2 } } k _ { B } T \int _ { 0 } ^ { L _ { 0 } } P \cdot \left( { \frac { \partial ^ { 2 } { \vec { r } } ( s ) } { \partial s ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } d s + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { K _ { 0 } } { L _ { 0 } } } x ^ { 2 } - x F
{ \begin{array} { r l r l } & { { \underset { \mathbf { x } , t } { \operatorname { m i n i m i z e } } } } & & { t } \\ & { \operatorname { s u b j e c t \ t o } } & & { f ( \mathbf { x } ) - t \leq 0 } \\ & { } & & { g _ { i } ( \mathbf { x } ) \leq 0 , \quad i = 1 , \dots , m } \\ & { } & & { h _ { i } ( \mathbf { x } ) = 0 , \quad i = 1 , \dots , p , } \end{array} }
{ \bf v } _ { i a } = \frac { \partial G } { \partial \gamma ^ { T } } \frac { { \bf P } \times \nabla \gamma ^ { T } } { \rho Q _ { b } } + \frac { \partial G } { \partial Q _ { \gamma T } } \frac { { \bf P } \times \nabla Q _ { \gamma T } } { \rho Q _ { b } } .
g = \left( \begin{array} { c c c c c } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \dots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { ( g _ { i j } ) } } & { { \dots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \dots } } & { { 1 } } & { { \dots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \dots } } & { { \dots } } & { { \ddots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \dots } } & { { \dots } } & { { 1 } } \end{array} \right)
{ \begin{array} { r l } { \left[ x _ { l } , p _ { m } \right] } & { = i \hbar \delta _ { l , m } } \\ { \left[ Q _ { k } , \Pi _ { k ^ { \prime } } \right] } & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { l , m } e ^ { i k a l } e ^ { - i k ^ { \prime } a m } [ x _ { l } , p _ { m } ] } \\ & { = { \frac { i \hbar } { N } } \sum _ { m } e ^ { i a m ( k - k ^ { \prime } ) } = i \hbar \delta _ { k , k ^ { \prime } } } \\ { \left[ Q _ { k } , Q _ { k ^ { \prime } } \right] } & { = \left[ \Pi _ { k } , \Pi _ { k ^ { \prime } } \right] = 0 ~ . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { n R M S E } ( \mathbf { f } ^ { \star } ) } & { = } & { | | \mathbf { f } ^ { \star } - \mathbf { f } ^ { \mathrm { [ r e f ] } } | | _ { 2 } / | | \mathbf { f } ^ { \mathrm { [ r e f ] } } | | _ { 2 } , } \\ { \mathrm { P C C } ( \mathbf { f } ^ { \star } ) } & { = } & { \frac { \vert \mathrm { C o v ( \mathbf { f } ^ { \star } , \mathbf { f } ^ { \mathrm { [ r e f ] } } ) \vert } } { \sigma ( \mathbf { f } ^ { \star } ) \, \sigma ( \mathbf { f } ^ { \mathrm { [ r e f ] } } ) } , } \end{array}
\underline { { { \Theta } } } ^ { 0 } = \ell { \frac { d r } { r } } \quad , \quad \underline { { { \Theta } } } ^ { a } = { \frac { r } { \ell } } \underline { { { \theta } } } ^ { a } + { \frac { \ell } { r } } \underline { { { \sigma } } } ^ { a } + O ( r ^ { - 3 } ) \qquad ,
\begin{array} { c c c } { { \displaystyle \frac { f _ { \pi } } { \langle \overline { { { q } } } q \rangle ^ { \frac { 1 } { 3 } } } = 0 . 4 2 3 \pm 0 . 0 2 4 ~ , } } & { { \; \; f _ { \pi } \, r _ { \pi } = 0 . 3 1 8 \pm 0 . 0 0 6 ~ , \; \; \displaystyle \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { \langle \overline { { { q } } } q \rangle ^ { \frac { 2 } { 3 } } } = 0 . 3 9 6 \pm 0 . 0 3 6 ~ ; } } \end{array}
\Delta _ { \widetilde { \chi } ^ { \pm } - \widetilde { \nu } _ { \tau } } ^ { \tau } = - \frac { \alpha _ { 2 } ( m _ { Z } ) } { 4 \pi } \frac { M _ { 2 } t _ { \beta } } { \mu } f ( x _ { M _ { 2 } } , x _ { \widetilde { \nu } _ { \tau } } ) ,
\begin{array} { r } { \frac { f _ { G B } ^ { \prime } ( r ) } { 2 r } + \frac { \alpha f _ { G B } ( r ) f _ { G B } ^ { \prime } ( r ) } { r ^ { 3 } } - \frac { \alpha f _ { G B } ( r ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } + \frac { M l _ { 0 } ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { Q ^ { 2 } r ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { l ^ { 2 } } = 0 . } \end{array}
\epsilon ^ { + } ( z ) = \frac { z } { 2 \pi } + \frac { i } { \pi } \sum _ { n > 0 } \frac { e ^ { - i n ( z - i \varepsilon ) } } { n } , ~ ~ ~ ~ ~ \epsilon ^ { - } ( z ) = \frac { z } { 2 \pi } + \frac { i } { \pi } \sum _ { n < 0 } \frac { e ^ { - i n ( z + i \varepsilon ) } } { n } .
\begin{array} { r l } { \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( ( \varepsilon ( t ) + \varepsilon _ { N } ) + \frac { C _ { 0 } } { C _ { 1 } } ) = } & { { } 2 \kappa ( Z ( t ) - \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( ( \varepsilon ( t ) + \frac { 1 } { 4 } ( ( 2 \kappa + 1 ) ^ { 2 } - 1 ) ) = } & { { } 2 \kappa ( Z ( t ) - \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { \varepsilon ( t ) = } & { { } \frac { 1 } { C _ { 1 } } \sqrt { \frac { \tau } { \Delta t } } 2 \kappa ( Z ( t ) - \frac { 1 } { 2 } ) - ( \kappa ^ { 2 } + \kappa ) \ge 0 } \\ { \varepsilon ( t ) = } & { { } \frac { 1 } { C _ { 1 } } \sqrt { \frac { \tau } { \Delta t } } 2 \kappa ( Z ( t ) - \frac { 1 } { 2 } ) - ( \frac { C _ { 0 } } { C _ { 1 } } + \varepsilon _ { N } ) \ge 0 } \end{array}
\pi _ { \dot { q } } ^ { 1 - } = e ^ { + 2 } \psi _ { + 2 \dot { q } } ^ { 1 - } + e ^ { - 2 } \psi _ { - 2 \dot { q } } ^ { 1 - } + e _ { p } ^ { + } h _ { + p \dot { q } } ^ { 1 - } + e _ { \dot { p } } ^ { - } \chi _ { \dot { p } \dot { q } } ^ { 1 } ,
\begin{array} { r l } & { 2 \mu \int _ { \Omega } { \bf D } { \bf u } _ { \theta } : { \bf D } { \bf v } \, d { \bf x } + \lambda \int _ { \Omega } ( \mathrm { d i v } \, { \bf u } _ { \theta } ) ( \mathrm { d i v } \, { \bf v } ) \, d { \bf x } } \\ & { \quad = 2 \mu \int _ { \Omega } { \bf D } { \bf u } : { \bf D } { \bf v } _ { - \theta } \, d { \bf x } + \lambda \int _ { \Omega } \left( \mathrm { d i v } \, { \bf u } \right) \left( \mathrm { d i v } \, { \bf v } _ { - \theta } \right) \, d { \bf x } = \int _ { \partial \Omega } { \bf g } \cdot { \bf v } _ { - \theta } \, d S = \int _ { \partial \Omega } { \bf g } \cdot { \bf v } \, d S \, . } \end{array}
2 x ^ { 6 } - 4 x ^ { 5 } + 5 x ^ { 4 } - 3 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 3 x = 2 x ^ { 6 } - 4 x ^ { 5 } + ( 2 B + 5 ) x ^ { 4 } + ( - 2 B - 3 ) x ^ { 3 } + ( 2 B + 1 ) x ^ { 2 } + ( - 2 B + 3 ) x
\begin{array} { r l } & { { \delta ( \varphi - { \varphi _ { \mathrm { t x } } } ) } \frac { { \delta ( \theta - { \theta _ { \mathrm { t x } } } ) } } { { \sin \theta } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { n } L _ { m } \frac { { 2 n + 1 } } { 2 } \frac { { ( n - m ) ! } } { { ( n + m ) ! } } } \\ & { { P _ { n } ^ { m } ( \cos \theta ) P _ { n } ^ { m } ( \cos { \theta _ { \mathrm { t x } } } ) } { \cos \big ( m ( \varphi - \varphi _ { \mathrm { t x } } ) \big ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { { } = \operatorname* { m a x } \bigg ( \, \big | \big ( 1 - \frac { 1 } { 2 m } \big ) R L \big | , \, \big | \big ( \frac { 1 } { 2 m } \big ) R L \big | \, \bigg ) } \end{array}
- { \frac { 1 } { 2 } } \eta ( H _ { F } ) = \mathrm { I n d e x } ( D _ { \tau } ) - { \frac { 1 } { 2 } } \eta ( H _ { 0 } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \eta ( \mathrm { R e } ( { P } ) )
\begin{array} { r l } { \omega _ { \theta } ( r , z , t ) \, } & { { } = \, \frac { \Gamma } { \nu t } \, \eta \Bigl ( \frac { r - \bar { r } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, \frac { z - \bar { z } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, t \Bigr ) \, , } \\ { \psi ( r , z , t ) \, } & { { } = \, \Gamma \, \bar { r } ( t ) \, \phi \Bigl ( \frac { r - \bar { r } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, \frac { z - \bar { z } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, t \Bigr ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \Big ( \| \omega \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla \omega ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \Big ) } \\ { \leq } & { } & { C \int _ { 0 } ^ { T } \| \nabla \cdot ( \hat { p } - \tilde { \hat { p } } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { P M L } ^ { + } ) } + \| \partial _ { t } ( \hat { p } - \tilde { \hat { p } } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { P M L } ^ { + } ) } \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { R } } & { = \mathbb { E } \left\{ \textbf { h } \textbf { h } ^ { \mathrm { H } } \right\} } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } s ( \phi , \theta ) \textbf { C } ^ { \mathrm { T } } \textbf { a } _ { 0 } \textbf { a } _ { 0 } ^ { \mathrm { H } } ( \phi , \theta ) \textbf { C } ^ { * } d \phi d \theta } \\ & { = \textbf { C } ^ { \mathrm { T } } \left( \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } s ( \phi , \theta ) \textbf { a } _ { 0 } \textbf { a } _ { 0 } ^ { \mathrm { H } } ( \phi , \theta ) d \phi d \theta \right) \textbf { C } ^ { * } } \\ & { = \textbf { C } ^ { \mathrm { T } } \textbf { R } _ { 0 } \textbf { C } ^ { * } } \end{array}
\sum _ { t = 1 } ^ { T } \langle \widetilde { \mathbf g } _ { t } , \vec { \theta } _ { t } - \mathbf x _ { t } \rangle \le \left( 1 + \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \lVert \vec { \theta } _ { t + 1 } - \vec { \theta } _ { t } \rVert _ { 1 } \right) \eta _ { T } ^ { - 1 } \ln \frac 1 { \beta _ { T } } - \eta _ { T } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T } , \mathbf z _ { T } ) + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \eta _ { t } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \mathbf x _ { t } , \widetilde { \mathbf z _ { t } } )
\rho ^ { \mathrm { h a d } } ( t ) = \rho ^ { \mathrm { 2 r } } ( t ) \equiv \pi \left[ f _ { 1 } ^ { 2 } \delta ( t - m _ { 1 } ^ { 2 } ) + f _ { 2 } ^ { 2 } \delta ( t - m _ { 2 } ^ { 2 } ) \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { I _ { L } } ( s ) } & { = \exp \left\{ - 2 \: \pi \: \lambda _ { \mathrm { D C } } \sum _ { \epsilon = 1 } ^ { 4 } \mathbb { P } _ { \epsilon } \int _ { \frac { R } { 2 } } ^ { \infty } p _ { \mathrm { { L O S } } } \left( r \right) \right. } \\ & { \quad \quad \left. \left( 1 - \left( 1 + \frac { s P G _ { \epsilon } ( r ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { - \alpha _ { L } } { 2 } } } { m _ { L } } \right) ^ { - m _ { L } } \right) r d r \right\} . } \end{array}
\Gamma \bigg ( 2 \Big ( \frac { l + 1 } { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Big ( n _ { j } + \frac { a _ { j } } { 2 } \Big ) \Big ) \bigg ) = \frac { 2 ^ { \Big ( l + \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) \Big ) } \Gamma \Big ( \frac { l + 1 } { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Big ( n _ { j } + \frac { a _ { j } } { 2 } \Big ) \Big ) \Gamma \Big ( \frac { l } { 2 } + 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Big ( n _ { j } + \frac { a _ { j } } { 2 } \Big ) \Big ) } { \sqrt { \pi } }
\begin{array} { r l } { | \textup { S p } | } & { \approx \frac { \sqrt { \pi } } { \sqrt { 2 } } ( 1 - h _ { 1 } ) ^ { n - \frac 3 2 } \frac 1 { \sqrt { n } } \left( 1 + O \left( \frac 1 n \right) \right) ; } \\ { | L | } & { \approx 2 \frac { h _ { 2 } ^ { n + 1 } } { \sqrt { 1 - h _ { 2 } ^ { 2 } } } \frac 1 n \left( 1 + O \left( \frac 1 n \right) \right) , } \end{array}
\frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \leqslant \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \frac { \sin \frac { \left( 2 \alpha + \beta - \mu \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( \beta + \mu \right) \pi } { 2 } } \frac { \cos \frac { \left( 2 \alpha + \beta - \mu \right) \pi } { 2 } } { \cos \frac { \left( \beta + \mu \right) \pi } { 2 } } ,
\Gamma ^ { f } = \left\langle n \right\rangle \times \frac { 2 8 8 \sqrt { \pi } V _ { p } ^ { 2 } m ^ { 3 / 2 } } { { \hbar } ^ { 4 } } { \left( k _ { B } T \right) } ^ { \frac { 5 } { 2 } } .
{ f _ { d , i } ^ { \Delta } } \Delta _ { z } = \sum ^ { k _ { m a x } = \pi / \Delta } \left[ \Gamma C _ { D } ( k ) \widetilde { u } _ { i } \left( ( \widetilde { u } _ { l } - c ( k ) ) \cdot \frac { \partial \widetilde { \eta } ( k ) } { \partial x _ { l } } \right) { \mathcal { H } \left\{ ( \widetilde { u } _ { l } - c ( k ) ) \cdot \frac { \partial \widetilde { \eta } ( k ) } { \partial x _ { l } } \right\} } + ( 1 - \Gamma ) \beta ( k ) \frac { ( a ( k ) k u _ { * } ) ^ { 2 } } { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { l o c } } } & { \phantom { : } = \hat { H } _ { \mathrm { D D } } + \hat { H } _ { \mathrm { S F } } + \hat { H } _ { \mathrm { P H } } , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { D D } } } & { : = \phantom { + } U \sum _ { m } \hat { n } _ { m { \uparrow } } \hat { n } _ { m { \downarrow } } } \\ & { \phantom { : = } + ( U - 2 J ) \sum _ { m ^ { \prime } > m , \sigma } \hat { n } _ { m \sigma } \hat { n } _ { m ^ { \prime } \bar { \sigma } } } \\ & { \phantom { : = } + ( U - 3 J ) \sum _ { m ^ { \prime } > m , \sigma } \hat { n } _ { m \sigma } \hat { n } _ { m ^ { \prime } \sigma } , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { S F } } } & { : = J \sum _ { m ^ { \prime } m } \left( \hat { d } _ { m { \uparrow } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { m { \downarrow } } \hat { d } _ { m ^ { \prime } { \uparrow } } \hat { d } _ { m ^ { \prime } { \downarrow } } ^ { \dagger } + \mathrm { h . c . } \right) , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { P H } } } & { : = - J \sum _ { m ^ { \prime } > m } \left( \hat { d } _ { m { \uparrow } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { m { \downarrow } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { m ^ { \prime } { \uparrow } } \hat { d } _ { m ^ { \prime } { \downarrow } } + \mathrm { h . c . } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } & { = \frac { c } { 8 \pi } \hat { \mathbf { e } } _ { z } \cdot \left[ \mathbf { E } ^ { \prime } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \times \mathbf { B } ^ { \prime * } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right] } \\ & { = \frac { c } { 8 \pi } \left[ E _ { x } ^ { \prime } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) B _ { y } ^ { \prime * } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) - E _ { y } ^ { \prime } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) B _ { x } ^ { \prime * } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right] . } \end{array}