harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { - R e _ { \delta } ^ { - 1 } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \Big \{ U _ { i } ^ { 2 } + y ^ { + } \frac { d U _ { i } } { d y ^ { + } } \Big \} + R e _ { \delta } ^ { - 1 } V _ { i } \frac { d U _ { i } } { d y ^ { + } } = - \frac { \partial \overline { { u v _ { i } } } } { \partial y ^ { + } } + \frac { d ^ { 2 } U _ { i } } { d y ^ { + 2 } } } \\ { - R e _ { \delta } ^ { - 1 } \overline { { u _ { i } ^ { 2 } } } - R e _ { \delta } ^ { - 1 } y ^ { + } \frac { d \overline { { u _ { i } ^ { 2 } } } } { d y ^ { + } } + 2 R e _ { \delta } ^ { - 1 } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } + R e _ { \delta } ^ { - 1 } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y ^ { + } \frac { \partial \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } } { \partial y ^ { + } } . } \end{array}
S _ { u l } = S _ { u l } ^ { \{ r \} } \frac { Q ^ { \{ r \} } } { Q } \left( \frac { e ^ { - E _ { l } / k _ { B } T } } { e ^ { - E _ { l } / k _ { \mathrm { B } } T ^ { \{ r \} } } } \right) \left( \frac { 1 - e ^ { - \nu _ { u l } / \nu _ { T } } } { 1 - e ^ { - \nu _ { u l } / \nu _ { T ^ { \{ r \} } } } } \right) .
\mathbf { S } ^ { - } = i N \left[ \begin{array} { l l l } { q _ { \mathrm { L 1 } } + r _ { \mathrm { L 1 } } } & { q _ { \mathrm { L 2 } } + r _ { \mathrm { L 2 } } } & { - 2 k _ { x } k _ { \mathrm { S } z } } \\ { - 2 k _ { x } k _ { \mathrm { L 1 } z } } & { - 2 k _ { x } k _ { \mathrm { L 2 } z } } & { - ( k _ { \mathrm { S } } ^ { 2 } - 2 k _ { x } ^ { 2 } ) } \\ { - s _ { \mathrm { L 1 } } } & { - s _ { \mathrm { L 2 } } } & { 2 k _ { x } k _ { \mathrm { S } z } / ( \phi - 1 ) } \end{array} \right]
\Delta m \equiv \Re \, ( h _ { 1 1 } ^ { \mit \Theta } - h _ { 2 2 } ^ { \mit \Theta } ) = 2 \, \Im \, \Big ( H _ { 2 1 } { \frac { \partial { \Sigma } _ { 1 2 } ^ { I } ( x ) } { \partial x } \, \vrule \, } _ { x = H _ { 0 } } \, \Big ) \, + \, \ldots \, .
\begin{array} { r } { { \bf E } ( { \bf x } , t ) = \left[ \begin{array} { c } { \mathcal { E } _ { 1 1 } } \\ { \mathcal { E } _ { 2 1 } } \\ { \mathcal { E } _ { 1 2 } } \\ { \mathcal { E } _ { 2 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c } { \hat { \boldsymbol { \psi } } _ { E } ( { \bf x } ) ^ { \top } } & { { \bf 0 } _ { E } } & { { \bf 0 } _ { E } } & { { \bf 0 } _ { E } } \\ { { \bf 0 } _ { E } } & { \hat { \boldsymbol { \psi } } _ { E } ( { \bf x } ) ^ { \top } } & { { \bf 0 } _ { E } } & { { \bf 0 } _ { E } } \\ { { \bf 0 } _ { E } } & { { \bf 0 } _ { E } } & { \hat { \boldsymbol { \psi } } _ { E } ( { \bf x } ) ^ { \top } } & { { \bf 0 } _ { E } } \\ { { \bf 0 } _ { E } } & { { \bf 0 } _ { E } } & { { \bf 0 } _ { E } } & { \hat { \boldsymbol { \psi } } _ { E } ( { \bf x } ) ^ { \top } } \end{array} \right] \, \left[ \begin{array} { c } { { \bf E } _ { 1 e } ( t ) } \\ { { \bf E } _ { 2 e } ( t ) } \\ { { \bf E } _ { 3 e } ( t ) } \\ { { \bf E } _ { 4 e } ( t ) } \end{array} \right] = \hat { \bf N } _ { E } ( { \bf x } ) \, { \bf E } _ { e } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w ^ { 1 } = w _ { x } = h _ { t x } } & { = } & { 4 \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \, \sin \theta \, \sin \varphi \cdot u ^ { 2 } , } \\ { w ^ { 2 } = w _ { y } = h _ { t y } } & { = } & { - 4 \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \, \sin \theta \, \cos \varphi \cdot u ^ { 2 } , } \\ { w ^ { 3 } = w _ { z } = h _ { t z } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\mathcal { \hat { H } } _ { i j } ^ { T B M } = t _ { 0 } \delta _ { i j } + t _ { 1 } \hat { \delta } ( \vert \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } \vert - d _ { 0 } ) + t _ { 2 } \hat { \delta } ( \vert \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } \vert - d _ { 1 } ) ,
\ { \mathcal { L } } = - { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \partial _ { \mu } \eta \partial ^ { \mu } \eta + \left( \eta + v \right) ^ { 2 } \ \left( \partial _ { \mu } \xi + e A _ { \mu } \right) ^ { 2 } \right] - \left[ \lambda v ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + \lambda v \eta ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 4 } } \lambda \eta ^ { 4 } \right] ~ .
\begin{array} { r } { P ( \Delta _ { 2 } ) = 1 - C _ { 1 } \Phi ( A _ { 1 } ( \Delta _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) ) \mathrm { E x p } \left[ \frac { - ( \Delta _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } \right] - } \\ { C _ { 2 } \Phi ( A _ { 2 } ( \Delta _ { 2 } - \mu _ { 2 } ) ) \mathrm { E x p } \left[ \frac { - ( \Delta _ { 2 } - \mu _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
P \left( n \right) = { \frac { \left( n - m + 1 \right) ^ { m - 1 } } { \left( m - 1 \right) ! \left( g - 1 + { \frac { 1 } { m } } \right) ^ { m } } } \exp \left( - { \frac { n - m + 1 } { g - 1 + { \frac { 1 } { m } } } } \right)
{ \left[ \begin{array} { l } { u } \\ { v } \\ { w } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 1 } } & { c _ { 1 2 } } & { c _ { 1 3 } } \\ { c _ { 2 1 } } & { c _ { 2 2 } } & { c _ { 2 3 } } \\ { c _ { 3 1 } } & { c _ { 3 2 } } & { c _ { 3 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { p } \\ { q } \\ { r } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { - K _ { \mathcal { Y } / B } \cdot C } & { \geq a f ^ { * } L \cdot C - a _ { r e l } \beta - T - a _ { r e l } ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) ( g ( B ) - 1 ) - ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) } \\ & { \geq ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) ( 5 g ( B ) + 2 + \gamma ) } \\ & { \geq ( \dim ( \mathcal { Y } ) - 1 ) ( 5 g ( B ) + 2 + \gamma _ { \mathcal { Y } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ( \omega ) } & { = \frac { 2 m \left( I _ { m } \, k \, \omega ^ { 2 } - 2 k \, k _ { t } + 2 k _ { c } ^ { 2 } \right) } { 4 k _ { c } ^ { 2 } - \left( 2 k _ { t } - I _ { m } \, \omega ^ { 2 } \right) \left( 2 k - m \omega ^ { 2 } \right) } \, , } \\ { J ( \omega ) } & { = \frac { 2 m \, I _ { m } k _ { c } \, \omega ^ { 2 } } { 4 k _ { c } ^ { 2 } - \left( 2 k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } \right) \left( 2 k - m \omega ^ { 2 } \right) } \, , } \\ { I ( \omega ) } & { = \frac { 2 I _ { m } \left( - 2 k \, k _ { t } + 2 k _ { c } ^ { 2 } + k _ { t } \, m \, \omega ^ { 2 } \right) } { 4 k _ { c } ^ { 2 } - \left( 2 k _ { t } - I _ { m } \, \omega ^ { 2 } \right) \left( 2 k - m \, \omega ^ { 2 } \right) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) T _ { n } ( f ) ) } & { = H ( I _ { n } + \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) S _ { n } + \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) L _ { n } ) } \\ & { = I _ { n } + H ( \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) S _ { n } ) + H ( \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) L _ { n } ) . } \end{array}
\mathrm { T } _ { \ell } = { \frac { B \left( \ell ^ { - } \rightarrow e ^ { - } + { \bar { \nu _ { e } } } + \nu _ { \ell } \right) } { \Gamma \left( \ell ^ { - } \rightarrow e ^ { - } + { \bar { \nu _ { e } } } + \nu _ { \ell } \right) } }
\begin{array} { r l } { - \frac { \epsilon } { 2 } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } \partial _ { R } \bigl ( W _ { \epsilon } ( 1 + \epsilon R ) \bigr ) \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, } & { { } = \, - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X - \frac { \epsilon } { 2 } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } \bigl ( \partial _ { R } W _ { \epsilon } \bigr ) \tilde { \zeta } \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { { } \le \, - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X + \frac { 1 } { 4 } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } \frac { ( \partial _ { R } W _ { \epsilon } ) ^ { 2 } } { W _ { \epsilon } } \, \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, , } \end{array}
S _ { e f f } = \int \! d ^ { 4 } x ~ [ - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } ( A _ { \mu } + \partial _ { \mu } \rho ) ^ { 2 } - A ^ { \mu } \partial _ { \mu } B + \frac { 1 } { 2 } \alpha ( B ) ^ { 2 } + \dot { { \overline { { { \cal P } } } } } \frac { 1 } { \partial _ { i } \partial ^ { i } } \dot { { \cal P } } - { \overline { { { \cal P } } } } { \cal P } ]
{ \hat { V } } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } } = - \sum _ { p , q } { V } _ { p q } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ S ~ } } { \hat { c } ^ { \dagger } } _ { p } { \hat { c } } _ { q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p , q , r , s } { v } _ { p q r s } { \hat { c } ^ { \dagger } } _ { p } { \hat { c } ^ { \dagger } } _ { q } { \hat { c } } _ { s } { \hat { c } } _ { r } .
\left( \begin{array} { l } { { T _ { q } ^ { \mu \nu } } } \\ { { T _ { g } ^ { \mu \nu } } } \\ { { T _ { \mathrm { g v } } ^ { \mu \nu } } } \\ { { E ^ { \mu \nu } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { { Z _ { q q } } } & { { Z _ { q g } } } & { { Z _ { q a } } } & { { Z _ { q e } } } \\ { { Z _ { g q } } } & { { Z _ { g g } } } & { { Z _ { g a } } } & { { Z _ { g e } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { Z _ { a a } } } & { { Z _ { a e } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { T _ { q } ^ { \mu \nu } } } \\ { { T _ { g } ^ { \mu \nu } } } \\ { { T _ { \mathrm { g v } } ^ { \mu \nu } } } \\ { { E ^ { \mu \nu } } } \end{array} \right) ^ { R } \; .
\begin{array} { r l } { \parallel \! A ( i t ) \! \parallel _ { L _ { 1 } ^ { \infty } ( { \mathcal R } \subset { \mathcal { B } } , \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ) } = } & { \parallel \! \sigma _ { B } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Phi _ { B } \Big ( \Phi _ { A } ^ { \dag } \big ( \rho _ { A } ^ { \frac { 1 + i t } { 2 } } \sigma _ { A } ^ { \frac { - 1 - i t } { 2 } } \big ) \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \rho ( i t ) \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Phi _ { A } ^ { \dag } \big ( \sigma _ { A } ^ { \frac { - 1 - i t } { 2 } } \rho _ { A } ^ { \frac { 1 + i t } { 2 } } \big ) \Big ) \sigma _ { B } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \! \parallel _ { L _ { 1 } ^ { \infty } ( { \mathcal R } \subset { \mathcal { B } } , \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ) } } \end{array}
D \equiv \mathrm { { d e t } } \left( \begin{array} { l l l l } { { - k ^ { 2 } } } & { { \omega k _ { x } } } & { { \omega k _ { y } } } & { { \omega k _ { z } } } \\ { { \omega k _ { x } } } & { { k _ { y } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } & { { - k _ { x } k _ { y } } } & { { - k _ { x } k _ { z } } } \\ { { \omega k _ { y } } } & { { - k _ { x } k _ { y } } } & { { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } & { { - k _ { y } k _ { z } } } \\ { { \omega k _ { z } } } & { { - k _ { x } k _ { z } } } & { { - k _ { y } k _ { z } } } & { { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } + { \frac { 1 } { \alpha } } } } \end{array} \right) = 0 .
\begin{array} { r l r } & { } & { \delta \mu ( \lambda ) + T ( \lambda ) = 0 , \ \mathrm { a n d } } \\ & { } & { \hat { \nu } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( P _ { F } { \bf k } , \lambda ) + \hat { \Sigma } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( ( 0 , P _ { F } { \bf k } ) , \delta E , \lambda ) = 0 , \ \alpha , \alpha ^ { \prime } = 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { q _ { \parallel } } \partial _ { s } ( q _ { \parallel } ) = \frac { S _ { p w r } } { q _ { \parallel } } - \frac { 1 } { R } \partial _ { s } ( R ) } \\ { \frac { 1 } { p _ { t o t } } \partial _ { s } ( p _ { t o t } ) = \frac { S _ { m o m } } { p _ { t o t } } - \frac { \kappa } { R } \partial _ { s } ( R ) } \end{array}
I _ { j , m } \left( q , \bar { q } , \varphi \right) = \left\langle \bar { q } \left| - i \partial _ { \mu } \gamma _ { \mu } + r m r + r \varphi _ { a } \Gamma _ { a } r \right| q \right\rangle - \frac 1 2 \varphi \left( V - j \right) ^ { - 1 } \varphi
\begin{array} { r } { \mathrm { t r } \{ \mathcal E _ { T } \big ( A ( \vec { R } , \vec { P } ) \big ) \} = g \int \frac { ( \mathrm { d } \vec { r } ) ( \mathrm { d } \vec { p } ) } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { D } } \, \big [ \mathcal E _ { T } ( A ) \big ] _ { \mathrm { W } } ( \vec { r } , \vec { p } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ \mathcal { I } _ { i , n } ] } & { = \left( 1 - \int _ { x _ { i } } ^ { x _ { i + 1 } } f ( x ) \, d x \right) ^ { n } } \\ & { \le \left( 1 - \sigma \underline { { f } } / 4 \right) ^ { n } } \\ & { = \left( 1 - n ^ { - 0 . 7 5 } v _ { U } \underline { { f } } / 4 \right) ^ { n } } \\ & { \le \left( \exp ( - n ^ { - 0 . 7 5 } v _ { U } \underline { { f } } / 4 ) \right) ^ { n } } \\ & { = \exp ( - n ^ { 0 . 2 5 } v _ { U } \underline { { f } } / 4 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid T ^ { ( n ) } > 0 , } & { \theta = i ] = } \\ & { \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid T ^ { ( n + 1 ) } > 0 , T ^ { ( n ) } > 0 , \theta = i ] \operatorname* { P r } ( \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , T ^ { ( n + 1 ) } > 0 \mid T ^ { ( n ) } > 0 , \theta = i ) } \\ & { + \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , T ^ { ( n + 1 ) } \! \le \! 0 , T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] \operatorname* { P r } ( \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , T ^ { ( n + 1 ) } \le 0 \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ) } \\ & { + \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid \neg \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , T ^ { ( n + 1 ) } \! \le \! 0 , T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] \operatorname* { P r } ( \neg \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , T ^ { ( n + 1 ) } \le 0 \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ) \, . } \end{array}
\frac { \partial \hat { A } _ { 2 } } { \partial E } = \frac { 1 } { 2 \lambda ^ { 2 } } \left( \frac { - 2 \kappa } { a ^ { 3 } } + \frac { \lambda - 1 } { \mathcal { A } ^ { 2 } } \right) \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \hat { A } _ { 2 } } { \partial \kappa } = \frac { 1 } { 2 \lambda ^ { 2 } \mathcal { A } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { t _ { s } = \tilde { t } _ { 0 } + i \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( \tilde { t } _ { 0 } ) } { | \mathbf { E } ( \tilde { t } _ { 0 } ) | \tilde { \kappa } } \approx \tilde { t } _ { 0 } + i \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( t _ { 0 } ) } { | \mathbf { E } ( t _ { 0 } ) | \kappa } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 1 1 1 } } & { = - \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 3 } - \Delta _ { 4 } \stackrel { ! } { < } - \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 3 } - \Delta _ { 8 } = E _ { 1 1 1 0 } \quad \Rightarrow \quad \Delta _ { 8 } < \Delta _ { 4 } \, , } \\ { E _ { 1 1 0 0 } } & { = - \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 7 } - \Delta _ { 8 } \stackrel { ! } { < } - \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 7 } - \Delta _ { 4 } = E _ { 1 1 0 1 } \quad \Rightarrow \quad \Delta _ { 8 } > \Delta _ { 4 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \theta , y , z ) } & { : = \underbrace { \varepsilon \left( H _ { 3 , 2 } ( v _ { \varepsilon } ( \theta , y ) + z ) - H _ { 3 , 2 } ( v _ { \varepsilon } ( \theta , 0 ) + z ) \right) } _ { = : P _ { 1 } } + \underbrace { \varepsilon ^ { 2 } \left( H _ { 4 , 2 } ( v _ { \varepsilon } ( \theta , y ) + z ) - H _ { 4 , 2 } ( v _ { \varepsilon } ( \theta , 0 ) + z ) \right) } _ { = : P _ { 2 } } } \\ & { \ + 6 \underbrace { \varepsilon ^ { 2 b } y ^ { T } \mathbb { A } y } _ { = : P _ { 3 } } + \underbrace { \varepsilon ^ { - 2 b } \left( H _ { 3 , 3 } + \sum _ { i = 3 } ^ { 4 } H _ { 4 , i } + \sum _ { i = 2 } ^ { 5 } { H _ { 5 , i } } + H _ { \ge 6 } \right) \circ U _ { \zeta } ( \theta , y , z ) } _ { = : P _ { 4 } } . } \end{array}
\vec { \mathcal { A } } [ t ] : \mathcal { O } \to \mathscr { R } , \qquad \vec { y } \mapsto \vec { \mathcal { A } } [ t ] ( \vec { y } ) = \vec { x } ( \vec { y } , t ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad t \in [ 0 , T ] , \quad \vec { y } \in \mathcal { O } .
\begin{array} { r } { \nabla \cdot ( \rho \overline { { \mathbf v \otimes \mathbf v } } - \rho \overline { { \mathbf v } } \otimes \overline { { \mathbf v } } ) \approx \chi _ { 0 } G \mathbf v , } \\ { \nabla \cdot ( \rho \overline { { \mathbf v l } } - \rho \overline { { \mathbf v } } \overline { { l } } ) \approx \xi _ { 0 } G l . } \end{array}
+ \frac { 1 } { 4 } e \, \sqrt { 2 } \left( \Lambda ^ { * } R + i \, ( { \cal { B } } _ { i } ) ^ { * } \psi _ { i } ^ { * } \chi ^ { * } - i \, ( { \cal { B } } _ { i } ) ^ { * } \dot { x } _ { i } ^ { * } \xi \right)
\begin{array} { r l r } { [ { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb { \pmb \xi } } ) , { \pmb v } ] = \int _ { \partial D _ { b } } \big ( \sigma _ { a b } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) v _ { a } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - v _ { a } ( { \pmb x } ) \sigma _ { a b } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \big ) d S ( { \pmb x } ) } & { = } & \\ { - 2 \mu \int _ { \partial D _ { b } } \big ( e _ { a b } \{ { \pmb v } ( { \pmb x } ) \} v _ { a } ^ { [ i ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - e _ { a b } \{ { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \} v _ { a } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) \big ) n _ { b } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) } & { \neq } & { 0 } \end{array}
S _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { { ( g _ { 2 } c _ { W } + g _ { 1 } s _ { W } ) \nu _ { e } } } \\ { { - ( g _ { 2 } c _ { W } - g _ { 1 } s _ { W } ) e _ { L } ^ { - } } } \\ { { ( g _ { 2 } c _ { W } - { \frac { 1 } { 3 } } g _ { 1 } s _ { W } ) u _ { L } } } \\ { { - ( g _ { 2 } c _ { W } + { \frac { 1 } { 3 } } g _ { 1 } s _ { W } ) d _ { L } } } \end{array} \right) ~ , ~ ~ S _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { { ( g _ { 2 } c _ { W } + g _ { 1 } s _ { W } ) \nu _ { \mu } } } \\ { { - ( g _ { 2 } c _ { W } - g _ { 1 } s _ { W } ) \mu _ { L } } } \\ { { ( g _ { 2 } c _ { W } - { \frac { 1 } { 3 } } g _ { 1 } s _ { W } ) c _ { L } } } \\ { { - ( g _ { 2 } c _ { W } + { \frac { 1 } { 3 } } g _ { 1 } s _ { W } ) s _ { L } } } \end{array} \right) \, .
\left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { B ^ { T } } & { 0 } \end{array} \right] ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { A ^ { - 1 } - A ^ { - 1 } B ( B ^ { T } A ^ { - 1 } B ) ^ { - 1 } B ^ { T } A ^ { - 1 } } & { A ^ { - 1 } B ( B ^ { T } A ^ { - 1 } B ) ^ { - 1 } } \\ { ( B ^ { T } A ^ { - 1 } B ) ^ { - 1 } B ^ { T } A ^ { - 1 } } & { - ( B ^ { T } A ^ { - 1 } B ) ^ { - 1 } } \end{array} \right] ,
r ^ { l } Y _ { l } ^ { m } = F _ { l } ^ { | m | } * r ^ { l } r _ { x y } ^ { - | m | } P _ { l } ^ { | m | } * \left\{ \begin{array} { l l } { r _ { x y } ^ { | m | } \sin { ( | m | \phi ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ m ~ < ~ 0 ~ } } \\ { r _ { x y } ^ { 0 } / \sqrt { 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ m ~ = ~ 0 ~ } } \\ { r _ { x y } ^ { m } \cos { ( m \phi ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ m ~ > ~ 0 ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\langle a _ { i j } \middle | \kappa _ { i } ^ { + } , \kappa _ { j } ^ { - } \right\rangle = { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , \frac { 1 } { \beta } , 1 + \frac { 1 } { \beta } , - \left( \frac { N } { 2 \mu \kappa _ { i } ^ { + } \kappa _ { j } ^ { - } } \right) ^ { \beta } \right) \ , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P _ { \ell } ( \cos \theta ) } & { = { \sqrt { \frac { \theta } { \sin \theta } } } \, J _ { 0 } ( ( \ell + 1 / 2 ) \theta ) + { \mathcal { O } } \left( \ell ^ { - 1 } \right) } \\ & { = { \frac { 2 } { \sqrt { 2 \pi \ell \sin \theta } } } \cos \left( \left( \ell + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \theta - { \frac { \pi } { 4 } } \right) + { \mathcal { O } } \left( \ell ^ { - 3 / 2 } \right) , \quad \theta \in ( 0 , \pi ) , } \end{array} }
\; \; \; \left[ \begin{array} { c } { { N } } \\ { { m } } \end{array} \right] _ { q } = \left\{ \begin{array} { c l l } { { \frac { ( q , q ) _ { N } } { ( q , q ) _ { m } ( q , q ) _ { N - m } } } } & { { ; } } & { { \; \; \; \; \; 0 \leq m \leq N } } \\ { { 0 } } & { { ; } } & { { \; \; \; \; \; \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right.
v _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { ( n + 1 ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) = v _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { ( n ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) + u ^ { ( n ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } )
\begin{array} { r l } { P \left( w _ { n } | \Lambda _ { n } \right) } & { \approx \sum _ { N _ { \mathrm { t e } , n } = 0 } ^ { \infty } \mathrm { G a u s s i a n } ( N _ { \mathrm { t e } , n } ; \beta \Lambda _ { n } , \beta \Lambda _ { n } ) } \\ & { \times \mathrm { G a u s s i a n } ( w _ { n } ; \gamma N _ { \mathrm { t e } , n } + \mu , \sigma _ { w } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log ( S _ { t } ( \ell ^ { < m + 1 } ) ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { N } \bigg [ - \frac { 1 } { 2 } \ell ( T _ { i } ) ^ { \top } \big ( Q ^ { 0 } ( { t \land T _ { i + 1 } } ) - Q ^ { 0 } ( t \land T _ { i } ) \big ) \ell ( T _ { i } ) } \\ & { \qquad + \sum _ { | I | \leq n } \ell _ { I } ( T _ { i } ) \langle \tilde { e } _ { I } ^ { B } , \widehat { \mathbb { Z } } _ { { t \land T _ { i + 1 } } } - \widehat { \mathbb { Z } } _ { t \land T _ { i } } \rangle \bigg ] } \end{array}
~ \chi _ { n } = \sum b _ { \vec { n } , r , s , t } \lambda ^ { n _ { 1 } } ( \lambda y ) ^ { n _ { 2 } } ( \lambda y _ { c } ) ^ { n _ { 3 } } ( \lambda / \Delta _ { - } ) ^ { n _ { 4 } } e ^ { r \Delta _ { + } ( y - y _ { c } ) } e ^ { s \Delta _ { - } y } e ^ { t \Delta _ { - } y _ { c } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \varphi ( x ) n ( t , x ) d x } } & { = - \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \nabla \cdot \left( f ( x ) n ( t , x ) \right) \varphi ( x ) d x } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { ( r ( x ) - \rho ( t ) ) \varphi ( x ) n ( t , x ) d x } } \\ & { = + \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { f ( x ) . \nabla \varphi ( x ) n ( t , x ) d x } + \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \left( r ( x ) - \rho ( t ) \right) \varphi ( x ) n ( t , x ) d x } } \\ & { \underset { t \to + \infty } { \longrightarrow } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { f ( x ) . \nabla \varphi ( x ) + ( r ( x ) - \overline { \rho } ) \varphi ( x ) d \mu ( x ) } , } \end{array}
\mathbf { U } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } = [ \mathbf { U } _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ; \cdots ; \mathbf { U } _ { N _ { p } } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ]
\begin{array} { r l } { \delta ^ { n } _ { a } \check { \nabla } _ { [ n } F ^ { a } _ { b ] } } & { = \delta ^ { n } _ { a } \check { \nabla } _ { [ n } ( \varphi ^ { a } t _ { b ] } + x ^ { a } \nabla _ { b ] } \psi ) } \\ & { = 2 \pi \rho t _ { b } + \delta ^ { n } _ { a } \check { \nabla } _ { [ n } x ^ { a } \check { \nabla } _ { b ] } \psi ) } \\ & { = 2 \pi \rho t _ { b } + x ^ { n } \check { \nabla } _ { [ n } \check { \nabla } _ { b ] } \psi } \\ & { = 2 \pi \rho t _ { b } + \frac { 1 } { 2 } x ^ { n } T ^ { a } _ { n b } \check { \nabla } _ { a } \psi } \\ & { = 2 \pi \rho t _ { b } + x ^ { n } x ^ { a } t _ { [ b } \nabla _ { n ] } \psi \check { \nabla } _ { a } \psi } \\ & { = 2 \pi \rho t _ { b } } \end{array}
\mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } = \left[ \begin{array} { l l } { 2 k } & { 2 k _ { c } } \\ { 2 k _ { c } } & { 2 k _ { t } } \end{array} \right] \, , \quad \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 2 k } & { 2 k _ { c } } & { - k } & { - k _ { c } } \\ { 2 k _ { c } } & { 2 k _ { t } } & { - k _ { c } } & { - k _ { t } } \\ { - k } & { - k _ { c } } & { 2 k } & { 2 k _ { c } } \\ { - k _ { c } } & { - k _ { t } } & { 2 k _ { c } } & { 2 k _ { t } } \end{array} \right] \, , \quad \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } = - \left[ \begin{array} { l l l l } { k } & { k _ { c } } & { k } & { k _ { c } } \\ { k _ { c } } & { k _ { t } } & { k _ { c } } & { k _ { t } } \end{array} \right] \, ,
( i i i ) = N Q ^ { 2 } ( \frac { N } { \sigma } ) - \sigma \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } Q ( \frac { N } { \sigma } ) e ^ { - N ^ { 2 } \frac { \gamma } { 2 } } + \frac { \sigma } { \sqrt { \pi } } Q ( \frac { N \sqrt { 2 } } { \sigma } ) - 0 + \sigma \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \cdot \frac { 1 } { 2 } - \frac { \sigma } { \sqrt { \pi } } \cdot \frac { 1 } { 2 }