harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \tilde { \mathcal { Z } } _ { R } ^ { [ i ] } } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { L } ^ { [ i ] } } = \frac { \gamma } { \gamma - \left( v - f - U ^ { [ i ] } \right) \tilde { \lambda } _ { \mathcal { Z } } ^ { [ i ] } - D ( \tilde { \lambda } _ { \mathcal { Z } } ^ { [ i ] } ) ^ { 2 } } , \quad \mathrm { a n d } \quad \tilde { \mathcal { D } } _ { R } ^ { [ i ] } = \tilde { \mathcal { D } } _ { L } ^ { [ i ] } .
\begin{array} { r l } & { | ( \delta \Lambda _ { j } ) ^ { \prime } ( t ) | \le C | \delta \Lambda _ { j } ( t ) | + C \left( | ( \widehat f _ { + , j } ^ { ( 1 ) } - \widehat f _ { + , j } ^ { ( 2 ) } ) ( t , L _ { j } ( t ) ) | + | ( \widehat f _ { - , j } ^ { ( 1 ) } - \widehat f _ { - , j } ^ { ( 2 ) } ) ( t , L _ { j } ( t ) ) | \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g } & { { } = \mathrm { ~ S ~ } \frac { r _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ 1 + ( d / r _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ) ^ { 2 } ] ^ { 3 / 2 } ( L _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + L _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ) \delta B _ { d } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { 2 Q N _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } N _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } V _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \sqrt { 2 \rho _ { D M } } B _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { k \setminus i } ^ { t t ^ { \prime } } = C _ { k \setminus i } ^ { t , t ^ { \prime } } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] x _ { k } ^ { t } x _ { k } ^ { t ^ { \prime } } } \end{array}
\Psi [ \phi ] = \frac { { 1 } } { [ \mathrm { \ o p e r a t o r n a m e * { d e t } } ( 2 \pi \hbar G ) ] ^ { 1 / 4 } } \mathrm { \ o p e r a t o r n a m e { e x p } } \left[ - \int _ { x , y } ( \phi _ { a } ( x ) - { \hat { \phi } } _ { a } ( x ) ) \frac { { G _ { a b } ^ { - 1 } ( x , y ) } } { 4 \hbar } ( \phi _ { b } ( y ) - { \hat { \phi } } _ { b } ( y ) ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { g } } & { = \operatorname { s i g n } ( c _ { 1 } ( x ) ) \prod _ { i \in R } \left( \cos { ( x _ { i } ) } - \cos { ( x ) } \right) ^ { m _ { i } - \ell _ { i } } } \\ & { + \mathrm { i } \operatorname { s i g n } ( c _ { 2 } ( x ) ) \left( \sin { ( x ) } \right) ^ { \ell _ { 0 } } \prod _ { i \in Q } \left( \cos { ( x _ { i } ) } - \cos { ( x ) } \right) ^ { \ell _ { i } - m _ { i } } . } \end{array}
\| \boldsymbol { W } _ { \widetilde k } - \boldsymbol { W } ^ { \star } \| _ { F } \leq \sum _ { k = \widetilde k } ^ { \infty } \| \boldsymbol { W } _ { k } - \boldsymbol { W } _ { k + 1 } \| _ { F } \leq \| \boldsymbol { W } _ { \widetilde k } - \boldsymbol { W } _ { \widetilde k - 1 } \| _ { F } + \beta \left( f ( \boldsymbol { W } _ { \widetilde k } ) - f ( \boldsymbol { W } ^ { \star } ) \right) ^ { 1 - \theta } ,
\frac { d ^ { 2 } \sigma } { d x d y } = \frac { 2 G _ { F } ^ { 2 } M E _ { \nu } } { \pi } \left( \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } + M _ { W } ^ { 2 } } \right) ^ { \! 2 } \left[ x q ( x , Q ^ { 2 } ) + x \bar { q } ( x , Q ^ { 2 } ) ( 1 - y ) ^ { 2 } \right] ,
{ \begin{array} { r l } { U ( t ) = 1 } & { - { \frac { i \lambda } { \hbar } } \sum _ { n } \langle n | V | n \rangle t - { \frac { i \lambda ^ { 2 } } { \hbar } } \sum _ { m \neq n } { \frac { \langle n | V | m \rangle \langle m | V | n \rangle } { E _ { n } - E _ { m } } } t - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \lambda ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } } \sum _ { m , n } \langle n | V | m \rangle \langle m | V | n \rangle t ^ { 2 } + \cdots } \\ & { + \lambda \sum _ { m \neq n } { \frac { \langle m | V | n \rangle } { E _ { n } - E _ { m } } } | m \rangle \langle n | + \lambda ^ { 2 } \sum _ { m \neq n } \sum _ { q \neq n } \sum _ { n } { \frac { \langle m | V | n \rangle \langle n | V | q \rangle } { ( E _ { n } - E _ { m } ) ( E _ { q } - E _ { n } ) } } | m \rangle \langle q | + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \int _ { v _ { 0 } - v _ { c } } ^ { 0 } v _ { i , d , y } ^ { \prime } \ d v _ { i , d , y } ^ { \prime } = } & { - \frac { Z _ { d } } { 4 \pi m _ { i , d } } \int _ { 0 } ^ { \alpha B _ { 0 } } \frac { B _ { z } ^ { \prime } } { n _ { e } ^ { \prime } } d B _ { z } ^ { \prime } } \\ & { - \frac { Z _ { d } } { m _ { i , d } } \int _ { 0 } ^ { p _ { 2 } } \frac { 1 } { n _ { e } ^ { \prime } } d p ^ { \prime } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overrightarrow { y } = \left( \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } \right) } \\ { \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } \right) } \\ { - \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\| v \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \leq c \| \nabla v \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } = \frac { c } { \varepsilon ^ { 2 } } \| \varepsilon \nabla v \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \leq \frac { c } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \Omega } W _ { \mathrm { v i } } ( I + \varepsilon \nabla v ) \mathrm { d } X = c \mathcal { W } _ { \mathrm { v i } } ^ { \varepsilon } ( v ) .
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = - \sum _ { \ell } \left[ t _ { 1 } ^ { ( \ell ) } \Sigma _ { + } ^ { \left( \ell + 1 \right) } \left( \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell + 1 \right) } + 1 \right) \Sigma _ { - } ^ { \left( \ell \right) } \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } + t _ { 2 } ^ { ( \ell ) } \Sigma _ { - } ^ { \left( \ell + 1 \right) } \left( \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell + 1 \right) } - 1 \right) \Sigma _ { + } ^ { \left( \ell \right) } \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } \right] } \\ & { + \mathrm { h . c . } \, \, , } \end{array}
\Psi = \sum _ { I _ { 1 } , \cdots , I _ { n } } c _ { I _ { 1 } , \cdots , I _ { n } } \mathcal { S } _ { 1 } ^ { I _ { 1 } } [ A ] \cdots \mathcal { S } _ { n } ^ { I _ { n } } [ A ] , \qquad \Psi ^ { \prime } = \sum _ { I _ { 1 } , \cdots , I _ { n } } c _ { I _ { 1 } , \cdots , I _ { n } } ^ { \prime } \mathcal { S } _ { 1 } ^ { I _ { 1 } } [ A ] \cdots \mathcal { S } _ { n } ^ { I _ { n } } [ A ] .
\begin{array} { r l r } { b _ { 1 } ( \theta ) } & { = } & { ( 4 1 / 7 2 ) \theta ^ { 3 } - ( 6 5 / 4 8 ) \theta ^ { 2 } + \theta } \\ { b _ { 2 } ( \theta ) } & { = } & { - ( 5 2 9 / 5 7 6 ) \theta ^ { 3 } + ( 5 2 9 / 3 8 4 ) \theta ^ { 2 } } \\ { b _ { 3 } ( \theta ) } & { = } & { - ( 1 2 5 / 1 9 2 ) \theta ^ { 3 } + ( 1 2 5 / 1 2 8 ) \theta ^ { 2 } } \\ { b _ { 4 } ( \theta ) } & { = } & { \theta ^ { 3 } - \theta ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { Z } _ { e \beta } = \left\{ \begin{array} { l l } { - c _ { 2 3 } \sin \Delta , } & { \mathrm { i f } \ \beta = \mu . } \\ { s _ { 2 3 } \sin \Delta , } & { \mathrm { i f } \ \beta = \tau . } \end{array} \right. } \\ & { \mathbb { W } _ { e \beta } = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { 2 3 } \big ( \frac { s _ { 2 3 } ^ { 2 } \sin \Delta } { c _ { 2 3 } ^ { 2 } \Delta } + \cos \Delta \big ) , } & { \mathrm { i f } \ \beta = \mu . } \\ { s _ { 2 3 } \big ( \frac { \sin \Delta } { \Delta } - \cos \Delta \big ) , } & { \mathrm { i f } \ \beta = \tau . } \end{array} \right. } \end{array}
\textstyle \operatorname* { l i m i n f } _ { k } \int _ { X } f _ { k } \, d \mu = \textstyle \operatorname* { l i m s u p } _ { k } \int _ { X } f _ { k } \, d \mu = \operatorname* { l i m } _ { k } \int _ { X } f _ { k } \, d \mu = \operatorname* { s u p } _ { k } \int _ { X } f _ { k } \, d \mu
\widetilde { S } _ { b f } \left[ \Psi ^ { \dagger } , \Psi \right] = \int d ^ { D } x \, \left\{ \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \left[ \frac { \partial \Psi ^ { \dagger } } { \partial x ^ { M } } \frac { \partial \Psi } { \partial x ^ { M } } + \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { \partial ^ { 2 } \Psi ^ { \dagger } } { \partial \left( x ^ { M } \right) ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial \left( x ^ { M } \right) ^ { 2 } } \right] - \mu _ { 0 } \, \Psi ^ { \dagger } \Psi + i \widetilde { V } \, \Psi ^ { \dagger } \Psi \right\} \; .
\begin{array} { r } { \tilde { S } _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } } ^ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } } = \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 1 ) ( 2 j _ { 3 } + 1 ) } { 4 \pi } } \, \left( \begin{array} { c c c } { j _ { 1 } } & { j _ { 2 } } & { j _ { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { c c c } { j _ { 1 } } & { j _ { 2 } } & { j _ { 3 } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } \end{array} \right) = : \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 3 } + 1 ) } { 4 \pi } } S _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } } ^ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { n + 1 } } & { = A ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { ( A u ) ^ { n + 1 } } & { = ( A u ) ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) + \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \, \partial _ { x } \left( \eta \, \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) \right) . } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { s _ { i } } \quad - \, \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 , j < i } ^ { N } J _ { i j } s _ { i } s _ { j } , \quad \mathrm { s u b j e c t } \ \mathrm { t o } \quad s _ { i } \in \{ - 1 , 1 \} .
i ( 2 \pi ) ^ { 4 } G ( \xi \eta ; \xi ^ { \prime } \eta ^ { \prime } ) = \sum _ { 1 2 3 } \int \frac { 9 d ^ { 4 } \xi ^ { \prime \prime } } { 1 6 \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } } V ( { \hat { \xi } } _ { 3 } , { \hat { \xi } } _ { 3 } ^ { \prime \prime } G ( \xi _ { 3 } ^ { \prime \prime } \eta _ { 3 } ; \xi _ { 3 } ^ { \prime } \eta _ { 3 } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \chi _ { + } } & { { } = \left( \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \right) ^ { 2 } \frac { | \alpha _ { d } | ^ { 2 } \kappa _ { 1 } } { \Delta _ { d } ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } \frac { \Delta _ { d } + \omega _ { z } } { ( \Delta _ { d } + \omega _ { z } ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } , } \\ { \chi _ { - } } & { { } = \left( \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \right) ^ { 2 } \frac { | \alpha _ { d } | ^ { 2 } \kappa _ { 1 } } { \Delta _ { d } ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } \frac { \Delta _ { d } - \omega _ { z } } { ( \Delta _ { d } - \omega _ { z } ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \frac { \frac { - i \omega _ { 0 } \xi } { \gamma _ { + } } + \frac { \eta \gamma _ { - } } { 2 \gamma _ { + } } } { \gamma _ { + } - i \Omega } \cdot \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, x \, B + \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, b + \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, c } { \gamma _ { + } - i \Omega } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ^ { * } \theta _ { 1 } = } & { \frac 1 6 F _ { p p p } ( \mathrm { d } y - p \mathrm { d } x ) , } \\ { s ^ { * } \theta _ { 2 } = } & { \left( \frac 1 6 \frac { \mathrm { D } } { \mathrm { d } x } ( p F _ { p p } ) - \frac 2 3 \frac { \mathrm { D } } { \mathrm { d } x } F _ { p } + \frac 2 3 F _ { x p } + F _ { y } \right) \mathrm { d } x + ( \frac 2 3 F _ { y p } - \frac 1 6 \frac { \mathrm { D } } { \mathrm { d } x } F _ { p p } ) \mathrm { d } y + \frac 1 2 F _ { p p } \mathrm { d } p . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \b { W _ { o } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \b { A } ^ { * } t } \b { C } ^ { * } \b { C } e ^ { \b { A } t } ~ \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \b { H } ( i \omega ) ^ { * } \b { C } ^ { * } \b { C } \b { H } ( i \omega ) ~ \mathrm { d } \omega , } \\ { \b { W _ { c } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \b { A } t } \b { B } \b { B } ^ { * } e ^ { \b { A } ^ { * } t } ~ \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \b { H } ( i \omega ) \b { B } \b { B } ^ { * } \b { H } ( i \omega ) ^ { * } ~ \mathrm { d } \omega , } \end{array}
\begin{array} { l } { \frac { { \partial \delta T _ { i j } ^ { \left( 2 \right) } } } { { \partial { x _ { j } } } } \bar { u } _ { i } ^ { \dag } = - \frac { { \partial \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } } } \delta T _ { i j } ^ { \left( 2 \right) } + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \delta T _ { i j } ^ { \left( 2 \right) } } \right] } \\ { = - 2 \bar { S } _ { i j } ^ { \dag } \left\{ { G \otimes \left[ { \left( { H \otimes \delta { { \bar { u } } _ { i } } } \right) u _ { j } ^ { * } } \right] } \right\} + 2 \bar { S } _ { i j } ^ { \dag } \left[ { G \otimes \left( { H \otimes \delta { { \bar { u } } _ { i } } } \right) } \right] \; \overline { { u _ { j } ^ { * } } } + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \delta T _ { i j } ^ { \left( 2 \right) } } \right] . } \end{array}
\left( \sigma ^ { - 1 } \right) ^ { * } h _ { R } ^ { 1 ( n ) } ( V , \, V ) = h _ { R } ^ { 1 ( n ) } \left( \left( \sigma ^ { - 1 } \right) _ { * } V , \, \left( \sigma ^ { - 1 } \right) _ { * } V \right) = \eta | _ { \mathbf { H } _ { R } ^ { 1 ( n ) } } \left( \left( \sigma ^ { - 1 } \right) _ { * } V , \, \left( \sigma ^ { - 1 } \right) _ { * } V \right) .
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \xi \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \lambda } \sin \left( \left( \xi - \lambda \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 1 } \rho ^ { \kappa } \sin \left( \left( \xi - \kappa \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 1 } b _ { 2 } \sin \left( \left( \xi + \alpha + \beta \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { \lambda } \sin \left( \left( \xi - \lambda + \alpha + \beta \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 2 } \rho ^ { \kappa } \sin \left( \left( \xi - \kappa + \alpha + \beta \right) \pi \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | f _ { O _ { i } } ( x | _ { \mathcal { S } _ { i } ( r ) } ) - \hat { f } _ { O _ { i } } ( x ) \big | } & { \le \| O _ { i } \| _ { \infty } \, \| \sigma ( \beta , x | _ { \mathcal { S } _ { i } ( r ) } ) - \sigma ( \beta , \hat { Y } _ { i } ( x ) | _ { \mathcal { S } _ { i } ( r ) } ) \| _ { 1 } } \\ & { \le \| O _ { i } \| _ { \infty } \, \left\| \frac { e ^ { - \beta H _ { 1 } } } { \operatorname { t r } [ e ^ { - \beta H _ { 1 } } ] } - \frac { e ^ { - \beta H _ { 2 } } } { \operatorname { t r } [ e ^ { - \beta H _ { 2 } } ] } \right\| _ { 1 } \leq 2 \| O _ { i } \| _ { \infty } ( e ^ { \| H _ { 2 } - H _ { 1 } \| _ { \infty } } - 1 ) , } \end{array}
( - 1 . 2 \cdot 1 0 ^ { - 4 } ) < \epsilon ^ { \prime } / \epsilon < 1 6 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \ \ ( I ) \ \ ; \ \ \epsilon ^ { \prime } / \epsilon = ( 3 . 6 \pm 3 . 4 ) \, 1 0 ^ { - 4 } \ \ ( I I ) \ ,
{ } ^ { 2 } D _ { r _ { \sigma } s _ { \tau } } ^ { p _ { \sigma } q _ { \tau } } = \langle \Psi | \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q _ { \tau } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { s _ { \tau } } \hat { a } _ { r _ { \sigma } } | \Psi \rangle
E _ { \phi } ^ { \binom { I } { T } } ( \rho , z ) \approx \xi { \binom { 1 } { e ^ { - \bar { \beta } _ { i } z } } } \sum _ { { \binom { g } { m } } = - \infty } ^ { \infty } { \binom { D _ { g } ^ { \prime } } { A _ { m } } } \frac { \partial } { \partial \rho } s i n c \sqrt { { \binom { k _ { 1 } ^ { 2 } } { k _ { r } ^ { 2 } } } \rho ^ { 2 } + \left[ { \binom { k _ { 1 } } { k _ { r } } } z + \pi { \binom { g } { m } } \right] ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \nu _ { k l } \left( u _ { k l } \right) } & { { } \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { l } ^ { 2 } \, n _ { l } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } \, u _ { k l } ^ { 3 } } \, \ln \Lambda _ { k l } \, , } \\ { \nu _ { k e } \left( u _ { k e } \right) } & { { } \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } \, n _ { e } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \, c ^ { 3 } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } } \, \ln \Lambda _ { k e } \, , } \\ { m _ { k l } } & { { } = } & { \frac { m _ { k } \, m _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, . } \end{array}
\pi ( z | x ) = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left[ z _ { i } - f ( x ; t _ { i } ) \right] ^ { 2 } \right) \propto \exp \left( - \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ z _ { i } - f ( x ; t _ { i } ) \right] ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { n } ( \lambda _ { n } ( \sigma ) ) } & { = \lambda _ { n } ( ( \cdots ) ( \cdots j - 2 \, \, a \cdots ) ( j - 1 \, \, j ) \circ \pi _ { n , j + 1 } ) } \\ & { = \lambda _ { n } ( ( \cdots ) ( \cdots j - 2 \, \, a \cdots ) \circ \pi _ { n , j - 1 } ) } \\ & { = ( \cdots ) ( \cdots j - 2 \cdots ) ( j - 1 \, \, a ) \circ \pi _ { n , j } , } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \def \arraystretch { 1 } D ( e ) = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) } } & { { D ( p _ { 1 2 } ) = \left( \begin{array} { c c } { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) } } \\ { { D ( p _ { 1 3 } ) = \left( \begin{array} { c c } { { 1 / 2 } } & { { - 1 / 2 \sqrt { 3 } } } \\ { { - 1 / 2 \sqrt { 3 } } } & { { - 1 / 2 } } \end{array} \right) } } & { { D ( p _ { 2 3 } ) = \left( \begin{array} { c c } { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 \sqrt { 3 } } } \\ { { 1 / 2 \sqrt { 3 } } } & { { - 1 / 2 } } \end{array} \right) } } \\ { { D ( p _ { 1 3 } \cdot p _ { 1 2 } ) = \left( \begin{array} { c c } { { - 1 / 2 } } & { { - 1 / 2 \sqrt { 3 } } } \\ { { 1 / 2 \sqrt { 3 } } } & { { - 1 / 2 } } \end{array} \right) } } & { { D ( p _ { 1 2 } \cdot p _ { 1 3 } ) = \left( \begin{array} { c c } { { - 1 / 2 } } & { { 1 / 2 \sqrt { 3 } } } \\ { { - 1 / 2 \sqrt { 3 } } } & { { - 1 / 2 } } \end{array} \right) } } \end{array}
E _ { \phi } ^ { T } ( \rho , z ) \approx \ \xi \exp ( - \bar { \beta } _ { i } z ) \int _ { - k _ { r } } ^ { k _ { r } } S ^ { \prime \prime } ( \beta _ { r } ) J _ { 1 } ( \rho \sqrt { k _ { r } ^ { 2 } - \beta _ { r } ^ { 2 } } ) \exp ( i \beta _ { r } z ) d \beta _ { r } \, \, ,
\begin{array} { r } { \gamma ( r ) = N _ { c } \phi ( 1 - \phi ) ( b _ { H } - b _ { D } ) ^ { 2 } \frac { N ^ { 2 } } { 4 \pi R _ { g } ^ { 3 } } \left[ g ( \eta ) - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ~ g \left( \frac { \eta } { \sqrt { 2 } } \right) - \eta \right] ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \frac { 1 } { 2 } } } & { = C ( 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } \\ { C _ { \frac { 5 } { 1 2 } } } & { = C \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \\ { C _ { \frac { 3 } { 7 } } } & { = C \left( \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } + \underline { { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + \underline { { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 6 } } ( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } + 1 ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \right) , } \end{array}
F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - f \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
p ( \mathrm { R } | \mathrm { A } , \mathrm { D } , \mathrm { I } ) = \int _ { \mathrm { R } } \mathrm { d } \! \log ( \tan ^ { 2 } \! \vartheta ) \, \mathrm { d } \! \log ( \Delta { m } ^ { 2 } ) \, p ( \tan ^ { 2 } \! \vartheta , \Delta { m } ^ { 2 } | \mathrm { A } , \mathrm { D } , \mathrm { I } ) \, ,
\lambda _ { 5 } > 0 \: , \: \: \: \: \: \mathrm { a n d } \: \: - 1 < \cos \delta = \frac { m _ { 3 } ^ { 2 } - \lambda _ { 6 } v _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 7 } v _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \lambda _ { 5 } v _ { 1 } v _ { 2 } } < 1 .
\begin{array} { r l } { \partial _ { m } \frac { 1 } { \left( s - i q _ { i } \right) ^ { k _ { i } } } = } & { { } ( - k _ { i } ) _ { ( m ) } \frac { 1 } { \left( s - i q _ { i } \right) ^ { k _ { i } + m } } } \\ { = } & { { } m ! \left( \begin{array} { l } { - k _ { i } } \\ { m } \end{array} \right) \frac { 1 } { \left( s - i q _ { i } \right) ^ { k _ { i } + m } } } \\ { = } & { { } m ! ( - 1 ) ^ { m } \left( \begin{array} { l } { k _ { i } + m - 1 } \\ { m } \end{array} \right) \frac { 1 } { \left( s - i q _ { i } \right) ^ { k _ { i } + m } } , } \end{array}
{ \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { \| ( \mu , \Sigma ) - ( \mu ^ { \prime } , \Sigma ^ { \prime } ) \| \leq c _ { 0 } } { \int \frac { \biggr ( { \partial ^ { | \alpha | } { f ( x | \mu , \Sigma ) } } / { \partial { \mu ^ { \alpha _ { 1 } } } \partial { \Sigma ^ { \alpha _ { 2 } } } } \biggr ) ^ { 2 } } { f ( x | \mu ^ { \prime } , \Sigma ^ { \prime } ) } d x } < \infty }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \mathbf { d } = \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 1 } \mathbf { h } - \mathbf { j } , } \\ & { { \bf M } _ { \epsilon } ^ { 1 } \mathbf { e } = \widetilde { \bf K } _ { 2 } \mathbf { d } , } \\ & { \partial _ { t } \mathbf { b } = - \mathbf { D } ^ { 1 } \mathbf { e } , } \\ & { \widetilde { { \bf M } } _ { \mu } ^ { 1 } \mathbf { h } = \mathbf { K } _ { 2 } \mathbf { b } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { s _ { n } } & { = a r ^ { 0 } + a r ^ { 1 } + \cdots + a r ^ { n - 1 } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } a r ^ { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } a r ^ { k - 1 } } \\ & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { a \left( { \frac { 1 - r ^ { n } } { 1 - r } } \right) , { \mathrm { ~ f o r ~ } } r \neq 1 } \\ { a n , { \mathrm { ~ f o r ~ } } r = 1 } \end{array} \right. } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { E \left[ - \log p _ { \theta } \left( x _ { 0 } \right) \right] \leq L } & { { } : = E _ { q } \left[ - \log \frac { p _ { \theta } \left( x _ { 0 : T } \right) } { q \left( x _ { 1 : T } | x _ { 0 } \right) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { x } } & { = } & { g _ { x 0 } \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, , } \\ { g _ { y } } & { = } & { - \frac { \alpha \nu _ { k e } E } { \nu _ { k e } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } B ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \left( g _ { y 0 } + \frac { \alpha \nu _ { k e } E } { \nu _ { k e } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } B ^ { 2 } } \right) \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \cos \left( \alpha \beta B t \right) } \\ & { } & { + \left( g _ { z 0 } - \frac { \alpha ^ { 2 } \, E B \, } { \nu _ { k e } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } B ^ { 2 } } \right) \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, \sin \left( \alpha \beta B t \right) \, , } \\ { g _ { z } } & { = } & { \frac { \alpha ^ { 2 } E B } { \nu _ { k e } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } B ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \left( g _ { z 0 } - \frac { \alpha ^ { 2 } E B } { \nu _ { k e } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } B ^ { 2 } } \right) \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \cos \left( \alpha \beta B t \right) } \\ & { } & { - \left( g _ { y 0 } + \frac { \alpha \nu _ { k e } E } { \nu _ { k e } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } B ^ { 2 } } \right) \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, \sin \left( \alpha \beta B t \right) \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { 1 } { \sqrt { h } } } \partial _ { i } { \sqrt { h } } E ^ { i } = } \\ & { \qquad \nabla _ { i } E ^ { i } = { \frac { \rho } { \varepsilon _ { 0 } } } } \\ & { { - } { \frac { 1 } { \sqrt { h } } } \partial _ { i } { \sqrt { h } } B ^ { i j } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial t } } E ^ { j } = } \\ & { \qquad { - } \nabla _ { i } B ^ { i j } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial E ^ { j } } { \partial t } } = \mu _ { 0 } J ^ { j } } \end{array} }