harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sum _ { l = 1 } ^ { m } ( \sigma _ { l } ^ { 0 } ( x , y ) + \varphi _ { l } ^ { \varepsilon , 0 } ( x , y ) ) ^ { 2 } \geq \delta _ { 1 } , } \\ & { | b ^ { 0 } ( x , y ) + \varphi ^ { \varepsilon , 0 } ( x , y ) | \leq \delta _ { 2 } \quad \mathrm { ~ o n ~ } ( x , y ) \in [ - \widehat A \varepsilon , \widehat A \varepsilon ] \times \mathbb { R } ^ { n } . } \end{array}
\mathbf { M } ^ { e } = \frac { \mu _ { s } L _ { e } } { 4 2 0 } \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 5 6 } & { 2 2 L _ { e } } & { 5 4 } & { - 1 3 L _ { e } } \\ { 2 2 L _ { e } } & { 4 L _ { e } ^ { 2 } } & { 1 3 L _ { e } } & { - 3 L _ { e } ^ { 2 } } \\ { 5 4 } & { 1 3 L _ { e } } & { 1 5 6 } & { - 2 2 L _ { e } } \\ { - 1 3 L _ { e } } & { - 3 L _ { e } ^ { 2 } } & { - 2 2 L _ { e } } & { 4 L _ { e } ^ { 2 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { L _ { x } } & { { } = \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } \left( x , f _ { \mathrm { ~ I ~ A ~ F ~ } } ^ { - 1 } ( f _ { \mathrm { ~ M ~ A ~ F ~ } } ( x ) ) \right) } \\ { L _ { z } } & { { } = \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } \left( z , f _ { \mathrm { ~ M ~ A ~ F ~ } } ( f _ { \mathrm { ~ I ~ A ~ F ~ } } ^ { - 1 } ( z ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrel { \phantom { = } } U \Bigl ( - \nu - \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ~ } , \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ~ } , \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ~ } \omega r _ { 1 2 } ^ { 2 } \Bigr ) } \\ & { = \frac { \pi ^ { 1 / 2 } } { \Gamma ( - \nu ) } - \frac { ( 2 \, \pi ) ^ { 1 / 2 } } { \Gamma ( - \nu - \frac { 1 } { 2 } ) } \omega ^ { 1 / 2 } r _ { 1 2 } + \cdots } \end{array}
\Lambda _ { 0 } = \frac { 6 \sigma D _ { 0 } } { \beta } = \frac { 2 } { 3 } \chi h _ { 0 } ^ { 3 } D _ { 0 } , ~ ~ ~ ~ D _ { 0 } \equiv \frac { 1 } { \sigma } \sqrt { \frac { a ^ { 2 } } { 4 } - \frac { 2 \beta C _ { 1 } } { 3 } } ,
\begin{array} { r } { C _ { \mu \nu } ( t ) = \frac { 1 } { \pi } \left( \frac { e \hbar } { m L } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m e } \right) ^ { \mu + \nu - 2 } e ^ { - t / \tau _ { c } } \int \displaylimits _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } \textrm { d } z \int \displaylimits _ { k ^ { - } } ^ { k ^ { + } } k ^ { 2 ( \mu + \nu - 1 ) } f _ { 0 } ( 1 - f _ { 0 } ) \textrm { d } k , \quad k ^ { \pm } = \frac { m } { \hbar t } \left( \pm \frac { L } { 2 } - z \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathbf { x } } } } & { = { \frac { x \left( { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \hat { \mathbf { r } } } + z { \hat { \boldsymbol { \theta } } } \right) - y { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } { { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } } \\ { { \hat { \mathbf { y } } } } & { = { \frac { y \left( { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \hat { \mathbf { r } } } + z { \hat { \boldsymbol { \theta } } } \right) + x { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } { { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } } \\ { { \hat { \mathbf { z } } } } & { = { \frac { z { \hat { \mathbf { r } } } - { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { x ^ { \prime } } & { = } & { 2 \Big ( ( x + y ) ^ { k } - x ^ { k } \Big ) + \left( 1 + \frac { y } { 1 - x } \right) \Big ( x ^ { k } - ( x - 2 r ) ^ { k } \Big ) } \\ { y ^ { \prime } } & { = } & { 2 \Big ( 1 - ( x + y ) ^ { k } \Big ) - 2 \Big ( ( x + y ) ^ { k } - x ^ { k } \Big ) - 2 \Big ( x ^ { k } - ( x - 2 r ) ^ { k } \Big ) \frac { y } { 1 - x } } \\ { r ^ { \prime } } & { = } & { - \frac { 2 r } { 1 - x } \Big ( ( x + y ) ^ { k } - x ^ { k } \Big ) - \left( \frac { ( 1 - x + y ) r } { ( 1 - x ) ^ { 2 } } + 1 \right) \Big ( x ^ { k } - ( x - 2 r ) ^ { k } \Big ) } \\ & { } & { + \Big ( ( x - 2 r ) ^ { k } - ( 3 r ) ^ { k } \Big ) , } \end{array}
\Delta _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left( \mathcal { M } ^ { - 1 / 2 } h \right) W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) = 0 \mathrm { ~ a . e . , }
\begin{array} { r l } { p ( x _ { i } ^ { t + 1 } = I | x _ { i } ^ { t } , x _ { \partial i } ^ { t } ) } & { { } = 1 - \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \prod _ { j \in \partial i } ( 1 - \lambda _ { j i } \delta _ { x _ { j } ^ { t } , I } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { 2 } = } & { \frac { 1 } { 2 } \big [ ( \alpha _ { x x } - \alpha _ { y y } ) ^ { 2 } + ( \alpha _ { x x } - \alpha _ { z z } ) ^ { 2 } + ( \alpha _ { y y } - \alpha _ { z z } ) ^ { 2 } \big ] } \\ & { + 3 \big [ \alpha _ { x y } ^ { 2 } + \alpha _ { x z } ^ { 2 } + \alpha _ { y z } ^ { 2 } \big ] \; , } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } \| U ( s , \cdot ) \| _ { p } ^ { p } + \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } \left| \nabla \left( \left| U _ { j } ( s , x ) \right| ^ { p / 2 } \right) \right| ^ { 2 } d x d s \right] \leq C \mathbb { E } \left[ \left\| U _ { 0 } \right\| _ { p } ^ { p } \right] + C _ { t }
\begin{array} { r l r } & { } & { \vec { B } \approx \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { q _ { e } n _ { e } R _ { L } } { 2 \epsilon _ { 0 } c } \, \frac { r } { R _ { L } } \, \vec { e } _ { \phi } \, , } & { r \le R _ { L } } \\ { 0 \, , } & { r > R _ { L } } \end{array} \right. \, , } \\ & { } & { \vec { E } \approx \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { q _ { e } n _ { e } R _ { L } } { 2 \epsilon _ { 0 } c } \, \frac { c r } { R _ { L } } \, \vec { e } _ { r } \, , } & { r \le R _ { L } } \\ { 0 \, , } & { r > R _ { L } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { t } f } & { { } = \underbrace { \partial _ { t } f + \{ \phi , f \} } _ { \epsilon } + \underbrace { \nabla _ { \perp } \xi \cdot \nabla _ { \perp } f } _ { \epsilon ^ { 2 } } , } \\ { \boldsymbol { b } \cdot \nabla f } & { { } = \underbrace { v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } f + \{ \psi , f \} } _ { \epsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { F m , F ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { q } = \frac { \mu _ { B } g _ { S } } { \hbar } \frac { \mu _ { F m a , F ^ { \prime } m b } ^ { q } } { \hbar } \ \beta _ { \mathrm { m w } } ^ { q } , } \end{array}
T _ { f l i p } ^ { r a i n b o w } \, s t a c k r e l { \lambda \rightarrow \infty } { \longrightarrow } \frac { m _ { V } } { 1 - \frac { g ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \ln \frac { \lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { r ^ { \frac { 2 } { \gamma } \alpha } } { [ ( 1 + r ) r ] ^ { \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } + 1 } } d r = B \left( \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) + 1 , \frac { 8 } { \gamma ^ { 2 } } - \frac { 2 \alpha } { \gamma } + 1 \right) } & { = \frac { \Gamma ( \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) + 1 ) \Gamma ( \frac { 8 } { \gamma ^ { 2 } } - \frac { 2 \alpha } { \gamma } + 1 ) } { \Gamma ( \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } + 1 ) } } \\ & { = \frac { \Gamma ( \frac { 2 \alpha } { \gamma } - \frac { 4 } { \kappa } ) \Gamma ( \frac { 8 } { \kappa } - \frac { 2 \alpha } { \gamma } + 1 ) } { \Gamma ( \frac { 4 } { \kappa } + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } \varepsilon + ( P _ { l } - P _ { \perp } ) l ^ { \mu } l ^ { \nu } \sigma _ { \mu \nu } } & { = } & { - u ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } \mathcal { E } ^ { ( 1 ) } - ( \mathcal { P } _ { l } ^ { ( 1 ) } - \mathcal { P } _ { \perp } ^ { ( 1 ) } ) l ^ { \mu } l ^ { \nu } \sigma _ { \mu \nu } - M \mathcal { D } _ { \alpha } l ^ { \alpha } - l ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } M - \mathcal { D } _ { \nu } W _ { \perp u } ^ { \nu } } \\ & { } & { - \, 2 W _ { \perp l } ^ { \alpha } l ^ { \nu } \sigma _ { \mu \nu } - \pi _ { \perp } ^ { \mu \nu } \sigma _ { \perp \mu \nu } . } \end{array}
{ \left\| { \boldsymbol { \varphi } } _ { k } \right\| } _ { 2 } \leq \frac { 2 { \delta } ^ { 2 } } { { q } _ { k } } \left( 1 + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { 6 { q } _ { k } } \right) \left( 2 { \left\| { \boldsymbol { u } } _ { k } ^ { 1 } \right\| } _ { 2 } + { \tau } ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq j \leq 2 } { { \left\| { \boldsymbol { f } } _ { k } ^ { j } \right\| } _ { 2 } } \right) \, .
{ \cal D } { \varphi ^ { \dagger } } ^ { \prime } { \cal D } \varphi ^ { \prime } = \exp [ \pm \int d ^ { 4 } x \alpha ( x ) \frac { e _ { 0 } ^ { 2 } } { 9 6 \pi ^ { 2 } } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } ] { \cal D } { \varphi ^ { \dagger } } { \cal D } \varphi
\begin{array} { r l } { k _ { 2 } = } & { \frac { 1 } { 2 q \gamma } m _ { 2 } , } \\ { k _ { 4 } = } & { \frac { 1 } { 2 q \gamma ( 2 \gamma + 2 ) ( 2 q \gamma + 2 ) } \Big [ m _ { 4 } - ( 1 + \frac { \gamma + 1 } { q \gamma } ) m _ { 2 } ^ { 2 } \Big ] , } \\ { k _ { 6 } = } & { \frac { 1 } { 2 q \gamma ( 2 \gamma + 2 ) ( 2 q \gamma + 2 ) ( 2 \gamma + 4 ) ( 2 q \gamma + 4 ) } } \\ { \cdot } & { \Bigg ( m _ { 6 } - \Big [ ( 3 \times 2 q \gamma + 2 \gamma + 2 + 2 q \gamma + 2 + 2 \gamma + 4 + 2 q \gamma + 4 ) \cdot \frac { 1 } { 2 q \gamma } \Big ] \Big [ m _ { 4 } - ( 1 + \frac { \gamma + 1 } { q \gamma } ) m _ { 2 } ^ { 2 } \Big ] m _ { 2 } } \\ & { - \Big [ 1 + \frac { \gamma + 1 } { q \gamma } + \frac { ( \gamma + 1 ) ( q \gamma + 1 ) } { ( q \gamma ) ^ { 2 } } \Big ] m _ { 2 } ^ { 3 } \Bigg ) . } \end{array}
\partial _ { t } ( X _ { 1 } ( x , t ) + X _ { 2 } ( x , t ) ) = D \partial _ { x x } X _ { 2 } ( x , t ) - \mu _ { D } X _ { 2 } ( x , t ) - \mu _ { M } X _ { 1 } ( x , t ) + \beta f ( \{ Y _ { 2 } \} _ { Y \neq X } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { \int _ { U } | u | ^ { 2 } d V } & { = \int _ { U } | c _ { m n } | ^ { 2 } ( 1 / 2 - 1 / 2 \cos ( 2 m x ) ) ( 1 / 2 - 1 / 2 \cos ( 2 n y ) ) d V } \\ & { = \pi ^ { - 2 } \int _ { U } ( 1 - \cos ( 2 m x ) - \cos ( 2 n x ) + \cos ( 2 m x ) \cos ( 2 n y ) ) d V } \\ & { = \frac { \mathrm { A r e a } ( U ) } { \mathrm { A r e a } ( \Omega ) } + { \mathcal O } ( m ^ { - 1 } + n ^ { - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| A ( x ) - } & { A ( y ) \| _ { X } \leq c \operatorname* { m a x } \{ \| A ( a ) \| _ { X } , \| A ( b ) \| _ { X } \} } \\ & { \leq c \operatorname* { m a x } \{ \| a \| _ { X } \| A ( a / \| a \| _ { X } ) \| _ { X } , \| b \| _ { X } \| A ( b / \| b \| _ { X } ) \| _ { X } \} \leq c C M \| x - y \| _ { X } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | \tilde { W } _ { s } | \leq | W _ { s } | + | ( s L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , s L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \slash 2 ] \cap \mathbb { N } ^ { * } | } \\ & { \leq } & { | W _ { s } | + \frac { 1 } { 2 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + 1 \leq | W _ { s } | + 5 C _ { 1 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } . } \end{array}
T _ { o } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 4 D } } ( m _ { H } ^ { 2 } - 8 B v _ { o } ^ { 2 } ) \ , \ \ B = { \frac { 3 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } ( 2 m _ { W } ^ { 4 } + m _ { Z } ^ { 4 } - 4 m _ { t } ^ { 4 } ) \ ,
\bar { P } _ { e c d s w } = \bar { P } _ { e c d s w , 0 } + \epsilon \bar { P } _ { e c d s w , 1 } + \epsilon ^ { 2 } \bar { P } _ { e c d s w , 2 } + \epsilon ^ { 3 } \bar { P } _ { e c d s w , 3 } + \epsilon ^ { 4 } \bar { P } _ { e c d s w , 4 } ,
\mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho , \delta } \ \rho _ { X ^ { n } } \right\} \right\} = { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho , \delta } \ \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ \rho _ { X ^ { n } } \right\} \right\}
{ \mathrm { M i n } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f \left( 0 , 1 . 2 5 3 1 3 \right) } & { = 0 . 2 9 2 5 7 9 } \\ { f \left( 0 , - 1 . 2 5 3 1 3 \right) } & { = 0 . 2 9 2 5 7 9 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { G _ { n , i } ^ { * } ( \rho ^ { * } ) = G _ { n , 0 } ^ { * } \binom { n } { i } \prod _ { j = 0 } ^ { i - 1 } [ \bar { \lambda } _ { n , i } ( \rho ^ { * } ) j + \rho ^ { * } ] \quad \forall i \in \lbrace 1 , \dots , n \rbrace \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , b ) = p ( b ) p ( a _ { 1 } | b ) p ( a _ { 2 } | b ) , } \\ { p ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , b ) = p ( b ) p ( a _ { 2 } ) p ( a _ { 1 } | a _ { 2 } , b ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } \approx { \frac { g _ { I } { ( 1 ) } } { g _ { I } { ( 2 ) } } { [ 1 + \epsilon _ { B W } ( 1 ) - \epsilon _ { B W } ( 2 ) ] [ 1 + \epsilon _ { B R } ( 1 ) - \epsilon _ { B R } ( 2 ) ] } } } \\ { = { \frac { g _ { I } { ( 1 ) } } { g _ { I } { ( 2 ) } } { [ 1 + ^ { 1 } \Delta _ { B W } ^ { 2 } ] [ 1 + ^ { 1 } \Delta _ { B R } ^ { 2 } ] } } } \end{array}
\delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { n } - \delta \boldsymbol { r } _ { n } ) = \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { n } ) - ( \delta \boldsymbol { r } _ { n } \cdot \nabla ) \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { n } ) + \ldots ,
{ \frac { \pi } { 4 } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 n + 1 } } = 1 - { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - { \frac { 1 } { 7 } } + \cdots ,
\boldsymbol { s } _ { t _ { 0 } } ^ { ( \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } ) } , ~ \boldsymbol { a } _ { t } ^ { ( \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } ) } , ~ \boldsymbol { \omega } _ { t } ^ { ( \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } ) }
\prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { \Gamma ( \alpha _ { i } ) } { \Gamma ( \beta _ { i } ) } = ( - 1 ) ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( \beta _ { i } - \alpha _ { i } ) } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { \Gamma ( 1 - \beta _ { i } ) } { \Gamma ( 1 - \alpha _ { i } ) } ,
\left( \sigma _ { 2 } ^ { 3 } , \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \right) \to \left( \sigma _ { 2 } ^ { 3 } , \left( \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \right) \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \left( \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \right) ^ { - 1 } , \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } \right)
w ( x _ { 0 } ) = \frac { \mathrm { ~ H ~ e ~ a ~ v ~ i ~ s ~ i ~ d ~ e ~ } ( 3 - x _ { 0 } ) \cdot \mathrm { ~ H ~ e ~ a ~ v ~ i ~ s ~ i ~ d ~ e ~ } ( 3 + x _ { 0 } ) \cdot ( 9 - x _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 9 } .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { r a d } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { = \sum _ { \alpha } V _ { C \alpha } \, A _ { \alpha } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) \, V _ { \alpha C } } \\ { \left[ \Sigma _ { p h } \right] _ { i i } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { = \sum _ { \beta _ { i } } V _ { i \beta _ { i } } \, B _ { \beta _ { i } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) \, V _ { \beta _ { i } i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { c u r l } \mathbf { A } } & { { } = ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { \rho } { \hat { \boldsymbol { \rho } } } + ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { \phi } { \hat { \boldsymbol { \phi } } } + ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { z } { \hat { \boldsymbol { z } } } } \end{array}
A _ { N } \frac { d \sigma } { d t } = \frac { \alpha \sigma _ { t o t } e ^ { b t / 2 } } { 2 m \sqrt { - t } } \{ ( \mu - 1 ) - 2 \mathrm { R e } ( \tau ) - 2 \rho \mathrm { I m } ( \tau ) \} + 2 \mathrm { I m } ( \tau ) \frac { \sqrt { - t } } { m } \left( \frac { d \sigma } { d t } \right) _ { \mathrm { h a d r o n i c } }
{ \mathrm { P r o p o r t i o n } } \leq x = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 1 + \operatorname { e r f } \left( { \frac { x - \mu } { \sigma { \sqrt { 2 } } } } \right) \right] = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 1 + \operatorname { e r f } \left( { \frac { z } { \sqrt { 2 } } } \right) \right]
A _ { \mu } ^ { \mu ^ { \prime } } A _ { \nu } ^ { \nu ^ { \prime } } ( \delta _ { \mu ^ { \prime } } ^ { \lambda ^ { \prime } } \delta _ { \nu ^ { \prime } } ^ { \rho ^ { \prime } } - { \bar { B ^ { \prime } } } _ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } ^ { \lambda ^ { \prime } \rho ^ { \prime } } ) \frac { \partial { \bar { g } ^ { \prime } } _ { \lambda ^ { \prime } \rho ^ { \prime } } } { \partial l _ { i } }
\hat { s } = ( x _ { A } P _ { A } + x _ { B } P _ { B } ) ^ { 2 } \, , \quad \hat { t } = ( x _ { A } P _ { A } - k _ { 1 } ) ^ { 2 } \, , \, \, \mathrm { a n d } \quad \hat { u } = ( x _ { A } P _ { A } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } \, ,
\Sigma ( z ) = G _ { 0 } ( z ) - { \frac { 8 g G _ { 0 } ( z ) } { 1 - G _ { 0 } ^ { 2 } ( z ) } } - { \frac { 4 g G _ { 0 } ^ { 3 } ( z ) } { 1 - G _ { 0 } ^ { 2 } ( z ) } } + O ( g ^ { 2 } )
S _ { \mathrm { m i n } } = \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } d t \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda \Big [ - ( { \frac { \partial u ^ { \mu } } { \partial t } } { \frac { \partial u _ { \mu } } { \partial t } } ) ( { \frac { \partial u ^ { \nu } } { \partial \lambda } } { \frac { \partial u _ { \nu } } { \partial \lambda } } ) + ( { \frac { \partial u ^ { \mu } } { \partial t } } { \frac { \partial u _ { \mu } } { \partial \lambda } } ) ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, ,
\Sigma \left( \frac { p + z } { z } \left[ \tan ^ { - 1 } \left( \frac { \frac { w } { 2 } + u } { p + z } \right) - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { u - \frac { w } { 2 } } { p + z } \right) \right] + \frac { z } { p } \left[ \tan ^ { - 1 } \left( \frac { u - \frac { w } { 2 } } { z } \right) - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { \frac { w } { 2 } + u } { z } \right) \right] \right)
\begin{array} { r l } { H _ { 2 D } } & { = \sum _ { \vec { j } } \Big \{ ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | - | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \downarrow | \bigr ) } \\ & { - \sum _ { k = x , y } \Big [ t _ { 0 } \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \uparrow | - e ^ { - i \vec { K } \cdot \vec { e } _ { k } } | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \downarrow | \bigr ) } \\ & { + t _ { \mathrm { s o } } ^ { k } \bigr ( | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \uparrow | - e ^ { i \vec { K } \cdot \vec { e } _ { k } } | \vec { j } + \vec { e } _ { k } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | \bigr ) + h . c . \Big ] \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( \tau _ { 2 } ) = } & { \; \frac { 1 } { 4 } S _ { \infty } e ^ { ( - 1 - \sqrt { 2 } ) \tau _ { 2 } } \left( ( 2 + \sqrt { 2 } ) e ^ { 2 \sqrt { 2 } \tau _ { 2 } } + 2 - \sqrt { 2 } \right) - \frac { ( P _ { \infty } + T _ { \infty } ) e ^ { ( - 1 - \sqrt { 2 } ) \tau _ { 2 } } ( e ^ { 2 \sqrt { 2 } \tau _ { 2 } } - 1 ) } { 2 \sqrt { 2 } } + 1 , } \\ { P ( \tau _ { 2 } ) = } & { \; - \frac { S _ { \infty } e ^ { ( - 1 - \sqrt { 2 } ) \tau _ { 2 } } ( e ^ { 2 \sqrt { 2 } \tau _ { 2 } } - 1 ) } { 2 \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { 4 } ( P _ { \infty } + T _ { \infty } ) e ^ { ( - 1 - \sqrt { 2 } ) \tau _ { 2 } } \left( ( - 2 + \sqrt { 2 } ) e ^ { 2 \sqrt { 2 } \tau _ { 2 } } - 2 - \sqrt { 2 } \right) . } \end{array}
V ( \vert \vec { x } \vert ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { - \frac { 2 s ^ { 2 } } { c } + s ^ { 2 } r } } & { { \mathrm { f o r } \, \, r \to 0 ~ , } } \\ { { - \frac { 2 s ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { r } } } & { { \mathrm { f o r } \, \, r \to \infty ~ , } } \end{array} \right.
\approx E _ { m } + b ^ { * } ( 0 ) \sum _ { \boldsymbol { R _ { n } } } e ^ { - i { \boldsymbol { k \cdot R _ { n } } } } \ \int d ^ { 3 } r \ \varphi ^ { * } ( { \boldsymbol { r - R _ { n } } } ) \Delta U ( { \boldsymbol { r } } ) \psi ( { \boldsymbol { r } } ) \ .
\begin{array} { r l r } { E _ { x } } & { = } & { \mathrm { R e } \left\{ \psi e ^ { - i \omega _ { 0 } t ^ { \prime } } \right\} , \, \, \, \, E _ { z } = \mathrm { R e } \left\{ \frac { i } { k _ { 0 } } \partial _ { x } \psi e ^ { - i \omega _ { 0 } t ^ { \prime } } \right\} , } \\ { B _ { y } } & { = } & { \mathrm { R e } \left\{ \frac { 1 } { c } \psi e ^ { - i \omega _ { 0 } t ^ { \prime } } \right\} , B _ { z } = \mathrm { R e } \left\{ \frac { i } { k _ { 0 } c } \partial _ { y } \psi e ^ { - i \omega _ { 0 } t ^ { \prime } } \right\} , } \end{array}
\theta _ { K } = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { R _ { x x } + i R _ { x y } } { R _ { x x } - i R _ { x y } } \right] = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { \sigma _ { x x } - i \sigma _ { x y } } { \sigma _ { x x } + i \sigma _ { x y } } \frac { 1 + a ( \sigma _ { x x } + i \sigma _ { x y } ) } { 1 + a ( \sigma _ { x x } - i \sigma _ { x y } ) } \right] \, .
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { \ell } ( { \bf r } ) = \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \, \ell ^ { 2 } \phi } \sum _ { i } a _ { i } \, J _ { \ell } ( 2 | \beta _ { i } | ) \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \ell \mathrm { a r g } \{ - \beta _ { i } \} } , } \\ & { a _ { i } = \int _ { \theta _ { i - 1 } } ^ { \theta _ { i } } \! \! \! \theta d \theta \, J _ { 0 } ( q _ { 0 } R \, \theta ) \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } q _ { 0 } z \, \theta ^ { 2 } / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { e q } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \frac { m _ { i } } { m _ { e } } \frac { 3 \sqrt { m _ { e } } ( k _ { \mathrm { B } } T _ { e } ) ^ { 3 / 2 } } { 4 \sqrt { 2 \pi } n _ { e } e ^ { 4 } \ln { \Lambda _ { e } } } } \end{array}
\langle \delta \theta ^ { 2 } \rangle = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } S _ { \delta \theta } \, d \omega = \frac { k _ { B } T } { I } \frac { \Gamma } { \Gamma ^ { \prime } } \frac { 1 } { \omega _ { m } ^ { \prime \, 2 } } + \frac { 2 \beta ^ { 2 } P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } ^ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { 2 } G _ { D } ^ { 2 } } { I ^ { 2 } \Gamma ^ { \prime } } S _ { \theta _ { n } }
V ( Q _ { 1 } , \dots , Q _ { M _ { \mathrm { i n t } } } ) = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M _ { \mathrm { i n t } } } V _ { \alpha } ( Q _ { \alpha } ( q _ { \mu _ { \alpha , 1 } } , \dots , q _ { \mu _ { \alpha , M _ { \alpha } } } ) ) .
\begin{array} { r l r } { \sum _ { n } \frac { e ^ { i k d _ { n } } } { i k d _ { n } } \left( 1 - \frac { z _ { n } ^ { 2 } } { d _ { n } ^ { 2 } } \right) } & { { } \to } & { \frac { 1 } { i a ^ { 2 } } \int \int \frac { e ^ { i k d } } { k d } \left( 1 - \frac { z ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \right) d y d z } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 1 , Y } ( t , r _ { 0 } ) - F _ { 2 } ( t ) } & { \simeq 2 s _ { \mathrm { e q } } t \biggl [ ( \mathcal { E } _ { H } ( v _ { 1 } ( r _ { 0 } ) ) \! - \! \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) ) ( 1 - r _ { 0 } ) } \\ & { \quad + \mathcal { E } _ { H } ( v _ { 1 } ( r _ { 0 } ) ) \! \! \left( 1 - r - \! r _ { 0 } \! \right) \biggr ] \! . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathrm { r p } } ( F ) } & { { } = ( \gamma _ { \mathrm { r } } / 2 ) \exp \left[ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) \right] } \\ { \gamma _ { \mathrm { r m } } ( F ) } & { { } = ( \gamma _ { \mathrm { r } } / 2 ) \exp \left[ - q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) \right] , } \end{array}
\lbrack K ] _ { q \bar { q } } = \left( \begin{array} { l l } { { q \bar { q } + q ^ { - 1 } \bar { q } ^ { - 1 } } } & { { - 1 } } \\ { { - ( 1 + \bar { q } ^ { 2 } + \bar { q } ^ { - 2 } ) } } & { { q \bar { q } ^ { 3 } + q ^ { - 1 } \bar { q } ^ { - 3 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { f ( j , \Delta ) } & { = 3 j ^ { 2 } - ( \mathsf { k } + 3 ) \Delta - ( 2 \mathsf { k } + 3 ) j } \\ { \mathrm { a n d } \quad g _ { n } ( j , \Delta ) } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } f ( j - m , \Delta ) = 3 j ^ { 2 } - ( \mathsf { k } + 3 ) \Delta - ( 2 \mathsf { k } + 3 n ) j + ( n - 1 ) ( \mathsf { k } + n + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 4 } \, = \, } & { { } - \frac { 1 5 } { 1 0 2 4 } \, ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 4 } + \frac { 2 1 } { 5 1 2 } \, ( R { - } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 1 6 } \, R R ^ { \prime } \, ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \\ { Q _ { 4 } \, = \, } & { { } \frac { 3 1 } { 2 0 4 8 } \, ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 4 } - \frac { 8 9 } { 1 0 2 4 } \, ( R { + } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 5 6 } \, R R ^ { \prime } \, ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \end{array}