harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Lambda _ { W } ^ { ( 0 ) } ( \zeta ; r ) = 1 , \qquad \Lambda _ { W } ^ { ( 1 ) } ( \zeta ; r ) = \Lambda ( \zeta ; r ) = \frac { \Theta _ { q ^ { 4 } } ( r \zeta ^ { 2 } ) \Theta _ { q ^ { 4 } } ( q ^ { 2 } r \zeta ^ { - 2 } ) } { \Theta _ { q ^ { 4 } } ( r \zeta ^ { - 2 } ) \Theta _ { q ^ { 4 } } ( q ^ { 2 } r \zeta ^ { 2 } ) } \zeta ^ { - 2 } ,
\begin{array} { r l } { b \frac { \partial \epsilon _ { k k } } { \partial \tilde { t } } + \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { t } } - \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left( \left( \frac { k _ { r w } } { \tilde { \eta } _ { w } } + \frac { k _ { r o } } { \tilde { \eta } _ { o } } \right) \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { r } } \right) - \frac { 1 } { \tilde { r } } \left( \frac { k _ { r w } } { \tilde { \eta } _ { w } } + \frac { k _ { r o } } { \tilde { \eta } _ { o } } \right) \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { r } } } & { = 0 , } \\ { \phi \frac { \partial S _ { w } } { \partial \tilde { t } } + S _ { w } \left( b \frac { \partial \epsilon _ { k k } } { \partial \tilde { t } } + \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { t } } \right) - \frac { 1 } { \tilde { \eta } _ { w } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left( k _ { r w } \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { r } } \right) - \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { k _ { r w } } { \tilde { \eta } _ { w } } \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { r } } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \tilde { \sigma } _ { r r } } { \partial \tilde { r } } + \frac { \tilde { \sigma } _ { r r } - \tilde { \sigma } _ { \theta \theta } } { \tilde { r } } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { b } } & { { } = } & { \int d ^ { 4 } x \, \psi _ { b } ^ { \dagger } i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } \partial _ { \mu } \psi _ { b } } \\ { e _ { \alpha } ^ { \mu } } & { { } = } & { - v _ { \alpha } ^ { \mu } \; . } \end{array}
u _ { a } ^ { ( 2 ) } ( { \pmb x } ) = \delta _ { a \, 3 } ( \delta _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } - \delta _ { a _ { 1 } \, 3 } \delta _ { a _ { 2 } \, 3 } ) \, ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } = \delta _ { a \, 3 } \, ( ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { 1 } ^ { 2 } + ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { 2 } ^ { 2 } )
\begin{array} { r c l } { { W _ { \mathrm { H i g g s } } } } & { { = } } & { { W _ { A } + W _ { C A } + W _ { 2 / 3 } + W _ { H _ { D } } + W _ { R } } } \\ { { W _ { A } } } & { { = } } & { { t r A ^ { 4 } / M + M _ { A } t r A ^ { 2 } } } \\ { { W _ { C A } } } & { { = } } & { { X ( \overline { { { C } } } C ) ^ { 2 } / M _ { C } ^ { 2 } + F ( X ) } } \\ { { } } & { { } } & { { + \overline { { { C } } } ^ { \prime } ( P A / M _ { 1 } + Z _ { 1 } ) C + \overline { { { C } } } ( P A / M _ { 2 } + Z _ { 2 } ) C ^ { \prime } } } \\ { { W _ { 2 / 3 } } } & { { = } } & { { T _ { 1 } A T _ { 2 } + Y ^ { \prime } T _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ { { W _ { H _ { D } } } } & { { = } } & { { T _ { 1 } \overline { { { C } } } \overline { { { C } } } Y ^ { \prime } / M + \overline { { { T } } } _ { 0 } C C ^ { \prime } + \overline { { { T } } } _ { 0 } ( T _ { 0 } S + T _ { 0 } ^ { \prime } S ^ { \prime } ) } } \\ { { W _ { R } } } & { { = } } & { { \overline { { { T } } } _ { 0 } \overline { { { T } } } _ { 0 } ^ { \prime } V _ { M } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H = \hslash \omega _ { c } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \hslash \omega _ { c } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + \hslash \omega _ { m } m ^ { \dagger } m + \hslash \omega _ { b } b ^ { \dagger } b } \\ & { + \hslash J ( a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 1 } ) + \hslash g _ { m a } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } m + a _ { 1 } m ^ { \dagger } ) } \\ & { + \hslash g _ { m b } m ^ { \dagger } m ( b ^ { \dagger } + b ) + i \hslash \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { 1 } } \varepsilon _ { l } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } e ^ { - i \omega _ { l } t } - a _ { 1 } e ^ { i \omega _ { l } t } ) } \\ & { + i \hslash \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { 1 } } \varepsilon _ { p } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } e ^ { - i \omega _ { p } t } - a _ { 1 } e ^ { i \omega _ { p } t } ) , } \end{array}
I ( \epsilon ) = { \frac { 1 } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x _ { 1 } x _ { 1 } ^ { 2 - \epsilon } e ^ { x _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x _ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 + \epsilon } e ^ { - x _ { 2 } } = { \frac { 1 } { 4 } } \Gamma ( 3 + \epsilon ) \Gamma ( 3 - \epsilon ) \, ,
\begin{array} { r l } { \left\lVert \varphi \right\rVert _ { L ^ { 4 } ( ( 0 , T _ { \nu } ) \times \partial \Omega ) } ^ { 4 } } & { \le A ^ { 4 } T _ { \nu } | \partial \Omega | , } \\ { \left\lVert \varphi - \mathbb E [ \varphi | \mathcal F ] \right\rVert _ { L ^ { 4 } ( ( 0 , T ) \times \partial \Omega ) } ^ { 4 } } & { \le \left[ \delta \left( \frac \delta \nu \frac { A ^ { 2 } } L + \frac A L \right) \right] ^ { 4 } T | \partial \Omega | . } \end{array}
y = h \ast x = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { h _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { h _ { 2 } } & { h _ { 1 } } & { } & { \vdots } & { \vdots } \\ { h _ { 3 } } & { h _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { h _ { 3 } } & { \cdots } & { h _ { 1 } } & { 0 } \\ { h _ { m - 1 } } & { \vdots } & { \ddots } & { h _ { 2 } } & { h _ { 1 } } \\ { h _ { m } } & { h _ { m - 1 } } & { } & { \vdots } & { h _ { 2 } } \\ { 0 } & { h _ { m } } & { \ddots } & { h _ { m - 2 } } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { h _ { m - 1 } } & { h _ { m - 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { h _ { m } } & { h _ { m - 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { h _ { m } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { x _ { n } } \end{array} \right] }
\left( \begin{array} { c } { \boldsymbol { U } } \\ { \omega } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { A } } & { \boldsymbol { B } } \\ { \boldsymbol { B } ^ { T } } & { \boldsymbol { D } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c } { \boldsymbol { F } } \\ { \boldsymbol { T } } \end{array} \right)
\mathcal { F } \equiv U - \Theta \, S = - 2 \Theta \left( \Delta \ln \left( \frac { \Theta } { \Delta ^ { 2 } + \Xi ^ { 2 } } \right) - \Xi \tan ^ { - 1 } \left( \frac { \Delta } { \Xi } \right) + \Delta \right) ,
\begin{array} { r } { \alpha _ { b , m } = \frac { \sigma _ { x , m } } { \sigma _ { y , m } } = \sqrt { \frac { \epsilon _ { x } } { \epsilon _ { y } } \frac { \beta _ { x } } { \beta _ { y } } } = \sqrt { \frac { \epsilon _ { x } } { \epsilon _ { y } } \frac { k _ { \beta , y } } { k _ { \beta , x } } } = \sqrt { \frac { \epsilon _ { x } } { \epsilon _ { y } } \sqrt { \alpha _ { p , m } } } } \end{array}
< x | e ^ { - \frac { s } { a ^ { 2 } } ( - \Delta ) } | y > = \frac { 1 } { a ^ { D } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \phi _ { r } ( \tau ) | C ( r ) | ^ { 2 } e ^ { - \frac { s } { a ^ { 2 } } ( r ^ { 2 } + \rho _ { D } ^ { 2 } ) } d r ,
\begin{array} { l } { { { \cal X } ^ { 0 } \vert n , z \rangle _ { 0 } = q ^ { n } z \vert n , z \rangle _ { 0 } ~ , } } \\ { { { \cal D } _ { 0 } \vert n , z \rangle _ { 0 } = \displaystyle \frac { q ^ { 1 - n } } { q - 1 } z ^ { - 1 } \vert n - 1 , z \rangle _ { 0 } ~ , } } \\ { { \mu _ { 0 } \vert n , z \rangle _ { 0 } = \vert n - 1 , z \rangle _ { 0 } ~ , } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l } & { a } & & { b } & & { c } & & { - i \ln \left( { \frac { a + i b } { c } } \right) } & & { \theta } & & { \theta _ { a , b \in \mathbb { R } } } \\ { \arcsin ( z ) \ \ } & { { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } } & & { z } & & { 1 } & & { - i \ln \left( { \frac { { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + i z } { 1 } } \right) } & & { = - i \ln \left( { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + i z \right) } & & { \operatorname { I m } \left( \ln \left( { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + i z \right) \right) } \\ { \operatorname { a r c c o s } ( z ) \ \ } & { z } & & { { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } } & & { 1 } & & { - i \ln \left( { \frac { z + i { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } } { 1 } } \right) } & & { = - i \ln \left( z + { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } \right) } & & { \operatorname { I m } \left( \ln \left( z + { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } \right) \right) } \\ { \arctan ( z ) \ \ } & { 1 } & & { z } & & { { \sqrt { 1 + z ^ { 2 } } } } & & { - i \ln \left( { \frac { 1 + i z } { \sqrt { 1 + z ^ { 2 } } } } \right) } & & { = - i \ln \left( { \frac { 1 + i z } { \sqrt { 1 + z ^ { 2 } } } } \right) } & & { \operatorname { I m } \left( \ln \left( 1 + i z \right) \right) } \\ { \operatorname { a r c c o t } ( z ) \ \ } & { z } & & { 1 } & & { { \sqrt { z ^ { 2 } + 1 } } } & & { - i \ln \left( { \frac { z + i } { \sqrt { z ^ { 2 } + 1 } } } \right) } & & { = - i \ln \left( { \frac { z + i } { \sqrt { z ^ { 2 } + 1 } } } \right) } & & { \operatorname { I m } \left( \ln \left( z + i \right) \right) } \\ { \operatorname { a r c s e c } ( z ) \ \ } & { 1 } & & { { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } } & & { z } & & { - i \ln \left( { \frac { 1 + i { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } } { z } } \right) } & & { = - i \ln \left( { \frac { 1 } { z } } + { \sqrt { { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } - 1 } } \right) } & & { \operatorname { I m } \left( \ln \left( { \frac { 1 } { z } } + { \sqrt { { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } - 1 } } \right) \right) } \\ { \operatorname { a r c c s c } ( z ) \ \ } & { { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } } & & { 1 } & & { z } & & { - i \ln \left( { \frac { { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } + i } { z } } \right) } & & { = - i \ln \left( { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } } } + { \frac { i } { z } } \right) } & & { \operatorname { I m } \left( \ln \left( { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } } } + { \frac { i } { z } } \right) \right) } \end{array} }
u ^ { 0 } : \quad \partial _ { z } \partial _ { \bar { z } } \tilde { \varphi } _ { 0 } ( z , \bar { z } ) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \tilde { \varphi } } V ( \tilde { \varphi } ) | _ { \tilde { \varphi } = \tilde { \varphi } _ { 0 } } = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { C } & { \ge \Big [ ( 1 - \alpha \delta ) H ( X ) - \mathbb { E } [ S ] H ( X | Y ) } \\ & { - \Big ( 1 - \alpha \delta - \frac { \mathbb { E } [ S ] } { s _ { \operatorname* { m a x } } } \Big ) \operatorname* { m i n } \{ H ( X ) , \log ( | \mathfrak { X } | - 1 ) \} } \\ & { - ( 1 - \alpha \delta ) H _ { b } \left( \frac { \mathbb { E } [ S ] } { ( 1 - \alpha \delta ) s _ { \operatorname* { m a x } } } \right) \Big ] ^ { + } } \end{array}
\gamma \alpha _ { 0 } = \partial _ { \mu } \left( \varepsilon ^ { \mu \nu \lambda \rho } f _ { \; \; b c } ^ { a } \left( C _ { \rho a } A _ { \nu } ^ { b } A _ { \lambda } ^ { c } + C _ { a } \partial _ { \rho } \left( A _ { \nu } ^ { b } A _ { \lambda } ^ { c } \right) \right) \right) .
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } { \bf y } ( t , a , z ) } & { { } = } & { z { \bf y } ( t , a , z ) + { \bf f } ( t ) , } \\ { { \bf y } ( a + t _ { k } , a , z ) } & { { } = } & { { \bf y } _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( A ) = \sum _ { j \in \mathcal { J } } \alpha _ { j } P _ { j } ^ { e x } ( A ) } & { \geq \sum _ { j \in \mathcal { J } } \alpha _ { j } \underline { { P } } ^ { e x } ( A ) } \\ & { = \underline { { P } } ^ { e x } ( A ) : = \operatorname* { i n f } _ { P \in \mathrm { e x } [ \mathrm { C o n v } ( \mathcal { P } ) ] } P ( A ) , } \end{array}
\operatorname { L o g } _ { \mathbf { P } } \left( \mathbf { P } _ { i } \right) = \mathbf { P } ^ { 1 / 2 } \operatorname { L o g } \left( \mathbf { P } ^ { - 1 / 2 } \mathbf { P } _ { i } \mathbf { P } ^ { - 1 / 2 } \right) \mathbf { P } ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { H ( \overline { { x } } , t ) } & { = [ \psi _ { 2 } ( \Lambda , t ) \; \overline { { x } } + \psi _ { 3 } ( \Lambda , t ) \; \overline { { x } } ^ { 3 } ] \xi _ { \delta } ( \overline { { x } } ) + U ( \overline { { x } } , t ) + ( 1 - \xi _ { \delta } ( \overline { { x } } ) ) } \\ & { = : a ( \overline { { x } } , t , \Lambda ) \xi _ { \delta } ( \overline { { x } } ) + U ( \overline { { x } } , t ) + ( 1 - \xi _ { \delta } ( \overline { { x } } ) ) , } \end{array}
\chi ^ { \prime \prime } \left( \tau \right) + \frac { 2 } { 2 / g - \ln \left| e \chi \left( \tau \right) \right| } \left( \frac { \tilde { m } ^ { 2 } } { g } \chi \left( \tau \right) - \chi ^ { 3 } \left( \tau \right) \ln \left| \chi \left( \tau \right) \right| \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } \left( \frac { | W | } { | V _ { i } | } \right) ^ { q } \frac { | W _ { i } | } { | W | } } & { = \sum _ { i } \sqrt { \frac { | W _ { i } | } { | V _ { i } | } } \sqrt { \frac { | W _ { i } | } { | W | } } } \\ & { = \sum _ { j \geq j _ { 0 } } \sqrt { \frac { | W _ { \star , j } | } { | V _ { \star , j } | } } \sqrt { \frac { | W _ { \star , j } | } { | W | } } + \sum _ { k \geq k _ { 0 } } \sqrt { \frac { | W _ { k , \star } | } { | V _ { k , \star } | } } \sqrt { \frac { | W _ { k , \star } | } { | W | } } + \sum _ { k \geq k _ { 0 } } \sum _ { l = l _ { 0 } } ^ { l _ { 1 } } \sqrt { \frac { | W _ { k , l } | } { | V _ { k , l } | } } \sqrt { \frac { | W _ { k , l } | } { | W | } } } \\ & { \leq \sum _ { j \geq j _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { \Lambda _ { \star , j } } } \sqrt { \frac { | W _ { \star , j } | } { | W | } } + \sum _ { k \geq k _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { \Lambda _ { k , \star } } } \sqrt { \frac { | W _ { k , \star } | } { | W | } } + \sum _ { k \geq k _ { 0 } } \sum _ { l = l _ { 0 } } ^ { l _ { 1 } } \sqrt { \frac { 1 } { \Lambda _ { k , l } } } \sqrt { \frac { | W _ { k , l } | } { | W | } } } \end{array}
\| \mathfrak { I } _ { \theta } ( t ) \| _ { \mathcal { C } ( [ 0 , T ] , \mathcal { C } ^ { \alpha } ( \bar { \Omega } ) ) } \leq C \| \xi \| _ { \mathcal { C } ^ { 1 } ( [ 0 , T ] ) } \| w _ { 1 } \| _ { \mathcal { C } ^ { 1 } ( [ 0 , T ] ) } [ \| w \| _ { \mathcal { C } ( [ 0 , T _ { 3 } ] , \mathcal { C } ^ { \alpha } ( \bar { \Omega } ) ) } + \langle w \rangle _ { t , \Omega _ { T _ { 3 } } } ^ { ( \theta / 2 ) } ] .
\langle n _ { m } , \ldots , n _ { 1 } | n _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , n _ { m } ^ { \prime } \rangle = \, ( - 1 ) ^ { \sum _ { a } n _ { a } ( a - 1 ) } \delta _ { \bar { n } _ { 1 } n _ { 1 } ^ { \prime } } \cdots \delta _ { \bar { n } _ { m } n _ { m } ^ { \prime } } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \boldsymbol { a } } { \partial t } = \mathcal { D } \left[ \mathbf { a } , \mathbf { r } \right] + \underline { { \mathbf { L } } } \left[ \boldsymbol { \nabla } \right] \cdot \boldsymbol { a } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( \xi _ { i } , \xi _ { j } ) } & { = - \{ [ { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) \log ( { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) ) ] + [ ( 1 - { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) ) \log ( 1 - { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) ) ] \} . } \end{array}
f _ { \mathrm { b r u s h } } ( \zeta ) = \frac { H _ { \mathrm { d r y } } k _ { B } T } { \ell _ { K } ^ { 3 } } \left[ \frac { \tilde { \sigma } ^ { 2 } } { 2 } \alpha ^ { 2 } + ( \alpha - 1 ) \, \log \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha } \right) + \chi \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha } \right) \right] ,
\Phi ( x _ { 1 } , \vec { q } _ { \bot } ^ { 2 } ) = \frac { \alpha } { 2 \pi } [ \frac { 1 + ( 1 - x _ { 1 } ) ^ { 2 } } { x _ { 1 } \vec { q } _ { \bot } ^ { 2 } } - \frac { 2 m _ { e } ^ { 2 } x _ { 1 } } { \vec { q } _ { \bot } ^ { 4 } } ] .
\frac { d } { d t } \langle F ( x ) \rangle _ { t } \sim \frac { 1 } { Z _ { t } } \int _ { D _ { t } } d x \, \frac { \partial } { \partial x } e ^ { S ( x ) } F ^ { \prime } ( x ) = \left. \frac { 1 } { Z _ { t } } e ^ { S ( x ) } F ^ { \prime } ( x ) \right| _ { x _ { - } ( t ) } ^ { x _ { + } ( t ) } .
\left[ \frac { } { } \overline { { { D } } } ^ { \lambda , \; a b } , \; \overline { { { F } } } _ { \lambda \mu } ^ { b } \right] ( x ) \; = \; { \cal D } _ { 0 \; \mu \lambda } ^ { - 1 \; \; a b } \; \overline { { { A } } } ^ { \lambda , \, b } ( x ) \; \; + \; \; \overline { { { \Xi } } } _ { \mu } ^ { a } ( x ) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; { \cal D } _ { 0 \; \mu \lambda } ^ { - 1 \; \; a b } \; \equiv \; \delta ^ { a b } \, \left( g _ { \mu \lambda } \partial _ { x } ^ { 2 } - \partial _ { \mu } ^ { x } \partial _ { \lambda } ^ { x } - n _ { \mu } n _ { \lambda } \right) \; ,
P _ { I } ^ { \prime } = \sum _ { j \in \Psi _ { U } \backslash \{ j ^ { * } \} } \; \sum _ { i ^ { \prime } \in \mathcal { C } _ { j } } \; \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \big | h _ { i j k } \big | ^ { 2 } \big | h _ { i j ^ { * } k } | ^ { 2 } r _ { i j } ^ { - \alpha } } { \sum _ { i ^ { \prime } \in \mathcal { C } _ { j } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \big | h _ { i ^ { \prime } j k } \big | ^ { 2 } r _ { i ^ { \prime } j } ^ { - \alpha } } \; r _ { i j ^ { * } } ^ { - \alpha } .
F _ { a s y m } ^ { q } ( \nu , \tilde { w } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \frac { 1 + \frac { 1 } { \nu } \log \left( \frac { 2 ( \tilde { y } ^ { \prime } \tilde { y } _ { c } + 1 ) ( \tilde { w } - \tilde { y } ^ { \prime } \tilde { y } _ { c } - 2 ) } { ( \tilde { y } ^ { \prime } \tilde { y } _ { c } + 2 ) ( \tilde { w } - 2 ) } \right) } { 1 + \frac { 1 } { \nu } \log \left( \frac { 2 \left( 1 - \sqrt { \tilde { w } } \right) ^ { 2 } } { \tilde { w } - 2 } \right) } } ~ d \tilde { y } ^ { \prime } .
\widehat { A } _ { m n } = \big ( A \varphi _ { m } , \varphi _ { n } \big ) = \big ( \widehat { A \varphi } _ { n } , \widehat { \varphi } _ { m } \big ) = ( - \mathrm { i } ) ^ { n - m } \int _ { \mathbb { R } } \mathcal { A } ( k ) \varphi _ { m } ( k ) \varphi _ { n } ( k ) \mathrm { d } k , \qquad 0 \leq m , n \leq N - 1 ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 \, , } \\ { \frac { \partial U _ { i } } { \partial t } + U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { { } = - \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } + \frac { 1 } { R e _ { \delta _ { 0 } ^ { * } } } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } + F _ { i } \, , } \\ { \frac { \partial \theta _ { i } } { \partial t } + U _ { j } \frac { \partial \theta _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { { } = \frac { 1 } { R e _ { \delta _ { 0 } ^ { * } } P r } \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } + F _ { \theta _ { i } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { L } _ { \omega } ( u _ { n } ^ { \mathrm { I n i t } } ) - \mathscr { L } _ { \omega } ( \mathbf 1 ) } & { = \mathscr { L } _ { \omega } ( u _ { n } ( t _ { n } ) ) - \mathscr { L } _ { \omega } ( \mathbf 1 ) = \mathscr { L } _ { \omega } ( u _ { n } ( t _ { n } ) ) - \mathscr { L } _ { \omega } ( z _ { n } ) + \mathscr { L } _ { \omega } ( z _ { n } ) - \mathscr { L } _ { \omega } ( \mathbf 1 ) } \\ & { \ge \mathscr { L } _ { \omega } ( u _ { n } ( t _ { n } ) ) - \mathscr { L } _ { \omega } ( z _ { n } ) + c d ( z _ { n } , { \mathscr O _ { \mathbf 1 } } ) ^ { 2 } \ge \mathscr { L } _ { \omega } ( u _ { n } ( t _ { n } ) ) - \mathscr { L } _ { \omega } ( z _ { n } ) + \frac { c } { 4 } \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \mathcal { A } } \\ { \mathcal { I } } \end{array} \right) \mathbb { S } ^ { n } + \left( \begin{array} { l } { \{ 0 \} } \\ { \mathrm { l i n } ( \mathcal { T } _ { \mathbb { S } _ { + } ^ { n } } ( \bar { X } ) ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \mathbb { R } ^ { m } } \\ { \mathbb { S } ^ { n } } \end{array} \right) .
W _ { T } = - \frac { 1 } { q } \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ { - \frac { Z _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi } } \delta ( z - z ^ { , } ) \int \frac { ( a ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } d z } ] \lambda ( z ^ { , } ) d z ^ { , } = \frac { Z _ { 0 } } { 2 \pi \sigma _ { z } } \ e ^ { - \frac { z ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { z } ^ { 2 } } } \int \frac { a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } d z .
\Bigl ( \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } - \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ^ { - 1 } \Bigr ) \tilde { \omega } = \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } \Bigl ( \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) - \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) \Bigr ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ^ { - 1 } \tilde { \omega } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathcal { S } } \mathbf { A } \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S = \int _ { \mathcal { S } ^ { + } } \mathbf { A } ^ { + } \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S + \int _ { \mathcal { S } ^ { - } } \mathbf { A } ^ { + } \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S + \int _ { \mathcal { S } ^ { \delta } } \mathbf { A } ^ { \delta } \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S ~ , } \\ & { \oint _ { \mathcal { C } } \mathbf { A } \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l = \oint _ { \mathcal { C } ^ { + } } \mathbf { A } ^ { + } \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l + \oint _ { \mathcal { C } ^ { - } } \mathbf { A } ^ { - } \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l + \oint _ { \mathcal { C } ^ { \delta } } \mathbf { A } ^ { \delta } \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int d \omega _ { 1 } } & { \omega _ { 1 } ( 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) \mathcal { L } ( \omega _ { 1 } , 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) = } \\ & { = \pi \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } } { \left( \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } \right) } \left( \omega _ { S } \omega _ { I } \right) \ , } \end{array}
x ^ { ( 1 / 2 ) } ( u , \xi ) = { \frac { x ( u , \xi / 2 ) \, x ( u + \omega _ { 1 } , \xi / 2 ) } { x ( \omega _ { 1 } , \xi / 2 ) } } \, \exp { [ u ( \zeta ( \xi ) - 2 \zeta ( \xi / 2 ) ) ] } ,
\operatorname { K } _ { X X } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \operatorname { E } \left[ ( X _ { t _ { 1 } } - \mu _ { t _ { 1 } } ) { \overline { { ( X _ { t _ { 2 } } - \mu _ { t _ { 2 } } ) } } } \right] = \operatorname { E } \left[ X _ { t _ { 1 } } { \overline { { X } } } _ { t _ { 2 } } \right] - \mu _ { t _ { 1 } } { \overline { { \mu } } } _ { t _ { 2 } }
K = { \frac { ( d - 2 + \sum _ { i } { \frac { 1 } { a _ { i } ^ { 2 } } } ) } { ( \sum _ { i } { \frac { z _ { i } ^ { 2 } } { a _ { i } ^ { 4 } } } ) ^ { 1 / 2 } } } - { \frac { ( \sum _ { i } { \frac { z _ { i } ^ { 2 } } { a _ { i } ^ { 6 } } } ) } { ( \sum _ { i } { \frac { z _ { i } ^ { 2 } } { a _ { i } ^ { 4 } } } ) ^ { 3 / 2 } } } ~ ~ .
G _ { N } ^ { ( m ) } ( q ) = \int _ { U ( m | m ) } { \mathrm { d } } W \; { \mathrm { B e r } } ( W ) ^ { N } \exp \left[ - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k } \frac { f \left( q ^ { k } \right) } { \left( 1 - f \left( q ^ { k } \right) \right) } { \mathrm { S t r } } \left( W ^ { k } \right) { \mathrm { S t r } } \left( W ^ { - k } \right) \right] ,
L _ { x } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { L _ { z } } \left\langle \hat { u } _ { i } ^ { \prime } ( k _ { x } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ) \bar { \hat { u } } _ { j } ^ { \prime } ( k _ { x } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ) \right\rangle \varphi _ { j k _ { x } } ^ { ( n ) } \left( y ^ { \prime } , z ^ { \prime } \right) d y ^ { \prime } d z ^ { \prime } = \lambda _ { k _ { x } } ^ { ( n ) } \varphi _ { i k _ { x } } ^ { ( n ) } ( y , z ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left( \left( h _ { i j } ( t ) \right) _ { 1 \le i , j \le n - 1 } \right) = } & { \operatorname* { d e t } ( P _ { j } ( U _ { i , t } ) _ { 1 \le i , j \le n - 1 } ) \times \frac { 1 } { \Pi _ { l = 1 } ^ { 2 n } ( W _ { t \wedge \tau _ { U } } - y _ { l , t } ) ^ { 1 / 2 } } \times Q ( \mathbf { y } _ { t } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Theta ( \mathbf { C } _ { \mu _ { 1 } } , \mathbf { C } _ { \mu _ { 2 } } ) ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l l } { N L , } & { \tau = 0 , \mu _ { 1 } = \mu _ { 2 } , } \\ { 0 , } & { 0 < | \tau | < Z , \mu _ { 1 } = \mu _ { 2 } , } \\ { 0 , } & { | \tau | < Z , \mu _ { 1 } \neq \mu _ { 2 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta U _ { \pm } } & { { } = } & { - \frac { m ( 1 - \omega _ { g } ^ { 2 } / \omega _ { e } ^ { 2 } ) } { 4 ( 1 + ( \gamma / ( 2 \omega _ { e } ) ) ^ { 2 } ) } [ \omega _ { e } ^ { 2 } ( x _ { m } ^ { 2 } - 2 x _ { 0 } ^ { 2 } ) } \end{array}