harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { x \in \mathbb X } } & { \bigg ( \kappa _ { I } \mu ( x ) \frac { \pi ( n - e _ { x } ) } { \pi ( n ) } + \kappa _ { E } ( n _ { x } + 1 ) \frac { \pi ( n + e _ { x } ) } { \pi ( n ) } } \\ & { + \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } { \nu _ { j } } ( n _ { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } + 1 ) \frac { \pi ( n - e _ { x } + e _ { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } ) } { \pi ( n ) } \bigg ) } \\ & { = \sum _ { x \in \mathbb X } \bigg ( \kappa _ { I } \mu ( x ) + n _ { x } \kappa _ { E } + n _ { x } \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x } { \nu _ { j } } \bigg ) } \\ { \sum _ { x \in \mathbb X } } & { \bigg ( \kappa _ { I } \mu ( x ) \pi ( n - e _ { x } ) + \kappa _ { E } ( n _ { x } + 1 ) \pi ( n + e _ { x } ) } \\ & { + \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } { \nu _ { j } } ( n _ { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } + 1 ) \pi ( n - e _ { x } + e _ { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } ) \bigg ) } \\ & { = \pi ( n ) \sum _ { x \in \mathbb X } \bigg ( \kappa _ { I } \mu ( x ) + n _ { x } \kappa _ { E } + n _ { x } \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x } { \nu _ { j } } \bigg ) , } \end{array}
\frac { \alpha { B } ( 0 . 7 R _ { \odot } , \theta , t - \tau _ { \mathrm { B } } ) } { 1 + \left( { { B } ( 0 . 7 R _ { \odot } , \theta , t - \tau _ { \mathrm { B } } ) } / { B _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { p } ^ { n + \theta } } & { { } = \mathbf { E } ^ { n + \theta } ( \mathbf { x } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } ) = \sum _ { g } \mathbf { E } _ { g } ^ { n + \theta } W ( \mathbf { x } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } - \mathbf { x } _ { g } ) } \\ { \mathbf { B } _ { p } ^ { n } } & { { } = \mathbf { B } ^ { n + \theta } ( \mathbf { x } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } ) = \sum _ { g } \mathbf { B } _ { g } ^ { n } W ( \mathbf { x } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } - \mathbf { x } _ { g } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { m n } } & { { } = \frac { 1 } { m ! n ! } \int I ( x , y ) \left( \frac { x } { 2 \sigma } \right) ^ { 2 m } \left( \frac { y } { 2 \sigma } \right) ^ { 2 n } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \ d x d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f ( r _ { 0 } \omega ) | ^ { 2 } } & { \lesssim \sum _ { | I | \leq 2 } \int _ { S _ { r _ { 0 } } } | \Omega _ { i j } ^ { I } f | ^ { 2 } d \omega \lesssim \sum _ { | I | \leq 2 } \int _ { r _ { 0 } } ^ { \infty } \partial _ { r } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } | \Omega _ { i j } ^ { I } f ( r \omega ) | ^ { 2 } d \omega \right) d r } \\ & { \lesssim \sum _ { | I | \leq 2 } \int _ { r _ { 0 } } ^ { \infty } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \Omega _ { i j } ^ { I } f \cdot \partial _ { r } \Omega _ { i j } ^ { I } f d \omega d r \lesssim \sum _ { | I | \leq 2 } \int _ { | x | \geq r _ { 0 } } ( | \Omega _ { i j } ^ { I } f | ^ { 2 } + | \partial _ { r } \Omega _ { i j } ^ { I } f | ^ { 2 } ) r ^ { - 2 } r ^ { 2 } d \omega d r } \\ & { \lesssim ( r _ { 0 } ) ^ { - 2 } \sum _ { | I | \leq 2 } \int _ { | x | \geq r _ { 0 } } | \Omega _ { i j } ^ { I } f | ^ { 2 } + | \partial _ { r } \Omega _ { i j } ^ { I } f | ^ { 2 } d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) } & { = \Phi ^ { \mathrm { p h y s } } ( \xi ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) , \eta ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) , t ) = \varphi ^ { \mathrm { s } , \mathrm { p h y s } } ( \xi ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) , t ) , } \\ { \varphi ^ { \mathrm { b } } ( \alpha , t ) } & { = \Phi ^ { \mathrm { p h y s } } ( \xi ^ { \mathrm { b } } ( \alpha , t ) , \eta ^ { \mathrm { b } } ( \alpha , t ) , t ) , } \\ { \psi ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) } & { = \Psi ^ { \mathrm { p h y s } } ( \xi ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) , \eta ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) , t ) = \psi ^ { \mathrm { s } , \mathrm { p h y s } } ( \xi ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) , t ) , } \\ { \psi ^ { \mathrm { b } } ( \alpha , t ) } & { = \Psi ^ { \mathrm { p h y s } } ( \xi ^ { \mathrm { b } } ( \alpha , t ) , \eta ^ { \mathrm { b } } ( \alpha , t ) , t ) , } \end{array}
{ \frac { 1 } { { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { { \hat { c } } - { \hat { a } } } { { \hat { c } } - Y _ { i } } } } } = { \frac { { \hat { \beta } } - 1 } { { \hat { \alpha } } + { \hat { \beta } } - 1 } } = { \hat { H } } _ { 1 - X }
\begin{array} { r l r } { \langle \Phi _ { \vartheta } ( \mu ) | e ^ { - T ( \mu ) } H e ^ { T ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle c _ { \mu } ^ { \alpha } } & { + } & { \sum _ { \nu \; ( \neq \mu ) } \left[ \langle \Phi _ { \vartheta } ( \mu ) | e ^ { - T ( \mu ) } e ^ { T ( \nu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle H _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { e f f } } c _ { \nu } ^ { \alpha } \right. - } \\ & { - } & { \left. \langle \Phi _ { \vartheta } ( \mu ) | e ^ { - T ( \mu ) } e ^ { T ( \nu ) } | \Phi _ { \nu } \rangle H _ { \nu \mu } ^ { \mathrm { e f f } } c _ { \mu } ^ { \alpha } \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \theta ^ { ( j ) } ( z ) = \sqrt { - 1 } \omega ^ { j / 2 } t ^ { n ( 1 / 2 - j / n ) ^ { 2 } } u ^ { - 1 + 2 j / n } ( t ^ { 2 n } ; t ^ { 2 n } ) _ { \infty } ( t ^ { 2 j } u ^ { 2 } ; t ^ { 2 n } ) _ { \infty } ( t ^ { 2 ( n - j ) } u ^ { - 2 } ; t ^ { 2 n } ) _ { \infty } , } } \\ { { h ( z ) = \sqrt { - 1 } t ^ { n / 4 } \displaystyle \frac { ( t ^ { 2 n } ; t ^ { 2 n } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( t ^ { 2 } ; t ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } u ^ { - 1 } ( u ^ { 2 } ; t ^ { 2 } ) _ { \infty } ( t ^ { 2 } u ^ { - 2 } ; t ^ { 2 } ) _ { \infty } , } } \end{array}
\langle S _ { f _ { r } } \rangle _ { + } \equiv \frac { S _ { + } ^ { f _ { r } } + S _ { - } ^ { f _ { r } } } { 2 } = \eta _ { f _ { r } } \left[ \frac { 2 \, x _ { f _ { r } } \cos \delta _ { f _ { r } } \sin \gamma \left\{ \cos \phi _ { q } - x _ { f _ { r } } ^ { 2 } \cos ( \phi _ { q } + 2 \gamma ) \right\} } { ( 1 + x _ { f _ { r } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( 2 \, x _ { f _ { r } } \cos \delta _ { f _ { r } } \cos \gamma ) ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \tau _ { i } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 ( \tau _ { i } + c _ { i m } ) ^ { 2 } } } & { = \frac { c _ { i m } ^ { 2 } + \tau _ { i } c _ { i m } + \tau _ { i } c _ { i m } } { 2 \tau _ { i } ^ { 2 } ( \tau _ { i } + c _ { i m } ) ^ { 2 } } = \frac { c _ { i m } ( \tau _ { i } + c _ { i m } ) + \tau _ { i } c _ { i m } } { 2 \tau _ { i } ^ { 2 } ( \tau _ { i } + c _ { i m } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { c _ { i m } } { 2 \tau _ { i } ^ { 2 } ( \tau _ { i } + c _ { i m } ) } + \frac { c _ { i m } } { 2 \tau _ { i } ( \tau _ { i } + c _ { i m } ) ^ { 2 } } \le \frac { \sqrt { c _ { i m } } } { 4 \tau _ { i } ^ { 5 / 2 } } + \frac { \sqrt { c _ { i m } } } { 4 \tau _ { i } ^ { 5 / 2 } } = \frac { \sqrt { c _ { i m } } } { 2 \tau _ { i } ^ { 5 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \iint _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } H ( f ^ { k + 1 } , v ) \, d x d v + \int _ { 0 } ^ { t } \iint _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } H ( f ^ { k + 1 } , v ) \, d x d v d s - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb T ^ { d } } \frac 1 2 \rho _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } | u _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } + \frac 3 2 ( \rho _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } ) ^ { \gamma } \, d x d s } \\ & { = \iint _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } H ( f _ { \varepsilon , 0 } , v ) \, d x d v , } \end{array}
I _ { g } = \frac { 1 } { 2 \pi \kappa } \int d ^ { 2 } x \epsilon ^ { \mu \nu } \Bigl ( \eta _ { a } ( \partial _ { \mu } e _ { \nu } ^ { a } + \omega _ { \mu } \epsilon _ { ~ b } ^ { a } e _ { \nu } ^ { b } ) + \eta _ { 2 } \partial _ { \mu } \omega _ { \nu } + \eta _ { 3 } ( \partial _ { \mu } a _ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { a b } e _ { \mu } ^ { a } e _ { \nu } ^ { b } ) \Bigr ) \, .
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) } & { = } & { C _ { S C } \frac { R } { 2 \sqrt { 2 } \gamma \sigma _ { z } \epsilon _ { x } } { \Big \langle } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \exp [ - \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } ] I _ { 0 } \left( \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } \right) \exp [ - \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ] \left[ I _ { 0 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) - I _ { 1 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) \right] } \\ & { } & { \times \exp [ - \frac { a _ { y } ^ { 2 } u } { 4 } ] \left[ \frac { 1 } { [ ( \sigma _ { y } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } - 1 ) u + 1 ] } \right] ^ { 1 / 2 } I _ { 0 } \left( \frac { a _ { y } ^ { 2 } } { 4 } \frac { u } { ( 1 - \sigma _ { x } ^ { 2 } / \sigma _ { y } ^ { 2 } ) u + \sigma _ { x } ^ { 2 } / \sigma _ { y } ^ { 2 } } \right) { \Big \rangle _ { s } } } \\ & { } & \end{array}
\mathbb { E } _ { \{ X _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { n } } \left( \left| G ( \theta ) \right| ^ { 2 } \right) \leq \frac { Z _ { \theta } ^ { 6 } } { Z ^ { 6 } } \left( | \nabla _ { \theta } L ( \theta ) | ^ { 2 } + \frac { C ^ { \prime } } { n } \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 4 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } k r _ { g } \bigg \{ \Big \{ \Big ( { \cal T } _ { 1 1 1 1 } ^ { \prime } + { \cal T } _ { 2 2 2 2 } ^ { \prime } - 6 { \cal T } _ { 1 1 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \cos 4 \phi _ { \xi } + 4 \Big ( { \cal T } _ { 1 1 1 2 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 1 2 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \sin 4 \phi _ { \xi } \Big \} \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) _ { - } , g _ { \varepsilon } ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } } & { = \int _ { D } \int _ { \operatorname* { m i n } f } ^ { 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d - 1 } } f g _ { \varepsilon } ( f ) J ^ { - 1 } \pi ( \xi _ { 1 } ( f ) ) \cdots \pi ( \xi _ { d } ) d \xi _ { 2 } \cdots d \xi _ { d } d f d x } \\ & { \ge \int _ { D } \int _ { - \infty } ^ { 0 } f g _ { \varepsilon } ( f ) \frac { 1 } { c } P d f d x } \\ & { \ge - | D | P \frac { 1 } { c } \varepsilon ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 1 } } & { { } = \mathrm { ~ L ~ N ~ } ( w ) | F ( \bar { x } _ { k } ) } \\ { w _ { 2 } } & { { } = \mathrm { ~ M ~ H ~ A ~ } ( w _ { 1 } , w _ { 1 } , w _ { 1 } ) } \\ { w _ { 3 } } & { { } = w + \mathrm { ~ L ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ } ( w _ { 2 } ) } \\ { w _ { 4 } } & { { } = \mathrm { ~ L ~ N ~ } ( w _ { 3 } ) } \\ { w _ { 5 } } & { { } = \mathrm { ~ M ~ L ~ P ~ } ( w _ { 4 } ) } \\ { w _ { 6 } } & { { } = w _ { 3 } + w _ { 5 } } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \check { \mathbf { C } } _ { i + m , 1 } } \\ { \check { \mathbf { C } } _ { i + m , 2 } } \\ { \check { \mathbf { C } } _ { i + m , 3 } } \\ { \check { \mathbf { C } } _ { i + m , 4 } } \\ { \check { \mathbf { C } } _ { i + m , 5 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c c } { \frac { K q ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } } + \frac { q _ { n } } { 2 c } } & { - \left( \frac { K } { 2 c ^ { 2 } } u + \frac { n _ { x } } { 2 c } \right) } & { - \left( \frac { K } { 2 c ^ { 2 } } v + \frac { n _ { y } } { 2 c } \right) } & { - \left( \frac { K } { 2 c ^ { 2 } } w + \frac { n _ { z } } { 2 c } \right) } & { \frac { K } { 2 c ^ { 2 } } } \\ { 1 - \frac { K q ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } } & { \frac { K u } { c ^ { 2 } } } & { \frac { K v } { c ^ { 2 } } } & { \frac { K w } { c ^ { 2 } } } & { - \frac { K } { c ^ { 2 } } } \\ { - q _ { l } } & { l _ { x } } & { l _ { y } } & { l _ { z } } & { 0 } \\ { - q _ { m } } & { m _ { x } } & { m _ { y } } & { m _ { z } } & { 0 } \\ { \frac { K q ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } } - \frac { q _ { n } } { 2 c } } & { - \left( \frac { K } { 2 c ^ { 2 } } u - \frac { n _ { x } } { 2 c } \right) } & { - \left( \frac { K } { 2 c ^ { 2 } } v - \frac { n _ { y } } { 2 c } \right) } & { - \left( \frac { K } { 2 c ^ { 2 } } w - \frac { n _ { z } } { 2 c } \right) } & { \frac { K } { 2 c ^ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \check { \mathbf { U } } _ { i + m , 1 } } \\ { \check { \mathbf { U } } _ { i + m , 2 } } \\ { \check { \mathbf { U } } _ { i + m , 3 } } \\ { \check { \mathbf { U } } _ { i + m , 4 } } \\ { \check { \mathbf { U } } _ { i + m , 5 } } \end{array} \right)
K [ H _ { n } , 1 ] = \left( \frac { m \omega \sqrt { \xi \xi _ { 0 } } } { i \hbar \sin \omega t } \right) \left( \frac { m \omega \sqrt { \eta \eta _ { 0 } } } { i \hbar \sin \omega t } \right) J _ { n } \left( \frac { m \omega \sqrt { \xi \xi _ { 0 } } } { i \hbar \sin \omega t } \right) J _ { n } \left( \frac { m \omega \sqrt { \eta \eta _ { 0 } } } { i \hbar \sin \omega t } \right) \nonumber
\partial _ { 2 n + 1 } , n \geq 0 , \, \; \mathrm { \boldmath ~ \ v a r s i g m a ~ } = \sum _ { n \geq 0 } ( n + \frac { 1 } { 2 } ) t _ { 2 n + 1 } \partial _ { 2 n + 1 }
\begin{array} { r l } { b _ { k + 1 } ^ { + } = } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \bar { \theta } ^ { ( k + 1 ) / 2 } } { ( k + 1 ) ! } \left[ \frac { \xi } { \sqrt { \bar { \theta } } } H _ { k } \left( \frac { \xi } { \sqrt { \bar { \theta } } } \right) - k H _ { k - 1 } \left( \frac { \xi } { \sqrt { \bar { \theta } } } \right) \right] \mathcal { E } _ { t r , m } ( \xi ) d \xi } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \bar { \theta } ^ { k / 2 } } { ( k + 1 ) ! } \xi H _ { k } \left( \frac { \xi } { \sqrt { \bar { \theta } } } \right) \mathcal { E } _ { t r , m } ( \xi ) d \xi - \frac { \bar { \theta } } { k + 1 } b _ { k - 1 } ^ { + } } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \bar { \theta } ^ { k / 2 } } { ( k + 1 ) ! } ( \xi - u _ { m } ) H _ { k } \left( \frac { \xi } { \sqrt { \bar { \theta } } } \right) \mathcal { E } _ { t r , m } ( \xi ) d \xi + \frac { u _ { m } } { k + 1 } b _ { k } ^ { + } - \frac { \bar { \theta } } { k + 1 } b _ { k - 1 } ^ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } } & { = G - k _ { 2 } ( n p - n _ { i } ^ { 2 } ) - C _ { n T } + E _ { n T } } \\ { \frac { \partial p } { \partial t } } & { = G - k _ { 2 } ( n p - n _ { i } ^ { 2 } ) - C _ { p T } + E _ { p T } } \\ { \frac { \partial n _ { T } } { \partial t } } & { = C _ { n T } - E _ { n T } - C _ { p T } + E _ { p T } } \end{array}
\begin{array} { r } { \ell _ { \operatorname { Q C } } \! = \int \! \bigg ( \rho _ { c } \Big ( \dot { S } + ( \nabla S - \mathcal { A } ) \cdot \mathcal { X } + \langle \phi , \widehat H _ { e } \phi \rangle + \frac { 1 } { 2 } \| p \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Big ) + \mathcal { O } ( \sqrt { \mu } ) \bigg ) { \mathrm { d } } r { \mathrm { d } } p , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { R } ( \tau ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \mathcal { M } _ { \bf u } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau ^ { \prime } } - \mathcal { M } _ { \bf d } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } ( \tau _ { c } - \tau ^ { \prime } ) } } \end{array}
l ( t _ { c } ) \simeq w + { \frac { \sigma ^ { 2 } } { k _ { n } } } \left\{ \left( { \frac { t _ { w } } { \kappa M _ { p } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } - \left( { \frac { t _ { c } } { \kappa M _ { p } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right\} ,
\begin{array} { r l } { v _ { p q r s } \approx } & { \sum _ { Q } ^ { N _ { a u x } } [ K _ { p q } ^ { Q } ] ^ { L } [ K _ { r s } ^ { Q } ] ^ { L } + \langle R _ { p q } ^ { L } R _ { r s } ^ { S } \rangle _ { N _ { s } } + \langle R _ { p q } ^ { S } R _ { r s } ^ { L } \rangle _ { N _ { s } } } \\ & { + \langle R _ { p q } ^ { S } R _ { r s } ^ { S } \rangle _ { N _ { s } } ~ . } \end{array}
\mathrm { D } _ { \mathrm { { L } } } \oplus \delta _ { \mathrm { { R } } } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathrm { D } _ { \mathrm { { L } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \delta _ { \mathrm { { R } } } } \end{array} \right] } = i { \left[ \begin{array} { l l } { I } & { 0 } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right] } \partial _ { t } + i { \left[ \begin{array} { l l } { - \sigma ^ { k } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sigma ^ { k } } \end{array} \right] } \nabla _ { k } + m { \left[ \begin{array} { l l } { \eta \omega K } & { 0 } \\ { 0 } & { - \eta \omega K } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } \left( \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } { \omega } \right) ^ { 2 } f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) } & { = \int _ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \left( \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } - \omega + \omega } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } \right) \left( \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } { \omega } \right) f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) } \\ & { = \int _ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } \, f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) } \\ & { = n _ { i } \, [ \xi ( \omega , \boldsymbol { k } ) - 1 ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textstyle \mathfrak { N } _ { \theta } ( x ) } & { = \textstyle \theta _ { \mathfrak { d } } + \theta _ { ( d _ { \mathrm { i n } } + 1 ) ( d + 1 ) + 1 } \bigl ( \theta _ { d _ { \mathrm { i n } } ( d + 1 ) + 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { \mathrm { i n } } } \theta _ { i } x _ { i } \bigr ) } \\ & { \quad \textstyle + \sum _ { j = 1 } ^ { d } \theta _ { ( d _ { \mathrm { i n } } + 1 ) ( d + 1 ) + j + 1 } \operatorname* { m a x } \{ \theta _ { d _ { \mathrm { i n } } ( d + 1 ) + j + 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { \mathrm { i n } } } \theta _ { j d _ { \mathrm { i n } } + i } x _ { i } , 0 \} , } \end{array}
\overline { { u _ { j } ^ { \prime } \omega ^ { \prime } } } - \overline { { u _ { j } ^ { \prime } } } ~ \overline { { \omega ^ { \prime } } } \approx \sigma _ { j } ^ { K E B } = \overline { { \overline { { u _ { j } ^ { \prime } } } ~ \overline { { \omega ^ { \prime } } } } } - \overline { { \overline { { u _ { j } ^ { \prime } } } } } ~ \overline { { \overline { { \omega ^ { \prime } } } } } ,
\begin{array} { r l } { \dot { a } = } & { { } - i \Delta _ { a } a - \gamma _ { a } a - i g _ { N } c + \sqrt { 2 \gamma _ { a } } a _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \dot { c } = } & { { } - i \Delta _ { c } c - \kappa _ { c } c + i g _ { c } c q - i g _ { N } a + E + \sqrt { 2 \kappa _ { c } } c _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \dot { m } = } & { { } - i \Delta _ { m } m - \kappa _ { m } m - i g _ { m } m q + \Omega _ { d } + \sqrt { 2 \kappa _ { m } } m _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \dot { q } = } & { { } \ \omega _ { b } p , \, \, \, \, \, \dot { p } = - \omega _ { b } q - \gamma _ { b } p + g _ { c } c ^ { \dagger } c - g _ { m } m ^ { \dagger } m + \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } & { { } = - i ( \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } - \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ L ~ } } ) \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } - i g _ { 0 } \cos \varphi \sin \varphi \cdot \sqrt { ( \tilde { n } _ { \mathrm { ~ L ~ } } - \tilde { n } _ { a } ) } \cdot b , } \\ { \frac { d } { d t } b } & { { } = - i \Omega _ { \mathrm { ~ v ~ } } b - i g _ { 0 } \cos \varphi \sin \varphi \sqrt { ( \tilde { n } _ { \mathrm { ~ L ~ } } - \tilde { n } _ { a } ) } \cdot \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } . } \end{array}
d _ { t } \mathbf { x } = \left[ \begin{array} { l } { d _ { t } E _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { t } E _ { K } } \\ { d _ { t } I _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { t } I _ { K } } \end{array} \right] = f ( \mathbf { x } ) - w ( \mathbf { x } ) = \left[ \begin{array} { l } { \Lambda _ { 1 } S _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \Lambda _ { K } S _ { K } \ } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { \Psi E _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \Psi E _ { K } } \\ { \Gamma I _ { 1 } - \Psi E _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \Gamma I _ { K } - \Psi E _ { K } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \{ F , G \} } & { = \left\langle q , \frac { \delta F } { \delta u } \cdot \frac { \delta G } { \delta u } ^ { \perp } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot \frac { \delta F } { \delta u } , \frac { \delta G } { \delta D } \right\rangle + \left\langle \nabla \cdot \frac { \delta G } { \delta u } , \frac { \delta F } { \delta D } \right\rangle } \\ & { \qquad + \left\langle \nabla \frac { \delta F } { \delta Z ^ { \prime } } , q \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle - \left\langle \nabla \frac { \delta G } { \delta Z ^ { \prime } } , q \frac { \delta F } { \delta u } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ ( \mu _ { j , S _ { 0 1 } } , \cdots , \mu _ { j , S _ { 1 6 } } ) \} _ { j } = \{ ( f _ { S _ { 0 1 } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { j , S _ { 0 1 } } ) , \cdots , f _ { S _ { 1 6 } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { j , S _ { 1 6 } } ) ) \} _ { j } \cup \{ ( f _ { S _ { 0 1 } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { j , S _ { 0 1 } } ) , \cdots , f _ { S _ { 1 6 } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { j , S _ { 1 6 } } ) ) \} _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { f } & { ( \mathbf x _ { b } , t + h ) } \\ & { = } & { e ^ { - \nu h } \left[ f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) - \tau D _ { t } f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) \right] } \\ & { + } & { ( \gamma ^ { r } - e ^ { - \nu h } ) f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) } \\ & { - } & { h \mathbf v \cdot \left( e ^ { - \nu h } \nabla f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) + ( \gamma ^ { r } - e ^ { - \nu h } ) \nabla f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) \right) } \\ & { + } & { ( 1 - \gamma ^ { r } ) \left[ f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) + h \partial _ { t } f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) \right] + O ( h ^ { 2 } ) + O ( \partial ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) - \tau D _ { t } f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) } \\ & { } & { + h \partial _ { t } f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) + O ( h ^ { 2 } ) + O ( \partial ^ { 2 } ) } \end{array}
\langle I _ { \alpha } \rangle = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \beta } V _ { \beta } \int d E \left( - \frac { \partial f } { \partial E } \right) \bigg [ N _ { \alpha } \delta _ { \alpha \beta } - T r ( s _ { \alpha \beta } ^ { \dagger } s _ { \alpha \beta } ) \bigg ] .
\begin{array} { r } { \big | \eta _ { i } \tilde { \Omega } _ { j k } + \eta _ { i } \tilde { \Omega } _ { s k } + \eta _ { k } \tilde { \Omega } _ { j i } + \eta _ { k } \tilde { \Omega } _ { s i } \big | \lesssim \theta _ { i } \beta _ { j } \theta _ { j } \beta _ { k } \theta _ { k } + \theta _ { i } \beta _ { s } \theta _ { s } \beta _ { k } \theta _ { k } + \theta _ { k } \beta _ { j } \theta _ { j } \beta _ { i } \theta _ { i } + \theta _ { k } \beta _ { s } \theta _ { s } \beta _ { i } \theta _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mu } _ { k } } & { = ( 1 - \lambda ) \hat { \mu } _ { k - 1 } + \lambda \frac { n _ { k } } { \Delta t _ { k } } } \\ { \hat { \sigma } _ { k } ^ { 2 } } & { = ( 1 - \lambda ) \hat { \sigma } _ { k - 1 } ^ { 2 } + \lambda \left( \frac { n _ { k } } { \Delta t _ { k } } - \hat { \mu } _ { k - 1 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \rho _ { t } } & { = - \rho _ { t } ^ { 2 } \left( ( - \rho _ { t } + 2 h ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) - \frac { \rho _ { t } } { v _ { t } } \partial _ { u } \alpha _ { t } d t + 2 \rho _ { t } ^ { 3 } d t } \\ & { = - \rho _ { t } ^ { 2 } \left( ( - 3 \rho _ { t } + 2 h ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) - \frac { \rho _ { t } } { v _ { t } } \partial _ { u } \alpha _ { t } d t } \\ & { = - \frac { \rho _ { t } } { v _ { t } } \partial _ { u } \left( \frac { - \partial _ { u } \rho _ { t } } { v _ { t } \rho _ { t } } \right) d t - \rho _ { t } ^ { 2 } \left( ( - 3 \rho _ { t } + 2 h ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) . } \end{array}