harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial \Tilde { u } _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \Tilde { u } _ { i } \overline { { u } } _ { j } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \overline { { u } } _ { i } \Tilde { u } _ { j } = - \frac { \partial \Tilde { p } } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } \Tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } x _ { j } } , ~ ~ \frac { \partial \Tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { i } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } ( 1 + \beta ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \big \| \nu _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i - 1 } \big \| ^ { 2 } + 2 L ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| d _ { i - 1 } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 4 K \sigma ^ { 2 } } { b _ { 1 } } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \alpha _ { i } ^ { 2 } + 8 K \zeta ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \alpha _ { i } ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \frac { 3 2 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } a _ { i } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) { ( I - 1 ) } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Big [ } \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { = { \Big [ } { \mathbf E } \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } + \left( { \mathbf V } _ { i \perp , P } \times { \mathbf B } _ { P } \right) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } = \left( { \mathbf V } _ { i \perp , P } \times { \mathbf B } _ { P } \right) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } } \\ { { \Big [ } \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { = { \Big [ } { \mathbf E } \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } + \left( { \mathbf V } _ { i \perp , P } \times { \mathbf B } _ { P } \right) \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta \delta \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 1 + \beta \delta ) ^ { 3 j / 4 } } = \beta \delta \frac { 1 } { 1 - ( 1 + \beta \delta ) ^ { - 3 / 4 } } } & { \leq \beta \delta \frac { 1 } { 1 - ( 1 + \beta \delta ) ^ { - 1 / 2 } } = \beta \delta \frac { ( 1 + \beta \delta ) ^ { 1 / 2 } } { ( 1 + \beta \delta ) ^ { 1 / 2 } - 1 } } \\ & { = \beta \delta \frac { ( 1 + \beta \delta ) ^ { 1 / 2 } [ ( 1 + \beta \delta ) ^ { 1 / 2 } + 1 ] } { \beta \delta } \leq 2 ( 1 + \beta \delta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { * } ( x ^ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] \leq } & { L _ { y } ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \right\| ^ { 2 } \right] } \\ { \leq } & { L _ { y } ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \alpha _ { k } \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] + \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { y } ^ { 2 } \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( \textbf { t } ) } & { \leq \sum _ { g = 1 } ^ { G } \frac { 1 } { z ^ { ( 1 ) } + \dots + z ^ { ( d ) } } L ^ { ( O _ { g } ) } ( z ^ { ( i _ { g , 1 } ) } , \dots , z ^ { ( i _ { g , d _ { g } } ) } ) } \\ & { = \sum _ { g = 1 } ^ { G } \frac { z ^ { ( i _ { g , 1 } ) } + \dots + z ^ { ( i _ { g , d _ { g } } } ) } { z ^ { ( 1 ) } + \dots + z ^ { ( d ) } } A ^ { ( O _ { g } ) } ( t ^ { ( i _ { g , 1 } ) } , \dots , t ^ { ( i _ { g , d _ { g } } ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta V _ { x } } & { { } = - 2 \big ( \mathrm { \textbf { C } } _ { d d } ^ { - 1 } \big ) _ { i j } \frac { \alpha _ { i y } - \alpha _ { j y } } { \alpha _ { i x } \alpha _ { j y } - \alpha _ { i y } \alpha _ { j x } } } \\ { \Delta V _ { y } } & { { } = a _ { i j } ( x _ { 2 3 } - x _ { 1 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { V } \boldsymbol { r } \times ( \rho _ { 0 } \nabla \Phi ) \, \mathrm { d } V } & { = - \int _ { V } \Phi \, ( \boldsymbol { r } \times \nabla \rho _ { 0 } ) \, \mathrm { d } V - \int _ { V } \nabla \times \left( \rho _ { 0 } \Phi \, \boldsymbol { r } \right) \, \mathrm { d } V , } \\ & { = - \int _ { V } \Phi \, ( \boldsymbol { r } \times \nabla \rho _ { 0 } ) \, \mathrm { d } V + \int _ { S } \rho _ { 0 } \Phi \, ( \boldsymbol { r } \times \boldsymbol { 1 } _ { n } ) \, \mathrm { d } S . } \end{array}
\mathrm { ~ e ~ r ~ r ~ } _ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ r ~ o ~ x ~ } } ( s ) = \mathcal { O } \left( \frac { n ^ { 2 } } { \sqrt [ n ] { s } } \exp \left( \frac { - s ^ { 2 } } { n ^ { 2 } / ( \sqrt [ n ] { s } ) ^ { 2 } } \right) \right)
\hat { \boldsymbol f } ( \boldsymbol k ) = \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \int _ { \boldsymbol \theta \in \Gamma } \boldsymbol F ( \boldsymbol \theta ) \exp ( - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol X ( \boldsymbol \theta ) ) d \boldsymbol \theta \approx \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { b } } \omega _ { j } \boldsymbol F ( \boldsymbol \theta _ { j } ) \exp ( - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol X ( \boldsymbol \theta _ { j } ) ) , \quad \boldsymbol k \in \mathcal { K } _ { N } ,
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \displaystyle \frac 1 2 \| z ( \cdot , T ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { T } a ( z , z ) \; d t } \\ { = } & { \displaystyle \frac 1 2 \| z ( \cdot , T ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \int _ { Q } \beta ( x ) \left| \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } z ( x , t ) \right| ^ { 2 } \; d x d t + \int _ { Q } q ( x ) | z ( x , t ) | ^ { 2 } \, d x d t } \\ { \geq } & { q _ { 0 } \| z \| _ { L ^ { 2 } ( Q ) } . } \end{array}
\langle f , K _ { x } \rangle _ { H } = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } a _ { i } \left\langle K _ { x _ { i } } , K _ { x } \right\rangle _ { H _ { 0 } } = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } a _ { i } K ( x _ { i } , x ) = f ( x ) .
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \alpha \beta } } & { { } = \frac { g _ { \alpha } ^ { 2 } L } { v _ { g } } \delta _ { \alpha \beta } + \Gamma _ { \alpha \beta } \cos ( \phi _ { \alpha \beta } ) ( 1 - \delta _ { \alpha \beta } ) , } \\ { \Omega _ { \alpha \beta } } & { { } = \sin ( \phi _ { \alpha \beta } ) \Gamma _ { \alpha \beta } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { m _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { m _ { 2 } } \end{array} \right] } { \left\{ \begin{array} { l } { { \ddot { x _ { 1 } } } } \\ { { \ddot { x _ { 2 } } } } \end{array} \right\} } + { \left[ \begin{array} { l l } { c _ { 1 } + c _ { 2 } } & { - c _ { 2 } } \\ { - c _ { 2 } } & { c _ { 2 } + c _ { 3 } } \end{array} \right] } { \left\{ \begin{array} { l } { { \dot { x _ { 1 } } } } \\ { { \dot { x _ { 2 } } } } \end{array} \right\} } + { \left[ \begin{array} { l l } { k _ { 1 } + k _ { 2 } } & { - k _ { 2 } } \\ { - k _ { 2 } } & { k _ { 2 } + k _ { 3 } } \end{array} \right] } { \left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} \right\} } = { \left\{ \begin{array} { l } { f _ { 1 } } \\ { f _ { 2 } } \end{array} \right\} } .
\begin{array} { r } { A _ { 1 } \leq \delta _ { 2 } \| ( \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } , \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } ) \| ^ { 2 } + c _ { 1 } \delta _ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + 2 C _ { \delta _ { 2 } } \delta ^ { 2 } ( \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } ) } \\ { + \tilde { C } _ { \delta _ { 2 } } \delta ^ { 2 } \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } ( \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } + \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 2 } ) + \tilde { C } _ { \delta , \delta _ { 2 } } \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 1 2 } ( t ) ) E _ { j } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { D } p _ { \lambda } ^ { D } ( s , \eta , t , x ) \varphi ( \eta ) \mathrm { d } \eta = } & { { } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } p _ { \lambda } ( s , \eta , t , x ) 1 _ { \{ \eta _ { d } > 0 \} } \varphi ( \eta ) \mathrm { d } \eta - \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } p _ { \lambda } ( s , \overline { { \eta } } , t , x ) 1 _ { \{ \eta _ { d } > 0 \} } \varphi ( \eta ) \mathrm { d } \eta } \\ { = } & { { } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } p _ { \lambda } ( s , \eta , t , x ) 1 _ { \{ \eta _ { d } > 0 \} } \varphi ( \eta ) \mathrm { d } \eta - \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } p _ { \lambda } ( s , \eta , t , x ) 1 _ { \{ \eta _ { d } < 0 \} } \varphi ( \overline { { \eta } } ) \mathrm { d } \eta , } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \psi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \beta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \eta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! < \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } \left| \langle A Y ^ { k } - A Y ^ { * } , x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \rangle \right| } & { \leq \frac { \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } } { 8 \eta } + \frac { \| A \| ^ { 2 } \| Y ^ { k } - Y ^ { * } \| ^ { 2 } } { N ^ { 2 } / ( 2 \eta ) } } \\ & { = \frac { \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } } { 8 \eta } + \frac { 2 \eta R ^ { 2 } } { N } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| y _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } } { 8 \eta } + \frac { \eta { \cal R } _ { 2 } ^ { 2 } } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| y _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } } { 8 \eta } + \frac { 1 } { 4 \sigma n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| y _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } , } \end{array}
U ( \mathbf { x } ; j ) \approx \operatorname* { m i n } \left[ \left( - \eta ( j ) k _ { \mathrm { B } } T + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac 1 2 m _ { Q } \omega _ { i } ^ { 2 } ( j ) x _ { i } ^ { 2 } \right) , 0 \right] ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } \left[ \ln [ \frac { 1 } { \mathbf { C } _ { 3 } } ( \frac { 1 } { 2 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } ) ] + ( 1 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) ) \ln \frac { 1 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } { \mathbf { C } _ { 4 } ( 2 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) ) } \right] = - \frac { 1 } { 2 } \ln ( 4 \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 2 } ) } \end{array}
\frac { 1 } { 1 - r _ { s } / r } \frac { d r } { c d t } = \frac { 1 } { { \cal { E } } _ { 0 } } \left[ { \cal { E } } _ { 0 } ^ { 2 } - U ^ { 2 } ( r ) \right] ^ { 1 / 2 } ,
\Psi _ { \mathrm { l o c } } ( \xi , t ) = \exp \left( \frac { 4 \pi i } { k ^ { \prime } } \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } z ~ \xi ( z ) J ^ { 0 } ( z , t ) \right) \Psi _ { \mathrm { l o c } } ( t )
\begin{array} { r l r } { E ( t ) } & { { } = } & { E _ { 0 } e ^ { - t ^ { 2 } / \tau _ { p } ^ { 2 } } + E _ { 0 } e ^ { - ( t - \Delta ) ^ { 2 } / \tau _ { p } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 1 2 } } & { = h _ { 2 1 } = a _ { 2 , x } a _ { 2 , y } - a _ { 1 , x } a _ { 1 , y } \, , } \\ { h _ { 1 3 } } & { = h _ { 3 1 } = a _ { 2 , x } a _ { 2 , z } - a _ { 1 , x } a _ { 1 , z } \, , } \\ { h _ { 2 3 } } & { = h _ { 3 2 } = a _ { 2 , y } a _ { 2 , z } - a _ { 1 , y } a _ { 1 , z } \, , } \\ { h _ { 1 4 } } & { = h _ { 4 1 } = a _ { 1 , z } a _ { 2 , y } - a _ { 1 , y } a _ { 2 , z } \, , } \\ { h _ { 2 4 } } & { = h _ { 4 2 } = a _ { 1 , x } a _ { 2 , z } - a _ { 1 , z } a _ { 2 , x } \, , } \\ { h _ { 3 4 } } & { = h _ { 4 3 } = a _ { 1 , y } a _ { 2 , x } - a _ { 1 , x } a _ { 2 , y } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \gamma \left( x _ { t } \right) } & { = \left( \mathcal { L } _ { \phi } \gamma \right) \left( x _ { t } \right) + \kappa \left( x _ { t } \right) , \; x _ { t } \in D \times T , } \\ { \gamma \left( x _ { t } \right) } & { = \gamma _ { B } , \; x _ { t } \in \partial D \times T , } \\ { \gamma \left( x _ { 0 } \right) } & { = \gamma _ { I } , \; x _ { 0 } \in D \times \{ 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } = } & { \, \, \| Q ^ { k } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } \| \Phi \hat { d } ^ { k } \| _ { \mu } ^ { 2 } + 2 \beta \langle \Phi ( \theta ^ { k } - \theta ^ { * } ) , \Phi \hat { d } ^ { k } \rangle _ { \mu } } \\ { = } & { \, \, \| Q ^ { k } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ( \hat { g } ^ { k } ) ^ { \top } ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \Phi ^ { \top } U \Phi ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } } \\ & { \, \, + 2 \beta ( \theta ^ { * } - \theta ^ { k } ) ^ { \top } \Phi ^ { \top } U \Phi ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha \nu > } & { \; \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } } , } \\ { 1 > \mathcal { R } _ { 0 } > } & { \; 2 \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha \nu } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } + \sqrt { \nu - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \left( 1 - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \right) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H ( \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } , t ) = \sum _ { i = 1 , 2 } \left( - \frac { \nabla _ { \vec { r } _ { i } } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \tilde { Z } ( r _ { i } ) } { r _ { i } } + \vec { \mathcal { E } } ( t ) \cdot \vec { r } _ { i } \right) + \frac { 1 } { | \vec { r } _ { 1 } - \vec { r } _ { 2 } | } } \\ & { \vec { \mathcal { E } } ( t ) = \frac { \hat { z } } { 2 } \left( \mathcal { E } _ { \omega } e ^ { - i \omega t } + \mathcal { E } _ { 2 \omega } e ^ { - i ( 2 \omega t - \Delta \Phi ) } + c . c . \right) } \end{array}
{ \tilde { D } } = 1 + { \frac { ( 4 \pi k _ { 1 1 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 3 } } { 4 \pi ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + x _ { 1 1 } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } \ ,
s _ { \theta } = \frac { \mu _ { 0 } } { \sqrt { \mu _ { 0 } ^ { 2 } + \mu _ { 3 } ^ { 2 } } } \qquad c _ { \theta } = \frac { \mu _ { 3 } } { \sqrt { \mu _ { 0 } ^ { 2 } + \mu _ { 3 } ^ { 2 } } }
f _ { \mu \nu } ^ { \Omega } = { \frac { 1 } { g } } ( \partial _ { \mu } \omega _ { \nu } - \partial _ { \nu } \omega _ { \mu } ) = { \frac { i } { g } } g _ { \alpha \bar { \beta } } \partial _ { \mu } w ^ { \alpha } \partial _ { \nu } \bar { w } ^ { \beta } ,
\begin{array} { r l r } { G _ { l 3 , n } ( \omega , k _ { z } , r , r _ { 0 } ) } & { = } & { - \sum _ { p = \pm 1 } \frac { p ^ { l - 1 } } { i ^ { l } } C _ { n } ^ { ( p ) } J _ { n + p } ( \lambda _ { 0 } r ) , \; l = 1 , 2 , } \\ { G _ { 3 3 , n } ( \omega , k _ { z } , r , r _ { 0 } ) } & { = } & { \frac { \pi } { 2 i } \left[ J _ { n } ( \lambda _ { 0 } r _ { < } ) H _ { n } ( \lambda _ { 0 } r _ { > } ) - \frac { V _ { n } ^ { H } } { V _ { n } ^ { J } } J _ { n } ( \lambda _ { 0 } r _ { 0 } ) J _ { n } ( \lambda _ { 0 } r ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { \mathrm { ~ C ~ B ~ } } ( x , 0 , t ) = c \left( 1 + \frac { \ell _ { B } ^ { 2 } } { 4 } \partial _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \partial _ { x } ^ { 4 } ) \right) \rho _ { \mathrm { ~ C ~ B ~ } } ( x , 0 , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| R \frac { \varphi ^ { s + k } } { \psi ^ { s } } \right\| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k } , B _ { \omega } ^ { k - 1 } ) } } & { \le ( s + k ) \left\| \frac { \varphi ^ { s + k - 1 } } { \psi ^ { s } } \right\| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k - 1 } ) } \| R \varphi \| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k } , B _ { \omega } ^ { k - 1 } ) } } \\ & { \ \ + s \left\| \frac { \varphi ^ { s + k } } { \psi ^ { s + 1 } } \right\| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k - 1 } ) } \| R \psi \| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k } , B _ { \omega } ^ { k - 1 } ) } } \\ & { \le ( 2 s + k ) 8 ^ { k - 1 } ( s + k ) ^ { k - 1 } M ^ { k - 1 } ( 2 M ) } \\ & { = 2 ( 2 s + k ) 8 ^ { k - 1 } ( s + k ) ^ { k - 1 } M ^ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \frac { \partial f _ { m } } { \partial t } } = } & { { } - \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \cdot \nabla f _ { m } - \frac { 1 } { \ensuremath { \mathrm { ~ K ~ n ~ } } \tau } f _ { m } + \frac 1 { \ensuremath { \mathrm { ~ K ~ n ~ } } \tau } w _ { m } \left[ a \sum _ { n = 1 } ^ { Q } f _ { n } + b \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \cdot \sum _ { n = 1 } ^ { Q } \ensuremath { \mathbf { e } } _ { n } f _ { n } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi \left( r _ { 1 } , \ldots , r _ { M } \right) = } & { { } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } c _ { i } \Phi _ { i } \left( r _ { 1 } , \ldots , r _ { M } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \epsilon } ^ { \prime } ( r ) = } & { { } - 4 \nu \int _ { - \infty } ^ { \infty } \chi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) ) \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) d \sigma + \mu _ { 1 } g ( r ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } h ( \sigma ) \partial _ { \sigma } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) \chi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) ) d \sigma } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textrm { s p a c e , t i m e a n d p h a s e s h i f t s : } \quad } & { } & { e ^ { i \theta } \psi ( x + x _ { 0 } , t + t _ { 0 } ) , \quad x _ { 0 } , \, t _ { 0 } , \, \theta \in \mathbb { R } ; } \\ { \textrm { p a r i t y : } \quad } & { } & { \psi ( - x , t ) ; } \\ { \textrm { d i l a t i o n : } \quad } & { } & { \sqrt { \mu } \, \psi ( \mu x , \mu ^ { 2 } t ) , \quad \mu > 0 ; } \\ { \textrm { G a l i l e a n t r a n s f o r m a t i o n : } \quad } & { } & { \displaystyle \exp \left( \frac { i c x } { 2 } - \frac { i c ^ { 2 } t } { 4 } \right) \psi ( x - c t , t ) , \quad c \in \mathbb { R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { L } = } & { { } \sum _ { n } \frac { 1 } { 2 } [ e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , n + 2 } ^ { \dagger } - a _ { d A , n + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { u A , n } } \\ { + } & { { } e ^ { 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , n } ^ { \dagger } - a _ { d A , n } ^ { \dagger } ) a _ { u A , n + 2 } } \\ { + } & { { } e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( - a _ { u A , n + 2 } ^ { \dagger } + a _ { d A , n + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { d A , n } } \\ { + } & { { } e ^ { 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , n } ^ { \dagger } + a _ { d A , n } ^ { \dagger } ) a _ { d A , n + 2 } ] } \\ { - } & { { } \sum _ { n } ( a _ { u B , n } ^ { \dagger } a _ { u B , n } + a _ { d B , n } ^ { \dagger } a _ { d B , n } ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \biggl ( u ( t ) p _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) + \sigma _ { 2 } ( t , \alpha ( t - ) ) q _ { 2 2 } ^ { 2 } ( t ) + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ( t - , \alpha ( t - ) , z ) ) r _ { 2 } ^ { 2 } ( t - , z ) \nu ( d z ) \biggr ) } \\ & { = A ^ { ' } ( t , \alpha ( t - ) ) X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) + A ( t , \alpha ( t - ) ) X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) \biggl ( - u ( t ) + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ( t , \alpha ( t - ) ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \left\{ ( 1 + \eta ( t - , \alpha ( t - ) , z ) ) ^ { - 1 } - 1 + \eta ( t - , \alpha ( t - ) , z ) \right\} \nu ( d z ) \biggr ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { D } X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) \left\{ A ( t , e _ { j } ) - A ( t , \alpha ( t - ) ) \right\} \mu _ { j } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 3 , ( k ) } ^ { 0 } } & { = \| x ^ { k - 1 } - e _ { ( k ) } ^ { 0 } - x _ { ( k ) } ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 1 2 ( L _ { f } + \kappa ) \eta } { n \delta } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| e _ { \tau , ( k ) ) } ^ { 0 } \| ^ { 2 } + \tilde { \eta } ( G _ { k } ( x ^ { k - 1 } ) - G _ { k } ^ { * } ) } \\ & { \quad + \frac { 1 9 2 ( 1 - \delta ) ( L _ { f } + \kappa ) \eta ^ { 3 } } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau , ( k ) } ^ { 0 } - \nabla f ^ { \tau } ( x ^ { k - 1 } ) - \nabla \psi ( x ^ { k - 1 } ) - \kappa ( x ^ { k - 1 } - y ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } , } \end{array}
N ( t ) = N ( \mu ^ { - } , t _ { 0 } ) e ^ { - ( t - t _ { 0 } ) / \tau _ { 0 } } e ^ { - ( t - t _ { 0 } ) / \tau _ { c } } - N ( \mu ^ { + } , t _ { 0 } ) e ^ { - ( t - t _ { 0 } ) / \tau _ { 0 } }
W ^ { \prime \prime \prime } = \lambda _ { 3 } ^ { i j } \, \bar { f } _ { i } \nu _ { j } ^ { c } h + \lambda _ { 6 } ^ { i j } \, \nu _ { i } ^ { c } \nu _ { j } ^ { c } \, { \frac { T \bar { T } } { M } } \ .
L _ { 1 1 } ^ { ( \pm ) } L _ { 1 2 } ^ { ( + ) } = q ^ { \mp 1 } L _ { 1 2 } ^ { ( + ) } L _ { 1 1 } ^ { ( \pm ) } , \; \; L _ { 2 2 } ^ { ( \pm ) } L _ { 1 2 } ^ { ( + ) } = - q ^ { \mp 1 } L _ { 1 2 } ^ { ( + ) } L _ { 2 2 } ^ { ( \pm ) }
\begin{array} { r l } { C _ { 1 2 } } & { = \frac { w } { \omega _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { g _ { 1 } g _ { 2 } Z _ { 1 } Z _ { 2 } } } = 0 . 4 2 0 \, \mathrm { p F } , } \\ { C _ { 2 3 } } & { = \frac { w } { \omega _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { g _ { 2 } g _ { 3 } Z _ { 2 } Z _ { 3 } } } = 0 . 1 7 9 \, \mathrm { p F } , } \\ { C _ { 3 4 } } & { = \frac { w } { \omega _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { g _ { 3 } g _ { 4 } Z _ { 3 } Z _ { 4 } } } = 0 . 3 5 4 \, \mathrm { p F } . } \end{array}
\mathrm { C o v } _ { E E } \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) = \sigma _ { E } ^ { 2 } \left( { 1 + \frac { { \left| x _ { 1 } - x _ { 2 } \right| } } { l _ { x } } } \right) \left( { 1 + \frac { { \left| y _ { 1 } - y _ { 2 } \right| } } { l _ { y } } } \right) \exp \left( { - \frac { { \left| x _ { 1 } - x _ { 2 } \right| } } { l _ { x } } - \frac { { \left| y _ { 1 } - y _ { 2 } \right| } } { l _ { y } } } \right) ,
N _ { \gamma } w = \frac { 1 } { 2 } \int d V ( | { \cal { E } } | ^ { 2 } + | { \cal { B } } | ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } V { \cal { E } } _ { 0 } ^ { 2 } J _ { 1 } ^ { 2 } ( x _ { 0 1 } ) \left[ 1 + \frac { 4 } { x _ { 0 1 } ^ { 2 } } \right] = 0 . 2 3 V { \cal E } _ { 0 } ^ { 2 }
\hat { \Pi } ^ { \underline { { { m } } } } = d \hat { X } ^ { \underline { { { m } } } } - i d \hat { \Theta } ^ { 1 } { \sigma } ^ { \underline { { { m } } } } \hat { \Theta } ^ { 1 } - i d \hat { \Theta } ^ { 2 } \tilde { \sigma } ^ { \underline { { { m } } } } \hat { \Theta } ^ { 2 } = d \xi ^ { m } \hat { \Pi } _ { m } ^ { ~ \underline { { { m } } } } ( \xi )
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } } & { = \alpha _ { 1 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) } + \alpha _ { 2 } e ^ { \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) } } \\ { g _ { 3 } } & { = \alpha _ { 3 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 1 } ^ { * } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) } + \alpha _ { 4 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ^ { * } ( \xi , \tau ) } } \\ { f _ { 0 } } & { = \beta ; \quad \ f _ { 2 } = \beta _ { 2 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 1 } ^ { * } ( \xi , \tau ) } + \beta _ { 3 } e ^ { \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ^ { * } ( \xi , \tau ) } } \\ & { + \beta _ { 4 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ^ { * } ( \xi , \tau ) } + \beta _ { 5 } e ^ { \theta _ { 1 } ^ { * } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) } } \\ { f _ { 4 } } & { = \beta _ { 6 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 1 } ^ { * } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ^ { * } ( \xi , \tau ) } } \end{array}