harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f ( E , \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) } & { = E ^ { 3 } + c _ { 2 } E ^ { 2 } + c _ { 1 } E + c _ { 0 } } \\ & { = E ^ { 3 } - 2 \tilde { \Delta } E ^ { 2 } + ( \tilde { \Delta } ^ { 2 } + \tilde { \gamma } ^ { 2 } - \tilde { \Omega } ^ { 2 } / 2 - 1 ) E + ( \tilde { \Delta } + 1 ) \tilde { \Omega } ^ { 2 } / 2 = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq \frac { 1 } { \mathrm { { R a } } } \left[ \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 } - a _ { 0 } C \left( { \mathrm { R a } } ^ { - \frac { 9 } { 7 } } \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } ^ { 2 } + \underline { { \alpha } } ^ { - 2 } + \mathrm { { R a } } ^ { - \frac { 4 } { 7 } } \left( \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { { \mathrm { R a } } } \left( \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 } - C a _ { 0 } ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { - \frac { 1 } { 7 } } \right) \langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \rangle + \left( \frac { b } { 4 { \mathrm { R a } } } - C \delta ^ { 6 } a _ { 0 } ^ { - 1 } \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 1 1 } { 7 } } \right) \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle , } \end{array}
{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l } { C _ { c } ^ { \infty } ( U ) } & { \to } & { C _ { c } ^ { k } ( U ) } & { \to } & { C _ { c } ^ { 0 } ( U ) } & { \to } & { L _ { c } ^ { \infty } ( U ) } & { \to } & { L _ { c } ^ { p } ( U ) } & { \to } & { L _ { c } ^ { 1 } ( U ) } \\ { \downarrow } & & { \downarrow } & & { \downarrow } \\ { C ^ { \infty } ( U ) } & { \to } & { C ^ { k } ( U ) } & { \to } & { C ^ { 0 } ( U ) } \\ { } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } _ { 0 } } & { { } = \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } + ( \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { s } ) \varepsilon _ { s } ^ { - 1 } \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } \nabla \mathcal { S } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \nu _ { l ^ { \prime } } \cdot \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } ] + \mathcal { O } ( \omega ) \ \ \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \ ( \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \overline { \Omega } ) \bigcup \tilde { B } . } \end{array}
\mathcal { G } _ { k , i } ( \mathcal { N } ( M , \omega , H ) ) = - \operatorname* { i n f } \left\{ \gamma \left| \begin{array} { c } { ( \exists S \subset ( \Lambda \otimes _ { \kappa } H _ { * } ( M , \kappa ) ) _ { k } \mathrm { ~ i n d e p e n d e n t ~ o v e r ~ } \Lambda ) } \\ { ( \# S = i \mathrm { ~ a n d ~ } ( \forall x \in S ) \left( c ( x , \tilde { \phi } ) + c ( \bar { x } , \tilde { \phi } ^ { - 1 } ) \leq \gamma \right) } \end{array} \right. \right\}
W _ { f } ( w , x ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \hat { f } ( k ) \frac { 1 } { \sqrt { w } } \hat { \psi } \left( \frac { k } { w } \right) e ^ { - i k x } \mathrm { d } k ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ( \mathbf { x } ) } & { { } = - K _ { \Gamma , L } ^ { \mathbf { x } } \left( \phi _ { 1 , \Gamma } \right) + V _ { \Gamma , L } ^ { \mathbf { x } } \left( \frac { \partial } { \partial \mathbf { n } } \phi _ { 1 , \Gamma } \right) + \frac { 1 } { \epsilon _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { q } } \frac { q _ { k } } { 4 \pi | \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { k } | } \quad \mathbf { x } \in \Omega _ { 1 } } \\ { \phi _ { 2 } ( \mathbf { x } ) } & { { } = K _ { \Gamma , Y } ^ { \mathbf { x } } ( \phi _ { 2 , \Gamma } ) - V _ { \Gamma _ { , } Y } ^ { \mathbf { x } } \left( \frac { \partial } { \partial \mathbf { n } } \phi _ { 2 , \Gamma } \right) \quad \mathbf { x } \in \Omega _ { 2 } } \end{array}
G _ { 0 } ( \tau ) : = \left( \frac { \theta _ { D _ { r } } ^ { 2 } ( \tau ) } { \eta ( \tau ) ^ { r + 1 } } \right) ^ { 2 4 } = \left( \frac { \eta ( \frac { 2 \tau } { h } ) } { \eta ( \frac { \tau } { 2 } ) \eta ( \frac { \tau } { h } ) } \right) ^ { 2 4 } .
\begin{array} { r l } { \phi _ { q } ^ { l } ( g \ast f ) } & { = \int _ { S O ( d + 1 ) } g ( u ) \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } f ( u ^ { - 1 } x ) \overline { { B _ { q } ^ { l } ( x ) } } \, d \nu ( x ) \, d \mu ( u ) } \\ & { = \int _ { S O ( d + 1 ) } g ( u ) \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } f ( x ) \overline { { B _ { q } ^ { l } ( u x ) } } \, d \nu ( x ) \, d \mu ( u ) } \\ & { = \int _ { S O ( d + 1 ) } g ( u ) \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } f ( x ) \sum _ { r = 1 } ^ { N ( d , l ) } D _ { q r } ^ { l } ( u ) \overline { { B _ { r } ^ { l } ( x ) } } \, d \nu ( x ) \, d \mu ( u ) } \\ & { = \sum _ { r = 1 } ^ { N ( d , l ) } \int _ { S O ( d + 1 ) } g ( u ) D _ { q r } ^ { l } ( u ) \, d \mu ( u ) \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } f ( x ) \overline { { B _ { r } ^ { l } ( x ) } } \, d \nu ( x ) } \\ & { = \sum _ { r = 1 } ^ { N ( d , l ) } \tilde { \phi } _ { q r } ^ { l } ( g ) \phi _ { r } ^ { l } ( f ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { s i n } ( n , m ) } & { = } & { \frac { 4 n \pi } { ( m + 2 ) T ^ { 2 } } \bigg [ _ { p } F _ { q } \bigg ( \frac { m + 2 } { 2 } ; \frac { 3 } { 2 } , \frac { m + 4 } { 2 } ; - \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } t _ { 2 } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \bigg ) t _ { 2 } ^ { m + 2 } } \\ & { \quad } & { - _ { p } F _ { q } \bigg ( \frac { m + 2 } { 2 } ; \frac { 3 } { 2 } , \frac { m + 4 } { 2 } ; - \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } t _ { 1 } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \bigg ) t _ { 1 } ^ { m + 2 } \bigg ] , } \end{array}
D _ { 1 } \to \frac { g _ { D } ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } \left( g _ { H } ^ { 2 } + g _ { D } ^ { 2 } \right) | x | ^ { 4 } } + \frac { ( m M _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 2 } \pi ^ { \frac 3 2 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - M _ { 1 } | x | } } { ( M _ { 1 } | x | ) ^ { \frac 5 2 } } .
[ \mathcal { A } _ { \pm } ^ { X } ] _ { p q , p ^ { \prime } q ^ { \prime } } = \big ( [ \mathcal { A } ^ { X } ] _ { p q , p ^ { \prime } q ^ { \prime } } \pm [ \mathcal { B } ^ { X } ] _ { p q , p ^ { \prime } q ^ { \prime } } \big ) / \big [ ( n _ { p } ^ { 1 / 2 } \pm n _ { q } ^ { 1 / 2 } ) ( n _ { p ^ { \prime } } ^ { 1 / 2 } \pm n _ { q ^ { \prime } } ^ { 1 / 2 } ) \big ]
\begin{array} { r l r } { \displaystyle p } & { { } = } & { \gamma m v } \\ { \displaystyle } & { { } = } & { \gamma m \beta c } \\ { \displaystyle E } & { { } = } & { \gamma m c ^ { 2 } } \\ { \displaystyle \frac { p } { E } } & { { } = } & { \frac { \gamma m \beta c } { \gamma m c ^ { 2 } } } \\ { \displaystyle \Rightarrow \beta } & { { } = } & { \frac { p c } { E } \, , } \end{array}
E ( t ) = \frac { 1 } { 2 L _ { x } L _ { z } } \int _ { 0 } ^ { L _ { z } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \frac { 1 } { 2 } \mathbf { u } \cdot \mathbf { u } d x d y d z ,
\begin{array} { r l } { \hat { \langle P \rangle } ^ { \prime } } & { = \hat { \langle P \rangle } ^ { - ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle P \rangle } ^ { + ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle P \rangle } ^ { - ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) ] \mathcal { H } ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle P \rangle } ^ { + } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle P \rangle } ^ { - } ( R _ { 2 } ) ] \delta ( R _ { 2 } ) , } \\ { \hat { \langle P \rangle } ^ { \prime \prime } } & { = \hat { \langle P \rangle } ^ { - ^ { \prime \prime } } ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle P \rangle } ^ { + ^ { \prime \prime } } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle P \rangle } ^ { - ^ { \prime \prime } } ( R _ { 2 } ) ] \mathcal { H } ( R _ { 2 } ) + 2 [ \hat { \langle P \rangle } ^ { + ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle P \rangle } ^ { - ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) ] \delta ( R _ { 2 } ) } \\ & { + [ \hat { \langle P \rangle } ^ { + } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle P \rangle } ^ { - } ( R _ { 2 } ) ] \delta ^ { \prime } ( R _ { 2 } ) . } \end{array}
\theta [ \widetilde { \mathbb { W } } , \kappa ] ( x ) = \mathbb { E } [ \, \mathcal { I } [ \widetilde { \mathbb { W } } , \kappa ; p , x ] \mid X = x ] , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \mathcal { I } [ \widetilde { \mathbb { W } } , \kappa ; p , x ] \equiv \sum _ { w \, \in \, \widetilde { \mathbb { W } } } \, \, \kappa _ { w } \, \frac { \widetilde { K } ( W - w ) \, Y } { p ( w , x ) } ,
\int { \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { - x ^ { 2 } + 3 x - 2 } } } \ d x = \int { \frac { ( { \frac { - 2 t ^ { 2 } - 1 } { - t ^ { 2 } - 1 } } ) ^ { 2 } { \frac { 2 t } { ( - t ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } } } { \frac { t } { - t ^ { 2 } - 1 } } } \ d t = \int { \frac { 2 ( - 2 t ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( ( - t ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } \ d t .
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( u _ { \lambda } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( t ) ) \, e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \right) \geq \left( \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } w _ { \delta } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( t ) ) - \delta + \Omega _ { \lambda , x } ( t ) \right) e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { 1 } } & { = \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathrm { d i a g } \left( \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } _ { 0 } ) } \left[ \alpha ( \mathbf { X } ) \mathbf { X } _ { 1 } \mathbf { X } _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } \right] , \cdots , \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } _ { 0 } ) } \left[ \alpha ( \mathbf { X } ) \mathbf { X } _ { k } \mathbf { X } _ { k } ^ { \mathrm { T } } \right] \right) \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } , } \\ { \mathbf { F } _ { 2 } } & { = \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathrm { d i a g } \left( \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \alpha ^ { \prime } ( \mathbf { X } ) \mathbf { X } _ { 1 } \mathbf { X } _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } \right] , \cdots , \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \alpha ^ { \prime } ( \mathbf { X } ) \mathbf { X } _ { k } \mathbf { X } _ { k } ^ { \mathrm { T } } \right] \right) \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 } ( \Delta t , \Delta x ) } & { = } & { { \cal I } _ { N } \exp ( \tilde { L } \Delta t ) { \bf f } ( x ) - { \cal T } _ { N } \exp ( \tilde { L } _ { N } \Delta t ) { \cal R } _ { N } { \bf f } ( x ) } \\ { E _ { 2 } ( \Delta t , \Delta x ) } & { = } & { { \cal T } _ { N } \exp ( \tilde { L } _ { N } \Delta t ) { \cal R } _ { N } { \bf f } ( x ) - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) { \bf f } ( x ) } \\ & { = } & { { \cal T } _ { N } [ \exp ( \tilde { L } _ { N } \Delta t ) - S _ { N } ( \Delta t ) ] { \cal R } _ { N } { \bf f } ( x ) . } \end{array}
\beta _ { p _ { i } , k } = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow - a } \frac { 1 } { ( p _ { i } - k ) ! } \frac { d ^ { p _ { i } - k } } { d s ^ { p _ { i } - k } } \left[ ( s + a _ { i } ) ^ { p _ { i } + 1 } \tilde { x } _ { i } ( s ) \right] = \sum _ { \ell = 1 } ^ { N _ { \ell } } \sum _ { q = 1 } ^ { p _ { i } - k + 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { q - 1 } \alpha _ { \ell } b _ { p _ { i } } ( k + q - 1 ) } { ( - a _ { i } - \lambda _ { \ell } ) ^ { q } }
\begin{array} { r } { \Omega _ { u } ^ { q G } ( 0 ; q ) = \frac { \sqrt { \beta _ { 1 } ^ { q G } \beta _ { 2 } ^ { q G } } } { { C ^ { q G } } ^ { 2 } } \int e _ { q } ( - \beta _ { 1 } ^ { q G } u ^ { 2 } ) \, e _ { q } ( - \beta _ { 2 } ^ { q G } u ^ { 2 } ) \, d u , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { A A } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = ( - \alpha k _ { 3 } ) \left[ \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + \alpha k _ { 3 } ( \mu _ { A } ( \tau ) R _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + R _ { A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ) R _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] ^ { - 1 } \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } } & { = \left( A ^ { 0 } , \, A ^ { 1 } , \, A ^ { 2 } , \, A ^ { 3 } \right) } \\ & { = A ^ { 0 } \mathbf { E } _ { 0 } + A ^ { 1 } \mathbf { E } _ { 1 } + A ^ { 2 } \mathbf { E } _ { 2 } + A ^ { 3 } \mathbf { E } _ { 3 } } \\ & { = A ^ { 0 } \mathbf { E } _ { 0 } + A ^ { i } \mathbf { E } _ { i } } \\ & { = A ^ { \alpha } \mathbf { E } _ { \alpha } } \end{array} }
\tilde { f } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , \tau ) = - \tilde { f } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , - \tau ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { F _ { \mathrm { b i n d } , z } ^ { 2 \rightarrow 1 } \left( z _ { 1 } , z _ { 2 } \right) \approx \frac { P \alpha ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 3 } \left( k _ { 0 } - 1 / z _ { 0 } \right) } { 2 \pi ^ { 2 } c \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } n ^ { \prime } w _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ & { } & { \times \sin \left[ k _ { 0 } d _ { 0 } - \Delta \phi - \left( k _ { 0 } - \frac { 1 } { z _ { 0 } } \right) \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle v ^ { i } ( { \bf x } , t ) v ^ { j } ( { \bf x } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \rangle = 2 \kappa ^ { i j } ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) \delta ( t - t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta W } & { ^ R _ { i m j n } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = - i \sum _ { k l q p } ( G _ { k l } ^ { < } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) G _ { q p } ^ { A } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) } \\ & { + G _ { k l } ^ { R } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) G _ { q p } ^ { < } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) ) v _ { i m p k } ( 2 v _ { j n q l } - v _ { j l q n } ) } \end{array}
F _ { ( n + 1 ) } = \frac { ( \eta \! + \! 1 ) F _ { ( n ) } - \eta } { F _ { ( n ) } } \, = \frac { ( \eta \! + \! 1 ) A _ { n + 1 } - \eta B _ { n + 1 } } { A _ { n + 1 } } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \boldsymbol { v } _ { 1 } + 2 \boldsymbol { \Omega } _ { c } \times \boldsymbol { v } _ { 1 } } & { = \boldsymbol { \mathcal { L } } ( \boldsymbol { v } _ { 1 } ) + 2 E \nabla \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { v } _ { 1 } ) - \nabla p , } \\ { \nabla \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { v } _ { 1 } } & { = 0 , } \end{array}
- { \frac { M ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \Bigl ( { \frac { \mu ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } + 1 - 2 \gamma + \ln 4 \Bigr ) + { \frac { M ^ { 4 } } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } } \Bigl ( { \frac { \mu ^ { 4 } } { 2 M ^ { 4 } } } - { \frac { \mu ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } - 4 \gamma + 3 + 2 \ln 4 \Bigr ) x ^ { 2 } + \cdots \ ,
\begin{array} { r l } { X - X _ { h , k } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { A } } \left( ( \vec { x } - U \tilde { \vec { x } } ) \vec { y } ^ { H } + \vec { x } ( \vec { y } - V \tilde { \vec { y } } ) ^ { H } - ( \vec { x } - U \tilde { \vec { x } } ) ( \vec { y } - V \tilde { \vec { y } } ) ^ { H } \right) d z } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { A } } \left( R _ { A } ^ { G } ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { x } \right) \mathbf { y } ^ { H } d z } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { A } } \vec { x } \left( R _ { B } ^ { G } ( \bar { z } I _ { m } ) \circ ^ { - 1 } R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { y } \right) ^ { H } d z } \\ & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { A } } \left( R _ { A } ^ { G } ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { x } \right) \left( R _ { B } ^ { G } ( \bar { z } I _ { m } ) \circ ^ { - 1 } R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { y } \right) ^ { H } d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( s , f , q ) } & { = a \left( \frac { s } { f } \right) ^ { q } \exp \left[ - b \left( \frac { s } { f } \right) ^ { q + 1 } \right] } \\ & { + ( 1 - f ) a a _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \frac { s } { f } } \left( \frac { s } { f } \right) ^ { 2 q } x ^ { q } \exp \left\{ - b x ^ { q + 1 } - b _ { 1 } \left[ \left( \frac { s } { f } \right) ^ { 2 q + 1 } - x ^ { 2 q + 1 } \right] \right\} d x } \\ & { + ( 1 - f ) ^ { 2 } a a _ { 1 } a _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \frac { s } { f } } \int _ { 0 } ^ { x } \left( \frac { s } { f } \right) ^ { 3 q } x ^ { 2 q } y ^ { q } \exp \Biggl \{ - b y ^ { q + 1 } - b _ { 1 } \left[ x ^ { 2 q + 1 } - y ^ { 2 q + 1 } \right] \Biggr . } \\ & { \left. - b _ { 2 } \left[ \left( \frac { s } { f } \right) ^ { 3 q + 1 } - x ^ { 3 q + 1 } \right] \right\} d y d x } \\ & { + \sum _ { n \geq 3 } \frac { ( 1 - f ) ^ { n } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma ( n , q ) } \exp \left\{ - \frac { \left[ \left( \frac { s } { f } \right) - n - 1 \right] ^ { 2 } } { 2 \sigma ( n , q ) } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { \mathrm { r } , n } ^ { \mathrm { o p t } } = \angle \mathbf { \hat { h } } _ { 1 , \mathrm { S } } [ n ] - \angle \mathbf { \hat { g } } _ { \mathrm { r } } [ n ] , \quad \beta _ { \mathrm { r } , n } ^ { \mathrm { o p t } } = 1 } \\ { \theta _ { \mathrm { t } , n } ^ { \mathrm { o p t } } = \angle \mathbf { \hat { h } } _ { 2 , \mathrm { S } } [ n ] - \angle \mathbf { \hat { g } } _ { \mathrm { r } } [ n ] , \quad \beta _ { \mathrm { t } , n } ^ { \mathrm { o p t } } = 1 , } \end{array} \right. } \\ & { N _ { 2 } ^ { \mathrm { m a x } } = N - \left\lceil \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \Bigg [ \sqrt { ( 2 \kappa + 1 ) ^ { 2 } + 4 \kappa ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { 2 } ( 2 ^ { 2 R _ { \mathrm { e r } , \mathrm { t } } } - 1 ) ( 1 + \kappa ) ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { U } , \mathrm { m a x } } L _ { k , \mathrm { S } } ^ { 2 } L _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } } - ( 2 \kappa + 1 ) \Bigg ] \right\rceil , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Dot { \theta } _ { ( k ) } = \omega - \sigma ^ { \uparrow } B ^ { k + 1 } \sin \left( D ^ { k } \theta _ { ( k ) } \right) - \sigma ^ { \downarrow } D ^ { k - 1 } \sin \left( B ^ { k } \theta _ { ( k ) } \right) \, . } \end{array}
\boldsymbol { P } = \left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { 1 } _ { m \times m } } & { \boldsymbol { 0 } _ { m \times m } } \\ { \boldsymbol { 0 } _ { m \times m } } & { \boldsymbol { P } _ { p } } \end{array} \right) ,
\beta _ { 0 } ^ { \prime } = \frac { A _ { 4 6 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } \mathscr { L } _ { 0 } ^ { ( 2 2 ) } } , \qquad \beta _ { 3 } ^ { \prime } = \, \frac { A _ { 5 9 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } \mathscr { L } _ { 3 } ^ { ( 2 2 ) } } .
\frac { d \, ( q _ { s } + \bar { q } _ { s } ) ( x , Q ^ { 2 } ) } { d \, \ln Q ^ { 2 } } = \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d \, y } { y } [ P _ { q q } ( \frac { x } { y } ) ( q _ { s } + \bar { q } _ { s } ) ( y , Q ^ { 2 } ) + P _ { q G } ( \frac { x } { y } ) G ( y , Q ^ { 2 } ) ] .
\mathrm { \boldmath ~ S ~ } = \kappa ^ { \frac { 1 } { 2 } } ~ \left( \begin{array} { c c } { { m _ { q } ^ { - 1 } { \mathrm { \boldmath ~ S ~ } } _ { q } ~ I ^ { ( 6 ) } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { D } ^ { - 1 } { \mathrm { \boldmath ~ S ~ } } _ { D } ~ I ^ { ( 2 1 ) } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { ( Q + \widehat \gamma { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } X ) ^ { T } ( Q + \widehat \gamma { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } X ) - z I } \\ & { = ( Q ^ { T } Q - z I ) ( I + ( Q ^ { T } Q - z I ) ^ { - 1 } ( \widehat \gamma X ^ { T } { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } Q + \widehat \gamma Q ^ { T } { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } X + \| { \boldsymbol u } \| ^ { 2 } \widehat \gamma ^ { 2 } X ^ { T } { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } X ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { \frac { 2 ( 5 r - 1 2 ) } { 5 r - 6 } } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { W ^ { 1 , r } ( \Omega ) } ^ { \frac { 1 0 r } { 5 r - 6 } } } & { \leq \nu _ { 2 } ^ { - \frac { 1 0 } { 5 r - 6 } } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { \frac { 2 ( 5 r - 1 2 ) } { 5 r - 6 } } \left[ \nu _ { 2 } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { W ^ { 1 , r } ( \Omega ) } ^ { r } \right] ^ { \frac { 1 0 } { 5 r - 6 } } , } \\ & { \lesssim \nu _ { 2 } ^ { - \frac { 1 0 } { 5 r - 6 } } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { \frac { 2 ( 5 r - 1 2 ) } { 5 r - 6 } } \left[ \nu _ { 2 } \left\lVert \boldsymbol { D v } \right\rVert _ { r } ^ { r } + \nu _ { 2 } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { r } \right] ^ { \frac { 1 0 } { 5 r - 6 } } , } \\ & { \lesssim \nu _ { 2 } ^ { - \frac { 1 0 } { 5 r - 6 } } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { \frac { 2 ( 5 r - 1 2 ) } { 5 r - 6 } } U ^ { \frac { 1 0 } { 5 r - 6 } } + \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { 4 } . } \end{array}
\langle \hat { A } \rangle = \frac { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - m \tau \hat { H } } \hat { A } e ^ { - n \tau \hat { H } } | \Psi _ { I } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - ( m + n ) \tau \hat { H } } | \Psi _ { I } \rangle } = \frac { \int \prod _ { i = 1 } ^ { m + n } \, d \textbf { x } ^ { i } \, p ( \textbf { x } ^ { i } ) \langle \Psi _ { T } | \prod _ { i = n + 1 } ^ { m + n } B ( \textbf { x } ^ { i } ) \, \hat { A } \, \prod _ { i = 1 } ^ { n } B ( \textbf { x } ^ { i } ) | \Psi _ { I } \rangle } { \int \prod _ { i = 1 } ^ { m + n } \, d \textbf { x } ^ { i } \, p ( \textbf { x } ^ { i } ) \langle \Psi _ { T } | \prod _ { i = 1 } ^ { m + n } B ( \textbf { x } ^ { i } ) | \Psi _ { I } \rangle } \, ,
M _ { \ell } = \sqrt { \frac { 1 } { \lambda } \, \frac { { \mathbb { V } } [ Q _ { \ell } - Q _ { \ell - 1 } ] } { { \mathcal { C } } [ Q _ { \ell } - Q _ { \ell - 1 } ] } } = \widetilde { \lambda } \sqrt { \frac { s ^ { - \beta _ { M } \ell } } { s ^ { \gamma _ { M } \ell } } } = \widetilde { \lambda } s ^ { - \frac { \beta _ { M } + \gamma _ { M } } { 2 } \ell } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { + \nabla \cdot \left( \rho \textbf { \textit { V } } \right) = 0 } \\ { \rho \left( \frac { \partial \textbf { \textit { V } } } { \partial t } + \left( \textbf { \textit { V } } \cdot \nabla \right) \textbf { \textit { V } } \right) } & { } \\ { = - \nabla p + \nabla \cdot } & { \left( \mu \left( \left( \nabla \textbf { \textit { V } } \right) + \left( \nabla \textbf { \textit { V } } \right) ^ { T } \right) \right) - \frac { 2 } { 3 } \nabla \left( \mu \nabla \cdot \textbf { \textit { V } } \right) } \\ { \rho \left( \frac { \partial e } { \partial t } + \left( \textbf { \textit { V } } \cdot \nabla \right) e \right) } & { + p \left( \nabla \cdot \textbf { \textit { V } } \right) } \\ { = - \frac { 2 } { 3 } \mu } & { \left( \nabla \cdot \textbf { \textit { V } } \right) ^ { 2 } + \mu \left( \left( \nabla \textbf { \textit { V } } \right) + \left( \nabla \textbf { \textit { V } } \right) ^ { T } \right) : \left( \nabla \textbf { \textit { V } } \right) } \end{array}
I = - \sum _ { \omega , \lambda _ { \omega } } \ln \left( i \omega + e _ { \lambda } \left( \omega ^ { 2 } \right) \right) + \frac { 1 } { 2 G ^ { 2 } } \int d _ { 4 } x \, \left( S ^ { 2 } + P _ { a } ^ { 2 } \right) \; .
\begin{array} { r c l } { k D ( n _ { h } ^ { 0 } ) } & { \displaystyle \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } } & { \Big ( \| \nabla i _ { h } ( \log ( n _ { h } ^ { m + 1 } + 1 ) ) \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & & { \displaystyle + ( n _ { h } ^ { m + 1 } , \log \frac { n _ { h } ^ { m + 1 } } { \bar { n } _ { h } ^ { 0 } } ) _ { h } \Big ) \le T F ( n _ { h } ^ { 0 } , c _ { h } ^ { 0 } ) + \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d p } { 2 \pi } } e ^ { - \alpha _ { 1 } p ^ { 2 } } \, e ^ { - \alpha _ { 2 } ( p + k ) ^ { 2 } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) } } } e x p \left[ - k ^ { 2 } \left( { \frac { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } } \right) \right]
\int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( { \frac { \partial L } { \partial \mathbf { r } _ { k } } } - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { r } } } _ { k } } } \right) \cdot \delta \mathbf { r } _ { k } \, \mathrm { d } t = 0 \, .