harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
V _ { 2 } ^ { \mu } = \frac { ( \ddot { x } _ { \gamma } \ddot { x } ^ { \gamma } ) \stackrel { . . . } x ^ { \mu } - ( \ddot { x } _ { \gamma } \stackrel { . . . } x ^ { \gamma } ) \ddot { x } ^ { \mu } + ( \ddot { x } _ { \gamma } \ddot { x } ^ { \gamma } ) ^ { 2 } \dot { x } ^ { \mu } } { [ ( \ddot { x } _ { \alpha } \ddot { x } ^ { \alpha } ) ^ { 4 } + ( \ddot { x } _ { \alpha } \ddot { x } ^ { \alpha } ) ( \ddot { x } _ { \beta } \stackrel { . . . } x ^ { \beta } ) ^ { 2 } - ( \ddot { x } _ { \alpha } \ddot { x } ^ { \alpha } ) ^ { 2 } ( \stackrel { . . . } x ^ { \beta } \stackrel { . . . } x ^ { \beta } ) ] ^ { 1 / 2 } } ~ ,
\frac { \partial F } { \partial t } + \frac { \textbf { B } ^ { * } } { m B _ { \parallel } ^ { * } } m { v } _ { g y , \parallel } \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { g y } F + e \frac { c \hat { b } } { e B _ { \parallel } ^ { * } } \times \nabla \left< \phi _ { 1 } \right> \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { g y } F - \frac { \textbf { B } ^ { * } } { m B _ { \parallel } ^ { * } } \boldsymbol { \cdot } \left( e \nabla \left< \phi _ { 1 } \right> \right) \frac { \partial F } { \partial { v } _ { g y , \parallel } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t ^ { 2 } } ^ { 2 } \vec { x } = } & { \mathbf { B } ^ { - 1 } \frac { \partial \mathbf { C } _ { B } } { \partial _ { t } } \left( \mathbf { M } - \vec { 1 } \vec { x } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } \right) ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \vec { x } } \\ & { + \mathbf { B } ^ { - 1 } \mathbf { C } _ { B } \Bigg [ \mathbf { M } \Bigg ( \mathbf { G } _ { 0 } \frac { \partial \vec { x } } { \partial t } + \mathbf { \Delta } \tilde { \mathbf { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \left( \mathbf { V } \frac { \partial \vec { x } } { \partial t } - \mathbf { \Xi } \mathbf { V } \vec { x } \right) \Bigg ) } \\ & { - \vec { 1 } \vec { x } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } \Bigg ( 2 \mathbf { G } _ { 0 } \frac { \partial \vec { x } } { \partial t } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \left( 2 \mathbf { V } \frac { \partial \vec { x } } { \partial t } - \mathbf { \Xi } \mathbf { V } \vec { x } \right) \Bigg ) \Bigg ] + \mathbf { B } ^ { - 1 } \mathbf { Z } \partial _ { t } \vec { u } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \theta ( t ) } & { { } = } & { \sin ^ { 2 } { \theta } + \cos { \theta } \tan { \psi } + g _ { 2 } ( t ) \cos ^ { 2 } { \theta } , } \\ { \frac { d } { d t } \psi ( t ) } & { { } = } & { - \sin { \theta } \sin ^ { 2 } { \psi } - \cos { \theta } \cos { \psi } } \\ { \frac { d } { d t } \big ( t \lambda _ { 3 } ( t ) \big ) } & { { } = } & { - \sin { \theta } \sin { \psi } \cos { \psi } + \cos { \theta } \cos { \psi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 } & { \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega \times [ 0 , \bar { t } ] ) } } \\ & { \qquad \leq C \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| \nabla u \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { p } ) } ^ { \theta } \| u \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { 2 } ) } ^ { 1 - \theta } + C \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { 2 } ) } } \\ & { \qquad \leq \epsilon C \theta \| \nabla u \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { p } ) } + C \left[ 1 + ( 1 - \theta ) \epsilon ^ { \frac { p } { 2 - p } } \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { \frac { p } { p - 2 } } \right] \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) \wedge \ast [ \delta N _ { \beta } ( \omega ) , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) ] _ { 1 } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \wedge e _ { \phi } ^ { j } , } \end{array}
Q = B + ( 2 \gamma _ { 0 } - 1 ) T \frac { \mathrm { d } B } { \mathrm { d } T } + ( \gamma _ { 0 } - 1 ) T ^ { 2 } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } B } { \mathrm { d } T ^ { 2 } } .
\frac { \| \b { H } ( i \omega ) \b { v } \| _ { \mathcal { L } _ { 2 } } ^ { 2 } } { \| \b { v } \| _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { \| e ^ { \b { A } t } \b { v } \| _ { \mathcal { L } _ { 2 } } ^ { 2 } } { \| \b { v } \| _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { \b { v } ^ { * } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \b { A } ^ { * } t } e ^ { \b { A } t } ~ \mathrm { d } t ~ \b { v } } { \b { v } ^ { * } \b { v } } = \frac { \b { v } ^ { * } \b { W _ { o } } \b { v } } { \b { v } ^ { * } \b { v } } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { j } ^ { h } \left( x _ { 0 _ { k } } \right) } & { = \sum _ { i } { N } _ { i j } ^ { u } \left( { x } _ { 0 _ { k } } \right) \tilde { u } _ { i } , } \\ { l ^ { \mathrm { c } ^ { h } } \left( x _ { 0 _ { k } } \right) } & { = \sum _ { i } { N } _ { i } ^ { l ^ { \mathrm { c } } } \left( { x } _ { 0 _ { k } } \right) \tilde { l } _ { i } ^ { \mathrm { c } } , } \end{array} \right. \qquad \forall x _ { 0 _ { k } } \in \Omega _ { 0 } ,
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { | g _ { \mu \nu } | } \ \frac { e ^ { - \sigma } } { l _ { s } ^ { 2 } } \, \left[ { \frac { 1 } { 2 } } R + { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla \sigma ) ^ { 2 } + { \cal L } _ { m } ( { \cal Y } , g _ { \mu \nu } , \sigma ) \right] .
\begin{array} { r l } & { r _ { 4 } : \quad 2 \mathrm { X } _ { 1 } \stackrel { k _ { 1 } } { \rightarrow } \mathrm { Z } , \quad r _ { 5 } : \quad \mathrm { Z } \stackrel { k _ { 2 } } { \rightarrow } 2 \mathrm { X } _ { 1 } , } \\ & { r _ { 6 } : \quad \mathrm { X } _ { 1 } + \mathrm { Z } \stackrel { k _ { 3 } } { \rightarrow } \left( \nu _ { i 3 } ^ { + } + \nu _ { j 3 } ^ { + } + \nu _ { k 3 } ^ { + } \right) \mathrm { X } _ { 1 } + \nu _ { z 3 } ^ { + } \mathrm { Z } , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \phi \left( x , y , \tau \right) } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \phi \left( x , y , \tau \right) } { \partial y ^ { 2 } } = - \frac { \rho \left( x , y , \tau \right) } { \varepsilon _ { 0 } } ,
\begin{array} { r } { \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { 1 z } ( r , \vee ) = - \frac { i } { 2 } \left( \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( - r , / ) - \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( r , / ) \right) } \\ { - \frac { i } { 2 } \mathcal { H T } \left\{ \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( r , / ) + \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( - r , / ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { \pm } ^ { ( t ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ T _ { p p } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) d _ { p } \frac { k _ { 0 z } } { k _ { 0 } } \mp i T _ { s s } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) d _ { s } \right] , } \\ { U _ { \pm } ^ { ( r ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ R _ { p p } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) d _ { p } \frac { k _ { 0 z } } { k _ { 0 } } \mp i R _ { s s } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) d _ { s } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( x , t ) } & { = } & { \frac { \omega _ { m } } { 1 + \left( \frac { r ( x , t ) } { r _ { t h r e s h } } \right) ^ { h } } \, f _ { G E N } ( x ) - \gamma _ { m } \, m ( x , t ) + D _ { m } \, \nabla ^ { 2 } m ( x , t ) } \\ { \dot { p } ( x , t ) } & { = } & { \omega _ { p } \; f _ { R I B } ( x ) \, m ( x , t ) - \gamma _ { p } \, p ( x , t ) + D _ { p } \nabla ^ { 2 } \, p ( x , t ) } \\ { \dot { r } ( x , t ) } & { = } & { \omega _ { r } \; f _ { R E P } ( x ) \, p ( x , t ) - \gamma _ { p } \, r ( x , t ) + D _ { r } \nabla ^ { 2 } \, r ( x , t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho = \sum _ { i , j = 0 , 1 } a _ { i j } | i j \rangle \langle i j | , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ { e _ { A } ^ { k } = \sum _ { i } P _ { k , i } | i \rangle \langle i | , ~ ~ ~ e _ { B } ^ { l } = \sum _ { j } P _ { l , j } | j \rangle \langle j | , } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ , ~ } ~ ~ \mathcal { C } ^ { \prime } ( d ) = ( T r [ \rho ( e _ { A } ^ { k } \otimes e _ { B } ^ { l } ) ] ) _ { k , l } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } f ( x ) g ( x ) d x } & { = } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \sin \omega x \Big [ \frac { \omega ^ { 2 } } { \lambda \omega ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } } \sin \omega x + \frac { B } { i } \sinh \frac { x } { 2 \sqrt { \lambda } } \Big ] d x } \\ & { = } & { \frac { \omega ^ { 2 } } { \lambda \omega ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } } \Big ( 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { \sin \omega } { \omega } \Big ) + \frac { B } { i } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \sin \omega x \sinh \frac { x } { 2 \sqrt { \lambda } } d x } \\ & { = } & { \frac { \omega ^ { 2 } } { \lambda \omega ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } } \Big ( 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { \sin \omega } { \omega } \Big ) + \frac { 2 B / i } { \omega ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \lambda } } \Big [ \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sin \omega \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } - \omega \cos \omega \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bigtriangleup ^ { 2 } ( X ) _ { Y } } & { = } & { \int _ { x , y \in X , Y } N \Big ( \mu _ { X } ^ { \prime } ( y ) , \Sigma _ { X } ^ { \prime } \Big ) ^ { 2 } \rho ( y ) \, d y \, d x - \int _ { x \in X } N \Big ( \mu _ { X } , \Sigma _ { X } \Big ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } ( 2 \pi ) ^ { k _ { X } / 2 } } \Big ( \frac { 1 } { | \Sigma _ { X } ^ { \prime } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } - \frac { 1 } { | \Sigma _ { X } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \vec { \xi } } _ { i j } ^ { \mathrm { t } } = ( \dot { \vec { r } } _ { i } + \boldsymbol { \omega } _ { i } \times \boldsymbol { b } _ { i j } ) - ( \dot { \vec { r } } _ { j } + \boldsymbol { \omega } _ { j } \times \boldsymbol { b } _ { j i } ) - \dot { \xi } \frac { \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } } { | \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } | } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( \phi ) = \biggl ( \frac { 1 - \exp [ b _ { 1 } ( \phi - 1 ) ] } { 1 - \exp [ b _ { 1 } ( \phi _ { 0 } - 1 ) ] } \frac { 1 - \exp [ - b _ { 2 } ( \phi + 1 ) ] } { 1 - \exp [ - b _ { 2 } ( \phi _ { 0 } + 1 ) ] } \biggr ) ^ { 2 } , } \end{array}
( 1 s ) ^ { q _ { 1 } } \, ( 2 s ) ^ { q _ { 2 } } \, ( 2 p ) ^ { q _ { 3 } } \, ( 3 s ) ^ { q _ { 4 } } \, ( 3 p ) ^ { q _ { 5 } } \, ( 3 d ) ^ { q _ { 6 } } \, ( 4 s \, 4 p \, 4 d \dots ) ^ { q _ { 7 } }
{ \vec { E } } = { \frac { - q } { 4 \pi \varepsilon _ { \circ } } } \left[ { \frac { { \vec { e } } _ { r ^ { \prime } } } { r ^ { 2 } } } + { \frac { r ^ { \prime } } { c } } { d \, o v e r d t } \left( { \frac { { \vec { e } } _ { r ^ { \prime } } } { r ^ { 2 } } } \right) + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { d ^ { 2 } \, o v e r d t ^ { 2 } } \left( { \vec { e } } _ { r ^ { \prime } } \right) \right]
\begin{array} { r } { \mathbf { v } _ { k } ^ { + } - \mathbf { v } _ { k } ^ { - } = \mathbf { u } _ { 0 } d _ { k } + \mathbf { u } _ { k } d _ { \Gamma } + \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { k - \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { u } _ { k - \frac { 1 } { 2 } } d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { W } ^ { k - 1 } | _ { \rho = + \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { \omega } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { a i } \big ( \kappa _ { a i } ^ { \omega } E _ { a i } + [ \kappa _ { a i } ^ { - \omega } ] ^ { * } \; E _ { i a } \big ) } \\ & { + \sum _ { \alpha } \big ( \gamma _ { \alpha } ^ { \omega } b _ { \alpha } ^ { \dagger } + [ \gamma _ { \alpha } ^ { - \omega } ] ^ { * } \; b _ { \alpha } \big ) } \\ { \Lambda ^ { \omega , \omega ^ { \prime } } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { a i } \big ( \kappa _ { a i } ^ { \omega , \omega ^ { \prime } } E _ { a i } + [ \kappa _ { a i } ^ { - \omega , - \omega ^ { \prime } } ] ^ { * } \; E _ { i a } \big ) } \\ & { + \sum _ { \alpha } \big ( \gamma _ { \alpha } ^ { \omega , \omega ^ { \prime } } b _ { \alpha } ^ { \dagger } + [ \gamma _ { \alpha } ^ { - \omega , - \omega ^ { \prime } } ] ^ { * } \; b _ { \alpha } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi _ { \infty } ( \lambda ) } & { = } & { \Psi _ { \infty } ^ { ( \mathrm { r e g } ) } ( z ) \, { \operatorname { d i a g } } \left( \exp \left( - \sum _ { k = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } \frac { t _ { \infty , k } } { k } z ^ { k } + \frac { 1 } { 2 } \ln z \right) , \exp \left( - \sum _ { k = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } ( - 1 ) ^ { k } \frac { t _ { \infty , k } } { k } z ^ { k } + \frac { 1 } { 2 } \ln z \right) \right) } \\ & { = } & { \Psi _ { \infty } ^ { ( \mathrm { r e g } ) } ( z ) \, { \operatorname { d i a g } } \left( \exp \left( - \sum _ { k = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } \frac { t _ { \infty , k } } { k } \lambda ^ { \frac { k } { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } \ln \lambda \right) , \exp \left( - \sum _ { k = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } ( - 1 ) ^ { k } \frac { t _ { \infty , k } } { k } \lambda ^ { \frac { k } { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } \ln \lambda \right) \right) } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { i } ^ { j + 1 } } & { = \frac { \rho _ { i - 1 } ^ { j } + \rho _ { i + 1 } ^ { j } } { 2 } - \frac { \Delta t } { 2 \Delta x } \left( c ( x _ { i + 1 } ) V ( h _ { i + 1 } ^ { j } ) \rho _ { i + 1 } ^ { j } - c ( x _ { i - 1 } ) V ( h _ { i - 1 } ^ { j } ) \rho _ { i - 1 } ^ { j } \right) , } \\ { \tilde { z } _ { i } ^ { j + 1 } } & { = \frac { \rho _ { i - 1 } ^ { j } h _ { i - 1 } ^ { j } + \rho _ { i + 1 } ^ { j } h _ { i + 1 } ^ { j } } { 2 } - \frac { \Delta t } { 2 \Delta x } \left( c ( x _ { i + 1 } ) V ( h _ { i + 1 } ^ { j } ) \rho _ { i + 1 } ^ { j } h _ { i + 1 } ^ { j } - c ( x _ { i - 1 } ) V ( h _ { i - 1 } ^ { j } ) \rho _ { i - 1 } ^ { j } h _ { i - 1 } ^ { j } \right) , } \\ { z _ { i } ^ { j + 1 } } & { = \tilde { z } _ { i } ^ { j } + \Delta t \left( \frac { \gamma } { 2 } ( \rho _ { i } ^ { j } ) ^ { 2 } \eta \frac { c ( x _ { i + 1 } ) V ( h _ { i + 1 } ^ { j } ) - c ( x _ { i } ) V ( h _ { i } ^ { j } ) } { \Delta x } + a \rho _ { i } ^ { j } ( H ( \rho _ { i } ^ { j } ) - h _ { i } ^ { j } ) \right) , } \\ { h _ { i } ^ { j + 1 } } & { = \frac { z _ { i } ^ { j + 1 } } { \rho _ { i } ^ { j + 1 } } . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } ( \mathbf { \nabla } \times \mathbf { B } ) } & { = \mathbf { \nabla } \times \left( \mathbf { H } + \mathbf { M } \right) } \\ & { = \mathbf { \nabla } \times \mathbf { H } + \mathbf { J } _ { \mathrm { M } } } \\ & { = \mathbf { J } _ { \mathrm { f } } + \mathbf { J } _ { \mathrm { P } } + \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } + \mathbf { J } _ { \mathrm { M } } . } \end{array} }
{ \delta _ { i + 1 } \! \gets \! \operatorname* { m i n } \left\{ \displaystyle \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \textstyle \frac { 1 } { w } \big ( ( F ^ { * } \triangle F _ { i } ) \cap S _ { i } \big ) } , \, \operatorname* { m i n } _ { s \in F ^ { * } \cap S _ { i } } \! \left\{ u ( s ) - \frac { d _ { i } } { w ( s ) } \right\} , \, \operatorname* { m i n } _ { s \in S _ { i } \setminus F ^ { * } } \! \left\{ \frac { d _ { i } } { w ( s ) } - \ell ( s ) \right\} \right\} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = - 1 } ^ { 1 } \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { \zeta _ { m } ^ { m a t } } } & { u _ { m } ^ { i n } ( \mu ^ { \prime } , \zeta ) \zeta ^ { 2 } d \zeta } \\ & { + \int _ { \zeta _ { m } ^ { m a t } } ^ { \infty } u _ { m } ^ { o u t } ( \mu ^ { \prime } , \zeta , \zeta _ { m } ^ { m a t } ) \zeta ^ { 2 } d \zeta \Bigg ] = \frac { N } { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \partial _ { t } + \frac { \boldsymbol { p } } { m } \cdot \partial _ { r } ) f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { p } , t ) } & { = } & { \frac { e } { i \hbar } \int d \boldsymbol { \xi } \int \frac { d \boldsymbol { p ^ { \prime } } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } e ^ { i ( \boldsymbol { p ^ { \prime } } - \boldsymbol { p } ) \cdot \boldsymbol { \xi } / \hbar } } \\ & { \times } & { [ \phi ( \boldsymbol { r } + \frac { \boldsymbol { \xi } } { 2 } ) - \phi ( \boldsymbol { r } - \frac { \boldsymbol { \xi } } { 2 } ) ] f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { p ^ { \prime } } , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { \ m b { D } } _ { t } q } & { = h ^ { - 1 } \big [ \boldsymbol { \nabla } ^ { \perp } \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \big ] _ { \scriptscriptstyle F } + \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } h ^ { - 1 } \sum _ { \scriptscriptstyle i , j = 1 , 2 } \partial _ { x _ { i } } \partial _ { x _ { j } } \big ( \boldsymbol { \nabla } a _ { i j } \times \boldsymbol { u } \big ) \, \mathrm { d } t } \\ & { - \mathrm { d } \Big \langle \int _ { 0 } ^ { t } \boldsymbol { \sigma } _ { s } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { s } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } h ^ { - 1 } , \int _ { 0 } ^ { t } \big [ \boldsymbol { \nabla } ^ { \perp } \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \sigma } _ { s } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { s } \big ] _ { \scriptscriptstyle F } \Big \rangle _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { P } _ { \mathrm { 0 0 } } } & { = P _ { 0 0 } p _ { \mathrm { T P } } ^ { 2 } + ( P _ { 0 1 } + P _ { 1 0 } ) p _ { \mathrm { T P } } p _ { \mathrm { F P } } + P _ { 1 1 } p _ { \mathrm { F P } } ^ { 2 } } \\ { \tilde { P } _ { \mathrm { 1 1 } } } & { = P _ { 1 1 } p _ { \mathrm { T P } } ^ { 2 } + ( P _ { 0 1 } + P _ { 1 0 } ) p _ { \mathrm { T P } } p _ { \mathrm { F P } } + P _ { 0 0 } p _ { \mathrm { F P } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f \left( \mathbf { F } _ { 1 , \mathrm { u } , ( 2 ) } , \dots , \mathbf { F } _ { K , \mathrm { u } , ( 2 ) } \right) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 2 ) } \left[ \mathrm { t r } \left( \mathbf { W } _ { k , ( 2 ) } \left( \mathbf { I } _ { N } - \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 2 ) } ^ { H } \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } ^ { H } \right\} \mathbf { A } _ { k } \right) \left( \mathbf { I } _ { N } - \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 2 ) } ^ { H } \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } ^ { H } \right\} \mathbf { A } _ { k } \right) ^ { H } \right) \right] } } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 2 ) } \left[ \mathrm { t r } \left( \mathbf { W } _ { k , ( 2 ) } \mathbf { A } _ { k } ^ { H } \left( \sum _ { l \ne k } ^ { K } { \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k l } \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } , ( 2 ) } \mathbf { G } _ { k l } ^ { H } \right\} } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { S } _ { k } \right) \mathbf { A } _ { k } \right) \right] } } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \lambda _ { k , ( 2 ) } \left( \mathrm { t r } \left( \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 2 ) } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 2 ) } ^ { H } \right) - p _ { k } \right) } . } \end{array}
A _ { E \, 1 / 2 } = - \frac { \psi ( 0 ) } { \sqrt { 3 m _ { d } } } F _ { E } ( k ^ { 2 } ) \bar { U } _ { B } \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } \frac { 1 + \mathbf { v } } { 2 } g _ { s } \epsilon _ { \mu } ^ { \dagger } [ k _ { \lambda } - 2 m _ { d } v _ { \lambda } ] P ^ { \lambda } .
\begin{array} { r l } { S ( f ) } & { = \Pi _ { - B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } , B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } ( f ) m _ { \mathrm { p r n } } ^ { 2 } \frac { | P ( f ) | ^ { 2 } } { T _ { c } } , } \\ { \sigma ^ { 2 } } & { = m _ { \mathrm { p r n } } ^ { 2 } \int _ { - B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } ^ { B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } \frac { | P ( f ) | ^ { 2 } } { T _ { c } } \mathrm { d } f . } \end{array}
p ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } , \varepsilon ) = p _ { + } = \frac 1 2 ( b + \sqrt { d } ) , \, \theta ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } , \varepsilon ) = \frac { \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) + p } { \gamma c _ { V } \rho } ,
\begin{array} { r l } { l _ { \ell _ { f } } : = } & { ~ \operatorname* { m a x } \{ 0 \, , \, \operatorname* { m i n } \{ l _ { f } - f ^ { * } , f ^ { * } - u _ { f } \} \} ~ , } \\ { u _ { \ell _ { f } } : = } & { ~ \operatorname* { m i n } \{ 1 \, , \, \operatorname* { m a x } \{ u _ { f } - f ^ { * } , f ^ { * } - l _ { f } \} \} ~ . } \end{array}
\| \mathbf { U } \| ^ { 2 } = U ^ { \mu } U _ { \mu } = { \frac { d X ^ { \mu } } { d \tau } } { \frac { d X _ { \mu } } { d \tau } } = { \frac { d X ^ { \mu } d X _ { \mu } } { d \tau ^ { 2 } } } = c ^ { 2 } \, ,
R _ { i j } ^ { ( \ell ) } ( \Lambda _ { 1 } , \dots , \Lambda _ { i } , \dots , \Lambda _ { j } , \dots , \Lambda _ { N } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( \Lambda _ { 1 } , \dots , \Lambda _ { i } - \ell , \dots , \Lambda _ { j } + \ell , \dots , \Lambda _ { N } ) } } & { { \mathrm { { i f } } \, \, \Lambda _ { i } > \Lambda _ { j } \, , } } \\ { { ( \Lambda _ { 1 } , \dots , \Lambda _ { i } + \ell , \dots , \Lambda _ { j } - \ell , \dots , \Lambda _ { N } ) } } & { { { \mathrm { i f } } \, \, \Lambda _ { j } > \Lambda _ { i } \, . } } \end{array} \right.
\mathcal { H L } ( s ^ { - } , y ^ { - } ) = \left\{ ( s ^ { + } , y ^ { + } ) : d e t ( \Phi _ { k } ^ { T } , \Phi _ { i _ { 1 } } ^ { T } , \Phi _ { i _ { 2 } } ^ { T } ) = 0 \right\} ,
\begin{array} { r } { \underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \langle A ( y ^ { n } ) , y ^ { n } \rangle = \underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \sum _ { \xi , \zeta \in \Xi } c _ { \xi } \overline { { c _ { \zeta } } } K _ { n } ( \xi , \zeta ) = \sum _ { \xi , \zeta \in \Xi } c _ { \xi } \overline { { c _ { \zeta } } } K ( \xi , \zeta ) < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \vec { x } , t ) = \frac { I _ { 0 } } { L ^ { d } } \prod _ { \mu = 1 } ^ { d } \sum _ { n _ { \mu } = - \infty } ^ { \infty } } & { \cos ( \frac { 2 \pi n _ { \mu } x ^ { \mu } } { L } ) } \\ { \times } & { \exp \left( - D \left( \frac { 2 \pi n _ { \mu } } { L } \right) ^ { 2 } t \right) e ^ { ( \beta - \gamma ) t } . } \end{array}
\phi _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) = 2 \pi \left( c _ { j , k } + \boldsymbol { s } _ { j , k } \cdot \boldsymbol { \xi } + \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \Omega _ { 0 , 0 } \, .
\begin{array} { r l } & { \left[ i \left( \frac { \partial } { \partial z } + \frac { 1 } { V _ { g j } } \frac { \partial } { \partial t } \right) + \mathrm { I m } ( K _ { 0 j } ) \right] \hat { E } _ { p j } - \frac { K _ { 2 j } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \hat { E } _ { p j } } \\ & { + | g _ { p } | ^ { 2 } \left( W _ { j j } \hat { E } _ { p j } ^ { \dag } \hat { E } _ { p j } + W _ { j 3 - j } \hat { E } _ { p 3 - j } ^ { \dagger } \hat { E } _ { p 3 - j } \right) \hat { E } _ { p j } = i { \hat { \cal F } } _ { p j } } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \sigma } \operatorname* { s u p } _ { 0 < \varepsilon ^ { \prime } < \varepsilon } \mathbb E \Bigl ( 1 - \prod _ { k : \varepsilon ^ { \prime } < | \xi _ { k } | \le \varepsilon } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { 1 , k } ) \bar { s } _ { 1 , k } \delta _ { 1 } ) \Bigr ) ^ { 2 } \xrightarrow [ \varepsilon \downarrow 0 ] 0 .
\begin{array} { r l } { \Dot { q } _ { t } } & { = m ^ { - 1 } \cdot p _ { t } , } \\ { \Dot { p } _ { t } } & { = - \mathrm { g r a d } _ { q } V | _ { q ^ { t } } , } \\ { \Dot { Q } _ { t } } & { = m ^ { - 1 } \cdot P _ { t } , } \\ { \Dot { P } _ { t } } & { = - \mathrm { H e s s } _ { q } V | _ { q ^ { t } } \cdot Q _ { t } , } \\ { \Dot { S } _ { t } } & { = L _ { t } , } \end{array}