harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
B _ { \varepsilon } ( x _ { 1 } , \, x _ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { \sqrt { x _ { 2 } } } , } & { \mathrm { f o r ~ } ( x _ { 1 } , \, x _ { 2 } ) \in \Omega _ { \varepsilon } ^ { 1 } , } \\ { \frac { 1 - \varepsilon ^ { 2 } + x _ { 2 } } { 2 - 2 \varepsilon } e ^ { 1 - \varepsilon } , } & { \mathrm { f o r ~ } ( x _ { 1 } , \, x _ { 2 } ) \in \Omega _ { \varepsilon } ^ { 2 } , } \\ { \frac { 1 - \beta } { 1 - \varepsilon } \exp \left( x _ { 1 } + \beta - \varepsilon \right) , } & { \mathrm { f o r ~ } ( x _ { 1 } , \, x _ { 2 } ) \in \Omega _ { \varepsilon } ^ { 3 } . } \end{array} \right.
\mathbf { v } _ { i } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } = \mathbf { v } _ { i } ^ { n } + \frac { \delta t } { 2 } \big ( \frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { v } _ { i } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \big ) ^ { n } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d { T } _ { 1 } } { d z } } & { = \frac { d ^ { 2 } { T } _ { 1 } } { d z ^ { 2 } } + \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \left( { V } _ { 0 } \frac { d { P } _ { 1 } } { d z } + b ^ { 2 } \nu \left( \frac { d V _ { 0 } } { d z } \right) ^ { 2 } \right) , } \\ { \frac { d { Y } _ { 1 } } { d z } } & { = \frac { 1 } { L e } \frac { d ^ { 2 } { Y } _ { 1 } } { d z ^ { 2 } } . } \end{array}
S _ { i } = \left\{ \begin{array} { l r } { \ln | c _ { i } | ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | c _ { i } | ^ { 2 } \neq 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | c _ { i } | ^ { 2 } = 0 } \end{array} \right. .
v _ { \bot } = \frac { \partial H _ { B L G } ^ { \xi } ( \theta ) } { \partial p _ { \bot } } = \xi \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { v _ { 3 } \Theta } & { v _ { 4 } \Theta ^ { \dagger } } & { v \Theta ^ { \dagger } } \\ { v _ { 3 } \Theta ^ { \dagger } } & { 0 } & { v \Theta } & { v _ { 4 } \Theta } \\ { v _ { 4 } \Theta } & { v \Theta ^ { \dagger } } & { 0 } & { 0 } \\ { v \Theta } & { v _ { 4 } \Theta ^ { \dagger } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \widehat { \mathcal { C } } \left( r \right) = \frac { 1 } { m } \widehat { \mathcal { V } } ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \langle \mathcal { H } _ { m \times n } \left( 1 \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \mathcal { H } _ { m \times n } \left( 1 \right) \rangle } \\ { \langle \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } \mathcal { H } _ { m \times n } \left( 1 \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \mathcal { H } _ { m \times n } \left( 1 \right) \rangle } \\ { \langle \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { 2 } \mathcal { H } _ { m \times n } \left( 1 \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \mathcal { H } _ { m \times n } \left( 1 \right) \rangle } \\ { \vdots } \\ { \langle \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r - 1 } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) \rangle _ { \mathbb { K } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { = } & { { } } & { \left[ \frac { 1 - n _ { 0 } ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } \left( \partial _ { z ^ { ' } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { n _ { 0 } ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } } { 1 - n _ { 0 } ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } \partial _ { t ^ { ' } } ^ { 2 } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { + } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int d \mathbf { k } z _ { + } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) , } \\ { P _ { + } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int d \mathbf { k } N ^ { - 1 } K z _ { + } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) , } \end{array}
\dot { \widetilde { \delta p } } + \left( 3 { \frac { \dot { a } _ { b } } { a _ { b } } } + { \frac { \dot { n } _ { b } } { n _ { b } } } \right) \widetilde { \delta p } = k ^ { 2 } \widetilde { \delta \pi } + 6 \left( { \frac { \rho + P } { \lambda } } \right) \left( { \frac { \dot { a } _ { b } } { a _ { b } } } \delta p - { \frac { k ^ { 2 } } { 2 } } \delta \pi \right) \, .
G _ { i } ^ { 3 } = 2 ^ { 1 - \zeta } \sum _ { \substack { j \neq i \, j < k } } ( 1 + \lambda \cos \theta _ { i j k } ) ^ { \zeta } e ^ { - \eta [ ( r _ { i j } - r _ { s } ) ^ { 2 } + ( r _ { i k } - r _ { s } ) ^ { 2 } + ( r _ { j k } - r _ { s } ) ^ { 2 } ] } f _ { c } ( r _ { i j } ) f _ { c } ( r _ { i k } ) f _ { c } ( r _ { j k } )
\left| \Psi _ { \textrm { 1 , a l t } } ( A ) \right\rangle = \left( \sum _ { k _ { d } = 1 } ^ { N } A _ { d k _ { d } } \left( \hat { a } _ { k _ { d } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { k _ { d } } \right) \right) \ldots \left( \sum _ { k _ { 2 } , k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { 2 k _ { 2 } } A _ { 1 k _ { 1 } } \hat { a } _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } \right) | \textrm { v a c } \rangle .
\Delta { { h } _ { a } } = - \Delta t { { \left[ \frac { \partial \left( U _ { i } ^ { n } \right) } { \partial { { x } _ { j } } } + { { \theta } _ { 1 } } \frac { \partial \Delta U _ { i } ^ { * } } { \partial { { x } _ { i } } } - \Delta t { { \theta } _ { 1 } } \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { p } ^ { n + { { \theta } _ { 2 } } } } } { \partial { { x } _ { i } } \partial { { x } _ { i } } } \right] } }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sin ( \theta _ { 1 } ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta _ { 1 } ) h _ { 1 } \Big ) } & { { } = \left( \frac { \omega _ { N } \tan \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } { \sin ( \theta _ { 1 } ) } - \widetilde { \gamma } \right) \partial _ { \varphi } h _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d ^ { 4 } y } { d x ^ { 4 } } + \frac { 1 } { x } \, \frac { d ^ { 3 } y } { d x ^ { 3 } } + \left[ - \frac { 9 } { 4 x ^ { 2 } } + \frac { 5 } { 3 } \right] \, \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 x } \, \frac { d y } { d x } - \left[ \frac { 3 } { 4 x ^ { 2 } } - \frac { 4 } { 9 } \right] \, y = 0 \, . } \end{array}
\mathrm { R a _ { l } = \left\{ \begin{array} { r l r l r } & { \frac { g ( \ r h o ( S _ { e } , T _ { 0 e } ) - \ r h o ( S _ { e } , T _ { b } ) ) ( H - h _ { e } ) ^ { 3 } } { \ n u ( T _ { l } ) \ k a p p a ( T _ { l } ) \ r h o ( S _ { e } , T _ { l } ) } , } & { T _ { m a x } } & { \le T _ { 0 e } , } & \\ & { \frac { g ( \ r h o ( S _ { e } , T _ { m a x } ) - \ r h o ( S _ { e } , T _ { b } ) ( H - h _ { e } - h _ { m a x } ) ^ { 3 } } { \ n u ( T _ { u } ) \ k a p p a ( T _ { u } ) \ r h o ( S _ { e } , T _ { u } ) } , } & { T _ { m a x } } & { \in ( T _ { 0 e } , T _ { b } ) . } & \end{array} \right. }
\mathbf { w } _ { j } = \left( \begin{array} { c } { w _ { j } ^ { x } } \\ { w _ { j } ^ { y } } \\ { w _ { j } ^ { z } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \Re \ \langle 1 _ { - } | \hat { W } _ { j } | 1 _ { + } \rangle } \\ { \Im \ \langle 1 _ { - } | \hat { W } _ { j } | 1 _ { + } \rangle } \\ { \langle 1 _ { + } | \hat { W } _ { j } | 1 _ { + } \rangle } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { s _ { 1 } = s _ { 2 } ^ { * } = \sqrt { c ^ { 2 } - 1 + \frac { k ^ { 2 } } { 2 } + \sqrt { \left( 1 - \frac { k ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } + c ^ { 2 } k ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } + i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } - \frac { k ^ { 2 } } { 2 } + \sqrt { \left( 1 - \frac { k ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } + c ^ { 2 } k ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \tilde { g } _ { 2 } , \tilde { A } _ { 2 } ) } & { = \big ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) - V _ { b } \big ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \check { L } _ { b } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) } \\ & { = - V _ { b } \big ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } - \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } \big ) \check { L } _ { b } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) } \\ & { = V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \big ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) - \check { L } _ { b } ( 0 ) \big ) \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } \check { L } _ { b } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) } \\ & { = \sigma V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) } \end{array}
\mathfrak { C _ { \mathrm { v a r } } ^ { ( 1 ) } } ( \kappa , \delta ) = L ^ { 1 - \frac { 1 } { \kappa ( 1 - \delta ) } } ( \underline { { c } } ^ { - \frac { 3 - \delta } { \kappa ( 1 - \delta ) ^ { 2 } } } \vee \underline { { c } } ^ { - \frac { 3 + \kappa - ( \kappa + 1 ) \delta } { \kappa ( 1 - \delta ) ^ { 2 } } } ) \bar { \Psi } ^ { 1 + \left( 4 - \frac { 2 } { \kappa } \right) r + \varepsilon ( \delta , \kappa ) r } \; \textnormal { w i t h } \; \varepsilon ( \delta , \kappa ) = \left( 3 - \frac { 2 } { \kappa } - \frac { 2 } { \kappa ( 1 - \delta ) } \right) \frac { \delta } { 1 - \delta } .
\frac { d } { d \ln \mu } \frac { d } { d \ln Q ^ { 2 } } \ln \hat { U } _ { C } = - \frac { d } { d \ln \mu } \frac { d } { d \ln Q ^ { 2 } } \ln U _ { C , \mathrm { c u s p } } = \Gamma _ { \mathrm { c u s p } } ( \alpha _ { \mathrm { s } } )
\begin{array} { r } { \langle \vec { E } _ { \ell } ^ { \mathrm { \, s } } \rangle _ { { \textstyle \mathstrut } j } ( \vec { r } ) = \frac { 2 \pi i \left( e ^ { i \left( k _ { \mathrm { m } } z + ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) ( z _ { j } - 3 a ) \vphantom { b ^ { 2 } } \right) } - e ^ { i \left( k _ { \mathrm { m } } z - ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) a \vphantom { b ^ { 2 } } \right) } \right) } { ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) k _ { \mathrm { m } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } V } \, S _ { \ell } ( 0 ) \vec { E } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { \, e } } . } \end{array}
c h ( V ) = r a n k V + c _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } ( c _ { 1 } ^ { 2 } - 2 c _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 6 } ( c _ { 1 } ^ { 3 } - 3 c _ { 1 } c _ { 2 } + 3 c _ { 3 } ) ,
\lambda ( { \mathrm { \boldmath ~ \ r h o ~ } } , { \mathrm { \boldmath ~ \dot { \ r h o } ~ } } ) = ( { \mathrm { \boldmath ~ \ r h o ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \dot { \ r h o } ~ } } ) \left( \frac { \mu { \mathrm { \boldmath ~ \dot { \ r h o } ~ } } ^ { 2 } } { 8 } \left( 1 - \frac { 3 \mu } { m } \right) + \frac { 1 } { 4 } \left( 1 - \frac { \mu } { m } - 4 B \right) U ( \rho ) \right) \, ,
\displaystyle \int _ { \Gamma _ { i } } \mathbf { \cal { F } } ( \mathbf { W } ^ { n } ) { \boldsymbol { \widetilde { \eta } } _ { i } } \, \mathrm { d S } = \displaystyle \sum _ { N _ { j } \in { \cal K } _ { i } } \displaystyle \int _ { \Gamma _ { i j } } { \cal { Z } } ( \mathbf { W } ^ { n } , { { \boldsymbol { \tilde { \eta } } } _ { i j } } ) \, \mathrm { d S } .
\begin{array} { r } { V ( \hat { R } ) = - \frac { M \omega _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } } { 2 } \hat { R } ^ { 2 } + \frac { M ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { b } } ^ { 4 } } { 1 6 E _ { \mathrm { b } } } \hat { R } ^ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { b ( e _ { \mathrm { o u t } } | e _ { \mathrm { i n } } ) = \frac { ( \kappa + 1 ) ^ { 2 } } { 8 \kappa \sqrt { e _ { \mathrm { i n } } } } \times \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { ( e _ { \mathrm { i n } } - e _ { \mathrm { o u t } } ) } \left[ e r f \left( \frac { ( \kappa + 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { i n } } } + ( \kappa - 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { o u t } } } } { 2 \sqrt { \kappa } } \right) - e r f \left( \frac { ( \kappa + 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { i n } } } - ( \kappa - 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { o u t } } } } { 2 \sqrt { \kappa } } \right) \right] + } & \\ { e r f \left( \frac { ( \kappa - 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { i n } } } + ( \kappa + 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { o u t } } } } { 2 \sqrt { \kappa } } \right) - e r f \left( \frac { ( \kappa - 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { i n } } } - ( \kappa + 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { o u t } } } } { 2 \sqrt { \kappa } } \right) } & \\ { \mathrm { i f ~ } e _ { \mathrm { i n } } > e _ { \mathrm { o u t } } , } & \\ { e r f \left( \frac { ( \kappa - 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { i n } } } + ( \kappa + 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { o u t } } } } { 2 \sqrt { \kappa } } \right) - e r f \left( \frac { - ( \kappa - 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { i n } } } + ( \kappa + 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { o u t } } } } { 2 \sqrt { \kappa } } \right) + } & \\ { e ^ { ( e _ { \mathrm { i n } } - e _ { \mathrm { o u t } } ) } \left[ e r f \left( \frac { ( \kappa + 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { i n } } } + ( \kappa - 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { o u t } } } } { 2 \sqrt { \kappa } } \right) - e r f \left( \frac { - ( \kappa + 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { i n } } } + ( \kappa - 1 ) \sqrt { e _ { \mathrm { o u t } } } } { 2 \sqrt { \kappa } } \right) \right] } & \\ { \mathrm { i f ~ } e _ { \mathrm { i n } } < e _ { \mathrm { o u t } } . } & \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle a ^ { 2 } \left( t , \mathbf { x } \right) \right\rangle } & { = \left\langle a ^ { 2 } \left( 0 , \mathbf { x } \right) \right\rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } \left\langle w \left( \tau , \mathbf { x } \right) w \left( \tau ^ { \prime } , \mathbf { x } \right) \right\rangle d \tau d \tau ^ { \prime } } \\ & { = \left\langle a ^ { 2 } \left( 0 , \mathbf { x } \right) \right\rangle + \delta ^ { d - 1 } \left( 0 \right) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } \delta \left( \tau - \tau ^ { \prime } \right) d \tau d \tau ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \hat { t } } \hat { v } + ( \hat { v } \cdot \hat { \nabla } ) \hat { v } } & { { } = - \hat { \nabla } \hat { p } + \frac { 1 } { F r ^ { 2 } } \hat { g } + \frac { 1 } { R e } \hat { \Delta } \hat { v } } \\ { R e = \frac { V L } { \nu } } & { { } \qquad F r = \frac { V } { \sqrt { G L } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \psi ( \cdot , t _ { k } ) - I _ { N } \psi ^ { k } \| _ { L ^ { 2 } } \lesssim \tau + h ^ { 2 } , \quad \| \psi ^ { k } \| _ { l ^ { \infty } } \leq 1 + M _ { 2 } } \\ & { \| \psi ( \cdot , t _ { k } ) - I _ { N } \psi ^ { k } \| _ { H ^ { 1 } } \lesssim \tau ^ { \frac { 1 } { 2 } } + h , \quad 0 \leq k \leq \frac { T } { \tau } . } \end{array}
f _ { s } ( v _ { \parallel } , v _ { \perp } ) = \frac { n _ { s } \pi ^ { - 3 / 2 } } { \alpha _ { s } ^ { 3 } } \exp \Bigg \{ { - \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { \alpha _ { s } ^ { 2 } } - \frac { v _ { \parallel } ^ { 2 } } { \alpha _ { s } ^ { 2 } } } \Bigg \} ,
\begin{array} { r l r } { { \Delta _ { E } } } & { { } = } & { \frac { 2 7 } { 4 } R _ { E } ^ { 2 } + Q _ { E } ^ { 3 } , } \\ { { Q _ { E } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } ( - \mathcal { S } _ { i j } \mathcal { S } _ { i j } + \mathcal { R } _ { i j } \mathcal { R } _ { i j } ) } \\ { { R _ { E } } } & { { } = } & { \frac { - 1 } { 3 } ( \mathcal { S } _ { i j } \mathcal { S } _ { j k } \mathcal { S } _ { k i } + 3 \mathcal { R } _ { i j } \mathcal { R } _ { j k } \mathcal { S } _ { k i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { E _ { 8 } ^ { + } = } } & { { \{ \pm e _ { a } \} } } \\ { { \cup } } & { { \{ ( \pm e _ { a } \pm e _ { b } \pm e _ { c } \pm e _ { d } ) / 2 : a , b , c , d \mathrm { ~ d i s t i n c t } , \; e _ { a } ( e _ { b } ( e _ { c } e _ { d } ) ) = \pm 1 \} , } } \\ { { } } & { { a , b , c , d \in \{ 0 , . . . , 7 \} . } } \end{array}
U _ { \mathrm { s u r f } } \propto \left\{ \begin{array} { r l r } { 4 \pi R L + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { { } , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ { 8 \pi R ^ { 2 } + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { { } , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ { 1 6 \pi R ^ { 2 } + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { { } , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { u _ { k } ^ { \star } - u _ { k } ^ { n - 1 } } { \Delta t } + B _ { k } ^ { n - 1 / 2 } } & { = - \nabla _ { k } p ^ { \star } + \nu { \nabla } ^ { 2 } \tilde { u } _ { k } + f _ { k } ^ { n - 1 / 2 } \qquad \mathrm { f o r ~ } k = 1 , \dots , d , } \\ { { \nabla } ^ { 2 } \varphi } & { = - \frac { 1 } { \Delta t } \nabla \cdot \b u ^ { \star } , } \\ { \frac { u _ { k } ^ { n } - u _ { k } ^ { \star } } { \Delta t } } & { = - { \nabla } _ { k } \varphi \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \mathrm { f o r ~ } k = 1 , \dots , d , } \end{array}
{ J } _ { ( \mu _ { 1 } \dots \mu _ { n } ; \mu _ { n + 1 } ) } ^ { ( n ) } + \frac { \partial { J } _ { ( \mu _ { 1 } \dots \mu _ { n } } ^ { ( n ) } } { \partial \psi ^ { \sigma } } \Gamma _ { \mu _ { n + 1 } ) \lambda } ^ { \sigma } \psi ^ { \lambda } = \frac { i } { 2 } \psi ^ { \rho } \psi ^ { \sigma } R _ { \rho \sigma \nu ( \mu _ { n + 1 } } { { J } ^ { ( n + 1 ) \nu } } _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { n } ) }
\int \rho _ { \chi } ^ { 2 } d l = \rho _ { \mathrm { l o c } } ^ { 2 } R \frac { x } { 2 ( x - c ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \, \left[ \frac { \pi } { 2 } + \arctan \frac { c } { \sqrt { x - c ^ { 2 } } } + \frac { c \sqrt { x - c ^ { 2 } } } { x } \right] .
\begin{array} { r } { R _ { O Y } ( t ) = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \frac { m _ { 2 } t } { I _ { 1 } } } & { 0 } & { \sin \frac { m _ { 2 } t } { I _ { 1 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \sin \frac { m _ { 2 } t } { I _ { 1 } } } & { 0 } & { \cos \frac { m _ { 2 } t } { I _ { 1 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { v _ { 0 } v _ { L } } } & { = } & { L \left( 2 c ^ { H } - 1 \right) + 2 c ^ { H } \sum _ { I = 1 } ^ { L } \frac { c ^ { - I } \left( c ^ { I } - c \right) } { c - 1 } } \\ & { = } & { L \left( \frac { 2 c ^ { H + 1 } } { c - 1 } - 1 \right) - \frac { 2 c ^ { H + 1 } ( 1 - c ^ { - L } ) } { ( c - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { \delta } \int _ { t _ { n } - \delta / 2 } ^ { t _ { n } + \delta / 2 } d t e ^ { - ( t - s ) / \tau _ { \mathrm { o t } } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \alpha } \left[ e ^ { - ( t _ { n } - \delta / 2 - s ) / \tau _ { \mathrm { o t } } } - e ^ { - ( t _ { n } + \delta / 2 - s ) / \tau _ { \mathrm { o t } } } \right] } \\ & { = } & { \frac { \sinh ( \alpha ) } { \alpha } e ^ { - ( t _ { n } - s ) / \tau _ { \mathrm { o t } } } \, , } \\ { \frac { 1 } { \delta } \int _ { s } ^ { t _ { n } + \delta / 2 } d t e ^ { - ( t - s ) / \tau _ { \mathrm { o t } } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \alpha } \left[ 1 - e ^ { - ( t _ { n } + \delta / 2 - s ) / \tau _ { \mathrm { o t } } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { t } = } & { \frac { { \cal A } - 2 a M r \zeta } { \Delta \rho ^ { 2 } } , \quad \rho ^ { 4 } \dot { r } ^ { 2 } = { \cal R } ^ { 2 } , } \\ { \rho ^ { 4 } \dot { \theta } ^ { 2 } = } & { \Theta ^ { 2 } , \quad \dot { \phi } = \frac { 2 a M r + ( \rho ^ { 2 } - 2 M r ) \zeta \csc ^ { 2 } \theta } { \Delta \rho ^ { 2 } } , } \end{array}
d l ^ { 2 } = \overline { { g } } _ { \, m n } \, d \sigma ^ { m } \, d \sigma ^ { n } = - e ^ { 2 } ( \, \tau \, ) \, \, d \tau ^ { 2 } + h _ { i j } ( \, \vec { s } \, ) \, \, d s ^ { i } \, \, d s ^ { j }
\vec { k } ( t + \mathrm { d } t ) = \vec { k } ( t ) + \dot { \vec { k } } \mathrm { d } t \enspace \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \enspace \vec { n } ( t + \mathrm { d } t ) = \vec { n } ( t ) + \dot { \vec { n } } \mathrm { d } t .
\begin{array} { r l } { \overline { { r } } ( t _ { j - 1 } ^ { + } ) } & { = r ( t _ { j - 1 } ^ { + } ) \, , } \\ { \int _ { I _ { j } } \overline { { r } } ( t ) q ( t ) \, \mathrm { d } t } & { = \int _ { I _ { j } } r ( t ) q ( t ) e ^ { - \lambda ( t - t _ { j - 1 } ) } \, \mathrm { d } t \qquad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } q \in \mathbb { P } _ { k _ { t } - 1 } ( I _ { j } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { t } } & { = \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } \Vert g _ { t } \Vert _ { \Sigma _ { t } } ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 3 } } { 8 } \Vert \Sigma _ { t } g _ { t } \Vert _ { H _ { t } } ^ { 2 } - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 } \langle \mu _ { t } , \Sigma _ { t } g _ { t } \rangle _ { H _ { t } } } \\ & { \leq \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } \Vert g _ { t } \Vert _ { \Sigma _ { t } } ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 3 } } { 8 } \Vert \Sigma _ { t } g _ { t } \Vert _ { H _ { t } } ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } \Vert \mu _ { t } \Vert _ { H _ { t } \Sigma _ { t } H _ { t } } \Vert g _ { t } \Vert _ { \Sigma _ { t } } } \\ & { \leq \eta ^ { 2 } \Vert g _ { t } \Vert _ { \Sigma _ { t } } ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 3 } } { 8 } \Vert \Sigma _ { t } g _ { t } \Vert _ { H _ { t } } ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } \Vert \mu _ { t } \Vert _ { H _ { t } \Sigma _ { t } H _ { t } } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\mathfrak { F } ( \eta ; \kappa ) \equiv \frac { \partial f } { \partial \kappa } ( \eta ; \kappa ) , ~ ~ \mathfrak { U } ( \eta ; \kappa ) \equiv \frac { \partial \mathcal { U } } { \partial \kappa } ( \eta ; \kappa ) , ~ ~ \mathfrak { V } ( \eta ; \kappa ) \equiv \frac { \partial \mathcal { V } } { \partial \kappa } ( \eta ; \kappa ) ,
\begin{array} { r l } { \tau ^ { \prime } } & { { } \simeq \tau - 2 w \sqrt { \frac { 2 \tau ^ { 2 } + \tau ( 2 \bar { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } ) / \sigma _ { x } ^ { 2 } } { \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } m } } , } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ^ { \prime } } & { { } \simeq \bar { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + w \frac { 2 \bar { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } } { \sqrt { 2 \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } m } } , } \end{array}
\Pi _ { \mu \nu } ^ { a b } ( 4 ) = \frac i { 1 4 4 \pi ^ { 2 } } g ^ { 2 } \frac { N _ { f } } { 2 } \delta ^ { a b } ( p _ { \mu } p _ { \nu } - p ^ { 2 } g _ { \mu \nu } ) [ 1 2 \mathrm { l n } ( \bar { \lambda } ^ { 2 } / p ^ { 2 } ) - 4 ] \, .
U _ { k } = \frac { 4 p _ { k } ^ { 2 } t _ { k } ^ { 4 } \gamma \delta ^ { 2 } ( t _ { k } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ^ { 2 } \Delta } { ( t _ { k } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ^ { 4 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } } + \frac { p _ { k } ^ { 2 } t _ { k } ^ { 6 } \delta ^ { 4 } \Pi ( { \mathbf { P } } ) \Delta ^ { 4 } } { ( t _ { k } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ^ { 4 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 4 } } - \frac { 4 p _ { k } ^ { 2 } t _ { k } ^ { 5 } \delta ^ { 3 } ( t _ { k } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) \kappa ( { \mathbf { P } } ) \Delta ^ { 3 } } { ( t _ { k } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ^ { 4 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 3 } }