harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\phi _ { f } ( { \bf r } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } \left( { \frac { 2 } { a _ { 0 } } } \right) ^ { 3 / 2 } { \frac { 1 } { n ^ { 5 / 2 } } } \oint _ { C } { \frac { d t } { 2 \pi i } } \exp \left\{ - ( 1 + 2 t ) ( 2 r / n a _ { 0 } ) \right\} \left( 1 + { \frac { 1 } { t } } \right) ^ { n } \, ,
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \frac { \mathrm { d } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } { \mathrm { d } t } + \frac { 1 } { g ^ { 0 0 } } \, \partial _ { i } \left( g ^ { 0 0 } T _ { \, \, \, 0 } ^ { i } \right) - \frac { 1 } { 2 \left( R ^ { 2 } a ^ { 2 } \right) } \frac { \mathrm { d } \left( R ^ { 2 } a ^ { 2 } \right) } { \mathrm { d } t } T _ { \, \, \, i } ^ { i } + \frac { 3 } { 2 \left( R ^ { 2 } a ^ { 2 } \right) } \frac { \mathrm { d } \left( R ^ { 2 } a ^ { 2 } \right) } { \mathrm { d } t } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } \\ { = } & { \frac { \mathrm { d } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } { \mathrm { d } t } + \frac { 3 \dot { a } } { a } \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 3 } T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) + \frac { 1 } { g ^ { 0 0 } } \partial _ { i } \left( g ^ { 0 0 } T _ { \, \, \, 0 } ^ { i } \right) } \\ { = } & { \frac { \mathrm { d } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } { \mathrm { d } t } + 3 \, \frac { \dot { a } } { a } \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 3 } T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) + \frac { 2 \partial _ { i } Z } { Z } T _ { \, \, \, 0 } ^ { i } + \partial _ { i } T _ { \, \, \, 0 } ^ { i } . } \end{array}
p _ { \gamma { \dot { \alpha } } } A _ { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \cdots \epsilon _ { n } } ^ { { \dot { \alpha } } { \dot { \beta } } _ { 1 } { \dot { \beta } } _ { 2 } \cdots { \dot { \beta } } _ { n } } = m c B _ { \gamma \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \cdots \epsilon _ { n } } ^ { { \dot { \beta } } _ { 1 } { \dot { \beta } } _ { 2 } \cdots { \dot { \beta } } _ { n } }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { M S E } ( { \hat { \theta } } ) = } & { ( \operatorname { E } [ { \hat { \theta } } ] - \theta ) ^ { 2 } + \operatorname { E } [ \, ( { \hat { \theta } } - \operatorname { E } [ \, { \hat { \theta } } \, ] ) ^ { 2 } \, ] } \\ { = } & { ( \operatorname { B i a s } ( { \hat { \theta } } , \theta ) ) ^ { 2 } + \operatorname { V a r } ( { \hat { \theta } } ) } \end{array} }
t ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l } { { \tau \; , \; \; \; \tau \leq \tau _ { 0 } \; , } } \\ { { \gamma \tau + ( 1 - \gamma ) \tau _ { 0 } \; , \; \; \; \tau \geq \tau _ { 0 } \; , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { L ( \widehat { \pi } _ { t } ^ { 2 , \ell } , \pi ^ { 2 } ) } & { = \mathbb E \left[ \log \mathbb P \left( a _ { 0 : t - 1 } ^ { 2 } , s _ { 0 : t } | \mathcal F _ { t } ^ { 1 } \vee \pi ^ { 2 } \right) \Big | \mathcal F _ { t } ^ { 1 } \vee \widehat { \pi } _ { t } ^ { 2 , \ell } \right] } \\ & { = \mathbb E \left[ \sum _ { t ^ { \prime } = 0 } ^ { t - 1 } \log ( p ( s _ { t ^ { \prime } + 1 } | s _ { t ^ { \prime } } , a _ { t ^ { \prime } } ^ { 1 } , a _ { t ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \pi ^ { 2 } ( s _ { t ^ { \prime } } , a _ { t ^ { \prime } } ^ { 2 } ) ) \Big | \mathcal F _ { t } ^ { 1 } \vee \widehat { \pi } _ { t } ^ { 2 , \ell } \right] \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ \tilde { \bf D } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) \} ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { - ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { - } } & { ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \\ { ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { + } } & { - ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \end{array} \right) ( { \bf s } , x _ { 3 } ) , } \end{array}
\Theta \left[ \begin{array} { c } { { r / k } } \\ { { 0 } } \end{array} \right] \Big ( x \Big | - \frac { k } { \tau } \Big ) = \frac { 1 } { k } \, \left( - i k \tau \right) ^ { 1 / 2 } \, e ^ { i \pi \tau r ^ { 2 } / k } \, \sum _ { r ^ { \prime } = 0 } ^ { k - 1 } \, e ^ { 2 i \pi r r ^ { \prime } / k } \, \Theta \left[ \begin{array} { c } { { r ^ { \prime } / k } } \\ { { 0 } } \end{array} \right] \Big ( - \tau x \Big | k \tau \Big ) \ \ \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { k _ { 1 \rightarrow 2 } ( t ) = \frac { 2 } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { R e } \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { t } d \tau e ^ { i \int _ { \tau } ^ { t } d \tau ^ { \prime } ( E _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) - E _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) ) / \hbar } } \\ & { } & { \times T r _ { b } \left\{ e ^ { i ( \hat { B } _ { 2 } + \hat { H } _ { b } ) ( t - \tau ) / \hbar } \hat { J } ( t ) e ^ { - i ( \hat { B } _ { 1 } + \hat { H } _ { b } ) ( t - \tau ) / \hbar } \hat { \rho } _ { b , 1 } \hat { J } ^ { \dagger } ( \tau ) \right\} \Bigg ] } \\ & { } & { k _ { 2 \rightarrow 1 } ( t ) = \frac { 2 } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { R e } \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { t } d \tau e ^ { i \int _ { \tau } ^ { t } d \tau ^ { \prime } ( E _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) - E _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) ) / \hbar } } \\ & { } & { \times T r _ { b } \left\{ e ^ { i ( \hat { B } _ { 1 } + \hat { H } _ { b } ) ( t - \tau ) / \hbar } \hat { J } ^ { \dagger } ( t ) e ^ { - i ( \hat { B } _ { 2 } + \hat { H } _ { b } ) ( t - \tau ) / \hbar } \hat { \rho } _ { b , 2 } \hat { J } ( \tau ) \right\} \Bigg ] } \end{array}
\sum _ { n \geq 0 } f _ { \lfloor { \frac { n } { m } } \rfloor } z ^ { n } = { \frac { 1 - z ^ { m } } { 1 - z } } F ( z ^ { m } ) = \left( 1 + z + \cdots + z ^ { m - 2 } + z ^ { m - 1 } \right) F ( z ^ { m } ) .
\chi ( y , y ^ { \prime } ) = \frac { \sqrt { y } } { 4 \pi i } \int _ { \cal C } \frac { d w } { \sqrt { 1 + w } } \frac { 1 } { ( w y + y ^ { \prime } ) ^ { 3 / 2 } } = \delta ( y - y ^ { \prime } ) , \qquad y , y ^ { \prime } > 0 .
\begin{array} { r l } { K _ { 2 } = } & { 2 d ^ { 2 } s \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 0 } } \partial _ { \nu } \varphi | \partial _ { \nu } w | ^ { 2 } \, d \sigma d t + 2 d ^ { 2 } s \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \partial _ { \nu } \varphi | \partial _ { \nu } w | ^ { 2 } \, d \sigma d t } \\ { = } & { - 2 d ^ { 2 } s \lambda \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 0 } } \partial _ { \nu } \psi \theta | \partial _ { \nu } w | ^ { 2 } \, d \sigma d t - 2 d ^ { 2 } s \lambda \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \partial _ { \nu } \psi \theta | \partial _ { \nu } w | ^ { 2 } \, d \sigma d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { u } ( x , y , t ) = } & { { } \tilde { u } _ { 0 } ( t ) + \tilde { u } _ { x } ( t ) x + \tilde { u } _ { y } ( t ) y , } \\ { { v } ( x , y , t ) = } & { { } - \bar { f } x , } \\ { { h } ( x , y , t ) = } & { { } \tilde { h } _ { 0 } ( t ) , } \end{array}
\left. \left[ 2 + \frac { 3 } { 2 } \ln \frac { M _ { A } ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } + I _ { 1 } ( 0 ) + \bar { I } _ { 1 } \left( \frac { M _ { \pi } ^ { 2 } } { M _ { A } ^ { 2 } } \right) \right] \right| _ { \mu _ { 0 } = M _ { \rho } } = 2 . 7 9 0 - 0 . 0 0 3 \; ,
\begin{array} { r l r } { \dot { \rho } \left( t \right) } & { { } = } & { \sum _ { k } \left( \mathcal { L } _ { k } \rho \left( t \right) \mathcal { L } _ { k } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \left\{ \mathcal { L } _ { k } ^ { \dagger } \mathcal { L } _ { k } , \rho \left( t \right) \right\} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( x _ { t + 1 } , y _ { t } ) - G ( x _ { t + 1 } ) } & { = g ( x _ { t + 1 } , y _ { t } ) - g ( x _ { t } , y _ { t } ) + g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) + G ( x _ { t } ) - G ( x _ { t + 1 } ) } \\ & { \leq ( 1 + \frac { 4 L _ { g } ^ { 2 } \eta _ { t } \gamma } { \mu } ) \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) + ( \frac { \eta _ { t } } { 8 \gamma } + \eta _ { t } ^ { 2 } L _ { G } ) \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { \dot { w } \rho , \dot { v } } \circ \theta _ { \rho , \dot { w } } } & { = \theta _ { \dot { v _ { 0 } } \dot { w } \rho , \dot { v ^ { \prime } } } \circ \theta _ { \dot { w } \rho , \dot { v _ { 0 } } } \circ \theta _ { \rho , \dot { w } } } \\ & { = c ^ { \prime } ( v _ { 0 } , w ) \cdot \theta _ { \dot { v _ { 0 } } \dot { w } \rho , \dot { v ^ { \prime } } } \circ \theta _ { \rho , \dot { v _ { 0 } } \dot { w } } . } \end{array}
\Delta m ^ { 2 } ( \beta ) - \Delta m ^ { 2 } ( \infty ) = \frac { \mu ^ { D - 2 } \lambda } { 2 ( 2 \pi ) ^ { D / 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \biggl ( \frac { m } { \mu ^ { 2 } \beta n } \biggr ) ^ { \frac { D } { 2 } - 1 } K _ { \frac { D } { 2 } - 1 } ( m n \beta )
\begin{array} { r l r } { F _ { \mu \nu } ^ { \alpha \alpha , \vec { L } } } & { = } & { T _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } + J _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } + h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , z , \vec { L } } + X _ { \mu \nu } ^ { \alpha \alpha , \vec { L } } , } \\ { F _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta , \vec { L } } } & { = } & { h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , x , \vec { L } } - \mathrm { i } h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , y , \vec { L } } + X _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta , \vec { L } } , } \\ { F _ { \mu \nu } ^ { \beta \beta , \vec { L } } } & { = } & { T _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } + J _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } - h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , z , \vec { L } } + X _ { \mu \nu } ^ { \beta \beta , \vec { L } } , } \end{array}
\displaystyle v ^ { \theta } ( r ) = \mathcal { S } ( r ) v ^ { \theta } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { r } \mathcal { S } ( r - s ) \mathcal { F } ^ { \theta } ( s ) d s + \int _ { 0 } ^ { r } \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { S } ( r - s ) \overline { { G } } ( z , x , s - ) \tilde { N } ( d s , d z ) , \quad \forall r \in ( 0 , T ) ,
| \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle = \left( \begin{array} { l } { h _ { z } \pm \lambda } \\ { h _ { + } } \end{array} \right) \qquad \textnormal { a n d } \qquad | \psi _ { \pm } ^ { L } \rangle = \left( \begin{array} { l } { h _ { z } ^ { * } \pm \lambda ^ { * } } \\ { h _ { - } ^ { * } } \end{array} \right) .
z _ { 0 } ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } < { \frac { 1 } { 3 2 } } \left( - 3 2 \omega z _ { 0 } ^ { 2 } + 9 l ^ { 2 } - 3 \sqrt { - 6 4 \omega z _ { 0 } ^ { 2 } l ^ { 2 } + 9 l ^ { 4 } - 6 4 l ^ { 2 } z _ { 0 } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \right) / ( \omega ^ { 2 } l ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { I _ { a } \to c _ { 1 } } \boldsymbol { \sigma } ^ { \mathrm { c l } } = c _ { 1 } \left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { M } ^ { - 1 / 2 } } & { - \boldsymbol { M } ^ { - 1 / 2 } \boldsymbol { Y } } \\ { - \boldsymbol { Y } \boldsymbol { M } ^ { - 1 / 2 } \; \; } & { \boldsymbol { M } ^ { 1 / 2 } + \boldsymbol { Y } \boldsymbol { M } ^ { - 1 / 2 } \boldsymbol { Y } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\left| \operatorname { p s i n } ( \mathbf { v } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { v } _ { n } ) \right| ^ { 2 } = \operatorname* { d e t } \! \left[ { \begin{array} { l l l l } { 1 } & { \cos ( \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \cos ( \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { n } ) } \\ { \cos ( \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { 1 } ) } & { 1 } & { \cdots } & { \cos ( \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { n } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \cos ( \mathbf { v } _ { n } , \mathbf { v } _ { 1 } ) } & { \cos ( \mathbf { v } _ { n } , \mathbf { v } _ { 2 } ) } & { \cdots } & { 1 } \end{array} } \right] .
\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } - 1 < 0 , \qquad - a _ { 1 1 } - a _ { 1 2 } a _ { 2 1 } > 0 , } \\ { a _ { 2 1 } \gamma _ { 1 2 } + a _ { 1 2 } \gamma _ { 2 1 } + \gamma _ { 1 1 } - a _ { 1 1 } \gamma _ { 2 2 } < 0 , } \\ { \gamma _ { 1 1 } \gamma _ { 2 2 } - \gamma _ { 1 2 } \gamma _ { 2 1 } > 0 , } \\ { ( a _ { 2 1 } \gamma _ { 1 2 } + a _ { 1 2 } \gamma _ { 2 1 } + \gamma _ { 1 1 } - a _ { 1 1 } \gamma _ { 2 2 } ) ^ { 2 } + 4 ( a _ { 1 1 } + a _ { 1 2 } a _ { 2 1 } ) ( \gamma _ { 1 1 } \gamma _ { 2 2 } - \gamma _ { 1 2 } \gamma _ { 2 1 } ) > 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { 2 \alpha _ { \mathrm { e m } } } { M } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d \zeta } { \zeta ^ { 3 } } \frac { x ^ { 2 } F _ { 1 } ( \zeta , Q ^ { 2 } ) } { ( \frac { x } { \zeta } ) ^ { 2 } - 1 - i \epsilon } , } \\ { T _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { 4 M \alpha _ { \mathrm { e m } } } { Q ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d \zeta } { \zeta ^ { 2 } } \frac { x ^ { 2 } F _ { 2 } ( \zeta , Q ^ { 2 } ) } { ( \frac { x } { \zeta } ) ^ { 2 } - 1 - i \epsilon } , } \end{array}
\overline { { \mathbf { J } } } _ { s g } = \frac { 1 } { V _ { g } } \sum _ { p \in s } q _ { p } \overline { { \mathbf { v } } } _ { p } W ( \mathbf { x } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } - \mathbf { x } _ { g } )
\frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } - 2 \frac { \sinh \xi } { \sin \phi _ { 0 } } \tilde { u } _ { \xi } ^ { ( k ) } - 2 \frac { \sin \phi } { \sin \phi _ { 0 } } \tilde { u } _ { \phi } ^ { ( k ) } + i \alpha \tilde { u } _ { z } = 0 ,
\begin{array} { r l } { ( \widetilde { S } _ { 3 } \widetilde { S } _ { 4 } \widetilde { S } _ { 5 } ) ^ { - 1 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { s _ { * } e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { - } ( z ) - g _ { + } ( z ) ) } } & { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } & { \overline { { s } } _ { * } e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { + } ( z ) - g _ { - } ( z ) ) } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { \overline { { s } } _ { * } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g _ { - } ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { ( | s _ { * } | ^ { 2 } - 1 ) s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 2 \pi i \alpha } } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } ( 1 - | s _ { * } | ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { ~ ~ ~ ~ \times \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { s _ { * } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g _ { + } ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = : \widetilde { S } _ { L _ { 1 } } \widetilde { S } _ { P } \widetilde { S } _ { L _ { 2 } } , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W } { \mathrm { d } \omega \mathrm { d } \Omega } = \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } } \left| \int \mathrm { d } t ^ { \prime } \int \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } ^ { \prime } \ { \hat { \mathbf { n } } } \times \left[ { \hat { \mathbf { n } } } \times \mathbf { J } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right] e ^ { j \omega [ t ^ { \prime } + R ( t ^ { \prime } ) / c ] } \right| ^ { 2 }
\mathcal { R } _ { S } ( \mathcal { H } , \omega ) = \mathcal { H } _ { S S } - \mathcal { H } _ { S \bar { S } } ( \mathcal { H } _ { \bar { S } \bar { S } } - \omega I ) ^ { - 1 } \mathcal { H } _ { \bar { S } S } .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { p } _ { \mathrm { A } _ { m } } ( \omega ) } & { { } = } & { \epsilon _ { 0 } \boldsymbol { { \chi } } _ { \mathrm { A } _ { m } } ( \omega ) \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } \Bigg ( \sum _ { k = 1 , k \neq m } ^ { N _ { A } } \hat { \mathbf { G } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { A } _ { m } } , \mathbf { r } _ { \mathrm { A } _ { k } } , \omega ) \cdot \mathbf { p } _ { \mathrm { A } _ { k } } ( \omega ) } \end{array}
f ^ { b c d } f ^ { d } { } _ { [ e a } \Lambda _ { a _ { 1 } a _ { 2 } . . . a _ { 2 m - 1 } ] } { } ^ { b } = 2 f ^ { c d } { } _ { [ e } f ^ { d b } { } _ { a } \Lambda _ { a _ { 1 } . . . a _ { 2 m - 1 } ] } { } ^ { b } = - 2 f ^ { c d } { } _ { [ e } \Omega ^ { d } { } _ { a a _ { 1 } . . . a _ { 2 m - 1 } ] } = 0 \ .
\begin{array} { r l } { \hat { x } _ { k + 1 } = \quad } & { x _ { k + 1 } - \gamma F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) } \\ { = \quad } & { x _ { k } - \omega F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) - \gamma F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) } \\ { = \quad } & { x _ { k } - ( \omega + \gamma ) F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) } \\ { = \quad } & { \hat { x } _ { k } + \gamma F _ { v _ { k - 1 } } ( \hat { x } _ { k - 1 } ) - ( \omega + \gamma ) F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) } \\ { = \quad } & { \hat { x } _ { k } - \omega F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) - \gamma \Big ( F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) - F _ { v _ { k - 1 } } ( \hat { x } _ { k - 1 } ) \Big ) . } \end{array}
M _ { b } ^ { 2 } \langle x , \vec { k } _ { \! \perp } ; \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } \vert \psi _ { b } \rangle = \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \prime } , \lambda _ { 2 } ^ { \prime } } \! \int \! \! d x ^ { \prime } d ^ { 2 } \vec { k } _ { \! \perp } ^ { \prime } \, \langle x , \vec { k } _ { \! \perp } ; \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } \vert H _ { \mathrm { e f f } } \vert x ^ { \prime } , \vec { k } _ { \! \perp } ^ { \prime } ; \lambda _ { 1 } ^ { \prime } , \lambda _ { 2 } ^ { \prime } \rangle \, \langle x ^ { \prime } , \vec { k } _ { \! \perp } ^ { \prime } ; \lambda _ { 1 } ^ { \prime } , \lambda _ { 2 } ^ { \prime } \vert \psi _ { b } \rangle .
\chi ( M ) = ( - 1 ) ^ { r } \int _ { M } { \frac { \prod _ { i } ^ { n } \left( 1 - e ^ { - x _ { i } } \right) } { \prod _ { i } ^ { r } x _ { i } } } \prod _ { i } ^ { n } { \frac { x _ { i } } { 1 - e ^ { - x _ { i } } } } ( T M \otimes \mathbb { C } ) = ( - 1 ) ^ { r } \int _ { M } ( - 1 ) ^ { r } \prod _ { i } ^ { r } x _ { i } ( T M \otimes \mathbb { C } ) = \int _ { M } e ( T M )
\frac { \partial { { U } _ { i } } } { \partial t } + \frac { \partial \left( { { { \bar { u } } } _ { j } } { { U } _ { i } } \right) } { \partial { { x } _ { j } } } + \frac { \partial } { \partial { { x } _ { i } } } \left( \frac { 1 } { 2 } g \left( { { h } ^ { 2 } } - { { H } ^ { 2 } } \right) \right) + { { Q } _ { i } } = 0
A = a _ { 0 } + i \mathrm { \boldmath ~ a ~ } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \ t a u ~ } = \left( \begin{array} { c c } { { a _ { 0 } + i a _ { 3 } } } & { { i a _ { 1 } + a _ { 2 } } } \\ { { i a _ { 1 } - a _ { 2 } } } & { { a _ { 0 } - i a _ { 3 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { A _ { F M } ( \omega ) = } & { J _ { 0 } ( M ) J _ { 1 } ( M ) \left[ \delta ( \omega - \omega _ { m } ) - \delta ( \omega + \omega _ { m } ) \right] } \\ & { + J _ { 1 } ( M ) J _ { 2 } ( M ) } \\ & { \times \left[ \delta ( \omega - 2 \omega _ { m } ) - \delta ( \omega + 2 \omega _ { m } ) \right. } \\ & { \left. + \delta ( \omega - \omega _ { m } ) - \delta ( \omega + \omega _ { m } ) \right] , } \end{array}
\hat { \mathcal { G } } _ { \mathrm { ~ s ~ h ~ a ~ r ~ p ~ } } ( k ) = \left\{ \begin{array} { r l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ k \le k _ { \Delta } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { | { \mathcal C } _ { n _ { k } } ( 0 , \le t _ { k } ) | < k , \exists v _ { 1 } , v _ { 2 } \in \Xi _ { N _ { k } } [ 1 , \overline { { w } } _ { N _ { k } } ) \mathrm { ~ s . t . ~ } } \\ & { v _ { 1 } \in { \mathcal C } _ { n _ { k } } ( 0 , \le t _ { k } ) , \| x _ { v _ { 1 } } - x _ { v _ { 2 } } \| \ge t _ { k } , \mathrm { ~ a n d ~ } v _ { 1 } \leftrightarrow v _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | X ( n _ { p } ) | | _ { 2 } \leq } & { 2 | | \Delta \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } | | _ { 2 } | | ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } | | _ { 2 } } \\ & { - | | \Delta \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } | | _ { 2 } ^ { 2 } | | ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) | | _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { x } } & { \equiv } & { \left( \frac { \rho g } { \sigma } \, \sin ^ { 2 } \beta \cos \beta \right) x \, , } \\ & { } & \\ { \bar { y } } & { \equiv } & { \left( \frac { \rho g } { \sigma } \, \sin ^ { 2 } \beta \cos \beta \right) y \, , } \\ & { } & \\ { \bar { h } _ { 1 } } & { \equiv } & { \left( \frac { \rho g } { \sigma } \, \sin \beta \cos \beta \right) h \, , } \end{array}
{ \boldsymbol { E } } ( { \boldsymbol { r } } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } { \frac { { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } _ { i } } { | { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } _ { i } | ^ { 3 } } }
\begin{array} { r } { \frac { \dot { p } } { p } \int _ { M } u ^ { p } \log u ^ { p } \, d v _ { t } - \frac { \dot { p } } { p } \left( \int _ { M } u ^ { p } \, d v _ { t } \right) \log \left( \int _ { M } u ^ { p } \, d v _ { t } \right) \le \frac { \dot { p } } { p } | t | \int _ { M } \frac { | \nabla u ^ { p } | ^ { 2 } } { u ^ { p } } \, d v _ { t } = \frac { p - 1 } { p } \int _ { M } \frac { | \nabla u ^ { p } | ^ { 2 } } { u ^ { p } } \, d v _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } x } & { { } = \left( L _ { x } \right) X , \quad \quad \quad } & { } & { { } 0 \leq x \leq L _ { x } \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad 0 \leq X \leq 1 , } \\ { y } & { { } = \left( L _ { y } \right) Y = \left( \frac { L _ { x } } { r _ { x y } } \right) Y , \quad \quad \quad } & { } & { { } 0 \leq y \leq L _ { y } \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad 0 \leq Y \leq 1 , } \\ { z } & { { } = h Z + z _ { 1 } = \left( \varepsilon L _ { x } \right) \left( H Z + Z _ { 1 } \right) , \quad \quad \quad } & { } & { { } z _ { 1 } \leq z \leq \left( h + z _ { 1 } \right) \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad 0 \leq Z \leq 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { K _ { L } ^ { 0 } \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } P ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ , } } & { { K _ { L } ^ { 0 } \to \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } P ~ } } & { { } } \\ { { \hookrightarrow } } & { { e ^ { + } e ^ { - } ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } & { { \hookrightarrow } } & { { e ^ { + } e ^ { - } } } \end{array} \nonumber
\textbf { y } _ { x } = \left( V _ { 1 } ; ~ . . . ~ ; V _ { M } ; ~ \frac { \mathrm { d } V _ { 1 } } { \mathrm { d } \textbf { x } } ; ~ . . . ~ ; \frac { \mathrm { d } V _ { M _ { g } } } { \mathrm { d } \textbf { x } } ; ~ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } V _ { 1 } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } ; ~ . . . ~ ; \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } V _ { M _ { H } } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ \left| G _ { 1 } ( x , a _ { i \eta } ) \right| ^ { 2 } \right] } & { = \int _ { B _ { 1 } ( \mathbf { 0 } ) } \left( \frac { U \left( x + r ^ { \prime } z \right) - U \left( x \right) } { r ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } \frac { \left| \nabla \rho \left( z \right) \right| ^ { 2 } } { \rho \left( z \right) } \mathrm { d } z } \\ & { \le \left( \frac { 3 } { 2 } \left\| \nabla U \right\| _ { \mathbb { M } } + \omega _ { \nabla U } \left( 1 \right) \left| x \right| \right) ^ { 2 } \int _ { B _ { 1 } ( \mathbf { 0 } ) } \frac { \left| \nabla \rho \left( z \right) \right| ^ { 2 } } { \rho \left( z \right) } \mathrm { d } z } \\ & { = 2 d ( d + 4 ) \left( \frac { 3 } { 2 } \left\| \nabla U \right\| _ { \mathbb { M } } + \omega _ { \nabla U } \left( 1 \right) \left| x \right| \right) ^ { 2 } } \\ & { \le d ( d + 4 ) \left( 9 \left\| \nabla U \right\| _ { \mathbb { M } } ^ { 2 } + 4 \left( \omega _ { \nabla U } ( 1 ) \right) ^ { 2 } \left| x \right| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
L _ { n } = - { \frac { 1 } { 2 k } } \sum _ { m } g ^ { a b } T _ { a \ m } T _ { b \ n - m } - i n \alpha ^ { a } T _ { a \ n } - { \frac { k } { 2 } } \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \delta _ { n } ,
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathfrak { a } } \left( j _ { 1 } , \xi + \frac { j _ { 2 } } 2 \right) \widehat { \mathfrak { b } } \left( j _ { 2 } , \xi - \frac { j _ { 1 } } 2 \right) } & { = ( a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } ) ( b _ { 1 } + b _ { 2 } + b _ { 3 } + b _ { 4 } ) } \\ & { = a _ { 1 } b _ { 1 } + ( a _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } ) + ( a _ { 1 } b _ { 3 } + a _ { 2 } b _ { 2 } + a _ { 3 } b _ { 1 } ) } \\ & { \ + ( a _ { 1 } b _ { 4 } + a _ { 2 } ( b _ { 3 } + b _ { 4 } ) + a _ { 3 } ( b _ { 2 } + b _ { 3 } + b _ { 4 } ) + a _ { 4 } ( b _ { 1 } + b _ { 2 } + b _ { 3 } + b _ { 4 } ) ) . } \end{array}