harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\gamma _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } c _ { 1 } ^ { ( i ) , m } c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { A } _ { m ; n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { A } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 1 } \\ { \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } c _ { 1 } ^ { ( i ) , m } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { A } _ { m ; n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { A } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 2 } \\ { 3 \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 1 } ^ { ( i ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { C } _ { m ; n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } - \frac { \mathscr { C } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } I _ { m ; n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 3 } \\ { \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 1 } ^ { ( i ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { D } _ { m ; n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { D } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 4 } \end{array} \right. , \mathrm { ~ f o r ~ } i = 1 , 2 ;
H _ { 0 } = \int _ { k > 0 } { \frac { d k } { 4 \pi } } \Biggl ( { \frac { m ^ { 2 } } { k } } \Biggr ) \bigl ( b _ { k } ^ { \dagger } b _ { k } + d _ { k } ^ { \dagger } d _ { k } \bigr ) \; .
{ \cal B } r _ { D ^ { 0 } \to \mu ^ { + } \mu ^ { - } } ^ { \not R _ { p } } = \tau _ { D ^ { 0 } } \, f _ { D } ^ { 2 } \, m _ { \mu } ^ { 2 } \, m _ { D } \, \sqrt { 1 - \frac { 4 m _ { \mu } ^ { 2 } } { m _ { D } ^ { 2 } } } \; \frac { \left( \tilde { \lambda } _ { 2 2 k } ^ { \prime } \tilde { \lambda } _ { 2 1 k } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { 6 4 \pi \, m _ { \tilde { d } _ { k } } ^ { 4 } } ~ .
\begin{array} { r l } { v _ { t } } & { = u _ { t } - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } g ( y ) d y = u _ { x x } + g - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } g ( y ) d y = v _ { x x } } \\ { v _ { x } ( 0 , t ) } & { = u _ { x } ( 0 , t ) = 0 , } \\ { v _ { x } ( \pi , t ) } & { = u _ { x } ( \pi , t ) + \int _ { 0 } ^ { \pi } g ( x ^ { \prime \prime } ) d x ^ { \prime \prime } - \frac { \pi } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } g ( y ) d y = u _ { x } ( \pi , t ) = 0 . } \\ { v ( x , 0 ) } & { = u ( x , 0 ) + \int _ { 0 } ^ { x } \int _ { 0 } ^ { x ^ { \prime } } g ( x ^ { \prime \prime } ) d x ^ { \prime \prime } d x ^ { \prime } - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } g ( y ) d y } \end{array}
d \tilde { s } ^ { 2 } = d \tau ^ { 2 } + ( \tau ^ { 2 } + A ^ { 2 } ) d S ^ { ( 3 ) } + \left( { \frac { \tau ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } + A ^ { 2 } } } \right) d y ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \theta \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathscr { P } _ { \alpha } = } & { ~ \displaystyle \sum _ { \alpha } 2 \tilde { \nu } _ { \alpha } \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) : \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) } \\ & { ~ + \displaystyle \sum _ { \alpha } \tilde { \nu } _ { \alpha } \left( \lambda _ { \alpha } + \frac { 2 } { d } \right) \left( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \displaystyle \sum _ { \alpha , { \beta } } R _ { \alpha { \beta } } \| \mathbf { w } _ { \alpha } - \mathbf { w } _ { \beta } \| ^ { 2 } } \\ & { ~ + \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , \dots , N - 1 } \hat { m } _ { \alpha } \left( g _ { \alpha } - g _ { N } \right) ^ { 2 } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \underline { { \psi } } } } & { { } = \sum _ { i < j } [ - ( \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } ) w _ { i j } ^ { * } + a _ { i j } ^ { * } \ln ( \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \bf S } } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { U _ { n } } & { U _ { n + 1 } } & { U _ { n + 2 } } & { \cdots } \\ { U _ { n - 1 } } & { U _ { n } } & { U _ { n + 1 } } & { \cdots } \\ { U _ { n - 2 } } & { U _ { n - 1 } } & { U _ { n } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right) . } \end{array}
\langle \hat { A } \rangle = \frac { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - m \tau \hat { H } } \hat { A } e ^ { - n \tau \hat { H } } | \Psi ^ { i } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - ( m + n ) \tau \hat { H } } | \Psi ^ { i } \rangle } \, ,
\begin{array} { r l } { \nu ( \bar { x } ) : = } & { \operatorname* { m i n } _ { V _ { 1 } , . . . , V _ { N } , \nu } \nu } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t ~ } } & { V _ { N } ( s _ { N } , \lambda ) \geq _ { Q } r _ { N } ( s _ { N } , h , \lambda , \bar { x } ) , } \\ & { V _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) \geq _ { Q } r _ { k } ( s _ { k } , h , \lambda , \bar { x } ) + V _ { k + 1 } ( f _ { k + 1 } ( s _ { k } , h _ { k } , \lambda ) , \lambda ) , } \\ & { \nu \geq _ { Q } V _ { 1 } ( s _ { 1 } , \lambda ) . } \end{array}
0 . 6 1 \times \frac { \lambda } { \mathrm { ~ N ~ A ~ } } = 0 . 6 1 \times \frac { \mathrm { ~ 4 ~ 8 ~ 8 ~ n ~ m ~ } } { 1 . 3 } \approx \mathrm { ~ 2 ~ 2 ~ 9 ~ n ~ m ~ }
E ( { \bf a } , { \bf b } ) = { \frac { 1 } { \prod _ { p = 1 } ^ { n } ( a _ { p } + b _ { p } ) } } \int _ { - a _ { 1 } } ^ { b _ { 1 } } \! \dots \int _ { - a _ { n } } ^ { b _ { n } } d ^ { n } { \bf x } \ f ( { \bf x } ) = \prod _ { p = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { 2 ( a _ { p } + b _ { p } ) } } \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a _ { p } } { \sigma _ { p } \sqrt 2 } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b _ { p } } { \sigma _ { p } \sqrt 2 } } \right] \right) \, ,
\begin{array} { r l } & { - \phi ( t , e _ { i } ) X _ { 2 } ( t - ) \biggl ( u ( t ) + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ( t , e _ { i } ) + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ^ { 2 } ( t - , e _ { i } , z ) \nu ( d z ) \biggr ) } \\ & { = X _ { 2 } ( t - ) \biggl ( \phi ^ { ' } ( t , e _ { i } ) + \phi ( t , e _ { i } ) u ( t ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N } X _ { 2 } ( t - ) ( \phi ( t , e _ { j } ) - \phi ( t , e _ { i } ) ) \mu _ { i j } ( t ) \biggr ) . } \end{array}
\partial _ { \theta } \Psi ( \theta _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 \sin ( \theta _ { 0 } ) } \Big [ \omega _ { N } \big ( 1 - \cos ( \theta _ { 0 } ) \big ) - \omega _ { S } \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 0 } ) \big ) \Big ] - \widetilde { \gamma } \sin ( \theta _ { 0 } ) = \left( \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 } - \widetilde { \gamma } \right) \sin ( \theta _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { \cos x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n ) ! } } x ^ { 2 n } } & { { } = 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } } - { \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } } + { \frac { x ^ { 8 } } { 8 ! } } - \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( z ) } & { { } = { \frac { z ^ { m } } { ( 1 - z ) ^ { m + 1 } } } \sum _ { k \geq 0 } { { \frac { 1 } { k + 1 } } { \binom { 2 k } { k } } ( { \frac { - z } { ( 1 - z ) ^ { 2 } } } ) ^ { k } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { a } _ { \bf K } ^ { ( \mu ) } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( { \tilde { \alpha } } _ { \mu , { \bf K } } + i { \tilde { X } } _ { \bf K } ^ { \mu } \right) } \\ & { \mathrm { a } _ { \bf K } ^ { ( \mu ) + } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( { \tilde { \alpha } } _ { \mu , { \bf K } } - i { \tilde { X } } _ { \bf K } ^ { \mu } \right) } \end{array}
\rho \frac { { \partial \, \kappa } } { { \partial \, t } } + \rho ( u \, . \nabla ) \kappa = \nabla . [ ( \mu + \frac { { { \mu _ { t } } } } { { { \sigma _ { k } } } } ) \nabla \kappa ] + { P _ { k } } - \rho \varepsilon
\frac { \partial \psi } { \partial t } = \frac { 1 } { i \hbar } \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + V \left( \mathbf { r } \right) + g \left| \psi \right| ^ { 2 } \right] \psi .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d u } { d x } } } & { = { \frac { \partial u } { \partial r } } { \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } - { \frac { \partial u } { \partial \varphi } } { \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } \\ & { = \cos \varphi { \frac { \partial u } { \partial r } } - { \frac { 1 } { r } } \sin \varphi { \frac { \partial u } { \partial \varphi } } , } \\ { { \frac { d u } { d y } } } & { = { \frac { \partial u } { \partial r } } { \frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } + { \frac { \partial u } { \partial \varphi } } { \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } \\ & { = \sin \varphi { \frac { \partial u } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r } } \cos \varphi { \frac { \partial u } { \partial \varphi } } . } \end{array} }
R _ { i j } ^ { \pm } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } [ 1 \pm ( i j ) ] ~ , ~ ~ ~ ~ ~ R _ { i l } ^ { \pm } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } [ 1 \pm ( i l ) ] ~ , ~ ~ ~ ~ ~ R _ { j l } ^ { \pm } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } [ 1 \pm ( j l ) ] ~ ,
\begin{array} { r } { m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 0 ) } = \frac { i } { \sqrt { 2 \pi | \mathbf { E } ( t _ { 0 } ) | } } \exp \left[ - i \int _ { \tilde { t } _ { 0 } } d s \frac { ( \mathbf { p } + \mathbf { A } ( s ) ) ^ { 2 } } { 2 } + i \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } \tilde { t } _ { 0 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { | I I | = \left| \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } { G ( 0 , t , y , \tau ) F _ { 2 } ( y , \tau ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau } \right| \le c _ { \delta } ( \| U \| _ { C ( ( 0 , T _ { 0 } ) , C [ 0 , \infty ) ) } ) \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { | \dot { \Lambda } ( \tau ) | ( t - \tau ) ^ { - \beta / 4 } \; \mathrm { d } \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { D } _ { \mathrm { i n t } } ( \pm p ) } & { { } \approx \sum _ { k \geq 2 } - \frac { \zeta _ { 1 } ^ { k } L \beta _ { k } } { t _ { \mathrm { R } } k ! } ( \pm p ) ^ { k } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { e _ { \mathrm { e x p } } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { e _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } } + { \frac { 1 } { 3 \pi } } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } }
r = \frac { 1 } { \tilde { k } _ { i } } \left( \frac { \tilde { \phi } ^ { \prime } ( \tilde { \rho } _ { 0 } ) } { \tilde { \phi } ( \tilde { \rho } _ { 0 } ) } - \frac { 1 } { 2 \tilde { \rho } _ { 0 } } \right) .
\frac { \partial E } { \partial t } + \frac { \partial \left[ \left( E + p \right) u _ { j } \right] } { \partial x _ { j } } = \frac { 1 } { \alpha } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \kappa \frac { \partial T } { \partial x _ { j } } \right) + \frac { 1 } { R e } \frac { \partial \left( \sigma _ { i j } u _ { i } \right) } { \partial x _ { j } } ,
A \mathbf { x } = \mathbf { b } \quad { \mathrm { o r } } \quad { \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l } { { 7 } a _ { 1 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 1 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \; \cdots \; + \; } & { } & { a _ { 1 n } x _ { n } } & { } & { \; = \; } & { } & & { b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 2 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \; \cdots \; + \; } & { } & { a _ { 2 n } x _ { n } } & { } & { \; = \; } & { } & & { b _ { 2 } } \\ & { } & & { } & & { } & & { } & & { } & { \vdots \ \; } & { } & & { } \\ { a _ { m 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { m 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \; \cdots \; + \; } & { } & { a _ { m n } x _ { n } } & { } & { \; = \; } & { } & & { b _ { m } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 1 - \mathscr { P } _ { f ( t ) , \varrho ( t ) } } & { = 1 - \frac { \chi _ { \delta } ^ { \star } ( t ) p ^ { \prime } \left( \underline { { \chi } } ^ { \star } ( t ) \varrho ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \right) \underline { { \chi } } ^ { \star } ( t ) \varrho ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) } { 1 - \chi _ { \delta } ^ { \star } ( t ) \rho _ { f } ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) } \frac { 1 } { 1 + \vert k \vert ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \gamma + i \tau ) s } i k \cdot \left( \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f \right) ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } , x , k s ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \mathfrak { E } ^ { \star } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \; \chi ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) \; \hat { \mathcal { H } } \chi ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ) \; \mathrm { d } \mathbf { r } = \left\{ \begin{array} { c c } { u ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } & { ( \mathbf { r } ^ { \prime } = \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ) } \\ { - t _ { 0 } } & { ( ( \mathbf { r } ^ { \prime } , \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ) \in \mathrm { N N } ) } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h ( \lambda ) } & { \! = \! } & { \int _ { - a _ { n } } ^ { b _ { n } } d x _ { n } \, { \frac { \exp \Big [ \! - \! { \frac { \lambda } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } \ = \ { \frac { \exp \Big [ \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n - 1 } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } { ( 2 \pi ) ^ { ( n - 1 ) / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } } \times } \\ & { } & { \times { \frac { 1 } { 2 \sqrt \lambda } } \, \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a _ { n } \sqrt \lambda } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b _ { n } \sqrt \lambda } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \right] \right) \, , } \end{array}
\mathrm { d } I l l _ { n } ( r , \theta ) = i ^ { n } e ^ { - i n ( \theta _ { d } + \theta ) } J _ { n } \left( \frac { 2 \pi r _ { D } } { \lambda f } r \right) r _ { d } \mathrm { d } r _ { d } \mathrm { d } \theta _ { d }
\delta ^ { * } h _ { \mu \nu } = \delta h _ { \mu \nu } + \delta h _ { \mu \nu } ^ { s p i n } = \partial _ { \mu } \xi _ { \nu } + \partial _ { \nu } \xi _ { \mu } + p \eta _ { \mu \nu } h + \delta h _ { \mu \nu } ^ { s p i n }
\begin{array} { r l } { R _ { t } ( n , m ) } & { = t \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { 1 } { m - n } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } \sin ( ( n - m ) \theta ) \sin \theta \; d \theta } \\ & { + t \int _ { \frac { 1 } { m - n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } \sin ( ( n - m ) \theta ) \sin \theta \; d \theta } \\ & { = R _ { t } ^ { 1 } ( n , m ) + R _ { t } ^ { 2 } ( n , m ) , \quad t > 0 . } \end{array}
\left( 1 - \frac { \lambda } { \tau } \right) T ^ { 2 } + 2 \frac { \lambda } { \tau } \frac { \kappa s } { k _ { \mathrm { B } } } T - \frac { \lambda } { \tau } \left( \frac { \kappa s } { k _ { \mathrm { B } } } \right) ^ { 2 } = 0 .
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { r } } { \rho _ { p } ^ { 2 } } } & { \approx } & { \frac { 1 6 } { 3 \hbar \, m _ { p } ^ { 2 } } \, \left( \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \, \frac { \sqrt { k T _ { e } } \, G } { n _ { p } ^ { 2 } \, \left( m _ { e } c ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \\ & { } & { \times \, \sum _ { l = D , T , p , B , \alpha } Z _ { l } ^ { 2 } n _ { l } n _ { e } \, , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 6 } } + { \frac { 1 } { 2 4 } } + { \frac { 1 } { 1 2 0 } } + \cdots = e .
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { k } } { d t } } & { { } \approx } & { - n _ { k } \, \sum _ { l = 1 } ^ { N } n _ { l } \, u _ { k l } \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u _ { k l } \right) \, \delta _ { \vec { r } _ { k } , \vec { r } _ { l } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { b } } & { = F ( \varphi _ { \gamma } , k ) , } \\ { \kappa _ { b } } & { = \frac { \sqrt { 1 - \lambda - k ^ { 2 } } \sqrt { - \lambda - k ^ { 2 } } } { \sqrt { 1 - 2 k ^ { 2 } - \lambda } } - Z ( \varphi _ { \gamma } , k ) , } \\ { c _ { b } } & { = c _ { 0 } + \frac { 4 \sqrt { 1 - \lambda - 2 k ^ { 2 } } \sqrt { 1 - \lambda - k ^ { 2 } } \sqrt { - \lambda - k ^ { 2 } } } { \kappa _ { b } } , } \end{array}
| \psi _ { \mathrm { c c } } | ^ { 2 } + | \psi _ { \mathrm { c d } } | ^ { 2 } + | \psi _ { \mathrm { d c } } | ^ { 2 } + | \psi _ { \mathrm { d d } } | ^ { 2 } = | \psi _ { \mathrm { b b } } | ^ { 2 } + | \psi _ { \mathrm { b a } } | ^ { 2 } + | \psi _ { \mathrm { a b } } | ^ { 2 } + | \psi _ { \mathrm { a a } } | ^ { 2 } .
= \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \sigma ( x _ { j } ) \right) \tilde { f } ( x _ { i } ) \left( \prod _ { j = i + 1 } ^ { m } \tau ( x _ { j } ) \right) \right) \left( \prod _ { j = m + 1 } ^ { n } \tau ( x _ { j } ) \right) + ( \prod _ { i = 1 } ^ { m } \sigma ( x _ { j } ) ) \, ( \sum _ { i = m + 1 } ^ { n } ( \prod _ { j = m + 1 } ^ { i - 1 } \sigma ( x _ { j } ) ) \tilde { f } ( x _ { i } ) ( \prod _ { j = i + 1 } ^ { k } \tau ( x _ { j } ) ) ) = \tilde { f } ( v ) \left( \prod _ { j = m + 1 } ^ { n } \tau ( x _ { j } ) \right) + \left( \prod _ { i = 1 } ^ { m } \sigma ( x _ { j } ) \right) \tilde { f } ( w )
L ( f ) = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \bigg | } f ( t _ { i } ) - f ( t _ { i - 1 } ) { \bigg | } = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| { \frac { f ( t _ { i } ) - f ( t _ { i - 1 } ) } { \Delta t } } \right| \Delta t = \int _ { a } ^ { b } { \Big | } f ^ { \prime } ( t ) { \Big | } \ d t .
\begin{array} { l l l } { \dot { x } _ { i } } & { = } & { - y _ { i } - z _ { i } + \sigma _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } a _ { i j } ^ { ( 1 ) } { g } ^ { ( 1 ) } ( x _ { i } , x _ { j } ) + \sigma _ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } a _ { i j k } ^ { ( 2 ) } { g } ^ { ( 2 ) } ( x _ { i } , x _ { j } , x _ { k } ) , } \\ { \dot { y } _ { i } } & { = } & { x _ { i } + a y _ { i } , } \\ { \dot { z } _ { i } } & { = } & { b + z _ { i } ( x _ { i } - c ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( g _ { t } < \epsilon ) } & { = \mathbb { P } ( e ^ { z _ { t } + m _ { t } } < \epsilon ) } \\ & { = \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { { t } } ( z _ { t } + \mathbb { E } [ m _ { t } ] ) < \frac { 1 } { { t } } \log \epsilon \right) } \\ & { = \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { { t } } ( z _ { t } + \mathbb { E } [ m _ { t } ] ) < o ( 1 ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V _ { x y } ( I _ { + x } ) \lvert { _ { H _ { x } = 0 } } = \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } + \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } \frac { H _ { \mathrm { d l } } H x } { H _ { k } ^ { 2 } } + \mathcal { O } [ H _ { x } ] ^ { 2 } , } \\ & { V _ { x y } ( I _ { - x } ) \lvert { _ { H _ { x } = 0 } } = - \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } + \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } \frac { H _ { \mathrm { d l } } H x } { H _ { k } ^ { 2 } } + \mathcal { O } [ H _ { x } ] ^ { 2 } } \\ & { V _ { x y } ( I _ { + x } ) \lvert { _ { H _ { y } = 0 } } = \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } - \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } \frac { H _ { \mathrm { f l } } H y } { H _ { k } ^ { 2 } } + \mathcal { O } [ H _ { y } ] ^ { 2 } , } \\ & { V _ { x y } ( I _ { - x } ) \lvert { _ { H _ { y } = 0 } } = - \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } - \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } \frac { H _ { \mathrm { f l } } H y } { H _ { k } ^ { 2 } } + \mathcal { O } [ H _ { y } ] ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \tilde { \Psi } _ { f } ^ { ( 1 ) } \rangle } & { { } = } & { \sum _ { I \ne i } | \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } \rangle \frac { \langle \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } \rangle } { ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ^ { e x } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { j } ( \omega ) } & { { } = \frac { \pi } { 2 } \sum _ { \xi } \frac { c _ { j \xi } ^ { 2 } } { m _ { j \xi } \omega _ { j \xi } } \delta ( \omega _ { j \xi } - \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { L _ { 0 } ( \lambda , h ) : = } & { [ A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ] T [ g _ { x } + A _ { 6 } T ] } \\ & { \times \exp ( [ A _ { 1 } + A _ { 5 } + A _ { 1 } A _ { 5 } h ] T + [ A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ] [ g _ { x } + A _ { 6 } T ] T ) , } \\ { L _ { 1 } ( \lambda , h ) : = } & { [ g _ { x } + A _ { 6 } T ] [ \exp ( [ A _ { 1 } + A _ { 5 } + A _ { 1 } A _ { 5 } h ] T } \\ & { + [ A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ] [ g _ { x } + A _ { 6 } T ] T + 1 ) \vee 1 ] , } \end{array} } \end{array}
\epsilon _ { 2 } = ( T r ( \boldsymbol { \textbf { D } } \boldsymbol { \textbf { H } ^ { p } } ) - T r ( \boldsymbol { \textbf { D } } _ { r e f } \boldsymbol { \textbf { H } ^ { p } } ) ) / T r ( \boldsymbol { \textbf { D } } _ { r e f } \boldsymbol { \textbf { H } ^ { p } } )
\begin{array} { l l } { \Upsilon ( 6 , 1 , 0 , + 1 , \frac { \pi } { 2 } ) = 2 5 9 2 } \\ { \Upsilon ( 6 , 1 , 0 , 0 , \frac { \pi } { 2 } ) = 1 2 8 } \\ { \Upsilon ( 6 , 1 , 0 , - 1 , \frac { \pi } { 2 } ) = 2 5 9 2 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { - { \frac { 5 } { 9 } } X ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 9 } } X ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 3 } } , } \\ & { - { \frac { 1 1 7 } { 2 5 } } X ^ { 2 } - 9 X + { \frac { 4 4 1 } { 2 5 } } , } \\ & { { \frac { 2 3 3 1 5 0 } { 1 9 7 7 3 } } X - { \frac { 1 0 2 5 0 0 } { 6 5 9 1 } } , } \\ & { - { \frac { 1 2 8 8 7 4 4 8 2 1 } { 5 4 3 5 8 9 2 2 5 } } . } \end{array} }
\frac { d \sigma ^ { R e c . } } { d x _ { F } } = \beta \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x _ { 1 } } { x _ { 1 } } \frac { d x _ { 2 } } { x _ { 2 } } \frac { d x _ { 3 } } { x _ { 3 } } F _ { 3 } ^ { p } \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } \right) R _ { 3 } \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { F } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \lVert \kappa _ { k } ^ { ( 3 ) } ( \gamma ) - \kappa _ { k } ^ { ( 3 ) } ( \eta ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } ^ { \otimes 3 } } ^ { 2 } } & { = \lVert \kappa _ { k } ^ { ( 3 ) } ( \gamma ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } ^ { \otimes 3 } } ^ { 2 } + \lVert \kappa _ { k } ^ { ( 3 ) } ( \eta ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } ^ { \otimes 3 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad - 2 \langle \kappa _ { k } ^ { ( 3 ) } ( \gamma ) , \kappa _ { k } ^ { ( 3 ) } ( \eta ) \rangle _ { \mathcal { H } _ { k } ^ { \otimes 3 } } . } \end{array}
{ \mathcal F } \{ f \} ( \omega ) = \int _ { R ^ { 2 } } f ( { \bf x } ) e ^ { - i _ { 2 } \omega \cdot { \bf x } } d ^ { 2 } { \bf x } , \quad d ^ { 2 } { \bf x } = \frac { d x _ { 1 } \wedge d x _ { 2 } } { i _ { 2 } } ,
\Lambda _ { \cal Q } ^ { \alpha } [ q ] _ { i j } \sim ( V _ { q _ { \mathrm { R } } } ^ { \dagger } V _ { q _ { \mathrm { R } } } ) _ { i j } ( m _ { q _ { j } } / v _ { S } ) + ( m _ { q _ { i } } / v ) ( V _ { q _ { \mathrm { L } } } ^ { \dagger } V _ { q _ { \mathrm { L } } } ) _ { i j } .
H _ { \mathrm { 1 - q u b i t , \, e f f } } = \langle e ^ { i H ^ { ( 0 ) } t } ( H - H ^ { ( 0 ) } ) e ^ { - i H ^ { ( 0 ) } t } \rangle _ { t } = \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { \Delta } { 2 } } & { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { 1 2 8 } } U _ { 1 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { 1 2 8 } } U _ { 1 } } & { \frac { \Delta } { 2 } } \end{array} \right]
\begin{array} { l c l } { { \left| 1 \right\rangle _ { b } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { N ^ { 3 / 2 } \sqrt { 3 } } \, \mathrm { t r } \left[ A ^ { \dagger } ( 1 ) A ^ { \dagger } ( 1 ) A ^ { \dagger } ( 1 ) \right] \left| 0 \right\rangle , } } \\ { { \left| 2 \right\rangle _ { b } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { N ^ { 3 / 2 } } \, \mathrm { t r } \left[ A ^ { \dagger } ( 1 ) B ^ { \dagger } ( 1 ) B ^ { \dagger } ( 1 ) \right] \left| 0 \right\rangle , } } \\ { { \left| 3 \right\rangle _ { b } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { N } \, \mathrm { t r } \left[ A ^ { \dagger } ( 2 ) A ^ { \dagger } ( 1 ) \right] \left| 0 \right\rangle , } } \\ { { \left| 4 \right\rangle _ { b } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { N ^ { 1 / 2 } } \, \mathrm { t r } \left[ B ^ { \dagger } ( 2 ) B ^ { \dagger } ( 1 ) \right] \left| 0 \right\rangle . } } \end{array}