harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\delta _ { g _ { \mathfrak { m } } , E ^ { \mathcal C } } ^ { * } - \delta _ { g _ { \mathfrak { m } } } ^ { * } \in \gamma ^ { \mathcal C } r ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + r ^ { - 2 } \mathcal C ^ { \infty } ( M ; \operatorname { H o m } ( \widetilde T ^ { * } M , S ^ { 2 } \widetilde T ^ { * } M ) ) .
\begin{array} { r l } { \chi _ { k } ^ { 1 } } & { : = \{ ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) : k _ { 1 } , k _ { 2 } \in \mathbb { Z } , | k _ { 1 } - k _ { 2 } | \leq 1 0 , k \leq k _ { 1 } + 1 0 \} , } \\ { \chi _ { k } ^ { 2 } } & { : = \{ ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) : k _ { 1 } , k _ { 2 } \in \mathbb { Z } , k _ { 1 } \leq k _ { 2 } - 1 0 , | k - k _ { 2 } | \leq 5 \} , } \\ { \chi _ { k } ^ { 3 } } & { : = \{ ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) : k _ { 1 } , k _ { 2 } \in \mathbb { Z } , k _ { 2 } \leq k _ { 1 } - 1 0 , | k - k _ { 1 } | \leq 5 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { u } = [ u _ { 1 , 1 , 1 } , \dots , u _ { N _ { x } , 1 , 1 } , \dots , u _ { 1 , N _ { y } , 1 } , \dots , u _ { N _ { x } , N _ { y } , 1 } , \dots , u _ { 1 , 1 , N _ { z } } , \dots , u _ { N _ { x } , N _ { y } , N _ { z } } ] ^ { T } } \\ & { \mathbf { f } = [ f _ { 1 , 1 , 1 } , \dots , f _ { N _ { x } , 1 , 1 } , \dots , f _ { 1 , N _ { y } , 1 } , \dots , f _ { N _ { x } , N _ { y } , 1 } , \dots , f _ { 1 , 1 , N _ { z } } , \dots , f _ { N _ { x } , N _ { y } , N _ { z } } ] ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 ) } & { = } & { \sum _ { k ^ { \prime } = k _ { \mathrm { m i n } } - 1 } ^ { k _ { \mathrm { c u t } } - 1 } k ^ { \prime } Q ( k ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \sum _ { k = k _ { \mathrm { m i n } } } ^ { k _ { \mathrm { c u t } } } \frac { k ( k - 1 ) P ( k ) } { \langle k \rangle } - \Delta f \frac { k _ { \mathrm { c u t } } ( { k _ { \mathrm { c u t } } - 1 } ) P ( { k _ { \mathrm { c u t } } } ) } { \langle k \rangle } = 1 . } \end{array}
\mathbf { A } _ { b } = \left( \begin{array} { l l } { 2 \gamma _ { i } } & { \sqrt { \gamma _ { i } ^ { 2 } + \omega _ { i } ^ { 2 } } } \\ { - \sqrt { \gamma _ { i } ^ { 2 } + \omega _ { i } ^ { 2 } } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\{ f , g \} = \sum _ { a b } \frac { \partial f } { \partial \Theta ^ { a } } \Pi ^ { a b } \frac { \partial g } { \partial \Theta ^ { b } } = \frac { 1 } { m } \left( \nabla f \frac { \partial g } { \partial v } - \frac { \partial f } { \partial v } \nabla f \right) + B \left( \frac { \partial f } { \partial v } \times \frac { \partial g } { \partial v } \right) ,
g e n e r a t e s a s t a t e - s e l e c t i v e l o s s . F o r o u r p h o t o n i c p l a t f o r m , i t i s m o r e c o n v e n i e n t t o c r e a t e a d o m a i n w a l l i n s t e a d o f a n o p e n b o u n d a r y [ s e e F i g . ~ ( a ) ] . T h e l e f t ( L ) a n d r i g h t ( R ) r e g i o n s a r e c h a r a c t e r i z e d b y c o i n p a r a m e t e r s
\begin{array} { r } { \mathcal { Y } ( 0 ) = \frac { 1 - \sqrt { \epsilon _ { c } } } { 1 + \sqrt { \epsilon _ { c } } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { Y } ( L ) = \frac { 1 + \sqrt { \epsilon _ { c } } } { 1 - \sqrt { \epsilon _ { c } } } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { L _ { _ { 1 } } ^ { ( L ) \; 2 } + L _ { _ { 2 } } ^ { ( L ) \; 2 } + \alpha ^ { 2 } L _ { _ { 3 } } ^ { ( L ) \; 2 } + \frac { 3 } { 4 } \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } L _ { _ { 3 } } ^ { ( L ) } } } & { { \alpha ( L _ { _ { 1 } } ^ { ( L ) } - i L _ { _ { 2 } } ^ { ( L ) } ) } } \\ { { \alpha ( L _ { _ { 1 } } ^ { ( L ) } + i L _ { _ { 2 } } ^ { ( L ) } ) } } & { { L _ { _ { 1 } } ^ { ( L ) \; 2 } + L _ { _ { 2 } } ^ { ( L ) \; 2 } + \alpha ^ { 2 } L _ { _ { 3 } } ^ { ( L ) \; 2 } + \frac { 3 } { 4 } \alpha ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } L _ { _ { 3 } } ^ { ( L ) } } } \end{array} \right) ,
\Delta ( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l ) = \left[ { \frac { ( l _ { 1 } + l _ { 2 } - l ) ! ( l _ { 1 } - l _ { 2 } + l ) ! ( l _ { 2 } - l _ { 1 } + l ) ! } { ( l _ { 1 } + l _ { 2 } + l + 1 ) ! } } \right] ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } & { \psi ( { \bf r } , t ) \approx C \sum _ { \ell } \alpha _ { \ell } ( { \bf r } ) \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \ell \omega ( f + z - v t ) / v } , } \\ & { \alpha _ { \ell } ( { \bf r } ) = \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \, \ell ^ { 2 } \phi } \int _ { 0 } ^ { \mathrm { N A } } \! \! \! \theta d \theta \, J _ { 0 } ( q _ { 0 } R \, \theta ) \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } q _ { 0 } z \, \theta ^ { 2 } / 2 } \, J _ { \ell } \big [ 2 | \beta ( \theta ) | \big ] \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \ell \mathrm { a r g } \{ - \beta ( \theta ) \} } , } \end{array}
\mathrm { g r } ( { \cal V } ) = { \cal V } _ { 0 } \oplus { \cal V } _ { 1 } / { \cal V } _ { 0 } \oplus { \cal V } _ { 2 } / { \cal V } _ { 1 } \oplus \cdots \oplus { \cal V } _ { m + 1 } / { \cal V } _ { m } \oplus \cdots
\begin{array} { r } { a = c _ { v } + \frac { \partial \mathbf p } { \partial \dot { \nu } } \cdot \nabla \frac { \textrm { d } \nu } { \textrm { d } T } , \quad \mathbf b = \frac { \partial \mathbf p } { \partial \dot { \nu } } \frac { \textrm { d } \nu } { \textrm { d } T } , \quad \mathbf d = \frac { \partial \mathbf p } { \partial T } , \quad \gamma = \frac { \partial \mathbf p } { \partial T } \cdot \nabla \nu . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \lambda _ { b } \rightarrow \lambda _ { a } } \frac { ( S _ { b } - S _ { a } ) } { \lambda _ { b } ^ { 2 } - \lambda _ { a } ^ { 2 } } = \frac { \partial S _ { b } } { \partial \lambda _ { b } ^ { 2 } } - \frac { \partial S _ { a } } { \partial \lambda _ { b } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } ( \frac { \partial S _ { b } } { \partial \lambda _ { b } } - \frac { \partial S _ { a } } { \partial \lambda _ { b } } ) , } \end{array}
d s ^ { 2 } = g _ { t t } d t ^ { 2 } + g _ { r r } d r ^ { 2 } + 2 g _ { t \phi _ { i } } d t d \phi _ { i } + g _ { \phi _ { i } \phi _ { j } } d \phi _ { i } d \phi _ { j } + g _ { \theta \theta } d \theta ^ { 2 } + 2 g _ { \theta \psi _ { i } } d \theta d \psi _ { i } + g _ { \psi _ { i } \psi _ { j } } d \psi _ { i } d \psi _ { j } ,
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - \mathbb { P } _ { 5 } - z ) ^ { - 1 } e _ { m } } & { = ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - z ) ^ { - 1 } e _ { m } + ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - z ) ^ { - 1 } \mathbb { P } _ { 5 } ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - \mathbb { P } _ { 5 } - z ) ^ { - 1 } e _ { m } } \\ & { = ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - z ) ^ { - 1 } e _ { m } + ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - z ) ^ { - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 4 } \langle ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - \mathbb { P } _ { 5 } - z ) ^ { - 1 } e _ { m } , e _ { j } \rangle _ { \mathbf { v } } e _ { j } } \\ & { = ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - z ) ^ { - 1 } e _ { m } + \sum _ { j = 0 } ^ { 4 } G _ { T } ^ { * } ( z , j , m ) ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - z ) ^ { - 1 } e _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { c c } { \operatorname* { m i n } _ { \psi _ { - 1 } } } & { \frac { 1 } { \| Z \| _ { F } ^ { 2 } } \underbrace { \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 - 1 } \| Z ^ { T } R ^ { 2 m } ( \psi _ { - 1 } ) \| ^ { 2 } } _ { M E _ { 1 } } + \lambda ^ { 2 } \mathrm { V a r } ( \psi _ { - 1 } ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \psi _ { - 1 } ^ { T } R ^ { 2 m } ( \psi _ { - 1 } ) = \delta _ { m 0 } , \quad m = 0 , \hdots , N / 2 - 1 , } \end{array}
6 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } ]
\boldsymbol A \boldsymbol A ^ { * } \overline { { \boldsymbol w } } = \boldsymbol A \cdot \left( \delta _ { \boldsymbol 0 , \boldsymbol k } \right) _ { \boldsymbol k \in { \mathcal I _ { \boldsymbol M } } } = \left( \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \delta _ { \boldsymbol 0 , \boldsymbol k } \cdot \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x _ { j } } \right) _ { j = 1 } ^ { N } = \boldsymbol 1 _ { N } .
{ \frac { \pi } { 2 } } - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \frac { N } { 2 } } { \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } } { 2 k - 1 } } \sim \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { \frac { E _ { 2 m } } { N ^ { 2 m + 1 } } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } \left( x _ { t } \right) \right) } & { { } = \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { d _ { \widehat { \gamma } } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \xi \right) \exp \left( 2 \pi i \langle x _ { t } , \xi \rangle \right) \mathsf { d } \xi , } \end{array}
\Pi _ { i } ^ { 2 } = \Pi _ { i } = \Pi _ { i } ^ { * } \ , \ \ \ \Pi _ { 1 } \Pi _ { 3 } = 0 \ , \ \ \, P i _ { 1 } + \Pi _ { 3 } = 1 \ , \, \ \mathrm { t r } \ \Pi _ { i } = i \ ( = 1 , 3 ) \ .
\operatorname* { m i n } _ { \mathbf { z } \in \mathbb { C } ^ { k } } \| \mathbf { u } - \mathbf { Q z } \| _ { 2 } = \| \left( \mathbf { I } - \mathbf { Q Q } ^ { T } \right) \mathbf { u } \| _ { 2 } .
\binom { n } { \frac { 1 } { 2 } n } / \binom { \left( \frac { 1 } { 2 } + 3 \beta \right) n } { 3 \beta n } = \frac { n \cdot \left( n - 1 \right) \cdot \ldots \cdot \left( n - \left( 1 / 2 - 3 \beta \right) n + 1 \right) } { \frac { 1 } { 2 } n \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } n - 1 \right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } n - \left( 1 / 2 - 3 \beta \right) n + 1 \right) } \ge 2 ^ { \left( \frac { 1 } { 2 } - 3 \beta \right) n } .
S S W ( B ) \left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { 2 \left( d v + { \cal A } _ { u } d u + 2 { \cal A } _ { \underline { { { i } } } } d x ^ { \underline { { { i } } } } \right) d u - d x ^ { \underline { { { i } } } } d x ^ { \underline { { { i } } } } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { B } ^ { ( 1 ) } } } & { { = } } & { { 2 { \cal A } _ { \underline { { { i } } } } d x ^ { \underline { { { i } } } } \wedge d u \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { \phi } } } & { { = } } & { { 0 \, } } \end{array} \right.
\frac { \partial ^ { 2 } S ^ { j } } { \partial t \partial x _ { 1 } } + \frac { \partial ^ { 2 } S ^ { j } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { d X _ { 1 } ^ { j } ( t ) } { d t } + \frac { \partial ^ { 2 } S ^ { j } } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } \frac { d X _ { 2 } ^ { j } ( t ) } { d t } + \frac { \partial ^ { 2 } S ^ { j } } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 3 } } \frac { d X _ { 3 } ^ { j } ( t ) } { d t } + \frac { \partial V ^ { j } } { \partial x _ { 1 } } \vert _ { \textbf { x } = X ^ { j } ( t ) } = 0
{ \begin{array} { r l } { ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { r } = \operatorname* { l i m } _ { S ^ { \perp { \boldsymbol { \hat { r } } } } \to 0 } { \frac { \int _ { \partial S } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { \ell } } { \iint _ { S } d S } } } & { = { \frac { A _ { \theta } ( \phi ) r \, d \theta + A _ { \phi } ( \theta + d \theta ) r \sin ( \theta + d \theta ) \, d \phi - A _ { \theta } ( \phi + d \phi ) r \, d \theta - A _ { \phi } ( \theta ) r \sin ( \theta ) \, d \phi } { r \, d \theta \, r \sin \theta \, d \phi } } } \\ & { = { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial ( A _ { \phi } \sin \theta ) } { \partial \theta } } - { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial A _ { \theta } } { \partial \phi } } } \end{array} }
{ \bf F } \{ { \cal A B I J K } \} ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , m ) = a _ { 1 } \zeta ( 3 ) + a _ { 2 } \frac { \pi } { \sqrt { 3 } } S _ { 2 } + a _ { 3 } i \pi \zeta ( 2 ) + { \cal O } ( \varepsilon ) ,
\begin{array} { r } { \| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ; \zeta ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ; \zeta ) \| \leq L _ { g x y } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| , \ \| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y _ { 1 } ; \zeta ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y _ { 2 } ; \zeta ) \| \leq L _ { g x y } \| y _ { 1 } - y _ { 2 } \| . } \end{array}
\Phi ^ { \prime \prime } + 4 { \cal H } \Phi ^ { \prime } + 2 ( { \cal H } ^ { 2 } + { \cal H } ^ { \prime } ) \Phi - \frac { 1 } { 3 } \nabla ^ { 2 } \Phi = - \frac { { \sigma ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 6 } \Phi + \frac { \sigma ^ { \prime } } { 6 } \chi ^ { \prime } - \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial V } { \partial \sigma } a ^ { 2 } \chi ,
\tilde { H } _ { \mathrm { T B } } ( k ) = \left( \begin{array} { l l } { h - \tilde { G } _ { 2 d } ( k ) } & { - e ^ { - i k d } \left( \tilde { G } _ { d } ( k ) - \tilde { G } _ { 2 d } ( k ) \right) } \\ { - e ^ { i k d } \left( \tilde { G } _ { d } ( k ) - \tilde { G } _ { 2 d } ( k ) \right) } & { - h - \tilde { G } _ { 2 d } ( k ) } \end{array} \right) .
u _ { n , m } ^ { k } = \frac { H _ { a } ( x _ { n } ) } { \eta _ { n } ^ { k } } \frac { \langle P \rangle _ { n + 1 } ^ { k } - \langle P \rangle _ { n - 1 } ^ { k } } { 2 \, \Delta r } \left( \frac { z _ { m } ^ { 2 } } { 2 } - h _ { n } ^ { k } z _ { m } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \Delta P _ { z } } & { = - ( G + 1 / T _ { 1 } ) \Delta P _ { z } - \alpha ( | P _ { 1 , T } | ^ { 2 } - | P _ { 2 , T } | ^ { 2 } ) / 2 , } \\ { \frac { d } { d t } ( | P _ { 1 , T } | ^ { 2 } - | P _ { 2 , T } | ^ { 2 } ) } & { = ( \alpha \bar { P } _ { z } - 2 / T _ { 2 } ) ( | P _ { 1 , T } | ^ { 2 } - | P _ { 2 , T } | ^ { 2 } ) + 2 \alpha | \bar { P } _ { T } | ^ { 2 } \Delta P _ { z } . } \end{array}
\Delta _ { 2 , 2 } = \sqrt { \rho _ { b } } \mathbf { \tilde { h } } _ { r , k } ^ { H } \Theta ^ { H } a _ { M } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } \stackrel [ n = 1 ] { N } { \sum } a _ { N , n } ^ { H } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) \tilde { \mathbf { g } } _ { n m } e ^ { j \varphi _ { m } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { t \mu } } { \partial t } = } & { - ( 1 + i ( \alpha + D _ { \mu } + I _ { t \mu } - 2 I ) ) E _ { t \mu } } \\ & { + i { E _ { t 0 } } ^ { 2 } E _ { t ( - \mu ) } ^ { * } } \\ { \frac { \partial E _ { t ( - \mu ) } ^ { * } } { \partial t } = } & { - ( 1 - i ( \alpha + D _ { - \mu } + I _ { t ( - \mu ) } - 2 I ) ) E _ { t ( - \mu ) } ^ { * } } \\ & { - i { E _ { t 0 } ^ { * } } ^ { 2 } E _ { t \mu } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { D } \big ( F ( x ) \oplus _ { \mathbb { Y } } G ( x ) \big ) } { \mathrm { D } x } } & { { } = } & { \frac { \mathrm { D } F ( x ) } { \mathrm { D } x } \oplus _ { \mathbb { Y } } \frac { \mathrm { D } G ( x ) } { \mathrm { D } x } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + \cdots } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
e ^ { - 2 \pi i c _ { j , k } } I _ { j , k } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } _ { j , k } ) = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } \left( \mathcal { F } \left( I \right) ( \boldsymbol { \xi } ) + \delta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \right) ( \boldsymbol { x } ) \, ,
\mu _ { v } ^ { \mathrm { a } } \left[ \frac { - \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { c } } } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { c } } } k + \frac { \alpha _ { \mathrm { c } } } { \operatorname { t a n h } \left( \alpha _ { \mathrm { c } } d \right) } \right] + \mu _ { v } ^ { \mathrm { c } } \left[ \frac { \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { a } } } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { a } } } k + \frac { \alpha _ { \mathrm { a } } } { \operatorname { t a n h } \left( \alpha _ { \mathrm { a } } d \right) } \right] = 0
\begin{array} { r l } { \Delta f _ { n } ( x , \theta ) } & { = f _ { n + 1 } ( x , \theta ) - \hat { f } _ { n } ( x , \theta ) + \hat { f } _ { n } ( x , \theta ) - f _ { n } ( x , \theta ) } \\ & { = f _ { n + 1 } ( x , \theta ) - f _ { n + 1 } ( x + { \bf e } ( \theta ) v d t , \theta ) + \Delta _ { 1 } f _ { n } ( x , \theta ) . } \end{array}
8 ^ { t _ { 1 } } 4 ^ { t _ { 2 } + 1 } = 4 \alpha _ { 1 } + 8 \alpha _ { 2 } + 1 6 \alpha _ { 3 } = 2 \alpha _ { 1 } + ( 2 \alpha _ { 1 } + 8 \alpha _ { 2 } ) + 1 6 \alpha _ { 3 } = \alpha _ { 1 } ^ { \prime } + ( 2 ^ { t _ { 1 } + t _ { 2 } + 1 } + 8 \alpha _ { 2 } ) + 4 \alpha _ { 3 } ^ { \prime } = \alpha _ { 1 } ^ { \prime } + 2 \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + 4 \alpha _ { 3 } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { \hat { S } _ { x } } \\ { \hat { S } _ { y } } \\ { \hat { S } _ { z } } \end{array} \right) } & { = \frac { c } { 2 } \left( \begin{array} { c } { \hat { n } _ { \mathrm { H } } - \hat { n } _ { \mathrm { V } } } \\ { \hat { n } _ { \mathrm { D } } - \hat { n } _ { \mathrm { A } } } \\ { \hat { n } _ { \mathrm { L } } - \hat { n } _ { \mathrm { R } } } \end{array} \right) = \frac { c } { 2 } \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } + \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } } \\ { i \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } - i \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathcal F ( \mu ) = \mathcal D _ { - \| \cdot \| } ^ { 2 } ( \mu , \nu ) = \underbrace { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \| x _ { i } - y \| \rho ( y ) \, \mathrm { d } y } _ { \mathrm { a t t r a c t i o n } } - \, \frac { 1 } { 2 M } \underbrace { \sum _ { i , j = 1 } ^ { M } \| x _ { i } - x _ { j } \| } _ { \mathrm { r e p u l s i o n } } \, + \, \mathrm { c } .
\mathcal { L } = \sum _ { i } \omega _ { i } \mathcal { L } _ { i } : = \omega _ { \mathcal { I C } } \mathcal { L } _ { \mathcal { I C } } + \omega _ { \mathcal { B } } \mathcal { L } _ { \mathcal { B } } + \omega _ { \mathcal { R } } \mathcal { L } _ { \mathcal { R } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \nabla \phi _ { L } \left( \frac { l + 1 } { N } , e \right) } { \partial X _ { l } ( y ) } ( X , \mathcal { R } _ { l , y } ) } & { = \sqrt { 2 } N \int _ { \frac { l } { N } } ^ { \frac { l + 1 } { N } } \nabla P _ { \mathbf { a } } \left( \frac { l + 1 } { N } , e ; s , y \right) ( X , \mathcal { R } _ { l , y } ) \, d s } \\ & { \geq \sqrt { 2 } N \int _ { \frac { k } { N } } ^ { \frac { k + 1 } { N } } 1 - \frac { N } { 2 } \left( \frac { k + 1 } { N } - s \right) \, d s } \\ & { \geq \frac { 3 } { 4 } . } \end{array}
[ W ^ { g e n } , \underline { { { m } } } \partial _ { \underline { { { m } } } } ] = z \int \left\{ \hat { \xi } _ { A } \frac { m } { e } \frac { \delta } { \delta \varphi _ { 2 } } + \xi _ { A } \frac { m } { e } \frac { \delta } { \delta \hat { \varphi } _ { 2 } } \right\} + ( \chi \partial _ { \xi } + \chi _ { A } \partial _ { \xi _ { A } } ) z \xi _ { A } \frac { m } { e } \int \frac { \delta } { \delta q _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \dot { \mathcal { A } } _ { A } ^ { k } = } & { - q _ { k } ^ { 2 } \left[ ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) \mathcal { A } _ { A } ^ { k } + ( \kappa - \delta ) \mathcal { A } _ { B } ^ { k } \cos ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) + \mathrm { R e } ( \mathrm { K } ^ { k } e ^ { - i \theta _ { A } ^ { k } } ) - \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \right] + \xi _ { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \, , } \\ { \dot { \mathcal { A } } _ { B } ^ { k } = } & { - q _ { k } ^ { 2 } \left[ \beta \mathcal { A } _ { B } ^ { k } + ( \kappa + \delta ) \mathcal { A } _ { A } ^ { k } \cos ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) - \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } \right] + \xi _ { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } \, , } \\ { \dot { \theta } _ { A } ^ { k } = } & { \, q _ { k } ^ { 2 } \left[ \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \frac { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } ( \kappa - \delta ) - q _ { k } ^ { 2 } \mathrm { I m } ( \mathrm { K } ^ { k } e ^ { - i \theta _ { A } ^ { k } } ) \frac { 1 } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \right] + \xi _ { \theta _ { A } ^ { k } } \, , } \\ { \dot { \theta } _ { B } ^ { k } = } & { - q _ { k } ^ { 2 } \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \frac { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } ( \kappa + \delta ) + \xi _ { \theta _ { B } ^ { k } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( \widetilde { \iota _ { 2 ; 1 } } ) } & { = ( 0 , + , [ 2 , 2 , 2 ] , \{ ( - ) \} ) = \sigma ( \iota _ { 3 ; 1 } ) \ \mathrm { ~ w h e n ~ x _ 0 ~ \in ~ ( r e f l e c t i o n ~ c u r v e ) } , } \\ { \sigma ( \widetilde { \iota _ { 2 ; 2 } } ) } & { = ( 0 , + , [ 2 ] , \{ ( - ) , ( - ) \} ) = \sigma ( \iota _ { 3 ; 2 } ) , } \\ { \sigma ( \widetilde { \iota _ { 2 ; 3 } } ) } & { = ( 1 , - , [ 2 ] , \{ ( - ) \} ) = \sigma ( \iota _ { 3 ; 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \rho } _ { r } } & { { } = } & { C _ { r - 1 } + \alpha _ { r } ^ { ( 0 ) } \theta + r \rho _ { r - 1 } ^ { \mu } \dot { u } _ { \mu } - \nabla _ { \mu } \rho _ { r - 1 } ^ { \mu } + \frac { G _ { 3 r } } { D _ { 2 0 } } \partial _ { \mu } n ^ { \mu } + \left[ ( r - 1 ) \rho _ { r - 2 } ^ { \mu \nu } + \frac { G _ { 3 r } } { D _ { 2 0 } } \pi ^ { \mu \nu } \right] \sigma _ { \mu \nu } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) } & { = \langle e ^ { - T _ { * } } \mathcal { F } _ { K } e ^ { T _ { * } } \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle + \langle \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle } \\ & { = \langle \mathcal { F } _ { K } \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle + \langle [ \mathcal { F } _ { K } , T _ { * } ] \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle + \langle \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle } \\ & { = \Lambda _ { 0 } + \langle \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle = \Lambda _ { 0 } + \omega _ { 0 } ( t _ { * } ) . } \end{array}
\operatorname { S i n g } _ { P } : = \left\{ k ^ { - 1 } : k \in \mathbb { Z } ^ { + } \right\} = \left\{ 1 , { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 1 } { 4 } } , \ldots \right\}
\begin{array} { r l } { \psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) = \exp \big \{ } & { { } - a ( | \mathbf { r } _ { 1 } | ^ { 2 } + | \mathbf { r } _ { 2 } | ^ { 2 } ) } \end{array}
\int \exp \{ a ^ { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { x } \bar { \psi } _ { i } ( x ) ( \hat { D } + m ) \psi _ { i } ( x ) \} d \bar { \psi } d \psi = \operatorname * { l i m } _ { L \rightarrow \infty , b \rightarrow 0 } \int \exp \{ - S \} d \phi _ { n } ^ { * } d \phi _ { n } d \chi ^ { * } d \chi
\{ g ( \Lambda ^ { 0 } ) , q ( \Lambda ) \} = \frac k { 2 \pi } \int d ^ { 2 } x d ^ { 2 } y \Lambda ^ { ( 0 ) } ( x ) \epsilon ^ { i j } [ \partial _ { j } \Lambda ( y ) ] \left[ \frac \partial { \partial x ^ { i } } \delta ^ { 2 } ( x - y ) \right]
\begin{array} { r l } { \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } = } & { { } ~ \frac { \sigma _ { 1 } \varepsilon } { 2 } \nabla \phi \otimes \nabla \phi , } \\ { \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } = } & { { } ~ \frac { \sigma _ { 2 } \varepsilon } { 2 } \nabla \phi \otimes \nabla \phi . } \end{array}
| \ \! \underline { { { \sf p } } } \ \! \rangle = \left| \pm ; \pm ; { \sf X } ; { \sf Y } ; { \sf I } , { \sf I } _ { 3 } ; { \sf C } , { \sf C } _ { 3 } , { \sf C } _ { 8 } ; \ \underline { { { \mathbf G } } } \ \! \right>