harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 4 } } & { \leq \frac { \gamma } { 3 } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { \Theta } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \Theta } ) \boldsymbol { U } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } + } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 3 } { 4 \gamma } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \nu ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \| { \mathrm { c u r l } } ( \mathbf { { d i v } } ( \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { \eta } ) ) ) \| _ { E } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq \frac { \gamma } { 3 } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { \Theta } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \Theta } ) \boldsymbol { U } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 \gamma } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \nu ^ { 2 } \| \boldsymbol { \eta } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , H ^ { 3 } ( E ) ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \gamma } { 3 } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { \Theta } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \Theta } ) \boldsymbol { U } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 \gamma } \delta \nu ^ { 2 } \| \boldsymbol { \eta } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , H ^ { 3 } ( \Omega _ { h } ) ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \gamma } { 3 } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { \Theta } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \Theta } ) \boldsymbol { U } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } + \Lambda \delta \nu ^ { 2 } \left( \tau ^ { 4 } + h ^ { 2 s - 4 } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { i } } & { = h ( c o n v ( D , K _ { i } ) ) \quad [ i = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ] } \\ { B _ { f 0 } } & { = c o r r ( B _ { 0 } , h ( K _ { 0 } ) ) } \\ { B _ { f 1 } } & { = c o r r ( B _ { 1 } , h ( K _ { 1 } ) ) } \\ { B _ { f 2 } } & { = c o r r ( ( B _ { 2 } \cap \overline { { B _ { 0 } } } ) , h ( K _ { 2 } ) ) } \\ { B _ { f 3 } } & { = c o r r ( ( B _ { 3 } \cap \overline { { B _ { 0 } } } ) , h ( K _ { 3 } ) ) } \\ { B _ { f 4 } } & { = c o r r ( ( B _ { 4 } \cap \overline { { B _ { 1 } } } ) , h ( K _ { 4 } ) ) } \\ { B _ { f 5 } } & { = c o r r ( ( B _ { 5 } \cap \overline { { B _ { 1 } } } ) , h ( K _ { 5 } ) ) } \end{array}
\delta _ { \tau } ^ { \mathrm { C I P T } } = A ^ { ( 1 ) } \left( M _ { \tau } ^ { 2 } \right) + d _ { 1 } \, A ^ { ( 2 ) } \left( M _ { \tau } ^ { 2 } \right) + d _ { 2 } \, A ^ { ( 3 ) } \left( M _ { \tau } ^ { 2 } \right)
{ \begin{array} { r l r l } { { \mathcal { L } } _ { V ^ { 1 } } ( \theta ) } & { = { \mathcal { L } } _ { V ^ { 1 } } ( d u - u _ { 1 } d x ) } \\ & { = { \mathcal { L } } _ { V ^ { 1 } } d u - \left( { \mathcal { L } } _ { V ^ { 1 } } u _ { 1 } \right) d x - u _ { 1 } \left( { \mathcal { L } } _ { V ^ { 1 } } d x \right) } \\ & { = d \left( V ^ { 1 } u \right) - V ^ { 1 } u _ { 1 } d x - u _ { 1 } d \left( V ^ { 1 } x \right) } \\ & { = d x - \rho ( x , u , u _ { 1 } ) d x + u _ { 1 } d u } \\ & { = ( 1 - \rho ( x , u , u _ { 1 } ) ) d x + u _ { 1 } d u } \\ & { = [ 1 - \rho ( x , u , u _ { 1 } ) ] d x + u _ { 1 } ( \theta + u _ { 1 } d x ) } & & { d u = \theta + u _ { 1 } d x } \\ & { = [ 1 + u _ { 1 } u _ { 1 } - \rho ( x , u , u _ { 1 } ) ] d x + u _ { 1 } \theta } \end{array} }
\begin{array} { r } { f _ { 0 } ^ { e q } = \frac { 2 } { 3 } ( 1 - \frac { u ^ { 2 } } { 3 } ) } \\ { f _ { 1 } ^ { e q } = \frac { 1 } { 6 } ( 1 - 3 u + 3 u ^ { 2 } ) } \\ { f _ { 2 } ^ { e q } = \frac { 1 } { 6 } ( 1 + 3 u + 3 u ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { N \to + \infty } \left| { \bf { b } } _ { \mathrm { { L } } } ^ { H } ( r _ { l } , \phi _ { l } ) { \bf { b } } _ { \mathrm { L } } ( r _ { m } , \phi _ { m } ) \right| = \operatorname* { l i m } _ { N \to + \infty } \frac { 1 } { N } \sqrt { \frac { \pi } { \eta _ { 2 } } } = 0 . } \end{array}
\Omega ( \textbf { k } ) = - \sum _ { n } f _ { n } \sum _ { n \prime \neq n } \frac { 2 I m \left\langle \psi _ { n k } \mid v _ { x } \mid \psi _ { n \prime k } \right\rangle \left\langle \psi _ { n \prime k } \mid v _ { y } \mid \psi _ { n k } \right\rangle } { ( E _ { n \prime } - E _ { n } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { l l } { { \kappa _ { + } = ( f _ { x } + i g _ { x } ) + i ( f _ { y } + i g _ { y } ) , } } & { { \qquad \kappa _ { - } = ( f _ { x } + i g _ { x } ) - i ( f _ { y } + i g _ { y } ) , } } \\ { { \lambda _ { + } = ( f _ { x } - i g _ { x } ) + i ( f _ { y } - i g _ { y } ) , } } & { { \qquad \lambda _ { - } = ( f _ { x } - i g _ { x } ) - i ( f _ { y } - i g _ { y } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { e l } } & { \equiv \operatorname* { l i m } _ { L \to 0 } \tau _ { + } = \frac { L } { R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) } , } \\ { \tau _ { e f f } } & { \equiv \operatorname* { l i m } _ { L \to 0 } \tau _ { - } = \tau _ { 0 } \frac { 1 + \beta + R _ { \ell } / R _ { 0 } } { 1 + \beta + R _ { \ell } / R _ { 0 } + ( 1 - R _ { \ell } / R _ { 0 } ) \mathscr { L } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { X } _ { t } = g _ { t } { \mathbf { x } } _ { 0 } = \Xi _ { t } \circ \bar { g } _ { t } { \mathbf { x } } _ { 0 } = : { \mathbf { x } } _ { t } + \alpha \boldsymbol { \xi } ( { \mathbf { x } } _ { t } , t ) \, , \quad \mathrm { f o r } \quad \mathbf { x } _ { t } : = \bar { g } _ { t } { \mathbf { x } } _ { 0 } \, , \quad \mathrm { a n d } \quad \alpha \ll 1 \, , } \end{array}
\frac { \mu ^ { s + 1 } } { 2 } \left( \frac { 2 \pi } { L } \right) ^ { - s } \frac { 1 } { \Gamma \left( \frac { s } { 2 } \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, t ^ { ( \frac { s } { 2 } - 1 ) } e ^ { - ( \frac { m L } { 2 \pi } ) ^ { 2 } t } \Theta ( 0 , \frac { t } { \pi } \rfloor _ { s = - 1 } \, ,
\frac { B r ( B \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } \gamma ; E ^ { ( 2 ) } ) } { B r ( B \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } \gamma ; E ^ { ( 1 ) } ) } \approx \frac { B r ( B \to K _ { 2 } \gamma ) } { B r ( B \to K ^ { * } \gamma ) } \approx 0 . 2 5
a = c b ^ { - 1 } - \lambda b c b ^ { - 2 } + \lambda ^ { 2 } b ^ { 2 } a b ^ { - 2 } = \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( - \lambda \right) ^ { n } b ^ { n } c b ^ { - n } \right) b ^ { - 1 } \; .
\begin{array} { r l } & { \left[ \mathbf { g } _ { \mathcal { C } } \left( \widehat { \gamma } _ { \left( j + r - 1 \right) \varepsilon } \right) , \ldots , \mathbf { g } _ { \mathcal { C } } \left( \widehat { \gamma } _ { \left( j + m + r - 1 \right) \varepsilon } \right) \right] ^ { \mathsf { T } } } \\ { = } & { \mathcal { C } \left[ \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { j \varepsilon } \right) , \ldots , \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { \left( j + m \right) \varepsilon } \right) \right] ^ { \mathsf { T } } , \; \forall j = 1 , \ldots , n . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ( A + B ) \right] \! \! \! } & { = } & { \! \! \! - 8 m ^ { 6 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \left[ 1 + 2 \cdot u + X _ { 2 } \cdot u ^ { 2 } \, + \, X _ { 3 } \cdot u ^ { 3 } \, - \, X _ { 4 } \cdot u ^ { 4 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 5 } ) \right] , } \\ { \mathrm { I m } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ( A + B ) \right] \! \! \! } & { = } & { \! \! \! - 8 m ^ { 6 } \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \cdot ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \, } \\ & { } & { \times \left[ 2 \cos \theta \cdot u ^ { 2 } \, + \, 4 \sin ^ { 2 } \theta \, \cos \theta \cdot u ^ { 3 } \, - \, X _ { 3 } \cos \theta \cdot u ^ { 4 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 5 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } } & { { } = \left( \begin{array} { l } { b } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \mathcal J } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { - { \tau _ { \mathrm { c } } } ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { \gamma } & { - { \tau _ { \mathrm { r } } } ^ { - 1 } } \end{array} \right) , } \\ { \mathcal { B } } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { \langle \eta _ { c } ^ { 2 } \rangle } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { \langle \eta _ { x } ^ { 2 } \rangle } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { 2 R _ { \mathrm { T } } p ( 1 - p ) / { \tau _ { \mathrm { c } } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { 2 X _ { \mathrm { T } } f ( 1 - f ) / { \tau _ { \mathrm { r } } } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\psi = \pm \left[ a ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { 2 - \gamma } { 2 } } \right) \right] ^ { \frac { 2 } { 2 - \gamma } } ( \xi - \xi _ { 0 } ) ^ { \frac { 2 } { 2 - \gamma } } ,
\begin{array} { r } { \| p \| _ { H ^ { 1 } } \leq C \left[ \mathrm { { R a } } \| T \| _ { 2 } + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 2 } } + \left( \frac { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { { P r } } \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } + \dot { \kappa } \| _ { \infty } \right) \| u \| _ { H ^ { 1 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 2 } = } & { \delta s \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \partial _ { t } \varphi \overline { { w } } \Delta _ { \Gamma } w \, d \sigma d t } \\ { = } & { - \delta s \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \overline { { w } } ( \nabla _ { \Gamma } \partial _ { t } \varphi ) \cdot \nabla _ { \Gamma } w \, d \sigma d t - \delta s \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \partial _ { t } \varphi | \nabla _ { \Gamma } w | ^ { 2 } \, d \sigma d t } \\ { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \lambda } ^ { \gamma } ( s ) } & { = \frac { 1 } { 1 - \lambda \gamma } \left( \operatorname* { m a x } _ { a \in A } R ( s , a ) + \lambda \mathbb { E } _ { T } \left[ V _ { \lambda } ( t ) \: \middle \vert \: s , a \right] \right) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { a \in A } \frac { R ( s , a ) } { 1 - \lambda \gamma } + \lambda \mathbb { E } _ { T } \left[ V _ { \lambda } ^ { \gamma } ( t ) \: \middle \vert \: s , a \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { \ddots } & { V _ { L } ^ { l } } & { } & { } & { } & { } & { } \\ { ( V _ { L } ^ { l } ) ^ { \dagger } } & { H _ { L } ^ { l } } & { V _ { L } ^ { l } } & { } & { } & { } & { } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } = \sin 4 5 ^ { \circ } = \cos 4 5 ^ { \circ } = 0 . 7 0 7 1 0 \, 6 7 8 1 1 \, 8 6 5 4 7 \, 5 2 4 4 0 \, 0 8 4 4 3 \, 6 2 1 0 4 \, 8 4 9 0 3 \, 9 2 8 4 8 . . .
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ( X , Y ) } & { = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { X - 3 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { Y } \\ { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 3 Y } & { Y } & { Y } \\ { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - ( 2 Y + Y ^ { 2 } ) } & { Y ^ { 2 } } \\ { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { Y ^ { 2 } } & { X - ( 2 Y + Y ^ { 2 } ) } \end{array} \right) } \\ { P _ { 2 } ( X , Y ) } & { = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { X - 3 Y } & { Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } \\ { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { Y } & { Y } & { X - 3 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - ( 2 Y + Y ^ { 2 } ) } & { Y } & { Y ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } \\ { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y ^ { 2 } } & { Y } & { X - ( 2 Y + Y ^ { 2 } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \alpha _ { s } ( t ) } & { = } & { \alpha _ { s } ( 0 ) \left( 1 - 2 d _ { g } \frac { \beta ( g _ { s } ) \phi ( t ) } { g _ { s } \sqrt { 2 } M _ { \mathrm { P l } } } \right) , \, \frac { \partial \ln \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { \partial \phi } = \frac { d _ { g } } { \sqrt { 2 } M _ { \mathrm { P l } } } \, } \\ { \hat { m } ( t ) } & { = } & { \hat { m } ( 0 ) \left( 1 + d _ { \hat { m } } \frac { \phi ( t ) } { \sqrt { 2 } M _ { \mathrm { P l } } } \right) , \, \frac { \partial \ln \hat { m } } { \partial \phi } = \frac { d _ { \hat { m } } } { \sqrt { 2 } M _ { \mathrm { P l } } } \, , } \end{array}
R ( e ^ { - 2 \pi } ) = { \sqrt { \varphi { \sqrt { 5 } } } } - \varphi , \quad R ( e ^ { - 2 \pi { \sqrt { 5 } } } ) = { \frac { \sqrt { 5 } } { 1 + \left( 5 ^ { \frac { 3 } { 4 } } ( \varphi - 1 ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 5 } } } } - \varphi .
P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = | u _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( \tau ) | ^ { 2 } = \frac { \Omega _ { 0 p } ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } \; e ^ { - \gamma \tau } \; \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { f ( a + b i ) } { f ( c + d i ) } } & { = \frac { a - b i } { c - d i } } \\ & { = \frac { ( a - b i ) ( c + d i ) } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { a c + b d } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } + i \frac { a d - b c } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } } \\ & { = f \left( \frac { a c + b d } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } + i \frac { b c - a d } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \right) } \\ & { = f \left( \frac { a + b i } { c + d i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { c o n s i s t e n c y } ( \theta ; \Delta t ) = } & { { } \mathbb { E } _ { ( t , x , y ) } [ \frac { | { u } ^ { p i } ( t , x , y ; \Delta t , \theta ) - { u } ^ { p u } ( t , x , y ; \theta ) | ^ { 2 } } { { \sigma _ { u } } ^ { 2 } } ] + } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { O B C } } = \left( \frac { | 1 \rangle _ { \mathrm { O B C } } } { \| | 1 \rangle _ { \mathrm { O B C } } \| _ { 2 } } , \frac { | 2 \rangle _ { \mathrm { O B C } } } { \| | 2 \rangle _ { \mathrm { O B C } } \| _ { 2 } } , \dots , \frac { | L \rangle _ { \mathrm { O B C } } } { \| | L \rangle _ { \mathrm { O B C } } \| _ { 2 } } \right) , } \end{array}
P _ { a b } ( x / \xi , \alpha _ { s } ( \mu _ { F } ) ) = P _ { a b } ^ { ( 1 ) } ( x / \xi ) \ { \frac { \alpha _ { s } ( \mu _ { F } ) } { \pi } } + P _ { a b } ^ { ( 2 ) } ( x / \xi ) \ \left( { \frac { \alpha _ { s } ( \mu _ { F } ) } { \pi } } \right) ^ { 2 } + \cdots .
\begin{array} { r l } { \theta _ { S } \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } \varsigma _ { S } } & { = \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } e _ { S } + \rho _ { S } \pi _ { S } D _ { t } ^ { S } \bigg ( \frac { 1 } { \rho _ { S } } \bigg ) } \\ & { = \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } q _ { S } + e _ { D _ { S } } + q _ { B } \cdot n _ { \Gamma } - q _ { A } \cdot n _ { \Gamma } . } \end{array}
\frac { M _ { Z } ^ { 2 } } { 2 } = \frac { \bar { m } _ { 1 } ^ { 2 } - \bar { m } _ { 2 } ^ { 2 } t a n ^ { 2 } \beta } { t a n ^ { 2 } \beta - 1 } \quad , \quad s i n 2 \beta = - \frac { 2 B \mu } { \bar { m } _ { 1 } ^ { 2 } + \bar { m } _ { 2 } ^ { 2 } }
H ^ { ( 3 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 - 2 k } & { t _ { - } } & { 0 } \\ { t _ { + } } & { 0 } & { t _ { - } } \\ { 0 } & { t _ { + } } & { 1 + 2 k } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \theta ( \vec { x } , z , \omega ) } & { { } \equiv \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \frac { 2 \textrm { R e } \left\{ S _ { X Y } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\} } { S _ { X X } ( \vec { x } , z , \omega ) - S _ { Y Y } ( \vec { x } , z , \omega ) } \right) . } \end{array}
e ^ { - 2 \rho } \simeq 2 ( \Delta _ { 0 } - \log 2 - \frac { 2 \mu ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } ) - \lambda ^ { 2 } ( x ^ { + } + \frac { 2 \gamma _ { + } } { \lambda ^ { 2 } } ) ( x ^ { - } + \frac { 2 \gamma _ { - } } { \lambda ^ { 2 } } )
\begin{array} { r l } { \tilde { \xi } } & { { } = \mathrm { d } \tilde { \phi } + \tilde { c } _ { \phi } \tilde { A } - \ell \tilde { \phi } _ { \psi } , } \\ { \tilde { \xi } _ { \psi } } & { { } = \mathrm { d } \tilde { \phi } _ { \psi } + \tilde { c } _ { \phi } \tilde { A } _ { \psi } . } \end{array}
< x | e ^ { - \beta ( \frac { 1 } { 2 } K ^ { i j } v _ { i } v _ { j } - J ^ { i } v _ { i } ) } | y > = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } < x | e ^ { \varphi ^ { i } v _ { i } } ( - \frac { 1 } { 2 } \beta K ^ { i j } v _ { i } v _ { j } ) ^ { n } | y > / n !
\mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } ( \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } - \mathrm { \overline { { x } } _ { A } \mathrm { x _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { \overline { { x } } _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { y _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \| f _ { \mathcal { B } } - \bar { f } \| ^ { 2 } \right] = \mathbb { E } \left[ \| \frac { 1 } { \mathsf { b } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { \mathsf { b } } \left( f _ { I _ { \ell } } - \bar { f } \right) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { \mathsf { b } ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { \mathsf { b } } \mathbb { E } \left[ \| f _ { I _ { \ell } } - \bar { f } \| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { \mathsf { b } } \mathbb { E } \left[ \| f _ { I _ { 1 } } - \bar { f } \| ^ { 2 } \right] = \frac { 1 } { \mathsf { b } \, n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| f _ { i } - \bar { f } \| ^ { 2 } \; . } \end{array}
A = \frac { g M _ { q } N _ { i 4 } } { 2 M _ { W } \sin \beta } \qquad , \qquad B = e e _ { q } N _ { i 1 } ^ { \prime } + g ( 0 . 5 - e _ { q } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) \frac { N _ { i 2 } ^ { \prime } } { \cos \theta _ { W } } ,
\begin{array} { r l } & { R _ { 0 } ( L , \tau ; 0 ) = e ^ { - \frac { L ^ { 2 } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { D \tau } + 1 \right) + 2 L _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \\ & { \times \frac { L e ^ { \frac { L ^ { 2 } + L _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( \sqrt { 2 \pi } e ^ { \frac { L _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( ( L _ { \mathrm { i n } } - L ) \mathrm { e r f } \left( \frac { L - L _ { \mathrm { i n } } } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) + L _ { \mathrm { i n } } \mathrm { e r f } \left( \frac { L _ { \mathrm { i n } } } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) + L \right) + 2 \sigma \right) - 2 \sigma L e ^ { \frac { L _ { \mathrm { i n } } ( 2 L + L _ { \mathrm { i n } } ) } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } { \pi ( D \tau ) ^ { 3 / 2 } \left( \mathrm { e r f } \left( \frac { L _ { \mathrm { i n } } } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) + 1 \right) } } \end{array}
\left( { \begin{array} { l l } { X } & { - { \overline { { Y } } } } \\ { Y } & { { \overline { { X } } } } \end{array} } \right) ^ { * } = \left( { \begin{array} { l l } { 0 } & { - I _ { n } } \\ { I _ { n } } & { 0 } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l l } { X } & { - { \overline { { Y } } } } \\ { Y } & { { \overline { { X } } } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l l } { 0 } & { - I _ { n } } \\ { I _ { n } } & { 0 } \end{array} } \right) \Leftrightarrow X ^ { \mathrm { T } } = - X , \quad { \overline { { Y } } } ^ { \mathrm { T } } = Y .
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| \psi - x _ { k } \| ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left[ ( \alpha _ { k } - 1 ) ^ { 2 } + \sum _ { j \neq k } \alpha _ { j } ^ { 2 } \right] } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left[ 2 - 2 \alpha _ { k } \right] = 2 N - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { N } \alpha _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | R _ { 1 } ( x ) | + \lambda _ { n } | R _ { 2 } ( x ) | } { \mathcal { Q } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } = \mathcal { O } ( \| ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } , \Delta v _ { n } ^ { * } ) \| ^ { \gamma } + \| ( \mu _ { n } , v _ { n } ) - ( \mu _ { n } ^ { * } , v _ { n } ^ { * } ) \| ^ { \gamma } ) \to 0 } \end{array}
Y _ { \mathrm { e l a s t i c } } \sim \int F ~ d x \sim \frac { 2 } { 3 } \frac { E ~ h _ { p } ^ { \frac { 5 } { 2 } } } { R _ { p } } e ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sim \frac { 2 } { 3 } \frac { E ~ h _ { p } ^ { \frac { 5 } { 2 } } } { R _ { p } } ( R _ { p } - H ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } .
\begin{array} { r } { R e = \frac { \mathrm { ~ i ~ n ~ e ~ r ~ t ~ i ~ a ~ l ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } } { \mathrm { ~ v ~ i ~ s ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } } = \frac { \| ( v \cdot \nabla ) v \| } { \| \nu \Delta v \| } = \frac { V ^ { 2 } / L } { \nu V / L ^ { 2 } } = \frac { V L } { \nu } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { R \, u \, R \, u = u \, R \, u \, R \, , } } \\ { { R \, u \, R \, d u = d u \, R \, u \, \overline { { { R } } } \, , } } \\ { { R \, d u \, R \, d u = - d u \, R \, d u \, \overline { { { R } } } } } \end{array} \right.
\boldsymbol u _ { \tau , h } ( t _ { n } ) = \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) = \boldsymbol 0 \, , \quad \boldsymbol v _ { \tau , h } ( t _ { n } ) = \boldsymbol v _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) = \boldsymbol 0 \quad \mathrm { a n d } \quad p _ { \tau , h } ( t _ { n } ) = p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) = 0 \, ,
\left\{ \begin{array} { l l } { ( v _ { 0 } , \kappa _ { 1 } ^ { * } [ g _ { 0 } ] ) = e ^ { - i \lambda _ { 0 } ( T + 1 ) } \langle f , ( 1 - \chi _ { T + 1 } ( \rho _ { 1 } ) ) g _ { 0 } \rangle - \langle ( 1 - \chi ) f _ { 0 } , \kappa _ { 1 } ^ { * } [ g _ { 0 } ] \rangle _ { 0 } , } & { \forall g _ { 0 } \in \mathscr K _ { 1 , m } ^ { * } } \\ { ( v _ { 1 } , \kappa _ { 1 } ^ { * } [ g _ { 1 } ] ) = e ^ { - i \lambda _ { 0 } ( T + 1 ) } \langle f , ( 1 - \chi _ { T + 1 } ( \rho _ { 1 } ) ) g _ { 1 } \rangle - \langle ( 1 - \chi ) f _ { 0 } , \kappa _ { 1 } ^ { * } [ g _ { 1 } ] \rangle _ { 0 } , } & { \forall g _ { 1 } \in \mathscr K _ { 1 , \perp } ^ { * } } \\ { ( v _ { 2 } , \kappa _ { 2 } ^ { * } [ g _ { 2 } ] ) = - e ^ { i \lambda _ { 0 } ( T + 1 ) } \langle f , ( 1 - \chi _ { T + 1 } ( \rho _ { 2 } ) ) g _ { 2 } \rangle + \langle ( 1 - \chi ) f _ { 0 } , \kappa _ { 2 } ^ { * } [ g _ { 2 } ] \rangle _ { 0 } , } & { \forall g _ { 2 } \in \mathscr K _ { 2 , \perp } ^ { * } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { L _ { 2 , 1 } ( \lambda , \hbar ) } & { = } & { - \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { j = r _ { s } + 1 } ^ { 2 r _ { s } } P _ { X _ { s } , j } ^ { ( 2 ) } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { - j } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { s } } H _ { X _ { s } , j } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { - j } - \sum _ { j = 1 } ^ { g } \frac { \hbar p _ { j } } { \lambda - q _ { j } } } \\ & { \overset { \lambda \to \infty } { = } } & { - \frac { t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } ( t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 0 } + \hbar ) } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { L _ { 2 , 1 } ^ { ( 1 ) } } { \lambda ^ { 3 } } + O \left( \lambda ^ { - 4 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta R ( t ) } { R } = } & { } & { \frac { A _ { N T } } { 2 } \left[ \mathrm { e r f } \left( \frac { t - t _ { 0 } } { \tau _ { p } } \right) + 1 \right] \exp \left( - \frac { t - t _ { 0 } } { \tau _ { N T } } \right) } \\ & { } & { + \frac { A _ { T h } } { 2 } \left[ \mathrm { e r f } \left( \frac { t } { \tau _ { p } } \right) + 1 \right] } \\ & { } & { \times \left\{ 1 - \exp \left[ - \left( \frac { t } { \tau _ { T h } } \right) ^ { \alpha _ { s } } \right] \right\} \exp \left[ - \left( \frac { t } { \tau _ { e p } } \right) ^ { \alpha _ { s } } \right] } \\ & { } & { + O ( t ^ { 3 } ) , } \end{array}
\sum _ { m _ { i } , m _ { f } } \left( \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m _ { i } ) , ( l _ { f } , m _ { f } ) } ^ { ( l _ { o } , m _ { o } ) } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m _ { i } ) , ( l _ { f } , m _ { f } ) } ^ { ( l _ { o } ^ { \prime } , m _ { o } ^ { \prime } ) } \right) = \delta _ { m _ { o } m _ { o } ^ { \prime } } \delta _ { l _ { o } l _ { o } ^ { \prime } }