harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle \Psi _ { N } | f _ { l \sigma } ^ { \dagger } f _ { l ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } | \Psi _ { N } \rangle } & { = \frac { 1 } { L } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { e ^ { i \omega k _ { \mathrm { m a x } } } - e ^ { - i \omega k _ { \mathrm { m a x } } } } { 1 - e ^ { i w } } } \\ & { = \frac { 1 } { L } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { \sin \left[ \omega \left( k _ { \mathrm { m a x } } + \frac { 1 } { 2 } \right) \right] } { \sin \left( \frac { \omega } { 2 } \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { L } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { \sin \left( \frac { \omega N } { 4 } \right) } { \sin \left( \frac { \omega } { 2 } \right) } . } \end{array}
\mathbf { P } _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } , C } ( \lambda _ { k } ) = \frac { \lambda _ { k } ^ { N _ { C } } \left( 1 - \lambda _ { k } \right) ^ { N _ { A } - N _ { C } } W _ { s _ { 1 } } W _ { s _ { 1 } } \operatorname* { d e t } g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } { \sum _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } , C \in A } \lambda _ { k } ^ { N _ { C } } \left( 1 - \lambda _ { k } \right) ^ { N _ { A } - N _ { C } } W _ { s _ { 1 } } W _ { s _ { 1 } } \operatorname* { d e t } g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { G _ { t } } & { \leq \left( 1 + \frac { 3 3 } { 3 2 I } \right) G _ { t - 1 } + 8 I L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } D _ { t - 1 } + 8 I L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } E _ { t - 1 } + 8 I L ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } F _ { t - 1 } } \\ & { \qquad + 8 I c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + 1 6 I c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \zeta _ { g } ^ { 2 } + 1 6 I ^ { 2 } L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 2 } \alpha _ { l } ^ { 2 } D _ { l } + 1 6 I ^ { 2 } L ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 2 } \alpha _ { l } ^ { 2 } G _ { l } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf u _ { h } ^ { n + 1 } - \rho _ { h } ^ { n } \mathbf u _ { h } ^ { n } } { \Delta t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } \otimes \mathbf u _ { h } ^ { n + 1 } ) + H ( q _ { h } ^ { , n + 1 } , \rho _ { h } ^ { n + 1 } ) - \chi \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } _ { h } \nabla { \mathbf u } _ { h } ^ { n + 1 } ) } \\ & { \quad + \chi \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } \otimes ( \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } - \overline { { \mathbf v } } _ { h } ^ { n + 1 } ) ) - \chi \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } _ { h } \nabla ( \overline { { \mathbf v } } _ { h } ^ { n + 1 } - { \mathbf u } _ { h } ^ { n + 1 } ) ) = \boldsymbol { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { A } \displaystyle v ^ { \theta } ( r ) d r } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { S } ( r ) \mathcal { A } v ^ { \theta } ( 0 ) d r + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { s } ^ { t } \mathcal { S } ( r - s ) \mathcal { A } \mathcal { F } ^ { \theta } ( s ) d r d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \int _ { s } ^ { t } \mathcal { S } ( r - s ) \mathcal { A } \overline { { G } } ( z , x , s - ) d r \tilde { N } ( d s , d z ) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 4 } \sum | { \cal M } ( ^ { 1 } S _ { 0 } ) | ^ { 2 } = } } & { { \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { t ^ { 2 } t ^ { 2 } } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left[ t t ^ { \prime } ( s _ { + } ^ { 2 } + u _ { + } ^ { 2 } ) - ( t t ^ { \prime } + \sigma _ { 2 - } ) ^ { 2 } - ( t t ^ { \prime } - \sigma _ { 2 - } ) ^ { 2 } \right] \right. } } \\ { { } } & { { + m _ { e } ^ { 2 } \left[ t _ { + } ( s _ { - } ^ { 2 } + u _ { - } ^ { 2 } ) + 4 \sigma _ { 2 - } \Sigma _ { - } - 4 t t ^ { \prime } \Sigma _ { + } + 2 s _ { - } u _ { - } t _ { - } \right] } } \\ { { } } & { { + 1 6 m _ { e } ^ { 4 } s _ { + } u _ { + } \left. - 6 4 m _ { e } ^ { 6 } \Sigma _ { + } + 2 5 6 m _ { e } ^ { 8 } \right\} . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( t ) } & { { } \to \sum _ { j } g ( t , t _ { j } ) d ( t _ { j } ) , } \\ { g ( t , t _ { j } ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \exp \left[ \frac { - ( t _ { j } - t ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] \; . } \end{array}
\boldsymbol { P } \left( \boldsymbol { r } , \omega \pm \omega _ { m } \right) = \ \hat { \chi } \left( \omega _ { m } \right) { \ e } ^ { i { \boldsymbol { k } } _ { m } \cdot \boldsymbol { r } } \ \boldsymbol { E } \left( \boldsymbol { r } , \omega \right) .
\begin{array} { r l } { S _ { s , z } ^ { m } ( \mathbf B _ { 1 } , \ldots , \mathbf B _ { k - 1 } , \mathbf { B } _ { k } \mathbf { D } _ { i } , b _ { k + 1 } , \ldots , b _ { m } ) } & { = S _ { s , z } ^ { m + 1 } ( \mathbf B _ { 1 } , \ldots , \mathbf B _ { k } , D _ { i } x , b _ { k + 1 } , \ldots , b _ { m } ) } \\ & { \, \, + S _ { s , z } ^ { m } ( \mathbf B _ { 1 } , \ldots , \mathbf { B } _ { k } , D _ { i } b _ { k + 1 } , b _ { k + 2 } , \ldots , b _ { m } ) } \\ & { \, \, + S _ { s , z } ^ { m } ( \mathbf B _ { 1 } , \ldots , \mathbf { B } _ { k } , b _ { k + 1 } \mathbf D _ { i } , b _ { k + 2 } , \ldots , b _ { m } ) . } \end{array}
\partial _ { c } d _ { ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) } \mathscr { G } \big ( c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , 0 , 0 \big ) [ u _ { 0 } ] \not \in \textnormal { I m } \Big ( d _ { ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) } \mathscr { G } \big ( c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , 0 , 0 \big ) \Big ) .
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { + } } & { = \{ ( S , P ) \in \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } : S + P \le 1 , \ L ( S , P ) > 0 \} , } \\ { \Lambda _ { - } } & { = \{ ( S , P ) \in \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } : S + P \le 1 , \ L ( S , P ) < 0 \} } \\ { \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \Lambda _ { 0 } } & { = \{ ( S , P ) \in \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } : S + P \le 1 , \ L ( S , P ) = 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { \theta } \left( \Delta { { \theta } } \right) = \frac { 1 } { 2 } { { k } _ { \theta } } { { \left( \Delta { { \theta } } \right) } ^ { 2 } } + { { V } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } } \right) , } \\ & { { { V } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } } \right) } \\ & { = A \left\{ { { e } ^ { 2 \alpha \left( \Delta { { \theta } } - 2 \theta _ { M } \right) } } - 2 { { e } ^ { \alpha \left( \Delta { { \theta } } - 2 \theta _ { M } \right) } } \right\} } \\ & { + A \left\{ { { e } ^ { - 2 \alpha \left( \Delta { { \theta } } - 2 \theta _ { M } \right) } } - 2 { { e } ^ { - \alpha \left( \Delta { { \theta } _ { n } } - 2 \theta _ { M } \right) } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { 1 } \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } } & { = \Pi _ { 1 } M ( \rho _ { \alpha ( \epsilon ) } ^ { * } + J _ { \epsilon } ) \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } + \Pi _ { 1 } ( K + K _ { L } ) \tilde { b } _ { \epsilon } ^ { * } \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } + \Pi _ { 1 } \mathcal R _ { \omega } ^ { + } v _ { \omega } + \Pi _ { 1 } \tilde { f } _ { \omega } ^ { + } } \\ & { = M \rho _ { \alpha ( \epsilon ) } ^ { * } \Pi _ { 1 } \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } + \Pi _ { 1 } \tilde { f } _ { \omega } ^ { + } + \big [ \Pi _ { 1 } ( K + K _ { L } ) \tilde { b } _ { \epsilon } ^ { * } \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } + \Pi _ { 1 } M J _ { \epsilon } \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } + \Pi _ { 1 } \mathcal R _ { \omega } ^ { + } v _ { \omega } \big ] } \\ & { = M \rho _ { \alpha ( \epsilon ) } ^ { * } \Pi _ { 1 } \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } + \Pi _ { 1 } \tilde { f } _ { \omega } ^ { + } + \mathcal R _ { 1 } v _ { \omega } , } \end{array}
( M _ { n J P } - 2 \epsilon _ { k } ) \Psi _ { L S } ^ { n J P } ( k ) = \sum _ { \Lambda \Sigma } \int _ { L \Lambda S \Sigma } ^ { J P } ( k , q ) \Psi _ { \Lambda \Sigma } ^ { n J P } ( q ) \frac { q ^ { 2 } d q } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r } { \left| \begin{array} { l l } { z _ { 1 \, k _ { l + 1 } + 1 } } & { z _ { 1 \, k _ { l + 1 } + s } } \\ { z _ { r + 1 \, k _ { l + 1 } + 1 } } & { z _ { r + 1 \, k _ { l + 1 } + s } } \end{array} \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \ \eta ^ { 2 } \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 1 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) e ^ { - \hat { \nu } ( 2 \eta + \chi ) } } \\ { \approx \ } & { - \frac { 1 } { 2 \hat { \nu } } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 1 } } ( t ) | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \eta ^ { 2 } \left( e ^ { - \hat { \nu } t } - e ^ { - 2 \hat { \nu } \eta } \right) } \\ { \approx \ } & { \frac { 1 } { 2 \hat { \nu } ^ { 4 } } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 1 } } ( t ) | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 } e ^ { - 2 x } \mathrm { d } x \ ; \ x = \hat { \nu } \eta } \\ { = \ } & { b _ { 0 } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 1 } } ( t ) | ^ { 2 } \implies b _ { 0 } = \left( 8 \hat { \nu } ^ { 4 } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\hat { S } _ { 3 } : = \beta \; \Sigma _ { 3 } + \gamma \; { \frac { \hat { p } _ { 3 } } { M } } , \quad \gamma = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \left[ - i 2 k _ { 0 } \partial _ { z } + \nabla _ { X } ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } , z ) \right] \left\{ E _ { X } ( \vec { x } , z , \omega ) _ { T } , E _ { Y } ( \vec { x } , z , \omega ) _ { T } \right\} = 0 } \\ { \left[ i 2 k _ { 0 } \partial _ { z } + \nabla _ { X } ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } , z ) \right] \left\{ E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } , z , \omega ) _ { T } , E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } , z , \omega ) _ { T } \right\} = 0 } \end{array}
\bigl ( \mathcal { A } ( \mathbf { k } ^ { \circ } ) - \lambda _ { 0 } I \bigr ) \Lambda ^ { p } ( \delta \mathbf { k } ) = \omega ^ { - 1 } ( \delta \mathbf { k } ) ^ { * } g ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } \varsigma _ { p } + \omega ^ { - 1 } ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) ^ { * } g ( \delta \mathbf { k } ) \omega ^ { - 1 } \varsigma _ { p } , \qquad \Lambda ^ { p } ( \delta \mathbf { k } ) \perp \mathfrak { N } .
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = - J \sum \hat { a } _ { x + 1 , y } ^ { \dagger } { \hat { a } _ { x , y } } ^ { - 2 i \pi \alpha y } + \hat { a } _ { x , y } ^ { \dagger } { \hat { a } _ { x + 1 , y } } ^ { 2 i \pi \alpha y } } \\ & { + \hat { a } _ { x , y + 1 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { x , y } + \hat { a } _ { x , y } ^ { \dagger } \hat { a } _ { x , y + 1 } , } \end{array}
\langle Q ( t ) \rangle = - \int _ { 0 } ^ { t } k ( t ^ { \prime } ) \langle x v _ { x } \rangle \mathrm d t ^ { \prime } - \left[ \frac { 1 } { 2 } m \langle v _ { x } ^ { 2 } \rangle \right] _ { 0 } ^ { t } = \langle Q _ { x } ( t ) \rangle + \langle Q _ { v } ( t ) \rangle \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { t } } { \partial t } } & { = - M ^ { \mathrm { W } } ( \rho _ { t } ) ^ { - 1 } \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta \rho } \Bigr | _ { \rho = \rho _ { t } } } \\ & { = \nabla _ { \theta } \cdot \big ( \rho _ { t } ( \nabla _ { \theta } \log \rho _ { t } - \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) \big ) } \\ & { = - \nabla _ { \theta } \cdot ( \rho _ { t } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) + \Delta _ { \theta } \rho _ { t } . } \end{array}
I _ { 1 } = \frac { 2 e } { h } \left( N \Gamma _ { g } ^ { 2 } \right) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { f \left( \varepsilon - e V / 2 \right) - f \left( \varepsilon + e V / 2 \right) } { \left( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \Gamma _ { a } ^ { 2 } } d \! \varepsilon
{ \cal L } = i \bar { \Psi } \gamma ^ { \mu } ( \partial _ { \mu } + i e A _ { \mu } + i \gamma ^ { 5 } f B _ { \mu } ) \Psi - { \frac { 1 } { 4 } } \; F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - { \frac { 1 } { 4 } } \; G _ { \mu \nu } G ^ { \mu \nu }
T _ { i } = \left[ \begin{array} { c c } { \cosh \left( \gamma z _ { i } \right) - i \frac { \Delta \beta } { \gamma } \sinh \left( \gamma z _ { i } \right) } & { - \frac { \kappa } { \gamma } \sinh \left( \gamma z _ { i } \right) } \\ { i \frac { \kappa } { \gamma } \sinh \left( \gamma z _ { i } \right) } & { \cosh \left( \gamma z _ { i } \right) + i \frac { \Delta \beta } { \gamma } \sinh \left( \gamma z _ { i } \right) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { \cosh \left( \frac { B - x _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } \right) } & { { } - } & { \cosh \left( \frac { A - x _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } \right) ~ ~ = ~ \frac { K - H } { \lambda } , } \\ { \sinh \left( \frac { B - x _ { \mathrm { x m i n } } } { \lambda } \right) } & { { } - } & { \sinh \left( \frac { A - x _ { \mathrm { x m i n } } } { \lambda } \right) ~ = ~ \frac { L } { \lambda } . } \end{array}
U _ { t } \in \left[ \sum _ { v ^ { \prime } = 1 } ^ { v - 1 } \hat { p } _ { v ^ { \prime } } , \sum _ { v ^ { \prime } = 1 } ^ { v } \hat { p } _ { v ^ { \prime } } \right) \cup \left[ \sum _ { v ^ { \prime } \in \mathcal { N } _ { w } } \hat { p } _ { v ^ { \prime } } + \sum _ { v ^ { \prime } = 1 } ^ { v - 1 } \left( p _ { v ^ { \prime } } ^ { ( k ) } - \hat { p } _ { v ^ { \prime } } \right) , \sum _ { v ^ { \prime } \in \mathcal { N } _ { w } } \hat { p } _ { v ^ { \prime } } + \sum _ { v ^ { \prime } = 1 } ^ { v } \left( p _ { v ^ { \prime } } ^ { ( k ) } - \hat { p } _ { v ^ { \prime } } \right) \right) .
{ \cal L } = - \frac { i } { 2 } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } B _ { \mu } ^ { * } ( \partial _ { \nu } - i g a _ { \nu } ) B _ { \lambda } + \frac { M } { 2 } B _ { \mu } ^ { * } B _ { \mu } - \frac { i } { 2 } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \lambda } + ( \partial _ { \mu } \bar { c } ) ( \partial _ { \mu } c ) + \frac { 1 } { 2 \rho } ( \partial _ { \mu } a _ { \mu } ) ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { k _ { 0 } } \left( \frac { \partial \phi ( \vec { x } _ { z } ) } { \partial x _ { z } } \frac { \partial x _ { z } } { \partial z } + \frac { \partial \phi ( \vec { x } _ { z } ) } { \partial y _ { z } } \frac { \partial y _ { z } } { \partial z } \right) } & { { } = \left( \frac { d x _ { z } } { d z } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d y _ { z } } { d z } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\bar { F } ^ { \prime \prime } = - D V ^ { \ast } \kappa _ { E } \frac { \left\vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \right\vert \sqrt { 1 + \theta } } { \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } }
i \Gamma ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = \int { \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } ( i D ( q _ { 1 } ^ { 2 } ) ) ~ ( i \Gamma ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) ) ~ ( i D ( q _ { 2 } ^ { 2 } ) ) ~ K ( p , q ; P ) \, ,
\bar { \bar { \varepsilon } } ( \omega , \textbf { H } _ { 0 } ) = \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { x x } ( \omega ) } & { j \varepsilon _ { x y } ( \omega , \textbf { H } _ { 0 } ) } & { 0 } \\ { - j \varepsilon _ { x y } ( \omega , \textbf { H } _ { 0 } ) \ } & { \varepsilon _ { x x } ( \omega ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \varepsilon _ { z z } ( \omega ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \rho \left( \frac { \partial \vec { V } } { \partial t } + \left( \vec { V } \cdot \nabla \right) \vec { V } \right) = - \nabla p } \\ & { } & { + \nabla \cdot \left( \lambda \left( \nabla \cdot \vec { V } \right) \bf { I } \right) + \nabla \cdot \left[ \mu \left( \nabla \vec { V } + \nabla \vec { V } ^ { T } \right) \right] } \end{array}
\mathrm { C P } | B _ { s } \rangle = e ^ { 2 i \xi } | \overline { { { B } } } _ { s } \rangle \, , \quad \mathrm { C P } | \overline { { { B } } } _ { s } \rangle = e ^ { - 2 i \xi } | B _ { s } \rangle \, .
{ \begin{array} { r l r } { q _ { \mathrm { n } } ^ { H } ( k ) : } & { \quad { \frac { 1 } { \tau } } + \left( d _ { u } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { \tau } } d _ { v } ^ { 2 } \right) k ^ { 2 } } & { = f ^ { \prime } ( u _ { h } ) , } \\ { q _ { \mathrm { n } } ^ { T } ( k ) : } & { \quad { \frac { \kappa } { 1 + d _ { v } ^ { 2 } k ^ { 2 } } } + d _ { u } ^ { 2 } k ^ { 2 } } & { = f ^ { \prime } ( u _ { h } ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | x _ { i } ( t ) | } & { \leq \beta ( | x _ { i } ( 0 ) | , t ) + \big ( ( 1 + \varepsilon ) \| q \| _ { \infty } \big ) ^ { 1 / 3 } } \\ & { = \beta ( | x _ { i } ( 0 ) | , t ) + \operatorname* { m a x } \{ a _ { 1 } \| x _ { i - 1 } \| _ { \infty } , b _ { 1 } \| x _ { i + 1 } \| _ { \infty } , ( 1 + \varepsilon ) ^ { 1 / 3 } \| u \| _ { \infty } ^ { 1 / 3 } \} } \\ & { \leq \beta ( | x _ { i } ( 0 ) | , t ) + \operatorname* { m a x } \{ a _ { 1 } \| x _ { i - 1 } \| _ { \infty } , b _ { 1 } \| x _ { i + 1 } \| _ { \infty } \} + ( 1 + \varepsilon ) ^ { 1 / 3 } \| u \| _ { \infty } ^ { 1 / 3 } , } \end{array}
\langle T _ { \ \mu } ^ { \mu } \rangle = \frac { 1 } { 4 8 \pi } \Biggl [ \left( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } h ^ { \mu \nu } - \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } h _ { \ \nu } ^ { \nu } \right) \mp \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { \mu \lambda } \partial ^ { \lambda } \partial _ { \nu } h ^ { \mu \nu } \Biggr ] \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } H ( \nabla u ) ^ { p - 1 } H _ { \xi } ( \nabla u ) \nabla \left( \frac { v ^ { p } } { ( u + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } \right) } & { + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } \frac { v ^ { p } u ^ { p - 1 } } { ( u + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } = \lambda ^ { + } ( m ) \int _ { \Omega } m \frac { v ^ { p } u ^ { p - 1 } } { ( u + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } } \\ & { - \lambda \int _ { \Omega } m v ^ { p } + \int _ { \Omega } H ^ { p } ( \nabla v ) + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } v ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \tilde { \boldsymbol { u } } \cdot \tilde { \boldsymbol { u } } } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \nabla \cdot ( \widetilde { \boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { u } } \cdot \tilde { \boldsymbol { u } } ) = - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { f } } } \nabla \cdot ( \widetilde { p } \tilde { \boldsymbol { u } } ) + \nabla \cdot ( \widetilde { \boldsymbol { \sigma } } \cdot \tilde { \boldsymbol { u } } ) - \nabla \tilde { \boldsymbol { u } } : \widetilde { \boldsymbol { \sigma } } } \\ { - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { f } } \tilde { V } _ { \mathrm { c e l l } } } \tilde { \boldsymbol { u } } \cdot \sum _ { p \in \tilde { \Omega } _ { \mathrm { c e l l } } } \boldsymbol { F } _ { p } ( \boldsymbol { u } ) . } \end{array}
\cos \theta _ { 1 } = \frac { \sigma _ { 1 3 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 3 } ^ { 2 } - \sigma _ { 1 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 3 } \sigma _ { 2 3 } } , \quad \cos \theta _ { 2 } = \frac { \sigma _ { 1 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 3 } ^ { 2 } - \sigma _ { 2 3 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 2 } \sigma _ { 1 3 } } .
\frac { T ^ { 2 } } { 1 2 } \int d ^ { 4 } x \, d ^ { 4 } y \int \frac { d \Omega _ { q } } { 4 \pi } \left( \partial _ { \mu } \Gamma _ { \alpha } ^ { a b } - \partial _ { \alpha } \Gamma _ { \mu } ^ { a b } \right) < x | \frac { Q ^ { \alpha } Q ^ { \beta } } { - ( Q \cdot \partial ) ^ { 2 } } | y > \left( \partial _ { \mu } S _ { \beta } ^ { a b } - \partial _ { \beta } S _ { \mu } ^ { a b } \right) \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { R e } { \left\{ \sigma _ { x x } ( \Omega ) \right\} } = - \frac { 2 0 \sigma _ { 0 } } { 1 9 \sqrt { 6 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \varphi } { 2 \pi } \left[ f ^ { \mathrm { e q } } \left( \frac { \hbar \Omega } { 2 } + \frac { \cos { ( \varphi ) } } { \sqrt { 3 } } \right) - f ^ { \mathrm { e q } } \left( - \frac { \hbar \Omega } { 2 } + \frac { \cos { ( \varphi ) } } { \sqrt { 3 } } \right) \right] \left[ \frac { 2 6 } { 1 0 } - \cos { ( 2 \varphi ) } \right] , } \\ & { } & { \mathrm { R e } { \left\{ \sigma _ { y y } ( \Omega ) \right\} } = - \frac { 2 0 \sigma _ { 0 } } { 1 9 \sqrt { 6 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \varphi } { 2 \pi } \left[ f ^ { \mathrm { e q } } \left( \frac { \hbar \Omega } { 2 } + \frac { \cos { ( \varphi ) } } { \sqrt { 3 } } \right) - f ^ { \mathrm { e q } } \left( - \frac { \hbar \Omega } { 2 } + \frac { \cos { ( \varphi ) } } { \sqrt { 3 } } \right) \right] \left[ 1 + \cos { ( 2 \varphi ) } \right] . } \end{array}
\mathrm { l o g } ( p _ { i } ) = \mathrm { l o g } ( I _ { 0 } \alpha _ { 0 } \eta _ { 0 } ) + \mathrm { l o g } ( I _ { n } ^ { 0 } ) + \mathrm { l o g } ( \alpha _ { j } ^ { 0 } ) + \mathrm { l o g } ( \eta _ { k } ^ { 0 } )
\begin{array} { r l } { \langle D _ { \beta } f , D _ { \beta } f \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } & { = \sum _ { \alpha \in A _ { m , n } } \frac { 1 } { w _ { \alpha } } \langle D _ { \beta } f , L _ { \beta } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ { \langle D _ { \beta } ^ { * } f , D _ { \beta } ^ { * } f \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } & { = \sum _ { \alpha \in A _ { m , n } } \frac { 1 } { w _ { \alpha } } \langle f , D _ { \beta } L _ { \alpha } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\langle \psi ^ { \dagger } ( { \bf { 0 } } , 0 ) \psi ( { \bf { x } } , t ) \rangle = e x p \mathrm { ~ } [ \mathrm { ~ } ( \frac { 1 } { 4 N _ { 0 } } ) \sum _ { { \bf { q } } } f _ { { \bf { q } } } ( { \bf { x } } , t ) \mathrm { ~ } ] \langle \psi ^ { \dagger } ( { \bf { 0 } } , 0 ) \psi ( { \bf { x } } , t ) \rangle _ { f r e e }
\begin{array} { r } { \tau _ { q } = \frac { \rho m _ { 1 } } { n } , \quad \tau _ { S } = \frac { \rho m _ { 2 } } { l _ { 1 1 } } , \quad \tau _ { \Pi } = \frac { 3 \rho m _ { 3 } } { k _ { 1 1 } } , \quad \lambda = \frac { 1 } { 3 n T ^ { 2 } } , \quad \mu = \frac { 1 } { T l _ { 1 1 } } , \quad \eta = \frac { 3 } { T k _ { 1 1 } } , } \end{array}
\Gamma \lbrack A \rbrack = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d T } { T } } \, \mathrm { e } ^ { - m ^ { 2 } T } \int { \cal D } x \, \mathrm { e x p } \left[ - \int _ { 0 } ^ { T } \! \! \! d \tau \left( { \frac { 1 } { 4 } } { \dot { x } } ^ { 2 } + i e A _ { \mu } \dot { x } ^ { \mu } \right) \right]
\begin{array} { r l } & { \mathbf { s } ( x ) , \quad \quad \; x ^ { * } = x \in \left( I \setminus ( D \setminus D ^ { 0 } ) \right) \cap \bar { I } ^ { d , * } , } \\ & { \mathbf { s } ( x \pm ) , \quad \; \; x ^ { * } = x \pm \in \bar { I } ^ { d , * } \mathrm { ~ w i t h ~ } x \in D , } \\ & { \mathbf { s } ( c _ { n } + ) , \quad \, x ^ { * } = p _ { n } ^ { * } \mathrm { ~ f o r ~ e a c h ~ } n \geq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \parallel } } & { = \mu [ \sigma ( \varepsilon _ { \alpha \alpha } ) ^ { 2 } + \varepsilon _ { \alpha \beta } \varepsilon _ { \alpha \beta } ] , } \\ { W _ { \perp } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \lambda + 2 \mu ) ( \epsilon _ { 3 3 } + \sigma \varepsilon _ { \alpha \alpha } ) ^ { 2 } + 2 \mu \varepsilon _ { \alpha 3 } \varepsilon _ { \alpha 3 } , } \end{array}
\overline { { \mathbf { T } _ { \mathfrak { u } } \mathbb { P } _ { L } } } : = \left\{ \mathbf { X } \in \mathbf { T } _ { \mathfrak { u } } \mathbb { P } _ { L } \ \backslash \ \left[ \mathbf { X } , \mathbf { G } \right] \in \mathcal { G } \forall \mathbf { G } \in \mathcal { G } \right\} ,
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { = \int _ { D } K ^ { i } ( x , \eta ) \sigma _ { \varepsilon } ( \eta , t ) \textrm { d } \eta + \int _ { D } \mathbb { E } \left[ K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \eta } ) 1 _ { \left\{ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \right\} } \right] W _ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \textrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t - s < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \eta } ) g _ { \varepsilon } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \textrm { d } \eta \textrm { d } s } \end{array}