harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { p } _ { \theta , \mathrm { o u t } } ^ { - } [ \Omega ] } & { = e ^ { - r _ { \mathrm { s } } } \hat { p } _ { \theta , \mathrm { s } } [ \Omega ] } \\ { \hat { p } _ { \theta , \mathrm { s } } [ \Omega ] } & { = G \, \hat { p } _ { \theta , \mathrm { i n } } [ \Omega ] - \sqrt { G ^ { 2 } - 1 } \, \hat { p } _ { \theta , \mathrm { G } } [ \Omega ] } \\ { \hat { p } _ { \theta , \mathrm { o u t } } ^ { + } [ \Omega ] } & { = - \sqrt { \eta } \, \hat { p } _ { \theta , \mathrm { o u t } } ^ { - } [ \Omega ] + \sqrt { 1 - \eta } \, \hat { p } _ { \theta , 0 } [ \Omega ] } \\ { \hat { p } _ { \theta , \mathrm { o u t } } [ \Omega ] } & { = \sqrt { 1 - \eta } \, \hat { p } _ { \theta , \mathrm { o u t } } ^ { - } [ \Omega ] + \sqrt { \eta } \, \hat { p } _ { \theta , 0 } [ \Omega ] } \\ { \hat { p } _ { \theta , \mathrm { i n } } [ \Omega ] } & { = e ^ { i \Omega \tau } \hat { p } _ { \theta , \mathrm { o u t } } ^ { + } [ \Omega ] . } \end{array}
\psi ^ { 1 } ( z ; x ) = \left( \begin{array} { c r } { { 0 } } \\ { { e ^ { - \phi ( z ) } G _ { + } ( z - \omega ) } } \end{array} \right) , ~ ~ ~ ~ \psi ^ { 2 } ( z ; x ) = \left( \begin{array} { c r } { { e ^ { \phi ( z ) } G _ { - } ( z + \omega ) } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) ,
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \frac { \partial s _ { 1 } } { \partial t } } & { = s _ { 2 } , \qquad } & { t } & { \in [ 0 , T ] } \\ { \frac { \partial s _ { 2 } } { \partial t } } & { = - \frac { b } { m } s _ { 2 } - \frac { g } { L } \sin ( s _ { 1 } ) , \qquad } & { t } & { \in [ 0 , T ] } \\ { s _ { 1 } ( 0 ) } & { = s _ { 2 } ( 0 ) = 1 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r } { f _ { \Theta | Y _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } = y _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } , x _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } , z _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } } ( \theta ) = \frac { L _ { Y _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } = y _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } , x _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } , z _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } } ( \theta ) f _ { \Theta _ { 0 } } ( \theta ) } { \int L _ { Y _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } = y _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } , x _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } , z _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } } ( \theta ) f _ { \Theta _ { 0 } } ( \theta ) \mathrm { d } \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< L _ { z } \right> } & { = \left< \vec { r } \times \vec { J } \right> = \alpha \left< f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } x ^ { 2 } - f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } y ^ { 2 } \right> = \frac { \omega _ { x } ^ { 2 } - \omega _ { y } ^ { 2 } } { f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { x } ^ { 2 } + f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { y } ^ { 2 } } \left< f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } y ^ { 2 } - f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } x ^ { 2 } \right> \Omega } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 - 2 a ^ { 2 } } & { - 2 a b } & { - 2 a c } & { - 2 a d } \\ { - 2 a b } & { 1 - 2 b ^ { 2 } } & { - 2 b c } & { - 2 b d } \\ { - 2 a c } & { - 2 b c } & { 1 - 2 c ^ { 2 } } & { - 2 c d } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \\ { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { l l l } { { O ( 3 ) = S O ( 3 ) \times Z _ { 2 } ( P ) } } & { { \supset } } & { { O _ { h } = O \times Z _ { 2 } ( P ) } } \\ { { \bigcup } } & { { } } & { { \bigcup } } \\ { { { \cal C } = O ( 2 ) \times Z _ { 2 } ( \sigma _ { z } ) } } & { { \supset } } & { { D _ { h } ^ { 4 } = D ^ { 4 } \times Z _ { 2 } ( P ) } } \\ { { \bigcup } } & { { } } & { { \bigcup } } \\ { { O ( 2 ) } } & { { \supset } } & { { C _ { v } ^ { 4 } } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { H Q H ^ { \mathrm { ~ T ~ } } + R } } & { \mathbf { H X } } \\ { ( \mathbf { H X } ) ^ { \mathrm { ~ T ~ } } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \bar { \xi } } } \\ { \boldsymbol { \bar { \beta } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { y } - h ( \mathbf { \bar { s } } ) + \mathbf { H \bar { s } } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \overline { { \eta } } _ { p } } & { = \frac { 1 } { N _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } { \eta _ { p } } _ { i } , } \\ { \overline { { \xi _ { p } ^ { \prime } \eta _ { p } ^ { \prime } } } } & { = \frac { 1 } { N _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } \left( { \xi _ { p } } _ { i } - \overline { { \xi } } _ { p } \right) \left( { \eta _ { p } } _ { i } - \overline { { \eta } } _ { p } \right) , } \end{array}
\mathbf { a } _ { P } = { \frac { \mathrm { d } } { { \mathrm { d } } t } } \left( { \dot { R } } \mathbf { e } _ { r } + R { \dot { \theta } } \mathbf { e } _ { \theta } + { \dot { z } } { \hat { \mathbf { k } } } \right) = \left( { \ddot { R } } - R { \dot { \theta } } ^ { 2 } \right) \mathbf { e } _ { r } + \left( R { \ddot { \theta } } + 2 { \dot { R } } { \dot { \theta } } \right) \mathbf { e } _ { \theta } + { \ddot { z } } { \hat { \mathbf { k } } } .
K _ { n } = \eta _ { n } \frac { K _ { n + 1 } ( 1 + \mathrm { e } ^ { - 2 k _ { n } l _ { n } } ) + \eta _ { n } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - 2 k _ { n } l _ { n } } ) } { K _ { n + 1 } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - 2 k _ { n } l _ { n } } ) + \eta _ { n } ( 1 + \mathrm { e } ^ { - 2 k _ { n } l _ { n } } ) }
\begin{array} { r l r l } { C _ { a n , a n } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ h ~ 1 ~ p ~ } } } & { { } = - \epsilon _ { a } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } + \Omega _ { n } ^ { \mathrm { ~ h ~ h ~ } } } & { C _ { i n , i n } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ p ~ 1 ~ h ~ } } } & { { } = - \epsilon _ { i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } + \Omega _ { n } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { \ell } ( t ) } & { { } = } & { n _ { \ell } ( t ) + \sum _ { j } \Delta n _ { j , \ell } , } \\ { s _ { \ell } ( t ) } & { { } = } & { s _ { \ell } ( t ) + \sum _ { j } \Delta s _ { j , \ell } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial K _ { \mathrm { s g s } } } { \partial t } + \tilde { u } _ { i } \frac { \partial K _ { \mathrm { s g s } } } { \partial x _ { i } } = - \tau _ { i j } \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } - C _ { \epsilon } \frac { K _ { \mathrm { s g s } } ^ { 3 / 2 } } { \Delta } + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( \nu _ { \mathrm { k } } \frac { \partial K _ { \mathrm { s g s } } } { \partial x _ { i } } \right) + \varPhi _ { \mathrm { P } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { T = { \mathcal { O } } \left( d ^ { 3 / 2 } \left( \frac { C _ { \varphi } ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 4 } } + \frac { \Delta C _ { \varphi } ^ { 3 } } { \delta \varepsilon ^ { 4 } } \right) \right) , ~ \eta = \Theta \left( \sqrt { \frac { \delta ( \Delta + \delta C _ { \varphi } ) } { d ^ { 3 / 2 } C _ { \varphi } ^ { 3 } T } } \right) , } \end{array}
{ } \begin{array} { r l } { R _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = \langle \phi _ { i } ( \tau ) \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle - \langle \phi _ { i } ( \tau ) \rangle \langle \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \langle \delta \phi _ { i } ( \tau ) \delta \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \\ { C _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = \langle \phi _ { i } ( \tau ) \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle - \langle \phi _ { i } ( \tau ) \rangle \langle \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \langle \delta \phi _ { i } ( \tau ) \delta \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
\frac { d A } { d t } = u _ { 1 } ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) + v _ { 1 } ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) + u _ { 2 } ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) + v _ { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) + u _ { 3 } ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) + v _ { 3 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) = 0
\begin{array} { r } { \cot \delta = \frac { \eta _ { \ell } ( k _ { o } ) } { j _ { \ell } ( k _ { o } ) } \frac { F _ { 2 } - k _ { o } \frac { \eta _ { \ell + 1 } ( k _ { o } ) } { \eta _ { \ell } ( k _ { o } ) } } { F _ { 2 } - k _ { o } \frac { j _ { \ell + 1 } ( k _ { o } ) } { j _ { \ell } ( k _ { o } ) } } \; , } \end{array}
X = \left( \begin{array} { c c } { { K ^ { 2 } + q ^ { - 1 } ( q - q ^ { - 1 } ) ^ { 2 } F E } } & { { ( q - q ^ { - 1 } ) F K ^ { - 1 } } } \\ { { ( q - q ^ { - 1 } ) K ^ { - 1 } E } } & { { K ^ { - 2 } } } \end{array} \right)
\mu \geq \operatorname* { i n f } _ { \| x - b \| _ { p } = 1 } \frac { \alpha ( x ) } { \frac { 1 - \| b \| _ { p } ^ { p } } { \| x - b \| _ { 2 ( p - 1 ) } ^ { p - 1 } } + \alpha ( x ) \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } } \geq \frac { ( p - 1 ) n ^ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { p } } } { 1 - \| b \| _ { p } ^ { p } + ( p - 1 ) n ^ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { p } } } ,
\begin{array} { r l r l } { \tilde { f } _ { k + 1 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \mathrm { K n } [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \left( \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } f ^ { ( 0 ) } + \mathcal { A } ^ { ( 1 1 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 1 ) } + \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 1 2 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 2 ) } \right) , } & { \tilde { f } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = 0 , } \\ { \tilde { f } _ { k + 1 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \mathrm { K n } [ \tilde { \mathcal { L } } ^ { ( 2 2 ) } ] ^ { - 1 } \left( \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 2 1 ) } f _ { k } ^ { ( 1 ) } + \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 2 2 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 2 ) } + \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 2 3 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 3 ) } \right) , } & { \tilde { f } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = 0 , } \\ { \tilde { f } _ { k + 1 } ^ { ( 3 ) } } & { { } = \mathrm { K n } [ \tilde { \mathcal { L } } ^ { ( 3 3 ) } ] ^ { - 1 } \left( \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 3 2 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 2 ) } + \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 3 3 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 3 ) } \right) , } & { \tilde { f } _ { 0 } ^ { ( 3 ) } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi ^ { ( n ) } = \int \frac { d k _ { u } d k _ { v } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \xi _ { \textbf { k } } ^ { ( n ) } ( \tau ) \exp [ i ( k _ { u } u + k _ { v } v ) ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { p q } ^ { e e } } & { = - \frac { 2 } { n _ { e } \nu _ { e e } } \left< x ^ { 1 / 2 } L _ { p } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) f _ { 0 e } ( v ) \cos \alpha , C _ { e e } ^ { ( l ) } \left[ x ^ { 1 / 2 } L _ { q } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) f _ { 0 e } ( v ) \cos \alpha \right] \right> , } \\ { K _ { p q } ^ { e i } } & { = - \frac { 2 } { n _ { e } \nu _ { e i } } \left< x ^ { 1 / 2 } L _ { p } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) f _ { 0 e } ( v ) \cos \alpha , \mathcal { L } _ { e i } \left[ x ^ { 1 / 2 } L _ { q } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) f _ { 0 e } ( v ) \cos \alpha \right] \right> } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { u } ^ { U T } } & { = \frac { 1 } { 1 + \operatorname* { m a x } \big [ \Lambda _ { 1 3 } + \Lambda _ { 1 2 } ( 1 + \Lambda _ { 2 3 } ) , \, \Lambda _ { 2 3 } \big ] } \, , } \\ { \Psi _ { l } ^ { U T } } & { = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 1 2 } } \big ] } \\ { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 2 3 } } , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 1 3 } + \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } } \big ] } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\frac { 4 } { \sqrt { - \triangle } } \frac { 1 } { \sqrt { 4 m ^ { 2 } - \triangle } } { \mathrm a r c t a n h } \left( \frac { \sqrt { - \triangle } } { \sqrt { 4 m ^ { 2 } - \triangle } } \right) = \int _ { m } ^ { \infty } \! { \mathrm d } \tilde { m } \, \frac { 1 } { \sqrt { { \tilde { m } } ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \, \frac { 1 } { 4 { \tilde { m } } ^ { 2 } - \triangle } .
( \Delta t ) ^ { 2 } \sum _ { \tau ^ { \prime } } R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } ) R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau _ { - } ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } ) \mu ^ { 2 } ( \tau _ { - } ^ { \prime \prime } ) = ( \Delta t ) ^ { 2 } \sum _ { \tau ^ { \prime } } ( L \chi ) ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ( L \chi ) ( \tau ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } ) ( L M ) ( \tau ^ { \prime \prime } ) = ( L \chi L \chi L M ) ( \tau )
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { \int _ { T _ { 1 } } ^ { 2 T _ { 1 } } \mid L ( 1 / 2 + \epsilon + i t , \ \chi ) \mid ^ { 1 2 } \ \mathrm { d } t , } \\ { I _ { 2 } = } & { \int _ { T _ { 1 } } ^ { 2 T _ { 1 } } \mid L ( 1 / 2 + \epsilon + i t , \ { \mathrm { s y m } ^ { 2 } } f \otimes \chi ) \mid ^ { 4 } \ \mathrm { d } t , } \\ { I _ { 3 } = } & { \int _ { T _ { 1 } } ^ { 2 T _ { 1 } } \mid L ( 1 / 2 + \epsilon + i t , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 4 } f \otimes \chi ) \mid ^ { 1 2 } \mathrm { d } t . } \end{array}
V _ { 0 } = V \left( q _ { t } \right) \mathrm { ~ , ~ } V _ { 1 } = V ^ { \prime } \left( q _ { t } \right) \mathrm { ~ , ~ } V _ { 2 } = V ^ { \prime \prime } ( q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) \mathrm { ~ . ~ }
d s ^ { 2 } = - c ^ { 2 } d t ^ { 2 } + R ( t ) ^ { 2 } \left( { \frac { d r ^ { 2 } } { 1 - k r ^ { 2 } } } + r ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \, d \phi ^ { 2 } \right)
\displaystyle { \sigma ( \vartheta ) = \frac { 4 Z ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } ( \vartheta ^ { 2 } + \vartheta _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , \quad \Sigma ( x ) = 4 \pi \frac { Z ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \frac { x } { \vartheta _ { 1 } } K _ { 1 } ( x \vartheta _ { 1 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ ( \xi _ { u } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } ] } & { = \frac { A _ { u } } { m _ { u } } \Delta _ { h } ( \operatorname { R e } ( \operatorname { I d } - u ) ) ^ { 2 } \ , } \\ { \mathbb { E } [ ( \xi _ { u } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } ] } & { = \frac { A _ { u } } { m _ { u } } \Delta _ { h } ( \operatorname { I m } ( \operatorname { I d } - u ) ) ^ { 2 } \ , } \\ { \mathbb { E } [ \xi _ { u } ^ { ( 1 ) } \xi _ { u } ^ { ( 2 ) } ] } & { = \frac { A _ { u } } { m _ { u } } \Delta _ { h } \left[ ( \operatorname { R e } ( \operatorname { I d } - u ) ) ( \operatorname { I m } ( \operatorname { I d } - u ) ) \right] , \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \alpha _ { 1 } } ^ { \ast } } & { { } = \frac { \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle \langle | l _ { 3 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle } { 1 - | \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle | ^ { 2 } } , } \\ { { \beta _ { 1 } } ^ { \ast } } & { { } = \frac { \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle } { 1 - | \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q } & { { } = 4 \pi R ^ { 2 } \left( - \varepsilon _ { \mathrm { i n } } \varepsilon _ { 0 } \left. \frac { d \psi ^ { \mathrm { e q } } } { d r } \right| _ { r = R - 0 } + \sigma _ { R } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { C , L } ^ { 0 } = \left( \frac { 1 + \delta } { 2 } \right) { \cal P } _ { C , L } ( s , z ) + \left( \frac { 1 - \delta } { 2 } \right) { \cal P } _ { C , L } ( - s , z ) . } \end{array}
\eta _ { j , \alpha } + \mathsf { M } _ { i } K _ { 1 , e _ { q } } ^ { i } R _ { j , \alpha } ^ { q } \in \mathrm { i m } \left( \mathsf { A } _ { \mathsf { U } } - \alpha _ { q } \lambda _ { q } \mathsf { M } \right) = \left( \mathrm { k e r } \left( \mathsf { A } _ { \mathsf { U } } - \alpha _ { q } \lambda _ { q } \mathsf { M } \right) ^ { * } \right) ^ { \perp }
{ \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { 2 } } \log \left( 1 + { \frac { P _ { i } } { N } } \right) \leq { \frac { 1 } { 2 } } \log \left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { P _ { i } } { N } } \right) \,
\sum _ { \substack { n > 1 \, \mu ( n ) = 1 } } \frac { 1 } { n ^ { v } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \log ^ { l } ( k ) } { k ^ { v } x ^ { k n } } = \sum _ { n } \frac { \mu ( n ) } { n ^ { v } } \sum _ { \substack { m \nmid n \, m < n } } \frac { \mu ( m ) } { m ^ { v } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \log ^ { l } ( k ) } { k ^ { v } x ^ { k n m } }
\begin{array} { r l } { \| \nabla f ( w + \theta ^ { \prime } s ) - \nabla f ( w ) \| } & { = \theta ^ { \prime } \Big \| \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla ^ { 2 } f \big ( \theta ( w + \theta ^ { \prime } s ) + ( 1 - \theta ) w \big ) d \theta \Big \| } \\ & { = \Big \| \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla ^ { 2 } f ( w + \theta \theta ^ { \prime } s ) \theta ^ { \prime } d \theta \Big \| } \\ & { \overset { ( i ) } { = } \Big \| \int _ { 0 } ^ { \theta ^ { \prime } } \nabla ^ { 2 } f ( w + u s ) s d u \Big \| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { \tilde { q } } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \sigma ) = } & { \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \beta + k _ { 1 } } } ( p _ { n } , \tilde { p } _ { \beta - 1 } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { \beta + k _ { 1 } } } ( p _ { n } , \tilde { q } _ { \beta - 1 } , \boldsymbol { \xi } ) } } \prod _ { m = - 2 } ^ { \beta - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m + k _ { 1 } } } ( \tilde { p } _ { m } , \tilde { p } _ { m - 1 } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m + k _ { 1 } } } ( \tilde { q } _ { m } , \tilde { q } _ { m - 1 } , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { k _ { 1 } - 3 } } ( \tilde { p } _ { - 3 } , p _ { n - 1 } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { k _ { 1 } - 3 } } ( \tilde { q } _ { - 3 } , p _ { n - 1 } , \boldsymbol { \eta } ) } } \prod _ { m = 1 } ^ { \sigma _ { 1 } - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m } } ( p _ { 0 } , p _ { 0 } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m } } ( p _ { 0 } , p _ { 0 } , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { 1 } - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \sigma _ { i } } } ( p _ { i } , p _ { i - 1 } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { \sigma _ { i } } } ( p _ { i } , p _ { i - 1 } , \boldsymbol { \xi } ) } } \prod _ { m = \sigma _ { i } + 1 } ^ { \sigma _ { i + 1 } - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m } } ( p _ { i } , p _ { i } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m } } ( p _ { i } , p _ { i } , \boldsymbol { \xi } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Delta r } & { = \frac { c _ { 0 } } { 2 B } } & { \Delta v } & { = \frac { c _ { 0 } } { 2 f _ { \mathrm { c } } N _ { \mathrm { s y m } } \left( T + T _ { \mathrm { c p } } \right) } } \\ { r _ { \mathrm { m a x } } } & { = \Delta r N _ { \mathrm { c } } } & { v _ { \mathrm { m a x } } } & { = \pm \Delta v \frac { N _ { \mathrm { s y m } } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d { \bf x } } { d t } } & { { } = } & { a _ { 0 } { \bf y } , } \\ { \frac { d { \bf y } } { d t } } & { { } = } & { c _ { 0 } Q \cdot s i g n ( { \bf x } ) - ( a _ { 0 } - a ( t ) ) { \bf x } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { A } & { = } & { k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s + \frac { e _ { 0 } K _ { M } } { ( K _ { M } + s ) ^ { 2 } } ( k _ { - 1 } + k _ { 1 } s ) } \\ & { \leq } & { k _ { 1 } ( K _ { M } + s ) \left( 1 + \frac { e _ { 0 } K _ { M } } { ( K _ { M } + s ) ^ { 2 } } \right) } \\ & { = } & { k _ { 1 } ( K _ { M } + s ) + k _ { 1 } e _ { 0 } \frac { K _ { M } ^ { 2 } } { ( K _ { M } + s ) ^ { 2 } } } \\ & { \leq } & { k _ { 1 } ( K _ { M } + e _ { 0 } + s _ { 0 } ) = : A ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { 0 } = \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } } { \theta } , \; - \mathrm { e s s } \operatorname* { i n f } _ { x } \left( \tilde { z } ( x , 0 ) \right) + E _ { 0 } , \; \mathrm { e s s } \operatorname* { i n f } _ { x } \left( \tilde { w } ( x , 0 ) \right) \right\} . } \end{array}
\tau _ { i j } = \overline { { u _ { i } u _ { j } } } - \overline { { u } } _ { i } \overline { { u } } _ { j } = - ( \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } + \overline { { \overline { { u } } _ { i } u _ { j } ^ { \prime } } } + \overline { { u _ { i } ^ { \prime } \overline { { u } } _ { j } } } + \overline { { \overline { { u } } _ { i } \overline { { u } } _ { j } } } - \overline { { u } } _ { i } \overline { { u } } _ { j } )
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { R ( u ) } { \kappa _ { \mathrm { s c a t t } } ( u ) + \kappa _ { \mathrm { I B } } ( u ) } ~ d u } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m i n } \left\{ \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { R ( u ) } { \kappa _ { \mathrm { s c a t t } } ( u ) } ~ d u , \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { R ( u ) } { \kappa _ { \mathrm { I B } } ( u ) } ~ d u \right\} } \\ & { = } & { \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { \kappa _ { R , \mathrm { s c a t t } } } , \frac { 1 } { \kappa _ { R , \mathrm { I B } } } \right\} , } \end{array}
{ \cal S } \; i \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; { \cal S } ^ { - 1 } = ( 1 \; \vert \; { \cal J } ) \; \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; \; ,
\begin{array} { r } { \langle \Phi _ { f } ^ { ( a ) } | \Psi _ { f ^ { \prime } } ^ { ( a ) } \rangle = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \sigma \langle \Phi _ { f } ^ { ( a ) } ( \sigma ) | \Psi _ { f ^ { \prime } } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \bar { D } _ { j k } | } & { \leq } & { \left| j k \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega ^ { 2 } | \hat { p } ( \omega - k ) \hat { p } ( j - \omega ) | \left( 2 \Delta t ^ { 2 } \right) + \right. } \\ & { } & { \left. k \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega | \hat { p } ( \omega - k ) \hat { q } ( j - \omega ) | \left( 2 \Delta t ^ { 2 } \right) + \right. } \\ & { } & { \left. j \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega | \hat { q } ( \omega - k ) \hat { p } ( j - \omega ) | \left( 2 \Delta t ^ { 2 } \right) + \right. } \\ & { } & { \left. \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } | \hat { q } ( \omega - k ) \hat { q } ( j - \omega ) | \left( 2 \Delta t ^ { 2 } \right) \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { 0 0 } } & { = } & { - \frac { 2 } { \sqrt { - g } } \frac { \delta \hat { S } } { \delta g ^ { 0 0 } } = \frac { 2 \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } - \left( \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } - B \partial _ { 0 } \tilde { \mu } \right) } \\ & { = } & { \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } + B \partial _ { 0 } \tilde { \mu } \leftrightarrow \rho \frac { \vec { v } ^ { 2 } } { 2 } + \rho \partial _ { 0 } \tilde { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( X | Y = y ) } & { = - \sum _ { x } P ( X = x | Y = y ) \log P ( X = x | Y = y ) } \\ & { = - \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) } \log \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { i } } { d t } } & { { } = k _ { \mathrm { f o r m } , i } \, n \left( \mathrm { H _ { 2 } ^ { + } } \right) \, n \left( \mathrm { H } _ { 2 } \right) - \alpha _ { \mathrm { D R } , i } \, n _ { i } \, n \left( e ^ { - } \right) } & { \mathrm { ( f o r m a t i o n \, a n d \, d e s t r u c t i o n ) } } \end{array}