harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \{ x ( t ) , p _ { 0 } \} _ { x _ { 0 } , p _ { 0 } } } & { { } = \frac { \partial x ( t ) } { \partial x _ { 0 } } \frac { \partial p _ { 0 } } { \partial p _ { 0 } } - \frac { \partial x ( t ) } { \partial p _ { 0 } } \frac { \partial p _ { 0 } } { \partial x _ { 0 } } } \end{array}
\eta ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) } = \sum _ { u \in \mathbb { X } _ { k ^ { \prime } ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) } ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) } } p _ { u } ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) } \cdot f _ { u } ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) } \eta ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) + n ^ { \prime } } \omega ) } .
v _ { 0 } = 3 0 0 \mathrm { ~ k ~ m ~ / ~ s ~ } , \; v _ { f } = 7 5 0 \mathrm { ~ k ~ m ~ / ~ s ~ } , \; r = 0 . 2 \mathrm { ~ d ~ e ~ g ~ } ^ { - 1 } , \; d \in [ 1 0 ^ { \circ } , 3 5 ^ { \circ } ] ,
- \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | ^ { p - 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) d \sigma = ( p - 1 ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | ^ { p - 2 } ( \partial _ { \sigma } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) ) ^ { 2 } d \sigma \geq 0 ,
\mathrm { K e r } Q _ { n } ^ { [ s ] } / \mathrm { I m } Q _ { n } ^ { [ s - 1 ] } = \Bigl \lbrace \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { f o r } } & { { s \not = 0 } } \\ { { { \cal H } _ { n , n ^ { \prime } } } } & { { f o r } } & { { s = 0 } } \end{array} ,
\begin{array} { r l } & { D _ { \tau } ^ { \alpha } v _ { h } ^ { n } = \Delta _ { h } u _ { h } ^ { n } + f _ { h } ^ { n } , ~ ~ \mathrm { x } _ { h } \in \Omega _ { h } , ~ ~ 1 \le n \le N - 1 , } \\ & { v _ { h } ^ { n } = \frac { 1 + 2 r _ { n } } { \tau _ { n } ( 1 + r _ { n } ) } \nabla _ { \tau } u _ { h } ^ { n } - \frac { r _ { n } ^ { 2 } } { \tau _ { n } ( 1 + r _ { n } ) } \nabla _ { \tau } u _ { h } ^ { n - 1 } , ~ ~ \mathrm { x } _ { h } \in \Omega _ { h } , ~ ~ 1 \le n \le N , } \\ & { u _ { h } ^ { 0 } = \varphi _ { 1 } ( \mathrm { x } _ { h } ) , ~ ~ v _ { h } ^ { 0 } = \varphi _ { 2 } ( \mathrm { x } _ { h } ) , ~ ~ \mathrm { x } _ { h } \in \bar { \Omega } _ { h } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 1 } ^ { q } = S _ { 2 2 } ^ { q } = S _ { 3 3 } ^ { q } = S _ { 4 4 } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } } & { \left( 2 ( 1 - p ) ( 2 - p T ^ { 2 } - R T ) + T ( 1 - p ) ( 1 - T ( 1 - p ) ) \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } \right. } \\ & { \left. + ( 2 p ( 1 - p ) T + 2 ( 1 - p ) ^ { 2 } R T ) \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } \left( e ^ { \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } } - 1 \right) } \right) k _ { B } \mathcal { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } B _ { 1 } } & { \ \cdots \ B _ { k - 1 } G _ { k } } \\ { = } & { ( \mathcal { B } _ { 1 k } ) ^ { - 1 } \bigg [ M _ { 1 } B _ { 1 } \ \cdots \ B _ { k - 1 } G _ { k } + \sum _ { \sigma = \pm } \sum _ { l = 2 } ^ { k - 1 } \sigma M _ { 1 } \langle G _ { 1 } B _ { 1 } \ \cdots \ B _ { l - 1 } G _ { l } E _ { \sigma } \rangle E _ { \sigma } G _ { l } B _ { l } \ \cdots \ B _ { k - 1 } G _ { k } } \\ & { - M _ { 1 } \underline { { W G _ { 1 } B _ { 1 } \ \cdots \ B _ { k - 1 } G _ { k } } } + \langle G _ { 1 } - M _ { 1 } \rangle \, M _ { 1 } G _ { 1 } B _ { 1 } \ \cdots \ B _ { k - 1 } G _ { k } \bigg ] \, . } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { 1 } { 2 e r _ { e } } \frac { \gamma _ { \pm } I _ { \pm } } { \beta _ { y \pm } ^ { * } } \frac { 2 \sigma _ { y \pm } ^ { * } \sigma _ { x \pm } } { \Sigma _ { y } \Sigma _ { x } } \xi _ { y \pm } ^ { i h } \frac { R _ { \mathcal { L } } } { R _ { \xi y } ^ { \pm } } ,
\begin{array} { r l } { \phi ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) - \phi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { : = - \textstyle \frac { y - y _ { j } } { 2 } a _ { 2 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \beta } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + X _ { \beta } ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) \right) , } \\ { \xi ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) - \xi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { : = \textstyle \frac { y - y _ { j } } { 2 } b _ { 2 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \beta } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + X _ { \beta } ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) \right) , } \\ { X _ { \alpha } ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) - X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { : = \textstyle \frac { y - y _ { j } } { 2 } c _ { 2 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \beta } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + X _ { \alpha } ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) \right) . } \end{array}
{ \bf J } _ { s } = - \kappa _ { S } \left( \nabla S + \frac { \hat { \mu } _ { p } } { \hat { \mu } _ { S } } \nabla p \right) - \left( \frac { L } { T } + \frac { \hat { \mu } _ { T } } { \hat { \mu } _ { S } } \kappa _ { S } \right) \nabla T
\ddot { \chi } _ { m } + \frac { 3 \Delta + 1 4 } { 3 \Delta + 8 } t ^ { - 1 } \dot { \chi } _ { m } + \left[ p ^ { 2 } \left( H _ { 0 } t \right) ^ { - \frac { 4 } { 3 \Delta + 8 } } + \frac { m ^ { 2 } } { H _ { 0 } ^ { 2 } } t ^ { - 2 } \right] \chi _ { m } = 0 .
\begin{array} { r l r } { \mu _ { 1 } } & { = } & { - \frac { \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \varepsilon _ { 0 } ( 1 - H ( \kappa _ { \mathrm { i n } } R ) ) } { 3 \eta _ { \mathrm { i n } } + 2 \eta _ { \mathrm { o u t } } } \left[ ( 1 + \kappa _ { \mathrm { o u t } } R ) \psi _ { R } - \frac { R \sigma _ { R } } { \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \varepsilon _ { R } } \right] , } \\ { \mu _ { 2 } } & { = } & { \frac { 2 \eta _ { \mathrm { i n } } \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \varepsilon _ { 0 } \psi _ { R } ^ { \mathrm { e q } } } { \eta _ { \mathrm { o u t } } ( 3 \eta _ { \mathrm { i n } } + 2 \eta _ { \mathrm { o u t } } ) } \left[ 1 + \frac { F _ { 1 } ( \kappa _ { \mathrm { o u t } } R ) } { 2 } \right] , } \\ { \mu _ { 3 } } & { = } & { \frac { \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \varepsilon _ { 0 } \psi _ { R } ^ { \mathrm { e q } } } { 3 \eta _ { \mathrm { i n } } + 2 \eta _ { \mathrm { o u t } } } \left[ ( 1 + \kappa _ { \mathrm { o u t } } R ) + \frac { 4 } { 3 } - \frac { 2 F _ { 2 } ( \kappa _ { \mathrm { o u t } } R ) } { 3 } \right] , } \\ { \mu _ { 4 } } & { = } & { - \frac { R \sigma _ { R } } { 3 \eta _ { \mathrm { i n } } + 2 \eta _ { \mathrm { o u t } } } , } \\ { \mu _ { 5 } } & { = } & { \frac { 2 \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \varepsilon _ { 0 } \psi _ { R } } { 3 \eta _ { \mathrm { i n } } + 2 \eta _ { \mathrm { o u t } } } \left[ 1 + \frac { \eta _ { \mathrm { i n } } } { \eta _ { \mathrm { o u t } } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } ( { \bf k } , g ) } & { { } = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { e ^ { g + i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 1 } } } \\ { e ^ { - g - i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 1 } } } & { 0 } \end{array} \right] ; } \\ { H _ { 2 } ( { \bf k } , g ) } & { { } = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { e ^ { - g + i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 2 } } } \\ { e ^ { g - i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 2 } } } & { 0 } \end{array} \right] ; } \\ { H _ { 3 } ( { \bf k } , g ) } & { { } = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { e ^ { - g + i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 3 } } } \\ { e ^ { g - i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 3 } } } & { 0 } \end{array} \right] ; } \end{array}
\left[ \mathbf { T } ^ { ( l ) } ( \mathbf { r } ) \otimes { \boldsymbol { \rho } } ^ { l } \right] = { \frac { 1 } { ( 2 l - 1 ) ! ! } } \left[ \mathbf { T } ^ { ( l ) } ( \mathbf { r } ) \mathbf { T } ^ { ( l ) } ( { \boldsymbol { \rho } } ) \right]
\lbrack \frac { 4 } { 5 ! ( D + 5 ) } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \eta _ { \beta \gamma } ^ { T } \alpha _ { - 1 } ^ { \mu \nu \lambda \beta \gamma } + \epsilon _ { \mu \nu \lambda } ( \alpha _ { - 1 } ^ { \mu } \alpha _ { - 2 } ^ { \nu \lambda } - \frac { 4 } { 3 } \alpha _ { - 1 } ^ { \mu \nu } \alpha _ { - 3 } ^ { \lambda } ) ] \left\vert 0 , k \right\rangle ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \tau } v - s \partial _ { s } v + \mathrm { W e } ^ { - 1 } \partial _ { s } p = - v \partial _ { s } v } \\ & { \partial _ { \tau } \log h - s \partial _ { s } \log h + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { s } v = - v \partial _ { s } \log h } \\ & { p = \frac { e ^ { \tau } } { h \sqrt { e ^ { 2 \tau } + \left( \frac { 2 } { L _ { 0 } } \right) ^ { 2 } h _ { s } ^ { 2 } } } - \left( \frac { 2 } { L _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \frac { e ^ { \tau } h _ { s s } } { \left[ e ^ { 2 \tau } + \left( \frac { 2 } { L _ { 0 } } \right) ^ { 2 } h _ { s } ^ { 2 } \right] ^ { 3 / 2 } } } \\ & { h ( \tau , \pm 1 ) = 1 \qquad v ( \tau , \pm 1 ) = \pm 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \underbrace { \sigma _ { n } } _ { 1 0 ^ { - 3 } } \ \lesssim \ \underbrace { \sigma _ { \operatorname* { m a x } } \, u } _ { 5 \times 1 0 ^ { - 2 } } , } \\ & { \underbrace { 4 \, \sigma _ { \operatorname* { m a x } } \, u } _ { 2 \times 1 0 ^ { - 1 } } \ > \underbrace { \sigma _ { n - 1 } } _ { 1 0 ^ { - 2 } } . } \end{array}
S _ { ( P , Q ) } = T _ { ( P , Q ) } { \Omega } _ { p } { \int } _ { 0 } ^ { t _ { + } } d t { \rho } ^ { p } \sqrt { 1 + { \dot { \rho } } ^ { 2 } } - \frac { Q { \Phi } } { p + 1 } { \Omega } _ { p } { \int } _ { 0 } ^ { t _ { + } } d t { \rho } ^ { p + 1 }
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } _ { i , j } = - \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } ( \tilde { \mathbf { z } } ^ { ( i ) } , \tilde { \mathbf { z } } ^ { ( j ) } ) / \tau + \log { \sum _ { k : k \neq i } ^ { 2 m } } \exp { ( \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } ( \tilde { \mathbf { z } } ^ { ( i ) } , \tilde { \mathbf { z } } ^ { ( k ) } ) / \tau ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { x } ( x , z = 0 , t ) = \left\{ \begin{array} { c c } { v _ { 0 } ( t ) } & { x < 0 } \\ { 0 } & { x = 0 } \\ { - v _ { 0 } ( t ) } & { x > 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
\lambda _ { | | } = \zeta \frac { 3 } { \pi } \frac { B ^ { 2 } } { \delta B _ { \mathrm { ~ s ~ l ~ a ~ b ~ } } ^ { 2 } } \frac { k _ { \operatorname* { m i n } } r _ { L } ^ { 2 } } { \nu - 1 } \left[ \frac { 1 } { 4 } + \frac { 2 \left( k _ { \operatorname* { m i n } } r _ { L } \right) ^ { - \nu } } { ( 2 - \nu ) ( 4 - \nu ) } \right] .
c \, \bar { t } _ { { \scriptscriptstyle H } } = \bar { \xi } _ { { \scriptscriptstyle H } } = 4 \sqrt { \frac { 2 ( \bar { h } \! + \! \mu ) } M } \left[ E ( \alpha ) - \frac { \mu } { \bar { h } \! + \! \mu } K ( \alpha ) \right] , \qquad \alpha : = \sqrt { \frac { \bar { h } \! - \! \mu } { \bar { h } \! + \! \mu } } ,
{ \bf \hat { e } _ { \rho } . \hat { e } _ { \mu } ^ { \prime } } = { \bf \hat { e } _ { \rho } . } L { \bf \hat { e } _ { \mu } } = L _ { \mu } ^ { \nu } { \bf \hat { e } _ { \rho } . \hat { e } _ { \nu } } = L _ { \mu } ^ { \gamma } g _ { \rho \gamma } \Rightarrow { L } _ { \mu } ^ { \gamma } = g _ { \gamma \rho } ^ { - 1 } { \bf \hat { e } _ { \rho } . } L { \bf \hat { e } _ { \mu } } .
\Big ( \frac { a ^ { 3 } } { n } + \frac { ( n - 1 ) ( 1 3 a ^ { 2 } + 5 b ^ { 2 } ) } { 5 4 n } \Big ) \Big ( \frac { b ^ { 3 } } { n } + \frac { ( n - 1 ) ( 1 3 b ^ { 2 } + 5 c ^ { 2 } ) } { 5 4 n } \Big ) \Big ( \frac { c ^ { 3 } } { n } + \frac { ( n - 1 ) ( 1 3 c ^ { 2 } + 5 a ^ { 2 } ) } { 5 4 n } \Big ) \geq \frac { ( 1 3 a ^ { 2 } + 5 b ^ { 2 } ) ( 1 3 b ^ { 2 } + 5 c ^ { 2 } ) ( 1 3 c ^ { 2 } + 5 a ^ { 2 } ) } { 5 4 ^ { 3 } }
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } w ( t , x ) } & { = \nabla \cdot \mathbf { a } \nabla u ( t , x ) + \sqrt { 2 } N { \boldsymbol { 1 } } _ { \left[ \frac { l } { N } , \frac { l + 1 } { N } \right] } ( t ) \delta _ { y } ( x ) } & { ~ \mathrm { f o r } ~ } & { ( t , x ) \in [ 0 , \infty ] \times \mathbb { T } _ { L } , } \\ { w ( 0 , x ) } & { = 0 } & { ~ \mathrm { f o r } ~ } & { x \in \mathbb { T } _ { L } , } \end{array} \right.
\leftarrow m \cdot \mathrm { ~ r ~ m ~ z ~ } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ d ~ r ~ m ~ z ~ d ~ z ~ } + \frac { i \pi } { 2 } e ^ { - \Re [ z ] ^ { 2 } + x ^ { 2 } } \left( \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( x ) - \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } ( m ) \right)
\begin{array} { r l } { R _ { A } ( A ) \circ \vec { u } } & { = Q _ { A } ( A ) ^ { - 1 } \left[ \sum _ { i = 0 } ^ { h } A ^ { i } \vec { u } ( q _ { i } R _ { A } ( z ) - \Delta _ { i } ) \right] } \\ & { = Q _ { A } ( A ) ^ { - 1 } \left[ R _ { A } ( z ) \sum _ { i = 0 } ^ { h } q _ { i } A ^ { i } \vec { u } \right] - Q _ { A } ( A ) ^ { - 1 } \left[ \sum _ { i = 0 } ^ { h } A ^ { i } \vec { u } \Delta _ { i } \right] } \\ & { = R _ { A } ( z ) Q _ { A } ( A ) ^ { - 1 } Q _ { A } ( A ) \vec { u } - G _ { z } ( A ) \circ \vec { u } = R _ { A } ( z I _ { n } ) \circ \vec { u } - G _ { z } ( A ) \circ \vec { u } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \zeta ( t ) ) - \frac \varepsilon 2 < } & { \, ( \mathcal S ( t _ { n } ) \phi ) ( \zeta ( t ) ) + c t _ { n } = ( \mathcal S ( t ) \mathcal S ( T _ { \varepsilon } ) \phi ) ( \zeta ( t ) ) + c ( t + T _ { \varepsilon } ) } \\ { \le } & { \, ( \mathcal S ( T _ { \varepsilon } ) \phi ) ( \zeta ( 0 ) ) + c T _ { \varepsilon } + \int _ { 0 } ^ { t } \left( L \left( \zeta , \dot { \zeta } \right) + c \right) d \tau < u ( \zeta ( t ) ) + \frac \varepsilon 2 } \end{array}
\boxed { \begin{array} { r c l } { \textrm { f o r e a c h n o d e ( i , j ) } } \\ { \rho _ { ( i , j ) } = \sum _ { a } f _ { a , ( i , j ) } } \\ { \rho _ { ( i , j ) } \mathbf { u } _ { ( i , j ) } = \sum _ { a } f _ { a , ( i , j ) } \mathbf { c } _ { a } } \\ { \Pi _ { \alpha \beta , ( i , j ) } ^ { n e q } = \sum _ { a } f _ { a , ( i , j ) } ^ { n e q } c _ { a \alpha } c _ { a \beta } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d \vec { x } _ { k } ^ { \, s } } { d t } = \vec { g } _ { k } ^ { \, s } \, , } \\ & { } & { \frac { d g _ { k x } ^ { \, s } } { d t } = - \frac { q _ { k } \, \left( E \, x _ { k } ^ { s } - g _ { k z } ^ { s } \, B \, x _ { k } ^ { s } \right) } { m _ { k } \, \sqrt { \left( x _ { k } ^ { s } \right) ^ { 2 } + \left( y _ { k } ^ { s } \right) ^ { 2 } } } - \nu _ { k e } ^ { s } \, g _ { k x } ^ { s } \, , } \\ & { } & { \frac { d g _ { k y } ^ { \, s } } { d t } = - \frac { q _ { k } \, \left( E \, y _ { k } ^ { s } - g _ { k z } ^ { s } \, B \, y _ { k } ^ { s } \right) } { m _ { k } \, \sqrt { \left( x _ { k } ^ { s } \right) ^ { 2 } + \left( y _ { k } ^ { s } \right) ^ { 2 } } } - \nu _ { k e } ^ { s } \, g _ { k y } ^ { s } \, , } \\ & { } & { \frac { d g _ { k z } ^ { s } } { d t } = - \frac { q _ { k } \, B \, \left( x _ { k } ^ { s } \, g _ { k x } ^ { s } + y _ { k } ^ { s } \, g _ { k y } ^ { s } \right) } { m _ { k } \, \sqrt { \left( x _ { k } ^ { s } \right) ^ { 2 } + \left( y _ { k } ^ { s } \right) ^ { 2 } } } - \nu _ { k e } ^ { s } \, g _ { k z } ^ { s } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 2 } h _ { 3 1 } \rangle } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \langle c _ { i } ( t ) \alpha _ { 1 j } ( t ) \rangle \varphi _ { i } ( x ) \varphi _ { j } ( x ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \langle N _ { 1 } ( t ) c _ { i } ( t ) \rangle \varphi _ { i } ( x ) \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } \right) } \\ & { \times \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } - u _ { 1 0 } \frac { x } { L _ { x } } \right) . } \end{array}
E _ { \mathrm { h f s } } ( 1 S , \mu \mathrm { H } ) = \Big [ 1 8 3 . 7 9 7 ( 7 ) \underbrace { - 1 . 3 0 6 5 3 ( 1 7 ) \left( \frac { R _ { \mathrm { Z } } } { \mathrm { f m } } \right) + E _ { \mathrm { F } } \, \Big ( 1 . 0 1 6 5 6 ( 4 ) \, \Delta _ { \mathrm { r e c o i l } } + 1 . 0 0 4 0 2 \, \Delta _ { \mathrm { p o l . } } \Big ) } _ { \mathrm { T P E ~ i n c l u d i n g ~ r a d i a t i v e ~ c o r r e c t i o n s } } \Big ] \, \mathrm { m e V } ,
\pi ^ { ( 0 ) } = \left\langle \pi _ { 1 } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } , ~ \pi ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { k } \left\langle \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \pi _ { j } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } , ~ \pi ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \left\langle \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \sum _ { \ell \in \Omega _ { i } \backslash \{ i \} } \pi _ { \ell } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } .
\begin{array} { r l } & { \: 2 ( n - 1 ) S _ { 2 } ( \widetilde { \Omega } ) + ( 2 - n ) S _ { 1 } ^ { 2 } ( \widetilde { \Omega } ) } \\ { = } & { \: 2 ( n - 1 ) \sum _ { i < j } \mu _ { i } \mu _ { j } - ( n - 2 ) ( \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \mu _ { i } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { \: - ( n - 2 ) \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \mu _ { i } ^ { 2 } - 2 ( n - 2 ) \sum _ { i < j } \mu _ { i } \mu _ { j } + 2 ( n - 1 ) \sum _ { i < j } \mu _ { i } \mu _ { j } } \\ { = } & { \: - ( n - 2 ) \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \mu _ { i } ^ { 2 } + 2 \sum _ { 1 \leq i < j \leq n - 1 } \mu _ { i } \mu _ { j } - ( n - 2 ) \mu _ { 0 } ^ { 2 } + 2 \mu _ { 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \mu _ { i } } \\ { \leq } & { \: - \sum _ { 1 \leq i < j \leq n - 1 } ( \mu _ { i } - \mu _ { j } ) ^ { 2 } + 2 \mu _ { 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \mu _ { i } . } \end{array}
\frac { \left\langle { \vartheta _ { 0 0 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) \chi _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { k } } ^ { \prime } ; \tau ^ { \prime } ) } \right\rangle } { \delta ( { \bf { k } } + { \bf { k } } ^ { \prime } ) } = D ^ { i j } ( { \bf { k } } ) Q _ { \vartheta \chi } ( { \bf { k } } ; \tau , \tau ^ { \prime } ) + \frac { i } { 2 } \frac { k ^ { \ell } } { k ^ { 2 } } \epsilon ^ { i j \ell } H _ { \vartheta \chi } ( { \bf { k } } ; \tau , \tau ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { m _ { N } ( z ) - \mathbb { E } m _ { N } ( z ) } & { = \frac { 1 } { N \sqrt { t } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( \mathbb { E } _ { k } - \mathbb { E } _ { k - 1 } ) \alpha _ { k } \beta _ { k } - \frac { 1 } { N \sqrt { t } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( \mathbb { E } _ { k } - \mathbb { E } _ { k - 1 } ) \epsilon _ { k } \delta _ { k } \beta _ { k } \bar { \beta } _ { k } } \\ & { : = \frac { 1 } { \sqrt { t } } S _ { 1 } - \frac { 1 } { \sqrt { t } } S _ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { G } ( \mathbf { u } ) = - \frac { 1 } { 3 } \mathbf { D } _ { 1 } \mathbf { u } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \mathbf { u } ) \mathbf { D } _ { 1 } \mathbf { u } ,
\operatorname* { m i n } _ { \mathbf { m } , \mathbf { p } } \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { v } } \mathbb { P } _ { \mu _ { k } } ( \mathbf { m } ) + \lambda \| \mathbf { p } \| _ { 1 } - \left\langle \mathbf { v } , \mathbf { p } - \nabla \mathbf { m } \right\rangle + \frac { 1 } { 2 c } \| \mathbf { p } - \nabla \mathbf { m } \| _ { 2 } ^ { 2 } .
\delta { \tilde { e } } _ { \mu } ^ { \ \underline { { \nu } } } = - \bar { \tilde { \epsilon } } _ { + i } \tilde { \Gamma } ^ { \underline { { \nu } } } \tilde { \psi } _ { \mu + } ^ { i } - 2 \kappa ^ { D - 2 } W \bar { \tilde { \epsilon } } _ { + i } \tilde { \Gamma } ^ { \underline { { { \nu \lambda } } } } \tilde { \eta } _ { - } ^ { i } \tilde { e } _ { \mu \underline { { \lambda } } } + c . c . \ .
\begin{array} { r l } { C ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = \langle \left( L ( \tau ) - \langle L ( \tau ) \rangle \right) \left( L ( \tau ^ { \prime } ) - \langle L ( \tau ^ { \prime } ) \rangle \right) \rangle = D \langle L _ { 1 } ( \tau ) L _ { 1 } ( s ) \rangle + \mathcal { O } ( D ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { k + 1 } } & { = z ^ { k } - \dot { z } \sin \left( \alpha _ { k } ^ { z } \right) + \ddot { z } \left( 1 - \cos \left( \alpha _ { k } ^ { z } \right) \right) > 0 } \\ { \lambda ^ { k + 1 } } & { = \lambda ^ { k } - \dot { \lambda } \sin \left( \alpha _ { k } ^ { s } \right) + \ddot { \lambda } \left( 1 - \cos \left( \alpha _ { k } ^ { s } \right) \right) } \\ { s ^ { k + 1 } } & { = s ^ { k } - \dot { s } \sin \left( \alpha _ { k } ^ { s } \right) + \ddot { s } \left( 1 - \cos \left( \alpha _ { k } ^ { s } \right) \right) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { 5 } = - \frac { \tau } { \kappa } \left\lbrace \alpha _ { 1 } \left( \xi _ { 2 } q _ { 1 } - \xi _ { 1 } q _ { 2 } \right) + \alpha _ { 2 } \left( \xi _ { 2 } q _ { 3 } - \xi _ { 3 } q _ { 2 } \right) \right\rbrace \quad \mathrm { f o r ~ a n y } ~ q = ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ f o r ~ e a c h ~ } i \in \{ N _ { t } - 1 , N _ { t } - 2 , . . . , 1 \} \mathrm { , ~ f i n d ~ } p _ { i } ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } \mathrm { ~ s . t . ~ } } \\ & { \frac { 1 } { \Delta t } m _ { s } ^ { * } \left( p _ { i } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) - p _ { i + 1 } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) , z ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + a _ { s } ^ { * } \left( z ^ { \mathcal { N } } , p _ { i } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) ; \boldsymbol { \mu } \right) = - \big ( y _ { i } ^ { \mathcal { N } } - y _ { d _ { i } } , z ^ { \mathcal { N } } \big ) _ { s } \quad \forall z ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( w , z ) = } & { \underbrace { \sum _ { u = 1 } ^ { c } w ^ { u } ( 1 - \vartheta ) z } _ { ( a ) } + \underbrace { \sum _ { u = 1 } ^ { \infty } w ^ { u } \vartheta z \, \varphi ( z , u + 1 ) } _ { ( b ) } + \underbrace { \sum _ { u = c + 1 } ^ { \infty } w ^ { u } ( 1 - \vartheta ) z \, \varphi ( z , u - c ) } _ { ( c ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { O _ { O M 2 } ^ { - } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n } \exp \left[ ( \ln n ) \left( x \frac { d } { d x } - S _ { 0 } + 1 \right) \right] , } \\ & { O _ { O M 2 } ^ { + } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n ^ { 2 } } \exp \left[ ( \ln n ^ { - 1 } ) \left( x \frac { d } { d x } - S _ { 0 } - 1 \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( v _ { \parallel } ) = \sqrt { \frac { m _ { 4 } } { 2 \pi k _ { \mathrm { B } } T _ { \parallel } } } \exp \left( - \frac { m _ { 4 } v ^ { 2 } } { 2 k _ { \mathrm { B } } T _ { \parallel } } \right) , } \end{array}
U = \frac { 3 } { 2 } N _ { i } T _ { i } + \frac { 1 } { 2 } V n _ { i } ^ { 2 } \int \mathrm { d } \boldsymbol { r } \left( \frac { Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { r } \right) G _ { i i } ( \boldsymbol { r } ) = \mathrm { c o n s t . } \, ,
\begin{array} { r } { \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { ( P , Q ) \in { \mathcal P } _ { s } } \xi _ { s , P , Q } ( v ) \sum _ { { \mathcal O } _ { N _ { \bullet } } \in T _ { s , P , Q } } v ^ { - \langle \hat { P } + \hat { Q } , \hat { P } + \hat { Q } \rangle } \zeta _ { K _ { P } \oplus K _ { Q } ^ { * } , M _ { s \bullet } } ^ { N _ { \bullet } } ( v ) I _ { N _ { \bullet } } ^ { * } = 0 . } \end{array}
\int ( d + e \, x ) ^ { m } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x = { \frac { ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } } { e ( m + 1 ) } } \, - \, { \frac { p ( d + e \, x ) ^ { m + 2 } ( b + 2 c \, x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p - 1 } } { e ^ { 2 } ( m + 1 ) ( m + 2 p + 1 ) } } \, + \, { \frac { p ( 2 p - 1 ) ( 2 c \, d - b \, e ) } { e ^ { 2 } ( m + 1 ) ( m + 2 p + 1 ) } } \int ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p - 1 } d x
\Delta _ { \pi } ^ { \alpha \beta } ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) = \delta ^ { \alpha \beta } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d T } { T } \exp \{ - m ^ { 2 } \frac { T } { 2 } \} < V _ { 5 } ( y _ { 1 } ) V _ { 5 } ( y _ { 2 } ) > _ { x , \psi _ { \mu } , \psi _ { 5 } , \psi _ { 6 } }
\left( \begin{array} { l } { \Omega _ { 1 } } \\ { \Omega _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { k ^ { \mathrm { S } } } & { k _ { 1 2 } ^ { \mathrm { P } } } \\ { k _ { 2 1 } ^ { \mathrm { P } } } & { k ^ { \mathrm { S } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 } } \\ { f _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta n _ { k } } { n _ { k } } } & { \approx } & { \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { l } \, { \cal R } _ { k l m } \, \sigma _ { R } ^ { k l } \, , } & { n _ { k } \rightarrow n _ { l } } \\ { \left( 1 - \frac { n _ { l } } { n _ { k } } \right) \, n _ { l } \, { \cal R } _ { k l m } \, \sigma _ { R } ^ { k l } \, , } & { n _ { k } > n _ { l } } \end{array} \right. \, , } \end{array}