harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { R } _ { 4 } = \mathrm { e } ^ { \mathbf { S } _ { 4 } } = \left( \begin{array} { l l l l } { r _ { 1 1 } } & { r _ { 1 2 } } & { r _ { 1 3 } } & { r _ { 1 4 } } \\ { r _ { 2 1 } } & { r _ { 2 2 } } & { r _ { 2 3 } } & { r _ { 2 4 } } \\ { r _ { 3 1 } } & { r _ { 3 2 } } & { r _ { 3 3 } } & { r _ { 3 4 } } \\ { r _ { 4 1 } } & { r _ { 4 2 } } & { r _ { 3 4 } } & { r _ { 4 4 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ 1 ~ d ~ } } [ { a } ] = \int _ { - L } ^ { L } \Big ( G ( { a } , \lambda ( { a } ) ) + \frac { 1 } { 2 } D ( { a } ) { a } ^ { \prime } ( Z ) ^ { 2 } \Big ) \, d Z + C ( { a } ) { a } ^ { \prime } ( Z ) | _ { - L } ^ { L } , } \end{array}
A ( \mathcal { Q } ^ { i , l } , \mathcal { K } ^ { i , l } , \mathcal { V } ^ { i , l } , \mathcal { R } ^ { i , l } ) = \varphi \left( \mathcal { Q } ^ { i , l } , \mathcal { K } ^ { i , l } , \mathcal { R } ^ { i , l } \right) \mathcal { V } ^ { i , l } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { I m } \gamma _ { 0 } } & { { } = - \hbar \ln \operatorname* { d e t } ( \operatorname { I m } A _ { 0 } / \pi \hbar ) ^ { 1 / 4 } = \hbar \ln \operatorname* { d e t } ( \pi \hbar Q _ { 0 } \cdot Q _ { 0 } ^ { \dag } ) ^ { 1 / 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \frac { 1 } { v _ { 0 } } \partial _ { t } - \alpha _ { z } \partial _ { z } - \alpha _ { x } i \frac { m ^ { * } v _ { 0 } } { \hbar } \right) } \\ & { } & { \left( \frac { 1 } { v _ { 0 } } \partial _ { t } + \alpha _ { z } \partial _ { z } + \alpha _ { x } i \frac { m ^ { * } v _ { 0 } } { \hbar } \right) \psi _ { z } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { F \gamma } ^ { ( T ) } = \frac { \beta } { | \alpha _ { 0 } | ^ { 2 q } } e ^ { - \gamma \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } } ( \hat { a } ^ { \dagger q } - \alpha _ { 0 } ^ { * q } ) ( \hat { a } ^ { q } - \alpha _ { 0 } ^ { q } ) e ^ { - \gamma \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { T ^ { I } p \wedge T ^ { I } F = \left( \begin{array} { l } { ( T _ { 0 0 } + T _ { 0 1 } x + T _ { 0 2 } y ) ( T _ { 1 1 } F _ { x } + T _ { 1 2 } F _ { y } ) - ( T _ { 1 0 } + T _ { 1 1 } x + T _ { 1 2 } y ) ( T _ { 0 1 } F _ { x } + T _ { 0 2 } F _ { y } ) } \\ { ( T _ { 0 0 } + T _ { 0 1 } x + T _ { 0 2 } y ) ( T _ { 2 1 } F _ { x } + T _ { 2 2 } F _ { y } ) - ( T _ { 2 0 } + T _ { 2 1 } x + T _ { 2 2 } y ) ( T _ { 0 1 } F _ { x } + T _ { 0 2 } F _ { y } ) } \\ { \lambda _ { F } \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( T ) ( ( T _ { 0 0 } + T _ { 0 1 } x + T _ { 0 2 } y ) F _ { z } - z ( T _ { 0 1 } F _ { x } + T _ { 0 2 } F _ { y } ) ) } \\ { ( T _ { 1 0 } + T _ { 1 1 } x + T _ { 1 2 } y ) ( T _ { 2 1 } F _ { x } + T _ { 2 2 } F _ { y } ) - ( T _ { 2 0 } + T _ { 2 1 } x + T _ { 2 2 } y ) ( T _ { 1 1 } F _ { x } + T _ { 1 2 } F _ { y } ) } \\ { \lambda _ { F } \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( T ) ( ( T _ { 1 0 } + T _ { 1 1 } x + T _ { 1 2 } y ) F _ { z } - z ( T _ { 1 1 } F _ { x } + T _ { 1 2 } F _ { y } ) ) } \\ { \lambda _ { F } \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( T ) ( ( T _ { 2 0 } + T _ { 2 1 } x + T _ { 2 2 } y ) F _ { z } - z ( T _ { 2 1 } F _ { x } + T _ { 2 2 } F _ { y } ) ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \omega ^ { 3 } \rangle _ { S } } & { = \frac { { q } ^ { 2 } } { 2 } \left\{ \frac { q ^ { 4 } } { 4 } + 2 q ^ { 2 } { K } + 4 \pi { n } + \right. } \\ & { \quad \left. \frac { 4 \pi } { \mathcal { V } } \sum _ { \boldsymbol { k } \neq \boldsymbol { q } , 0 } \left( \frac { \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { k } } { q k } \right) ^ { 2 } \left[ S ( \boldsymbol { q } - \boldsymbol { k } ) - S ( \boldsymbol { k } ) \right] \right\} \, , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \pi } } \mathop { \mathrm { A r g } } ( \Gamma ( { \frac { s } { 2 } } ) \pi ^ { - s / 2 } s ( s - 1 ) / 2 ) = { \frac { T } { 2 \pi } } \log { \frac { T } { 2 \pi } } - { \frac { T } { 2 \pi } } + 7 / 8 + O ( 1 / T )
\begin{array} { r l r } { \frac { d F _ { \sigma } ( \vec { x } ( t ) ) } { d t } = } & { } & { \int d x \rho _ { \sigma } ( x , t ) [ v _ { 0 } \sigma f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x ) W ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x ) \int d y N \tilde { \rho } ( y , t ; \sigma ) \tilde { V } ^ { \prime } ( x - y ) + \frac { T } { N } f ^ { \prime \prime } ( x ) ] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma } f ^ { \prime } ( x _ { i } ( t ) ) \sqrt { \frac { 2 T } { N } } \xi _ { i } ( t ) + \frac { 1 } { N } \frac { \sigma } { 2 } \sum _ { i } f ( x _ { i } ( t ) ) \frac { d \sigma _ { i } ( t ) } { d t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { M 1 M 1 } | _ { \omega \approx \Omega } } & { = \hbar ^ { - 2 } \left\vert \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } \mathrm { d } t e ^ { - i ( \mathcal { T } - t ) ( \Omega / 2 - i \Gamma / 2 ) } e ^ { - i t ( \omega - \Omega / 2 ) } \langle \Phi | - g \mu _ { B } \mathbf { S } \cdot \mathbf { B } _ { \omega } | \Psi \rangle \right\vert ^ { 2 } } \\ & { - \hbar ^ { - 2 } \left\vert \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } \mathrm { d } t e ^ { - i ( \mathcal { T } - t ) ( 2 \omega - \Omega / 2 - i \Gamma / 2 ) } e ^ { - i t ( \omega + \Omega / 2 ) } \langle \Phi ^ { \prime } | - g \mu _ { B } \mathbf { S } \cdot \mathbf { B } _ { \omega } | \Psi \rangle \right\vert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { X } _ { P } \hat { X } _ { P ^ { \prime } } \rangle } & { - 4 \propto \frac { 1 } { \mathsf { R } ^ { 8 } } \left[ \sum _ { k , l } ( \boldsymbol { \mathsf { u } } _ { \mu } ) _ { k } ( \boldsymbol { \mathsf { u } } _ { \nu } ) _ { l } \left( 2 \frac { \mathsf { R } _ { l } \mathsf { R } _ { k } } { \mathsf { R } ^ { 2 } } - \delta _ { k , l } \right) \right] ^ { 2 } , } \\ { \langle \hat { Y } _ { P } \hat { Y } _ { P ^ { \prime } } \rangle } & { \propto \frac { 1 } { \mathsf { R } ^ { 4 } } \left[ \sum _ { k , l } ( \boldsymbol { \mathsf { u } } _ { \mu } ) _ { k } ( \boldsymbol { \mathsf { u } } _ { \nu } ) _ { l } \left( 2 \frac { \mathsf { R } _ { l } \mathsf { R } _ { k } } { \mathsf { R } ^ { 2 } } - \delta _ { k , l } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { i } } & { \Big ( \frac { x } { x | s | ^ { 2 } + z } D _ { i } \frac { y } { x | s | ^ { 2 } + z } \Big ) } \\ & { = D _ { i } \Big ( \frac { x } { ( x | s | ^ { 2 } + z ) ^ { 2 } } \cdot D _ { i } y \Big ) + D _ { i } \Big ( \frac { x } { x | s | ^ { 2 } + z } D _ { i } \Big ( \frac 1 { x | s | ^ { 2 } + z } \Big ) y \Big ) } \\ & { = \frac { x } { ( x | s | ^ { 2 } + z ) ^ { 2 } } \cdot D _ { i } ^ { 2 } y + D _ { i } \Big ( \frac { x } { ( x | s | ^ { 2 } + z ) ^ { 2 } } \Big ) \cdot D _ { i } y + } \\ & { \quad + \frac { x } { x | s | ^ { 2 } + z } D _ { i } \Big ( \frac 1 { x | s | ^ { 2 } + z } \Big ) \cdot D _ { i } y + D _ { i } \Big ( \frac { x } { x | s | ^ { 2 } + z } D _ { i } \Big ( \frac 1 { x | s | ^ { 2 } + z } \Big ) \Big ) \cdot y . } \end{array}
N ^ { 2 } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { N _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \bigg ( 1 + \cos \Big ( 2 \pi \frac { r - r _ { n } } { \delta r } \Big ) \bigg ) \quad } & { | r - r _ { n } | < \frac { \delta r } { 2 } , } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \hat { q } _ { \mathrm { s i g } } ^ { \prime } } & { { } = } & { \sqrt { T } \hat { q } _ { \mathrm { s i g } } + \sqrt { 1 - T } \hat { q } _ { \mathrm { e n v } } \quad \mathrm { a n d } } \\ { \hat { p } _ { \mathrm { s i g } } ^ { \prime } } & { { } = } & { \sqrt { T } \hat { p } _ { \mathrm { s i g } } + \sqrt { 1 - T } \hat { p } _ { \mathrm { e n v } } . } \end{array}
\Vert A _ { 1 } \Vert ^ { 2 } \operatorname* { m a x } \{ | \langle | G _ { 1 } | | G _ { 2 } | \rangle | , \, | \langle | G _ { 1 } | E _ { - } | G _ { 2 } | E _ { - } \rangle | \} \prec \Vert A _ { 1 } \Vert ^ { 2 } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { | E _ { 1 } - E _ { 2 } | } , \, \frac { 1 } { | E _ { 1 } + E _ { 2 } | } \right\} \lesssim \Vert A _ { 1 } \Vert ^ { 2 }
P ( u ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) = \mathcal { N } \, \exp { \left( - \frac { 1 } { D } \, \left[ \frac { \beta } { 2 } \, ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) + 2 \, \mathcal { F } \, \sqrt { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } \right] \right) } ,
\frac { 1 } { A ^ { \alpha } B ^ { \beta } } = \frac { \Gamma ( \alpha + \beta ) } { \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( \beta ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \frac { x ^ { \alpha - 1 } ( 1 - x ) ^ { \beta - 1 } } { [ A x + B ( 1 - x ) ] ^ { \alpha + \beta } } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg [ h ( \bar { x } _ { t + 1 } ) \bigg ] } & { \leq \mathbb { E } \bigg [ h ( \bar { x } _ { t } ) \bigg ] - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 4 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] + \eta \alpha _ { t } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { u } _ { t } - \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + \frac { 2 \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \eta \alpha _ { t } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 4 L ^ { 2 } \eta \alpha _ { t } \mathbb { E } \bigg \| u _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } \left\| x - h ( u ) \right\| ^ { 2 } \leq W ( x , u ) } & { \leq c _ { 2 } \left\| x - h ( u ) \right\| ^ { 2 } } \\ { \nabla _ { 1 } W ( x , u ) \, p ( x , u ) } & { \leq - c _ { 3 } \left\| x - h ( u ) \right\| ^ { 2 } } \\ { \nabla _ { 2 } W ( x , u ) } & { \leq c _ { 5 } \left\| x - h ( u ) \right\| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } } & { { } = U _ { t , 1 } + \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } , } \\ { \xi _ { 2 } } & { { } = U _ { t , 2 } + \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } , } \\ { \xi _ { 3 } } & { { } = U _ { t , 3 } + \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } , } \\ { \xi _ { j } } & { { } = \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { A D } ( \tau _ { 0 } ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( 4 \tau _ { 1 } ( n ) + 2 \tau _ { 2 } ( n ) \right) = N \tau _ { 0 } = T , ~ ~ \mathrm { a n d } } \\ { T ^ { C D } ( \tau _ { 0 } ) } & { = N \tau _ { 0 } \left[ 1 + \frac { 1 } { \delta \tau _ { 0 } } + \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \kappa _ { n } \right] = f _ { \delta , J , N , T } T . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { \mathrm { t a i l / p e a k } } ( L ) = \frac { \int _ { 4 , 7 5 0 ~ \mathrm { k e V } } ^ { 1 0 , 0 0 0 ~ \mathrm { k e V } } \Bigl \{ N ( E _ { \mathrm { v i s } } , L ) - N _ { \mathrm { B G } } ( E _ { \mathrm { v i s } } ) \Bigr \} ~ d E _ { \mathrm { v i s } } } { \int _ { 4 , 3 2 1 ~ \mathrm { k e V } } ^ { 4 , 5 3 6 ~ \mathrm { k e V } } \Bigl \{ N ( E _ { \mathrm { v i s } } , L ) - N _ { \mathrm { B G } } ( E _ { \mathrm { v i s } } ) \Bigr \} ~ d E _ { \mathrm { v i s } } } , } \end{array}
m \equiv \left( \partial _ { \underline { { { y } } } } \Lambda \right) \Lambda ^ { - 1 } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } m ^ { i } T _ { i } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { m ^ { 1 } } } & { { m ^ { 2 } + m ^ { 3 } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { m ^ { 2 } - m ^ { 3 } } } & { { - m _ { 1 } } } \end{array} \right) \, .
\theta ( t ) \sim { \frac { t } { 2 } } \log { \frac { t } { 2 \pi } } - { \frac { t } { 2 } } - { \frac { \pi } { 8 } } + { \frac { 1 } { 4 8 t } } + { \frac { 7 } { 5 7 6 0 t ^ { 3 } } } + \cdots
[ a ( { \bf p } , \sigma ) , b ^ { \dagger } ( { \bf k } , \sigma ^ { \prime } ) ] \sim ( 2 \pi ) ^ { 3 } { \frac { E _ { p } } { m ^ { 2 } } } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta ( { \bf p } - { \bf k } ) \, \, .
{ \begin{array} { r l r l } { a \pm \infty = \pm \infty + a } & { = \pm \infty , } & { a } & { \neq \mp \infty } \\ { a \cdot ( \pm \infty ) = \pm \infty \cdot a } & { = \pm \infty , } & { a } & { \in ( 0 , + \infty ] } \\ { a \cdot ( \pm \infty ) = \pm \infty \cdot a } & { = \mp \infty , } & { a } & { \in [ - \infty , 0 ) } \\ { { \frac { a } { \pm \infty } } } & { = 0 , } & { a } & { \in \mathbb { R } } \\ { { \frac { \pm \infty } { a } } } & { = \pm \infty , } & { a } & { \in ( 0 , + \infty ) } \\ { { \frac { \pm \infty } { a } } } & { = \mp \infty , } & { a } & { \in ( - \infty , 0 ) } \end{array} }
\sigma \equiv { \frac { 2 \pi ^ { 5 } } { 1 5 } } { \frac { k ^ { 4 } } { c ^ { 2 } h ^ { 3 } } } = 5 . 6 7 0 3 7 3 \times 1 0 ^ { - 8 } { \frac { W } { m ^ { 2 } K ^ { 4 } } }
\left( 1 - w \right) ^ { - 1 - \varepsilon } = - \frac { 1 } { \varepsilon } \delta ( 1 - w ) + \frac { 1 } { ( 1 - w ) _ { + } } - \varepsilon \left( \frac { \ln ( 1 - w ) } { 1 - w } \right) _ { + } + { \cal O } ( \varepsilon ^ { 2 } ) \; \; ,
| V | = \left[ \begin{array} { l l l } { { 0 . 9 9 7 6 } } & { { 0 . 0 6 9 2 } } & { { 0 . 0 0 5 8 } } \\ { { 0 . 0 4 6 3 } } & { { 0 . 6 0 6 8 } } & { { 0 . 7 9 3 5 } } \\ { { 0 . 0 5 1 8 } } & { { 0 . 7 9 1 8 } } & { { 0 . 6 0 8 5 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { \Lambda - I = \left[ \begin{array} { l l l } { \Lambda _ { 1 1 } - 1 } & { \Lambda _ { 2 2 } - 1 } & { \Lambda _ { 3 3 } - 1 } \\ { \Lambda _ { 1 1 } - 1 } & { \Lambda _ { 2 2 } - 1 } & { \Lambda _ { 3 3 } - 1 } \\ { \Lambda _ { 1 1 } - 1 } & { \Lambda _ { 2 2 } - 1 } & { \Lambda _ { 3 3 } - 1 } \end{array} \right] = \Psi ^ { - 1 } - I + W \Omega V ^ { T } , } \end{array}
\log ( A ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { k } } { ( A - I ) } ^ { k } , \quad { \mathrm { a n d } } \quad e ^ { X } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { X ^ { k } } { k ! } }
\hat { P } _ { 4 } = \hat { P } _ { 4 } ^ { ( + 4 ) } + \hat { P } _ { 4 } ^ { ( + 2 ) } + \hat { P } _ { 4 } ^ { ( \pm 0 ) } + \hat { P } _ { 4 } ^ { ( - 2 ) } + \hat { P } _ { 4 } ^ { ( - 4 ) }
\begin{array} { r l } { \delta ^ { \epsilon } | E | } & { \leq \sum _ { \theta \in E } \mu \big ( B ( 1 ) \cap H _ { \theta } ( K , \delta ^ { - \sigma + \zeta } , [ \delta , 1 ] ) \big ) } \\ & { \leq \sum _ { \theta \in E } \mu \big ( B ( 1 ) \cap H _ { \theta } ( K , \bar { \delta } ^ { - \sigma + \bar { \zeta } } , [ \bar { \delta } , 5 ] ) \big ) + \delta ^ { 2 \epsilon } | E | , } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { 0 x , 0 y } = M _ { 0 } \times [ \xi _ { 0 } + \xi _ { 1 } \cos ( \frac { \pi } { 2 0 \lambda } \rho ) + } \\ { \xi _ { 2 } \cos ( \frac { 2 \pi } { 2 0 \lambda } \rho ) + \xi _ { 3 } \cos ( \frac { 3 \pi } { 2 0 \lambda } \rho ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { z _ { A + B } ^ { - } } { v _ { \mathrm { A } } } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { k _ { \perp A } k _ { \perp B } } { | \boldsymbol { k } _ { \perp A } + \boldsymbol { k } _ { \perp B } | } \right) d _ { i } \sin ^ { 2 } \alpha \frac { z _ { A } ^ { + } z _ { B } ^ { + } } { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } , } \\ { \frac { z _ { A + B } ^ { + } } { v _ { \mathrm { A } } } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { k _ { \perp A } k _ { \perp B } } { | \boldsymbol { k } _ { \perp A } + \boldsymbol { k } _ { \perp B } | } \right) d _ { i } \sin ^ { 2 } \alpha \frac { z _ { A } ^ { + } z _ { B } ^ { + } } { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } ( k _ { z A } + k _ { z B } ) v _ { \mathrm { A } } t , } \end{array}
\zeta _ { T } ( \nu | \beta ) = { \frac { \varrho ^ { - 2 \nu } } { \pi i } } \int _ { \mu } ^ { \infty } d \omega \int _ { C _ { + } } d z \ln \left( 1 - e ^ { i \beta z } \right) \left[ { \frac { 2 \nu z \breve { \Phi } ( \omega ; z ) } { ( z ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) ^ { \nu + 1 } } } - { \frac { \partial _ { z } \breve { \Phi } ( \omega ; z ) } { ( z ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) ^ { \nu } } } \right] ~ ~ .
\begin{array} { r l r } { F _ { 0 } } & { { } = } & { - ( 2 + u ) ^ { 2 } \left[ \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) - 2 \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \right] ( 1 + { S } _ { i f } ) + u ^ { 2 } ( 1 - { S } _ { i f } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { 3 ^ { \prime } } ^ { T } ( \vec { r } ) = \frac { g } { \Gamma [ D / 2 ] } \left( \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { 2 \pi { \mathcal U } } \right) ^ { D / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } y \, \mathcal { F } ^ { - 1 } \left\{ \mathcal { F } \left\{ f _ { y } ( \vec { r } ^ { \prime } ) \right\} ( \vec { k } ) \, g _ { y } ^ { D } ( k ) \right\} ( \vec { r } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { n } = \frac { ( - 1 ) ^ { n } 2 ^ { 2 n + \frac { 5 } { 2 } } \Gamma \left( n + \frac { 3 } { 2 } \right) } { \sqrt { \pi } \Gamma \left( - n - \frac { 1 } { 2 } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega ^ { - 1 } ( \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot \mathbf v _ { 0 } ) + \omega ^ { 0 } ( \nabla _ { \mathbf x } \cdot \mathbf v _ { 0 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot \mathbf v _ { 1 } ) + \omega ( \nabla _ { \mathbf x } \cdot \mathbf v _ { 1 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot \mathbf v _ { 2 } ) = \mathcal { O } ( \omega ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta H _ { 0 e } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { - \frac { ( \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } ) ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { e } { T _ { e } } F _ { M } \lvert \delta \phi _ { 1 } \rvert ^ { 2 } \delta \phi _ { 0 } , } \\ { \delta H _ { 0 i } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { i \frac { \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } } { \omega _ { 0 } } \frac { e } { T _ { i } } F _ { M } \frac { k _ { \parallel s } v _ { \parallel } } { \omega _ { s } - k _ { \parallel s } v _ { \parallel } } \left[ J _ { 1 } J _ { s } \delta \phi _ { s } \delta \phi _ { 1 } - i \frac { \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } } { \omega _ { 0 } } J _ { 1 } ^ { 2 } J _ { 0 } \lvert \delta \phi _ { 1 } \rvert ^ { 2 } \delta \phi _ { 0 } \right] . } \end{array}
R _ { S L A C } = { \frac { b _ { 1 } } { \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } } \Theta ( x , Q ^ { 2 } ) + { \frac { b _ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + { \frac { b _ { 3 } } { Q ^ { 4 } + ( 0 . 3 ) ^ { 2 } } }
K \equiv \sin ^ { 2 } \frac { \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } { 2 } = \left( v _ { 1 } V \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \left[ \left( \frac { 1 } { \gamma } + \frac { 1 } { \gamma _ { 1 } } \right) ^ { 2 } + \left( v _ { 1 } V \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \right] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } V _ { 0 } : = \mathrm { ~ s ~ p ~ a ~ n ~ } \{ \Lambda _ { i } ^ { 0 } | 0 \le i < N _ { 0 } \} , } & { } & { { } \ni { a } _ { h } ^ { 0 } ( t , { \mathbf x } ) = \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { 0 } - 1 } a _ { i } ( t ) \Lambda _ { i } ^ { 0 } ( { \mathbf x } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathring \rho ( \mathring \varepsilon ) } & { \| u \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega _ { \mathring \varepsilon } , g ) } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { \mathring \varepsilon } \mathring \rho ( \varepsilon ) \int _ { \{ x : d ( x ) = \varepsilon \} } \sum _ { j \leq 2 } | \nabla _ { g } ^ { j } u | _ { g } ^ { 2 } | \nabla _ { g } d | _ { g } ^ { - 1 } d \sigma _ { g } d \varepsilon } \\ & { \qquad \leq C ^ { 2 } \Big ( \mathring \rho ( \mathring \varepsilon ) \| L _ { g } ^ { * } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \mathring \varepsilon } , g ) } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { \mathring \varepsilon } \mathring \rho ( \varepsilon ) \int _ { \{ x : d ( x ) = \varepsilon \} } | L _ { g } ^ { * } u | _ { g } ^ { 2 } | \nabla _ { g } d | _ { g } ^ { - 1 } d \sigma _ { g } d \varepsilon \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { \frac { d H ( t ) } { d t } = - m a x ( 0 , \zeta - J ( t ) ) \frac { H ( t ) } { H ( t ) + L ( t ) + I ( t ) } , } \\ { \frac { d L ( t ) } { d t } = - m a x ( 0 , \zeta - J ( t ) ) \frac { L ( t ) } { H ( t ) + L ( t ) + I ( t ) } , } \\ { \frac { d I ( t ) } { d t } = - m a x ( 0 , \zeta - J ( t ) ) \frac { I ( t ) } { H ( t ) + L ( t ) + I ( t ) } , } \\ { \frac { d J ( t ) } { d t } = - m i n ( \zeta , J ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( - \frac { \gamma m B _ { \| } ^ { * } } { n _ { R E } \mu _ { 0 } p _ { \| } } + \frac { p _ { \| } } { B } \right) \left( \Delta ^ { * } \Psi ^ { * } + \frac { p _ { \| } } { q R } \right) = q \bar { F } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \bigg [ \prod _ { j = 1 } ^ { 8 } \Big ( \Delta _ { k } X \Big ) ^ { l _ { j } } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \bigg ] } \\ { = } & { R \bigg ( \frac { 1 } { n ^ { 8 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 7 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { n ^ { 6 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) } \\ & { \quad + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 6 } } { n ^ { 5 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 8 } } { n ^ { 4 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { 1 } { n ^ { 9 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) } \\ & { \quad + R \bigg ( \frac { \varepsilon } { n ^ { 8 } \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 8 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { n ^ { 7 } \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) } \\ & { \quad + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { n ^ { 7 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 5 } } { n ^ { 6 } \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 6 } } { n ^ { 6 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) } \\ & { \quad + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 7 } } { n ^ { 5 } \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 8 } } { n ^ { 5 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 9 } } { n ^ { 4 } \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) } \\ { = } & { R \bigg ( \frac { 1 } { n ^ { 8 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 7 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { n ^ { 6 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) } \\ & { \quad + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 6 } } { n ^ { 5 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 8 } } { n ^ { 4 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { * } ( \boldsymbol { \theta } _ { * } ) } & { = \boldsymbol { k } ( \boldsymbol { \theta } _ { * } , \mathcal { D } ) ^ { \intercal } \boldsymbol { \mathrm { K } } ( \mathcal { D } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { y } ; } \\ { \sigma _ { * } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \theta } _ { * } ) } & { = k ( \boldsymbol { \theta } _ { * } , \boldsymbol { \theta } _ { * } ) - \boldsymbol { k } ( \boldsymbol { \theta } _ { * } , \mathcal { D } ) ^ { \intercal } \boldsymbol { \mathrm { K } } ( \mathcal { D } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { k } ( \boldsymbol { \theta } _ { * } , \mathcal { D } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } R _ { n } ^ { o } ( r , \omega ) } { \partial r ^ { 2 } } + 2 r \frac { \partial R _ { n } ^ { o } ( r , \omega ) } { \partial r } } & { { } + ( k _ { 1 } ^ { 2 } r ^ { 2 } - n ( n + 1 ) ) R _ { n } ^ { o } ( r , \omega ) } \end{array}