harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\langle \, \prod _ { j } T ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle L } } ( w _ { j } ) \prod _ { k } \widetilde T ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle L } } ( \bar { w } _ { k } ) \prod _ { r = 1 } ^ { N } P ( z _ { r } , \bar { z } _ { r } ) \, \right\rangle ^ { \! \! \! \mathrm { \scriptscriptstyle L } } \ .
\widetilde { \psi } _ { \pm } ( x ^ { + } , x ^ { - } , \widetilde { k } ) \equiv \int d ^ { D - 2 } \widetilde { x } e ^ { - i \widetilde { k } \cdot \widetilde { x } } \psi _ { \pm } ( x ^ { + } , x ^ { - } , \widetilde { x } ) \; .
\begin{array} { r } { \dot { P } _ { j } = - \frac { d H } { d Q _ { j } } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { d U } { d Q _ { j } } ( q _ { d } ^ { 2 } + p _ { d } ^ { 2 } - 2 \gamma _ { M } ) - \frac { d H _ { \textrm { v i b } } ^ { ( U ) } } { d Q _ { j } } } \\ { - \sum _ { k } ^ { G } \frac { d t _ { k } } { d Q _ { j } } ( q _ { d } q _ { k } + p _ { d } p _ { k } ) , } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { h \in \mathcal { H } _ { C } } \left| \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { m } } \sigma _ { m } ^ { ( i ) } \cdot p _ { m , i } \left( \ell ( h ; z _ { m } ^ { ( i ) } ) - \ell ( h ; { z ^ { \prime } } _ { m } ^ { ( i ) } ) \right) \right| \right] \leq \frac { 4 + \sqrt { \log \left( \tau _ { \mathcal { H } } \left( N ^ { ( T ) } \right) \right) } } { \sqrt { 2 N _ { \mathrm { e f f } } B } } ,
f ( \alpha _ { s } ) = 1 - \left( \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \right) - 3 . 5 8 3 3 \left( \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \right) ^ { 2 } - 2 0 . 2 1 5 3 \left( \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \right) ^ { 3 } - { \cal O } ( 1 3 0 ) \left( \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \right) ^ { 4 }
\boldsymbol { W } ^ { H } = \boldsymbol { z } \boldsymbol { y } ^ { T } - \boldsymbol { y } \boldsymbol { z } ^ { T } = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { z } } & { \boldsymbol { y } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { z } ^ { T } } \\ { \boldsymbol { y } ^ { T } } \end{array} \right] ,
{ \begin{array} { r l r l } { S _ { x y } ( f ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } { \frac { 1 } { T } } \left[ { \hat { x } } _ { T } ^ { * } ( f ) { \hat { y } } _ { T } ( f ) \right] } & { S _ { y x } ( f ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } { \frac { 1 } { T } } \left[ { \hat { y } } _ { T } ^ { * } ( f ) { \hat { x } } _ { T } ( f ) \right] } \end{array} }
\begin{array} { r } { \gamma \Theta ^ { \ast } ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } ) + \frac { ( 1 - \gamma ) } { { d } } \mathbf { x } _ { i } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \widetilde \lambda _ { j } \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) } \end{array}
\tilde { F } _ { c } ^ { ( t ) } = \epsilon _ { \mathrm { i } } ^ { ( t ) } \times \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 1 + \tilde { a } } } & { \mathrm { C a s e ~ A } } \\ { \frac { e ^ { 4 \tilde { L } } + e ^ { 4 \tilde { a } } + 2 e ^ { 2 \tilde { L } + 2 \tilde { a } } [ \cos ( 2 \tilde { L } - 2 \tilde { a } ) - 2 ] } { e ^ { 4 \tilde { L } } ( \tilde { a } + 1 ) + e ^ { 4 \tilde { a } } ( \tilde { a } - 1 ) - 2 e ^ { 2 \tilde { L } + 2 \tilde { a } } [ \tilde { a } \cos { ( 2 \tilde { L } - 2 \tilde { a } ) } + \sin { ( 2 \tilde { L } - 2 \tilde { a } ) ] } } } & { \mathrm { C a s e ~ B } } \\ { \frac { ( \tilde { L } - \tilde { a } ) ^ { 3 } } { 2 \tilde { L } ^ { 2 } - \tilde { a } ^ { 2 } - \tilde { L } \tilde { a } } } & { \mathrm { C a s e ~ C } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \varphi = \frac { \zeta _ { \mathrm { r o t } } \omega _ { \mathrm { r } } } { I _ { \mathrm { f } } \omega _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } - m B _ { \mathrm { r } , z } } \quad \mathrm { a n d } \quad \theta _ { \mathrm { f } } = \frac { m B _ { \mathrm { r } , \perp } } { I _ { \mathrm { f } } \omega _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } - m B _ { \mathrm { r } , z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb E } \Big [ \sum _ { z \in \mathcal { L } _ { r } } \sigma ( \mathcal { D } ^ { \infty } ( z ) ) \Big ] ^ { 2 } } & { \leq } & { { \mathbb E } \Big [ \sum _ { z \in \mathcal { L } _ { r } } { \textbf { 1 } } _ { \sigma ( \mathcal { D } ^ { \infty } ( z ) ) > 0 } \Big ] { \mathbb E } \Big [ \sum _ { z \in \mathcal { L } _ { r } } \sigma ( \mathcal { D } ^ { \infty } ( z ) ) ^ { 2 } \Big ] } \\ & { = } & { { \mathbb E } \Big [ \# \big \{ z \in \mathcal { L } _ { r } : \, \sigma ( \mathcal { D } ^ { \infty } ( z ) ) > 0 \big \} \Big ] { \mathbb E } \Big [ \sum _ { z \in \mathcal { L } _ { r } } \sigma ( \mathcal { D } ^ { \infty } ( z ) ) ^ { 2 } \Big ] ~ . } \end{array}
Y _ { i } = \alpha \left( Z _ { i } \right) + X _ { i } ^ { \prime } \beta \left( Z _ { i } \right) + u _ { i } = \left( 1 + X _ { i } ^ { \prime } \right) \left( { \begin{array} { c } { \alpha \left( Z _ { i } \right) } \\ { \beta \left( Z _ { i } \right) } \end{array} } \right) + u _ { i } = W _ { i } ^ { \prime } \gamma \left( Z _ { i } \right) + u _ { i } ,
+ \frac { 2 4 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \Gamma _ { + } \frac { - \rho _ { + } \delta _ { 0 \rho } } { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 5 } ( 1 - { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { 5 / 2 } } ( z _ { c } - z _ { + } ) \cos ^ { 4 } \theta \, d \theta
I _ { \ell } = - { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! d x \, x ^ { 2 } \, \left[ \, { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { { x ^ { 2 } + \varepsilon _ { \ell } ^ { 2 } } \, } ^ { \mathrm { t } o 0 . 2 p t { \hss \vrule h e i g h t 2 p t w i d t h 0 . 6 p t d e p t h 0 p t } \; \! } + \ln \left( 1 - e ^ { - \sqrt { { x ^ { 2 } + \varepsilon _ { \ell } ^ { 2 } } \, } ^ { \mathrm { t } o 0 . 2 p t { \hss \vrule h e i g h t 2 p t w i d t h 0 . 6 p t d e p t h 0 p t } \; \! } } \right) \, \right] \, \quad , \quad \varepsilon _ { \ell } \equiv \beta m _ { \ell } \; \; . \; \;
D _ { \mu } ^ { i j } [ A ] \frac { \delta W } { \delta A _ { \mu } ^ { j } } + g f ^ { i j k } ( J _ { \mu } ^ { j } \frac { \delta W } { \delta J _ { \mu } ^ { k } } + \xi ^ { j } \frac { \delta W } { \delta \xi ^ { k } } + \overline { { { \xi } } } ^ { j } \frac { \delta W } { \delta \overline { { { \xi } } } ^ { k } } ) = 0 .
Z ( { \cal M } ) = e ^ { - i \pi ( 1 + b ^ { 1 } ( { \cal M } ) ) } e ^ { - i \pi ( \mathrm { d i m } H ^ { 0 } + \mathrm { d i m } H ^ { 1 } ) } e ^ { - i \pi [ 2 I _ { a } - ( 1 - 2 a ) ] } { \tau } _ { R } ^ { - 2 } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho = \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { x \in \lbrack 0 , 1 ] } \left( \frac { r ( x ) - \mu ( x ) \varphi } { d ( x ) } \right) , } & \\ { \varphi = \displaystyle \frac { \rho } { k _ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \psi ( y ) \, \omega ( x ( \rho , \varphi ) , y ) } { \nu ( y ) \rho + k _ { 1 } } \, d y . } \end{array} \right.
\bar { \omega } _ { p } = \omega _ { p } \, \left( 1 + \frac { c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 p \, \beta ^ { 2 } } \right) ^ { ( 1 - p ) / 2 } \left( 1 + \zeta \, \frac { c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \, \cos ^ { 2 } \theta \right) ^ { - 1 / 2 } \, .
< W ( A , \gamma ) > ^ { ( 1 ) } = \oint _ { \gamma } d s \oint _ { \gamma } d t \dot { \gamma } ^ { a } ( s ) \dot { \gamma } ^ { b } ( t ) \epsilon _ { a b c } { \frac { ( \gamma ^ { c } ( s ) - \gamma ^ { c } ( t ) ) } { | \gamma ( s ) - \gamma ( t ) | ^ { 3 } } } = \mathrm { G S L } ( \gamma )
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mathbf { v } _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } ( x , t ) - \mathbf { v } _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } ( x , t ) - \mathbf { u } _ { 0 } ( x , t ) d _ { \frac { 1 } { 2 } } ( x , t ) } { d _ { \Gamma } ( x , t ) } } & { \mathrm { i f ~ } ( x , t ) \in \Gamma ( 3 \delta ) \backslash \Gamma , } \\ { \mathbf { n } \cdot \nabla \big ( \mathbf { v } _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } ( x , t ) - \mathbf { v } _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } ( x , t ) - \mathbf { u } _ { 0 } ( x , t ) d _ { \frac { 1 } { 2 } } ( x , t ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ } ( x , t ) \in \Gamma } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \tilde { P } _ { t } \in [ [ \Pi _ { t } | \nu _ { t } ( P _ { t } ) ] ] } \mathcal { H } \Big ( [ [ X _ { t + 1 } | P _ { t } , u _ { t } ] ] ) , [ [ X _ { t + 1 } | \tilde { P } _ { t } , u _ { t } ] ] \Big ) } \\ { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { \tilde { P } _ { t } \in [ [ \Pi _ { t } | \nu _ { t } ( P _ { t } ) ] ] , w _ { t } \in \mathcal { W } _ { t } } \mathcal { H } \Big ( \{ f _ { t } ( x _ { t } , u _ { t } , w _ { t } ) | x _ { t } \in P _ { t } \} , } \\ & { \{ f _ { t } ( x _ { t } , u _ { t } , w _ { t } ) | x _ { t } \in \tilde { P } _ { t } \} \Big ) } \\ { \leq } & { L _ { f _ { t } } \cdot \operatorname* { m a x } _ { \tilde { P } _ { t } \in [ [ \Pi _ { t } | \nu _ { t } ( P _ { t } ) ] ] } \mathcal { H } \big ( P _ { t } , \tilde { P } _ { t } \big ) } \\ { \leq } & { L _ { f _ { t } } \cdot \operatorname* { m a x } _ { \tilde { P } _ { t } \in [ [ \Pi _ { t } | \nu _ { t } ( P _ { t } ) ] ] } \big ( \mathcal { H } ( P _ { t } , \nu _ { t } ( P _ { t } ) \big ) + \mathcal { H } \big ( \nu _ { t } ( P _ { t } ) , \tilde { P } _ { t } ) \big ) } \\ { \leq } & { 2 L _ { f _ { t } } \cdot \gamma _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ i ~ m ~ } ( { \bf D } _ { [ 2 ] } ) \subseteq \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( { \bf D } _ { 1 } ) , \quad \mathrm { ~ i ~ m ~ } ( { \bf D } _ { [ 1 ] } ) \subseteq \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( { \bf D } _ { [ 2 ] } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { \frac 1 2 \int d ^ { 3 } \boldsymbol r \, \left[ \epsilon _ { 0 } \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp 2 } + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \hat { \boldsymbol B } ^ { 2 } \right] } \end{array}
\rho ( \Delta \ddot { x } ) = \bigg ( \frac { m } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { F } } \bigg ) ^ { T - 1 } e ^ { - \frac { m ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { F } ^ { 2 } } | | \Delta \ddot { x } | | ^ { 2 } } .
\langle I , J _ { e _ { \alpha } } ; F _ { e _ { \alpha } } , \mu _ { e _ { \alpha } } | { \hat { D } } _ { q } | I , J _ { g _ { n } } ; F _ { g _ { n } } , \mu _ { g _ { n } } \rangle = C _ { F _ { g _ { n } } , \mu _ { g _ { n } } ; \, 1 , q } ^ { F _ { e _ { \alpha } } , \mu _ { e } } \, ( - 1 ) ^ { ( J _ { e _ { \alpha } } + F _ { g _ { n } } + I + 1 ) } \sqrt { ( 2 F _ { g _ { n } } + 1 ) ( 2 J _ { e _ { \alpha } } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { J _ { e _ { \alpha } } } & { 1 } & { F _ { g _ { n } } } \\ { J _ { g _ { n } } } & { I } & { J _ { e _ { \alpha } } } \end{array} \right\} .
{ \hat { \varepsilon } } _ { - } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } = { \hat { \varepsilon } } _ { + } ^ { \operatorname { T } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad a + b { \hat { \varepsilon } } _ { - } = { \left( \begin{array} { l l } { a } & { 0 } \\ { b } & { a } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { 0 } & { a } \end{array} \right) } ^ { \operatorname { T } } .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \bar { R } [ \pi _ { \boldsymbol { \theta } } ] } & { = \left\langle \mathcal { Q } _ { \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } } ( \sigma , \alpha ) \frac { \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \alpha \vert \sigma ) } { \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \alpha \vert \sigma ) } \right\rangle } \\ & { = \left\langle \mathcal { Q } _ { \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } } ( \sigma , \alpha ) \, \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \log \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \alpha \vert \sigma ) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { n } ( x ) = } & { \frac { x ^ { 2 } - 1 } { 2 \gamma _ { n } ( 1 ) C _ { n } ( x ) } } \\ { B _ { n } ( x ) = } & { \frac { n - 2 \gamma _ { n } ( 1 ) } { 2 \gamma _ { n } ( 1 ) C _ { n } ( x ) } x } \\ { C _ { n } ( x ) = } & { x ^ { 2 } - 1 + \gamma _ { n } ( 1 ) + \gamma _ { n + 1 } ( 1 ) - n - \frac { 1 } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| \frac { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h } \left( \frac { 1 } { k } + \delta _ { j } ^ { 2 } \right) \lambda _ { j } ^ { k } \right) ^ { \frac { 1 } { k } } } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h } \left( \frac { 1 } { 2 } + \delta _ { j } ^ { 2 } \right) \lambda _ { j } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \right| < \epsilon , } \end{array}
\underline { { \underline { { Z } } } } _ { s } ( \vec { \rho } ) \cdot \hat { \rho } = j X _ { 0 } \eta _ { 0 } [ \vec { \rho } + 2 \Im \{ \frac { \vec { E } _ { a p } ( \vec { \rho } ) } { - \hat { \phi } \cdot \vec { H } _ { t } | _ { z = 0 ^ { + } } ( \vec { \rho } ) } \} ]
\begin{array} { r l } { \mu _ { h - 1 } ( 2 \gamma ) } & { = \left( h + \frac { n } { 2 } - \gamma \right) \left( h + \frac { n } { 2 } - \gamma - 1 \right) \mu _ { h } ( 2 ( \gamma - 1 ) ) , } \\ { \mu _ { h } ( 2 \gamma ) } & { = \left( h + \frac { n } { 2 } - \gamma \right) \left( h + \frac { n } { 2 } + \gamma - 1 \right) \mu _ { h } ( 2 ( \gamma - 1 ) ) , } \\ { \mu _ { h + 1 } ( 2 \gamma ) } & { = \left( h + \frac { n } { 2 } + \gamma \right) \left( h + \frac { n } { 2 } + \gamma - 1 \right) \mu _ { h } ( 2 ( \gamma - 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \times } & { { } \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 1 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 1 } } | r _ { j } | \phi _ { n _ { 2 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 2 } } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 3 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 3 } } | r _ { j } | \phi _ { a } \rangle } { E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } \pm k _ { 1 } } } \end{array}
{ \cal Q } ~ = ~ - ~ { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } ~ \sigma _ { 1 } ~ { \frac { d } { d ~ x } } ~ + ~ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ~ \sigma _ { 2 } ~ { \frac { d ~ W ( x ) } { d ~ x } } ~ .
0 = M _ { \ast } ^ { d - 2 } \left[ \frac { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } d - \frac { 1 } { 2 } ) \Gamma ( 1 - \frac { 1 } { 2 } d ) } { 4 \sqrt { \pi } } + { \cal I } _ { 0 } \right] ,
+ \mathfrak { C } _ { T - t } ( \| V \| _ { \infty } ) \big ( \zeta \vartheta ( \mathfrak { e } _ { t } ( N ) ) + \zeta ( \mathfrak { e } _ { t } ( N ) ) \big ) + ( T + 1 - t ) \left( \sum _ { r = t } ^ { T - 1 } \overline { C } ^ { r - t } \mathfrak { C } _ { T - r } ( \| V \| _ { \infty } ) \zeta ( \mathfrak { e } _ { r } ( N ) ) + \overline { C } ^ { T - t } \iota ( \mathfrak { e } _ { T } ( N ) ) \right)
^ { \textbf * } 2 ^ { \textbf * } / ^ { \textbf * } 3 ^ { \textbf * } < ^ { \textbf * } \mathrm { P r o b } ^ { \textbf * } [ D ^ { \textbf * } = ^ { \textbf * } 0 ^ { \textbf * } ] ^ { \textbf * } = ^ { \textbf * } 1 ^ { \textbf * } - ^ { \textbf * } \mathrm { P r o b } ^ { \textbf * } [ D ^ { \textbf * } \geqslant ^ { \textbf * } 1 ^ { \textbf * } ] ^ { \textbf * }
p _ { 1 } = z _ { 6 } ^ { 4 } ( z _ { 1 } ^ { 8 } + z _ { 2 } ^ { 8 } - 2 \phi z _ { 1 } ^ { 4 } z _ { 2 } ^ { 4 } ) + z _ { 3 } ^ { 4 } + z _ { 4 } ^ { 4 } + z _ { 5 } ^ { 4 } = 0 \; ,
\frac { \mathcal { A } _ { n } [ u ] } { \mathcal { A } _ { n - 1 } [ u ] } = \sqrt { \alpha + \frac { \alpha | u _ { n } | ^ { 2 } / \mathcal { A } _ { m } ^ { 2 } [ u ] } { \sum _ { j \ge 1 } \alpha ^ { j } | u _ { n - j } | ^ { 2 } / \mathcal { A } _ { m } ^ { 2 } [ u ] } } = \sqrt { \alpha + \frac { \alpha \big | U _ { N } ^ { ( m ) } \big | ^ { 2 } } { \sum _ { j \ge 1 } { \alpha ^ { j } \big | U _ { N - j } ^ { ( m ) } \big | ^ { 2 } } } } = \mathcal { X } _ { N } [ U ^ { ( m ) } ] ,
\kappa _ { 1 } = \frac { 2 } { k _ { 2 } + 2 } , \qquad \kappa _ { 2 } = \frac { 2 } { k _ { 1 } + 2 } , \qquad \kappa _ { 3 } = \frac { - 2 } { k _ { 1 } + k _ { 2 } + 2 } .
H _ { 5 } = { \frac { P } { | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | ^ { 3 } } } , \ \ \ \ H _ { W } = 1 + Q _ { W } ( x ^ { 2 } + { \frac { 4 P } { | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | } } ) .
- 4 \left[ { \cal A } ( \tau ) \cos t + { \cal B } ( \tau ) \sin t \right] ^ { 3 } - 2 \left[ - { \frac { d } { d \tau } } { \cal A } ( \tau ) \sin t + { \frac { d } { d \tau } } { \cal B } ( \tau ) \cos t \right] .
{ \begin{array} { r l r } & { F _ { X _ { 1 } } ( x ) = F _ { X _ { k } } ( x ) \, } & { \forall k \in \{ 1 , \ldots , n \} { \mathrm { ~ a n d ~ } } \forall x \in I } \\ & { F _ { X _ { 1 } , \ldots , X _ { n } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = F _ { X _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdot \ldots \cdot F _ { X _ { n } } ( x _ { n } ) \, } & { \forall x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \in I } \end{array} }
\begin{array} { r l } { k ^ { 2 - \nu } \, I _ { k } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { k / 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 k \pi } \frac { \left( 1 - \frac { r } { k } \right) ^ { k + 1 } \cos ( \psi ) } { \left[ r ^ { 2 } + 4 \left( 1 - \frac { r } { k } \right) k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \psi } { 2 k } \right) \right] ^ { \nu / 2 } } \, d \psi d r } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { k / 2 } \int _ { 0 } ^ { k \pi } \frac { \left( 1 - \frac { r } { k } \right) ^ { k + 1 } \cos ( \psi ) } { \left[ r ^ { 2 } + 4 \left( 1 - \frac { r } { k } \right) k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \psi } { 2 k } \right) \right] ^ { \nu / 2 } } \, d \psi d r , } \end{array}
( P _ { i } ^ { \; \circ } - P _ { \! j } ^ { \; \circ } ) { \scriptstyle { \, [ \mathfrak { A } _ { 0 } { \, + \, } \mathfrak { A } _ { 1 } ] \, } } H ^ { \circ } = ( P _ { i } ^ { \; \circ } - P _ { \! j } ^ { \; \circ } ) { \scriptstyle { \, [ \mathfrak { A } _ { 0 } { \, + \, } \mathfrak { A } _ { 1 } ] } } \, Z _ { i j } ^ { \; \circ } , \, 1 { \, \le \, } i { \, < \, } j { \, \le \, } n { + } 1 \; ,
\kappa = \mathrm { \frac { ~ 1 } { ~ 2 ~ } } \frac { Q _ { 1 } ^ { 2 } } { { \cal M } } + \mathrm { \frac { ~ 1 } { ~ 2 ~ } } \sum _ { i } \frac { Q _ { i } ^ { 2 } } { { \cal N } _ { i } \omega _ { i } } .
\begin{array} { r l r } { | v ^ { T } U ^ { 0 } | } & { \leq } & { \sqrt { n } \| v \| _ { 2 } \| n ^ { - 1 / 2 } U _ { 0 } \| _ { 2 } = o _ { P } ( 1 ) } \\ { | v ^ { T } J ^ { 0 } \widetilde { Q } _ { m } \alpha | } & { = } & { \| \sqrt { n } v \| _ { 2 } \| n ^ { - 1 / 2 } \widetilde { Q } _ { m } \alpha \| _ { 2 } \| J _ { 0 } \| _ { 2 } = o _ { P } ( 1 ) } \\ { | v ^ { T } J ^ { 0 } v | } & { \leq } & { \| n ^ { - 1 } J ^ { 0 } \| _ { 2 } \| \sqrt { n } v \| _ { 2 } ^ { 2 } = o _ { P } ( 1 ) . } \end{array}
P = \left| \psi _ { \mathrm { f i r s t } } + \psi _ { \mathrm { s e c o n d } } \right| ^ { 2 } = \left| \psi _ { \mathrm { f i r s t } } \right| ^ { 2 } + \left| \psi _ { \mathrm { s e c o n d } } \right| ^ { 2 } + 2 \left| \psi _ { \mathrm { f i r s t } } \right| \left| \psi _ { \mathrm { s e c o n d } } \right| \cos ( \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } ) .
\sum _ { C ^ { \prime } } \Omega ( C , C ^ { \prime } ) { \frac { \delta l n J } { \delta \phi ( C ^ { \prime } ) } } = \omega ( C ) - \sum _ { C ^ { \prime } } { \frac { \delta \Omega ( C , C ^ { \prime } ) } { \delta \phi ( C ^ { \prime } ) } } .
\begin{array} { r } { \gamma = \frac { 5 } { 2 } \frac { b ( 3 + 2 b ^ { 2 } ) - 3 ( b ^ { 2 } + 1 ) \arctan ( b ) } { b ^ { 4 } } , \quad \gamma \equiv \frac { 5 v _ { s } k } { B n \kappa } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { s \geq 0 } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { - 1 - s } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 + s } + \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { 1 - s } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s } } \\ & { = \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } + \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } } \\ & { \quad + [ w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t , w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } ] } \\ & { = \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } + \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } } \\ & { \quad + w _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t - w _ { j , j } ^ { ( 2 ) } t + \alpha _ { 1 } w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } + \sum _ { x \leq m - n } w _ { x , x } ^ { ( 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \overline { { \mathscr { R } } } } & { = \mathbf { Z } ( E _ { 0 } - E _ { 1 } - E _ { 2 } - E _ { 3 } ) } & { \overline { { \mathscr { R } } } ^ { \perp } } & { = \left\{ a _ { 0 } E _ { 0 } + a _ { 1 } E _ { 1 } + a _ { 2 } E _ { 2 } + a _ { 3 } E _ { 3 } \mid a _ { 0 } + a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } = 0 \right\} } \\ & { } & & { = \mathbf { Z } ( E _ { 0 } - E _ { 1 } ) \oplus \mathbf { Z } ( E _ { 0 } - E _ { 2 } ) \oplus \mathbf { Z } ( E _ { 0 } - E _ { 3 } ) } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { \sigma _ { 1 1 } } & { \sigma _ { 1 2 } } \\ { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 2 2 } } \end{array} \right] } \, = \, { \frac { E } { 1 - \nu ^ { 2 } } } \left( ( 1 - \nu ) { \left[ \begin{array} { l l } { \varepsilon _ { 1 1 } } & { \varepsilon _ { 1 2 } } \\ { \varepsilon _ { 1 2 } } & { \varepsilon _ { 2 2 } } \end{array} \right] } + \nu \mathbf { I } \left( \varepsilon _ { 1 1 } + \varepsilon _ { 2 2 } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { \sum _ { \left\langle i , j \right\rangle _ { \gamma } } K S _ { i } ^ { \gamma } S _ { j } ^ { \gamma } + J \mathbf { S } _ { i } \cdot \mathbf { S } _ { j } + \Gamma \left( S _ { i } ^ { \alpha } S _ { j } ^ { \beta } + S _ { i } ^ { \beta } S _ { j } ^ { \alpha } \right) } \\ & { + \Gamma ^ { \prime } \left( S _ { i } ^ { \alpha } S _ { j } ^ { \gamma } + S _ { i } ^ { \gamma } S _ { j } ^ { \alpha } + S _ { i } ^ { \beta } S _ { j } ^ { \gamma } + S _ { i } ^ { \gamma } S _ { j } ^ { \beta } \right) } \end{array}
\psi _ { n _ { f } , j _ { f } } ( \vec { k } ) = \frac { 2 \mu } { \hbar ^ { 2 } } \frac { 1 } { k _ { f } ^ { 2 } - k ^ { 2 } \pm i \eta } \int \d ^ { 2 } \vec { \rho } \d z e ^ { - i ( \vec { k } - \vec { k } _ { i } ) \cdot \vec { \rho } } \chi _ { n _ { f } } ^ { * } ( z ) V _ { \mathrm { { d d } , \, j _ { f } } } ( \vec { \rho } , z ) \chi _ { 0 } ( z ) .
\begin{array} { r l } & { \mathbf { F } _ { R } \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } \; } \\ & { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \cap L ^ { \frac { 1 8 - 2 p ^ { \prime } } { 3 } } ( 0 , T ; W ^ { 1 , \frac { 1 8 - 2 p ^ { \prime } } { 3 } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \hookrightarrow L ^ { 2 ( p - 1 ) } ( 0 , T ; L ^ { \frac { 6 ( p - 1 ) } { p + p ^ { \prime } - 7 } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } - \Delta u ( \vec { x } ) } & { = \overline { { f } } ( \vec { x } ) + s ( \vec { x } ) \quad } & & { \mathrm { i n ~ } \Omega \, , } \\ { u ( \vec { x } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \pi x _ { 2 } \right) + s ( \vec { x } ) \quad } & & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega _ { 1 } \, , } \\ { u ( \vec { x } ) } & { = 0 \quad } & & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega _ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { W } } & { \leftarrow \mathbf { W } \odot \left( \frac { \left( \frac { \mathbf { X } } { \mathbf { W } \mathbf { H } } \right) \cdot \mathbf { H } ^ { T } } { \mathbf { 1 } _ { m , n } \cdot \mathbf { H } ^ { T } } \right) } \\ { \mathbf { H } } & { \leftarrow \mathbf { H } \odot \left( \frac { \mathbf { W } ^ { T } \cdot \left( \frac { \mathbf { X } } { \mathbf { W } \mathbf { H } } \right) } { \mathbf { W } ^ { T } \cdot \mathbf { 1 } _ { m , n } } \right) } \end{array}
\frac { E _ { h } } { a _ { 0 } } = \frac { m _ { e } ^ { 2 } e ^ { 6 } } { ( 4 \pi \varepsilon _ { 0 } ) ^ { 3 } \hbar ^ { 4 } } = \left( \frac { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 3 } } { \hbar } \right) \alpha ^ { 3 } .
\mathrm { I M M A E \ ( \mathbf { \hat { X } _ { j } } , \mathbf { X _ { j } } ) } = \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { M ^ { 2 } } | \mathbf { \hat { X } _ { j } } - \mathbf { X _ { j } } e ^ { i \phi _ { c } } |