harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
m = m _ { b } = { \frac { - 1 } { 6 l ^ { 2 } } } [ 3 { r _ { b } } ^ { 5 } + ( l ^ { 2 } - 1 5 n ^ { 2 } ) { r _ { b } } ^ { 3 } - 3 n ^ { 2 } ( 2 l ^ { 2 } - 1 5 n ^ { 2 } ) { r _ { b } } - 3 n ^ { 4 } ( l ^ { 2 } - 5 n ^ { 2 } ) / r _ { b } ]
H _ { S u s y } = p _ { t A } p _ { t A } + \frac { 1 } { 2 } \ f _ { A B C } f _ { A B ^ { \prime } C ^ { \prime } } q _ { s B } q _ { t C } q _ { s B ^ { \prime } } q _ { t C ^ { \prime } } + i q _ { t C } f _ { A B C } \gamma _ { \alpha \beta } ^ { t } \Theta _ { \alpha A } \Theta _ { \beta B } \ ,
\frac { x _ { 2 } G ( x _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { 2 } ) \ ( x _ { 2 } G ( x _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { 2 } ) + k { \cdot } x _ { 2 } q ( x _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { 2 } ) ) } { x _ { 1 } G ( x _ { 1 } , \mu _ { 1 } ^ { 2 } ) \ ( x _ { 1 } G ( x _ { 1 } , \mu _ { 1 } ^ { 2 } ) + k { \cdot } x _ { 1 } q ( x _ { 1 } , \mu _ { 1 } ^ { 2 } ) ) } \ = \ R _ { t h e o } \ { \times } \ R _ { e x p }
\begin{array} { r l } { | A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } | _ { 1 , \infty , { \mathcal T } } ^ { 2 } } & { \le \frac { C ^ { \prime } ( d ) ^ { 2 } } { ( \Delta x ) ^ { d + 2 } \xi ^ { 2 } \zeta } \sum _ { K \in { \mathcal T } } \frac { d } { \zeta } \operatorname { m } ( K ) | \mathrm { D } _ { K , \sigma } ( A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } ) | ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { 2 d C ^ { \prime } ( d ) ^ { 2 } } { ( \Delta x ) ^ { d + 2 } ( \xi \zeta ) ^ { 2 } } \sum _ { K \in { \mathcal T } } \operatorname { m } ( K ) | A ^ { 1 / 2 } v _ { K } ^ { k } | ^ { 2 } = \frac { C ( d , \xi , \zeta ) } { ( \Delta x ) ^ { d + 2 } } \| A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } \| _ { 0 , 2 , { \mathcal T } } ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { \partial \varphi _ { f } ^ { ( 0 ) } } { \partial \tau } - \frac { \zeta } { l } \frac { d l } { d \tau } \frac { \partial \varphi _ { f } ^ { ( 0 ) } } { \partial \zeta } - \frac { \varphi _ { n } ^ { ( 0 ) } } { l ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } F _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } { \partial \zeta ^ { 2 } } - \frac { 1 } { l ^ { 2 } } \frac { \partial \varphi _ { n } ^ { ( 0 ) } } { \partial \zeta } \frac { \partial F _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } { \partial \zeta } = \daleth _ { f } ^ { ( 0 ) } ,
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { l } x _ { l } x _ { l + m } } & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k k ^ { \prime } } Q _ { k } Q _ { k ^ { \prime } } \sum _ { l } e ^ { i a l \left( k + k ^ { \prime } \right) } e ^ { i a m k ^ { \prime } } = \sum _ { k } Q _ { k } Q _ { - k } e ^ { i a m k } } \\ { \sum _ { l } { p _ { l } } ^ { 2 } } & { = \sum _ { k } \Pi _ { k } \Pi _ { - k } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \ddot { f } _ { i } ^ { \ddot { \varphi } _ { i } ( u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } ) } ( u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } u ^ { \prime \prime } u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } ) } \\ & { \qquad = \ddot { f } _ { i } ^ { \ddot { \varphi } _ { i } ( u ^ { \prime \prime } ) } ( u ^ { \prime \prime } ) \ddot { f } _ { i } ^ { \ddot { \varphi } _ { i } ( v ^ { \prime \prime } ) } ( v ^ { \prime \prime } ) \ddot { f } _ { i } ^ { \ddot { \varphi } _ { i } ( v ^ { \prime \prime } ) } ( v ^ { \prime \prime } ) \ddot { f } _ { i } ^ { \ddot { \varphi } _ { i } ( u ^ { \prime \prime } ) } ( u ^ { \prime \prime } ) \ddot { f } _ { i } ^ { \ddot { \varphi } _ { i } ( u ^ { \prime \prime } ) } ( u ^ { \prime \prime } ) \ddot { f } _ { i } ^ { \ddot { \varphi } _ { i } ( v ^ { \prime \prime } ) } ( v ^ { \prime \prime } ) } \\ & { \qquad = u ^ { \prime } v ^ { \prime } v ^ { \prime } u ^ { \prime } u ^ { \prime } v ^ { \prime } , } \end{array}
q _ { c } ( a , r ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } a ^ { 4 } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { ' } \int _ { 0 } ^ { \infty } { d z \chi _ { \mu } ( z / a ) F _ { c m } ^ { ( q ) } ( z , x ) } , \quad r > a , \quad q = \varepsilon , \, p _ { i } ,
\| \mathcal { R } _ { 1 } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } \leq 2 C ( 2 \eta ) M _ { 2 \eta } \| \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } \leq 4 C \eta M _ { \eta } \| \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } ,
\Gamma _ { \nu { \bar { \nu } } } = \frac { \sqrt { 3 \, } \; G _ { e \nu } ^ { 2 } \; a ^ { 5 } } { 3 4 5 8 \pi ^ { 3 } } \left( 9 8 + 3 1 / \gamma ^ { 2 } \right) + { \cal O } ( \gamma ^ { - 4 } ) \;
I _ { 2 a } ^ { ( 1 ) } = \frac { 4 i p ^ { 2 } \pi ^ { D / 2 + 1 } D ( D - 8 ) } { \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) \Gamma \big ( \frac { D + 2 } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 1 0 - D } }
\textrm { \textbf { P } } = \left[ \begin{array} { l } { \textrm { \textbf { W } } } \\ { \textrm { \textbf { I } } } \end{array} \right] , \quad \textrm { \textbf { R } } = \left[ \begin{array} { l l } { \textrm { \textbf { Z } } } & { \textrm { \textbf { I } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \left\| \mathcal S \left( t _ { n } ^ { \prime } \right) \phi + c t _ { n } ^ { \prime } - \mathcal S ( t _ { n } ) g - c t _ { n } \right\| _ { \infty } = } & { \, \left\| \mathcal S \left( t _ { n } + t _ { n } ^ { \prime } - t _ { n } \right) \phi - \mathcal S ( t _ { n } ) g + c \left( t _ { n } ^ { \prime } - t _ { n } \right) \right\| _ { \infty } } \\ { \le } & { \, \left\| \mathcal S \left( t _ { n } ^ { \prime } - t _ { n } \right) \phi + c \left( t _ { n } ^ { \prime } - t _ { n } \right) - g \right\| _ { \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } \kappa p u _ { \tau } ^ { 2 } \right| } & { { } \leq \| \kappa \| _ { \infty } \| p u _ { \tau } ^ { 2 } \| _ { L ^ { 1 } ( \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi } & { = { \{ \varphi _ { i } \} } _ { i \in \mathcal { K } } \cup { \{ \psi _ { i } \} } _ { i \in \mathcal { K } } } \\ { \varphi _ { i } } & { = \left( [ \operatorname* { m i n } ( k _ { i - 1 } + 1 , k _ { i } ) , \operatorname* { m a x } ( k _ { i + 1 } - 1 , k _ { i } ) ] , \{ \vec { y } \mid \vec { y } \in \mathbb { R } , \vec { y } \geq p _ { i } - \varepsilon \} \right) } \\ { \psi _ { i } } & { = \left( [ \operatorname* { m i n } ( k _ { i - 1 } + 1 , k _ { i } ) , \operatorname* { m a x } ( k _ { i + 1 } - 1 , k _ { i } ) ] , \{ \vec { y } \mid \vec { y } \in \mathbb { R } , \vec { y } \leq p _ { i } + \varepsilon \} \right) . } \end{array}
\frac { \mu ^ { 2 } d } { d \mu ^ { 2 } } D _ { a } ^ { H } ( z , \mu ) = \sum _ { b } \int _ { z } ^ { 1 } \frac { d x } { x } P _ { b a } ^ { ( T ) } \left( \frac { z } { x } , \alpha _ { s } ( \mu ) \right) D _ { b } ^ { H } ( x , \mu ) ,
P ( \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } ) \leq P ( \Omega ) + 4 \mathcal { H } ^ { 2 } ( \Omega \cap \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) - \sqrt [ 3 ] { 3 6 \pi } | \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { - } | ^ { \frac { 2 } { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ R _ { N } ] } & { = \mathbb { E } \left[ \frac { ( 1 - \phi ) W } { N _ { C } } \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { S } { I + \sigma ^ { 2 } } \right) \right] } \\ & { = \frac { ( 1 - \phi ) W } { \mathbb { E } [ N _ { C } ] \ln 2 } \mathbb { E } \left[ \ln \left( 1 + \frac { S } { \sum _ { i \in \Phi _ { B S } \backslash \mathcal { B } _ { o } } I _ { i } + \sigma ^ { 2 } } \right) \right] } \\ & { \geq \frac { ( 1 - \phi ) W } { \mathbb { E } [ N _ { C } ] \ln 2 } \mathbb { E } \left[ \ln \frac { S } { \sum _ { i \in \Phi _ { B S } \backslash \mathcal { B } _ { o } } I _ { i } } \right] } \\ & { \geq \frac { ( 1 - \phi ) W } { \mathbb { E } [ N _ { C } ] \ln 2 } \left( \mathbb { E } [ \ln S ] - \ln \sum _ { i \in \Phi _ { B S } \backslash \mathcal { B } _ { o } } \mathbb { E } \left[ I _ { i } \right] \right) . } \end{array}
\Gamma _ { 4 V } ^ { [ r , 0 ] } = - \big ( C _ { 1 } ^ { [ r ] } \big ) _ { 2 V , 2 V } - \big ( C _ { 2 } ^ { [ r ] } \big ) _ { 2 V , 2 V } - \big ( C _ { 3 } ^ { [ r ] } \big ) _ { 2 V , 2 V } + V _ { 4 V } ^ { [ r , 0 ] } ,
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 } } & { = } & { \frac { K ^ { \prime } } { \epsilon ^ { n } } \left\{ - \kappa \left( \frac { \epsilon } { \hbar \omega } \right) ^ { m - 2 } + \frac { 1 - 2 ^ { - n + 3 } } { n - 3 } \left( \frac { \epsilon } { \hbar \omega } \right) ^ { 2 } + - \frac { 7 \kappa } { 3 } \left( \frac { \epsilon } { \hbar \omega } \right) ^ { m } + \frac { 1 - 2 ^ { - n + 5 } } { n - 5 } \left( \frac { \epsilon } { \hbar \omega } \right) ^ { 4 } + \cdots - \frac { 3 1 \kappa } { 5 } \left( \frac { \epsilon } { \hbar \omega } \right) ^ { m + 2 } \right\} } \end{array}
I _ { D } ^ { i } = \Gamma _ { e x } ^ { i } \cdot \Phi _ { D } ^ { i } = \Gamma _ { e x } ^ { i } \cdot \frac { \Gamma _ { r a d , D } ^ { i } } { \sum _ { j } \Gamma _ { E E T } ^ { i \to j } + \Gamma _ { r a d , D } ^ { i } + \Gamma _ { n r , m e t , D } ^ { i } + \Gamma _ { n r , 0 , D } } ,
G ( y , T \to 0 ) \simeq { \frac { \pi } { 4 } } \; \left( { \frac { \tilde { L } } { L ^ { ( \mu ) } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } ~ \left[ s ^ { 2 } + d _ { 0 } ^ { 2 } ~ \left( { \frac { \tilde { L } } { L ^ { ( \mu ) } } } \right) ^ { 3 } \right] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { b a } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \frac { 4 \pi A _ { - } ^ { 2 } } { \mathcal { N } _ { a } } \int _ { 0 } ^ { r _ { a } } W _ { b a } ( r ) \Big [ g _ { - } ^ { 2 } ( r ) + f _ { - } ^ { 2 } ( r ) \Big ] r ^ { 2 } d r + } \\ & { } & { \frac { 4 \pi A _ { + } ^ { 2 } } { \mathcal { N } _ { a } } \int _ { r _ { a } } ^ { r _ { b } } W _ { b a } ( r ) \Big [ g _ { + } ^ { 2 } ( r ) + f _ { + } ^ { 2 } ( r ) \Big ] r ^ { 2 } d r , } \end{array}
S _ { \mathrm { ~ D ~ Q ~ } } ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = \frac { 8 \log 2 N E _ { 0 } / 3 } { \left( \omega _ { 2 } - 2 \omega _ { 0 } + 2 \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } \gamma \right) \left( \omega _ { 3 } - \omega _ { 0 } + \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } \gamma \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { x \oplus _ { \mathbb { X } } y } & { = } & { g _ { \mathbb { X } } \big ( f _ { \mathbb { X } } ( x ) + f _ { \mathbb { X } } ( y ) \big ) , } \\ { x \ominus _ { \mathbb { X } } y } & { = } & { g _ { \mathbb { X } } \big ( f _ { \mathbb { X } } ( x ) - f _ { \mathbb { X } } ( y ) \big ) , } \\ { x \odot _ { \mathbb { X } } y } & { = } & { g _ { \mathbb { X } } \big ( f _ { \mathbb { X } } ( x ) \cdot f _ { \mathbb { X } } ( y ) \big ) , } \\ { x \oslash _ { \mathbb { X } } y } & { = } & { g _ { \mathbb { X } } \big ( f _ { \mathbb { X } } ( x ) / f _ { \mathbb { X } } ( y ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { x x } [ n ] } & { { } = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } X [ m ] X [ m + n ] , } \\ { R _ { x y } [ n ] } & { { } = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } X [ m ] Y [ m + n ] , } \end{array}
K _ { x } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad K _ { y } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad K _ { z } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { k } \sigma _ { l } \rangle } & { = \frac { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { k } \sigma _ { l } \rangle _ { i j } + \langle \sigma _ { k } \sigma _ { l } \rangle _ { i j } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { i j } ) } { 1 + \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { i j } ) } , } \\ { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { k } \sigma _ { l } \rangle _ { i j } } & { = \frac { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { k } \sigma _ { l } \rangle _ { i j k l } + \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j k l } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { k l } ) } { 1 + \langle \sigma _ { k } \sigma _ { l } \rangle _ { i j k l } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { k l } ) } . } \end{array}
v ^ { k } ( \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { \left[ 2 \pi \right] ^ { ( d - 1 ) / 2 } } \int e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \tilde { v } ^ { k } ( \mathbf { k } ) d \mathbf { k }
\begin{array} { r l } { ( A _ { j } ) _ { s } } & { = \frac { A _ { j } } { L _ { j } ^ { 2 } } \left( F _ { j } ^ { ( 2 ) } + F _ { j } ^ { ( 6 ) } \right) , } \\ { ( L _ { j } ) _ { s } } & { = \frac { 1 } { L _ { j } } F _ { j } ^ { ( 6 ) } , } \\ { ( B _ { j } ) _ { s } } & { = \frac { 4 } { L _ { j } ^ { 2 } } F _ { j } ^ { ( 5 ) } + \frac { 2 } { L _ { j } ^ { 2 } } B _ { j } F _ { j } ^ { ( 6 ) } , } \\ { ( X _ { j } ) _ { s } } & { = \frac { 1 } { L _ { j } } F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ { ( \beta _ { j } ) _ { s } } & { = - \frac { 1 } { L _ { j } ^ { 3 } } F _ { j } ^ { ( 3 ) ( 1 , \dots , d ) } - \frac { B _ { j } } { 2 L _ { j } ^ { 3 } } F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ { ( \gamma _ { j } ) _ { s } } & { = \frac { 1 } { L _ { j } } \beta _ { j } \cdot F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } - \frac { 1 } { L _ { j } ^ { 2 } } F _ { j } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 1 } ( t ) } & { = } & { - \frac { 2 m _ { t } g } { \omega } \cos ^ { 2 } t \cos \phi ( t ) \: \mathrm { s g n } ( \cos t ) + 2 m _ { w } r _ { \mathrm { c } } \phi _ { 0 } \omega \cos \beta \big ( \sin t \cos \phi ( t ) + \phi _ { 0 } \cos ^ { 2 } t \sin \phi ( t ) \big ) } \\ { \varphi _ { 2 } ( t ) } & { = } & { \frac { m _ { t } g } { \omega } \cos 2 t + 2 m _ { w } r _ { \mathrm { c } } \phi _ { 0 } \omega \sin \beta \big ( \sin t \cos \phi ( t ) + \phi _ { 0 } \cos ^ { 2 } t \sin \phi ( t ) \big ) } \\ { \varphi _ { 3 } ( t ) } & { = } & { \frac { 1 } { \omega } \left[ 2 m _ { t } g \Big ( \big ( c _ { \mathrm { p } } \sin ( \alpha _ { 0 } \: \mathrm { s g n } ( \cos t ) ) \cos \phi ( t ) + r _ { \mathrm { p } } \sin \phi ( t ) \big ) \big ( \cos \beta + \sin \beta \cos \phi ( t ) \: \mathrm { s g n } ( \cos t ) \big ) - \right. } \\ & { } & { \left. c _ { \mathrm { p } } \big ( \sin \beta - \cos \beta \cos \phi ( t ) \: \mathrm { s g n } ( \cos t ) \big ) \cos ( \alpha _ { 0 } \: \mathrm { s g n } ( \cos t ) ) \Big ) \cos ^ { 2 } t - \bar { M } \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { A ^ { 2 } - ( a + d ) A + ( a d - b c ) I _ { 2 } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } + b c } & { a b + b d } \\ { a c + c d } & { b c + d ^ { 2 } } \end{array} \right) } - { \left( \begin{array} { l l } { a ( a + d ) } & { b ( a + d ) } \\ { c ( a + d ) } & { d ( a + d ) } \end{array} \right) } + ( a d - b c ) I _ { 2 } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l } { b c - a d } & { 0 } \\ { 0 } & { b c - a d } \end{array} \right) } + ( a d - b c ) I _ { 2 } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \psi _ { a , b } ^ { \pm } ( x ) } & { = x ^ { 2 \mu _ { \pm } } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) } ^ { - \left( \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } + \frac { 1 } { 4 } \right) } _ { 2 } F _ { 1 } \! \left( \alpha _ { a , b } ^ { \pm } , \beta _ { a , b } ^ { \pm } ; \gamma _ { \pm } ; \frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } \right) } \\ & { = x ^ { 2 \mu _ { \pm } } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) } ^ { - \left( \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } + \frac { 1 } { 4 } \right) } \times } \\ & { \times _ { 2 } F _ { 1 } \! \left( \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } + \frac { 1 } { 4 } + \sqrt { a b } , \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } + \frac { 1 } { 4 } - \sqrt { a b } ; 1 \pm \frac { 1 } { 2 } ; \frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } \right) \; . } \end{array}
\! \left. \vec { \nabla } _ { \vec { k } _ { 2 } } \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \right| _ { \vec { k } _ { 2 } = \vec { k } } \! \! \! \! \! \! \! \! = \left. \vec { \nabla } _ { \vec { k } } \left| T _ { \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \right| _ { \vec { k } _ { 2 } = \vec { k } } \! \! \! \! \! \! = \frac { 1 } { 2 } \vec { \nabla } _ { \vec { k } } \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \! \! \! \! .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta _ { 1 } } J ^ { \pi } ( \mu ) = } & { \mathbb { E } _ { s _ { 1 } \sim \mu } \mathbb { E } _ { ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) \sim \pi _ { 1 } ( \cdot | s _ { 1 } ) } [ \nabla _ { \theta _ { 1 } } \log \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) Q ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ] } \\ { \nabla _ { \theta _ { 2 } } J ^ { \pi } ( \mu ) = } & { \frac { \gamma } { 1 - \gamma } \mathbb { E } _ { ( s _ { t } , \eta _ { t } ) \sim d _ { \mu ^ { \pi } } ^ { \pi } } \mathbb { E } _ { ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) \sim \pi _ { 2 } ( \cdot | s _ { t } , \eta _ { t } ) } [ \nabla _ { \theta _ { 2 } } \log \pi _ { 2 } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) \hat { Q } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) ] . } \end{array}
\Delta \sigma = \arctan { \frac { \sqrt { \left( \cos \phi _ { 2 } \sin ( \Delta \lambda ) \right) ^ { 2 } + \left( \cos \phi _ { 1 } \sin \phi _ { 2 } - \sin \phi _ { 1 } \cos \phi _ { 2 } \cos ( \Delta \lambda ) \right) ^ { 2 } } } { \sin \phi _ { 1 } \sin \phi _ { 2 } + \cos \phi _ { 1 } \cos \phi _ { 2 } \cos ( \Delta \lambda ) } } .
\begin{array} { r l } { ( S _ { \pi + \epsilon } - S _ { \pi - \epsilon } ) \left[ \frac { 8 \kappa } { \pi } \frac { e } { \rho ^ { 2 } } \right] ( \gamma ) } & { = 2 \pi i A _ { - } \Big ( - \frac { 2 } { \gamma } \Big ) ^ { a _ { - } } e ^ { 2 / \gamma } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \beta _ { k } ^ { - } \Big ( - \frac { z } { 2 } \Big ) ^ { k } } \\ & { = - \frac { \pi i } { 4 \Gamma ( \kappa ) \Gamma ( 1 + \kappa ) } \left( - \frac { \gamma } { 2 } \right) ^ { - 2 \kappa } e ^ { 2 / \gamma } [ 1 + \mathcal { O } ( \gamma ) ] \, . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } f ( { \bar { r } } _ { k } ) = \sum _ { k ^ { \prime } \in K } f _ { k ^ { \prime } } ( \nabla ^ { 2 } \mu ( { \bar { r } } - { \bar { r } } _ { k ^ { \prime } } ) ) | _ { { \bar { r } } = { \bar { r } } _ { k } }
\Delta _ { 2 } ( t _ { * } ; t , t ^ { \prime } ) \geq \left[ \gamma _ { * } ^ { \mathrm { e f f } } - C \mathcal G _ { \mathrm { C C } } ( \hat { T } _ { * } ) \right] \Vert \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { | \theta _ { l } , \phi _ { l } ; \theta _ { y } , \phi _ { y } \rangle } & { = } & { \hat { \mathcal D } _ { 8 } \left( \phi _ { y } \right) \hat { \mathcal D } _ { 3 } \left( \phi _ { l } \right) \hat { \mathcal D } _ { 2 } \left( \theta _ { l } \right) \hat { \mathcal D } _ { 5 } \left( \theta _ { y } \right) | \psi _ { 1 } \rangle } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \frac { \phi _ { y } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { - i \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \frac { \phi _ { y } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \frac { \phi _ { y } } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , d ^ { \prime } } ( \vec { R } , \vec { r } ) = \, } & { + 2 \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } \pm \vec { \delta } _ { 0 } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } } \\ & { - \phantom { 2 } \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } \pm \vec { \delta } _ { 1 } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } } \\ & { - \phantom { 2 } \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } \pm \vec { \delta } _ { 2 } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { N \ge \frac { 3 2 B ^ { 4 } C ^ { 2 m } } { \varepsilon ^ { 4 } } \log \frac { 2 } { \delta } = \mathrm { p o l y } \left( \frac { 1 } { \varepsilon } , \ B , \ \log \frac { 1 } { \delta } \right) , } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { u } _ { f } ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \mathbf { u } _ { f } ^ { * } \cdot \nabla \mathbf { u } _ { f } ^ { * } = - \nabla P ^ { * } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } _ { f } ^ { * } + T _ { f } ^ { * } \hat { \mathbf { y } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i j } \sqrt { \frac { \pi _ { j } } { \pi _ { i } } } R _ { i j } z _ { j } z _ { i } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { i j } \sqrt { \frac { \pi _ { j } } { \pi _ { i } } } R _ { i j } z _ { j } z _ { i } + \sum _ { i , j } \sqrt { \frac { \pi _ { i } } { \pi _ { j } } } R _ { j i } z _ { i } z _ { j } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf { E } \right) } & { { } = \nabla \times \left( - { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } \right) = - { \frac { \partial } { \partial t } } \left( \nabla \times \mathbf { B } \right) = - \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { E } } { \partial t ^ { 2 } } } } \\ { \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf { B } \right) } & { { } = \nabla \times \left( \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } \right) = \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial } { \partial t } } \left( \nabla \times \mathbf { E } \right) = - \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { B } } { \partial t ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { i , j , 3 } + _ { j , i + 1 , 3 } } \\ & { = \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } \sum _ { v = n + 1 } ^ { a } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , u } t ^ { - s + w - 1 } \otimes e _ { u , i + 1 } t ^ { s + 1 } e _ { i + 1 , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = j + 1 } ^ { n } \sum _ { v = n + 1 } ^ { a } \delta _ { j , i + 1 } e _ { v , u } t ^ { - s + w - 1 } \otimes e _ { u , j } t ^ { s + 1 } e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { = \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { v = n + 1 } ^ { a } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , i + 1 } t ^ { - s + w - 1 } \otimes e _ { i + 1 , i + 1 } t ^ { s + 1 } e _ { i + 1 , v } t ^ { - w } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } ( E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { i } , E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { j } ) = } & { { } \sum _ { g \in i } \sum _ { h \in j } w _ { g } ^ { i } w _ { h } ^ { j } } \\ { = } & { { } \sum _ { g \in i } \sum _ { h \in j } w _ { g } ^ { i } w _ { h } ^ { j } k _ { e _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } } ( \mathbf { x } _ { g } ^ { i } , \mathbf { x } _ { h } ^ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { E } _ { \Lambda } ( 0 ) } & { = \sum _ { 0 \leq k \leq \Lambda } \chi _ { k } \mathcal { E } _ { k } ( 0 ) \leq c _ { 0 } \big ( \| u ^ { i n } \| _ { 2 \Lambda + 1 } ^ { 2 } + \| \varphi ^ { i n } \| _ { 2 \Lambda + 2 } ^ { 2 } \big ) : = c _ { 0 } \mathcal { E } _ { \Lambda } ^ { i n } \le c _ { 0 } \upsilon _ { 0 } } \end{array}