harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { H } } [ \rho _ { \mathrm { r e f } } ] ( { \bf r } ) = \frac { \delta E _ { \mathrm { H } } [ \rho ] } { \delta \rho ( { \bf r } ) } \Big \vert _ { \rho _ { \mathrm { r e f } } } = \int \frac { \rho _ { \mathrm { r e f } } ( { \bf r ^ { \prime } } ) } { \vert { \bf r - r ^ { \prime } } \vert } d { \bf r ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb P } & { \left( \left\{ \omega \in \Omega : \left| H _ { q n } \left( \eta ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) } \right) - \alpha \right| < \delta \right\} \right) } \\ & { \geq \mathbb P \left( \left\{ \omega \in \Omega : \left| H _ { q n } \left( \eta ^ { ( T ^ { \lceil L n \rceil } \omega ) } \right) - \alpha \right| < \delta / 2 \right\} \right) - \mathbb P \left( \left\{ \omega \in \Omega : | n ^ { \prime } ( \omega ) - L n | > \varepsilon n \right\} \right) } \\ & { = \mathbb P \left( \left\{ \omega \in \Omega : \left| H _ { q n } \left( \eta ^ { ( \omega ) } \right) - \alpha \right| < \delta / 2 \right\} \right) - \mathbb P \left( \left\{ \omega \in \Omega : | n ^ { \prime } ( \omega ) - L n | > \varepsilon n \right\} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { n } ( a , b ) } & { { } = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \cos ( n x ) \log \big ( 1 - \mu _ { a , b } \cos ( x ) \big ) d x , \qquad \mu _ { a , b } \triangleq \frac { \sin ( a ) \sin ( b ) } { 1 - \cos ( a ) \cos ( b ) } > 0 . } \end{array}
\rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r } ) = \arg \operatorname* { m i n } _ { \rho } \left\{ { \cal E } ^ { ( 0 ) } [ \rho , n ^ { ( 0 ) } ] \left\vert \int \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } = N _ { e } \right. \right\} .
\mu ^ { 2 } { \frac { \partial } { \partial \mu ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c } { { q ( x ) } } \\ { { G ( x ) } } \end{array} \right) = { \frac { \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } { 2 \pi } } \; \left( \begin{array} { c c } { { P _ { q q } } } & { { P _ { q g } } } \\ { { P _ { g q } } } & { { P _ { g g } } } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { c } { { q ( x ) } } \\ { { G ( x ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r l r l } { \mathbf { G } ( i , j ) } & { = \left\langle \phi _ { i } , \, \phi _ { j } \right\rangle _ { \mu } , } & { \mathbf { A } ^ { t } ( i , j ) } & { = \left\langle \phi _ { i } , \, \mathcal { K } ^ { t } \phi _ { j } \right\rangle _ { \mu } , } & { \mathbf { A } ^ { L } ( i , j ) } & { = \left\langle \phi _ { i } , \, \mathcal { L } \phi _ { j } \right\rangle _ { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \hat { \omega } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \omega } _ { t } \| ^ { 2 } } & { \leq \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \omega } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + 4 I L ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \underbrace { \| \gamma \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } + \| \eta \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 8 I M ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + 1 6 I M ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \zeta _ { g } ^ { 2 } + 1 6 I L ^ { 2 } ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 1 6 I L ^ { 2 } ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\phi _ { \mathrm { c y } } = \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 - \phi _ { \mathrm { v } } } { \phi _ { \mathrm { v } } } \exp \big [ \frac { a _ { \mathrm { p } } } { k _ { \mathrm { B } } T } \big ( \frac { \kappa _ { \mathrm { d i f } } } { { 2 R _ { \mathrm { c y } } } ^ { 2 } } - \frac { \kappa _ { \mathrm { p i } } C _ { 0 } } { R _ { \mathrm { c y } } } \big ) \big ] } .
\begin{array} { r l } & { x _ { i } ^ { t + 1 } = ( I - \gamma _ { i } ^ { - 1 } A _ { i } ^ { T } A _ { i } ) x _ { i - 1 } ^ { t + 1 } + \gamma _ { i } ^ { - 1 } A _ { i } ^ { T } \mathrm { P r o j } _ { C _ { i } } ( \gamma _ { i } y _ { i } ^ { t } + A _ { i } x _ { i - 1 } ^ { t + 1 } ) , } \\ & { y _ { i } ^ { t + 1 } = y _ { i } ^ { t } + \gamma _ { i } ^ { - 1 } A _ { i } x _ { i - 1 } ^ { t + 1 } - \gamma _ { i } ^ { - 1 } \mathrm { P r o j } _ { C _ { i } } ( \gamma _ { i } y _ { i } ^ { t } + A _ { i } x _ { i - 1 } ^ { t + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \sigma } \bigg \{ \partial _ { \phi } [ v _ { \sigma } ( \phi ) \Pi ( \phi , \sigma ) \Pi ( \xi \vert \phi , \sigma ) ] } \\ & { + v _ { \sigma } ^ { \prime } ( \phi ) \Pi ( \phi , \sigma ) \partial _ { \xi } [ \xi \Pi ( \xi \vert \phi , \sigma ) ] } \\ & { - \Pi ( \phi , \sigma ) \frac { \omega _ { \sigma } ( \phi ) } { 2 } \partial _ { \xi } ^ { 2 } [ \Pi ( \xi \vert \phi , \sigma ) ] \bigg \} = 0 . } \end{array}
B _ { 4 } = - \frac { b _ { 4 } ^ { \prime \prime } } { 2 b _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 b _ { 1 } ^ { 2 } } ( 4 b _ { 1 } ^ { \prime \prime } b _ { 4 } - 4 b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 4 } + 6 b _ { 3 } b _ { 4 } + 5 b _ { 1 } ^ { \prime } b _ { 4 } ^ { \prime } - 3 b _ { 4 } ^ { \prime } b _ { 2 } ) + \frac { 1 } { b _ { 1 } ^ { 3 } } ( 3 b _ { 1 } ^ { \prime } b _ { 2 } b _ { 4 } - 4 ( b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } b _ { 4 } )
\begin{array} { r } { \tilde { S } _ { 3 } ( - \omega _ { \tau } , \omega _ { t } ; T ) = \mathscr { F } ^ { - 1 } [ \mathscr { G } _ { g _ { 0 } e _ { 0 } } ( \tau ) ] \mathscr { G } _ { g _ { 0 } g _ { 1 } } ( T ) \mathscr { F } ^ { - 1 } [ \mathscr { G } _ { e _ { 1 } g _ { 1 } } ( t ) ] } \\ { = [ \alpha ( - \omega _ { \tau } , \omega _ { t } ) - i \beta ( - \omega _ { \tau } , \omega _ { t } ) ] e ^ { - i \omega _ { v } T } e ^ { - \gamma _ { g } T } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { I _ { x } ^ { s _ { x } } } \\ { I _ { y } ^ { s _ { x } } } \\ { I _ { z } ^ { s _ { x } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { \sigma ^ { s } w l } { t } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \frac { w l k _ { f } ^ { 2 } } { 4 \pi } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \frac { w l k _ { f } ^ { 2 } } { 4 \pi } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { V _ { x } ^ { s _ { x } } } \\ { V _ { y } ^ { s _ { x } } } \\ { V _ { z } ^ { s _ { x } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { H _ { S } } & { = \hbar \sum _ { \mu = A , B } \omega _ { \mu } \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mu } , } \\ { H _ { B } } & { = \hbar \int \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \omega \hat { c } ^ { \dagger } ( x , \omega ) \hat { c } ( x , \omega ) , } \\ { H _ { S B } } & { = \hbar \sum _ { \mu = A , B } \int \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega g _ { \mu } ( x , \omega ) \hat { c } ( x , \omega ) \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } + \mathrm { H . a . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \partial ^ { l } \eta ( y ) | \lesssim c _ { K ^ { \prime } } \, 2 ^ { \beta n } \lambda ^ { d + | l | } \| \varphi \| _ { C ^ { | l | } } 2 ^ { ( d - \beta + | l | ) n } \int _ { z \in B ( 2 y , \rho \frac { 2 ^ { - n } } { \lambda } ) } | z - 2 y | ^ { | l | } d z } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + c _ { K ^ { \prime } } \, 2 ^ { \beta n } \lambda ^ { d + | l | } \sum _ { | k | \leq | l | - 1 } \frac { \| \varphi \| _ { C ^ { | l | } } } { k ! } \lambda ^ { - d - | k | } 2 ^ { - \beta n } \, , } \end{array}
F _ { k } = \left. \frac { \partial \Gamma } { \partial x _ { k } } \right| _ { x _ { k } = \tilde { x } _ { k } } = \left[ \begin{array} { c c c } { \frac { \partial \Gamma _ { 1 } } { \partial x _ { k , 1 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial \Gamma _ { 1 } } { \partial x _ { k , N + 1 } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \frac { \partial \Gamma _ { N + 1 } } { \partial x _ { k , 1 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial \Gamma _ { N + 1 } } { \partial x _ { k , N + 1 } } } \end{array} \right] _ { ( N + 1 ) \times ( N + 1 ) }
v ^ { ( \perp ) } ( \tau , x ) = \frac { 1 } { \sqrt { \beta _ { T } } } \sum _ { n , m } c _ { n m } ^ { ( \perp ) } e ^ { \frac { 2 \pi i n } { \beta _ { T } } \tau } \psi _ { m } ^ { ( \perp ) } ( x )
x ( n - 1 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 } { 1 - a } x ( n ) - \lambda } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x _ { m i n } \leq x ( n ) \leq \lambda \; , } \\ { \frac { 2 } { 1 + a } x ( n ) - \lambda } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \lambda < x ( n ) \leq x _ { m a x } \; , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \zeta _ { D } ^ { \prime } = \phi \left( \frac { 1 } { 2 } ( ( \theta _ { i } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( \theta _ { i } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } ) + \theta _ { i } ^ { \prime \prime } \theta - \frac { g - i } { g } \theta ^ { 2 } \right) } & { = \phi \left( \frac { 1 } { 2 } ( ( \theta _ { i } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( \theta _ { i } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } ) + \theta _ { i } ^ { \prime \prime } \theta \right) } \\ & { = \phi \left( \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { i } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { i } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + \theta _ { i } ^ { \prime } \theta _ { i } ^ { \prime \prime } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \phi ( ( \theta _ { i } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 2 \theta _ { i } ^ { \prime } \theta _ { i } ^ { \prime \prime } + ( \theta _ { i } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \phi ( \theta ^ { 2 } ) . } \end{array}
r ( t ) = \left[ \left( \gamma _ { L G } { \frac { 9 6 \lambda V ^ { 4 } } { \pi ^ { 2 } \eta } } \left( t + t _ { 0 } \right) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \left( { \frac { \lambda ( t + t _ { 0 } ) } { \eta } } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } { \frac { 2 4 \rho g V ^ { \frac { 3 } { 8 } } } { 7 \cdot 9 6 ^ { \frac { 1 } { 3 } } \pi ^ { \frac { 4 } { 3 } } \gamma _ { L G } ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } \right] ^ { \frac { 1 } { 6 } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial z } \bar { j } ( z ) } & { { } = } & { - \lambda _ { a } \bar { U } ( z ) + \bar { \cal J } ( z ) } \\ { \frac { \partial } { \partial z } \bar { U } ( z ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \widetilde D } \bar { j } ( z ) } \end{array}
S _ { 0 } = \int d ^ { 4 } x \left\{ \int d ^ { 2 } \theta \, \frac { 1 } { 4 } W ^ { \alpha } W _ { \alpha } + \int d ^ { 2 } { \overline { { \theta } } } \, \frac { 1 } { 4 } { \overline { { W } } } _ { \dot { \alpha } } { \overline { { W } } } ^ { \dot { \alpha } } + \int d ^ { 4 } \theta \, m ^ { 2 } V ^ { 2 } \right\} \, .
\begin{array} { r } { \int d \overline { { \psi } } _ { f } ^ { \, \ast } \left( s _ { 1 } \right) \int d \overline { { \psi } } _ { f } \left( s _ { 1 } \right) \, e ^ { - \overline { { \psi } } _ { f } ^ { \, \ast } \left( s _ { 1 } \right) a \left( s _ { 1 } \right) \overline { { \psi } } _ { f } \left( s _ { 1 } \right) } \overline { { \psi } } _ { f } \left( s _ { 1 } \right) = 0 } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle a _ { 2 , k } = } & { \displaystyle - \frac { 2 } { 6 4 \pi } \int _ { s _ { k } } ^ { s _ { k } + l _ { k } } { \int _ { s _ { k } } ^ { s _ { k } + l _ { k } } { \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } \\ & { \displaystyle \left[ 2 \cot { 3 \pi \delta } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ) } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } + \sin { 3 | \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) | } + \sin { 3 ( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) | ) } \right. } \\ & { \displaystyle \left. + 3 \left( 2 \cot { \pi \nu _ { x } } \cos { \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } \cos { \chi _ { x } ( s ) } + \sin { | \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) | } + \sin { ( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) ) } \right) \right] d s ^ { \prime } d s , } \end{array}
C _ { K 1 } = 3 ( 2 \pi ) ^ { 1 / 3 } \sigma _ { 0 } , \; \; C _ { K 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( 2 \pi ) ^ { - 1 / 3 } \frac { \sigma _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } , \; \; C _ { K 3 } = \frac { 1 } { 1 2 } ( 2 \pi ) ^ { - 4 / 3 } \frac { \sigma _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { J } _ { 2 } = \ } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , j _ { 1 } - 1 } ) , { x } ^ { t , j _ { 1 } } - { x } ^ { t , j _ { 2 } } \rangle } \\ { = \ } & { \sum _ { k = j _ { 1 } + 1 } ^ { j _ { 2 } } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle + \sum _ { k = j _ { 1 } } ^ { j _ { 2 } - 1 } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , j _ { 2 } } \rangle } \\ { \le \ } & { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle + L D \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \| } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Omega \, = \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \ ( x _ { 1 } - 1 0 0 ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - 1 0 0 ) ^ { 2 } \leq 1 0 0 \right\} , } \\ & { \Gamma _ { 1 } = \varnothing , \quad \Gamma _ { 2 } = \varnothing , } \\ & { \Gamma _ { 3 } = \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \ ( x _ { 1 } - 1 0 0 ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - 1 0 0 ) ^ { 2 } = 1 0 0 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ( \cdot , t ) \rVert _ { L ^ { q } ( \Omega ^ { * } ) } ^ { q } } & { = \int _ { \Omega ^ { * } } \lvert \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ( \cdot , t ) \rvert ^ { q } d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { a } 0 \cdot d x + \int _ { \Omega } \lvert \partial _ { x } u _ { n } ( \cdot , t ) \rvert ^ { q } d x + \int _ { b } ^ { \infty } \left\vert \frac { 1 } { n } \partial _ { x } h \right\vert ^ { q } d x } \\ & { = \lVert \partial _ { x } u _ { n } ( \cdot , t ) \rVert _ { L ^ { q } ( \Omega ) } ^ { q } + \int _ { b } ^ { \infty } \left\vert \frac { 1 } { n } \partial _ { x } h \right\vert ^ { q } d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 , 1 } ^ { \alpha , \delta } ( t , x , \widetilde { \eta } ) } & { = \frac { 1 } { \widetilde { \gamma } + i \widetilde { \tau } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \widetilde { \gamma } + i \widetilde { \tau } ) s } n \cdot \left( \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { t } ^ { \delta } \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f \right) ( t , x , \widetilde { k } s ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \widetilde { \gamma } + i \widetilde { \tau } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \widetilde { \gamma } + i \widetilde { \tau } ) s } s n \cdot \left( \mathrm { D } _ { \xi } \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { t } ^ { \delta } \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f \right) ( t , x , \widetilde { k } s ) \widetilde { k } \, \mathrm { d } s , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d \cos x } { d x } } } & { = { \frac { d } { d x } } \sin ( \pi / 2 - x ) = - \cos ( \pi / 2 - x ) = - \sin x \, , } \\ { { \frac { d \csc x } { d x } } } & { = { \frac { d } { d x } } \sec ( \pi / 2 - x ) = - \sec ( \pi / 2 - x ) \tan ( \pi / 2 - x ) = - \csc x \cot x \, , } \\ { { \frac { d \cot x } { d x } } } & { = { \frac { d } { d x } } \tan ( \pi / 2 - x ) = - \sec ^ { 2 } ( \pi / 2 - x ) = - \csc ^ { 2 } x \, . } \end{array} }
\partial _ { \mu _ { g y } } \left\langle \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { 2 } \right\rangle \simeq - \frac { m _ { e } c ^ { 2 } } { e ^ { 2 } B ( X _ { g y } ) } \left| \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } ( X _ { g y } ) \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } ( t ) } & { = C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k _ { 0 } t } } \\ { C _ { \mu } ( t ) } & { = k _ { 0 } k ^ { \mu - 1 } C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k t } \cdot f _ { \mu } \ , \quad \mu \geq 1 } \\ { C _ { P } ( t ) } & { = C _ { 0 } ( 0 ) \left( 1 - k _ { 0 } e ^ { - k t } \sum _ { \mu = 0 } ^ { L - 1 } k ^ { \mu - 1 } \cdot f _ { \mu } \right) } \\ { f _ { \mu } } & { = \frac { e ^ { ( k - k _ { 0 } ) t } - { \displaystyle \sum _ { m = 0 } ^ { \mu - 1 } \frac { \left[ ( k - k _ { 0 } ) t \right] ^ { m } } { m ! } } } { ( k - k _ { 0 } ) ^ { \mu } } } \end{array}
\gamma = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - ( v / c ) ^ { 2 } } } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { v } { c } } \right) ^ { 2 n } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \left( { \frac { 2 k - 1 } { 2 k } } \right) = 1 + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { v } { c } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 8 } } \left( { \frac { v } { c } } \right) ^ { 4 } + { \frac { 5 } { 1 6 } } \left( { \frac { v } { c } } \right) ^ { 6 } + \cdots
X ( \omega _ { 1 } , . . . , \omega _ { M } ) { \overset { \underset { \mathrm { F T } } { } } { \longleftrightarrow } } x ( n _ { 1 } , . . . , n _ { M } ) { = } a ( n _ { 1 } ) b ( n _ { 2 } ) . . . y ( n _ { M } ) { \overset { \underset { \mathrm { F T } } { } } { \longleftrightarrow } } A ( \omega _ { 1 } ) B ( \omega _ { 2 } ) . . . Y ( \omega _ { M } )
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { k } \mathbb { E } ( X _ { s , t } ^ { k , i } ) ^ { 2 } \leq \mathbb { E } ( X _ { s , t } ^ { i } ) ^ { 2 } \leq C \left| t - s \right| ^ { \frac { 1 } { \rho ^ { \prime } } } } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { k } \mathbb { E } ( \mathbb { X } _ { s , t } ^ { k ; i , j } ) ^ { 2 } \leq \mathbb { E } ( \mathbb { X } _ { s , t } ^ { i , j } ) ^ { 2 } \leq C \left| t - s \right| ^ { \frac { 2 } { \rho ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { I } _ { k } ( t ) } & { = \int _ { \Delta _ { k } ( t ) } \mathrm { m i n } \big \{ ( \varepsilon ^ { 4 } t _ { 0 } ) ^ { - 1 } , \varepsilon ^ { - 2 } \big \} \prod _ { j = 1 } ^ { k } ( t _ { j } - t _ { j - 1 } ) ^ { - 1 / 2 } ( t - t _ { k } ) ^ { - 1 / 2 } d t _ { 0 } \cdots d t _ { k } } \\ { \Delta _ { k } ( t ) } & { = \lbrace ( t _ { 0 } , \dots , t _ { k } ) \in \mathbb R ^ { k + 1 } : 0 < t _ { 0 } < t _ { 1 } < \dots < t _ { k } < t \rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial t } } & { \to } & { \frac { \partial } { \partial t } + \varepsilon ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \tau } - \varepsilon u \frac { \partial } { \partial \xi } , } \\ { \frac { \partial } { \partial x } } & { \to } & { \frac { \partial } { \partial x } + \varepsilon \frac { \partial } { \partial \xi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } } & { \left[ \left\lVert \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\rVert ^ { 2 } \right] \leq \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \right) + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { E } ( t ) \right) } \\ & { + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } \right) + \mathcal { O } \left( \mathcal { E } _ { a p p } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { u } } & { = \sum _ { n = - \infty , n \neq - 1 } ^ { n = \infty } \left[ { \frac { ( n + 3 ) r ^ { 2 } \nabla p _ { n } } { 2 \mu ( n + 1 ) ( 2 n + 3 ) } } - { \frac { n \mathbf { x } p _ { n } } { \mu ( n + 1 ) ( 2 n + 3 ) } } \right] + . . . } \\ { \sum _ { n = - \infty } ^ { n = \infty } [ \nabla \Phi _ { n } + \nabla \times ( \mathbf { x } \chi _ { n } ) ] } \\ { p } & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { n = \infty } p _ { n } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { V = V _ { 0 } } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 N } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 N } \left( \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial q _ { i } \partial q _ { j } } \right) _ { q _ { i } = q _ { j } = 0 } q _ { i } q _ { j } } \\ & { + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { i } \sum _ { j } \sum _ { k } \left( \frac { \partial ^ { 3 } V } { \partial q _ { i } \partial q _ { j } \partial q _ { k } } \right) _ { 0 } q _ { i } q _ { j } q _ { k } + \ldots } \end{array}
\begin{array} { r c l } { ( \pi ^ { 2 } + \delta ) \displaystyle \int _ { Q _ { 1 } ^ { + } } \varphi ^ { 2 } \, d x } & { \le } & { \displaystyle \int _ { S _ { 2 } ^ { R } } ( \partial _ { x _ { 2 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x + \displaystyle \int _ { S _ { 3 } ^ { R } } ( \partial _ { x _ { 3 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x } \\ & & { + \displaystyle \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 2 } ^ { R + } \cup S _ { 2 } ^ { R - } } ( \partial _ { x _ { 3 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x + \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 3 } ^ { R + } \cup S _ { 3 } ^ { R - } } ( \partial _ { x _ { 2 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x } \\ & & { + \displaystyle \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 2 } ^ { R + } \cup S _ { 2 } ^ { R - } \cup S _ { 3 } ^ { R + } \cup S _ { 3 } ^ { R - } } ( \partial _ { x _ { 1 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x . } \end{array}
f \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k } a _ { i } \cdot \alpha _ { 1 } ^ { n _ { 1 _ { i } } } \cdot \alpha _ { 2 } ^ { n _ { 2 _ { i } } } \cdot \alpha _ { 3 } ^ { n _ { 3 _ { i } } } \cdot \dots \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { k } a _ { i } \cdot f ( \alpha _ { 1 } ) ^ { n _ { 1 _ { i } } } \cdot f ( \alpha _ { 2 } ) ^ { n _ { 2 _ { i } } } \cdot f ( \alpha _ { 3 } ) ^ { n _ { 3 _ { i } } } \cdot \dots
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { v i s c , 2 } ^ { * } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 2 , l i q } \frac { \partial } { \xi _ { 2 } } \mathbf { U } _ { l i q } + \underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 2 , g a s } \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \mathbf { U } _ { g a s } \right) , } \\ { \mathbf { F } _ { v i s c , 3 } ^ { * } } & { = \frac { 1 } { \partial 2 } \left( \underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 3 , l i q } \frac { \partial } { \xi _ { 3 } } \mathbf { U } _ { l i q } + \underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 3 , g a s } \frac { \partial } { \partial \xi _ { 3 } } \mathbf { U } _ { g a s } \right) . } \end{array}
A _ { e \mu } ^ { T } \equiv \frac { P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) - P ( \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { e } ) } { P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) + P ( \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { e } ) } \;
\begin{array} { r } { \alpha _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) = \tilde { \alpha } _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) e ^ { i \phi _ { m } ^ { \mathrm { ~ D ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } + i \phi _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \overset { * } { \nabla } } _ { T } T } & { = } & { T \cdot \frac { 1 } { \vert \overset { * } { Z } \vert } \overset { * } { Z } + \frac { 1 } { \vert \overset { * } { Z } \vert } \overset { * } { \nabla } _ { T } \overset { * } { Z } } \\ & { = } & { \vert \overset { * } { Z } \vert \, T \cdot \frac { 1 } { \vert \overset { * } { Z } \vert } T + \frac { 1 } { \vert \overset { * } { Z } \vert } \, ( \bar { g } ( Z , N ) A _ { \xi } ^ { * } T + \bar { g } ( Z , \xi ) A _ { N } T + \varphi T ) } \\ & { = } & { - \vert \overset { * } { Z } \vert \, \frac { 1 } { \vert \overset { * } { Z } \vert ^ { 2 } } g ( \overset { * } { \nabla } _ { T } \overset { * } { Z } , T ) T + \frac { 1 } { \vert \overset { * } { Z } \vert } \, ( A _ { Z ^ { \perp } } T + \varphi T ) } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \vert \overset { * } { Z } \vert } ( g ( \overset { * } { \nabla } _ { T } \overset { * } { Z } , T ) + \lambda + \varphi ) T } \\ { . } \end{array}
M = \frac { { { \rho } _ { \infty } } \left( { { P } _ { \infty } } { b } + { { k } _ { B } } T \right) \left( { \pi } { { L } ^ { 3 } } \frac { { { \cos } ^ { 3 } } \theta - 3 \cos \theta + 2 } { 2 4 { { \sin } ^ { 3 } } \theta } \right) } { { { P } _ { \infty } } { b } + \frac { { { k } _ { B } } T } { 1 + \frac { 4 \gamma } { L { { P } _ { \infty } } } \sin \theta } } .