harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
a _ { q } ^ { - 1 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \, \frac { x ^ { c _ { q } } } { [ 1 + ( q - 1 ) \beta _ { q } x ^ { \eta _ { q } } ] ^ { \frac { 1 } { q - 1 } } } = ( b _ { q } ( q - 1 ) ) ^ { - \frac { c _ { q } + 1 } { \eta _ { q } } } \frac { \Gamma ( \frac { 1 + c _ { q } } { \eta _ { q } } ) \Gamma ( \frac { 1 } { q - 1 } - \frac { 1 + c _ { q } } { \eta _ { q } } ) } { \eta _ { q } \Gamma ( \frac { 1 } { q - 1 } ) }
\begin{array} { r } { \frac { \partial f _ { k , N } ( G ) } { \partial G } = \frac { ( 2 G - 1 ) \Gamma ( N ) \Gamma \left( k - 1 + 1 / G \right) } { G ^ { 3 } \Gamma ( k ) \Gamma \left( N - 1 + 1 / G \right) } \Bigg [ \left( H _ { k - 2 + \frac { 1 } { G } } - H _ { N - 2 + \frac { 1 } { G } } \right) ^ { 2 } + \psi ^ { \prime } \left( k - 1 + \frac { 1 } { G } \right) - \psi ^ { \prime } \left( N - 1 + \frac { 1 } { G } \right) \Bigg ] , } \end{array}
\mathrm e ^ { \frac { V ( \vec { x } ) } { m c ^ { 2 } } } \, \lambda _ { i } \, \psi _ { i } ( \vec { x } ) \overset { \footnotesize ( ) } { = } \mathrm e ^ { \frac { V ( \vec { x } ) } { m c ^ { 2 } } } \, \langle \vec { x } | M | i \rangle \overset { \footnotesize ( ) } { = } \sum _ { d = 1 } ^ { D } \left[ \psi _ { i } ( \vec { x } + \hat { d } \delta ) \; \mathrm e ^ { \frac { V ( \vec { x } ) - V ( \vec { x } + \hat { d } \delta / 2 ) } { m c ^ { 2 } } } + \psi _ { i } ( \vec { x } - \hat { d } \delta ) \; \mathrm e ^ { \frac { V ( \vec { x } ) - V ( \vec { x } - \hat { d } \delta / 2 ) } { m c ^ { 2 } } } \right] .
\phi = \frac { V _ { s } ^ { * } + V _ { l } ^ { * } } { \left( L ^ { * } \right) ^ { 3 } } = \frac { \pi \left[ N _ { s } \left( d _ { s } ^ { * } \right) ^ { 3 } + N _ { l } \left( d _ { l } ^ { * } \right) ^ { 3 } \right] } { 6 \left( L ^ { * } \right) ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } & { \frac { \sinh ^ { 4 } } { \mu ^ { 2 } } \dot { \mathcal { E } } ( t ) } \\ & { = \sinh ^ { 4 } \frac { d } { d t } \left\{ \operatorname { c s c h } ^ { 4 } \right\} \left( \frac { \sinh ^ { 2 } } { \mu } \left( f ( X ) - f \left( x ^ { T } \right) \right) - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert X - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { \cosh ^ { 2 } } { 2 } \left\Vert X + \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \dot { X } - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + \frac { d } { d t } \left\{ \frac { \sinh ^ { 2 } } { \mu } \left( f ( X ) - f \left( x ^ { T } \right) \right) - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert X - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { \cosh ^ { 2 } } { 2 } \left\Vert X + \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \dot { X } - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } \right\} } \\ & { = 2 \sqrt { \mu } \coth \left( \frac { \sinh ^ { 2 } } { \mu } \left( f ( X ) - f \left( x ^ { T } \right) \right) - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert X - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { \cosh ^ { 2 } } { 2 } \left\Vert X + \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \dot { X } - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad - \frac { \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } \left( f ( X ) - f \left( x ^ { T } \right) \right) + \frac { \sinh ^ { 2 } } { \mu } \left\langle \nabla f ( X ) , \dot { X } \right\rangle - \left\langle X - x ^ { T } , \dot { X } \right\rangle } \\ & { \quad - \frac { \sqrt { \mu } \sinh \cosh } { 2 } \left\Vert X + \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \dot { X } - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } + \cosh ^ { 2 } \left\langle X + \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \dot { X } - x ^ { T } , - \dot { X } - \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \nabla f ( X ) \right\rangle , } \end{array}
\tau _ { \mathrm { M F } } = \frac { 1 } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } e ^ { - \beta \big ( H _ { \mathrm { S } } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega ( \mathbf { S } ^ { \mathrm { T } } \mathcal { C } _ { \omega } \mathcal { C } _ { \omega } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { S } ) / \omega ^ { 2 } \big ) } ,
\mathfrak { D } = \sqrt { 1 - \frac { \operatorname* { m a x } _ { y \in \Lambda } \, \vert \sum _ { n } \varsigma _ { n } \hat { s } _ { n } \hat { \mathfrak { s } } _ { n } ^ { \ast } \mathrm { e } ^ { 2 i \pi n y / \ell } \vert ^ { 2 } } { \left( \sum _ { n } \varsigma _ { n } \vert s _ { n } \vert ^ { 2 } \right) \, \left( \sum _ { n } \varsigma _ { n } \vert \mathfrak { s } _ { n } \vert ^ { 2 } \right) } } ,
\begin{array} { r } { \frac { D \ln p } { D t } = \frac { 1 } { N _ { \rho } ^ { \prime } ( 1 - R ^ { \prime } ) } \left[ \frac { D } { D t } \frac { \mathcal { L } } { T } + \frac { N _ { p } ^ { \prime } } { \gamma } \frac { \mathcal { L } } { T } \right] ; } \\ { \frac { D \ln \rho } { D t } = \frac { 1 } { \gamma N _ { \rho } ^ { \prime } ( 1 - R ^ { \prime } ) } \left[ \frac { D } { D t } \frac { \mathcal { L } } { T } + N _ { \rho } ^ { \prime } \frac { \mathcal { L } } { T } \right] . } \end{array}
A _ { \perp \pm } ^ { r } ( \tau , \vec { \sigma } ) = P _ { \perp } ^ { r s } ( \vec { \sigma } ) \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { Q _ { i } } { 4 \pi } \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \mp ) ^ { h } } { h ! }
I = - ( 2 \pi ) ^ { - 3 } \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! | \vec { k } | ^ { 2 } d | \vec { k } | \! \int _ { - 1 } ^ { 1 } \! d ( \cos \theta ) \! \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! d \phi \exp ( i \vec { k } \cdot \vec { r } ) | \vec { k } | ^ { - 2 } \! \left( 1 \! - \! \exp ( - a _ { c } ^ { 2 } | \vec { k } | ^ { 2 } ) \right) ^ { - 1 } \! ,
\begin{array} { r l } { R _ { w \omega _ { y } } ^ { + } ( \Delta z ) } & { = \frac { R _ { w \omega _ { y } } ( \Delta z ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } / \delta _ { \nu } } = \frac { 1 } { u _ { \tau } ^ { 2 } / \delta _ { \nu } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \phi _ { w \omega _ { y } } ( k _ { z } ) e ^ { i k _ { z } \Delta z } d k _ { z } } \\ { R _ { v \omega _ { z } } ^ { + } ( \Delta z ) } & { = \frac { R _ { v \omega _ { z } } ( \Delta z ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } / \delta _ { \nu } } = \frac { 1 } { u _ { \tau } ^ { 2 } / \delta _ { \nu } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \phi _ { v \omega _ { z } } ( k _ { z } ) e ^ { i k _ { z } \Delta z } d k _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 1 } \bigr \} } & { - \frac { r _ { 0 } \dot { \bar { z } } _ { 0 } } { \Gamma } \, \partial _ { Z } \eta _ { 1 } \, = \, \Bigl \{ \phi _ { 1 } - \frac { \beta _ { \epsilon } - 1 } { 4 \pi } \, R \, , \eta _ { 1 } \Bigr \} - \frac { v } { 2 \pi } \, \partial _ { Z } \eta _ { 1 } } \\ { \, } & { = \, \Bigl \{ \frac { R } { 2 } \, \phi _ { 0 } - \partial _ { R } \phi _ { 0 } + R \, \phi _ { 1 0 } ( \rho ) + \delta Z \, \phi _ { 1 1 } ( \rho ) \, , R \, \eta _ { 1 0 } ( \rho ) + \delta Z \, \eta _ { 1 1 } ( \rho ) \Bigr \} - \frac { v } { 2 \pi } \, \partial _ { Z } \eta _ { 1 } } \\ { \, } & { = \, R Z \, \chi _ { 9 } ( \rho ) + \delta \Bigl ( \chi _ { 1 0 } ( \rho ) + ( R ^ { 2 } - Z ^ { 2 } ) \chi _ { 1 1 } ( \rho ) \Bigr ) + \delta ^ { 2 } R Z \, \chi _ { 1 2 } ( \rho ) \, . } \end{array}
{ \cal L } = ( D ^ { \mu } \phi ) ^ { \dagger } D _ { \mu } \phi - \mu ^ { 2 } | \phi | ^ { 2 } - \lambda | \phi | ^ { 4 } - \frac { 1 } { 4 } ( \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { X ( n _ { p } ) = } & { ( \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { T } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } - \mathbf { V } ^ { T } ( \mathbf { A } - \mathbf { B } ) \mathbf { V } } \\ { = } & { ( \Delta \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { T } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } + ( \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { T } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) \Delta \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } } \\ & { - ( \Delta \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { T } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) \Delta \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
\mathbf { u } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \left( \begin{array} { l } { \sin ( \pi x _ { 1 } ) \cos ( \pi x _ { 2 } ) \cos ( \pi x _ { 3 } ) } \\ { - 2 \cos ( \pi x _ { 1 } ) \sin ( \pi x _ { 2 } ) \cos ( \pi x _ { 3 } ) } \\ { \cos ( \pi x _ { 1 } ) \cos ( \pi x _ { 2 } ) \sin ( \pi x _ { 3 } ) } \end{array} \right) , \, \, \, p ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \frac { 1 0 \, x _ { 3 } } { ( x _ { 1 } - 0 . 0 4 ) ^ { 2 } + ( x _ { 3 } - 0 . 0 4 ) ^ { 2 } } - p _ { 0 } \, .
\operatorname { e r f } ^ { - 1 } z = { \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } } \left( z + { \frac { \pi } { 1 2 } } z ^ { 3 } + { \frac { 7 \pi ^ { 2 } } { 4 8 0 } } z ^ { 5 } + { \frac { 1 2 7 \pi ^ { 3 } } { 4 0 3 2 0 } } z ^ { 7 } + { \frac { 4 3 6 9 \pi ^ { 4 } } { 5 8 0 6 0 8 0 } } z ^ { 9 } + { \frac { 3 4 8 0 7 \pi ^ { 5 } } { 1 8 2 4 7 6 8 0 0 } } z ^ { 1 1 } + \cdots \right) .
\begin{array} { r l } { - \mathrm { i } \widetilde { \rho } ^ { \bullet } + \frac { \partial \widetilde { v } ^ { \bullet } } { \partial y ^ { \bullet } } } & { = 0 , } \\ { - \mathrm { i } \widetilde { v } ^ { \bullet } + \frac { \mathrm { d } \widetilde { p } ^ { \bullet } } { \mathrm { d } y ^ { \bullet } } } & { = \frac { 1 } { K _ { v } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \widetilde { v } ^ { \bullet } } { \partial r ^ { \bullet 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { \bullet } } \frac { \partial \widetilde { v } ^ { \bullet } } { \partial r ^ { \bullet } } \right) , } \\ { - \widetilde { \tau } ^ { \bullet } } & { = - \left( \gamma - 1 \right) \mathrm { H e } ^ { 2 } \widetilde { p } ^ { \bullet } + \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \frac { 1 } { \mathrm { i } k _ { v } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \widetilde { \tau } ^ { \bullet } } { \partial r ^ { \bullet 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { \bullet } } \frac { \partial \widetilde { \tau } ^ { \bullet } } { \partial r ^ { \bullet } } \right) , } \\ { \gamma \mathrm { H e } ^ { 2 } \widetilde { p } ^ { \bullet } } & { = \widetilde { \rho } ^ { \bullet } + \widetilde { \tau } ^ { \bullet } , } \end{array}
A = \left. \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial f ^ { 1 } } { \partial x ^ { 1 } } } & { \frac { \partial f ^ { 1 } } { \partial x ^ { 2 } } } & { . . . } & { \frac { \partial f 1 } { \partial x ^ { n } } } \\ { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } \\ { \frac { \partial f ^ { n } } { \partial x ^ { 1 } } } & { \frac { \partial f ^ { n } } { \partial x ^ { 2 } } } & { . . . } & { \frac { \partial f ^ { n } } { \partial x ^ { n } } } \end{array} \right) \right\vert _ { \left( x _ { 0 } ^ { 1 } , x _ { 0 } ^ { 2 } , . . . , x _ { 0 } ^ { n } \right) } .
\Psi _ { \alpha } ^ { - } = \left| i , k _ { 1 } \ldots k _ { n } \right\rangle = C _ { 0 } \left| f , 0 \right\rangle \ + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \int { d ^ { 4 } p _ { 1 } \ldots d ^ { 4 } p _ { m } C _ { m } ( p _ { 1 } \ldots p _ { m } ) \left| f , p _ { 1 } \ldots p _ { m } \right\rangle } ~ ,
\begin{array} { r l } { f ( { x } ^ { t , M } ) - f ( { x } ^ { * } ) \le \ } & { L D \| { x } ^ { t , i _ { * } } - { x } ^ { t , i _ { * } - 1 } \| + \sum _ { k = i _ { * } } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { v } ^ { i _ { * } } \rangle } \\ { \le \ } & { L D \| { x } ^ { t , i _ { * } } - { x } ^ { t , i _ { * } - 1 } \| + \sum _ { k = i _ { * } } ^ { M } L D \| { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \| } \\ { \le \ } & { 2 L D \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \| } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \bigg ( \mathbb { E } \| \tilde { d _ { t } } \| ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { t } \| ^ { 2 } \bigg ) \leq \frac { 2 \lambda ( f ( x _ { 0 } ) - f ^ { \ast } ) } { \rho \eta _ { T } T } + \frac { 1 } { \eta _ { T } T } \frac { \sigma ^ { 2 } } { 3 2 b L ^ { 2 } \eta _ { 0 } } + \frac { \kappa ^ { 3 } } { \eta _ { T } T } \bigg ( \frac { \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 4 b _ { 1 } L ^ { 2 } } + \frac { 2 \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 1 L ^ { 2 } } \bigg ) \ln ( T + 1 ) . } \end{array}
) P h a s e p o r t r a i t s h o w s N e i m a r k - S a c k e r b i f u r c a t i o n e s t a b l i s h e d a t ( 0 . 3 5 2 , 0 . 0 6 8 ) w i t h \mu _ { 0 } \approx 3 . 2 5 6 l o c a t e d a t t h e c e n t e r o f l i m i t c i r c l e s . O b l i q u e a x i s a n d h o r i z o n t a l a x i s c o n s i s t i n g o f E _ { 3 } ^ { \prime } a n d E _ { 2 } ^ { \prime } w i t h d i f f e r e n t \mu _ { 0 } , r e s p e c t i v e l y . W e m a y s e e f r o m t h e l e g e n d t h a t t o p o l o g i c a l t y p e s o f E _ { 3 } ^ { \prime } a r e m o s t l y s i n k a n d s o u r c e , w h i l e t h o s e o f E _ { 2 } ^ { \prime } a r e m o s t l y s o u r c e a n d s a d d l e . P h a s e p o r t r a i t a n d p h a s e s p a c e d i a g r a m f o r t h e p r e y h a v e s a m e x i n (
\begin{array} { r l r } { v _ { \theta , i = 1 } } & { { } = } & { \frac { 2 r \Omega _ { 1 } \Delta x + ( 4 v _ { \theta , i = 2 } - v _ { \theta , i = 3 } ) b ^ { i n } } { 2 \Delta x + 3 b ^ { i n } } , } \\ { v _ { \theta , i = N } } & { { } = } & { \frac { 2 r \Omega _ { 2 } \Delta x + ( 4 v _ { \theta , i = N - 1 } - v _ { \theta , i = N - 2 } ) b ^ { o u t } } { 2 \Delta x + 3 b ^ { o u t } } . } \end{array}
( p _ { n } , \tilde { p } _ { m } ) = \int \mathrm { d } x \mathrm { d } y e ^ { - V ( t _ { 3 k } , \tilde { t } _ { 3 k } ) } p _ { n } ( x ) \tilde { p } _ { m } ( y ) = h _ { n } \delta _ { m , n } .
\begin{array} { r } { \mathbf { q _ { e } } = \int \frac { m _ { e } } { 2 } c ^ { 2 } \mathbf { c } d ^ { 3 } \mathbf { c } } \\ { \underline { { \underline { { \mathbf { P _ { e } } } } } } = \int m _ { e } \mathbf { c } \mathbf { c } d ^ { 3 } \mathbf { c } } \\ { E _ { K } = \frac { 1 } { 2 } m _ { e } u _ { e } ^ { 2 } } \\ { e _ { K } = \int \frac { m _ { e } } { 2 } c ^ { 2 } d ^ { 3 } \mathbf { c } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d V } & { { } = } & { - \frac { \sum _ { i } { \left( I _ { i } d t + \sigma _ { i } d W _ { i } \right) } } { C _ { m } } + D \mathrm { \nabla } ^ { 2 } V d t + \sigma _ { m } d W _ { m } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { H } ^ { \alpha } ( R , z ) \lesssim _ { \epsilon } R ^ { | \alpha | } \biggr ( \frac { 1 } { H ^ { 2 } } + \frac { R } { H ^ { n + 1 } M ^ { n } } + R ^ { \frac { 1 3 } { 1 2 } } M ^ { \frac { 3 } { 4 } + \epsilon } + R M ^ { \frac { 1 1 } { 1 2 } + \epsilon } + R ^ { \frac { 2 3 } { 2 4 } } M ^ { \frac { 2 3 } { 2 4 } + \epsilon } \biggr ) . } \end{array}
\frac { p _ { r } ^ { 2 } } { g _ { r r } } + \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { g _ { \theta \theta } } + \frac { - { g ^ { \prime } } _ { t t } } { - \cal D } \left( p _ { \phi } + \frac { g _ { t \phi } + \Omega _ { 0 } g _ { \phi \phi } } { { g ^ { \prime } } _ { t t } } E \right) ^ { 2 } = \left( \frac { E ^ { 2 } } { - { g ^ { \prime } } _ { t t } } - \mu ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } \quad } & { { \| \mathbf { e } _ { \mathbf { J } } \| } _ { 2 } } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } \quad } & { a ^ { q } ( \mathbf { J } _ { h } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } ) = a ( \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } ) . } \end{array} } \end{array}
\mathbb { M } _ { k } = ( \mathbb { M } _ { k } ( i , j ) ) _ { 1 \leqslant i , j \leqslant N } : \qquad \mathbb { M } _ { k } ( i , j ) = { \frac { p ( \xi _ { k } ^ { i } | \xi _ { k - 1 } ^ { j } ) ~ p ( y _ { k - 1 } | \xi _ { k - 1 } ^ { j } ) } { \sum _ { l = 1 } ^ { N } p ( \xi _ { k } ^ { i } | \xi _ { k - 1 } ^ { l } ) p ( y _ { k - 1 } | \xi _ { k - 1 } ^ { l } ) } }
( Z ^ { \Lambda } ) ^ { \prime \prime } - \left( { \frac { ( Z N q ) } { ( Z N Z ) } } + q ^ { 0 } \right) { \frac { ( ( Z ^ { \Lambda } ) ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { Z ^ { \Lambda } q ^ { 0 } - q ^ { \Lambda } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \ln { \frac { ( Z N Z ) ( \bar { Z } N q ) ( \bar { Z } N Z ) } { ( \bar { Z } N \bar { Z } ) ( Z N q ) } } \right) ^ { \prime } ( Z ^ { \Lambda } ) ^ { \prime } = 0 \ .
\delta _ { t } \phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } = \frac { \phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } - \phi _ { j , k , g } ^ { n } } { \Delta t } , \; \; \delta _ { t } \rho _ { j , k , g } ^ { n + 1 } = \frac { \rho _ { j , k , g } ^ { n + 1 } - \rho _ { j , k , g } ^ { n } } { \Delta t }
- { \frac { A } { \varepsilon ^ { 2 } } } { \frac { \partial S } { \partial x _ { i } } } { \frac { \partial S } { \partial x ^ { i } } } + { \frac { 2 i } { \varepsilon } } { \frac { \partial A } { \partial x _ { i } } } { \frac { \partial S } { \partial x ^ { i } } } + { \frac { i A } { \varepsilon } } { \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x _ { i } \partial x ^ { i } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial x _ { i } \partial x ^ { i } } } = 0 .
\frac { 1 } { J } = \left| \begin{array} { l l l } { x _ { \xi } } & { y _ { \xi } } & { z _ { \xi } } \\ { x _ { \eta } } & { y _ { \eta } } & { z _ { \eta } } \\ { x _ { \zeta } } & { y _ { \zeta } } & { z _ { \zeta } } \end{array} \right|
\begin{array} { r l } { \left| - \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta \eta ( \mathbf x ) { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } u _ { N } ^ { \prime } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma \right| } & { \leq 2 M _ { 2 } C _ { N } \int _ { 0 } ^ { h } { { r ^ { N + 1 } } { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau r } } \mathrm d r } } \\ & { \leq 2 M _ { 2 } C _ { N } \left[ { \frac { \Gamma ( N + 2 ) } { { { ( \alpha ^ { \prime } \tau ) } ^ { N + 2 } } } } + { \frac { 2 { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \alpha ^ { \prime } \tau } } \right] } \\ & { \leq { C _ { 5 } } \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 2 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho Q _ { 1 1 } } & { { } = ( \lambda + 2 \mu ) - \gamma ( 2 \frac { \varepsilon _ { x x } } { \sqrt { I _ { 2 } } } + \frac { I _ { 1 } ( \varepsilon _ { y y } ^ { 2 } + 2 \varepsilon _ { x y } ^ { 2 } ) } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } ) , } \\ { \rho Q _ { 1 2 } } & { { } = \lambda - \gamma ( \frac { I _ { 1 } } { \sqrt { I _ { 2 } } } - \frac { I _ { 1 } \varepsilon _ { x x } \varepsilon _ { y y } } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } ) , } \\ { \rho Q _ { 1 3 } } & { { } = - \gamma ( \frac { 2 \varepsilon _ { x y } } { \sqrt { I _ { 2 } } } - \frac { 2 I _ { 1 } \varepsilon _ { x x } \varepsilon _ { x y } } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } ) , } \\ { \rho Q _ { 2 1 } } & { { } = - \gamma ( \frac { \varepsilon _ { x y } } { \sqrt { I _ { 2 } } } - \frac { I _ { 1 } \varepsilon _ { x x } \varepsilon _ { x y } } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } ) , } \\ { \rho Q _ { 2 2 } } & { { } = - \gamma ( \frac { \varepsilon _ { x y } } { \sqrt { I _ { 2 } } } - \frac { I _ { 1 } \varepsilon _ { y y } \varepsilon _ { x y } } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } ) , } \\ { \rho Q _ { 2 3 } } & { { } = 2 \mu - \gamma I _ { 1 } \frac { \varepsilon _ { x x } ^ { 2 } + \varepsilon _ { y y } ^ { 2 } } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } . } \end{array}
D ( v _ { 1 } , \dots , v _ { i - 1 } , a v _ { i } + b w , v _ { i + 1 } , \dots , v _ { n } ) = a D ( v _ { 1 } , \dots , v _ { i - 1 } , v _ { i } , v _ { i + 1 } , \dots , v _ { n } ) + b D ( v _ { 1 } , \dots , v _ { i - 1 } , w , v _ { i + 1 } , \dots , v _ { n } )
{ \begin{array} { r l } { { \bigl ( } \mathbf { O A } \cdot ( \mathbf { O B } \times \mathbf { O C } ) { \bigr ) } ^ { 2 } } & { = \left( \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { O A } } & { \mathbf { O B } } & { \mathbf { O C } } \end{array} \right) } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \left| \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { \sin c } & { 0 } & { \cos c } \\ { \sin b \cos A } & { \sin b \sin A } & { \cos b } \end{array} \right| } ^ { 2 } = \left( \sin b \sin c \sin A \right) ^ { 2 } . } \end{array} }
S ( \mathbf { k } ) = \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i j } e ^ { i \mathbf { k } \cdot ( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } ) } = \frac { 1 } { N _ { u } ^ { 2 } } \sum _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot ( \mathbf { r } _ { i ^ { \prime } } - \mathbf { r } _ { j ^ { \prime } } ) } \cdot \underbrace { \frac { 1 } { N _ { \alpha } ^ { 2 } } \sum _ { \alpha \beta } e ^ { i \mathbf { k } \cdot ( \mathbf { q _ { \alpha } - q _ { \beta } } ) } } _ { \delta ( \mathbf { k } - m _ { 1 } \mathbf { b _ { 1 } } - m _ { 2 } \mathbf { b _ { 2 } } ) } ,
\begin{array} { r l } { L _ { ( 0 ) } ^ { q } ( \Omega ) } & { { } : = \left\{ f \in L ^ { q } ( \Omega ) : \int _ { \Omega } f ( x ) \, d x = 0 \right\} , \quad W _ { q , ( 0 ) } ^ { k } ( \Omega ) : = W _ { q } ^ { k } ( \Omega ) \cap L _ { ( 0 ) } ^ { q } ( \Omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { G } \left( x + i f ( x ) \right) } & { = G \left( x + i f ( x ) \right) - 2 \pi i \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } [ x ^ { 2 } - f ( x ) ^ { 2 } ] } e ^ { - i x f ( x ) } } \\ & { = o ( 1 ) - i \sqrt { 2 \pi } e ^ { - \frac 1 { 2 } x ^ { 2 } } e ^ { \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 x ^ { 2 } } [ 1 + O ( e ^ { - \frac { \pi ^ { 2 } \eta } { 8 x ^ { 2 } } } ) ] } e ^ { \frac { i \pi } { 2 } [ 1 + O ( e ^ { - \frac { \pi ^ { 2 } \eta } { 8 x ^ { 2 } } } ) ] } } \\ & { = \sqrt { 2 \pi } ( 1 + O ( e ^ { - \frac { \pi ^ { 2 } \eta ^ { \prime } } { 8 x ^ { 2 } } } ) ) e ^ { - \frac 1 { 2 } x ^ { 2 } } e ^ { \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 x ^ { 2 } } } , \qquad x \to 0 ^ { + } , } \end{array}
( \frac { E _ { t 1 } } { E _ { i 1 } } ) _ { t h r o u g h } = \frac { - t _ { 1 } \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } e ^ { j \theta _ { 1 } } ( t _ { 3 } \alpha _ { 2 } e ^ { j \theta _ { 2 } } - t _ { 2 } ) } { 1 - t _ { 3 } t _ { 2 } \alpha _ { 2 } e ^ { j \theta _ { 2 } } - t _ { 2 } t _ { 1 } \alpha _ { 1 } e ^ { j \theta _ { 1 } } + t _ { 3 } t _ { 1 } \alpha _ { 1 } e ^ { j \theta _ { 1 } } e ^ { j \theta _ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { { } \mathcal { J } \mathcal { M } | \left[ \left[ \hat { s } \otimes \hat { s } \right] ^ { ( 2 ) } \otimes C ^ { ( 2 ) } ( \hat { r } _ { \mathrm { N a L i } } ) \right] _ { 0 } ^ { ( 0 ) } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle = } \end{array}
\begin{array} { r } { a h y _ { 1 } ^ { 2 } - \left( f y _ { 1 } + g \right) ^ { 2 } y _ { 1 } - e \left( f y _ { 1 } + g \right) ^ { 2 } + b h = 0 , } \\ { f ^ { 2 } y _ { 1 } ^ { 3 } + \left( 2 f g - a h + e f \right) y _ { 1 } ^ { 2 } + \left( g ^ { 2 } + 2 e f g \right) y _ { 1 } - b h + e g ^ { 2 } = 0 , } \\ { y _ { 1 } ^ { 3 } + \underbrace { \frac { 2 f g - a h + e f } { f ^ { 2 } } } _ { A } y _ { 1 } ^ { 2 } + \underbrace { \frac { g ^ { 2 } + 2 e f g } { f ^ { 2 } } } _ { B } y _ { 1 } - \underbrace { \frac { b h - e g ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } } _ { C } = 0 , } \end{array}
\eta > \displaystyle \frac { \bar { \mu } ^ { 3 } } { 6 4 M _ { 0 } } = \displaystyle \frac { 1 } { M _ { 0 } ^ { 4 } } \left( \displaystyle \frac { g I _ { 1 } } { 4 } \right) ^ { 3 } .
\hat { \mathbf { E } } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \xi _ { x } \hat { \tau } _ { x x } + \xi _ { y } \hat { \tau } _ { x y } + \xi _ { z } \hat { \tau } _ { x z } } \\ { \xi _ { x } \hat { \tau } _ { x y } + \xi _ { y } \hat { \tau } _ { y y } + \xi _ { z } \hat { \tau } _ { y z } } \\ { \xi _ { x } \hat { \tau } _ { x z } + \xi _ { y } \hat { \tau } _ { y z } + \xi _ { z } \hat { \tau } _ { z z } } \\ { \xi _ { x } { \beta } _ { x } + \xi _ { y } { \beta } _ { y } + \xi _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { S _ { 2 1 } ( \omega ) = A \textrm { e } ^ { - \textrm { i } ( \omega \tau + \varphi ) } \left( 1 - \frac { \textrm { e } ^ { \textrm { i } \phi } Q _ { \mathrm { l } } / Q _ { \mathrm { e } } } { 1 - \textrm { i } 2 Q _ { \mathrm { l } } \delta } \right) , } \end{array}
\overline { { \rho } } ( x ) = \rho _ { 0 } + \varepsilon \rho _ { 1 } ( x ) = \rho _ { 0 } \left( 1 - \frac { h _ { 0 } } { H } \frac { \mathrm { P e } ^ { \star } } { 1 + ( \mathrm { P e } ^ { \star } ) ^ { 2 } } \left[ \sin ( k _ { 0 } x ) + \mathrm { P e } ^ { \star } \cos ( k _ { 0 } x ) \right] \right) .