harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - \mu _ { 0 } \left( \partial _ { \alpha } u _ { \beta } + \partial _ { \beta } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \partial _ { \gamma } u _ { \gamma } \right) , } \\ { q _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - \frac { 1 5 R } { 4 } \mu _ { 0 } \partial _ { \alpha } T . } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \mathrm { \boldmath { ~ \ p i ~ } } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( { \partial } _ { \mu } \sqrt { F _ { \pi } ^ { 2 } / 2 - \mathrm { \boldmath ~ { ~ \ p i ~ } } ^ { 2 } } \, ) ^ { 2 } .
T _ { x , P } \triangleq \left\{ x ^ { \prime } \in [ - 1 , 1 ] ^ { m } : - \frac { \delta _ { 2 } } { 2 } < x _ { c } - x _ { c } ^ { \prime } \leq \frac { \delta _ { 2 } } { 2 } , \forall c \in I _ { P } \right\} .
\begin{array} { r l } { \overline { { \alpha } } _ { 1 k } } & { = A _ { x 1 } ( \overline { { \gamma } } _ { 1 k } , \sigma _ { 1 k } ^ { 2 } ) , } \\ { \sigma _ { 2 k } ^ { 2 } } & { = \frac { \mathcal { E } _ { x 1 } ( \overline { { \gamma } } _ { 1 k } , \sigma _ { 1 k } ^ { 2 } ) - \overline { { \alpha } } _ { 1 k } ^ { 2 } \sigma _ { 1 k } ^ { 2 } } { ( 1 - \overline { { \alpha } } _ { 1 k } ) ^ { 2 } } , } \\ { \overline { { \gamma } } _ { 2 k } } & { = \overline { { \gamma } } _ { 1 k } \Big ( \frac { 1 } { \overline { { \alpha } } _ { 1 k } } - 1 \Big ) , } \\ { \overline { { \alpha } } _ { 2 k } } & { = A _ { x 2 } ( \overline { { \gamma } } _ { 2 k } , \overline { { \tau } } _ { 2 k } ) , } \\ { \sigma _ { 1 ( k + 1 ) } ^ { 2 } } & { = \frac { \mathcal { E } _ { x 2 } ( \overline { { \gamma } } _ { 2 k } , \overline { { \tau } } _ { 2 k } , \rho _ { 2 k } ^ { 2 } , \sigma _ { 2 k } ^ { 2 } ) - \overline { { \alpha } } _ { 2 k } ^ { 2 } \sigma _ { 2 k } ^ { 2 } } { ( 1 - \overline { { \alpha } } _ { 2 k } ) ^ { 2 } } , } \\ { \overline { { \gamma } } _ { 1 ( k + 1 ) } } & { = \overline { { \gamma } } _ { 2 k } \Big ( \frac { 1 } { \overline { { \alpha } } _ { 2 k } } - 1 \Big ) , } \end{array}
Z _ { 0 } ^ { K 3 } ( \tau ) = \frac { N _ { 1 } } { 4 } G ( 2 \tau ) { \tilde { Z } } _ { a } ( \tau ) + N \left( Z _ { e v e n } ^ { S _ { 0 } } ( \tau ) { \tilde { Z } } _ { 2 } ( \tau ) { \tilde { Z } } _ { - } ( \tau ) + Z _ { o d d } ^ { S _ { 0 } } ( \tau ) { \tilde { Z } } _ { 2 } ( \tau ) { \tilde { Z } } _ { + } ( \tau ) \right) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \Big ( P _ { 0 } ( \tilde { U } ^ { x } ) ( t , y ) - C _ { U } \Big ) } & { = - P _ { 0 } ( \nabla _ { z , y } ^ { \bot } P _ { \neq } \psi _ { 1 } \cdot \nabla _ { z , y } \tilde { U } ^ { x } ) \chi _ { 1 } ( y ) } \\ & { = - P _ { 0 } ( - \partial _ { y } P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \psi _ { 1 } ) \partial _ { z } ( \partial _ { y } - t \partial _ { y } v \partial _ { z } ) ( \Upsilon _ { 2 } \psi _ { 1 } ) + \partial _ { z } P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \psi _ { 1 } ) \partial _ { y } \partial _ { z } ( \Upsilon _ { 2 } \psi _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( p _ { 1 } - s ) ^ { - 1 / 2 } } & { = - i ( s - p _ { 1 } ) ^ { - 1 / 2 } } & & { ( s \in \{ e ^ { 2 \pi i / 3 } \sigma \mid 0 < \sigma < p _ { 3 } \} ) , } \\ { ( p _ { 2 } - s ) ^ { - 1 / 2 } } & { = i ( s - p _ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } } & & { ( s \in \{ e ^ { 4 \pi i / 3 } \sigma \mid 0 < \sigma < p _ { 3 } \} ) , } \\ { ( p _ { 3 } - s ) ^ { - 1 / 2 } } & { = i ( s - p _ { 3 } ) ^ { - 1 / 2 } } & & { ( 0 < s < p _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathbf { c } } ( \mathbf { c } ) = } & { { } \int \mathrm { d } \mathbf { w } \, \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } ) , } \\ { \phi _ { \mathbf { w } } ( \mathbf { w } ) = } & { { } \int \mathrm { d } \mathbf { c } \, \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } ) , } \\ { \phi _ { c w } ( x ) = } & { { } \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } \, \delta ( c ^ { 2 } w ^ { 2 } - x ) \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { + } ( z , z _ { 0 } ) = \int _ { z _ { 0 } } ^ { z } f _ { \gamma } ( \zeta , z _ { 0 } ) \frac { d \zeta } { \lambda _ { + } } = \frac { \lambda _ { R R E A } } { \lambda _ { \gamma } \lambda _ { + } } \Biggl ( \lambda _ { R R E A } e ^ { \frac { z - z _ { 0 } } { \lambda _ { R R E A } } } - } \\ & { - \lambda _ { R R E A } - ( z - z _ { 0 } ) \Biggr ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C ^ { i j k l } } & { = } & { H ^ { i j k l } + \left( H ^ { i j } g ^ { k l } + H ^ { i k } g ^ { j l } + H ^ { i l } g ^ { j k } + H ^ { j k } g ^ { i l } + H ^ { j l } g ^ { i k } + H ^ { k l } g ^ { i j } \right) + } \\ & { } & { H \left( g ^ { i j } g ^ { k l } + g ^ { i k } g ^ { j l } + g ^ { i l } g ^ { j k } \right) + h \left( g ^ { i j } g ^ { k l } - \frac 1 2 g ^ { i l } g ^ { j k } - \frac 1 2 g ^ { i k } g ^ { j l } \right) + } \\ & { } & { \left( h ^ { i j } g ^ { k l } + h ^ { k l } g ^ { i j } - \frac 1 2 h ^ { j l } g ^ { i k } - \frac 1 2 h ^ { i k } g ^ { j l } - \frac 1 2 h ^ { j k } g ^ { i l } - \frac 1 2 h ^ { i l } g ^ { j k } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { y ^ { \alpha } \mathfrak { A } _ { x } \nabla \mathcal { U } \cdot \nabla \mathcal { V } \; d x d y } } & { \geq ( \mathfrak { A } _ { 0 } - \delta ) \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } { y ^ { \alpha } ( 1 + \delta \chi ( y ) ) \| \nabla \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } d y } } \\ & { \qquad - \delta ( 1 - \alpha ) \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \mathcal { U } ( x , 0 ) ^ { 2 } \, d x } } \\ & { \geq \frac { \delta } { 4 } ( \mathfrak { A } _ { 0 } - \delta ) \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } { y ^ { \alpha } ( 1 + y ) ^ { 1 - \alpha } \| \nabla \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } d y } } \\ & { \qquad - \delta ( 1 - \alpha ) \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \mathcal { U } ( x , 0 ) ^ { 2 } \, d x } . } \end{array}
A _ { 1 } ^ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) \simeq \frac { g _ { 1 } ^ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) } { F _ { 1 } ^ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) } = \frac { g _ { 1 } ^ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) } { F _ { 2 } ^ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) / \{ 2 x [ 1 + R ^ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) ] \} } \, ,
\gamma = \frac { f ^ { 2 } \cos ^ { 2 } { ( \theta ) } } { \omega ^ { 2 } } ; \quad \alpha = \frac { N ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { ( \theta ) } } { \omega ^ { 2 } } ; \quad \beta = F \frac { N ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { ( \theta ) } } { \omega ^ { 2 } } .
\mathrm { N o r m . \, S C S } ( x ) = \mathrm { B G } + \mathrm { A } _ { 1 } \frac { ( q _ { 1 } + \Omega _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 1 + { \Omega _ { 1 } } ^ { 2 } } + \mathrm { A } _ { 2 } \frac { ( q _ { 2 } + \Omega _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 1 + { \Omega _ { 2 } } ^ { 2 } } ,
P _ { c d } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \sin 2 \theta \! \int \! \! d \boldsymbol { k } \! \int \! \! d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \! \left[ \tilde { \xi } ^ { * } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \tilde { \xi } ( \bar { \boldsymbol { k } } ^ { \prime } , \bar { \boldsymbol { k } } ) + \mathrm { { h . c . } } \right] ,
\frac { p } { \epsilon e _ { s } } + \frac { p } { \epsilon e _ { s } } \frac { L ^ { 2 } \epsilon e _ { s } } { p R _ { v } T ^ { 2 } c _ { p } } = \frac { \rho R ^ { \prime } T } { \epsilon e _ { s } } + \frac { L ^ { 2 } \epsilon \rho T } { p T ^ { 2 } c _ { p } } = \rho \left( \frac { R ^ { \prime } T } { \epsilon e _ { s } } + \frac { L ^ { 2 } \epsilon } { p T c _ { p } } \right) .
f ( \mathbf x ) = \left\{ \begin{array} { r l } { - \delta - \eta ~ ~ ~ ~ ~ } & { | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | > r \textnormal { f o r a n y } \mathbf x ^ { \prime } \in Q , } \\ { - \delta - \eta + \mathbf x ~ ~ ~ ~ ~ } & { \exists \mathbf x ^ { \prime } \in Q \mathrm { ~ s . t . ~ } | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | \le r \textnormal { a n d } \mathbf x \leq \mathbf x ^ { \prime } + \frac { r } { 2 } , } \\ { - \delta - \eta + r - \mathbf x ~ ~ ~ ~ ~ } & { \exists \mathbf x ^ { \prime } \in Q \mathrm { ~ s . t . ~ } | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | \le r \textnormal { a n d } \mathbf x > \mathbf x ^ { \prime } + \frac { r } { 2 } . } \end{array} \right.
\gamma _ { K P Z } ( \nu = 1 , \lambda = 1 , D = 1 , \mathcal { L } ) = \operatorname* { l i m } _ { s \to \infty } \frac { 1 } { s } \langle \Delta \varphi ^ { 2 } \rangle = \frac { \gamma _ { 1 } } { \sqrt { \mathcal { L } } } \, .
\psi = \left\{ \begin{array} { l l } { \psi _ { r } , } & { \mathrm { i f ~ } u _ { b a s e } < 0 } \\ { \frac { \psi _ { a } - \psi _ { r } } { u _ { l i m } } u _ { b a s e } + \psi _ { r } , } & { \mathrm { i f ~ } 0 \leq u _ { b a s e } \leq u _ { l i m } } \\ { \psi _ { a } , } & { \mathrm { i f ~ } u _ { b a s e } > u _ { l i m } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { \bf S } \rangle } & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \langle \hat { S } _ { 1 } \rangle } \\ { \langle \hat { S } _ { 2 } \rangle } \\ { \langle \hat { S } _ { 3 } \rangle } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { \sin \theta \cos \phi } \\ { \sin \theta \sin \phi } \\ { \cos \theta } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos \gamma } \\ { \sin \gamma \cos \delta } \\ { \sin \gamma \sin \delta } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \large ~ { ~ H ~ } ~ } _ { p , q } ^ { m , n } \bigg [ z \bigg | \begin{array} { c } { \left( a _ { p } , A _ { p } \right) } \\ { \left( b _ { q } , B _ { q } \right) } \end{array} \bigg ] } & { { } = } & { \mathrm { ~ \large ~ { ~ H ~ } ~ } _ { p , q } ^ { m , n } \bigg [ z \bigg | \begin{array} { c } { \left( a _ { 1 } , A _ { 1 } \right) \cdots \left( a _ { p } , A _ { p } \right) } \\ { \left( b _ { 1 } , B _ { 1 } \right) \cdots \left( b _ { q } , B _ { q } \right) } \end{array} \bigg ] = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { L } d s \chi ( s ) z ^ { s } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left| d _ { \rho } F ^ { n n _ { 0 } } - d _ { \rho ^ { \prime } } F ^ { n n _ { 0 } } \right| \right| } & { \leq C \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } J _ { n _ { 0 } ( n - k - 1 ) } ^ { u } \left( F ^ { n _ { 0 } ( k + 1 ) } ( \rho ^ { \prime } ) \right) \left| \left| d _ { F ^ { n _ { 0 } k } ( \rho ) } F ^ { n _ { 0 } } - d _ { F ^ { n _ { 0 } k } ( \rho ^ { \prime } ) } F ^ { n _ { 0 } } \right| \right| J _ { n _ { 0 } k } ^ { u } ( \rho ^ { \prime } ) } \\ & { \leq C \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } d \left( F ^ { n _ { 0 } k } ( \rho ) , F ^ { n _ { 0 } k } ( \rho ^ { \prime } ) \right) J _ { n n _ { 0 } } ^ { u } ( \rho ^ { \prime } ) } \\ & { \leq C J _ { \mathbf { q } } ^ { u } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \theta ^ { \operatorname* { m i n } ( k , n - k ) } \varepsilon _ { 0 } } \\ & { \leq C J _ { \mathbf { q } } ^ { u } \varepsilon _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { [ x , x , \ldots , x ] = 0 , \qquad \qquad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } x \in X , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } [ x _ { 1 } , \ldots , x _ { i - 1 } , [ x _ { i } , x _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , x _ { n - 1 } ^ { \prime } ] , x _ { i + 1 } , \ldots , x _ { n } ] = 0 , } \\ { \qquad \qquad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } x _ { i } , x _ { j } ^ { \prime } \in X , \quad 1 \leq i \leq n , ~ 1 \leq j \leq n - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \rho , \rho ^ { \prime } } ( s , \lambda ) \; = \; } & { { } \kappa \, \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { [ H , D _ { 0 } ] ^ { * } } \\ { { } [ H , D _ { 0 } ] } & { 0 } \end{array} \right) G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln { \frac { 1 0 } { 9 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 1 0 } } + { \frac { 1 } { 2 0 0 } } + { \frac { 1 } { 3 \ 0 0 0 } } + { \frac { 1 } { 4 0 \, 0 0 0 } } + { \frac { 1 } { 5 0 0 \, 0 0 0 } } + \cdots } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { ~ ~ { \frac { 1 } { t ^ { 2 } } } \mathrm { T r } [ \gamma ^ { \mu } ( \not p _ { 1 } + m ) \gamma ^ { \nu } ( \not p _ { 3 } + m ) ] \mathrm { T r } [ \gamma _ { \mu } ( \not p _ { 2 } + m ) \gamma _ { \nu } ( \not p _ { 4 } + m ) ] } \\ & { = { \frac { 1 6 } { t ^ { 2 } } } ( p _ { 1 } ^ { \mu } p _ { 3 } ^ { \nu } + p _ { 3 } ^ { \mu } p _ { 1 } ^ { \nu } - ( - p _ { 1 3 } + m ^ { 2 } ) g ^ { \mu \nu } ) ( p _ { 2 \mu } p _ { 4 \nu } + p _ { 4 \mu } p _ { 2 \nu } + ( - p _ { 2 4 } + m ^ { 2 } ) g _ { \mu \nu } ) } \\ & { = { \frac { 3 2 } { t ^ { 2 } } } { \big ( } p _ { 1 2 } p _ { 3 4 } + p _ { 2 3 } p _ { 1 4 } + m ^ { 2 } p _ { 1 3 } - m ^ { 2 } p _ { 2 4 } + 2 m ^ { 4 } { \big ) } } \\ & { = { \frac { 3 2 } { t ^ { 2 } } } { \big ( } p _ { 1 2 } ^ { 2 } + p _ { 1 4 } ^ { 2 } + 2 m ^ { 2 } ( p _ { 1 4 } - p _ { 1 2 } ) { \big ) } } \\ & { = { \frac { 8 } { t ^ { 2 } } } ( s ^ { 2 } + u ^ { 2 } - 8 m ^ { 2 } ( s + u ) + 2 4 m ^ { 4 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { S _ { h } } & { : = \{ s _ { h } \in C ^ { 0 } ( \bar { \Omega } ) : s _ { h } | _ { K } \in \mathbb { P } _ { 1 } ( K ) , \forall K \in \mathcal { T } _ { h } \} \subset H ^ { 1 } ( \Omega ) , } \\ { V _ { h } } & { : = \{ \mathbf { v } _ { h } \in C ^ { 0 } ( \bar { \Omega } ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) \cap H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) : \mathbf { v } _ { h } | _ { K } \in [ \mathbb { P } _ { 2 } ( K ) ] ^ { 3 } , \forall K \in \mathcal { T } _ { h } \} , } \\ { X _ { h } } & { : = \{ \mathbf { A } _ { h } \in C ^ { 0 } ( \bar { \Omega } ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) : \mathbf { A } _ { h } | _ { K } \in [ \mathbb { P } _ { 1 } ( K ) ] ^ { 3 \times 3 } , \forall K \in \mathcal { T } _ { h } \} \subset H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | v | ^ { 2 } M [ f ] \, d v } \\ & { \quad = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( | v | ^ { 2 } + 2 v \cdot u _ { f } + | u _ { f } | ^ { 2 } ) \mathbf { 1 } _ { | v | ^ { d } \le c _ { d } \rho _ { f } } \, d v } \\ & { \quad = \rho _ { f } | u _ { f } | ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \cdots \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { ( c _ { d } \rho _ { f } ) ^ { 1 / d } } r ^ { d + 1 } ( \sin ^ { d - 2 } \varphi _ { 1 } ) ( \sin ^ { d - 3 } \varphi _ { 2 } ) \cdots ( \sin \varphi _ { d - 2 } ) \, d r d \varphi _ { 1 } \cdots d \varphi _ { d - 1 } } \\ & { \quad = \rho _ { f } | u _ { f } | ^ { 2 } + \frac { \left| \mathbb { S } _ { d - 1 } \right| } { d + 2 } \left( c _ { d } \rho _ { f } \right) ^ { \frac { d + 2 } { d } } } \\ & { \quad = \rho _ { f } | u _ { f } | ^ { 2 } + \frac { \left| \mathbb { S } _ { d - 1 } \right| } { d + 2 } \left( \frac { d } { \left| \mathbb { S } _ { d - 1 } \right| } \right) ^ { \frac { d + 2 } { d } } \rho _ { f } ^ { \frac { d + 2 } { d } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 1 ^ { * } : } } & { { a \mapsto \epsilon ( a ) } } & { { \mu ^ { * } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) : } } & { { a \mapsto f _ { 1 } \otimes f _ { 2 } \circ \Delta ( a ) } } \\ { { \epsilon ^ { * } : } } & { { f \mapsto f ( 1 ) } } & { { \Delta ^ { * } ( f ) : } } & { { ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) \mapsto f ( \mu ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) ) } } \\ { { S ^ { * } ( f ) : } } & { { a \mapsto f ( S ( a ) ) } } & { { ~ } } & { { ~ } } \end{array}
\lVert \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \rVert _ { 2 } \leq \frac { | \alpha _ { \mathrm { S } } | } { 1 - \mathcal { C } _ { \mathrm { S } } } \lVert \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \lVert \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \rVert _ { 2 } ,
Z = \bigl ( \prod _ { x , \mu } \, \sum _ { n _ { x } , m _ { x , \mu } } \bigr ) \prod _ { x } \delta ^ { ( Q ) } ( \triangle _ { \mu } m _ { x , \nu } - \triangle _ { \nu } m _ { x , \mu } ) \prod _ { x , \mu } B ( \triangle _ { \mu } n _ { x } - P m _ { x , \mu } ) .
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { e v e n } } ( x , y ) = \sum _ { p , q = 0 } ^ { N } \frac { \beta _ { p q } \phi _ { p q } ( x , y ) } { 2 ^ { p + q + 2 } p ! q ! \pi \sigma ^ { 2 } } , } \end{array}
\delta \widehat { \Delta } _ { [ \overline { { { A } } } ] } \; = \; \overline { { { C } } } ( g \overline { { { A } } } ; \Delta _ { [ \overline { { { 0 } } } ] } ) \; \; \; + \; \; \; O ( g ^ { 2 } \overline { { { A } } } ^ { 2 } ) \; .
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { c l } { ( 2 , 0 , - 0 . 0 2 5 c \cos ( 8 \pi x ) , 1 + 2 y ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \leq y < 1 / 2 } \\ { ( 1 , 0 , - 0 . 0 2 5 c \cos ( 8 \pi x ) , y + 3 / 2 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 1 / 2 \leq y \leq 1 } \end{array} \right.
\sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \hat { w } ^ { ( h ) } ( \mathbf { r } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega + h \omega _ { m } ) t } = \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \hat { w } _ { 0 } ^ { ( h ) } ( \mathbf { r } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega + h \omega _ { m } ) t } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \hat { F } _ { n } ^ { ( h ) } \hat { G } _ { w } ^ { ( h ) } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { n } , \omega + h \omega _ { m } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega + h \omega _ { m } ) t } , \quad h \in \mathbb { Z } .
P ( \varphi - \Delta \varphi , x - \Delta x ) = P ( \varphi , x ) - \Delta x \partial P / \partial x - \Delta \varphi \partial P / \partial \varphi + ( 1 / 2 ) ( \Delta \varphi ^ { 2 } ) \partial ^ { 2 } P / \partial \varphi ^ { 2 }
{ \mathcal P } ( \hat { \rho } _ { I } ( t ) ) = p _ { 1 } ( t ) | 1 \rangle \langle 1 | \hat { \rho } _ { b , 1 } + p _ { 2 } ( t ) | 2 \rangle \langle 2 | \hat { \rho } _ { b , 2 } .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = - \partial _ { x } \left[ v _ { 0 } \, f _ { + , j } ^ { \infty } \, ( 1 - \rho _ { j } ^ { \infty } ) - D _ { T } \, \partial _ { x } f _ { + , j } ^ { \infty } \right] + \lambda ( f _ { - , j } ^ { \infty } - f _ { + , j } ^ { \infty } ) , } \\ { 0 } & { = - \partial _ { x } \left[ - v _ { 0 } \, f _ { - , j } ^ { \infty } \, ( 1 - \rho _ { j } ^ { \infty } ) - D _ { T } \, \partial _ { x } f _ { - , j } ^ { \infty } \right] + \lambda ( f _ { + , j } ^ { \infty } - f _ { - , j } ^ { \infty } ) , } \end{array} \quad \mathrm { i n ~ } ( 0 , L _ { j } ^ { \infty } ) ,
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } } & { \! = \! \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } H ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } , t ) d t } \\ & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ \left\{ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } + 2 { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left[ \cos ( k _ { x } a ) + \cos ( k _ { y } a ) \right] \right\} \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \right. } \\ & { \left. ~ ~ \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } \right\} C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { ~ ~ \! + \! \sum _ { j _ { z } } \left( C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } T _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } + C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } T _ { z } ^ { \dagger } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \right) , } \\ { \! H _ { - n } } & { \! = \! \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } H ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } , t ) e ^ { - i n \omega t } d t } \\ & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left\{ ( - 1 ) ^ { n } e ^ { i k _ { x } a } + e ^ { - i k _ { x } a } + e ^ { i n \varphi } \left[ ( - 1 ) ^ { n } e ^ { i k _ { y } a } + e ^ { - i k _ { y } a } \right] \right\} \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \right. } \\ & { \left. ~ ~ \! + \! \frac { { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } } { 2 i } \left[ ( - 1 ) ^ { n } e ^ { i k _ { x } a } - e ^ { - i k _ { x } a } \right] \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \frac { { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } } { 2 i } e ^ { i n \varphi } \left[ ( - 1 ) ^ { n } e ^ { i k _ { y } a } - e ^ { - i k _ { y } a } \right] \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } \right\} C _ { { \bf k } , j _ { z } } , } \\ { \! H _ { n } } & { \! = \! \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } H ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } , t ) e ^ { i n \omega t } d t } \\ & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left\{ e ^ { i k _ { x } a } + ( - 1 ) ^ { n } e ^ { - i k _ { x } a } + e ^ { - i n \varphi } \left[ e ^ { i k _ { y } a } + ( - 1 ) ^ { n } e ^ { - i k _ { y } a } \right] \right\} \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \right. } \\ & { \left. ~ ~ \! + \! \frac { { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } } { 2 i } \left[ e ^ { i k _ { x } a } - ( - 1 ) ^ { n } e ^ { - i k _ { x } a } \right] \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \frac { { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } } { 2 i } e ^ { - i n \varphi } \left[ e ^ { i k _ { y } a } - ( - 1 ) ^ { n } e ^ { - i k _ { y } a } \right] \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } \right\} C _ { { \bf k } , j _ { z } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \ln \left( g _ { \alpha } ^ { \textrm { c l } } ( \tilde { \sigma } _ { k } ) \right) } { 1 - \alpha } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } \frac { 1 - \prod _ { k = 1 } ^ { n } g _ { p } ^ { \textrm { c l } } ( \tilde { \sigma } _ { k } ) } { \alpha - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \bf v } _ { g } = ( v _ { g x } , v _ { g y } ) ^ { \mathrm { T } } = \left( \frac { \partial \omega } { \partial k _ { x } } , \frac { \partial \omega } { \partial k _ { y } } \right) ^ { \mathrm { T } } } \\ & { } & { ~ ~ ~ = \left\{ \begin{array} { l l } { { \bf v } _ { t } + \frac { 1 } { \Omega } \left( { v _ { x } } ^ { 2 } q _ { x } , { v _ { y } } ^ { 2 } q _ { y } \right) ^ { \mathrm { T } } , } & { \quad \mathrm { { \it ~ p } ~ b a n d } } \\ { { \bf v } _ { t } - \frac { 1 } { \Omega } \left( { v _ { x } } ^ { 2 } q _ { x } , { v _ { y } } ^ { 2 } q _ { y } \right) ^ { \mathrm { T } } , } & { \quad \mathrm { { \it ~ h } ~ b a n d } } \end{array} \right. . } \end{array}
\sum _ { Q } \mathbf S _ { P Q } ^ { [ n n ] } \xi _ { Q } ^ { [ n n ] } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { \mu \nu \mathbf { k } \mathbf { k } ^ { \prime } } u _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) ^ { * } u _ { \nu } ^ { \mathbf { k } ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ) u _ { \nu } ^ { \mathbf { k } ^ { \prime } } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } u _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { P } )
\textbf { \emph { U } } = \left( \begin{array} { c c c c c c c c c } { \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > } & { E _ { D } ^ { \infty } } & { L _ { \infty } ^ { \pm } } & { L _ { D } ^ { \infty } } & { \big < \rho ^ { \infty 2 } \big > } & { \big < z ^ { * \pm 2 } \big > } & { E _ { D } ^ { * } } & { L _ { * } } & { L _ { D } ^ { * } } \end{array} \right) ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { H _ { \rho } ( \rho , \phi , t ) = } & { \, \, \frac { i } { \alpha _ { i , j } \, \rho } \, J _ { i } ( \alpha _ { i , j } \, \rho ) \, \sin ( i \, \phi ) \, \sin ( \alpha _ { i , j } \, t ) , } \\ { H _ { \phi } ( \rho , \phi , t ) = } & { \, \, \frac { 1 } { 2 } \, \big ( J _ { i - 1 } ( \alpha _ { i , j } \, \rho ) - J _ { i + 1 } ( \alpha _ { i , j } \, \rho ) \big ) \, \cos ( i \, \phi ) \, \sin ( \alpha _ { i , j } \, t ) , } \\ { E _ { z } ( \rho , \phi , t ) = } & { \, \, J _ { i } ( \alpha _ { i , j } \, \rho ) \, \cos ( i \, \phi ) \, \cos ( \alpha _ { i , j } \, t ) , } \end{array}
M _ { B _ { c } } = 6 . 2 6 \, \mathrm { G e V } \qquad M _ { B _ { c } ^ { * } } - M _ { B _ { c } } = 0 . 0 7 3 \, \mathrm { G e V } \qquad T = 0 . 3 7 \, \mathrm { G e V } \qquad f _ { B _ { c } } = 0 . 5 \, \mathrm { G e V }