harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
U _ { 0 1 } = \left( \frac { k _ { 1 } } { r _ { 1 } } - \frac { 2 m _ { 1 } } { ( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } / 4 ) ^ { 1 / 2 } } \right) , \quad U _ { 2 } = \left( \frac { k _ { 2 } } { r _ { 2 } } - \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { r _ { 2 } + \frac { 2 r _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } } - \frac { 2 m _ { 2 } } { \big ( ( r _ { 2 } - \frac { m _ { 1 } r _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } ) ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } / 4 \big ) ^ { 1 / 2 } } \right) .
\begin{array} { r l r } { Q ^ { ( j , k ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \left( \Phi ^ { ( j , k ) \rightarrow ( j + 1 , k ) } + \Phi ^ { ( j + 1 , k ) \rightarrow ( j + 1 , k + 1 ) } + \right. } \\ & { + } & { \left. \Phi ^ { ( j + 1 , k + 1 ) \rightarrow ( j , k + 1 ) } + \Phi ^ { ( j , k + 1 ) \rightarrow ( j , k ) } \right) } \end{array}
T _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) t ( z ) = \frac { \frac { c _ { 1 } } { 2 } \omega ( z ) + \frac { c _ { 2 } } { 2 } \Omega ( z ) } { ( z ^ { \prime } - z ) ^ { 4 } } + \frac { T _ { 0 } ( z ) + 2 t ( z ) } { ( z ^ { \prime } - z ) ^ { 2 } } + \frac { \partial _ { z } t ( z ) } { z ^ { \prime } - z } + \cdots \: \: \: .
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; r ) - \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; r ^ { \prime } ) \| _ { \mathbb { V } ^ { * } } } & { { } \le M _ { r , r ^ { \prime } } \| r - r ^ { \prime } \| _ { \mathbb { V } } , } \end{array}
E _ { \mathrm { v a c } } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } ( 2 G _ { j } + 1 ) | \epsilon _ { j } | - \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d k } { 2 \pi } \, \sqrt { k ^ { 2 } + m _ { f } ^ { 2 } } \, \frac { d } { d k } \, \overline { { { \delta } } } ( k ) + E ^ { ( 1 , 2 ) } + E ^ { ( 3 , 4 ) } \, ,
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \lambda _ { \perp } a ^ { 2 } - \eta _ { \perp } v ^ { 2 } + \delta \eta _ { \perp l } b ^ { 2 } \; , } \\ { U _ { 1 } ^ { \mu } } & { = } & { b ^ { 2 } \delta \eta _ { l l l \perp } \, l ^ { \mu } + a ^ { 2 } \delta \lambda \, l ^ { \mu } + \delta \eta _ { \perp l } v ^ { 2 } l ^ { \mu } + b \delta \eta _ { l l l } \, v ^ { \mu } - \frac { a b \delta \lambda \, H _ { \parallel } ^ { \mu } ( V , \xi ) } { H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } \; , } \\ { U _ { 2 } ^ { \mu } } & { = } & { b \left( \frac { \delta \chi } { 3 } + \delta \eta _ { l l l } \right) \, l ^ { \mu } + \frac { ( \chi _ { \perp } - \eta _ { l l } ) v ^ { \mu } } { 3 } - \frac { a ( \chi + \lambda _ { \perp } ) H _ { \parallel } ^ { \mu } ( V , \xi ) } { H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } \; , } \end{array}
{ \overline { { \sigma } } } ^ { \mu } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu } } } \psi _ { \mathrm { { L } } } ( x ) \mapsto { \overline { { \sigma } } } ^ { \mu } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \prime \mu } } } \psi _ { \mathrm { { L } } } ( x ^ { \prime } ) = S { \overline { { \sigma } } } ^ { \mu } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu } } } \psi _ { \mathrm { { L } } } ( x )
\begin{array} { r l r } & { - 2 3 . 1 2 \times 1 0 ^ { - 3 } \cdot V _ { t r i p } + 0 . 4 3 9 } & { \ \ V _ { t r i p } \leq 6 . 7 0 } \\ & { - 8 . 1 4 \times 1 0 ^ { - 3 } \cdot V _ { t r i p } + 0 . 3 3 8 } & { \ \ 6 . 7 0 \leq V _ { t r i p } \leq 1 2 . 7 1 } \\ & { - 0 . 3 8 \times 1 0 ^ { - 3 } \cdot V _ { t r i p } + 0 . 2 4 0 } & { \ \ 1 2 . 7 1 \leq V _ { t r i p } \leq 2 1 . 7 5 } \\ & { 2 . 1 1 \times 1 0 ^ { - 3 } \cdot V _ { t r i p } + 0 . 1 8 5 } & { \ \ 2 1 . 7 5 \leq V _ { t r i p } \leq 6 0 . 0 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { J } ^ { \prime } } & { = \mathbf { J } - \gamma \rho \mathbf { v } + \left( \gamma - 1 \right) \left( \mathbf { J } \cdot \mathbf { \hat { v } } \right) \mathbf { \hat { v } } } \\ { \rho ^ { \prime } } & { = \gamma \left( \rho - { \frac { \mathbf { J } \cdot \mathbf { v } } { c ^ { 2 } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \left. \frac { \partial \omega _ { 3 D } } { \partial \hat { t } } \right| _ { w = 0 } = { \bigcup _ { z = \lbrack z _ { 0 } , z _ { 1 } , \ldots , z _ { n } \rbrack } \left. \frac { \partial \omega _ { 3 D } } { \partial \hat { t } } \right| _ { w = 0 } } } \\ & { = \left. \left( { \frac { 1 } { R e } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \omega _ { 3 D } } { \partial { \hat { x } } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \omega _ { 3 D } } { \partial { \hat { y } } ^ { 2 } } } \right) - \left( { \hat { u } \frac { \partial \omega _ { 3 D } } { \partial \hat { x } } + \hat { v } \frac { \partial \omega _ { 3 D } } { \partial \hat { y } } } \right) } \right) \right| _ { w = 0 , z = z _ { 0 } , z _ { 1 } , \ldots , z _ { n } } } \end{array}
d s ^ { 2 } = V ( r ) ( d \tau + 2 n \cos \theta d \varphi ) ^ { 2 } + { \frac { d r ^ { 2 } } { V ( r ) } } + ( r ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } ) \ ,
\begin{array} { r } { \mu _ { \Gamma _ { v _ { h } } } ( \omega ) = \mathcal L ^ { n } ( \partial \Gamma _ { v _ { h } } ( \omega ) ) = \mathcal L ^ { n } ( \nabla v _ { h } ( \omega \cap \mathcal { C } _ { v _ { h } } ) ) = \int _ { \omega \cap \mathcal { C } _ { v _ { h } } } \operatorname* { d e t } \mathrm { D } _ { \mathrm { p w } } ^ { 2 } v _ { h } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
P ( \kappa ) = \sum _ { m = 0 } ^ { \frac 1 2 \kappa ( \kappa - 1 ) } \mathcal Q _ { \kappa + 1 , \frac 1 2 ( \kappa + 1 ) \kappa - m } \phi ^ { \frac 1 2 ( \kappa + 1 ) \kappa - m } ( 1 - \phi ) ^ { \omega ( r ) + m } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \stackrel { x \in E _ { n } } { V _ { n } ( x ) \in \mathcal G } } \exp S _ { n } \phi ( x ) } & { \geq \sum _ { p _ { 1 } \cdots p _ { n } \in G _ { n } } \exp S _ { n } \phi ( \overline { { p _ { 1 } \cdots p _ { n } } } ) \geq \# G _ { n } \exp \left( n \int \phi \mathrm { d } \mu - \frac { \varepsilon n } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { S S I M } ( X , Y ) } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ l ( x _ { i } , y _ { i } ) \cdot c ( x _ { i } , y _ { i } ) \cdot s ( x _ { i } , y _ { i } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \left< ( r _ { 1 } ^ { v } ) ^ { 2 } \right> \supset \frac { \partial \left< ( r _ { 1 } ^ { v } ) ^ { 2 } \right> } { \partial m _ { \pi } ^ { 2 } } \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } = - \frac { 1 + 5 g _ { A } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } } \frac { \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
G ( t , { \bf x } ) = - \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \int d ^ { D - 1 } { \bf k } e ^ { i { \bf k } \cdot { \bf x } } \int d \omega \frac { e ^ { - i \omega t } } { \omega ^ { 2 } - k ^ { 2 } } \, ,
\sum _ { \gamma ^ { 1 } \in \textrm { R a n g e } _ { f ^ { 1 } } } \mu _ { f } ( \gamma ^ { 1 } | G , \gamma ^ { 0 } ) \cdot ( V _ { \Gamma ^ { 0 } ( Y _ { ( G , \gamma ^ { 0 } , \gamma ^ { 1 } ) } ) } ^ { 1 } ( \gamma ^ { 1 } , Y _ { ( G , \gamma ^ { 0 } , \gamma ^ { 1 } ) } ) ) ^ { 2 } \leq \frac { \alpha ^ { 1 } } { \mu _ { f } ( G , \gamma ^ { 0 } ) } .
\begin{array} { r } { I ( t ) = I _ { 0 } ( t ) + \chi I _ { 0 } ( t ) ( \mathbf { m _ { i } } \cdot \mathbf { p } _ { i } + \mathbf { m } _ { i + 1 } \cdot \mathbf { p } _ { i + 1 } ) \quad \textrm { ( s e r i e s ) } } \\ { I ( t ) = I _ { 0 } ( t ) + \chi I _ { 0 } ( t ) ( \mathbf { m _ { i } } \cdot \mathbf { p } _ { i } - \mathbf { m } _ { i + 1 } \cdot \mathbf { p } _ { i + 1 } ) \quad \textrm { ( p a r a l l e l ) } } \end{array}
b _ { i } = \left( \begin{array} { r } { { b _ { 1 } } } \\ { { b _ { 2 } } } \\ { { b _ { 3 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { r } { { 0 } } \\ { { - 2 2 / 3 } } \\ { { - 1 1 } } \end{array} \right) + N _ { F a m } \left( \begin{array} { r } { { 4 / 3 } } \\ { { 4 / 3 } } \\ { { 4 / 3 } } \end{array} \right) + N _ { H i g g s } \left( \begin{array} { r } { { 1 / 1 0 } } \\ { { 1 / 6 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) ,
H _ { \mathrm { m o l } , k l } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } \left\{ \frac { 1 } { 2 M _ { \alpha } } \sum _ { p } [ { \mathbf { P } } _ { \alpha } \, \delta _ { k p } - i \hbar \, { \mathbf { F } } _ { \alpha ; k p } ( x ) ] \cdot [ { \mathbf { P } } _ { \alpha } \, \delta _ { p l } - i \hbar \, { \mathbf { F } } _ { \alpha ; p l } ( x ) ] \right\} + W _ { k l } ( x ) ,
0 = \frac { 1 } { p _ { \mathrm { T } } } \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { T } } } { \mathrm { d } t } + \frac { m } { \nu _ { \mathrm { v } } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { v } } } { \mathrm { d } t } \Rightarrow \frac { 1 } { p _ { \mathrm { T } } } \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { T } } } { \mathrm { d } t } = - \frac { m } { \nu _ { \mathrm { v } } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { v } } } { \mathrm { d } t }
\Big \langle \prod _ { i = 1 } ^ { n } \psi _ { 1 } ( w _ { i } ) \overline { { { \psi } } } _ { 2 } ( z _ { i } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \psi _ { 2 } ( z _ { i } ) \overline { { { \psi } } } _ { 1 } ( w _ { i } ) \Big \rangle _ { f r e e }
\begin{array} { r } { \sum _ { t = 0 } ^ { T } \mathbb { E } ( f _ { t } ( x _ { t } ) - f _ { t } ( x _ { t } ^ { * } ) ) \leq \frac { L } { \left( 1 - \mu \right) ^ { 2 } } \hat { U } _ { 0 } + \frac { 2 L } { \left( 1 - \mu \right) ^ { 2 } } \left( \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \sigma _ { t } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 L \alpha ^ { 2 } } { \left( 1 - \mu \right) ^ { 2 } } \left( \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } c _ { t } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\ell : = \lambda _ { + } ^ { p } \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { \alpha _ { k } ^ { p } - \lambda _ { + } ^ { p } } { p \alpha _ { k } ^ { p } \epsilon _ { k } } = \lambda _ { - } ^ { p } \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { \beta _ { k } ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } } { p \beta _ { k } ^ { p } \epsilon _ { k } } ,
\hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { P } _ { k , \sigma } - \mathbf { P } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { E } _ { k , \sigma } = 4 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) - \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \mathbf { D } _ { k , \sigma } + \mathbf { D } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } \right) \, .
N ( x , y , a , b , d ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d - 2 } a b } \sum _ { n , n ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } \int d ^ { d - 2 } p \frac { \left( \cos ( \frac { 2 n \pi x } { a } ) \cos ( \frac { 2 n ^ { \prime } \pi y } { b } ) \right) } { \left( \vec { p } ^ { \, 2 } + ( \frac { n \pi } { a } ) ^ { 2 } + ( \frac { n ^ { \prime } \pi } { b } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } \right) } .
\begin{array} { r } { \dot { p } = - { \partial _ { x } } \mathcal { H } ( x , p ) = - \lambda \left[ { m { x ^ { m - 1 } } - ( m + 1 ) { x ^ { m } } } \right] \left( { { e ^ { p } } - 1 } \right) - { e ^ { - p } } + 1 } \end{array}
P ( Q _ { \alpha } ) = \left[ \frac { \beta } { 1 - \mathrm { e } ^ { - \beta } } \right] \mathrm { e } ^ { - \beta Q _ { \alpha } } \quad \left( P ( > Q _ { \alpha } ) = \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { - \beta x } } { 1 - \mathrm { e } ^ { - \beta } } \right) ,
\begin{array} { r l } { 4 E [ u ^ { 0 } ] } & { \ge 2 \| ( 1 + \Delta _ { h } ) u ^ { n } \| ^ { 2 } + 2 \| u ^ { n } \| ^ { 2 } - \frac { 9 } { 7 } ( 1 + \epsilon + \mathrm { g } ^ { 2 } ) ^ { 2 } | \Omega _ { h } | } \\ & { \ge \big ( \| ( 1 + \Delta _ { h } ) u ^ { n } \| + \| u ^ { n } \| \big ) ^ { 2 } - \frac { 9 } { 7 } ( 1 + \epsilon + \mathrm { g } ^ { 2 } ) ^ { 2 } | \Omega _ { h } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { \vartheta ^ { 2 } } - 1 \right) , \quad \gamma _ { 3 } = \frac { 1 } { 6 \vartheta ^ { 3 } n ^ { 2 } } \left[ \mathbb { E } \ell _ { 1 } ^ { 3 } + 6 \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } \right] , \quad \gamma _ { 4 } = \frac { 1 } { 4 \vartheta ^ { 2 } } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { \vartheta ^ { 2 } } - 1 \right) \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sigma _ { q } ^ { 2 } } \\ { \gamma _ { 5 } } & { = \frac { 1 } { 1 2 n ^ { 2 } \vartheta ^ { 5 } } \left[ \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbb { E } \ell _ { 1 } ^ { 3 } ) \sigma _ { q } ^ { 2 } + 6 \vartheta ^ { 2 } \left( \frac { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } { \vartheta ^ { 2 } n } - 1 \right) \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } \right] } \\ { \gamma _ { 6 } } & { = \frac { 1 } { 6 \vartheta ^ { 6 } n ^ { 4 } } \left[ ( \mathbb { E } \ell _ { 1 } ^ { 3 } ) \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } + 1 2 \binom { n } { 2 } ^ { - 2 } \binom { n } { 4 } \left[ \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } \right] ^ { 2 } \right] , \quad \gamma _ { 7 } = 0 , } \\ { \gamma _ { 8 } } & { = \frac { 1 } { 4 \vartheta ^ { 6 } n ^ { 4 } } \left( \frac { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } { \vartheta ^ { 2 } n } - 1 \right) \binom { n } { 2 } ^ { - 2 } \binom { n } { 4 } \left[ \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } \right] ^ { 2 } , \quad \gamma _ { 9 } = \frac { 1 } { 1 2 \vartheta ^ { 9 } n ^ { 6 } } \binom { n } { 2 } ^ { - 2 } \binom { n } { 4 } \mathbb { E } \ell _ { 1 } ^ { 3 } \left[ \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } \right] ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \hat { a } _ { \mathrm { i n ~ } } ( t ) \hat { a } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle = } & { \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) , } \\ { \left\langle \hat { a } _ { \mathrm { i n ~ } } ( t ) \hat { a } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle = } & { \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) , } \\ { \left\langle \hat { a } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( t ) \hat { a } _ { \mathrm { i n } } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle = } & { 0 , } \\ { \left\langle \hat { o } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( t ) \hat { o } _ { \mathrm { i n } } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle = } & { n _ { \mathrm { t h } } \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) , } \\ { \left\langle \hat { o } _ { \mathrm { i n } } ( t ) \hat { o } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle = } & { \left( n _ { \mathrm { t h } } + 1 \right) \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) , } \end{array}
i \hbar \Dot { \rho } = [ H , \rho ] - \left[ \begin{array} { l l l } { \Gamma _ { 1 1 } \rho _ { 1 1 } } & { \Gamma _ { 1 2 } \rho _ { 1 2 } } & { \Gamma _ { 1 3 } \rho _ { 1 3 } } \\ { \Gamma _ { 2 1 } \rho _ { 2 1 } } & { \Gamma _ { 2 2 } \rho _ { 2 2 } } & { \Gamma _ { 2 3 } \rho _ { 2 3 } } \\ { \Gamma _ { 3 1 } \rho _ { 3 1 } } & { \Gamma _ { 3 2 } \rho _ { 3 2 } } & { \Gamma _ { 3 3 } \rho _ { 3 3 } } \end{array} \right]
H _ { r } = \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } H _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \left( P _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } Q _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { 2 } \right) \; \; \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \; \omega _ { k } = c k
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + \mathrm { d i v } ( \rho \boldsymbol { u } ) } & { { } = 0 \ , } \\ { \partial _ { t } ( \rho \boldsymbol { u } ) + \mathrm { d i v } ( \rho \boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { u } ) } & { { } = - \nabla P ( \rho ) + \rho \boldsymbol { g } \ , } \\ { P } & { { } = P ( \rho ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \xi \in \mathbb { R } } | \mathfrak { b } _ { 1 } ( \xi ) | \langle \xi \rangle ^ { - ( \alpha - 3 ) } \le \operatorname* { s u p } _ { \xi \in \mathbb { R } } \langle \xi \rangle ^ { 1 - \alpha } \rVert f \rVert _ { W ^ { 2 , \infty } ( \mathbb { T } ) } \le \rVert f \rVert _ { H ^ { 3 } ( \mathbb { T } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) ^ { T } ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } ^ { n } ) } \\ { + } & { \tau ^ { n + 1 } D ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) ^ { T } M ^ { - 1 } B \pmb { M } ^ { - 1 } C _ { d } ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) \pmb { M } ^ { - 1 } B ^ { T } M ^ { - 1 } D ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) \leqslant 0 . } \end{array}
\bar { T } ^ { \nabla ^ { \mathtt { A } } } = - ( 3 \, y + 1 ) \, \frac { 8 \, x ^ { 2 } - 1 8 \, ( t + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \big ( 4 \, x ^ { 2 } + 9 \, ( t + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } \big ) ^ { 2 } } \ \mathrm { d } x \wedge \mathrm { d } y \ .
\begin{array} { r l } { | t _ { n , 1 } | = \sqrt { n } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { k ^ { - 1 - ( \beta + \mu ) } } { 1 + n { \alpha _ { n } } k ^ { - 1 - 2 \gamma } } } & { \asymp \frac { \sqrt { n } } { n { \alpha _ { n } } } \sum _ { k = 1 } ^ { k ^ { * } } \frac { k ^ { - 1 - ( \beta + \mu ) } } { k ^ { - 1 - 2 \gamma } } + \sqrt { n } \sum _ { k = { k ^ { * } } + 1 } ^ { \infty } k ^ { - 1 - ( \beta + \mu ) } } \\ & { \asymp \frac { 1 } { \sqrt { n } \alpha _ { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { k ^ { * } } k ^ { - ( \beta + \mu - 2 \gamma ) } + \sqrt { n } ( n \alpha _ { n } ) ^ { - \frac { \beta + \mu } { 1 + 2 \gamma } } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { z } } = { \frac { \bar { z } } { z { \bar { z } } } } = { \frac { \bar { z } } { \| z \| ^ { 2 } } } = { \frac { a - b i } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = { \frac { a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } - { \frac { b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } i .
( { \bf 5 } , { \bf \overline { { 5 } } } , { \bf 1 } ) \oplus ( { \bf 1 } , { \bf 5 } , { \bf 2 } ) \oplus ( { \bf \overline { { 5 } } } , { \bf 1 } , { \bf 2 } ) \oplus ( { \bf 1 0 } , { \bf 1 } , { \bf 1 } ) \oplus ( { \bf 1 } , { \bf \overline { { 1 0 } } } , { \bf 1 } ) \quad \longrightarrow \quad ( { \bf 4 5 } , { \bf 1 } ) \oplus ( { \bf \overline { { 1 0 } } } , { \bf 2 } )
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l l l } { 0 ^ { 1 \times k } } & { 1 } & { 0 ^ { 1 \times ( N - k - 1 ) } } \end{array} \right) \otimes T ^ { \mathcal { U } } } \\ { \left( \begin{array} { l l l } { 0 ^ { 1 \times k } } & { 1 } & { 0 ^ { 1 \times ( N - k - 1 ) } } \end{array} \right) \otimes T ^ { \mathcal { U } } \Omega } \end{array} \right) U \leq 1 } \end{array}
\operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { T } ^ { \theta / 2 } \left( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \right) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } \geq \log \rho .
\begin{array} { r l } { G _ { n _ { \perp } n _ { \perp } } ^ { R } } & { = \chi \left( \frac { i \omega \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } - 1 \right) , } \\ { G _ { n _ { \perp } j _ { \| } } ^ { R } } & { = \omega k \frac { \sigma ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } ) - ( 1 + \tau ) \chi v _ { \perp } ^ { 2 } } { { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } } , } \\ { G _ { j _ { \| } j _ { \| } } ^ { R } } & { = - i \omega \frac { ( i \omega - \Gamma ) \left( \sigma ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } ) - ( 1 + \tau ) ^ { 2 } \chi v _ { \perp } ^ { 2 } \right) + \tau ^ { 2 } \sigma v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } } \\ & { \qquad - \chi \omega _ { 0 } ^ { 2 } \frac { i \omega D _ { n } + ( 1 + \tau ) ^ { 2 } \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \tilde { D } _ { n } - ( 1 + \tau ) ^ { 2 } v _ { \perp } ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } ~ . } \end{array}
1 0 ^ { 3 } \ln ( \alpha _ { \mathrm { s i l i c a t e - H _ { 2 } } } ) = \frac { 4 . 5 \times 1 0 ^ { 8 } } { T _ { \mathrm { s u r f a c e } } ^ { 2 } } - \frac { 3 . 2 6 1 \times 1 0 ^ { 8 } } { T _ { \mathrm { s u r f a c e } } ^ { 2 } } .
\textbf { C P } \! _ { A } : \left( F _ { C P _ { A } } , \Delta _ { C P _ { A } } \right) = \left( \frac { 8 } { 3 \sqrt { 3 } } ( B + 1 ) , \quad \frac { B + 1 } { B - 1 } \sqrt { 3 } \right) .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { ( \mathcal { A } ( \boldsymbol { v } _ { 1 } + \boldsymbol { v } _ { 2 } , \boldsymbol { q } _ { 1 } + \boldsymbol { q } _ { 2 } ) ) ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { q } ) } } \\ & { } & { = a ( \boldsymbol { q } _ { 1 } + \boldsymbol { q } _ { 2 } , \boldsymbol { q } ) - b ( \boldsymbol { v } _ { 1 } + \boldsymbol { v } _ { 2 } , \boldsymbol { q } ) + d ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { q } _ { 1 } + \boldsymbol { q } _ { 2 } ) + c ( \boldsymbol { v } _ { 1 } + \boldsymbol { v } _ { 2 } , \boldsymbol { v } ) } \\ & { } & { = a ( \boldsymbol { q } _ { 1 } , \boldsymbol { q } ) - b ( \boldsymbol { v } _ { 1 } , \boldsymbol { q } ) + d ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { q } _ { 1 } ) + c ( \boldsymbol { v } _ { 1 } , \boldsymbol { v } ) } \\ & { } & { \quad + a ( \boldsymbol { q } _ { 2 } , \boldsymbol { q } ) - b ( \boldsymbol { v } _ { 2 } , \boldsymbol { q } ) + d ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { q } _ { 2 } ) + c ( \boldsymbol { v } _ { 2 } , \boldsymbol { v } ) } \\ & { } & { = ( \mathcal { A } ( \boldsymbol { v } _ { 1 } , \boldsymbol { q } _ { 1 } ) ) ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { q } ) + ( \mathcal { A } ( \boldsymbol { v } _ { 2 } , \boldsymbol { q } _ { 2 } ) ) ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { q } ) . } \end{array}
{ \cal C } _ { t } ^ { \scriptscriptstyle R } \! \equiv \! \{ ( \rho ^ { \prime } \! , \varphi ^ { \prime } \! , z ^ { \prime } ) \: \: | \: \: 0 \! \le \! \rho ^ { \prime } \! + \! c t \! - \! \xi _ { p } \! - \! z ^ { \prime } \! \le \! R \}
\begin{array} { r l } { G ( \phi _ { k , l } , r _ { k , l } , { m } ) } & { = \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \left| \frac { 1 - e ^ { - \mathrm { j } 2 \pi N ( f _ { m } \kappa _ { m } - f _ { c } \kappa ) } } { 1 - e ^ { - \mathrm { j } 2 \pi ( f _ { m } \kappa _ { m } - f _ { c } \kappa ) } } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \left| \frac { \sin ( \pi N ( f _ { m } \kappa _ { m } - f _ { c } \kappa ) ) } { \sin ( \pi ( f _ { m } \kappa _ { m } - f _ { c } \kappa ) ) } \right| ^ { 2 } } \\ & { = | \Sigma ( f _ { m } \kappa _ { m } - f _ { c } \kappa ) | ^ { 2 } , } \end{array}
P ^ { y ^ { \prime } } ~ T ^ { a } ~ ( P ^ { y ^ { \prime } } ) ^ { - 1 } = T ^ { a } ~ , ~ P ^ { y ^ { \prime } } ~ T ^ { \hat { a } } ~ ( P ^ { y ^ { \prime } } ) ^ { - 1 } = - T ^ { \hat { a } } ~ , ~ \,
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf B } } & { = } & { \frac { 1 } { v } \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 \epsilon V } } \left( ( \hat { a } _ { \mathrm { H } } \mathrm { e } ^ { i \beta } + \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf y } - ( \hat { a } _ { \mathrm { V } } \mathrm { e } ^ { i \beta } + \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf x } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } | | f _ { 0 } ( z ( t ) ) | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } = \langle \partial _ { t } z ( t ) , - f _ { 0 } ( z ( t ) ) \rangle _ { L ^ { 2 } ( U ) } = } \\ & { = \chi _ { \{ z ( t ) < 0 \} } \left( - 2 \epsilon | | \nabla z ( t ) | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } - \int _ { U } \phi ^ { \prime } ( z ( t ) ) \phi ( z ( t ) ) z ( t ) | \nabla u ( t ) | ^ { 2 } + \int _ { U } \frac { 1 - z ( t ) } { 2 \epsilon } z ( t ) \right) \leq 0 . } \end{array}