harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \bullet } & { \quad \Big ( \frac { | \alpha ^ { \prime } | } { \alpha } + | \beta _ { x } | \Big ) \int _ { 0 } ^ { 1 } | u - \alpha | \mathrm { d } x \le C \big ( | \alpha ^ { \prime } | + | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | \big ) \big [ E ( u , \alpha ) + 1 \big ] , } \\ { \bullet } & { \quad \varepsilon | \beta _ { x } | \, \| \beta - v \| ^ { 2 } \le \varepsilon | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | \, \| \beta - v \| ^ { 2 } , } \\ { \bullet } & { \quad \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( 2 \varepsilon | \beta \beta _ { x } | + | \beta _ { t } | \big ) | v - \beta | \mathrm { d } x \le C \big ( \varepsilon | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | + | \beta _ { 1 } ^ { \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime } | \big ) \big ( \| v - \beta \| ^ { 2 } + 1 \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) \overset { ( a ) } { \leq } I ( M _ { 1 } , M _ { 2 } ; Y _ { 1 } ^ { n } | S _ { 1 } ^ { n } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( H ( Y _ { 1 , i } | S _ { 1 , i } ) - H ( Y _ { 1 , i } | M _ { 1 } , M _ { 2 } , Y _ { 1 } ^ { i - 1 } , S _ { 1 } ^ { i } , Y _ { 2 } ^ { i - 1 } , S _ { 2 } ^ { i - 1 } ) + \epsilon _ { n } \big ) } \\ & { \overset { ( c ) } { = } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( I ( V _ { i } ; Y _ { 1 , i } | S _ { 1 , i } ) + \epsilon _ { n } ) } \end{array}
e ^ { \mp i m \frac { t _ { 0 } ( z ) } { T _ { 0 } } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \delta ( \sigma ) e ^ { - i m \frac { \pi \sigma } { T _ { 0 } } } d \sigma = 2 T _ { 0 } \Phi _ { m } ^ { \pm } ,
v _ { k } ^ { \prime \prime } + \left( k ^ { 2 } - \frac { a ^ { \prime \prime } } { a } \right) v _ { k } = 0 \; \; , \; \; \frac { a ^ { \prime \prime } } { a } = \frac { \gamma ^ { 2 } } { \left( 1 + \gamma ^ { 2 } \, \eta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \, \, .
\varkappa = \int \frac { d \omega d ^ { 2 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left( \frac { 4 \pi e ^ { 2 } } { \epsilon \rho q } \right) e ^ { - q d } \frac { \omega _ { \nu } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } ( \omega _ { + } ^ { 2 } - \omega _ { - } ^ { 2 } ) ( n q ) ^ { 2 } } { | \Gamma _ { + } | ^ { 2 } | \Gamma _ { - } | ^ { 2 } } .
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } } ^ { ( 2 ) } = \big ( \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } , \mathrm { ~ L ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } , \mathrm { ~ R ~ } } ^ { ( 2 ) } \big ) / 2
\begin{array} { r l } & { \| \nabla F ( x ) - \nabla _ { x } \mathcal { L } _ { \lambda } ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) \| } \\ & { \qquad \le 2 ( l _ { g , 1 } / \mu _ { g } ) \| y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) - y ^ { * } ( x ) \| \left( l _ { f , 1 } + \lambda \cdot \operatorname* { m i n } ( 2 l _ { g , 1 } , l _ { g , 2 } \| y ^ { * } ( x ) - y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) \| ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta } & { = \frac { 8 1 a ^ { 4 } \beta ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \psi ) \left( \alpha \beta + \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { 1 6 \gamma ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } d ^ { 2 } l ^ { 2 } \left( \alpha ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) \left( \beta ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) \left[ \left( \beta ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } \right) \cos ( \psi ) + \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } + 2 \omega ^ { 2 } \right] } \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 + O ( \epsilon ) \right] . } \end{array}
\left[ { \frac { \partial f } { \partial \left( \nabla ^ { ( i ) } \rho \right) } } \right] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \cdots \alpha _ { i } } = { \frac { \partial f } { \partial \rho _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \cdots \alpha _ { i } } } } \qquad \qquad { \mathrm { w h e r e } } \quad \rho _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \cdots \alpha _ { i } } \equiv { \frac { \partial ^ { \, i } \rho } { \partial r _ { \alpha _ { 1 } } \, \partial r _ { \alpha _ { 2 } } \cdots \partial r _ { \alpha _ { i } } } } \ ,
\begin{array} { r l } { \left\langle { G _ { 1 } \Im G _ { 2 } A } \right\rangle } & { = m _ { 1 } \left\langle { \Im G _ { 2 } A } \right\rangle - m _ { 1 } \left\langle { \underline { { W G _ { 1 } \Im G _ { 2 } A } } } \right\rangle } \\ & { + m _ { 1 } \frac { 1 } { N } \sum _ { \mu = 1 } ^ { N } \left\langle { G _ { 1 } \Im G _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } } \right\rangle \left\langle { G _ { 2 } ^ { * } A N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle + m _ { 1 } \left\langle { G _ { 1 } \Im G _ { 2 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 2 } ^ { * } A } \right\rangle } \\ & { + m _ { 1 } \frac { 1 } { N } \sum _ { \mu = 1 } ^ { N } \left\langle { G _ { 1 } G _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } } \right\rangle \left\langle { \Im G _ { 2 } A N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle + m _ { 1 } \left\langle { G _ { 1 } G _ { 2 } } \right\rangle \left\langle { \Im G _ { 2 } A } \right\rangle } \\ & { + m _ { 1 } \frac { 1 } { N } \sum _ { \mu = 1 } ^ { N } \left\langle { G _ { 1 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } \Im G _ { 2 } A N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle + m _ { 1 } \left\langle { G _ { 1 } - m _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } \Im G _ { 2 } A } \right\rangle } \end{array}
\big | ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m } ^ { \omega } \frac { { m ^ { \prime } } \omega } { m } \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega } - ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } { \omega ^ { \prime } } \widetilde { f } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | \leq \big | { \frac { { m ^ { \prime } } \omega } { m } } \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega } \big | \big | ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m } ^ { \omega } - ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | + \big | ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | \big | { \frac { { m ^ { \prime } } \omega } { m } } \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega } - { \omega ^ { \prime } } \widetilde { f } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | ,
\begin{array} { r l r } { E ( t ) } & { { } = } & { E _ { 0 } \Big ( e ^ { - t ^ { 2 } / \tau _ { p } ^ { 2 } } - \kappa ( t - \tau _ { p } ) \ e ^ { - ( t - \tau _ { p } ) ^ { 2 } / \tau _ { 1 } ^ { 2 } } \ \Theta [ t - \tau _ { p } ] \Big ) , } \end{array}
. W e o b s e r v e d t h a t t h e r e c o u l d b e f i v e d i f f e r e n t b i f u r c a t i o n d i a g r a m s w i t h v a r i o u s k i n d s o f c o m b i n a t i o n s o f p a r a m e t e r s . T h e f i r s t c a t e g o r y i s \textbf { N o r m a l } , r e f e r r i n g t o t h e n o r m a l c o m p e t i t i v e b e h a v i o r o n t h e i n c r e a s i n g a n d d e c r e a s i n g o n n u m b e r s a b o u t s p e c i e s b e t w e e n t h e p r e y a n d t h e p r e d a t o r . T h e s e c o n d c a t e g o r y i s \textbf { S t a n d a r d } , r e f e r r i n g t o t h e s t a n d a r d b i f u r c a t i o n d i a g r a m a s s h o w n i n t h e w e l l - k n o w n 1 D l o g i s t i c e q u a t i o n i n t h e p r e y a t t h e a b s e n c e o f t h e p r e d a t o r . T h e t h i r d c a t e g o r y i s n a m e d a s \textbf { P a r a c l e t e } , r e f e r r i n g t o o v e r l a p p i n g s t r u c t u r e i n t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m o f t h e p r e y . T h e f o u r t h c a t e g o r y i s \textbf { E x t i n c t i o n } , c o n n o t i n g t o e x t i n c t i o n o f t h e p r e d a t o r w h e n t h e p r e y b e c o m e s c h a o t i c . T h e l a s t c a t e g o r y i s \textbf { V o r t i c e l l a S t r a n g e } , m e a n i n g t h a t t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m r e s e m b l e s t h e s h a p e o f a v o r t i c e l l a b u t w i t h m o r e c o m p l e x i n n e r s t r u c t u r e s b e f o r e t h e t w o s p e c i e s b e c o m e c h a o t i c a t t h e s a m e t i m e . C a t e g o r i e s a n d p a r a m e t e r s w e r e s u m m a r i z e d i n T a b l e
\begin{array} { r l r l r } { q ( E , V , E _ { a } , V _ { a } ) } & { = q \big ( T ( E , V ) , p ( E , V ) , T _ { 0 } , p _ { 0 } \big ) , } & { \mathrm { a n d } } & { \quad q \big ( T _ { 0 } , p _ { 0 } , T _ { 0 } , P _ { 0 } \big ) } & { = 0 , } \\ { f ( E , V , E _ { a } , V _ { a } ) } & { = f \big ( T ( E , V ) , p ( E , V ) , T _ { 0 } , p _ { 0 } \big ) , } & { \mathrm { a n d } } & { \quad f \big ( T _ { 0 } , p _ { 0 } , T _ { 0 } , P _ { 0 } \big ) \! } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { t o t . D } } ^ { 2 } } & { = ( 2 \mathcal { E } _ { \mathrm { D } } ) ^ { 2 } = 4 \mathcal { E } _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } , } \\ { p _ { \mathrm { t o t . D } } ^ { 2 } } & { = \Big ( 2 \frac { p _ { \mathrm { D } } } { \sqrt 2 } \Big ) ^ { 2 } = 2 p _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } , } \\ { { M _ { \mathrm { D } } ^ { * } } ^ { 2 } } & { = \mathcal { E } _ { \mathrm { t o t . D } } ^ { 2 } - p _ { \mathrm { t o t . D } } ^ { 2 } } \\ & { = 4 \mathcal { E } _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } - 2 p _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } } \\ & { = 2 \mathcal { E } _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } + 2 m ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( x , u _ { y } ^ { * } ) } & { = \frac { F _ { A } ( x ) - F _ { A } ( u _ { y } ^ { * } ) } { \rho ( x , u _ { y } ^ { * } ) ^ { \beta } } \geq \frac { F _ { A } ( x ) - F _ { A } ( y ) + F _ { A } ( y ) - F _ { A } ( u _ { y } ^ { * } ) } { \rho ( x , y ) ^ { \beta } + \rho ( u _ { y } ^ { * } , y ) ^ { \beta } } } \\ & { \geq \operatorname* { m i n } \{ S ( x , y ) , S ( y , u _ { y } ^ { * } ) \} = S ( x , y ) > \Lambda _ { F _ { A } } ^ { \beta } ( x , A ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \omega _ { q | p _ { Z } ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ^ { ( \mu , \alpha ) } ( { z } , k _ { 1 } , k _ { 2 } | u ) } \\ & { : = \bar { \alpha } \log \frac { q _ { { Z } } ( { z } ) } { p _ { { Z } } ( { z } ) } + \alpha \left[ { \mu } \log \frac { q _ { { Z } | U } ( { z } | u ) } { p _ { { Z } } ( { z } ) } \right. } \\ & { \quad \left. + \bar { \mu } \log \frac { 1 } { \zeta _ { q _ { K _ { 1 } K _ { 2 } | U ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } | u ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } , a ^ { \mu } \geq \frac { 1 } { \delta } \} } \frac { a ^ { \mu } \operatorname* { m a x } \{ v ^ { \sigma } , L \delta \} } { 1 + \delta a ^ { \mu } } a v ^ { - | l | } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } , a ^ { \mu } < \frac { 1 } { \delta } \} } \frac { a ^ { \mu } \operatorname* { m a x } \{ v ^ { \sigma } , L \delta \} } { 1 + \delta a ^ { \mu } } a v ^ { - | l | } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta } \\ & { \leq - \frac { 1 } { 4 \delta } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } , a ^ { \mu } \geq \frac { 1 } { \delta } \} } \operatorname* { m a x } \{ v ^ { \sigma } , L \delta \} a v ^ { - | l | } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a - \frac { 1 } { 4 } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } , a ^ { \mu } < \frac { 1 } { \delta } \} } a ^ { \mu + 1 } v ^ { \sigma - | l | } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a } \\ & { \leq - \frac { L } { 4 } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } , a ^ { \mu } \geq \frac { 1 } { \delta } \} } a v ^ { - | l | } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a - \frac { 1 } { 4 } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } , a ^ { \mu } < \frac { 1 } { \delta } \} } a ^ { \mu + 1 } v ^ { \sigma - | l | } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a . } \end{array}
W _ { j } ( \mathbf { \tilde { p } } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t _ { r } ^ { \prime } , t _ { s } ^ { \prime } ) = e ^ { - 2 \Im S _ { j } ( \mathbf { \tilde { p } } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t _ { r } ^ { \prime } , t _ { s } ^ { \prime } ) } ,
\left\{ \begin{array} { r c l } { { w } } & { { = } } & { { \cos { \xi } \eta + R _ { 2 } \sin { \xi } \psi \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { y } } & { { = } } & { { - \sin { \xi } \eta + R _ { 2 } \cos { \xi } \psi \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int e ^ { t f _ { l k } } d \Pi _ { \alpha _ { n } } ( f | Y ^ { n } ) } & { = \frac { \int e ^ { t u } e ^ { - \frac { n \alpha _ { n } } { 2 } ( u - Y _ { l k } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sigma _ { l } } \varphi ( \frac { u } { \sigma _ { l } } ) d u } { \int e ^ { - \frac { n \alpha _ { n } } { 2 } ( u - Y _ { l k } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sigma _ { l } } \varphi ( \frac { u } { \sigma _ { l } } ) d u } } \\ & { = \frac { \int e ^ { t ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) } e ^ { - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } + u \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } } \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } \sigma _ { l } } \varphi ( \frac { 1 } { \sigma _ { l } } ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) ) d u } { \int e ^ { - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } + u \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } } \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } \sigma _ { l } } \varphi ( \frac { 1 } { \sigma _ { l } } ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) ) d u } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ^ { \mathrm { E O B D } } } & { \approx \mathrm { E } _ { 0 } \mathcal { U } _ { n } e ^ { \mathrm { i } \omega t } + \mathrm { i } \frac { m _ { \alpha } } { 2 \Theta _ { m } } \mathrm { E } _ { 0 } \bigg ( \sqrt { n + 1 } \mathcal { U } _ { n + 1 } e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } } \\ & { + \sqrt { n } \mathcal { U } _ { n - 1 } e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } \bigg ) \Big ( e ^ { \mathrm { i } \left( \omega + \Omega \right) t } + e ^ { \mathrm { i } \left( \omega - \Omega \right) t } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \Lambda _ { \beta } } & { \to \Lambda _ { \beta } - \pounds _ { \beta } \mathrm { d } \lambda , \qquad } & { \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } } & { \to \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } - \pounds _ { \beta } \lambda , } \\ { \phi } & { \to \phi - c _ { \phi } \, \mathrm { d } \lambda , \qquad } & { \phi _ { \ell } } & { \to \phi _ { \ell } - c _ { \phi } \lambda . } \end{array}
\psi _ { ( 0 , 0 , 1 ) } ^ { \Omega } = - \Omega \sin \theta = - \Omega z = - \Omega \frac { ( \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } - 1 ) } { ( \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } + 1 ) } = - \Omega \frac { ( \zeta \bar { \zeta } - 1 ) } { ( \zeta \bar { \zeta } + 1 ) } = \Omega h - \Omega .
\begin{array} { r l } { \texttt { S u m ( I ) } } & { : \sum _ { t ^ { \prime } , t ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { T } \phi _ { k } ^ { \mid t ^ { \prime } - t ^ { \prime \prime } \mid } \phi _ { j } ^ { \mid t ^ { \prime } - t ^ { \prime \prime } \mid } = T + \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } ( \phi _ { k } \phi _ { j } ) ^ { t } 2 ( T - t ) } \\ & { = \frac { T - T ( \phi _ { k } \phi _ { j } ) ^ { 2 } + 2 ( \phi _ { k } \phi _ { j } ) ( \phi _ { k } ^ { T } \phi _ { j } ^ { T } - 1 ) } { ( - 1 + \phi _ { k } \phi _ { j } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { A D } ( t ) } & { = \prod _ { n = 1 } ^ { N } U _ { A D } ^ { \lambda _ { n } } ~ \rho _ { 1 } ~ { ( U _ { A D } ^ { \lambda _ { n } } ) } ^ { \dagger } , ~ ~ \mathrm { o r } , } \\ { \rho ^ { C D } ( t ) } & { = \prod _ { n = 1 } ^ { N } U _ { C D } ^ { \lambda _ { n } } ~ \rho _ { 1 } ~ { ( U _ { C D } ^ { \lambda _ { n } } ) } ^ { \dagger } . } \end{array}
p _ { \nu } ^ { \prime } T _ { \mu \nu } ^ { S \rightarrow A A } = 2 m i [ T _ { \mu } ^ { S \rightarrow A P } ] - 4 m ( k _ { 3 } + k _ { 2 } ) _ { \alpha } \triangle _ { \alpha \mu } - 4 m ( l _ { 3 } + l _ { 2 } ) _ { \alpha } \triangle _ { \alpha \mu } ,
i \frac { \partial } { \partial R } \psi ( r , R ) = - \frac { 1 } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } \psi ( r , R ) + \frac { \lambda } { m r _ { \mathrm { b } } } \delta ( r ) \psi ( r , R ) \: .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { D } _ { \Omega \beta } ( N \omega ) = } & { } & { e ^ { \mathrm { i } N \omega t _ { r } ^ { \prime } } a _ { \mathrm { r e c } } \, \mathbf { d } ( \mathrm { U } _ { \Omega \beta } \mathrm { R e } [ \mathbf { k } ( t _ { r } ^ { \prime } ) ] ) a _ { \mathrm { p r o p } } \, } \\ & { } & { e ^ { - \mathrm { i } S ( \mathbf { p } _ { s } , t _ { i } , t _ { r } ) } \, a _ { \mathrm { i o n } } \, \Psi _ { D } ( \mathrm { U } _ { \Omega \beta } \mathrm { R e } [ \mathbf { k } ( t _ { i } ^ { \prime } ) ] ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { \Psi } } & { = \left\langle \mathbf { e } \mathbf { e } ^ { \dagger } \right\rangle } \\ & { = \left\langle { \left[ \begin{array} { l l } { e _ { 1 } e _ { 1 } ^ { * } } & { e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { * } } \\ { e _ { 2 } e _ { 1 } ^ { * } } & { e _ { 2 } e _ { 2 } ^ { * } } \end{array} \right] } \right\rangle } \\ & { = \left\langle { \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } ^ { 2 } } & { a _ { 1 } a _ { 2 } e ^ { i \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) } } \\ { a _ { 1 } a _ { 2 } e ^ { - i \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) } } & { a _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] } \right\rangle } \end{array} }
i \sigma _ { 1 } ( L _ { 2 1 } ) = r ^ { - 1 } \sigma \frac { \mathbf { Q } _ { 0 } } { 2 r \alpha } \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\mathbf { K } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { C } _ { 1 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { C } _ { 2 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { C } _ { 3 } } \end{array} \right] , \; \; \; \widetilde { \mathbf { K } } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l } { \widetilde { \mathbf { C } } _ { 1 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \widetilde { \mathbf { C } } _ { 2 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \widetilde { \mathbf { C } } _ { 3 } } \end{array} \right] ,
H ( t , \tau ) = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { \left( \frac { \tau } { \sqrt { s } } - 1 \right) \frac { \tau } { \sqrt { s } } \left( \frac { \tau } { \sqrt { s } } + 1 \right) } { \frac { t } { \sqrt { s } } \left( \frac { t } { \sqrt { s } } + 1 \right) \left( \frac { t } { \sqrt { s } } + 2 \right) } = \frac { \tau ^ { 3 } } { t ^ { 3 } } .
\| \mathbf { a } \| \leq \left\| \mathbf { a } - { \tilde { \mathbf { x } } } _ { k _ { j } } \right\| + \left\| { \tilde { \mathbf { x } } } _ { k _ { j } } \right\| \leq \beta \cdot \left\| \mathbf { a } - { \tilde { \mathbf { x } } } _ { k _ { j } } \right\| _ { 2 } + { \frac { \| \mathbf { x } _ { k _ { j } } \| } { \| \mathbf { x } _ { k _ { j } } \| _ { 2 } } } \ { \overset { j \to \infty } { \longrightarrow } } \ 0 ,
\begin{array} { r } { v _ { t } ^ { ( 0 ) } - \bar { \nu } \left[ \frac { 1 } { \bar { r } } \left( \bar { r } v _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } \right) _ { \bar { r } } - \frac { v ^ { ( 0 ) } } { \bar { r } ^ { 2 } } \right] = - \zeta ^ { ( 0 ) } \left< u ^ { ( 2 ) } \right> - \frac { 1 } { \bar { r } } \left< u ^ { ( 1 ) } \left( \bar { r } v ^ { ( 1 ) } \right) _ { \bar { r } } \right> } \\ { - \frac { w ^ { ( 0 ) } } { \sigma ^ { ( 0 ) } } \left< v _ { s } ^ { ( 1 ) } \right> + 2 \kappa ^ { ( 0 ) } w ^ { ( 0 ) } \left< w ^ { ( 1 ) } \sin \varphi ^ { ( 0 ) } \right> \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \{ \mathbf { 1 } , [ \mathbf { 1 } , \phi _ { 1 3 } ] , \Phi _ { 1 3 } , \Phi _ { 1 3 } \} } & & { \mathrm { i n ~ t h e ~ c h a n n e l ~ } \eta \to 1 \, , } \\ & { \{ \sigma _ { h } , L _ { - 1 / 2 } ^ { ( 1 ) } \cdot \sigma _ { h } , \sigma _ { h ^ { \prime } } , \sigma _ { h ^ { \prime \prime } } \} } & & { \mathrm { i n ~ t h e ~ c h a n n e l s ~ } \eta \to 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \eta \to \infty \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { E \mathrm { g c } } } & { { } = } & { \left( \frac { q } { c } \, \Psi \, \nabla \Theta \; + \; m \, { \bf u } \right) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \dot { \bf X } + J \, \left( \dot { \zeta } - \mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ R ~ } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \dot { \bf X } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { + } ^ { ( m ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) } } & { : = \langle v \rangle ^ { m ^ { \prime } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s ^ { \prime } } F _ { + } , } \\ { F _ { - } ^ { ( m ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) } } & { : = \langle \xi \rangle ^ { m ^ { \prime } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s ^ { \prime } } F _ { - } . } \end{array}
[ I _ { m n } ] = \frac { 1 } { 2 f _ { m } ^ { + } f _ { m } ^ { - } } \left[ \begin{array} { l l } { f _ { n } ^ { + } g _ { m } ^ { - } + f _ { m } ^ { - } g _ { n } ^ { + } } & { - f _ { n } ^ { - } g _ { m } ^ { - } + f _ { m } ^ { - } g _ { n } ^ { - } } \\ { - f _ { n } ^ { + } g _ { m } ^ { + } + f _ { m } ^ { + } g _ { n } ^ { + } } & { f _ { n } ^ { - } g _ { m } ^ { + } + f _ { m } ^ { + } g _ { n } ^ { - } } \end{array} \right] ,
U _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \theta } & { i \sin \theta } & { 0 } \\ { i \sin \theta } & { \cos \theta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , U _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \theta } & { 0 } & { i \sin \theta } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { i \sin \theta } & { 0 } & { \cos \theta } \end{array} \right] ,
D _ { \mathrm { K L } } ( { \mathcal { N } } _ { 0 } \| { \mathcal { N } } _ { 1 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \operatorname { t r } \left( { \boldsymbol { \Sigma } } _ { 1 } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \Sigma } } _ { 0 } \right) + \left( { \boldsymbol { \mu } } _ { 1 } - { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } \right) ^ { \mathrm { { T } } } { \boldsymbol { \Sigma } } _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \mu } } _ { 1 } - { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) - k + \ln { \frac { | { \boldsymbol { \Sigma } } _ { 1 } | } { | { \boldsymbol { \Sigma } } _ { 0 } | } } \right\} ,
\psi _ { l } = \frac { \mathrm { d } \psi _ { l } } { \mathrm { d } \varrho } = 0 , \quad \chi _ { l } = \mathrm { i } \frac { \varrho } { 2 } \delta _ { 1 , l } \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad \varrho = \eta \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad 1 .
{ \begin{array} { r l } { { \vec { c } } ( t ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } { \binom { 2 } { i } } t ^ { i } ( 1 - t ) ^ { 2 - i } { \vec { p } } _ { i } } \\ & { = ( 1 - t ) ^ { 2 } { \vec { p } } _ { 0 } + 2 t ( 1 - t ) { \vec { p } } _ { 1 } + t ^ { 2 } { \vec { p } } _ { 2 } } \\ & { = \left( { \vec { p } } _ { 0 } - 2 { \vec { p } } _ { 1 } + { \vec { p } } _ { 2 } \right) t ^ { 2 } + \left( - 2 { \vec { p } } _ { 0 } + 2 { \vec { p } } _ { 1 } \right) t + { \vec { p } } _ { 0 } , \quad t \in [ 0 , 1 ] . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \eta } { 2 } ( b ( n ) + a _ { 0 } ) ^ { 2 } ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } & { = \frac { \eta ( n + 2 ) ^ { 2 } ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } { 2 } } \\ & { \leq \frac { \eta ( ( n + 1 ) ( n + 3 ) + 1 ) ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } { 2 } } \\ & { = ( P ( n + 1 ) + k ) \left( 1 - \frac { L ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) \eta } 2 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { p B \alpha } ^ { \, s } } & { { } \approx } & { \frac { m _ { p } \, n _ { p } \, \vec { u } _ { p } + m _ { B } \, n _ { B } \, \vec { u } _ { B } + m _ { \alpha } \, n _ { \alpha } \, \vec { u } _ { \alpha } } { m _ { p } \, n _ { p } + m _ { B } \, n _ { B } + m _ { \alpha } \, n _ { \alpha } } \, . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { - { \omega } } & { k _ { 1 } } & { k _ { 2 } } & { k _ { 3 } } \\ { c _ { s } ^ { 2 } k _ { 1 } } & { - { \omega } } & { 2 i { \Omega } _ { 0 } } & { 0 } \\ { c _ { s } ^ { 2 } k _ { 2 } } & { - i \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 { \Omega } _ { 0 } } } & { - { \omega } } & { 0 } \\ { c _ { s } ^ { 2 } k _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { - { \omega } } \end{array} \right) \; ,
E _ { k } ^ { p } \left( t \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } \left( \frac { 1 } { 2 } m _ { i } \left| \mathbf { u } _ { p , i } \right| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } I \left| \mathbf { \omega } _ { p , i } \right| ^ { 2 } \right) ,