harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle p i | \chi _ { m } ^ { N + 2 } \rangle = } & { { } \sum _ { c < d } \langle p i | | c d \rangle X _ { c d } ^ { N + 2 , m } + \sum _ { k < l } \langle p i | | k l \rangle Y _ { k l } ^ { N + 2 , m } } \\ { \langle p a | \chi _ { m } ^ { N - 2 } \rangle = } & { { } \sum _ { c < d } \langle p a | | c d \rangle X _ { c d } ^ { N - 2 , m } + \sum _ { k < l } \langle p a | | k l \rangle Y _ { k l } ^ { N - 2 , m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } \approx } & { 2 i ^ { n } { \bf C } \exp \{ i [ q _ { 1 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } ] \} } \\ & { ( \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) ^ { \frac { D - 2 } { 8 } } \frac { \exp [ - i \arg [ q _ { 0 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ] / 2 ] } { \sqrt { | q _ { 0 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) | } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal T } _ { 1 1 1 } } & { = } & { \Big ( { \textstyle \frac { 3 } { 5 } } C _ { 3 1 } - 6 C _ { 3 3 } \Big ) R ^ { 3 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 1 1 2 } = \Big ( { \textstyle \frac { 1 } { 5 } } S _ { 3 1 } - 6 S _ { 3 3 } \Big ) R ^ { 3 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 1 1 3 } = \Big ( - { \textstyle \frac { 1 } { 5 } } C _ { 3 0 } + 2 C _ { 3 2 } \Big ) R ^ { 3 } , } \\ { { \cal T } _ { 1 2 2 } } & { = } & { \Big ( { \textstyle \frac { 1 } { 5 } } C _ { 3 1 } + 6 C _ { 3 3 } \Big ) R ^ { 3 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 2 2 2 } = \Big ( { \textstyle \frac { 3 } { 5 } } S _ { 3 1 } + 6 S _ { 3 3 } \Big ) R ^ { 3 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 2 2 3 } = \Big ( - { \textstyle \frac { 1 } { 5 } } C _ { 3 0 } - 2 C _ { 3 2 } \Big ) R ^ { 3 } , } \\ { { \cal T } _ { 1 2 3 } } & { = } & { 2 S _ { 3 2 } R ^ { 3 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 1 3 3 } = - { \textstyle \frac { 4 } { 5 } } C _ { 3 1 } R ^ { 3 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 2 3 3 } = - { \textstyle \frac { 4 } { 5 } } S _ { 3 1 } R ^ { 3 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 3 3 3 } = { \textstyle \frac { 2 } { 5 } } C _ { 3 0 } R ^ { 3 } . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } = B _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 0 } \rho ) + \sum _ { n _ { 3 } = 0 } ^ { \infty } A _ { n _ { 3 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } \psi _ { n _ { 3 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } }
d s ^ { 2 } = g _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } = - { \cal A } ^ { 2 } { \cal N } d t ^ { 2 } + { \cal N } ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { F [ \phi _ { A } , \phi _ { I } ] } & { { } = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { \nu } \int \Bigl [ \phi _ { A } \ln \phi _ { A } + \phi _ { I } \ln \phi _ { I } + \phi _ { S } \ln \phi _ { S } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \Phi } _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \frac { \bar { \tilde { B } } ^ { 2 } } { \bar { k } ^ { 2 } } ; } \\ { \bar { \Phi } _ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( \int _ { 0 } ^ { \bar { z } } d \bar { z } ^ { \prime } \bar { \tilde { B } } ( \bar { z } ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } \frac { \bar { \omega } ^ { 2 } } { \bar { \omega } ^ { 2 } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( J _ { X } ^ { 2 } + J _ { Y } ^ { 2 } + J _ { Z } ^ { 2 } ) | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { = \hbar ^ { 2 } J ( J + 1 ) | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { J _ { Z } | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { = \hbar \kappa | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { J _ { y } | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { = \hbar m | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left( \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \hat { Y } _ { t } d t - S _ { 0 } \right) ^ { + } \right] = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \sigma S _ { 0 } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } { W } _ { t } d t + S _ { 0 } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } \left( \frac { \rho ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \rho x \right) \tilde { J } _ { Z } ( \lambda d u , d x ) d t \right] + } \\ { \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left| \sigma S _ { 0 } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } { W } _ { t } d t + S _ { 0 } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } \left( \frac { \rho ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \rho x \right) \tilde { J } _ { Z } ( \lambda d u , d x ) d t \right| \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { d i v i d e 1 } } & { = Y \ \operatorname { d i v } } \\ { \operatorname { s u c c } } & { = \lambda n . \lambda f . \lambda x . f \ ( n \ f \ x ) } \\ { Y } & { = \lambda f . ( \lambda x . f \ ( x \ x ) ) \ ( \lambda x . f \ ( x \ x ) ) } \\ { 0 } & { = \lambda f . \lambda x . x } \\ { \operatorname { I s Z e r o } } & { = \lambda n . n \ ( \lambda x . \operatorname { f a l s e } ) \ \operatorname { t r u e } } \end{array} }
\chi ^ { j i } = - \frac { \sum _ { \boldsymbol { k } } \langle \boldsymbol { S } \rangle _ { \boldsymbol { k } } ^ { j } \boldsymbol { v } _ { \boldsymbol { k } } ^ { i } \frac { \partial f _ { \boldsymbol { k } } } { \partial E _ { \boldsymbol { k } } } } { e \sum _ { \boldsymbol { k } } ( \boldsymbol { v } _ { \boldsymbol { k } } ^ { i } ) ^ { 2 } \frac { \partial f _ { \boldsymbol { k } } } { \partial E _ { \boldsymbol { k } } } }
\hat { \tilde { \rho } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \mathrm { \boldmath ~ \ z e t a ~ } ^ { ( 1 ) } { \bf P } _ { 1 } ) ^ { - 1 } [ ( 1 + \mathrm { \boldmath ~ \ z e t a ~ } ^ { ( 1 ) } { \bf P } _ { 1 } ) \hat { I } + \hat { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } { \bf P } _ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } T _ { i k } \zeta _ { i } ^ { ( 1 ) } \hat { \sigma } _ { k } ] .
\hat { r } _ { j h l } \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } + ( \hat { P } _ { j l } \hat { r } _ { h } + \hat { P } _ { j h } \hat { r } _ { l } + \hat { P } _ { h l } \hat { r } _ { j } ) \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } }
\sigma _ { k } ^ { + } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \sigma _ { k } ^ { - } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \sigma _ { k } ^ { z } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right)
\sigma _ { x x } ^ { \prime } ( \omega ) = \frac { \rho e ^ { 2 } } { 8 \hbar } \left[ 1 + \frac { \Delta ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \right] \Theta ( | \omega | - \Delta ) ; ~ ~ ~ \sigma _ { y y } ^ { \prime } ( \omega ) = \frac { \sigma _ { x x } ^ { \prime } ( \omega ) } { \rho ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { g _ { \mu \nu \kappa \lambda } } & { { } \lesssim \frac { Q _ { \mu \nu } ( R ) Q _ { \kappa \lambda } ( R ) f _ { l } e ^ { - \theta _ { \mu \nu \kappa \lambda \omega } R ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi \theta _ { \mu \nu \kappa \lambda \omega } } R ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } m _ { t } } { \mathrm { d } t } = } & { \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] , } \\ { \frac { \mathrm { d } C _ { t } } { \mathrm { d } t } = } & { 2 C _ { t } + \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] C _ { t } ^ { 2 } + C _ { t } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { \ast \mathrm { s - l a b } } } & { = } & { N _ { \ast s } \exp \left[ - \gamma _ { \ast s } \left( P _ { t } U ^ { t } + P _ { z } U ^ { z } \right) - \alpha _ { \ast s } m ^ { \prime } \right] } \\ & { = } & { N _ { \ast s } \exp \left[ - \gamma _ { \ast s } \left( P _ { t } \sqrt { 1 + U ^ { z 2 } } + P _ { z } U ^ { z } \right) \right] } \\ & { } & { \times \exp \left[ - \alpha _ { \ast s } m ^ { \prime } \right] . } \end{array}
A _ { m } ( p , r ) \equiv { \frac { r } { m p + r } } { \binom { m p + r } { m } } = { \frac { r } { m ! } } \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( m p + r - i ) = r { \frac { \Gamma ( m p + r ) } { \Gamma ( 1 + m ) \Gamma ( m ( p - 1 ) + r + 1 ) } } .
\begin{array} { r l } & { \hat { \rho } [ \varphi _ { \mathcal { P } _ { 1 } , r } ] ^ { - 2 } = k ( \hat { \rho } [ \Phi _ { r } ] ^ { - 4 } ) , } \\ & { \hat { \rho } [ \varphi _ { \mathcal { P } _ { 2 } , r } ] ^ { - 4 } = k ( \hat { \rho } [ \Phi _ { r } ] ^ { - 8 } ) = \hat { \rho } \left[ \varphi _ { \mathcal { P } _ { 1 } , \frac { 2 \sqrt { r } } { 1 + r } } \right] ^ { - 2 } , } \\ & { \hat { \rho } [ \varphi _ { \mathcal { R } _ { 0 , 1 } , r } ] = \hat { \rho } [ \varphi _ { \mathcal { P } _ { 1 } , r } ] . } \end{array}
\footnote { I n t h i s p a p e r , w e h a v e a s s u m e d p e r f e c t C S I t o i n v e s t i g a t e t h e b e s t a c h i e v a b l e p e r f o r m a n c e . T h e p e r f o r m a n c e u n d e r i m p e r f e c t C S I i s w o r t h f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n b y r e f e r i n g t o e x i s t i n g a n a l y t i c a l w o r k s ~ . }
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { n } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \sigma ) = } & { \delta ( p _ { k - 2 } - q _ { k - 2 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \delta ( p _ { \sigma _ { i - 1 } } - q _ { \sigma _ { i - 1 } } - p _ { \sigma _ { n } } + q _ { \sigma _ { n } } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \prod _ { m = \sigma _ { i - 1 } + 1 } ^ { \sigma _ { i } - 1 } \delta ( p _ { m } - p _ { \sigma _ { i - 1 } } ) \delta ( q _ { m } - q _ { \sigma _ { i - 1 } } ) } \\ & { \times \prod _ { m = \sigma _ { n } + 1 } ^ { k - 2 } \delta ( p _ { m } - p _ { \sigma _ { n } } ) \delta ( q _ { m } - q _ { \sigma _ { n } } ) . } \end{array}
P ( { \overline { { C } } } , { \overline { { S } } } ) \, d { \overline { { C } } } \, d { \overline { { S } } } = P ( { \overline { { R } } } , { \overline { { \theta } } } ) \, d { \overline { { R } } } \, d { \overline { { \theta } } } = \int _ { \Gamma } \cdots \int _ { \Gamma } \prod _ { n = 1 } ^ { N } \left[ P ( \theta _ { n } ) \, d \theta _ { n } \right]
\begin{array} { r l } { \left\langle v , u _ { t } \right\rangle + a ( u ; u , v ) + s ( u ; u , v ) - \left\langle P , \nabla \cdot v \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall v \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \nabla \cdot u , \phi \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \end{array}
\frac { \mathrm { D } } { \mathrm { D } t } \left( \frac { 3 } { 2 } p \right) + \frac { 5 } { 2 } p \nabla \cdot \mathbf { V } = - \mathbf { \pi } : \nabla \mathbf { V } - \nabla \cdot \mathbf { q } + \mathbf { j } \cdot \left( \mathbf { E } + \mathbf { V } \times \mathbf { B } \right) ,
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) , \mathrm { X B } } \! \! } & { = } & { \! \! \frac { - 1 } { 1 + \lambda ^ { 2 } } \! \! \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \frac { \mathrm d k } { \pi } \frac { \kappa ^ { 2 } e ^ { - 2 \kappa | x | } } { k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } \frac { 1 - \lambda ^ { 2 } s _ { k } ^ { 2 } } { 1 - s _ { k } ^ { 2 } } f _ { k } ( x ) . \; \; \; \; \; } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta _ { s } ^ { \pm } \beta _ { \pm } \delta ( \epsilon _ { A \pm } ) } & { \simeq } & { \tau ( 1 - \Gamma _ { s \theta } ) \sigma _ { s \theta } \frac { ( \omega _ { * e } - \omega ) _ { s } ( \omega - \omega _ { * i } ) _ { s } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ & { } & { \times \frac { k _ { \parallel \pm } } { k _ { \parallel s } } \delta ( \epsilon _ { A \pm } ) . } \end{array}
I ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 1 } ^ { \prime } , z _ { 2 } ^ { \prime } ) = g ^ { 2 } D _ { \mathrm { F } } ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) \delta ^ { 4 } ( z _ { 1 } - z _ { 1 } ^ { \prime } ) \delta ^ { 4 } ( z _ { 2 } - z _ { 2 } ^ { \prime } ) .
H = \frac { 1 } { 2 } \left( { p _ { L } } ^ { \tau } G ^ { - 1 } p _ { L } + { p _ { R } ^ { \tau } } G ^ { - 1 } p _ { R } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( u ^ { t } \Xi u \right) ,
\frac { \partial q _ { \mathrm { t r } } ^ { * } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( q _ { \mathrm { t r } } ^ { * } \mathbf { U } \right) = - \nabla \cdot \left[ q _ { \mathrm { l } } ^ { * } \phi \left( \mathbf { u } - \mathbf { U } \right) \right] + \nabla \cdot \left( \kappa _ { \mathrm { e d d } } \nabla q _ { \mathrm { t r } } ^ { * } \right) \, .
\int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \mathcal { O } } w ^ { - } g ( v , w ^ { - } , w ^ { + } , t ) \, d v \, d w ^ { - } \, d w ^ { + } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \mathcal { O } } w ^ { + } g ( v , w ^ { - } , w ^ { + } , t ) \, d v \, d w ^ { - } \, d w ^ { + } ,
\begin{array} { r } { ( \tilde { \mathcal { M } } ^ { j } ( A ) Z ) _ { k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) = - \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \frac { \partial } { \eta _ { m } } G _ { k , l } ^ { j } ( A ( { \boldsymbol { \theta } } - { \boldsymbol { \eta } } ) ) \big ( Z _ { l , m } ( { \boldsymbol { \eta } } ) - \mathcal { C } _ { l , m } \big ) d \eta _ { 1 } d \eta _ { 2 } , } \end{array}
h ( x ; A , \mu , \sigma , \tau ) = A \cdot \frac { \sigma } { \tau } \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \exp \left( \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sigma } { \tau } \right) ^ { 2 } - \frac { x - \mu } { \tau } \right) \mathrm { e r f c } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \frac { \sigma } { \tau } - \frac { x - \mu } { \sigma } \right) \right) ,
E _ { M } \, = \, \frac { l } { 4 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ \left( 1 \, + \, \frac { r ^ { 2 } k _ { n 1 } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \right) \omega _ { n 1 } ^ { 2 } A _ { n 1 } ^ { 2 } \, + \, \left( 1 \, + \, \frac { r ^ { 2 } k _ { n 2 } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \right) \omega _ { n 2 } ^ { 2 } A _ { n 2 } ^ { 2 } \right]
{ \hat { H } } _ { 5 } = 4 \mu _ { B } ^ { 2 } \sum _ { i > j } \left\lbrace - { \frac { 8 \pi } { 3 } } ( \mathbf { s } _ { i } \cdot \mathbf { s } _ { j } ) \delta ( \mathbf { r } _ { i j } ) + { \frac { 1 } { r _ { i j } ^ { 3 } } } \left[ \mathbf { s } _ { i } \cdot \mathbf { s } _ { j } - { \frac { 3 ( \mathbf { s } _ { i } \cdot \mathbf { r } _ { i j } ) ( \mathbf { s } _ { j } \cdot \mathbf { r } _ { i j } ) } { r _ { i j } ^ { 2 } } } \right] \right\rbrace
\begin{array} { r l r l r } { 0 < \exp \left( \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } \right) \leq 1 , } & { { } \quad } & { \exp \left( \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } \right) \geq 1 , } & { { } \quad } & { \exp \left( \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \ast } \right) \geq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert { M ( t ) } \rangle } & { = \left( m _ { 0 } ( t ) + \sum _ { a i } m _ { i } ^ { a } ( t ) c _ { a } ^ { \dagger } c _ { i } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { a b i j } m _ { i j } ^ { a b } ( t ) c _ { a } ^ { \dagger } c _ { b } ^ { \dagger } c _ { j } c _ { i } + \cdots \right) \vert { 0 } \rangle } \\ { \langle { \tilde { M } ( t ) } \vert } & { = \langle { 0 } \vert \left( \tilde { m } _ { 0 } ( t ) + \sum _ { a i } \tilde { m } _ { a } ^ { i } ( t ) c _ { i } ^ { \dagger } c _ { a } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { a b i j } \tilde { m } _ { a b } ^ { i j } ( t ) c _ { i } ^ { \dagger } c _ { j } ^ { \dagger } c _ { b } c _ { a } + \cdots \right) } \end{array}
\int d U U _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } U _ { i _ { 2 } j _ { 2 } } \cdots U _ { i _ { 2 n } , j _ { 2 n } } = \sum _ { \sigma , \tau \in M _ { 2 n } } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \langle i _ { \sigma ( 2 k - 1 ) } , i _ { \sigma ( 2 k ) } \rangle \prod _ { k = 1 } ^ { n } \langle j _ { \tau ( 2 k - 1 ) } , j _ { \tau ( 2 k ) } \rangle \mathrm { W g } ^ { \mathrm { S p } } ( N ; \sigma , \tau ) ,
m _ { 0 } Z _ { 2 } ^ { - 1 } = \frac { \chi ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \exp ( - \frac { \chi } { 2 } ) m } { \chi + 1 } \& ( 1 + \frac { 2 \pi \chi } { \sin ( \pi \chi ) } + \chi \Phi ( - 1 , 1 , \chi ) m
\begin{array} { r l r } { { \bf S } \! } & { = } & { \! \frac { 1 } { 2 \mu ^ { \prime } } \left( { \bf E } \times { \bf B } ^ { \ast } \right) \; , } \\ { u _ { E M } \! } & { = } & { \! \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial [ \omega \epsilon ^ { \prime } ] } { \partial \omega } \left( { \bf { E } } \cdot { \bf { E } } ^ { * } \right) + \frac { 1 } { 2 \mu ^ { \prime } } \left( { \bf { B } } \cdot { \bf { B } } ^ { * } \right) \; . } \end{array}
P ( \Delta \tau \vert \tau _ { o } ) = \int \! d \Gamma e ^ { - \Gamma \Delta \tau } p ( \Gamma \vert \tau _ { o } ) = \frac { \int \! d \Gamma e ^ { - \Gamma ( \Delta \tau + \tau _ { o } ) } p ( \Gamma ) } { \int \! d \Gamma e ^ { - \Gamma \tau _ { o } } p ( \Gamma ) } ,
\begin{array} { r l r } { \langle \bar { c } ^ { 2 } \rangle } & { { } = } & { \frac { 2 \Gamma k _ { B } T } { m } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \bigg ( \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 4 } + \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } } \bigg ) ^ { 2 } d \phi _ { l } } \\ { \langle \bar { c } \bar { s } \rangle } & { { } = } & { - \frac { 2 \Gamma k _ { B } T } { m } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } { ( \sigma _ { 1 } \sigma _ { 4 } + \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } ) ^ { 2 } } d \phi _ { l } } \\ { \langle \bar { s } ^ { 2 } \rangle } & { { } = } & { \frac { 2 \Gamma k _ { B } T } { m } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \bigg ( \frac { \sigma _ { 2 } } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 4 } + \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } } \bigg ) ^ { 2 } d \phi _ { l } } \end{array}
\langle E _ { i } ( \sigma _ { - } ) E _ { j } ( \sigma _ { + } ) \rangle = { \frac { 4 \hbar } { \pi c ^ { 3 } } } \; \delta _ { i j } \; { \frac { ( a / c ) ^ { 4 } } { \sinh ^ { 4 } ( a \tau / 2 c ) } } . \hfill \qquad \qquad
\begin{array} { r l r } & { } & { C = a _ { 1 } \sqrt { n h _ { n } } \left\{ \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) - E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) \right) \right\} } \\ & { + } & { a _ { 2 } \sqrt { n h _ { n } } \left\{ \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) \right\} \left\{ \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t } { h _ { n } } \right) - E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t } { h _ { n } } \right) \right) \right) \right\} } \\ & { + } & { a _ { 3 } \sqrt { n h _ { n } } \left\{ f _ { Z _ { 2 } } ( t ) \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) - E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) \right) \right) \right\} . } \end{array}
E = E _ { \mathrm { n m } } + { \bf S } _ { 1 } \Big ( \underbrace { \mathcal { J } _ { A _ { 1 } A _ { 2 } } ^ { \updownarrow } + \mathcal { J } _ { A _ { 1 } B _ { 2 } } ^ { \updownarrow } + \mathcal { J } _ { B _ { 1 } A _ { 2 } } ^ { \updownarrow } + \mathcal { J } _ { B _ { 1 } B _ { 2 } } ^ { \updownarrow } } _ { \mathcal { J } ^ { \updownarrow } } \Big ) { \bf S } _ { 2 } + \sum _ { l } { \bf S } _ { l } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \mathcal { J } _ { A } ^ { \leftrightarrow } + \frac { 1 } { 2 } \mathcal { J } _ { B } ^ { \leftrightarrow } + 2 \mathcal { A } \Big ) { \bf S } _ { l } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { u } \mathbb { Z } _ { m } \setminus \{ \textbf { 0 } \} ; \atop ( u _ { i _ { 1 } } , u _ { i _ { 2 } } ) = ( 1 , t ) } Z _ { i j } ^ { \boldsymbol { v } } = } & { \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \cos \frac { 2 \pi r j } { m } \left( 1 + 2 \sum _ { l = 1 } ^ { j } \cos \frac { 2 \pi r t l } { m } \right) + \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \cos \frac { 2 \pi r t j } { m } \left( 1 + 2 \sum _ { l = 1 } ^ { j - 1 } \cos \frac { 2 \pi r l } { m } \right) } \\ { = } & { \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \left[ \cos \frac { 2 \pi r j } { m } \frac { e ^ { - i \frac { 2 \pi r t j } { m } } - e ^ { i \frac { 2 \pi r t ( j + 1 ) } { m } } } { 1 - e ^ { i \frac { 2 \pi r t } { m } } } + \cos \frac { 2 \pi r t j } { m } \frac { e ^ { - i \frac { 2 \pi r ( j - 1 ) } { m } } - e ^ { i \frac { 2 \pi r j } { m } } } { 1 - e ^ { i \frac { 2 \pi r } { m } } } \right] } \\ { = } & { \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \sigma _ { r } \left( \frac { \omega ^ { j } + \omega ^ { - j } } { 2 } \frac { \omega ^ { - t j } - \omega ^ { t ( j + 1 ) } } { 1 - \omega ^ { t } } \right) + \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \sigma _ { r } \left( \frac { \omega ^ { t j } + \omega ^ { - t j } } { 2 } \frac { \omega ^ { - ( j - 1 ) } - \omega ^ { j } } { 1 - \omega } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { C } \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq C \{ \langle \| ( F _ { + } ^ { \varepsilon } , F _ { + } ^ { 0 } ) \| _ { \mathfrak D } \rangle ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } + \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { 2 } ) + \| G ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad + \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \} } \end{array}
\kappa ^ { 2 } g ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } \left( \frac { 1 } { 2 } ( \frac { 1 1 } { 3 ^ { 2 } } ) ^ { 2 } - 2 6 \cdot \frac { 1 } { 2 } ( \frac { 5 } { 3 ^ { 2 } \sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } \right) \phi ^ { 4 } = - \kappa ^ { 2 } g ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } \left( \frac { 3 4 } { 2 7 } \right) \phi ^ { 4 } .
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \frac { a _ { 0 } } { 3 } - \frac { \pi a _ { 2 } } { 9 } - \frac { a _ { 2 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } a _ { 2 } } { 3 } - a _ { 3 } - \frac { \pi a _ { 4 } } { 9 } - } \\ & { \frac { a _ { 4 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } a _ { 4 } } { 3 } - \frac { \pi d _ { 0 } } { 9 } + \frac { \sqrt { 3 } d _ { 0 } } { 3 } - \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 1 } } { 5 4 } + } \\ & { \frac { \pi d _ { 1 } } { 3 6 } + \frac { \sqrt { 3 } d _ { 1 } } { 1 2 } + \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 1 } } { 9 } - \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 2 } } { 9 } - \frac { \pi d _ { 2 } } { 9 } - } \\ & { \frac { \sqrt { 3 } d _ { 2 } } { 6 } + \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 2 } } { 2 7 } - \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 3 } } { 2 7 } - \frac { \sqrt { 3 } d _ { 3 } } { 6 } + \frac { 5 \pi d _ { 3 } } { 1 8 } - } \\ & { \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 4 } } { 9 } - \frac { \pi d _ { 4 } } { 9 } - \frac { \sqrt { 3 } d _ { 4 } } { 6 } + \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 4 } } { 2 7 } - \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 5 } } { 5 4 } + } \\ & { \frac { \pi d _ { 5 } } { 3 6 } + \frac { \sqrt { 3 } d _ { 5 } } { 1 2 } + \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 5 } } { 9 } - \frac { \pi } { 3 } + \frac { 4 \sqrt { 3 } \pi } { 9 } , } \end{array}
- \frac { g } { \sqrt 2 } ( \bar { u } \, \bar { c } \, \bar { t } ^ { \prime } ) U ^ { \prime } \gamma ^ { \mu } \left( \begin{array} { c } { { d ^ { \prime } } } \\ { { s ^ { \prime } } } \\ { { b } } \end{array} \right) V _ { \mu } ^ { + } + H . c . ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = h A _ { D } \vec { I } \cdot \vec { J } } \\ & { + h B _ { Q } \frac { 3 \left( \vec { I } \cdot \vec { J } \right) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } \vec { I } \cdot \vec { J } - I \left( I + 1 \right) J \left( J + 1 \right) } { 2 I \left( 2 I - 1 \right) J \left( 2 J - 1 \right) } } \\ & { + B _ { e } \mu _ { B } \left( g _ { J } m _ { J } + g _ { I } m _ { I } \right) } \end{array}