harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { J } ( \eta ; W ) \! = \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! d s \frac { \sin ( W s / 2 ) } { s } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d x } { \cosh ( x ) \cosh ( x - \eta s ) } } \\ & { } & { = 2 \pi \, \mathrm { s g n } ( \eta ) \operatorname { t a n h } \! \left( \frac { \pi W } { 4 \eta } \right) } \end{array}
J ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ; \alpha , h _ { 1 } , h _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { \alpha - 1 + h _ { 1 } ( 1 + \alpha - 4 \rho _ { 1 } - 2 \rho _ { 2 } ) } & { \alpha + h _ { 1 } ( \alpha - 2 \rho _ { 1 } ) } \\ { 1 - \alpha + h _ { 2 } ( 1 - \alpha - 2 \rho _ { 2 } ) } & { - \alpha + h _ { 2 } ( 2 - \alpha - 4 \rho _ { 2 } - 2 \rho _ { 1 } ) } \end{array} \right)
M ^ { 0 5 } ( n _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 2 } ^ { \prime } n ^ { \prime } k ^ { \prime } n _ { 1 } n _ { 2 } n k ) = ( 2 + s + 2 n + 2 n _ { 1 } + 2 n _ { 2 } ) \delta _ { n _ { 1 } n _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { n _ { 2 } n _ { 2 } ^ { \prime } } \delta _ { n n ^ { \prime } } \delta _ { k k ^ { \prime } }
I n e q u a l i t y t o p r o v e \geq 2 \sqrt { \sqrt { \frac { y ( u - w ) } { z ( u - w ) + y ^ { 2 } ( u - v ) ( v - w ) } } \sqrt { \frac { y ( v - w ) + z ( u - w ) } { y ( u - v ) + y ( v - w ) z ( u - w ) } } } + \sqrt { \frac { z \left( u - w \right) + y \left( u - v \right) } { y \left( v - w \right) + z \left( u - w \right) y \left( u - v \right) } }
\begin{array} { r } { x _ { N , k } = e _ { k } + \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - 1 } ( k ) } } \right] e _ { \varphi ^ { n N } ( k ) } } + \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } \right] e _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 1 1 } ^ { \uparrow \uparrow , s h } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E ( T ( f _ { 0 } - f ) + f ^ { 2 } } \\ { - f ^ { 2 } R ^ { 2 } - f _ { 0 } ^ { 2 } T ^ { 2 } - 2 f f _ { 0 } R T ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi ^ { \prime } \, \Psi _ { 1 } ^ { \prime } - \Phi _ { 1 } ^ { \prime } } & { = } & { \frac { c \Phi ^ { \prime } } { \Omega _ { 0 } } \left[ ( 2 \, \Phi ^ { \prime } + 2 \psi \; \Phi ^ { \prime \prime } ) \; - \frac ( \Phi ^ { \prime } + 2 \psi \; \Phi ^ { \prime \prime } ) \right] } \\ & { = } & { \frac { \Omega _ { 0 } } { c } \left( \frac { c \Phi ^ { \prime } } { \Omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j \right\rangle } & { { } = { \overline { { \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j \right\rangle } } } , } \\ { \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j - 1 \right\rangle } & { { } = - { \overline { { \left\langle j - 1 \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j \right\rangle } } } , } \end{array}
0 < \int _ { v > v _ { 0 } } \, \frac { \bar { u } ( v ) - \bar { u } ( 0 ) } { \bar { u } ( v _ { 0 } ) - \bar { u } ( 0 ) } \, f _ { r } ( v ; e , r ) \, d v < \int _ { v > v _ { 0 } } \, \frac { h ( \bar { u } ( v ) ) - h ( \bar { u } ( 0 ) ) } { h ( \bar { u } ( v _ { 0 } ) ) - h ( \bar { u } ( 0 ) ) } \, f _ { r } ( v ; e , r ) \, d v
\begin{array} { r l } { \frac { f ( q + 1 ) } { f ( q ) } = } & { \frac { \{ [ ( q + 1 ) s ] ! \} ^ { 1 / ( 2 q + 1 ) } D ^ { 1 / ( q + 1 ) } } { [ ( q s ) ! ] ^ { 1 / 2 q } D ^ { 1 / q } } } \\ { = } & { \left( \frac { \left( P _ { s } ^ { ( q + 1 ) s } \right) ^ { q } } { ( q s ) ! D ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 q ( q + 1 ) } } . } \end{array}
R ( z ^ { + } ) = \frac { \left< E _ { L } \left[ u _ { d } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right] u _ { S } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right> } { \sqrt { \left< E _ { L } ^ { 2 } \left[ u _ { d } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right] \right> } \sqrt { \left< u _ { S } ^ { + 2 } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right> } }
\boxed { \begin{array} { r l } & { T _ { j _ { 2 } m _ { 2 } \lambda _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } m _ { 1 } \lambda _ { 1 } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = } \\ & { \frac { 1 } { k _ { 2 } } \delta ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \Big ( T _ { u } ^ { N N } ( k _ { 2 } ) _ { j _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } m _ { 1 } } + \lambda _ { 1 } T _ { u } ^ { M N } ( k _ { 2 } ) _ { j _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } m _ { 1 } } + \lambda _ { 2 } T _ { u } ^ { N M } ( k _ { 2 } ) _ { j _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } m _ { 1 } } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } T _ { u } ^ { M M } ( k _ { 2 } ) _ { j _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } m _ { 1 } } \Big ) } \end{array} }
\frac { \partial \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } } { \partial r _ { s } } \leq \frac { \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ( \infty ) - \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } } { r _ { s } } \, .
\frac { 1 } { Q _ { \mathrm { i } } } = \frac { 1 } { Q _ { \mathrm { i , T L S } } } \left( 1 + \frac { n _ { \mathrm { p h } } } { n _ { \mathrm { c } } } \right) ^ { - \alpha } + \frac { 1 } { Q ^ { * } } .
\begin{array} { r l } { S _ { k } ^ { j } } & { = \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \omega _ { - \alpha } ( t _ { j - \frac { 1 } { 2 } } - s ) \Big ( \omega _ { 1 + \alpha } ( s ) - \Pi _ { 1 , k } \omega _ { 1 + \alpha } ( s ) \Big ) d s } \\ & { = \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \omega _ { - \alpha } ( t _ { j - \frac { 1 } { 2 } } - s ) d s \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \chi _ { k } ( s , \lambda ) \omega _ { 1 + \alpha } ^ { \prime \prime } ( \lambda ) d \lambda \le 0 , } \end{array}
b _ { n > 0 } = \frac { 1 } { 2 n a _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( 3 j - \alpha j - n ) ( j + 2 ) ( j + 1 ) a _ { j + 2 } b _ { n - j } ~ ~ , ~ ~ b _ { 0 } = ( - 2 a _ { 2 } ) ^ { 2 - \alpha } ,
\begin{array} { r l } { \rho ( \tau _ { t } ^ { ( \eta ) } ( I _ { ( x , y ) } ^ { ( b ) } ) ) } & { { } = 2 \hbar ^ { - 1 } \Im \mathrm { m } \left\{ \rho \circ \tau _ { t } ^ { ( \eta ) } ( a _ { y , b } ^ { \ast } a _ { x , 1 } ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { { { \bf { A } } _ { k } } \left( { { \bf { \Theta } } } \right) = \sum _ { i > k } { \frac { { { \gamma _ { k } } { \lambda _ { i } } \left( { \bf { \Theta } } \right) } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } { { \bf { h } } _ { i } } \left( { \bf { \Theta } } \right) { \bf { h } } _ { i } ^ { H } \left( { \bf { \Theta } } \right) } , k > 1 . } \end{array}
G _ { \mathrm { ~ S ~ P ~ h ~ P ~ } } = \frac { q } { T _ { \mathrm { ~ h ~ } } - T _ { \mathrm { ~ s ~ } } } = \frac { \epsilon \sigma _ { \mathrm { ~ 2 ~ D ~ } } a ( T _ { \mathrm { ~ h ~ } } ^ { 3 } - T _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { 3 } ) } { T _ { \mathrm { ~ h ~ } } - T _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { , }
\{ x _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } \hdots x _ { i _ { t } , j _ { t } } ^ { m _ { t } } \tilde { x } _ { i _ { t + 1 } , j _ { t + 1 } } ^ { m _ { t + 1 } } \hdots \tilde { x } _ { i _ { t + k } , j _ { t + k } } ^ { m _ { t + k } } : 1 \leq i _ { l } , j _ { l } \leq m + n , \ m _ { 1 } + . . . + m _ { t } = r , m _ { t + 1 } + . . . + m _ { t + k } = s \}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathcal { T } } } _ { s , s , \emptyset } ^ { \tilde { \mathfrak { p } } } h : = h , \quad \overline { { \mathcal { T } } } _ { s , t , ( \xi _ { s } , \dots , \xi _ { t - 1 } ) } ^ { \tilde { \mathfrak { p } } } h : = \overline { { T } } _ { s , \xi _ { s } } ^ { \tilde { \pi } _ { s } } \circ \cdots \circ \overline { { T } } _ { t - 1 , \xi _ { t - 1 } } ^ { \tilde { \pi } _ { t - 1 } } h , \quad h \in B _ { b } ( \mathbb { X } ) , \, 1 \le s < t \le T . } \end{array}
w _ { g } \approx \left[ \left( \frac { \partial \lambda } { \partial f } \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } ( f ( g , \alpha ) ) + \left( \frac { \partial \lambda } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } ( \phi ( g ) ) \right] ^ { - 1 } \quad ( \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \lambda ( g , \alpha ) ) ,
\vec { k } , \vec { k } _ { 2 } : \mathrm { ~ l ~ a ~ r ~ g ~ e ~ w ~ a ~ v ~ e ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ s ~ } ; \ \ \vec { k } _ { 1 } , \vec { k } _ { 3 } : \mathrm { ~ s ~ m ~ a ~ l ~ l ~ w ~ a ~ v ~ e ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ s ~ } , \ \
| \phi _ { 0 } \rangle = | \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { 2 } . . \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { N - 1 } \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { N } \rangle \otimes | 0 0 . . 0 \rangle = | \Pi _ { i } ^ { N } \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { i } \rangle \otimes | \Pi _ { k } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } 0 _ { k } \rangle
e _ { \alpha \beta } = C _ { \alpha \beta } { \frac { 1 } { 2 } } ( e + \bar { e } ) + \left( C \, \gamma _ { 5 } \right) _ { \alpha \beta } { \frac { 1 } { 2 } } ( e - \bar { e } ) + \left( C \, \gamma _ { 5 } \gamma _ { \mu } \right) _ { \alpha \beta } e ^ { \mu } \, ,
\mathbf { H } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { H } _ { 0 } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { x } ) + \delta ^ { 3 } \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } \nabla \big ( \nabla \Gamma _ { 0 } ( \mathbf { x } - \mathbf { z } _ { l } ) ^ { T } \mathbf { P } _ { l } \mathbf { H } _ { 0 } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { z } _ { l } ) \big ) + \mathcal { O } ( \delta ^ { 4 } ) , \quad \mathbf { x } \in \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \Omega ,
\begin{array} { r l r } { H } & { { } = } & { \int { { d ^ { 3 } } x } \left[ \, { c \left( x \right) { \partial ^ { i } } { \Pi _ { i } } + \frac { { { { \bf \Pi } ^ { 2 } } } } { { 2 \, { c _ { 1 } } } } + \frac { { { c _ { 1 } } } } { 2 } \, { { \bf b } ^ { 2 } } - \frac { { { d _ { 1 } } } } { 2 } { { \left( { { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf b } } \right) } ^ { 2 } } } \, \right] } \end{array}
E _ { h } = \underbrace { \frac { 1 } { 2 } | | \bar { \mathbf { u } } | | _ { \Omega } ^ { 2 } } _ { = : \bar { E } _ { h } } + \underbrace { \frac { 1 } { 2 } | | \mathbf { u } ^ { \prime } | | _ { \omega } ^ { 2 } } _ { = : E _ { h } ^ { \prime } } .
\begin{array} { l l l } { { t _ { 1 } ^ { 0 } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 8 } ( g ^ { 2 } + g ^ { 2 } ) v _ { 1 } ( v _ { 1 } ^ { 2 } - v _ { 2 } ^ { 2 } + \sum _ { I } v _ { \nu _ { I } } ^ { 2 } ) + \mid \mu \mid ^ { 2 } v _ { 1 } + m _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } v _ { 1 } - B \mu v _ { 2 } - \sum _ { I } ^ { } \mu \epsilon _ { I } v _ { I } , } } \\ { { t _ { 2 } ^ { 0 } } } & { { = } } & { { - \frac { 1 } { 8 } ( g ^ { 2 } + g ^ { 2 } ) v _ { 2 } ( v _ { 1 } ^ { 2 } - v _ { 2 } ^ { 2 } + \sum _ { I } v _ { \nu _ { I } } ^ { 2 } ) + \mid \mu \mid ^ { 2 } v _ { 2 } + m _ { H ^ { 2 } } ^ { 2 } v _ { 2 } - B \mu v _ { 1 } + \sum _ { I } \epsilon _ { I } ^ { 2 } v _ { 2 } } } \\ { { } } & { { } } & { { + \sum _ { I } B _ { I } \epsilon _ { I } v _ { I } , } } \\ { { t _ { \nu _ { I } } ^ { 0 } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 8 } ( g ^ { 2 } + g ^ { 2 } ) v _ { \nu _ { I } } ( v _ { 1 } ^ { 2 } - v _ { 2 } ^ { 2 } + \sum _ { I } v _ { \nu _ { I } } ^ { 2 } ) + m _ { L ^ { I } } ^ { 2 } v _ { \nu _ { I } } + \epsilon _ { I } \sum _ { J } \epsilon _ { J } v _ { \nu _ { J } } - \mu \epsilon _ { I } v _ { 1 } + B _ { I } \epsilon _ { I } v _ { 2 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E g ( W _ { j + 1 } ) } & { \leq E \sum _ { k = 0 } ^ { T _ { j + 1 } - 1 } \gamma ^ { k } } \\ & { = \frac { 1 - E \gamma ^ { T _ { j + 1 } } } { 1 - \gamma } } \\ & { = \frac { 1 - \chi ( 1 ) } { 1 - \gamma } } \\ & { = \frac { 1 - \gamma ^ { m } } { ( 1 - \gamma ) ( 1 - ( 1 - p ) \gamma ^ { m } ) } . } \end{array}
H \propto U _ { e N } ^ { 2 } / m _ { N } \left\lbrack \bar { e } _ { \alpha } \bar { e } _ { \beta } \right\rbrack \ \left\lbrack \bar { u } ^ { c \alpha } d ^ { c \gamma } \bar { u } ^ { b \beta } d _ { \gamma } ^ { b } \right\rbrack
\begin{array} { r } { m _ { d p } = m _ { i } + w \ell _ { p } c _ { i } \left\{ \frac { \hat { \Gamma } _ { p } ( 1 - \chi ) } { D _ { s } } + \frac { 2 \hat { \Gamma } _ { p } ^ { 2 } ( 1 - \chi ) ^ { 2 } \ell _ { 0 } } { \pi D _ { s } D _ { p } \ell _ { p } } \ln \left[ \frac { 2 \hat { \Gamma } _ { p } ( 1 - \chi ) } { 2 \hat { \Gamma } _ { p } ( 1 - \chi ) + \pi D _ { p } \ell _ { p } / \ell _ { 0 } } \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { b } & { = \frac { ( a + \sqrt { a ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } } ) ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } { 4 a } } \\ & { = \frac { a ^ { 2 } + a ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } + 2 a \sqrt { a ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } } - \lambda ^ { 2 } } { 4 a } } \\ & { = \frac { 2 a ^ { 2 } + 2 a ^ { 2 } \sqrt { 1 + ( \lambda / a ) ^ { 2 } } } { 4 a } } \\ & { = \frac { a } { 2 } ( 1 + \sqrt { 1 + ( \lambda / a ) ^ { 2 } } ) = a + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 a } + O ( \lambda ^ { 4 } ) } \end{array}
\tau ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l } { t _ { b _ { 2 } } - t _ { b _ { 1 } } } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad t = t _ { 1 } } \\ { t _ { b _ { j + 1 } } - t _ { b _ { j } } } & { { } \quad \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ i ~ f ~ } \quad t \in ( t _ { b _ { j } } , t _ { b _ { j + 1 } } ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { M ^ { 2 } } & { = \sum _ { m , n \ge 1 } 1 0 ^ { - m - n } ( w + \frac 1 { \alpha _ { k _ { n } } } j ) ( k _ { n } ) ( w + \frac 1 { \alpha _ { k _ { m } } } j ) ( k _ { m } ) } \\ & { \le \frac 2 { 1 - 1 0 ^ { - 1 } } \sum _ { n \ge 1 } 1 0 ^ { - n } ( w ^ { 2 } + \frac 1 { \alpha _ { k _ { n } } ^ { 2 } } j ^ { 2 } ) ( k _ { n } ) } \\ & { \le \frac 2 { 1 - 1 0 ^ { - 1 } } \frac 1 { \lambda _ { k _ { 0 } } } \sum _ { n \ge 1 } ( 1 0 ^ { - n } \frac { \lambda _ { k _ { 0 } } } { \lambda _ { k _ { n } } } ) \lambda _ { k _ { n } } ( w ^ { 2 } + \frac 1 { \alpha _ { k _ { n } } ^ { 2 } } j ^ { 2 } ) ( k _ { n } ) } \\ & { \le \frac 2 { 1 - 1 0 ^ { - 1 } } \frac 1 { \lambda _ { k _ { 0 } } } \Vert w , j \Vert _ { X } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } \\ { \sum _ { \vert n \vert \ge 1 } \lambda _ { { k _ { n } } } M _ { n } ^ { 2 } } & { = \sum _ { n } \lambda _ { k _ { n } } \sum _ { m , l } 1 0 ^ { - \vert m - l \vert - \vert l - n \vert - \chi _ { l } - \chi _ { m } } ( w + \frac 1 { \alpha _ { k _ { m } } } j ) ^ { 2 } ( k _ { m } ) } \\ & { \le \frac 2 { 1 - 1 0 ^ { - 1 } } \sum _ { n } \lambda _ { k _ { n } } \sum _ { m } 1 0 ^ { - \vert m - n \vert - \chi _ { m } } ( w ^ { 2 } + \frac 1 { \alpha _ { k _ { m } } ^ { 2 } } j ^ { 2 } ) ( k _ { m } ) } \\ & { \le \frac 2 { 1 - 1 0 ^ { - 1 } } \sum _ { m } \lambda _ { k _ { m } } ( w + \frac 1 { \alpha _ { k _ { m } } } j ) ^ { 2 } ( k _ { m } ) \sum _ { n } 1 0 ^ { - \vert m - n \vert - \chi _ { m } } \frac { \lambda _ { k _ { n } } } { \lambda _ { k _ { m } } } } \\ & { \le \frac { 2 \hat { \lambda } ^ { 2 } } { 1 - 1 0 ^ { - 1 } } \Vert w , j \Vert _ { X } ^ { 2 } . } \end{array}
\Delta _ { \omega } ( v _ { i } , v _ { j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \frac { \omega _ { v _ { i } , v _ { i } } } { d _ { \omega } ( v _ { i } ) } , \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \, v _ { i } = v _ { j } \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, d _ { \omega } ( v _ { i } ) \neq 0 , } \\ { - \frac { \omega ( v _ { i } , v _ { j } ) } { d _ { \omega } ( v _ { i } ) } , \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \, v _ { i } \sim v _ { j } , } \\ { 0 , \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { c _ { 1 } + c _ { 2 } + c _ { 3 } + c _ { 4 } + \tilde { Q } _ { 1 } ^ { i n h } ( s ) = 0 , } \\ & { c _ { 1 } m _ { 1 } e ^ { m _ { 1 } L } + c _ { 2 } m _ { 2 } e ^ { m _ { 2 } L } + c _ { 3 } m _ { 3 } e ^ { m _ { 3 } L } + c _ { 4 } m _ { 4 } e ^ { m _ { 4 } L } = 0 , } \\ & { c _ { 1 } m _ { 1 } e ^ { m _ { 1 } L } - \frac { \alpha } { \beta } c _ { 2 } m _ { 2 } e ^ { m _ { 2 } L } + c _ { 3 } m _ { 3 } e ^ { m _ { 3 } L } - \frac { \alpha } { \beta } c _ { 4 } m _ { 4 } e ^ { m _ { 4 } L } = 0 , } \\ & { c _ { 1 } m _ { 1 } - \frac { \alpha } { \beta } c _ { 2 } m _ { 2 } + c _ { 3 } m _ { 3 } - \frac { \alpha } { \beta } c _ { 4 } m _ { 4 } = 0 , } \end{array}
\langle 0 _ { M } | S ^ { ( + ) } ( \epsilon ) | 0 _ { M } \rangle = - 2 \sum _ { \Omega , \vec { k } } \left[ \sinh ^ { 2 } \epsilon ( \Omega ) \ln \sinh ^ { 2 } \epsilon ( \Omega ) - \cosh ^ { 2 } \epsilon ( \Omega ) \ln \cosh ^ { 2 } \epsilon ( \Omega ) \right] \, ,
{ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left( { \frac { m { \dot { \mathbf { r } } } } { \sqrt { 1 - \left( { \frac { \dot { \mathbf { r } } } { c } } \right) ^ { 2 } } } } \right) = q \left( \mathbf { E } + { \dot { \mathbf { r } } } \times \mathbf { B } \right) . \,
Q _ { i } ( \sigma ) = Q _ { 1 } ( \sigma ) + Q _ { i - 1 } ^ { o } ( \sigma ) = Q _ { 1 } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \theta ^ { c ( \lambda _ { j } ( \sigma ) ) - c ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) } + \bar { Q } _ { i - 1 } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) + Q _ { i - 1 } ^ { o } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \theta ^ { c ( \lambda _ { j } ( \sigma ) ) - c ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) }
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { b r e a s t } } \sim N ( \overline { { E _ { \mathrm { b r e a s t } } } } , \sigma _ { \mathrm { b r e a s t } } ^ { 2 } ) , } \\ { E _ { \mathrm { s k i n } } \sim N ( \overline { { E _ { \mathrm { s k i n } } } } , \sigma _ { \mathrm { s k i n } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ^ { > } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) } & { { } = - i \langle c ( t _ { 1 } ) c ^ { \dagger } ( t _ { 2 } ) \rangle , } \\ { G ^ { < } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) } & { { } = i \langle c ^ { \dagger } ( t _ { 2 } ) c ( t _ { 1 } ) \rangle . } \end{array}
\widetilde { p } ^ { - 1 } ( D ^ { \sigma } ( [ \widetilde { x } ] , R ) ) \cap \widetilde { { \mathcal W } } _ { f } ^ { \sigma } ( \widetilde { y } ) \subset \widetilde { { \mathcal W } } _ { f } ^ { \sigma } ( \widetilde { y } , R _ { 1 } ) \; \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ } \widetilde { y } \; \mathrm { ~ w i t h ~ } [ \widetilde { y } ] = [ \widetilde { x } ] , \sigma = s , u .
{ \cal L } _ { X } \, = \, \frac { g _ { S } ( M _ { X } ) } { \sqrt 2 } \big [ { \cal D } _ { \ell n } \big ( \bar { \ell } \gamma _ { \alpha } d _ { n } ^ { c } \big ) + \big ( { \cal K ^ { + } \; \cal U } \big ) _ { i p } \big ( \bar { \nu _ { i } } \gamma _ { \alpha } u _ { p } ^ { c } \big ) \big ] X _ { \alpha } ^ { c } + h . c .
\begin{array} { r l } { J ( - 1 , \sigma ) } & { = \int _ { ( 2 \sigma - 1 ) \log 2 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - u } } { u } d u } \\ & { = \int _ { ( 2 \sigma - 1 ) \log 2 } ^ { 1 / 1 0 0 } \frac { e ^ { - u } } { u } d u + O ( 1 ) } \\ & { = \int _ { ( 2 \sigma - 1 ) \log 2 } ^ { 1 / 1 0 0 } \frac { 1 + O ( u ) } { u } d u + O ( 1 ) } \\ & { = \log \left( \frac { 1 } { \sigma - 1 / 2 } \right) + O ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \Big [ ( H - \mathop { \mathbb { E } } [ H ] ) ( P - \mathop { \mathbb { E } } [ P ] ) \Big ] } & { = \mathop { \mathbb { E } } \bigg [ \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( P - \mu _ { P } \right) + \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( E - \mu _ { E } \right) \bigg ) \bigg ( \left( P - \mu _ { P } \right) \bigg ) \bigg ] } \\ & { = \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \mathop { \mathbb { E } } \bigg [ \left( P - \mu _ { P } \right) \left( P - \mu _ { P } \right) \bigg ] + \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \mathop { \mathbb { E } } \bigg [ \left( E - \mu _ { E } \right) \left( P - \mu _ { P } \right) \bigg ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( V - V _ { 0 } \right) \operatorname { C o v } \left( P , P \right) + \operatorname { C o v } \left( E , P \right) } \\ { K _ { H P } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( V - V _ { 0 } \right) K _ { P P } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) + K _ { E P } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i } ^ { 2 } \mathbb { E } [ Y _ { i } ^ { 2 } \mid N \geq 1 ] } & { \le \alpha _ { i } ^ { 2 } \mathbb { E } [ Y _ { i } ^ { 2 } \mid \alpha _ { i } Y _ { i } > A ] q _ { i } + \alpha _ { i } ^ { 2 } \mathbb { E } [ Y _ { i } ^ { 2 } \mid \alpha _ { i } Y _ { i } \leq A ] } \\ & { \leq c _ { 2 } A ^ { 2 } q _ { i } + \alpha _ { i } ^ { 2 } \mathbb { E } [ Y _ { i } ^ { 2 } ] , } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { \textbf { y } } \operatorname* { m i n } _ { \textbf { x } } J _ { P D } = \operatorname* { m a x } _ { \textbf { y } } \operatorname* { m i n } _ { \textbf { x } } \textbf { y } ^ { H } ( \textbf { K x } ) + g ( \textbf { x } ) + f ^ { * } ( \textbf { y } ) ,
m _ { 1 } \ldots m _ { n } ( a _ { 1 } b _ { 1 } ^ { - 1 } a _ { 1 } ^ { - 1 } b _ { 1 } ) \ldots ( a _ { g } b _ { g } ^ { - 1 } a _ { g } ^ { - 1 } b _ { g } ) = i d .
\begin{array} { r l } { \left| B _ { 1 } \setminus A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } & { \leqslant \left| B _ { 1 } \cap \left( \frac { n } { 3 } , i _ { m } \right] \right| + \left| \left\{ x \in \left( i _ { M } , \frac { 2 n } { 3 } \right] : x \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ 3 \nmid ~ x ~ } \right\} \right| } \\ & { \leqslant \left\lceil \frac { 2 } { 3 } \left( i _ { m } - \frac { n } { 3 } \right) \right\rceil + \left\lceil \frac { 2 n } { 9 } - \frac { i _ { M } } { 3 } \right\rceil } \\ & { \leqslant \frac { 2 i _ { m } } { 3 } - \frac { i _ { M } } { 3 } + 2 } \\ & { \leqslant \frac { i _ { m } } { 3 } - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 9 } + 4 , } \end{array}
\mathrm { d c a y } _ { \tilde { \mathbf { x } } } \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) = 2 \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } \tilde { \mathbf { y } } \left( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r } { \dot { x } = \{ x ^ { } , H \} = \delta ^ { i j } \frac { \partial H } { \partial v ^ { j } } = \Pi ^ { x ^ { i } x ^ { j } } \frac { \partial H } { \partial x ^ { j } } + \Pi ^ { x ^ { i } v ^ { j } } \frac { \partial H } { \partial v ^ { j } } = v ^ { } } \end{array} ,
\begin{array} { r l } & { \frac { ( 1 + A ) ( 1 + \eta ^ { 2 } B ) + ( 1 + B ) ( 1 + \eta ^ { 2 } A ) - ( ( 1 + A ) + ( 1 + B ) ) \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } A } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } B } ) } { ( 1 + \eta ^ { 2 } A ) ( 1 + \eta ^ { 2 } B ) } } \\ { = } & { \frac { ( 1 + A ) ( 1 + \eta ^ { 2 } B - \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } A } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } B } ) + ( 1 + B ) ( 1 + \eta ^ { 2 } A - \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } A } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } B } ) } { ( 1 + \eta ^ { 2 } A ) ( 1 + \eta ^ { 2 } B ) } } \\ { = } & { \frac { ( 1 + A ) \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } B } ( \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } B } - \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } A } ) + ( 1 + B ) \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } A } ( \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } A } - \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } B } ) } { ( 1 + \eta ^ { 2 } A ) ( 1 + \eta ^ { 2 } B ) } } \\ { = } & { \frac { ( \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } B } - \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } A } ) ( ( 1 + A ) \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } B } - ( 1 + B ) \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } A } ) } { ( 1 + \eta ^ { 2 } A ) ( 1 + \eta ^ { 2 } B ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | z ( s ) | } & { \leq } & { | z ( s _ { 0 } ) | + 2 | z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) | [ | x ( s ) | + | x ( s _ { 0 } ) | ] } \\ & { \leq } & { ( 2 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 | h ( 0 , 0 ) | x ( s _ { 0 } ) ^ { N } ) C + 2 ( 4 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s _ { 0 } ) + 4 N x ( s _ { 0 } ) ^ { N - 1 } | h ( 0 , 0 ) | ) C \cdot 2 x ( s ) } \\ & { \leq } & { ( 2 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) ^ { 2 } + 2 | h ( 0 , 0 ) | x ( s ) ^ { N } ) C + 4 x ( s ) ( 4 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) + 4 N x ( s ) ^ { N - 1 } | h ( 0 , 0 ) | ) C } \\ & { = } & { ( 1 8 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) ^ { 2 } + 1 8 N | h ( 0 , 0 ) | x ( s ) ^ { N } ) C . } \end{array}
\eta \sim ( q _ { 3 } , q _ { 2 } ^ { \prime } , q _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } ) , ~ ~ ~ \chi \sim ( q _ { 3 } ^ { * } , q _ { 2 } ^ { \prime \prime } , - q _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } ) .