harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
M _ { u } = \left( \begin{array} { c c c } { { e ^ { i ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 4 } ) } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i ( \theta _ { 3 } - \theta _ { 5 } ) } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { A _ { 1 2 } } } & { { 0 } } \\ { { A _ { 2 1 } } } & { { 0 } } & { { A _ { 2 3 } } } \\ { { 0 } } & { { A _ { 3 2 } } } & { { A _ { 3 3 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { { e ^ { i ( \theta _ { 5 } - \theta _ { 3 } + \theta _ { 2 } ) } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i ( \theta _ { 4 } ) } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { e ^ { i ( \theta _ { 5 } ) } } } \end{array} \right) \equiv P _ { ( u ) L } \tilde { M _ { u } } P _ { ( u ) R }
\mathbf { D } ^ { - } = \left[ \begin{array} { l l l } { - g _ { \mathrm { L 1 } } k _ { \mathrm { L 1 } z } } & { - g _ { \mathrm { L 2 } } k _ { \mathrm { L 2 } z } } & { g _ { \mathrm { S } } k _ { x } } \\ { k _ { x } } & { k _ { x } } & { k _ { \mathrm { S } z } } \\ { h _ { \mathrm { L 1 } } k _ { \mathrm { L 1 } z } } & { h _ { \mathrm { L 2 } } k _ { \mathrm { L 2 } z } } & { - h _ { \mathrm { S } } k _ { x } } \end{array} \right]
d \tilde { s } ^ { 2 } = \eta _ { A B } \, d X ^ { A } \, d X ^ { B } = - ( d X ^ { 0 } ) ^ { 2 } + ( d X ^ { 1 } ) ^ { 2 } + \dots + ( d X ^ { d + 1 } ) ^ { 2 } \equiv - ( d X ^ { 0 } ) ^ { 2 } + d \vec { X } \cdot d \vec { X } \, ,
\begin{array} { r l } { r _ { \mathrm { s p } } ( \hbar \omega ) = } & { \left( \frac { P ^ { 2 } n _ { r } e ^ { 2 } \hbar \omega } { 6 \pi ^ { 3 } \hbar ^ { 4 } c ^ { 3 } \varepsilon _ { 0 } } \right) \sum _ { v } \left( \frac { 2 m _ { c , v } ^ { * } } { \hbar ^ { 2 } } \right) k _ { 0 , v } } \\ & { \times f \left( \frac { E _ { c } ^ { 0 } - E _ { f _ { n } } } { k _ { B } T } \right) f \left( \frac { E _ { f _ { p } } - E _ { v } ^ { 0 } } { k _ { B } T } \right) } \\ { R _ { \mathrm { r a d } } ( x ) = } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \biggl [ r _ { \mathrm { s p } } ( E , x ) - r _ { \mathrm { s p } } ^ { \mathrm { e q } } ( E , x ) \biggr ] \mathrm { d } E } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } u ^ { \nu } p ^ { \nu } \phi \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t \to \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } u p \phi \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t .
\alpha A _ { \mathrm { ~ T ~ R ~ } } = A _ { \mathrm { ~ T ~ R ~ , ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ } } / A _ { \mathrm { ~ T ~ R ~ , ~ m ~ e ~ a ~ s ~ u ~ r ~ e ~ } } = \Delta V _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ u ~ r ~ e ~ } } / \Delta V _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ } }
c _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { b _ { 2 } } = \underbrace { \theta _ { k } \frac { d _ { s _ { i } } } { v _ { w } } } _ { \mathrm { w a l k i n g } } + \underbrace { \alpha _ { k } w _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } + \beta _ { k } \frac { l _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } } { v _ { p } } + \gamma _ { k } r ^ { p } l _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } } _ { \mathrm { p u b l i c ~ t r a n s i t } } + \underbrace { \alpha _ { k } w _ { j } ^ { a } + \beta _ { k } \frac { d _ { s _ { j } } } { v _ { a } } + \gamma _ { k } ( b + r _ { j } ^ { a } d _ { s _ { j } } ) } _ { \mathrm { l a s t ~ l e g ~ A M o D } } ,
\begin{array} { r } { 2 c _ { 0 } ( R _ { 2 } R _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } h \leq \mu h ^ { 2 } \leq \nu , \quad \mu \nu \geq \frac { 1 } { 2 } \frac { \| \Delta \mathbf { g } ^ { 0 } \| _ { 2 } } { \sqrt { R _ { 2 } R _ { 0 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Psi ( z ) \geqslant \sqrt { \frac { c \sqrt { \kappa + \eta } } { N \eta } } + \frac { 1 } { N \eta } \geqslant C N ^ { - 1 / 2 } \eta ^ { - 1 / 4 } \geqslant C \tau ^ { 1 / 4 } N ^ { - 1 / 2 } , } \\ & { \Psi ( z ) \leqslant \sqrt { \frac { c ^ { - 1 } \sqrt { \kappa + \eta } } { N \eta } } + \frac { 1 } { N \eta } \leqslant C \sqrt { \frac { \tau ^ { - 1 / 2 } } { N N ^ { - 1 + \tau / 1 0 } } } + \frac { 1 } { N N ^ { - 1 + \tau / 1 0 } } \leqslant C \tau ^ { - 1 / 4 } N ^ { - \tau / 2 0 } , } \end{array}
{ \mathcal { E } } = \int _ { \partial \Sigma } ( \mathbf { E } + \mathbf { v } _ { m } \times \mathbf { B } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { l } = - \int _ { \Sigma } { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } \cdot \mathrm { d } \Sigma + \oint _ { \partial \Sigma } ( \mathbf { v } _ { m } \times \mathbf { B } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { l }
\begin{array} { r l } { { \hat { H } } _ { D } = { } } & { { } 2 g _ { \mathrm { I } } \mu _ { \mathrm { N } } \mu _ { \mathrm { B } } { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } { \frac { 1 } { L _ { z } } } \sum _ { i } { \frac { { \hat { l } } _ { z i } } { r _ { i } ^ { 3 } } } \mathbf { I } \cdot \mathbf { L } } \end{array}
\sigma ( r ) = \frac { 1 6 } { 3 } \int d ^ { 2 } \vec { k } \, \frac { \alpha _ { s } ^ { 2 } ( { \vec { k } \, } ^ { 2 } ) \, { \cal F } ( k ^ { 2 } ) } { ( k ^ { 2 } + \mu _ { g } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( 1 - e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } \right) .
g ( p ) \approx \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \frac { 1 } { ( p - q ) ^ { 2 } } \frac { g ( q ) } { \left| - \frac { 1 } { 2 } \delta + i q _ { 3 } + \frac { \left| { \bf q } \right| ^ { 2 } } { 2 m } - \frac { 1 } { 4 \pi } \ln \frac { 1 } { 2 m } ( - \frac { 1 } { 2 } \delta + i q _ { 3 } + \frac { \left| { \bf q } \right| ^ { 2 } } { 2 m } ) \right| ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { D } \mathbf { T } } & { { } = ( \mathbf { D } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { T } } & { = \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \mathbf { I } - z ^ { 2 } ( \mathbf { D } ^ { 2 } + z ^ { 2 } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \right) \mathbf { T } d z , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \langle 0 | \bar { u } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } u - \bar { d } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } d | \pi ^ { 0 } \rangle = i f _ { \pi } p ^ { \mu } \exp ( - i p \cdot x ) .
\nabla \left( \phi _ { 1 } + \phi _ { 1 ^ { \prime } } \right) \big | _ { { \upSigma } _ { b 2 } } \cdot \, \boldsymbol { n } _ { 2 } = \nabla \left[ \phi _ { 2 1 } + \phi _ { 2 1 ^ { \prime } } + \phi _ { 2 2 } + \phi _ { 2 2 ^ { \prime } } + F ( r , z ) \right] \big | _ { { \upSigma } _ { b 2 } } \cdot \, \boldsymbol { n } _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \hat { n } _ { + } ( k ) } & { = ( 1 , 1 , 1 ) R ( k ) \overline { { M _ { + } ^ { A } ( \bar { k } ) } } R ( k ) ^ { - 1 } = ( 1 , 1 , 1 ) R ( k ) \overline { { M _ { - } ^ { A } ( \bar { k } ) } } \overline { { v ^ { A } ( \bar { k } ) } } R ( k ) ^ { - 1 } } \\ & { = ( 1 , 1 , 1 ) R ( k ) \overline { { M _ { - } ^ { A } ( \bar { k } ) } } R ( k ) ^ { - 1 } v ( k ) = \hat { n } _ { - } ( k ) v ( k ) . } \end{array}
C _ { p } \frac { d \langle \rho u _ { z } T \rangle _ { A , t } } { d z } - \Big \langle u _ { j } \frac { \partial p } { \partial x _ { j } } \Big \rangle _ { A , t } = \frac { d } { d z } \Big \langle k \frac { d T _ { \mathrm { s a } } } { d z } \Big \rangle _ { A , t } + \langle \sigma _ { i j } S _ { i j } \rangle _ { A , t }
\frac { 7 2 Y / Y _ { f } } { 7 \left[ 1 - \left( 1 - Y / Y _ { f } \right) ^ { 1 / 4 } \right] } + 2 > \frac { m _ { H } ^ { 2 } ( 0 ) } { m _ { X } ^ { 2 } } > \frac { 2 \left( 1 + 5 Y / 7 Y _ { f } \right) } { ( 1 - Y / Y _ { f } ) } .
S _ { F } ^ { - 1 } ( p _ { f } ) = S _ { F } ^ { ( 0 ) - 1 } ( p _ { f } ) - { \frac { e } { \beta } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int { \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \gamma ^ { \nu } S _ { F } ( k _ { f } ) \Delta _ { \mu \nu } ( k _ { f } - p _ { f } ) \Gamma ^ { \mu } ( k _ { f } - p _ { f } , k _ { f } ) .
\begin{array} { r l r } { \stackrel { \triangledown } { \vec { A } } } & { = } & { \frac { \partial \vec { A } _ { L } } { \partial t } - \vec { F } ^ { T } \cdot \vec { F } ^ { - T } \cdot \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) ^ { T } \cdot \vec { A } _ { L } - \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \cdot \vec { F } \cdot \boldsymbol { \nabla } \vec { u } } \\ & { = } & { \frac { \partial \vec { A } _ { L } } { \partial t } + \vec { F } ^ { T } \cdot \frac { \partial \vec { F } ^ { - T } } { \partial t } \cdot \vec { A } _ { L } - \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \cdot \frac { \partial \vec { F } } { \partial t } = \frac { \partial \vec { A } _ { L } } { \partial t } + \vec { F } ^ { T } \cdot \frac { \partial \vec { F } ^ { - T } } { \partial t } \cdot \vec { A } _ { L } + \vec { A } _ { L } \cdot \frac { \partial \vec { F } ^ { - 1 } } { \partial t } \cdot \vec { F } . } \end{array}
\delta g _ { \mu \nu } ( x , \tau , \sigma , f ) = ( F \xi ) _ { \mu \nu } ( x ) + 2 [ f ^ { \star } \delta \sigma \bar { g } _ { \mu \nu } ] ( x ) + [ f ^ { \star } \frac { \partial \bar { g } _ { \mu \nu } } { \partial \tau _ { i } } \delta \tau _ { i } ] ( x ) \; .
\begin{array} { r l } { W _ { \mathrm { C a t \, ( Q = 2 , P = 0 ) } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { \exp ( - \mathbf { r } \cdot \mathbf { r } ) \left( \exp ( - 2 \alpha \cdot \alpha ) \cosh \left( 2 \sqrt { 2 } \mathbf { r } \cdot \alpha \right) + \cos \left( 2 \sqrt { 2 } \mathbf { r } \cdot ( \varpi \alpha ) \right) \right) } { \pi ( \exp ( - 2 \alpha \cdot \alpha ) + 1 ) } } \\ { W _ { \mathrm { F o c k \, ( n = 1 ) } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { e ^ { - \mathbf { r } \cdot \mathbf { r } } \left( 2 \mathbf { r } \cdot \mathbf { r } - 1 \right) } { \pi } } \\ { W _ { \mathrm { C o h e r e n t , \, v a c u u m } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { e ^ { - \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { r } } { 2 } } } { 2 \pi } , } \end{array}
H _ { \mu \nu } = \frac 1 { 2 n } \left( \frac { \partial } { \partial y } g _ { \mu \nu } - \nabla _ { \mu } n _ { \nu } - \nabla _ { \nu } n _ { \mu } \right) = \frac 1 2 \frac { \partial } { \partial y } g _ { \mu \nu } ,
{ \frac { 1 } { 2 } } \, \frac { 1 } { 1 6 \pi x ^ { 2 } s ^ { 2 } } \sum _ { \lambda _ { \ell } ^ { \, } , \lambda _ { q } ^ { \, } , \lambda _ { q } ^ { \prime } } \hat { M } _ { \lambda _ { \ell } ^ { \, } , \lambda _ { q ^ { \prime } } ^ { \, } ; \lambda _ { \ell } ^ { \, } , \lambda _ { q } ^ { \, } } ^ { q } \hat { M } _ { \lambda _ { \ell } ^ { \, } , \lambda _ { q ^ { \prime } } ^ { \prime } ; \lambda _ { \ell } ^ { \, } , \lambda _ { q } ^ { \prime } } ^ { q \textstyle { * } } \rho _ { \lambda _ { q } ^ { \, } , \lambda _ { q } ^ { \prime } } ^ { q / N , S } = \frac { d \hat { \sigma } ^ { q , P _ { q } } } { d \hat { t } } \rho _ { \lambda _ { q ^ { \prime } } ^ { \, } , \lambda _ { q ^ { \prime } } ^ { \prime } } ^ { q ^ { \prime } }
\mathrm { d } \left( \sum _ { i } p _ { i } { \dot { q } } ^ { i } - { \mathcal { L } } \right) = \sum _ { i } \left( - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial q ^ { i } } } \mathrm { d } q ^ { i } + { \dot { q } } ^ { i } \mathrm { d } p _ { i } \right) - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial t } } \mathrm { d } t
\gamma _ { A } ( g _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } ) = - \frac { g _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 7 } 6 - \frac { \alpha _ { \mathrm { R } } } 2 - \beta _ { \mathrm { R } } \right] ,
d s ^ { 2 } = \left( { \frac { r } { R } } \right) ^ { \frac { 2 } { \omega } } \, d x ^ { m } \, \eta _ { m n } \, d x ^ { n } + \left( { \frac { R } { r } } \right) ^ { 2 } d x ^ { m ^ { \prime } } \delta _ { m ^ { \prime } n ^ { \prime } } d x ^ { n ^ { \prime } } \ .
\begin{array} { r l } { R _ { \lambda , B ^ { T } , \sigma } } & { = \boldsymbol { 1 } + \sum _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } ( ( b _ { \sigma ( j ) \lambda } - 1 ) E _ { r r } - b _ { r \sigma ^ { - 1 } ( j ) } E _ { r \lambda } ) = \sum _ { r = 1 } ^ { \lambda } E _ { r r } + \sum _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } ( b _ { \sigma ( j ) \lambda } E _ { r r } - b _ { \sigma ( j ) r } E _ { r \lambda } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \delta v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { P E } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) } = - \sum _ { t } \sum _ { s } \mathbf { T } _ { \mathrm { a } t } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) \mathbf { R } _ { t s } \mathbf { T } _ { \mathrm { a } s } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) . } \end{array}
\hat { \psi } ( \mathbf { x } , f ) \approx \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sqrt { \lambda _ { j } ( f ) } \hat { \phi } _ { j } ( \mathbf { x } , f ) , \! \lambda _ { 1 } \geq \lambda _ { 2 } . . . \lambda _ { N } \geq 0
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \exp ( \iota t L ) = \mathbb { E } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ell _ { i } \right) = \mathbb { E } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \iota t \ell _ { i } } { \vartheta n } \right) = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \exp \left( \frac { \iota t \ell _ { i } } { \vartheta n } \right) = \psi ^ { n } \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { Q } ^ { \prime } [ \{ u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } , \{ v _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } , \{ w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } ] \right) ^ { 2 } \geq c ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } } & { \frac { ( | \alpha _ { i } | ! ) ^ { 3 } } { \alpha _ { i } ! \beta _ { i } ! \gamma _ { i } ! } \left| u ^ { \alpha _ { i } } v ^ { \beta _ { i } } w ^ { \gamma _ { i } } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { I } } _ { 3 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k , s _ { k + \beta + 1 } ; \hbar ) = } & { \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - 1 } } \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k } } \int _ { [ 0 , t _ { 0 } ] ^ { \beta + k } } \boldsymbol { 1 } _ { [ s _ { k + \beta + 1 } , t ] } ( s _ { k + \beta } ) V _ { \hbar , x _ { k - 1 } } ^ { s _ { k + \beta + 1 } } \tilde { \Theta } _ { \beta } ^ { \mathrm { d o b } } ( \boldsymbol { s } _ { \beta + k , k } ; V , \hbar ) } \\ & { \times \prod _ { m = 1 } ^ { k } \Theta _ { \alpha _ { m } } ( s _ { m - 1 } , { s } _ { m } , x _ { \iota ( m ) } ; V , \hbar ) U _ { \hbar , 0 } ( - t ) \, d \boldsymbol { s } _ { k , 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \pm \mu = \frac { 1 } { \Delta t } \mathbb { E } _ { \xi } \Bigg [ \log { \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ) } } \mid H ^ { \pm } \Bigg ] ; } \\ { \rho _ { 1 - c , \Delta t } ^ { 2 } ( t ) = \frac { ( 1 - c ) } { \Delta t } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \xi } \Bigg [ \log { \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ) } } \mid H ^ { \pm } \Bigg ] ; } \\ { \rho _ { c , \Delta t } ^ { 2 } ( t ) = \frac { c } { \Delta t } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \xi } \Bigg [ \log { \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ) } } \mid H ^ { \pm } \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { i } ^ { \mathrm { K I P Z } } = } & { { } - \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } _ { i } ^ { \mathrm { P Z } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s + f _ { i } \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } _ { i } ^ { \mathrm { P Z } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s - E _ { \mathrm { H x c } } [ \rho _ { i } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { F ( 1 - r ) } { E _ { t 0 } } = } & { O ( 1 / \xi ) + 2 - r r _ { \textrm { E F } } + \frac { I _ { c } } { I _ { t 0 } } } \\ { + } & { 2 i ( \alpha - \frac { \xi } { 2 } + I _ { t 0 } - 2 I } \\ & { - \frac { I _ { r \mu } ( \alpha - \alpha _ { r } ^ { \textrm { o p t } } ) + I _ { t \mu } ( \alpha - \alpha _ { t } ^ { \textrm { o p t } } ) } { I _ { t 0 } } ) . } \end{array}
\mathrm { \large ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } ( W _ { m } ^ { ( 0 ) } , W _ { m } ^ { ( 0 ) } ) ^ { a } - V _ { m } ^ { a } W _ { m } ^ { ( 0 ) } = 0 , \qquad \mathrm { \large ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \{ W _ { m } ^ { ( 0 ) } , W _ { m } ^ { ( 0 ) } \} _ { A } - V _ { A } W _ { m } ^ { ( 0 ) } = 0 ,
p _ { 0 } - p + 2 \rho \nu \frac { \partial w } { \partial z } - \sigma \frac { \partial ^ { 2 } \zeta } { \partial x ^ { 2 } } = - \zeta \frac { \partial } { \partial z } \left( p _ { 0 } - p + 2 \rho \nu \frac { \partial w } { \partial z } \right) + \frac { \partial \zeta } { \partial x } \rho \nu \left( \frac { \partial u } { \partial z } + \frac { \partial w } { \partial x } \right) \; .
R _ { 1 2 } ^ { \l \mu } ( x ) R _ { 1 3 } ^ { \l \nu } ( x y ) R _ { 2 3 } ^ { \mu \nu } ( y ) = R _ { 2 3 } ^ { \mu \nu } ( y ) R _ { 1 3 } ^ { \l \nu } ( x y ) R _ { 1 2 } ^ { \l \mu } ( x ) .
\frac { 1 } { L } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left[ F \left( \frac { 2 n + 1 } { L } \right) + F \left( \frac { 2 n } { L } \right) \right] = \frac { 1 } { L } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } F \left( \frac { n } { L } \right) .
\varepsilon ^ { l } ( \omega , { \bf k } ) = 1 + \frac { 3 \omega _ { p l } ^ { 2 } } { { \bf k } ^ { 2 } } \bigg [ 1 - F \bigg ( \frac { \omega } { \vert { \bf k } \vert } \bigg ) \bigg ] \; , \; F ( x ) \equiv \frac { x } { 2 } \bigg [ \ln \bigg \vert \frac { 1 + x } { 1 - x } \bigg \vert - i \pi \theta ( 1 - \vert x \vert ) \bigg ]
d s ^ { 2 } = - ( 1 + \frac { Z _ { 0 } } { 3 r ^ { 2 } } ) ^ { - 2 } d t ^ { 2 } + ( 1 + \frac { Z _ { 0 } } { 3 r ^ { 2 } } ) ( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } )
\langle 0 | \overline { { { q } } } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } h _ { v } | P ( v ) \rangle = i F _ { P } v ^ { \mu } ~ ~ , ~ ~ ~ \langle 0 | \overline { { { q } } } \gamma ^ { \mu } h _ { v } | P ^ { * } ( v , \epsilon ) \rangle = F _ { V } \epsilon ^ { \mu } \, ,
\begin{array} { r l r } { J } & { = } & { \frac { 2 m q } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { { \cal E } _ { F } } ( { \cal E } _ { F } - { \cal E } ) \frac { 1 } { 1 + e ^ { G ( { \cal E } ) } } ~ d { { \cal E } } } \\ & { \approx } & { \frac { 2 m q } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { { \cal E } _ { F } } ( { \cal E } _ { F } - { \cal E } ) e ^ { - G ( { \cal E } ) } \left[ 1 - e ^ { - G ( { \cal E } ) } + \ldots \right] ~ d { { \cal E } } } \end{array}
S _ { \mu } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } , \omega ) \sim \left| \mathbf { k } \lambda _ { c } \right| ^ { \mu } e ^ { - \left| \mathbf { k } \lambda _ { c } \right| ^ { 2 } ( 2 + \mu ) / 4 } e ^ { - \frac { \omega ^ { 2 } \tau _ { c } ^ { 2 } } { 2 } } \longrightarrow \mathcal { E } _ { \mu } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) = e ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { 2 \tau _ { c } ^ { 2 } } } L _ { - \frac { \mu } { 2 } - 1 } \left( - \frac { | \mathbf { x } | ^ { 2 } } { 2 \left( \frac { \mu } { 2 } + 1 \right) \lambda _ { c } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ } } } \! \! \! \frac { d \tau } { \tau _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ } } } \big \langle \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 1 0 } \big | \delta n _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } e ^ { i \omega _ { w } \tau } \big | \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 0 0 } \big \rangle \ll \big \langle \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 1 0 } \big | \delta n \big | \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 0 0 } \big \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D S G } & { R N \quad p a r a m e t e r \quad F P : \quad } \\ { X : \quad } & { l _ { X , Y } l _ { X , Z } < \theta _ { Y , X } < h _ { X , Y } l _ { X , Z } , \; l _ { X , Y } h _ { X , Z } < h _ { X , Y } h _ { X , Z } } \\ { Y : \quad } & { l _ { Y , X } < \theta _ { Z , Y } < \theta _ { X , Y } < h _ { Y , X } } \\ { Z : \quad } & { l _ { Z , Y } < h _ { Z , Y } < \theta _ { X , Z } } \end{array}
| E _ { \mu } ^ { i } | ^ { 2 } - | E _ { \mu } ^ { o } | ^ { 2 } = - 2 \textrm { R e } [ e ^ { i ( \epsilon - \gamma ) } \sqrt { \frac { 2 K } { K + 1 } } E _ { \mu } ^ { * } x F \delta _ { \mu , 0 } ] - \frac { 2 K } { K + 1 } I _ { \mu }
\sigma ^ { 2 } = 1 + 2 \xi \left( \sqrt { \xi ^ { 2 } + 1 } + \xi \right) , \qquad \sigma = \sqrt { \xi ^ { 2 } + 1 } + \xi , \qquad \frac { 1 } { \sigma } = \sqrt { \xi ^ { 2 } + 1 } - \xi ,
d _ { p } G \vert _ { ( t , p ) } = \left( \begin{array} { c c } { \frac { \left\langle V _ { 1 } , F _ { 1 } \right\rangle } { \| F _ { 1 } \| ^ { 2 } } } & { \frac { \left\langle V _ { 2 } , F _ { 1 } \right\rangle } { \| F _ { 1 } \| ^ { 2 } } } \\ { \frac { \left\langle V _ { 1 } , F _ { 2 } \right\rangle } { \| F _ { 2 } \| ^ { 2 } } } & { \frac { \left\langle V _ { 2 } , F _ { 2 } \right\rangle } { \| F _ { 2 } \| ^ { 2 } } } \end{array} \right) ( t , p ) .
{ \frac { 1 } { 2 } } D _ { 0 } ( { \hat { q } } ) = { \hat { q } } ^ { 2 } - { \frac { \lambda ( m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } , M ^ { 2 } ) } { 4 M ^ { 2 } } } ; \quad \lambda = M ^ { 4 } - 2 M ^ { 2 } ( m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) + ( m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 }
E ^ { \lambda } ( M _ { o } ^ { \lambda } , f ) = \frac { \langle R _ { \Theta \Phi } \rangle } { 2 \sqrt { 2 } \pi \rho _ { s } \beta _ { s } ^ { 3 } } ~ M _ { o } ^ { \lambda } ~ \frac { f ^ { 2 } } { 1 + ( \frac { f } { f _ { c } } ) ^ { 2 } }
x \ \mapsto \ \epsilon _ { L } ^ { U _ { n } G } \circ \epsilon ^ { H U _ { n } } \bigl ( h \bigr ) \cdot x \cdot \epsilon _ { R } ^ { U _ { 1 } G } \circ \epsilon ^ { H U _ { 1 } } \bigl ( h ^ { - 1 } \bigr ) \ \ .
\begin{array} { r } { g _ { \mathrm { t h r } } = \underbrace { \frac { ( 1 - \beta ) g _ { 0 } } { 1 + I _ { \mathrm { W } } / { I _ { \mathrm { s a t } } } } } _ { \mathrm { w i d e ~ s e c t i o n s } } + \underbrace { \frac { \beta g _ { 0 } } { 1 + \alpha I _ { \mathrm { W } } / { I _ { \mathrm { s a t } } } } } _ { \mathrm { n a r r o w ~ s e c t i o n s } } = \underbrace { \frac { g _ { 0 } } { 1 + I _ { H } / { I _ { \mathrm { s a t } } } } } _ { \mathrm { h o m o g e n e o u s ~ w a v e g u i d e } } } \end{array}
x _ { o d } ( t ) = \frac { | v _ { 0 } | - ( \tilde { \gamma } - \tilde { \alpha } ) x _ { 0 } } { 2 \tilde { \alpha } } e ^ { - ( \tilde { \gamma } + \tilde { \alpha } ) t } = x _ { 0 } e ^ { - ( \tilde { \gamma } + \tilde { \alpha } ) t } \, ,
\begin{array} { r l } { S ( \nu _ { 1 S / 2 S } ) } & { { } = \frac { 2 8 8 x ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } } \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { n ( n ^ { 2 } - 1 ) \left[ n ^ { 2 } - n ( x + 9 / 4 ) + 1 / x ^ { 2 } + 2 \right] } { n - 1 / x } \left( \frac { 1 - x } { 1 + x } \right) ^ { n - 3 } \left( \frac { 1 / 2 - x } { 1 / 2 + x } \right) ^ { n - 4 } } \end{array}
A ( K ^ { 0 } \rightarrow \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) = \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } A _ { 0 } e ^ { i \delta _ { 0 } } + \sqrt { \frac { 1 } { 3 } } A _ { 2 } e ^ { i \delta _ { 2 } } ~ ,
\begin{array} { r l } { \overline { { D } } r \left( \Delta \varphi - \frac { \varphi } { r ^ { 2 } } \right) - \phi \varphi } & { { } = 0 } \\ { \frac { 1 } { \overline { { \alpha } } ( 1 - \overline { { \nu } } _ { A } ^ { 2 } ) } r \left( \Delta \phi - \frac { \phi } { r ^ { 2 } } \right) + \frac { \varphi ^ { 2 } } { 2 } } & { { } = 0 . } \end{array}
{ } J ^ { \mu } ( 0 ) = \langle P _ { 2 } | \bar { Q _ { 2 } } \gamma ^ { \mu } Q _ { 1 } | P _ { 1 } \rangle = f _ { + } ( q ^ { 2 } ) ( P _ { 1 } + P _ { 2 } ) ^ { \mu } + f _ { - } ( q ^ { 2 } ) q ^ { \mu } ,
\begin{array} { r } { \sum _ { k = - 2 } ^ { 2 } \langle \Psi ^ { J M n } \vert { D _ { 0 k } ^ { 2 } } ^ { * } \alpha ^ { \mathrm { B F } , ( 2 , k ) } \vert \Psi ^ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } n ^ { \prime } } \rangle - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \langle \Psi ^ { J M n } \vert \alpha ^ { \mathrm { B F } , ( 0 ) } \vert \Psi ^ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } n ^ { \prime } } \rangle = } \\ { \sum _ { k = - 2 } ^ { 2 } \Big ( \sum _ { v , v ^ { \prime } } \langle v \vert \alpha ^ { \mathrm { B F } , ( 2 , k ) } \vert v ^ { \prime } \rangle \sum _ { K , K ^ { \prime } } { C _ { K v } ^ { J n } } ^ { * } C _ { K ^ { \prime } v ^ { \prime } } ^ { J ^ { \prime } n ^ { \prime } } \langle J K M \vert { D _ { 0 k } ^ { 2 } } ^ { * } \vert J ^ { \prime } K ^ { \prime } M ^ { \prime } \rangle \Big ) } \\ { - \delta _ { J J ^ { \prime } } \delta _ { M M ^ { \prime } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { v , v ^ { \prime } } \langle v \vert \alpha ^ { \mathrm { B F } , ( 0 ) } \vert v ^ { \prime } \rangle \sum _ { K } { C _ { K v } ^ { J n } } ^ { * } C _ { K v ^ { \prime } } ^ { J n ^ { \prime } } , } \end{array}