harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\beta _ { L } = \sqrt { \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { L } ^ { 2 } } } , \quad \beta _ { T } = \sqrt { \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { T } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { \tau _ { n \mathbf { k } \to m \mathbf { k } + \mathbf { q } } ^ { \mathrm { p h } } } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { u c } } } \sum _ { \nu } \frac { 2 \pi } { \hbar } \left| g _ { m n \nu } ( \mathbf { k } , \mathbf { q } ) \right| ^ { 2 } } \\ & { } & { \times \big [ ( n _ { \mathbf { q } \nu } + 1 - f _ { m \mathbf { k } + \mathbf { q } } ^ { 0 } ) \delta ( \epsilon _ { n \mathbf { k } } \! - \! \epsilon _ { m \mathbf { k } + \mathbf { q } } - \hbar \omega _ { \mathbf { q } \nu } ) } \\ & { } & { + ( n _ { \mathbf { q } \nu } + f _ { m \mathbf { k } + \mathbf { q } } ^ { 0 } ) \delta ( \epsilon _ { n \mathbf { k } } \! - \! \epsilon _ { m \mathbf { k } + \mathbf { q } } + \hbar \omega _ { \mathbf { q } \nu } ) \big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \textnormal { m a x i m i z e } } & { } & { \sum _ { i \in I } \sum _ { j \in J } \overline { { c } } _ { i j } x _ { i j } } \\ { \textnormal { s u b j e c t t o } } & { } & { \sum _ { j \in J } x _ { i j } } & { \le \overline { { s } } _ { i } , } & & { \forall i \in I , } \\ & { } & { \underline { { d } } _ { j } \le \sum _ { i \in I } x _ { i j } } & { \le \overline { { d } } _ { j } , } & & { \forall j \in J , } \\ & { } & { x _ { i j } } & { \ge 0 , } & & { \forall i \in I , j \in J , } \\ & { } & { u _ { i } + v _ { j } } & { \le \overline { { c } } _ { i j } , } & & { \forall i \in I , j \in J , } \\ & { } & { u _ { i } } & { \le 0 , } & & { \forall i \in I , } \\ & { } & { x _ { i j } > 0 \ } & { \Rightarrow \ u _ { i } + v _ { j } = \overline { { c } } _ { i j } , } & & { \forall i \in I , j \in J , } \\ & { } & { \sum _ { j \in J } x _ { i j } < \underline { { s } } _ { i } \ } & { \Rightarrow \ u _ { i } = 0 , } & & { \forall i \in I , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { E } _ { a } ^ { 1 } ( x = 0 , t ) } & { = \Re \left[ - t r e ^ { i k _ { a } L } \left( \vec { X } _ { a } e ^ { - i ( \omega _ { a } t - k _ { a } \frac { L } { 2 } + \phi ) } + \frac { \Delta \vec { X } _ { a } } { 2 } \left( e ^ { - i ( \omega _ { + } t - k _ { + } \frac { L } { 2 } + \phi _ { + } ) } + e ^ { - i ( \omega _ { - } t - k _ { - } \frac { L } { 2 } + \phi _ { - } ) } \right) \right) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { f } } & { { } \approx } & { \frac { \pi L \, \epsilon _ { f } ^ { D T } } { m _ { p } \, \rho _ { p } } \, \frac { \left( \rho R \right) ^ { 3 } } { H _ { D T } \left( k T _ { i } , u ^ { s } \right) + \rho R } } \\ { E _ { i } } & { { } \approx } & { \frac { 3 \pi L \, k T _ { i } } { 2 \rho _ { p } ^ { 2 } } \, \left( n _ { p } + n _ { B } + n _ { D } + n _ { T } \right) \, \left( \rho R \right) ^ { 2 } \, , } \end{array}
\mathbf { E } _ { \mathbf { a } } ( \mathbf { b } ) = k ^ { 3 } e ^ { \mathrm { i } k r } \{ [ \mathbf { d } _ { \mathbf { a } } - \hat { \mathbf { r } } ( \hat { \mathbf { r } } \cdot \mathbf { d } _ { \mathbf { a } } ) ] / ( k r ) + [ 3 \hat { \mathbf { r } } ( \hat { \mathbf { r } } \cdot \mathbf { d } _ { \mathbf { a } } ) - \mathbf { d } _ { \mathbf { a } } ] [ 1 / ( k r ) ^ { 3 } - \mathrm { i } / ( k r ) ^ { 2 } ] \} / 4 \pi \epsilon _ { 0 }
\begin{array} { r l } { T } & { = \sum _ { p q } t _ { p q } a _ { p } ^ { \dagger } ( \beta , \mu ) \tilde { a } _ { q } ^ { \dagger } ( \beta , \mu ) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { p q r s } t _ { p q r s } a _ { p } ^ { \dagger } ( \beta , \mu ) a _ { q } ^ { \dagger } ( \beta , \mu ) \tilde { a } _ { s } ^ { \dagger } ( \beta , \mu ) \tilde { a } _ { r } ^ { \dagger } ( \beta , \mu ) . } \end{array}
\eta = - 1 . 7 5 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \left( \frac { \partial \ln \alpha _ { e m } } { \partial z } \right) _ { | z = 0 } ^ { 2 } \frac { \Delta R _ { Z } } { \Omega _ { h } ^ { ( 0 ) } ( 1 + w _ { h } ^ { ( 0 ) } ) }
\mathcal { B } _ { \ell } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { Y } _ { 0 } \oplus \mathcal { Y } _ { 2 } \oplus \dots \oplus \mathcal { Y } _ { 2 d } \, , } & { \mathrm { ~ i f ~ } 2 d = \ell } \\ { \mathcal { Y } _ { 1 } \oplus \mathcal { Y } _ { 3 } \oplus \dots \oplus \mathcal { Y } _ { 2 d - 1 } \, , } & { \mathrm { ~ i f ~ } 2 d - 1 = \ell \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { \sf H } ( k ) } & { = \left[ \begin{array} { c c c c } { 0 } & { - \sigma _ { z } } & { 0 } & { { \sf h } ( k ) } \\ { - \sigma _ { z } } & { 0 } & { - \sigma _ { z } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sigma _ { z } } & { 0 } & { - \sigma _ { z } } \\ { { \sf h } ^ { * } ( k ) } & { 0 } & { - \sigma _ { z } } & { 0 } \end{array} \right] , } \end{array}
K _ { T R U E } ( r , s ) = l i m _ { T \rightarrow + \infty } \frac { \frac { 1 } { T } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i } + T } v ( r , t ) v ( r + s , t ) \mathop { } \! \mathrm { d } t } { \sqrt { \frac { 1 } { T } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i } + T } v ^ { 2 } ( r , t ) \mathop { } \! \mathrm { d } t } \sqrt { \frac { 1 } { T } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i } + T } v ^ { 2 } ( r + s , t ) \mathop { } \! \mathrm { d } t } } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { N } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) = \frac { R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) } { \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { \infty } d L \; R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) } } \end{array}
L \cap ( - m , m ) \subseteq \bigcup _ { q = 2 } ^ { \infty } V _ { n , q } \cap ( - m , m ) \subseteq \bigcup _ { q = 2 } ^ { \infty } \bigcup _ { p = - m q } ^ { m q } \left( { \frac { p } { q } } - { \frac { 1 } { q ^ { n } } } , { \frac { p } { q } } + { \frac { 1 } { q ^ { n } } } \right) .
\left\{ \begin{array} { r l } { \Delta t _ { a d } } & { { } = 0 . 2 5 \frac { h } { \left| \mathbf { v } \right| _ { m a x } } } \\ { \Delta t _ { a c } } & { { } = 0 . 6 \left( \frac { h } { c + \left| \mathbf { v } \right| _ { m a x } } \right) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \widehat { \nu _ { e ^ { - } \gamma } \nu _ { \gamma e } } f _ { R R E A } = K _ { e ^ { - } \gamma , \gamma e } \left( e ^ { \frac { L ( \lambda _ { x } - \lambda _ { R R E A } ) } { \lambda _ { x } \lambda _ { R R E A } } } - 1 - \right. } \\ & { \left. - \frac { L ( \lambda _ { x } - \lambda _ { R R E A } ) } { \lambda _ { x } \lambda _ { R R E A } } \right) f _ { R R E A } , } \end{array}
\mathbf { M } = \left| { \begin{array} { l l l } { \mathbf { e } _ { x } } & { \mathbf { e } _ { y } } & { \mathbf { e } _ { z } } \\ { x _ { A } - x } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - F } & { 0 } \end{array} } \right| + \left| { \begin{array} { l l l } { \mathbf { e } _ { x } } & { \mathbf { e } _ { y } } & { \mathbf { e } _ { z } } \\ { - x } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { R _ { 0 } } & { 0 } \end{array} } \right| = F ( x - x _ { A } ) \, \mathbf { e } _ { z } - R _ { 0 } x \, \mathbf { e } _ { z } = - { \frac { F x _ { A } } { L } } ( L - x ) \, \mathbf { e } _ { z } \, .
\begin{array} { r l r } { e ( F _ { d , q } , A _ { d , N } ) } & { \ge } & { \frac { 1 } { \| h _ { d } \| _ { d , q } } \sum _ { \mathfrak { u } \subseteq [ d ] } \alpha _ { 1 } ^ { d - | \mathfrak { u } | } \alpha _ { 2 } ^ { | \mathfrak { u } | } \left( 1 - \frac { N } { 2 ^ { | \mathfrak { u } | } } \right) _ { + } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \| h _ { d } \| _ { d , q } } \sum _ { k = 0 } ^ { d } { \binom { d } { k } } \alpha _ { 1 } ^ { d - k } \alpha _ { 2 } ^ { k } \left( 1 - \frac { N } { 2 ^ { k } } \right) _ { + } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \| h _ { d } \| _ { d , q } } \alpha _ { 1 } ^ { d } \sum _ { k = 0 } ^ { d } { \binom { d } { k } } \alpha _ { 3 } ^ { k } \left( 1 - \frac { N } { 2 ^ { k } } \right) _ { + } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s _ { \sigma v , { \cal E } } } & { { } = } & { - k _ { B } \int f _ { \sigma } \ln \left( \frac { f _ { \sigma M } \Delta ^ { 3 } v _ { \sigma } } { n _ { \sigma } } \right) d ^ { 3 } v , } \\ { s _ { \sigma v , \mathrm { r e l } } } & { { } = } & { - k _ { B } \int f _ { \sigma } \ln \left( \frac { f _ { \sigma } } { f _ { \sigma M } } \right) d ^ { 3 } v , } \end{array}
Y ( v _ { \lambda } , z ) = e _ { \lambda } : \exp \int \lambda ( z ) : = e _ { \lambda } z ^ { \lambda } \exp \left( \sum _ { n < 0 } \lambda _ { n } { \frac { z ^ { - n } } { n } } \right) \exp \left( \sum _ { n > 0 } \lambda _ { n } { \frac { z ^ { - n } } { n } } \right) ,
{ \vec { v } } ( t ) = { \frac { d } { d t } } { \vec { r } } ( t ) = R { \frac { d { \hat { u } } _ { R } } { d t } } = R { \frac { d \theta } { d t } } { \hat { u } } _ { \theta } ( t ) = R \omega { \hat { u } } _ { \theta } ( t ) \ .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { n ( x , y ) } \lVert \mathbf { T } - \mathbf { T } _ { \mathrm { t a r g } } \rVert _ { F } + \lVert \mathbf { R } - \mathbf { 0 } \rVert _ { F } } \\ & { \mathrm { s . t . } \ \ n _ { \mathrm { e f f , ~ 1 5 0 n m } } \leq n ( x , y ) \leq n _ { \mathrm { e f f , ~ 2 2 0 n m } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( e ^ { n } - e ^ { \ast n - 1 } , e ^ { n } \right) + \Delta t \sum _ { K } ( \varepsilon _ { K } ( c _ { h } ^ { n } ) \nabla e ^ { n } , \nabla e ^ { n } ) _ { K } = \left( e ^ { n } - e ^ { \ast n - 1 } , \rho ^ { n } \right) } \\ { + \Delta t \sum _ { K } ( \varepsilon _ { K } ( c _ { h } ^ { n } ) \nabla e ^ { n } , \nabla \rho ^ { n } ) _ { K } } \\ { + \Delta t \sum _ { K } ( \varepsilon _ { K } ( c _ { h } ^ { n } ) \nabla e ^ { n } , \nabla c ^ { n } ) _ { K } } \\ { - \Delta t \sum _ { K } ( \varepsilon _ { K } ( c _ { h } ^ { n } ) \nabla c ^ { n } , \nabla \rho ^ { n } ) _ { K } \equiv \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } R _ { i } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { ( S _ { 0 } - S _ { B } ) - \delta S _ { 0 } } \\ { ( S _ { 0 } - S _ { B } ) + \epsilon S _ { 0 } } \end{array} \right] = ( \epsilon - \delta ) \left[ \begin{array} { l } { A } \\ { - B } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { \delta C } \\ { \epsilon C } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { ( 1 - \delta ) \eta _ { 0 } - \eta _ { B } } \\ { ( 1 - \epsilon ) \eta _ { 0 } - \eta _ { B } } \end{array} \right] .
\chi _ { e } = \frac { \gamma E } { E _ { c } r } = 0 . 3 \left( \frac { E } { 5 0 0 ~ \mathrm { M e V } } \right) \left( \frac { I } { 1 0 ^ { 2 2 } ~ \mathrm { W } \mathrm { c m } ^ { - 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } ,
D _ { \mu } \langle j _ { 5 \mu } ^ { a , \mathrm { r e g } } \rangle _ { c } = 2 \mathrm { i } m \langle \psi _ { \varepsilon } ^ { + } T ^ { a } \gamma _ { 5 } \psi _ { \varepsilon } \rangle _ { c } + { \cal A } _ { 5 } ^ { a } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial t } } & { + \frac { u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + u _ { z } ^ { ( k ) } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial z } - 2 \frac { \sinh \xi } { \sin \phi _ { 0 } } u _ { \xi } ^ { ( k ) } u _ { \phi } ^ { ( k ) } + 2 \frac { \sin \phi } { \sin \phi _ { 0 } } \left( u _ { \xi } ^ { ( k ) } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { - \frac { 1 } { \rho _ { k } } \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial p ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \Biggl [ \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \xi } \biggl ( \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } \biggr ) } \\ & { + \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \phi } \biggl ( \frac { H _ { \xi } } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } \biggr ) + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial z ^ { 2 } } + 4 \frac { \sin \phi } { \sin \phi _ { 0 } } \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } - 4 \frac { \sinh \xi } { \sin \phi _ { 0 } } \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } } \\ & { + 4 \frac { \cos ^ { 2 } \phi - \cosh ^ { 2 } \xi } { \sin ^ { 2 } \phi _ { 0 } } u _ { \phi } ^ { ( k ) } \Biggr ] + \frac { 1 } { \mathrm { F r } } \frac { \bigl ( 1 - \cosh \xi \cos \phi \bigr ) } { \bigl ( \cosh \xi - \cos \phi \bigr ) } , } \end{array} } \end{array}
G _ { M a r } ^ { + } ( \textbf { x } _ { v } , \textbf { x } _ { r } , \omega ) = - \int _ { \mathcal { D } _ { a c q } } R ( \textbf { x } _ { r } , \textbf { x } _ { s } , \omega ) f _ { 1 } ^ { - } ( \textbf { x } _ { s } , \textbf { x } _ { v } , \omega ) ^ { * } \, d \textbf { x } _ { s } + f _ { 1 } ^ { + } ( \textbf { x } _ { r } , \textbf { x } _ { v } , \omega ) ^ { * } .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } b _ { i } ^ { \leftarrow } ( t ) \P ( \boldsymbol X + \boldsymbol Y \in t A ) } & { \leq } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } b _ { i } ^ { \leftarrow } ( t ) \P ( \boldsymbol X \in t A _ { \varepsilon } ^ { + } ) + \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } b _ { i } ^ { \leftarrow } ( t ) \P ( \| \boldsymbol Y \| _ { \infty } > \varepsilon t ) } \\ & { \leq } & { \mu _ { i } ( A _ { \varepsilon } ^ { + } ) + \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } b _ { i } ^ { \leftarrow } ( t ) ( \gamma t ) ^ { - ( \alpha _ { i } + \gamma ) } \mathbb { E } \| \boldsymbol Y \| ^ { \alpha _ { i } + \gamma } } \\ & { = } & { \mu _ { i } ( A _ { \varepsilon } ^ { + } ) \downarrow \mu _ { i } ( A ) \quad \mathrm { ~ a s ~ } \varepsilon \downarrow 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | F _ { x } ( \eta _ { x } ^ { \lambda } ) | } & { \lesssim 2 ^ { - N _ { \lambda } d } \| \eta \| _ { \infty } 2 ^ { N _ { \lambda } d } 2 ^ { - N _ { \lambda } \bar { \alpha } } } \\ & { \quad + \sum _ { n = N _ { \lambda } } ^ { + \infty } 2 ^ { - n d } 2 ^ { ( n - N _ { \lambda } ) d } \| \eta \| _ { C ^ { \tilde { r } + 1 } } \lambda ^ { - d } \left( \frac { 2 ^ { - n } } { \lambda } \right) ^ { \tilde { r } + 1 } \left( 2 ^ { - n \bar { \alpha } } + 2 ^ { - n \alpha } \lambda ^ { \gamma - \alpha } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Xi } = \frac { 1 } { v _ { \mathrm { p } } ^ { 2 N } } } & { \sum _ { n _ { \gamma } = 0 } ^ { \infty } \prod _ { \gamma } \frac { e ^ { \mu _ { \gamma } n _ { \gamma } } } { n _ { \gamma } ! v _ { \gamma } ^ { n _ { \gamma } } } \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \int \mathrm { \hat { D } } \{ \mathbf { R } _ { j } \} \prod _ { \kappa = 1 } ^ { n _ { \gamma } } \int \mathrm { d } \mathbf { r } _ { \gamma , \kappa } \exp ( - { \beta } \mathcal { H } ) \prod _ { \mathbf { r } } \delta \left[ \hat { \phi } _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) + \hat { \phi } _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) - 1 \right] } \\ & { \times \delta \left[ \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s \mathbf { R } _ { 1 } ( s ) - \boldsymbol { \xi } _ { 1 } \right] \delta \left[ \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s \mathbf { R } _ { 2 } ( s ) - \boldsymbol { \xi } _ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \left( \left( I _ { U ^ { \prime } } \circ \theta _ { w ^ { - 1 } B \mid B } \right) ( f ) \right) ( g ) \right) ( m ) } & { = \delta _ { P ^ { \prime } } ( m ) ^ { 1 / 2 } \int _ { U ^ { \prime } ( F ) } \left( \theta _ { w ^ { - 1 } B \mid B } ( f ) \right) ( u ^ { \prime } m g ) d u ^ { \prime } } \\ & { = \delta _ { P ^ { \prime } } ( m ) ^ { 1 / 2 } \int _ { U ^ { \prime } ( F ) } \int _ { U _ { J , w ^ { - 1 } B } } f ( u ^ { \prime \prime } u ^ { \prime } m g ) d u ^ { \prime \prime } d u ^ { \prime } } \\ & { = \delta _ { P ^ { \prime } } ( m ) ^ { 1 / 2 } \int _ { U _ { J , w ^ { - 1 } B } } \int _ { U ^ { \prime } ( F ) } f ( u ^ { \prime \prime } u ^ { \prime } m g ) d u ^ { \prime } d u ^ { \prime \prime } . } \end{array}
\Bigl ( \rho , ~ [ \breve { \vec { u } } \cdot \nabla ] \breve { \vec { u } } \cdot \breve { \vec { \chi } } - [ \breve { \vec { u } } \cdot \nabla ] \breve { \vec { \chi } } \cdot \breve { \vec { u } } \Bigr ) _ { \Omega } = 2 \pi \, \Bigl ( \rho _ { _ c } r , ~ [ \vec { u } \cdot \nabla _ { c } ] \vec { u } \cdot \vec { \chi } - [ \vec { u } \cdot \nabla _ { c } ] \vec { \chi } \cdot \vec { u } \Bigr ) .
\xi = { \left[ \begin{array} { l } { \xi ( s , t ) } \\ { \xi ( s - 1 , t ) } \\ { \vdots } \\ { \xi ( - ( s - 1 ) , t ) } \\ { \xi ( - s , t ) } \end{array} \right] } = \xi ( s , t ) { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } + \xi ( s - 1 , t ) { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } + \cdots + \xi ( - ( s - 1 ) , t ) { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } + \xi ( - s , t ) { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } - \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } } & { { } = } & { \delta _ { i j } . } \end{array}
\Gamma _ { 0 } = \gamma _ { 0 } { \mathfrak R } _ { 0 } , \qquad \gamma _ { 0 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - v _ { 0 } ^ { 2 } } } } , \qquad { \mathfrak R } _ { 0 } = { \sqrt { 1 + A _ { 0 } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } ( t , y ) } & { = \sum _ { n \geq 1 } K _ { 1 } ( t , n ) \sin ( n y ) } \\ & { = \sum _ { n \geq 1 } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau _ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau \exp ( - \lambda n ^ { 2 } \tau ) F ( \tau , \tau _ { 1 } ) K _ { 2 } ( t - \tau _ { 1 } , n ) \sin ( n y ) } \\ & { = \sum _ { n \geq 1 } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau _ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau \exp ( - \lambda n ^ { 2 } \tau ) F ( \tau , \tau _ { 1 } ) \left[ \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \eta k _ { 2 } ( t - \tau _ { 1 } , \eta ) \sin ( n \eta ) \right] \sin ( n y ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } d \tau _ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau F ( \tau , \tau _ { 1 } ) \left[ \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \eta k _ { 2 } ( t - \tau _ { 1 } , \eta ) \sum _ { n \geq 1 } \exp ( - \lambda n ^ { 2 } \tau ) \sin ( n \eta ) \sin ( n y ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle p _ { i } p _ { j } \rangle } & { = } & { \delta _ { i j } + \lambda \left( \delta _ { i 3 } \delta _ { j 3 } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i j } \right) , } \\ { \langle p _ { i } p _ { j } p _ { k } p _ { l } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 5 } \left( 1 - \bar { \lambda } - \frac { \lambda } { 3 } \right) \left( \delta _ { i j } \delta _ { k l } + \delta _ { i k } \delta _ { j l } + \delta _ { i l } \delta _ { j k } \right) + \left( \lambda - 7 \bar { \lambda } \right) \delta _ { i 3 } \delta _ { j 3 } \delta _ { k 3 } \delta _ { l 3 } + } \\ & { } & { \bar { \lambda } \left( \delta _ { i 3 } \delta _ { j 3 } \delta _ { k l } + \delta _ { i 3 } \delta _ { k 3 } \delta _ { j l } + \delta _ { i 3 } \delta _ { l 3 } \delta _ { j k } + \delta _ { j 3 } \delta _ { k 3 } \delta _ { i l } + \delta _ { j 3 } \delta _ { l 3 } \delta _ { i k } + \delta _ { k 3 } \delta _ { l 3 } \delta _ { i j } \right) , } \end{array}
W _ { m ( 1 ) } = - \bigr ( \bar { Q } _ { i } R _ { \alpha } ^ { i } ( A + Q ) - \epsilon ^ { a b } E _ { \alpha a b } ^ { * } \bigr ) B ^ { \alpha } - \bigr ( Q _ { i a } ^ { * } R _ { \alpha } ^ { i } ( A + Q ) + H _ { \alpha a } \bigr ) C ^ { \alpha a } .
. A l s o , b e n d i n g p o i n t s a l o n g c u r v e s p l o t t e d i n t h e t h i r d - c o l u m n f i g u r e s d e m o n s t r a t e t h a t t r a n s i e n t s t a t e s o c c u r w i t h i n 2 . 2 5 8 < \mu _ { 0 } < 2 . 4 7 5 . M o r e i n t e r e s t i n g l y , t h e t h i r d c o l u m n m a n i f e s t s t h a t E _ { 3 } ^ { \prime } r e p r e s e n t s N e i m a r k - S a c k e r b i f u r c a t i o n a t \mu _ { 0 } = 3 . 2 5 6 3 6 b e c a u s e o f t h e f o l l o w i n g f a c t s : f i r s t , \omega _ { 0 } a n d \omega _ { 1 } a r e c o m p l e x c o n j u g a t e s w i t h m o d u l u s 1 , a n d s e c o n d , a s \mu _ { 0 } v a r i e s a c r o s s 3 . 2 5 6 3 6 f r o m s m a l l e r t o l a r g e r v a l u e , t o p o l o g i c a l t y p e o f E _ { 3 } ^ { \prime } c h a n g e s f r o m a s i n k ( s t a b l e ) t o a s o u r c e ( u n s t a b l e )
\begin{array} { r l } { \bigg | \sum _ { y _ { \alpha } \in \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { r } } } & { \int _ { Q _ { \alpha } } ( J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) - J _ { p } ( \phi ( x + y _ { \alpha } ) - \phi ( x ) ) ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } \bigg | } \\ & { \leq C h ^ { p - 1 } \sum _ { y _ { \alpha } \in \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { r } } \int _ { Q _ { \alpha } } \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } \leq C h ^ { p - 1 } \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { r / 2 } } \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } \leq C h ^ { p - 1 } ( 1 + r ^ { - s p } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( i + 1 | i ) \frac { u ( i + 1 ) } { u ( i ) } [ S ( i + 1 ) - S ( i ) ] + K ( i - 1 | i ) \frac { u ( i - 1 ) } { u ( i ) } [ S ( i - 1 ) - S ( i ) ] = } & { { } - \frac { d S ( i ) } { d t } } \\ { K ( i | i + 1 ) \frac { v ( i + 1 ) } { v ( i ) } [ S ( i ) - S ( i + 1 ) ] + K ( i | i - 1 ) \frac { v ( i - 1 ) } { v ( i ) } [ S ( i ) - S ( i - 1 ) ] = } & { { } - \frac { d S ( i ) } { d t } } \\ { K ( i | i - 1 ) \frac { u ( i ) } { u ( i - 1 ) } P ( i - 1 ) + K ( i | i + 1 ) \frac { u ( i ) } { u ( i + 1 ) } P ( i + 1 ) - } & { { } } \\ { K ( i + 1 | i ) \frac { u ( i + 1 ) } { u ( i ) } P ( i ) - K ( i - 1 | i ) \frac { u ( i - 1 ) } { u ( i ) } P ( i ) = } & { { } \frac { d P ( i ) } { d t } . } \end{array}
+ \, \left. \frac { 1 } { 2 } \, G _ { i j } G ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } \Phi ^ { i } \partial _ { \beta } \Phi ^ { j } \, \right\} \left( 1 + \frac { { \tilde { b } } } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \right) + \frac { 1 } { 8 \pi g _ { s } } \int d ^ { 4 } x \, \frac { 1 } { 4 } \, F _ { \alpha \beta } { \widetilde { F } } ^ { \alpha \beta } \, \left( \frac { c + C _ { 0 } \, b } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \right) ~ ~ .
E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ n ] = E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ \tilde { n } , \tilde { G } ] + \sum _ { A } \left( E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ n _ { A } ^ { 1 } , G _ { A } ^ { 1 } ] - E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ \tilde { n } _ { A } ^ { 1 } , \tilde { G } _ { A } ^ { 1 } ] \right) ,
\hat { \sigma } _ { i j } ^ { 0 } = \frac { g ^ { 4 } \vert K _ { i j } \vert ^ { 2 } } { 3 8 4 \pi } \frac { ( \hat { s } - M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \hat { s } ^ { 2 } ( \hat { s } - M _ { W } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ( 2 \hat { s } + M _ { t } ^ { 2 } ) ,
\frac { d } { d t } \Big ( \int \phi \frac { \rho _ { s } | { \bf u } | ^ { 2 } } { 2 } \Big ) = \int \phi \rho _ { s } { \bf g } \cdot { \bf u } + \underbrace { \int p _ { f } \, \mathrm { d i v } \, { \bf u } } _ { A } - \underbrace { \int \boldsymbol { \tau } : \nabla { \bf u } } _ { B } + \underbrace { \int p \, \mathrm { d i v } \, { \bf u } } _ { C } .