harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } v _ { i , \beta } ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left( \frac { R _ { - , \alpha } } { R _ { - } ^ { 2 } } - \frac { R _ { + , \alpha } } { R _ { + } ^ { 2 } } \right) \left( \mu \delta _ { \alpha \beta } + 4 \epsilon _ { \alpha \beta } \right) f _ { i , \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } g ( x ) d x } & { \ge \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } e ^ { - x ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } d x - \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } | e ^ { - x ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } - g ( x ) | d x } \\ & { \ge 1 . 1 2 \sigma - 2 w \cdot \frac { 0 . 0 3 \epsilon } { \sigma \ln { e \sigma / \epsilon } } } \\ & { = 1 . 1 2 \sigma - \frac { 0 . 1 2 \epsilon } { \sqrt { \ln { e \sigma / \epsilon } } } } \\ & { \ge 1 . 1 2 \sigma - 0 . 1 2 \epsilon } \\ & { \ge \sigma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { x } ^ { i + 0 . 5 , j , k } } & { = \frac { f ^ { i + 1 , j , k } - f ^ { i , j , k } } { \Delta x } , } \\ { g _ { y } ^ { i , j + 0 . 5 , k } } & { = \frac { f ^ { i , j + 1 , k } - f ^ { i , j , k } } { \Delta y } , } \\ { g _ { z } ^ { i , j , k + 0 . 5 } } & { = \frac { f ^ { i , j , k + 1 } - f ^ { i , j , k } } { \Delta z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \nu } { d t } } & { { } = \frac { \pi ( 6 . 4 \times 1 0 ^ { 5 } ) } { \mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } ^ { 2 } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 1 6 c ^ { 8 } m _ { a } ^ { 4 } } \times } \end{array}
{ \cal L } = \frac { g _ { e f f } ^ { 2 } \eta } { 2 \Lambda ^ { 2 } } \biggr ( \bar { q } \gamma ^ { \mu } q + { \cal F } _ { \ell } \bar { \ell } \gamma ^ { \mu } \ell \biggr ) _ { L / R } \; \biggr ( \bar { q } \gamma _ { \mu } q + { \cal F } _ { \ell } \bar { \ell } \gamma _ { \mu } \ell \biggr ) _ { L / R } \; ,
\mathbb { P } \left[ \left| \bar { \mu } _ { i } - \mu \right| < 2 \gamma \right] \geq 1 - 2 \exp \left( - 2 \gamma ^ { 2 } \Big ( \sum _ { j \in V } \left( { W _ { i j } } / { D _ { i i } } \right) ^ { 2 } \Big ) ^ { - 1 } \right) .
\hat { H } = \hat { H } _ { 1 } + \hat { H } _ { 2 } = \sum _ { p q } h _ { p q } c _ { p } ^ { \dag } c _ { q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } \langle p q | r s \rangle c _ { p } ^ { \dag } c _ { q } ^ { \dag } c _ { s } c _ { r }
\lbrace \frac { 2 \sum _ { i } ^ { n } t _ { i } } { \chi _ { 2 n } ^ { 2 } ( 0 . 9 7 5 ) } , \frac { 2 \sum _ { i } ^ { n } t _ { i } } { \chi _ { 2 n } ^ { 2 } ( 0 . 0 2 5 ) } \rbrace
T ^ { n | 1 } = \sqrt { 2 n + 3 } \frac { \partial w _ { j } ^ { n | 1 } } { \partial x _ { j } } - \sqrt { 2 n } \frac { \partial w _ { j } ^ { n - 1 | 1 } } { \partial x _ { j } } = \frac { \sqrt { 2 n + 3 } b _ { 1 1 n } ^ { ( 1 ) } - \sqrt { 2 n } b _ { 1 1 , n - 1 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } \frac { \partial w _ { j } ^ { 1 | 1 } } { \partial x _ { j } }
\begin{array} { r l } { J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 1 \right) } \left( \omega \right) } & { = \frac { 1 } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathbf { d } _ { s } \cdot \overleftrightarrow { G } \left( \mathbf { r } _ { s } , \mathbf { r } _ { s ^ { \prime } } ; \omega \right) \cdot \mathbf { d } _ { s ^ { \prime } } ^ { * } , } \\ { J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 2 \right) } \left( \omega \right) } & { = \frac { 1 } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathbf { d } _ { s } \cdot \overleftrightarrow { G } ^ { * } \left( \mathbf { r } _ { s } , \mathbf { r } _ { s ^ { \prime } } ; \omega \right) \cdot \mathbf { d } _ { s ^ { \prime } } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { s r } \left( t \right) } & { = \frac { 1 } { a _ { 2 } \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { 1 - \xi } } \left( \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } \frac { b _ { 1 } \sin \left( \xi \pi \right) + b _ { 2 } \rho ^ { \lambda } \sin \left( \left( \xi + \lambda \right) \pi \right) + b _ { 3 } \rho ^ { \kappa } \sin \left( \left( \xi + \kappa \right) \pi \right) } { \left\vert \rho ^ { \alpha + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } \right\vert ^ { 2 } } \right. } \\ & { \quad + \left. \rho ^ { \alpha + \beta } \frac { b _ { 1 } \sin \left( \left( \xi - \alpha - \beta \right) \pi \right) + b _ { 2 } \rho ^ { \lambda } \sin \left( \left( \xi + \lambda - \alpha - \beta \right) \pi \right) + b _ { 3 } \rho ^ { \kappa } \sin \left( \left( \xi + \kappa - \alpha - \beta \right) \pi \right) } { \left\vert \rho ^ { \alpha + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } \right\vert ^ { 2 } } \right) \mathrm { e } ^ { - \rho t } \mathrm { d } \rho , } \end{array}
D ^ { \prime } = { \frac { 5 3 4 0 \cdot 6 0 0 \cdot 5 \cdot 6 5 0 } { 2 1 6 0 0 \cdot 2 \cdot 3 4 3 8 } } t \approx 7 0 . 1 t \Rightarrow D \approx D ^ { \prime } + t \approx 7 1 . 1 t
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \langle \Phi _ { f } | \Omega ^ { f , C P D F \dagger } D | \Phi _ { i } \rangle + \langle \Phi _ { f } | \Omega ^ { - \dagger } H _ { w } | \Phi _ { i } \rangle } \\ & { } & { + \langle \Phi _ { f } | \Omega ^ { f , C P D F - } | \Phi _ { i } \rangle } \\ & { = } & { \langle \Phi _ { f } | \Omega ^ { f , C P D F \dagger } D | \Phi _ { i } \rangle + \langle \Phi _ { f } | \Omega ^ { f , - \dagger } H _ { w } | \Phi _ { i } \rangle } \\ & { } & { + \langle \Phi _ { f } | \Omega ^ { C P D F + } | \Phi _ { i } \rangle . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { q _ { i } - d ( \lambda ^ { i } ) + ( 0 , 0 , \dots , 0 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 0 ~ } } \\ { q _ { i } - d ( \lambda ^ { i } ) + ( 0 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 1 ~ } } \\ { q _ { i } - d ( \lambda ^ { i } ) + 1 + ( 0 , 0 , \dots , 0 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 2 ~ } } \\ { \emptyset } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 3 ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \ln { \gamma _ { \mathrm { { H } } } } } & { = - \epsilon _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { { S i } } } { x _ { { \mathrm { S i } } } ^ { \prime } } \left( { 1 + \frac { { \ln ( 1 - { x _ { \mathrm { { S i } } } ^ { \prime } } ) } } { { { x _ { { \mathrm { S i } } } ^ { \prime } } } } - \frac { 1 } { { 1 - { x _ { \mathrm { { H } } } } } } } \right) } \\ & { + \epsilon _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { { S i } } } ( x _ { { \mathrm { S i } } } ^ { \prime } ) ^ { 2 } { x _ { \mathrm { { H } } } } \left( { \frac { 1 } { { ( 1 - { x _ { \mathrm { H } } } ) } } + \frac { 1 } { { ( 1 - { x _ { \mathrm { { S i } } } ^ { \prime } } ) } } + \frac { { { x _ { H } } } } { { 2 { { ( 1 - { x _ { \mathrm { H } } } ) } ^ { 2 } } } } + 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \delta x _ { 1 } } { \partial t } } & { = } & { \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 0 } \delta x _ { 1 } + \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 1 } * \delta x _ { 2 } + \mu _ { x } ^ { u \tau } ( 0 - d , \cdot ) * \delta \rho _ { 2 } } \\ { \frac { \partial \delta x _ { 2 } } { \partial t } } & { = } & { - \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 0 } \delta x _ { 2 } - \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 1 } * \delta x _ { 1 } + \mu _ { x } ^ { u \tau } ( 0 - d , \cdot ) * \delta \rho _ { 1 } } \\ { \frac { \partial \delta \rho _ { 1 } } { \partial t } } & { = } & { - \rho _ { 0 } \frac { \partial \left[ \left( \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 2 } * \delta x _ { 1 } + \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 3 } * \delta x _ { 2 } + \mu _ { y } ^ { u \tau } ( 0 - d , \cdot ) * \delta \rho _ { 2 } \right) \right] } { \partial y } } \\ { \frac { \partial \delta \rho _ { 2 } } { \partial t } } & { = } & { - \rho _ { 0 } \frac { \partial \left[ \left( \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 2 } * \delta x _ { 2 } + \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 3 } * \delta x _ { 1 } - \mu _ { y } ^ { u \tau } ( 0 - d , \cdot ) * \delta \rho _ { 1 } \right) \right] } { \partial y } , } \end{array}
\sum _ { k = 0 } ^ { \infty } k r ^ { k } = { \frac { r } { \left( 1 - r \right) ^ { 2 } } } \, ; \, \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } k ^ { 2 } r ^ { k } = { \frac { r \left( 1 + r \right) } { \left( 1 - r \right) ^ { 3 } } } \, ; \, \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } k ^ { 3 } r ^ { k } = { \frac { r \left( 1 + 4 r + r ^ { 2 } \right) } { \left( 1 - r \right) ^ { 4 } } }
\psi ^ { \mu } ( p ) = \left( u _ { 1 } ( p ) p _ { z } + { \frac { w _ { 1 } ( p ) p _ { z } } { \sqrt { 8 } } } S ( p _ { z } , p _ { t } ) + { \frac { w _ { 2 } ( p ) } { \sqrt { 8 } p _ { z } } } \left[ S ( p _ { z } , p _ { t } ) - S ( 0 , p _ { t } ) \right] \right) \chi ^ { \mu } ,
\gamma = \frac { l } { L _ { * } } , \mathcal { { A } } = \frac { r _ { w } } { L _ { * } } , \xi = \frac { r } { L _ { * } } , \mathit { \Omega } = \frac { w } { w _ { * } } , \tau = \frac { t } { t _ { * } } , \mathit { \Psi } = \frac { q } { q _ { * } } , \bar { \sigma } = \frac { \sigma } { p _ { * } } , \mathit { \Pi } _ { f } = \frac { p _ { f } } { p _ { * } } , \mathit { \Pi } _ { w } = \frac { P _ { w } } { p _ { * } } .
\biggl \| \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } e ^ { i w \cdot \zeta } a _ { t _ { l } , j , h , \xi } ( \zeta , w ) \psi ( 2 ^ { h - n } w ) \hat { \mathcal { F } } _ { - h + n } ^ { y } ( \xi , \xi + w ) d w \biggl \| _ { L _ { \zeta } ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } \lesssim 2 ^ { 2 h - j - n } \| \hat { \mathcal { F } } _ { - h + n } ( \xi , \xi + \zeta ) \| _ { L _ { \zeta } ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ,
\langle p , s | R _ { i } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { m } } ( 0 ) | p , s \rangle = i ^ { m } A _ { i } ^ { m } ( p ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } , g ) S \left\{ ( s ^ { \mu _ { 1 } } p ^ { \mu _ { 2 } } \cdots p ^ { \mu _ { m } } ) - ( \mathrm { t r a c e s } ) \right\} ,
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { u } { \lambda f } \right) x + \left( \frac { v } { \lambda f } \right) y } & { = } & { \left( \rho c o s \phi \right) . \left( r c o s \theta \right) + \left( \rho s i n \phi \right) . \left( r s i n \theta \right) } \\ { \frac { 1 } { \lambda f } ( u x + v y ) } & { = } & { \rho r ( c o s \phi c o s \theta + s i n \phi s i n \theta ) } \\ & { = } & { \rho r c o s ( \phi - \theta ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) - 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } | \leq 6 L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - 4 L ^ { 2 } } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + 8 0 0 L ^ { 2 } e ^ { 2 0 L ^ { 2 } } } \\ & { } & { + 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \operatorname* { m a x } \Big \{ 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) , } \\ & { } & { \quad \quad e ^ { 3 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 \Big \} . } \end{array}
r \equiv \frac { B R ( B \to K _ { 2 } ^ { * } ( 1 4 3 0 ) \gamma ) } { B R ( B \to K ^ { * } ( 8 9 2 ) \gamma ) } = 0 . 3 9 _ { - 0 . 1 3 } ^ { + 0 . 1 5 } .
\begin{array} { r l } & { \theta _ { i , j } | | M _ { i , j } \odot G | | + \theta _ { j , i } | | M _ { i , j } \odot G | | } \\ & { = \theta _ { i , j } ( g ( u ( x _ { i } ) - u ( x _ { j } ) ) - g ( u ( x _ { n } ) - u ( x _ { j } ) ) - g ( u ( x _ { i } ) - u ( x _ { n } ) ) ) } \\ & { + \theta _ { j , i } ( g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) - g ( u ( x _ { n } ) - u ( x _ { i } ) ) - g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { n } ) ) ) } \\ & { = ( \theta _ { i , j } - \theta _ { j , i } ) ( g ( u ( x _ { i } ) - u ( x _ { j } ) ) + g ( u ( x _ { n } ) - u ( x _ { i } ) ) - g ( u ( x _ { n } ) - u ( x _ { j } ) ) } \end{array}
\oint _ { \partial \Sigma ( t ) } \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } \cdot \mathbf { F } / q ( \mathbf { r } , \ t ) = \oint _ { \partial \Sigma ( t ) } \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } \cdot \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \ t ) + \oint _ { \partial \Sigma ( t ) } \! \! \! \! \mathbf { v } \times \mathbf { B } ( \mathbf { r } , \ t ) \, \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } }
\sum _ { l = 0 } ^ { p } ( - 1 ) ^ { l + 1 } \, C _ { l } ^ { p } \, b ^ { p - l } \, b ^ { \dag } \, b ^ { l } = 2 \, \delta _ { p , 2 } \, ( - 1 ) ^ { p } \, b ^ { p - 1 }
{ \cal L } _ { q \phi } ^ { \prime } = \pm { \frac { i } { m _ { W } } } { \frac { g } { 4 } } ( m _ { t } + m _ { b } ) \{ \bar { \psi } _ { t } \gamma _ { 5 } \psi _ { b } \phi ^ { + } + \bar { \psi } _ { b } \gamma _ { 5 } \psi _ { t } \phi ^ { - } \} .
\exp \left( - \frac { g } { 8 \pi } \sum _ { p , \delta } \left( \eta ( p + \delta ) - \eta ( p ) \right) ^ { 2 } \right) = \exp ( - ( Q \eta , \eta ) ) , \qquad \delta \in \{ ( \pm 1 , 0 ) , ( 0 , \pm 1 ) \} .
\frac { \partial q ^ { s } } { \partial q ^ { c } } \frac { \partial \varphi } { \partial q ^ { s } } = \left( \begin{array} { l l l l } { \gamma } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \gamma - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { g _ { W } ^ { \Lambda } ( Q _ { W } \Psi _ { 1 } , \Psi _ { 2 } ) } & { = g \left( Q _ { W } \Psi _ { 1 } , e ^ { \Lambda Q _ { W } ( L ) } \Psi _ { 2 } \right) = - ( - 1 ) ^ { | \Psi _ { 1 } | } g \left( \Psi _ { 1 } , Q _ { W } e ^ { \Lambda Q _ { W } ( L ) } \Psi _ { 2 } \right) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | \Psi _ { 1 } | } g _ { W } ^ { \Lambda } ( \Psi _ { 1 } , Q _ { W } \Psi _ { 2 } ) . } \end{array}
\textsc { M A E } \left( \{ \hat { d } _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } , \{ d _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } \right) = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } | \hat { d } _ { i } - d _ { i } | .
\begin{array} { r l } { a \hat { \sigma } } & { { } = \frac { \epsilon \omega ^ { 2 } \lambda } { 1 + \omega ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } + \mathcal { O } ( \hat { \sigma } ^ { 2 } ) , } \\ { \omega _ { 0 } + \hat { \sigma } b } & { { } = \omega \bigg ( 1 - \epsilon \frac { \omega ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { 1 + \omega ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } \bigg ) + \mathcal { O } ( \hat { \sigma } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( E _ { 0 } ) } & { = } & { \sum _ { f , i } \langle \psi _ { f } | \psi _ { i } \rangle \langle \psi _ { i } | \psi _ { f } \rangle \langle \psi _ { f } | \delta ( E _ { 0 } - ( \hat { H } _ { \mathrm { f } } - E _ { i } ) ) | \psi _ { f } \rangle } \\ & { = } & { \sum _ { f , i } \langle \psi _ { f } | \psi _ { i } \rangle \langle \psi _ { i } | \sum _ { f ^ { \prime } } | \psi _ { f ^ { \prime } } \rangle \langle \psi _ { f ^ { \prime } } | \delta ( E _ { 0 } - ( \hat { H } _ { \mathrm { f } } - E _ { i } ) ) | \psi _ { f } \rangle } \\ & { = } & { \sum _ { f } \langle \psi _ { f } | \Big ( \sum _ { i } | \psi _ { i } \rangle \langle \psi _ { i } | \delta ( E _ { 0 } - ( \hat { H } _ { \mathrm { f } } - E _ { i } ) ) \Big ) | \psi _ { f } \rangle } \\ & { = } & { T r \Big [ \sum _ { i } | \psi _ { i } \rangle \langle \psi _ { i } | \delta ( E _ { 0 } - ( \hat { H } _ { \mathrm { f } } - E _ { i } ) ) \Big ] } \\ & { = } & { T r [ \hat { \rho } _ { \mathrm { i } } \delta ( E _ { 0 } - ( \hat { H } _ { \mathrm { f } } - E _ { i } ) ) ] } \\ & { = } & { \langle \delta ( E _ { 0 } - ( \hat { H } _ { \mathrm { f } } - E _ { i } ) ) \rangle } \\ & { = } & { \langle \delta ( E _ { 0 } - ( \hat { V } _ { \mathrm { f } } - \hat { V } _ { \mathrm { i } } ) - ( \hat { H } _ { \mathrm { i } } - E _ { i } ) ) \rangle } \end{array}
\bar { G } _ { a b } = - \frac { 3 } { 8 } U h _ { a b } + \frac { U _ { B } } { 4 } \tau _ { a b } + \pi _ { a b } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { a } \phi \partial _ { b } \phi - \frac { 5 } { 1 6 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } h _ { a b } - E _ { a b } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { d \ge 1 } \frac { W ( z c / d ) } { d } } & { = \frac { 1 } { 2 i \pi } \int _ { - 1 - i \infty } ^ { - 1 + i \infty } \check { W } ( s ) \zeta ( 1 - s ) ( z c ) ^ { - s } d s } \\ & { = \check { W } ( 0 ) + \frac { 1 } { 2 i \pi } \int _ { \varepsilon - i \infty } ^ { \varepsilon + i \infty } \check { W } ( s ) \zeta ( 1 - s ) ( z c ) ^ { - s } d s } \end{array}
W _ { i } ^ { \prime } ( t \! + \! 1 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \log _ { 2 } ( 2 q ) \! + \! a _ { i } ^ { \prime } \quad \mathrm { i f ~ } i \in S _ { 0 } , Y = X } \\ { \log _ { 2 } ( 2 p ) \! + \! b _ { i } \quad \mathrm { i f ~ } i \in S _ { 0 } , Y = X ^ { c } } \\ { \log _ { 2 } ( 2 p ) \! + \! c _ { i } \quad \mathrm { i f ~ } i \in S _ { 1 } , Y = X ^ { c } } \\ { \log _ { 2 } ( 2 q ) \! + \! d _ { i } ^ { \prime } \quad \mathrm { i f ~ } i \in S _ { 1 } , Y = X } \end{array} \right. \, .
| \Psi _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ l ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ } } ( k _ { z } , t ) \rangle = \mathcal { F T } \left[ \Psi _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ l ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ } } ( z , t ) \right]
\begin{array} { r l } { F _ { z } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { L } \mathrm { d } x \ p = p _ { 0 } L - \int _ { 0 } ^ { L } \mathrm { d } x \ x \frac { \partial p } { \partial x } \, , } \\ { F _ { x } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { L } \mathrm { d } x \ \sigma - \theta F _ { z } = - \mu \int _ { 0 } ^ { L } \mathrm { d } x \ \frac { \dot { X } } { h } - \int _ { 0 } ^ { L } \mathrm { d } x \ \frac { h } { 2 } \frac { \partial p } { \partial x } - \theta F _ { z } \, , } \\ { G } & { { } = \int _ { 0 } ^ { L } \mathrm { d } x \ x p = - \int _ { 0 } ^ { L } \mathrm { d } x \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial p } { \partial x } \, , } \end{array}
U _ { 1 } = \frac { 3 } { 2 } N _ { e } T _ { e 1 } + \frac { 3 } { 2 } N _ { i } T _ { i 0 } - \frac { 1 } { 2 } N _ { e } e ^ { 2 } \left( \frac { 3 Z } { 2 } + 1 \right) k _ { e 1 } - \frac { 1 } { 4 } N _ { i } Z ^ { 2 } e ^ { 2 } k _ { i 0 } ^ { 2 } \frac { 2 k _ { D 0 } + k _ { e 1 } } { ( k _ { D 0 } + k _ { e 1 } ) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r } { \phi ( \vec { x } ) = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \{ \frac { q } { \| \vec { x } - \vec { x } _ { q } \| } + \frac { q ^ { \prime } } { \| \vec { x } - \vec { x _ { q ^ { \prime } } } \| } \} , \quad q ^ { \prime } = - \frac { r q } { a } , \quad \vec { x _ { q ^ { \prime } } } = \frac { a ^ { 2 } } { r } \frac { \vec { x } _ { q } } { \| \vec { x } _ { q } \| } , } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { 1 } = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( \Phi ^ { ( m ) } ( x _ { 1 } ^ { ( m ) } , y _ { 1 } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { x } ) - \Phi ^ { ( m ) } ( x _ { 1 } ^ { ( m ) } , y _ { 1 } ^ { ( m ) } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] \leq \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { 1 } M } } \end{array}
\ddot { \varepsilon } _ { i } ( x \mathbin { \ddot { \otimes } } x ^ { \prime } ) = \ddot { \varepsilon } _ { i } ( x ) + \ddot { \varepsilon } _ { i } ( x ^ { \prime } ) \quad \mathrm { a n d } \quad \ddot { \varphi } _ { i } ( x \mathbin { \ddot { \otimes } } x ^ { \prime } ) = \ddot { \varphi } _ { i } ( x ) + \ddot { \varphi } _ { i } ( x ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { \mathscr { P } _ { n } ^ { l ^ { \mathrm { { c } } } } } & { = - \int q \left( l _ { n } ^ { \mathrm { c } } + \Delta t \ \theta ^ { l ^ { \mathrm { { c } } } } f ( u _ { i _ { n } } , l _ { n } ^ { \mathrm { c } } ) \right) \ \mathrm { d } { \Omega _ { 0 } } , } \\ { \mathscr { C } _ { n + 1 } ^ { l ^ { \mathrm { { c } } } } } & { = \int q \left( l _ { n + 1 } ^ { \mathrm { c } } - \Delta t \ \left( 1 - \theta ^ { l ^ { \mathrm { { c } } } } \right) f ( u _ { i _ { n + 1 } } , l _ { n + 1 } ^ { \mathrm { c } } ) \right) \ \mathrm { d } { \Omega _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { E } _ { B , C } \Bigg [ \Big ( p ( a | b , c ) - { E } _ { B , C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big | b ^ { \prime } \Big ] \Big ) ^ { n } \Bigg | b ^ { \prime } \Bigg ] } & { = } & { { E } _ { B , C } \Big [ ( p ( a | b , c ) - p ( a | b ^ { \prime } ) ) ^ { n } \Big | b ^ { \prime } \Big ] } \\ & { = } & { \sum _ { b , c } ( p ( a | b , c ) - p ( a | b ^ { \prime } ) ) ^ { n } p ( c | b ^ { \prime } ) \delta _ { b , b ^ { \prime } } } \\ & { = } & { \sum _ { c } ( p ( a | b ^ { \prime } , c ) - p ( a | b ^ { \prime } ) ) ^ { n } p ( c | b ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { { E } _ { C } \Big [ \Big ( p ( a | b ^ { \prime } , c ) - p ( a | b ^ { \prime } ) \Big ) ^ { n } \Big | b ^ { \prime } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int ( \phi _ { t } ( y ) + \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 + \delta } ) ( q _ { t } ^ { * } - q ) ( y ) d y + \lambda _ { 2 } { \cal E } ( q _ { t } ^ { * } ) - \lambda _ { 2 } { \cal E } ( q ) = \tau _ { t } [ \mathrm { K L } ( q | | q _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } ^ { * } | | q _ { t - 1 } ^ { * } ) ] - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q | | q _ { t } ^ { * } ) , } \\ & { \int ( \psi _ { t } ( x ) + \lambda _ { 1 } \| x \| ^ { 2 + \delta } ) ( p _ { t } ^ { * } - p ) ( x ) d x + \lambda _ { 2 } { \cal E } ( p _ { t } ^ { * } ) - \lambda _ { 2 } { \cal E } ( p ) = \eta _ { t } [ \mathrm { K L } ( p | | p _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( p _ { t } ^ { * } | | p _ { t - 1 } ^ { * } ) ] - ( \eta _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p | | p _ { t } ^ { * } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { 1 2 \, { y } ^ { 2 } { x } ^ { 2 } + 1 1 \, x + 1 1 \, y + 4 0 \, { y } ^ { 3 } + 3 2 \, { y } ^ { 2 } + 4 6 \, y x + 2 4 \, x { y } ^ { 3 } + 5 2 \, x { y } ^ { 2 } } \\ & { + 2 5 \, { x } ^ { 2 } + 2 9 \, { y } ^ { 4 } + 1 5 \, { y } ^ { 5 } + 5 \, { y } ^ { 6 } + 6 \, { y } ^ { 4 } x } \\ & { + 3 9 \, y { x } ^ { 2 } + 2 0 \, { x } ^ { 3 } + { y } ^ { 7 } + 8 \, y { x } ^ { 3 } + 7 \, { x } ^ { 4 } + { x } ^ { 5 } } \end{array} }
\theta ( x ^ { n } ) = { \frac { b _ { n } ^ { ( 2 ) } } { b _ { n } ^ { ( 1 ) } } } x ^ { n } = { \frac { ( \gamma _ { 1 } ) _ { n } ( \gamma _ { 2 } ) _ { n } \cdots ( \gamma _ { p } ) _ { n } } { ( \delta _ { 1 } ) _ { n } ( \delta _ { 2 } ) _ { n } \cdots ( \delta _ { p } ) _ { n } } } x ^ { n } , \, \gamma _ { i } \in \mathbf { C } , \, \delta _ { i } \in \mathbf { C } \setminus \{ - \mathbb { N } \} .
\begin{array} { r l } { \gamma = } & { \operatorname* { P r } { ( X ( n ) > n _ { l u b } ) } + \operatorname* { P r } { ( X ( n ) > \log { 2 } + n _ { l u b } ) } + \operatorname* { P r } { ( X ( n ) > \log { 3 } + n _ { l u b } ) } } \\ & { + \operatorname* { P r } { ( X ( n ) > \log { 4 } + n _ { l u b } ) } + \ldots + \operatorname* { P r } { ( X ( n ) > n - n _ { l u b } + n _ { l u b } ) } } \\ { = } & { ( \operatorname* { P r } { ( X ( n ) > n _ { l u b } ) } \times 2 ^ { 0 } ) + ( \operatorname* { P r } { ( X ( n ) > 1 + n _ { l u b } ) } \times 2 ^ { 1 } ) + ( \operatorname* { P r } { ( X ( n ) > 2 + n _ { l u b } ) } \times 2 ^ { 2 } ) + \ldots } \\ & { + ( \operatorname* { P r } { ( X ( n ) > n - 1 ) } \times 2 ^ { ( n - n _ { l u b } - 1 ) } ) } \\ { = } & { ( \operatorname* { P r } { ( X ( n ) \geq 1 + n _ { l u b } ) } \times 2 ^ { 0 } ) + ( \operatorname* { P r } { ( X ( n ) \geq 2 + n _ { l u b } ) } \times 2 ^ { 1 } ) + ( \operatorname* { P r } { ( X ( n ) \geq 3 + n _ { l u b } ) } \times 2 ^ { 2 } ) + \ldots } \\ & { + ( \operatorname* { P r } { ( X ( n ) \geq ( n - n _ { l u b } ) + n _ { l u b } ) } \times 2 ^ { ( n - n _ { l u b } - 1 ) } ) } \\ { = } & { a _ { 0 } + a _ { 1 } + a _ { 2 } + \ldots + a _ { n - n _ { l u b } - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { e m } = 4 \pi V _ { 3 } ^ { 2 } \frac { a } { 2 \pi } \int _ { - \pi / a } ^ { \pi / a } d k ^ { \prime } \cos ( ( k - k ^ { \prime } ) a / 2 ) ^ { 2 } | \sin ( ( k - k ^ { \prime } ) a / 2 ) | } \\ { \times \delta \left( \omega _ { o p t } ( k ) - \omega _ { o p t } ( k ^ { \prime } ) - \omega _ { a c } ( k - k ^ { \prime } ) \right) ( 1 + \nu _ { a c } ( k - k ^ { \prime } ) ) , } \\ { W _ { a b s } = 4 \pi V _ { 3 } ^ { 2 } \frac { a } { 2 \pi } \int _ { - \pi / a } ^ { \pi / a } d k ^ { \prime } \cos ( ( k - k ^ { \prime } ) a / 2 ) ^ { 2 } | \sin ( ( k - k ^ { \prime } ) a / 2 ) | } \\ { \times \delta \left( \omega _ { o p t } ( k ) - \omega _ { o p t } ( k ^ { \prime } ) + \omega _ { a c } ( k - k ^ { \prime } ) \right) \nu _ { a c } ( k - k ^ { \prime } ) , ~ \nu _ { a c } ( q ) = \frac { 1 } { e ^ { \frac { \hbar \omega _ { a c } ( q ) } { k _ { B } T } } - 1 } , } \end{array}