harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
P _ { \overline { { { \nu } } } _ { \mu } \overline { { { \nu } } } _ { e } } = 4 c _ { 1 3 } ^ { 2 } s _ { 1 3 } ^ { 2 } s _ { 2 3 } ^ { 2 } { \sin ^ { 2 } } ( { \pi L / \lambda _ { L S N D } } ) ~ ~ ~ ( L S N D , E 7 7 6 )
( \widetilde B _ { 1 } ) _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \mp , 1 } = ( \widehat B _ { 1 } ) _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \mp , 1 } \mp A _ { 1 } , \qquad ( \widetilde B _ { 2 } ) _ { i , j \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 , \mp } = ( \widehat B _ { 2 } ) _ { i , j \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 , \mp } \mp A _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { A } _ { 2 } \Pi _ { S ^ { \perp } } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \varepsilon A _ { 1 } ) ^ { 2 } \Phi _ { 5 } ( \tau ) ( 1 - \tau ) d \tau \Pi _ { S ^ { \perp } } } \\ & { = ( \varepsilon A _ { 1 } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Psi _ { 5 } ( \tau ) ( 1 - \tau ) d \tau \Pi _ { S ^ { \perp } } + ( \varepsilon A _ { 1 } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Pi _ { S } \Psi _ { 5 } ( \tau ) ( 1 - \tau ) d \tau \Pi _ { S ^ { \perp } } } \\ & { \ + ( \varepsilon ^ { 2 } A _ { 1 } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \Phi _ { 5 } ( \tau ) \Pi _ { S ^ { \perp } } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 5 } ( \tau ) \Pi _ { S ^ { \perp } } ) ( 1 - \tau ) d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u } & { \in C ( [ 0 , \infty ) ; B _ { q , p } ^ { 0 } ( \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) ) } \\ { u } & { \in H _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta , r } ( 0 , \infty ; H ^ { 1 - 2 \theta , \zeta } ( \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) ) \ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta \in [ 0 , 1 / 2 ) , \ r , \zeta \in ( 2 , \infty ) , } \\ { u } & { \in C _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } } ( ( 0 , \infty ) \times \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) \ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta _ { 1 } \in [ 0 , 1 / 2 ) , \ \theta _ { 2 } \in ( 0 , 1 ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { y + 1 0 } & { = 2 \times ( x + 1 0 ) } \\ { y } & { = 2 \times ( x + 1 0 ) - 1 0 } & & { { \mathrm { S u b t r a c t ~ 1 0 ~ f r o m ~ b o t h ~ s i d e s } } } \\ { y } & { = 2 x + 2 0 - 1 0 } & & { { \mathrm { M u l t i p l e ~ o u t ~ b r a c k e t s } } } \\ { y } & { = 2 x + 1 0 } & & { { \mathrm { S i m p l i f y } } } \end{array} }
w ~ = ~ v _ { B } \cdot v _ { D ^ { \ast } } ~ = ~ \frac { m _ { B } ^ { 2 } + m _ { D ^ { \ast } } ^ { 2 } - q ^ { 2 } } { 2 m _ { B } m _ { D ^ { \ast } } } , ~ w = 1 ~ \mathrm { f o r } ~ q ^ { 2 } = q _ { m a x } ^ { 2 } .
\left| \int _ { 0 } ^ { \infty } \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 , s } } G ( w _ { 2 , s } ) ( \mathring { A } _ { 1 } ^ { * } ) ^ { w _ { 2 , s } , w _ { 1 } } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } \, \frac { \mathrm { d } s } { \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } } \right| \prec \frac { 1 } { \eta } \left( 1 + \frac { \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int \phi ( \theta ) d \hat { \nu } _ { t } ^ { N } ( \theta ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta _ { i } \alpha _ { i } ( 0 ) \frac { d } { d t } \phi ( \vartheta _ { i } ( t ) ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta _ { i } \alpha _ { i } ( 0 ) \nabla \phi ( \vartheta _ { i } ( t ) ) \cdot \dot { \vartheta } _ { i } ( t ) } \\ & { = - \frac { \eta _ { t } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta _ { i } \alpha _ { i } ( 0 ) \nabla \phi ( \vartheta _ { i } ( t ) ) \cdot \nabla _ { \theta } \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } ^ { N } , \nu _ { t } ^ { N } ; \vartheta _ { i } ( t ) ) } \\ & { = \eta _ { t } \int \nabla \phi ( \theta ) \cdot \nabla _ { \theta } \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } ^ { N } , \nu _ { t } ^ { N } ; \theta ) d \hat { \nu } _ { t } ^ { N } ( \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } } & { \left( { { { \bf { X } } _ { j } } \to { { { \bf { \hat { X } } } } _ { j } } \left| { { d _ { 1 j } } , { d _ { 2 j } } , { { \bf { h } } _ { j } } } \right. } \right) } \\ & { = Q \left( { \sqrt { \frac { \rho } { 2 } { { \left\| { \left( { { \bf { \Phi } } \left( { { { \bf { X } } _ { j } } } \right) - { \bf { \Phi } } \left( { { { { \bf { \hat { X } } } } _ { j } } } \right) } \right) { { \bf { h } } _ { j } } } \right\| } ^ { 2 } } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathrm { c l a s s } } ^ { \mathrm { r l o s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) } & { { } = \Gamma _ { 0 } ( \omega ) \frac { P _ { \mathrm { r l o s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) } { P _ { 0 } ( \omega ) } , } \end{array}
\mathcal { M } ( \tilde { p } , u _ { i } ) = \left\{ \begin{array} { r l } { \frac { d V ^ { \mathrm { l v } } \left( u _ { i } \right) } { d t } - q ^ { \mathrm { v e n } } + q ^ { \mathrm { a r t } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { a r t } } \frac { d p ^ { \mathrm { a r t } } } { d t } - q ^ { \mathrm { a r t } } + q ^ { \mathrm { p e r } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { v e n } } p ^ { \mathrm { v e n } } - V ^ { \mathrm { t o t } } + V ^ { \mathrm { l v } } + V ^ { \mathrm { a r t } } + V _ { \mathrm { { r e f 0 } } } ^ { \mathrm { v e n } } } & { = 0 , } \end{array} \right.
\Delta a _ { \mu } ^ { \mathrm { E W } } [ e , u , d ] _ { \mathrm { f r e e ~ q u a r k s } } = - \frac { \alpha } { \pi } \, \frac { G _ { \mu } m _ { \mu } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \sqrt { 2 } } \left[ \ln \frac { m _ { u } ^ { 8 } } { m _ { \mu } ^ { 6 } m _ { d } ^ { 2 } } + \frac { 1 7 } { 2 } \right] = - 4 . 0 \cdot 1 0 ^ { - 1 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \supset } & { - g _ { h t t } \bar { t } \left[ h + \xi _ { t } H - i \xi _ { t } \left( \cos \theta A - \sin \theta a \right) \gamma _ { 5 } \right] t } \\ & { - \sum _ { f = b , \tau } g _ { h f f } \bar { f } \left[ h + \xi _ { f } H + i \xi _ { f } \left( \cos \theta A - \sin \theta a \right) \gamma _ { 5 } \right] f } \\ & { - g _ { h t t } V _ { t b } \xi _ { t } H ^ { + } \bar { t _ { R } } b _ { L } + g _ { h b b } V _ { t b } \xi _ { b } H ^ { + } \bar { t _ { L } } b _ { R } + \mathrm { h . c . } , } \end{array}
F _ { S } ^ { n } ( x , Q ^ { 2 } ) = A _ { S } x ^ { - \Delta ( Q ^ { 2 } ) } \left( 1 - x \right) ^ { n ( Q ^ { 2 } ) + \tau } \left( \frac { Q ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } + a } \right) ^ { 1 + \Delta ( Q ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { \sum _ { i } | s _ { i } | ^ { 2 } = \operatorname { T r } \left( \mathbb { S } ^ { \dagger } \mathbb { S } \right) = \operatorname { T r } \left( \mathbb { G } _ { 0 } ^ { \dagger } \mathbb { G } _ { 0 } \right) = \int _ { V _ { T } } \int _ { V _ { R } } \left\| \mathbb { G } _ { 0 } ( \mathbf { x } _ { T } , \mathbf { x } _ { S } ) \right\| ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mathbf { x } _ { T } \, \mathrm { d } \mathbf { x } _ { R } . } \end{array}
{ { { \cal V } ( \ell ) = \left( - \frac { b _ { 2 } } { 2 } | \ell | ^ { 2 } - \frac { b _ { 3 } } { 6 } ( \ell ^ { 3 } + ( \ell ^ { * } ) ^ { 3 } ) + \frac { 1 } { 4 } ( | \ell | ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right) b _ { 4 } T ^ { 4 } } } ,
\frac { d \sigma _ { B A } } { d x d z d Q ^ { 2 } d q _ { T } ^ { 2 } } = \frac { \sigma _ { 0 } F _ { l } } { \pi S _ { e A } } \int \frac { d ^ { 2 } b } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } e ^ { i \vec { q } _ { T } \cdot \vec { b } } \widetilde { W } _ { B A } ( b , x , z , Q ) + Y _ { B A } ,
\tilde { E } _ { \mathrm { w a v e } } = \frac { \sum _ { k _ { h } , k _ { z } , \omega } ~ E _ { \mathrm { w a v e } } ( k _ { h } , k _ { z } , \omega ) } { \sum _ { k _ { h } , k _ { z } } ~ E _ { \mathrm { p o l o } } ( k _ { h } , k _ { z } ) + E _ { \mathrm { p o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } .
\begin{array} { r l } { \Theta _ { \mathbf { x } } } & { = 1 5 ( 1 - x ) ^ { 2 } \exp \left[ - x ^ { 2 } - ( y + 1 ) ^ { 2 } \right] \ldots } \\ & { - 5 0 * \left( x / 5 - x ^ { 3 } - y ^ { 5 } \right) \exp \left[ - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right] \ldots } \\ & { - 5 / 3 \exp \left[ - ( x + 1 ) ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right] , } \\ { \phi _ { \mathbf { x } } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \Theta _ { \mathbf { x } } } & { \quad \mathrm { i f ~ } x \geq 0 } \\ { - \Theta _ { \mathbf { x } } } & { \quad \mathrm { i f ~ } x < 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \boldsymbol { r } _ { d } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | } & { = } & { ( y _ { d } - y ^ { \prime } ) \sqrt { 1 + \frac { ( x _ { d } - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { ( y _ { d } - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } + \frac { ( x _ { d } - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { ( y _ { d } - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } } \\ & { \approx } & { ( y _ { d } - y ^ { \prime } ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { ( x _ { d } - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { ( y _ { d } - y ^ { \prime } ) } + \frac { 1 } { 2 } \frac { ( z _ { d } - z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { ( y _ { d } - y ^ { \prime } ) } + \dots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { \mathbf { a } + 1 _ { q } } ^ { n } } & { = ( \mathbf { R } _ { p } - \mathbf { R } _ { \mathbf { a } } ) _ { q } \Theta _ { \mathbf { a } } ^ { n } - ( \mathbf { P } - \mathbf { r } _ { i } ) _ { q } \Theta _ { \mathbf { a } } ^ { n + 1 } + \frac { a _ { q } } { 2 ( \zeta _ { \mathbf { a } } + \zeta _ { \mathbf { b } } ) } \left( \Theta _ { \mathbf { a } - 1 _ { q } } ^ { n } - \Theta _ { \mathbf { a } - 1 _ { q } } ^ { n + 1 } \right) , } \\ { \Xi _ { \mathbf { a } ( \mathbf { b } + 1 _ { q } ) } } & { = \Xi _ { ( \mathbf { a } + 1 _ { q } ) \mathbf { b } } + ( \mathbf { R } _ { \mathbf { a } } - \mathbf { R } _ { \mathbf { b } } ) _ { q } \Xi _ { \mathbf { a b } } , } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { A } } { \partial \Tilde { t } } + \mathbf { \Tilde { u } } \cdot \boldsymbol { \Tilde { \boldsymbol { \nabla } } } \mathbf { A } - \left( \boldsymbol { \Tilde { \boldsymbol { \nabla } } } \mathbf { \Tilde { u } } \cdot \mathbf { A } + \mathbf { A } \cdot \boldsymbol { \Tilde { \boldsymbol { \nabla } } } \mathbf { \Tilde { u } } ^ { T } \right) = - \frac { 1 } { D e } \left( \frac { \mathbf { A } } { 1 - \frac { \operatorname { t r } ( \mathbf { A } ) } { L ^ { 2 } } } - \mathbf { I } \right) ,
C = \left( \begin{array} { l l l l } { r _ { d } } & { t _ { d } } & { 0 } & { 0 } \\ { t _ { d } } & { r _ { d } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { r _ { d } } & { t _ { d } } \\ { 0 } & { 0 } & { t _ { d } } & { r _ { d } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { I _ { n } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } x ^ { ( i ) } ( x ^ { ( i ) } ) ^ { T } , } \\ { \| z \| ^ { 2 } } & { { } = \Big \| \sum _ { i = 1 } ^ { n } x ^ { ( i ) } ( x ^ { ( i ) } ) ^ { T } z \Big \| ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| x ^ { ( i ) } ( x ^ { ( i ) } ) ^ { T } z \| ^ { 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { u _ { t } - ( K _ { f } ( u _ { x } + u ) ) _ { x } + f _ { 1 } ( x , t ) u _ { x } + f _ { 2 } ( x , t ) u = 0 , } \\ & { u ( a , t ) = g _ { a } ( t ) , \ u ( b , t ) = g _ { b } ( t ) , \quad u ( x , 0 ) = \phi ( x ) , } \\ & { g _ { a } ( 0 ) = \phi ( a ) , \quad g _ { b } ( 0 ) = \phi ( b ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { f _ { i } ( \vec { x } , t + 1 ) = } & { f _ { i } ( \vec { x } , t ) - \frac { \Delta t } { \tau } ( f _ { i } ( \vec { x } , t ) - f _ { i } ^ { e q } [ \rho , \vec { u } ( \vec { x } , t ) ] ) } \\ { f _ { i } ( \vec { x } , t + 1 ) = } & { ( 1 - \frac { \Delta t } { \tau } ) f _ { i } ( \vec { x } , t ) + \frac { \Delta t } { \tau } ( f _ { i } ^ { e q } [ \rho , \vec { u } ( \vec { x } , t ) ] ) } \\ { \frac { 1 } { 1 - \frac { \Delta t } { \tau } } f _ { i } ( \vec { x } , t + 1 ) = } & { f _ { i } ( \vec { x } , t ) + \frac { \frac { \Delta t } { \tau } } { 1 - \frac { \Delta t } { \tau } } ( f _ { i } ^ { e q } [ \rho , \vec { u } ( \vec { x } , t ) ] ) } \\ { \frac { 1 } { 1 - \frac { \Delta t } { \tau } } f _ { i } ( \vec { x } , t + 1 ) = } & { f _ { i } ( \vec { x } , t ) + \frac { 1 } { \frac { \tau } { \Delta t } - 1 } ( f _ { i } ^ { e q } [ \rho , \vec { u } ( \vec { x } , t ) ] ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau \frac { \partial \phi } { \partial t } = } & { - \kappa \left( \nabla ^ { 2 } - \frac { G ^ { \prime \prime } ( \phi ) } { \epsilon ^ { 2 } } \right) \left( \nabla ^ { 2 } \phi - \frac { G ^ { \prime } ( \phi ) } { \epsilon ^ { 2 } } \right) + \gamma \left( \nabla ^ { 2 } \phi - \frac { G ^ { \prime } ( \phi ) } { \epsilon ^ { 2 } } \right) } \\ & { - M _ { \mathrm { a r e a } } \left( \int \frac { \epsilon } { 2 } | \nabla \phi | ^ { 2 } + \frac { 1 } { \epsilon } G ( \phi ) \mathrm { d } \textbf { r } - P _ { 0 } \right) | \nabla \phi | + \alpha \tilde { a } | \nabla \phi | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { \vartheta } } { \partial \vartheta } } & { { } = - 4 \zeta _ { 1 } k _ { 0 } \vartheta + ( 5 0 \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } ) / ( 9 \sigma ^ { 2 } ) , \; \; \frac { \partial F _ { \vartheta _ { \tau } } } { \partial \vartheta } = - ( \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } ) / ( 4 \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \partial F _ { A } } { \partial \vartheta _ { \tau } } } & { { } = A \zeta _ { 2 } + ( 3 5 / 4 ) A a _ { 1 } \zeta _ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } , } \\ { \frac { \partial F _ { \sigma } } { \partial \vartheta _ { \tau } } } & { { } = - ( 7 a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \sigma k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) / 2 , \; \; \frac { \partial F _ { \sigma _ { \tau } } } { \partial \vartheta _ { \tau } } = 2 \zeta _ { 2 } \sigma _ { \tau } - 5 / 2 a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \sigma _ { \tau } ^ { 3 } k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } , } \\ { \frac { \partial F _ { \vartheta } } { \partial \vartheta _ { \tau } } } & { { } = 0 , \; \; \frac { \partial F _ { \vartheta _ { \tau } } } { \partial \vartheta _ { \tau } } = 8 \zeta _ { 2 } a _ { 1 } / \sigma _ { \tau } ^ { 2 } - 4 \zeta _ { 2 } k _ { 0 } \vartheta _ { \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \Big ( P _ { 0 } ( \tilde { U } ^ { x } ) ( t , y ) - C _ { U } \Big ) } & { { } = - P _ { 0 } ( \nabla _ { z , y } ^ { \bot } P _ { \neq } \psi _ { 1 } \cdot \nabla _ { z , y } \tilde { U } ^ { x } ) \chi _ { 1 } ( y ) } \end{array}
A _ { n } = \frac { 8 g ^ { 2 } T n M _ { S } ^ { 2 } } { s - n M _ { S } ^ { 2 } } \mathrm { ~ } \sum _ { J = 3 / 2 } ^ { n + 1 / 2 } \alpha _ { n } ^ { J } d _ { 3 / 2 , 3 / 2 } ^ { J } \ ,
\left[ \nabla ^ { 2 } + \left( \frac { n ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - \mu _ { \gamma } ^ { 2 } \right) \right] { \bf A } = \left( 1 - n ^ { 2 } \right) \nabla \left( \nabla \cdot { \bf A } \right) \, ,
v _ { S 1 } ^ { 2 } + v _ { S 2 } ^ { 2 } = \frac 1 { \rho } \left( \frac { 8 S - 5 A } { 3 0 } + \frac 1 { 1 4 } \, ( 2 P ^ { i j } + 7 Q ^ { i j } ) n _ { i } n _ { j } - R ^ { i j k l } n _ { i } n _ { j } n _ { k } n _ { l } \right) .
( \partial _ { t } + V _ { 2 } \partial _ { x } + \nu _ { 2 } + i V _ { 2 } \kappa ^ { \prime } ( x - x _ { 0 } ) ) \delta n _ { e } = - \frac { - i 4 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \omega _ { 0 0 } ^ { 2 } v _ { o s c } ^ { 2 } } a _ { 0 } a _ { 1 } ^ { \ast } ,
E _ { i } = { \sqrt { p _ { i } ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 2 } } } \simeq p _ { i } + { \frac { m _ { i } ^ { 2 } } { 2 p _ { i } } } \approx E + { \frac { m _ { i } ^ { 2 } } { 2 E } } ,
\begin{array} { r } { J _ { \mu } ^ { \mathrm { t e r } } ( \omega ) \approx \sum _ { \textbf { k } _ { \mathrm { s p } } , t _ { \mathrm { s p } } , s _ { \mathrm { s p } } } H ( \textbf { k } _ { \mathrm { s p } } , t _ { \mathrm { s p } } , s _ { \mathrm { s p } } ) R _ { \mu } ^ { \mathbf { k } _ { \mathrm { s t } } } T ^ { \textbf { k } _ { \mathrm { s p } } - \textbf { A } ( t _ { \mathrm { s p } } ) + \textbf { A } ( s _ { \mathrm { s p } } ) } e ^ { - i \left( S ^ { \mu } ( \textbf { k } _ { \mathrm { s p } } , t _ { \mathrm { s p } } , s _ { \mathrm { s p } } ) - \omega t _ { \mathrm { s p } } \right) } + \mathrm { c . c . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 ^ { N - 1 } \cdot ( N - 1 ) ! \cdot | V ( G ) | \cdot P + 2 ^ { N - 1 } \cdot N ! \cdot L \cdot \log ( N \cdot L ) \cdot | V ( G ) | + m } \\ { \sim \ } & { 2 ^ { N - 1 } \cdot N ! \cdot L \cdot \log ( N \cdot L ) \cdot | V ( G ) | + m } \\ { \sim \ } & { 2 ^ { N - 1 } \cdot \sqrt { 2 \pi N } ( \frac { N } { e } ) ^ { N } \cdot L \cdot \log ( N \cdot L ) \cdot | V ( G ) | + m } \\ { = \ } & { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 \pi N } ( \frac { 2 N } { e } ) ^ { N } \cdot L \cdot \log ( N \cdot L ) \cdot | V ( G ) | + m } \\ { = \ } & { O ( N ) ^ { N + \frac { 1 } { 2 } } \cdot L \cdot \log L \cdot | V ( G ) | + m } \end{array}
\begin{array} { c } { { { \overline { { { \dot { \omega } _ { s } ( \rho , \phi ) } } } = \int \int _ { \rho } \int _ { \phi } \wp ( \phi ) \dot { \omega } _ { s } ( \rho , \phi ) d \phi d \rho } } } \\ { { { \approx \alpha \dot { \omega } _ { s } \left( \bar { \rho } , \phi ^ { m } \right) + \beta \dot { \omega } _ { s } \left( \bar { \rho } , \phi ^ { * } \right) } } } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \int \rho ( x , y , z ) ( x _ { i } ^ { 2 } + y _ { i } ^ { 2 } ) { { \omega _ { z } } _ { i } } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } { I _ { z } } _ { i } { { \omega _ { z } } _ { i } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| { R } _ { \mathrm { o n } } - \tilde { R } _ { \mathrm { o n } } \right| \mathrm { d } x } & { = } & { \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| \omega _ { \eta , \delta } \ast \rho - \tilde { \omega } _ { \eta , \delta } \ast \tilde { \rho } \right| \mathrm { d } x } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| \omega _ { \eta , \delta } \ast \rho - \omega _ { \eta , \delta } \ast \tilde { \rho } + \omega _ { \eta , \delta } \ast \tilde { \rho } - \tilde { \omega } _ { \eta , \delta } \ast \tilde { \rho } \right| \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| \omega _ { \eta , \delta } \ast \rho - \omega _ { \eta , \delta } \ast \tilde { \rho } \right| + \left| \omega _ { \eta , \delta } \ast \tilde { \rho } - \tilde { \omega } _ { \eta , \delta } \ast \tilde { \rho } \right| \mathrm { d } x } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| \omega _ { \eta , \delta } \ast \left( \rho - \tilde { \rho } \right) \right| + \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| \left( \omega _ { \eta , \delta } - \tilde { \omega } _ { \eta , \delta } \right) \ast \tilde { \rho } \right| \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { \left\| \omega _ { \eta , \delta } \right\| _ { \L { 1 } ( \Omega _ { \mathrm { o n } } ) } \left\| \rho - \tilde { \rho } \right\| _ { \L { 1 } ( \Omega _ { \mathrm { o n } } ) } + \left\| \omega _ { \eta , \delta } - \tilde { \omega } _ { \eta , \delta } \right\| _ { \L { 1 } ( \Omega _ { \mathrm { o n } } ) } \left\| \tilde { \rho } \right\| _ { \L { 1 } ( \Omega _ { \mathrm { o n } } ) } } \\ & { \leq } & { \left\| \omega _ { \eta , \delta } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \left\| \rho - \tilde { \rho } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } + \left\| \omega _ { \eta , \delta } - \tilde { \omega } _ { \eta , \delta } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \left\| \tilde { \rho } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { \leq } & { \left\| \rho - \tilde { \rho } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } + \left\| \omega _ { \eta , \delta } - \tilde { \omega } _ { \eta , \delta } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \mathcal { R } _ { 1 } ( t ) , } \end{array}
V [ L ; { \bf f } ; R _ { 1 } , R _ { 2 } , \ldots R _ { n } ] \, = \, \langle \psi ( \{ R _ { i } \} ) \vert ~ { \bf { B } } ( \{ R _ { i } \} , \{ \ell _ { i } \} ) ~ \vert \psi ( \{ \ell _ { i } \} ) \rangle
P C C = \frac { \sum ( S O E - \overline { { S O E } } ) ( S O H - \overline { { S O H } } ) } { \sqrt { \sum ( S O E - \overline { { S O E } } ) ^ { 2 } \cdot \sum ( S O H - \overline { { S O H } } ) ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l } { \arg \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { U } , \mathbf { V } , \mathbf { L } } } & { \left\| \mathcal { W } \left( \mathbf { s } - \mathcal { F C B } \left( \mathbf { U } \mathbf { V } + \mathbf { L } \right) \right) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + \lambda \sum _ { c = 1 } ^ { K } \mathrm { T G V } ^ { 2 } \{ U _ { c } \} \: . } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { N b } } ~ = ~ { \frac { A _ { \mathrm { N b } } ~ / ~ [ { \delta _ { \mathrm { N b } } } \, { \lambda _ { \mathrm { N b } } } \, { c _ { \mathrm { N b } } } { ( 1 \, - \, { f _ { \mathrm { m e t . } } } ) } ] } { \sum _ { i } A _ { i } ~ / ~ { ( { \delta _ { i } } \, { \lambda _ { i } } \, { c _ { i } } ) } } } \, \times \, N _ { \mathrm { t } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { M R E } = \operatorname* { m a x } _ { i } \left\{ \frac { | k _ { i } ^ { + } ( \mathbf A ^ { * } ) - \langle k _ { i } ^ { + } \rangle | } { k _ { i } ^ { + } ( \mathbf A ^ { * } ) } , \: \frac { | k _ { i } ^ { - } ( \mathbf A ^ { * } ) - \langle k _ { i } ^ { - } \rangle | } { k _ { i } ^ { - } ( \mathbf A ^ { * } ) } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { G ^ { ( 1 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { 9 _ { L } } ^ { ( 1 ) } , } & { k \mathrm { ~ o n ~ t h e ~ - ~ s i d e ~ o f ~ } \Gamma _ { 9 _ { r } } ^ { ( 1 ) } , } \\ { ( v _ { 9 _ { R } } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } , } & { k \mathrm { ~ o n ~ t h e ~ + ~ s i d e ~ o f ~ } \Gamma _ { 9 _ { r } } ^ { ( 1 ) } , } \\ { v _ { 3 } ^ { ( 1 ) } , } & { k \mathrm { ~ o n ~ t h e ~ - ~ s i d e ~ o f ~ } \Gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , } \\ { ( v _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } , } & { k \mathrm { ~ o n ~ t h e ~ + ~ s i d e ~ o f ~ } \Gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , } \end{array} \right. } & & { G ^ { ( 1 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { 4 } ^ { ( 1 ) } , } & { k \mathrm { ~ o n ~ t h e ~ - ~ s i d e ~ o f ~ } \Gamma _ { 5 } ^ { ( 1 ) } , } \\ { ( v _ { 6 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } , } & { k \mathrm { ~ o n ~ t h e ~ + ~ s i d e ~ o f ~ } \Gamma _ { 5 } ^ { ( 1 ) } , } \\ { v _ { 7 } ^ { ( 1 ) } , } & { k \mathrm { ~ o n ~ t h e ~ - ~ s i d e ~ o f ~ } \Gamma _ { 8 } ^ { ( 1 ) } , } \\ { ( v _ { 9 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } , } & { k \mathrm { ~ o n ~ t h e ~ + ~ s i d e ~ o f ~ } \Gamma _ { 8 } ^ { ( 1 ) } , } \\ { I , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \operatorname* { l i m } _ { R a \to \infty } } & { w _ { m a } w _ { m a , z } - \frac { \sqrt { P r } } { \sqrt { R a } } \ w _ { m a , z z } - \theta _ { m a } = 0 } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { R a \to \infty } } & { w _ { m a } \theta _ { m a , z } - \frac { 1 } { \sqrt { P r R a } } \ \theta _ { m a , z z } - w _ { m a } = 0 . } \end{array}
u _ { \bf k } ^ { \prime \prime } + \left( k ^ { 2 } - \frac { a ^ { \prime \prime } } { a } + \frac { a ^ { 2 } } { Z } V ^ { \prime \prime } - \frac { a ^ { 2 } V ^ { \prime } Z ^ { \prime } } { Z ^ { 2 } } \right) u _ { \bf k } = 0
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { t } ^ { \mathrm { { p r i } } } } & { ( { \boldsymbol y } _ { t - 1 } , { \boldsymbol \xi } _ { t } ) = \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { y } _ { t } } \; { \mathbf b } _ { t } ^ { \top } { \boldsymbol y } _ { t } + \sum _ { j } { \lambda } _ { j } \bar { \mathcal { F } } _ { t + 1 } ( { \boldsymbol y } _ { t } ^ { j } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \; } & { { \mathbf B } _ { t } { \boldsymbol y } _ { t } \geq { \mathbf h } _ { t } ( { \boldsymbol x } ) - { \mathbf A } _ { t } { \boldsymbol y } _ { t - 1 } + { \mathbf H } _ { t } { \boldsymbol \xi } _ { t } , \; , \; { \boldsymbol y } _ { t } \in \mathcal { Y } _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \widetilde { H } _ { m } = \widetilde { G } _ { m } } & { \mathrm { i n } } & { \ ( 0 , \infty ) \times \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 2 } \, , } \\ & { \widetilde { H } _ { m } = 0 } & { \mathrm { o n } } & { \ \{ 0 \} \times \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| u _ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \le \| f _ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \Omega ) } \le \| u _ { 0 } - \Phi _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \le \frac { 1 } { 2 } \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \le \frac { 1 } { 2 } \| f _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \Omega ) } , } \end{array}