harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c } { \kappa _ { A r } ^ { * } = \frac { \theta _ { s } ^ { * } ( t ) } { \Delta \theta } \kappa _ { c r } ^ { * } + \frac { \Delta \theta - \theta _ { s } ^ { * } ( t ) } { \Delta \theta } \kappa _ { 2 } , \kappa _ { B r } ^ { * } = \frac { \theta _ { s } ^ { * } ( t ) } { \Delta \theta } \kappa _ { c r } ^ { * } + \frac { \Delta \theta - \theta _ { s } ^ { * } ( t ) } { \Delta \theta } \kappa _ { 1 } . } \\ { \frac { 1 } { \kappa _ { A \theta } ^ { * } } = \frac { \theta _ { s } ^ { * } ( t ) } { \Delta \theta } \frac { 1 } { \kappa _ { c \theta } ^ { * } } + \frac { \Delta \theta - \theta _ { s } ^ { * } ( t ) } { \Delta \theta } \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } , \frac { 1 } { \kappa _ { B \theta } ^ { * } } = \frac { \theta _ { s } ^ { * } ( t ) } { \Delta \theta } \frac { 1 } { \kappa _ { c \theta } ^ { * } } + \frac { \Delta \theta - \theta _ { s } ^ { * } ( t ) } { \Delta \theta } \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } . } \end{array}
n _ { \mathrm { e f f } } = \sqrt \epsilon _ { h } + \frac 3 2 \frac { f ( \epsilon _ { i } - \epsilon _ { h } ) } { 2 \epsilon _ { h } + \epsilon _ { i } } + i \sqrt { \epsilon _ { h } } { c } \left( \frac { \epsilon _ { h } - \epsilon _ { i } } { 2 \epsilon _ { h } + \epsilon _ { i } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { r _ { \mathrm { N P } } \omega } { c } \right) ^ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { K ( \mathbf { x _ { 0 } } , \mathbf { x _ { 1 } } ) } & { = \mathrm { c o v } \left( \sum _ { j } \alpha _ { 0 , j } X _ { j } , \sum _ { k } \alpha _ { 1 , k } X _ { k } \right) } \\ & { = \mathbb { E } \left( \left( \sum _ { j } \alpha _ { 0 , j } X _ { j } \right) \left( \sum _ { k } \alpha _ { 1 , k } X _ { k } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] } & { \le \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \vec { \sigma } _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } - \vec { \lambda } _ { t } \rangle \right] + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } \mathcal T _ { T } } \\ & { = \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } - \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \vec { \lambda } _ { t } \rangle \right] + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } \mathcal T _ { T } } \\ & { \quad - \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \vec { \sigma } _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right] } \\ & { \le \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } - \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \vec { \lambda } _ { t } \rangle \right] + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } \mathcal T _ { T } + f ( \mathcal T _ { T } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { C } ^ { k e } } & { { } \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k e } ^ { 2 } \, c ^ { 4 } } \, \ln \frac { \pi } { \theta _ { k e } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } ( \ensuremath { \left\langle \mathcal { K E } \right\rangle } + \ensuremath { \left\langle \mathcal { P E } \right\rangle } ) = \ensuremath { \left\langle P \ensuremath { \nabla } \cdot \vec { u } \right\rangle } - \ensuremath { \left\langle \Phi \right\rangle } , } \\ { \partial _ { t } { \angles { \rho s } } = \ensuremath { \left\langle \frac { 1 } { T } \left[ \ensuremath { \nabla } \cdot ( k \ensuremath { \nabla } T ) + \rho \epsilon \right] \right\rangle } + \ensuremath { \left\langle \frac { 1 } { T } \Phi \right\rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \zeta _ { t } + \left( A { \sigma } + \alpha B { \zeta } { \sigma } - \alpha ^ { 2 } C { \zeta } ^ { 2 } { \sigma } + \epsilon ^ { 2 } \kappa { \sigma } _ { x x } \right) _ { x } = 0 } \\ & { \sigma _ { t } + \left( { \zeta } + \alpha \frac { B \, { \sigma } ^ { 2 } } { 2 } - \alpha ^ { 2 } C { \zeta } { \sigma } ^ { 2 } \right) _ { x } = 0 } \end{array}
\mathbf { T } _ { m } = \mathbf { \nabla } \cdot \left( | \nabla f _ { m } ^ { N _ { \mathrm { s m o o t h } } } | \left( \mathbf { I } - \frac { \nabla f _ { m } ^ { N _ { \mathrm { s m o o t h } } } } { | \nabla f _ { m } ^ { N _ { \mathrm { s m o o t h } } } | } \otimes \frac { \nabla f _ { m } ^ { N _ { \mathrm { s m o o t h } } } } { | \nabla f _ { m } ^ { N _ { \mathrm { s m o o t h } } } | } \right) \right)
\theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) - \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \rightarrow 0 , \qquad \mathrm { f o r ~ a . a . ~ } ( t , \omega ) \in ( 0 , T ) \times \tilde { \Omega } .
\begin{array} { r l } { R } & { < \Big [ ( 1 - \alpha \delta ) \left( H ( X ) - H _ { b } \left( \frac { \mathbb { E } [ S ] } { ( 1 - \alpha \delta ) s _ { \operatorname* { m a x } } } \right) \right) } \\ & { - \left( 1 - \alpha \delta - \frac { \mathbb { E } [ S ] } { s _ { \operatorname* { m a x } } } \right) \log \left( | \mathfrak { X } | - 1 \right) - \mathbb { E } [ S ] H ( X | Y ) \Big ] ^ { + } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( \theta ) = } & { - 2 \frac { k \chi _ { \mathrm { e e } } ^ { y y } + 2 k \chi _ { \mathrm { e m } } ^ { y x } c _ { \theta } } { 2 k \chi _ { \mathrm { e e } } ^ { y y } + 2 k \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { x x } c _ { \theta } ^ { 2 } } \cdots } \\ & { \ \frac { - k \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { x x } c _ { \theta } ^ { 2 } } { - j \left( k ^ { 2 } \left( \chi _ { \mathrm { e e } } ^ { y y } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { x x } + ( \chi _ { \mathrm { e m } } ^ { y x } ) ^ { 2 } \right) - 4 \right) c _ { \theta } } \cdots } \\ & { \ \ \frac { - k _ { x } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { z z } s _ { \theta } } { + j k k _ { x } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { x x } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { z z } s _ { \theta } c _ { \theta } - 2 k _ { x } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { z z } s _ { \theta } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta _ { 2 1 } } & { = } & { \frac { \hat { \beta } _ { 2 1 } } { c _ { \mathrm { g } } ^ { 2 } } - 4 \alpha \beta c _ { \mathrm { g } } } \\ { \beta _ { 2 2 } } & { = } & { \frac { \hat { \beta } _ { 2 2 } } { c _ { \mathrm { g } } ^ { 2 } } - 2 \alpha \beta c _ { \mathrm { g } } } \\ { \hat { \beta } _ { 2 1 } } & { = } & { \omega _ { 0 } k _ { 0 } Q _ { 4 1 S } } \\ { \hat { \beta } _ { 2 2 } } & { = } & { \omega _ { 0 } k _ { 0 } Q _ { 4 2 S } } \\ { \mathcal { B } _ { 2 1 } } & { = } & { \omega _ { 0 } k _ { 0 } \tilde { Q } _ { 4 1 } / c _ { g } ^ { 2 } - 4 \alpha \beta _ { D } c _ { g } } \\ { \mathcal { B } _ { 2 2 } } & { = } & { \omega _ { 0 } k _ { 0 } \tilde { Q } _ { 4 2 } / c _ { \mathrm { g } } ^ { 2 } - 2 \alpha \beta _ { D } c _ { \mathrm { g } } } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { k y } = \frac { \partial P _ { x x } } { \partial A _ { y } } + \kappa e ^ { \Phi / \kappa } \frac { \partial W } { \partial A _ { y } } = J _ { k y } + \kappa e ^ { \Phi / \kappa } \frac { \partial W } { \partial A _ { y } } \, , } \\ { J _ { k z } = \frac { \partial P _ { x x } } { \partial A _ { z } } + \kappa e ^ { \Phi / \kappa } \frac { \partial W } { \partial A _ { z } } = J _ { k z } + \kappa e ^ { \Phi / \kappa } \frac { \partial W } { \partial A _ { z } } \, , } \end{array}
\rho _ { m _ { 0 } \rightarrow m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { D } = \frac { 1 } { 4 \pi R ^ { 2 } } \sum _ { j } ( 2 j + 1 ) \rho _ { m _ { 0 } \rightarrow m _ { 1 j } + m _ { 2 j } } ^ { D - 2 } ; \qquad m _ { i j } ^ { 2 } = m _ { i } ^ { 2 } + \left( \frac { j } { R } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { u _ { t } ( x , t ) + d u _ { x } ( x , t ) - q _ { 2 } K _ { 2 } ( x , 1 ) c _ { 0 } u ( 1 , t ) } \\ { = } & { v _ { t } ( x , t ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 1 } ( x , y ) \alpha _ { t } ( y , t ) d y + \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 2 } ( x , y ) \beta _ { t } ( y , t ) d y } \\ & { + d v _ { x } ( x , t ) + d \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 1 x } ( x , y ) \alpha ( y , t ) d y } \\ & { + d \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 2 x } ( x , y ) \beta ( y , t ) d y } \\ & { + \eta ( x ) \dot { X } ( t ) + d \eta ^ { \prime } ( x ) { X } ( t ) - q _ { 2 } K _ { 2 } ( x , 1 ) c _ { 0 } u ( 1 , t ) } \\ { = } & { v _ { t } ( x , t ) - q _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 1 } ( x , y ) \alpha _ { x } ( y , t ) d y } \\ & { + d _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 1 } ( x , y ) \alpha ( y , t ) d y } \\ & { + q _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 2 } ( x , y ) \beta _ { x } ( y , t ) d y + d _ { 4 } \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 2 } ( x , y ) \beta ( y , t ) d y } \\ & { + d v _ { x } ( x , t ) + d \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 1 x } ( x , y ) \alpha ( y , t ) d y } \\ & { + d \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 2 x } ( x , y ) \beta ( y , t ) d y + \eta ( x ) ( A _ { \mathrm { m } } { X } ( t ) + B \beta ( 0 , t ) ) } \\ & { + d \eta ^ { \prime } ( x ) { X } ( t ) - q _ { 2 } K _ { 2 } ( x , 1 ) c _ { 0 } u ( 1 , t ) } \\ { = } & { \left( q _ { 2 } K _ { 2 } ( x , 1 ) q - q _ { 1 } K _ { 1 } ( x , 1 ) \right) \alpha ( 1 , t ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { x } \left( q _ { 1 } K _ { 1 y } ( x , y ) + d _ { 1 } K _ { 1 } ( x , y ) + d K _ { 1 x } ( x , y ) \right) \alpha ( y , t ) d y } \\ & { - \left( q _ { 2 } K _ { 2 } ( x , 0 ) + q _ { 1 } K _ { 1 } ( x , 0 ) p - \eta ( x ) B \right) \beta ( 0 , t ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { x } \left( d _ { 4 } K _ { 2 } ( x , y ) - q _ { 2 } K _ { 2 y } ( x , y ) + d K _ { 2 x } ( x , y ) \right) \beta ( y , t ) d y } \\ & { + \left( \eta ( x ) A _ { \mathrm { m } } + d \eta ^ { \prime } ( x ) \right) { X } ( t ) = 0 . } \end{array}
{ \boldsymbol { \mathcal { W } } = \{ w _ { i } \ | \ w _ { i } \in \boldsymbol { H } ^ { 1 } \left( \Omega \right) , \ w _ { i } n _ { i } = 0 \ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma ^ { \mathrm { { b a s e } } } } \}
\phi = { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { - } a _ { -- } { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 } } { \frac { x ^ { + } a _ { - } } { 1 + { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 } } x ^ { + } x ^ { - } } } .
{ \frac { ( x _ { 4 } - x _ { 1 } ) ( x _ { 4 } - x _ { 2 } ) + ( y _ { 4 } - y _ { 1 } ) ( y _ { 4 } - y _ { 2 } ) } { ( y _ { 4 } - y _ { 1 } ) ( x _ { 4 } - x _ { 2 } ) - ( y _ { 4 } - y _ { 2 } ) ( x _ { 4 } - x _ { 1 } ) } } = { \frac { ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) + ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) ( y _ { 3 } - y _ { 2 } ) } { ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) - ( y _ { 3 } - y _ { 2 } ) ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) } } .
\left[ \mathcal { Z } ^ { [ k ] } \otimes \tilde { \mathcal { Z } } ^ { [ \tilde { k } ] } \right] _ { p _ { 1 } , p _ { 2 } , \cdots , p _ { k } , q _ { 1 } , q _ { 2 } , \cdots , q _ { \tilde { k } } } = \mathcal { Z } _ { p _ { 1 } , p _ { 2 } , \cdots , p _ { k } } ^ { [ k ] } \tilde { \mathcal { Z } } _ { q _ { 1 } , q _ { 2 } , \cdots , q _ { \tilde { k } } } ^ { [ \tilde { k } ] } .
G ( z , w ) = - \ln | E ( z , w ) | ^ { 2 } + 2 \pi \, \mathrm { I m } \int _ { z } ^ { w } \omega _ { I } \, ( \mathrm { I m } \Omega ) _ { I J } ^ { - 1 } \, \mathrm { I m } \int _ { z } ^ { w } \omega _ { J } .
\begin{array} { r l } & { \pmb { \mathscr { B } } ^ { ( 2 1 ) } \! \left[ \begin{array} { c c c c } { A _ { 4 6 } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } & { 0 } & { A _ { 4 8 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { 5 7 } \frac { \partial _ { \langle } } { \partial x _ { j \rangle } } } & { 0 } & { A _ { 5 9 } \frac { \partial } { \partial x _ { k } } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { c c } { A _ { 4 6 } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { 5 7 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \\ { A _ { 4 8 } \frac { \partial _ { \langle } } { \partial x _ { j \rangle } } } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { 5 9 } \frac { \partial _ { \langle } } { \partial x _ { k \rangle } } } \end{array} \right] \! [ \pmb { \mathscr { B } } ^ { ( 2 1 ) } ] ^ { T } - \pmb { \mathscr { B } } ^ { ( 2 1 ) } \! \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { A _ { 4 5 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \\ { A _ { 4 5 } \frac { \partial _ { \langle } } { \partial x _ { j \rangle } } } & { 0 } \end{array} \right] \! [ \pmb { \mathscr { B } } ^ { ( 2 1 ) } ] ^ { T } } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } A _ { 4 6 } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } A _ { 4 6 } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } & { 0 } & { \bar { A } _ { 7 8 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \bar { A } _ { 7 8 } \frac { \partial _ { \langle } } { \partial x _ { j \rangle } } } & { 0 } & { \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } A _ { 5 9 } \frac { \partial } { \partial x _ { k } } } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } A _ { 5 9 } \frac { \partial _ { \langle } } { \partial x _ { k \rangle } } } & { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
\mathsf { K } = \frac { 1 } { 2 } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \frac { 1 } { 2 } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } \, , \qquad \mathsf { P } = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { X } _ { \mathrm { O } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } \mathbf { X } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { X } _ { \mathrm { I } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } \mathbf { X } _ { \mathrm { I } } + 2 \mathbf { X } _ { \mathrm { O } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } \mathbf { X } _ { \mathrm { I } } \right) \, ,
\rho ^ { * } = \int { \frac { d \rho } { f ^ { 2 } } } = { \frac { R ^ { 2 } } { 2 ( \rho _ { + } ^ { 2 } - \rho _ { - } ^ { 2 } ) } } \left[ \rho _ { + } \ln \left( { \frac { \rho - \rho _ { + } } { \rho + \rho _ { - } } } \right) - \rho _ { - } \ln \left( { \frac { \rho - \rho _ { - } } { \rho + \rho _ { - } } } \right) \right] .
[ \left( \mathbf { u } \cdot \nabla \right) \mathbf { A } ] _ { j } = \sum _ { i } { \frac { u _ { i } } { h _ { i } } } { \frac { \partial A _ { j } } { \partial q ^ { i } } } + { \frac { A _ { i } } { h _ { i } h _ { j } } } \left( u _ { j } { \frac { \partial h _ { j } } { \partial q ^ { i } } } - u _ { i } { \frac { \partial h _ { i } } { \partial q ^ { j } } } \right) ,
r _ { h } = r ( \textbf { x } , \textbf { y } , \mathbf { D } _ { \pi _ { 0 } } \mathbf { P } ^ { h } ) = \frac { \mathbf { x } ^ { \top } \left( \mathbf { D } _ { \pi _ { 0 } } \mathbf { P } ^ { h } - \pi _ { 0 } \pi _ { h } ^ { \top } \right) \mathbf { y } } { \sqrt { \left[ \mathbf { x } ^ { \top } \left( \mathbf { D } _ { \pi _ { 0 } } - \pi _ { 0 } \pi _ { 0 } ^ { \top } \right) \mathbf { x } \right] \left[ \mathbf { y } ^ { \top } \left( \mathbf { D } _ { \pi _ { h } } - \pi _ { h } \pi _ { h } ^ { \top } \right) \mathbf { y } \right] } , }
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d x } { d \tau } } } & { = f ^ { \prime } ( k ) k + \tau \left[ f ^ { \prime } ( k ) + f ^ { \prime \prime } ( k ) k \right] { \frac { d k } { d \tau } } } \\ & { = f ^ { \prime } ( k ) k + { \frac { \tau } { 1 - \tau } } { \frac { [ f ^ { \prime } ( k ) ] ^ { 2 } + f ^ { \prime } ( k ) f ^ { \prime \prime } ( k ) k } { f ^ { \prime \prime } ( k ) } } } \\ & { = { \frac { \tau } { 1 - \tau } } { \frac { f ^ { \prime } ( k ) ^ { 2 } } { f ^ { \prime \prime } ( k ) } } + { \frac { 1 } { 1 - \tau } } f ^ { \prime } ( k ) k } \\ & { = { \frac { f ^ { \prime } ( k ) } { 1 - \tau } } \left[ \tau { \frac { f ^ { \prime } ( k ) } { f ^ { \prime \prime } ( k ) } } + k \right] } \end{array} }
\dot { \boldsymbol { \ell } } _ { 1 } = \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \cdot \nabla \mathbf { v } - \frac { 1 } { \zeta } \left( \frac { \partial E } { \partial { \boldsymbol { \ell } _ { 2 } } } + 2 \frac { \partial E } { \partial { \boldsymbol { \ell } _ { 1 } } } \right) ,
\Gamma ^ { ( 1 ) } = \frac { g _ { \varepsilon } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \hbar } { 4 \pi c \tau _ { S } ^ { 2 } } \, \operatorname * { l i m } _ { \vec { x } \rightarrow \vec { x } _ { S } } \frac { 1 } { | \vec { x } - \vec { x } _ { S } | } \, ,
f ( s , t ) ~ = ~ \left( \frac { n } { 2 } - i G s \right) \frac { \Gamma \left( \frac { n } { 2 } - i G s \right) } { \Gamma \left( \frac { n } { 2 } + i G s \right) } \left( \frac { - 1 } { t } \right) ^ { 1 - i G s }
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { i _ { 0 } } \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i 0 } } U _ { n } ( f ) - \mathbb { E } \big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i 0 } } U _ { n } ( f ) \big ) \geq 1 / 2 M ( i , j ) \Big ) } \\ { \leq } & { \sum _ { i = 1 } ^ { i _ { 0 } } T _ { 1 } \exp \Big ( - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } ( 2 ^ { i - 1 } ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } + T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) ( \lambda _ { n } J _ { 0 } ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } \Big ) } \\ { \leq } & { \sum _ { i = 1 } ^ { i _ { 0 } } T _ { 1 } \exp \Big ( - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } ( 2 ^ { i - 1 } - 1 / 2 ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } \Big ) } \\ { \leq } & { T _ { 1 } \frac { \exp \big ( - 2 ^ { - 1 } T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } \big ) } { 1 - \exp \big ( - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } \big ) } \leq 2 T _ { 1 } \exp \big ( - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R = \log \left( \operatorname* { d e t } \bigg ( \mathbf { I } _ { N _ { s } } + \frac { p } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } { { { { { \mathbf { W } } _ { o p t } } } } { \mathbf { H } } { \mathbf { F } _ { D } } } { { { \mathbf { F } } _ { D } ^ { H } } { { \mathbf { H } } ^ { H } } { { { \mathbf { W } } _ { o p t } ^ { H } } } } \bigg ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { D } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { D } } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \leqslant \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { D } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { D } } } \mathcal { P } _ { \mathcal { D } } { a } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { D } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { D } } } \mathcal { P } _ { \mathcal { D } } { b } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { n , p , s } t ^ { - ( \theta - \eta ) } \lVert \mathcal { P } _ { \mathcal { D } } { a } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + t ^ { 1 - \theta } \lVert \mathcal { P } _ { \mathcal { D } } { b } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { n , p , s } t ^ { - ( \theta - \eta ) } \left( \lVert { a } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + t ^ { 1 - \eta } \lVert { b } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \right) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { l } { { \sigma _ { t r e e } ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow q \overline { { { q } } } g _ { 1 } g _ { 2 } g _ { 3 } ) } } \\ { { = \int d \Omega \, \cdot \{ \frac 1 2 \frac { ( N _ { c } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } } { ( 2 N _ { c } ) ^ { 2 } } [ \left| D ^ { 1 2 3 } \right| ^ { 2 } + \left| D ^ { 2 3 1 } \right| ^ { 2 } + \left| D ^ { 3 1 2 } \right| ^ { 2 } } } \\ { { + \left| D ^ { 2 1 3 } \right| ^ { 2 } + \left| D ^ { 1 3 2 } \right| ^ { 2 } + \left| D ^ { 3 2 1 } \right| ^ { 2 } ] } } \\ { { + k i n e m a t i c \, \, i n t e r f e r e n c e \; \; t e r m s \} } } \end{array}
B _ { { \bf { q } } } = ( \frac { - \omega _ { { \bf { q } } } + \epsilon _ { { \bf { q } } } + \rho _ { 0 } v _ { { \bf { q } } } } { 2 \mathrm { ~ } \omega _ { { \bf { q } } } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }
| Z _ { 2 } | ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( Z _ { i j } \bar { Z } ^ { i j } - \sqrt { ( Z _ { i j } \bar { Z } ^ { i j } ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } | \epsilon ^ { i j k l } Z _ { i j } Z _ { k l } | ^ { 2 } } \right) ,
\tilde { T } _ { N - 2 } ^ { n + 1 } = \tilde { T } _ { N - 1 } ^ { n + 1 } - \delta \tilde { x } \left. { \frac { { \partial \tilde { T } } } { { \partial \tilde { x } } } } \right| _ { N - 1 } ^ { n + 1 } + \frac { { \delta { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } { 2 } \left. { \frac { { { \partial ^ { 2 } } \tilde { T } } } { { \partial { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } } \right| _ { N - 1 } ^ { n + 1 } .
\left\lbrace \begin{array} { l } { \dot { x } _ { i } \; = \; a - \left( b + d \right) x _ { i } + c \; x _ { i } ^ { 2 } y _ { i } - D _ { x } \; \sum _ { j } L { \; } _ { \mathrm { i j } } x _ { j } } \\ { { \dot { y } _ { i } \; = \; \mathrm { b } } x _ { i } - c \; x _ { \; i } ^ { 2 } y _ { i } - D _ { y } \; \sum _ { j } L _ { \mathrm { i j } } \; y _ { j } \; \; \; \; \; \; \; } \end{array} \right.
V _ { \mathcal { N } } = \frac { \mu _ { b _ { 0 } } k ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { 8 \mathbf { Q } ^ { 2 } \mu _ { b _ { 0 } } ^ { 2 } } { r ^ { 4 } H } , \quad F _ { \mathcal { N } 0 } = \frac { \mathbf { Q } \mu _ { b _ { 0 } } } { 2 r ^ { 2 } } ( \frac { H } { r } - \frac { P _ { Z } } { r H } ) , \quad F _ { \mathcal { N } 1 } = \frac { \mathbf { Q } \mu _ { b _ { 0 } } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } .
\chi ( R _ { 0 } ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { { \frac { 1 } { ( d - 2 ) ( d - 3 ) } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { R _ { 0 } \ll R _ { c } } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { R _ { 0 } \gg R _ { c } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { Q } [ \{ u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } , \{ v _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } , \{ w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } ] \right) ^ { 2 } } & { : = } \\ { 1 + \sum _ { s = 1 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ d , k \} } \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } } & { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \sum _ { i ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { d } \left| ( { \underline { { u _ { i } } } } _ { | s } \cdot \nabla _ { t } ^ { s } ) Q _ { s } ( t , { \underline { { v _ { i ^ { \prime } } } } } _ { | s } , { \underline { { w _ { i ^ { \prime \prime } } } } } _ { | s } ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \left( | \partial f ( x ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x ) f ( x ) ^ { 2 } \right) | x | ^ { n } \, \textnormal { d } x } & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 2 a , } & { n = 2 , } \\ { C a ^ { 2 } b , } & { n = 4 , } \end{array} \right. } \\ { \int | x | ^ { n } f \partial f \, \textnormal { d } x } & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { C , } & { n = 0 , } \\ { C a \log ( b / a ) , } & { n = 1 , } \\ { C a b , } & { n = 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \bf p } _ { \mathrm { F i e l d } } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon \left( \left( \hat { \bf E } \times \hat { \bf B } \right) + \left( \hat { \bf E } \times \hat { \bf B } \right) ^ { \dagger } \right) , } \end{array}