harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal O } _ { i } ^ { ( q ) } = \left. \left( \left. { \frac { \partial \Gamma _ { \infty } ^ { ( \beta ) } } { \partial \beta _ { i } } } \right| _ { \Phi , K } \right) \right| _ { \beta = 0 } = \left. \left( \left. { \frac { \partial W _ { \infty } ^ { ( \beta ) } } { \partial \beta _ { i } } } \right| _ { J , K } \right) \right| _ { \beta = 0 } = \left. < { \frac { \partial \Sigma _ { \infty } ^ { ( \beta ) } } { \partial \beta _ { i } } } > _ { J } \right| _ { \beta = 0 } .
g _ { t } = \rho \left( \frac { \lambda _ { t } } { \pi } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - \lambda _ { t } { \vec { c } } ^ { 2 } } \left( \frac { \lambda _ { r } } { \pi } \right) e ^ { - \lambda _ { r } { \vec { \xi } } ^ { 2 } } \frac { 4 \lambda _ { v } } { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) } e ^ { - \frac { 4 \lambda _ { v } } { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) } \varepsilon _ { v } } ,
\mathbf { A } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { A } ) } } \sum _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \mathbf { A } ^ { s } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \ldots , k _ { n - 1 } } \prod _ { l = 1 } ^ { n - 1 } { \frac { ( - 1 ) ^ { k _ { l } + 1 } } { l ^ { k _ { l } } k _ { l } ! } } \operatorname { t r } \left( \mathbf { A } ^ { l } \right) ^ { k _ { l } } ,
\frac { \partial p ( x , t | x _ { 0 } , 0 ) } { \partial t } = \mu ( t ) \frac { \partial p ( x , t | x _ { 0 } , 0 ) } { \partial x } + \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } ( t ) \frac { \partial ^ { 2 } p ( x , t | x _ { 0 } , 0 ) } { \partial x ^ { 2 } } .
J _ { \mu \nu } [ \xi | s ] = \tilde { g } \int d \tau \kappa [ \xi | s ] \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \dot { \xi } ^ { \rho } ( s ) \frac { d Y ^ { \sigma } ( \tau ) } { d \tau } \delta ^ { 4 } ( \xi ( s ) - Y ( \tau ) ) ,
\begin{array} { r l } { \rho ^ { ( 1 ) } ( t ) = } & { | g _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \rangle \langle g _ { 0 } ^ { ( 1 ) } | + | e _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \rangle \langle e _ { 0 } ^ { ( 1 ) } | } \\ & { + \big [ ( 1 + e ^ { - i ( \Delta E _ { g g } + \Delta E _ { e e } ) t / \hbar } ) | g _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \rangle \langle e _ { 0 } ^ { ( 1 ) } | + h . c . \big ] } \end{array}
n _ { e } ( t , z ) \! = \! \left[ \frac { \hat { \gamma } \, \widetilde { n _ { 0 } } } { \hat { s } \, \hat { J } } \right] _ { ( \xi , Z ) = \big ( c t \! - z , \hat { Z } _ { e } ( c t \! - z , z ) \big ) } .
\left( \begin{array} { c } { \rho } \\ { \rho u } \\ { E } \end{array} \right) _ { t } + \left( \begin{array} { c } { \rho u } \\ { \rho u ^ { 2 } + p } \\ { u ( E + p ) } \end{array} \right) _ { x } = 0 ,
\overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 1 ^ { 4 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 2 , 1 ^ { 2 } ) } + \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 1 ) } + 6 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 2 , 1 ^ { 3 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 2 ^ { 2 } , 1 ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 1 ^ { 2 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 2 , 1 ^ { 4 } ) } + 9 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 2 ^ { 2 } , 1 ^ { 2 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 1 ^ { 3 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 , 1 ) } + 9 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 2 ^ { 2 } , 1 ^ { 3 } ) } + \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 2 ^ { 3 } , 1 ) } + 9 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 , 1 ^ { 2 } ) } + \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 1 ^ { 4 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 2 ^ { 2 } , 1 ^ { 4 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 2 ^ { 3 } , 1 ^ { 2 } ) } + 9 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 , 1 ^ { 3 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 ^ { 2 } , 1 ) } + 9 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 ^ { 2 } , 1 ^ { 2 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 , 1 ^ { 4 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 2 ^ { 3 } , 1 ^ { 3 } ) } + 9 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 ^ { 2 } , 1 ^ { 3 } ) } + \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 ^ { 3 } , 1 ) } + \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 2 ^ { 3 } , 1 ^ { 4 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 ^ { 2 } , 1 ^ { 4 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 ^ { 3 } , 1 ^ { 2 } ) } + 3 \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 ^ { 3 } , 1 ^ { 3 } ) } + \overline { { \widetilde { m } } } _ { ( 3 , 2 ^ { 3 } , 1 ^ { 4 } ) }
\begin{array} { r l } & { \left( \left( \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) + \frac { \Gamma _ { 0 } \mathrm { R e } \mathrm { P e } _ { s } \left( \sin \theta \right) ^ { 2 } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \right) v _ { t } = 0 , } \\ & { \left. v _ { t } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = 0 , \quad \left. v _ { t } \right| _ { t = 0 } = - v _ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma \Big ( \frac { \alpha } { 8 } + \frac { 1 - \alpha } { 1 6 \beta } \Big ) \sum _ { T - \tau \leq t < T } P _ { t + 1 } R _ { t } } & { \leq 4 \gamma \Big ( \frac { \alpha } { 8 } + \frac { 1 - \alpha } { 1 6 \beta } \Big ) \sum _ { T - 2 \tau \leq t < T - \tau } P _ { t + \tau + 1 } R _ { t } } \\ & { \quad + 8 \gamma ^ { 2 } L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \gamma \Big ( \frac { \alpha } { 8 } + \frac { 1 - \alpha } { 1 6 \beta } \Big ) \sum _ { T - 2 \tau \leq t < T - \tau } P _ { t + \tau + 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( a + b \varepsilon ) = { } } & { { } p _ { 0 } + p _ { 1 } ( a + b \varepsilon ) + \cdots + p _ { n } ( a + b \varepsilon ) ^ { n } } \\ { = { } } & { { } p _ { 0 } + p _ { 1 } a + p _ { 2 } a ^ { 2 } + \cdots + p _ { n } a ^ { n } + p _ { 1 } b \varepsilon + 2 p _ { 2 } a b \varepsilon + \cdots + n p _ { n } a ^ { n - 1 } b \varepsilon } \\ { = { } } & { { } P ( a ) + b P ^ { \prime } ( a ) \varepsilon , } \end{array}
A _ { 1 } ^ { \ast } \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { P } } { \longrightarrow } } 0 \mathrm { ~ } A _ { 2 } ^ { \ast } \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { P } } { \longrightarrow } } 0 \mathrm { ~ a n d ~ } A _ { 4 } ^ { \ast } \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { P } } { \longrightarrow } } 0 .
\begin{array} { l l } { \frac { { \partial } { \bf { m } } } { { \partial } t } = } & { - \gamma { \mu } _ { 0 } \left( { \bf { m } } \times { \bf { { H } } } _ { \bf { { K } } } \right) + \alpha \left( { \bf { m } } \times \frac { { \partial } { \bf { m } } } { { \partial } t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } ^ { ( m , n ) } f - \mathcal { R } ^ { ( m + 1 , n ) } f } & { = \mathcal { R } ^ { ( m , m ) } f \ast \tilde { \rho } ^ { ( m - 1 , n ) } - \mathcal { R } ^ { ( m + 1 , m + 1 ) } f \ast \tilde { \rho } ^ { ( m , n ) } } \\ & { = \big ( \mathcal { R } ^ { ( m , m ) } f - \mathcal { R } ^ { ( m + 1 , m + 1 ) } f \ast \tilde { \rho } ^ { ( m ) } \big ) \ast \tilde { \rho } ^ { ( m - 1 , n ) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \beta | S ) } & { { } \approx \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \int _ { 0 } ^ { \infty } d k ^ { \prime } p _ { n } ( k ^ { \prime } + K ) \Omega _ { 1 } ( k ^ { \prime } ) \Omega _ { n - 1 } ( K ) \delta \big ( \beta - \beta _ { F } ^ { ( n ) } ( K ) \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { o u t p u t } } [ \widetilde { F } , \widetilde { G } , \theta _ { n } ] } & { : = \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } d ( \widetilde { G } ( h _ { \theta _ { n } , t } ) , G _ { n } ( h _ { t } ) ) } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { h i d d e n } } [ \widetilde { F } , \theta _ { n } , V _ { n } ] } & { : = \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left\| V _ { n } ( h _ { \theta _ { n } , t } ) - h _ { t } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\left( { \frac { d r } { d \tau } } \right) ^ { 2 } = { \frac { E ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } } - c ^ { 2 } + { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } c ^ { 2 } } { r } } - { \frac { L ^ { 2 } } { m \mu r ^ { 2 } } } + { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } L ^ { 2 } } { m \mu r ^ { 3 } } }
\tilde { \xi } ( t ) = \left( \frac { 1 } { 2 \pi \tau _ { p } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac 1 4 } \exp \left[ - \frac { \left( t - t _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { 4 \tau _ { p } ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r } { e _ { 1 } ^ { n } = \Delta t \, C _ { 1 } ( \Delta t + h ) \frac { \displaystyle 1 - \left( 1 - \mu \right) ^ { n } } { \displaystyle 1 - \left( 1 - \mu \right) } = \frac { \Delta t \, C _ { 1 } ( \Delta t + h ) } { \mu } \left\{ 1 - \left( 1 - \mu \right) ^ { n } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { P V _ { e } = \Delta _ { h } p + \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \mathcal { H } _ { u } + \frac { 1 } { 2 } ( M - \partial _ { 3 } p ) \partial _ { p } \mathcal { H } _ { u } \right) \partial _ { 3 } ^ { 2 } p } \\ { + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { 3 } M ) \mathcal { H } _ { u } + \frac { 1 } { 2 } ( M - \partial _ { 3 } p ) ( \partial _ { M } \mathcal { H } _ { u } ) \partial _ { 3 } M . } \end{array}
\widehat { J } _ { N , p , q } ^ { \mathrm { A } } ( \varepsilon ) = \underset { x \in \mathcal { X } } { \mathrm { m i n i m i z e } } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { N } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } } F \left( x , \widehat { \xi } _ { i } \right) + \varepsilon \gamma _ { x , F , q } , \operatorname* { s u p } _ { \xi \in \Xi } F ( x , \xi ) \right\} .
\mathfrak { G } _ { 1 } ^ { \circ } ( \delta \mathbf { k } ) = 0 , \qquad \begin{array} { r l } & { \mathrm { i f ~ t h e ~ f o r m ~ } \bigl ( ( \mathcal { A } ( \mathbf { k } ) F ( \mathbf { k } ) - \lambda _ { 0 } P ) u , u \bigr ) , \; u \in L _ { 2 } ( \Omega ) , \; | \delta \mathbf { k } | \le \varkappa , } \\ & { \mathrm { i s ~ s i g n - d e f i n i t e . } } \end{array}
\hat { H } _ { s } ^ { e x c } = g \sum _ { b \neq b ^ { \prime } } U _ { s } ^ { b b ^ { \prime } b b ^ { \prime } } \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { b \dagger } \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { b ^ { \prime } \dagger } \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { b } \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { b ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } \right\| _ { C } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta _ { C } \gamma _ { y } ) \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { C } ^ { 2 } + \frac { 2 } { \theta _ { C } \gamma _ { y } } \Bigg [ \Big ( ( 1 - \theta _ { C } \gamma _ { y } ) ^ { 2 } } \\ & { + 2 C \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \Big ) \delta _ { C , 2 } ^ { 2 } L ^ { 2 } \Bigg ( 3 \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } C \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 3 \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 3 \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 3 \widehat { \lambda } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { R } } _ { \gamma } \right\| _ { R } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \Bigg ) } \\ & { + 2 C \delta _ { C , 2 } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + \delta _ { C , 2 } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \Bigg ] . } \end{array}
b _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } ^ { 2 } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) = \frac { | \langle \hat { A } _ { m _ { 1 } } ( f _ { 1 } ) . \hat { A } _ { m _ { 2 } } ( f _ { 2 } ) . \hat { A } _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { * } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) \rangle _ { r ^ { * } , \delta _ { t } } | ^ { 2 } } { \langle | \hat { A } _ { m _ { 1 } } ( f _ { 1 } ) . \hat { A } _ { m _ { 2 } } ( f _ { 2 } ) | ^ { 2 } \rangle _ { r ^ { * } , \delta _ { t } } \langle | \hat { A } _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) | ^ { 2 } \rangle _ { r ^ { * } , \delta _ { t } } }
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { ( n ) } ( r , z ) } & { { } \approx \sum _ { m = 0 } ^ { M } \sum _ { i + j = m } ( - 1 ) ^ { j } \overline { { g } } _ { 0 , i , j } ^ { ( n ) } S _ { i j } ^ { ( n ) } , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { \nu - 1 } e ^ { - \, { \frac { \beta } { x } } \, - \, \gamma x } \, d x = 2 \left( { \frac { \beta } { \gamma } } \right) ^ { { \frac { \nu } { 2 } } } K _ { \nu } ( 2 \sqrt { \beta \gamma } ) \ ,
- \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 } F ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } g ) F ^ { 3 } + \frac { 1 } { 1 6 } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } g ) ^ { 2 } \left( ( F ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 F ^ { 4 } \right) \right] + { \cal O } ( \alpha ^ { 3 } ) ,
\begin{array} { r } { b _ { i j } : = a _ { i j } + \sum _ { \gamma = ( i _ { 1 } , i _ { 2 } , \dotsc , i _ { | \gamma | } ) \in P : | \gamma | \geq 1 , \operatorname { i n } ( \gamma ) = j } ( - 1 ) ^ { | \gamma | } a _ { i t ( i _ { | \gamma | } ) } \prod _ { p = 1 } ^ { | \gamma | } \frac { a _ { i _ { p } s ( i _ { p } ) } } { a _ { i _ { p } t ( i _ { p } ) } } \in Q . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l } { { 5 } } & { \mathrm { ( d y n a m i c s ) } } & & { \quad \quad u _ { t } } & & { = F _ { \alpha } ( u _ { t - 1 } ) + \xi _ { t } , \quad \quad } & & { \xi _ { t } \sim \mathcal { N } ( 0 , Q _ { \beta } ) , \quad \quad } & & { 1 \le t \le T , } \\ & { \mathrm { ( o b s e r v a t i o n ) } } & & { \quad \quad y _ { t } } & & { = H _ { t } u _ { t } + \eta _ { t } , \quad \quad } & & { \eta _ { t } \sim \mathcal { N } ( 0 , R _ { t } ) , \quad \quad } & & { 1 \le t \le T , } \\ & { \mathrm { ( i n i t i a l i z a t i o n ) } } & & { \quad \quad u _ { 0 } } & & { \sim p _ { u } ( u _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { f ( \phi ) } \partial _ { \lambda } \mathbf { R } _ { j , j + 1 } ( \lambda , 0 , \phi ) \mathbf { P } _ { j , j + 1 } } & { = \frac { 1 } { Q } \left[ \mathbf { e } _ { 2 j - 1 } + \mathbf { e } _ { 2 j } + \frac { 2 \mathrm { i } \sin ( \sqrt { Q } \tau ) } { 2 \sqrt { Q } } \left[ \mathbf { e } _ { 2 j - 1 } , \mathbf { e } _ { 2 j } \right] \right. } \\ & { \left. - \frac { 2 \sin ^ { 2 } ( \sqrt { Q } \tau / 2 ) } { \sqrt { Q } } \left\{ \mathbf { e } _ { 2 j - 1 } , \mathbf { e } _ { 2 j } \right\} - \frac { 2 + e ^ { - \mathrm { i } \sqrt { Q } \tau } } { \sqrt { Q } } \right] , } \end{array}
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha + \beta + \nu } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \nu } + a _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \beta - \nu } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \beta } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
\begin{array} { r l } { \left< e ^ { - \Omega _ { 0 , t } ( \Gamma ; 0 ) } e ^ { - \Omega _ { t + \tau , 2 t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) } \right> _ { \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = - A \tau } = } & { \left< e ^ { - \Omega _ { 0 , t } ( \Gamma ; 0 ) } \right> _ { \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = - A \tau } \times \hfill } \\ & { \left< e ^ { - \Omega _ { t + \tau , 2 t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) } \right> _ { \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = - A \tau } } \\ { = } & { C ( t ) , } \end{array}
{ \binom { 5 2 } { 5 } } = { \frac { 5 2 } { 1 } } \times { \frac { 5 1 } { 2 } } \times { \frac { 5 0 } { 3 } } \times { \frac { 4 9 } { 4 } } \times { \frac { 4 8 } { 5 } } = 2 { , } 5 9 8 { , } 9 6 0
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + \mathrm { d i v } ( \rho \mathbf { v } ) } & { { } = ~ 0 , } \\ { \partial _ { t } \mathbf { m } + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { m } \otimes \mathbf { v } \right) - \mathrm { d i v } \mathbf { T } - \rho \mathbf { b } } & { { } = ~ 0 , } \\ { \mathbf { T } - \mathbf { T } ^ { T } } & { { } = ~ 0 , } \\ { \partial _ { t } \left( \rho \left( \epsilon + \| \mathbf { v } \| ^ { 2 } / 2 \right) \right) + \mathrm { d i v } \left( \rho \left( \epsilon + \| \mathbf { v } \| ^ { 2 } / 2 \right) \mathbf { v } \right) } & { { } } \\ { - \mathrm { d i v } \left( \mathbf { T } \mathbf { v } \right) - \rho \mathbf { b } \cdot \mathbf { v } + \mathrm { d i v } \mathbf { q } - \rho r } & { { } = ~ 0 . } \end{array}
{ \rho } \Bar { u } _ { j } \frac { { \partial } \Bar { u } _ { i } } { { \partial } x _ { j } } = { \rho } \Bar { f } _ { i } + \frac { \partial } { { \partial } x _ { j } } \left[ - \Bar { p } \delta _ { i j } + \mu \left( \frac { { \partial } \Bar { u } _ { i } } { { \partial } x _ { j } } + \frac { { \partial } \Bar { u } _ { j } } { { \partial } x _ { i } } \right) - { \rho } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \right]
\begin{array} { c c c } { { \int { D V ^ { a } } \, e ^ { - \int { d ^ { 2 } \xi \sqrt g } \mu _ { V } ( \varphi ) } e ^ { - \left\langle { { \delta V } } \mathrel { \left| { \vphantom { { \delta V } { \delta V } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { { \delta V } } \right\rangle } = 1 , } } & { { } } & { { \int { D X } \, e ^ { - \int { d ^ { 2 } \xi \sqrt g } \mu _ { X } ( \varphi ) } e ^ { - \left\langle { { \delta X } } \mathrel { \left| { \vphantom { { \delta X } { \delta X } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { { \delta X } } \right\rangle } = 1 } } \end{array}
H = \left( \frac { 1 } { 2 A } + \frac { 1 } { 2 B } \right) \left( { \bf J } ^ { 2 } + { \bf K } ^ { 2 } \right) + 2 \left( \frac { 1 } { 2 B } - \frac { 1 } { 2 A } \right) { \bf J } . { \bf K } + V .
\widetilde { L } _ { m } = \sum _ { i } \widetilde { F } _ { \psi _ { i } } \left( \varphi \right) \widetilde { G } ^ { M N } \partial _ { M } \psi _ { i } \partial _ { N } \psi _ { i } - U \left( \varphi , \psi _ { i } \right)
\mp { \frac { R } { \sqrt { \lambda } } } \left( \lambda ^ { \prime } - \lambda \varphi ^ { \prime } \right) \varepsilon _ { u l } - { \bf Q } _ { i } \gamma ^ { i } \varepsilon _ { l u } + { \frac { 1 } { 3 } } ( { \bf P } _ { i j } \mp 2 i { \bf Q } ^ { i j } ) \gamma ^ { i j } \varepsilon _ { l u } = 0 ,
\begin{array} { c } { { \Theta _ { 1 } ^ { + } = \left( \pi _ { a } + i G _ { , a } ( z , \bar { z } ) \right) \eta _ { 1 } ^ { a } + i { \bar { U } } _ { , \bar { a } } ( { \bar { z } } ) { \bar { \eta } } _ { 2 } ^ { \bar { a } } , } } \\ { { \Theta _ { 2 } ^ { + } = \left( \pi _ { a } - i G _ { , a } ( z , \bar { z } ) \right) \eta _ { 2 } ^ { a } - i { \bar { U } } _ { , { \bar { a } } } ( { \bar { z } } ) { \bar { \eta } } _ { 1 } ^ { \bar { a } } , } } \end{array}
W _ { q } \approx 2 \sqrt { \ln ( 2 ) } \pi ^ { 3 / 2 } A \left( \frac { L _ { \mathrm { b s } } } { \lambda _ { q } } \right) \left( \frac { L + D } { \lambda _ { q } } \right) \exp { - \frac { 4 \ln ( 2 ) L _ { \mathrm { b s } } ^ { 2 } } { L _ { \mathrm { c o h } } ^ { 2 } } }
\left[ \begin{array} { r } { { - 2 } } \\ { { - 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 1 } } \\ { { - 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 1 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right] \, t + \left[ \begin{array} { r } { { - 9 } } \\ { { 2 } } \\ { { 1 3 } } \\ { { 2 4 } } \\ { { - 1 7 } } \\ { { - 2 } } \\ { { 1 3 } } \\ { { - 1 7 } } \\ { { 2 } } \\ { { - 9 } } \end{array} \right] \xi + \left[ \begin{array} { r } { { - 6 } } \\ { { - 1 } } \\ { { 4 } } \\ { { 9 } } \\ { { - 2 } } \\ { { 1 } } \\ { { 4 } } \\ { { - 2 } } \\ { { - 1 } } \\ { { - 6 } } \end{array} \right] \eta + \left[ \begin{array} { r } { { 0 } } \\ { { 5 } } \\ { { 1 0 } } \\ { { 1 5 } } \\ { { - 2 } } \\ { { 4 } } \\ { { 1 0 } } \\ { { - 2 } } \\ { { 5 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right] \, r + \left[ \begin{array} { r } { { - 4 } } \\ { { - 3 } } \\ { { - 2 } } \\ { { - 1 } } \\ { { - 6 } } \\ { { - 4 } } \\ { { - 2 } } \\ { { - 6 } } \\ { { - 3 } } \\ { { - 4 } } \end{array} \right] \, s = \left[ \begin{array} { l } { { \Delta ^ { + + } } } \\ { { \Delta ^ { + } } } \\ { { \Delta ^ { 0 } } } \\ { { \Delta ^ { - } } } \\ { { \Sigma ^ { * + } } } \\ { { \Sigma ^ { * 0 } } } \\ { { \Sigma ^ { * - } } } \\ { { \Xi ^ { * 0 } } } \\ { { \Xi ^ { * - } } } \\ { { \Omega ^ { - } } } \end{array} \right] ,
s \sqrt { 2 } = \frac { \sqrt { 2 } } { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ q ~ u ~ e ~ n ~ c ~ y ~ } } < = 7 . 5 \times 6 0 \implies \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ q ~ u ~ e ~ n ~ c ~ y ~ } > = 3 . 1 4 \times 1 0 ^ { - 3 } H z .
C _ { n } \sim { \frac { B ( r ) } { r ^ { \alpha } \Gamma ( \beta ) } } \, n ^ { \beta - 1 } \left( { \frac { 1 } { r } } \right) ^ { n } = { \frac { - { \frac { 1 } { 2 } } } { \left( { \frac { 1 } { 4 } } \right) ^ { 1 } \Gamma \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \right) } } \, n ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } - 1 } \left( { \frac { 1 } { \, { \frac { 1 } { 4 } } \, } } \right) ^ { n } = { \frac { 4 ^ { n } } { n ^ { \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt { \pi } } } } .
\begin{array} { r } { \rho _ { 0 } ( y _ { i } , y _ { i } ^ { \prime } ; \beta ) = \sqrt { \frac { 2 \xi _ { i } - \psi _ { i } } { \pi } } e ^ { - \xi _ { i } ( y _ { i } ^ { 2 } + y _ { i } ^ { 2 } ) + \psi _ { i } y _ { i } y _ { i } ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big | L I S ( \sigma | _ { n Q _ { l } } ) - 2 \sqrt { n } \Big ( \int _ { Q _ { l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } \Big | } \\ & { \leq } & { C _ { 4 } ( T ^ { - 5 } n ^ { 1 \slash 2 } + T ^ { - 2 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) } \\ & { } & { + C _ { 4 } T ^ { - 1 \slash 2 } n ^ { 1 \slash 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { { x } _ { i } } = \frac { x _ { i } } { \delta _ { 0 } ^ { * } } \, , \; \tilde { { U } _ { i } } = \frac { U _ { i } } { U _ { \infty } } \, , \; \tilde { t } = \frac { t U _ { \infty } } { \delta _ { 0 } ^ { * } } \, , \; \tilde { P } = \frac { P } { \rho U _ { \infty } ^ { 2 } } \, , \; \tilde { { \theta } _ { i } } = \frac { \theta _ { i } - \theta _ { i , \infty } } { \theta _ { i , w } - \theta _ { i , \infty } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sin \left( \frac { a ( k + k ^ { \prime } ) } { 2 } \right) = \pm \frac { c } { v _ { m a x } } \mathrm { s i g n } \left( \sin \left( \frac { a ( k - k ^ { \prime } ) } { 2 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { l } = } & { { } \operatorname { C o n v - I } ( \mathbf { F } _ { l } ^ { \prime } ) + \operatorname { C o n v - T } ( \mathbf { F } _ { l } ^ { \prime } ) + \operatorname { I M } ( \mathbf { F } _ { l } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n w , 1 } ^ { - } = } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ \hat { f } _ { 1 } ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { ( - \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { - } f _ { 1 1 } ^ { e q } + ( \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { - } f _ { 2 1 } ^ { e q } + } \\ & { } & { ( \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { - } f _ { 3 1 } ^ { e q } + ( - \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { - } f _ { 4 1 } ^ { e q } } \\ { = } & { } & { - ( \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 1 1 } ^ { e q } - ( - \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 2 1 } ^ { e q } - } \\ & { } & { ( - \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 3 1 } ^ { e q } - ( \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 4 1 } ^ { e q } } \end{array}
e ^ { \lambda \varphi ( \tau , \sigma ) } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - \mu ^ { 2 } ) ^ { n } } { n ! } \frac { \Gamma ( 2 \lambda + n ) } { \Gamma ( 2 \lambda ) } Z ^ { ( \lambda , n ) } ( \tau , \sigma )