harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal L } _ { i } = - \frac { N _ { c } } { 2 \pi ^ { 2 } g ^ { 2 } } { \frac { 2 } { f _ { \pi } } } \varepsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } K _ { \mu } ^ { * + } \partial _ { \beta } K ^ { + } \{ { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \nu } \rho _ { \alpha } ^ { 0 } + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \nu } \omega _ { \alpha } + { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \partial _ { \nu } \phi _ { \alpha } \} .
\begin{array} { l } { { \displaystyle \displaystyle \tilde { \cal Q } _ { \alpha } ^ { 1 } = ( i p _ { \alpha \beta } \tilde { W } ^ { \beta } - m W _ { \alpha } ) [ 1 + \mathrm { q } ^ { c l } ( b P _ { 3 } - \sqrt { 1 - b ^ { 2 } } \, P _ { 2 } - P _ { 4 } ) ] } } \\ { { \displaystyle \tilde { \cal Q } _ { \alpha } ^ { 2 } = ( i p _ { \alpha \beta } \tilde { V } ^ { \beta } - m V _ { \alpha } ) [ 1 + \mathrm { q } ^ { c l } ( b P _ { 3 } + \sqrt { 1 - b ^ { 2 } } \, P _ { 2 } - P _ { 4 } ) ] \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } } & { = \varepsilon ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \varepsilon ^ { - 3 } } \sum _ { x = 1 } ^ { \infty } \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \nabla ^ { + } Z _ { s } ( x ) \nabla ^ { - } Z _ { s } ( x ) d s } \\ { r _ { 2 } } & { = \varepsilon ^ { 4 } \int _ { \varepsilon ^ { - 3 } } ^ { \varepsilon ^ { - 4 } t } \sum _ { x = 1 } ^ { \infty } \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \nabla ^ { + } Z _ { s } ( x ) \nabla ^ { - } Z _ { s } ( x ) d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \log \mathbb E _ { \varepsilon } \exp \left\{ \lambda \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W [ 0 , r ] } P _ { n } \varepsilon \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) \right\} } \\ & { \leqslant 6 4 \lambda L r \sqrt { \frac { d } n } + \frac { B ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } e ^ { B \lambda / n } } { 2 n } \left( \frac { 1 2 8 L r } { B } \sqrt { \frac { d } n } + \frac { L ^ { 2 } r ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \Psi ^ { * } ( \mathbf w _ { t } ) } & { = \left( \nabla ^ { 2 } \Psi ( \nabla \Psi ^ { * } ( \mathbf w _ { t } ) ) \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \mathrm { D i a g } ( \exp ( w _ { t , 1 } ) ^ { - 1 } , \ldots , \exp ( w _ { t , K } ) ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } } \\ & { = \mathrm { D i a g } ( \exp ( w _ { t , 1 } ) , \ldots , \exp ( w _ { t , K } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } = } & { { } \left\{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] + \frac { \sin ^ { 2 } | \mathbf { r } | } { | \mathbf { r } | ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { - r _ { 3 } } & { r _ { 2 } } \\ { r _ { 3 } } & { 0 } & { - r _ { 1 } } \\ { - r _ { 2 } } & { r _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right] \right. } \end{array} .
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 2 } \Big ( \mathbf { D } _ { u , k } \big ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathcal { F } _ { 1 } f ( t , k , \cdot ) \big ) \Big ) ( t , k , \xi _ { 1 } ) = \int \mathcal { D } ( t , k , \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \hat { f } _ { k } ( t , \xi _ { 2 } ) d \xi _ { 2 } . } \end{array}
u ( z ) = \left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { u _ { \tau , \mathrm { b o t } } } { \kappa } \ln \left( \frac { z } { z _ { 0 , \mathrm { b o t } } } \right) , } & { } & { \mathrm { i f } \ z \leq z _ { \mathrm { l i m } } , } \\ { \frac { u _ { \tau , \mathrm { u p } } } { \kappa } \ln \left( \frac { z } { z _ { 0 , \mathrm { u p } } } \right) , } & { } & { \mathrm { i f } \ z > z _ { \mathrm { l i m } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } ( \mathbf { r } ) = Z \sum _ { j , m } \left[ i a _ { E } ( j , m ) \mathbf { N } _ { j m } ^ { h } ( \mathbf { r } ) + a _ { M } ( j , m ) \mathbf { M } _ { j m } ^ { h } ( \mathbf { r } ) \right] , } \\ & { i Z \mathbf { H } ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { k } \nabla \times \mathbf { E } ( \mathbf { r } ) . } \end{array}
{ \cal L } = - \kappa \dot { B } \left( a \mp \frac { 1 } { \kappa } B ^ { \prime } \right) + i \psi ^ { \ast } \dot { \psi } - A _ { 0 } ( \kappa B ^ { \prime } + \rho ) - \frac { 1 } { 2 m } | ( \partial _ { x } - i a ) \psi | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 m } B ^ { 2 } \rho
\left\langle \theta ^ { \mu } \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial \theta ^ { \mu } } \right\rangle = \frac { 1 } { Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp ( - \beta \mathcal { H } ( \theta , p ) ) \theta ^ { \mu } \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial \theta ^ { \mu } } = - \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \theta ^ { \mu } \frac { \partial } { \partial \theta ^ { \mu } } \exp ( - \beta \mathcal { H } ( \theta , p ) ) = \frac { n } { \beta }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \mathrm { { P r } } } \frac { d } { d t } \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } \leq - \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } - \int _ { \gamma ^ { + } \cup \gamma ^ { - } } ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } + \epsilon \| u _ { 2 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 4 } { \epsilon } | \Omega | \mathrm { { R a } } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { \ e t a - s p i n } } ( t ) = J _ { \eta , X Y } ( t ) \sum _ { ( i j ) } ( \hat { \eta } _ { i } ^ { x } \hat { \eta } _ { j } ^ { x } + \hat { \eta } _ { i } ^ { y } \hat { \eta } _ { j } ^ { y } ) + J _ { \eta , Z } ( t ) \sum _ { ( i j ) } \hat { \eta } _ { i } ^ { z } \hat { \eta } _ { j } ^ { z } + B _ { x } \sum _ { i } ( - ) ^ { i } \eta _ { i } ^ { x } + B _ { z } \sum _ { i } ( - ) ^ { i } \eta _ { i } ^ { z }
\begin{array} { r l } { 0 \longrightarrow \mathrm { E x t } _ { R } ^ { 1 } ( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta ) , R / I ) \longrightarrow } & { \mathrm { H o m } _ { R / I } ( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T / I T , \Delta ) , R / I ) } \\ & { \longrightarrow \mathrm { H o m } _ { R } ( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta ) , R / I ) \longrightarrow \mathrm { E x t } _ { R } ^ { 2 } ( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta ) , R / I ) \longrightarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ Q _ { 2 } , P _ { 1 } ] } & { = \{ ^ { q _ { 2 } } ( t _ { 1 } , q _ { 1 } ) ( t _ { 1 } , q _ { 1 } ) ^ { - 1 } \mid q _ { 2 } \in Q _ { 2 } , ( t _ { 1 } , q _ { 1 } ) \in P _ { 1 } \} } \\ & { = \{ ( t _ { 1 } , ^ { q _ { 2 } } q _ { 1 } ) ( t _ { 1 } , q _ { 1 } ) ^ { - 1 } \mid q _ { 2 } \in Q _ { 2 } , ( t _ { 1 } , q _ { 1 } ) \in P _ { 1 } \} } \\ & { = \{ ( 1 , ^ { q _ { 2 } } q _ { 1 } q _ { 1 } ^ { - 1 } ) \mid q _ { 2 } \in Q _ { 2 } , ( t _ { 1 } , q _ { 1 } ) \in P _ { 1 } \} } \end{array}
\left[ g _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \mathrm { \bf ~ A } _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \right] = \left[ - \epsilon _ { 0 } \nabla \cdot \mathrm { \bf ~ E } _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \mathrm { \bf ~ A } _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \right] = - i \hbar \nabla _ { \mathrm { \bf ~ r } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } )
\bar { p } _ { \mathrm { W W } } = \frac { ( 1 - e _ { 1 } ) a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { B D } } + e _ { 1 } a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { B C } } } { 1 - \{ ( 1 - e _ { 1 } ) ( a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { G C } } - a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { B D } } ) + e _ { 1 } ( a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { G D } } - a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { B C } } ) \} } .
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \mu ( n ) } { \sqrt { n } } } g ( \log n ) = \sum _ { \gamma } { \frac { h ( \gamma ) } { \zeta ^ { \prime } ( 1 / 2 + i \gamma ) } } + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! \zeta ( 2 n + 1 ) } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } g ( x ) e ^ { - x ( 2 n + 1 / 2 ) } \, d x ,
\begin{array} { r l r } { \Delta \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \delta _ { \mathrm { C P } } ) } & { = } & { \underset { \{ \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 3 } , \left\vert \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } \right\vert , o \} } { \mathrm { m i n } } \left[ \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) - \chi _ { \mathrm { D U N E , m i n } } ^ { 2 } \right] \; , } \\ { \Delta \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 3 } ) } & { = } & { \underset { \{ \delta _ { \mathrm { C P } } , \left\vert \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } \right\vert , o \} } { \mathrm { m i n } } \left[ \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) - \chi _ { \mathrm { D U N E , m i n } } ^ { 2 } \right] \; , } \end{array}
\left( \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) , \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } c _ { n } \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) \right) \Big | \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } b _ { n } \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) , \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } d _ { n } \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) \right) \right) _ { 2 } \triangleq \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } b _ { n } + c _ { n } d _ { n } .
\begin{array} { r l } { \mu ^ { ( n ) } ( t ) } & { { } = \iint \! \! \cdots \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \alpha ^ { ( n ) } ( t - t _ { 1 } , t - t _ { 2 } , \cdots , t - t _ { n } ) } \end{array}
R e _ { \epsilon } { \epsilon } \left( \frac { { \partial } \bar { u } _ { z } } { { \partial } \bar { t } } + \bar { u } _ { r } \frac { { \partial } \bar { u } _ { z } } { { \partial } \bar { r } } + \bar { u } _ { z } \frac { { \partial } \bar { u } _ { z } } { { \partial } \bar { z } } \right) = - \frac { { \partial } \bar { p } } { { \partial } \bar { z } } + { \epsilon } \left( \frac { { \partial } ^ { 2 } \bar { u } _ { z } } { { \partial } \bar { z } ^ { 2 } } + \frac { \epsilon } { \bar { r } } \frac { { \partial } } { { \partial } \bar { r } } \left( \bar { r } \frac { { \partial } \bar { u } _ { z } } { { \partial } \bar { r } } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } = } & { { \bf C } i ^ { n / 2 - 1 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { d ( \omega \tau ) } { ( \omega \tau ) ^ { D / 2 } } J _ { n / 2 } [ \sqrt { \kappa } \Lambda ^ { 2 } \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \omega \tau \gamma ( \omega \tau ) \alpha ( \omega \tau ) ] } \\ & { e ^ { i ( n / 2 ) ( \eta - \varphi ) } \exp \{ i [ \mathbb { S } ^ { ( \tau ) } ( \omega \tau ) + n / 2 ] \omega \tau \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 1 } ( \lambda ; \vec { P } ) } & { : = - \lambda P _ { 1 } + ( 1 + \lambda ) P _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \ge 3 } P _ { k } , } \\ { M _ { 2 } ( \lambda ; \vec { P } ) } & { : = - \lambda P _ { 1 } ^ { \prime } + ( 1 + \lambda ) P _ { 2 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \ge 3 } P _ { k } ^ { \prime } = ( 1 + \lambda ) P _ { 1 } - \lambda P _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \ge 3 } P _ { k } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \rho u ^ { * , n + 1 } - \rho u ^ { n } } { \Delta t } } & { { } + \nabla \pi ^ { * , n + \frac { 1 } { 2 } } = - \nabla \cdot ( \rho u u ^ { T } ) ^ { n } } \\ { \nabla \cdot u ^ { * , n + 1 } } & { { } = 0 } \end{array}
\overline { { \mathbf { T } _ { \mathfrak { u } } \mathbb { P } _ { L } } } / \mathcal { G } = \mathbf { T } _ { \mathfrak { p } } \left[ \mathbb { P } _ { L } / { \mathfrak { F } \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ o ~ l ~ } ~ } } ( \mathcal { G } ) \right]
[ \Delta ] \frac { d \hat { \sigma } _ { \gamma b } ( s , p _ { T } ) } { d p _ { T } } = \int _ { w _ { m } } ^ { 1 } \frac { d w } { w } \frac { 2 p _ { T } } { s \sqrt { 1 - w _ { m } / w } } \left\{ [ \Delta ] \frac { d \hat { \sigma } } { d v d w } ( v = v _ { + } ) + [ \Delta ] \frac { d \hat { \sigma } } { d v d w } ( v = v _ { - } ) \right\} ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { k } ^ { ( v ) } ( x ) } & { \equiv \sum _ { r = 0 } ^ { k - 2 } \sum _ { z = r } ^ { \infty } { \frac { ( z + 1 ) P ^ { ( v ) } ( z + 1 ) } { \langle z \rangle ^ { ( v ) } } } \binom { z } { r } ( 1 - x ) ^ { r } x ^ { z - r } } \\ & { = \sum _ { r = 0 } ^ { k - 2 } { \frac { ( 1 - x ) ^ { r } } { r ! } } { \frac { \mathrm { d } ^ { r } } { \mathrm { d } x ^ { r } } } G _ { 1 } ^ { ( v ) } ( x ) , } \\ { \Phi _ { q } ^ { ( e ) } ( x ) } & { \equiv \sum _ { s = 0 } ^ { q - 2 } \sum _ { n = s } ^ { \infty } { \frac { ( n + 1 ) P ^ { ( e ) } ( n + 1 ) } { \langle n \rangle ^ { ( e ) } } } \binom { n } { s } ( 1 - x ) ^ { s } x ^ { n - s } } \\ & { = \sum _ { s = 0 } ^ { q - 2 } { \frac { ( 1 - x ) ^ { s } } { s ! } } { \frac { \mathrm { d } ^ { s } } { \mathrm { d } x ^ { s } } } G _ { 1 } ^ { ( e ) } ( x ) } \end{array}
= W ^ { ( 1 ) } \left( x _ { u } + W ^ { ( 1 ) + } W ^ { ( 2 ) } \frac { 1 } { N } \sum _ { r \in \mathcal { Z } _ { w } \backslash u } \psi \left( x _ { u } , x _ { r } \right) \right) + W ^ { ( 2 ) } \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { q \in \mathcal { M } _ { w } } \left( \sum _ { v \in \mathcal { Z } _ { q } } \psi \left( x _ { u } , x _ { v } \right) \right) \right) \quad ,
\sigma _ { T ( L ) } : \left( \begin{array} { l l l l } { x _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { x _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { x _ { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { x _ { 4 } } \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array} { l l l l } { \sigma ( x _ { 4 } ) ^ { - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \sigma ( x _ { 3 } ) ^ { - 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \sigma ( x _ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sigma ( x _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \frac { \sigma } { M } | _ { g r a i n } } & { { } = } & { \frac { \frac { \sigma } { M } | _ { a t o m } } { \mathrm { ~ ` ~ ` ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ t ~ h ~ i ~ c ~ k ~ n ~ e ~ s ~ s ~ ' ~ ' ~ } } . } \end{array}
q = - \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } ( \zeta - \xi ) ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \sigma } { \partial x } ( \zeta - \xi ) ^ { 2 } + H ( \zeta - \xi ) \bigg ( \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial t } - H \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial t } \bigg ) .
\begin{array} { r l } { \Delta \eta = } & { \nabla \cdot ( \nabla \eta ) = \nabla \cdot ( \frac { 1 } { 2 \beta } e ^ { \frac { \Phi } { 2 \beta } } \nabla \Phi ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 \beta } ( \nabla e ^ { \frac { \Phi } { 2 \beta } } , \nabla \Phi ) + \frac { 1 } { 2 \beta } e ^ { \frac { \Phi } { 2 \beta } } \Delta \Phi } \\ { = } & { \frac { 1 } { ( 2 \beta ) ^ { 2 } } e ^ { \frac { \Phi } { 2 \beta } } \| \nabla \Phi \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \beta } e ^ { \frac { \Phi } { 2 \beta } } \Delta \Phi } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 \beta ^ { 2 } } e ^ { \frac { \Phi } { 2 \beta } } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \| \nabla \Phi \| ^ { 2 } + \beta \Delta \Phi \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , \boldsymbol { \nabla } \cdot { \bf G } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } = \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , { \bf G } \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } - \big \langle \nabla { { \bf w } _ { V } } \, , { \bf G } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { K } ( v , w ) \lvert u ( v , x , t ) - u ( w , x , t ) \rvert ^ { p - 2 } ( u ( v , x , t ) - u ( w , x , t ) ) ( \phi ( v , x , t ) - \phi ( w , x , t ) ) } \\ & { } & { \quad = - \mathcal { K } ( v , w ) \lvert u ( v , x , t ) - u ( w , x , t ) \rvert ^ { p - 2 } ( u ( v , x , t ) - u ( w , x , t ) ) } \\ & { } & { \quad \quad \times ( ( 2 k - u ) \varphi ^ { p } ( v , x , t ) - ( 2 k - u ) \varphi ^ { p } ( w , x , t ) ) } \\ & { } & { \quad \ge - c \lvert v - w \rvert ^ { - n - s p } ( k - u ( w , x , t ) ) ^ { p - 1 } ( ( 2 k - u ) \varphi ^ { p } ( v , x , t ) - ( 2 k - u ) \varphi ^ { p } ( w , x , t ) ) } \\ & { } & { \quad \geq - c k ^ { p } \lvert v - w \rvert ^ { - n - s p } \lvert \varphi ( v , x , t ) - \varphi ( w , x , t ) \rvert ^ { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \v { x } } & { { } = } & { \widehat { f } \cdot \v { x } ( t ) + g \cdot \v { v } ( t ) } \\ { \Delta \v { v } } & { { } = } & { \dot { f } \cdot \v { x } ( t ) + \widehat { \dot { g } } \cdot \v { v } ( t ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf T } _ { \mathrm { g c } k } \; \equiv \; \mathbb { T } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \partial _ { k } { \bf X } } & { = } & { \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \, \dot { \bf X } \, \Pi _ { \mathrm { g c } k } \; - \; \left( \mathrm { \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \, E _ { k } + \frac { \bf B } { 4 \pi } \, { \sf H } _ { \mathrm { g c } k } \right) \; + \; \frac { 1 } { 4 \pi } \partial _ { k } { \bf X } \left( { \bf B } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, { \bf H } _ { \mathrm { g c } } \; - \; \frac { 1 } { 2 } \, | { \bf B } | ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { - \; \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \left[ \mathbb { Q } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \partial _ { k } { \bf E } + \frac { { \bf u } _ { \mathrm { E } } } { c } \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, \partial _ { k } { \bf B } \right) \; - \; \left( \mathbb { Q } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \partial _ { k } { \bf B } \right) \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, \frac { 1 } { c } \left( \dot { \bf X } - { \bf u } _ { \mathrm { E } } \right) \right] , } \end{array}
\beta = \left\{ \begin{array} { r l r } & { 0 . 0 0 1 \left( \frac { 1 7 . 3 } { R e _ { s } } + 0 . 3 3 6 \right) \frac { \rho _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } | } { d _ { s } } \epsilon _ { s } \epsilon _ { g } ^ { - 1 . 8 } , } & { \epsilon _ { g } \le 0 . 9 4 , } \\ & { \frac { 3 } { 4 } C _ { d } \frac { \rho _ { g } \epsilon _ { s } \epsilon _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } | } { d _ { s } } \epsilon _ { g } ^ { - 2 . 6 5 } , } & { 0 . 9 4 < \epsilon _ { g } \le 0 . 9 9 , } \\ & { \frac { 3 } { 4 } C _ { d } \frac { \rho _ { g } \epsilon _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } | } { d _ { s } } , } & { 0 . 9 9 < \epsilon _ { g } \le 1 . 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tau _ { m } \dot { R } } & { { } = \frac { \gamma } { \pi \tau _ { m } } + 2 R V - \hat { g } _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } \tau _ { m } R ^ { 2 } \; , } \\ { \tau _ { m } \dot { V } } & { { } = V ^ { 2 } - ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } + \hat { g } _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } \tau _ { m } R [ E _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } - V ] + I _ { 0 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf { K } } = \mathbf { h } ^ { - 2 } \mathbf { K } \mathbf { W } ^ { 1 , \top } \mathbf { G } _ { 1 } ^ { \top } \mathbf { W } ^ { 1 } + \mathbf { h } ^ { - 1 } \mathbf { K } \mathbf { W } ^ { 1 , \top } \mathbf { G } _ { 2 } ^ { \top } \mathbf { W } ^ { 1 } + \mathbf { u } _ { m } ^ { } \textrm { \boldmath { g } } ^ { \top } \mathbf { W } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { v } } & { = \left[ \begin{array} { l } { x - C _ { x } } \\ { y - C _ { y } } \end{array} \right] \mathrm { , } ~ ~ ~ ~ \Sigma = \left[ \begin{array} { l l } { S _ { x x } } & { S _ { x y } } \\ { S _ { x y } } & { S _ { y y } } \end{array} \right] \mathrm { , } } \\ { \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ \xi } & { = ( A , C _ { x } , C _ { y } , S _ { x x } , S _ { x y } , S _ { y y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 5 } , x _ { 6 } ) } & { = } & { C _ { 0 } \wedge C _ { 1 } \wedge C _ { 2 } } \\ { C _ { 0 } } & { = } & { x _ { 1 } \vee x _ { 2 } \vee x _ { 3 } } \\ { C _ { 1 } } & { = } & { \bar { x } _ { 1 } \vee x _ { 4 } } \\ { C _ { 2 } } & { = } & { x _ { 1 } \vee x _ { 5 } \vee x _ { 6 } } \end{array}
\mathrm { d } \Xi = - 2 \, \cos \left( \frac { 1 } { 2 } \, { \tau } \right) \sin \left( \frac { 1 } { 2 } \, { \tau } \right) \mathrm { d } { \tau } - 2 \, \cos \left( \frac { 1 } { 2 } \, { \Omega } \right) \sin \left( \frac { 1 } { 2 } \, { \Omega } \right) \mathrm { d } { \Omega }
\begin{array} { r } { L = \underbrace { \rho \pi \frac { c ^ { 2 } } { 4 } \left( U _ { \infty } \dot { \theta } + \frac { c } { 2 } \ddot { \theta } \right) } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ d ~ e ~ d ~ m ~ a ~ s ~ s ~ } } + \underbrace { \rho \pi U _ { \infty } c \left( U _ { \infty } \theta + \frac { 3 c } { 4 } \dot { \theta } \right) } _ { \mathrm { ~ q ~ u ~ a ~ s ~ i ~ - ~ s ~ t ~ e ~ a ~ d ~ y ~ } } + \underbrace { \left[ C ( k ) - 1 \right] \rho \pi U _ { \infty } c \left( U _ { \infty } \theta + \frac { 3 c } { 4 } \dot { \theta } \right) } _ { \mathrm { ~ w ~ a ~ k ~ e ~ - ~ i ~ n ~ d ~ u ~ c ~ e ~ d ~ } } , } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { 2 } \rho } { \partial t ^ { 2 } } } - c _ { 0 } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \rho = \nabla \cdot \left[ \nabla \cdot ( \rho \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } ) - \nabla \cdot \sigma + \nabla p - c _ { 0 } ^ { 2 } \nabla \rho \right] ,
\xi _ { i j } ( t ) = P ( x _ { t } = i , x _ { t + 1 } = j | y , v , w ; \theta ) = { \frac { \alpha _ { i } ( t ) a _ { i j } ^ { w _ { t } } \beta _ { j } ( t + 1 ) b _ { j } ^ { v _ { t + 1 } } ( y _ { t + 1 } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \alpha _ { i } ( t ) a _ { i j } ^ { w _ { t } } \beta _ { j } ( t + 1 ) b _ { j } ^ { v _ { t + 1 } } ( y _ { t + 1 } ) } }
\mathbf { v } _ { i } ( \mathbf { r } ) = [ \mathbf { G } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } ^ { + } ) - \mathbf { G } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } ^ { - } ) ] \cdot \mathbf { f } _ { i } \, ,
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { a a } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { a e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a e } - \Gamma _ { 1 } \rho _ { a a } } \\ & { + \frac { \Gamma _ { e } \rho _ { e e } } { 3 } } \\ { \dot { \rho } _ { a b } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { P } t } \rho _ { a e } } \\ & { - \frac { \rho _ { a b } } { 2 } ( \Gamma _ { 1 } + \Gamma _ { 2 } ) + i \rho _ { a b } ( \omega _ { b } - \omega _ { a } ) } \\ { \dot { \rho } _ { a c } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a e } } \\ & { - \frac { \rho _ { a c } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { c } ) + i \rho _ { a c } ( \omega _ { c } - \omega _ { a } ) } \\ { \dot { \rho } _ { a e } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { e e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a a } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { P } t } \rho _ { a b } } \\ & { - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a c } - \frac { \rho _ { a e } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { e } ) } \\ & { + i \rho _ { a e } ( \omega _ { e } - \omega _ { a } ) } \\ { \dot { \rho } _ { b b } } & { = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { i \omega _ { P } t } \rho _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { P } t } \rho _ { b e } - \Gamma _ { 2 } \rho _ { b b } } \\ & { + \frac { \Gamma _ { e } \rho _ { e e } } { 3 } } \end{array}
- \cos A , \cos B , \cos C { \mathrm { ~ a r e ~ t h e ~ r o o t s ~ o f ~ } } x ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } x - { \frac { 1 } { 8 } } = 0 .
\overline { { v } } _ { M a } = \frac { 1 } { \int h \, d x } \int \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \sigma } { \partial x } h \bigg ( \frac { h } { 2 } - \xi + \frac { H } { m } \bigg ) \, d x ,