harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\phi _ { k } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( { \boldsymbol { r } } ) = \sum _ { I = 1 } ^ { { N _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ } } } } \sum _ { b = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ s ~ i ~ s ~ } } } \alpha _ { k , I b } \; \mu _ { b } ( { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { R } } _ { I } ) ,
{ \cal Z } _ { G U } = { \displaystyle \int } { \cal D } ( n ^ { a } , \mu ^ { \; \prime } ) ~ ( { \sf d e t } | - n ^ { a } n _ { a } | ) ^ { 1 / 2 } ~ { \exp { \left( i { \displaystyle \int } d x d t \left[ - \frac { \displaystyle ( \partial _ { 1 } { \widetilde n } _ { _ { G U } } ^ { a } ) ( \partial _ { 1 } { \widetilde n } _ { a _ { ( G U ) } } ) } { \displaystyle 4 } + | n | ^ { 2 } ( \mu ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } \right] \right) } } ,
v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } = v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } = v _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } = v _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } ,
+ ( k ^ { 2 } - m _ { h } ^ { 2 } + P _ { h h } ) [ M ^ { 2 } ( k ^ { 2 } + P _ { g g } ) ( m _ { w } ^ { 2 } + P _ { w w } ) - k ^ { 2 } ( P _ { w g } \pm M m _ { w } ) ] = 0 .
F _ { 7 5 } = \frac { 1 } { 1 6 \cdot 2 ! 2 ! } \partial ^ { i } l o g H \varepsilon _ { i j _ { 1 } . . . j _ { 4 } } \Theta ^ { j _ { 1 } } \wedge \Theta ^ { j _ { 2 } } \wedge \bar { \Theta } ^ { j _ { 3 } } \wedge \bar { \Theta } ^ { j _ { 4 } }
E _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf r } , t ; { \bf r } _ { \mathrm { i n } } ) = \sum _ { { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega } R ^ { \prime } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) e ^ { i [ { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { s a m } } { \bf r } - { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { s a m } } \cdot { \bf r } _ { \mathrm { i n } } - ( k _ { z , \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { a i r } } - k _ { z , \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } ) ( h ^ { \mathrm { g l a s s } } + z ^ { \mathrm { a i r } } ) + ( k _ { z , \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { g l a s s } } - k _ { z , \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { g l a s s } } ) h ^ { \mathrm { g l a s s } } - i \omega t ] } .
Y ( \nu _ { \alpha } + \bar { \nu } _ { \alpha } ) ( k ^ { \prime } ) = \int _ { E _ { k ^ { \prime } } } ^ { \infty } \, d E \, \left( \Phi _ { \nu _ { \alpha } } ( E ) \, \frac { { \partial \sigma } ( \nu - ^ { 1 6 } \mathrm { O } ) } { \partial k ^ { \prime } } ( E , k ^ { \prime } ) \, + \, \Phi _ { \bar { \nu } _ { \alpha } } ( E ) \, \frac { { \partial \sigma } ( \bar { \nu } - ^ { 1 6 } \mathrm { O } ) } { \partial k ^ { \prime } } ( E , k ^ { \prime } ) \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { M _ { 1 1 } = \left( \begin{array} { c c } { \frac { E ^ { 2 } } { u _ { 1 } u _ { 2 } } } & { \frac { - 2 E } { u _ { 2 } } } \\ { \frac { - 2 E } { u _ { 3 } + \delta } } & { \frac { E ^ { 2 } } { u _ { 1 } ( u _ { 3 } + \delta ) } } \end{array} \right) , ~ M _ { 1 2 } = \left( \begin{array} { c c } { \frac { - E } { u _ { 1 } } } & { - \frac { u _ { 3 } - \delta } { u _ { 2 } } } \\ { \frac { u _ { 2 } } { u _ { 3 } + \delta } } & { \frac { - ( u _ { 3 } - \delta ) E } { u _ { 1 } ( u _ { 3 } + \delta ) } } \end{array} \right) , ~ } \\ & { } & { M _ { 2 1 } = \left( \begin{array} { c c } { \frac { E } { u _ { 1 } } } & { - 1 } \\ { - 1 } & { \frac { E } { u _ { 1 } } } \end{array} \right) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ M _ { 2 2 } = \left( \begin{array} { c c } { - \frac { u _ { 2 } } { u _ { 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { - u _ { 3 } + \delta } { u _ { 1 } ( u _ { 1 } ) } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sim \ } & { { } e ^ { - ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau ) t } e ^ { - \eta t } \left( \kappa ^ { * } + e ^ { ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau - \eta ) t } e ^ { - ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau ) t } \right) } \\ { \sim \ } & { { } e ^ { - ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau ) t } [ e ^ { - \eta t } \left( \kappa ^ { * } + e ^ { - \eta t } \right) - 1 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { n } } & { = \sum _ { \lambda \in \mathcal { V } ( \mathcal { T } ^ { \star } ) } e _ { p _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \star } ( \lambda ) } ( \lambda ) \ge q _ { N } \sum _ { \lambda \in \mathcal { V } ( \mathcal { T } ^ { \star } ) } \operatorname* { m a x } \{ r ( \lambda , \mathcal { T } _ { N } ^ { \prime } ) - p _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \star } ( \lambda ) , 0 \} } \\ & { \ge q _ { N } ( N - n + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ell _ { 1 } = 1 } & { } & { \mathrm { s i n c e ~ \ \ } d _ { 1 } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \geq 3 \; \; \; \; \; = ( d _ { 1 } + 1 ) - 1 } \\ { \ell _ { 2 } = 3 } & { } & { \mathrm { s i n c e ~ \ \ } d _ { 1 } , d _ { 2 } , d _ { 3 } \; \; \; \; \; \; \; \geq 2 \; \; \; \; \; = ( d _ { 1 } + 1 ) - 2 } \\ { \ell _ { 3 } = 4 } & { } & { \mathrm { s i n c e ~ \ \ } d _ { 1 } , d _ { 2 } , d _ { 3 } , d _ { 4 } \; \; \geq 1 \; \; \; \; \; = ( d _ { 1 } + 1 ) - 3 } \end{array}
\omega _ { * } \equiv - i ( c T / q B _ { 0 } ) _ { j } \mathbf { b } \times \nabla \ln F _ { M } \cdot \nabla = c k _ { \theta } T _ { j } / ( q B _ { 0 } L _ { n } ) _ { j } \left[ 1 + \eta ( E / T - 3 / 2 ) \right] _ { j }
\texttt { \textbf { M } } _ { m } \; = \; = \left[ \begin{array} { c c } { \cos ( \beta _ { m } L _ { m } ) } & { \frac { 1 } { \beta _ { m } } \sin ( \beta _ { m } L _ { m } ) } \\ { - \beta _ { m } \sin ( \beta _ { m } L _ { m } ) } & { \cos ( \beta _ { m } L _ { m } ) } \end{array} \right]
A _ { M } ^ { a } ( x , y ) \quad \to \quad A _ { M } ^ { a } ( x , y ) \, + \, \partial _ { M } \Theta ^ { a } ( x , y ) - g _ { 5 } f ^ { a b c } \Theta ^ { b } ( x , y ) A _ { M } ^ { c } ( x , y ) \, .
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 1 } } & { \approx } & { \Delta _ { 2 } \approx \Delta , } \\ { \left\vert \Delta \right\vert } & { \gg } & { M a x \left\{ \left\vert \tilde { \delta } \right\vert , \tau ^ { - 1 } , \left\vert \dot { \phi } _ { i } \right\vert , \left\vert \mathbf { q } _ { i } \cdot \mathbf { g } \right\vert T , \left\vert \omega _ { D } \right\vert , \omega _ { k } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( n _ { 3 } - n _ { 2 } ) B _ { n r 2 3 } n _ { p n 2 3 } - n _ { 3 } \gamma _ { n r 2 3 } } & { } & { = \; \; } & { \gamma _ { n r 2 3 } \left( \left[ e x p \left( \frac { E _ { 2 3 } } { k _ { B } T } \right) - 1 \right] ^ { - 1 } \left[ n _ { 3 } - n _ { 2 } \right] + n _ { 3 } \right) } \\ & { } & { = \; \; } & { n _ { 3 } \gamma _ { n r 2 3 } \left( \left[ e x p \left( \frac { E _ { 2 3 } } { k _ { B } T } \right) - 1 \right] ^ { - 1 } \left[ 1 - \frac { n _ { 2 } } { n _ { 3 } } \right] + 1 \right) } \\ & { } & { = \; \; } & { n _ { 3 } \gamma _ { n r 2 3 } \left( 1 - \frac { \frac { n _ { 2 } } { n _ { 3 } } - 1 } { e x p \left( \frac { E _ { 2 3 } } { k _ { B } T } \right) - 1 } \right) } \end{array}
\delta _ { \mathrm { B L M } } = \Delta \, \Bigg ( { \frac { \beta _ { 0 } \, \alpha _ { s } ( \mu _ { \mathrm { B L M } } ^ { 2 } ) } { 4 \pi } } \Bigg ) ^ { 2 } = { \frac { \langle \ln ^ { 2 } \! \tau \rangle - \langle \ln \tau \rangle ^ { 2 } } { \big [ \ln ( M ^ { 2 } / \Lambda _ { \mathrm { V } } ^ { 2 } ) + \langle \ln \tau \rangle \big ] ^ { 2 } } } \, ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } y _ { k } ^ { i } \left( - \phi _ { t } ^ { i } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ) + q ^ { i } \phi ^ { i } \right) \; d x d t } \\ { = } & { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } f ^ { i } \phi ^ { i } \; d x d t + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { a } ^ { b _ { i } } y ^ { 0 , i } ( x ) \phi ^ { i } ( x , 0 ) \; d x } \\ & { - \displaystyle \sum _ { i = 2 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { T } v _ { i , k } ( t ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \phi ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , t ) \; d t + \displaystyle \sum _ { i = m + 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } v _ { i , k } ( t ) ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , t ) \; d t , } \end{array}
\widehat { h } _ { 5 } = h _ { 5 } ^ { [ K P , S G ] } \left( r , \theta , \chi \right) = \eta _ { 5 } ^ { [ K P , S G ] } \left( r , \theta , \chi \right) \eta _ { 5 } \left( r , \theta \right) h _ { 5 } ( r ) , \qquad h _ { 5 } ( r ) = - r _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { 2 \psi ( r ) } ,
\begin{array} { r l r } { \zeta _ { a p p r o x } } & { { } = } & { 1 . 1 8 + \frac { \frac { 2 . 1 8 } { C _ { f 0 } } \frac { H _ { F } } { L } } { 1 - \frac { \tau _ { t 0 } } { \tau _ { w 0 } } } } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } & { \tilde { \psi } _ { 0 } \left( \frac { r } { r _ { b } } \right) = a _ { 1 } - \frac { r _ { b } ^ { 2 } } { 8 } - \frac { r _ { b } ^ { 2 } } { 4 } \log \left( 2 \frac { r } { r _ { b } } \right) + \mathcal { O } \left[ \frac { r _ { b } } { r } \right] , } \\ & { \tilde { \psi } _ { 1 } \left( \frac { r } { r _ { b } } \right) = b _ { 1 } \frac { r } { r _ { b } } - \frac { g r _ { b } ^ { 2 } } { 1 6 } r - \frac { g r _ { b } ^ { 2 } } { 8 } r \log \left( 2 \frac { r } { r _ { b } } \right) + \mathcal { O } \left[ \frac { r _ { b } } { r } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { + } } & { = \left( \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \right) ^ { 2 } \frac { | \alpha _ { d } | ^ { 2 } \kappa _ { 1 } } { \Delta _ { d } ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } \frac { \Delta _ { d } + \omega _ { z } } { ( \Delta _ { d } + \omega _ { z } ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } , } \\ { \chi _ { - } } & { = \left( \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \right) ^ { 2 } \frac { | \alpha _ { d } | ^ { 2 } \kappa _ { 1 } } { \Delta _ { d } ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } \frac { \Delta _ { d } - \omega _ { z } } { ( \Delta _ { d } - \omega _ { z } ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } . } \end{array}
\partial _ { \mu _ { g y } } \psi _ { 1 } ( \boldsymbol { X } _ { g y } + \boldsymbol { \rho } + \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) = \nabla \psi _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } \frac { \partial ( \boldsymbol { \rho } + \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) } { \partial \mu _ { g y } } = \nabla \psi _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { \rho } + \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) \frac { 1 } { \Omega _ { e } } \frac { c } { e \rho } .
\begin{array} { r l } { \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } & { = 0 } \\ { \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \left( \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) + \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { p } \right) } & { = 0 } \\ { \Delta t \, \boldsymbol { b } ^ { T } \left( E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) + \frac { 1 } { \tau _ { r } } \left( \boldsymbol { p } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) \right) \right) } & { = 0 . } \end{array}
\textstyle Q _ { \ell } ^ { + } ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { \alpha _ { \ell } ^ { + } } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x - x ^ { \prime } } ( 1 + w ) ^ { \kappa } } { w ^ { x - x ^ { \prime } } ( v _ { \ell } - w ) } = \alpha _ { \ell } ^ { + } ( \theta / v _ { \ell } ) ^ { x - x ^ { \prime } } ( \mathbf { 1 } _ { x - x ^ { \prime } \geq 1 } + \kappa v _ { \ell } \mathbf { 1 } _ { x - x ^ { \prime } \geq 2 } ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { E } } \{ \mathrm { t r } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \} } \\ & { = } & { n ^ { - 1 } p ^ { - 1 } \mathrm { t r } \left( { \mathbb { E } } \left[ \nu _ { i } ^ { - 2 } \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} ^ { \top } \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} ^ { \top } \right] \right) } \\ & { } & { + ( 1 - n ^ { - 1 } ) p ^ { - 1 } \mathrm { t r } \left\{ \left( { \mathbb { E } } \left[ \nu _ { i } ^ { - 1 } \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} ^ { \top } \right] \right) ^ { 2 } \right\} } \\ & { = } & { n ^ { - 1 } p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } ( \nu _ { i } ^ { - 2 } ) { \mathbb { E } } \left\{ \| \Gamma S ( U _ { i } ) \| ^ { 4 } \right\} } \\ & { } & { + ( 1 - n ^ { - 1 } ) p ^ { - 1 } \{ { \mathbb { E } } ( \nu _ { i } ^ { - 1 } ) \} ^ { 2 } \mathrm { t r } \left\{ \left( { \mathbb { E } } \left[ \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} ^ { \top } \right] \right) ^ { 2 } \right\} } \\ & { = } & { O ( n ^ { - 1 } p ^ { - 1 } ) + \mathrm { t r } [ \{ { \mathbb { E } } ( Q _ { 0 } ) \} ^ { 2 } ] ( 1 - n ^ { - 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { h } } _ { \mathrm { G T C } } ( k _ { x } ) } & { { } = \sum _ { { k _ { y } } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } , B } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , B } + \sum _ { k _ { y } \in \mathcal { K } _ { c } } k _ { y } { g _ { \boldsymbol k } } \sqrt { \mathcal { N } _ { B } } \big ( \hat { a } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , B } + \hat { a } _ { { k _ { x } , k _ { y } } } \hat { d } _ { k _ { x } , B } ^ { \dagger } \big ) ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \tilde { x } } \\ { \tilde { y } } \\ { \tilde { z } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { d _ { x } , } & { d _ { y } , } & { d _ { z } } \\ { { d _ { y } } / { \sqrt { d _ { x } ^ { 2 } + d _ { y } ^ { 2 } } } , } & { { - d _ { x } } / { \sqrt { d _ { x } ^ { 2 } + d _ { y } ^ { 2 } } } , } & { 0 } \\ { { d _ { x } d _ { z } } / { \sqrt { d _ { x } ^ { 2 } + d _ { y } ^ { 2 } } } , } & { { d _ { y } d _ { z } } / { \sqrt { d _ { x } ^ { 2 } + d _ { y } ^ { 2 } } } , } & { - \sqrt { d _ { x } ^ { 2 } + d _ { y } ^ { 2 } } } \end{array} \right] \times \left[ \begin{array} { l } { \hat { x } } \\ { \hat { y } } \\ { \hat { z } } \end{array} \right] . } \end{array}
\delta \dot { Q } ^ { 2 } = \left( \frac { \partial \dot { Q } } { \partial \dot { m } } \right) ^ { 2 } \, \delta \dot { m } ^ { 2 } + \left( \frac { \partial \dot { Q } } { \partial h _ { \mathrm { { i n } } } } \right) ^ { 2 } \, \delta h _ { \mathrm { { i n } } } ^ { 2 } + \left( \frac { \partial \dot { Q } } { \partial h _ { \mathrm { { o u t } } } } \right) ^ { 2 } \, \delta h _ { \mathrm { { o u t } } } ^ { 2 }
M ( H _ { 1 } \to B _ { 1 } ^ { \prime } \pi ) = \eta ^ { \alpha } \epsilon _ { 1 } ^ { \mu } \{ g _ { \mu \alpha } ^ { t } g _ { 3 } + ( q _ { \alpha } ^ { t } q _ { \mu } ^ { t } - q _ { t } ^ { 2 } g _ { \mu \alpha } ^ { t } ) g _ { 4 } \} \; .
\begin{array} { r l } { \mathbf { C } _ { \mathrm { b a s e } } } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { 1 - c _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } } & { c _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } } \\ { c _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } } & { 1 - c _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } } \end{array} \right) , } \\ { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } c _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } } & { { } \sim \mathrm { ~ B ~ e ~ t ~ a ~ } ( \alpha = 8 , \beta = 8 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 2 f _ { 0 } ( \boldsymbol { q } ) } { \prod _ { i = 1 } ^ { l } \left[ \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { i } z _ { j } - \epsilon _ { \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } _ { i } } + \epsilon _ { \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } _ { i } - \sum _ { j = 1 } ^ { i } \boldsymbol { k } _ { j } } \right] } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { \theta } - R _ { 1 } \Omega _ { 1 } } & { { } = } & { b ^ { i n } \frac { \partial v _ { \theta } } { \partial \theta } , } \\ { v _ { \theta } - R _ { 2 } \Omega _ { 2 } } & { { } = } & { - b ^ { o u t } \frac { \partial v _ { \theta } } { \partial \theta } . } \end{array}
\chi ( \widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) ) = 0 = \chi ( \widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, \Psi _ { \mathrm { a d } } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) )
\tilde { G } _ { ( 1 ) } ^ { < / > } = \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Sigma } _ { ( 0 ) } ^ { < / > } \tilde { G } _ { ( 1 ) } ^ { A } + \tilde { G } _ { ( 1 ) } ^ { R } \tilde { \Sigma } _ { ( 0 ) } ^ { < / > } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } + \frac { 1 } { 2 i } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \Big ( \partial _ { T } h \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \partial _ { \omega } \tilde { \Sigma } ^ { < / > } + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < / > } \partial _ { T } h + h . c \Big ) \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } .
\Delta n _ { e x t } ( \varphi _ { \Delta } ) = \mathrm { s i g n } ( \Delta \varphi ) [ n _ { r } ( \varphi _ { \Delta } ) - n _ { a } ( \varphi _ { \Delta } ) ] \simeq ( { \frac { d n _ { r } } { d \varphi } } - { \frac { d n _ { a } } { d \varphi } } ) \Delta \varphi = - { \frac { \Delta \varphi } { \lambda ^ { 2 } } } .
G ( \vec { x } _ { 2 } = 0 , \vec { x } _ { 1 } = 0 ; t _ { 2 } - t _ { 1 } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | \psi _ { n } ( 0 ) | ^ { 2 } e ^ { - i E _ { n } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) } \, .
\begin{array} { r l } { 0 } & { > \langle x , e _ { A } \otimes e _ { B } \rangle = \left\langle \sum _ { i } \lambda _ { i } a ^ { ( i ) } \otimes b ^ { ( i ) } , e _ { A } \otimes e _ { B } \right\rangle = \sum _ { i } \lambda _ { i } \langle a ^ { ( i ) } , e _ { A } \rangle _ { A } \langle b ^ { ( i ) } , e _ { B } \rangle _ { B } } \\ & { = \left\langle \sum _ { i } \lambda _ { i } \langle a ^ { ( i ) } , e _ { A } \rangle _ { A } b ^ { ( i ) } , e _ { B } \right\rangle _ { B } = \langle P _ { e _ { A } } ( x ) , e _ { B } \rangle _ { B } . } \end{array}
1 \xrightarrow [ \hphantom { n - g } ] { 1 } 2 \xrightarrow [ \hphantom { n - g } ] { 2 } \cdots \xrightarrow [ \hphantom { n - g } ] { n - 1 } n \xrightarrow [ \hphantom { n - g } ] { n } \overline { { n } } \xrightarrow [ \hphantom { n - g } ] { n - 1 } \overline { { n - 1 } } \xrightarrow [ \hphantom { n - g } ] { n - 2 } \cdots \xrightarrow [ \hphantom { n - g } ] { 1 } \overline { { 1 } }
\frac { k ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } = \frac { \nu ^ { 2 } ( \nu ^ { 2 } + P B _ { 0 } ^ { 2 } ) } { \nu ^ { 2 } ( P ^ { 2 } + 2 P - \nu ^ { 2 } ) - P B _ { 0 } ^ { 2 } ( \nu ^ { 2 } + P ^ { 2 } ) } \, .
\mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( s _ { 1 1 } + s _ { m + 1 m + 1 } , s _ { 2 2 } + s _ { m - 1 m - 1 } , . . . , s _ { N - | m | N - | m | } + s _ { N N } ) = : \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \Tilde { S } ^ { m } )
{ \cal M } ^ { a } ( p _ { 1 } , . . . , p _ { n } ; k ; \mu ^ { 2 } ) = G _ { 1 } ^ { a } ( l ) \frac { \varepsilon ^ { * } p _ { l } } { k p _ { l } } \; { \cal M } ( p _ { 1 } , . . . , p _ { n } ; \mu ^ { 2 } ) \, ,
\Pi ( t , \Theta ) = \frac { \partial } { \partial \frac { d \phi } { d t } } L = \frac { i } { 2 } \frac { \partial } { \partial \frac { d \phi } { d t } } \int d \Theta ( D _ { \Theta } \phi ) \dot { \phi } = \frac { 1 } { 2 } \int d \Theta \{ \Theta \dot { \phi } + i D _ { \Theta } \phi \} , \qquad \dot { \phi } \equiv \frac { d \phi } { d t } ,
\begin{array} { r l } & { \quad \dim \left[ \mathcal { I } _ { p _ { 0 } ^ { a } } ^ { - 1 } \right] _ { k } + \dim \left\langle \left[ \mathcal { I } _ { \Pi _ { i } } ^ { - 1 } \right] _ { k } , i = 1 \dots , d ^ { n } \right\rangle - \dim \left[ \mathcal { I } _ { q _ { 0 } ^ { a } } ^ { - 1 } \right] _ { k } \cap \left[ \mathcal { I } _ { \Pi _ { 1 } } ^ { - 1 } \right] _ { k } } \\ & { = { \binom { N + a - 1 } { N } } + { \binom { n + k d } { n } } - { \binom { n + a - 1 } { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( a , b , c ) } & { = } & { - \mu _ { 1 } ( a , [ b , c ] ) - [ a , \mu _ { 1 } ( b , c ) ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( [ a , b ] , c ) + ( - 1 ) ^ { a b } \mu _ { 1 } ( b , [ a , c ] ) + [ \mu _ { 1 } ( a , b ) , c ] + ( - 1 ) ^ { a b } [ b , \mu _ { 1 } ( a , c ) ] } \\ & { = } & { 0 ; ~ ~ ~ ~ \; \mathrm { f o r ~ a l l ~ h o m o g e n e o u s } \; a , b , c \in L . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( z ) } & { { } = E _ { \mathrm { m a x } } - \frac e { \epsilon _ { 0 } } \int _ { z } ^ { z _ { \mathrm { t i p } } } n _ { q } ( z ) d z , } \\ { n _ { i } ( z ) } & { { } = n _ { i , \mathrm { t i p } } + \frac { \epsilon _ { 0 } } { e } \int _ { E ( z ) } ^ { E _ { \mathrm { m a x } } } \alpha _ { \mathrm { e f f } } ( E ) \, d E , } \\ { n _ { e } ( z ) } & { { } = \frac { v n _ { i } ( z ) - j _ { e , \mathrm { c h } } } { v + v _ { \mathrm { d r } } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { n ! ^ { 2 } } & { = [ z ^ { n } ] [ x ^ { 0 } ] \operatorname { C o n v } _ { h } \left( - 1 , n ; { \frac { z } { x } } \right) \operatorname { C o n v } _ { h } \left( - 1 , n ; x \right) , h \geq n } \\ { { \binom { 2 n } { n } } } & { = [ x _ { 1 } ^ { 0 } x _ { 2 } ^ { 0 } z ^ { n } ] \operatorname { C o n v } _ { h } \left( - 2 , 2 n ; { \frac { z } { x _ { 2 } } } \right) \operatorname { C o n v } _ { h } \left( - 2 , 2 n - 1 ; { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } } \right) I _ { 0 } ( 2 { \sqrt { x _ { 1 } } } ) } \\ { { \binom { 3 n } { n } } { \binom { 2 n } { n } } } & { = [ x _ { 1 } ^ { 0 } x _ { 2 } ^ { 0 } z ^ { n } ] \operatorname { C o n v } _ { h } \left( - 3 , 3 n - 1 ; { \frac { 3 z } { x _ { 2 } } } \right) \operatorname { C o n v } _ { h } \left( - 3 , 3 n - 2 ; { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } } \right) I _ { 0 } ( 2 { \sqrt { x _ { 1 } } } ) } \\ { ! n } & { = n ! \times \sum _ { i = 0 } ^ { n } { \frac { ( - 1 ) ^ { i } } { i ! } } = [ z ^ { n } x ^ { 0 } ] \left( { \frac { e ^ { - x } } { ( 1 - x ) } } \operatorname { C o n v } _ { n } \left( - 1 , n ; { \frac { z } { x } } \right) \right) } \\ { \operatorname { a f } ( n ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { n - k } k ! = [ z ^ { n } ] \left( { \frac { \operatorname { C o n v } _ { n } ( 1 , 1 ; z ) - 1 } { 1 + z } } \right) } \\ { ( t - 1 ) ^ { n } P _ { n } \left( { \frac { t + 1 } { t - 1 } } \right) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \binom { n } { k } } ^ { 2 } t ^ { k } } \\ & { = [ x _ { 1 } ^ { 0 } x _ { 2 } ^ { 0 } ] [ z ^ { n } ] \left( \operatorname { C o n v } _ { n } \left( 1 , 1 ; { \frac { z } { x _ { 1 } } } \right) \operatorname { C o n v } _ { n } \left( 1 , 1 ; { \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } } \right) I _ { 0 } ( 2 { \sqrt { t \cdot x _ { 2 } } } ) I _ { 0 } ( 2 { \sqrt { x _ { 2 } } } ) \right) , n \geq 1 } \\ { ( 2 n - 1 ) ! ! } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { ( n - 1 ) ! } { ( k - 1 ) ! } } k \cdot ( 2 k - 3 ) ! ! } \\ & { = [ x _ { 1 } ^ { 0 } x _ { 2 } ^ { 0 } x _ { 3 } ^ { n - 1 } ] \left( \operatorname { C o n v } _ { n } \left( 1 , 1 ; { \frac { x _ { 3 } } { x _ { 2 } } } \right) \operatorname { C o n v } _ { n } \left( 2 , 1 ; { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } } \right) { \frac { ( x _ { 1 } + 1 ) e ^ { x _ { 1 } } } { ( 1 - x _ { 2 } ) } } \right) , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { W _ { m } ^ { \kappa _ { 3 } } t ^ { 1 / ( 2 R - 2 ) } \le W _ { 1 } ^ { \kappa _ { 3 } } t ^ { 1 / ( 2 R - 2 ) } } & { \le \left( h _ { 3 } ^ { - 1 } h _ { 0 } h _ { 2 } ^ { ( k - r ) / ( k - 2 ) } t ^ { \theta _ { r } } \right) ^ { \kappa _ { 3 } } t ^ { 1 / ( 2 R - 2 ) } } \\ & { = H ^ { \kappa _ { 3 } } t ^ { \theta _ { r } ( k / ( 2 K - 2 ) - 1 / R ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { A ^ { 2 } { a } \lambda ( { a } ) ( Q ( { a } , \lambda ( { a } ) ) - P ) - \frac { 1 } { 2 } D ^ { \prime } ( { a } ) { a } ^ { \prime } ( Z ) ^ { 2 } - D ( { a } ) { a } ^ { \prime \prime } ( Z ) = 0 , } \end{array}