harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname { T r } ( A ^ { * } A ) ^ { 2 } - 4 \operatorname* { d e t } ( A ^ { * } A ) } & { = ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( \delta \gamma _ { - } ^ { 2 } + \delta \gamma _ { + } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 ( 1 - \alpha ^ { 2 } ) ^ { 2 } \delta \gamma _ { - } ^ { 2 } \delta \gamma _ { + } ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( \delta \gamma _ { - } ^ { 2 } - \delta \gamma _ { + } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 6 \alpha ^ { 2 } \delta \gamma _ { - } ^ { 2 } \delta \gamma _ { + } ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( \delta \gamma _ { - } - \delta \gamma _ { + } ) ^ { 2 } ( \delta \gamma _ { - } + \delta \gamma _ { + } ) ^ { 2 } + 1 6 \alpha ^ { 2 } \delta \gamma _ { - } ^ { 2 } \delta \gamma _ { + } ^ { 2 } > 0 . } \end{array}
\tilde { \mathcal { M } } _ { 3 } \rightarrow - \frac { ( 1 - t ) } { \pi } \tilde { r } + \left( \frac { \alpha \sqrt { 1 - t } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) } { \pi } \right) \left( \log { \tilde { r } } + \log \left( \frac { 2 ( 1 - t ) } { ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) ^ { 2 } } \right) \right) + \frac { \alpha } { \pi } ( 1 - ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) ^ { 2 } ) \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad \tilde { r } \rightarrow \infty .
\begin{array} { r l } { r _ { 0 z } } & { = ( \tau _ { i } - t _ { i } ^ { \prime } ) \biggl [ i [ p _ { 0 z } + A ( t _ { r } ^ { \prime } ) ] - \frac { 1 } { 2 } \dot { A } ( t _ { r } ^ { \prime } ) ( \tau _ { i } + t _ { i } ^ { \prime } ) \biggr ] } \\ { r _ { 0 x } } & { = i ( \tau _ { i } - t _ { i } ^ { \prime } ) p _ { 0 x } , } \end{array}
{ } _ { p + 1 } F _ { p } \left( \begin{array} { c } { { \{ 1 + a _ { i } \} _ { p + 1 } ; } } \\ { { \frac { 3 } { 2 } + b ; ~ \{ 2 + c _ { i } \} _ { p - 1 } ; } } \end{array} \frac { 1 } { 4 } \right)
S _ { b } ( x ) = \frac { 9 \sqrt { 3 } \Lambda ^ { 4 } } { 1 6 \pi } x ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { v } ^ { \infty } \frac { K _ { 5 / 3 } ( u ) e ^ { - \frac { \Lambda ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 v ^ { 2 } } } } { v ^ { 3 } } d u d v ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 2 } { 1 - \nu } \partial _ { x } ^ { 2 } v _ { e } + \frac { 2 \nu } { 1 - \nu } \partial _ { x y } ^ { 2 } v _ { n } + \partial _ { y } ^ { 2 } v _ { e } + \partial _ { x y } ^ { 2 } v _ { n } } & { = - f _ { e } \delta ( x - x _ { 0 } ) \delta ( y - y _ { 0 } ) } & \\ { \partial _ { x y } ^ { 2 } v _ { e } + \partial _ { x } ^ { 2 } v _ { n } + \frac { 2 \nu } { 1 - \nu } \partial _ { x y } ^ { 2 } v _ { e } + \frac { 2 } { 1 - \nu } \partial _ { y } ^ { 2 } v _ { n } } & { = - f _ { n } \delta ( x - x _ { 0 } ) \delta ( y - y _ { 0 } ) } & \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle { U ( \delta c ) = - a _ { 4 } \frac { ( \delta c ) ^ { 4 } } { 4 } - a _ { 3 } \frac { ( \delta c ) ^ { 3 } } { 3 } - a _ { 2 } \frac { ( \delta c ) ^ { 2 } } { 2 } . } } \end{array}
\int _ { V } \boldsymbol { e } _ { i } \boldsymbol { \cdot } ( \rho _ { 0 } \boldsymbol { v } ) \, \mathrm { d } V = \underbrace { \int _ { V } ( \boldsymbol { 1 } _ { i } \times \boldsymbol { r } ) \boldsymbol { \cdot } \rho _ { 0 } \boldsymbol { v } \, \mathrm { d } V } _ { \boldsymbol { L } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { 1 } _ { i } } + \int _ { V } \nabla \Psi _ { i } \boldsymbol { \cdot } ( \rho _ { 0 } \boldsymbol { v } ) \, \mathrm { d } V
V ( y _ { i } , \theta ) = - V _ { p + 1 } ( i ) ^ { p } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t } ( 8 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } \, t ) ^ { - \frac { p + 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { y ^ { 2 } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } t } 1 6 t ^ { 4 } \simeq y ^ { p - 7 } \, .
G _ { 1 } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } , f _ { 4 } , v ) = \frac { \mu _ { 1 } } { | V | } \frac { f _ { 1 } } { M _ { 1 } } \big ( 1 - \big ( \frac { f _ { 1 } } { M _ { 1 } } \big ) ^ { r } \big ) - \frac { \rho } { | V | } \frac { f _ { 1 } } { M _ { 1 } } \frac { f _ { 4 } } { M _ { 4 } } \frac { 1 } { k _ { u _ { 1 } } + \theta \frac { f _ { 1 } } { M _ { 1 } } } ,
A = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } y { \frac { \operatorname { t a n h } y } { y } } + \int _ { 1 } ^ { \infty } \mathrm { d } y { \frac { \operatorname { t a n h } y - 1 } { y } } = \ln \left( { \frac { 4 } { \pi } } \right) + \gamma .
\begin{array} { r l } { \frac { \left| \mu _ { 5 } \right| } { k _ { \mathrm { r h } } / a _ { \mathrm { r h } } } } & { { } = \frac { 6 \, \alpha _ { Y } c _ { 5 } \, \chi } { \pi } \frac { T _ { \mathrm { r h } } } { H _ { \mathrm { r h } } } = \frac { 6 \, \alpha _ { Y } c _ { 5 } \, \chi } { \pi } \frac { M _ { * } } { T _ { \mathrm { r h } } } } \end{array}
\Delta \Phi _ { \mathrm { ~ A ~ } } = \Delta \Phi _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } + \Delta \Phi _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } + \Delta \Phi _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ i ~ c ~ } } + \Delta \Phi _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ s ~ h ~ o ~ t ~ } } .
( \mathrm { M a s s } ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 4 \rho _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( \hat { \alpha } _ { L } ) ^ { 2 } + N _ { L } - 1 \right] = { \frac { 1 } { 4 \rho _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( \hat { \alpha } _ { R } ) ^ { 2 } + N _ { R } - \delta \right] ~ .
H _ { 1 / 2 } ^ { R p e r t } \equiv H _ { \beta } - H _ { 1 / 2 } + ( \beta \! - \! 1 / 2 ) { \frac { \delta ( x ) } { x } } = ( \beta \! - \! 1 / 2 ) { \frac { \delta ( x ) } { x } } + { \frac { ( \beta \! - \! 1 / 2 ) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } ~ .
{ \begin{array} { r l } { u _ { G } ^ { \prime } ( x ) } & { = \left( A ( x ) u _ { 1 } ( x ) + B ( x ) u _ { 2 } ( x ) \right) ^ { \prime } } \\ & { = \left( A ( x ) u _ { 1 } ( x ) \right) ^ { \prime } + \left( B ( x ) u _ { 2 } ( x ) \right) ^ { \prime } } \\ & { = A ^ { \prime } ( x ) u _ { 1 } ( x ) + A ( x ) u _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) + B ^ { \prime } ( x ) u _ { 2 } ( x ) + B ( x ) u _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } \\ & { = A ^ { \prime } ( x ) u _ { 1 } ( x ) + B ^ { \prime } ( x ) u _ { 2 } ( x ) + A ( x ) u _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) + B ( x ) u _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } \\ & { = A ( x ) u _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) + B ( x ) u _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { S } ( P , t , \tau ) } & { = - [ ( \frac { 2 P ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } + 1 ) U _ { \mathrm { p } } - ( i \Gamma + \Delta ) ] \frac { \tau } { \hbar } } \\ & { + \frac { 8 U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \frac { P } { P _ { \mathrm { m a x } } } \sin \frac { \omega \tau } { 2 } \sin [ \omega ( \frac { \tau } { 2 } - t ) ] } \\ & { + \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \sin ( \omega \tau ) \cos [ 2 \omega ( \frac { \tau } { 2 } - t ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { \Delta x } ^ { + } } & { { } = n _ { \Delta x } ^ { + + } + n _ { \Delta x } ^ { - + } } \\ { n _ { \Delta x } ^ { - } } & { { } = n _ { \Delta x } ^ { -- } + n _ { \Delta x } ^ { + - } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ \exp \Big ( \sqrt { l } \, \Delta ( h _ { n e t , w } ) \Big ) \Big ] \leq \exp \Big ( \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) + 2 ( \sum _ { l } | \alpha _ { l } | \| \beta _ { l } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } , } \\ & { \mathbb { E } \Big [ \exp \Big ( \sqrt { l } \, \Delta ^ { \prime } ( h _ { n e t , w } ) \Big ) \Big ] \leq \exp \Big ( \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) + 2 ( \sum _ { l } | \alpha _ { l } | \| \beta _ { l } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } . } \end{array}
\Lambda _ { i j } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { A _ { i j } ( 0 ) } { E _ { i } ( 0 ) } \, , } & { j \in \mathcal { A } ( t - 1 ) } \\ { 0 \, , } & { j \not \in \mathcal { A } ( t - 1 ) } \end{array} \right. \, .
Z _ { N } ( x ) \equiv \frac { N } { 4 } \left[ \phi \left( x + \Theta , \frac { \pi \beta ^ { 2 } } { 2 } \right) + \phi \left( x - \Theta , \frac { \pi \beta ^ { 2 } } { 2 } \right) \right] + \sum _ { r = 1 } ^ { l } \phi ( x - \alpha _ { r } , \pi \beta ^ { 2 } ) + 2 \pi \beta ^ { 2 } \varepsilon l \, .
E = \int d ^ { 4 } x \left\{ \frac 1 2 \left( F _ { 1 2 } + s ( | T | ^ { 2 } - \zeta ) \right) ^ { 2 } + | D _ { 1 } T - i s D _ { 2 } T | ^ { 2 } + s \zeta F _ { 1 2 } + V ( T ) - \frac 1 2 ( | T | ^ { 2 } - \zeta ) ^ { 2 } \right\}
{ \cal M } _ { 5 } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { m _ { D } } } & { { 0 } } & { { m _ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { m _ { D } } } & { { m _ { N } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { E } } } & { { m _ { 1 } } } \\ { { m _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { m _ { E } } } & { { 0 } } & { { m _ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { 1 } } } & { { m _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\mathcal { Q } _ { T } ( a _ { i } , a _ { j } , a _ { k } ) = \bigg [ \bigg ( 1 - \frac { a _ { i } } { N { \binom { N } { 2 } } } \bigg ) \bigg ( 1 - \frac { a _ { j } } { N { \binom { N } { 2 } } } \bigg ) \bigg ( 1 - \frac { a _ { k } } { N { \binom { N } { 2 } } } \bigg ) \bigg ] ^ { T N } \simeq e ^ { - \frac { T } { { \binom { N } { 2 } } } ( a _ { i } + a _ { j } + a _ { k } ) } ,
\frac { D \textbf { z } _ { \pm } } { D t } = \pm ( \textbf { V } _ { A } \cdot \nabla ) \textbf { z } _ { \pm } + \frac { 1 } { 2 } ( \textbf { z } _ { \mp } - \textbf { z } _ { \pm } ) \nabla \cdot \bigg ( \frac { \textbf { U } } { 2 } \pm \textbf { V } _ { A } \bigg ) .
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { = E \left[ \left| \tilde { H } _ { k , \, l , \, i } \right| ^ { 2 } \left| \tilde { H } _ { k , \, l , \, j } \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { = E \left[ \left( H _ { k , \, l , \, i , \, I } ^ { 2 } + H _ { k , \, l , \, i , \, Q } ^ { 2 } \right) \left( H _ { k , \, l , \, j , \, I } ^ { 2 } + H _ { k , \, l , \, j , \, Q } ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { = 4 \sigma _ { H } ^ { 4 } + 4 R _ { \tilde { H } \tilde { H } , \, j - i } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { x x } } & { = } & { \frac { 1 } { x _ { s } ^ { 2 } } \big ( \sigma _ { s s } - \frac { 2 y _ { s } } { y _ { t } } \sigma _ { s t } + \frac { y _ { s } ^ { 2 } } { y _ { t } ^ { 2 } } \sigma _ { t t } \big ) = c \, \frac { 1 - h ^ { 2 } } { 1 + h ^ { 2 } } = \frac 1 2 \sin \beta \cos \theta , } \\ { \sigma _ { x y } } & { = } & { \frac { 1 } { x _ { s } y _ { t } } \big ( \sigma _ { s t } - \frac { y _ { s } } { y _ { t } } \sigma _ { t t } \big ) = \frac { h } { 1 + h ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \sin \beta \sin \theta , } \\ { \sigma _ { y y } } & { = } & { \frac { 1 } { y _ { t } ^ { 2 } } \sigma _ { t t } = - c \, \frac { 1 - h ^ { 2 } } { 1 + h ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 } \sin \beta \cos \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } & { { } = \exp \left\{ - \lambda _ { c } \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { d } t } } { \lambda _ { d } } \right\} \frac { 1 } { n ! } \left( \lambda _ { c } \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { d } t } } { \lambda _ { d } } \xi _ { 1 } \right) ^ { \otimes n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } \end{array}
\tilde { \Sigma } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 4 { \pi } } } \int _ { - { \infty } } ^ { \infty } \frac { d p _ { + } } { \sqrt { p ^ { - } } } \{ a ( p _ { + } ) e ^ { - i p { \cdot } x } + a ^ { \ast } ( p _ { + } ) e ^ { i p { \cdot } x } \} ,
V ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { q } { r } } & { ( r \geq R ) , } \\ { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { q } { R } } & { ( r \leq R ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { c c c c } { \varphi _ { S } : } & { C H _ { n } } & { \longrightarrow } & { { P H } _ { n } } \\ & { \theta _ { C H _ { n } } ( { \bf d } , { \bf v } ) } & { \longmapsto } & { \theta _ { P H _ { n } } \left( S ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { D } & { 0 } \\ { 0 } & { D } \end{array} \right] S , S ^ { - 1 } { \bf v } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { e } _ { 1 } ( t ) } & { = { \frac { { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime } ( t ) } { \left\| { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime } ( t ) \right\| } } } \\ { \mathbf { e } _ { j } ( t ) } & { = { \frac { { \overline { { \mathbf { e } _ { j } } } } ( t ) } { \left\| { \overline { { \mathbf { e } _ { j } } } } ( t ) \right\| } } , \quad { \overline { { \mathbf { e } _ { j } } } } ( t ) = { \boldsymbol { \gamma } } ^ { ( j ) } ( t ) - \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } \left\langle { \boldsymbol { \gamma } } ^ { ( j ) } ( t ) , \mathbf { e } _ { i } ( t ) \right\rangle \, \mathbf { e } _ { i } ( t ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } n } & { { } = - \nabla \cdot ( n \boldsymbol { u } ) , } \\ { \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } } & { { } = \frac { 1 } { n } ( \nabla \times \boldsymbol { b } ) \times \boldsymbol { b } , } \\ { \partial _ { t } \boldsymbol { b } } & { { } = \nabla \times ( \boldsymbol { u } \times \boldsymbol { b } ) - d _ { i } \nabla \times \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { b } } & { { } = 0 , } \end{array}
w _ { z } ^ { \pm } ( \Lambda , r ) = i q \xi _ { n } ^ { \pm } ( q r ) F ^ { \pm } ( \Lambda ) + i q H ^ { \pm } ( \Lambda ) \left[ | q | r \tilde { \xi } _ { n } ^ { \pm } ( q r ) + \xi _ { n } ^ { \pm } ( q r ) \right] .
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { O N } , s } ( x , t ) } & { { } = \frac { 1 } { Z _ { \mathrm { O N } } } \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } \tau _ { s } ( t ) | A \cdot \frac { n _ { s } ( t ) | A } { \pi _ { s } ( t ) | A } } \\ { Z _ { \mathrm { O N } } } & { { } = \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } \frac { n _ { s } ( t ) | A } { \pi _ { s } ( t ) | A } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta } & { { } = \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ^ { - 1 } \bigg ( \frac { k _ { z } } { k } \bigg ) , } \\ { \phi } & { { } = \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ } ^ { - 1 } \bigg ( \frac { k _ { y } } { k _ { x } } \bigg ) . } \end{array}
\left( \nu \frac { \partial \omega ^ { h } } { \partial y } - \omega ^ { h } u _ { y } ^ { h } + \frac { \partial P ^ { h } } { \partial x } \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } ) = f _ { x } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } \in \Omega \cup \partial \Omega
\begin{array} { r } { O _ { n } \left( \frac { 1 } { \sigma } \right) = \frac { 1 } { n ! \tau ^ { n + 1 } } ( - 1 ) ^ { n } \frac { \partial ^ { n } } { \partial \sigma ^ { n } } \frac { 1 } { \sigma } = \frac { 1 } { ( \tau \sigma ) ^ { n + 1 } } = 1 } \end{array}
q ( x ) = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { f } } e _ { j } ^ { 2 } [ q _ { j } ( x ) + \bar { q } _ { j } ( x ) ] \, , \quad T _ { f } = T _ { R } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { f } } e _ { j } ^ { 2 } \, .
\left\{ \begin{array} { l l } { ( - \Delta ) ^ { s } ( u - v _ { \delta } ) \geq 0 \ \ \ } & { \mathrm { i n } \, \, \mathcal C _ { Q , \Sigma _ { 1 } } \cap B _ { \delta ^ { - 1 } } ( 0 ) , } \\ { u - v _ { \delta } \geq 0 } & { \mathrm { o n } \, \, \mathbb R ^ { n } \setminus ( \mathcal C _ { Q , \Sigma _ { 1 } } \cap B _ { \delta ^ { - 1 } } ( 0 ) ) . } \end{array} \right.
H _ { 1 } ( \zeta ) = - \eta _ { 1 } , \quad H _ { 2 } ( \zeta ) = \eta _ { 2 } , \quad \mathrm { ~ i ~ . ~ e ~ . ~ , ~ } H _ { j } ( \zeta ) = ( - 1 ) ^ { j } \eta _ { j } , \, j = 1 , 2 \, ,
\begin{array} { r } { 0 \leq \operatorname* { s u p } _ { s \leq h } \| X _ { t + s } - X _ { t } \| ^ { p } \leq 2 ^ { p - 1 } \left[ \operatorname* { s u p } _ { u \leq h } \left( \| \int _ { t } ^ { t + u } B ( X _ { s } ) d s \| \right) ^ { p } + \operatorname* { s u p } _ { u \leq h } \left( \| \int _ { t } ^ { t + u } A _ { j } ( X _ { s } ) d W _ { s } ^ { j } \| \right) ^ { p } \right] . } \end{array}
M ^ { \prime } = { \cal U } ^ { T } \left( \begin{array} { l l } { { U _ { 5 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { U _ { 2 1 } } } \end{array} \right) { \cal U } M { \cal U } ^ { T } \left( \begin{array} { l l } { { U _ { 5 } ^ { T } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { U _ { 2 1 } ^ { T } } } \end{array} \right) { \cal U } ,
i \frac { \partial \tilde { a } _ { j } ^ { \prime } } { \partial \zeta } = - \left( \beta _ { j } ( \omega ^ { \prime } + \omega _ { 0 } ) - \beta _ { j _ { \mathrm { r e f } } } ( \omega _ { 0 } ) - \frac { \omega ^ { \prime } } { v _ { g } ^ { \mathrm { ( r e f ) } } } \right) \, \tilde { a } _ { j } ^ { \prime } - C ( \tilde { a } _ { j + 1 } ^ { \prime } + \tilde { a } _ { j - 1 } ^ { \prime } ) \, .
\frac { \mathrm { d } \sigma ( T , E _ { \nu } ) } { \mathrm { d } T } = \frac { 2 G _ { F } ^ { 2 } m _ { e } } { \pi } \left[ A ^ { 2 } + B ^ { 2 } \left( 1 - \frac { T } { E _ { \nu } } \right) ^ { 2 } - A B \frac { m _ { e } T } { ( E _ { \nu } ) ^ { 2 } } \right] ,
B = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \bf H } } { \partial t } = \mathrm { r o t } { \bf [ u \times { \bf H } ] } - \mathrm { r o t } \left( \frac { c \, { \bf j } } { \sigma } \right) , \quad } \\ { { \bf j } = \frac { c } { 4 \pi } \mathrm { r o t } { \bf H } - \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { \partial { \bf E } } { \partial t } . \qquad \quad } \end{array}
u = ( \frac { 3 f } { h ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 \mu \mathrm { M a } } \frac { \partial \sigma } { \partial r } ) z + ( \frac { 3 } { 4 \mu h \mathrm { M a } } \frac { \partial \sigma } { \partial r } - \frac { 3 f } { 2 h ^ { 3 } } ) z ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } } & { \mathcal { X } ( \mathbf { k } , \zeta ) } & & { = g ^ { 1 / 2 } ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } R ( \mathbf { k } , \zeta ) , \qquad } & & { \mathcal { Y } ( \delta \mathbf { k } , \mathbf { k } , \zeta ) } & & { = g ^ { 1 / 2 } ( \delta \mathbf { k } ) \omega ^ { - 1 } R ( \mathbf { k } , \zeta ) , } \\ & { \mathcal { X } _ { 0 } ( \zeta ) } & & { = g ^ { 1 / 2 } ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } R _ { 0 } ( \zeta ) , \qquad } & & { \mathcal { Y } _ { 0 } ( \delta \mathbf { k } , \zeta ) } & & { = g ^ { 1 / 2 } ( \delta \mathbf { k } ) \omega ^ { - 1 } R _ { 0 } ( \zeta ) . } \end{array}
A _ { \mathrm { ~ M ~ L ~ M ~ C ~ } } ( u _ { L } ) : = \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } \widehat { Y } _ { \ell } = \frac { 1 } { N _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 0 } } u _ { 0 } ^ { ( i ) } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \frac { 1 } { N _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \ell } } \left( u _ { \ell } ^ { ( i ) } - u _ { \ell - 1 } ^ { ( i ) } \right) .
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { = \int _ { D } K ^ { i } ( x , \eta ) \sigma _ { \varepsilon } ( \eta , t ) \textrm { d } \eta + \int _ { D } \mathbb { E } \left[ K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \eta } ) 1 _ { \left\{ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \right\} } \right] W _ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \textrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t - s < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \eta } ) g _ { \varepsilon } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \textrm { d } \eta \textrm { d } s , } \end{array}
\hat { H } _ { 1 } = J _ { 2 } \sum _ { n } ( i \hat { c } _ { n + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + \mathrm { H . c . } ) \otimes \sigma _ { y } + i \lambda \sum _ { n } ( \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n + 1 } + \mathrm { H . c . } ) \otimes \sigma _ { y } ,
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \epsilon _ { \alpha } \right) + \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \epsilon _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) - \mathbf { T } _ { \alpha } : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \mathbf { q } _ { \alpha } - \tilde { \rho } _ { \alpha } r _ { \alpha } = } \\ { - \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } \gamma _ { \alpha } + e _ { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \mathcal { D } ( t , k , \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \right| \lesssim e ^ { - \lambda _ { \mathcal { D } } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ^ { s _ { 0 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \partial _ { t } s } & { { } = - \frac { 1 } { | t | h _ { s } } \left( v _ { t } - \sigma \alpha ^ { \prime } \right) , } & { \partial _ { t } \sigma } & { { } = - v _ { \sigma } , } & { \partial _ { t } \theta } & { { } = - \frac { 1 } { \sigma } ( v _ { \theta } + \sigma \gamma ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { \mathrm { m } } \rightarrow \frac { \pi } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { \mathrm { m } } } f ( \theta ) d \theta = \operatorname* { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 , ~ \theta _ { \mathrm { m } } \rightarrow \frac { \pi } { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { \delta } f ( \theta ) d \theta + \int _ { \delta } ^ { \theta _ { \mathrm { m } } } f ( \theta ) d \theta \right) = \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } f ( \theta = \delta ) + \operatorname* { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 , ~ \theta _ { \mathrm { m } } \rightarrow \frac { \pi } { 2 } } \int _ { \delta } ^ { \theta _ { \mathrm { m } } } f ( \theta ) d \theta , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { U } ( \xi , t = 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { U } _ { l i q } ^ { - } + \xi \left( \mathbf { U } _ { l i q } \right) _ { \xi } ^ { - } \quad } & { \mathrm { f o r } \quad \xi < 0 } \\ { \mathbf { U } _ { g a s } ^ { + } + \xi \left( \mathbf { U } _ { g a s } \right) _ { \xi } ^ { + } \quad } & { \mathrm { f o r } \quad \xi \geq 0 } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Lambda _ { k } = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { G } } A _ { k i } \lambda _ { i } , \ k = 1 , \dots , n _ { d } , \ i = 1 , n _ { G } \mathrm { , ~ w h e r e } } \\ & { \lambda _ { i } = \lambda _ { \mathrm { p O } } ( E _ { i } ) , \ \ E _ { i } = E _ { \mathrm { m a x } } ( z _ { i } + 1 ) / 2 , \ \ A _ { k i } = \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \left( \frac { E _ { \mathrm { m a x } } } { 2 k _ { B } T _ { k } } \right) ^ { 3 / 2 } w _ { i } \, \exp \left( - \frac { E _ { i } } { k _ { B } T _ { k } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { \ell } } & { = } & { \Delta _ { \ell } ^ { - 1 } \left[ V _ { \ell } ( R ) A _ { \ell } ( L ) + V _ { \ell } ( L ) A _ { \ell } ( R ) \right] , } \\ { b _ { \ell } } & { = } & { \Delta _ { \ell } ^ { - 1 } \left[ W _ { \ell } ( L ) B _ { \ell } ( R ) + W _ { \ell } ( R ) B _ { \ell } ( L ) \right] , } \\ { c _ { \ell } } & { = } & { i \Delta _ { \ell } ^ { - 1 } \left[ W _ { \ell } ( R ) A _ { \ell } ( L ) - W _ { \ell } ( L ) A _ { \ell } ( R ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { q ( y | x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { | \mathcal { N } ( x ) | } \left( \frac { 1 } { | \mathcal { N } _ { i } ( x ) | } + \frac { 1 } { | \mathcal { N } _ { j } ( x ) | } \right) , } & { \mathrm { i f } ~ \exists \, i \in \mathcal { N } ( x ) } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { q } \dot { \mathbf q } + \mathbf q } & { { } = - \lambda \nabla T - \lambda _ { 2 } \boldsymbol \Pi ^ { \textrm { d e v } } \cdot \nabla - \lambda _ { 3 } \Delta \mathbf q , } \\ { \tau _ { S } \dot { \boldsymbol \Pi } ^ { \textrm { d e v } } + \boldsymbol \Pi ^ { \textrm { d e v } } } & { { } = - \mu ( \nabla \mathbf v ) ^ { \textrm { d e v } } - \mu _ { 2 } ( \nabla \mathbf q ) ^ { \textrm { d e v } } - \mu _ { 3 } \Delta \boldsymbol \Pi ^ { \textrm { d e v } } , } \end{array}
\left( \frac { \Lambda ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } } { 2 \mu R ^ { 2 } } + V ( R ; \theta , \phi ) \right) \Phi _ { \nu } ( R ; \varOmega ) = U _ { \nu } ( R ) \Phi _ { \nu } ( R ; \varOmega ) .
\hat { g } _ { s } ( \textbf { X } _ { s } , v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) = \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } \sum _ { n , m = 0 } ^ { \infty } H _ { m } ( v _ { \parallel } ) L _ { n } \left( \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 } \right) f _ { m n _ { s } } ( \textbf { X } _ { s } , t )