harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
e ^ { - \phi } \partial _ { + } \partial _ { - } ( \Phi _ { ( S ) + } - \Phi _ { ( S ) - } ) = \tilde { \Lambda } ( \Phi _ { ( S ) + } - \Phi _ { ( S ) - } ) + f _ { 1 } ( x _ { - } ) - f _ { 2 } ( x _ { + } ) .
\begin{array} { r l } { c _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { M } } = \sum _ { \alpha _ { 0 } , \dots , \alpha _ { M } = 0 } ^ { \chi - 1 } } & { \Gamma _ { \alpha _ { 0 } \alpha 1 } ^ { [ 1 ] i _ { 1 } } \lambda _ { \alpha _ { 1 } } ^ { [ 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { 1 } \alpha 2 } ^ { [ 2 ] i _ { 2 } } \lambda _ { \alpha _ { 2 } } ^ { [ 2 ] } \times } \\ & { \dots \lambda _ { \alpha _ { M - 1 } } ^ { [ M - 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { M - 1 } \alpha _ { M } } ^ { [ M ] i _ { M } } , } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } ^ { ( 1 , 2 ) } = R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ } } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \tau ^ { \prime } , \bar { n } ^ { \prime } , \bar { n } _ { B } ^ { \prime } ) , ~ ~ R _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } ^ { ( 3 ) } = R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ } } ^ { ( 3 ) } ( \tau ^ { \prime } , \bar { n } ^ { \prime } ) ,
\tilde { h } ^ { k } : \begin{array} { l } { \mathcal { H } _ { j , \bar { j } } \to 0 , } \\ { \mathcal { H } _ { j , \bar { j } } \overset { \simeq } { \to } \mathcal { H } _ { j - \frac { k } { 2 } , \bar { j } + \frac { k } { 2 } } , } \end{array} \begin{array} { l } { \mathrm { ~ f o r ~ } j < \frac { k } { 2 } , } \\ { \mathrm { ~ f o r ~ } j \geq \frac { k } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } Z ( t , \cdot ) ( \xi ) = } & { t ^ { \lceil \beta \rceil - 1 } E _ { \beta , \lceil \beta \rceil } ( - 2 ^ { - 1 } \nu t ^ { \beta } | \xi | ^ { \alpha } ) , } \\ { \mathcal { F } Y ( t , \cdot ) ( \xi ) = } & { t ^ { \beta + \gamma - 1 } E _ { \beta , \beta + \gamma } ( - 2 ^ { - 1 } \nu t ^ { \beta } | \xi | ^ { \alpha } ) , } \\ { \mathcal { F } Z ^ { * } ( t , \cdot ) ( \xi ) = } & { E _ { \beta } ( - 2 ^ { - 1 } \nu t ^ { \beta } | \xi | ^ { \alpha } ) , \ \mathrm { i f } \ \beta \in ( 1 , 2 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \left( \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } { \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } } - \frac { \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq c \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h \right) ^ { 2 } \right] \mathbb { E } \left[ \left( \frac { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } - \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } } { \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + c \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t \right) ^ { 2 } \right] \mathbb { E } \left[ \left( \frac { 1 } { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } \right) \right] . } \end{array}
\Phi ( p , P ) = e ^ { i P \cdot X } \int d ^ { 4 } x e ^ { i p \cdot x } \langle 0 | T \phi ( x _ { 1 } ) \phi ( x _ { 2 } ) | P \rangle = \int d ^ { 4 } x e ^ { i p \cdot x } \langle 0 | T \phi ( \eta _ { 2 } x ) \phi ( - \eta _ { 1 } x ) | P \rangle \; .
L o s s = L _ { e } = \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \left( ^ C _ { 0 } D _ { y ^ { + } } ^ { ( \alpha ( y _ { i } ^ { + } ) , \delta ^ { + } ) } ( \overline { { U ^ { + } ) } } ~ - ~ _ { y ^ { + } } ^ { C } D _ { 2 R e _ { \tau } } ^ { ( { \alpha ( y _ { i } ^ { + } ) } , \delta ^ { + } ) } ( \overline { { U ^ { + } ) } } \right) ~ - ~ \tau ^ { + } ( y _ { i } ^ { + } ) \right] ^ { 2 }
\phi = \Delta n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \cdot L _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \cdot \frac { 2 \pi } { \lambda _ { 0 } } = \eta \cdot n _ { g } \cdot ( 2 N _ { r } N _ { p } a ) \cdot \frac { 2 \pi } { \lambda _ { 0 } }
\begin{array} { r l } { \phi _ { i } ( \mathbf { u } ; \mathbf { g } ) } & { { } = A _ { i j } ( \mathbf { g } ) \phi _ { j } ( \mathbf { u } ) ; \quad i = 0 , \cdots , M } \\ { \{ \phi _ { i } ( \mathbf { u } ; \mathbf { g } ) \} } & { { } = \{ 1 , \bar { u } _ { x } , \frac { \bar { u } _ { x } ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 2 } } , \frac { \bar { u } _ { r } ^ { 2 } } { 2 } - 1 , \frac { \bar { u } _ { x } ^ { 3 } - 3 \bar { u } _ { x } } { \sqrt { 6 } } , } \end{array}
J ^ { ( c o l l ) } = ( N - 1 ) \, \int d \theta _ { 2 } \int _ { \odot } d \vec { r } _ { 2 } \, \bigg [ \Gamma \, \partial _ { \theta _ { 2 } } \big [ \mathrm { s i n } ( \theta - \theta _ { 2 } ) \, P _ { 2 } \big ] + v _ { 0 } \left[ \hat { n } ( \theta ) \cdot \partial _ { \vec { r } } + \hat { n } ( \theta _ { 2 } ) \cdot \partial _ { \vec { r } _ { 2 } } \right] P _ { 2 } \, , \bigg ]
\begin{array} { r } { \overleftrightarrow { \mathbf { T } } \equiv \left[ \begin{array} { l l l } { \epsilon _ { x x } \hat { G } \! } & { \! \epsilon _ { x y } \hat { G } \! } & { \! \epsilon _ { x z } \frac { \hat { H } + \hat { G } } { 2 } } \\ { \epsilon _ { y x } \hat { G } \! } & { \! \epsilon _ { y y } \hat { G } \! } & { \! \epsilon _ { y z } \frac { \hat { H } + \hat { G } } { 2 } } \\ { \epsilon _ { z x } \frac { \hat { H } + \hat { G } } { 2 } \! } & { \! \epsilon _ { z y } \frac { \hat { H } + \hat { G } } { 2 } \! } & { \! \epsilon _ { z z } \hat { H } } \end{array} \right] . } \end{array}
\boldsymbol { i } \hbar \frac { \partial \vec { \psi } } { \partial t } = \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } \nabla ^ { 2 } + V _ { F } ( \boldsymbol { x } ) + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 8 \rho ^ { 2 } } | \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { s } | ^ { 2 } \right) \boldsymbol { \psi } .
p ( x ) = \left[ \begin{array} { l } { p _ { 1 } ( x ) } \\ { p _ { 2 } ( x ) } \\ { \vdots } \\ { p _ { N } ( x ) } \end{array} \right] : = \left[ \begin{array} { l } { g ( x ^ { \prime } ) } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } g ( x ^ { \prime } ) } \\ { \vdots } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } ^ { N } g ( x ^ { \prime } ) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \{ a _ { k } \leq \tilde { r } _ { k } \leq b _ { k } , \forall 0 \leq k \leq n \} } \\ { = } & { \prod _ { k = 0 } ^ { n } \mathbb { P } \{ a _ { k } \leq \tilde { r } _ { k } \leq b _ { k } \} } \\ { = } & { \prod _ { k = 0 } ^ { n } \left( 1 - \left( \mathbb { P } \{ \mathbf { y } _ { t , i } \mathbf { y } _ { t + \alpha _ { k , i } , i } \leq a _ { k } \} \right) ^ { N + 1 - k } \right. } \\ & { \left. - \left( \mathbb { P } \{ \mathbf { y } _ { t , i } \mathbf { y } _ { t + \alpha _ { k , i } , i } \geq b _ { k } \} \right) ^ { N + 1 - k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { c _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 6 \pi \eta _ { 0 } b } \frac { 1 } { Y _ { A } } ; } & & { Y _ { A } = \frac { 8 } { 3 } e ^ { 3 } \left[ ( 2 e ^ { 2 } + 1 ) C - e \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \right] ^ { - 1 } } \\ { c _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 6 \pi \eta _ { 0 } b } \frac { 1 } { X _ { A } } } & & { X _ { A } = \frac { 4 } { 3 } e ^ { 3 } \left[ ( 2 e ^ { 2 } - 1 ) C + e \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \right] ^ { - 1 } } \\ { c _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { 8 \pi \eta _ { 0 } b ^ { 3 } } \frac { 1 } { Y _ { C } } } & & { Y _ { C } = \frac { 2 } { 3 } e ^ { 3 } ( 2 - e ^ { 2 } ) \left[ e \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } - ( 1 - 2 e ^ { 2 } ) C \right] ^ { - 1 } } \\ { c _ { 4 } } & { = \frac { 1 } { 8 \pi \eta _ { 0 } b ^ { 3 } } \frac { 1 } { X _ { C } } } & & { X _ { C } = \frac { 2 } { 3 } e ^ { 3 } \left[ C - e \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \right] ^ { - 1 } } \end{array}
\mathrm { d } F = \mathrm { d } ( e ^ { 0 } \wedge \mathscr { E } + \mathscr { B } ) = \mathrm { d } ( e ^ { 0 } \wedge \mathscr { E } ) + \mathrm { d } \mathscr { B } = e ^ { 0 } \wedge ( - \mathbf { d } \mathscr { E } + L _ { e _ { 0 } } \mathscr { B } ) + \mathbf { d } \mathscr { B } = ( - \mathbf { d } \mathscr { E } + L _ { e _ { 0 } } \mathscr { B } , \mathbf { d } \mathscr { B } ) .
\begin{array} { r } { \frac { d \mathbf { H } } { d t } = - \alpha \mathbf { H } + \mathbf { H } _ { 1 } \, , \frac { d \mathbf { E } } { d t } = - \alpha \mathbf { E } + \mathbf { E } _ { 1 } } \end{array}
\tilde { R } _ { 1 2 } ( z _ { 1 } q / z _ { 2 } ) L _ { 1 } ^ { ( + ) } ( z _ { 1 } ) L _ { 2 } ^ { ( - ) } ( z _ { 2 } ) = L _ { 2 } ^ { ( - ) } ( z _ { 2 } ) L _ { 1 } ^ { ( + ) } ( z _ { 1 } ) \tilde { R } _ { 1 2 } ( z _ { 1 } q ^ { - 1 } / z _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P ^ { \prime } \left( \tau \right) } { \partial \tau } } & { - \left[ - E _ { \Vert } \left( t _ { f i n a l } - \tau \right) \xi - \frac { 1 + p ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \right] \frac { \partial P ^ { \prime } \left( t \right) } { \partial p } + \left( \frac { 1 - \xi ^ { 2 } } { p } \right) E _ { \Vert } \left( t _ { f i n a l } - \tau \right) \frac { \partial P ^ { \prime } \left( \tau \right) } { \partial \xi } } \\ & { = \frac { \nu _ { D } } { 2 } \frac { \partial } { \partial \xi } \left[ \left( 1 - \xi ^ { 2 } \right) \frac { \partial P ^ { \prime } \left( \tau \right) } { \partial \xi } \right] + \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial p } \left[ p ^ { 2 } C _ { A } \frac { \partial P ^ { \prime } \left( \tau \right) } { \partial p } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ( { x _ { j } , \xi _ { j } , s _ { 0 } } ) = } & { \{ ( \gamma _ { x _ { j } , \eta } ( s ) , r \dot { \gamma } _ { x _ { j } , \eta } ( s ) ^ { \flat } ) \in T ^ { * } { M _ { \mathrm { e } } } : \eta \in \mathcal { W } ( { x _ { j } , \xi _ { j } , s _ { 0 } } ) , s \in ( 0 , \infty ) , r \in \mathbb { R } \setminus \{ 0 \} \} } \end{array}
\int \! d x d p ~ f \star g \star h = { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } } \! \int \! d { \bf r } _ { 1 } d { \bf r } _ { 2 } d { \bf r } _ { 3 } f ( { \bf r } _ { 1 } ) g ( { \bf r } _ { 2 } ) h ( { \bf r } _ { 3 } ) ~ \exp \! \left( { \frac { - 4 i } { \hbar } } A ( r _ { 3 } , r _ { 2 } , r _ { 1 } ) \right) .
\begin{array} { r l r } { \dot { d } } & { { } = } & { \left\{ i \left( \Delta + U | d | ^ { 2 } + 2 U | e | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} d + \zeta d + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } , } \\ { \dot { e } } & { { } = } & { \left\{ i \left( \Delta + U | e | ^ { 2 } + 2 U | d | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} e + \zeta e + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { \mathcal { S } } \Big ( \Pi _ { 1 2 } ( \mathcal { S } ) > N / 2 \Big ) \geq } & { C _ { 0 } \frac { \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) + 1 } { \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) - 1 } \sqrt { \frac { 2 } { \pi N } } \exp \Big \{ - 2 N \frac { \Big ( \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) - 1 \Big ) ^ { 2 } } { 1 + \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) } \Big \} } \\ { \geq } & { C _ { 0 } \frac { \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) + 1 } { \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) - 1 } \sqrt { \frac { 2 } { \pi N } } \exp \Big \{ - 2 N \frac { \Big ( \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) - 1 \Big ) ^ { 2 } } { 2 } \Big \} } \\ { \geq } & { C _ { 0 } \frac { \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) + 1 } { \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) - 1 } \sqrt { \frac { 2 } { \pi N } } \exp \Big \{ - N \Big ( \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) - 1 \Big ) ^ { 2 } \Big \} . } \end{array}
\langle 0 | \left[ J _ { 0 } ^ { a } , J _ { 1 } ^ { b } \right] | 0 \rangle _ { E . T . } = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } { d M ^ { 2 } \: G _ { 1 } ^ { a b } ( M ^ { 2 } ) } \cdot \partial _ { 1 } ^ { x } \delta ( x ^ { 1 } - y ^ { 1 } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { x } [ z _ { 1 } ^ { m } } & { ( n + 1 ) | \mathcal { F } _ { n } ] } \\ & { = 1 _ { \{ \tau _ { B _ { m } } \leq n \} } e ^ { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { B _ { m } } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { 1 } ^ { m } ) d s + w _ { 1 } ^ { m } ( X _ { \tau _ { B _ { m } } } ) } } \\ & { \phantom { = } + 1 _ { \{ \tau _ { B _ { m } } > n \} } e ^ { \int _ { 0 } ^ { n } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { 1 } ^ { m } ) d s } \times } \\ & { \phantom { = } \times \mathbb { E } _ { X _ { n } } [ e ^ { \int _ { n } ^ { n + 1 } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { 1 } ^ { m } ) d s + 1 _ { \{ X _ { 1 } \in B _ { m } \} } w _ { 1 } ^ { m } ( X _ { 1 } ) + 1 _ { \{ X _ { 1 } \notin B _ { m } \} } w _ { 1 } ^ { m } ( X _ { 1 } ) } | \mathcal { F } _ { n } ] } \\ & { = 1 _ { \{ \tau _ { B _ { m } } \leq n \} } e ^ { \int _ { 0 } ^ { n \wedge \tau _ { B _ { m } } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { 1 } ^ { m } ) d s + w _ { 1 } ^ { m } ( X _ { n \wedge \tau _ { B _ { m } } } ) } } \\ & { \phantom { = } + 1 _ { \{ \tau _ { B _ { m } } > n \} } e ^ { \int _ { 0 } ^ { n \wedge \tau _ { B _ { m } } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { 1 } ^ { m } ) d s } \times } \\ & { \phantom { = } \times \mathbb { E } _ { X _ { n } } [ e ^ { \int _ { n } ^ { n + 1 } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { 1 } ^ { m } ) d s + 1 _ { \{ X _ { 1 } \in B _ { m } \} } w _ { 1 } ^ { m } ( X _ { 1 } ) + 1 _ { \{ X _ { 1 } \notin B _ { m } \} } M w _ { 1 } ^ { m } ( X _ { 1 } ) } | \mathcal { F } _ { n } ] } \\ & { \leq e ^ { \int _ { 0 } ^ { n \wedge \tau _ { B _ { m } } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { 1 } ^ { m } ) d s + w _ { 1 } ^ { m } ( X _ { n \wedge \tau _ { B _ { m } } } ) } = z _ { 1 } ^ { m } ( n ) , } \end{array}
{ ^ { Q Q } { \mit \Phi } } ( x , y , \zeta ) = ( { \cal I } - { \cal D } ) \left\{ S ( x , z ) \otimes { ^ { Q Q } \! K ^ { A } } ( z , y , \zeta ) - \left[ { ^ { Q } \! G } ( y , x , \zeta ) \right] _ { + } \right\} .
\mathcal { L } _ { \mathrm { O D E } } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \left| \frac { \mathrm { d } d _ { \mathrm { L , n e t } } ( z _ { i } , \theta _ { i } ) } { \mathrm { d } z } - \frac { d _ { \mathrm { L , n e t } } ( z _ { i } , \theta _ { i } ) } { 1 + z _ { i } } - \frac { 1 + z _ { i } } { H ( z _ { i } , \theta _ { i } ) } \right| ^ { 2 }
\frac { \partial \overline { { \rho } } \widetilde { E } } { \partial t } + \frac { \partial \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { j } } \widetilde { E } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \widetilde { u _ { j } } \overline { { p } } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial \widetilde { q _ { j } } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \widetilde { u _ { j } } \widetilde { \tau _ { i j } } } { \partial x _ { j } }
V _ { \mathrm { ~ m ~ } } ( \omega \rightarrow \infty ) \equiv V _ { \mathrm { ~ s ~ } \infty } = V _ { \mathrm { ~ s ~ 0 ~ } } ( 1 + \alpha \Delta T _ { \mathrm { ~ s ~ , ~ d ~ c ~ } } + \beta \Delta T _ { \mathrm { ~ s ~ , ~ d ~ c ~ } } ^ { 2 } ) { . }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \langle 1 1 } & { | \rho _ { s } ( t ) | 0 0 \rangle = - ( \gamma _ { A } + \gamma _ { B } ) \langle 1 1 | \rho _ { s } ( t ) | 0 0 \rangle } \\ & { - \sqrt { 8 } V _ { B A } ^ { * } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { A } \tau } \langle 0 1 | \rho _ { s , 1 _ { B } 2 _ { B } } ^ { ( 1 ) L } ( t , t - \tau ) | 0 0 \rangle } \\ & { - \sqrt { 8 } V _ { A B } ^ { * } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { B } \tau } \langle 1 0 | \rho _ { s , 1 _ { A } 2 _ { A } } ^ { ( 1 ) L } ( t , t - \tau ) | 0 0 \rangle } \\ & { - 2 V _ { B A } ^ { * } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { A } \tau } \langle 0 1 | \rho _ { s , 0 _ { B } 1 _ { B } } ^ { ( 1 ) L } ( t , t - \tau ) | 0 0 \rangle } \\ & { - 2 V _ { A B } ^ { * } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { B } \tau } \langle 1 0 | \rho _ { s , 0 _ { A } 1 _ { A } } ^ { ( 1 ) L } ( t , t - \tau ) | 0 0 \rangle . } \end{array}
a _ { 0 } ^ { 0 } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 . 1 7 2 \pm 0 . 0 0 8 \, \mu ^ { - 1 } } } & { { f o r d a t a s e t 1 , } } \\ { { 0 . 1 7 4 \pm 0 . 0 0 8 \, \mu ^ { - 1 } } } & { { f o r d a t a s e t 2 . } } \end{array} \right. \right.
\left\| \left( \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } - \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \right) \boldsymbol { \Gamma } \right\| _ { \mathrm { H S } } \leq C _ { \Gamma } \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } \right\| \left\| \boldsymbol { \Sigma } - \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } \right\| _ { \mathrm { H S } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { { \operatorname* { P r } } _ { 1 } \left\{ u - s < \Lambda ( D ) < u , A ( D ) < v \right\} = \mathrm { E } _ { 1 } I \left\{ u - s < \Lambda ( D ) < u , A ( D ) < v \right\} } \\ & { } & { \quad = \int I \left\{ u - s < \Lambda ( D ) < u , A ( D ) < v \right\} \, f _ { 1 } ( D ) } \\ & { } & { \quad = \int I \left\{ u - s < \Lambda ( D ) < u , A ( D ) < v \right\} \, \Lambda ( D ) \, \, f _ { 0 } ( D ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle C _ { P r } \rangle _ { n } } & { { } } & { = \frac { 1 } { ( k c ) ^ { n } } \sum _ { P e r m u t a t e : \tilde { t } _ { 1 } , \tilde { t } _ { 3 } , \tilde { t } _ { 5 } , \tilde { t } _ { 7 } } \int _ { \tilde { t } _ { 1 } < \tilde { t } _ { 3 } < \tilde { t } _ { 5 } < \tilde { t } _ { 7 } < k c T } d \tilde { t } _ { 1 } d \tilde { t } _ { 3 } d \tilde { t } _ { 5 } d \tilde { t } _ { 7 } e ^ { - \tilde { t } _ { 1 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 3 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 5 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } C ( k c T - \tilde { t } _ { 7 } ) ^ { n } } \end{array}
Q _ { \mathrm { e } } = - \frac { 4 H f } { N ^ { 0 } } \nu e ^ { - 2 \phi } ( \partial _ { \rho } A _ { t } - N ^ { \varphi } \partial _ { \rho } A _ { \varphi } ) = \frac { \varpi } { \alpha ^ { 2 } } \nu \chi _ { \mathrm { m } } \: .
\left[ G ( z | s , t ) \right] _ { a b } = \sum _ { c = 1 } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s ^ { \prime } \left[ T _ { 1 } ( z | s , s ^ { \prime } ) \right] _ { a c } \left[ T _ { 2 } ( z | s ^ { \prime } , t ) \right] _ { c b } \ .
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { V o l u m e } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \ell } d x \int _ { 0 } ^ { \ell - x } \, d y \int _ { 0 } ^ { \ell - x - y } \, d z } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \ell } d x \int _ { 0 } ^ { \ell - x } ( \ell - x - y ) \, d y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \ell } \left( l ^ { 2 } - 2 \ell x + x ^ { 2 } - { \frac { ( \ell - x ) ^ { 2 } } { 2 } } \right) \, d x } \\ & { = \ell ^ { 3 } - \ell \ell ^ { 2 } + { \frac { \ell ^ { 3 } } { 3 } } - \left[ { \frac { \ell ^ { 2 } x } { 2 } } - { \frac { \ell x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { x ^ { 3 } } { 6 } } \right] _ { 0 } ^ { \ell } } \\ & { = { \frac { \ell ^ { 3 } } { 3 } } - { \frac { \ell ^ { 3 } } { 6 } } = { \frac { \ell ^ { 3 } } { 6 } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \sum _ { M = 1 } ^ { \infty } Z _ { \eta } \left( M \right) \frac { x ^ { M } } { M ! } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \left( - 1 \right) ^ { n } } { n + 1 } \left( \sum _ { M = 1 } ^ { \infty } 2 ^ { \binom { M } { 2 } } \frac { x ^ { M } } { M ! } \right) ^ { n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { l k } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { L } \mathbf { h } _ { l k , i } \sum _ { j = 1 } ^ { K } \mathbf { x } _ { i j } s _ { i j } + n _ { l k } } \\ & { = \underbrace { \mathbf { h } _ { l k , l } \mathbf { x } _ { l k } s _ { l k } } _ { \mathrm { D e s i r e d ~ s i g n a l } } + \underbrace { \mathbf { h } _ { l k , l } \! \! \! \! \sum _ { j = 1 , j \neq k } ^ { K } \! \! \! \! \mathbf { x } _ { l j } s _ { l j } } _ { \mathrm { I n t r a c e l l ~ i n t e r f e r e n c e } } + \underbrace { \! \! \sum _ { i = 1 , i \neq l } ^ { L } \! \! \! \mathbf { h } _ { l k , i } \mathbf { x } _ { i } } _ { \mathrm { I n t e r c e l l ~ i n t e r f e r e n c e } } \! \! \! + \underbrace { n _ { l k } } _ { \mathrm { N o i s e } } , } \end{array}
H _ { \mathrm { ~ K ~ e ~ r ~ r ~ } } / \hbar = \omega _ { c } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \frac { \beta } { 2 } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \frac { \beta } { 2 } \hat { a } ^ { \dagger 2 } \hat { a } ^ { 2 }
r _ { \mathrm { ~ s ~ - ~ 1 ~ e ~ } } = \frac { E _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } - E _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } } { E _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } } - \frac { T _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } - T _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } } { T _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } }
\frac { d \mathbf { m } _ { i } } { d t } = - \gamma \mathbf { m } _ { i } \times \mathbf { H } _ { i } - \gamma H _ { \mathrm { s } i } \mathbf { m } _ { i } \times \left( \mathbf { m } _ { 2 } \times \mathbf { m } _ { 1 } \right) + \alpha _ { i } \mathbf { m } _ { i } \times \frac { d \mathbf { m } _ { i } } { d t } ,
\begin{array} { r } { { S _ { 1 2 } ^ { q } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ( T f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) + T f _ { 2 } ( 1 - f _ { 2 } ) } } \\ { { + T ( 1 - T ) ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle { F = n \! \int \! \varphi \big ( T , n , \overline { { c } } \, ; \delta c ( { \bf r } ; T , n , \overline { { c } } ) , \nabla \delta c ( { \bf r } ; T , n , \overline { { c } } ) \big ) \, d { \bf r } . } } \end{array}
\Psi ^ { \alpha } ( x ) = \sum _ { \sigma } \int d p \left( a ( \mathbf { p } , \sigma ) u ^ { \alpha } ( \mathbf { p } , \sigma ) e ^ { i p \cdot x } + a ^ { \dagger } ( \mathbf { p } , \sigma ) v ^ { \alpha } ( \mathbf { p } , \sigma ) e ^ { - i p \cdot x } \right) ,
c _ { g } = \operatorname* { l i m } _ { k _ { 1 } \, \to \, k _ { 2 } } { \frac { \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } { k _ { 1 } - k _ { 2 } } } = \operatorname* { l i m } _ { k _ { 1 } \, \to \, k _ { 2 } } { \frac { \Omega ( k _ { 1 } ) - \Omega ( k _ { 2 } ) } { k _ { 1 } - k _ { 2 } } } = { \frac { { \mathrm { d } } \Omega ( k ) } { { \mathrm { d } } k } } .
B _ { a b } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \Bigl [ \delta ( \tau _ { 1 } - \tau _ { a } ) - \delta ( \tau _ { 1 } - \tau _ { b } ) \Bigr ] \Bigl [ \delta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { a } ) - \delta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { b } ) \Bigr ] \quad .
[ A ( s - t ) t r ( \lambda ^ { a _ { 2 } } \lambda ^ { a _ { 1 } } \lambda ^ { a _ { 3 } } \lambda ^ { a _ { 4 } } ) + A ( u - t ) t r ( \lambda ^ { a _ { 2 } } \lambda ^ { a _ { 3 } } \lambda ^ { a _ { 1 } } \lambda ^ { a _ { 4 } } ) + A ( s - u ) t r ( \lambda ^ { a _ { 1 } } \lambda ^ { a _ { 2 } } \lambda ^ { a _ { 3 } } \lambda ^ { a _ { 4 } } ) + 3 \leftrightarrow 4 ]
\begin{array} { r l r } { E } & { = } & { E _ { D F T } + \sum _ { I } \frac { U _ { e f f } } { 2 } \sum _ { p q \sigma } \left( \tilde { n } _ { p p } ^ { I \sigma } - \sum _ { q } \tilde { n } _ { p q } ^ { I \sigma } \tilde { n } _ { q p } ^ { I \sigma } \right) } \\ & { = } & { E _ { D F T } + \sum _ { I } \frac { U _ { e f f } } { 2 } \sum _ { p \sigma } \left( n _ { I p \sigma } - n _ { I p \sigma } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\mathsf E _ { \mathcal P } G \sim g \frac { \sqrt 2 ( \frac { \alpha _ { 1 } } { \beta _ { 1 } } - \frac { \alpha _ { 2 } } { \beta _ { 2 } } ) } { \sqrt { \frac { \alpha _ { 1 } } { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \alpha _ { 2 } } { \beta _ { 2 } ^ { 2 } } } } \mathcal D \left( \frac { \frac { \alpha _ { 1 } } { \beta _ { 1 } } - \frac { \alpha _ { 2 } } { \beta _ { 2 } } } { \sqrt 2 \sqrt { \frac { \alpha _ { 1 } } { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \alpha _ { 2 } } { \beta _ { 2 } ^ { 2 } } } } \right) .
\begin{array} { r } { \mathrm { D } _ { \ell } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) \equiv \sqrt { w _ { 0 } \biggl ( ( a _ { 0 } ^ { 0 } - b _ { 0 } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + \ldots + \mathrm { e } ^ { - \tau d ( n ) } ( a _ { n } ^ { 0 } - b _ { n } ^ { 0 } ) ^ { 2 } \biggr ) + \ldots + w _ { m } \biggl ( ( a _ { 0 } ^ { m } - b _ { 0 } ^ { m } ) ^ { 2 } + \ldots + \mathrm { e } ^ { - \tau d ( n ) } ( a _ { n } ^ { m } - b _ { n } ^ { m } ) ^ { 2 } \biggr ) } ~ . } \end{array}