harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \zeta ^ { \prime } ( x ) } & { = - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \ln n } { n ^ { x } } } = - { \frac { \ln 2 } { 2 ^ { x } } } - { \frac { \ln 3 } { 3 ^ { x } } } - { \frac { \ln 4 } { 4 ^ { x } } } - \cdots } \\ & { = - \sum _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } { \frac { p ^ { - x } \ln p } { ( 1 - p ^ { - x } ) ^ { 2 } } } \prod _ { q { \mathrm { ~ p r i m e } } , q \neq p } { \frac { 1 } { 1 - q ^ { - x } } } } \end{array} }
B _ { 2 s } = \tilde { B } _ { 2 s } - \frac { 1 } { 4 } \left( 1 - \frac { 1 } { \eta _ { 0 } ^ { \prime } } \right) \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } d ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { \prime } } \nu ^ { \prime } ,
\frac { N _ { \mathrm { A , N + O } } ( \mathrm { S a t . p o s . } - 0 . 1 7 \, \mathrm { k m } ) } { N _ { \mathrm { A , N + O } } ( \mathrm { S a t . p o s . } + 0 . 1 7 \, \mathrm { k m } ) }
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { \Delta t } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } > \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } \cdot { \bf n } _ { 1 } - \lambda _ { 1 } \left( { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } + { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } \right) \cdot { \bf n } _ { 1 } - \lambda _ { 2 } \left( { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } + { \bf \Pi } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } \right) \cdot { \bf n } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textbf { G } = ( \textbf { G } _ { 2 D } , G _ { z } ) = \textbf { T } + \nabla \left( \frac { \mu ^ { n + 1 } } { \rho ^ { n + 1 } } \right) \times \boldsymbol { \omega } ^ { * , n + 1 } , \qquad \textbf { Y } = \textbf { G } - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla P ^ { n + 1 } , } \\ & { \textbf { J } = ( \textbf { J } _ { 2 D } , J _ { z } ) = \frac { \mu ^ { n + 1 } } { \rho ^ { n + 1 } } \textbf { n } \times \boldsymbol { \omega } ^ { * , n + 1 } , \quad \textbf { K } = \left( \frac { \mu ^ { n + 1 } } { \rho ^ { n + 1 } } - \nu _ { m } \right) \boldsymbol { \omega } ^ { * , n + 1 } , \quad \textbf { L } = \left( \frac { \mu ^ { n + 1 } } { \rho ^ { n + 1 } } - \nu _ { m } \right) \textbf { n } \times \boldsymbol { \omega } ^ { * , n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot \left( \rho \boldsymbol { u } \right) = 0 , } \\ { \partial _ { t } \left( \rho \boldsymbol { u } \right) + \nabla \cdot \left( \rho \boldsymbol { u ^ { T } } \boldsymbol { u } - \boldsymbol { B ^ { T } } \boldsymbol { B } \right) + \nabla \left( P + B ^ { 2 } / 2 \right) } \\ { = - \left( \frac { \rho _ { C R } } { c } c \boldsymbol { E } + \frac { \boldsymbol { j } _ { C R } } { c } \times \boldsymbol { B } \right) , } \\ { \partial _ { t } \mathcal { E } + \nabla \cdot \left[ \left( \mathcal { E } + P + B ^ { 2 } / 2 \right) \boldsymbol { u } - \left( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { B } \right) \boldsymbol { B } \right] = - \frac { \boldsymbol { j } _ { C R } } { c } \cdot \left( c \boldsymbol { E } \right) . } \end{array}
S _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k ) = \frac { \ln \left( k ^ { 2 } / | E _ { _ \mathrm { ( g s ) } } | \right) + i \pi } { \ln \left( k ^ { 2 } / | E _ { _ \mathrm { ( g s ) } } | \right) - i \pi } \; ,
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { m } } = - m _ { \mathrm { u } } ^ { i } { \overline { { u } } } _ { \mathrm { L } } ^ { i } u _ { \mathrm { R } } ^ { i } - m _ { \mathrm { d } } ^ { i } { \overline { { d } } } _ { \mathrm { L } } ^ { i } d _ { \mathrm { R } } ^ { i } - m _ { \mathrm { e } } ^ { i } { \overline { { e } } } _ { \mathrm { L } } ^ { i } e _ { \mathrm { R } } ^ { i } + { \textrm { h . c . } } ,
\begin{array} { r l } { : = } & { { } \left( \begin{array} { l } { M _ { H } \left( \left[ { U } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \dots , { U } _ { 9 } ^ { ( 1 ) } \right] , \left[ { V } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ~ { V } _ { 4 } ^ { ( 1 ) } ~ { V } _ { 5 } ^ { ( 1 ) } ~ { V } _ { 6 } ^ { ( 1 ) } ~ { V } _ { 8 } ^ { ( 1 ) } \right] , \left[ { W } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ~ { W } _ { 4 } ^ { ( 1 ) } ~ { W } _ { 5 } ^ { ( 1 ) } ~ { W } _ { 6 } ^ { ( 1 ) } ~ { W } _ { 8 } ^ { ( 1 ) } \right] , \xi , \eta \right) } \\ { M _ { H } \left( \left[ { U } _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , \dots , { U } _ { 9 } ^ { ( 2 ) } \right] , \left[ { V } _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ~ { V } _ { 4 } ^ { ( 2 ) } ~ { V } _ { 5 } ^ { ( 2 ) } ~ { V } _ { 6 } ^ { ( 2 ) } ~ { V } _ { 8 } ^ { ( 2 ) } \right] , \left[ { W } _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ~ { W } _ { 4 } ^ { ( 2 ) } ~ { W } _ { 5 } ^ { ( 2 ) } ~ { W } _ { 6 } ^ { ( 2 ) } ~ { W } _ { 8 } ^ { ( 2 ) } \right] , \xi , \eta \right) } \\ { M _ { H } \left( \left[ { U } _ { 1 } ^ { ( 3 ) } , \dots , { U } _ { 9 } ^ { ( 3 ) } \right] , \left[ { V } _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ~ { V } _ { 4 } ^ { ( 3 ) } ~ { V } _ { 5 } ^ { ( 3 ) } ~ { V } _ { 6 } ^ { ( 3 ) } ~ { V } _ { 8 } ^ { ( 3 ) } \right] , \left[ { W } _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ~ { W } _ { 4 } ^ { ( 3 ) } ~ { W } _ { 5 } ^ { ( 3 ) } ~ { W } _ { 6 } ^ { ( 3 ) } ~ { W } _ { 8 } ^ { ( 3 ) } \right] , \xi , \eta \right) } \\ { M _ { H } \left( \left[ { U } _ { 1 } ^ { ( 4 ) } , \dots , { U } _ { 9 } ^ { ( 4 ) } \right] , \left[ { V } _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ~ { V } _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ~ { V } _ { 5 } ^ { ( 4 ) } ~ { V } _ { 6 } ^ { ( 4 ) } ~ { V } _ { 8 } ^ { ( 4 ) } \right] , \left[ { W } _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ~ { W } _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ~ { W } _ { 5 } ^ { ( 4 ) } ~ { W } _ { 6 } ^ { ( 4 ) } ~ { W } _ { 8 } ^ { ( 4 ) } \right] , \xi , \eta \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla \times \nabla \times { \mathbf V } ( x , y , z , t ) + \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } { \mathbf V } ( x , y , z , t ) } { \partial t ^ { 2 } } = { \mathbf K } ( x , y , z , t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { ( x , p ) \succeq _ { \mathrm { r e g } } ( y , q ) \quad \mathrm { i f f } \quad R ( y , q ; x , p ) - R ( x , p ; y , q ) = { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } g ( u ( y _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) p _ { i } q _ { j } \leq 0 , } \end{array}
( Z _ { I } ) ^ { 2 } + ( Z ^ { I J } ) ^ { 2 } + ( Z ^ { I J K L M } ) ^ { 2 } + + Z _ { J } Z ^ { I J } \Gamma _ { I } + \left( Z _ { M } Z ^ { M I J K L } + Z ^ { I J } Z ^ { K L } \right) \Gamma _ { I J K L }
\begin{array} { r l } { { \displaystyle g _ { \pm } ( \vartheta ) = } } & { { \pm 2 \chi _ { \infty } \left( S - S ^ { \pm } \right) + 2 \pi l _ { W } ^ { \pm } + \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { H } ^ { \pm } } \chi \left( \vartheta - h _ { j } ^ { \pm } \right) - } } \\ { { } } & { { 2 \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { S } ^ { \pm } } \chi \left( \vartheta - y _ { j } ^ { \pm } \right) - \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { M _ { C } ^ { \pm } } \chi \left( \vartheta - c _ { j } ^ { \pm } \right) - \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { M _ { W } ^ { \pm } } \chi \left( \vartheta - w _ { j } ^ { \pm } \right) _ { I I } \: , } } \end{array}
{ \cal E } _ { n + 1 } - { \cal E } _ { n } = \frac { 1 6 } { \beta ^ { 2 } } \sin \left( \frac { \beta ^ { 2 } } { 8 } \right) \cos \frac { \pi } { 2 } \left( \left( n + 1 \right) \left( \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 \pi } \right) - 2 a + 1 \right) .
\begin{array} { r } { C _ { 5 } ^ { 2 } : = \frac { 2 } { \kappa _ { 0 } } \operatorname* { m a x } \left( \frac { 2 ( 1 + T ) ( \ell ^ { 3 } + 3 ) } { 3 \kappa _ { 0 } } , \, \left[ \frac { \kappa _ { 0 } \ell ^ { 3 } } { 2 ( \ell ^ { 3 } + 3 ) } + 2 r _ { 1 } + \frac { 2 T r _ { 1 } ^ { 2 } ( \ell ^ { 3 } + 3 ) } { 3 \kappa _ { 0 } } \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega _ { 2 D } } \nabla _ { 2 D } \hat { \phi } _ { k } ^ { n + 1 } \cdot \nabla _ { 2 D } \omega + ( - \alpha + \beta _ { k } ^ { 2 } ) \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { \phi } _ { k } ^ { n + 1 } \omega = \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { \psi } _ { k } ^ { n + 1 } \omega + \int _ { \partial \Omega _ { o } ^ { 2 D } } \hat { g } _ { 2 , k } ^ { n + 1 } \omega + \int _ { \partial \Omega _ { s } ^ { 2 D } } \hat { U } _ { k } \omega , } \\ & { \qquad \qquad \forall \omega ( x , y ) , } \end{array}
E ( a , b ) = { \frac { 1 } { 2 a + 2 b } } \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a } { \sigma \sqrt 2 } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b } { \sigma \sqrt 2 } } \right] \right) - { \frac { B \sigma ^ { - 3 } } { 6 \sqrt { 2 \pi } } } \left[ \Big ( 1 - { \frac { a ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } \Big ) \, e ^ { - { \frac { a ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } - \Big ( 1 - { \frac { b ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } \Big ) \, e ^ { - { \frac { b ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \right] { \frac { 1 } { a + b } } \, .
\begin{array} { r } { S _ { \alpha \beta } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \gamma , \delta } \int d E \quad T r [ A _ { \gamma \delta } ( \alpha ) A _ { \delta \gamma } ( \beta ) ] } \\ { \times ( f _ { \gamma } ( E ) [ 1 - f _ { \delta } ( E ) ] + [ 1 - f _ { \gamma } ( E ) ] f _ { \delta } ( E ) ) , } \end{array}
{ \overline { { \psi } } } ^ { \textsf { T } } = \left( \psi ^ { \dagger } \gamma ^ { 0 } \right) ^ { \textsf { T } } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { I } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { L } } ^ { * } } \\ { \psi _ { \mathrm { R } } ^ { * } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { R } } ^ { * } } \\ { \psi _ { \mathrm { L } } ^ { * } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { u ( x , 0 ) } & { { } = 2 \eta _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } [ \eta _ { 1 } ( x - x _ { 1 } ) ] + 2 \eta _ { 2 } ^ { 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } [ \eta _ { 2 } ( x - x _ { 2 } ) ] , } \\ { u ( - L , t ) } & { { } = 0 , \; \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } \bigg | _ { x = L } = 0 , \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \frac { \partial ^ { 2 } u ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } \bigg | _ { x = L } = 0 \, , } \end{array}
G ( \beta , L ) = \frac { 3 \mu } { 8 \pi m } \left[ ( e ^ { m \beta } - 1 ) ^ { - 1 } + ( e ^ { m L } - 1 ) ^ { - 1 } + 2 \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 1 } ^ { \infty } e ^ { - m \sqrt { \beta ^ { 2 } n _ { 1 } ^ { 2 } + L ^ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } } } \right] ,
{ S _ { 1 4 } ^ { s h } } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \gamma , \delta = 1 , 4 } \int d E ( f _ { \gamma } - f _ { a } ) ( f _ { \delta } - f _ { b } ) T r ( s _ { 1 \gamma } ^ { \dagger } s _ { 1 \delta } s _ { 4 \delta } ^ { \dagger } s _ { 4 \gamma } ) .
\begin{array} { r l } & { - \mathbb { E } \left[ \left\langle y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) , \nabla y ^ { * } ( x ^ { k } ) ( x ^ { k + 1 } - x ^ { k } ) \right\rangle \right] } \\ & { = - \mathbb { E } \left[ \left\langle y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) , \alpha _ { k } \nabla y ^ { * } ( x ^ { k } ) \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\rangle \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| \left\| { \alpha _ { k } } \nabla y ^ { * } ( x ^ { k } ) \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| \right] } \\ & { \leq L _ { y } \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| \left\| { \alpha _ { k } } \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| \right] } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \leq } 2 \gamma \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] + \frac { L _ { y } ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 8 \gamma } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq 2 M _ { f } L _ { y } \alpha _ { k } \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] + { \frac { L _ { y } \alpha _ { k } } { 8 M _ { f } } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| ( 1 + | \xi | ) \mathcal { F } \left( ( \mathbb { G } _ { i _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { p _ { 1 } } u ) ( \mathbb { G } _ { i _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { p _ { 2 } } u ) \right) ( \xi ) \right| } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathbb { R } ^ { m } } \frac { ( 1 + | x | ) | h _ { 1 } ( x ) | } { | l ( x ) | } \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } | l ( x ) \hat { u } ( x ) h _ { 2 } ( \xi - x ) \hat { u } ( \xi - x ) | d x } \\ & { \quad + \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathbb { R } ^ { m } } \frac { ( 1 + | x | ) | h _ { 2 } ( x ) | } { | l ( x ) | } \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } | h _ { 1 } ( x ) \hat { u } ( x ) l ( \xi - x ) \hat { u } ( \xi - x ) | d x } \\ & { = \left( \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathbb { R } ^ { m } } \frac { ( 1 + | x | ) | h _ { 1 } ( x ) | } { | l ( x ) | } \right) ( | h _ { 2 } \hat { u } | * | l \hat { u } | ) ( \xi ) } \\ & { \quad + \left( \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathbb { R } ^ { m } } \frac { ( 1 + | x | ) | h _ { 2 } ( x ) | } { | l ( x ) | } \right) ( | h _ { 1 } \hat { u } | * | l \hat { u } | ) ( \xi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Vert u ^ { n + 1 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m } ) } + \Vert u ^ { n + 1 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) } } \\ & { \leq ( 1 + \sqrt { t } \Lambda ( t , R _ { 0 } ) ) \Bigg ( \Vert u ^ { i n } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } + \sqrt { t } \Lambda ( \Vert \varrho ^ { n } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m } ) } ) \Vert \varrho ^ { n } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m } ) } + \sqrt { t } \left\Vert u ^ { n } \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \sqrt { t } \left\Vert \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n } } ( j _ { f ^ { n } } - \rho _ { f ^ { n } } u ^ { n } ) \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m - 1 } ) } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { p } ( x , s ) = \exp \left[ - \frac { \beta x } { q } \right] x ^ { \frac { \sqrt { ( q - \alpha ) ^ { 2 } + 4 q s } + \alpha - 3 q } { 2 q } } } \\ & { } & { \left( c _ { 1 } U \left[ \frac { \sqrt { ( q - \alpha ) ^ { 2 } + 4 q s } + q - \alpha } { 2 q } , \frac { \sqrt { ( q - \alpha ) ^ { 2 } + 4 q s } + q } { q } , \frac { \beta x } { q } \right] + \right. } \\ & { } & { \left. c _ { 2 } L \left[ - \frac { \sqrt { ( q - \alpha ) ^ { 2 } + 4 q s } + q - \alpha } { 2 q } , \frac { \sqrt { ( q - \alpha ) ^ { 2 } + 4 q s } } { q } , \frac { \beta x } { q } \right] \right) } \end{array}
X = \frac { ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \lvert ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) + 2 i ( k _ { 1 } l _ { 1 } + k _ { 2 } l _ { 2 } \beta - \Omega _ { 1 } ) \rvert ^ { 2 } } .
\operatorname* { l i m } _ { j \rightarrow \infty } \log _ { 2 } \frac { \| \widetilde f _ { j , { k _ { j } + 2 } } ^ { \alpha } \| _ { B _ { j , 2 ^ { k _ { j } + 2 } } } } { \| \widetilde f _ { j , { k _ { j } + 1 } } ^ { \alpha } \| _ { B _ { j , 2 ^ { k _ { j } + 1 } } } } = \operatorname* { l i m } _ { j \rightarrow \infty } \log _ { 2 } \frac { \| \widetilde f _ { j , { k _ { j } + 1 } } ^ { \alpha } \| _ { B _ { j , 2 ^ { k _ { j } + 1 } } } } { \| \widetilde f _ { j , { k _ { j } } } ^ { \alpha } \| _ { B _ { j , 2 ^ { k _ { j } } } } } = - \deg ( f ^ { \alpha } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { q \to 1 } \left( \Omega _ { u } ^ { q G } \left( \Delta _ { u } ; q < 1 \right) \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { q \to 1 } \left( \Omega _ { u } ^ { q G } \left( \Delta _ { u } ; q > 1 \right) \right) } \\ & { = \Omega _ { u } ^ { q G } \left( \Delta _ { u } ; q = 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { \approx \frac { \pi } { 4 } \left( { d _ { \mathrm { c o a t } } } ^ { 2 } - { d _ { \mathrm { p c } } } ^ { 2 } \right) } \\ { A _ { \mathrm { c o a t } } } & { = \frac { \pi } { 4 } \left( { d _ { \mathrm { c o a t } } } ^ { 2 } - { d _ { \mathrm { c l a d } } } ^ { 2 } \right) } \\ { A _ { \mathrm { c l a d } } } & { \approx \frac { \pi } { 4 } \left( { d _ { \mathrm { c l a d } } } ^ { 2 } - { d _ { \mathrm { p c } } } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
- \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } { \cal M } } \cdot \frac { \Lambda ^ { 2 } Y + \left[ q ^ { 2 } + k ^ { 2 } ( 1 - \gamma ) \right] / ( 2 - \gamma ) } { \Lambda ^ { 2 } Y ( b \pm i q ) + ( 2 / \pi ) \Lambda ( 1 - Y ) ( b ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) - \left( b ^ { 3 } \pm ( i q ) ^ { 3 } \right) + O ( 1 / \Lambda ) } ,
\begin{array} { r } { | \omega _ { l } - \Omega | \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { l } } \right) ^ { - \alpha } = } \\ { ( n - 1 ) ^ { - \alpha } \left( \frac { ( n - 1 ) ^ { \alpha + 1 } + ( n - 1 ) ^ { 1 - \alpha } } { ( n - 1 ) ^ { \alpha } + ( n - 1 ) ^ { 1 - \alpha } } - 1 \right) = } \\ { \frac { n - 2 } { ( ( n - 1 ) ^ { 1 - \alpha } + ( n - 1 ) ^ { \alpha } ) } ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { k , n u m } } = { \pi } \epsilon ^ { - 1 } \delta \left[ \left\langle \frac { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } ( t + t ) - \mathcal { A } _ { B } ^ { k } ( t ) } { \Delta t } \mathcal { A } _ { A } ^ { k } \cos ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \right\rangle - \left\langle \frac { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } ( t + t ) - \mathcal { A } _ { B } ^ { k } ( t ) } { \Delta t } \mathcal { A } _ { A } ^ { k } \cos ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \right\rangle \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \beta _ { 2 } , \beta _ { 3 } , \beta _ { 4 } ) = \left( \frac { c _ { g } k - \omega } { k } , \, - \frac { i q _ { e } ( ( \omega - v _ { | | } k ) ^ { 2 } - \Omega _ { e } ( \omega - c _ { g } k ) ) } { m _ { e } k ^ { 2 } ( \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } ) ^ { 2 } } , \, - \frac { i q _ { i } ( ( \omega - u _ { | | } k ) ^ { 2 } + \Omega _ { i } ( \omega - c _ { g } k ) ) } { m _ { i } k ^ { 2 } ( \omega - u _ { | | } k + \Omega _ { i } ) ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\mathbf { E } ( \kappa , \varphi , \mathbf { r } _ { A } ) = \frac { i { \omega } ^ { 3 } { \mu _ { 0 } } } { 4 \pi { p } { c } } ( \hat { s } \hat { s } + \hat { p } _ { + } \hat { p } _ { + } ) e ^ { i \mathbf { \nu } \cdot \mathbf { r } _ { M } } \cdot \mathbf { p } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) + \frac { i { \omega } ^ { 3 } { \mu _ { 0 } } } { 4 \pi { p } { c } } ( \hat { s } r ^ { s } \hat { s } + \hat { p } _ { + } r ^ { p } \hat { p } _ { - } ) e ^ { i \mathbf { \nu } \cdot \mathbf { r } _ { M } } \cdot \mathbf { p } ( \mathbf { r } _ { 0 } )
{ \begin{array} { r l } { p } & { = { \frac { 2 \times \mathrm { o b s } ( { \mathrm { A A } } ) + \mathrm { o b s } ( { \mathrm { A a } } ) } { 2 \times ( \mathrm { o b s } ( { \mathrm { A A } } ) + \mathrm { o b s } ( { \mathrm { A a } } ) + \mathrm { o b s } ( { \mathrm { a a } } ) ) } } } \\ & { = { \frac { 2 \times 1 4 6 9 + 1 3 8 } { 2 \times ( 1 4 6 9 + 1 3 8 + 5 ) } } } \\ & { = { \frac { 3 0 7 6 } { 3 2 2 4 } } } \\ & { = 0 . 9 5 4 } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } ( | v ^ { k } | ^ { p - 1 } | u ^ { k } | ^ { p + 1 } v ^ { k } - | v ^ { j } | ^ { p - 1 } | u ^ { j } | ^ { p + 1 } v ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { v ^ { k } - v ^ { j } } } ) _ { x } d x } \\ { \leq } & { \ \widetilde { K } _ { 1 } + \widetilde { K } _ { 2 } \| ( v ^ { k } - v ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \frac { \partial } { \partial z } + \frac { i } { 2 k _ { 0 } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) + \left( \frac { \mu ( \textbf { r } , \tau ) } { 2 } - i \delta ( \textbf { r } , \tau ) k _ { 0 } \right) \right] \left( \begin{array} { l } { \Omega _ { s , \, \mathrm { d e t . } } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , \tau ) } \\ { \Omega _ { s , \, \mathrm { n o i s e } } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , \tau ) } \end{array} \right) = } \\ & { - i \frac { 3 } { 8 \pi } \lambda ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { r a d . } } \left( \begin{array} { l } { n ( \textbf { r } ) \sum _ { g , \, e } \rho _ { g e } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { e g s } } \\ { f _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , \tau ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \nabla \cdot \mathbf { E } ^ { \prime } = \rho _ { e } ^ { \prime } , } } & { { \nabla \times \mathbf { B } ^ { \prime } = \mathbf { j } _ { e } ^ { \prime } + \frac { \partial \mathbf { E ^ { \prime } } } { \partial t } , } } \\ { { \nabla \cdot \mathbf { B } ^ { \prime } = \rho _ { m } ^ { \prime } = 0 , } } & { { \nabla \times \mathbf { E } ^ { \prime } = - \frac { \partial \mathbf { B ^ { \prime } } } { \partial t } . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle v _ { i } ^ { x } \left( \mathbf { x } \right) v _ { j } ^ { x } \left( \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { = } & { \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \delta _ { i j } \sim \frac { 1 } { \Delta V } \delta _ { \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } } \delta _ { i j } } \\ { \left\langle \tilde { v } _ { i } ^ { k } \left( \mathbf { k } \right) \tilde { v } _ { j } ^ { k } \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { = } & { \delta \left( \mathbf { k } - \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \delta _ { i j } \sim \frac { 1 } { \Delta K } \delta _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } } \delta _ { i j } } \\ { \left\langle \tilde { v } _ { i } ^ { k f } \left( \mathbf { k } \right) \tilde { v } _ { j } ^ { k f } \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { = } & { \left\langle f _ { i } ^ { ( r ) } \left( \tilde { \mathbf { v } } ^ { k } \left( \mathbf { k } \right) \right) f _ { j } ^ { ( r ) } \left( \tilde { \mathbf { v } } ^ { k } \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \right) \right\rangle . } \end{array}
\left[ \hat { v } _ { j } , \hat { v } _ { k } \right] = - \frac { i e \hbar } { m ^ { 2 } } \left\{ \left[ \nabla _ { j } , A _ { k } \right] + \left[ A _ { j } , \nabla _ { k } \right] \right\} = - \frac { i e \hbar } { m ^ { 2 } } \left\{ \frac { \partial A _ { k } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial A _ { j } } { \partial x _ { k } } \right\} = - i \frac { e \hbar } { m ^ { 2 } } \epsilon _ { j k l } B _ { l } \; .
{ \cal I } _ { a _ { 1 } . . . a _ { \ell } } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) = { \cal I } _ { a _ { 1 } . . . a _ { \ell } } ( \vec { r } ) - { \cal I } _ { a _ { 1 } . . . a _ { \ell } } ( \vec { r } _ { 0 } )
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { C } } \\ { \mathbf { U ^ { \mathrm { T } } } } \end{array} \right] \mathbf { A } ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { B } } & { \mathbf { U } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } } & { \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { U } } \\ { \mathbf { U ^ { \mathrm { T } } A } ^ { - 1 } \mathbf { B } } & { \mathbf { U ^ { \mathrm { T } } A } ^ { - 1 } \mathbf { U } } \end{array} \right] } \end{array}
v _ { \mathrm { p } } = \frac { v _ { \mathrm { d } } } { 2 \cos \phi _ { 0 } } - \frac { q \pi \zeta ( v _ { \mathrm { a } } + v _ { \mathrm { d i p } } + v _ { \mathrm { p \ p h i } } ) } { \sinh \left( \pi \zeta \varDelta \right) }
\mathbf { E } _ { 0 } = { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \, , \quad \mathbf { E } _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \, , \quad \mathbf { E } _ { 2 } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \, , \quad \mathbf { E } _ { 3 } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) }