harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { F \left( g _ { \mathrm { s } } , \boldsymbol { \sigma } \right) = \sum _ { \boldsymbol { n } \in { \mathbb N } _ { 0 } ^ { 4 } } \boldsymbol { \sigma } ^ { \boldsymbol { n } } \, { \mathrm { e } } ^ { - ( n _ { 1 } - m _ { 1 } ) \frac { A _ { 1 } } { g _ { \mathrm { s } } } - ( n _ { 2 } - m _ { 2 } ) \frac { A _ { 2 } } { g _ { \mathrm { s } } } } \, F ^ { ( \boldsymbol { n } ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) , } \end{array}
\xi \equiv { \frac { m _ { \mathrm { P l } } ^ { 2 } } { 4 \pi } } \left( { \frac { H ^ { \prime } \left( \phi \right) H ^ { \prime \prime \prime } \left( \phi \right) } { H ^ { 2 } \left( \phi \right) } } \right) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { \frac { S _ { L } ^ { \mathrm { D i t h e r } } } { S _ { L } ^ { \mathrm { D R C } } } } & { { } = \frac { 4 \beta _ { m } } { \beta } \xi \left| \frac { 1 - F ( \psi _ { 0 } ) } { r _ { s \rightarrow s } ( 0 ) } \right| \sqrt { \frac { P _ { \mathrm { G R } } } { P _ { c } } } . } \end{array}
: e ^ { i \varphi ( f ) } : _ { M } \; \; \equiv \; \frac { e ^ { i \varphi ( f ) } } { \langle e ^ { i \varphi ( f ) } \rangle _ { C _ { M } } } \; = \; e ^ { i \varphi ( f ) + \frac { 1 } { 2 } ( f , C _ { M } f ) } \; .
{ \hat { \sigma } } ( W ^ { 2 } , b ) = a \frac { P _ { s } ^ { 2 } ( b ) } { 1 + P _ { s } ^ { 2 } ( b ) } ( b ^ { 2 } W ^ { 2 } ) ^ { \lambda _ { s } } + b ^ { 2 } P _ { h } ^ { 2 } ( b ) \exp ( - \nu _ { h } ^ { 2 } b ) ( b ^ { 2 } W ^ { 2 } ) ^ { \lambda _ { h } } \, ,
\eta = \left\{ \begin{array} { l l } { - \pi / 2 } & { \mathrm { i f ~ } c + p < 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } c + p \ge 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \alpha = \pm \frac { \pi } { 2 } } \\ { - \alpha } & { \mathrm { ~ i f ~ } c + p \ge 0 \mathrm { ~ a n d ~ } - \pi / 2 < \alpha < \pi / 2 } \\ { - \alpha - \pi } & { \mathrm { ~ i f ~ } c + p \ge 0 \mathrm { ~ a n d ~ } - \pi < \alpha < - \pi / 2 } \\ { - \alpha + \pi } & { \mathrm { ~ i f ~ } c + p \ge 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \pi / 2 < \alpha \le \pi . } \end{array} \right. .
\delta t = \bar { t } _ { c } = \frac { \hbar } { m c ^ { 2 } } , \quad \delta \sigma ^ { 2 } = \bar { \lambda } _ { c } ^ { 2 } \overset { \footnotesize ( ) } { = } \frac { \hbar ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \sin x } { x } } } & { = \left( 1 - { \frac { x } { \pi } } \right) \left( 1 + { \frac { x } { \pi } } \right) \left( 1 - { \frac { x } { 2 \pi } } \right) \left( 1 + { \frac { x } { 2 \pi } } \right) \left( 1 - { \frac { x } { 3 \pi } } \right) \left( 1 + { \frac { x } { 3 \pi } } \right) \cdots } \\ & { = \left( 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } \right) \left( 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } } \right) \left( 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { 9 \pi ^ { 2 } } } \right) \cdots } \end{array} }
\gamma _ { 3 1 } = \frac { \gamma } { 3 } ; \quad \gamma _ { 2 1 } = \frac { \gamma } { 4 } ; \quad \gamma _ { 2 4 } = \frac { \gamma } { 4 } ; \quad \gamma _ { 3 4 } = \frac { \gamma } { 1 2 }
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { p } ( t ) = } & { } & { \frac { \Omega _ { p , \mathrm { m a x } } ^ { i + 1 } + \Omega _ { p , \mathrm { m a x } } ^ { i } } { 2 } } \\ & { } & { + \frac { \Omega _ { p , \mathrm { m a x } } ^ { i + 1 } - \Omega _ { p , \mathrm { m a x } } ^ { i } } { 2 } \mathrm { E r f } \left[ \frac { 5 } { \Delta t } \left( t - \frac { t ^ { i + 1 } + t ^ { i } } { 2 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 2 , R } } & { : = \bigl [ [ 0 , 1 ) _ { x } \times [ 0 , 1 ) _ { x ^ { \prime } } \times \overline { { \mathbb { R } _ { y } } } ; \{ ( 0 , 0 ) \} \times \overline { { \mathbb { R } } } ; \{ ( 0 , 0 , 0 ) \} ; [ 0 , 1 ) \times \{ 0 \} \times \{ 0 \} \bigr ] } \\ & { = \bigl [ [ 0 , 1 ) _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } \times \overline { { \mathbb { R } _ { y } } } ; \mathrm { f f } _ { \mathrm { b } } \times \{ 0 \} ; { \mathrm { r b } } _ { \mathrm { b } } \times \{ 0 \} \bigr ] } \end{array}
s ( x , y ) = \frac { 1 - \nu ^ { 2 } } { \pi E } \int _ { y _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \int _ { x _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \frac { \sigma _ { 0 } ( x _ { \mathrm { ~ m ~ } } , y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) } { \sqrt { ( x - x _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) ^ { 2 } } } \mathrm { ~ d ~ } x _ { \mathrm { ~ m ~ } } \mathrm { ~ d ~ } y _ { \mathrm { ~ m ~ } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { k } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \mathbf { v } _ { k } - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 1 } } \, ( \mathbf { v } _ { k } ) , } \\ { \mathbf { u } _ { k } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \mathbf { u } _ { k } ^ { ( 1 ) } - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 2 } } \, ( \mathbf { u } _ { k } ^ { ( 1 ) } ) , } \\ { \mathbf { u } _ { k } ^ { ( k - 2 ) } } & { { } = \mathbf { u } _ { k } ^ { ( k - 3 ) } - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { k - 2 } } \, ( \mathbf { u } _ { k } ^ { ( k - 3 ) } ) , } \\ { \mathbf { u } _ { k } ^ { ( k - 1 ) } } & { { } = \mathbf { u } _ { k } ^ { ( k - 2 ) } - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { k - 1 } } \, ( \mathbf { u } _ { k } ^ { ( k - 2 ) } ) , } \\ { \mathbf { u } _ { k } } & { { } = { \frac { \mathbf { u } _ { k } ^ { ( k - 1 ) } } { \| \mathbf { u } _ { k } ^ { ( k - 1 ) } \| } } } \end{array}
J _ { \lambda } ^ { Z } = - \bar { q } \gamma _ { \lambda } \Bigl \{ \frac { 1 } { 3 } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } - \Bigl [ \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) - \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \Bigr ] \tau _ { 3 } \Bigr \} q
r _ { s } = \, { \frac { n \cos \theta _ { \mathrm { i } } - i { \sqrt { n ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } - 1 } } } { n \cos \theta _ { \mathrm { i } } + i { \sqrt { n ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } - 1 } } } } \, ,
\left( \int _ { - \delta ^ { \prime } } ^ { \delta ^ { \prime } } \left| \frac 1 { \tilde { r } } \int _ { 0 } ^ { \tilde { r } } \left| \frac { d ^ { k } ( a ( \Phi _ { x , t } ( r ) ) ) } { d r ^ { k } } \right| \, d r \right| ^ { p } \, d \tilde { r } \right) ^ { \frac 1 p } \leq C _ { p } \left( \int _ { - \delta ^ { \prime } } ^ { \delta ^ { \prime } } \left| \frac { d ^ { k } ( a ( \Phi _ { x , t } ( r ) ) ) } { d r ^ { k } } \right| ^ { p } \, d r \right) ^ { \frac 1 p }
{ \cal D } _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { \begin{array} { c } { { D ^ { 2 } V ( D V ) ^ { \gamma - 3 } + V ( D V ) ^ { \gamma - 3 } } } \\ { { D V ( D V ) ^ { \gamma - 3 } D } } \end{array} } } & { { \begin{array} { c } { { D ^ { 2 } U + ( \gamma - 2 ) U D ^ { 2 } } } \\ { { ( \gamma - 1 ) D U D } } \end{array} } } \\ { { \begin{array} { c } { { ( \gamma - 2 ) D ^ { 2 } U + U D ^ { 2 } } } \\ { { ( \gamma - 1 ) D U D } } \end{array} } } & { { D ^ { 2 } V + V D ^ { 2 } - ( \gamma - 2 ) D V D } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r l r l } { x } & { { } = \frac { \sqrt { 2 } a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } r _ { n } \cos \phi } { \eta _ { \gamma } s ( 1 - s ) } , } & { y } & { { } = \frac { a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } { 4 \eta _ { \gamma } s ( 1 - s ) } , } & { r _ { n } ^ { 2 } } & { { } = 2 n \eta _ { \gamma } s ( 1 - s ) - ( 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 1 } } & { = } & { \frac { 1 } { h _ { \eta } } } \\ { a _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 h _ { \xi } ^ { 2 } } \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { a _ { 3 } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 h _ { \eta } h _ { \xi } ^ { 2 } } \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } + \xi _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { b _ { 2 } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 h _ { \xi } ^ { 2 } } \frac { \xi _ { 0 } } { \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta H } & { { } = } & { \int d ^ { 3 } r \left[ \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left( \nabla \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \nabla \delta \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \nabla \delta \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \nabla \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right) + \right. } \end{array}
{ \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial q ^ { i } } } = - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial q ^ { i } } } \quad , \quad { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial p _ { i } } } = { \dot { q } } ^ { i } \quad , \quad { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial t } } = - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial t } }
g _ { \Lambda \Pi } ^ { ( 4 + n ) } \equiv \left[ \begin{array} { l l } { { \mathrm { e } ^ { - { \frac { 1 } { \alpha } } \varphi } g _ { \mu \nu } + \mathrm { e } ^ { \frac { 2 \varphi } { n \alpha } } \rho _ { i j } A _ { \mu } ^ { i } A _ { \nu } ^ { j } } } & { { \mathrm { e } ^ { \frac { 2 \varphi } { n \alpha } } \rho _ { i j } A _ { \lambda } ^ { j } } } \\ { { \mathrm { e } ^ { \frac { 2 \varphi } { n \alpha } } \rho _ { i j } A _ { \pi } ^ { i } } } & { { \mathrm { e } ^ { \frac { 2 \varphi } { n \alpha } } \rho _ { i j } } } \end{array} \right] ,
{ \cal L } _ { { B I } } ^ { { S U S Y } } = \frac { 1 } { 4 e ^ { 2 } } \left[ \int \! d ^ { 2 } \theta ~ W ^ { 2 } + \int \! d ^ { 2 } \bar { \theta } ~ \bar { W } ^ { 2 } \right] + \sum _ { s , t = 0 } ^ { \infty } a _ { s t } ^ { ( \beta ) } \int \! d ^ { 4 } \theta ~ W ^ { 2 } \bar { W } ^ { 2 } ~ X ^ { s } Y ^ { t }
\begin{array} { r l r } { a _ { n \ell , x } ^ { 0 E } = } & { { } } & { - \frac { 1 } { 8 j } \left[ H _ { \ell + 1 } ( k _ { o } R _ { n s } ) e ^ { - j ( \ell + 1 ) \theta _ { n s } } \right. } \\ { a _ { n \ell , y } ^ { 0 E } = } & { { } } & { - \frac { 1 } { 8 j } \left[ H _ { \ell + 1 } ( k _ { o } R _ { n s } ) e ^ { - j ( \ell + 1 ) \theta _ { n s } } \right. } \\ { a _ { n \ell , z } ^ { 0 E } = } & { { } } & { \frac { 1 } { 4 j } H _ { 0 } ( k _ { o } R _ { n s } ) e ^ { - j \ell \theta _ { n s } } } \end{array}
{ \cal L } _ { C } = - \frac { 1 } { 2 } ( \psi ^ { + } , \psi ^ { - } ) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { X ^ { T } } } \\ { { X } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \psi ^ { + } } } \\ { { \psi ^ { - } } } \end{array} \right) + H . c . \ ,
\begin{array} { r } { { S _ { 1 1 } ^ { s h } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ( ( R + 1 ) ( 1 - p ) ( f _ { 0 } - f ) } { + ( 2 ( 1 - p ^ { 2 } ) } { - 2 p ( 1 - p ) T } { - T ^ { 2 } ( 1 - p ) ^ { 2 } ) f ^ { 2 } } { - ( 2 p R ( 1 - p ) } } \\ { { + 2 R T ( 1 - p ) ^ { 2 } + 2 p ( 1 - p ) ) f f _ { 0 } } { - ( R ^ { 2 } + 1 ) ( 1 - p ) ^ { 2 } f _ { 0 } ^ { 2 } ) . } } \end{array}
R _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) = \frac { 1 } { \frac { 2 ( 2 \beta ^ { 2 } + 1 ) } { ( 2 \beta + 1 ) ^ { 5 / 2 } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { ( \beta + 1 ) ^ { 3 } } } \boldsymbol { v } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ( \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ^ { T } \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ) ^ { - 1 } \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ^ { T } \boldsymbol { v } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) ,
V = \left( \begin{array} { l l l } { { \mathcal C _ { 1 2 } \mathcal C _ { 1 3 } } } & { { \mathcal S _ { 1 2 } \mathcal C _ { 1 3 } } } & { { \mathcal S _ { 1 3 } e ^ { - i \delta _ { 1 3 } } } } \\ { { - \mathcal S _ { 1 2 } \mathcal C _ { 2 3 } - \mathcal C _ { 1 2 } \mathcal S _ { 2 3 } \mathcal S _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { \mathcal C _ { 1 2 } \mathcal C _ { 2 3 } - \mathcal S _ { 1 2 } \mathcal S _ { 2 3 } \mathcal S _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { \mathcal S _ { 2 3 } \mathcal C _ { 1 3 } } } \\ { { \mathcal S _ { 1 2 } \mathcal S _ { 2 3 } - \mathcal C _ { 1 2 } \mathcal C _ { 2 3 } \mathcal S _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { - \mathcal C _ { 1 2 } \mathcal S _ { 2 3 } - \mathcal S _ { 1 2 } \mathcal C _ { 2 3 } \mathcal S _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { \mathcal C _ { 2 3 } \mathcal C _ { 1 3 } } } \end{array} \right) \; ,
H = - \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } ( S _ { j } ^ { x } S _ { j + 1 } ^ { x } + S _ { j } ^ { y } S _ { j + 1 } ^ { y } + \Delta S _ { j } ^ { z } S _ { j + 1 } ^ { z } ) + \frac { i g } { 2 } ( S _ { N } ^ { z } - S _ { 1 } ^ { z } ) .
\begin{array} { r } { \varphi _ { 1 } \odot \varphi _ { 2 } ( a ) = \sum _ { \pi \in \mathcal P ( \mathbf f ) } \alpha _ { \pi } ( \log \hat { \varphi } _ { 1 } \oplus \log \hat { \varphi } _ { 2 } ) ^ { \otimes | \pi | } ( \hat { a } _ { \pi } ) = \sum _ { \{ s \} \in \pi \in \mathcal P ( \mathbf f ) } \alpha _ { \pi } ( \log \hat { \varphi } _ { 1 } \oplus \log \hat { \varphi } _ { 2 } ) ^ { \otimes | \pi | } ( \hat { a } _ { \pi } ) } \end{array}
\epsilon \left( \begin{array} { l } { \cos \chi } \\ { \sin \chi } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 / X _ { 1 1 } ^ { C } } & { 0 } \\ { - \sigma / X _ { 1 1 } ^ { C } } & { 1 / Y _ { 1 1 } ^ { S } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { X } \\ { Y } \end{array} \right) ,
\frac { W ( N , k _ { 1 } , \ldots , k _ { s } ) } { ( P _ { N } ) ! } = \frac { 1 } { P _ { N } } \cdot \Big ( \frac { \theta ^ { N - k _ { s } } \cdot P _ { k _ { s } } \cdot W ( k _ { s } , k _ { 1 } , \ldots , k _ { s - 1 } ) } { ( P _ { k _ { s } } ) ! } + \frac { T _ { \le s - 1 } ( N - 1 , k _ { 1 } , \ldots , k _ { s } ) } { ( P _ { N - 1 } ) ! } +
V _ { ( \theta ) } ^ { ( p _ { i } , p _ { j } ) } = \frac { 4 I _ { ( \theta ) } ^ { ( p _ { i } ) } I _ { ( \theta ) } ^ { ( p _ { j } ) } } { ( I _ { ( \theta ) } ^ { ( p _ { i } ) } + I _ { ( \theta ) } ^ { ( p _ { j } ) } ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } I _ { ( \theta ) } ^ { ( p _ { k } ) } }
\| \mathcal { R } _ { 2 } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } \! = \left\| \sum _ { m = 0 } ^ { t - 2 } \sum _ { r = 0 } ^ { t - m - 2 } \! \! P ^ { t - m - r - 2 } \mathcal { Q } _ { \lambda } \big ( P ^ { r } \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \big ) \right\| _ { \infty } \! \! \leq \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \| \mathcal { Q } _ { \lambda } \big ( P ^ { r } \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \big ) \| _ { \infty } \right) .
\begin{array} { r l } & { { \rho } _ { k } ( t ) / ( i { \alpha } _ { k } ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } { d \tau } \left[ S , \left\{ i { { e } ^ { - { { \gamma } _ { k } } ( t - \tau ) } } { { U } _ { S } } ( t - \tau ) S { { \rho } _ { S } } ( \tau ) \right. \right. } \\ & { \left. \left. \times U _ { S } ^ { \dagger } ( t - \tau ) \right\} + \left\{ h c \right\} \right] . } \end{array}
P _ { \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } } \approx 2 \, s i n ^ { 2 } \theta _ { \nu } \, c o s ^ { 2 } \theta _ { \nu } \left[ \, 1 - c o s \left( \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 p } \right) \frac { c ^ { 3 } } { \hbar } t \, \right] \quad ,
\left| \mathsf { K } F _ { x } ( \varphi _ { x } ^ { \lambda } ) \right| \le \mathrm { c s t } ^ { \prime } \, \| F \| _ { \mathcal { G } _ { \mathrm { h o m } ; K , 2 ( \bar { \lambda } + \rho ) , r } ^ { \bar { \alpha } } } \lambda ^ { \bar { \alpha } + \beta } \, , \quad \ \left| \mathsf { K } F _ { x } ( \psi _ { x } ) \right| \le \mathrm { c s t } ^ { \prime } \, \| F \| _ { \mathcal { G } _ { \mathrm { h o m } ; K , 2 ( \bar { \lambda } + \rho ) , r } ^ { \bar { \alpha } } } \, .
D _ { 1 } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) = \langle ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) - \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) ) U ^ { 0 } \Phi _ { 0 } , V ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle .
\frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = \frac { n \left( \mathrm { H } _ { 2 } \right) \, k _ { 1 2 } \, k _ { \mathrm { f o r m } } + \alpha _ { \mathrm { D R } , 1 } \, n \left( e ^ { - } \right) \, k _ { \mathrm { f o r m } , 2 } } { n \left( \mathrm { H } _ { 2 } \right) \, k _ { 2 1 } \, k _ { \mathrm { f o r m } } + \alpha _ { \mathrm { D R } , 2 } \, n \left( e ^ { - } \right) \, k _ { \mathrm { f o r m } , 1 } } \, ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } ( \| \boldsymbol { A } \| ^ { 2 } ) = \mathbb { E } ( \| \nabla F ( \boldsymbol { w } _ { t } ) - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { m = 1 } ^ { D _ { i } } \nabla f ( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { x } _ { i m } , y _ { i m } ) C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) } \| ^ { 2 } ) } \\ & { = \mathbb { E } ( \| - \frac { ( D - \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) ) \sum _ { i \in E ^ { c } } \sum _ { m = 1 } ^ { D _ { i } } \nabla f ( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { x } _ { i m } , y _ { i m } ) } { D \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) } } \\ & { + \frac { \sum _ { i \in E } \sum _ { m = 1 } ^ { D _ { i } } \nabla f ( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { x } _ { i m } , y _ { i m } ) } { D } \| ^ { 2 } ) } \\ & { \le \mathbb { E } ( \frac { ( D - \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) ) \sum _ { i \in E ^ { c } } \sum _ { m = 1 } ^ { D _ { i } } \| \nabla f ( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { x } _ { i m } , y _ { i m } ) \| } { D \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) } } \\ & { + \frac { \sum _ { i \in E } \sum _ { m = 1 } ^ { D _ { i } } \| \nabla f ( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { x } _ { i m } , y _ { i m } ) \| } { D } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \boldsymbol { \eta } } _ { n } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \delta t } \int _ { t } ^ { t + \delta t } \boldsymbol { \eta } _ { n } ( t ^ { * } ) d t ^ { * } } \\ & { = \frac { 1 } { \delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n } + \tau _ { n } } \boldsymbol { \eta } _ { n } ( t ^ { * } ) d t ^ { * } } \\ & { \approx \frac { \pi \tau _ { n } } { 2 \delta t } \lVert \boldsymbol { \eta } _ { 0 , n } \rVert \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \lambda P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L } ) } & { { } = - \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( f ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) \right) + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } Q ( \widehat { L } ) } \\ { Q ( \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } ) } & { { } = 0 \ . } \end{array}
A = \sum _ { i , j } \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \int d x _ { 1 } f _ { i / p } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } - x , t , \mu ^ { 2 } ) \, H _ { i j } ( Q ^ { 2 } x _ { 1 } / x , Q ^ { 2 } , z , \mu ^ { 2 } ) \, \phi _ { j } ^ { M } ( z , \mu ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { P } \left[ \big | T V ^ { a , b * } ( P ) \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \big ] - V ^ { a , b * } ( P ) \big | \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | X _ { t } ) } + \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( b | X _ { t } ) } + \Big ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \ \ \ + 2 \left( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \right) \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) } \\ & { \ \ \ - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | X _ { t } ) } - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( b | X _ { t } ) } - \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \Bigg ] \Bigg | \Bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | X _ { t } ) } + \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( b | X _ { t } ) } + \Big ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \ \ \ + 2 \left( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \right) \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) } \\ & { \ \ \ - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | X _ { t } ) } - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( b | X _ { t } ) } - \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \mid X _ { t } , \mathcal { F } _ { t - 1 } \Bigg ] \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \Bigg ] \Bigg | \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { \normalfont ~ d o m } ( \mathscr { L } ) = \left\{ f \in C ( E ) : \ \operatorname* { l i m } _ { t \downarrow 0 } \frac { S _ { t } f - f } { t } \ \mathrm { e x i s t s } \right\} , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \ \mathscr { L } f : = \operatorname* { l i m } _ { t \downarrow 0 } \frac { S _ { t } f - f } { t } , \quad f \in \mathrm { \normalfont ~ d o m } ( \mathscr { L } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 0 } ^ { n } \sum _ { t = 0 } ^ { N _ { s u b } } ( f ( \Tilde { \mathbf { u } } _ { t , i } ; \boldsymbol { \theta } ) - \mathbf { u } _ { t , i } ^ { d } ) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { N _ { s u b } } { N } \sum _ { i = 0 } ^ { n } { \frac { 1 } { N _ { s u b } } \sum _ { t = 0 } ^ { N _ { s u b } } ( f ( \Tilde { \mathbf { u } } _ { t , i } ; \boldsymbol { \theta } ) - \mathbf { u } _ { t , i } ^ { d } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { N _ { s u b } } { N } \sum _ { i = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { N _ { s u b } } \lVert f ( \Tilde { \mathbf { u } } _ { t , i } , \boldsymbol { \theta } ) - \mathbf { u } _ { t , i } ^ { d } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { N _ { s u b } } { N } \sum _ { i = 0 } ^ { n } \mathcal { L } _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( \vec { x } , z , \omega ) } & { { } = \int _ { R ^ { 2 } } \widehat { s } _ { 0 } \, ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) d \vec { \xi } = \int _ { R ^ { 4 } } \left( W _ { X X } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega ) + W _ { Y Y } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega ) \right) e ^ { - i \vec { \xi } \cdot \vec { x } ^ { \prime } } d \vec { x } \, ^ { \prime } d \vec { \xi } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathcal { H } ^ { 2 } ( \partial B _ { \varepsilon } ( x ) \cap B _ { r } ^ { c } ( x _ { 0 } ) ) } { \mathcal { H } ^ { 2 } ( \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap B _ { \varepsilon } ( x ) ) } \leq \frac { 2 \varepsilon } { 2 \varepsilon - h _ { x } } \leq 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { M } _ { 0 } ( s ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , | \vec { b } | \le \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } \mathcal { R } _ { 0 } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) , \mathrm { ~ f o r ~ s \in ~ [ s _ 0 , \mathtt { S } ] ~ . } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { h ( x _ { 0 } ) = 0 } \\ { x _ { 1 } = g _ { 1 } ( x _ { 0 } ) / g _ { 0 } ( x _ { 0 } ) } \\ { \quad \vdots } \\ { x _ { n } = g _ { n } ( x _ { 0 } ) / g _ { 0 } ( x _ { 0 } ) , } \end{array} \right.
B _ { 2 2 } = \ast \big ( d N _ { \phi } ( \cdot ) \wedge \ast \omega \big ) + ( - 1 ) ^ { n } d \big ( \mathrm { l i } ( \langle d N _ { \phi } ( \cdot ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) \big ) + [ \delta N _ { \beta } ( \omega ) , d N _ { \phi } ( \cdot ) ] _ { 1 }