harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\langle { \boldsymbol u } , G ( \theta ) { \boldsymbol u } \rangle = - \left\langle { \boldsymbol u } , \left( z I + z \mathfrak { s } ( z ) ( I + \theta \gamma { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } ) ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } { \boldsymbol u } \right\rangle + { \mathcal O } ( N ^ { - 1 / 2 } ) = - \frac { 1 } { ( 1 + \theta \gamma ) ^ { 2 } z ( 1 + \mathfrak { s } ( z ) ) } + { \mathcal O } ( N ^ { - 1 / 2 } ) ,
\begin{array} { r c c c c c c c } { { { M 2 } : } } & { { z _ { 1 } } } & { { z _ { 2 } } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { M 5 } : } } & { { } } & { { } } & { { y _ { 1 } } } & { { y _ { 2 } } } & { { y _ { 3 } } } & { { x _ { 1 } } } & { { x _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { H _ { \mathrm { O B C } } = \sum _ { j = 1 } ^ { L - 1 } t _ { 1 } ( | j \rangle \langle j + 1 | + h . c . ) + \sum _ { j = 1 } ^ { L - 2 } t _ { 2 } ( | j \rangle \langle j + 2 | + h . c . ) + i g ( | d \rangle \langle d | - | L - d \rangle \langle L - d | ) , } \\ & { } & { H _ { \mathrm { P B C } } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( t _ { 1 } | j \rangle \langle j + 1 | + t _ { 2 } | j \rangle \langle j + 2 | + h . c . ) + i g ( | d \rangle \langle d | - | L - d + 1 \rangle \langle L - d + 1 | ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \hbar , \lambda } ( - t ) U _ { \hbar , 0 } ( t ) - I } & { = \frac { i \lambda } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { t } U _ { \hbar , \lambda } ( - t _ { 1 } ) W _ { \hbar } U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { 1 } ) \, d \boldsymbol { t } _ { 1 } } \\ & { = \frac { i \lambda } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { t } U _ { \hbar , \lambda } ( - t _ { 1 } ) U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { 1 } ) W _ { \hbar } ^ { t _ { 1 } } \, d \boldsymbol { t } _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } - \rho _ { h } ^ { n } \mathbf u _ { h } ^ { n } } { \Delta t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } \otimes \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } ) + H ( q _ { h } ^ { , n + 1 } , \rho _ { h } ^ { n + 1 } ) = \boldsymbol { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \Sigma } _ { K , \underline { { C } } } = \mathbf { \Sigma } _ { K , \underline { { C } } } ^ { ( 1 ) } + \mathbf { \Sigma } _ { K , \underline { { C } } } ^ { ( 2 ) } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbf { \Sigma } _ { K , \underline { { f } } } = \mathbf { \Sigma } _ { K , \underline { { f } } } ^ { ( 1 ) } + \mathbf { \Sigma } _ { K , \underline { { f } } } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { t } } & { = } & { \sqrt { 1 / \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + 1 / \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } , } \\ { \tilde { \omega } } & { = } & { E _ { p } + \left( \frac { \omega _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { E _ { n } - \omega _ { 2 } } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } - i \tau \right) / \sigma _ { t } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textup { Y } _ { \epsilon , \tau } = } & { \{ G \in \textup { C } ( [ 0 , \tau ] ; \mathscr { M } _ { + , \textup { b } } ^ { I } ( \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } ) ) : | | G | | = \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq \tau } \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V , t ) } ( 1 + x _ { t , V } ( A ) ) G ( A , V , t ) \textup { d } V \textup { d } A \bigg | \leq 2 M ; } \\ & { G \Big ( \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } \setminus [ c _ { 0 } \epsilon ^ { \frac { 2 } { 3 } } , \infty ) \times [ \epsilon , 2 R \textup { e } ^ { t } ) , t \Big ) = 0 , \textup { f o r e v e r y } t \in [ 0 , \tau ] \} . } \end{array}
\| \Phi _ { 1 } ( t ) - x _ { 1 } - v _ { * } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) t \| _ { L ^ { 2 } } \leq ( \sqrt { 2 \pi \| v _ { * } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \varepsilon } ) \sqrt { \varepsilon } t \qquad \forall t \in \mathbb { R } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \nabla } \cdot \hat { \vec { B } } } & { = 0 } \\ { \tilde { \nabla } \cdot \hat { \vec { E } } } & { = \underbrace { \int \sum _ { \alpha } \frac { \Pi _ { 2 } \cdot \Pi _ { 3 \alpha } } { \Pi _ { 4 \alpha } } \operatorname { d } ^ { 3 } \tilde { \vec { p } } } _ { = 0 \mathrm { ~ f o r ~ } t = 0 } } \\ { \tilde { \nabla } \times \hat { \vec { E } } } & { = - \frac { \Pi _ { 2 } } { \Pi _ { 1 } } \frac { \partial \hat { \vec { B } } } { \partial \tilde { t } } } \\ { \tilde { \nabla } \times \hat { \vec { B } } } & { = \frac { \Pi _ { 2 } } { \Pi _ { 1 } } \frac { \partial \hat { \vec { E } } } { \partial \tilde { t } } + \int \sum _ { \alpha } \frac { 4 \pi \Pi _ { 2 } \Pi _ { 3 \alpha } \tilde { \vec { p } } } { \sqrt { \tilde { p } ^ { 2 } \Pi _ { 4 \alpha } ^ { 2 } + 1 } } \hat { f } _ { \alpha } \operatorname { d } ^ { 3 } \tilde { \vec { p } } } \\ { 0 } & { = \frac { 1 } { \Pi _ { 1 } } \frac { \partial \hat { f } _ { \alpha } } { \partial \tilde { t } } + \frac { 1 } { \Pi _ { 2 } } \frac { \Pi _ { 4 \alpha } \tilde { \vec { p } } } { \sqrt { \tilde { p } ^ { 2 } \Pi _ { 4 \alpha } ^ { 2 } + 1 } } \frac { \partial \hat { f } _ { \alpha } } { \partial \tilde { \vec { r } } } } \\ & { + \left( { Z _ { \alpha } } \hat { \vec { E } } + \frac { \Pi _ { 4 \alpha } } { \sqrt { \tilde { p } ^ { 2 } \Pi _ { 4 \alpha } ^ { 2 } + 1 } } \tilde { \vec { p } } \times \hat { \vec { B } } \right) \frac { \partial \hat { f } _ { \alpha } } { \partial \tilde { p } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ( x _ { 0 } ) } & { \le \mathbb E _ { x _ { 0 } } [ W ( X _ { \tau _ { B } \wedge \tau _ { m } \wedge m } ^ { m } ) ] } \\ & { = \mathbb E _ { x _ { 0 } } [ W ( X _ { \tau _ { B } } ^ { m } ) \mathbb I _ { \tau _ { B } < \tau _ { m } \wedge m } ] + \mathbb E _ { x _ { 0 } } [ W ( X _ { \tau _ { m } \wedge m } ^ { m } ) \mathbb I _ { \tau _ { B } \ge \tau _ { m } \wedge m } ] } \\ & { \le \mathbb E _ { x _ { 0 } } [ W ( X _ { \tau _ { B } } ^ { m } ) \mathbb I _ { \tau _ { B } < \tau _ { m } \wedge m } ] + C \mathbb P _ { x _ { 0 } } ( \tau _ { B } \ge \tau _ { m } \wedge m ) . } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { L _ { z } } \left\langle u _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) \bar { u } _ { j } \left( \mathbf { x } ^ { \prime } , t \right) \right\rangle \Phi _ { j } ^ { ( n ) } \left( \mathbf { x } ^ { \prime } \right) d \mathbf { x } ^ { \prime } = \lambda _ { i } \Phi _ { i } ^ { ( n ) } ( \mathbf { x } ) ,
\begin{array} { r } { \tilde { \psi } _ { 1 } \left( \frac { \tilde { r } } { \tilde { r } _ { b } } \right) = \left\{ \begin{array} { c } { b _ { 1 } \frac { \tilde { r } } { \tilde { r } _ { b } } - \frac { 1 } { 8 } g \tilde { r } ^ { 3 } ~ ~ \tilde { r } < \tilde { r } _ { b } } \\ { b _ { 1 } \frac { \tilde { r } } { \tilde { r } _ { b } } - \frac { 1 } { 1 6 } g \tilde { r } \left\{ 2 \tilde { r } ^ { 2 } - 2 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } + \log \left[ \frac { \tilde { r } + \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } } } { \tilde { r } - \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } } } \right] \right\} ~ ~ \tilde { r } _ { b } < \tilde { r } \ll \infty } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi ^ { 2 } ( P _ { 0 } | P _ { 1 } , P _ { 2 } ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \int \frac { d P _ { 1 } } { d P _ { 0 } } d P _ { 2 } - 1 = \int \frac { p _ { 1 } p _ { 2 } } { p _ { 0 } } d \nu - 1 , } & { \mathrm { i f ~ } P _ { 1 } \ll P _ { 0 } \mathrm { ~ a n d ~ } P _ { 2 } \ll P _ { 0 } , } \\ { + \infty , } & { \mathrm { e l s e , } } \end{array} \right. } \end{array}
| \Psi ( t ) \rangle = C _ { \alpha } ( t ) e ^ { - i \mathcal { E } _ { \alpha } ^ { 0 } t } | \alpha \rangle + C _ { \beta } ( t ) e ^ { - i \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } t } | \beta \rangle + C _ { \gamma } ( t ) e ^ { - i \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { 0 } t } | \gamma \rangle ,
\frac { 1 } { 4 \pi } \nabla ^ { 2 } { A } _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) + \frac { u _ { e } } { c } \frac { \rho _ { e } ^ { 2 } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) - \frac { \beta _ { e } } { 8 \pi } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } { A } _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) =
\begin{array} { r } { ( 3 \thinspace 1 9 \thinspace 3 0 \thinspace 2 1 \thinspace 1 4 \thinspace 1 1 \thinspace 9 \thinspace 1 5 \thinspace 2 9 \thinspace 6 \thinspace 8 \thinspace 3 2 ) ( 2 \thinspace 1 0 \thinspace 1 6 \thinspace 1 3 \thinspace 3 4 \thinspace 2 0 ) ( 2 4 \thinspace 2 6 \thinspace 3 3 \thinspace 2 5 \thinspace 2 8 ) ( 4 \thinspace 1 8 \thinspace 2 2 \thinspace 2 3 ) ( 1 \thinspace 5 \thinspace 2 7 ) ( 7 \thinspace 1 2 \thinspace 3 1 ) ( 1 7 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i \frac { \partial } { \partial \tau } u _ { j , \varepsilon } ( \mathbf { x } , \tau ) = ( \mathcal { A } _ { \varepsilon } u _ { j , \varepsilon } ) ( \mathbf { x } , \tau ) , } \\ & { u _ { j , \varepsilon } ( \mathbf { x } , 0 ) = e ^ { i \varepsilon ^ { - 1 } \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \mathbf { x } \right\rangle } \varsigma _ { j } ^ { \varepsilon } ( \mathbf { k } ^ { \circ } , \mathbf { x } ) f _ { j } ( \mathbf { x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { 2 , 4 } = \left| \begin{array} { l l l l l l } { R _ { 0 } } & { } & { } & { } & { } & { } \\ { P _ { 2 } } & { - \Tilde { Q } _ { 2 } } & { R _ { 2 } } & { } & { } & { } \end{array} \right| = R _ { 0 } \left| \begin{array} { l l } { \tilde { Q } _ { 2 } } & { R _ { 2 } } \\ { P _ { 3 } } & { \tilde { Q } _ { 3 } } \end{array} \right| \cdot \prod _ { i = 4 } ^ { \infty } R _ { i } . } \end{array}
f ( q , K ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { A = 0 , 1 } \frac { 1 } { 2 i \, n ! } f ^ { A \, \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { n } } ( K ) ^ { A } q _ { \alpha _ { 1 } } \ldots q _ { \alpha _ { n } } \, \, ,
V ( R ) = M _ { 0 } ^ { 2 } R + \frac { D - 2 } { 2 \beta } \mathrm { T r } \ln \left[ \left( 1 - \frac { \alpha } { M _ { 0 } ^ { 2 } } \triangle \right) ( - \triangle ) \right] , \; \; T \to 0 .
\begin{array} { r l } { \phi ( R , t ) \approx } & { { } \frac { 1 } { R } { \left( \frac { c \Delta E } { 2 \pi ^ { 3 / 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \tau } \right) } ^ { 1 / 2 } \exp { \left( - \frac { ( t - t _ { s } ) ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } \right) } } \end{array}
T \; = \; { \frac { \alpha } { 2 \pi } } \; = \; { \frac { 1 } { 2 \pi \rho } } \; = \; { \frac { 1 } { 4 \pi { \sqrt { 2 M r \left( 1 - { \frac { 2 M } { r } } \right) \, } } \, } }
\overline { { { W } } } _ { Q } ^ { \dagger } i \mathcal { D } _ { n \perp Q } ^ { \nu } = i D _ { n \perp } ^ { \nu } \overline { { { W } } } _ { Q } ^ { \dagger } \ \mathrm { o r } \ W _ { Q } ^ { \dagger } i \mathcal { D } _ { \overline { { { n } } } \perp Q } ^ { \nu } = i D _ { \overline { { { n } } } \perp } ^ { \nu } W _ { Q } ^ { \dagger } ,
{ S _ { 1 1 } ^ { \downarrow \downarrow , s h } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \bigg ( f _ { 0 } ( 1 - f _ { 0 } ) - f ( 1 - f ) \bigg ) = 0 . }
\begin{array} { r } { \left\langle E _ { i } ( \vec { x } , z , \omega ) E _ { j } ^ { * } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle \equiv \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \left( \mathbb { E } \left[ \frac { E _ { i } ( \vec { x } , z , \omega ) _ { T } E _ { j } ^ { * } ( \vec { x } , z , \omega ) _ { T } } { 2 T } \right] \right) , ~ i , j \in \{ X , Y \} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \pmb \sigma } ( { \pmb x } ) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) = { \pmb \sigma } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) } \\ { { \pmb v } ( { \pmb x } ) = \dot { \pmb u } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) \qquad { \pmb x } \in \partial D _ { b } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { - 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \Vert ^ { 2 } - \langle \nabla f ( x ^ { t } ) + \eta ^ { t + 1 } , x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \rangle } \\ & { = } & { \frac { - 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \Vert ^ { 2 } - \langle \eta ^ { t + 1 } , x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \rangle - \langle \nabla f ( x ^ { t } ) , x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \rangle + \langle \nabla f ( x ^ { t } ) , x ^ { * } - x ^ { t } \rangle . } \end{array}
{ m } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ S ~ E ~ } } = \frac { D _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ S ~ E ~ } } } { R \vartheta } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { m } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ M ~ } } = \frac { D _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ M ~ } } } { R \vartheta }
\begin{array} { r l } { \operatorname { R e } { \bigl ( \left( \nu + i t \right) M ( \nu + i t ) \bigr ) } } & { = \epsilon _ { 0 } \nu + \frac { \alpha \nu ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } + t ^ { 2 } + 2 \gamma \nu ) + 2 \alpha \gamma t ^ { 2 } } { \bigl ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } - t ^ { 2 } + 2 \gamma \nu \bigr ) ^ { 2 } + 4 \bigl ( \nu t + \gamma t \bigr ) ^ { 2 } } . } \end{array}
u _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } \left( x , y , z \right) = a ( z ) H _ { n _ { x } } \left( \frac { \sqrt { 2 } x } { w ( z ) } \right) H _ { n _ { y } } \left( \frac { \sqrt { 2 } y } { w ( z ) } \right) \exp \left[ - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { w ( z ) ^ { 2 } } \right] \exp \left[ \mp i k \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 R _ { u } ( z ) } \right] \exp \left[ \pm i ( n _ { x } + n _ { y } + 1 ) \Psi _ { G } \right]
\begin{array} { r l r } { a _ { k l } } & { { } = } & { \frac { n _ { l } } { C _ { k l } \, \gamma _ { k l } ^ { 2 } } \, \Lambda _ { k l } \, , } \\ { \vec { b } _ { k l } } & { { } = } & { \frac { m _ { k } \vec { u } _ { k } + m _ { l } \vec { u } _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, , } \\ { u _ { k l } } & { { } = } & { \left| \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { l } \right| \, , } \\ { a _ { k m } } & { { } = } & { \frac { n _ { m } } { C _ { k m } \, \gamma _ { k m } ^ { 2 } } \, \Lambda _ { k m } \, , } \\ { \vec { b } _ { k m } } & { { } = } & { \frac { m _ { k } \vec { u } _ { k } + m _ { m } \vec { u } _ { m } } { m _ { k } + m _ { m } } \, , } \\ { u _ { k m } } & { { } = } & { \left| \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { m } \right| } \end{array}
0 \geq s ^ { w } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } , \sigma ( z _ { 2 } ) - \sigma ( z _ { 1 } ) ) = \left( \begin{array} { l } { \sigma ( z _ { 2 } ) - \sigma ( z _ { 1 } ) } \\ { z _ { 2 } - z _ { 1 } } \end{array} \right) ^ { \top } \left( \begin{array} { l l } { 2 \Lambda } & { - \Lambda } \\ { - \Lambda } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \sigma ( z _ { 2 } ) - \sigma ( z _ { 1 } ) } \\ { z _ { 2 } - z _ { 1 } } \end{array} \right) \qquad \forall z \in \mathbb { R } ^ { m }
U _ { 1 2 } \, = \, V _ { 1 2 } - \{ P _ { 0 } \! - \! S , \, { \frac { V _ { 1 2 } } { 2 ( P _ { 0 } \! - \! h _ { 3 } ) } } \, \} + { \frac { V _ { 1 2 } \, ( P _ { 0 } + S - 2 h _ { 3 } ) \, V _ { 1 2 } } { 4 ( P _ { 0 } - h _ { 3 } ) ^ { 2 } } }
g ^ { i j } = \frac { e ^ { 2 } L N } { 4 \pi T } \left( \begin{array} { l l l l } { { N - 1 } } & { { - 1 } } & { { \ldots } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { N - 1 } } & { { \ldots } } & { { - 1 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { \ldots } } & { { N - 1 } } \end{array} \right) \ \ .
{ \frac { 1 } { 2 } } \div { \frac { 3 } { 4 } } = { \frac { 1 } { 2 } } \times { \frac { 4 } { 3 } } = { \frac { 1 \cdot 4 } { 2 \cdot 3 } } = { \frac { 2 } { 3 } }
| a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { n } > = N ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { n } ) \, { \alpha ^ { a _ { 1 } } } ^ { \dagger } { \alpha ^ { a _ { 2 } } } ^ { \dagger } \, \cdots \, { \alpha ^ { a _ { n } } } ^ { \dagger } \, | 0 > \ \ \ ,
\varphi = r ^ { 8 } + t ^ { 8 } - 4 \, { \left( r ^ { 2 } - 1 \right) } t ^ { 6 } + 4 \, r ^ { 6 } + 2 \, { \left( 3 \, r ^ { 4 } - 2 \, r ^ { 2 } + 3 \right) } t ^ { 4 } + 6 \, r ^ { 4 } \, - 4 \, { \left( r ^ { 6 } + r ^ { 4 } - r ^ { 2 } - 1 \right) } t ^ { 2 } + 4 \, r ^ { 2 } + 1
V _ { \alpha } ^ { n } \Psi _ { x } ^ { \prime } \eta D _ { \Gamma } \eta \Psi _ { x } V _ { \alpha } ^ { - n } = V _ { \alpha } ^ { n } \eta ^ { \prime } D _ { \Gamma _ { x } } \eta ^ { \prime } V _ { \alpha } ^ { - n } = ( V _ { \alpha } ^ { n } \eta ^ { \prime } V _ { \alpha } ^ { - n } ) D _ { \Gamma _ { x } } ( V _ { \alpha } ^ { n } \eta ^ { \prime } V _ { \alpha } ^ { - n } ) \to D _ { \Gamma _ { x } }
\begin{array} { r l } { \tilde { h } _ { s } ^ { \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } } } & { { } = \lambda ^ { 2 } \: h _ { s } ^ { \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } } ( x / \lambda ^ { 2 } , y / \lambda ^ { 2 } , z / \lambda ^ { 2 / \alpha } , t / \lambda ^ { 2 } ) , } \\ { \tilde { h } _ { s } ^ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } } & { { } = \lambda ^ { 2 / \alpha } \: h _ { s } ^ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } ( x / \lambda ^ { 2 } , y / \lambda ^ { 2 } , z / \lambda ^ { 2 / \alpha } , t / \lambda ^ { 2 } ) , } \\ { \tilde { \phi } } & { { } = \lambda ^ { 2 } \: \phi ( x / \lambda ^ { 2 } , y / \lambda ^ { 2 } , z / \lambda ^ { 2 / \alpha } , t / \lambda ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \theta + P _ { 0 } ( d ) ) \partial _ { y } P _ { 0 } ( P ) + P _ { 0 } [ P _ { \neq } ( d ) \partial _ { y } P _ { \neq } ( P ) ] = P _ { 0 } ( U ^ { x } \partial _ { x } U ^ { y } - U ^ { y } \partial _ { x } U ^ { x } ) = P _ { 0 } ( - \partial _ { y } \psi \partial _ { x x } \psi + \partial _ { x } \psi \partial _ { x y } \psi ) . } \end{array}
F _ { \mathbf { g } } ^ { + } \, \mathrm { a d } ^ { 0 } ( T _ { \mathbf { g } } ) = \langle v _ { + } \otimes v _ { - } ^ { * } , v _ { + } \otimes v _ { + } ^ { * } - v _ { - } \otimes v _ { - } ^ { * } \rangle \, , \qquad F _ { \mathbf { g } } ^ { + } M _ { 2 } ^ { \dagger } = T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, F _ { \mathbf { g } } ^ { + } \mathrm { a d } ^ { 0 } ( T _ { \mathbf { g } } ) \, .
\hat { \beta } ^ { ( n ) } = \Bigg \{ \begin{array} { l l l } { \frac { - \pi } { n } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { \hat { \theta } ^ { ( n ) } - 2 n \hat { \phi } ^ { ( 1 ) } > \pi } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { | \hat { \theta } ^ { ( n ) } - 2 n \hat { \phi } ^ { ( 1 ) } | \leq \pi } \\ { \frac { \pi } { n } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { \hat { \theta } ^ { ( n ) } - 2 n \hat { \phi } ^ { ( 1 ) } < - \pi } \end{array} .
\left( \! \! { \binom { n } { d } } \! \! \right) = { \binom { n + d - 1 } { d } } = { \binom { d + ( n - 1 ) } { n - 1 } } = { \frac { ( d + 1 ) \times ( d + 2 ) \times \cdots \times ( d + n - 1 ) } { 1 \times 2 \times \cdots \times ( n - 1 ) } } = { \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } } ( d + 1 ) ^ { \overline { { n - 1 } } } .
\frac { \delta \omega _ { \mathrm { L } } } { \omega _ { 0 , \mathrm { L } } } = \left( 1 + \epsilon _ { n \omega _ { \mathrm { L } } , \mathrm { B } } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \frac { \pi } { 2 } + \delta \phi _ { \mathrm { B } } ^ { \mathrm { t h e r m a l } } - \delta \phi _ { \mathrm { B } } ^ { \mathrm { s h o t } } } { \omega _ { 0 , \mathrm { L } } \tau _ { 0 , \mathrm { B } } } - \left( 1 + \epsilon _ { n L , \mathrm { B } } \right) h _ { \mathrm { B } } ^ { \mathrm { a c o u s t i c } } - \left( \epsilon _ { n x , \mathrm { B } } - 1 \right) \frac { \delta x } { x _ { 0 } } \right) .
u - \mathrm { i } v = - { \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } } \left[ \log | \zeta | ^ { 2 } + { \frac { A } { \overline { { \zeta } } - a } } + { \frac { B } { \overline { { \zeta } } - b } } + { \frac { A } { a } } + { \frac { A } { a ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { ( \zeta - 1 / a ) } } + { \frac { B \zeta } { 1 - \zeta b } } \right]
{ \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \sin ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } } + { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \sin ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } } + { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \sin ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } } =
3 2 \lambda { \frac { ( \gamma - { \frac { 1 } { 1 6 } } ) ( \gamma - { \frac { 9 } { 1 6 } } ) ( \lambda ^ { 2 } - 8 \gamma ) ( \lambda ^ { 2 } - 2 ) } { ( 2 \lambda ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( 4 \lambda ^ { 4 } - 6 \gamma \lambda ^ { 2 } + 2 2 5 ) } } C _ { \lambda } \, ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \mathcal { T } _ { 1 } } [ R ( t ) ] \ge \mathbb { P } _ { \mathcal { T } _ { 1 } } ( T _ { a _ { 1 } } ( t ) \le t / 2 ) \frac { t \Delta } { 2 } , \ \ \ \mathbb { E } _ { \mathcal { T } _ { i } } [ R ( t ) ] \ge \mathbb { P } _ { \mathcal { T } _ { i } } ( T _ { a _ { 1 } } ( t ) > t / 2 ) \frac { t \Delta } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \bar { x } _ { T } ) - F ( x _ { * } ) } & { \leq O \left( \log ^ { 2 } ( 1 / \delta ) \left( \frac { G ^ { 2 } } { \mu T } + \frac { \sigma ^ { 2 } + \sigma ^ { p } G ^ { 2 - p } } { \mu T ^ { \frac { 2 ( p - 1 ) } { p } } } \right) \right) } \\ { \left\Vert x _ { T + 1 } - x _ { * } \right\Vert ^ { 2 } } & { \leq O \left( \log ^ { 2 } ( 1 / \delta ) \left( \frac { G ^ { 2 } } { \mu T } + \frac { \sigma ^ { 2 } + \sigma ^ { p } G ^ { 2 - p } } { \mu T ^ { \frac { 2 ( p - 1 ) } { p } } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { g , \theta , \alpha } ^ { ( 0 ) } ( z ) : = H ( \widehat { w } ^ { ( 0 ) } ( g , \theta , \alpha , z ) ) } \\ & { = \langle F _ { \chi ^ { ( I ) } } ( \widehat { H } _ { g } ( \theta , \alpha ) - z - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) , \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - z - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) ) | _ { \mathrm { R a n } ( P _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes 1 _ { H _ { \mathrm { f } } \leq 1 } ) } \rangle _ { \mathrm { a t } , \theta , \alpha } . } \end{array}
N _ { R } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ( a _ { n } ^ { i } { } ^ { \dagger } a _ { n } ^ { i } + s _ { n } ^ { a } { } ^ { \dagger } s _ { n } ^ { a } ) , ~ ~ ~ ~ ~ N _ { L } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ( \tilde { a } _ { n } ^ { i } { } ^ { \dagger } \tilde { a } _ { n } ^ { i } + \tilde { s } _ { n } ^ { a } { } ^ { \dagger } \tilde { s } _ { n } ^ { a } ) ,
\Delta C _ { \gamma } ^ { n } = \frac { 1 } { T _ { F } } \Delta C _ { g } ^ { n } = 2 \left[ - \frac { n - 1 } { n ( n + 1 ) } \left( S _ { 1 } ( n ) + 1 \right) - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 2 } { n ( n + 1 ) } \right]
\left\| w _ { h } \right\| _ { 1 } \lesssim \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } \in V _ { h } } \frac { B \left( u ; w _ { h } , v _ { h } \right) } { \| v _ { h } \| _ { 1 } } \quad \mathrm { a n d } \quad \left\| w _ { h } \right\| _ { 1 } \lesssim \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } \in V _ { h } } \frac { B \left( u ; v _ { h } , w _ { h } \right) } { \| v _ { h } \| _ { 1 } } .
\begin{array} { r l } { H ( \boldsymbol { r } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \Omega } \sum _ { \boldsymbol { R } \kappa } Z _ { \kappa } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } \cdot \nabla \nabla V ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) \cdot \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( T ( x , \hat { \theta } ) ) ^ { \prime } \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \left( F _ { i } ( x ) + b _ { i } ( x ) k ( x , \hat { \theta } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { i , j } \theta _ { j } \right) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { p } ( T ( x , \hat { \theta } ) ) ^ { \prime } \frac { \partial T } { \partial \hat { \theta } _ { j } } ( x , \hat { \theta } ) w _ { j } ( x , \hat { \theta } ) } \\ & { \leq - \omega \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } + \epsilon \left( \vert \theta \vert ^ { 2 } - r \right) ^ { + } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha = u ( 0 ) , \ \beta = u ( 1 ) , \ \mathfrak { F } ( v , k ) = \widetilde { u ^ { \prime } } ( v ) ^ { - 1 } \mathcal { F } _ { 1 } [ \Omega ] e ^ { - i k t v } , } \\ & { h _ { 1 } ( v ) = \widetilde { \varphi _ { 2 } } \widetilde { u ^ { \prime } } ( v ) , \ h _ { 2 } ( v ) = \widetilde { \varphi _ { 2 } } ( v ) \widetilde { u ^ { \prime } } ( v ) ^ { - 1 } . } \end{array}