harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
T _ { i j } ^ { M E R W } = \frac { 1 } { \psi _ { 1 j } ^ { 2 } } \sum _ { k = 2 } ^ { N } \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { k } } \left( \psi _ { k j } ^ { 2 } - \psi _ { k i } \psi _ { k j } \frac { \psi _ { 1 j } } { \psi _ { 1 i } } \right) .
\begin{array} { r l } { c _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { M } } = \sum _ { \alpha _ { 0 } , \dots , \alpha _ { M } = 0 } ^ { \chi - 1 } } & { { } \Gamma _ { \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } } ^ { [ 1 ] } \lambda _ { \alpha _ { 1 } } ^ { [ 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { [ 2 ] } \dots \lambda _ { \alpha _ { M - 1 } } ^ { [ M - 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { M - 1 } \alpha _ { M } } ^ { [ M ] } } \\ { \prod _ { k = 1 } ^ { M } } & { { } \delta \left( c _ { \alpha _ { k - 1 } } ^ { [ k - 1 ] } - c _ { \alpha _ { k } } ^ { [ k ] } - i _ { k } \right) . } \end{array}
i \dot { c } = \frac { f ^ { 2 } \left( t \right) } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \Omega \exp \left\{ - i \left[ \delta t + \phi \left( t \right) - \mathbf { k \cdot } \frac { \mathbf { P } } { M } t - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { k \cdot g } t ^ { 2 } \right] \right\} } \\ { \Omega ^ { \ast } \exp \left\{ i \left[ \delta t + \phi \left( t \right) - \mathbf { k \cdot } \frac { \mathbf { P } } { M } t - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { k \cdot g } t ^ { 2 } \right] \right\} } & { 0 } \end{array} \right) c .
\begin{array} { r l } { { } } & { { < 0 | \cdots T ( \pi _ { 1 } \pi _ { 2 } \pi _ { 5 } \star e ^ { \pm i p \cdot x _ { 5 } } \star \pi _ { 5 } ) \cdots | 0 > } } \\ { { = } } & { { \displaystyle \sum _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } \tau _ { 1 5 } ^ { \lambda _ { 1 } } \tau _ { 2 5 } ^ { \lambda _ { 2 } } ( D _ { 1 5 } ^ { \lambda _ { 1 } } \star e ^ { \pm i p _ { + } \cdot x _ { 5 } } \star D _ { 2 5 } ^ { \lambda _ { 2 } } + ( 1 \leftrightarrow 2 ) ) < 0 | \cdots | 0 > . } } \end{array}
\phi _ { 0 } : = m ^ { 2 } + \frac { k _ { \| } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \cosh z ^ { \prime } - \cosh \nu z ^ { \prime } } { z ^ { \prime } \sinh z ^ { \prime } } + \frac { k _ { \bot } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \cos \nu z - \cos z } { z \sin z } .
g _ { T } ^ { D / L } \equiv \frac { \lbrack P ^ { D / L } ( \omega , \widehat { \mathbf { k } } , \mathbf { B } _ { 0 } ) - P ^ { D / L } ( \omega , \widehat { \mathbf { k } } , - \mathbf { B } _ { 0 } ) ] } { [ P ^ { D / L } ( \omega , \widehat { \mathbf { k } } , \mathbf { B } _ { 0 } ) + P ^ { D / L } ( \omega , \widehat { \mathbf { k } } , - \mathbf { B } _ { 0 } ) ] } = \gamma ^ { D / L } \hat { \mathbf { k } } \cdot \mathbf { B } _ { 0 } .
\mathbf { n } = ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) = \frac { \nabla \phi } { \vert \nabla \phi \vert } = \frac { \phi _ { x } \vec { i } + \phi _ { y } \vec { j } } { \sqrt { \phi _ { x } ^ { 2 } + \phi _ { y } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \beta \mu _ { \mathrm { p } } } & { = \ln \phi _ { \mathrm { p } } + ( 1 - N _ { \mathrm { p } } ) + ( N _ { \mathrm { p } } - 1 ) \ln ( 1 - \phi _ { \mathrm { s } } ) - N _ { \mathrm { p } } \ln ( 1 - \phi _ { \mathrm { s } } - \phi _ { \mathrm { p } } ) + N _ { \mathrm { p } } \ln X _ { \mathrm { p } } , } \\ { \beta \mu _ { \mathrm { s } } } & { = \ln \phi _ { \mathrm { s } } + \beta u _ { \mathrm { s } } - \ln ( 1 - \phi _ { \mathrm { s } } ) + N _ { \mathrm { s } } \ln \left( \frac { 1 - \phi _ { \mathrm { s } } } { 1 - \phi _ { \mathrm { s } } - \phi _ { \mathrm { p } } } \right) - N _ { \mathrm { s } } \left( 1 - \frac { 1 } { N _ { \mathrm { p } } } \right) \frac { \phi _ { \mathrm { p } } } { 1 - \phi _ { \mathrm { s } } } + n \ln X _ { \mathrm { s } } . } \end{array}
\psi _ { n } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { 2 } { a } } \sin \left( \frac { n \pi x } { a } \right) } & { ( 0 \le x \le a ) } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { A } & { { } \equiv R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) , } \\ { B } & { { } \equiv \frac { R _ { 0 } \mathscr { L } ( 2 + \beta ) } { 1 - \mathscr { L } } , } \\ { \tau _ { 1 } } & { { } \equiv \frac { \tau _ { 0 } } { 1 - \mathscr { L } } , } \\ { \tau _ { 2 } } & { { } \equiv \frac { L } { R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { R } } = } & { { } \Big [ - i ( 1 + \phi ^ { \prime \prime } ) \bar { u } _ { + } + \left( ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | \bar { u } _ { + } | ^ { 2 } - \phi ^ { \prime \prime } \right) v _ { s } - ( v _ { s } ) ^ { 2 } \bar { u } _ { + } ^ { * } - ( \bar { u } _ { + } ) ^ { 2 } v _ { s } ^ { * } \Big ] \bar { u } _ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \mu } \Phi \cdot \nabla ^ { \mu } \Phi + \eta \sqrt { \vert \partial _ { \mu } \psi \partial ^ { \mu } \psi \vert } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \psi \partial ^ { \mu } \psi - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \mathcal { V } ( \phi _ { 3 } , \psi ) . } \end{array}
\hat { \mathbf { k } } _ { \perp , i n ( k _ { S V D } , b _ { 0 } ) p l a n e } = \hat { \mathbf { b } } _ { 0 } \times \hat { \mathbf { k } } _ { \perp , o u t o f ( k _ { S V D } , b _ { 0 } ) p l a n e }
\widetilde E _ { \mathrm { t o r s i o n s } } ^ { \mathrm { Q M } } = E _ { \mathrm { t o t a l } } ^ { \mathrm { Q M } } - E _ { \mathrm { n o n b o n d e d } } ^ { \mathrm { F F } } - E _ { \mathrm { b o n d } } ^ { \mathrm { F F } } - E _ { \mathrm { a n g l e } } ^ { \mathrm { F F } } ,
- \frac { d ^ { 2 } \phi ( x _ { 2 } ) } { d x _ { 2 } ^ { 2 } } \, + \, V ^ { \prime } ( \phi ( x _ { 2 } ) ) \, + \, g { \bar { \psi } } ( x _ { 2 } ) \psi ( x _ { 2 } ) \; = \; 0 \; ,
e _ { a } ^ { i } = \left( \begin{array} { l l } { 1 - \frac { \beta } { 4 } y } & { - \frac { \beta } { 4 } x } \\ { - \frac { \beta } { 4 } x } & { 1 + \frac { \beta } { 4 } y } \end{array} \right) , \quad \mathbf { A } ^ { s } = \frac { \beta } { 2 } \left( \begin{array} { l } { - y } \\ { x } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \partial _ { \tau } \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) } & { { } = ( - \partial _ { q } ^ { 2 } + q ^ { 2 } + \lambda \, \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( a \, q ) ) \, \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { i j } ^ { ( k + 1 ) } } & { { } = \sigma \bigg ( W ^ { ( k , l ) } a _ { i j } ^ { ( k ) } + b ^ { ( k , l ) } \bigg ) ; } \\ { m _ { i j } ^ { ( l + 1 ) } } & { { } = \sigma \bigg ( W ^ { ( L ) } a _ { i j } ^ { ( L ) } + b ^ { ( L ) } \bigg ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { i j } } & { { } = \textit { u p } \times \textnormal { e } ^ { - \beta ( a _ { j _ { \uparrow } } + \omega _ { j j _ { \uparrow } } ) } \times \mathrm { C a l c \_ Z _ { i j } } ( i , j _ { \uparrow } , a , \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ ( b a ) z ] _ { \beta } } & { = } & { [ \theta - \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) ( \alpha - 2 \beta ) + \beta \delta ^ { f } - \beta ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) ] w } \\ & { - } & { [ \theta - \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) ( \alpha - 2 \beta ) ] w } \\ & { = } & { ( \beta \delta ^ { f } - \beta ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) ) w . } \end{array}
( i ) 0 , \qquad \qquad \qquad ( i i ) \frac { 1 } { 3 } M _ { G U T } ( 1 , 1 , 1 , 1 , - 4 ) , \qquad \qquad \qquad ( i i i ) M _ { G U T } ( 2 , 2 , 2 , - 3 , - 3 )
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial \rho } \ln ( 2 ) f ( \rho , \alpha ) = \frac { q - p } { q } \frac { 1 } { ( 1 - \rho ) \rho } + \frac { p } { q } \frac { 1 \! + \! \alpha } { ( 1 \! - \! \rho ) ^ { 2 } } \left( \frac { ( q - p ) } { 1 + ( q \! - \! p ) \frac { \rho + \alpha } { 1 - \rho } } - \frac { ( q - p ) } { 1 - ( q \! - \! p ) \frac { \rho + \alpha } { 1 - \rho } } \right) \, . } \end{array}
\mathcal C _ { c } ^ { ( k ) } ( \vec { x } ) = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l } { \mathcal A _ { 1 } ^ { 1 } ( \vec { x } ) } & { \mathcal A _ { 2 } ^ { 1 } ( \vec { x } ) } & { \mathcal A _ { 3 } ^ { 1 } ( \vec { x } ) } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal A _ { 2 } ^ { 2 } ( \vec { x } ) } & { \mathcal A _ { 3 } ^ { 2 } ( \vec { x } ) } & { \mathcal A _ { 4 } ^ { 2 } ( \vec { x } ) } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { \mathcal A _ { k - 2 } ^ { k - 2 } ( \vec { x } ) } & { \mathcal A _ { k - 1 } ^ { k - 2 } ( \vec { x } ) } & { \mathcal A _ { k } ^ { k - 2 } ( \vec { x } ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { \mathcal A _ { k - 1 } ^ { k - 1 } ( \vec { x } ) } & { \mathcal A _ { k } ^ { k - 1 } ( \vec { x } ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mathcal A _ { k } ^ { k } ( \vec { x } ) } \end{array} \right)
W _ { \tau + \Delta \tau , w } e ^ { i \theta _ { \tau + \Delta \tau , w } } = \frac { \langle \Phi _ { T } | \Phi _ { \tau + \Delta \tau , w } \rangle } { \langle \Phi _ { T } | \Phi _ { \tau , w } \rangle } W _ { \tau , w } e ^ { i \theta _ { \tau , w } } .
D ^ { \mathrm { S } } ( Q ^ { 2 } ) = Q ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { R ^ { \mathrm { S } } ( s ) } { ( s + Q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } d s = 3 \left[ m ( Q ^ { 2 } ) \right] ^ { 2 } \bigg [ 1 + \sum _ { n \geq 1 } d _ { n } ^ { \mathrm { S } } \bigg ( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \bigg ) ^ { n } \bigg ]
\begin{array} { r l r l } & { \Delta _ { 3 3 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 3 3 , - } ( \zeta , k ) , } & & { k \in \Gamma _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \Delta _ { 3 3 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 3 3 , - } ( \zeta , k ) \frac { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } { f ( k ) } , } & & { k \in \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \Delta _ { 3 3 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 3 3 , - } ( \zeta , k ) \frac { 1 } { f ( \omega ^ { 2 } k ) } , } & & { k \in \Gamma _ { 1 0 } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ L ~ O ~ } } } & { { } \gtrsim \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ , ~ b ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ L ~ O ~ } } : = \frac { \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } { \tau ^ { \prime \prime } } , } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ L ~ O ~ } } } & { { } \gtrsim \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ , ~ b ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ L ~ O ~ } } : = \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } + \Theta _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } \tau ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { m < n } ( \gamma _ { m } \gamma _ { n } + \kappa _ { m n } ^ { 2 } ) \lambda - \frac { 1 } { 4 } \prod _ { m < n } \kappa _ { m n } } & { { } = 0 , } \\ { \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } \gamma _ { m } \lambda ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \prod _ { m = 1 } ^ { 3 } \gamma _ { m } \left( 1 + \sum _ { m < n } \frac { \kappa _ { m n } ^ { 2 } } { \gamma _ { m } \gamma _ { n } } \right) } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } = } & { { } { \bf C } i ^ { n / 2 - 1 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { d ( \omega \tau ) } { ( \omega \tau ) ^ { D / 2 } } J _ { n / 2 } [ \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \omega \tau \gamma ( \omega \tau ) \alpha ( \omega \tau ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } d } & { \in \mathbb { N } , \qquad } & & { \theta _ { l e x } ( h ) \leq 2 V _ { d } ( c ) d ! \beta ^ { \alpha } \gamma _ { a b s } \sum _ { k = 0 } ^ { d } \frac { \left( \frac { \psi ( h ) } { c } \right) ^ { k } } { k ! \left( \frac { \psi ( h ) } { c } + \beta \right) ^ { \alpha - d - 1 + k } } \frac { \Gamma ( \alpha - d - 1 + k ) } { \Gamma ( \alpha ) } , } \end{array}
e ^ { \tau L _ { 0 } } = \left( \begin{array} { l l l } { { \strut 1 } } & { { \tau } } & { { \tau } } \\ { { \strut \tau } } & { { 1 + { \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 } } } } & { { { \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 } } } } \\ { { \strut - \tau } } & { { - { \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 } } } } & { { 1 - { \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 } } } } \end{array} \right) \ .
{ \cal T } _ { \pm \, \pm } ^ { \, 0 } = \pm \, \sqrt { 2 } \, K ^ { \prime } \, \frac { 1 - x } { \sqrt { x ( 1 - x ) } } \, \mp \, \frac { 1 } { 1 6 \sqrt { 2 } } \, K ^ { \prime } \, \frac { 1 - 4 ( 1 - x ) \cos ^ { 2 } \theta } { x ^ { 2 } ( 1 - x ) \sqrt { x ( 1 - x ) } } \, \beta ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { p _ { t } ( i ) } & { = \sum _ { j , l _ { 1 } , . . . , l _ { k - 2 } = 1 } ^ { n } T _ { i , j , l _ { 1 } , . . . , l _ { k - 2 } } \left( \frac { 1 } { n } \right) ^ { k - 1 } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { n } \right) ^ { k - 1 } \sum _ { l _ { 1 } , . . . , l _ { k - 2 } = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } T _ { i , j , l _ { 1 } , . . . , l _ { k - 2 } } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { n } \right) ^ { k - 1 } n ^ { k - 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { n } . } \end{array}
V _ { e f f } ( z ) = \frac { 3 ( 5 \alpha + 4 ) k ^ { 2 } } { 6 4 \left( { \frac { k z } { 2 } } + 1 \right) ^ { 2 } } + { \frac { l ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } } } \left( { \frac { k z } { 2 } } + 1 \right) ^ { { \frac { 5 } { 2 } } ( \alpha - 2 ) } - { \frac { 3 k } { 4 } } \delta ( z )
\begin{array} { r l r } { P ( x , y | Z ) } & { = } & { \frac { 1 + x \, E _ { 1 } ( Z ) + y \, E _ { 2 } ( Z ) + x \, y \, E _ { 1 2 } ( Z ) } { 4 } = \frac { 1 + x \, E _ { 1 } ( Z ) } { 2 } \frac { 1 + y \, E _ { 2 } ( Z ) } { 2 } + x \, y \, \frac { E _ { 1 2 } ( Z ) - E _ { 1 } ( Z ) \, E _ { 2 } ( Z ) } { 4 } } \\ & { = } & { P ( x | Z ) P ( y | Z ) + x \, y \, \frac { E _ { 1 2 } ( Z ) - E _ { 1 } ( Z ) \, E _ { 2 } ( Z ) } { 4 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { O c c } _ { G , \mathcal { P } } ( z ) : = \sum _ { H \in \mathcal { P } } \frac { \mathrm { O c c } _ { G } ( H ) z ^ { N ( H ) - N ( G ) } } { N ( H ) ! } ; \qquad \mathrm { O c c } _ { G , \mathcal { P } ^ { \bullet } } ( z ) : = \sum _ { H \in \mathcal { P } ^ { \bullet } } \frac { \mathrm { O c c } _ { G } ( H ) z ^ { N ( H ) - N ( G ) } } { N ( H ) ! } } \\ & { \mathrm { O c c } _ { G , a , \mathcal { P } ^ { \bullet } } ( z ) : = \sum _ { H \in \mathcal { P } ^ { \bullet } } \frac { \mathrm { O c c } _ { G , a } ( H ) z ^ { N ( H ) - N ( G ) + 1 } } { N ( H ) ! } } \end{array}
f _ { I } ( s ) = t _ { I } ( s ) + D _ { I } ^ { - 1 } ( s ) \{ ( c _ { I } + d _ { I } s ) - \frac { s ^ { 2 } } { \pi } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d x } { x ^ { 2 } } \frac { t _ { I } ( x ) I m D _ { I } ( x ) } { x - s - i \epsilon } \}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \rho _ { \sigma } ( x , t ) = } & { } & { \partial _ { x } [ \rho _ { \sigma } ( x , t ) ( - v _ { 0 } \sigma + W ^ { \prime } ( x ) + N \int d y \tilde { \rho } ( y , t ; \sigma ) \tilde { V } ( x - y ) ) ] - \gamma \rho _ { \sigma } ( x , t ) + \gamma \rho _ { - \sigma } ( x , t ) } \\ & { } & { + \frac { T } { N } \partial _ { x } ^ { 2 } \rho _ { \sigma } ( x , t ) + \frac { 1 } { N } \partial _ { x } [ \sqrt { 2 T \rho _ { \sigma } ( x , t ) } \eta _ { \sigma } ( x , t ) ] + \frac { \sigma } { \sqrt { N } } \zeta ( x , t ) } \end{array}
h _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n } } = \big \langle \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \big | - \frac { 1 } { 2 } \, \hat { \nabla } ^ { 2 } - ( | \vec { r } | ^ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } \, R ^ { - 1 } ) \, \hat { 1 } \big | \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \big \rangle
\begin{array} { r l } { D _ { \alpha } D ^ { \alpha } \phi } & { = \partial _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } \phi + 2 i \partial _ { \alpha } \big ( A ^ { \alpha } \phi ) - i \big ( \partial _ { \alpha } A ^ { \alpha } \big ) \phi - A _ { \alpha } A ^ { \alpha } \phi } \\ & { = \partial _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } \phi + 2 i \partial _ { \alpha } \big ( A ^ { \alpha } \phi ) - A _ { \alpha } A ^ { \alpha } \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ( P _ { 1 } , P _ { 2 } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { P _ { 1 } \mathrm { ~ c ~ o ~ m ~ m ~ u ~ t ~ e ~ s ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } P _ { 2 } } \\ { 1 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma \int _ { v _ { 0 } } ^ { v } \frac { U ^ { \prime } ( r ) } { v U ^ { \prime } ( v ) } \mathrm { d } r - 1 } & { = \gamma \int _ { v _ { 0 } / v } ^ { 1 } \frac { U ^ { \prime } ( z v ) } { U ^ { \prime } ( v ) } \mathrm { d } z - 1 } \\ & { = \int _ { v _ { 0 } / v } ^ { 1 } \gamma z ^ { \gamma - 1 } \left[ \exp \left\lbrace - \int _ { z } ^ { 1 } \frac { A ( v u ) } { u } \mathrm { d } u \right\rbrace - 1 \right] \mathrm { d } z - \left( \frac { v _ { 0 } } { v } \right) ^ { \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ S ^ { 2 } | { \bf n } , \beta ] } & { { } = \int d \boldsymbol { \rho } \; S ( \boldsymbol { \rho } | \beta ) ^ { 2 } \; p ( \boldsymbol { \rho } | { \bf n } ) = \sum _ { i \neq j } ^ { K } \frac { ( n _ { i } + \beta ) \, ( n _ { j } + \beta ) } { ( N + K \beta + 1 ) \, ( N + K \beta ) } \, I _ { i , j } + \sum _ { i = 1 } ^ { K } \frac { ( n _ { i } + \beta + 1 ) \, ( n _ { i } + \beta ) } { ( N + K \beta + 1 ) \, ( N + K \beta ) } \, J _ { i } \; , } \end{array}
u ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c l } { c _ { 1 } ^ { - 1 } e ^ { 1 0 ( r ^ { 2 } - R ^ { 2 } ) } \ \ } & { \mathrm { i f } \ r < R \ \ \ \ ( \mathrm { o r ~ i n } \ \Omega _ { 1 } ) , } \\ { c _ { 2 } ^ { - 1 } e ^ { 1 0 ( R ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) } + \big ( c _ { 1 } ^ { - 1 } - c _ { 2 } ^ { - 1 } \big ) e ^ { r ^ { 2 } - R ^ { 2 } } \ \ } & { \mathrm { o t h e r w i s e } \ ( \mathrm { o r ~ i n } \ \Omega _ { 2 } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Delta ( \mathcal { S } q ^ { 2 m + 1 } ) } & { = u ^ { - m } \Delta ( S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 m + 1 } ) } \\ { \& = u ^ { - m } \sum _ { 0 \leq i \leq 2 m + 1 } S q _ { C _ { 2 } } ^ { i } \otimes S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 m + 1 - i } } \\ { \& = \sum _ { 0 \leq i \leq 2 m + 1 } u ^ { - \lfloor i / 2 \rfloor } S q _ { C _ { 2 } } ^ { i } \otimes u ^ { - \lfloor ( 2 m + 1 - i ) / 2 \rfloor } S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 m + 1 - i } } \\ { \& = \sum _ { 0 \leq i \leq 2 m + 1 } \mathcal { S } q _ { C _ { 2 } } ^ { i } \otimes \mathcal { S } q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 m + 1 - i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \overline { { \rho } } _ { f } ( p ) = } & { - \sum _ { j = 1 , 2 } \Gamma _ { t } ^ { ( j ) } ( p - p _ { j } ) \overline { { \rho } } _ { f } ( p ) } \\ & { + \frac { t ( 1 + \delta _ { a b } ) } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } q G _ { 0 } ( q ) \Big [ \overline { { \rho } } _ { f } ( p - q ) - \overline { { \rho } } _ { f } ( p ) \Big ] } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { D } p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) \theta _ { + } ( \xi _ { 1 } , s ) \phi ^ { \prime \prime } ( \xi _ { 2 } / \varepsilon ) \textrm { d } \xi = \nu \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } p ^ { D } ( s , ( \xi _ { 1 } , 0 + ) , t , y ) \theta _ { + } ( \xi _ { 1 } , s ) \textrm { d } \xi _ { 1 } ,
U _ { \mathrm { p l } } ( y ) = { \cal U } _ { \mathrm { p l } } ( y ) + \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \operatorname* { m a x } } } \left[ { \cal U } _ { \mathrm { p l } } ( y + n d ) + { \cal U } _ { \mathrm { p l } } ( y - n d ) \right] + C \, ,
\phi ^ { ( 0 ) } \ = \ \left[ \begin{array} { c l } { { \displaystyle 0 \ , } } & { { r \le R _ { g } } } \\ { { \displaystyle v \left( 1 - \frac { K _ { 0 } ( m _ { H } r ) } { \ln ( 2 / m _ { H } R _ { g } ) } \right) , } } & { { r \gg R _ { g } . } } \end{array} \right.
\mathrm { D } _ { L } ^ { \prime } ( s ) = - \frac { ( s - s _ { 0 } ) ^ { n } } { \pi } \int _ { s _ { t h } } ^ { \infty } d s ^ { \prime } \frac { \nu ( s ^ { \prime } ) ^ { L } \rho ( s ^ { \prime } ) \mathrm { N } _ { L } ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ) } { ( s ^ { \prime } - s ) ( s ^ { \prime } - s _ { 0 } ) ^ { n } } + \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \overline { { a } } _ { m } s ^ { m }
\begin{array} { r l } { U _ { n s } ^ { \varkappa } ( p ( \bar { \alpha } ) ) } & { = \left( \frac { n _ { < } ! \, \Gamma ( 2 \varkappa + n _ { > } ) } { n _ { > } ! \, \Gamma ( 2 \varkappa + n _ { < } ) } \right) ^ { 1 / 2 } \left( 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } \right) ^ { \varkappa } \, ( \mathrm { s g n } ( n - s ) ) ^ { n - s } } \\ & { \qquad \times P _ { n _ { < } } ^ { ( n _ { > } - n _ { < } \, , \, 2 \varkappa - 1 ) } \left( 1 - 2 \vert \alpha \vert ^ { 2 } \right) \, } \\ & { \qquad \qquad \times \left\lbrace \begin{array} { c c } { \alpha ^ { n - s } } & { \mathrm { i f } \ n _ { > } = n } \\ { \bar { \alpha } ^ { s - n } } & { \mathrm { i f } \ n _ { > } = s } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { a d } } P + N _ { \mathrm { a d } } \frac { B } { E _ { \mathrm { 2 } } } \left( \frac { d P } { d t } \right) = \left( \frac { B B _ { \mathrm { a } } } { E _ { \mathrm { 2 } } } \right) \left( \frac { d Q } { d t } \right) + \left( B + B _ { \mathrm { a } } \right) Q + N _ { \mathrm { a d } } \frac { B } { E _ { \mathrm { 2 } } } \left( \frac { d P _ { \mathrm { E 1 } } } { d t } \right) + N _ { \mathrm { a d } } P _ { \mathrm { E 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { i } ^ { a } } & { = \frac { 2 U _ { 0 i } } { w _ { 0 , a i } ^ { 2 } } , K _ { i } ^ { b } = \frac { 2 U _ { 0 i } } { w _ { 0 , b i } ^ { 2 } } , } \\ { K _ { i } ^ { c } } & { = \frac { U _ { 0 i } \lambda ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { w _ { 0 , a i } ^ { 4 } } + \frac { 1 } { w _ { 0 , b i } ^ { 4 } } \right) , } \end{array}
\mathbf F _ { - 1 } ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } ) = \left[ \begin{array} { l } { 2 } \\ { h p h a n t o m { 0 } } \end{array} \right] , \quad \mathbf F _ { 0 } ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } ) = 2 \left[ \begin{array} { l } { \cos \zeta _ { + } \cos \zeta _ { - } } \\ { - \sin \zeta _ { + } \displaystyle \frac { \sin \zeta _ { - } } \Delta } \end{array} \right] .
\displaystyle Z _ { \scriptscriptstyle C P I } ^ { \scriptscriptstyle B F V } = \int { \cal D } \Lambda _ { \scriptscriptstyle A } { \cal D } \xi ^ { \scriptscriptstyle A } { \cal D } \bar { \Gamma } _ { \scriptscriptstyle A } { \cal D } \Gamma ^ { \scriptscriptstyle A } e ^ { i \int d ^ { 4 } x \widetilde { \cal L } ^ { \scriptscriptstyle B F V } }
\begin{array} { r l } { \| u - u _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 2 ^ { - k } } ) } \le C 2 ^ { - 2 k } \bigg ( } & { 2 ^ { - \alpha k } \| f \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 2 ^ { - k } } ) } } \\ & { + 2 ^ { - \alpha k } \| D ^ { 2 } u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 2 ^ { - k } } ) } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \| a _ { i j } \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 2 ^ { - k } } ) } \bigg ) . } \end{array}