harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { M 1 _ { j , k } = < P _ { j } ( x ) , P _ { k } ( x ) > } \\ { M 2 _ { j , k } = < P _ { j } ( x ) \cos ( \omega x ) , P _ { k } ( x ) \sin ( \omega x ) > } \\ { M 3 _ { j , k } = < P _ { j } ( x ) \cos ( \omega x ) , P _ { k } ( x ) \cos ( \omega x ) > } \\ { M 4 _ { j , k } = < P _ { j } ( x ) \sin ( \omega x ) , P _ { k } ( x ) \sin ( \omega x ) > } \\ { M 5 _ { j , k } = < P _ { j } ( x ) , P _ { k } ( x ) \cos ( 2 \omega x ) > } \\ { M 6 _ { j , k } = < P _ { j } ( x ) , P _ { k } ( x ) \sin ( 2 \omega x ) > } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { + , \mathrm { ~ o ~ r ~ g ~ . ~ } } = 0 . 7 3 a ^ { 0 . 8 3 2 5 } I _ { 0 } ^ { - 0 . 0 3 2 5 } \left( { x } / d _ { 0 } \right) ^ { - 0 . 3 2 } , } \end{array}
\Delta \Omega _ { \mathrm { A } } ( d , R , \theta _ { \mathrm { N V } } , s , l ) = \pm \varrho _ { \mathrm { m o l } } \kappa \frac { \pi R ^ { 2 } ( 1 + 3 \cos { 2 \theta _ { \mathrm { N V } } } ) } { 4 } \left[ \frac { 1 } { ( ( d + l ) ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { ( ( d + l + s ) ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right]
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 } = } & { { } \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } - \alpha _ { - n } ) \sin ( n \phi _ { l } ) } \\ { \sigma _ { 2 } = } & { { } 1 + \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } + \alpha _ { - n } ) \cos ( n \phi _ { l } ) } \\ { \sigma _ { 3 } = } & { { } \omega _ { 0 } + \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } \big ( \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) + \alpha _ { - n } ( \omega _ { 0 } - n \Omega ) \big ) \cos ( n \phi _ { l } ) } \\ { \sigma _ { 4 } = } & { { } \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } \big ( \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) - \alpha _ { - n } ( \omega _ { 0 } - n \Omega ) \big ) \sin ( n \phi _ { l } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { i j } ^ { \mathrm { E V } } } & { { } = 2 \frac { \partial } { \partial x _ { \ell } } \left< \nu ^ { \mathrm { s g s } } \left( \overline { { s } } _ { i \ell } \overline { { u } } _ { j } ^ { \prime } + \overline { { s } } _ { j \ell } \overline { { u } } _ { i } ^ { \prime } \right) \right> , } \\ { D _ { i j } ^ { \mathrm { A S } } } & { { } = - \frac { \partial } { \partial x _ { \ell } } \left< \tau _ { i \ell } ^ { \mathrm { a n i } } \overline { { u } } _ { j } ^ { \prime } + \tau _ { j \ell } ^ { \mathrm { a n i } } \overline { { u } } _ { i } ^ { \prime } \right> . } \end{array}
\overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } > \frac { \widehat { \omega } _ { 1 } } { \lambda } \left[ \lambda _ { 1 } \left( { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } \right) + \lambda _ { 2 } \left( { \bf \Pi } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } \right) \right] \cdot \mathbf { n } _ { 1 } ,
\begin{array} { r c l } { \Phi : \mathbb { R } ^ { n } \times ( \mathbb { T } ^ { n } \times B ^ { n } ) } & { \rightarrow } & { ( \mathbb { T } ^ { n } \times B ^ { n } ) } \\ { ( ( s _ { 1 } , \ldots , s _ { n } ) , ( x , b ) ) } & { \mapsto } & { \Phi _ { X _ { f _ { 1 } } } ^ { s _ { 1 } } \circ \cdots \circ \Phi _ { X _ { f _ { n } } } ^ { s _ { n } } ( ( x , b ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { R a m } } ^ { \mathrm { e n s , s h o } } \approx } & { \frac { \hbar } { \Delta m _ { s } g _ { e } \mu _ { B } } \frac { 1 } { C e ^ { - \left( \tau / T _ { 2 } ^ { * } \right) ^ { p } } \sqrt { \mathscr { N } } } } \\ & { \quad \times \frac { \sqrt { t _ { \mathrm { I } } \! + \! \tau \! + \! t _ { \mathrm { R } } \! + \! t _ { \mathrm { D } } } } { \tau } \times \frac { 1 } { F _ { \mathrm { p r o } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { { } \mathbb { E } } \Big [ ( H - \mathop { { } \mathbb { E } } [ H ] ) ( H - \mathop { { } \mathbb { E } } [ H ] ) \Big ] } & { { } = \mathop { { } \mathbb { E } } \bigg [ \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( P - \mu _ { P } \right) + \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( E - \mu _ { E } \right) \bigg ) } \\ { K _ { H H } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( V - V _ { 0 } \right) ^ { 2 } K _ { P P } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) + K _ { E E } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) + ( V - V _ { 0 } ) K _ { P E } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } \end{array}
D = \sum _ { a = 1 } ^ { N } w _ { a } \delta ( { \mathbf { z } } - { \boldsymbol { \zeta } } _ { a } ) \, , \qquad \qquad { \cal P } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } w _ { a } \rho _ { a } \delta ( { \mathbf { z } } - { \boldsymbol { \zeta } } _ { a } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { p } \left( \mathcal C ^ { u } ( m , k , E ) \right) } & { \leq \mathbb { P } _ { p } \left( \mathcal { E } ^ { u } ( m , k ) \right) + \sum _ { k ^ { \prime } = 0 } ^ { k } \mathbb { P } _ { p } \left( \mathcal { A } ^ { u } ( m , k ^ { \prime } ) \right) \mathbb { P } _ { p } \left( \mathcal { A } ^ { - u } ( m , k - k ^ { \prime } - N ) \right) } \\ & { \leq ( k + 2 ) \exp \left( - h _ { p } ^ { u } \left( p ^ { \alpha ( u ) } m \right) ( k - N ) \right) , } \end{array}
{ \Delta \theta } = \left[ \begin{array} { r } { 2 . 2 } \\ { 6 . 2 } \\ { - 4 . 2 } \\ { - 7 . 3 } \\ { - 1 0 . 2 } \\ { 8 . 9 } \end{array} \right] \mathrm { ~ K } , \quad \mathrm { a n d } \quad { \Delta \zeta } = \left[ \begin{array} { r } { 0 } \\ { 0 . 2 8 } \\ { 0 . 3 2 } \\ { 0 . 0 1 } \\ { - 0 . 5 2 } \\ { - 0 . 5 3 } \end{array} \right] \mathrm { k m } .
\begin{array} { r } { \int _ { \mathcal { R } } F ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , t _ { 3 } , t _ { 4 } ) \delta ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) \delta ( t _ { 3 } - t _ { 4 } ) d ^ { 4 } \mathbf { t } } \\ { = \frac { 1 } { 4 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau } \! \! \! \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } F ( t _ { 1 } , t _ { 1 } , t _ { 3 } , t _ { 3 } ) d t _ { 3 } d t _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { | \Phi ^ { N } \rangle } & { = } & { \sum _ { n _ { 1 } , \dots , n _ { N } } \int \, \cdots \int d \boldsymbol { p } _ { 1 } \dots \boldsymbol { p } _ { N } f _ { n _ { 1 } , \dots , n _ { N } } ^ { N } ( \boldsymbol { p } _ { 1 } , \dots , \boldsymbol { p } _ { N } ) \times \ } & { \times } & { | \boldsymbol { p } _ { 1 } \rangle \dots | \boldsymbol { p } _ { N } \rangle | n _ { 1 } \rangle \dots | n _ { N } \rangle \, , } \end{array}
S t r \left( D _ { a _ { 1 } } \phi ^ { j _ { 1 } } \ldots D _ { a _ { l } } \phi ^ { j _ { l } } \phi ^ { i _ { 1 } } \ldots \phi ^ { i _ { n } } \underbrace { \phi ^ { i _ { 2 ( k + r ) } ^ { \prime } } \phi ^ { i _ { 2 ( k + r ) - 1 } ^ { \prime } } } \dots \underbrace { \phi ^ { i _ { 2 } ^ { \prime } } \phi ^ { i _ { 1 } ^ { \prime } } } \ldots F _ { a _ { p } a _ { p - 1 } ] } \right) ,
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { E r r o r } } = \frac { \left| \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t W ( t ) e ^ { i \omega t } \left\{ \boldsymbol J _ { \mathrm { w / o ~ n o n l o c } } ( t ) - \boldsymbol J _ { \mathrm { w / ~ n o n l o c } } ( t ) \right\} \right| } { \left| \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t W ( t ) e ^ { i \omega t } \boldsymbol J _ { \mathrm { w / ~ n o n l o c } } ( t ) \right| } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { J } _ { \mathrm { { a b } } } ( s | \r ) = } & { { } \int _ { \Omega } d \r _ { 0 } \, \delta ( \r - \r _ { 0 } ) \tilde { J } _ { \mathrm { { a b } } } ( s | \r _ { 0 } ) = \int _ { \Omega } d \r _ { 0 } \biggl [ \tilde { J } _ { \mathrm { { a b } } } ( s | \r _ { 0 } ) ( s - D \Delta _ { \r _ { 0 } } ) \tilde { p } ( \r , s | \r _ { 0 } ) - \tilde { p } ( \r , s | \r _ { 0 } ) ( s - D \Delta _ { \r _ { 0 } } ) \tilde { J } _ { \mathrm { { a b } } } ( s | \r _ { 0 } ) \biggr ] } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( \omega _ { s } , \omega _ { i } ) = \textit { l } _ { s } ( \omega _ { s } ) \textit { l } _ { i } ( \omega _ { i } ) \int \! \! \mathrm { d } \omega \, \alpha ( \omega ) \textit { l } _ { p _ { 1 } } ( \omega ) \beta ( \omega _ { s } + \omega _ { i } - \omega ) \textit { l } _ { p _ { 2 } } ( \omega _ { s } + \omega _ { i } - \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { r } ( t _ { i } ) } & { = } & { ( e ^ { - \Delta t / \tau _ { l } } + e ^ { - \Delta t / \tau _ { s } } ) \mathbf { r } ( t _ { i - 1 } ) } \\ & { } & { - e ^ { - \Delta t / \tau _ { l } - \Delta t / \tau _ { s } } \mathbf { r } ( t _ { i - 2 } ) + \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau _ { s } } } \xi ( t _ { i } ) \mathbf { e } _ { \varphi } ( t _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { M } } = \sum _ { \alpha _ { 0 } , \dots , \alpha _ { M } = 0 } ^ { \chi - 1 } } & { \Gamma _ { \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } } ^ { [ 1 ] i _ { 1 } } \lambda _ { \alpha _ { 1 } } ^ { [ 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { [ 2 ] i _ { 2 } } \lambda _ { \alpha _ { 2 } } ^ { [ 2 ] } } \\ & { \dots \lambda _ { \alpha _ { M - 1 } } ^ { [ M - 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { M - 1 } \alpha _ { M } } ^ { [ M ] i _ { M } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ^ { m } ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } u ) = \ } & { e ^ { i x ^ { 2 } / 4 t } ( 2 i t ) ^ { m } \partial _ { x } ^ { m } ( e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } u ) } \\ { = \ } & { e ^ { i x ^ { 2 } / 4 t } ( 2 i t ) ^ { m } \partial _ { x } ^ { m } ( | e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } u | ^ { p - 1 } | e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } v | ^ { p + 1 } e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } u ) } \\ { = \ } & { e ^ { i x ^ { 2 } / 4 t } ( 2 i t ) ^ { m } \partial _ { x } ^ { m } ( | w | ^ { p - 1 } | z | ^ { p + 1 } w ) } \end{array}
\mathbf { E } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( \mathbf { r } ) = \underset { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } \leq k ^ { 2 } } { \iint } \mathcal { F } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( k _ { x } , k _ { y } ) \, e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \, \mathrm { d } k _ { x } \, \mathrm { d } k _ { y } .
H _ { i \leftarrow j } ^ { \prime } ( 1 ) = \phi \left[ 1 + \sum _ { k \in \partial ( j ) \backslash i } \frac { H _ { j \leftarrow k } ^ { \prime } ( 1 ) } { H _ { j \leftarrow k } ( 1 ) } \right] \prod _ { k \in \partial ( j ) \backslash i } H _ { j \leftarrow k } ( 1 ) .
\begin{array} { r l } { \delta ( Q ) } & { \geq \frac { n + 2 k - 2 } { 4 } - | S | } \\ & { > \frac { n + 2 k - 2 } { 4 } - c _ { k } \sqrt { n } - 1 } \\ & { \geq ( 2 c _ { k } \sqrt { n } + k ^ { 2 } + 2 k + 1 ) - c _ { k } \sqrt { n } - 1 } \\ & { = c _ { k } \sqrt { n } + ( k + 1 ) ^ { 2 } - 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { | V ( Q ) | } + ( k + 1 ) | X \cap V ( Q ) | - 1 . } \end{array}
{ \cal L } _ { K ^ { + * } K ^ { + } \gamma } = - \frac { e } { 4 \pi ^ { 2 } g } { \frac { 2 } { f _ { \pi } } } \varepsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } K _ { \mu } ^ { + } \partial _ { \beta } K ^ { + } \partial _ { \nu } A _ { \alpha } .
\begin{array} { r l r } { \rho ( x , y ) } & { { } = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 , \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad 0 . 2 5 < y < 0 . 7 5 } \\ { 1 , \quad } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \\ { u ( x , y ) } & { { } = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 , \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad 0 . 2 5 < y < 0 . 7 5 } \\ { - 0 . 5 , \quad } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right. } \\ { v ( x , y ) } & { { } = } & { w _ { 0 } \sin ( 4 \pi x ) \left\{ \exp \left[ - \frac { ( y - 0 . 2 5 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] + \exp \left[ - \frac { ( y - 0 . 7 5 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] \right\} } \\ { p ( x , y ) } & { { } = } & { 2 . 5 } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { h } ^ { ( 2 ) } : = } & { \ R _ { h } ^ { ( 1 ) } - 2 ^ { 2 } R _ { \frac { h } { 2 } } ^ { ( 1 ) } } \\ { = } & { \ 0 + f _ { 3 } ( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } ) ( 1 - \frac { 1 } { 2 } ) h ^ { 3 } + . . . + f _ { n } \big ( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n - 1 } } \big ) \big ( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n - 2 } } \big ) h ^ { n } ; } \end{array}
\lambda _ { 1 } = 1 . 0 \, \mu \mathrm { m } , \lambda _ { 2 } = 1 . 1 \, \mu \mathrm { m } , \lambda _ { 3 } = 1 . 2 \, \mu \mathrm { m } , \lambda _ { 4 } = 1 . 3 \, \mu \mathrm { m }
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } ^ { \mathrm { ~ H ~ } } } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { T } _ { + + } } & { \mathbf { T } _ { + - } } \\ { \mathbf { T } _ { - + } } & { \mathbf { T } _ { -- } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { A } \mathbf { B } _ { t } \cdot \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } ^ { * } \cdot \left( \ln ( \mathbf { A } \mathbf { B } _ { t } \cdot \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } ^ { * } ) - \ln \mathbf { C } \right) } \\ { = \mathbf { B } _ { t } \cdot \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } ^ { * } \left( \ln \mathbf { B } _ { t } \cdot \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } ^ { * } - \ln \mathbf { C } \right) - \underbrace { ( \mathbf { A } \ln \mathbf { A } ) \cdot \boldsymbol { \phi _ { \mathbf { s } _ { t } } ^ { * } } } _ { = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { \leq | B | ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { p _ { 2 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| I _ { \gamma } f _ { 1 } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim | B | ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { p _ { 2 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim | 2 B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p _ { 1 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \bigg ( \frac { | B | } { | 2 B | } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { { p _ { 1 } } _ { - } } - \frac { 1 } { q } } } \\ & { \lesssim | 2 B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p _ { 1 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } . } \end{array}
L ^ { \ast } = 2 - 2 \varepsilon - \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 8 \pi } \log { ( \gamma \varepsilon ^ { 4 } ) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \gamma ^ { \frac { 3 } { 4 } } ( 1 + \gamma ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \varepsilon ^ { 3 } ( \log { \varepsilon ^ { - 1 } } ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \right) } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } a } { \mathrm { d } t } } & { = - \frac { a c } { 2 } - \frac { b _ { f } } { 2 \omega } \sin \varphi , } \\ { \frac { \mathrm { d } \varphi } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } { 2 \omega } + \frac { 3 k _ { 3 } a ^ { 2 } } { 8 \omega } - \frac { b _ { f } } { 2 \omega a } \cos \varphi . } \end{array}
\hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } \mathbf { P } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \mathbf { P } _ { k , \sigma } \mathbf { E } _ { k , \sigma } = 4 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) - \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \mathbf { D } _ { k , \sigma } + \mathbf { D } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } \right) \, ,
\beta _ { z } = \frac { 3 \Gamma _ { + } } { 4 \pi { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 5 } } \Bigg ( \rho _ { c } ( I _ { 1 B } ^ { \delta } - I _ { 2 B } ^ { \delta } ) - \rho _ { + } I _ { 1 B } ^ { \delta } \Bigg ) ( z _ { c } - z _ { + } )
\begin{array} { r l } { \| P _ { k - 1 } - P _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { \rho _ { \circ } ^ { k } } ) } } & { \leq \| u - P _ { k - 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { \rho _ { \circ } ^ { k } } ) } + \| u - P _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { \rho _ { \circ } ^ { k } } ) } } \\ & { \leq C C _ { \circ } \rho _ { \circ } ^ { k ( 2 + \alpha ) } . } \end{array}
z _ { 1 } \chi _ { \rho \, 1 } + f ( \gamma ) y _ { 1 } \chi _ { A \, 1 } ~ = ~ - \, [ z _ { 1 } ^ { 2 } K _ { 1 } + y _ { 1 } ^ { 2 } K _ { 2 } + 2 y _ { 1 } z _ { 1 } K _ { 3 } ]
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { 2 } ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n - 2 } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\forall N \in \mathbb { N } : \sum _ { k _ { 1 } + \ldots + k _ { n } \leq N } a _ { 1 , k _ { 1 } } \cdots a _ { n , k _ { n } } = \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { N } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 1 } } \cdots \sum _ { k _ { n } = 0 } ^ { k _ { n - 1 } } a _ { 1 , k _ { n } } a _ { 2 , k _ { n - 1 } - k _ { n } } \cdots a _ { n , k _ { 1 } - k _ { 2 } }
f _ { \mathrm { ~ I ~ } , 1 1 } ( \theta , n ) = \frac { n } { 2 } \left\{ \left[ 2 + ( - 1 ) ^ { n } + \frac { n } { 2 } \right] \cos \left( \left( \frac { n } { 2 } - 1 \right) \theta \right) - \left( \frac { n } { 2 } - 1 \right) \cos \left( \left( \frac { n } { 2 } - 3 \right) \theta \right) \right\}
\begin{array} { r l r } { ( \alpha - 2 \beta ) a _ { 1 } s _ { 0 , 2 } } & { = } & { \beta ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) ( a _ { 3 } + a _ { - 1 } ) + 2 \beta ( \alpha - \beta ) s _ { 1 , 2 } } \\ & { + } & { \left[ - 2 \alpha \beta \lambda _ { 1 } ^ { f } + 2 \beta ( 1 - \alpha ) \lambda _ { 1 } \right. } \\ & { + } & { \left. \frac { \beta } { 2 } ( 4 \alpha ^ { 2 } - 2 \alpha \beta + 4 \beta ^ { 2 } - \alpha - 2 \beta ) \right] ( a _ { 0 } + a _ { 2 } ) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { ( \alpha - \beta ) } \left[ ( 6 \alpha ^ { 2 } - 8 \alpha \beta - 2 \alpha + 4 \beta ) ( \lambda _ { 1 } ^ { f } ) ^ { 2 } \right. } \\ & { + } & { \left. 2 \alpha ( \alpha - 1 ) \lambda _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { f } + 2 \alpha ( - 2 \alpha - 2 \beta + 1 ) ( \alpha - \beta ) \lambda _ { 1 } ^ { f } \right. } \\ & { - } & { \left. 4 \beta ( \alpha - 1 ) ( \alpha - \beta ) \lambda _ { 1 } - \alpha \beta ( \alpha - \beta ) \lambda _ { 2 } ^ { f } \right. } \\ & { + } & { \left. 2 \beta ( 2 \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } - \alpha ) ( \alpha - \beta ) \right] a _ { 1 } } \\ & { + } & { \left[ - 4 \alpha \lambda _ { 1 } ^ { f } - 4 ( \alpha - 1 ) \lambda _ { 1 } \right. } \\ & { + } & { \left. ( 4 \alpha ^ { 2 } - 2 \alpha \beta + 4 \beta ^ { 2 } - \alpha - 2 \beta ) \right] s _ { 0 , 1 } . } \end{array}
\int _ { \Gamma _ { \sigma } ^ { \varepsilon } } \vartheta \rightarrow \int _ { \partial _ { \sigma } \Omega } \bar { \phi } _ { s } \vartheta = \int _ { \partial \Omega } \bar { \phi } _ { s } \vartheta \; , \quad \int _ { \Gamma _ { p } ^ { \varepsilon } } \vartheta \rightarrow \int _ { \partial _ { p } \Omega } \bar { \phi } _ { f } \vartheta = \int _ { \partial \Omega } \bar { \phi } _ { f } \vartheta \; ,
\frac { \rho _ { A } } { s _ { 0 } } \simeq D \int _ { m _ { 2 } } ^ { m _ { 1 } } d m _ { A } \, ( m _ { A } r _ { n } ) ^ { m } Y _ { 3 } \frac { T _ { 0 } } { T ( m _ { A } ) } < 3 \cdot 1 0 ^ { - 6 } h ^ { 2 } \, \mathrm { M e V } ,
{ \frac { \mathrm { d } \Gamma } { \mathrm { d } \cos \alpha } } \propto \left. { \frac { \mathrm { d } \Gamma } { \mathrm { d } \cos \alpha } } \right| _ { D _ { 2 } ^ { * } } + \left. { \frac { \mathrm { d } \Gamma } { \mathrm { d } \cos \alpha } } \right| _ { D _ { 1 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { f / b } ^ { \mathrm { d c } } } & { = \tau _ { 0 } ^ { \mathrm { d c } } \biggl [ 1 - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } \bigl [ \lambda _ { + } ( M _ { 1 1 } ^ { \mathrm { d c } , + } + M _ { 1 1 } ^ { \mathrm { d c } , - } ) } \\ & { \qquad + \cos ( \theta ) \lambda _ { + } ( M _ { 1 1 } ^ { \mathrm { d c } , + } + M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { d c } , - } ) } \\ & { \qquad \mp \mathrm { i } \sin ( \theta ) \lambda _ { - } ( M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { d c } , - } - M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { d c } , + } ) \bigr ] \biggr ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ Q _ { i } ^ { \prime } ] = } & { \sum _ { j } \lambda ( Q _ { i } ^ { \prime } , P _ { j } ) [ Q _ { j } ] = \sum _ { j k } \lambda ( Q _ { i } ^ { \prime } , P _ { k } ^ { \prime } ) \lambda ( \tilde { Q } _ { k } , P _ { j } ) [ Q _ { j } ] } \\ { = } & { \sum _ { j } \lambda ( \tilde { Q } _ { i } , P _ { j } ) [ Q _ { j } ] , } \end{array}
| | \underline { { { X } } } | | ^ { 2 } \, \to \, \left( i x _ { 0 } \right) ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 3 } ^ { 2 } \, = \, - \left( x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } \right) \, .
a _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } } ^ { \left\{ 3 \right\} } = \frac { 5 \cdot 3 } { 3 \cdot 2 } \left( a _ { i _ { 1 } } a _ { i _ { 2 } } a _ { i _ { 3 } } - \frac { 1 } { 5 } \left( a _ { i _ { 1 } } \delta _ { i _ { 2 } i _ { 3 } } + a _ { i _ { 2 } } \delta _ { i _ { 3 } i _ { 1 } } + a _ { i _ { 3 } } \delta _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \right) \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { V } ^ { * } \frac { \omega ^ { ( - ) } } { \sigma ^ { \downarrow } } } & { = \widetilde { \Lambda } \widetilde { V } ^ { * } \sin ( \widetilde { V } c ) \iff \widetilde { \Lambda } ^ { - 1 } \widetilde { V } ^ { * } \frac { \omega ^ { ( - ) } } { \sigma ^ { \downarrow } } = \widetilde { V } ^ { * } S ( c ) \widetilde { V } c } \end{array}
\begin{array} { r c l c r c l c r c l c r c l } { { f _ { 1 } } } & { { = } } & { { - 6 i } } & { { ; } } & { { f _ { 3 } } } & { { = } } & { { - 6 i } } & { { ; } } & { { f _ { 2 } } } & { { = } } & { { - \frac { 4 } { 3 } a _ { 5 } } } & { { ; } } & { { f _ { 4 } } } & { { = } } & { { - 8 i a _ { 5 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { P } ^ { M } } ^ { \prime } = } & { { } - \int _ { V } \left[ \left( 2 \delta _ { i j } R _ { \underline { { i } } m } ^ { V } \delta _ { \underline { { i } } l } \delta _ { m k } + 2 \delta _ { i j } \zeta _ { \underline { { i } } m k l } \frac { \partial u _ { \underline { { i } } } } { \partial x _ { m } } \right) + \left( \epsilon _ { i j } R _ { \underline { { i } } \underline { { i } } } ^ { V } \Omega _ { k l } + \epsilon _ { i j } \omega _ { Z } \zeta _ { \underline { { i } } \underline { { i } } k l } \right) \right] d V } \end{array}
\beta _ { \parallel \mathrm { i } } \Delta _ { \mathrm { N P } } \approx \beta _ { \perp \mathrm { i } } \Delta _ { \mathrm { N P } } \approx - 2 \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } \biggl ( 1 + 2 \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } + \frac { k ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \frac { \delta B _ { \parallel } ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \biggr ) ^ { - 1 } .
{ \frac { \Delta F ( P _ { 0 } ) } { \Delta P } } = { \frac { F ( P _ { \acute { n } } ) - F ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { \acute { n } } P } } = { \frac { F ( P _ { 1 } ) - F ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } = { \frac { F ( P _ { 1 } ) - F ( P _ { 0 } ) } { P _ { 1 } - P _ { 0 } } } . \,
\begin{array} { r l } { R _ { d } } & { = \left[ \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } n \right] - \left[ \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \frac { n } { ( d + 1 ) } \left( 1 + \sum _ { d _ { 2 } = 0 } ^ { d - 1 } \prod _ { d _ { 1 } = 0 } ^ { d _ { 2 } } \frac { d - d _ { 1 } } { d + 1 } \right) \right] } \\ & { = \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } n \left[ 1 - \frac { 1 } { ( d + 1 ) } \left( 1 + \sum _ { d _ { 2 } = 0 } ^ { d - 1 } \prod _ { d _ { 1 } = 0 } ^ { d _ { 2 } } \frac { d - d _ { 1 } } { d + 1 } \right) \right] } \end{array}
W = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j \neq i } \frac { q _ { i } q _ { j } } { \vert r _ { i } - r _ { j } \vert } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \cal V } E ^ { { \ast } 2 } d { \cal V } .