harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { 2 \left\lceil \frac { N _ { k } ( M + N / 2 ) } { k _ { r } } \right\rceil + 2 N \beth ( k _ { r } - 1 ) + 2 \left\lceil \frac { N _ { k } M } { k _ { r } } \right\rceil + 2 N \beth ( k _ { r } - 1 ) + 2 \left\lceil \frac { N _ { k } ( M + N / 2 ) } { k _ { r } ^ { \prime } } \right\rceil + 2 k _ { r } ^ { \prime } } \\ & { + 2 \left\lceil \frac { N _ { k } M ) } { k _ { r } ^ { \prime } } \right\rceil + 2 k _ { r } ^ { \prime } + 1 6 N ( \beth - 2 ) + 1 2 N _ { k } + 4 \lceil \log N _ { k } ( M + N / 2 ) \rceil + 4 \lceil \log N _ { k } M \rceil , } \end{array}
\sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } ( x - j h ) ^ { \alpha } \delta _ { h } ( x - j h ) h = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \widetilde { \left( x ^ { \alpha } \delta _ { h } \right) } \left( \frac { 2 \pi k } { h } \right) e ^ { 2 \pi i k \frac { x } { h } } = \left\{ \begin{array} { r l } & { 1 , \quad \alpha = 0 } \\ & { 0 , \quad \alpha = 1 , 2 , 3 , . . . } \end{array} \right.
\big \| | \mathbf { u } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } - | \mathbf { u } _ { h } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } _ { h } \big \| _ { 0 , T } ^ { 2 } \, \leq \, \widehat { c } _ { \mathrm { p } } \, \Big ( \| \mathbf { u } \| _ { 0 , 3 ( \mathrm { p } - 2 ) ; T } ^ { 2 ( \mathrm { p } - 2 ) } + \| \mathbf { u } _ { h } \| _ { 0 , 3 ( \mathrm { p } - 2 ) ; T } ^ { 2 ( \mathrm { p } - 2 ) } \Big ) \| \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { h } \| _ { 0 , 6 ; T } ^ { 2 } \, ,
[ \delta ( \epsilon _ { 1 } , t _ { 1 } ) , \delta ( \epsilon _ { 2 } , t _ { 2 } ) ] g = { \frac { t _ { 1 } \delta ( \epsilon _ { 1 2 } , t _ { 1 } ) - t _ { 2 } \delta ( \epsilon _ { 1 2 } , t _ { 2 } ) } { t _ { 1 } - t _ { 2 } } } g + \delta ^ { \prime } g + \delta ^ { \prime \prime } g ,
\hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { \hat { X } } \\ { \hat { \Theta } } \end{array} \right] \, , \qquad \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { \hat { x } } \\ { \hat { \theta } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } & { | \alpha _ { 1 } \hat { \zeta } ^ { 1 } + \alpha _ { 2 } \hat { \zeta } ^ { 2 } + \alpha _ { 3 } \hat { \zeta } ^ { 3 } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } = 0 } \\ { \Rightarrow \quad } & { ( \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } ) ( \cos \theta - 1 ) + \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \cdot 2 ( \cos \theta - 1 ) ( \cos \theta + 1 ) = 0 } \\ { \Rightarrow \quad } & { \frac { \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } } { \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } = \frac { 1 } { \alpha _ { 3 } } + \frac { 1 } { \alpha _ { 2 } } = - \frac { 2 ( \cos \theta + 1 ) } { \alpha _ { 1 } } . } \end{array}
\frac { d f _ { \mathrm { { b a l l } } } } { d \widetilde { \boldsymbol { p } } } = \frac { \partial f _ { \mathrm { b a l l } } } { \partial \widehat { \lambda } _ { \mathrm { { m a x } } } } \bigg \lvert _ { \widetilde { \boldsymbol { p } } , \widehat { \boldsymbol { p } } } \frac { \partial \widehat { \lambda } _ { \mathrm { m a x } } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } \bigg \lvert _ { \widehat { \boldsymbol { p } } } + \frac { \partial f _ { \mathrm { { b a l l } } } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } \bigg \lvert _ { \widehat { \lambda } _ { \mathrm { m a x } } , \widetilde { \boldsymbol { p } } } \frac { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } \bigg \lvert _ { \widehat { \lambda } _ { \mathrm { { m a x } } } } + \frac { \partial f _ { \mathrm { b a l l } } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } \bigg \lvert _ { \widehat { \lambda } _ { \mathrm { { m a x } } } , \widehat { \boldsymbol { p } } } .
\begin{array} { r } { \frac { E _ { x } ^ { \prime 2 } } { ( E _ { x \prime } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { E _ { y } ^ { \prime 2 } } { ( E _ { y \prime } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } = 1 } \end{array}
f ( t ) = \frac { | x _ { 0 } - a | ( 1 + \alpha ) ^ { 3 / 2 } } { 2 \sqrt { \pi A } } \frac { 1 } { t ^ { \frac { 3 + \alpha } { 2 } } } e ^ { - \frac { ( x _ { 0 } - a ) ^ { 2 } ( 1 + \alpha ) } { 4 A t ^ { 1 + \alpha } } } .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \! \left[ { \mathrm { \Large ~ \mathfrak ~ 1 ~ } } ( A ) \cdot \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) \right] \leq \mathbb { E } \! \left[ ( \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) ) ^ { 2 } e ^ { - \lambda } Z _ { \lambda } ^ { - 1 } + \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) ( \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) - 1 ) ( 2 d - 2 ) ^ { 2 } Z _ { \lambda } ^ { - 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { X } ( x , y ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { m } \biggl [ \cos \biggl \{ m \pi \biggl ( 1 - \frac { | x - X | } { W } \biggr ) \biggr \} } \\ & { } & { - \cos \biggl ( m \pi \frac { x + X } { W } \biggr ) \biggr ] e ^ { - m \pi | y | / W } . } \end{array}
\sum _ { ( t , t ^ { \prime } ) \in \mathcal { E } _ { \leq } ^ { ( n ) } } \log \ell _ { t , t ^ { \prime } } ^ { ( n ) } \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { c \in \mathcal { C } ^ { ( \delta , h ) } } \left( S _ { c } ^ { ( n ) } \log n + S _ { c } ^ { ( n ) } \log \frac { S _ { c } ^ { ( n ) } } { n } - S _ { c } ^ { ( n ) } - 2 \sum _ { v = 1 } ^ { n } \log D _ { c } ^ { ( n ) } ( v ) ! \right) + O ( \log n ) .
\times \delta ( p _ { \theta } - p ^ { \prime } + \frac { \hbar m } { 2 } ) \delta ( p _ { \theta } - p ^ { \prime \prime } - \frac { \hbar n } { 2 } ) e ^ { \frac { 2 i } { \hbar } [ - ( p _ { \theta } - p ^ { \prime } ) ( \theta - \theta ^ { \prime \prime } ) + ( p _ { \theta } - p ^ { \prime \prime } ) ( \theta - \theta ^ { \prime } ) ] } f ( \theta ^ { \prime } , p ^ { \prime } ) g ( \theta ^ { \prime \prime } , p ^ { \prime \prime } ) .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { V a r } [ \mathcal { N } _ { n } ] \leq \frac { K ^ { 2 } \mathbb { E } _ { Y } [ Y ^ { 2 } ] - \overline { { I } } ^ { 2 } ( 1 - \frac { C } { p } ) ^ { 2 } } { n } + \frac { 2 \overline { { I } } ^ { 2 } C } { n ^ { 2 } } ( } \\ & { \frac { n C ^ { \prime } p } { 1 - \alpha } + \frac { \alpha ^ { 2 } C ^ { \prime } p } { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } } + \frac { n } { p ( 1 - \alpha ) } + \frac { \alpha ^ { 2 } } { p ( 1 - \alpha ) ( 1 - \alpha ^ { 2 } ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \sum _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \left( \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { k } \end{array} \right) \ = \ 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { k } \end{array} \right) + 1 \ = } } \\ & { = } & { 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k - 1 } \end{array} \right) + 1 \ = \ 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \ = \ 2 ^ { n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbb P } \left( \operatorname* { m a x } _ { N ( 1 - \delta ) \leq n \leq N } | X _ { n } ^ { \circ } | > x N ^ { 3 / 2 } \right) \leq \frac { 1 } { x ^ { 2 } N ^ { 3 } } \sum _ { n = \lfloor N ( 1 - \delta ) \rfloor } ^ { N } \frac { 2 N - 2 n + 1 } { ( N - n + 1 ) ^ { 2 } } \, \sigma _ { n } ^ { 2 } < } \\ { \frac { 4 } { x ^ { 2 } N } \sum _ { n = \lfloor N ( 1 - \delta ) \rfloor } ^ { N } \log ^ { 2 } \left( \frac { N } { N - n + 1 } \right) \to \frac { 4 } { x ^ { 2 } } \, \delta \log ^ { 2 } \delta , } \end{array}
f ( a , b , c ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \cos A } & { { \mathrm { i f ~ } } \triangle { \mathrm { ~ i s ~ a c u t e } } , } \\ { \cos A + \sec B \sec C } & { { \mathrm { i f ~ } } \measuredangle A { \mathrm { ~ i s ~ o b t u s e } } , } \\ { \cos A - \sec A } & { { \mathrm { i f ~ e i t h e r } } \measuredangle B { \mathrm { ~ o r ~ } } \measuredangle C { \mathrm { ~ i s ~ o b t u s e } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \frac { \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \Big | _ { y ^ { + } = c } } & { { } } & { = \underbrace { \int _ { - \infty } ^ { \ln ( a / \delta ) } \frac { k _ { x } \Phi _ { u u } ( k _ { x } , c \delta _ { \nu } ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \mathrm { d } ( \ln k _ { x } ) } _ { \mathrm { R e g i o n ~ I } } + \underbrace { \int _ { \ln ( b / \delta _ { \nu } ) } ^ { \infty } k _ { x } \Phi _ { u u } ( k _ { x } , c \delta _ { \nu } ) \mathrm { d } ( \ln k _ { x } ) } _ { \mathrm { R e g i o n ~ I I } } } \end{array}
{ \mathfrak { s l } } _ { 3 } = { \mathfrak { h } } \oplus { \mathfrak { g } } _ { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } \oplus { \mathfrak { g } } _ { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 3 } } \oplus { \mathfrak { g } } _ { \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 3 } } \oplus { \mathfrak { g } } _ { \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } } \oplus { \mathfrak { g } } _ { \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 1 } } \oplus { \mathfrak { g } } _ { \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 2 } }
{ \cal J } _ { \alpha , \mu _ { 1 } . . . \mu _ { \ell } } ^ { b J \ell n } = \sum _ { j = \ell - 1 } ^ { \ell + 1 } { \cal I } _ { \alpha \mu _ { 1 } . . . \mu _ { \ell } } ^ { b J \ell n j } ,
\begin{array} { r l r } { [ \hat { P } _ { \mathrm { f i e l d } , k } , \hat { A } _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] } & { { } = } & { \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \left\{ [ \hat { E } _ { n } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \partial _ { k } ^ { \prime } \hat { A } _ { n } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) , \hat { A } _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] + . . . \right\} = } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { p , q } } & { = - \log \left( 1 - ( p + q ) + 2 \sqrt { p q } \left( \sqrt { p q } + \sqrt { ( 1 - p ) ( 1 - q ) } \right) \right) } \\ & { = - \log \left( 1 - \left( \sqrt { p } - \sqrt { q } \right) ^ { 2 } - 2 \sqrt { p q } \left( 1 - \sqrt { p q } - \sqrt { ( 1 - p ) ( 1 - q ) } \right) \right) } \\ & { = - \log \left( 1 - \left( \sqrt { p } - \sqrt { q } \right) ^ { 2 } - 2 \sqrt { p q } \frac { ( \sqrt { p } - \sqrt { q } ) ^ { 2 } } { 1 - \sqrt { p q } + \sqrt { ( 1 - p ) ( 1 - q ) } } \right) } \\ & { = - \log \left( 1 - \left( 1 + \frac { 2 \sqrt { p q } } { 1 - \sqrt { p q } + \sqrt { ( 1 - p ) ( 1 - q ) } } \right) \left( \sqrt { p } - \sqrt { q } \right) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { q } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \omega ] } & { { } \approx H _ { 0 } [ \omega ] \left( \hat { q } _ { 0 } [ \omega ] - \hat { q } _ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \omega ] \right) } \\ { \hat { p } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \omega ] } & { { } \approx H _ { 0 } [ \omega ] \left( \hat { p } _ { 0 } [ \omega ] + \hat { p } _ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \omega ] \right) . } \end{array}
\forall n \in \mathbb { N } ^ { * } , \quad \Delta _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 4 n ^ { 2 } } \left[ \omega _ { C } ^ { 2 } - \omega _ { N } \omega _ { S } \tan ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) \cot ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) \right] > 0 .
\begin{array} { r l } { 2 \mathrm { { R a } } \left| \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } n _ { 1 } \ d S \right| } & { \leq C { \mathrm { R a } } \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 1 } } \leq C \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } + \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum \vert M _ { g } ^ { \mathrm { v i o l } } \vert ^ { 2 } } & { = } & { g _ { S } ^ { 2 n - 4 } ( Q ^ { 2 } ) ~ N ^ { n - 2 } ( N ^ { 2 } - 1 ) } \\ & { } & { \times \left( \sum _ { i < j } \right) \left( \sum _ { \mathrm { p e r m } } \frac { 1 } { S _ { 1 2 } S _ { 2 3 } S _ { n 1 } } \right) \frac { 1 } { S _ { 1 2 } } ~ . } \end{array}
{ \mathrm { i n v } ^ { \prime } } = \underset { \underset { i _ { \xi } > i _ { \mu } } { \xi < \mu } } { \sum } 1 + \underset { \underset { i _ { \mu } < \mathrm { I } ( V _ { i { \alpha _ { 1 } } + j { \alpha _ { 2 } } } ) } { \mu > b + 1 } } { \sum } 1 + \underset { \underset { i _ { \xi } > \mathrm { I } ( V _ { i { \alpha _ { 1 } } + j { \alpha _ { 2 } } } ) } { \xi < b } } { \sum } 1
\begin{array} { r l } { \dot { \langle \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle } } & { = \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X B } } \langle \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y B } } \langle \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle - \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X A } } \langle \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle - \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y A } } \langle \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle , } \\ { \dot { \langle \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle } } & { = \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X A } } \langle \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y A } } \langle \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle - \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X B } } \langle \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle - \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y B } } \langle \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle . } \end{array}
B _ { 2 } ( \theta , \varphi ) - \bar { B } _ { 2 } ( \varphi ) = \varphi _ { b } ^ { \prime } \left[ B _ { 2 } ( \theta - \iota \Delta \varphi , \varphi _ { b } ) - \bar { B } _ { 2 } ( \varphi _ { b } ) \right] + \left( \frac { B _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 B _ { 0 } ^ { \prime } } \right) \frac { \varphi _ { b } ^ { \prime \prime } } { ( \varphi _ { b } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { \varphi _ { b } ^ { \prime } } \right) ( \partial _ { \varphi } + \iota \partial _ { \theta } ) \left( \frac { B _ { 1 } ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { \prime } } \right) .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { M } } _ { 1 } ( \tilde { r } , t ) = } & { { } \; \int _ { 0 } ^ { \tilde { r } } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \left( \int _ { 0 } ^ { s } \left( 4 \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial t } - \tilde { u } _ { 1 } \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } \right) I ( \sigma , t ) \, \mathrm { ~ d ~ } \sigma \right) \, \mathrm { ~ d ~ } s + B _ { 1 } ( t ) \int _ { 0 } ^ { \tilde { r } } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \, \mathrm { ~ d ~ } s , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \frac { \partial } { \partial t } + \frac { { \bf p } } { M } \cdot \nabla \right) { \cal F } = } \\ & { } & { - \sum _ { i } \frac { \partial } { \partial p _ { i } } f _ { i } ( { \bf r } , { \bf p } ) { \cal F } + \sum _ { i , j } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial p _ { i } \, \partial p _ { j } } D _ { i j } ( { \bf r } , { \bf p } ) { \cal F } \, , } \end{array}
\int _ { \mathbb { R } } \frac { d \hat { q } } { 2 \pi } \frac { 1 + 2 \lambda - 2 i \hat { q } } { 2 + 2 \lambda - 2 i \hat { q } } e ^ { - 2 t \hat { q } ^ { 2 } + i \hat { y } \hat { q } } \simeq \frac { 1 } { \sqrt { 8 \pi t } } e ^ { - \frac { \hat { y } ^ { 2 } } { 8 t } } \frac { 1 + 2 \lambda + \frac { \hat { y } } { 2 t } } { 2 + 2 \lambda + \frac { \hat { y } } { 2 t } }
\hat { \mathbf { G } } _ { x z } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; \omega ) = \frac { 1 } { 4 { \pi } } ( \frac { \omega } { c } ) P V \int _ { 0 } ^ { \infty } { \kappa ^ { 2 } } r ^ { p } ( \kappa ) J _ { 1 } ( \frac { \kappa \omega R } { c } ) e ^ { 2 i p { \omega } z / c } d { \kappa } = - \hat { \mathbf { G } } _ { z x } ^ { s c }
\begin{array} { r l } { \tilde { v } _ { 0 } ( t = 0 ) = } & { { } \tilde { v } _ { x } ( t = 0 ) = \tilde { v } _ { y } ( t = 0 ) = 0 , } \\ { \tilde { h } _ { 0 } ( t = 0 ) = } & { { } h _ { 0 } . } \end{array}
G L S _ { Q C D } ( Q ^ { 2 } ) = 3 \left[ 1 - a - ( 4 . 5 8 3 - 0 . 3 3 3 f ) a ^ { 2 } - ( 4 1 . 4 4 1 - 8 . 0 2 f + 0 . 1 7 7 f ^ { 2 } ) a ^ { 3 } - \frac { 8 } { 2 7 } \frac { \langle \langle O \rangle \rangle } { Q ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } & { C _ { q } ( r , \theta , \varphi , \omega | \bar { r } _ { \mathrm { t x } } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \sum _ { m = 0 } ^ { n } { { { H _ { m n } R _ { n } ^ { q } ( r , \omega ) } \cos ( m ( \varphi - { \varphi _ { \mathrm { t x } } } ) ) } } } } \\ & { \times P _ { n m } ( \cos \theta ) , \; \; q \in \{ s , o \} , } \end{array}
4 0 , 0 0 0 ; b e i n g 3 0 y e a r s o l d o r y o u n g e r , b e i n g a r e n t e r , h a v i n g l e s s t h a n a c o l l e g e d e g r e e , b e i n g H i s p a n i c , b e i n g m a r r i e d , h a v i n g c h i l d r e n , a n d b e i n g B l a c k . A s c a n b e s e e n i n F i g . ~ ( b l u e l i n e s ) a s w e l l a s T a b . ~ , a l l o f t h e W L S c o e f f i c i e n t s a r e v e r y w e a k ( c l o s e t o 0 ) a n d a l l b u t o n e a r e s t a t i s t i c a l l y i n s i g n i f i c a n t . T h e o n l y c o e f f i c i e n t t h a t i s s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t i s p o s i t i v e a n d c o r r e s p o n d s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c o f b e i n g H i s p a n i c . W e a l s o r e p e a t t h i s a n a l y s i s u s i n g O L S ( F i g . ~ , r e d l i n e s ) t o n o t o b s c u r e t h e e f f e c t o f t h e w e i g h t s o f
_ { 2 } F _ { 1 } \left( a , 1 - a ; c ; { \frac { 1 } { 2 } } \right) = { \frac { \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } c ) \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + c \right) ) } { \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } \left( c + a \right) ) \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + c - a \right) ) } } .
\begin{array} { r l r } { P ( \mathcal { N } _ { 2 } | \mathcal { N } _ { 1 } ) } & { { } = } & { \binom { k _ { C } - 1 - \mathcal { N } _ { 1 } } { \mathcal { N } _ { 2 } } p ^ { \mathcal { N } _ { 2 } } ( 1 - p ) ^ { k _ { C } - 1 - \mathcal { N } _ { 1 } - \mathcal { N } _ { 2 } } . } \end{array}
\mathcal { H } _ { R } ( t , E , \psi _ { 2 } , p _ { 2 } , \cdots , \psi _ { N } , p _ { N } ) = E + \frac { 1 } { 2 I _ { 1 } } \left[ \mathsf { A } - \sum _ { k = 2 } ^ { N } p _ { k } \right] ^ { 2 } + \sum _ { j = 2 } ^ { N } \left[ \frac { p _ { j } ^ { 2 } } { 2 I _ { j } } - \mathsf { M } _ { j } ^ { e } ( t ) \psi _ { j } \right] + \Pi \left( \psi _ { 2 } , \psi _ { 3 } , . . . , \psi _ { N } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { ( d _ { f } ^ { * } d \zeta ) _ { l } } & { = - \nabla ^ { m } ( d \zeta ) _ { m l } + \nabla _ { m } f ( d \zeta ) _ { m l } } \\ & { = - \nabla ^ { m } ( \nabla _ { m } \zeta _ { l } - \nabla _ { l } \zeta _ { m } ) + \nabla ^ { m } f ( \nabla _ { m } \zeta _ { l } - \nabla _ { l } \zeta _ { m } ) } \\ & { = - \triangle _ { f } \zeta _ { l } + \nabla _ { m } \nabla _ { l } \zeta _ { m } - \nabla _ { m } f \nabla _ { l } \zeta _ { m } } \\ & { = - \triangle _ { f } \zeta _ { l } + \nabla _ { l } \nabla _ { m } \zeta _ { m } + R _ { l m } \zeta _ { m } - \nabla _ { m } f \nabla _ { l } \zeta _ { m } } \\ & { = - \triangle _ { f } \zeta _ { l } + \frac { 1 } { 4 } H _ { l m } ^ { 2 } \zeta _ { m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { u } \left( x , { t } _ { 1 } \right) } & { = { u } \left( x , 0 \right) + { { t } _ { 1 } } { u } ^ { { \prime } } \left( x , 0 \right) + { \widetilde R } _ { 1 } \left( x , { t } _ { 1 } \right) } \\ & { = { \psi } _ { 0 } \left( x \right) + { \tau } { \psi } _ { 1 } \left( x \right) + { \widetilde R } _ { 1 } \left( x , { \tau } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { Q ^ { * } ( s , a ) = r ( s , a ) + \sum _ { { s ^ { \prime } \in S } } \mathbb { P } ( s ^ { \prime } | s , a ) \gamma \mathrm { m a x } _ { a ^ { \prime } } Q ^ { * } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) } \\ { = r ( s , a ) + \mathbb { E } _ { s ^ { \prime } \in S } \left[ \gamma \mathrm { m a x } _ { a ^ { \prime } } Q ^ { * } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) \right] ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ T ~ r ~ a ~ n ~ s ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } & { { } \quad } & { \mathrm { ~ R ~ a ~ t ~ e ~ } } \\ { ( s , e , i ) \to ( s - 1 , e + 1 , i ) } & { { } \quad } & { \lambda s i ; } \\ { ( s , e , i ) \to ( s , e - 1 , i + 1 ) } & { { } \quad } & { \mu e ; } \\ { ( s , e , i ) \to ( s , e , i - 1 ) } & { { } \quad } & { \gamma i . } \end{array}
\mathcal { V } _ { i j } ^ { h k } = 1 - \frac { ( P _ { i j } ^ { h k } ) ^ { \mathrm { I } } } { ( P _ { i j } ^ { h k } ) ^ { \mathrm { D } } } = \frac { - 2 \tau _ { j k } \tau _ { i h } \tau _ { i k } \tau _ { j h } } { \tau _ { j k } ^ { 2 } \tau _ { i h } ^ { 2 } + \tau _ { i k } ^ { 2 } \tau _ { j h } ^ { 2 } } \cos \left( \phi _ { j k } + \phi _ { i h } - \phi _ { i k } - \phi _ { j h } \right)
{ \begin{array} { r l r l } { \operatorname* { m i n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j \neq i , j = 1 } ^ { n } c _ { i j } x _ { i j } } & { \colon } & & { } \\ { x _ { i j } \in } & { \{ 0 , 1 \} } & & { i , j = 1 , \ldots , n ; } \\ { \sum _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n } x _ { i j } = } & { 1 } & & { j = 1 , \ldots , n ; } \\ { \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } x _ { i j } = } & { 1 } & & { i = 1 , \ldots , n ; } \\ { u _ { i } - u _ { j } + 1 \leq } & { ( n - 1 ) ( 1 - x _ { i j } ) } & & { 2 \leq i \neq j \leq n ; } \\ { 2 \leq u _ { i } \leq } & { n } & & { 2 \leq i \leq n . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } \| \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } ( F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \gamma ^ { \varepsilon } } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } ) d \xi \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } d t } \\ & { \quad \lesssim _ { M } \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } \frac { 1 } { \varepsilon } \| \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } v \cdot \nabla _ { x } ( F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \gamma ^ { \varepsilon } } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } ) d \xi \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \| \partial _ { t } ( \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } ) e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } d t } \\ & { \quad \lesssim _ { M } \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } 1 + \frac { 1 } { \varepsilon } \sqrt { \widetilde { \mathscr D } _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } } d t } \\ & { \quad \lesssim _ { M } \hat { T } _ { \varepsilon } + \hat { T } _ { \varepsilon } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { x } ( x ) = } & { - D \left( \pi R ^ { 2 } ( x ) \partial _ { x } \overline { { \rho } } _ { \mathrm { s } } ( x ) + 2 \pi \sigma ( x ) \frac { e V } { k _ { \mathrm { B } } T } \frac { R _ { \mathrm { t } } R _ { \mathrm { b } } } { R ( x ) L } \right) } \\ & { + Q ( V ) \overline { { \rho } } _ { \mathrm { s } } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \underline { { \psi } } } } & { { } = - H ( \mathbf { W } ^ { * } ) - \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } \delta _ { \mathbf { A } , \mathbf { A } ^ { * } } \ln Z _ { \mathbf { A } } } \end{array}
\begin{array} { l } { I _ { 1 } = \operatorname { t r } ( S _ { i j } ) = e _ { 1 } + e _ { 2 } + e _ { 3 } , } \\ { I _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( ( \operatorname { t r } ( S _ { i j } ) ) ^ { 2 } - \operatorname { t r } \left( S _ { i j } ^ { 2 } \right) \right) = e _ { 1 } e _ { 2 } + e _ { 1 } e _ { 3 } + e _ { 2 } e _ { 3 } , } \\ { I _ { 3 } = \operatorname* { d e t } ( S _ { i j } ) = e _ { 1 } e _ { 2 } e _ { 3 } . } \end{array}
L = c _ { 0 } s + c \sqrt { { \dot { \bf e } } _ { 3 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } } + { \bf p } ( { \dot { \bf x } } - s { \bf e } _ { 1 } ) + \sum _ { i } { \bf p } _ { i - 1 } ( { \dot { \bf e } } _ { i - 1 } - k _ { i - 1 } { \bf e } _ { i } + k _ { i - 2 } { \bf e } _ { i - 2 } ) - \sum _ { i , j } d _ { i j } ( { \bf e } _ { i } { \bf e } _ { j } - \delta _ { i j } ) ,
1 6 \pi ^ { 2 } \frac { d } { d t } | \xi _ { L } ^ { u } | ^ { 2 } = 2 \left[ \left( \frac { 1 } { 3 } | \xi _ { L } ^ { u } | ^ { 2 } - G _ { L } ^ { u } \right) | \xi _ { L } ^ { u } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | \xi _ { L } ^ { u } | ^ { 4 } \right] \ .