harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \bar { a } \, = \, \frac { 4 \pi R _ { 6 } } { \Gamma ( 1 / 4 ) ^ { 2 } } \, = \, \frac { 2 \pi } { \Gamma ( 1 / 4 ) ^ { 2 } } ( \frac { 2 \mu C _ { 6 } } { \hbar ^ { 2 } } ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } , }
\{ m _ { ( i ) ( j ) } , \ { \cal P } _ { a } \} = \{ m _ { ( i ) ( j ) } , \ { \cal M } _ { a b } \} = \{ { \bar { m } } _ { ( i ) ( j ) } , \ { \cal P } _ { a } \} = \{ { \bar { m } } _ { ( i ) ( j ) } , \ { \cal M } _ { a b } \} = 0 .
{ \partial J } / { \partial { \bf { \bar { v } } } } = { \left[ { 0 , \frac { { \partial J } } { { \partial { { \bar { u } } _ { 1 } } } } , \frac { { \partial J } } { { \partial { { \bar { u } } _ { 2 } } } } , \frac { { \partial J } } { { \partial { { \bar { u } } _ { 3 } } } } } \right] ^ { T } }
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { d \rho ( t ) } { d t } = \left[ r - d \rho ( t ) - \mu \sigma ( t ) \right] \rho ( t ) , } & \\ { \displaystyle \frac { d \sigma ( t ) } { d t } = \gamma ( t ) - \left( k _ { 1 } + \nu \rho ( t ) \right) \sigma ( t ) , } & \\ { \displaystyle \frac { d \gamma ( t ) } { d t } = \gamma ( t ) \left( \omega \rho ( t ) - k _ { 2 } \gamma ( t ) \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { L _ { \beta } = \frac { 1 } { \beta } \sum _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , b } p ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) p ( b | a _ { 2 } ) \ln { \sum _ { c } p ^ { \beta } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , c ) p ^ { \beta } ( b | c ) } = \sum _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } } p ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) \ln { p ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { \beta } \sum _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , b } p ( a _ { 2 } ) p ( a _ { 1 } | a _ { 2 } ) p ( b | a _ { 2 } ) \ln { \sum _ { c } p ^ { \beta } ( c | a _ { 1 } , a _ { 2 } ) p ^ { \beta } ( b | c ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { u \to \infty } b _ { i } ^ { \leftarrow } ( u ) \psi _ { u } ( A ) \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { u \to \infty } b _ { i } ^ { \leftarrow } ( u ) \P ( \boldsymbol L ( T ) - T \boldsymbol p - \boldsymbol x \in u R ( \boldsymbol b , S ) ) = \mu _ { i } ( R ( \boldsymbol b , S ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( ) } } & { \lesssim \Big ( M ^ { 2 } r ^ { - d } + \mathbb { P } \big ( \bar { \Omega } - \{ \forall t \in [ - 1 , 2 ] \; X ( t ) \in \bar { B } _ { R } \} \big ) r ^ { 1 - d } } \\ & { + ( 1 - \kappa _ { \lambda } ) _ { + } \Big ) \int _ { \partial B _ { R } } ( \bar { g } - \bar { f } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ i ~ c ~ a ~ l ~ } } ( n , \mathcal { R } ) } & { { } = s _ { 0 } ^ { * } ( n ) \ell ( n ) ( 1 + \epsilon _ { \mathcal { R } } ( n ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| { \mathbf K } _ { j } \| _ { { \mathcal J } ^ { 1 } ( t , \infty ) } } & { = O ( e ^ { - 2 t } ) , } \\ { * [ 3 m m ] h ^ { m + 1 } \| \bar { \mathbf R } _ { m + 1 , h } \| _ { { \mathcal J } ^ { 1 } ( t , c h ^ { - 1 } ) } } & { = h ^ { m + 1 } O ( e ^ { - 2 t } ) + e ^ { - c h ^ { - 1 } } O ( e ^ { - t } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf \Pi } _ { \mathrm { { { F } } } } \cdot \mathbf { n } ^ { * } \ge } & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \hat { \alpha } _ { 1 } ^ { \mathrm { L F } } \Delta t } { \Delta x } \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \left[ \left( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } + \mathbf { U } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } + \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } + \mathbf { U } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } \right) \cdot \mathbf { n } ^ { * } + 2 | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } \right] } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \Delta t } { \Delta x } \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \left[ ( B _ { 1 } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } - ( B _ { 1 } ) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } + ( B _ { 1 } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } - ( B _ { 1 } ) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } \right] ( { \bf v } ^ { * } \cdot { \bf B } ^ { * } ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \hat { \alpha } _ { 2 } ^ { \mathrm { { L F } } } \Delta t } { \Delta y } \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \left[ \left( \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , - } + \mathbf { U } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , + } + \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , + } + \mathbf { U } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , - } \right) \cdot \mathbf { n } ^ { * } + 2 | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } \right] } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \Delta t } { \Delta y } \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \left[ ( B _ { 2 } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , - } - ( B _ { 2 } ) _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , + } + ( B _ { 2 } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , + } - ( B _ { 2 } ) _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , - } \right] ( { \bf v } ^ { * } \cdot { \bf B } ^ { * } ) } \\ { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \hat { \alpha } _ { 1 } ^ { \mathrm { L F } } \Delta t } { \Delta x } \left[ \left( { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } + \Pi _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } + { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } + { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } \right) \cdot \mathbf { n } ^ { * } + 2 | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } \right] } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \hat { \alpha } _ { 2 } ^ { \mathrm { { L F } } } \Delta t } { \Delta x } \left[ \left( { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } + { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } + { \bf \Pi } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } \right) \cdot \mathbf { n } ^ { * } + 2 | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } \right] } \\ & { - \Delta t ( \nabla _ { h } \cdot \lbrace \! \lbrace \mathbf { B } \rbrace \! \rbrace _ { i j } ) ( \mathbf { v } ^ { * } \cdot \mathbf { B } ^ { * } ) , } \end{array}
< ~ \dot { v } _ { \alpha _ { 1 } } \left( x _ { 1 } \right) v _ { \alpha _ { 2 } } \left( x _ { 2 } \right) \cdots ~ > + < ~ v _ { \alpha _ { 1 } } \left( x _ { 1 } \right) \dot { v } _ { \alpha _ { 2 } } \left( x _ { 2 } \right) \cdots ~ > + \cdots = 0
e ^ { v { \mathbf { a } } \cdot { \mathbf { r } } } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } { \sqrt { \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } } } { \frac { r ^ { \ell } v ^ { \ell } { \lambda ^ { m } } } { \sqrt { ( \ell + m ) ! ( \ell - m ) ! } } } Y _ { \ell } ^ { m } ( \mathbf { r } / r ) .
= \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \nu } \left. \int _ { \nu } \left[ \left| \nabla \times \left( { A } _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) + \nu \hat { \chi } _ { 1 } ( \textbf { x } ) \right) \right| ^ { 2 } \right] \right| _ { \nu = 0 }
\frac { \delta } { \delta { A } _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) } S ^ { f } \circ \hat { \chi } _ { 1 } ( \textbf { x } ) = \frac { \partial } { \partial \nu } \left[ \intop \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \nu } d ^ { 3 } x \left| \varepsilon _ { \delta } \nabla \times \left( { A } _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) + \nu \hat { \chi } _ { 1 } ( \textbf { x } ) \right) \right| ^ { 2 } \right] ,
\delta \pi _ { F _ { \varphi } } = n _ { M s } T _ { s } \left( - \alpha _ { s } F \right) \frac { T _ { s } } { M _ { s } } \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 3 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } { \mathbb { I } \left\{ { \check { z } _ { i } \neq z _ { i } ^ { * } } \right\} } } & { = \mathbb { P } \left( \sum _ { j : z _ { j } ^ { * } = 1 } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) - \sum _ { j \neq i : z _ { j } ^ { * } = 2 } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) \geq \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { 2 q } { ( n - 1 ) ( p - q ) } \right) ( n - 1 ) ( p - q ) \right) } \\ & { \leq \exp \left( - J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } - 1 , p , q } + \frac { q } { ( n - 1 ) ( p - q ) } ( n _ { 1 } + n _ { 2 } - 1 ) \frac { ( p - q ) ^ { 2 } } { q } \right) } \\ & { = \exp \left( - J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } - 1 , p , q } + ( p - q ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { M P 2 b } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j } ( g _ { a b } ^ { i j } - g _ { b a } ^ { i j } ) \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { i j } ^ { a b } } \\ { E _ { M P 3 b } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j k l } ( \check { t } ^ { [ 1 ] \dagger } { } _ { a b } ^ { i j } - \check { t } ^ { [ 1 ] \dagger } { } _ { b a } ^ { i j } ) g _ { k l } ^ { i j } \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { k l } ^ { a b } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b c d i j } ( \check { t } ^ { [ 1 ] \dagger } { } _ { a b } ^ { i j } - \check { t } ^ { [ 1 ] \dagger } { } _ { b a } ^ { i j } ) g _ { c d } ^ { a b } \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { i j } ^ { c d } } \\ { E _ { M P 3 c } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j } ( g _ { a b } ^ { i j } - g _ { b a } ^ { i j } ) \check { t } ^ { [ 2 ] } { } _ { i j } ^ { a b } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { f _ { \infty } = } & { \omega _ { 1 } ( 1 ) - \int _ { 1 } ^ { \infty } \nabla _ { z , y } ^ { \bot } P _ { \neq } \psi _ { 1 } ( s ) \cdot \nabla _ { z , y } \omega _ { 1 } ( s ) d s + \int _ { 1 } ^ { \infty } u ^ { \prime \prime } \partial _ { z } \psi _ { 1 } ( s ) d s } \\ & { + \int _ { 1 } ^ { \infty } \theta ^ { \prime } ( y ) \partial _ { z } P _ { 1 } ( s ) d s - \int _ { 1 } ^ { \infty } \partial _ { y } P _ { 1 } \partial _ { z } d _ { 1 } ( s ) d s + \int _ { 1 } ^ { \infty } \partial _ { z } P _ { 1 } \partial _ { y } a ( s ) d s , } \end{array} } \end{array}
\hat { \mathcal { M } } _ { L M , l } = \frac { 1 } { ( 2 l + 1 ) ! ! } \sum _ { m ^ { \prime } , q ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \; r ^ { l } \langle l 1 L M | l m ^ { \prime } 1 q ^ { \prime } \rangle \hat { j } _ { q ^ { \prime } } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) Y _ { l m ^ { \prime } } ^ { * } ( \Omega _ { r } ) \; \; \; , \; \; l = L , L \pm 1 \; ,
L _ { \mathrm { o s c } } = \frac { 4 \pi E } { \delta m ^ { 2 } } = 2 . 4 8 \times 1 0 ^ { - 3 } \left( \frac { \delta m ^ { 2 } / E } { \mathrm { e V } ^ { 2 } / \mathrm { M e V } } \right) ^ { - 1 } \; \mathrm { k m } \ ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \Lambda \rightarrow \infty } [ B _ { 0 } ^ { \Lambda } ( q ^ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) - B _ { 0 } ^ { \Lambda } ( 0 ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) ] = B _ { 0 , r e g } ^ { \infty } ( q ^ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) - B _ { 0 , r e g } ^ { \infty } ( 0 ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) , } \end{array}
\mathbb { R } ^ { p _ { 0 } } = - \left( \begin{array} { c } { 2 \mathsf { D } \mathbb { B } ^ { - 1 } } \\ { \mathsf { D } ^ { 0 + } \mathbb { H } ^ { p _ { 0 } } } \\ { \mathsf { D } ^ { 1 + } \mathbb { S } ^ { p _ { 0 } } } \end{array} \right) , \; \mathbb { R } ^ { T _ { 0 } } = - \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 5 \mathsf { D } \mathbb { B } ^ { - 1 } } \\ { \mathsf { D } ^ { 1 + } \mathbb { S } ^ { T _ { 0 } } } \end{array} \right) .
c _ { 0 } \alpha ^ { - 1 } \left[ A _ { \mu } ^ { m } ( x ) \partial _ { \nu } \xi ^ { n } ( y ) - A _ { \nu } ^ { m } ( y ) \partial _ { \mu } \xi ^ { n } ( x ) \right] ( \sigma _ { l k } ^ { i j } \mp \delta _ { l } ^ { i } \delta _ { k } ^ { j } ) \Pi _ { i j } ^ { \pm k l } .
\begin{array} { r } { \Delta g _ { \mathrm { 3 e l , A } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } { \sum _ { n } } ^ { \prime } \frac { \langle P a P b _ { 1 } | I ( \Delta _ { P a Q a } ) | \xi _ { Q a } n \rangle \langle n P b _ { 2 } | I ( \Delta _ { P b _ { 2 } Q b _ { 2 } } ) | Q b _ { 1 } Q b _ { 2 } \rangle } { \varepsilon _ { P a } + \varepsilon _ { P b _ { 1 } } - \varepsilon _ { Q a } - \varepsilon _ { n } } \, , } \end{array}
\begin{array} { l } { { S _ { + } \rightarrow d ^ { 2 } S _ { + } + 2 c d S _ { 0 } - c ^ { 2 } S _ { - } \, , } } \\ { { S _ { 0 } \rightarrow b d S _ { + } + ( 1 + 2 b c ) S _ { 0 } - a c S _ { - } \, , } } \\ { { S _ { - } \rightarrow - b ^ { 2 } S _ { + } - 2 a b S _ { 0 } + a ^ { 2 } S _ { - } \, . } } \end{array}
E _ { 0 } ^ { \prime } ( x ) \equiv - \frac { x ( x ^ { 2 } - 5 x - 2 ) } { 4 ( 1 - x ) ^ { 3 } } + \frac { 3 } { 2 } \frac { x ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 4 } } \ln x .
\chi _ { \uparrow \downarrow } ( q , \omega ) = V _ { q } \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) \chi _ { \downarrow \downarrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) + V _ { q } ^ { 2 } \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) \chi _ { \downarrow \downarrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ( \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) + \chi _ { \downarrow \downarrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ) + . . .
\begin{array} { r l r } { \varepsilon ( n ) _ { \mathsf { T } _ { n } ^ { \circ } ( A ) } \circ \mathsf { T } _ { n } ^ { \circ } \left( \eta ( n ) _ { A } \right) = 1 _ { \mathsf { T } _ { n } ^ { \circ } ( A ) } } & { } & { \mathsf { T } _ { n } ( \varepsilon ( n ) _ { A } ) \circ \eta ( n ) _ { \mathsf { T } _ { n } ( A ) } = 1 _ { \mathsf { T } _ { n } ( A ) } } \end{array}
\boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \psi } = - \frac { \hbar } { 2 } \boldsymbol { i } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { \psi } - \frac 1 2 ( \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { u } ) \boldsymbol { \psi } + \frac { \hbar } { 4 \rho } \left( 2 | \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \psi } | ^ { 2 } \boldsymbol { i \psi } - \frac { \vec { \psi } } { \rho } \boldsymbol { \nabla } \rho \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { s } + \boldsymbol { \psi } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { s } \right) .
\begin{array} { r l } { I _ { 3 } = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - 2 \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { I _ { 3 , 1 } + I _ { 3 , 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] = \frac { 1 } { N _ { h } ^ { k } ( s , a ) } \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } 1 _ { \{ ( s _ { h } ^ { i } , a _ { h } ^ { i } ) = ( s , a ) \} } u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s _ { h + 1 } ^ { i } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ \left| Q _ { i } ( g _ { n } ; x _ { i } ) - \int _ { 0 } ^ { l } g _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { 2 n } ) \mathrm { d } x _ { i } \right| \leqslant } \\ & { \left\{ \begin{array} { l c r } { \frac { l ^ { 3 } } { 2 4 { m _ { 2 } } ^ { 2 } } \left\| \frac { \partial ^ { 2 } g _ { n } } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , l ) ^ { 2 n } ) } , } & { 1 \leqslant i \leqslant n } \\ { \frac { l ^ { 3 } } { 2 4 { m _ { 1 } } ^ { 2 } } \left\| \frac { \partial ^ { 2 } g _ { n } } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , l ) ^ { 2 n } ) } , } & { { n + 1 } \leqslant i \leqslant 2 n } \end{array} \right. } \end{array}
= N b _ { m } ^ { * } ( 0 ) b _ { m } ( 0 ) \sum _ { \boldsymbol { R _ { p } } } e ^ { i { \boldsymbol { k \cdot R _ { p } } } } \ \int d ^ { 3 } r \ \varphi _ { m } ^ { * } ( { \boldsymbol { r } } ) \varphi _ { m } ( { \boldsymbol { r - R _ { p } } } ) \ ,
\begin{array} { r } { V ( x _ { * } ) = \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \left[ \frac { g } { 2 } \frac { d ^ { 2 } g } { d x _ { * } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { d g } { d x _ { * } } \right) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\sum _ { \mathbf { b } \in \{ 1 , 0 , - 1 \} ^ { \otimes | S _ { L } | | S _ { R } | } } \prod _ { i , j } P ( b _ { i j } | i , j ) \left| \left| \sum _ { i , j } f _ { i j } ( b _ { i j } ) \right| \right| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \le \sum _ { \mathbf { b } \in \{ 1 , 0 , - 1 \} ^ { \otimes | S _ { L } | | S _ { R } | } } \prod _ { i , j } P ( b _ { i j } | i , j ) \sum _ { i , j } \left| \left| f _ { i j } ( b _ { i j } ) \right| \right| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \frac { D \mathbf { u } ^ { \prime } } { D t } = - \nabla \Pi ^ { \prime } - 2 \boldsymbol { \Omega } \times \mathbf { u } ^ { \prime } - \left( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \nabla \right) \left\langle \mathbf { U } \right\rangle + \left( \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \cdot \nabla \right) \mathbf { b } ^ { \prime } + \left( \mathbf { b } ^ { \prime } \cdot \nabla \right) \left\langle \mathbf { B } \right\rangle + \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } ^ { \prime } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { X } & { { } = \frac { 1 } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \, , } \\ { Y _ { 0 } } & { { } = \frac { 2 p _ { 0 } \bar { d } _ { 0 } } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } } \\ { Y _ { 1 } } & { { } = \frac { 2 p _ { 1 } \bar { d } _ { 0 } } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } } \\ { Z _ { i } } & { { } = \frac { 4 d _ { 0 } p _ { i } \bar { \hat { e } } ^ { * } \hat { e } _ { i } } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z } & { = \sum _ { n = 0 } \, \, \, \sum _ { n 1 = 0 , n 2 = n - n 1 } ^ { n } \frac { n ! } { n _ { 1 } ! n _ { 2 } ! } e ^ { - \beta \left\{ \epsilon _ { 1 } n _ { 1 } + \epsilon _ { 2 } n _ { 2 } - \mu ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) \right\} } . } \\ & { = \sum _ { n } \, \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { n } \frac { n ! } { n _ { 1 } ! n _ { 2 } ! } e ^ { - \left\{ \beta \epsilon _ { 1 } \, n _ { 1 } + \beta \epsilon _ { 2 } \, n _ { 2 } - \beta \mu ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) \right\} } } \\ & { = \sum _ { n } \, \sum _ { n 1 , n 2 } \frac { n ! } { n _ { 1 } ! n _ { 2 } ! } e ^ { - \left\{ \beta ( \epsilon _ { 1 } - \mu ) \, n _ { 1 } + \beta ( \epsilon _ { 2 } - \mu ) \, n _ { 2 } \right\} } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left\{ e ^ { - \beta ( \epsilon _ { 1 } - \mu ) } + e ^ { - \beta ( \epsilon _ { 2 } - \mu ) } \right\} ^ { n } = \sum _ { n } z _ { 1 } ^ { n } = \frac { 1 } { 1 - z _ { 1 } } } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { \ell ^ { 2 } } { 4 } E \left[ \frac { V ( r ) } { E ( r ^ { 2 } - 1 ) } ( d \tau + \sqrt { E } \cos ( \theta ) d \phi ) ^ { 2 } + \frac { 4 ( r ^ { 2 } - 1 ) d r ^ { 2 } } { V ( r ) } + ( r ^ { 2 } - 1 ) d \Omega _ { b } ^ { 2 } \right] \quad .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \eta _ { t } } \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - h _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - h _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \big ( \frac { 1 } { \eta _ { t } } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } - c _ { 2 } \eta _ { t } \big ) \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - h _ { t } \| ^ { 2 } + 4 L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + 2 c _ { 2 } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } , } \end{array}
s _ { \nu } : = { \left\{ \begin{array} { l l } { a } & { { \mathrm { i f ~ } } z _ { \nu } { \mathrm { ~ i s ~ a ~ z e r o ~ o f ~ o r d e r ~ } } a } \\ { - a } & { { \mathrm { i f ~ } } z _ { \nu } { \mathrm { ~ i s ~ a ~ p o l e ~ o f ~ o r d e r ~ } } a . } \end{array} \right. }
\phi _ { \mathbf { k } } ^ { \mathrm { 3 r d - o r d e r } } = \lambda _ { \mathbf { k } } + \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \rangle } k _ { \langle \mu \rangle } + \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \nu \rangle } k _ { \langle \mu } k _ { \nu \rangle } + \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \nu \alpha \rangle } k _ { \langle \mu } k _ { \nu } k _ { \alpha \rangle } + \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \nu \alpha \beta \rangle } k _ { \langle \mu } k _ { \nu } k _ { \alpha } k _ { \beta \rangle } + \mathcal { O } \left( k ^ { 5 } \right) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { | \Phi _ { 0 } ( z ) \rangle = } & { \cos \theta | 1 \rangle - \sin \theta | 3 \rangle , } \\ { | \Phi _ { \pm } ( z ) \rangle = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sin \theta | 1 \rangle \pm \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } | 2 \rangle \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \cos \theta | 3 \rangle , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \xi } _ { j } } & { { } = \nu _ { j } } \\ { \tau _ { j } \dot { \nu } _ { j } } & { { } = - \nu _ { j } - \kappa _ { j } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \left( \Lambda _ { j , \ell } \xi _ { \ell } - A _ { \ell , j } \epsilon _ { \ell } \right) , } \\ { \tau _ { j } \dot { \epsilon } _ { j } } & { { } = - \epsilon _ { j } + \chi _ { j } E _ { j } ^ { \circ } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \left( H _ { j , \ell } \epsilon _ { \ell } + A _ { j , \ell } \xi _ { \ell } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ( k - 1 ) j ( k - 1 ) } & { \le 2 \pi c \frac \xi { k ^ { 2 } } ( \alpha ( k - 1 ) ) ^ { 2 } \int \exp ( \kappa \frac { \xi ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } ( s - \tau ) ) d \tau } \\ & { = 2 \pi c \frac \xi { k ^ { 2 } } ( \alpha ( k - 1 ) ) ^ { 2 } \frac 1 { \kappa \frac { \xi ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } } \\ & { = \pi c \frac 1 { \beta \xi } \ll \pi c \frac { \xi } { k ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { I L } = } & { \int V _ { S } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R , r } ) \phi _ { I L } ( { \bf r } ) d { \bf r } , } \\ { \Gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } = } & { \iint \phi _ { I L } ( { \bf r } ) V _ { S } ^ { ( 2 ) } ( { \bf R , r } ) \phi _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } } ( { \bf r ^ { \prime } } ) d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } , } \\ { \gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } = } & { \iint \frac { \phi _ { I L } ( { \bf r } ) \phi _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } } ( { \bf r ^ { \prime } } ) } { \vert { \bf r - r ^ { \prime } } \vert } d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ^ { \mathrm { s c r } } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \frac { 4 \pi } { k ^ { 2 } \epsilon ( \mathbf { k } ) } \exp { ( i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } ) } d \mathbf { k } } \\ & { = \left( 1 - \frac { 1 } { \epsilon _ { \mathrm { s } } } \right) \frac { \exp { ( - \tilde { k } _ { \mathrm { T F } } r ) } } { r } + \frac { 1 } { \epsilon _ { \mathrm { s } } } \frac { 1 } { r } } \\ & { \approx \left( 1 - \frac { 1 } { \epsilon _ { \mathrm { s } } } \right) \frac { \mathrm { e r f c } ( 2 \tilde { k } _ { \mathrm { T F } } r / 3 ) } { r } + \frac { 1 } { \epsilon _ { \mathrm { s } } } \frac { 1 } { r } . } \end{array}
\tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) = e ^ { 2 \pi i \tilde { c } _ { j , k } ( p , q ) } \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \tilde { \chi } _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i ( \boldsymbol { s } _ { j , k } \cdot \boldsymbol { \xi } + \tilde { \eta } _ { j , k , p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) ) } \mathcal { F } ( I ) ( \tilde { T } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \right) ( \boldsymbol { x } ) \, .