\begin{array} { r l } { \| x - x ^ { \prime } \| ^ { 2 } } & { = \left( c ^ { T } ( x - x ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } + \| P _ { c } ( x - x ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } } { \| A y \| } - \frac { ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \| A y ^ { \prime } \| } \right) ^ { 2 } + \left\| \frac { c ^ { T } y } { \| A y \| } P _ { c } y - \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } } { \| A y ^ { \prime } \| } P _ { c } y ^ { \prime } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { \| A y \| } - \frac { 1 } { \| A y ^ { \prime } \| } \right) ^ { 2 } + \left\| \frac { 1 } { \| A y \| } P _ { c } y - \frac { 1 } { \| A y ^ { \prime } \| } P _ { c } y ^ { \prime } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + \left\| \frac { P _ { c } y } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } } - \frac { P _ { c } y ^ { \prime } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } - 2 \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { \quad + \frac { \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } + \frac { \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } - 2 \frac { ( P _ { c } y ) ^ { T } ( P _ { c } y ^ { \prime } ) } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { = \frac { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } + \frac { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } - \frac { 2 + 2 ( P _ { c } y ) ^ { T } ( P _ { c } y ^ { \prime } ) } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { = \frac { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } + \frac { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } - \frac { 2 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } - \| P _ { c } y - P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { = \frac { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } + \frac { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } - \frac { ( 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) + ( 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } + \frac { \| P _ { c } y - P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { = \dots + \frac { \| P _ { c } y - P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { \leq \dots + \| P _ { c } y - P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } \\ & { = \| y - y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } \end{array}