harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\rho ^ { \prime } - \rho _ { \mathrm { t o p } } = - \alpha \cdot \frac { 3 } { 2 } \frac { \mu } { \mu + \mu ^ { \prime } } \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } y } \frac { 1 } { g R } , \quad \quad \rho ^ { \prime } - \rho _ { \mathrm { b o t } } = - \beta \cdot \frac { 3 } { 2 } \frac { \mu } { \mu + \mu ^ { \prime } } \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } y } \frac { 1 } { g R } ,
\begin{array} { r l } { \frac { W \cdot \hat { \lambda } _ { j } } { W \cdot \mathcal { D } } \frac { 1 } { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { j } } ( - \Delta \epsilon ) _ { \hat { \mu } _ { j } } \frac { 1 } { 2 } ( i \mathcal { D } \cdot V _ { j } ) ^ { 2 } + } & { } \\ { \frac { W \cdot \hat { \lambda } _ { j + 1 } } { W \cdot \mathcal { D } } \frac { 1 } { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { j + 1 } } ( - \Delta \epsilon ) _ { \hat { \mu } _ { j + 1 } } \frac { 1 } { 2 } ( i \mathcal { D } \cdot V _ { j + 1 } ) ^ { 2 } = } & { } \\ { ( - \Delta \epsilon ) _ { \hat { \mu } _ { j } } \frac { 1 } { W \cdot \mathcal { D } } \frac { 1 } { 2 } ( \hat { z } \times W ) \cdot } & { } \\ { \left( \frac { V _ { j + 1 } - V _ { j } } { l _ { j } } ( \mathcal { D } \cdot V _ { j } ) + \frac { V _ { j + 1 } - V _ { j } } { l _ { j } } ( \mathcal { D } \cdot V _ { j + 1 } ) \right) l _ { j } \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \gamma _ { o p t _ { j } } | = \frac { 6 4 g _ { 0 } ^ { 2 } | a _ { j } | ^ { 2 } \omega _ { m } ^ { 2 } } { \kappa ( \kappa ^ { 2 } + 1 6 \omega _ { m } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ( c _ { p 1 } r _ { 1 } - c _ { p 2 } r _ { 2 } ) ^ { 2 } = \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } [ ( c _ { p 1 } r _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( c _ { p 2 } r _ { 2 } ) ^ { 2 } ] } \\ { + ( 1 - 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ) c _ { p 1 } r _ { 1 } c _ { p 2 } r _ { 2 } - c _ { p 1 } r _ { 1 } c _ { p 2 } r _ { 2 } } \\ { = ( \alpha _ { 2 } c _ { p 1 } r _ { 1 } + \alpha _ { 1 } c _ { p 2 } r _ { 2 } ) ( \alpha _ { 1 } c _ { p 1 } r _ { 1 } + \alpha _ { 2 } c _ { p 2 } r _ { 2 } ) - c _ { p 1 } r _ { 1 } c _ { p 2 } r _ { 2 } } \end{array}
m _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } , p _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } \gets \mathcal { D } ( - f ( m _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } , p _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } ) , m _ { \operatorname* { m i n } } , m _ { \operatorname* { m a x } } , p _ { m i n } , p _ { \operatorname* { m a x } } , \mathcal { G } , \Psi )
K _ { | | \nabla \tau ( x ^ { \prime } ) | | ^ { 2 } } ( s ) = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \log ( 1 - 2 s \lambda _ { i } ) + \frac { s \lambda _ { i } \bar { \mu } _ { i } ^ { 2 } } { 1 - 2 s \lambda _ { i } } \right] ,
\dot { E } ^ { p } ( x , y , z , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { E ^ { p } } { T _ { p } } \mathcal { F } _ { v } ( x , y , z ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } t ^ { \prime } \in \left[ 0 , T _ { p } \right] } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \; \mathrm { w i t h } \int _ { V } \mathcal { F } _ { v } d V = 1 \, \mathrm { , }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( \mu + f _ { 1 } ^ { n + 1 } + f _ { 2 } ^ { n } ) d v : = \rho ^ { n } \rightarrow \rho , } \\ & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } v ( \mu + f _ { 1 } ^ { n + 1 } + f _ { 2 } ^ { n } ) d v : = \rho ^ { n } U ^ { n } \rightarrow \rho U , } \\ & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | v | ^ { 2 } ( \mu + f _ { 1 } ^ { n + 1 } + f _ { 2 } ^ { n } ) d v : = 3 \rho ^ { n } T ^ { n } + \rho ^ { n } | U ^ { n } | ^ { 2 } \rightarrow 3 \rho T + \rho | U | ^ { 2 } . } \end{array}
\delta ^ { \prime \prime } g = { \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { 1 - t _ { 1 } t _ { 2 } } } g ( X _ { 2 } \epsilon _ { 1 2 } ^ { \prime } X _ { 2 } ^ { - 1 } - X _ { 1 } \epsilon _ { 2 1 } ^ { \prime } X _ { 1 } ^ { - 1 } ) ,
\begin{array} { r } { \Omega _ { 1 } = \frac { m _ { 1 } } { I _ { 1 } } [ \cos \psi \cos \varphi - \sin \psi \cos \theta \sin \varphi ] + \frac { m _ { 2 } } { I _ { 1 } } [ \cos \psi \sin \varphi + \sin \psi \cos \theta \cos \varphi ] + \frac { m _ { 3 } } { I _ { 1 } } \sin \psi \sin \theta , } \\ { \Omega _ { 2 } = \frac { m _ { 1 } } { I _ { 2 } } [ - \sin \psi \cos \varphi - \cos \psi \cos \theta \sin \varphi ] + \frac { m _ { 2 } } { I _ { 2 } } [ - \sin \psi \sin \varphi + \cos \psi \cos \theta \cos \varphi ] + \frac { m _ { 3 } } { I _ { 2 } } \cos \psi \sin \theta , } \\ { \Omega _ { 3 } = \frac { m _ { 1 } } { I _ { 3 } } \sin \theta \sin \varphi - \frac { m _ { 2 } } { I _ { 3 } } \sin \theta \cos \varphi + \frac { m _ { 3 } } { I _ { 3 } } \cos \theta . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \Gamma ^ { M } \Gamma ^ { N } + \Gamma ^ { N } \Gamma ^ { M } = 2 \eta ^ { M N } , \qquad \eta ^ { M N } = ( + , - , - , \dots ) , } } \\ { { ( \Gamma ^ { M } ) ^ { * } = - \Gamma ^ { M } , \qquad ( \Gamma ^ { 0 } ) ^ { \mathrm { T } } = - \Gamma ^ { 0 } , \qquad ( \Gamma ^ { i } ) ^ { \mathrm { T } } = \Gamma ^ { i } , \quad i = 1 , \dots , 9 . } } \end{array}
\left\langle S _ { 1 } \left( d , \lambda , t _ { 1 } \right) S _ { 2 } \left( d , \lambda , t _ { 2 } \right) \right\rangle = \left\vert G ^ { ^ { \prime } ( 1 ) } \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } \right) \right\vert ^ { 2 } .
\log \left( \frac { \kappa _ { j , T } } { \kappa _ { j , 0 } } \right) = - \lambda _ { j } \beta \left[ \frac { \alpha T } { \lambda _ { j } } + \frac { \alpha } { \beta \lambda _ { j } } \log \left( \frac { \lambda _ { j } } { \alpha } + \left( \frac { \beta } { p _ { 0 } } - \frac { \lambda _ { j } } { \alpha } \right) e ^ { - \beta T } \right) \right] \approx - \alpha \beta T
k _ { 0 } ^ { 2 } = ( \epsilon _ { a } ( { \bf p } ) - \epsilon _ { a } ( { \bf q } ) ) ( \epsilon _ { b } ( { \bf q } ) - \epsilon _ { b } ( { \bf p } ) ) \cong - \frac { ( { \bf p } ^ { 2 } - { \bf q } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 m _ { a } m _ { b } }
u _ { i 1 } = \left( \begin{array} { l } { { - \frac { 1 } { 2 4 } ( 1 + \sqrt { 5 } ) } } \\ { { \frac { \sqrt { 5 } } { 6 } } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) , \qquad u _ { i 2 } = \left( \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 2 4 } ( \sqrt { 5 } - 1 ) } } \\ { { - \frac { \sqrt { 5 } } { 6 } } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) .
\frac { \partial { \cal H } _ { t } } { \partial \bar { \bf w } } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \nu ^ { 2 } } { \partial \bar { \bf w } } = v ^ { 2 } \bar { \bf w } + \frac { 1 } { v } \frac { \partial v } { \partial \bar { \bf w } } \, ,
\begin{array} { r l } & { \phi _ { n } ^ { - 1 } L _ { n } \phi _ { n } } \\ & { = \mathcal { D } _ { \omega } + \underbrace { \left( - D _ { n } + \left( \mathcal { D } _ { \omega } ( \psi _ { n } ) - [ D _ { n } , \psi _ { n } ] + \Pi _ { \le N _ { n } } \mathcal { R } _ { n } \right) \right) } _ { = - D _ { n + 1 } } } \\ & { \ + \underbrace { \tilde { \psi } _ { n } \circ \left( \mathcal { D } _ { \omega } ( \psi _ { n } ) - [ D _ { n } , \psi _ { n } ] + \Pi _ { \le N _ { n } } \mathcal { R } _ { n } \right) + \Pi _ { \ge N _ { n } } \mathcal { R } _ { n } + \mathcal { R } _ { n } \psi _ { n } } _ { = \mathcal { R } _ { n + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( x , t ) } & { = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \left[ Q _ { 1 , \nu } ( t ) \sin k _ { \nu } x + Q _ { 2 , \nu } ( t ) \cos k _ { \nu } x \right] } \\ { \pi ( x , t ) } & { = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \left[ P _ { 1 , \nu } ( t ) \sin k _ { \nu } x + P _ { 2 , \nu } ( t ) \cos k _ { \nu } x \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { ( 2 ) } } & { = \sum _ { k \neq 0 } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | \hat { V } | \Phi _ { k } \rangle \langle \Phi _ { k } | \hat { V } | \Phi _ { 0 } \rangle } { E - \bar { E } _ { k } } } \\ & { = \sum _ { k \neq 0 } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | \hat { V } | \Phi _ { k } \rangle \langle \Phi _ { k } | \hat { V } | \Phi _ { 0 } \rangle } { ( E _ { 0 } - E _ { k } ) + ( E _ { \mathrm { R } , 0 } - E _ { \mathrm { R } , k } ) + E ^ { ( 2 ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 } ( n _ { T } ) ( n _ { T } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { n } _ { T } ) ( \tilde { n } _ { T } ) + \overline { { ( n _ { T } ^ { 1 } - \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } ) \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla = \left( \frac { \partial } { \partial r } , \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \phi } , \frac { \partial } { \partial z } \right) = \frac { \partial } { \partial r } \hat { \bf r } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial \phi } \hat { \bf \Phi } + \frac { \partial } { \partial z } \hat { \bf z } , } \end{array}
a _ { k } = - \frac { \Gamma ( k ) } { 4 } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad b _ { k } = \bigg [ \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 k } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 2 } ^ { k } \frac { 1 } { j } \bigg ] \Gamma ( k ) .
\begin{array} { r l } { p ( \tau \omega ) } & { = \frac { c ( \tau ) } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \tau } g ( \frac { t } { \tau } ) e ^ { i \theta _ { t } } e ^ { - i \omega t } d t } \\ & { = \frac { c ( \tau ) } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } g ( \frac { t } { \tau } ) e ^ { i \theta _ { t } } e ^ { - i \tau \omega \frac { t } { \tau } } d ( \frac { t } { \tau } ) } \\ & { = \frac { c } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } g ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \theta _ { t ^ { \prime } } } e ^ { - i \tau \omega t ^ { \prime } } d t ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial S } { \partial t } } & { { } = - \frac { D } { 2 R } \frac { \partial ^ { 2 } R } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { D } { 2 } \left( \frac { \partial S } { \partial x } \right) ^ { 2 } } \\ { \frac { \partial R } { \partial t } } & { { } = - \frac { D } { 2 } \left( 2 \frac { \partial R } { \partial x } \frac { \partial S } { \partial x } + R \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { p , p + 1 } ( z ) } & { = \frac { p { + } 1 } { p { - } 1 } \big ( w ^ { ( p - 1 ) / p } - 1 \big ) \big ( w ^ { ( p + 1 ) / p } - 1 \big ) } \\ & { = \frac { ( p { + } 1 ) ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \, G _ { \lambda } ( w ) \mathrm { ~ w i t h ~ } G _ { \lambda } ( w ) = \frac 1 { 1 { - } \lambda ^ { 2 } } \big ( w ^ { 2 } - w ^ { 1 - \lambda } - w ^ { 1 + \lambda } + 1 \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { c } _ { i _ { 0 } - 1 , n _ { 0 } } ^ { ( i _ { 0 } ) } = \bar { c } _ { i _ { 0 } - 1 , i _ { 0 } } ^ { ( i _ { 0 } ) } } & { : = \operatorname* { m a x } _ { 0 \le m \le i _ { 0 } } \left\{ \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { b _ { i _ { 0 } - 1 } ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { 1 } ^ { \leftarrow } ( t ) } { b _ { m } ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - m } ^ { \leftarrow } ( t ) } \right\} } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { 0 \le m \le i _ { 0 } } \left\{ \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { ( t ^ { \alpha } \ell ( t ) ) ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) } \cdot t ^ { \alpha } \ell ( t ) } { b _ { m } ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - m } ^ { \leftarrow } ( t ) } \right\} = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 , 0 } ^ { \left( j \right) } } & { { } \rightarrow \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Sigma _ { + } ^ { \left( \ell \right) } \left( 1 + \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } \right) \, \, , } \\ { \sigma _ { 2 , 0 } ^ { \left( \ell \right) } } & { { } \rightarrow \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Sigma _ { - } ^ { \left( \ell \right) } \left( 1 - \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } \right) \, \, , } \\ { \sigma _ { 0 , 1 } ^ { \left( \ell \right) } } & { { } \rightarrow \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Sigma _ { - } ^ { \left( \ell \right) } \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } \, \, , } \\ { \sigma _ { 0 , 2 } ^ { \left( \ell \right) } } & { { } \rightarrow - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Sigma _ { + } ^ { \left( \ell \right) } \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } \, \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { j } ^ { i } ( X _ { 1 } \otimes \cdots \otimes X _ { p } \otimes \alpha ^ { 1 } \otimes \cdots \otimes \alpha ^ { q } ) } \\ & { \quad = \alpha ^ { i } ( X _ { j } ) X _ { 1 } \otimes \cdots \otimes X _ { j - 1 } \otimes X _ { j + 1 } \otimes \cdots \otimes X _ { p } \otimes \alpha ^ { 1 } \otimes \cdots \otimes \alpha ^ { i - 1 } \otimes \alpha ^ { i + 1 } \otimes \cdots \otimes \alpha ^ { q } } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { z } ^ { 2 } v _ { z } = - { \mathrm { M a } \, h ^ { 2 } } \, \Delta _ { \perp } T _ { c } \; ( \mathrm { ~ a ~ t ~ } \tilde { z } = 0 ) \, , \ } \\ { \partial _ { z } ^ { 2 } v _ { z } = { \mathrm { M a } \, h ^ { 2 } } \, \Delta _ { \perp } T _ { c } \; ( \mathrm { ~ a ~ t ~ } \tilde { z } = 1 ) \, , \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } ) } & { = \{ 1 \} \{ 2 \} \{ 3 \} } \\ & { - \{ 1 \} \{ 2 , 3 \} - \{ 2 \} \{ 1 , 3 \} - \{ 3 \} \{ 1 , 2 \} } \\ & { - ( 2 \times \{ 1 , 2 \} \{ 1 , 3 \} \{ 2 , 3 \} ) } \\ & { - \{ 1 , 2 \} \{ 1 , 3 \} - \{ 2 , 3 \} \{ 1 , 3 \} - \{ 1 , 2 \} \{ 2 , 3 \} } \\ & { + \{ 1 , 2 , 3 \} } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \vec { V } ^ { \prime } } { \partial t ^ { 2 } } = c ^ { 2 } \nabla \left( \nabla \cdot \vec { V } ^ { \prime } \right) + \frac { 1 } { \bar { \rho } } \frac { \partial } { \partial t } \left[ \left( \lambda + \mu \right) \nabla \left( \nabla \cdot \vec { V } ^ { \prime } \right) + \mu \nabla ^ { 2 } \vec { V } ^ { \prime } \right]
\chi ( { \bf b } , s ) = \frac { i } { \sqrt { s } } \int \frac { d ^ { 2 } q _ { \perp } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } e ^ { - i { \bf q } _ { \perp } \cdot { \bf b } } t ( { \bf q } _ { \perp } , s ) t ( - { \bf q } _ { \perp } , s ) T ( s , { \bf q } _ { \perp } ) ,
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { C B M } } ( r ) = D _ { \mathrm { p e n } } \qquad } & { \mathrm { f o r } \ \ r _ { 0 } \leq r \leq r _ { \mathrm { p e n } } } \\ { D _ { \mathrm { C B M } } ( r ) = D _ { \mathrm { p e n } } \exp \left[ \frac { - 2 ( r - r _ { \mathrm { p e n } } ) } { f _ { \mathrm { p e n } } H _ { \mathrm { p , p e n } } } \right] \qquad } & { \mathrm { f o r } \ \ r _ { \mathrm { p e n } } < r \leq r _ { \mathrm { C B M } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { \mathrm { p } } } & { : = } & { \left( \begin{array} { c c } { P _ { \Lambda _ { l } } } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \Lambda _ { l } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { - \mu _ { \mathrm { p } , 0 } \mathbf { 1 } } & { - \gamma \mathbf { 1 } } \\ { - \gamma \mathbf { 1 } } & { - \epsilon _ { \mathrm { p } } \Delta - \mu _ { \mathrm { p } , 1 } \mathbf { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { P _ { \Lambda _ { l } } } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \Lambda _ { l } } } \end{array} \right) } \\ { h _ { \mathrm { r - p } } } & { : = } & { \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \{ - l - 1 , - l , l , l + 1 \} } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 \vartheta \mathbf { 1 } - \vartheta \Delta } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \{ - l - 1 , - l , l , l + 1 \} } } \end{array} \right) } \\ { h _ { \mathrm { r } } } & { : = } & { \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \Lambda _ { L } \backslash \Lambda _ { l } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \epsilon _ { \mathrm { r } } \Delta - \mu _ { \mathrm { r } } \mathbf { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \Lambda _ { L } \backslash \Lambda _ { l } } } \end{array} \right) , } \end{array}
| { \cal M } _ { n } ^ { \mathrm { K S } } | ^ { 2 } = C _ { \mathrm { K S } } ( n ) | { \cal M } _ { n } ^ { \mathrm { P T } } | ^ { 2 } , \; \; \mathrm { w i t h } \; \; C _ { \mathrm { K S } } ( n ) = \frac { 2 ^ { n } - 2 ( n + 1 ) } { n ( n - 1 ) } ,
\begin{array} { r } { m _ { 3 } ( q , \zeta , \zeta ^ { 1 } ) = - ( 2 \beta _ { 2 } ^ { 2 } + \beta _ { 3 } ) { { \sigma _ { p } } } ( Q _ { g } ) ( y , \eta , q , \zeta ) ( { { \sigma _ { p } } } ( Q _ { g } ) ( q , \zeta , x _ { 1 } , \xi _ { 1 } ^ { \sharp } ) \sigma _ { { p } } ( v _ { 1 } ) ( x _ { 1 } , \xi _ { 1 } ^ { \sharp } ) ) ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { c _ { 1 2 3 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = - b _ { 0 j } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , } & & { 0 < j < p \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { i 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , } & & { 0 < i < p \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { i , p - i } ^ { p } ( \mathbf { e } _ { 1 } + \mathbf { e } _ { 2 } ) \, , } & & { 0 < i < p \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { i j } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , } & & { 0 < i < p \, , \quad 0 < j < p - i \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { i j } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , } & & { 0 < i < p \, , \quad 0 < j < p - i \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mathcal { C } } _ { z } ^ { * } } & { = \operatorname { s p a n } \{ [ \begin{array} { l l l l } { \bar { \mathbf { B } } _ { 1 } ^ { * } } & { \overline { { \mathbf { A } ^ { * } \mathbf { B } _ { 1 } ^ { * } } } } & { \cdots } & { \overline { { ( \mathbf { A } ^ { * } ) ^ { n - 1 } \mathbf { B } _ { 1 } ^ { * } } } } \end{array} ] \} + \operatorname { s p a n } \{ [ \begin{array} { l l l l } { \bar { \mathbf { B } } _ { 2 } ^ { * } } & { \overline { { \mathbf { A } ^ { * } \mathbf { B } _ { 2 } ^ { * } } } } & { \cdots } & { \overline { { ( \mathbf { A } ^ { * } ) ^ { n - 1 } \mathbf { B } _ { 2 } ^ { * } } } } \end{array} ] \} , } \end{array}
\frac { 1 } { c _ { a } } \frac { d A _ { \alpha \beta } } { d t } = \int a _ { \alpha } a _ { \beta } \, \partial _ { t } P \, d \boldsymbol { a } = \int ( \delta _ { \alpha \gamma } a _ { \beta } + \delta _ { \beta \gamma } a _ { \alpha } ) J _ { \gamma } \, d \boldsymbol { a } ,
{ \begin{array} { r l } { p ( t ) } & { = \operatorname* { d e t } ( t I _ { n } - A ) = { \left| \begin{array} { l l l l } { t - a _ { 1 , 1 } } & { - a _ { 1 , 2 } } & { \cdots } & { - a _ { 1 , n } } \\ { - a _ { 2 , 1 } } & { t - a _ { 2 , 2 } } & { \cdots } & { - a _ { 2 , n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { - a _ { n , 1 } } & { - a _ { n , 2 } } & { \cdots } & { t - a _ { n , n } } \end{array} \right| } } \\ & { = t ^ { n } + c _ { n - 1 } t ^ { n - 1 } + \cdots + c _ { 1 } t + c _ { 0 } , } \end{array} }
\rho _ { A } = \mathrm { ~ T ~ r ~ } _ { B } ( | \Psi \rangle \langle \Psi | ) = \frac 1 2 \left( | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | \right) = \frac 1 2 \mathbb { 1 }
\begin{array} { r } { \Delta X _ { t } ^ { i } = \overline { { X } } _ { t } ^ { n , i } - X _ { t } ^ { \mathrm { M F } , i } , \quad \Delta Y _ { t } ^ { i } = n \overline { { Y } } _ { t } ^ { n , i } - Y _ { t } ^ { \mathrm { M F } , i } , \quad \Delta \alpha _ { t } ^ { i } = \overline { { \alpha } } _ { t } ^ { n , i } - \alpha _ { t } ^ { \mathrm { M F } , i } , } \end{array}
- \frac { i } { 1 6 r } \, \left( \vec { \Theta } _ { \hat { \rho } } \cdot \vec { e } \right) \left( \vec { \Theta } _ { \hat { \alpha } } \cdot \vec { e } \right) \, \vec { e } \cdot \left( \vec { \Theta } _ { \hat { \beta } ^ { \prime } } ^ { \bot } \times \vec { \Theta } _ { \hat { \alpha } ^ { \prime } } ^ { \bot } \right) \cdot \left( \gamma _ { \hat { \rho } \hat { \beta } } \gamma _ { \hat { \beta } \hat { \beta } ^ { \prime } } ^ { t } \gamma _ { \hat { \alpha } \hat { \alpha } ^ { \prime } } ^ { t } - \delta _ { \hat { \rho } \hat { \beta } } \gamma _ { \hat { \alpha } \hat { \alpha } ^ { \prime } } \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { d \Delta } { d t } } & { = } & { \varepsilon \Delta - 2 \varepsilon \Delta \Sigma + \varepsilon \Sigma \left( 2 q - 1 \right) + \frac { 2 a } { h } \left( 2 q - 1 - 2 \Delta \right) , } \\ & { } & \\ { \frac { d \Sigma } { d t } } & { = } & { 2 \left( 1 + \varepsilon \right) \left( 1 - q \right) q + \Delta \left( 1 + 2 \varepsilon \right) \left( 2 q - 1 \right) } \\ & { } & { - \Sigma - 2 \varepsilon \Delta ^ { 2 } + \frac { 2 a } { h } \left( 1 - 2 \Sigma \right) , } \end{array}
p _ { \mathrm { r e s \to r e s } } = { h ^ { \ast } } ^ { 2 } \widetilde { P } ( G , G ) + h ^ { \ast } ( 1 \! - \! h ^ { \ast } ) \big ( \widetilde { P } ( G , B ) + \widetilde { P } ( B , G ) \big ) + ( 1 \! - \! h ^ { \ast } ) ^ { 2 } \widetilde { P } ( B , B ) .
\begin{array} { r l } { \hat { u } ( x ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \tau \in \mathcal { T } _ { x } } \ln \mathbb { E } _ { x } \left[ \exp \left( \int _ { 0 } ^ { \tau } g ( X _ { s } ) d s + G ( X _ { \tau } ) \right) \right] ; } \\ { u _ { T } ( x ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \tau \leq T } \ln \mathbb { E } _ { x } \left[ \exp \left( \int _ { 0 } ^ { \tau } g ( X _ { s } ) d s + G ( X _ { \tau } ) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 \wedge a _ { i } } & { { } = a _ { i } \wedge 1 = a _ { i } } \\ { a _ { 1 } \wedge a _ { 2 } \wedge \cdots \wedge a _ { r } } & { { } = { \frac { 1 } { r ! } } \sum _ { \sigma \in { \mathfrak { S } } _ { r } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) a _ { \sigma ( 1 ) } a _ { \sigma ( 2 ) } \cdots a _ { \sigma ( r ) } , } \end{array}
\widetilde \Phi _ { p p } = \frac { \widetilde \omega ^ { 3 . 1 2 } + \beta ^ { 2 . 1 4 } \widetilde \omega ^ { 2 . 4 1 } + \left( \frac { C _ { f } } { M ^ { 4 . 4 2 } \Delta ^ { 2 . 3 4 } } \right) \widetilde \omega ^ { 2 } + \beta ^ { 2 . 1 4 } R _ { T } ^ { 0 . 2 9 } } { ( M ^ { 3 . 2 } \Delta ^ { 6 . 3 5 } + R _ { T } ) \frac { \widetilde \omega ^ { 7 . 7 1 } } { R _ { T } ^ { 5 } } + \Delta ^ { 0 . 9 } ( \widetilde \omega ^ { 2 . 9 7 } + H ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l r } { \delta H } & { = } & { \frac { \hbar } { 2 m } \int d ^ { 3 } r \left[ \nabla \pi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \cdot \nabla \delta \pi ( \mathrm { \bf ~ r } ) + \nabla \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \cdot \nabla \delta \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] = } \\ & { = } & { - \frac { \hbar } { 2 m } \int d ^ { 3 } r \left[ \nabla ^ { 2 } \pi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \delta \pi ( \mathrm { \bf ~ r } ) + \nabla ^ { 2 } \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \delta \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { f _ { 1 1 } } & { = q ^ { 7 } t ^ { - 5 } + q t ^ { - 1 } , } & { f _ { 1 2 } } & { = q ^ { 5 } t ^ { - 4 } + q ^ { 3 } t ^ { - 2 } + q , \allowdisplaybreaks } \\ { f _ { 1 3 } } & { = q ^ { 4 } t ^ { - 3 } + q ^ { 2 } t ^ { - 1 } , } & { f _ { 1 4 } } & { = q ^ { 3 } t ^ { - 2 } , \allowdisplaybreaks } \\ { f _ { 2 2 } } & { = q ^ { 7 } t ^ { - 5 } + ( q ^ { 5 } + q ^ { 3 } ) t ^ { - 3 } + ( q ^ { 3 } + 2 q ) t ^ { - 1 } , } & { f _ { 2 3 } } & { = q ^ { 6 } t ^ { - 4 } + ( q ^ { 4 } + q ^ { 2 } ) t ^ { - 2 } + 1 , \allowdisplaybreaks } \\ { f _ { 2 4 } } & { = q ^ { 5 } t ^ { - 3 } + q t ^ { - 1 } , } & { f _ { 3 3 } } & { = q ^ { 8 } t ^ { - 5 } + ( q ^ { 6 } + q ^ { 4 } ) t ^ { - 3 } + ( 2 q + 1 ) t ^ { - 1 } , \allowdisplaybreaks } \\ { f _ { 3 4 } } & { = q ^ { 7 } t ^ { - 4 } + q ^ { 3 } t ^ { - 2 } + q , } & { f _ { 4 4 } } & { = q ^ { 8 } t ^ { - 5 } + q ^ { 2 } t ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c c } { \cos k t \cos \phi t - \hat { m } _ { 3 } \sin k t \sin \phi t } & { - \cos k t \sin \phi t - \hat { m } _ { 3 } \sin k t \cos \phi t } & { \hat { m } _ { 2 } \sin k t } \\ { } & { } & { } \\ { \hat { m } _ { 3 } \sin k t \cos \phi t + ( \hat { m } _ { 2 } ^ { 2 } + \hat { m } _ { 3 } ^ { 2 } \cos k t ) \sin \phi t } & { - \hat { m } _ { 3 } \sin k t \sin \phi t + ( \hat { m } _ { 2 } ^ { 2 } + \hat { m } _ { 3 } ^ { 2 } \cos k t ) \cos \phi t } & { \hat { m } _ { 2 } \hat { m } _ { 3 } ( 1 - \cos k t ) } \\ { } & { } & { } \\ { - \hat { m } _ { 2 } \sin k t \cos \phi t + \hat { m } _ { 2 } \hat { m } _ { 3 } ( 1 - \cos k t ) \sin \phi t } & { \hat { m } _ { 2 } \sin k t \sin \phi t + \hat { m } _ { 2 } \hat { m } _ { 3 } ( 1 - \cos k t ) \cos \phi t } & { \hat { m } _ { 3 } ^ { 2 } + \hat { m } _ { 2 } ^ { 2 } \cos k t } \end{array} \right) } \end{array}