harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { p } _ { i } = \frac { q _ { i } } { m _ { i } c } \mathbf { E } \left( \mathbf { r } _ { i } \right) , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { E } = - 4 \pi \mathbf { J } _ { i } , } \\ & { \mathbf { J } _ { i } = q _ { i } c \mathbf { p } _ { i } \left( 1 + p _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } w \left( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } \right) , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { r } _ { i } = c \mathbf { p } _ { i } \left( 1 + p _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { x } ( x , z ) } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { { q } _ { x } ( z ) } } } \exp \left( - i k { \frac { x ^ { 2 } } { 2 { q } _ { x } ( z ) } } \right) , } \\ { u _ { y } ( y , z ) } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { { q } _ { y } ( z ) } } } \exp \left( - i k { \frac { y ^ { 2 } } { 2 { q } _ { y } ( z ) } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \mathbf { u } ; \boldsymbol { \beta } ( t , \mathbf { x } ) ) } & { { } = \beta _ { 0 } ( t , \mathbf { x } ) \exp ( \beta _ { i } ( t , \mathbf { x } ) \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) - \log Z ( \boldsymbol { \beta } ; \boldsymbol { \phi } ) ) ; i = 1 , \cdots , M } \\ { Z ( \boldsymbol { \beta } ; \boldsymbol { \phi } ) } & { { } = \int \exp ( \beta _ { i } ( t , \mathbf { x } ) \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) ) d ^ { 3 } \mathbf { u } ; i = 1 , \cdots , M , } \end{array}
C _ { e l e c } = W _ { e l e c } \cdot ( C C _ { e l e c } \cdot \frac { C R F + \gamma _ { e l e c } } { C F _ { e l e c } \cdot 8 7 6 0 h } ) \ [ \mathrm { U S D } \cdot y e a r ^ { - 1 } ] \, .
W _ { i j } ^ { n } = s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ^ { * } } \frac { W _ { i j } ^ { ( n - 1 ) } } { \sum _ { k \neq i } W _ { k i } ^ { ( n - 1 ) } } \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; W _ { i j } ^ { ( n + 1 ) } = s _ { j } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ^ { * } } \frac { W _ { i j } ^ { n } } { \sum _ { k \neq j } W _ { k j } ^ { n } } \; .
\begin{array} { r } { { \mathcal { S } } _ { 1 } : \quad { \mathcal { H } } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } , P _ { 1 } , P _ { 2 } ; \lambda ) = { \mathcal { H } } ( - Q _ { 1 } , - Q _ { 2 } , P _ { 1 } , P _ { 2 } ; - \lambda ) \, , } \\ { { \mathcal { S } } _ { 2 } : \quad { \mathcal { H } } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } , P _ { 1 } , P _ { 2 } ; \lambda ) = { \mathcal { H } } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } , - P _ { 1 } , - P _ { 2 } ; - \lambda ) \, , } \\ { { \mathcal { S } } _ { 3 } : \quad { \mathcal { H } } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } , P _ { 1 } , P _ { 2 } ; \lambda ) = { \mathcal { H } } ( - Q _ { 1 } , - Q _ { 2 } , - P _ { 1 } , - P _ { 2 } ; \lambda ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , \tau ) } & { { } = \sum _ { e , g } T _ { g e s } \rho _ { e g } ( \textbf { r } , \tau ) , } \\ { \mathcal { P } _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , \tau ) } & { { } = \sum _ { e , g } \rho _ { g e } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { e g s } , } \end{array}
M _ { E } \sim \Phi _ { d } ^ { ( 1 ) \dagger } + \Phi _ { d } ^ { ( 2 ) \dagger } \approx \left( \begin{array} { c c c } { { h _ { d } } } & { { h _ { d } } } & { { h _ { d } } } \\ { { h _ { s } \lambda } } & { { h _ { s } } } & { { h _ { b } } } \\ { { h _ { b } V _ { u b } } } & { { h _ { b } V _ { c b } } } & { { h _ { b } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n , 2 } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } 1 ( F _ { i } ) - \mathcal { P } _ { n , 2 } ( \hat { F } _ { 1 } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { n , 2 } \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } 1 ( F _ { i } ) 1 ( F _ { j } ) \right) - 2 \mathcal { P } _ { n , 2 } ( F _ { I _ { n , 1 } } ) \mathcal { P } _ { n , 2 } ( \hat { F } _ { 1 } ) + \left( \mathcal { P } _ { n , 2 } ( \hat { F } _ { 1 } ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { c _ { A } ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } { A c _ { N } ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } = \frac { g _ { A } ( 2 x , Q _ { e f f } ^ { 2 } ) } { A g _ { N } ( 2 x , Q _ { e f f } ^ { 2 } ) } \ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { \lambda } _ { 4 } ^ { \prime \prime } = \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 4 } ^ { \prime } + \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 6 } ^ { \prime } } \\ & { } & { = \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \left( \cos \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 4 } + \sin \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 5 } \right) } \\ & { } & { \ \ + \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \left( \cos \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 6 } - \sin \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 7 } \right) } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { 0 } & { 0 } & { \mathrm { e } ^ { i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } & { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\| ( { \boldsymbol \sigma } - \widetilde { { \boldsymbol \sigma } } , \mathbf { u } - \widetilde { \mathbf { u } } ) \| \, \leq \, \frac { 1 } { 2 } \, \| \mathbf { u } \| _ { 1 , \Omega } \, \bigg ( \frac { 1 } { r _ { 1 } \, \| \mathbf { i } _ { 4 } \| } \, \| { \mathbf { w } } - \widetilde { { \mathbf { w } } } \| _ { 0 , 4 ; \Omega } + \frac { 2 ^ { \mathrm { p } - 3 } \, c _ { \mathrm { p } } } { r _ { 2 } \, \| \mathbf { i } _ { \mathrm { q } } \| } \, \| { \mathbf { w } } - \widetilde { { \mathbf { w } } } \| _ { 0 , \mathrm { q } ; \Omega } \bigg ) \, .
\delta W = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { F } _ { i } \right) \cdot { \dot { \mathbf { d } } } \delta t + \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \mathbf { X } _ { i } - \mathbf { d } \right) \times \mathbf { F } _ { i } \right) \cdot { \vec { \omega } } \delta t = \left( \mathbf { F } \cdot { \dot { \mathbf { d } } } + \mathbf { T } \cdot { \vec { \omega } } \right) \delta t ,
E _ { n \kappa } ( Z ) = m _ { e } c ^ { 2 } \left( 1 + \frac { ( Z \alpha ) ^ { 2 } } { \left[ n - | \kappa | + \sqrt { \kappa ^ { 2 } - ( Z \alpha ) ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \left\| \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) \right\| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { u } } ) } } \\ & { = \left\| ( \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathrm { I _ { d } } } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } f _ { \ell } ) \circ ( \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathrm { I _ { d } } } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } \sigma \circ \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { \ell } ) \circ \cdots \circ ( \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { 0 } \boldsymbol { \mathrm { I _ { d } } } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { 0 } f _ { 0 } ) \circ ( \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { 0 } \boldsymbol { \mathrm { I _ { d } } } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { 0 } \sigma \circ \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { 0 } ) ( a ) \right\| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { u } } ) } } \\ & { \leq \left[ \prod _ { \ell = 0 } ^ { L } ( \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { L } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { L } C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } ) ( \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { L } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { L } C _ { k } C _ { \sigma } ) \right] C _ { a } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { c } ^ { b } \int _ { M \times M } \left( u ( x , y , t ) + H _ { n } ( t - c ) \right) ^ { 2 } e ^ { - 2 f ( x , t ) - 2 f ( y , t ) } \, d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) \, d t } \\ { \le } & { 8 \int _ { c } ^ { b } \int _ { M \times M } \left( \int _ { M } H ( x , t , z , c ) d _ { c } ^ { 2 } ( z , p ) \, d V _ { c } ( z ) \right) ^ { 2 } e ^ { - 2 f ( x , t ) - 2 f ( y , t ) } \, d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) \, d t } \\ & { + 8 \int _ { c } ^ { b } \int _ { M \times M } \left( \int _ { M } H ( y , t , w , c ) d _ { c } ^ { 2 } ( w , p ) \, d V _ { c } ( w ) \right) ^ { 2 } e ^ { - 2 f ( x , t ) - 2 f ( y , t ) } \, d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) \, d t } \\ { \le } & { 8 \int _ { c } ^ { b } \int _ { M \times M } \int _ { M } H ( x , t , z , c ) d _ { c } ^ { 4 } ( z , p ) e ^ { - 2 f ( x , t ) - 2 f ( y , t ) } \, d V _ { c } ( z ) d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) \, d t } \\ & { + 8 \int _ { c } ^ { b } \int _ { M \times M } \int _ { M } H ( y , t , w , c ) d _ { c } ^ { 4 } ( w , p ) e ^ { - 2 f ( x , t ) - 2 f ( y , t ) } \, d V _ { c } ( w ) d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) \, d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { O _ { n + 1 } } & { = \left( \mathcal { A } ^ { \dagger } \mathcal { A } + \alpha \Gamma ^ { \dagger } \Gamma \right) ^ { - 1 } \left( \mathcal { A } ^ { \dagger } \tilde { \psi } + \alpha \Gamma ^ { \dagger } \Gamma O _ { n } \right) } \\ & { = \left( \mathcal { A } ^ { \dagger } \mathcal { A } + \alpha \Gamma ^ { \dagger } \Gamma \right) ^ { - 1 } \left( \mathcal { A } ^ { \dagger } \tilde { \psi } - \mathcal { A } ^ { \dagger } \mathcal { A } O _ { n } + \mathcal { A } ^ { \dagger } \mathcal { A } O _ { n } + \alpha \Gamma ^ { \dagger } \Gamma O _ { n } \right) } \\ & { = \left( \mathcal { A } ^ { \dagger } \mathcal { A } + \alpha \Gamma ^ { \dagger } \Gamma \right) ^ { - 1 } \mathcal { A } ^ { \dagger } \left( \tilde { \psi } - \mathcal { A } O _ { n } \right) + O _ { n } } \\ & { = \left( \mathcal { P } ^ { \dagger } \mathcal { P } + \alpha \Gamma ^ { \dagger } \Gamma \right) ^ { - 1 } \mathcal { P } ^ { \dagger } \left( \mathcal { D } ^ { \dagger } \tilde { \psi } - \mathcal { P } O _ { n } \right) + O _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = Z ^ { 0 } \int e x p \Bigg [ - \Bigg ( R \left( \mathcal { M } \right) + \sum _ { ( i , j ) } 3 \left( \frac { f _ { i } - f _ { j } } { l _ { i j } } \right) ^ { 2 } V _ { l } } \\ & { + \sum _ { p } \left( 3 \Delta ( f ) \vert _ { p } V _ { p } + 4 \left( f _ { p } - \frac { 1 } { 4 } \right) V _ { p } \right) \Bigg ) \Bigg ] D \left[ e ^ { - 2 f } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { a } \left( \vec { r } , t \right) } & { { } = \phi _ { a } \left( \vec { r } \right) e ^ { - i \frac { \epsilon _ { a } } { \hbar } t } + \sum _ { b } c _ { b } ( t ) \phi _ { b } \left( \vec { r } \right) e ^ { - i \frac { \epsilon _ { b } } { \hbar } t } , } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \psi \equiv \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \xi ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \eta ^ { 2 } } , \; \; \; \; \hat { \nabla } ^ { 2 } \psi \equiv \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \hat { \xi } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \hat { \eta } ^ { 2 } } .
\langle \boldsymbol { f } _ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) \boldsymbol { f } _ { \mathrm { o u t } } ^ { \dagger } ( \omega ^ { \prime } ) \rangle = \underbrace { \mathcal { S } ( \omega ) D \mathcal { S } ^ { \dagger } ( - \omega ) } _ { \tilde { C } _ { \boldsymbol { f } \boldsymbol { f } ^ { \dagger } } ( \omega ) } \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 0 } \delta \hat { \phi } _ { 0 } - \delta \hat { \psi } _ { 0 } } & { = - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } \bigg [ \Lambda _ { k _ { + } } ^ { k _ { z } ^ { * } } \left( \frac { \delta \hat { \psi } _ { z } ^ { * } } { \omega _ { 0 } } - \frac { \delta \hat { \phi } _ { z } ^ { * } } { \omega _ { 0 } + \omega _ { z } } \right) \delta \hat { \psi } _ { + } } \\ & { + \Lambda _ { k _ { - } ^ { * } } ^ { k _ { z } } \left( \frac { \delta \hat { \psi } _ { z } } { \omega _ { 0 } } - \frac { \delta \hat { \phi } _ { z } } { \omega _ { 0 } - \omega _ { z } ^ { * } } \right) \delta \hat { \psi } _ { - } ^ { * } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \delta \tilde { p } } & { { } = - \delta \xi _ { x } \frac { \textrm { d } p _ { 0 } } { \textrm { d } x } - \gamma p _ { 0 } \left( \nabla \cdot \delta \boldsymbol { \xi } \right) + \frac { B _ { 0 } \delta B _ { \parallel } } { 4 \pi } = } \end{array} } \end{array}
\hat { \chi } _ { r , s } ^ { ( p , p ^ { \prime } ) } ( q ) = \hat { \chi } _ { p - r , p ^ { \prime } - s } ^ { ( p , p ^ { \prime } ) } ( q ) = \frac { 1 } { ( q ) _ { \infty } } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \left( q ^ { j ( j p p ^ { \prime } + r p ^ { \prime } - s p ) } - q ^ { ( j p + r ) ( j p ^ { \prime } + s ) } \right) .
\begin{array} { r l } { h _ { 1 } } & { = \eta ( ( F _ { 3 } H _ { 4 } - G _ { 3 } ) \eta - ( ( F _ { 1 } H _ { 2 } + G _ { 1 } H _ { 3 } ) F _ { 3 } + F _ { 1 } G _ { 3 } H _ { 3 } ) ) + ( w F _ { 1 } - \zeta G _ { 1 } ) G _ { 1 } H _ { 2 } } \\ { h _ { 2 } } & { = \eta ( F _ { 1 } \eta + ( - F _ { 1 } ^ { 2 } H _ { 3 } + ( F _ { 3 } H _ { 1 } - G _ { 1 } H _ { 4 } ) F _ { 1 } + G _ { 1 } ^ { 2 } ) ) - ( w F _ { 1 } - \zeta G _ { 1 } ) G _ { 1 } H _ { 1 } } \\ { h _ { 3 } } & { = \eta ( ( - F _ { 1 } H _ { 4 } + G _ { 1 } ) \eta + H _ { 2 } F _ { 1 } ^ { 2 } - F _ { 1 } G _ { 3 } H _ { 1 } + F _ { 3 } G _ { 1 } H _ { 1 } ) } \\ { h _ { 4 } } & { = \eta ( F _ { 1 } G _ { 1 } H _ { 2 } + ( F _ { 1 } H _ { 3 } - F _ { 3 } H _ { 1 } ) \eta - \eta ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } \\ { * } & { \geq \operatorname* { P r } \left\{ R _ { 0 , n } < \mathsf { R } _ { 0 } ( R _ { 1 , n } , R _ { 2 , n } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | \hat { T } _ { X ^ { n } Y ^ { n } } ) \right\} - \frac { 1 } { n } } \\ & { \geq \operatorname* { P r } \left\{ R _ { 0 , n } < \mathsf { R } _ { 0 } ( R _ { 1 , n } , R _ { 2 , n } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | \hat { T } _ { X ^ { n } Y ^ { n } } ) , ~ \hat { T } _ { X ^ { n } Y ^ { n } } \in \mathcal { A } _ { n } ( P _ { X Y } ) \right\} } \\ { * } & { \qquad - \frac { 1 } { n } } \\ & { \geq \operatorname* { P r } \bigg \{ R _ { 0 } ^ { * } + \frac { L _ { 0 } } { \sqrt { n } } < \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \jmath _ { X Y } ( X _ { i } , Y _ { i } ) - \xi _ { 1 } ^ { * } \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } - \xi _ { 2 } ^ { * } \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } + O ( \eta _ { n } ) } \\ { * } & { \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \hat { T } _ { X ^ { n } Y ^ { n } } \in \mathcal { A } _ { n } ( P _ { X Y } ) \bigg \} - \frac { 1 } { n } } \\ & { \geq \operatorname* { P r } \bigg \{ R _ { 0 } ^ { * } + \frac { L _ { 0 } } { \sqrt { n } } < \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \jmath _ { X Y } ( X _ { i } , Y _ { i } ) - \xi _ { 1 } ^ { * } \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } - \xi _ { 2 } ^ { * } \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } + O ( \eta _ { n } ) \bigg \} } \\ { * } & { \qquad - \operatorname* { P r } \left\{ \hat { T } _ { X ^ { n } Y ^ { n } } \notin \mathcal { A } _ { n } ( P _ { X Y } ) \right\} - \frac { 1 } { n } } \\ & { = \operatorname* { P r } \bigg \{ \frac { L _ { 0 } } { \sqrt { n } } + \xi _ { 1 } ^ { * } \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } + \xi _ { 2 } ^ { * } \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } + O ( \eta _ { n } ) < \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \jmath _ { X Y } ( X _ { i } , Y _ { i } ) } \\ { * } & { \qquad \qquad - \mathsf { R } _ { 0 } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X Y } ) \bigg \} - \frac { 2 | \mathcal { X } | | \mathcal { Y } | } { n ^ { 2 } } - \frac { 1 } { n } } \\ & { \geq \mathrm { Q } \left( \frac { L _ { 0 } + \xi _ { 1 } ^ { * } L _ { 1 } + \xi _ { 2 } ^ { * } L _ { 2 } + O \left( \sqrt { n } \eta _ { n } \right) } { \sqrt { \mathrm { V } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X Y } ) } } \right) - \frac { 6 \mathrm { T } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } { \sqrt { n } \mathrm { V } ^ { 3 / 2 } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } } \\ { * } & { \qquad \qquad - \frac { 2 | \mathcal { X } | | \mathcal { Y } | } { n ^ { 2 } } - \frac { 1 } { n } , } \end{array}
\begin{array} { c } { { \omega \epsilon E _ { B } ^ { 1 } - \partial _ { 2 } H _ { A } ^ { 3 } + \partial _ { 3 } H _ { A } ^ { 2 } + \partial _ { 1 } E _ { A } ^ { 0 } = 0 , } } \\ { { \omega \epsilon E _ { B } ^ { 2 } - \partial _ { 3 } H _ { A } ^ { 1 } + \partial _ { 1 } H _ { A } ^ { 3 } + \partial _ { 2 } E _ { A } ^ { 0 } = 0 , } } \\ { { \omega \mu H _ { A } ^ { 1 } - \partial _ { 2 } E _ { B } ^ { 3 } + \partial _ { 3 } E _ { B } ^ { 2 } - \partial _ { 1 } H _ { B } ^ { 0 } = 0 , } } \\ { { \omega \mu H _ { A } ^ { 2 } - \partial _ { 3 } E _ { B } ^ { 1 } + \partial _ { 1 } E _ { B } ^ { 3 } - \partial _ { 2 } H _ { B } ^ { 0 } = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { 1 } { h } [ \hat { q } ( \theta + h ) - \hat { q } ( \theta ) ] - \int _ { \mathcal X } q ( x ) \dot { f } ( \theta , x ) \mu ( d x ) \right| } & { \le \int _ { \mathcal X } | q ( x ) | | g _ { h } ( x ) - \dot { f } ( \theta , x ) | \mu ( d x ) } \\ & { \le \| q \| _ { \infty } \| g _ { h } - \dot { f } ( \theta , \cdot ) \| _ { L _ { 1 } ( \mu ) } \xrightarrow [ h \to 0 ] 0 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { A g \in B ^ { + } } \\ { g ^ { - 1 } B \in B ^ { + } } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( \begin{array} { l l } { a _ { - + } } & { a _ { -- } } \\ { b _ { - + } } & { - b _ { + + } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { g _ { + + } } \\ { g _ { - + } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r l } { i } & { = 3 2 i d _ { 5 } + 1 6 d _ { 4 } - 8 i d _ { 3 } - 4 d _ { 2 } + 2 i d _ { 1 } + d _ { 0 } + { \frac { 1 } { 2 i } } d _ { - 1 } + { \frac { 1 } { - 4 } } d _ { - 2 } + { \frac { 1 } { - 8 i } } d _ { - 3 } } \\ & { = i ( 3 2 d _ { 5 } - 8 d _ { 3 } + 2 d _ { 1 } - { \frac { 1 } { 2 } } d _ { - 1 } + { \frac { 1 } { 8 } } d _ { - 3 } ) + 1 6 d _ { 4 } - 4 d _ { 2 } + d _ { 0 } - { \frac { 1 } { 4 } } d _ { - 2 } } \end{array} }
( M _ { 0 } + k M _ { 1 } + \cdots ) ( \boldsymbol { v } _ { 0 } + k \boldsymbol { v } _ { 1 } + \cdots ) = ( p _ { 0 } + k p _ { 1 } + \cdots ) ( \boldsymbol { v } _ { 0 } + k \boldsymbol { v } _ { 1 } + \cdots ) ,
\begin{array} { r } { \hat { p } _ { x _ { 2 } } \psi _ { 2 } = - i \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } = \left[ - i \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \frac { 1 } { b ^ { 2 } } + \frac { m } { w _ { 2 } } \frac { \dot { b } } { b ^ { 2 } } x _ { 2 } \psi _ { 1 } \right] e ^ { \frac { i } { 2 } \frac { m } { w _ { 2 } } \frac { \dot { b } } { b } ( x _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) } e ^ { - i l _ { 2 } \int \omega _ { 2 } d t _ { 2 } + i l _ { 1 } \int \omega _ { 1 } d t _ { 1 } } } \end{array}
T _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) = T _ { 1 } ( 0 , Q ^ { 2 } ) + \frac { 2 \nu ^ { 2 } } { \pi } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \mathrm { d } \nu ^ { \prime } \, \frac { \sigma _ { T } ( \nu ^ { \prime } , Q ^ { 2 } ) } { \nu ^ { \prime \, 2 } - \nu ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \alpha } _ { \ell } ( g ) = \mathrm { P r } \left( \ensuremath { \mathbf { S } } _ { \ell } = \ensuremath { \mathbf { e } } _ { g } \middle | \ensuremath { \mathbf { R } } _ { \ell } = \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } \right) = \mathrm { P r } \left( V _ { \ell } = g \middle | \ensuremath { \mathbf { R } } _ { \ell } = \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } \right) } \\ & { = \frac { f _ { \ensuremath { \mathbf { R } } _ { \ell } | V _ { \ell } } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } | g \right) } { \sum _ { h \in \mathbb { F } _ { q } } f _ { \ensuremath { \mathbf { R } } _ { \ell } | V _ { \ell } } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } | h \right) } = \frac { e ^ { - \frac { \left\| \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } - \ensuremath { \mathbf { e } } _ { g } \right\| ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } } } { \sum _ { h \in \mathbb { F } _ { q } } e ^ { - \frac { \left\| \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } - \ensuremath { \mathbf { e } } _ { h } \right\| ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } } } } \\ & { = \frac { e ^ { \frac { \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } ( g ) } { \tau ^ { 2 } } } } { \sum _ { h \in \mathbb { F } _ { q } } e ^ { \frac { \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } ( h ) } { \tau ^ { 2 } } } } . } \end{array}
A ( M _ { a } ) = ( \, - \rlap / p + m _ { c } ) \, ( 2 \pi ) ^ { 4 } \, \delta ^ { ( 4 ) } ( p - p ^ { \prime } ) + r ( p ^ { 2 } ) \, M _ { a } ( p - p ^ { \prime } ) \, r ( { p ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \, \Gamma _ { a } \; .
\begin{array} { r } { \rho ( x , \tilde { z } , t = 0 ) = \rho _ { p h o } e ^ { - 2 \chi _ { 0 } ( \tilde { z } + \tilde { z } _ { c } ) } \left( \frac { T _ { p h o } + T _ { c o r } e ^ { 2 \tilde { z } } } { T _ { p h o } + T _ { c o r } e ^ { - 2 \tilde { z } _ { c } } } \right) ^ { \chi _ { 0 } - \chi _ { 1 } } \frac { T _ { p h o } } { T ( \tilde { z } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { d } { d t } \delta ( \gamma ( t ) ) \right| } & { = \left| \sum _ { k = 1 } ^ { n } \dot { \gamma } ( t ) \frac { \partial } { \partial z _ { k } } \delta ( \gamma ( t ) ) + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \overline { { \dot { \gamma } ( t ) } } \frac { \partial } { \partial \bar { z } _ { k } } \delta ( \gamma ( t ) ) \right| } \\ & { = 2 \left| \operatorname { R e } \left\langle \bar { \partial } \delta \left( \gamma ( t ) \right) , \dot { \gamma } ( t ) \right\rangle \right| = \left| \operatorname { R e } \left\langle \vec { n } ( \pi ( \gamma ( t ) ) ) , \dot { \gamma } ( t ) \right\rangle \right| } \\ & { \leq \left| \dot { \gamma } _ { N } ( t ) \right| . } \end{array}
s = \frac { 2 \left( \ln \left( \eta + 1 \right) \right) ^ { 2 } ( \eta + 1 ) + \ln \left( \eta + 1 \right) \eta ( \eta + 1 ) - 3 \eta ^ { 2 } } { \ln \left( \eta + 1 \right) \eta ^ { 2 } } \ .
\langle \psi _ { u k } | \hat { p } | \psi _ { v k } \rangle = \frac { 1 } { V } \langle u k | ( \hat { p } + \hbar k ) | v k \rangle = \sum _ { K } c _ { u , k - K } ^ { * } c _ { v , k - K } ( \hbar k - \hbar K ) .
1 - \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m - 1 \right) } , \delta } \cdots { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( 1 \right) } , \delta } \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \ \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \ { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( 1 \right) } , \delta } \cdots { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m - 1 \right) } , \delta } \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } \right\} \right\} .
\begin{array} { r l r } { | \theta , \phi \rangle } & { = } & { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { L R } } ( \phi ) \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { L R } } ( \theta ) | \mathrm { L } \rangle } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \cos ( \frac { \theta } { 2 } ) } & { - \sin ( \frac { \theta } { 2 } ) } \\ { \sin ( \frac { \theta } { 2 } ) } & { \ \ \cos ( \frac { \theta } { 2 } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \cos ( \frac { \theta } { 2 } ) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \sin ( \frac { \theta } { 2 } ) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { | \mathrm { B l o c h } \rangle , } \end{array}