harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { p _ { i } = P _ { 0 } + \epsilon \mathring { p _ { i } } , } \\ & { \zeta = \zeta _ { 0 } + \epsilon \mathring { \zeta } , } \\ & { { \bf A } = { \bf A } _ { 0 } + \epsilon \mathring { { \bf a } } , } \\ & { u _ { i } = U ( y ) + \epsilon \mathring { u _ { i } } , } \\ & { v _ { i } = \epsilon \mathring { v _ { i } } , } \end{array}
\big \langle 0 | { \cal P } ^ { \eta } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ) | 0 \big \rangle = m _ { c } \big ( M _ { \eta } - 2 m _ { c } \big ) \; \big \langle 0 | { \cal O } ^ { \eta } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ) | 0 \big \rangle
\tilde { s } _ { q 1 } ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } , t ) = - \frac { i } { 1 2 \mu } \bigl \{ \bigl [ \partial _ { \tilde { x } } \psi ^ { * } ( \tilde { x } , t ) \bigr ] \tilde { x } \partial _ { \tilde { x } } ^ { 2 } \psi ( \tilde { x } , t ) - \bigl [ \partial _ { \tilde { x } } ^ { 2 } \psi ^ { * } ( \tilde { x } , t ) \bigr ] \tilde { x } \partial _ { \tilde { x } } \psi ( \tilde { x } , t ) \bigr \} .
S _ { \mathrm { g y r o } } ( f ) = \frac { \sum _ { X } \left( \bar { \gamma } _ { \mathrm { X e } } \mathcal { K } _ { X } + \xi _ { \omega _ { \mathrm { c a l } } } \mathcal { Q } _ { X } \right) ^ { 2 } h _ { X } ^ { 2 } } { f } .
\langle I _ { m o d } ( \omega _ { 1 } ) \rangle _ { L I } \propto \frac { A } { 2 \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } } \left( 1 + e ^ { - \gamma \tau } \right) .
\begin{array} { r l } { \left\lVert \nabla u _ { r } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( ( - 4 , 0 ) \times \mathsf C _ { 2 } ) } } & { \le c _ { 0 } ^ { \frac 1 2 } , } \\ { \left\lVert f _ { r } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( - 4 , 0 ; L ^ { \frac 6 5 } ( \mathsf C _ { 2 } ) ) } } & { \le \left\lVert f _ { r } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( - 4 , 0 ) \times \mathsf C _ { 2 } ) } \lesssim c _ { 0 } ^ { \frac 3 4 } , } \\ { \left\lVert u _ { r } \cdot \nabla u _ { r } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( - 4 , 0 ; L ^ { \frac 6 5 } ( \mathsf C _ { 2 } ) ) } } & { \lesssim \left\lVert \nabla u _ { r } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( ( - 4 , 0 ) \times \mathsf C _ { 2 } ) } \left\lVert u _ { r } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( - 4 , 0 ; L ^ { 6 } ( \mathsf C _ { 2 } ) ) } \lesssim c _ { 0 } . } \end{array}
g _ { \eta ^ { - Q } \eta ^ { Q + 2 } W ^ { - } W ^ { - } } = g _ { \eta ^ { Q } \eta ^ { - Q - 2 } W ^ { + } W ^ { + } } = ( g _ { ( \eta ^ { - Q } ) ^ { * } ( \eta ^ { Q + 2 } ) ^ { * } W ^ { + } W ^ { + } } ) ^ { * }
\begin{array} { r l } { \geq { } } & { { } \int _ { \operatorname* { m i n } _ { x } \in X } ^ { x _ { 1 } } f _ { \theta _ { 1 } } ( x _ { 0 } ) f _ { \theta _ { 0 } } ( x _ { 1 } ) \, d x _ { 0 } } \end{array}
\Big ( \omega + \frac { i } { 2 } \partial _ { T } - e ^ { \frac { 1 } { 2 i } \lambda \partial _ { \omega } ^ { G } \partial _ { T } ^ { h } } h ( T ) \Big ) \tilde { G } ^ { R / A } = I + e ^ { \frac { 1 } { 2 i } \lambda \left( \partial _ { T } ^ { \Sigma } \partial _ { \omega } ^ { G } - \partial _ { \omega } ^ { \Sigma } \partial _ { T } ^ { G } \right) } \tilde { \Sigma } ^ { R / A } \tilde { G } ^ { R / A } ,
\begin{array} { r l } { T _ { i j } } & { = \varepsilon \frac { \left| \nabla u _ { \varepsilon } \right| ^ { 2 } } { 2 } \delta _ { i j } - \varepsilon \nabla _ { i } u _ { \varepsilon } \nabla _ { j } u _ { \varepsilon } + W \left( u _ { \varepsilon } \right) \delta _ { i j } , } \\ { \nabla _ { i } T _ { i j } } & { = \varepsilon \nabla _ { i } \nabla _ { k } u _ { \varepsilon } \nabla _ { k } u _ { \varepsilon } \delta _ { i j } - \varepsilon \Delta u _ { \varepsilon } \nabla _ { j } u _ { \varepsilon } - \varepsilon \nabla _ { i } u _ { \varepsilon } \nabla _ { i } \nabla _ { k } u _ { \varepsilon } } \\ & { + W ^ { \prime } \left( u _ { \varepsilon } \right) \nabla _ { i } u _ { \varepsilon } \delta _ { i j } } \\ & { = \left( - \varepsilon \Delta u _ { \varepsilon } + W ^ { \prime } \left( u _ { \varepsilon } \right) \right) \nabla _ { j } u _ { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \Lambda } _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } } & { = } & { \Lambda _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } + ( 1 - \Lambda _ { 0 0 } ) ^ { - 1 } \, \Lambda _ { \mathfrak { n } \mathfrak { 0 } } \, \Lambda _ { \mathfrak { 0 } \mathfrak { n ^ { \prime } } } = R ^ { - 3 } \, ( \mathfrak { E } - 2 \, h _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n } } ) ^ { - 1 } \times } \\ & { \times } & { \, \big ( I _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } + [ ( \mathfrak { E } - 2 \, h _ { 0 0 } ) \, R ^ { 3 } - I _ { 0 0 } ] ^ { - 1 } \, I _ { \mathfrak { n } 0 } \, I _ { 0 \mathfrak { n ^ { \prime } } } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 { \nu } + 1 } } { \partial \chi _ { c } ^ { 2 { \nu } + 1 } } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } k \ k ^ { m } \sin ( k \chi _ { c } ) K _ { m } ^ { \prime } ( k ) \right) } & { { } = ( - 1 ) ^ { { \nu } } \ \times } \end{array}
T = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { - b ^ { 2 } } \\ { a ^ { 2 } } & { - b ^ { 2 } } & { 2 b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } \\ { - a ^ { 2 } } & { b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } & { c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } \end{array} \right) \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; N = \left( \begin{array} { c } { - b ^ { 2 } } \\ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } \\ { - a ^ { 2 } } \end{array} \right) .
\left( \begin{array} { c } { { \vec { Q } } } \\ { { \vec { P } } } \end{array} \right) = { \cal V } _ { 0 } \left( \begin{array} { c } { { \vec { \tilde { q } } } } \\ { { \vec { \tilde { p } } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { { \frac { D \pi } { D t _ { d } } } = \left( { \varepsilon } ^ { 2 + \alpha } { \frac { D \pi ^ { \prime } } { D t _ { w } } } + { \varepsilon } w { \frac { d \bar { \pi } } { d z _ { s } } } \right) } \end{array}
C _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } ( J _ { 0 } ^ { + } J _ { 0 } ^ { - } + J _ { 0 } ^ { - } J _ { 0 } ^ { + } + 2 J _ { 0 } ^ { 0 } J _ { 0 } ^ { 0 } ) + \sum _ { m = 1 } ^ { + \infty } J _ { - m } ^ { + } J _ { m } ^ { - } + J _ { - m } ^ { - } J _ { m } ^ { + } + 2 J _ { - m } ^ { 0 } J _ { m } ^ { 0 }
\begin{array} { r } { { S _ { 1 1 } ^ { q } = S _ { 2 2 } ^ { q } = - S _ { 1 2 } ^ { q } = - S _ { 2 1 } ^ { q } } { = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } T 4 k _ { B } \mathcal { T } } } \\ { { + \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } | e V | T ( 1 - T ) \left( \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - \frac { 2 k _ { B } \mathcal { T } } { e V } \right) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } } { \sqrt { \partial _ { z } v _ { n } } } \right\| ^ { p - 2 } \Big | \int \sum _ { k = 0 } ^ { s - 1 } \binom { s } { k } \frac { \partial _ { x } ^ { s - k } u _ { n } \partial _ { x } ^ { k + 1 } v _ { n } \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } } { \partial _ { z } v _ { n } } d x d z } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \int \sum _ { k = 1 } ^ { s - 1 } \binom { s } { k } \frac { \partial _ { x } ^ { s - k } w _ { n } \partial _ { x } ^ { k } \partial _ { z } v _ { n } \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } } { \partial _ { z } v _ { n } } d x d z \Big | } \\ { \leq } & { C _ { p , \rho , \kappa } \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } } { \sqrt { \partial _ { z } v _ { n } } } \right\| ^ { p } \leq C _ { p , \rho , \kappa } \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i a g } \, \tau _ { \mathrm { M F } } ^ { \mathrm { O R } } ( \vartheta ) = } & { \frac { 1 } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } \exp \Big [ - \beta \big ( H _ { \mathrm { S } } - Q S _ { 0 } ^ { 2 } F ( \vartheta ) \big ) \Big ] } \\ & { \times \mathrm { I } _ { 0 } \Big [ \frac { 1 } { 2 } \beta Q S _ { 0 } ^ { 2 } ( c _ { 1 1 } - c _ { 2 2 } ) \sin ^ { 2 } \vartheta \Big ] , } \end{array}
P ^ { - } = { \frac { \mu ^ { 2 } q _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } + \mu ^ { 2 } \Sigma _ { 2 } + { \frac { \lambda q _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 ! d } } + { \frac { \lambda q _ { 0 } ^ { 2 } \Sigma _ { 2 } } { 2 ! d } } + { \frac { \lambda q _ { 0 } \Sigma _ { 3 } } { d } } + { \frac { \lambda \Sigma _ { 4 } } { d } } \; .
\rho _ { k } : = ( - 2 \tilde { w } _ { N _ { s } } [ \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ] / \mu _ { k } ) ^ { 1 / 2 } \sim [ - ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \overline { { D } } _ { f } ( L | | M ) } & { = \sum _ { x \neq y } \pi ( x ) \frac { 1 } { 2 } ( L ( x , y ) + M ( x , y ) ) f \left( \frac { L ( x , y ) } { \frac { 1 } { 2 } ( L ( x , y ) + M ( x , y ) ) } \right) } \\ & { = \sum _ { x \neq y } \pi ( y ) \frac { 1 } { 2 } ( L _ { \pi } ( y , x ) + M _ { \pi } ( y , x ) ) f \left( \frac { L _ { \pi } ( y , x ) } { \frac { 1 } { 2 } ( L _ { \pi } ( y , x ) + M _ { \pi } ( y , x ) ) } \right) = \overline { { D } } _ { f } ( L _ { \pi } | | M _ { \pi } ) . } \end{array}
\sigma _ { t _ { c o g } } ^ { 2 } = \frac { ( 4 k ^ { 2 } - 7 k + 4 ) ( 1 + k ) ^ { 2 } } { 1 5 ( k ^ { 4 } + 2 k ^ { 3 } - 5 k ^ { 2 } + 2 k + 1 ) } { \sigma _ { t _ { c } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { S [ \mathbf { Q } ] = \int _ { 0 } ^ { \hbar \beta } d t \left[ \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 \lambda } \dot { \mathbf { Q } } _ { \mu } \dot { \mathbf { Q } } ^ { \mu } + V ( \mathbf { Q } ) \right] , } \end{array}
S = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left\{ \sum _ { m > 0 } \left[ - \phi _ { m } ^ { * } ( t ) \phi _ { m } ( t ) - x ^ { 2 } \phi _ { m } ^ { * } ( t ) \phi _ { m } ( t - 1 ) \right] - g _ { _ P } \tau \Phi ^ { * } ( t ) \Phi ( t - 1 ) \right\} ,
\begin{array} { r l r } & { \omega ( G ) \le \chi ( G ) \le \chi _ { [ A , A ] } ( G ) \le \chi _ { [ A , - ] } ( G ) \le \chi _ { [ A , B ] } ( G ) \le \chi _ { [ B , B ] } ( G ) } & \\ & { \omega ( G ) \le \chi ( G ) \le \chi _ { [ A , A ] } ( G ) \le \chi _ { [ B , A ] } ( G ) \le \chi _ { [ B , - ] } ( G ) \le \chi _ { [ B , B ] } ( G ) } & \end{array}
( \bar { \mathrm { ~ u ~ } } _ { - i + 1 } + \mu _ { - i + 1 , J - j } ) = 2 \alpha ( t ) - ( \bar { \mathrm { ~ u ~ } } _ { i } + \mu _ { i , 1 + j } ) , \qquad 1 \leq i \leq k , \quad 0 \leq j \leq J - 1 .
\begin{array} { r l } { \left[ K ^ { - 1 } + V + \delta V \right] ^ { - 1 } } & { = \left[ \left( K ^ { - 1 } + V \right) \left( I + \left( K ^ { - 1 } + V \right) ^ { - 1 } \delta V \right) \right] ^ { - 1 } } \\ & { = \left( I + \left( K ^ { - 1 } + V \right) ^ { - 1 } \delta V \right) ^ { - 1 } \left( K ^ { - 1 } + V \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\tilde { \mathcal { T } } _ { \mathrm { k i n } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \frac { \mathcal { T } _ { \mathrm { k i n } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { \mathcal { T } _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } , ~ ~ ~ ~ \tilde { \mathcal { T } } _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ t ~ } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \frac { \mathcal { T } _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ t ~ } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { \mathcal { T } _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ ~ \tilde { \mathcal { B } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \frac { \mathcal { B } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { \mathcal { T } _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } ,
\begin{array} { r l } & { a _ { \rho } = \varepsilon } \\ & { \alpha _ { u } = 1 - ( 1 - \varepsilon ) \left( 1 + \varepsilon \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } { 1 + ( \gamma - 1 ) M _ { 0 } ^ { 2 } / 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \left( 1 + \varepsilon \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } { 1 - 2 \gamma M _ { 0 } ^ { 2 } / ( \gamma - 1 ) } \right) ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \alpha _ { p } = \varepsilon \left[ 1 + ( 1 - \varepsilon ) \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } { M _ { 0 } ^ { 2 } } \right] ^ { - 1 / 2 } } \end{array} ,
\left| \frac { \partial \langle n _ { i } \rangle _ { \Gamma } } { \partial B _ { \rho } } \right| \leq \sum _ { \sigma \in \mathcal { R } ^ { \prime } } \left| \sum _ { j \in \mathcal { S } } ( \mathsf { S } ^ { \prime } ) _ { \sigma j } ^ { - 1 } \mathrm { C o v } _ { \Gamma } \{ n _ { i } , n _ { j } \} \right| \operatorname { t a n h } \left( \frac { \mathcal { F } } { 4 } \right) .
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { o } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { - 2 \mu R _ { o } ^ { 2 } E } { \hbar ^ { 2 } } } = i k _ { o } } \\ { \kappa _ { c } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 2 \mu R _ { o } ^ { 2 } ( E ^ { * } - E ) } { \hbar ^ { 2 } } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { d ( u _ { t } ^ { G , h } - u _ { t } ^ { \hat { G } } ) = [ A _ { h } u _ { t } ^ { { G } , h } - A u _ { t } ^ { \hat { G } } + ( P _ { h } \mathcal { F } ( u _ { t } ^ { { G } , h } ) - \mathcal { F } ( u _ { t } ^ { \hat { G } } ) ) } \\ { \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad + ( P _ { h } G ( t , u _ { t } ^ { G , h } ) - \hat { G } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } } ) ) ] d t } \\ { \qquad \qquad \qquad \quad + ( P _ { h } - I ) B d W _ { t } , \quad t \in [ 0 , T ] } \\ { ( u _ { 0 } ^ { G , h } - u _ { 0 } ^ { \hat { G } } ) = ( P _ { h } - I ) u _ { 0 } . } \end{array} \right.
\left[ - \frac { g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } N \Gamma ( \omega - 1 ) } { 8 \pi ^ { \omega } ( 2 - \omega ) ( 2 \omega - 3 ) } \right] \cdot [ x ^ { 2 } ] ^ { ( 2 - \omega ) } 2 ^ { - J } \Delta ^ { J } ( x ) \frac { J ^ { 2 } } { 2 } \langle \mathrm { T r } Z ^ { J - 1 } \bar { Z } ^ { J - 1 } - \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } Z ^ { J - 1 } \mathrm { T r } \bar { Z } ^ { J - 1 } \rangle
\begin{array} { r l } { \lVert U _ { 1 } ^ { \prime } U _ { 0 } ^ { \prime } - U _ { 1 } U _ { 0 } \rVert } & { { } = \lVert U _ { 1 } ^ { \prime } ( U _ { 0 } ^ { \prime } - U _ { 0 } ) + ( U _ { 1 } ^ { \prime } - U _ { 1 } ) U _ { 0 } \rVert } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ | X | ^ { \theta } ] = \sigma ^ { \theta } 2 ^ { \theta } \frac { \Gamma ( \frac { 1 + \theta } { 2 } ) \Gamma ( 1 - \frac { \theta } { \alpha } ) } { \sqrt { \pi } \Gamma ( 1 - \frac { \theta } { 2 } ) } , \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } \quad \Gamma \mathrm { ~ d e n o t e s ~ t h e ~ u s u a l ~ G a m m a ~ f u n c t i o n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B \mathrm { T o r } ^ { \theta } ( W _ { g } ) } & { : = \mathrm { B u n } ^ { + } ( T W _ { g } , \theta ^ { * } \gamma _ { 2 n } ) / \! \! / \mathrm { T o r } ^ { + } ( W _ { g } ) } \\ { B \mathrm { T o r } ^ { \theta } ( W _ { g } , * ) } & { : = \mathrm { B u n } ^ { + } ( T W _ { g } , \theta ^ { * } \gamma _ { 2 n } ) / \! \! / \mathrm { T o r } ^ { + } ( W _ { g } , * ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle p q | | r s \rangle } & { = \langle p q | r s \rangle - \langle p q | s r \rangle } \\ & { = \int d x _ { 1 } d x _ { 2 } \frac { \phi _ { p } ^ { * } ( x _ { 1 } ) \phi _ { q } ^ { * } ( x _ { 2 } ) ( 1 - \hat { P } _ { 1 2 } ) \phi _ { r } ( x _ { 1 } ) \phi _ { s } ( x _ { 2 } ) } { | r _ { 1 } - r _ { 2 } | } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { 0 } ( t ) = \mathbb { P } ( \mathcal { N } ( t ) = 0 ) = \exp \left\{ - c _ { 1 } \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { d } t } } { \lambda _ { d } } \right\} , \quad t \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda \tilde { \Phi } ^ { e } - \mu \sigma ^ { 2 } \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { \Phi } ^ { e } } & { = - \frac { \mu \sigma ^ { 4 } } { 2 } \Delta \tilde { \Phi } ^ { e } - V [ m _ { 0 } ] \tilde { \Phi } ^ { e } + \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \tilde { \Phi } ^ { e } \log { \tilde { \Phi } ^ { e } } , } \\ { - \lambda \tilde { \Gamma } ^ { e } - \mu \sigma ^ { 2 } \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { \Gamma } ^ { e } } & { = \frac { \mu \sigma ^ { 4 } } { 2 } \Delta \tilde { \Gamma } ^ { e } + V [ m _ { 0 } ] \tilde { \Gamma } ^ { e } - \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \tilde { \Gamma } ^ { e } \log { m } + \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \tilde { \Gamma } ^ { e } \log { \tilde { \Gamma } ^ { e } } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha _ { t } V ( \alpha _ { t } s _ { t } g \phi ( j _ { t } ) P _ { t - 1 , t } ) g \phi ( j _ { t } ) P _ { t , t + 1 } V ( \alpha _ { t } s _ { t + 1 } g \phi ( j _ { t } ) P _ { t , t + 1 } ) .
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial ^ { 2 } C _ { \mu b } } { \partial t ^ { 2 } } } & { = V _ { \mu \nu \sigma \lambda } [ ( V _ { \sigma \epsilon \zeta \eta } C _ { \zeta c } C _ { \eta c } ^ { * } ) C _ { \epsilon a } C _ { \lambda a } ^ { * } ] C _ { \nu b } } \\ & { \quad + V _ { \mu \nu \sigma \lambda } [ C _ { \sigma a } ( V _ { \lambda \epsilon \zeta \eta } C _ { \zeta c } ^ { * } C _ { \eta c } ) C _ { \epsilon a } ^ { * } ] C _ { \nu b } } \\ & { \quad + ( V _ { \mu \nu \sigma \lambda } C _ { \sigma a } C _ { \lambda a } ^ { * } ) ( V _ { \nu \epsilon \zeta \eta } C _ { \zeta c } C _ { \eta c } ^ { * } ) C _ { \epsilon b } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta } \mathrm { J } ( \theta ) } & { = \; \mathbb { E } _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } \Big [ \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } V _ { i + 1 } ^ { \theta } ( X _ { t _ { i + 1 } } ) \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \theta } ( t _ { i } , X _ { t _ { i } } , \alpha _ { t _ { i } } ) 1 _ { t _ { i } < \tau } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { 1 } { { P r } } ( \partial _ { t } \bar { \omega } _ { \pm } + u \cdot \nabla \bar { \omega } _ { \pm } ) - \Delta \bar { \omega } _ { \pm } } & { { } = 0 } & { \textnormal { i n } } & { { } \Omega } \\ { \bar { \omega } _ { \pm } } & { { } = - 2 ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \mp \Lambda } & { \textnormal { o n } } & { { } \gamma ^ { + } \cup \gamma ^ { - } } \\ { \bar { \omega } _ { \pm , 0 } } & { { } = \omega _ { 0 } \mp | \omega _ { 0 } | } & { \textnormal { i n } } & { { } \Omega \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { 1 } = \sqrt { | B _ { R } | } \, | 1 - \mathrm { a v } ( \widetilde u ; B _ { R } ) | } & { = \sqrt { \frac { | B _ { R } | } { | Q _ { r } | } } \, \Big | \| u \| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } - \| \mathrm { a v } ( \widetilde u ; B _ { R } ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } \Big | } \\ & { \le \sqrt { \frac { | B _ { R } | } { | Q _ { r } | } } \, \left\| u - \mathrm { a v } ( \widetilde u ; B _ { R } ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } \le \sqrt { \frac { | B _ { R } | } { | Q _ { r } | } } \, \mathcal { I } _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \bf A } ( { \bf r } ) = \sum _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } \hat { \bf A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf r } ) = \sum _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } \frac { { \boldsymbol \lambda } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } } { \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) } \left[ e ^ { - i { \bf k _ { \parallel } } \cdot { \bf r } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { \dagger } + e ^ { i { \bf k _ { \parallel } } \cdot { \bf r } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } \right] \sin ( { k _ { y } } { r _ { y } } ) = \sum _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } \Big [ \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf r } ) \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } + \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf r } ) \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } \Big ] } \end{array}
\begin{array} { c } { b _ { 1 } = \frac { \omega _ { 1 } ^ { 4 } - 2 \omega _ { 1 } ^ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { 2 } ^ { 2 } \omega _ { 3 } ^ { 2 } } { \omega _ { 1 } ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } } \ , \quad d _ { 2 } = \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 2 } ^ { 2 } - \omega _ { 3 } ^ { 2 } \right) + \omega _ { 3 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 4 } ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } \right) } { \omega _ { 2 } ^ { 2 } - \omega _ { 3 } ^ { 2 } } \ , } \\ { d _ { 0 } = \omega _ { 1 } ^ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { 3 } ^ { 2 } \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 4 } ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \omega _ { 2 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 3 } ^ { 2 } - \omega _ { 4 } ^ { 2 } \right) } { \omega _ { 2 } ^ { 2 } - \omega _ { 3 } ^ { 2 } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \beta \rangle } & { = \sum _ { \beta = 0 } ^ { \frac { N ( N - 1 ) } { 2 W ^ { * } } } \beta \binom { \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } } { W ^ { * } \beta } p ^ { W ^ { * } \beta } ( 1 - p ) ^ { \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } - W ^ { * } \beta } = } \\ & { = \frac { N ( N - 1 ) } { 2 W ^ { * } } p = \frac { \langle L \rangle } { W ^ { * } } = \frac { L ^ { * } } { W ^ { * } } } \end{array}
\tilde { \mu } _ { 0 } ( \textbf { K } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int e ^ { - R ^ { 2 } / 2 \delta ^ { 2 } } e ^ { - i \textbf { K } \cdot { \textbf { R } } } d ^ { 2 } R = \frac { \delta ^ { 2 } } { \pi } e ^ { - K ^ { 2 } \delta ^ { 2 } / 2 } .
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \sum _ { \sigma = \{ \uparrow , \downarrow \} } \int d x \; \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { \dag } ( x ) \bigg [ \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 M } + V _ { 0 } \sin ^ { 2 } ( k _ { L } x ) \bigg ] \hat { \psi } _ { \sigma } ( x ) + \int d x \; \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dag } ( x ) \bigg [ \hbar \omega _ { 0 } + U _ { a c } ( x ) \bigg ] \hat { \psi } _ { \uparrow } ( x ) } \\ & { + \hbar g _ { c } \int d x \; \cos ( k _ { c } x ) \bigg [ \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dag } ( x ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( x ) \hat { a } + \hat { a } ^ { \dag } \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dag } ( x ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( x ) \bigg ] + \hbar \omega _ { c } \hat { a } ^ { \dag } \hat { a } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ( s ) - \frac { \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( s ) } { s } } & { { } = \left( s \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } + \frac { \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } } { s } \right) \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ( s ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { d i m } } & { = t \sum _ { i \in o d d } ( \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { i + 1 } + \mathrm { h . c . } ) + t \alpha \sum _ { i \in e v e n } ( \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { i + 1 } + \mathrm { h . c . } ) } \\ & { + V \sum _ { i \in o d d } \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { i + 1 } + V \alpha ^ { 2 } \sum _ { i \in e v e n } \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { i + 1 } + \hat { H } _ { L R } . } \end{array}
A _ { N } = \frac { 1 } { 4 \pi } \left( \frac { g _ { A } } { F _ { \pi } } \right) ^ { 2 } + { \cal O } ( 1 / N _ { c } ) , \; \; \; A _ { \Delta } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \left( \frac { g _ { A } ^ { * } } { F _ { \pi } } \right) ^ { 2 } + { \cal O } ( 1 / N _ { c } ) .
M _ { Y _ { 7 } Y _ { 6 } } ^ { 2 } = 2 \left( \begin{array} { c c } { { H } } & { { - 2 i c } } \\ { { 2 i c } } & { { H } } \end{array} \right) . M _ { Y _ { 5 } Y _ { 4 } } ^ { 2 } = 2 \left( \begin{array} { c c } { { H } } & { { - 2 i c } } \\ { { 2 i c } } & { { H } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { \mathrm { r } } } & { = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r ^ { 3 } } \left[ 3 ( \mathbf { \hat { r } ^ { \prime } } \boldsymbol { \cdot } \mathbf { m } _ { \mathrm { r } } ) \mathbf { \hat { r } ^ { \prime } } - \mathbf { m } _ { \mathrm { r } } \right] = \mathbf { B } _ { 0 } + \mathcal { O } \left( \frac { R _ { f } } { d ^ { 4 } } \right) } \\ { \mathbf { E } _ { \mathrm { r } } } & { = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \frac { \mathbf { \hat { r } ^ { \prime } } \times \mathbf { \dot { m } _ { \mathrm { r } } } } { r ^ { 2 } } = \mathbf { E } _ { 0 } + \mathbf { E } _ { 1 } + \mathcal { O } \left( \frac { R _ { f } ^ { 2 } } { d ^ { 4 } } \right) } \end{array}
\frac { d V _ { ( 3 ) } } { d m _ { \eta } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { i \: \alpha } { 2 } \right) ^ { p - 1 } \: \mathrm { R e } \left( I _ { 0 } + I _ { f } \right) \: \left( J _ { 0 } - i \: \frac { \partial I _ { f } } { \partial m _ { \eta } ^ { 2 } } \right) ^ { p - 1 } .