harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { X } _ { 1 } } & { { } = ( - 1 ) ^ { S + S ^ { \prime } - Q } \sqrt { 3 ( 2 k + 1 ) ( 2 K + 1 ) } \left( \begin{array} { l l l } { K } & { 1 } & { k } \\ { Q } & { - Q } & { 0 } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { l l l } { K } & { 1 } & { k } \\ { S } & { S ^ { \prime } } & { S ^ { \prime \prime } } \end{array} \right\} } \\ { \mathcal { X } _ { 2 } } & { { } = ( - 1 ) ^ { S + S ^ { \prime } - Q + K + k } \sqrt { 3 ( 2 k + 1 ) ( 2 K + 1 ) } \left( \begin{array} { l l l } { K } & { 1 } & { k } \\ { Q } & { - Q } & { 0 } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { K } & { k } \\ { S } & { S ^ { \prime } } & { S ^ { \prime \prime } } \end{array} \right\} \, . } \end{array}
\beta _ { 0 } = \left[ \frac { 1 1 } { 3 } N - \frac { 2 } { 3 } n _ { f } \right] + \left[ - \frac { 2 } { 3 } N - \frac { 2 } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } ( n _ { f } + 1 ) \right] = \beta _ { 0 } ^ { L } + \beta _ { 0 } ^ { H } .
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { M } } } & { = { \mathcal { M } } ^ { K } + { \frac { \mathcal { B } } { 1 + \nu } } \, q + D \nabla ^ { 2 } \Phi ~ ; ~ ~ { \mathcal { M } } ^ { K } : = - D \nabla ^ { 2 } w ^ { K } } \\ { Q _ { 1 } ^ { K } } & { = - D { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } \left( \nabla ^ { 2 } w ^ { K } \right) ~ , ~ ~ Q _ { 2 } ^ { K } = - D { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } \left( \nabla ^ { 2 } w ^ { K } \right) } \\ { \Omega } & { = { \frac { \partial \varphi _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } - { \frac { \partial \varphi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } ~ , ~ ~ \nabla ^ { 2 } \Omega = c ^ { 2 } \Omega \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( \vec { r } , t ) } & { { } = } & { \frac { \omega _ { m } } { 1 + \left( \frac { p ( \vec { r } , t ) } { p _ { t h r e s h } } \right) ^ { h } } \, f _ { G E N } ( \vec { r } ) - \gamma _ { m } \, m ( \vec { r } , t ) + D _ { m } \, \nabla ^ { 2 } m ( \vec { r } , t ) } \\ { \dot { p } ( \vec { r } , t ) } & { { } = } & { \omega _ { p } \; f _ { R I B } ( \vec { r } ) \, m ( \vec { r } , t ) - \gamma _ { p } \, p ( \vec { r } , t ) + D _ { p } \nabla ^ { 2 } \, p ( \vec { r } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { = \nabla \cdot \left( T _ { \delta } ( \rho ) \nabla \left( \kappa B _ { \varepsilon } [ \rho ] + \alpha B _ { \varepsilon } [ \eta ] - \gamma \rho - \beta \eta \right) \right) , } & & { \mathrm { i n } \quad ( 0 , + \infty ) \times \mathbb { T } ^ { d } , } \\ { \frac { \partial \eta } { \partial t } } & { = \nabla \cdot \left( T _ { \delta } ( \eta ) \nabla \left( \alpha B _ { \varepsilon } [ \rho ] + B _ { \varepsilon } [ \eta ] - \beta \rho - \eta \right) \right) , } & & { \mathrm { i n } \quad ( 0 , + \infty ) \times \mathbb { T } ^ { d } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp \left\{ - \tilde { a } c _ { 1 } \sin ( \omega t ) \right\} } & { { } = I _ { 0 } ( \tilde { a } c _ { 1 } ) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } I _ { k } ( \tilde { a } c _ { 1 } ) \cos [ k ( \omega t + \pi / 2 ) ] , } \\ { \exp \left\{ - \tilde { a } c _ { 2 } \cos ( 2 \omega t ) \right\} } & { { } = I _ { 0 } ( \tilde { a } c _ { 2 } ) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } I _ { k } ( \tilde { a } c _ { 2 } ) \cos [ 2 k \omega t ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { E } _ { \mathrm { i n } } ^ { \prime } = } & { { } \frac { E _ { 0 } e ^ { i \varphi / 2 } } { 2 \sqrt 2 } \left[ \cos \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { i } \end{array} \right) - i \sin \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - i } \end{array} \right) \right] } \\ { = } & { { } - \frac { E _ { 0 } e ^ { i \varphi / 2 } } { 2 } \left[ \cos \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \vec { e } _ { + } + i \sin \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \vec { e } _ { - } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N ( A , \gamma ) } & { = } & { a _ { 1 } ^ { 1 } \gamma _ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } \gamma _ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } - 1 - \left( a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } \right) + \left( a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } \right) } \\ & { = } & { a _ { 1 } ^ { 1 } \gamma _ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } \gamma _ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { 0 } } & { { } = } & { \Gamma _ { 0 } , } \\ { G _ { 1 } } & { { } = } & { \left( \frac { 3 } { 2 } - b \right) \Gamma _ { 0 } + b \Gamma _ { 1 } , } \\ { G _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \left( 6 b ^ { 2 } - 2 0 b + 1 5 \right) \Gamma _ { 0 } + 2 b \left( ( 1 0 - 4 b ) \Gamma _ { 1 } + b \Gamma _ { 2 } \right) \right) , } \\ { G _ { 3 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( b \Gamma _ { 1 } - ( b - 2 ) \Gamma _ { 0 } \right) , } \\ { G _ { 4 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \left( 3 b ^ { 2 } - 1 1 b + 1 0 \right) \Gamma _ { 0 } + b \left( ( 1 1 - 4 b ) \Gamma _ { 1 } + b \Gamma _ { 2 } \right) \right) , } \\ { G _ { 5 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 8 } \left( \left( 3 b ^ { 2 } - 1 2 b + 1 4 \right) \Gamma _ { 0 } + b \left( b \Gamma _ { 2 } - 4 ( b - 3 ) \Gamma _ { 1 } \right) \right) . } \end{array}
\varepsilon _ { ( N + 2 ) } = \varepsilon _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \varepsilon _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \perp } \left( \hat { x } \hat { x } + \hat { y } \hat { y } \right) + \varepsilon _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \parallel } \hat { z } \hat { z }
\left( \begin{array} { l } { { l _ { 0 } } } \\ { { l _ { 1 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { \gamma } } & { { \gamma \beta } } \\ { { \gamma \beta } } & { { \gamma } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { l _ { 0 } ^ { \prime } } } \\ { { l _ { 1 } ^ { \prime } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ | \tilde { \mathcal { G } } _ { n } | ^ { \theta } ] = ( \sigma _ { n } ( \infty ) ) ^ { \theta } 2 ^ { \theta } \frac { \Gamma ( \frac { 1 + \theta } { 2 } ) \Gamma ( 1 - \frac { \theta } { \alpha } ) } { \sqrt { \pi } \Gamma ( 1 - \frac { \theta } { 2 } ) } , \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } \quad \Gamma \mathrm { ~ d e n o t e s ~ t h e ~ s t a n d a r d ~ G a m m a ~ f u n c t i o n } . } \end{array}
\nabla _ { A } \nabla _ { B } F ( \phi ) = F _ { i } ^ { \prime } ( \phi ) \; ( \nabla _ { A } \nabla _ { B } \phi ^ { i } ) + F _ { i j } ^ { \prime \prime } ( \phi ) \; ( \nabla _ { A } \phi ^ { i } ) \; ( \nabla _ { B } \phi ^ { j } ) .
\frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } = \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } , \quad \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } = \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } = \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \Sigma } + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } .
E ( \rho , \vec { u } ( t ) , \vec { \mathfrak { x } } ( t ) ) = \pi \int _ { \mathscr { R } } \rho \, | \vec { u } | ^ { 2 } \, r \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z + \gamma A ( \vec { \mathfrak { x } } ( t ) ) .
{ \cal G } ( x - x ^ { \prime } , 0 ) _ { \mu \nu , \gamma \delta } \, = \, \langle h _ { \mu \nu } ( x , 0 ) \, h _ { \gamma \delta } ( x ^ { \prime } , 0 ) \rangle = \int d ^ { N } m | \sigma _ { m } ( 0 ) | ^ { 2 } \langle \epsilon _ { \mu \nu } ^ { ( m ) } ( x ) \epsilon _ { \gamma \delta } ^ { ( m ) } ( x ^ { \prime } ) \rangle \, .
\begin{array} { r l r } { g ( \xi , \hat { \alpha } ) } & { { } = } & { \mathrm { c o s } \gamma \, \int d { \vec { r } } \, \frac { \partial f ( \vec { r } ) } { \partial B } \, \delta ( \xi - \vec { r } \cdot \hat { \alpha } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 2 3 } ^ { ( 3 ) } } & { { } = } & { \frac { 2 \langle 1 | | r ( 1 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } \langle 1 | | r ( 2 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } \langle 1 | | r ( 3 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { 2 7 R _ { 1 2 } ^ { 3 } R _ { 1 3 } ^ { 3 } R _ { 2 3 } ^ { 3 } } \times } \end{array}
\hat { H } ( t ) = \sum _ { \langle n , n ^ { \prime } \rangle } [ J _ { n } ( t ) e ^ { \gamma _ { n } } \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n ^ { \prime } } + J _ { n } ^ { * } ( t ) e ^ { - \gamma _ { n } } \hat { c } _ { n ^ { \prime } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } ] + \sum _ { n } V _ { n } ( t ) \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } .
E _ { \mathrm { k , s y s } } = { \frac { 1 } { 2 } } m v ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( - m ) v ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } m + ( - m ) { \big ) } v ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } ( 0 ) v ^ { 2 } = 0
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } \quad } & { \sum _ { ( i , j ) \in \mathcal { E } } c _ { i , j } z _ { i , j } + \frac { 1 } { | \mathcal { R } | } \sum _ { r \in \mathcal { R } } \sum _ { ( i , j ) \in \mathcal { E } } \left( \sum _ { k \in \mathcal { K } } f _ { i , j } ^ { k } x _ { i , j } ^ { k , r } + \frac { 1 } { 2 \gamma } \left( \sum _ { k \in \mathcal { K } } x _ { i , j } ^ { k , r } \right) ^ { 2 } \right) } & \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \boldsymbol { A } \boldsymbol { x } ^ { k , r } = \boldsymbol { d } ^ { k , r } , \quad \forall k \in \mathcal { K } , r \in \mathcal { R } , } \\ { \quad } & { \sum _ { k \in \mathcal { K } } x _ { i , j } ^ { k , r } \leq u _ { i , j } , \quad \forall ( i , j ) \in \mathcal { E } , r \in \mathcal { R } , } \\ & { \boldsymbol { x } ^ { k , r } \geq 0 , \ x _ { i , j } ^ { k , r } = 0 \textit { i f } z _ { i , j } = 0 , \quad \forall ( i , j ) \in \mathcal { E } , } \\ { \quad } & { \sum _ { ( i , j ) \in \mathcal { E } } z _ { i , j } \leq c _ { 0 } , } \\ { \quad } & { z _ { i , j } \in \{ 0 , 1 \} \quad \forall ( i , j ) \in \mathcal { E } , } \end{array}
1 - \frac { | \boldsymbol { v } _ { B } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { 1 } | } { | \boldsymbol { v } _ { B } | | \boldsymbol { x } _ { 1 } | } < \varepsilon , \; \left( \boldsymbol { x } _ { 1 } \right) _ { V _ { B } } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { V _ { B } } > 0 , \; \left( \boldsymbol { x } _ { 1 } \right) _ { W _ { B } } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { W _ { B } } > 0 .
\Delta C = \Delta S = + 1 \mathrm { , ~ \ } q _ { \Omega _ { C } } ^ { \ast } ( 2 6 6 0 ) \mathrm { ; \ \ \ \ } \Delta S = - 1 \mathrm { , ~ \ } q _ { \Omega } ^ { \ast } ( 2 4 6 0 ) \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { B ( - N _ { \chi } ) } & { { } = 6 \alpha _ { - N _ { \chi } , 3 } , } \\ { B ( n ) } & { { } = 6 ( \alpha _ { n , 3 } - \alpha _ { n - 1 , 3 } ) , \quad \mathrm { f o r } \quad 1 - N _ { \chi } \leq n \leq N _ { \chi } - 1 , } \\ { B ( N _ { \chi } ) } & { { } = - 6 \alpha _ { N _ { \chi } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \Sigma _ { u _ { k } } \alpha _ { u , i _ { u } } } } & { \leq \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda _ { u , i _ { u } , k } } } ( \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \Sigma _ { u _ { k } } \alpha _ { u , i _ { u } } - \lambda _ { u , i _ { u } , k } ) } \\ & { + \sqrt { \lambda _ { u , i _ { u } , k } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { j } ^ { 2 } } & { = 1 } & { \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { \beta _ { j } ^ { 2 } } & { = 1 } & { \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { ( \alpha _ { i } \alpha _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { = 1 } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 \quad \mathrm { a n d } \quad j \geq i + 2 , } \\ { ( \beta _ { i } \beta _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { = 1 } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 \quad \mathrm { a n d } \quad j \geq i + 2 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { v _ { t } = k v _ { x x } + f , \, w _ { t } = k w _ { x x } , \, r _ { t } = k r _ { x x } } & { ( x , t ) \in [ 0 , \infty ) \times ( 0 , \infty ) } \\ { v ( x , 0 ) = 0 , \; w ( x , 0 ) = g ( x ) , \; r ( x , 0 ) = 0 } & { I C } \\ { v ( 0 , t ) = 0 , \; w ( 0 , t ) = 0 , \; r ( 0 , t ) = h ( t ) } & { B C } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { V ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) P _ { 1 } + V ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 3 } ) P _ { 3 } + V ( \mathbf { r } _ { 2 } , \mathbf { r } _ { 3 } ) P _ { 5 } } & { \approx } & { V ( d ) \left( P _ { 1 } + P _ { 3 } + P _ { 5 } \right) } \\ & { } & { + \left. \frac { \partial V ( r ) } { \partial r } \right| _ { r = d } \left[ ( P _ { 1 } + P _ { 3 } + P _ { 5 } ) q _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } ( 2 P _ { 1 } - P _ { 3 } - P _ { 5 } ) q _ { 2 } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ( P _ { 3 } - P _ { 5 } ) q _ { 3 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x ^ { * } \approx ( 1 . 1 3 4 8 , 0 . 4 4 0 6 ) , \, z _ { 1 } ^ { * } \approx ( 9 . 8 \cdot 1 0 ^ { - 9 } , 0 . 6 9 4 1 ) , \, z _ { 2 } ^ { * } \approx ( 1 . 9 , 2 . 1 ) \cdot 1 0 ^ { - 9 } , } \\ & { f ( x ^ { * } ) \approx 1 . 5 1 6 0 , \, \big ( g _ { 1 } ( x ^ { * } , z _ { 1 } ^ { * } ) , g _ { 2 } ( x ^ { * } , z _ { 2 } ^ { * } ) \big ) \approx ( 4 . 9 , 0 . 2 ) \cdot 1 0 ^ { - 7 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } T _ { c o s } ( t ) d t } & { = } & { f ( 0 ) \bigg ( ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) - \frac { 2 } { 3 } \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 2 } ( t _ { 2 } ^ { 3 } - t _ { 1 } ^ { 3 } ) + \frac { 2 } { 1 5 } \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 4 } ( t _ { 2 } ^ { 5 } - t _ { 1 } ^ { 5 } ) + \cdots \bigg ) } \\ & { + } & { f ^ { ( 1 ) } ( 0 ) \bigg ( \frac { 1 } { 2 } ( t _ { 2 } ^ { 2 } - t _ { 1 } ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 2 } ( t _ { 2 } ^ { 4 } - t _ { 1 } ^ { 4 } ) + \cdots \bigg ) } \\ & { + } & { f ^ { ( 2 ) } ( 0 ) \bigg ( \frac { 1 } { 2 4 } ( t _ { 2 } ^ { 4 } - t _ { 1 } ^ { 4 } ) + \cdots \bigg ) + \cdots . } \end{array}
\eta ^ { * } ( t ) = \ln ( r _ { i + 1 } / r _ { i } ) / \theta _ { s } ^ { * } ( t ) = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \eta \frac { \tau } { \tau - t } , } & { 0 < t < \tau } \\ { \eta \frac { \tau } { t - \tau } \, } & { \tau < t < 2 \tau } \end{array} \right.
\tilde { \sigma } _ { p } = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { i } } T r ( \mathcal { C } ( \boldsymbol { \epsilon } _ { p } ) ) } = \tilde { \sigma } _ { \boldsymbol { \nabla } p } \sqrt { \frac { 1 } { N _ { i } } T r \left( \mathbf { K } \mathbf { K } ^ { T } \right) } = \tilde { \sigma } _ { \boldsymbol { \nabla } p } \sqrt { \frac { 1 } { N _ { i } } \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { i } } \lambda _ { l } ^ { 2 } } .
x = \left( { \begin{array} { c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \quad y = \left( { \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \quad z = \left( { \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) ~ . \quad
i G ^ { [ s ] } ( x , x ^ { \prime } ) _ { m n } ^ { a b } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \, d T \int _ { x ( 0 ) = x ^ { \prime } , x ( T ) = x } D x ( t ) e x p \left( { \frac { - 1 } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { T } d t \, \dot { x } ^ { 2 } \right) \Phi _ { m n } ^ { [ s ] } [ C ^ { x x ^ { \prime } } ] U [ C ^ { x x ^ { \prime } } ] ^ { a b } ,
\begin{array} { r } { G _ { j } ^ { \mathbb { A } } = \left\{ \begin{array} { l l } { G _ { j } ^ { M } = \mathcal { N } _ { j } , } & { \! P _ { j } ^ { M } \! = \frac { \theta _ { j } ^ { h } } { 2 \pi } \times \frac { \theta _ { j } ^ { e } } { \pi } , } \\ { G _ { j } ^ { S } = \frac { \sqrt { \mathcal { N } _ { j } } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \pi } \mathcal { N } _ { j } \sin { \left( \frac { 3 \pi } { 2 \sqrt { \mathcal { N } _ { j } } } \right) } } { \sqrt { \mathcal { N } _ { j } } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \pi } \sin { \left( \frac { 3 \pi } { 2 \sqrt { \mathcal { N } _ { j } } } \right) } } , } & { P _ { j } ^ { S } = 1 - \frac { \theta _ { j } ^ { h } } { 2 \pi } \times \! \frac { \theta _ { j } ^ { e } } { \pi } , } \end{array} \right. } \end{array}
\gamma _ { 0 0 } = e ^ { \phi / 2 } \left( \bar { G } _ { 0 0 } + \bar { G } _ { r r } \dot { R } ^ { 2 } + \bar { G } _ { s } \dot { \varphi } ^ { 2 } \right) \qquad , \qquad \gamma _ { i j } = e ^ { \phi / 2 } \bar { G } _ { i j }
\begin{array} { r l r } & { } & { | x _ { 2 } - x _ { 1 } | } \\ & { \geq } & { | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L - \operatorname* { m a x } \{ | y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) | , | x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | \} L - 2 \delta } \\ & { \geq } & { | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L - L T ^ { - 1 } - 2 \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \parallel \beta _ { J } ^ { * } - \tilde { \beta } _ { J } \parallel _ { 1 } } & { = } & { \parallel \int _ { ( 0 , \epsilon _ { J } ] } D _ { \tilde { \beta } _ { J , x - } ^ { u s d } } ^ { * } d x \parallel _ { 1 } } \\ & { = } & { \sum _ { u \in { \cal R } ( d , J ) } \mid \int _ { ( 0 , \epsilon _ { J } ] } D _ { \tilde { \beta } _ { J , x - } ^ { u s d } } ^ { * } ( u ) d x \mid } \\ & { \leq } & { \int _ { ( 0 , \epsilon _ { J } ] } \sum _ { u \in { \cal R } ( d , J ) } \mid D _ { \tilde { \beta } _ { J , x - } ^ { u s d } } ^ { * } ( u ) \mid d x } \\ & { = } & { \int _ { ( 0 , \epsilon _ { J } ] } \parallel D _ { \tilde { \beta } _ { J , x - } ^ { u s d } } ^ { * } \parallel _ { 1 } d x . } \end{array}
T _ { i j } ^ { n } = \sum _ { m \neq n } \frac { \langle u _ { m , \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { i } } \hat { H } | u _ { n , \mathbf { k } } \rangle \langle u _ { n , \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { j } } \hat { H } | u _ { m , \mathbf { k } } \rangle } { { ( E _ { m } - E _ { n } ) } ^ { 2 } } ,
{ \tilde { y } } = { \frac { y } { l } } , \quad { \tilde { T } } = { \frac { T } { T _ { \infty } } } , \quad { \tilde { T } } _ { w } = { \frac { T _ { w } } { T _ { \infty } } } , \quad { \tilde { h } } = { \frac { h } { h _ { \infty } } } , \quad { \tilde { h } } _ { w } = { \frac { h _ { w } } { h _ { \infty } } } , \quad { \tilde { u } } = { \frac { u } { U } } , \quad { \tilde { \mu } } = { \frac { \mu } { \mu _ { \infty } } } , \quad { \tilde { \tau } } _ { w } = { \frac { \tau _ { w } } { \mu _ { \infty } U / l } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { c ^ { 2 } } { 4 \pi \omega ^ { 2 } } B \frac { \partial } { \partial l } \frac { k _ { \perp } ^ { 2 } } { B } \frac { \partial } { \partial l } \delta \psi _ { k } + \frac { e ^ { 2 } } { T _ { i } } \left( 1 - \frac { \omega _ { * } } { \omega } \right) _ { k } \left\langle \left( 1 - J _ { k } ^ { 2 } \right) F _ { M } \right\rangle \delta \phi _ { k } - \sum _ { j = e , i } \left\langle q J _ { 0 } \frac { \omega _ { d } } { \omega } \delta H \right\rangle _ { k } } \\ & { = } & { - \frac { i } { \omega _ { k } } \sum _ { \mathbf { k } = \mathbf { k } ^ { \prime } + \mathbf { k } ^ { \prime \prime } } \Lambda _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { k ^ { \prime } } \left[ \left\langle e ( J _ { k } J _ { k ^ { \prime } } - J _ { k ^ { \prime \prime } } ) \delta L _ { k ^ { \prime } } \delta H _ { k ^ { \prime \prime } } \right\rangle + \frac { c ^ { 2 } } { 4 \pi } k _ { \perp } ^ { 2 } \frac { \partial _ { l } \delta \psi _ { k ^ { \prime } } \partial _ { l } \delta \psi _ { k ^ { \prime \prime } } } { \omega _ { k ^ { \prime } } \omega _ { k ^ { \prime \prime } } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { i } ( \partial _ { t } \mathbf { u } _ { i } + \mathbf { u } _ { i } \cdot \nabla \mathbf { u } _ { i } ) } & { { } = - \nabla p _ { i } + \nabla \cdot ( 2 \mu _ { i } \mathbf { D } ) + \sigma _ { i j } \kappa \delta _ { s } \mathbf { n } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } _ { i } } & { { } = 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { c _ { T } ( k ) } & { = A k ^ { a } } \\ { c _ { T - 1 } ( k ) } & { = { \frac { A k ^ { a } } { 1 + a b } } } \\ { c _ { T - 2 } ( k ) } & { = { \frac { A k ^ { a } } { 1 + a b + a ^ { 2 } b ^ { 2 } } } } \\ & { \dots } \\ { c _ { 2 } ( k ) } & { = { \frac { A k ^ { a } } { 1 + a b + a ^ { 2 } b ^ { 2 } + \ldots + a ^ { T - 2 } b ^ { T - 2 } } } } \\ { c _ { 1 } ( k ) } & { = { \frac { A k ^ { a } } { 1 + a b + a ^ { 2 } b ^ { 2 } + \ldots + a ^ { T - 2 } b ^ { T - 2 } + a ^ { T - 1 } b ^ { T - 1 } } } } \\ { c _ { 0 } ( k ) } & { = { \frac { A k ^ { a } } { 1 + a b + a ^ { 2 } b ^ { 2 } + \ldots + a ^ { T - 2 } b ^ { T - 2 } + a ^ { T - 1 } b ^ { T - 1 } + a ^ { T } b ^ { T } } } } \end{array} }
\partial _ { \mu } z ^ { A } ( \partial _ { A } + { \frac { 1 } { 2 } } \, \partial _ { A } K ) L ^ { I } = - e ^ { 3 U } Y ^ { I } ( { Y } ^ { J } \partial _ { r } H _ { J } ) + e ^ { U } \partial _ { r } Y ^ { I } .
\mathbf { M _ { 1 1 } } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { - 2 \kappa _ { 2 1 } } & { \kappa _ { 2 1 } } & { \kappa _ { 2 1 } } & { \kappa _ { 4 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \kappa _ { 7 1 } } \\ { \kappa _ { 2 1 } } & { - 2 \kappa _ { 2 1 } } & { \kappa _ { 2 1 } } & { 0 } & { \kappa _ { 5 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \kappa _ { 2 1 } } & { \kappa _ { 2 1 } } & { - 2 \kappa _ { 2 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \kappa _ { 6 3 } } & { \kappa _ { 7 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - ( \kappa _ { 4 1 } + \kappa _ { 4 7 } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - ( \kappa _ { 5 2 } + \kappa _ { 5 7 } ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - ( \kappa _ { 6 3 } + \kappa _ { 6 7 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \kappa _ { 4 7 } } & { \kappa _ { 5 7 } } & { \kappa _ { 6 7 } } & { - ( \kappa _ { 7 1 } + \kappa _ { 7 2 } + \kappa _ { 7 3 } ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { f ^ { \mathrm { e q } } ( v ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 \pi } } \left( \exp \left( - \frac { ( v - \overline { { v } } ) ^ { 2 } } { 2 } \right) + \exp \left( - \frac { ( v + \overline { { v } } ) ^ { 2 } } { 2 } \right) \right) \, . } \end{array}
p | p ^ { \prime } \rangle = \int d q ^ { \prime } \int d q ^ { \prime \prime } | q ^ { \prime } \rangle \langle q ^ { \prime } | p | q ^ { \prime \prime } \rangle \langle q ^ { \prime \prime } | p ^ { \prime } \rangle = \int d q ^ { \prime } \int d q ^ { \prime \prime } | q ^ { \prime } \rangle \left[ i \hbar \frac { \partial } { \partial q ^ { \prime \prime } } \delta ( q ^ { \prime } - q ^ { \prime \prime } ) \right] \langle q ^ { \prime \prime } | p ^ { \prime } \rangle
\begin{array} { r l } { S _ { 1 2 } ^ { s h } } & { = - \frac { 8 e ^ { 2 } } { h } ( 1 - R ) p ( 1 - p ) \bigg ( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) , } \\ { S _ { 1 4 } ^ { s h } } & { = S _ { 2 3 } ^ { s h } = \frac { ( 1 + R ) } { 4 ( 1 - R ) } S _ { 1 2 } ^ { s h } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { b } _ { k k } } & { { } = } & { \frac { m _ { k } \vec { u } _ { k } + m _ { k } \vec { u } _ { k } } { m _ { k } + m _ { k } } \, , } \\ { \vec { b } _ { k l } } & { { } = } & { \frac { m _ { k } \vec { u } _ { k } + m _ { l } \vec { u } _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, , } \\ { \vec { b } _ { k m } } & { { } = } & { \frac { m _ { k } \vec { u } _ { k } + m _ { m } \vec { u } _ { m } } { m _ { k } + m _ { m } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \boldsymbol \mu } _ { i } ( { \boldsymbol { R } } ) = \langle \Psi _ { 0 } ( { \boldsymbol { R } } ) | \hat { \boldsymbol \mu } | \Psi _ { i } ( { \boldsymbol { R } } ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { 0 } ^ { B } ( 0 , \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } , \mathfrak { w } ) = \widetilde { \chi } \big ( \varepsilon ^ { - 1 } \varphi \big ) \Big ( g ( \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } , \mathfrak { w } ) - \Phi _ { \infty } ( \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } ) \Big ) = \widetilde { \chi } \big ( \varepsilon ^ { - 1 } \varphi \big ) \Psi ( 0 , \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } , \mathfrak { w } ) , } \end{array}