harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \Pi _ { u } ( g _ { \phi } ) } & { = \Pi _ { u } \left[ { \left( \begin{array} { l l l } { \cos \phi } & { - \sin \phi } & { 0 } \\ { \sin \phi } & { \cos \phi } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \right] = \pm { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i { \frac { \phi } { 2 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i { \frac { \phi } { 2 } } } } \end{array} \right) } , } \\ { \Pi _ { u } ( g _ { \theta } ) } & { = \Pi _ { u } \left[ { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \theta } & { - \sin \theta } \\ { 0 } & { \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right) } \right] = \pm { \left( \begin{array} { l l } { \cos { \frac { \theta } { 2 } } } & { i \sin { \frac { \theta } { 2 } } } \\ { i \sin { \frac { \theta } { 2 } } } & { \cos { \frac { \theta } { 2 } } } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Pi ( \theta ) } & { : = p ( \theta \mid \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } ) , } \\ & { = \frac { \int p ( \textbf { y } _ { \mathrm { o b s } } \mid f ) p ( f \mid \theta , \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } ) p ( \theta ) \mathrm { d } f } { \iint p ( \textbf { y } _ { \mathrm { o b s } } \mid f ) p ( f \mid \theta , \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } ) \mathrm { d } f \mathrm { d } p ( \theta ) } , } \\ & { = \frac { L ( \theta ) \Pi ^ { \prime } ( \theta ) } { \int L ( \theta ) \mathrm { d } \Pi ^ { \prime } ( \theta ) } , } \\ & { = \frac { L ( \theta ) \Pi ^ { \prime } ( \theta ) } { \mathcal { L } _ { \mathrm { h y p e r } } } , } \end{array}
\kappa ^ { \prime } \approx - \frac { 1 + M } { 2 } \frac { n _ { e } ( x _ { 0 } ) } { 1 - n _ { e } ( x _ { 0 } ) } \frac { k _ { 2 } C _ { s } } { V _ { 2 } L _ { n } } + \frac { k _ { 2 } C _ { s } } { V _ { 2 } L _ { V } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { _ { k _ { 1 } ^ { o } \geq k _ { 2 } ^ { o } } \left[ | { h } _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } \right] = \mathbb { E } \left[ | { h } _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } \Bigg | | { h } _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } \leq \varrho ^ { o } \right] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \varrho } { x } f _ { | { h } _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } ( { x } ) d { x } } \\ & { \overset { ( a ) } { = } \frac { \gamma \left( \frac { 2 } { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } , \left[ 2 \varrho ^ { o } ( k _ { \mathbb { B } } \! + \! 1 ) \right] ^ { \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \right) } { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) ( k _ { \mathbb { B } } + 1 ) e ^ { \frac { 2 \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } } } } \\ & { \qquad - \varrho ^ { o } \exp { \left( - [ 2 \varrho ^ { o } ( k _ { \mathbb { B } } + 1 ) ] ^ { \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \right) } , } \end{array}
\overline { { \Omega } } _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } ( \theta ) \triangleq \omega _ { N } \mathbf { 1 } _ { 0 < \theta < \theta _ { 1 } } + \omega _ { C } \mathbf { 1 } _ { \theta _ { 1 } \leqslant \theta < \theta _ { 2 } } + \omega _ { S } \mathbf { 1 } _ { \theta _ { 2 } \leqslant \theta < \pi } ,
T _ { s } = \frac { 1 } { 4 } \left( \! \! \! \begin{array} { c c c c c c c c c } { { 2 } } & { { 0 } } & { { - 2 } } & { { - 4 } } & { { 2 } } & { { 2 } } & { { 3 } } & { { - 1 } } & { { - 2 } } \\ { { - 1 } } & { { 3 } } & { { - 2 } } & { { 2 } } & { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 6 } } & { { - 6 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 3 } } & { { - 3 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ^ { \! \! \sim }
\sqrt { z } J _ { 2 } ( m z ) \sim \sqrt { { \frac { 2 } { \pi m } } } \cos ( m z - { \frac { 5 } { 4 } } \pi ) , ~ ~ ~ ~ \sqrt { z } Y _ { 2 } ( m z ) \sim \sqrt { { \frac { 2 } { \pi m } } } \sin ( m z - { \frac { 5 } { 4 } } \pi ) .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathbf { b } } } & { { } = \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ l ~ } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } } \\ { { \mathbf { R } _ { \mathbf { b } } } } & { { } = \frac { 1 } { \gamma _ { \mathbf { b } } } \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ l ~ } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } \, { \mathbf { R } _ { \eta } } } \\ { K _ { \mathbf { b } } } & { { } = ( - 1 ) ^ { \sum _ { \eta } b _ { \eta } } \, { \binom { 2 } { b _ { \eta } } } } \end{array}
v \in ( s , t ) = \left( \overline { { s } } _ { m + 1 } + \sum _ { i = m + 2 } ^ { \infty } \frac { p - 1 } { p ^ { i } } , \overline { { t } } _ { m + 1 } - \sum _ { i = m + 2 } ^ { \infty } \frac { p - 1 } { p ^ { i } } \right) = \left( \overline { { s } } _ { m + 1 } + \frac { 1 } { p ^ { m + 1 } } , \overline { { t } } _ { m + 1 } - \frac { 1 } { p ^ { m + 1 } } \right) = \left( \overline { { s } } _ { m + 1 } + \frac { 1 } { p ^ { m + 1 } } , \overline { { s } } _ { m + 1 } + \frac { 3 } { p ^ { m + 1 } } - \frac { 1 } { p ^ { m + 1 } } \right) = \left( \overline { { s } } _ { m + 1 } + \frac { 1 } { p ^ { m + 1 } } , \overline { { s } } _ { m + 1 } + \frac { 2 } { p ^ { m + 1 } } \right) .
Q = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { \rho e } \end{array} \right] , \quad F = \left[ \begin{array} { l } { \rho u } \\ { \rho u ^ { 2 } + p } \\ { \rho u v } \\ { u ( \rho e + p ) } \end{array} \right] , \quad G = \left[ \begin{array} { l } { \rho v } \\ { \rho u v } \\ { \rho v ^ { 2 } + p } \\ { v ( \rho e + p ) } \end{array} \right]
\left\langle i \frac { \partial } { \partial t } \right\rangle = \int _ { \bf x } \hat { \pi } ( { \bf x } , t ) \dot { \varphi } ( { \bf x } , t ) + \int _ { \bf x , y } \Sigma ( { \bf x } , { \bf y } , t ) \dot { \Omega } ( { \bf y } , { \bf x } , t )
\begin{array} { r l } { \tilde { f } ( x ) } & { = \tilde { K } _ { W _ { 1 } } K _ { b _ { 1 } } K _ { \sigma _ { 1 } } \cdots \tilde { K } _ { W _ { L } } K _ { b _ { L } } g ( x ) } \\ & { = \psi _ { 1 } ( x ) \psi _ { 2 } ( \sigma _ { 1 } \circ b _ { 1 } \circ W _ { 1 } ( x ) ) \cdots \psi _ { L } ( \sigma _ { L - 1 } \circ b _ { L - 1 } \circ W _ { L - 1 } \circ \cdots \circ \sigma _ { 1 } \circ b _ { 1 } \circ W _ { 1 } ( x ) ) } \\ & { \qquad \qquad \cdot g ( b _ { L } \circ W _ { L } \circ \cdots \circ \sigma _ { 1 } \circ b _ { 1 } \circ W _ { 1 } ( x ) ) } \\ & { = \psi ( \sigma _ { L - 1 } \circ b _ { L - 1 } \circ W _ { L - 1 } \circ \cdots \circ \sigma _ { 1 } \circ b _ { 1 } \circ W _ { 1 } ( x ) , \ldots , \sigma _ { 1 } \circ b _ { 1 } \circ W _ { 1 } ( x ) , x ) } \\ & { \qquad \qquad \cdot g ( b _ { L } \circ W _ { L } \circ \cdots \circ \sigma _ { 1 } \circ b _ { 1 } \circ W _ { 1 } ( x ) ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \dot { e } } = { \frac { \operatorname { d } } { \operatorname { d } t } } H ( x ) - { \frac { \operatorname { d } } { \operatorname { d } t } } H ( { \hat { x } } ) } \\ { = { \frac { \operatorname { d } } { \operatorname { d } t } } H ( x ) - M ( { \hat { x } } ) \, \operatorname { s g n } ( V ( t ) - H ( { \hat { x } } ( t ) ) ) , } \end{array} \right.
\frac { \partial \hat { u } _ { \Lambda } ( \boldsymbol { \xi } ) } { \partial \textbf { v } } = \frac { 1 } { | \Lambda | } \left( \underset { \mathcal { T } \in \textbf { v } \star } { \sum } \frac { \partial \hat { u } _ { \mathcal { T } } ( \boldsymbol { \xi } ) } { \partial \textbf { v } } - \hat { u } _ { \Lambda } ( \boldsymbol { \xi } ) \underset { \mathcal { T } \in \textbf { v } \star } { \sum } \frac { \partial A _ { \mathcal { T } } } { \partial \textbf { v } } \right) ,
[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { P } _ { 0 } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle ] + [ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { P } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle ] + [ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { P } _ { 4 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle ]
\left[ \delta ( \epsilon _ { 1 } ) , \delta ( \epsilon _ { 2 } ) \right] = \, \mathrm { s u p e r c o n f o r m a l ~ a l g e b r a ~ w i t h ~ m o d i f i e d ~ } D _ { \mu } + \delta _ { G } ( \bar { \epsilon } _ { 2 } \epsilon _ { 1 } X ) \, ,
\begin{array} { r l r } { J _ { S } } & { = } & { { \frac { 1 } { 2 \Gamma } } \int _ { \mu } ^ { \mu \, \mathrm { e x p } ( 2 \Gamma ( t - t _ { 0 } ) ) } { \frac { 1 - x ^ { 2 } } { x ( 1 + x ^ { 2 } ) } } \, d x } \\ & { = } & { { \frac { 1 } { 2 \Gamma } } \int _ { \mu } ^ { \mu \, \mathrm { e x p } ( 2 \Gamma ( t - t _ { 0 } ) ) } \left( { \frac { 1 } { x } } - { \frac { 2 x } { 1 + x ^ { 2 } } } \right) \, d x } \\ & { = } & { { \frac { 1 } { 2 \Gamma } } \left[ \mathrm { l n } { \frac { \mu \, \mathrm { e x p } ( 2 \Gamma ( t - t _ { 0 } ) ) } { 1 + \mu ^ { 2 } \, \mathrm { e x p } ( 4 \Gamma ( t - t _ { 0 } ) ) } } - \mathrm { l n } { \frac { \mu } { 1 + \mu ^ { 2 } } } \right] } \\ & { = } & { t - t _ { 0 } - { \frac { 1 } { 2 \Gamma } } \mathrm { l n } { \frac { 1 + \mu ^ { 2 } \, \mathrm { e x p } ( 4 \Gamma ( t - t _ { 0 } ) ) } { 1 + \mu ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { \mathrm { c o s } \Delta ( t ) \, T _ { D u r , 0 } - S c \, \mathrm { s g n } ( \Gamma ) { \frac { R } { v _ { 0 } } } \mathrm { c o s } ^ { 2 } \phi \left[ { \frac { 1 } { \mathrm { t a n } ^ { 2 } ( \Delta / 2 ) } } + 2 \mathrm { c o s } ^ { 2 } ( \Delta / 2 ) \right] + O ( S c ^ { 2 } ) } \end{array}
W = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathbf { F } \cdot \mathbf { v } d t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathbf { F } \cdot { \frac { d \mathbf { s } } { d t } } d t = \int _ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { s } ,
\begin{array} { r l } { \beta ^ { i j } = } & { - \hbar ( \partial _ { i } g \partial _ { j } g ) \varepsilon ^ { 2 } 4 \left( - \Delta _ { a } ^ { 3 } \Delta _ { c } ^ { 4 } \Gamma - \Delta _ { a } ^ { 2 } \Delta _ { c } ^ { 3 } g ^ { 2 } \Gamma + \Delta _ { a } \Delta _ { c } ^ { 2 } g ^ { 4 } \Gamma \right. } \\ & { + \Delta _ { c } g ^ { 6 } \Gamma - \Delta _ { a } \Delta _ { c } ^ { 4 } \Gamma ^ { 3 } + \Delta _ { c } ^ { 3 } g ^ { 2 } \Gamma ^ { 3 } - 2 \Delta _ { a } ^ { 3 } \Delta _ { c } ^ { 2 } g ^ { 2 } \kappa } \\ & { + 2 \Delta _ { a } g ^ { 6 } \kappa + 2 \Delta _ { c } g ^ { 4 } \Gamma ^ { 2 } \kappa - 2 \Delta _ { a } ^ { 3 } \Delta _ { c } ^ { 2 } \Gamma \kappa ^ { 2 } } \\ & { - \Delta _ { a } ^ { 2 } \Delta _ { c } g ^ { 2 } \Gamma \kappa ^ { 2 } + 3 \Delta _ { a } g ^ { 4 } \Gamma \kappa ^ { 2 } - 2 \Delta _ { a } \Delta _ { c } ^ { 2 } \Gamma ^ { 3 } \kappa ^ { 2 } } \\ & { \left. + \Delta _ { c } g ^ { 2 } \Gamma ^ { 3 } \kappa ^ { 2 } - 2 \Delta _ { a } ^ { 3 } g ^ { 2 } \kappa ^ { 3 } - \Delta _ { a } ^ { 3 } \Gamma \kappa ^ { 4 } - \Delta _ { a } \Gamma ^ { 3 } \kappa ^ { 4 } \right) \frac { 1 } { | Q | ^ { 6 } } } \\ & { - \hbar ( \partial _ { i } g \partial _ { j } g ) \varepsilon ^ { 2 } 4 \left( - 2 \Delta _ { a } ^ { 2 } \Delta _ { c } ^ { 2 } \Gamma + 2 g ^ { 4 } \Gamma - 2 \Delta _ { c } ^ { 2 } \Gamma ^ { 3 } \right. } \\ & { - 4 \Delta _ { a } ^ { 3 } \Delta _ { c } \kappa + 4 \Delta _ { a } ^ { 2 } g ^ { 2 } \kappa - 4 \Delta _ { a } \Delta _ { c } \Gamma ^ { 2 } \kappa + 4 g ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } \kappa } \\ & { \left. + 2 \Delta _ { a } ^ { 2 } \Gamma \kappa ^ { 2 } + 2 \Gamma ^ { 3 } \kappa ^ { 2 } \right) \frac { \Delta _ { a } g ^ { 2 } } { | Q | ^ { 6 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \bf \cal I } ( \sigma ) = } & { { } \int \int k _ { 2 } ( \tau ) \, { \bf \cal S } ( \tau ) \, { \bf \cal I } _ { p } ( t ^ { \prime } ) \, { \bf \cal S } ( \tau ) ^ { T } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma ( t ^ { \prime } + \tau ) } \, d t ^ { \prime } d \tau } \\ { = } & { { } \int k _ { 2 } ( \tau ) \, { \bf \cal S } ( \tau ) \, \hat { \bf \cal I } _ { p } ( \sigma ) \, { \bf \cal S } ( \tau ) ^ { T } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma \tau } \, d \tau \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varrho ( 0 ) \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p } d x + \frac { 3 \delta _ { 0 } } { 4 } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p - 2 } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { \leq C \bigg \{ p ( p - 1 ) [ 1 + \| u \| _ { \mathcal { C } ( \bar { \Omega } _ { T _ { 0 } } ) } ] ^ { 2 } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p - 2 } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { + p ( p - 1 ) I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p } d x \bigg ) ( t ) + \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u _ { 0 } } { \partial x } \bigg ) ^ { p } d x } \\ & { + \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \gamma _ { j } ( T ) T ^ { \mu _ { N } - \mu _ { j } } \bigg ) I _ { t } ^ { \nu - \mu _ { N } } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { + ( p - 1 ) N \Gamma ( 1 + \nu ) \underset { j \in ( 1 , 2 , . . . , N ) } { \operatorname* { s u p } } \| \gamma _ { j } \| _ { \mathcal { C } ^ { 1 } ( [ 0 , T ] ) } T ^ { 1 - \nu } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p } d x \bigg ) ( t ) \bigg \} } \\ & { + I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } ( \mathcal { K } * \mathcal { L } _ { 2 } u ) p \frac { \partial } { \partial x } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p - 1 } d x \bigg ) ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial t } + u _ { k } \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { k } } } & { { } = \underbrace { - \left( \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { k } ^ { \prime } } } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { k } } + \overline { { u _ { j } ^ { \prime } u _ { k } ^ { \prime } } } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { k } } \right) } _ { P _ { i j } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( f _ { 1 } ( y ) - f _ { 1 } ( y ^ { \prime } ) ) f _ { 2 } ( y ) f _ { 3 } ( y ) \| } & { = \| ( c ^ { T } y - c ^ { T } y ^ { \prime } ) \frac { A ^ { T } A y } { \| A y \| } \| } \\ & { = \| c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) \frac { A ^ { T } A y } { \| A y \| } \| } \\ & { \leq \| c \| \| A \| \| y - y ^ { \prime } \| } \\ & { = r \| c \| \| y - y ^ { \prime } \| } \end{array}
( \textnormal { \texttt { f } } ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) , f ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ^ { \prime } ) , f ( \gamma ^ { \prime } , x ) ) ) \equiv ( \textnormal { \texttt { f } } ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) , \textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ^ { \prime } ) , \textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ( \gamma ^ { \prime } , x ) ) ) \equiv ( \textnormal { \texttt { f } } ^ { \prime } , \textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ^ { \prime } ) ( \textnormal { \texttt { f } } , \textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ) ( \gamma ^ { \prime } , x ) \equiv \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { c } } ( \gamma ) )
\begin{array} { r l } { O _ { m l k } = } & { { } \pi _ { 1 2 } \langle \vec { f } _ { l } ^ { ( 1 ) } \cdot \vec { f } _ { m } ^ { ( 2 ) ^ { * } } \vec { \nabla } \cdot \vec { u } _ { k } ^ { \: m l * } \rangle } \end{array}
\int { \cal D } v \; \delta ^ { n } \left( \int v d \tau \right) F _ { q G } [ v , I ] = \int { \cal D } v \; \delta ^ { n } \left( \int \phi d \tau \right) F _ { q G } [ \phi , I ] \; \mathrm { D e t } \; \frac { \delta \phi _ { \tau } ( v ) } { \delta v ( \tau ^ { \prime } ) } \; ,
\begin{array} { r l } { P _ { X } ^ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } \left[ X ( \tau ) \right] = } & { { } \frac { 1 } { Z _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } } \, H _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } ( x _ { 0 } , x _ { \tau } ) \prod _ { i = 1 } ^ { \tau / \Delta t - 1 } \widetilde { h } ( x _ { i \Delta t } ) \ } \end{array}
\tilde { \mathbf { B } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { B } ( z ) \left( \frac { r } { R } \right) ^ { n - 1 } \left[ \sin \left( n \alpha \right) \mathbf { e } _ { r } + \cos \left( n \alpha \right) \mathbf { e } _ { \alpha } \right] , } & { \ r < R } \\ { \tilde { B } ( z ) \left( \frac { R } { r } \right) ^ { n + 1 } \left[ \sin \left( n \alpha \right) \mathbf { e } _ { r } - \cos \left( n \alpha \right) \mathbf { e } _ { \alpha } \right] , } & { \ r > R } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { B _ { + } ^ { 1 ^ { \prime } } } \\ { B _ { + } ^ { 2 ^ { \prime } } } \\ { B _ { + } ^ { 3 ^ { \prime } } } \\ { B _ { + } ^ { 4 ^ { \prime } } } \end{array} \right) = ( R \otimes I _ { 6 } ) \left( \begin{array} { l } { B _ { + } ^ { 1 } } \\ { B _ { + } ^ { 2 } } \\ { B _ { + } ^ { 3 } } \\ { B _ { + } ^ { 4 } } \end{array} \right) , } \end{array}
V _ { J ^ { P } L _ { \gamma } } ^ { e } ( { \bf x } _ { \gamma } , { \bf x } _ { X } ) = V _ { J ^ { P } L _ { \gamma } } ^ { e } ( { \bf y } _ { \gamma } , { \bf y } _ { X } ) \ne 0 , \; \; V _ { J ^ { P } L _ { \gamma } } ^ { e } ( { \bf y } _ { \gamma } , { \bf x } _ { X } ) = V _ { J ^ { P } L _ { \gamma } } ^ { e } ( { \bf x } _ { \gamma } , { \bf y } _ { X } ) = 0 , \; \;
\begin{array} { r l } { \tilde { E } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n ] } & { { } = \int d ^ { 3 } r \, n ( { \bf r } ) \, \tilde { \epsilon } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n ] ( { \bf r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } } & { } & { = \left[ \begin{array} { l } { \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 3 i } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 4 i } ^ { e q } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { 4 } \left[ \begin{array} { l } { U _ { i } + \frac { G _ { 1 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 1 } } + \frac { G _ { 2 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 2 } } } \\ { U _ { i } - \frac { G _ { 1 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 1 } } + \frac { G _ { 2 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 2 } } } \\ { U _ { i } - \frac { G _ { 1 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 1 } } - \frac { G _ { 2 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 2 } } } \\ { U _ { i } + \frac { G _ { 1 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 1 } } - \frac { G _ { 2 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 2 } } } \end{array} \right] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 4 } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] U _ { i } + \frac { 1 } { 4 \widetilde { \lambda } _ { 1 } } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 } \\ { - 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] G _ { 1 i } + \frac { 1 } { 4 \widetilde { \lambda } _ { 2 } } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right] G _ { 2 i } } \\ & { } & { = \textbf { B } _ { 0 } U _ { i } + \textbf { B } _ { 1 } G _ { 1 i } + \textbf { B } _ { 2 } G _ { 2 i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( \nu _ { 1 S / 2 S } ) } & { = \frac { 2 8 8 x ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } } \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { n ( n ^ { 2 } - 1 ) \left[ n ^ { 2 } - n ( x + 9 / 4 ) + 1 / x ^ { 2 } + 2 \right] } { n - 1 / x } \left( \frac { 1 - x } { 1 + x } \right) ^ { n - 3 } \left( \frac { 1 / 2 - x } { 1 / 2 + x } \right) ^ { n - 4 } } \\ & { \times \frac { 2 - n x } { \left( 1 / 2 + x \right) ^ { 8 } \left( 1 + x \right) ^ { 6 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } ( \Lambda ^ { k } [ I \nabla _ { t } ( A ^ { - 1 } \# B ) ] ^ { 2 } ) } & { = \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( \Lambda ^ { k } [ I \nabla _ { t } ( A ^ { - 1 } \# B ) ] ) } \\ & { \geq \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( \Lambda ^ { k } [ I \# _ { t } ( A ^ { - 1 } \# B ) ] ) = \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( \Lambda ^ { k } ( A ^ { - 1 } \# B ) ^ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { { \mathbf x } _ { k } ^ { n + 1 } - { \mathbf x } _ { k } ^ { n } } { \Delta t } = { \mathbf p } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } - { \mathbf A } _ { h } ^ { n } ( { \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) , } \\ & { \frac { { \mathbf p } _ { k } ^ { n + 1 } - { \mathbf p } _ { k } ^ { n } } { \Delta t } = - \left( \frac { \partial { \mathbf A } _ { h } ^ { n } } { \partial \mathbf x } ( { \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \right) ^ { \top } ( { \mathbf A } _ { h } ^ { n } ( { \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) - { \mathbf p } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) + \mathrm { t e r m } _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { G 1 1 , x x } } & { = \frac { \eta _ { 3 } } { 2 } \left[ U _ { m , y } \Delta y \mathbb { Q } _ { y } \left( \frac { \partial B _ { z } } { \partial y } \right) + U _ { m , z } \Delta z \mathbb { Q } _ { z } \left( \frac { \partial B _ { y } } { \partial z } \right) \right] , } \\ { \eta _ { G 1 1 , y y } } & { = \frac { \eta _ { 3 } } { 2 } \left[ U _ { m , z } \Delta z \mathbb { Q } _ { z } \left( \frac { \partial B _ { x } } { \partial z } \right) + U _ { m , x } \Delta x \mathbb { Q } _ { x } \left( \frac { \partial B _ { z } } { \partial x } \right) \right] , } \\ { \eta _ { G 1 1 , z z } } & { = \frac { \eta _ { 3 } } { 2 } \left[ U _ { m , x } \Delta x \mathbb { Q } _ { x } \left( \frac { \partial B _ { y } } { \partial x } \right) + U _ { m , y } \Delta y \mathbb { Q } _ { y } \left( \frac { \partial B _ { x } } { \partial y } \right) \right] , } \\ { \eta _ { G 1 1 , x y } } & { = \eta _ { G 1 1 , y x } = \eta _ { G 1 1 , y z } = \eta _ { G 1 1 , z y } = \eta _ { G 1 1 , x z } = \eta _ { G 1 1 , z x } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { < c _ { i _ { 2 } } ( F ^ { * } ) - c _ { i _ { 2 } } ( F _ { i _ { 2 } } ) } \\ { } & { = c _ { i _ { 2 } } ( F ^ { * } ) - c _ { i _ { 2 } } ( Y _ { i _ { 2 } + 1 } ) } \\ { } & { \le c _ { i _ { 2 } } ( Y _ { i _ { 1 } + 1 } ) - c _ { i _ { 2 } } ( Y _ { i _ { 2 } + 1 } ) } \\ { } & { = c _ { i _ { 1 } } ( Y _ { i _ { 1 } + 1 } ) - c _ { i _ { 1 } } ( Y _ { i _ { 2 } + 1 } ) - ( \delta _ { i _ { 1 } + 1 } + \ldots + \delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \big ( \mu ( Y _ { i _ { 1 } + 1 } \cap F ^ { * } ) - \mu ( Y _ { i _ { 2 } + 1 } \cap F ^ { * } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ - ( \Delta _ { i _ { 1 } + 1 } + \ldots + \Delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \big ( \mu ( Y _ { i _ { 1 } + 1 } ) - \mu ( Y _ { i _ { 2 } + 1 } ) \big ) } \\ { } & { = c _ { i _ { 1 } } ( F _ { i _ { 1 } } ) - c _ { i _ { 1 } } ( Y _ { i _ { 2 } + 1 } ) - ( \delta _ { i _ { 1 } + 1 } + \ldots + \delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \big ( \mu ( Y _ { i _ { 1 } + 1 } \cap F ^ { * } ) - \mu ( Y _ { i _ { 2 } + 1 } \cap F ^ { * } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ - \left( \Delta _ { i _ { 1 } + 1 } + \ldots + \Delta _ { i _ { 2 } } \right) \cdot 0 } \\ { } & { \le 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 3 - 2 i - j , 2 k + 5 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i - j , 2 k + 4 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i - j , 2 k + 3 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 6 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \underline { { \theta } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = f ( x _ { 1 } - \theta _ { 1 } , x _ { 2 } - \theta _ { 2 } ) , \; ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \Re ^ { 2 } , \; \underline { { \theta } } = ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \in \Theta = \Re ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { o r } \quad f _ { \underline { { \theta } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { \theta _ { 1 } \theta _ { 2 } } f \! \left( \frac { x _ { 1 } } { \theta _ { 1 } } , \frac { x _ { 2 } } { \theta _ { 2 } } \right) , \; ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \Re ^ { 2 } , \; \underline { { \theta } } = ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \in \Theta = \Re _ { + + } ^ { 2 } , \; \; \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { \partial } B ^ { i , j } ( t ) } { \mathrm { \partial } t } } & { { } = W _ { \mathrm { i n } } ^ { i , j } \left( t \right) \ - W _ { \mathrm { o u t } } ^ { i , j } \left( t \right) } \end{array}