harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S ( h , \tilde { \nu } ) \equiv \frac { E _ { \mathrm { o u t } } ( h , \tilde { \nu } ) } { E _ { \mathrm { i n } } ( \tilde { \nu } ) } = e _ { \mathrm { d } } ( h , \tilde { \nu } ) + \frac { e _ { \mathrm { r } } ( h , \tilde { \nu } ) \Gamma ( \tilde { \nu } ) } { 1 - e _ { \mathrm { s } } ( h , \tilde { \nu } ) \Gamma ( \tilde { \nu } ) } ,
\tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } ( \tilde { r } , t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } + B _ { 0 } ( t ) \int _ { 0 } ^ { \tilde { r } } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \, \mathrm { ~ d ~ } s ,
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n } } \\ { f ( x ) } & { { } = f ( 0 ) + f ^ { \prime } ( 0 ) x + { \frac { 1 } { 2 } } f ^ { \prime \prime } ( 0 ) x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } f ^ { \prime \prime \prime } ( 0 ) x ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } f ^ { ( 4 ) } ( 0 ) x ^ { 4 } + \cdots } \\ { ( 1 + x ) ^ { \alpha } } & { { } = 1 + \alpha x + { \frac { 1 } { 2 } } \alpha ( \alpha - 1 ) x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } \alpha ( \alpha - 1 ) ( \alpha - 2 ) x ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } \alpha ( \alpha - 1 ) ( \alpha - 2 ) ( \alpha - 3 ) x ^ { 4 } + \cdots } \end{array}
E _ { n } ^ { ( 1 ) } = \left\langle \psi ^ { 0 } \right\vert { \mathcal { H } } ^ { \prime } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle = - { \frac { 1 } { 8 m _ { e } ^ { 3 } c ^ { 2 } } } \left\langle \psi ^ { 0 } \right\vert p ^ { 4 } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle = - { \frac { 1 } { 8 m _ { e } ^ { 3 } c ^ { 2 } } } \left\langle \psi ^ { 0 } \right\vert p ^ { 2 } p ^ { 2 } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \overline { { \mathcal { E } } } ( k , l ) = - \frac { 1 } { H } \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } H _ { m } R e \Bigg ( } & { { } \widehat { \overline { { \psi } } } _ { m } ^ { * } \partial _ { t } \widehat { \overline { { q } } } _ { m } \Bigg ) = } \\ { \frac { 1 } { H } \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } H _ { m } R e \Bigg ( } & { { } \underbrace { \widehat { \overline { { \psi } } } _ { m } ^ { * } \widehat { \nabla ( \overline { { \mathbf { u } _ { m } q _ { m } } } ) } } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ f ~ e ~ r ~ } } + \underbrace { \widehat { \overline { { \psi } } } _ { m } ^ { * } U _ { m } \widehat { \partial _ { x } \overline { { q } } } _ { m } } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ } } + \underbrace { \widehat { \overline { { \psi } } } _ { m } ^ { * } \delta _ { m , 2 } r _ { e k } \widehat { \nabla ^ { 2 } \overline { { \psi } } } _ { m } } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ d ~ i ~ s ~ s ~ i ~ p ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \mathbf { X } \mid \mu , \tau ) } & { { } = \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \sqrt { \frac { \tau } { 2 \pi } } } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \tau ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } \right) } \end{array}
[ \hat { X } , \hat { Y } \} _ { \wedge } = [ \tilde { X } , \tilde { Y } \} _ { \sim } + \hat { c } \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint \; d \lambda \; \mathrm { S t r } [ ( \partial _ { \lambda } \tilde { X } ( \lambda ) ) \tilde { Y } ( \lambda ) ]
\frac { \mathrm { d } \varphi _ { 0 } } { \mathrm { d } t } = - i \mathcal { H } _ { 1 } \varphi _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \log { J } - \sum _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } _ { 0 } } { \partial x _ { j } \partial q _ { j } } \right) \varphi _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } h _ { t _ { 0 } , x } : \mathbb { R } _ { + } \to \mathbb { R } ^ { 1 + n _ { \operatorname* { m a x } } } , \; \; t \mapsto \left( t , \tau - \sum _ { k = 1 } ^ { n - s } ( t - t _ { 0 } ) e _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle g _ { 3 , 0 , n } \cos { \xi _ { 3 , 0 , n } } } & { \displaystyle = \frac { R } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { m _ { x } ( \theta ) } { 1 2 \sqrt 2 } \left( \sqrt { \beta _ { x } ( \theta ) } \right) ^ { 3 } \cos { \left( - 3 \nu _ { x } \theta + 3 \chi _ { x } ( \theta ) + n \theta \right) } d \theta } , } \\ { \displaystyle g _ { 3 , 0 , n } \sin { \xi _ { 3 , 0 , n } } } & { \displaystyle = \frac { R } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { m _ { x } ( \theta ) } { 1 2 \sqrt 2 } \left( \sqrt { \beta _ { x } ( \theta ) } \right) ^ { 3 } \sin { \left( - 3 \nu _ { x } \theta + 3 \chi _ { x } ( \theta ) + n \theta \right) } d \theta } , } \\ { \displaystyle g _ { 1 , 0 , n } \cos { \xi _ { 1 , 0 , n } } } & { \displaystyle = \frac { R } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { m _ { x } ( \theta ) } { 4 \sqrt 2 } \left( \sqrt { \beta _ { x } ( \theta ) } \right) ^ { 3 } \cos { \left( - \nu _ { x } \theta + \chi _ { x } ( \theta ) + n \theta \right) } d \theta } , } \\ { \displaystyle g _ { 1 , 0 , n } \sin { \xi _ { 1 , 0 , n } } } & { \displaystyle = \frac { R } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { m _ { x } ( \theta ) } { 4 \sqrt 2 } \left( \sqrt { \beta _ { x } ( \theta ) } \right) ^ { 3 } \sin { \left( - \nu _ { x } \theta + \chi _ { x } ( \theta ) + n \theta \right) } d \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { \mathrm { e r } } = \frac { 1 } { 2 } \ \frac { a _ { 1 } d _ { 1 , 6 } + a _ { 2 } d _ { 2 , 5 } + ( a _ { 2 } - a _ { 1 } ) d _ { 3 , 4 } } { a _ { 1 } s _ { 1 , 6 } + ( a _ { 2 } - 2 a _ { 1 } ) s _ { 2 , 5 } + ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) s _ { 3 , 4 } } , \ \ \ \ s _ { i , j } = q _ { i } + q _ { j } , \ \ \ a _ { 1 } \leqslant 0 , \ a _ { 2 } < a _ { 1 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 , 0 ) , } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 1 } = \frac { ( a - 1 ) ( b - 1 ) - ( c - 1 ) ^ { 2 } } { ( a b - c ^ { 2 } ) } } \\ { ( 0 , \frac { a b - c ^ { 2 } } { a - c } \mu _ { 2 } ) , } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 2 } = \frac { ( a - c ) ^ { 2 } } { \left( a b - c ^ { 2 } \right) a } } \\ { ( a \mu _ { 1 } , c \mu _ { 2 } ) , } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 3 } = \frac { 1 } { a } . } \end{array} \right.
R _ { \chi } = \frac { 1 } { \rho _ { T } } \frac { \rho _ { \chi } } { m _ { \chi } } \int \, d ^ { 3 } \mathbf { v } f _ { \chi } ( \mathbf { v } ) \frac { V \, d ^ { 3 } \mathbf { p } _ { \chi } ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \sum _ { f } | \langle f , \mathbf { p } _ { \chi } ^ { \prime } | \Delta H _ { \chi T } | i , \mathbf { p } _ { \chi } \rangle | ^ { 2 } 2 \pi \delta \left( E _ { f } - E _ { i } + E _ { \chi } ^ { \prime } - E _ { \chi } \right) ,
D _ { a \alpha } \mathrm { v } ^ { \beta } { } _ { \gamma } ( \theta ) = \textstyle { \frac { 2 } { 3 } } \delta _ { \alpha } { } ^ { \beta } D _ { a \delta } \mathrm { v } ^ { \delta } { } _ { \gamma } ( \theta ) - \textstyle { \frac { 1 } { 3 } } \delta ^ { \beta } { } _ { \gamma } D _ { a \delta } \mathrm { v } ^ { \delta } { } _ { \alpha } ( \theta ) \, ,
\begin{array} { r l } & { A _ { l } ( t ) \to \hat { A } _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } ^ { \alpha } ( t ) , } \\ & { B _ { l } ( t ) \to } \\ & { \quad \sum _ { \mu = A , B } \langle \nu _ { 1 } | \hat { a } _ { \mu } | \nu _ { 2 } \rangle \int \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega g _ { \mu } ^ { * } ( x , \omega ) \hat { c } ^ { \dagger \alpha } ( x , \omega ) + \mathrm { H . a . } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert q \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 3 } + \varepsilon \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , \quad \rVert d _ { i } q ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . V . } ) } } & { = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \ \ k _ { \mathrm { r } } \cdot ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) } \\ { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . P . J . } ) } } & { = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \gamma k _ { \mathrm { r } } / \ ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) } \\ { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . N e w } ) } } & { = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \gamma k _ { \mathrm { r } } \cdot ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { - 1 } } & { \left\{ \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial \tau } - \omega ^ { 1 - 2 \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } ) + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( c _ { 0 } \mathbf v _ { 0 } ) \right\} + } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \left\{ \left( \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } \right. + \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial \tau } \right) - \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } ) - \omega ^ { - \gamma } [ \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } ) + \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } ) ] - \omega ^ { 1 - 2 \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 1 } ) + } \\ & { \left. + \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( c _ { 0 } \mathbf v _ { 0 } ) + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } ) \right\} + } \\ { \omega } & { \left\{ \left( \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right. + \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right) - \nabla _ { \mathbf x } \cdot \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { 1 } ) - \omega ^ { - \gamma } [ \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 1 } ) + \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 1 } ) ] - \omega ^ { 1 - 2 \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 2 } ) + } \\ & { \left. + \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } ) + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \mathbf v _ { 0 } c _ { 2 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 2 } c _ { 0 } ) \right\} = \mathcal { O } ( \omega ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { V } _ { i } t _ { i } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } K n \frac { 2 - \chi } { \chi } \eta _ { \mathrm { V S } } \left( \frac { \partial \hat { v } _ { i } } { \partial \hat { x } _ { j } } + \frac { \partial \hat { v } _ { j } } { \partial \hat { x } _ { i } } \right) n _ { i } t _ { j } - \eta ^ { 1 } \frac { K n ^ { 2 } } { \operatorname* { P r } } \frac { \partial } { \partial \hat { x } _ { k } } \left( \frac { \partial \hat { v } _ { i } } { \partial \hat { x } _ { k } } + \frac { \partial \hat { v } _ { k } } { \partial \hat { x } _ { i } } \right) t _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { D } \sin ( \mathbf { D } \Theta ) = \left( \begin{array} { l } { B ^ { 1 } \sin \left( D ^ { 0 } \theta _ { ( 0 ) } + B ^ { 2 } \theta _ { ( 2 ) } \right) } \\ { D ^ { 0 } \sin \left( B ^ { 1 } \theta _ { ( 1 ) } \right) + B ^ { 2 } \sin \left( D ^ { 1 } \theta _ { ( 1 ) } \right) } \\ { D ^ { 1 } \sin \left( D ^ { 0 } \theta _ { ( 0 ) } + B ^ { 2 } \theta _ { ( 2 ) } \right) \, , } \end{array} \right) } \end{array}
a _ { 1 } = k [ \tilde { H } ] _ { 1 } ^ { n - 2 } ( B _ { 0 } ^ { 2 } A _ { 1 } ^ { 0 } + B _ { 1 } ^ { 1 } A _ { 0 } ^ { 1 } ) + \frac { 1 } { \alpha } ( - ) ^ { n - 3 } k { \overline { { A } } } _ { 1 } ^ { * } B _ { 1 } ^ { 1 } + m _ { 1 } A _ { 1 } ^ { 0 } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { A } _ { \sf E I } \left( \mathcal { D V } ; ( \mathcal { D V } _ { l } , ( \mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ) _ { l } ) , \theta _ { m } \right) : = \sigma _ { l } \left( \mathcal { D V } ; ( \mathcal { D V } _ { l } , ( \mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ) _ { l } ) , \theta _ { m } \right) \left( \gamma ( \mathcal { D V } ) { \bf \Phi } \left( \gamma ( \mathcal { D V } ) \right) + \mathfrak { N } \left( \gamma ( \mathcal { D V } ) ; 0 , 1 \right) \right) } \end{array}
\mathbf { q } = \left[ \bf q _ { 0 } , q _ { 1 } , \hdots , q _ { N } \right] ^ { \mathrm { ~ T ~ } } = \left[ f ( v _ { 0 } ) , f ( v _ { 1 } ) , \hdots , f ( v _ { N } ) \right] ^ { \mathrm { ~ T ~ } }
\dot { \bf X } \; = \; v _ { \| } \, \widehat { \sf z } \; + \; \frac { \epsilon _ { \delta } \, c } { B _ { 0 } } \left( \widehat { \sf z } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, \nabla \delta \Psi \; - \; \frac { 1 } { \Omega _ { 0 } } \frac { d _ { 0 } } { d t } \nabla _ { \bot } \delta \Psi \right) ,
\left( Q _ { \lambda , \gamma , \mu } ^ { \prime } ( n ) \right) _ { ( s , e , i ) , ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { - \lambda s i - \mu e - \gamma i \; \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) = ( s , e , i ) ; } \\ { \lambda s i \; \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) = ( s - 1 , e + 1 , i ) ; } \\ { \mu e \; \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) = ( s , e - 1 , i + 1 ) ; } \\ { \gamma i \; \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) = ( s , e , i - 1 ) ; } \\ { 0 \; \; } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} } \end{array} \right.
D ^ { c } ( x _ { 1 } , t ) \equiv - \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q _ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q _ { 1 } \frac { 1 } { q _ { 0 } ^ { 2 } - q _ { 1 } ^ { 2 } + i \epsilon } e ^ { - \frac { i } { \hbar } c q _ { 0 } t } e ^ { \frac { i } { \hbar } q _ { 1 } x _ { 1 } }
\hat { C } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 . 9 6 0 5 \pm . 0 2 4 8 } & { - 0 . 0 9 3 5 \pm . 0 0 8 8 } & { - 0 . 0 5 7 3 \pm . 0 0 1 7 } \\ { 0 } & { - 0 . 0 6 3 3 \pm . 0 0 9 8 } & { - 0 . 0 1 9 0 \pm . 0 0 2 3 } \\ { 0 } & { - 0 . 0 1 4 3 \pm . 0 0 5 0 } & { - 0 . 0 5 2 6 \pm . 0 0 3 4 } \end{array} \right) .
( \varphi ^ { \otimes n } ) ( t ) \times _ { \hbar } ( \varphi ^ { \otimes m } ) ( s ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \mathrm { m i n } \{ n , m \} } \hbar ^ { k } ( \varphi ^ { \otimes ( n + m - 2 k ) } ) ( t \otimes _ { k } s )
\Delta _ { 1 , 1 } = \rho _ { b } \rho _ { k } \left( \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } a _ { M , m } ^ { H } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) e ^ { - j \varphi _ { m } } a _ { M , m } ^ { H } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) \right) \left( \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } a _ { M , m } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) e ^ { j \varphi _ { m } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } } a _ { M , m } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) \right) .
\psi ^ { \mu _ { 0 } \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p } } ( X ) \equiv \phi ^ { \mu _ { 0 } \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p } } ( X ) + \frac { e } { g } \sum _ { i = 0 } ^ { p } ( - 1 ) ^ { p \cdot i } \frac { \partial } { \partial X _ { \mu _ { i } } } B ^ { \mu _ { i + 1 } \mu _ { i + 2 } \ldots \mu _ { p } \mu _ { 0 } \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { i - 1 } } ( X ) .
\mathbb { E } \left[ F ( \bar { x } ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } F \right] \leq \frac { \Vert x ^ { 0 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } + 2 \gamma ( F ( x ^ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } F ) } { 2 ( 1 - 4 \gamma L _ { \operatorname* { m a x } } ) \gamma t } + \frac { 2 \sigma _ { F } ^ { * } \gamma } { ( 1 - 4 \gamma L _ { \operatorname* { m a x } } ) } ,
\widehat { \mathcal { V } } _ { N } ^ { ( \mathbf { h } ) } ( \xi ) = 2 ^ { - J \frac { d } { 2 } } \left( \sum _ { | \mathbf { k } | \leq N } \beta _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mathbf { h } ) } e ^ { - i 2 ^ { - J } \langle \mathbf { k } , \xi \rangle } \right) \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \widehat { \Phi } ^ { ( 1 / 2 - h _ { \ell } ) } ( 2 ^ { - J } \xi _ { \ell } ) ,
V ^ { ( R ) } = \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 6 } R ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \ y \left[ \ln \left( 1 - r e ^ { - 2 \sqrt { y + ( \pi R M ) ^ { 2 } } } \right) + \left( r \rightarrow \frac { 1 } { r } \right) \right] \ .
\kappa _ { H } ^ { 2 } = \frac { \sum _ { f } \kappa _ { f } ^ { 2 } \Gamma _ { f } ^ { \mathrm { ~ S ~ M ~ } } } { \Gamma _ { H } ^ { \mathrm { ~ S ~ M ~ } } } = \sum _ { f } \kappa _ { f } ^ { 2 } \mathrm { ~ B ~ R ~ } ^ { \mathrm { ~ S ~ M ~ } } ( H \to f ) \, ,
\begin{array} { r } { 2 \pi f _ { \mathrm { p l } } = - \left[ \left( 1 + \frac { \lambda _ { p } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { 1 / 2 } \pm \frac { \lambda _ { p } k } { 2 } \right] V _ { A } k . } \end{array}
{ \frac { \cal E } { A } } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int \int { \frac { d k _ { 1 } d k _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { 2 } } \omega ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , n ) \, ,
\begin{array} { r l } & { { K _ { 0 0 0 } } = \frac { { r _ { o } ^ { 2 } \cos { \varphi _ { o } } } } { { { l _ { o } } } } , \quad { l _ { o } } = \sqrt { { r ^ { 2 } } + r _ { o } ^ { 2 } - 2 r { r _ { o } } \cos { \Psi _ { o } } } } \\ & { { \Psi _ { o } } = \sin \varphi \sin { \varphi _ { o } } + \cos \varphi \cos { \varphi _ { o } } \cos \delta \lambda , \quad \delta \lambda = { \lambda _ { o } } - \lambda } \end{array}
p _ { a } = { \frac { \hbar } { \i } } \bigg ( { \frac { \partial } { \partial q ^ { a } } } + { \frac { \Gamma _ { a } } { 2 } } \bigg ) , \qquad \Gamma _ { a } = { \frac { \partial \log \sqrt { g } } { \partial q ^ { a } } } \enspace .
\frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \phi } } { \partial \tilde { t } ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \phi } } { \partial \tilde { x } ^ { 2 } } + \tilde { \eta } _ { m } \tilde { \phi } ^ { 2 } \frac { \partial \tilde { \phi } } { \partial \tilde { t } } = - \tilde { \phi } + \tilde { \alpha } \tilde { \phi } ^ { 2 } - \tilde { \lambda } \tilde { \phi } ^ { 3 } + \tilde { \xi } _ { m } \tilde { \phi } .
P _ { \mathbf { a } } ( t , 0 ) = \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { L } } P _ { \mathbf { a } } ( t , 0 ; t / 2 , x ) P _ { \mathbf { a } } \left( t / 2 , x \right) \leq \left( \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { L } } P _ { \mathbf { a } } ( t , 0 ; t / 2 , x ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac 1 2 } \left( \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { L } } P _ { \mathbf { a } } ( t / 2 , x ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac 1 2 } .
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { X V S C F } } ( T ) } & { { } = } & { V _ { \mathrm { r e f } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \omega _ { i } ( f _ { i } + 1 / 2 ) + \sum _ { i } \tilde { F } _ { i i } ( f _ { i } + 1 / 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { a _ { x } \varphi } & { = a _ { x } ^ { x _ { 1 } } a _ { y } ^ { D y _ { 1 } } } & { b _ { x } \varphi = b _ { x } ^ { x _ { 1 } } b _ { y } ^ { D y _ { 1 } } } & { } \\ { a _ { y } \varphi } & { = a _ { x } ^ { y _ { 1 } } a _ { y } ^ { x _ { 1 } } } & { b _ { y } \varphi = b _ { x } ^ { y _ { 1 } } b _ { y } ^ { x _ { 1 } } . } & { } \end{array}
{ \ensuremath { \mathbb E } } \left[ ( \overline { A } _ { t } ^ { ( 2 ) } - \overline { A } _ { t } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } \right] = \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { 4 d } } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \xi ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \overline { \xi } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \right] \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } y _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } \mathrm { d } y _ { 2 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \Delta \psi - \Omega _ { v } ^ { 2 } \, \psi = 0 \, , \quad { \bf x } \in \Omega \setminus \{ { \bf x } _ { 1 } , \ldots , { \bf x } _ { m } \} \, ; \qquad \partial _ { n } \psi = 0 \, , \quad { \bf x } \in \partial \Omega \, ; } \\ & { } & { \psi \sim c _ { j } ^ { v } \log | { \bf x } - { \bf x } _ { j } | + \frac { c _ { j } ^ { v } } { \nu } + \frac { 1 } { d _ { 1 } ^ { v } } ( D _ { v } c _ { j } ^ { v } + d _ { 2 } ^ { v } \zeta _ { j } ) \, , \quad \mathrm { a s } \quad { \bf x } \to { \bf x } _ { j } \, , \qquad j \in \lbrace { 1 , \ldots , m \rbrace } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \mathbf { S } } \left\{ \left\| \left( \mathbf { S } ^ { \top } \mathbf { B } \right) _ { j _ { i } ^ { \star } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right\} = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathbb { E } _ { \mathbf { S } } \left\{ \left( \sum _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { m _ { 1 } m } \mathbf { S } _ { j i _ { 1 } } \mathbf { B } _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right\} , } \end{array}
\mathbf { u } ^ { * } = - \mathbf { u } ^ { t } - { \Delta t } \left[ \nabla \cdot ( \mathbf { u } ^ { t } \otimes \mathbf { u } ^ { t } ) + \nu \nabla ^ { 2 } \mathit { \mathbf { u } ^ { t } } + \mathbf { f } ^ { t } \right] ,
\begin{array} { r l r } { G _ { 0 } } & { = } & { \Gamma _ { 0 } , } \\ { G _ { 1 } } & { = } & { \left( \frac { 3 } { 2 } - b \right) \Gamma _ { 0 } + b \Gamma _ { 1 } , } \\ { G _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \left( 6 b ^ { 2 } - 2 0 b + 1 5 \right) \Gamma _ { 0 } + 2 b \left( ( 1 0 - 4 b ) \Gamma _ { 1 } + b \Gamma _ { 2 } \right) \right) , } \\ { G _ { 3 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( b \Gamma _ { 1 } - ( b - 2 ) \Gamma _ { 0 } \right) , } \\ { G _ { 4 } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \left( 3 b ^ { 2 } - 1 1 b + 1 0 \right) \Gamma _ { 0 } + b \left( ( 1 1 - 4 b ) \Gamma _ { 1 } + b \Gamma _ { 2 } \right) \right) , } \\ { G _ { 5 } } & { = } & { \frac { 1 } { 8 } \left( \left( 3 b ^ { 2 } - 1 2 b + 1 4 \right) \Gamma _ { 0 } + b \left( b \Gamma _ { 2 } - 4 ( b - 3 ) \Gamma _ { 1 } \right) \right) . } \end{array}
\textnormal { i } \frac { \partial \psi } { \partial t } = { \lvert { \partial _ { x } } \rvert } ^ { \alpha } \psi + \lambda { \lvert { \partial _ { x } } \rvert } ^ { \beta / 4 } ( { \big \lvert { \lvert { \partial _ { x } } \rvert } ^ { \beta / 4 } \psi \big \rvert } ^ { 2 } { \lvert { \partial _ { x } } \rvert } ^ { \beta / 4 } \psi ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \hat { \Phi } ( \eta _ { r - } , \mathrm { d } r ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \hat { f } ( \eta _ { r - } , r ) \, \mathrm { d } r + \int _ { 0 } ^ { t } \hat { F } ( \eta _ { r - } , r ) \, \mathrm { d } W _ { r } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| \leq 1 } \hat { \varphi } ( \eta _ { r - } , r , z ) \, \tilde { N } ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| > 1 } \hat { \varphi } ( \eta _ { r - } , r , z ) \, N ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) } \end{array}
\varphi ( i _ { 1 } , i _ { 2 } , \dots i _ { f } ) = \sum _ { P } A _ { P } \ \mu _ { P 1 } ^ { i _ { 1 } - 1 } \mu _ { P 2 } ^ { i _ { 2 } - 1 } \dots \mu _ { P f } ^ { i _ { f } - 1 } .
\begin{array} { r } { \overline { { \mathcal { Z } ( \Sigma ) } } \otimes \mathcal { Z } ( \Sigma ) \xrightarrow { \omega \otimes \operatorname { i d } } \mathcal { Z } ( \overline { { \Sigma } } ) \otimes \mathcal { Z } ( \Sigma ) \xrightarrow { \mathcal { Z } ( h _ { \Sigma } ) \otimes \operatorname { i d } } \mathcal { Z } ( \Sigma ^ { \vee } ) \otimes \mathcal { Z } ( \Sigma ) \cong \mathcal { Z } ( \Sigma ) ^ { * } \otimes \mathcal { Z } ( \Sigma ) \xrightarrow { \operatorname { e v } } \mathbb { C } \ \ . } \end{array}
{ \hat { H } } _ { \mathrm { I R } } = { \frac { e \mu _ { 0 } \mu _ { \mathrm { N } } \hbar } { 4 \pi } } \sum _ { \alpha \neq \alpha ^ { \prime } } { \frac { 1 } { R _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { 3 } } } \left\{ { \frac { Z _ { \alpha } g _ { \alpha ^ { \prime } } } { M _ { \alpha } } } \mathbf { I } _ { \alpha ^ { \prime } } + { \frac { Z _ { \alpha ^ { \prime } } g _ { \alpha } } { M _ { \alpha ^ { \prime } } } } \mathbf { I } _ { \alpha } \right\} \cdot \mathbf { T } .