harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { A i ( z ) } & { } & { \approx \frac { 1 } { 3 ^ { 2 / 3 } \Gamma ( \frac { 2 } { 3 } ) } \left( 1 + \frac { z ^ { 3 } } { 6 } \right) - \frac { z } { 3 ^ { 1 / 3 } \Gamma ( \frac { 1 } { 3 } ) } , } \\ { B i ( z ) } & { } & { \approx \frac { 1 } { 3 ^ { 1 / 6 } \Gamma ( \frac { 2 } { 3 } ) } \left( 1 + \frac { z ^ { 3 } } { 6 } \right) - \frac { z 3 ^ { 1 / 6 } } { \Gamma ( \frac { 1 } { 3 } ) } , } \\ { A i ^ { \prime } ( z ) } & { } & { \approx \frac { 1 } { 3 ^ { 1 / 3 } \Gamma ( \frac { 1 } { 3 } ) } \left( 1 + \frac { z ^ { 3 } } { 3 } \right) - \frac { z ^ { 2 } } { 2 \times 3 ^ { 2 / 3 } \Gamma ( \frac { 2 } { 3 } ) } , } \\ { B i ^ { \prime } ( z ) } & { } & { \approx \frac { 3 ^ { 1 / 6 } } { \Gamma ( \frac { 1 } { 3 } ) } \left( 1 + \frac { z ^ { 3 } } { 3 } \right) - \frac { z ^ { 2 } } { 2 \times 3 ^ { 1 / 6 } \Gamma ( \frac { 2 } { 3 } ) } , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d k k ^ { { \mu } - 1 } \mathrm { s i n } ( a k - \frac { b } { k } ) = 2 \left( \frac { b } { a } \right) ^ { \frac { \mu } { 2 } } \mathrm { s i n } \frac { { \mu } { \pi } } { 2 } K _ { \mu } ( 2 \sqrt { a b } ) ,
\begin{array} { r } { h _ { n } ^ { ( p ) } | \beta \rangle = ( t _ { n } \beta ^ { n } + t _ { n } ^ { \ast } \beta ^ { - n } ) | \beta \rangle + t _ { n } ( 1 - \beta ^ { L - n } ) \sum _ { l = 1 } ^ { n } \beta ^ { l } | L - ( n - l ) \rangle + t _ { n } ^ { \ast } \beta ^ { - n } ( \beta ^ { L } - 1 ) \sum _ { l = 1 } ^ { n } \beta ^ { l } | l \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \mathbf { q } } } & { = E _ { \chi } - E _ { \chi } ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } m _ { \chi } v ^ { 2 } - \frac { \left( m _ { \chi } \mathbf { v } - \mathbf { q } \right) ^ { 2 } } { 2 m _ { \chi } } } \\ & { = \mathbf { q } \cdot \mathbf { v } - \frac { q ^ { 2 } } { 2 m _ { \chi } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \tau ^ { k + 1 } } \mathrm { I d } } & & { - \frac { 1 } { p _ { i } } A _ { i } } \\ { - \frac { 1 } { p _ { i } } A _ { i } ^ { * } } & & { \frac { 1 } { p _ { i } \sigma _ { i } ^ { k + 1 } } \mathrm { I d } } \end{array} \right) \preccurlyeq ( 1 + \epsilon ^ { k } ) \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \tau ^ { k } } \mathrm { I d } } & & { - \frac { 1 } { p _ { i } } A _ { i } } \\ { - \frac { 1 } { p _ { i } } A _ { i } ^ { * } } & & { \frac { 1 } { p _ { i } \sigma _ { i } ^ { k } } \mathrm { I d } } \end{array} \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { \, 0 \preccurlyeq \left( \begin{array} { l l l } { \left( \frac { 1 + \epsilon ^ { k } } { \tau ^ { k } } - \frac { 1 } { \tau ^ { k + 1 } } \right) \mathrm { I d } } & & { - \frac { \epsilon ^ { k } } { p _ { i } } A _ { i } } \\ { - \frac { \epsilon ^ { k } } { p _ { i } } A _ { i } ^ { * } } & & { \left( \frac { 1 + \epsilon ^ { k } } { p _ { i } \sigma _ { i } ^ { k } } - \frac { 1 } { p _ { i } \sigma _ { i } ^ { k + 1 } } \right) \mathrm { I d } } \end{array} \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { \, \tau ^ { k } \sigma _ { i } ^ { k } \frac { \| A _ { i } \| ^ { 2 } } { p _ { i } } \frac { ( \epsilon ^ { k } ) ^ { 2 } } { \left( 1 + \epsilon ^ { k } - \frac { \tau ^ { k } } { \tau ^ { k + 1 } } \right) \left( 1 + \epsilon ^ { k } - \frac { \sigma _ { i } ^ { k } } { \sigma _ { i } ^ { k + 1 } } \right) } \leq 1 . } \end{array}
{ \overline { { X } } } = { \left[ \begin{array} { l l } { t + z } & { x - i y } \\ { x + i y } & { t - z } \end{array} \right] } = t 1 \! \! 1 + x \sigma _ { x } + y \sigma _ { y } + z \sigma _ { z } = t 1 \! \! 1 + { \vec { x } } \cdot { \vec { \sigma } }
F _ { \mathrm { A } } = \frac { 1 } { ( 1 + \frac { 8 g ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } I ) } \left[ \frac { 8 i g ^ { 3 } } { \gamma ^ { 3 } } ( A ^ { * } F _ { \mathrm { + } } - F _ { \mathrm { + } } ^ { * } A ) - \frac { 2 g ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } F _ { \mathrm { z } } \right] A + \frac { 2 g } { \gamma } F _ { \mathrm { + } } + F _ { \mathrm { a } } .
p _ { 1 } ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } = - q _ { 1 } ^ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } = 0 , s = ( p _ { 1 } + q _ { 1 } ) ^ { 2 } , t = ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r } { S _ { t } = S _ { t - 1 } + \hat { V } _ { t } + \frac { 1 } { 2 } : S _ { t - 1 } : \hat { V } _ { t } + \frac { 1 } { 1 2 } : S _ { t - 1 } : ^ { 2 } \hat { V } _ { t } + \frac { 1 } { 1 2 } : \hat { V } _ { t } : ^ { 2 } S _ { t - 1 } + \dots . } \end{array}
\operatorname { s g n } \tau \, b _ { 1 , \tau ( 1 ) } \cdots b _ { i , j } \cdots b _ { n , \tau ( n ) } = \operatorname { s g n } \tau \, b _ { i j } a _ { 1 , \sigma ( 1 ) } \cdots a _ { n - 1 , \sigma ( n - 1 ) }
\frac { d \Sigma } { d p } \bigg | _ { p = \Lambda _ { \mathrm { n p } } } = - \frac { 2 C _ { 0 } } { \pi ^ { 2 } N _ { f } } { \frac { \alpha } { \Lambda _ { \mathrm { n p } } ^ { 2 } } } - 2 C _ { 2 } \frac { \alpha ^ { 2 } } { \Lambda _ { \mathrm { n p } } ^ { 3 } } .
f ( r , s , n , k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \prod _ { m = 0 } ^ { 2 r - n } ( r - m - n - ( k + 2 ) s ) \, , } } & { { 1 \leq n \leq 2 r \, , } } \\ { { 1 \, , } } & { { n \geq 2 r + 1 \, . } } \end{array} \right.
\Pi _ { \mu \nu } ( p ) = ( g _ { \mu \nu } p ^ { 2 } - p _ { \mu } p _ { \nu } ) \Pi _ { 1 } ( p ^ { 2 } ) + p _ { \mu } p _ { \nu } \Pi _ { 2 } ( p ^ { 2 } ) + g _ { \mu \nu } \Pi _ { 3 } ( p ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { v _ { 7 } = v _ { 7 } ^ { ( 1 ) } v _ { 8 } ^ { ( 1 ) } v _ { 9 } ^ { ( 1 ) } , \qquad v _ { 8 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { f ( k ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { f ( k ) } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } } \end{array} \right) + v _ { 8 , r } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { v _ { 7 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { a _ { 1 2 , a } e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { a _ { 1 3 , a } e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { a _ { 3 2 , a } e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad v _ { 9 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 2 1 , a } e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { a _ { 2 3 , a } e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { a _ { 3 1 , a } e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\overbrace { \int _ { - h } ^ { 0 } \operatorname* { m i n } \left( 0 , \overline { { w ^ { \prime } b ^ { \prime } } } \right) \, d z } ^ { \mathrm { { i n t e g r a t e d ~ P E ~ c o n v e r s i o n } } } = \mathcal { G } \left( \, \overbrace { f } ^ { \mathrm { C o r i o l i s } } , \overbrace { u _ { * } } ^ { \mathrm { W i n d } } , \overbrace { B _ { 0 } } ^ { \mathrm { B u o y a n c y } } , \overbrace { h } ^ { \mathrm { B L D } } , \overbrace { \int _ { - h } ^ { 0 } \operatorname* { m a x } \left( 0 , \overline { { w ^ { \prime } b ^ { \prime } } } \right) \, d z } ^ { \mathrm { C o n v e c t i v e ~ P E ~ r e l e a s e } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \left[ L ^ { ( n ) } , L ^ { ( m ) } \right] = ( n - m ) L ^ { ( n + m ) } } \\ & { \left[ L ^ { ( n ) } , M _ { i } ^ { ( m ) } \right] = ( n - m ) M _ { i } ^ { ( n + m ) } } \\ & { \left[ M _ { i } ^ { ( n ) } , M _ { j } ^ { ( m ) } \right] = 0 } \\ & { \left[ L ^ { ( n ) } , J _ { i j } \right] = 0 } \\ & { \left[ J _ { i j } , M _ { k } ^ { ( n ) } \right] = M _ { [ j } ^ { ( n ) } \delta _ { i ] k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle g | \langle x , A | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , } & { B \rangle | g \rangle = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { \big ( v + w e ^ { - i \, q } \big ) e ^ { i q ( x - x ^ { \prime } ) } } { ( E - \omega _ { o } + i \epsilon ) ^ { 2 } - f _ { q } ^ { 2 } } d q , } \\ { \langle g | \langle x , B | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , } & { A \rangle | g \rangle = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { \big ( v + w e ^ { i \, q } \big ) e ^ { i q ( x - x ^ { \prime } ) } } { ( E - \omega _ { o } + i \epsilon ) ^ { 2 } - f _ { q } ^ { 2 } } d q , } \\ { \langle g | \langle x , A | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , } & { A \rangle | g \rangle = \langle g | \langle x , B | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , B \rangle | g \rangle } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { \big ( E - \omega _ { o } + i \epsilon \big ) e ^ { i q ( x - x ^ { \prime } ) } } { ( E - \omega _ { o } + i \epsilon ) ^ { 2 } - f _ { q } ^ { 2 } } d q . } \end{array}
\bf \Pi = - \bf P + \bf T = \left( \begin{array} { l c r } { - p } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - p } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - p } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l c r } { \tau _ { x x } } & { \tau _ { x y } } & { \tau _ { x z } } \\ { \tau _ { y x } } & { \tau _ { y y } } & { \tau _ { y z } } \\ { \tau _ { z x } } & { \tau _ { z y } } & { \tau _ { z z } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { D _ { ( \beta , - \beta ) } ^ { \mathbb T } ( p ^ { ( 1 ) } , p ^ { ( 2 ) } ) } & { = D _ { ( 1 , - 1 ) } ^ { \mathbb T } ( p ^ { ( 1 ) } , p ^ { ( 2 ) } ) = \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq m } \log { \frac { p _ { i } ^ { ( 1 ) } } { p _ { i } ^ { ( 2 ) } } } = D _ { \infty } ( p ^ { ( 1 ) } \| p ^ { ( 2 ) } ) , } \\ { D _ { ( - \beta , \beta ) } ^ { \mathbb T } ( p ^ { ( 1 ) } , p ^ { ( 2 ) } ) } & { = D _ { ( - 1 , 1 ) } ^ { \mathbb T } ( p ^ { ( 1 ) } , p ^ { ( 2 ) } ) = \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq m } \log { \frac { p _ { i } ^ { ( 2 ) } } { p _ { i } ^ { ( 1 ) } } } = D _ { \infty } ( p ^ { ( 2 ) } \| p ^ { ( 1 ) } ) . } \end{array}
\partial _ { - } ( \partial _ { + } \Gamma ^ { ( 1 ) } \, \Gamma ^ { ( 1 ) - 1 } ) = - \Gamma ^ { ( 2 ) } \, \Gamma ^ { ( 1 ) - 1 } , \qquad \partial _ { - } ( \partial _ { + } \Gamma ^ { ( 2 ) } \, \Gamma ^ { ( 2 ) - 1 } ) = \Gamma ^ { ( 2 ) } \, \Gamma ^ { ( 1 ) - 1 } .
\begin{array} { r l } { \widehat { \boldsymbol { \lambda } } \big ( \mathcal { P } _ { \Lambda _ { T } ( m , n ) } ( X _ { n } ) \big ) } & { \leq e ^ { m } \operatorname* { s u p } _ { z \in B _ { X _ { n } } } \sum _ { \alpha \in \Lambda _ { T } ( m , n ) } \frac { m ! } { \alpha ^ { \alpha } } \, \Delta _ { X _ { n } } ( \alpha ) \, | z ^ { \alpha } | } \\ & { \leq \frac { e ^ { m } } { \varphi _ { X _ { n } ^ { \prime } } ( m ) ^ { m } } \operatorname* { s u p } _ { z \in B _ { X _ { n } } } \sum _ { \alpha \in \Lambda ( m , n ) } \frac { m ! } { \alpha ! } \, | z ^ { \alpha } | = e ^ { m } \bigg ( \frac { \varphi _ { X _ { n } ^ { \prime } } ( n ) } { \varphi _ { X _ { n } ^ { \prime } } ( m ) } \bigg ) ^ { m } \, . } \end{array}
\mathbb { T } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { ~ P ~ } } \left( \begin{array} { l } { d _ { \ell \nu } } \\ { c _ { \ell \nu } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { d _ { ( \ell + 1 ) , \nu } } \\ { c _ { ( \ell + 1 ) , \nu } } \end{array} \right)
\widehat { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } = \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } - [ \nabla ^ { 2 } \mathcal { L } _ { \mathcal { D } } ( \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } ) ] ^ { - 1 } \left( \nabla \mathcal { L } _ { \mathcal { D } } ( \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } ) + \mathbf { R } _ { \mathcal { D } } ( \widehat { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } - \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } ) ^ { \otimes 2 } \right)
\left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { n } P _ { n } \right) ^ { m } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { n } ^ { m } P _ { n } \quad \mathrm { s o ~ t h a t } \quad \frac { \partial V } { \partial \phi } \left( \sum _ { n } \lambda _ { n } P _ { n } \right) = \sum _ { n } P _ { n } \frac { \partial V } { \partial \phi } ( \lambda _ { n } ) = 0 .
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 1 ) } p _ { * 2 } + \sigma ^ { ( 2 ) } p _ { * 1 } ) c _ { V } \rho \theta } \\ { = p _ { + } ( \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) + p _ { * 1 } p _ { * 2 } , } \\ { \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } p _ { * 2 } - \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } p _ { * 1 } } \\ { = \frac { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } [ ( p _ { + } + p _ { * 1 } ) p _ { * 2 } - ( p _ { + } + p _ { * 2 } ) p _ { * 1 } ] } { c _ { V } \rho \theta } } \\ { = \frac { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } p _ { + } \Delta _ { * } } { c _ { V } \rho \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \sigma } } } & { { } = { \cfrac { 2 } { J } } ~ \left[ \left( J ^ { - 2 / 3 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + J ^ { - 2 / 3 } ~ { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) ~ { \boldsymbol { B } } - J ^ { - 4 / 3 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] + } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u ( r ) = - G ( r ^ { 2 } - \alpha r + \frac { \beta } { r } ) } \\ & { \mathrm { w h e r e } } \\ & { G = \frac { g _ { \phi } } { 3 \nu } , \quad \alpha = \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } + R _ { 1 } R _ { 2 } + R _ { 2 } ^ { 2 } } { R _ { 1 } + R _ { 2 } } , \quad \beta = \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } R _ { 2 } ^ { 2 } } { R _ { 1 } + R _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \Big ( \| \partial _ { t } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } + \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } \Big ) } \\ { \leq } & { } & { C \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \Big ( \| \partial _ { t } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 2 } } \\ { \leq } & { } & { C \| \partial _ { t } f \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) ) } . } \end{array}
( [ \hat { A } , \hat { B } ] ) _ { \mu } ^ { \nu } = ( \hat { A } \hat { B } - \hat { B } \hat { A } ) _ { \mu } ^ { \nu } = \sum _ { \sigma = 0 } ^ { 3 } ( \hat { A } _ { \mu } ^ { \sigma } \hat { B } _ { \sigma } ^ { \nu } - \hat { B } _ { \mu } ^ { \sigma } \hat { A } _ { \sigma } ^ { \nu } ) .
\begin{array} { r l } { \textbf { E } } & { = \Re \{ \textbf { E } ^ { ( 1 ) } + \textbf { E } ^ { ( 2 ) } \} , } \\ { \textbf { E } ^ { ( 1 ) } } & { = E _ { \omega } ^ { ( 1 ) } \, e ^ { - i \omega t + i \textbf { k } _ { 1 } \cdot \textbf { r } } \, \hat { \textbf { e } } _ { 1 } , } \\ { \textbf { E } ^ { ( 2 ) } } & { = E _ { \omega } ^ { ( 2 ) } \, e ^ { - i \omega t + i \textbf { k } _ { 2 } \cdot \textbf { r } } \, \hat { \textbf { e } } _ { 2 } + E _ { 2 \omega } ^ { ( 2 ) } \, e ^ { - 2 i \omega t - i \phi _ { 2 \omega } + 2 i \textbf { k } _ { 2 } \cdot \textbf { r } } \, \hat { \textbf { e } } _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \| v _ { z } \| _ { \infty , \: h } } { \overline { { v _ { x } } } } \sim \frac { \| v _ { z } \| _ { \infty , \: h } } { \overline { { v _ { y } } } } = \mathcal { O } ( \varepsilon ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sin ( n \theta ) } & { = \sum _ { k { \mathrm { ~ o d d } } } ( - 1 ) ^ { \frac { k - 1 } { 2 } } { \binom { n } { k } } \cos ^ { n - k } \theta \sin ^ { k } \theta = \sin \theta \sum _ { i = 0 } ^ { ( n + 1 ) / 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { i } ( - 1 ) ^ { i - j } { \binom { n } { 2 i + 1 } } { \binom { i } { j } } \cos ^ { n - 2 ( i - j ) - 1 } \theta } \\ { } & { = 2 ^ { ( n - 1 ) } \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \sin ( k \pi / n + \theta ) } \end{array} }
t { \frac { d \hat { g } } { d t } } = { \frac { \beta _ { \hat { g } } ( \hat { g } ( t ) ) } { 1 + \gamma _ { \rho } ( \hat { g } ( t ) ) } } \ \mathrm { w i t h } \ \hat { g } ( 0 ) = \hat { g } _ { i } ,
\begin{array} { r } { I = e ^ { \omega ^ { 2 } - \psi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } t ^ { m - 1 } e ^ { - \left( \frac { t } { \sqrt { 2 } \sigma _ { n - m } } - \omega \right) ^ { 2 } } d t , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c } { \psi _ { \mathrm { ~ N ~ I ~ M ~ } } } \\ { \psi _ { \mathrm { ~ P ~ I ~ M ~ } } } \end{array} \right] _ { \mathrm { ~ E ~ P ~ } } = \left[ \begin{array} { c c } { 1 } \\ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } ( \Delta / \gamma ) } \end{array} \right] .
\left\langle x \mid 0 \right\rangle = \left( { \frac { m \omega } { \pi \hbar } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \exp \left( - { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } x ^ { 2 } \right) = \psi _ { 0 } ~ ,
H _ { 0 } t _ { 0 } = \frac { \Omega _ { \mathrm { M } } } { 2 ( 1 - \Omega _ { \mathrm { M } } ) ^ { 3 / 2 } } \, \left[ \frac { 2 } { \Omega _ { \mathrm { M } } } \, ( 1 - \Omega _ { \mathrm { M } } ) ^ { 1 / 2 } - \mathrm { A c o s h } \left( \frac { 2 } { \Omega _ { \mathrm { M } } } - 1 \right) \right] \, .
H ^ { i } ( \psi ^ { - 1 } ( \tilde { Y } _ { \mathbb { C } _ { p } ^ { \flat } } ) , \mathbb { Z } / \ell ^ { m } \mathbb { Z } ) \xrightarrow { \cong } H ^ { i } ( \tilde { Y } _ { \mathbb { C } _ { p } ^ { \flat } } , \psi _ { * } \psi ^ { * } ( \mathbb { Z } / \ell ^ { m } \mathbb { Z } ) ) \rightarrow H ^ { i } ( \tilde { Y } _ { \mathbb { C } _ { p } ^ { \flat } } , \mathbb { Z } / \ell ^ { m } \mathbb { Z } ) .
\Sigma ( N ) = - { \frac { d } { d Q _ { T } ^ { 2 } } } \Bigl \{ \hat { \sigma _ { 0 } } H _ { N } ( Q ) e ^ { { \cal U } _ { N } ( b _ { 0 } , Q _ { T } , Q ) } + { \cal R } _ { N } ( Q _ { T } , Q ) \Bigr \} \; ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { F D R } ( \Hat { m } ( K ) ) } & { \leq \operatorname* { m i n } \Bigg ( o \Big ( e ^ { - K ( \frac { 1 } { 2 } - \eta ) } \Big ) , o \bigg ( e ^ { - \Big ( K \frac { ( D _ { m ^ { * } } + 1 - \Tilde { \eta } ) } { 4 } - \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \underset { k = 1 } { \overset { D _ { m ^ { * } } } { \sum } } \langle X \beta ^ { * } , u _ { k } \rangle ^ { 2 } \Big ) } \bigg ) \Bigg ) } \\ & { = o \bigg ( e ^ { - \Big ( K \frac { ( D _ { m ^ { * } } + 1 - \Tilde { \eta } ) } { 4 } - \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \underset { k = 1 } { \overset { D _ { m ^ { * } } } { \sum } } \langle X \beta ^ { * } , u _ { k } \rangle ^ { 2 } \Big ) } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 8 } \gamma ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + { \hat { V } } _ { h - e } ( r ) \right. \qquad } \\ { \left. \qquad + \frac { 1 - \rho } { 1 + \rho } \, \frac { m } { 2 } \gamma - E \right\} \psi ( x , y ) = 0 , } \end{array}
\phi ^ { * } ( t ) = A e ^ { - \delta t ^ { * } } \cos ( \zeta + \omega _ { 0 } t ^ { * } ) \quad \mathrm { w h e r e } \quad \delta = \frac { 2 } { \pi } \frac { 1 } { S t } \frac { T _ { \Omega } ^ { * } } { J _ { q } ^ { * } } \quad \mathrm { a n d } \quad \omega _ { 0 } = \left( \frac { \pi } { 4 } \frac { 1 } { S t } \frac { T _ { i } ^ { * } } { F _ { q } ^ { * } F _ { p } ^ { * } J _ { q } ^ { * } } - \delta ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } .
\small \begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { l } } & { = \mathrm { C r o s s - A t t e n t i o n } ( \mathbf { Q } _ { \mathbf { E } ^ { l - 1 } } , \mathbf { K } , \mathbf { V } ) \in \mathbb { R } ^ { M \times d } } \\ & { = \mathrm { S o f t m a x } ( \frac { \mathbf { E } ^ { l - 1 } \mathbf { H } ^ { \top } } { \sqrt { d } } ) \mathbf { H } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { - \Delta u + \nabla p } & { = f } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { \nabla \cdot u } & { = 0 } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { u } & { = u _ { \textup D } } & & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { \textup D } , } \\ { ( \nabla u + p I ) \cdot \ensuremath { \vec { \nu } } } & { = g } & & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { \textup N } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { | \Phi _ { 0 } ( z ) \rangle = } & { { } \cos \theta | 1 \rangle - \sin \theta | 3 \rangle , } \\ { | \Phi _ { \pm } ( z ) \rangle = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sin \theta | 1 \rangle \pm \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } | 2 \rangle \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \cos \theta | 3 \rangle , } \end{array} } \end{array}
g = J ^ { \mathsf { T } } J = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos ^ { 2 } \theta + \sin ^ { 2 } \theta } & { - r \sin \theta \cos \theta + r \sin \theta \cos \theta } \\ { - r \cos \theta \sin \theta + r \cos \theta \sin \theta } & { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { r ^ { 2 } } \end{array} \right] }
\hat { h } _ { \mu \nu } = a ^ { 2 } \chi _ { \mu \nu } + 2 a _ { 0 } ^ { 2 } a ^ { 2 } \left( \int \frac { d z } { a ^ { 4 } } \right) \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \xi _ { z } - 2 a ^ { 2 } \left( \int \frac { d z } { a ^ { 2 } } \right) \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \xi _ { z } - \frac { U _ { B } } { 2 } a ^ { 2 } \xi _ { z } \eta _ { \mu \nu }
\begin{array} { r l r } { p _ { i } } & { { } = } & { \frac { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } { L } \int _ { - H } ^ { H } \frac { \beta _ { i } ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } , } \\ { f _ { i } ( x ) } & { { } = } & { \int _ { - H } ^ { x } \frac { \mathrm { e } ^ { W _ { i } ( x ^ { \prime } ) } } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } d x ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { \ell } = \Phi \Big ( \sqrt { \ell K } - \frac { \langle X \beta ^ { * } , u _ { \ell } \rangle } { \sigma } \Big ) + \Phi \Big ( \sqrt { \ell K } + \frac { \langle X \beta ^ { * } , u _ { \ell } \rangle } { \sigma } \Big ) - } \\ & { \quad \quad \quad \quad \bigg ( \Phi \Big ( \sqrt { K } - \frac { \langle X \beta ^ { * } , u _ { \ell } \rangle } { \sigma } \Big ) + \Phi \Big ( \sqrt { K } + \frac { \langle X \beta ^ { * } , u _ { \ell } \rangle } { \sigma } \Big ) \bigg ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \underset { K \longrightarrow + \infty } { \longrightarrow } 0 ; } \end{array}
| f ^ { ( k ) } ( z ) | \leqslant { \frac { k ! } { 2 \pi } } \int _ { \gamma } { \frac { M _ { r } } { | w - z | ^ { k + 1 } } } \, d w = { \frac { k ! M _ { r } } { r ^ { k } } } , \quad M _ { r } = \operatorname* { m a x } _ { | w - c | = r } | f ( w ) |
\begin{array} { r } { \lambda _ { m a x } = \operatorname* { s u p } _ { \rho \in \mathcal { T } } \operatorname* { l i m s u p } _ { n } \frac { 1 } { n } \log J _ { n } ^ { u } ( \rho ) } \\ { \lambda _ { m i n } = \operatorname* { i n f } _ { \rho \in \mathcal { T } } \operatorname* { l i m i n f } _ { n } \frac { 1 } { n } \log J _ { n } ^ { u } ( \rho ) > 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } \equiv p ( \vec { y } | \mathcal { M } ) } & { = \int _ { \Theta } p ( \ensuremath { \vec { \theta } } , \vec { y } | \mathcal { M } ) \mathrm { d } \ensuremath { \vec { \theta } } } \\ & { = \int _ { \Theta } p ( \vec { y } | \ensuremath { \vec { \theta } } , \mathcal { M } ) p ( \ensuremath { \vec { \theta } } | \mathcal { M } ) \mathrm { d } \ensuremath { \vec { \theta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { u } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla u } = - \boldsymbol { \nabla } p - R o ^ { - 1 } \boldsymbol { e _ { z } } \times \boldsymbol { u } } & { + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } - \theta \frac { 2 ( 1 - \eta ) } { 1 + \eta } ( 1 + \frac { 2 u _ { \varphi } } { R o ^ { - 1 } r } ) ^ { 2 } \boldsymbol { r } , } \\ { \frac { \partial \theta } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \theta } & { = \sqrt { \frac { 1 } { R a \cdot P r } } \nabla ^ { 2 } \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { j ^ { - m } \left[ \widehat { H } _ { m } ^ { ( 2 ) } ( k L ) + j \widehat { H } _ { m } ^ { ( 2 ) \prime } ( k L ) \right] \frac { m ( m + 1 ) } { ( 2 m + 1 ) } b _ { m } = \frac { 2 e ^ { - j k L } } { j k L } \times } & { } & \\ { \times P _ { m } ( \cos \theta _ { 0 } ) + \sum _ { \ell = 1 , 3 , \ldots } ^ { \infty } j ^ { - \ell } \left[ \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( k L ) + j \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( k L ) \right] b _ { \ell } \times } & { } & \\ { \times \sin \theta _ { 0 } P _ { m } ( \cos \theta _ { 0 } ) P _ { \ell } ( \cos \theta _ { 0 } ) \ell ( \ell + 1 ) m ( m + 1 ) g _ { m \ell } , } & { } & \end{array}