harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { \psi } _ { m } \sim N _ { m } ( | z | + 1 / k ) ^ { 1 / 2 } \left[ Y _ { 2 } ( m ( | z | + 1 / k ) ) + { \frac { 4 k ^ { 2 } } { \pi m ^ { 2 } } } J _ { 2 } ( m ( | z | + 1 / k ) ) \right] \quad ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } ) = \exp \left( - \frac { i \sigma _ { 2 } { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \\ & { } & { = { \bf 1 } \cos \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) - i \sigma _ { 2 } \sin \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \cos \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) + \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \sin \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } & { - \sin \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( { \it \Delta \Psi } \right) } & { - \sin \left( { \it \Delta \Psi } \right) } \\ { \sin \left( { \it \Delta \Psi } \right) } & { \cos \left( { \it \Delta \Psi } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r _ { \mathrm { c } } } & { = } & { \frac { \gamma } { 2 } \frac { I / I _ { \mathrm { s a t } , 6 } } { 1 + 4 \Delta ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } + I / I _ { \mathrm { s a t } , 6 } } , } \\ { r _ { \mathrm { n c } } } & { = } & { \frac { \gamma } { 2 } \sum _ { f = 4 , 5 } \frac { I / I _ { \mathrm { s a t } , f } } { 1 + 4 ( \Delta + \Delta _ { \mathrm { h f } , f } ) ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } ) + I / I _ { \mathrm { s a t } , f } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \hat { O } \left( t \right) } & { = - i \sum _ { s , s ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \left[ \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \left( t \right) , \hat { O } \left( t \right) \right] \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \left( t \right) J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 1 \right) } \left( \omega _ { s ^ { \prime } } \right) } \\ & { - i \sum _ { s , s ^ { \prime } = 1 } ^ { N } J _ { s ^ { \prime } s } ^ { \left( 2 \right) } \left( \omega _ { s ^ { \prime } } \right) \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 1 } \left( \tau \right) \left[ \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \left( t \right) , \hat { O } \left( t \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \vec { u } } ( \boldsymbol { x } _ { k } , t ) } & { \approx } \\ { * \frac { 1 } { \rho { V _ { C } } } } & { \left( \sum _ { r \in \mathrm { N e i g h b o r s } } \boldsymbol { \sigma } _ { k r } \boldsymbol { n } _ { k r } + \int _ { \partial { C } _ { \mathrm { e x t } } } \boldsymbol { t } ^ { * } ( \boldsymbol { x } , t ) \, \mathrm { d } a \right) . } \end{array}
F _ { \rho _ { 0 } } ^ { G } \equiv F _ { \rho _ { 0 } } ^ { c , e } + \omega F _ { \rho _ { 0 } } ^ { c , c } + \bar { \omega } F _ { \rho _ { 0 } } ^ { c , c ^ { 2 } } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ }
\begin{array} { r } { \lambda _ { 2 } = i \Biggl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Biggr ) } \\ { \lambda _ { 4 } = i \Biggl ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Biggr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } ^ { \mathcal { G } } \sigma _ { \alpha \beta } } & { = \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { N S F } } + \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { l i n } } + \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { n l i n } } + R _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \mathcal { G } } , } \\ { \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { N S F } } } & { = - p \left( \partial _ { \alpha } u _ { \beta } + \partial _ { \beta } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \partial _ { \gamma } u _ { \gamma } \right) } \\ { \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { l i n } } } & { = - \frac { 2 } { 5 } \left( \partial _ { \beta } q _ { \alpha } + \partial _ { \alpha } q _ { \beta } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \partial _ { \gamma } q _ { \gamma } \right) , } \\ { \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { n l i n } } } & { = - \sigma _ { \alpha \beta } \left( \partial _ { \gamma } u _ { \gamma } \right) - \left( \sigma _ { \alpha \gamma } \partial _ { \gamma } u _ { \beta } + \sigma _ { \beta \gamma } \partial _ { \gamma } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \sigma _ { \mu \nu } \partial _ { \nu } u _ { \mu } \right) . } \end{array}
\phi _ { \epsilon } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } = 0 , 1 } ( - 1 ) ^ { ( \epsilon _ { 1 } + \eta _ { 1 } ) ( \epsilon _ { 2 } + \eta _ { 2 } ) } \phi _ { \eta } \, .
\frac { d x _ { \mu } } { d s } \frac { \delta A } { \delta x _ { \mu } ( s ) } = \frac { \delta A } { \delta x _ { 1 } ( s ) } \Bigl | _ { x _ { 1 } = s } + \frac { d \vec { \phi } } { d s } \frac { \delta A } { \delta \vec { \phi } } = 0
\begin{array} { r l } { \bar { c } _ { i _ { 0 } , n _ { 0 } } ^ { ( i _ { 0 } ) } = \bar { c } _ { i _ { 0 } , i _ { 0 } } ^ { ( i _ { 0 } ) } } & { : = \operatorname* { m a x } _ { 0 \le m \le i _ { 0 } } \left\{ \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { b _ { i _ { 0 } } ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { 0 } ^ { \leftarrow } ( t ) } { b _ { m } ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - m } ^ { \leftarrow } ( t ) } \right\} } \\ & { \ge \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { t ^ { i _ { 0 } ( \alpha + \gamma ) } } { b _ { i _ { 0 } - 1 } ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { 1 } ^ { \leftarrow } ( t ) } = \infty . } \end{array}
b ( V \rightarrow \gamma R ) = b ( V \rightarrow \gamma g g ) \frac { m _ { R } \Gamma _ { R } b _ { R \rightarrow g g } } { 8 \pi ( \pi ^ { 2 } - 9 ) m _ { V } ^ { 2 } } ( 1 - ( \frac { m _ { R } } { m _ { V } } ) ^ { 2 } ) | { \hat { \cal H } } ^ { P S } ( x ) | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tilde { v } _ { 0 } ( t ) = } & { { } - \tilde { v } _ { 0 } ( t ) \tilde { v } _ { y } ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tilde { v } _ { x } ( t ) = } & { { } - \tilde { v } _ { x } ( t ) \tilde { v } _ { y } ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tilde { v } _ { y } ( t ) = } & { { } - \bar { f } \tilde { v } _ { x } ( t ) - \tilde { v } _ { y } ( t ) ^ { 2 } - \bar { f } ^ { 2 } , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tilde { h } _ { 0 } ( t ) = } & { { } - \tilde { h } _ { 0 } ( t ) \tilde { v } _ { y } ( t ) . } \end{array}
\mathbf { \Psi } _ { \mathrm { t r a i n } } ^ { ( \gamma ) } ( x , y ) = \Re \left[ \mathcal { F } ^ { - 1 } \left\{ ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } ) \gamma e ^ { - ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } ) \gamma + 2 \pi i \mathbf { \Lambda } } \right\} \right]
E _ { { \bf A } } ^ { R M S } = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \big \lVert { \bf L } _ { i , k } ^ { { \bf A } } { \bf A } _ { k } [ \phi _ { i } - c _ { k } ] \big \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } .
\nabla _ { \perp } ^ { 2 } \mathrm { d } _ { t } \psi = v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi + d _ { i } [ \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \partial _ { t } u _ { z } - \partial _ { z } \nabla _ { \perp } \cdot \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } _ { \perp } ] .
\begin{array} { r l } { \mu ( t , y ) } & { : = \overline { { u } } ( t , y ) - c _ { 0 } , } \\ { \gamma ( t , x , y ) } & { : = \zeta ^ { \prime } ( t , x , y ) , } \\ { G ( \gamma ) } & { : = \partial _ { y } \overline { { [ \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \gamma ] } } , } \\ { F ( \mu , \gamma ) } & { : = ( \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \gamma ) \gamma _ { x } - ( \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma ) \gamma _ { y } - \mu \gamma _ { x } + c _ { 0 } \gamma _ { x } + \partial _ { y } \overline { { [ ( \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma ) \gamma ] } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \theta ( n ) S \mathcal { X } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) d s - \frac { \theta ( n ) } { 2 n ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { X } _ { s } ^ { n } ( \partial _ { x } ^ { 2 } \varphi ) d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] \lesssim T ^ { 2 } \frac { \theta ( n ) ^ { 2 } } { n ^ { 6 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { M _ { 0 } } { 2 } \left\langle { \sin ^ { 2 } \alpha } \right\rangle } & { { } = n _ { A } \hbar \gamma , } \\ { \implies \left\langle { \sin ^ { 2 } \alpha } \right\rangle } & { { } = \frac { 2 n _ { A } \hbar \gamma } { M _ { 0 } } , } \end{array}
\int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \boldsymbol { \nabla } p \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } d V = \int _ { { S _ { \mathrm { { C V } } } } } p ( \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { C V } } } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } ) d S = \Delta p A ,
\begin{array} { r l r } { J ( E _ { 1 } ) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c } { - r _ { 1 } } & { - K _ { 1 } r _ { 1 } } & { - K _ { 1 } q _ { 1 } ( 1 + a _ { 1 } K _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \\ { 0 } & { r _ { 2 } - K _ { 1 } \alpha _ { 2 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { c _ { 1 } K _ { 1 } q _ { 1 } ( 1 + a _ { 1 } K _ { 1 } ) ^ { - 1 } - \mu } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } ( ( \delta \otimes 1 ) - ( 1 \otimes \delta ) ) \delta ( a ^ { 2 } ) = a ^ { ( 2 ) } ( \delta \otimes 1 - 1 \otimes \delta ) \delta ( a ) + ( a ^ { ( 3 ) } - a ^ { ( 1 ) } ) ( 1 \otimes \tau ) ( \delta \otimes 1 ) \delta ( a ) } \\ & { + ( \delta ( a ) \otimes 1 - 1 \otimes \delta ( a ) ) ( 1 \otimes \tau ) ( \delta ( a ) \otimes 1 ) ; } \\ & { ( \delta \otimes 1 + 1 \otimes \delta + ( 1 \otimes \tau ) ( \delta \otimes 1 ) ) ( 1 \otimes a + a \otimes 1 ) \delta ( a ) = 2 a ^ { ( 2 ) } ( 1 \otimes \delta ) \delta ( a ) + a ^ { ( 1 ) } ( 1 \otimes \tau ) ( \delta \otimes 1 ) \delta ( a ) } \\ & { + ( 1 \otimes \delta ( a ) ) ( 1 \otimes \tau ) ( \delta ( a ) \otimes 1 ) + ( \delta \otimes 1 ) \delta ( a ^ { 2 } ) ; } \\ & { \delta ( a ^ { 2 } b ) - \delta ( a ^ { 2 } ) b ^ { ( 1 ) } - \delta ( b ) ( a ^ { 2 } ) ^ { ( 2 ) } + 2 \delta ( b ) ( a \otimes a ) - 2 \delta ( a b ) a ^ { ( 1 ) } + 2 ( \delta ( a ) b ^ { ( 1 ) } ) a ^ { ( 1 ) } } \\ & { + 2 ( \delta ( a ) b ^ { ( 2 ) } ) a ^ { ( 2 ) } - 2 \delta ( a ) ( a b ) ^ { ( 2 ) } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { B _ { R } } | \nabla v _ { j } | ^ { p } + \sigma _ { j } ^ { p } ( p - 1 ) \lambda _ { + } ^ { p } \chi _ { \{ v _ { j } > 0 \} } + \sigma _ { j } ^ { p } ( p - 1 ) \lambda _ { - } ^ { p } \chi _ { \{ v _ { j } < 0 \} } \, d x } \\ & { \ \ \leq \int _ { B _ { R } } | \nabla ( v _ { j } + \psi ) | ^ { p } + \sigma _ { j } ^ { p } ( p - 1 ) \lambda _ { + } ^ { p } \chi _ { \{ v _ { j } + \psi > 0 \} } + \sigma _ { j } ^ { p } ( p - 1 ) \lambda _ { - } ^ { p } \chi _ { \{ v _ { j } + \psi < 0 \} } \, d x , } \end{array}
\left( \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 4 } - c _ { 1 } ^ { 3 } \right) x + \left( - 3 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } - \frac { 3 \sqrt { 3 } c _ { 1 } } { 2 } \right) x ^ { 4 / 3 } + \left( - 3 c _ { 1 } c _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 3 \sqrt { 3 } c _ { 2 } } { 2 } \right) x ^ { 5 / 3 } + \cdots = 0 .
\begin{array} { r l } { { \bf \Pi } _ { \mathrm { { { F } } } } \cdot \mathbf { n } ^ { * } \ge } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \hat { \alpha } _ { 1 } ^ { \mathrm { { L F } } } \Delta t } { \Delta x } \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \left[ \left( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } + \mathbf { U } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } + \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } + \mathbf { U } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } \right) \cdot \mathbf { n } ^ { * } + 2 | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } \right] } \\ { = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \hat { \alpha } _ { 1 } ^ { \mathrm { { L F } } } \Delta t } { \Delta x } \left[ \left( { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } + \Pi _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } + { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } + { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } \right) \cdot \mathbf { n } ^ { * } + 2 | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { D \Phi [ \chi ] } & { { } = - \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Sigma } \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \Big [ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \Big ] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C \Bigg \{ \underset { { M _ { N , T } } } { \underbrace { \frac { b _ { T } ( \log N ) ^ { 3 / 2 } \log ( T ) } { \sqrt { T } } + \frac { b _ { T } ^ { 2 } \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) } { T ^ { 1 - 2 / m } } + \left[ \frac { b _ { T } ^ { m } \log ( N ) ^ { 3 m / 2 - 4 } \log ( T ) \log ( N T ) } { T ^ { m / 2 - 1 } } \right] ^ { \frac { 1 } { m - 2 } } } } } \\ & { + \left( N d _ { N } ^ { m } S _ { m } \right) ^ { \frac { 1 } { m + 1 } } \left( \frac { \sqrt { \log ( N ) } } { \sqrt { T } } \right) ^ { \frac { m } { m + 1 } } + \underset { { M _ { N , T } ^ { * } } } { \underbrace { \log ( N ) \log ( T ) \psi _ { N } ^ { 2 } \left[ d _ { N } \sqrt { \phi _ { N , T } } + \frac { N ^ { 4 / m } } { T ^ { \frac { m - 2 } { m } } } + \xi _ { N , T } \psi _ { N } ^ { 2 } \right] } } } \\ & { + \underset { { M _ { N , T } ^ { * } } } { \underbrace { ( \tilde { S } ^ { * } d _ { N } ^ { * } ) ^ { 2 } \left[ \frac { \log ( N ) ^ { 3 / 2 } \left( \log ( T ) + ( \tilde { S } ^ { * } d _ { N } ^ { * } ) ^ { \frac { 1 } { m - 1 } } \right) } { \sqrt { T } } + \frac { \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) } { T ^ { \frac { m - 2 } { m } } } \right] + \sqrt { \frac { \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) \log ( N T ) } { T } } } } } \\ & { + ( N K d _ { N } ^ { * m } \psi _ { N } ^ { m } ) ^ { \frac { 1 } { m + 1 } } \left( \frac { \sqrt { \log ( N ) } } { \sqrt { T } } \right) ^ { \frac { m } { m + 1 } } \Bigg \} . } \end{array}
c _ { \nu } ( x ) = \frac { 2 H \mathrm { i } } { \pi \hbar } \left( \frac { \sin ( \omega _ { \nu } ^ { + } ( x ) L _ { k } ) } { \omega _ { \nu } ^ { + } ( x ) } - \frac { \sin ( \omega _ { \nu } ^ { - } ( x ) L _ { k } ) } { \omega _ { \nu } ^ { - } ( x ) } \right) ,
\begin{array} { r } { \mathbf { H } _ { i j } = \frac { 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta } { R ^ { 3 } } \left( \begin{array} { l l l l } { H _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { 2 2 } } & { H _ { 2 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { 2 3 } ^ { * } } & { H _ { 3 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { H _ { 4 4 } } \end{array} \right) . } \end{array}
g _ { \alpha \delta } \Gamma _ { \beta \gamma } ^ { \alpha } = \frac { 1 } { 2 } \delta _ { \delta } ^ { \lambda } \left( \partial _ { \beta } g _ { \gamma \lambda } + \partial _ { \gamma } g _ { \beta \lambda } - \partial _ { \lambda } g _ { \beta \gamma } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { \beta } g _ { \gamma \delta } + \partial _ { \gamma } g _ { \beta \delta } - \partial _ { \delta } g _ { \beta \gamma } \right) .
A _ { U ( 1 ) , ~ ( U ( 1 ) , S O ( 8 ) , S U ( 1 2 ) ) } = \frac { 1 } { 3 } 2 ( - 3 \sqrt { 3 } ) 1 2 \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ( 2 4 ( \frac { 1 } { 2 } ) , - 1 , \frac { 1 } { 2 } ) = ( - 4 3 2 , 3 6 , - 1 8 ) ,
\hat { E } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } U } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } U + \overline { { p } } \xi _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } U + \overline { { p } } \xi _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } U + \overline { { p } } \xi _ { z } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } \right) U - \overline { { p } } \xi _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\beta _ { k 0 } ( t \to \infty ) = \sqrt { \frac { \omega _ { k } } { \tilde { \omega } } } \frac { ( \tilde { \omega } - \omega _ { k } ) ( 2 \omega _ { k } ^ { 2 } - 2 \tilde { \omega } ^ { 2 } + i \pi g \omega _ { k } ) } { \left[ 4 \left( \omega _ { k } ^ { 2 } - \tilde { \omega } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } g ^ { 2 } \omega _ { k } ^ { 2 } \right] } \sqrt { g \Delta \omega } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { k } t } \; .
P ( \pi ) \succ 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l } { C } & { 0 } \end{array} } \end{array} \right] _ { \perp } ^ { \top } \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l } { P ( \pi ) } & { A ^ { \top } ( \pi ) } \\ { \star } & { S ( \pi _ { + } ) } \end{array} } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l } { C } & { 0 } \end{array} } \end{array} \right] _ { \perp } \succ 0 .
{ \cal O } ( x ) \; \longrightarrow \; { \cal O } ^ { f } ( x ) \; \equiv \; { \cal U } _ { f } ^ { - 1 } \, { \cal O } ( x ) \, { \cal U } _ { f } \; = \; | f ^ { \prime } ( x ) | ^ { \Delta } \, { \cal O } ( f x )
\delta S _ { 5 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 8 ( 2 \pi ) ^ { 3 } \kappa ^ { 2 } T _ { 5 } } \frac { 1 } { 6 \sqrt { 2 } } \frac { \kappa ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \int _ { M _ { D } ^ { 1 1 } } d ( \hat { I } _ { 2 } ^ { 1 } \wedge X _ { 8 } ) = - \frac { 1 } { 4 8 ( 2 \pi ) ^ { 3 } \lambda ^ { 2 } T _ { 5 } } \int _ { M ^ { 1 0 } } \hat { I } _ { 2 } ^ { 1 } \wedge X _ { 8 }
V _ { \infty } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { \dots } & { \dots } & { 1 } \\ { q _ { 1 } } & { q _ { 2 } } & { \dots } & { \dots } & { q _ { g } } \\ { \vdots } & & & & { \vdots } \\ { \vdots } & & & & { \vdots } \\ { q _ { 1 } ^ { r _ { \infty } - 4 } } & { q _ { 2 } ^ { r _ { \infty } - 4 } } & { \dots } & { \dots } & { q _ { g } ^ { r _ { \infty } - 4 } } \end{array} \right) \, , \,
W = \sqrt { \left( \frac { \partial \alpha } { \partial \delta } - \frac { \alpha } { \beta } \frac { \partial \beta } { \partial \delta } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \beta } \frac { \partial \beta } { \partial \delta } \right) ^ { 2 } } ,
\sqrt { - G } W _ { \mu \nu } ^ { 1 0 } \Big | _ { y = 0 } = - \sqrt { - g ^ { 0 } } \frac { 1 } { 2 } V _ { 0 } ( \Phi ) g _ { \mu \nu } ^ { 0 } \Bigr | _ { y = 0 } \ , \quad \sqrt { - G } W _ { \mu \nu } ^ { 1 0 } \Big | _ { y = \infty } = \sqrt { - g ^ { \infty } } \frac { 1 } { 2 } V _ { \infty } ( \Phi ) g _ { \mu \nu } ^ { \infty } \Bigr | _ { y = \infty } \ .
\begin{array} { r } { \Delta \ensuremath { \mathbf { G } } ( x , x ^ { \prime } ; \omega ) = - \frac { Z } { 4 c ^ { 2 } } e ^ { - \kappa ( \omega ) ( | x | + | x ^ { \prime } | ) } \phantom { x x x x x x x x x x x x x x x } } \\ { \times \left[ z _ { 1 } ( \omega ) \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 1 } ( x , x ^ { \prime } ; \omega ) + z _ { 2 } ( \omega ) \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 2 } ( x , x ^ { \prime } ; \omega ) \right] , } \end{array}
\langle p ^ { \prime } , k | S | p , k \rangle | _ { c o n n } = - \mathrm { i } { \frac { e ^ { 2 } } { | { \vec { p } } - { \vec { p } } ^ { \prime } | ^ { 2 } - \mathrm { i } \epsilon } } ( 2 m ) ^ { 2 } \delta ( E _ { p , k } - E _ { p ^ { \prime } , k } ) ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ( { \vec { p } } - { \vec { p } } ^ { \prime } )
h _ { \mathrm { t o t } } [ \mathrm { J / k g } ] = \mathit { S E I } [ \mathrm { e V / m o l e c u l e } ] \frac { e \cdot N _ { \mathrm { A } } } { M _ { \mathrm { C O 2 } } } = \frac { P _ { \mathrm { c a l } } } { \dot { m } _ { \mathrm { C O 2 } } }
\begin{array} { r l } { \pi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { { } \propto \exp \left[ - 1 0 0 \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + ( 1 - x _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] , \; x _ { 1 } , \, x _ { 2 } \in \mathbb { R } . } \end{array}
\sum _ { \vec { k } } \left\{ \delta \Pi \ \dot { \varphi } ( \vec { k } , \, t ) + \delta \dot { \varphi } \ \Pi ( \vec { k } , \, t ) - \left[ \delta \varphi \ { \frac { \partial H } { \partial \varphi ( \vec { k } , \, t ) } } + \delta \Pi \ { \frac { \partial H } { \partial \Pi ( \vec { k } , \, t ) } } \right] \right\} = \dot { \Omega } \ .
\begin{array} { r l } & { \left[ \frac { \partial } { \partial z } + \frac { 1 } { c } \frac { \partial } { \partial t } - \frac { i } { 2 k _ { 0 } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) + \left( \frac { \mu ( \textbf { r } , t ) } { 2 } + i \delta ( \textbf { r } , t ) k _ { 0 } \right) \right] \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , t ) = } \\ & { \, \, \, i \frac { 3 } { 8 \pi } \lambda ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { r a d . } } \left( n ( \textbf { r } ) \sum _ { e , \, g } T _ { g e s } \rho _ { e g } ( \textbf { r } , t ) + f _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , t ) \right) , } \end{array}
{ \cfrac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial f } } - { \cfrac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } } \left( { \cfrac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial f ^ { \prime } } } \right) + { \cfrac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \left( { \cfrac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial f ^ { \prime \prime } } } \right) - \dots + ( - 1 ) ^ { k } { \cfrac { \mathrm { d } ^ { k } } { \mathrm { d } x ^ { k } } } \left( { \cfrac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial f ^ { ( k ) } } } \right) = 0
\left( \begin{array} { c c } { m _ { e } c ^ { 2 } + V ( r ) - E _ { n \kappa } } & { c \left( - \frac { d } { d r } + \frac { \kappa } { r } \right) } \\ { c \left( \frac { d } { d r } + \frac { \kappa } { r } \right) } & { - m _ { e } c ^ { 2 } + V ( r ) - E _ { n \kappa } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { P _ { n \kappa } ( r ) } \\ { Q _ { n \kappa } ( r ) } \end{array} \right) = 0 ,
S _ { B } = \frac { 2 \pi } { e ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } x ( K ^ { - 1 } ) _ { a b } \left( \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { a } F _ { \mu \nu } ^ { b } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi ^ { i a } \partial _ { \mu } \phi ^ { i b } \right)
\begin{array} { r } { \left< v _ { r } ( \theta , \phi ) \right> = \frac { \int P ( r , \theta , \phi ) \mathbf { v } ( r , \theta , \phi ) \cdot \mathbf { d r } } { \int P ( r , \theta , \phi ) d r } } \\ { \left< \rho ( \theta , \phi ) \right> = \frac { \int \rho ( r , \theta , \phi ) P ( r , \theta , \phi ) d r } { \int P ( r , \theta , \phi ) d r } } \end{array}
i ( \mathbf { C } P ^ { 1 } ) = \left\{ g ( u ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + | u | ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { i u } } \\ { { i \bar { u } } } & { { 1 } } \end{array} \right) | u \in \mathbf { C } \right\} .
\mathbf { A \cdot B } = { \left( \begin{array} { l l l l } { A _ { 0 } } & { A _ { 1 } } & { A _ { 2 } } & { A _ { 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { B ^ { 0 } } \\ { B ^ { 1 } } \\ { B ^ { 2 } } \\ { B ^ { 3 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { B _ { 0 } } & { B _ { 1 } } & { B _ { 2 } } & { B _ { 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { A ^ { 0 } } \\ { A ^ { 1 } } \\ { A ^ { 2 } } \\ { A ^ { 3 } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { \sum _ { j } \sum _ { k } C _ { j k , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } \phi _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { ( n ) } = \frac { 1 } { M ^ { ( n ) } } b _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { ( n ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon \left( \lambda \right) } & { = \epsilon _ { 0 } \left( 1 + \frac { A } { 1 + j \frac { \lambda _ { \mathrm { { r e l } } } } { \lambda } - ( \frac { \lambda _ { \mathrm { r e s } } } { \lambda } ) ^ { 2 } } \right) } \\ { \sigma \left( \lambda \right) } & { = \frac { \sigma _ { \mathrm { { s } } } } { 1 + j \frac { 2 \pi c _ { 0 } \tau _ { \sigma } } { \lambda } } , } \end{array}