{ \begin{array} { r l } & { { \left( \begin{array} { l } { S ( x ) \Gamma ( x ) } \\ { x ^ { 6 } } \end{array} \right) } } \\ { = } & { { \left( \begin{array} { l } { \alpha ^ { - 7 } + \alpha ^ { 4 } x + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 6 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 4 } + \alpha ^ { 5 } x ^ { 5 } + \alpha ^ { 7 } x ^ { 6 } + \alpha ^ { - 3 } x ^ { 7 } } \\ { x ^ { 6 } } \end{array} \right) } } \\ { = } & { { \left( \begin{array} { l l } { \alpha ^ { 7 } + \alpha ^ { - 3 } x } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x ^ { 6 } } \\ { \alpha ^ { - 7 } + \alpha ^ { 4 } x + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 6 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 4 } + \alpha ^ { 5 } x ^ { 5 } + 2 \alpha ^ { 7 } x ^ { 6 } + 2 \alpha ^ { - 3 } x ^ { 7 } } \end{array} \right) } } \\ { = } & { { \left( \begin{array} { l l } { \alpha ^ { 7 } + \alpha ^ { - 3 } x } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { - 5 } x } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ & { \qquad { \left( \begin{array} { l } { \alpha ^ { - 7 } + \alpha ^ { 4 } x + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 6 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 4 } + \alpha ^ { 5 } x ^ { 5 } } \\ { \alpha ^ { - 3 } + \left( \alpha ^ { - 7 } + \alpha ^ { 3 } \right) x + \left( \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { - 1 } \right) x ^ { 2 } + \left( \alpha ^ { - 5 } + \alpha ^ { - 6 } \right) x ^ { 3 } + \left( \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } \right) x ^ { 4 } + 2 \alpha ^ { - 6 } x ^ { 5 } + 2 x ^ { 6 } } \end{array} \right) } } \\ { = } & { { \left( \begin{array} { l l } { \left( 1 + \alpha ^ { - 4 } \right) + \left( \alpha ^ { 1 } + \alpha ^ { 2 } \right) x + \alpha ^ { 7 } x ^ { 2 } } & { \alpha ^ { 7 } + \alpha ^ { - 3 } x } \\ { \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { - 5 } x } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \alpha ^ { - 7 } + \alpha ^ { 4 } x + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 6 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 4 } + \alpha ^ { 5 } x ^ { 5 } } \\ { \alpha ^ { - 3 } + \alpha ^ { - 2 } x + \alpha ^ { 0 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { - 2 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { - 6 } x ^ { 4 } } \end{array} \right) } } \\ { = } & { { \left( \begin{array} { l l } { \alpha ^ { - 3 } + \alpha ^ { 5 } x + \alpha ^ { 7 } x ^ { 2 } } & { \alpha ^ { 7 } + \alpha ^ { - 3 } x } \\ { \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { - 5 } x } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { \alpha ^ { - 5 } + \alpha ^ { - 4 } x } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ & { \qquad { \left( \begin{array} { l } { \alpha ^ { - 3 } + \alpha ^ { - 2 } x + \alpha ^ { 0 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { - 2 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { - 6 } x ^ { 4 } } \\ { \left( \alpha ^ { 7 } + \alpha ^ { - 7 } \right) + \left( 2 \alpha ^ { - 7 } + \alpha ^ { 4 } \right) x + \left( \alpha ^ { - 5 } + \alpha ^ { - 6 } + \alpha ^ { - 1 } \right) x ^ { 2 } + \left( \alpha ^ { - 7 } + \alpha ^ { - 4 } + \alpha ^ { 6 } \right) x ^ { 3 } + \left( \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { - 6 } + \alpha ^ { - 1 } \right) x ^ { 4 } + 2 \alpha ^ { 5 } x ^ { 5 } } \end{array} \right) } } \\ { = } & { { \left( \begin{array} { l l } { \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 5 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } x ^ { 3 } } & { \alpha ^ { - 3 } + \alpha ^ { 5 } x + \alpha ^ { 7 } x ^ { 2 } } \\ { \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { - 5 } x + \alpha ^ { 6 } x ^ { 2 } } & { \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { - 5 } x } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \alpha ^ { - 3 } + \alpha ^ { - 2 } x + \alpha ^ { 0 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { - 2 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { - 6 } x ^ { 4 } } \\ { \alpha ^ { - 4 } + \alpha ^ { 4 } x + \alpha ^ { 2 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { - 5 } x ^ { 3 } } \end{array} \right) } . } \end{array} }