harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { u } & { = p \mathbf { e } _ { 1 } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } + q \mathbf { e } _ { 2 } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } + r \mathbf { e } _ { 3 } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } , } \\ { v } & { = p \mathbf { e } _ { 1 } \cdot \mathbf { n } _ { 2 } + q \mathbf { e } _ { 2 } \cdot \mathbf { n } _ { 2 } + r \mathbf { e } _ { 3 } \cdot \mathbf { n } _ { 2 } , } \\ { w } & { = p \mathbf { e } _ { 1 } \cdot \mathbf { n } _ { 3 } + q \mathbf { e } _ { 2 } \cdot \mathbf { n } _ { 3 } + r \mathbf { e } _ { 3 } \cdot \mathbf { n } _ { 3 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left\langle w , \Delta u \right\rangle + \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle w , 2 \Omega \times \Delta u \right\rangle } & { } \\ { \qquad - \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle \nabla \cdot w , \Delta p \right\rangle - \left\langle w , b \hat { k } \right\rangle } & { = - R _ { u } [ w ] , \quad \forall w \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , \Delta b \right\rangle + \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle \gamma , \Delta u \cdot \hat { k } B _ { z } \right\rangle } & { = - R _ { b } [ \gamma ] , \quad \forall \gamma \in \mathbb { W } _ { h } ^ { \theta } , } \\ { \left\langle \phi , \nabla \cdot \Delta u \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 3 } , } \end{array}
A ^ { + } = ( \rho _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ g ~ h ~ t ~ } } - \rho _ { \mathrm { ~ h ~ e ~ a ~ v ~ y ~ } } ) / ( \rho _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ g ~ h ~ t ~ } } + \rho _ { \mathrm { ~ h ~ e ~ a ~ v ~ y ~ } } )
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { = \alpha = - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - 1 , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { = \beta = { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } + 1 , } \end{array}
\varepsilon _ { e } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } s _ { e } < s _ { 0 } - \kappa } \\ { \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } \left( 1 + \sin \frac { \pi \left( s _ { e } - s _ { 0 } \right) } { 2 \kappa } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } s _ { 0 } - \kappa \leq s _ { e } \leq s _ { 0 } + \kappa } \\ { \varepsilon _ { 0 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } s _ { e } > s _ { 0 } + \kappa } \end{array} \right. ,
{ \cal R } ^ { ( \mathrm { d } ) } = g _ { \sigma _ { 2 } } ^ { e } \left( \frac { [ \Gamma ^ { Z } ( 3 , 2 1 ) ] _ { \sigma _ { 1 } } } { Q _ { 1 2 } ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } } + \frac { [ \Gamma ^ { Z } ( 1 3 , 2 ) ] _ { \sigma _ { 1 } } } { Q _ { 1 3 } ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } } \right) + x _ { W } Q _ { e } \left( \frac { [ \Gamma ^ { \gamma } ( 3 , 2 1 ) ] _ { \sigma _ { 1 } } } { Q _ { 1 2 } ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } } + \frac { [ \Gamma ^ { \gamma } ( 1 3 , 2 ) ] _ { \sigma _ { 1 } } } { Q _ { 1 3 } ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } } \right) \; .
\begin{array} { r l } { \int \, d t } & { = \frac { 1 } { \omega } \int _ \frac { d \theta } { 1 - \epsilon \cos \theta } \approx \frac { 1 } { \omega } \int \, ( 1 + \epsilon \cos \theta + \epsilon ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + \ldots ) \, d \theta } \\ { \Rightarrow t } & { = \frac { \theta } { \omega } + \frac { \sin \theta } { \omega } \epsilon + \frac { 2 \theta + \sin 2 \theta } { 4 \omega } \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau } & { = \hbar ( t - t _ { 0 } ) / ( 2 m ) , \qquad \theta = - \arctan ( 2 \alpha ^ { 2 } \tau ) } & \\ { \xi } & { = \frac { \alpha [ ( x - A ) - 2 k _ { 0 } \tau ] } { \sqrt { 1 + 4 \alpha ^ { 4 } \tau ^ { 2 } } } , \quad N _ { n } ( \alpha ) = \sqrt { \frac { \alpha } { \sqrt { \pi } 2 ^ { n } n ! } } . } & \end{array}
\Phi ^ { L } ( { \bf R } ) \; = \; \frac { 1 } { ( \pi \, \Sigma _ { L } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 4 } } \; \exp \left( - \frac { ( { \bf R } - { \bf \overline { { { R } } } } ) ^ { 2 } } { 2 \, \Sigma _ { L } ^ { 2 } } \right) \; \, \exp ( i \, { \bf \overline { { { K } } } } \cdot { \bf R } )
\begin{array} { r l } { \langle \psi | ( \hat { H } - E _ { 0 } ) \psi \rangle } & { = \langle \psi - \mathcal { P } _ { * } ( \psi ) | \hat { H } - E _ { 0 } | \psi - \mathcal { P } _ { * } ( \psi ) \rangle } \\ & { \geq \gamma _ { * } \Vert \psi - \mathcal { P } _ { * } ( \psi ) \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { = \Vert \psi \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - 2 \mathrm { R e } \langle \psi | \mathcal { P } _ { * } ( \psi ) \rangle + \Vert \mathcal { P } _ { * } ( \psi ) \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { = \Vert \psi \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - \frac { \vert \langle \psi | \psi _ { * } \rangle \vert ^ { 2 } } { \Vert \psi _ { * } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } } \\ & { = \Vert \psi \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - \frac { \vert \langle \psi | ( e ^ { T _ { * } } - I ) \phi _ { 0 } \rangle \vert ^ { 2 } } { \Vert \psi _ { * } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { } } & { { } \underset { | | x - y | | _ { 1 } \sim 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { f ^ { * } ( x ) - f ^ { * } ( y ) } { | | x - y | | _ { 1 } } = \underset { | | x - y | | _ { 1 } \sim 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { < \nabla f ^ { * } ( x ) , y - x > } { | | x - y | | _ { 1 } } \leq \frac { | | \nabla f ^ { * } ( x ) | | _ { 1 } . | | y - x | | _ { 1 } } { | | y - x | | _ { 1 } } = | | \nabla f ^ { * } ( x ) | | _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | G _ { i j } ^ { < } ( t , t ^ { \prime } ) | } & { \leq \sum _ { n } \rho _ { n } \sum _ { n ^ { \prime } } | \langle n | c _ { i } ^ { \dagger } | n ^ { \prime } \rangle | | \langle n ^ { \prime } | c _ { j } | n \rangle | } \\ & { \leq \sum _ { n } \rho _ { n } \bigg [ \underbrace { \sum _ { n ^ { \prime } } | \langle n | c _ { i } ^ { \dagger } | n ^ { \prime } \rangle | ^ { 2 } } _ { \langle n | c _ { i } ^ { \dagger } c _ { i } | n \rangle } \bigg ] ^ { 1 / 2 } \bigg [ \underbrace { \sum _ { n ^ { \prime } } | \langle n ^ { \prime } | c _ { j } | n \rangle | ^ { 2 } } _ { \langle n | c _ { j } ^ { \dagger } c _ { j } | n \rangle } \bigg ] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } \rho _ { n } \langle n | c _ { i } ^ { \dagger } c _ { i } | n \rangle + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } \rho _ { n } \langle n | c _ { j } ^ { \dagger } c _ { j } | n \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { \rho } _ { i i } + \hat { \rho } _ { j j } ) = c _ { i j } ^ { < } \leq 1 } \end{array}
\rho \frac { \partial \mathbf { u } ^ { \prime } } { \partial t ^ { \prime } } = - \nabla ^ { \prime } p ^ { \prime } + \mu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } ^ { \prime } , \ \ \ \ \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } = 0 .
\begin{array} { r l } { l } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( 1 + \frac { \delta } { \sqrt { \delta ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } a - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( 1 - \frac { \delta } { \sqrt { \delta ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } b \, , } \\ { u } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( 1 - \frac { \delta } { \sqrt { \delta ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } a + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( 1 + \frac { \delta } { \sqrt { \delta ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } b \, , } \end{array}
\alpha _ { \mathrm { s } } ( M _ { \mathrm { Z } } ) = 0 . 1 1 6 5 \pm 0 . 0 0 1 7 ( \mathrm { s t a t + s y s t } ) \pm _ { 0 . 0 0 3 4 } ^ { 0 . 0 0 2 6 } ( \mathrm { t h e o r } ) ,
\frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } \frac { \left\vert \cos \frac { \left( \alpha + 2 \beta + \nu \right) \pi } { 2 } \right\vert } { \cos \frac { \left( \nu - \alpha \right) \pi } { 2 } } \frac { \sin \frac { \left( \alpha + 2 \beta + \nu \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( \nu - \alpha \right) \pi } { 2 } } \leqslant \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { z _ { \pm } ^ { 2 } = \left( \frac { \omega } { \omega _ { A } } \right) _ { \pm } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { \pm } \frac { 1 - \Gamma _ { s } ( b _ { s \theta } ) } { b _ { s \theta } } \frac { 1 } { \sigma _ { \pm s } } < \frac { 1 } { 4 } ; } \end{array}
\Delta { \mathbf { T } ^ { \prime } } = ( { \mathbf { T } } - \mathbf { T _ { b } } ) ^ { \intercal } = ( \Delta T _ { 1 } ^ { \prime } , \Delta T _ { 2 } ^ { \prime } , \cdots , \Delta T _ { N - 1 } ^ { \prime } ) ^ { \intercal }
\begin{array} { r l } { \bar { Y } _ { n + 1 } } & { = ( 1 - \lambda \gamma ) \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } - \lambda h _ { t a m , \gamma } ( \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } ) + E _ { n } + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \Xi _ { n + 1 } } \\ { \bar { x } _ { n + 1 } } & { = \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } + \lambda \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } + e _ { n } + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \Xi _ { n + 1 } ^ { \prime } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d } { d t } \bar { y } ( t ) = \mathrm { a } \bar { x } + b \bar { x } ^ { 2 } \, , } \\ { \frac { d } { d t } \bar { x } ( t ) = - ( \mathrm { a } + \mathrm { r } ) \bar { x } - 2 \mathrm { b } \bar { x } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( n ) } } & { { } = } & { u _ { n } \, { \hat { P } } ^ { ( g _ { n } ) } , \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, \; n = 1 , 2 } \\ { u _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { 8 } { 3 } \, \delta _ { 1 } \, s _ { 1 } \, \cos ^ { 2 } \left( k z + \Delta \phi \right) } \\ { u _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 4 } { 3 } \, \delta _ { 2 } \, s _ { 2 } \, \cos ^ { 2 } \left( k z \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ^ { \prime } ( \theta ) } & { = \frac a 2 \cdot \frac { 2 \cos 2 \theta \, ( 1 + \sin \theta ) - \sin 2 \theta \cos \theta } { ( 1 + \sin \theta ) ^ { 2 } } } \\ & { = a \cdot \frac { \left( 2 \cos ^ { 2 } \theta - 1 \right) ( 1 + \sin \theta ) - \sin \theta \cos ^ { 2 } \theta } { ( 1 + \sin \theta ) ^ { 2 } } } \\ & { = a \cdot \frac { 2 \cos ^ { 2 } \theta + \sin \theta \cos ^ { 2 } \theta - \sin \theta - 1 } { ( 1 + \sin \theta ) ^ { 2 } } } \\ & { = a \cdot \frac { \cos ^ { 2 } \theta + \sin \theta \cos ^ { 2 } \theta - \sin \theta - \sin ^ { 2 } \theta } { ( 1 + \sin \theta ) ^ { 2 } } } \\ & { = a \cdot \frac { \left( 1 - \sin ^ { 2 } \theta \right) ( 1 + \sin \theta ) - \sin \theta ( 1 + \sin \theta ) } { ( 1 + \sin \theta ) ^ { 2 } } = a \cdot \left( \frac 1 { 1 + \sin \theta } - \sin \theta \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W \left( \Delta \vec { p } _ { k } , \Delta t \right) } & { = } & { \int \frac { d ^ { 3 } \xi } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \, e ^ { - i \xi _ { i } \left( \Delta p _ { k } ^ { i } - A _ { k } ^ { i } \right) - \frac { 1 } { 2 } \xi _ { i } B _ { k } ^ { i j } \xi _ { j } } } \\ & { = } & { \frac { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \Delta p _ { k } ^ { i } - A _ { k } ^ { i } \right) \, \left( B _ { k } ^ { i j } \right) ^ { - 1 } \, \left( \Delta p _ { k } ^ { j } - A _ { k } ^ { j } \right) } } { \sqrt { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } d e t \left( B _ { k } ^ { i j } \right) } } \, , } \end{array}
\tilde { u } _ { N } ^ { n + 1 } \gets ( u _ { N } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { N } \Delta x _ { e } } ( F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } - f _ { { N - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { e } )
{ \begin{array} { r l r l } { { 2 } \quad } & { ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \in D o m ( A ) } & & { \iff \exists x _ { n + 1 } [ ( ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) , x _ { n + 1 } ) \in A ] } \\ & { } & & { \iff \exists x _ { n + 1 } [ ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , x _ { n + 1 } ) \in A ] } \\ & { } & & { \iff \exists x _ { n + 1 } \, \psi ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , x _ { n + 1 } , { \vec { Y } } ) } \\ & { } & & { \iff \phi ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , { \vec { Y } } ) . } \end{array} }
\bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] = \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] = \frac { 1 } { 2 } ( \vert H _ { 0 } ^ { 2 } [ \Omega ] \vert + \vert H _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { 2 } [ \Omega ] \vert )
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } [ V - \mu ] } & { { } = \mathrm { t r } \{ F ( A ) \} = g \int \frac { ( \mathrm { d } \vec { r } ) ( \mathrm { d } \vec { p } ) } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } [ F ( A ) ] _ { W } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal E = \oint _ { l } ^ { \vec { E } \, \cdot \, \vec { d l } } + \oint _ { l } ( \vec { v } _ { c } \times \vec { B } ) \cdot \vec { d l } } & { = } & { \int _ { S } \nabla \times \vec { E } \, \cdot \, \hat { n } \, d S + \oint _ { l } ( \vec { v } _ { c } \times \vec { B } ) \cdot \vec { d l } } \\ & { } & \\ & { = } & { - \int _ { S } \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } \, \cdot \, \hat { n } \, d S + \oint _ { l } ( \vec { v } _ { c } \times \vec { B } ) \cdot \vec { d l } , } \end{array}
\tilde { \tau } _ { 3 } ^ { 2 } = ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \left( 9 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \operatorname* { m a x } _ { ( s , a ) } | Q ( s , a ; \theta ^ { 0 } ) | ^ { 2 } + 9 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 0 8 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| Q ^ { 0 } - T Q ^ { 0 } \| _ { \mu } ^ { 2 } } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) }
\frac { b _ { 0 3 } } { b _ { 0 0 } } = \frac { f _ { 0 } } { f _ { 3 } } \sqrt { \frac { \eta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \eta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } { \eta _ { 3 } ^ { ( 2 ) } \eta _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } } \sqrt { \frac { r _ { 3 1 } } { r _ { 1 3 } } \frac { r _ { 1 0 } } { r _ { 0 1 } } } \, .
{ \begin{array} { r l } { { \underline { { \mathsf { f } } } } ( \alpha x \wedge z + \beta y \wedge z ) } & { = { \underline { { \mathsf { f } } } } ( ( \alpha x + \beta y ) \wedge z ) } \\ & { = f ( \alpha x + \beta y ) \wedge f ( z ) } \\ & { = ( \alpha f ( x ) + \beta f ( y ) ) \wedge f ( z ) } \\ & { = \alpha ( f ( x ) \wedge f ( z ) ) + \beta ( f ( y ) \wedge f ( z ) ) } \\ & { = \alpha \, { \underline { { \mathsf { f } } } } ( x \wedge z ) + \beta \, { \underline { { \mathsf { f } } } } ( y \wedge z ) , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } } & { \leq \operatorname* { i n f } _ { P _ { Y ^ { k } } , P _ { \hat { X } ^ { n } } } \operatorname* { i n f } _ { \gamma > 0 } \bigg \{ \mathsf { E } \Big [ \exp \Big ( - \Big | \imath ( Y ^ { k } ; Z ^ { k } | P _ { Y } , P _ { Z | Y } ) - \log \frac { \gamma } { P _ { \hat { X } ^ { n } } ( \mathcal { B } _ { D } ( X ^ { n } ) } \Big | ^ { + } \Big ] } \\ { * } & { \qquad + \exp ( 1 - \gamma ) \bigg \} . } \end{array}
S _ { [ 1 ] } ^ { c } \, = \, e ^ { i \vartheta _ { [ 1 ] } ^ { c } } \, \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \Theta _ { [ 1 ] } } } \\ { { - \, \Theta _ { [ 1 ] } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, { \cal K } \, \equiv \, { \cal C } _ { [ 1 ] } \, { \cal K } \quad .
{ \cal K } ( s ) = \frac 5 3 \frac { \sum _ { \alpha } \langle \tilde { s } _ { \alpha } ^ { 2 } [ s , \{ A \} _ { \alpha } ] \rangle _ { l o o p s } } { \sum _ { \alpha } \langle \tilde { s } _ { \alpha } [ s , \{ A \} _ { \alpha } ] \rangle _ { l o o p s } ^ { 2 } } \approx \frac { 5 } { 3 } + \frac { \lambda } { g } f _ { \mathrm { K u r t } } \left( \frac { s } { \lambda } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { K } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { n } \| { \mathbf { x } } ^ { K } - \mathbf { 1 } \otimes \bar { x } ^ { K } \| ^ { 2 } \leq \tilde { \mathcal { O } } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { n K } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { ( 1 - \lambda ) K ^ { 2 } } \right) } \\ & { \quad + \tilde { \mathcal { O } } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } n K ^ { 3 } } + ( a _ { 0 } + \varsigma _ { \star } ^ { 2 } ) \exp \left[ - ( 1 - \lambda ) K \right] \right) , } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \begin{array} { r l } { \mathbf { r } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { r } + ( \gamma - 1 ) ( \mathbf { r u } ) \mathbf { u } + i \beta \gamma l u } \\ { l ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left[ l - i \beta ( \mathbf { r u } ) \right] } \end{array} } } & { { \begin{array} { r l } { \mathbf { r } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { r } + \left[ { \frac { \gamma - 1 } { v ^ { 2 } } } ( \mathbf { v r } ) - \gamma t \right] \mathbf { v } } \\ { t ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left[ t - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } ( \mathbf { v r } ) \right] } \end{array} } } \end{array}
[ \sigma _ { s / \varepsilon } , \sigma _ { \nu _ { i } / \varepsilon } ] = [ \sigma _ { \nu _ { i } / \varepsilon } , \sigma _ { \nu _ { j } / \varepsilon } ] = 0 , \ [ \sigma _ { s / \varepsilon } , s / \varepsilon ] = \sigma _ { s / \varepsilon } , [ \sigma _ { s / \varepsilon } , \nu _ { i } / \varepsilon ] = 0 , \ [ \sigma _ { \nu _ { i } / \varepsilon } , s / \varepsilon ] = 0 , [ \sigma _ { \nu _ { i } / \varepsilon } , \nu _ { j } / \varepsilon ] = \delta _ { i j } \sigma _ { \nu _ { i } / \varepsilon } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } \left( k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \beta , 1 \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) \right) ^ { 2 } d \boldsymbol { \xi } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } \\ & { \leq } & { C \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } e ^ { - \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) \left\vert \mathbf { G } _ { \alpha \beta } \right\vert ^ { 2 } / 2 - E _ { i j } ^ { \alpha \beta } } \frac { \left( 1 + \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } } d \mathbf { g } \boldsymbol { \, } d \mathbf { G } _ { \alpha \beta } } \\ & { \leq } & { C \int _ { 0 } ^ { \infty } R ^ { 2 } e ^ { - \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) R ^ { 2 } / 2 } d R \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - m _ { \alpha } m _ { \beta } s ^ { 2 } / ( 2 \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) ) } \left( 1 + s ^ { 2 } \right) ^ { 2 } d s = C \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E \Bigl | \frac { 1 } { N } \sum _ { i < j } J _ { i j } \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle - \frac { 1 } { N } \sum _ { i < j } J _ { i j } f \bigl ( \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } ^ { \prime } , \beta J _ { i j } \bigr ) \Bigr | \leq \frac { C _ { 1 } } { ( \ln N ) ^ { \alpha - 1 } } . } \end{array}
\hat { x } _ { 1 2 } = x _ { 1 2 } + { \frac { 2 i } { ( 1 2 ) } } \left[ ( 1 ^ { - } 2 ) \theta _ { 1 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 1 } ^ { + } - ( 1 2 ^ { - } ) \theta _ { 2 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 2 } ^ { + } + \theta _ { 1 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 2 } ^ { + } + \theta _ { 2 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 1 } ^ { + } \right] \ .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \log p ( \beta | { \bf n } ) } { d \beta } } & { = } & { K \psi _ { 0 } ( K \beta ) - K \psi _ { 0 } ( \beta ) + \sum _ { i } \psi _ { 0 } ( n _ { i } + \beta ) - K \psi _ { 0 } ( N + K \beta ) + \frac { 1 } { \frac { d \overline { { S } } } { d \beta } } \frac { d ^ { 2 } \overline { { S } } } { d \beta ^ { 2 } } = } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { K } \sum _ { m = 0 } ^ { n _ { i } - 1 } \frac { 1 } { m + \beta ^ { \star } } - \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } \frac { K } { m + K \beta ^ { \star } } + \frac { K ^ { 2 } \psi _ { 2 } ( k \beta ^ { \star } + 1 ) - \psi _ { 2 } ( \beta ^ { \star } + 1 ) } { K \psi _ { 1 } ( k \beta ^ { \star } + 1 ) - \psi _ { 1 } ( \beta ^ { \star } + 1 ) } = 0 ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb R } \left( v ( ( 1 + h ) v ) _ { x } + v v _ { x } h \right) d x } & { { } = \int _ { \mathbb R } \left( v v _ { x } + v ( h v ) _ { x } + v v _ { x } h \right) d x , } \end{array}
p _ { \overline { { { n } } } } ^ { \mu } = \frac { n \cdot p _ { \overline { { { n } } } } } { 2 } \overline { { { n } } } ^ { \mu } + p _ { \overline { { { n } } } \perp } ^ { \mu } + \frac { \overline { { { n } } } \cdot p _ { \overline { { { n } } } } } { 2 } n ^ { \mu } = \mathcal { O } ( \lambda ^ { 0 } ) + \mathcal { O } ( \lambda ) + \mathcal { O } ( \lambda ^ { 2 } ) .
0 = \mu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { z } } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { \partial \mu } { \partial r } \frac { \partial u _ { r } } { \partial z } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial \mu } { \partial \theta } \frac { \partial u _ { \theta } } { \partial z } .
n _ { z e r o } = \bigg [ \frac { 1 } { \pi \xi _ { 0 } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \tau _ { 0 } } { \tau _ { Q } } \bigg ) ^ { 2 / 3 } \bigg ] ( \ln ( 1 / \lambda ) ) ^ { - 1 / 3 } [ 1 + E ] .
\begin{array} { r l r } { \int _ { m ^ { 2 } } ^ { m ^ { 2 } + \Lambda ^ { 2 } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! d M ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, x ( 1 - x ) } & { 2 } & { \underbrace { \int { \frac { d ^ { \, 4 } p / ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { [ p ^ { 2 } + q ^ { 2 } x ( 1 - x ) - M ^ { 2 } ] ^ { 3 } } } } } \\ & { } & { \! \! \! \! \! \int { \frac { d ^ { \, 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } - L ) ^ { 3 } } } = { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } i L } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { n } ( t ) } & { = \int P _ { n + 1 } ( s | t ) D _ { \mathrm { K L } } ( P _ { n + 1 } ( x ) | | P _ { n } ( x ) ) \ \mathrm { d } s } \\ & { = \int P _ { n } ( x ) \left[ \int P _ { n + 1 } ( s | x , t ) \ln P _ { n + 1 } ( s | x , t ) \ \mathrm { d } s \right] \mathrm { d } x - \int P _ { n + 1 } ( s | t ) \ln P _ { n + 1 } ( s | t ) \ \mathrm { d } s , } \end{array}
\psi ( \tau | \mathrm { n o d e ~ i ~ s u s c e p t i b l e , ~ j ~ i n f e c t e d , ~ e d g e ~ i j ~ a c t i v e } ) = \frac { \Phi _ { \mathrm { i n f } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { r e c } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { o n } } ( \tau ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \Phi _ { \mathrm { i n f } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { r e c } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { o n } } ( \tau ) d \tau }
\underset { \mathbf { w } } { \mathop { \operatorname* { m i n } } } ~ \mathcal { L } = \{ \frac { 1 } { T \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } \frac { 1 } { \sigma _ { t , n } ^ { 2 } } | | ( \hat { y } _ { t , n } - \tilde { y } _ { t , n } ) m _ { t , n } | | _ { 2 } ^ { 2 } + \beta ( \frac { 1 } { T \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } \mathrm { l o g } \sigma _ { t , n } ^ { 2 } - \tau ) \}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { s p o n t } , i } } & { = \left( \sum _ { j < i } A _ { i j } \right) ^ { - 1 } , } \\ { \tau _ { \mathrm { b b r } , i } } & { = \left( \sum _ { j } R _ { i j } \right) ^ { - 1 } , } \\ { \tau _ { \mathrm { t o t } , i } } & { = \left( \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { s p o n t } , i } } + \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { b b r } , i } } + \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { v a c } } } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
{ L _ { 1 - 2 } } = \sqrt { { L _ { 1 - 6 , b } } ^ { 2 } + { L _ { 2 - 6 , b } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 1 - 6 , b } } \cdot { L _ { 2 - 6 , b } } \cdot c o s ( { A _ { b } } ) ) }
\begin{array} { r l } { P _ { i j } ^ { h k } } & { { } = \sum _ { l , m } ( U _ { i h } U _ { j k } \alpha _ { l } \beta _ { m } + U _ { j h } U _ { i k } \alpha _ { m } \beta _ { l } ) ( U _ { i h } U _ { j k } \alpha _ { l } \beta _ { m } + U _ { j h } U _ { i k } \alpha _ { m } \beta _ { l } ) ^ { * } } \end{array}