harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { T _ { 7 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg \{ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg \} \Big \{ [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) - } \\ & { } & { [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \Big \} \Bigg ] \Bigg | } \\ { T _ { 8 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Big \{ [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) - [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \Big \} \Bigg ] \Bigg | } \\ { T _ { 9 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \Bigg \{ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) ^ { 2 } } \Bigg \} \times } \\ & { } & { [ \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) \Bigg ] \Bigg | } \\ { T _ { 1 0 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \frac { [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) ^ { 2 } } [ \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) \Bigg ] \Bigg | } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x ^ { * } \right) + \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - x _ { k + 1 } \right\rangle + \mu D _ { h } \left( x ^ { * } , x _ { k + 1 } \right) } \\ { 0 } & { \geq f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x _ { k } \right) + \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , x _ { k } - x _ { k + 1 } \right\rangle } \\ { 0 } & { \geq M s ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left\Vert \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) \right\Vert ^ { \frac { p } { p - 1 } } - \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , y _ { k } - x _ { k + 1 } \right\rangle } \\ { 0 } & { \geq h \left( z _ { k } \right) - h \left( z _ { k + 1 } \right) + \left\langle \nabla h \left( z _ { k } \right) , z _ { k + 1 } - z _ { k } \right\rangle + \frac { 1 } { p } \left\Vert z _ { k + 1 } - z _ { k } \right\Vert ^ { p } . } \end{array}
{ \begin{array} { l l l l l } { p \nleftrightarrow q } & { = } & { ( p \land \lnot q ) } & { \lor } & { ( \lnot p \land q ) } \\ & { = } & { ( ( p \land \lnot q ) \lor \lnot p ) } & { \land } & { ( ( p \land \lnot q ) \lor q ) } \\ & { = } & { ( ( p \lor \lnot p ) \land ( \lnot q \lor \lnot p ) ) } & { \land } & { ( ( p \lor q ) \land ( \lnot q \lor q ) ) } \\ & { = } & { ( \lnot p \lor \lnot q ) } & { \land } & { ( p \lor q ) } \\ & { = } & { \lnot ( p \land q ) } & { \land } & { ( p \lor q ) } \end{array} }
M _ { \nu } = m _ { \mathrm { a v e r a g e } } + \frac { \Delta m } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { - \cos 2 \theta } } & { { \sin 2 \theta } } \\ { { \sin 2 \theta } } & { { \cos 2 \theta } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { ( \bar { r } = 1 , \bar { l } _ { 2 } = 1 ) _ { 2 1 } } & { : \quad \left\{ \begin{array} { l l } { v } & { = \mu _ { 1 } v _ { 1 } , } \\ { l _ { 2 } } & { = \mu _ { 1 } , } \end{array} \right. } \\ { ( \bar { r } = 1 , \bar { v } = 1 ) _ { 2 2 } } & { : \quad \left\{ \begin{array} { l l } { v } & { = \mu _ { 2 } , } \\ { l _ { 2 } } & { = \mu _ { 2 } l _ { 2 2 } , } \end{array} \right. } \\ { ( \bar { r } = 1 , \bar { v } = - 1 ) _ { 2 3 } } & { : \quad \left\{ \begin{array} { l l } { v } & { = - \mu _ { 3 } , } \\ { l _ { 2 } } & { = \mu _ { 3 } l _ { 2 3 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( f ) = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { E _ { 0 } - \hat { \varepsilon } } ^ { E _ { 0 } + \hat { \varepsilon } } \int _ { E _ { 0 } - \hat { \varepsilon } } ^ { E _ { 0 } + \hat { \varepsilon } } f ^ { \prime } ( x ) \left( f ( y ) - f ( x ) \right) \frac { \partial } { \partial y } \widetilde { \mathcal { L } } ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ & { + \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { E _ { 0 } - \hat { \varepsilon } } ^ { E _ { 0 } + \hat { \varepsilon } } ( f ( x ) ) ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial x } \left( \widetilde { \mathcal { L } } ( x , E _ { 0 } + \hat { \varepsilon } ) - \widetilde { \mathcal { L } } ( x , E _ { 0 } - \hat { \varepsilon } ) \right) \mathrm { d } x + \mathcal { O } \left( N ^ { - \varepsilon _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac d { d r } \Big [ | H _ { n } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) | ^ { 2 } \Big ] = 8 n r | H _ { n - 1 } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) | ^ { 2 } + 8 n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \Big \{ e ^ { - i \pi / 4 } H _ { n - 3 } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) H _ { n - 2 } ( r e ^ { i \pi / 4 } ) } \\ & { \qquad + e ^ { i \pi / 4 } H _ { n - 2 } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) H _ { n - 3 } ( r e ^ { i \pi / 4 } ) \Big \} . } \end{array}
{ \frac { \partial } { \partial t } } \left[ { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial \phi / \partial t ) } } \right] + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } } \left[ { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial \phi / \partial x ^ { i } ) } } \right] - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \phi } } = 0 ,
\psi _ { \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { 2 } } = \psi _ { - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } ^ { * } = \frac { i } { \sqrt { 2 } } f _ { 2 } e ^ { - i \phi } , \quad \psi _ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } = - \psi _ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } = - \frac { i } { \sqrt { 2 } } f _ { 1 } .
\mathrm { h i g h e r ~ ~ s t a t e s } = \frac { 1 } { \pi } \int _ { \omega _ { c } } ^ { \infty } d \nu \int _ { \omega _ { c } } ^ { \infty } d \nu ^ { \prime } \frac { \mathrm { I m } \Pi ( \nu , \nu ^ { \prime } ) } { ( \nu - \omega ) ( \nu ^ { \prime } - \omega ^ { \prime } ) } \; .
\begin{array} { r l } { P } & { ( x _ { \pi } ( t ) , t ) - m _ { P } } \\ & { \le \big ( ( P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + ( N + 1 ) \varepsilon ) , t _ { 0 } + ( N + 1 ) \varepsilon ) - m _ { P } ) ^ { 1 - \nu } + \mu \gamma ^ { * } ( \nu - 1 ) ( t - t _ { 0 } - \varepsilon ) \big ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \nu } } } \\ & { \le \big ( \rho ^ { 1 - \nu } + \mu \gamma ^ { * } ( \nu - 1 ) ( t - t _ { 0 } - \varepsilon ) \big ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \nu } } \le \rho , \; \mathrm { f o r ~ a l l } \; t \in [ t _ { 0 } + ( N + 1 ) \varepsilon , t _ { 0 } + ( N + 2 ) \varepsilon ] . } \end{array}
[ r ] _ { q } ! : = [ 1 ] _ { q } \cdot [ 2 ] _ { q } \cdot [ 3 ] _ { q } \cdot . . . \cdot [ r ] _ { q } \mathrm { ~ \qquad ~ a n d ~ \qquad ~ } [ p ] _ { q } : = \frac { q ^ { 2 p } - 1 } { q ^ { 2 } - 1 }
\psi = \left[ \begin{array} { l } { \vec { p } _ { 1 } } \\ { \vec { p } _ { 2 } } \\ { \vec { E } } \end{array} \right] , \: \: S = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { \alpha } \\ { 0 } & { 0 } & { \alpha } \\ { \beta } & { \beta } & { 0 } \end{array} \right] .
{ \begin{array} { r l } { A ^ { - 1 } } & { = { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } A } } ( A ^ { n - 1 } + c _ { n - 1 } A ^ { n - 2 } + \cdots + c _ { 1 } I _ { n } ) , } \\ & { = { \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } A } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { n + k - 1 } { \frac { A ^ { n - k - 1 } } { k ! } } B _ { k } ( s _ { 1 } , - 1 ! s _ { 2 } , 2 ! s _ { 3 } , \ldots , ( - 1 ) ^ { k - 1 } ( k - 1 ) ! s _ { k } ) . } \end{array} }
F _ { a b } = \int _ { a } ^ { b } d x \; e ^ { i \beta f ( x ) } = \frac { 1 } { i \beta } \left[ \frac { 1 } { f { ' } } e ^ { i \beta z } | _ { f ( a ) } ^ { f ( b ) } - \int _ { f ( a ) } ^ { f ( b ) } d z \; e ^ { i \beta z } \frac { d } { d z } ( f { ' } ) ^ { - 1 } \right] .
P \ensuremath { \left( \omega \right) } = \sqrt { \Gamma } \chi ( \omega ) \bigg [ P _ { \mathrm { i n } } - \left( \frac { G f ( \omega ) \Gamma } { 2 \Omega } + 1 \right) \phi ( \omega ) Q _ { \mathrm { i n } } - 2 \sqrt { C } X _ { \mathrm { i n } } + \frac { G f ( \omega ) } { 4 \sqrt { C } } \left( { Y _ { \mathrm { i n } } } - \sqrt { \frac { 1 - \eta } { \eta } } Y _ { \mathrm { v } } \right) \bigg ] ,
{ \cal M } _ { \mu } = \left[ ( T _ { 1 } ) _ { \mu \nu } ( - k , - k ^ { ' } ) ~ \left( { \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } - k ^ { ' 2 } - i m _ { \rho } \Gamma _ { \rho } } } \right) - ( T _ { 1 } ) _ { \mu \nu } ( k , k ^ { ' } = 0 ) \right] ~ e ^ { \nu } ( a _ { 1 } ) ,
\sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \bigg \langle \xi \frac { \partial ^ { j } w } { \partial x ^ { j } } \bigg \rangle _ { t , \Omega _ { T } } ^ { ( \frac { 2 + \alpha - j } { 2 } \theta ) } \leq C \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \bigg [ \bigg \langle \frac { \partial ^ { j } w } { \partial x ^ { j } } \bigg \rangle _ { t , \Omega _ { T _ { 3 } } } ^ { ( \frac { 2 + \alpha - j } { 2 } \theta ) } + \bigg \| \frac { \partial ^ { j } w } { \partial x ^ { j } } \bigg \| _ { \mathcal { C } ( \bar { \Omega } _ { T _ { 3 } } ) } \bigg ] .
X _ { i j k l } = { \frac { 1 } { \Delta _ { i } \Delta _ { j } \Delta _ { k } \Delta _ { l } } } \left\{ d _ { i j k l } - { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { m } c _ { i j m } { \frac { 1 } { \Delta _ { m } } } c _ { m k l } + \mathrm { c r o s s i n g ~ t e r m s } \right) \right\} ^ { 2 } \ F \ .
\begin{array} { r } { M ^ { ( l + 1 ) } ( R ^ { ( l ) } ) \left( \begin{array} { l } { A _ { \mathrm { L } } ^ { ( l + 1 ) } } \\ { A _ { \mathrm { T } } ^ { ( l + 1 ) } } \\ { B _ { \mathrm { L } } ^ { ( l + 1 ) } } \\ { B _ { \mathrm { T } } ^ { ( l + 1 ) } } \end{array} \right) = M ^ { ( l ) } ( R ^ { ( l ) } ) \left( \begin{array} { l } { A _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } } \\ { A _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } } \\ { B _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } } \\ { B _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
u ( x , t ) = \int _ { D } \int _ { D } K ( x , y ) p ( 0 , \xi , t , y ) \omega ( \xi , 0 ) \textrm { d } \xi \textrm { d } y + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \int _ { D } K ( x , y ) p ( s , \xi , t , y ) g ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s \textrm { d } y .
\begin{array} { r l } { \underset { x , \theta } { \operatorname* { m i n } } \ \ } & { f ( d ) } \\ { \mathrm { s . t . } \ \ } & { d _ { i } = \sum _ { b \in \mathcal { B } } \sum _ { j _ { b } } \theta _ { b } D _ { i j _ { b } } x _ { j _ { b } } \quad \quad \forall i = 1 , 2 , \cdots , I , } \\ & { x \geq 0 , \ \ \theta _ { b } \in \{ 0 , 1 \} , \ \ \sum _ { b \in \mathcal { B } } \theta _ { b } \leq B , } \end{array}
\delta \psi ^ { i } ( x ) = \zeta ^ { i } + i \kappa ( \bar { \zeta } ^ { j } { \gamma } ^ { \rho } \psi ^ { j } ( x ) ) \partial _ { \rho } \psi ^ { i } ( x ) , \quad \delta { e ^ { a } } _ { \mu } ( x ) = i \kappa ( \bar { \zeta } ^ { j } { \gamma } ^ { \rho } \psi ^ { j } ( x ) ) \partial _ { [ \rho } { e ^ { a } } _ { \mu ] } ( x ) ,
\begin{array} { r } { F _ { n _ { i } n _ { k } } ( \alpha Z ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N } F _ { n _ { i } n _ { k } } ( \alpha Z _ { n } ) \prod _ { m \neq n } \frac { Z - Z _ { m } } { Z _ { n } - Z _ { m } } \, . } \end{array}
\mu _ { u } | u | \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \gamma \partial _ { x x } p } \\ { \rho \partial _ { x x } u } \\ { \rho \partial _ { x x } v } \\ { \partial _ { x x } s + ( \gamma - 1 ) \partial _ { x x } p } \end{array} \right) } \end{array} + \delta U \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \gamma p } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array} + \delta p \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { - M ^ { 2 } u ( \gamma - 1 ) } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { - M ^ { 2 } u ( \gamma - 1 ) } \end{array} \right) } \end{array}
n = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 0 . 3 5 S _ { u t } } { \tau _ { \mathrm { m a x } } } } & { \mathrm { f a i l u r e \ a t \ b o d y } } \\ { \frac { 0 . 5 5 S _ { u t } } { \sigma _ { A } } } & { \mathrm { f a i l u r e \ a t \ } A } \\ { \frac { 0 . 3 0 S _ { u t } } { \tau _ { B } } } & { \mathrm { f a i l u r e \ a t \ } B } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { i } k _ { i \gamma } ^ { * } k _ { i \gamma } \right| \geq } & { \left| \sum _ { i } k _ { i \alpha } ^ { * } k _ { i \alpha } \right| \mathrm { ~ a n d } } \\ { \left| \sum _ { i } k _ { i \gamma } ^ { * } k _ { i \gamma } \right| \geq } & { \left| \sum _ { i } k _ { i \beta } ^ { * } k _ { i \beta } \right| . } \end{array}
\operatorname* { m i n } { f _ { H } } = 2 \sqrt { \sigma _ { 1 , r } } \left( \frac { \left( 1 + \Gamma \right) ^ { 3 } } { g k \operatorname { t a n h } { k h } } \right) ^ { 1 / 4 } \approx 2 \sqrt { \sigma _ { 1 , r } } \frac { 1 } { g ^ { 1 / 4 } } \left( \frac { 1 } { k ^ { 1 / 3 } } + \frac { \gamma } { \rho g } k ^ { 5 / 3 } \right) ^ { 3 / 4 } ,
\begin{array} { r l } { d ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) ^ { 2 } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } ( \sin ( \Phi _ { 1 } ^ { i } ) - \sin ( \Phi _ { 2 } ^ { i } ) ) ^ { 2 } + ( \cos ( \Phi _ { 1 } ^ { i } ) - c o s ( \Phi _ { 2 } ^ { i } ) ) ^ { 2 } } \end{array}
{ \mathbf Y } ( \tau ) = \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { L } ( e ^ { T \tau } - 1 ) } \\ { \frac { 1 } { L } ( T \tau ( T \tau + 1 ) ) } \\ { \tau } \end{array} \right) \; \; \; , \; \; \; { \mathbf U } ( { \mathbf Y } ) = \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { v _ { 0 } } ( L \bar { x } + 1 ) } \\ { \frac { 1 } { v _ { 0 } } ( 2 \, T z + 1 ) } \\ { 1 } \end{array} \right)
\mathcal { L } = - g _ { 1 } W _ { 1 \mu } ^ { 3 } J _ { W ^ { 3 } } ^ { \mu } + g _ { 1 } ^ { \prime } B _ { 1 \mu } J _ { B _ { 1 } } ^ { \mu } + g _ { 2 } ^ { \prime } B _ { 2 \mu } J _ { B _ { 2 } } ^ { \mu } ,
\begin{array} { r l } { \tan \theta ( V , U ) = } & { ~ \| V _ { \bot } ^ { \top } U ( V ^ { \top } U ) ^ { - 1 } \| } \\ { = } & { ~ \| ( V ^ { \top } U ) _ { \bot } ( V ^ { \top } U ) ^ { - 1 } \| } \\ { = } & { ~ \| ( V ^ { \top } U ) _ { \bot } \| \| ( V ^ { \top } U ) ^ { - 1 } \| } \\ { = } & { ~ \frac { \| ( V ^ { \top } U ) _ { \bot } \| } { 1 / \| ( V ^ { \top } U ) ^ { - 1 } \| } } \\ { = } & { ~ \frac { \| V _ { \bot } ^ { \top } U \| } { 1 / \| ( V ^ { \top } U ) ^ { - 1 } \| } } \\ { = } & { ~ \frac { \sin \theta ( V , U ) } { \cos \theta ( V , U ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \dot { A _ { 1 } } } & { = } & { \ \frac { R a _ { c } ^ { 1 / 4 } } { 2 } A _ { 1 } A _ { 2 } - \sqrt { \frac { R a _ { c } } { R a / P r } } A _ { 1 } + B _ { 1 } } \\ { \! \! \! \! \! \! \dot { A _ { 2 } } } & { = } & { - \frac { R a _ { c } ^ { 1 / 4 } } { 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \sqrt { \frac { R a _ { c } } { R a / P r } } A _ { 2 } + B _ { 2 } } \\ { \! \! \! \! \! \! \dot { B _ { 1 } } } & { = } & { \ \frac { R a _ { c } ^ { 1 / 4 } } { 2 } ( 2 A _ { 1 } B _ { 2 } - A _ { 2 } B _ { 1 } ) - \sqrt { \frac { R a _ { c } } { R a P r } } B _ { 1 } + \! A _ { 1 } } \\ { \! \! \! \! \! \! \dot { B _ { 2 } } } & { = } & { - \frac { R a _ { c } ^ { 1 / 4 } } { 2 } A _ { 1 } B _ { 1 } - 4 \sqrt { \frac { R a _ { c } } { R a P r } } B _ { 2 } + A _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \texttt { m s e } ^ { [ k ] } \left( t , \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } \right) } & { \triangleq { \mathbb { E } } \left[ \left( X _ { t } ^ { [ k ] } - \hat { X } _ { t } ^ { [ k ] } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( 1 - e ^ { - 2 \theta _ { k } \left( t - \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } \right) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbf { E } _ { e } } _ { ( i \pm \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbf { E } _ { e } } _ { ( i , j , k ) } + { \mathbf { E } _ { e } } _ { ( i \pm 1 , j , k ) } \right) - J ^ { - 1 } \mathbf { d } _ { ( i \pm \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { { \mathbf { F } _ { e } } _ { ( i , j \pm \frac { 1 } { 2 } , k ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbf { F } _ { e } } _ { ( i , j , k ) } + { \mathbf { F } _ { e } } _ { ( i , j \pm 1 , k ) } \right) - J ^ { - 1 } \mathbf { d } _ { ( i , j \pm \frac { 1 } { 2 } , k ) } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { { \mathbf { G } _ { e } } _ { ( i , j , k \pm \frac { 1 } { 2 } ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbf { G } _ { e } } _ { ( i , j , k ) } + { \mathbf { G } _ { e } } _ { ( i , j , k \pm 1 ) } \right) - J ^ { - 1 } \mathbf { d } _ { ( i , j , k \pm \frac { 1 } { 2 } ) } \, \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
( \sum _ { z \in S _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ m ~ } } } n _ { z \to g , \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } - \sum _ { z \in S _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ m ~ } } } n _ { z \to g , \mathrm { ~ r ~ a ~ n ~ d ~ } } ) / \sum _ { z \in S _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ m ~ } } } n _ { z \to g , \mathrm { ~ r ~ a ~ n ~ d ~ } }
\rho ^ { \mathrm { ~ G ~ } } \approx \frac { x ^ { ( 2 ) } \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { ( 1 ) } - x ^ { ( 1 ) } \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { ( 2 ) } } { x ^ { ( 2 ) } - x ^ { ( 1 ) } }
H _ { i j } = \int \! \frac { d p _ { 0 } } { 2 \pi } \! \int \! \frac { d W ^ { 2 } } { 2 \pi } \! \int \! \! d \mathrm { P S } _ { 2 } ( t ; b W ^ { + } ) \int \! \! d \mathrm { P S } _ { 2 } ( W ^ { + } ; l \nu ) \int \! \! d \mathrm { P S } _ { 2 } ( \bar { t } ; \bar { b } W ^ { - } ) \sum _ { \epsilon _ { - } } \, { \cal M } _ { i } { \cal M } _ { j } ^ { \dagger }
| B ; \pm \rangle _ { I } = \int [ d P d \chi ] e ^ { \frac { 1 } { 2 } \int d \sigma ( i P ^ { i } \partial _ { \sigma } P ^ { j } + \chi ^ { i } \chi ^ { j } ) \omega _ { i j } - \int d \sigma ( i p _ { i } P ^ { i } - \pi _ { i } \chi ^ { i } ) } | B ; \pm \rangle _ { - 1 , I } ,
\begin{array} { r l } { y _ { k } } & { = \mathbf { h } _ { r } ^ { H } \mathbf { \Phi } _ { N } \mathbf { H } _ { m , n } ^ { H } \mathbf { \Phi } _ { M } \mathbf { h } _ { t , k } ^ { H } x _ { k } + n _ { 0 } , } \\ { y _ { k } } & { = \mathbf { h } _ { r } ^ { H } \mathbf { \Phi } _ { N } \mathbf { H } _ { m , n } ^ { H } \mathbf { \Phi } _ { M } \mathbf { h } _ { t , k } ^ { H } \sqrt { P _ { t } } z _ { k } + n _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \frac { \partial T } { \partial \omega ^ { i } } + \frac { \partial T } { \partial \omega ^ { j } } c _ { i k } ^ { j } \omega ^ { k } } & { = \bar { \Theta } _ { i j } \dot { \omega } ^ { j } + \varepsilon _ { i k j } \omega ^ { k } \bar { \Theta } _ { j l } \omega ^ { l } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } ( \Theta _ { i j } ^ { j } \ddot { \varphi } ^ { j } + \varepsilon _ { i k l } \omega ^ { k } \Theta _ { l j } \dot { \varphi } ^ { j } ) } \\ { \frac { d } { d t } \frac { \partial T } { \partial \dot { p } ^ { j } } } & { = \bar { m } \ddot { p } ^ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \frac { \kappa _ { m - 1 } \bigl \| \nabla \partial ^ { \boldsymbol { \alpha } } \theta _ { m - 1 } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } { | { \boldsymbol { \alpha } } | ! ^ { 2 } } + \frac { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \bigl \| \partial ^ { \boldsymbol { \alpha } } \theta _ { m - 1 } ( t , \cdot ) \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } { | { \boldsymbol { \alpha } } | ! ^ { 2 } } - \frac { \| \theta _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } { R _ { \theta _ { 0 } } ^ { 2 n } } } \qquad } & { { } } \end{array}
b = a ( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } = ( c ^ { 2 } M _ { 3 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } G ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( c ^ { 4 } - E ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } .
\begin{array} { r l r } { { \bf v } } & { = } & { \left[ f _ { v } ( \mathbf { x } _ { v } ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) \, f _ { v } ( \mathbf { x } _ { v } ^ { ( 2 ) } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) , \dots , f _ { v } ( \mathbf { x } _ { v } ^ { ( { N _ { v } } ) } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) \right] ^ { \top } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { c } ( t ) } & { \Rightarrow \hat { a } _ { c } ( t ) e ^ { - i \omega _ { 0 } t } , \quad \hat { b } _ { i n } ( t ) \Rightarrow \hat { b } _ { i n } ( t ) e ^ { - i \omega _ { 0 } t } , } \\ { \hat { c } _ { i n } ( t ) } & { \Rightarrow \hat { c } _ { i n } ( t ) e ^ { - i \omega _ { 0 } t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D ^ { ( n ) } = } & { { } } & { \sum _ { a = - p } ^ { p } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { y } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \partial \Lambda _ { l ^ { \prime } + a } ( y ) } { \partial y } \frac { \partial \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( y ) } { \partial y } d y } \end{array}
f _ { I _ { 2 } ( m ) } ^ { N } ( q , \mu ) = \sum _ { j = 1 } ^ { m } g _ { | j | } \, g _ { | j + N | } \, x _ { | j + N | } ( \alpha _ { j + N } \cdot q , \alpha _ { j + N } ^ { \vee } \! \! \cdot \mu ) \, x _ { | j | } ( \alpha _ { j } \cdot q , - \alpha _ { j + 2 N } ^ { \vee } \! \! \cdot \mu ) .
\begin{array} { l l l } { { { \widetilde T } _ { \alpha { \dot { \alpha } } } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 1 2 } D _ { \alpha } \phi { \bar { D } } _ { \dot { \alpha } } { \bar { \phi } } K _ { \phi { \bar { \phi } } } - \frac { i } { 6 } \partial _ { \alpha { \dot { \alpha } } } \phi K _ { \phi } + \frac { i } { 6 } \partial _ { \alpha { \dot { \alpha } } } { \bar { \phi } } K _ { \bar { \phi } } \ , } } \\ { { { \widetilde J } } } & { { = } } & { { - \frac { 1 } { 4 } { \bar { D } } ^ { 2 } ( K - q \phi K _ { \phi } ) + 3 { \mathcal W } - q \phi { \mathcal W } _ { \phi } \ . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } = ( S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } , \mathcal { T } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } , \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ e ~ v ~ a ~ n ~ t ~ s ~ t ~ r ~ u ~ c ~ t ~ u ~ r ~ e ~ s ~ } , \mathrm { ~ i ~ r ~ r ~ e ~ l ~ e ~ v ~ a ~ n ~ t ~ s ~ t ~ r ~ u ~ c ~ t ~ u ~ r ~ e ~ s ~ } , \mathrm { ~ e ~ v ~ a ~ l ~ } , * _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ f ~ t ~ } } , \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta _ { 1 } = c \, \underbrace { C _ { a i r } \, \kappa \, \frac { 1 - \xi _ { 0 } ( \ln { \Xi _ { 1 } ^ { ( a ) } } ) ^ { \prime } \vert _ { \xi = \xi _ { 0 } } } { 1 - \kappa \xi _ { 0 } ( \ln { \Xi _ { 1 } ^ { ( a ) } } ) ^ { \prime } \vert _ { \xi = \xi _ { 0 } } } } _ { A } = c \, A , } \\ { \alpha _ { 1 } = \, - \, C _ { a i r } \, \frac { ( 1 - \kappa ) } { ( \Xi _ { 1 } ^ { ( a ) } / \xi _ { 0 } - \kappa \, \partial _ { \xi } \, \Xi _ { 1 } ^ { ( a ) } ) \vert _ { \xi = \xi _ { 0 } } } \ , \ \ } \end{array}
F _ { 1 } = \left( { \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} } \right) , \quad F _ { 2 } = \left( { \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \quad F _ { 3 } = \left( { \begin{array} { c c c } { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) ~ . \quad
\mathcal { G E S } ( R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) ) = \operatorname* { s u p } _ { i \in \{ 1 , \ldots , n \} } \mathcal { G E S } _ { i } ( R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) ) = \operatorname* { s u p } _ { i \in \{ 1 , \ldots , n \} } \operatorname* { s u p } _ { y _ { i } \in \mathbb { R } } \mathcal { I F } _ { i } ^ { ( 2 ) } \left( y _ { i } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { u ( x , y , t ) } \\ { v ( x , y , t ) } \\ { h ( x , y , t ) } \end{array} \right] = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ \begin{array} { l } { u _ { n } ( x , y , t ) } \\ { v _ { n } ( x , y , t ) } \\ { h _ { n } ( x , y , t ) } \end{array} \right] , } \end{array}