harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \overline { { \vec { u } } } _ { \vert v } } & { = \overline { { \vec { u } } } + \vec { C } _ { u v } \vec { C } _ { v v } ^ { - 1 } \left( \vec { v } - \overline { { \vec { v } } } \right) \, , } \\ { \vec { C } _ { u \vert v } } & { = \vec { C } _ { u u } - \vec { C } _ { u v } \vec { C } _ { v v } ^ { - 1 } \vec { C } _ { v u } \, . } \end{array}
\Psi ( i , j , k ) = \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } f _ { m } ^ { N _ { \mathrm { ~ s ~ m ~ o ~ o ~ t ~ h ~ } } + 1 } ( i , j , k ) \Psi _ { m } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \Psi \in \{ \rho , \mu \}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle x \rangle _ { + } = - \langle x \rangle _ { - } = \frac { v _ { 0 } } { 1 + 2 \gamma } } \\ & { } & { \langle x ^ { 2 } \rangle _ { + } = \langle x ^ { 2 } \rangle _ { - } = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 + 2 \gamma } } \\ & { } & { \langle x ^ { 3 } \rangle _ { + } = - \langle x ^ { 3 } \rangle _ { - } = \frac { 3 v _ { 0 } ^ { 3 } } { ( 1 + 2 \gamma ) ( 3 + 2 \gamma ) } } \\ & { } & { \langle x ^ { 4 } \rangle _ { + } = \langle x ^ { 4 } \rangle _ { - } = \frac { 3 v _ { 0 } ^ { 4 } } { ( 1 + 2 \gamma ) ( 3 + 2 \gamma ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \hat { \mathbf { e } } _ { p } } & { = \left( \begin{array} { l } { \mathrm { c o s } ( \theta ) \, \mathrm { c o s } ( \phi ) } \\ { \mathrm { c o s } ( \theta ) \, \mathrm { s i n } ( \phi ) } \\ { \mathrm { s i n } ( \theta ) } \end{array} \right) \equiv \frac { 1 } { k \, k _ { t } } \left( \begin{array} { l } { k _ { x } \, k _ { z } } \\ { k _ { y } \, k _ { z } } \\ { - k _ { t } ^ { 2 } } \end{array} \right) , } & { \hat { \mathbf { e } } _ { s } } & { = \left( \begin{array} { l } { - \mathrm { s i n } ( \phi ) } \\ { \mathrm { c o s } ( \phi ) } \\ { 0 } \end{array} \right) \equiv \frac { 1 } { k _ { t } } \left( \begin{array} { l } { - k _ { y } } \\ { k _ { x } } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
H _ { \mathrm { H } } = \frac { 1 } { 2 } \iint \rho ( { \bf x } ) \mathcal { V } _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) \rho ( { \bf x } ^ { \prime } ) \ \mathrm { d } { \bf x } \mathrm { d } { \bf x } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { k ^ { * } } & { \geq c \frac { 1 } { ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } \log \left( \frac { 2 | S | | A | ( l ^ { * } + 1 ) } { \delta ( 1 - \gamma ) } \right) , } \\ { n _ { l } } & { \geq c ^ { \prime } \frac { 4 ^ { l } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } \log \left( \frac { 8 | S | | A | ( l ^ { * } + 1 ) } { \delta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \delta _ { J _ { f } J _ { i } } \sqrt { \frac { 1 } { 6 } } \sum _ { n _ { a } J _ { a } } \frac { ( - 1 ) ^ { J _ { a } - J _ { i } } } { \sqrt { 3 ( 2 J _ { i } + 1 ) } } } \\ { \beta } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n _ { a } J _ { a } } \ensuremath { \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { J _ { i } } & { J _ { f } } \\ { J _ { a } } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right\} } } \end{array}
\begin{array} { r } { | \psi _ { m } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { m } } } \sum _ { p = 0 } ^ { q - 1 } e ^ { i m \frac { 2 \pi p } { q } } | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma + i \frac { 2 \pi p } { q } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ( t ) = \operatorname* { m i n } _ { x , y } \omega ( x , y , t ) , \quad \quad \omega ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ( t ) = \operatorname* { m a x } _ { x , y } \omega ( x , y , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { M } } & { { } = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \hbar \omega _ { k } a ( k ) ^ { \dag } a ( k ) ^ { \vphantom { \dag } } d k + \sum _ { j } \hbar \omega _ { 0 } b _ { j } ^ { \dag } b _ { j } ^ { \vphantom { \dag } } } \end{array}
S _ { \mathrm { ~ P ~ } } ( f ) \approx \sum _ { n = 1 } ^ { N } S _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } , n } \, \frac { f ^ { 2 } } { f _ { n } ^ { 2 } - f ^ { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \, f \, \frac { f _ { n } } { Q _ { n } } } \; ,
\begin{array} { r l } { S = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } \int _ { \mathcal { M } } } & { { } { D } \left( \frac 1 2 | { \mathbf { u } } ^ { L } | ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \widetilde { \omega } ^ { 2 } | { \mathbf { a } } | ^ { 2 } - \rho g z + { \mathbf { u } } ^ { L } \cdot \boldsymbol { \Omega } \times { \mathbf { x } } + 2 i \alpha ^ { 2 } \widetilde { \omega } \boldsymbol { \Omega } \cdot ( \boldsymbol { a } \times \boldsymbol { a } ^ { * } ) \right) } \end{array}
m _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } ( T ) = \frac { 4 N _ { f } } { f _ { \pi } ^ { 2 } ( T ) } \; \lambda _ { Y M } ( T ) \; \sim _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { T \rightarrow T _ { d } ^ { - } } } \; ( T _ { d } - T ) ^ { 1 - \alpha } \; .
\begin{array} { r l } { \tilde { \theta } _ { l e x } ( r ) } & { \leq \Big ( \frac { c } { A ^ { 2 } } V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \Big ( \frac { - A \psi } { c } \Big ) \pi ( d A ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \Big ( \frac { V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) c \beta ^ { \alpha } } { ( \beta + \psi / c ) ^ { \alpha - 2 } ( \alpha - 2 ) ( \alpha - 1 ) } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \Big ( \frac { V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) c \beta ^ { \alpha } } { ( \alpha - 2 ) ( \alpha - 1 ) } \Big ( \beta + \frac { r \operatorname* { m i n } ( 2 , c ) } { c } \Big ) ^ { - ( \alpha - 2 ) } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \sqrt { 2 C o v ( \boldsymbol { Z } _ { 0 } ( 0 ) , \boldsymbol { Z } _ { 0 } ( r \operatorname* { m i n } ( 2 , c ) ) ) } : = \bar { \alpha } r ^ { - \lambda } , } \end{array}
j _ { \leftrightarrow } = \frac { 2 \gamma ( a f + h ) ^ { 2 } ( a f - f \ell + h ) ^ { 2 } \left( e ^ { \kappa + \delta \ell } - e ^ { \delta a } \right) } { \theta ( e ^ { \delta a } - e ^ { \kappa + \delta \ell } ) + h ^ { 2 } \ell ^ { 2 } v ^ { 2 } ( e ^ { \kappa } - 1 ) ( e ^ { \delta a } - e ^ { \delta \ell } ) } ,
\begin{array} { r l } & { \langle \hat { a } _ { C } ^ { \dagger } \hat { a } _ { C } \rangle = \alpha _ { C } ^ { * } \, \alpha _ { C } \quad \Rightarrow } \\ & { \alpha _ { C } = \sqrt { \kappa \frac { P } { \omega _ { L } } } \, \frac { 1 } { \omega _ { L } - \omega _ { C } + \frac { i } { 2 } \kappa } \equiv \epsilon \, \frac { 1 } { \Delta + \frac { i } { 2 } \kappa } } \end{array}
{ \bar { \Gamma } } _ { \alpha \gamma } ^ { \beta } = { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } { \partial x ^ { \epsilon } } } { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } { \frac { \partial x ^ { \zeta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \gamma } } } \Gamma _ { \delta \zeta } ^ { \epsilon } + { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } { \partial x ^ { \eta } } } { \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \eta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } \partial { \bar { x } } ^ { \gamma } } }
\begin{array} { r l } { C _ { n } ^ { 2 } ( h ) } & { { } = 5 . 9 4 \times 1 0 ^ { - 5 3 } \left( \frac { v } { 2 7 } \right) ^ { 2 } h ^ { 1 0 } e ^ { - h / 1 0 0 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \partial B _ { a } } v _ { \mathrm { H } } \partial _ { \nu } \overline { { v _ { \mathrm { H } } } } \mathrm { d } s } & { = \int _ { D _ { a } } \big ( v _ { \mathrm { H } } \Delta \overline { { v _ { \mathrm { H } } } } + \nabla v _ { \mathrm { H } } \cdot \nabla \overline { { v _ { \mathrm { H } } } } \big ) \mathrm { d } x + \int _ { \Gamma } v _ { \mathrm { H } } \partial _ { \nu } \overline { { v _ { \mathrm { H } } } } \mathrm { d } s } \\ & { = \int _ { D _ { a } } \big ( - \kappa ^ { 2 } | v _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } + | \nabla v _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } \big ) \mathrm { d } x + \int _ { \Gamma } v _ { \mathrm { M } } \partial _ { \nu } \overline { { v _ { \mathrm { M } } } } \mathrm { d } s , } \\ { \int _ { \partial B _ { a } } v _ { \mathrm { M } } \partial _ { \nu } \overline { { v _ { \mathrm { M } } } } \mathrm { d } s } & { = \int _ { D _ { a } } \big ( \kappa ^ { 2 } | v _ { \mathrm { M } } | ^ { 2 } + | \nabla v _ { \mathrm { M } } | ^ { 2 } \big ) \mathrm { d } x + \int _ { \Gamma } v _ { \mathrm { M } } \partial _ { \nu } \overline { { v _ { \mathrm { M } } } } \mathrm { d } s , } \end{array}
\frac { 1 } { x _ { A } } F _ { 2 } ^ { A } ( x _ { A } ) \, = \, A \int d y _ { A } \int \frac { d x } { x } \delta ( x _ { A } - y _ { A } x ) \rho ^ { A } ( y _ { A } ) F _ { 2 } ^ { N } ( x ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial ( \rho _ { 1 } \phi _ { 1 } ) _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { { } - \int _ { \Omega _ { n } } ( \rho _ { 1 } \phi _ { 1 } ) _ { n } \textbf { u } _ { n } \cdot \nabla \varphi _ { i } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { ( \rho _ { 1 } \phi _ { 1 } ) _ { n } \textbf { u } _ { n } } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S = } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l } { S _ { x } } & { = { \frac { \hbar } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } , } & { \left| 1 , + 1 \right\rangle _ { x } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { { \sqrt { 2 } } } \\ { 1 } \end{array} \right) } , } & { \left| 1 , 0 \right\rangle _ { x } } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l } { - 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } , } & { \left| 1 , - 1 \right\rangle _ { x } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { { - { \sqrt { 2 } } } } \\ { 1 } \end{array} \right) } } \\ { S _ { y } } & { = { \frac { \hbar } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - i } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) } , } & { \left| 1 , + 1 \right\rangle _ { y } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l } { - 1 } \\ { - i { \sqrt { 2 } } } \\ { 1 } \end{array} \right) } , } & { \left| 1 , 0 \right\rangle _ { y } } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } , } & { \left| 1 , - 1 \right\rangle _ { y } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l } { - 1 } \\ { i { \sqrt { 2 } } } \\ { 1 } \end{array} \right) } } \\ { S _ { z } } & { = \hbar { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } , } & { \left| 1 , + 1 \right\rangle _ { z } } & { = { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } , } & { \left| 1 , 0 \right\rangle _ { z } } & { = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } , } & { \left| 1 , - 1 \right\rangle _ { z } } & { = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { p _ { 0 } ( y ) } & { = } & { \frac { 1 } { 9 } - \frac { 1 } { 1 8 } ( 1 + \ln y ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 6 } } \\ { p _ { 1 } ( y ) } & { = } & { - \frac { 2 3 7 } { 1 1 0 0 } - \frac { 1 } { 2 4 0 } y ^ { 2 } - \frac { 7 } { 2 4 0 0 } ( 1 + \ln y ^ { 2 } ) } \\ { p _ { 2 } ( y ) } & { = } & { \frac { 5 8 9 } { 3 3 0 0 } + \frac { 1 } { 9 } y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 0 0 } ( 1 + \ln y ^ { 2 } ) } \\ { p _ { 3 } ( y ) } & { = } & { \frac { 2 9 2 9 } { 9 0 0 } + \frac { 2 } { 9 } y ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 5 } ( 1 + \ln y ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \nu \, \tilde { Z } , } \\ { F } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \nu \, \tilde { F } = \sigma _ { \mathrm { S B } } T _ { s } ^ { 4 } - Z , } \end{array}
N ^ { 2 } = \frac { 1 } { l ^ { 2 } r ^ { 2 } } \left( r ^ { 2 } - r _ { + } ^ { 2 } \right) \left( r ^ { 2 } - \left( \frac { 4 G l J } { r _ { + } } \right) ^ { 2 } \right) .
\alpha ^ { ( r ) } ( \vec { \mu } ) = - \frac { \beta ^ { ( r ) } ( \vec { \mu } ) } { \beta ^ { ( r - 1 ) } ( \vec { \mu } ) } \, , \, \, \beta ^ { ( r ) } ( \vec { \mu } ) = ( - 1 ) ^ { r } \prod _ { t = 1 } ^ { r } \alpha ^ { ( t ) } ( \vec { \mu } ) \, .
\sum _ { j = 1 } ^ { k } E _ { \varepsilon } ( \Omega _ { j } , X _ { j } ) \leq 4 \pi | X _ { i } | \varepsilon ^ { 2 } - P ( \Omega _ { i } ) + 2 C ^ { \prime } \left( | \Omega _ { i } | - \frac { 4 \pi } { 3 } | X _ { i } | \varepsilon ^ { 3 } \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { k } E _ { \varepsilon } ( \Omega _ { j } , X _ { j } ) .
f _ { c } ( r | { R _ { \mathrm { c } } } , \Delta _ { R _ { c } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } r \leq { R _ { \mathrm { c } } } - \Delta _ { R _ { c } } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( \operatorname { t a n h } ( \frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } ) + 1 ) ; x = 2 \frac { r - R _ { c } + 0 . 5 \Delta _ { R _ { c } } } { \Delta _ { R _ { c } } } , } & { \mathrm { i f ~ } { R _ { \mathrm { c } } } - \Delta _ { R _ { c } } < r < { R _ { \mathrm { c } } } } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } r \geq { R _ { \mathrm { c } } } } \end{array} \right. \mathrm { , }
l _ { h y b } = \tilde { f } _ { d } \left( { 1 + f _ { e } } \right) l _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ A ~ N ~ S ~ } } + \left( { 1 - \tilde { f } _ { d } } \right) l _ { \mathrm { ~ \tiny ~ L ~ E ~ S ~ } } \quad .
\left\langle \tau \right\rangle \propto \left\{ \begin{array} { l l } { N ^ { 1 / 3 } } & { f o r N < N _ { 1 } ^ { \prime } \propto ( p _ { c } - p ) ^ { - 3 / 2 } } \\ { ( p _ { c } - p ) ^ { - 1 / 2 } } & { f o r N > N _ { 1 } ^ { \prime } } \end{array} \right. .
\psi _ { l } \left( z \right) \psi _ { l } ^ { \dagger } \left( w \right) \sim \left( z - w \right) ^ { - 2 \Delta _ { l } } \left[ 1 + \frac { 2 \Delta _ { l } } { c _ { p } } \left( z - w \right) ^ { 2 } T _ { p } \left( w \right) + O \left( z - w \right) ^ { 3 } \right]
\begin{array} { r l } { \underset { y ^ { k } , u ^ { k } , v ^ { k } } { \mathrm { m i n i m i z e } } } & { \quad \mathrm { m a x } ( \mathrm { l o g } ( \hat { x } _ { i } ^ { 1 } ) + y _ { i } ^ { 1 } ) } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t } } & { \quad , \quad } \\ & { \quad 0 \leq u _ { i j } ^ { k } \leq w _ { i j } \mathrm { l o g } \left( \frac { \overline { { \beta } } _ { i j } ^ { k } } { \underline { { \beta } } _ { i j } ^ { k } } \right) } \\ & { \quad 0 \leq v _ { i } ^ { k } \leq w _ { i i } \mathrm { l o g } \left( \frac { 1 - \underline { { \delta } } _ { i } ^ { k } } { 1 - \overline { { \delta } } _ { i } ^ { k } } \right) } \\ & { \quad \sum _ { i j } u _ { i j } ^ { k } + \sum _ { i } v _ { i } ^ { k } \leq \Gamma ^ { k } } \\ & { \quad \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \sum _ { i j } u _ { i j } ^ { k } + \sum _ { i } v _ { i } ^ { k } \right) \leq \Gamma _ { \mathrm { t o t } } . } \end{array}
\operatorname { M A E } \left( \mathbf { Y } ^ { ( t , W ) } , \hat { \mathbf { Y } } ^ { ( t , W ) } \right) = \frac { 1 } { W N D } \sum _ { i = t + 1 } ^ { t + W } \left| \hat { \mathbf { X } } ^ { ( i ) } - \mathbf { X } ^ { ( i ) } \right|
\left\{ { \cal H } [ \rho ] \, - \frac { m } { 2 } \, \left( \frac { L } { I } \right) ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \right\} \, \Psi ( x , y ) = \, \mu \, \Psi ( x , y ) \; .
n ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } { 1 } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { r _ { w } ( t ) } & { { } \geq r _ { b } } \\ { 0 } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { r _ { w } ( t ) } & { { } < r _ { b } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \| \Delta \lambda _ { k + 1 } \| } \\ & { \leq \frac { 1 } { \sigma } \left( { L _ { f } \| \Delta x _ { k + 1 } \| + \frac { M _ { f } L _ { F } + 2 M _ { F } \beta _ { k } } { \sigma } \| \Delta x _ { k } \| + \beta _ { k + 1 } \| \Delta x _ { k + 1 } \| + \beta _ { k } \| \Delta x _ { k } \| } \right) } \\ & { = \frac { L _ { f } + \beta _ { k + 1 } } { \sigma } \| \Delta x _ { k + 1 } \| + \frac { M _ { f } L _ { F } + ( 2 M _ { F } + \sigma ) \beta _ { k } } { \sigma ^ { 2 } } \| \Delta x _ { k } \| . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { x = R \cos t } \\ { y = R \sin t } \\ { z = A \cos \left[ n \left( t + \frac { \mathrm { a r c } \tan \left( \frac { m \tan ^ { 2 } \left( n \frac { t } { 2 } \right) + m + 2 \tan \left( n \frac { t } { 2 } \right) } { \tan ^ { 2 } \left( n \frac { t } { 2 } \right) - 1 } \right) } { n } \right) \right] } \\ { - m A \sin \left[ \mathrm { a r c } \tan \left( \frac { m \tan ^ { 2 } \left( n \frac { t } { 2 } \right) + m + 2 \tan \left( n \frac { t } { 2 } \right) } { \tan ^ { 2 } \left( n \frac { t } { 2 } \right) - 1 } \right) \right] } \end{array} \right.
\Lambda \hat { \eta } _ { 3 1 } + \delta \bigl ( { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } - \mathcal { L } \bigr ) \hat { \eta } _ { 3 1 } + \mathcal { R } _ { 3 1 } \, = \, 0 \, , \qquad \Lambda \hat { \eta } _ { 3 2 } + \delta \bigl ( { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } - \mathcal { L } \bigr ) \hat { \eta } _ { 3 2 } - \frac { \delta } { 2 } \, \hat { \eta } _ { 3 1 } + \mathcal { R } _ { 3 2 } \, = \, 0 \, .
A _ { i } ^ { c ( c \ell ) } ( x ) = \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } e ^ { - i k \cdot x } ( { \frac { \lambda ^ { c } } { 2 } } ) { \frac { g k _ { i } } { { \underline { { k } } } ^ { 2 } k _ { + } } }
\begin{array} { r } { i _ { ( \ast e _ { v } ^ { 1 } ) ^ { \sharp } } d v \wedge e _ { v } ^ { 2 } = \ast \big ( ( \ast e _ { v } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast d v ) \big ) \wedge e _ { v } ^ { 2 } = - \ast \big ( ( \ast e _ { v } ^ { 2 } ) \wedge ( \ast d v ) \big ) \wedge e _ { v } ^ { 1 } = - i _ { ( \ast e _ { v } ^ { 2 } ) ^ { \sharp } } d v \wedge e _ { v } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ( \alpha _ { l } ) } & { { } = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { d } } } \int _ { 0 } ^ { \tau \mathrm { d } } d \tau B ( \alpha _ { l } ; \tau ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N } { \Pi } _ { n } ^ { \mathrm { ( i r ) } } ( \alpha _ { l } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } - \Sigma \right\| \leq c _ { 1 } \left( \frac { K ^ { 2 } d \log ( d / \zeta ) \log ^ { 2 a } ( n / \zeta ) } { n } + \sqrt { \frac { K ^ { 2 } d \log ( d / \delta ) \log ^ { 2 a } ( n / \zeta ) } { n } } \right) \| \Sigma \| _ { 2 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { j } _ { Q } } & { { } = - k \nabla T } & { \mathrm { ~ F ~ o ~ u ~ r ~ i ~ e ~ r ~ ' ~ s ~ l ~ a ~ w ~ } } \\ { \boldsymbol { \tau } } & { { } = - \mu ( \nabla \boldsymbol { u } + ( \nabla \boldsymbol { u } ) ^ { \top } ) = - \rho \nu ( \nabla \boldsymbol { u } + ( \nabla \boldsymbol { u } ) ^ { \top } ) } & { \mathrm { ~ N ~ e ~ w ~ t ~ o ~ n ~ ' ~ s ~ l ~ a ~ w ~ } } \\ { \boldsymbol { j } _ { c } } & { { } = - \mathcal { D } _ { c } \nabla C _ { c } = - \mathcal { D } _ { c } \nabla ( \rho m _ { c } ) } & { \mathrm { ~ F ~ i ~ c ~ k ~ ' ~ s ~ f ~ i ~ r ~ s ~ t ~ l ~ a ~ w ~ ( ~ b ~ i ~ n ~ a ~ r ~ y ~ ) ~ } } \\ { \boldsymbol { i } _ { k } } & { { } = - \kappa _ { k } \nabla \Phi = \kappa _ { k } \, \boldsymbol { E } } & { \mathrm { ~ O ~ h ~ m ~ ' ~ s ~ l ~ a ~ w ~ } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { F _ { j , j } } & { F _ { j , j + 1 } } \\ { F _ { j + 1 , j } } & { F _ { j + 1 , j + 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathrm { R e } ( \lambda _ { j } ) } & { \mathrm { I m } ( \lambda _ { j } ) } \\ { - \mathrm { I m } ( \lambda _ { j } ) } & { \mathrm { R e } ( \lambda _ { j } ) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { p r n \_ e } _ { k } = ( } & { \oplus _ { | \mathrm { C I } } \circ f _ { \mathrm { M A M } | \mathrm { C I } } \circ g _ { \mathrm { p e r m } } \circ f _ { \mathrm { M A M } | \mathrm { C I } } \circ g _ { \mathrm { p e r m } } } \\ & { \circ f _ { \mathrm { M A M } | \mathrm { C I } } \circ g _ { \mathrm { p e r m } } \circ \oplus _ { | C I } ) ( k ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta h _ { \mathrm { e f f } } ( t ) = } & { { } \frac { 4 } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } x _ { \perp } \mathrm { e x p } \left[ - 2 \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { w _ { D } ^ { 2 } } \right] } \end{array}
p _ { \rightleftarrows } ( \mathbf x , \nu , R ) = \int _ { O ( R ) } \nu d \mathbf y \; \pi _ { 1 } ( \mathbf x , \mathbf y , \nu , R ) \exp ( - \nu A _ { \rightleftarrows } ( \mathbf x , \mathbf y , R ) ) = \int _ { O ( R ) } \nu d \mathbf y \exp \left[ - \nu ( A ( \mathbf x , \mathbf y , R ) + A _ { \rightleftarrows } ( \mathbf x , \mathbf y , R ) ) \right]
\sum _ { l = 1 } ^ { 2 } a _ { l } \mathcal { P } _ { \mp } \tilde { \varphi } _ { l } = \sum _ { l = 1 } ^ { 2 } a _ { l } \rho _ { l } ^ { N } \mathcal { P } _ { \pm } \tilde { \varphi } _ { l } = 0 ,
\frac { u _ { i } ^ { n + 1 } - u _ { i } ^ { * } } { \Delta t } = - \frac { 1 } { \rho ^ { \prime } } \partial _ { i } P + \mathrm { ~ S ~ } _ { \partial _ { i } P } ^ { \Gamma } + \mathrm { ~ S ~ } _ { \partial _ { i } P } ^ { \mathrm { ~ O ~ } }
\begin{array} { r l } { \big | \nabla \big ( \mathbf { y } _ { h } - \mathbf { y } ^ { \epsilon } \big ) ( x _ { T } ) \big | } & { \le \big | \big ( \nabla \mathbf { y } _ { h } - I _ { h } \nabla \mathbf { y } ^ { \epsilon } \big ) ( x _ { T } ) \big | + \big | \big ( I _ { h } \nabla \mathbf { y } ^ { \epsilon } - \nabla \mathbf { y } ^ { \epsilon } \big ) ( x _ { T } ) \big | } \\ & { \lesssim h _ { T } ^ { - 1 } \| \nabla \mathbf { y } _ { h } - I _ { h } \nabla \mathbf { y } ^ { \epsilon } \| _ { L ^ { 2 } ( T ) } + h _ { T } \| D ^ { 3 } \mathbf { y } ^ { \epsilon } \| _ { L ^ { 2 } ( T ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { 2 ( j + 1 ) ( a + j + 1 ) } { ( 2 k - j - 1 ) _ { 2 } ( 2 a + j + 2 k + 1 ) _ { 2 } } } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \frac { 1 } { 2 a + 4 k + 1 } \left( \frac { - 2 a - 2 k - 1 } { 2 a + j + 2 k + 2 } + \frac { 2 ( a + k ) } { 2 a + j + 2 k + 1 } - \frac { 2 k } { j - 2 k + 1 } + \frac { 2 k + 1 } { j - 2 k } \right) , } \end{array}
\sum _ { \substack { v \in \mathrm { V } , \, \pi _ { \mathrm { V } } \left( v \right) = u } } \left( \sum _ { \substack { e \in \mathrm { E } , \, h \left( e \right) = \left\{ v , \left[ c \left( u ^ { \prime } \right) \right] \right\} } } k _ { v , \left[ c \left( u ^ { \prime } \right) \right] } ^ { e } \right)
\langle \sigma _ { n _ { 1 } , i _ { 1 } } . . . \sigma _ { n _ { s } , i _ { s } } \rangle _ { g } = \int _ { { \cal M } _ { g , s } } \int e ^ { - S } \prod _ { k } e ^ { \alpha _ { k } { \tilde { \pi } } ( z _ { k } ) } \prod _ { a , { \bar { a } } = 1 } ^ { 3 g - 3 } G ( \chi _ { a } ) { \bar { G } } ( { \bar { \chi } } _ { \bar { a } } ) \prod _ { j = 1 } ^ { s } \int _ { \Sigma } \sigma _ { n _ { j } , i _ { j } } ^ { ( 2 ) }
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { j } ( t ) = } & { \| \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } + \mu _ { 0 } \| \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| ^ { 2 } + \mu _ { 1 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { D } _ { j } ( t ) = } & { \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } u _ { t } \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma \lambda } { \varepsilon ^ { 2 } } \| \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| ^ { 2 } + \mu _ { 2 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } \varphi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \varphi _ { t } \| ^ { 2 } + \kappa _ { g } \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } + \kappa _ { g } \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| ^ { 2 } + \kappa _ { g } \| \partial _ { t } ^ { j } p \| _ { 1 } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\frac { \partial \rho ^ { j } ( \textbf { x } , t ) } { \partial t } + d i v \left( \rho ^ { j } ( \textbf { x } , t ) \frac { \nabla _ { j } S ^ { j } ( \textbf { x } , t ) } { m _ { j } } \right) = 0 , ~ ~ ~ ~ \frac { d X ^ { j } ( t ) } { d t } = \frac { \nabla _ { j } S ^ { j } ( \textbf { x } ^ { j } , t ) } { m _ { j } } \vert _ { \textbf { x } = X ^ { j } ( t ) }
\ddot { z } + \left( 2 \dot { z } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \bar { \epsilon } _ { | | } } \right) \frac { d \ln ( g ) } { d z } - \frac { d \ln ( \bar { \epsilon } _ { | | } ) } { d z } g ( 1 - \dot { z } ^ { 2 } ) = 0