harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \dot { \rho } _ { 1 1 } = - 2 ( \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } + \Lambda ) \rho _ { 1 1 } + 2 \Lambda \rho _ { 3 3 } + i G _ { l } \rho _ { 2 1 } - i G _ { l } ^ { * } \rho _ { 1 2 } , } \\ & { \dot { \rho } _ { 2 2 } = 2 \gamma _ { 2 } \rho _ { 1 1 } - i G _ { l } \rho _ { 2 1 } + i G _ { l } ^ { * } \rho _ { 1 2 } , } \\ & { \dot { \rho } _ { 2 1 } = - ( \Gamma _ { 2 1 } - i \Delta _ { l } ) \rho _ { 2 1 } - i G _ { l } ^ { * } \rho _ { 2 2 } + i G _ { l } ^ { * } \rho _ { 1 1 } , } \\ & { \dot { \rho } _ { 3 1 } = - \Gamma _ { 3 1 } \rho _ { 3 1 } - i G _ { l } ^ { * } \rho _ { 3 2 } , } \\ & { \dot { \rho } _ { 3 2 } = - ( \Gamma _ { 3 2 } + i \Delta _ { l } ) \rho _ { 3 2 } - i G _ { l } \rho _ { 3 1 } . } \end{array}
\mathbf { \hat { m } } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { \hat { m } _ { 0 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { - Q + 1 } } & { \hat { m } _ { - Q } } & { \hat { m } _ { - Q - 1 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { - 2 Q } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { \hat { m } _ { + Q - 1 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { 0 } } & { \hat { m } _ { - 1 } } & { \hat { m } _ { - 2 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { - Q - 1 } } \\ { \hat { m } _ { + Q } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { + 1 } } & { \hat { m } _ { 0 } } & { \hat { m } _ { - 1 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { - Q } } \\ { \hat { m } _ { + Q + 1 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { + 2 } } & { \hat { m } _ { + 1 } } & { \hat { m } _ { 0 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { - Q + 1 } } \\ { \vdots } & & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \hat { m } _ { + 2 Q } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { + Q + 1 } } & { \hat { m } _ { + Q } } & { \hat { m } _ { + Q - 1 } } & { \hdots } & { \hat { m } _ { 0 } } \end{array} \right] .
P ( X = 0 ) = { \frac { \binom { 1 0 0 - 5 } { 4 5 } } { \binom { 1 0 0 } { 4 5 } } } = { \frac { \frac { 9 5 ! } { 5 0 ! } } { \frac { 1 0 0 ! } { 5 5 ! } } } = { \frac { 9 5 \times 9 4 \times \cdots \times 5 1 } { 1 0 0 \times 9 9 \times \cdots \times 5 6 } } = { \frac { 5 5 \times 5 4 \times 5 3 \times 5 2 \times 5 1 } { 1 0 0 \times 9 9 \times 9 8 \times 9 7 \times 9 6 } } = 4 . 6 \%
\delta { \cal L } = \frac { - 1 } { 1 6 { \pi } ^ { 2 } } \sum _ { \alpha } \int d ^ { 2 } \theta \frac { W ^ { \alpha } W _ { \alpha } } { 4 } \left( [ c ( G _ { \alpha } ) - \sum _ { r _ { \omega } } T ( r _ { \omega } ) ] g ( \phi ) + 2 \sum _ { r _ { \omega } } T ( r _ { \omega } ) \log d e t h _ { \alpha \beta } ( \phi , { \bar { \phi } } ) \right) + h . c
\begin{array} { r l } { \Delta t \d _ { t } S _ { \mathrm { B } } ( t ) } & { \approx S _ { \mathrm { B } } ( t + \Delta t ) - S _ { \mathrm { B } } ( t ) = { k _ { \mathrm { B } } } D _ { K L } \left( P _ { N } ( t + \Delta t ) \left| \prod _ { n } P _ { 1 } ( t + \Delta t ) \right. \right) - { k _ { \mathrm { B } } } D _ { K L } \left( P _ { N } ( t ) \left| \prod _ { n } P _ { 1 } ( t ) \right. \right) \, , } \end{array}
\hat { G } ^ { 0 } ( t , t ^ { \prime } ; \{ \sigma \} ) = \frac { 1 } { 2 } [ G ^ { 0 } ( t , t ^ { \prime } ; \{ \sigma _ { p } \} ) + G ^ { 0 } ( t , t ^ { \prime } ; \{ - \sigma _ { p } \} ) ]
{ \vec { a } } _ { \theta } ( t ) = R { \frac { d \omega } { d t } } { \hat { u } } _ { \theta } ( t ) = { \frac { d R \omega } { d t } } { \hat { u } } _ { \theta } ( t ) = { \frac { d \left| { \vec { v } } ( t ) \right| } { d t } } { \hat { u } } _ { \theta } ( t ) \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { 1 , 3 , 4 , 4 , 6 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 0 , 1 2 , 1 0 , 1 5 , 1 1 , \quad \quad \underline { { 1 9 } } , \mathbf { 1 6 } , \underline { { 1 9 } } , \mathbf { 2 1 } , \underline { { 1 7 } } , \mathbf { 2 1 } , \underline { { 1 9 } } , \mathbf { 2 4 } , } \\ & { } & { \underline { { 1 9 } } , \mathbf { 2 9 } , \underline { { 1 7 } } , \mathbf { 2 9 } , \underline { { 1 9 } } , \mathbf { 3 2 } , \underline { { 1 9 } } , \mathbf { 3 7 } , \underline { { 1 7 } } , \mathbf { 3 7 } , \underline { { 1 9 } } , \mathbf { 4 0 } , \underline { { 1 9 } } , \mathbf { 4 5 } , \underline { { 1 7 } } , \mathbf { 4 5 } , \underline { { 1 9 } } , \mathbf { 4 8 } , \underline { { 1 9 } } , \mathbf { 5 3 } , \underline { { 1 7 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { r _ { \theta } ( X , \tilde { X } ) : = \frac { \mu _ { \mathrm { a u g } } ( \tilde { X } ) p _ { \theta } ( X \mid \tilde { X } ^ { p } ) } { \mu _ { \mathrm { a u g } } ( X ) p _ { \theta } ( \tilde { X } \mid X ^ { p } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \theta \in E } } & { C \delta ^ { - 2 \epsilon } \sum _ { B \in \mathcal { K } } \mu \left( B \cap H _ { \theta } \left( K , \left( \frac { \delta } { \bar { \delta } } \right) ^ { - \sigma } , [ 4 \delta , 4 \bar { \delta } ] \right) \right) } \\ & { \stackrel { = } ( 4 \bar { \delta } ) ^ { t } \sum _ { B \in \mathcal { K } } C \delta ^ { - 2 \epsilon } \sum _ { \theta \in E } \mu _ { B } \left( B ( 1 ) \cap H _ { \theta } \left( T _ { B } ( K ) , \Delta ^ { - \sigma } , [ \Delta , 1 ] \right) \right) } \\ & { \stackrel { \leq } ( 4 \bar { \delta } ) ^ { t } \sum _ { B \in \mathcal { K } } C \delta ^ { - 2 \epsilon } \delta ^ { 1 0 \epsilon } | E | \stackrel { \lesssim } \delta ^ { 7 \epsilon } | E | . } \end{array}
\Gamma ( Z \rightarrow h _ { 1 } h _ { 2 } ) = { \frac { M _ { Z } } { 1 6 \pi } } g _ { Z h _ { 1 } h _ { 2 } } ^ { 2 } \lambda ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( 1 , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ,
M = \left( \begin{array} { l l } { { m - { \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi r } } } } & { { { \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi r } } } } \\ { { { \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi r } } } } & { { m - { \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi r } } } } \end{array} \right) \, .
2 g _ { \mu \nu } ( X ^ { \alpha } ) \partial _ { a } \partial ^ { a } X ^ { \mu } + 2 \partial _ { a } X ^ { \mu } \partial ^ { a } X ^ { \rho } \partial _ { \rho } g _ { \mu \nu } ( X ^ { \alpha } ) + \partial _ { a } X ^ { \mu } \partial ^ { a } X ^ { \eta } \partial _ { \nu } g _ { \mu \eta } ( X ^ { \alpha } ) = 0
\begin{array} { r } { \frac { \left[ \left( \omega - u _ { j } k \right) ^ { 2 } / a _ { j } ^ { 2 } - k ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \rho _ { 0 } \omega ^ { 2 } } { \left( k ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } / a _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \rho _ { j } \left( \omega - u _ { j } k \right) ^ { 2 } } } \\ { + \tan \left\{ \left[ \frac { \left( \omega - u _ { j } k \right) ^ { 2 } } { a _ { j } ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } h / 2 \right\} = 0 } \end{array}
\mathsf X = \left[ \begin{array} { l l } { \cos \zeta _ { - } \cos \zeta _ { + } } & { - \Delta \sin \zeta _ { - } \sin \zeta _ { + } } \\ { - \displaystyle \frac { \sin \zeta _ { - } } \Delta \sin \zeta _ { + } } & { \cos \zeta _ { - } \cos \zeta _ { + } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { \rho ( j _ { x } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \epsilon _ { x } } \exp [ - \frac { j _ { x } } { \epsilon _ { x } } ] = \frac { 1 } { \epsilon _ { x } } \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] , \; \; \; \alpha _ { x } = \frac { a _ { x } ^ { 2 } } { 4 } = \frac { j _ { x } } { 2 \epsilon _ { x } } } \\ { \rho ( \alpha _ { x } ) } & { { } = } & { \rho ( a _ { x } ) [ \frac { \partial \alpha _ { x } } { \partial a _ { x } } ] ^ { - 1 } = a _ { x } \exp [ - \frac { 1 } { 2 } a _ { x } ^ { 2 } ] [ a _ { x } / 2 ] ^ { - 1 } = 2 \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { L } = - \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( k ) + \omega _ { \mathrm { p d } } ^ { 2 } e ^ { - k R } \left[ ( 1 + k R ) \left( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 2 \cos { k R } } { k ^ { 2 } R ^ { 2 } } \right. \right. } \\ { \left. \left. + \frac { 2 \sin { k R } } { k ^ { 3 } R ^ { 3 } } \right) - \frac { \kappa ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \left( \cos { k R } + \frac { \kappa } { k } \sin { k R } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { a } _ { \mathrm { a i r } } = \mathbf { T } _ { \mathrm { t o p } } \mathbf { P } ( h _ { \mathrm { t } } ) \mathbf { a } _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { J } } . } \end{array}
\mathbf { E } _ { m } ^ { \kappa } ( t ) = \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } ( t ) ^ { 2 } \kappa \Bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \, \bigl \langle ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } ) ^ { \intercal } \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } \bigr \rangle \Bigr ) \, .
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = \frac { 1 } { 2 } x ^ { \top } A ^ { \top } A x - x ^ { \top } A ^ { \top } b + \frac { 1 } { 2 } \| b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } x ^ { \top } A ^ { \top } A x - x ^ { \top } A ^ { \top } A A ^ { \dagger } b + \frac { 1 } { 2 } \| b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \| A x - A A ^ { \dagger } b \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \| A A ^ { \dagger } b \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| b \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } = \, } & { \mathrm { s p a n } \left( \left\{ \vphantom { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } } \mathrm { d } u ^ { 1 } , \mathrm { d } x ^ { 2 } - \mathrm { d } x ^ { 4 } , ( u ^ { 1 } + 1 ) \mathrm { d } x ^ { 2 } + x ^ { 2 } \mathrm { d } u ^ { 1 } \right. \right. , } \\ & { \left. \left. \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } \left( - ( u ^ { 1 } + 1 ) \mathrm { d } x ^ { 1 } + \frac { ( u ^ { 1 } + 1 ) x ^ { 1 } } { x ^ { 2 } + 1 } \mathrm { d } x ^ { 2 } \right. \right. \right. } \\ & { \left. \left. \left. \vphantom { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } } \quad + ( x ^ { 2 } + 1 ) \mathrm { d } x ^ { 5 } - x ^ { 1 } \mathrm { d } u ^ { 1 } \right) \right\} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } p _ { i _ { \mathrm { D } } A _ { \mathrm { O } } } ^ { \prime } \sim N _ { 1 } + N _ { 2 } , } \\ & { N _ { 1 } \sim { \cal B } ( N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } , a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { G C } } ) , } \\ & { N _ { 2 } \sim { \cal B } ( N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } ( 1 - p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } ) , a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { B C } } ) . } \end{array}
\tilde { C } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \ln \left| \frac { \vartheta _ { 1 } ( x \mid \tau ) } { \vartheta _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 \mid \tau ) } \right| + \frac { | \tau | } { 1 2 } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \left( \epsilon _ { s } \rho _ { s } \right) } { \partial t } + \nabla _ { x } \cdot \left( \epsilon _ { s } \rho _ { s } \textbf { U } _ { s } \right) = 0 , } \\ & { \frac { \partial \left( \epsilon _ { s } \rho _ { s } \textbf { U } _ { s } \right) } { \partial t } + \nabla _ { x } \cdot \left( \epsilon _ { s } \rho _ { s } \textbf { U } _ { s } \textbf { U } _ { s } + p _ { s } \mathbb { I } \right) = \frac { \epsilon _ { s } \rho _ { s } \left( \textbf { U } _ { g } - \textbf { U } _ { s } \right) } { \tau _ { s t } } - \epsilon _ { s } \nabla _ { x } p _ { g } + \epsilon _ { s } \rho _ { s } \textbf { G } , } \\ & { \frac { \partial \left( \epsilon _ { s } \rho _ { s } E _ { s } \right) } { \partial t } + \nabla _ { x } \cdot \left( \left( \epsilon _ { s } \rho _ { s } E _ { s } + p _ { s } \right) \textbf { U } _ { s } \right) = \frac { \epsilon _ { s } \rho _ { s } \textbf { U } _ { s } \cdot \left( \textbf { U } _ { g } - \textbf { U } _ { s } \right) } { \tau _ { s t } } - \frac { 3 p _ { s } } { \tau _ { s t } } - \epsilon _ { s } \textbf { U } _ { s } \cdot \nabla _ { x } p _ { g } + \epsilon _ { s } \rho _ { s } \textbf { U } _ { s } \cdot \textbf { G } . } \end{array}
2 [ \dot { x } ^ { 2 } \acute { x } ^ { A A ^ { \prime } } - ( \dot { x } \acute { x } ) \dot { x } ^ { A A ^ { \prime } } ] = v \bar { \pi } ^ { A } \bar { \pi } _ { B } \dot { x } ^ { B A ^ { \prime } } + \bar { v } \pi ^ { A ^ { \prime } } \pi _ { B ^ { \prime } } \dot { x } ^ { A B ^ { \prime } } .
\mathbb { E } _ { \tau _ { i } } \mathbb { E } _ { t _ { i } } \mathbb { E } _ { \ell } \frac { e _ { t _ { i } , \ell } ^ { 2 } } { \| A _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } = \mathbb { E } _ { \tau _ { i } } \sum _ { { t _ { i } } \in \tau _ { i } } \sum _ { g = g _ { 0 } ( { t _ { i } } ) } ^ { n _ { t _ { i } } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { k } \frac { \binom { N _ { t _ { i } } p _ { t _ { i } , \ell } } { g } a _ { g , \ell } ^ { t _ { i } } } { \binom { N _ { t _ { i } } } { n _ { t _ { i } } } } \prod _ { s \in \tau _ { i } \setminus \{ { t _ { i } } \} } \frac { b _ { g } ^ { s } } { \binom { N _ { s } } { n _ { s } } } \frac { e _ { { t _ { i } } , \ell } ^ { 2 } } { \| A _ { { t _ { i } } } \| _ { 2 } ^ { 2 } }
U = \sum _ { \alpha } V \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { 1 } { 2 } m _ { \alpha } \boldsymbol { v } ^ { 2 } f _ { \alpha } ( \boldsymbol { v } ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \alpha } \sum _ { \beta } V n _ { \alpha } n _ { \beta } \int \mathrm { d } \boldsymbol { r } \, \varphi _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { r } ) \, G _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { r } ) \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } } & { { } = } & { - \nabla ( { p } / { \rho } ) + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } + { \bf F } _ { u } ( { \bf u , B } ) + { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } , } \\ { \frac { \partial { \bf B } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { { \bf B } } } & { { } = } & { \eta \nabla ^ { 2 } { { \bf B } } + { \bf F } _ { B } ( { \bf u , B } ) , } \\ { \nabla \cdot { \bf u } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
- \, \left[ \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { d } { d r } \right] \; \chi ( r ) \; + \; \frac { \partial V ( \chi ) } { \partial \chi } \; + \; ( P ^ { + } ) ^ { 2 } \; \frac { b } { 2 } \; I _ { g } ( R _ { q \bar { q } } ) \; \int d r \, r \, \kappa ( \chi ) \; = \; 0 \; ,
\begin{array} { r } { \gamma _ { \mathrm { L o w } } ( R , \beta ) : = \operatorname* { s u p } _ { K \in { \mathscr C } ^ { \beta } ( { \mathbb R } ) : \, R \geq \| K \| _ { { \mathscr C } ^ { \beta } ( { \mathbb R } ) } } \frac { ( 2 \beta ) ^ { 2 } } { 2 ^ { 1 / \beta } ( 2 \beta + 1 ) ^ { 2 + 1 / \beta } } \frac { K ( 0 ) ^ { 2 + 1 / \beta } } { \| K \| _ { 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\zeta ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , t ) = \mathcal { R } \left[ \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int | \hat { \zeta } ( \mathbf { k } ) | \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \psi ( \mathbf { k } , \mathbf { x } , t ) } \mathrm { d } \mathbf { k } \right] ,
\begin{array} { r } { z _ { j } ^ { j } ( t ) = w _ { j } ^ { P } ( t ) \frac { { b } ^ { S B , j } ( \gamma _ { j } ^ { j } ) ^ { 2 } \frac { \eta _ { P } \eta _ { i } } { \eta _ { P } + \eta _ { i } } + \frac { 1 } { q _ { j } } } { { b } ^ { S B , j } ( \gamma _ { j } ^ { j } ) ^ { 2 } ( \eta _ { j } + \frac { \eta _ { P } \eta _ { i } } { \eta _ { P } + \eta _ { i } } ) + \frac { 1 } { q _ { j } } } \; , \quad z _ { i } ^ { j } ( t ) = w _ { i } ^ { P } ( t ) \frac { \eta _ { P } \eta _ { i } } { \eta _ { P } + \eta _ { j } } \frac { { b } ^ { S B , i } ( \gamma _ { i } ^ { i } ) ^ { 2 } } { { b } ^ { S B , i } ( \gamma _ { i } ^ { i } ) ^ { 2 } ( \eta _ { i } + \frac { \eta _ { P } \eta _ { j } } { \eta _ { P } + \eta _ { j } } ) + \frac { 1 } { q _ { i } } } \; . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { e } l } = \sum _ { \mathrm { p q } } h _ { p q } a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathrm { p q r s } } h _ { p q r s } a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } ^ { \dagger } a _ { r } a _ { s } ,
\begin{array} { r } { p ( a _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } = 1 | \Delta \theta ) = \frac { 1 } { 1 + \left( \frac { R \Delta \theta } { ( \mu \kappa ^ { \prime } \kappa ) ^ { 1 / D } } \right) ^ { \beta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \rho } \bigg ( \nu ( \theta _ { 0 } ) \big ( \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } - \mathbf { u } _ { 0 } d _ { \Gamma } \eta ^ { \prime } \big ) \bigg ) } & { { } = \big ( 2 \theta _ { 0 } ^ { \prime } \theta _ { 0 } ^ { \prime \prime } + \partial _ { \rho } \hat { p } _ { - 1 } \big ) \nabla d _ { \Gamma } , } \\ { \big ( \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } - \mathbf { u } _ { 0 } d _ { \Gamma } \eta ^ { \prime } \big ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { [ \sigma ] } ( \widehat { h } _ { 0 } , \widehat { h } _ { 0 } ) = \left\langle 4 \frac { \Gamma ( 1 / 4 - S ) \Gamma ( 1 / 4 + S ) } { \Gamma ( 3 / 4 - S ) \Gamma ( 3 / 4 + S ) } ( - \Delta _ { \sigma } + 2 ) ^ { - 1 } 4 \frac { | q | ^ { 2 } } { \sigma ^ { 3 } } , ( - \Delta _ { \sigma } + 2 ) ^ { - 1 } 4 \frac { | q | ^ { 2 } } { \sigma ^ { 3 } } \right\rangle _ { L _ { \sigma } ^ { 2 } ( S ) } + \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } | \chi ( S ) | ^ { 2 } } \| q \| _ { \sigma } ^ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { - \nabla \cdot \boldsymbol { \mathcal { S } } = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \left( \boldsymbol { \mathcal { E } } \cdot \frac { \partial \boldsymbol { \mathcal { D } ^ { * } } } { \partial t } + \boldsymbol { \mathcal { E } ^ { * } } \cdot \frac { \partial \boldsymbol { \mathcal { D } } } { \partial t } \right) , } \end{array}
Q = + { \frac { \pi } { 2 } } - \rho \int _ { 0 } ^ { n ^ { 2 } - 1 } { \frac { d u ^ { \prime \prime } } { u ^ { \prime \prime } } } { \frac { \sqrt { n ^ { 2 } - 1 - u ^ { \prime \prime } } \sqrt { u ^ { \prime \prime } } } { ( n ^ { 2 } - 1 - u ^ { \prime \prime } ) + \rho ^ { 2 } u ^ { \prime \prime } } } .
I = - i g f ^ { a b c } V _ { \mu \sigma \alpha } ( k _ { 1 } , - k _ { 2 } , k _ { 2 } - k _ { 1 } ) \frac { \epsilon ^ { \mu } ( k _ { 1 } ) } { 2 k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } } B ^ { b \alpha \rho } ( q , k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ,
\rho ^ { q _ { f } ^ { 0 } { \bar { q } } } = \rho ^ { q _ { f } ^ { 0 } } \otimes \rho ^ { \bar { q } } = \left( \begin{array} { c c } { { c _ { 1 f } \rho ^ { \bar { q } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { c _ { 2 f } \rho ^ { \bar { q } } } } \end{array} \right) .
\ell ( \boldsymbol { \theta } _ { C } ) = \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \log \left[ c \left( F _ { 1 1 } \left( X _ { 1 1 } ^ { ( \ell ) } ; \widehat { \boldsymbol { \theta } } _ { 1 1 , n } ^ { \mathrm { I F M } } \right) , \dots , F _ { k d _ { k } } \left( X _ { k d _ { k } } ^ { ( \ell ) } ; \widehat { \boldsymbol { \theta } } _ { k d _ { k } , n } ^ { \mathrm { I F M } } \right) ; \boldsymbol { \theta } _ { C } \right) \right] .
{ \begin{array} { r l } { \| f \| ^ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \vartheta ^ { 2 } \, d \vartheta = { \frac { 1 } { 3 } } } \\ { \langle f , e _ { k } \rangle } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \vartheta e ^ { - 2 \pi \imath k \vartheta } \, d \vartheta = { \Biggl \{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 2 } } , } & { k = 0 } \\ { - { \frac { 1 } { 2 \pi \imath k } } } & { k \neq 0 , } \end{array} } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { m \Dot { u } _ { x } } & { = L \cos ( \mu ) \sin ( \gamma ) \cos ( \psi ) - L \sin ( \mu ) \sin ( \psi ) - D \cos ( \gamma ) \cos ( \psi ) , } \\ { m \Dot { u } _ { y } } & { = L \cos ( \mu ) \sin ( \gamma ) \sin ( \psi ) + L \sin ( \mu ) \cos ( \psi ) - D \cos ( \gamma ) \sin ( \psi ) , } \\ { m \Dot { u } _ { z } } & { = L \cos ( \mu ) \cos ( \gamma ) + D \sin ( \gamma ) - m g , } \\ { \Dot { \vec { r } } } & { = \mathbf { u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V } _ { \mathrm { M C S } } ^ { \Omega , \, \mathrm { Q P D } _ { 2 } } } & { { } = \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \lambda \delta z _ { 0 } } { 2 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } m \Big ( - A _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n + 2 , m ) } + A _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m + 2 ) } } \end{array}
( Z _ { \bf m } ^ { N } ) _ { \bf k l } \equiv \int d ^ { 2 } \sigma f _ { \bf k } ^ { * } ( \sigma ) \, Z _ { \bf m } ^ { N } ( \sigma ) \, f _ { \bf l } ( \sigma ) = - 2 i \sin \left( \frac { 2 \pi } { N } { \bf m \times l } \right) \delta _ { { \bf m } \, ( { \bf k - l } ) } \, .
\left\{ \begin{array} { l l } { { \alpha _ { 2 } = F _ { 1 } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \phi ; B , K ) } } \\ { { \beta _ { 2 } = F _ { 2 } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \phi ; B , K ) } } \end{array} \right. ,
\ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } } \cdot \left[ \nabla ( \ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } } \cdot \nabla s ) + \frac { 1 } { \gamma } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial T } \right) _ { p } \nabla s + \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial T } \right) _ { s } \nabla \ln p \right] = 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \hat { n } _ { 1 } \rangle = } & { \, 2 \left( \beta _ { 1 } - \gamma _ { 1 } \right) \langle \hat { n } _ { 1 } \rangle + \mu \langle \hat { \eta } \rangle + 2 \beta _ { 1 } } \\ { \frac { d } { d t } \langle \hat { n } _ { 2 } \rangle = } & { \, 2 \left( \beta _ { 2 } - \gamma _ { 2 } \right) \langle \hat { n } _ { 2 } \rangle - \mu \langle \hat { \eta } \rangle + 2 \beta _ { 2 } } \\ { \frac { d } { d t } \langle \hat { \eta } \rangle = } & { \, 2 \mu \langle \hat { n } _ { 2 } \rangle - 2 \mu \langle \hat { n } _ { 1 } \rangle } \\ & { + \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } - \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } \right) \langle \hat { \eta } \rangle } \end{array}
< / s p a n > S i n c e t h e n u m b e r o f e l e m e n t s i n a n i n c l u s i v e r a n g e l i k e t h i s , i . e . < s p a n c l a s s = " m a t h - c o n t a i n e r " > \left[ n _ { \mathrm { m i n } } , ~ n _ { \mathrm { m a x } } \right] , < / s p a n > i s < s p a n c l a s s = " m a t h - c o n t a i n e r " > 1 + n _ { \mathrm { m a x } } - n _ { \mathrm { m i n } } , < / s p a n > w e ^ { \prime } r e t h e r e f o r e i n t e r e s t e d i n < s p a n c l a s s = " m a t h - c o n t a i n e r " >
\mathcal { D } = \frac { \int _ { \mathcal { L } } ~ d \mathcal { L } \int _ { \widetilde { \xi } _ { n } } ~ [ u ( \widetilde { \xi } _ { n } ) ] ~ [ u ( \widetilde { \xi } _ { n } - \mathcal { L } ) ] ~ d \widetilde { \xi } _ { n } } { \int _ { \widetilde { \xi } _ { n } } ~ [ u ( \widetilde { \xi } _ { n } ) ] ~ [ u ( \widetilde { \xi } _ { n } ) ] ~ d \widetilde { \xi } _ { n } } = \frac { \int _ { \mathcal { L } } ~ d \mathcal { L } \int _ { \widetilde { \xi } _ { n } } ~ [ u ^ { \lambda } ( \widetilde { \xi } _ { n } ) ] ~ [ u ^ { \lambda } ( \widetilde { \xi } _ { n } - \mathcal { L } ) ] ~ d \widetilde { \xi } _ { n } } { \int _ { \widetilde { \xi } _ { n } } ~ [ u ^ { \lambda } ( \widetilde { \xi } _ { n } ) ] ~ [ u ^ { \lambda } ( \widetilde { \xi } _ { n } ) ] ~ d \widetilde { \xi } _ { n } }
E _ { f r } = - \frac { \hbar ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } } { 2 m _ { r } } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { r } r _ { 0 } ^ { 2 } } \left( 1 - \sqrt { 1 - \frac { 2 r _ { 0 } } { a } } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d \tau } \nabla _ { b } X ^ { c } = X ^ { a } \nabla _ { a } \nabla _ { b } X ^ { c } } & { = } & { X ^ { a } ( \nabla _ { a } \nabla _ { b } - \nabla _ { b } \nabla _ { a } ) X ^ { c } + X ^ { a } \nabla _ { b } \nabla _ { a } X ^ { c } } \\ & { = } & { X ^ { a } ( \nabla _ { a } \nabla _ { b } - \nabla _ { b } \nabla _ { a } ) X ^ { c } + \nabla _ { b } ( X ^ { a } \nabla _ { a } X ^ { c } ) - ( \nabla _ { b } X ^ { a } ) ( \nabla _ { a } X ^ { c } ) } \\ & { = } & { \mathcal { R } _ { \ d a b } ^ { c } X ^ { a } X ^ { d } - ( \nabla _ { b } X ^ { a } ) ( \nabla _ { a } X ^ { c } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln { \gamma _ { \mathrm { { H } } } } } & { { } = - \epsilon _ { \mathrm { { H } } } ^ { \mathrm { { S i } } } { x _ { \mathrm { { S i } } } ^ { \prime } } \left( { 1 + \frac { { \ln ( 1 - { x _ { \mathrm { { S i } } } ^ { \prime } } ) } } { { { x _ { \mathrm { { S i } } } ^ { \prime } } } } - \frac { 1 } { { 1 - { x _ { \mathrm { { H } } } } } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { i , 1 } } & { = 1 \mathrm { ~ i f ~ } c _ { i + 2 } c _ { i + 1 } c _ { i } \in \{ 0 0 1 , 0 1 1 \} , \mathrm { ~ a n d ~ } y _ { i , 1 } = 0 \mathrm { ~ o t h e r w i s e } , } \\ { y _ { i , 2 } } & { = 1 \mathrm { ~ i f ~ } c _ { i + 1 } c _ { i } = 0 1 \textup { s . t . } y _ { i , 1 } = 0 , \mathrm { ~ a n d ~ } y _ { i , 2 } = 0 \mathrm { ~ o t h e r w i s e } . } \end{array}