harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( P _ { 1 2 } ) _ { a b } = \langle V _ { a } ^ { + + } ( 1 ) \vert V _ { b } ^ { + + } ( 2 ) \rangle = ( D _ { 1 } ^ { + } ) ^ { 4 } \left( { \frac { \delta ^ { 8 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) } { x _ { 1 2 } ^ { 2 } } } \right) \delta ^ { ( - 2 , 2 ) } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \delta _ { a b } \ .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } p _ { \textrm { c o n t } } ( r ; s ) } & { = \frac { 1 } { 2 } z _ { 0 } e ^ { - \tau _ { r } s } Q ( s ) f _ { o } ( y ; s ) , \quad r \geq 0 , } & & { } \\ { p _ { \textrm { c o n t } } ( r _ { b } ; s ) } & { = \frac { 1 } { 2 } z _ { 0 } e ^ { - \tau _ { r b } s } \overline { { Q } } ( s ) f _ { o } ( y ; s ) , \quad r _ { b } \geq 0 , } & & { } \end{array}
\vert \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle = \otimes _ { j = 1 } ^ { N } \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } \frac { \hat { a } _ { j } ^ { \dag n } } { \sqrt { n ! } } \right) \vert 0 \rangle ,
( \delta _ { L R } ^ { \tilde { q } } ) _ { i j } = \frac { 1 } { m _ { \tilde { q } } ^ { 2 } } [ V _ { L } ^ { q } ( M _ { \tilde { q } } ^ { 2 } ) _ { L R } V _ { R } ^ { q \dagger } ] _ { i j }
\langle \mathrm { ~ R ~ x ~ n ~ } _ { i n t } \rangle = \frac { d \langle c \rangle } { d t } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } c r ^ { 3 } \frac { d f } { d t } d c d r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 3 } g ( r ) d r }
\begin{array} { r } { \check { c } _ { i } = 0 \; ( i = 0 , 1 \ldots ) , \quad \check { \theta } _ { 0 } = \check { v } _ { 0 } = \check { \rho } _ { 0 } ^ { - 1 } = T _ { a d } , \quad \check { p } _ { 0 } = 1 , } \\ { \check { \theta } _ { 1 } = b ^ { 2 } \frac { \gamma - 1 } { 2 } ( 1 - T _ { a d } ^ { 2 } ) , \quad \check { v } _ { 1 } = b ^ { 2 } q \left( 1 + \frac { q } { 2 } ( 1 + \gamma ) \right) , \quad \check { p } _ { 1 } = - b ^ { 2 } \gamma q , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle { \cal Z } = \int \, d ^ { 2 } c _ { - 2 } d ^ { 2 } c _ { - 1 } d ^ { 2 } c _ { 0 } d ^ { 2 } c _ { 1 } d ^ { 2 } c _ { 2 } \, } \\ { \displaystyle \delta ( | c _ { - 2 } | ^ { 2 } + | c _ { - 1 } | ^ { 2 } + | c _ { 0 } | ^ { 2 } + | c _ { 1 } | ^ { 2 } + | c _ { 2 } | ^ { 2 } - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } _ { H } ( z _ { 0 } ) \langle \mathcal { T } _ { H } ( z _ { 0 } ) \rangle + \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \rangle = \frac { ( H + z _ { 0 } ( 1 + q H ) ) ( H - z _ { 0 } ) } { 2 D ( 1 + q H ) } = \frac { H ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 D } - \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \frac { H ^ { 2 } } { 2 D } \, , } \end{array}
J = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left( \int _ { \Omega } \mathcal { L } _ { d _ { \phi } } \; d \Omega + \mathcal { L } _ { C } \right) ( x _ { i } ( t ) , y _ { i } ( t ) , \dot { x } _ { i } ( t ) , \dot { y } _ { i } ( t ) ; \Gamma _ { i } ) \; d t ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial T ^ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } ( x ) } & { = \textrm { s g n } ( x _ { 2 } ) \frac { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \left( | x | + x _ { 1 } \right) } } { 2 | x | } , } \\ { \frac { \partial T ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } ( x ) } & { = - \frac { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \left( | x | - x _ { 1 } \right) } } { 2 | x | } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial h } { \partial t } } } & { + H \left( { \frac { \partial u } { \partial x } } + { \frac { \partial v } { \partial y } } \right) = 0 , } \\ { { \frac { \partial u } { \partial t } } } & { - f v = - g { \frac { \partial h } { \partial x } } - k u , } \\ { { \frac { \partial v } { \partial t } } } & { + f u = - g { \frac { \partial h } { \partial y } } - k v . } \end{array} }
\triangle ( \tau ^ { \prime } , \tau ) ^ { a b } = \theta ^ { a b } \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { n } n e ^ { i n ( \tau ^ { \prime } - \tau ) } \Rightarrow \triangle ( \tau , \tau ^ { \prime } ) _ { a b } ^ { - 1 } = \theta _ { a b } \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { n } \frac { 1 } { n } e ^ { i n ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } \ .
\footnote { h t t p s : / / w w w . n g d c . n o a a . g o v / s t p / s p a c e - w e a t h e r / s o l a r - d a t a / s o l a r - f e a t u r e s / s o l a r f l a r e s / x - r a y s / g o e s / x r s / }
\mathcal { M } = \langle f | S | i \rangle = \langle \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { m } | S | \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rangle \, ,
\begin{array} { r } { \chi _ { a } = \biggl \langle \delta \phi ( \mathbf { R } + \boldsymbol { \rho } ) - v _ { \parallel } \delta A _ { \parallel } ( \mathbf { R } + \boldsymbol { \rho } ) - \mathbf { v } _ { \perp } \cdot \delta \mathbf { A } _ { \perp } ( \mathbf { R } + \boldsymbol { \rho } ) \biggr \rangle _ { \mathbf { R } } \, , } \end{array}
G _ { \alpha } ^ { R P A } ( t , t ^ { \prime } ) = G _ { \alpha } ( t , t ^ { \prime } ) \, + \int d t _ { 1 } \, d t _ { 2 } \, G _ { \alpha } ( t , t _ { 1 } ) \Sigma _ { \alpha } ^ { ( d ) } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \, G _ { \alpha } ( t _ { 2 } , t ^ { \prime } ) ~ .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \frac { e ^ { - \beta ( t - s ) } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } s \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } d s } & { = \int _ { 0 } ^ { \frac { t } { 2 } } \frac { e ^ { - \beta ( t - s ) } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } s \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } d s + \int _ { \frac { t } { 2 } } ^ { t } \frac { e ^ { - \beta ( t - s ) } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } s \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } d s } \\ & { \le e ^ { - \beta ( t - \frac { t } { 2 } ) } \int _ { 0 } ^ { \frac { t } { 2 } } d s + \frac { 1 } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } \frac { t } { 2 } \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } \int _ { \frac { t } { 2 } } ^ { t } e ^ { - \beta ( t - s ) } d s } \\ & { \le \frac { t } { 2 } e ^ { - \beta \frac { t } { 2 } } + \frac { \beta ^ { - 1 } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } \frac { t } { 2 } \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } \le \frac { C } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } t \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } . } \end{array}
\widetilde { \Phi } _ { i j } ( k ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \theta \Phi _ { i j } ( \theta ) e ^ { i k \theta } = 2 \pi \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - i ) ^ { n } \eta _ { i j } ^ { ( n ) } k ^ { n } \quad .
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \delta \hat { G } _ { i j } ^ { \mathrm { P A } } ( t ) = } & { \Big [ h ^ { \mathrm { H F } } , \delta \hat { G } ^ { \mathrm { P A } } \Big ] _ { i j } ( t ) + \Big [ \delta \hat { U } ^ { \mathrm { H F } } , G ^ { < } \Big ] _ { i j } ( t ) \, , \, } \end{array}
\begin{array} { c } { { [ A _ { i } ^ { ~ j } , A _ { k } ^ { ~ l } ] = i ( \delta _ { k } ^ { ~ j } A _ { i } ^ { ~ l } - \delta _ { i } ^ { ~ l } A _ { k } ^ { ~ j } + { \cal E } ^ { j l } A _ { k i } - \bar { \cal E } _ { i k } A ^ { j l } ) } } \\ { { { } } } \\ { { { [ A _ { i } ^ { ~ j } , Q ^ { k } ] = i ( { \cal E } ^ { j k } \bar { Q } _ { i } ^ { t } - \delta _ { i } ^ { ~ k } Q ^ { j } ) } } } \\ { { { } } } \\ { { { [ A _ { i } ^ { ~ j } , S ^ { k } ] = i ( { \cal E } ^ { j k } \bar { S } _ { i } ^ { t } - \delta _ { i } ^ { ~ k } S ^ { j } ) } } } \\ { { { } } } \\ { { \displaystyle { [ A _ { i } ^ { ~ j } , P _ { A } ] = [ A _ { i } ^ { ~ j } , K _ { A } ] = [ A _ { i } ^ { ~ j } , M _ { A B } ] = 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - m _ { k } ^ { \mathrm { D A } } } & { \leq m _ { t } ^ { \mathrm { D A } } \leq m _ { k } ^ { \mathrm { D A } } } & { \forall I _ { k } \in \mathcal { I } , t \in I _ { k } , } \\ { - m ^ { \mathrm { D A } } } & { \leq m _ { k } ^ { \mathrm { D A } } \leq m ^ { \mathrm { D A } } } & { \forall k \in \mathcal { K } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \tilde { \boldsymbol { u } } } { \partial \tilde { t } } + \left( \tilde { \boldsymbol { u } } \cdot \tilde { \boldsymbol { \nabla } } \right) \tilde { \boldsymbol { u } } + \frac { 1 } { \textrm { R o } } \boldsymbol { e } _ { z } \times \tilde { \boldsymbol { u } } } & { = - \tilde { \boldsymbol { \nabla } } \tilde { p } + \left( \frac { \textrm { P r } } { \textrm { R a } } \right) ^ { 1 / 2 } \tilde { \nabla } ^ { 2 } \tilde { \boldsymbol { u } } + \tilde { T } \boldsymbol { e } _ { z } , } \\ { \frac { \partial \tilde { T } } { \partial \tilde { t } } + \left( \tilde { \boldsymbol { u } } \cdot \tilde { \boldsymbol { \nabla } } \right) \tilde { T } } & { = \frac { 1 } { \left( \textrm { R a } \textrm { P r } \right) ^ { 1 / 2 } } \tilde { \nabla } ^ { 2 } \tilde { T } , } \\ { \tilde { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \tilde { \boldsymbol { u } } } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \# \{ x ^ { n } \in S _ { \mathrm { e } ^ { \star } } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} } & { = \# \{ x ^ { n } \in S _ { \mathrm { e } ^ { \star } } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ x _ 1 ~ = ~ 0 ~ } \} + \# \{ x ^ { n } \in S _ { \mathrm { e } ^ { \star } } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ x _ 1 ~ = ~ 1 ~ } \} } \\ & { \stackrel { ( a ) } { = } \# \{ x ^ { n } \in S _ { \mathrm { e } ^ { \star } } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ x _ 1 ~ = ~ x _ 2 = ~ 0 ~ } \} + \# \{ x _ { 2 } ^ { n } \in S _ { \mathrm { e } ^ { \star } } : \ w _ { s _ { 2 } ^ { n } } ( x _ { 2 } ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} - 1 } \\ & { = \# \{ x _ { 3 } ^ { n } \in S _ { \mathrm { e } ^ { \star } } : \ w _ { s _ { 3 } ^ { n } } ( x _ { 3 } ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} + \# \{ x _ { 2 } ^ { n } \in S _ { \mathrm { e } ^ { \star } } : \ w _ { s _ { 2 } ^ { n } } ( x _ { 2 } ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ( \rho , \frac { \pi } { 4 } ) \, } & { = \, \frac { 8 } { \pi } \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { ( m _ { n } ^ { 2 } - 1 ) m _ { n } } \, \rho ^ { m _ { n } ^ { 2 } } } \\ { \rho \, W _ { \rho } ( \rho , \frac { \pi } { 4 } ) \, } & { = \, \frac { 8 } { \pi } \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } m _ { n } } { m _ { n } ^ { 2 } - 1 } \, \rho ^ { m _ { n } ^ { 2 } } } \\ { \rho \, W _ { \rho } ( \rho , \frac { \pi } { 4 } ) - W ( \rho , \frac { \pi } { 4 } ) \, } & { = \, \frac { 8 } { \pi } \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { m _ { n } } \, \rho ^ { m _ { n } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { x ^ { m } y ^ { k } } [ h ( x , y ) - \sum _ { r = 0 } ^ { k - 1 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi _ { r } ( i ) x ^ { i } y ^ { r } ] } \\ & { = } & { \sum _ { r = 1 } ^ { n } c _ { r 1 } x ^ { - ( r - 1 ) } h ( x , y ) + \sum _ { r = 1 } ^ { n } c _ { r 2 } x ^ { - ( r - 1 ) } y ^ { - 1 } [ h ( x , y ) - \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi _ { 0 } ( i ) x ^ { i } ] + } \\ & { } & { \sum _ { r = 1 } ^ { n } c _ { r 3 } x ^ { - ( r - 1 ) } y ^ { - 2 } [ h ( x , y ) - \sum _ { t = 0 } ^ { 1 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi _ { t } ( i ) x ^ { i } y ^ { t } ] + . . . + } \\ & { } & { \sum _ { r = 1 } ^ { n } c _ { r k } x ^ { - ( r - 1 ) } y ^ { - ( k - 1 ) } [ h ( x , y ) - \sum _ { t = 0 } ^ { k - 2 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi _ { t } ( i ) x ^ { i } y ^ { t } ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { p ( c | a _ { 1 } , a _ { 2 } ) p ( b | c ) } \left[ { \frac { 1 } { \beta } \sum _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , b } p ( a _ { 2 } ) p ( a _ { 1 } | a _ { 2 } ) \ln { \sum _ { c } p ^ { \beta } ( c | a _ { 1 } , a _ { 2 } ) p ^ { \beta } ( b | c ) } } \right] \geq \frac { 1 } { \beta } \sum _ { a _ { 2 } , b } p ( a _ { 2 } ) \ln { \sum _ { c } \hat { p } ^ { \beta } ( c | a _ { 2 } ) \hat { p } ^ { \beta } ( b | c ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { z } ^ { 2 } } & { { } = } & { \left( i k \right) ^ { 2 } = - k ^ { 2 } } \\ { \partial _ { t } ^ { 2 } } & { { } = } & { \left( i \omega \right) ^ { 2 } = - \omega ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { e ^ { 2 \pi ( \alpha + \frac { 1 } { 4 } ) \sigma _ { 3 } } , } & { \arg z } & { \in ( - \frac { \pi } { 4 } , 0 ) , } \\ & { e ^ { \frac { 1 } { 2 } \pi i \sigma _ { 3 } } , } & { \arg z } & { \in ( 0 , \pi ) , } \\ & { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \pi i \sigma _ { 3 } } , } & { \arg z } & { \in ( \pi , \frac { 7 \pi } { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { { } = \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( u _ { n } - u \right) } \end{array}
f _ { x } ^ { \prime } ( w ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \sqrt { 2 \pi } w e ^ { w ^ { 2 } / 2 } \Phi ( w ) + 1 \right) \bar { \Phi } ( x ) } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \quad w \leq x } \\ { \left( \sqrt { 2 \pi } w e ^ { w ^ { 2 } / 2 } \bar { \Phi } ( w ) - 1 \right) \Phi ( x ) } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \quad w > x } \end{array} \right. ;
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \cdot \nabla ( \mathbf { v } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) + \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \cdot \nabla ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \mathbf { v } ) } & { { } = ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) \nabla \cdot \mathbf { v } - \nabla \mathbf { v } \cdot ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) , } \end{array}
\operatorname { s b } ( [ f _ { 1 } + \overline { { D _ { 1 } } } , f _ { 2 } + \overline { { D _ { 2 } } } ] _ { \Lambda } ) = \operatorname { s b } ( [ \overline { { D _ { 1 } } } , \overline { { D _ { 2 } } } ] _ { \Lambda _ { 1 } } + \delta _ { \overline { { D _ { 1 } } } } ( f _ { 2 } ) - \delta _ { \overline { { D _ { 2 } } } } ( f _ { 1 } ) ) = \operatorname { s b } ( [ \overline { { D _ { 1 } } } , \overline { { D _ { 2 } } } ] _ { \Lambda _ { 1 } } ) .
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \frac { \langle \tilde { \nu } \rangle \langle \nu \rangle \langle \tilde { p } _ { 0 } \rangle ^ { 2 d + 2 } \langle \tilde { q } _ { - 3 } - p _ { n - 1 } \rangle ^ { d + 1 } \langle \tilde { p } _ { - 3 } - p _ { n - 1 } \rangle ^ { d + 1 } \prod _ { m = 1 } ^ { n - 1 } \langle p _ { m } - p _ { m - 1 } \rangle ^ { 3 ( d + 1 ) } } { \langle \tilde { \nu } \rangle \langle \nu \rangle \langle \tilde { p } _ { 0 } \rangle ^ { 2 d + 2 } \langle \tilde { q } _ { - 3 } - p _ { n - 1 } \rangle ^ { d + 1 } \langle \tilde { p } _ { - 3 } - p _ { n - 1 } \rangle ^ { d + 1 } \prod _ { m = 1 } ^ { n } \langle p _ { m } - p _ { m - 1 } \rangle ^ { 3 ( d + 1 ) } } } \\ & { \leq C \frac { \langle \tilde { \nu } \rangle \langle \nu \rangle \langle \tilde { p } _ { 0 } \rangle ^ { 2 d + 2 } \langle \tilde { q } _ { - 3 } - p _ { n - 1 } \rangle ^ { d + 1 } \langle \tilde { p } _ { - 3 } - p _ { n - 1 } \rangle ^ { d + 1 } \prod _ { m = 1 } ^ { n - 1 } \langle p _ { m } - p _ { m - 1 } \rangle ^ { 3 ( d + 1 ) } } { \langle \tilde { \nu } \rangle \langle \nu \rangle \langle \tilde { q } _ { - 3 } \rangle ^ { d + 1 } \langle \tilde { p } _ { - 3 } \rangle ^ { d + 1 } \prod _ { m = 1 } ^ { n - 1 } \langle p _ { m } - p _ { m - 1 } \rangle ^ { d + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { z _ { 1 } = \mu \left( 1 - \frac { C _ { 1 } } { 2 } \left( 1 - \frac { \mu _ { 1 } } { \mu } \right) \right) , } & & { \qquad a = \frac { \rho _ { 0 } } { 2 } \left( 1 + \frac { \mu _ { 1 } } { \mu } \right) , \ } \\ & { z _ { 2 } = \mu \left( 1 - \frac { C _ { 1 } } { 2 } \left( 1 + \frac { \mu _ { 1 } } { \mu } \right) \right) , } & & { \qquad b = \frac { \rho _ { 0 } } { 2 } \left( 1 - \frac { \mu _ { 1 } } { \mu } \right) . } \end{array}
\Lambda ^ { ( n ) } ( \lambda ; \; \vec { \mu } ) \, Q \left( \lambda ; \, m , \vec { \mu } \right) = ( \lambda + i ) ^ { n } \; Q \left( \lambda + i ; \, m , \vec { \mu } \right) + ( \lambda - i ) ^ { n } \; Q \left( \lambda - i ; \, m , \vec { \mu } \right) \; ,
\tilde { \sigma } _ { ( i j ) } ^ { 2 } ( \lambda ) \equiv \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \tilde { \sigma } _ { n , ( i j ) } ^ { 2 } ( \lambda ) = \lambda ^ { \prime } \mathcal { \bar { H } } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) - 1 } \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } E [ G _ { i , t } ^ { ( 0 ) } G _ { j , t } ^ { ( 0 ) \prime } ] \mathcal { \bar { H } } _ { ( j ) } ^ { ( 0 ) - 1 } \lambda .
W _ { \hbar } ^ { t _ { 2 } } W _ { \hbar } ^ { t _ { 1 } } = \sum _ { x \in \mathcal { X } } V _ { \hbar , x } ^ { t _ { 2 } } \sum _ { x \in \mathcal { X } } V _ { \hbar , x } ^ { t _ { 1 } } = \sum _ { x \in \mathcal { X } } V _ { \hbar , x } ^ { t _ { 2 } } V _ { \hbar , x } ^ { t _ { 1 } } + \sum _ { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { 2 } } V _ { \hbar , x _ { 2 } } ^ { t _ { 2 } } V _ { \hbar , x _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } } .
\begin{array} { r } { ( \| \theta ^ { * } \| ^ { 2 } / \| \theta ^ { * } \| _ { 1 } ) \sqrt { \log ( \| \theta \| _ { 1 } ^ { * } ) } \leq \sqrt { \alpha } \theta _ { \operatorname* { m a x } } \sqrt { \log ( \sqrt { \alpha } n ) } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { \alpha } \theta _ { \operatorname* { m a x } } \sqrt { \log ( \alpha n ^ { 2 } ) } \to 0 } \end{array}
t _ { t o d } \simeq \frac 2 { 3 H } \left( \frac { T _ { I } } { T _ { \gamma } } \right) ^ { 3 / 2 b } \left( \frac { T _ { \gamma } } { T _ { M } } \right) ^ { 2 } \left[ \left( \frac { T _ { M } } { T _ { t o d } } \right) ^ { 3 / 2 } - 1 \right]
\psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \, \, \mathbf { r } _ { 2 } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \, \, \left( u _ { A } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) u _ { B } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) + u _ { B } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) u _ { A } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) \right)
[ z ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } + ( 1 - d ) z \partial _ { z } - p ^ { 2 } z ^ { 2 } - m ^ { 2 } - z \delta ( z - z _ { U V } ) \lambda _ { U V } ( p ) - z \delta ( z - z _ { I R } ) \lambda _ { I R } ( p ) ] \phi ( p , z ) = 0
K _ { 2 } ^ { \prime } = \epsilon \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 } \ln ^ { 2 } \left( \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } } { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } \right) - \frac { 3 } { 2 } \frac { ( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } - \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } ) } { \vec { q } ^ { \: 2 } } \ln \left( \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } } { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } \right) - 6 \frac { | \vec { q } _ { 1 } | | \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime } | } { \vec { q } ^ { \: 2 } } \theta \sin \theta + 8 \psi ^ { \prime } ( 1 ) - 2 \theta ^ { 2 } \right] ,
\frac { d e _ { m } } { d t } = \underbrace { ( 1 - \phi ) \frac { 1 } { V } \int _ { V } \mu { \mathbf u } _ { f } \nabla ^ { 2 } { \mathbf u } _ { f } d V } _ { - \epsilon ^ { ( f ) } } + \underbrace { \frac { 1 } { V } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } F _ { i } \cdot ( u _ { p , i } ) } _ { \Pi ^ { ( p ) } } - \underbrace { ( 1 - \phi ) \frac { 1 } { V } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } F _ { i } \cdot ( u _ { f @ p , i } ) } _ { \Pi ^ { ( f ) } } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { X _ { t } } & { = \xi + \int _ { 0 } ^ { t } b ( s , X _ { s } , Y _ { s } ) d s + \int _ { 0 } ^ { t } \sigma ( s , X _ { s } , Y _ { s } ) d W _ { s } + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { E } \beta ( X _ { s ^ { - } } , Y _ { s ^ { - } } , e ) \tilde { \mu } ( d e , d s ) , } \\ { Y _ { t } } & { = g ( X _ { T } ) + \int _ { t } ^ { T } f ( s , X _ { s } , Y _ { s } , Z _ { s } , \Gamma _ { s } ) d s - \int _ { t } ^ { T } Z _ { s } d W _ { s } - \int _ { t } ^ { T } \int _ { E } U _ { s } ( e ) \tilde { \mu } ( d e , d s ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\widetilde { \Phi } _ { m } ( t ) \equiv \Phi _ { m } ( t ) + \frac { 2 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } { A } \equiv \frac { 4 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } { A } ( t + \frac { 1 } { 2 } ) - \log ( 1 + \frac { 1 } { t } ) .
I ( X ; Y ) : = H ( Y ) - H ( Y | X ) = H ( X ) - H ( X | Y ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } P ( x _ { i } , y _ { j } ) \ln \frac { P ( x _ { i } , y _ { j } ) } { P ( x _ { i } ) P ( y _ { j } ) } .
\bar { P } _ { i y m d h } ^ { \mathrm { ~ w ~ } } = \left( 1 - \eta _ { i y m d h } ^ { \mathrm { ~ w ~ } } \right) * \phi _ { i } ^ { \mathrm { ~ w ~ } } * \bar { P } _ { i y } ^ { \mathrm { ~ w ~ } } * C _ { i } \left( V _ { y m d h } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 2 } , 0 ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { C } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 2 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { 2 } \leq C ( 1 + \| F _ { - } \| _ { \mathfrak D } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) , } \end{array}
\hat { A } ^ { \prime } ( \alpha ) = \sum _ { i = 1 } ^ { p } b _ { i } \prod _ { j = 1 } ^ { l _ { i } } ( \hat { a } ^ { \dag } + \bar { \alpha } ) ^ { n _ { i , j } } ( \hat { a } + { \alpha } ) ^ { m _ { i , j } } .
A _ { i j } ^ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { { i } \leftarrow { j } } ^ { s } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i \neq j \in ~ \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ u ~ c ~ t ~ u ~ r ~ e ~ l ~ a ~ y ~ e ~ r ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \quad \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \quad u _ { i \leftarrow j } ^ { s } = \frac { \gamma _ { j } ^ { s } } { 2 \pi \vert \mathbf { r } _ { j } ^ { s } - \mathbf { r } _ { i } ^ { s } \vert } ,
\frac { \mathrm { d } ^ { n } V _ { X } } { \mathrm { d } x ^ { n } } \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } V _ { X } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac { n } { 2 } } = o \left( \varepsilon ^ { 2 - n } \right) \quad \mathrm { a s \ } \varepsilon \rightarrow 0 \ \ \mathrm { a t \ \ } x = x _ { m } \ \ \mathrm { f o r \ \ } n = 3 , 4 , \ldots ,
\begin{array} { r l } { \tilde { e } _ { t } } & { \leq \bar { \alpha } \left( \tilde { e } _ { t - 1 } + C _ { 2 } d ^ { 2 } \eta _ { t - 1 } ^ { 2 } + C _ { 3 } d ^ { 2 } { \eta _ { t - 1 } ^ { 2 } } \right) } \\ & { \leq \bar { \alpha } ^ { t } \tilde { e } _ { 0 } + \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \bar { \alpha } ^ { t - k } \left( C _ { 2 } d ^ { 2 } \eta _ { k } ^ { 2 } + C _ { 3 } d ^ { 2 } { \eta _ { k } ^ { 2 } } \right) } \\ & { \leq \bar { \alpha } ^ { t } \tilde { e } _ { 0 } + C _ { 6 } d ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \bar { \alpha } ^ { t - k } \eta _ { k } ^ { 2 } , } \end{array}
\left. - \left( { \frac { 7 } { 3 2 } } - { \frac { 1 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } } - { \frac { 3 } { 2 \pi ^ { 4 } } } - { \frac { 6 } { \pi ^ { 6 } } } \right) \alpha ^ { 3 } + \ldots \right) .
\begin{array} { r } { E \big ( \{ ^ { 1 } \Gamma _ { p q } \} \big ) = \sum _ { p q } { ^ { 1 } \Gamma } _ { p q } \, h _ { q p } + \operatorname* { m i n } _ { \{ { ^ { 2 } \Gamma _ { p q r s } } \} \to \{ ^ { 1 } \Gamma _ { p q } \} } \; \sum _ { p q r s } { ^ { 2 } \Gamma } _ { p q r s } \, g _ { r s p q } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( y + z ) x } & { = ( y _ { 1 } + z _ { 1 } , y _ { 2 } + z _ { 2 } ) ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \\ & { = \left( ( y _ { 1 } + z _ { 1 } ) x _ { 1 } - x _ { 2 } ( \overline { { y _ { 2 } + z _ { 2 } } } ) , x _ { 1 } ( y _ { 2 } + z _ { 2 } ) + ( \overline { { y _ { 1 } + z _ { 1 } } } ) ( y _ { 2 } + z _ { 2 } ) ^ { - 1 } \cdot ( y _ { 2 } + z _ { 2 } ) x _ { 2 } \right) } \\ & { = \left( y _ { 1 } x _ { 1 } + z _ { 1 } x _ { 1 } - x _ { 2 } \overline { { y _ { 2 } } } - x _ { 2 } \overline { { z _ { 2 } } } , x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 1 } z _ { 2 } + ( \overline { { y _ { 1 } } } + \overline { { z _ { 1 } } } ) x _ { 2 } \right) . } \end{array}
\mu _ { - } ^ { - 1 } \partial _ { - i } \mu _ { - } = \sum _ { m = - 1 } ^ { - l _ { - i } } \lambda _ { - i , m } , \qquad \mu _ { + } ^ { - 1 } \partial _ { + i } \mu _ { + } = \sum _ { m = 1 } ^ { l _ { + i } } \lambda _ { + i , m } .