harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mu = } & { \zeta ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \zeta \Big ( \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \mu _ { \alpha _ { i } } \right) \! + q \cdot \tau \left( \mu _ { \alpha _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) } \\ { = } & { \zeta ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j , i \neq i _ { 0 } } ^ { n } \zeta \Big ( \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \mu _ { \alpha _ { i } } \right) \! + q \cdot \tau \left( \mu _ { \alpha _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg . } \\ & { \Bigg . \! + \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { j = 1 \atop j \neq i _ { 0 } } ^ { n } \zeta \Big ( \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \mu _ { \alpha _ { i _ { 0 } } } \right) \! + q \cdot \tau \left( \mu _ { \alpha _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) } \\ { < } & { \zeta ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j , i \neq i _ { 0 } } ^ { n } \zeta \Big ( \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \mu _ { \beta _ { i } } \right) + q \cdot \tau \left( \mu _ { \beta _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg . } \\ & { \Bigg . + \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { j = 1 \atop j \neq i _ { 0 } } ^ { n } \zeta \Big ( \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \mu _ { \beta _ { i _ { 0 } } } \right) + q \cdot \tau \left( \mu _ { \beta _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) } \\ { = } & { \zeta ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \zeta \Big ( \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \mu _ { \beta _ { i } } \right) \! + q \cdot \tau \left( \mu _ { \beta _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) } \\ { = } & { \mu ^ { \prime } , } \end{array}
\tau _ { 0 } ^ { p } - \tau ^ { p } = \frac { 1 } { 7 9 9 0 \mathrm { \ m u s } ^ { - 1 } } - \frac { 1 } { 7 9 9 0 \mathrm { \ m u s } ^ { - 1 } + 5 1 3 \mathrm { \ m u s } ^ { - 1 } } \approx 7
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { D } } ( x , y ) } & { { } = \frac { c \epsilon _ { 0 } } { 2 } \left| E _ { \mathrm { S } } ( x , y ) + E _ { \mathrm { R } } ( x , y ) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigcap _ { \lambda \in \Lambda } \mathcal { C } _ { \lambda } \cap \left( - \bigcap _ { \lambda \in \Lambda } \mathcal { C } _ { \lambda } \right) = } & { \bigcap _ { \lambda \in \Lambda } \left( \mathcal { C } _ { \lambda } \cap ( - \mathcal { C } _ { \lambda } ) \right) = \bigcap _ { \lambda \in \Lambda } \{ 0 \} = \{ 0 \} . } \end{array}
\bar { \epsilon } _ { i j } = \epsilon \, \delta _ { i j } + { \frac { \mathrm { i } } { { 2 { \omega } ^ { 2 } } } } \left( a _ { i } \, c _ { n } + a _ { n } \, c _ { i } \right) { \epsilon } _ { n b j } \, k _ { b } \; .
\begin{array} { r l } { J } & { { } = \sum _ { i < j } ^ { N _ { \mathrm { e } } } u ( r _ { i j } ) + \sum _ { i } ^ { N _ { \mathrm { e } } } \sum _ { I } ^ { N _ { \mathrm { n } } } \chi ( r _ { i I } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 \mu } + \frac 1 2 \mu \omega ^ { 2 } \hat { x } ^ { 2 } + U _ { m } ( \hat { x } ) \otimes \hbar \big ( 2 J \hat { \Sigma } _ { X } - \Delta _ { m } \big ) \ , } \end{array}
c _ { A } = c _ { A } ( N , \ensuremath { \varepsilon } ) , \mathbf { v } _ { A } = \mathbf { v } _ { A } ( N , \ensuremath { \varepsilon } ) \in H ^ { 1 } ( 0 , T _ { 0 } ; L ^ { 2 } ( \ensuremath { \Omega } ) ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T _ { 0 } ; H ^ { 2 } ( \ensuremath { \Omega } ) )
\tilde { \chi } ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p - 1 } } = \partial _ { \mu } A ^ { \mu \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p - 1 } } + \frac 1 { p - 1 } \partial ^ { \left[ \mu _ { 1 } \right. } B ^ { ( 1 ) \left. \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { p - 1 } \right] } ,
\left( \begin{array} { l } { { { Q _ { E } } ^ { U } } } \\ { { { Q _ { M } } ^ { U } } } \end{array} \right) = { \frac { e } { 4 \pi } } \int d S _ { k } \, \sqrt { - g } \, U ( x ) \left( \begin{array} { l } { { F ^ { k 0 } } } \\ { { \tilde { F } ^ { k 0 } } } \end{array} \right) U ^ { - 1 } ( x )
\Psi _ { + } \equiv \left( \begin{array} { c } { { \chi _ { 1 } } } \\ { { \chi _ { 2 } } } \end{array} \right) , ~ ~ \Psi _ { - } \equiv \left( \begin{array} { c } { { \eta _ { 1 } } } \\ { { \eta _ { 2 } } } \end{array} \right) , ~ ~ \Psi = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { \Psi _ { + } + \Psi _ { - } } } \\ { { \Psi _ { + } - \Psi _ { - } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \nabla = ( \frac { \partial } { \partial x } - ( \frac { z } { \phi - \phi _ { 2 } } ( \phi - \phi _ { 2 } ) _ { x } + \frac { \phi _ { 2 , x } } { \phi - \phi _ { 2 } } ) \frac { \partial } { \partial z } , \frac { 1 } { \phi - \phi _ { 2 } } \frac { \partial } { \partial z } ) = D \cdot \nabla ^ { * } , } \end{array}
\sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { d R ( t ) } { d t } = \sum _ { t = 0 } ^ { T } \gamma I ( t ) = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma \beta ^ { t - 1 } k \leq \gamma k \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \beta _ { 0 } ^ { t - 1 } } { r ^ { t - 1 } } = \frac { \gamma k \big ( ( \beta _ { 0 } / r ) ^ { T } - 1 \big ) } { ( \beta _ { 0 } / r ) \big ( ( \beta _ { 0 } / r ) - 1 \big ) } .
\rho \mathbf { u } _ { i } \cdot \mathbf { u } _ { i } \frac { \partial | C _ { i } ( t ) | } { \partial t } + \mathbf { u } _ { i } \cdot | C _ { i } ( t ) | \frac { \partial \rho \mathbf { u } _ { i } } { \partial t } - \frac { 1 } { 2 } \rho \mathbf { u } _ { i } ^ { 2 } \frac { \partial | C _ { i } ( t ) | } { \partial t } + \sum _ { C _ { j } \in \mathcal { K } _ { i } } | \Gamma _ { i j } | \left( u _ { i j } - V _ { i j } \right) \frac { 1 } { 2 } \rho \mathbf { u } _ { i } \cdot \mathbf { u } _ { j } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \left( \hat { W } _ { S } ( u _ { 0 } ) \right) _ { i j } } & { = e ^ { - \beta \sigma } u _ { 0 } \quad } & { \textrm { i f i = j + 1 } } \\ { \left( \hat { W } _ { S } ( u _ { 0 } ) \right) _ { i j } } & { = j \quad } & { \textrm { i f i = j - 1 } } \\ { \left( \hat { W } _ { S } ( u _ { 0 } ) \right) _ { i j } } & { = 0 \quad } & { \textrm { o t h e r w i s e } } \end{array}
\gamma ^ { + } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { \sigma _ { 3 } } } \\ { { - \sigma _ { 3 } } } & { { - 1 } } \end{array} \right) ~ , ~ ~ ~ ~ \gamma ^ { - } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { - \sigma _ { 3 } } } \\ { { \sigma _ { 3 } } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \ln \Bigl ( \mathbb E _ { u , x , \delta } \Bigl [ \prod _ { k : | \xi _ { n + 1 , k } | \geq \varepsilon } \bigl ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { n + 1 , k } ) s _ { n + 1 , k } \delta _ { n + 1 } \bigr ) \frac { \prod _ { i \le n } \prod _ { k \ge 1 } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { i , k } ) s _ { i , k } \delta _ { i } ) } { \mathbb E _ { u , x , \delta } \prod _ { i \le n } \prod _ { k \ge 1 } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { i , k } ) s _ { i , k } \delta _ { i } ) } \Bigr ] \Bigr ) } \\ & { = \mathbb E \ln \Bigl ( \mathbb E _ { u , x , \delta } \Bigl [ \prod _ { k : | \xi _ { n + 1 , k } | \geq \varepsilon } \bigl ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { n + 1 , k } ) s _ { n + 1 , k } \delta _ { n + 1 } \bigr ) \Bigr ] \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { { t o t a l } } } ( E , s / d ) = } & { \frac { \mu _ { 1 s , 3 p } \mu _ { 3 p , E } } { 4 \omega _ { \mathrm { I R } } \omega _ { \mathrm { H 1 5 } } } \mathrm e ^ { - \mathrm i \omega _ { \mathrm { I R } } \tau } \int \mathrm d t \int ^ { t } \mathrm d t ^ { \prime } \sqrt { I _ { \mathrm { I R } } ( t ) I _ { \mathrm { H 1 5 } } ( t ^ { \prime } ) } \times } \\ & { \exp \left\{ - \mathrm i [ \Phi _ { 3 p } ( t ) + \omega _ { \mathrm { I R } } t - E t - \Phi _ { 3 p } ( t ^ { \prime } ) + \Phi _ { 1 s } ( t ^ { \prime } ) - \omega _ { \mathrm { I R } } t ^ { \prime } ] \right\} + } \\ & { \pi \frac { \mu _ { 1 s , E ^ { \prime } } \mu _ { E ^ { \prime } , E } } { 4 \omega _ { \mathrm { I R } } \omega _ { \mathrm { H 1 7 } } } \mathrm e ^ { \mathrm i \omega _ { \mathrm { I R } } \tau } \int \sqrt { I _ { \mathrm { I R } } ( t ) I _ { \mathrm { H 1 7 } } ( t ) } \exp \left\{ - \mathrm i [ - \omega _ { \mathrm { I R } } t - E t + \omega _ { 2 } t + \Phi _ { 1 s } ( t ) ] \right\} \, \mathrm d t . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \cosh ( i x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( e ^ { i x } + e ^ { - i x } \right) = \cos x } \\ { \sinh ( i x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( e ^ { i x } - e ^ { - i x } \right) = i \sin x } \\ { \cosh ( x + i y ) } & { = \cosh ( x ) \cos ( y ) + i \sinh ( x ) \sin ( y ) } \\ { \sinh ( x + i y ) } & { = \sinh ( x ) \cos ( y ) + i \cosh ( x ) \sin ( y ) } \\ { \operatorname { t a n h } ( i x ) } & { = i \tan x } \\ { \cosh x } & { = \cos ( i x ) } \\ { \sinh x } & { = - i \sin ( i x ) } \\ { \operatorname { t a n h } x } & { = - i \tan ( i x ) } \end{array} }
\begin{array} { r } { e ^ { d ( t - s ) } \nabla _ { v } f ( s , \mathrm { Z } ^ { s ; t } ( x , v ) ) = \nabla _ { v } f ( t , x , v ) + \int _ { s } ^ { t } e ^ { d ( t - \tau ) } \left( \nabla _ { x } f ( \tau , \mathrm { Z } ^ { \tau ; t } ( x , v ) ) - \nabla _ { v } f ( \tau , \mathrm { Z } ^ { \tau ; t } ( x , v ) ) \right) \, \mathrm { d } \tau . } \end{array}
\mathrm { I } _ { i } \approx \frac { \rho _ { i } } { 6 \sqrt { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \rho _ { i } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \mu _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \rho _ { i } ^ { 2 } } } + \frac { \rho _ { i } } { 2 \sqrt { \frac { 4 } { 3 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \rho _ { i } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { 2 } { 3 } \frac { \mu _ { 1 } ^ { 2 } } { \frac { 4 } { 3 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \rho _ { i } ^ { 2 } } } , \; i = 1 , 2 .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } } & { \frac { \cos ^ { 2 } ( \theta ) - \frac { \lambda _ { n } } { \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } } { \big ( 1 - \frac { 4 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \kappa _ { 0 } ^ { 2 } - \lambda _ { n } ) ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } ( \theta ) \big ) \sqrt { 1 - p _ { n } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } } \, d \theta } \\ & { \leq \frac { 5 \pi \varepsilon + o ( 1 ) - C ( M ) } { \lambda _ { n } } \to - \infty \quad \mathrm { a s ~ n \to \infty ~ , } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 - e ^ { - \gamma t } } { \operatorname* { m a x } ( 1 , t ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) } \, d t \leq \gamma T \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } ( 1 , t ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) } \, d t \leq \gamma T \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } ( 1 , t ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) } \, d t = 3 \gamma T = 3 \gamma ^ { \frac { 1 } { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \frac { d S } { d t } } & { { } = - \beta S I - \lambda S I } \\ { \frac { d I } { d t } } & { { } = \beta S I - \gamma I } \\ { \frac { d R } { d t } } & { { } = \gamma I } \\ { \frac { d V } { d t } } & { { } = \lambda S I } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \varepsilon ^ { 2 } N _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( z ) - R ( z ) N _ { \varepsilon } ( z ) = - \lambda _ { \varepsilon } ( \mathbb { R } ) N _ { \varepsilon } ( z ) , \quad z \in \Omega } \\ { N _ { \varepsilon } ( z ) > 0 , \quad z \in \Omega , \quad \| N _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } = 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { 2 \nu \left[ g _ { r _ { x } } + i g _ { i _ { x } } \right] + 2 \nu U _ { y } ^ { 2 } t ^ { 2 } \left[ - f _ { i _ { x } } + f _ { r _ { x } } \right] - 2 \nu U _ { y } t \left[ - g _ { i _ { x } } + i g _ { r _ { x } } + f _ { r _ { x } } + i f _ { i _ { x } } \right] - e ^ { - \alpha U t } } \\ & { - R _ { 2 } \left[ \nu U _ { y } y \! \! - \! \! U \! \! + \! \! ( 1 \! \! - \! \! \nu ) A _ { 0 _ { y } } ^ { 2 1 } \! \! + \! \! i \alpha \left[ 2 \nu U _ { y } + ( 1 \! \! - \! \! \nu ) ( A _ { 0 } ^ { 1 2 } \! \! + \! \! A _ { 0 } ^ { 2 1 } ) \right] \! \! + \! \! B \alpha ^ { 2 } \! \! - \! \! 2 t ( 1 \! \! - \! \! \nu ) i \alpha U _ { y } A _ { 0 } ^ { 2 2 } \right] } \\ & { + ( 1 - \nu ) R _ { 3 } + t ( 1 - \nu ) U _ { y } ( R _ { 4 } + R _ { 5 } ) + t ^ { 2 } ( U _ { y } ) ^ { 2 } ( 1 - \nu ) R _ { 6 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } + \mathbf { U } \cdot \nabla ) ^ { 2 } \partial _ { z } w ^ { ( 2 ) } - \mathbf { U } ^ { \prime } \cdot ( \partial _ { t } + \mathbf { U } \cdot \nabla ) \nabla w ^ { ( 2 ) } - \nabla ^ { 2 } w ^ { ( 2 ) } = ~ } & { \mathcal { F } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , z , t ) ~ \mathrm { f o r } ~ z = 0 , } \\ { w ^ { ( 2 ) } = ~ } & { 0 ~ \mathrm { f o r } ~ z \to - \infty , } \end{array}
A _ { - 1 } ^ { \mathrm { t r } } ( s ) = { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } } } { \frac { \Gamma ( s - { \frac { 1 } { 2 } } ) } { \Gamma ( s + 1 ) } } \Bigr [ r _ { + } ^ { 2 s } - r _ { - } ^ { 2 s } \Bigr ] \Bigr [ \zeta _ { R } ( 2 s - 3 ) - \zeta _ { R } ( 2 s - 1 ) \Bigr ] ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \frac { d } { d t } } & { \int _ { \mathcal { V } } \Phi ( \mathbf { v } ) g ( \mathbf { v } , t ) \, d \mathbf { v } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathcal { V } ^ { 2 } } b ( \mathbf { v } , \mathbf { v } _ { \ast } ) \left\langle \Phi ( \mathbf { v } ^ { \prime } ) + \Phi ( \mathbf { v } _ { \ast } ^ { \prime } ) - \Phi ( \mathbf { v } ) - \Phi ( \mathbf { v } _ { \ast } ) \right\rangle g ( \mathbf { v } , t ) g ( \mathbf { v } _ { \ast } , t ) \, d \mathbf { v } \, d \mathbf { v } _ { \ast } } \end{array} } \end{array}
\frac { G " } { G ^ { \prime } } ( \omega ) = \tan { ( \delta ) } = \frac { \sin \left( m \pi / 2 \right) ( \omega \tau ) ^ { m } \tan \left( m \pi / 2 \right) } { \sin { \left( m \pi / 2 \right) } ( \omega \tau ) ^ { m } + \tan { \left( m \pi / 2 \right) } } .
\begin{array} { r l } { \left( \omega _ { 0 } \pm \omega _ { z } \right) b _ { \pm } \hat { \epsilon } _ { A \pm } \delta \hat { \phi } _ { \pm } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ i ~ } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \left[ c _ { \phi } ^ { \pm } \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) + d _ { \phi } ^ { \pm } \delta \hat { \psi } _ { z } \right] \left( \begin{array} { c } { \delta \hat { \phi } _ { 0 } } \\ { \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right) , } \\ { \left( \omega _ { 0 } \pm \omega _ { z } \right) b _ { \pm } \hat { \epsilon } _ { A \pm } \delta \hat { \psi } _ { \pm } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ i ~ } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \left[ c _ { \psi } ^ { \pm } \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) + d _ { \psi } ^ { \pm } \delta \hat { \psi } _ { z } \right] \left( \begin{array} { c } { \delta \hat { \phi } _ { 0 } } \\ { \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { c _ { a b c d } ^ { 2 } } { g D } } & { = \frac { ( 1 - a ( D k ) ^ { 2 } ) ( 1 - c ( D k ) ^ { 2 } ) } { ( 1 + b ( D k ) ^ { 2 } ) ( 1 + d ( D k ) ^ { 2 } ) } } \\ & { = 1 - ( a + b + c + d ) ( D k ) ^ { 2 } + \left( ( a + b ) ( b + c ) + ( a + b + c ) d + d ^ { 2 } \right) ( D k ) ^ { 4 } + O \left( ( D k ) \right) ^ { 6 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left\{ \mathcal { E } \right\} \triangleq \sum _ { x ^ { k } \in \mathcal { X } ^ { k } } P _ { X ^ { k } } \left( x ^ { k } \right) \sum _ { s ^ { k } \in \mathcal { S } ^ { k } } P _ { S ^ { k } | X ^ { k } } \left( s ^ { k } | x ^ { k } \right) \sum _ { z ^ { n } \in \mathcal { E } ( s ^ { k } , x ^ { k } ) } P _ { Z ^ { n } | Y ^ { n } } \left( z ^ { n } | \varphi ^ { n } \left( x ^ { k } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ I ~ D ~ E ~ R ~ } } ( \mathbf { x } _ { * } ) } & { { } = e _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ D ~ A ~ } } ( n _ { * } ) \sum _ { a } k _ { F _ { \mathrm { ~ x ~ } } } ( \mathbf { x } _ { * } , \mathbf { \tilde { x } } _ { a } ) \alpha _ { a } } \\ { \boldsymbol { \alpha } } & { { } = \sum _ { i } \mathbf { \tilde { k } } ^ { i } \left\{ \left[ \mathbf { K } + \Sigma _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } \right] ^ { - 1 } \mathbf { y } \right\} _ { i } , } \end{array}
g _ { l } ( T , v ) = g _ { l } ^ { o } ( T _ { m } , P _ { 0 } ) + \left( \frac { \partial g _ { l } } { \partial T } \right) _ { P _ { l } } ( T - T _ { m } ) + \left( \frac { \partial g _ { l } } { \partial P _ { l } } \right) _ { T } ( P _ { l } - P _ { 0 } )
U ^ { \prime } = S U S ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \sqrt { \beta _ { 1 x } } } & { 0 } & { - \sqrt { \beta _ { 2 x } } \cos v _ { 2 } } & { \sqrt { \beta _ { 2 x } } \sin v _ { 2 } } \\ { - \frac { \alpha _ { 1 x } } { \sqrt { \beta _ { 1 x } } } } & { \frac { 1 - u } { \beta _ { 1 x } } } & { \frac { \alpha _ { 2 x } \cos v _ { 2 } - u \sin v _ { 2 } } { \sqrt { \beta _ { 2 x } } } } & { - \frac { \alpha _ { 2 x } \sin v _ { 2 } + u \cos v _ { 2 } } { \sqrt { \beta _ { 2 x } } } } \\ { - \sqrt { \beta _ { 1 y } } \cos v _ { 1 } } & { \sqrt { \beta _ { 1 y } } \sin v _ { 1 } } & { \sqrt { \beta _ { 2 y } } } & { 0 } \\ { \frac { \alpha _ { 1 y } \cos v _ { 1 } - u \sin v _ { 1 } } { \sqrt { \beta _ { 1 y } } } } & { - \frac { \alpha _ { 1 y } \sin v _ { 1 } + u \cos v _ { 1 } } { \sqrt { \beta _ { 1 y } } } } & { - \frac { \alpha _ { 2 y } } { \sqrt { \beta _ { 2 y } } } } & { \frac { 1 - u } { \sqrt { \beta _ { 2 y } } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \mathscr D _ { x } \mathscr D _ { x } ^ { \prime } + \mathscr D _ { y } \mathscr D _ { y } ^ { \prime } } & { = \frac { ( t _ { x } - 1 ) ^ { 2 } ( t _ { x } + 1 ) ^ { 2 } } { 4 t _ { x } ^ { 2 } \Delta x ^ { 2 } } \frac { ( t _ { y } + 1 ) ^ { 4 } } { 1 6 t _ { y } ^ { 2 } } + \frac { ( t _ { y } - 1 ) ^ { 2 } ( t _ { y } + 1 ) ^ { 2 } } { 4 t _ { y } ^ { 2 } \Delta x ^ { 2 } } \frac { ( t _ { x } + 1 ) ^ { 4 } } { 1 6 t _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { ( \cos ^ { 2 } \beta _ { x } - 1 ) ( \cos \beta _ { y } + 1 ) ^ { 2 } + ( \cos ^ { 2 } \beta _ { y } - 1 ) ( \cos \beta _ { x } + 1 ) ^ { 2 } } { 4 \Delta x ^ { 2 } } } \\ & { = ( \cos \beta _ { x } + 1 ) ( \cos \beta _ { y } + 1 ) \frac { \cos \beta _ { x } \cos \beta _ { y } - 1 } { 2 \Delta x ^ { 2 } } } \end{array}
\rho _ { l } ^ { T } ( \omega , k ) = \frac { \Omega } { { \cal F } } \int d ^ { 3 } x d t e ^ { - i { \bf k } { \bf x } + i \omega t } \left[ \bar { \Pi } ( r , t - i \epsilon ) - \bar { \Pi } ( r , t + i \epsilon ) \right] \, .
r ( j ) = \frac { \operatorname { t a n h } \left[ r x _ { 2 } \left( \frac { j - 1 } { n x _ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \right) \right] } { 2 \operatorname { t a n h } \left( \frac { r x _ { 2 } } { 2 } \right) } ,
g ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) = \frac { n _ { 2 } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } { n ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) n ( \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } .
F ^ { \, d i p o l e } ( \omega ) = \left( 1 + \frac { 2 M _ { 1 } M _ { 2 } ( \omega - 1 ) } { m _ { F F } ^ { 2 } - ( M _ { 1 } - M _ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) ^ { - 2 }
( X _ { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } + Y _ { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } ) f : = X _ { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } f + Y _ { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } f , \quad ( \lambda \cdot X _ { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } ) f : = \lambda \cdot ( X _ { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } f ) , \quad \forall ~ \lambda \in \mathbb { R } , ~ f \in C ^ { \infty } ( \mathrm { \boldmath ~ p ~ } ) .
\delta _ { e p } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } / 2 } \gamma _ { i } \int \lvert \varphi _ { i } ( \mathbf { r } ) \rvert ^ { 2 } \lvert \psi _ { \varepsilon } ( \mathbf { r } ) \rvert ^ { 2 } d ^ { 3 } \mathbf { r }
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { c } { { \hat { A } } ( \mathbf { k } , t _ { n + 1 } ) } \\ { { \hat { B } } _ { s } ( \mathbf { k } , t _ { n + 1 } ) } \end{array} \right] = } & { \pmb { \mathcal { E } } ( ( t _ { n + 1 } - t _ { 0 } ) \Omega ) \left[ \begin{array} { c } { { \hat { A } } ( \mathbf { k } , t _ { 0 } ) } \\ { { \hat { B } } _ { s } ( \mathbf { k } , t _ { 0 } ) } \end{array} \right] + } \\ & { \sum _ { m = 1 } ^ { m = M } \sum _ { j = 0 } ^ { j = m } \mathbf { I } _ { n } ( t _ { n + 1 } ) \left[ \begin{array} { c } { \hat { \mathcal { N } } _ { A } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } + ( j - 1 ) \alpha \mathbf { k } _ { 0 } , t _ { n } ) } \\ { \hat { \mathcal { N } } _ { B } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } + ( j - 1 ) \alpha \mathbf { k } _ { 0 } , t _ { n } ) } \end{array} \right] + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } \varepsilon _ { t } \omega _ { 0 } \Delta t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { d b _ { i j } = \bigg ( \frac { M _ { i j } } { A ^ { 2 } } - b _ { i j } b _ { k l } \frac { M _ { k l } } { A ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } b _ { i j } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } } \\ { + \frac { 3 } { 2 } b _ { i j } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } b _ { m n } \frac { K _ { m n k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \bigg ) d t ^ { \prime } + \bigg ( \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { i j } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \bigg ) \; d W _ { k l } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { y } ( t ) } & { { } = \sum _ { i } \Biggl \{ \Biggl ( - \frac { c _ { i } ^ { 2 } Q _ { y } ( 0 ) } { 4 \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } + \frac { c _ { i } } { 4 } q _ { i y } ( 0 ) - \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } p _ { i x } \Biggr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } \Bigr ) } \end{array}
{ } ^ { ( \psi ) } T _ { \mu \nu } = \frac { i } { 2 } \left[ \bar { \psi } \Gamma _ { ( \mu } D _ { \nu ) } \psi - D _ { ( \nu } \bar { \psi } \Gamma _ { \mu ) } \psi \right] - g _ { \mu \nu } L _ { \psi } \, .
{ \cal F } = \sum _ { n _ { 1 } \geq n _ { 2 } \geq \cdots \geq n _ { N } \geq 0 } ^ { \infty } \operatorname * { d e t } \left[ d _ { n _ { j } + N - j , i } \right] \operatorname * { d e t } \left[ t _ { i } ^ { n _ { j } + N - j + \frac { 1 } { 2 } } - t _ { i } ^ { - ( n _ { j } + N - j + \frac { 1 } { 2 } ) } \right] .
\left[ \begin{array} { l } { \underline { { E } } ^ { \mathrm { H } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \\ { \overline { { E } } ^ { \mathrm { H } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \end{array} \right] \le _ { \mathrm { S E } } \left[ \begin{array} { l } { \underline { { E } } ^ { \mathrm { L i n } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \\ { \overline { { E } } ^ { \mathrm { L i n } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { w _ { t } ^ { ( 0 ) } - \frac { \bar { \nu } } { \bar { r } } \left( \bar { r } w _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } \right) _ { \bar { r } } = - w _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } \left< u ^ { ( 2 ) } \right> - \left< u ^ { ( 1 ) } w _ { \bar { r } } ^ { ( 1 ) } \right> - \frac { 1 } { \bar { r } } \left< v ^ { ( 1 ) } w _ { \theta } ^ { ( 1 ) } \right> } \\ { - \frac { w ^ { ( 0 ) } } { \sigma ^ { ( 0 ) } } \upsilon - w ^ { ( 0 ) } \kappa ^ { ( 0 ) } \left< v ^ { ( 1 ) } \sin \varphi - u ^ { ( 1 ) } \cos \varphi ^ { ( 0 ) } \right> \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { - v ^ { ( 0 ) } \kappa ^ { ( 0 ) } \left< w ^ { ( 1 ) } \sin \varphi ^ { ( 0 ) } \right> - \frac { \left< P _ { s } ^ { ( 1 ) } \right> } { \rho _ { 0 } \; \sigma ^ { ( 0 ) } } + \alpha g \Tilde { T } ^ { ( 0 ) } \hat { \mathbf { y } } \cdot \hat { \pmb { \tau } } } \end{array}
\frac { 1 - \cos \phi _ { 1 } } { \sin \phi _ { 1 } } = \frac { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } } { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } } ,
I ( \mathrm { ~ A ~ } , \mathrm { ~ E ~ } ) \leq h _ { 2 } \left( \frac { 1 + \left\langle \exp \left( - 2 r _ { \mathrm { ~ E ~ } } | \alpha | ^ { 2 } \right) \right\rangle _ { Q _ { \checkmark } } } { 2 } \right) .