harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \exp \left( \frac { \alpha - 1 } { \alpha } I _ { \alpha } ( W , X ^ { n } ) ) \right) } & { = \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } ^ { \frac 1 \alpha } \left[ \left( \frac { \mathcal { P } _ { X ^ { n } | W } } { \mathcal { P } _ { X ^ { n } } } \right) ^ { \alpha } \bigg | X ^ { n } \right] \right] } \\ & { = \sum _ { x ^ { n } } \mathcal { P } _ { X ^ { n } } ( x ^ { n } ) \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathcal { P } _ { W } ( w ) \left( \frac { \mathcal { P } _ { W | X ^ { n } = x ^ { n } } ( w ) } { \mathcal { P } _ { W } ( w ) } \right) ^ { \alpha } d w \right) ^ { \frac 1 \alpha } } \\ & { = \sum _ { x ^ { n } } \mathcal { P } _ { X ^ { n } } ( x ^ { n } ) \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \mathcal { P } _ { X ^ { n } | W = w } ( x ^ { n } ) \right) ^ { \alpha } d w \right) ^ { \frac 1 \alpha } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } \frac { 1 } { ( n + 1 ) \binom { n } { k } } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( ( n + 1 ) \binom { n } { k } w ^ { k } ( 1 - w ) ^ { n - k } \right) ^ { \alpha } d w \right) ^ { \frac 1 \alpha } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( w ^ { k } ( 1 - w ) ^ { n - k } \right) ^ { \alpha } d w \right) ^ { \frac 1 \alpha } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } \left( \frac { \Gamma ( k \alpha + 1 ) \Gamma ( ( n - k ) \alpha + 1 ) } { \Gamma ( n \alpha + 2 ) } \right) ^ { \frac 1 \alpha } , } \end{array}
\left| { \frac { \partial f } { \partial \theta _ { r } } } \right| < F _ { r } ( x ) \, , \quad \left| { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \theta _ { r } \partial \theta _ { s } } } \right| < F _ { r s } ( x ) \, , \quad \left| { \frac { \partial ^ { 3 } f } { \partial \theta _ { r } \partial \theta _ { s } \partial \theta _ { t } } } \right| < H _ { r s t } ( x )
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \! \! \left( \! { L _ { n } { - } { \frac { 4 } { \pi ^ { 2 } } } \ln ( 2 n { + } 1 ) } \! \! \right) \! { = } { \frac { 4 } { \pi ^ { 2 } } } \! \left( { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \! { \frac { 2 \ln k } { 4 k ^ { 2 } { - } 1 } } } { - } { \frac { \Gamma ^ { \prime } ( { \frac { 1 } { 2 } } ) } { \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } ) } } \! \! \right)
{ \begin{array} { r l } { \alpha } & { = a _ { 1 } [ \mathbf { f } ] \theta ^ { 1 } [ \mathbf { f } ] + a _ { 2 } [ \mathbf { f } ] \theta ^ { 2 } [ \mathbf { f } ] + \cdots + a _ { n } [ \mathbf { f } ] \theta ^ { n } [ \mathbf { f } ] } \\ & { = { \big \lbrack } { \begin{array} { c c c c } { a _ { 1 } [ \mathbf { f } ] } & { a _ { 2 } [ \mathbf { f } ] } & { \dots } & { a _ { n } [ \mathbf { f } ] } \end{array} } { \big \rbrack } \theta [ \mathbf { f } ] } \\ & { = a [ \mathbf { f } ] \theta [ \mathbf { f } ] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { T _ { 1 , 1 } } & { \leq 4 \bigg \| \nabla _ { y } f ( \bar { x } , y _ { \bar { x } } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 4 \bigg \| \nabla _ { y ^ { 2 } } g ( \bar { x } , y _ { \bar { x } } ) \bar { u } _ { t } - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) u _ { t } ^ { ( m ) } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \bigg ( \frac { 4 L ^ { 2 } } { M } + \frac { 8 L _ { y ^ { 2 } } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } M } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 4 L ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { s _ { i } ^ { o u t } } & { = \sum _ { j \neq i } \frac { f _ { i j } } { \beta _ { i } ^ { o u t } + \beta _ { j } ^ { i n } } = \langle s _ { i } ^ { o u t } \rangle } \\ { s _ { i } ^ { i n } } & { = \sum _ { j \neq i } \frac { f _ { j i } } { \beta _ { i } ^ { i n } + \beta _ { j } ^ { o u t } } = \langle s _ { i } ^ { i n } \rangle } \end{array} \right.
M _ { L } \cong \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \rho } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; m , \; \; \; \; M _ { D } \cong \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; m ,
F _ { i _ { 1 } , . . . , i _ { n } } ^ { \cal O } ( \beta _ { 1 } , . . . , \beta _ { n } ) = \langle v a c \vert { \cal O } ( 0 ) \vert \beta _ { 1 } , . . . , \beta _ { n } \rangle _ { i _ { 1 } , . . . i _ { n } } \ .
\left\langle q \right\rangle _ { k } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbf { 1 } _ { \mathrm { S } _ { i } \geq \mathrm { S } _ { i w } } ( \mathrm { S } _ { i } ( s ) ) \left( \mathrm { S } _ { i } ( s ) - \mathrm { S } _ { i w } \right) \rho _ { a } q _ { s i } \mathrm { d } \mathrm { S } _ { i } = \int _ { \mathrm { S } _ { i w } } ^ { \infty } \left( \mathrm { S } _ { i } - \mathrm { S } _ { i w } \right) f _ { k } ( \mathrm { S } _ { i } ) \rho _ { a } q _ { s i } \mathrm { d } \mathrm { S } _ { i }
\dot { m } \bigg ( \frac { r _ { \mathrm { p } } } { r _ { \mathrm { p } } + \theta } + \frac { 4 \mathcal { D } } { \alpha _ { \mathrm { M } } r _ { \mathrm { p } } \bar { c } _ { \mathrm { g } } } \bigg ) = 4 \pi r _ { \mathrm { p } } \mathcal { D } ( C _ { \theta } - C _ { \mathrm { p } } ) + 4 \pi r _ { \mathrm { p } } \mathcal { D } ( C _ { \mathrm { g } } - C _ { \theta } ) \equiv \dot { m } _ { \mathrm { C } } .
\Phi ( \mathbf { r } _ { i } , \sigma _ { i } ; \mathbf { r } _ { j } , \sigma _ { j } ) = \varphi ( \mathbf { r } _ { i } , \mathbf { r } _ { j } ) \times \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } | \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | \uparrow \downarrow \rangle - | \downarrow \uparrow \rangle ) ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { i } \gamma _ { j } } & { = ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( \underline { { v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } } } ) ( \underline { { v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } } } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \underline { { \gamma _ { 1 } } } ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) \underline { { \gamma _ { 1 } } } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ ( b y ~ ( ) ) } } \\ & { = ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 2 } ) \underline { { \gamma _ { 1 } v _ { 1 } \gamma _ { 1 } } } ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ ( b y ~ ( ) ) } } \\ & { = ( \underline { { v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } } } ) \underline { { ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 2 } ) v _ { 1 } } } \gamma _ { 1 } v _ { 1 } \gamma _ { 1 } v _ { 1 } ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 2 } v _ { 1 } ) ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) \gamma _ { 1 } v _ { 1 } \gamma _ { 1 } v _ { 1 } ( \underline { { v _ { 2 } \ldots v _ { i } } } ) ( \underline { { v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } } } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 2 } v _ { 1 } ) ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) \gamma _ { 1 } v _ { 1 } \gamma _ { 1 } \underline { { v _ { 1 } } } ( \underline { { v _ { 1 } } } \ldots v _ { j - 1 } ) ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 2 } v _ { 1 } ) ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) \underline { { \gamma _ { 1 } } } v _ { 1 } \underline { { \gamma _ { 1 } } } ( v _ { 2 } \ldots v _ { j - 1 } ) ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ ( b y ~ ( ) ) } } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 2 } v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( \underline { { v _ { i } \ldots v _ { 2 } } } ) \underline { { v _ { 1 } ( v _ { 2 } \ldots v _ { j - 1 } ) } } \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 2 } v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } v _ { 1 } ( v _ { 2 } \ldots v _ { j - 1 } ) ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) } \\ & { = \gamma _ { j } \gamma _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \alpha / \beta } ^ { A } ( x , y ; a , b ) } & { = \widehat { f } _ { \alpha ^ { * } / \beta ^ { * } } ^ { A } ( x , y ; \tau ^ { m } b ^ { \prime } , \tau ^ { m } a ^ { \prime } ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { B } ( x , y ; a , b ) } & { = \widehat { f } _ { \alpha ^ { * } / \beta ^ { * } } ^ { C } ( x , y ; \tau ^ { m } b ^ { \prime } , - \tau ^ { m } a ^ { \prime } ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { C } ( x , y ; a , b ) } & { = \widehat { f } _ { \alpha ^ { * } / \beta ^ { * } } ^ { B } ( x , y ; \tau ^ { m } b ^ { \prime } , - \tau ^ { m } a ^ { \prime } ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { D } ( x , y ; a , b ) } & { = \widehat { f } _ { \alpha ^ { * } / \beta ^ { * } } ^ { D } ( x , y ; \tau ^ { m } b ^ { \prime } , \tau ^ { m } a ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , s h } } = - 2 \frac { e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } ( f _ { \gamma } - f _ { a } ) ( f _ { \delta } - f _ { b } ) } \\ { T r ( s _ { \alpha \gamma } ^ { \sigma \rho \dagger } s _ { \alpha \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } } s _ { \beta \delta } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho \dagger } s _ { \beta \gamma } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho ^ { \prime } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { 3 } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 2 } } { \bf W } ^ { t } ( { \bf x } , { \bf x } _ { A } ) { \bf N } { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { B } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { \mathrm { H } } = \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 2 } } { \bf W } ^ { t } ( { \bf x } , { \bf x } _ { A } ) \bigl ( \underbrace { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } ^ { t } { \bf N } + { \bf N } \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } } _ { \bf O } \bigr ) { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { B } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { \mathrm { H } } = { \bf O } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { T } < \partial _ { t } u _ { \theta } , \phi > _ { ( W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) ^ { \prime } , W ^ { 1 , q } ( \Omega ) } d t } \\ & { } & { = - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) \nabla \frac { - \Delta u _ { \theta } + q ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) + ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \cdot \nabla \frac { \phi } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } d x d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta P ( \mathrm { P e } , \Delta \varphi ) } & { { } = \left[ \Delta p _ { 1 } ^ { 0 } \Delta \varphi + \Delta p _ { 3 } ^ { 0 } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { 3 } } { 6 } \right] + \left[ \Delta p _ { 0 } ^ { 1 } + \Delta p _ { 2 } ^ { 1 } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { 2 } } { 2 } \right] \mathrm { P e } + \left[ \Delta p _ { 1 } ^ { 2 } \Delta \varphi \right] \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { 2 } } { 2 } + \left[ \Delta p _ { 0 } ^ { 3 } \right] \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { 3 } } { 3 ! } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 2 } \Big ( \mathbf { D } _ { u , k } ^ { - 1 } \big ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathcal { F } _ { 1 } f ( t , k , \cdot ) \big ) \Big ) ( t , k , \xi _ { 1 } ) = \int \mathcal { D } ^ { - 1 } ( t , k , \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \hat { f } _ { k } ( t , \xi _ { 2 } ) d \xi _ { 2 } . } \end{array}
\sigma ^ { 2 } ( t ) = \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } + \left( \sigma ^ { 2 } ( 0 ) - \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } \right) e ^ { - \left( 2 \langle I \rangle - ( 1 + \alpha _ { 0 } ) \langle I ^ { 2 } \rangle \right) t } ,
\beta _ { k } : = \left( \begin{array} { l l } { { \omega _ { k } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \omega _ { k } ^ { - 1 } } } \end{array} \right) , \qquad \mathrm { w i t h } \quad \omega _ { n } : = e ^ { \frac { 2 \pi i } { n } }
\begin{array} { r } { { \bf { w } } _ { \mathrm { E D U } , k , m } = { p _ { k } } { \left( { \sum _ { i = 1 } ^ { K } { { p _ { i } } { { \bf { D } } _ { k , m } } \left( { { { \hat { \bf { h } } } _ { \mathrm { E D U } , i , m } } \hat { \bf { h } } _ { \mathrm { E D U } , i , m } ^ { \mathrm { H } } + { { \bf { C } } _ { i , m } } } \right) { { \bf { D } } _ { k , m } } } + \sigma _ { { \mathrm { U L } } } ^ { 2 } { { \bf { I } } } } \right) ^ { - 1 } } { { \bf { D } } _ { k , m } } { \hat { \bf { h } } _ { \mathrm { E D U } , k , m } } . } \end{array}
{ \widetilde { \mathcal { M } } } [ F ] ( - n ) = ( - 1 ) ^ { n } \times F ^ { ( n ) } ( 0 ) \equiv ( - 1 ) ^ { n } \times { \frac { \partial ^ { n } } { { \partial x } ^ { n } } } \left[ F ( x ) \right] | _ { x = 0 } .
\begin{array} { r l } { \b x ( \b \chi , t ) } & { = \b \chi + A \sin \left( \frac { 2 \pi t } { T _ { G } } \right) \left( \sin \left( 2 \pi \frac { \chi _ { 2 } + L / 2 } { L } \right) , \sin \left( 2 \pi \frac { \chi _ { 1 } + L / 2 } { L } \right) \right) , } \\ { \b w ( \b \chi , t ) } & { = \frac { \partial \b x } { \partial t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - 2 4 0 D p ^ { 2 } \int d ^ { D } l \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 2 } x y } { ( l ^ { 2 } - \Delta ) ^ { 6 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } { \bf T } { \bf v } _ { 0 } : { \bf D } { \bf v } \, d { \bf x } = \int _ { \Omega } { \bf T } { \bf w } : { \bf D } { \bf v } \, d { \bf x } - \int _ { \Omega } { \bf T } { \bf u } : { \bf D } { \bf v } \, d { \bf x } } \\ & { \qquad = \int _ { \Omega } { \bf f } \cdot { \bf v } \, d { \bf x } + \int _ { \partial \Omega } { \bf g } \cdot { \bf v } \, d S - \int _ { \Omega } { \bf f } \cdot { \bf v } \, d { \bf x } - \int _ { \partial \Omega } { \bf g } \cdot { \bf v } \, d S = 0 \qquad \mathrm { f o r ~ a n y ~ } { \bf v } \in H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } \end{array}
\mathbf { y } _ { \mathbf { S } _ { M } } = \left[ \begin{array} { l } { \sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } } \\ { \mathbf { r } _ { \mathbf { S } _ { M } } } \end{array} \right] , \quad \sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } = \left[ \begin{array} { l } { \sqrt { \mu _ { M _ { 1 } } } } \\ { \vdots } \\ { \sqrt { \mu _ { M _ { n } } } } \end{array} \right] , \quad \mathbf { r } _ { \mathbf { S } _ { M } } = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { r } _ { M _ { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { r } _ { M _ { n } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { r } } \nabla _ { \textrm { K } _ { x } ^ { s t } ( \tau ) } \varepsilon _ { c v } \left( \textrm { K } _ { x } ^ { s t } ( \tau ) , \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } \right) d \tau = } & { { } 0 , } \\ { \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { r } } \nabla _ { \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } } \varepsilon _ { c v } \left( \textrm { K } _ { x } ^ { s t } ( \tau ) , \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } \right) d \tau = } & { { } 0 , } \\ { \varepsilon _ { c v } \left( \textrm { K } _ { x } ^ { s t } \left( t _ { r } \right) , \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } \right) - \omega = } & { { } 0 , } \end{array}
S = \int \ d ^ { 3 } x \left( \pi _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \dot { A } ^ { ( 0 ) 0 } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \pi _ { i } ^ { ( n ) } A ^ { ( n ) i } - \tilde { \cal H } _ { T } \right) .
V \; = \; \left( \begin{array} { l l l } { { \sqrt { 1 - A ^ { 2 } \Lambda ^ { 4 } } } } & { { A \Lambda ^ { 2 } } } & { { B \Lambda ^ { 8 } e ^ { - i \delta } } } \\ { { - A \Lambda ^ { 2 } \sqrt { 1 - \Lambda ^ { 2 } } } } & { { \sqrt { \left( 1 - \Lambda ^ { 2 } \right) \left( 1 - A ^ { 2 } \Lambda ^ { 4 } \right) } } } & { { \Lambda } } \\ { { \Lambda ^ { 3 } \left[ A - B \Lambda ^ { 5 } \sqrt { \left( 1 - \Lambda ^ { 2 } \right) \left( 1 - A ^ { 2 } \Lambda ^ { 4 } \right) } ~ e ^ { i \delta } \right] } } & { { - \Lambda \sqrt { 1 - A ^ { 2 } \Lambda ^ { 4 } } } } & { { \sqrt { 1 - \Lambda ^ { 2 } } } } \end{array} \right) \; .
\bar { I } ^ { ( 2 l - 2 \varepsilon ) } = \sum _ { j = 0 } ^ { l } \left( \frac { m ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } - q ^ { 2 } } \right) ^ { j - \varepsilon } \frac { \Gamma ( 2 j - 2 \varepsilon - 3 ) \Gamma ( 2 - j + \varepsilon ) } { i ^ { 2 j - 2 \varepsilon } \Gamma ( j - 1 - \varepsilon ) } + C _ { \varepsilon } ^ { l } ,
\begin{array} { r } { P _ { L R } ^ { 0 } = \left( \frac { 1 + \delta } { 2 } \right) { \cal P } _ { L R } ( s , z ) + \left( \frac { 1 - \delta } { 2 } \right) { \cal P } _ { L R } ( - s , z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } D _ { \mu } U \left( x , s \right) } & { = } & { a \left( s \right) U \left( x , s \right) } \\ { \int d ^ { 4 } x \, U ^ { \dag } \left( x , s \right) U \left( x , s ^ { \prime } \right) } & { = } & { \delta _ { s s ^ { \prime } } \; \quad , \quad \; \sum _ { s } U \left( x , s \right) U ^ { \dag } \left( x ^ { \prime } , s \right) = \delta \left( x - x ^ { \prime } \right) \; . } \end{array}
\Sigma _ { e f f } ^ { A 1 } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \sum _ { N } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \left[ - 2 m _ { W } \bar { t } _ { N } ( 1 - x ) + 4 \gamma _ { 4 } \bar { t } _ { N } \gamma _ { 4 } m _ { W } \right] \ln \left( \mu _ { N } ^ { 2 } + \frac { m _ { W } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 1 - x } \right) \bar { t } _ { N } ,
{ U ( R ) } ^ { \dagger } { \hat { T } } _ { i j } U ( R ) = { U ( R ) } ^ { \dagger } ( { \hat { V _ { i } } } { \hat { W _ { j } } } ) U ( R ) = ( { U ( R ) } ^ { \dagger } { \hat { V } } _ { i } U ( R ) ) ( { U ( R ) } ^ { \dagger } { \hat { W } } _ { j } U ( R ) ) = \left( \sum _ { l = 1 } ^ { 3 } R _ { i l } { \hat { V } } _ { l } \cdot \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } R _ { j k } { \hat { W } } _ { k } \right)
\begin{array} { r } { w _ { \mathrm { ~ L ~ a ~ t ~ } } ( j ) = \frac { \cos ( \operatorname { L a t } ( m ) ) } { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { ~ L ~ a ~ t ~ } } } \sum _ { j } ^ { N _ { \mathrm { ~ l ~ a ~ t ~ } } } \cos ( \operatorname { L a t } ( m ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \chi _ { n } ^ { 2 } = \overline { { { \chi } } } _ { n } ^ { 2 } = 0 \; , } } \\ { { \chi _ { m } \overline { { { \chi } } } _ { n } + { \frac { 1 } { q } } \overline { { { \chi } } } _ { n } \chi _ { m } = 0 \; , } } \end{array}
( 2 \pi ) ^ { 4 } \frac { \delta } { \delta \hat { \varphi } ( q ) } L ^ { 0 , \, \infty } ( \varphi ) \, = \, \hat { L } _ { ( 1 ) } ^ { 0 , \, \infty } ( q \, ; \varphi ) + \hat { I } _ { ( 1 ) } ^ { \, 0 , \, \infty } ( q ) \, ;
\begin{array} { r l r } { V _ { x c } ^ { L B } ( \alpha , \beta ; { \bf r } ) } & { = } & { \alpha V _ { x } ^ { L D A } ( { \bf r } ) + \beta V _ { c } ^ { L D A } ( { \bf r } ) } \\ & { } & { - \frac { \beta x ^ { 2 } ( { \bf r } ) \rho ^ { 1 / 3 } ( { \bf r } ) } { 1 + 3 \beta x ( { \bf r } ) \ln [ x ^ { 2 } ( { \bf r } ) + ( x ^ { 2 } ( { \bf r } ) + 1 ) ^ { 1 / 2 } ] } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { ( x ) _ { k + m n } } & { = x ^ { ( k ) } m ^ { m n } \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \left( { \frac { x - k - j } { m } } \right) _ { n } \, , } & { { \mathrm { f o r ~ } } m } & { \in \mathbb { N } } \\ { x ^ { ( k + m n ) } } & { = x ^ { ( k ) } m ^ { m n } \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \left( { \frac { x + k + j } { m } } \right) ^ { ( n ) } , } & { { \mathrm { f o r ~ } } m } & { \in \mathbb { N } } \\ { ( a x + b ) ^ { ( n ) } } & { = x ^ { n } \prod _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \left( a + { \frac { b + j } { x } } \right) , } & { { \mathrm { f o r ~ } } x } & { \in \mathbb { Z } ^ { + } } \\ { ( 2 x ) ^ { ( 2 n ) } } & { = 2 ^ { 2 n } x ^ { ( n ) } \left( x + { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { ( n ) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { H } ^ { 0 } ( \chi ) } & { : = } & { - \frac { C } { 2 } \left\{ ( x _ { 4 } x _ { 1 2 4 } - x _ { 1 } x _ { 2 } ) \mathbb { F } ( \chi , k ) + ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ( x _ { 2 } - x _ { 4 } ) \mathbb { E } ( \chi , k ) + ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) x _ { 1 2 3 4 } \Pi ( \chi , b ^ { 2 } , k ) \right. } \\ & { } & { \left. \qquad \qquad - \frac { 1 } { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \frac { \sin ( 2 \chi ) } { 1 - b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \chi } \right\} , } \\ { \mathbb { H } ^ { 1 } ( \chi ) } & { : = } & { 2 C \left\{ \left[ \frac { x _ { 4 } ( \varepsilon x _ { 4 } ^ { 2 } - \alpha \beta \lambda ) } { ( x _ { 4 } - x _ { + } ) ( x _ { 4 } - x _ { - } ) } - \frac { 1 } { 2 } \alpha \beta \lambda \right] \mathbb { F } ( \chi , k ) + \varepsilon ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) \Pi ( \chi , b ^ { 2 } , k ) \right. } \\ & { } & { \left. \qquad - \frac { x _ { 1 } - x _ { 4 } } { x _ { + } - x _ { - } } \left[ \frac { x _ { + } ( \varepsilon x _ { + } ^ { 2 } - \alpha \beta \lambda ) } { ( x _ { 1 } - x _ { + } ) ( x _ { 4 } - x _ { + } ) } \Pi ( \chi , b _ { + } ^ { 2 } , k ) - ( + \leftrightarrow - ) \right] \right\} - \varepsilon \mathbb { H } ^ { 0 } ( \chi ) , } \\ { \mathbb { H } ^ { 2 } ( \chi ) } & { : = } & { - \alpha C \left\{ \frac { \varepsilon x _ { 4 } ^ { 2 } - \alpha \beta \lambda } { ( x _ { 4 } - x _ { + } ) ( x _ { 4 } - x _ { - } ) } \mathbb { F } ( \chi , k ) - \frac { x _ { 1 } - x _ { 4 } } { x _ { + } - x _ { - } } \left[ \frac { \varepsilon x _ { + } ^ { 2 } - \alpha \beta \lambda } { ( x _ { 1 } - x _ { + } ) ( x _ { 4 } - x _ { + } ) } \Pi ( \chi , b _ { + } ^ { 2 } , k ) - ( + \leftrightarrow - ) \right] \right\} , } \\ { \mathbb { H } ^ { 3 } ( \chi ) } & { : = } & { - \lambda C \mathbb { F } ( \chi , k ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , c r - S } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \frac { i } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \\ & { \times } & { { \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } } ^ { \prime } \, \frac { \langle P a n _ { 2 } | I ( \omega ) | n _ { 1 } Q b \rangle \langle n _ { 3 } | U | n _ { 2 } \rangle \langle P b n _ { 1 } | I ( \omega - \Delta _ { P a Q a } ) | n _ { 3 } Q a \rangle } { ( \varepsilon _ { P a } - \omega - u \varepsilon _ { n _ { 1 } } ) ( \varepsilon _ { Q b } - \omega - u \varepsilon _ { n _ { 2 } } ) ( \varepsilon _ { Q b } - \omega - u \varepsilon _ { n _ { 3 } } ) } \, , } \end{array}
\psi _ { 2 k - 1 } = O \bigg ( \frac { 1 } { ( 1 + Y ) ^ { k - 1 } } \bigg ) \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \psi _ { 2 k } = O \bigg ( \frac { \log ( 1 + Y ) } { ( 1 + Y ) ^ { k - 1 } } \bigg )
\begin{array} { r } { \cos [ \omega _ { + } \tau _ { 1 } ] = \frac { \omega _ { + } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { - } ^ { 2 } } \{ 1 + \cos ( \omega _ { - } \tau _ { \mathrm { f } } / 2 + \frac { \omega _ { + } - \omega _ { - } } { \omega _ { + } } \pi ) \} . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { x _ { 1 } \rightarrow + \infty } \; S ^ { ( l ) } ( x _ { 1 } ) \; \; = \; \; \operatorname * { l i m } _ { x _ { 1 } \rightarrow - \infty } \; S ^ { ( l ) } ( x _ { 1 } ) \; \; \; \; \; \forall \; l \; ,
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ C ~ E ~ , ~ K ~ D ~ } } = \mu _ { \mathrm { ~ L ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ C ~ E ~ , ~ L ~ } } + \mu _ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ C ~ E ~ , ~ T ~ } }
\begin{array} { c l } { \displaystyle \alpha _ { x , x } } & { = \displaystyle - \frac { 1 } { 6 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { L } { d s \ m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } \\ & { \displaystyle \times { \int _ { s } ^ { s + L } m _ { x } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \left[ \frac { \cos { 3 \Psi _ { x } ( s ^ { \prime } , s ) } } { \sin { 3 \pi \nu _ { x } } } + \frac { 3 \cos { \Psi _ { x } ( s ^ { \prime } , s ) } } { \sin { \pi \nu _ { x } } } \right] d s ^ { \prime } } , } \end{array}