harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname { c f } _ { \mathit { T Q G } ( 0 , 1 , q ) } ( t ) } & { = { \, _ { 0 } \operatorname { F } _ { 1 } } \left( \theta + \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 4 } ( a t ) ^ { 2 } \right) = 2 ^ { \theta - \frac { 1 } { 2 } } \Gamma \left( \theta + \frac { 1 } { 2 } \right) ( a t ) ^ { - ( \theta + \frac { 1 } { 2 } ) } \operatorname { J } _ { \theta - \frac { 1 } { 2 } } \left( a t \right) } \\ & { = \operatorname { c f } _ { \mathit { B e t a S y m m e t r i c } ( \theta ) } ( a t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d W } { d \Omega } = } & { \mathcal { N } ^ { 2 } \sum _ { \lambda _ { i } } \bigg | \mathcal { E } _ { \omega } ^ { 2 } \sum _ { l = o d d } Y _ { l m } ( \theta , \phi ) f _ { \gamma , 2 } e ^ { i \delta _ { \gamma , 2 } } } \\ & { + \mathcal { E } _ { 2 \omega } e ^ { i \Delta \Phi } \sum _ { l = e v e n } Y _ { l m } ( \theta , \phi ) f _ { \gamma , 1 } e ^ { i \delta _ { \gamma , 1 } } \bigg | ^ { 2 } } \end{array}
\partial _ { \tau } R ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) - k _ { 2 } R ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) - 2 \alpha k _ { 3 } \mu ( \tau ) R ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + 4 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \int d \tau ^ { \prime \prime } R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime \prime } ) \mu ( \tau ^ { \prime \prime } ) R ^ { * } ( \tau ^ { \prime \prime } , \tau ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { [ U \Delta ] _ { i , j } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { p } U _ { i , k } \frac { \partial _ { \theta } E _ { \theta } [ f _ { j } ] } { \partial \theta _ { k } } \, \Big | _ { \theta = \theta _ { 0 } } } \\ & { = \partial _ { t } E _ { \theta _ { 0 } + t \sum _ { k = 1 } ^ { p } e _ { k } U _ { i , k } } [ f _ { j } ] \, \big | _ { t = 0 } } \\ & { = \partial _ { t } E _ { \theta _ { 0 } + t { \bf v } _ { i } } [ f _ { j } ] \, \big | _ { t = 0 } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { \int _ { a } ^ { b } e ^ { n f ( x ) } \, d x } { e ^ { n f ( x _ { 0 } ) } { \sqrt { \frac { 2 \pi } { n ( - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) ) } } } } } \geq 1
\delta ^ { \prime } = - \ast d ^ { \prime } \ast : { \cal D } ^ { p , q } \rightarrow { \cal D } ^ { p - 1 , q } , \ \ \delta ^ { \prime \prime } = - \ast d ^ { \prime \prime } \ast : { \cal D } ^ { p , q } \rightarrow { \cal D } ^ { p , q - 1 } .
\bf \Pi ^ { ' } = \bf \Pi + \bf T ^ { \mathrm { n u m } } = - \bf P + \bf T + \bf T ^ { \mathrm { n u m } } = - \bf P + \bf T + \left( \begin{array} { l c r } { \tau _ { x x } ^ { \mathrm { n u m } } } & { \tau _ { x y } ^ { \mathrm { n u m } } } & { \tau _ { x z } ^ { \mathrm { n u m } } } \\ { \tau _ { y x } ^ { \mathrm { n u m } } } & { \tau _ { y y } ^ { \mathrm { n u m } } } & { \tau _ { y z } ^ { \mathrm { n u m } } } \\ { \tau _ { z x } ^ { \mathrm { n u m } } } & { \tau _ { z y } ^ { \mathrm { n u m } } } & { \tau _ { z z } ^ { \mathrm { n u m } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \varphi ( s ^ { \prime } ) } & { = \varphi \Bigl ( s + \gamma \bigl ( c ( x _ { \ast } ) V ( s _ { \ast } ) - c ( x ) V ( s ) \bigr ) \Bigr ) } \\ & { = \varphi \bigl ( \tilde { s } ^ { \prime } + \gamma \eta c ^ { \prime } ( x ) V ( s _ { \ast } ) \bigr ) } \\ & { \approx \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) + \varphi ^ { \prime } ( \tilde { s } ^ { \prime } ) \gamma \eta c ^ { \prime } ( x ) V ( s _ { \ast } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { - \langle n | \left[ { \hat { x } } ( t ) , \hat { p } ( 0 ) \right] ^ { 2 } | n \rangle } { \hbar ^ { 2 } } \rightarrow \{ x ( t ) , p _ { 0 } \} ^ { 2 } = \left( \frac { \partial x ( t ) } { \partial x _ { 0 } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { a _ { f _ { 2 6 7 7 7 } } ( \underline { { 3 8 3 } } ) = a _ { f _ { 2 6 7 7 7 } } ( 9 7 9 ) , \quad } & & { N ( a _ { f _ { 2 6 7 7 7 } } ( \underline { { 3 8 3 } } ) ) = - 3 ^ { 2 } \cdot 1 8 2 1 1 , } \\ & { a _ { f _ { 8 6 1 6 1 } } ( 1 2 2 ) = a _ { f _ { 8 6 1 6 1 } } ( 2 5 3 5 ) , \quad } & & { N ( a _ { f _ { 8 6 1 6 1 } } ( 1 2 2 ) ) = 2 3 ^ { 2 } , } \\ & { a _ { f _ { 1 7 1 7 1 3 } } ( \underline { { 4 7 } } ) = a _ { f _ { 1 7 1 7 1 3 } } ( 1 8 0 ) , \quad } & & { N ( a _ { f _ { 1 7 1 7 1 3 } } ( \underline { { 4 7 } } ) ) = 1 3 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \int x ^ { m } \left( A + B \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x = - { \frac { x ^ { m + 1 } \left( A \, b ^ { 2 } - a \, b \, B - 2 a \, A \, c + ( A \, b - 2 a \, B ) c \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p + 1 } } { a \, n ( p + 1 ) \left( b ^ { 2 } - 4 a \, c \right) } } \, + \, { \frac { 1 } { a \, n ( p + 1 ) \left( b ^ { 2 } - 4 a \, c \right) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int x ^ { m } \left( ( m + n ( p + 1 ) + 1 ) A \, b ^ { 2 } - a \, b \, B ( m + 1 ) - 2 ( m + 2 n ( p + 1 ) + 1 ) a \, A \, c + ( m + n ( 2 p + 3 ) + 1 ) ( A \, b - 2 a \, B ) c \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p + 1 } d x } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } f _ { \kappa } ( \varpi , p ) \equiv { \cal I } _ { \kappa } ( \varpi , p ) } & { = 2 \lambda ^ { 2 } \int _ { \omega , q } \partial _ { s } M _ { \kappa } ( q ) \, q ^ { 2 } \frac { ( p + q ) ^ { 2 } h _ { \kappa } ( \varpi + \omega , p + q ) \big [ \omega ^ { 2 } - \big ( q ^ { 2 } h _ { \kappa } ( \omega , q ) \big ) ^ { 2 } \Big ] } { \Big ( \omega ^ { 2 } + \big ( q ^ { 2 } h _ { \kappa } ( \omega , q ) \big ) ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } \Big ( ( \varpi + \omega ) ^ { 2 } + \big ( ( p + q ) ^ { 2 } h _ { \kappa } ( \varpi + \omega , p + q ) \big ) ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } } \, } \\ { h _ { \kappa } ( \omega , q ) } & { = f _ { \kappa } ( \omega , q ) + M _ { \kappa } ( q ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \bf L } ^ { t } ( - { \bf s } , x _ { 3 } ) } & { = } & { - { \bf N } \tilde { \bf L } ^ { - 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) { \bf N } ^ { - 1 } , } \\ { \tilde { \bf L } ^ { \dagger } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) } & { = } & { { \bf J } { \tilde { \bar { \bf L } } } ^ { - 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) { \bf K } ^ { - 1 } . } \end{array}
S _ { 2 } : = \int \Bigg \{ \frac { 1 } { 2 } m \left( \frac { d \widehat { q } _ { 1 } } { d t } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m \left( \frac { d \widehat { q } _ { 2 } } { d t } \right) ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \left[ \frac { q _ { 1 } ^ { a } } { q _ { 2 } } \frac { d } { d t } \left( \frac { q _ { 2 a } } { \vert q _ { 1 } \vert } \right) - \frac { q _ { 2 } ^ { a } } { q _ { 1 } } \frac { d } { d t } \left( \frac { q _ { 1 a } } { \vert q _ { 2 } \vert } \right) \right] \Bigg \} d t ,
\begin{array} { r l } { M B F G S ( \emph W , S _ { 0 : m } , \bar { Y } _ { 0 : m } ) = } & { \emph W + \left[ \begin{array} { l l } { S _ { 0 : m } } & { \emph W \bar { Y } _ { 0 : m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \bar { B } _ { 0 : m } ^ { - T } ( \bar { C } _ { 0 : m } + \bar { Y } _ { 0 : m } ^ { T } \emph W \bar { Y } _ { 0 : m } ) \bar { B } _ { 0 : m } ^ { - 1 } } & { - \bar { B } _ { 0 : m } ^ { - T } } \\ { - \bar { B } _ { 0 : m } ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { S _ { 0 : m } ^ { T } } \\ { \bar { Y } _ { 0 : m } ^ { T } \emph W } \end{array} \right] } \\ { = } & { \emph W + \left[ \begin{array} { l l } { S _ { 1 : m } } & { \emph W \hat { Y } _ { 1 : m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \hat { B } _ { 1 : m } ^ { - T } ( \hat { C } _ { 1 : m } + \hat { Y } _ { 1 : m } ^ { T } \emph W \hat { Y } _ { 1 : m } ) \hat { B } _ { 1 : m } ^ { - 1 } } & { - \hat { B } _ { 1 : m } ^ { - T } } \\ { - \hat { B } _ { 1 : m } ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { S _ { 1 : m } ^ { T } } \\ { \hat { Y } _ { 1 : m } ^ { T } \emph W } \end{array} \right] } \\ { = } & { M B F G S ( \emph W , S _ { 1 : m } , \hat { Y } _ { 1 : m } ) . } \end{array}
\dot { \overline { { \int _ { \mathrm { P } } \! \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \, d v _ { \mathrm { \tiny ~ R } } } } } \le \mathcal { W } _ { \mathrm { e x t } } ( \mathrm { P } ) - \int _ { \partial \mathrm { P } } \mu ^ { \mathrm { e } } { \bf j } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } d a _ { \mathrm { \tiny ~ R } } - \int _ { \partial \mathrm { P } } \phi \dot { \textbf { d } } _ { \mathrm { R } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \, d a _ { \mathrm { \tiny ~ R } } .
\left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes | y \rangle \right) | x \rangle \langle x ^ { ' } | \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes \langle y ^ { ' } | \right) = \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } | x \rangle \langle x ^ { ' } | \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \right) \otimes \left( | y \rangle \langle y ^ { ' } | \right) = | x \rangle \langle x ^ { ' } | \otimes | y \rangle \langle y ^ { ' } | .
\begin{array} { r l r } { \Dot { E } _ { i n , \; i } } & { = } & { \Dot { Q } _ { i n , \; i } + \Dot { W } _ { i n , \; i } + \Dot { m } _ { i n , \; i } e _ { i n , \; i } } \\ { \Dot { E } _ { o u t , \; i } } & { = } & { \Dot { Q } _ { o u t , \; i } + \Dot { W } _ { o u t , \; i } + \Dot { m } _ { o u t , \; i } e _ { o u t , \; i } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \langle ^ { t } A ( D _ { \psi } ) , \phi \rangle } & { = \int _ { U } \psi ( A \phi ) \, d x } & & { { \mathrm { ( S e e ~ a b o v e . ) } } } \\ & { = \int _ { U } \psi { \frac { \partial \phi } { \partial x _ { k } } } \, d x } \\ & { = - \int _ { U } \phi { \frac { \partial \psi } { \partial x _ { k } } } \, d x } & & { { \mathrm { ( i n t e g r a t i o n ~ b y ~ p a r t s ) } } } \\ & { = - \left\langle { \frac { \partial \psi } { \partial x _ { k } } } , \phi \right\rangle } \\ & { = - \langle A \psi , \phi \rangle = \langle - A \psi , \phi \rangle } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] = } & { { } | H _ { 0 } ^ { q } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { q q } ^ { 0 } [ \Omega ] + | H _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { q } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \Omega ] } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { p } = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \Big ( \frac { 2 } { d } \Big ) ^ { l } \Big ( \frac { 1 } { d } \Big ) \Gamma \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { a _ { j } } { 2 } + \frac { l + 1 } { 2 } \Big ) \Gamma \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { a _ { j } } { 2 } + \frac { l } { 2 } + 1 \Big ) \prod _ { j = 1 } ^ { N } \Big ( \frac { R _ { j } } { d } \Big ) ^ { a _ { j } } } \\ { \times \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \cdots \sum _ { n _ { N } = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { N } n _ { j } } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \Big ( \frac { R _ { j } } { d } \Big ) ^ { 2 n _ { j } } } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } \bigg ( \Big ( a _ { j } + 1 \Big ) _ { n _ { j } } \Gamma ( n _ { j } + 1 ) \bigg ) } } \\ { \times \frac { \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { a _ { j } } { 2 } + \frac { l + 1 } { 2 } \bigg ) _ { ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } n _ { j } ) } \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { a _ { j } } { 2 } + \frac { l } { 2 } + 1 \bigg ) _ { ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } n _ { j } ) } } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } \Gamma ( a _ { j } + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left< { \frac { \partial F ^ { ( 2 ) } } { \partial \psi _ { 3 } } } \right> _ { \theta } = 0 , } \\ { \left< { \frac { \partial F ^ { ( 2 ) } } { \partial \theta } } \right> _ { \theta } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i \left( \frac { \partial } { \partial s ^ { \prime } } + 2 \alpha _ { j } s _ { 0 } \right) \hat { U } _ { j } ^ { \prime } + i \frac { g _ { \delta } s _ { 0 } } { \tau _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial \tau ^ { \prime } } \hat { U } _ { j } ^ { \prime } + \frac { g _ { D j } s _ { 0 } } { \tau _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } \hat { U } _ { j } ^ { \prime } } \\ & { + 2 \frac { U _ { 0 } ^ { 2 } s _ { 0 } } { g _ { 1 1 } } \left( \frac { g _ { j j } } { g _ { 1 1 } } \hat { U } _ { j } ^ { \prime \dag } \hat { U } _ { j } ^ { \prime } + \frac { g _ { j 3 - j } } { g _ { 1 1 } } \hat { U } _ { 3 - j } ^ { \prime \dagger } \hat { U } _ { 3 - j } ^ { \prime } \right) \hat { U } _ { j } ^ { \prime } = 0 . } \end{array}
\mathbf { D } \ = \ { \frac { \mathbf { D } \cdot ( \mathbf { B } \times \mathbf { C } ) } { | \mathbf { A } \, \mathbf { B } \, \mathbf { C } | } } \ \mathbf { A } + { \frac { \mathbf { D } \cdot ( \mathbf { C } \times \mathbf { A } ) } { | \mathbf { A } \, \mathbf { B } \, \mathbf { C } | } } \ \mathbf { B } + { \frac { \mathbf { D } \cdot ( \mathbf { A } \times \mathbf { B } ) } { | \mathbf { A } \, \mathbf { B } \, \mathbf { C } | } } \ \mathbf { C } \ .
\dot { \hat { d } } ^ { ( \alpha ) } = \left( \mathcal { I } - \hat { d } ^ { ( \alpha ) } \hat { d } ^ { ( \alpha ) } \right) \cdot \left( \Gamma _ { \alpha } \mathbf { E } ( \mathbf { x } _ { \alpha } ) + \mathbf { W } ( \mathbf { x } _ { \alpha } ) \right) \cdot \hat { d } ^ { ( \alpha ) } .
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { x _ { n + 1 } } \\ { v _ { n + 1 } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l } { x _ { n } } \\ { v _ { n } } \end{array} \right) + h \left( \begin{array} { l } { v _ { n } - h \nabla f ( x _ { n } + h v _ { n } ) } \\ { - 2 \sqrt \mu \, v _ { n } - ( 1 - \sqrt \mu h ) \nabla f ( x _ { n } + h v _ { n } ) } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { x _ { n } } \\ { v _ { n } } \end{array} \right) + h \left( \begin{array} { l } { v _ { n } } \\ { - 2 \sqrt \mu \, v _ { n } - \nabla f ( x _ { n } ) } \end{array} \right) + O ( h ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| z ^ { k } - x ^ { * } \| } & { = \| \mathcal { P } _ { \mathrm { d o m } ( h ) } ( x ^ { k } - ( M _ { k } + \mu _ { k } I ) ^ { - 1 } F ( x ^ { k } ) ) - x ^ { * } \| } \\ & { \leq 2 \| ( M _ { k } + \mu _ { k } I ) ^ { - 1 } ( F ( x ^ { k } ) - F ( x ^ { * } ) - ( M _ { k } + \mu _ { k } I ) ( x ^ { k } - x ^ { * } ) ) \| } \\ & { \leq 4 \gamma _ { F } C \| x ^ { k } - x ^ { * } \| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { B _ { k } } } & { = \sqrt { \frac { \tau } { 2 } } \alpha \cos \left( 2 k \pi / N \right) + q _ { \mathrm { n o } } , } \\ { q _ { \mathrm { n o } } } & { : = \sqrt { \frac { \tau } { 2 } } q _ { \mathrm { t h } } + \sqrt { \frac { 1 - \tau } { 2 } } q _ { E } + \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } q _ { \mathrm { h } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { a } & { = P _ { 1 } x _ { 1 } \otimes \cdots \otimes P _ { i } x _ { i } \otimes \cdots \otimes P _ { n } x _ { n } } \\ { a ^ { \prime } } & { = P _ { 1 } x _ { 1 } \otimes \cdots \otimes P _ { i } x _ { i } ^ { \prime } \otimes \cdots \otimes P _ { n } x _ { n } } \\ { a ^ { \prime \prime } } & { = P _ { 1 } x _ { 1 } \otimes \cdots \otimes ( P _ { i } x _ { i } \oplus P _ { i } x _ { i } ^ { \prime } ) \otimes \cdots \otimes P _ { n } x _ { n } } \end{array} \right.
\langle { \hat { b } } _ { s } ^ { \dagger } ( t ) { \hat { b } } _ { s } ( t + \tau ) \rangle = { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { \Omega ^ { 2 } e ^ { i ( \omega _ { 0 } - \omega _ { 1 } ) \tau } } { \beta ^ { 2 } ( 1 + \theta ^ { 2 } ) } } \left( 1 - { \frac { \Omega ^ { 2 } } { { \frac { 1 } { 2 } } \Omega ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ( 1 + \theta ^ { 2 } ) } } \right) + { \frac { \Omega ^ { 4 } e ^ { - \beta | \tau | } e ^ { i ( \omega _ { 0 } - \omega _ { 1 } ) \tau } } { 8 \beta ^ { 4 } \theta ( 1 + \theta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \times [ \sin ( \beta \theta | \tau | ) + \theta \cos ( \beta \theta \tau ) ]
\begin{array} { r } { D _ { R } [ B _ { \Psi } ( y ^ { \delta } , W \cdot + b ) ] ( x ^ { \dagger } , x _ { \alpha } ) + B _ { \Psi } ( y ^ { \delta } , W x _ { \alpha } + b ) + \alpha D _ { R } [ R ] ^ { \mathrm { s y m m } } ( x _ { \alpha } , x ^ { \dagger } ) = B _ { \Psi } ( y ^ { \delta } , W x ^ { \dagger } + b ) - \alpha \langle p ^ { \dagger } , x _ { \alpha } - x ^ { \dagger } \rangle \, . } \end{array}
( p , q ) _ { \star } : = \int _ { \Omega _ { \star } } p \, q , \quad ( \mathbf { u } , { \mathbf { v } } ) _ { \star } : = \int _ { \Omega _ { \star } } \mathbf { u } \cdot { \mathbf { v } } , { \quad \mathrm { a n d } \quad } ( { \boldsymbol \sigma } , { \boldsymbol \tau } ) _ { \star } : = \int _ { \Omega _ { \star } } { \boldsymbol \sigma } : { \boldsymbol \tau } ,
\mu _ { t _ { 1 } , \dots , t _ { n } } ( C ) = P { \Big ( } { \big \{ } \omega \in \Omega : { \big ( } X _ { t _ { 1 } } ( \omega ) , \dots , X _ { t _ { n } } ( \omega ) { \big ) } \in C { \big \} } { \Big ) } .
\begin{array} { r l } { \sin \alpha _ { 1 } \cos ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) - \cos \alpha _ { 1 } \sin ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) } & { = \sin ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ^ { \prime } - \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) } \\ & { = \sin ( 2 \pi - \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 2 } ^ { \prime } - \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) } \\ & { = \sin ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime \prime } + \alpha _ { 3 } ^ { \prime \prime } ) . } \end{array}
P _ { N } = \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad Q _ { N } = \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \omega _ { N } } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \omega _ { N } ^ { N - 2 } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \omega _ { N } ^ { N - 1 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { d _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) = d _ { 0 } ( z ) } & { { } \geq d _ { v } ( w ) = d _ { v } ( w ^ { \prime } ) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { d _ { v } ( w ^ { \prime } ) = d _ { v } ( w ) } & { { } \leq s / 2 . } \end{array}
\Gamma _ { g } ^ { \alpha \beta \gamma } \; ( x , y , z ) = \Gamma _ { r } ^ { \alpha \beta \gamma } \; ( x , y , z ) - { \frac { i } { 4 \pi ^ { 2 } } } \; \varepsilon ^ { \beta i \gamma j } { \frac { \partial } { \partial x _ { \alpha } } } { \frac { \partial } { \partial y ^ { i } } } G ( x , y ) { \frac { \partial } { \partial z ^ { j } } } \delta ( y - z ) .
{ \begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = x _ { 2 } / 1 0 - x _ { 3 } / 5 + 3 / 5 , } \\ { x _ { 2 } } & { = x _ { 1 } / 1 1 + x _ { 3 } / 1 1 - 3 x _ { 4 } / 1 1 + 2 5 / 1 1 , } \\ { x _ { 3 } } & { = - x _ { 1 } / 5 + x _ { 2 } / 1 0 + x _ { 4 } / 1 0 - 1 1 / 1 0 , } \\ { x _ { 4 } } & { = - 3 x _ { 2 } / 8 + x _ { 3 } / 8 + 1 5 / 8 . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \hat { H } \equiv \frac { m _ { j } n \Omega _ { j } } { k _ { \parallel } } \frac { \partial } { \partial p _ { \perp } } + \left( \frac { m _ { j } \omega } { k _ { \parallel } } - \frac { m _ { j } n \Omega _ { j } } { k _ { \parallel } } \right) \frac { p _ { \perp } } { p _ { \parallel } } \frac { \partial } { \partial p _ { \parallel } } , } \end{array}
{ \cal L } ^ { \prime } = a \overline { { { { \bf 1 6 } } } } \Omega _ { \tilde { Q } } { \bf 1 6 } + b \overline { { { { \bf 1 6 } } } } \Omega _ { Q } { \bf 1 6 } _ { i } + c { \bf 1 6 } { \bf 1 6 } _ { j } { \bf 1 0 } _ { H } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } B } & { = \frac { \partial } { \partial \xi ^ { \nu } } \left[ \omega _ { \alpha \beta } \frac { \partial z ^ { \alpha } } { \partial t } \frac { \partial z ^ { \beta } } { \partial \xi ^ { \mu } } \right] \mathrm { d } \xi ^ { \mu } \wedge \mathrm { d } \xi ^ { \nu } } \\ & { \, + \frac { \partial } { \partial t } \left[ \omega _ { \alpha \beta } \frac { \partial z ^ { \alpha } } { \partial t } \frac { \partial z ^ { \beta } } { \partial \xi ^ { \mu } } \right] \mathrm { d } \xi ^ { \mu } \wedge \mathrm { d } t \, , } \end{array}
\frac { 2 d } { L } \left( \left\lceil \log _ { 2 } ^ { 2 } \frac { N } { L } \right\rceil { + } ( 1 { + } 2 \log _ { 2 } L ) \left\lceil \log _ { 2 } \frac { N } { L } \right\rceil \right) { \approx } \mathcal { O } ( \frac { d } { L } \log _ { 2 } ^ { 2 } \frac { N } { L } )
\begin{array} { r l } & { F ( z ) : = \textstyle \sum _ { p = 1 } ^ { P } f _ { p } ( z _ { p } ) , } \\ & { A ^ { \top } : = \left[ \begin{array} { l } { \mathbb { I } _ { J } \ \cdots \ \mathbb { I } _ { J } } \end{array} \right] _ { J \times P J } , } \\ & { w ^ { ( T ) } : = \textstyle \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } w ^ { t + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } ) } & { = ( 2 \times \{ 1 \} \{ 2 \} \{ 3 \} ) } \\ & { + \{ 1 \} \{ 2 \} + \{ 1 \} \{ 3 \} + \{ 2 \} \{ 3 \} } \\ & { - \{ 1 , 2 \} \{ 1 , 3 \} \{ 2 , 3 \} } \\ & { - \{ 1 , 2 \} \{ 1 , 3 \} - \{ 1 , 2 \} \{ 2 , 3 \} - \{ 1 , 3 \} \{ 2 , 3 \} } \\ & { - \{ 1 , 2 \} - \{ 1 , 3 \} - \{ 2 , 3 \} } \\ & { - \{ 1 , 2 , 3 \} } \end{array}
\{ F , G \} = \frac { 1 } { \partial m _ { s } J B _ { \parallel } ^ { * } } \left( \frac { \partial F } { \partial z } \frac { \partial G } { \partial v _ { \parallel } } - \frac { \partial G } { \partial z } \frac { \partial F } { \partial v _ { \parallel } } \right) .
\begin{array} { r l } { X _ { F , j } ( t ) } & { = \{ a _ { j } ( t ) , m _ { i j } ( t ) ~ | ~ i \in \Omega _ { j } ^ { F } \} , \forall j , } \\ { X _ { B , i } ( t ) } & { = \{ m _ { i j } ^ { \prime } ( t ) , e _ { i } ( t ) , x _ { i } ( t ) , y _ { i } ( t ) , c _ { i } ( t ) , d _ { i } ( t ) , u _ { i k } ( t ) ~ | ~ j \in \Omega _ { i } ^ { B } , k \ne i \} , \forall i , } \\ { X _ { P } ( t ) } & { = \{ u _ { i k } ^ { \prime } ( t ) ~ | ~ k \ne i \} , \forall i . } \end{array}
n _ { i } ( T , \{ \mu _ { j } \} ) = \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { 1 } { e ^ { \beta \omega } + 1 } A _ { i k , i k } ( \omega ) .
\begin{array} { r l } { \textbf { R } _ { i } ( t ) } & { { } = \frac { \lambda _ { \textrm { t x 1 } } } { 4 \pi \| \textbf { p } _ { \textrm { t x 1 } } ( t ) - \textbf { p } _ { \textrm { r x } } ( t ) \| } G _ { \textrm { t x 1 } , i } ( t ) \textbf { S } _ { \textrm { t x 1 } } ( t ) } \end{array}
\kappa _ { 1 j } = \lambda _ { 1 j } ^ { \prime } + \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \lambda _ { 2 j } ^ { \prime } , \quad \kappa _ { 2 j } = \mu _ { 1 } \lambda _ { 5 j } ^ { \prime } + \mu _ { 2 } \left( \lambda _ { 2 j } ^ { \prime } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \lambda _ { 1 j } ^ { \prime } \right) , \qquad j = 1 , 2 , 3 , 4 .
\begin{array} { r l } & { \| \varphi \| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k } ) } \le 2 ( \| \varphi \| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k - 1 } ) } + \| R \varphi \| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k } , B _ { \omega } ^ { k - 1 } ) } ) \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { \| R \varphi \| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k } , B _ { \omega } ^ { k - 1 } ) } \le 2 \| \varphi \| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k } ) } } \end{array}
\eta _ { x } ^ { \mathrm { ~ b ~ } , \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } = \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } , \qquad \qquad \eta _ { x } ^ { \mathrm { ~ b ~ } , \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } = \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } .
M _ { q \bar { q } ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } = ( p _ { q } + p _ { \bar { q } ^ { \prime \prime } } ) \cdot ( p _ { q } + p _ { \bar { q } ^ { \prime \prime } } ) = ( p _ { b } - p _ { q ^ { \prime } } ) \cdot ( p _ { b } - p _ { q ^ { \prime } } ) = m _ { b } ^ { 2 } + m _ { q ^ { \prime } } ^ { 2 } - 2 m _ { b } E _ { q ^ { \prime } } .