harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \left( i \Delta - \frac { \kappa } { 2 } \right) a _ { 1 + } + \zeta a _ { 2 + } + i U | a _ { 1 + } | ^ { 2 } a _ { 1 + } + i 2 U | a _ { 1 - } | ^ { 2 } a _ { 1 + } + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } } & { = } & { 0 , } \\ { \left( i \Delta - \frac { \kappa } { 2 } \right) a _ { 1 - } + \zeta a _ { 2 - } + i U | a _ { 1 - } | ^ { 2 } a _ { 1 - } + i 2 U | a _ { 1 + } | ^ { 2 } a _ { 1 - } + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } } & { = } & { 0 , } \\ { \left( i \Delta - \frac { \kappa } { 2 } \right) a _ { 2 + } + \zeta a _ { 1 + } + i U | a _ { 2 + } | ^ { 2 } a _ { 2 + } + i 2 U | a _ { 2 - } | ^ { 2 } a _ { 2 + } + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } } & { = } & { 0 , } \\ { \left( i \Delta - \frac { \kappa } { 2 } \right) a _ { 2 - } + \zeta a _ { 1 - } + i U | a _ { 2 - } | ^ { 2 } a _ { 2 - } + i 2 U | a _ { 2 + } | ^ { 2 } a _ { 2 - } + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } } & { = } & { 0 . } \end{array}
\Phi = ( \Theta _ { \alpha } \chi _ { 1 } ^ { \alpha } + \Pi _ { \alpha } \chi _ { 2 } ^ { \alpha } + \bar { \Theta } ^ { \dot { \alpha } } \bar { \chi } _ { 1 \dot { \alpha } } + \bar { \Pi } ^ { \dot { \alpha } } \bar { \chi } _ { 2 \dot { \alpha } } ) e ^ { i k X }
\begin{array} { r } { \left| { \mathcal I } ^ { \beta , k } [ p ] ( m , x ; t ) \right| \leq \| B \| _ { \infty } D \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d + 1 } } { \mathbf 1 } _ { m > b > x ^ { 1 } , b > a ^ { 1 } } N ( p ; s , x _ { 0 } ) } \\ { \frac { e ^ { - \frac { ( b - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } - \frac { ( b - x ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { a } \| ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } ( t - s ) ^ { d + 2 } } } \frac { e ^ { - \frac { ( m - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } - \frac { ( m - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } - \frac { \| \tilde { x } _ { 0 } - \tilde { a } \| ^ { 2 } } { 4 s } } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } { s ^ { d + 1 } } } } d a d b d s . } \end{array}
A ( k ) _ { \sigma } = \frac { k ^ { 2 } } { m _ { \phi } ^ { 2 } S ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 1 9 } q _ { \sigma } ~ ~ , ~ ~ ~ q _ { \sigma } = \kappa \frac { 1 9 } { 4 8 } \Phi ^ { 2 } ~ .
\begin{array} { r } { \psi _ { 2 i - 1 } ( x ) = \phi _ { k _ { i } } ^ { L } ( r ) \chi _ { 1 } ( s ) , \quad \quad \psi _ { 2 i } ( x ) = \phi _ { k _ { i } } ^ { L } ( r ) \chi _ { 0 } ( s ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i \in \biggr \{ 1 , . . . , \frac { N } { 2 } \biggr \} , } \end{array}
L _ { 3 g } \sim \kappa ^ { 4 } ~ N _ { 1 } N _ { 2 } N _ { 3 } { \frac { ( v _ { 1 } - v _ { 2 } ) ^ { 2 } ( v _ { 2 } - v _ { 3 } ) ^ { 2 } ( v _ { 1 } - v _ { 3 } ) ^ { 2 } } { r ^ { 7 } R ^ { 7 } } }
\mathbf { H } ( \mathbf { k } ) = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { I } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { I } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { N } } } \end{array} \right) _ { 3 N \times 3 } .
M = { \frac { A ^ { \prime } } { A } } = \alpha ^ { 2 } x ( { \frac { 2 P ^ { 2 } K ^ { 2 } } { N ^ { 2 } x ^ { 2 } } } + { \frac { 2 K ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } + H ^ { 2 } )
\begin{array} { r } { \frac { \sigma _ { \bot } } { I _ { \mathrm { L } } } = 8 \pi \alpha \frac { k _ { f } } { k _ { i } } A _ { \bot } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } , } \end{array}
\partial _ { t } u \in L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } L _ { x } ^ { 2 } \subset L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } \left( H _ { 0 , x } ^ { 2 } \right) ^ { * } \subset L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } \left( H _ { d , x } ^ { 2 } \right) ^ { * }
\partial _ { t } T _ { 1 } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } T _ { 1 } = \mathrm { P e } _ { p } ( v _ { 1 } - \bar { v } _ { 1 } ) , \quad T _ { 1 } ( y _ { 3 } , 0 ) = 0 , \quad \left. \partial _ { y _ { 3 } } T _ { 1 } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { d { \bf r } } { d t } } & { { } = { \bf v } } \\ { \frac { d { \bf p } } { d t } } & { { } = e \ \frac { { \bf v } } { c } \times { \bf \delta B } ( { \bf r } ) \, , } \end{array}
\partial _ { t } \mathcal { A } ( t , \xi ; q ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \mathcal { A } ( t , \xi ; q ) - b ( t , \xi ) \partial _ { \xi } \mathcal { A } ( t , \xi ; q ) + \sqrt { 8 \nu } \dot { W } ( t ; q ) \partial _ { \xi } \mathcal { A } ( t , \xi ; q ) = 0 , \quad \mathcal { A } ( 0 , \xi ; q ) = \xi ,
P _ { s } ( z _ { p } ) = \frac { P _ { 0 } } { { n ^ { 2 } \left( \pi w _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } e ^ { - 2 z _ { p } \overline { { \alpha } } } \left( \frac { \omega } { c } \right) ^ { 2 } \left| \hat { \chi } _ { 2 \beta } ( z _ { p } ) \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial } { \partial a } } \left( \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x \right) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta a \to 0 } { \frac { 1 } { \Delta a } } \left[ \int _ { a + \Delta a } ^ { b } f ( x ) \, d x - \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 1 3 } ^ { q } = { S _ { 1 3 } ^ { s h } } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } R T ( 1 - p ) ^ { 2 } \bigg ( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] } \\ { - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) . } \end{array}
\left| \operatorname { T r } ( S U ^ { * } \operatorname { E } _ { F ( x ) } U ) - \left\langle { \vec { x } } , 0 { \big | } U ^ { * } \operatorname { E } _ { F ( x ) } U { \big | } { \vec { x } } , 0 \right\rangle \right| \leq \operatorname { T r } ( { \big | } | { \vec { x } } , 0 \rangle \langle { \vec { x } } , 0 | - S { \big | } ) \| U ^ { * } \operatorname { E } _ { F ( x ) } U \| \leq \delta
N _ { \mathrm { I C D ( 1 h \ n u ) } } \approx \frac { P _ { \mathrm { 1 } } \times P _ { \mathrm { e x c } } \times P _ { \mathrm { r e c o m b } } } { P _ { \mathrm { 1 } } } = P _ { \mathrm { e x c } } \times P _ { \mathrm { r e c o m b } } .
M _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } \equiv M ^ { 2 } + Q ^ { 2 } { \frac { \omega ( 2 \omega + q + q _ { 0 } ) } { q _ { 0 } ( q + q _ { 0 } ) } } + 4 i \Gamma { \frac { \omega ( \omega + q _ { 0 } ) } { q _ { 0 } } } \; .
\begin{array} { r l } { d ( a ) } & { : = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & \\ & { a } \end{array} \right) , } \\ { m ( a ) } & { : = \left( \begin{array} { l l } { a } & \\ & { a ^ { - 1 } } \end{array} \right) , } \\ { n ( b ) } & { : = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { b } \\ & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { w } & { : = \left( \begin{array} { l l } & { 1 } \\ { - 1 } & \end{array} \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { { 2 } \cos 2 x } & { = \left( \cos x \right) ^ { 2 } + \left( \left( \cos x \right) ^ { 2 } - 1 \right) } & { = } & { 2 \left( \cos x \right) ^ { 2 } - 1 } \\ { \sin 2 x } & { = 2 \left( \sin x \right) \left( \cos x \right) } & & { } \\ { \cos 3 x } & { = \left( \cos x \right) ^ { 3 } + 3 \cos x \left( \left( \cos x \right) ^ { 2 } - 1 \right) } & { = } & { 4 \left( \cos x \right) ^ { 3 } - 3 \cos x } \\ { \sin 3 x } & { = 3 \left( \cos x \right) ^ { 2 } \left( \sin x \right) - \left( \sin x \right) ^ { 3 } } & { = } & { 3 \sin x - 4 \left( \sin x \right) ^ { 3 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { F _ { k } = \frac { a _ { k , 1 } a _ { k , 3 } t _ { k } ^ { 2 } \gamma _ { k } } { \Delta _ { k } } + a _ { k , 1 } a _ { k , 4 } t _ { k } ^ { 2 } \theta \overline { { d } } \Gamma _ { k } ( { \mathbf { C } } ) } \\ & { + a _ { k , 2 } a _ { k , 3 } t _ { k } ^ { 2 } \kappa _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) + a _ { k , 2 } a _ { k , 4 } t _ { k } ^ { 2 } \theta \overline { { d } } \beta _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } , { \mathbf { C } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle f ( \varphi _ { 1 } , \ldots , \varphi _ { m } ) \rangle } \\ & { = } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { - \sin \varphi _ { 1 } } ^ { \sin \varphi _ { 1 } } \cdots \int _ { - \sin ( \varphi _ { 1 } ) \cdots \sin ( \varphi _ { m - 1 } ) } ^ { \sin ( \varphi _ { 1 } ) \cdots \sin ( \varphi _ { m - 1 } ) } f ( \varphi _ { 1 } , \ldots , \varphi _ { m } ) \, \sin ^ { n - m - 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { n - m - 2 } ( \varphi _ { 2 } ) \cdots \sin ^ { n - m - 2 } ( \varphi _ { m } ) } \\ & { } & { \phantom { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { - \sin \varphi _ { 1 } } ^ { \sin \varphi _ { 1 } } \cdots \int _ { - \sin ( \varphi _ { 1 } ) \cdots \sin ( \varphi _ { m - 1 } ) } ^ { \sin ( \varphi _ { 1 } ) \cdots \sin ( \varphi _ { m - 1 } ) } } \times \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } ) } { \pi ^ { \frac { m } { 2 } } \Gamma ( \frac { n - m } { 2 } ) } \, d x _ { 1 } d x _ { 2 } \cdots d x _ { m } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { T } } = { \frac { 1 } { T _ { 0 } } } + { \frac { 1 } { B } } \left( \ln { \frac { R } { R _ { 0 } } } \right) = a _ { 0 } + a _ { 1 } \ln { \frac { R } { R _ { 0 } } }
\begin{array} { r l } { [ c ] J = } & { \parallel \boldsymbol { w } ^ { i + 1 } - \boldsymbol { w } ^ { i } \parallel _ { \mathsf { P } } ^ { 2 } + \parallel \mathsf { y } ^ { \boldsymbol { u } } - \mathcal { H } [ \boldsymbol { w } ^ { i + 1 } ] \parallel _ { \mathsf { R } } ^ { 2 } } \\ & { + \parallel \mathsf { y } ^ { \boldsymbol { b } } - \mathcal { N } [ \boldsymbol { w } ^ { i + 1 } ] \parallel _ { \mathsf { Q } } ^ { 2 } } \end{array}
u _ { z } ( s _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \; \frac { \gamma \, \rho \, \rho _ { 0 } } { { R _ { 2 } } ^ { 3 } } \bigg ( \frac { \rho - \rho _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } I _ { 1 } + I _ { 2 } \bigg ) \, d s
\begin{array} { r l } { \big | \big ( P ( { \widehat { u } } * \widehat { w } ) - \widehat { w } * ( P { \widehat { u } } ) \big ) ( \xi ) \big | } & { = \left| \int P ( \xi ) \widehat { u } ( \xi ^ { \prime } ) \widehat { w } ( \xi - \xi ^ { \prime } ) - P ( \xi ) ( \widehat { u } ( \xi ^ { \prime } ) \widehat { w } ( \xi - \xi ^ { \prime } ) \, d \xi ^ { \prime } \right| , } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \xi , \xi ^ { \prime } } \left| \frac { P ( \xi ) - P ( \xi ^ { \prime } ) } { \xi - \xi ^ { \prime } } \right| \int \big | \widehat { u } ( \xi ^ { \prime } ) ( \xi - \xi ^ { \prime } ) \widehat { w } ( \xi - \xi ^ { \prime } ) \big | d \xi ^ { \prime } , } \\ & { \leq \Big ( \operatorname* { s u p } | \partial _ { \xi } P | \Big ) ( | { \widehat { u } } | * | \widehat { \partial w } | ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { j } E _ { j + 1 } } & { = \varrho _ { j } { s _ { j } s _ { j } ^ { T } } ( I - \varrho _ { j + 1 } \bar { y } _ { j + 1 } s _ { j + 1 } ^ { T } ) } \\ & { = ( \frac { 1 } { \sigma s _ { j + 1 } ^ { T } \bar { y } _ { j } } ) \sigma ^ { 2 } s _ { j + 1 } s _ { j + 1 } ^ { T } ( I - \varrho _ { j + 1 } \bar { y } _ { j + 1 } s _ { j + 1 } ^ { T } ) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\displaystyle \frac { 1 } { \mu - \hat { x } } = \displaystyle \frac { 1 } { \nu } = \displaystyle \frac { ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z _ { N } ( \hat { x } + \nu ) } i Z _ { N } ^ { \prime } ( \hat { x } + \nu ) } { 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z _ { N } ( \hat { x } + \nu ) } } + . . .
\begin{array} { r l r } { d X _ { t } ^ { \pm } } & { = } & { \psi _ { t } \left( \partial _ { x } \log \int _ { - \infty } ^ { \pm \alpha x } e ^ { - s ^ { 2 } / 2 } d s \right) _ { x = X _ { t } ^ { \pm } } d t + d W _ { t } , \qquad X _ { 0 } = 0 } \\ { \psi _ { t } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { ( 2 + \alpha ^ { 2 } t ) } { ( 1 + \alpha ^ { 2 } t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { 2 , 2 , 3 } } & { \lesssim \frac { r ^ { r } } { r ! } \epsilon ^ { r } \| \partial _ { t } ^ { r } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } + \sum _ { i \ge r + 1 } \frac { i ^ { r } } { i ! } \epsilon ^ { i } ( i - r ) \| t ^ { i - 1 - r } \partial _ { t } ^ { i - 1 } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + \sum _ { i \ge r + 1 } \frac { i ^ { r } } { i ! } \epsilon ^ { i } \| t ^ { i - r } \partial _ { t } ^ { i - 1 } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \le C ( \| q _ { 0 } \| _ { H ^ { 2 r } ( \Omega ) } + \| f \| _ { H ^ { 2 r - 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } ) + C _ { 2 } 2 ^ { r } \epsilon \psi _ { 2 , 2 , 3 } } \\ & { \quad \quad + C \sum _ { i \ge r } \frac { ( i + 1 ) ^ { r } } { ( i + 1 ) ! } \epsilon ^ { i + 1 } \| t ^ { i + 1 - r } \partial _ { t } ^ { i } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } , } \end{array}
\hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) = \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( s = i \omega ) = \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } ( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } ) ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, .
0 < ( - \Delta ) ^ { s } \omega ^ { \lambda _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) = C _ { s , n } P . V . \int _ { B _ { \lambda _ { 0 } } ( 0 ) } \left( \frac { 1 } { \left| \frac { | y | x _ { 0 } } { \lambda _ { 0 } } - \frac { \lambda _ { 0 } y } { | y | } \right| ^ { n + 2 s } } - \frac { 1 } { | x _ { 0 } - y | ^ { n + 2 s } } \right) \omega ( y ) \mathrm { d } y \leq 0 ,
\hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { P } _ { k , \sigma } - \mathbf { P } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { E } _ { k , \sigma } = 4 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) - \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \mathbf { D } _ { k , \sigma } + \mathbf { D } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \right) \, .
\eta _ { 2 } ^ { \mathrm { A - B } } = \sqrt { \frac { \sum _ { n \mathbf { k } } \tilde { f } _ { n \mathbf { k } } ( \epsilon _ { n \mathbf { k } } ^ { \mathrm { A } } - \epsilon _ { n \mathbf { k } } ^ { \mathrm { B } } ) ^ { 2 } } { \sum _ { n \mathbf { k } } \tilde { f } _ { n \mathbf { k } } } } ,
\begin{array} { r } { \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \omega ) = \mathbf { G } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) \cdot \frac { \mathbf { d } } { \epsilon _ { 0 } } = \mathbf { G } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) \cdot \hat { \mathbf { n } } _ { \mathrm { d } } \frac { | \mathbf { d } | } { \epsilon _ { 0 } } , } \end{array}
{ \mathfrak { c } } \leq \aleph _ { 0 } \cdot 1 0 ^ { \aleph _ { 0 } } \leq 2 ^ { \aleph _ { 0 } } \cdot { ( 2 ^ { 4 } ) } ^ { \aleph _ { 0 } } = 2 ^ { \aleph _ { 0 } + 4 \cdot \aleph _ { 0 } } = 2 ^ { \aleph _ { 0 } }
\begin{array} { r } { \overline { { \vartheta } } _ { \mathrm { H S S } } : = \frac { 1 } { \mathrm { m e a s } ( \Omega ) } \int _ { \Omega } \vartheta _ { \mathrm { H S S } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Omega = \vartheta _ { \mathrm { a m b } } + \frac { 1 } { h _ { T } \, \mathrm { m e a s } ( \Omega ) } \int _ { \Omega } f ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Omega } \end{array}
I ( n , \Lambda ) = { \frac { n } { 2 } } I ( n - 1 , \Lambda ) + \zeta ( - n ) - \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } { \frac { B _ { 2 r } } { ( 2 r ) ! } } a _ { n , r } ( n - 2 r + 1 ) I ( n - 2 r , \Lambda ) ,
( 1 - i \omega ) \frac { \epsilon _ { + } ( \omega ) } { G _ { + } ( \omega ) } = + h G _ { - } ( 0 ) \frac { 1 } { 2 \pi i } \int d \omega ^ { \prime } \frac { 1 } { \omega ^ { \prime } - \omega - i \delta } e ^ { 2 i \omega ^ { \prime } B } u ( \omega ^ { \prime } ) \varrho ( \omega ^ { \prime } ) - \frac { i h G _ { - } ( 0 ) } { \omega + i \delta } \, .
\bigl ( U _ { 1 , \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { m } ) , \ldots , U _ { q , \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { m } ) , V _ { \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { m } ) \bigr ) \stackrel { d } { \to } \bigl ( U _ { 1 , \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { 0 } ) , \ldots , U _ { q , \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { 0 } ) , V _ { \varepsilon , \lambda } ( \sigma _ { 0 } ) \bigr )
\begin{array} { r l } { f _ { 8 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( Z _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus Z _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { i } ) } . } \end{array}
z = ( z ( x ) ) _ { x \in \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } } \sim N \left( \mathbb { E } \left[ ( \Tilde { \eta } _ { x } ( u ^ { * } ) ) _ { x \in \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } } \vert D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } \right] , \Sigma _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } } + \Sigma _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ u ~ } } + \delta ^ { 2 } I _ { \lvert \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } \rvert } \right) ,
P ( \mathcal { D } ^ { u } | \Theta ) \propto \prod _ { i = 1 } ^ { N ^ { u } } \mathrm { e x p } \left( \frac { - \left( u _ { \Theta } ( t _ { i } , x _ { i } ) - u _ { i } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { u } ^ { 2 } } \right) .
\left< W ( C ) \right> = \left< \exp \left( 2 i g _ { m } n \int d ^ { 4 } x B _ { \mu } j _ { \mu } \right) \right> \simeq \exp \left[ - 2 g _ { m } ^ { 2 } n ^ { 2 } \int d ^ { 4 } x \int d ^ { 4 } y j _ { \mu } ( x ) \left< B _ { \mu } ( x ) B _ { \nu } ( y ) \right> j _ { \nu } ( y ) \right] ,
\big ( 2 \nu _ { t } \epsilon ( \underline { { u } } _ { h } ^ { S } ) , \epsilon ( \underline { { v } } _ { h } ^ { S } ) ) \big ) \cong \big ( 2 \nu _ { t } \epsilon ( \underline { { u } } _ { h } ) , \epsilon ( \underline { { v } } _ { h } ) \big ) - \big ( 2 \nu _ { t } \Pi _ { L _ { h } } \epsilon ( \underline { { u } } _ { h } ) , \epsilon ( \underline { { v } } _ { h } ) \big ) ,
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \boldsymbol { u } _ { f } } & { = 0 } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { f } , } \\ { \rho _ { f } \nabla \cdot \left( \boldsymbol { u } _ { f } \boldsymbol { u } _ { f } \right) } & { = - \mathrm { \nabla { p } } _ { f } + \mu _ { f } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } _ { f } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { f } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \underline { { u } } _ { h } = \underline { { u } } _ { h } ^ { L } + \underline { { u } } _ { h } ^ { S } + \underline { { u } } _ { h } ^ { U } , \quad \textrm { a n d } \quad \underline { { v } } _ { h } = \underline { { v } } _ { h } ^ { L } + \underline { { v } } _ { h } ^ { S } + \underline { { v } } _ { h } ^ { U } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac 1 3 \alpha _ { 1 } \mathcal { L } _ { 0 } ( x ) + \left( \frac 2 5 \alpha _ { 2 } - x _ { j } ^ { \prime } \alpha _ { 1 } \right) \mathcal { L } _ { 1 } ( x ) + + \left( \frac 3 7 \alpha _ { 3 } + \frac 2 3 \alpha _ { 1 } - x _ { j } ^ { \prime } \alpha _ { 2 } \right) \mathcal { L } _ { 2 } ( x ) } \\ { + } & { \left( \frac { k - 1 } { 2 k - 1 } \alpha _ { k - 1 } + \frac { k - 2 } { 2 k - 5 } \alpha _ { k - 3 } - x _ { j } ^ { \prime } \alpha _ { k - 2 } \right) \mathcal { L } _ { k - 2 } ( x ) + \cdots } \\ { + } & { \left( \frac { k } { 2 k + 1 } ( \alpha _ { k } - C k ) + \frac { k - 1 } { 2 k - 3 } \alpha _ { k - 2 } - x _ { j } ^ { \prime } \alpha _ { k - 1 } + C k \right) \mathcal { L } _ { k - 1 } ( x ) + \cdots } \\ { + } & { \left( \frac { k } { 2 k - 1 } \alpha _ { k - 1 } - x _ { j } ^ { \prime } \alpha _ { k } \right) \mathcal { L } _ { k } ( x ) + \frac { k + 1 } { 2 k + 1 } \left( \alpha _ { k } - C k \right) \mathcal { L } _ { k + 1 } ( x ) = 0 , \ k \geqslant 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 4 , 2 , x x } ^ { \sigma , E S } } & { = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , E S } \frac { 1 } { 2 } v _ { i x } ^ { 2 } v _ { i \alpha } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { \sigma } [ \lambda _ { x x } ( \lambda _ { y y } + 6 u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } ) } \\ & { + 3 \lambda _ { x x } ^ { 2 } + 4 \lambda _ { x y } u _ { x } u _ { y } + 2 \lambda _ { x y } ^ { 2 } + u _ { x } ^ { 2 } ( \lambda _ { y y } + u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } ) ] , } \end{array} } \end{array}
\dot { x } = 0 . 5 3 6 6 y + 1 . 3 1 6 7 y ^ { 3 } - 0 . 4 8 6 1 x ^ { 2 } y + 0 . 1 7 3 5 y ^ { 5 } + 0 . 1 6 7 8 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 0 . 1 1 7 0 x ^ { 4 } y
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { { } = \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } t ( p ( t , m = 0 ) - p ( t , m ) \frac { S ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { S ( t _ { e n d } , m ) } ) d t } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { 1 } = \Re Z _ { 1 } ^ { 1 } + \cos \phi _ { 0 } v _ { a m p } \left( \Re Z _ { 2 } ^ { 1 } \cos \Delta \phi + \Im Z _ { 2 } ^ { 1 } \sin \Delta \phi \right) + \sin \phi _ { 0 } v _ { a m p } \left( \Im Z _ { 2 } ^ { 1 } \cos \Delta \phi - \Re Z _ { 2 } ^ { 1 } \sin \Delta \phi \right) } \\ { \beta _ { 1 } = \Im Z _ { 1 } ^ { 1 } + \cos \phi _ { 0 } v _ { a m p } \left( \Im Z _ { 2 } ^ { 1 } \cos \Delta \phi - \Re Z _ { 2 } ^ { 1 } \sin \Delta \phi \right) - \sin \phi _ { 0 } v _ { a m p } \left( \Im Z _ { 2 } ^ { 1 } \sin \Delta \phi + \Re Z _ { 2 } ^ { 1 } \cos \Delta \phi \right) } \end{array}
\frac { 1 } { \varepsilon } u ^ { n ^ { - } } ( \tau ^ { - } , n ^ { - } , t ) \theta _ { - } ( \tau ^ { - } , t ) \phi ^ { \prime } ( n ^ { - } / \varepsilon ) 1 _ { \{ \arg x \in [ \frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha , 2 \pi - \alpha ] \} } .
\ln \mathrm { d e t } _ { { \mathrm { \scriptsize { Q E D } } _ { 3 } } } = \frac { L } { 2 \pi } \int _ { m ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d M ^ { 2 } } { \sqrt { M ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \ \ln \mathrm { d e t } _ { { \mathrm { \scriptsize { Q E D } } _ { 2 } } } ( M ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { v ^ { + 1 / 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { | z - z _ { i } | } , } \\ { v ^ { - 1 / 2 } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { | z - z _ { i } | } { ( z - z _ { i } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \mathsf { P } } \{ S _ { t + 1 } = S _ { t } + 1 | S _ { t } > 0 \} = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { \alpha _ { S _ { t } } } { S _ { t } } } , \quad { \mathsf { P } } \{ S _ { t + 1 } = S _ { t } - 1 | S _ { t } > 0 \} = { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { \alpha _ { S _ { t } } } { S _ { t } } } , \quad { \mathsf { P } } \{ S _ { t + 1 } = 1 | S _ { t } = 0 \} = 1 ,
( C _ { 1 1 1 1 } ^ { H } , ~ C _ { 2 2 2 2 } ^ { H } , ~ C _ { 3 3 3 3 } ^ { H } ) = ( 0 . 2 3 8 , ~ 0 . 2 2 8 , ~ 0 . 1 9 9 ) , ~ ( C _ { 1 1 2 2 } ^ { H } , ~ C _ { 2 2 3 3 } ^ { H } , ~ C _ { 3 3 1 1 } ^ { H } ) = ( - 0 . 0 2 9 1 , ~ - 0 . 0 2 5 6 , ~ - 0 . 0 2 3 2 )
L = i \left( w _ { \alpha } \nabla _ { - } \varphi ^ { \alpha } - \tilde { w } _ { \overline { { { \alpha } } } } \nabla _ { - } \tilde { \varphi } ^ { \overline { { { \alpha } } } } \right) ( \varphi , \tilde { \varphi } ) - q A _ { - } ^ { a } { W } _ { a } ( \varphi , \tilde { \varphi } )
\left( \begin{array} { l } { x _ { 1 1 } } \\ { u _ { 1 } x _ { 1 1 } + v _ { 0 } x _ { 2 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \frac { u _ { 0 } x _ { 1 } + u _ { 1 } ( ( \alpha - 1 ) u _ { 0 } - x _ { 0 } ) } { \alpha ( u _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } ) } } & { \frac { \alpha u _ { 1 } v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } - u _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } + u _ { 0 } ^ { 2 } u _ { 1 } + u _ { 0 } u _ { 1 } x _ { 0 } } { \alpha v _ { 0 } ( u _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } ) } } \\ { u _ { 0 } } & { v _ { 0 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p _ { 1 0 } } \\ { p _ { 2 0 } } \end{array} \right) .
I _ { 4 d } ^ { ( n ) } = \frac { - 2 p ^ { 2 } } { 4 M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n - 1 } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \, ,
\left| \int _ { \mathrm { a r c } } { \frac { e ^ { i t z } } { z ^ { 2 } + 1 } } \, d z \right| \leq \pi a \cdot \operatorname* { s u p } _ { \mathrm { a r c } } \left| { \frac { e ^ { i t z } } { z ^ { 2 } + 1 } } \right| \leq \pi a \cdot \operatorname* { s u p } _ { \mathrm { a r c } } { \frac { 1 } { | z ^ { 2 } + 1 | } } \leq { \frac { \pi a } { a ^ { 2 } - 1 } } ,