harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\dot { \bar { \xi } } = \left\{ \begin{array} { l l } { R _ { 0 } \left( \exp \left( \frac { - \alpha \mathcal { F } } { R \vartheta } \right) - \exp \left( \frac { ( 1 - \alpha ) \mathcal { F } } { R \vartheta } \right) \right) , } & { \quad \mathrm { i f } \quad 0 < \bar { \xi } < 1 , } \\ { 0 , } & { \quad \mathrm { i f } \quad \bar { \xi } = 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { d \rho _ { 1 } } { d t } \bigg | _ { \rho _ { 2 \infty } = 1 } \approx p _ { 2 1 } ( 1 - \rho _ { 1 } ) + x ( 1 - \rho _ { 1 } ) - \frac { q _ { 1 } } { a } \rho _ { 1 } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \Delta t \nu | | \nabla \mathbf { v } _ { h , \alpha } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \Delta t \gamma | | \mathbf { M } _ { h , \alpha } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \alpha | | \mathbf { G } _ { h , \alpha } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } | | \nabla \mathbf { G } _ { h , \alpha } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \displaystyle + \Delta t b _ { 0 } | | \nabla y _ { h , \alpha } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | | \nabla z _ { h , \alpha } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } \leq C ( \phi _ { h } ^ { n } , \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) ] } & { \leq } & { ( 4 L \beta _ { n } ^ { - 1 } ) \cdot ( C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) ) + 2 \sqrt { 2 C _ { 0 } ^ { \prime } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } } \\ & { \leq } & { C L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega ^ { \prime } } & { { } = \Omega + 2 J f \eta ^ { 2 } ( \alpha + 4 \alpha ^ { 3 } + 1 2 \alpha \alpha _ { z } ) } \\ { \Omega _ { d } } & { { } = 4 J f \eta ^ { 2 } \ . } \end{array}
\phi _ { a n } T _ { 0 } \left( M _ { 1 , \nu _ { 2 } } , Z _ { 1 } \right) = T _ { 0 } \left( M _ { 1 , \nu _ { 2 } } , Z _ { 1 } \cup N _ { 1 } \right) T _ { 0 } ( N _ { 1 } ) .
\frac { \partial } { \partial R } F _ { w 1 } = M _ { \mu } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \Delta \rho v ^ { 2 } ) _ { 2 , 1 } + \frac { 5 } { 2 } ( \Delta P ) _ { 2 , 1 } - \frac { G M _ { \odot } } { R } ( \Delta \rho ) _ { 2 , 1 } \right] ;
\begin{array} { r l r } { \hat { C } _ { k } ( t ) } & { = } & { \operatorname* { P r } ( N _ { t } = 0 ) \langle \chi _ { 0 } ^ { 2 } \rangle + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \operatorname* { P r } ( N _ { t } = n ) \langle \chi _ { 0 } \chi _ { n } \rangle - \langle I _ { k } \rangle ^ { 2 } } \\ & { = } & { ( \langle I _ { k } ^ { 2 } \rangle - \langle I _ { k } \rangle ^ { 2 } ) \operatorname* { P r } ( N _ { t } = 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \psi } _ { u v } ( t ) = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { u } _ { 0 } ( t ) } \\ { \tilde { v } _ { 0 } ( t ) } \end{array} \right] , \; \; \boldsymbol { \psi } _ { u v } ( 0 ) = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { u } _ { 0 } ( 0 ) } \\ { \tilde { v } _ { 0 } ( 0 ) } \end{array} \right] , \; \; \boldsymbol { A } _ { u v } = \left[ \begin{array} { l l } { - \bar { \tau } } & { \bar { f } } \\ { - \bar { f } } & { - \bar { \tau } } \end{array} \right] , \; \; \mathrm { a n d } \; \; \boldsymbol { H } _ { u v } = - \frac { 1 } { F ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l } { \tilde { h } _ { x } } \\ { \tilde { h } _ { y } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { ~ f ~ } } } { \mathrm { d } t } } & { { } = } & { \dot { m } _ { \mathrm { ~ f ~ , ~ i ~ n ~ } } - \frac { \dot { m } _ { \mathrm { ~ n ~ } } } { 1 + \mathrm { ~ O ~ F ~ } } } \\ { \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { ~ o ~ } } } { \mathrm { d } t } } & { { } = } & { \dot { m } _ { \mathrm { ~ o ~ , ~ i ~ n ~ } } - \frac { \dot { m } _ { \mathrm { ~ n ~ } } } { 1 + 1 / \mathrm { ~ O ~ F ~ } } } \end{array}
U _ { \perp } ( \vec { \rho } ) \equiv k _ { \perp } \big | ( \vec { \rho } - \vec { \rho } ^ { ( \alpha ) } ) - [ ( \vec { \rho } - \vec { \rho } ^ { ( \alpha ) } ) \cdot \hat { \nu } _ { \alpha \beta } ] \hat { \nu } _ { \alpha \beta } \big | ^ { p _ { \perp } } ,
P \left( x _ { i } \mid y \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { y } ^ { 2 } } } \exp \left( - \frac { \left( x _ { i } - \mu _ { y } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \tilde { \mu } ^ { \mathrm { c l } } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } ) } & { { } : = c _ { 1 } ^ { n } \operatorname* { l i m } _ { I _ { a } \to c _ { 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } \boldsymbol { \sigma } _ { ( n ) } ^ { \mathrm { c l } } } } } \\ { \tilde { S } _ { L } ^ { \textrm { c l } } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } ) } & { { } : = 1 - c _ { 1 } ^ { n } \operatorname* { l i m } _ { I _ { a } \to c _ { 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } \boldsymbol { \sigma } _ { ( n ) } ^ { \mathrm { c l } } } } \, , } \\ { \tilde { S } ^ { \textrm { c l } } \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } \right) } & { { } : = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathcal { S } ^ { \textrm { c l } } ( \tilde { \sigma } _ { k } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { d \mu _ { p } ^ { ( m ) } } & { = } & { \mathcal { L } _ { p } ^ { ( m - 1 ) } \circ \mathcal { L } _ { p } ^ { ( m - 2 ) } \circ \cdots \circ \mathcal { L } _ { p } ^ { ( s - d ) } [ d \mu _ { p } ^ { ( s - d ) } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { H } ( t ) } & { = h ^ { \ast } H ( t ) \overline { { R } } _ { 1 } ( G , G | P ^ { \prime } ) } \\ & { \quad + h ^ { \ast } H ( t ) \overline { { R } } _ { 2 } ( G , G | P ) } \\ & { \quad + h ^ { \ast } ( 1 - H ( t ) ) \overline { { R } } _ { 1 } ( B , G | P ^ { \prime } ) } \\ & { \quad + h ^ { \ast } ( 1 - H ( t ) ) \overline { { R } } _ { 2 } ( G , B | P ) } \\ & { \quad + ( 1 - h ^ { \ast } ) H ( t ) \overline { { R } } _ { 1 } ( G , B | P ^ { \prime } ) } \\ & { \quad + ( 1 - h ^ { \ast } ) H ( t ) \overline { { R } } _ { 2 } ( B , G | P ) } \\ & { \quad + ( 1 - h ^ { \ast } ) ( 1 - H ( t ) ) \overline { { R } } _ { 1 } ( B , B | P ^ { \prime } ) } \\ & { \quad + ( 1 - h ^ { \ast } ) ( 1 - H ( t ) ) \overline { { R } } _ { 2 } ( B , B | P ) } \\ & { \quad - 2 H ( t ) . } \end{array}
d = \frac { 2 ^ { 1 / 2 } ( r ( 1 - r ) ( - 2 r ^ { 2 } + 2 r + a - 1 ) ) ^ { 1 / 2 } } { 2 r ( 1 - r ) } = \left( 1 - \frac { 1 - a } { 2 r ( 1 - r ) } \right) ^ { 1 / 2 } , \ 0 < r < 1 .
\begin{array} { r l } { \mathrm { s y m m e t r i c ~ p a r t : ~ } } & { L _ { S } y = - \varepsilon \Delta y - \frac { 1 } { 2 } ( \operatorname { d i v } \mathbf { b } ) y , \quad \forall y \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) , } \\ { \mathrm { s k e w - s y m m e t r i c ~ p a r t : ~ } } & { L _ { S S } y = \mathbf { b } \cdot \nabla y + \frac { 1 } { 2 } ( \operatorname { d i v } \mathbf { b } ) y , \quad \forall y \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) , } \end{array}
W = A ( \mathrm { d e t } \, T _ { ( 0 , \, 2 ) } - M _ { 0 } M _ { 1 } M _ { 2 } + \Lambda _ { 1 } ^ { 4 } M _ { 2 } + \Lambda _ { 2 } ^ { 4 } M _ { 0 } ) + m _ { 0 } M _ { 0 } + m _ { 1 } M _ { 1 } + m _ { 2 } M _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \bigg | \sum _ { \beta = 1 } ^ { M } E _ { \beta } ( t ) \bigg | ^ { 2 } } & { = I _ { \alpha } ( t ) + \sum _ { \beta \neq \alpha } I _ { \beta } ( t ) + \sum _ { \gamma } \sum _ { \beta \neq \gamma } E _ { \gamma } ^ { * } ( t ) \, E _ { \beta } ( t ) } \\ & { = I _ { \alpha } ( t ) + I _ { \mathrm { i n c } } ( t ) + I _ { \mathrm { c o h } } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { F } } & { = } & { \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \dot { \eta } + \frac { \partial F } { \partial t } = } \\ & { = } & { \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \left( \mathbf { 1 } - \mathbf { C } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) \mathbf { J } \frac { \partial H } { \partial \eta } - \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { C } ^ { - 1 } \frac { \partial c } { \partial t } + \frac { \partial F } { \partial t } = } \\ & { = } & { \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { J } \frac { \partial H } { \partial \eta } - \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { C } ^ { - 1 } \mathbf { C J } \frac { \partial H } { \partial \eta } + \frac { \partial F } { \partial t } - \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { C } ^ { - 1 } \frac { \partial c } { \partial t } } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \bar { \mathbf { r } } } _ { 1 } = \frac { 5 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \left( \mathbf { I } - \frac { 2 } { 5 } \, \mu \boldsymbol { \epsilon } \right) \cdot \left( \beta \mathbf { f } _ { 1 } + \ln \frac { \left| \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { - } \right| } { \left| \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { + } \right| } \mathbf { f } _ { 2 } \right) + \frac { 3 } { 5 } \left( \frac { \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { + } \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { + } } { \left| \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { + } \right| ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { - } \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { - } } { \left| \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { - } \right| ^ { 2 } } \right) \cdot \mathbf { f } _ { 2 } \right] + \mathbf { U } _ { 1 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { ( n m | k l ) } _ { \mathrm { R I - V } } } & { = \sum _ { P Q } ( n m | P ) ( P | Q ) ^ { - 1 } ( Q | k l ) } \\ & { = \sum _ { R } \Big \{ \sum _ { P } \sum _ { \mu \nu } ( \mu \nu | P ) C _ { \mu n } C _ { \nu m } ( P | R ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \qquad \quad \times \sum _ { Q } \sum _ { \lambda \gamma } ( R | Q ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } C _ { \lambda k } C _ { \gamma l } ( Q | \lambda \gamma ) \Big \} } \\ & { = \sum _ { R } \sum _ { \mu \nu } M _ { R } ^ { \mu \nu } C _ { \mu n } C _ { \nu m } \times \sum _ { \lambda \gamma } M _ { R } ^ { \lambda \gamma } C _ { \lambda k } C _ { \gamma l } } \\ & { = \sum _ { R } O _ { R } ^ { n m } O _ { R } ^ { k l } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B ( x , R ) } | f ( y ) - f _ { B ( x , R ) } | ^ { 2 } d \mu ( z ) } & { \leq C R ^ { d _ { w } } \operatorname* { l i m i n f } _ { r \to 0 ^ { + } } E _ { d _ { w } / 2 , B ( x , \lambda R ) } ( f , r ) } \\ & { \leq C R ^ { d _ { w } } \operatorname* { l i m s u p } _ { r \to 0 ^ { + } } E _ { d _ { w } / 2 , B ( x , \lambda R ) } ( f , r ) } \\ & { \leq C R ^ { d _ { w } } \int _ { B ( x , \Lambda R ) } d \Gamma ( f , f ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt t ( { \small \textsc { { R E V } } } ^ { \gamma } - { \small \textsc { { R E V } } } ^ { * } ) = \underbrace { \frac { 1 } { \sqrt t } { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } \big ( f ( { \theta ^ { \tau } } , \beta ^ { * } ) - { \bar { f } } ( \beta ^ { * } ) \big ) } _ { = : { \mathrm { { I } } } _ { t } } + \underbrace { \nu _ { t } ( f ( \cdot , \beta ^ { \gamma } ) - f ( \cdot , \beta ^ { * } ) ) } _ { = : { \mathrm { { I I } } } _ { t } } } \\ { + \underbrace { \sqrt { t } ( \bar { f } ( \beta ^ { \gamma } ) - \bar { f } ( \beta ^ { * } ) ) } _ { = : { \mathrm { { I I I } } } _ { t } } } \end{array}
u _ { j } = \frac { 1 } { 2 } ( e _ { j } + i e _ { j + 3 } ) , ~ ~ ~ ~ ~ u _ { j } ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } ( e _ { j } - i e _ { j + 3 } ) , ~ ~ ~ j = 1 , 2 , 3 .
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { G } } ( x , x ^ { \prime } ; \omega ) } & { = } & { \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 0 } ( x , x ^ { \prime } ; \omega ) } \\ & { } & { \! + \! \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } y \; \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 0 } ( x , y ; \omega ) \ensuremath { \mathbf { V } } ( y ) \ensuremath { \mathbf { G } } ( y , x ^ { \prime } ; \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } T _ { 1 } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } T _ { 1 } = \mathrm { P e } _ { p } \left( \frac { \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } f _ { t } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } f _ { t } } { \mathrm { P e } _ { s } \Gamma _ { 0 } \sin \theta } + v _ { s } \right) , \quad T _ { 1 } ( y _ { 3 } , 0 ) = 0 , \quad \left. \partial _ { y _ { 3 } } T _ { 1 } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { i \frac { \partial } { \partial t } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) = \frac { 1 } { 2 } k ^ { 2 } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) - i \gamma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i k ^ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } e ^ { - i \omega ( t - t ^ { \prime } ) } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ^ { \prime } ) \; . } \end{array}
p _ { t } ^ { h } ( x , y ) \leq e ^ { \alpha _ { 2 } h ^ { - 2 } M t + 1 } \left( \operatorname* { s u p } _ { \gamma \in \mathfrak { X } _ { h } ( x , y ) } \prod _ { \{ u , v \} \in \gamma } \frac { h ^ { 2 } \mu _ { u v } } { \alpha _ { 2 } } \right) \left( \frac { e M \alpha _ { 2 } t } { h ^ { 2 } d _ { h } ^ { c } ( x , y ) } \right) ^ { d _ { h } ^ { c } ( x , y ) } \ .
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { K } | } & { { } \hat { G } | \mathbf { K } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I , J \in \mathbf { K } } \langle I J \| I J \rangle , } \\ { \langle \mathbf { K } | } & { { } \hat { G } | \mathbf { K } _ { B } ^ { Q } \rangle = \sum _ { I \in \mathbf { K } } \langle B I \| Q I \rangle , } \\ { \langle \mathbf { K } _ { A } ^ { P } | } & { { } \hat { G } | \mathbf { K } _ { A } ^ { P } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I , J \in \mathbf { K } _ { A } ^ { P } } \langle I J \| I J \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \boldsymbol \omega } ( t ) = R ( t ) { \boldsymbol \Omega } ( t ) = ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } \\ { \left( \frac { ( I _ { 1 } - I _ { 3 } ) m _ { 2 } m _ { 3 } } { I _ { 1 } I _ { 3 } | { \bf m } | } \sin k t , ~ \frac { ( I _ { 3 } m _ { 2 } ^ { 2 } + I _ { 1 } m _ { 3 } ^ { 2 } ) m _ { 2 } } { I _ { 1 } I _ { 3 } { \bf m } ^ { 2 } } - \frac { ( I _ { 1 } - I _ { 3 } ) m _ { 2 } m _ { 3 } ^ { 2 } } { I _ { 1 } I _ { 3 } { \bf m } ^ { 2 } } \cos k t , ~ \frac { ( I _ { 3 } m _ { 2 } ^ { 2 } + I _ { 1 } m _ { 3 } ^ { 2 } ) m _ { 3 } } { I _ { 1 } I _ { 3 } { \bf m } ^ { 2 } } + \frac { ( I _ { 1 } - I _ { 3 } ) m _ { 2 } ^ { 2 } m _ { 3 } } { I _ { 1 } I _ { 3 } { \bf m } ^ { 2 } } \cos k t \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , n } = } & { { } \ \frac { 1 } { C _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } \times \left\{ \begin{array} { l l } { - \sum _ { n ^ { \prime } = 2 } ^ { + \infty } \bar { c } _ { 1 } ^ { n ^ { \prime } } \frac { b _ { 1 1 n ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } , } & { \mathrm { ~ ~ ~ i ~ f ~ ~ ~ } n = 1 } \\ { \bar { c } _ { 1 } ^ { n } , } & { \mathrm { ~ ~ ~ i ~ f ~ ~ ~ } n \geqslant 2 } \end{array} \right. , } \\ { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , n } = } & { { } \ \frac { 1 } { C _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } \times \left\{ \begin{array} { l l } { - \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { + \infty } \bar { c } _ { 2 } ^ { n ^ { \prime } } \frac { b _ { 2 0 n ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } , } & { \mathrm { ~ ~ ~ i ~ f ~ ~ ~ } n = 0 } \\ { \bar { c } _ { 2 } ^ { n } , } & { \mathrm { ~ ~ ~ i ~ f ~ ~ ~ } n \geqslant 1 } \end{array} \right. } \end{array}
{ \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { X } _ { i } = { \frac { 1 } { n } } { \left[ \begin{array} { l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i ( k ) } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { { \bar { X } } _ { i ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { { \bar { X } } _ { i ( k ) } } \end{array} \right] } = \mathbf { { \bar { X } } _ { n } }
- \int _ { - \infty } ^ { s } \phi ^ { \prime \prime } \phi d x \ge - \frac { 1 } { 2 \epsilon \delta } \int _ { - \infty } ^ { s } \phi ^ { 2 } d x - \frac { \epsilon } { 2 \delta } \int _ { - \infty } ^ { s } { \phi ^ { \prime } } ^ { 2 } d x - \frac { \delta } { 2 } | \phi ^ { \prime } | ^ { 2 } + \int _ { - \infty } ^ { s } { \phi ^ { \prime } } ^ { 2 } d x .
| \! | \hat { \boldsymbol { \beta } } - \boldsymbol { \beta } | \! | _ { 2 } \leq \frac { 8 1 ( 8 4 A e ) ^ { \frac 1 2 } L L _ { 0 } \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } C _ { \sharp } ^ { \frac 3 2 } ( 1 + \epsilon ^ { - 2 } + \epsilon ^ { - 4 } ) } { \zeta \alpha \epsilon ^ { 2 } } \sqrt { \frac { \log \left( \frac { M L } { \delta } \right) } D } \, ;
\partial _ { \vec { z } } ^ { 2 } H _ { K } = 0 , \ \ \ \partial _ { z _ { i } } H _ { K } = \epsilon _ { i j k } \partial _ { z _ { j } } A _ { k } , \ \ \ \partial _ { \vec { z } } ^ { 2 } H _ { 2 } + H _ { K } \partial _ { \vec { x } } ^ { 2 } H _ { 2 } = 0 .
f _ { i } ^ { e q } ( \mathbf { x } , t ) = w _ { i } \rho \left[ 1 + \frac { \textbf { c } _ { i } \cdot \textbf { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { ( \textbf { c } _ { i } \cdot \textbf { u } ) ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } - \frac { \textbf { u } \cdot \textbf { u } } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \right] \; .
\left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \hat { R } \left( - \theta \left( \vec { x } \right) \right) \left( \begin{array} { l l } { - 1 + \delta } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \hat { R } \left( \theta \left( \vec { x } \right) \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) = \left( 1 - \frac { \delta } { 2 } \right) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { \sin { \left( 2 \theta \left( \vec { x } \right) \right) } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { V a r } _ { i } } & { { } = } & { \mathrm { E } \big [ \big ( { \bf { u } } _ { i } ( t ) - \overline { { { \bf { u } } _ { i } ( t ) } } \big ) ^ { T } \big ( { \bf { u } } _ { i } ( t ) - \overline { { { \bf { u } } _ { i } ( t ) } } \big ) \big ] } \end{array}
{ \cal L } _ { K . E . } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \sigma \partial ^ { \mu } \sigma + \frac { 1 } { 4 } f ^ { 2 } T r ( { D } _ { \mu } \Sigma ^ { \dagger } { D } ^ { \mu } \Sigma ) + \frac { 1 } { 4 } ( \sigma + f ^ { ' } ) ^ { 2 } T r ( { D } _ { \mu } \Sigma ^ { ' \dagger } { D } ^ { \mu } \Sigma ^ { ' } ) .
\mathbf { G } = - \frac { 1 } { E ^ { 2 } + \mu _ { 1 } ^ { 2 } } \, d E \otimes d E + ( E ^ { 2 } + \mu _ { 1 } ^ { 2 } ) \, d t \otimes d t + \sum _ { j = 2 } ^ { N } \, \left[ - \frac { 1 } { p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } } \, d p _ { j } \otimes d p _ { j } + ( p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } ) \, d \psi _ { j } \otimes d \psi _ { j } \right] \, ,
\begin{array} { r } { { \bf v _ { e } ^ { ( 1 ) } } = \frac { 1 } { \omega _ { c e } } \{ \left[ \frac { \partial } { \partial t } + ( { \bf v _ { E } } + { \bf v _ { D } } ) \cdot \nabla \right] { \bf v _ { e } ^ { ( 0 ) } } + \frac { 1 } { m _ { e } n _ { e } } \nabla \times \left[ \frac { p _ { e } } { 2 \omega _ { c e } } ( \nabla \cdot { \bf v _ { e } ^ { ( 0 ) } } ) { \bf b } \right] + } \\ { \frac { 1 } { m _ { e } n _ { e } } \nabla \left[ \frac { p _ { e } } { 2 \omega _ { c e } } { \bf b } \cdot ( \nabla \times { \bf v _ { e } ^ { ( 0 ) } } ) \right] + \frac { e { \bf A } } { m _ { e } } \} \times { \bf b } } \end{array}
L = 2 \pi ^ { 2 } \left[ - \frac { 3 R ( \dot { R } ^ { 2 } - 1 ) } { 8 \pi G } + \frac { m R ^ { 3 } } { 2 } \sum _ { a } \dot { n } _ { a } ^ { 2 } - \frac { R ^ { 3 } } { \lambda ^ { 2 } } ( 1 + n _ { 3 } ) \right]
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { r > r _ { 0 } } \left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ( \cdot ) } - \frac { n } { q } } \| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \chi _ { B ( \cdot , r ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \right\| _ { L ^ { q } } } & { \le \operatorname* { s u p } _ { r > r _ { 0 } } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ^ { + } } - \frac { n } { q } } \left\| \| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \cdot \chi _ { B ( x _ { 0 } , r + r _ { 0 } ) } \right\| _ { L ^ { q } } } \\ & { \lesssim r _ { 0 } ^ { \frac { n } { p ^ { + } } } \operatorname* { s u p } _ { r > r _ { 0 } } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ^ { + } } } ( 1 + \frac { r _ { 0 } } { r } ) ^ { \frac { n } { q } } } \\ & { \lesssim r _ { 0 } ^ { \frac { n } { \alpha } + C _ { p } } , } \end{array}
\mathbf { i } \left( \mathbf { X } : \mathbf { Y } \right) = \ln { P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } \right) } - \ln { P \left( \mathbf { Y } \right) } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ln { P \left( \mathbf { Y } \mid X _ { i } \right) } - n \ln { P \left( \mathbf { Y } \right) } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { i } \left( X _ { i } : \mathbf { Y } \right)
\begin{array} { r } { \frac { \pi } { E _ { 0 } ^ { 2 } } \left\{ \big [ ( 2 + \omega ^ { 2 } r ^ { 2 } ) \sigma _ { \mathrm { m } } - 3 r \sigma _ { \mathrm { m } } ^ { \prime } - r ^ { 3 } \sigma _ { \mathrm { m } } ^ { \prime \prime \prime } \big ] \frac { g ^ { \prime } } { r } - ( 2 \sigma _ { \mathrm { m } } + r \sigma _ { \mathrm { m } } ^ { \prime } ) g ^ { \prime \prime } - r \sigma _ { \mathrm { m } } g ^ { \prime \prime \prime } + \omega ^ { 2 } r [ \sigma _ { \mathrm { m } } ^ { ( 1 ) } ] ^ { \prime } \, \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { k } ( 0 ) } & { { } = \frac { 1 } { k ! } , } \\ { \varphi _ { 0 } ( x ) } & { { } = e ^ { x } , } \\ { \varphi _ { k + 1 } ( x ) } & { { } = \frac { \varphi _ { k } ( x ) - \frac { 1 } { k ! } } { x } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } k \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { z } ^ { - } \left( \rho , \phi , z \right) } & { { } = - \frac { i \mu _ { 0 } } { \pi \rho _ { c } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \ \zeta _ { m , 0 } \cos \left( m \phi \right) \ \times } \end{array}
E ^ { z } ( t , z ) = 4 \pi e \left\{ \widetilde { N } ( z ) - \widetilde { N } [ Z _ { e } ( t , z ) ] \right\} , \quad \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \: \widetilde { N } ( Z ) \equiv \int _ { 0 } ^ { Z } \! \! \! d \zeta \, \widetilde { n _ { 0 } } ( \zeta ) .
Q _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { u } } = N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \mu \nu } } \Big ) ^ { 3 / 2 } \Big ( \frac { \alpha _ { \nu } d _ { \mu \nu } } { \alpha _ { \mu \nu } } + \frac { 2 \omega ^ { 2 } R _ { \mathrm { c u t } } } { \alpha _ { \mu \nu } + \omega ^ { 2 } } \Big ) ^ { l _ { \mu } } \Big ( \frac { \alpha _ { \mu } d _ { \mu \nu } } { \alpha _ { \mu \nu } } + \frac { 2 \omega ^ { 2 } R _ { \mathrm { c u t } } } { \alpha _ { \mu \nu } + \omega ^ { 2 } } \Big ) ^ { l _ { \nu } }
\omega _ { j } ^ { ( { \cal Q } ) } ( \underline { { { x } } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } } \sum _ { \underline { { { P } } } _ { n } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 P _ { n } ^ { + } } } \left( a _ { j } ( \underline { { { P } } } _ { n } ) \exp ( - i \underline { { { P } } } _ { n } \cdot \underline { { { x } } } ) + a _ { j } ^ { + } ( \underline { { { P } } } _ { n } ) \exp ( i \underline { { { P } } } _ { n } \cdot \underline { { { x } } } ) \right) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 2 , k = 1 } ^ { N } ( p _ { j } + q _ { k } ) G _ { j k } } & { = \sum _ { j = 1 , k = 1 } ^ { N } ( p _ { j } + q _ { k } ) G _ { j k } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } q _ { k } G _ { 1 k } } \\ & { = - | G ( { \bf 1 } ; { \bf p } ) | - | G ( { \bf q } ; { \bf 1 } ) | + | G ( { \bf q } ; { \bf e } _ { 1 } ) | . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { t \in ( 0 , T ) } \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } \leq 2 C _ { 0 } \operatorname* { m a x } \left\{ e ^ { T \omega } , 1 \right\} \Vert u - v \Vert _ { V } ,