harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \big ( \| u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } + \| \phi \| ^ { 2 } + ( \gamma \lambda + 1 ) \| \nabla \phi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \phi \| ^ { 2 } \big ) + \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { + \gamma \lambda \| \nabla \phi \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \phi \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { \kappa } { 2 } \| \Delta u \| ^ { 2 } + \frac { \kappa } { 2 } \| \nabla \Delta \phi \| ^ { 2 } + \kappa \| p \| _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \leq C ( 1 + E _ { 0 } ^ { 1 2 } ( t ) ) E _ { 0 } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { P } _ { 1 } q \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb R ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { \lesssim \| | \nabla | ^ { s } \mathbf { P } _ { 1 } q \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb R ^ { d } ) } ^ { 2 } = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \left| \widehat { \mathbf { P } _ { 1 } q } ( \xi ) \right| ^ { 2 } | \xi | ^ { 2 s } \chi _ { | \xi | \leq 1 } ( \xi ) \, d \xi } \\ & { \lesssim \int _ { \mathbb R ^ { d } } \left| \widehat { \mathbf { P } _ { 1 } q } ( \xi ) \right| ^ { 2 } \chi _ { | \xi | \leq 1 } ( \xi ) \, d \xi \lesssim \int _ { \mathbb R ^ { d } } \left| \widehat { v ^ { i } v ^ { j } } ( \xi ) \right| ^ { 2 } \chi _ { | \xi | \leq 1 } ( \xi ) \, d \xi } \\ & { \lesssim \| v ^ { i } v ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb R ^ { d } ) } ^ { 2 } \lesssim \| v \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb R ^ { d } ) } ^ { 4 } , } \end{array}
J _ { o s p ( 2 , 2 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { { J _ { s u ( 2 ) } \oplus \left( J - \frac { 1 } { 2 } \right) _ { s u ( 2 ) } \oplus \left( J - \frac { 1 } { 2 } \right) _ { s u ( 2 ) } \oplus ( J - 1 ) _ { s u ( 2 ) } \, , } } & { { J _ { o s p ( 2 , 2 ) } \geq 1 \, ; } } \\ { { ( \frac { 1 } { 2 } ) _ { s u ( 2 ) } + ( 0 ) _ { s u ( 2 ) } + ( 0 ) _ { s u ( 2 ) } \, , } } & { { J _ { o s p ( 2 , 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \, . } } \end{array} \right.
R _ { 1 } = { \frac { 1 6 7 0 + 9 6 7 B _ { H } } { 9 1 8 0 + 2 3 8 0 B _ { H } } } = 0 . 1 8 2 ( 1 + 0 . 3 2 B _ { H } + \dots ) \; .
\frac { d w _ { b r } ^ { ( N ) } } { d \omega } \simeq N \left( \frac { d w _ { b r } ^ { ( 1 ) } } { d \omega } + \frac { \alpha r _ { 2 } } { \pi \omega b } ~ \frac { N - 1 } { N b } \frac { \cos T } { T ^ { 2 } } \right) .
{ \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } d _ { i } ^ { 4 } } { 8 } } + { \frac { 1 6 R ^ { 4 } } { 9 } } = \left( { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } d _ { i } ^ { 2 } } { 8 } } + { \frac { 2 R ^ { 2 } } { 3 } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { M _ { 2 , 4 } = \left| \begin{array} { l l l l l l } { R _ { 0 } } & & & & & \\ { P _ { 2 } } & { - \Tilde { Q } _ { 2 } } & { R _ { 2 } } & & & \\ & { P _ { 3 } } & { - \Tilde { Q } _ { 3 } } & & & \\ & & { P _ { 4 } } & { R _ { 4 } } & & \\ & & & { - \Tilde { Q } _ { 5 } } & { R _ { 5 } } & \\ & & & & & { \ddots } \end{array} \right| = R _ { 0 } \left| \begin{array} { l l } { \tilde { Q } _ { 2 } } & { R _ { 2 } } \\ { P _ { 3 } } & { \tilde { Q } _ { 3 } } \end{array} \right| \cdot \prod _ { i = 4 } ^ { \infty } R _ { i } . } \end{array}
\mathbf { R } _ { \lambda } ^ { - 1 } = \left( \mathbf { W } _ { \mathcal { P P } } - \mathbf { W } _ { \mathcal { P \Bar { P } } } \mathbf { Q } _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } \left( \mathbf { D } _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } - \lambda \mathbf { I } _ { s } \right) ^ { - 1 } \mathbf { Q } _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathcal { \Bar { P } P } } \right) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } & { M _ { k + 1 } ^ { ( r ) } : = \left( I - ( \eta _ { r _ { k + 1 } } / b ) H _ { r _ { k + 1 } } \right) \left( I - ( \eta _ { r _ { k + 1 } - 1 } / b ) H _ { r _ { k + 1 } - 1 } \right) \cdots \left( I - ( \eta _ { r _ { k } + 1 } / b ) H _ { r _ { k } + 1 } \right) , } \\ & { q _ { k + 1 } ^ { ( r ) } : = \sum _ { i = r _ { k } } ^ { r _ { k + 1 } } \left( I - ( \eta _ { r _ { k + 1 } } / b ) H _ { r _ { k + 1 } } \right) \left( I - ( \eta _ { r _ { k + 1 } - 1 } / b ) H _ { r _ { k + 1 } - 1 } \right) \cdots \left( I - ( \eta _ { i + 1 } / b ) H _ { i + 1 } \right) q _ { i } . } \end{array}
\beta ( p , k ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ^ { \prime } \frac { q } { 2 } \frac { A _ { p } ( 0 , x ^ { \prime } ) } { i q \pi \sqrt { \omega _ { p } \omega _ { k } } } \left\{ \dot { \phi } _ { 1 k } ^ { + \ast } ( t , x ) { \frac { \partial t } { \partial t ^ { \prime } } } + \left( \partial _ { x } \phi _ { 1 k } ^ { + \ast } ( t , x ) \right) { \frac { \partial x } { \partial t ^ { \prime } } } - i \omega _ { p } \phi _ { 1 k } ^ { + \ast } ( t , x ) \right\} _ { t ^ { \prime } = 0 } .
\begin{array} { r l r } & { \frac { d \rho } { d t } } & { = - \mu \rho + \beta _ { 1 } \rho ( 1 - \rho ) \ell _ { 1 } - \beta _ { 2 } \rho ^ { 2 } \ell _ { 0 } } \\ & { + } & { \gamma _ { 1 } \rho ^ { 2 } ( 1 - \rho ) \tau _ { 3 } + \frac { \gamma _ { 2 } } { 3 } \rho ^ { 2 } ( 1 - \rho ) \tau _ { 2 } + \frac { 2 \gamma _ { 3 } } { 3 } \rho ^ { 2 } ( 1 - \rho ) \tau _ { 2 } } \\ & { - } & { \frac { \gamma _ { 4 } } { 3 } \rho ^ { 3 } \tau _ { 1 } - \gamma _ { 5 } \rho ^ { 3 } \tau _ { 0 } \, , } \end{array}
{ \dot { q } } _ { j } = { \frac { \mathrm { d } q _ { j } } { \mathrm { d } t } } \, , \quad \mathbf { v } _ { k } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \partial \mathbf { r } _ { k } } { \partial q _ { j } } } { \dot { q } } _ { j } + { \frac { \partial \mathbf { r } _ { k } } { \partial t } } \, .
( 2 \ell + 1 ) \sum _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } \left\{ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell ^ { \prime } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m ^ { \prime } } \end{array} \right\} ^ { \ast } = \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } ,
\langle N _ { 4 } \rangle = \frac { 1 } { 1 6 } K _ { 4 } \left( J _ { x } ^ { 2 } \beta _ { x } ^ { 2 } + 4 J _ { x } J _ { y } \beta _ { x } \beta _ { y } + J _ { y } ^ { 2 } \beta _ { y } ^ { 2 } \right) \; .
\hat { \Sigma } _ { \{ L , R \} } ^ { - i j } = \Sigma _ { \{ L , R \} } ^ { - i j } \, \, , \, \, \hat { \Sigma } _ { S L } ^ { - i j } = \Sigma _ { S L } ^ { - i j } { - U _ { i k } ^ { * } \delta { \cal M } _ { k l } V _ { j l } ^ { * } } \, \, , \, \, \hat { \Sigma } _ { S R } ^ { - i j } = \Sigma _ { S R } ^ { - i j } { - V _ { i k } \delta { \cal M } _ { l k } U _ { l j } } \, \, .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ I ~ f ~ } | d _ { i j } ( t ) | < \epsilon \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { i } ( t + 1 ) = a _ { i } ( t ) + \mu d _ { j i } ( t ) ( \epsilon - | d _ { i j } ( t ) | ) , } \\ { a _ { j } ( t + 1 ) = a _ { j } ( t ) + \mu d _ { i j } ( t ) ( \epsilon - | d _ { i j } ( t ) | ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Delta _ { \lambda ^ { \prime } } ( \omega ) | } & { \geq \frac { c ^ { - 1 } } { 4 } 2 ^ { - j ^ { \prime } H \left( \frac { k ^ { \prime } + 1 } { j ^ { \prime } } \right) } - \frac { c ^ { - 1 } } { 8 } ( 8 c ^ { 2 } c ^ { \prime } j ^ { \frac { d } { 2 } } ) ^ { - \frac { d H \left( \frac { k ^ { \prime } + 1 } { j ^ { \prime } } \right) } { 1 - H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) } } 2 ^ { - j H \left( \frac { k ^ { \prime } + 1 } { j ^ { \prime } } \right) } } \\ & { \geq \frac { c ^ { - 1 } } { 8 } ( 8 c ^ { 2 } c ^ { \prime } j ^ { \frac { d } { 2 } } ) ^ { - \frac { d H \left( \frac { k ^ { \prime } + 1 } { j ^ { \prime } } \right) } { 1 - H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) } } 2 ^ { - j H \left( \frac { k ^ { \prime } + 1 } { j ^ { \prime } } \right) } . } \end{array}
{ \cal V } _ { G } ( \varphi ) = { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 ! } } \lambda \varphi ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } I _ { 0 } ( \mu ) - { \frac { 1 } { 3 2 } } \lambda I _ { 1 } ^ { 2 } ( \mu ) \; ,
\mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { L } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \; , \; \; \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { L } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \partial _ { x } v _ { x } + \partial _ { y } v _ { y } + \partial _ { z } v _ { z } , } \\ { \partial _ { x } P } & { = \mu \partial _ { z } ^ { 2 } v _ { x } - \frac { \gamma } { 4 } M ^ { 0 } \partial _ { z } ^ { 2 } v _ { y } , } \\ { \partial _ { y } P } & { = \mu \partial _ { z } ^ { 2 } v _ { y } + \frac { \gamma } { 4 } M ^ { 0 } \partial _ { z } ^ { 2 } v _ { x } , } \\ { \partial _ { z } P } & { = 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \exp ( i \theta H ) = } & { \left[ - { \frac { 1 } { 3 } } I \sin \left( \varphi + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) \sin \left( \varphi - { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) - { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { 3 } } } } ~ H \sin ( \varphi ) - { \frac { 1 } { 4 } } ~ H ^ { 2 } \right] { \frac { \exp \left( { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } ~ i \theta \sin ( \varphi ) \right) } { \cos \left( \varphi + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) \cos \left( \varphi - { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) } } } \\ & { + \left[ - { \frac { 1 } { 3 } } ~ I \sin ( \varphi ) \sin \left( \varphi - { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) - { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { 3 } } } } ~ H \sin \left( \varphi + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) - { \frac { 1 } { 4 } } ~ H ^ { 2 } \right] { \frac { \exp \left( { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } ~ i \theta \sin \left( \varphi + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) \right) } { \cos ( \varphi ) \cos \left( \varphi - { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) } } } \\ & { + \left[ - { \frac { 1 } { 3 } } ~ I \sin ( \varphi ) \sin \left( \varphi + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) - { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { 3 } } } } ~ H \sin \left( \varphi - { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) - { \frac { 1 } { 4 } } ~ H ^ { 2 } \right] { \frac { \exp \left( { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } ~ i \theta \sin \left( \varphi - { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) \right) } { \cos ( \varphi ) \cos \left( \varphi + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - v _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \alpha _ { t + 1 } ) \mathbb { E } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } + \alpha _ { t + 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 L _ { g } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } / \alpha _ { t + 1 } \big ( \mathbb { E } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d { s } } { d t } } & { { } = } & { - \frac { { s } ( 1 - { s } ) } { \tau _ { 0 } } - \beta \left( \frac { s \ln { s } } { \tau _ { 0 } } \right) = - \frac { 1 } { \tau _ { 0 } } \frac { \partial U ( s ) } { \partial s } } \\ { U _ { S I R } ( s ) } & { { } = } & { \frac { s ^ { 2 } ( 1 - 2 s / 3 ) } { 2 } + \beta \left[ \frac { s ^ { 2 } ( 2 \ln { s } - 1 ) } { 4 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \pi _ { R S , P Q } ^ { B A } = \langle \mathbf { K } | a _ { A } ^ { \dagger } a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } ^ { \dagger } a _ { S } a _ { R } a _ { B } | \mathbf { K } \rangle = } \\ & { = ( 1 - \delta _ { A P } ) ( 1 - \delta _ { A Q } ) ( 1 - \delta _ { P Q } ) \times } \\ & { \times ( 1 - \delta _ { B R } ) ( 1 - \delta _ { B S } ) ( 1 - \delta _ { R S } ) \times } \\ & { \left( \delta _ { A B } \delta _ { P R } \delta _ { Q S } - \delta _ { A B } \delta _ { Q R } \delta _ { P S } \ + \delta _ { Q B } \delta _ { A R } \delta _ { P S } \right. } \\ & { \left. - \delta _ { P B } \delta _ { A R } \delta _ { Q S } + \delta _ { P B } \delta _ { Q R } \delta _ { A S } - \delta _ { Q B } \delta _ { P R } \delta _ { A S } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \left( \mathbf { F } _ { \ell } ( \mathbf { U } ) - \mathbf { F } _ { \ell } ( \widetilde { \mathbf { U } } ) \right) \cdot \mathbf { n } ^ { * } \ge - \alpha _ { \ell } ( \mathbf { U } , \widetilde { \mathbf { U } } ) \left( ( \mathbf { U } + \widetilde { \mathbf { U } } ) \cdot \mathbf { n } ^ { * } + | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } \right) - ( B _ { \ell } - \tilde { B } _ { \ell } ) ( \mathbf { v } ^ { * } \cdot \mathbf { B } ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , s h } } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } \sum _ { \rho \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } ( f _ { \gamma } - f _ { a } ) ( f _ { \delta } - f _ { b } ) } \\ { \times T r ( s _ { \alpha \gamma } ^ { \sigma \rho ^ { \dagger } } s _ { \alpha \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } } s _ { \beta \delta } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho ^ { \dagger } } s _ { \beta \gamma } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho } ) . } \end{array}
| \mathcal { A } + \mathcal { A } | ^ { 2 } \geq \left| \bigcup _ { x \in \mathcal { R } } \mathcal { S } _ { x } \right| \geq \frac { 1 } { k _ { 1 6 } + 1 } \sum _ { x \in \mathcal { R } } \left| \mathcal { S } _ { x } \right| \geq \frac { 1 } { k _ { 1 6 } + 1 } | \mathcal { R } | 2 ^ { 2 I } \gg \frac { E ( \mathcal { A } ) } { ( 8 k _ { 1 6 } + 8 ) \lceil \log | \mathcal { A } | \rceil } .
E _ { \mathrm { g a p } } \approx \frac { ( 2 n + 1 ) \pi } { 3 ^ { ( 1 / 4 ) } 8 \sqrt { \eta } } \left( 1 - \frac { \eta } { 2 \sqrt { 3 } } \right) \ , \qquad \Gamma _ { \mathrm { g a p } } \approx \frac { 6 4 \sqrt { 3 } \eta } { \pi ^ { 3 } ( 2 n + 1 ) ^ { 3 } } \ , \qquad n = 0 , 1 , 2 . . .
\begin{array} { r } { \gamma = \frac { \delta _ { 1 } } { \sqrt { 1 + 2 \delta _ { 2 } } \sqrt { 1 + 2 \delta _ { 3 } } } \, , \quad { \mathcal { E } } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) = e x p \left( - \frac { \delta _ { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + 2 \delta _ { 2 } } - \frac { \delta _ { 3 } Q _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + 2 \delta _ { 3 } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R ( \omega ) = \frac { e ^ { 2 } E _ { \textrm { p } } ^ { 2 } \pi } { 2 \hbar m _ { e } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { \alpha , \beta } \sum _ { n } \Lambda _ { \alpha \beta \mathbf { k } } | \mathcal { P } _ { \alpha \beta \mathbf { k } } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } [ \delta ( E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } + n \hbar \Omega - \hbar \omega ) - \delta ( E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } + n \hbar \Omega + \hbar \omega ) ] . } \end{array}
{ \mathrm { ~ w e i g h t ~ o f ~ d i s p l a c e d ~ f l u i d } } = { \mathrm { w e i g h t ~ o f ~ o b j e c t ~ i n ~ v a c u u m } } - { \mathrm { w e i g h t ~ o f ~ o b j e c t ~ i n ~ f l u i d } }
\frac { \partial \hat { { \chi } } ^ { ( 2 ) } ( k _ { x } , k _ { y } , z ) } { \partial t } = 3 \chi ^ { ( 3 ) } \beta e ^ { - i \psi } ( A _ { \omega } ^ { * } ) ^ { 2 } u ( z ) \left[ \frac { k _ { y } ^ { 2 } e ^ { - \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } | z | } } { 2 \epsilon \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } } \hat { j } _ { \mathrm { m o d e } } \ast A _ { 2 \omega } e ^ { i \Delta k z } \right] - \frac { \hat { { \chi } } ^ { ( 2 ) } } { \tau }
\begin{array} { r l } { \phi ^ { \lambda } ( y , e _ { i } ) } & { = \ J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } ) = E ^ { y , e _ { i } } \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } f ( t , Y _ { t } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } } , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } ) d t + g ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } } , \alpha _ { T } ) } \\ & { \qquad \qquad + \lambda M ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } } , \alpha _ { T } ) \biggr ] } \\ & { \leq J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { \lambda } ) = E ^ { y , e _ { i } } \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } f ( t , Y _ { t } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { \lambda } } , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { \lambda } ) d t + g ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { \lambda } } , \alpha _ { T } ) } \\ & { \qquad \qquad + \lambda M ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { \lambda } } , \alpha _ { T } ) \biggr ] . } \end{array}
{ \bf V } = \frac { \partial } { \partial t } \frac { \int \omega ^ { - 1 } \tilde { \bf E } ^ { * } e ^ { i \omega t } \cdot ( i { \nabla } _ { \bf k } ) \tilde { \bf E } e ^ { - i \omega t } \, d ^ { 3 } { \bf k } } { \int \omega ^ { - 1 } | \tilde { \bf E } | ^ { 2 } \, d ^ { 3 } { \bf k } } = \frac { \int \omega ^ { - 1 } | \tilde { \bf E } | ^ { 2 } { \bf v } _ { g } \, d ^ { 3 } { \bf k } } { \int \omega ^ { - 1 } | \tilde { \bf E } | ^ { 2 } \, d ^ { 3 } { \bf k } } \equiv \langle { \bf v } _ { g } \rangle = { \bf c o n s t } \, .
A = \nu ^ { - 1 } R ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) R ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { \langle \rho _ { \mathsf { n } } ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \rangle } & { - \big \langle ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } ( 1 - \rho _ { \mathsf { n } } T ) \big | } \\ { - \nu ^ { - 1 } F ^ { * } \big | \rho _ { \mathsf { n } } ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) \big \rangle } & { \nu ^ { - 1 } F ^ { * } ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) ( 1 - \rho _ { \mathsf { n } } T ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { - \left\langle \nabla \cdot w , c _ { p } \theta \Pi \right\rangle - \left\langle w , \frac { 1 } { D } s \nabla \theta \right\rangle } & { { } = - \left\langle \nabla \cdot ( \theta w ) , c _ { p } \Pi \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \overline { { y } } } + { \hat { y } } _ { i } - { \hat { y } } _ { i } ) ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) + \underbrace { ( y _ { i } - { \hat { y } } _ { i } ) } _ { { \hat { \varepsilon } } _ { i } } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { N } ( r ) - S _ { N ^ { \prime } } ( r ^ { \prime } ) } & { = a _ { 1 } \frac { \mathrm { s g n } ( p ) p _ { s } b _ { s } ( N ) / a _ { s + 1 } - ( b _ { s } ( N ) / a _ { s + 1 } ) ^ { 2 } } { 2 q _ { s } q _ { s } ^ { \prime } } + O \left( \frac { 1 } { q _ { s + 1 } ^ { \prime } } \right) } \\ & { = \lfloor q / a \rfloor \frac { \mathrm { s g n } ( p ) a / 2 - 1 / 4 } { 2 q q ^ { \prime } } + O \left( \sqrt { \frac { \log n } { \operatorname* { m i n } \{ 1 , | p | \} n } } \right) , } \end{array}
P _ { [ { i } , \psi _ { i } ] [ { j } , \psi _ { j } ] } = { \frac { | { \cal G } | } { | { \cal S } _ { i } | | { \cal S } _ { j } | } } \sum _ { J } \psi _ { i } ( J ) \psi _ { j } ( J ) ^ { * } \hat { P } _ { { i } { j } } ^ { J } \; \; \; \; ,
\frac { n _ { s , 4 j - 1 } } { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 1 } } } v ( \mathbf w _ { 0 } ^ { n _ { s , 4 j - 1 } } ( \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 } ) ^ { n _ { s , 4 j } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n } } ( 1 - i _ { n } / 2 ) ) = \frac { n _ { s , 4 j - 1 } } { \beta ^ { p _ { s , 4 j } } } v ( ( \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 } ) ^ { n _ { s , 4 j } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n } } ( 1 - i _ { n } / 2 ) ) .
\langle n _ { 1 } n _ { 2 } \rangle = \langle n _ { 1 } \rangle \langle n _ { 2 } \rangle + \langle \left( n _ { 1 } - \langle n _ { 1 } \rangle \right) \left( n _ { 2 } - \langle n _ { 2 } \rangle \right) \rangle = \langle n _ { 1 } \rangle \langle n _ { 2 } \rangle + \rho \sigma ( n _ { 1 } ) \sigma ( n _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ W _ { n } \in B _ { n } ] } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ W _ { n } \in B ^ { \delta } ] = \mathbb { P } [ W \in B ^ { \delta } ] \leq \mathbb { P } [ W \in B ] + \varepsilon } \\ { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ W _ { n } \in B _ { n } ] } & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ W _ { n } \in B ^ { - \delta } ] = \mathbb { P } [ W \in B ^ { - \delta } ] \geq \mathbb { P } [ W \in B ] - \varepsilon } \end{array}
d x ^ { i } d x ^ { j } \wedge { } ^ { * } ( d x ^ { 0 } d x ^ { l } d x ^ { m } ) = x _ { 0 } ^ { - ( d - 5 ) } \delta _ { l m } ^ { i j } d x ^ { 1 } . . . \, d x ^ { d } , \; \; \; \delta _ { l m } ^ { i j } = \delta _ { l } ^ { i } \delta _ { m } ^ { j } - \delta _ { m } ^ { i } \delta _ { l } ^ { j } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { q } _ { i } ^ { ( 0 ) } } & { = \mathbf { W } _ { \mathrm { S N } } ( \mathbf { r } _ { i } \uplus \mathbf { e } _ { i } ) ~ , } \\ { \mathbf { q } _ { i } ^ { ( l ) } } & { = \mathbf { q } _ { i } ^ { ( l ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { m } a _ { i j } ^ { ( l , k ) } \mathbf { W } ^ { ( l ) } \mathbf { L N } ( \mathbf { q } _ { j } ^ { ( l ) } ) ~ , } \\ { \mathbf { q } _ { i } ^ { L } } & { = \mathbf { L N } \left( \mathbf { \bigcirc } _ { l = 0 } ^ { L } ( \mathbf { q } _ { i } ^ { ( l ) } + \mathcal { F } [ \mathbf { L N } ( \mathbf { q } _ { i } ^ { ( l ) } ) ] ) \right) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p } { \partial t } } & { { } = - \boldsymbol { v } \cdot \nabla p + \nu \frac { \nabla \omega \cdot \nabla p } { \omega } , } \\ { \frac { \partial q } { \partial t } } & { { } = - \boldsymbol { v } \cdot \nabla q + \nu \frac { \nabla \omega \cdot \nabla q } { \omega } , } \\ { \Delta \varphi } & { { } = - p \Delta q - \nabla p \cdot \nabla q , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { U _ { \ell } ( u , \phi ) = - \partial _ { t } ^ { \ell } \big [ \rho ( \phi ) ( u _ { t } + u \cdot \nabla u ) \big ] - \lambda \nabla \cdot \partial _ { t } ^ { \ell } ( \nabla \phi \otimes \nabla \phi ) \, , } \\ & { \Phi _ { \ell } ( u , \phi ) = \frac { 1 } { \gamma \lambda } \partial _ { t } ^ { \ell } ( \phi _ { t } + u \cdot \nabla \phi ) + \partial _ { t } ^ { \ell } \big [ f ^ { \prime } ( \phi ) + \frac { 1 } { \lambda } \rho ^ { \prime } ( \phi ) \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } \big ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi \left( D \times \{ t \} \right) = \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) \Rightarrow \mathcal { N } = \operatorname* { l i m } _ { t + \varepsilon \rightarrow t } \frac { \mathcal { K } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) - \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) } { \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ( N ) } & { { } \sim N ^ { - \beta / \nu } , } \\ { \chi ( N ) } & { { } \sim N ^ { \gamma / \nu } , } \\ { U ( N ) } & { { } \sim \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } , } \\ { p _ { c } ( N ) - p _ { c } } & { { } \sim N ^ { - 1 / \nu } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi ( \theta , \varphi , E , m _ { \varphi } ) = \int _ { 0 } ^ { \theta } p _ { \theta } ( \theta ^ { \prime } , 0 , E , p _ { \varphi } ) d \theta ^ { \prime } + \int _ { 0 } ^ { \varphi } p _ { \varphi } ( \theta , \varphi ^ { \prime } , E , p _ { \varphi } ) d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta ^ { \nabla } \beta } & { = } & { - \sum _ { i } \nabla _ { e _ { i } , e _ { i } } ^ { 2 } \beta + K \cdot \beta + \operatorname { R i c } ^ { \nabla } ( \beta ) } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \Delta | \beta | ^ { 2 } } & { = } & { | \nabla \beta | ^ { 2 } - \langle \Delta ^ { \nabla } \beta , \beta \rangle + K \cdot | \beta | ^ { 2 } + \langle \operatorname { R i c } ^ { \nabla } ( \beta ) , \beta \rangle . } \end{array}