harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma _ { \mathrm { a b s } } = { \frac { \pi ^ { 3 } R ^ { 8 } } { 6 4 } } ( \omega ^ { 2 } + 1 6 \pi ^ { 2 } T _ { L } ^ { 2 } ) ( \omega ^ { 2 } + 1 6 \pi ^ { 2 } T _ { R } ^ { 2 } ) \omega { \frac { e ^ { \frac { \omega } { T _ { H } } } - 1 } { ( e ^ { \frac { \omega } { 2 T _ { L } } } - 1 ) ( e ^ { \frac { \omega } { 2 T _ { R } } } - 1 ) } } \ .
\begin{array} { r l } { \hat { f } _ { \mathrm { x - m a p } } ( \zeta ) \approx } & { 2 - \frac 4 3 \zeta ^ { 2 } + \frac 1 6 [ 1 . 0 1 8 7 \zeta ^ { 3 } + 0 . 9 8 1 3 \zeta ^ { 4 } ] \; , } \\ { \hat { f } _ { \mathrm { x - m a p } } ^ { - 1 } ( \bar { f } ) \approx } & { \sqrt { \frac { 3 } { 4 } ( 2 - \bar { f } ) } \big [ 1 + \big ( \sqrt { \frac { 4 } { 3 } } - 1 \big ) ( 2 - \bar { f } ) \big ] \; , } \end{array}
a _ { y } = { \left[ \begin{array} { l } { b _ { z } } \\ { b _ { x } } \end{array} \right] } \times { \left[ \begin{array} { l } { c _ { z } } \\ { c _ { x } } \end{array} \right] } , \ a _ { z } = { \left[ \begin{array} { l } { b _ { x } } \\ { b _ { y } } \end{array} \right] } \times { \left[ \begin{array} { l } { c _ { x } } \\ { c _ { y } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \kappa } & { = \, e x p \biggl ( 2 . 0 1 5 6 - \frac { 2 0 6 8 . 4 } { T _ { b a t h } + 2 7 3 } + 0 . 4 3 4 9 \cdot B R - 2 . 0 7 C _ { a l _ { 2 } O _ { 3 } } - 0 . 5 C _ { C a F _ { 2 } } } \\ & { \, - 1 . 6 6 C _ { M g F _ { 2 } } + 1 . 7 8 C _ { L i F } + 0 . 7 7 C _ { L i _ { 3 } A l F _ { 6 } } \biggr ) . } \end{array}
\phi ^ { \frac { 4 - n } { 2 } } ( t ) = \phi _ { 0 } ^ { \frac { 4 - n } { 2 } } - \frac { 4 - n } { 2 } \, \sqrt { \frac { n \lambda } { 2 4 \pi } } \ t \ \ \ \ \mathrm { f o r } \ n \not = 4 \ ,
\begin{array} { r } { K _ { 2 } ( \xi _ { 2 } , \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \alpha _ { n } } I _ { 0 } \left( \frac { \sqrt { 1 - \alpha _ { n } } } { \alpha _ { n } } \xi _ { 2 } \xi _ { 2 } ^ { \prime } \right) \exp \left( - \frac { \xi _ { 2 } ^ { 2 } + \xi _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { n } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \delta R _ { m _ { c } } = } } \\ { { \displaystyle 3 \, Q _ { c } ^ { 2 } \, 1 2 \, \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { s } \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \left[ 1 + 9 . 0 9 7 \frac { \alpha _ { s } } { \pi } + 5 3 . 4 5 3 \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right) ^ { 2 } \right] } } \\ { { \displaystyle - 3 \sum _ { f = u , d , s , c } Q _ { f } ^ { 2 } \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { s } \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right) ^ { 3 } 6 . 4 7 6 } } \\ { { \displaystyle + 3 \, Q _ { c } ^ { 2 } \frac { m _ { c } ^ { 4 } } { s ^ { 2 } } \left[ - 6 - 2 2 \frac { \alpha _ { s } } { \pi } + \left( 1 4 1 . 3 2 9 - \frac { 2 5 } { 6 } \ln ( \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { s } ) \right) \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right) ^ { 2 } \right] } } \\ { { \displaystyle + 3 \sum _ { f = u , d , s , c } Q _ { f } ^ { 2 } \frac { m _ { c } ^ { 4 } } { s ^ { 2 } } \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right) ^ { 2 } \left[ - 0 . 4 7 4 9 - \ln \left( \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { s } \right) \right] } } \\ { { \displaystyle - 3 \, Q _ { c } ^ { 2 } \frac { m _ { c } ^ { 6 } } { s ^ { 3 } } \left[ 8 + \frac { 1 6 } { 2 7 } \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \left( 6 \ln ( \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { s } ) + 1 5 5 \right) \right] \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \mathrm { i } } } & { = \sum _ { n \geq 0 , \ell \geq 0 } u _ { \mathrm { i } } ^ { ( n , \ell ) } q _ { \pm } ^ { \ell } v ^ { n } , } \\ { f _ { v } } & { = \sum _ { n \geq 0 , \ell \geq 0 } f _ { v } ^ { ( n , \ell ) } q _ { \pm } ^ { \ell } v ^ { n } , } \\ { \left\{ u _ { \mathrm { i } } \times f _ { v } \right\} } & { = \sum _ { n \geq 0 , \ell \geq 0 } { \cal F } _ { v } ^ { ( n , \ell ) } q _ { \pm } ^ { \ell } v ^ { n } . } \end{array}
A _ { d } ( p ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } d - 2 } \left[ \left( 1 + v ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } d - \frac { 3 } { 2 } } + \frac { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } d - \frac { 1 } { 2 } ) } { \sqrt { \pi } \Gamma ( d ) } \frac { ( v ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } - 1 } } { 1 + v ^ { 2 } } { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( \textstyle { { \frac { 1 } { 2 } d - \frac { 1 } { 2 } , 1 ; \frac { 1 } { 2 } d ; \frac { v ^ { 2 } } { 1 + v ^ { 2 } } } } \right) \right] \, \ \cdot
L - H { \frac { \delta L } { \delta H } } - I { \frac { \delta L } { \delta I } } + [ H { \frac { d } { d t } } + H ( 3 H + D I ) - \dot { H } ] { \frac { \delta L } { \delta \dot { H } } } + [ I { \frac { d } { d t } } + I ( 3 H + D I ) - \dot { I } ] { \frac { \delta L } { \delta \dot { I } } } \equiv { \cal D } L = 0 .
\begin{array} { r l } & { L _ { t } ( \rho ) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \searrow 0 } \frac { 1 } { \epsilon } \left[ X _ { t + \epsilon , t } ( \rho ) + Y _ { t + \epsilon , t } ( \rho ) ^ { \mathrm { T } } - \rho \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \searrow 0 } \frac { 1 } { \epsilon } \left[ \sum _ { j , k = 1 } ^ { d ^ { 2 } } x _ { j k } ( t + \epsilon , t ) F _ { j } \rho F _ { k } + \sum _ { j , k , l = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \theta _ { l } y _ { j k } ( t + \epsilon , t ) F _ { l } F _ { j } \rho F _ { k } F _ { l } - \rho \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \searrow 0 } \frac { 1 } { \epsilon } \left[ \sum _ { j , k = 1 } ^ { d ^ { 2 } } x _ { j k } ( t + \epsilon , t ) F _ { j } \rho F _ { k } + \sum _ { j , k , l = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \theta _ { l } y _ { j k } ( t + \epsilon , t ) \xi _ { l j \mu } \overline { { \xi _ { l k \nu } } } F _ { \mu } \rho F _ { \nu } - \rho \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \searrow 0 } \frac { 1 } { \epsilon } \left[ \sum _ { j , k = 1 } ^ { d ^ { 2 } } x _ { j k } ( t + \epsilon , t ) F _ { j } \rho F _ { k } + \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \sum _ { j , k = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \Omega _ { \mu \nu } ^ { j k } y _ { j k } ( t + \epsilon , t ) F _ { \mu } \rho F _ { \nu } - \rho \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { i } + e Z _ { i } \lambda \ = \ \frac { \delta T _ { \mathrm { k i n } , i } ^ { \mathrm { \, n i } } } { \delta n _ { i } ( \mathbf { r } ) } - T \frac { \delta S _ { i } ^ { \mathrm { n i } } } { \delta n _ { i } ( \mathbf { r } ) } + \frac { \delta F _ { \mathrm { x c } } ^ { i i } } { \delta n _ { i } ( \mathbf { r } ) } + \frac { \delta F _ { \mathrm { c } } ^ { e I } } { \delta n _ { i } ( \mathbf { r } ) } + e Z _ { i } \, \phi ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { T } _ { \mathrm { r o t } } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hfil B _ { 0 } \hat { J } _ { i } ^ { 2 } } & { , \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ r ~ o ~ t ~ o ~ r ~ } } \\ { A _ { e } \hat { J } _ { a , i } ^ { 2 } + B _ { e } \hat { J } _ { b , i } ^ { 2 } + C _ { e } \hat { J } _ { c , i } ^ { 2 } } & { , \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ m ~ m ~ e ~ t ~ r ~ i ~ c ~ t ~ o ~ p ~ } ~ , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } \sim p _ { t _ { i } } } [ \log p _ { t _ { i } } ^ { p _ { t _ { j } } , \, \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) ] \qquad \qquad \qquad } \\ { \mathrm { s . t . } \quad \mathbf { x } _ { t _ { i } } = \mathbf { x } _ { t _ { j } } + \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { j } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } , t ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \big [ a ^ { [ p ] _ { \mathfrak { g } } } , b \big ] _ { \mathfrak { g } } - \bigl ( \mathrm { a d } _ { a } ^ { \mathfrak { g } } \bigr ) ^ { p } ( b ) } \\ & { = [ s ( a ) , b ] _ { \mathfrak { a } } + \omega _ { \mathfrak { a } } ( ( { \mathscr D } + { \mathscr D } ^ { * } ) ( s ( a ) ) , b ) x - \bigl ( \mathrm { a d } _ { a } ^ { \mathfrak { a } } \bigr ) ^ { p } ( b ) - \omega _ { \mathfrak { a } } \bigl ( ( { \mathscr D } + { \mathscr D } ^ { * } ) ( a ) , \bigl ( \mathrm { a d } _ { a } ^ { \mathfrak { a } } \bigr ) ^ { p - 1 } ( b ) \bigr ) x . } \end{array}
E ( \kappa ) = \ensuremath { \langle { \psi } \rvert } e ^ { \sum _ { p q } \kappa _ { p q } E _ { p q } } H e ^ { - \sum _ { r s } \kappa _ { r s } E _ { r s } } \ensuremath { \lvert { \psi } \rangle } , \quad E _ { p q } = c _ { p , \uparrow } ^ { \dag } c _ { q , \uparrow } + c _ { p , \downarrow } ^ { \dag } c _ { q , \downarrow } ,
\rho _ { e } ^ { ( 1 ) } = { \frac { G _ { F } } { 2 \mu \sqrt 2 } } ( 1 + 4 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) , \ \rho _ { e } ^ { ( 2 ) } = - { \frac { G _ { F } } { 2 \mu \sqrt 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \d ^ { 2 } H _ { 1 } } { \d x ^ { 2 } } ( x ) } & { { } \stackrel { , } { = } } & { - C _ { 1 } + \int _ { 0 } ^ { x } x _ { 1 } \, ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 1 - n } \, \d x _ { 1 } , } \\ { \frac { \d H _ { 1 } } { \d x } ( x ) } & { { } \stackrel { } { = } } & { - C _ { 1 } x + \int _ { 0 } ^ { x } x _ { 1 } \, ( x - x _ { 1 } ) \, ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 1 - n } \, \d x _ { 1 } , } \end{array}
W ( \Phi ) = \cos \alpha \cdot \Phi + ( \frac { 1 } { 2 } - 2 \cos \alpha ) \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \tan ^ { - 1 } ( \sqrt { 3 } \tan \frac { \Phi } { 2 } ) + \sin \alpha \cdot \ln ( 2 - \cos \Phi ) .
K ( p , p , 0 ) = \frac { \delta \Sigma ( p ) } { \delta S ( p ) } = \int _ { q } \left[ \frac { \delta D ( q ) } { \delta S ( p ) } S ( p - q ) \Gamma ( p - q , p ) + D ( q ) \delta ^ { 4 } ( p - q - p ) \Gamma ( p - q , p ) + D ( q ) S ( p - q ) \frac { \delta \Gamma ( p - q , p ) } { \delta S ( p ) } \right] \, .
A . 5 a \beta ^ { [ 2 | 2 ] } ( \lambda ) = - \frac { 1 1 } { 3 } \lambda ^ { 2 } \left[ \frac { 1 + a _ { 1 } \lambda + a _ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { 1 + b _ { 1 } \lambda + b _ { 2 } \lambda ^ { 2 } } \right] ;
\begin{array} { r l } { \tilde { P } _ { \mathrm { 0 0 } } } & { { } = P _ { 0 0 } p _ { \mathrm { T P } } ^ { 2 } + ( P _ { 0 1 } + P _ { 1 0 } ) p _ { \mathrm { T P } } p _ { \mathrm { F P } } + P _ { 1 1 } p _ { \mathrm { F P } } ^ { 2 } } \\ { \tilde { P } _ { \mathrm { 1 1 } } } & { { } = P _ { 1 1 } p _ { \mathrm { T P } } ^ { 2 } + ( P _ { 0 1 } + P _ { 1 0 } ) p _ { \mathrm { T P } } p _ { \mathrm { F P } } + P _ { 0 0 } p _ { \mathrm { F P } } ^ { 2 } , } \end{array}
\langle E _ { n } \rangle = \langle 1 , 1 , 5 , 6 1 , 1 3 8 5 , \ldots \rangle \longmapsto \langle 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , \ldots \rangle { \pmod { 3 } }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \left( 1 + f - \Gamma _ { 0 } y _ { 3 } \cos \theta \right) \partial _ { t } v _ { 1 } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } v _ { 1 } = - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } f \sin \theta , \quad \left. v _ { 1 } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = 0 , \quad \left. v _ { 1 } \right| _ { t = 0 } = 0 , } \\ & { \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } f - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } f = \mathrm { P e } _ { s } \Gamma _ { 0 } v _ { 1 } \sin \theta , \quad \left. \partial _ { y _ { 3 } } f \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = \Gamma _ { 0 } \cos \theta , \quad \left. f \right| _ { t = 0 } = 0 . } \end{array}
\sigma _ { h } \gtrsim 1 0 \cdot \left( \gamma _ { \mathrm { s y n } } / \langle \gamma \rangle \right) \approx 1 0 0 0 ( \gamma _ { \mathrm { s y n } } / 1 0 ^ { 9 } ) / ( \langle \gamma \rangle / 1 0 ^ { 7 } ) ^ { - 1 }
\mathbb { E } [ \langle \tilde { \eta } _ { T } ^ { X } , \phi _ { \varepsilon } \rangle ] = \operatorname* { l i m } _ { K \to \infty } \mathbb { E } [ \langle \tilde { \zeta } _ { T } ^ { X | K } , \phi _ { \varepsilon } \rangle ] .
\{ e _ { 1 } , e _ { 2 } , e _ { 3 } , 1 | e _ { 1 } , e _ { 1 } | e _ { 1 } , e _ { 2 } | e _ { 1 } , e _ { 3 } | e _ { 1 } , 1 | e _ { 2 } , e _ { 1 } | e _ { 2 } , e _ { 2 } | e _ { 2 } , e _ { 3 } | e _ { 2 } , 1 | e _ { 3 } , e _ { 1 } | e _ { 3 } , e _ { 2 } | e _ { 3 } , e _ { 3 } | e _ { 3 } \} .
\begin{array} { r } { \left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \eta ^ { 2 } } + \Omega _ { A } ^ { 2 } \left( 1 + 2 \epsilon _ { 0 } \cos \eta \right) - \frac { ( \hat { s } - \alpha \cos \eta ) ^ { 2 } } { \hat { \kappa } _ { \perp } ^ { 4 } } + \frac { \alpha \cos \eta } { \hat { \kappa } _ { \perp } ^ { 2 } } \right] \hat { \Phi } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u } & { \in C ( [ 0 , \infty ) ; L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) ) } \\ { u } & { \in H _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta , r } ( 0 , \infty ; H ^ { 1 - 2 \theta , \zeta } ( \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) ) \ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta \in [ 0 , 1 / 2 ) , \ r , \zeta \in ( 2 , \infty ) , } \\ { u } & { \in C _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } } ( ( 0 , \infty ) \times \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) \ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta _ { 1 } \in [ 0 , 1 / 2 ) , \ \theta _ { 2 } \in ( 0 , 1 ) , } \end{array}
2 \, \widehat { c } _ { k } ( X _ { \Omega } ) ^ { 2 } = \frac { c _ { k } ( X _ { \Omega } ) ^ { 2 } } { \mathrm { a r e a } ( \Omega ) } = \frac { k ^ { 2 } \left( 1 + \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { s r } { i + r } , \frac { t ( 1 - r ) } { k - ( i + r ) } \right\} \right) ^ { 2 } } { 1 + t + s - \frac { s ^ { 2 } } { 2 \alpha } - \frac { t ^ { 2 } \alpha } { 2 } }
\{ \eta _ { 1 } ( z ) , \eta _ { 2 } ( z ^ { \prime } ) \} _ { D B } = \sum _ { a , b \in { \bf Z } } \{ \eta _ { 1 } ^ { a } , \eta _ { 2 } ^ { b } \} _ { D B } z ^ { a } ( z ^ { \prime } ) ^ { b } .
\frac { M ^ { u } } { m _ { t } } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { b ^ { \prime } \epsilon ^ { 3 } } } & { { c ^ { \prime } \epsilon ^ { 3 } } } \\ { { b ^ { \prime } \epsilon ^ { 3 } e ^ { i \phi ^ { \prime } } } } & { { \epsilon ^ { 2 } } } & { { a ^ { \prime } \epsilon ^ { 2 } } } \\ { { ? } } & { { ? } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\frac { c ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { d _ { 1 } } { c _ { 1 } } B _ { 0 } ^ { 2 } \right) = 1 - \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \, \frac { ( \omega ^ { 2 } - \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } ) } { ( \omega ^ { 2 } - \widetilde { \omega } _ { h } ^ { 2 } ) } \, \; ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) , \mathbf { v } ( \mathbf { x } , t ) , \mathbf { m } ( \mathbf { x } ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { r } ( \mathbf { P u } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { d } ^ { * } ( t ) ) ^ { 2 } d t + \left\langle \mathbf { u } ( \mathbf { x } , T ) , \mathbf { C ( m ) } \mathbf { v } ( \mathbf { x } , T ) \right\rangle } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { T } \left\langle \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) , \mathbf { C ( m ) } \partial _ { t } \mathbf { v } ( \mathbf { x } , t ) \right\rangle d t + \int _ { 0 } ^ { T } \left\langle \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) , \mathbf { D v } ( \mathbf { x } , t ) \right\rangle d t } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { T } \left\langle \mathbf { v } ( \mathbf { x } , t ) , \mathbf { b } \right\rangle d t . } \end{array}
\hat { H } = \sum _ { i } ^ { N } \left( \frac { - \hbar ^ { 2 } \nabla _ { i } ^ { 2 } } { 2 m } + V ( z _ { i } ) \right) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , i \neq j } U ( z _ { i } , z _ { j } )
\begin{array} { r l } { \frac { d V _ { i } ( t ) } { d t } = 0 } & { \Longleftrightarrow ( i _ { e x t } + \gamma ( \bar { v } - V _ { i } ( t ) ) - W _ { i } ( t ) ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } B _ { i j } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } B _ { i j } ( V _ { j } ( t ) - V _ { i } ( t ) ) = 0 } \\ & { \Longleftrightarrow ( i _ { e x t } + \gamma \bar { v } ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } B _ { i j } - \left( \gamma + \frac { 1 } { a } \right) V _ { i } ( t ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } B _ { i j } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } B _ { i j } ( V _ { j } ( t ) - V _ { i } ( t ) ) = 0 } \\ & { \Longleftrightarrow V _ { i } ( t ) = \frac { i _ { e x t } + \gamma \bar { v } } { \gamma + \frac { 1 } { a } } + \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } B _ { i j } ( V _ { j } ( t ) - V _ { i } ( t ) ) } { \left( \gamma + \frac { 1 } { a } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { N } B _ { i j } } } \end{array}
I \leq c _ { 1 } \exp \left( - \frac { 2 } { 7 } \frac { b \delta _ { 1 } } { \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + 1 ) ) } \right) \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 3 5 \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + 1 ) ) } { b \delta _ { 1 } } } \right) \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 7 ( 2 2 ) \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + 1 ) ) } { 2 b ( \delta _ { 1 } + 1 ) } } \right) ( b ( \delta _ { 1 } + 1 ) ) ^ { 2 2 } .
\begin{array} { r } { C + [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] = 0 \quad \mathrm { m o d ~ 2 } , } \\ { C + [ K _ { 1 } ] + 2 [ K _ { 2 } ] - 2 [ K _ { 1 } ^ { \prime } ] - [ K _ { 2 } ^ { \prime } ] = 0 \quad \mathrm { m o d ~ 3 } , } \\ { C - 2 [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] - [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] + [ M _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ] + 2 [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] = 0 \quad \mathrm { m o d ~ 4 } , } \\ { C + 8 [ K _ { 1 } ] + 4 [ K _ { 2 } ] - 3 [ M _ { 1 } ] = 0 \quad \mathrm { m o d ~ 6 } . } \end{array}
\tilde { \mathbf { y } } ( x ) = \left( \begin{array} { l } { \tau _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { \tilde { \eta } _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { \tau _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { \tilde { \eta } _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } \end{array} \right) , \quad \tilde { \mathsf { A } } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \gamma } { D } } & { \frac { - v + f + U ^ { [ i ] } } { D } } & { - \frac { \gamma } { D } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { - \frac { \gamma } { D } } & { 0 } & { \frac { \gamma } { D } } & { \frac { v + f + U ^ { [ i ] } } { D } } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \tilde { \mathbf { b } } = \left( \begin{array} { l } { - 1 } \\ { 0 } \\ { - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\big [ - \frac { 2 \left( 3 5 m ^ { 2 } - 3 6 m + 9 \right) } { 1 4 m ^ { 2 } - 2 3 m + 9 } , \frac { 5 - 9 m } { m - 1 } , \frac { 4 ( m n + m - n ) } { ( m - 1 ) ( n - 1 ) } \big ] .
Z _ { P } [ { \cal J } , \hat { \rho } ] \; = \; { \cal N } \; \int \, { \cal D } { \cal A } \; \mathrm { d e t } { \cal F } \; \delta \left( f [ { \cal A } ] \right) \; \, \exp \left\{ i \left( \frac { } { } I \left[ { \cal A } , { \cal J } \right] \right) \right\} \; \; { \cal M } ( \hat { \rho } ) \; ,
\mathrm { d i m } _ { \mathrm { E } } ( \mathbb { E } \left[ \mathcal { F } \right] , \epsilon _ { \mathbf { A } } ) = \mathcal { O } \left( \mathcal { I } ^ { 2 } \log \left[ \frac { \mathcal { I } \| \mathbf { A } \| _ { 1 } \| \mathbf { A } \| _ { \infty } | \vec { a } | _ { \operatorname* { m a x } } } { \epsilon _ { \mathbf { A } } } \right] \right)
e _ { i } = \frac { \partial \ensuremath { { \widetilde { \mathbf { x } } } } } { \partial \widetilde { x } _ { i } } = \sum _ { j } \frac { \partial q _ { j } } { \partial x _ { i } } \frac { \partial \ensuremath { { \widetilde { \mathbf { x } } } } } { \partial q _ { j } } = \sum _ { j } \frac { \partial q _ { j } } { \partial \widetilde { x } _ { i } } \frac { \partial \ensuremath { { \widetilde { \mathbf { x } } } } } { \partial q _ { j } }
\begin{array} { r l } { u ( x , } & { t _ { k } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { j } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \wedge \hat { \omega } _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \\ & { + \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } \delta h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \prod _ { l = j } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { l } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \wedge F ( X _ { t _ { j - 1 } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { j - 1 } ) } \\ & { + \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } } \delta h h _ { w } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \prod _ { l = j } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { l } } ^ { m , i _ { 1 } , 0 } ) \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , 0 } , x ) \wedge \tilde { \chi } _ { \varepsilon } ( X _ { t _ { j - 1 } } ^ { m , i _ { 1 } , 0 } , t _ { j - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { 2 } \left( q , z \right) = \operatorname* { l i m } _ { z \to 0 ^ { + } } Q _ { 2 } \left( q , z \right) = i h _ { 2 } \left( q ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { t _ { \mathrm { B I } } } { t _ { \mathrm { S P L M T } } } = \left( \frac { k _ { \mathrm { S P L M T } } ^ { \mathrm { e f f } } C _ { \mathrm { S P L M T } } } { k _ { \mathrm { B I } } ^ { \mathrm { e f f } } C _ { \mathrm { B I } } } \right) ^ { 2 } \frac { \epsilon _ { \mathrm { S P L M T } } } { \epsilon _ { \mathrm { B I } } } } \end{array}
= \lambda ^ { N } - \left( \sum _ { a = 1 } ^ { N } \lambda _ { a } \right) \lambda ^ { N - 1 } + \left( \sum \sum _ { b < a } ^ { N } \lambda _ { a } \lambda _ { b } \right) \lambda ^ { N - 2 } + \dots + ( - 1 ) ^ { N } \prod _ { a = 1 } ^ { N } \lambda _ { a }
{ \begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } } & { { \mathrm { ( Q 1 ) } } } & { \qquad \cos C } & { = - \cos A \, \cos B , } & { \qquad \qquad } & { { \mathrm { ( Q 6 ) } } } & { \qquad \tan B } & { = - \cos a \, \tan C , } \\ & { { \mathrm { ( Q 2 ) } } } & { \sin A } & { = \sin a \, \sin C , } & & { { \mathrm { ( Q 7 ) } } } & { \tan A } & { = - \cos b \, \tan C , } \\ & { { \mathrm { ( Q 3 ) } } } & { \sin B } & { = \sin b \, \sin C , } & & { { \mathrm { ( Q 8 ) } } } & { \cos a } & { = \sin b \, \cos A , } \\ & { { \mathrm { ( Q 4 ) } } } & { \tan A } & { = \tan a \, \sin B , } & & { { \mathrm { ( Q 9 ) } } } & { \cos b } & { = \sin a \, \cos B , } \\ & { { \mathrm { ( Q 5 ) } } } & { \tan B } & { = \tan b \, \sin A , } & & { { \mathrm { ( Q 1 0 ) } } } & { \cos C } & { = - \cot a \, \cot b . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { I = \frac { 1 } { 1 - e ^ { - b / \sqrt { x } } } } & { \frac { - 1 } { 1 + e ^ { y / \sigma } } \Bigg | _ { 0 } ^ { + \infty } - } \\ & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { - 1 } { 1 + e ^ { y / \sigma } } \frac { b x ^ { - 3 / 2 } e ^ { - b / \sqrt { x } } } { 2 ( 1 - e ^ { - b / \sqrt { x } } ) ^ { 2 } } d x , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { R \Gamma _ { W } } { N _ { W } } = - D _ { W } \frac { \partial \ln { N _ { W } } } { \partial r } + C _ { T } \frac { \partial T _ { W } } { \partial r } + C _ { u } \frac { \partial v _ { \varphi , W } } { \partial r } + C _ { p } \frac { \partial q } { \partial r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| y _ { r h } ( t ) \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } } & { + \underline { { \nu } } \int _ { 0 } ^ { t } \| y _ { r h } ( t ) \| _ { V _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } \, d t \leq \| y _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } + \left( \frac { c ^ { 2 } } { \underline { { \nu } } } \mathcal { N } ^ { 2 } ( a , b ) + N \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq N } \| \mathbf { 1 } _ { O _ { i } } \| _ { H } ^ { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } \| y _ { r h } ( t ) \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } \, d t } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { E } \left[ | \mathbf { u } _ { r h } ( t ) | _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } \right] \, d t \leq c _ { 6 } \| y _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathit { C O _ { 2 } } \rightarrow \mathit { C O } + \frac { 1 } { 2 } \mathit { O _ { 2 } } \quad \Delta H _ { \mathrm { 2 9 8 } } ^ { \mathrm { 0 } } = 2 . 9 3 \, \mathrm { e V / m o l e c u l e }
\begin{array} { r } { \mathbf { B } = v _ { i n _ { \mathbf { A } } } \left( \begin{array} { l l l } { \rho _ { 1 _ { \mathbf { C } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho _ { 2 _ { \mathbf { C } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \rho _ { 3 _ { \mathbf { C } } } } \end{array} \right) v _ { j l _ { \mathbf { A } } } \approx \left( \begin{array} { l l l } { 2 . 1 9 } & { 0 . 5 5 } & { - 1 . 1 1 } \\ { 0 . 5 5 } & { 3 . 0 2 } & { - 0 . 8 3 } \\ { - 1 . 1 1 } & { - 0 . 8 3 } & { 0 . 7 9 } \end{array} \right) } \end{array}