harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { \phi _ { 0 } = \phi _ { 0 } ^ { \prime } + ( 2 d - 1 ) \frac { \pi } { 4 } } \\ { \phi _ { k } = \phi _ { k } ^ { \prime } - \frac { \pi } { 2 } \quad ( k = 1 , 2 , \ldots , d - 1 ) } \\ { \phi _ { d } = \phi _ { d } ^ { \prime } - \frac { \pi } { 4 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left| \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } x ^ { 2 } ( p \ast n _ { \sigma } ) ( x ) d x - \sum _ { i \in G } p _ { i } ( \sigma ^ { 2 } + E _ { i } ^ { 2 } ) \right| \leq 4 c ^ { \prime } \epsilon ^ { 2 } \eta ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U \pmb { v ^ { \prime } } } & { = \pmb { v } , \; \; } \\ { U } & { = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { u _ { 1 } u _ { 3 } } { \sqrt { u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } } } } & { - \frac { u _ { 2 } } { \sqrt { u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } } } } & { u _ { 1 } } \\ { \frac { u _ { 2 } u _ { 3 } } { \sqrt { u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } } } } & { \frac { u _ { 1 } } { \sqrt { u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } } } } & { u _ { 2 } } \\ { \frac { u _ { 3 } ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } } } } & { 0 } & { u _ { 3 } } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \alpha } _ { n } } & { { } = i [ g ( \beta _ { n } ^ { \dagger } + \beta _ { n } ) ] \alpha _ { n } + i \frac { J _ { 0 } } { 2 } ( \alpha _ { n + 1 } + \alpha _ { n - 1 } - 2 \alpha _ { n } ) , } \\ { \dot { \beta } _ { n } } & { { } = - i \omega _ { m } \beta _ { n } + i g | \alpha _ { n } | ^ { 2 } + i \frac { J _ { m } ( \phi ) } { 2 } ( \beta _ { n + 1 } + \beta _ { n - 1 } - 2 \beta _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i } f _ { i } ^ { e q } } & { = } & { \rho \ , } \\ { \sum _ { i } f _ { i } ^ { e q } \mathbf { e } _ { i } } & { = } & { \rho \mathbf { v } \ , } \\ { \sum _ { i } f _ { i } ^ { e q } \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { i } } & { = } & { \rho T \mathbf { I } + \rho \mathbf { v } \mathbf { v } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { L } = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } e ^ { 2 } } { \mathcal { E } _ { m o d e } } \int \frac { | \langle G \rangle | ^ { 2 } } { \omega } \delta ( \omega - n \omega _ { d } ) \times \left[ \frac { \omega } { v _ { \parallel } } \left( \frac { \partial } { \partial p _ { \parallel } } \right) \right. } \\ & { \left. + \left( \frac { \omega R } { v _ { \parallel } } - n \right) \left( \frac { \partial } { \partial \psi } \right) \right] f d ^ { 3 } \mathbf { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { H } , \, \mathrm { V i T } } = e ^ { 2 } \sum _ { \pm } \int \frac { d ^ { d } k _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } 2 k _ { 1 } } \frac { d - 1 } { d } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) } \\ & { \times \left\langle \phi _ { a } \left| p _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } \right. \right. \left[ \Gamma _ { 0 } ^ { \mathrm { R } } V \right] \left. \left. \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } p _ { i } \right| \phi _ { a } \right\rangle . } \end{array}
{ \frac { \partial { L _ { 0 } } } { \partial \xi } } - { \frac { \partial } { \partial { t } } } \left( { \frac { \partial { L _ { 0 } } } { \partial ( \partial \xi / \partial { t } ) } } \right) - { \frac { \partial } { \partial { x } } } \left( { \frac { \partial { L _ { 0 } } } { \partial ( \partial \xi / \partial { x } ) } } \right) - { \frac { \partial } { \partial { y } } } \left( { \frac { \partial { L _ { 0 } } } { \partial ( \partial \xi / \partial { y } ) } } \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { \langle ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * * } ^ { 1 } , \lambda ) ) e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , S ^ { 1 } \Phi _ { 0 } \rangle } & { = \langle e ^ { - ( T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } ) } ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * * } ^ { 1 } , \lambda ) ) e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , ( e ^ { T _ { * * \rangle + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } ^ { 0 } ) ^ { \dag } S ^ { 1 } \Phi _ { 0 } } } \\ & { = \langle e ^ { - ( T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } ) } \mathcal { H } _ { K } e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { 1 } \rangle ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } ) ^ { \dag } S ^ { 1 } \Phi _ { 0 } } } \\ & { = - \langle \mathcal { G } ( t _ { * * } ^ { 1 } , \lambda ) \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } \rangle ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } ) ^ { \dag } S ^ { 1 } \Phi _ { 0 } } } \\ & { = - \langle \mathcal { G } ( t _ { * * } ^ { 1 } , \lambda ) \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } \rangle ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } ) ^ { \dag } S ^ { \angle } \Phi _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { D } _ { y } ^ { \dagger } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) H _ { \mathrm { L } } \mathcal { D } _ { y } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { - \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { \Delta } \\ { \Delta } & { - \xi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { - \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c c } { \xi \cos \theta _ { \mathrm { L } } + \Delta \sin \theta _ { \mathrm { L } } } & { - \xi \sin \theta _ { \mathrm { L } } + \Delta \cos \theta _ { \mathrm { L } } } \\ { - \xi \sin \theta _ { \mathrm { L } } + \Delta \cos \theta _ { \mathrm { L } } } & { - \xi \cos \theta _ { \mathrm { L } } - \Delta \sin \theta _ { \mathrm { L } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \kappa ^ { m } = \left. \frac { \partial ^ { m } } { \partial J ^ { m } } \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp ( - \beta \mathcal { H } ( \theta , p ) ) \: J _ { \gamma } \frac { \partial } { \partial p _ { \gamma } } \exp ( \beta J _ { \alpha } \theta ^ { \alpha } ) \right| _ { J = 0 } = 0 ,
F ( m _ { N _ { k } } ^ { 2 } , M _ { Z } ^ { 2 } , M _ { H } ^ { 2 } ) \ = \ m _ { N _ { k } } ^ { 2 } [ f ( m _ { N _ { k } } ^ { 2 } , M _ { Z } ^ { 2 } ) - f ( m _ { N _ { k } } ^ { 2 } , M _ { H } ^ { 2 } ) ] - 4 M _ { Z } ^ { 2 } f ( m _ { N _ { k } } ^ { 2 } , M _ { Z } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \mathbf { F } _ { R } } w _ { R } ( \phi _ { R } , \mathbf { F } _ { R } ) \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } \; } \\ & { L ^ { \frac { 1 8 - 2 p } { p - 1 } } ( 0 , T ; L ^ { \frac { 1 8 - 2 p } { p - 1 } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \hookrightarrow L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) . } \end{array}
A = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { a _ { 1 } } & { b _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { b _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { b _ { 2 } } & { a _ { 3 } } & { b _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { b _ { 3 } } & { a _ { 4 } } & { b _ { 4 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { b _ { 4 } } & { a _ { 5 } } & { b _ { 5 } } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } & { b _ { n - 2 } } & { a _ { n - 1 } } & { b _ { n - 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { b _ { n - 1 } } & { a _ { n } } \end{array} \right)
\Delta \bar { \Lambda } = - \Delta m _ { Q } ^ { \mathrm { p o l e } } = { \frac { 2 C _ { F } } { \beta _ { 0 } } } \, e ^ { - C / 2 } \, \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } + O ( N _ { f } ^ { - 2 } ) \, .
\rho _ { \lambda _ { \ell } ^ { \, } , \lambda _ { \ell } ^ { \prime } } ^ { \ell , s _ { L } } = \delta _ { \lambda _ { \ell } ^ { \, } , \lambda _ { \ell } ^ { \prime } } \delta _ { \lambda _ { \ell } ^ { \, } , + } \, .
\begin{array} { r l r l } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u ) = 0 } & & { \mathrm { i n ~ } \Omega \times ( 0 , t _ { f } ] , } \\ & { \frac { \partial ( \rho \mathbf u ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u \otimes \mathbf u ) + \nabla p + \rho g \widehat { \mathbf k } = \boldsymbol { 0 } } & & { \mathrm { i n ~ } \Omega \times ( 0 , t _ { f } ] , } \\ & { \frac { \partial ( \rho e ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u e ) + \nabla \cdot ( p \mathbf u ) = 0 } & & { \mathrm { i n ~ } \Omega \times ( 0 , t _ { f } ] , } \end{array}
\mathbf { - 1 . 1 0 2 \, 6 4 1 \, 5 8 1 \, 0 3 2 \, 5 7 7 \, 1 6 4 \, 1 1 8 \, 1 2 4 \, 9 9 9 \, 9 5 } 8 \, 2 6 1
| \mathcal { T } ( T ) \rangle = \, U _ { h ( z ) \circ z ( v ) } ^ { \dagger } ( h ( z ) \circ z ( \rho ) \circ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int d \rho \, b ( \rho ) ) \left( h ( z ) \circ z ( w ) \circ \mathcal { B } \right) | 0 \rangle ,
| \eta ( s ) | = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } | \eta _ { 2 n } ( s ) | = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| R _ { n } \left( { \frac { 1 } { { ( 1 + x ) } ^ { s } } } , 0 , 1 \right) \right| = \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d x } { { ( 1 + x ) } ^ { s } } } \right| = \left| { \frac { 2 ^ { 1 - s } - 1 } { 1 - s } } \right| = \left| { \frac { 1 - 1 } { - i t } } \right| = 0 .
{ \bar { \alpha } } ^ { A } { \bar { \pi } } _ { A } = \pm { \sqrt E } e ^ { { \frac { i \varphi } { 2 } } } e ^ { - i \psi } \sin { \frac { \theta } { 2 } } , \qquad \qquad \alpha ^ { B ^ { \prime } } \pi _ { B ^ { \prime } } = \pm { \sqrt E } e ^ { - { \frac { i \varphi } { 2 } } } e ^ { i \psi } \sin { \frac { \theta } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } ( 1 - t ) } & { { } = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } \left( 1 - \left( 1 - ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n u ^ { 2 } \right) \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { 0 < \phi ( { y } ) \leq 1 \qquad } & { \mathrm { f o r } \qquad { y } \, \, \in \, \, \Omega _ { 1 } , } \\ { \phi ( { y } ) = 0 } & { \mathrm { f o r } \qquad { y } \, \, \in \, \, \partial \Omega , } \\ { - 1 \leq \phi ( { y } ) < 0 \qquad } & { \mathrm { f o r } \qquad { y } \, \, \in \, \, \Omega _ { 2 } . } \end{array} \right.
N _ { \mathrm { ~ R ~ b ~ } } ( B _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ i ~ l ~ } } ) = A \frac { \mathit { \Omega } _ { \mathrm { ~ R ~ } } ^ { 2 } } { \mathit { \Omega } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \mathit { \Omega } \mathit { \tau } } { 2 } \right) + C ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { S } _ { 1 } ( z ) } & { = } & { \left[ \begin{array} { c } { a \! \left( f _ { 1 } \right) } \\ { a \! \left( f _ { 2 } \right) } \end{array} \right] \mathcal { G } _ { 0 } ^ { - 1 } ( z ) \left[ \begin{array} { c c } { a ^ { \dag } \! \left( f _ { 1 } \right) } & { a ^ { \dag } \! \left( f _ { 2 } \right) } \end{array} \right] } \\ & { = } & { \left[ \begin{array} { c c } { a \! \left( f _ { 1 } \right) \frac { 1 } { H _ { \mathrm { g g } } - z } a ^ { \dag } \! \left( f _ { 1 } \right) } & { a \! \left( f _ { 1 } \right) \frac { 1 } { H _ { \mathrm { g g } } - z } a ^ { \dag } \! \left( f _ { 2 } \right) } \\ { a \! \left( f _ { 2 } \right) \frac { 1 } { H _ { \mathrm { g g } } - z } a ^ { \dag } \! \left( f _ { 1 } \right) } & { a \! \left( f _ { 2 } \right) \frac { 1 } { H _ { \mathrm { g g } } - z } a ^ { \dag } \! \left( f _ { 2 } \right) } \end{array} \right] , } \end{array}
\textbf J ( r , \varphi ) \sim - \frac { \displaystyle \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 a ^ { 2 } } { \sigma ( \varphi ) ^ { 2 } } } } { ( 2 \pi \ell ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } \sigma ( \varphi ) } \frac { \ell \sqrt { 2 N f ^ { \prime } ( \varphi ) } \, \mathrm { d } \varphi + \frac { f ^ { \prime \prime } ( \varphi ) } { 2 f ^ { \prime } ( \varphi ) } \, \mathrm { d } r } { \sqrt { 2 f ^ { \prime } ( \varphi ) } }
\hat { \gamma } _ { i j } d \hat { x } ^ { i } d \hat { x } ^ { j } = \left( 1 + \textstyle { \frac { \hat { k } } { 4 } } \delta _ { m n } \hat { x } ^ { m } \hat { x } ^ { n } \right) \delta _ { i j } d \hat { x } ^ { i } d \hat { x } ^ { j } = { \frac { d \hat { r } ^ { 2 } } { 1 - \hat { k } \hat { r } ^ { 2 } } } + \hat { r } ^ { 2 } \left( d \hat { \theta } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \hat { \theta } d \hat { \phi } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { F _ { C } } { V } } & { { } = \frac { \phi _ { P } } { N } \mathrm { l n } \left( \frac { \phi _ { P } } { N } - 1 \right) + ( 1 - \phi _ { P } ) [ \mathrm { l n } ( 1 - \phi _ { P } ) - 1 ) ] } \end{array}
S _ { f m } ^ { \prime } \sim \int d x \; \bar { L } _ { L } ( x ) L _ { R } ( x ) \cdot \frac { v _ { L } ^ { 2 } } { v _ { R } } \cdot \frac { e g _ { R } } { \beta \cos \theta \sin \theta } ( T _ { 3 } ^ { L } - Q \sin ^ { 2 } \theta ) T _ { 3 } ^ { R } + \mathrm { h . c . }
\begin{array} { r l } & { \| A \| _ { 1 , \infty } ^ { 1 - \theta } \| A \| _ { p , p } ^ { \theta } = \| A \| _ { m ( p , \theta ) , n ( p , \theta ) } } \\ { \le } & { \| A \| _ { \infty , \infty } ^ { 1 - \frac { 1 } { m ( p , \theta ) } } \| A \| _ { 1 , \frac { n ( p , \theta ) } { m ( p , \theta ) } } ^ { \frac { 1 } { m ( p , \theta ) } } } \\ { < } & { \| A \| _ { \infty , \infty } ^ { 1 - \frac { 1 } { m ( p , \theta ) } } \| A \| _ { 1 , 1 } ^ { \frac { 1 } { n ( p , \theta ) } } \| A \| _ { 1 , \infty } ^ { \frac { 1 } { m ( p , \theta ) } - \frac { 1 } { n ( p , \theta ) } } } \\ { = } & { \| A \| _ { p , p } ^ { 1 - \frac { 1 } { m ( p , \theta ) } + \frac { 1 } { n ( p , \theta ) } } \| A \| _ { 1 , \infty } ^ { \frac { 1 } { m ( p , \theta ) } - \frac { 1 } { n ( p , \theta ) } } = \| A \| _ { p , p } ^ { \theta } \| A \| _ { 1 , \infty } ^ { 1 - \theta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \delta v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { F D E } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) } = } & { { } \frac { \delta ^ { 2 } E ^ { \mathrm { Q M } } [ \rho _ { \mathrm { t o t } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { t o t } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) \delta \rho _ { \mathrm { t o t } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) } - \frac { \delta ^ { 2 } E ^ { \mathrm { Q M } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) \delta \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) } . } \end{array}
W = W ( { \bf a } ) \equiv \Delta \left( \begin{array} { l l } { I } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { \omega _ { L 2 } J _ { z } } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega _ { L 1 } J _ { z } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { J _ { x } a _ { x } ^ { \ast } + J _ { z } a _ { z } ^ { \ast } } \\ { J _ { x } a _ { x } + J _ { z } a _ { z } } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { { 2 } \textbf { J } } & { { } = \sigma \left( - \nabla \Phi + \textbf { u } \times \textbf { B } \right) } \\ { \nabla \cdot \left( \sigma \nabla \Phi \right) } & { { } = \nabla \cdot \left[ \sigma \left( \textbf { u } \times \textbf { B } \right) \right] } \end{array}
{ \cal M } _ { D \to \pi f _ { 0 } ( 9 8 0 ) } = { \frac { g } { m _ { D } ^ { 2 } - m _ { \pi _ { \mathrm { H } } } ^ { 2 } + i \Gamma _ { \pi _ { \mathrm { H } } } m _ { D } } } { \cal M } _ { \pi _ { \mathrm { H } } \to \pi f _ { 0 } ( 9 8 0 ) } \ \ .
c = \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \mathcal { C } _ { - 1 / 2 } ^ { - } + \cdots , } & { \quad z < 0 , } \\ { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \mathcal { C } _ { - 1 / 2 } ^ { + } + \cdots , } & { \quad z > 0 . } \end{array} \right.
R _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } ^ { S S _ { z } } ( x , k _ { \bot } ) = \sum _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } \langle \lambda _ { 1 } | { \cal R } _ { M } ^ { \dagger } ( 1 - x , k _ { \bot } , m _ { 1 } ) | s _ { 1 } \rangle \langle \lambda _ { 2 } | { \cal R } _ { M } ^ { \dagger } ( x , - k _ { \bot } , m _ { 2 } ) | s _ { 2 } \rangle \langle { \frac { 1 } { 2 } } s _ { 1 } ; { \frac { 1 } { 2 } } s _ { 2 } | S , S _ { z } \rangle ,
\nu _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } = n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ e ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } ( v _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \right\rangle
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \sqrt { M } | e _ { 1 } | \le 2 \sqrt { M } ( \mathbb { E } | E _ { 1 } - \overline { { E } } _ { 1 } | ( A _ { 1 } - \overline { { A } } _ { 1 } ) ^ { 2 } } \\ & { + \overline { { E } } _ { 1 } \mathbb { E } | A _ { 1 } - \overline { { A } } _ { 1 } | ^ { 2 } ) \le 2 \sqrt { M } ( \mathbb { E } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( E _ { 1 } - \overline { { E } } _ { 1 } ) ^ { 2 } \times } \\ & { \mathbb { E } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( A _ { 1 } - \overline { { A } } _ { 1 } ) ^ { 4 } + \overline { { E } } _ { 1 } \mathbb { E } | A _ { 1 } - \overline { { A } } _ { 1 } | ^ { 2 } ) . } \end{array}
( \alpha , \beta ) = \int _ { \Sigma } ^ { } \mathrm { t r } ( \alpha \wedge { } ^ { \ast } \beta ) = \int _ { \Sigma } ^ { } \, \frac { 1 } { m ! } \alpha _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { m } } ^ { a } \beta _ { a } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { m } } \sqrt { g } \, d ^ { 3 } \! x \; ,
\begin{array} { r l } { - i \omega v _ { r } } & { { } = - i \frac { \omega } { k ^ { 2 } } \mathcal { L } v _ { r } + \nu _ { 4 } ( \mathcal { L } + k ^ { 2 } ) v _ { \phi } - \nu _ { o } \mathcal { L } v _ { \phi } , } \\ { - i \omega v _ { \phi } } & { { } = - \nu _ { 4 } ( \mathcal { L } + k ^ { 2 } ) v _ { r } + \nu _ { o } \mathcal { L } v _ { r } . } \end{array}
\left( { \bar { \chi } } \gamma ^ { \mu } \psi \right) \left( { \bar { \psi } } \gamma _ { \mu } \chi \right) = \left( { \bar { \chi } } \chi \right) \left( { \bar { \psi } } \psi \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \bar { \chi } } \gamma ^ { \mu } \chi \right) \left( { \bar { \psi } } \gamma _ { \mu } \psi \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \bar { \chi } } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \chi \right) \left( { \bar { \psi } } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \psi \right) - \left( { \bar { \chi } } \gamma _ { 5 } \chi \right) \left( { \bar { \psi } } \gamma _ { 5 } \psi \right) ~ .
\begin{array} { r l } { { R _ { X } } ( u ) = } & { - \frac { { 8 \left( { 1 2 - 1 5 \cos \left[ u \right] + 1 2 \cos \left[ { 2 u } \right] } \right) \sin { { \left[ u \right] } ^ { 4 } } } } { { 3 { u ^ { 2 } } } } - \frac { { 8 \sin { { \left[ u \right] } ^ { 4 } } \left( { 1 5 \sin \left[ u \right] - 2 4 \cos \left[ u \right] \sin \left[ u \right] } \right) } } { { 3 { u ^ { 3 } } } } - \frac { { 8 \sin { { \left[ u \right] } ^ { 4 } } \left( { 2 1 \sin \left[ u \right] - 6 \sin \left[ { 2 u } \right] } \right) } } { { 3 u } } } \\ { - } & { \frac { 8 } { 3 } \sin { \left[ u \right] ^ { 4 } } \left[ \begin{array} { l } { - 5 - \cos \left[ { 2 u } \right] + 1 8 \cos \left[ { 2 u } \right] \left( { \mathrm { { C i } } \left[ u \right] - 2 { \mathrm { C i } } \left[ { 2 u } \right] + \mathrm { { C i } } \left[ { 3 u } \right] + \log \left[ { \frac { 4 } { 3 } } \right] } \right) } \\ { - 1 2 \left( { { \mathrm { C i } } \left[ u \right] - \mathrm { { C i } } \left[ { 2 u } \right] + \log \left[ 2 \right] } \right) + 1 8 \sin \left[ { 2 u } \right] \left( { { \mathrm { S i } } \left[ u \right] - 2 \mathrm { { S i } } \left[ { 2 u } \right] + { \mathrm { S i } } \left[ { 3 u } \right] } \right) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) \right] _ { ( a ) } } & { = \frac 1 2 \int _ { \omega } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 2 ) } ( \omega , q , - \omega , - q , \varpi , p ) \; \int _ { \omega , q } \tilde { \partial } _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) } \\ & { \stackrel { p \to \infty } { = } \frac 1 2 p ^ { 2 } \int _ { \omega } \frac 1 { \omega ^ { 2 } } \left[ \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \omega + \varpi , p ) - 2 \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) + \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( - \omega + \varpi , p ) \right] \; \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) \, . } \end{array}
J _ { \mu \nu } = 2 i \big \{ e _ { [ \mu } { } ^ { \alpha \dot { \alpha } } e _ { \nu ] } { } ^ { \beta } { } _ { \dot { \alpha } } \widehat A _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \star \widehat A _ { \beta } ^ { ( 1 ) } + \mathrm { h . c . } \big \} _ { z = 0 } + L _ { \mu \nu } + \mathrm { ~ W ~ - t e r m s } ,
\begin{array} { r l } { \psi _ { T } ^ { H } ( \eta ) } & { { } = \langle \eta _ { T } ^ { H } , f _ { T } \rangle - \langle \eta _ { 0 } ^ { H } , f _ { 0 } \rangle - \int _ { 0 } ^ { T } \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathcal { A } f _ { t } \rangle d t - \int _ { 0 } ^ { T } \langle \eta _ { t } ^ { H } , \lambda _ { H } \mathbf { s } \mathbf { i } ( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } ) \rangle d t } \end{array}
V ^ { \prime } + \frac { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { 2 } V ^ { \prime } ( T ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 \pi \alpha ^ { \prime } V ^ { \prime } ( T ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \frac { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { 2 } V ( ( T ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) ^ { \prime } = V ^ { \prime } - \frac { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { 2 } ( V ( T ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) ^ { \prime } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \Bigg \| \frac { \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon } } y ( z ) e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } \hat { \rho } _ { t } ( z ) | J ( z ) | d z } { \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon } } e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } \hat { \rho } _ { t } ( z ) | J ( z ) | d z } - y _ { X } \Bigg \| } \\ { \leq } & { \frac { \rho _ { 1 } \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon } } \| y ( z ) - y _ { X } \| e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } d z } { \rho _ { 0 } \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon } } e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } d z } } \\ { \leq } & { \frac { \rho _ { 1 } \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon } } \varepsilon e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } d z } { \rho _ { 0 } \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon } } e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } d z } } \\ { \leq } & { \frac { \varepsilon \rho _ { 1 } } { \rho _ { 0 } } } \end{array}
B _ { 4 , 6 , 8 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { { } } & { { } } & { { \vdots } } & { { } } \\ { { Q _ { 1 , 2 , 3 } } } & { { } } & { { \vdots } } & { { 0 } } \\ { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { } } & { { \vdots } } & { { 0 } } \end{array} \right] , \ \ B _ { 5 , 7 , 9 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { { } } & { { } } & { { \vdots } } & { { } } \\ { { P _ { 1 , 2 , 3 } } } & { { } } & { { \vdots } } & { { 0 } } \\ { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { } } & { { \vdots } } & { { 0 } } \end{array} \right]
K _ { a b } ^ { i } = \Bigl ( \frac { \partial ^ { 2 } X ^ { N } } { \partial \sigma ^ { a } \partial \sigma ^ { b } } + \frac { \partial X ^ { P } } { \partial \sigma ^ { a } } \frac { \partial X ^ { Q } } { \partial \sigma ^ { b } } \Gamma _ { P Q } ^ { N } \Bigr ) n _ { N } ^ { i } ~ .