harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { T ^ { ( + + + ) } } & { = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( + + + ) } = \frac { 1 } { 6 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { + } ] _ { i i } = \frac { \mathrm { T r } [ \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { + } ] } { 6 } = \frac { \mathrm { T r } [ ( \mathbf { A } ^ { + } ) ^ { 3 } ] } { 6 } , } \\ { T ^ { ( - + - ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( - + - ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { - } ] _ { i i } = \frac { \mathrm { T r } [ \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { - } ] } { 2 } , } \\ { T ^ { ( + -- ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( + -- ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \mathbf { A } ^ { + } \mathbf A ^ { - } \mathbf { A } ^ { - } ] _ { i i } = \frac { \mathrm { T r } [ \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { - } ] } { 2 } = \frac { \mathrm { T r } [ \mathbf { A } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { - } ) ^ { 2 } ] } { 2 } , } \\ { T ^ { ( -- + ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( -- + ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { + } ] _ { i i } = \frac { \mathrm { T r } [ \mathbf { A } ^ { - } \mathbf A ^ { - } \mathbf { A } ^ { + } ] } { 2 } = \frac { \mathrm { T r } [ ( \mathbf { A } ^ { - } ) ^ { 2 } \mathbf { A } ^ { + } ] } { 2 } ; } \end{array}
f ( y ) = { \frac { 1 } { y } } \oint _ { C } { \frac { d \zeta } { 2 \pi i \zeta } } \, { \cal F } ( \zeta ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \, d z \, e ^ { - z / y } \left( 1 + { \frac { z / \zeta } { ( 1 - z / \zeta ) ^ { \lambda \zeta + 1 } } } \right) \, ,
\Gamma _ { \underline { { \alpha } } \underline { { \beta } } } ^ { a } = \left( \begin{array} { c c } { { \gamma _ { \alpha \beta } ^ { a } \delta _ { q } ^ { r } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \gamma ^ { a \alpha \beta } \delta _ { q ^ { \prime } } ^ { r ^ { \prime } } } } \end{array} \right) \, , \quad a = 0 , 1 , . . . , p \, ,
\begin{array} { r } { \left( \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { P } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { Z _ { w } } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l l l } { G _ { g g } } & { G _ { g v } } & { G _ { g w } } \\ { G _ { v g } } & { G _ { v v } } & { G _ { v w } } \\ { G _ { w g } } & { G _ { w v } } & { G _ { w w } } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l } { \bar { J _ { g } } } \\ { \bar { J _ { v } } } \\ { \bar { J _ { w } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \bar { E _ { i } ^ { g } } } \\ { \bar { E _ { i } ^ { v } } } \\ { \bar { E _ { i } ^ { w } } } \end{array} \right] , } \end{array}
W _ { \mu \nu } = - i \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \frac { q ^ { \rho } p ^ { \sigma } } { p \cdot q } g _ { 1 } + \left( - g _ { \mu \nu } + \frac { q _ { \mu } q _ { \nu } } { q ^ { 2 } } \right) g _ { 3 } + \frac { 1 } { p \cdot q } \left( p _ { \mu } - \frac { p \cdot q } { q ^ { 2 } } q _ { \mu } \right) \left( p _ { \nu } - \frac { p \cdot q } { q ^ { 2 } } q _ { \nu } \right) g _ { 4 } \: \: \: ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { S M S E } } & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \sum _ { k = 1 } ^ { L } | \big ( \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } + \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \textnormal { \tiny { R I S } } } ) \big ) \mathbf { w } _ { k } | ^ { 2 } - 2 \sum _ { \ell } \mathrm { R e } \{ \big ( \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } + \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { r i s } } ) \big ) \mathbf { w } _ { \ell } \} } \\ & { \phantom { = } + \! L ( 1 \! + \! \sigma _ { n } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d S } { d t } = } & { { } - \widehat { \lambda } S I } \\ { \frac { d E } { d t } = } & { { } \widehat { \lambda } S I - \mu E } \\ { \frac { d I } { d t } = } & { { } \mu E - \gamma I } \\ { \frac { d R } { d t } = } & { { } \gamma I } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \bf p } _ { \mathrm { f i e l d } } = \epsilon ( \hat { \bf E } \times \hat { \bf B } ) = \epsilon \mu _ { 0 } ( \hat { \bf E } \times \hat { \bf H } ) = \frac { 1 } { v ^ { 2 } } \hat { \bf S } , } \end{array}
T _ { \mu \nu } ( k ) = i \int \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { \mathrm { t r } \{ \gamma _ { \mu } \left[ ( p \! \! \! \slash + k \! \! \! \slash ) + m \right] \gamma _ { \nu } ( p \! \! \! \slash + m ) \} } { \left[ ( p + k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right] ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \nabla _ { 2 D } v \cdot \nabla _ { 2 D } \hat { \textbf { u } } _ { k } ^ { n + 1 } + \left( \beta _ { k } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 0 } } { \nu _ { m } \Delta t } \right) \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { \textbf { u } } _ { k } ^ { n + 1 } v = \frac { 1 } { \nu _ { m } } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { \textbf { Y } } _ { k } v - \frac { 1 } { \nu _ { m } } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { \textbf { K } } _ { k } \times \nabla v } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \bar { \mathbf q } _ { M } ^ { * } , \mathbf R ^ { * } ) } & { = \mathcal { F } ( \bar { l } _ { s } , \bar { \kappa } , \bar { k } _ { s } ) , } \\ { L _ { g b } } & { = \left( \frac { k _ { b } } { 2 \pi h ^ { 2 } \rho g } \right) ^ { 1 / 3 } , } \\ { \bar { k } _ { s } } & { = \frac { k _ { s } L _ { g b } ^ { 2 } } { k _ { b } } , } \\ { \bar { \mathbf q } _ { M } ^ { * } } & { = \frac { \mathbf q _ { M } ^ { * } - \mathbf q _ { C } } { L _ { g b } } , } \\ { \bar { l } _ { s } } & { = \frac { l _ { s } } { L _ { g b } } , } \\ { \bar { \kappa } } & { = \kappa L _ { g b } . } \end{array}
{ \frac { \left( { \cfrac { q ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } L _ { 1 } ^ { 2 } } } \right) } { \left( { \cfrac { \frac { q ^ { 2 } } { 4 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } L _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) } } = { \frac { m g \tan \theta _ { 1 } } { m g \tan \theta _ { 2 } } } \Rightarrow 4 { \left( { \frac { L _ { 2 } } { L _ { 1 } } } \right) } ^ { 2 } = { \frac { \tan \theta _ { 1 } } { \tan \theta _ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { E _ { T } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { N } E \mathrm { d } N ( E ) = E N ( E ) { \big | } _ { 0 } ^ { N } - \int _ { E _ { 0 } } ^ { E _ { 0 } + E _ { F } } N ( E ) \mathrm { d } E } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( \ell , \ell ) \right\rangle _ { \mathbb { S } _ { L } } ^ { + - } } & { = 3 ^ { - 2 } \left( \frac { 2 L } { \pi } \right) ^ { - 1 / 9 } \frac { 7 + 2 \cos { \frac { 2 \pi \ell } { L } } } { \left( \sin \frac { \pi \ell } { L } \right) ^ { 1 / 9 } } } \\ { \left\langle \sigma _ { \varepsilon } ( \ell , \ell ) \right\rangle _ { \mathbb { S } _ { L } } ^ { + - } } & { = 3 ^ { - 2 } \left( \frac { 2 L } { \pi } \right) ^ { - 4 / 9 } \frac { 1 + 8 \cos { \frac { 2 \pi \ell } { L } } } { \left( \sin \frac { \pi \ell } { L } \right) ^ { 4 / 9 } } } \end{array}
_ p \tilde { F } _ { q } ( a _ { 1 } , \cdots a _ { p } ; b _ { 1 } , \cdots b _ { q } : z ) = \frac { \, _ { p } F _ { q } ( a _ { 1 } , \cdots a _ { p } ; b _ { 1 } , \cdots b _ { q } ; z ) } { \Gamma ( b _ { 1 } ) \cdots \Gamma ( b _ { q } ) } \, .
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 1 } + _ { 5 } + _ { 2 } } \\ & { = - \delta ( q \leq m - n ) \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 1 ] - \delta ( j > m - n ) ( m - n ) e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad + \alpha _ { 2 } \delta ( j > m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 1 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { \quad _ { 1 } + _ { 1 } + _ { 4 } } \\ & { = \delta ( q > m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } - \delta ( q > m - n ) ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad - \delta ( q > m - n , j \leq m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \quad _ { 3 } + _ { 5 } + _ { 1 } + _ { 8 } + _ { 1 4 } + _ { 2 0 } + _ { 6 } } \\ & { = - \delta ( q \leq m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 2 } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta ( q > m - n ) ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } - ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta ( q , j \leq m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 1 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + \delta ( j \leq m - n ) ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } - \delta ( j \leq m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 2 } [ e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ] [ - 2 ] } \end{array}
\partial _ { \alpha } \Upsilon ^ { \alpha \beta } = \partial _ { \alpha } \frac { 1 } { \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \gamma } \partial _ { \gamma } \mathbb { A } ^ { \beta } - \partial _ { \alpha } \frac { 1 } { \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \gamma } \partial ^ { \beta } \mathbb { A } _ { \gamma } = \frac { 1 } { \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \gamma } \partial ^ { \beta } \partial _ { \alpha } \mathbb { A } _ { \gamma } - J ^ { \gamma } \partial _ { \gamma } \mathbb { A } ^ { \beta } - \partial _ { \alpha } \frac { 1 } { \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \gamma } \partial ^ { \beta } \mathbb { A } _ { \gamma }
{ \begin{array} { r l } { \beta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } & { = \beta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( 1 - t _ { 0 } ) + \beta _ { 1 } ^ { ( 1 ) } t _ { 0 } } \\ { \ } & { = \beta _ { 0 } ( 1 - t _ { 0 } ) ( 1 - t _ { 0 } ) + \beta _ { 1 } t _ { 0 } ( 1 - t _ { 0 } ) + \beta _ { 1 } ( 1 - t _ { 0 } ) t _ { 0 } + \beta _ { 2 } t _ { 0 } t _ { 0 } } \\ { \ } & { = \beta _ { 0 } ( 1 - t _ { 0 } ) ^ { 2 } + \beta _ { 1 } 2 t _ { 0 } ( 1 - t _ { 0 } ) + \beta _ { 2 } t _ { 0 } ^ { 2 } } \end{array} }
f _ { 0 } \big ( \{ x \} , t \big ) = \Bigg ( \frac { \ddot { f } _ { 2 } } { c ^ { 2 } } - \frac { \dot { f } _ { 2 } \dot { c } } { c ^ { 3 } } \Bigg ) \sum _ { i } { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } x _ { i } ^ { 2 } + \frac { f _ { 2 } } { c } \, V \big ( \{ x \} , t \big ) \, .
V ( \mathbf { x } ) = - { \frac { G M } { | \mathbf { x } | } } - { \frac { G } { | \mathbf { x } | } } \int \left( { \frac { r } { | \mathbf { x } | } } \right) ^ { 2 } { \frac { 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 } { 2 } } d m ( \mathbf { r } ) + \cdots
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } ( \mu _ { \theta _ { 0 } } , \mu _ { \theta } ) = } & { \mathcal { W } ( \mu _ { \theta _ { 0 } } P _ { t } ^ { \theta _ { 0 } } , \mu _ { \theta } P _ { t } ^ { \theta } ) \leq \mathcal { W } ( \mu _ { \theta _ { 0 } } P _ { t } ^ { \theta _ { 0 } } , \mu _ { \theta } P _ { t } ^ { \theta _ { 0 } } ) + \mathcal { W } ( \mu _ { \theta } P _ { t } ^ { \theta _ { 0 } } , \mu _ { \theta } P _ { t } ^ { \theta } ) } \\ { \leq } & { C _ { 0 } e ^ { - \kappa t } \mathcal { W } ( \mu _ { \theta _ { 0 } } , \mu _ { \theta } ) + \mathcal { W } ( \mu _ { \theta } P _ { t } ^ { \theta _ { 0 } } , \mu _ { \theta } P _ { t } ^ { \theta } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { \mathrm { n u m } } } & { = } & { \int _ { \Omega } \left[ u _ { i } \left( \mathcal { R } ^ { ( \rho u _ { i } ) } - \mathcal { R } _ { \mathrm { o , e x } } ^ { ( \rho u _ { i } ) } \right) - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { 2 } \left( \mathcal { R } ^ { ( \rho ) } - \mathcal { R } _ { \mathrm { o , e x } } ^ { ( \rho ) } \right) \right] d \Omega , \quad \mathrm { w i t h } \ \left\{ \begin{array} { r c l } { \mathcal { R } _ { \mathrm { A D } } ^ { \prime } } & { = } & { \mathcal { R } _ { \mathrm { o } } + \mathcal { D } _ { \mathrm { f i l } } ( Q ) } \\ { \mathcal { R } _ { \mathrm { R F } } ^ { \prime } } & { = } & { \mathcal { G } _ { \mathrm { f i l } } \mathcal { R } _ { \mathrm { o } } } \end{array} \right. } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { \rho _ { \mathrm { e } } } \\ { \rho _ { \mathrm { m } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { \cos \xi } & { - \sin \xi } \\ { \sin \xi } & { \cos \xi } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \rho _ { \mathrm { e } } ^ { \prime } } \\ { \rho _ { \mathrm { m } } ^ { \prime } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L o s s _ { S M } } & { = \frac { \omega _ { 1 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { \textbf { C } } _ { i } - \textbf { C } _ { i } ) ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { w } _ { i } - w _ { i } ) ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 3 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { M } - f _ { i } ^ { j } \log ( p ( \hat { f } _ { i } ^ { j } ) ) } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { X } \\ { Y } \end{array} \right) = \epsilon \left( \begin{array} { l } { X _ { 1 1 } ^ { C } \cos \chi } \\ { Y _ { 1 1 } ^ { S } ( \sin \chi + \sigma \cos \chi ) } \end{array} \right) = \epsilon \underbrace { \left( \begin{array} { l l } { X _ { 1 1 } ^ { C } } & { 0 } \\ { \sigma Y _ { 1 1 } ^ { S } } & { Y _ { 1 1 } ^ { S } } \end{array} \right) } _ { \mathcal { M } _ { ( 1 ) } } \left( \begin{array} { l } { \cos \chi } \\ { \sin \chi } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ R ( T ) ] } \\ & { = \mathbb { P } [ \mathcal { E } _ { g } ] R _ { g } + ( 1 - \mathbb { P } [ \mathcal { E } _ { g } ] ) R _ { b } } \\ & { \leq R _ { g } + 4 | \mathcal { D } | \beta L \cdot 2 B \kappa T } \\ & { \leq 2 B \kappa + 1 6 \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } T ^ { 1 - \alpha / 2 } + 8 \sigma C _ { 1 } C \sqrt { 2 \gamma _ { T } \log ( 1 / \beta ) T ^ { 1 - \alpha } } + 3 2 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } T } } \\ & { + 8 B \kappa | \mathcal { D } | \beta L T } \\ & { = 2 B \kappa + 1 6 T ^ { 1 - \alpha / 2 } \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( | \mathcal { D } | T ) } + 8 \sigma C _ { 1 } C \sqrt { 2 \gamma _ { T } T ^ { 1 - \alpha } \log ( | \mathcal { D } | T ) } } \\ & { + 3 2 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } T } + 8 B \kappa \log ( 2 T ) } \\ & { = O ( T ^ { 1 - \alpha / 2 } \sqrt { \log ( | \mathcal { D } | T ) } ) + O ( \sqrt { \gamma _ { T } T ^ { 1 - \alpha } \log ( | \mathcal { D } ) T ) } + O ( \sqrt { \gamma _ { T } T } ) . } \end{array}
1 6 \pi ^ { 2 } ~ \delta Z _ { \nu _ { e } } \ = \ - \ \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left| a _ { \tilde { \chi } _ { i } ^ { + } \nu _ { e } \tilde { e } _ { L } } \right| ^ { 2 } B _ { 1 } ( 0 , m _ { \tilde { \chi } _ { i } ^ { + } } , m _ { \tilde { e } _ { L } } ) - \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \left| a _ { \tilde { \chi } _ { j } ^ { 0 } \nu _ { e } \tilde { \nu } _ { e } } \right| ^ { 2 } B _ { 1 } ( 0 , m _ { \tilde { \chi } _ { j } ^ { 0 } } , m _ { \tilde { \nu } _ { e } } ) ~ ,
w _ { t + 1 } = \frac { \beta _ { t } } { \beta _ { t - 1 } } w _ { t } - \underbrace { \beta _ { t } D \varphi ( \bar { x } _ { t - 1 } , w _ { t } ) ^ { T } ( \alpha _ { t + 1 } \tilde { y } _ { t + 1 } + \alpha _ { t } \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) ) } _ { \mathrm { B M L ~ u p d a t e } } + \underbrace { \beta _ { t } \alpha _ { t } D \varphi ( \bar { x } _ { t - 2 } , w _ { t - 1 } ) ^ { T } \tilde { y } _ { t } } _ { \mathrm { F T R L ~ e r r o r ~ c o r r e c t i o n } } .
\begin{array} { r l } { X _ { i j } } & { \geq \underline { { x } } _ { i } x _ { j } + \underline { { x } } _ { j } x _ { i } - \underline { { x } } _ { i } \underline { { x } } _ { j } , } \\ { X _ { i j } } & { \geq \overline { { x } } _ { i } x _ { j } + \overline { { x } } _ { j } x _ { i } - \overline { { x } } _ { i } \overline { { x } } _ { j } , } \end{array}
I = \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 \quad , } } & { { \sigma _ { - } ^ { 1 } < 0 } } \\ { { \sum _ { n _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty \prime } { \frac { - 2 i } { n _ { 1 } } } e ^ { - 2 i \pi n _ { 1 } \sigma / \alpha } + { \frac { 2 \pi } { \alpha } } ( \alpha - 2 \sigma ) \quad , } } & { { \sigma _ { - } ^ { 1 } > 0 } } \end{array} \right. \quad .
{ \begin{array} { r l } { J _ { n } \left( { \frac { \pi } { 2 } } \right) } & { = \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \left( { \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } } - y ^ { 2 } \right) ^ { n } \cos ( y ) \, d y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi } \left( { \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } } - \left( y - { \frac { \pi } { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { n } \cos \left( y - { \frac { \pi } { 2 } } \right) \, d y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi } y ^ { n } ( \pi - y ) ^ { n } \sin ( y ) \, d y } \\ & { = { \frac { n ! } { b ^ { n } } } \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( x ) \sin ( x ) \, d x . } \end{array} }
A = e ( g _ { 0 } ^ { - 1 } B + g _ { 1 } ^ { - 1 } W _ { 1 } ^ { 0 } + g _ { 2 } ^ { - 1 } W _ { 2 } ^ { 0 } + g _ { 3 } ^ { - 1 } W _ { 3 } ^ { 0 } ) ,
{ \begin{array} { r l } { \Psi } & { = a C { \frac { \sin { \frac { k a \sin \theta } { 2 } } } { \frac { k a \sin \theta } { 2 } } } \left( { \frac { 1 - e ^ { i N k d \sin \theta } } { 1 - e ^ { i k d \sin \theta } } } \right) } \\ & { = a C { \frac { \sin { \frac { k a \sin \theta } { 2 } } } { \frac { k a \sin \theta } { 2 } } } \left( { \frac { e ^ { - i N k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } - e ^ { i N k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } } { e ^ { - i k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } - e ^ { i k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } } } \right) \left( { \frac { e ^ { i N k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } } { e ^ { i k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } } } \right) } \\ & { = a C { \frac { \sin { \frac { k a \sin \theta } { 2 } } } { \frac { k a \sin \theta } { 2 } } } { \frac { \frac { e ^ { - i N k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } - e ^ { i N k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } } { 2 i } } { \frac { e ^ { - i k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } - e ^ { i k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } } { 2 i } } } \left( e ^ { i ( N - 1 ) k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } \right) } \\ & { = a C { \frac { \sin \left( { \frac { k a \sin \theta } { 2 } } \right) } { \frac { k a \sin \theta } { 2 } } } { \frac { \sin \left( { \frac { N k d \sin \theta } { 2 } } \right) } { \sin \left( { \frac { k d \sin \theta } { 2 } } \right) } } e ^ { i \left( N - 1 \right) k d { \frac { \sin \theta } { 2 } } } } \end{array} }
E _ { \mathrm { v d w } } = \sum _ { i < j } \varepsilon _ { i j } \left[ \left( \frac { R _ { i j } ^ { \mathrm { m i n } } } { r _ { i j } } \right) ^ { 1 2 } - 2 \left( \frac { R _ { i j } ^ { \mathrm { m i n } } } { r _ { i j } } \right) ^ { 6 } \right] f _ { i j } ,
\frac { \partial \rho ^ { k } } { \partial v ^ { j } } = \left\{ \begin{array} { l l } { S ( v ^ { k - 1 } ) \frac { \partial \rho ^ { k - 1 } } { \partial v ^ { j } } + \Delta t D ^ { \prime } ( \rho ^ { k - 1 } ) \frac { \partial \rho ^ { k - 1 } } { \partial v ^ { j } } } & { \quad k \ge j + 2 } \\ { \frac { \partial } { \partial v ^ { j } } ( S ( v ^ { j } ) \rho ^ { j } ) } & { \quad k = j + 1 } \\ { 0 } & { \quad k \le j } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { S O ( 6 , 1 ) } & { { } \rightarrow } & { S O ( 3 ) _ { s p i n } \times S O ( 3 ) _ { i s o s p i n } } \\ { 8 } & { { } \rightarrow } & { ( 1 , 2 ) + ( 1 , 2 ) + ( 2 , 1 ) + ( 2 , 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln ( R _ { 0 } ( z ) ) } & { \xrightarrow [ | z | \to 0 ] z } \\ & { \xrightarrow [ | z | \to \infty ] \ln | z | \quad \mathrm { ( t h i s ~ w o r k ) } } \\ & { \xrightarrow [ | z | \to \infty ] \ln | z | \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \, \arg ( z ) / \ln | z | } } \\ & { \sim \sum _ { k = 0 } ^ { n } { | z | \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \, k \, \arg { ( z ) } } } \quad \mathrm { ( t h a t ~ i s , ~ W P H ) } } \\ & { \xrightarrow [ n = 0 ] | z | \quad \mathrm { ( t h a t ~ i s , ~ M S T ) } . } \end{array}
{ \beta _ { k } } = \frac { { \left\langle { { r ^ { ( k ) } } , A { \delta ^ { ( k ) } } } \right\rangle } } { { { { \| { A { \delta ^ { ( k ) } } } \| } ^ { 2 } } } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad { { \gamma _ { k } } = \frac { { \left\langle { { r ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } } , A { \delta ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } } } \right\rangle } } { { { { \| { A { \delta ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } } } \| } ^ { 2 } } } } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \bigg \| \frac { \rho _ { c } ^ { N _ { t } } } { \| \rho _ { c } ^ { N _ { t } } \| } - \frac { \rho ( T ) } { \| \rho ( T ) \| } \bigg \| } \\ & { \leq } & { \bigg \| \frac { \rho _ { c } ^ { N _ { t } } } { \| \rho _ { c } ^ { N _ { t } } \| } - \frac { \rho _ { c } ^ { N _ { t } } } { \| \rho ( T ) \| } \bigg \| + \bigg \| \frac { \rho _ { c } ^ { N _ { t } } - \rho ( T ) } { \| \rho ( T ) \| } \bigg \| } \\ & { \leq } & { \epsilon / 4 + \epsilon / 4 = \epsilon / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \langle \mathcal { F } _ { \epsilon } ^ { \theta } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) , \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) \rangle _ { \mathbb { H } \times \mathbb { H } } d s } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { t } \langle ( \mathcal { F } _ { \epsilon } ^ { \theta } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) ) _ { i } , ( \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) ) _ { i } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { U } ) \times L ^ { 2 } ( \mathcal { U } ) } d s } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| f - \pi _ { N } f \| _ { P } ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { k \geq N + 1 } | a _ { k } ( f ) | ^ { 2 } = \sum _ { k \geq N + 1 } \lambda _ { k } \frac { | a _ { k } ( f ) | ^ { 2 } } { \lambda _ { k } } } \\ & { \leq } & { \lambda _ { N + 1 } \sum _ { k \geq N + 1 } \frac { | a _ { k } ( f ) | ^ { 2 } } { \lambda _ { k } } \leq \lambda _ { N + 1 } \| f \| _ { \mathcal H } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 L } ( \mathbf { r } _ { 1 } | \mathbf { r } _ { 2 } ) } & { \propto A ( \mathbf { r } _ { 1 } - l \mathbf { e } _ { y } , \mathbf { r } _ { 2 } - l \mathbf { e } _ { y } ) ^ { 2 } \left\{ 1 - \sin [ 2 l k _ { 1 x } ( \mathbf { r } _ { 1 } - l \mathbf { e } _ { y } , \mathbf { r } _ { 2 } - l \mathbf { e } _ { y } ) ] \right\} , } \\ { I _ { 1 R } ( \mathbf { r } _ { 1 } | \mathbf { r } _ { 2 } ) } & { \propto A ( \mathbf { r } _ { 1 } - l \mathbf { e } _ { y } , \mathbf { r } _ { 2 } - l \mathbf { e } _ { y } ) ^ { 2 } \left\{ 1 + \sin [ 2 l k _ { 1 x } ( \mathbf { r } _ { 1 } - l \mathbf { e } _ { y } , \mathbf { r } _ { 2 } - l \mathbf { e } _ { y } ) ] \right\} . } \end{array}
g ( x , b ) = \left\{ \begin{array} { r l r } { ~ } & { { } \frac { x ^ { 1 - b } - ( 1 - x ) ^ { 1 - b } } { x ( 1 - x ) ^ { 1 - b } - ( 1 - x ) x ^ { 1 - b } } , } & { x \in ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] , 0 < b < 1 , } \\ { ~ } & { { } \frac { 2 } { b } - 2 , } & { x = \frac { 1 } { 2 } , 0 < b < 1 . } \end{array} \right.
S \Delta H = m _ { s } \left( \frac 1 { \rho _ { f } } - \frac { 1 } { \rho _ { \ell } } \right) = \rho _ { s } S _ { s } h _ { s } \left( \frac 1 { \rho _ { f } } - \frac { 1 } { \rho _ { \ell } } \right)
\begin{array} { r } { \hat { H } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Big [ \frac { \hat { P } _ { j } ^ { 2 } } { 2 M } + V ( \hat { R _ { j } } ) \Big ] + \hat { H } _ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } , \zeta } \Big [ \hat { \tilde { p } } _ { j } ^ { 2 } + \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } \Big ( \hat { \tilde { x } } _ { \mathbf { k } , \zeta } - \frac { \tilde { c } _ { \mathbf { k } , \zeta } } { \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mu ( \hat { R } _ { j } ) \cdot \cos \varphi _ { j } \Big ) ^ { 2 } \Big ] , } \end{array}