harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\delta { \bf { \bar { v } } } = { \bf { \bar { v } } } \left( { { C _ { n } } + \delta { C _ { n } } } \right) - { \bf { \bar { v } } } \left( { { C _ { n } } } \right) , \; n \in \left\{ { 1 , 2 , . . . , N } \right\}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } f \mathrm { t r _ { 0 } } { \mathcal { U } } \; d x } & { \leq \left\| \rho ( x , 0 ) ^ { \beta } f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\| \rho ( x , 0 ) ^ { - \beta } \mathrm { t r _ { 0 } } { \mathcal { U } } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \lesssim \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\| \nabla \mathcal { U } \right\| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } } \\ & { \leq \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\| \mathcal { U } \right\| _ { \mathbb { H } } . } \end{array}
\frac { d g ( x , Q ^ { 2 } ) } { d \ln Q ^ { 2 } } = { \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d y } { y } \Bigg [ \sum _ { q } { \frac { 4 } { 3 } } P _ { A q } \left( \frac { x } { y } \right) \Big [ q ( y , Q ^ { 2 } ) + \bar { q } ( y , Q ^ { 2 } ) \Big ] + P _ { g g } \left( \frac { x } { y } \right) g ( y , Q ^ { 2 } ) \Bigg ] ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \varepsilon ^ { + } } { \partial t } = } & { - ( V + V _ { A } ) \frac { \partial \varepsilon ^ { + } } { \partial r } - \frac { 1 } { A } \frac { \partial } { \partial r } \left( A \left( V + V _ { A } \right) \right) \varepsilon ^ { + } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { A } \frac { \partial ( A V ) } { \partial r } \varepsilon ^ { + } + R _ { + } + D _ { + } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathbf { r } } } } & { = \cos ( \theta ) { \hat { \mathbf { x } } } + \sin ( \theta ) { \hat { \mathbf { y } } } } \\ { { \frac { \delta { \hat { \mathbf { r } } } } { \delta t } } = { \dot { \mathbf { r } } } } & { = - \sin ( \theta ) { \dot { \theta } } { \hat { \mathbf { x } } } + \cos ( \theta ) { \dot { \theta } } { \hat { \mathbf { y } } } = { \dot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } & { = - \sin ( \theta ) { \hat { \mathbf { x } } } + \cos ( \theta ) { \hat { \mathbf { y } } } } \\ { { \frac { \delta { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } { \delta t } } = { \dot { \boldsymbol { \theta } } } } & { = - \cos ( \theta ) { \dot { \theta } } { \hat { \mathbf { x } } } - \sin ( \theta ) { \dot { \theta } } { \hat { \mathbf { y } } } = - { \dot { \theta } } { \hat { \mathbf { r } } } } \end{array} }
{ \cal L } _ { 0 } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \phi ^ { 2 } - { \frac { g } { 3 ! } } \phi ^ { 3 } - { \frac { \lambda } { 4 ! } } \phi ^ { 4 } + { \cal L } _ { c }
\begin{array} { r l } & { \| \mathcal { N } _ { n } \mathcal { D } _ { n } \psi - \mathcal { N } \mathcal { D } \psi \| _ { p + 2 } } \\ & { \leq \| \mathcal { N } _ { n } ( \mathcal { D } _ { n } - \mathcal { D } ) \psi \| _ { p + 2 } + \| ( \mathcal { N } _ { n } - \mathcal { N } ) ( \mathcal { D } \psi - \mathcal { P } _ { n } \mathcal { D } \psi ) \| _ { p + 2 } + \| ( \mathcal { N } _ { n } - \mathcal { N } ) \mathcal { P } _ { n } \mathcal { D } \psi \| _ { p + 2 } } \\ & { \preceq \| ( \mathcal { D } _ { n } - \mathcal { D } ) \psi \| _ { p + 3 } + \| \mathcal { D } \psi - \mathcal { P } _ { n } \mathcal { D } \psi \| _ { p + 3 } } \\ & { \preceq 1 / n \| \psi \| _ { p } + 1 / n \| \mathcal { D } \psi \| _ { p + 4 } \preceq 1 / n \| \psi \| _ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l } { { 6 } } & { { } \boldsymbol { I } _ { V } ( t ) } & { } & { { } = \frac { 1 } { 2 } } & { } & { { } \int _ { V ( t ) } } & { } & { { } ( \boldsymbol { x } \times \boldsymbol { \omega } ) \; d V , \quad } & { } & { { } \boldsymbol { I } _ { \partial V } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } } & { } & { { } \int _ { \partial V ( t ) } \boldsymbol { x } \times ( \boldsymbol { n } \times \boldsymbol { u } ) \; d S , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { A } _ { P } = \mathcal { A } _ { P 0 } \, ( 1 + \delta _ { Q } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta + \epsilon _ { Q } \sin ^ { 4 } \theta ) , } \\ & { \mathcal { A } _ { S V } = \mathcal { A } _ { S 0 } \, ( 1 + \sigma _ { Q } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta ) , } \\ & { \mathcal { A } _ { S H } = \mathcal { A } _ { S 0 } \, ( 1 + \gamma _ { Q } \sin ^ { 2 } \theta ) , } \end{array}
J ^ { ( N ) } \left( n ; 1 , \ldots , 1 \right) = 2 \; \mathrm { i } ^ { 1 - 2 N } \; \pi ^ { n / 2 } \; \Gamma \left( N \! - \! { \textstyle { \frac { n } { 2 } } } \right) \; \left( \prod f _ { i } \right) \; \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \ldots \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \prod \mathrm { d } \alpha _ { i } } { \left( \sum \alpha _ { i } f _ { i } \right) ^ { n - N } } \; \delta \left( \alpha ^ { T } \| C \| \alpha - 1 \right) .
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { c } } } & { { } = \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } { \mathcal { L } } \, d t = \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } m { \dot { x } } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } m \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } \right) \, d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { r ^ { 2 m + 3 } } { ( 1 - r ) ^ { 1 - \theta } } } d r } & { \leqslant \epsilon ^ { \theta - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 - \epsilon } { { r ^ { 2 m + 3 } } } d r + \int _ { 1 - \epsilon } ^ { 1 } { ( 1 - r ) ^ { \theta - 1 } } d r } \\ & { \leqslant \frac { \epsilon ^ { \theta - 1 } } { 2 m + 4 } + \frac { \epsilon ^ { \theta } } { \theta } . } \end{array}
p _ { 1 , 2 } = { \hat { m } } _ { 1 , 2 } P \pm q ; \quad P ^ { 2 } = - M ^ { 2 } ; \quad 2 { \hat { m } } _ { 1 , 2 } = 1 \pm ( m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) / M ^ { 2 }
\mathrm { M o d u l a t i o n a l ~ i n s t a b i l i t y ~ w h e n } \left\{ \begin{array} { l l } { W ^ { 3 } ( W - 1 ) < \alpha ^ { 2 } ( W - \frac { 1 } { 4 } ) \, , \quad | V | > \nu \quad ( \mathrm { s u p e r s o n i c } ) } \\ { W ^ { 3 } ( W - 1 ) > \alpha ^ { 2 } ( W - \frac { 1 } { 4 } ) \, , \quad | V | < \nu \quad ( \mathrm { s u b s o n i c } ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left[ \big \{ \{ { \phi } ^ { k } \} _ { t \in [ 0 , T ] } \big \} _ { k > 0 } \right] } \\ & { ~ \approx \mathbb { P } \left[ \big \{ \{ { \phi } ^ { k } \} _ { t \in [ 0 , T ] } \big \} _ { k _ { \mathrm { m a x } } \geq k > 0 } \right] \prod _ { k > k _ { \mathrm { m a x } } } \mathbb { P } \left[ \{ { \phi } ^ { k } \} _ { t \in [ 0 , T ] } \right] \, . } \end{array}
\sin ^ { 2 } \Theta _ { W } ( M _ { Z } ) = \frac { 1 } { 3 } + \frac { \alpha ( M _ { Z } ) } { 6 \pi } ( 2 b _ { 2 } - b _ { Y } ) \ln \left( \frac { M _ { s } } { M _ { Z } } \right) \; .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { a _ { N } } & { { } = \sigma _ { 4 } } \\ { a _ { 1 } } & { { } = \left[ \ \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } \right] / 3 } \\ { e _ { x } } & { { } = \left[ 2 \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 3 } \right] / \sqrt { 6 } } \\ { e _ { y } } & { { } = \left[ \ \ \ \ \ \ \ \ \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 3 } \right] / \sqrt { 2 } . } \end{array} } \end{array}
\delta S = \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g } ~ \delta ( g ^ { B } \, _ { A } ) T ^ { ( 2 ) A } \, _ { B } = \int d ^ { 4 } x \int d y ~ b _ { 0 } \sqrt { - g _ { 4 } } ~ \delta ( \delta ^ { B } \, _ { A } ) T ^ { ( 2 ) A } \, _ { B } ~ ,
< B R > Q _ { 1 } ( Q _ { 2 } ) = 3 D { \frac { 1 } { = { { \sqrt = 2 0 { - 2 \nabla ^ { 2 } } } } } } [ \epsilon _ { i j } \partial _ { i } A _ { j } \pm { \frac { 1 } { m } } \Pi _ { \theta } = 2 0 ] ; ~ ~ < B R > P _ { 1 } ( P _ { 2 } ) = 3 D [ { \frac { 1 } { { \sqrt { - 2 \nabla ^ { 2 } } } } } \epsilon = _ { i j } \partial _ { i } \Pi = 2 0 _ { j } \mp < B R > { \frac { m } { 2 } } { \sqrt { - 2 \nabla ^ { 2 } } } \theta = 2 0 ] , < B R > < B R >
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { * } \psi } & { \equiv \left( R \frac { \partial } { \partial R } \frac { 1 } { R } \frac { \partial } { \partial R } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Z ^ { 2 } } \right) \psi } \\ & { = - \mu _ { 0 } R j _ { \phi } } \\ & { = - \mu _ { 0 } R ^ { 2 } \frac { d p ( \psi ) } { d \psi } - F ( \psi ) \frac { d F ( \psi ) } { d \psi } , } \end{array}
\mathrm { ~ \sum ~ } \! \! \! \! \! \! \int _ { P } \; \equiv \; \left( \frac { e ^ { \gamma } \mu ^ { 2 } } { 4 \pi } \right) ^ { \epsilon } \; T \sum _ { P _ { 0 } } \: \int { \frac { d ^ { 3 - 2 \epsilon } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 - 2 \epsilon } } } \, ,
\begin{array} { r } { c = \frac { \frac { a } { \alpha p _ { r } } \pm \sqrt { \left( \frac { a } { \alpha p _ { r } } \right) ^ { 2 } - 4 u i ^ { * } \left( \frac { b } { d l _ { i } } - \frac { a } { \alpha p _ { r } } \right) } } { 2 u } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| I _ { n } ^ { 1 , 1 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \geq C \| z \rho _ { n } \boldsymbol { Y } _ { n } - \widehat { \rho } _ { n } \mathcal { N } ( \boldsymbol { X } ) ( T _ { S } ( \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ) \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) ) _ { n } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { t } \left[ \mathcal { L } ( \omega ^ { t + 1 } ) \; \middle | \; u ^ { t + 1 } \right] - \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) } \\ & { = - \delta _ { \omega } ^ { t } \mathbb { R } \left( \mathbb { E } _ { t } \left[ \left\langle \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) , \tilde { \nabla } _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \right\rangle \; \middle | \; u ^ { t + 1 } \right] \right) + \frac { L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } _ { t } \left[ \| \tilde { \nabla } _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } \right] } \\ & { = - \delta _ { \omega } ^ { t } \mathbb { R } \left( \left\langle \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) , \mathbb { E } _ { t } \left[ \tilde { \nabla } _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \; \middle | \; u ^ { t + 1 } \right] \right\rangle \right) + \frac { L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } _ { t } \left[ \| \tilde { \nabla } _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } \right] } \\ & { \leq \frac { - 2 \delta _ { \omega } ^ { t } + L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } . } \end{array}
C _ { 1 1 } = \frac { 1 } { \Delta _ { S } } \frac { 1 - \nu _ { v } ^ { 2 } E _ { h } / E _ { v } } { 1 + \nu _ { h } } , \qquad C _ { 1 1 } - C _ { 1 2 } = \frac { E _ { h } } { 1 + \nu _ { h } } , \qquad C _ { 3 3 } = \frac { 1 } { \Delta _ { S } } \frac { 1 - \nu _ { h } } { E _ { h } } E _ { v } , \qquad K _ { 2 } C _ { 1 2 } = \frac { \nu _ { v } } { \Delta _ { S } } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \rho } } & { { } = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { m } ( \Omega ) \left( 1 + \frac { \boldsymbol { \lambda } ( \boldsymbol { \rho } ) \cdot \boldsymbol { m } ( \Omega ) } { K } \right) ^ { K } \, \mathrm { d } \Omega , } \\ { \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \rho } ) } & { { } = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \Omega \boldsymbol { m } ( \Omega ) \left( 1 + \frac { \boldsymbol { \lambda } ( \boldsymbol { \rho } ) \cdot \boldsymbol { m } ( \Omega ) } { K } \right) ^ { K } \, \mathrm { d } \Omega , } \\ { \boldsymbol { L } ( \boldsymbol { \rho } ) } & { { } = \sigma \left( \frac { \rho _ { 0 } } { 4 \pi } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { m } ( \Omega ) d \Omega - \boldsymbol { \rho } \right) , } \end{array}
C = \frac { \langle ( \phi _ { \alpha } - \langle \phi _ { \alpha } \rangle ) ( \phi _ { \beta } - \langle \phi _ { \beta } \rangle ) \rangle } { \sqrt { \langle ( \phi _ { \alpha } - \langle \phi _ { \alpha } \rangle ) ^ { 2 } \rangle \langle ( \phi _ { \beta } - \langle \phi _ { \beta } \rangle ) ^ { 2 } \rangle } } = 1 - \frac { D _ { \delta } } { 2 D _ { \phi } }
\alpha _ { s } ^ { \overline { { { M S } } } } ( m _ { \tau } ^ { 2 } ) = 0 . 3 3 2 _ { - 0 . 0 0 7 } ^ { + 0 . 0 0 8 } ( \mathrm { t h , l = 2 } ) \pm 0 . 0 1 5 ( \mathrm { e x p } ) \pm 0 . 0 0 6 ( \mathrm { n p t } ) .
\begin{array} { r } { \theta _ { \mathrm { f } } \equiv \theta _ { R } , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \theta _ { s } \equiv \mathbf { N } \cdot \boldsymbol { \theta } - N _ { \varphi } \Omega _ { \mathrm { p } } t , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { { N u } } \leq C _ { \frac { 1 } { 2 } } \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + C _ { \frac { 5 } { 1 2 } } \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 5 } { 1 2 } } } \end{array}
\left( \hat { V } ^ { ( B = 0 ) } \right) ^ { - 1 } \partial _ { \pm } \hat { V } ^ { ( B = 0 ) } = { \frac { 1 \mp t } { 1 \pm t } } \left( \begin{array} { c c } { { - E ^ { - 1 } \partial _ { \pm } E } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { E ^ { - 1 } \partial _ { \pm } E } } \end{array} \right) = { \frac { 1 \mp t } { 1 \pm t } } \, P _ { \pm }
\begin{array} { r l } { \left\lVert | \partial _ { t } u _ { 1 } | + | \nabla P _ { 1 } | \right\rVert _ { L ^ { p _ { 1 } } ( - 4 , 0 ; L ^ { q _ { 1 } } ( \Omega ) ) } } & { + \left\lVert u _ { 1 } \right\rVert _ { L ^ { p _ { 1 } } ( - 4 , 0 ; W ^ { 2 , q _ { 1 } } ( \Omega ) ) } } \\ & { \qquad \le C \left\lVert f \right\rVert _ { L ^ { p _ { 1 } } ( - 4 , 0 ; L ^ { q _ { 1 } } ( \Omega ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \frac { { \partial } { \bf { m } } } { { \partial } t } = } & { - \gamma { \mu } _ { 0 } \left( { \bf { m } } { \times } \left( { \bf { { H } } } _ { \bf { { K } } } { + } { \bf { { H } } } _ { \bf { { z } } } \right) \right) { + } \alpha \left( { \bf { m } } { \times } \frac { { \partial } { \bf { m } } } { { \partial } t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p } & { { } = } & { \frac { \rho \mathscr { E } - \sum _ { l } \left( \phi ^ { l } \rho ^ { l } \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } } ^ { l } - \phi ^ { l } p _ { \mathrm { r e f } } ^ { l } / \Gamma ^ { l } \right) } { \sum _ { l } \phi ^ { l } / \Gamma ^ { l } } } \\ { G } & { { } = } & { \frac { \sum _ { l } \phi ^ { l } G ^ { l } / \Gamma ^ { l } } { \sum _ { l } \phi ^ { l } / \Gamma ^ { l } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { \prime } > 0 \quad \mathrm { a n d } } & { \quad h ^ { \prime } < 0 \quad \mathrm { o n } \quad ( 0 , \infty ) ; } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } g ( x ) = \infty , \quad \operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } h ( x ) = 0 , } & { \quad \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } g ( x ) = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } h ( x ) = \infty . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = - \gamma _ { i } \mathcal { R } , i = 1 \cdots N , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { \mathbb { C } _ { p } \frac { d ( \phi - \phi _ { p } ) } { d t } = - I _ { e x } - \Delta z F \mathcal { R } = \frac { g } { F } ( \tilde { \mu } _ { e x } - \tilde { \mu } _ { e } ) - \Delta z F \mathcal { R } , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma } \\ { \mathcal { R } = k _ { f , 0 } e ^ { - \frac { \Delta Z F } { R T } \beta ( \Delta \phi ) } \left( \frac { C _ { e } } { c _ { e , 0 } } \right) ^ { \Delta z } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } e ^ { \frac { \Delta Z F } { R T } ( 1 - \beta ) ( \Delta \phi ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { b _ { i } } , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma } \\ { \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } = \mathbb { C } _ { p } ( \phi - \phi _ { p } ) , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma } \\ { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , \phi = 0 , } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega / \Gamma . } \end{array} \right.
\ln \frac { E ( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } { E ( \eta _ { 1 } , x _ { 2 } r _ { 1 } ) } = \ln \frac { \tilde { E } ( 0 , \eta _ { 2 } ) } { \tilde { E } ( \eta _ { 1 } , 0 ) } - \ln \frac { E ( \eta _ { 1 } , x _ { 2 } r _ { 1 } ) } { \tilde { E } ( \eta _ { 1 } , 0 ) } + \ln \frac { \tilde { E } ( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } { \tilde { E } ( 0 , \eta _ { 2 } ) } + \ln \frac { E ( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } { \tilde { E } ( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } \; .
\begin{array} { r l } { \beta } & { = \delta ^ { 3 5 } \leq C \delta , } \\ { R ^ { 2 - \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } \omega } & { = \delta ^ { 2 5 + 5 \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } \leq C \delta , } \\ { \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \beta } \right) \omega ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \delta ^ { 7 0 } + \delta ^ { 3 5 } \leq C \delta , } \end{array}
\alpha _ { \mathrm { n e q } } \approx - \frac { 1 } { 3 } \frac { \langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { b } ^ { \prime } \rangle } { \sqrt { \langle u ^ { \prime 2 } \rangle \langle b ^ { \prime 2 } \rangle } } \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } \left[ \langle \mathbf { u } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau \right) \cdot \mathbf { j } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau _ { 1 } \right) \rangle - \langle \mathbf { u } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau _ { 1 } \right) \cdot \mathbf { j } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau \right) \rangle \right] ,
\begin{array} { r l } { G _ { 1 1 } ( \omega ) = } & { \left[ U _ { 2 1 } B _ { 1 } ^ { N } ( U ^ { - 1 } ) _ { 1 1 } + U _ { 2 2 } B _ { 2 } ^ { N } ( U ^ { - 1 } ) _ { 2 1 } \right] } \\ & { \left[ U _ { 1 1 } B _ { 1 } ^ { N } ( U ^ { - 1 } ) _ { 1 1 } + U _ { 1 2 } B _ { 2 } ^ { N } ( U ^ { - 1 } ) _ { 2 1 } \right] ^ { - 1 } V ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ^ { \alpha \beta } ( g ) } & { : = \mathcal { E } _ { \mathtt { E H } } ^ { \alpha \beta } ( g ) \mathrm { v o l } _ { g } = - \big ( \mathrm { R } ^ { \alpha \beta } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { R } g ^ { \alpha \beta } + \Lambda g ^ { \alpha \beta } \big ) \mathrm { v o l } _ { g } , } \\ { \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { : = \imath _ { W } \mathrm { v o l } _ { g } , } \\ { W ^ { \alpha } } & { : = \nabla ^ { \beta } ( g ^ { \alpha \sigma } \delta g _ { \sigma \beta } ) - \nabla ^ { \alpha } \delta g = ( g ^ { \lambda \beta } g ^ { \alpha \kappa } - g ^ { \lambda \alpha } g ^ { \kappa \beta } ) \nabla _ { \lambda } \delta g _ { \kappa \beta } . } \end{array}
w _ { s } = \sqrt { 1 + \left( \frac { d _ { s } } { z _ { R } } \right) ^ { 2 } } \enskip \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \enskip z _ { R } = \frac { \pi w _ { f } ^ { 2 } } { \lambda } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } w _ { f } = \frac { f \lambda } { \pi w _ { 0 } }
\bar { P } _ { \mathrm { e f f . } } = 3 I ( \mathrm { d } \bar { P } / \mathrm { d } I ) _ { \mathrm { C C G } } + \bar { P } _ { \mathrm { 0 , C C G } } = 3 \bar { P } _ { \mathrm { C C G } } - 2 \bar { P } _ { \mathrm { 0 , C C G } } ,
\frac 1 T \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] \le \frac 1 T \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 1 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] \le \left[ 3 K M ^ { 2 } m _ { 0 } + \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } } 2 + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } + 4 M ^ { 2 } \right] \cdot \frac { 1 0 } \epsilon .
\widetilde { H } = \hbar \quad \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { e g } } & { \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { p g } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { e g } } & { \Delta _ { e g } } & { \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { c } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { p g } } & { \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { c } } & { \Delta _ { p g } } \end{array} \right) ,
\mathbf { U } = \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { E } \end{array} \right) , \quad \mathbf { F ( \mathbf { U } ) } = \left( \begin{array} { l l } { \rho u } & { \rho v } \\ { \rho u ^ { 2 } + p } & { \rho u v } \\ { \rho u v } & { \rho v ^ { 2 } + p } \\ { u ( E + p ) } & { v ( E + p ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { y _ { * } \frac { d U } { d y _ { * } } \frac { \kappa _ { s } } { u _ { \tau } ^ { \star } } = \kappa _ { s } \beta ( y _ { * } , u _ { \tau } ^ { \star } ) } & { \approx 1 , } \\ { y _ { * } \frac { d U } { d y _ { * } } \frac { \kappa _ { c } } { u _ { \tau } ^ { * } } = \kappa _ { c } \beta ( y _ { * } , u _ { \tau } ^ { * } ) } & { \approx 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla J _ { t } ^ { i } = } & { \left( r _ { t } ^ { i } - \eta _ { t } + \langle \phi ( s _ { t } ^ { i + 1 } ) , \omega _ { t } \rangle - \langle \phi ( s _ { t } ^ { i } ) , \omega _ { t } \rangle \right) \nabla \log \pi _ { \theta _ { t } } \left( a _ { t } ^ { i } | s _ { t } ^ { i } \right) , } \\ { \nabla J _ { t } ^ { i , \eta } = } & { \left( r _ { t } ^ { i } - \eta _ { t } ^ { * } + \langle \phi ( s _ { t } ^ { i + 1 } ) , \omega _ { t } \rangle - \langle \phi ( s _ { t } ^ { i } ) , \omega _ { t } \rangle \right) \nabla \log \pi _ { \theta _ { t } } \left( a _ { t } ^ { i } | s _ { t } ^ { i } \right) , } \\ { \nabla J _ { t } ^ { i , \eta , \omega } = } & { \left( r _ { t } ^ { i } - \eta _ { t } ^ { * } + \langle \phi ( s _ { t } ^ { i + 1 } ) , \omega _ { t } ^ { * } \rangle - \langle \phi ( s _ { t } ^ { i } ) , \omega _ { t } ^ { * } \rangle \right) \nabla \log \pi _ { \theta _ { t } } \left( a _ { t } ^ { i } | s _ { t } ^ { i } \right) , } \\ { \nabla J _ { t } ^ { i , \eta , V } = } & { \left( r _ { t } ^ { i } - \eta _ { t } ^ { * } + V _ { \theta _ { t } } ( s _ { t } ^ { i + 1 } ) - V _ { \theta _ { t } } ( s _ { t } ^ { i } ) \right) \nabla \log \pi _ { \theta _ { t } } \left( a _ { t } ^ { i } | s _ { t } ^ { i } \right) , } \end{array}
\hat { \mathcal { H } } \, e ^ { W } \equiv \left( { \frac { 1 } { 2 } } p ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } g _ { | \rho | } ( g _ { | \rho | } - 1 ) | \rho | ^ { 2 } \, V ( \rho \cdot q ) + ( { \frac { \omega ^ { 2 } } { 2 } } q ^ { 2 } ) \right) \, e ^ { W } = { \cal E } _ { 0 } \, e ^ { W } .
\begin{array} { r l } { R _ { 3 } = \, } & { 8 K b d - 3 K c ^ { 2 } + 8 d , } \\ { R _ { 4 } = \, } & { 4 3 2 K ^ { 2 } a ^ { 2 } d ^ { 3 } - 4 3 2 K ^ { 2 } a b c d ^ { 2 } + 1 0 8 K ^ { 2 } a c ^ { 3 } d + 1 2 8 K ^ { 2 } b ^ { 3 } d ^ { t } 2 - 3 6 K ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } d + 1 9 2 K b ^ { 2 } d ^ { 2 } } \\ & { - 1 4 4 K b c ^ { 2 } d + 2 7 K c ^ { 4 } + 6 4 b d ^ { 2 } - 2 4 c ^ { 2 } d . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \hat { \boldsymbol { \alpha } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { - 1 } ( \omega , \mathbf { k } _ { \| } ) \right] = \sum _ { \mu } ^ { M } \sum _ { \nu } ^ { M } \hat { \boldsymbol { { \beta } } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \mu \nu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \| y ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } \leq - \Theta _ { \theta } ( N , \lambda ) \| \theta ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } - \Theta _ { \varphi } ( N , \lambda ) \| \varphi ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } \leq - 4 \mu \| \theta ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } - 4 \mu \| \varphi ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } } \\ & { \leq - 2 \mu \left( \| \theta ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } + \| \varphi ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } + 2 ( \theta ( t ) , \varphi ( t ) ) _ { H } \right) \leq - 2 \mu \| \theta ( t ) + \varphi ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } \leq - 2 \mu \| y ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { z } e ^ { - t ^ { 2 } } d t = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t ^ { 2 } } d t - \displaystyle \int _ { z } ^ { \infty } e ^ { - t ^ { 2 } } d t \ge \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \left( 1 - e ^ { - z ^ { 2 } } \right) . } \end{array}