harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { m _ { B A } = m _ { C A } } & { = } & { - \Omega ^ { 2 } e ^ { - 2 \frac { \kappa ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega n + 2 \kappa ^ { 2 } / \omega } \frac { \left[ \kappa ^ { 2 } / ( 2 \omega ^ { 2 } ) \right] ^ { n } } { n ! } ; } \\ { m _ { B B } = m _ { C C } } & { = } & { - 2 \Omega ^ { 2 } e ^ { - 2 \frac { \kappa ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } , n _ { 4 } = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega ( n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } + n _ { 4 } ) + 2 \kappa ^ { 2 } / \omega } \frac { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 1 } } } { n _ { 1 } ! } \frac { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 2 } } } { n _ { 2 } ! } \frac { \left( \frac { 3 \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 3 } } } { n _ { 3 } ! } \frac { \left( \frac { 3 \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 4 } } } { n _ { 4 } ! } ; } \\ { m _ { C B } } & { = } & { - \Omega ^ { 2 } e ^ { - 2 \frac { \kappa ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) + 2 \kappa ^ { 2 } / \omega } \frac { \left( - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 1 } } } { n _ { 1 } ! } \frac { \left( \frac { 3 \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 3 } } } { n _ { 3 } ! } . } \end{array}
J _ { \mu \nu , \kappa } - J _ { \mu \nu , \xi } \lesssim N _ { \mu } N _ { \nu } N _ { \kappa } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } \sum _ { l } ^ { l _ { \mu \nu } } L _ { l _ { \mu } , l _ { \nu } } ^ { l } ( d _ { \mu \nu } ) \frac { \pi ^ { 3 } \Gamma ( l + l _ { \kappa } + \frac { 1 } { 2 } , \theta _ { \mu \nu \eta } R ^ { 2 } ) } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { l + 3 / 2 } \eta ^ { l _ { \kappa } + 3 / 2 } \sqrt { \pi } R ^ { l + l _ { \kappa } + 1 } } .
\phi ^ { ( 1 ) } = \zeta \left( \begin{array} { c } { { x } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) ; \ \ \phi ^ { ( 2 ) } = \zeta \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { y } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) ; \ \ \phi ^ { ( 3 ) } = \zeta \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { z } } \end{array} \right) ,
B _ { i , j } = \sum _ { k = 1 } ^ { K - l } \left\{ \begin{array} { l l } { p [ k ] \cdot p [ k + l ] , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; 1 \leq ( v [ \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ( i , j ) ] - s + k ) \leq K } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { S M S } , i k } ^ { ( 1 ) } } & { = \oint _ { \Gamma } \! d E \, E \, \Delta g _ { \mathrm { S M S } , i k } ^ { ( 1 ) } ( E ) } \\ & { = \left( \frac { i } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \int \! d p _ { 1 } d p _ { 1 } ^ { \prime } \, \sum _ { P } ( - 1 ) ^ { P } \, \langle \psi _ { P i _ { 1 } } \psi _ { P i _ { 2 } } | R ( p _ { 1 } - p _ { 1 } ^ { \prime } ) | \psi _ { k _ { 1 } } \psi _ { k _ { 2 } } \rangle } \\ & { \times \, \Bigg \{ \, \frac { E _ { i } ^ { ( 0 ) } } { E _ { i } ^ { ( 0 ) } - E _ { k } ^ { ( 0 ) } } \left( \frac { 2 \pi } { i } \delta ( p _ { 1 } ^ { \prime } - \varepsilon _ { P i _ { 1 } } ) \right) \left( \frac { 1 } { p _ { 1 } - \varepsilon _ { k _ { 1 } } + i 0 } + \frac { 1 } { E _ { i } ^ { ( 0 ) } - p _ { 1 } - \varepsilon _ { k _ { 2 } } + i 0 } \right) } \\ & { \quad + \, \frac { E _ { k } ^ { ( 0 ) } } { E _ { k } ^ { ( 0 ) } - E _ { i } ^ { ( 0 ) } } \left( \frac { 1 } { p _ { 1 } ^ { \prime } - \varepsilon _ { P i _ { 1 } } + i 0 } + \frac { 1 } { E _ { k } ^ { ( 0 ) } - p _ { 1 } ^ { \prime } - \varepsilon _ { P i _ { 2 } } + i 0 } \right) \left( \frac { 2 \pi } { i } \delta ( p _ { 1 } - \varepsilon _ { k _ { 1 } } ) \right) \, \Bigg \} \, , } \end{array}
\frac { d \langle a \rangle } { d t } = \frac { 2 \pi a } { \gamma } \left( ( p - p _ { \mathrm { e x t } } ) - \frac { E } { 1 - \nu ^ { 2 } } \frac { \left( a - \langle a \rangle \right) } { e } + \sigma _ { \mathrm { a c t i v e } } + \mu \frac { \langle \tau \rangle ^ { 2 } } { \tau _ { c } } \right)
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( S _ { \infty | - \infty } \right) = \left\langle S _ { \infty | - \infty } \right\rangle ^ { 2 } - 8 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } r \ \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \mathrm { d } \varphi \ r \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left[ \frac { r ^ { 3 } } { \sqrt { 2 } } \sin \varphi \cos \varphi \right] e ^ { - \frac { 1 } { 4 8 } r ^ { 6 } ( 5 + 3 \cos ( 4 \varphi ) ) - 2 \alpha r ^ { 2 } } = : S ( \alpha ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 2 } \Big ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathbf { D } _ { u , k } ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathcal { F } _ { 1 } { f } ) - \tilde { \chi } _ { 2 } \mathbf { D } _ { u , k } ^ { 1 } ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathcal { F } _ { 1 } { f } ) \Big ) ( \xi ) = \int \mathcal { D } ^ { c o m } ( t , k , \xi , \xi _ { 1 } ) \hat { f } _ { k } ( t , \xi _ { 1 } ) d \xi _ { 1 } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { E _ { n + 1 } ^ { + } } \\ { E _ { n + 1 } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z _ { n } } = [ I _ { n + 1 , n } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { n } ^ { + } } \\ { E _ { n } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z _ { n } } , \, \left[ \begin{array} { l } { E _ { n } ^ { + } } \\ { E _ { n } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z _ { n + 1 } } = [ P _ { n } ^ { \mathrm { s } } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { n } ^ { + } } \\ { E _ { n } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z _ { n } } .
\sigma = \left( { \frac { \omega \mu } { 2 b } } \right) ^ { p } { \frac { \pi } { \Gamma \left( { \frac { p + 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \Omega _ { n + 1 } \mu ^ { n + 1 } \quad \mathrm { ( r e g u l a r \, \, t h r o a t s ) } .
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { n } ( r ) } & { = \sqrt { u _ { e } ^ { 2 } - C _ { v p g } ^ { 2 } \cdot g \cdot r - C _ { v p s } ^ { 2 } \cdot \frac { Y } { \rho } } } \\ { u _ { e } } & { = C _ { v p g } \cdot \sqrt { g \cdot R _ { c , g } } \cdot \left( \frac { r } { n _ { 2 } R _ { c , g } } \right) ^ { - \frac { 1 } { \mu } } } \end{array} \right. \mathrm { , }
\operatorname { d i v } \mathbf { F } = \nabla \cdot \mathbf { F } = { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r F _ { r } \right) + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial F _ { \theta } } { \partial \theta } } + { \frac { \partial F _ { z } } { \partial z } } .
\boldsymbol { A } = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { I } } \\ { - \boldsymbol { M } ^ { - 1 } \boldsymbol { K } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { I } } \\ { \boldsymbol { \Gamma } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { \left[ i ( 1 + k / k _ { L } ) \frac { 1 } { k _ { L } } \frac { \partial } { \partial \eta } + \frac { 1 } { 2 k _ { L } ^ { 2 } } \Delta _ { \perp } - \frac { 2 } { k _ { L } ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { n _ { 0 } ( r ) } { \Delta n } \right] a _ { k } = } \\ & { \frac { 2 } { k _ { L } ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { \delta n ( r , \xi , \eta ) } { \Delta n } \right) _ { k } \ast a _ { k } } \end{array}
| \langle \psi _ { \rho } | \psi _ { \sigma } \rangle | ^ { 2 } = | \langle \Omega | ( \rho ^ { { 1 } / { 2 } } \otimes I ) ( \sigma ^ { { 1 } / { 2 } } V _ { 1 } \otimes V _ { 2 } ) | \Omega \rangle | ^ { 2 } = | \operatorname { t r } ( \rho ^ { { 1 } / { 2 } } \sigma ^ { { 1 } / { 2 } } V _ { 1 } V _ { 2 } ^ { T } ) | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { r m s } } [ n ] = } & { \sqrt { \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { N } ( G [ n , n ^ { \prime } ] \gamma ) ^ { 2 } } } \\ { = } & { \gamma \sqrt { \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { n } ( G [ n , n ^ { \prime } ] ) ^ { 2 } + \sum _ { n ^ { \prime } = n + 1 } ^ { N } ( G [ n , n ^ { \prime } ] ) ^ { 2 } } \; . } \end{array}
{ \cal A } ^ { * } ( { \cal E } ) = \left( \frac { e ^ { i ( { \bf k } + { \bf l } ) . { \bf a } } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { 4 } \, 4 \omega _ { k } \omega _ { l } } } \right) \; \delta ^ { ( 1 ) } ( { \cal E } + \omega _ { k } + \omega _ { l } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq 2 \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 2 \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { u } _ { t } - \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
S ( E ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { 1 + \tan ^ { 2 } \psi _ { 1 3 } \bigg [ 1 - { \frac { m _ { \nu _ { R 3 } } ^ { 2 } } { ( Q - E ) ^ { 2 } } } \bigg ] ^ { 1 / 2 } } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } E \leq Q - m _ { \nu _ { R 3 } } } } \\ { { 1 } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } E > Q - m _ { \nu _ { R 3 } } , } } \end{array} \right.
\alpha _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 \Omega _ { 1 } } \bigg ( \Big [ \Omega _ { 2 } \big ( L _ { 3 } ^ { 2 } - K _ { 3 } ^ { 2 } \big ) + \Omega _ { 3 } \big ( L _ { 2 } ^ { 2 } - K _ { 2 } ^ { 2 } \big ) - 2 \Omega _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } \Big ] \mathscr { C } - 2 \Omega _ { 1 } \big \langle \Psi _ { 1 } , \nabla \Psi _ { 2 } \cdot \nabla \Psi _ { 3 } \big \rangle \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { H S } } ^ { ( \mathrm { F P A A } ) } } & { = \mathcal { O } \left( \log ( 1 / \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } ) \left[ t + \log ( 1 / \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } ) \right] \right) } \\ & { = \mathcal { O } \left( \log ( 1 / \varepsilon ) t + \log ^ { 2 } ( 1 / \varepsilon ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathbf { R } } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } \left( A \right) \right) } & { = \mu _ { \overline { { \mathbf { R } } } } \circ \mathbf { K } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } \left( A \right) \right) = \mu _ { \overline { { \mathbf { R } } } } \circ \mathbf { K } \left( \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } \circ \mathbf { K } ^ { - 1 } \right) \left( \mathbf { K } \left( A \right) \right) \right) } \\ & { = \mu _ { \overline { { \mathbf { R } } } } \circ \mathbf { K } \left( \left( \mathbf { K } ^ { - 1 } \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { - 1 } \right) \left( \mathbf { K } \left( A \right) \right) \right) = \mu _ { \overline { { \mathbf { R } } } } \left( \overline { { \mathbf { R } } } ^ { - 1 } \left( \mathbf { K } \left( A \right) \right) \right) = \mu _ { \overline { { \mathbf { R } } } } \circ \mathbf { K } \left( A \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \Psi } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \frac { \sigma } { \varepsilon } F ( \phi ) + \frac { \sigma \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } , } \\ { F ( \phi ) : = } & { { } ~ \frac { 1 } { 4 } ( 1 - \phi ^ { 2 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \boldsymbol { \xi } ^ { * } } & { = \underset { d \boldsymbol { \xi } } { \arg \operatorname* { m i n } } \ L ( \boldsymbol { \xi } + d \boldsymbol { \xi } ) + \lambda \left( D _ { L N E } [ \boldsymbol { \xi } : \boldsymbol { \xi } + d \boldsymbol { \xi } ] - c \right) } \\ & { \approx \underset { d \boldsymbol { \xi } } { \arg \operatorname* { m i n } } \ L ( \boldsymbol { \xi } ) + \partial _ { \boldsymbol { \xi } } L ( \boldsymbol { \xi } ) ^ { \top } d \boldsymbol { \xi } + \frac { \lambda } { 2 } d \boldsymbol { \xi } ^ { \top } g ( \boldsymbol { \xi } ) d \boldsymbol { \xi } - c \lambda . } \end{array}
g _ { \bar { i } } = \frac { 2 \mathrm { w } _ { i } \gamma k _ { \mathrm { r } } C _ { \mathrm { e q } } } { \gamma k _ { \mathrm { r } } + c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } + \frac { - \gamma k _ { \mathrm { r } } + c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } { \gamma k _ { \mathrm { r } } + c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } \tilde { g } _ { i } .
\begin{array} { r l } & { ( \alpha _ { R } ) _ { i } ^ { \pm } = \left( | A _ { \mathbf { k } } | - | B _ { \mathbf { k } } | \right) ( \partial _ { k _ { i } } \epsilon ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \pm 2 \sqrt { | A _ { \mathbf { k } } | | B _ { \mathbf { k } } | } ( \partial _ { k _ { i } } \Omega _ { y } ^ { \prime \prime } ) \cos \left( \frac { \Delta \phi } { 2 } \right) , } \\ & { ( \alpha _ { L } ) _ { i } ^ { \pm } = - \left( | A _ { \mathbf { k } } | - | B _ { \mathbf { k } } | \right) ( \partial _ { k _ { i } } \epsilon ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \pm 2 \sqrt { | A _ { \mathbf { k } } | | B _ { \mathbf { k } } | } ( \partial _ { k _ { i } } \Omega _ { y } ^ { \prime \prime } ) \cos \left( \frac { \Delta \phi } { 2 } \right) , } \\ & { \beta _ { i } = 2 \sqrt { | A _ { \mathbf { k } } | | B _ { \mathbf { k } } | } \Big [ \cos \left( \frac { \Delta \phi } { 2 } \right) ( \partial _ { k _ { i } } \Omega _ { y } ^ { \prime } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - \sin \left( \frac { \Delta \phi } { 2 } \right) ( \partial _ { k _ { i } } \Omega _ { x } ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } _ { 0 } } & { \mapsto n _ { 0 } + \varepsilon \mathbf { M } _ { 0 } , } \\ { \mathbf { M } _ { 1 } } & { \mapsto \varepsilon \mathbf { M } _ { 1 } , } \\ { \mathbf { M } _ { 2 } } & { \mapsto n _ { 0 } \frac { k _ { B } T _ { 0 } } { m } \mathrm { I d } _ { 3 \times 3 } + \varepsilon \mathbf { M } _ { 2 } , } \end{array}
H = { \frac { 1 } { 2 } } \int d x \left[ \xi E ^ { 2 } + \pi _ { \rho } ^ { 2 } + { \frac { ( E ^ { \prime } - q ) ^ { 2 } } { | \Phi | ^ { 2 } } } + | \Phi ^ { \prime } | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( | \Phi | ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \Delta q _ { r a d } } & { { } = } & { \frac { B _ { x } } { B _ { z ( T _ { h } ) } } \frac { 1 + M _ { x } ^ { 2 } } { 1 + M _ { z ( T _ { h } ) } ^ { 2 } } } \\ { ~ } & { { } = } & { \frac { 1 + M _ { x } ^ { 2 } } { 1 + M _ { z ( T _ { h } ) } ^ { 2 } } \left( \frac { B _ { x } } { B _ { z ( T _ { h } ) } } \right) ^ { 1 - \kappa _ { e f f } ^ { x \rightarrow z ( T _ { h } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbf { S } } } _ { + } = \frac { - ( \frac { \varepsilon _ { \gamma } } { \varepsilon _ { + } } - \xi _ { 3 } \frac { \varepsilon _ { \gamma } } { \varepsilon _ { - } } ) { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ) \hat { { \mathbf b } } _ { + } + \xi _ { 1 } \frac { \varepsilon _ { \gamma } } { \varepsilon _ { - } } { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ) \hat { { \mathbf a } } _ { + } } { \mathrm { I n t } K _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ) + \frac { \varepsilon _ { + } ^ { 2 } + \varepsilon _ { - } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { + } \varepsilon _ { - } } { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ) - \xi _ { 3 } { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { i j } ( d ) } & { = S \left( \frac { \operatorname* { m i n } \{ i ^ { \prime } - i _ { 0 } , i _ { 1 } - i ^ { \prime } \} - d } { s } \right) } \\ & { \times S \left( \frac { \operatorname* { m i n } \{ j ^ { \prime } - j _ { 0 } , j _ { 1 } - j ^ { \prime } \} - d } { s } \right) , } \\ { i ^ { \prime } } & { = i + \frac { 1 } { 2 } , \quad \quad \mathrm { ( f o r ~ c e l l - c e n t e r e d ~ v a l u e s ) } } \\ { j ^ { \prime } } & { = j + \frac { 1 } { 2 } , } & \\ { S ( x ) } & { = \frac { 1 } { 1 + e ^ { - x } } , \quad \mathrm { ( s i g m o i d ) } } \end{array}
\eta _ { \pm } = { \frac { 1 } { 2 } } [ 1 \pm ( 1 - 4 z ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ] , ~ ~ ~ ~ ~ a = { \frac { M _ { \phi } ^ { 2 } } { m _ { k ^ { + } } ^ { 2 } } } , ~ ~ b = { \frac { m _ { \pi \pi } ^ { 2 } } { m _ { k ^ { + } } ^ { 2 } } } .
v _ { r } = \frac { D \Delta c } { \rho } \frac { 4 } { \pi } \frac { 1 } { r \theta } \left( \frac { R } { \sqrt { R ^ { 2 } - r ^ { 2 } } } - \frac { R ^ { 2 } - b r ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \right) .
\mu ^ { \prime } = \alpha ^ { 2 } \left( e ^ { 2 \gamma \psi } N ( K ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } N x ^ { 2 } ( H ^ { \prime } ) ^ { 2 } e ^ { - 4 \gamma \psi } + \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } ( K ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } e ^ { 2 \gamma \psi } + K ^ { 2 } H ^ { 2 } e ^ { - 4 \gamma \psi } \right.
\Delta F _ { \mathrm { R P } } = F _ { \mathrm { P } } - F _ { \mathrm { R } } = - k _ { \mathrm { B } } T \ln \frac { Z _ { \mathrm { P } } } { Z _ { \mathrm { R } } } = - k _ { \mathrm { B } } T \ln \frac { \mathcal { P } ( \mathrm { P } ) } { \mathcal { P } ( \mathrm { R } ) }
a _ { L } ( \vec { k } ) = \bar { k } ^ { \mu } a _ { \mu } ( \vec { k } ) , \; \; a _ { T } ( \vec { k } ) = k ^ { \mu } a _ { \mu } ( \vec { k } ) , \; \; a _ { \lambda } ( \vec { k } ) = - e _ { \lambda } ^ { \mu } ( \vec { k } ) a _ { \mu } ( \vec { k } ) .
P = \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { 1 - \omega _ { 0 } } \left[ \sum _ { i \neq 0 } g _ { i } + \frac { \Delta t } { 2 } \mathbf { u } \cdot \nabla \rho - \omega _ { 0 } \frac { \mathbf { m } \cdot \mathbf { u } } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } + \omega _ { 0 } \frac { \Delta t } { 2 } \frac { \partial _ { t } \left( \mathbf { m } \cdot \mathbf { u } \right) } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \right] ,
{ \cal L } _ { H \ell \bar { \ell } } = - { \frac { g m _ { \ell } } { 2 M _ { W } \cos \beta } } \left[ h \sin \alpha + H \cos \alpha \right] \bar { \ell } \ell + { \frac { i g m _ { \ell } \tan \beta } { 2 M _ { W } } } \bar { \ell } \gamma _ { 5 } \ell A \; .
\begin{array} { c } { { { x ( s ) = [ 0 . 1 + 0 . 0 2 \, \mathrm { c o s } ( 8 \pi s ) ] \, \mathrm { c o s } ( 2 \pi s ) , } } } \\ { { { y ( s ) = [ 0 . 1 + 0 . 0 2 \, \mathrm { c o s } ( 8 \pi s ) ] \, \mathrm { s i n } ( 2 \pi s ) , } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \phi + \mathrm { d i v } ( \phi \, { \bf u } ) = 0 , } \\ & { \partial _ { t } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } ) + \mathrm { d i v } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } { \bf u } ) + p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } \, { \bf u } = p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } ( \kappa ( \phi ) \nabla p _ { f } ) , } \\ & { \phi \rho _ { s } \big ( \partial _ { t } { \bf u } + { \bf u } \boldsymbol { \cdot } \nabla { \bf u } \big ) = \phi \rho _ { s } { \bf g } - \nabla p + \mathrm { d i v } \Big ( \big ( \sin ( \delta ) + \cos ( \delta ) \psi ( \phi , I ) \big ) p \frac { \S } { | \mathrm { \bf S } | } \Big ) - \nabla p _ { f } , } \\ & { \mathrm { d i v } \, { \bf u } = 2 | \mathrm { \bf S } | \psi ( \phi , I ) , } \end{array}
\Delta \hat { G } _ { \mathrm { r x n , R 5 } } ^ { \mathrm { o } } = \Delta \hat { G } _ { \mathrm { H _ { 2 } } } ^ { \mathrm { o , s i l i c a t e } } - 2 \Delta \hat { G } _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { o , m e t a l } }
\left( a \mathbf { Z } ^ { - 1 } - \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathbf { \tilde { G } } ( \kappa - P \kappa _ { m } , \omega - P \omega _ { m } ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { \tilde { G } } ( \kappa - P \kappa _ { m } + \kappa _ { m } , \omega - P \omega _ { m } + \omega _ { m } ) } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \mathbf { \tilde { G } } ( \kappa + P \kappa _ { m } , \omega + P \omega _ { m } ) } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { c } { \hat { F } ^ { ( - P ) } } \\ { \hat { F } ^ { ( - P + 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { \hat { F } ^ { ( P ) } } \end{array} \right] = \mathbf { 0 } ,
c o n s t _ { N } \sum _ { a = 1 } ^ { N } f _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { ( 1 ) } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \delta _ { \sigma \sigma _ { a } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) \prod _ { b < a } \hat { \psi } _ { \sigma _ { b } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { b } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \prod _ { b > a } \hat { \psi } _ { \sigma _ { b } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { b } ) | 0 \rangle
{ \begin{array} { r l } { { \vec { m } } = ( 1 ) } & { \leftrightarrow 1 ^ { 2 } = 1 ^ { 2 } } \\ { { \vec { m } } = ( 2 , 1 ) } & { \leftrightarrow 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = 5 ^ { 2 } } \\ { { \vec { m } } = ( 2 , 1 , 1 ) } & { \leftrightarrow 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } } \\ { { \vec { m } } = ( 3 , 1 , 1 , 1 ) } & { \leftrightarrow 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } = 2 ^ { 2 } } \\ { { \vec { m } } = ( 5 , 1 , 1 , 2 , 3 ) } & { \leftrightarrow 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } } \\ { { \vec { m } } = ( 4 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 ) } & { \leftrightarrow 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } } \\ { { \vec { m } } = ( 5 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 ) } & { \leftrightarrow 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } } \end{array} }
\hat { w } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) = B _ { 1 \pm } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) \mathrm { e } ^ { k _ { \pm } z } + \hat { w } _ { c r o s s } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) ,
\begin{array} { r l } { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle = } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle + \eta \cdot \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { + } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { - } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle } \\ { = } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle - \eta \cdot \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { - } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle } \\ { \le } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigl \| } & { \frac { \tau \sigma } { 1 + \sigma } A ^ { \dagger } F _ { \phi } ( \widetilde { A } x ) - \frac { \tau \sigma } { 1 + \sigma } A ^ { \dagger } F _ { \phi } ( \widetilde { A } v ) \Bigr \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \Bigl | \frac { \tau \sigma } { 1 + \sigma } \Bigr | ^ { 2 } \Bigl | L ^ { \dagger } \Bigr | ^ { 2 } \Bigl \| F _ { \phi } ( \widetilde { A } x ) - A ^ { \dagger } F _ { \phi } ( \widetilde { A } v ) \Bigr \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \Bigl | \frac { \tau \sigma L ^ { \dagger } } { 1 + \sigma } \Bigr | ^ { 2 } \Bigl ( F _ { \phi } ( \widetilde { A } x ) - F _ { \phi } ( \widetilde { A } v ) , F _ { \phi } ( \widetilde { A } x ) - F _ { \phi } ( \widetilde { A } v ) \Bigr ) _ { X } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| F \| _ { L _ { v } ^ { 2 } ( m ) } : = \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | m ( v ) F ( v ) | ^ { 2 } d v \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \quad \| F \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } ( m ) } : = \left( \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } | m ( v ) F ( x , v ) | ^ { 2 } d v d x \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { h f s } } ( 1 S , \mathrm { H } ) } & { = } & { \Big [ 1 \, 4 2 0 \, 4 5 3 . 1 0 6 ( 1 0 ) \underbrace { - 5 4 . 4 3 0 ( 7 ) \, \left( \frac { R _ { \mathrm { Z } } } { \mathrm { f m } } \right) + E _ { \mathrm { F } } \, \Big ( 0 . 9 9 8 0 7 ( 1 3 ) \, \Delta _ { \mathrm { r e c o i l } } + 1 . 0 0 0 0 2 \, \Delta _ { \mathrm { p o l . } } \Big ) } _ { \mathrm { T P E ~ i n c l u d i n g ~ r a d i a t i v e ~ c o r r e c t i o n s } } \Big ] \, \mathrm { k H z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta A _ { 1 } } & { { } = 2 \epsilon f \int d k \ e ^ { - v ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } } \cos ( k x _ { 1 } ) \frac { \sin ( \omega ( k ) T ) } { \omega ( k ) } , } \\ { \Delta A _ { 2 } } & { { } = 2 \epsilon \int d k \ e ^ { - v ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } } \sin ( k x _ { 1 } ) \ { \sin ( \omega ( k ) T ) } , } \end{array}