harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } & { \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( 1 , \pm ) } ( z ) \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in \partial U ( z _ { 1 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( 2 , \pm ) } ( z ) \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in \partial U ( z _ { 2 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( 0 ) } ( z ) \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in \partial U ( 0 , \delta ) , } \\ & { \widetilde { \mathbf { P } } _ { - } ^ { ( \infty ) } ( z ) J _ { \mathbf { T } } ( z ) \widetilde { \mathbf { P } } _ { + } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } . } \end{array}
F _ { X _ { 1 } , \ldots , X _ { m } , Y _ { 1 } , \ldots , Y _ { n } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { m } , y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) = F _ { X _ { 1 } , \ldots , X _ { m } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { m } ) \cdot F _ { Y _ { 1 } , \ldots , Y _ { n } } ( y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) \quad { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } x _ { 1 } , \ldots , x _ { m } , y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } .
\begin{array} { r } { \int d ^ { 4 } x \mathrm { { e } } ^ { - i q x } \langle k _ { 1 } , k _ { 2 } | j ^ { \rho 5 } ( x ) | 0 \rangle = ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } - q ) \epsilon _ { \mu } ^ { \ast } ( k _ { 1 } ) \epsilon _ { \nu } ^ { \ast } ( k _ { 2 } ) M _ { 5 } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) = \frac { ( D \alpha + D ) \left( - \frac { 2 \gamma } { D \alpha + D } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha + 1 } } e ^ { \frac { 2 \gamma L ^ { \alpha + 1 } } { D \alpha + D } } } { \Theta ( \alpha + 1 ) \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha + 1 } \right) - \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha + 1 } , - \frac { 2 L ^ { \alpha + 1 } \gamma } { \alpha D + D } \right) } \qquad \alpha \neq - 1 \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { ( r _ { i , j } ) _ { i \leq \ell , j \leq m _ { i } } } \mathbb { P } ( F ) } & { = \frac { 1 } { \binom { k n } { k \ k \ \dots \ k } } \underbrace { \binom { n k } { \sum m _ { i } } } _ { \mathrm { c h o i c e s ~ o f ~ r ~ ' s } } \ \underbrace { \binom { \delta \sqrt { n } - 1 } { \ell - 1 } } _ { \mathrm { c h o i c e s ~ o f ~ } m _ { i } ^ { \prime } s } \ \underbrace { \binom { k n - \sum m _ { i } } { ( k - m _ { 1 } ) \ ( k - m _ { 2 } ) \ \dots ( k - m _ { \ell } ) k \dots k } } _ { \mathrm { c h o i c e s ~ o f ~ k n - \sum ~ m _ i ~ r e m a i n i n g ~ p o i n t s } } } \\ & { = \frac { ( k ! ) ^ { \ell } ( \delta \sqrt { n } - 1 ) ! } { ( \delta \sqrt { n } + \ell ) ! ( \delta \sqrt { n } - \ell ) ! ( \ell - 1 ) ! ( k - m _ { 1 } ) ! ( k - m _ { 2 } ) ! \times \dots \times ( k - m _ { \ell } ) ! } } \\ & { \leq \frac { ( k ! ) ^ { \ell } } { ( \delta \sqrt { n } ) ^ { \ell + 1 } ( \delta \sqrt { n } - \ell ) ! ( \ell - 1 ) ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { x } } _ { k + 1 } } \\ { \hat { \mathbf { s } } _ { k + 1 } } \end{array} \right) } & { = B _ { 1 } \left( \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { x } } _ { k } + \eta _ { k } \left( \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right) } \\ { \hat { \mathbf { s } } _ { k } } \end{array} \right) + B _ { 2 } \left( \begin{array} { l } { \eta _ { k } \hat { \mathbf { g } } _ { k } } \\ { E _ { k } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { s } _ { k } ^ { * } - \mathbf { s } _ { k + 1 } ^ { * } } \end{array} \right) , } \end{array}
\int _ { \Gamma } f ( x , x ^ { \prime } , s ) d s = 0 \; \mathrm { i f } \; y _ { \mu } y ^ { \mu } < 0 \; , \; \; \int _ { \Gamma _ { 1 } ^ { a } } f ( x , x ^ { \prime } , s ) d s = 0 \; \mathrm { i f }
F _ { \epsilon } ^ { u _ { \epsilon } } ( | D u _ { \epsilon } | ) : = ( \epsilon + | D u _ { \epsilon } | ) ^ { a _ { \epsilon } ^ { u _ { \epsilon } } ( x ) } + \big [ \epsilon + a ( x ) h _ { \epsilon } ^ { u _ { \epsilon } } ( x ) \big ] ( \epsilon + | D u _ { \epsilon } | ) ^ { a _ { 1 } } + \big [ \epsilon + a ( x ) ( 1 - h _ { \epsilon } ^ { u _ { \epsilon } } ( x ) ) \big ] ( \epsilon + | D u _ { \epsilon } | ) ^ { a _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { { \mathbf { P } } _ { \mathrm { R S } } } & { { } = { \mathbf { P } } _ { \mathrm { M C } } + f _ { p d } \, t _ { \mathrm { s i m } } \, ( s _ { L } - s _ { M } ) \, { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ p ~ } ~ \unboldmath ~ } } } \\ { { \mathbf { P } } _ { \mathrm { F S } } } & { { } = { \mathbf { P } } _ { \mathrm { M C } } + f _ { p d } \, t _ { \mathrm { s i m } } \, ( s _ { R } - s _ { M } ) \, { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ p ~ } ~ \unboldmath ~ } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { G } _ { p } ( x , y ) = - \frac { \mathrm { i } \sigma _ { p } } { 4 \pi c _ { p } ^ { 2 } } \left( f _ { 2 } ( k _ { p } | x - y | ) \frac { ( x - y ) \otimes ( x - y ) } { | x - y | ^ { 2 } } - \frac { f _ { 1 } ( k _ { p } | x - y | ) } { k _ { p } | x - y | } \mathbb { I } \right) , } \\ & { \mathbb { G } _ { s } ( x , y ) = \frac { \mathrm { i } \sigma _ { s } } { 4 \pi c _ { s } ^ { 2 } } \left[ \left( f _ { 0 } ( k _ { s } | x - y | ) - \frac { f _ { 1 } ( k _ { s } | x - y | ) } { k _ { s } | x - y | } \right) \mathbb { I } + f _ { 2 } ( k _ { s } | x - y | ) \frac { ( x - y ) \otimes ( x - y ) } { | x - y | ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { w } _ { j } ( A _ { \lambda } - I ) ^ { - 1 } N _ { \lambda } ^ { i } \pi _ { \lambda } \mathrm { z } = 0 \quad \mathrm { f o r ~ } \lambda \in \sigma _ { A } ^ { 3 } \setminus \{ 1 \} , i < d _ { \lambda } \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { \mathrm { w } _ { j } N _ { 1 } ^ { i } \pi _ { 1 } \mathrm { z } = 0 \quad \mathrm { i f ~ } 1 \in \sigma _ { A } ^ { 3 } , i < d _ { 1 } . } \end{array}
E ( 2 \omega , z = l ) = - { \frac { i \omega d _ { \mathrm { e f f } } } { n _ { 2 \omega } c } } E ^ { 2 } ( \omega ) \int _ { 0 } ^ { l } { e ^ { i \Delta k z } d z } = - { \frac { i \omega d _ { \mathrm { e f f } } } { n _ { 2 \omega } c } } E ^ { 2 } ( \omega ) l \, { \frac { \sin { \left( { \frac { 1 } { 2 } } \Delta k l \right) } } { { \frac { 1 } { 2 } } \Delta k l } } e ^ { { \frac { i } { 2 } } \Delta k l }
\begin{array} { r } { \frac { d \vec { M } } { d t } = \gamma \vec { M } \times \vec { H } _ { \mathrm { e f f } } - \frac { \alpha } { M _ { \mathrm { s } } } \left( \vec { M } \times \frac { d \vec { M } } { d t } \right) + } \\ { \frac { \gamma a _ { \mathrm { J } } } { M _ { \mathrm { s } } } \left( \vec { M } \times \left( \vec { M } \times \vec { p } \right) \right) - \gamma b _ { \mathrm { J } } \left( \vec { M } \times \vec { p } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { R S } } } & { { } \equiv \frac { d _ { \mathrm { F S } } } { d _ { \mathrm { F S } } + d _ { \mathrm { R S } } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \mathbf { v } } ( { \mathbf { P } } _ { g } ) = f _ { \mathrm { R S } } { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p o s t } } ^ { \mathrm { \, f f } } ( \mathrm { R S } ) + ( 1 - f _ { \mathrm { R S } } ) { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p o s t } } ^ { \mathrm { \, f f } } ( \mathrm { F S } ) , } \end{array}
C A P E X _ { s t o r e } = C R F \cdot C C _ { t a n k } \cdot \frac { t _ { s t o r e } } { t _ { y e a r } } \ [ \mathrm { U S D } \cdot ( \mathrm { k g } _ { E C } \mathrm { y e a r } ^ { - 1 } ) ]
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d ^ { 2 } z } { { d t ^ { * } } ^ { 2 } } = f ( z , \rho ) } \\ { \frac { d ^ { 2 } \rho } { { d t ^ { * } } ^ { 2 } } = g ( z , \rho ) } \end{array} \right. \mathrm { w i t h } \ \ \left\{ \begin{array} { l l } { z | _ { t ^ { * } = 0 } = z _ { 0 } , \ \ \frac { d z } { d t ^ { * } } | _ { t ^ { * } = 0 } = 0 \, , } \\ { \rho | _ { t ^ { * } = 0 } = \rho _ { 0 } , \ \ \frac { d \rho } { d t ^ { * } } | _ { t ^ { * } = 0 } = 0 \, , } \end{array} \right.
{ \cal M } _ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { m _ { 0 } ( 1 + s ^ { 2 } I ) } } & { { - s c m _ { 0 } I } } \\ { { m _ { 0 } ( 1 + s ^ { 2 } I ) } } & { { 0 } } & { { - s c m _ { 3 } I } } \\ { { - s c m _ { 0 } I } } & { { - s c m _ { 3 } I } } & { { m _ { 3 } ( 1 + 2 c ^ { 2 } I ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { 1 } } & { { } = g _ { 1 } ( x ) = f ( F ( x , 1 ) ) \equiv f _ { 1 } ( F ( x , 1 ) ) } \\ { \bar { x } _ { 2 } } & { { } = g _ { 2 } ( x ) = F ( x , 1 ) - f ( F ( x , 1 ) ) \equiv f _ { 2 } ( F ( x , 1 ) ) } \end{array}
- i \Sigma _ { H } ^ { + + } ( x , y ) = 2 i \hbar G \left( \mathrm { t r } i S _ { H } ^ { + + } ( x , x ) + i \gamma _ { 5 } \mathrm { t r } i S _ { H } ^ { + + } ( x , x ) i \gamma _ { 5 } \right) \delta ^ { 4 } ( x - y ) ,
f \sim C + \displaystyle \frac { \alpha ( \alpha + 1 ) ^ { 2 } E ^ { \frac { 2 \alpha - 1 } { \alpha - 1 } } } { - C ^ { 2 } ( 2 \alpha - 1 ) } \left[ 1 + \frac { C ( 1 - \alpha ) } { \alpha ( \alpha + 1 ) E } \eta \right] ^ { \frac { 2 \alpha - 1 } { \alpha - 1 } } ~ ~ , ~ ~ 0 . 5 < \alpha < 1 ~ , ~ \textrm { a s } \ \eta \to \infty .
\frac { d \eta } { d \tau } = F _ { \eta } ( \eta , s ) \approx F _ { \eta } ( \eta ^ { \ast } , s ) + ( \eta - \eta ^ { \ast } ) F _ { \eta } ^ { \prime } ( \eta ^ { \ast } , s ) = - ( \eta - \eta ^ { \ast } ) \kappa ( s ) \, ,
\begin{array} { r l } { 3 \sqrt { \ln { e \sigma / \epsilon _ { 1 } } } + \sqrt { \ln { 2 0 0 c _ { 2 } ^ { 2 } \sigma \ln { e \sigma / \epsilon _ { 1 } } / ( 3 \epsilon _ { 1 } \eta ) } } } & { = 3 + \sqrt { \ln { 2 0 0 c _ { 2 } ^ { 2 } / ( 3 \eta ) } } } \\ & { \le 5 \sqrt { \ln { 3 e c _ { 2 } ^ { 2 } \eta ^ { - 1 } } } } \\ & { \le 5 \sqrt { \ln { e c _ { 2 } } } \sqrt { \ln { 3 e \eta ^ { - 1 } } } } \\ & { \le 5 \sqrt { \ln { e c _ { 2 } } } \sqrt { \ln { e \eta ^ { - 1 } \Delta \epsilon ^ { - 1 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { y } & { = v _ { 0 } + \left[ v _ { 1 } f \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x \big ) + v _ { 2 } f \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x \big ) \right] } \\ { \frac { \partial y } { \partial x } } & { = v _ { 1 } w _ { 1 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x \big ) + v _ { 2 } w _ { 2 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x \big ) } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } y } { \partial x ^ { 2 } } } & { = v _ { 1 } w _ { 1 } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x \big ) + v _ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { } & { = \sum _ { I , J , K , L } f _ { x , y } ( A , A ^ { \dagger } ; \vec { i } , \vec { j } , \vec { k } , \vec { l } ; \sigma _ { 1 } ) \frac { 1 } { \Sigma [ 0 ] } \int [ d X ] [ d Y ] X _ { k _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } } \dots X _ { k _ { m } } ^ { i _ { m } } Y _ { k _ { m + 1 } } ^ { i _ { m + 1 } } \dots Y _ { k _ { m + n } } ^ { i _ { m + n } } } \\ { } & { \quad \times ( X ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { l _ { 1 } } \dots ( X ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m ) } } ^ { l _ { m } } ( Y ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m + 1 ) } } ^ { l _ { m + 1 } } \dots ( Y ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m + n ) } } ^ { l _ { m + n } } e ^ { - \mathrm { T r } \left( X X ^ { \dagger } \right) - \mathrm { T r } \left( Y Y ^ { \dagger } \right) } } \end{array}
\frac { 2 ^ { [ \frac { D + 1 } { 2 } ] } N } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } } \int _ { 1 / \Lambda ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d s } { s ^ { D / 2 } } e ^ { - s \rho ^ { 2 } } ~ ,
\begin{array} { r } { Q ^ { 2 } = \pi \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } R _ { 0 } R _ { 1 } \xi _ { 1 } - \left[ \chi + D \left( \frac { \pi } { L } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } L ^ { 2 } R _ { 0 } ^ { 4 } . } \end{array}
F _ { n } = { \cfrac { 1 } { \sqrt { 5 } } } \left( { \cfrac { 1 + { \sqrt { 5 } } } { 2 } } \right) ^ { n } - { \cfrac { 1 } { \sqrt { 5 } } } \left( { \cfrac { 1 - { \sqrt { 5 } } } { 2 } } \right) ^ { n } .
{ \frac { d y } { d x } } = { \frac { d } { d x } } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) ^ { p } = p \left( { \frac { 1 } { x } } \right) ^ { p - 1 } \cdot \left( - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right) = - p x ^ { - p - 1 } = q x ^ { q - 1 }
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { z } } & { { } = } & { \sigma _ { z } = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \\ { \alpha _ { x } } & { { } = } & { \sigma _ { x } \cos \phi + \sigma _ { y } \sin \phi = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \mathrm { e } ^ { - i \phi } } \\ { \mathrm { e } ^ { i \phi } } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
P _ { \mathrm { o t } } ^ { \{ i \} } ( z ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime } \frac { N ^ { \{ i \} ^ { \prime } } } { \hat { N } ^ { \{ i \} } } \left[ \Pi ^ { \{ i \} } ( T ^ { \prime } , T _ { s } ) - \Pi ^ { \{ i \} } ( T ^ { \prime } , T ^ { \prime } ) \right] + \frac { 1 } { 2 } \int _ { z } ^ { \infty } d z ^ { \prime } \frac { N ^ { \{ i \} ^ { \prime } } } { \hat { N } ^ { \{ i \} } } \Pi ^ { \{ i \} } ( T ^ { \prime } , T ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { c = \sqrt [ 3 ] { \frac { \frac { 4 \pi } { 3 } - \frac { 4 \pi } { 3 } | X _ { i } | \varepsilon ^ { 3 } } { \frac { 4 \pi } { 3 } - | \Omega _ { i } | } } = \sqrt [ 3 ] { 1 + \frac { | \Omega _ { i } | - \frac { 4 \pi } { 3 } | X _ { i } | \varepsilon ^ { 3 } } { \frac { 4 \pi } { 3 } - | \Omega _ { i } | } } \leq \sqrt [ 3 ] { 1 + \frac { 3 } { 2 \pi } \left( | \Omega _ { i } | - \frac { 4 \pi } { 3 } | X _ { i } | \varepsilon ^ { 3 } \right) } } \\ { \leq 1 + \frac { 1 } { 2 \pi } \left( | \Omega _ { i } | - \frac { 4 \pi } { 3 } | X _ { i } | \varepsilon ^ { 3 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { A } _ { \mu } = \partial _ { \mu } \chi + \beta \partial _ { \mu } \alpha , } & { { } \qquad \widetilde { F } _ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } \widetilde { A } _ { \nu } - \partial _ { \nu } \widetilde { A } _ { \mu } } \\ { \widetilde { E } _ { i } : = \widetilde { F } _ { 0 i } , } & { { } \qquad \widetilde { F } _ { i j } : = \epsilon _ { i j } \widetilde { B } } \end{array}
f ^ { 1 2 3 } = 1 \ , \quad f ^ { 1 4 7 } = f ^ { 1 6 5 } = f ^ { 2 4 6 } = f ^ { 2 5 7 } = f ^ { 3 4 5 } = f ^ { 3 7 6 } = { \frac { 1 } { 2 } } \ , \quad f ^ { 4 5 8 } = f ^ { 6 7 8 } = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \ .
\boldsymbol { \pi } _ { a ^ { \prime } + a _ { } } = a _ { } \Delta t { } \mathbf { u } _ { b ^ { \prime } } ^ { a _ { } / 2 } \mathbf { f } _ { b ^ { \prime } } + \mathbf { u } _ { b ^ { \prime } } ^ { a _ { } } \boldsymbol { \pi } _ { a ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } \exp { \bigg ( \frac { - b } { \beta } ( e ^ { \beta t } - e ^ { \beta t _ { e n d } } ) \bigg ) } d t } & { \lesssim \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } \exp { \bigg ( \frac { - b e ^ { \beta t _ { e n d } } } { \beta } ( 1 + \beta ( t - t _ { e n d } ) + \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } ( t - t _ { e n d } ) ^ { 2 } - 1 ) \bigg ) } d t } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \langle 0 | 0 \rangle _ { T } = \exp { \Bigg ( } - { \frac { i } { 2 } } \int } & { { \Bigg [ } T _ { \mu \nu } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) T ^ { \mu \nu } ( x ^ { \prime } ) + { \frac { 2 } { m ^ { 2 } } } \eta _ { \lambda \nu } \partial _ { \mu } T ^ { \mu \nu } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) \partial _ { \kappa } ^ { \prime } T ^ { \kappa \lambda } ( x ^ { \prime } ) } \\ & { + { \frac { 1 } { m ^ { 4 } } } \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } T ^ { \mu \nu } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) \partial _ { \kappa } ^ { \prime } \partial _ { \lambda } ^ { \prime } T ^ { \kappa \lambda } ( x ^ { \prime } ) } \\ & { - { \frac { 1 } { 3 } } \left( \eta _ { \mu \nu } T ^ { \mu \nu } ( x ) - { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } T ^ { \mu \nu } ( x ) \right) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) \left( \eta _ { \kappa \lambda } T ^ { \kappa \lambda } ( x ^ { \prime } ) - { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } \partial _ { \kappa } ^ { \prime } \partial _ { \lambda } ^ { \prime } T ^ { \kappa \lambda } ( x ^ { \prime } ) \right) { \Bigg ] } d x ~ d x ^ { \prime } { \Bigg ) } . } \end{array} }
S _ { \mathcal { F } i } ^ { ( \mathrm { i o n . } ) } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 . 0 5 \, \sigma _ { \mathcal { P } , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 0 . 9 5 \, \sigma _ { \mathcal { P } , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 0 . 9 5 \, \sigma _ { \mathcal { P } , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 1 . 0 5 \, \sigma _ { \mathcal { P } , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { \sigma _ { \mathcal { P } , 1 s } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { \sigma _ { \mathcal { P } , 1 s } ^ { ( \mathrm { i } ) } } \\ { 0 . 7 0 \, \sigma _ { \Omega , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 0 . 8 3 \, \sigma _ { \Omega , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 1 . 0 6 \, \sigma _ { \Omega , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 1 . 4 1 \, \sigma _ { \Omega , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 0 . 7 5 \, \sigma _ { \Omega , 1 s } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 1 . 2 5 \, \sigma _ { \Omega , 1 s } ^ { ( \mathrm { i } ) } } \\ { 1 . 4 1 \, \sigma _ { \Omega , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 1 . 0 6 \, \sigma _ { \Omega , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 0 . 8 3 \, \sigma _ { \Omega , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 0 . 7 0 \, \sigma _ { \Omega , 2 p } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 1 . 2 5 \, \sigma _ { \Omega , 1 s } ^ { ( \mathrm { i } ) } } & { 0 . 7 5 \, \sigma _ { \Omega , 1 s } ^ { ( \mathrm { i } ) } } \end{array} \right) .
\langle \vec { v } _ { D } \rangle _ { r } = - \frac { A } { r \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } ( \sin \theta K _ { \theta r } ) , \, \langle \vec { v } _ { D } \rangle _ { \theta } = - \frac { A } { r } \left[ \frac { 1 } { \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \phi } ( K _ { \phi \theta } ) + \frac { \partial } { \partial r } ( r K _ { r \theta } ) \right] , \, \langle \vec { v } _ { D } \rangle _ { \phi } = - \frac { A } { r } \frac { \partial } { \partial \theta } ( K _ { \theta \phi } ) ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } \left( \int _ { \Omega } | \nabla \phi _ { m } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { m } - \nabla \phi \cdot \mathbf { u } | ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) ^ { \frac { 4 } { 3 } } = \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } \left( \int _ { \Omega } | \nabla ( \phi _ { m } - \phi ) \cdot \boldsymbol { \eta } _ { m } + \nabla \phi \cdot ( \boldsymbol { \eta } _ { m } - \mathbf { u } ) | ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) ^ { \frac { 4 } { 3 } } } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } | | \nabla ( \phi _ { m } - \phi ) | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbf { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \eta } _ { m } | | _ { L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbf { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + C \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } | | \nabla \phi | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbf { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \eta } _ { m } - \mathbf { u } | | _ { L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbf { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq C | | \omega | | _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } ^ { 2 } | | \nabla \phi _ { m } - \nabla \phi | | _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \eta } _ { m } | | _ { L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C | | \omega | | _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } ^ { 2 } | | \nabla \phi | | _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \eta } _ { m } - \mathbf { u } | | _ { H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } \to 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { V ^ { \ast } } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ( \varepsilon , \gamma ) ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { V ^ { \ast } } \Bigg [ \frac { \partial ^ { 2 } \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } \frac { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } { \partial \gamma } + \frac { \partial ^ { 2 } \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma ^ { 2 } } \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { n + 1 } ^ { 2 } } & { = } & { { \mathbb E } \{ \mathrm { V a r } [ X _ { n + 1 } | { \cal F } _ { n } ^ { X } ] \} + \mathrm { V a r } \{ { \mathbb E } [ X _ { n + 1 } | { \cal F } _ { n } ^ { X } ] \} } \\ & { = } & { { \mathbb E } \{ \mathrm { V a r } [ \Delta X _ { n + 1 } | { \cal F } _ { n } ^ { X } ] \} + \mathrm { V a r } \left[ \frac { N - n } { N - n + 1 } X _ { n } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { 2 } } & { + \iota _ { 0 } \partial _ { 1 } ) Y ^ { ( 1 ) } ( \theta + \iota _ { 0 } \Delta \varphi _ { 0 } , \eta _ { 0 } ( \varphi ) ) = } \\ & { = ( \partial _ { \varphi } + \iota _ { 0 } \partial _ { \theta } ) [ Y ^ { ( 1 ) } ( \theta + \iota _ { 0 } \Delta \varphi _ { 0 } , \eta _ { 0 } ( \varphi ) ) ] \frac { 1 } { \eta _ { 0 } ^ { \prime } } = } \\ & { = ( \partial _ { \varphi } + \iota _ { 0 } \partial _ { \theta } ) Y ^ { ( 1 ) } ( \theta , \varphi ) \frac { 1 } { \eta _ { 0 } ^ { \prime } } = - \frac { G _ { 0 } } { \eta _ { 0 } ^ { \prime } } ( \partial _ { \varphi } + \iota _ { 0 } \partial _ { \theta } ) \left( \frac { \partial _ { \theta } B _ { 1 } } { B _ { 0 } ^ { \prime } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \mathcal { S } } p _ { j } = \big ( p _ { j } ^ { \dagger } + s _ { j - 1 } s _ { j + 1 } \big ) \widetilde { \mathcal { S } } \, , \quad \widetilde { \mathcal { S } } p _ { j } ^ { \dagger } = \big ( p _ { j } + s _ { j - 1 } s _ { j + 1 } \big ) \widetilde { \mathcal { S } } \, , \quad \widetilde { \mathcal { S } } s _ { j - 1 } s _ { j + 1 } = \big ( p _ { j } + p _ { j } ^ { \dagger } \big ) \widetilde { \mathcal { S } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \nu , z ) } & { = \Gamma ( \nu ) - \Gamma ( \nu ) z ^ { \nu } e ^ { - z } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n } } { \Gamma ( \nu + n + 1 ) } \qquad \mathrm { f o r } \ | z | < \infty } \\ & { = \Gamma ( \nu ) - z ^ { \nu } e ^ { - z } \left( \frac { 1 } { \nu } + \frac { z } { \nu ( \nu + 1 ) } + \mathcal { O } \left( z ^ { 2 } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { j } ^ { K e r r } = - \frac { \hbar } { 2 } U \left( ( \hat { a } _ { j + } ^ { \dagger } ) ^ { 2 } \hat { a } _ { j + } ^ { 2 } + ( \hat { a } _ { j - } ^ { \dagger } ) ^ { 2 } \hat { a } _ { j - } ^ { 2 } + 4 d \hat { a } _ { j + } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j + } \hat { a } _ { j - } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j - } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial n _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } ( n _ { i } v _ { i } ) } & { = } & { 0 , } \\ { m _ { i } n _ { i } \frac { d v _ { i } } { d t } } & { = } & { - \frac { \partial p _ { i } } { \partial x } - e n _ { i } \frac { \partial \phi } { \partial x } , } \\ { \epsilon _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { 2 } } } & { = } & { e ( n _ { e } - n _ { i } ) - q _ { d } n _ { d } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \pi ( x ; q , a ) - \frac { \operatorname { L i } ( x ) } { \varphi ( q ) } \right| } & { < \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi } + \frac { a _ { 1 } \log { q } } { 2 \pi } + a _ { 2 } \right) \sqrt { x } + a _ { 3 } , } \\ { \left| \theta ( x ; q , a ) - \frac { x } { \varphi ( q ) } \right| } & { < \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi } + \frac { \log { q } } { 2 \pi } + a _ { 4 } \right) \sqrt { x } \log { x } + a _ { 5 } , } \\ { \left| \psi ( x ; q , a ) - \frac { x } { \varphi ( q ) } \right| } & { < \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi } + \frac { \log { q } } { 2 \pi } + a _ { 6 } \right) \sqrt { x } \log { x } + a _ { 5 } . } \end{array}
\sin \left( { \frac { 1 3 \pi } { 6 0 } } \right) = \sin ( 3 9 ^ { \circ } ) = { \frac { ( 2 - { \sqrt { 1 2 } } ) { \sqrt { 5 - { \sqrt { 5 } } } } + ( { \sqrt { 1 0 } } + { \sqrt { 2 } } ) ( { \sqrt { 3 } } + 1 ) } { 1 6 } }