harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime 2 } \right\rangle = } & { \left\langle u _ { i } ( \mathbf { x } , t ) u _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \right\rangle } \\ { = } & { \int \mathrm { d } ^ { 4 } q \int \mathrm { d } ^ { 4 } q ^ { \prime } \mathfrak { G } _ { i n } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { i m } \left( \mathbf { q } ^ { \prime } \right) \left\langle \hat { f } _ { n } ( \mathbf { q } ) \hat { f } _ { m } ( \mathbf { q } ^ { \prime } ) \right\rangle \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left[ \left( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { x } - \left( \omega + \omega ^ { \prime } \right) t \right] } } \\ { = } & { \int \mathrm { d } ^ { 4 } q \mathfrak { G } _ { i n } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { i m } \left( - \mathbf { q } \right) \left[ \frac { D _ { 0 } } { k ^ { 3 } } P _ { n m } ( \mathbf { k } ) + \mathrm { i } \frac { D _ { 1 } } { k ^ { 5 } } \epsilon _ { n m p } k _ { p } \right] } \\ { = } & { \, \, 2 \int \frac { \mathrm { d } k } { k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } X \frac { D _ { 0 } \left( \omega ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } + 4 \Omega ^ { 2 } X ^ { 2 } \right) } { \left( \omega ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) ^ { 2 } - 8 \Omega ^ { 2 } X ^ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) + 1 6 \Omega ^ { 4 } X ^ { 4 } } } \\ { = } & { \, \, 4 \pi D _ { 0 } \mathcal { I } _ { u ^ { 2 } } \left( \nu , \Omega , k _ { \ell } \right) . } \end{array}
\int _ { V } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \Sigma } \wedge \partial \Sigma = d \mathcal { F } ( V ; \partial \Sigma _ { v } \mathcal { N } , f ) , \ \forall \partial \Sigma \in H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) ,
\begin{array} { r } { \sum _ { \nu \in n } \left( \frac { \left( J \rho ^ { \nu + 1 } \right) _ { i , p } - \left( J \rho ^ { \nu } \right) _ { i , p } } { \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } } + \frac { \left( J j ^ { \xi } \right) _ { i + 1 / 2 , p } ^ { \nu + 1 / 2 } - \left( J j ^ { \xi } \right) _ { i - 1 / 2 , p } ^ { \nu + 1 / 2 } } { \Delta \xi } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { L L ( Y | \alpha , \beta , \phi , \theta ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log \left( e ^ { \alpha } + \sum _ { j : t _ { j } < t } \frac { \phi } { ( t - t _ { j } + c ) ^ { \theta } } \right) } \\ { - \int _ { t _ { i n } } ^ { t _ { f i n } } \left( e ^ { \alpha } + \sum _ { j : t _ { j } < t } \frac { \phi } { ( t - t _ { j } + c ) ^ { \theta } } \right) d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { Q _ { T } } | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { \alpha } \psi = } & { { } \int _ { \{ u = 0 \} } | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { \alpha } \psi + \int _ { \{ u > 0 \} } | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { \alpha } \psi } \\ { = } & { { } \int _ { \{ u = 0 \} } | \partial _ { x } u _ { n } | ^ { \alpha } \psi + \int _ { \{ 0 < u \leq \frac { 1 } { m } \} } | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { s } \psi + \int _ { \{ u > \frac { 1 } { m } \} } | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { s } \psi } \\ { = } & { { } A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } . } \end{array}
i \hbar ^ { 2 } \left\{ \frac { d A } { d t } , L _ { 0 } \right\} = \hbar \left\{ \left[ A , H \right] , L _ { 0 } \right\} = \frac { 1 } { 4 } \left[ A , I , L _ { + } , L _ { - } \right] \; .
M _ { 1 } ^ { E _ { 0 } } \leq { \frac { 3 \, \left( 2 \, E _ { 0 } - m _ { b } \right) \, m _ { b } \, \left( 2 \, E _ { 0 } - 4 \, E _ { m } + m _ { b } \right) + \left( - 4 \, E _ { m } + 3 \, m _ { b } \right) \, { { \lambda } _ { 1 } } + { { \rho } _ { 1 } } } { 2 \, \left( 3 \, \left( 2 \, E _ { 0 } - m _ { b } \right) \, \left( 2 \, E _ { 0 } - 4 \, E _ { m } + m _ { b } \right) + { { \lambda } _ { 1 } } \right) } }
\begin{array} { r l } { \beta _ { i k } } & { = \frac { 3 p _ { c , i k } } { d _ { i k } } \left[ \frac { 2 \left( m _ { k } ^ { 2 } \theta _ { k } + m _ { i } ^ { 2 } \theta _ { i } \right) } { \pi m _ { 0 } ^ { 2 } \theta _ { k } \theta _ { i } } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { + \frac { p _ { c , i k } } { | \textbf { U } _ { k } - \textbf { U } _ { i } | } \left[ \nabla _ { x } \mathrm { l n } \frac { \epsilon _ { k } } { \epsilon _ { i } } + 3 \nabla _ { x } \frac { \mathrm { l n } \left( m _ { i } \theta _ { i } \right) } { \mathrm { l n } \left( m _ { k } \theta _ { k } \right) } + \frac { \theta _ { k } \theta _ { i } } { \theta _ { k } + \theta _ { i } } \left( \frac { \nabla _ { x } \theta _ { k } } { \theta _ { k } ^ { 2 } } - \frac { \nabla _ { x } \theta _ { i } } { \theta _ { i } ^ { 2 } } \right) \right] , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \vec { p } \rightarrow 0 } \, \Pi _ { 2 } = \operatorname * { l i m } _ { \vec { p } \rightarrow 0 } \, \Pi _ { 0 0 } = { \frac { e ^ { 2 } \ln 2 } { \pi \beta } } + { \cal O } ( \beta ) .
E = A _ { 0 } \left( \begin{array} { l } { e ^ { j \varphi _ { L } } + 1 } \\ { - j e ^ { j \varphi _ { L } } + j } \end{array} \right) = 2 A _ { 0 } e ^ { j \varphi _ { L } / 2 } \left( \begin{array} { l } { \cos ( \varphi _ { L } / 2 ) } \\ { \sin ( \varphi _ { L } / 2 ) } \end{array} \right) ,
P _ { e \mu } = P _ { \mu e } , \quad P _ { e \tau } = P _ { \tau e } , \quad P _ { \mu \tau } = P _ { \tau \mu } , \quad P _ { e s } = P _ { s e } , \quad P _ { \mu s } = P _ { s \mu } , \quad P _ { \tau s } = P _ { s \tau } .
\begin{array} { r l } { V } & { = \operatorname { V a r } \left[ \mathcal { M } \left( \boldsymbol { X } \right) \right] = \int _ { \mathcal { D } _ { \boldsymbol { X } } } \mathcal { M } ^ { 2 } \left( \boldsymbol { x } \right) \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } - \mathcal { M } _ { 0 } ^ { 2 } } \\ { V _ { u } } & { = \operatorname { V a r } \left[ \mathcal { M } _ { u } \left( \boldsymbol { X } _ { u } \right) \right] = \int _ { \mathcal { D } _ { \boldsymbol { X } _ { u } } } \mathcal { M } _ { u } ^ { 2 } \left( \boldsymbol { x } _ { u } \right) \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } _ { u } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \hbar } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } ( t _ { n } , \tau _ { n } ) = } & { { } q _ { 1 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } } \end{array}
J _ { m p } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi R } \! d y \ \left[ n ^ { - 2 } \left( g _ { m } ^ { \prime } - 2 \frac { n ^ { \prime } } { n } g _ { m } \right) \right] \left( n ^ { 2 } { g _ { p } ^ { * } } ^ { \prime } - 2 n ^ { \prime } n g _ { p } ^ { * } \right) .
\begin{array} { r l } & { h ^ { - 2 } \big ( \operatorname { K L } ( P _ { \theta _ { 0 } } , P _ { { \theta _ { 0 } } + h } ) + \operatorname { K L } ( P _ { { \theta _ { 0 } } + h } , P _ { \theta _ { 0 } } ) \big ) } \\ & { = h ^ { - 2 } \int \log \bigg ( \frac { p _ { { \theta _ { 0 } } + h } } { p _ { \theta _ { 0 } } } \bigg ) ( p _ { { \theta _ { 0 } } + h } - p _ { \theta _ { 0 } } ) \, d \nu } \\ & { = h ^ { - 2 } \int \log \bigg ( 1 + \frac { p _ { { \theta _ { 0 } } + h } - p _ { \theta _ { 0 } } } { p _ { \theta _ { 0 } } } \bigg ) \frac { p _ { { \theta _ { 0 } } + h } - p _ { \theta _ { 0 } } } { p _ { \theta _ { 0 } } } p _ { \theta _ { 0 } } \, d \nu } \\ & { \rightarrow F ( { \theta _ { 0 } } ) . } \end{array}
S = \frac { \sum _ { i } ( S R _ { i } - \overline { { S R } } ) ( S E M _ { i } - \overline { { S E M } } ) } { \sqrt { \sum _ { i } ( S R _ { i } - \overline { { S R } } ) ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { i } ( S E M _ { i } - \overline { { S E M } } ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { j _ { \mathrm { F B W } } ( t [ i ] ) } & { = J \cdot \mathrm { r a n d n } [ i ] , } \\ { A _ { \mathrm { M , F B W } } ( t [ i ] ) } & { = A _ { 0 } \omega J \cdot \mathrm { r a n d n } [ i ] , } \\ { n _ { \mathrm { P I , F B W } } ( t [ i ] ) } & { = A _ { 0 } \omega J \cdot \mathrm { r a n d n } [ i ] , } \end{array}
\sum _ { k _ { 2 } = - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - i k k _ { 2 } A _ { 1 } } = \sum _ { n _ { 2 } = - \infty } ^ { + \infty } \, \frac { 2 \pi } { k } \delta \left( A _ { 1 } - \frac { 2 \pi n _ { 2 } } { k } \right) \ \ \ ,
\Delta \chi ^ { * } = \frac { 2 } { 3 } \frac { r w \Delta c / \Delta s ^ { \star } \left[ l _ { + } ^ { - 1 } \cosh ( \xi ) + l _ { - } ^ { - 1 } \sinh ( \xi ) \right] ^ { 2 } } { l _ { + } ^ { - 1 } [ \sinh ( 2 \xi ) \, { - } \, 2 \xi ] + 2 l _ { - } ^ { - 1 } [ \sinh ^ { 2 } ( \xi ) \, { - } \, \xi ^ { 2 } ] } \, ,
P _ { c } \, = \frac { 2 \gamma } { R } + \frac { 2 \sigma _ { y } } { 3 } \left\{ 1 + \ln \left( \frac { 2 E } { 3 \sigma _ { y } } \right) + \left( \frac { \pi } { 3 } \right) ^ { 2 } \frac { E } { \sigma _ { y } } \right\} .
\begin{array} { r l } { ( r - 1 ) ^ { 1 - \epsilon } | \widetilde { X } \widetilde { \phi } | _ { \Sigma _ { 0 } } | ^ { 2 } = } & { \: ( r - 1 ) ^ { 1 - \epsilon } | X ( \chi _ { * } \mathcal { L } ^ { - 1 } ( F ) ) | ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \: \frac { 1 } { 2 } ( r - 1 ) ^ { 1 - \epsilon } | \chi _ { * } | ^ { 2 } | \widetilde { X } ( \mathcal { L } ^ { - 1 } ( F ) ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( r - 1 ) ^ { 1 - \epsilon } | \frac { d \chi _ { * } } { d r } | | \mathcal { L } ^ { - 1 } ( F ) | ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \: ( 1 - r _ { 0 } ) ^ { - 2 \epsilon } ( r - 1 ) ^ { - 1 + \epsilon } | \widetilde { X } ( \mathcal { L } ^ { - 1 } ( F ) ) | ^ { 2 } + ( 1 - r _ { 0 } ) ^ { - \epsilon } | \mathcal { L } ^ { - 1 } ( F ) | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y _ { j } ( t ) } & { { } \sim } & { - Q _ { j } \frac { t ^ { 2 j } } { ( 2 j ) ! } \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad t \rightarrow 0 ^ { + } } \\ { Q _ { j } } & { { } = } & { \left( \frac { ( \prod _ { i = 1 } ^ { j - 1 } k _ { i } ) \sum _ { j = 1 } ^ { n } m _ { j } g } { \prod _ { i = 1 } ^ { j } m _ { i } } \right) } \end{array}
\varepsilon _ { i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \left( S _ { i j k \ell } - \frac { 1 } { 9 } \sum _ { p = 1 } ^ { n } S ^ { ( p ) } B _ { i j } ^ { ( p ) } B _ { k \ell } ^ { ( p ) } \right) \sigma _ { k \ell } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } S _ { i j k \ell } ^ { u } \sigma _ { k \ell } \, .
\begin{array} { r } { P _ { a S , a } ^ { ( 3 ) } ( r ) = 3 \chi _ { a b c d } ^ { ( 3 ) } ( r ) E _ { p , b } E _ { S , c } ^ { * } E _ { p , d } } \\ { P _ { c S , a } ^ { ( 3 ) } ( r ) = 3 \chi _ { a b c d } ^ { ( 3 ) } ( r ) E _ { S , b } E _ { p , c } ^ { * } E _ { S , d } } \end{array}
\widehat { T } _ { e p } = - \frac { 1 } { | \Delta | } \left( \begin{array} { l l } { \frac { \gamma } { \tau _ { E c } } + \frac { 1 } { \tau _ { E b } } } & { - \frac { \gamma ^ { 2 } } { \mathcal { N } _ { 2 } \tau _ { E b } } - \frac { \gamma } { \tau _ { E c } } } \\ { - \frac { \gamma ^ { 2 } \mathcal { N } _ { 2 } } { \gamma \tau _ { E c } } - \frac { \mathcal { N } _ { 2 } } { \tau _ { I c } } - \frac { 1 } { \tau _ { E b } } } & { \frac { 2 \gamma } { \tau _ { E c } } + \frac { \gamma ^ { 2 } } { \mathcal { N } _ { 2 } \tau _ { E b } } + \frac { \mathcal { N } _ { 2 } } { \tau _ { I c } } } \end{array} \right) \! ,
\begin{array} { r l } { n _ { \alpha } } & { = \left\langle z _ { \alpha } z _ { \alpha } ^ { * } \right\rangle \left( t \right) = \left\langle z _ { \alpha } z _ { \alpha } ^ { * } \right\rangle \left( 0 \right) + \epsilon ^ { 2 } \int \! \! d \beta d \gamma \ \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } \left( \sigma _ { \beta } ^ { \alpha \gamma } n _ { \alpha } n _ { \gamma } + \sigma _ { \gamma } ^ { \alpha \beta } n _ { \beta } n _ { \alpha } + \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } n _ { \beta } n _ { \gamma } \right) \frac { 1 - \cos \Omega _ { \alpha \beta \gamma } t } { \Omega _ { \alpha \beta \gamma } ^ { 2 } } + O \left( \epsilon ^ { 4 } \right) . } \end{array}
\boldsymbol C = \left[ \begin{array} { c c c } { C ( y _ { 1 } , y _ { 1 } ) } & { \cdots } & { C ( y _ { 1 } , y _ { N } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { C ( y _ { N } , y _ { 1 } ) } & { \cdots } & { C ( y _ { N } , y _ { N } ) } \end{array} \right] \, , \qquad \boldsymbol D = \left[ \begin{array} { c c c } { \omega _ { 1 } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { \omega _ { N } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { L } ^ { ( D ) } ) ^ { 2 } ( \tau ) = } & { { } ( 2 - \beta ) ^ { - \frac { 4 } { \beta - 2 } } \Bigg ( 3 \cdot 4 ^ { \frac { 1 } { \beta - 2 } } \frac { \Gamma \left( - \frac { 3 } { \beta - 2 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - \beta } \right) } } \\ { = : } & { { } D ^ { \frac { 2 } { 2 - \beta } } \left( M _ { 2 } ( \tau ) - M _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \right) } \\ { = : } & { { } D ^ { \frac { 2 } { 2 - \beta } } S ^ { 2 } ( \tau ) \ . } \end{array}
n \partial _ { J } \overline { { \partial } } u \wedge \partial \overline { { \partial _ { J } } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } \wedge A = \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } ( \sum _ { i \neq k } \frac { 1 } { \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 i + 1 } } ) ( | u _ { 2 k j } | ^ { 2 } + | u _ { 2 k + 1 j } | ^ { 2 } ) \widetilde { \Omega } ^ { n } \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n } ;
\hat { h } ( \theta ) = \sum _ { i } \varphi _ { ( i ) } \{ \mathbb { H } _ { ( i ) } ^ { p _ { 0 } } \hat { p } _ { 0 , \psi } + \mathbb { H } _ { ( i ) } ^ { T _ { 0 } } \hat { T } _ { 0 , \psi } + \sum _ { j } [ \mathsf { K } _ { ( i , j ) } ^ { h h } ( \mathsf { D } \mathbb { T } ) _ { ( j ) } + \mathsf { K } _ { ( i , j ) } ^ { h \pi } \mathbb { W } _ { ( j ) } ] \varphi _ { ( j ) } \}
\begin{array} { r l r } { L } & { { } = } & { \left( \frac { e } { c } \, { \bf A } ( { \bf x } ) \; + \; m \, { \bf v } \right) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \dot { \bf x } \; - \; \frac { m } { 2 } \, | { \bf v } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } \left[ \big \{ \{ { \phi } ^ { k } \} _ { t \in [ 0 , T ] } \big \} _ { k _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \geq k > 0 } \right] \approx \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \sigma ^ { k } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \rho } { \epsilon } \mathbf { u ^ { \prime } } ^ { * } \cdot \frac { \partial \mathbf { u ^ { \prime } } } { \partial t } = - \mathbf { u ^ { \prime } } ^ { * } \cdot \nabla p _ { m } ^ { \prime } - \frac { \mu } { \kappa } \mathbf { u ^ { \prime } } ^ { * } \cdot \mathbf { u ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { l } { \int _ { { \rho _ { v } } } ^ { { \rho _ { l } } } { ( { \rho _ { 1 } } - { \rho _ { v } } ) { \theta _ { v } } + ( { \rho _ { 2 } } - { \rho _ { 1 } } ) } { \theta _ { m } } + ( { \rho _ { l } } - { \rho _ { 2 } } ) { \theta _ { l } } = 0 , } \\ { \int _ { { \rho _ { v } } } ^ { { \rho _ { l } } } { \frac { 1 } { \rho } d p = \log ( } { \rho _ { 1 } } / { \rho _ { v } } ) { \theta _ { v } } + \log ( { \rho _ { 2 } } / { \rho _ { 1 } } ) { \theta _ { m } } + \log ( { \rho _ { l } } / { \rho _ { 2 } } ) { \theta _ { l } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \mathrm { d } \mathcal { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } + 2 \star _ { g } \{ \imath _ { \xi } \mathcal { E } _ { \mathtt { E H } } ( g ) \} , } \\ { \overline { { j } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \jmath ^ { * } \mathcal { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - 2 \star _ { \overline { { g } } } \{ \imath _ { \overline { { \xi } } } \overline { { \mathfrak { b } } } _ { \mathtt { E H } } ( g ) \} . } \end{array}
\alpha _ { 0 } = { \frac { \mathbf { r } _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { 0 } } { \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A p } _ { 0 } } } = { \frac { { \left[ \begin{array} { l l } { - 8 } & { - 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } } { { \left[ \begin{array} { l l } { - 8 } & { - 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 4 } & { 1 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } } } = { \frac { 7 3 } { 3 3 1 } } \approx 0 . 2 2 0 5
\begin{array} { r l } { \sum _ { H / D < n \le H } \frac { \chi ( n ) } { n } } & { = \sum _ { H / D < n \le H } \chi ( n ) \biggl ( \int _ { n } ^ { H } \frac { d t } { t ^ { 2 } } + \frac { 1 } { H } \biggr ) } \\ & { = \int _ { H / D } ^ { H } \sum _ { H / D < n \le t } \chi ( n ) \frac { d t } { t ^ { 2 } } + \frac { 1 } { H } \sum _ { H / D < n \le H } \chi ( n ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \tilde { m } \omega _ { 0 } ^ { 2 } d \left( \mathcal { T } _ { 1 } \sin \varphi _ { 1 } - \mathcal { T } _ { 2 } \sin \varphi _ { 2 } \right) - d \omega _ { 0 } \left( \mathcal { T } _ { 1 } \cos \varphi _ { 1 } - \mathcal { T } _ { 2 } \cos \varphi _ { 2 } \right) + ( \mathcal { T } _ { 1 } - \mathcal { T } _ { 2 } ) \sin ( \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } ) = - 4 \tilde { l } \omega _ { 0 } \mathcal { F } . } \end{array}
\Big [ R _ { \mathrm { L L } } | \nu _ { \mathrm { L } } ^ { j } \rangle \langle \nu _ { \mathrm { L } } ^ { j } | + R _ { \mathrm { L } ^ { \prime } \mathrm { L } ^ { \prime } } | \nu _ { \mathrm { L } } ^ { j } \rangle \langle \nu _ { \mathrm { L } } ^ { j } | \Big ] \otimes \hat { F } _ { \nu } ^ { j } \equiv \epsilon _ { z } \cdot \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { z } ^ { j } \otimes \hat { F } _ { \nu } ^ { j } ,
\frac { d \mathbf { p } _ { A } } { d t } = \nabla \cdot \overline { { \overline { { \mathbf { T } } } } } _ { A } - \left( \frac { 1 } { \varepsilon \left( t \right) } \frac { d \varepsilon \left( t \right) } { d t } + \frac { 1 } { \mu \left( t \right) } \frac { d \mu \left( t \right) } { d t } \right) \mathbf { p } _ { A } \left( \mathbf { r } , t \right)
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { S _ { 1 } : ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \mapsto ( - \frac { 1 } { t _ { 1 } } , t _ { 2 } ) \, , \; } & & { S _ { 2 } : ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \mapsto ( t _ { 1 } , - \frac { 1 } { t _ { 2 } } ) } \\ & { T _ { 1 } : ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \mapsto ( t _ { 1 } + 1 , t _ { 2 } ) \, , \; } & & { T _ { 2 } : ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \mapsto ( t _ { 1 } , \frac { t _ { 2 } } { t _ { 2 } + 1 } ) } \end{array}
Q _ { \mathrm { e s t } } = Q - \frac { \sqrt { \kappa } } { 4 \alpha g _ { \mathrm { o m } , 0 } } \left( Y _ { \mathrm { i n } } - \sqrt { \frac { 1 - \eta } { \eta } } Y _ { \mathrm { v } } \right) ,
\begin{array} { l l } { \Upsilon ( 8 , \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } , 0 ) = 5 1 7 4 4 0 0 0 } \\ { \Upsilon ( 8 , \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , + \frac { 1 } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } , 0 ) = 5 1 7 4 4 0 0 0 } \\ { \Upsilon ( 8 , \frac { 1 } { 2 } , + \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } , 0 ) = 5 1 7 4 4 0 0 0 } \\ { \Upsilon ( 8 , \frac { 1 } { 2 } , + \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , + \frac { 1 } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } , 0 ) = 5 1 7 4 4 0 0 0 } \end{array}
\Lambda _ { \pm } ( q _ { 0 } ) = \Lambda ( q _ { 0 } ) \pm \frac { 2 \kappa \bigg ( \frac { 2 } { \pi } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { [ \frac { 1 } { 2 } ( q _ { 0 } - 1 ) ] ! } \bigg ( \frac { 1 + k } { 1 - k } \bigg ) ^ { - \frac { \kappa } { k } } \bigg ( \frac { 8 \kappa } { 1 - k ^ { 2 } } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } q _ { 0 } } \bigg [ 1 + O \bigg ( \frac { 1 } { \kappa } \bigg ) \bigg ]
\lvert t _ { \perp } \rvert ^ { 4 } \textrm { c o s } ^ { 2 } \theta + 2 \lvert t _ { \parallel } \rvert ^ { 2 } \lvert t _ { \perp } \rvert ^ { 2 } \textrm { s i n } ^ { 2 } \theta + \lvert t _ { \parallel } \rvert ^ { 4 } \textrm { c o s } ^ { 2 } \theta + \lvert t _ { \perp } \rvert \lvert t _ { \parallel } \rvert ( \lvert t _ { \perp } \rvert ^ { 2 } - \lvert t _ { \parallel } \rvert ^ { 2 } ) \textrm { s i n } ( 2 \theta ) \textrm { s i n } \phi ,
p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) x + ( 1 - 2 p ^ { \prime } ) x ^ { 2 } = [ ( 1 - p ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 ( 1 - p ^ { \prime } ) x + x ^ { 2 } ] A - [ p ^ { 2 } + 2 p ^ { \prime } x + x ^ { 2 } ] B
L _ { j , k } ( w _ { k } ) = \int _ { \Omega } \left( \nabla ^ { \perp } \zeta _ { 1 , j } ^ { ( 0 ) } \cdot \nabla \Delta \zeta _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } + \nabla ^ { \perp } \xi _ { 1 , j } ^ { ( 0 ) } \cdot \nabla \Delta \xi _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } \right) w _ { k } ~ d \mathbf { x } .
( 4 \pi ) ^ { 2 } \, \frac { d y ^ { - 1 } } { d t } = \varepsilon \, y ^ { - 1 } + \frac { 5 } { 4 } \, y ^ { - 2 } , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y ( 0 ) = y _ { 0 } ,
\mathcal N _ { k _ { n n } } ( \hat { y } _ { i } ) = \{ \hat { y } _ { j } | \hat { y } _ { j } \ \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ } \ k _ { n n } \ \mathrm { ~ n ~ e ~ i ~ g ~ h ~ b ~ o ~ u ~ r ~ h ~ o ~ o ~ d ~ o ~ f ~ } \ \ \hat { y } _ { i } \}
\delta m = { \frac { e ^ { 2 } } { 2 m } } \int { \frac { d ^ { 2 } k _ { \perp } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { p ^ { + } } d k ^ { + } { \frac { m ^ { 2 } } { p \cdot k } } \Big ( { \frac { 1 } { p ^ { + } } } + { \frac { 1 } { k ^ { + } } } \Big ) \ .
\psi ( x ) = \int d ^ { 3 } p \sum _ { \sigma , n } e ^ { - i p \cdot x } a ( { \vec { p } } , \sigma , n ) u ( { \vec { p } } , \sigma , n ) + e ^ { i p \cdot x } a ^ { \dagger } ( { \vec { p } } , \sigma , n ) v ( { \vec { p } } , \sigma , n )
\left\langle \xi \left( t , \mathbf { x } \right) \right\rangle _ { t } = 0 , \quad \left\langle \xi \left( t , \mathbf { x } \right) , \xi \left( t ^ { \prime } , \mathbf { x } \right) \right\rangle _ { t } = \delta \left( t - t ^ { \prime } \right)
\begin{array} { r } { 1 \geq C ( 1 + T ) ^ { 1 + \beta _ { 2 } } E _ { 0 } ^ { \beta _ { 1 } } Q \left( 2 ^ { \gamma + 2 } Q ^ { - \beta _ { 1 } } \right) ^ { n } \left[ \frac { 1 } { t K ^ { \gamma + 1 } } + \frac { 1 + E _ { 0 } ^ { \beta _ { 0 } } } { K ^ { \gamma + 2 } } + \frac { 1 } { K ^ { \gamma + 1 } } + \frac { 1 } { K ^ { \gamma } } \right] . } \end{array}
s _ { n N } ^ { k _ { 1 } k _ { 2 } } = { \sqrt { ( 2 k _ { 1 } + 1 ) ( 2 k _ { 2 } + 1 ) } } \cdot \sum _ { M , M ^ { \prime } } { \left( \begin{array} { l l l } { I } & { I } & { k _ { 1 } } \\ { M ^ { \prime } } & { - M } & { N } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { I } & { I } & { k _ { 2 } } \\ { M ^ { \prime } } & { - M } & { N } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { [ H ^ { + } ] ^ { 2 } + [ H ^ { + } ] k _ { 1 } ( 1 - \frac { C _ { U } } { A l k } + k _ { 1 } k _ { 2 } \left( 1 - \frac { 2 C _ { U } } { A l k } \right) = 0 } \end{array}
K ( x _ { f } , t _ { f } ; x _ { i } , t _ { i } ) = \left( { \frac { m \omega } { \pi \hbar } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \frac { - i \omega T } { 2 } } \left( 1 - e ^ { - 2 i \omega T } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \exp { \left( - { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \left( x _ { i } ^ { 2 } + x _ { f } ^ { 2 } \right) { \frac { 1 + e ^ { - 2 i \omega T } } { 1 - e ^ { - 2 i \omega T } } } - { \frac { 4 x _ { i } x _ { f } e ^ { - i \omega T } } { 1 - e ^ { - 2 i \omega T } } } \right) \right) } .
\begin{array} { r l } { M _ { 1 1 } ^ { \prime } = M _ { j j } } & { { } = - \left[ D k _ { j } ^ { 2 } + i \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { j } + \chi \right] , } \\ { M _ { 2 2 } ^ { \prime } = M _ { - j - j } } & { { } = - \left[ D k _ { j } ^ { 2 } - i \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { j } + \chi \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial C _ { 2 } ^ { s t } } { \partial a _ { n } } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \langle \psi _ { n ^ { \prime } } | \Omega \frac { \partial } { \partial a _ { n } } \prod _ { n ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { n ^ { \prime } } U _ { n ^ { \prime \prime } } | \psi _ { 0 } \rangle + c . c . } \end{array}