harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \psi _ { x x } ( x _ { m } ^ { ( 2 ) } , y _ { m } ^ { ( 2 ) } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } F ^ { \prime } ( x _ { m } ^ { ( 2 ) } ) - \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } ( f _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x _ { m } ^ { ( 2 ) } ) - \frac { \omega } { 1 0 } ) \psi _ { x y } ( x _ { m } ^ { ( 2 ) } , y _ { m } ^ { ( 2 ) } ) } \\ & { = - \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } ( f _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x _ { m } ^ { ( 2 ) } ) - \frac { \omega } { 1 0 } ) \psi _ { x y } ( x _ { m } ^ { ( 2 ) } , y _ { m } ^ { ( 2 ) } ) \, . } \end{array}
\mathbb { E } [ | \angles { \tilde { \zeta } _ { T } ^ { X | K } } { \phi } - \angles { \tilde { \eta } _ { T } ^ { X } } { \phi } | ] \leq \mathbb { E } [ | \angles { \tilde { \zeta } _ { T } ^ { X | K } } { \phi - \phi _ { N } } | ] + \mathbb { E } [ | \angles { \tilde { \zeta } _ { T } ^ { X | K } } { \phi _ { N } } - \angles { \tilde { \eta } _ { T } ^ { X } } { \phi _ { N } } | ] + | \angles { \tilde { \eta } _ { T } ^ { X } } { \phi _ { N } - \phi } |
\begin{array} { r l r } { { \normalcolor \eta } } & { { } { \normalcolor = } } & { { \normalcolor \hat { I } _ { e 0 } \left( 1 + \delta _ { i } \delta _ { m } / \sigma ^ { 1 / 2 } \right) , } } \\ { { \normalcolor \beta } } & { { } { \normalcolor = } } & { { \normalcolor \delta _ { i } \delta _ { m } \sigma ^ { 1 / 2 } \left( 1 - \frac { \varphi _ { d 0 } } { \sigma } \right) . } } \end{array}
G _ { E } ^ { \pi } ( t ) = \int \tilde { u } _ { \pi } ( \vec { k } _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { \dagger } \tilde { u } _ { \pi } ( \vec { k } _ { 1 } ) \left( f _ { q } ( \vec { k } _ { 1 } ^ { \prime } ) f _ { q } ( \vec { k } _ { 1 } ) + \vec { k } _ { 1 } ^ { \prime } \cdot \vec { k } _ { 1 } g _ { q } ( \vec { k } _ { 1 } ^ { \prime } ) g _ { q } ( \vec { k } _ { 1 } ) \right) d \vec { k } _ { 1 } .
\begin{array} { r } { \nabla ^ { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \, , } \\ { \nabla ^ { 2 } \arctan \left( \frac { x } { y } \right) = 0 \, , } \end{array}
K _ { 1 } ^ { \prime \prime } = N _ { c } C _ { 3 } ^ { 2 } + N _ { c } C _ { 5 } ^ { 2 } + 2 C _ { 3 } C _ { 4 } + 2 C _ { 5 } C _ { 6 } \qquad K _ { 2 } ^ { \prime \prime } = C _ { 4 } ^ { 2 } + C _ { 6 } ^ { 2 }
\psi _ { v } ( \phi ^ { - 1 } ( \{ \Delta p _ { e _ { i j } } ^ { \star } : j \in \mathcal { N } _ { i } \} ) ) = \phi ^ { - 1 } ( \psi _ { e } ( \{ \Delta p _ { e _ { i j } } ^ { \star } : j \in \mathcal { N } _ { i } \} ) )
\frac { \partial \psi } { \partial t } + \left[ \frac { \partial ( u \psi ) } { \partial x } + \frac { \partial ( v \psi ) } { \partial y } + \frac { \partial ( w \psi ) } { \partial z } \right] = \Gamma \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial z ^ { 2 } } \right] + S
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \mathscr { L } } { \partial x ^ { \mu } } = \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \mathscr { L } } { \partial \dot { x } ^ { \mu } } \right) \mathrm { ~ o r ~ } - \frac { \partial E _ { u } } { \partial x ^ { \mu } } = \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial E _ { k } } { \partial \dot { x } ^ { \mu } } \right) , \enspace 1 \leqslant \mu \leqslant n , } \\ & { \frac { \partial \mathscr { L } } { \partial x ^ { \mu } } \Bigl ( \gamma _ { \mathrm { c } ( t ) } , \dot { \gamma } _ { \mathrm { c } ( t ) } , t \Bigr ) = \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \mathscr { L } } { \partial v ^ { \mu } } \right) \Bigl ( \gamma _ { \mathrm { c } ( t ) } , \dot { \gamma } _ { \mathrm { c } ( t ) } , t \Bigr ) , \enspace \gamma _ { \mathrm { c } ( t ) } = \left\{ x _ { t } ^ { 1 } , \mathellipsis , x _ { t } ^ { n } \right\} , \dot { \gamma } _ { \mathrm { c } ( t ) } = \left\{ \dot { x } _ { t } ^ { 1 } , \mathellipsis , \dot { x } _ { t } ^ { n } \right\} . \footnotemark } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { l } { \underset { \mathbf { w } , \mathbf { m } _ { t } } { \mathop { \operatorname* { m i n } } } \underbrace { { \mathbb { E } } _ { \forall s , n \in \mathcal { D } _ { S } } | | y _ { s , n } - \tilde { y } _ { s , n } | | _ { 2 } ^ { 2 } } + } \\ { ~ ~ { \mathcal { L } _ { r e g } ^ { s } ( \mathbf { w } ) } } \end{array} \begin{array} { l } { \underbrace { { \mathbb { E } } _ { \forall t , n \in \mathcal { D } _ { T } } | | ( \hat { y } _ { t , n } - \tilde { y } _ { t , n } ) m _ { t , n } | | _ { 2 } ^ { 2 } , } } \\ { { \mathcal { L } _ { r e g } ^ { t } ( \mathbf { w } , \mathbf { m } _ { t } ) } } \end{array} } \\ & { ~ ~ \mathrm { s . t . } ~ ~ m _ { t , n } \in [ 0 , 1 ] , \forall t , n } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ^ { 2 } ( t ) = e ^ { - \Gamma t } \sum _ { l , l ^ { \prime } } } & { { } \big [ \left( s _ { l } s _ { l ^ { \prime } } + c _ { l } c _ { l ^ { \prime } } \right) \cos \left( w _ { 0 } \left( t _ { l } - t _ { l ^ { \prime } } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \Omega _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( t , \xi ) d \sigma ( \xi ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \Omega _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( t , \theta , \varphi ) \sin ( \theta ) d \theta d \varphi } \\ & { = 2 \pi \left( \omega _ { N } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } } \sin ( \theta ) d \theta + \omega _ { S } \int _ { \theta _ { 0 } } ^ { \pi } \sin ( \theta ) d \theta \right) } \\ & { = 2 \pi \Big [ \omega _ { N } \big ( 1 - \cos ( \theta _ { 0 } ) \big ) + \omega _ { S } \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 0 } ) \big ) \Big ] . } \end{array}
0 = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { R _ { b } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { p ( b ) } \\ { v ( b ) } \\ { p ( a ) } \\ { v ( a ) } \end{array} \right] = \tilde { W } _ { B } \left[ \begin{array} { l } { ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) ( b ) } \\ { ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) ( a ) } \end{array} \right] = W _ { B } \left[ \begin{array} { l } { f _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } x } } \\ { e _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } x } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial X _ { i } } { \partial t } } & { = \mathcal { R } _ { i } + \mathcal { M } _ { i } , } \\ & { = \mathcal { R } _ { i } + \frac { 1 } { \rho r ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial r } \left[ \rho r ^ { 2 } D _ { \mathrm { m i x } } \frac { \partial X _ { i } } { \partial r } \right] + \mathcal { M } _ { i } ^ { \mathrm { m i c r o } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { x } \left| 0 ^ { m } \right\rangle \left| \psi \right\rangle = \left| 0 ^ { m } \right\rangle \frac { \tilde { \nu } ( H - x I ) } { M \tilde { \mu } ( x ) } \left| \psi \right\rangle + \sum _ { j \in \{ 0 , 1 \} ^ { m } , ~ j \neq 0 ^ { m } } \left| j \right\rangle \left| \psi _ { j } ^ { \prime } \right\rangle , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left\| { \frac { 1 } { N } } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } f \circ T ^ { n } - \int _ { X } f \, d \mu \right\| _ { L ^ { 2 } ( X , \mu ) } = 0 .
\begin{array} { r l r } { \alpha ^ { \prime } ( \tau ) } & { = } & { \langle \varepsilon ^ { \prime } ( \tau ) \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu , \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu \rangle _ { L ^ { 2 } } + 2 \langle ( A ^ { \pi } ( \tau ) + \varepsilon ( \tau ) ) \nabla _ { \tau } \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu , \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu \rangle _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = } & { 2 \langle A ^ { \pi } ( \tau ) \nabla _ { \tau } \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu , \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu \rangle _ { L ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \langle \varepsilon ^ { \prime } ( \tau ) \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu , \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu \rangle _ { L ^ { 2 } } + 2 \langle \varepsilon ( \tau ) \nabla _ { \tau } \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu , \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu \rangle _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = } & { - 2 \| \nabla _ { \tau } \nu \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \langle \varepsilon ^ { \prime } ( \tau ) \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu , \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu \rangle _ { L ^ { 2 } } + 2 \langle \varepsilon ( \tau ) \nabla _ { \tau } \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu , \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu \rangle _ { L ^ { 2 } } } \end{array}
{ \frac { n \left( { \overline { { X } } } - \mu \right) ^ { 2 } } { { \frac { 1 } { n - 1 } } \sum \left( X _ { i } - { \overline { { X } } } \right) ^ { 2 } } } \sim { \frac { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } { { \frac { 1 } { n - 1 } } \chi _ { n - 1 } ^ { 2 } } } \sim F _ { 1 , n - 1 }
\begin{array} { r l r } { f ( x , \boldsymbol { v } ) } & { { } = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { \pi ^ { 3 / 2 } } e ^ { - v ^ { 2 } / 2 } \Big [ V _ { 0 } - ( \omega _ { 1 } ^ { 2 } + \omega _ { 2 } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { Q } } & { = } & { \frac { 1 } { \eta _ { z } } \left( \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } \right] - \mathbb { E } _ { t } \left[ \xi _ { z } Q _ { t z } E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } \right] + \mathbb { E } _ { t } \left[ \lambda _ { z } Q _ { t z } H _ { t z } E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } \right] + \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { z } ^ { i n i t } E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } \right] \right) . } \end{array}
\int _ { X } \left( \int _ { Y } | f ( x , y ) | \, { \mathrm { d } } y \right) \, { \mathrm { d } } x = \int _ { Y } \left( \int _ { X } | f ( x , y ) | \, { \mathrm { d } } x \right) \, { \mathrm { d } } y = \int _ { X \times Y } | f ( x , y ) | \, { \mathrm { d } } ( x , y )
\begin{array} { r } { \alpha _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ } \parallel } \sim 2 . 5 \times 1 0 ^ { - 5 } \frac { \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 3 } ( \bar { \varepsilon } / \bar { \varepsilon } _ { t } ) ^ { 2 } } { \left( 1 + ( \bar { \varepsilon } / \bar { \varepsilon } _ { t } ) ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } L _ { \epsilon } ( \phi ) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } ( t ) d t } & { = \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \left( \epsilon ^ { 2 } [ \Delta _ { t } ( \phi ) - H _ { t } \phi _ { t } + \phi _ { t t } ] - W ^ { \prime \prime } ( \overline { { g } } _ { \epsilon } ) \phi \right) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } ( t ) d t } \\ & { = - \epsilon ^ { 2 } \sigma \phi _ { t } ( s , 0 ) + O ( \epsilon ^ { 4 - \alpha } ) } \\ { \epsilon ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \dot { H } _ { 0 } ( s ) \left( \frac { t } { \epsilon } \right) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } ^ { 2 } ( t ) } & { = \kappa _ { 0 } \epsilon ^ { 3 } \dot { H } _ { 0 } } \\ { \Big | \epsilon \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { r } \ddot { H } _ { w } ( s ) d w d r \right) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } ( t ) ^ { 2 } d t \Big | } & { \leq C \epsilon \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } t ^ { 2 } \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } ( t ) ^ { 2 } d t } \\ & { = O ( \epsilon ^ { 4 } ) } \\ { \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } Q _ { 0 } ( \phi ) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } d t } & { = O ( \epsilon ^ { 4 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { e _ { i 5 } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { e } l _ { 1 } } e ^ { \frac { - i \phi l _ { 1 } } { L } } e _ { i L } ^ { \uparrow } , e _ { o L } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { e } l _ { 1 } } e ^ { \frac { i \phi l _ { 1 } } { L } } e _ { o 5 } ^ { \uparrow } , } \\ { h _ { i 5 } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { h } l _ { 1 } } e ^ { \frac { i \phi l _ { 1 } } { L } } h _ { i L } ^ { \uparrow } , h _ { o L } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { h } l _ { 1 } } e ^ { \frac { - i \phi l _ { 1 } } { L } } h _ { o 5 } ^ { \uparrow } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { \tau _ { \mathrm { A A } } \bigg \{ ( E _ { x } - \omega ) \sigma _ { \mathrm { X X } } + ( E _ { y } - \omega ) \sigma _ { \mathrm { Y Y } } } \\ { + } & { \Omega _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( \sigma _ { \mathrm { G X } } + \sigma _ { \mathrm { X G } } ) + \Omega _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { A } } ( \sigma _ { \mathrm { G Y } } + \sigma _ { \mathrm { Y G } } ) } \\ { + } & { \sum _ { m } d _ { m } ^ { x } \Omega _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } \left[ \sigma _ { \mathrm { G X } } ( b _ { m } - b _ { m } ^ { \dagger } ) + \sigma _ { \mathrm { X } \mathrm { G } } ( b _ { m } ^ { \dagger } - b _ { m } ) \right] } \\ { + } & { \sum _ { m } d _ { m } ^ { y } \Omega _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { A } } \left[ \sigma _ { \mathrm { G Y } } ( b _ { m } - b _ { m } ^ { \dagger } ) + \sigma _ { \mathrm { Y } \mathrm { G } } ( b _ { m } ^ { \dagger } - b _ { m } ) \right] \bigg \} } \\ { + } & { \tau _ { \mathrm { B B } } \bigg \{ ( E _ { y } - \omega ) \sigma _ { \mathrm { X X } } + ( E _ { x } - \omega ) \sigma _ { \mathrm { Y Y } } } \\ { + } & { \Omega _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { B } } ( \sigma _ { \mathrm { G X } } + \sigma _ { \mathrm { X G } } ) + \Omega _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { B } } ( \sigma _ { \mathrm { G Y } } + \sigma _ { \mathrm { Y G } } ) } \\ { + } & { \sum _ { m } d _ { m } ^ { y } \Omega _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { B } } \left[ \sigma _ { \mathrm { G X } } ( b _ { m } - b _ { m } ^ { \dagger } ) + \sigma _ { \mathrm { X } \mathrm { G } } ( b _ { m } ^ { \dagger } - b _ { m } ) \right] } \\ { + } & { \sum _ { m } d _ { m } ^ { x } \Omega _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { B } } \left[ \sigma _ { \mathrm { G Y } } ( b _ { m } - b _ { m } ^ { \dagger } ) + \sigma _ { \mathrm { Y } \mathrm { G } } ( b _ { m } ^ { \dagger } - b _ { m } ) \right] \bigg \} } \\ { + } & { \sigma _ { \mathrm { G G } } \nu _ { m } ^ { \mathrm { G } } b _ { m } ^ { \dagger } b _ { m } + \tau _ { \mathrm { A A } } ( \sigma _ { \mathrm { X X } } \nu _ { m } ^ { x } b _ { m } ^ { \dagger } b _ { m } + \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \nu _ { m } ^ { y } b _ { m } ^ { \dagger } b _ { m } ) + \tau _ { \mathrm { B B } } ( \sigma _ { \mathrm { X X } } \nu _ { m } ^ { y } b _ { m } ^ { \dagger } b _ { m } + \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \nu _ { m } ^ { x } b _ { m } ^ { \dagger } b _ { m } ) } \end{array}
( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\nabla \left( \nabla \cdot \mathbf { A } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial t } } \right) = \mu _ { 0 } \mathbf { J } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { A } } { \partial t ^ { 2 } } } + \nabla ^ { 2 } \mathbf { A } .
\begin{array} { r l } { S _ { a a } ( \omega ) = } & { \frac { \hbar \Omega } { N ^ { 2 } m } \Bigg \{ \frac { S _ { X X } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) } { | \sqrt { \kappa } H _ { X F } ( \omega ) | ^ { 2 } } - S _ { \xi \xi } ( \omega ) } \\ & { - \left| \frac { H _ { X Y } ( \omega ) } { H _ { X F } ( \omega ) } \right| ^ { 2 } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \\ & { - \left| \frac { 1 - \sqrt { \kappa } H _ { X X } ( \omega ) } { \sqrt { \kappa } H _ { X F } ( \omega ) } \right| ^ { 2 } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) \Bigg \} , } \end{array}
B ( x ) = B _ { 0 } \left[ \tilde { c } _ { 0 } \left( \frac { x } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { - \omega ( 1 - \tilde { \nu } ) } + \tilde { d } _ { 0 } \left( \frac { x } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { - \omega ( 1 + \tilde { \nu } ) } + { \cal O } \left( \left( \frac { x } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { - \omega ( 1 - \tilde { \nu } ) - 1 } \right) \right] ,
\begin{array} { r } { \pmb { \varepsilon } _ { \mathrm { A } , s } ^ { \mathrm { e } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) = \frac { \delta \mathcal { E } _ { \mathrm { A } , s } ^ { \mathrm { e } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) } . } \end{array}
+ x _ { 2 } ( 1 + x _ { 1 } ) \bigl ( \frac { 1 } { 1 - x _ { 2 } } + \frac { 1 } { 1 - y } \bigr ) - 2 x _ { 2 } \bigr ] - \frac { 2 y a _ { 1 } } { \Delta ^ { 2 } } \bigl ( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { 2 - a _ { 2 } } \bigr )
\begin{array} { r } { | \mathfrak { q } | _ { m , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 3 } + \varepsilon \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , \quad | d _ { i } \mathfrak { q } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { m , s , \eta _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
d _ { i } + d _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { d _ { 3 r + 2 } + d _ { i + 2 j - 6 r - 4 } } & { \mathrm { i f ~ 2 < i < 2 r + 2 ~ i s ~ o d d ~ a n d ~ } \frac { 1 } { 2 } ( i - 1 ) + j \geq 3 r + 2 } \\ { d _ { 1 } + d _ { j + ( i - 1 ) / 2 } } & { \mathrm { i f ~ 2 < i < 2 r + 2 ~ i s ~ o d d ~ a n d ~ } \frac { 1 } { 2 } ( i - 1 ) + j < 3 r + 2 } \\ { d _ { 3 r + 2 } + d _ { i + 2 j - 8 r - 8 } } & { \mathrm { i f ~ 2 \leq ~ i \leq ~ 2 r + 2 ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ } \frac { 1 } { 2 } ( i - 2 ) + j \geq 3 r + 2 } \\ { d _ { 2 } + d _ { j + ( i - 2 ) / 2 } } & { \mathrm { i f ~ 2 \leq ~ i \leq ~ 2 r + 2 ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ } \frac { 1 } { 2 } ( i - 2 ) + j < 3 r + 2 } \\ { d _ { 3 r + 2 } + d _ { 2 ( i + j - 4 r - 3 ) } } & { \mathrm { i f ~ 2 r + 2 ~ < ~ i ~ < ~ 3 r + 2 ~ a n d ~ } i + j \leq 5 r + 4 } \\ { d _ { 3 r + 2 } + d _ { i + j - 3 r - 2 } } & { \mathrm { i f ~ 2 r + 2 ~ < ~ i ~ < ~ 3 r + 2 ~ a n d ~ } i + j > 5 r + 4 } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( { \mathrm { A } } ) } & { = f _ { 1 } ( { \mathrm { A A } } ) + { \frac { 1 } { 2 } } f _ { 1 } ( { \mathrm { A a } } ) = p ^ { 2 } + p q = p ( p + q ) = p = f _ { 0 } ( { \mathrm { A } } ) } \\ { f _ { 1 } ( { \mathrm { a } } ) } & { = f _ { 1 } ( { \mathrm { a a } } ) + { \frac { 1 } { 2 } } f _ { 1 } ( { \mathrm { A a } } ) = q ^ { 2 } + p q = q ( p + q ) = q = f _ { 0 } ( { \mathrm { a } } ) } \end{array} }
( \kappa ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \vert \nu _ { B } \vert ^ { 2 } } } } \, \left( \begin{array} { c c } { { \kappa _ { B } } } & { { \kappa _ { B } \, \nu _ { B } } } \\ { { \nu _ { B } \, \kappa _ { B } } } & { { \nu _ { B } ^ { c } \, \kappa _ { B } \, \nu _ { B } } } \end{array} \right) \, { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \vert \nu _ { B } \vert ^ { 2 } } } } \; ,
{ \cal A } _ { \mathrm { V M D } } ^ { \mathrm { p v } } = 0 . 7 \times 1 0 ^ { - 8 } ~ \mathrm { G e V } ^ { - 1 } \qquad \mathrm { a n d } \qquad { \cal A } _ { \mathrm { V M D } } ^ { \mathrm { p c } } = 0 . 6 \times 1 0 ^ { - 8 } ~ \mathrm { G e V } ^ { - 1 } \ \ .
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } ( \vec { y } ) = \ } & { G _ { 0 } ( u _ { \bot } ( 1 - T _ { 1 } ) y _ { 1 } + ( 1 - u _ { \bot } ) y _ { 2 } + u _ { \bot } T _ { 1 } y _ { 3 } , ( u _ { \Delta } ( 1 - T _ { 1 } ) ) ^ { 2 } y _ { 4 } + ( 1 - u _ { \Delta } ) ^ { 2 } y _ { 5 } + ( u _ { \Delta } T _ { 1 } ) ^ { 2 } y _ { 6 } } \\ & { + 2 u _ { \Delta } ( 1 - T _ { 1 } ) ( 1 - u _ { \Delta } ) y _ { 7 } + 2 u _ { \Delta } ( 1 - T _ { 1 } ) u _ { \Delta } T _ { 1 } y _ { 8 } + 2 ( 1 - u _ { \Delta } ) u _ { \Delta } T _ { 1 } y _ { 9 } ) } \\ & { - G _ { 0 } ( u _ { \bot } ( 1 - T _ { 1 } ) y _ { 1 } + ( 1 - u _ { \bot } ) ( 1 - T _ { 1 } ) y _ { 2 } + u _ { \bot } T _ { 1 } y _ { 3 } , ( u _ { \Delta } ( 1 - T _ { 1 } ) ) ^ { 2 } y _ { 4 } + ( ( 1 - u _ { \Delta } ) ( 1 - T _ { 1 } ) ) ^ { 2 } y _ { 5 } + ( u _ { \Delta } T _ { 1 } ) ^ { 2 } y _ { 6 } } \\ & { + 2 u _ { \Delta } ( 1 - T _ { 1 } ) ^ { 2 } ( 1 - u _ { \Delta } ) ( 1 - T _ { 1 } ^ { 2 } ) y _ { 7 } + 2 u _ { \Delta } ( 1 - T _ { 1 } ) u _ { \Delta } T _ { 1 } y _ { 8 } + 2 ( 1 - u _ { \Delta } ) u _ { \Delta } T _ { 1 } ( 1 - T _ { 1 } ) ( 1 - T _ { 1 } ^ { 2 } ) y _ { 9 } ) } \end{array}
{ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial r } } \! \left( r ^ { 2 } { \frac { \partial f } { \partial r } } \right) \! + \! { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \! \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \! \left( \sin \theta { \frac { \partial f } { \partial \theta } } \right) \! + \! { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \! \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \varphi ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \dot { x } } & { = p ( x , u ) } \\ { \dot { u } } & { = - \alpha _ { 1 } \nabla h ( u ) G _ { 1 } ( x , w + \phi ( x ) ) - \alpha _ { 1 } \nabla h ( u ) \nabla \phi ( x ) \left( z + G _ { 2 } ( x , w + \phi ( x ) ) \right) } \\ { \dot { w } } & { = - \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 2 } } L \left( w + \phi ( x ) \right) } \\ { \dot { z } } & { = - \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 2 } } L \left( z + G _ { 2 } ( x , w + \phi ( x ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { V } _ { \mathrm { d d } } ^ { i , i + 1 } = \mu _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } \left( \frac { \hat { \bf e } _ { i } \cdot \hat { \bf e } _ { i + 1 } - 3 ( \hat { \bf r } _ { i , i + 1 } \cdot \hat { \bf e } _ { i } ) ( \hat { \bf r } _ { i , i + 1 } \cdot \hat { \bf e } _ { i + 1 } ) } { \hat { R } _ { i , i + 1 } ^ { 3 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( - \frac { 1 } { 2 } W _ { 1 , i } \left( x _ { i } , \tilde { P } ( x , \beta ) \right) + W _ { 2 , i } ( x , \beta ) \right) } \\ & { + \gamma \left( - \frac { 1 } { 2 } W _ { 3 } ( x , \beta ) \right) < 0 , \ \forall ( x , \beta ) \in B _ { r _ { 1 } } ( x ^ { \sf e } , \beta ^ { \sf e } ) \backslash \{ ( x ^ { \sf e } , \beta ^ { \sf e } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } & { \leq } & { H ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 3 } ) + H ( \theta _ { 2 } , p _ { 3 } ) ; } \\ { \big ( H ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \big ) ^ { 2 } } & { \leq } & { H ^ { 2 } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \leq H ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) ; } \\ { H ^ { 2 } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } & { \le } & { 2 H ^ { 2 } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 3 } ) + 2 H ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } ) . } \end{array}
\langle k _ { z } ^ { m } \rangle = \frac { \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } | \alpha _ { p } ^ { m } | ^ { 2 } k _ { z , p } } { \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } | \alpha _ { p } ^ { m } | ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } ( x _ { 2 j } ) } & { = u ( x _ { 2 j } ) , } \\ { p _ { 2 } ( x _ { 2 j + 2 } ) } & { = u ( x _ { 2 j + 2 } ) , } \\ { p _ { 1 } ( x _ { 2 j + 1 } ) } & { = p _ { 2 } ( x _ { 2 j + 1 } ) , } \\ { \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 1 } } \left( p _ { 1 } ^ { \prime } ( y ) \right) ^ { 2 } d y + \int _ { x _ { 2 j + 1 } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } \left( p _ { 2 } ^ { \prime } ( y ) \right) ^ { 2 } d y } & { = F _ { \mathrm { a c } } ( x _ { 2 j + 2 } ) - F _ { \mathrm { a c } } ( x _ { 2 j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | J _ { 1 } | } & { \leq C \left( \left\| h \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| \partial _ { x } ^ { 2 } v \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \partial _ { x } h \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| v _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| h _ { x x } \right\| _ { L ^ { 2 } } \right) \left\| \partial _ { x } ^ { 2 } \mathscr { L } h \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq C \left\| h _ { x x } \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| \partial _ { x } ^ { 2 } \mathscr { L } h \right\| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}