harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { E _ { \mathrm { s c } } ( t ) } { E _ { \mathrm { i n c } } } = i e ^ { - i \omega _ { 1 } t } \frac { \left[ t \mathrm { s g n } ( t ) + \left( t _ { 1 } - t \right) \mathrm { s g n } \left( t - t _ { 1 } \right) \right] * \left( 1 + r _ { 1 } \delta \left( t - \frac { 2 l _ { 1 } n _ { 1 } } { c } \right) \right) } { \tau _ { \mathrm { m i n } } } } \\ & { \approx - \frac { i e ^ { - i \omega _ { 1 } \tilde { t } } \left[ \tilde { t } \mathrm { s g n } ( \tilde { t } ) + \left( t _ { 1 } - \tilde { t } \right) \mathrm { s g n } \left( \tilde { t } - t _ { 1 } \right) \right] \left( 1 + r _ { 1 } \right) } { \tau _ { \mathrm { m i n } } } , \, \tilde { t } = t - \tau _ { \mathrm { m i n } } } \end{array}
\left\langle \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial \left( \mathrm { R e } F \right) ^ { 2 } } \right\rangle = - \left\langle \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial \left( \mathrm { I m F } \right) ^ { 2 } } \right\rangle = \frac { 2 } { \Lambda _ { Y M } ^ { 4 } } \left( \frac { 1 1 N _ { c } } { 1 2 } \right) ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } } { \partial r } \right) = - \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \Theta \frac { \partial p _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } } { \partial r } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } } & { ( u - s , x - z ) | | \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , w - y ) - \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , z - y ) | } \\ & { \lesssim \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \left( \frac { | w - z | ^ { \zeta } } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , y - z ) + \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) \mathbb { 1 } _ { | w - z | \geq \frac { 1 } { 2 } ( t - u ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { X } \frac { d v _ { i } ^ { ( X ) } ( t ) } { d t } } & { { } = } & { - I _ { L , i } ^ { ( X ) } ( t ) - I _ { A H P , i } ^ { ( X ) } ( t ) + I _ { e x t } ^ { ( X ) } - I _ { s y n , i } ^ { ( X ) } ( t ) , } \end{array}
i \frac { \partial b _ { \vec { k } } } { \partial t } = k ^ { 1 / 2 } b _ { \vec { k } } + 2 \int d \vec { k } _ { 2 } b _ { \mathbf 2 } \int _ { 1 , 3 \mathrm { ~ s ~ m ~ a ~ l ~ l ~ } } T _ { \vec { k } \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } \vec { k } _ { 3 } } b _ { \mathbf 1 } ^ { * } b _ { \mathbf 3 } \delta ( \vec { k } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 2 } - \vec { k } _ { 3 } ) d \vec { k } _ { 1 } d \vec { k } _ { 3 } ,
\theta ^ { y _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { y _ { 1 } , y _ { 1 } ^ { \prime } , x } \left( \mathrm { l n } \frac { W _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } } { W _ { y _ { 1 } y _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { x } } \right) ^ { 2 } W _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } p \left( y _ { 1 } ^ { \prime } , x \right)
\begin{array} { r l } { P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( t ) } & { { } = 1 - \epsilon _ { z } - \sum _ { j \in \partial z \backslash i } \delta ^ { j \rightarrow z } ( t - 1 ) - \beta ( t ) \sum _ { j \in \partial z \backslash i } { \phi ^ { j \rightarrow z } ( t - 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { N | k } ^ { \mathrm { ( i i ) } } = \frac { ( N + 1 ) \tau _ { \mathrm { d } } - \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } } \\ & { \times \left[ 1 - \sum _ { f = k } ^ { N - 1 } \binom { N } { f + 1 } p ^ { N - f - 1 } ( 1 - p ) ^ { f + 1 } \right] } \\ & { + \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \sum _ { f = 0 } ^ { k - 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { f } \binom { k } { l } \binom { N } { f + 1 } p ^ { N - f - 1 } ( 1 - p ) ^ { f + 1 } } \\ & { \times \left[ B _ { N \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , 1 } \left( k - l + 1 , l + 1 \right) \right. } \\ & { \left. - B _ { ( N - 1 ) \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , N \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( k - l + 1 , l + 1 \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \gamma } ^ { \mathbb { P } ^ { 1 } } } & { = \Psi _ { \gamma } + 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( W _ { \mathbb { P } ^ { 1 } } , \Psi _ { \gamma } ) } \\ & { = \Psi _ { \gamma } + 2 \pi q _ { + } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \; e ^ { - t H } \; G _ { + } G _ { - } ( e ^ { i Y } \Psi _ { \gamma } ) + 2 \pi q _ { - } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \; e ^ { - t H } \; G _ { + } G _ { - } ( e ^ { - i Y } \Psi _ { \gamma } ) . } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { W W V } } = - i g [ ( W _ { \mu \nu } ^ { + } W ^ { - \mu } - W ^ { + \mu } W _ { \mu \nu } ^ { - } ) ( A ^ { \nu } \sin \theta _ { W } - Z ^ { \nu } \cos \theta _ { W } ) + W _ { \nu } ^ { - } W _ { \mu } ^ { + } ( A ^ { \mu \nu } \sin \theta _ { W } - Z ^ { \mu \nu } \cos \theta _ { W } ) ] .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { B \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } P ( \check { N } ( t ) | \mathcal { F } _ { n } ) d t \geq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { B \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } P ( \tilde { N } ( t ) | \mathcal { F } _ { n } ) d t \geq 1 - \alpha , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \rho } ( t ) = \sum _ { i , k } \sum _ { j , k ^ { \prime } } c _ { i k } ( t ) c _ { j k ^ { \prime } } ^ { \ast } ( t ) | i \rangle | k \rangle \langle j | \langle k ^ { \prime } | , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \vec { L } _ { 0 } ( x ) = \vec { l } ( x ) \; \; \; \; \; { ; } \; \; \; \; \; \; \vec { L } _ { 1 } ( x ) = \gamma \partial _ { x } \vec { n } \wedge \vec { n } } } \\ { { \vec { J } _ { 0 } ( x ) = \vec { l } ( x ) - \gamma \partial _ { x } \vec { n } \; \; \; { ; } \; \; \; \vec { J } _ { 1 } ( x ) = \gamma \partial _ { x } \vec { n } \wedge \vec { n } - i \vec { \pi } = - i ( \vec { \pi } + i \gamma \partial _ { x } \vec { n } \wedge \vec { n } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } \psi ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } , t ) } & { { } = \left( - \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { j } } } { \nabla _ { j } ^ { 2 } } + V ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } , t ) \right) \psi ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } , t ) . } \end{array}
\left[ { \frac { \hbar ^ { 2 } ( k + K ) ^ { 2 } } { 2 m } } - E _ { k } \right] \cdot { \tilde { u } } _ { k } ( K ) + \sum _ { K ^ { \prime } } { \tilde { V } } ( K - K ^ { \prime } ) \, { \tilde { u } } _ { k } ( K ^ { \prime } ) = 0
\begin{array} { r l } { f _ { p } \left( \phi _ { p } \right) } & { { } = ( \alpha _ { p } + \mu _ { p } ) z _ { p } ( \phi _ { p } ) + \gamma c _ { \mathrm { g e l } } s ( \phi _ { p } ) , } \\ { f _ { n } \left( \phi _ { n } \right) } & { { } = ( \alpha _ { n } + \mu _ { n } ) z _ { n } ( \phi _ { n } ) + \gamma c _ { \mathrm { g e l } } s ( \phi _ { n } ) , } \end{array}
\Gamma ( T , S , \Phi ) \stackrel { \mathcal { G C P } [ G ^ { a } \mathcal { M } ^ { c } ] } { \longmapsto } \Gamma ^ { \mathrm { G C P } } \equiv \Gamma ( T , S , G ^ { a * } ( \mathcal { M } ^ { c * } ( \Phi ^ { \mathrm { C P } } ) ) ) .
\begin{array} { r c l c r c l } { { \displaystyle [ t _ { a } , \, t _ { b } ] } } & { { = } } & { { i F _ { a b c } t _ { c } } } & { { , } } & { { F _ { a b 0 } } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { \displaystyle \{ t _ { a } , \, t _ { b } \} } } & { { = } } & { { D _ { a b c } t _ { c } } } & { { , } } & { { D _ { a b 0 } } } & { { = } } & { { \displaystyle \sqrt { \frac { 2 } { N } } \delta _ { a b } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \delta { \cal E } ^ { ( m ) } [ \rho , n ^ { ( m ) } ] } { \delta \rho } \Big \vert _ { \rho = \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( m ) } ] } = 0 , ~ ~ ( m = 0 ~ \mathrm { o r } ~ 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \delta _ { L ^ { ( n ) } } \Phi } & { = \Big ( t ^ { n + 1 } \partial _ { t } + ( n + 1 ) t ^ { n } ( x ^ { l } \partial _ { l } + \Delta ) \Big ) \Phi } \\ & { \qquad } & { \qquad \qquad \qquad - t ^ { n - 1 } n ( n + 1 ) x ^ { k } \delta _ { B _ { k } } \Phi } \\ & { \delta _ { M _ { l } ^ { ( n ) } } \Phi } & { = - t ^ { n + 1 } \partial _ { l } \Phi + ( n + 1 ) t ^ { n } \delta _ { B _ { l } } \Phi } \\ & { \delta _ { J _ { i j } } \Phi } & { = ( x _ { i } \partial _ { j } - x _ { j } \partial _ { i } ) \Phi + \Sigma _ { i j } \Phi } \end{array}
\sigma _ { c r } \approx \mu - \frac { a _ { \sigma } ^ { ( 0 ) } + a _ { \pi } ^ { ( 0 ) } } { 4 N a _ { \sigma } ^ { ( 0 ) } a _ { \pi } ^ { ( 0 ) } } - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 \Lambda } + O \left( \frac { 1 } { N \Lambda } \right) .
S _ { \Lambda } ( z ) = N _ { \Lambda } \: \tilde { S } _ { \Lambda } ( z ) , \: \: \: N _ { \Lambda } = \left( \int _ { - 1 } ^ { 1 } d z \vert \tilde { S } _ { \Lambda } ( z ) \vert ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { \langle 2 ^ { k } x \rangle ^ { 3 } \langle 2 ^ { k _ { 1 } } y \rangle ^ { 3 } \big | K _ { k , k _ { 1 } } ( x , y ) \big | } & { \lesssim \sum _ { | \alpha | , | \beta | \leq 3 } 2 ^ { 3 k + 3 k _ { 1 } } \| | \xi | ^ { \alpha } | \eta | ^ { \beta } \nabla _ { \xi } ^ { \alpha } \nabla _ { \eta } ^ { \beta } m ( \xi , \eta ) \psi _ { [ k - 1 , k + 1 ] } ( \xi ) \psi _ { [ k _ { 1 } - 1 , k _ { 1 } + 1 ] } ( \eta ) \| _ { L _ { \xi , \eta } ^ { \infty } } , } \\ { \langle 2 ^ { k } x \rangle ^ { 4 } \langle 2 ^ { k _ { 1 } } y \rangle ^ { 4 } \big | K _ { k , k _ { 1 } } ( x , y ) \big | } & { \lesssim \sum _ { | \alpha | , | \beta | \leq 4 } 2 ^ { 3 k + 3 k _ { 1 } } \| | \xi | ^ { \alpha } | \eta | ^ { \beta } \nabla _ { \xi } ^ { \alpha } \nabla _ { \eta } ^ { \beta } m ( \xi , \eta ) \psi _ { [ k - 1 , k + 1 ] } ( \xi ) \psi _ { [ k _ { 1 } - 1 , k _ { 1 } + 1 ] } ( \eta ) \| _ { L _ { \xi , \eta } ^ { \infty } } . } \end{array}
\boldsymbol { F } _ { u } \equiv F _ { u } \mathbf { u } \equiv \Big [ \frac { 1 - \operatorname { t a n h } ( \frac { 2 } { \Delta } ( x + \frac { L _ { x } - l _ { f } } { 2 } ) ) } { \eta _ { u } } + \frac { 1 + \operatorname { t a n h } ( \frac { 2 } { \Delta } ( x - \frac { L _ { x } - l _ { f } } { 2 } ) ) } { \eta _ { u } } \Big ] \mathbf { u } ,
\begin{array} { r l r l } { V ( \emptyset ) } & { = 0 } & { \quad V ( \{ 1 , 2 \} ) } & { = 1 } \\ { V ( \{ 1 \} ) } & { = 0 } & { \quad V ( \{ 1 , 3 \} ) } & { = 1 } \\ { V ( \{ 2 \} ) } & { = 0 } & { \quad V ( \{ 2 , 3 \} ) } & { = 0 } \\ { V ( \{ 3 \} ) } & { = 0 } & { \quad V ( \{ 1 , 2 , 3 \} ) } & { = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \gamma } f ( z ) \: d z } & { = } & { 2 \pi i \sum _ { k = 1 } ^ { m } \mathrm { R e s } ( f ( z ) , z = \omega _ { k } ) } \\ & { = } & { 2 \pi i \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { \omega _ { k } ^ { 2 } - 1 } { ( 2 m + 2 ) \omega _ { k } ^ { 2 m + 1 } } } \\ & { = } & { \frac { \pi i } { m + 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \bigg [ \omega _ { k } ^ { - 2 m + 1 } - \omega _ { k } ^ { - 2 m - 1 } \bigg ] } \\ & { = } & { \frac { \pi i } { m + 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \bigg [ \omega _ { k } ^ { 3 } - \omega _ { k } \bigg ] } \\ & { = } & { \frac { \pi i } { m + 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \bigg [ \omega _ { 1 } ^ { 3 k } - \omega _ { 1 } ^ { k } \bigg ] } \\ & { = } & { \frac { \pi i } { m + 1 } \bigg [ \omega _ { 1 } ^ { 3 } \frac { 1 - \omega _ { 1 } ^ { 3 m } } { 1 - \omega _ { 1 } ^ { 3 } } - \omega _ { 1 } \frac { 1 - \omega _ { 1 } ^ { m } } { 1 - \omega _ { 1 } } \bigg ] } \\ & { = } & { \frac { \pi i } { m + 1 } \bigg [ \frac { 1 + \omega _ { 1 } ^ { 3 } } { 1 - \omega _ { 1 } ^ { 3 } } - \frac { 1 + \omega _ { 1 } } { 1 - \omega _ { 1 } } \bigg ] } \\ & { = } & { - \frac { \pi i } { m + 1 } \bigg [ \cot ( \frac { 3 \pi } { 2 ( m + 1 ) } ) - \cot ( \frac { \pi } { 2 ( m + 1 ) } ) \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \hat { a } ^ { - } ) ^ { \dagger } = } & { { } \hat { a } ^ { + } } \\ { ( \hat { a } ^ { + } ) ^ { \dagger } = } & { { } \hat { a } ^ { - } } \\ { \hat { \gamma } ^ { \dagger } = } & { { } \hat { \gamma } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { = \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \partial _ { u } - \frac { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \partial _ { v } - \beta _ { 1 } \partial _ { t } , } \\ { E _ { 2 } } & { = \frac { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \partial _ { u } + \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \partial _ { v } - \beta _ { 2 } \partial _ { t } , } \\ { E _ { 3 } } & { = \partial _ { t } . } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { N _ { p } - 1 } \frac { \partial Q _ { i } ^ { k } } { \partial t } \int _ { \Omega _ { k } } \psi _ { i } \psi _ { j } d \Omega + \int _ { \partial \Omega _ { k } } \hat { F } \psi _ { j } d s - \int _ { \Omega _ { k } } \vec { F } \cdot \nabla \psi _ { j } d \Omega = 0 \quad j = 0 , \ldots , N _ { p } - 1
D _ { \mu \nu } ( x , x ^ { \prime } ) = \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { W _ { \mu \alpha } ( x , p ) W _ { \beta \nu } ^ { * } ( x ^ { \prime } , p ) } { m _ { W } ^ { 2 } - p ^ { 2 } - i 0 } \biggl [ g ^ { \alpha \beta } + ( \xi - 1 ) \frac { p ^ { \alpha } p ^ { \beta } } { p ^ { 2 } - \xi m _ { W } ^ { 2 } + i 0 } \biggr ] .
V _ { n m } ^ { + } ( z , \bar { z } ) = \sqrt { 2 } \cos ( p \phi ( z ) { + } \bar { p } \bar { \phi } ( \bar { z } ) ) ~ ~ , ~ ~ ~ V _ { n m } ^ { - } ( z , \bar { z } ) = \sqrt { 2 } \sin ( p \phi ( z ) { + } \bar { p } \bar { \phi } ( \bar { z } ) ) ~ , ~ ~ ~
\frac \delta { \delta \tilde { j } _ { n } \left( \mathbf { p } \right) } \equiv \frac 1 { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \int d ^ { 3 } \mathbf { x \, e } ^ { i \mathbf { p \cdot x } } \frac \delta { \delta j _ { n } \left( \mathbf { x } \right) }
{ d _ { \ell } } _ { j } \, = \, { X _ { \ell } } _ { j } \, + \, \sum _ { N _ { { P _ { \ell } } _ { 1 } } , \, N _ { { P _ { \ell } } _ { 2 } } , \, N _ { { P _ { \ell } } _ { 3 } } } \hat { b } _ { N _ { { P _ { \ell } } _ { 1 } } , \, N _ { { P _ { \ell } } _ { 2 } } , \, N _ { { P _ { \ell } } _ { 3 } } } ^ { { d _ { \ell } } _ { j } } \, \prod _ { i = 1 , 2 , 3 } { P _ { \ell } } _ { i } ^ { N _ { { P _ { \ell } } _ { i } } } \, ,
\sum _ { \substack { d _ { 1 } + d _ { 2 } = d \, d _ { 1 } \geq d _ { 2 } \geq 0 } } | \mathbf { A b S o l } ( p ^ { d _ { 1 } } , p ^ { d _ { 2 } } ) | = \sum _ { \substack { d _ { 1 } + d _ { 2 } = d \, d _ { 1 } \geq d _ { 2 } \geq 0 } } p ^ { d _ { 2 } } = \sum _ { d _ { 2 } = 0 } ^ { \lfloor d / 2 \rfloor } p ^ { d _ { 2 } } = ( p ^ { \lfloor d / 2 \rfloor + 1 } - 1 ) / ( p - 1 ) .
\begin{array} { r } { i \frac { \partial } { \partial t } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) = \frac { 1 } { 2 } | k | ^ { \mu } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) - i \gamma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i | k | ^ { \mu } ( t - t ^ { \prime } ) } e ^ { i \omega ( t - t ^ { \prime } ) } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ^ { \prime } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { W i e n e r } } \left( \omega \right) } & { { } = \frac { H ^ { * } \left( \omega \right) S _ { x , x } \left( \omega \right) } { \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } S _ { x , x } \left( \omega \right) + S _ { \xi , \xi } \left( \omega \right) } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { T } _ { i j } ^ { x } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { a } _ { i \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \beta } + \hat { a } _ { i \beta } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \alpha } ) , } \\ { \hat { T } _ { i j } ^ { y } } & { = \frac { 1 } { 2 i } ( \hat { a } _ { i \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \beta } - \hat { a } _ { i \beta } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \alpha } ) , } \\ { \hat { T } _ { i j } ^ { z } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { a } _ { i \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \alpha } - \hat { a } _ { i \beta } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \beta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { a } _ { i \sigma } \hat { a } _ { j \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { j \sigma ^ { \prime } } \hat { a } _ { i \sigma } ^ { \dagger } = \delta _ { i j } \delta _ { \sigma { \sigma } ^ { \prime } } , } \\ { \hat { a } _ { i \sigma } \hat { a } _ { j \sigma ^ { \prime } } + \hat { a } _ { j \sigma ^ { \prime } } \hat { a } _ { i \sigma } = 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
v = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { R e } \left[ \tilde { v } ^ { + } e ^ { - i \omega t } \right] , } & { z \geq 0 } \\ { \mathrm { R e } \left[ \tilde { v } ^ { - } e ^ { i ( \lambda ^ { - } z - \omega t ) } \right] ~ , } & { z < 0 } \end{array} \right. ~ .
\int \mathrm { d } ^ { 3 } v v _ { \| } \hat { P } ^ { j p } ( \partial _ { \| } \hat { P } ^ { l k } ) f _ { 0 } = n _ { 0 } v _ { 0 } ( \partial _ { \| } \ln B ) \psi _ { B } ^ { j p , l k } ,
\frac { \mathrm { d } P } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { \Omega } u \mathrm { d } \Omega = \int _ { \Omega } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial u ^ { 2 } } { \partial x } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \mathrm { d } \Omega = - \frac { 1 } { 2 } [ u ^ { 2 } ] _ { a } ^ { b } + \nu [ \frac { \partial u } { \partial x } ] _ { a } ^ { b } = 0 ,
\| \mathbf { Q } _ { m } \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , 1 ] ) } \leq C \kappa _ { m - 1 } \tau _ { m } ^ { \prime \prime } \, , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \mathbf { Q } _ { m } ( 0 ) = \mathbf { Q } _ { m } ( 1 ) = 0 \, .
[ e _ { 1 } , e _ { 2 } ] _ { D } = \int _ { \Omega } \Big ( e _ { \omega } ^ { 1 } \wedge f _ { \omega } ^ { 2 } + d N ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge \ast d \big ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { 2 } ) \big ) \Big ) + \int _ { \Sigma } e _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge f _ { \Sigma } ^ { 2 } + \int _ { \Gamma } e _ { b } ^ { 1 } \wedge f _ { b } ^ { 2 } .
g _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { a c o u s t i c } } = \frac { \rho _ { 0 } } { c _ { \mathrm { s o u n d } } } \left( \begin{array} { c c c } { - ( c _ { \mathrm { s o u n d } } ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } ) } & { \vdots } & { - ( v _ { 0 } ) _ { j } } \\ { \ldots } & { \cdot } & { \ldots } \\ { - ( v _ { 0 } ) _ { i } } & { \vdots } & { \delta _ { i j } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \log \mathbb { E } _ { P } \left[ \exp \left( \lambda \sqrt { T } \xi _ { T } ^ { a , b } ( P ) \right) \right] } \\ & { = \sqrt { T } \lambda \mathbb { E } _ { P } \left[ \xi _ { T } ^ { a , b } ( P ) \right] + \frac { T \lambda ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } _ { P } \left[ \left( \xi _ { T } ^ { a , b } ( P ) \right) ^ { 2 } \right] + \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } \frac { ( \sqrt { T } \lambda ) ^ { n } } { n ! } c _ { n , T } , } \end{array}
S _ { 4 * } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ R + \frac { 1 } { 4 } \mathrm { T r } \left[ \nabla P \nabla P ^ { - 1 } \right] - \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla x \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { \sqrt { 3 } x } \nabla \tau ^ { T } P \nabla \tau \right] .
\frac { L _ { \nu - 1 } } { L _ { \nu } } = \tau _ { \nu } = [ 0 ; a _ { p } , \ldots , a _ { 1 } , a _ { p } , \ldots , a _ { 1 } , \ldots , a _ { p } , \ldots , a _ { 1 } + \theta _ { A } / \theta _ { B } ] \approx \beta
F _ { m n } ^ { a } = - 4 \rho ^ { 2 } \frac { \overline { { \eta } } _ { m n } ^ { a } } { ( x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + 8 \rho ^ { 2 } \frac { ( \overline { { \eta } } _ { m k } ^ { a } x _ { n } - \overline { { \eta } } _ { n k } ^ { a } x _ { m } ) x _ { k } } { x ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ~ .
\begin{array} { r l } { \mathscr { C } ^ { ( \! L \! ) } ( \mathcal { N } _ { M S } ) \! \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \Bigl \{ \! H ( M ) \! + \! ( \log 9 - f ( 9 , \eta ) ) \! \! \operatorname* { m a x } _ { i , j \in \{ 0 , 1 , 2 \} } \! \! \{ 1 \! - \! \pi _ { 1 } \! ( i ) \pi _ { 2 } \! ( j ) \} \! \! \Bigr \} } \\ & { - \log ( 9 ) . } \end{array}
D _ { \mu \nu } ^ { a b } ( p , p _ { 3 } ) = \frac { \delta ^ { a b } \delta ^ { a 3 } } { p ^ { 2 } - p _ { 3 } ^ { 2 } + i \epsilon } \left[ - g _ { \mu \nu } + p _ { \mu } p _ { \nu } \left( ( 1 - \delta _ { p _ { 3 } , 0 } ) \frac { 1 } { p _ { 3 } ^ { 2 } } + \delta _ { p _ { 3 } , 0 } ( 1 - \xi ) \frac { 1 } { p ^ { 2 } + i \epsilon } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { Q \in H _ { \mathrm { U } } ( 0 , 1 ) } T _ { P } ^ { Q } ( \alpha ) } & { = f \left( \operatorname* { s u p } _ { Q \in H _ { \mathrm { U } } ( 0 , 1 ) } T _ { X } ^ { Q } ( 1 - \alpha ) \right) = \frac { 4 } { 3 } \left( 1 + { \frac { 3 - 3 \alpha } { 1 + 3 \alpha } } \right) ^ { - 1 } - \frac { 1 } { 3 } = \alpha . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { g } w } & { = - 2 e ^ { - 2 u } \nabla _ { g } u \Rightarrow \nabla _ { g } u = - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 u } \nabla _ { g } w , } \\ { \Delta _ { g } w } & { = - 2 e ^ { - 2 u } \Delta _ { g } u + 4 e ^ { - 2 u } \lvert \nabla _ { g } u \rvert ^ { 2 } = - 2 e ^ { - 2 u } \Delta _ { g } u + e ^ { 2 u } \lvert \nabla _ { g } w \rvert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \rho _ { n } | \lambda _ { n } ) } & { \equiv \int \mathrm { d } r _ { n } ~ P _ { R } ( r _ { n } ) { \mathcal L } \left( \rho _ { n } \big | \lambda _ { n } r _ { n } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { { 2 } ( 1 + \lambda _ { n } ^ { 2 } ) } \exp \left( \frac { - \rho _ { n } } { { 2 } ( 1 + \lambda _ { n } ^ { 2 } ) } \right) , } \end{array}
\langle \Delta ( \hat { O } _ { 1 } , \hat { O } _ { 2 } ) \rangle = \frac { 1 } { 2 } \langle \hat { O } _ { 1 } \hat { O } _ { 2 } + \hat { O } _ { 2 } \hat { O } _ { 1 } \rangle - \langle \hat { O } _ { 1 } \rangle \langle \hat { O } _ { 2 } \rangle
\xi _ { f } ^ { ( q ) } = \mp \, e ^ { - i \phi _ { \mathrm { { \scriptsize ~ M } } } ^ { ( q ) } } \frac { \sum _ { j = u , c } v _ { j } ^ { ( r ) } \Bigl \langle f \Bigl | { \cal Q } ^ { j r } \Bigr | \overline { { { B _ { q } ^ { 0 } } } } \Bigr \rangle } { \sum _ { j = u , c } v _ { j } ^ { ( r ) \ast } \Bigl \langle f \Bigl | { \cal Q } ^ { j r } \Bigr | \overline { { { B _ { q } ^ { 0 } } } } \Bigr \rangle } .
\begin{array} { r l } { H } & { = H _ { 0 } + H _ { a b } + H _ { a c } } \\ { H _ { 0 } } & { = \omega _ { a } ^ { ( 1 ) } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \omega _ { a } ^ { ( 2 ) } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + \omega _ { b } b ^ { \dagger } b + \omega _ { c } c ^ { \dagger } c , } \\ { H _ { a b } } & { = ( g _ { l } a _ { 1 } + g _ { r } a _ { 2 } ) b ^ { \dagger } + \mathrm { H . c . } , } \\ { H _ { a c } } & { = g _ { n l } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } c + i f _ { p } e ^ { - i \omega _ { p } t } c ^ { \dagger } + \mathrm { H . c . } , } \end{array}