harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left< \Delta \theta _ { i j } \right> } & { = \int _ { 0 } ^ { \pi } \Delta \theta _ { i j } \rho ( \Delta \theta _ { i j } | a _ { i j } = 1 ) \, d \Delta \theta _ { i j } } \\ & { = \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { \Delta \theta \sin ^ { D - 1 } \Delta \theta \, d \Delta \theta } { 1 + \left( \frac { R \Delta \theta } { ( \mu \kappa ( k _ { i } ) \kappa ( k _ { j } ) ) ^ { 1 / D } } \right) ^ { \beta } } } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { \sin ^ { D - 1 } \Delta \theta d \Delta \theta } { 1 + \left( \frac { R \Delta \theta } { ( \mu \kappa ( k _ { i } ) \kappa ( k _ { j } ) ) ^ { 1 / D } } \right) ^ { \beta } } } . } \end{array}
S ( \beta \vec { D } ^ { - 1 } , \vec { \theta } ) = \beta \sum _ { j } D _ { j } ^ { - 1 } M _ { j } ( \vec { \theta } ) = \beta \sum _ { j } D _ { j } ^ { - 1 } D _ { j } ^ { \phantom { - } } \mathcal { P } _ { j } ( \Vec { \theta } ) = \beta
\mathbf { a } \cdot \mathbf { b } = \left\| \mathbf { a } \right\| \left\| \mathbf { b } \right\| \cos \theta = \left\| \mathbf { b } \right\| \left\| \mathbf { a } \right\| \cos \theta = \mathbf { b } \cdot \mathbf { a } .
\begin{array} { r l } { A \cdot \# M _ { \varepsilon } ( T ) } & { = A \cdot \mathrm { d i m } ( S _ { \varepsilon } ) = A \sum _ { k = 1 } ^ { \mathrm { d i m } ( S _ { \varepsilon } ) } \| \psi _ { k } \| ^ { 2 } \leq \sum _ { k = 1 } ^ { \mathrm { d i m } ( S _ { \varepsilon } ) } \sum _ { i \in \mathcal { I } } | \langle \psi _ { k } , \phi _ { i } \rangle | ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i \in \mathcal { I } } \| P _ { \varepsilon } \phi _ { i } \| ^ { 2 } \leq \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { 2 } } \| \phi _ { i } \| ^ { 2 } + \frac { A } { 2 } = \# \mathcal { I } _ { 2 } + \frac { A } { 2 } \le \# \mathcal { I } _ { 2 } + \frac { A } { 2 } \# M _ { \varepsilon } ( T ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { D } _ { \Omega \beta } ( N \omega ) = } & { { } } & { e ^ { \mathrm { ~ i ~ } N \omega t _ { r } ^ { \prime } } a _ { \mathrm { r e c } } \, \mathbf { d } ( \mathrm { U } _ { \Omega \beta } \mathrm { R e } [ \mathbf { k } ( t _ { r } ^ { \prime } ) ] ) a _ { \mathrm { p r o p } } \, } \end{array}
\Sigma : = \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { 1 } { | | \boldsymbol { \beta _ { 1 } } | | _ { 2 } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { | | \boldsymbol { \beta _ { 2 } } | | _ { 2 } } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \frac { 1 } { | | \boldsymbol { \beta _ { p } } | | _ { 2 } } } \end{array} \right] ,
\boldsymbol { b } = \mathbf { D } ^ { - 1 } \left[ \sum _ { j } \boldsymbol { N } _ { j } \boldsymbol { N } _ { j } ^ { T } w ( \left| \boldsymbol { r } _ { i j } \right| ) V _ { j } \right] ^ { - 1 } \sum _ { j } ( u _ { j } - u _ { i } ) \boldsymbol { N } _ { j } w ( \left| \boldsymbol { r } _ { i j } \right| ) V _ { j } ,
\begin{array} { r l r } & { = } & { \phi _ { \beta } \left( z \right) \left( \Phi _ { n } \left( \overline { { \alpha } } z \right) + \frac { \alpha } { 1 - \overline { { \alpha } } z } \left( 1 - \Phi _ { n } \left( \overline { { \alpha } } z \right) \right) \right) } \\ & { = } & { \phi _ { \beta } \left( z \right) \frac { \alpha + \overline { { \alpha } } \left( 1 - z \right) \Phi _ { n } \left( \overline { { \alpha } } z \right) } { 1 - \overline { { \alpha } } z } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \alpha \bigg [ \frac { 2 x - a - b } { d + c - a - b } - \theta _ { l } \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { 2 x - a - b } { d + c - a - b } - \frac { b - a } { d + c - a - b } , \frac { 2 c - a - b } { d + c - a - b } - \frac { 2 x - a - b } { d + c - a - b } \bigg \} \bigg ] + } \\ & { ( 1 - \alpha ) \bigg [ \frac { 2 x - a - b } { d + c - a - b } + \theta _ { r } \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { 2 x - a - b } { d + c - a - b } - \frac { b - a } { d + c - a - b } , \frac { 2 c - a - b } { d + c - a - b } - \frac { 2 x - a - b } { d + c - a - b } \bigg \} \bigg ] } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 x - a - b } { d + c - a - b } - [ \alpha \theta _ { l } - ( 1 - \alpha ) \theta _ { r } ] \big [ \frac { 2 x - a - b } { d + c - a - b } - \frac { b - a } { d + c - a - b } \big ] , } & { b < x \leq \frac { b + c } { 2 } ; } \\ { \frac { 2 x - a - b } { d + c - a - b } - [ \alpha \theta _ { l } - ( 1 - \alpha ) \theta _ { r } ] \big [ \frac { 2 c - a - b } { d + c - a - b } - \frac { 2 x - a - b } { d + c - a - b } \big ] , } & { \frac { b + c } { 2 } \leq x < c . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { c } { { \frac { U } { U _ { p } } = \frac { 3 } { 2 } \left( 1 - c _ { h } ^ { 2 } \right) \left( \frac { t _ { 2 } - t } { t _ { 2 } - t _ { 1 } } \right) + \frac { 1 } { t _ { 2 } - t _ { 1 } } \frac { h ^ { 2 } } { 4 0 \nu } \left( 5 c _ { h } ^ { 4 } - 6 c _ { h } ^ { 2 } + 1 \right) } } \\ { { - \frac { 2 h ^ { 2 } } { \nu } \Sigma _ { n h = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { e ^ { \left( - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } \right) t } - e ^ { \left( - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } \right) \left( t - t _ { o } \right) } } { t _ { o } } \right. } } \\ { { - \frac { e ^ { \left( - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } \right) \left( t - t _ { 1 } \right) } } { t _ { 2 } - t _ { 1 } } ) \left[ \frac { \cos \left( c _ { h } v _ { n h } \right) - \cos \left( v _ { n h } \right) } { v _ { n h } ^ { 3 } \sin \left( v _ { n h } \right) } \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \hat { V } _ { 1 } ^ { k } - V _ { 1 } ^ { \pi ^ { k } } \right) \leq \sum _ { h = 1 } ^ { H } \sum _ { k = 1 } ^ { K } E _ { w _ { h k } ^ { B } } \left[ 2 \sqrt { 2 } \vert u ( - H + h ) \vert \sqrt { \frac { S \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } { N _ { h } ^ { k } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { 1 } , D _ { 2 } \subset [ 0 , 1 ) \times \mathbb { R } ^ { 2 } \quad \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \quad D _ { 1 } \cap D _ { 2 } = \emptyset } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb P \left[ \operatorname* { i n f } _ { \boldsymbol { v } _ { 1 } \in \mathbb R ^ { L } } \left( | \! | X _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { T _ { 1 } } 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } \left( | \! | \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } - \frac 2 { s _ { 1 } } | \! | \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 1 } ^ { 2 } \right) \right) \geq 0 \right] } \\ & { \geq } & { 1 - 2 e ^ { - \frac { T _ { 1 } } 2 \zeta _ { 1 } ^ { 2 } + s _ { 0 } \operatorname* { m i n } \{ \log L , ~ \log ( 2 1 e L / s _ { 0 } ) \} } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A x ^ { 0 } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { \hat { A } _ { B } } & { \hat { A } _ { N } } & { \hat { a } _ { n + 1 } } \\ { d _ { B } ^ { \top } } & { d _ { N } ^ { \top } } & { d _ { n + 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x _ { B } ^ { 0 } } \\ { x _ { N } ^ { 0 } } \\ { x _ { n + 1 } ^ { 0 } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { \hat { A } _ { B } x _ { B } ^ { 0 } + \hat { A } _ { N } x _ { N } ^ { 0 } + \hat { a } _ { n + 1 } x _ { n + 1 } ^ { 0 } } \\ { d _ { B } ^ { \top } x _ { B } ^ { 0 } + d _ { N } ^ { \top } x _ { N } ^ { 0 } + d _ { n + 1 } x _ { n + 1 } ^ { 0 } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { \hat { A } _ { B } x _ { B } ^ { 0 } + \hat { A } _ { N } x _ { N } ^ { 0 } + ( \hat { A } _ { B } ( \hat { x } _ { B } - x _ { B } ^ { 0 } ) - \hat { A } _ { N } x _ { N } ^ { 0 } ) } \\ { d _ { B } ^ { \top } x _ { B } ^ { 0 } + d _ { N } ^ { \top } x _ { N } ^ { 0 } + ( d _ { B } ^ { \top } ( \hat { x } _ { B } - x _ { B } ^ { 0 } ) - d _ { N } ^ { \top } x _ { N } ^ { 0 } ) } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { \hat { A } _ { B } \hat { x } _ { B } } \\ { d _ { B } ^ { \top } \hat { x } _ { B } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \hat { b } } \\ { d _ { B } ^ { \top } \hat { x } _ { B } } \end{array} \right) = b , } \end{array}
\int d t ^ { \prime } G ( 0 , t ; 0 , t ^ { \prime } ) = \int \frac { d k } { 2 \pi } \left( \frac { i } { - k ^ { 2 } - 4 } \right) \left( \frac { 2 i k \left( i k - 2 \coth 2 x _ { 0 } \right) } { ( i k ) ^ { 2 } - 2 i k \sqrt { 1 + \sigma _ { 0 } } \sqrt { 1 + \sigma _ { 1 } } + 2 ( \sigma _ { 0 } + \sigma _ { 1 } ) } \right) .
\begin{array} { r l } { C _ { L } ^ { ( \gamma ) } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = D \; \gamma ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \left( \frac { \operatorname* { m i n } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } { \operatorname* { m a x } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } \right) ^ { \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } \; \langle \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } ( \operatorname* { m i n } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ) \rangle } \\ & { = : D \; \gamma ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } c ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big ( ( n + i - j ) ( d ^ { ( \nu ) } j + c ^ { ( \nu ) } ) + d ^ { ( \nu ) } ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) + n ( d ^ { ( \nu ) } ( i - N - 1 ) - c ^ { ( \nu ) } ) \Big ) q _ { j } } \\ { + d ^ { ( \nu ) } ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) \frac { \mu _ { j - 1 } } { \mu _ { j } } \frac { \epsilon _ { j } } { \epsilon _ { j - 1 } } q _ { j - 1 } + M _ { j } \frac { \epsilon _ { j } } { \epsilon _ { j + 1 } } q _ { j + 1 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sigma _ { h ^ { * } } ^ { 2 } } } & { = - \frac { \partial ^ { 2 } ( \log P ) } { \partial h ^ { 2 } } } \\ & { = - \frac { \partial } { \partial h } \left( \sum _ { i } - \eta \bar { s } _ { i } J _ { i } T + \frac { T J _ { i } \eta } { 1 + e ^ { \eta J _ { i } h + \epsilon } } \right) \left| _ { h ^ { * } } \right. } \\ & { = \sum _ { i } \frac { T ( \eta J _ { i } ) ^ { 2 } e ^ { \eta J _ { i } h ^ { * } + \epsilon } } { ( 1 + e ^ { \eta J _ { i } h ^ { * } + \epsilon } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \sum _ { i } \frac { T ( \eta J _ { i } ) ^ { 2 } } { 4 \cosh ^ { 2 } ( \frac { \eta J _ { i } h ^ { * } + \epsilon } { 2 } ) } . } \end{array}
\epsilon _ { \mathrm { ~ M ~ G ~ } } = \epsilon _ { \mathrm { ~ h ~ } } \frac { \epsilon _ { \mathrm { ~ i ~ } } ( 1 + 2 f ) + 2 \epsilon _ { \mathrm { ~ h ~ } } ( 1 - f ) } { \epsilon _ { \mathrm { ~ i ~ } } ( 1 - f ) + \epsilon _ { \mathrm { ~ h ~ } } ( 2 + f ) } \, ,
\int \prod _ { \mu = 0 } ^ { p } \left( \frac { d \bar { \lambda } _ { \mu } d \lambda _ { \mu } } { 2 i } \right) \exp \left[ - \left( \bar { \lambda } _ { \mu } + \alpha _ { \mu } \right) M ^ { \mu \nu } \left( \lambda _ { \nu } + \beta _ { \nu } \right) \right] = \frac { \pi ^ { p + 1 } } { \operatorname * { d e t } M ^ { \mu \nu } } ~ ,
S _ { \mathrm { g a u g e - f i x e d } } = { \frac { 1 } { 2 } } \langle \Psi | c _ { 0 } L _ { 0 } | \Psi \rangle + { \frac { 1 } { 3 } } \langle \Psi , \Psi , \Psi \rangle \ ,
\mathbb { D } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { T M } } ( R _ { \ell } ) = \left( \begin{array} { l l } { J _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { H _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \\ { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } H _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } | K _ { T _ { n } } ( x , Z ) | ^ { 2 } d \nu ( x ) \right) = } & { \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \mathrm { E } \left( \sum _ { q = 1 } ^ { N ( d , l ) } \left| \sum _ { r = 1 } ^ { N ( d , l ) } ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) _ { q r } ^ { - 1 } \overline { { B _ { r } ^ { l } ( Z ) } } \right| ^ { 2 } \right) } \\ { \leq } & { \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \left\| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \right\| _ { \mathrm { o p } } ^ { 2 } \mathrm { E } \left( \| B ^ { l } ( Z ) \| ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { ( \nu ( \mathbb { S } ^ { d } ) ) ^ { - 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } N ( d , l ) \left\| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \right\| _ { \mathrm { o p } } ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } D _ { \mathrm { N S } } ( x , M ) } { \mathrm { d } \ln M } = \frac { \alpha } { \pi } k _ { \mathrm { N S } } ( x ) + \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } y } { y } D _ { \mathrm { N S } } ( y , M ) P _ { q / q } ^ { ( 0 ) } \left( \frac { x } { y } \right) ,
\begin{array} { r l } { \overleftarrow { \tilde { F } } _ { 0 } ( \sigma _ { q _ { m } } ) = } & { \sum _ { m ^ { \prime } < M } \lambda ( \overleftarrow { \tilde { F } } _ { 0 } ( \sigma _ { q _ { m } } ) , Q _ { m ^ { \prime } } ) P _ { m ^ { \prime } } } \\ { = } & { P _ { m } + \sum _ { m ^ { \prime } < m } \lambda ( \overleftarrow { \tilde { F } } _ { 0 } ( \sigma _ { q _ { m } } ) , Q _ { m ^ { \prime } } ) P _ { m ^ { \prime } } , } \end{array}
\boldsymbol { \psi } ( t + \delta t ) = \left[ \boldsymbol { \Psi } ( \mathbf { a } ( t _ { 1 } + \delta t ) ) ~ ~ \boldsymbol { \Psi } ( \mathbf { a } ( t _ { 2 } + \delta t ) ) ~ ~ \cdot \cdot \cdot \right]
\varepsilon ^ { 2 } \{ U _ { n , \varepsilon } ( \alpha , \beta ) - U _ { n , \varepsilon } ( \alpha _ { 0 } , \beta ) \} \xrightarrow { P } \int _ { 0 } ^ { 1 } B ^ { \top } ( X _ { s } ^ { 0 } , \theta _ { 0 } , \theta ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } ( X _ { s } ^ { 0 } , X _ { s - \cdot } ^ { 0 } , \beta _ { 0 } ) B ( X _ { s } ^ { 0 } , \theta _ { 0 } , \theta ) \, \mathrm { d } s
\Gamma ^ { P } ( g ^ { \mu \nu } ) = \frac { 1 } { 9 6 \pi } \int d ^ { 2 } x \partial _ { \mu } \sigma \gamma ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \sigma + \frac { 1 } { 4 8 \pi } \int d ^ { 2 } x \partial _ { \mu } \sigma { \cal R } ^ { \mu } + \Gamma ( \gamma ^ { \mu \nu } )
H _ { \mathrm { e f f } } = - \sum _ { i \neq j } J _ { i j } s _ { i } s _ { j } + h _ { \mathrm { e f f } } \sum _ { i } s _ { i } + N \log ( 1 + e ^ { \mu } ) , \quad \quad h _ { \mathrm { e f f } } = E _ { s } + \log \frac { 1 + e ^ { \mu } } { 1 + e ^ { \mu - E _ { 0 } } } .
\tau _ { i j } = C _ { 1 } \bar { \Delta } ^ { 2 } | \bar { S } | \bar { S } _ { i j } + C _ { 2 } \left( \widetilde { \bar { u } _ { i } \bar { u } _ { j } } - \tilde { \bar { u } } _ { i } \tilde { \bar { u } } _ { j } \right) .
\begin{array} { r } { \overline { { v ^ { 2 } } } \frac { \partial U } { \partial y } = u _ { * } ^ { 2 } \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } u _ { * } \frac { \partial U _ { i } } { \partial y ^ { + } } \frac { u _ { * } } { \nu } , \ \ \frac { \delta \nu } { u _ { * } ^ { 3 } } \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } \frac { \partial U _ { i } } { \partial y ^ { + } } \frac { 1 } { \delta \nu } = \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } \frac { \partial U _ { i } } { \partial y ^ { + } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \tilde { X } ^ { 2 } \Sigma ^ { + } | B L _ { - } | \tilde { A } ^ { 2 } \Pi _ { 1 / 2 } \rangle \langle \tilde { A } ^ { 2 } \Pi _ { 1 / 2 } | \Sigma _ { i } a _ { i } l _ { i } ^ { + } s _ { i } ^ { - } | \tilde { X } ^ { 2 } \Sigma ^ { + } \rangle } \\ & { \quad = B | x _ { p } | ^ { 2 } | a _ { p } | ^ { 2 } \langle 6 p \sigma | l _ { i } ^ { - } | 6 p \pi \rangle \langle 6 p \pi | \zeta _ { 6 p } l _ { i } ^ { + } | 6 p \sigma \rangle } \\ & { \quad = 2 B | x _ { p } | ^ { 2 } | a _ { p } | ^ { 2 } \zeta _ { 6 p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } ^ { * } = { \mathscr F } = \left\{ f \in L ^ { 2 } ( { \mathbb R } ) : f | _ { ( 0 , \infty ) } \in H ^ { 1 } ( ( 0 , \infty ) ) , f | _ { ( - \infty , 0 ) } \in H ^ { 1 } ( ( - \infty , 0 ) ) \right\} , } \\ & { { \mathscr E } ^ { * } ( f , f ) = { \mathscr E } ( f , f ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { { \mathbb R } \setminus \{ 0 \} } f ^ { \prime } ( x ) ^ { 2 } d x + \frac { \kappa } { 4 } ( f ( 0 + ) - f ( 0 - ) ) ^ { 2 } , \quad f \in { \mathscr F } . } \end{array}
\eta _ { a } ^ { \alpha } \overline { { { \eta } } } _ { a \alpha } = 1 ; \qquad \eta _ { a } ^ { \alpha } { \eta } _ { a \alpha } = \overline { { { \eta } } } _ { a } ^ { \alpha } \overline { { { \eta } } } _ { a \alpha } = 0 ,
\left. \begin{array} { l } { { \delta _ { a } \bigl ( [ S _ { a } ] ^ { - 1 } [ S _ { 2 } ] \bigl ) = \delta _ { a } \bigl ( ( D _ { 2 } ) ( \gamma _ { 2 } ) ( D _ { 1 } ) ^ { - 1 } \bigl ) = 0 , } } \\ { { \delta _ { b } \bigl ( [ S _ { b } ] [ S _ { 1 } ] \bigl ) = \delta _ { b } \bigl ( ( D _ { 1 } ) ( \gamma _ { 1 } ) \bigl ) = 0 , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \frac { q ^ { 2 } } { \epsilon _ { z } ( \omega ) } + \frac { \kappa ^ { 2 } } { \epsilon _ { t } ( \omega ) } } & { { } = } & { \frac { \omega ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } , } \\ { \tan \left( \frac { \kappa d } { 2 } \right) } & { { } = } & { - \frac { \kappa } { \epsilon _ { t } \sqrt { q ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } , } \end{array}
u _ { p } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) = \underbrace { u ^ { * } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \left\{ 1 + \Gamma \left( z ^ { + } \right) u _ { S } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } - \tau _ { a } ^ { + } \right) \right\} } _ { \mathrm { ~ a ~ m ~ p ~ l ~ i ~ t ~ u ~ d ~ e ~ m ~ o ~ d ~ u ~ l ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } + \underbrace { u _ { S } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) } _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ e ~ r ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } .
\tilde { \tau } _ { D } ^ { 1 } = \frac { b _ { 2 0 1 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } \tilde { \alpha } _ { D } - \frac { \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , D } } { \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 1 } } , \ \tilde { \tau } _ { D } ^ { D } = \frac { b _ { 2 0 D } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } \tilde { \alpha } _ { D } + 1 , \ \tilde { \alpha } _ { D } = \frac { b _ { 2 0 D } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } - \frac { \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , D } } { \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \frac { b _ { 2 0 1 } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } \mathrm { ~ w i t h ~ } \bar { c } _ { 1 } ^ { 2 } = 1 .
\tilde { U } _ { \beta } ( \boldsymbol { X } _ { \ell } ) = \sum _ { i , j , k } \tilde { u } _ { \beta } ( \boldsymbol { x } _ { i j k } ^ { \beta } ) \delta _ { h } \left( \boldsymbol { x } _ { i j k } ^ { \beta } - \boldsymbol { X } _ { \ell } \right) h ^ { 3 } \quad \forall \ell ; 1 \leq \beta \leq 3 .
\mu _ { 1 } \left( x _ { 3 } \right) = \displaystyle \frac { 3 M _ { 1 } } { 4 R _ { 1 } } \left( 1 - \frac { x _ { 3 } ^ { 2 } } { R ^ { 1 } } \right) , \quad R _ { 1 } = \sqrt { c _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 1 } ^ { 2 } } , \quad - R _ { 1 } \leq x _ { 3 } \leq R _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { d \to \infty } \gamma _ { j } ( \mathcal { W } _ { d , \rho _ { d } } \cap \mathbb { R } ^ { \ell } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { d \to \infty } \frac { 2 \mathbb J _ { \ell + 1 , \ell - j + 1 } ( { \frac { d - \ell - 1 } { 2 } } ) \pi ^ { \frac { \ell } { 2 } } } { d ( \ell + 1 ) \rho _ { d } ^ { - { \frac { \ell } { d } } } } \frac { \Gamma ( { \frac { ( \ell + 1 ) ( d - 1 ) } { 2 } } + 1 ) } { \Gamma ( { \frac { ( \ell + 1 ) ( d - 1 ) + 1 } { 2 } } ) } \frac { \Gamma ( \ell + 1 - { \frac { \ell } { d } } ) } { \Gamma ( { \frac { \ell + 2 } { 2 } } ) } \frac { \Gamma ( { \frac { d } { 2 } } + 1 ) ^ { \ell + 1 - { \frac { \ell } { d } } } } { \Gamma ( { \frac { d + 1 } { 2 } } ) ^ { \ell + 1 } } } \\ & { = \frac { 2 \mathbb J _ { \ell + 1 , \ell - j + 1 } ( \infty ) ( \kappa ^ { 2 } \pi ) ^ { \frac { \ell } { 2 } } } { \ell + 1 } \frac { 2 \Gamma ( \ell ) } { \Gamma ( { \frac { \ell } { 2 } } ) } \operatorname* { l i m } _ { d \to \infty } \frac 1 d \frac { \Gamma ( { \frac { ( \ell + 1 ) ( d - 1 ) } { 2 } } + 1 ) } { \Gamma ( { \frac { ( \ell + 1 ) ( d - 1 ) + 1 } { 2 } } ) } \frac { \Gamma ( { \frac { d } { 2 } } + 1 ) ^ { \ell + 1 - { \frac { \ell } { d } } } } { \Gamma ( { \frac { d + 1 } { 2 } } ) ^ { \ell + 1 } } . } \end{array}
\gamma = \frac { 1 } { 2 } c _ { j k } ^ { i } \psi _ { i } \chi ^ { j } \chi ^ { k } + \frac { 1 } { 2 } f _ { k } ^ { i j } \psi _ { i } \psi _ { j } \chi ^ { k } + \frac { 1 } { 3 ! } \varphi ^ { i j k } \psi _ { i } \psi _ { j } \psi _ { k } .
{ \frac { 1 } { 2 ^ { n } n ! } } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { n } \cos ( x z ) \, \mathrm { d } z = { \frac { A _ { n } ( x ) } { x ^ { 2 n + 1 } } } = U _ { n } ( x ) .
\left\{ \begin{array} { l l } & { \partial _ { t } u _ { 1 } = F _ { 1 } ( \mathbf { u } ) : = a + u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } - ( b + 1 ) u _ { 1 } + \alpha \Delta u _ { 1 } , \textrm { i n } \Omega \times ] 0 , T ] } \\ & { \partial _ { t } u _ { 2 } = F _ { 2 } ( \mathbf { u } ) : = b u _ { 1 } - u _ { 1 } ^ { 2 } \ u _ { 2 } + \alpha \Delta u _ { 2 } , \textrm { i n } \Omega \times ] 0 , T ] , } \\ & { u _ { 1 } ( \textbf { x } , 0 ) = u ^ { 0 } ( \textbf { x } ) = 2 + 0 . 2 5 y , \textrm { i n } \Omega } \\ & { u _ { 2 } ( \textbf { x } , 0 ) = v _ { 0 } ( \textbf { x } ) = 1 + 0 . 8 x , \textrm { i n } \Omega , } \\ & { \partial _ { n } u _ { 1 } = 0 , \ \partial \Omega , } \\ & { \partial _ { n } u _ { 2 } = 0 , \ \partial \Omega . } \end{array} \right.
\phi ( r ) = \frac { r ^ { 2 } + r } { r ^ { 2 } + 1 } , r _ { j } = \frac { \Delta _ { j } ^ { + } U _ { i } } { \Delta _ { j } ^ { - } U _ { i } } = \frac { ( U _ { i } ) _ { j + 1 } - ( U _ { i } ) _ { j } } { ( U _ { i } ) _ { j } - ( U _ { i } ) _ { j - 1 } }
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } \mathcal U _ { \mathbb B ^ { 2 } } ( A _ { \theta _ { 1 } , \theta ^ { 2 } } ^ { \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } } ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \sin ( \theta _ { 1 } ) } ^ { \sin ( \theta _ { 2 } ) } \int _ { \varphi _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 2 } } \mathrm { d } \varphi ( 1 - r ^ { 2 } ) ^ { - \frac 1 2 } r \mathrm { d } r } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } ( \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } ) ( \sqrt { 1 - \sin ( \theta _ { 1 } ) ^ { 2 } } - \sqrt { 1 - \sin ( \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } ( \tau ) } & { = \left\{ \varepsilon + \hbar \omega + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } t _ { i } \cos \left[ \textbf { q } \cdot \textbf { b } _ { i } + \theta _ { i } ( \tau ) \right] \right\} \sigma _ { z } } \\ & { + [ \eta _ { s p } \hbar \omega K _ { x } \cos ( \omega \tau ) + \eta _ { s p } \hbar \omega K _ { y } \cos ( \omega \tau + \varphi ) ] } \\ & { \times [ \sigma _ { x } \cos ( 2 \omega \tau ) - \sigma _ { y } \sin ( 2 \omega \tau ) ] / 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { } \\ { u _ { i } ( Y _ { i } ; \sigma _ { i } ^ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } ( \sigma _ { i } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } , \sigma ^ { 2 } ) ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } } \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } h ( \boldsymbol { z } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { \alpha } ) } \left[ \exp \left\{ - \frac { \beta } { 2 } g _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) \right\} \left( g _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) - 1 \right) + \frac { \beta } { ( \beta + 1 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right] , } \\ { u _ { i } ( Y _ { i } ; \mu _ { i } ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } ( \sigma _ { i } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } , \sigma ^ { 2 } ) ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } } \exp \left\{ - \frac { \beta } { 2 } g _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) \right\} \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \frac { \epsilon _ { i } ( \boldsymbol { \beta } ) } { h ( \boldsymbol { z } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { \alpha } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf E } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) } & { = } & { \frac { { \bf E } _ { \mathrm { i n c } } ( { \bf r } ) + \sigma \mathrm { i } Z { \bf H } _ { \mathrm { i n c } } ( { \bf r } ) } { 2 } = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { + l } \left( \frac { { g _ { l m } ^ { e } + \sigma g _ { l m } ^ { m } } } { \sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { { \boldsymbol { N } } _ { l m } ^ { j } ( { \bf r } ) + \sigma { \boldsymbol { M } } _ { l m } ^ { j } ( { \bf r } ) } { \sqrt { 2 } } \right) = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { + l } C _ { l m } ^ { \sigma } \boldsymbol { \Psi } _ { l m } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) , } \end{array}