harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\textbf { H } _ { \mathrm { m } } = \frac { \textbf { P } _ { \mathrm { n u } } ^ { 2 } } { 2 \mu } + \underbrace { \frac { \textbf { p } _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { \mathrm { e } } } + V _ { \mathrm { R y d } } ( \textbf { r } ) + V _ { \mathrm { e n } } ( \textbf { R } , \textbf { r } ) } _ { \textbf { H } _ { \mathrm { e } } ( \textbf { R } , \textbf { r } ) }
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \begin{array} { l } { \tilde { \bf F } ^ { + } ( { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) } \\ { \tilde { \bf F } ^ { - } ( { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { - ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { - } } & { ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \\ { ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { + } } & { - ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \end{array} \right) ( { \bf s } , x _ { 3 } ) \left( \begin{array} { l } { \tilde { \bf F } _ { 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) } \\ { \tilde { \bf F } _ { 2 } ( { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\theta _ { n } = \frac { \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } { \sqrt { 2 | \alpha | } } \sqrt { \frac { n } { \omega _ { ( n ) } } } \left[ P _ { n } ^ { - 1 } b _ { n } + e ( \alpha ) P _ { n } b _ { - n } ^ { \dagger } \right] ~ ,
\begin{array} { l l } { \operatorname* { m a x } _ { \tilde { \lambda } } } & { 2 \pi \tilde { r } _ { 0 } + 2 \pi \sum _ { k = 0 } ^ { n } \tilde { \lambda } _ { k } \tilde { r } _ { k } } \\ { \mathrm { ~ s . t . ~ } } & { a _ { k } \leq \int _ { \mathcal { I } } e ^ { i k \theta } \exp \left( - 1 - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \tilde { \lambda } _ { k } e ^ { i k \theta } \right) d \theta } \\ & { = \tilde { r } _ { k } \leq b _ { k } } \\ & { \mathrm { ~ f o r ~ } k = 0 , \cdots , n . } \end{array}
\vec { F } ^ { \mathrm { d i f } } = K \, \left( \frac { \partial \, C } { \partial \, x } \, \mathrm { s i n } ^ { 2 } \theta - \frac { \partial \, C } { \partial \, y } \, \mathrm { c o s } \theta \, \mathrm { s i n } \theta \right) \, \vec { e _ { x } } + K \, \left( \frac { \partial \, C } { \partial \, y } \, \mathrm { c o s } ^ { 2 } \theta - \frac { \partial \, C } { \partial \, x } \, \mathrm { s i n } \theta \, \mathrm { c o s } \theta \right) \, \vec { e _ { y } } \quad [ \mathrm { k g } \, \mathrm { m } ^ { - 1 } \, \mathrm { s } ^ { - 1 } ] ,
\boldsymbol { A } \frac { d } { d x } \left[ \begin{array} { c } { R } \\ { V } \\ { C } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { V ( \mu + n ) } \\ { R \left( C ^ { 2 } ( 2 + \mu ) + \gamma V ( \lambda + V ) \right) } \\ { \frac { C \left( 2 \left( V + \lambda \right) + n ( \gamma - 1 ) \right) } { 2 \gamma ( 1 + V ) } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \omega _ { 2 B } } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d } \boldsymbol { q } ^ { T } \wedge \left( \mathsf { P } ^ { \mathcal { C } } + \mathsf { P } ^ { \mathcal { V } } - \mathsf { P } ^ { \mathcal { L } } - \mathsf { P } ^ { \mathcal { I } } \right) \mathrm { d } \boldsymbol { \phi } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d } \boldsymbol { \zeta } ^ { T } \wedge \mathsf { E } _ { 2 B } \mathrm { d } \boldsymbol { \zeta } \, , } \end{array}
B j p S R = \frac { 1 } { 3 } \mid \frac { g _ { A } } { g _ { V } } \mid \, \bigg [ 1 - a ( 1 + \sum _ { i \geq 1 } \, d _ { i } a ^ { i } ) + O ( \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } ) \bigg ] ,
v ( r , t ) = v _ { m a x } \left( 1 - \frac { r ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \right) [ 1 + \left( A _ { 1 } \ s i n ( 2 \pi f _ { 1 } \ t ) + A _ { 2 } \ s i n ( 2 \pi f _ { 2 } \ t ) + A _ { 3 } \ s i n ( 2 \pi f _ { 3 } \ t ) \right) / 3 ] ,
\begin{array} { r l } & { \varrho = \operatorname* { m i n } _ { i = 1 , N } \left\{ d \left( \mathbf { x } _ { c } , \mathbf { x } _ { i } \right) \right\} } \\ & { \left\{ l = 1 , 2 , 3 , \dotsc , N \ : \ d \left( \mathbf { x } _ { c } , \mathbf { x } _ { l } \right) = \varrho \right\} } \\ & { s ( \mathbf { x } ) = y _ { l } \cdot H _ { \mathcal { B } ( \mathbf { x } _ { c } , \varrho ) } ( \mathbf { x } ) } \end{array}
\mathbb { E } \big [ \vert \widehat { \mu ^ { n } } ( k ) - \widehat { \rho } ( k ) \vert ^ { 2 p } \big ] ^ { \frac { 1 } { p } } \lesssim p ^ { 2 } \, \frac { 1 } { n } \bigg ( \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) \lambda _ { k } ^ { \frac { 1 } { \log ( n ) } } + \frac { \lambda _ { k } ( 1 + \log ^ { 2 } ( n ) ) } { n } \bigg ) \quad \mathrm { f o r ~ a n y ~ p < \infty ~ } ,
\kappa _ { 1 , \pm } ^ { 2 } = \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \kappa _ { 1 , 1 } ^ { 2 } + \kappa _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \right) - \kappa _ { 1 , 3 } ^ { 2 } \right] \pm i \left( \kappa _ { 1 , 1 } + \kappa _ { 1 , 2 } \right) \sqrt { \kappa _ { 1 , 3 } ^ { 2 } - \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \kappa _ { 1 , 1 } - \kappa _ { 1 , 2 } \right) \right] ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } ^ { ( 3 ) } } & { { } = \sum _ { \mu , \nu \neq 0 } \frac { \Delta V _ { 0 \mu } \, \Delta V _ { \mu \nu } \, \Delta V _ { \nu 0 } } { \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } \Delta E _ { 0 \nu } ^ { ( e ) } } - \Delta V _ { 0 0 } \sum _ { \mu \neq 0 } \frac { \vert \Delta V _ { 0 \mu } \vert ^ { 2 } } { \left( \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } \right) ^ { 2 } } \quad , } \end{array}
| \nabla \tilde { p } ( \tau , \tilde { y } _ { 0 } ) - \nabla \tilde { p } ( \tau , \tilde { x } _ { 0 } ) | \leq C _ { d } g ( t ) \left[ \int _ { 0 } ^ { \xi } \Omega ( \tau , \eta ) \eta ^ { \beta - 2 } d \eta + \frac { 2 \Omega ( \tau , \xi ) } { ( 1 - \beta ) \xi ^ { 1 - \beta } } \right] \leq \frac { 2 C _ { d } g ( t ) } { 1 - \beta } \int _ { 0 } ^ { \xi } \eta ^ { \beta - 1 } \partial _ { \eta } \Omega ( \tau , \eta ) d \eta ,
{ \mathcal { G } } ^ { R \left( A \right) } { ( } \varepsilon { ) = } { \left[ \varepsilon ^ { + ( - ) } { - } H { - } { \hslash } { \mathit { \Sigma } } ^ { R \left( A \right) } \left( \varepsilon \right) \right] } ^ { { - } { 1 } }
\begin{array} { r l } { M _ { i } \left( t , n \pm 1 ; \mathbf { g } ( n ) \right) } & { { } = T _ { i j } \left( \mathbf { g } ( n ) , \mathbf { g } ( n \pm 1 ) \right) M _ { j } \left( t , n \pm 1 ; \mathbf { g } ( n \pm 1 ) \right) } \\ { F _ { i } \left( t , n \pm 1 ; \mathbf { g } ( n ) \right) } & { { } = T _ { i j } \left( \mathbf { g } ( n ) , \mathbf { g } ( n \pm 1 ) \right) F _ { j } \left( t , n \pm 1 ; \mathbf { g } ( n \pm 1 ) \right) } \end{array}
\mathbf { K } _ { b } = \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } \mathbf { A } \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } + 2 \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } ^ { \dagger } \mathbf { A } \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } \, , \qquad \mathbf { F } _ { b } = \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } ^ { \dagger } \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } \, .
\begin{array} { r l } & { E _ { 1 } = E _ { \mathrm { E P 3 } } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 ^ { 2 / 3 } } \delta \tilde { \gamma } ^ { 1 / 3 } - \frac { 1 } { 2 ^ { 1 / 3 } } \delta \tilde { \gamma } ^ { 2 / 3 } ; } \\ & { E _ { 2 } = E _ { \mathrm { E P 3 } } - \frac { ( - 1 ) ^ { 1 / 3 } \sqrt { 3 } } { 2 ^ { 2 / 3 } } \delta \tilde { \gamma } ^ { 1 / 3 } - \frac { ( - 1 ) ^ { 2 / 3 } } { 2 ^ { 1 / 3 } } \delta \tilde { \gamma } ^ { 2 / 3 } ; } \\ & { E _ { 3 } = E _ { \mathrm { E P 3 } } + \frac { ( - 1 ) ^ { 2 / 3 } \sqrt { 3 } } { 2 ^ { 2 / 3 } } \delta \tilde { \gamma } ^ { 1 / 3 } + \frac { ( - 1 ) ^ { 1 / 3 } } { 2 ^ { 1 / 3 } } \delta \tilde { \gamma } ^ { 2 / 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h ( x , y ) } & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \{ \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i ) x ^ { i } \sum _ { m = 0 } ^ { j } \sum _ { n = 0 } ^ { m } \binom { j } { n , m - n , j - n } a ^ { n } b ^ { m - n } c ^ { j - n } x ^ { n - j + m } \} y ^ { j } } \\ & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \{ \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { j } \sum _ { n = 0 } ^ { m } \binom { j } { n , m - n , j - n } a ^ { n } b ^ { m - n } c ^ { j - n } \Psi ( i ) x ^ { i - j + m + n } \} y ^ { j } . } \end{array}
\Gamma _ { \mu } = e \left[ F _ { 1 } ( q ^ { 2 } , p ^ { 2 } , p ^ { 2 } ) ( p ^ { \prime } + p ) _ { \mu } + F _ { 2 } ( q ^ { 2 } , p ^ { 2 } , p ^ { 2 } ) ( p ^ { \prime } - p ) _ { \mu } \right] \, ,
\mathrm { ~ P ~ S ~ F ~ } _ { 5 1 5 } ( r ) = \frac { 1 } { 2 \pi \sigma _ { 5 1 5 } ^ { 2 } } \: \mathrm { e } ^ { - r ^ { 2 } / 2 \sigma _ { 5 1 5 } ^ { 2 } }
\overline { { { C } } } _ { G ^ { 2 } } ( \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) ) = \frac { 1 } { Q ^ { 4 } } \frac { 1 } { 1 2 } \biggl ( 1 - \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } 0 . 6 1 1 1 + O ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) \biggr ) ,
T r \gamma _ { 1 , 3 , ( 0 , \pm 1 , 0 ) } - \frac { 1 } { 3 } T r [ \gamma _ { 1 , { \tilde { 7 } } _ { 3 } , ( 0 ) } \gamma _ { W 4 , { \tilde { 7 } } _ { 3 } } ^ { \pm 1 } ] - \frac { 1 } { 3 } T r \gamma _ { 1 , 7 _ { 4 } , ( \pm 1 ) } + \frac { 1 } { 3 } T r [ \gamma _ { 1 , 7 _ { 5 } , ( 0 ) } \gamma _ { W 4 , 7 _ { 5 } } ^ { \pm 1 } ] = 0
\begin{array} { r l } { R _ { u \theta } } & { { } = \frac { \left< u \theta ^ { \prime } \right> } { u _ { \mathrm { { R M S } } } \theta _ { \mathrm { { R M S } } } ^ { \prime } } \, , } \\ { R _ { v \theta } } & { { } = \frac { \left< v \theta ^ { \prime } \right> } { v _ { \mathrm { { R M S } } } \theta _ { \mathrm { { R M S } } } ^ { \prime } } \, . } \end{array}
\frac { 1 } { 1 - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { k _ { 0 } } { k } } ( 1 + \cos \alpha ) } \approx \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { k _ { 0 } } { k } } ( 1 + \cos \alpha ) \right) .
\begin{array} { r } { \operatorname { V a r } ( \mathscr { H } ) = \frac { 1 } { N _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } \left( \mathscr { H } _ { i } - \left\langle \mathscr { H } \right\rangle \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { d N _ { \mathrm { f r e e } } } { d \gamma } \propto \gamma ^ { - s _ { \mathrm { f r e e } } } ~ ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ ~ s _ { \mathrm { f r e e } } = t _ { \mathrm { a c c } } / t _ { \mathrm { e s c } } ~ .
\begin{array} { r l } { r ^ { \prime \prime } - r ( \theta ^ { \prime } ) ^ { 2 } } & { { } = - \frac { q ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d } { d r } \overline { { A _ { \perp } ^ { 2 } } } | _ { \eta = 0 } \, , } \\ { \left( \gamma _ { 0 } r ^ { 2 } \theta ^ { \prime } \right) ^ { \prime } } & { { } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } p + \underline { { u } } \ensuremath { \boldsymbol { \cdot } } \nabla p + \gamma p \nabla \ensuremath { \boldsymbol { \cdot } } \underline { { u } } = 0 } \\ { \rho \partial _ { t } \underline { { u } } + M ^ { \- 2 } \nabla p + \rho \underline { { u } } \ensuremath { \boldsymbol { \cdot } } \nabla \underline { { u } } = 0 } \\ { \partial _ { t } s + \underline { { u } } \ensuremath { \boldsymbol { \cdot } } \nabla s = 0 } \end{array}
\Lambda = \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { \ldots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
D = \kappa \left[ \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { 1 4 } } & { d _ { 1 5 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { 2 4 } } & { d _ { 2 5 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { 3 4 } } & { d _ { 3 5 } } \\ { d _ { 1 4 } } & { d _ { 2 4 } } & { d _ { 3 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { d _ { 1 5 } } & { d _ { 2 5 } } & { d _ { 3 5 } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \Phi ( \vec { x } , \vec { x } \, ^ { \prime } , z ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } + \frac { \vec { x } \, ^ { \prime } } { 2 } , z ) - \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } - \frac { \vec { x } \, ^ { \prime } } { 2 } , z ) \right) } \end{array}
E ( a ; b ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \, f ( x ) \, \pi ( x ; a , b ) = { \frac { 1 } { 2 a + 2 b } } \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a } { \sigma \sqrt 2 } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b } { \sigma \sqrt 2 } } \right] \right) \, .
[ { \mathcal { F } } ( \mathrm { ~ } \sum _ { { \bf { q } } } { \tilde { f } } _ { { \bf { q } } } T _ { - { \bf { q } } } ( { \bf { k } } ) \mathrm { ~ } ) ] \mathrm { ~ } \delta _ { { \bf { k } } , { \bf { 0 } } } = { \tilde { g } } _ { { \bf { k } } }
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , i n - w } ( i n ) = } & { { } \frac { ( \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } ) ^ { 2 } - \mathbf { 1 } ^ { T } { A } ^ { 2 } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \nabla _ { \vec { r } _ { i } } ^ { 2 } + \sum _ { i > j } \frac { 1 } { | { \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } } | } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } , \delta _ { \mathrm { s f } } ) = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \mathcal { D } _ { x y } ^ { \mathrm { L R } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { d e t } \phi { ' } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } & { = } & { \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { c c } { p _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } } & { k _ { 2 } p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { k _ { 2 } - 1 } } \\ { 0 } & { k _ { 1 } p _ { 2 } ^ { k _ { 1 } - 1 } } \end{array} \right) = k _ { 1 } p _ { 2 } ^ { k _ { 1 } + k _ { 2 } - 1 } . } \end{array}
K = { \frac { \operatorname* { P r } ( D | M _ { 1 } ) } { \operatorname* { P r } ( D | M _ { 2 } ) } } = { \frac { \int \operatorname* { P r } ( \theta _ { 1 } | M _ { 1 } ) \operatorname* { P r } ( D | \theta _ { 1 } , M _ { 1 } ) \, d \theta _ { 1 } } { \int \operatorname* { P r } ( \theta _ { 2 } | M _ { 2 } ) \operatorname* { P r } ( D | \theta _ { 2 } , M _ { 2 } ) \, d \theta _ { 2 } } } = { \frac { \frac { \operatorname* { P r } ( M _ { 1 } | D ) \operatorname* { P r } ( D ) } { \operatorname* { P r } ( M _ { 1 } ) } } { \frac { \operatorname* { P r } ( M _ { 2 } | D ) \operatorname* { P r } ( D ) } { \operatorname* { P r } ( M _ { 2 } ) } } } = { \frac { \operatorname* { P r } ( M _ { 1 } | D ) } { \operatorname* { P r } ( M _ { 2 } | D ) } } { \frac { \operatorname* { P r } ( M _ { 2 } ) } { \operatorname* { P r } ( M _ { 1 } ) } } .
\begin{array} { r l } { \sin ( z ) } & { { } = z \left( 1 - \frac { 1 } { 3 ! } z ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 ! } z ^ { 4 } - \cdots + \frac { ( - 1 ) ^ { M } } { ( 2 M + 1 ) ! } z ^ { 2 M } \right) + ~ { \cal O } ( z ^ { 2 M + 3 } ) } \end{array}
\frac { \eta ( \mathrm d X ^ { \prime } e _ { 0 } , \mathrm d X ^ { \prime } e _ { 0 } ) } { \langle e _ { 0 } , e _ { 0 } \rangle } = \left[ \frac { \eta ( \mathrm { d } T \mathrm { d } X e _ { 0 } , \mathrm { d } T \mathrm { d } X e _ { 0 } ) } { \langle e _ { 0 } , e _ { 0 } \rangle } \circ t \right] \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } t ^ { \prime } } \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } t ^ { \prime } } = \left[ \frac { \eta ( \mathrm { d } X e _ { 0 } , \mathrm { d } X e _ { 0 } ) } { \langle e _ { 0 } , e _ { 0 } \rangle } \circ t \right] \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } t ^ { \prime } } \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } t ^ { \prime } } > 0 .
\mathcal { L } \left( \theta | R , \sigma \right) \propto \exp \left( - \frac { \left( \sqrt { \theta _ { \nu } \theta ^ { \nu } } - R \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) , \quad \mathrm { w i t h ~ t h e ~ a n a l y t i c ~ d e r i v a t i v e } \quad \frac { \partial } { \partial \theta ^ { \mu } } \left( - \ln \mathcal { L } \left( \theta | R , \sigma \right) \right) = \frac { \sqrt { \theta _ { \nu } \theta ^ { \nu } } - R } { \sqrt { \theta _ { \rho } \theta ^ { \rho } } \sigma ^ { 2 } } \theta _ { \mu } .
2 T = { \left( \begin{array} { l l l } { p _ { \alpha } } & { p _ { \beta } } & { p _ { \gamma } } \end{array} \right) } \; \mathbf { g } ^ { - 1 } \; { \left( \begin{array} { l } { p _ { \alpha } } \\ { p _ { \beta } } \\ { p _ { \gamma } } \end{array} \right) } ,
\mathbf { H } = { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } _ { 1 } \sim { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } _ { 2 } \sim { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } _ { 3 } \sim { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } _ { 4 } .
\frac { d } { d t } E _ { n , l } ^ { k } \equiv 2 g D \ \Re \left[ \left( \frac { d } { d \Tilde { t } } \ \chi _ { n , l } ^ { k } \right) \left( \chi _ { n , l } ^ { k } \right) ^ { * } \right] = 2 g D \ \Re \Bigg \{ \left( f _ { n , l } ^ { k } - q _ { n , l } ^ { k } \right) \left( \chi _ { n , l } ^ { k } \right) ^ { * } + \left( q _ { n , l } ^ { k } \right) \left( \chi _ { n , l } ^ { k } \right) ^ { * } \Bigg \} \, .
{ \bf \Phi } _ { 1 } ^ { ( n _ { \rho } , m ) } = { \bf \Phi } _ { 1 } ^ { ( n _ { \rho } , m ) } ( \rho , k ) = \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 1 } ^ { ( n _ { \rho } , m ) } ( \rho , k ) } } \\ { { \phi _ { 2 } ^ { ( n _ { \rho } , m ) } ( \rho , k ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { n } \big [ \big | \mathcal { S } _ { t _ { 1 } } ^ { n } ( \varphi ) - \mathcal { S } _ { t _ { 2 } } ^ { n } ( \varphi ) \big | ^ { 2 } \big ] } & { \lesssim | t _ { 1 } - t _ { 2 } | \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } E _ { \nu _ { n } } [ ( \overline { { \eta } } _ { j } + c _ { 3 } \beta _ { n } \overline { { \zeta } } _ { j } ) ^ { 2 } ] ( \Delta ^ { n } T _ { v _ { n } ^ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } ) ^ { 2 } d s } \\ & { \lesssim | t _ { 1 } - t _ { 2 } | ^ { 2 } \| \partial _ { x } ^ { 2 } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { J _ { N , T } } \leq } & { C \Bigg ( \frac { ( \tilde { S } d _ { N } ) ^ { 2 } ( \log N ) ^ { 3 / 2 } \log ( T ) } { \sqrt { T } } + \frac { ( \tilde { S } d _ { N } ) ^ { 4 } \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) } { T ^ { 1 - 2 / m } } } \\ & { + \left[ \frac { ( \tilde { S } d _ { N } ) ^ { 2 m } \log ( N ) ^ { 3 m / 2 - 4 } \log ( T ) \log ( N T ) } { T ^ { m / 2 - 1 } } \right] ^ { \frac { 1 } { m - 2 } } + \left( N d _ { N } ^ { m } S _ { m } \right) ^ { \frac { 1 } { m + 1 } } \left[ \frac { \sqrt { \log ( N ) } } { \sqrt { T } } \right] ^ { \frac { m } { m + 1 } } \Bigg ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } { \frac { 1 } { S _ { n } } } } \\ & { = 1 - { \frac { 1 } { 1 3 } } + { \frac { 1 } { 3 7 } } - { \frac { 1 } { 7 3 } } + { \frac { 1 } { 1 2 1 } } - { \frac { 1 } { 1 8 1 } } + { \frac { 1 } { 2 5 3 } } - { \frac { 1 } { 3 3 7 } } + \cdots } \\ & { \approx 0 . 9 4 1 4 1 9 . } \end{array} }
\dot { H } _ { \mathrm { a n i s o } } = \frac { \ddot { a } } { a } - \bigg ( \frac { \dot { a } } { a } \bigg ) ^ { 2 } + \frac { \ddot { b } } { b } - \bigg ( \frac { \dot { b } } { b } \bigg ) ^ { 2 } + \frac { \ddot { c } } { c } - \bigg ( \frac { \dot { c } } { c } \bigg ) ^ { 2 } .
K _ { D } ( { \bf r } ^ { \prime \prime } , { \bf r } ^ { \prime } ; t ^ { \prime \prime } , t ^ { \prime } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } K _ { D } ^ { ( n ) } ( { \bf r } ^ { \prime \prime } , { \bf r } ^ { \prime } ; t ^ { \prime \prime } , t ^ { \prime } ) \; ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \langle y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) , y ^ { * } ( x ^ { k } ) - y ^ { * } ( x ^ { k + 1 } ) \rangle \right] } \\ & { = - \mathbb { E } [ \langle y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) , \nabla y ^ { * } ( x ^ { k } ) ( x ^ { k + 1 } - x ^ { k } ) \rangle ] } \\ & { - \mathbb { E } \left[ \langle y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) , y ^ { * } ( x ^ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x ^ { k } ) - \nabla y ^ { * } ( x ^ { k } ) ( x ^ { k + 1 } - x ^ { k } ) \rangle \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \nabla \cdot \boldsymbol { \sigma } } & { { } = \boldsymbol { f } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega _ { \mathrm { b r e a s t } } , } \\ { \boldsymbol { \sigma } } & { { } = \lambda \operatorname { t r } ( \boldsymbol { \varepsilon } ) \boldsymbol { I } + 2 \mu \boldsymbol { \varepsilon } , } \\ { \boldsymbol { J } } & { { } = \boldsymbol { R } _ { q r } \cdot \boldsymbol { \varepsilon } , } \\ { \boldsymbol { \varepsilon } } & { { } = \boldsymbol { R } _ { q r } ^ { - 1 } \boldsymbol { J } = \left[ \begin{array} { c c c } { 1 + \boldsymbol { \varepsilon } _ { x x } } & { 2 \boldsymbol { \varepsilon } _ { x y } } & { 2 \boldsymbol { \varepsilon } _ { x z } } \\ { 0 } & { 1 + \boldsymbol { \varepsilon } _ { y y } } & { 2 \boldsymbol { \varepsilon } _ { y z } . } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + \boldsymbol { \varepsilon } _ { z z } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { x } } & { ( t ) = \frac { d x ( t ) } { d t } } \\ & { = \left\lbrace \begin{array} { l l } { S h _ { o } \omega \cos \left( \omega t \right) } & { 0 \leq \frac { t } { T } \leq \frac { 1 } { 2 } } \\ { - S h _ { o } \omega \cos \left( \omega t \right) } & { \frac { 1 } { 2 } < \frac { t } { T } \leq 1 } \end{array} \right\rbrace } \end{array}
\theta ( t ) = { \frac { \log \Gamma \left( { \frac { 2 i t + 1 } { 4 } } \right) - \log \Gamma \left( { \frac { - 2 i t + 1 } { 4 } } \right) } { 2 i } } - { \frac { \log \pi } { 2 } } t = - { \frac { i } { 2 } } \left( \ln \Gamma \left( { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { i t } { 2 } } \right) - \ln \Gamma \left( { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { i t } { 2 } } \right) \right) - { \frac { \ln ( \pi ) t } { 2 } }
\begin{array} { r } { \mathcal { U } ( \tilde { \pi } , \overline { { \nu } } _ { t } ) - \mathcal { U } ( \overline { { \pi } } _ { t } , \tilde { \nu } ) \leq \frac { \tilde { B } } { K \lambda } + \frac { A } { t } + B \mathcal Q _ { \nu } ( \nu _ { 0 } , \tilde { \nu } ; \frac { \kappa } { K } B t ) ) + \frac { B ^ { 2 } } { K t } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } \eta _ { \tau } d \tau d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | 2 \int _ { \Omega } } & { \theta u \cdot \nabla \eta \ d y \bigg | } \\ & { \leq ( 2 \delta ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \Gamma } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \partial _ { 2 } ^ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \partial _ { 2 } \theta \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \ d y _ { 1 } } \\ & { \leq C \delta ^ { \frac { 3 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \Gamma } \mu \nu \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } + \mu \nu ^ { - 1 } \| \partial _ { 2 } ^ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } + \mu ^ { - 1 } \| \partial _ { 2 } \theta \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } \ d y _ { 1 } } \end{array}
{ \cal E } _ { \pi } ( t , { \bf k } ) = { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \Bigl ( \vert \dot { \tilde { \pi } } ( t , { \bf k } ) \vert ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } \vert \tilde { \pi } ( t , { \bf k } ) \vert ^ { 2 } \Bigr ) ,