harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { { \mathscr Z } _ { \alpha \beta , \alpha \beta } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \simeq \frac { 1 } { 2 \pi \left( - \partial _ { x } ^ { 2 } { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ - 1 ] } ( x _ { m n } ) \right) ^ { 2 } } \, \exp \left( 2 { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( x _ { m n } ) + \widehat { { \mathcal A } } _ { \alpha \beta , \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( x _ { m n } ) \right) { \mathrm { e } } ^ { 2 \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ( m , n ) } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { V } _ { 4 } ( x ) } & { = } & { \Bigg \{ 4 ~ \Bigg [ ( 2 4 - 6 ~ x ^ { 2 } + x ^ { 4 } ) ~ I _ { 0 } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) - x ^ { 2 } ~ ( x ^ { 2 } - 4 ) ~ I _ { 1 } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) \Bigg ] ^ { 2 } \Bigg \} ^ { - 1 } \times } \\ & { \times } & { \Bigg [ ( 9 2 1 6 - 7 4 8 8 ~ x ^ { 2 } + 1 9 2 0 ~ x ^ { 4 } - 1 8 0 ~ x ^ { 6 } + 4 ~ x ^ { 8 } + x ^ { 1 0 } ) ~ I _ { 0 } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } - } \\ & { - } & { 2 ~ x ^ { 2 } ~ ( x - 2 ) ~ ( x + 2 ) ~ ( x ^ { 2 } + 1 6 ) ~ ( 2 4 - 6 ~ x ^ { 2 } + x ^ { 4 } ) ~ I _ { 0 } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) I _ { 1 } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) + } \\ & { + } & { x ^ { 2 } ~ ( x ^ { 2 } - 4 ) ^ { 2 } ~ ( 7 2 + 1 6 ~ x ^ { 2 } + x ^ { 4 } ) ~ I _ { 1 } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } \Bigg ] . } \end{array}
Q ( z ) = \frac { 1 } { h ^ { 3 N - 1 } } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { q } ^ { \prime } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { p } _ { q } ^ { \prime } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } ( z ) }
\begin{array} { r } { \| \mathcal { M } _ { 3 } P _ { \neq } [ ( a ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 1 } \Pi ) ) ] \| _ { L ^ { 2 } } , \quad \| \mathcal { M } _ { 3 } P _ { \neq } [ ( a \partial _ { z } P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 1 } \Pi ) ) ] \| _ { L ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { { u } } } ^ { 2 } = u ^ { 2 } + 2 u \left( \frac { 1 } { 2 ! } \frac { \Delta ^ { 2 } } { 1 2 } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta ^ { 4 } \right) . } \end{array}
| | f _ { 1 } | | _ { p _ { 1 } } | | f _ { 2 } | | _ { p _ { 2 } } | | f _ { 3 } | | _ { p _ { 3 } } = ( q ^ { - d } | S _ { t } | ) ^ { \frac { 1 } { p _ { 1 } } } q ^ { - \frac { d } { p _ { 2 } } } ( q ^ { - d } | S _ { t } | ) ^ { \frac { 1 } { p _ { 3 } } } \sim q ^ { - \frac { 1 } { p _ { 1 } } - \frac { d } { p _ { 2 } } - \frac { 1 } { p _ { 3 } } } ,
\begin{array} { r l } { \chi ^ { 2 } ( K \mu , K P ) } & { = \int \Big ( \frac { d K \mu } { d K P } - \mu ( \Omega ) \Big ) ^ { 2 } \, d K P } \\ & { = \int \Big ( \alpha _ { + } \Big ( \frac { d K \mu _ { + } } { d K P } - 1 \Big ) - \alpha _ { - } \Big ( \frac { d K \mu _ { - } } { d K P } - 1 \Big ) \Big ) ^ { 2 } \, d K P } \\ & { = \alpha _ { + } ^ { 2 } \chi ^ { 2 } \big ( K \mu _ { + } , K P \big ) + \alpha _ { - } ^ { 2 } \chi ^ { 2 } \big ( K \mu _ { - } , K P \big ) } \\ & { - 2 \alpha _ { + } \alpha _ { - } \int \Big ( \frac { d K \mu _ { + } } { d K P } - 1 \Big ) \Big ( \frac { d K \mu _ { - } } { d K P } - 1 \Big ) \, d K P } \\ & { \leq \alpha _ { + } ^ { 2 } \chi ^ { 2 } \big ( \mu _ { + } , P \big ) + \alpha _ { - } ^ { 2 } \chi ^ { 2 } \big ( \mu _ { - } , P \big ) + 2 \alpha _ { + } \alpha _ { - } = \chi ^ { 2 } ( \mu , P ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { Y } ( t ) \right\rangle } & { = \mathbf { A } \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { Y } ( t ) \right\rangle , } \\ { \frac { d } { d t } \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { X } ( t ) \right\rangle } & { = \mathbf { C } \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { X } ( t ) \right\rangle + \varepsilon \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { I } ( t ) \right\rangle . } \end{array}
\operatorname { D e f } ( X ) : = { \Bigl \{ } \{ x \mid x \in X { \mathrm { ~ a n d ~ } } ( X , \in ) \models \phi ( x , y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) \} : \phi { \mathrm { ~ i s ~ a ~ f i r s t - o r d e r ~ f o r m u l a ~ a n d ~ } } y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } \in X { \Bigr \} } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } _ { 0 , y } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | V _ { t } ^ { \varepsilon } - y | \geq \varepsilon ^ { 1 - \delta } \Big ) } & { = \mathbf { P } _ { 0 , y } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | V _ { t } ^ { \varepsilon } - y | ^ { 2 k } \geq \varepsilon ^ { 2 k - 2 k \delta } \Big ) } \\ & { \leq \varepsilon ^ { - 2 k + 2 k \delta } \mathbf { E } _ { 0 , y } \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | V ^ { \varepsilon } ( t ) - y | ^ { 2 k } \leq C _ { 5 } \varepsilon ^ { 2 k \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { H } } [ n ] = \frac { W } { 2 } \int ( \mathrm { d } \vec { r } ) ( \mathrm { d } \vec { r } ^ { \prime } ) \frac { n ( \vec { r } ) \, n ( \vec { r } ^ { \prime } ) } { | \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } | } = \frac { W } { 2 } \int \frac { ( \mathrm { d } \vec { k } ) } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, 4 \pi \frac { n ( \vec { k } ) \, n ( - \vec { k } ) } { k ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K ^ { 1 / 2 } x _ { i } = \lambda q ^ { i } x _ { i } , K ^ { 1 / 2 } y _ { i } = \lambda q ^ { i } y _ { i } , L ^ { 1 / 2 } x _ { i } = \mu q ^ { - i } x _ { i } , L ^ { 1 / 2 } y _ { i } = \mu q ^ { - i } y _ { i } \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 0 , \ldots , N - 1 \} ; } \\ & { E x _ { N - 1 } = c x _ { 0 } , E y _ { N - 1 } = c y _ { 0 } , E x _ { i } = x _ { i + 1 } , E y _ { i } = y _ { i + 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 0 , \ldots , N - 2 \} ; } \\ & { F x _ { 0 } = 0 , F x _ { i } = \left( \frac { \mu ^ { 2 } q ^ { - i + 1 } - \lambda ^ { 2 } q ^ { i - 1 } } { q - q ^ { - 1 } } [ i ] \right) x _ { i - 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 1 , \ldots , N - 1 \} ; } \\ & { F y _ { 0 } = x _ { 0 } , F y _ { i } = \left( \frac { \mu ^ { 2 } q ^ { - i + 1 } - \lambda ^ { 2 } q ^ { i - 1 } } { q - q ^ { - 1 } } [ i ] \right) y _ { i - 1 } + x _ { i } \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 1 , \ldots , N - 1 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \rho } = \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } , \quad \hat { v } = \frac { v } { a _ { 0 } } , \quad \hat { \mathcal { T } } = \frac { \mathcal { T } } { T _ { 0 } } , \quad \hat { \Pi } = \frac { \Pi } { \rho _ { 0 } \frac { k _ { B } } { m _ { 0 } } T _ { 0 } } , } \\ & { \hat { \varphi } = \frac { \varphi } { t _ { c } \, a _ { 0 } } , \quad \hat { x } = \frac { x } { t _ { c } \, a _ { 0 } } , \quad \hat { t } = \frac { t } { t _ { c } } , \quad \hat { \tau } = \frac { \tau } { t _ { c } } , } \\ & { \hat { \psi } = \frac { t _ { c } } { \rho _ { 0 } T _ { 0 } } \psi _ { 1 1 } , \quad \hat { \theta } = \frac { t _ { c } } { \rho _ { 0 } \frac { k _ { B } } { m _ { 0 } } T _ { 0 } ^ { 2 } } \theta _ { 1 1 } , \quad \hat { \kappa } = \frac { t _ { c } } { \rho _ { 0 } \frac { k _ { B } } { m _ { 0 } } T _ { 0 } ^ { 2 } } \kappa _ { 1 1 } , \quad \hat { \phi } = \frac { t _ { c } } { \rho _ { 0 } \frac { k _ { B } } { m _ { 0 } } T _ { 0 } ^ { 2 } } \phi _ { 1 1 } , \quad } \end{array}
{ \mathfrak { N } } _ { \frac { 1 } { 2 } } ( \nu ; \nu _ { 0 } , \theta ) = { \frac { 1 } { 4 { \sqrt { \pi } } \theta ^ { 3 / 2 } } } ( \nu - \nu _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } e ^ { - { \frac { \nu - \nu _ { 0 } } { 4 \theta } } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb P \left( \tau < \varepsilon \right) = \mathbb P \left( \bigcup _ { l = 1 } ^ { \infty } \bigcap _ { k = l } ^ { \infty } \lbrace \tilde { \tau } _ { k } < \varepsilon \rbrace \right) \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { l \to \infty } \mathbb P \left( \tilde { \tau } _ { l } < \varepsilon \right) } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { l \geq 1 } \mathbb P \left( \left\lbrace \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tilde { \tau } _ { l } \wedge \varepsilon ] } \| u ^ { j _ { l } } \| _ { \tilde { s } } > \| u _ { 0 } ^ { j _ { l } } \| _ { \tilde { s } } + 1 \right\rbrace \right) \leq \operatorname* { s u p } _ { l \geq 1 } \mathbb P \left( \left\lbrace \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j _ { l } } ^ { T } \wedge \varepsilon ] } \| u ^ { j _ { l } } \| _ { \tilde { s } } > \| u _ { 0 } ^ { j _ { l } } \| _ { \tilde { s } } + 1 \right\rbrace \right) . } \end{array}
\lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \mathbf { M } , s ) = \operatorname* { m i n } _ { v : \| v \| _ { 0 } \leq s } \frac { v ^ { \mathrm { T } } \mathbf { M } v } { v ^ { \mathrm { T } } v } , \quad \quad \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \mathbf { M } , s ) = \operatorname* { m a x } _ { v : \| v \| _ { 0 } \leq s } \frac { v ^ { \mathrm { T } } \mathbf { M } v } { v ^ { \mathrm { T } } v } .
\begin{array} { r } { \left[ \hat { \lambda } _ { 6 } , \hat { \lambda } _ { 7 } \right] = 2 i \left( - \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 3 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \hat { \lambda } _ { 8 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } \int _ { I _ { i , j } ^ { k } } P _ { 1 } ( x , y ) d x d y = u _ { k } , \quad k = 1 , 2 , 4 , 5 , } \\ & { \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } \int _ { I _ { i , j } ^ { k } } P _ { 2 } ( x , y ) d x d y = u _ { k } , \quad k = 2 , 3 , 5 , 6 , } \\ & { \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } \int _ { I _ { i , j } ^ { k } } P _ { 3 } ( x , y ) d x d y = u _ { k } , \quad k = 4 , 5 , 7 , 8 , } \\ & { \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } \int _ { I _ { i , j } ^ { k } } P _ { 4 } ( x , y ) d x d y = u _ { k } , \quad k = 5 , 6 , 8 , 9 , } \\ & { \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } \int _ { I _ { i , j } ^ { 5 } } P _ { n } ( x , y ) \frac { x - x _ { i } } { \Delta x } d x d y = v _ { 5 } , \quad n = 1 , 2 , 3 , 4 , } \\ & { \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } \int _ { I _ { i , j } ^ { 5 } } P _ { n } ( x , y ) \frac { y - y _ { j } } { \Delta y } d x d y = w _ { 5 } , \quad n = 1 , 2 , 3 , 4 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { i } \left( \mathbf { x } + \mathbf { c } _ { i } \Delta t , t + \Delta t \right) = f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - \frac { 1 } { \tau _ { \phi } } \left[ f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } ( \mathbf { x } , t ) \right] + \Delta t \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \tau _ { \phi } } \right) R _ { i } ( \mathbf { x } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ^ { C } \partial _ { t } ^ { \alpha } w ( t , x ) - \mathfrak { D } w ( t , x ) } & { = 0 , \quad t > 0 , \, \, x \in G , } \\ { w ( t , x ) | _ { _ { _ { t = 0 } } } } & { = w _ { 0 } ( x ) , \quad w _ { 0 } \in L ^ { p } ( G ) , } \\ { \partial _ { t } w ( t , x ) | _ { _ { _ { t = 0 } } } } & { = w _ { 1 } ( x ) , \quad w _ { 1 } \in L ^ { p } ( G ) , } \end{array}
\varphi \equiv \int d \Phi \left[ { \frac { 3 } { 4 } } \left( { \frac { B _ { g } ^ { \prime } } { B _ { g } } } \right) ^ { 2 } + 2 { \frac { B _ { \Phi } ^ { \prime } } { B _ { g } } } + 2 { \frac { B _ { \Phi } } { B _ { g } } } \right] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r } { V ^ { \mathrm { s c a t } } ( r , \theta ) \approx A \left( e ^ { - i \frac { q r } { \hbar } \cos { \theta } } + g ( \theta ) \frac { e ^ { - i \frac { q r } { \hbar } } } { \sqrt { r } } \right) . } \end{array}
\textbf { A } ^ { \mathrm { M } } = \left( \begin{array} { c c c c c c } { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
\mathcal { U } _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { x } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { U } _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { x } , z ) \mathrm { d } z = \frac { | A _ { 0 } ^ { 0 } | ^ { 2 } } { 1 6 \pi e ^ { 2 } \hbar } \frac { \varepsilon _ { \mathrm { A } } } { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } } \frac { 1 } { | J | } .
\begin{array} { r } { \bar { \mathbf { w } } _ { i , j } ^ { ( u ) } = \left[ \mathbf { 0 } _ { \frac { N - N _ { u } } { 2 } } ^ { T } , \mathbf { b } ^ { T } \left( \theta _ { i } ^ { ( u ) } , r _ { i , j } ^ { ( u ) } \right) , \mathbf { 0 } _ { \frac { N - N _ { u } } { 2 } } ^ { T } \right] ^ { T } , } \\ { i = 1 , . . . , N _ { u } , j = 1 , . . . , S _ { u } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \dot { C } _ { - 1 } = i \omega _ { 1 } C _ { - 1 } + ( i + \alpha ) \eta _ { 1 0 } e ^ { i \Omega t } C _ { 0 } + \left( \epsilon _ { 1 1 } | C _ { - 1 } | ^ { 2 } + 2 \epsilon _ { 1 1 } | C _ { 1 } | ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 1 } | C _ { 0 } | ^ { 2 } \right) C _ { - 1 } , } \\ & { } & { \dot { C } _ { 0 } = i \omega _ { 0 } C _ { 0 } + ( i + \alpha ) \eta _ { 1 0 } \left( e ^ { - i \Omega t } C _ { - 1 } + e ^ { i \Omega t } C _ { 1 } \right) + \left( \epsilon _ { 0 } | C _ { 0 } | ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 1 } | C _ { - 1 } | ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 1 } | C _ { 1 } | ^ { 2 } \right) C _ { 0 } , } \\ & { } & { \dot { C } _ { 1 } = i \omega _ { 1 } C _ { 1 } + ( i + \alpha ) \eta _ { 1 0 } e ^ { - i \Omega t } C _ { 0 } + \left( \epsilon _ { 1 1 } | C _ { 1 } | ^ { 2 } + 2 \epsilon _ { 1 1 } | C _ { - 1 } | ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 1 } | C _ { 0 } | ^ { 2 } \right) C _ { 1 } . } \end{array}
\int _ { \mathcal { S } ( t ) } \left( \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } + \mathbf { \nabla } \times \mathbf { E } \right) \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S = \int _ { \sigma } [ \mathbf { E } ] _ { - } ^ { + } \cdot \hat { \mathbf { t } } d l ~ ,
\begin{array} { r l } { Z ( \mathfrak { m } ) \times Z ( \mathfrak { m } ^ { \prime } ) } & { \hookrightarrow \underbrace { Z ( \mathfrak { m } ) \times Z ( \Delta ) } _ { \mathrm { i r r e d u c i b l e } } \times Z ( \mathfrak { m } ^ { \prime } \setminus \Delta ) \cong Z ( \Delta ) \times Z ( \mathfrak { m } ) \times Z ( \mathfrak { m } ^ { \prime } \setminus \Delta ) } \\ & { \hookrightarrow \underbrace { Z ( \Delta ) \times Z ( \Delta ) } _ { \mathrm { i r r e d u c i b l e } } \times Z ( \mathfrak { m } \setminus \Delta ) \times Z ( \mathfrak { m } ^ { \prime } \setminus \Delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } ( \theta ) } & { = \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 1 } } \log \Big ( D ( \theta , \theta ^ { \prime } , 0 , \varphi ^ { \prime } ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \omega _ { C } } { 4 \pi } \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } \int _ { \theta _ { 0 } } ^ { \pi } \log \Big ( D ( \theta , \theta ^ { \prime } , 0 , \varphi ^ { \prime } ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { \theta _ { 2 } } ^ { \pi } \int _ { \theta _ { 0 } } ^ { \pi } \log \Big ( D ( \theta , \theta ^ { \prime } , 0 , \varphi ^ { \prime } ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \widetilde { \gamma } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log \Big ( D ( \theta , \theta ^ { \prime } , 0 , \varphi ^ { \prime } ) \Big ) \sin ( 2 \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
{ \frac { \langle z _ { 2 } \rangle ^ { ( v ) } } { \langle z \rangle ^ { ( v ) } } } { \frac { \langle n _ { 2 } \rangle ^ { ( e ) } } { \langle n \rangle ^ { ( e ) } } } = { \frac { \langle z ( z - 1 ) \rangle ^ { ( v ) } } { \langle z \rangle ^ { ( v ) } } } { \frac { \langle n ( n - 1 ) \rangle ^ { ( e ) } } { \langle n \rangle ^ { ( e ) } } } > 1 ,
\begin{array} { r } { \mathrm { D } _ { \mathrm { l c } } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) \equiv \sqrt { \biggl ( ( a _ { 0 } ^ { q } a _ { 0 } ^ { u } - b _ { 0 } ^ { q } b _ { 0 } ^ { u } ) ^ { 2 } + \ldots + \mathrm { e } ^ { - \tau d ( n ) } ( a _ { n } ^ { q } a _ { n } ^ { u } - b _ { n } ^ { q } b _ { n } ^ { u } ) ^ { 2 } \biggr ) + \biggl ( ( a _ { 0 } ^ { q } a _ { 0 } ^ { v } - b _ { 0 } ^ { q } b _ { 0 } ^ { v } ) ^ { 2 } + \ldots + \mathrm { e } ^ { - \tau d ( n ) } ( a _ { n } ^ { q } a _ { n } ^ { v } - b _ { n } ^ { q } b _ { n } ^ { v } ) ^ { 2 } \biggr ) } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { R ( q , p ) = \sum _ { m = q } ^ { \infty } \sum _ { f = p } ^ { m } { \frac { ( m + 1 - f ) ! ( - 1 ) ^ { m + f + 2 } } { ( m + 2 ) ! ^ { 2 } } } { \frac { b _ { H } ^ { f } } { h ^ { 2 ( m + 2 ) } } } \cdot b _ { H } ^ { ( m + 5 / 2 - f ) / 2 } \times } \\ & { } & { K _ { m + 5 / 2 - f } ( \sqrt { 4 b _ { H } } ) \cdot { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { 1 5 0 \frac { \epsilon _ { k } \left( 1 - \epsilon _ { g } \right) \mu _ { g } } { \epsilon _ { g } d _ { k } ^ { 2 } } + 1 . 7 5 \frac { \epsilon _ { k } \rho _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } _ { k } | } { d _ { k } } , } & { \epsilon _ { g } \le 0 . 8 , } \\ & { \frac { 3 } { 4 } C _ { d } \left( R e _ { s , k } \right) \frac { \epsilon _ { k } \epsilon _ { g } \rho _ { g } } { d _ { k } } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } _ { k } | \epsilon _ { g } ^ { - 2 . 6 5 } , } & { \epsilon _ { g } > 0 . 8 , } \end{array}
u ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma \big ( 1 - \operatorname { t a n h } ( \frac { x } { \epsilon } ) \big ) , \qquad } & { i f \qquad \gamma \big ( 1 - \operatorname { t a n h } ( \frac { x } { \epsilon } ) \big ) \geq \xi , } \\ { 0 , \qquad } & { i f \qquad \gamma \big ( 1 - \operatorname { t a n h } ( \frac { x } { \epsilon } ) \big ) < \xi , } \end{array} \right.
H _ { \frac { 1 } { 1 2 } } = 1 2 - 3 \left( \ln { 2 } + { \frac { \ln { 3 } } { 2 } } \right) - \pi \left( 1 + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right) + 2 { \sqrt { 3 } } \ln \left( { \sqrt { 2 - { \sqrt { 3 } } } } \right)
\begin{array} { r l } { \mu ( L \cap ( - m , \, m ) ) } & { { } \leq \sum _ { q = 2 } ^ { \infty } \sum _ { p = - m q } ^ { m q } { \frac { 2 } { q ^ { n } } } = \sum _ { q = 2 } ^ { \infty } { \frac { 2 ( 2 m q + 1 ) } { q ^ { n } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi _ { N , \delta } ^ { n } = \xi _ { N , \delta } ^ { n - 1 } + \delta [ \nu \Delta \xi _ { N , \delta } ^ { n } - \Pi _ { N } ( \mathbf { u } _ { N , \delta } ^ { n - 1 } \cdot \nabla \xi _ { N , \delta } ^ { n } ) ] + \sqrt { \delta } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \Pi _ { N } \sigma _ { k } \eta _ { n } ^ { k } , \quad \mathrm { ~ f o r ~ } n \geq 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { g ^ { * } ( \mathbf { X } ( \cdot ) , p ) = \mathbb { E } _ { \omega } [ \phi ( \mathbf { X } ( \omega ; p ) ; p ) ] = \int \phi ( \mathbf { X } ( \omega ; p ) ; p ) d \mu _ { \omega } , \; \; \; \frac { d g ^ { * } } { d p } = \mathbb { E } [ \nabla _ { p } \phi ] = \mathbb { E } [ \nabla _ { p } \tilde { g } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { f } } _ { 1 } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \overline { { \alpha } } _ { i } \psi _ { i } \left( \boldsymbol { a } \right) , } \\ { \sigma _ { f _ { 1 } } ^ { 2 } } & { { } = \overline { { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \alpha _ { i } ^ { \prime } \psi _ { i } \left( \boldsymbol { a } \right) \right) ^ { 2 } } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \overline { { { \alpha _ { i } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \psi _ { i } ^ { 2 } \left( \boldsymbol { a } \right) + \sum _ { i \neq j } ^ { N ( N - 1 ) / 2 } 2 \overline { { \alpha _ { i } ^ { \prime } \alpha _ { j } ^ { \prime } } } \psi _ { i } \left( \boldsymbol { a } \right) \psi _ { j } \left( \boldsymbol { a } \right) , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { e + i \ { \overline { { e } } } + j \ v + k \ { \overline { { v } } } } \\ { u _ { r } + i \ { \overline { { u } } } _ { \mathrm { \overline { { r } } } } + j \ d _ { \mathrm { r } } + k \ { \overline { { d } } } _ { \mathrm { \overline { { r } } } } } \\ { u _ { g } + i \ { \overline { { u } } } _ { \mathrm { \overline { { g } } } } + j \ d _ { \mathrm { g } } + k \ { \overline { { d } } } _ { \mathrm { \overline { { g } } } } } \\ { u _ { b } + i \ { \overline { { u } } } _ { \mathrm { \overline { { b } } } } + j \ d _ { \mathrm { b } } + k \ { \overline { { d } } } _ { \mathrm { \overline { { b } } } } } \end{array} \right] } _ { \mathrm { L } }
\begin{array} { r } { \dot { u } _ { i } = - \frac { u _ { i } } { \tau } + I _ { e x t } ( t ) + k \sum _ { j = 1 } ^ { N } J _ { i j } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { i j } * u _ { j } ) , } \\ { \Gamma _ { i j } ( t ) = \frac { a _ { i j } ^ { b _ { i j } } t ^ { b _ { i j } - 1 } e ^ { a _ { i j } t } } { ( b _ { i j } - 1 ) ! } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P _ { i , i - 1 } } & { = { \frac { g _ { i } ( N - i ) } { f _ { i } \cdot i + g _ { i } ( N - i ) } } \cdot { \frac { i } { N } } } \\ { P _ { i , i } } & { = 1 - P _ { i , i - 1 } - P _ { i , i + 1 } } \\ { P _ { i , i + 1 } } & { = { \frac { f _ { i } \cdot i } { f _ { i } \cdot i + g _ { i } ( N - i ) } } \cdot { \frac { N - i } { N } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { L _ { \delta } ( t ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 } - a \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } y ^ { \frac { 4 a } { \sigma ^ { 2 } } - 2 } \left( \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) \right) d y } \\ & { = \frac { \delta } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } y ^ { \frac { 4 \delta } { \sigma ^ { 2 } } - 1 } \left( \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) \right) d y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \cos \beta \right\rangle = } & { \ \frac { 1 } { \Omega } \frac { 2 k } { \sqrt { \pi ( k + 1 ) } } \, , } \\ { \left\langle v \right\rangle = } & { \ \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { k + 1 } } \, , } \\ { \left\langle r \right\rangle = } & { \ \frac { \mathrm { P e } } { \Omega ( k + 1 ) } \, , } \end{array}
c = { ( 4 \pi ) } ^ { 4 / 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \Big ( \frac { u ^ { 3 l } { ( - 1 ) } ^ { l } l ! } { 3 2 \pi ^ { 2 } ( 4 l + 2 ) ! } - \frac { u ^ { 3 l + 3 / 2 } { ( - 1 ) } ^ { l } ( 2 l + 1 ) ! ! } { 3 2 \pi ^ { 3 / 2 } 2 ^ { l } ( 4 l + 4 ) ! } \Big )
W = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathbf { F } \cdot \mathbf { v } d t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } F \, v d t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } m a \, v d t = m \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } v \, { \frac { d v } { d t } } \, d t = m \int _ { v _ { 1 } } ^ { v _ { 2 } } v \, d v = { \frac { 1 } { 2 } } m ( v _ { 2 } ^ { 2 } - v _ { 1 } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \left[ \frac { i } { \omega _ { L } } \frac { \partial } { \partial \tau } + \frac { c ^ { 2 } } { 2 \omega _ { L } ^ { 2 } } \Delta _ { \perp } \right] a } & { { } = \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { L } ^ { 2 } n _ { 0 } } \left[ \delta n _ { 0 } ( r ) + \delta n ( r , \xi ; | a _ { s } | ^ { 2 } ) \right] a } \end{array}
{ \frac { 1 } { T _ { c } } } = { \frac { 1 } { T _ { i } } } + { \frac { d _ { i } } { d _ { i } - d _ { i + 1 } } } \left( { \frac { 1 } { T _ { i + 1 } } } - { \frac { 1 } { T _ { i } } } \right) .
\begin{array} { r } { a _ { \mathrm { e f f } } \sim \frac { 3 2 \pi \, m _ { \mathrm { n u c l e o n } } } { g _ { \pi N N } ^ { 2 } m _ { \pi } ^ { 2 } } \sim 5 \, \mathrm { f m } \, , } \end{array}
d s ^ { 2 } = 2 d x ^ { + } d x ^ { - } + \left( m _ { x } ^ { 2 } ( x ^ { + } ) x _ { a } ^ { 2 } + m _ { y } ^ { 2 } ( x ^ { + } ) y _ { l } ^ { 2 } + m _ { z } ^ { 2 } ( x ^ { + } ) z ^ { 2 } \right) ( d x ^ { + } ) ^ { 2 } + d x _ { a } ^ { 2 } + d y _ { l } ^ { 2 } + d z ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { { \hat { \bf E } } ( z , t ) = { \bf E } _ { c } ( z , t ) + { \hat { \bf E } } _ { p } ( z , t ) , } \\ & { { \bf E } _ { c } ( z , t ) = { \bf e } _ { c } { \cal E } _ { c } e ^ { i ( k _ { c } z - \omega _ { c } t ) } + \mathrm { c . c . } , } \\ & { { \hat { \bf E } } _ { p } ( z , t ) = { \hat { \bf E } } _ { p 1 } ( z , t ) + { \hat { \bf E } } _ { p 2 } ( z , t ) , } \\ & { { \hat { \bf E } } _ { p j } ( z , t ) = { \bf e } _ { p j } { \cal E } _ { p 0 } { \hat { E } } _ { p j } ( z , t ) e ^ { i ( k _ { p } z - \omega _ { p } t ) } + \mathrm { H . c . } , } \end{array}