Frenet Diferansiyel Denklem Sisteminin Çözümleri İçin İntegral Gösterimleri
Frenet Diferansiyel Denklem Sisteminin Çözümleri İçin İntegral Gösterimleri
Yazar: Amirov, Rauf; Mert, Tuğba
Dergi: Cumhuriyet Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fen Bilimleri Dergisi, Vol. 35 No. 2, 2013
Anahtar kelimeler: Transformation operator, Integral equaiton, Sturm-Liouville. ; D¨on¨us¨um operat¨or¨u, Integral denklemi, Sturm-Liouville.

Özet. Bu çalışmada Frenet diferansiyel denklem sisteminin çözümleri için bazı integral gösterimleri elde edilmiştir. Çevirme Operatörü ve özellikleri araştırılmış, özdeğer ve normalleştirici sayıların davranışları incelenmiştir. Abstract. In this paper, we obtain some integral representations system for solution ofFrenet dierential equations system. In addition that we search transformation operatorand its properties and also we investigate eigenvalue and behaviour of normalized number.

Author's email addresses.yardımıyla ¸c¨ oz¨ ulmektedir. Bu y¨uzden de, s¨oz konusu operat¨orlerin spektral karakteristiklerine g¨ore belirlenmesi probleminin ¸c¨ oz¨ ulmesi i¸cin ¨onem ta¸sımaktadır.Tanım 1.1 : Tanım b¨olgesi sonlu, katsayıları toplanabilir fonksiyonlar olan diferansiyel operat¨ore reg¨uler operat¨or, tanım b¨olgesi sonsuz veya katsayıları (bazılarıveya tamamı) toplanabilir olmayan diferansiyel operat¨ore sing¨uler operat¨or denir.˙Ikinci mertebeden reg¨uler operat¨orler i¸cin spektral teori g¨un¨um¨uzde Sturm-Liouvilleteorisi olarak bilinir. XIX. y¨uzyılın sonlarında ikinci mertebeden diferansiyel operat¨orler i¸cin sonlu aralıkta reg¨uler sınır ¸sartları sa˘glanacak ¸sekilde adi diferansiyeloperat¨orlerin da˘gılımı Birkof tarafından incelenmi¸stir. Diskret spektruma sahip veuzayın tamamında tanımlı operat¨orlerin ¨ozde˘gerlerinin da˘gılımı, ¨ozellikle Kuantummekani˘ginde ¸cok ¨onem ta¸sımaktadır. Birinci mertebeden iki denklemin reg¨uler sistemleri daha sonraki yıllarda ele alınmı¸stır. Sing¨uler operat¨orler i¸cin spektral teoriilk olarak Weyl tarafından incelenmi¸stir. Daha sonra Riestz, Neumann, Friedrichsve di˘ger matematik¸ciler tarafından simetrik ve self-adjoint operat¨orlerin genel spektral teorisi olu¸sturulmu¸stur. Simetrik operat¨orlerin t¨um self-adjoint geni¸slemelerininbulunması problemi Neumann tarafından bir s¨ure sonra yapılmı¸stır.˙Ikinci mertebeden sing¨uler operat¨orlerin spektral teorisine yeni bir yakla¸sımı 1946yılında Titchmarsh vermi¸stir. Do˘gru ekseninde tanımlı azalan (artan) potansiyelliL = −d dx + q (x)Sturm-Liouville operat¨orleri i¸cin ¨ozde˘gerlerin da˘gılımı form¨ul¨ u Titchmarsh tarafındanbulunmu¸sur. Son yıllarda bu operat¨ore bir boyutlu q (x) potansiyelli Schr¨odingerdenklemi de denir. Aynı zamanda bu ¸calı¸smada Schr¨odinger operat¨or¨ u i¸ cin ¨ozde˘gerlerinda˘ gılım form¨ul¨ ude verilmi¸stir.Sing¨uler diferansiyel operat¨orlerin incelenmesine ili¸skin ve diferansiyel operat¨orlerinspektral teorisinde ¨onemli bir yere sahip olan ¸calı¸smalar, 1949 yılında Levitan tarafındanyapılmı¸stır. Levitan bu ¸calı¸smalarında spektral teoriyi esaslandırmak i¸cin kendinehas bir y¨ontem vermi¸stir. Farklı sing¨uler durumlarda diferansiyel operat¨orlerin spektral teorisi, ¨ozellikle ¨ozde˘gerlerin, ¨ozfonksiyonların asimptoti˘gine ve ¨oz fonksiyonlarıntamlı˘gına ili¸skin konular Courant, Carleman, Birman, Salamyak, Maslov, Keldish vs.matematik¸ciler tarafından geli¸stirilmi¸stir.2. C ¸ EV˙IRME OPERAT ¨OR ¨ U VE ¨OZELL˙IKLER˙I2.1. ˙Integral Denklemin Olu¸sturulması   y (x) = iρκ (x) y(x) y (x) = iρκ (x)y (x) , λ = ρ, 0 < x < π(1) y (0) − hy(0) = 0y (π) + Hy(π) = 0(2) sınır-de˘ger problemini ele alalım. Burada κ (x) ,κ (x)∈ L [0, π] ve ∀ x ∈ [0, π]i¸ cin κ (x) = 0 dır. ˙Ilk ¨once y (x, ρ) =κ (x)U (x, ρ) ve y(x, ρ) =κ (x)V (x, ρ)(3) d¨ on¨ u¸s¨umleri yapılırsaU (x, ρ) + m (x) U (x, ρ) = iρV (x, ρ)V (x, ρ) − m (x) V (x, ρ) = iρU (x, ρ)(4) denklemler sistemi elde edilir. Burada m (x) =κ (x)2κ (x)dir. U (x, ρ) + m (x) U (x, ρ) = iρV (x, ρ)ise U (x, ρ) + m (x) − m(x) U (x, ρ) = −ρU (x, ρ)ve −U (x, ρ) + q (x) U (x, ρ) = λU (x, ρ)(5) elde edilir. Burada q (x) = m(x) − m (x) , λ = ρ, q (x) ∈ L[0, π] dir. B¨oyleceSturm-Liouville denklemi elde edilmi¸s olur. S¸imdi (5) denkleminin ¸c¨ oz¨ um¨ un¨ u bu- lalım. q (x) = 0 i¸cin homojen kısmın ¸c¨ oz¨ um¨ u U (x, ρ) = ce iρx + c e −iρx¸seklindedir. Homojen olmayan kısmı ¸c¨ ozmek i¸cin sabitlerin de˘gi¸simi y¨ontemi kullanılırsaU (x, ρ) = c∗ e iρx + c ∗ e −iρx+ 2iρ − 2iρ ve buradan daU (x, ρ) = c∗ e iρx + c ∗ e −iρx+ x sin ρ (x − t)ρ q (t) U (t, ρ) dtelde edilir.V (0, ρ) = hκ (0) , U (0, ρ) = 1ve U (0, ρ) = iρhκ (0) −κ (0)2κ (0)